Berechnen von Momenten und Querkräften (Voraussetzung: Auflagerkraftberechnung)

Das statische SystemENDE

Berechnen von Momenten und Querkräften (Voraussetzung: Auflagerkraftberechnung)

Die Belastung

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ENDE

a

b

a/2 a/2

c

Berechnen von Momenten und Querkräften

F

FST

Gegeben ist ein statisches System mit den Auflagerkräften: FAH, FAV und FB

FAH

FAV FB

Das System wird mit einer Kraft F von oben und einer Streckenlast von FST belastet.

Folgende Kräfte sind bekannt:

F = 20kN

FST = 2kN/m

=20kN

=2kN/m

ENDE

Berechnen von Momenten und Querkräften

a

b

a/2 a/2

c

F

FST

FAH

FAV FB

FGF

A B

Unter der Annahme, daß die Summe der Momente um einen Drehpunkt null ergibt, kann man folgende Formel aufstellen:

FST · a ist die gesamte

Streckenlast, FG

Sie greift in der Mitte an.

MA = 0FG · a/2 + F · b - FB · a= 0

Jetzt kann man über die Summe der vertikalen Lasten die Auflagerkraft FAV berechnen:

V = 0

FG + F - FB - FAV = 0

FAH = 0, da keine weiteren Horizontalkräfte vorhanden sind.

ENDE

F

FST

FAV FB

A B

=2kN/m

=20kN

a

b

a/2 a/2

c

Berechnen von Momenten und QuerkräftenF = 20kN

FST = 2kN/m

Die Brücke ist 7,00m lang.

Die Kraft F greift im Abstand von 2,00m zu FB an.

Zuerst wird FG berechnet:

FST · a = FG

2kN/m · 7,00m = 14kN

7,00

3,50 3,50

5,00 2,00

FGF =20kN14kN=

ENDE

Berechnen von Momenten und Querkräften

FG · a/2 + F · b - FB · a = 0

14kN · 3,50m + 20kN · 5,00m - FB · 7,00m = 0

FB = 21,89kN

FB + FAV - FG- F = 0

21,89kN + FAV - 14kN - 20kN = 0

FAV = 12,11kN

=12,11kN =21,89kN

MA = 0

V = 0

a

b

a/2 a/2

c

7,00

3,50 3,50

5,00 2,00

FAV FB

A B

FGF =20kN14kN=

FAV FB

FGF =20kN

ENDE

Berechnen von Momenten und Querkräften

Um die Querkräfte berechnen zu können, muß man als erstes das System auf die größte Belastung hin untersuchen.

Dies geschieht in diesem Fall im Punkt C, wo die Kraft F = 20kN angreift.

5,00 2,00

7,00

FAV FB

F=20kN

FST=2kN/m²

=12,11kN =21,89kN

F=20kN

CC

ENDE

Berechnen von Momenten und Querkräften

Das System wird jetzt vor und hinter dem Punkt C geschnitten.

Man kann das System von FAV nach C oder von C nach FB betrachten. Hier wird das System von C nach FB untersucht.

Rechts und links von Punkt C werden die Querkräfte und das Moment berechnet.

5,00 2,00

7,007,00

5,00

C

FST=2kN/m²

FAV FB

F=20kN

=12,71kN =21,89kN

FST = 2kN/m

ENDE

Berechnen von Momenten und Querkräften

Zuerst wird die Schnittstelle links von C betrachtet.

FST + F - FB - Ql = 0

4kN + 20kN - 21,89kN - Ql = 0

Ql = 2,11kN

5,00 2,01

7,007,00

5,00

FAV FB

F=20kN

FST=2kN/m²

= 6,63kN

C

=21,89kN

Ql

M

FB

FST = 2kN/mFST = 2kN/m

F=20kN

M = 0

v = 0

=2,11kN

FST · 1,00m - FB · 2,00m - MC = 0

4kN · 1,00m - 21,89kN · 2,00m + MC = 0

MC = 39,78kNm

39,78kN=

ENDE

Berechnen von Momenten und Querkräften

Jetzt wird die Schnittstelle rechts von C betrachtet.

5,00 1,99

7,007,00

5,00

FAV FB

F=60N

FST=2kN/m²

= 6,63kN

C

FST = 2kN/m

FB

FST = 2kN/m

v = 0

FST - FB = 0

4kN - 21,89kN - Qr = 0

Qr = -17,89kN

=21,89kNDas Moment muß hier nicht berechnet werden, da das Ergebnis mit dem von der Vorseite übereinstimmt.

-17,89kN=

F=60N

Qr

ENDE

Berechnen von Momenten und Querkräften

FAV FB

F=20kN

FST=2kN/m²

=12,11kN =21,89kN

Mit Hilfe der Bilanzregel kann man nun ein Querkraftdiagramm erstellen.

Hier gilt die Regel:“Alles gute kommt von unten.“

Das heißt, alle Kräfte, die von unten angreifen, werden im Kräftekonto addiert und alle Kräfte, die von oben angreifen, werden subtrahiert.

C

ENDE

Berechnen von Momenten und Querkräften

FAV FB

F=20kN

FST=2kN/m²

=12,11kN =21,89kN

12,11kN

2,11kN

-10kN

Im Auflagerpunkt A greift die Kraft FAV = 12,11kN an. Sie werden also positiv „verbucht“.

Von Punkt A bis Punkt C wird das System mit einer Streckenlast belastet, die 10kN beträgt.

Diese 10kN subtrahiert man jetzt von den 12,11kN, weil die Last von oben angreift und sich negativ auf das System auswirkt.

Das Ergebnis ist 2,11kN, siehe Ql.

Ql = 2,11kN

Qr = -17,89kN

0kN

+12

,11

CA B

ENDE

Berechnen von Momenten und Querkräften

FAV FB

F=20kN

FST=2kN/m²

=12,71kN =21,89kN

12,11kN

2,11kN

-17,89kN

-21,89kN-4kN

Ql = 2,11kN

Qr = -17,89kN

Da im Punkt C die Kraft F = 20kN von oben angreift, muß sie von Ql = 2,11kN subtrahiert werden.

Als Ergebnis erhält man -17,89kN, siehe Qr.

-20k

N

Das System wird wieder von einer Streckenlast, 4kN.

Man subtrahiert die 4kN von dem vorherigen Ergebnis, -17,89kN, und erhält -21,89kN.

Nun addiert man die Auflagerkraft FB = 21,89kN zu diesem Ergebnis, -21,89kN, hinzu und erhäft wieder 0kN.

0kN 0kN

CA B

+21

,89k

N

ENDE

Berechnen von Momenten und Querkräften

FAV FB

F=20kN

FST=2kN/m²

=12,71kN =21,89kN

12,11kN

2,11kN

-17,89kN

-21,89kN

Ql = 2,11kN

Qr = -17,89kN

0kN

Es kommt dieses Querkraftdiagramm zustande.

CA B

0kN

ENDE

Berechnen von Momenten und Querkräften

FAV FB

F=20kN

FST=2kN/m²

=12,71kN =21,89kN

CA B Im Punkt C ist das Moment M = 39,78kNm,

am größten, weil in diesem Punkt ein Vorzeichenwechsel bei den Querkräften stattfindet.

In den Punkten A und B ist das Moment M = 0kNm

0kNm0kNm

39,78kNm

Es ergibt sich folgendes Diagramm, wenn man noch an anderen Stellen des Systems noch die Momente berechnet.

M = 39,78kNm

ENDE

Berechnen von Momenten und Querkräften

12,11kN

2,11kN

-17,89kN

-21,89kN

0kN

0kNm0kNm

39,78kNm

FAV FB

F=20kN

FST=2kN/m²

=12,11kN =21,89kN

CA B Die Ergebnisse noch einmal

zusammengefaßt.

FAV = 12,11kN

FB = 21,89kN

Ql = 2,11kN

Qr = -17,89kN

M = 39,78kNm

ENDE