Berechnung der Erwärmung ebener Leiteranordnungen bei ... · transient state of the thermal...

Berechnung der Erwärmung ebener

Leiteranordnungen bei Stromverdrängung und

Magnetisierung

Der Technischen Fakultät der

Universität Erlangen-Nürnberg

zur Erlangung des Grades

Doktor-Ingenieur

vorgelegt von

Dieter Braisch

Erlangen - 2010

Als Dissertation genehmigt von

der Technischen Fakultät der

Universität Erlangen-Nürnberg

Tag der Einreichung 22.02.2010

Tag der Promotion 20.07.2010

Dekan Prof. Dr.-Ing. Reinhard German

Berichterstatter Prof. Dr.-Ing. habil. Gerhard Herold

Prof. Dr.-Ing. Steffen Großmann

Vorwort

Die vorliegende Arbeit entstand während meiner Tätigkeit als wissenschaftlicher Assistent amLehrstuhl für Elektrische Energieversorgung der Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürn-berg.

Die Anregung zu dieser Arbeit gab mir Herr Prof. Dr.-Ing. habil. Gerhard Herold, der sie mitseinem wissenschaftlichen Rat begleitete, mich auf vielfältige Weise förderte und mir viele wert-volle experimentelle Erfahrungen ermöglicht hat. Ihm sei dafür herzlich gedankt, wie auch HerrnProf. Dr.-Ing. Steffen Großmann für die Übernahme des Koreferats.

Herrn Prof. Dr.-Ing. Johann Jäger, Herrn Dr.-Ing. WolfgangMeyer und Dr.-Ing. Christian Weindldanke ich für alle konstruktiven Ratschläge und die Unterstützung in den administrativen Dingen.Den Kollegen Dr.-Ing. Hubert Rubenbauer und Dr.-Ing. GünterEbner danke ich für die gutenfreundschaftlichen Ratschläge. Herrn Dipl.-Ing. Mathias Ramold danke ich für die gute Zusam-menarbeit bei praktischen Hochstromversuchen und der Unterstützung bei Schulungen. Den Kol-legen der Werkstatt Dieter Leuschner, Werner Ruschig und Matthias Oschmann, danke ich für dieUnterstützung bei praktischen Hochstrom- und Hochspannungsversuchen. Frau Johanna Biegelund Petra Gambel danke ich für die Unterstützung bei allen organisatorischen Angelegenheiten.Allen weiteren Kollegen des Lehrstuhls danke ich für die gute Zusammenarbeit.

Den Studenten, die mit ihrem Engagement und den wissenschaftliche Diskussionen zum Gelin-gen dieser Arbeit beigetragen haben, gebührt ebenfalls mein aufrichtiger Dank. Hier möchte ichbesonders die Herren Dipl.-Ing. Martin Nano, Dipl.-Ing. Bernd Koos und Dr.-Ing. Timo Keil nen-nen. Letztgenannter wurde im Anschluss an seine Diplomarbeit ein guter Kollege am Lehrstuhl,für dessen Zusammenarbeit ich ihm ebenfalls danke.

Weiterhin möchte ich den Kollegen der Siemens AG, E D SE PTI für die Unterstützung währendder Endphase dieser Arbeit danken.

Zum Schluss danke ich meiner Familie für alle Arten der Unterstützung. Meinen Eltern dankeich dafür, dass sie mein Studium ermöglicht haben. Meiner Frau Karin und Tochter Petra dankeich für die vielen erbrachten Opfer und entbehrten Tage.

III

Inhaltsverzeichnis

Vorwort III

Summary IX

Einleitung XI

1. Lösung des Stromverdrängungsproblems 11.1. Vorüberlegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 11.2. Feldtheoretische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 21.3. Vektorpotential des transienten Stromverdrängungsproblems . . . . . . . . . . . . 51.4. Integralgleichung des transienten Stromverdrängungsproblems . . . . . . . . . . . 6

1.4.1. Magnetische Induktion und flächenhafte Stromdichten . . . . . . . . . . . 71.4.2. Diskretisierung der Integralgleichungen . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 8

1.5. Magnetische Feldstärke und Permeabilität . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 111.6. Geometrische Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 121.7. Modifiziertes vollständiges Differenzialgleichungssystem . . . . . . . . . . . . . . 13

1.7.1. Spannungseinprägung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 141.7.2. Stromeinprägung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 161.7.3. Induzierte Spannungen in benachbarte Leiter . . . . . .. . . . . . . . . . 16

1.8. Lösung des Stromverdrängungsproblems . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 181.8.1. Lösung beliebiger transienter Verläufe im Zeitbereich mit numerischer In-

tegration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.8.2. Lösung des stationären Betriebs mit komplexen Größen. . . . . . . . . . 191.8.3. Nachbereitung der Ausgabegrößen . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 20

1.8.3.1. Verlustleistungen und Stromverdrängungsfaktor. . . . . . . . . 201.8.3.2. Leistungen und Impedanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .201.8.3.3. Transiente Ersatzleitergrößen aus Effektivwerten . . . . . . . . . 21

1.9. Elektrische und magnetische Materialparameter . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 221.9.1. Spezifischer elektrischer Widerstand . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 221.9.2. Magnetisierung und Permeabilität . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 22

1.9.2.1. Magnetisierung und Permeabilität ferromagnetischer Stoffe . . . 241.9.2.2. Messung der Magnetisierung ferromagnetischer Stoffe . . . . . . 281.9.2.3. Kennlinien der Induktion und Permeabilität basierend auf Effek-

tivwertgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.9.2.4. Ferromagnetismus bei höheren Temperaturen . . . . .. . . . . 30

2. Grundlagen des Erwärmungsproblems 352.1. Wärmeleitung in Festkörpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 35

2.1.1. Differenzialgleichung für das Temperaturfeld . . . .. . . . . . . . . . . . 352.1.2. Randbedingungen und Anfangswerte . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 36

2.2. Wärmestrahlung an Oberflächen von Körpern . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 372.2.1. Gerichtete spektrale Strahldichte und Strahlstärke . . . . . . . . . . . . . . 38

V

Inhaltsverzeichnis

2.2.2. Emission, Absorption, Reflexion, Transmission und Energiebilanz . . . . . 382.2.3. Idealisierte Extremfälle und Vereinfachungen . . . .. . . . . . . . . . . . 392.2.4. Diffuser Strahler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 392.2.5. Schwarzer Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .402.2.6. Reale diffus-graue Körper und der Satz von Kirchhoff .. . . . . . . . . . 412.2.7. Sichtfaktoren als Kopplungsfaktoren . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 422.2.8. Gleichungen für den Strahlungsaustausch . . . . . . . . .. . . . . . . . . 442.2.9. Vereinfachung für schwarze Flächen . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 462.2.10. Berücksichtigung der Umgebung . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 46

2.2.10.1. Graue Umgebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.2.10.2. Schwarze Umgebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3. Wärmekonvektion in Fluiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 492.3.1. Erzwungene Konvektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 522.3.2. Freie Konvektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 522.3.3. Konvektion in Hohlräumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 54

2.3.3.1. Unbelüfteter Hohlraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.3.3.2. Belüfteter Hohlraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3. Lösung des Erwärmungsproblems mit der Methode der finiten Elemente 573.1. Lösung der stationären Temperaturverteilung . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 573.2. Ansatzfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 603.3. Integration in einem Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 613.4. Gesamtmatrizen und Vektoren aus Einzelelementen . . . .. . . . . . . . . . . . . 643.5. Übergang von der Knotentemperatur zur Elementtemperatur . . . . . . . . . . . . 663.6. Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 66

3.6.1. Wärmeübertragung durch Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 673.6.2. Wärmeübertragung durch Konvektion . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 69

3.7. Lineares Gleichungssystem der stationären Temperaturverteilung . . . . . . . . . . 703.8. Lösung der instationären Temperaturverteilung . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 703.9. Sichtfaktoren rechteckiger Oberflächen . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 72

3.9.1. Numerische Berechnung der Sichtfaktoren . . . . . . . . . .. . . . . . . 743.9.2. Schatten werfende Objekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 77

4. Beschreibung des Simulationsprogramms EMWSim 794.1. Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 794.2. Besonderheiten der Wärmeflusssimulation . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 80

5. Beispiele und Anwendungen 855.1. Magnetische Sättigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 85

5.1.1. Messung der Magnetisierungskennlinie . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 855.1.2. Messung mit hohen Strömen ohne Erwärmung . . . . . . . . . .. . . . . 875.1.3. Erwärmungsversuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 965.1.4. Erwärmung bei hohen Temperaturen . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 97

5.2. Elektrische Unsymmetrie einer Schienenanordnung . . .. . . . . . . . . . . . . . 1005.2.1. Übertragungsverhalten der Wärmeverluste unter Normalbedingungen . . . 1015.2.2. Allgemeine Daten für das elektrische Betriebsverhalten . . . . . . . . . . . 1045.2.3. Elektrisches Betriebsverhalten innerhalb eines Netzes . . . . . . . . . . . . 107

5.2.3.1. Simulation mit Nennlast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1085.2.3.2. Simulation mit Fehlerbedingungen . . . . . . . . . . . . .. . . 108

VI

Inhaltsverzeichnis

5.3. Schienensystem mit Gießharzisolierung . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 1135.3.1. Variante 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.3.2. Variante 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.3.3. Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6. Zusammenfassung und Ausblick 121

A. Anhang 123A.1. Konvektionsformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 123A.2. Elektrische und magnetische Materialeigenschaften .. . . . . . . . . . . . . . . . 133

A.2.1. Spezifischer Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 133A.2.2. Sättigungsinduktion von Legierungen . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 133A.2.3. Curietemperatur von Legierungen . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 136A.2.4. Magnetisierungskennlinien und Daten ferromagnetischer Stoffe . . . . . . 138

Abkürzungen und Formelzeichen 141

Literaturverzeichnis 144

VII

Summary

In this dissertation an existing simulation program for electromagnetic phenomena in uniformconductor arrangements modelled in two dimensional cross sections was refined.

An existing simulation program was based on the multifilament method (or the method of finiteimpedances). Originally the simulation program only considered the magnetisation with a constantpermeability. It was further refined by modeling the non linear magnetisation of ferromagneticmaterials which in addition can also be a non linear functionof temperature up to beyond theCurie temperature.

The multifilament method has the advantage that for the purely electromagnetic simulation theelectromagnetically non active parts do not have to be modeled and discretised. By discretising theelectromagnetically active parts, the skin effect is also modeled. The electrical thermal losses asresistive losses of the electromagnetic simulation are thesource for a second simulation of the heatflow. This is implemented by using finite elements where heat conduction, convection and radiationare modeled. Only the environment as boundary and only the parts of the arrangement, where heatconduction does take place, are discretised. These materials are normally solids. The differentialequation for heat conduction is the core of the heat flow simulation with finite elements.

As radiation acts at a distance through a transparent mediumor vacuum, the medium does notneed to be discretised and radiation is considered as a boundary condition for the heat flow pro-blem. Heat convection in fluid media is modeled by the heat transfer coefficient calculated with theaid of similitude theory from a wide basis of known dimensionless dependencies of similar models.It also forms a boundary condition without the need of discretising the fluid. The nonlinearity intemperature of the fluids is taken care of in each iteration step within the whole simulation. In thisway the modeling of the complete problem is simplified and simulation time is saved significantly.With a sufficient degree of discretisation, experience in convection phenomena and dimensionlessequations, the simulation results are accurate to within a few degrees Celsius and very close toreality.

The electromagnetic and thermal simulation are coupled with each other and can be performedfor the transient or steady state. Often the steady state of the electromagnetic problem and thetransient state of the thermal problem are the most interesting case for the warming up and coolingdown phases for example. Normally the magnetic saturation of materials is described by magneti-zing curves of peak values when these are available. However, in this dissertation root mean squaremagnetizing curves are calculated and used in the steady state electromagnetic simulation. As theelectromagnetic simulation part calculates with finite impedances, the impedance matrix at the ter-minals of the arrangement is a direct result of the simulation. It can therefore be used directly as asingle element within an electrical network for further calculation and simulation.

An example shows the influence of magnetic saturation on the complete impedance of the ar-rangement and in particular on its current dependency. A busbar arrangement is shown in a sub-sequent example. It shows how a close magnetic coupling between the bars can lead to a curiouscurrent distribution in the case of faults. In designing such assemblies and depending on the aim,a compromise needs to be found between minimum impedance, transmission losses and degree ofasymmetry of a three phase electrical layout.

The developed simulation program now makes it possible to solve many electromagnetic andthermal problems of power system devices with minimum time and effort. Furthermore, problems

IX

Summary

in other engineering fields may also be solved. Very often a first estimation and simulation ofseveral layouts leads close to the desired result or shows solutions which were not thought of at afirst glance.

X

Einleitung

Bei der Übertragung und dem Verbrauch elektrischer Energie kommt es aufgrund der endlichenLeitfähigkeit und der geometrischen Daten der Leitermaterialien stets auch zu einem Wärmeum-satz in Form von Verlusten oder Nutzwärme. Aus ökonomischenund ökologischen Gründen soll-ten die Übertragungsverluste minimiert und die Nutzenergie maximiert werden, was insgesamteiner Maximierung des Wirkungsgrades gleichkommt.

Bei zeitlich veränderlichen Strömen beeinflussen sich elektrische Leiter gegenseitig abhängigvon deren geometrischen Abmessungen und Positionierung zueinander sowie von der Frequenzder Wechsel- oder Drehströme. Diese Beeinflussung ist unter den Begriffen „Stromverdrängung“oder „Skin- und Proximityeffekt“ allgemein bekannt. Die Stromdichteverteilung ist dabei aufgrundder induzierenden Wirkung des zeitlich veränderlichen Magnetfeldes über den Leiterquerschnittbetrachtet nicht mehr konstant, wie es bei stationärem Gleichstrom der Fall ist. Dieser Effekt führtzu einer Verengung des effektiven Leiterquerschnitts und zu einer Erhöhung des Leiterwiderstands.Bei hohen Strömen entstehen in den Leitern erhebliche Wärmeverluste, welche in jedem Fall an dieUmgebung abgeführt werden müssen, um eine Überhitzung im betrachteten System zu vermeiden.Die sich ergebende Temperaturverteilung wirkt sich wiederum über den temperaturabhängigenelektrischen Widerstand auf die Stromdichteverteilung indirekt aus.

Zusätzlich zum Ziel der Wirkungsgradmaximierung müssen auch Betriebstemperaturen beach-tet werden, die sich gegebenenfalls negativ auf die mechanische Festigkeit und die elektrischeIsolationsfähigkeit auswirken können. Die Minimierung des elektrischen und magnetischen Blind-leistungsbedarfs der betrachteten Leiteranordnung ist ein weiteres wichtiges Kriterium.

Ausgehend von der Geometrie und den Werkstoffeigenschaften der Leiter wird ein auf der Teil-leitermethode basierendes Simulationsverfahren weiterentwickelt, um die inhomogene Stromdich-teverteilung und die Wärmeverlustquellen in den elektrischrelevanten Anlagenteilen zu bestim-men. Die Teilleitermethode als Methode zur Diskretisierung des elektrischen Problemteils bietetden Vorteil, dass sie unmittelbar mit Impedanzen rechnet, dem praxisorientierten Bediener desSimulationsprogramms jederzeit den Einblick in die Ergebnisse und Zwischenergebnisse der Si-mulation erleichtert und ihm diese in gewohnten Größen liefert. Magnetische Sättigung der Ma-terialien findet ebenfalls ihre Berücksichtigung. Kapitel 1führt in die Teilleitermethode ein underarbeitet die Grundgleichungen für den elektromagnetischen Teil der Simulation.

Basierend auf der Methode der finiten Elemente wird ein zweites Verfahren entwickelt, um dieWärmeleitfähigkeiten, den Wärmefluss und die Temperaturverteilung im System zu ermitteln. DieMethode der finiten Elemente löst dabei die klassische Differenzialgleichung der Wärmeleitungund berücksichtigt Wärmeübertragung durch Konvektion und Strahlung als Randbedingung. Sieliefert die Temperaturverteilung in der simulierten Anordnung als Ergebnis. Konvektionsvorgängein Fluiden werden im Rahmen der Ähnlichkeitstheorie behandelt, womit eine aufwändige Diskre-tisierung größerer Zwischenräume vermieden wird. Kapitel2 vermittelt einen Überblick über diephysikalischen Grundlagen der drei Wärmeübertragungsmechanismen Wärmeleitung, -strahlungund -konvektion, um sie in Kapitel 3 anhand der Methode der finiten Elemente im wärmetechni-schen Teil der Simulation zu modellieren.

Beide Verfahren zusammen bestimmen iterativ in gegenseitiger Abhängigkeit die Lösung derStromdichte- und Temperaturverteilung und sind im Rahmen dieser Arbeit im Simulationspro-gramm EMWSim (Elektro-Magnetische Wärme-Simulation) implementiert worden. In Kapitel 4

XI

Einleitung

wird ein Gesamtüberblick über das Simulationsprogramm gegeben.Anhand der beschriebenen Verfahren ist es möglich, vor allem bei komplizierten Leiteranord-

nungen, bei denen das Optimum intuitiv meistens nicht gefunden wird, sowohl nach elektroma-gnetischen als auch nach wärmetechnischen Gesichtspunkten optimal auszulegen, um eventuellbereits geforderte Randbedingungen zu erfüllen, vorhandene Anordnungen zu überprüfen, kriti-sche Stellen zu erkennen und letztendlich Kosten zu senken.Kapitel 5 zeigt an drei Beispielendie Anwendungsmöglichkeiten der Simulation mit typischenProblemstellungen und möglichenLösungen.

XII

1. Lösung desStromverdrängungsproblems

1.1. Vorüberlegungen

Um die Impedanz und elektrischen Verluste einer unendlich langen jedoch im Querschnitt belie-bigen Anordnung numerisch berechnen zu können, ist eine geeignete Diskretisierung des betrach-teten Gebietes notwendig. Für den elektromagnetischen Teil des gesamten Erwärmungsproblemsdieser Arbeit wird für diesen Zweck die Teilleitermethode gewählt. Basierend auf Integralgleichun-gen und dem Prinzip der Fernwirkung bietet sie den Vorteil, dass nur die rein elektromagnetischrelevanten Teilgebiete diskretisiert werden müssen und nicht der gesamte Raum wie dies beispiels-weise bei Verfahren mit finiten Differenzen oder finiten Elementen der Fall ist. Unter dem Begriffder unendlich langen Anordnung wird hier lediglich die Annahme getroffen, dass Randinhomoge-nitäten am Anfang und Ende, d.h. an den Anschlusspunkten derAnordnung vernachlässigt werdenund dass die Anordnung zumindest für den simulierten Fall als langgestreckt gleichförmig gilt undnicht knickt. Durch die Tatsache, dass nur der Querschnitt einer unendlich langen Anordnung be-trachtet wird, reduziert sich auch jedes Gebilde um eine geometrische Dimension, d. h. Voluminawerden zu Flächen und Flächen zu Linien. Die Längelz der Anordnung geht nur noch als einfacherFaktor in die Berechnung mit ein.

Die Lösung des Stromverdrängungsproblems deckt den elektromagnetischen Anteil dieser Ar-beit ab und wurde in einer früheren Dissertation [35] für konstante Magnetisierung formuliert.Diese Arbeit ist der Ausgangspunkt für Erweiterungen auf dem Gebiet der nichtlinearen und tem-peraturabhängigen Magnetisierung.

Die Betrachtung einer unendlich langen Anordnung im Querschnitt geschieht üblicherweise inder xy-Koordinatenebene, wobei die Ströme und Spannungen entlang der z-Achse senkrecht zurZeichenebene verlaufen. Die Feldlinien des magnetischen FeldesH und der magnetischen Induk-tion B verlaufen dabei in der xy-Ebene und das dazu entsprechende Vektorpotential

#»

A wiederumentlang der z-Achse. Die für die Feldgrößen und deren Randbedingungen relevanten Grenzflächenverlaufen parallel zur z-Achse. Bei deren Betrachtung ist es daher sinnvoll, ein auf die betrach-tete Grenzfläche bezogenes lokales Koordinatensystem, aufgespannt aus Normalen- und Tangen-tialvektor, zu definieren. Mit diesen Vorüberlegungen können die Zusammenhänge der folgendenAbschnitte zielgerichtet auf das individuelle Problem hingeführt werden.

1

1. Lösung des Stromverdrängungsproblems

zl

y z

x

2ne

2te

ze

1

3

2

Abbildung 1.1.: Diskretisierte Anordnung

1.2. Feldtheoretische Grundlagen

Die im Allgemeinen orts- und zeitabhängigen Maxwellschen Gleichungen sind die Grundglei-chungen für die Simulation elektrischer und magnetischer Felder.

divE =ρε0

(1.1)

rotE =− ∂∂ t

B (1.2)

divB = 0 (1.3)

rotB = µ0

(

J+ ε0∂∂ t

E)

(1.4)

Für Anwendungen bei relativ niedrigen Frequenzen, bei denen es nicht auf elektromagnetischeWellenphänomene ankommt, wird die Verschiebungsstromdichte ε0E im Durchflutungsgesetz inGl. (1.4) vernachlässigt. Damit verschwindet eine geschlossene Kopplung der elektrischen undmagnetischen Felder, und es können nur noch StromdichtenJ magnetische FlussdichtenB indu-zieren. Sind diese zeitabhängig, induzieren letztere auchelektrische FelderE gemäß Gl. (1.2). Eshandelt sich hierbei um eine quasistationäre Betrachtung.

In elektrischen Leitern gilt weiterhin das ohmsche Gesetz mit der elektrischen Leitfähigkeitκbzw. dem spezifischen elektrischen Widerstandρel, hier speziell für nicht bewegte Leiter und ohneHall-Effekt.

J = κE =E

ρel(1.5)

Innerhalb der elektrischen Leiter sollten keine Strom- oder Spannungsquellen vorhanden sein, wo-

2

1.2. Feldtheoretische Grundlagen

mit die Kontinuitätsgleichung null wird.

div(J) = 0= div(κE)

= κ︸︷︷︸

6=0

divE+Egradκ︸︷︷︸

=0

→ divE = 0 (1.6)

Die elektrische Leitfähigkeit innerhalb eines Teilleiters als kleinste Diskretisierungseinheit wirdals konstant vorausgesetzt, wodurch der zweite Term entfällt. Daraus folgt, dass keine zusätzlicheelektrische Felder aufgrund von Leitfähigkeitsunterschieden entstehen.

Für magnetisierbare Materialien gilt zusätzlich noch der Zusammenhang zwischen magneti-scher FeldstärkeH, MagnetisierungM , magnetischer PolarisationPm, magnetischer FlussdichteB, magnetischer Suszeptibilitätχm und relativer Permeabilitätµr in magnetisch isotropen Medien.

B(H) = µ0(H+M(H)) = µ0H+Pm(H) (1.7)

B(H) = µ0(H+χm(H)H) = µ0µr(H)H (1.8)

Damit wird aus Gl. (1.4)

rotB = µ0(rotH+ rotM) = µ0(J f +Jm) = µ0J (1.9)

Die StromdichteJ in Gl. (1.4) beinhaltet sowohl den Anteil freier beweglicher LadungsträgerJ f ,der mit einem Strommessgerät erfassbar wäre und den verwirbelten Anteil des MagnetfeldesHerzeugt, wie auch einen nicht direkt messbaren magnetischen Anteil Jm, der den verwirbelten An-teil der MagnetisierungM erzeugt. Bei ferromagnetischen Stoffen ist die MagnetisierungM bzw.die Permeabilitätµ, wie sie in Gl. (1.8) definiert ist, gewöhnlich eine nichtlineare hysteresebe-haftete Funktion abhängig von der magnetischen FeldstärkeH. Diese Gleichung kann nach derMagnetisierungM umgeformt werden

M(H) = (µr(H)H−1)H (1.10)

so dass gemäß Gl. (1.9) für die Magnetisierungsstromdichtegilt

Jm = rot((µr(H)−1)H)

= (µr(H)−1) rotH−H×gradµr(H)︸︷︷︸

=0

Jm = (µr(H)−1)J f

(1.11)

Wird die Permeabilität innerhalb eines Teilleiters als kleinste Diskretisierungseinheit als konstantvorausgesetzt, entfällt der zweite Term. Daraus folgt für die gesamte volumenhafte Stromdichte

J = J f +Jm = J f +(µr(H)−1)J f = µr(H)J f (1.12)

Im Folgenden wird die Abhängigkeit der Permeabilitätµr(H) der leichteren Lesbarkeit zuliebe nurnoch in speziellen Fällen explizit angegeben. Sie ist außerdem noch von der Temperatur abhängig.

Obwohl die magnetische InduktionB nach Gl. (1.3) quellenfrei ist, könnten ihre beiden AnteileH undM Quellen besitzen, die sich gegenseitig

divH =−divM (1.13)

aufheben. Sie werden nicht aus einem Vektorpotential abgeleitet, wie dies fürB getan wird [33].

3


Aus Gl. (1.3) ist die magnetische Induktion quellenfrei.

div(B) = 0= div(µH)

= µ︸︷︷︸

6=0

divH+H gradµ︸︷︷︸

=0

→ divH = 0 (1.14)

Hier entfällt der zweite Term aus dem gleichen Grunde wie in Gl. (1.11).Außer den volumenhaften StromdichtenJ sind auch flächenhafte StromdichtenK = K f +Km

sowohl als freie Ladungsträger als auch als magnetische Stromdichten möglich, wobei die freienflächenhaften Stromdichten nicht weiter berücksichtigt werden müssen(K f = 0). Die flächenhaf-ten magnetischen Stromdichten fließen an Grenzflächen von Gebieten unterschiedlicher Magneti-sierungen (siehe Koordinatensystem in Abb. 1.1).

Km = RotM = en× (M2−M1) (1.15)

0= RotH = en× (H2−H1) = Ht2−Ht1 (für K f = 0) (1.16)

µ0Km = RotB (für K f = 0) (1.17)

(1.18)

Der Vektorn ist der Normalenvektor der Grenzfläche. Für die Quellen der Felder an solchen Grenz-flächen gelten die Bedingungen

Div H =−Div M =−n · (M2−M1) (1.19)

Div B = 0= n · (B2−B1) = Bn2−Bn1 (1.20)

Mit der in Gl. (1.8) definierten PermeabilitätB= µH und den Gln. (1.16), (1.20) ergeben sich dieBrechungsgesetze der FelderB undH abhängig von den magnetischen Materialeigenschaften.

Ht1 = Ht2 = HtBt2

Bt1=

µr2

µr1(1.21)

Bn1 = Bn2 = BnHn2

Hn1=

µr1

µr2(1.22)

Daraus folgt für die magnetische Induktion auf beiden Seiten der betrachteten Grenzfläche

B1 = Bnen+µ1Htet (1.23)

B2 = Bnen+µ2Htet (1.24)

und für die z-Komponente der flächenhaften Magnetisierungsstromdichte

µ0Km = en× (B2−B1) = (Bt2−Bt1)ez = (µ2−µ1)Htez (1.25)

Kmz= (µr2−µr1)Htez (1.26)

Kmz hängt also nur von den Permeabilitäten und der zur Grenzfläche tangentialen magnetischenFeldstärkeHt ab, die wiederum nur durch freie StromdichtenJf z erzeugt wird. Letztere sind dieeinzigen Ströme, die aus Strom- oder Spannungsquellen stammen oder als Wirbelströme indu-ziert werden. Flächenhafte StrömeKmz müssen also durch diese beiden in Gl. (1.47) ausgedrücktwerden.

4

1.3. Vektorpotential des transienten Stromverdrängungsproblems

1.3. Vektorpotential des transientenStromverdrängungsproblems

Bis hierher wurde aufgezeigt, wie Ströme bzw. Stromdichten von welchen Größen hervorgerufenwerden. Als nächstes wird ein Zusammenhang zwischen den Strömen und Spannungen gesucht,welcher dann zu der zu lösenden Grundgleichung des Teilleiterproblems führt. Der kürzeste Wegführt über das magnetische VektorpotenzialA

B = rot#»

A (1.27)

0= divA (1.28)

dessen Wirbel die magnetische InduktionB sind, und dessen Quellen aus Gründen der physikali-schen Plausibilität mit der Coulomb-Eichung zu null gesetztwerden. Aus dem Durchflutungsge-setz (Gl. (1.4)) folgt dann eine Poissongleichung für das Vektorpotenzial

rotB = rot rot#»

A =− #»

A +graddiv#»

A =− #»

A = µ0J (1.29)

deren Lösung für alle in den VoluminaV ′ und GrenzflächenA′ fließenden Stromdichten folgt,wenn fürJ alle Arten der für unser Problem relevanten StromdichtenJ f (in Volumina) undKm (anFlächen) gesetzt werden.

#»

A(r , t) =µ0

4π

˚

V ′

µr(r ′, t)J f (r ′, t)|r − r ′| dV ′+

‹

A′

Km(r ′, t)|r − r ′| dA′

(1.30)

Die Auflösung der Integrale führt auf die Berechnung der Induktivitäten zwischen einzelnenTeilbereichen hin. Dabei muss beachtet werden, dass Stromkreise immer geschlossen sein müs-sen und Ströme mit ihrem Magnetfeld bestimmte geometrischeFlächen durchfluten. Auf diesemPrinzip beruhen die Begriffe der Eigen- und Koppelinduktivität. Das differentielle VektorpotentialdAzV eines einzelnen volumenhaften Stromfadensµr(r ′, t)Jz(r ′, t)dA′ einer unendlich langen An-ordnung in z-Richtung würde ohne den gleichen Rückstromfadenµr(r ′′, t)Jz(r ′′, t)dA′′ in endlicherEntfernung divergieren.

dAzV =µ0

4πµr(r ′, t)Jf z(r ′, t)dA′

+∞ˆ

−∞

(

1√

|r − r ′|2+z2− 1√

|r − r ′′|2+z2

)

dz

=µ0

2πµr(r ′, t)Jz(r ′, t)dA′ ln

( |r − r ′′||r − r ′|

)(1.31)

Ist der Rückleiter und sein Strom zum Zeitpunkt der Bestimmungder Induktivitätsmatrix nochnicht explizit bekannt, muss aus diesem Grunde ein AbstandD = |r − r ′′| zu einem fiktiven Hüll-zylinder, der die gesamte Anordnung umschließt, angenommen werden, welcher die Summe allerRückströme führt, die sich nicht innerhalb der Anordnung schließen.

dAzV =µ0

2πµr(r ′, t)Jf z(r ′, t)dA′ ln

(D

|r − r ′|

)

(1.32)

Sollten sich die betrachteten Stromschleifen doch über einen konkreten Rückleiter und nicht überden fiktiven Rückleiter schließen, d. h. der Strom des fiktivenRückleiters ist null, entfällt der Ab-standD für jenen Teilabschnitt in der Gesamtbilanz. Gleiches giltauch für flächenhafte Strom-

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dichtenKmz(r ′, t)ds′. Nimmt man den Fall des fiktiven Rückleiters als allgemeinsten Fall an, dannergibt sich das Vektorpotenzial für alle Stromdichten.

dAz =µ0

2π(µr(r ′, t)Jf z(r ′, t)dA′+Kmz(r ′, t)ds′

)ln

D|r − r ′| (1.33)

Az =µ0

2π

¨

A′

µr(r ′, t)Jf z(r ′, t) lnD

|r − r ′| dA′+˛

C′

Kmz(r ′, t) lnD

|r − r ′| ds′

(1.34)

1.4. Integralgleichung des transientenStromverdrängungsproblems

Aus dem Induktionsgesetz (Gl. (1.2)) folgt für das Vektorpotential

rotE =− ∂∂ t

B =− ∂∂ t

rot#»

A =− rot∂∂ t

#»

A (1.35)

wodurch nur der Wirbelanteil, d.h der induzierte Anteil deselektrischen Feldes bestimmbar ist.Für das gesamte elektrische Feld muss es noch um ein wirbelfreies skalares Potentialϕ erweitertwerden, um auch coulombsche Spannungsquellen miteinbeziehen zu können, womit alle Anteiledes elektrischen Feldes berücksichtigt sind.

E =− ∂∂ t

#»

A −gradϕ = Eind +Ecou (1.36)

Daraus folgt zusammen mit Gl. (1.5) die allgemeine vektorielle Integralgleichung des quasistatio-nären Wirbelstromproblems unter Berücksichtigung der Magnetisierung.

−gradϕ(r , t) =J f (r , t)κ(r , t)

+µ0

4π∂∂ t

˚

V ′

µr(r ′, t)J f (r ′, t)|r − r ′| dV ′+

‹

A′

Km(r ′, t)|r − r ′| dA′

(1.37)

Bei einer unendlich langen Anordnung, bei welcher wie bereits in den vorangegangenen Abschnit-ten besprochen, die Ströme und Spannungsabfälle nur entlang der z-Achse verlaufen, vereinfachtsich diese Gleichung auf die z-Komponenten.

−gradzϕ(r , t) =Jf z(r , t)κ(r , t)

+µ0

4π∂∂ t

˚

V ′

µr(r ′, t)Jf z(r ′, t)|r − r ′| dV ′+

‹

A′

Kmz(r ′, t)|r − r ′| dA′

(1.38)

Nun werden wie bereits in Gl. (1.34) Rückströme über den fiktiven zylinderförmigen Rückleiterberücksichtigt sowie Vektoren in komplexen Koordinaten dargestellt. Dabei wird die Querschnitt-sebene xy der Anordnung als Gaußsche Zahlenebene mitr = x+ j y interpretiert.

−gradϕz(r, t) =Jf z(r, t)

κ(r, t)+

µ0

4π∂∂ t

¨

A′

µr(r′, t)Jf z(r

′, t) lnD

|r − r ′| dA′

+

˛

C′

Kmz(r′, t) ln

D|r − r ′| ds′

(1.39)

6

1.4. Integralgleichung des transienten Stromverdrängungsproblems

In den folgenden Schritten müssen nun die Integrale für die bekannten geometrischen Maße derAnordnung aufgelöst, und die Magnetisierungsstromdichten Kmz durchJf z und bekannte Materi-alparameter ausgedrückt und eliminiert werden.

1.4.1. Magnetische Induktion und flächenhafte Stromdichten

Um die flächenhaften StromdichtenKmz in Gl. (1.26) berechnen und damit in allen Gleichungeneliminieren zu können, wird die tangentiale magnetische FeldstärkeHt an Grenzflächen benötigt,welche wiederum aus der magnetischen InduktionB bestimmt wird. Ein differentielles Elementder magnetischen Induktion wird aus Gl. (1.33) berechnet.

dBV(r , t) = rot(

d#»

Az(r , t))

=µ0


)

·(

∂∂y

(

lnD

|r − r ′|

)

ex−∂∂x

(

lnD

|r − r ′|

)

ey

)

=µ0


)

·(−(y−y′)ex+(x−x′)ey

|r − r ′|2)

(1.40)

Eine Darstellung in komplexen Koordinaten vereinfacht dieGleichung.

dBV(r, t) = jµ0

2πµr(r ′, t)Jf z(r ′, t)dA′+Kmz(r ′, t)ds′

(r − r ′)∗(1.41)

Diese Gleichung wird nun über alle Volumina und Flächen, dieStromdichten führen, integriert.

B(r, t) = jµ0

2π

¨

A′

µr(r ′, t)Jf z(r ′, t)(r − r ′)∗

dA′+˛

C′

Kmz(r ′, t)(r − r ′)∗

ds′

= j B∗(r, t) (1.42)

Die zu einer Grenzfläche tangentiale Induktion ist die Projektion auf diese Grenzfläche anhandderen Einheitsvektor.

Bt(r, t) = Re

et

(j B∗(r, t)

)∗= Re

− j etB(r, t)

= Im

etB(r, t)

(1.43)

Beim zweiten Kurvenintegral entsteht eine Singularität beir ′ → r in Form eines endlichen Sprungsbedingt durchKmzan der Steller gemäß Gl. (1.25). Dieser Sprung muss der gesamten tangentialenInduktion aus Symmetriegründen jeweils zur Hälfte hinzuaddiert werden.

Bt1(r, t) = Im

etB(r, t)− µ0Kmz(r, t)

2(1.44)

Bt2(r, t) = Im

etB(r, t)+

µ0Kmz(r, t)2

(1.45)

Weiterhin kann aus den Gln. (1.21), (1.26) undHt = Bt/µ die Gleichung

Bt2(r, t) =µ2

µr2−µr1Kmz(r, t) (1.46)

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gebildet und damit ein Zusammenhang zwischen den freien räumlichen, den magnetischen flä-chenhaften Stromdichten und den Permeabilitäten gefundenwerden.

Kmz(r, t) =µr2(r, t)−µr1(r, t)µr2(r, t)+µr1(r, t)

·

Im

et(r)π

¨

A′

µr(r ′, t)Jf z(r ′, t)r − r ′

dA′+˛

C′

Kmz(r ′, t)r − r ′

ds′

(1.47)

1.4.2. Diskretisierung der Integralgleichungen

Die beiden Hauptgleichungen des Stromverdrängungsproblems (Gln. (1.39) und (1.47)) sollen nunfür eine numerische Simulation diskretisiert werden. Dazuwerden die physikalisch vorhandenenund geometrisch beschreibbaren Leiter in mehrere Teilleiter als kleinste diskrete Einheit unterteilt,in denen alle Größen konstant sind. In der längenbezogenen Simulation des Querschnitts gehen dieVolumina der Teilleiter als Flächen ein. Die Gesamtfläche aller Teilleiter eines Leiters soll dabeider diskretisierten Leiterfläche gleich sein. Die Grenzflächen der Teilleiter, an denen flächenhafteMagnetisierungsströme fließen können, werden im Querschnitt als Linienleiter in der Simulationberücksichtigt. Die geometrische Anordnung wird somit um eine Dimension, der z-Richtung, re-duziert. Im Folgenden wird bei Teilleitern von flächenbezogenen Leitern (auch Flächenleitern) mitden Indicesa,b und bei Grenzflächenleitern von linienbezogenen Leitern (auch Linienleitern) mitden Indicesc,d gesprochen. Bezüglich der Querschnittsform werden an dieser Stelle noch keine

LZQU

zl

Abbildung 1.2.: Diskretisierung

besonderen Forderungen gestellt. Durch die endlichen Abmessungen der diskreten Teilleiterb undLinienleiterc gehen deren Stromdichten durch die Integration in Ströme über.

ib(t) = Jf z(rb, t)Ab = Jf zb(t)Ab (1.48)

ic(t) = Kmz(rc, t)lc = Kmzc(t)lc (1.49)

Entsprechend der Diskretisierung werden in Gl. (1.39) elektrische Feldstärken eines Teilleitersaüber seine Querschnittsfläche gemittelt.

Eaz(t) =1Aa

¨

Aa

Ez(ra, t)dAa (1.50)

Die Integrale werden in Teilintegrale über die Teilleitera und b aufgeteilt, und die induzierendeWirkung der Ströme in den Teilleiternb und Linienleiternc in die Teilleitera gemäß obiger Glei-

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1.4. Integralgleichung des transienten Stromverdrängungsproblems

chung gemittelt. Die Selbstinduktivität der Teilleitera ist darin als Sonderfall füra= b enthalten.

Ecou,az(t) =− 1Aa

¨

Aa

gradϕz(ra, t)dAa = ia(t)1

Aaκa(t)

+µ0

2π∂∂ t

Nb

∑b=1

µrb(t)ib(t)1

AaAb

¨

Aa

¨

Ab

lnD

|ra− r ′b|dA′

bdAa

+N

∑c=Nb+1

ic(t)1

Aalc

¨

Aa

ˆ

lc

lnD

|ra− r ′c|dl ′cdAa

(1.51)

Nach Multiplikation der Gleichung mit der Längelz der Anordnung ergibt sich die Spannungsglei-chung eines Teilleitersa, wobei der Stromia einer der Teilleiterströmeib ist.

∆ua(t) = Ra(t)ia(t)+∂∂ t

Nb

∑b=1

µrb(t)Lab(t)︸︷︷︸

Lµ,ab

ib(t) +N

∑c=Nb+1

Lac(t)ic(t)

)

(1.52)

Die KoeffizientenRa sind die Widerstände der einzelnen Teilleitera, Lab die Eigen- bzw. Koppel-induktivitäten der Teilleitera bzw. der Teilleitera zu Teilleiterb undLac die Koppelinduktivitätender Teilleitera zu Linienleiterc.

Ra(t) =lz

Aaκa(t)(1.53)

a= 1. . .Nb

Lab(t) =lzµ0

2πln

Dgab

mit lngab =1

AaAb

¨

Aa

¨

Ab

ln |ra− r ′b|dA′bdAa (1.54)

a= 1. . .Nb b= 1. . .Nb

Lac(t) =lzµ0

2πln

Dgac

mit lngac =1

Aalc

¨

Aa

ˆ

lc

ln |ra− r ′c|dl ′cdAa (1.55)

a= 1. . .Nb c= Nb+1. . .Nb+Nc

Die Größengab sind die mittleren geometrischen Abstände der Teilleiterquerschnittsflächen zuein-ander, undgac die mittleren geometrischen Abstände der Teilleiterflächen zu den Teilleiterkanten.Die InduktivitätenLab und Lac sind rein geometrieabhängige Größen, während sich der Wider-standRa erwärmungsbedingt zeitlich ändern kann. Gl. (1.52) in Blockmatrizenform formuliertlautet (Indices der Vektoren und Blockmatrizen in Großbuchstaben).

L µ ,BB(t) = diagµrB(t) ·LBB(t) = µrB,D(t) ·LBB(t) (1.56)

∆uB(t) =

[(

RB(t)+dL µ ,BB

dt(t)

)

0]

·[

iB(t)iC(t)

]

+[

L µ ,BB(t) LBC(t)] d

dt

[

iB(t)iC(t)

]

(1.57)

RB ist eine Diagonalmatrix, undL µ ,BB ergibt sich aus der Multiplikation der Diagonalmatrix (hierIndex „D“) des Permeabilitätsvektorsµr,B aller Teilleiter mit der MatrixLBB. Ein einzelner Teil-

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leiterstromia ist nun Teil des Stromvektorsib.

Als nächstes muss noch Gl. (1.47) gemäß Gl. (1.49) und mit demtangentialen Einheitsvektorzu einer Grenzfläche mit der Querschnittslängelc nach dem gleichen Prinzip diskretisiert werden,damit der Stromic eliminiert werden kann.

et(rc) = etc =lclc

(1.58)

ic(t) =µr2c(t)−µr1c(t)µr2c(t)+µr1c(t)

·

Nb

∑b=1

µrb(t)π

Im

lc1

lcAb

ˆ

lc

¨

Ab

1rc− r ′b

dA′bdlc

ib(t)

+Nb+Nc

∑d=Nb+1

1π

Im

lc1

lcld

ˆ

lc

ˆ

ld

1rc− r ′d

dl ′d dlc

id(t)

(1.59)

In eine kompaktere Schreibweise umgeformt lautet die Gleichung

ic(t) = νc(t)

(Nb

∑b=1

µrb(t)pcbib(t)+Nb+Nc

∑d=Nb+1

pcdid(t)

)

(1.60)

Die Koeffizientenνc, pcb, pcd beschreiben das Verhältnis der Permeabilitäten einer Grenzfläche(Linienleiterc) und die Koeffizienten der Magnetisierung zwischen den Teilleiternb und Linien-leiternc sowie den Linienleiternc undd.

νc(t) =µr2c(t)−µr1c(t)µr2c(t)+µr1c(t)

(1.61)

pcb =1π

Im

lcρ

cb

mit1

ρcb

=1

lcAb

ˆ

lc

¨

Ab

1rc− r ′b

dA′bdlc (1.62)

pcd =1π

Im

lcρ

cd

mit1

ρcd

=1

lcld

ˆ

lc

ˆ

ld

1rc− r ′d

dl ′d dlc (1.63)

Die Größenρcb

sind die mittleren harmonischen Abstände der Teilleiterquerschnittsflächen zuden Teilleitergrenzlinien undρ

cddie mittleren harmonischen Abstände der Teilleitergrenzlinien

zueinander. Beide sind komplexe Größen und beinhalten noch eine Richtungsabhängigkeit. Dievereinfachte Formulierung in Blockform lautet

iC(t) = VC,D(t)(PCB µrB,D(t)iB(t)+PCC(t)iC(t))

=(E−VC,D(t)PCC

)−1VC,D(t)PCB µrB,D(t)iB(t) = Pµ ,CB(t)iB(t)(1.64)

wobei ein einzelner Stromid Teil des Stromvektorsid ist.

Die DiagonalmatrixVC,D wird aus den Diagonalmatrizen der Permeabilitätsvektorender Teil-leiter gebildet, wobei die Vektorenµr1C,D undµr2C,D die rechts- und linksseitigen Permeabilitä-ten einer Teilleitergrenzfläche sind, deren Richtungsbezugdurch den Tangentialvektoret definiertwurde.

VC,D(t) =(µr2C,D(t)−µr1C,D(t)

)(µr2C,D(t)+µr1C,D(t)

)−1(1.65)

Grenzen bestimmte Teilleiter nicht an weitere Teilleiter sondern an ein anderes Medium, dann wird

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1.5. Magnetische Feldstärke und Permeabilität

die Permeabilität des entsprechenden Mediums verwendet. Setzen wir Gl. (1.64) in Gl. (1.57) ein,dann erhalten wir ein prinzipiell lösbares Gleichungssystem.

∆uB(t) =

(

RB(t)+dL µ ,BB(t)

dt+LBC(t)

dPµ ,CB(t)

dt

)

iB(t)

+(L µ ,BB(t)+LBC(t)Pµ ,CB(t)

) diB(t)dt

=

RB(t)+dLΣ,BB

dt(t)

︸︷︷︸

RΣ,B

iB(t)+LΣ,B(t)diB(t)

dt

(1.66)

Dies ist nun die grundlegende vektorielle Gleichung des Teilleiterproblems. Es enthält einen zeit-abhängigen FaktorRΣ,B für den StromiB sowie einen zeitabhängigen FaktorLΣ,B für die Strom-änderung. Die Zeitabhängigkeit vonR, L ist hier zuerst allgemein gefasst, drückt aber speziell beinicht bewegten Anordnungen noch die Abhängigkeit von der Permeabilitätµ(H) aus, welche nochvon der magnetischen Feldstärke bestimmt wird. Rückwirkendhat diese durch die Stromverdrän-gung auch Einfluss auf den WiderstandR.

1.5. Magnetische Feldstärke und Permeabilität

Die Zeitabhängigkeit der Induktivitäten in Gl. (1.66) ist bei ruhender Anordnung eigentlich nureine Abhängigkeit der relativen Permeabilitätµr(H) von der lokalen magnetischen FeldstärkeH(siehe Abb. 1.8) des jeweiligen Teilleiters. Da sichH auch mit dem Strom ändert, ergibt sich eineindirekte Zeitabhängigkeit. Um die Permeabilität der Teilleiter zu jedem Zeitpunkt zu bestimmen,müssen zusätzlich die magnetischen Feldstärken berechnetwerden. Mit den Gln. (1.42) und (1.8)ergibt sich die Feldstärke für einen Teilleitera zu

H(ra, t) =j

2πµr(ra(t))

¨

A′

µr(r ′, t)Jf z(r ′, t)(ra− r ′)∗

dA′+˛

C′

Kmz(r ′, t)(ra− r ′)∗

ds′

(1.67)

und mit der gleichen Mittelwertbildung über eine Teilleiterfläche wie in Gl. (1.50) sowie mit denGln. (1.48) und (1.49)

Ha(t) =Nb

∑b=1

j µrb(t)2πµra(t)

1AaAb

¨

Aa

¨

Ab

1(ra− r ′b)

∗ dA′bdAa

ib(t)

+N

∑c=Nb+1

j2πµra(t)

1Aalc

¨

Aa

ˆ

lc

1(ra− r ′c)∗

dl ′cdAa

ic(t)

(1.68)

In eine kompaktere Schreibweise umgeformt lautet die Gleichung

Ha(t) =Nb

∑b=1

µrb(t)µra(t)

qab

ib(t)+N

∑c=Nb+1

1µra(t)

qac

ic(t) (1.69)

11


Die Koeffizientenqab

und qac

beinhalten die konjugiert komplexen harmonischen Abstände ρ∗ab

undρ∗ac

der entsprechenden Teilleiterflächen und -linien.

qab

=j

2πρ∗ab

mit1

ρ∗ab

=1

AaAb

¨

Aa

¨

Ab

1(ra− r ′b)

∗ dA′bdAa

qac=

j2πρ∗

ac

mit1

ρ∗ac

=1

Aalc

¨

Aa

ˆ

lc

1(ra− r ′c)∗

dl ′cdAa

(1.70)

Gl. (1.69) in vektorieller Notation mit Gl. (1.60) bzw. Gl. (1.64) lautet

HB(t) = µrB,D(t)−1Q

BBµrB,DiB(t)+µrB,D(t)

−1QBC

iC(t)

=(

µrB,D(t)−1Q

BBµrB,D +µrB,D(t)

−1QBC

Pµ ,CB(t))

iB(t)

= Qµ ,BB(t)iB(t)

(1.71)

Mit dieser Gleichung wird die magnetische Feldstärke für jeden Teilleiter berechnet, womit danndie relative Permeabilität für jeden magnetisch isotropenTeilleiter bestimmbar wird.

µrB(t) = µr (|HB(t)|) (1.72)

Die Betragsbildung bezieht sich allein auf die komplexe Formulierung der Ortskoordinaten undder vektoriellen Orientierung des H-Feldes in der simulierten Querschnittsfläche, während dievektorielle Formulierung die räumliche Diskretisierung in Teilleiter wiedergibt und von der Be-tragsbildung unberührt bleibt.

1.6. Geometrische Koeffizienten

In diesem Abschnitt werden die in den Gln. (1.54), (1.55), (1.62), (1.63), (1.70) verwendeten geo-metrieabhängigen Bestimmungsgrößen als mittlere geometrische Abstände (mgA) und mittlereharmonische Abstände (mhA) kurz besprochen. Eine ausführlichere Darstellung und Berechnungist in einer früheren Arbeit [35] zu finden. Tab. 1.1 zeigt eine Übersicht über die genannten Be-stimmungsgrößen.

lnga mgA der FlächeAa zu sich selbstlngab mgA der FlächeAb zur FlächeAa

lngac mgA der Linielc zur FlächeAa

ρab

mhA der FlächeAb zur FlächeAa

ρcb

mhA der FlächeAb zur Linie lcρ

cdmgA der Linield zur Linie lc

Tabelle 1.1.: Übersicht geometrieabhängiger Bestimmungsgrößen

Die Größe lnga tritt für den Sonderfall auf, wenn zwei Flächen identisch sind (Aa = Ab), womitdie Eigeninduktivität eines Leiters berechnet wird. Durchdie räumliche Diskretisierung der An-ordnung muss die Integration nur noch über die kontinuierlichen Bereiche der kleinsten diskretenEinheit der Teil- und Linienleiter erfolgen. Der gesamte mgA mehrerer zusammengefasster oder

12

1.7. Modifiziertes vollständiges Differenzialgleichungssystem

aufgeteilter Teil- und Linienleiter ließe sich mit einer Summation berechnen [20].

lngab =1

AaAb

m

∑i=1

n

∑j=1

lngaib j Aai Ab j (1.73)

lngac =1

Aalc

m

∑i=1

n

∑j=1

lngaic j Aai lc j (1.74)

Zum Zwecke einer flexiblen Diskretisierung ist als flächenhafte diskrete Einheit theoretisch ein be-liebiges Viereck möglich. Speziell mit einem gleichschenkligen Trapez als Rechteck oder Dreieckkönnen sowohl eckige als auch runde Leiter nachgebildet werden.

Die Berechnung eines mgA und mhA erfordert maximal eine vierfache Integration. Sie bedeutenlediglich verschiedene Arten der Mittelwertbildung effektiver Abstände von Flächen bzw. Linienzueinander. Für genügend große Abstände können auch Schwerpunktabstände verwendet werden,wodurch die Rechenzeit wesentlich verkürzt wird.

1.7. Modifiziertes vollständigesDifferenzialgleichungssystem

Das diskretisierte Differenzialgleichungssystem (Gl. (1.66)) als Grundgleichung der Teilleiterme-thode soll die messbaren TeilleiterströmeiB (ab jetzt sinnvollerweise alsiT bezeichnet) als Lösunghervorbringen. Es ist in dieser Form jedoch noch nicht lösbar, da die Teilleiterspannungsabfälle∆uT unbekannt sind. Also muss es noch in eine Form gebracht werden, in welcher die Spannungs-quellenUQ mit InnenimpedanzenZQ oder die StromquellenIQ anhand von Maschen- oder Kno-tengleichungen als gegebene Größen verwendet werden können. Die Umformung für diese beidenFälle sind Gegenstand der nächsten Abschnitte. Doch zunächst sollen noch die Verknüpfungsglei-chungen der Hauptleiter-, Leiter- und Teilleitergrößen aufgezeigt werden. Mit Leitern sind jeweilsmechanisch eigenständige Einheiten gemeint, wie eine einzelne Stromschiene oder eine einzelneKabelader. Sind mehrere solcher Leiter elektrisch parallel verbunden, bilden sie einen Hauptleiter.Allein zu Simulations- oder Berechnungszwecken werden die Leiter in Teilleiter diskretisiert, umdie inhomogene Stromdichte zu berücksichtigen. Die Matrizen K sind Koinzidenzmatrizen, dienur die Elementwerte 0 oder 1 besitzen. Die Summen der Teilleiterströme bilden die jeweiligenLeiter- und Hauptleiterströme.

iL = KLT iT (1.75)

iH = KHLiL = KHLKLT iT = KHT iT (1.76)

Alle einem Hauptleiter zugehörigen Leiter und Teilleiter weisen durch die Parallelschaltung diegleichen Spannungsabfälle auf.

∆uL = KTHL∆uH (1.77)

∆uT = KTLT∆uL = KT

LTKTHL∆uH = (KHLKLT)

T ∆uH = KTHT∆uH (1.78)

Für die Spannungabfälle an den Teilleitern erhalten wir gemäß Gl. (1.66)

∆uT(t) = RT(t)iT(t)+LΣ,T(t)diT(t)

dt(1.79)

13


Weiterhin muss die Summe aller Hauptleiterströme, die der Summe aller Ströme in der Anord-nung entspricht, null sein, damit die magnetische Energie der Anordnung endlich bleibt. Solltendie vorgegebenen Quellenströme diese Anforderung nicht erfüllen, wird dies durch die Einfüh-rung des fiktiven Hüllzylinders als Rückleiter erzwungen. Zusätzlich besteht in der Simulation dieMöglichkeit, einen ohmschen Ersatzwiderstand für das Erdreich als Rückleiter zu definieren.

NH

∑n=1

iH = 0 (1.80)

Das modifizierte (Index M) endgültig zu lösende Differenzialgleichungssystem wird damit folgen-de Form aufweisen.

ue(t) =

(

RM(t)+dLM(t)

dt

)

iM(t)+LM(t)diM(t)

dt(1.81)

Der Erregervektorue wird fallweise aus den gegebenen Spannungsquellen oder Hauptleiterströ-men gebildet.

1.7.1. Spannungseinprägung

Im Falle der Spannungseinprägung wird vorausgesetzt, dassdie Lasten der simulierten Anordnunggenauso angeschlossen sind wie die Spannungsquellen. EineAnordnung für Drehstrom sollte inSternschaltung vorliegen. Abweichende Verschaltungen müssen dann auf diesen Fall umgerechnetwerden, z. B. anhand einer Stern-Dreiecks-Transformation.Diese Schaltungsart bietet den Vorteil,dass sich sowohl die Ströme als auch die Spannungabfälle frei einstellen können. Ein Hüllzylin-der als fiktiver Rückleiter wird daher nicht benötigt. In Abb.1.3 ist dieser Sachverhalt an einemprinzipiellen Beispiel aufgezeigt. Die gesamte Anordnung besteht ausNH Hauptleitern undNT

Teilleitern. Jedem Hauptleiter, durch den die HauptleiterströmeiH fließen, kann eine Spannungs-quelle zugeordnet werden. Weiterhin benötigt er einen Hauptleiter als Rückleiter (Bezugsleiter),der er selbst oder ein anderer sein kann. Offene Leitungsenden sind in dieser Schaltungsart nichtsinnvoll und damit nicht zulässig.

Um mit reinen coulombschen Klemmenspannungen und Spannungsabfällen∆uH rechnen zukönnen, muss vorausgesetzt werden, dass zwischen der simulierten Anordnung und dem restli-chen Netzwerk keine induktiven Kopplungen bestehen [33]. Da die VerbraucherimpedanzenZV inReihe zu den Innenimpedanzen der SpannungsquellenZQ geschaltet sind, werden beide zu einerGesamtvorimpedanz zusammengefasst.

ZQ,V = ZQ+ZV (1.82)

Die Spannungsabfälle an den Vorimpedanzen werden nun auf die Dimension der Teilleiterspan-nungsabfälle hochgerechnet, damit sich beide zu einem Gesamtspannungsabfall addieren lassen.

∆uQV(t) = RQViH(t)+LQVdiHdt

= RQVKHT iT(t)+LQVKHTdiTdt

(1.83)

∆u′QV(t) = KT

HT∆uQV(t) = KTHTRQVKHT iT(t)+KT

HTLQVKHTdiTdt

(1.84)

∆uges(t) = ∆u′QV(t)+∆uT(t)

=(KT

HTRQVKHT +RT(t))

iT(t)+(KT

HTLQVKHT +LΣ,T(t)) diT(t)

dt(1.85)

Nun muss die letzte Gleichung noch in eine modifizierte Form wie Gl. (1.81) gebracht werden,

14


5VZ

4Qu

5QZ

1VZ 2VZ 3VZ

3Qu

3QZ

2Qu

2QZ

1Qu

1QZ

QQ LR ,Qu VV LR ,TT LR ,

1Hu∆

2Hu∆

3Hu∆

4Hu∆

5Hu∆

6Hu∆

4QZ 4VZ

6QZ 6VZ

1Hi

2Hi

3Hi

4Hi

5Hi

6Hi

Hi

Abbildung 1.3.: Diskretisierung des elektromagnetischenModells bei Spannungseinprägung

15


damit die Spannungsquellen als Erregervektor verwendet werden können. Dazu werden zunächstalle Hauptleiter-Subsysteme als geschlossene Teilsysteme mit verschwindender Stromsumme er-mittelt. Für jedes Subsystem (in Abb. 1.3 sind es zwei) wird ein zum Bezugsleiter bestimmterHauptleiter gewählt, der in der Regel der Rückleiter zur Spannungsquelle ist. Innerhalb solcherSubsysteme wird die jeweils letzte Teilleiter-Spannungsgleichung des Bezugsleiters von den ver-bliebenen subtrahiert und selbst gestrichen. Auf diese Weise werden Spannungsgleichungen ge-schlossener Maschen gebildet, welche die Spannungsquellen enthalten. Die Zeilenanzahl der Teil-leitermatrizenRΣ,T undLΣ,T wird so um die Anzahl der Bezugsleiter, womit jeweils ein Teilleiterentfällt, reduziert. Damit sind diese Matrizen nicht mehr quadratisch und nicht mehr invertierbar.Anhand der verschwinden Stromsummen der Subsysteme werdendie Ströme der Bezugsteilleitereliminiert, was einer Subtraktion der Bezugsteilleiterspalte von den jeweils verbleibenden Spaltendes gleichen Subsystems entspricht. Daraus ergibt sich dasGleichungssystem der modifiziertenquadratischen Widerstands- und Induktivitätsmatrix sowie des Stromvektors in Gl. (1.81). Der Er-regervektorue enthält die Spannungsquellen. Nach Lösung des Gleichungssystems werden dieStröme der Bezugsteilleiter aus der erwähnten verschwindenden Stromsumme ermittelt, womitalle Teilleiterströme wieder bekannt sind.

1.7.2. Stromeinprägung

Stehen für eine betrachtete Anordnung die Hauptleiterströme im Rahmen einer Vorgabe im Vorder-grund des Problems, dann müssen im Falle einer solchen Stromeinprägung weder die Quelleninnen-noch die Verbraucherimpedanzen beachtet werden. In Abb. 1.4 ist das gleiche Beispiel wie inAbb. 1.3 nun für Stromeinprägung dargestellt. Für jeden Hauptleiter einschließlich Rückleiterwird nun ein Strom vorgegeben. Ist die Summe aller Hauptleiterströme ungleich null, fließt dieseüber die fiktive äußere zylindrische Hülle zurück. Ähnlich wie im Falle der Spannungseinprägungwird auch hier Gl. (1.66) modifiziert, um eine Gleichung wie (1.81) mit einem Erregervektoraus den Hauptleiterströmen zu bilden. Zu diesem Zweck werden in Gl. (1.66) jeweils die letzteTeilleiter-Spannungsgleichung eines Hauptleiters von den verbleibenden des gleichen Hauptlei-ters subtrahiert und gestrichen. Damit reduziert sich die Zeilenanzahl der Matrizen um die Anzahlder Hauptleiter. Nun wird der jeweils letzte Teilleiterstrom eines Hauptleiters eliminiert, indemGl. (1.76) nach diesem aufgelöst und eingesetzt wird. Dies entspricht einer Subtraktion der letz-ten Matrizenspalte eines Hauptleiters von den verbliebenen Spalten des gleichen Hauptleiters. Dasmodifizierte Gleichungssystem enthält nun pro Hauptleitern−1 Teilleiterströme und den entspre-chenden Hauptleiterstrom. Wird das Gleichungssystem spaltenweise nach allen Hauptleiterstrom-spalten aufgelöst, dann ergibt sich das modifizierte zu lösende Gleichungssystem.

ue(t) =−((

Re(t)+dLe(t)

dt

)

iH(t)+Le(t)diH(t)

dt

)

=

(

RM(t)+dLM(t)

dt

)

iM(t)+LM(t)diM(t)

dt

(1.86)

1.7.3. Induzierte Spannungen in benachbarte Leiter

In der Praxis besteht oft die Frage nach den induzierten Spannungen in zusätzliche benachbar-te parallel zu hohen Strömen verlaufende Leiter. Sind solche zusätzliche Leiter an beiden Endengeerdet oder anderweitig verbunden, so dass sich geschlossene Schleifen bilden (wie z. B. Haupt-leiter 4 in Abb. 1.4), dann wird in dieser Schleife auch ein Kreisstrom als Wirbelstrom fließen.Bleibt die Schleife offen, sind in diesem Beispiel beide Leiter als getrennte Hauptleiter zu simulie-ren. Die gleiche vorher den Wirbelstrom treibende induzierte Spannung wird nun als coulombsche

16


QiTT LR ,

1Hu∆

2Hu∆

3Hu∆

4Hu∆

5Hu∆

6Hu∆

1Qi

2Qi

3Qi

4Qi

5Qi

6Qi

Abbildung 1.4.: Diskretisierung des elektromagnetischenModells bei Stromeinprägung

17


Leerlaufspannung entlang des Leiters auftreten. Sind nun zwei Leiter nur an einem Ende mitein-ander verbunden, dann ist die Spannungsdifferenz an dem anderen Ende als Klemmenspannungmessbar. Treten theoretisch innerhalb eines leerlaufenden Leiters über den Querschnitt betrachtet(in diesem Simulationsmodell entlang der unterschiedlichen Teilleiter eines Leiters) unterschiedli-che Spannungen auf, dann erzeugt dieser Unterschied in diesem Leiter weitere Wirbelströme, biswieder gleiche Spannungen vorliegen.

Ein solcher Fall kann nur mit dem Modell der Stromeinprägungsimuliert werden, indem derHauptleiterstrom des offenen Leiters zu null gesetzt wird.Nach einer Bestimmung aller Teilleiter-ströme werden die Spannungen mit Gl. (1.66) oder (1.79) berechnet.

1.8. Lösung des Stromverdrängungsproblems

Die eigentliche Lösung der Gl. (1.81) kann auf verschiedeneArten geschehen, je nachdem, welcheBedingungen und Parameter berücksichtigt werden. Bezüglichder Zeitabhängigkeit wird entwe-der die instationäre transiente oder lediglich die stationäre Lösung als eingeschwungener Zustandgesucht. Bezüglich der Lösungsverfahren wird grundsätzlich zwischen analytischen und numeri-schen Verfahren unterschieden.

In [35] wird vom Differenzialgleichungssystem die homogene und partikuläre Lösung analy-tisch mit komplexen Zahlen bestimmt, wobei von konstanter magnetischer Permeabilität der Ma-terialien und einer fest angenommenen Anfangstemperatur ausgegangen wird. Interessiert nur derstationäre Zustand, dann reicht die partikläre Lösung alleine aus.

Wird die magnetische Sättigung der Materialien berücksichtigt, kann zumindest eine instatio-näre Lösung im Allgemeinen nicht mehr analytisch gefunden werden. Für diesen Fall wird einnumerisches Lösungsverfahren als Zeitschrittverfahren in Abschnitt 1.8.1 angewendet. In jedemZeitschritt kann dabei auch eine instationäre Wärmeflusssimulation erfolgen.

Interessiert nur die stationäre Lösung ohne den genauen transienten oberschwingungsbehafte-ten Verlauf der Größen, dann können die Effektivwerte der Teilleiterströme mit der komplexenpartikulären Lösung bestimmt werden, wenn die nichtlinearen Magnetisierungskurven der Spit-zenwerte auf Effektivwerte umgerechnet werden. Die Lösungdiese nichtlinearen Problems mussdann allerdings iterativ erfolgen. Dieses Verfahren wird in Abschnitt 1.8.2 genauer beschrieben.Eine zusätzliche stationäre Wärmeflusssimulation kann in jeden Iterationsschritt mit eingebundenwerden. In Kap. 4 ist eine modulare Übersicht über das gesamte Simulationsprogramm gegeben.

1.8.1. Lösung beliebiger transienter Verläufe im Zeitbereich mitnumerischer Integration

Zusätzlich zur räumlichen Diskretisierung wird Gl. (1.81)nun auch zeitlich diskretisiert und inte-griert. Zu diesem Zweck wird die Sehnentrapezregel verwendet, nach welcher in jedem Zeitschrittder arithmetische Mittelwert der beiden beteiligten Ordinatenwerte einer Größe gebildet wird.

ue[n]+ue[n−1]2

=

(

RM +LM[n]−LM[n−1]

∆t

)iM[n]+ iM[n−1]

2

+LM[n]+LM[n−1]

2iM[n]− iM[n−1]

∆t

(1.87)

18


Dieses zeitlich diskretisierte Differenzialgleichungssystem wird nun nach dem StromiM[n] aufge-löst um eine iterative BerechnungsvorschriftfDGL zu erhalten.

iM[n] =(RM∆t +2LM[n])−1 ·((ue[n]+ue[n−1])∆t − (RM∆t −2LM[n−1]) iM[n−1])

= fDGL(RM; µr)

(1.88)

Sie bildet den Kern der Iterationsschleife über alle simulierten Zeitpunktet[n]. Die vollständigeSchleife über die Zeitschritte bestehend aus einzelnen Teilfunktionen ist in Abschnitt 4 modularbeschrieben.

Da die einzelnen Funktionen nacheinander berechnet werden, müssen in jedem neuen Zeit-schritt [n-1] einige Größen aus dem vorhergehenden Zeitschritt herangezogen werden. Dies be-deutet eine zusätzliche numerische Ungenauigkeit, die durch eine kürzere Rechenschrittweite teil-weise ausgeglichen werden kann. Aufgrund der hohen Steilheit der Permeabilitätskurven sind ca.2000 Rechenschritte pro Netzperiode für eine angemessene Konvergenz nötig, was zu langen Si-mulationszeiten für wenige Netzperioden führt.

Aus den TeilleiterströmeniT (auchiB) können mit den Gln. (1.75), (1.76) die Leiter- und Haupt-leiterströme bestimmt werden. Die Leiter- und Hauptleiter-Spannungsabfälle können hingegennicht mit den Gln. (1.77), (1.78) aus den Teilleiter-Spannungsabfällen∆uT bestimmt werden, dadie Koinzidenzmatrizen nicht symmetrisch und damit nicht invertierbar sind. Nachdem die Teil-leiterspannungsabfälle pro Hauptleiter physikalisch ohnehin gleich sind, ist dies jedoch ein unter-geordnetes Problem. Aus diesem Grunde wird im nächsten Abschnitt ein vereinfachtes Verfahrenfür den stationären Betriebszustand angewendet.

1.8.2. Lösung des stationären Betriebs mit komplexen Größen

Zur Lösung des stationären Betriebes mit einer einzigen Frequenz, der Grundschwingung, wer-den die Gln. (1.66), (1.81), (1.86) in komplexen Größen basierend auf Effektivwerten formuliert.Diese Formulierung wurde ursprünglich [35] auf den Fall nicht sättigender Magnetisierung, d. h.konstanter Permeabilitäten zurückgeführt. Damit verschwinden die Zeitableitungen der Induktivi-täten.

∆UB = (RB+ j ωLΣ,B) IB (1.89)

Ue =−(Re+ j ωLe) IH = (RM + j ωLM) IM (1.90)

Im Abschnitt 1.9.2.3 wird beschrieben, wie eine transienteMagnetisierungskennlinieB(H) aufeine Effektivwert-KennlinieBe f f(He f f) umgerechnet wird, woraus sich für jede ErregungHe f f

eine konstante Permeabilitätµe f f für den stationären Fall ergibt.Der Erregervektor wird wahlweise für Spannungs- oder Stromeinprägung gebildet. Die Haupt-

leiterströme sind damit in einem einzigen Schritt berechenbar.

IM = (RM + j ωLM)−1Ue (1.91)

Danach sind nach Bilden des vollständigen TeilleiterstromvektorsIT (oderIB) die Spannungsab-fälle nach Gl. (1.89) bestimmbar. Die Berechnung der magnetischen Feldstärke nach Gl. (1.71)wird ebenfalls komplex formuliert.

HB = Qµ ,BBIB (1.92)

Hier vermischt sich die Transformation der xy-Koordinatenin die komplexe Zahlenebene mit der

19


komplexen Transformation zeitlicher Verläufe. Diese Vermischung ist aber gerechtfertigt, da so-wohl die räumliche Anordnung als auch der Phasenwinkel einer Stromschwingung die Orientie-rung der Feldstärke zumindest im Zweidimensionalen gleichwertig beeinflussen.

1.8.3. Nachbereitung der Ausgabegrößen

Mit der Lösung der zentralen Differenzialgleichung sowohlstationär komplex in Gl. (1.91) alsauch transient in Gl. (1.88) können mit den entsprechenden Spannungen und Strömen weitereGrößen wie Leistungen und Impedanzen der simulierten Anordnung bestimmt werden [35]. Aufdie Simulation mit der Eigenwertmethode wird hier nicht weiter eingegangen.

1.8.3.1. Verlustleistungen und Stromverdrängungsfaktor

Für die transiente Simulation beträgt der Momentanwert derVerlustleistung eines Teilleiters beikonstanten Größen innerhalb des Teilleiters a

pv,a(t) = lz

¨

Aa

J2f z(t)

κadAa = Rai2a(t) (1.93)

woraus die Verlustleistung für alle Teilleiterströme übereine Netzperiode gemittelt wird.

Pv = R1T

t0+Tˆ

t0

i2(t)dt (1.94)

Für den stationären Betrieb wird komplex gerechnet.

Pv = I ·R · I∗ (1.95)

Die Verlustleistungen der einzelnen Teilleiter sind vor allem als Eingabegröße für die Wärmefluss-simulation wichtig. Sie sind jedoch auch für einzelne Leiter und Hauptleiter interessant.

Pv,L = KLTPv (1.96)

Pv,H = KHLPv,L (1.97)

Der Grad der Stromverdrängung der gesamten Anordnung wird durch einen Stromverdrängungs-faktor ks,g beschrieben, welcher die Wechselstromverluste zu denjenigen Gleichstromverlustenin Beziehung setzt, die bei Speisung mit effektivwertgleichen Gleichströmen in die Hauptleiterentstehen. Das Gleiche wird auch für einzelne Leiter mit einem Faktorks,L angegeben.

ks,g =Pv,H

Pv,H,DC(1.98)

ks,L =Pv,L

Pv,L,DC(1.99)

1.8.3.2. Leistungen und Impedanzen

Zusätzlich zu den Verlustleistungen sind noch die Schein- und Blindleistungen der Hauptleitervon Bedeutung, da sie direkt aus den speisenden Quellen bereitgestellt werden. Für die transien-te Simulation ist der Rechenweg in Abschnitt 1.8.3.3 beschrieben, während sie für die stationär

20


komplexe Simulation auch einfach aus dem Produkt der Hauptleiterströme und -spannungsabfälleberechnet werden.

SH = ∆UTH I∗H (1.100)

PH = ReSH (1.101)

QH= ImSH (1.102)

Die Impedanzmatrix der Teilleiter ergibt sich aus der zentralen Grundgleichung der Simulation,und die Leiter- und Hauptleiterimpedanzmatrix leiten sichüber die Koinzidenzmatrizen daraus ab.

IT = Z−1TT∆UT → ∆UT = ZTTIT (1.103)

IL = KLT IT = KLT Z−1TT∆UT → ∆UT = (KLT ZTT)

−1 IL (1.104)

IH = KHT IT = KHT Z−1TT∆UT → ∆UT = (KHT ZTT)

−1 IH (1.105)

Da die Hauptleiterimpedanzmatrix lediglich die Längsspannungsabfälle der Anordnung berück-sichtigt, wird sie nach dem gleichen Verfahren wie in Abschnitt 1.7 modifiziert, damit alle Span-nungen des N-Tors den gleichen Bezugspunkt mit den Klemmengrößen haben, d. h. der gemeinsa-me Rückleiter wird eliminiert [35].

∆U′H =

(U′

H,1−U′H,2

)= Z′

H I ′H (1.106)

Die Matrix wird so um eine Dimension verkleinert.

1.8.3.3. Transiente Ersatzleitergrößen aus Effektivwerten

Bei transienter Berechnung mit magnetisch nichtlinearen Materialeigenschaften ändert sich dieInduktivität und damit auch die Impedanz in jedem Zeitschritt. An den Klemmen der Gesamtan-ordnung interessiert jedoch eher eine konstante Ersatzimpedanz, mit welcher in anderen Program-men weiter gerechnet wird. Zu diesem Zweck werden aus den zu Grunde liegenden Spannungenund Strömen die Effektivwerte berechnet. Beinhaltet der transiente Verlauf einen abklingendenGleichanteil oder geradzahlige Harmonische, so sollte dieletzte simulierte Netzperiode zur Mit-telwertbildung herangezogen werden, um einen möglichst guten Ersatzwert für den stationärenZustand zu erhalten. Ausgehend von der EffektivwertscheinleistungSe f f und dem Mittelwert derMomentanwirkleistungP werden der Leistungsfaktorλ und die BlindleistungQ berechnet, worausdie komplexe ImpedanzZ bestimmt wird. Alle diese Größen sind bei nichtlinearer Magnetisierungstromabhängig.

Ue f f =

√√√√√

1T

t0+Tˆ

t0

u2(t)dt (1.107)

Ie f f =

√√√√√

1T

t0+Tˆ

t0

i2(t)dt (1.108)

S=Ue f fIe f f (1.109)

21


P=1T

t0+Tˆ

t0

u(t)i(t)dt (1.110)

λ = cosϕ =PS

(1.111)

Q=λ|λ |√

S2−P2 (1.112)

R=P

I2e f f

(1.113)

X =Q

I2e f f

(1.114)

Z = R+ j X (1.115)

Diese Gleichungen sind sowohl für einzelne Teilleiter, Leiter und Hauptleiter anwendbar.Da auch alle höheren Harmonischen im Effektivwert enthalten sind, kann als Gesamtmaß da-

für der Verzerrungsfaktor (engl. THD = total harmonic distortion) für Spannungen und Strömebestimmt werden, wenn die GrundschwingungGSdurch Fourieranalyse berechnet worden ist.

THDU =

√

U2e f f −U2

GS

UGS(1.116)

THDI =

√

I2e f f − I2

GS

IGS(1.117)

1.9. Elektrische und magnetische Materialparameter

1.9.1. Spezifischer elektrischer Widerstand

Die elektrische Leitfähigkeitκ bzw. der spezifische elektrische Widerstandρ sind normalerweisevon der Temperatur abhängig. Diese Abhängigkeit kann in allen drei Raumrichtungen unterschied-lich sein (Anisotropie), was in dieser Arbeit jedoch vernachlässigt wird, da Ströme ohnehin nur ineiner Raumrichtung (z-Richtung) fließen. In Abb. 1.5 ist der typische Verlauf des spezifischenelektrischen Widerstands eines Kaltleiters1 abhängig von der Temperatur aufgetragen. Ein solchernichtlinearer Verlauf wird oft um eine Bezugstemperatur herum linearisiert, der meistens bei 20Cliegt [34].

ρel(T) = ρel,bez(1+αel,bez(T −Tbez)

)(1.118)

In Abb. A.4 im Anhang A.2 ist ein solcher Verlauf für Eisen aufgetragen sowie dessen Beeinflus-sung durch Legierungsanteile in Abb. A.5. Weiterhin zeigt Abb. A.6 den Einfluss von Legierun-ganteilen in Nickel.

1.9.2. Magnetisierung und Permeabilität

Die folgenden Absätze geben lediglich einen kurzen einführenden Überblick über das magnetischeVerhalten verschiedener Stoffe und erheben keinen Anspruch auf Vollständigkeit. Es soll nur das

1Der Widerstand von Kaltleitern steigt mit ansteigender Temperatur, z. B. bei Kupfer

22


)(Telρ

0,elρ

0T T

Abbildung 1.5.: Spezifischer Elektrischer Widerstand

Verständnis ferromagnetischer Gesetzmäßigkeiten etwas erleichtert werden.Nach dem Bohrschen Atommodell bestimmen die magnetischen Momente der Elektronen, her-

vorgerufen durch ihren Bahn- und Kreiselimpuls (Spin) das magnetische Verhalten der Atome. Diefreien Atommomente stehen unter dem Einfluss der thermischen Bewegung und können entspre-chend Gl. (1.8) durch ein äußeres MagnetfeldH ausgerichtet, wodurch eine MagnetisierungModer magnetische PolarisationPm hervorgerufen wird. Das magnetische Verhalten der Stoffe wirdmittels ihrer Suszeptibilitätχm oder Permeabilitätµ beschrieben. Die meisten Stoffe sind entwederdia- oder paramagnetisch.

• Diamagnetische Stoffe: Die Suszeptibilität ist verhältnismäßig klein und negativ (χm≈−10−6).Beispiele hierfür sind die Edelgase, Wasserstoff, viele Metalle und die meisten Nichtmetalle[17].

• Paramagnetische Stoffe: Die Suszeptibilität ist verhältnismäßig klein(χm ≈ 10−6 . . .10−3)und positiv. Sie nimmt gemäß dem Curie-Gesetz mit steigenderabsoluter Temperatur ab.

χm(T) =KC

T(1.119)

KC als Curie-Konstante ist für jeden Stoff quantenphysikalisch bestimmbar. Typische Stoffesind die meisten Gase, viele Salze der Eisengruppe, die Alkalimetalle sowie die ferro- undferrimagnetischen Stoffe oberhalb ihrer CurietemperaturTC [17].

Die Atome dia- und paramagnetischer Stoffe beeinflussen sich kaum gegenseitig, wogegen sichdie Atome ferro-, antiferro- und ferrimagnetischer Stoffeim festen Zustand innerhalb größerersogenannter Weissscher Bezirke durch Austauschkräfte, ausgedrückt durch das von Heisenbergquantenphysikalisch begründete Austauschintegral, gegenseitig beeinflussen (kollektiver Magne-tismus) [30]. Diese Eigenschaft ist an Kristallgitter bestimmter fester Stoffe und an Temperaturenunterhalb ihrer Curietemperatur gebunden. Die Magnetisierung ist feldstärkeabhängig und hyste-resebehaftet (siehe Abschnitt 1.9.2.1 und folgende) [17].

• Ferromagnetische Stoffe: Typische Stoffe sind Eisen, Nickel, Cobalt und viele ihrer Legie-rungen, Mangan-Legierungen und einige Seltene Erden (Gd, Er, Dy) und deren Verbindun-gen [17]. Die temperaturabhängige Magnetisierung und Suszeptibilität unterhalb der Curie-Temperatur folgt einem nichtlinearen Gesetz und wird im nächsten Abschnitt behandelt.Oberhalb der Curie-TemperaturTC folgt die Suszeptibilität dem Gesetz nach Curie-Weiss.Hier verhält sich der Stoff paramagnetisch.

χm(T) =KC

T −TC(1.120)

23


• Ferrimagnetische Stoffe: Das Festkörpergitter setzt sich in diesem Fall aus zwei ferromagne-tischen Untergittern zusammen, die unterschiedliche Magnetisierungen aufweisen. Dabeitritt eine nicht verschwindende Gesamtmagnetisierung fürTemperaturenT < TC auf. Ferriteals Eisenoxide gehören dieser Stoffgruppe an [30].

• Antiferromagnetische Stoffe:Der Antiferromagnetismus stellt einen Spezialfall des Ferrima-gnetismus dar. Die Gesamtmagnetisierung ist dabei Null. Die beiden Untergitter sind fürniedrige Temperaturen entgegengesetzt gleich magnetisiert. Mit steigender Temperatur do-miniert eines der beiden Untergitter, und die Magnetisierung steigt in diesem Bereich an. Diekritische Temperatur wird in diesem Fall als Neèl-Temperatur TN bezeichnet. Oberhalb vonTN verhält sich ein Antiferromagnet wie ein Paramagnet und folgt dem Curie-Gesetz [30].

Streng genommen sind so gut wie alle Stoffe magnetisch, jedoch nur die technisch interessantenferro- und ferrimagnetischen Stoffe sind mit verhältnismäßig schwachen Feldern leicht magneti-sierbar. Eine grobe Übersicht über die typischen temperaturabhängigen Verläufe der Suszeptibilitätist in Abb. 1.6 dargestellt [30].

Ferro-

magnetisch

T

T

KCm =χ

CTT NT T

CC

Cm TT

TT

K>

−=χ N

D

C TTT

Km >

+=

θχ

Dθ

magnetisch-Antiferro

ischParamagnet (a) tischFerromagne (b) agnetischAntiferrom (c)

mχ mχ mχ

Abbildung 1.6.: Prinzipielles Temperaturverhalten der Suszeptibilität

1.9.2.1. Magnetisierung und Permeabilität ferromagnetischer Stoffe

Da in der elektrischen Energieversorgung häufig hohe Strömeund Feldstärken auftreten, und dieverwendeten Eisenlegierungen und Stahlsorten meistens ferromagnetisches Verhalten aufweisen,ist es vorteilhaft, den für die Betrachtung nichtlinearen Verlauf der Magnetisierung mit hinreichendguter Näherung nachzubilden. In diesem Abschnitt soll die Magnetisierungskennlinie für solcheMaterialien dargestellt und in eine für die spätere Programmierung der Teilleitermethode geeigneteForm gebracht werden.

Die Weissschen Bezirke können bereits ohne äußeres Feld einen Zustand „spontaner Magneti-sierung“ einnehmen [17]. Sind alle Bezirke einer Stoffprobeirgendwie zufällig spontan magne-tisiert, erscheint die Stoffprobe nach außen insgesamt unmagnetisch. Ein zeitlich in der Stärkeansteigendes äußeres Feld magnetisiert die Bezirke der Stoffprobe immer mehr in eine bestimmteRichtung, bis alle Bezirke gleich ausgerichtet und die Stoffprobe magnetisch gesättigt ist (Sätti-gungspolarisationPm,S). Verschwindet das äußere Magnetfeld, verblieben einige Bezirke gleichausgerichtet (siehe Hystereseschleife), und es liegt eineRestmagnetisierung (RemanenzBR) der

24


Stoffprobe vor. Erst ein dem vorangegangenen Zustand entgegengesetztes Magnetfeld (Koerzi-tivfeldstärkeHC) bringt die Magnetisierung gänzlich zum Verschwinden. Durch solche zum Teilirreversible, nur durch ein zusätzliches äußeres Feld umkehrbare Magnetisierungszustände einzel-ner Bezirke entsteht in der Gesamtheit eine hysteresebehaftete KennlinieM(H) bzw.B(H) (sieheAbb. 1.8).

Die in Abb. 1.7 dargestellten Magnetisierungskennlinien sind mit Gleichstrom (innere Schlei-fe) und einem Wechselstrom von 60 Hz (äußere gepunktete Schleife) gemessen worden [31]. Eshandelt sich dabei um die Edelstahlsorte 446 (nach AISI2/ASTM3). Die Fläche innerhalb einer

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20

B [T

]

H [kA/m]

0 Hz (DC)60 Hz (AC)

Abbildung 1.7.: Gemessene Magnetisierungskennlinie von Edelstahl 446 (AISI/ASTM) mitGleich- und Wechselstrom (60Hz)

solchen hysteresebehafteten Grenzschleife gibt die Verluste an, welche die Probe bei der Messungohmsch-induktiv erscheinen lässt.

wv =

˛

B(H)dH (1.121)

Pv = fWv = fVwv ∼ fVH (1.122)

Aus solchen Messungen (Abbn. 1.7 und 5.4) und der Literatur [17, 57] ist ersichtlich, dass beieiner Messung mit Wechselstrom auch induzierte Wirbelströme in der Probe mitgemessen werden.Insgesamt können die Gesamtverluste in drei Verlustanteile unterteilt werden.

• Nachwirkungsverluste (Restverluste): Die InduktionB folgt einer sprunghaften Änderungder FeldstärkeH nur zeitverzögert, d. h. die Induktion eilt der Erregung zeitlich nach. DieseVerluste hängen von der Frequenz, nicht aber von der Feldstärke ab.

• Hystereseverluste: Mit einem einfachen Auf- und Abmagnetisierungsvorgang wird der Aus-gangspunkt in der B-H-Ebene nicht mehr erreicht. Dies ist einteilweise irreversibler Vorgangund führt zu einer mehrdeutigen Kennlinie.

• Wirbelstromverluste: In der elektrisch leitfähigen Probe werden Wirbelströme induziert.

Pw ∼ f 2d2B2Vρel

(1.123)

Sie sind unter anderem auch von der Probendicke abhängig. Für die Wirkung der Wirbel-ströme gibt es eine charakteristische Wirbelstromgrenzfrequenz, oberhalb der die Wirbel-

2AISI: American Iron and Steel Institute3ASTM: American Society for Testing and Materials

25


stromverluste stark zunehmen.

fw ∼ ρelµd2 (1.124)

Alle diese genannten Verlustanteile werden üblicherweiseals Ummagnetisierungsverluste bezeich-net. Die Wirbelstromverluste sind jedoch ein zusätzlicheselektrisches Problem des magnetischenStoffes, führen je nach Messfrequenz zu einer breiteren Hystereseschleife und haben mit der ei-gentlichen Magnetisierung und Ummagnetisierung wenig zu tun. Beispielsweise sind in einemTransformatorersatzschaltbild, in welchem die Verluste des Transformatorkerns bei Betriebsfre-quenz in Form eines WiderstandsRFe Beachtung finden, die Wirbelströme bereits enthalten. Füreine Simulation wie in dieser Arbeit, bei der die Wirbelströme bereits von vornherein berücksich-tigt werden, müssen diese aus der Hysterese eliminiert werden. Dies geschieht am besten mit einerGleichstrommessung.

Die Nachwirkungs- und Hystereseverluste werden in dieser Arbeit vernachlässigt und die Ma-gnetisierung durch eine eindeutige nichtlineare Kennlinie approximiert. Eine solche Kennlinie istdie Kommutierungskennlinie als Ortskurve der Umkehrpunkte aller symmetrischen mit Wechsel-strom gemessenen Hystereseschleifen innerhalb der äußersten Hysteresegrenzschleife. Sie ist eineeindeutige zum Koordinatenursprung symmetrische Funktion (Abb. 1.8), die beinahe identisch mitder Neukurve ist, welche am einfachsten mit Gleichstrom gemessen wird. In der Teilleitermethodewird jedoch die relative Permeabilitätµr(H), wie sie in Gl. (1.8) definiert ist, verwendet.

H

B Pm(H)

µ0H

CHCH−

RB

RB−

HKH

KB

KH2

KB1.1B

-Pm,S

-Pm,S

Abbildung 1.8.: Approximation der gesättigten Magnetisierung

−1

1

−1 1 x

y

tanharctan H

rµ

1

Abbildung 1.9.: Analytische Approximation der Magnetisierungskennlinie und daraus abgeleiteterPermeabilität

In der internationalen Norm zur Klasse PX für induktive Stromwandler [46] der elektrischenEnergieversorgung wird auf der Kommutierungskennlinie ein Kniepunkt(BK/HK) definiert, abwelchem sich die Kurve bei einer Erhöhung um 50% in AbzissenrichtungH um 10% in Ordina-

26


tenrichtungB erhöht. Dies ist ein markanter Punkt um den gesättigten vom ungesättigten Bereichdefiniert abzugrenzen. Die gleiche Definition gilt für den Sättigungsfluss bei transienten Strom-wandlerklassen [47] auf der Magnetisierungskennlinie derSpitzenwerte.

Die gesättigte Magnetisierungskennlinie kann durch analytische Funktionen approximiert wer-den [8], wie

y= fMKL(x) = tanh(1.38x)

y= fMKL(x) =2π

arctan(π2

1.6x)(1.125)

Mit den Faktorenπ/2, 2/π, 1.38 und 1.6 werden die Approximationsfunktionen so normiert, dassihr charakteristischer Kniepunkt beix = 1 liegt und für hohe Abzissenwerte asymptotisch gegeny= 1 strebt (Abbn. 1.8, 1.9). Es stehen nun zwei Funktionen zur Verfügung, die leicht unterschied-liches Sättigungsverhalten aufweisen bezüglich Steilheit im linearen Bereich und Krümmungsra-dius im Kniepunkt.

Mit den FunktionenfMKL(x) können nun auch die Grenzschleifen und die Neukurve als Mittel-wert derselben nachgebildet werden (Abb. 1.8).

Aufsteigende Grenztrajektorie:

B(H) = Pm,S· fMKL

(H −HC

HK

)

+µ0H (1.126)

Absteigende Grenztrajektorie:

B(H) = Pm,S· fMKL

(H +HC

HK

)

+µ0H (1.127)

Neukurve:

B(H) = Pm,S·12

[

fMKL

(H −HC

HK

)

+ fMKL

(H +HC

HK

)]

+µ0H (1.128)

Hiervon wird in dieser Arbeit nur die Neukurve verwendet, dadie Hysterese vernachlässigt wird.Der nichtlineare Verlauf der relativen Permeabilitätµr(H) in Abb. 1.9 wird mit Gl. (1.8) bestimmt.

µr(|H|) = B(|H|)µ0|H| (1.129)

Aufgrund der Punktsymmetrie wird nur mit dem Betrag der Kurveim 1. Quadranten gerechnet.Die scheinbare Singularität beiH = 0 wird durch die Stetigkeit in der Umgebung des Verlaufsausgeglichen.

Nun muss noch die Temperaturabhängigkeit der Magnetisierung bzw. der Permeabilität gefun-den werden. Im Anhang A.2 in Abb. A.11(a) sind die Kommutierungskennlinien von Eisen beiverschiedenen Temperaturen aufgetragen. Diese Kurven zeigen in der gleichen Abb. (b) eine Ab-nahme der maximalen SättigungspolarisationPm,S und der KniepunktfeldstärkeHK bei steigenderTemperatur, womit die Kurven im linearen Bereich auch steiler werden.

In Abb. A.10(a) ist die Magnetisierung des gleichen Materials über der Temperatur für verschie-dene Erregerfeldstärken aufgetragen. Der Einbruch der Magnetisierung in der Nähe der Curietem-peratur bei etwa 790C ist deutlich sichtbar.

Die entsprechende Permeabilität ist in Abb. A.10(b) aufgetragen. Bei kleinen Feldstärken steigtsie zuerst flach und dann kurz vor der Curie-Temperatur sehr steil an. Diese Erscheinung ist alsHopkinson-Effekt bekannt [17].

27


1.9.2.2. Messung der Magnetisierung ferromagnetischer Stoffe

Für eine Wärmefluss-Simulation mit der Teilleitermethode sind für die verwendeten magnetischenMaterialien solche Permeabilitätskurven nötig, die die Abhängigkeit von der TemperaturT undMagnetfeldstärkeH angeben. Es ist jedoch sehr schwierig, für alltägliche Stahl- bzw. Eisenle-gierungen überhaupt einen konstanten Permeabilitätswertzu finden. In einem solchen Falle mussdie Magnetisierungskennlinie wie in den Abbn. 1.8, 1.9 und Abbn. A.10 bis A.11 gemessen wer-den. Hierzu gibt es unter anderem für unsere praktischen Zwecke grundsätzlich zwei Möglichkei-ten [43]:

• Ringkernmethode: Handelt es sich bei dem verwendeten Material um ein Rohr, dann wirddavon ein Ring bewickelt und als Spule vermessen [43]. Diese Methode bietet den Vor-teil, dass sich die magnetischen Feldlinien vorwiegend im Ring schließen (geringes Streu-feld) und die Zusammenhänge zwischen den FeldernB,H und den elektrischen Messgrößenu,Ψ, i einfach sind. Bei vorhandener magnetischer Anisotropie in Rohren wird von Vornher-ein die für eine zweidimensionale Simulation in der xy-Richtung relevante Magnetfeldrich-tung gemessen. Ein entscheidender Nachteil ist, dass der verwendete Draht nicht für höhereTemperaturen bis zur Curie-Temperatur verwendet werden kann. Insofern kann meistens nureine Kurve bei Umgebungstemperatur aufgenommen werden. Diese liefert jedoch bereits ei-ne gute Basis für Abschätzungen bei höheren Temperaturen, wie sie im weiteren Verlaufaufgezeigt werden.

• Jochmethode(n): Hier wird eine Materialprobe als Teil eines Eisenkernjochs in eine geeich-te Messeinrichtung gespannt und vermessen. Es wird kein Wicklungsdraht unmittelbar ander Probe benötigt. Mit solchen Einrichtungen kann evtl. auch bei höheren Temperaturengemessen werden, sie sind jedoch nur in Speziallabors verfügbar [31].

Ist die Curietemperatur nicht messbar, muss sie abgeschätztwerden. Anhand der Diagramme imAnhang A.2 wird abgelesen, wie bestimmte Legierungsanteile die Curie-Temperatur von reinemEisen oder Nickel verändern. Für Eisen ist auch ein Diagrammangegeben, wie die Legierungsan-teile die maximale Sättigungsinduktion verändern.

In Abb. A.13(a) sind die temperaturabhängigen mit Gleichstrom gemessenen Magnetisierungs-kennlinien von Edelstahl 446 (AISI/ASTM) aufgetragen mit den entsprechenden Permeabilitäts-kennlinien in Abb. A.13(b). Diese Magnetisierungskennlinien wurden bis zu einer Temperaturvon ca. 600C gemessen [31], die knapp unterhalb der Curie-Temperatur liegen dürfte. Die nachGl. (A.19) errechnete Curie-Temperatur beträgt 625C mit den in Tab. 1.2 zugrunde gelegten Le-gierungsanteilen.

Element Ma.-% Ma.-% (Annahme)

C max. 0.2 0Cr 23 - 27 23Fe 75 75Mn max. 1.5 1Ni max. 0.25 0P max. 0.04 0S max. 0.03 0Si max. 1 1

Tabelle 1.2.: Legierungsanteile von Edelstahl 446 (AISI/ASTM)

28


Dieser Stahl ist mit der deutschen Stahl-WNr. 1.4749 (DIN/ENX18CrN28) vergleichbar. DieTendenz der SättigungspolarisationPm,S gemäß Abb. 1.8 der einzelnen Kurven in Abb. A.13(a)ist in Abb. A.13(c) dargestellt. Der Verlauf stimmt qualitativ gut mit dem Verlauf von Eisen inAbb. A.11(a) überein. Zusätzlich ist die die Tendenz der KniepunktmagnetfeldstärkeHK gemäßAbb. 1.8 der einzelnen Kurven aufgetragen. Sie fällt mit steigender Temperatur linear ab (derletzte hohe Wert deutet eher auf einen Messfehler hin).

1.9.2.3. Kennlinien der Induktion und Permeabilität basierend auf Effekti vwertgrößen

Wie bereits in Abschnitt 1.8.2 angedeutet, wird hier die Umformung einer transienten Magneti-sierungskennlinie in eine Kennlinie basierend auf Effektivwerten gezeigt. Im Transformator- undMesswandlerbau ist es üblich, die Magnetisierungskennlinie und die Permeabilität auf verschie-dene Arten zu messen und zu definieren. Da gibt es die Scheitelwertpermeabilität, die auch mitGleichstrom gemessen wird und der allgemeinen Definition inder Physik entspricht.

µ =B

H(1.130)

Weiterhin gibt es noch eine Permeabilität, die oft im Transformatorbau verwendet wird. Für Be-trachtungen der Spannungsqualität ist der Scheitelwert anden Klemmen eines Transformators odereiner anderen induktiven Last von Bedeutung, während der verzerrte Magnetisierungsstrom fürthermische Betrachtungen durch seinen Effektivwert ausreichend erfasst wird.

µT =B

He f f(1.131)

Schließlich soll noch die Effektivwertpermabilität erwähnt werden, die auch in dieser Arbeit fürdie stationäre Simulation verwendet wird.

µe f f =Be f f

He f f(1.132)

Aus der mit Gleichstrom gemessenen Neukurve oder mit Wechselstrom gemessenen Kommutie-rungskurve (Abb. 1.8) soll nun eine Kennlinie der Effektivwertpermeabilität gefunden werden.Durch die Effektivwertmessung geht der genaue transiente Verlauf der gemessenen Größe verlorenund wird durch einen einzigen Ablesewert ersetzt, d. h. der transiente Verlauf könnte nun beliebigsein. Ist beispielsweise der Erregerstrom oder das Magnetfeld H rein sinusförmig, dann entstehteine verzerrte InduktionB und eine bestimmte Kennlinie (Abbn. 1.10, 1.11(a)). Ist jedoch die In-duktion B rein sinusförmig, dann ist das MagnetfeldH verzerrt, und es ergibt sich eine andereKennlinie (Abb. 1.11b). Der Indexh in den Graphen besagt, welche der beiden Größen harmo-nisch (rein sinusförmig) vorgegeben ist. Je nach Verzerrung beider GrößenB undH ergeben sichvor allem in Mischfällen jeweils unterschiedliche Kennlinien. Da es sich bei der stationären Simu-lation mit nichtlinearen Materialeigenschaften durch Effektivwerte nur um eine Näherung handelt,können wir uns entweder für einen der beiden genannten Extremfälle entscheiden, je nachdem,welche der beiden GrößenB oder H überwiegend sinusförmig oder verzerrt ist. Um die häufi-ger vorkommenden Mischfälle abzudecken, können wir aus denbeiden Extremfällen auch eineMittelwertkurve bilden.

BMW =Be f f,h+Be f f

2HMW =

He f f,h+He f f

2(1.133)

29


0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 50 100 150 200

B [T

]

H [kA/m]

B(H)

√2⋅Beff,h(√2⋅Heff)

√2⋅Beff(√2⋅Heff,h) 50

100

150

200

250

300

350

400

450

0 5 10 15 20

µ r

H [kA/m]

µr(H)

µr,Beff,h(√2⋅Heff)

µr,Beff(√2⋅Heff,h)

Abbildung 1.10.: Transiente und Effektivwert-Kennlinienfür B(H) und der Permeabilität von St35

−150

−100

−50

0

50

100

150

0 5 10 15 20−3

−2

−1

0

1

2

3

H [k

A/m

]

B [T

]

t [ms]

HB

(a) Harmonische Erregung

−300

−200

−100

0

100

200

300

0 5 10 15 20−3

−2

−1

0

1

2

3

H [k

A/m

]

B [T

]

t [ms]

HB

(b) Harmonische Induktion

Abbildung 1.11.:B(t) undH(t) von St35 im höchsten Punkt der Kennlinie

Es gibt auch noch weitere prinzipielle Möglichkeiten, magnetische Kennlinien für eine statio-näre Simulation umzuformen [18, 51].

• Alleinige Berücksichtung der überwiegenden Grundschwingung bei Verzerrung durch hö-here Harmonische.

• Mittelwertbildung anhand des Gleichanteils

• Mittelwertbildungen anhand der ausgetauschten magnetischen Energie bis zum Scheitelwerteiner Größe oder innerhalb einer Viertelperiode.

Alle diese alternativen Verfahren ergeben wiederum jeweils eine andere Kennlinie. Die Verwen-dung der Effektivwerte erscheint jedoch am sinnvollsten, wenn das gesamte Simulationsverfahrenmit Effektivwerten rechnet und die Anordnung in der Praxis mit Effektivwertmessgeräten vermes-sen wird.

1.9.2.4. Ferromagnetismus bei höheren Temperaturen

Die thermische Energie, bedingt durch die momentane Temperatur der betrachteten Stoffprobe,bringt eine kollektiv gerichtete Magnetisierung der Bezirke wieder mehr oder weniger in den Zu-stand der spontanen Magnetisierung zurück, d. h. sie verursacht einen Zustand höherer Unordnung.Ein stärkeres äußeres Feld und eine höhere Temperatur wirken bei der Magnetisierung demnach

30


einander entgegen. Sie heben sich bei der für einen ferromagnetischen Stoff charakteristischenCurie-TemperaturTC auf.

Da Ferromagnetismus ein quantenmechanisches Phänomen undeigentlich nicht mit klassischenMethoden beschreibbar ist, wird nun dennoch versucht, das prinzipielle Verhalten mit einem ver-einfachten Modell zu erklären und für die Simulation von magnetischen Anlagenteilen nachzubil-den [19].

Zunächst wird davon ausgegangen, dass Ferromagnetismus phänomenologisch nur eine Verstär-kung einer bereits vorhandenen paramagnetischen MagnetisierungM mit dem Weißschen Verstär-kungsfaktorα ist [69], welcher phänomenologisch die gesamte Wirkung deranderen WeißschenBezirke auf einen einzelnen erfasst.

B = µ0(H+αM) (1.134)

Die MagnetisierungM als Dipolmomentendichte setzt sich aus dem mittleren Dipolmoment< pm >und der AnzahlN der Dipole pro Volumeneinheit eines Stoffes zusammen.

M = Npm (1.135)

Eine weitere Annahme beinhaltet die quantisierte Ausrichtung der Dipole zum angelegten FeldB,d. h. die Dipole können nur parallel oder antiparallel ausgerichtet sein, was quantenmechanischeinem Spin 1/2 entspricht. Nach dem Boltzmannschen Verteilungsgesetz ist die Wahrscheinlich-keit w(X) für eine der beiden Richtungen abhängig von der Temperatur und der in diesem Fallemagnetischen EnergieW(x).

w(x) = w0e−W(x)/kT (1.136)

In einem sphärischen Koordinatensystem mit dem Winkelθ ist die Energie und die Anzahl derDipole pro Volumeneinheit

W(θ) = pmB(1−cos(θ)) (1.137)

N(θ = 0) = N0 N(θ = π) = N0e−2pmB/kT (1.138)

Die gesamte Anzahl aller Dipole ergibt sich aus der Summe derverschiedenen Zustände

Nges= N(θ = 0)+N(θ = π) (1.139)

während das mittlere Dipolmoment aus der Differenz der Einzelzustände hervorgeht.

< pm >=1

Nges[N(θ = 0)pm−N(θ = π)pm] =

pmN0

(

1−e−2pmB/kT)

N0(1+e−2pmB/kT

)

= pmtanh

(pmBkT

)

(1.140)

Daraus entsteht der Zusammenhang für die gesuchte MagnetisierungM

M = Nges< pm >= Ngespmtanh(µ0pm

kTH +α

µ0pm

kTM)

(1.141)

mit der SättigungsmagnetisierungMS, der CurietemperaturTC und einem Faktorb zwecks Verein-

31


fachung, wobei wir von Vektoren auf ihre Beträge übergehen.

MS= N < pm > b=µ0pm

kTC = αbMS

MMS

= tanh

(

bHT+

MMS

TC

T

)

(1.142)

Dieser Zusammenhang zeigt deutlich die Zunahme der Magnetisierung durch die äußere ErregungH und Abnahme bei steigender Temperatur. Die transzendente Gleichung ist jedoch nicht geschlos-sen nach der MagnetisierungM lösbar. Für eine brauchbare Approximation unterscheiden wir dreiTeilbereiche, in denen jeweils ein Teil vernachlässigt werden kann (Abb. 1.12 mit gestricheltenLinien) [69].

Bereich I: Für niedrige TemperaturenT ≪ TC wird das Argument der tanh-Funktion groß undführt auf eine Vereinfachung:

tanh(x) =1−2e−2x

1+2e−2x ≈ 1−2e−2x für x≫ 1

MMS

≈ 1−2e−2(

bHT + M

MS

TCT

)

MMS

≈ 1 ⇒ FI (T) =MMS

≈ 1−2e−2

TCT

(

1+ HαMS

)

mit b=TC

αMS(1.143)

In diesem Bereich ist auch ohne ErregungH eine spontane Magnetisierung möglich (Rema-nenz) und fürH ≫ αMS wird M = MS (Sättigung).

Bereich II: Für Temperaturen geringfügig kleiner als die Curietemperatur (T / TC) und ver-schwindende Erregung (H = 0) kann die tanh-Funktion bis zur dritten Potenz entwickeltwerden:

tanh(x)≈ x− x3

3für x≪ 1

x=MMS

TC

Tfür H = 0

→ MMS

=TTC

x= tanh(x)≈ x− x3

3→ x=

√

3

(

1− TTC

)

FII (T) =MMS

=TTC

√

3

(

1− TTC

)

(1.144)

FürT → TC verschwindet die permanente Magnetisierung beiH = 0.

Bereich III: Für Temperaturen oberhalb des Curiepunktes (T > TC) undbH/T ≪ 1 kann die tanh-Funktion für kleine Argumente linearisiert werden:

tanh(x)≈ x für x≪ 1MMS

≈ MMS

TC

T+b

HT

MH

= χm =bMS

T −TC=

αTC

T −TC=

KC

T −TC(1.145)

32


FIII (T) =MMS

=HMS

KC

T −TC(1.146)

Gl. (1.145) ist das bekannte Curie-Weiss-Gesetz für lineareMagnetisierung mit der Curie-KonstantenKC, welche beispielsweise für EisenKC,Fe= 2.22K beträgt. Nach experimentel-ler Überprüfung gilt es allerdings nur ab einer paramagnetischen Curie-TemperaturTC,p diehöher ist als die ferromagnetische Curie-TemperaturTC (oberhalb welcher die spontane Ma-gnetisierung verschwindet)(Bereich III-2)[30]. Im ZwischenbereichTC < T < TC,p (BereichIII-1) gilt ein leicht modifiziertes Curie-Weiss-Gesetz mitWerten aus Tab. 1.3.

χm ∝1

(T −TC)γ für T → TC,T > TC (1.147)

χm ∝ (TC−T)β für T → TC,T < TC (1.148)

Material MS[106A/m] β γ TC[K] TC,p[K] KC[K]

Fe 1.746 0.34 1.33 1043 1100 2.22Co 1.446 - 1.21 1388 1415 2.24Ni 0.51 0.42 1.35 627 649 0.588

Tabelle 1.3.: Materialdaten für Ferromagneten am Curie-Punkt [30, 71]

Die qualitative Beschreibung und Approximation der temperaturabhängigen Magnetisierung an-hand von analytischen Funktionen in den Bereichen I bis III vermittelt einen Eindruck für diewesentlichen Vorgänge und Abhängigkeiten physikalischerParameter. Die gefundenen Funktio-nen sind als Approximation in der Simulation nicht geeignet, da wir an den Schnittstellen derBereiche nicht nur Stetigkeit der Funktionswerte sondern auch Stetigkeit ihrer Ableitung (beidsei-tige Differenzierbarkeit) benötigen. Daher wird für die Simulation eine leicht veränderte Methodeangewendet. Ausgangspunkt ist die Magnetisierungskennlinie bei niedrigen Temperaturen (Raum-temperatur) wie in Abb. 1.9 und Gln. (1.128) dargestellt. Inden Abbn. A.11(b) und A.14 ist eineTemperaturabhängigkeit der Sättigungspolarisation bzw.Magnetisierung wie auch der Kniepunkt-feldstärke ersichtlich. Die Abhängigkeit der Sättigungspolarisation berücksichtigen wir mit einerErweiterung des Modells in [3], einer SkalierungsfunktionFm(T) ähnlich den drei Bereichen I-III,die wir zur Magnetisierungskennlinie, gemessen bei niedrigen Temperaturen, hinzu multiplizieren.

B(H,T) = B(H) ·Fm(T) (1.149)

Bereich I und II approximieren wir mit einer Exponentialfunktion ähnlich zu Bereich I, die bis zueiner Stoßstelle(TS/FS) reicht.

Fm,I+II (T) = 1−e(T−TC)/τI (1.150)

τI =TS−TC

ln(1−FS)(1.151)

An der StoßstelleSschließt sich der Bereich III mit einer vergleichbaren Funktion an.

Fm,III (T) = e(TIII −T)/τIII (1.152)

τIII = FSτIe−(TS−TC)/τI (1.153)

TIII = TS+ τIII lnFS (1.154)

33


Mit den beiden Punkten(TS/FS) und(TIII /FS) kann die FunktionFm(T) sehr gut an bekannte Ver-läufe wie in den Abbn. A.11 bis A.14 im Anhang A.2 angepasst werden. Vor allem die Krümmungim Curiepunkt im Übergang zum paramagnetischen Bereich ist auf diese Art gut nachbildbar.4 InAbb. 1.12 ist diese Funktion zusammen mit den einzelnen qualitativen Verläufen der Bereiche I-IIIam Beispiel von Eisen dargestellt. Für eine vollständige Approximation der Magnetisierungskenn-

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

M/M

s

T [K]

Fm,I+II

Fm,III

FI

FII

FIII,1(H1)

FIII,1(H2)

FIII,2(H1)

FIII,2(H2)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

1000 1100 1200

M/M

s

T [K]

(TS/FS)

(TIII/FS)

Abbildung 1.12.: Approximation der temperaturabhängigenMagnetisierung von Eisen

linie mit Gl. (1.128) ist auch der temperaturabhängige Verlauf der KniepunktfeldstärkeHK(T) undKoerzitivfeldstärkeHC(T) zu approximieren, was ebenfalls durch eine abfallende Exponential-funktion mit den noch zu wählenden Konstantenτk undτc geschieht.

HK = HK,0e−T/τK (1.155)

HC = HC,0e−T/τC (1.156)

In den Bereichen I und II sind das MagnetfeldH, die SättigungsmagnetisierungMS und die Tem-peraturT durch die gezeigten Vereinfachungen voneinander entkoppelte Terme, während sie imBereich III miteinander verkoppelt bleiben.

Innerhalb eines Beispiels in Abschnitt 5.1.4 wird die dort verwendete Approximation der Sätti-gungspolarisation, Kniepunkt- und Koerzitivfeldstärke mit den Verläufen in Abb. A.11(b) vergli-chen.

4Die Qualität der Approximation des gekrümmten Bereichs beeinflusst das Konvergenzverhalten der Simulation

34

2. Grundlagen des Erwärmungsproblems

In diesem Kapitel werden die theoretischen Grundlagen erwähnt und erklärt, die in Kapitel 3 zurSimulation der Wärmeübertragung in der Methode der finiten Elemente zur Anwendung kommen.Ein Großteil davon ist während der Arbeit [27] entstanden. Es wird zwischen den drei Wärme-übertragungsmechanismen Leitung, Strömung (Konvektion)und Strahlung unterschieden, welchejeweils unterschiedlichen physikalischen Effekten und Modellen mit eigenen Grundgleichungenunterliegen.

Wärmemengen in der Einheit[J] werden in dieser Arbeit generell mitQ bezeichnet und Wärme-ströme oder Wärmeleistungen gemessen in[W] = [J/s] mit P (bei Strahlung auch StrahlungsflussΦe) oder auchPV als elektrische Verluste. Wärmestromdichten (bei Strahlung auch Strahlungs-dichteLe, BestrahlungsstärkeEe, spezifische AusstrahlungMe) sind flächenbezogen in[W/m2]

p=dPdA

(2.1)

und Wärmequellen volumenbezogen in[W/m3]

p′ =dPdV

(2.2)

2.1. Wärmeleitung in Festkörpern

Wärmeleitung findet als kinetische Energieübertragung zwischen einzelnen benachbarten Mole-külen durch Stöße statt, wobei davon ausgegangen wird, dassjedes Molekül seinen Platz im Raumbeibehält (mikroskopische Energieübertragung). Eine eventuelle makroskopische Bewegung soll-te nicht wesentlich zur Energieübertragung beitragen, sonst handelt es sich um Konvektion. ReineWärmeleitung kann somit in Stoffen jedwelchen Aggregatzustandes stattfinden, solange die ge-nannte Einschränkung gilt. Fourier formulierte das Gesetzder Wärmeleitung, welches besagt, dassein Wärmestrom proportional einem Temperaturgefälle und der Wärmeleitfähigkeitλ ist [15].

pL =−λ gradT(x,y,z) (2.3)

Die Einheit der Wärmeleitfähigkeitλ als Stoffkonstante ist[WK−1m−1], sie wird in dieser Ar-beit als isotrop angenommen, kann aber temperaturabhängigsein. Das Wärmeleitungsgesetz ver-hält sich analog zum ohmschen Gesetz der Elektrizität. Seine Anwendung hängt nicht vom Aggre-gatzustand ab, jedoch sehr stark von der Wärmeleitfähigkeitλ .

2.1.1. Differenzialgleichung für das Temperaturfeld

Ein VolumenelementdV = dxdydzkann bei Temperaturänderung Wärme speichern oder abgeben,wobei sich seine innere Energie ändert.

U = mc∂T∂ t

= ρc∂T∂ t

dV (2.4)

35


Dabei istρ die Massendichte undc die Wärmekapazität. Stellen wir eine Wärmebilanz über dasVolumenelementdV auf bei vorhandenen inneren WärmequellenPV für die späteren elektrischenVerluste mit der Quellenstärkep′V in [Wm−3]

PV = p′V dxdydz (2.5)

U = Pein−Paus+PV = λ divgradT dV +PV (2.6)

Nach einer Umformung erhalten wir die Fouriersche Differentialgleichung als partielle Differenzi-algleichung für das Temperaturfeld in kartesischen Koordinaten für den instationären Betrieb mitder Temperaturleitfähigkeita.

∂ 2T∂ 2x

+∂ 2T∂ 2y

+∂ 2T∂ 2z

+p′Vλ

=ρcλ

∂T∂ t

=1a

∂T∂ t

(2.7)

Im stationären Betrieb ist das Temperaturfeld zeitlich konstant, und der rechte Term der Gleichungverschwindet.

∂ 2T∂ 2x

+∂ 2T∂ 2y

+∂ 2T∂ 2z

+p′Vλ

= 0 (2.8)

2.1.2. Randbedingungen und Anfangswerte

Da Gl. (2.7) eine partielle Differenzialgleichung zweiterOrdnung im Raum und erster Ordnung inder Zeit ist, benötigen wir zwei Randbedingungen je Koordinatenrichtung und einen Anfangswert,um eine eindeutige Lösung zu erhalten. Bezüglich der Randbedingungen unterscheiden wir in derPraxis drei wichtige Arten [56] (Abb. 2.1). Der Einfachheithalber beziehen wir uns bei derenErklärung auf den eindimensionalen Fall.

1. Konstante Temperatur am RandA: Dirichletsche Randbedingung oder Randbedingung 1. Art.

T(x, t)|x=0 = TA (2.9)

Sie wird in der Literatur auch geometrische, wesentliche oder kinematische Randbedingunggenannt [68].

2. Konstante Wärmestromdichte senkrecht zur Oberfläche des RandesA: Neumannsche Rand-bedingung oder Randbedingung 2. Art. Mit der Umgebung wird ein konstanter Wärmestromüber den RandA ausgetauscht.

−λ∂T∂x

∣∣∣∣x=0

= pA (2.10)

Verschwindet der WärmestrompA, spricht man auch von einer homogenen Neumannschenoder natürlichen Randbedingung [68]. Als typische Anwendung gilt sie an der Grenze zueiner idealen Wärmeisolierung. IstpA endlich und von null verschieden, handelt es sich umeine inhomogene Neumannsche Randbedingung. Konstante Wärmeströme auf oder durcheine Fläche, beispielsweise durch Sonneneinstrahlung, können damit erfasst werden.

3. Zu einer Temperaturdifferenz proportionale Wärmestromdichte senkrecht zum RandA: Robin-oder Cauchy-Randbedingung oder Randbedingung 3. Art.

−λ∂T∂x

∣∣∣∣x=0

= α (T(x, t)−T∞)|x=0 = pA (2.11)

36

2.2. Wärmestrahlung an Oberflächen von Körpern

Hier kommt das Newtonsche Abkühlungsgesetz aus Gl. (2.70) zum Tragen. Mit der angren-zenden Umgebung wird ein Wärmestrom proportional zum Wärmeübergangskoeffizientenα und zur Temperaturdifferenz zwischen der unbekannten Randtemperatur und der bekann-ten UmgebungstemperaturT∞ ausgetauscht. Diese Randbedingung eignet sich vor allem zurBerücksichtigung des Wärmeübergangs durch Konvektion.

In einem Wärmeflussproblem können mehrere solcher Randbedingungen an verschiedenen odergleichen Stellen gleichzeitig wirksam sein.

1.) Dirichlet-

Randbedingung (1.Art)

2.) Neumann-

Randbedingung (2. Art)

3.) Robin-

Randbedingung (3. Art)

Ap ),( txT),( txT ),( txT

α,∞T

AT

xxx

ATAT

Abbildung 2.1.: Randbedingungen der Temperaturfeldberechnung


Materie emittiert je nach Anregungszustand Wärmeenergie inForm von Strahlung bei Eigentem-peraturenT > 0 K. Zusätzlich kann sie Strahlung aus dem bzw. in den angrenzenden Raum absor-bieren bzw. reflektieren. Das Maß, in welchem dieser Energieaustausch durch Strahlung vonstattengeht, hängt von ihren Strahlungseigenschaften und den Wellenlängen der Strahlung ab. In dieserArbeit wird nur die Wärmestrahlung zwischen strahlungsundurchlässigen Körpern berücksichtigt.Die gesamte einfallende (imitierte) StrahlungPIm wird gemäß dem Energieerhaltungssatz entweder

ImP RefP

TraP

AbsP

EmP

T

Imθ Refθ

Traθ

Emθ

Abbildung 2.2.: Strahlung eines Körpers

vollständig oder teilweise absorbiert, reflektiert oder transmittiert (durchgelassen) [27, 34].

PIm = PAbs+PRe f+PTra (2.12)

Flüssigkeiten und Gase sollen keine Wechselwirkung mit Strahlung eingehen, soweit sie als licht-durchlässig bezeichnet werden können.

37


2.2.1. Gerichtete spektrale Strahldichte und Strahlstärke

Für jeden der oben genannten Strahlungsanteile kann eine StrahlstärkeI und eine StrahldichteLals Maß für die Strahlungsleistung pro Flächeneinheit und Raumwinkel im Wellenlängenintervallλ → λ +dλ angegeben werden. Die Strahlstärke gibt an, wie viel Leistung eine FlächedA in einenRaumwinkeldΩ abgibt [27, 34].

I(λ ,θ ,ϕ,T) =dP

dA·dΩ ·dλ(2.13)

Die StrahldichteL ist eine stoffspezifische Verteilungsfunktion und im Allgemeinen vom Betrach-tungswinkelθ abhängig. Sie stellt die von einem Betrachter oder Strahlungsempfänger aus gese-hene Strahlstärke dar. Dabei wird noch die Projektion der FlächedAcosθ in Betrachterrichtungberücksichtigt.

L(λ ,θ ,ϕ,T) =dP

dA·cosθ ·dΩ ·dλ(2.14)

Der infinitesimale Raumwinkel einer gedachten Halbkugel um die FlächedA ist (siehe Abb. 2.3)

dΩ = sinθ ·dθ ·dϕ (2.15)

Die Strahldichte kann auch als Gesamtgröße über alle Wellenlängen angegeben werden [23, 27].

nθ

dP

Ωd θd

ϕd dA

ϕ

Abbildung 2.3.: Strahlung eines Flächenelements

L(θ ,ϕ,T) =∞

0

L(λ ,θ ,ϕ,T)dλ (2.16)

2.2.2. Emission, Absorption, Reflexion, Transmission und Energiebilanz

In welchem Maße die oben genannten Austauschvorgänge stattfinden, hängt im Wesentlichen vonden Stoffeigenschaften des Körpers und dem Einfalls- bzw. Austrittswinkel ab und wird in denspektralen Absorptions-, Reflexions- und Transmissionsgraden ausgedrückt. Sie sind im Allge-meinen von der Temperatur, der jeweiligen Wellenlänge und dem Winkel abhängig, d. h. folgendeGleichung gilt nur für eine einzelne Wellenlänge und einen einzelnen Winkel [23, 27, 56]. Sie

38


ergibt sich durch Umformung aus Gl. (2.12).

1=PAbs

PIm+

PRe f

PIm+

PTra

PIm

=LAbs(λ ,θ ,ϕ,T)LIm(λ ,θ ,ϕ,T)

+LRe f(λ ,θ ,ϕ,T)LIm(λ ,θ ,ϕ,T)

+LTra(λ ,θ ,ϕ,T)LIm(λ ,θ ,ϕ,T)

= α(λ ,θ ,ϕ,T)+ρ(λ ,θ ,ϕ,T)+ τ(λ ,θ ,ϕ,T) (2.17)

Die absorbierte Strahlung trägt zur Temperaturerhöhung des Körpers bei, während die emittierteStrahlungPEm(λ ,T) seine Temperatur senkt. Wird im Körper noch WärmePV erzeugt, dann giltfür seine innere Energie

U = PV +PAbs−PEm (2.18)

2.2.3. Idealisierte Extremfälle und Vereinfachungen

Bezüglich der oben erfolgten Einteilung können nun einige idealisierte aber für die Praxis relevanteExtremfälle unterschieden werden [56]. Sie gelten zwar nurnäherungsweise und für begrenzteWellenlängenbereiche, sind jedoch für die Praxis hinreichend genau und kommen in dieser Arbeitzum Tragen.

• Oberflächenstrahler: τ = 0; α +ρ = 1Fast alle Festkörper und Flüssigkeiten absorbieren und emittieren die Strahlungsenergie ineiner ca. 1µm bis 1mm dicken Schicht. Diese Vereinfachung erlaubt die Strahlung nur amKörperrand zu betrachten.

• Diathermaner (strahlungsundurchlässiger Körper): τ = 0Festkörper transmittieren keine Strahlung. Im Gegensatz dazu transmittieren „durchsichti-ge“ Körper die Strahlung vollständig, d. h. sie lassen die gesamte auftreffende Strahlungungehindert durch (τ = 1). Luft, sonstige unsichtbare Gase und evtl. auch Wasser könntenidealisiert dazu gezählt werden.

• Diffuser Strahler:Strahlt und empfängt ohne Vorzugsrichtung, d. h. winkelunabhängig.

• Weißer Körper: ρ = 1; α = τ = 0Strahlung wird vollständig und diffus reflektiert.

• Schwarzer Körper: α = 1; ρ = τ = 0Strahlung wird diffus empfangen und vollständig absorbiert, charakteristische diffuse Emis-sion aufgrund der Körpertemperatur.

• Grauer Strahler: τ = 0; α = ε; ρ = 1− εAbstufung realer Körper zwischen weißem und schwarzem Körper durch Emissionsgradεals Skalierungsfaktor.

In dieser Arbeit werden die Modelle des schwarzen und diffus-grauen Strahlers verwendet, woraufin den nächsten Abschnitten näher eingegangen wird.

2.2.4. Diffuser Strahler

Die Richtungsabhängigkeit der spektralen Strahldichte in Gl. (2.14) und (2.16) erschwert dieBerechnung des Wärmestroms durch Integration und wird in dieser Arbeit vernachlässigt. Es

39


wird vorausgesetzt, dass die spektrale Strahldichte näherungsweise unabhängig vonθ und ϕ ist(Abb. 2.5), was im Lambertschen Kosinusgesetz formuliert wird. Diffuse Strahler sind in guterNäherung auch Lambertsche Strahler [15].

I(θ ,T) = L(λ ,T) ·cosθ = I(θ ,T)|θ=0 ·cosθ (2.19)

Damit wird aus Gl. (2.14)dP= L(λ ,T) ·dA·cosθ ·dΩ ·dλ (2.20)

und durch Integration über den angrenzenden Strahlungshalbraum für die Strahlungsflussdichte,wobei die Strahldichte aufgrund der Richtungsunabhängigkeit vor das Integral gezogen werdenkann.

p(λ ,T) = L(λ ,T)2πˆ

0

π/2ˆ

0

cosθ ·sinθ dθ dϕ = πL(λ ,T) (2.21)

Die Zahlπ hat hier die Einheit[sr] eines Raumwinkels. Eine weitere Integration über den gesamtenWellenlängenbereich ergibt

p(T) =

∞

0

p(λ ,T)dλ = π∞

0

L(λ ,T)dλ = πL(T) (2.22)

2.2.5. Schwarzer Körper

Kirchhoff fand heraus, dass ein schwarzer Körper (IndexB, engl: black body), der die gesamteeinfallende Strahlung absorbiert, auch ein idealer Emitter ist, d. h. er strahlt bei einer bestimmtenTemperaturT intensiver als jeder andere Körper. Planck stellte den Zusammenhang zwischen derStrahlungsflussdichte, den Wellenlängen und der Temperatur eines schwarzen Körpers in seinemStrahlungsgesetz her (Abb. 2.4).

pB(λ ,T) =2πhc2

λ 5[exp(

hcλkT

)−1] (2.23)

Wien fand das Strahlungsmaximum aller Kurvenmaxima des Planckschen Strahlungsgestzes ab-hängig von der jeweiligen Körpertemperatur und formulierte sein Verschiebungsgesetz (gestrichel-te Kurve in Abb. 2.4) [56].

λmax=bT

b= 2,897756·10−3m·K (2.24)

Das Gesetz von Stefan-Boltzmann gibt die Gesamtemission desschwarzen Körpers abhängigund allein von seiner Temperatur und unabhängig von Wellenlängen an, was durch Integrationüber jeweils eine der Kurven in Abb. 2.4 ermöglicht wird.

pB(T) = σT4 σ = 5,67·108 Wm2K4 (2.25)

Der schwarze Strahler weist kurz zusammengefasst folgendeEigenschaften auf:

• Die Intensitätsverteilung ist richtungsunabhängig und erfüllt den Sonderfall des Lambert-schen Kosinusgesetzes.

• Die gesamte einfallende Strahlung wird unabhängig von der Wellenlänge und Richtung voll-ständig absorbiert, d. h. es wird nichts reflektiert.

40


2 4 6 8 10 1210

6

108

1010

1012

1014

6000 K

2000 K

1000 K

500 K

300 K

λ[µm]

p(λ,T) [W/m2]

Abbildung 2.4.: Spektrale Verteilung der Strahlungsintensität des schwarzen Körpers

• Bei einer beliebigen Temperatur und Wellenlänge wird mehr Energie emittiert als bei andersgearteten Oberflächen.

Er tritt nur in der Theorie auf und dient als Vergleichsbasisfür reale Oberflächen.Mit Hilfe dieses einfachen Gesetzes und der Definition des diffus-grauen Strahlers im folgen-

den Abschnitt wird es erst möglich, anschauliche und praxisnahe Betrachtungen und Berechnun-gen aufzustellen, ohne dass komplizierte wellenlängenabhängige Strahlungsverhalten der Objekteberücksichtigen zu müssen. Für die tägliche Praxis ist diese Näherung ausreichend genau.

2.2.6. Reale diffus-graue Körper und der Satz von Kirchhoff

Im Gegensatz zu schwarzen Körpern absorbieren reale Körpernicht die gesamte einfallende Strah-lung, sondern reflektieren nur einen Teil davon. Auch ihre Strahldichte ist im Allgemeinen rich-tungsabhängig. Man kann jedoch die Eigenschaft, dass schwarze Körper mehr Energie als jederandere Körper abstrahlt, zur Beschreibung realer Körper nutzen, indem man beide durch das Emis-sionsverhältnisε ähnlich wie in Gl. (2.17) zueinander in Relation setzt [23, 27].

ε(λ ,θ ,ϕ,T) =LEm(λ ,θ ,ϕ,T)

LEm,B(λ ,T)(2.26)

Für den schwarzen Körper gilt dannεB = 1. Bei den meisten realen Körpern ist die Strahldichteüber einen großen Winkelbereich weitgehend konstant, und erst bei größeren Abstrahlwinkeln tre-ten Abweichungen auf, wo jedoch die Energieabstrahlung geringer ist (Abb. 2.5). Hier erreicht dieNäherung zum diffusen Strahler mit seiner Richtungsunabhängigkeit eine wesentliche Vereinfa-chung. Zusätzlich kann davon ausgegangen werden, dass die wesentliche Energieübertragung imWellenlängenbereich der Wärmestrahlung erfolgt und das Emissionsverhältnis auch wellenlänge-nunabhängig wird [73]. Verwendet man nur empirische oder gemessene Werte, dann wird meistensauch die Temperaturabhängigkeit vernachlässigt, womit das Emissionsverhältnis eine reine Kon-stante wird.

ε =LEm

LEm,B=

pEm

pEm,B(2.27)

Gleiches gilt dann auch für die Absorptions- und Reflexionskoeffizienten. Gehen wir bei den indieser Arbeit betrachteten Materialen von Oberflächenstrahlern und diathermanen Körpern aus,

41


a) Wellenlängenabhängigkeit b) Richtungsabhängigkeit

θ)(λL

λ

),( TLB λ

),()(),,( TLTTL B λεθλ =

Reale Oberfläche

Schwarze Oberfläche

Grau-diffuse Oberfläche ),( TI θ

Abbildung 2.5.: Gerichtete spektrale Intensität bei schwarzer und realer Oberfläche

dann ist der Transmissionskoeffizientτ = 0.

α +ρ = 1 (2.28)

Für „durchsichtige“ Körper wird das Material bezüglich derWärmestrahlung nicht berücksichtigt,es giltτ = 1 und Gl. (2.17) wird somit vereinfacht.

Kirchhoff fand für diffus-graue und schwarze Körper einen einfachen Zusammenhang zwischendem Emissions- und Absorptionskoeffizienten.

α = ε (2.29)

Für die weiteren Berechnungen werden noch einige wichtige Strahlungsgrößen festgelegt.

EmRefp :Strahlungemittierte

Emp :ionEigenemiss

Refp :Strahlung tereflektier

KTA A 0,Fläche >

Absp :Strahlung eabsorbiert

Imp:Strahlung eeinfallend

Abbildung 2.6.: Emission, Reflexion und Absorption an Oberflächen

2.2.7. Sichtfaktoren als Kopplungsfaktoren

Um den Wärmestrahlungsaustausch zwischen einzelnen Flächen berechnen zu können, wird derSichtfaktorFi j als Verhältnis des Wärmestromspi→ j , der durch Strahlung von der Flächei zurFlächej fließt zum insgesamt von der Flächei durch Strahlung abgegebenen Wärmestrom, einge-führt [23, 27].

Fi j =Pi→ j

Ai pEmRe f,i(2.30)

42


iAi TA ,,idA

jAj TA ,,jdA

injniθ jθR

in

jjdA θcos

ijd −Ω

idA

Abbildung 2.7.: Sichtfaktoren zweier beliebig orientierter Oberflächen

Das infinitesimale FlächenstückdAj nimmt einen Strahlungsanteil vondAi über den Raumwin-kel dΩi−i auf.

dPi→ j = Li cosθi dAi dΩ j−i dΩ j−i =cosθ j dA j

R2 (2.31)

AusLi wir mit Gl. (2.22) pEmRe f,i,i/π und Gl. (2.31) wird integriert.

Pi→ j = pEmRe f,i

ˆ

A j

ˆ

Ai

cosθi cosθ j

πR2 dAi dA j (2.32)

Mit Gl. (2.30) ergibt sich somit für den Sichtfaktor

Fi j =1Ai

ˆ

A j

ˆ

Ai

cosθi cosθ j


Der Sichtfaktor für die entgegengesetzte Strahlungsrichtung

Fji =1A j

ˆ

Ai

ˆ

A j

cosθ j cosθi

πR2 dA j dAi (2.34)

führt auf das Reziprozitätstheorem für Sichtfaktoren.

AiFi j = A jFji (2.35)

Bilden die betrachteten Flächen ein geschlossenes System, dann gilt die Beziehung

N

∑j=1

Fi j = 1 (2.36)

Dabei repräsentiert der SummandFii den Strahlungsaustausch einer Fläche mit sich selbst und istnull bei ebenen und ungleich null bei konkaven Flächen [23].

Die Matrix der Einstrahlzahlen eines Systems mit ebenen Oberflächen ist auf ihrer Hauptdiago-nalen null und aufgrund des Reziprozitätstheorems symmetrisch, so dass nur eine Dreiecksmatrixzu berechnen ist.

43


NAT ,1,AT

2,AT

1,EmmRefp

2,EmmRefpNEmmRefp ,

Abbildung 2.8.: Wärmestrahlungsaustausch in einem geschlossenen System

F =

0 F12 . . . F1N

F12 0 . . . F2N...

..... .

...F1N F2N . . . 0

(2.37)

2.2.8. Gleichungen für den Strahlungsaustausch

In einem geschlossenen System aus N diffus grauen Oberflächen kommt es zu mehrfachen Refle-xionen (Abb. 2.9). Nimmt man die Einhüllende der i-ten Oberfläche als Knoten an [27], dann gilt

iAp ,

Imp Strahlungeeinfallend

EmRefp Strahlungemittierte NAT ,

1,AT

2,AT

Abbildung 2.9.: Wärmestrahlungsaustausch diffus grauer Oberflächen

dort die KnotengleichungPA,i = Ai pA,i = Ai(pEmRe f,i − pIm,i) (2.38)

Mit Hilfe des Emissionsfaktors in Gl. (2.27), des Reflexionsfaktors in Gln. (2.17) und (2.28), desKirchhoffschen Gesetzes in Gl. (2.29) und der Definition deremittierten StrahlungpEmRe f,i inAbb. 2.6 gilt

pEmRe f,i = pEm,i +ρi pIm,i = εiσT4A,i +(1− εi)pIm,i (2.39)

woraus sich nach einer Umformung

pIm,i =pEmRe f,i − εiσT4

A,i

(1− εi)(2.40)

44


ergibt und in Gl. (2.38) eingesetzt wird.

PA,i =εi

1− εiAi(σT4

A,i − pEmRe f,i) (2.41)

Als unbekannte Größe verbleibt nur noch die emittierte StrahlungpEmRe f,i, die durch eine Betrach-tung des Strahlungsaustausches mit den restlichen Oberflächen des geschlossenen Systems ermit-telt werden kann. Der einfallende WärmestromAi pIm,i seitens aller Oberflächen auf die Oberflächei ist über die Definition des Sichtfaktors und des Reziprozitätstheorems in Gl. (2.35) bekannt.

Ai pIm,i =N

∑j=1

Fji A j pEmRe f,i =N

∑j=1

Fi j Ai pEmRe f, j (2.42)

Durch Kürzen der FlächenAi und Einsetzen von Gl. (2.42) in Gl. (2.38) folgt eine neue Gleichungfür die ausgetauschte Strahlung

PA,i = Ai

(

pEmRe f,i −N

∑j=1

Fi j pEmRe f, j

)

(2.43)

welche mit Gl. (2.41) gleichgesetzt wird.

εi

1− εi(σT4

A,i − pEmRe f,i) = pEmRe f,i −N

∑j=1

Fi j pEmRe f, j (2.44)

Notiert man diese Gleichung zeilenweise füri = 1. . .N, ergibt sich die Matrixschreibweise.

(D−F) ·pEmRe f= σB ·T(4)A (2.45)

Die einzelnen Matrizen werden folgendermaßen gebildet (der Exponent(4) in Klammer deutet an,dass die Potenzierung des Vektors elementweise erfolgt).

pEmRe f=

pEmRe f,1

pEmRe f,2...

pEmRe f,N

D =

11−ε1

0 . . . 0

0 11−ε2

. . . 0...

......

...0 0 . . . 1

1−ε3

T(4)A =

T4A,1

T4A,2...

T4A,N

B =

ε11−ε1

0 . . . 0

0 ε21−ε2

. . . 0...

......

...0 0 . . . ε3

1−ε3

(2.46)

Gl. (2.41) kann man ebenfalls in Matrizenschreibweise darstellen.

pA = B · (σT(4)A −pEmRe f) pA =

PA,1A1

PA,2A2...

PA,NAN

(2.47)

45


Multipliziert man Gl. (2.45) von links mit(D−F)−1 und setztpEmRe f hier ein, dann folgt dasEndergebnis für die gesamte abgegebene (positiv) oder aufgenommene (negativ) Strahlung jedereinzelnen Oberfläche des Systems mit der EinheitsmatrixE.

pA = σ(E−B · (D−F)−1) ·B ·T(4)A = V ·T(4)

A (2.48)

An Gl. (2.46) ist erkennbar, dass ideal schwarze Körper mitε = 1 auf diese Art und Weise nicht be-rechenbar sind. Ersatzweise werden graue Oberflächen der simulierten Anordnung in dieser Arbeitpraktischerweise mit einem hohen Emissionswert kleiner als eins angenähert (z. B.ε = 0.99), wäh-rend die Umgebung als grau oder ideal schwarz modelliert werden kann (siehe Abschnitt 2.2.10).

2.2.9. Vereinfachung für schwarze Flächen

Aus Gl. (2.30) ergibt sich der Wärmestrahlungsfluss von der Flächei zur Flächej

Pi→ j = pEm,iAiFi j (2.49)

wobei für schwarze Flächen nur Eigenemission und keine Reflexion stattfindet. Der Strahlungs-fluss in umgekehrter Richtung erfolgt auf die gleiche Weise

Pj→i = pEm, jA jFji (2.50)

Gesucht ist nun der ausgetauschte Wärmestrom zwischen den Oberflächeni und j.

Pi j = Pi→ j −Pj→i = pEm,iAiFi j − pEm, jA jFji (2.51)

Mit Gl. (2.25) und der Reziprozität in Gl. (2.35) folgt daraus

Pi j = AiFi j σ(

T4Ai−T4

A j

)

(2.52)

Dieser Wärmestrom ist positiv voni nach j gerichtet. Damit kann die ausgetauschte Strahlungs-wärme der Oberflächei mit allen anderen schwarzen Oberflächen eines geschlossenen Systemsbestimmt werden.

Pi =N

∑j=1

AiFi j σ(

T4Ai−T4

A j

)

(2.53)

Diese mögliche Vereinfachung wird in dieser Arbeit für die simulierte Anordnung nicht verwen-det, da die Annahme aller Oberflächen als schwarze Körper kaum einen praktischen Hintergrundhat. Stattdessen sollte in einem solchen Fall die empfohlene Näherungε = 0.99 aus dem voran-gegangenen Abschnitt 2.2.8 angewendet werden. Die Umgebung kann jedoch als ideal schwarzmodelliert werden.

2.2.10. Berücksichtigung der Umgebung

Jede technische Anordnung tauscht Wärmeenergie mit ihrer Umgebung aus, wobei Wärmestrah-lung inbegriffen ist. In dieser Arbeit wird davon ausgegangen, dass die Umgebung (Laborraum,Halle, Himmel, Sonneneinstrahlung, Boden) ihre Temperaturen unter dem Einfluss der betrachte-ten Anordnung nicht verändern und somit beliebig viel Wärmestrahlung aufnehmen oder abgebenkönnen. Sie werden als starre Wärmeqellen oder -senken mit fest vorgegebenen Temperaturen an-genommen, wobei die Umgebung als solche in mehrere unterschiedliche Bereiche mit eigenenParametern aufgeteilt werden kann. Es stellt sich nun die Frage, mit welchem Emissionswertε die

46


Umgebung in die Berechnung eingehen soll. Es gibt dabei zwei denkbare Möglichkeiten (sieheAbb. 2.10):

• Die Umgebung wird als diffus grauer Körper (z. B. Raumwand, Boden) angenommen, ihre„Körpertemperatur“ und der Emissionswert sind bekannt.

• Die Umgebung (z. B. Himmel) wird als schwarzer Körper angenommen und ihre Temperaturmit einem Strahlungspyrometer aus der Position der simulierten Anordnung ermittelt. Mitdieser „Strahlungstemperatur “ wird die Umgebung auf Empfängerseite wahrgenommen undes ist unerheblich, welche tatsächliche „Körpertemperatur “ die Umgebung aufweist.

NUAT ,,

1,,UAT

2,,UAT

Umgebung)1( graue

oder )1( schwarze

<

=

ε

ε

1,,OAT

2,,OAT

Anordnung)1( graue diffus <ε

NOAT ,,

Abbildung 2.10.: Wärmestrahlungsaustausch mit schwarzer oder grauer Umgebung

Auf jeden Fall muss die Umgebung (IndexU) gesondert behandelt werden, da sich ihre Tempe-ratur nicht ändern soll, sie jedoch ihrerseits die Temperaturen der betrachteten Anordnung (IndexO wie Objekt) beeinflusst.

2.2.10.1. Graue Umgebung

Bei Berücksichtigung einer grauen Umgebung wird von Gl. (2.48) lediglich derjenige Teil derWärmestrahlung berechnet, der zur betrachteten Anordnung gehört, d. h. die Matrix wird in zweiBlöcke aufgeteilt.

pA =

[

pA,O

pA,U

]

=

[

VO,O VO,U

VU,O VU,U

]

·[

T(4)A,O

T(4)A,U

]

(2.54)

pA,O = VO,O ·T(4)A,O+VO,U ·T(4)

A,U = VO,O ·T(4)A,O+pO,U (2.55)

Derjenige TeilpA,U , der mit der Umgebung ausgetauscht wird, wird höchstens alsErgebnis zurpraktischen Veranschaulichung verwendet.

2.2.10.2. Schwarze Umgebung

Für eine Umgebung als schwarzer Körper müssen die Gleichungen aufgrund der Singularität fürε = 1 umgeschrieben werden. Dazu wird die Gesamtanzahl der Oberflächen in graue und schwarzeaufgeteilt

N = NGr +NSchw (2.56)

47


Auf allen diffus grauen Oberflächen der Anordnung kommt es auch zu Reflexion und Gl. (2.41)bleibt weiterhin gültig, während die Gln. (2.40), (2.44), (2.45), (2.48) um die Strahlung der schwar-zen Umgebung erweitert werden.

Ai pIm,i =NGr

∑j=1

Fji A j pEmRe f,i +N

∑u=1+NGr

FuiAuσT4Uu (2.57)

εi

1− εi(σT4

A,i − pEmRe f,i) = pEmRe f,i −NGr

∑j=1

Fi j pEmRe f, j +N

∑u=1+NGr

FuiσT4Uu (2.58)

(D−F) ·pEmRe f= σB ·T(4)A +σFU ·T(4)

U (2.59)

pA = σ(E−B · (D−F)−1) ·B ·T(4)A −σB · (D−F)−1 ·FU ·T(4)

U (2.60)

= VAT(4)A −pU

48

2.3. Wärmekonvektion in Fluiden


Makroskopische Wärmeübertragung durch Strömung eines fluidalen Mediums mit der lokalen Ge-schwindigkeitv wird durch die folgenden Grundgleichungen beschrieben [16]. Sie gelten lokal fürjeden Raumpunkt.

Die Kontinuitätsgleichungbeschreibt das Gesetz der Massenerhaltung.

divv = 0 (2.61)

Die Navier-Stokes-Gleichungbeschreibt das Gesetz der Impulserhaltung (vollständige Schreib-weise)

ρDvdt

︸︷︷︸

Tragkeitskra f t

= ρg︸︷︷︸

Feldkra f t

− gradp︸︷︷︸

Druckkra f t

+ η∇2v︸︷︷︸

Zahigkeitskra f t

+13

η graddivv︸︷︷︸

ReibDe f

(2.62)

mit der substantiellen Ableitung und der Erdbeschleunigung.

Ddt

=∂∂ t

+vx∂∂x

+vy∂∂y

+vz∂∂z

(2.63)

g=[

0 0 g]T

(2.64)

Der TermReibDe fbedeutetReibungskraft der Deformationsbewegung kompressibler Fluide.Die Energiegleichungbeschreibt die Energieerhaltung.

ρcpDTdt

︸︷︷︸

Konvektion

=D pdt︸︷︷︸

Kompression

+ λ∇2T︸︷︷︸

Warmeleitung

+ ηφ(v)︸︷︷︸

Dissipation

(2.65)

Die Funktionφ ist die Dissipationsfunktion nach Rayleigh und bei Hochgeschwindigkeitsströmun-gen von Bedeutung [16, 56].

Mit diesen Gleichungen ist es theoretisch möglich, Strömungsprobleme auch mit konvektivemWärmeübergang zu berechnen, wobei sich im Zusammenhang mit den betrachteten realen Fluidenim Groben folgende Themenschwerpunkte herausbilden. Sie werden in Abb. 2.11 am Beispieleiner längs angeströmten und beheizten Platte veranschaulicht.

• Zähigkeit und Schubspannung: Befindet sich ein reales Fluid zwischen zwei Medien, diesich mit unterschiedlicher Geschwindigkeit zueinander bewegen, dann entstehen im Fluidaufgrund der Zähigkeit, der Haftbedingung (Reibung) an den Grenzen und im Inneren, sowiedem Geschwindigkeitsunterschied eine flächenbezogene Schubspannungτ mit der dynami-schen Zähigkeit oder Viskositätη (in der Literatur auchµ) oder der kinematischen Zähigkeitν .

τ = ηdvy

dx= νρ

dvy

dx(2.66)

Ist dieser lineare Zusammenhang gültig, dann spricht man entsprechend dem NewtonschenReibungsgesetz von Newtonschen Fluiden.

• Turbulenz nach Reynolds: Reynolds konnte zeigen, dass zwei grundsätzlich unterschiedli-che Strömungsformen existieren, nämlich laminare und turbulente. Die Zähigkeit und derGeschwindigkeitsgradient bestimmen, welche dieser beiden Strömungsformen vorherrscht.Die dimensionslose Reynolds-Zahl wird aus dem Koeffizientender Trägkeits- und Reibungs-

49


kraft (auch Zähigkeitskraft) in Gl. (2.62) gebildet.

Rex =TrägheitskraftReibungskraft

=ρv∂v/∂xη∂ 2v/∂y2 (2.67)

Sie gilt lokal im Strömungsfeld und ist generell klein bei laminarer (sehr zähe Fluide, nied-rige Geschwindigkeiten) und groß bei turbulenter Strömung(sehr flüssige Fluide, hohe Ge-schwindigkeiten). Für jede Anordnung kann eine kritische Reynolds-Zahl gefunden werden,bei welcher laminare in turbulente Strömung umschlägt. Erstreckt sich das Strömungsfeldüber eine bestimmte charakteristische Längelw der Anordnung, dann wird auch eine globaleReynolds-Zahl aus dem integralen Mittelwert

Re=1lw

lwˆ

0

Rex(x)dx (2.68)

oder durch direktes Einsetzen globaler Größen gebildet.

Re=v∞lw

ν(2.69)

In der Praxis wird meistens diese globale Zahl ohne weitere Angabe verwendet (Re= Re).

• Grenzschicht: Bei einem strömenden Medium entlang einer Wand bildet sich der grössteGeschwindigkeitsgradient in einer hydrodynamischen Grenzschicht der Dickeδ in Wandnä-he. In weiterer Entfernung ist nur noch die allgemeine Strömungsgeschwindigkeit messbar.Auch ein Temperaturgradient bildet sich in einer wandnahenthermischen Schicht, deren Di-cke δth von der hydrodynamischen Grenzschichtdicke etwas abweicht. Prandtl untersuchteals erster systematisch das Verhalten der Grenzschichten und ermöglichte damit eine ein-fachere Berechnung solcher Strömungsprobleme vor allem in der Praxis jener Zeit1. Fürdie Grenzschichtdicke kann kein allgemeiner Zusammenhangfür jedes Strömungsprofil an-gegeben werden. In [56] wird ein solcher Zusammenhang für einige einfache Profile wielängs angeströmte Platte, etc. abgeleitet. Für weitere undkompliziertere Profile, wie z. B. inTab. A.2 gegeben, müsste die Grenzschichtdicke bei Bedarf inähnlicher Weise abgeschätztwerden. Das Wissen über die Grenzschichtdicke ist von Bedeutung, wenn der Abstand zwi-schen zwei Körpern so gering wird, dass dazwischen keine freie Strömung mit den Größenv∞ undT∞ mehr möglich ist. In einem solchen Fall sind die Formeln für Konvektion in Spal-ten (Gl. (A.14) und Tab. A.3 im Anhang) angebracht. In der Praxis hilft dann oft schon dieSimulation verschiedener Varianten von Grenzfällen, um die Größenordnung des Ergebnisesabzuschätzen.

Die Gln. (2.61) bis (2.65) sind erst mit der neueren Computertechnik numerisch lösbar. Frü-her war dies nur für einfache, vorwiegend theoretische Sonderfälle möglich, bei denen jeweilsbestimmte Terme entfallen. Praktische Strömungsphänomene wurden daher empirisch erfasst undmit Hilfe der Grenzschichttheorie nach Prandtl berechnet.Mit Hilfe der Ähnlichkeitstheorie istes möglich, Ergebnisse aus Strömungsversuchen im Labor an bestimmten geometrischen Körpernauf ähnliche Fälle zu übertragen. Ähnlich bedeutet keine einfache geometrische Umskalierung,sondern die zugrunde liegenden Gleichungen und Versuchsergebnisse müssen durch geschickteUmformungen in eine normierte oder entdimensionierte Formgebracht werden, wobei neue di-mensionslose charakteristische Größen entstehen, deren Gleichheit bei verschiedenen Anordnun-

1Ludwig Prandtl 1875 - 1953

50


gen die Ähnlichkeit anzeigt2. Es handelt sich demnach nicht nur um Ähnlichkeit der Körper,sondern auch um Ähnlichkeit des Stromlinienbildes. Insgesamt spricht man von mechanisch ähn-lichen Strömungen [60]. Diese Vorgehensweise ist Gegenstand der Ähnlichkeitstheorie und Di-mensionsanalyse und wird auch in dieser Arbeit zur Simulation konvektiver Wärmeübertragungverwendet.

Der Wärmeübergang an der OberflächeA zwischen einer festen Wand und einem Fluid in derUmgebung mit der freien Geschwindigkeitv∞ und TemperaturT∞ wird allgemein durch das New-tonsche Abkühlungsgesetz beschrieben.

pA = α(TF ,v∞, . . .)(TA−T∞) (2.70)

Es ist in Abb. 2.1 skizziert und wird innerhalb der Wärmeflusssimulation als Randbedingung 3. Artoder Robinsche Randbedingung in Gl. (2.11) berücksichtigt. In Abschnitt 3.6.2 wird beschrieben,wie die Konvektion in die Simulation implementiert wird.

Der Wärmeübergangskoeffizientα beinhaltet die gesamten meist nichtlinearen von Stoffwerten,Geschwindigkeit und Temperaturen abhängigen Gesetzmäßigkeiten des konvektiven Wärmeüber-gangs. Zu dessen Bestimmung dient die Nußelt-Zahl als Quotient ausα, einer charakteristischenLängelw und der Wärmeleitfähigkeitλ des Fluids.

Nu=α lwλ

(2.71)

Sie ist ein Maß dafür, wieviel besser der Wärmeübergang durchKonvektion des Fluids im Ver-gleich zu reiner Wärmeleitung erfolgt. Für bestimmte Standardanordnungen kann sie aus Tabellenund Schaubildern abgelesen oder über Korrelationsformelnaus weiteren dimensionslosen Zahlenbestimmt werden, wie in den nächsten Abschnitten und im Anhang A.1 erklärt wird. Hierbei wirdgrundsätzlich zwischen freier und erzwungener Konvektionunterschieden. Das Fluid muss sichdabei auf jeden Fall bewegen (strömen), sonst handelt es sich um reine Wärmeleitung. Letzterefindet auch bei Konvektion teilweise statt und ist in den entsprechenden Gleichungen bereits ent-halten. In Abb. 2.11 [56] ist skizziert, wie sich eine Strömung an einer senkrechten Platte ausbildet.In der Ingenieurspraxis werden bei der Berechnung solcher Anordnungen meistens die globalen

gang-Über

laminar turbulent

htUnterschiclaminare

gebiet-Turbulenz

x

y

∞v ∞v

∞v

δ

AT

∞T

thδ

wl

schicht-Übergangs

Abbildung 2.11.: Ebene beheizte Platte quer angeströmt

dimensionslosen Zahlen verwendet und die FilmtemperaturTF der Grenzschicht als Mittelwert aus

2Bei einem großen Umfang an Messergebnissen und vielen abhängigen Variablen ist eine systematische Entdimen-sionierung nach dem BuckinghamΠ-Theorem möglich [11]

51


der Oberflächentemperatur und der Temperatur der freien Strömung bestimmt.

TF =TA+T∞

2(2.72)

Alle temperaturabhängigen Stoffwerte werden aus dieser Filmtemperatur berechnet, außer derthermischen Ausdehnungszahlβ in Gl. (2.77), die sich aus der FluidtemperaturT∞ ableitet. Ei-ne weitere wichtige dimensionslose Größe ist die Prandtl-Zahl, die nur Stoffwerte enthält.

Pr=νa=

νρcλ

(2.73)

In dieser Arbeit wird ein eventueller Phasenübergang zwischen flüssigem und gasförmigem Ag-gregatzustand nicht berücksichtigt, da die meisten Fluideder elektrischen Energieversorgung imfestgelegten Temperaturbereich in ihrem vorgesehenen Aggregatzustand verbleiben.

2.3.1. Erzwungene Konvektion

Die Bewegung des Fluids wird vorwiegend außerhalb der betrachteten Stelle erzeugt, beispiels-weise durch eine Pumpe oder einen Ventilator oder auch Auftriebskräfte bei freier Konvektion,hervorgerufen durch Dichteunterschiede. In Gl. (2.62) wird daher die Gravitation vernachlässigt.Ein typisches Beispiel für erzwungene Konvektion ist die längs angeströmte Platte in Abb. 2.11.Werden die Gln. (2.61) bis (2.65) für die Bedingungen bei erzwungener Konvektion mit acht di-mensionsbehafteten Größen vereinfacht und entdimensioniert, dann kann der Wärmeübergang alsFunktion der drei bisher erwähnten dimensionslosen Zahlenausgedrückt werden [16],

F(Re,Pr,Nu) = 0 (2.74)

woraus dann der Wärmeübergangskoeffizient abgeleitet wird.

α =λlw

F(Re,Pr) (2.75)

Die FunktionenF werden aus Modellversuchen für geometrisch ähnliche Hauptausführungen be-stimmt. Da sie oft monoton verlaufen, sind sie in gewissen Bereichen stückweise approximierbar.Nach ihrem Urheber werden sie Nußeltsche Gleichungen genannt.

Nu= const·RemPrn (2.76)

Im Anhang A.1 sind solche Funktionen für praktische Anordnungen aufgelistet.

2.3.2. Freie Konvektion

Bei freier Konvektion entsteht die Fluidbewegung durch Dichteunterschiede bei Erwärmung ander betrachteten Stelle selbst. Die Gravitation als Gegenkraft zum thermischen Auftrieb muss nunanders als bei erzwungener Konvektion wiederum einbezogenwerden. Mit dem spezifischen Vo-lumenv = 1/ρ und der allgemeinen Zustandsgleichung für ein ideales Gasv = RT/p wird diethermische Ausdehnungszahl hier aus der FluidtemperaturT∞ gebildet [16].

β =1v

dvdT

∣∣∣∣p=

1T∞

(2.77)

52


Aus dem neuen Satz von Gleichungen bei freier Konvektion entsteht zusätzlich zu den bishererwähnten dimensionslosen Zahlen die Grashof-Zahl.

Gr=AuftriebskraftZähigkeitskraft

=gβ (TA−T∞)l3w

ν2 (2.78)

Sie tritt oft als Produkt mit der Prandtl-Zahl auf, so dass beide zur Rayleigh-Zahl zusammengefasstwerden.

Ra= GrPr=gβ (TA−T∞)l3w

νa(2.79)

In Abb. 2.12 [55] entsteht freie Konvektion an einer senkrechten beheizten Platte. Sie kann sowohl

x

y

AT

)(yv

δthδ

wl

)(yT

∞T

)10Pr(GrTurbulent

9>

)10PrGr(10Laminar

94 <<

Abbildung 2.12.: Senkrechte beheizte Platte mit freier laminarer Konvektion

laminar wie auch turbulent sein. Die Geschwindigkeiten beifreier Konvektion sind generell nied-riger als bei erzwungener, so dass für Ra< 104 die Voraussetzungen für die Grenzschichttheorienicht mehr erfüllt sind. Die thermische Grenzschichtdickeist dünner als die hydrodynamische. Beierzwungener Konvektion liegt diese Tendenz genau entgegengesetzt [56].

Freie Konvektion in zylindrischen und ebenen Schichten

Konvektionsvorgänge in geschlossenen beengten Hohlräumen und Spalten werden nicht mit ihrenjeweiligen Oberflächen zu einem angrenzenden freien Fluidum betrachtet, sondern abhängig von

53


Form und Wärmeflussrichtung als Gesamtgebilde berücksichtigt, wofür es einige Ähnlichkeitsbe-ziehungen in Gl. (A.14) und Tab. A.3 im Anhang A.1 gibt. Die Schichten solcher Anordnungenwerden wie Feststoffe mit einem Ersatzwärmeleitwertλs behandelt.

2.3.3. Konvektion in Hohlräumen

In dieser Arbeit werden die FluidtemperaturenT∞ jeweils als gegebene Konstante angenommen,solange das Fluid Teil einer unendlich weiten und freien Umgebung ist. Die Fluidtemperaturen anverschiedenen Oberflächen können jeweils unterschiedliche lokale Umgebungstemperaturen sein.Sie müssen nicht derjenigen Umgebungstemperatur entsprechen, die für Wärmeübertragung durchStrahlung relevant ist.

2.3.3.1. Unbelüfteter Hohlraum

Soll Wärme aus einem Körper mittels Konvektion an einen geschlossenen Hohlraum H abgegebenwerden, wird sich dessen FluidtemperaturTH,∞ (im Weiteren nur noch alsTH bezeichnet) verän-dern und muss daher als weitere Variable in die Simulation eingeführt werden. In Abb. 2.13 ist einsolcher Fall an einem Beispiel verdeutlicht. Aus den Strahlungs- und Konvektionsleitwerten wird

UT

LL TP ,

HT KT

KT

LT

LP

HT

LHKG , HKKG ,

LKSG ,

Kapselung

Abbildung 2.13.: Strömungsgeschwindigkeit und Temperatur in einem geschlossenen Hohlraum

für den Hohlraum ein Ersatznetzwerk gebildet, mit welchem aus den bekannten TemperaturenTL

undTK die UnbekannteTH für jeden Iterationsschritt der Simulation berechnet wird[38]. Der ersteIndex S oder K der Wärmeleitwerte bedeutet Strahlung oder Konvektion, während die nachfol-genden Indices L, H, K, U für (Innen-)Leiter, Hohlraum, Kapselung und Umgebung stehen (sieheauch Abschnitt 2.3.3.2). Konvektion an der Außenseite des Hohlraums wird weiterhin wie üblichmit der unveränderlichen TemperaturTU des umgebenden Mediums behandelt.

2.3.3.2. Belüfteter Hohlraum

Ist der Hohlraum zusätzlich belüftet, muss auch die StrömungsgeschwindigkeitvH des Fluids be-rechnet werden. Sie kann von außen vorgegeben sein (erzwungene Konvektion) oder sie stellt sichnach dem Temperaturgefälle zwischen Eintritts- und Austrittstemperatur ein (freie Konvektion).Der begrenzende Faktor ist der Strömungswiderstand aller eingebauten Teile, die auf dem Wegzwischen Ein- und Austritt liegen [38]. Dies können Schienenteile, begrenzende Gitter, aber auchReibungsverluste an glatten Seitenwänden des Hohlraums sein. Die mittlere Fluidtemperatur imHohlraum wird als Mittelwert zwischen Ein- und Austrittstemperatur angenommen.

TH =TA−TE

2(2.80)

54


UT

ET

AT

LL TP ,

HH Tv ,

KT

KTUT

LT

LP

HT

LHKG , HKKG , KUKG ,

LKSG , KUSG ,

HUKG ,

Kapselung

Abbildung 2.14.: Strömungsgeschwindigkeit und Temperatur in einem belüfteten Hohlraum

Für ideale Gase (z. B. Luft) gilt der allgemeine Zusammenhang

ρ =p

RT(2.81)

womit bei konstantem Druck eine allgemeine Temperaturabhängigkeit angegeben wird.

ρ(T) = ρ0T0

T= ρ0(T0)

T0[K]

T[K](2.82)

Durch einen Temperaturunterschied und dem daraus folgenden Dichteunterschied entlang einerHöheh (linearisierter Zusammenhang) entsteht eine Auftriebskraft unter der Annahme, dass essich um eine freie Strömung handelt, in der selbst keine Druckänderung entsteht (Druckänderungin Gl. (2.62) ist null). Es entsteht nur eine Druckänderung im gesamten Hohlraum aufgrund vonDichteunterschieden außerhalb der Strömung.

∆p=FAu f tr

A= gh(ρ2−ρ1) (2.83)

Der Volumenstrom oder Durchsatz hängt vom durchsetzten Querschnitt und der Geschwindigkeitab.

dVdt

= V = Av=mρ

(2.84)

Der Strömungswiderstand als Reibungskraft hängt unter anderem vom StrömungsbeiwertcW (ineinigen Quellen [37, 44] auchζ ) ab, welcher von der Form des um- oder durchströmten Körpersbestimmt wird.

FW =ρ2

v2AcW (2.85)

Daraus ist ein Druckverlust ableitbar, welcher der Auftriebskraft als primäre Ursache der Strömungentspricht

∆p=FW

A(2.86)

55


und mit welchem eine weitere Größe für den Strömungswiderstand definiert wird.

SW =∆p

V2=

ρ2A2cW (2.87)

Sind mehrere Teil-Strömungswiderstände wirksam, wird dergesamte Widerstand aus der Summeder Anteile gebildet.

SW,Σ = ∑i

SW,i = ∑i

ρi

2A2i

cW,i (2.88)

Daraus ergibt sich der gesamte Druckverlust

∆p= ∑i

∆pi = ∑i

ghiρi (2.89)

und ein Zusammenhang für den Volumenstrom.

dVdt

= V =

√

∆pSW,Σ

(2.90)

Die mittlere Strömungsgeschwindigkeit des Fluids im Hohlraum wird aus einer mittleren durch-strömten Querschnittsfläche berechnet.

vH =VAH

(2.91)

Die Wärmeleistung, welche an die Strömung abgegeben wird, entspricht der Gesamtleistung, dieaus dem Hohlraum abgeführt wird.

PH = cpρHV(TA−TE) = GH(TA−TE) (2.92)

Daraus wird ein ErsatzwärmeleitwertGH bestimmt, welcher zwischen Hohlraum und derjenigenUmgebung außerhalb des Hohlraums wirksam ist, an welche dieWärme des Hohlraums letztend-lich abgeführt wird. Weiterhin wird angenommen, dass die Eintrittstemperatur der Temperatur dergleichen Umgebung entspricht, in welche der austretende Wärmestrom fließt.

TE = TU

TA = 2TH −TU

PH = 2cpρHV(TH −TU)

GH = 2cpρHV (2.93)

In Abb. 2.14 entspricht dieser Leitwert dem LeitwertGK,HU . Wie bereits im letzten Abschnitt ge-schehen, wird ein Ersatznetzwerk gebildet, mit welchem ausden bekannten TemperaturenTL undTK die UnbekannteTH für jeden Iterationsschritt berechnet wird. Zusätzlich muss hier noch diekonstante UmgebungstemperaturTU verwendet werden, wobei die Strahlungs- und Konvektions-leitwerte der Kapselungsaußenwand für die Rechnung im Hohlraum unbedeutend sind. Letzterewerden in der Simulation an anderer Stelle verwendet.

Zur Bestimmung der StrömungswiderständeSW,i ist der StrömungsbeiwertcW,i und die wirksa-me FlächeAi nötig, die für etliche Formen und Standardfälle bekannt undmit der Ähnlichkeits-theorie berechenbar sind [37, 73]. Im Abschnitt 5.2 wird eine belüftete Kapselung als Beispielsimuliert.

56

3. Lösung des Erwärmungsproblems mitder Methode der finiten Elemente

In diesem Kapitel wird das in Kapitel 2 theoretisch beschriebene Wärmeübertragungsproblem nu-merisch gelöst. Ein Großteil davon ist während der Arbeit [27] entstanden. Im Mittelpunkt dernumerischen Lösung steht die partielle Differenzialgleichung (2.7) der Wärmeleitung, wobei wiruns in dieser Arbeit auf den zweidimensionalen Fall beschränken. Die dritte räumliche Dimensionin z-Richtung erscheint im Endergebnis als zusätzlicher Längenfaktor.

∂ 2T∂x2 +

∂ 2T∂y2 +

p′Vλ

=ρcλ

∂T∂ t

(3.1)

Wärmeübertragung durch Konvektion und Strahlung gehen als Randbedingungen in die Wärmelei-tungsgleichung ein. Die Verluste des elektromagnetischenProblems, welches in Kapitel 1 mit derTeilleitermethode numerisch gelöst wird, sind die Wärmequellen als erregende Größe des Wärme-problems. Zu dessen numerischer Lösung stehen verschiedene Standardverfahren zur Verfügung,von denen die Finite-Elemente-Methode (im Weiteren der Einfachheit halber kurz FEM genannt)gewählt wird, da diese auch mit einer im Allgemeinen beliebigen Gebietsdiskretisierung, beste-hend aus unregelmäßigen Vielecken, rechnen kann. Die bereits bestehenden Teilleiter als Dis-kretisierung des elektromagnetischen Problems sollen auch im Wärmeproblem weiterverwendetwerden. Als beliebige Vierecke können sie auch zu unregelmäßigen Dreiecken werden, wenn zweiPunkte eines Vierecks zusammenfallen. Der elektrisch nicht wirksame aber wärmetechnisch rele-vante Teil der Festkörper wird mit der gleichen Diskretisierungsmethode unterteilt.

3.1. Lösung der stationären Temperaturverteilung

Wir werden uns zuerst auf den rein stationären Fall des Wärmeleitungsproblems konzentrieren undan späterer Stelle auch den instationären Fall behandeln. Die rechte Seite in Gl. (3.1) wird daherzuerst null gesetzt. Damit liegt ein elliptisches Randwertproblem als Poissongleichung vor mit dendrei möglichen Randbedingungen wie sie in Abschnitt 2.1.2 beschrieben sind. Es kann mittels derFinite-Elemente-Methode nicht direkt diskretisiert und gelöst werden, wie es beispielsweise mitder Finite-Differenzen-Methode der Fall ist. Stattdessenwird eine der partiellen Differenzialglei-chung entsprechende Variationsformulierung gewählt, dieunter Anwendung des Ritzschen Ener-giefunktionals auf ein Minimumsproblem führt. Ein bekanntes Beispiel dieser Vorgehensweise istdas Hamiltonsche Extremalprinzip [63].

In einem Körper stellt sich eine stabile Temperaturverteilung ein, wenn die Wärmeströme imGleichgewicht sind oder die Gesamtenergie ein Minimum annimmt. Das Gleichgewicht der Wär-meströme wird durch die partielle Differenzialgleichung beschrieben, während die Gesamtenergiein der Variationsformulierung unter Anwendung des Ritzschen Energiefunktionals Berücksichti-gung findet [26]. Da die Methode der FEM ursprünglich im Bereich der Elastodynamik entwickeltwurde, nutzt das Variationsprinzip dort das Prinzip der virtuellen Arbeit, hervorgerufen durch vir-tuelle Verschiebungen, die kinematisch noch möglich sind,ohne dabei die Randbedingungen zuverletzen. Die Summe der virtuellen Arbeiten geht dann ins Energiefunktional ein [75].

57

3. Lösung des Erwärmungsproblems mit der Methode der finitenElemente

Für die Variationsformulierung wird in diesem Zusammenhang eine TestfunktionδT als kleineVerschiebung oder Variation der gesuchten LösungsvariablenT(x,y) definiert, die zunächst belie-big sein darf, aber auf jenen Rändern mit einer Bedingung 1. Art(Dirichlet) verschwinden muss.Im Weiteren nennen wir diese Testfunktion jedochw, um Verwechslungen mit andern Operatorenzu vermeiden.

w(x,y) = 0 auf C1, C1 ⊂C (3.2)

Die gesamte linke Seite der Differenzialgleichung wird mitdieser Testfunktionw multipliziert undüber das gesamte Gebiet integriert.

¨

G

(

λ∂ 2T∂x2 +λ

∂ 2T∂y2 + p′V

)

wdxdy= 0 (3.3)

Anschließend erfolgt eine partielle Integration und eine Umformung mit Hilfe der 1. GreenschenFormel, die in Gl. (3.4a) zunächst allgemein angegeben ist und für unseren Zweck in Gl. (3.4b)noch um eine Dimension ins Zweidimensionale reduziert wird.

˚

V

(Φ∇2Ψ+∇Φ∇Ψ

)dV =

¨

A

(

Φ∂Ψ∂n

)

dA (3.4a)

¨

A

(Φ∇2Ψ+∇Φ∇Ψ

)dA=

ˆ

C

(

Φ∂Ψ∂n

)

ds (3.4b)

Dies führt zu einer Formulierung, die auch den GebietsrandC mit den möglichen Randbedingun-gen enthält.

−¨

G

(

λ∂T∂x

∂w∂x

+λ∂T∂y

∂w∂y

)

dxdy+¨

G

p′Vwdxdy+ˆ

C

λ∂T∂n

wds= 0 (3.5)

Der Integrandλ∂T/∂nwds, steht hier allgemein für einen vorgegebenen WärmeflusspC über denGebietsrandC hinweg (siehe Gl. (2.10), Randbedingung 2. und 3. Art) und repräsentiert vorerstden Wärmefluß sowohl durch Strahlung als auch Konvektion.

pC = pS+ pK (3.6)

Diese beiden natürlichen Randbedingungen sind somit bereits im Extremalproblem implizit ent-halten. Es muss für den gesamten Rand an jeder Stelle mindestens eine der drei Randbedingungendefiniert sein, damit das Problem lösbar ist. Randbedingungen 1. Art kommen in dieser Arbeitnicht vor, womit die Testfunktion keiner besonderen Einschränkung unterliegt.

Die Gleichung wird nun so umgeformt, dass alle Temperaturterme links stehen.¨

G

(

λ∂T∂x

∂w∂x

+λ∂T∂y

∂w∂y

)

dxdy=¨

G

p′Vwdxdy−ˆ

C

pCwds (3.7)

Sie enthält nur noch Differenziale erster Ordnung verglichen mit der ursprünglichen partiellen Dif-ferentialgleichung (3.1), so dass nur einmal integriert werden muss, was ein weiterer Vorteil dieserMethode ist. Außerdem muss die LösungT(x,y) der Differentialgleichung zweimal stetig diffe-renzierbar sein, was für die Energiemethode insofern abgeschwächt wird, dass dies nur stückweisezu fordern ist. Das erleichtert die Approximation der gesuchten Lösung, und wir sprechen voneiner sogenannten schwachen Form der Differentialgleichung. Weitere Betrachtungen dazu, zur

58

3.1. Lösung der stationären Temperaturverteilung

Äquivalenz der Energiemethode mit der Differentialgleichung und zur Eindeutigkeit der Lösungsind in [63, 68] zu finden. Gl. (3.7) wird nun schematisch als Variationsformulierung dargestellt.

a(T,w) = b(w) (3.8)

Gesucht ist die FunktionT(x,y), bei der die Variationsformulierung für alle Testfunktionenw er-füllt ist. Erfüllt die verallgemeinerte LösungT(x,y) der Variationsformulierung die Forderung nachstetiger partieller Ableitung 1. Ordnung, dann ist sie auchLösung der klassischen Formulierung alspartielle Differenzialgleichung.

Zur konkreten Berechnung der LösungT(x,y) ist unter anderem das Ritz-Verfahren bekannt. Esführt das Variationsproblem mit Hilfe des Ritzschen Energiefunktionals in ein äquivalents Mini-mumproblem über.

P(T) =12

a(T,T)︸︷︷︸

innere Energie

− b(T)︸︷︷︸

äußere Energie︸︷︷︸

Gesamtenergie

(3.9)

Das Ritzsche Energiefunktional beschreibt die Gesamtenergie (hier Gesamtwärmemenge) des Kör-pers aufgeteilt in innere und äußere Energieterme. Die stationäre Temperaturverteilung wird späterdurch Minimierung der FunktionP(T) bestimmt.

P(T) =12

¨

G

[

λ(

∂T∂x

)2

+λ(

∂T∂y

)2]

dxdy−¨

G

p′VT dxdy+ˆ

C

pCT ds (3.10)

Diskretisierung anhand der finiten Elemente

Das Wärmeproblem der betrachteten Anordnung wird in seinem gesamten Gebiet durch Gl. (3.10)beschrieben. Um diese Gleichung numerisch zu lösen, wird das Gebiet in beliebige viereckige fini-te Elemente diskretisiert1, wobei die Elemente so klein gewählt werden, dass die Wärmeleitfähig-keit λ und die Quellenstärkep′V darin als näherungsweise konstant angenommen werden können,womit diese Größen vor die Integrale gesetzt werden. Die Temperatur wird innerhalb eines finitenElements als einzige Größe nicht als konstant angenommen, sondern sie wird in den Eckpunktender Elemente festgelegt, so dass über das gesamte Gebiet hinweg ein Knotengitter entsteht, dessenMaschen die finiten Elemente sind. Um die Temperatur auch in jedem Punkt zwischen den Knotenangeben zu können, wird zwischen den Knotenwerten linear interpoliert. Damit ist die Forderungnach stückweiser stetiger Differenzierbarkeit erfüllt.

Um für die Temperatur letztendlich eine Lösung zu finden, muss sie in einer geeigneten Weise indem diskretisierten Gebiet beschrieben werden, und zwar so, dass sie auch innerhalb der Gl. (3.11)integriert werden kann. Durch die Diskretisierung beschränkt sich die kontinuierliche Integrati-on auf die einzelnen Elementee, deren Einzelergebnisse in einem zweiten Schritt aufsummiert

1Sehr stumpfe oder spitze Winkel sind zu vermeiden, weil dadurch die Elementfläche und die Jacobimatrix sehr kleinwerden.Benachbarte Elemente müssen gemeinsame Punkte (Knoten) haben, d. h. eine Verbindungslinie zwischen zweiPunkten darf nicht vom Punkt eines benachbarten Elements unterbrochen sein.

59


werden.

¨

G

[

λ(

∂T∂x

)2

+λ(

∂T∂y

)2]

dxdy≈Ne

∑e=1

λe

¨

Ge

[(∂T∂x

)2

+

(∂T∂y

)2]

dxdy (3.11a)

¨

G

p′VT dxdy≈Ne

∑e=1

¨

Ge

p′V,eT dxdy (3.11b)

Die Verwendung der Randbedingung und Formulierung der Temperatur als Ansatzfunktion inner-halb der Elemente und des Gesamtgebietes ist Gegenstand dernächsten Abschnitte.

3.2. Ansatzfunktion

Bildlich ausgedrückt verbindet die Ansatzfunktion das räumliche Fundament der diskretisiertenAnordnung mit der partiellen Differenzialgleichung als Problembeschreibung und gibt die Appro-ximation der gesuchten Lösung vor. Als Ansätze fürT(x,y) eignen sich ganzrationale Funktio-nen in den unabhängigen Raumkoordinaten. Da die Temperaturverteilung einen kontinuierlichenVerlauf hat, sollte die Ansatzfunktion beim Übergang von einem Element zum nächsten stetigbleiben. Elemente, deren Ansatzfunktion diese Stetigkeitsbedingung erfüllen, werden konform ge-nannt [62]. Um die Integration der Temperaturfunktion überein einzelnes unregelmäßiges viere-ckiges ElementGe zu vereinfachen, wird das Viereck auf ein EinheitsquadratG0 abgebildet. Die

0 1

1

0adrat Einheitsqu G eGViereck beliebiges

0GeG

x

yη

ξ

04P

02P01P

),(),(

ηξηξ

Ge

Geyyxx

==

),(),(

0

0yxyx

G

Gηηξξ

==

03P 4eP3eP

2eP1eP

Abbildung 3.1.: Abbildung zwischen Einheitsquadrat und beliebigem Viereck

Transformation vom Einheitsquadrat zurück auf das Vierecklautet

x(ξ ,η) = xTe ·N(ξ ,η)

y(ξ ,η) = yTe ·N(ξ ,η)

0≤ ξ ≤ 10≤ η ≤ 1

xe =

xe,1

xe,2

xe,3

xe,4

ye =

ye,1

ye,2

ye,3

ye,4

N(ξ ,η) =

(1−ξ )(1−η)

ξ (1−η)

ξ η(1−ξ )η

(3.12)

womit jeder beliebige Punkt im GebietGe berechenbar ist.N(ξ ,η) ist die Formfunktion der Trans-formation, deren vier KomponentenNi jeweils über ihrem abzubildenden PunktPi eins und überden anderen Punkten null sind. Dazwischen wird linear interpoliert. Die jeweils nächste Kompo-

60

3.3. Integration in einem Element

nente ergibt sich durch eine Drehung ihrer Formfunktionsebene um 90. Die Ansatzfunktion für

),(1 ηξN

01P

04P

02P 03Pξ

η

1

1

1

Abbildung 3.2.:N1-Komponente der Formfunktion

den Temperaturverlauf erfährt die gleiche bilineare (linear in beiden Raumrichtungen) Transfor-mation ins Einheitsquadrat.

T(ξ ,η) = TTe ·N(ξ ,η) Te =

Te,1

Te,2

Te,3

Te,4

(3.13)

Anschaulich beschrieben wird jede Komponente der Formfunktion mit der entsprechenden Tempe-ratur gewichtet und anschließend zur AnsatzfunktionT(ξ ,η) aufsummiert. Der Funktionsverlaufentlang der Viereckseiten verläuft linear gemäß der Seitenlänge und den Temperaturwerten in denKnoten. Die Werte der Ansatzfunktion stimmen an der gemeinsamen Seite angrenzender Elemen-te überein, falls die Knotenwerte übereinstimmen. Dies sollte durch die Stetigkeitsforderung vonvornherein erfüllt sein. Somit bilden Vierecke mit dem gewählten Ansatz konforme finite Elemen-te.

),( ηξT

1eT

2eT

4eT

3eT

ξ

η1

1

Abbildung 3.3.: Bilinearer Ansatz für die Temperaturfunktion


Nachdem eine Ansatzfunktion für den Temperaturverlauf im Gebiet Ge bzw. G0 gefunden ist,kann die Integration in Gl. (3.11a) über ein Element explizit erfolgen. Die Gebietsintegrale auf

61


der rechten Seite der Gleichungen sind nach den Regeln der Analysis zu transformieren. Mit derVariablensubstitution Gl. (3.12) und der Jacobi-Determinante wird

J = det

[∂x∂ξ

∂y∂ξ

∂x∂η

∂y∂η

]

= det

[

xTe

∂N(ξ ,η)∂ξ yT

e∂N(ξ ,η)

∂ξxT

e∂N(ξ ,η)

∂η yTe

∂N(ξ ,η)∂η

]

(3.14)

dxdy= J ·dξ dη (3.15)

Die Jacobi-Determinante ist ein Maß für die Fläche des Vierecks im Originalraum und hat eine po-sitiven Wert, wenn die Knoten des ElementsPe j(xe j,ye j) im mathematisch positiven Sinn indiziertsind. Die partiellen Ableitungen des Temperaturverlaufs nach den Raumkoordinaten transformie-ren sich nach der Kettenregel.

Tx =∂T∂x

=∂T∂ξ

∂ξ∂x

+∂T∂η

∂η∂x

Ty =∂T∂y

=∂T∂ξ

∂ξ∂y

+∂T∂η

∂η∂y

(3.16)

Daraus folgt für das Gebietsintegral auf der rechten Seite von Gl. (3.11a)

λe

¨

Ge

(T2

x +T2y

)dxdy= λe

¨

G0

((Tξ ξx+Tηηx

)2+(Tξ ξy+Tηηy

)2)

Jdξ dη

= λe

¨

G0

[(TT

e Nξ ξx+TTe Nηηx

)2+(TT

e Nξ ξy+TTe Nηηy

)2]

Jdξ dη(3.17)

Der Vektor der KnotentemperaturenTe kann als vonξ undη unabhängige Größe vor das Integralgesetzt werden, so dass in der eckigen Klammer die Elementwärmeleitungsmatrix2 Se verbleibt.

TTe ·

λe

¨

G0

((Nξ ξx+Nηηx

)·(Nξ ξx+Nηηx

)T

+(Nξ ξy+Nηηy

)·(Nξ ξy+Nηηy

)T)

J dξ dη]

·Te = TTe ·SL,eTe

(3.18)

Sie ist quadratisch und symmetrisch, und ihre Dimension entspricht der Anzahl der Knoten. Fürein einzelnes Element hat sie die Dimension vier. Die partiellen Ableitungenξx, ξy, ηx und ηy

werden aus der inversen der Jacobi-Matrix in Gl. (3.14) bestimmt.

∂ (ξ ,η)

∂ (x,y)=

[

ξx ηx

ξy ηy

]

=

[

xξ yξxη yη

]−1

=

[

xTe Nξ yT

e NξxT

e Nη yTe Nη

]−1

(3.19)

ξx =yT

e NηJ

ξy =xT

e NηJ

ηx =yT

e Nξ

Jηy =

xTe Nξ

J(3.20)

2In der Elastodynamik als Elementsteifigkeitsmatrix

62


Das Gebietsintegral der Wärmequellen in Gl. (3.11b) wird aufdie gleiche Art und Weise umge-formt

p′V,e

¨

Ge

T(x,y)dxdy= p′V,e

¨

G0

T(ξ ,η)J dξ dη

= TTe ·

p′V,e

¨

G0

N(ξ ,η)J dξ dη

= TT

e ·bL,e

(3.21)

Der Vektorbe ist der Elementwärmequellenvektor3 und hat die Dimension der Knotenanzahl. DerIntegrand in Gl. (3.18) ist eine gebrochen-rationale Funktion und kann nicht analytisch integriertwerden [26, 62], da die Determinante der Jacobimatrix im Nenner steht. Die Berechnung der Ele-mentwärmeleitungsmatrixSe und des Elementwärmequellenvektorsbe muss daher näherungswei-se anhand einer numerischen Integrationsformel geschehen. Für diesen Zweck der Integration überdas Einheitsquadrat bietet sich die Gaußsche Integrationsformel der Ordnungm zur Diskretisie-rung des verwendeten Integrals an [62]

¨

Q0

f (ξ ,η)dξ dη =

1ˆ

0

1ˆ

0

f (ξ ,η)dξ dη ≈m

∑p=1

m

∑q=1

wpwq f (σpσq) (3.22)

mit den Integrationsstützstellenσ und Integrationsgewichtenw (Tab. 3.1 und Abb. 3.4). Eine Gauß-sche Integrationsformel der Ordnungm liefert die exakten Integralwerte für Polynome bis zumGrad(2m−1). In Tabelle 3.1 sind die Integrationsstützstellen und die dazugehörigen Integrations-gewichte bis zur Ordnung vier aufgeführt.

p,q σp,q wp,q

1 0.069 431 844 2 0.173 927 42262 0.330 009 478 2 0.326 072 577 43 0.669 990 521 8 0.326 072 577 44 0.930 568 155 8 0.173 927 422 6

Tabelle 3.1.: Stützstellen und Gewichte der Gaußschen Integrationsformel der Ordnung 4

η

ξ

0Q

1

10

Abbildung 3.4.: Bilinearer Ansatz für die Temperaturfunktion

3In der Elastodynamik als Elementlastvektor

63


3.4. Gesamtmatrizen und Vektoren aus Einzelelementen

Im vorangegangenen Abschnitt wurde lediglich ein isoliertes Element betrachtet. Nun werden dieGebieteGe der einzelnen Elemente zum GesamtgebietG zusammengefasst, d. h. aus den einzelnenElementmatrizen entstehen die Gesamtmatrizen in Gl. (3.11).

¨

G

[

λ(

∂T∂x

)2

+λ(

∂T∂y

)2]

dxdy≈NE

∑e=1

TTe SL,eTe (3.23)

¨

G

p′VT dxdy≈NE

∑e=1

TTe bL,e (3.24)

Diese eher als prinzipiell angedeutete Summation über alleElemente wird nun durch eine Sum-mation über alle Knotenk ersetzt, denn die überwiegende Zahl der Knotenvariablen (z. B. Kno-tentemperaturen) kommt in der bisher angedeuteten Summation mehrfach vor, da ein Knoten oftEckpunkt mehrerer Elemente ist. Zu diesem Zweck werden alleKnotentemperaturen ohne weitereIndexangabe zu einem Vektor zusammengefasst.

T =

T1

T2...

TNk

(3.25)

Damit wird eine Gesamtwärmeleitungsmatrix derart aufgebaut, dass für die rechten Seiten derGln. (3.23) und (3.24) gilt

NE

∑e=1

TTe SL,eTe = TTSLT (3.26)

NE

∑e=1

TTe bL,e = TTbL (3.27)

Die Verknüpfung zwischen Knoten und Element wird in zwei Tabellen, einer Knoten- und einerElementtabelle (Tab. 3.2 und 3.3 als Beispiel), hinterlegt.In der Knotentabelle stehen neben je-der eindeutigen Knotennummer die Knotenkoordinaten(xk,yk), während in der Elementtabelle zujeder eindeutigen Elementnummer vier Knotennummern zu denentsprechenden vier Eckpunktenstehen. Nach diesem Schema wird nun die Gesamtwärmeleitungsmatrix aufgebaut. Steht in derElementtabelle zum Elementean der Positionmdie Nummerp und an der Positionn die Nummerq, so ist der Wert des ElementssL,e,mn der MatrixSL,e zum Elementspq der MatrixSzu addieren.Genauso ist die KomponentebL,e,m des VektorsbL,e zur Komponentebp des VektorsbL zu addie-ren. Die Berücksichtigung der Randbedingungen benötigt eineähnliche Zuordnung zwischen denKnotentemperaturen und Elementtemperaturen der linienförmigen Randelemente.

In einem kleinen Beispiel soll dieses Schema verdeutlicht werden. Zu einem aus zwei viere-ckigen Elementen zusammengesetzten Gebiet in Abb. 3.5, soll die Gesamtwärmeleitungsmatrixund die Gesamtwärmequellenmatrix bestimmt werden. In Gl. (3.28) steht die Elementnummer derAnschaulichkeit halber in Hochklammern über der zugehörigen Komponente. Die Knotennum-mern sowie deren Zuordnung zu den Flächen- und Randelementensind in den Tabn. 3.2 bis 3.4angegeben.

64

3.4. Gesamtmatrizen und Vektoren aus Einzelelementen

e2

2k

3k4k

1i

2i

3i

4i

1k

5k

6k5i

6i

e1

Abbildung 3.5.: Beispiel zum Aufbau der Gesamtwärmeleitungsmatrix und des Gesamtwärme-quellenvektors

Knotennummerk xk-Koordinate yk-Koordinate

1 0 02 2.5 03 4 24 -1.5 25 3.1 -2.46 5.4 -3.4

Tabelle 3.2.: Knotentabelle

Elementnummere KnotenPe,1 KnotenPe,2 KnotenPe,3 KnotenPe,4

1 1 2 3 42 2 5 6 3

Tabelle 3.3.: Elementtabelle zum Beispiel

Randelementnummeri KnotenPi,1 KnotenPi,2

1 1 22 3 43 4 14 2 55 5 66 6 3

Tabelle 3.4.: Randelementtabelle als Beispiel

65


SL =

s(1)L,e,11 s(1)L,e,12 s(1)L,e,13 s(1)L,e,14 0 0

s(1)L,e,21 s(1)L,e,22+s(2)L,e,11 s(1)L,e,23+s(2)L,e,14 s(1)L,e,24 s(2)L,e,12 s(2)L,e,13

s(1)L,e,31 s(1)L,e,32+s(2)L,e,41 s(1)L,e,33+s(2)L,e,44 s(1)L,e,34 s(2)L,e,42 s(2)L,e,43

s(1)L,e,41 s(1)L,e,42 s(1)L,e,43 s(1)L,e,44 0 0

0 s(2)L,e,21 s(2)L,e,24 0 s(2)L,e,22 s(2)L,e,23

0 s(2)L,e,31 s(2)L,e,34 0 s(2)L,e,32 s(2)L,e,33

b =

b(1)L,e,1+b(3)L,e,2

b(1)L,e,2+b(4)L,e,1

b(2)L,e,1+b(6)L,e,2

b(2)L,e,2+b(3)L,e,1

b(4)L,e,2+b(5)L,e,1

b(5)L,e,2+b(6)L,e,1

(3.28)

Die Gesamtwärmeleitungsmatrix hat die Dimension der Knotenanzahl und ist wie die Element-wärmeleitungsmatrix symmetrisch. Sie ist aber auch singulär [62], was an späterer Stelle in Ver-bindung mit den Randbedingungen gelöst werden muss.

3.5. Übergang von der Knotentemperatur zurElementtemperatur

Anhand der FEM werden die Temperaturen in den diskreten Gitterknoten bestimmt. Im elektroma-gnetischen Simulationsteil wird jedoch die Temperatur eines Teilleiters als Element benötigt, umbeispielsweise die temperaturabhängigen Materialparameter zu bestimmen. Auch bei der Ergeb-nisdarstellung der Temperaturfeldberechnung wird ein Temperaturwert pro Element angegeben.

Für einen Teilleiter bzw. ein finites Element erhält man für vier Eckpunkte (Knoten) vier Tem-peraturwerte. Bei genügend feiner Gebietsdiskretisierungsollte der Temperatursprung von einemzum nächsten Element nicht allzu hoch sein und die Berechnungder Elementtemperatur aus demarithmetischen Mittelwert der vier Knotentemperaturen daher ausreichend genau sein [50]. IstTder Vektor der Knotentemperaturen undTE der Vektor der Elementtemperaturen, dann wird letz-terer anhand einer Koinzidenzmatrix bestimmt.

TE = KET (3.29)

Steht in der Elementtabelle zum Elemente an einer der vier Knotenstellenk der Gitterknotenp,dann ist der WertKE(e, p) der Koinzidenzmatrix gleich 1/4.

Analog erfolgt die Zuordnung der Randelemente: Steht in der Randelementtabelle zum Elementi an einer der beiden Knotenstellenk der Gitterknotenp, dann ist der WertKRE(i, p) der Koinzi-denzmatrix gleich 1/2.

TRE = KRET (3.30)

3.6. Randbedingungen

Das Wegintegral in Gl. (3.10) beinhaltet den gesamten Wärmefluss pC, der senkrecht über dieRandelemente tritt (Neumannsche Randbedingung) und durch Wärmestrahlung sowie -konvektionhervorgerufen wird. Dieser Gesamtfluss wird nun entsprechend den beiden Effekten aufgeteilt unddurch getrennte Terme beschrieben.

Die Wärmeleitung wurde zweidimensional in der (x,y)-Ebene formuliert, während beim Wär-mefluss durch Wärmestrahlung und Konvektion mit der Fläche des Randes auch die z-Achse be-rücksichtigt sein muss. Durch die Diskretisierung der simulierten Anordnung wird der Körper-randund die Umgebung durch gerade Linienelemente angenähert und die Ausdehnung in z-Richtung

66


als einheitliche Länge für alle Körper mitberücksichtigt (Abb. 3.6). Alle Temperaturwerte, die sich

il

zl

yz

x

Diskretisierte

Oberflächenelemente

Abbildung 3.6.: Diskretisierte Oberflächen des Wärmestrahlungsaustausches

auf RandflächenA beziehen (Mittelwert aus zwei Randknoten), werden mit diesem Index versehen,da sie von der Elementtemperatur (Mittelwert aus vier Eckknoten) abweichen können.

Sollten die Werte der Wärmeleitfähigkeitλ der verwendeten Materialien sehr hoch sein (z. B.Metalle), dann wird sich ein sehr schwacher Temperaturgradient in solch guten Wärmeleitern ein-stellen, so dass die Wärmeleitwerte durch Konvektion und Strahlung zwischen den Oberflächenden Wärmefluss dominieren. Die Diskretisierung kann dann viel gröber gewählt oder gänzlich un-terlassen werden. Letzteres könnte auch mit gängigen Formeln und Abschätzungen im Anhang A.1und [5, 38] mit hinreichender Genauigkeit für die Praxis ohne numerische Simulation erreicht wer-den.

3.6.1. Wärmeübertragung durch Strahlung

Ausgangspunkt der Betrachtungen dieses Abschnitts sei der Zusammenhang wie Gl. (2.55) undGl. (2.60) für eine Anordnung mit grauer oder schwarzer Umgebung, die hier zur Erinnerungnochmal angegeben wird.

pS= V ·T(4)A −pUS (3.31)

Der IndexS in pS deutet auf Wärmestrahlung hin, um weitere gleichartige Terme von der Kon-vektion zu unterscheiden, und die TemperaturTA für RandflächenA behält den allgemeinen Index,da sie für beide Wärmeübertragungsmechanismen gleich ist. Im Vektor pUS ist die für Wärme-strahlung relevante TemperaturTUS der Umgebung enthalten, die von der für Konvektion relevanteFluidtemperaturT∞ der Umgebung verschieden sein kann. Gl. (3.31) ermöglicht die Berechnungder WärmestrahlungsflussdichtenpS, die als Randbedingungen in das Wärmeleitungsproblem ein-gehen. Sie wird nun in zwei Summanden aufgeteilt: In einen Teil, welcher die unbekannten Rand-temperaturenTA enthält und einen, welcher die konstanten vorgegebenen Umgebungstemperatu-ren TUS enthält. Durch die Abhängigkeit der vierten Potenz der Temperatur ist diese Gleichungnichtlinear. Anhand einer Linearisierung wird erreicht, das temperaturabhängige Strahlungsgesetzteilweise innerhalb der Robinschen Randbedingung an der Lösung der Gln. (3.46) und (3.56) zubeteiligen.

pS= V ·diagT(3)A ·TA−pUS (3.32)

67


Da die GesamtwärmeleitungsmatrixS selbst singulär ist, kann Gl. (3.46) mit diesem Zusatz fürStrahlung auch ohne Konvektion gelöst werden. Die Matrix diagT(3)

A hat die Dimension derAnzahl der Oberflächenelementei und ist nur auf der Hauptdiagonalen mit den WertenT3

A,i besetzt.Die OberflächentemperaturenTA werden gemäß Gl. (3.30) durch arithmetische Mittelwertbildungaus den Knotentemperaturen über die KoinzidenzmatrixKRE bestimmt.

Als nächstes berechnen wir die Randelementwärmeleitungsmatrix SS und den Gesamtwärme-quellenvektorbS des Wärmestrahlungsaustausches. Für eine einzelne strahlende Flächei gilt

pS,i =NS

∑j=1

Vi j T3A, jTj − pUS,i (3.33)

Die Randbedingung der Variationsformulierung in Gl. (3.10), hier speziell für Strahlung, lautet

ˆ

C

pSwds≈NS

∑i=1

Pi,2ˆ

Pi,1

pS,iwds=NS

∑i=1

Pi,2ˆ

Pi,1

(NS

∑j=1

Vi j T3A, jTj − pUS,i

)

wds (3.34)

und daraus wird mit dem linearen Ansatzw = Ti(x,y) für die unbekannte Temperatur der Strah-lungsanteil für das Ritzsche Energiefunktional gebildet.

PS(T)≈NS

∑i=1

12

Pi,2ˆ

Pi,1

NS

∑j=1

Vi j T3A, jT

2j −

Pi,2ˆ

Pi,1

pUS,iTi ds

(3.35)

Das linke Kurvenintegral entspricht einer Robinschen Randbedingung und das rechte einer Neu-mannschen. Mit dem linearen Ansatz für die unbekannte Temperatur auf den Randelementen

T(σ) = Ti1(1−σ)+Ti2σ = TTi

[

1−σσ

]

= TTi N(σ) (3.36)

folgt für den Elementwärmequellenvektor für Strahlung

pUS,i

Pi,2ˆ

Pi,1

Ti ds= TTi pUS,i l i

1ˆ

0

N(σ)dσ = TTi

pUS,i l i2

[

11

]

= TTi bS,i (3.37)

Das linke Kurvenintegral in Gl. (3.35) wird bei Vertauschenvon Integration und Summation

NS

∑j=1

Vi j T3A, j

Pi,2ˆ

Pi,1

T2j ds=

NS

∑j=1

TTj Vi j T

3A, j l i

1ˆ

0

N(σ)N(σ)T dσ

T j

=NS

∑j=1

TTj

Vi j T3A, j l i

6

[

2 11 2

]

T j =NS

∑j=1

TTj SS,i j T j (3.38)

Die RandelementwärmeleitungsmatrixSS,i j gibt die Kopplung zwischen den Flächenelementeni

68


und j an. Damit folgt für die Strahlungsanteile des Energiefunktionals

PS(T)≈NS

∑i=1

[

12

NS

∑j=1

TTj SS,i j T j −TT

i bS,i

]

=12

TTSST −TTbS (3.39)

3.6.2. Wärmeübertragung durch Konvektion

Basierend auf dem Newtonschen Abkühlungsgesetz in Gl. (2.70) wird der Wärmeübergang durchKonvektion anhand der Robinschen Randbedingung (Gl. (2.11))in die Simulation eingebracht.Das Kurvenintegral in Gl. (3.7) erhält einen weiteren Anteil für Konvektion mit dem bekanntenlinearen Ansatzw= Ti(x,y) .

ˆ

CK

pKwds=ˆ

CK

α(T −T∞)wds≈NK

∑i=1

Pi,2ˆ

Pi,1

αiT2i ds−

Pi,2ˆ

Pi,1

αiT∞,iTi ds

(3.40)

So wie beim Strahlungsproblem der VorfaktorVi j T3A, j temperaturabhängig ist, ist es auch hier für

den Wärmeübergangskoeffizientenαi der Fall. Er wird mit den Gleichungen in Kap. 2.3 und dendimensionlosen Formeln im Anhang A.1 für jeden Iterationsschritt des Gesamtproblems neu be-rechnet. Jedem Randelement kann je nach angrenzendem fluidalem Medium eine andere Fluid-temperaturT∞,i zugeordnet werden.

Zum Strahlungsproblem besteht noch der Unterschied, dass dort jedes Randelement zu weiterenElementen gekoppelt sein kann, was sich durch die Doppelsumme und -indizierung überi, j aus-drückt. Im Konvektionsproblem ist eine solche Kopplung vonvornherein nicht vorgesehen. EineKopplung durch Veränderung der FluidtemperaturTH,∞ in Hohlräumen wird in Abschnitt 2.3.3aufgezeigt. Die HohlraumtemperaturenTH,∞ werden für jeden Iterationsschritt neu berechnet.

Nach der Transformation wird aus dem ersten Integral

αi

Pi,2ˆ

Pi,1

T2i ds= TT

i αi l i

1ˆ

0

N(σ)N(σ)T dσ

T i = TTi

αi l i6

[

2 11 2

]

T i = TTi SK,iT i (3.41)

und aus dem zweiten Integral

αiT∞,i

Pi,2ˆ

Pi,1

Ti ds= TTi αiT∞,i l i

1ˆ

0

N(σ)dσ = TTi

αiT∞,i l i2

[

11

]

= TTi bK,i (3.42)

Der Aufbau der MatrixSK und des VektorsbK aus den EinzelmatrizenSK,i und den EinzelvektorenbK,i erfolgt nach dem gleichen Prinzip wie für Wärmestrahlung mitHilfe der Randelementtabelle.

NK

∑i=1

TTi SK,iT i = TTSKT (3.43a)

NK

∑i=1

TTi bK,i = TTbK (3.43b)

69


3.7. Lineares Gleichungssystem der stationärenTemperaturverteilung

Zur partiellen Differenzialgleichung des Wärmeleitungsproblems mit Neumannschen und Robin-schen Randbedingungen ist eine gleichwertige Beschreibung in Gestalt des Ritzschen Energie-funktionals (Gl. (3.10)) nun auch in diskretisierter Form gefunden.

P(T) =12

TTSLT −TTbL︸︷︷︸

Warmeleitung

+12

TTSST −TTbS︸︷︷︸

Warmestrahlung

+12

TTSKT −TTbK︸︷︷︸

Warmekonvektion

(3.44)

Um das Energiefunktional zu minimieren, muss dessen erste Ableitung null werden.

dP(T)dT

= SLT −bL +SST −bS+SKT −bK = 0 (3.45)

f(T) = (SL +SS+SK)T − (bL +bS+bK) = 0 (3.46)

Aufgrund der

• Linearisierung des Strahlungsproblems

• Temperaturabhängigkeit der Stoffwerte im Konvektionsproblem

• Temperaturabhängigkeit der Widerstände, Magnetisierungund den davon abhängigen elek-trischen Ströme und Wärmeverluste

wird diese Gleichung mit dem Broyden-Rang-1-Verfahren [26, 27], einem Quasi-Newton-Verfahren,iterativ gelöst.

3.8. Lösung der instationären Temperaturverteilung

Für die Lösung des instationären Wärmeproblems bleibt der rechte Teil der Wärmekapazitätenin Gl. (3.1) ungleich null, und wir erhalten ein parabolisches Anfangsrandwertproblem [63]. DieVariationsformulierung in Gl. (3.7) erhält einen zusätzlichen zeitabhängigen Anteil.¨

G

(

λ∂T∂x

∂w∂x

+λ∂T∂y

∂w∂y

)

dxdy+¨

G

ρc∂T∂ t

wdxdy=¨

G

p′Vwdxdy−ˆ

C

pCwds (3.47)

Zur LösungT(x,y, t) ist das Ritz-Verfahren aufgrund der Zeitabhängigkeit nichtverwendbar. Da-her kommt das für solche Zwecke geeignete Galerkin-Verfahren zur Anwendung. Für die gesuchteLösungT und die Testfunktionw wird im Ansatz dieselbe Formfunktion gewählt, nur dass dieTemperatur hier zeitabhängig ist und die Testfunktion nicht.

T(ξ ,η , t) = T(t)Te ·N(ξ ,η) (3.48)

w(ξ ,η) = wTe ·N(ξ ,η) (3.49)

Im Gegensatz zum Ritz-Verfahren bleibt die Testfunktionw im Rechenweg als beliebige Funkti-on erhalten, und es ergeben sich wieder die gleichen Matrizen Sundb wie in Gl. (3.50) und (3.51)

70

3.8. Lösung der instationären Temperaturverteilung

als Beispiel.

¨

G

(

λ∂T∂x

∂w∂x

+λ∂T∂y

∂w∂y

)

dxdy≈NE

∑e=1

TTe SL,ewe = TTSLw (3.50)

¨

G

p′Vwdxdy≈NE

∑e=1

wTe bL,e = wTbL (3.51)

Lediglich die Wärmekapazitätsmatrix4 für den zusätzlichen transienten Anteil ist analog dazuzuerst für ein einzelnes Elementezu bestimmen.

TTe ·

ρece

¨

G0

((Nξ ξx+Nηηx

)·(Nξ ξx+Nηηx

)T

+(Nξ ξy+Nηηy

)·(Nξ ξy+Nηηy

)T)

J dξ dη]

·we = TTe Mewe

(3.52)

Aus der Summe aller Elementmatrizen mit Hilfe der Elementtabelle ergibt sich die Gesamtwärme-kapazitätsmatrixM [26, 62, 68].

¨

G

ρc∂T∂ t

wdxdy≈Ne

∑e=1

TTe Mewe = TTM w (3.53)

Nach dem Aufbau der Gesamtmatrizen und -vektoren erhalten wir die Näherungsdarstellung derVariationsformulierung in Gl. (3.47).

TTM w +TTSLw+TTSSw+TTSKw−wTbL −wTbS−wTbK = 0 (3.54)

Da die MatrizenM undSsymmetrisch sind, kann die Reihenfolge der Skalarprodukte der VektorenTT undw umgekehrt werden, und der VektorwT wird ausgeklammert.

wT (MT +(SL +SS+SK)T − (bL +bS+bK))= 0 (3.55)

Gemäß Definition ist die Testfunktion beliebig und ungleichnull, wodurch der restliche Klammer-ausdruck verschwinden muss. Daraus ergibt sich ein gewöhnliches Differenzialgleichungssystemmit Anfangswerten zur diskreten Lösung der instationären Temperaturverteilung in einer Form,wie sie zur Lösung mit dem Runge-Kutta-Verfahren [26, 27]

T(t) = f(T, t) = M−1 [−(SL +SS+SK)T +bL +bS+bK] (3.56)

T(t0) = T0

Verschwindet die Ableitung der Temperatur im stationären Fall, ergibt sich wieder die Ausgangs-gleichung (3.46) des Ritz-Verfahrens.

4In der Elastodynamik als Gesamtmassenmatrix

71


3.9. Sichtfaktoren rechteckiger Oberflächen

Der Sichtfaktor als Kopplungsfaktor zwischen den Oberflächenelementeni und j in Gl. (2.33) seihier zur Erinnerung nochmals angeführt.

Fi j =1Ai

ˆ

A j

ˆ

Ai

cosθi cosθ j


Die Integration wird durch Transformation der rechteckigen Oberflächenelemente auf das Einheits-quadrat vereinfacht [9, 27]. Ein Rechteck im Raum mit konstanten Koordinaten und Eckpunkten

x1jx 2jx21, ii xx0

21, jj yy

2iy

1iy

y

z

1

1

0

2iP

4iP

3iP

1iP

iη

iξ

iθ in

R

jn

jθ

1jP 2jP

3jP4jP

jη

jξ10

1

Abbildung 3.7.: Sichtfaktor zweier in z-Richtung orientierter Rechtecke

Pi1(xi1,yi1,0), Pi2(xi2,yi2,0), Pi3(xi3,yi3, lz), Pi4(xi4,yi4, lz) wird durch die Transformation bijektivauf das Einheitsquadrat abgebildet, wobei hier nur die Rücktransformation von Belang ist.

x= xi1(1−ξi)+xi2ξi

y= yi1(1−ξi)+yi2ξi

z= lzηi

(3.58)

Das FlächenelementdA ist bei der Integration mit Hilfe der Jacobi-Determinante

J =

∣∣∣∣∣∣∣

∂x∂ξ

∂x∂η

∂y∂ξ × ∂y

∂η∂z∂ξ

∂z∂η

∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣

(y2−y1)lz−(x2−x1)lz

0

∣∣∣∣∣∣∣

= lz√

(y2−y1)2+(x2−x1)2 (3.59)

zu ersetzen durchdA= J dξ dη (3.60)

Der VerbindungsvektorR ist die Differenz der die Oberflächenelementei und j beschreibendenOrtsvektorenr i undr j .

72


R = |r j − r i |

=

∣∣∣∣∣∣∣

x2−x1

y2−y1

0

j

ξ j −

x2−x1

y2−y1

0

i

ξi +

00lz

(η j −ηi)+

x1

y1

0

j

−

x1

y1

0

i

∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣

a(ξi ,ξ j)

b(ξi ,ξ j)

lz(η j −ηi)

∣∣∣∣∣∣∣

(3.61)

Mit den Abkürzungen

a(ξi ,ξ j) = (x j2−x j1)ξ j − (xi2−xi1)ξi +(x j1−xi1)

b(ξi ,ξ j) = (y j2−y j1)ξ j − (yi2−yi1)ξi +(y j1−yi1)(3.62)

folgt für R

R(ξi ,ξ j ,ηi,η j) =√

a2(ξi ,ξ j)+b2(ξi ,ξ j)+ l2z(η j −ηi)2 (3.63)

Die Winkel des VerbindungsvektorsR zur jeweiligen Flächennormalenn lässt sich über folgen-de Beziehungen berechnen.

cosθi =ni ·R|R| =

nx,i

ny,i

0

·R

|R| =nx,i a(ξi ,ξ j)+ny,i b(ξi ,ξ j)

R(ξi ,ξ j ,ηi,η j)

cosθ j =n j · (−R)

|−R| =

nx, j

ny, j

0

· (−R)

|−R| =−nx, j a(ξi ,ξ j)+ny, j b(ξi ,ξ j)

R(ξi ,ξ j ,ηi,η j)

(3.64)

Damit ist der Sichtfaktor nun in transformierten Größen berechenbar [9, 27].

Fi j =JiJj

πAi

1ˆ

0

1ˆ

0

1ˆ

0

1ˆ

0

Z(ξi ,ξ j)(N(ξi ,ξ j)+ l2z(η j −ηi)2

)2 dξi dξ j dηi dη j (3.65)

Z(ξi ,ξ j) =−(nx,i a(ξi ,ξ j)+ny,i b(ξi ,ξ j)

)(nx, j a(ξi ,ξ j)+ny, j b(ξi ,ξ j)

)

N(ξi ,ξ j) = a(ξi ,ξ j)2+b(ξi ,ξ j)

2 (3.66)

Die Integration in Gl. (3.65) muss numerisch erfolgen, da der Integrand eine gebrochen rationaleFunktion ist. Bei konstant gehaltenenξi und ξ j entsteht eine rationale Funktion in Abhängigkeitvon ηi und η j , und zumindest die Integration überηi und η j kann analytisch vollzogen werden.Nach mehreren Rechenschritten und unter der Berücksichtigung, dass die Jacobi-DeterminanteJi

bzw.Jj identisch der OberflächeAi bzw.A j ist, wird aus dem Ausgangsintegral des Sichtfaktors inGl. (3.57).

Fi j =lzπ

1ˆ

0

1ˆ

0

cosθi cosθ jarctanlz

R

Rdξi dξ j (3.67)

Damit ist keine Integration in z-Richtung mehr nötig. Der VerbindungsvektorR, die Flächennor-

73


malen sowie die Winkelθi und θ j in Gl. (3.67) sind nun in der xy-Ebene zu finden, und dasdiskretisierte Wärmestrahlungsproblem kann einheitlich zu den vorhergegangen Betrachtungen inder gleichen Ebene behandelt werden. Mit den Abkürzungen

R(ξi ,ξ j) =√

a2(ξi ,ξ j)2+b2(ξi ,ξ j)

cosθi =ni ·R|R| =

[

nx,i

ny,i

]

·R

|R| =nx,i a(ξi ,ξ j)+ny,i b(ξi ,ξ j)

R(ξi ,ξ j)

cosθ j =n j · (−R)

|−R| =

[

nx, j

ny, j

]

· (−R)

|−R| =−nx, j a(ξi ,ξ j)+ny, j b(ξi ,ξ j)

R(ξi ,ξ j)

(3.68)

lässt sich Gl. (3.67) mit der Gaußschen Integrationsformelin Gl. (3.22) numerisch ermitteln.

3.9.1. Numerische Berechnung der Sichtfaktoren

Bei der Bestimmung der Sichtfaktoren mit der Gaußschen Integrationsformel in Gl. (3.22) könnenKonvergenzprobleme auftreten, wenn sich die betrachtetenOberflächenelemente sehr nahe kom-men, so dass der AbstandR im Integranden der Gl. (3.67) gegen null strebt. Dabei ist eswichtig zuwissen, ab welchem Verhältnis AbstandRzu Kantenlängeh die analytische Lösung der Integrationmit der numerischen Lösung nicht mehr genau genug übereinstimmt und die numerische Lösunggegen unendlich strebt [9, 27]. Eine analytische Lösung derIntegration existiert für den Fall zwei-er identischer parallel zueinander ausgerichteter rechteckiger Oberflächen, wie sie Abb. 3.8 zeigt[27, 73].

i j

hzl

R

Abbildung 3.8.: Rechteckige Strahlungsoberflächen

Fi j =1π

(1

BCln(1+B2)(1+C2)

1+B2+C2 − 2B

arctanC− 2C

arctanB

+2C

√

1+C2arctanB√

1+C2+

2B

√

1+B2arctanC√

1+B2

)

mit den Abkürzungen

B=hR

C=lzR

(3.69)

74


Abb. 3.9 zeigt das Ergebnis einer prinzipiellen Untersuchung über die numerische Konvergenz

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

R/lR/lR/l

Fij,num

/Fij,an

Gaußsche Integrationsordnung m = 2..8

m = 2m = 3m = 4m = 5m = 6m = 7m = 8

Abbildung 3.9.: Numerisch berechneter Sichtfaktor zweierparallel gegenüberstehender kantenbil-dender Oberflächenelemente

der Gl. (3.69) mittels Gaußscher Integrationsformel für verschiedene Ordnungen. Darin ist dasVerhältnis des numerisch ermitteltenFi j ,num zum analytisch ermittelten SichtfaktorsFi j ,an aufge-tragen. Die Kantenlängen betragenh= 1mm undlz= 100m und der AbstandRvariiert im Bereich0.03mm≤ R≤ 1mm. Das Ergebnis verdeutlicht, dass sich das Konvergenzverhalten mit höhererOrdnung verbessert, was allerdings mehr Rechenzeit erfordert. Deshalb ist es sinnvoll, den Ord-nungsgrad erst mit sinkendemR/h-Verhältnis zu steigern, so dass ein Fehler von 5% nicht über-schritten wird, was zu folgender Empfehlung in Tab. 3.5 führt: Kleinere VerhältnisseR/h≤ 0.12

R/h von R/h bis Ordnungm

0.12 0.16 80.16 0.2 60.2 0.24 50.24 ∞ 4

Tabelle 3.5.: Empfohlener Ordnungsgrad für Gaußsche Integrationsformel bei verschiedenenR/l -Verhältnissen

sollten möglichst vermieden werden. Es ist jedoch zu beachten, dass dieses Ergebnis auf parallelgegenüberstehenden Rechteckelementen (Abb. 3.8) basiert.Um das Ergebnis auf beliebig ange-ordnete Rechtecke anzuwenden, wird der AbstandR allgemein als mittlerer SchwerpunktabstandR verstanden. Für die Kantenlängeh wird die längere Kante der beiden Flächen gewählt (sie-he Abb. 3.10a), was einer worst-case-Abschätzung entspricht. Der Extremfall, bei welchem zweiOberflächen eine gemeinsame Kante bilden, kann ebenfalls zudivergentem Verhalten führen, da

75


R

i j

h

Flächen eorientiert beliebig Zweia) Kante einebilden Flächen Zweib)

i

j

h

h

α

R

Abbildung 3.10.: Orientierung der Strahlungsoberflächen

der AbstandR zur Innenseite der gemeinsamen Kante hin gegen null strebt (siehe Abb. 3.10b).Dies bedarf einer weiteren Untersuchung, daR in diesem Fall nicht mehr durch den mittlerenAbstandRder Schwerpunkte verallgemeinert werden darf. Eine analytische Lösung für den Sicht-faktor zweier identischer Oberflächenelemente, die eine gemeinsame Kante mit dem Innenwinkelα bilden, wird in [23, 27] in der Ebene angegeben.

Fi j = 1−sin(α

2

)

(3.70)

Abb. 3.11 zeigt das Ergebnis der Untersuchung mit den Zahlenwertenh= 1mm undlz= 100m undWinkeln im Bereich 0 ≤ α ≤ 180. Für verschiedene Ordnungen der Gaußschen Integrationsfor-mel ist, wie bereits oben ähnlich geschehen, das Verhältnisdes numerisch ermittelten SichtfaktorsFi j ,num zum analytisch ermittelten SichtfaktorFi j ,an über dem Innenwinkelα aufgetragen. Es ist

0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

alpha [°]

Fij,num

/Fij,an

Gaußsche Integrationsordnung m = 2..8

m = 2m = 3m = 4m = 5m = 6m = 7m = 8

Abbildung 3.11.: Rechteckige Strahlungsoberflächen

wieder zu erkennen, dass sich das Konvergenzverhalten der numerischen Berechnung mit höhe-

76


rer Ordnung verbessert, jedoch für einen Innenwinkelα → 0 divergiert. Bei der numerischenBerechnung des Sichtfaktors zweier kantenbildender Oberflächenelemente sind demnach folgen-de Grenzwinkel in Abhängigkeit der Gaußschen Integrationsordnung zu beachten (Tab. 3.6), wo-bei wieder eine Fehlerobergrenze von 5% zugrundegelegt wird. Kleinere Innenwinkelα ≤ 53

α[] von α[] bis Ordnungm

53 69 869 82 682 105 5105 180 4

Tabelle 3.6.: Empfohlener Ordnungsgrad für Gaußsche Integrationsformel bei verschiedenen In-nenwinkelnα

zwischen zwei kantenbildenden Oberflächenelementen sollten vermieden werden, da sie zur Di-vergenz und zu einer verfälschten Lösung führen. Besonders spitze Innenwinkel sollten deshalbentschärft werden, indem man ggf. feiner diskretisiert undden Knoten an der Spitze nach innenversetzt (siehe Abb. 3.12). Für weiterführende Erörterungen wird auf [70] verwiesen.

etzeninnen versnach Knoten

kKnoten

ielement -nOberfläche

Abbildung 3.12.: Spitze Winkel einer gemeinsamen Kante entschärfen

Die numerische Integration zur Berechnung der Sichtfaktoren birgt Rundungsfehler und Dis-kretisierungsfehler, wodurch die Summationsregel in Gl. (2.36) nicht mehr erfüllt sein kann. Auf-grund der Energieerhaltung ist jedoch die Summationsregelunbedingt einzuhalten. Deshalb wirdein Korrekturfaktor aus dem Summationsfehler gebildet, mit welchem alle SichtfaktorenFi j fürj = 1. . .Ni multipliziert werden [12, 27].

wi =1

Ni

∑j=1

Fi j

(3.71)

3.9.2. Schatten werfende Objekte

Wir sprechen von Schattenwurf, wenn sich in der Sichtlinie zwischen zwei Objektflächen nochweitere Objekte befinden [12, 27]. Abb. 3.13 verdeutlicht diesen Fall an einem Beispiel. Die dis-kreten Oberflächenelemente der einzelnen Leiter stehen nurbedingt miteinander im Strahlungsaus-tausch. Beispielsweise können sich die Oberflächenelemente1 und 3 aufgrund ihrer gegenseitigenOrientierung nicht sehen, d. h. hier spielen Schatten keineRolle. Die erste Bedingung für Sicht-kontakt ist

−90 < θi < 90 und −90 < θ j < 90 ⇒ cosθi > 0 und cosθ j > 0 (3.72)

77


3n

1n 2n 4n

41R

13R

1 2

3

4

3θ

1θ

Abbildung 3.13.: Beispiel einer Schattenbildung durch mehrere Objekte

Ist Gl. (3.72) erfüllt, dann kann noch der Schattenwurf anderer Objekte den Sichtkontakt behin-dern. Zum Beispiel verhindert Element 2 den Sichtkontakt zwischen den Oberflächenelementen 1und 4. Es darf also kein Oberflächenelement der gesamten Leiteranordnung den Verbindungsvek-tor R schneiden. Der Verbindungsvektor wird nach einer Transformation auf die Einheitsstreckedurch den Ortsvektor

rR = r i +Rσ

=

[

x2−x1

y2−y1

]

i

(ξi −ξiσ)+

[

x2−x1

y2−y1

]

j

ξ jσ +

[

x1

y1

]

i

(1−σ)+

[

x1

y1

]

j

σ(3.73)

beschrieben, während das auf Schattenwurf zu testende Oberflächenelementν durch den Ortsvek-tor

rν =

[

x2−x1

y2−y1

]

ν

ξν +

[

x1

y1

]

ν

(3.74)

beschrieben ist. Für den SchnittpunktrR = rν erhält man das lineare Gleichungssystem([

a(ξi ,ξ j)

b(ξi ,ξ j)

]

+

[

x1−x2

y1−y2

]

ν

)

·[

σξν

]

=

[

x1

y1

]

ν

+

[

x1

y1

]

i

(1+ξi)−[

x1

y1

]

i

ξi (3.75)

dessen Lösung folgendermaßen interpretiert wird: Sind dieBedingungen

0< σ < 1 und 0< ξν < 1 (3.76)

erfüllt, dann existiert ein Schnittpunkt zwischen dem zu testenden Oberflächenelementν und demVerbindungsvektorR, so dass das Oberflächenelement den Sichtkontakt behindert. Damit wirdder Integrand in Gl. (3.67) null, entweder wenn Gl. (3.72) nicht erfüllt, oder Gl. (3.76) durchmindestens ein Oberflächenelementν erfüllt ist [12, 27].

78

4. Beschreibung desSimulationsprogramms EMWSim

4.1. Überblick

In den vorangegangenen Kapiteln sind die theoretischen Grundlagen und die Modellierung derelektromagnetischen Feld- und Wärmeflusssimulation detailliert aber etwas verstreut über die ver-schiedenen Abschnitte beschrieben. Nun soll in diesem Kapitel ein Gesamtüberblick über das Si-mulationsprogramm gegeben werden. Der Übersichtlichkeitzuliebe werden Gleichungen in einemFlussdiagramm sehr vereinfacht wiedergegeben, um lediglich den zugrunde liegenden Sachverhaltanzudeuten.

Der Kern des Simulationsprogramms wird durch die Berechnungder Stromverteilung in einzel-nen diskreten Teilleitern gebildet. Die anfallende StromwärmePV als eine der Ergebnisgrößen istdie Quellengröße für eine thermische Simulation.

Die Simulation kann für einen elektrisch rein stationären Fall mittels komplexen Zeigern gesche-hen, wobei die Zeiger Effektiv- oder Spitzenwerte sein können. Dieser Teil ist im linken Block inAbb. 4.1 enthalten. Sollten magnetisch nichtlineare Materialien beteiligt sein, wird die stationäreBerechnung iterativ erfolgen.

Für eine thermisch stationäre Simulation (mittlerer Block in Abb. 4.1), gekoppelt mit der elek-trisch stationären Simulation, werden keine Wärmekapazitäten der Materialien benötigt.

Eine transiente Berechnung zur Erfassung von Einschwing- oder Übergangsvorgängen kann aufzwei Arten erfolgen:

• Eigenwertmethode: Der gesamte zeitliche Verlauf wird mit einer einzigen geschlossenenanalytischen Berechnung erfasst. Eine rein elektrische Simulation ist hiermit nur für magne-tisch lineare Materialien möglich, und eine Kopplung zur Wärmeflusssimulation ist nichtsinnvoll, da sich elektrische Widerstände abhängig von derTemperatur verändern und durchdie geschlossene Lösung nicht erfasst werden können. Für erste Schätzwerte ist das Verfah-ren aufgrund seiner Schnelligkeit durchaus geeignet.

• Numerisches Zeitschrittverfahren: Dieses Verfahren mit numerischer Integration ist beson-ders für magnetisch nichtlineare Materialien interessant. Der zeitliche Verlauf der Strömeund Spannungen, verzerrt durch Sättigung, wird sinnvollerweise für eine gewisse Anzahl vonPerioden berechnet. Das Verfahren ist zwar ebenfalls mit der transient thermischen Berech-nung gekoppelt, was aber nicht sinnvoll ist, da elektrischeund thermische Zeitkonstantenüblicherweise sehr unterschiedlich sind. Sinnvolle Rechenschrittweiten für die elektrischeBerechnung sind für die thermische viel zu kurz und würden einen hohen Aufwand be-züglich Rechenzeit und Datenmenge erzeugen. Die transient thermische Simulation (rechterBlock in Abb. 4.1), gekoppelt an die elektrisch stationäre Berechnung für jeden Zeitschritt,ist die sinnvolle Vorgehensweise.

Die Eingabe der geometrischen, elektrischen und materialspezifischen Daten der Anordnungbeinhaltet auch die Anfangsbedingungen, die aus den Ergebnissen einer vorangegangenen Simula-tion entnommen werden können. Die Berechnung der Matrizen der Induktivitäten, Wärmeleitwer-te, Wärmekapazitäten, Strahlungssichtfaktoren, Koinzidenzen, etc. benötigt viel Rechenzeit. Daher

79

4. Beschreibung des Simulationsprogramms EMWSim

sollten bei der Simulation mehrere Varianten einer sonst gleichen Anordnung solche Zwischener-gebnisse, wenn möglich, aus einer früheren Simulation übernommen werden. Nach Verarbeitungder Eingabedaten werden die rein geometrieabhängigen konstanten Größen wie Linienleiter, Sicht-faktoren, etc. gebildet.

Ist lediglich eine rein elektrische Simulation gewünscht,wird diese gemäß dem eingestelltenModell (stationär, numerische Integration oder Eigenwerte) ein einziges Mal durchgeführt. Da-bei werden zuerst aus den bis dahin bekannten Temperaturen der Teilleiter die Widerstände undPermeabilitäten jedes Teilleiters bestimmt und daraus dieImpedanzmatrix zusammengesetzt. Ab-hängig davon, ob die elektrischen Quellen eingeprägte Ströme oder Spannungen sind, wird je-weils eine leicht unterschiedliche Berechnung gewählt. Mitden erhaltenen Teilleiterströmen wirddie Verteilung der magnetischen FeldstärkeHT in jedem Teilleiter berechnet, welche bei magne-tisch nichtlinearen Materialien für eine weitere Iteration verwendet wird. Die Lösung mit nume-rischer Integration (siehe Abschnitt 1.8.1) funktioniertsehr ähnlich zur stationären, allerdings mitMomentanwerten und Integration der Differenzialgleichung 1. Ordnung des ohmsch-induktivenStromkreises. Dabei werden einige wichtige Teilfunktionen in Abb. 4.2 kurz beschrieben.

Die Funktion fρ berechnet den temperaturabhängigen spezifischen Widerstand, woraus infRanhand der geometrischen Daten der Widerstand der einzelnen Teilleiter hervorgeht. Aus den Tem-peraturen und der Feldstärke ergibt sich mitfµ die magnetische Permeabilität der Teilleiter. Darauswerden infL die Induktivitäten bestimmt. Mit der FunktionfE besteht die Möglichkeit, einen zu-sätzlichen ErdwiderstandRE parallel zu den Rückleitern hinzuzufügen, womit die Dimension derVektoren und Matrizen um eins erhöht wird. Die FunktionfM bringt Gl. (1.66) in die modifizierteForm wie in Gl. (1.85) oder (1.86). Anschließend berechnetfDGL mit Gl. (1.88) den modifiziertenTeilleiterstromvektor, welcher infV wieder zum ursprünglichen Teilleiterstromvektor vervollstän-digt wird. Die Funktion fU bestimmt die Teilleiter-Spannungabfälle nach Gl. (1.66),und fH diemagnetische FeldstärkeH aus den geometrischen Daten und Teilleiterströmen. Die ohmschen Teil-leiterverluste, berechnet anhand vonfP, führen über die FunktionfT mit der Wärmeflusssimulationzu den gesuchten Temperaturen.

Kommen nichtlineare Materialien zur Anwendung, dann ist die Impedanz der simulierten An-ordnung stromabhängig, die mit dem Modell der eingeprägtenQuellenspannung mit Innenwider-stand und evtl. noch zusätzlichen Lastwiderständen zu verschiedenen Ergebnisen führt, wenn derenLänge verändert wird. Daher muss hier mit festen endlichen Längen der Anordnung simuliert wer-den und nicht mit längenbezogenen Größen, wie es beim Modellder eingeprägten Stromquellenmöglich ist.

Auf die Methode der Eigenwerte wird hier nicht weiter eingegangen, da sie aus einer früherenArbeit [35] übernommen wurde und hier nicht weiter betrachtet wird.

4.2. Besonderheiten der Wärmeflusssimulation

Während in der elektromagnetischen Simulation mit Körpergrößen der Teilleiter und Flächenlei-ter gerechnet wird, geschieht dies in der Wärmesimulation mittels finiten Elementen mit einemPunkte- oder Knotengitter, bestehend aus den Eckpunkten der Teilleiter und Flächenleiter, die alsFlächen und Linien ins Zweidimensionale reduziert sind. Die entsprechenden Größen (z. B. Tem-peratur) für einen Teil- oder Flächenleiter sind dann jeweils der Mittelwert aus Werten in denEckpunkten (Knoten). In der Wärmeflusssimulation unterscheiden wir dementsprechend zwischeneiner TeilleitertemperaturTT und einer KnotentemperaturTK.

Abb. 4.3 zeigt das gesamte Wärmeflussproblem mit den verschiedenen Umgebungsgrößen an-hand eines prinzipiellen Beispiels. Um die gesamte simulierte Anordnung ist eine geschlosseneHülle von Strahlungsflächen nötig, welche die Strahlungseigenschaften der Umgebung modelliert.Sie kann auch aus einzelnen Teilen mit verscheidenen fest vorgegebenen TemperaturwertenTU,S

80


xx

SLLK

TTTT

KVMMbSbT

ρqpL,,,,,,

,,,1−

Linien-Leiter, Sichtfaktoren, Koinzidenz-Matrizen,

Wärmeleitungsmatrix, Wärmekapazitätsmatrix

( )QTTT IUZI ⋅= −1

( )QTTT UUZI ⋅= −1

QI

QU

),()2,1,0( , qdZZ

)(j),(

)(

,

,

TrTTT

TTTr

TT

TµLRZ

Hµ

TR

+=

2IRP ⋅=V

Stationäre

elektrische Simulation

(Fourier-Algorithmus)

Stationäre

Wärmefluss-Simulation

(Wärme-Iteration)

0,KK TT =

][][]1[][

nnnn

TK

KKTT

TT→

−=

( )),( SSS

VLεFb

Pb

( ))),(,(

),(,,,,, ∞∞∞

∞∞

HHHKAH

KAKvTαTT

vTαTb

KSLges

SS

L

SSSSεFS

TλS

++=),())((

KSLges bbbb ++=

[ ][ ]( )

1Verfahren

Rang1Broyden1,,

+=

−−−

=

nn

nfn

Kgesges

KTbS

T

Transiente

Wärmefluss-Simulation

(Zeitschrittverfahren)

( )

ttt

ttft

Kgesges

K

∆+=

−−∆−

=

VerfahrenKuttaRunge

)(,,)(

TbST

Sonst wie

Wärme-Iteration

0,KK TT =

)()()()(

ttttt

TK

KKTT

TT→

∆−=

( )TBCBBT f IQQH ,,=

grenzKT εε ≤)(J N

Ergebnisdaten speichern

Wärme transient

Elektr. stationär

JN

evtl. mit Startwerten aus

Ergebnissen früherer

Simulationen

Eingabe

- EigWerte

- Stationär

- Num. Int.

Eigenwert-

methode

Numerische

Integration

grenzT εεµ

≤)(&nichtlinr

I

N J

),( cρM

Wärmefluss-

Simulation

JN

Abbildung 4.1.: Vereinfachte Übersicht über den Simulationskern

81


TT

HQ

Ende

nttt

Nnttt

,0]1[]1[)0(gegeben )(oder )(

..1....0

TT0ii

iu

=====

=∆=

Nn ..2=

]1[][ −−=∆ ntntt

( )][][, nfn LT µL =Σ

)(][],[],[ , EETTT Rfnnn =Σ iLR

( )][],[],[],[][],[],[ , nnnnfnnn HQTTMeMM iuLRuLR Σ=

( )]1[],[],1[],1[],[],[][ −−−= nnnnnnfn eeMMMMDGLM uuiLLRi

( )][][ nfn MVT ii =

( )]1[],1[][r, −−= nnfn TTT THµ µ

( )][],[][, nnfn TTPTV iRP =

( )]1[],[,,][ , −= nnfn TTVTT TPcλT

( )]1[,][ ,0 −= nfn TTT Tρρ ρ

( )][][ nfn TRT ρR =

( )]1[],[],[],[][ , −= Σ nnnnfn TTTTUT uiLRu

( )][][ nfn THT iH =

Abbildung 4.2.: Flussdiagramm der transienten und temperaturabhängigen Teilleitersimulation

82


1,

1,,

L

VL

TP

Umgebung für Strahlung

Kapselung

2,

2,,

L

VL

TP

Magn.

KopplungenMagn. Kopplungen

3,3,, , LVL TP

4,4,, , LVL TP

TU,S,4

εU,S,4

TU,S,3

εU,S,3 TU,S,2

εU,S,2

TU,S,1

εU,S,1

TA

TE

vH∞, TH∞

T∞,2

v∞,2

T∞,1

v∞,1

PV,Kaps, TKaps

T∞,1

v∞,1

TK,1

αK,1

TK,2

αK,2

Abbildung 4.3.: Übersicht über Wirkungsmechanismen

und EmissionsverhältnisenεU,S bestehen. An die Ränder der Anordnung grenzen fluidale Me-dien der äußeren Umgebung mit genauso verschiedenen fest vorgegebenen TemperaturenT∞ undStrömungsgeschwindigkeitenv∞. In geschlossenen oder belüfteten Hohlräumen sind die Fluidtem-peraturenTH,∞ und StrömungsgeschwindigkeitenvH,∞ variabel und werden mit einem Wärmeer-satznetzwerk bzw. den Strömungswiderständen bestimmt (Abschnitt 2.3.3). Durch Wärmeleitungund Strahlung kann jedes diskrete Flächenelement einen anderen Temperaturwert haben. Für dieBerechnung der Konvektion werden ganze Seitenflächen von Körpern als Verbund mit einem Wär-meübergangskoeffizientenαK, einer FluidtemperaturT∞ und einer Strömungsgeschwindigkeitv∞betrachtet. Die Wandtemperatur einer Fläche ist der Mittelwert aus den Temperaturen der zugehö-rigen diskreten Elemente, womit dannαK bestimmt wird.

Aus den Wärmeleitwertenλ wird die WärmeleitungsmatrixSL, und aus den Stromwärmever-lustenPV wird der ElementwärmequellenvektorbL gebildet. Die Temperaturen und SichtfaktorenFS der Flächen führen auf die StrahlungsleitungsmatrixSS und den StrahlungsquellenvektorbS.Ähnlich verhält es sich mit den Flächentemperaturen, den FluidtemperaturenT∞ und den Wärme-übergangskoeffizientenαK, die die KonvektionsleitungsmatrixSK und dem Konvektionsquellen-vektor bK bilden. Die GesamtleitungsmatrixSges und der Gesamtwärmequellenvektorbges sindjeweils die Summe der drei genannten Anteile.

Die Temperaturen im stationären Wärmefluss werden mit dem Broyden-Rang-1-Verfahren ite-rativ bestimmt.

In der transienten Wärmeflusssimulation wird ein vorgegebener Zeitbereich abgeschritten. Dazuwird zusätzlich zum stationären Fall die Wärmekapazitätsmatrix M aus den Massendichten undWärmekapazitäten berechnet und die Lösung einer instationären Differenzialgleichung 1. Ordnungmittels Runge-Kutta-Verfahren bestimmt.

Für die Simulation mit der Teilleitermethode und FEM mit beliebigen Vierecken als kleinstediskrete Einheit können beliebige Köperformen der Anordnung diskretisiert werden. Rechtecki-ge Körper werden am günstigsten mit Rechtecken diskretisiert, während Rundungen mit Trape-

83


zen und Dreiecken angenähert werden (siehe Kapitel 5 mit Beispielen). Dies ist für regelmäßi-ge Strukturen ohne Weiteres möglich. Beliebige unregelmäßige Profile oder der Zwischenraumzwischen runden und eckigen Körpern werden mit einem Gitternetz aus Dreiecken mit Hilfe desSoftwareprogramms Triangle basierend auf der Delaunay-Triangulation [64, 65] diskretisiert. ImAbschnitt 5.3 wird diese Methode bei der Simulation eines Giessharzblocks angewendet (sieheAbb. 5.37).

84

5. Beispiele und Anwendungen

5.1. Magnetische Sättigung

In einem ersten Beispiel wird eine einfache Leiteranordnung, bestehend aus einem Kabel als Hin-leiter (oder Innenleiter, Indexi) in einem magnetisierbaren Rohr als Rückleiter (oder Außenleiter,Indexa) in Abb. 5.1, betrachtet.

Stelltrans-

formator

Hochstrom-

transformator

Prüfling

VU effLE 230, =Qu

Ku

Ki

shu

ml 2=

Ω= mRsh 6.0

mau

miu

Abbildung 5.1.: Versuchsaufbau

Es handelt sich um einen Laboraufbau, dessen Messergebnisse mit einer Simulation vergli-chen werden. Während der Erwärmungsprüfung wird die Temperatur an vier Punkten gemessen(Abb. 5.2). Die in Tab. 5.1 gegebenen Daten werden für die einzelnen Komponenten zugrundegelegt.

Die gesamten Messungen finden in drei Stufen statt und werdenin den folgenden Unterabschnit-ten geschildert.

5.1.1. Messung der Magnetisierungskennlinie

Die Magnetisierungskennlinie des Rohrstahls wird wie in Abschnitt 1.9.2.1 beschrieben anhandeiner Ringkernprobe mit Wechsel- und Gleichstrom aufgenommen (Abbn. 5.3, 5.4, [8, 47]). DieRingkernprobe (Maße in Abb. 5.2 und Tab. 5.1) ist ein 40 mm langes abgetrenntes Stück des imHochstromversuch verwendeten Rohrs, welche mit zwei Wicklungen versehen ist. Die Erreger-wicklung w1 erzeugt ein MagnetfeldH, welches seinerseits über die nichtlineare Permeabilität

85


Kupferkern des Kabels

Isolierung und Mantel

Luftspalt

Stahlrohr

Messpunkt 1

Messpunkt 2

Messpunkt 3

Temperatur-

messschreiber

7.7

mm

11.7

mm

12.5

mm

17.5

mm

Messpunkt 4

Abbildung 5.2.: Prüfling im Querschnitt

Mittelspan-nungskabel(NS-GAFÖU):

Innenleiter(Kupferlitze)

r = 7.7mm ρ20= 3.085·10−8 α20 = 3.87·10−3

λ = 401 cp = 383.1 ρ = 8960

Isolierung(Synth.-Kautschuk)

d = 4mm

λ = 0.17 cp = 1380 ρ = 1130ε = 0.95

Luftspalt d = 0.8mmλ = 0.028 cp = 1008 ρ = 1.08

Stahlrohr St35 d = 5mm ρ20 = 1.65·10−7 α20 = 4.5·10−3

λ = 63.9 cp = 434 ρ = 7832ε = 0.7

Kernprobe St35 h= 40mm w1 = 256 w2 = 19

Umgebung: TU = 17.2C

Einheiten:ρ20 = [Ω ·m], α20 = [1/K], λ = [W/(m ·K)], ρ = [kg/m3], cp = [J/(kg·K)]Die Magnetisierungskennlinie des Rohrstahls ist in Abb. 5.4dargestellt und wird in der Simula-tion mit der roten Ursprungskennlinie als Approximation gemäß Gl. (1.128) in Abschnitt 1.9.2.1verwendet.

Tabelle 5.1.: Daten des Versuchsaufbaus

86


µ(H) und InduktionB(H) eine Leerlaufspannunguψ in die Sensorwicklungw2 induziert.

lFe = 2π rm = 2π12.5mm+17.5mm

2= 94mm (5.1)

AQ,Fe = (ra− r i)h= (17.5−12.5) ·40mm2 = 200mm2 (5.2)

H(t) =w1i(t)

lFeB(H) = µ0µ(H)H (5.3)

ψ(t) = w2AQ,FeB(t) uψ(t) =ddt

ψ(t) (5.4)

Mit einem Transientenrekorder wird der Erregerstromi(t) und die induzierte Spannunguψ(t) ge-messen. Anhand der geometrisch charakteristischen AbmessungenlFe,AQ,Fe der Ringkernprobewird von den gemessenen Klemmengrößeni(t) und uψ(t) auf die lokalen FeldgrößenH(t) undB(t) zurückgerechnet. Für den verketteten Flussψ(t) bzw. die InduktionB(t) wird die induzierteSpannunguψ(t) im Rechner mit einem numerischen Verfahren integriert.

ψ(t) =ˆ

ψ0

uψ(t)dt −→ B(t) =ψ(t)

w2AQ,Fe(5.5)

Zuerst wird die Wechselstrommessung durchgeführt. Nach Erreichen der Sättigung werden dieVerläufe für mehrere abnehmende Amplituden aufgenommen, bis der Kern entmagnetisiert ist.Die Integrationskonstanteψ0 für jede aufgenommene Amplitude wird durch die bekannte Sym-metrie der Sättigungsinduktion festgelegt. Nach entmagnetisiertem Kern wird die Erregerwick-lung über einen Schalter mit einer genügend hohen Gleichspannung erregt, so dass nach einigerZeit der Aufmagnetisierung der Kniepunktstrom überschritten und die Sättigung erreicht wird.Dieser stationäre Gleichstrom wird durch den Widerstand der Erregerwicklung begrenzt. Darausergibt sich die Neukurve der Ringkernprobe. Nach Ausschalten der Gleichspannung entmagneti-siert sich die Ringkernprobe über einen Dämpfungswiderstand Rd in den nächsten beinahe höchs-ten Remanenzpunkt. Nach jeweiligem Umpolen der Gleichspannungsquelle kann dieser Vorgangauch für verschiedene Amplituden beliebig fortgesetzt undeine vollständige Hystereseschleifedurch Zusammensetzen solcher Teilmessungen aufgenommen werden. Die Integrationskonstan-te als Anfangspunkt einer Teilmessung orientiert sich jeweils am Remanenzpunkt der vorange-gangenen Teilmessung bzw. an der symmetrischen Sättigung oder stationären Stromgrenze einerGesamtschleife.

Bei dieser Messung stellt sich heraus, dass die magnetische Hysterese dieses Stahls bei Netzfre-quenz keine klassische Grenzschleife aufweist, d. h. es gibt für jede höhere ErregungsamplitudeHeine weitere äußere Hystereseschleife. Da diese Ringkernprobe aus einem massiven Ring und nichtwie für magnetische Kernmaterialien üblich gegen Wirbelströme laminiert ist, sind letztere in die-ser Messung wohl nicht mehr vernachlässigbar. Die Messung mit Gleichströmen ergibt wiederumeine klassische begrenzte Hystereseschleife, womit die rote Kennlinie als sehr gute Approximationgefunden wird. Eine Approximation anhand der Kommutierungspunkte der Wechselstromschlei-fen würde eine viel flachere und völlig andere Kennlinie ergeben.

5.1.2. Messung mit hohen Strömen ohne Erwärmung

Alle Spannungen und Ströme werden mit einem Transientenrecorder aufgezeichnet, womit Aus-wertungen über Effektivwert, Betrag, Phase, etc. möglich sind. Zuerst wird die Quellenspannunguq als Leerlaufspannung des Stelltransformators an den KlemmenK zum Versuchsobjekt für ver-schiedene Stufenstellungen (siehe Prozentwert als AnteilvonUq,max) gemessen.

87


shR )(ti

)(tui

)(tuψ

)(tuAC

)(tuDC dR

C)(ti

Transienten-

rekorder

)(tuψ

1w2w

Fe

FeQ

l

A ,

Ringkernprobe

Abbildung 5.3.: Messung der Magnetisierungskennlinien, schematische Darstellung

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

−30 −20 −10 0 10 20 30

B [T

]

H [kA/m]

B(H) St35

Mess. 50 Hz (AC)Mess. 0 Hz (DC)

Sim. trans.

Abbildung 5.4.: Magnetisierungskennlinien von St35

88


Danach wird für die gleichen Stufenstellungen mit dem Versuchsobjekt belastet und die Strömeund Spannungen an den Klemmen gemessen. Diese Belastungstests bis zur maximalen Quellen-spannung sind sehr kurz, so dass es zu keiner nennenswerten Temperaturerhöhung kommt.

In der Messung ist die Zählrichtung der Rückleiterspannunguma (hier das Rohr als Außenleiter)anders als in der Simulation (siehe Abb. 1.3) entsprechend der Stromrichtung gezählt. Im Folgen-den ist diese Zählrichtung in den Simulationsergebnissen an die Zählrichtung der Messung ange-passt. In Abb. 5.5 ist das Ersatzschaltbild für Messung und Simulation mit den entsprechendenleicht unterschiedlichen Impedanzdiagrammen gezeigt. Dader Hin- und Rückleiterstrom gleichsind, kann die KoppelimpedanzZia = Zai jeweils in eine GesamtimpedanzZi undZa der Hin- undRückleiter wie in Gl. (5.6) zusammengefasst werden. In der simulierten Variante in Abschnitt 5.1.4werden diese Koppelimpedanzen getrennt dargestellt.

qZ üZ

iZaZ

kZgesZ

ZRe

ZIm Messung

Simulation

*qZ 1,iüZ iZ

aZ

2,iüZ

1,aüZ 2,aüZshRqU

2,1,2,1,

*

aüaüiüiüü

shqq

ZZZZZRZZ

+++=+=

qZiZ

aZqU

üZ

Messung:

Simulation:

kZgesZ

kZgesZ

K

K

Abbildung 5.5.: Gemessener und simulierter Aufbau mit Zeigerdiagramm

U i =Zii I i +ZiaIa

Ua =ZiaI i +ZaaIa

mit I i = Ik und Ia =−Ik

U i =(Zii −Zia) Ik = ZiIk

Ua =(Zia −Zaa) Ik =−ZaIk

Uk =U i −Ua = (Zii −2Zia +Zaa) Ik = (Zi +Za) Ik

(5.6)

Die genaue Messung der einzelnen induktiven AnteileZii ,Zia,Zaa,Zi,Za ist mit diesem Versuchsauf-bau jedoch nicht möglich, da es generell schwierig bis unmöglich ist, einzelne Längsspannungsab-fälle entlang von Leitungen bzw. die Kopplungsterme der Impedanzmatrix zu messen. Dabei müs-sen einzelne Ströme mathematisch zu null gesetzt werden, d.h. physikalisch muss die Anordnungdazu verändert werden. Bei einer solchen Messung werden zwangsläufig zusätzliche Spannungenin die Messleitungen induziert, wenn diese zwei voneinander entfernte Punkte nicht wirbelfreierPotentiale abgreifen. Dies ist ein deutlicher Unterschiedzur klassischen Mehrpoltheorie konzen-trierter Elemente, wo an den Klemmen wirbelfreie Potentiale gemessen werden. Mit dem Rohrals Rückleiter wird ein geschlossenes System gebildet, in dessen Umgebung das Magnetfeld ver-schwindet. Eine Messung, wie in Abb. 5.1 skizziert, ist damit störungsfrei möglich. Aufgrund des

89


Aufbaus (Abb. 5.1) beinhaltet die gemessene Spannungumi den resistiven Anteil des Innenleitersund den Gesamtfluss des Innen- und Aussenleiters, während die Spannunguma nur den resisitvenAnteil des Aussenleiters enthält.

Bestünde das Rohr aus Kupfer, so ergeben sich mit den gegebenenAbmessungen und den For-meln 6, 7, 10 für Induktivitäten (ohne Berücksichtigung der Stromverdrängung) aus [20] die Antei-le in den Gln. (5.7), (5.8a) und damit das Zeigerdiagramm in Abb. 5.6. Der Raum zwischen Kabelund Rohrinnenwand ist erheblich vom Feld durchsetzt, Stromverdrängung findet kaum statt. DieSimulation dieser Anordnung ergibt die gleichen Werte, undder Vergleich mit einer Messung wäredamit nicht möglich.

Da das magnetische Stahlrohr jedoch zu einer erheblichen Feldverstärkung innerhalb des Rohrsgegenüber dem Rest der Anordnung führt, werden die Koppelinduktivität Lia = Lai und die Eigen-induktivität Laa fast entgegengesetzt gleich groß, so dassZa nur noch einen vorwiegend resistivenAnteil beinhaltet undZi nur noch jenen induktiven Anteil enthält, von dem in Gl. 5.6 ausgegan-gen wird. Eine analytische Berechnung ist aufgrund der starken Stromverdrängung nicht möglich.Aus der Simulation ergeben sich die Hauptleiterimpedanzmatrix in Gl. (5.8b) und das Zeigerdia-gramm in Abb. 5.7. Somit sind Messung und Simulation in diesem speziellen Fall miteinandernäherungsweise vergleichbar.

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

X [m

Ω]

R [mΩ]

Rohr Cu

ZiZa

Zk

Zii Zia

Zai Zaa

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

X [m

Ω]

R [mΩ]

Rohr Cu (ohne Kopplungen)

Zi

Za

Zk


−1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 2 3 4 5 6 7

X [m

Ω]

R [mΩ]

Rohr St35

Zii Zia

Zai

ZiiZiaZi

ZaiZaaZaZk

0 0.5

1 1.5

2 2.5

3 3.5

4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

X [m

Ω]

R [mΩ]

Rohr St35 (ohne Kopplungen)

Zi

Za

Zk


90


gii = raexp

(

−14

)

= 5.997·10−3 gaa = rR,aexp

(

−43

rR,i dR

(2rR,i +dR)2

)

= 15.952·10−3 (5.7a)

gia = rR,aexp

(

− dR

2rR,i +dR

)

= 14.813·10−3

Lii = lµ0

2πln

D∞gii

Laa = lµ0

2πln

D∞gaa

Lia = lµ0

2πln

D∞gia

(5.7b)

Li = lµ0

2πln

gia

giiLa = l

µ0

2πln

gia

gaaLk = l

µ0

2πln

g2ia

gii gaa(5.7c)

Rk = Rii +Raa (5.7d)

Rohr Cu:

ZHL [mΩ] =

[

Zii Zia

Zai Zaa

]

=

[

0.32+ j1.47 0.5·10−3+ j1.360.5·10−3+ j1.36 0.13+ j1.35

]

Zk [mΩ] = 0.45+ j0.1 (5.8a)

Rohr St35 (µr linear):

ZHL [mΩ] =

[

Zii Zia

Zai Zaa

]

=

[

6.3+ j7.2 2.63+ j3.742.63+ j3.74 2.5+ j3.77

]

Zk [mΩ] = 2.5+ j3.77 (5.8b)

Aus der KlemmenspannungUk und dem KlemmenstromIk wird die QuellenimpedanzZq (mitMess-ShuntRsh und die PrüflingsgesamtimpedanzZk für verschiedene Stufen der Quellenspan-nung bestimmt. Die Differenz zwischen der gemessenen Klemmenspannunguk und der gemesse-nen Gesamtspannungumi+uma (Abb. 5.1) führt auf die Impedanz der ÜbergangswiderständeZuan den Anschlusspunkten, die auch eine erhöhte Impedanz durch Feldinhomogenitäten in diesemBereich beinhaltet. Für die Simulation wird die Summe der Übergangswiderstände mit der Quel-lenimpedanz zusammengefasst, da sie mit der zweidimensionalen Simulation nicht erfasst werden.Dadurch werden die Anschlussklemmen in der Simulation in das Innere des Prüflings projiziert,und die Zeigerdiagramme erhalten in diesem Bereich zwei leicht verschiedene Fußpunkte. Beikleinen Spannungen nimmt die Impedanz bis zu einem Maximum zu, um dann, bedingt durch ma-gnetische Sättigung des Stahlrohres, mit steigender Spannung monoton abzunehmen (Abb. 5.9).Der Effekt der anfänglichen Impedanzzunahme ist bei Messung und Simulation gegenläufig in derReaktanz (Drehsinn der Impedanztrajektorie). Dies ist auf eine leicht unterschiedliche Steigung derMagnetisierungskennline (Anfangspermeabilitätµr,a) und weitere Hystereseeffekte in diesem Be-reich zurückzuführen. Eine vergleichende Simulation ohneAnfangspermeabilität zeigt eine nahezugeradlinige Impedanztrajektorie fast ohne Drehsinn in Abb. 5.10. Abb. 5.11 zeigt die gemessenenund simulierten Ströme und Spannungen jeweils für 25 und 105% der maximalen Quellenspan-nung. Strom und Spannungui (inneres Kabel) zeigen eine gute Übereinstimmung, währenddieSpannungua (äußeres Rohr) eine signifikante Abweichung aufweist. DieseAbweichung ist auchim Zeigerdiagramm sichtbar. Sie liegt darin begründet, dass die ImpedanzenZi und Za sehr un-gleich sind, und sich jede kleine Änderung der Eingabedatenzuerst vorwiegend in einer starkenÄnderung vonZa äußert. Da ein leichter Gleichanteil in der zeitabhängigenSimulation noch nichtvollständig abgeklungen ist, ist die simulierte Spannungua leicht unsymmetrisch zur Zeitachse.

Weitere Simulationen mit Spitzenwerten und umgerechnetenMagnetisierungskennlinien auf Ef-fektivwerte und Mittelwerte davon (Abschnitt 1.9.2.3) zeigen in Abb. 5.9 (vergrößerter Bereich)

91


0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

0 1 2 3 4 5 6 7

X [m

Ω]

R [mΩ]

Rohr St35

Mess.(Uq = 5%)

Sim.(Uq = 5%)

Uq = 25%

Uq = 25%

Mess.; Sim.(Uq = 105%)

ZqZkZüZiZa

Zges

Abbildung 5.8.: Impedanz-Zeigerdiagramm der Messung und transienten Simulation

2.5

3

3.5

4

4.5

5

4 4.5 5 5.5 6

X [m

Ω]

R [mΩ]

Rohr St35

Uq = 5%

Uq = 25%

Uq = 105%

Zi(Sim−trans)

Za(Sim−trans)

Zi(Sim−(BH)MW,eff)

Za(Sim−(BH)MW,eff)

Zi(Sim−Beff)

Za(Sim−Beff)

Zi(Sim−Heff)

Za(Sim−Heff)

Zi(Sim−SpW)

Za(Sim−SpW)

Abbildung 5.9.: Impedanz-Zeigerdiagramm der transientenSimulation und Simulation mit Effek-tivwerten

92


2.5

3

3.5

4

4.5

5

4 4.5 5 5.5 6

X [m

Ω]

R [mΩ]

Zi(Sim,SpW)

Za(Sim,SpW)

Zi(Sim,SpW,0)

Za(Sim,SpW,0)

0

0.5

1

1.5

2

0 2 4 6 8 10

B [T

]

H [A/m]

B(H)−DC B(H)−DC−0

Abbildung 5.10.: Impedanz-Zeigerdiagramm Simulation mitund ohne Anfangspermeabilität (0)

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

−300

−200

−100

0

100

200

300

u [V

]

i [A

]

Uq = 25%

ik(Mess)ik(Sim)

ui(Mess)ui(Sim)

ua(Mess)ua(Sim)

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

10 15 20 25 30

u [V

]

t [ms]

−6

−4

−2

0

2

4

6

−2000

−1000

0

1000

2000

u [V

]

i [A

]

Uq = 105%

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

10 15 20 25 30

u [V

]

t [ms]

Abbildung 5.11.: Simulation und Messung

93


eine gute Übereinstimmung mit der ursprünglichen transienten Simulation. Die Zeitersparnis ge-genüber der transienten Simulation ist erheblich. Die elektrisch quasistationäre Simulation mitEffektivwerten wird im nächsten Abschnitt 5.1.3 mit der transienten Erwärmung gekoppelt.

Abb. 5.12 zeigt die Verteilung der stationären Stromdichteund der Permeabilität bei maximalerQuellenspannung. Die Stromdichte ist aufgrund des Näheeffekts (Proximityeffekt) zum Innenleiterhin stark erhöht. In vielen Literaturquellen beschränken sich die Angaben über ferromagnetischeStoffe auf eine konstante Permeabilität, die auch sehr ungenau sein kann und in den meisten Fäl-len den höchsten Wert des nichtlinearen Kurvenverlaufs angibt (Abb. 1.10). Würde man die gernverwendete Stromeindringtiefe in diesem Beispiel von St35 mit µr = 400 ablesen, so ergibt sich

δ =1√

πµ0µr f κ=

1√

πµ0 ·400·50Hz· 11.65·10−7Ωm

= 1.44mm (5.9)

was etwa derjenigen Stelle entlang des Rohrradius entspricht, wo die Stromdichte auf 37% deshöchsten Wertes (hier am Innenrand) abgefallen ist, wenn ein idealer exponentiell abfallender Ver-lauf vorausgesetzt wird. Bei einer Rohrdicke von 5mm sind dies28% vom Innenrand aus ge-messen. Abb. 5.13 zeigt den stationären Verlauf der relativen Permeabilitätµr, der magnetischenFeldstärkeH und der StromdichteJ.

Der gesamte charakteristische nichtlineare Bereich der Permeabilität ist in diesem Bereich wirk-sam, was dazu führt, dass die Stromdichte zuerst nahezu linear und nicht exponentiell zum äuße-ren Rand hin auf den konstanten Wert vonJmin = 1.133A/mm2 abfällt. Dieser Wert beträgt 15%vom höchsten WertJmax= 7.44A/mm2 am Innenrand (Abb. 5.12), dürfte hier bei dreifacher Stro-meindringtiefe jedoch nur 5% gemäß dem ideal exponentiellen Verlauf betragen. Dieser Sach-verhalt wird besonders dann bedeutsam, wenn daraus Schlussfolgerungen über den maximalenSpannungsabfall und die maximale Berührungsspannung entlang der äußeren Rohrfläche gezogenwerden.

94


Abbildung 5.12.: Simulierte Permeabilität und Stromdichte als Effektivwerte bei maximaler Quel-lenspannung

0

100

200

300

400

500

0 1 2 3 4 5 0 2 4 6 8 10 12 14

µ r

H [k

A/m

], J

[A/m

m²]

d [mm]

myr H J

Abbildung 5.13.: Simulierte Permeabilität, Feldstärke und Stromdichte als Effektivwerte bei ma-ximaler Quellenspannung

95


5.1.3. Erwärmungsversuch

Im letzten Abschnitt wurde nur das elektrische Betriebsverhalten mit Messungen und Simulatio-nen bei Raumtemperatur betrachtet. Nun wird bei Raumtemperatur ein stationärer Dauerstrom vonca. 200 A bei 25% der maximalen Quellenspannung eingeprägt,wobei sich die Anordnung fast aufeine stationäre Endtemperatur aufwärmt, ab welcher die Temperatur nach Abschalten der Quellewieder auf Raumtemperatur abkühlt (Abb. 5.15). In der Simulation sind alle Wärmeübertragungs-mechanismen berücksichtigt, wobei für die Konvektion Formel 19 im Anhang A.1 verwendet wird.Abb. 5.14 zeigt die simulierte Anordnung samt ihrer Umgebung.

Simulation und Messung in Abb. 5.15 zeigen eine gute Übereinstimmung. Im elektrischen Simu-lationsteil wird die bei Raumtemperatur gültige Magnetisierungskennlinie in Abb. 5.4 verwendet.

Abbildung 5.14.: Simulierter Aufbau mit Umgebung

10

20

30

40

50

60

70

80

0 50 100 150 200

T [°

C]

t [min]

M1(Sim)M2(Sim)

M3M4(Sim)

M1(Mess)M2(Mess)M3(Mess)

M4(Mess)

Abbildung 5.15.: Aufwärm- und Abkühlvorgang

96


5.1.4. Erwärmung bei hohen Temperaturen

Als Erweiterung der durchgeführten Messungen und Simulationen wird eine weitere Variante alshypothetischer Fall simuliert. Es wird für das Stahlrohr nun statt St35 nahezu reines Eisen mitMaterialdaten im Anhang A.2 angenommen, von welchem auch bis zur Curietemperatur gemes-sene Magnetisierungskennlinien bekannt sind, die nun mit den Gleichungen in Abschnitt 1.9.2.4approximiert werden. In Abb. 5.16 ist die analytische Approximation den gemessenen Verläufenaus Abb. A.11 gegenübergestellt. Für die stationäre Simulation mit Effektivwerten werden dieBH-Kennlinien in Abb. A.11(a) nach der in Abschnitt 1.9.2.3 beschriebenen Methode in entspre-chende Effektivwert-Kennlinien umgerechnet, wovon für die Approximation wiederum nur dieSättigungspolarisation und die Kniepunktfeldstärke benötigt werden.

Die Kabelisolierung sei jetzt durch hitzebeständiges Magnesiumoxid ersetzt. In der Simulationsei die Innenimpedanz der Quelle für alle Ströme konstant. Alle weiteren Daten der Anordnungbleiben unverändert (Tab. 5.2).

Gemäß Gl. (5.6) sind in Abb. 5.18 die vier MatrixelementeZii ,Zia = Zai,Zaa als Eigen- undKoppellimpedanzen der Hauptleiterimpedanzmatrix für steigende Temperaturen oben links aufge-tragen. Unten links ist für 769C das gesamte Zeigerdiagramm dargestellt und zusätzlich die Tra-jektorien der Zeigerenden für alle simulierte Temperaturen bis knapp oberhalb der Curietemperaturvon 768C. Als abhängige Temperatur ist der jeweils höchste vorkommende Wert im InnenleiterTi,max gewählt. Die Differenz zum höchsten Wert im AußenleiterTa,max ist mit maximal 20C bei913C simulierter Innenleitertemperatur nicht besonders hochund in Abb. 5.20 aufgetragen, d. h.das verwendete Magnesiumoxid ist für diese Anwendung ein guter Wärmeleiter.

Die ImpedanzZi fällt mit steigender Temperatur, da sie im Wesentlichen vonder magnetischenKopplung zum umgebenden Rohr und von dessen Permeabilität abhängt, während die ImpedanzZafür niedrige Temperaturen sehr klein ist. Hier sind die beiden TeilimpedanzenZia undZaa nahezugleich, was sich ab etwa 177C aufwärts ändert und ein vorwiegend resisitvesZa hervorbringt. Da-mit wird ein signifikanter SpannungsabfallUa auftreten, der auch als Berührungsspannung relevantsein kann. Durch das nichtlineare magnetische Verhalten nimmt die Klemmenimpedanz bereits beiviel niedriger Temperatur ab, als man es nach alleiniger Beurteilung der magnetischen Sättigungs-polarisation bis zur Curietemperatur erwarten würde. Erst bei noch höheren Temperaturen machtsich der steigende ohmsche Widerstand in einer Impedanzerhöhung bemerkbar.

Die GesamtimpedanzZges der Anordnung inklusive QuellenimpedanzZq ist durch die Ände-rung der Klemmenimpedanz weniger beeinflusst, so dass der Strom fast linear mit der Temperaturansteigt (Bild oben rechts). Die Verluste im Innen- und Außenleiter in Abb. 5.19 zeigen, dass derAußenleiter die höchsten Verluste erzeugt, die Tendenz jedoch bei beiden ähnlich ist.

97


0 0.2 0.4 0.6 0.8

1 1.2 1.4 1.6 1.8

−200 0 200 400 600 800 0

200

400

600

800

1000

1200

Pm

,S [T

]

HK, H

C [A

/m]

T [°C]

Pm,S

HK

HC

approx−transapprox−eff

Abbildung 5.16.: Approximation der Polarisation und Kniepunktfeldstärke von Eisen

0 500

1000 1500

2000

−250 0 250 500 750 1000

0 2000 4000 6000 8000

µr

H [A/m]

T [°C]

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

0 500

1000 1500

2000

−250 0 250 500 750 1000

0 0.5

1 1.5

2

Pm [T]

H [A/m]

T [°C]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Abbildung 5.17.: Approximation der Polarisation und Permeabilität von Eisen

Innenleiter Kupferlitze Ø= 7.7mmλ = 401

ρ20 = 3.085·10−8

cp = 383.1α20 = 3.87·10−3

ρ = 8960

Isolierung(MagnesiumoxidMgO)

d = 4.8mmλ = 8

cp = 950 ρ = 2300

Eisenrohr Fe d = 5mm ρ(T)(Anh. A.2, Abb. A.5)λ = 73 cp = 452 ρ = 7000ε = 0.7

Umgebung: TU = 17.2C

Einheiten:ρ20 = [Ω ·m], α20 = [1/K], λ = [W/(m ·K)], ρ = [kg/m3], cp = [J/(kg·K)]

Tabelle 5.2.: Daten der simulierten Anordnung bei hohen Temperaturen

98


0

2

4

6

8

0 2 4 6 8 10 12 14

X [m

Ω]

R [mΩ]

Uq = 0.1 VTi,max = 18°C

Uq = 15 VTi,max = 913°C

Ti,max = 177°C

Zq Zk Zi Za Zges

0 2 4 6 8

10 12 14 16

0 2 4 6 8 10 12 14

X [m

Ω]

R [mΩ]

T

177°C ZiiZiaZaaZk 0

500

1000

1500

2000

0 200 400 600 800 1000

I [A

]

Ti,max [°C]

4

5

6

7

8

0 200 400 600 800 1000

Zk

[mΩ

]

Ti,max [°C]

Abbildung 5.18.: Simulation der Anordnung bei hohen Temperaturen - Impedanzen und Strom,Zeigerdiagramm exemplarisch für 768C

0 2 4 6 8

10 12 14

0 200 400 600 800 1000

Pv,

k [k

W]

Ti,max [°C]

Pv,i

Pv,a

10−410−310−210−1100101

20 50 100 200 500 1000

Pv,

k [k

W]

Ti,max [°C]

log10

Pv,i

Pv,a

Abbildung 5.19.: Simulation der Anordnung bei hohen Temperaturen - Verluste

0

4

8

12

16

20

24

0 200 400 600 800 1000

Ti,m

ax −

Ta,

max

[°C

]

Ti,max [°C]

Abbildung 5.20.: Simulation der Anordnung bei hohen Temperaturen - Temperaturabfall

99


5.2. Elektrische Unsymmetrie einer Schienenanordnung

In diesem Beispiel wird ein Stromschienensystem ähnlich zu [28, 29, 67] untersucht, wie es inbegrenzten Niederspannungsverteilnetzen verwendet wird, z. B. in größeren Gebäuden, Fabriken,etc. Solche Schienensysteme bieten den Vorteil höherer Strombelastbarkeit als Kabel, da sie besserbelüftet sind und die Wärmeverluste leichter abgeführt werden (Abb.5.21). Die einzelnen Schie-nen sind innerhalb des Schienenpaketes flach und in relativ kleinem Abstand zueinander angeord-net. Aufgrund magnetischer Kopplung zwischen den Schienenist hier ist mit Unsymmetrie aufder elektrischen Seite zu rechnen, was wiederum als Nachteil gegenüber Kabeln zu werten ist.Ein solch exemplarisches Schienensystem wird nun auf sein Betriebsverhalten unter Normal- undFehlerbedingungen untersucht. Hier interessieren vor allem das Übertragungsverhalten der Wär-meverluste und der Grad der elektrischen Unsymmetrie.

Abbildung 5.21.: Schienenanordnung

In Abb. 5.21 ist ein Schienensystem für 3200 A Nennstrom, bestehend aus 9 Stromschienenund einer belüfteten Kapselung, dargestellt. Die ersten 8 Schienen können in beliebiger Konfi-guration an das Drehstromsystem angeschlossen werden und sind vorerst als SchienenS1. . .S8nummeriert. Die letzte 9. Schiene sei als Schutzleiter PE bereits elektrisch parallel mit der Kap-selung verbunden. Das Schienensystem wird mit den in Tab. 5.3 gegebenen Daten simuliert. DiePermeabilität der Kapselung wird als konstant angenommen,und die Anordnung bleibt dadurchmagnetisch linear. Mit dem Modell der Stromeinprägung und einer Schienenlänge von 1 m könnendie Ergebnisse als längenbezogen gewertet und auf beliebige Schienenlängen umgerechnet wer-den. Zwecks Belüftung besteht die Kapselung auf der Ober- undUnterseite aus einem Gitter [67].In der Simulation wird anstatt der zahlreichen kleinen Gitteröffnungen eine äquivalente Fläche anÖffnung und Bedeckung im Verhältnis 1:2 gewählt. Der konvektive Wärmeübergang wir durchdie in Tab. 5.4 gegebenen, aus Anhang A.1 entnommenen Formeln simuliert. Die charakteristischeLänge für die Kapselungsaussenwände ergibt sich mit den Außenmaßen (Breite und Höhe) füreinen Quader [24]. Durch den reziproken Ansatz ist die kürzere der beiden Seiten bestimmend.

1lw

=1H

+1B=

1180mm

+1

240mm= 103mm (5.10)

Innerhalb der Kapsel erfolgt der konvektive Wärmeübergang hauptsächlich durch gemischte (freie

100


Schienen: 100 x 10 mm lichter Abstand = 8 mmElektrokupfer ρ20 = 1.724·10−8 α20= 3.92·10−3

λ = 401 ρ = 8960Beschichtung ε = 0.95

Kapselung: 240 x 180 mm Blechdicke= 2mmStahlblech ρ20 = 1.49·10−7 α20 = 5·10−3 µr = 500

λ = 73 ρ = 8100Beschichtung ε = 0.9

Umgebung: TU = 40C

Einheiten:ρ20 = [Ω ·m], α20 = [1/K], λ = [W/(m ·K)], ρ = [kg/m3]

Tabelle 5.3.: Daten der simulierten Schienenanordnung

Geräteteil Formel, Anwendung lw

Wärmeabgabe Schienenpaket Gl. (26), erzw. Konv. 102mmWärmeaufnahme seitlicheKapselungsinnenwand

Gl. (8) mit Werten aus Gl. (3),erzw. Konv.

kurzer Teil: 38mmlanger Teil: 100mm

WärmeabgabeKapselungsaussenwände

Gl. (14) 103mm

Tabelle 5.4.: Verwendete Konvektionsformeln

und erzwungene) Konvektion, hervorgerufen durch den Temperaturunterschied zwischen Kapse-lungsoberseite und -unterseite. Die Belüftungsgitter obenund unten, die Schienen und die Sei-tenwände begrenzen den Luftstrom (Simulation mit belüftetem Hohlraum in Abschnitt 2.3.3.2).Für die Berechnung der Strömungswiderstände sind die Daten aus [5, 37, 38] entnommen und inTab. 5.5 angegeben.

Die gelochte Fläche als ÖffnungsflächeAO f f der Abdeckungsgitter soll dem verengten Kanal-querschnittAK = 196mm· 1m entsprechen. Die effektive Gesamtfläche der LuftöffnungAe f f =106mm·1m ergibt sich aus dem verengten Kanalquerschnitt abzüglich den gesamten Schienen-querschnittenAS,Σ = 9·10mm. Die Höhe der Kanalströmung beträgth= 180mm.

5.2.1. Übertragungsverhalten der Wärmeverluste unterNormalbedingungen

Das beschriebene Schienensystem wird zunächst wie in Abb. 5.22 angeschlossen (Zuordnung der9 Schienen zu den elektrischen Hauptleitern) und mit einem dreiphasig symmetrischen Nennstromvon 3200 A betrieben. In der Simulation ist die Umgebung als zylindrische Hülle um das Schie-nensystem mit einer maximalen Umgebungstemperatur von 40C modelliert (Abb. 5.23). Als Er-gebnis sind die Stromdichte- und Temperaturverteilung in Abb. 5.24 und Abb. 5.25 dargestellt.In der Kapselung stellt sich eine mittlere Strömungsgeschwindigkeit vH und eine mittlere Tem-peraturTH der Luft im Hohlraum gemäß den Werten in Tab. 5.6 ein. Die Strömungswiderständesind relativ ungleichmäßig verteilt, wobei die Belüftungsgitter mit SE und SA den größten Wi-derstand ausmachen. Die Querschnittseinengung mitSQ könnte vernachlässigt werden. Mit densimulierten elektrischen Wärmeverlusten als Zwischenergebnis wird eine reine Wärmeflusssimu-

101


Eintrittsöffnung (unten) cW,E = ξE +(

1− AEAK

)2ξE = 16.5AE = 0.3AO f f

TE = TU

Austrittsöffnung (oben) cW,A = (1+ξA) ξA = 16.5AA = AE

TA

Querschnittseinengung cW,Q = ξQ ξQ = 0.14A1 = 196mm·1mA2 = 232mm·1mAQ = A1

TQ = TH

Einbauelemente cW,S= ξE ξE = 1.56AE = 9·10mm

TE = TH

Tabelle 5.5.: Daten der Strömungswiderstände

PE

L1

L2

L3

N

L1

L2

L3

N

PE

Abbildung 5.22.: Beispiel Schienenanschluss L1-L2-L3-N-N-L3-L2-L1-PE

Abbildung 5.23.: Schienenanordnung mit simulierter Umgebung in EMWSim

102


vH = 0.12m/sTH = 70CSE = 2107kg/m7 SS= 25kg/m7 SQ = 0.48kg/m7 SA = 585kg/m7

Tabelle 5.6.: Mittlere Hohlraumtemperatur und - geschwindigkeit, Strömungswiderstände

Abbildung 5.24.: Simulierte Stromdichte in EMWSim

Abbildung 5.25.: Simulierte Temperatur in EMWSim

103


lation in ANSYSR© CFX [1] durchgeführt, um das Konvektionsverhalten der Luft zu verifizieren(Abbn. 5.26 und 5.27). Zwischen den beiden Simulationen isteine gute Übereinstimmung fest-stellbar. Die höchste Temperatur bleibt auf ca. 100C beschränkt.

5.2.2. Allgemeine Daten für das elektrische Betriebsverhalten

Bis hierher wurde eine erste Anschlussmöglichkeit des Schienensystems an das Drehstromnetzbetrachtet (Abb. 5.22 entspricht Fall <F1> in Tab. 5.7) und dazu ein typisches Temperaturprofilunter Betriebsbedingungen gefunden. Im nächsten Schritt sollen nun weitere Anschlussmöglich-keiten betrachtet werden, wobei jeweils nur noch eine rein elektrische Simulation des Schienen-systems allgemein mit einem vereinfachten und fest vorgegebenen Temperaturprofil, basierend aufder letzten Simulation, vorgenommen wird. Jeder Leiter seijetzt ein Hauptleiter, d. h. es werden9 Hauptleiter betrachtet.

S1. . .S8 100CPE 75CKapselung 65C

Ein Ergebnis der Simulation von Fall <F1> ist die Hauptleiter-Impedanzmatrix in Tab. 5.28.Ihre ohmschen und induktiven Anteile sind in Abb. 5.29 farblich veranschaulicht. Es wird deut-

lich, dass die ohmschen Verluste und die ohmsche Kopplung (hervorgerufen durch Wirbelströme)vom Schutzleiter in die benachbarten Schienen (rechter Teil der Anordnung) erhöht sind, sowiedie induktive Kopplung von Schiene S1 in ihre benachbarten Schienen (linker Teil) erhöht ist. Hierwird das komplementäre Phänomen der Stromverdrängung wieder deutlich, dass die ohmschenVerluste dort steigen, wo magnetische Energie vermindert wird und umgekehrt. Vor allem fälltjedoch eine erhebliche Unsymmetrie auf.

Mit dem Simulationsprogramm MatlabR©Simulink [39, 40] wird das Schienensystem wie inAbb. 5.22 exemplarisch angedeutet als 9x9-Matrix mit Werten wie in Tab. 5.28 an eine Dreh-stromquelle angeschlossen und in Leitergrößen simuliert.Die Anschlussmöglichkeiten zwischenden Leitern eines Drehstromnetzes und den 8 Schienen (Erde PE ist fest zugeordnet) ist varia-bel und das Ziel der Untersuchung. Von diesen Möglichkeitenwerden hier fünf grundsätzlicheFälle betrachtet (Tab. 5.7). Ähnlich der Messvorschrift inder Norm DIN EN 60439-2 [49] wer-

Fall S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 PE

<F1> L1 L2 L3 N N L3 L2 L1 PE<F2> L1 L2 L3 N N L1 L2 L3 PE<F3> L1 L2 L3 N L1 L2 L3 N PE<F4> N L1 L2 L3 L1 L2 L3 N PE<F5> N L1 L2 L3 L3 L2 L1 N PE

Tabelle 5.7.: Anschlussmöglichkeiten, Zuordnung der Hauptleiter

den die Impedanzen der symmetrischen Komponenten des Schienensystems als Mehrpolelementsimulatorisch bestimmt, wobei zwei mögliche Nullimpedanzen in Frage kommen: Neutral- oderSchutzleiter als Rückleiter. In Tab. 5.8 sind diese Werte fürden Fall <F1> als Beispiel gegeben.In Abb. 5.30 sind die Verluste und die Mitimpedanz dieser verschiedenen Fälle als längenbezo-gene Größen dargestellt. Daraus ist ersichtlich, dass Fall<F1> die niedrigsten Verluste, aber einehohe Mitimpedanz und damit einen hohen Spannungabfall erzeugt. Genau umgekehrt verhält sichFall <F4>. Insgesamt am ungünstigsten ist Fall <F5> unter den beiden betrachteten Kriterien.

104


Abbildung 5.26.: Simulierte Temperaturen in ANSYSR© CFX

Abbildung 5.27.: Simulierte Luftgeschwindigkeit in ANSYSR© CFX

105


RH S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 PE

S1 35.8681 11.8437 9.2636 7.4248 6.2297 5.2048 4.36 3.9182 2.6915S2 11.8558 34.7808 11.1242 9.2803 8.2083 7.3714 6.7807 6.6983 5.2913S3 9.2831 11.1317 34.4868 11.6188 10.6558 9.9728 9.627 9.9454 8.3327S4 7.4398 9.2852 11.6184 49.2358 13.4181 12.9849 12.9232 13.7224 11.9064S5 6.2409 8.2141 10.6596 13.4205 51.6475 16.4697 16.7612 18.1115 16.0685S6 5.2184 7.3857 9.9881 12.994 16.4735 41.9973 21.6149 23.5143 21.0999S7 4.3804 6.8074 9.656 12.9392 16.7688 21.621 48.7461 30.3159 27.3847S8 3.9401 6.7326 9.9831 13.739 18.1172 23.5219 30.3166 59.9533 35.4344PE 2.692 5.3111 8.3586 11.9077 16.0581 21.0926 27.365 35.4044 52.7143

LH

S1 2.3556 2.2617 2.1797 2.1164 2.0658 2.0252 1.9928 1.9674 1.9461S2 2.2617 2.3104 2.226 2.1499 2.0906 2.0433 2.0052 1.9744 1.9474S3 2.1798 2.226 2.2817 2.2016 2.1281 2.0709 2.0251 1.9875 1.9533S4 2.1164 2.1499 2.2016 2.2609 2.1825 2.1101 2.0534 2.007 1.9638S5 2.0658 2.0906 2.1281 2.1825 2.2431 2.1649 2.0923 2.034 1.9798S6 2.0252 2.0432 2.0708 2.11 2.1649 2.2245 2.145 2.0699 2.0014S7 1.9928 2.0051 2.0249 2.0533 2.0922 2.145 2.2018 2.1184 2.0297S8 1.9672 1.9743 1.9873 2.0068 2.0339 2.0698 2.1183 2.1693 2.0682PE 1.9459 1.9471 1.953 1.9637 1.9797 2.0013 2.0297 2.0683 2.0991

Abbildung 5.28.: HauptleiterimpedanzmatrixRH [µΩ/m] ,LH [µH/m],Kapselung und Erdungsleiter zusammengefasst,Simulation in EMWSim

S1

S2

S3

S4

S5

S6

S7

S8

S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8

RH

PE

PE

S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8

LH

PE

Abbildung 5.29.: Besetzung der Hauptleitermatrix in Tab. 5.28

Z R X

Mitsystem 18.41 13.56 12.45Nullsystem mit Neutralleiter N 117.23 84.63 81.13

Nullsystem mit Erdungsleiter PE157.68 98.44 123.18

Tabelle 5.8.: Impedanzen zu Fall <F1>L1-L1-L3-N-N-L3-L2-L1-PE

106


360

380

400

420

440

460

480

500

PV [W/m]

<F1>:L1-L2-L3-N-N-L3-L2-L1-PE<F2>:L1-L2-L3-N-N-L1-L2-L3-PE<F3>:L1-L2-L3-N-L1-L2-L3-N-PE<F4>:N-L1-L2-L3-L1-L2-L3-N-PE<F5>:N-L1-L2-L3-L3-L2-L1-N-PE

16

17

18

19

20

21

22

Z(1) [µΩ/m]

Abbildung 5.30.: Verluste und Mitimpedanz bei Verbindung R-S-T-N am Schienenende

5.2.3. Elektrisches Betriebsverhalten innerhalb eines Netzes

Die Schienenanordnung wird nun abschnittsweise zu je 100 m Länge als offene Ringleitung in ei-nem Niederspannungsnetz (Abb. 5.31) mit getrenntem Schutzleiter (TN-S-System) betrieben. Die

AT

BT CT

20N

Last

Schienensystem

kV20

VkV

40020

100 m

100 m

100 m

100 m

Abbildung 5.31.: Simuliertes Netz mit Verbindung N-PE an TransformatorTB

Ringleitung wird von drei TransformatorenTA . . .TC gespeist, wobei zwei Transformatoren ausrei-chen würden, jedoch ein weiterer als Reserve eingesetzt wird. Die Netz- und Transformatordatensind in Tab.5.9 gegeben. Um Fehlauslösungen von Fehlerstromschutzschaltern durch Kreisströme(Wirbelströme) zwischen mehrfach verbundenen Neutral- und Schutzleitern zu vermeiden, wirdnur ein einziger Transformatorsternpunkt geerdet. In diesem Beispiel erfolgt die einzige Verbin-dung am mittleren TransformatorTB. Dadurch wird dieses Beispiel für eine Betrachtung unterFehlerbedingungen in Abschnitt 5.2.3.2 interessant.

107


20 kV-NetzN20: S”k = 400MVA R/X = 0.03

Trafos(TA . . .TC): ST = 1250kVA In,T,400= 1804A uk = 6%

Pk(120C) = 11.5kW R0/R1 = 1 X0/X1 = 1

Last: S= 2.22MVA cosϕ = 0.85

Tabelle 5.9.: Netz- und Transformatordaten

5.2.3.1. Simulation mit Nennlast

Am entferntesten Ende der Ringleitung sei nun eine dreiphasige Nennlast von 3200 A angeschlos-sen. Durch die elektrische Unsymmetrie der Schienen entstehen ungleiche Spannungsabfälle inden Leitern des Drehstromsystems, was empfindliche Verbraucher wie Stromrichter und Motorenstören kann. In Abb. 5.32 ist der relative Spannungsabfall∆U der Leiterspannungen und die Win-kelunsymmetrie, bezogen auf die idealen symmetrischen Leiterpannungen, dargestellt. Weiterhinist die relative Abweichung der Leiterströme vom arithmetischen Mittelwert der drei Leiterströmeaufgetragen. Fall <F4> weist die gleichmäßigsten Spannungsabfälle über alle drei Leiter hinwegund die kleinste Winkelunsymmetrie auf. Abb. 5.33 stellt das gleiche Problem in symmetrischenKomponenten dar. Ein Spannungsabfall für die Null- und Gegenkomponente ist dabei nicht sinn-voll und nicht definiert worden. Dafür sind die Null- und Gegenkomponenten jeweils auf die Mit-komponente bezogen. Hier erweist sich wiederum Fall <F4> als günstigster. Allerdings entstehendabei, wie bereits erwähnt, die höchsten Verluste.

5.2.3.2. Simulation mit Fehlerbedingungen

Einpolige Fehler

Nun wird an der gleichen Stelle im Netz, wo die Last angeschlossen war, ein einpoliger Fehlerin jeweils einem der drei Leiter L1, L2 oder L3 gegen den Schutzleiter PE untersucht. Zunächstsei nur der Sternpunkt des TransformatorsTB geerdet. Abb. 5.34 zeigt je nach Fall einen erheb-lichen Unterschied der Fehlerströme für die einzelnen fehlerbehafteten Leiter. Auch hier tritt diehöchste Abweichung im Fall <F1> zwischen L1 und L3 auf. Fall <F4> weist wiederum die besteSymmetrie auf. Zusätzlich ist der Mittelwert über alle dreiLeiter angegeben.

Für den Fall <F1> und Fehler im Leiter L3 gegen PE zeigt Abb. 5.35 qualitativ die gesamteStromverteilung im Netz. Die Farbe der Strompfeile gibt etwa die Stromhöhe gemäß der aufgetra-genen Farbskala wieder. Durch die magnetische Kopplung unddie einzige Sternpunkterdung wirdeine ungewöhnliche Stromverteilung hervorgerufen. Es besteht die Gefahr, dass Schutzeinrichtun-gen nicht mehr selektiv funktionieren.

Nun wird die Verbindung zwischen Neutral- und Schutzleiterüber die verschiedenen Transfor-matoren hinweg variiert. Für den Fall <F1> sind die Ergebnisse in Abb. 5.36 gezeigt. TransformatorTA liegt von der Fehlerstelle am weitesten entfernt und liefert mit seinem Erdungspunkt den kleins-ten Fehlerstrom, während der zur Fehlerstelle am nächsten gelegene TransformatorTC den höchs-ten Fehlerstrom liefert, was zum FallTA,B,C (alle Transformatoren geerdet) kaum einen Unterschiedausmacht.

Eine leiterselektive Simulation der Fehlerströme samt deninduktiven Kopplungen im mehrteili-gen Schienensystem ist mit gängigen Leistungsfluss- und Kurzschlussstrom-Berechnungsprogrammennicht möglich. Es ist auch nicht möglich, mehrere Rückleiter(z. B. Neutral- und Schutzleiter) ge-trennt zu berücksichtigen. Zum Vergleich wird das vorliegende Beispielnetz mit den Schienenim-pedanzen in Tab. 5.8 für den ungünstigen Fall <F1> nach der klassischen Kurzschlussstromberech-

108


-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

∆U [%]


-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

∆I [%]

-3.5-3

-2.5-2

-1.5-1

-0.5 0

0.5 1

L1 L2 L3

∆ϕ(U) [o]

-3.5-3

-2.5-2

-1.5-1

-0.5 0

0.5 1

L1 L2 L3

∆ϕ(I) [o]

Abbildung 5.32.: Unsymmetrie der Leitergrößen

-4-3.5

-3-2.5

-2-1.5

-1-0.5

0

∆U(1) [%]

∆U(0,2) = n.def.


3050

3060

3070

3080

3090

3100

I(0,1,2) [A]

0 0.5

1 1.5

2 2.5

3

(0) (1) (2)

U(0,1,2) / U(1) [%]

0 0.5

1 1.5

2 2.5

3

(0) (1) (2)

I(0,1,2) / I(1) [%]

Abbildung 5.33.: Unsymmetrie der symmetrischen Komponenten

109


11 12 13 14 15 16 17 18

L1 L2 L3 L1L2L3

Ik [kA]

<F1>:L1-L2-L3-N-N-L3-L2-L1-PE<F2>:L1-L2-L3-N-N-L1-L2-L3-PE<F3>:L1-L2-L3-N-L1-L2-L3-N-PE

<F4>:N-L1-L2-L3-L1-L2-L3-N-PE<F5>:N-L1-L2-L3-L3-L2-L1-N-PE

Abbildung 5.34.: Einpolige Fehler gegen Schutzleiter PE, TransformatorTB geerdet

-92.60 °

-100.20 °

77.81 °

-55.32 °

L1: 2655 A /

L2: 1023 A /

L3: 4793 A /

N: 1248 A /

105.40 °

-110.50 °

97.93 °

-101.00 °

L1: 554 A /

L2: 237 A /

L3: 3111 A /

N: 3456 A /

82.80 °

77.86 °

84.40 °

-82.93 °

L1: 2135 A /

L2: 1257 A /

L3: 4547 A /

N: 7932 A /

F-1p

VkV

40020 CTBT

AT

20N

Schienensystem

kV20

12330 A / 85.22 °

Isek

Isek

Isek

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

I [A] (log)

L1

L2

L3

N

PE100 m

100 m 100 m

100 m

Abbildung 5.35.: Qualitative Verteilung des Fehlerstromes für den Fall <F1>

110


8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

Ik,L1

Ik,L2

Ik,L3

Ik,L1L2L3

Ik,max (Z

(0),N )

Ik,max (Z

(0),PE )

Ik,min (Z

(0),N )

Ik,min (Z

(0),PE )

Ik [kA]

Leiterselektive Berechnung Klassische Kurzschlussstromberechnung

N-PE(TA) N-PE(TB) N-PE(TC) N-PE(TA,TB,TC)

Abbildung 5.36.: Einpoliger Kurzschluss bei verschiedenen Erdungspunkten für Fall <F1>

nung mit symmetrischen Komponenten im Programm LaKu [45] berechnet. Dabei ist nur eineinziger Wert für die Nullimpedanz des Schienensystems verwendbar. Es wird also abwechselndder Wert für den Neutralleiter und Schutzleiter eingesetzt. Da die klassische Kurzschlussstrom-berechnung nicht leiterselektiv rechnet, sollte ein qualitativer Vergleich mit dem Betragsmittelwertder leiterselektiven Simulation erfolgen. Die Herstellerangaben zu Impedanzen in SymmetrischenKomponenten entstehen ebenfalls durch Mittelwertbildung[49]. Für eine quantitative Betrachtungbezüglich minimaler und maximaler Ströme ist jedoch der Vergleich mit den einzelnen Leiterströ-men nötig. Eine solche Betrachtung ist vor allem dann wichtig, wenn minimale Fehlerströme zurÜberprüfung der Auslösebedingung von Schutzsystemen nötig sind. Für maximale Fehlerstrom-betrachtungen sollte hingegen die kleinste Nullimpedanz verwendet werden. Für die verschiedenengeerdeten Transformatorsternpunkte deckt der maximale und minimale Kurzschlussstrom aus derklassischen Kurzschlussstromberechnung die maximalen und minimalen Leiterströme ab.

Mehrpolige Fehler mit und ohne Erdberührung

Drei- und zweipolige Fehler ohne Erdberührung verhalten sich weniger problematisch (Tab. 5.10),da sie generell höher und damit leichter zu erkennen sind. Sie sind hier unabhängig von der Anzahlund dem Ort der Erdungspunkte, jedoch von Leiter zu Leiter wiederum teilweise bis zu 15 kAverschieden.

Mehrpolige Fehler mit Berührung des Neutral- oder Erdleiters sind noch unsymmetrischer undwieder abhängig vom Ort der Sternpunkterdung, weisen aber in den Leitern noch einen recht hohenFehlerstrom auf, der zur Erkennung genügen sollte.

111


Fehler Transf.-Erdung Ik,L1 Ik,L2 Ik,L3 Ik,N Ik,PE

3p TA 38.3 51.4 43.1

3p-N TA 36.25 51.27 49.03 16.14TA,TB,TC 36.96 51.27 49.01 15.56

3p-PE TA 42.12 50.73 42.7 6.12TA,TB,TC 43.15 50.31 42.82 8.18

2p(L1-L2) TA 40.4 40.42p(L1-L3) TA 31.5 31.52p(L2-L3) TA 40.6 40.6

2p(L1-L2-N) TA 37.95 44.53 16.93TB 37.95 44.53 16.93TC 37.95 44.53 16.93TA,TB,TC 38.7 44.42 16.77



2p(L1-L2-PE) TA 44.02 39.2 6.55TB 44.82 38.77 9.3TC 44.02 39.09 14.78TA,TB,TC 45.42 39.03 14.99



Tabelle 5.10.: Mehrpolige Fehlerströme ohne Erdberührung, alle Werte in kA

112

5.3. Schienensystem mit Gießharzisolierung


In diesem Beispiel wird ein weiteres Stromschienensystem ähnlich zu [66] für Niederspannunguntersucht. Hier handelt es sich jedoch um ein Schienensystem für einen Nennstrom von 2500 A,welches in Gießharz eingebettet ist (Abb. 5.37). Es verleiht dem System die nötige mechanischeFestigkeit und dient gleichzeitig als elektrischer Isolator, vor allem in chemisch rauer Umgebungbei hoher Luftverschmutzung unterschiedlichster Art. DieStrom führenden Leiter stehen hier nichtdirekt mit kühlender Luft in Kontakt, um die Wärmeverluste durch Konvektion abzuführen, son-dern hier muss das Gießharz die Wärme erst durch Wärmeleitung an seine Oberfläche abführen.

Abbildung 5.37.: Schienenanordnung mit simulierter Umgebung in EMWSim

Das Schienensystem wird mit den in Tab. 5.11 angenommenen Daten simuliert.

Schienen: 190 x 6 mm lichter Abstand = 20 mmElektrokupfer ρ20 = 1.724·10−8 α20 = 3.92·10−3

λ = 401 ρ = 8960

Gießharz: 120 x 220 mmλ = 5 ρ = 1900 cp = 1200Oberfläche ε = 0.95

Umgebung: TU = 40C

Einheiten:ρ20 = [Ω ·m], α20 = [1/K], λ = [W/(m ·K)], ρ = [kg/m3], cp = [J/(kg·K)]

Tabelle 5.11.: Eingabedaten der Schienenanordnung

113


In Abb. 5.38 ist die simulierte Stromdichte dargestellt. Der gesamte Stromverdrängungsfak-tor beträgtks,ges= 1.024 gemäß Gl. (1.99) und gibt an, dass Stromverdrängung nur geringfügigstattfindet. Es stellt sich eine Temperatur wie in Abb. 5.39 ein, wobei die höchste Temperaturim Inneren 88C beträgt. Die Konvektion an der Oberfläche des Gießharzblocks wird mit denGln. (5), (10) und (12) im Anhang A.1 berücksichtigt. Eine Simulation des thermischen Problemsin ANSYSR© CFX bestätigt das Ergebnis in Abb. 5.40. Zur besseren Vergleichbarkeit mit Abb. 5.39ist das Ergebnis in Abb. 5.41 nochmal ohne Temperatur des umgebenden Konvektionsmediumsdargestellt.

Die Spannungsabfälle und Verluste für ein eingeprägtes ideal symmetrisches Strommitsystemvon 2500 A zeigt Tab. 5.12. Es fällt dabei auf, dass die Spannungsabfälle der beiden äußeren Lei-

Leiter |∆U |[mV/m] ∠(∆U)[] |∆U ||∆U(1)| [%] Pv[W/m] ks

UL1 98.131 35.4 137.7 121.1 1.015UL2 62.627 -80.9 87.9 121.7 1.016UL3 61.93 -167.1 86.9 121.6 1.019UN 57.588 61.1 - 1.15 -UPE 57.868 -125.4 - 1.43 -

ks,ges= 1.024

Tabelle 5.12.: Spannungsabfälle, Verluste

ter L1 und L3 ungleich sind, obwohl man auf den ersten Blick hier evtl. eine Symmetrie erwartenwürde. Da keine äußere metallische Kapselung vorhanden ist, und aufgrund der Stromsymme-trie keine weitere Ströme außer Wirbelströme in den LeiternN und PE fließen können, sollte dieAnordnung zum mittleren Leiter L2 eigentlich symmetrisch sein. Diese Unsymmetrie bleibt auchbestehen, wenn man die Leiter L1, L2 und L3 alleine ohne die Leiter N und PE betreibt (isolierterSternpunkt, Leiter N und PE in der Simulation ausgeschaltet, Abb. 5.42, Tab. 5.13). Die Haupt-leiterimpedanzmatrixZL1,L2,L3 dieser reduzierten Anordnung ist zwar symmetrisch aufgebaut, ge-wichtet aber jeden Leiterstrom unterschiedlich, wenn ein Leiterspannungabfall in Gl. (5.11) übereine Zeile hinweg berechnet wird. Bei symmetrischer Stromeinspeisung mit einem reinen Nullsys-tem führt dies zu den erwarteten gleichen Spannungsabfällen in L1 und L3, jedoch nicht bei einemStrommit- oder -gegensystem.

ZL1,L2,L3 [µΩ] =

21.466+ j624.949 3.229+ j608.618 2.63+ j594.3163.229+ j608.618 21.714+ j624.291 3.229+ j608.6182.63+ j594.316 3.229+ j608.618 21.466+ j624.949

(5.11)

114


Abbildung 5.38.: Simulierte Stromdichte in EMWSim

Abbildung 5.39.: Simulierte Temperatur in EMWSim

115


Abbildung 5.40.: Simulierte Temperatur in ANYSY CFX

Abbildung 5.41.: Simulierte Temperatur in ANSYSR© CFX,Temperatur nur im Gießharz dargestellt

116


Abbildung 5.42.: Simulierte Stromdichte in EMWSim,Speisung mit einem Strommitsystem, -gegensystem oder -nullsystem

117


Leiter |∆U |[mV/m] ∠(∆U)[] Pv[W/m]

Iq = I (1) = 2500A

ks = 1.024UL1 96.29 36.6 115.5UL2 60.587 -79.7 115.4UL3 61.942 -164.4 116.3

Iq = I (2) = 2500A

ks = 1.024UL1 61.942 75.6 116.3UL2 60.587 160.3 115.4UL3 96.29 -83.4 115.5

Iq = I (0) = 2500A

ks = 1.526UL1 4.57 89.1 172.2UL2 4.604 89.1 173.3UL3 4.57 89.1 172.2

Tabelle 5.13.: Spannungsabfall und Verluste bei Speisung mit einemStrommitsystem, -gegensystem oder -nullsystem

5.3.1. Variante 1

Wird das ursprüngliche Schienensystems mit kürzeren und breiteren, aber flächengleichen Schie-nen bei unverändertem lichtem Abstand simuliert, verringert sich die relative Unsymmetrie derLeiterspannungsabfälle (Abb. 5.43, Tab. 5.14). Ihre absoluten Werte wie auch die Verluste stei-gen jedoch erheblich an. Der Grad der Stromverdrängung ist bei dieser Schienengeometrie mitks,ges= 1.39 ebenfalls höher. Durch die breitere Schienenform ist auch die gesamte Anordnungbreiter als hoch geworden, was insgesamt die Berührungsfläche Schiene-Gießharz verringert unddie Wärmeabfuhr erschwert. Die Querlage des Blocks (Abb. 5.44) erschwert auch den konvektivenWärmeübergang in senkrechter Richtung.

5.3.2. Variante 2

Die Hochlage erniedrigt die Temperaturen durch bessere Konvektion lediglich um 5C (Abb. 5.45im Vergleich zu Abb. 5.43). Im Vergleich dazu ändert die Querlage der ursprünglichen Anordnungin Hochlage (Abb. 5.39) kaum etwas an der Temperaturverteilung in Abb. 5.46.

5.3.3. Fazit

Abgesehen von einer höheren Unsymmetrie der Spannungsabfälle der ursprünglichen Anordnungin Abb. 5.37, ist diese insgesamt als die bessere Lösung anzusehen. Eine breitere flächengleicheSchienenform verschlechtert das Betriebsverhalten. Bei einer Entscheidung über verschiedene Va-rianten der Schienenform ist ein Kompromiss zwischen Spannungsunsymmetrie und Verlusten zufinden.

118


Abbildung 5.43.: Simulierte Stromdichte in EMWSim (Variante 1)

Abbildung 5.44.: Simulierte Temperatur in EMWSim (Variante1)

Leiter |∆U |[mV/m] ∠(∆U)[] |∆U ||∆U(1)| [%] Pv[W/m] ks

UL1 230.76 48.51 124.8 165.2 1.267UL2 155.692 -56.5 84.2 207 1.571UL3 197.683 -149 106.9 162.7 1.246UN 135.007 60.5 - 6.6 -UPE 130.61 -133.6 - 5.9 -

ks,ges= 1.39

Tabelle 5.14.: Spannungsabfall und Verluste breiterer Schienen (Variante 1)

119


Abbildung 5.45.: Simulierte Temperatur in EMWSim (Variante2)

Abbildung 5.46.: Simulierte Temperatur der ursprünglichen Anordnung in Querlage, Simulationin EMWSim (Variante 2)

120

6. Zusammenfassung und Ausblick

In der vorliegenden Arbeit ist eine vorhandene Simulation für elektromagnetische Vorgänge inunendlich langen Leiteranordnungen im zweidimensionalenQuerschnitt weiterentwickelt worden.In dem auf der Teilleitermethode basierenden Simulationsprogramm, welches die Magnetisierungursprünglich mit konstanter Permeabilität berücksichtigt hat, ist das magnetisch nichtlinearen Sät-tigungsverhalten ferromagnetischer Materialien auch temperaturabhängig bis zur Curietemperaturund höher nachgebildet. Die Teilleitermethode bietet den Vorteil, dass die für die rein elektroma-gnetische Simulation nicht relevanten Anlagenteile nichtdiskretisiert werden müssen. Durch dieDiskretisierung sind auch Stromverdrängungserscheinungen modelliert.

Eine zusätzliche Simulation des Wärmeflusses, dessen Quellen die ohmschen Verluste der elek-tromagnetischen Simulation sind, wurde mit der Methode derfiniten Elemente implementiert. DieWärmeflusssimulation berücksichtigt Wärmeleitung, -konvektion und -strahlung, wobei zusätzlichzur Umgebung als äußerste Randlinie nur diejenigen Anlagenteile diskretisiert sein müssen, in de-nen Wärmeleitung stattfindet. Bis auf einige Ausnahmen sind das in der Regel die Feststoffe. DieModellierung der Wärmeleitung bildet mit ihrer zu Grunde liegenden Differenzialgleichung denKern der Wärmeflusssimulation.

Wärmestrahlung geht als Randbedingung in das Wärmeleitungsproblem ein. Mit dem Prinzipder Fernwirkung zwischen den beteiligten Oberflächen ist eine Diskretisierung des Zwischenraumsnicht nötig. Der Wärmeübergang durch Konvektion in fluidalenMedien geht mit einem Wärme-übergangskoeffizienten als weitere Randbedingung ein. Dieser wird mit Hilfe der Ähnlichkeits-theorie aus einer breiten und bewährten Basis an bekannten dimensionslosen Zusammenhängenfür verschiedene Anordnungen berechnet. Das nichtlinearetemperaturabhängige Verhalten derfluidalen Stoffwerte ist in der Simulation in jedem Iterationsschritt berücksichtigt. Bei Verwen-dung der Ähnlichkeitstheorie für die konvektiven Vorgängeist die Diskretisierung des fluidalenMediums ebenfalls nicht nötig, was die Modellierung der Gesamtanordnung stark vereinfacht unddie Simulationszeit erheblich verkürzt. Bei genügend hohemDiskretisierungsgrad und Erfahrungim Umgang mit konvektiven Vorgängen und dimensionslosen Gleichungen sind Simulationsergeb-nisse erfahrungsgemäß mit einer Genauigkeit innerhalb weniger Grad Celsius nahe an der Realitätmöglich.

Eine weitergehende Modellierung der laminaren und turbulenten Strömung im diskretisiertenfluidalen Medium würde die Simulation beliebig komplizierter Anordnungen ermöglichen, für dienoch keine dimensionslose Zusammenhänge dokumentiert sind.

Die elektromagnetische und thermische Simulation sind miteinander gekoppelt und erfolgenstationär oder transient, wobei eine Mischung aus der stationär-elektromagnetischen und transient-thermischen Simulation besonders für Aufwärm- und Abkühlvorgänge interessant ist. Dazu ist inder stationären elektromagnetischen Simulation die magnetische Sättigung durch Effektivwert-gleicheit zu den meistens nur als Spitzenwerte verfügbarenDaten nachgebildet. Da der elektro-magnetische Simulationskern mit den Teilleitern als diskretisierte Impedanzen rechnet, ist dieImpedanzmatrix an den Klemmen der Anordnung ein direktes Ergebnis der Simulation. Es istals einzelnes Element innerhalb eines Netzes für weitergehende Berechnungen und Simulationennutzbar.

Anhand eines Beispiels wird gezeigt, wie sich magnetische Sättigung in der Stromabhängigkeitder Gesamtimpedanz niederschlägt. Weiterhin wird an einerSchienenanordnung deutlich, wie eine

121

6. Zusammenfassung und Ausblick

enge magnetische Kopplung zwischen den einzelnen Leitern zu einer eigenartigen Stromverteilungbei Fehlern im Netz führen kann. Bei der Auslegung solcher Betriebsmittel und je nach Zielstel-lung muss ein Kompromiss zwischen Impedanz, Übertragungsverlusten und Unsymmetriegrad desDrehstromsystems gefunden werden.

Mit diesem Simulationsprogramm sind bereits viele elektromagnetische und thermische Pro-blemstellungen an Betriebsmitteln der elektrischen Energieversorgung und anderer ingenieurswis-senschaftlicher Disziplinen mit vertretbarem Aufwand simulierbar und lösbar. Oft führen schonerste Abschätzungen und Simulationen verschiedener Varianten sehr nahe ans Ziel oder zeigenWege auf, die auf Anhieb nicht erkennbar sind.

122

A. Anhang

A.1. Konvektionsformeln

Der WärmeübergangskoeffizientαK und WärmeleitwertGK im Newtonschen Abkühlungsgesetzwerden mit der Nußelt-Zahl bestimmt.

PK = αKAK(T1−T2) = GK∆T (A.1)

αK = Nuλlw

(A.2)

Finden laminare und turbulente Strömung gleichzeitig statt, werden sie zu einer Gesamt-Nußelt-Zahl zusammengefasst [5, 37, 38].

Nu=√

Nu2lam+Nu2

turb (A.3)

Die Richtungsabhängigkeit des Wärmestroms (Heizung oder Kühlung) wird in manchen Formelndurch die temperaturabhängige Prandtl-Zahl der Wand und des Fluids berücksichtigt [44].

Nu= Nu0

(PrPrw

)0.25

(A.4)

Freie Konvektion:

Nu= c1(GrPr)n1 (A.5)

Erzwungene Konvektion wird evtl. mit freier überlagert (sinnvoll beiv≥ 1m/s).

Nu= c2Re′n2 (A.6)

Re′ =√

Re2+Re∗2 (A.7)

Re∗ = c3(GrPr)n3 (A.8)

c3 =

(c1

c2

)

n3 =n1

n2(A.9)

Re=vlwν

(A.10)

GrPr=gβν2 Prl3w(T1−T2) = ksl

3w(T1−T2) (A.11)

ks =gβν2 Pr (A.12)

123

A. Anhang

Die Stoffwerte, außer der thermischen Ausdehnungzahlβ , gelten bei der mittleren Filmtemperatur.

TF =T1+T2

2(A.13)

Tm λ ·102 β ·103 ν ·106 ρ Pr ks ·107

[C] [W/(m ·K)] [1/K] [m2/s] [kg/m3] [1/(K ·m3)]

0 2.43 3.67 13.30 1.293 0.715 14.4510 2.50 3.55 14.20 1.247 0.714 12.3120 2.57 3.43 15.11 1.205 0.713 10.5130 2.64 3.30 16.05 1.165 0.712 8.9540 2.71 3.20 16.97 1.128 0.711 7.7550 2.78 3.10 17.95 1.093 0.710 6.7060 2.85 3.00 18.90 1.060 0.709 5.8470 2.92 2.92 19.80 1.029 0.709 5.1780 2.99 2.83 20.94 1.000 0.708 4.4890 3.07 2.75 22.00 0.972 0.706 3.93100 3.14 2.68 23.60 0.946 0.704 3.47110 3.21 2.61 24.14 0.922 0.702 3.10120 3.28 2.55 25.23 0.898 0.700 2.75130 3.35 2.49 26.33 0.876 0.698 2.48140 3.43 2.43 27.55 0.854 0.695 2.18150 3.50 2.38 28.70 0.834 0.693 1.96

Tabelle A.1.: Stoffwerte für Luft bei Normaldruck, Quelle [5, 38]

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 20 40 60 80 100 120 140 160

k s⋅1

07 [1/(

K⋅m

3 )]

T [°C]

Abbildung A.1.: Stoffwertks für Luft bei Normaldruck

124

A.1. Konvektionsformeln

Für gekapselte Stromschienen gilt ein Minderungsfaktor nach Abb. A.2

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0 10 20 30 40 50 60

k*

Abstand Schienenoberkante zu Kapselungsoberseite [cm]

IO

=−

=

*1 6.0 kc =

*1 5.0 kc =

*1 35.0 kc =

41

*1 54.0 GrPrcNukc ==

31

*1 13.0 GrPrcNukc ==

Abbildung A.2.: Minderungfaktor für gekapselte Stromschienen, Quelle [38]

Für verschiedene Anströmwinkel in Tab. A.2 Formel 19 gilt der Korrekturfaktor in Abb. A.3.

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

k ψ

T [°C]

Abbildung A.3.: Abhängigkeit des Wärmeübergangs vom Anströmwinkel, Quelle [44]

Freie Konvektion in Spalten (siehe Tab. A.3) wird wie reine Wärmeleitung betrachtet mit derscheinbaren Leitfähigkeit

λS

λ= 1+

mRar

Ra+n(A.14)

Dabei gelten die Stoffwerte des Spaltmediums mit der Spaltweites als charakteristische Länge.

125

A.

Anhang

Tabelle A.2.: Übersicht der verwendbaren Übergangswiderstände für Konvektion

Gerät, Geräteteil c1 n1 c2 n2 c3 n3 Gültigkeitsbereich Bemerkung, Anwendung Quelle Nr.

Strömung längsebener Wand

q

vNuL = 0.664Re0.5L Pr0.43

(Prf

Prw

)0.25

Luft: NuL = 0.57Re0.5L

NuL = 0.037Re0.8L Pr0.43(

Prf

Prw

)0.25

Luft: NuL = 0.032Re0.8L

Re< Rekrit ≈ 105

Re> Rekrit ≈ 105

EKδx,lam = 5.83x√

Re= 5.83

√xνv0

δx,turb =0.37xRe0.2 = 0.37 5

√x4νv0

xkrit = 4.85·105 νv0

[44] S.115 1

Strömung längsebener Wand

q

vNuL = 0.664

√ReL

3√

Prf1(Pr)

NuL =0.037Re0.8L Pr

1+2.443Re−0.1(Pr2/3−1)

Re< Rekrit ≈ 105

Re> Rekrit ≈ 105

EKδx,lam = 5.83x√

Re= 5.83

√xνv0

δx,turb =0.37xRe0.2 = 0.37 5

√x4νv0

xkrit = 4.85·105 νv0

[44] S.113 2

Senkrechte Platte,senkrechter Zylinder,Wärmeabgabe

q

v0.15 0.33 0.16 0.66 0.91 0.5 1.7·108 < GrPr< 2·1010

4·103 < Re′ < 1·105Kapsel-UmgebungKanalwand

[54] 3

Senkrechte ebeneWand, Wärmeabgabe Nux =

(Grx4

)0.25

ϕ(Pr) Num = Nulw

Num =43

(Gr4

)0.25

ϕ(Pr)

ϕ(Pr) =0.849Pr0.5

(1+2.006Pr0.5+2.034Pr

)0.25

(

ϕ(Pr) =0.75Pr0.5

(0.609+1.221Pr0.5+1.238Pr

)0.25

)

0< GrPr< 109 FK laminarGl. nach Le Fèvrelw = HTA > T∞ ↑ xTA < T∞ ↓ x

[2] S.426[23] S.490

4

Senkrechte ebeneWand, senkrechterZylinder,Wärmeabgabe

Num =

0.825+0.387[Ra f1(Pr)]Ra1/62

f1(Pr) =

(

1+

(0.492

Pr

)9/16)−16/9

Num,Zyl = Num,Platte+0.87hD

10−1 < GrPr< 1012

10−3 < Pr< ∞0.492

q=const−→ 0.437Num,Platte für vert. Zyl.:dlw

≥ 35Gr−1/4

FK laminar,turbulent

[73] Fa2 5

Fortsetzung. . .

126

A.1.

Konvektionsform

eln


qϕ

qϕ

Num =

0.825+0.387[Raϕ f1(Pr)

]Ra1/6

ϕ

2

Raϕ = RacosϕFK laminar [73] Fa2 6

Geneigte Platte,Wärmeabgabe nachoben

qϕ

qϕ Nu= 0.56(Rac ·cosϕ)1/4+0.13

(

Ra1/3−Ra1/3c

)

Rac = 108.9−0.00178ϕ−1.82

ϕ ≤ π/3= 60

10−1 < GrPr< 1012

10−3 < Pr< ∞

FK laminarturbulentGl. nach Churchill, Chu

[73] Fa2[2] S.426

7

Senkrechte Platte,Wärmeaufnahme

q 0.14 0.33 4.8·109 < GrPr< 1.6·1010 Innenluft-Kapsel [54] 8

Waagerechte Platte,Wärmeabgabe nachoben

q0.17 0.33 2.3·108 < GrPr< 1.1·109 Kapsel-Umgebung [54] 9

f2(Pr) =[

1+(0.322/Pr)11/20]−20/11

Num = 0.766[Ra f2(Pr)]0.2

Num = 0.15[Ra f2(Pr)]1/3

0< Pr< ∞Ra f2(Pr)≤ 7·104

7·104 ≤ Ra f2(Pr)

lw = AU [73] Fa4 10

(s.u.)

Waagerechte Platte,Wärmeaufnahme vonunten

q 0.19 0.33 4·108 < GrPr< 5·108 Innenluft-Kapsel [54] 11

gleich wie 10 (s.o.)

Waagerechte Platte,Wärmeaufnahme vonoben

qf1(Pr) =

[

1+(0.492/Pr)9/16]−16/9

Num = 0.6(Ra f1(Pr))1/5

10−3 < Pr< ∞103 < Ra f1(Pr)≤ 1010

lw = AU [73] Fa4 12

(s.u.)

Fortsetzung. . .

127

A.

Anhang


Waagerechte Platte,Wärmeabgabe nachunten

q 0.095 0.33 1.7·108 < GrPr< 1.2·109 Kapsel-Umgebung [54] 13

gleich wie 12 (s.o.)

Horiz., vert. Drähte,Rohre, vert. Wände,Kugeln bei tropfb.Flüssigk., Gasen

1.18 0.125 1·10−3 < GrPr< 5·102 [44] S.79 14

0.54 0.25 5·102 < GrPr< 2·107 FK laminar

0.135 0.33 2·107 < GrPr< 1·1013 FK turbulent; Alle 3 Ber:wennq ↑ α ·1.3; q ↓ α ·0.7

Horizontaler Zylinder vwl 0.54 0.25 0.17(1)0.024(2)

0.62(1)0.805(2)

6.45(1)47.8(2)

0.403(1)0.311(2)

5·102 < GrPr< 2·107

4·103 < Re′(1) < 4·104

4·104 < Re′(2) < 4·105

Kabel, Freileitung,Kapsel bei gasisol. Leitern,lw = d,FK laminarEK: Korrekturfak. zuc2 beiSchräganströmung:Abb. A.3

[54] 15

Nuf = 0.5(GrPr)0.25f

(PrfPrw

)0.25 FK [44] S.80 16

Nuf = 0.46Gr0.25f FK vereinf. f. Luft 17

Nuf = 0.59Re0.47f Pr0.38

f

(PrfPrw

)0.25

Luft−→ Nuf = 0.52Re0.47f

Nuf = 0.21Re0.62f Pr0.38

f

(PrfPrw

)0.25

Luft−→ Nuf = 0.18Re0.62f

1·101 < Ref < 1·103

1·103 < Ref < 2·105

EK; Korrekturfak. bei Schrä-ganströmung:Abb. A.3

[44] S.101 18

f3(Pr) =

(

1+

(0.559

Pr

)9/16)−16/9

Num =(

0.752+0.387(Ra f3(Pr))1/6)2

0< Pr< ∞ lw = dπ2

[73] Fa4 19

Fortsetzung. . .

128

A.1.

Konvektionsform

eln


Kugel 0.13 0.33 2·107 < GrPr< 1·1013 [54] 20

EllipsenförmigesRohr, flach, querangeströmt

vab

0.034 0.804 31.2 0.311 5·102 < GrPr< 2·107

3·103 < Re′ < 1.5·104EK: lw =

√

2(a2+b2

)[54] 21

EllipsenförmigesRohr, hochkant, querangeströmt

vab 0.248 0.612 3.57 0.408 5·102 < GrPr< 2·107

2.5·103 < Re′ < 1.5·104[54] 22

Quadratisches Rohr,quer angeströmt va 0.178 0.699 4.89 0.358 5·102 < GrPr< 2·107

2.5·103 < Re′ < 8·103EK: lw = 4a

π [54] 23

Quadratisches Rohr,quer angeströmt v

a0.29 0.624 2.71 0.40 5·102 < GrPr< 2.7·107

2.5·103 < Re′ < 7.5·103[54] 24

Einfachstromschiene,waagerecht, hochkant,frei im Raum

vwl0.6 0.25 0.4 0.6 2.25 0.42 9·104 < GrPr< 4.6·106

1.5·103 < Re′ < 4.2·104[54] 25

Zwei-,Dreifachstromschiene,waagerecht, hochkant,frei im Raum

vwl0.6 0.25 0.15 0.7 8.1 0.35 9·104 < GrPr< 4.6·106

2.4·103 < Re′ < 4·104Schienenabstand= SchienenbreiteStrahlungsoberfläche= gesamte Oberfläche

[54] 26

Einfachstromschiene,waagerecht, flach, freiim Raum

vwl

0.5 0.25 0.4 0.6 1.45 0.42 2.3·105 < GrPr< 4.9·106

2·103 < Re′ < 3.9·104[54] 27

Zweifachstromschie-ne, waagerecht, flach,frei im Raum

vwl

0.35 0.25 0.11 0.7 5.2 0.36 2.5·105 < GrPr< 5·106

1.8·103 < Re′ < 4·104

Schienenabstand= SchienenbreiteStrahlungsoberfläche= HüllenoberflächeKonvektionsoberfläche= gesamte Oberfläche

[54] 28

Dreifachstromschiene,waagerecht, flach, freiim Raum

vwl0.27 0.25 0.08 0.7 5.7 0.36 1.9·105 < GrPr< 4.5·105

2.5·103 < Re′ < 4.5·104[54] 29

Fortsetzung. . .

129

A.

Anhang


Einfachstromschiene,senkrecht, frei imRaum

vwl 0.15 0.33 0.064 0.76 3.06 0.43 2·105 < GrPr< 3.5·105

6·104 < Re′ < 7·105

Siehe senkrechte PlatteGrPr> 3.5·105 möglichVersuchslängel = 1mOberfl. siehe waagerechteStromschienen

[54] 30

Zweifachstromschie-ne, senkrecht, frei imRaum

vwl 0.15 0.33 0.046 0.76 4.3 0.43 2·105 < GrPr< 3.5·105

9·103 < Re′ < 3·104[54] 31

Dreifachstromschiene,senkrecht, frei imRaum

vwl 0.14 0.33 0.046 0.76 4.3 0.43 2·105 < GrPr< 3.5·105

9·103 < Re′ < 3·104[54] 32

DreiEinfachstromschienen,senkrecht, im Kanal

0.12 0.33 2·109 < GrPr< 3·1010 Höhe des Kanals 2 m [54] 33

Stromschienenwaagerecht, im Kanal

Abb. A.2 0.25 1.9·105 < GrPr< 5·106 Hochkant und flach verlegt [54] 34

Niederspannungs-stromwandler,abgerundete Form

vwl 0.63 0.25 0.65 0.6 0.95 0.417 1·106 < GrPr< 8·106

1·103 < Re′ < 1.5·104Aufsteckwandler [54] 35

Niederspannungs-stromwandler, kantigeForm

vwl 0.24 0.33 0.43 0.6 0.37 0.555 1.3·106 < GrPr< 4·107

8.5·103 < Re′ < 3·104[54] 36

Niederspannungssi-cherung

vwl 0.58 0.25 0.2 0.7 4.57 0.358 1.7·105 < GrPr< 1.6·107

8·103 < Re′ < 3.1·104[54] 37

Trenner vwl 0.11 0.33 0.038 0.9 3.25 0.37 5.5·107 < GrPr< 3.6·108

5·103 < Re′ < 5·104Hebeltrenner [54] 38

Mittelspannungs-stromwandler vwl 0.23 0.33 0.285 0.7 0.74 0.476 8.5·106 < GrPr< 3.1·107

3·103 < Re′ < 3·104Gießharzisolierung [54] 39

Mittelspannungsleis-tungsschalter vwl 0.1 0.33 0.2 0.7 0.37 0.476 9·107 < GrPr< 1·109

1·104 < Re′ < 9·104Ölarmer Schalter [54] 40

vwl 0.65 0.25 0.24 0.7 4.17 0.357 2·106 < GrPr< 7·107

6·103 < Re′ < 5·104Vakuumschalter [54] 41

Fortsetzung. . .

130

A.1.

Konvektionsform

eln


Kühlkörperv 0.15 0.33 0.15 0.7 1 0.47 1.2·105 < GrPr< 4·106

4·103 < Re′ < 5·104lw < 0.09m [54] 42

v 0.12 0.33 0.12 0.7 1 0.47 1.8·106 < GrPr< 2·107

3·104 < Re′ < 9·104lw < 0.15m [54] 43

131

A.

Anhang

Tabelle A.3.: Freie Konvektion in zylindrischen und ebenenSchichten

Gerät, Geräteteil m n r Gültigkeitsbereich Bemerkung,Anwendung

Quelle Nr.

Ringspaltq

0.119 1.45 1.27

0< GrPr< 108 [16]

44

WaagerechterSpalt

q0.07 0.32 1.333 45

SenkrechterSpalt

q0.0236 1.01 1.393 46

Schräger Spalt,Wärmeabgabenach oben

q

°45 0.043 0.41 1.36 47

Schräger Spalt,Wärmeabgabenach unten

q

°45 0.025 1.3 1.36 48

132

A.2. Elektrische und magnetische Materialeigenschaften


Die in diesem Abschnitt dargestellten Daten sind nur beispielhaft und entsprechen etwa dem Um-fang, wie sie in dieser Arbeit für prinzipielle Betrachtungen und zum Bearbeiten der Beispieleverwendet worden sind. Die angegebenen Literaturstellen bieten eine noch viel umfangreichereund problemspezifischere Datenmenge.

A.2.1. Spezifischer Widerstand

Der spezifische Widerstand elektrischer Leiter ist temperaturabhängig. Legierungsanteile verän-

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

−400 0 400 800 1200 1600

ρ [µ

Ω⋅m

]

T [°C]

Abbildung A.4.: Spezifischer Widerstand von Eisen, Quelle [7, 22]

dern den elektrischen Widerstand des Grundstoffs (z. B. Eisen oder Nickel in den Abb. A.5 undA.6). Dort sind dem reinen Grundstoff jeweils nacheinanderverschiedene Elemente beigefügt wor-den sind.

A.2.2. Sättigungsinduktion von Legierungen

In Abb. A.7 ist ein ähnlicher Zusammenhang für die SättigungspolarisationPm,S bzw. Sättigungs-induktionBm,S dargestellt.

133

A. Anhang

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

0.22

0 0.5 1 1.5 2

ρ [µ

Ω⋅m

]

Zusätzliche Elemente [At.%]

AlCoCuMnMoNiSi

Wo

Abbildung A.5.: Spezifischer Widerstand von Eisen, Quelle [7]

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

0 1 2 3 4 5

ρ [µ

Ω⋅m

]


CCuFeMgMnSi

Abbildung A.6.: Spezifischer Widerstand von Nickel, Quelle[7]

134


0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 20 40 60 80 100

BS [T

]

Zusätzliche Elemente [Gew.%]

geglühtabgeschreckt

AlCoCrCuMnNiSi

Abbildung A.7.: Änderung der Sättigungsinduktion von Eisen durch Legierungsanteile, Quelle [6]

135

A. Anhang

A.2.3. Curietemperatur von Legierungen

Diagramme wie Abb. A.8 für Eisenlegierungen und Abb. A.9 fürNickellegierungen zeigen dieÄnderung der Curietemperatur durch die einzelnen Legierungsanteile ausgehend vom jeweiligenGrundstoff (hier Eisen oder Nickel). Die Konzentration derLegierungsanteile ist in Atomprozentzu nehmen. Die Menge der Legierungsanteile von gängigen Stählen kann z. B. in [74] nachgeschla-gen werden, wo sie meistens in MasseprozentcM[Ma.%] (oder der älteren Angabe Gewichtspro-zent [Gew.%]) angegeben sind, womit eine Umrechnung nötig wird [61]. Sind in einer Stahlsor-te Nx Legierungsanteile enthalten, dann gilt für die Konzentration eines einzelnen Elementsx inMassen- und Atomprozent

cM,x =mx

Nx

∑i=1

mi

·100 Ma.% (A.15)

cA,x =nx

Nx

∑i=1

ni

·100 At.% (A.16)

wennnx die Anzahl der Atome des Elementsx, mmol,x dessen Molmasse undNA die AvogadroscheZahl sind.

nx =mx

mmol,xNA =

mx

1g/mol· rel.AtommassexNA (A.17)

Damit ist eine Umrechnung von Massenprozent in Atomprozentmöglich.

cA,x =

cM,xmmol,x

Nx

∑i=1

cM,immol,i

(A.18)

Mit dieser Konzentration kann aus Diagrammen wie Abb. A.8 und A.9 der Einfluss eines einzelnenElements auf die Curie-Temperaturänderung∆TC,x abgelesen werden. Die neue geschätzte Curie-Temperatur der Legierung ist dann die gesamte resultierende Temperaturänderung.

TC,Leg= TC,Rein+Nx

∑i=1

∆TC,i (A.19)

136


500

550

600

650

700

750

800

850

0 5 10 15 20 25 30 35 40

TC

[°C

]


AlAuCr

MnSi

SnV

Abbildung A.8.: Änderung der Curie-Temperatur Eisen durch Legierungsanteile, Quelle [7]

500

550

600

650

700

750

800

850

0 5 10 15 20 25 30 35 40

TC

[°C

]


AlAuCr

MnSi

SnV

Abbildung A.9.: Änderung der Curie-Temperatur Nickel durchLegierungsanteile, Quelle [7]

137

A. Anhang

A.2.4. Magnetisierungskennlinien und Daten ferromagnetischer Stoffe

0

0.5

1

1.5

2

2.5

−200 0 200 400 600 800

B [T

]

T [°C]

40 A/m

160 A/m

1600 A/m

796 kA/m

(a)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

−200 0 200 400 600 800

µ r ⋅1

03

T [°C]

16 A/m

40 A/m

80 A/m

119 A/m

160 A/m

239 A/m

796 kA/m

(b)

Abbildung A.10.: Magnetisierung und Permeabilität von Eisen, Quelle [6, 7]

Aus Abb. A.11(a) [7] ist die Sättigungspolarisation und dieKniepunktfeldstärke bestimmt wor-den.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

B [T

]

H [A/m]

−190 °C

23 °C

302 °C

642 °C

751 °C

781 °C

(a)

0 0.2 0.4 0.6 0.8

1 1.2 1.4 1.6 1.8

−200 0 200 400 600 800 0

200

400

600

800

1000

1200

Pm

,S [T

]

HK [A

/m]

T [°C]

Pm,S

HK

(b)

Abbildung A.11.: (a) Magnetisierung von Eisen geglüht bei 800C, Quelle [7](b) Daraus berechnete Sättigungspolarisiation und Kniepunktfeldstärke

138


0 0.2 0.4 0.6 0.8

1 1.2 1.4 1.6 1.8

−200 0 200 400 600 800 0

500

1000

1500

2000

2500

3000

B [T

]

Pv

[W/m

3 ]

T [°C]

Bmax

BremPV

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

−200 0 200 400 600 800 0

50

100

150

200

250

300

350

µ r⋅1

03

HC

[A/m

]

T [°C]

µr,max

µr,a

HC

Abbildung A.12.: Magnetische Daten von Eisen, geglüht bei 800C, Quelle [7]

In Abb. A.12 aus [7] ist die KoerzitivfeldstärkeHC um den Faktor 1000 unplausibel zu hoch undentsprechend korrigiert.

139

A. Anhang

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 2 4 6 8 10 12

B [T

]

H [kA/m]

29 °C 93 °C204 °C316 °C427 °C500 °C538 °C

593 °C

(a)

0

200

400

600

800

1000

0 1 2 3 4 5

µ r

H [kA/m]

29 °C93 °C

204 °C316 °C

427 °C500 °C

538 °C

593 °C

4

8

12

16 0 4 8 12

593 °C

(b)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 100 200 300 400 500 600 0

1

2

3

4

5

6

7

Pm

,S [T

]

HK [k

A/m

]

T [°C]

Pm,S

HK

(c)

Abbildung A.13.: (a) Magnetisierung von Edelstahl 446(AISI/ASTM) gemessen mit Gleichstrom,Quelle [31](b) Aus (a) berechnete Permeabilität(c) Aus (a) berechnete Sättigungspolarisation und Kniepunktfeldstärke

(letzte Werte sind geschätzt)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

Pm

,S [T

]

T [°C]

H = 0 A/m326 kA/m796 kA/m

1416 kA/m

Abbildung A.14.: Sättigungspolarisation von Nickel,Tc = 358C, Quelle [7]

140

Abkürzungen und Formelzeichen

Allgemeine Größen

f , ω Frequenz, Kreisfrequenz

E Einheitsmatrix

Elektrodynamik und Ferromagnetismus

E elektrische Feldstärke

D elektrische Verschiebungsdichte

ϕ elektrisches Potential

B, BR, BK magnetische Flussdichte, Remanenzflussdichte, Flussdichte im Kniepunkt

H, HC, HK magnetische Feldstärke, Koerzitivfeldstärke, Feldstärke im Kniepunkt

M , MS Magnetisierung, Sättigungsmagnetisierung

Pm, Pm,S magnetische Polarisation, Sättigungspolarisation#»

A magnetisches Vektorpotenzial(ausnahmsweise mit Vektorpfeil, um es von Flächenvektorenzu unter-scheiden)

J, J f , Jm elektrische Stromdichte insgesamt, der freien Ladungsträger und Magneti-sierungsvolumenstromdichte

K f , Km elektrische Flächenstromdichte der freien Ladungsträger, Magnetisierung-flächenstromdichte

r , r ′ Ortsvektor des Aufpunktes und Laufpunktes

ρ elektrische Raumladungsdichte

ρ, ρel, ρ20 spezifischer elektrischer Widerstand, bei 20C

αel Temperaturkoeffizient des elektrischen Widerstands

κ elektrische Leitfähigkeit

ε0 elektrische Feldkonstante

µ0 magnetische Feldkonstante

µr relative magnetische Permeabilität

χm magnetische Suszeptibilität

141


KC Curiekonstante

TC Curietemperatur

Operatoren der Vektoranalysis

grad, div, rot Gradient-, Divergenz-, Rotationsoperator

Div, Rot Flächendivergenz-, Flächenrotationsoperator

Besondere Längen

lz Länge der simulierten Anordnung in z-Richtung

D Radius des fiktiven Hüllzylinders als Rückleiter

g Mittlerer geometrischer Abstand

ρ mittlerer harmonischer Abstand

Teilleitermethode

H, L, T Index für Hauptleiter, Leiter und Teilleiter

KHL, KLT , KHT Koinzidenzmatrizen zwischen Hauptleitern, Leitern und Teilleitern je nachIndex

a,b Indices für einzelne Spannungen und Ströme in Voluminabzw. durch Querschnittsflächen bei Reduktion der z-Richtung in 2D (s.u.)

c,d Indices für einzelne Spannungen und Ströme an Flächenbzw. entlang von Linien bei Reduktion der z-Richtung in 2D (s.u.)

ia, ib Volumenstrom, Flächenstrom bei Reduktion der z-Richtung in 2D

ic, id Flächenstrom, Linienstrom bei Reduktion der z-Richtung in 2D

iB Vektor von Volumenströmen mit Komponentenib, ic (s.o.)

iC Vektor von Flächenströmen mit Komponentenic, id (s.o.)

∆uB, ∆uTL Vektor der Teilleiterspannungsabfälle

R, L , Z Widerstands-, Induktivitäts- und Impedanzmatrix

P, V, Q Koeffizientenmatrizen

P, Q, S Wirk-, Blind- und Scheinleistung

ks,L Stromverdrängungsfaktor einzelner Leiter

ks,g Gesamtstromverdrängungsfaktor

Einige Größen (auch geometrische) treten teilweise komplex auf

142

Erwärmung

P Wärmeleistungsfluss in[W]

p′ Wärmequellen volumenbezogen in[W/m3]

p Wärmeleistungsfluss flächenbezogen in[W/m2]

ρ Massendichte

c Wärmekapazität

λ Wärmeleitfähigkeit

a Temperaturleitfähigkeit

G Wärmeleitwert

Strahlung

I , L Strahlstärke und Strahldichte

ε Emissionsverhältnis

F Sichtfaktor als Koppelfaktor zweier Flächen

B, D, F, V Koeffizientenmatrizen

TU Umgebungstemperatur für Strahlung

Konvektion

η , µ Viskosität

ν kinematische Zähigkeit

α Wärmeübergangskoeffizient

β thermische Ausdehungszahl

TF mittlere Filmtemperatur der Grenzschicht

T∞, v∞ Temperatur und Geschwindigkeit der freien Strömung

TH,∞, vH,∞ Temperatur und Geschwindigkeit der freien Strömung in Hohlräumen

δth, δ thermische und hdrodynamische Grenzschichtdicke

lc, lw charakteristische Länge

∆p Druckverlust

V Volumenstrom

SW Strömungswiderstand

cW Strömungsbeiwert

Dimensionslose Größen der Ähnlichkeitstheorie

Gr Grashof-Zahl

Pr Prandtl-Zahl

143


Ra Rayleigh-Zahl

Re Reynolds-Zahl

Nu Nußelt-Zahl

Methode der finiten Elemente

w Testfunktion

N Formfunktion

SL, bL Wärmeleitungsmatrix und Wärmequellenvektor bei Wärmeleitung

SS, bS Wärmeleitungsmatrix und Wärmequellenvektor bei Wärmestrahlung

SK, bK Wärmeleitungsmatrix und Wärmequellenvektor bei Wärmekonvektion

KE, KRE Koinzidenzmatrizen der Knoten zu den ElementenE, bzw. RandelementenRE

M Wärmekapazitätsmatrix

144

Literaturverzeichnis

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148

Lebenslauf

Person

Name Braisch

Vorname Dieter

Geburtsdatum 07. September 1971

Geburtsort Agnetheln, Siebenbürgen/Rumänien

Familienstand Verheiratet, 1 Tochter

Schulbildung

09/1978 - 06/1982 Grundschule in Lasseln, Siebenbürgen

07/1982 - 05/1984 Allgemeinschule in Lasseln, Siebenbürgen

06/1984 - 06/1992 Elly-Heuß-Knapp-Gymnasium Heilbronn AllgemeineHochschulreife

Wehrdienst

07/1992 - 06/1993 Stabsdienst im Nachschub

Studium

11/1993 - 10/1999 Elektrotechnik an der Friedrich-Alexander-UniversitätErlangen-Nürnberg mit dem StudienschwerpunktLeistungselektrotechnik

04/1999 - 10/1999 Diplomarbeit bei der Siemens AG in Erlangen

Berufsweg

01/2000 - 12/2005 Wissenschaftlicher Assistent am Lehrstuhl für ElektrischeEnergieversorgung der Friedrich-Alexander-UniversitätErlangen-Nürnberg

seit 07/2006 Consultant für Netzschutz bei der Siemens AG in Erlangen,Energy Sector, Distribution,Power Technologies International

149

Berechnung der Erwärmung ebener Leiteranordnungen bei ... · transient state of the thermal...

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