Berechnung der Schadensrückstellung in der...

26
Berechnung der Schadensr¨ uckstellung in der Sachversicherung Nikolaus Altmann Seminar aus Finanz- und Versicherungsmathematik 9. J¨ anner 2013 N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 1 / 26

Transcript of Berechnung der Schadensrückstellung in der...

Page 1: Berechnung der Schadensrückstellung in der Sachversicherungsgerhold/pub_files/sem12/v_altmann.pdf · Berechnung der Schadensr uckstellung in der Sachversicherung Nikolaus Altmann

Berechnung der Schadensruckstellung in derSachversicherung

Nikolaus Altmann

Seminar aus Finanz- und Versicherungsmathematik

9. Janner 2013

N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 1 / 26

Page 2: Berechnung der Schadensrückstellung in der Sachversicherungsgerhold/pub_files/sem12/v_altmann.pdf · Berechnung der Schadensr uckstellung in der Sachversicherung Nikolaus Altmann

Agenda

Aufbau

1 Schadenruckstellung

2 Daten

3 Modelle und Verfahren + Beispiele

4 Tailschatzung

5 Groß- und Kumulschaden

N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 2 / 26

Page 3: Berechnung der Schadensrückstellung in der Sachversicherungsgerhold/pub_files/sem12/v_altmann.pdf · Berechnung der Schadensr uckstellung in der Sachversicherung Nikolaus Altmann

Schadenabwicklungsprozess

Schaden Schadensmeldung letzte ZahlungAbwicklung

3 Kategorien von Schaden:

Gemeldet und abgeschlossen

Gemeldet, aber noch nicht abgeschlossen (reported but not settledRBNS)

Passiert, aber noch nicht gemeldet (incurred but not reported IBNR)

N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 3 / 26

Page 4: Berechnung der Schadensrückstellung in der Sachversicherungsgerhold/pub_files/sem12/v_altmann.pdf · Berechnung der Schadensr uckstellung in der Sachversicherung Nikolaus Altmann

Schadenruckstellung

Teil der versicherungstechnischen Ruckstellungen

Ergeben sich aus bekannten Versicherungsfallen

+ Rentenversicherungsfalle

+ Spatschaden

+ Schadenregulierungsaufwendungen

− Forderungen aus Regressen, etc.

Punktschatzung zu einem gewissen Zeitpunkt (z.B. 31.12.,quartalsweise)

N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 4 / 26

Page 5: Berechnung der Schadensrückstellung in der Sachversicherungsgerhold/pub_files/sem12/v_altmann.pdf · Berechnung der Schadensr uckstellung in der Sachversicherung Nikolaus Altmann

UGB vs. Solvency II - Bewertungsgrundsatze

UGB

Passivierung der Leistungsverpflichtungen gegenuber VN nachvernunftiger kaufmannischer Beurteilung

Abzinsung von Schadenruckstellungen nur bei Renten

Grundsatz der Einzelbewertung

Bei großer Anzahl gleichartiger Falle Gruppenbewertung moglich

Solvency II

Marktkonsistente Bewertung

Abzinsung aller zukunftigen Zahlungsstrome mit ’risikoloserZinsstrukturkurve’

Ermittlung eines sog. ’Best Estimate Schadenruckstellung’

N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 5 / 26

Page 6: Berechnung der Schadensrückstellung in der Sachversicherungsgerhold/pub_files/sem12/v_altmann.pdf · Berechnung der Schadensr uckstellung in der Sachversicherung Nikolaus Altmann

Daten

Vorraussetzung fur aktuarielle Schatzungen ist eine valide und moglichstumfassende Datenbasis (z.b. DWH). Idealerweise vorhandene Daten sind:

Brutto- und Nettozahlungen

Brutto- und Nettoruckstellungen

Schadenzahlen

Brutto- und Nettopramien

Volumenmaße

→ pro Jahr und Sparte bzw. Line of Business

N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 6 / 26

Page 7: Berechnung der Schadensrückstellung in der Sachversicherungsgerhold/pub_files/sem12/v_altmann.pdf · Berechnung der Schadensr uckstellung in der Sachversicherung Nikolaus Altmann

Zusatzliche Informationen

Groß-, Kumul- oder Elementarschaden, Naturkatatstrophen

Alte Schaden

latente Schaden (Asbest, Gesundheitsschaden)

Veranderungen in der Schadenregulierung- oder bearbeitungsprozesses

Veranderungen in der Reservierungspolitik

okonomische Einflusse (Inflation, Baukostenindex)

veranderte gesetzliche, gesellschaftliche oder politischeRahmenbedingungen

spezielle Trends (Schadenhaufigkeit, -durchschnitt)

Bestandsubertragungen, Fusionen

. . .

⇒ Trends erkennen und berucksichtigen

N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 7 / 26

Page 8: Berechnung der Schadensrückstellung in der Sachversicherungsgerhold/pub_files/sem12/v_altmann.pdf · Berechnung der Schadensr uckstellung in der Sachversicherung Nikolaus Altmann

Das Chain Ladder Modell

n ∈ N . . . Anzahl der betrachteten Anfalljahre

T ⊂ N, meistens T = {1, . . . , n} Entwicklungszeitraum

(Pi,t)t∈T Zahlungsprozess fur Anfalljahr i = 1, . . . , n

Pi(s) := {Pi,1, . . . , Pi,s} Bedingung fur bekannteZahlungsentwicklung bis Zeitpunkt s

Modellannahmen:

Anfalljahre sind unabhangig, d.h. {P1,t|t ∈ T}, . . . , {Pn,t|t ∈ T} sindunabhangig

Fur s, t ∈ T mit t = s+ 1 gibt es einen Faktor fs→t > 0 mit

E[Pi,t

Pi,s|Pi(s)

]= fs→t ∀i

−→ Aus der Vergangenheit auf die Zukunft schließen

N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 8 / 26

Page 9: Berechnung der Schadensrückstellung in der Sachversicherungsgerhold/pub_files/sem12/v_altmann.pdf · Berechnung der Schadensr uckstellung in der Sachversicherung Nikolaus Altmann

Das Chain Ladder Verfahren

Schatzung der Faktoren durch

ft→t+1 :=

∑n−t+1j=0 Pj,t+1∑n−t+1j=0 Pj,t

Geschatzter erwarteter Endschadenstand

Pi,n = Pi,n−i ·n−1∏

j=n−ifj→j+1

Geschatzte Reserve Ri = Pi,n − Pi,n−i

Geschatzte Gesamtreserve

R =n∑

i=1

Ri

N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 9 / 26

Page 10: Berechnung der Schadensrückstellung in der Sachversicherungsgerhold/pub_files/sem12/v_altmann.pdf · Berechnung der Schadensr uckstellung in der Sachversicherung Nikolaus Altmann

Numerisches Beispiel 1/4

CL 0 1 2 3 4 5 Reserve

2007 1001 1855 2423 2988 3335 3483

2008 1113 2103 2774 3422 3844

2009 1265 2433 3233 3977

2010 1490 2873 3880

2011 1725 3261

2012 1889

ft→t+1

N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 10 / 26

Page 11: Berechnung der Schadensrückstellung in der Sachversicherungsgerhold/pub_files/sem12/v_altmann.pdf · Berechnung der Schadensr uckstellung in der Sachversicherung Nikolaus Altmann

Numerisches Beispiel 2/4

CL 0 1 2 3 4 5 Reserve

2007 1001 1855 2423 2988 3335 3483

2008 1113 2103 2774 3422 3844

2009 1265 2433 3233 3977

2010 1490 2873 3880

2011 1725 3261

2012 1889

ft→t+1 1,899 1,329 1,232 1,120 1,044 1,000

N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 11 / 26

Page 12: Berechnung der Schadensrückstellung in der Sachversicherungsgerhold/pub_files/sem12/v_altmann.pdf · Berechnung der Schadensr uckstellung in der Sachversicherung Nikolaus Altmann

Numerisches Beispiel 3/4

CL 0 1 2 3 4 5 Reserve

2007 1001 1855 2423 2988 3335 3483

2008 1113 2103 2774 3422 3844 4013

2009 1265 2433 3233 3977 4454 4650

2010 1490 2873 3880 4780 5354 5590

2011 1725 3261 4334 5339 5980 6243

2012 1889 3587 4767 5873 6578 6867

ft→t+1 1,899 1,329 1,232 1,120 1,044 1,000

N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 12 / 26

Page 13: Berechnung der Schadensrückstellung in der Sachversicherungsgerhold/pub_files/sem12/v_altmann.pdf · Berechnung der Schadensr uckstellung in der Sachversicherung Nikolaus Altmann

Numerisches Beispiel 4/4

CL 0 1 2 3 4 5 Reserve

2007 1001 1855 2423 2988 3335 3483 0

2008 1113 2103 2774 3422 3844 4013 169

2009 1265 2433 3233 3977 4454 4650 673

2010 1490 2873 3880 4780 5354 5590 1710

2011 1725 3261 4334 5339 5980 6243 2982

2012 1889 3587 4767 5873 6578 6867 4978

ft→t+1 1,899 1,329 1,232 1,120 1,044 1,000 Σ 10512

N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 13 / 26

Page 14: Berechnung der Schadensrückstellung in der Sachversicherungsgerhold/pub_files/sem12/v_altmann.pdf · Berechnung der Schadensr uckstellung in der Sachversicherung Nikolaus Altmann

Bemerkungen

Vorteil: einfache Berechnung, Gefuhl fur Großenordnung

Nachteil: anfallig fur Ausreißer (z.B. Groß- u. Kumulschaden)

Anderung der Schadenregulierung, Einzelfallreservierung

Neugeschaft

Alternativen durch Heranziehung nur der letzten Jahre,

durchschnittlichem Ubergangsfaktor (etwas konservativer)

Handische Wahl von Faktoren

N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 14 / 26

Page 15: Berechnung der Schadensrückstellung in der Sachversicherungsgerhold/pub_files/sem12/v_altmann.pdf · Berechnung der Schadensr uckstellung in der Sachversicherung Nikolaus Altmann

Cape-Cod Modell

baut auf Chain-Ladder auf → Verfeinerung

Isolierung von Ausreißereffekten

Annahme der identisch verteilten Endschadenquoten aller Anfalljahre:

∃π0, . . . , πn sowie κ und γ0, . . . , γn mit γn = 1, sodass fur allei, k ∈ {0, 1, . . . , n}

E[Pi,k

πiγk

]= κ

gilt.

Voraussetzung: π0, . . . , πn als Pramien bekannt

Die erwartete Endschadenquote κ ist wegen

κ = E[Pi,n

πi

]von den Anfalljahren unabhangig.

N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 15 / 26

Page 16: Berechnung der Schadensrückstellung in der Sachversicherungsgerhold/pub_files/sem12/v_altmann.pdf · Berechnung der Schadensr uckstellung in der Sachversicherung Nikolaus Altmann

Cape-Cod Verfahren

Chain-Ladder Quoten (Schatzung von γi)

Gn−i :=

n∏t=n−i+1

1

ft→t+1

Durch gewichtetes Mittel wird Empfindlichkeit gegen Ausreißerverringert

κ :=

∑ni=0 Pi,n−i∑ni=0 Gn−iπi

Fur i, k ∈ {0, 1, . . . , n} mit i, k ≥ n heißt

Pi,n := Pi,n−i + (Gn − Gn−i)πiκ

Cape − Cod -Schatzer fur E[Pi,n].

→ Cape-Cod Reserve: R =∑n

i=1(Pi,n − Pi,n−i)

N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 16 / 26

Page 17: Berechnung der Schadensrückstellung in der Sachversicherungsgerhold/pub_files/sem12/v_altmann.pdf · Berechnung der Schadensr uckstellung in der Sachversicherung Nikolaus Altmann

Beispiel

i πi Pi,5−i G5−i Pi,5 κ Ri = Pi,n − Pi,n−i0 4025 3483 1 3483 0,940 0

1 4456 3844 0,958 4020 0,940 176

2 5315 3977 0,855 4702 0,940 725

3 5986 3880 0,694 5602 0,940 1722

4 6939 4261 0,522 7379 0,940 3118

5 8158 1889 0,255 7602 0,940 5713

Σ 21334 32788 11454

Nachteil: Jedes Jahr gleiche Schadenquote → kuhne Aussage

N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 17 / 26

Page 18: Berechnung der Schadensrückstellung in der Sachversicherungsgerhold/pub_files/sem12/v_altmann.pdf · Berechnung der Schadensr uckstellung in der Sachversicherung Nikolaus Altmann

Weitere Modelle und Verfahren

Bornhuetter-FergusonI Analog zum CL-VerfahrenI Bildung eines SchadenquotendreiecksI Ableitung von a-priori Endschadenquoten ∀iI z.B. durchschnittliche Endschadenquote des ersten AbwicklungsjahresI Vorteil: Anwendbar bei Sparten mit geringer HistorieI Nachteil: Gewahlte Endschadenquoten sind subjektiv → fur Ergebnis

sehr entscheidend

Bornhuetter-Ferguson iteriertI 1. Iteration aquivalentI n-te Iteration: errechneter Endschaden ist neuer a-priori EndschadenI Vorteil: Einfluss der a-priori Endschadenquotenschatzung wird reduziert

N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 18 / 26

Page 19: Berechnung der Schadensrückstellung in der Sachversicherungsgerhold/pub_files/sem12/v_altmann.pdf · Berechnung der Schadensr uckstellung in der Sachversicherung Nikolaus Altmann

Weitere Modelle und Verfahren

Loss-DevelopmentI Ident mit CL-Verfahren, statt Abwicklungsfaktoren werden -quoten

verwendetI Handischer Eingriff alternativer Quoten

Additives VerfahrenI Bestimmung durchschnittlicher Schadenquoten-ZuwachseI Annahme: Endschadenquote = Σ Schadenquoten-ZuwachseI Schatzung Endschaden = bisher Bezahltes + Quote · Pramie

N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 19 / 26

Page 20: Berechnung der Schadensrückstellung in der Sachversicherungsgerhold/pub_files/sem12/v_altmann.pdf · Berechnung der Schadensr uckstellung in der Sachversicherung Nikolaus Altmann

Versicherungszahlungen und -leistungen

Versicherungszahlung (’Paid’)I Alles was bis jetzt tatsachlich an VN ausbezahlt wurde

Versicherungsleistungen bzw. Schadenaufwendungen (’Incurred’)I Vers. zahlungen + gebildete Ruckstellungen

Realitat: Paid → tatsachlicher Endstand ← Incurred

Verfahren auf beides anwenden

Liefern nicht die selben Endstande wegen unterschiedlichem Verlauf

Zusatzliche Information des Incurred nutzbar

→ Munich Chain Ladder

N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 20 / 26

Page 21: Berechnung der Schadensrückstellung in der Sachversicherungsgerhold/pub_files/sem12/v_altmann.pdf · Berechnung der Schadensr uckstellung in der Sachversicherung Nikolaus Altmann

Munich Chain Ladder

Auszahlungsquote AQi,k =PZi,k

PAi,k

fur k = 0, . . . , n

Realitat: AQi,n = 100% ∀iBetrachten aktuelle Auszahlungsquote AQi,n−i und fZk→k+1, f

Ak→k+1

Korrekturen von Faktoren danach, ob AQi,k uber- oderunterdurchschnittlich ist

AQi,k unterdurchschnittlich: fZk→k+1 ↗ und fAk→k+1 ↘analog bei Uberdurchschnittlichkeit

Ausmaß der Korrektur bestimmt durch DatenI Abweichung von AQi,k vom DurchschnittswertI bisher beobachteten Korrelation zwischen Abweichungen von AQi,k

und fZ/Ak→k+1 von ihren jeweiligen Mittelwerten

N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 21 / 26

Page 22: Berechnung der Schadensrückstellung in der Sachversicherungsgerhold/pub_files/sem12/v_altmann.pdf · Berechnung der Schadensr uckstellung in der Sachversicherung Nikolaus Altmann

Unvollstandige Schadenerfahrung (Tail)

Schadenabwicklung ist nach n Jahren noch nicht abgeschlossen →erst nach n+ d Jahren

Lang abwickelnde (”long-tail”) Sparten, z.B. Kfz-H, Unfall

Neue Geschaftsfelder

Aus Erfahrung

Fehlender Beobachtungszeitraum

Oder Erkennung dadurch, dass letzter Faktor 6≈ 1 ist

Schatzung einer Restreserve (Nachlauf, ”tail”) → ”Tailschatzung”

Durchfuhrung mittels eines zusatzlichen Abwicklungsfaktors →Tailfaktor

N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 22 / 26

Page 23: Berechnung der Schadensrückstellung in der Sachversicherungsgerhold/pub_files/sem12/v_altmann.pdf · Berechnung der Schadensr uckstellung in der Sachversicherung Nikolaus Altmann

Durchfuhrung der Tailschatzung

Marktfaktoren, Einzelfall- bzw. PauschalreservenExtrapolation der Faktoren

I ExponentialfunktionI Weibull-FunktionI PotenzfunktionI Entscheidung durch grafischen Vergleich, quadratischer

ApproximationsfehlerI → d extrapolierte Tailfaktoren gemaß der angepassten KurveI Tailfaktor =

∏extrapol.Tailfaktoren

VerteilungsanpassungI Betrachte Zuwachse Zi,k mit k = 0, . . . , n als Verteilung der

Schadenzahlung auf die Abwicklungsjahre k = 0, . . . , nI Modellierung direkt mit parametrischer VerteilungsfunktionI einfache Moglichkeit: Mischung zweier Exponentialverteilungen

F (t) = F (t|p,m1,m2) = 1− p · exp

(− t

m1

)− (1− p) · exp

(− t

m2

)I Tailreserve kann als Quantil dieser Verteilung berechnet werdenI Vorteil: Durchspielung verschiedener Szenarien

N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 23 / 26

Page 24: Berechnung der Schadensrückstellung in der Sachversicherungsgerhold/pub_files/sem12/v_altmann.pdf · Berechnung der Schadensr uckstellung in der Sachversicherung Nikolaus Altmann

Groß- und Kumulschaden

Deutlich anderes Abwicklungsmuster

entspricht nicht der unternehmenstypischen Abwicklung

Großschadengrenze, z.B. Alle Schaden ≥I ≥ ein bestimmtes Quantil der SchadenhohenverteilungI ≥ ein fester Prozentsatz des erw. Endschadenstandes des AnfalljahresI ≥ ein fest gewahlter Betrag (z.B. Prioritat des XL)

Art der Separierung der GroßschadenI komplett aus Abwicklungsdaten separierenI Und Verfahren auf Großschadendaten anwendenI → Unterteilung in Basis- und GroßschadenI Kappung der Großschaden bis zur GS-GrenzeI Glattung durch Umverteilung der Zahlungen innerhalb des Anfalljahres

Bewertung von GroßschadenI UGB EinzelfallreserveI Best Estimate Reserve durch Schadenabteilung

N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 24 / 26

Page 25: Berechnung der Schadensrückstellung in der Sachversicherungsgerhold/pub_files/sem12/v_altmann.pdf · Berechnung der Schadensr uckstellung in der Sachversicherung Nikolaus Altmann

Quellen

Radte, Schmidt: Handbuch zur Schadenreservierung

Deutscher Versicherungsverband: Broschure Schaden undPramienruckstellungen in der Kompositversicherung 2011 (pdf)

Mack, Quarg: Munich Chain Ladder

Wikipedia

N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 25 / 26

Page 26: Berechnung der Schadensrückstellung in der Sachversicherungsgerhold/pub_files/sem12/v_altmann.pdf · Berechnung der Schadensr uckstellung in der Sachversicherung Nikolaus Altmann

Ende

Vielen Dank fur Ihre Aufmerksamkeit!

N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 26 / 26