Berechnung der Schadensrückstellung in der...

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Berechnung der Schadensr¨ uckstellung in der Sachversicherung Nikolaus Altmann Seminar aus Finanz- und Versicherungsmathematik 9. J¨ anner 2013 N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 1 / 26

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  • Berechnung der Schadensrückstellung in derSachversicherung

    Nikolaus Altmann

    Seminar aus Finanz- und Versicherungsmathematik

    9. Jänner 2013

    N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 1 / 26

  • Agenda

    Aufbau

    1 Schadenrückstellung

    2 Daten

    3 Modelle und Verfahren + Beispiele

    4 Tailschätzung

    5 Groß- und Kumulschäden

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  • Schadenabwicklungsprozess

    Schaden Schadensmeldung letzte ZahlungAbwicklung

    3 Kategorien von Schäden:

    Gemeldet und abgeschlossen

    Gemeldet, aber noch nicht abgeschlossen (reported but not settledRBNS)

    Passiert, aber noch nicht gemeldet (incurred but not reported IBNR)

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  • Schadenrückstellung

    Teil der versicherungstechnischen Rückstellungen

    Ergeben sich aus bekannten Versicherungsfällen

    + Rentenversicherungsfälle

    + Spätschäden

    + Schadenregulierungsaufwendungen

    − Forderungen aus Regressen, etc.Punktschätzung zu einem gewissen Zeitpunkt (z.B. 31.12.,quartalsweise)

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  • UGB vs. Solvency II - Bewertungsgrundsätze

    UGB

    Passivierung der Leistungsverpflichtungen gegenüber VN nachvernünftiger kaufmännischer Beurteilung

    Abzinsung von Schadenrückstellungen nur bei Renten

    Grundsatz der Einzelbewertung

    Bei großer Anzahl gleichartiger Fälle Gruppenbewertung möglich

    Solvency II

    Marktkonsistente Bewertung

    Abzinsung aller zukünftigen Zahlungsströme mit ’risikoloserZinsstrukturkurve’

    Ermittlung eines sog. ’Best Estimate Schadenrückstellung’

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  • Daten

    Vorraussetzung für aktuarielle Schätzungen ist eine valide und möglichstumfassende Datenbasis (z.b. DWH). Idealerweise vorhandene Daten sind:

    Brutto- und Nettozahlungen

    Brutto- und Nettorückstellungen

    Schadenzahlen

    Brutto- und Nettoprämien

    Volumenmaße

    → pro Jahr und Sparte bzw. Line of Business

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  • Zusätzliche Informationen

    Groß-, Kumul- oder Elementarschäden, Naturkatatstrophen

    Alte Schäden

    latente Schäden (Asbest, Gesundheitsschäden)

    Veränderungen in der Schadenregulierung- oder bearbeitungsprozesses

    Veränderungen in der Reservierungspolitik

    ökonomische Einflüsse (Inflation, Baukostenindex)

    veränderte gesetzliche, gesellschaftliche oder politischeRahmenbedingungen

    spezielle Trends (Schadenhäufigkeit, -durchschnitt)

    Bestandsübertragungen, Fusionen

    . . .

    ⇒ Trends erkennen und berücksichtigen

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  • Das Chain Ladder Modell

    n ∈ N . . . Anzahl der betrachteten AnfalljahreT ⊂ N, meistens T = {1, . . . , n} Entwicklungszeitraum(Pi,t)t∈T Zahlungsprozess für Anfalljahr i = 1, . . . , n

    Pi(s) := {Pi,1, . . . , Pi,s} Bedingung für bekannteZahlungsentwicklung bis Zeitpunkt s

    Modellannahmen:

    Anfalljahre sind unabhängig, d.h. {P1,t|t ∈ T}, . . . , {Pn,t|t ∈ T} sindunabhängig

    Für s, t ∈ T mit t = s+ 1 gibt es einen Faktor fs→t > 0 mit

    E[Pi,tPi,s|Pi(s)

    ]= fs→t ∀i

    −→ Aus der Vergangenheit auf die Zukunft schließen

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  • Das Chain Ladder Verfahren

    Schätzung der Faktoren durch

    f̂t→t+1 :=

    ∑n−t+1j=0 Pj,t+1∑n−t+1j=0 Pj,t

    Geschätzter erwarteter Endschadenstand

    P̂i,n = Pi,n−i ·n−1∏

    j=n−ifj→j+1

    Geschätzte Reserve R̂i = P̂i,n − Pi,n−iGeschätzte Gesamtreserve

    R̂ =n∑

    i=1

    R̂i

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  • Numerisches Beispiel 1/4

    CL 0 1 2 3 4 5 Reserve

    2007 1001 1855 2423 2988 3335 3483

    2008 1113 2103 2774 3422 3844

    2009 1265 2433 3233 3977

    2010 1490 2873 3880

    2011 1725 3261

    2012 1889

    f̂t→t+1

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  • Numerisches Beispiel 2/4

    CL 0 1 2 3 4 5 Reserve

    2007 1001 1855 2423 2988 3335 3483

    2008 1113 2103 2774 3422 3844

    2009 1265 2433 3233 3977

    2010 1490 2873 3880

    2011 1725 3261

    2012 1889

    f̂t→t+1 1,899 1,329 1,232 1,120 1,044 1,000

    N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 11 / 26

  • Numerisches Beispiel 3/4

    CL 0 1 2 3 4 5 Reserve

    2007 1001 1855 2423 2988 3335 3483

    2008 1113 2103 2774 3422 3844 4013

    2009 1265 2433 3233 3977 4454 4650

    2010 1490 2873 3880 4780 5354 5590

    2011 1725 3261 4334 5339 5980 6243

    2012 1889 3587 4767 5873 6578 6867

    f̂t→t+1 1,899 1,329 1,232 1,120 1,044 1,000

    N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 12 / 26

  • Numerisches Beispiel 4/4

    CL 0 1 2 3 4 5 Reserve

    2007 1001 1855 2423 2988 3335 3483 0

    2008 1113 2103 2774 3422 3844 4013 169

    2009 1265 2433 3233 3977 4454 4650 673

    2010 1490 2873 3880 4780 5354 5590 1710

    2011 1725 3261 4334 5339 5980 6243 2982

    2012 1889 3587 4767 5873 6578 6867 4978

    f̂t→t+1 1,899 1,329 1,232 1,120 1,044 1,000 Σ 10512

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  • Bemerkungen

    Vorteil: einfache Berechnung, Gefühl für Größenordnung

    Nachteil: anfällig für Ausreißer (z.B. Groß- u. Kumulschäden)

    Änderung der Schadenregulierung, Einzelfallreservierung

    Neugeschäft

    Alternativen durch Heranziehung nur der letzten Jahre,

    durchschnittlichem Übergangsfaktor (etwas konservativer)

    Händische Wahl von Faktoren

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  • Cape-Cod Modell

    baut auf Chain-Ladder auf → VerfeinerungIsolierung von Ausreißereffekten

    Annahme der identisch verteilten Endschadenquoten aller Anfalljahre:

    ∃π0, . . . , πn sowie κ und γ0, . . . , γn mit γn = 1, sodass für allei, k ∈ {0, 1, . . . , n}

    E[Pi,kπiγk

    ]= κ

    gilt.

    Voraussetzung: π0, . . . , πn als Prämien bekannt

    Die erwartete Endschadenquote κ ist wegen

    κ = E[Pi,nπi

    ]von den Anfalljahren unabhängig.

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  • Cape-Cod Verfahren

    Chain-Ladder Quoten (Schätzung von γi)

    Ĝn−i :=

    n∏t=n−i+1

    1

    f̂t→t+1

    Durch gewichtetes Mittel wird Empfindlichkeit gegen Ausreißerverringert

    κ̂ :=

    ∑ni=0 Pi,n−i∑ni=0 Ĝn−iπi

    Für i, k ∈ {0, 1, . . . , n} mit i, k ≥ n heißt

    P̂i,n := Pi,n−i + (Ĝn − Ĝn−i)πiκ̂

    Cape − Cod -Schätzer für E[Pi,n].→ Cape-Cod Reserve: R̂ =

    ∑ni=1(P̂i,n − Pi,n−i)

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  • Beispiel

    i πi Pi,5−i Ĝ5−i P̂i,5 κ̂ R̂i = P̂i,n − Pi,n−i0 4025 3483 1 3483 0,940 0

    1 4456 3844 0,958 4020 0,940 176

    2 5315 3977 0,855 4702 0,940 725

    3 5986 3880 0,694 5602 0,940 1722

    4 6939 4261 0,522 7379 0,940 3118

    5 8158 1889 0,255 7602 0,940 5713

    Σ 21334 32788 11454

    Nachteil: Jedes Jahr gleiche Schadenquote → kühne Aussage

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  • Weitere Modelle und Verfahren

    Bornhuetter-FergusonI Analog zum CL-VerfahrenI Bildung eines SchadenquotendreiecksI Ableitung von a-priori Endschadenquoten ∀iI z.B. durchschnittliche Endschadenquote des ersten AbwicklungsjahresI Vorteil: Anwendbar bei Sparten mit geringer HistorieI Nachteil: Gewählte Endschadenquoten sind subjektiv → für Ergebnis

    sehr entscheidend

    Bornhuetter-Ferguson iteriertI 1. Iteration äquivalentI n-te Iteration: errechneter Endschaden ist neuer a-priori EndschadenI Vorteil: Einfluss der a-priori Endschadenquotenschätzung wird reduziert

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  • Weitere Modelle und Verfahren

    Loss-DevelopmentI Ident mit CL-Verfahren, statt Abwicklungsfaktoren werden -quoten

    verwendetI Händischer Eingriff alternativer Quoten

    Additives VerfahrenI Bestimmung durchschnittlicher Schadenquoten-ZuwächseI Annahme: Endschadenquote = Σ Schadenquoten-ZuwächseI Schätzung Endschaden = bisher Bezahltes + Quote · Prämie

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  • Versicherungszahlungen und -leistungen

    Versicherungszahlung (’Paid’)I Alles was bis jetzt tatsächlich an VN ausbezahlt wurde

    Versicherungsleistungen bzw. Schadenaufwendungen (’Incurred’)I Vers. zahlungen + gebildete Rückstellungen

    Realität: Paid → tatsächlicher Endstand ← IncurredVerfahren auf beides anwenden

    Liefern nicht die selben Endstände wegen unterschiedlichem Verlauf

    Zusätzliche Information des Incurred nutzbar

    → Munich Chain Ladder

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  • Munich Chain Ladder

    Auszahlungsquote AQi,k =PZi,kPAi,k

    für k = 0, . . . , n

    Realität: AQi,n = 100% ∀iBetrachten aktuelle Auszahlungsquote AQi,n−i und f

    Zk→k+1, f

    Ak→k+1

    Korrekturen von Faktoren danach, ob AQi,k über- oderunterdurchschnittlich ist

    AQi,k unterdurchschnittlich: fZk→k+1 ↗ und fAk→k+1 ↘

    analog bei Überdurchschnittlichkeit

    Ausmaß der Korrektur bestimmt durch DatenI Abweichung von AQi,k vom DurchschnittswertI bisher beobachteten Korrelation zwischen Abweichungen von AQi,k

    und fZ/Ak→k+1 von ihren jeweiligen Mittelwerten

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  • Unvollständige Schadenerfahrung (Tail)

    Schadenabwicklung ist nach n Jahren noch nicht abgeschlossen →erst nach n+ d Jahren

    Lang abwickelnde (”long-tail”) Sparten, z.B. Kfz-H, Unfall

    Neue Geschäftsfelder

    Aus Erfahrung

    Fehlender Beobachtungszeitraum

    Oder Erkennung dadurch, dass letzter Faktor 6≈ 1 istSchätzung einer Restreserve (Nachlauf, ”tail”) → ”Tailschätzung”Durchführung mittels eines zusätzlichen Abwicklungsfaktors →Tailfaktor

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  • Durchführung der Tailschätzung

    Marktfaktoren, Einzelfall- bzw. PauschalreservenExtrapolation der Faktoren

    I ExponentialfunktionI Weibull-FunktionI PotenzfunktionI Entscheidung durch grafischen Vergleich, quadratischer

    ApproximationsfehlerI → d extrapolierte Tailfaktoren gemäß der angepassten KurveI Tailfaktor =

    ∏extrapol.Tailfaktoren

    VerteilungsanpassungI Betrachte Zuwächse Zi,k mit k = 0, . . . , n als Verteilung der

    Schadenzahlung auf die Abwicklungsjahre k = 0, . . . , nI Modellierung direkt mit parametrischer VerteilungsfunktionI einfache Möglichkeit: Mischung zweier Exponentialverteilungen

    F (t) = F (t|p,m1,m2) = 1− p · exp(− tm1

    )− (1− p) · exp

    (− tm2

    )I Tailreserve kann als Quantil dieser Verteilung berechnet werdenI Vorteil: Durchspielung verschiedener Szenarien

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  • Groß- und Kumulschäden

    Deutlich anderes Abwicklungsmuster

    entspricht nicht der unternehmenstypischen Abwicklung

    Großschadengrenze, z.B. Alle Schäden ≥I ≥ ein bestimmtes Quantil der SchadenhöhenverteilungI ≥ ein fester Prozentsatz des erw. Endschadenstandes des AnfalljahresI ≥ ein fest gewählter Betrag (z.B. Priorität des XL)

    Art der Separierung der GroßschädenI komplett aus Abwicklungsdaten separierenI Und Verfahren auf Großschadendaten anwendenI → Unterteilung in Basis- und GroßschädenI Kappung der Großschäden bis zur GS-GrenzeI Glättung durch Umverteilung der Zahlungen innerhalb des Anfalljahres

    Bewertung von GroßschädenI UGB EinzelfallreserveI Best Estimate Reserve durch Schadenabteilung

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  • Quellen

    Radte, Schmidt: Handbuch zur Schadenreservierung

    Deutscher Versicherungsverband: Broschüre Schaden undPrämienrückstellungen in der Kompositversicherung 2011 (pdf)

    Mack, Quarg: Munich Chain Ladder

    Wikipedia

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  • Ende

    Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!

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