Berechnung der Schadensrückstellung in der...

Berechnung der Schadensrückstellung in derSachversicherung

Nikolaus Altmann

Seminar aus Finanz- und Versicherungsmathematik

9. Jänner 2013

N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 1 / 26

Agenda

Aufbau

1 Schadenrückstellung

2 Daten

3 Modelle und Verfahren + Beispiele

4 Tailschätzung

5 Groß- und Kumulschäden


Schadenabwicklungsprozess

Schaden Schadensmeldung letzte ZahlungAbwicklung

3 Kategorien von Schäden:

Gemeldet und abgeschlossen

Gemeldet, aber noch nicht abgeschlossen (reported but not settledRBNS)

Passiert, aber noch nicht gemeldet (incurred but not reported IBNR)


Schadenrückstellung

Teil der versicherungstechnischen Rückstellungen

Ergeben sich aus bekannten Versicherungsfällen

+ Rentenversicherungsfälle

+ Spätschäden

+ Schadenregulierungsaufwendungen

− Forderungen aus Regressen, etc.Punktschätzung zu einem gewissen Zeitpunkt (z.B. 31.12.,quartalsweise)


UGB vs. Solvency II - Bewertungsgrundsätze

UGB

Passivierung der Leistungsverpflichtungen gegenüber VN nachvernünftiger kaufmännischer Beurteilung

Abzinsung von Schadenrückstellungen nur bei Renten

Grundsatz der Einzelbewertung

Bei großer Anzahl gleichartiger Fälle Gruppenbewertung möglich

Solvency II

Marktkonsistente Bewertung

Abzinsung aller zukünftigen Zahlungsströme mit ’risikoloserZinsstrukturkurve’

Ermittlung eines sog. ’Best Estimate Schadenrückstellung’


Daten

Vorraussetzung für aktuarielle Schätzungen ist eine valide und möglichstumfassende Datenbasis (z.b. DWH). Idealerweise vorhandene Daten sind:

Brutto- und Nettozahlungen

Brutto- und Nettorückstellungen

Schadenzahlen

Brutto- und Nettoprämien

Volumenmaße

→ pro Jahr und Sparte bzw. Line of Business


Zusätzliche Informationen

Groß-, Kumul- oder Elementarschäden, Naturkatatstrophen

Alte Schäden

latente Schäden (Asbest, Gesundheitsschäden)

Veränderungen in der Schadenregulierung- oder bearbeitungsprozesses

Veränderungen in der Reservierungspolitik

ökonomische Einflüsse (Inflation, Baukostenindex)

veränderte gesetzliche, gesellschaftliche oder politischeRahmenbedingungen

spezielle Trends (Schadenhäufigkeit, -durchschnitt)

Bestandsübertragungen, Fusionen

. . .

⇒ Trends erkennen und berücksichtigen


Das Chain Ladder Modell

n ∈ N . . . Anzahl der betrachteten AnfalljahreT ⊂ N, meistens T = {1, . . . , n} Entwicklungszeitraum(Pi,t)t∈T Zahlungsprozess für Anfalljahr i = 1, . . . , n

Pi(s) := {Pi,1, . . . , Pi,s} Bedingung für bekannteZahlungsentwicklung bis Zeitpunkt s

Modellannahmen:

Anfalljahre sind unabhängig, d.h. {P1,t|t ∈ T}, . . . , {Pn,t|t ∈ T} sindunabhängig

Für s, t ∈ T mit t = s+ 1 gibt es einen Faktor fs→t > 0 mit

E[Pi,tPi,s|Pi(s)

]= fs→t ∀i

−→ Aus der Vergangenheit auf die Zukunft schließen


Das Chain Ladder Verfahren

Schätzung der Faktoren durch

f̂t→t+1 :=

∑n−t+1j=0 Pj,t+1∑n−t+1j=0 Pj,t

Geschätzter erwarteter Endschadenstand

P̂i,n = Pi,n−i ·n−1∏

j=n−ifj→j+1

Geschätzte Reserve R̂i = P̂i,n − Pi,n−iGeschätzte Gesamtreserve

R̂ =n∑

i=1

R̂i


Numerisches Beispiel 1/4

CL 0 1 2 3 4 5 Reserve

2007 1001 1855 2423 2988 3335 3483

2008 1113 2103 2774 3422 3844

2009 1265 2433 3233 3977

2010 1490 2873 3880

2011 1725 3261

2012 1889

f̂t→t+1




2007 1001 1855 2423 2988 3335 3483

2008 1113 2103 2774 3422 3844

2009 1265 2433 3233 3977

2010 1490 2873 3880

2011 1725 3261

2012 1889

f̂t→t+1 1,899 1,329 1,232 1,120 1,044 1,000




2007 1001 1855 2423 2988 3335 3483

2008 1113 2103 2774 3422 3844 4013

2009 1265 2433 3233 3977 4454 4650

2010 1490 2873 3880 4780 5354 5590

2011 1725 3261 4334 5339 5980 6243

2012 1889 3587 4767 5873 6578 6867

f̂t→t+1 1,899 1,329 1,232 1,120 1,044 1,000




2007 1001 1855 2423 2988 3335 3483 0

2008 1113 2103 2774 3422 3844 4013 169

2009 1265 2433 3233 3977 4454 4650 673

2010 1490 2873 3880 4780 5354 5590 1710

2011 1725 3261 4334 5339 5980 6243 2982

2012 1889 3587 4767 5873 6578 6867 4978

f̂t→t+1 1,899 1,329 1,232 1,120 1,044 1,000 Σ 10512


Bemerkungen

Vorteil: einfache Berechnung, Gefühl für Größenordnung

Nachteil: anfällig für Ausreißer (z.B. Groß- u. Kumulschäden)

Änderung der Schadenregulierung, Einzelfallreservierung

Neugeschäft

Alternativen durch Heranziehung nur der letzten Jahre,

durchschnittlichem Übergangsfaktor (etwas konservativer)

Händische Wahl von Faktoren


Cape-Cod Modell

baut auf Chain-Ladder auf → VerfeinerungIsolierung von Ausreißereffekten

Annahme der identisch verteilten Endschadenquoten aller Anfalljahre:

∃π0, . . . , πn sowie κ und γ0, . . . , γn mit γn = 1, sodass für allei, k ∈ {0, 1, . . . , n}

E[Pi,kπiγk

]= κ

gilt.

Voraussetzung: π0, . . . , πn als Prämien bekannt

Die erwartete Endschadenquote κ ist wegen

κ = E[Pi,nπi

]von den Anfalljahren unabhängig.


Cape-Cod Verfahren

Chain-Ladder Quoten (Schätzung von γi)

Ĝn−i :=

n∏t=n−i+1

1

f̂t→t+1

Durch gewichtetes Mittel wird Empfindlichkeit gegen Ausreißerverringert

κ̂ :=

∑ni=0 Pi,n−i∑ni=0 Ĝn−iπi

Für i, k ∈ {0, 1, . . . , n} mit i, k ≥ n heißt

P̂i,n := Pi,n−i + (Ĝn − Ĝn−i)πiκ̂

Cape − Cod -Schätzer für E[Pi,n].→ Cape-Cod Reserve: R̂ =

∑ni=1(P̂i,n − Pi,n−i)


Beispiel

i πi Pi,5−i Ĝ5−i P̂i,5 κ̂ R̂i = P̂i,n − Pi,n−i0 4025 3483 1 3483 0,940 0

1 4456 3844 0,958 4020 0,940 176

2 5315 3977 0,855 4702 0,940 725

3 5986 3880 0,694 5602 0,940 1722

4 6939 4261 0,522 7379 0,940 3118

5 8158 1889 0,255 7602 0,940 5713

Σ 21334 32788 11454

Nachteil: Jedes Jahr gleiche Schadenquote → kühne Aussage


Weitere Modelle und Verfahren

Bornhuetter-FergusonI Analog zum CL-VerfahrenI Bildung eines SchadenquotendreiecksI Ableitung von a-priori Endschadenquoten ∀iI z.B. durchschnittliche Endschadenquote des ersten AbwicklungsjahresI Vorteil: Anwendbar bei Sparten mit geringer HistorieI Nachteil: Gewählte Endschadenquoten sind subjektiv → für Ergebnis

sehr entscheidend

Bornhuetter-Ferguson iteriertI 1. Iteration äquivalentI n-te Iteration: errechneter Endschaden ist neuer a-priori EndschadenI Vorteil: Einfluss der a-priori Endschadenquotenschätzung wird reduziert


Weitere Modelle und Verfahren

Loss-DevelopmentI Ident mit CL-Verfahren, statt Abwicklungsfaktoren werden -quoten

verwendetI Händischer Eingriff alternativer Quoten

Additives VerfahrenI Bestimmung durchschnittlicher Schadenquoten-ZuwächseI Annahme: Endschadenquote = Σ Schadenquoten-ZuwächseI Schätzung Endschaden = bisher Bezahltes + Quote · Prämie


Versicherungszahlungen und -leistungen

Versicherungszahlung (’Paid’)I Alles was bis jetzt tatsächlich an VN ausbezahlt wurde

Versicherungsleistungen bzw. Schadenaufwendungen (’Incurred’)I Vers. zahlungen + gebildete Rückstellungen

Realität: Paid → tatsächlicher Endstand ← IncurredVerfahren auf beides anwenden

Liefern nicht die selben Endstände wegen unterschiedlichem Verlauf

Zusätzliche Information des Incurred nutzbar

→ Munich Chain Ladder


Munich Chain Ladder

Auszahlungsquote AQi,k =PZi,kPAi,k

für k = 0, . . . , n

Realität: AQi,n = 100% ∀iBetrachten aktuelle Auszahlungsquote AQi,n−i und f

Zk→k+1, f

Ak→k+1

Korrekturen von Faktoren danach, ob AQi,k über- oderunterdurchschnittlich ist

AQi,k unterdurchschnittlich: fZk→k+1 ↗ und fAk→k+1 ↘

analog bei Überdurchschnittlichkeit

Ausmaß der Korrektur bestimmt durch DatenI Abweichung von AQi,k vom DurchschnittswertI bisher beobachteten Korrelation zwischen Abweichungen von AQi,k

und fZ/Ak→k+1 von ihren jeweiligen Mittelwerten


Unvollständige Schadenerfahrung (Tail)

Schadenabwicklung ist nach n Jahren noch nicht abgeschlossen →erst nach n+ d Jahren

Lang abwickelnde (”long-tail”) Sparten, z.B. Kfz-H, Unfall

Neue Geschäftsfelder

Aus Erfahrung

Fehlender Beobachtungszeitraum

Oder Erkennung dadurch, dass letzter Faktor 6≈ 1 istSchätzung einer Restreserve (Nachlauf, ”tail”) → ”Tailschätzung”Durchführung mittels eines zusätzlichen Abwicklungsfaktors →Tailfaktor


Durchführung der Tailschätzung

Marktfaktoren, Einzelfall- bzw. PauschalreservenExtrapolation der Faktoren

I ExponentialfunktionI Weibull-FunktionI PotenzfunktionI Entscheidung durch grafischen Vergleich, quadratischer

ApproximationsfehlerI → d extrapolierte Tailfaktoren gemäß der angepassten KurveI Tailfaktor =

∏extrapol.Tailfaktoren

VerteilungsanpassungI Betrachte Zuwächse Zi,k mit k = 0, . . . , n als Verteilung der

Schadenzahlung auf die Abwicklungsjahre k = 0, . . . , nI Modellierung direkt mit parametrischer VerteilungsfunktionI einfache Möglichkeit: Mischung zweier Exponentialverteilungen

F (t) = F (t|p,m1,m2) = 1− p · exp(− tm1

)− (1− p) · exp

(− tm2

)I Tailreserve kann als Quantil dieser Verteilung berechnet werdenI Vorteil: Durchspielung verschiedener Szenarien


Groß- und Kumulschäden

Deutlich anderes Abwicklungsmuster

entspricht nicht der unternehmenstypischen Abwicklung

Großschadengrenze, z.B. Alle Schäden ≥I ≥ ein bestimmtes Quantil der SchadenhöhenverteilungI ≥ ein fester Prozentsatz des erw. Endschadenstandes des AnfalljahresI ≥ ein fest gewählter Betrag (z.B. Priorität des XL)

Art der Separierung der GroßschädenI komplett aus Abwicklungsdaten separierenI Und Verfahren auf Großschadendaten anwendenI → Unterteilung in Basis- und GroßschädenI Kappung der Großschäden bis zur GS-GrenzeI Glättung durch Umverteilung der Zahlungen innerhalb des Anfalljahres

Bewertung von GroßschädenI UGB EinzelfallreserveI Best Estimate Reserve durch Schadenabteilung


Quellen

Radte, Schmidt: Handbuch zur Schadenreservierung

Deutscher Versicherungsverband: Broschüre Schaden undPrämienrückstellungen in der Kompositversicherung 2011 (pdf)

Mack, Quarg: Munich Chain Ladder

Wikipedia


Ende

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!


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