TECHNISCHE MECHANIK 9(1988)Heft4

Manuskripteingang: 14.05.1988

Berechnung der Gelenkreaktionen bei einer Roboterstruktur

mit 3 Drehgelenken nach der synthetischen Methode

Klaus Zimmermann

0. Einleitung

Bei der Entwicklung neuer leistungsfähiger Industrie-

roboter spielt die rechnerunterstützte Untersuchung des

dynamischen Verhaltens des Roboters schon in der Kon—

struktionsphase eine wichtige Rolle. Stand der Technik

sind CAD-Systeme zum Aufstellen und Integrieren der

Modellgleichungen l1] bis [3]. Das mechanische System

Industrieroboter wird dabei als ein holonomes Starr-

körpersystem mit kinematischer Baumstruktur betrach-

tet. In der Theoretischen Mechanik sind eine Vielzahl

von Möglichkeiten zur Beschreibung derartiger Mehrkör—

persysteme entwickelt worden. Ihre Einordnung nach

synthetischer Methode (Anwendung von Impuls- und

Drallsatz auf jeden freigeschnittenen Teilkörper — New-

ton-/Euler—Gleichungen) und analytischer Methode (Auf-

stellen der Bewegungsgleichungen aus Prinzipien der

Mechanik) ist möglich. In der Literatur wird u. a. die

Anwendung folgender Verfahren demonstriert:

Newton-Euler—Gleichungen [4] l5], Lagrange-Gleichun-

gen 2. Art [6] [7], Gauß’sehes Prinzip [8], Gibbs—Appell-

Gleichungen [9], D’Alemhert’sches Prinzip [10], Verfah—

ren von Kane [11].

Diese in der Mehrzahl analytischen Verfahren besitzen

Vorteile beim expliziten Erstellen der Bewegungsglei—

chungen.

Im Zusammenhang mit konstruktiven Problemen am Ro-

boter sowie der Dimensionierung der Antriebe sind Aus-

sagen über die in den Gelenken auftretenden Belastungen

wichtig. Für die Lösung dieser Aufgabe, d. h. die Berech-

nung der an jedem Teilkörper wirkenden Schnittkräfte

und -momente werden die Newton-Euler—Gleichungen

vorteilhaft angewendet.

l. Modellbildung

Für den Industrieroboter SKR 30 (Bild 1) wird ein me-

chanisches Modell in Form eines holonomen Starrkör—

persystems mit kinematischer Baumstruktur (offene

kinematische Kette) gewählt. Die Berechnung der

Schnittreaktionen erfolgt auf der Grundlage dieses Mo-

dells nach Newton/Euler. Die Struktur des SKR 30 wird

als System von 4 starren Körpern modelliert (Bild

ln jedem Körper wird ein körperfestes kartesisches Ko—

ordinatensystem im Schwerpunkt fixiert.

Die verallgemeinerten Koordinaten werden definiert als

q1 — Drehwinkel der Schulter Q)

q2 V Drehwinkel des Oberarms (2)

q3 — Drehwinkeldes Unterarms

300

Bild l

Struktur des Industrieroboter SKR 30

Bild 2

Mechanisches Modell des Roboters SKR 30

Praktisch sinnvoll sind bei der Modellerstellung in Übers

einstimmung mit der Spezifik in der Bauweise des SKR

30 folgende Festlegungen:

1. Die Schwerpunkte der Glieder liegen auf der Stab-

achse

2. Achsversätze (Exzentrizitäten) werden berücksichtigt

3. Deviationsmomente werden vernachlässigt

Zur Gewinnung der Schnittreaktionen mit Impuls— und

Drallsatz ist die Anwendung des Schnittprinzips not-

wendig (Bild 3). Dabei wird jeder Teilkörper (Schul—

f I; ' m1

4% f2 f

' o

5:

Bild 3

Darstellung der freigeschnittenen Teilsysteme mit den Schnitt-

reaktionen

ter ® ‚ Oberarm ® , Unterarm ® , Last 6..) frei-

geschnitten und an die Schnittufer werden die jeweiligen

Schnittreaktionen ä” , aka? angetragen.

2. Berechnung der Schnittreaktionen

Die Schnittreaktionen {4 und 2:2 lassen sich rekursiv aus

dem lmpulssatz

m/io?"23”_2f“k k k k_1 ’ ’fi‘g 14(3) (k=4;3,2,1) (1)

bzw. aus dem Drallsatz

“Fl

oi5(wi€.+wi3xf .):33Z_ 333+axav+ßx(_ a”)

kkk’kkk’kk~—1kkkk—1

(k=4,3,2,1) (2)

bestimmen.

Zur Ermittlung der Koordinaten SI bzw. Mi der Schnitt-

reaktionen werden die Gleichungen (1) uknd (2) auf die

körperfesten Koordinatensysteme mit der Nummer k-l

projiziert. Dabei wird der aus der Kinematik folgende

~ Zusammenhang zwischen den Systemen (S,{ i) und

„ „ k(käl , benotigt.

- j

f i — “EU k—l j (3)

Die relativen Drehmatrizen k E 1 haben folgendes Aus-

sehen 9

1,0 —

— — sinq1

eosq1 sinq1 0 cosq2 0 sinq2

— —sinql eosq1 0 2E1 = 0 1 0

L 0 0 1 L— sinq2 0 cosq2 (4)

’‚—— cosq3 O — sinq3

3E2 = 0 l O

a L sinq3 0 cosq3

Für die Bestimmung der Beschleunigungen’ltg’in (l) ist

darüber hinaus auch die Kenntnis der absoluten Dreh-

matrizen und ihrer Ableitungen nötig.

eosq1 cosq2 sinq1 eosq2 sinq2

E = — sinq1 cosq1 0

2

— cosq1 sinq2 —— sinq1 sinq2 cosq2 (5)

—cosqlcos(q2+q3) —sinqlvos(q2+q3) -sin(q2+q3)

lcosq 0

cosq1 sin(q2+q3) sinql sin(q2+q3) — cos(q2 +q3)

2.1. Ermittlung der Schnittkräfte (Gelenkkräfte)

k = 4: Der Beschleunigungsvektor für die Last ® lautet

" _ .. s) — r. (I) n v) 1

f “ 2f“ “0) - (121‘231l +13§1(l)“(i) ) (6)

Aus (1) folgt für k = 4

l _ . „ _ .

ä ä?- -2‘gä3<3)‘ €i*eäd"ä3<i>l {i <7)

bzw.

*‘i : _ i _ i .:

ä 21€ 53(3) E335) (1 L273) (8)

Dabei bedeuten g -— Erdbeschleunigung, li - Gliedlänge

und mi die Massen der jeweiligen Teilkörper bzw. der

Last (i = 4). Die MatrizenkE li sind orthonormiert,

9 9

es gilt daher für ihre Elemente der Zusammenhang

E .(i) :

k,0J ,Eka (9)

k = 3: Die Beschleunigung des Oberarmschwerpunktes lau-

tet:

gh gimum = (12531“) + 53 gamma) (10)

Unter Verwendung des Kroneekersymbols lauten die

Schnittkräfte

i Z - i _

g $521 ‘ä‘(gö<3> +35 ”23m (11)

1) Summafionsvereinbarung: Über gleichlautende Indizes, die

genau einmal oben und einmal unten auftreten, wird von

1 bis 3 summiert.

301

“Ei

k i 2: Bei der Bestimmung der Beschleunigung des Schwer-

punktes 52 ist die Exzentrizität \' zu berücksichtigen

'7" " ‘) „ . ' (i) . ' ("l -

i? “m “ ("2 251 - ‘ 2‘32 1 Wm l”)

Analog zum .\usdruck (l l) erhält man

Si 533i? (Dia) ‘i .

1 2 213.11 Wgöm ”im (H)

k l. Mit dem Btjrhleunigungsvektor jldthm :

= — S1 1132“ u (i) ergeben sieh die Gelenkkräfte

S“) zu

O

(i) + i)

0 1 H Tlgöm >16) (H;

2.2. Ermittlung der Schnitlmomente (Celenkmomenre)

Bei der Bererhnung der Sehnittmomente wird der Drall-

saw. (2) angewendet. Die auf der linken Seite der Glei-

("hung erscheinenden Vektoren der momentanen Win-__>

kelgeschwindigkeit (1:) wurden vorher ermittelt.

. —> . ‚ .s .

ql {i’m „„qzqi gl _qz g2 + (.mq2q1 {3

r)

(15)—

Anmutqu €1~<q2+¢3>€2 +ms<q2+q3>ql E33

Bei bekannter kinematik und auf der Bash der nach

Punkt 2.1 gewonnenen Schnittkräfte lassen sieh auch

die Gelenkmomente rekursiv bereehnen.

Auf Grund der Modellwahl —A l’unktmasse — für die Last

bzw. der Nullelemente in den Drehmatrizenklli 1erge-

ben sich in den Bes[immungsgleichungen für die lit/1‘ ge—

wi>w Vereinfavhungen.

Die Schnittmomente lauten:

In gil+m <2; ll‘ _M <2g- 3\21 M22 3.2 .mq (l3 „9:3 .Inq

e 311(_.%‚1.4.‚„.|3 wig] (qä +q3)>inq3) (1m

W rohq'l nglil (glläinqö +953(q24q3)(.„sq3>

>:; ('(l>q3 .3; ~-

„onw ‚an. .21.“ (“L (922a)2:4 :al (l l H 3 3

ä (T3553 (+33 hanZ . (13l

\I 3 ~:{ t'thtlil g \ ' ‘3 (‘():~({:‘

(Ä)l l t Lg)k 4m"; ’3“)! ((12 t #500.413)

r (.322 993'}!

\11' \21‘ . N»? \y „im! (I2 52):2>inqz

(|7)(l) \ ) I3 ~- wz .1‘3 ~in2

.) „ ‚ n). ~)~ -) .

w (-))l |((§31“(t~1{“ q-’,~mq“) *'S)-Ze:)J-q1

Il

N®

I

.33(w

“l

. I V -) ~)

und" 'ofgq‘ vuaq')

-qu 93““ egal—(13 t ‘- (|3)ainq3

v

~(12 -— 32)::3 —52 eosq2 +52 in sinq2M2 : M~

l

h—I

‚—

2'1

«31qu q

IO

w®M®

N

zw2t-G33wvsi112'l2 2 23 q q

M3 I tl .

+v.

ms1sinq2 + mqu +(12 7.?) .292 «rosq2

’l

N

f2 cosq2 —(h —-Vi) Tl

1 1((é'ol sinq2 + 9231 cosq2)

wo

lv®

:33 (($23 «'osq2 77 (3)3 ('12 sinqz)

l

W” : M1 v,qu —M2>|nq1 --»(b—s1)>'3 cmql

0 l 1 l

1—1152 ‘ >1"! S l11 mq l Loq 10 co q ( )

1W) _ l\l’ll .4an +i\1/l2eo>ql —(b sinql

+ bis” msql 41:132 sinql ~51§(3)sinql

wß) 3 N113 . “den? +5] 812)”in1

— >1 ‚2(1) ('osql — (‚1123

3. Programmtechnische Realisierung

Die Formeln (6) bis (l8) sind Wesentlicher Bestandteil

eines Rerhnerprogramnb zur numerisrhen Ermittlung

der Sehnittreaktionen. Das Programm ist modular aufge-

baut und be>itzl die im Bild l dargelegte Struktur.

{Initialisierung

Menüsteue rung

EINGRBE

Geometrie Kinenntik

BEN? gung

BERECH

NUNGEH

Schnittkräfu Schniunoneme

RUSGRBE

Tabelle Grafik

Bild lt

Struktur des Programms .‚SKR"

l m div lu'rerhneten Sehnittgrößen mehrfach amwerten

zu können. werden die Werte auf Dateien ausgelagert.

Erltiaprerhend den praktieehen Erfordernissen kann die

Bwtimmung der Reaktionen bei Vorgabe diskreter Wer-

te für die qa. da und q3 (a > l. 12.3) erfolgen. Es lht aber

auvh möglii-h. die Funktionen ([3 stetig in einem Inter—

mll [0. 'l‘l \0rzugehen‚ lm Programm ist dabei eine

Spline-Approximation implementiert. Die in der kubi-

schen Spline-Funktion

(21(6) 3 30 ‘1' 311+ 321:21‘ £1363

4 freien Parameter ai werden aus den folgenden Gleichun-

gen ermittelt

0(0) i 0. (1(T)=q..-

Für die Koordinaten. Geschwindigkeiten und Beschleunt

gungen folgen daraus die Beziehungen

(1(0) 0, q('1') : l).

. _ t 2 ‚ t.3.- 3 __ _ g _

qm 2 6——qT*<—12—<%>2> (I0)

. z (4..“ „‚ t

qm ÖT—g 1-0017

4. Beispiel

1m Bild 5 wird die Eingabe für eine Schnittreaktiomlie—

reehnung bei Vorgabe einer Bewegungr nach Spline-Funk—

tionen gezeigt. Die -\nzahl der Stiitzstellen N gibt den

Faktor der lntervallteilung [0. T] an. Als Beispiel fiir eine

Hallen Sie diskrete lkrte vorgeben ? (J/ll) -——>ll

Es wird eine Beuegung nach Spline- Funktionen PEaliSlef‘t „I

Das Beuegmgsgesetz lautet : qlt): a0 + al*t i a2*t’*2 6 a3*t'*3

q(0):1] ; qP(0):0 ; q(T):qE rqPi’ii-i

Bitte geben Sie die Endlagen ein (in Grad) l

Endlage der Schulter qlE 360

Endlage des Oberariis qZE 45

Endlage des Unterarms q3E 135

Beuegungszeit 1E 4

Anzahl der Stuetzstellen N 18_

Bild 5

Eingabe für ein Berechnungslieispiel

tabellarische Ausgabe werden die Seliniltmomente lie-

züglii‘h der 33 Drehacbsen 0:3. €42 und gz angege—

ben (Bild (i). Das Grafikprogramm lit‘al die Daten an» den

sequentiellen Dateien (Zeit/Verallgemeinerte Koordinate

und Si'hnittreaktion) ein. Anschließend erfolgt eine [Nor-

mierung auf die Bild>i'hirmgröße. sowie die Berei'hnung

der Achsbezeiehnungen. Während im Bild 7 die Abhän-t

gigkeit einer Schnittkraft von der verallgemeinerten Ko-

ordinate gezeigt ist. wird im Bild 8 al> Beispiel eine

Funktion M (t) grafisch veranschaulicht.

Die Reehenzeiten betragen für das mit einem Turbo Ba—

sic Compiler erstellte Programmfile auf einem 16 bit PC

fiir 10 Stijtzstellen ca. 15 Sekunden. Die Programmlänge

beträgt 21.4 KByte.

' 2111.29

I 1'. I 1103 I 1112 I 1122 I

I 0.00 4.12 88.33 I 47.69 I

I 0.22 -0.22 87.91 I -47 64 I

I 0.44 3.54 65.14 I -48 49 I

I 0.67 I 4.23 43.32 I -51.72 I

I 0.89 41.84 -50.32 I -58 63 I

I 1.11 30.18 44.12 I 43.89 I

I 1.33 -l7 97 "79.7 I 40884 I

I 1.56 49.55 -87.47 I 150.50 I

1 1.78 -97.04 39.33 I -175.92 I

I 2.00 435.90 6.98 I 4.07.01 I

I 2.22 47.12 145.36 I 454.49 I

I 2.44 110.19 315.88 l 24.44 I

I 2.67 180.28 350.00 I 15033 I

I 2.89 128.81 I 300.44 I 17951 I

I 3.11 76.14 245.80 I 179 36 I

I 3.33 80.73 184.22 I 187112 I

I 3.56 106.31 143.64 I 15233 I

I 3.78 I 125.15 I 123.53 I 141.33 I

1 4-00 I 129.61 I 118 84 I 137.36 1

Heiter nit beliebiger Taste l

Bild 6

Ausgabe der Schnittmomente in 'l'abellenform

i 333 ii A Heiter nit beliebiger Taste l

“——Hx

135.95

53.61

48.74

411.08

093.42 IV)

0.00 22.00 244.00 215.00 200.00 30000

Bild 7

Sehnittkrafidarstellung als Funktion der ierallgemeinerten l\o.

ordinate

01112 * A Halter nit beliebiger Taste 1

350.00 '

262.34 .

174.67

87.01

4.1 66

00.33 "-— ‘ i

0.00 0.00 1.60 2.40 3.20 4.00

Bild 8

Darstellung der Funktion M ( t)

3111.3

7. Zusammenfassung

Am Beispiel der Ermittlung der Schnittreaktionen fiir

den Industrieroboter SKB. 30 wird die Anwendung der

synthetischen Methode (Newton-Euler-Gleichungen) de-

monstriert. Für den Freiheitsgrad 3 ist bei den getroffe-

nen Modelleinschränkungen eine explizite Darstellung

der Reaktionen ohne Rechnereinsatz mit vertretbarem

Zeitaufwand möglich. Ein Vergleich mit ausschließlich

reehnerunterstützt gewonnenen Ergebnissen erscheint

sinnvoll und notwendig. Durch den modularen Aufbau

des Programms „SKR” ist es möglich, einzelne Teilpro-

gramme multivalent zu nutzen. Dies gilt für die grafische

Ausgabe und vor allem für den Kinematikteil. Die dort

implementierten Größen, wie z. B. die absoluten und

relativen Drehmatrizen, Winkelgeschwindigkeiten, abge-

leitete kinematische Größen usw., sind auch für andere

Aufgaben der Robotertechnik relevant. Dies gilt u. a.

für die Lösung der direkten Aufgabe der Kinematik.

Durch die Aufstellung dieses kinematischen Modells

fiir einen Manipulator in torusähnlichen Koordinaten

kann bei numerischer Spezifizierung der entsprechen-

den Parameter (Längen, Exzentrizitäten) eine ganze

Klasse von Industrierobotern (Senkrecht-Knickarm-

Roboter) hinsichtlich ihrer Gelenkreaktionen analy—

siert werden.

LITERATUR

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Berlin, Heidelberg, New York, 1982.

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tern nach dem Verfahren von Kane. Robotersysteme l

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[12] Zimmermann, K.: Zur Stabilität der Bewegung von Indu-

strierobotem als einer speziellen Klasse von Mehrkörper—

systemen. Diss. A, TH Ilmenau, 1985.

304

Liste der verwendeten Formelzeichen

a

I verallgemeinerte Koordinate

— Ortsvektor zum Schwerpunkt des Körpers k

— Masse des Körpers mit der Nummer k

A:k

m

k

a" _ Schnittkraft

k

23:k

— Schnittmoment

zCLk — Vektor

I!“ — Vektor

f i — Einheitsvektor (mitbewegt)

Mm — Einheitsvektor (raumfest)

E?) — Elemente der Drehmatrix

si _ Koordinate der Schnittkraft

Mi n Koordinate des Schnittmomentes

X0) — Koordinate des Schwerpunktes

b -— Exzentrizität (Achsversatz)

v — Exzentrizität (Aehsversatz)

si — Abstand vom Gelenkpunkt zum Schwerpunkt

ZS _ Winkelgeschwindigkeit

(i)5(3) — Kronecker-Symbol

g — Erdbeschleunigung

li — Gliedlängen

91 — Matrix der Massenträgheitsmomente

q* — Endwert einer verallgemeinerten Koordinate

T « — Prozeßzeit