Symmetrie und Spiegelungen

Bericht einer Lernwerkstatt-Sequenz

Franziska Frey

Lernwerkstatt der Birger-Forell-Grundschule

Koblenzer Straße 22 10715 Berlin

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Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung 3

2. Symmetrische Figuren im Alltag 3

2.1. Die Symmetrie der Natur 3

2.1.1. Gesicht und Körper des Menschen 3

2.1.2. Hexagonal- und Spiralsymmetrie 4

2.2. Raummodelle und Architekt 4

2.2.1. Symmetrien der regelmäßigen Polyeder 4

2.3. Ornamente und Muster 4

2.4. Schrift 5

2.5. Symmetrie und Gleichgewicht 5

2.6. Antisymmetrie: Tag und Nacht oder Yin und Yang 5

2.7. (Anti-)Symmetrie und Spiegelung in der Psychologie 5

3. Symmetrie - ein geometrischer Begriff 6

3.1. Symmetrien im Zweidimensionalen 6

3.1.1. Achsen- oder Spiegelsymmetrie 6

3.1.2. Verschiebesymmetrie 6

3.1.3. Dreh- oder Punktsymmetrie 6

3.2. Symmetrien im Dreidimensionalen 7

3.2.1. Ebenensymmetrie 7

3.2.2. Rotationssymmetrie 7

3.2.3. Kugelsymmetrie 7

3.3. Kombination von Symmetrien 7

4. Symmetrie und Spiegelungen im Rahmenlehrplan Grundschule 8

4.1. Rahmenlehrplan Mathematik 8

4.2. Rahmenlehrplan Sachunterricht 9

4.3. Rahmenlehrplan Naturwissenschaften 9

5. Zusammenfassung 10

6. Literatur | Links | Bildnachweis 11

Anhang: Stationen in der Lernwerkstatt Arbeitsauftrag 1-13

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1. Einleitung

Während der Lernwerkstatt-Sequenz Symmetrie und Spiegelungen, die in der Lern-

werkstatt der Birger-Forell-Schule im Schuljahr 2013/14 durchgeführt wird, werden den

Schülerinnen und Schülern an Stationen verschiedene Materialien und Gegenstände

zur Verfügung gestellt, mithilfe derer sie verschiedene Phänomene der Symmetrie

beobachten und erforschen können.

Im Bericht werden unterschiedliche Symmetrieformen und -erscheinungen erläutert.

Anschließend wird der Stellenwert des Themas in den Rahmenlehrplänen Mathematik

und Sachunterricht der Berliner Grundschulen aufgezeigt. Zusammenfassend wird

vorgestellt, wie die Lernwerkstatt-Sequenz von verschiedenen Lern- und Altersgruppen

genutzt wird. Die Arbeitsaufträge und Stationen, die in der Lernwerkstatt zur Verfügung

stehen, werden als Anhang aufgelistet.

2. Symmetrische Figuren im Alltag

Wir sind täglich von symmetrischen Zeichen, Figuren

und Körpern umgeben. Viele Pflanzen und Tiere,

Menschen technische Geräte und Fahrzeuge, auch

Gebäude und Verzierungen wirken achsensymmetrisch.

Wir nehmen Formen als ebenmäßig und harmonisch

wahr, auch ohne uns deren symmetrische Erscheinung

bewusst zu machen.

2.1. Die Symmetrie der Natur

Das Prinzip der Symmetrie durchzieht die ganze Natur.

Viele höhere Lebewesen sind mehr oder weniger

annähernd spiegel- oder rotationssymmetrisch aufgebaut.

So scheint die sprichwörtliche Schönheit der Natur im

wesentlichen auf der Proportionalität der Symmetrie zu

beruhen.

2.1.1. Gesicht und Körper des Menschen

Auch der Mensch verfügt über eine vertikale

Symmetrieebene, die anatomische Sagittalebene.

Der Aufbau und die Verteilung der inneren Organe

muss allerdings nicht spiegelsymmetrisch sein. Auch

weisen die scheinbar zueinander symmetrischen

Körperteile mehr oder weniger große Unterschiede

auf in Lage-, Form- und in ihrer Größe.

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2.1.2. Hexagonal- und Spiralsymmetrie

Einige der schönsten Beispiele für Drehung und

Spiegelung in der Natur bietet die unendliche Vielfalt der

Schneekristalle. Jeder Schneekristall ist ein Unikat,

jedoch allen gemeinsam ist die sechszählige Drehachse.

Die Symmetrie der Schnee-flocken folgt der hexagonalen

Anordnung der Wasser-moleküle im Eiskristall.

Auch Helices und Spiralen basieren auf dem Prinzip der

Wiederholung. Innerhalb einer Spirale verändern sich

Drehung und Verschiebung allmählich und regelmäßig.

Das Prinzip der Drehung bei konstanter Verschiebung

lässt sich bei Wendeltreppen gut erkennen.

2.2. Raummodelle und Architektur

Bilaterale Symmetrie lässt sich bei Gebäuden aller Art

finden. An den Fassaden historischer Gebäude sind

häufig drehsymmetrische Motive zu entdecken. Die

Kuppeln vieler bedeutsamer Bauwerke sind zugleich

spiegel- und drehsymmetrisch. Zwei- bis sechszählige

Symmetrien können die Grundrisse alter Festungen

besitzen. Interessante Architekturbeispiele weisen auch

acht- und mehrzählig symmetrische Grundrisse auf. Bei

Rundbauten kann man Rotationssymmetrien beobachten.

2.2.1. Symmetrien der regelmäßiger Körper 

Die regelmäßigen Polyeder, die von Archimedes

entdeckten halbregelmäßigen Polyeder, die Stern-

polyeder, die Prismen und Antiprismen weisen alle

Drehachsen und Spiegelebenen auf. 

2.3. Ornamente und Muster

Bei Friesen und Randverzierungen werden Muster erzeugt durch Translation von

Motiven. Durch die unendliche Wiederholung des gleichen Motivs wird Periodizität

erzeugt. Die durch Verschiebung, Spiegelung und Drehung erzeugten Wieder-

holungseffekte kann man auch als repetitive Symmetrie beschreiben.

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2.4. Schrift und Zeichen

Unter Spiegelschrift versteht man eine Schrift, die erst bei

einer Betrachtung durch einen Spiegel in herkömmlicher

Weise lesbar ist. Auch Palindrome können Spiegelwörter

sein, z.B.: AHA, AUA, MIT TIM, OHO, OTTO,

TAT, TOT, TUT, UHU.

Viele Verkehrszeichen weisen Dreh-

und/oder Spiegelachsen auf.

2.5. Symmetrie und Gleichgewicht

Die meisten Fahrzeuge sind links-rechts-symmetrisch

aufgebaut, da die bilateral symmetrisch ausbalancierte

Konstruktion der Beweglichkeit dient. Raketen, die

senkrecht von der Erdoberfläche starten, besitzen eine

zylindrische Symmetrie.

2.6. Antisymmetrie: Tag und Nacht oder Yin und Yang

Im Allgemeinen bezeichnet Antisymmetrie nicht das

Fehlen von Symmetrie oder Ebenmäßigkeit, sondern eine

besondere Art der Symmetrie. Bei vorhandener Spiegelung

oder Translation der Formen können deren Kontraste oder

Farben wechseln. Auch bei der Antidrehsymmetrie können

Positiv- und Negativformen als auch Kontraste wechsel-

seitig auftreten.

2.7. (Anti-)Symmetrie und Spiegelung in der Psychologie

Das Bild des Narziss spiegelt den Gefühlszustand der Selbstver-

liebtheit wider. Durch Spiegelung - empathische Äußerungen -

fühlt sich das Gegenüber emotional nicht allein gelassen.

Die Unterscheidung wird auch in der Psychologie angewendet: in

einer symmetrischen Spiegelung werden Form und Inhalt identisch

gespiegelt: ein weißer Schwan spiegelt sich weiß im Wasser. In

einer antisymmetrischen Spiegelung wird die Form identisch

gespiegelt, während ihr Inhalt in das Gegenteil verkehrt wird.

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3. Symmetrie - ein geometrischer Begriff

Der geometrische Begriff Symmetrie beschreibt die Eigenschaft, dass ein geome-

trisches Objekt durch Bewegungen (spiegeln, verschieben, drehen, kippen) auf sich

selbst abgebildet werden kann. Verschiedene geometrische Objekte zusammen

betrachtet, werden ebenfalls als zueinander symmetrisch bezeichnet, wenn sie eine

symmetrische Figur bilden.

Abhängig von der Zahl der betrachteten Dimensionen gibt es folgende unterschiedliche

Symmetrien:

3.1. Symmetrien im Zweidimensionalen

Im Zweidimensionalen unterscheidet man zwischen

Punkt- und Achsensymmetrie, außerdem treten Radial-

und Translationssymmetrien durch Drehen, Spiegeln und

Verschieben auf.

3.1.1. Achsen- oder Spiegelsymmetrie

Achsensymmetrie und Spiegelsymmetrie sind bei

zweidimensionalen Figuren gleichbedeutende Begriffe.

Eine geometrische Figur ist dann achsensymmetrisch,

wenn sie durch Achsenspiegelung an einer Symmetrie-

achse auf sich selbst abgebildet werden kann.

3.1.2. Verschiebesymmetrie

Wenn eine Figur durch Verschieben mit sich selbst zur

Deckung gebracht werden kann, so heißt das Verschiebe-

symmetrie.

3.1.3. Punkt- oder Drehsymmetrie

Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn sie durch die

Spiegelung bzw. Drehung an einem Symmetriepunkt auf

sich selbst abgebildet wird.

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3.2. Symmetrien im Dreidimensionalen

Der Achsensymmetrie im Zweidimensionalen entspricht

die Ebenensymmetrie im Dreidimensionalen. Daneben

gibt es die Punkt- oder Rotationssymmetrie und die

Kugelsymmetrie im Raum sowie die Translations-

symmetrien.

3.2.1. Ebenen- oder Spiegelsymmetrie

Die Symmetrie zu einer Symmetrie-

ebene wird in dreidimensionalen

Räumen auch als Spiegelsymmetrie

bezeichnet.

3.2.2. Rotationssymmetrie

Dreidimensionale Darstellungen werden als

rotationssymmetrisch bezeichnet, wenn eine Drehung

um eine Achse (Symmetrieachse) um jeden beliebigen

Winkel die geometrische Konstruktion auf sich selbst

abbildet.

Die Rotationssymmetrie wird auch als Zylinder-

symmetrie bezeichnet. Dreidimensionale Objekte mit

dieser Eigenschaft werden auch Rotationskörper

genannt.

3.2.3. Kugelsymmetrie

Die Kugelsymmetrie wird auch als Radialsymmetrie

bezeichnet. Sie ist ein Spezialfall der

Rotationssymmetrie bei einer möglichen Spiegelung um

jede beliebige Achse durch denselben Mittelpunkt.

3.3. Kombination von Symmetrien

Verschiedene Symmetrieoperationen lassen sich

kombinieren, z.B. Drehung, Drehspiegelung,

Verschiebung, Gleitspiegelung, Schraubung.

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4. Symmetrie und Spiegelungen im Rahmenlehrplan der Grundschule

Wer die Prinzipien von Spiegelung, Drehung und Verschiebung verstehen gelernt hat,

wird Ähnlichkeiten und Regelmäßigkeiten auch in anderen mathematischen

Zusammenhängen erkennen. So durchzieht das Thema Symmetrie und Spiegelungen

die betreffenden Rahmenlehrpläne der Grundschule alle Jahrgangsstufen.

Im Rahmenlehrplan Mathematik der Jahrgangsstufe 1-6 finden sich innerhalb des

Themenfeldes Form und Veränderung in allen Jahrgangsstufen Anforderungen und

Inhalte in denen das Gebiet Symmetrie und Spieglungen eine wesentliche Rolle spielt.

Im Rahmenlehrplan Sachunterricht der Jahrgangsstufe 3/4 werden Spiegelungen als

Naturphänomen genauer erschlossen.

Im Rahmenlehrplan Naturwissenschaften der Jahrgangsstufe 5/6 werden physikalische

Phänomene mit den geometrischen Gesetzmäßigkeiten der Symmetrie in

Zusammenhang gebracht, wenn die Lichtbrechung und Spiegelung, die Entstehung

von Schneeflocken und Kristallen näher beobachtet wird.

4.1. Rahmenlehrplan Mathematik

Themenfeld: Form und Veränderung

Die Schülerinnen und Schüler erkennen und beschreiben Gesetzmäßigkeiten in

geometrischen Mustern, setzen diese fort und entwickeln eigene Muster. (S.20)

Die Schülerinnen und Schüler entdecken Abbildungen in ihrer Umwelt und erkennen

ihre Eigenschaften. Ausgehend von achsensymmetrischen Figuren werden die

Kenntnisse zur Abbildungsgeometrie zunehmend angereichert und vertieft.

Kongruenzabbildungen, wie Spiegelungen, Drehungen und Verschiebungen,

werden von den Schülerinnen und Schülern dargestellt, beschrieben und

miteinander in Beziehung gesetzt. Sie erzeugen ebene und räumliche Figuren auf

der Basis ihrer Kenntnisse. (S.28)

Anforderungen Inhalte Form und Veränderung / Jahrgangsstufen 1/2 (S.32) - identische und spiegelsymmetrische Bilder erkennen, benennen, vervollständigen und darstellen - Beziehung zwischen Original und Bild bei Spiegelungen benennen

Spiegelung, Spiegelachse, deckungsgleich; Symmetrieachse; ist symmetrisch zu Form, Größe; Lage zur Spiegelachse von Original und Bild; Spiegelbilder, Klecksbilder, Faltschnitte; Muster, Ornamente; Figuren mit keiner, einer oder mehreren Symmetrieachse(n);

   

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Form und Veränderung / Jahrgangsstufen 3/4 (S.35) - verschobene und gedrehte Figuren erkennen, benennen, vervollständigen und herstellen

Bild, Original, Symmetrie; Verschiebung, Drehung; drehsymmetrische Figuren; schubsymmetrische Muster und Bordüren;

Form und Veränderung / Jahrgangsstufen 5/6 (S.39) - Symmetrien in ebenen Figuren und Körpern identifizieren - Figuren auf Kongruenz untersuchen und vergleichen

Konstruktion von Spiegelungen, Verschiebungen und Drehungen; Nacheinanderausführung von Abbildungen; Kongruenz;

4.2. Rahmenlehrplan Sachunterricht

Anforderungen Inhalte Naturphänomene erschließen / Jahrgangsstufen 3/4 (S.41) - Original und Spiegelbild vergleichen

Spiegelungen Spiegelschrift, Kaleidoskop

- optische Täuschungen wahrnehmen und beschreiben

Farbkreisel Wechselbilder, Abbildungen

4.3. Rahmenlehrplan Naturwissenschaften

Anforderungen Inhalte Welt des Großen - Welt des Kleinen / Jahrgangsstufen 5/6 (S.32) - Beobachtungen zu Lichtphänomenen beschreiben:

lineare Ausbreitung des Lichtes, Schattenwurf, Spiegelung

- Experimente zur Lichtreflexion planen, durchführen und protokollieren :

Lichtreflexion und -absorption, Reflexion am ebenen Spiegel, Reflexionsgesetz, Spiegelbild

Modelle und Modellbildung / Jahrgangsstufen 5/6 (S.37) - einfache naturwissenschaftliche Phänomene beobachten und beschreiben:

Blumen im Schnee, Entstehung von Kristallen Lichtspiegelungen

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5. Zusammenfassung

Die derzeitige Sequenz Symmetrie und Spiegelungen steht

den Schülerinnen und Schülern der Birger-Forell-Grundschule

zu unterschiedlichen Zeiten als Unterrichtsprojekt- und

Lernwerkstattangebot zur Verfügung.

Im Vormittagsbereich bearbeiten sie die im Rahmen eines

Projektes vorbereiteten Stationen, die im Anhang des Berichts

durch die Arbeitsaufträge näher vorgestellt werden. Als

abschließenden Höhepunkt der Stationsarbeit werden die

Kinder in Partnerarbeit ein von ihnen ausgewähltes Phänomen

oder einen Versuch vor der Klasse präsentieren und näher

erläutern.

Im Nachmittagsbereich können sie im Rahmen eines

entsprechenden Kurses oder einer AG die Materialien und

Aufgabenstellungen selbstständig wählen, um zu beobachten,

zu gestalten und zu forschen. Hier geht es weniger um

Vollständigkeit in der Vermittlung der verschiedenen Aspekte

des Themas, als mehr um Individualität und Selbst-

bestimmung im Lernprozess der Kinder.

Die Lernwerkstattsequenz wird auch im Rahmen von

TransKiGs-Transfer (Berlin) genutzt. Kindergruppen der

umliegenden Kitas experimentieren gemeinsam mit

Grundschulkindern einer jahrgangsübergreifenden Lern-

gruppe (1.-3.Jg.).

Die Lernwerkstattsequenz Symmetrie und Spiegelungen wird im Laufe des Schuljahres

durch Materialien und Angebote ergänzt und erweitert, die von Lehrerinnen und

Erzieherinnen der Schule oder von Kindern in der Lernwerkstatt erarbeitet werden.

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6. Literatur: - Istvan Hargittai und Magdolna Hargittai: Symmetrie. Eine neue Art, die Welt zu sehen. Rowohlt 1998 - David Wade: Macht der Symmetrie Artemis & Winkler 2011 - Symmetrien entdecken - Vom Handeln zum Vorstellen in: Mathematik differenziert, Westermann 3/2013 - Kathrin Richter und Claudia Schneider: Symmetrien spielerisch erkunden in: Mathematik lehren, Friedrich-Verlag Heft 161/2010 - Symmetrien: Parkettierungen in: Grundschule Mathematik, Friedrich-Verlag Heft Nr. 22/2009 - Katrin Wemmer: Stationentraining Symmetrie Persen-Verlag 2013 - Roland Bauer: Symmetrie: Lernen an Stationen in der Grundschule / 2.-4. Schuljahr Cornelsen Scriptor 2009 - Rahmenlehrplan Mathematik Grundschule - Rahmenlehrplan Sachunterricht Grundschule - Rahmenlehrplan Naturwissenschaften Grundschule Links: http://de.wikipedia.org/wiki/Symmetrie_(Geometrie) http://sinus-sh.lernnetz.de/sinusag/materialien/mathematik/themenkisten/ http://www.tk.de/tk/wissen/zahlen-und-zeichen/symmetrie-10004228/538314 http://www.br.de/grips/faecher/grips-mathe/25-symmetrie-flugwerft102.html Bildnachweis: Seite 1: http://www.tydecks.info/online/Bilder/Penrose34.gif Seite 3: http://www.oly-forum.com/gallery/view/gloriette-mit-wasserspiegelung http://a400.idata.over-blog.com/2/27/36/38/Ausmalbilder-Tiere/schmetterling-7.jpg http://www.kunstforschung.de/Symmetrie_09.html Seite 4: http://www.oberstufeninformatik.de/info11/turtle/Kochkurve.html http://www.origamiweb.de/models/shell3-b.jpg http://www.balance-nbg.de/showpage.php?SiteID=12&edet=199 http://stubber.math-inf.uni-greifswald.de/mathematik+kunst/polyeder.html http://de.wikipedia.org/wiki/Fries Seite 5: http://666kb.com/i/b6p1dmm55901l4yvc.gif http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Airplane_model_fausek_n_v.jpg http://www.diecircuskiste.de/cgi-bin/his-webshop.pl?f=NR&c=260047&t=temartic http://www.mathematik.de/spudema/spudema_beitraege/beitraege/kuhlenschmidt/ http://artinspired.pbworks.com/w/page/13819678/Positive and Negative Space http://www.wikipaintings.org/en/m-c-escher/circle-limit-i http://german.postersguide.com/dayandnightescherposters95847.html http://aarau-shiatsu.ch/glossar/ki-chi-qi/ http://www.iposs.de/957/der-narziss-rucksichtslos-und-gierig/ Seite 6: http://de.wikipedia.org/wiki/Achsensymmetrie http://de.wikipedia.org/wiki/Symmetrie_%28Geometrie%29 http://german.postersguide.com/dayandnightescherposters95847.html http://mathe-insel.de/theorie/voderberg/ Seite 7: http://www.mathematische-basteleien.de/archimedes.htm http://www.mathematische-basteleien.de/hyperboloid.htm http://www.mathematische-basteleien.de/torus.htm http://mathe-insel.de/theorie/voderberg/ http://www.math-inf.uni-greifswald.de/mathe/index.php/geschichte-und-kultur/167 http://www.livenet.ch/sites/default/files/media/2675-Pusteblume.jpg