Bernhard Riemann

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Bernhard Riemann. und sein Integral. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, www.mathematik-verstehen.de, Vortrag Clausthal 2007. Riemanns Integralbegriff. Was war der Anlass für seine Neudefinition des Integrals? Wie hat er das Integral definiert? - PowerPoint PPT Presentation

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  • Bernhard RiemannProf. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, www.mathematik-verstehen.de, Vortrag Clausthal 2007und sein Integral

  • Riemanns IntegralbegriffProf. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, www.mathematik-verstehen.de, Vortrag Clausthal 2007 Was war der Anlass fr seine Neudefinition des Integrals? Wie hat er das Integral definiert? Wie ist seine Definition in Schule und in Software verwirklicht? Was kann mit seiner Definition nun bewltigt werden? Fazit

  • ber die Darstellbarkeit einer Function durch ein trigonometrische ReiheHabilitationsschrift 1854Prof. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, www.mathematik-verstehen.de, Vortrag Clausthal 2007Der erste Teil gibt einen berblick ber die Geschichte der Wellen-Differentialgleichung,

    ist eine Lsung.mit der sich dAlembert, Euler und D. Bernoulli um die Mitte des 18. Jh. befassten.

  • ber die Darstellbarkeit einer Function durch ein trigonometrische ReiheHabilitationsschrift 1854So entsteht der Zusammenhang mit den trigonometrischen Reihen:Prof. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, www.mathematik-verstehen.de, Vortrag Clausthal 2007Damit sind aber auch Summen Lsung von

  • ber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische ReiheHabilitationsschrift 1854Prof. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, www.mathematik-verstehen.de, Vortrag Clausthal 2007Es geht also um Fourier-Reihen.1768-1830Fourier entwickelte die Theorie zur Darstellung periodischer Funktionen 1807 im Zusammenhang mit einer Untersuchung zur Wrmeleitung.

  • Exkurs Fourier-ReihenProf. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, www.mathematik-verstehen.de, Vortrag Clausthal 2007Mit ihnen knnen gewisse periodische Funktionen durch trigonometrische Reihen angenhert werden.Aber woher hat man die Koeffizienten?7 Nherungsfunktionen sind fr diese Zackenfunktion gezeichnet.

  • Exkurs Fourier-ReihenProf. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, www.mathematik-verstehen.de, Vortrag Clausthal 2007Also dazu!!!!!!!!!!!! braucht man die Integrale. Also: woher hat man die Koeffizienten?

  • ber die Darstellbarkeit einer Function durch ein trigonometrische Reihe Habilitationsschrift 1854Prof. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, www.mathematik-verstehen.de, Vortrag Clausthal 2007bestimmung nicht anwendbar.Riemann zieht das Fazit:Gegeben sei eine periodische Funktion f, Periode T.Wenn f durchgehend integrierbar ist (im Dirichletschen Sinne) und f nicht unendlich viele Extrema im T-Intervall hat,dann kann f in eine Fourierreihe entwickelt werden.es gibt eine Stammfunktion

  • Riemann und sein IntegralProf. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, www.mathematik-verstehen.de, Vortrag Clausthal 2007Also schiebt Riemann ein Kapitel in seine Arbeit ein:

  • ber den Begriff des bestimmten Integrals und den Umfang seiner Gltigkeit Habilitationsschrift 1854Prof. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, www.mathematik-verstehen.de, Vortrag Clausthal 2007Riemann whlt eine beliebige Zerlegung D des Intervalls [a,b].Dann bildet er mit der Ordinate je einer beliebigen Zwischenstelle jedes Teilintervalls ein Rechteck und summiert ber alle diese Rechtecke.

    Diese Summe heit Riemann-Summe der Zerlegung D und der Zwischenstellen.

  • ber den Begriff des bestimmten Integrals und den Umfang seiner Gltigkeit Habilitationsschrift 1854Prof. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, www.mathematik-verstehen.de, Vortrag Clausthal 2007Dann wird die Zerlegung verfeinert, so dass die maximale Teilintervalllnge gegen 0 geht.Wenn dann unabhngig von der Wahl der Zerlegung und der Zwischenstellen die Riemann-Summe einen Grenzwert hat, so heit dieser

    Anderenfalls hat das Symbol keine Bedeutung.

  • Originaler Riemann-Text: Habilitationsschrift 1854Prof. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, www.mathematik-verstehen.de, Vortrag Clausthal 2007

  • Riemannsche Summen in der LehreProf. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, www.mathematik-verstehen.de, Vortrag Clausthal 2007GeoGebraMuPADDie eben definierte Riemann-Summe liegt sicher zwischen der Untersumme und der Obersumme

  • Riemannsche Summen in der LehreProf. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, www.mathematik-verstehen.de, Vortrag Clausthal 2007MuPADStrebt sie keinem Wert zu, ist die Funktion nicht Riemann-integrierbar. Man bestimmt bei fortschreitender Verfeinerung die Riemann-Summe.Strebt sie aber einem Wert zu, muss man noch irgendwie absichern, dass derselbe Wert auch fr alle anderen Zerlegungen und fr alle Zwischenwert-Auswahlen Grenzwert der Riemann-Summe ist.ein harter Anspruch!

  • Notwendiges und hinreichendes KriteriumProf. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, www.mathematik-verstehen.de, Vortrag Clausthal 2007die hier gelb sichtbaren Rechtecke sind zusammen gerade der Unterschied zwischen Obersumme und Untersumme.die grte Schwankung jedem Streifen....Bei gegebener Zerlegung betrachtet Riemann:

  • Notwendiges und hinreichendes KriteriumProf. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, www.mathematik-verstehen.de, Vortrag Clausthal 2007Liegen aber (endliche) Sprnge vor, wird die Flchengre durch kleine Breite der Rechtecke unter jede Schranke gedrckt.Bei stetigen Funktionen werden auch die Hhen der gelben Rechtecke beliebig klein. f sei beschrnkt, dann gilt: Das Integral existiert genau dann, wenn sich der Unterschied der Ober und Untersummen durch Verfeinerung der Zerlegung unter jede Schranke drcken lsst.Riemannsche Ober- und Untersummen Also ist es nun doch gerechtfertigt zu sagen:eigentlich beliebiege Zerlegung

  • Besondere Funktionen vom Dirichlet-TypProf. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, www.mathematik-verstehen.de, Vortrag Clausthal 2007MuPADDie Funktion ist an allen rationalen Stellen unstetig und an allen irrationalen Stellen stetig.Fr das letztere gibt Hischer (->Lit.) ein schlauen Beweis.Riemann-integrierbar.

  • Satz, hinreichendes KriteriumProf. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, www.mathematik-verstehen.de, Vortrag Clausthal 2007Riemann-integrierbar.Das mndet in dem Satz: Ist f beschrnkt und die Menge der Unstetigkeitsstellen vom Mae 0, dann ist f Riemann-integrierbar

  • Was das Riemann-Integral leistetProf. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, www.mathematik-verstehen.de, Vortrag Clausthal 2007GeoGebraMuPADZitat: ...Da diese Funktionen noch nirgends betrachtet sind, wird es gut sein, von einem bestimmten Beispiele auszugehen.Riemann-integrierbar.

  • Welche Funktionen werden durch trigonometrischen Reihen definiert?Prof. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, www.mathematik-verstehen.de, Vortrag Clausthal 2007jetzt wirds wild!

  • Was ist da fr die Mathematik-Lehre sinnvoll?Prof. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, www.mathematik-verstehen.de, Vortrag Clausthal 2007Lohnend sind Beispiele, die hnlich aussehen und dennoch ganz andere Resultate habeneben war im Nenner ein Quadratnun haben die Reihenglieder alle die Steigung 1die Sprunghhen sind 1/n

  • Die Unvollstndigkeit des Computers erzwingt TheorieProf. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, www.mathematik-verstehen.de, Vortrag Clausthal 2007Die Summe der Sprunghhen divergiert also mit der harmonische Reihe.Nur weil diese so langsam divergiert, kann man hier berhaupt noch etwas sehen. (7000 Summanden)Die Funktion ist in jedem noch so kleinen Intervall unbeschrnkt und daher nicht integrierbar. Die Sprungstellen liegen dicht.Bspl. von Riemann

  • Wirlkich frei gegebene trigonometrische ReihenProf. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, www.mathematik-verstehen.de, Vortrag Clausthal 2007Who is Who?

  • Potential fr das LernenProf. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, www.mathematik-verstehen.de, Vortrag Clausthal 2007GeoGebraMuPAD Erfinden, Finden oder Variieren Erkunden mit Werkzeug Fragen stellen Theoretische berlegungen nach Krften Dieses wieder mit Werkzeug prfen Ergebnis und Weg dahin dokumentieren Anschlussfragen stellen, weiter forschen

  • Lehren fr LehrerProf. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, www.mathematik-verstehen.de, Vortrag Clausthal 2007GeoGebraMuPAD Auch selber kreativ sein Visualisierungen mit Werkzeug herstellen Nicht Unproblematisches problematisieren Notwendigkeit von Argumenten aus der Sache erwachsen lassen Mathematik nicht als ehernes Gebude darstellen sondern als Prozess erleben lassen Unvollkommenheiten bei sich und den Lernenden zulassen.

  • Hilfen fr LehrerProf. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, www.mathematik-verstehen.de, Vortrag Clausthal 2007GeoGebraMuPAD Seite worber man in Analysis reden kann

  • Hilfen fr LehrerProf. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, www.mathematik-verstehen.de, Vortrag Clausthal 2007GeoGebraMuPAD Seite worber man in Analysis reden kann Seite mit Stzen zu diesem Thema i.w.S.

  • Hilfen fr LehrerProf. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, www.mathematik-verstehen.de, Vortrag Clausthal 2007GeoGebraMuPAD Seite worber man in Analysis reden kann Seite mit Stzen zu diesem Thema i.w.S. Seite mit Beispielen

  • Hilfen fr Lehrerwww.mathematik-verstehen.deProf. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, www.mathematik-verstehen.de, Vortrag Clausthal 2007

  • Bernhard RiemannProf. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, www.mathematik-verstehen.de, Vortrag Clausthal 2007Vielen Dank fr Ihre Aufmerksamkeit!hatte den Mut, die Kraft und die Fhigkeit zu einem ganz eigene