BerücksichtigungvonZwangsbedingungenin … · AnwendungderPenalty-Funktion-Methode Die direkte...

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TECHNISCHE MECHANIK 4 (1983)Heft2-

Manuskripteingang: 1.10.1982

Berücksichtigung von Zwangsbedingungen in der FEM mittels der

Penalty-Funktion-Methode

Ulrich Gabbert

l. Problemstellung

Universelle Finite-Elemente—Programmsysteme müssen

die Möglichkeit vorsehen, da6 Nutzer spezielle Rand-

und Zwangsbedingungen in das System einbringen kön-

nen. Im Programmsystem COSAR [l], [2], [10], daß im

Wissenschaftsbereich Festkörpermechanik der TH Mag-

deburg entwickelt wurde, erfolgt die Einarbeitung der

Randbedingungen im Prozessor BOUCO, der nach dem

Aufbau der System- (SYSMAT) und der Kraftmatrizen

(FORCE) aktiviert wird (vgl. [l], [10]).

In der gegenwärtig für Nutzrechnungen zum Einsatz

kommenden Version COSAR/E80 [3] sind als Stan-

dardvarianten folgende Rand- bzw. Zwangsbedingungen

enthalten:

vorgeschriebene Knotenverschiebungen (Sonderfall:

Nullverschiebungen)

elastische Abstützung von Knoten

elastische Verbindung von Knoten

Gleichheit der Verschiebungen zweier Knoten (Sym—

metriebedingung)

Für Erweiterungen sind im Prozessor BOUCO Schnitt-

stellen vorhanden; der Nutzer muß ein Unterprogramm

erstellen, das die Einarbeitung der gewünschten Rand-

bedingung realisiert. Weitere Eingriffe in das Programm-

system sind bei der Datengenerierung erforderlich, da

benötigte Eingabedaten in geeigneter Form im rechner-

intemen Modell bereitgestellt werden müssen (vgl. Ab-

schnitt „Rechnerinternes Berechnungsmodell” im Ent-

wicklerhandbuch und gegebenenfalls vor der. Ergeb-

nisauswertung.

Für die Berücksichtigung allgemeiner Zwangsbedingunv

gen sind die folgenden drei Methoden weit verbreitet

(vgl. z. B. [5]):

direkte Einarbeitung in das Gleichungssystem (durch

Manipulationen an den Zeilen und Spalten, z. B.

Transformationen, Additionen, Streichungen von

Zeilen und Spalten)

Anwendung der Methode der Lagrangeschen Multipli-

katoren

Anwendung der Penalty-Funktion-Methode

Die direkte Einarbeitung ist sicher die am häufigsten

angewandte Methode in FEM-Programmen der Elasto-

statik und —dynamik. Sie ist allerdings auf lineare

Zwangsbedingungen beschränkt und erfordert bei kom-

plexen Zwangsbedingungen (z. B. Abhängigkeit eines

Freiheitsgrades von mehreren anderen Freiheitsgraden)

infolge der erforderlichen Zeilen- und Spaltenmanipula-

tionen einen erheblichen rechentechnischen Aufwand.

40

Die Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren eignet

sich für die Erfassung komplexer linearer und nicht-

linearer Zwangsbedingungen. Allerdings werden dabei

zusätzliche Unbekannte (die Lagrangeschen Multiplika-

toren) eingeführt; eine vorher positiv definite Koeffi—

zientenmatrix verliert dadurch diese Eigenschaft

(Nullelemente auf den zu den Lagrangeschen Multi-

plikatoren gehörenden Hauptdiagonalelementen).

Mittels der Penal'ty-Funktion-Methode (vgl. z. B. [4] bis

[7]) gelingt es ebenfalls, allgemeine Zwangsbedingungen

näherungsweise zu erfüllen; dazu werden keine zusätz-

lichen Unbekannten benötigt. Problematisch ist hier

jedoch die Wahl der Penalty-Zahl. Je größer diese ge-

wählt wird, desto besser werden die Zwangsbedingun-

gen erfüllt; bei zu großen Werten ergeben sich allerdings

numerische Schwierigkeiten (Verschlechterung der Kon-

dition des Gleichungssystems, im Extremfall wird die

Koeffizientenmatrix singulär). Dennoch ist die Penalty-

Funktion-Methode sehr gut geeignet, um komplexe

Zwangsbedingungen zu realisieren. Sie läfst sich problem-

los und mit verhältnismäßig geringem Aufwand nach-

träglich in vorhandene FEM-Programme implementie-

ren. Im Programmsystem COSAR wird diese Methode

unter anderem benutzt, um kompatible Verbindungen

von nicht korrekt verknüpften finiten Elementen (und

Substrukturen) zu erreichen. Damit lassen sich z. B.

ohne die Verwendung spezieller Elemente nur mit Hexa-

ederelementen örtiiche Netzverfeinerungen realisieren.

Eine andere Anwendung ist die Berücksichtigung von

stabförmigen Versteifungen (z. B. Bewehrungen im

Beton), die beliebig durch eine mit 3D-Elementen ver-

netzte Struktur verlaufen.

2. Penalty-Funktion-Methode

Es seien Probleme betrachtet, deren Lösungen dem

Funktional 1r (z. B. dem elastischen Potential) bezüg-

lich der eingeführten Freiheitsgrade v (Vektor der Ge-

samtfreiheitsgrade der vernetzten Struktur) unter Beach—

tung von Zwangsbedingungen der Form ‘

z(v) = O in V (1)

einen minimalen Wert erteilen. Das Produkt sz ist stets

größer oder gleich Null und nimmt seinen minimalen

Wert an, wenn (l) erfüllt ist. Das Minimum von 1T unter

Wirkung der Zwangsbedingungen kann durch Minimie-

rung des zusammengesetzten Funktionals

1x=1r+ 5 a V zT(v)z(v)dV -—+Min. (2)

erreicht werden; a ist die sogenannte Penalty-Zahl. Die

Zwangsbedingungen (l) werden näherungsweise erfüllt

und zwar mit wachsendem oz immer besser. Eine interes-

sante Anwendung von (2) ist die Entwicklung spezieller

Plattenelemente, bei denen getrennte Ansatzfunktio-

nen für die Durchbiegung und den Biegewinkel einge—

führt werden und der Zusammenhang zwischen Durch"

biegung und Biegewinkel durch Zwangsbedingungen

realisiert wird.

Sind die Zwangsbedingungen punktweise zu erfüllen

(z. B. bei Zwangsbedingungen zwischen einzelnen Kno-

tenfreiheitsgraden), entfällt die Integration in Diese

Form der Zwangsbedingungen wird im weiteren betrach-

tet und angenommen, daß es sich um lineare Zwangsbe-

dingungen handelt, die sich folgendermaßen darstellen

lassen:

z(v) = z0 + Zv (3)

Wenn weiterhin angenommen wird, daß sich 1r durch

l

11=—» TKv—va (4)2

ausdrücken läßt, ergibt sich für x:

1 1

x: E vTKv—va+ Ea(z0+zv)T(zo+zv) (5)

Die Minimierung von x bezüglich v liefert:

(K +asz) „(Lamm = 0 <6)

Das Gleichungssystem mit Berücksichtigung der Zwangs-

bedingungen lautet dann:

(K+Kz)v=f—fz (7)

K, = a sz (8)

r, = a szo (9)

Nachfolgend werden praktische Anwendungen dieser

Methode diskutiert.

3. Kompatible Koppelung von nicht korrekt ver-

knüpften Elementen

Das Bild 1 zeigt verschiedene Möglichkeiten, Netzverfei-

nerungen im Bereich einer Lasteinleitungsstelle zu errei-

chen. Im Bild la) zieht sich die Netzverfeinerung über

das ganze Gebiet, bei der Variante 1b) werden zusätz-

lich Dreieckelemente benötigt. Mit der geringsten Zahl

CL‘, b) c)

Bild l

Verschiedene Varianten von Netzverfeinerungen für ein ebenes

Gebiet

a) Rechteckelemente

b) Rechteck- und Dreieckelemente

c) Rechteckelemente mit Zwangsbedingungen

von Elementen kommt man bei der Variante 1c) aus.

Dieses Netz erfordert entweder spezielle Elemente mit

unterschiedlichen Knotenanordnungen auf den Seiten

(vgl. dazu z. B. [5], [8], [9]), oder es werden die Stan-

dardrechteckelemente beibehalten und Zwangsbedingun-

gen formuliert, die die Kompatibilität zwischen den

Elementen gewährleisten. Die Einarbeitung der Zwangs-

bedingungen in die Systemsteifigkeitsbeziehung erfolgt

am einfachsten mittels der Penalty-Funktion-Methode.

An dem im Bild lc) benutzten Rechteckelement wird

die Ableitung der entsprechenden Zwangsbedingungs-

matrix KZ nachfolgend demonstriert.

Isoparametrisches Viereckelement mit 4 Knoten

Wir betrachten dazu die in Bild 2 skizzierte Koppelung

von drei Rechteckelementen. Im ungekoppelten Fall

tritt bei einer Belastung ein Klaffen zwischen den Ele-

menten am Knoten 5 auf. Durch eine entsprechende

Zwangsbedingung__wird erreicht, daß der Knoten 5 auf

der Seitenkante 46 des Elementes3 bleibt. Zur Ablei-

tung der Koppelbedingung wird das in Bild 3 dargestellte

Rechteckelement betrachtet. Die Verschiebung des zu-

sätzlichen Knotens 2 ergibt sich aus dem Verschiebunge-

ansatz (Ansatzfunktionen GL siehe [10] Seite 58)

Bild 2

Koppelung nicht korrekt verknüpfter Elemente

3 4

E;2>< = O

522 = -4

7 5

Bild3

Viereckelement mit 4 Knoten

5

“i2 = “i(5127522) = Z GL(1"12’322)uiLi = i,2

L=1‚3

ui2 = 0,5 ui1 + 0,5 ui3

Damit lautet die Zwangsbedingung

“i1

z = [0,5 ——1 0,5] ui2 = O (10)

“13

und die Matrix Kz ergibt sich entsprechend Gleichung (8)

4n]

l —2 l

KZ = a 4 — 2 (ll)

symm. l

Die Matrix erzwingt die zwischen den Verschiebungen

uil , ui2 und Hi3 (i = 1,2) bestehende Zwangsbedingung.

Wenn für das in Bild 2 angegebene Netz angenommen

wird, daß alle u2-Verschiebungen Null sind und u11 =

u12 = 1113 = 0, ul7 = 1118 = 10 gilt, ergibt sich nach

direkter Einarbeitung dieser Randbedingungen folgende

Systemsteifigkeitsbeziehung:

8 — l — l u1 4 30

8 — l u15 = 0

symm. 8 um 30

Die Zwangsbedingung zwischen den Knoten 4, 5 und 6

wird mit der Penalty-Funktion-Methode berücksichtigt;

das modifizierte Gleichungssystem lautet dann:

8+0: —1—2a ——l+a u14 30

8+4a —1——2a 1115 = O

symm. 8+0: Lulö 30

Als Lösungen für verschiedene Werte von a erhält man:

[f 7< g1 €12 = _ 0'5

3 Log 8 €22 = ’ 1

Z 3 = o5Z): 19‘ ’

- €24: _ 1

’1 4o 9

Bild 4

Viereckelement mit 8 Knoten

_ l

1 ä 1;?4 u‘_ ‘ .‚

t- ums:‚V ‚ /| X4 X

i l [4&4 l____.__..__

L- iss _-_. _ 3.9.2-)“' r x :X

Bild5

Koppelvarianten für das Hexaederelement HK 60

' Knotenpunkte

x Knotenpunkte mit Zwangsbedingungen

exakt (1:0 (1:1 01:10 a=100 a=1000 a=10000

u14 3,333~ 4,444~ 4,0 3,47826 3,34926 3,335 3,3335

u15 3,333~ 1,111~ 2,0 3,04348 3,30148 3,330 3,3330

um 3,333~ 4,444~ 4,0 3,47826 3,34926 3,335 3,3335 u

1

. . ‚ 3 _ 8 6 o _1 “2Deutlich ist zu erkennen, daß mit größer werdendem a Zv = 113 = 0

die Zwangsbedingung besser erfüllt wird. Entsprechend _ 1 O 6 — 8 3 u

lassen sich Zwangsbedingungsmatrizen für beliebige 4

andere finite Elemente ableiten. US (12)

Isoparametrisches Viereckelement mit 8 Knoten

Wenn die in Bild4 zusätzlich eingetragenen Punkte 2

und 4 auf der durch die Knoten l, 3 und 5 verlaufenden

Elementkante liegen sollen (quadratischer Verschie-

bungsverlauf längs der Seite), gelten folgende Zwangsbe-

dingungen (Ansatzfunktionen GL vgl. [10], Seite 58)

10

112 = 11612: €22) = Z GL (E12; €22) “L

L=1,3,5

_ 3 6 l

u2 — äul + äus — gas

10

“4 = u(£14:£24) = Z GL (£14: £24) “L

L=1‚3,5

l + 6 3

= _ _ .. + _

H 8% 8% 8%

Die Matrix Z lautet dann:

42

Damit erhält man für die Zwangsbedingungsmatrix

eine Verschiebungsrichtung):

10 — 24 l2 8 —— 6

64 — 48 0 8

KZ = a 72 — 48 12 (13)

64 — 24

symm. 10

Isoparametrisches Hexaederelement mit 20 Knoten

(HK 60)

Für das Element HK 60 wurden die Zwangsbedingungs-

matrizen für die in Bild 5 skizzierten Koppelfälle abge-

leitet und die Elementkoppelung in das Programm-

system COSAR/E80 eingearbeitet. Als zusätzliche Ein-

gabedaten müssen die Knotennummem der auf der Kon-

taktfläche liegenden Knoten bereitgestth werden. Die

Funktionsfähigkeit der Elementkoppelung wurde an

einer Reihe von Beispielen getestet. Da die Elemente in

der Lage sind, quadratische Verschiebungsverteilungen

exakt zu erfassen, ergeben sich in diesen Fällen auch bei

den in Bild 5 skizzierten Koppelfällen exakte Lösungen,

wenn die Penalty-Zahl ausreichend groß gewählt wird.

Es hat sich gezeigt, dafi ein praktisch sinnvoller Wert für

die Penalty-Zahl a = max kii ' 104' ist. Im Programm-

system COSÄR E80 wird standardmäßig mit a = 1010

gearbeitet. Anhand der Erfüllung der Zwangsbedingun-

gen kann überprüft werden, ob die Penalty-Zahl hinrei-

chend groß gewählt wurde. Ausführliche Fehlerbetrach-

tungen und Empfehlungen für die Wahl der Penalty-Zahl

finden sich in {6}.

Als ein extremes Beispiel für die Anwendung der Ele-

mentkoppelung mit HK 60-Elementen wurde das Bons-

sinesq-Problem mit verschieden feinen Vernetzungen

gelöst (vgl. Bild 6). Aus Symmetriegründen braucht nur

ein Viertel des Halbraumes betrachtet zu werden; an den

'\

177777777777”:

Boussinesq-Problem

äußeren Rändern werden die Verschiebungen der

exakten Lösung vorgeschrieben. Die Testrechnungen

haben ergeben, daß in der unmittelbaren Umgebung der

Lasteinleitung, in der ein starker Spannungsgradient

(Singularität unter der Kraft) vorhanden ist, infolge der

Zwangsbedingungen ein großer Spannungssprung zwi-

schen den gekoppelten Elementen auftritt. In diesem

Bereich, der mit den herkömmlichen Verschiebungs-

elementen ohnehin nicht genau erfaßt werden kann,

ergibt die Zwangskoppelung, die wie eine zusätzliche

Versteifung wirkt, eine weitere Verfälschung der Ergeb-

nisse. In den nachfolgenden Koppelehenen ist dieser

Effekt jedoch nicht mehr vorhanden und die Ergebnisse

zeigen eine gute Übereinstimmung mit den exakten Lö-

sungen. Es sollte daher vermieden werden, die Netzver-

feinerungen mittels der angegebenen Zwangskoppelung

unmittelbar im Bereich extremer Spannu’ngsgradienten

vorzunehmen.

4. Weitere Zwangsbedingungen

Mittels der Penalty-Funktion-Methode lassen sich eine

Vielzahl weiterer praktisch wichtiger Zwangsbedin-

gungen auf programmtechnisch einfach zu realisierende

Weise erfassen. Die Berücksichtigung von verhinderten

bzw. vorgeschriebenen Knotenverschiebungen durch

Setzen einer großen Zahl auf das entsprechende Haupt-

diagonalelement der Steifigkeitsmatrix wird in den mei-

sten FEM-Programmen dem zeitaufwendigen Zeilen- und

Spaltenstreichen vorgezogen und ist nichts anderes als

eine Anwendung der Penalty—Funktion-Methode.

Vorgeschriebene Verschiebung

Am Knoten L sei eine Verschiebung der Größe AuL vor’

geschrieben. Die Zwangsbedingung lautet

z:—AuL+[1]uL:0 (14)

Damit ergibt sich

Kz = a [1] uL (15)

fz = —oz - AuL (16)

Wenn die vorgeschriebene Verschiebung eine beliebige

Richtung im Raum hat, die durch die drei Richtungs-

kosinus ci = cosai (i = 1, 2, 3) festgelegt wird (ca-Winkel

zwischen der Koordinatenachse xi und der Richtung der

vorgeschriebenen Verschiebung), gilt:

“1L

z = —— AuL + [c1 c2 c3] u2L = 0 (l7)

“3L

Dann erhält man für Kz und fz entsprechend der Glei-

chungen (8) und (9): -

02 C C C C

l l 2 I 3

_ 2Kz — a c2 c2c3 (18)

2

symm. c3

c1

fz = — a - AuL c2 (19)

c3

Vorgeschriehene Verschiebungsrichtung

Soll ein Knoten L gezwungen werden, sich längs einer

vorgeschriebenen Richtung (festgelegt durch die Rich-

tungskosinus c1, 02, 03) zu bewegen, gelten folgende

Zwangsbedingungen :

1 1 0

01 g “1L

z = l u2L =0 (20)

_ 0 _ _

cl c3 “3L

2 1 I

g _ _ __.

Cl Cl C2 01 C3

1

Kz = a - 0 (21)c2

2

l

symm. —2—

c343

Sektorsymmetrie

Bei sektorsymmetrischen Bauteilen gelten für Knoten

auf dem Sektorrand mit gleichem Radius die Zwangs-

bedingungen (vgl. Bild 7)

[11A = 1118 z ulB €080 —- H2B Eoan

u2A =T123 = ulB sinozr+ u2B cosa

— sinoz ——cosa

z {—1 0 —cosa Sind] u2A :0 (22)

:L01

Bild 7

Sektorsymmetrie

Damit erhält man für die Zwangsbedingungsmatrix:

l 0 — cosa sind

l -— sina — cos 0:

K2 = a l 0 (23)

symm. 1

Starre Koppelung zweier Knoten

Für jede Verschiebungskomponente der beiden Knoten

A und B gilt:

uiB=uiA+Aui i=1,2,3

wobei Aui ein vorgeschriebenes Übermaß ist (z. B. bei

Schrumpfverbindungen und anderen Kontaktproble-

men)

“iB

Es ergibt sich dann für K5 und fz:

_ 1 —1 25

Kz—a _1 1 ( )

1t, =aAui[_l (26)

z =Aai+[1—11 [um] =0 (24)

5. Koppelung verschiedener Elementtypen

Das im Abschnitt 3 beschriebene Vorgehen zur kompa-

tiblen Verknüpfung nicht korrekt angeschlossener Ele-

mente kann auch für die Koppelung unterschiedlicher

Elementtypen eingesetzt werden. Ein wichtiger Anwen-

dungsfall ist die Versteifung dreidimensionaler Struktu-

ren durch stabförmige Elemente (z. B. Bewehrungsstäbe

im Beton). Für den im Bild 8 dargestellten Fall, bei dem

ein Versteifungsstab durch ein isoparametrisches 20-

Knoten—Hexaederelement verläuft, gilt als Zwangsbedin-

gang für einen Knoten A des Stabelementes

5t abatement

SD‘Elernent

lokale Koordinaten

des Punktö A:

E„,5 .334

Bild 8

Stabförmige Versteifung in einem HK60-Element

20

_ A . A _

L=l

Die Zwangsbedingung lautet somit

- u11 l

H21

“31

_ A A A 3Z-[1361,13G2,.....,13Gm,_13] u '

120

“220

“320

“1 A

“2A

- “3A J

13 ist eine 3 x 3 Einheitsmatrix.

Die Zwangsbedingungsmatrix hat dann folgende Form:

’ A A A A A A H136161 136162 13616204361

A A A A A13G26213G2G20—13G2

Kzza : I

A A A

I3 620 G20 “13G20

s mm. 1

L.y 3 -—4

(28)

Damit können die Knoten der Stabelemente mit den

dreidimensionalen Elementen verknüpft werden;

Um die Zwangsbedingungsmatrizen berechnen zu kön—

nen, werden die lokalen Koordinaten im benötigt. Falls

diese nicht sofort angegeben werden können, müssen sie

mit Hilfe der globalen kartesisehen Koordinaten der

Knotenpunkte xiL berechnet werden. Das erfordert

jedoch die Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems

A _ ZGAf1(£1A’$2A’E3A x1 L le

_ A _

{(5.) = f2(51Av geav 53A ‘ x2A ‘ EGL X2L r 0

A

feign: $2A’ 23A xaA ‘ EGL x31.

(29)

unter der Bedingung EiA E {— 1, l].

Wenn man als Anfangsnäherung Koordinaten EA wählt,

gilt zunächst A) #1 0. Die exakte Lösung sei

5A + AäA; entwickelt man die Funktion f(§A + AÄA)

in eine Taylor-Reihe und bricht nach der ersten Ablei-

tung ab, erhält man

3(EA) A§A = - ‘(äAl (30)

öf—mit der 3 x 3 Jacobischen Matrix Jij = 6—21“, i‚j = 1,2,3.

j

Setzt man AfA = gA +1 — gA, ergibt sich folgende Itera-

tionsvorschrift zur Ermittlung der lokalen Koordinaten:

JQA>EA+1 =1<§A)§A — {(ng) (3})

Diese unter dem Namen Newton-Raphson bekannte

Iteration wird bei Erreichen einer ausreichenden Genau-

igkeit abgebrochen; in [7] wird lAä i < 0,001 empfohlen.

Mit Hilfe der Penalty—Funktion-Methode ist eine ein-

fache Möglichkeit vorhanden, dreidimensionale Verschie-

bungselemente z. B. mit Balken-‚ Platten- und Schalen-

elementen zu verküpfen. Allerdings kann wegen der Ver-

schiedenartigkeit der Ansatzfunktionen keine Kompati-

bilität längs der Elementränder erreicht werden. Es

bleibt abzuwarten, ob diese Strategie zu praktisch

brauchbaren Ergebnissen führt; eigene Erfahrungen lie-

gen dazu noch nicht vor.

Für die Koppelung des Biegewinkels bei einem Platten—

element mit den Verschiebungen eines einfachen 3D

Elementes (siehe Bild 9) kann z. B. folgende einfache

Zwangsbedingung formuliert werden:

z U1A_

A %

B

“1e

X4. U4

Bild 9

Verknüpfung eines Plattenelementes mit einem 3D—Element

_ u1A ""13«pc ~ —-———h——

“1A

z = [1 — 1 -— h] ulB (32)

90c

Die Zwangsbedingungsmatrix lautet dann:

[1 _1 —h

KZ = o: l h (33)

Lsymm. h2

Entsprechend ist die Verküpfung anderer Freiheitsgrade

möglich.

6. Zusammenfassung

Mit der Penalty-Funktion-Methode lassen sich viele bei

der Anwendung der FEM auftretende Zwangsbedingun-

gen näherungsweise erfüllen. Die Vorteile dieser Metho-

de bestehen darin, dais keine zusätzlichen Unbekannten

in die Rechnung eingeführt werden müssen, die Imple-

mentierung in vorhandene FEM-Programme unproble«

matisch ist und die Rechenzeit nahezu unverändert

bleibt. So konnten mit geringem Programmieraufwand

an dafür vorgesehenen Schnittstellen des Prozessors

BOUCO verschiedene Möglichkeiten der Element-

koppelung bei nicht korrekt verknüpften. 3D-Ele-

menten in das Programmsystem COSAR aufgenom—

men und erfolgreich bei Netzverfeinerungen getestet

werden. Der Aufbau der Zwangsbedingungsmatrizen für

ganz allgemeine Koppelfälle läßt sich programmintern

automatisieren, so daß damit eine Möglichkeit gegeben

ist, nicht paßfähige Substrukturen zu verknüpfen.

Die Penalty-Funktion-Methode eignet sich weiter zur

Realisierung von verschiedenen Randbedingungen, Kon-

taktproblemen und zur Verknüpfung unterschiedlicher

Elementtypen (z. B. 3D-Verschiebungselemente mit

Stab, Balken—‚ „Platten- und Schalenelementen). Zu die-

sen Elementverkniipfungen liegen noch keine prakti-

schen "Erfahrungen vor, so dafi zur Zeit keine Aussagen

zur Genauigkeit und damit zur Anwendbarkeit dieser

Koppelstrategie gemacht werden können. Die Penalty-

Funktion-Methode dürfte jedoch eine Alternative zur u

Entwicklung spezieller Übergangselemente sein, insbe-

sondere, wenn es um Aussagen zum Gesamtverhalten

einer komplexen Struktur geht; die Übergangsbereiche

erfordern in jedem Fall eine spezielle Analyse.

LITERATUR

[1] Dankert,J., Gabbert, U.: Universelles Finite-Elemente-

Programmsystem COSAR. Maschinenbautechnik 28

(1979), Heft 8, 352 —— 358.

[2 ] Baumgarten, H., Berger, H., Gabhert, U., Grochla, J.,

Horeschi‚H., Limpert,H.: Das Finite-Elemente-Pro-

grammsystem COSAR/E80 zur elastostatischen Berech-

nung dreidimensionaler Bauteile. Berichte der Tagung

Festkörpermechanik Band A. VEB Fachbuchverlag Leip-

zig 1981.

45

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[3]

[9]

[10]

46

Nutzerhandbuch COSAR/EBO; Entwicklerhandhuch

COSAR. TH Magdeburg, Sektion Maschinenbau, WB Fest-

körpermechanik 1980.

Campbell,J.S.: A penalty function approach to the mi-

nimization of quadratic functionals in finite element

analysis. In: ,,Finite Element Method in Engineering”.

Proc. of the Uni. of New South Wales 1974.

Zienkiewicz, 0.C.: The Finite Element Method. Mc Graw

Hill Book Company, London 1977.

Felippa,C.A.: Error analysis of penalty function tech-

niques for constrained definition in linear algebraic

systems. Int. J. for Num. Meth. in Eng. Vol. 11, 709 ä

728 (1977).

Dallmann, W.; Hartl, H., Pittr, J.: Kompatible Verbindung

von nicht korrekt angeschlossenen finiten Elementen.

4. Seminar Finite-Elemente-Methode und Variationsme-

thoden, Plzen 1981, Bd. l, 57 — 59.

Cavendish,J.C., Gordon,W.J., Hall,C.H.: Substructured

macro elements based on locally blended interpolation.

Int. J. for Num. Meth. Eng, Vol. 11, 1405 _ 1421 (1977).

Gupta, A.K.: A finite element for transition from a fine

to a coarse grid. Int. J. for Num. Meth. in Eng. Vol. 12,

35 —— 45 (1978).

Autorenkollektiv: Die Methode der finiten Elemente in

der Festkiirpennechanik. VEB Fachbuchverlag Leipzig

1982.

Anschrift des Verfassers:

DL-Ing. Ulrich Gabbert

Technische Hochschule Otto von Guericke

Sektion Maschinenbau

3010 Magdeburg

Biemtplatz 5