berwachung der Vorspannkraft Externer Spannglieder.doc)

Überwachung der Vorspannkraft Externer Spannglieder

mit Hilfe der Modalanalyse

Beim Fachbereich Bauingenieurwesen der Universität Kassel

zur Erlangung der Würde eines Doktor-Ingenieurs (Dr.-Ing.)

genehmigte Dissertation

vorgelegt von Khaled Riad, M. Sc. aus Kairo / Ägypten

Kassel 2006

Referent: Prof. Dr.-Ing. Ekkehard Fehling

Korreferent: Prof. Dr.-Ing. Michael

Tag der Einreichung: 8. Februar 2006

Tag der mündlichen Prüfung: 30. März 2006

Vorwort Die vorliegende Arbeit entstand während meiner Tätigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter im Fachgebiet Massivbau des Fachbereiches Bauingenieurwesen an der Universität Kassel. Dem Deutschen Akademischen Austauschdienst (DAAD) danke ich für die finanzielle Unterstützung und die Gewährung des Promotionsstipendiums. Mein besonderer Dank gilt Herrn Prof. Dr.-Ing. Ekkehard Fehling für die Leitung des Forschungsvorhabens und die Übernahme des Referats. Den Diskussionen mit ihm verdanke ich viele wertvolle Hinweise und Ideen. Herrn Prof. Dr.-Ing. Michael Link gebührt Dank für die Übernahme des Korreferates, die Diskussionen und wertvollen Hinweise zur Identifikation, sowie die Möglichkeit die Messtechnik seines Fachgebiets zu nutzen. Bei Herrn Prof. Dr.-Ing. Friedel Hartmann und Herrn Prof. Dr.-Ing. Werner Seim bedanke ich mich für ihr Mitwirken in der Promotionskommission. Nicht zuletzt gilt allen Mitarbeiter des Fachgebiets Massivbau mein Dankwort für die angenehme Atmosphäre in gemeinsamer Zusammenarbeit; besonders gilt mein Dank Herrn Dipl.-Ing. Torsten Leutbecher, Frau Ute Müller, Herrn Dipl.- Ing. Jochen Stürz, Herrn Dr. -Ing. Friedrich-Karl Röder, Frau Dipl.-Ing. Simone Stürwald für die Unterstützung insbesondere bei vielen fachlich wertvollen Gespräche und bei der kritischen Sprachkorrektur meines Manuskripts. Bei der Versuchsdurchführung waren mir Herr Dipl.-Ing. Beniamino Faion und Herr Klaus Trost eine große Hilfe. Auch ihnen sei an dieser Stelle dafür gedankt. Herrn Dr.-Ing. Matthias Weiland danke ich herzlich für seine ständige Diskussions-bereitschaft. Schließlich möchte ich meiner Frau, meinen Eltern und meinen Kinder für ihre Unterstützung, Geduld und ihr Verständnis danken.

Inhaltsverzeichnis I

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung und Stand der Forschung 1

1.1 Einleitung 1

1.2 Stand der Forschung 2

1.2.1 Schwingungsmessmethoden 3

1.2.1.1 Methoden ohne Parameteridentifikation 3

1.2.1.2 Methoden mit limitierter Parameteridentifikation 4

1.3 Zielsetzung 5

2 Externe Vorspannung 6

2.1 Spanngliedtypen 6

2.1.1 Litzenspannverfahren B+B – Typ EMR 6

2.1.2 Litzenspannverfahren DYWIDAG – Typ 6807 – 6819 7

2.1.3 Drahtspannverfahren SUSPA – Draht Ex-30 – Ex-60 7

2.1.4 Litzenspannverfahren VT – CMM 1x02 – 4x04 165 KD 8

2.2 Anwendungen im Brückenbau 9

2.2.1 Spanngliedführung bei Taktschiebeverfahren 9

2.2.2 Spanngliedführung bei Segmentbauweise 10

2.2.3 Spanngliedführung bei Verstärkungen 10

3 Eigenschwingverhalten von Seilen 12

3.1 Historischer Rückblick 12

3.2 Lineare Theorien der freien Schwingung 12

3.2.1 Das waagerecht gespannte Seil 12

3.2.1.1 Theorie von Irvine & Caughey 12

3.2.2 Das schräg gespannte Seil 17

3.2.2.1 Erweiterung von Irvine und Caugheys Theorie 17

3.2.3 Biegesteifigkeitseffekt 18

II Inhaltsverzeichnis

4 Parameteridentifikation - Grundlagen 22

4.1 Einleitung 22

4.2 Mathematische Grundlagen 24

4.3 Der Modellkorrekturansatz 25

4.4 Definition des Residuums und der Sensitivitätsmatrix 26

4.4.1 Das Eigenwertresiduum 26

4.4.2 Das Eigenformresiduum 27

4.5 Das Identifikationspragramm Update_g2 28

4.6 Normierung und Wichtung 29

4.7 Regularisierung 30

4.8 Quantitative Bewertungskriterien der Parameteridentifikation 30

4.9 Beschreibung des Programms zur Parameteridentifikation 31

4.9.1 Grenzwerte der Parameteränderungen und MAC-Werte 31

4.9.2 Das Abbruchkriterium 32

4.10 Fehlerproblematik und Grenzen der Anwendbarkeit 32

4.10.1 Abbildung der Teststruktur im Rechenmodell 32

4.10.2 Modalanalyse 33

5 Identifikation der effektiven Spanngliedkraft 34

5.1 Das Finite Element Modell 34

5.1.2 Theorie II. Ordnung (Geometrische Steifigkeit) 34

5.2 Unsicherheiten bei der Bestimmung der Spanngliedkräfte 36

5.2.1 Randbedingungen und statisches System 36

5.2.2 Biegesteifigkeitseffekt 38

5.2.3 Effektive Schwingungslänge 40

5.3 Beispiele zur Parameterkorrektur 41

5.3.1 Gemessene Freiheitsgrade und Eigenfrequenzen 41

5.4 Versuchsdurchführung 45

Inhaltsverzeichnis III

5.4.1 Eingesetzte Geräte 45

5.4.2 Anregung der Schwingung 46

5.5 Bewertung der Ergebnisse 50

6 Identifikation der effektiven Spanngliedkraft mittels vereinfachtem Verfahren 52

6.1 Motivation 52

6.2 Programmaufbau 52

6.2.1 F.E.-Modellierung 52

6.2.2 Signalbearbeitung 53

6.2.3 Gradientenmatrix und Identifikation 54

6.2.3.1 Identifikation der Schwingungslänge 56

6.2.3.2 Identifikation der Spanngliedkraft 58

6.2.3.3 Identifikation der effektiven Biegesteifigkeit 60

6.3 Verifikation des Verfahrens 62

6.3.1 Simulierte Testdaten 63

6.3.1.1 Konstanter Trägheitsmoment, bekannte Schwingungslänge 63

6.3.1.2 Veränderlicher Trägheitsmoment, bekannte Schwingungslänge 66

6.3.1.3 Konstanter Trägheitsmoment, unbekannte Schwingungslänge 68

6.3.1.4 Veränderlicher Trägheitsmoment, unbekannte Schwingungslänge 70

6.3.2 Reale Testdaten 73

6.3.2.1 SUSPA Spannverfahren (Hopfenbachtalbrücke – Überbau Nord – Feld 50-60 – Spannglied 3.3.1)

73

6.3.2.2 VBF Spannverfahren (Fuldatalbrücke bei Eichenzell – Überbau Süd – Feld 10-20 – Spannglieder 8.1 – 4.3 – 5.3)

79

6.3.2.3 DYWIDAG Spannverfahren (Wehretalbrücke – Überbau Nord – Feld 30-40 – Spannglied 8.2)

85

6.4 Spannglieder mit großen Spannkraftverlusten 86

6.5 Sensitivität gegenüber systematischen Messfehler 87

6.6 Bewertung der Ergebnisse

88

IV Inhaltsverzeichnis

7 Anwendungsprobleme und Lösungsansätze 90

7.1 Auftreten von benachbarten Eigenformen (DYWIDAG-Spannverfahren) 90

7.1.1 Spannglied 10.1 Wehretalbrücke – Überbau – Nord 90

7.1.2 Spannglied 9.5 Wehretalbrücke – Überbau – Nord 92

7.2 Unplanmäßiges Anliegen der Spannglieder an den Durchgangsrohren (Hopfenbachtalbrücke)

94

7.2.1 Anliegen mit steifer Einspannung 94

7.2.2 Anliegen mit weicher Einspannung 96

7.2.3 Lösungsansätze für anliegenden Spannglieder 97

7.2.3.1 Spannglied E2.7.6 Überbau-Süd 97



7.3 Spannglieder ohne Verpressung (BBV–Spannglieder) [Fuldatalbrücke –Malsfeld]

105

7.4 Langzeitüberwachung und Temperatureinfluss 109

8 Zusammenfassung und Ausblick 111

8.1 Zusammenfassung 111

8.2 Ausblick 112

9 Literaturverzeichnis 114

10 Anhang 124

Anhang 1 Nachrechnung von Testdaten anderer Autoren 125

Anhang 2 Berechnete Spannkraftabweichungen in der Hopfenbachtalbrücke und der Wehretalbrücke

127


1 Einleitung und Stand der Forschung

1.1 Einleitung

69 Jahre Spannbetonbrückenbau, beginnend mit der Bahnhofsbrücke in Aue bis zur heutigen Zeit, führten in Deutschland zu einem augenblicklichen Bestand von annähernd 30500 Brücken, über die Tag für Tag ein an Häufigkeit und Last zunehmender Verkehr rollt. Die Spannbetonbauweise hat damit sicherlich ihre Leistungsfähigkeit bewiesen. Bei konventionell hergestellten Spannbetonbrücken mit Vorspannung mit nachträglichem Verbund liegen die Spannglieder im Betonquerschnitt des Überbaus. Diese Bauweise bewährte sich nach anfänglichen Schwierigkeiten. Fehlerursachen wie übermäßig breite Risse im Bereich von Arbeitsfugen bei Spanngliedkopplungen, nicht oder unvollständig verpresste Hüllrohre bzw. Betonschäden konnten weitestgehend eliminiert werden. Dennoch bleibt bei dieser Bauweise die Unsicherheit, dass die Spannglieder praktisch nicht mehr kontrollierbar sind. Diese dauerhafte Unzulänglichkeit führte in Deutschland dazu, dass der Ruf nach neuen Spannverfahren – vorzugsweise außerhalb des Betonquerschnitts geführt und damit leicht zugänglich, kontrollierbar, austausch- bzw. nachspannbar – laut wurde [Heiler / Scheibe, 2004].

Die externe Vorspannung, wenngleich 1936 in Deutschland [Dischinger, 1938] bereits entwickelt und über Jahre praktisch in Vergessenheit geraten, wurde erst in den 80er Jahren intensiv diskutiert, als sich bei einer Reihe von Brücken, vorgespannt mit nachträglichem Verbund, nicht unbeträchtliche Schäden als Folge mangelnder Zementinjektion zeigten [Eibl, 1989 und 1998]. Darauf und auf Erfahrungen in Frankreich basierend wurden schließlich Prototypen extern vorgespannter Hohlkastenbrücken entworfen und gebaut. Danach hat sich das Bundesministerium für Verkehr im Sommer 1997 dazu entschlossen, die externe Vorspannung in Hohlkastenbrücken zur Regelbauweise zu machen.

Seit Einführung der Richtlinie für Betonbrücken mit externen Spanngliedern [Richtlinie, 1998] im Jahre 1998 werden inzwischen für alle Betonbrücken, die einen Kastenquerschnitt haben, externe Spannglieder verwendet. Im DIN-Fachbericht 102, III-1 [DIN 102, 2003] werden zwei Bauweisen für den Neubau von Spannbetonbrücken definiert:

- Die Bauweise ausschließlich mit externen Spanngliedern. - Die Mischbauweise, bei der sowohl externe als auch interne Spannglieder eingesetzt

werden. Dabei muss der Anteil der mit externen Spanngliedern aufgebrachten Vorspannkraft im Endzustand in jedem Querschnitt mindestens 20 % der gesamten Vorspannkraft betragen.

Gemäß [DIN 1045-1, 2001], Abs. 5.3.2 ist es für Stahl- und Spannbetonbauteile notwendig, eine auf das Rissmoment zu bemessende Mindestbewehrung zur Sicherstellung eines duktilen Bauteilverhaltens anzuordnen (Duktilitätskriterium, kein Versagen ohne Vorankündigung bei Erstrissbildung). Alternativ darf bei Spannbetonbauteilen auf diese Mindestbewehrung verzichtet werden, wenn „eine Zugänglichkeit der Spannglieder sichergestellt ist, so dass deren Unversehrtheit mit geeigneten zerstörungsfreies Prüfverfahren oder durch laufende Überwachung (Monitoring) überprüft werden kann“ (Wortlaut in DIN 1045-1, Abs. 5.3.2 (3)). Dieser Weg bietet sich Brücken mit externer Vorspannung bzw. in Mischbauweise an.

2 1 Einleitung und Stand der Forschung

Eine sinnvoll reduzierte Mindestbewehrung könnte eine bedeutende Erleichterung in konstruktiver und wirtschaftlicher Hinsicht bedeuten.

Aus Bauherrensicht ist ein möglichst großer Anteil externer Spannglieder an der Gesamtvorspannung hinsichtlich der Dauerhaftigkeit der Brücke erwünscht [Haveresch, 2001]. Um einerseits auftretende Schäden möglichst frühzeitig zu erkennen und damit die Kosten für deren Beseitigung zu minimieren und um anderseits das hohe Sicherheitsniveau zu erhalten und das Funktionieren der Infrastrukturanlagen zu gewährleisten, werden regelmäßig Bauwerksinspektionen durchgeführt. [DIN 1076, 1983] schreibt für Ingenieurbauwerke die laufende Beobachtung und regelmäßige Besichtigung sowie eine einfache Überprüfung im Abstand von drei und eine Hauptprüfung im Abstand von sechs Jahren vor.

Mit der zunehmend wachsenden Anzahl extern vorgespannter Brücken, wird die Notwendigkeit für ein zuverlässiges Überwachungsverfahren immer größer.

Die Messung der Spanngliedkraft über das Eigenschwingverhalten ist bereits mehrfach bei den Kabeln von Schrägseilbrücken angewendet worden [Stoyanoff et al, 2005 - Wenzel et al, 2005]. Die Methode lässt sich im Prinzip auf den Fall der Vorspannung mit externen Spanngliedern übertragen, auch wenn hier in der Regel kürzere „Seillängen“ vorliegen, so dass die Bestimmung der effektiven freien Länge und die Betrachtung der Biegesteifigkeit des Spannglieds dessen dynamische Eigenschaften mehr beeinflussen als bei Schrägseilbrücken.

Damit die sehr gute Aussagegenauigkeit dieser Methode auch im praktischen Fall bei externen Spanngliedern gewährleistet werden kann, sind zusätzliche Überlegungen in Bezug auf die Randbedingungen, die aktuelle Schwingungslänge und die effektive Biegesteifigkeit der externen Spannglieder erforderlich.

Die Bestimmung von Tragwerksparametern aus Schwingungsversuchen (auch System- oder Parameteridentifikation genannt) wird immer häufiger für die Bauwerksüberwachung und Schadensdiagnose eingesetzt. Die Grundidee der Parameteridentifikation besteht darin, numerische modale Parameter (z. B. Eigenfrequenzen und -formen eines Rechenmodells) mit experimentellen modalen Parametern (aus Versuchen an der Struktur) zu vergleichen und dadurch Unsicherheitsparameter im Rechenmodell zu identifizieren. Der Einsatz der Parameteridentifikation für die Bestimmung der effektiven Spanngliedkräfte unter Berücksichtigung der o. g. Unsicherheitsparameter ist ein Ziel der im Rahmen dieser Arbeit durchgeführten Untersuchungen.

1.2 Stand der Forschung

Die Kenntnis der vorhandenen Zugkräfte in Seilen abgespannter Konstruktionen, in Seilen bzw. Kabeln von Schrägseilbrücken, in Hängern von Bogenbrücken und in externen Spanngliedern ist zur globalen Beanspruchungsprüfung der Konstruktion erforderlich. Neben der Anwendung von Abhebekontrollen, die mit einem erheblichen Aufwand verbunden sind, wurde bereits ab 1950 versucht, die Kabelkraft durch Handauflegen und Zählung der Schwingungsdurchgänge in bestimmten Zeitspannen zu ermitteln [Geier et al., 2004]. Steigende Anforderungen an die Genauigkeit der Kraftbestimmung, erhöhte Sicherheits- bestrebungen sowie der Trend zu kostengünstigeren Untersuchungsmethoden führten zur Entwicklung zahlreicher alternativer Technologien. In diesem Zusammenhang werden folgende Methoden kurz vorgestellt:

1. Die Anwendung von Dehnmessstreifen, die entlang der freien Kabellänge angeordnet werden. Die hohe Sensitivität gegenüber Temperaturänderungen und das aufwendige Kleben der Dehnmessstreifen beschränken die Anwendung dieser Methode [Geier et al., 2004].


2. Das Vormontieren von Kraftmessdosen im Bereich der Verankerung wird wegen der hohen Anschaffungskosten und den beobachteten Schwankungen der Ergebnisse in Frage gestellt [Mehrabi / Corley, 2000].

3. Bei Messverfahren, die den magnetoelastischen Effekt ferromagnetischer Materialien ausnutzen, wird durch Messung mehrerer magnetischer Kenngrößen unter Ausnutzung des magnetoelastischen Effekts die Spannstahlspannung ermittelt. Nachteil hierbei ist, dass ein Stück des Kabelwerkstoffs zur Kalibrierung vorgehalten werden muss [Scheibe et al.,1998 und Ricken et al., 2005].

4. Zur Zustandsbeurteilung von Schrägseilen werden auch kontinuierlich Schall-emissionen durch spezielle Sensoren gemessen. Dabei wird die Veränderung des dynamischen (akustischen) Verhaltens aufgezeichnet, wenn Energie durch Versagen eines Drahtes oder einer Litze des Spannglieds freigesetzt wird [Higgins et al., 2005]. Die hohen Kosten insbesondere bei großer Anzahl von Spanngliedern und die Tatsache, dass keine Spanngliedkraftermittlung möglich ist, grenzen die Nutzung dieser Methode ein.

5. Eine weitere Möglichkeit bietet die Ermittlung der Spanngliedkräfte mit Hilfe der Messung des Seildurchhangs. Diese Methode ist im Fall von externen Spanngliedern, wo kurze Spanngliedlängen häufig auftreten, nicht geeignet.

6. Die Ermittlung der Spanngliedkräfte mittels ambienter Schwingungsmessungen hat sich als wirtschaftlichste und leistungsfähigste Methode erwiesen. In den folgenden Abschnitten werden die neuesten Entwicklungen in diesem Bereich dargestellt.

1.2.1 Schwingungsmessmethoden

1.2.1.1 Methoden ohne Parameteridentifikation

1. Die einfachste Methode, die bereits 1950 benutzt wurde, basiert auf dem einfachen Zusammenhang zwischen der Zugkraft T, und der Grundfrequenz f1, der Schwingungslänge L und der Masse pro Längeneinheit m nach Gl. (1-1). In dieser Gleichung wird die Biegesteifigkeit vernachlässigt (Theorie der schwingenden Saite).

21T = (2 f L) m (1-1)

2. [Zui et al., 1996] haben Anwendungsgleichungen für die Ermittlung der Spanngliedkräfte hergeleitet, in welchen die Biegesteifigkeit berücksichtigt und starre Randbedingungen angenommen werden. Hierbei wird zwischen drei Spannglied-klassen, im Zusammenhang mit dem Durchhang, unterschieden. Für Spannglieder mit kleinem Durchhang wird die Grundfrequenz verwendet. Für einen mittleren Durchhang wird die zweite und für einen großen Durchhang eine Eigenfrequenz höherer Ordnung benutzt. Die ermittelten Kräfte wurden mit Test- und FEM- Ergebnissen verglichen.

3. [Mehrabi et al., 1998] haben eine Finite-Differenz-Formulierung für freie Schwingungen von Kabeln vorgeschlagen, in der unterschiedliche Randbedingungen und Kabelquerschnitte, die Biegesteifigkeit, die Dehnbarkeit und zwischenliegende Dämpfer berücksichtigt werden können. Ferner wurde durch den gleichen Autor und H.Tabatabai in [Tabatabai et al,. 1998] die Anwendung von Laser-Schwingungs-messgeräten für die Ermittlung von Eigenfrequenzen bei Schrägseilbrücken eingeführt.

4. [Gautier et al., 2005] haben universelle Kurven unter Berücksichtigung der Biegesteifigkeit für die Ermittelung der Spanngliedkräfte bei Schrägkabelbrücken

4 1 Einleitung und Stand der Forschung

angegeben. Für die Berechnung der Spanngliedkräfte werden die ersten beiden Eigenfrequenzen eingesetzt. Die Kurven sind für eingespannte und frei drehbare Lagerung angegeben.

Bei diesen Methoden wird davon ausgegangen, dass die tatsächlichen Querschnittswerte und Schwingungslängen den planmäßigen Werten entsprechen. In 1., 2. und 4. werden unter-schiedliche Randbedingungen und Querschnittswerte entlang des Kabels nicht berücksichtigt.

1.2.1.2 Methoden mit limitierter Parameteridentifikation

1. [Casas, 1994] hat die aufgebrachten Pressenkräfte und die gemessenen Eigenfrequenzen benutzt, um die Schwingungslängen der Kabel zu bestimmen. Dies soll als Grundlage für die weitere Überwachung der Kabelkräfte auf Basis von Schwingungsmessungen bei der untersuchten Schrägseilbrücke dienen. Hier ist eine zeitgleiche Schwingungsmessung mit dem Vorspannen notwendig, ferner bietet die Methode keine Kontrolle über die aufgebrachte Vorspannkraft.

2. [Geier et al., 2003 und 2004] schlagen vor, dass für die Identifizierung der effektiven Biegesteifigkeit bei eingespannten Kabeln ein Gradientenverfahren einzusetzen ist, in dem das Verhältnis zwischen gemessenen Eigenfrequenzen und Eigenfrequenzen nach Theorie der schwingenden Saite verwendet wird. Hierbei werden die planmäßige Schwingungslänge eingesetzt und unterschiedliche Randbedingungen bzw. Quer-schnittswerte nicht berücksichtigt.

3. [Ahn et al., 2003] untersuchten analytisch die Parameter, die die Kabelkräfte beeinflussen, und haben einen Fehlerkorrekturalgorithmus vorgestellt, der die Fehler in der Massen-, Längen-, Biegesteifigkeit-, Durchhang- und Eigenfrequenzermittlung berücksichtigt. Im Vergleich mit gemessenen Kraftwerten sind jedoch Abweichungen bis zu 10 % bei kurzen Kabeln aufgetreten.

4. [Link et al., 2002] haben die Zugkräfte in Stahlhängern einer Bogenbrücke mit Hilfe von der Korrektur eines F.E.-Modells identifiziert. Dabei wurden ambiente sowie deterministische Strukturerregung angewendet und die resultierenden Ergebnisse verglichen. Die Korrektur wurde durch Minimierung der Eigenfrequenzresiduen durchgeführt; dabei wurde die Zugkraft als einziger Korrekturparameter betrachtet.

5. [Vorwagner et al., 2005] haben entlang des Spannglieds in 10 cm Abständen durch Impulshammererregung die Schwingungsknoten identifiziert und dadurch die Schwingungslänge berechnet, hierbei wird aber der Biegesteifigkeitseffekt vernachlässigt und das Verfahren ist sehr aufwendig und nicht für die praktische Anwendung geeignet. Ferner wurde der Zusammenhang zwischen die gemessene Wellenausbreitungsgeschwindigkeit c und der Zugkraft in einem Seil (Gl. 1-2) für die Bestimmung der Schwingungslänge bzw. Spanngliedkraft angewendet. Die dabei erzielte gute Übereinstimmung der beiden Verfahren konnte aber bei anderen Versuchen nicht erreicht werden.

⋅2T = c m (1-2)

6. [Siegert et al., 2005] haben die Zugkräfte in Stahlhängern einer Bogenbrücke mit Hilfe von Modellkorrektur identifiziert. Die Hängerbiegesteifigkeit sowie die Steifigkeit einer Drehfeder (für die Modellierung der Verbindung mit der Brücke) wurden dabei als Korrekturparameter betrachtet.


1.3 Zielsetzung

Das Ziel der in dieser Arbeit durchgeführten theoretischen und praktischen Untersuchungen besteht darin, Empfehlungen für die praktische Anwendung des Schwingungsmessverfahrens für Zwecke der kontinuierlichen oder periodischen Überwachung der Kräfte externer Spannglieder abzuleiten.

Für eine genaue Identifizierung der Spanngliedkräfte müssen folgende Fragestellungen geklärt werden:

- Die Genauigkeit der Nominalwerte der Schwingungslänge und Biegesteifigkeit muss untersucht werden. Es wird in Kapitel 7 gezeigt, dass die aktuelle Schwingungslänge infolge von Ausführungsmängeln bis zu 50 % gegenüber den Nominalwerten (im Fall von unplanmäßigen Anliegen) abweichen kann. Die effektive Biegesteifigkeit ist abhängig vom Spannstahlverlauf innerhalb der Ummantelung, sowie von der Verpressqualität, dem Verpressmaterial und dessen Interaktion mit dem Spannstahl. Eine individuelle Bestimmung der effektiven Biegesteifigkeit für jedes Spannglied, besonders bei Mörtelverpressung, ist daher notwendig.

- Die Anwendungsgrenzen der analytischen Gleichungen, die eine einheitliche Massen- bzw. Biegesteifigkeitsverteilung entlang der Spanngliedlänge annehmen, muss untersucht werden.

- Die unterschiedlichen Randbedingungen bei Verankerungen und Umlenkungen mit verschiedenen Umlenkwinkeln.

- Einfluss von Verkehr und Temperatur auf die Messungen.

Die Finite-Elemente-Methode wird heutzutage als grundlegendes Werkzeug für die Konstruktionsanalyse eingesetzt. Zahlreiche FEM-Programme, die verschiedene Element-typen enthalten, stehen den Ingenieuren zur Zeit zur Verfügung. Die FEM-Methode bietet daher ein einfaches und genaues Verfahren für eine reale Konstruktionsidealisierung von externen Spanngliedern und ebenso für die Erfassung von deren Schwingungseigenschaften (modale Parameter).

Es wird gezeigt, dass es mit Hilfe der Parameteridentifikation möglich ist, die Ungenauigkeiten bei der Spanngliedkraftermittlung, basierend auf identifizierten Eigen-frequenzen und Eigenformen, zu eliminieren. In diesem Zusammenhang wird ein FE-Modell korrigiert, um die freie vorhandene Schwingungslänge sowie die effektive Biegesteifigkeit und die effektive Spanngliedkraft für verschiedene Randbedingungen zu identifizieren. Für die FE-Modellierung wird das Programm MATFEM [Matfem, 2002] benutzt. Die Parameteridentifikation erfolgt einerseits durch das allgemeine Identifikationsprogramm UPDATE_g2 [UPDATE_g2, 2003], anderseits unter Verwendung eines selbst entwickelten Programmsystems, das speziell für Spanngliedkraftermittlung geeignet ist. Alle angewendeten Programme basieren auf der Programmiersprache MATLAB [Matlab, 2002].

6 2 Externe Vorspannung

2 Externe Vorspannung

2.1 Spanngliedtypen

In diesem Kapitel werden die unterschiedlichen Spannverfahren, die in Deutschland z. Zt. eingesetzt werden, dargestellt. Es werden die Verfahren der Firmen BILFINGER + BERGER, DYWIDAG-DSI, SUSPA-DSI und VORSPANN-TECHNIK beschrieben. In Tabelle (2-1) sind die wesentlichen Merkmale der einzelnen Spanngliedtypen angegeben. Tabelle 2-1: Merkmale der einzelnen Spanngliedtypen

BBV DYWIDAG SUSPA VT

Spannstahl Litzenspann-verfahren

Litzenspann-verfahren

Drahtspann-verfahren

Litzenspann-verfahren

Korrosionsschutz Fett +

PE-Ummantelung

Fett +Mörtel +

PE-Ummantelung

Fett +

PE-Ummantelung

Fett +

PE-Ummantelung

Ausbildung Kreisförmig Kreisförmig Kreisförmig Rechteckig

(gestapelt)

Verankerung Keilverankerung Keilverankerung Stauchköpfchen Keilverankerung

P [kN] 1561 - 3296 1041 - 3296 1350 - 2970 440 - 3523

In den folgenden Abschnitten wird jedes Spannverfahren ausführlich in Hinblick auf Geometrie- und Materialeigenschaften beschrieben, da diese für das dynamische Verhalten des Spannglieds von wesentlicher Bedeutung sind.

2.1.1 Litzenspannverfahren B+B – Typ EMR

Es werden 9 bis 19 7-drähtige Spannstahllitzen St 1570/1770 mit einem Nenndurchmesser von 15,3 mm (Nennquerschnitt 140 mm2) benutzt. Die korrosionsgeschützten Litzen (Fett + PE-Ummantelung) werden in ein PE-Hüllrohr eingeführt. Die Litzen werden nicht im Hüllrohr verpresst, was eine separate Schwingung von einigen Litzen erlaubt, ferner entsteht dadurch über eine bestimmte Länge kein Kontakt zwischen den Litzen und dem Hüllrohr (s. Bild 2-2). Diese Tatsachen verursachen ein besonderes dynamisches Verhalten dieses Spanngliedtyps, dass in Kapitel 7.3 näher beschrieben wird [Zul. BBV, 2000].

Bild 2-1: Korrosionsgeschützte Litzen [Web 1]


45 50

HüllrohrkopplungMonolitzen

kein Kontakt

Monolitzen

Spannglied-Querschnitt

UmlenkhüllrohrHüllrohr

Teleskoprohr Umlenkhüllrohr

P.E.-Hüllrohr

Bild 2-2: Spanngliedausbildung B+B – Typ EMR

2.1.2 Litzenspannverfahren DYWIDAG – Typ 6807-6819 Es werden 7 bis 19 7-drähtige Spannstahllitzen St 1570/1770 mit einem Nenndurchmesser von 15,3 mm (Nennquerschnitt 140 mm2) benutzt. Dabei werden korrosionsgeschütze sowie blanke Litzen verwendet. Nach dem Vorspannen werden die Litzen im PE-Hüllrohr mit Mörtel verpresst (s. Bild 2-3). Der Nachteil bei der Anwendung von blanken Litzen besteht darin, dass die Spannglieder nicht nachspannbar sind [Zul. DYWIDAG, 1994].

(blank) (korrosionsgeschützt)

ZementmörtelZementmörtel

P.E.-Hüllrohr P.E.-Hüllrohr

Litzen Litzen

Bild 2-3: Spanngliedquerschnitt

2.1.3 Drahtspannverfahren SUSPA – Draht Ex-30 – Ex-60 Das Spannglied SUSPA Draht EX- ist ein werksfertiges Spannglied aus 30 bis 66 kaltgezogenen Spannstahldrähten (St 1470/1670; d = 7 mm). Der Korrosionsschutz wird durch Fettverpressung und einem äußeren PE-Hüllrohr gewährleistet. Beim Vorspannen werden die PE-Hüllrohre aufgrund des zugfesten Anschlusses an die Spannglied-verankerungen mit den Spannstählen mitgedehnt. Die Spanngliedkraft wird über eine Stützmutter, die zum Abschluss des Vorspannens auf die Zughülse geschraubt wird, auf die Ankerplatte übertragen (s. Bild 2-4) [Zul. SUSPA, 2003].


Bild 2-4: Schnittmodell der Spannverankerung [Scheibe et al., 1998]

2.1.4 Litzenspannverfahren VT –CMM 1x02– 4x04 165 KD

Es werden bei diesem Spannverfahren 2 bis 16 7-drähtige kompaktierte Spannstahllitzen (St 1570/1770, Nenndurchmesser 16,8 mm und Nennquerschnitt 165 mm2) verwendet. Ausgehend von korrosionsgeschützten Litzen und vorgefertigten äußeren Schutzhüllen werden Spannbänder in einer Bündelungs- und Schweißeinrichtung hergestellt. Durch die Gruppierung der verschiedenen Bänder besteht die Möglichkeit, Spannglieder mit unterschiedlicher Spannkraft zu konzipieren (s. Bild 2-5). Die Spannglieder werden einbaufertig zur Baustelle geliefert [Zul. VT, 2004].

VT- CMM 3x04 -165 KDzul. P = 2642 kNzul. P = 881 kN

VT- CMM 2x02 -165 KD

KorrosionsschutzmasseLitze

Co-ExtrudierterMantel

53 mm 98 mm

56 mm

84 mm

Ummantelung

Bild 2-5: Modulartige Zusammenfassung der einzelnen Bänder

Bei allen Spannverfahren ist ein Nachspannen und ggf. ein Austauschen der Spannglieder möglich. In der folgenden Tabelle werden die Vor- und Nachteile der externen Vorspannung beschrieben.


Tabelle 2-2: Vor- und Nachteile externer Vorspannung [Jungwirth et al., 1998]

Vorteile Nachteile

- kontrollierbar

- nachspannbar, verstärkbar

- austauschbar

- Stege frei von Spanngliedern (keine Betonierschäden)

- Spannglieder mit hochwertigem Korrosionsschutz selbst im gerissenen Bereich

- wirtschaftliches Bauverfahren mit Segmentbau und Taktschiebeverfahren

- klare Reibungsverhältnisse

- geringe Ermüdungsbeanspruchung aus Verkehr

- Einbau ggf. witterungsunabhängig

- verletzbar, Witterung ausgesetzt

- Brandschutz und Vandalismuswiderstand muss geklärt werden

- Verbundreserve fehlt, volle Kraft auf die Verankerung bzw. Umlenkung

- Streckgrenze kaum ausgenützt, daher hohe Betonstahlmengen/-kosten

- kleiner Hebelarm der inneren Kräfte

- Verankerungen und Umlenkstellen teuer

- Spannstahl nicht rissverteilend

2.2 Anwendungen im Brückenbau

Externe Vorspannung wird hauptsächlich bei vorgespannten Beton-Hohlkastenbrücken und bei der Verstärkung bzw. Sanierung von Brücken angewendet. Die dabei in der Regel auftretenden Spannweiten variieren zwischen 25 m und 120 m. Die Spanngliedführung ist vom jeweiligen Bauverfahren abhängig. Da das Einsetzen von internen Spanngliedern in den Stegen bei der Mischbauweise untersagt ist, ist eine statisch wirkungsvolle, umgelenkte Spanngliedführung daher nur mit externen Spanngliedern möglich. In den nächsten Abschnitten werden Beispiele für die verschiedenen Spanngliedführungen dargestellt.

2.2.1 Spanngliedführung bei Taktschiebeverfahren

Beim Taktschiebeverfahren unterscheidet sich die erforderliche Spanngliedanordnung im Bauzustand gegenüber dem Endzustand. Im Bauzustand werden die sogenannten „zentrischen Primärspannglieder“ und im Endzustand die „umgelenkten Sekundärspannglieder“ gebraucht. Für die Primärvorspannung werden wegen wirtschaftlicher Vorteile häufig Spannglieder mit nachträglichem Verbund angewendet. Durch die Optimierung der Spanngliedführung konnten jedoch die Kostenunterschiede der beiden Verfahren reduziert werden [Haveresch, 2001].

Bild 2-6: Spanngliedführung bei der Mischbauweise [Krautwald et al., 2000]

Endzustand

Spannglieder im Verbund externe Spannglieder (zentrisch)

externe Spannglieder (exzentrisch)


Bild 2-7: Spanngliedführung bei der Bauweise mit ausschließlich externer Vorspannung [Krautwald et al., 2000]

2.2.2 Spanngliedführung bei Segmentbauweise

Bei der Segmentbauweise werden die vorgefertigten Hohlkasten-Elemente auf der Baustelle zu Einfeld- oder Durchlaufträgern, ohne die Stoßfugen querende Betonstahlarmierung, zusammengespannt. Die Querkraft wird dabei ausschließlich durch Reibung und Profilierung infolge Vorspannung zwischen den Fertigteilen übertragen. Eine die Stegfugen kreuzende Betonstahl- und Spannstahlbewehrung hat sich nicht bewährt, weshalb sich die Bauweise mit ausschließlich externer Vorspannung durchsetzen konnte.

Bild 2-8: Spanngliedführung bei der Segmentbauweise [Web 2]

2.2.3 Spanngliedführung bei Verstärkungen

Die Verstärkung bzw. Sanierung von Brücken mittels externer Vorspannung hat sich gegenüber den meisten anderen Techniken (z. B. Kleben von CFK- oder Stahllamellen) als überlegene Möglichkeit dargestellt. Die Methode bietet eine wirksame langlebige Verstärkung des gesamten Bauwerks, die einen geringen Wartungsaufwand verspricht. Es können hierbei zentrische oder umgelenkte Spannglieder eingesetzt werden. Die Anordnung der externen Kabel erfolgt bei Kastenquerschnitten zweckmäßigerweise im Inneren. Bei Plattenbalken können die Spannglieder nur außerhalb des Querschnitts angeordnet werden. Für die Krafteinleitung können in der Regel vorhandene Querträger benutzt werden oder es sind ggf. zusätzliche Anker- und Umlenkelemente anzuordnen(s. Bild 2-9).

Bild 2-9: Verstärkung mit externen Spanngliedern - neue Umlenkstellen

Externe Spannglieder

Umlenksättel


Um die dynamischen Eigenschaften externer Spannglieder zu untersuchen wurden im Rahmen dieser Arbeit Schwingungsmessungen an den vier o.g. Spanngliedtypen durchgeführt. Die Besonderheiten die bei jedem Spanngliedtyp aufgetreten sind, werden in Kapitel 7 erläutert. Ziel dieser Arbeit ist es, eine allgemein einsetzbare und zuverlässige Methode zur Ermittlung der Vorspannkraft zu entwickeln, welche die vielen Anwendungsmöglichkeiten, unter-schiedlichen Spanngliedführungen und Randbedingungen umfasst.

12 3 Eigenschwingverhalten von Seilen

3 Eigenschwingverhalten von Seilen

3.1 Historischer Rückblick

Die schwingende Saite war eines der ersten physikalischen Systeme, auf die die neuen analytischen Methoden der modernen Mechanik und Mathematik angewendet wurden. Bereits in der ersten Hälfte des 18. Jahrhunderts gab D. Bernoulli eine Lösung für die Eigen-frequenzen des senkrecht herabhängenden Seiles in Form einer unendlichen Reihe an, die später als Besselfunktion erster Art nullter Ordnung identifiziert wurde [Starossek, 1990]. Bis in jüngere Zeit gab es allerdings weder theoretische, noch experimentelle Arbeiten, die die Seildehnung in die Berechnung einbeziehen. Dies zeigten Irvine & Caughey in ihrer Arbeit aus dem Jahr 1974 [Irvine et al., 1974], die ein weitgehendes Verständnis der linearen Dynamik des horizontal gespanntes Seiles mit einem bezogenen Durchhang von etwa 1:8 bis Null ermöglichte.

Dabei war ihre fundamentale (und vereinfachende) Annahme, dass sich das Seil quasi-statisch dehnt und somit die dynamische Seilkraft über die ganze Länge konstant ist. Sie entdeckten, dass die Seildynamik im Wesentlichen von nur einem geometrisch-elastischen System-parameter abhängt. Für bestimmte Werte dieses Parameters fallen die Eigenfrequenzen der jeweils zugeordneten symmetrischen und antimetrischen EigenEigenformen zusammen, ein Phänomen, das die Autoren „cross-over“ nannten (s. Bilder 3-2 und 3-3). Später erweiterte Irvine diese Lösung auf Seile mit geneigter Sehne [Irvine, 1978]. Hierbei muss die sehnenparallele Gewichtskomponente allerdings vernachlässigt werden. Derselbe Autor lieferte auch –zusammen mit Griffin- wichtige Beiträge zur Berechnung des Antwort-verhaltens, etwa bei Beschleunigung der Randpunkte infolge eines Erdbebens [Irvine, 1981], [Irvine et al, 1976].

Eine allgemeinere Lösung für das geneigte, dehnbare Seil unter Berücksichtigung der dynamischen Seilkraftänderung in Längsrichtung und der sehnenparallelen Gewichtskraft veröffentlichte Triantafyllou [Triantafyllou, 1984]. Ausgehend von dieser Arbeit und mit der vereinfachenden Annahme quasi-statischer Dehnung geben Triantafyllou und Grinfogel eine einfache, implizite Gleichung zur Berechnung der Eigenfrequenzen sowie Ausdrücke für die Eigenformen und die dynamische Seilkraft an [Triantafyllou et al., 1986]. Die folgende Herleitungen sind aus [Starossek, 1990] entnommen.

3.2 Lineare Theorien der freien Schwingung 3.2.1 Das waagerecht gespannte Seil 3.2.1.1 Theorie von Irvine & Caughey

Die Autoren [Irvine et al., 1974] setzen außer der Annahme kleiner Verschiebungen voraus, dass

- die Massenbelegung konstant bezüglich der Seilsehne ist und die statische Seillinie eine quadratische Parabel ist,

- sich die zusätzliche, dynamische Seilkraft über die Seillänge nicht ändert und


- die Horizontalverschiebungen klein gegenüber den Vertikalverschiebungen sind.

Durch die außerdem vorgenommene Beschränkung auf horizontal gespannte, festverankerte Seile mit einem Verhältnis von Durchhang zu Sehnenlänge von nicht größer als 1:8 sind diese Voraussetzungen näherungsweise erfüllt.

Für die statische Seillinie kann man mit den Bezeichnungen nach Bild 3-1 dann schreiben:

2mgL x x

y= -2H L L

(3-1)

Dabei ist

L : die Sehnenlänge

m : auf die Sehne bezogene Masse

H : die (konstante) Horizontalkomponente der statischen Seilkraft

g : die Gravitationsbeschleunigung

Bild 3-1: Horizontal gespanntes Seil und ein infinitesimales Seilelement

Der Zusammenhang zwischen diesen Größen und dem statischen Durchhang d in Seilmitte wird hergestellt durch

2 mgL

H =8d

(3-2)

Für die dynamischen Verschiebungen v (vertikal) und w (horizontal und senkrecht zur Seilebene) kann man aus den dynamischen Gleichgewichtsbedingungen am Seilelement und unter den oben genannten Voraussetzungen die partiellen Differentialgleichungen

( )∂ ∂ ∂

+ + = − ∂ ∂ ∂

2

2

dy v vT τ m mg

s ds s t (3-3)

( )∂ ∂ ∂

= ∂ ∂ ∂

2

2

w wT + τ m

s s t (3-4)

herleiten. Hier ist T die statische und τ die zusätzliche, dynamische Seilkraft. Unter Berücksichtigung der statischen Gleichgewichtsbeziehung


dy

T = -mgs ds

∂

∂ (3-5)

sowie mit dx

H = Tds

(3-6)

und dx

h = τds

(3-7)

folgt aus den Gleichungen (3-3), (3-4) näherungsweise

2 2 2

2 2 2

v y vH h m

x x t

∂ ∂ ∂+ =

∂ ∂ ∂ (3-8)

2 2

2 2

w wH m

x t

∂ ∂=

∂ ∂ (3-9)

Die dritte dynamische Gleichgewichtsbedingung (horizontal in der Seilebene) wird ver-nachlässigt und entsprechend der eingangs formulierten Annahme ersetzt durch die Gleichung

τ= 0

x

∂

∂ (3-10)

woraus mit G1. (3-7) für genügend flach gespannte Seile folgt

h

= 0x

∂

∂ (3-11)

Für die örtliche Seildehnung gilt (linearisiert)

dx u dy v

ε = +ds s ds s

∂ ∂

∂ ∂ (3-12)

die Kontinuitätsbedingung des Seilelementes folgt hiermit zu

3

h ds u dy v= +

EA dx x dx x

∂ ∂

∂ ∂ (3-13)

mit dem Elastizitätsmodul E und dem wirksamen (metallischen) Querschnitt A. Mit den Gleichungen (3-8), (3-9), (3-11) und (3-13) ist das mechanische Problem vollständig beschrieben.

Horizontale Schwingungen senkrecht zur Seilebene:

Diese Bewegung ist von den Verschiebungen innerhalb der Seilebene entkoppelt und wird allein mit Gleichung (3-9) erfasst, die eine Wellengleichung in der einfachsten Form darstellt. Der Separationsansatz

iωtw = w e% (3-14)

führt unter Beachtung der Randbedingungen

w(0) = w(L) = 0 (3-15)

auf die Lösung n

nπ Hω = ; n = 1, 2, ...

L m (3-16)


n n

nπxw = A sin

L% (3-17)

wobei ωn die Kreisfrequenz und n die dazugehörige Nummer sind, die identisch mit denen der schwingenden Saite sind.

Schwingungen innerhalb der Seilebene:

Wie die Kontinuitätsbedingung (3-13) zeigt, ist hier die vertikale mit der horizontalen Bewegungskomponente gekoppelt. Letztere wird zunächst durch Integration von Gl. (3-13) über die Sehne eliminiert:

∂

∂

∫ ∫ ∫3L L L

0 0 0

h ds du dy vdx = dx + dx

EA dx dx dx x (3-18)

Durch partielle Integration und mit dem Randbedingungen

u(0) = u(L) = 0 (3-19)

v(0) = v(L) = 0 (3-20)

sowie wegen Gl. (3-11) und der als konstant vorausgesetzten Dehnsteifigkeit folgt hieraus

∫L

e2

0

hL 8d= v dx

EA L (3-21)

mit

≅ ∫

3 2 2L

e

0

ds d mgLL = dx L 1 + 8 = L 1 + 8

dx L H (3-22)

Der Systemparameter Le ist etwas größer als die Seillänge, für die gilt

≅

∫

2L

s

0

ds 8 dL = dx L 1 +

dx 3 L (3-23)

Die weitere Berechnung geht aus von den Gleichungen (3-8), (3-13) und (3-21) hervor.

Antimetrische Schwingungen innerhalb der Seilebene:

Die Existenz antimetrischer Eigenformen im Freiheitsgrad v zunächst einmal vorausgesetzt, folgt aus Gl. (3-21) für diese direkt

h = 0 (3-24)

Hiermit reduziert sich G1. (3-8) ebenfalls auf die Wellengleichung und man erhält hieraus mit dem Ansatz

iωtv = v e% (3-25)

und den Randbedingungen (3-20) sowie der Forderung nach Antimetrie die Lösungen

n

2nπ Hω = ; n = 1, 2, ...

L m (3-26)

n n

2nπxv = A sin

L% (3-27)


die mit den antimetrischen Lösungen für die schwingende Saite übereinstimmen.

Symmetrische Schwingungen innerhalb der Seilebene:

Die dynamische Kraft h ist nun ungleich Null und das aus den Gleichungen (3-8) und (3-21) bestehende Integro-Differentialgleichungssystem muss simultan gelöst werden. Benutzt man die Separationsansätze (3-25) für v und dementsprechend

iωth = h e% (3-28)

für h, so erhält man aus Gl. (3-8) unter Verwendung der statischen Beziehungen (3-1) und (3-2) die gewöhnliche, zunächst inhomogen aufgefasste Differentialgleichung

∂

∂

22

2 2

8 dvH + ω mv = h

x L

% %% (3-29)

Unter den geltenden Randbedingungen (3-20) lautet deren Lösung

2

8 d h ω ωx ωxv = 1 - tan sin - cos

ω H 2 L L

%% (3-30)

Da es sich insgesamt um ein lineares, homogenes Gleichungssystem handelt, bleibt die absolute Größe von v ebenso wie die von h unbestimmt. Durch Einsetzen der Gl. (3-30) in die Integralgleichung (3-21) erhält man aber mit

3

2

ω ω 4 ωtan - + = 0

2 2 λ 2

& (3-31)

eine Bestimmungsgleichung für den unbekannten Frequenzparameter ω, wobei sich die Einführung des Parameters

=

2 3

2

e e

mgl EAl 8d EAλ =

H HL L mgL (3-32)

als sinnvoll erweist.

Die Frequenzgleichung (3-31) ist transzendent. Ihre unendlich vielen Wurzeln ergeben sich in Abhängigkeit vom Parameter λ2 und führen auf die Eigenfrequenzen der symmetrischen Eigenformen, von denen in Tabelle (3-1) einige zusammengestellt sind. Es gilt hierbei:

χn

π Hω = ; n = 1, 2, ....

L mn (3-33)

Tabelle (3-1): cn-Werte als Funktion von λ2

λ2 c1 c2 c3 c4 c5

0 1,00 3,00 5,00 7,00 9,00

1 1,04 3,00 5,00 7,00 9,00

4p2 2,00 3,09 5,02 7,01 9,00

∞ 2,86 4,92 6,94 8,95 10,96


Der Parameter λ2 ist nur für die symmetrischen Eigenformen innerhalb der Seilebene von Bedeutung. Für sehr flach gespannte Seile geht er gegen Null und die Lösungen von Gl. (3-31) nähern sich denen der schwingenden Saite. Bei den im Rahmen dieser Arbeit untersuchten externen Spanngliedern betrug der maximale Wert von λ2 = 0,003. Dieser Wert bestätigt die Betrachtung von externen Spanngliedern als flach gespannte Seile.

Bild 3-2: Die ersten zwei Eigenfrequenzen für symmetrische (a, c) und antimetrische (b, d) Schwingungsformen innerhalb der Seilebene

[Starossek, 1990]

Bild 3-3: Mögliche Formen der Vertikalverschiebung in der ersten symmetrischen Schwingungsform

a) l2 < 4p2, b) l2 = 4p2, c) l2 > 4p2 [Starossek, 1990]

3.2.2 Das schräg gespannte Seil

3.2.2.1 Erweiterung von Irvine und Caugheys Theorie

In [Irvine, 1978] werden unter eine weitere Annahme, dass die sehnenparallele Komponente der Gewichtskraft unberücksichtigt bleiben darf, Lösungen für die freien Schwingungen des schräg gespannten Seiles angegeben. Ist dies der Fall, so können die Gleichungen des Abschnitts 3.2.1 auf das im gedrehten Achsenkreuz dann parabelförmig hängende Seil angewendet werden (Drehwinkel gleich Neigungswinkel).

Bild 3-4: Das schräg gespannte Seil


Für die horizontalen Schwingungen senkrecht zur Seilebene gilt dann:

n

nπ Tω = ; n = 1, 2, ...

L m (3-34)

wobei

α

HT =

cos (3-35)

die statische Seilkraft im betrachteten Punkt mit dem Tangentenwinkel a ist (etwa gleich der mittleren sehnenparallelen Seilkraftkomponente).

Für die antimetrischen Schwingungsformen innerhalb zur Seilebene gilt:

n

2nπ Tω = ; n = 1, 2, ...

L m (3-36)

Für die symmetrischen Schwingungsformen innerhalb zur Seilebene gilt:

χn

π Tω = ; n = 1, 2, ....

L mn (3-37)

mit den gleichen cn-Werten wie im Fall des waagerecht gespannten Seiles. Allerdings wird die Vernachlässigung der sehnenparallele Gewichtskraft mit wachsendem Neigungswinkel immer weniger gerechtfertigt sein, da diese im Verhältnis zur Querbelastung α(mgcos )

immer bedeutender wird. Dieser Einfluss wurde bei der Untersuchung in [Triantafyllou, 1984] berücksichtigt. Im Falle von externen Spanngliedern variiert der Neigungswinkel (bei umgelenkter Spanngliedführung) zwischen 2∞ und 10∞. Für diese kleinen Neigungswinkel und Durchhangswerte ist die Theorie von [Irvine, 1984] anwendbar.

3.2.3 Biegesteifigkeitseffekt

Die Bewegungsgleichung in der Seilebene für ausreichend flach gespannte Seile mit Berücksichtigung der Biegesteifigkeit lautet nach [Shimada, 1994] (s. Bild 3-4)

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂

4 2 2 2

4 2 2 2

v(x, t) v(x, t) y v(x, t)EI - T - h(t) + m = 0

x x x t (3-38)

wobei

EI : die Biegesteifigkeit

v(x,t) : die Verschiebung in der y-Richtung

h(t) : der dynamische Anteil der momentanen Spanngliedkraft

m : die Masse je Längeneinheit

sind.

Für die statische Seillinie gilt folgende quadratische Beziehung

2

4dy = x(L - x)

L (3-39)

d : der statische Durchhang in Feldmitte in xy-Koordinaten

Durch Setzen von (3-39) in (3-38)


∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

4 2 2

4 2 2 2

v(x, t) v(x, t) v(x, t) 8dEI - T + m = h(t)

x x t L (3-40)

Wenn die Seilkraft T groß genug und der Durchhang d klein ist, kann der Effekt von h(t) vernachlässigt werden; so erhält man die Gleichung

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

4 2 2

4 2 2

v(x, t) v(x, t) v(x, t)EI - T + m = 0

x x t (3-41)

Mit Hilfe der Variabelentrennung von

*v(x, t) = v (x)q(t) (3-42)

kann Gleichung (3-41) in folgende Form transformiert werden.

∂ ∂

∂ ∂

4 * 2 *2

4 2

v (x) v (x)EI - T + ω m = 0

x x (3-43)

∂

∂

22 *

2

q(t)+ ω q(t)v (x) = 0

t (3-44)

Durch Einführen des Parameters w, beschreibt Gl. (3-44) die Bewegungsgleichung der freien Schwingung eines Einmassenschwingers mit der Kreisfrequenz w.

Die allgemeine Lösung der Gleichung (3-43) lautet

*1 2 3 4v (x) = A sinh(βx) + A cosh(βx) + A sin(αx) + A cos(αx) (3-45)

mit

2 4 4 1/2 2 2 4 4 1/2 2α = (ζ + γ ) - ζ ; β = (ζ + γ ) + ζ (3-46)

und

2 2 2ζ = T/2EI; γ = mω /EI (3-47)

Durch Einführung von den Randbedingungen bekommt man die Frequenzgleichungen. In [Bauer, 1978] wird bei beidseitiger frei drehbarer Lagerung folgende Gleichung angegeben,

0,52 2

n 2

nπ T n πω = 1 + n = 1, 2, ....

L m ξ (3-48)

wobei

⋅T

ξ = LEI

(3-49)

ein dimensionsloser Biegesteifigkeitsparameter ist. Für starre Einspannung an beiden Enden gibt der gleiche Autor folgende Frequenzgleichung an:

( )0,5H

ω = k - 1 2 mEI

(3-50)

Die k-Werte für die ersten sechs Schwingformen, in Abhängigkeit von der Größe x, sind in der Tabelle (3-2) zusammengestellt. Die Größe x liegt zwischen Null und Unendlich. Geht die Zugkraft T und damit auch x gegen Null, nähern sich die Eigenfrequenzen jenen eines beiderseits starr eingespannten Balkens. Wird anderseits die Biegesteifigkeit EI immer kleiner, nähern sie sich an den Eigenschwingzahlen einer Saite.


Tabelle 3-2: k-Werte zur Gleichung (3-50) [Bauer, 1978]

In [Morse et al., 1986] wird eine Näherungslösung für die Eigenfrequenzen eines Schrägseiles mit der Berücksichtigung der Biegesteifigkeit angegeben:

+

2 2

n 2

n T 2 n π 1f = 1 + 4 + n = 1, 2, ....

2L m ξ 2 ξ (3-51)

In Tabelle (3-3) bzw. Bild (3-5) sind die Abweichungen zwischen der Näherungslösung und der nach Gl. (3-50) berechneten Eigenfrequenzen für unterschiedliche x-Werte angegeben.

Tabelle (3-3): Abweichung [%] zwischen Näherungs- und Exaktlösung (Schattierung Abweichung < 0,50 %)

x f1 f3 f6 f10(F.E.)

1 -39,600 -74,964 -88,007 -93,076

5 2,714 -16,861 -47,583 -67,123

10 1,203 -1,468 -19,123 -41,529

15 0,466 0,389 -7,357 -24,541

20 0,221 0,469 -2,851 -14,290

25 0,123 0,354 -1,104 -8,368

30 0,069 0,252 -0,401 -4,980

35 0,046 0,179 -0,110 -3,024

40 0,024 0,132 0,010 -1,874

45 0,016 0,101 0,058 -1,182

50 -0,012 0,075 0,075 -0,757

100 0,118 0,006 0,027 0,018

x


-3.0

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

20 40 60 80 100

xAbweichung [%]

f1 f3 f6 f10

Bild 3-5: Abweichung [%] zwischen Näherungs- und Exaktlösung

Bei den externen Spanngliedern variiert der x-Wert zwischen 30 und 500, meistens ist aber 70 > x >250. Aus den angegebenen Werten ist ersichtlich, dass die Näherungslösung für die niedrigen Eigenfrequenzen ab x = 30 eine sehr gute Übereinstimmung mit den Exaktwerten hat. Unter Voraussetzung von bekannter Schwingungslänge und gleichmäßige Massenbelegung wird die Gleichung (3-51) für die Bestimmung der Spanngliedkräfte externer Spannglieder in [Geier, 2003, 2004 und 2005] angewendet.

22 4 Parameteridentifikation - Grundlagen

4 Parameteridentifikation - Grundlagen

4.1 Einleitung

Als Parameteridentifikation wird die Bestimmung von Modellparametern aus Versuchen bezeichnet. Sie dient der Korrektur von Rechenmodellen, beispielsweise auf Basis der FEM, unter Verwendung von Versuchsergebnissen, wobei nichtparametrische Größen (Eigen-frequenzen, -formen), welche die Systemparameter (Steifigkeiten K, Massen M, Dämpfungen C) implizit enthalten, miteinander verglichen werden. Durch Parameteranpassung ergibt sich das korrigierte Modell, sofern die Struktur des mathematischen Modells hinreichend genau ist. Dabei muss das Korrekturmodell, welches das mechanische Verhalten der Struktur beschreibt, mindestens die Freiheitsgrade des Versuchsmodells enthalten. Ferner ist zu beachten, dass die Korrektur der Parameter einer Verbesserung des Ausgangsmodells dient. Dieses Korrekturmodell muss also vorab bereits dem Versuchsmodell angenähert sein. Es soll konsistent sein, das heißt Korrekturmodell und Testmodell dürfen sich im Idealfall nur in den ausgewählten Korrekturparametern unterscheiden. Ferner muss das Korrekturmodell nicht nur die Testdaten widerspiegeln, sondern auch das Systemverhalten im Hinblick auf einen anderen Frequenzbereich, andere Lastfälle, Strukturveränderungen vorhersagen und als Substrukturmodell innerhalb eines Gesamtmodells Verwendung finden können. Dieses wird dann als physikalisches Modell bezeichnet [Link et al., 2004]. Die Systemidentifikation gliedert sich in die Arbeitsschritte Versuchstechnik, Messsignalanalyse und Systemparameter-identifikation [Krex, 1999].

Die Identifikation folgt aus Ein- und Ausgangsmessungen am realen System. Dies setzt voraus, dass das System in allen Teilen, die zum dynamischen Verhalten beitragen, vollständig beobachtbar und steuerbar ist. Mit anderen Worten: Die Erregung muss so gewählt werden können, dass die Antwort alle für die Aufgabenstellung notwendigen Freiheitsgrade enthält und die wesentlichen physikalischen Vorgänge in den gemessenen Antworten enthalten sind. Gelingt es aufgrund der ermittelten Messwerte, alle Größen für die notwendigen Freiheitsgrade zu berechnen, so ist das System identifizierbar [Natke, 1992].

Die Bestimmung der Tragwerksparameter erfolgt dabei aus Schwingungsversuchen, analog der Grundidee, dass die modalen Parameter Eigenfrequenzen, -formen und die Dämpfung Funktionen der physikalischen Eigenschaften der Struktur (M, C, K) sind. Daraus folgt: Änderungen der physikalischen Eigenschaften verursachen Änderungen der modalen Eigen-schaften. Ziel ist es, aus a priori-Wissen geschätzte Parameter beispielsweise eine Spanngliedkraft, so zu bestimmen, dass die Schätzfehler minimiert werden.

Durch Lösen des Eigenwertproblems (-λK M K + KK) φK = 0 werden die Eigenfrequenzen und -formen des Korrekturmodells (Kopfzeiger K) bestimmt. Diese dynamischen Antworten, welche implizit die Modellparameter enthalten, werden mit den in Versuchen bestimmten Eigenfrequenzen und -formen verglichen und weichen meist voneinander ab. Über deren Anpassung erfolgt die Korrektur der geschätzten Modellparameter. Ist ein vorher definiertes Gütekriterium erfüllt, so ist das Korrekturmodell (parametrisiertes Rechenmodell) verifiziert. Falls nicht, erhält man mit Hilfe der Definition eines Fehlers (Residuenvektors), welcher die Abweichungen der Schätzwerte von den gemessenen Werten enthält, Bestimmungs-gleichungen für die Parameterkorrektur. Durch Lösen dieses Gleichungssystems mit einem geeigneten Lösungsalgorithmus, z. B. der Gradientenmethode, werden die Parameter-


änderungen bestimmt. Dies geschieht iterativ, d. h. ausgehend von einem Startvektor erhält man durch sukzessive Anwendung des Algorithmus jeweils verbesserte Vektoren. Mit diesen wird erneut das Eigenwertproblem gelöst und die so ermittelten Eigenwerte und -formen abermals mit denen des Versuchsmodells verglichen. Dieser Vorgang wird so oft wiederholt, bis ein Abbruchkriterium erfüllt ist, s. Bild 4-1 [Krex, 1999].

Bild 4-1: Ablaufplan einer indirekten Identifikation [Krex, 1999]

Korrektur-

modell

Reales oder num.

Simul. Modell

Parameterisiertes Rechenmodell,

Neuberechnung KK

Schwingungs-messung

Modalanalyse

λK , φK λ , φ

Vergleich

Gültigkeitskriterium

erfüllt ? Ja

Korr. Modell verifiziert Nein

Residuenvektor, Sensitivitätsmatrix

Schätzverfahren, Zielfunktion

Iterative Lösung des Gleichungssystem

Kor

rekt

uran

satz

, Par

amet

erän

deru

ng


4.2 Mathematische Grundlagen

Ausgangspunkt jeder Parameteranpassung ist die Definition eines Residuums, welches die Differenz zwischen gemessener und berechneter Daten enthält. Da nicht jede Eigenfrequenz und -form die gleiche Sensitivität für die zu bestimmenden Parameter besitzt oder bestimmte Messwerte stärker mit Fehlern behaftet sind als andere, kann es zweckmäßig sein eine Wichtung vorzunehmen. Sodann lässt sich der Residuenvektor εw wie folgt schreiben (folgende Herleitungen sind entnommen aus: [Link et al., 1995, Grätsch, 1998 und Krex, 1999]):

= = ( ( ))−w v v Mε W ε W v v p (4-1)

mit

Wv : Wichtungmatrix,

vm : Vektor der die gemessenen Größen enthält,

v(p) : Vektor, der in Abhängigkeit der anzupassenden Parameter p die Größen des Rechenmodells enthält

Als Zielfunktion dient die gewichtete Fehlerquadratsumme

T TJ = = Ww w vε ε ε ε (4-2)

mit

T= v vW W W (4-3)

Die Minimierung bezüglich der Parameter p liefert die Bestimmungsgleichungen für die Parameter. Die Entwicklung des Modellvektors v in eine Taylorreihe bezüglich der Parameter erlaubt eine schrittweise lineare Lösung. Wird die Taylorreihe nach dem linearen Term abgebrochen, kann der Vektor der gemessenen Größen v als

∆a( )= +v p v G p (4-4)

geschrieben werden, mit

va : Modellvektor an der Stelle p = pa

pa : Linearisierungspunkt

Dp = p- pa : Änderung von p im Linearisierungspunkt

und

a

= =

∂

∂p p

vG

p (4-5)

wobei G der Gradienten- oder Sensitivitätsmatrix entspricht. Der Gradient gibt immer die Richtung des steilsten Anstiegs einer Funktion im betrachteten Punkt an [Meyberg et al., 1993] und ist deshalb ein Maß dafür, wie empfindlich der Fehlervektor auf eine Änderung des Parametervektors reagiert.

Damit lässt sich der Residuenvektor (4-1) als

M a a= = ( - - )= ( - )∆ ∆w v v vε W ε W v v G p W r G p (4-6)

angeben, worin

a M a= -r v v (4-7)

den Fehler zwischen Messung und Ausgangskorrekturmodell im ersten Iterationsschritt darstellt. Die Berechnung der Parameter p(pi) erfolgt iterativ.


i= + ∆p p p (4-8)

In den folgenden Iterationen werden dann die Parameter durch a + ∆→p p p angepasst.

Mit Hilfe der Linearisierung gemäß Gl. (4-4) lässt sich das Minimum der Zielfunktion (4-2) bestimmen. Aus der Forderung ∆∂ ∂( )= 0J/ p für eine stationäre Stelle von J ergibt sich das

lineare Gleichungssystem

T Ta= W∆G WG p G r (4-9)

mit der Lösung

T -1 Ta=( ) W∆p G WG G r (4-10)

4.3 Der Modellkorrekturansatz

Ausgangspunkt für eine iterative Anpassung der Geometrieparameter ist die Annahme, dass sich die Systemmatrizen K und M bezüglich der Parameter entwickeln lassen. Da die Systemmatrizen nichtlineare Funktionen der Geometrieparameter (z. B. Spanngliedlänge) darstellen, erfolgt die Entwicklung in der bekannten Form der Taylorreihe, welche nach dem linearen Term abgebrochen wird.

a

A

i =

= + ∆∂

∂∑

p p

KK K p

p (4-11)

a

A

i =

= + ∆∂

∂∑

p p

MM M p

p (4-12)

mit

KA, MA : Systemmatrizen des Ausgangsmodells

∂

∂

K

p,

∂

∂

M

p : differentielle Änderung der Systemmatrizen (Gradienten)

Bei der Identifikation von Querschnittswerten (Fläche, Trägheitsmoment usw.) oder Material-eigenschaften (Elastizitätsmodul, Dichte usw.) sind die Gradientenmatrizen in den Gln. (4-11) und (4-12) vorgegebene konstante Matrizen und die iterative Anpassung erfolgt einzig in der Änderung von ∆p in jedem Iterationsschritt. Durch eine Vormultiplikation der Element-

matrizen mit der Änderung ∆p kann die Differentiation leicht gebildet werden und ist gleich

der Elementmatrix selbst.

Diese Technik kann hier nicht angewendet werden, weil die Systemmatrizen vorwiegend nichtlinear von den Geometrieparametern abhängen [Link et al, 2000]. Die Gradientenmatrizen werden deshalb in jedem Iterationsschritt neu berechnet, wobei von einem globalen Differenzenausdruck Gebrauch gemacht wird.

( +η ) - ( )

η

∂≈

∂

K K p p K p

p p (4-13)

( +η ) - ( )

η

∂≈

∂

M M p p M p

p p (4-14)

mit η : hinreichend kleine Änderung (z.B. 10-3 ... 10-6)

Das Operieren mit globalen Differenzenformeln ist eine bekannte Technik aus der Strukturoptimierung (OFD = Overall Finite Difference sensitivity analysis), vgl. [Eschenauer


et al., 1997 und Haug et al., 1986 und Grätsch, 1998]. Bei der Parameteridentifikation von Finite Elemente Modellen ist sie bei ähnlichen Problemen ebenfalls erfolgreich angewendet worden, vgl. [Eilbracht, 1997 und Jahn, 1996].

Zu beachten ist in den Gln. (4-13) und (4-14), dass bei zu großen Werten von η die Änderungen der Systemmatrizen nicht mehr mit den Änderungen im Sinne des Differenzenverfahrens verträglich sind. Zu kleine Werte von η können dagegen zu numerischen Problemen führen.

Im ersten Iterationsschritt sind die Systemmatrizen gleich den Matrizen im Ausgangsmodell und die Parameter gleich den angenommenen Startwerten.

Nach der Korrektur setzen sich die identifizierten Parameter aus den Startwerten und den additiven Parameteränderungen zusammen:

K Ai

i

∆= +∑p p p (4-15)

4.4 Definition des Residuums und der Sensitivitätsmatrix Die in Abschnitt 4.2 eingeführten Beziehungen sollen in diesem Abschnitt konkretisiert werden, indem zunächst die Residuen behandelt werden, um mit ihnen anschließend die Sensitivitätsmatrix G herzuleiten.

Als mögliche Differenz zwischen Testmodell und Analysemodell sind in der Literatur eine Vielzahl von Residuen diskutiert worden, z. B.:

- Eigenwertresiduum - Eigenformresiduum - Gleichungsresiduum des Eigenwertproblems (Kraftresiduum) - Residuum der Frequenzgangfunktionen

In dieser Arbeit werden die ersten beiden Residuen verwendet. Die Herleitung stützt sich auf die Ausführungen in [Link et al., 1995 und 1999].

4.4.1 Das Eigenwertresiduum Das Eigenwertresiduum stellt die Abweichung der gemessenen Eigenwerte des Testmodells von den Eigenwerten des Rechenmodells dar. Aufgrund der nichtlinearen Abhängigkeit der Eigenwerte von den Geometrieparametern erfolgt die Linearisierung entsprechend Gl. (4-4) für das zunächst ungewichtete Problem

λ λ= - ∆ε r G p (4-16)

mit

λ M,v a,v= λ − λr (4-17)

und

λ =∂

∂ i

λG

p

(4-18)

v = 1 ... Nλ ; Nλ : Anzahl der zur Modellkorrektur verwendeten Eigenwerte


i = 1 ... I; I : Anzahl der Korrekturparameter Es werden also für das Eigenwertresiduum die partiellen Ableitungen der Eigenwerte nach den Korrekturparametern benötigt. Das Eigenwertproblem des ungedämpften Systems lautet für den v-ten Eigenwert

v v(- + ) =0λ M K φ

mit

(4-19)

vφ : die v-te Spalte der Modalmatrix.

Die partielle Differentiation der Gl. (4-19) nach den Korrekturparametern ergibt

v vv v v(- + ) +(- - + ) =0

∂ ∂∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂

φ λM Kλ M K λ M φ

p p p p (4-20)

Durch Vormultiplikation der Gl. (4-19) mit dem Vektor Tvφ und unter Berücksichtigung der

Eigenvektornormierung Tv v =1φ Mφ ergibt sich weiter

T

Tv vv v v v v

=0

(- + ) + (- - + ) = 0 ∂ ∂∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ 1442443φ λM K

λ M K φ φ λ M φp p p p

(4-21)

und daraus die partielle Ableitung des v-ten Eigenwerts zu

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂T Tvv v v v v= -

λ K Mφ φ λ φ φ

p p p (4-22)

Eine getrennte Behandlung der partiellen Ableitung nach Anteilen der Steifigkeits- und Massenparameter ist hier nicht möglich, weil die zu identifizierenden Geometrieparameter sowohl Einfluss auf die Steifigkeit als auch auf die Masse der Struktur haben.

4.4.2 Das Eigenformresiduum Das Eigenformresiduum wird definiert als Abweichung zwischen gemessenen (identifizierten) Eigenformen der Teststruktur und berechneten Eigenformen des Rechenmodells. Die Eigenformen hängen ebenfalls nichtlinear von den Geometrieparametern ab, so dass auch hier eine Linearisierung entsprechend Gl. (4-4) erfolgt

ϕ ϕ ∆= -ε r G p (4-23)

mit

ϕ −M,v a,v=r φ φ (4-24)

und

ϕ

∂

∂=

i

φG

p (4-25)

v = 1 ... Nλ ; Nλ : Anzahl der zur Modellkorrektur verwendeten Eigenwerte i = 1 ... I; I : Anzahl der Korrekturparameter


Zur Berechnung der partiellen Ableitung der Eigenformen nach den Korrekturparametern wird ein Verfahren benutzt, welches die Ableitung der v-ten Eigenform als Summe von R Eigenvektoren darstellt [Fox et al., 1968]:

Rv

vk vk=1

= c∂

∂∑

φφ

p (R ≤ n, n : Ordnung der Systemmatrizen) (4-26)

Wird Gl. (4-26) in Gl. (4-20) eingesetzt und von links mit Tvφ multipliziert, ergibt sich unter

Berücksichtigung der allgemeinen Orthogonalitätseigenschaften nach Normierung der Eigenformen auf “modale Masse gleich Eins“

RT Ts v vk v s v v s

k=1

(- + ) c = (- + ) F∂ ∂

=∂ ∂

∑M K

φ λ M K φ φ λ φp p

(4-27)

oder

,s v s s s v s v( )c = F ( )− ≠ ≠λ λ λ λ φ φ (4-28)

und hieraus die Entwicklungskoeffizienten zu

/ ,s s s v s v sc = F ( ) (s= 1... R n, )− ≤ ≠ ≠λ λ λ λ φ φ (4-29)

Die Ableitung der Eigenformen nach den Korrekturparametern ist dann eindeutig bestimmt, wenn für alle R = n Eigenformen des Systems berücksichtigt werden.

Für den Sondefall k = s ergibt sich die Ableitung der v-ten generalisierten Masse

∂ ∂=

∂ ∂T Tv v v2 + 0

φ Mφ M φ φ

p p (4-30)

Die Entwicklung (4-26) wird dann in der Form

Rv

vk k kk=1

= c +c ( )∂

≠∂

∑φ

φ φ φ φp

(4-31)

geschrieben, in Gl. (4-30) eingesetzt und man erhält unter Berücksichtigung der Orthogo-nalitätsbedingung T

k =0φ Mφ den Entwicklungskoeffizienten zu

∂

∂Tc= -0,5

Mφ φ

p (4-32)

Einsetzen der Gln. (4-29) und (4-32) in die Gl. (4-26) liefert die partiellen Ableitungen der Eigenformen nach den Korrekturparametern:

( ) ( )

T Tk v k vR R

vk k v k v

k=1 k=1k v k vk v k v

= - + (für )

≠ ≠

∂ ∂

∂ ∂∂ ≠∂ − −

∑ ∑

K Mφ φ φ φ

p pφφ φ λ λ λ

p λ λ λ λ (4-33)

Tvk k k k v= -0,5 (für )

∂ ∂=

∂ ∂

φ Mφ φ φ λ λ

p p (4-34)

4.5 Das Identifikationsprogramm UPDATE_g2

Im Programmpaket UPDATE_g2 [UPDATE_g2, 2003] ist eine alternative Methode für die Berechnung der Gradientenmatrix implementiert. Die Berechnung der Sensitivität der Eigenfrequenzen und der Eigenformen in Bezug auf die Korrekturparameter wird extern


(außerhalb von UPDATE_g2) durch die Differenzenmethode mit dem linearen FE-Programm MATFEM [Matfem, 2002] durchgeführt. In diesem Zusammenhang wird ein extra Rechenlauf mit geringfügiger Veränderung jeweils eines Parameters durchgeführt. Die partiellen Ableitungen der Eigenformen und Eigenfrequenzen werden nach folgenden Gleichungen berechnet.

∂≈

∂

j j i i j i

i i

f f (p +ηp ) - f (p )

p ηp (4-35)

ϕ ϕ ϕ∂≈

∂

j j i i j i

i i

(p +ηp ) - (p )

p ηp (4-36)

i = 1 ... I; I : Anzahl der Korrekturparameter j = 1 ... J; J : Anzahl der bei der Korrektur betrachteten Eigenfrequenzen η : hinreichend kleine Änderung (z.B. 10-3 ... 10-6)

Dieses Verfahren ermöglicht die Korrektur aller strukturellen oder geometrischen Parameter. Nachteil hierbei ist, dass in jedem Iterationsschritt für jeden Parameter ein weiterer Rechenlauf notwendig ist. Dies führt zu einem erheblich größeren Rechenaufwand gegenüber den üblichen Identifikationsfällen (vgl. Abschnitt 4.3).

4.6 Normierung und Wichtung Die Wichtungsmatrix W ermöglicht die Beeinflussung der mit möglichen systematischen und zufälligen Messfehlern behafteten Eigenfrequenzen und Eigenformen. Sind einzelne Eigen-frequenzen oder Eigenformen stärker mit Messfehlern behaftet als andere, so kann durch die Wichtung eine Bewertung dieses Fehlers vorgenommen und so erreicht werden, dass diese Werte bei der Bestimmung der Parameter weniger stark eingehen als andere, genauere. Wird angenommen, dass die Messfehler gleichmäßig verteilt sind, so kann als Wichtungsmatrix die Einheitsmatrix verwendet werden.

Da sowohl die Gradientenmatrizen als auch die Residuenvektoren dimensionsbehaftet sind, ist eine Normierung erforderlich. Ziel ist dabei, dass alle Zeilen des linearen Gleichungs-systems (4-10) die gleiche Wertigkeit erlangen. Eine Eigenvektorkomponente liefert sodann den gleichen Beitrag zur Korrektur wie ein Eigenwert. In einem ersten Schritt werden bei dem in dieser Arbeit verwendeten Programm (s. Kapitel 4.5 und 4.9) die Eigenwerte und -vektoren zeilenweise auf die gemessenen Testdaten normiert, anschließend werden Sensitivitäts-matrizen und Residuenvektoren auf den “Maximalwert = l“ normiert. Nach der Skalierung der Test- und Modelleigenvektoren, ist ein direkter Vergleich möglich. Hierzu werden die Eigenvektoren des Testmodells durch den modalen Skalierungsfaktor (MSF Modal Scale Factor) nach Gl. (4-37) dividiert. Die Eigenvektorerweiterung wird dazu verwendet, den Abstand zwischen den beiden Eigenvektoren zu verringern. Gleichzeitig wird bei unterschiedlichen Schwingungsrichtungen die Kompatibilität der Vorzeichen hergestellt.

T

T ii Mv v

i iv v

=φ φ

MSFφ φ

(4-37)

T

T MvMv,MSF i

=φ

φMSF

(4-38)


4.7 Regularisierung Bei der Parameteridentifikation spielt die Kondition der Gradientenmatrix G eine ent-scheidende Rolle. Die Gradientenmatrix G hat die Dimension (m, n), wobei m die Anzahl der Messwerte und n die Anzahl der Parameter angibt. Für n > m ist eine eindeutige Lösung nicht möglich, da die sog. Informationsmatrix [GT

G] singulär wird. Es stehen weniger Gleichungen zur Verfügung, als Parameter anzupassen sind. In der Regel wird aber die Anzahl der Messwerte größer als die Anzahl der zu korrigierenden Parameter sein. Es kann aber noch ein weiterer Fall auftreten, G kann bei schwacher Sensitivität einzelner Parameter fast singulär werden, wodurch die Lösung ungünstig beeinflusst wird, insbesondere, wenn zusätzlich noch Messfehler enthalten sind. Da in diesem Fall die Konditionszahl von G einen großen Wert annimmt, ist eine Inversion von Gleichung (4-9) ungünstig, weil bei der Multiplikation diese Konditionszahl quadriert wird. Über die Bildung einer “Pseudoinversen“ im Rahmen einer Singulärwertzerlegung der Gradientenmatrix kann in diesem Fall eine Lösung erfolgen, vgl. hierzu [Link et al., 1995].

Eine weitere Möglichkeit zur Erzielung einer Konvergenz ist die Anwendung einer Regularisierung. Bei der Identifikation von realen Testdaten hat sich die Anwendung dieser Technik als vorteilhaft erwiesen. Die Grundidee geht hierbei von einer Erweiterung der Gradientenmatrix G um einen Regularisierungsterm aus, um diese damit in eine gut konditionierte Matrix zu überführen. Damit lautet das Zielfunktional

minT Tp= + ∆ ∆ →J ε Wε p W p (4-39)

mit dem Regularisierungsterm Wp = wp B. wp wird hierbei als Regularisierungsparameter und B als Regularisierungsmatrix bezeichnet. Für wp haben sich Werte zwischen 0,1 und 0,2 bewährt, sofern B nach [Link, 1999] definiert wird, der Sonderfall wp = 0 ist natürlich ebenfalls gültig. Eine zu große Wahl des Regularisierungsparameters erzeugt zwar eine starke Konvergenz, die Lösung entfernt sich dabei aber von der wahren Lösung unter Umständen stark. Ein Vorschlag zur Berücksichtigung der Sensitivität der Parameter in der Regularisierungsmatrix B ist in [Link, 1999] enthalten. Die Minimierung des Zielfunktionals (4-39) liefert als Bestimmungs-gleichung für die Parameteränderung

∆T -1 T

p a= ( + w )p G WG B G Wr (4-40)

Jede Lösung, auch wenn sie nicht eindeutig ist, wird infolge des mathematischen Minimierungsprozesses eine Anpassung der Parameter an die zugehörigen gemessenen Größen bewirken. Daher sei an dieser Stelle noch einmal auf die Notwendigkeit einer kritischen Interpretation der Ergebnisse hingewiesen.

4.8 Quantitative Bewertungskriterien der Parameteridentifikation Als quantitatives Maß für die Güte einer Parameteridentifikation haben sich drei Größen etabliert. Dies sind die Frequenzabweichung df, die Zielfunktion ziel sowie der MAC-Wert (Modal Assurance Criterion), welche sich folgendermaßen berechnen:

i

i vv

Mv

fdf = 1- 100 [%]

f

⋅

(4-41)

mit ivdf : Abweichung der v-ten Analyseeigenfrequenz von der v-ten Testeigenfrequenz


ivf : v-te Eigenfrequenz des Rechenmodells im Iterationsschritt i

Mvf : v-te Eigenfrequenz des Testmodells

i

1

norm( )ziel = 100 [%]

norm( )

⋅

r

r

(4-42)

mit ir : Residuenvektor im i-ten Iterationsschritt 1r : Residuenvektor im ersten Iterationsschritt

Eine Zielfunktion von Null bedeutet, dass der Residuenvektor derart minimiert wurde, dass keine Abweichung mehr hinsichtlich der verwendeten Residuen besteht.

T

T i 2i Mv vv T i i

Mv Mv v v

( )= 100 [%]( ) ( )

⋅⋅

φ φMAC

φ φ φ φ (4-43)

Der MAC-Wert entspricht aus der Vektoranalyse dem Winkel zwischen zwei Vektoren und beschreibt die Abweichung zwischen identifizierten und rechnerischen Eigenformen. Bei einem MAC-Wert = 100 sind die Eigenformen identisch. Da der MAC-Wert ein Maß für die Übereinstimmung von Eigenformen ist, wird er auch für die Zuordnung der Eigenformen verwendet.

4.9 Beschreibung des Programms zur Parameteridentifikation Das auf Basis der Programmiersprache MATLAB [Matlab, 2002] erstellte Programm zur Identifikation von Korrekturparametern gliedert sich in folgende zwei Hauptteile.

1. Die Grundlage bildet das lineare FE-Programm MATFEM [Matfem, 2002] zur Erstellung des FE-Modells sowie zur Berechnung und Speicherung der Massen- und Steifigkeitsmatrix des Spannglieds und zur Berechnung und Ausgabe der Eigenfrequenzen und -formen. Hier erfolgt die Eingabe aller Materialdaten und Randbedingungen des Ausgangmodells. Die Grundlagen der FE-Formulierung werden in Kapitel 5.1 dargestellt.

2. Im Programmpaket UPDATE_g2 [UPDATE_g2, 2003] erfolgt die Identifikation (vgl. Kapitel 4.5). Das Programm steuert ferner den Aufruf des Postprozessors zur Ausgabe der Ergebnisse und deren grafische Darstellung. Hier erfolgen alle Eingaben zur Parameterkorrektur wie Anzahl und Nummern der Korrekturfrequenzen, die Wichtungen, Skalierungen, Normierungen sowie die Begrenzungen der Iterationsschrittweite und Kontrollen. Die Grundlagen der Identifikation wurden bereits zu Beginn dieses Kapitels dargestellt. Im Folgenden werden einzelne Details dieses Programmteils näher erläutert.

4.9.1 Grenzwerte der Parameteränderungen und MAC-Werte

Ausgegangen von der Auffassung, dass eine Parameteridentifikation einer Verbesserung des Ausgangmodells dient, wobei die Startparameter bereits nahe am Testmodell liegen sollten, dann dürfen die absoluten Änderungen sich nicht zu sehr von den Ausgangswerten unterscheiden. Um zu große Änderungen der Korrekturparameter bereits bei der Lösung des Gleichungssystems zu verhindern, werden Änderungen auf maximale Größen festgesetzt. Es ist möglich sowohl die Iterationsschrittweite als auch die absolute Änderung für jeden Parameter zu begrenzen.


Die Zuordnung der Eigenfrequenzen und -formen erfolgt in jedem Iterationsschritt über die MAC-Werte. Treten dabei Frequenzabweichungen über 20 % oder MAC-Werte kleiner als 70 % auf, so werden die zugehörigen modalen Daten mit Null gewichtet und für die Bestimmung der Parameteränderungen nicht verwendet. Weiterhin wird unter Verwendung des MAC-Wertes eine doppelte Zuordnung von Eigenfrequenzen unterbunden.

4.9.2 Das Abbruchkriterium

Da eine exakte Lösung von nichtlinearen Optimierungsproblemen in der Regel nicht möglich ist, sondern nur hinreichend nahe Lösungen gefunden werden und um einen unvertretbaren Rechenaufwand zu vermeiden, ist ein Konvergenz- oder Abbruchkriterium erforderlich.

Im Programm werden folgende Abbruchkriterien für die Iteration vorgesehen:

- die Anzahl der vorgegebenen Iterationen ist erreicht,

- Die Änderungen der Parameter im aktuellen Iterationsschritt im Vergleich zum folgenden Iterationsschritt erfüllen folgendes Abbruchkriterium (Verschiebungs-kriterium), [Crisfield, 1986]

i+1 iA

i+1

ε−

<p p

p (4-44)

wobei Aε einer kleinen positiven Zahl entspricht.

Andernfalls wird die Berechnung im (i+2)-ten Iterationsschritt fortgesetzt. Für die Berechnung der Systemmatrizen für den Differenzenquotienten wird dabei das Analyse-modell durch Einsetzen der aktuellen Parameter i+2

∆p mit Hilfe des Programms MATFEM

[Matfem, 2002] neu berechnet.

4.10 Fehlerproblematik und Grenzen der Anwendbarkeit

4.10.1 Abbildung der Teststruktur im Rechenmodell

Trotz des großen Fortschritts im Bereich der F.E.-Berechnung und der steigenden Anzahl der zur Verfügung stehenden F.E.- Programme mit zahlreichen Elementtypen, bleibt die F.E.-Methode ein Näherungsverfahren. Bei der Modellierung von externen Spanngliedern können Ungenauigkeiten auf folgenden Annahmen beruhen:

- Annahmen der geometrischen Form, dass die Spannglieder perfekt rund oder rechteckig sind.

- Materialeigenschaften, insbesondere im Fall von Zementverpressung hängen die realen Materialeigenschaften von der Verpressungsqualität ab.

- Querschnittswerte, die Bestimmung der Biegesteifigkeit des Spannglieds ist nur durch Schätzwerte möglich, da die von der Orientierung des Spannstahls im Hüllrohr sowie dessen Interaktion mit der Verpressmasse abhängig ist.

- Randbedingungen, infolge von Ausführungsungenauigkeiten treten häufig unklare Randbedingungen auf, diese Problematik wird ausführlich in Kapitel 7.2 diskutiert.


4.10.2 Modalanalyse

In der experimentellen Modalanalyse wird vorausgesetzt, dass die Struktur sich ausreichend genau durch ein lineares zeitinvariantes System darstellen lässt. Dies ist nur begrenzt zutreffend, da immer bei der Messungsausführung durch zufällige Fehler – z. B. durch Umwelteinflüsse, besonders bei Langzeitüberwachungen – beeinflusst werden.

Die Problematik der Messfehler (Rauschen, schlechte Aufnehmerbefestigung, ...), der Genauigkeit und Reproduzierbarkeit der Versuche soll hier nur erwähnt werden, es wird auf folgende Literatur verwiesen: [Natke,1992].

34 5 Identifikation der effektiven Spanngliedkraft

5 Identifikation der effektiven Spanngliedkraft

5.1 Das Finite Element Modell

Die Finite Element Methode (FEM) hat sich heutzutage als ein sehr verbreitetes numerisches Verfahren für die Lösung mathematischer Modelle etabliert und wird in vielen verschiedenen Ingenieurwissenschaften angewendet. Bei der Anwendung auf Probleme der Struktur-mechanik besteht der Grundgedanke der FEM darin, dass die gesamte Struktur (Tragwerk) in eine Vielzahl kleiner Elemente zerlegt wird, deren mechanisches Verhalten entweder annäherungsweise oder auch exakt bekannt ist. Dadurch werden die Unbekannten des Problems anstatt durch kontinuierliche Funktionen an einer Vielzahl diskreter Punkte auf der Struktur definiert [Link, 2002]. Da die theoretischen Grundlagen detailliert in der Literatur z. B. [Bathe, 1990], [Link, 2002] und [Werkle, 2001] behandelt werden, soll an dieser Stelle nur das verwendete Element vorgestellt werden.

5.1.2 Theorie II. Ordnung (Geometrische Steifigkeit) Die Berechnungsmethoden für Tragwerke bei denen das Gleichgewicht an der unverformten Struktur angeschrieben wird, bezeichnet man als Berechnungsmethoden nach Theorie I. Ordnung. Für viele Probleme im konstruktiven Ingenieurwesen muss man diese Annahme hinterfragen, um die Sicherheit und Wirtschaftlichkeit von Tragwerken zu gewährleisten. Als bekanntes Beispiel für ein Sicherheitsproblem dient der Knickstab, bei dem hohe Druckkräfte das Gleichgewicht im verformten Zustand beeinflussen und zu einem „weicheren“ Trag-verhalten führen. Die Berechnung nach Theorie II. Ordnung, in der die Auswirkung von Verformungen auf den Lastabtrag berücksichtigt wird, kann auch einen günstigen Einfluss auf das Tragwerksverhalten haben, wie im Fall von Seiltragwerken, wo Zugkräfte das System versteifen. Dieses verformungsabhängiger Verhalten kann bei einer F.E.-Berechnung durch zusätzliche Steifigkeitsmatrizen, auch als geometrische Steifigkeitsmatrizen bezeichnet, berücksichtigt werden. Die geometrischen Steifigkeitsmatrizen sind von den auftretenden Schnittgrößen, die im Regelfall in einem ersten Rechenschritt unter Vernachlässigung der geometrischen Steifigkeit ermittelt werden, abhängig. Sie können dann in weiteren Rechenschritten verbessert werden [Link, 2002].

Im vorliegenden Fall sollen externe Spannglieder modelliert werden. Oft werden Spannglieder als „Seile“ bezeichnet und modelliert, was im Falle von großen Spann-gliedlängen wie z. B. in Schrägseilbrücken annähernd zutrifft. Für Seile nimmt man an, dass die Biegesteifigkeit vernachlässigbar klein ist. Daher können keine Biegemomente und – da die Knicklast Null ist – keine Druckkräfte aufgenommen werden. Seile besitzen deshalb nur eine geometrische Steifigkeit, die von der Zugkraft im Seil abhängig ist. Bei flach gespannten Seilen kann die Vorspannkraft direkt als effektive Zugkraft angenommen werden [Bauer, 1978]. Im Falle von externen Spanngliedern liegen in der Regel kurze freie Schwingungs-längen vor, so dass die Einflüsse aus Biegung beachtet werden müssen. Für die Berücksichtigung der Biegesteifigkeit und der geometrischen Steifigkeit werden in der vorliegenden Arbeit 2D-schubstarre Bernoulli-Balkenelemente verwendet. Die aus den


Anteilen nach Theorie I. und II. Ordnung zusammengesetzte Elementsteifigkeitsmatrix lautet damit nach [Link, 2002]

1 G= ++++k k k (5-1)

wobei

2 2

1 3

2

12 6l - 12 6l

4l - 6l 2lEI=

sym. 12 - 6l l

4l

k (5-2)

die Biegesteifigkeitsmatrix und

2 2

G

2

36 3l - 36 3l

4l - 3l - lT=

sym. 36 - 3l 30l

4l

k (5-3)

die geometrische Steifigkeitsmatrix darstellen.

EI : Biegesteifigkeit des idealen Spannstahlquerschnitts nach Gl. (5-4)

l : Elementlänge

T : effektive Zugkraft

k k u up p

p

(E I + E I )EI = E I +

E (5-4)

EpIp : Biegesteifigkeit des Spannstahlquerschnitts

EkIk : Biegesteifigkeit der Korrosionsschutzmasse (Zementmörtel)

EuIu : Biegesteifigkeit der Ummantelung (PE-Ummantelung)

Die äquivalente Massenmatrix (auch als konsistente Massenmatrix bezeichnet) für das schubstarre Bernoulli-Balkenelement lautet:

2 2

k

2

156 22l 54 - 13l

4l 13l - 3lρAl=

sym. 156 - 22l 420

4l

m (5-5)

ρA : Masse pro Längeneinheit des idealen Spannstahlquerschnitts nach Gl. (5-6)

k k u up p

p

(ρ A + ρ A )ρA = ρ A +

ρ (5-6)

ρpAp : Masse pro Längeneinheit des Spannstahlquerschnitts

ρkAk : Masse pro Längeneinheit der Korrosionsschutzmasse (Zementmörtel)

ρuAu : Masse pro Längeneinheit der Ummantelung (PE-Ummantelung)

Durch Kopplung der einzelnen Elementmatrizen an den gemeinsamen Freiheitsgraden und nach Einführung der Randbedingungen erhält man die Gesamtsteifigkeits- und Massen-matrizen K und M, die dann für die Ermittlung der Eigenformen und -werte nach Gl. (5-7) benutzt werden.


(- ) φ =λ M + K 0 (5-7)

Eine 3D-Modellierung wurde nicht weiter untersucht, da die Eigenfrequenzen und –formen innerhalb der Seilebene bzw. senkrecht dazu im Falle von flach gespannten Seilen identisch sind (vgl. Abschnitt 3.2.1). Es wurden jedoch an mehreren Spanngliedern vertikale und horizontale Schwingungen gemessen und verglichen, ausgewählte Messergebnisse sind in Abschnitt 6.3.2.2 angegeben.

Es wird bei der Modellierung vorausgesetzt, dass Spannstahl, Korrosionsschutzmasse und Ummantelung als ein System betrachtet werden können, dass also die Relativverschiebung während des Schwingvorgangs vernachlässigbar klein seien. Bei einer Mörtelverpressung ist diese Vorraussetzung erfüllt. Bei den fettverpressten Spanngliedern wurde dies durch die sehr kleine identifizierte Dämpfung und die “sauberen“ Frequenzspektren sowie die angegebenen Ergebnisse in [Geier et al. 2005 und Michael, 2003] bestätigt. Die Modellierung der Spannglieder ohne Verpressung werden gesondert in Kapitel 7 diskutiert.

Für die F.E.-Modellierung der Spannglieder wurden die in Tabelle (5-1) angegebenen Materialeigenschaften eingesetzt. Die geometrische Daten wurden den jeweiligen Plänen bzw. Spannverfahrenzulassungen entnommen.

Tabelle 5-1: Verwendete Materialeigenschaften

Material E-Modul [kN/m2] Dichte [kN/m3]

Spannstahl 205x106 78,50

Einpressmörtel 15x106 20,00

Polyethylene 0,58x106 9,45

Fett 0 9,50

Die FE-Methode ermöglicht eine realitätsnahe Modellierung des Spanngliedes, indem unterschiedliche Querschnitte, Randbedingungen und konzentrierte Punktmassen (z. B. bei einer Kopplung oder durch eine Aufnehmer- bzw. Befestigungsvorrichtung) berücksichtigt werden können.

5.2 Unsicherheiten bei der Bestimmung der Spanngliedkräfte

Bei der Bestimmung der Spanngliedkräfte auf Basis der gemessenen Eigenfrequenzen treten Unsicherheiten auf, die die Genauigkeit der Ergebnisse in Frage stellen. Die Parameter, die zusätzlich zur Spanngliedkraft zu identifizieren sind, werden im folgenden kurz erläutert:

1. Das statische System und die Randbedingungen

2. Die effektive Biegesteifigkeit

3. Die Schwingungslänge

5.2.1 Randbedingungen und statisches System

Die in Frage kommenden Randbedingungen für externe Spannglieder hängen von der Ausbildung der Verankerung bzw. Umlenkung ab. Im Falle der Verankerung kann grund-


sätzlich von einer Einspannung ausgegangen werden, da im Regelfall keine Dämpfer eingesetzt werden. Man kann zwischen zwei Verankerungstypen unterscheiden:

1. Verankerungen mit Mörtelverpressung, bei denen die Aussparungsrohre der Litzen im Verankerungsbereich über die Verankerungsscheibenlänge (Im Regelfall > 150cm) mit Mörtel verpresst werden (s. Bild 5-1). Diese Länge ist ausreichend um eine Einspannung zu realisieren.

Bild 5-1: Verankerung mit Mörtelverpressung [Zul. VT, 1996]

2. Verankerungen ohne Mörtelverpressung. In diesem Fall ist das Spannglied frei bis zur Verankerungsplatte (s. Bild 5-2).

Bild 5-2: Verankerung ohne Mörtelverpressung [Zul. SUSPA, 2003]

Durch die kreisförmige Stützung an der Ankerplatte und durch das Steifigkeitsverhältnis zwischen dem Spannstahl und der Stützmutter entspricht auch in diesem Fall die volle Einspannung der Realität. Dies wurde durch ein FE-Modell, bei dem eine genauere Verankerungsausbildung modelliert wurde, bestätigt.

Im Fall einer umgelenkten Spanngliedführung ist das Spannglied über eine bestimmte Länge, abhängig vom Umlenkradius und dem Umlenkwinkel, in Kontakt mit dem Umlenkformteil. Je nach geplanter Funktion der Umlenkung variieren der Umlenkwinkel und somit die Kontaktlänge. Umlenkwinkel zwischen 2º und 20º, Umlenkradien zwischen 3 m und 5 m führen zu großen Unterschieden in den Kontaktlängen (20 cm bis 150 cm).

Eine genaue Modellierung der Lagerung im Umlenkbereich kann durch elastische Lagerung über die Kontaktlänge realisiert werden. Die Steifigkeit der Lagerung kann als zusätzlicher Parameter identifiziert werden. Das Spannglied wird hierbei als durchlaufend betrachtet. Durch die Messungen an mehreren Spanngliedern wurde aber klar, dass die separate


Betrachtung eines Spanngliedabschnitts zwischen zwei Umlenkstellen die erzielte Genauigkeit der Ergebnisse nicht signifikant beeinflusst (vgl. Abschnitt 7.2). Als Beispiel werden hier die Ergebnisse für das Spannglied 2.1.1 in der Hopfenbachtalbrücke – Überbau Nord (SUSPA-Spannverfahren) kurz dargestellt. Bei dem Spannglied betragen der Umlenkwinkel bzw. -radius 2,85o bzw. 5 m. Mit einer Kontaktlänge von nur 0,25 m und einem Umlenkformteil aus Kunststoff (s. Bild 5-3) kann man es als Extremfall für die weiche Lagerung betrachten. Im Regelfall treten größere Umlenkwinkel (Kontaktlängen) auf und bei den anderen Spannverfahren sind die Umlenkformteile aus Beton oder die Umlenkung wird durch einbetonierte Stahlformteile gewährleistet.

Bild 5-3: Spanngliedführung des Spannglieds 2.1.1 (Hopfenbachtalbrücke – Überbau Nord) [LAP, 2002]

Bei einer separaten Betrachtung der beiden Spanngliedabschnitte und unter Anwendung des im Kapitel 6 beschriebenen Verfahrens (mit voller Einspannung an beiden Enden), wurde eine Kontaktlänge von 0,29 m identifiziert. Die Spanngliedkräfte im ersten bzw. zweiten Abschnitt betragen 2850 kN bzw. 2830 kN (0,7 % Spannkraftverluste). Die sehr gute Übereinstimmung mit den Sollwerten und die einfachere Modellierung bzw. Versuchsdurchführung führten zur separaten Betrachtung für jedes Spanngliedabschnitt. Weitere Beispiele im Zusammenhang mit dem Einfluss der Randbedingungen auf die Genauigkeit der Ergebnisse sind in Abschnitt 7.2.3 angegeben.

5.2.2 Biegesteifigkeitseffekt

Es werden im nächsten Abschnitt die Anwendungsgrenzen der Theorie der schwingenden Saite (Vernachlässigung der Biegesteifigkeit) und der Näherungslösung nach Gl. (3-51) für die Identifizierung der Spanngliedkräfte diskutiert.

Wie schon in Abschnitt 3.2.3 gezeigt wurde, kann man durch Einführen des dimensionslosen Biegesteifigkeitsparameter ξ (vgl. Gl. (3-49)) die Eigenfrequenzen unter Berücksichtigung der Biegesteifigkeit für den Fall von gleichmäßiger Massenverteilung mit der folgenden Näherungsgleichung berechnen.

+

2 2

n 2

n T 2 n π 1f = 1 + 4 + n = 1, 2, ....

2L m ξ 2 ξ (3-51)

s

n Tf = n = 1, 2, ....

2L m (5-8)

In Bild (5-4) wird das Verhältnis zwischen Eigenfrequenzen, die mit fn bzw. ohne fs Berücksichtigung der Biegesteifigkeit ermittelt wurden, in Abhängigkeit vom Biege-steifigkeitsparameter ξ dargestellt.

Die Spanngliedkraft ist proportional zum Quadrat der Eigenfrequenz. Bei der Spanngliedkraftberechung wird der Fehler infolge Vernachlässigung der Biegesteifigkeit quadriert. Aus Bild (5-4) und Tabelle (5-1) wird ersichtlich, dass bei Verwendung der Theorie der schwingenden Saite für kleine ξ–Werte (hohe Steifigkeit bzw. kleine Schwingungslängen) Fehler von 12 – 81 % in der berechneten Spanngliedkraft für die erste bzw. zehnte

Abschnitt 1 Abschnitt 2


Eigenfrequenz auftreten. Für große ξ –Werte reduzieren sich die Fehler auf 2 – 3 %. In der Regel variieren die ξ –Werte für externe Spannglieder zwischen 30 und 500.

Bild 5-4: Eigenfrequenzverhältnis im Zusammenhang mit ξ

In der folgenden Tabelle werden einige Werte aus dieser Grafik angegeben.

ξ f1/f1s f10/f10s

39 1,057 1,346

104 1,020 1,064

183 1,011 1,026

261 1,008 1,015

Bei einem idealen Seilverhalten ergeben sich die höheren Eigenfrequenzen zu einem Vielfachen der ersten Eigenfrequenz (vgl. Gl. 5-8). Nach [Robert et al., 1991] kann bei der Berechung der Spanngliedkraft die Theorie der schwingenden Saite angewendet werden, wenn die ersten sieben Eigenfrequenzen gemessen mit einer Genauigkeit von 0,5 % diesem linearen Zusammenhang zwischen den höheren Eigenfrequenzen und der Grundfrequenz folgen. Diese Bedingung ist für ξ > 200 erfüllt.

Es ist weiter zu untersuchen, welchen Einfluss unterschiedliche Biegesteifigkeits- bzw. Massenverteilung entlang des Spannglieds auf dessen Eigenfrequenzen im Vergleich zu ermittelten Eigenfrequenzen nach Gl. (3-51) hat. Hierzu werden zwei in der Praxis auftretende Fälle (s. Bild 5-5) betrachtet. Die angewendeten Querschnittswerte wurden den Zulassungen des jeweiligen Spanngliedtyps entnommen. Die in Tabelle (5-2) angegebenen ξ –Werte basieren auf einem Mittelwert der entsprechenden Querschnittswerte.


0,30 L 0,30

EI, m

L2,50

EI, m

2,50

Fall (1)

Fall (2)

5 EI; 1,6 m 5 EI; 1,6 m

1.26 EI; 1,15 m 1.26 EI; 1,15 m

Bild 5-5: Untersuchte Spanngliedausbildungen

Tabelle 5-2: Abweichungen der ersten Eigenfrequenz ermittelt nach Gl. (3-51) von der ersten Eigenfrequenz ermittelt durch FE-Methode

ξ (Fall 1) f1,F.E./f1,Gl(3-51) ξ (Fall 2) f1,F.E / f1,Gl(3-51)

53 1,028 41 1,037

106 1,014 84 1,019

212 1,007 171 1,010

Wie aus der Tabelle (5-2) ersichtlich, enthalten die nach Gl. (3-51) ermittelten Spanngliedkräfte wegen der Vernachlässigung der veränderlichen Querschnittswerte in den Endbereichen Fehler bis zu 7,5 %.

Ein anderer Faktor, der auch bei der Modellierung zu beachten ist, sind konzentrierte Massen im Fall einer Kopplung, oder wenn die Aufnehmer- und Befestigungsmassen einen messbaren Einfluss auf die Eigenfrequenzen haben (vgl. Abschnitt 6.3.2.2).

5.2.3 Effektive Schwingungslänge

Wie aus Gl. (1-1) ersichtlich, ist die zu bestimmende Spanngliedkraft proportional zum Quadrat der Schwingungslänge. Eine genaue Identifizierung der Schwingungslänge ist daher sehr wichtig, weil der darin enthaltene Fehler sich bei der Kraftberechnung quadriert. Die tatsächlichen Schwingungslängen weichen oft von den planmäßigen Werten, infolge von Ausführungsungenauigkeiten bzw. -mängeln, ab.

Bei der Ausbildung von Umlenkstellen wird ein unplanmäßiger Umlenkwinkel von 3° berücksichtigt, der eine mögliche Abweichung der Spanngliedachse von der planmäßigen Lage bis zu diesem Winkel ermöglicht (s. Bild 5-6). Häufig werden die Aufweitungen voll oder teilweise ausgenutzt. Das folgende Zahlenbeispiel soll die Größenordnung möglicher Längenabweichungen zeigen. Wenn bei einem Umlenkradius von 5 m ein unplanmäßiger Umlenkwinkel von 2° auftritt, so entspricht dies 17,5 cm Längenänderung an jeder Umlenkung, was eine Gesamtlängenabweichung von 35 cm verursacht. Der Fehler bei der Kraftermittlung nach Gl. (1-1) ist von der Spanngliedlänge abhängig. Für Schwingungslängen von 15 m und 35 m beträgt der Fehler 4,7 % bzw. 2 %.


21T = (2 f L) m (1-1)

Eine andere Ursache für Längenabweichungen ist ein unplanmäßiges Anliegen der gerade laufenden Spannglieder an den Durchgangsrohren. Bei einer der untersuchten Brücken trat dieses Problem bei 30 % der Spannglieder auf. Bei einem Anliegen in der Mitte der Schwingungslänge wird die berechnete Spanngliedkraft um 100 % überschätzt, sofern keine Unterteilung der Gesamtlänge zugrunde gelegt wird. Eine ausführliche Beschreibung dieses Problems und die vorgeschlagenen Lösungsansätze sind in Abschnitt 7.2 angegeben.

Bild 5-6: Spanngliedumlenkung mit Aufweitung für einen unplanmäßigen Umlenkwinkel [Zul. SUSPA, 2003]

Wie aus den vorigen Abschnitten ersichtlich ist, können bei der Anwendung von der Theorie der Schwingenden Saite bzw. der Näherungslösung mit Berücksichtigung der Biegesteifigkeit Gesamtfehler bis zu 20 % auftreten. In den folgenden Abschnitten wird gezeigt, dass durch die Anwendung des Parameteridentifikationsverfahrens diese Fehler eliminiert werden können.

5.3 Beispiele zur Parameterkorrektur

5.3.1 Gemessene Freiheitsgrade und Eigenfrequenzen

Für die praktische Anwendung ist es aus wirtschaftlicher Sicht sinnvoll, an möglichst wenigen Stellen zu messen und mit dem geringsten Rechenaufwand eine ausreichende Genauigkeit zu erzielen. Für eine Identifikation von n Parametern sind mindestens n Gleichungen notwendig. Jede gemessene Eigenfrequenz liefert eine Gleichung und jeder gemessener Freiheitsgrad liefert eine Gleichung pro betrachtete Eigenform. Also würden für die Identifikation von drei Parametern die erste Eigenfrequenz und die Eigenform-komponenten an zwei Messstellen ausreichen. Die weiter betrachteten Eigenlösungen liefern zusätzliche Gleichungen, die das bestimmte Gleichungssystem zu einem überbestimmten Gleichungssystem umwandeln, dessen Lösung z. B. mittels eines least square Verfahrens erhaltet werden kann. Die folgenden Abschnitte geben zwei Beispiele für die Identifikation der Spanngliedkraft für die folgenden Fälle an:

1. Spannglieder mit einheitlichem Querschnitt über die Schwingungslänge und Rand-einspannung.

2. Spannglieder mit zwei Querschnitten über die Schwingungslänge und Rand-einspannung.

Die ersten zwei Beispiele stellen eine Parameteranpassung mit simulierten Testdaten dar. Dazu werden zwei FE-Modelle erstellt. Eines dient als Rechenmodell und das andere soll mit geänderten Parametern die Testergebnisse simulieren.


Beispiel 5.1

Bild (5-7) und Tabelle (5-3) geben die Geometrie- und Materialdaten an. Für jeden Spanngliedabschnitt sind die Endbereiche durch Umlenksättel oder Verankerungsscheiben unzugänglich. Daher sind die Längen x1 und x2 nicht messbar und sollen identifiziert werden. Die Gesamtanzahl der Parameter ist vier: die zwei Längenparameter, die effektive Biegesteifigkeit und die Spanngliedkraft. Die Länge L12 liegt im zugänglichen Bereich. Sie wird vor Ort gemessen und als fehlerfrei betrachtet. Die Querschnittsfläche wird ebenso als fehlerfrei betrachtet, da sie mit ausreichender Genauigkeit berechnet werden kann.

Bild 5-7: Spanngliedausbildung und Aufnehmerpositionen

Tabelle 5-3: Geometrie- und Materialdaten

Startparameter Endparameter Verhältnis

T [kN] 3000 2850 0,95

A [cm4] 29,00 29,00 1,00

EI [kNm2] 102,50 61,50 0,60

x1 [m] 2,00 1,70 0,85

L12 [m] 14,00 14,00 1,00

x2 [m] 4,00 3,92 0,98

Die Korrektur wurde mit zwei Eigenfrequenzen des simulierten Testmodells unter Berück-sichtiung von zwei Messfreiheitsgraden (Sensoren: S1 und S2) durchgeführt. In der Tabelle (5-4) sind die MAC- Werte sowie die Abweichungen der Eigenfrequenzen von Test- und Rechenmodell im 1. und 3. (letzten) Iterationsschritt angegeben. Da die Testeigenfrequenzen- und formen im Falle von simulierten Daten nicht mit Fehlern behaftet sind und die Modellierung keine Idealisierung der Realität enthält, wurden durch die Korrektur erwartungsgemäß die exakten Parameter identifiziert.

Tabelle 5-4: Abweichungen der Eigenfrequenzen und MAC- Werte

Eigenfrequenzen [Hz] Iterations-schritt

Nr. der Eigenfrequenz

Testmodell Korrekturmodell

Abweichung [%]

MAC- Werte [%]

0 1

2

9,16

18,33

9,25

18,52

-1,01

-1,01

99,71

99,70

3 1

2

9,16

18,33

9,16

18,33

0,00

0,00

100,00

100,00

Umlenksattel oder Verankerungsscheibe


Bild 5-8: a) Eigenfrequenzabweichung, b) Parameteränderung, c) MAC- Werte, d) Mittelwerte

Beispiel 5.2

In diesem Fall ist ein zusätzlicher Steifigkeitsparameter zu identifizieren. Somit ist die Anzahl der Parameter gleich fünf. Es wird hier angenommen, dass bei einer Verankerung das Spannglied über eine Länge von 0,75 m unplanmäßig anliegt.

Bild 5-9: Spanngliedausbildung und Aufnehmerpositionen

Tabelle 5-5: Geometrie- und Materialdaten

Startparameter Endparameter Verhältnis

T [kN] 3000 2550 0,85

A1 [cm4] 46,00 46,00 1,00

A2 [cm4] 39,00 39,00 1,00

EI1 [kNm2] 194,75 165,54 0,85

EI2 [kNm2] 153,5 122,80 0,80

x1 [m] 2,50 1,75 0,70

L12 [m] 14,00 14,00 1,00

x2 [m] 3,50 3,36 0,96

x2

EI

x1 T



Auch in diesem Beispiel wurden die exakten Parameter, trotz großer Abweichung zwischen Start- und Endparameter, in wenigen Iterationsschritten identifiziert.

EI2 EI1, T

x1

x2


5.4 Versuchsdurchführung

5.4.1 Eingesetzte Geräte

Die Messdatenerfassung erfolgte über einen Signal-Conditioner (Speisung der Aufnehmer), einen Entkopplungsverstärker (Bearbeitung des Signals für den A/D Wandler), einen Analog-Digital-Wandler (Daqbook) und einen Laptop (Software DasyLab [DasyLab, 2001] für die digitale Filtrierung sowie Speicherung und erste Auswertung des Signals). Die benutzte Abtastrate betrug 1000 Hz bei einer messbaren Maximalfrequenz von 500 Hz. Zur Messung der Schwingungen wurden zwei bis vier einaxiale Beschleunigungsaufnehmer Typ 393A03 (Messbereich: ± 5 g, untere Grenzfrequenz 0,5 Hz, Genauigkeit ±5%) der Firma PCB Piezotronics eingesetzt (s. Bild 5-11). Es wurden vorab für jeden Sensor Amplituden-Kalibrierungsfaktoren bestimmt. Für die Aufnehmerbefestigung wurden bei runder Ummantelung passende Rohrschellen benutzt und bei rechteckiger Ummantelung wurden Metallblättchen mittels Schraubzwingen an der Oberfläche des Spannglieds befestigt (s. Bilder 5-12 und 5-13).

Spannglied

Beschleunigungsaufnehmer

Signal Conditioner Entkopplungsverstärker

A/D Wandler

Notebook(Software-Dasylab)

1

2 3

4

5

analogesSignal Signal

analogesSignalanaloges

digitalesSignal

Bild 5-11: Eingesetzte Geräte für die Datenerfassung

Bild 5-12: Befestigung mittels Rohrschellen Bild 5-13: Befestigung mittels Schraubzwingen


5.4.2 Anregung der Schwingung

Zur experimentellen Modalanalyse ist es notwendig, die zu untersuchende Struktur zu Schwingungen anzuregen. Dies kann durch eine natürliche Erregung erfolgen, bei der die Schwingungsanregung durch den normalen ablaufenden Prozess wie z. B. Wind, Strömung, Verkehr, Unwuchten etc. zur Erregung der Struktur genutzt wird, oder durch künstliche Erregung vorgenommen werden, die im Versuch in geeigneter Weise auf die Struktur aufgebracht wird [Irretier, 2004]. Bei der künstlichen (deterministischen) Erregung werden je nach Anwendungsfall, Zugänglichkeit, notwendige Erregungsenergie, erforderliches Erregungsspektrum, verwendetes Identifikationsverfahren, etc. die Art und Zahl der verwendeten Erreger bestimmt. Zu den wichtigsten Erregern in der experimentellen Modalanalyse gehören der Impulshammer (Modalhammer) und der elektromagnetische Erreger. Eine Beschreibung für den Aufbau verschiedener Erregertypen ist in [Irretier, 2004] angegeben. Anwendungsvorteile bzw. -nachteile der beiden Erregungsarten bei Brücken-überwachung sind nach [Cantieni, 2003]:

künstliche Erregung natürliche Erregung

Vorteile - Die anregende Kraft wird mitgemessen, so dass die modalen Resultate bezüglich Masse und Steifigkeit skaliert sind. Sie können deshalb direkt für die Anpassung von FE-Modellen verwendet werden.

- Wenn die anregende Kraft wesentlich grösser als die Störkräfte ist, resultieren rein physikalische Eigenschwingungen.

- Keine künstliche Anregung erforderlich

- Besonders geeignet für tieffrequente Tragwerke (f < 1 Hz), für die eine künstliche Anregung praktisch nicht möglich ist

Nachteile - Der Aufwand für die Erzeugung der künstlichen Anregung ist groß.

- Störende Anregungsquellen müssen ausgeschaltet werden. Für Straßenbrücken empfiehlt es sich deshalb, den Verkehr während der Messungen zu unterbrechen.

- Die modalen Resultate sind unskaliert.

- Es ist nicht immer leicht, physikalische und Noise Modes auseinander zu halten.

Bei der Bauwerksüberwachung werden aufgrund der Wirtschaftlichkeit und der einfachen Versuchsdurchführung immer mehr Messungen unter ambienter Erregung durchgeführt. Es wurden daher in den letzten Jahren mehrere Auswertungsmethoden für die Identifikation der modalen Daten von den output-only Versuchen entwickelt. Es wird hier auf folgende Literatur hingewiesen: [Brincker et al., 1999], [Brincker et al., 2000] und [De Roeck et al., 2005]. Ferner wurde die Genauigkeit dieser Methoden durch den Vergleich mit dem klassischen Verfahren untersucht, wie z. B. in [Link et al., 2002], [Brincker et al., 1999], [Cantieni, 2004] und [Aktan et al., 2005].

Im Rahmen dieser Arbeit wurden drei Alternativen für die Anregung der Schwingung getestet und deren Ergebnisse verglichen. Die erste Anregungsmethode erfolgte manuell unter Benutzung eines Impulshammers, bei dem die eingetragene Kraft mittels eines piezoelektrischen Kraftaufnehmers (im Kopf des Impulshammers) gemessen werden kann. Mit dem Erregersignal und der gemessenen Beschleunigungsantwort werden die Frequenzgänge ermittelt. Mit einem im Fachgebiet Leichtbau der Universität Kassel


entwickelten Phasentrennungsverfahren ISSPA [ISSPA 02, 2004] erfolgt die Ermittlung der Eigenfrequenzen und Eigenformen, die bei der folgenden Systemidentifikation eingesetzt werden. Für die praktische Anwendung der Methode sollte die Genauigkeit der identifizierten modalen Parameter infolge ambienter Anregung überprüft werden. Hierfür wurden zwei Alternativen getestet. Im ersten Fall erfolgte die Anregung mittels eines Hammerschlages (ohne Kraftmessung) und im zweiten Fall wurden die Schwingungen infolge Verkehr gemessen.

Im Fall natürlicher Erregung und unter der Voraussetzung, dass die Eigenfrequenzen gut getrennt sind und die Dämpfung klein ist, können die Eigenfrequenzen mittels ‚peak picking’ aus dem Leistungsdichtespektrum abgelesen werden. Ferner lassen sich die Eigenform-komponenten Rab an a Freiheitsgraden bezüglich eines Referenzfreiheitsgrades b nach folgender Gleichung ermitteln [Link, 1995].

Anzahl der Sensorenbaab

aa

SR = a,b = 1, 2, ....

S

(5-9)

Sba : Kreuzleistungsdichtespektrum für Punkte a und b

Saa : Autoleistungsdichtespektrum für Punkt a

Rab : Eigenformkomponente

Diese Voraussetzungen sind bei den externen Spanngliedern erfüllt, da die höheren Eigenfrequenzen sich bei idealem Verhalten als Vielfache der Grundfrequenz ergeben und die Dämpfungswerte im Regelfall < 1,00 % betragen. Gleichung (5-9) wird daher für die Ermittelung der Eigenformkomponenten bei beiden nicht deterministischen Anregungs-methoden angewendet. Um zu überprüfen, ob die Gleichung auch bei einer künstlichen Erregung mittels Hammerschlag anwendbar ist, wird im Bild (5-16) der reale und imaginäre Anteil von Rab dargestellt. Als Gütekriterium soll der Imaginärteil in den Resonanzstellen gleich Null sein. Wie aus dem Bild deutlich wird, ist diese Voraussetzung erfüllt.

Im folgenden Abschnitt werden die ermittelten Eigenfrequenzen und –formen für die drei Anregungsmethoden anhand eines Beispiels (Fuldatalbrücke – Eichenzell – VBF-Spannverfahren – Spannglied 8.1) verglichen. Die daraus berechnete Schwingungslänge bzw. Spanngliedkraft wird in Tabelle (5-8) angegeben.

Tabelle 5-6: Eigenfrequenzen 1-6 für die drei Erregungsmethoden

f1 f2 f3 f4 f5 f6

Impulshammer 9,22 18,52 27,83 37,02 46,29 55,45

Hammer 9,24 18,52 27,86 37,08 46,36 55,54

Verkehr 9,24 18,52 27,86 37,10 46,41 55,60

Wie aus Tabelle (5-6) ersichtlich, ist der Unterschied zwischen den identifizierten Eigenfrequenzen vernachlässigbar klein ( < 0,3 %), was darauf hinweist, dass die Anwendung des Phasentrennungsverfahrens im vorliegenden Fall nicht zu einer deutlichen Verbesserung der Genauigkeit führen wird. Bild (5-14) zeigt die ermittelten Leistungsdichtespektren für die Erregung infolge Hammerschlag bzw. Verkehr. Trotz des Auftretens von Zwischenspitzen im Falle von durch Verkehr induzierter Schwingung (kombinierte Überbau-Spannglied-Eigenformen), sind die Spannglied-Eigenfrequenzen deutlich erkennbar.


Bild 5-14: Leistungsdichtespektrum für Erregung infolge Verkehr bzw. Hammerschlag

Die normierten Eigenformkomponenten werden in Tabelle (5-7) angegeben. Es wurde hierfür an drei Messpositionen gemessen (s. Bild 5-15).

Bild 5-15: Aufnehmerpositionen

Tabelle 5-7: Normierte Eigenformkomponente (a = S1, S2, S3)

erste Eigenform zweite Eigenform dritte Eigenform

S1 S2 S3 S1 S2 S3 S1 S2 S3

Impulshammer 1,000 0,855 0,121 -0,584 1,000 0,183 1,000 -0,692 -0,455

Hammer 1,000 0,861 0,116 -0,580 1,000 0,187 1,000 -0,694 -0,452

Verkehr 1,000 0,846 0,105 -0,576 1,000 0,185 1,000 -0,706 -0,450

vierte Eigenform fünfte Eigenform sechste Eigenform

S1 S2 S3 S1 S2 S3 S1 S2 S3

Impulshammer 1,000 -0,508 0,394 0,003 1,000 -0,471 1,000 0,779 -0,593

Hammer 1,000 -0,499 0,400 0,074 1,000 -0,448 1,000 0,783 -0,535

Verkehr 1,000 -0,488 0,406 0,035 1,000 -0,550 1,000 0,796 -0,534


Bild 5-16: Real- und Imaginärteile von Rab (S3: Referenzsensor)

In der folgenden Tabelle werden die identifizierten Werte der Spanngliedkraft und der Schwingungslänge für die drei Erregungsmethoden verglichen. Für die Identifikation wurden die ersten sechs Eigenfrequenzen bzw. –formen benutzt.

Tabelle 5-8: Ermittelte Spanngliedkräfte und Schwingungslängen mit dem Programm UPDATE_g2

T [kN] L [m]

Impulshammer 2073 18,55

Hammer 2082 18,56

Verkehr 2074 18,53

Die Abweichung zwischen den identifizierten Spanngliedkräften und Schwingungslängen in diesem Beispiel ist kleiner als 0,50 % . In anderen untersuchten Fällen ist eine Abweichung bis zu 1,2 % hinsichtlich der Spanngliedkraft aufgetreten.

Anhand des Vergleichs der Ergebnissen und der geringen Abweichung zwischen den drei untersuchten Methoden wird die Erregung ohne Kraftmessung mit einem Hammerschlag für die praktische Anwendung der Methode empfohlen. Die Vorteile dieser Methode sind einerseits der kleine Zeitaufwand hinsichtlich Messung und Signalbearbeitung, andererseits wird kein Modalhammer benötigt und die Messung ist unabhängig vom Verkehr.


Bild 5-17: a) Eigenfrequenzabweichung, b) Parameteränderung, c) MAC- Werte, d) Mittelwerte , reale Testdaten


Das Parameteridentifikationsverfahren UPDATE_g2 wurde an den Spanngliedern von insgesamt sechs Brücken angewendet. Bei der Wiesentalbrücke (Streckenabschnitt A73, Suhl), der Brücke Langer Grund (Streckenabschnitt A73, Suhl) und der Hopfenbachtalbrücke (im Zuge der BAB 44, Walburg) ist das Spannverfahren der Firma SUSPA angewendet. Bei den Brücken über die Fulda in Malsfeld (Verbindung zwischen die BAB A7 und die B83) bzw. Eichenzell (im Zuge der BAB A66) ist der Spannverfahren der Firmen BBV bzw. VBF angewendet. Der Spannverfahren der Firma DYWIDAG ist in der Wehretalbrücke (im Zuge der BAB 44, Walburg) angewendet. Die Anzahl der getesteten Spannglieder beträgt insgesamt 340. Eine Zusammenfassung der Messergebnisse an der Hopfenbachtal- und der Wehretalbrücke ist in Anhang 2 angegeben.

Die Messungen wurden bei 50 Spanngliedern einerseits direkt nach dem Vorspannen durchgeführt, andererseits wurde die Spanngliedkraft durch Abhebekontrollen überprüft. Die Abweichung zwischen den durch Schwingungsmessungen identifizierten und gemessenen bzw. aufgebrachten Spanngliedkräften war kleiner als 3 %. Diese Abweichung liegt im Bereich der Vorspanngenauigkeit. Gelegentlich aufgetretene systematische Messfehler (s. Abschnitt 6.5) verursachten Probleme bei der Identifikation der effektiven Biegesteifigkeit. Ein Beispiel hierfür wird in Abschnitt 6.5 vorgestellt.

Es muss hier darauf hingewiesen werden, dass beim BBV-Spannverfahren größere Abweichungen auftraten. Mögliche Ursachen für die aufgrund des Spannverfahrens spezifischen Besonderheiten aufgetretenen Abweichungen werden in Kapitel 7 diskutiert.

T

x2

x1

EI


Es konnte gezeigt werden, dass die modalen Daten für die Identifikation der Spanngliedkräfte externer Vorspannung verwendet werden können. Die Methode ist allgemein einsetzbar für kleine und große Schwingungslängen und für jede Spanngliedausbildung, was bei den bisherigen Schwingungsmessmethoden nicht der Fall ist. Die Konvergenz wird grundsätzlich in wenigen (3 bis 6) Iterationsschritten erreicht. Der Rechenaufwand ist jedoch im Vergleich zu den anderen Methoden relativ groß und die Anwendung einer speziellen Parameteridentifikations-Software ist hierfür notwendig. Es wurde daher im Rahmen dieser Arbeit eine vereinfachte Methode für die Spanngliedkraftermittlung entwickelt und mit dem klassischen Verfahren verglichen. Das entwickelte Verfahren wird im nächsten Kapitel vorgestellt.

52 6 Identifikation der effektiven Spanngliedkraft mittels vereinfachtem Verfahren

6 Identifikation der effektiven Spanngliedkraft mittels

vereinfachtem Verfahren

6.1 Motivation

Für die praktische Anwendung des Verfahrens ist eine schnelle (vor Ort) und möglichst genaue Identifikation der Spanngliedkräfte erwünscht. Da die Brückenprüfung generell von Personal ohne spezielle Erfahrung hinsichtlich Parameteridentifikationsmethoden bzw. F.E.-Modellierung durchgeführt wird, wurde im Rahmen dieser Arbeit ein benutzerfreundlicher Software-Code in der Programmiersprache MATLAB entwickelt, der die o. g. Bedingungen erfüllt. Im folgenden Abschnitt werden der Programmaufbau sowie der angewandte Rechenalgorithmus und die Anwendungsgrenze dargestellt. In der aktuellen Version ist für die Randbedingung eine starre Einspannung vorausgesetzt und die Modellierung einer Spanngliedkopplung ist nicht vorprogrammiert. Da das Programm auf der Korrektur eines F.E.-Modells basiert, ist es praktisch für jede beliebige Randbedingung sowie Spannglied-ausbildung erweiterbar.

6.2 Programmaufbau

Das Programm ist in drei Abschnitten unterteilt:

6.2.1 F.E.-Modellierung

Die Modellierung, Berechnung und Speicherung der Massen- und Steifigkeitsmatrix des Spannglieds und die Berechnung der Eigenfrequenzen und -formen erfolgt durch das lineare FE-Programm MATFEM. Für die Eingabe der geometrischen Daten wird eine Vorlage benutzt, die es ermöglicht, entweder gespeicherte (für häufig benutzte Spanngliedtypen) oder neue geometrische Daten einzugeben. Es werden weiterhin die Anzahl der angewendeten Sensoren sowie die Masse des Sensors und Befestigungsausrichtung angegeben (s. Bild 6-1).

Bild 6-1: Oberfläche (1) für Eingabe der geometrische Daten


Wie in Abschnitt 5.2.1 gezeigt wurde, kann eine Einspannung als Lagerbedingung für die meisten Fälle angenommen werden, daher wird diese bei der Modellierung an beiden Spanngliedenden eingesetzt. Es können bis zu drei unterschiedliche Querschnitte definiert werden. Die Abstände zwischen den Aufnehmern werden vor Ort gemessen. Die Abstände zwischen den Aufnehmern und den Lagern werden sinnvoll ergänzt und in das Programm eingegeben. Es werden ebenso die Aufnehmersensitivität und die verwendete Abtastfrequenz eingegeben. Diese sind für die Signalbearbeitung notwendig (s. Bild 6-2).

Bild 6-2: Oberfläche (2), Aufnehmerpositionen und -sensitivitäten

6.2.2 Signalbearbeitung

Bei der Signalbearbeitung werden Leistungsdichtespektren ermittelt und die Eigenfrequenzen mittels peak picking identifiziert. Die Anzahl der betrachteten Eigenfrequenzen ist dabei zu bestimmen. Ferner werden die Eigenformkomponenten nach Gl. (5-9) bestimmt.

Bild 6-3: Leistungsdichtespektrum und die dazugehörigen Eigenformkomponenten an vier Messstellen

Frequenz (Hz)

S aa

Mode 1 Mode 2 Mode 3


6.2.3 Gradientenmatrix und Identifikation

Das Ziel des vereinfachten Verfahrens ist die Reduktion des Rechenaufwands bei der Erstellung der Gradientenmatrix, basierend auf den besonderen dynamischen Eigenschaften der Spannglieder, ohne dabei die hohe Genauigkeit der Methode zu beeinflussen. Die betrachteten Korrekturparameter sind wie in Abschnitt 5.3 die Längenparameter x1 und x2, die effektive Biegesteifigkeit(en) und die effektive Spanngliedkraft. Die allgemeine Gradienten-matrix für die vier o. g. Parameter unter Anwendung von Eigenfrequenz- und Eigenform-residuen lautet:

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− − − − − − − − ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

1 1 1 1

1 2

n n n n

1 2

1 1 1 1

1 2

n n n n

1 2

f f f f

x x T I

f f f f

x x T I

=

x x T I

x x T I

M

M

ϕϕϕϕf,G

f f f ff f f ff f f ff f f f

f f f ff f f ff f f ff f f f

(6-1)

wobei n : die Anzahl der zur Modellkorrektur verwendeten Eigenformen ist.

In den Bildern (6-4) und (6-5) sind die normierten Parametersensitivitäten für zwei unterschiedliche ξ-Werte gezeigt.

Bild 6-4: a) Eigenvektor-Parametersensitivität

b) Eigenwert-Parametersensitivität

Bild 6-5: a) Eigenvektor-Parametersensitivität

b) Eigenwert-Parametersensitivität

x1 x2 T I

x1 x2 T I x1 x2 T I

x1 x2 T I

ξ = 150

ξ = 75


Anhand der gezeigten Parametersensitivitäten und angesichts der besonderen dynamischen Eigenschaften von Spanngliedern kann man folgendes feststellen:

1. Die Eigenformen sind weitgehend unabhängig gegenüber Veränderungen der Spanngliedkraft und der effektiven Biegesteifigkeit. Bild (6-6) zeigt die Eigenformen (F.E.-Modell) 1 bis 4 für zwei Vorspannkräfte und Biegesteifigkeiten mit einer Abweichung von jeweils 20 %. Wie aus dem Bild ersichtlich ist, sind die Eigenformen fast identisch. Im Gegensatz dazu sind die Eigenformen sensitiv bezüglich der Längenparameter x1 und x2. Für die Korrektur der Längenparameter x1 und x2 werden daher nur die Eigenformresiduen angewendet.

Bild 6-6: Eigenformen 1-4

2. Die Eigenfrequenzen sind sensitiv bezüglich des Parameters Spanngliedkraft. Die Biegesteifigkeit eines Spannglieds hat einen geringeren Einfluss auf dessen modale Parameter als die effektive Zugkraft bzw. Schwingungslänge (vgl. Abschnitt 5.2.2). In [Link, 1999] wird ein Minimalwert von 10 % für die Parametersensitivität als Bedingung für eine erfolgreiche Korrektur angegeben. Diese Bedingung ist besonders bei kleinen Biegesteifigkeitswerten oder großen Schwingungslängen nicht erfüllt, was zu einer Verschlechterung der Kondition der Sensitivitätsmatrix führt. Um eine hohe Robustheit bei der Identifikation der Parameter zu erreichen, wird im Rahmen des vereinfachten Verfahrens die Gradientenmatrix nach Parametern mit etwa gleich großer Sensitivität zerlegt. So wird innerhalb eines Iterationsschrittes die Identifikation der Schwingungslänge, der Spanngliedkraft und des Trägheitsmoments unabhängig voneinander durchgeführt.

Die ungekoppelten (vereinfachten) Submatrizen bzw. -vektoren werden in den Gleichungen (6-2a bis 6-2c) gezeigt. Die Berechnung der Gradientenmatrixelemente wird in den folgenden Abschnitten dargestellt.

∂ ∂ ∂ ∂

1

f T

n

f

T=

f

T

M,G (6-2a)


∂ ∂ ∂ ∂

1

f I

n

f I

=

f

I

M,G (6-2b)

ϕ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

1 1

1 2

x

n n

1 2

x x

=

x x

M,G

f ff ff ff f

f ff ff ff f

(6-2c)

6.2.3.1 Identifikation der Schwingungslänge

Wie schon in Abschnitt 4.5 beschrieben, wird für die Erstellung der Gradientenmatrix bei der Korrektur von Geometrieparametern ein globaler Differenzenausdruck angewendet. Hierfür ist für jeden Parameter ein Rechenlauf des F.E.-Programms mit den geringfügig geänderten Parametern notwendig. Bei dem vereinfachten Verfahren wird für die Längenkorrektur der direkte Zusammenhang zwischen den Eigenformkomponenten Rab und der unbekannten Länge x1 bzw. x2 für die Bildung der Gradientenmatrix angewendet. Extra Rechenläufe sind hierbei nicht nötig.

I

S

1I

12

1I

S

Bild 6-7: Versuchsaufbau

Für jeden ausgewählten Abstand z zwischen den Aufnehmern kann die Relation zwischen den Eigenformkomponenten Rmodell und der unbekannten Länge x1 aus den rechnerischen Eigenformen ermittelt werden (s. Bild 6-8). Dieser Zusammenhang wurde auch experimentell untersucht, indem die Distanz d in 5 cm-Schritten variiert wurde und dafür die Eigenform-komponenten für jede neue Position erstellt wurden. Die unbekannte Länge x wurde mittels klassischem Identifikationsverfahren ermittelt. Bild (6-10) zeigt die sehr gute Überein-stimmung zwischen den experimentellen und den Eigenformkomponenten des Modells (VBF-Spannverfahren, Spannglied 8.1, Fuldatalbrücke Eichenzell).

Der Residuenvektor beinhaltet die Differenz zwischen gemessenen und rechnerischen Eigenformkomponenten, dessen Länge gleich der Anzahl der betrachteten Eigenfrequenzen ist (Gl. 6-4). Die Elemente der Gradientenmatrix ergeben sich als die Ableitung der Kurven in Bild (6-8) an den Modellausgangswert der Längen x1 bzw. x2. Die Ableitung wird numerisch aus den Modelleigenformen berechnet. Dies wird anhand eines Beispiels unter Anwendung von zwei Messpunkten a und b gezeigt (s. Bild 6-9).


Bild 6-8: Modell-Eigenformkomponente als Funktion von der Länge x1 (z = konstant)

Bild 6-9: Erste Modelleigenform

− ∆R R R a,b=ε r G x (6-3)

mit

R ab,test ab,modell= [ - ]r R R (6-4)

und

T1 na a

ab,modell 1 nb b

y y=

y yLR (6-5)

Für die Berechnung der Ableitung werden die Modell-Eigenformkomponenten der Knoten (a-1) und (b+1) wie folgt ermittelt

j jj ja-1 a(a-1)b,modell a(b+1),modellj j

b b+1

y yR = ; R =

y y (6-6)

Die Ableitung nach den Parametern xa und xb ergeben sich näherungsweise nach

∂

∂

j jj(a-1)b,modell ab,modellab,modell

a a-1 a

R - RR=

x x - x (6-7)

x1 [cm] x1 [cm]

Rmodell

Rmodell


∂

∂

j jja(b+1),modell ab,modellab,modell

b b+1 b

R - RR=

x x - x (6-8)

wobei j : die Eigenfrequenznummer ist j = 1, ..., n.

Die Gradientenmatrix für die Längenkorrektur

ϕ

∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

1 1ab,modell ab,modell

a b

,x

n nab,modell ab,modell

a b

R R

x x

=

R R

x x

MG

(6-9)

Das in der Regel überbestimmte Gleichungssystem wird mittels least square-Algorithmus gelöst. Dabei werden die Längenänderungen Dxa und Dxb bestimmt.

ϕ ϕ ϕ

∆ ∆ ⋅ ⋅ ⋅

∆

a T -1 Ta,b ,x ,x ,x R

b

x= = ( )

xx G G G r (6-10)

Die Schwingungslänge im Iterationsschritt i wird dann nach Gl. (6-11) berechnet.

i i-1a bL = (L + ∆x + ∆x ) (6-11)

Bild 6-10: Experimentelle und Modell-Eigenformkomponente als Funktion von der Länge x1 (Eigenformen 1-5)

6.2.3.2 Identifikation der Spanngliedkraft

Bei der Identifikation der Spanngliedkraft wird die Gradientenmethode nicht angewendet. Die Korrektur erfolgt nach den folgenden Gleichungen. Führt man bei der Gl. (3-51) einen Faktor Kj,ξ ein, der den Biegesteifigkeitseffekt beschreibt, kann diese als

ξ⋅j j

j Tf = K j = 1, 2, ...., n

2L m, (6-12)

geschrieben werden. Dabei ist

ξ

+

2 2

j 2

2 j π 1K = 1 + 4 +

ξ 2 ξ, (6-13)

mit


ξ ⋅T

= LEI (3-48)

Im i-ten Iterationsschritt lässt sich die Spanngliedkraft angeben als

ξ

⋅ ⋅

2ij,testi

ij

2 f LT = m

j K ,

(6-14)

Um die Spanngliedkraft vom Faktor Kj,ξ, der die nicht korrigierte Biegesteifigkeit beinhaltet, zu entkoppeln, wird der Quotient

ξ

ξ

⋅ ⋅

⋅ ⋅

2ij,test

iij

2i - 1 i - 1 i - 1j,modell

i - 1j

2 f Lm

j KT=

T 2 f Lm

j K

,

,

(6-15)

gebildet. Mit der Annahme

ξ ξ≈i i - 1j jK K , , (6-16)

kann die korrigierte Spanngliedkraft im i-ten Iterationsschritt aus

⋅

∑in

j,test 2

i-1 i-1j=1 j,modelli i-1

f L( )f L

T = Tn

(6-17)

bestimmt werden. In Bild (6-11) wird die Abweichung D Kj,ξ abhängig von der Änderung der bezogenen Biegesteifigkeit ξ in zwei aufeinander folgenden Iterationsschritten dargestellt.

Bild 6-11: Die Abweichung D Kj,ξ abhängig von der Änderung D ξ (ξ = 56)

Wie aus dem Bild ersichtlich eignen sich die niedrigen Eigenfrequenzen besser für die Anwendung in Gl. (6-17), da der Fehler D Kj,ξ mit der Eigenfrequenznummer steigt. Obgleich Gl. (3-51) eine Näherungsgleichung, die bei veränderlichen Querschnitten entlang des Spannglieds bzw. sehr kleinen ξ-Werten ungenaue Ergebnisse liefert, hat sich die Anwendung der vorgeschlagenen Gleichung für die Identifikation der Spanngliedkraft auch in diesen Fällen als genau genug erwiesen (s. Abschnitte 6.3.1.2, 6.3.1.4, 6.3.2.3 und Anhang 1).


6.2.3.3 Identifikation der effektiven Biegesteifigkeit

Die Biegesteifigkeit eines Spannglieds hat einen geringeren Einfluss auf dessen modale Parameter als die effektive Zugkraft bzw. Schwingungslänge (vgl. Abschnitt 5.2.2, Bilder 6-4 und 6-5). Wie in Abschnitt 6.2.3 beschrieben wird die Biegesteifigkeit als unabhängiger Parameter betrachtet, um die Problematik ihrer schwachen Sensitivität gegenüber den anderen Parametern zu bewältigen.

In diesem Zusammenhang wurden zuerst die Eigenfrequenzresiduen angewendet. Hierbei wurde die Konvergenz erst nach einer großen Anzahl Iterationsschritte erreicht. Auch wurden die exakten Parameterwerte bei simulierten Testdaten nicht in allen untersuchten Fällen erhalten (vgl. Beispiel 6.1 bis 6.3). Dies beruht auf der Tatsache, dass die Eigenfrequenzresiduen in jedem Iterationsschritt nicht nur vom Biegesteifigkeitsparameter sondern auch vom Schwingungslängen- und Zugkraftparameter abhängig sind. Um diesen Entkopplungsfehler der Parameter zu minimieren, wird hier vorgeschlagen im Residuenvektor die Quotienten Qj der höheren Eigenfrequenzen zur Grundfrequenz nach Gl. (6-18) zu benutzen. Die Quotienten repräsentieren die Abweichungen der tatsächlichen Eigenfrequenzen von den idealen Seileigenfrequenzen, die ohne Berücksichtigung der Biegesteifigkeit bestimmt werden.

[%]

⋅ ⋅

jj

1

fQ = - 1 100

j f (6-18)

wobei j = 2 ... n; n : die Anzahl der zur Modellkorrektur verwendeten Eigenwerte

Der Residuenvektor ergibt sich als

2,test 2,modell

Q

n,test n,modell

Q -Q

=

Q -Q

Mr (6-19)

Der Gradientenvektor in (6-2b) wird durch folgenden Vektor ersetzt

∂ ∂ ∂ ∂

2

Q I

n

Q

I=

Q

I

M,G (6-20)

Die Elemente des Gradientenvektors werden mit Hilfe des globalen Differenzenausdrucks nach Gl. (6-21) ermittelt.

∂

≈∂

j j jQ Q (I +ηI) -Q (I) j = 2, ...., n

I ηI (6-21)

mit η : hinreichend kleine Änderung (z. B. 10-3 ... 10-6)

Die Trägheitsmomentänderung DI wird dann mittels least square-Algorithmus bestimmt:

∆ ⋅ ⋅ ⋅T -1 TQ,I Q,I Q,I QI = ( )G G G r (6-22)

Das Trägheitsmoment im Iterationsschritt i wird nach Gl. (6-23) berechnet.

i i-1I = (I + ∆I) (6-23)


In Bild (6-12) wird der Zusammenhang zwischen den Quotienten der höheren Eigenfrequenzen zum Vielfachen der Grundfrequenz für verschiedene ξ -Werte angegeben.

Bild 6-12: Quotienten der höheren Eigenfrequenzen zur Grundfrequenz

In Bild (6-13) wird die Veränderung der Eigenfrequenzen und der Quotienten Qn infolge einer Biegesteifigkeitsabweichung von 10 % gezeigt. Wie aus dem Bild ersichtlich, sind die Eigenfrequenzveränderungen bei den niedrigen Frequenzen sehr klein und bewegen sich im Bereich der Messgenauigkeit (in der Regel: 0,2 % - 0,50 %) der identifizierten Eigenfrequenzen. Die Anwendung der Eigenfrequenzresiduen im Rahmen des vereinfachten Verfahrens bei realen Testdaten, die Fehler enthalten, ist daher nicht zweckmäßig. Die Veränderungen der Quotienten liegen dagegen in der gleichen Größenordnung wie die Biegesteifigkeitsveränderung und sind deshalb unempfindlicher gegenüber Messfehlern.

Bild 6-13: Veränderungen der Eigenfrequenzen und der Eigenfrequenzquotienten infolge einer

Biegesteifigkeitsabweichung von 10 % für unterschiedliche ξ -Werte

In Bild (6-14) wird der Fehler im ersten Iterationsschritt bei der Identifikation der Biegesteifigkeit infolge einer Spannkraftabweichung von 1 % für beide Residuentypen gezeigt (L = konst.). Wie aus dem Bild ersichtlich ist, ist der Fehler bei Anwendung der Quotientenresiduen anstelle der Frequenzresiduen sehr klein (< 3%). Ferner ist der Fehler


ungefähr konstant für alle Biegesteifigkeitswerte und die Genauigkeit wird nur geringfügig durch Reduzierung der Anzahl der betrachteten Eigenformen beeinflusst.

Bild 6-14: Fehler im ersten Iterationsschritt bei der Berechnung der Biegesteifigkeit für unterschiedliche

ξ - Werte

In den Beispielen 6.1 bis 6.3 werden die Korrekturergebnisse bei der Anwendung von beiden Residuentypen gezeigt.

6.3 Verifikation des Verfahrens

In diesem Abschnitt werden Beispiele für die Identifikation der Spanngliedkraft mit dem entwickelten Verfahren, unter Ansatz simulierter Testdaten sowie Feldtestdaten und durch den Vergleich mit dem klassischen Identifikationsverfahren (UPDATE_g2), gegeben. Bei bekannter Schwingungslänge bietet das entwickelte Programm die Möglichkeit, die Spanngliedkraft und die effektive Biegesteifigkeit unter Verwendung eines Aufnehmers zu identifizieren. Für die Identifikation der Schwingungslänge können zwei, drei oder vier Aufnehmer eingesetzt werden. In den folgenden Beispielen werden alle Optionen getestet und die erzielte Genauigkeit der Ergebnisse untersucht.

Ferner werden in Anhang 1 die in [Siegert et al., 2005] angegebenen Testdaten für die Identifikation der Zugkräfte in den untersuchten Stahlhängern verwendet und mit den angegebenen Ergebnissen verglichen.


6.3.1 Simulierte Testdaten

6.3.1.1 Konstantes Trägheitsmoment, bekannte Schwingungslänge

Bild 6-15: Spannglied mit konstantem Trägheitsmoment und bekannter Schwingungslänge

Die Unterteilung der Länge in zwei Abschnitte L1 und L2 dient zur richtigen Positionierung des Aufnehmers, um dessen Masse, wenn gewünscht, zu berücksichtigen. Falls keine Massenberücksichtigung gewünscht ist, kann die Länge beliebig unterteilt werden. Für die Überprüfung des Verfahrens werden unterschiedliche Schwingungslängen, Spannkraft- und Biegesteifigkeitsabweichungen zwischen den Startparametern und den simulierten Parametern untersucht (Beispiele 6.1 bis 6.4). Die angegebenen Trägheits-momente sind die des ideellen Spannstahlquerschnitts.

Beispiel 6.1

Tabelle 6-1: Startwerte und simulierte Parameter (Beispiel 6.1)

L = 10 m (ξ =62) Startwert simuliert Parameteränderung

Spannkraft [kN] 2600 2800 0,077

Trägheitsmoment [cm4] 50 35 -0,300

Bild 6-16 a): Parameteränderung je Iterationsschritt

(Quotientenresiduen 1 bis 5)

b): Parameteränderung je Iterationsschritt

(Frequenzresiduen 1 bis 5)

c): Parameteränderung je Iterationsschritt


d): Parameteränderung je Iterationsschritt



Tabelle 6-2a: Ermittelte Spannkraft und Trägheitsmoment je Iterationsschritt (Quotientenresiduen 1 bis 5)

Iteration 0 1 2 3 4 5 6 7 8

T [kN] 2600 2717 2808 2805 2800 2800 2800 2800 2800

I [cm4] 50 32,33 33,96 35,09 35,06 35,00 35,00 35,00 35,00

Tabelle 6-2b: Ermittelte Spannkraft und Trägheitsmoment je Iterationsschritt (Frequenzresiduen 1 bis 5)

Iteration 0 1 2 3 4 5 6 7 25

T [kN] 2600 2717 2666 2737 2708 2752 2736 2764 2797

I [cm4] 50,00 64,75 46,64 54,77 43,95 48,47 41,86 44,32 35,57

Tabelle 6-2c: Ermittelte Spannkraft und Trägheitsmoment je Iterationsschritt (Quotientenresiduen 1 bis 10)

Iteration 0 1 2 3 4 5 6 7 8

T [kN] 2600 2640 2810 2820 2801 2798 2800 2800 2800

I [cm4] 50,00 32,02 32,99 35,11 35,25 35,01 34,97 35,00 35,00

Tabelle 6-2d: Ermittelte Spannkraft und Trägheitsmoment je Iterationsschritt (Frequenzresiduen 1 bis 10)

Iteration 0 1 2 3 4 5 6 7 25

T [kN] 2600 2640 2684 2708 2732 2747 2760 2769 2799

I [cm4] 50,00 45,62 43,50 41,14 39,87 38,60 37,80 37,11 35,05

Beispiel 6.2



Spannkraft [kN] 3000 2970 -0,01

Trägheitsmoment [cm4] 50 55 0,10

Bild 6-17 a): Parameteränderung je Iterationsschritt


b): Parameteränderung je Iterationsschritt



Tabelle 6-4a: Ermittelte Spannkraft und Trägheitsmoment je Iterationsschritt (Quotientenresiduen 1 bis 5)

Iteration 0 1 2 3 4 5 6

T [kN] 3000 2994 2970 2968 2970 2970 2970

I [cm4] 50,00 55,54 55,44 54,99 54,96 55,00 55,00

Tabelle 6-4b: Ermittelte Spannkraft und Trägheitsmoment je Iterationsschritt (Frequenzresiduen 1 bis 5)

Iteration 0 1 2 3 4 5 20

T [kN] 3000 2994 2991 2987 2985 2982 2971

I [cm4] 50,00 50,49 51,38 51,84 52,44 52,74 54,85

Die exakten Werte werden erst im fünften bzw. sechsten Iterationsschritt erhalten, doch ist die Spannkraftabweichung ab dem dritten Iterationsschritt kleiner als 0,20 %, was für die praktische Anwendung ausreichend genau ist. Es wird auch deutlich, dass die Konvergenz bei der Anwendung der Quotientenresiduen schneller erreicht wird.

Beispiel 6.3



Spannkraft [kN] 3000 2900 -0,033


Bild 6-18 a): Parameteränderung je Iterationsschritt (Quotientenresiduen 1 bis 5)

b): Parameteränderung je Iterationsschritt (Frequenzresiduen 1 bis 5)

Bei der Anwendung der Frequenzresiduen ist die Konvergenz nach 30 Iterationsschritten noch nicht erreicht worden. Die Erhöhung der bei der Korrektur angewendeten Eigenfrequenzen auf zehn reduziert die notwendigen Iterationsschritte auf 19. Die obigen Beispiele zeigen, dass der Einfluss vom Trägheitsmoment auf die Eigenfrequenzen geringer wird, je größer ξ wird. Weiterhin wird deutlich, dass die Quotientenresiduen für die praktische Anwendung geeigneter als die Frequenzresiduen sind und werden daher in den folgenden Beispielen angewendet.


Beispiel 6.4



Spannkraft [kN] 3000 2650 -0,116


Bild 6-19: Parameteränderung je Iterationsschritt

In den Beispielen (6.3 und 6.4) wird gezeigt, dass die exakten Ergebnisse unabhängig von der Schwingungslänge und für kleine und große Abweichungen in wenigen Iterationsschritten erhalten werden.

6.3.1.2 Veränderliches Trägheitsmoment, bekannte Schwingungslänge

Bild 6-20: Spannglied mit veränderlichem Trägheitsmoment und bekannter Schwingungslänge

In diesem Fall ist die Anzahl der zu identifizierenden Parameter gleich drei, zwei Trägheitsmomente (I1 und I2) und die Spanngliedkraft. Die in den folgenden Tabellen angegebenen ξ–Werte beziehen sich auf I2 und die Gesamtlänge.

Beispiel 6.5


L = 20 m (ξ = 84) Startwert simuliert Parameteränderung

Spannkraft [kN] 2800 2700 -0,036

Trägheitsmoment (1) [cm4] 200 150 -0,250

Trägheitsmoment (2) [cm4] 60 75 0,250


Bild 6-21: Parameteränderung je Iterationsschritt (Beispiel 6.5)

Beispiel 6.6



Spannkraft [kN] 2800 2500 -0,107




Beispiel 6.7



Spannkraft [kN] 2800 2810 0,003





Die Beispiele (6.5 bis 6.7) zeigen, dass auch im Falle von unterschiedlichen Querschnitten die Parameteränderungen mit dem vereinfachten Verfahrens exakt ermittelt werden können. Im Beispiel (6.6) wurden extreme Parameteränderungen ausgewählt (kleine Schwingungslänge bzw. große Spannkraft- und Steifigkeitsänderungen), was zu einem Anstieg der Iterationsanzahl geführt hat. Bei üblichen Parameteränderungen wird die Konvergenz nach drei Iterationsschritten erreicht.

6.3.1.3 Konstantes Trägheitsmoment, unbekannte Schwingungslänge

Bei unbekannter Schwingungslänge wird die in Abschnitt 6.2.3 beschriebene Gradienten-matrix, basierend auf den Eigenformkomponenten, für die Identifikation der Schwingungs-länge angewendet. In diesem Zusammenhang wird die Anwendung von vier, drei und zwei Aufnehmern untersucht. Die Anzahl der Parameter ist vier (Spanngliedkraft, Trägheits-moment und zwei Längenparameter x1 und x2).

Beispiel 6.8

Bild 6-24: Spannglied mit konstantem Trägheitsmoment und unbekannter Schwingungslänge (Beispiel 6.8)


L = 16,5 m (ξ = 88) Startwert simuliert Parameteränderung

T [kN] 2800 2650 -0,053

I [cm4] 50 45 -0,100

x1 [m] 1,20 1,00 0,166

x2 [m] 0,70 0,50 -0,285

z1 [m] 2,00 2,00 0

L12 [m] 10,00 10,00 0

z2 [m] 3,00 3,00 0



In diesem Beispiel wurden vier Messfreiheitsgrade benutzt. Es wird aber nur die Eigenformkomponente R21 bei der Korrektur von x1 bzw. R34 bei der Korrektur von x2 benutzt. Konvergenz ist im vierten Iterationsschritt erreicht.

Beispiel 6.9


Bei der Anwendung von drei Messfreiheitsgraden wird der Sensor S2 als Referenz betrachtet und es wird die Eigenformkomponente R21 bei der Korrektur von x1 bzw. R23 bei der Korrektur von x2 benutzt.



T [kN] 2800 2650 -0,053

I [cm4] 50 40 -0,200

x1 [m] 1,20 1,00 0,166

x2 [m] 0,70 0,50 -0,285

z1 [m] 5,60 5,60 0

z2 [m] 9,40 9,40 0



Beispiel 6.10




T [kN] 2800 2650 -0,053

I [cm4] 50 40 -0,200

x1 [m] 0,80 0,60 -0,250

x2 [m] 1,60 1,40 -0,125

z1 [m] 14,50 14,50 0


Auch bei der Anwendung von zwei Messfreiheitsgraden wird die Konvergenz in wenigen Iterationsschritten erreicht.

6.3.1.4 Veränderliches Trägheitsmoment, unbekannte Schwingungslänge

Beispiel 6.11

Bild 6-30: Spannglied mit veränderlichem Trägheitsmoment und unbekannter Schwingungslänge (Beispiel 6.11)

In diesem Abschnitt werden drei Beispiele angegeben bei denen die gleichen Ausgangs- bzw. Testmodellparameter eingesetzt werden. Die Beispiele unterscheiden sich nur in der Anzahl der angewendeten Messfreiheitsgrade. Es werden vier, drei und zwei Messfreiheitsgrade untersucht.




T [kN] 2800 2670 -0,0357

x1 [m] 0,70 0,50 -0,285

x2 [m] 0,70 0,60 -0,142

I1 [cm4] 250 190 -0,240

I2 [cm4] 100 58 -0,420

z1 = z2 [m] 2,00 2,00 0

L12 [m] 13,00 13,00 0


Beispiel 6.12




T [kN] 2800 2670 -0,0357

x1 [m] 0,70 0,50 -0,285

x2 [m] 0,70 0,60 -0,142

I1 [cm4] 250 190 -0,240

I2 [cm4] 100 58 -0,420

z1 [m] 6,60 6,60 0

z2 [m] 10,40 10,40 0



Beispiel 6.13




T [kN] 2800 2670 -0,0357

x1 [m] 0,70 0,50 -0,285

x2 [m] 2,70 2,60 -0,037

I1 [cm4] 250 190 -0,240

I2 [cm4] 100 58 -0,420

z1 [m] 15,00 15,00 0


Die exakten Parameterwerte werden bei allen Beispielen mit simulierten Testdaten in wenigen Iterationsschritten zuverlässig erreicht. Dies ermöglicht die Anwendung der entwickelten Software für eine direkte Auswertung der Messdaten vor Ort.


6.3.2 Reale Testdaten

Im Rahmen dieser Arbeit wurden mehr als 300 Spannglieder (vier Spannverfahren) getestet. Es wird in den folgenden Abschnitten anhand mehrerer Beispiele bestätigt und gezeigt, dass das entwickelte Verfahren in der Praxis grundsätzlich einsetzbar ist. In diesem Zusammenhang wurden die Aufnehmerpositionen und -anzahl variiert, um die Zuverlässigkeit der Methode zu überprüfen. Zusätzlich wurden die berechneten Spanngliedkräfte zum Teil mittels Abhebekontrollen getestet. Die erzielten Ergebnisse werden mit den Ergebnissen des Programms UPDATE_g2 verglichen. Bei der Auswertung werden die ersten zehn Eigenfrequenzen und –formen angewendet. Die Versuchs-durchführung sowie die eingesetzten Geräte sind in Abschnitt 5.4 ausführlich beschrieben.

6.3.2.1 SUSPA Spannverfahren (Hopfenbachtalbrücke – Überbau Nord – Feld 50-60 – Spannglied 3.3.1)

Im Rahmen eines Auftrags des Amtes für Straßen- und Verkehrswesen (ASV) Kassel sollten vor der offiziellen Abnahme der Brücke im Jahre 2005 die aktuellen Spanngliedkräfte der insgesamt 180 Spannglieder, die im Jahre 2002 vorgespannt wurden, überprüft werden. Die Spanngliedkräfte wurden mit den entwickelten Verfahren ermittelt und teilweise über Abhebekontrollen überprüft [Riad / Fehling, 2005 und Riad et al., 2005]. Die Abweichungen (zwischen Rechnung und Abhebekontrolle) hierbei waren kleiner als 3%.

Es wurden einige Spannglieder intensiv untersucht, indem mehrere Aufnehmer- bzw. Erregungspositionen betrachtet wurden. Hierbei wurde immer mit vier Aufnehmern gemessen, bei der Auswertung wurden dann jedoch entweder zwei, drei oder vier berücksichtigt. Die erzielte Genauigkeit der Ergebnisse wird anhand eines Beispiels (Spannglied 3.3.1 im Feld 50 - 60 Spanngliedtyp SUSPA EX-66) gezeigt. Das Spannglied ist beidseitig umgelenkt.

Tabelle 6-16: Geometrische Daten des Spannglieds EX-66

Spannstahlquerschnitt [cm2] 25,40

PE-Hüllrohr Durchmesser/

Wandstärke [mm] 90 / 5,1

Gesamtmasse [kg/m] 23,55

55 60

S1 S2

S3 S4(d)

(d)

(z )1

(z )2(L )12

Bild 6-36: Versuchsaufbau (1)


Die Aufnehmerpositionen bei den unterschiedlichen Versuchsaufbauten sind in der folgenden Tabelle angegeben.

Tabelle 6-17: Aufnehmerpositionen bei den Versuchsaufbauten 1 bis 4

Versuchaufbau d [m] z1 [m] L12 [m] z2 [m]

1 0,25 2,00 14,30 2,00

2 0,35 2,00 14,10 2,00

3 0,35 6,00 10,60 1,50

4 0,35 7,00 8,10 3,00

Die Distanzen zwischen den Aufnehmern werden vor Ort mit dem Maßband gemessen und werden als fehlerfrei betrachtet. Die Korrekturparameter sind die beiden Längen x(55) und x(60), die effektive Biegesteifigkeit und die Spanngliedkraft. Für die Berechnung wurden folgende Startparameter eingesetzt:

x(55) = 70 cm; x(60) = 70 cm � L = 19,70 m

I = 50 cm4; P = 2800 kN � ξ = 103

Aus praktischer Sicht ist es wünschenswert, die Dauer der Messung auf ein Minimum zu reduzieren. Daher wurde nur eine Messung pro Versuchsaufbau ausgewertet. Die Abweichungen der Ergebnisse zwischen mehreren Messungen am gleichen Spannglied sind sehr klein (vgl. Abschnitt 6.4), daher würde eine Mittelung zu keiner bedeutenden Verbesserung der Genauigkeit führen.

Tabelle 6-18: Identifizierte Parameter für Versuchsaufbau (1)

Aufnehmeranzahl Aufnehmer x(55) [cm] x(60) [cm] T [kN] L [m] I [cm4]

4 S1-S2-S3-S4 60,3 60,1 2727 19,50 46,22

3 S1-S2-S4 59,6 58,8 2721 19,48 45,41

3 S1-S3-S4 59,7 59,6 2724 19,49 45,78

2 S1-S3 60,5 59,2 2725 19,50 45,30

2 S2-S4 61,5 59,8 2729 19,51 46,21

55 60

S1 S2

S3 S4





4 S1-S2-S3-S4 69,7 70,5 2727 19,50 44,95

3 S1-S2-S4 68,6 69,7 2721 19,48 44,78

3 S1-S3-S4 71,6 71,4 2733 19,52 45,15

2 S1-S3 70,6 69,6 2725 19,50 45,86

2 S2-S4 72,1 69,1 2730 19,51 45,05

55 60

S3 S4

S1 S2




4 S1-S2-S3-S4 70,7 71,3 2731 19,52 46,08

3 S1-S2-S4 70,7 70,2 2728 19,51 45,96

3 S1-S3-S4 70,8 70,8 2730 19,52 45,90

2 S1-S3 71,8 71,0 2733 19,53 45,80

2 S2-S4 71,1 70,2 2729 19,51 46,03


55 60

S1

S3 S4

S2




4 S1-S2-S3-S4 68,9 70,8 2726 19,50 45,36

3 S1-S2-S4 68,8 69,8 2723 19,49 45,26

3 S1-S3-S4 69,1 69,8 2724 19,49 45,31

2 S1-S3 71,0 69,6 2728 19,51 45,79

2 S2-S4 72,7 70,0 2735 19,53 45,66

Die statistische Auswertung der in den Tabellen (6-18) bis (6-21) enthaltenen Daten ergibt:

- Der Mittelwert der identifizierten Spanngliedkraft beträgt 2727 kN mit einer Standard- abweichung von 3,91 kN (0,14 %). Die maximale Abweichung der identifizierten Spanngliedkraft beträgt 14 kN (0,51 %).

- Der Mittelwert der identifizierten Schwingungslänge beträgt 19,50 m mit einer Standardabweichung von 1,46 cm (0,07 %). Die maximale Abweichung der identifizierten Schwingungslänge beträgt 5 cm (0,26 %).

- Der Mittelwert des identifizierten Trägheitsmoments beträgt 45,59 cm4 mit einer Standardabweichung von 0,43 cm4 (0,94 %). Die maximale Abweichung des identifizierten Trägheitsmoments beträgt 1,44 cm4 (3,16 %).

Die erzielten Ergebnisse zeigen keine bedeutende Erhöhung der Genauigkeit bei der Anwendung von vier bzw. drei Aufnehmern. Aufgrund der Zeitersparnis bei der Aufnehmerbefestigung bzw. den Längenmessungen wird daher die Anwendung von zwei Aufnehmern für die Praxis empfohlen.

Um den Einfluss der Auswahl der Startparameter auf die erzielten Ergebnisse zu untersuchen, werden drei Beispiele, in denen die Startparameter mit großen bzw. kleinen Abweichungen von den korrigierten Parametern ausgewählt werden, berechnet. Hierfür wird Versuchsaufbau (1) mit zwei Aufnehmern (S1 und S3) ausgewählt.


Tabelle 6-22: Identifizierte Parameter für Versuchsaufbau (1), für unterschiedliche Startparameter

x(55) [cm] x(60) [cm] T [kN] L [m] I [cm4]

Startparameter 50,0 50,0 2750 19,30 48,00

korrigierte Parameter 60,5 59,1 2725 19,50 45,26

Startparameter 100,0 100,0 3000 20,30 70,00


Startparameter 35,0 35,0 2500 19,00 25,00


Es wird deutlich, dass für alle Startwerte die gleichen korrigierten Parameter erhalten werden, was die Stabilität des Identifikationsverfahrens beweist.

Als Vergleich werden die mit der Software UPDATE_g2 erzielten Ergebnisse in Tabelle (6-23) angegeben. Bei der Korrektur wurden zwei Messfreiheitsgrade (S1 und S3) angewendet.

Tabelle 6-23: Identifizierte Parameter für Versuchsaufbau (1 bis 4)

Versuchsaufbau x(55) [cm] x(60) [cm] T [kN] L [m] I [cm4]

1 60,7 59,3 2730 19,50 43,87

2 71,6 70,5 2724 19,52 47,58

3 69,8 70,3 2735 19,50 42,54

4 70,2 69,3 2714 19,49 48,60

- Der Mittelwert der identifizierten Spanngliedkraft beträgt 2725 kN mit einer Standardabweichung von 9,03 kN (0,33 %). Die maximale Abweichung der identifizierten Spanngliedkraft beträgt 21 kN (0,77 %).





Tabelle 6-24: Vergleich der erzielten Ergebnisse

UPDATE_g2 vereinfachtes Verfahren

Abweichung [%]

T [kN] 2725 2727 0,07

L [m] 19,50 19,50 0,00

I [cm4] 45,64 45,59 0,11

Wie aus Tabelle (6-24) ersichtlich ist, sind die korrigierten Parameter fast identisch, was eine Bestätigung für die Anwendung des vereinfachten Verfahrens darstellt. Ferner weisen die identifizierten Trägheitsmomente mit dem vereinfachten Verfahren eine geringere Streuung auf, als die mit dem Programm UPDATE_g2 identifizierten Werte.

x1

x2

I

T


6.3.2.2 VBF Spannverfahren (Fuldatalbrücke bei Eichenzell – Überbau Süd – Feld 10-20 – Spannglieder 8.1 – 4.3 – 5.3)

Der verwendete Spanngliedtyp ist VBF–CMM 3x04/150 D. Die Brücke ist in Misch-bauweise errichtet. Alle externen Spannglieder sind in Feldmitte umgelenkt.

Bild 6-41 Befestigung mittels Schraubzwingen

98 mm

VBF- CMM 3x04 / 150 D

84 mm

Bild 6-42: Spanngliedausbildung

Tabelle 6-25: Geometrische Daten des Spannglieds VBF-CMM 3x04

Spannstahlquerschnitt [cm2] 18,00

Gesamtmasse [kg/m] 17,82

Die Masse eines Aufnehmers einschließlich der Befestigungsvorrichtung beträgt ca. 1 kg. Diese relativ große Punktmasse war ursächlich für folgende Effekte:

- Eine Abweichung der höheren Eigenfrequenzen in Abhängigkeit von der Aufnehmerposition.

Bild 6-43: Leistungsdichtespektren für zwei unterschiedliche Aufnehmerpositionen (Spannglied 8.1)

- Das Verhältnis der höheren Eigenfrequenz zur Grundfrequenz entspricht nicht den rechnerisch erwarteten Werten. Bild (6-12) zeigt, dass das Verhältnis für gleichmäßig verteilte Massenbelegung mit der Eigenfrequenznummer zunimmt, was infolge der Punktmassen nicht realisiert wird (s. Bild (6-44)).


Bild 6-44: Verhältnis der höheren Eigenfrequenzen zur Grundfrequenz für drei unterschiedliche

Aufnehmerpositionen (Spannglied 8.1)

Eine Vernachlässigung der Punktmassen bei der Auswertung verhindert die Konvergenz, daher werden die Punktmassen bei den folgenden Berechungen berücksichtigt.

Im folgenden Abschnitt werden die erzielten Ergebnisse für das Spannglied 8.1 für drei unterschiedliche Aufnehmerpositionen bzw. -anzahlen angegeben. Das Spannglied ist bei Achse 15 umgelenkt und bei Achse 20 verankert. Bei den Versuchsaufbauten (2) und (3) wurden die Aufnehmer um jeweils 10 cm nach innen verschoben.

15 20

S1

S3

S2

S4




4 S1-S2-S3-S4 42,2 30,2 2104 18,62 4,06

3 S1-S2-S4 42,2 30,9 2105 18,63 4,20

3 S1-S3-S4 41,7 30,3 2103 18,62 4,23

2 S1-S3 41,1 27,0 2094 18,58 3,88

2 S2-S4 40,7 30,7 2102 18,61 3,98


15 20

S1

S3

S2

S4




4 S1-S2-S3-S4 50,8 39,6 2102 18,60 3,63

3 S1-S2-S4 50,8 40,52 2104 18,61 3,67

3 S1-S3-S4 50,1 39,6 2101 18,60 3,59

2 S1-S3 49,5 35,2 2090 18,55 3,37

2 S2-S4 49,5 40,3 2100 18,60 3,58

15 20

S1

S3

S2

S4





4 S1-S2-S3-S4 60,2 49,8 2101 18,60 3,58

3 S1-S2-S4 60,2 50,9 2104 18,61 3,66

3 S1-S3-S4 58,9 49,8 2099 18,59 3,52

2 S1-S3 58,2 46,3 2090 18,56 3,32

2 S2-S4 58,7 50,7 2100 18,60 3,56

Die statistische Auswertung der in den Tabellen (6-26) bis (6-28) enthaltenen Daten ergibt:




Die relativ große Abweichung zwischen den berechneten Trägheitsmomenten resultiert in diesem Fall aus der geringen Sensitivität des Biegesteifigkeitsparameters (ξ = 297). Diese Abweichung hat jedoch nur einen sehr geringen Einfluss auf die korrigierte Spanngliedkraft.

Die Spanngliedausbildung führt zu einem deutlichen Unterschied zwischen den Biegesteifigkeiten in vertikaler und horizontaler Richtung. Es wurde daher bei den Spanngliedern 4.3 und 5.3 in beiden Richtungen gemessen und die Ergebnisse wurden verglichen. Bild (6-48) zeigt die gemessenen Leistungsdichtespektren für beide Messrichtungen.

Bild 6-48: Leistungsdichtespektren in vertikaler und horizontaler Richtung für Spannglied 4.3


Tabelle 6-29: Abweichungen zwischen vertikalen und horizontalen Eigenfrequenzen (Spannglied 4.3)

Eigenfrequenz Nr. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

vertikal [Hz] 9,06 18,10 27,07 36,10 45,23 54,41 63,60 72,66 81,57 90,42

horizontal [Hz] 9,12 18,24 27,43 36,68 46,11 55,66 65,03 74,73 84,19 93,47

Abweichung [%] 0,67 0,84 1,35 1,61 1,96 2,30 2,26 2,86 3,22 3,37

Die Abweichung nimmt mit der Steigerung der Eigenfrequenznummer zu. Bei der Annahme einer konstanten Spanngliedkraft und einer geringen Schwingungslängenänderung ist diese Abweichung auf unterschiedliche Biegesteifigkeiten in beiden Richtungen zurückzuführen.

Tabelle 6-30: Abweichungen zwischen vertikalen und horizontalen Eigenfrequenzen (Spannglied 5.3)


vertikal [Hz] 8,76 17,49 26,18 34,91 43,73 52,61 61,49 70,25 78,88 87,40

horizontal [Hz] 8,82 17,64 26,49 35,43 44,46 53,65 62,86 71,99 80,53 89,87

Abweichung [%] 0,70 0,87 1,17 1,49 1,67 1,97 2,23 2,48 2,09 2,82

Auch bei Spannglied 5.3 ist das gleiche Verhalten festzustellen. In der folgenden Tabelle sind die identifizierten Parameter angegeben.

Tabelle 6-31: Identifizierte Parameter für Spannglied 4.3


4 (vertikal) S1-S2-S3-S4 61,8 66,4 2091 19,01 4,13

4 (horizontal) S1-S2-S3-S4 63,9 73,8 2105 19,11 27,32



4 (vertikal) S1-S2-S3-S4 57,8 65,0 1944 18,96 4,26

4 (horizontal) S1-S2-S3-S4 61,8 66,8 1955 19,02 23,62

Die Abweichung zwischen den identifizierten Spanngliedkräften in vertikaler und horizontaler Richtung ist bei beiden Spanngliedern kleiner als 0,70 %. Bei der Berechnung der nominellen Trägheitsmomente in beiden Richtungen können zwei Grenzfälle betrachtet werden:

- Durch die P.E.- Ummantelung besteht keine Verbindung zwischen den Litzen, so dass jede Litze einzeln betrachtet wird (Imin, vertikal = 3,09 cm 4 , Imin, horizontal = 4,08 cm 4)

- Durch die P.E.- Ummantelung besteht eine starre Verbindung zwischen den Litzen, (Imax, vertikal =90,80 cm 4 , Imax, horizontal = 130,01 cm 4)


Die identifizierten Werte liegen zwischen den beiden Grenzwerten, wobei in der horizontalen Richtung eine höhere Biegesteifigkeit berechnet worden ist. Dies kann durch die direkte Verbindung zwischen den Litzen aufgrund der inneren Ummantelung (s. Bild 6-39) erklärt werden. In der vertikalen Richtung besteht keine direkte Verbindung zwischen den einzelnen Spannbändern. Als Vergleich werden in Tabelle (6-33) die korrigierten Werte für das Spannglied 4.3 mit dem Programm UPDATE_g2 in horizontaler Richtung angegeben.

Tabelle 6-33: Identifizierte Parameter für Spannglied 4.3 (UPDATE_g2)


4 (horizontal) S1-S2-S3-S4 65,1 72,7 2091 19,11 31,98

Die korrigierten Parameter stimmen sehr gut mit den Parametern aus Tabelle (6-31) überein.


x1

x2

T

I


6.3.2.3 DYWIDAG Spannverfahren (Wehretalbrücke – Überbau Nord – Feld 30-40 – Spannglied 8.2)

Der verwendete Spanngliedtyp ist MC 631-15. Die Brücke ist ausschließlich extern vorgespannt. Alle externen Spannglieder sind in Feldmitte umgelenkt. Die Spannglieder sind mit Mörtel verpresst und besitzen einen größeren Querschnitt an den Umlenkungen (s. Bild (6-50)). Bei der Korrektur hat meistens die unabhängige Betrachtung der Trägheitsmomente I1 und I2 zu physikalisch unmöglichen Ergebnisse geführt (z. B. I2 > I1 oder I1 >> I2) oder die Konvergenz wurde nicht erreicht (auch bei der Anwendung von UPDATE_g2). Es hat sich als sinnvoll gezeigt, beide Parameter als voneinander abhängig zu betrachten. Das Verhältnis zwischen beiden Trägheitsmomenten wurde aus den nominellen Werten berechnet (I1/I2 = 1,28). Als Beispiel werden hier die Ergebnisse für das Spannglied 8.2 (Überbau Nord) angegeben und mit den Ergebnissen des Programms UPDATE_g2 verglichen.

35 30

S1 S2

S3 S4

I1 I2



Aufnehmeranzahl Aufnehmer x(35) [cm] x(30) [cm] T [kN] L [m] I1 [cm4] I2 [cm4]

4 S1-S2-S3-S4 100,0 127,9 2696 21,57 84,96 66,27

3 S1-S2-S4 100,0 127,8 2696 21,57 84,94 66,26

3 S1-S3-S4 100,4 127,9 2697 21,57 85,04 66,33

2 S1-S3 99,2 125,2 2703 21,53 85,63 65,77

2 S2-S4 101,6 128,7 2702 21,59 85,41 66,62



- Der Mittelwert des identifizierten Trägheitsmoments I1 beträgt 85,20 cm4 mit einer Standardabweichung von 0,31 cm4 (0,36 %). Die maximale Abweichung des identifizierten Trägheitsmoments beträgt 0,69 cm4 (0,81 %).


Tabelle 6-35: Identifizierte Parameter für Versuchsaufbau (1) mittels UPDATE_g2

Aufnehmeranzahl Aufnehmer x(35) [cm]

x(30) [cm]

T [kN] L [m] I1 [cm4] I2 [cm4]

4 S1-S2-S3-S4 101,4 126,6 2682 21,57 91,34 71,24

Wie aus den Tabellen (6-34) und (6-35) ersichtlich, beträgt die Abweichung der berechneten Spanngliedkraft mit beiden Verfahren 0,88 %.


6.4 Spannglieder mit großen Spannkraftverlusten

Einige der untersuchten Spannglieder (15) der Hopfenbachtalbrücke weisen sehr hohe Spannkraftverluste auf (>20%), die sich nicht ausschließlich durch Kriech-, Schwind- und Relaxationsverluste erklären lassen. Es wurde deshalb eine Abhebekontrolle durchgeführt, die die berechneten großen Spannkraftabweichungen bestätigte. Die betroffenen Spannglieder wurden nachgespannt. In Bild (6-52) sind die gemessenen Leistungsdichtespektren des Spannglieds E.2.1.6 (SUSPA EX-66) Überbau-Süd vor bzw. nach dem Nachspannen gezeigt.

Bild 6-52: Leistungsdichtespektren des Spannglieds E.2.1.6 Überbau - Süd vor bzw. nach dem Nachspannen

x1

x2

T

I


Die identifizierte Spanngliedkraft vor bzw. nach dem Nachspannen beträgt 2152 kN bzw. 2830 kN. Die identifizierte Schwingungslänge und das identifizierte Trägheitsmoment betragen 43,98 m (planmäßig 44,00 m) sowie 51,90 cm4.

Bild 6-53: a) Parameteränderung je Iterationsschritt, b) Frequenzabweichungen je Iterationsschritt

Die ermittelten Spannkraftabweichungen an der Hopfenbachtalbrücke zeigen die Bedeutung der Überwachung der effektiven Kräfte externer Spannglieder im Zusammenhang mit der Bauwerkssicherheit. In Anhang 2 sind die berechneten Abweichungen der untersuchten Spannglieder angegeben. Eine periodische Überwachung der Spanngliedkräfte unter Anwendung der Modalanalyse ist wegen der hohen Genauigkeit der Methode geeignet um Spannkraftabweichungen infolge möglicher Brüche einzelner Spannstahldrähte zu erfassen.

6.5 Sensitivität gegenüber systematischen Messfehlern

Die sehr gute Übereinstimmung zwischen dem vereinfachten Verfahren und UPDATE_g2 wurde nicht für alle untersuchten Spannglieder erreicht. Abweichungen bis zu 2,5 % zwischen den berechneten Spanngliedkräften sind aufgetreten. Eine mögliche Ursache für diese Abweichung sind zufällige oder systematische Messfehler, deren Auftreten bei einer Anwendung in der Praxis, bei der in der Regel eine große Anzahl Spannglieder (z.B. 180 bei der Hopfenbachtalbrücke und 140 bei der Wehretalbrücke) überprüft wird, unvermeidlich ist. In der Regel werden zufällige Messfehler durch die Mittelung mehrerer Messungen minimiert, was bei der Untersuchung einer großen Spanngliedanzahl nicht wirtschaftlich ist und die Genauigkeit nur unbedeutend verbessert. Für vier Messungen am Spannglied 8.2 der Wehretalbrücke (Überbau – Nord) beträgt die identifizierte Spanngliedkraft 2696 kN, 2702 kN, 2701 kN bzw. 2698 kN. Die maximale Abweichung beträgt 0,22 %. Diese Abweichung ist für die Überwachung der Spanngliedkräfte nicht signifikant. Bei der Berechnung der Eigenformkomponenten kann eine falsche Zuordnung der Aufnehmersensitivität oder eine nicht parallele Befestigung der Aufnehmer, insbesondere bei einem kreisförmigen Spanngliedquerschnitt, zu einem systematischen Messfehler in der Größenordnung von 2 bis 4 % führen. Der Einfluss eines solchen Fehlers wird im folgenden Beispiel mit simulierten Testdaten untersucht. Hierbei wird die Amplitude eines Freiheitsgrads (eines Aufnehmers) willkürlich verfälscht. Es wird der in Bild (6-50) abgebildete Versuchsaufbau (1) mit vier Aufnehmern angewendet. Im Beispiel dazu wird die Signalamplitude des Aufnehmers S2 um 2 % abgemindert. Bei der Korrektur werden alle vier Messfreiheitsgrade berücksichtigt.


Tabelle 6-36: Identifizierte Parameter bei simulierten Testdaten

Simulierte Endparameter

UPDATE_g2 vereinfachtes Verfahren

T [kN] 2700 2717 2696

x1 [m] 0,90 0,878 0,886

x2 [m] 1,20 1,181 1,198

I [cm4] 100,00 86,70 99,74

Die korrigierten Parameter, ausgenommen das Trägheitsmoment, stimmen bei beiden Verfahren trotz des eingeführten Amplitudenfehlers sehr gut mit den Sollwerten überein. Das vereinfachte Verfahren weist geringere Abweichung auf. Dies kann auf die Anwendung der Quotientenresiduen, die unempfindlicher gegenüber Messfehlern sind, anstatt der Eigenfrequenzresiduen zurückgeführt werden (s. Abschnitt 6.2).

Um praktisch Amplitudenfehler verursacht durch große Richtungsabweichungen zwischen den Aufnehmern zu vermeiden, können die Befestigungsschellen mit einem Lot gemäß Bild (6-54) versehen werden.

Lot

Blech mit vertikaler Markierung

Befestigungsschelle - Unterteil

Bild 6-54: Erweiterung der kreisförmigen Befestigungsschelle mit Richtungsorientierungslot


Aus den identifizierten Parametern bei den verschiedenen Spannverfahren kann folgendes festgestellt werden:

- Bei gerade laufenden Spanngliedern ohne Auftreten eines Anliegens an den Durchgangsröhren stimmt die Länge zwischen den Verankerungsplatten mit der identifizierten Schwingungslänge überein.

- Bei den umgelenkten Spanngliedern wurden Abweichungen gegenüber der planmäßigen Schwingungslänge von bis zu 3 % festgestellt.

- Im Falle der mit Fett verpressten Spannglieder streuen die identifizierten Biegesteifigkeitswerte deutlich weniger als bei einer Mörtelverpressung (vgl. Abschnitt 7.1). Bei mörtelverpressten Spanngliedern wird die Biegesteifigkeit wesentlich von der Lage und dem Verlauf der Spannstahllitzen innerhalb des


Hüllrohres sowie der Verpressqualität, beeinflusst. Da die exakte Lage der Litzen in der Regel unbekannt ist, können die nominellen Werte z. B. durch die Annahme einer mittigen Lage des Spannstahls sowie eine starre Verbindung der Litzen nur abgeschätzt werden, was die großen Abweichungen gegenüber den nominellen Werten erklärt.

Die Anwendung des vereinfachten Verfahrens wurde anhand von realen und simulierten Testdaten und durch den Vergleich mit dem allgemeinen Parameteridentifikation - Software - Code UPDATE_g2 überprüft und bestätigt.

Aufgrund der einfacheren Erstellung der Gradientenmatrix beträgt die benötigte Rechenzeit beim vereinfachten Verfahren ca. 30 % [100 sek. auf 30 sek.] der benötigten Zeit bei der Anwendung von UPDATE_g2 und bietet sich daher an für die unmittelbare Auswertung vor Ort an (z. B. zeitgleich mit dem Vorspannen).

Bei der praktischen Anwendung sind Besonderheiten aufgetreten, die im folgenden Kapitel untersucht werden.

90 7 Anwendungsprobleme und Lösungsansätze

7 Anwendungsprobleme und Lösungsansätze

Bei der praktischen Anwendung des vorgeschlagenen Verfahrens sind Anwendungsprobleme aufgetreten. Diese beruhen auf Ausführungsungenauigkeiten bzw. -mängeln oder sind spezifisch für einzelne Spanngliedtypen. In den folgenden Abschnitten werden diese Probleme und Lösungsansätze dafür ausführlich erläutert.

7.1 Auftreten von benachbarten Eigenformen (DYWIDAG-Spann-verfahren)

Bei der Betrachtung der Leistungsdichtespektren der gemessenen Signale konnten bei ungefähr 30 % der Spannglieder Doppelspitzen erkannt werden. Denkbare Ursachen für dieses Phänomen sind:

- nicht symmetrische Anordnung der Litzen bzw. der Verpressmasse im Hüllrohr mit der Folge richtungsabhängiger Biegesteifigkeit, so dass die gemessene Signale in einer Richtung Schwingungskomponenten anderer Richtungen beinhalten.

- Veränderliche Randbedingung in Abhängigkeit von der Schwingungsamplitude oder -richtung.

Anhand von zwei Beispielen wird die Genauigkeit der Ergebnisse im Falle der Erscheinung von Doppelspitzen untersucht.

7.1.1 Spannglied 10.1 Wehretalbrücke – Überbau Nord

Bild 7-1: Amplitudenspektrum für Spannglied 10.1 (Doppelspitzen)


Wie aus Bild (7-1) und Tabelle (7-1) ersichtlich ist, wird die Differenz zwischen den beiden Spitzen mit steigender Eigenfrequenznummer immer größer, was die Annahme der richtungsabhängigen Biegesteifigkeit bestätigt (vgl. Abschnitt 6.3.2.2).

Tabelle 7-1: Gemessene Eigenfrequenzen und deren Abweichungen (SG. 10.1)


erste Spitze [Hz] 8,15 16,14 24,05 32,10 40,44 49,10 57,83 66,68 75,59 85,30

zweite Spitze [Hz] 8,21 16,33 24,38 32,71 41,44 50,81 60,33 70,16 80,87 91,46

Abweichung [%] 0,75 1,13 1,40 1,90 2,49 3,48 4,33 5,22 6,98 7,23

Bei der Korrektur wird jede Spitze (pro Eigenfrequenz) separat betrachtet.


Aufnehmeranzahl Spitze x(10) [cm] x(15) [cm] T [kN] L [m] I1 [cm4]

4 1 128,6 118,8 2595 18,15 69,90

4 2 142,5 126,2 2588 18,36 168,71

Trotz der sehr großen Abweichung zwischen den Trägheitsmomenten (241 %) beträgt die Abweichung zwischen den korrigierten Spanngliedkräften 0,27 %. In den Bildern (7-2 und 7-3) sind die MAC-Werte und die Frequenzabweichungen je Iterationsschritt für beide Berechnungen gezeigt.

Bild 7-2: Parameter-, MAC-Werte und Frequenzänderung je Iterationsschritt (erste Spitze)


Bild 7-3: Parameter-, MAC-Werte und Frequenzänderung je Iterationsschritt (zweite Spitze)

7.1.2 Spannglied 9.5 Wehretalbrücke – Überbau Nord

Bild 7-4: Amplitudenspektrum für Spannglied 9.5 (Doppelspitzen)

Tabelle 7-3: Gemessene Eigenfrequenzen und deren Abweichungen (SG. 9.5)


erste Spitze [Hz] 6,84 13,58 20,29 27,07 34,12 41,41 48,95 56,55 64,39 72,39

zweite Spitze [Hz] 6,90 13,70 20,45 27,31 34,39 41,78 49,44 57,19 65,22 73,58

Abweichung [%] 0,89 0,90 0,75 0,90 0,80 0,88 1,00 1,13 1,28 1,64


Für dieses Spannglied ist die Abweichung zwischen beiden Frequenzspitzen klein im Vergleich mit dem vorigen Beispiel. Die Abweichung zeigt die gleiche steigende Tendenz wie im ersten Beispiel.


Aufnehmeranzahl Spitze x(55) [cm] x(60) [cm] T [kN] L [m] I1 [cm4]

4 1 136,4 121,8 2624 21,85 125,39

4 2 126,4 122,5 2638 21,76 130,68

Die Abweichung zwischen den Spanngliedkräften beträgt 0,53 %, diese größere Abweichung (im Vergleich mit dem ersten Beispiel) und die Verschlechterung der MAC-Werte bei einigen Eigenformen, kann an der Anwendung eines Einfreiheitsgradverfahrens bei der Identifikation der modalen Parameter, in dem die Nichtresonanzanteile vernachlässigt werden (die Anteile der Eigenformen unterhalb oder oberhalb der betrachteten Eigenfrequenz [Link, 1995]), liegen. Eine genauere Analyse wurde wegen der geringen Abweichung zwischen den berechneten Spanngliedkräften nicht durchgeführt. Bei einer genaueren Analyse müssten zwei Aufnehmer je Messpunkt gesetzt werden (horizontal und vertikal) um die Eigenformen nach Richtung zu trennen, anschließend werden die modalen Parameter mit einem Phasen-trennungsverfahren identifiziert.

Bild 7-5: Parameter-, MAC-Werte und Frequenzänderung je Iterationsschritt (erste Spitze)

Bild 7-6: Parameter-, MAC-Werte und Frequenzänderung je Iterationsschritt (zweite Spitze)


7.2 Unplanmäßiges Anliegen der Spannglieder an den Durchgangsrohren (Hopfenbachtalbrücke)

Bei der Betrachtung der gemessenen Leistungsdichtespektren und durch die visuelle Inspektion wurde erkannt, dass einige (30 % der Gesamtanzahl) der gerade laufendenden Spannglieder an den Durchgangsröhren unplanmäßig anliegen. Die betroffenen Spannglieder wurden zum Teil mit einer Kunststoffhalbschale gegen Kantenpressung geschützt, zum anderen Teil wurde kein Schutz gewährleistet (s. Bilder 7-7 und 7-8).

Bild 7-7: Anliegendes Spannglied mit

Kunststoffhalbschale

Bild 7-8: Anliegende Spannglieder ohne

Kunststoffhalbschale

Es wurden drei Phänomene bei den anliegenden Spanngliedern beobachtet, die in den nächsten Abschnitten beschrieben werden.

7.2.1 Anliegen mit steifer Einspannung

8 , 0 0 1 3 , 1 0 1 6 , 1 06 , 9 0

Bild 7-9: Erregungsstellen und Aufnehmerpositionen des Spannglieds E1.1.7 (Überbau Nord)


Bild 7-10: Leistungsdichtespektren für E1.1.7 (Überbau Nord) der Aufnehmer S1 und S4 – Erregungsstelle (1)


Aus den Bildern (7-9) bis (7-11) ist Folgendes zu erkennen:

- Bei der Erregungsstelle (1) werden die Aufnehmer S1 und S2 erregt, bei S3 und S4 ist praktisch keine Schwingung zu messen. Bei der Erregungsstelle (2) verhält es sich umgekehrt. Die Schwingung (Welle) kann also das Durchgangsrohr nicht passieren. Dies deutet auf ein Anliegen mit steifer Einspannung hin.


7.2.2 Anliegen mit weicher Einspannung

8 , 5 0 1 2 , 5 0 2 3 , 0 0

Bild 7-12: Erregungsstellen und Aufnehmerpositionen des Spannglieds E1.1.6 (Überbau Nord)




Aus den Bildern (7-12) bis (7-14) ist Folgendes zu erkennen:

- Die erste Eigenfrequenz liegt bei 4,6 Hz, ca. 20% höher als die rechnerisch erwartete. Dies deutet auf eine 20 % kürzere Schwingungslänge hin, was auf ein Anliegen bei Durchgangsrohr (1) zurückzuführen ist.

- Es treten Zwischenspitzen auf, die vom idealen Seilverhalten (wenn jeder Abschnitt separat betrachtet würde) abweichen.

- Für beide Erregungsstellen sind Schwingungen an beiden Spannglied-Endbereichen zu messen. Dies deutet auf ein Anliegen bei Durchgangsrohr (1) mit einer weichen Einspannung hin.

7.2.3 Lösungsansätze für anliegende Spannglieder

Wie aus den Bildern (7-7) und (7-8) und den gezeigten Leistungsdichtespektren ersichtlich ist, variiert die Lagerungsbedingung sehr stark in Abhängigkeit von der Kontaktlänge bzw. der Nachgiebigkeit der unplanmäßigen Lagerung. Durch diese kontinuierliche Lagerung resultiert sowohl eine translatorische sowie eine rotatorische Bettung, wodurch die freie Schwingung des Spannglieds behindert wird. In den folgenden Abschnitten werden zwei Lösungsansätze vorgeschlagen und die erzielten Ergebnisse anhand von zwei Beispielen diskutiert. Im ersten Lösungsansatz wird die gesamte Spanngliedlänge betrachtet und das kontinuierliche Anliegen wird über die Kontaktlänge mittels vier elastischer translatorischer Federn modelliert. Die Federsteifigkeiten und die Kontaktlänge werden als Parameter zusätzlich identifiziert. Im zweiten Lösungsansatz wird das Spannglied in zwei Abschnitte unterteilt und jedes Teil wird separat betrachtet. Die Lagerung wird hierbei als frei drehbare bzw. voll eingespannte Punktlagerung modelliert. Ferner werden die Ergebnisse der beiden Lösungsansätze mit den Ergebnissen des vereinfachten Verfahrens verglichen.

7.2.3.1 Spannglied E2.7.6 Überbau Süd

Das Anliegen des Spannglieds E2.7.6 konnte sowohl visuell, da es durch eine Kunststoff-halbschale gegen Kantenpressung geschützt ist, als auch durch die gemessenen Leistungsdichtespektren festgestellt werden (s. Bilder 7-15 bis 7-17). Aus den Leistungsdichtespektren ist ersichtlich, dass die Lagerung mit einer steifen Einspannung stattfindet.

Bild 7-15: Erregungsstellen und Aufnehmerpositionen des Spannglieds E2.7.6 (Überbau Süd)

Bild 7-16: Leistungsdichtespektren für E2.7.6 der

Aufnehmer S1 und S4 – Erregungsstelle (1)




Im erregten Abschnitt treten keine Doppelspitzen auf. Es liegt ideales Verhalten vor. Beim ersten Lösungsansatz werden drei Längenparameter (x1 bis x3), die effektive Spanngliedkraft und die Federsteifigkeit der unplanmäßigen Lagerung (verteilt über 4 Knoten) korrigiert. Die Längenänderungen sind von einander abhängig, da die Gesamtänderung gleich Null ist. Das Trägheitsmoment wird den identifizierten Werten der nicht anliegenden Spannglieder entnommen. Der Startwert für die Federsteifigkeit wurde durch den Vergleich der gemessenen und der rechnerisch ermittelten (bei einer Antwortanalyse) Signalamplituden an beiden Spanngliedenden bestimmt.

Tabelle 7-5: Berechnete Start- und Endparameter mit dem Programm UPDATE_g2

Startparameter Endparameter

T [kN] 2600 2756

x1 [m] 14,50 15,08

x2 [m] 0,40 0,10

x3 [m] 5,51 5,22

KFeder (je Feder) [kN/m] 5000 7934


Die korrigierten Schwingungslängen im ersten bzw. zweiten Abschnitt betragen 21,43 m bzw. 22,47 m (berechnet bis zur ersten Feder).

KFeder

x1, T

x2

x3


Beim zweiten Lösungsansatz wurde mit vier Aufnehmern in jedem Abschnitt gemessen, die dann auch bei der Auswertung angewendet worden sind.

Tabelle 7-6: Berechnete Schwingungslängen und Spanngliedkräfte für beide Lagerungs-bedingungen mit dem Programm UPDATE_g2


L [m] T [kN] L [m] T [kN] LSpannglied

frei drehbar 21,59 2787 22,65 2749 44,24

eingespannt 21,77 2785 22,93 2746 44,70

Die Abweichung zwischen den berechneten Spanngliedkräften der Abschnitte 1 und 2 beträgt 1,35 % im Falle von frei drehbarer bzw. eingespannter Lagerung. Die berechnete Spanngliedkraft für beide Lagerungsbedingungen ist fast gleich, dabei hat die unterschiedliche Lagerungsbedingung eine Abweichung bei den berechneten Schwingungs-längen von ca. 1 % verursacht. Wegen der nicht realistischen Annahme der Lagerungsbedingung entsprechen die identifizierten Schwingungslängen nicht den tatsächlichen Werten. Es zeigt sich, dass LAbschnitt 1 + LAbschnitt 2 > LSpannglied (44,00 m) ist. Als Vergleich werden die Ergebnisse mit dem vereinfachtem Verfahren in Tabelle (7-7) angegeben.

Tabelle 7-7: Berechnete Schwingungslängen und Spanngliedkräfte für beide Abschnitte mit dem vereinfachten Verfahren


L [m] T [kN] L [m] T [kN]

eingespannt 21,66 2770 22,83 2759

Bild 7-19: Parameter-, MAC-Werte und Frequenzänderung je Iterationsschritt (Abschnitt 1)

Die maximale Spanngliedkraftabweichung gegenüber dem ersten Lösungsansatz beträgt 1,11 %. Die separate Betrachtung von beiden Abschnitten im Falle von Anliegen mit starrer Einspannung hat die erzielte Genauigkeit nur unbedeutend verändert. Der Unterschied zwischen den identifizierten Spanngliedkräften in den Abschnitten 1 und 2, sowohl mit dem Programm UPDATE_g2 als auch mit dem vereinfachten Verfahren, und die


Eigenfrequenzabweichungen in Bild (7-18a) weisen auf ein Auftreten von Reibungsverlusten über die Kontaktlänge hin. Daher wurde der erste Lösungsansatz mit zwei Spannkraft-parametern neu berechnet. Die dabei erzielten Ergebnisse sind in Tabelle (7-8) und Bild (7-20) gezeigt. Diese Annahme hat die Eigenfrequenzabweichungen in beiden Abschnitten deutlich reduziert. Die identifizierten unplanmäßigen Reibungsverluste in diesem Beispiel variieren je nach angewendeter Methode zwischen 0,39 % und 1,94 %.



T1 [kN] 2600 2786

T2 [kN] 2600 2733

x1 [m] 14,50 15,09

x2 [m] 0,40 0,08

x3 [m] 5,51 5,23



KFeder

x1, T1, T2

x2

x3


Als Beispiel für die weiche Einspannung werden in den nächsten Abschnitten die Ergebnisse von zwei Spanngliedern kurz dargestellt.


Dieses Spannglied ist ebenfalls durch eine Kunststoffhalbschale geschützt. Die Signalamplituden im nicht erregten Abschnitt sind deutlich höher als im ersten Beispiel, was auf eine weichere Einspannung hindeutet.








T [kN] 2600 2642

x1 [m] 15,50 16,20

x2 [m] 0,60 0,40

x3 [m] 4,41 3,91


Die korrigierten Schwingungslängen im ersten bzw. zweiten Abschnitt betragen 21,43 m bzw. 22,47 m. Die identifizierte Federsteifigkeit beträgt 42,5 % des Wertes im ersten Beispiel, was die Annahme der weicheren Lagerung bestätigt.

Da für dieses Spannglied keine separate Messung für jeden Abschnitt durchgeführt worden ist, werden hier die Ergebnisse vom Abschnitt 2 unter Anwendung von den Aufnehmern S3 und S4 (Bild 7-21) in Tabelle (7-10) angegeben.


Die Spanngliedkraftabweichung zwischen beiden Lösungsansätzen beträgt in diesem Beispiel 1,62 %. Auch im Falle einer weichen Einspannung hat die Annahme einer Punktlagerung die erzielte Genauigkeit nicht signifikant beeinflusst, wie aus Tabelle (7-10) ersichtlich wird.

Tabelle 7-10: Berechnete Schwingungslängen und Spanngliedkräfte für beide Lagerungs-bedingungen mit dem Programm UPDATE_g2

Abschnitt 2

L [m] T [kN]

frei drehbar 21,27 2603

eingespannt 21,46 2602

Wie aus den vorigen Beispielen ersichtlich ist, wird der Einfluss der Randbedingungen durch die Längenkorrektur eliminiert.


Das Spannglied ist nicht mit einer Kunststoffhalbschale geschützt. Aus den gemessenen Leistungsdichtespektren kann man in diesem Beispiel von einer noch weicheren Einspannung ausgehen. Ein ideales Verhalten ist bei beiden Abschnitten nicht zu erkennen, dies schränkt die Anwendung des zweiten Lösungsansatzes ein. Die beste Anpassung erfolgte unter Anwendung der Eigenformen eins, drei und fünf (ausgesucht aufgrund der Vorkenntnis der analytischen Lösung). Bei der Anwendung anderer Eigenformen sind große Frequenz-abweichungen aufgetreten bzw. die Konvergenz ist nicht erreicht worden. Mögliche Ursache hierfür ist eine richtungsabhängige Lagerungsbedingung (Federsteifigkeit), die im Modell nicht berücksichtigt wird.

Bei der Korrektur war (mit dem angewendeten Versuchsaufbau) eine Identifizierung der Länge x2 nicht möglich. Daher wurde die Korrektur für mehrere Kontaktlängen durchgeführt. Die dabei erzielten Ergebnisse sind in Tabelle (7-11) angegeben und zeigen, dass bei der sehr weichen Lagerung die Kontaktlängenvariation die Ergebnisse nicht beeinflusst hat.






1. Ef. 3. Ef.

5. Ef.



Startparameter Endparameter Startparameter Endparameter

T [kN] 2600 2755 2600 2749

x1 [m] 2,10 2,67 1,50 2,25

x2 [m] 0,10 0,10 1,00 1,00

x3 [m] 18,21 17,63 17,91 17,16

Federsteifigkeit [kN/m] 500 150 500 148

Bild 7-27: a) Eigenfrequenzabweichung, b) Parameteränderung, c) MAC- Werte, d) Mittelwerte – (x2=0,10 m)

Die höhere Amplitude bei 19,8 Hz deutet darauf hin, dass das Anliegen in einem Schwingungsknoten der fünften Eigenform der gesamten Spanngliedlänge (44 m) stattfindet. Die Eigenform wird daher durch das Anliegen, im Falle einer weichen Einspannung, nur geringfügig beeinflusst. In den Bildern (7-28 a und b) sind die Eigenformen des korrigierten Modells gezeigt.

Bild 7-28 a): Erste Eigenform (F.E.-Berechung)

Bild 7-28 b): Fünfte Eigenform (F.E.-Berechung)

Kfeder

x1

x2 T


Trotz der deutlichen Verbesserung der MAC-Werte bzw. der Frequenzabweichungen für die drei angewendeten Eigenformen ist keine Verbesserung für die nicht berücksichtigten Eigenformen aufgetreten. Es wurden weiterhin Eigenfrequenzen gemessen, die beim vorgeschlagenen Modell nicht auftreten. Es ist jedoch denkbar, dass durch eine Erhöhung der Anzahl der Messfreiheitsgrade bessere Ergebnisse erzielt werden können. Dies ist aber für die praktische Anwendung nicht geeignet. Es wird hier empfohlen, falls eine weiche Einspannung festgestellt wird, diese durch Einschieben einer Kunststoffhalbschale zu versteifen, um dann mit zwei Aufnehmern den zweiten Lösungsansatz anzuwenden.

Unplanmäßiges Anliegen wurde auch im Verankerungsbereich bei mehreren Spanngliedern beobachtet. Die dadurch verursachte Schwingungslängenabweichungen gegenüber den planmäßigen Werten betrug bei den untersuchten Spanngliedern 3 % bis 5 %. In Bild (7-29) sind zwei Spannglieder mit bzw. ohne Anliegen im Verankerungsbereich gezeigt. Ein Beispiel hierfür ist in [Riad et al., 2005] angegeben.

Bild 7-29: Spannglieder mit bzw. ohne Anliegen im Verankerungsbereich


7.3 Spannglieder ohne Verpressung (BBV-Spannglieder, Fuldatalbrücke -Malsfeld)

Wie in Kapitel 2.1.1 beschrieben, bestehen die BBV-Spannglieder aus 9 bis 17 korrosions- geschützten 7-drähtigen Litzen, die ohne Verpressung innerhalb eines äußeren P.E.-Hüllrohrs verlaufen. Es war daher notwendig zu überprüfen, ob die am äußeren Hüllrohr gemessenen Eigenfrequenzen den tatsächlichen Eigenfrequenzen der Litzen entsprechen. Bei einer Voruntersuchung, vor der endgültigen Schließung der Hüllrohre (während des Vorspannens bleiben die Litzen sichtbar für die Spannwegkontrolle) wurde festgestellt, dass einige der Litzen separat schwingen. Ferner waren die gemessenen Eigenfrequenzen um ungefähr 6 % niedriger als die rechnerisch erwarteten. Infolge der speziellen dynamischen Eigenschaften dieses Spannverfahrens wurde bei der Versuchsdurchführung eine deterministische Anregung mit dem Impulshammer vorgesehen, um eine genauere Identifizierung der modalen Parameter zu erreichen.

Die Messung ist am Spannglied E4.1 der Fuldatalbrücke in Malsfeld durchgeführt worden. Der angewendete Spanngliedtyp ist EMR-17, dessen geometrische Eigenschaften in Tabelle (7-12) angegeben sind. Es wurde an neun Stellen angeregt und mit zwei Aufnehmern gemessen. An jeder Stelle wurde zehn Mal angeregt und bei der Ermittlung der Frequenzgänge wurde eine Mittelung durchgeführt. Der Versuchsaufbau ist in Bild (7-30) gezeigt.

Tabelle 7-12: Geometrische Daten des Spannglieds EMR-17

Spannstahl [cm2]

Fett + innere P.E.-Ummantelung

PE-Umlenkhüllrohr

PE-Hüllrohr PE-Teleskophüllrohr

Querschnitt 23,80 19,3 / 2 140 / 5,4 140 / 4,3 160 / 6,7

Masse [kg/m] 18,68 2,57 2,24 1,85 3,11

Bild 7-30: Erregungsstellen (1 bis 9) und Aufnehmerpositionen

Aus den in Bild (7-31) gezeigten Frequenzgängen ist Folgendes zu erkennen:

- Bei den höheren Eigenfrequenzen treten benachbarte Eigenformen auf.

- Die höheren Eigenfrequenzen ergeben sich nicht als Vielfaches der Grundfrequenz.

- Die höheren Eigenfrequenzen weisen eine hohe Dämpfung auf, dies kann auf das Zusammenstoßen der frei schwingenden Litzen zurückgeführt werden (nichtlineares Verhalten).


Bild 7-31: Gemessene Frequenzgänge: a) Realteile, b) Imaginärteile

Die mit dem Programm ISSPA identifizierten Eigenfrequenzen, –formen und Dämpfungswerte sind in Tabelle (7-13) bzw. in Bild (7-32) angegeben.

Tabelle 7-13: Identifizierte Eigenfrequenzen und Dämpfungswerte

Eigenfrequenz-

nummer

Eigenfrequenz

[Hz]

Dämpfungswert

[%]

1 7,73 0,52

2 15,48 0,48

3 23,12 0,33

4 31,19 4,52

5 5* 38,58 39,18 3,57 4,77

6 6* 46,95 48,24 3,31 1,05

7 54,70 1,13

* benachbarte Eigenformen

a)

b)


Bild 7-32: Gemessene und analytische Eigenformen (1 bis 3)

Bei der Korrektur wurden die Eigenformen (1 bis 3) angewendet. Es wurden drei Korrekturparameter berücksichtigt, zwei Längenparameter x1 und x2 und der Spanngliedkraftparameter.

Bild 7-33: a) Eigenfrequenzabweichung, b) Parameteränderung, c) MAC- Werte, d) Mittelwerte –

Die identifizierte Spanngliedkraft bzw. Schwingungslänge sind in Tabelle (7-14) angegeben und mit den planmäßigen Werten verglichen. Da diese Messung erst acht Monate nach dem Vorspannen durchgeführt worden ist, wurde ein zu erwartender Spannkraftverlust von 5 % angenommen.

x1

x2

T

Schwingungslänge [m]


Tabelle 7-14: Identifizierte und planmäßige Werte

erwartet identifiziert Abweichung [%]

Spannkraft [kN] 2885 2495 13,52 %

Schwingungslänge [m] 21,28 21,08 0,94 %

Es wurden zusätzlich Messungen an den Spanngliedern E1 (EMR-17), E2 (EMR-12), E5 (EMR-17) und E4 in anderen Feldern durchgeführt. Dabei wurde eine Spannglied-kraftabweichung in der gleichen Größenordnung festgestellt. Da keine Kraftkontrolle (Abhebekontrolle) durchgeführt worden ist, werden im nächsten Abschnitt mögliche Ursachen für diese Abweichung diskutiert:

- Die aufgebrachte Vorspannkraft weicht infolge eines systematischen Fehlers (z. B. falsche Barometer - Anzeige) vom Sollwert ab.

- Die angenommene Masse bei der Berechnung (Mittelwert = 23,87 kg/m) entspricht nicht dem tatsächlichen Wert.

- Die Betrachtung vom Spannglied als Spannband entspricht nicht die Realität, einige Litzen schwingen unabhängig vom äußeren Hüllrohr. Ein Lösungsansatz dafür wird nachfolgend beschrieben: Die Litzen werden in zwei Gruppen unterteilt. Die erste Gruppe ist die Hüllrohr tragende und die zweite ist die frei schwingende Gruppe. An den Umlenkungen sind beide Gruppen durch die Umlenkkräfte miteinander verbunden, was in dem vorgeschlagenen F.E.-Modell durch elastische Federn über eine bestimmte Länge modelliert werden kann. Unter der Vorraussetzung, dass die zu erwartende Spanngliedkraft dem tatsächlichen Wert entspricht, kann man die Anzahl der tragenden bzw. frei schwingenden Litzen berechnen. Hierbei wurden, für das untersuchte Spannglied, sieben Litzen als tragend und zehn als frei erhalten. In Bild (7-34) sind die ersten vier Eigenformen eines Modells, in dem beide Litzengruppen betrachtet werden, dargestellt. Bei dem durchgeführten Versuch konnten die Eigenfrequenzen der frei schwingenden Litzen nicht identifiziert werden. Dies kann an der Tatsache liegen, dass sowohl die Erregung als auch die Messung am äußeren Hüllrohr stattgefunden haben, was für die Anregung und die Erfassung der Eigenformen der frei schwingenden Litzen nicht sensitiv ist.

Bild 7-34: a) erste Eigenform, b) zweite Eigenform, c) dritte Eigenform, d) vierte Eigenform

tragend

frei

tragend

frei

a) f1, Modell=7,73 Hz; (f1, Test=7,73 Hz)

b) f2=8,82 HzHz

c) f3=15,45 Hz; (f2, Test=15,48 Hz) frei

tragend

d) f4=17,63 Hz Hz

frei

tragend

elastische Federn


Es sind noch weitere Untersuchungen (ggf. durch eine Abhebekontrolle) für die Klarstellung der Abweichungsursache notwendig.

7.4 Langzeitüberwachung und Temperatureinfluss

Im Rahmen dieser Arbeit wurde die Spannkraft des Spannglieds E4 der Fuldatalbrücke in Malsfeld im Zeitraum von Januar 2004 (2 Wochen nach dem Vorspannen) bis Dezember 2004 durch Schwingungsmessungen überwacht. In Tabelle (7-15) und Bild (7-35) sind die gemessenen ersten Eigenfrequenzen und die dazugehörigen Spannkraftverluste, unter der Annahme von Proportionalität der Spanngliedkraft zum Quadrat der gemessenen Eigenfrequenz, angegeben. Die Schwingungslänge wird als konstant berücksichtigt und ist aus den in Abschnitt 7.3 gezeigten Ergebnissen entnommen. Die angegebenen Eigenfrequenzen sind mit einer Genauigkeit von 0,0076 Hz gemessen.

f1 [Hz] DT [%] Temp. [°C]

Jan. 7,874 0,00 3,3

Jun. 7,774 2,59 14,3

Aug. 7,728 3,81 26,7

Nov. 7,728 3,81 11,3

Dez. 7,758 3,01 -6,8

Tabelle 7-15: Gemessene Lufttemperatur bzw. Eigenfrequenzen und die dazugehörigen

Spannkraftverluste

7.65

7.7

7.75

7.8

7.85

7.9

Jan. Jun. Aug. Nov. Dez.

Frequenz [Hz]

Bild 7-35: Gemessene Eigenfrequenzen

Die identifizierten Spannkraftverluste im Zeitraum der Messung von 3,81 % sind im planmäßigen Bereich. Die Variation der gemessenen Eigenfrequenzen kann auf zwei Faktoren zurückgeführt werden:

- Spannkraftvariation infolge von Temperaturänderung. Eine Spannkraftzunahme mit Temperaturabkühlung ist aus den gemessenen Eigenfrequenzen zu erkennen. Dies verdeutlicht die Zunahme der gemessenen Eigenfrequenz (Spanngliedkraft) im Dezember im Vergleich mit der Messung im November sowie die konstant bleibenden Werte im August und November.

- Spannkraftverluste infolge Kriechens und Schwindens, die mit der Zeit zunehmen.

Die Betontemperatur wurde während der Messungen im November und Dezember an fünf Stellen gemessen. Bild (7-36) zeigt die Messstellen und die Messwerte sind in Tabelle (7-16) angegeben. Aus den gemessenen Werten kann eine, über den Querschnitt konstant verteilte, Betonabkühlung von ungefähr 14° C angenommen werden. Diese Abkühlung hat eine, aus Zwangskräften resultierende, Spannkraftzunahme von 0,80 % verursacht. Die Entstehung von Zwangskräften kann auf unterschiedliche Ausdehnungskoeffizienten aT von Spannstahl und Beton zurückgeführt werden. Ferner könnte die tatsächliche Spannstahltemperatur nicht mit der am Beton gemessenen übereinstimmen (die Spannstahltemperatur wurde im Rahmen dieser Arbeit nicht gemessen). In der Literatur variieren die Angaben von aT für Beton (je nach Zuschlagsart) und Stahl (je höher der Karbongehalt desto kleiner ist aT). Für Stahl wird ein Wert zwischen 10.10-6 K-1 und 18.10-6 K-1 (Edelstahl) und für Beton einen Wert zwischen 7.10-6 K-1 und 10.10-6 K-1


angegeben [DIN 101, 2003]. In [DIN 1045-1, 2001] wird für Beton und Spannstahl der gleiche Wert 10.10-6 K-1 angegeben.

Bild 7-36: Temperaturmesspunkte

Tabelle 7-16: Gemessene Beton- bzw. Lufttemperatur

Temp.1 [°C]

Temp.2 [°C]

Temp.3 [°C]

Temp.4 [°C]

Temp.5 [°C]

Nov. 10,9 10,4 10,3 10,4 10,3

Dez. -3,4 -3,2 -3,4 -4,4 -3,9

An der Hopfenbachtalbrücke (Überbau Süd) wurde die Messung für fünf Spannglieder nach sechs Monaten wiederholt. Die erste Messung war in Januar 2005 (ca. zwei Jahre nach dem

Vorspannen, Lufttemperatur = 2,8° C) und die zweite Messung in Juni 2005 (Lufttemperatur

= 15,3° C).

Tabelle 7-16 : Gemessene zweite Eigenfrequenzen in Januar bzw. Juni und die dazugehörigen Spannkraftverluste

E2.1.6 E2.2.6 E2.5.6 E2.6.6 E2.7.6

Jan. f2 [Hz] 7,042 7,980 7,103 7,744 16,235

Jun. f2 [Hz] 6,989 7,912 7,065 7,698 16,106

DT [%] -1,53 -1,74 -1,08 -1,19 -1,62

Der Mittelwert der identifizierten Spannkraftverluste bei einer Temperaturerwärmung von

12,5° C beträgt 1,43 %. Dieser Wert beinhaltet noch die Verluste infolge von Kriechen und Schwinden.

Unter der Annahme von gleichen Beton- und Spannstahltemperaturen während den Messungen und mit einer überschlägigen Berechnung des Kriech- und Schwindeinflusses (nach [DIN 1045, 2003]) kann der Unterschied des Wärmeausdehnungskoeffizienten zwischen dem Spannstahl und dem Beton mit ca. 3,5.10-6 K-1 angegeben werden. Aufgrund des angegebenen Unterschiedes der Wärmeausdehnungskoeffizienten würden sich Spannkraftverluste infolge Temperaturerwärmung des Bauwerks von ca. 0,50 % je 10° C ergeben.


8 Zusammenfassung und Ausblick

8.1 Zusammenfassung Aufgrund ihrer Vorteile hinsichtlich Dauerhaftigkeit und Bauwerkssicherheit ist in Deutschland seit 1998 die externe Vorspannung in Hohlkastenbrücken zur Regelbauweise geworden. Durch Verwendung der austauschbaren externen Vorspannung verspricht man sich im Brückenbau weitere Verbesserungen der Robustheit und damit eine Verlängerung der Lebensdauer. Trotz des besseren Korrosionsschutzes im Vergleich zur internen Vorspannung mit Verbund sind Schäden nicht völlig auszuschließen. Um die Vorteile der externen Vorspannung zu nutzen, ist daher eine periodische Überwachung der Spanngliedkräfte, z. B. während der Hauptprüfung des Bauwerks, durchzuführen. Für die Überwachung der Spanngliedkräfte bei Schrägseilbrücken haben sich die Schwingungsmessmethoden als wirtschaftlich und leistungsfähig erwiesen. Für die Übertragung der Methode auf den Fall der externen Vorspannung, wo kürzere Schwingungslängen vorliegen, waren zusätzliche Untersuchungen hinsichtlich der effektiven Schwingungslänge, der Randbedingungen sowie der effektiven Biegesteifigkeit erforderlich. Im Rahmen der vorliegenden Arbeit wurde das Modellkorrekturverfahren, basierend auf der iterativen Anpassung eines F.E.-Modells an die identifizierten Eigenfrequenzen und Eigenformen des Spanngliedes für die Bestimmung der Spanngliedkräfte verwendet. Dieses Verfahren ermöglicht die Berücksichtigung der Parameter (Schwingungslänge, Randbedingungen und effektive Biegesteifigkeit) bei der Identifikation der effektiven Spanngliedkräfte. Weiterhin ist eine Modellierung jeder beliebigen Spanngliedausbildung, z. B. bei unterschiedlichen Querschnitten in den Verankerungs- bzw. Umlenkbereichen, gewährleistet. Zur Anwendung bei der Ermittlung der Spanngliedkräfte wurde eine spezielle Methode, basierend auf den besonderen dynamischen Eigenschaften der Spannglieder, entwickelt, bei der die zuvor genannten Parameter innerhalb jedes Iterationsschrittes unabhängig korrigiert werden, was zur Robustheit des Identifikationsverfahrens beiträgt. Das entwickelte Verfahren ist in einem benutzerfreundlichen Programmsystem implementiert worden. Die erzielten Ergebnisse wurden mit dem allgemeinen Identifikationsprogramm UPDATE_g2 verglichen. Dabei ist eine sehr gute Übereinstimmung festgestellt worden. Beim selbst entwickelten Verfahren wird die benötigte Rechenzeit auf ca. 30 % reduziert [100 sec � 30 sec]. Es bietet sich daher für die unmittelbare Auswertung vor Ort an. Die Parameteridentifikationsverfahren wurden an den Spanngliedern von insgesamt sechs Brücken (vier unterschiedliche Spannverfahren) angewendet. Die Anzahl der getesteten Spannglieder beträgt insgesamt 340. Die Abweichung zwischen den durch Schwingungs-messungen identifizierten und gemessenen (bei einer Brücke durch eine Abhebekontrolle) bzw. aufgebrachten Spanngliedkräften war kleiner als 3 %. Diese sehr gute Übereinstimmung

112 8 Zusammenfassung und Ausblick

wurde nur beim BBV-Spannverfahren nicht erreicht. Mögliche Ursachen hierfür sind in Kapitel 7.3 angegeben. Ferner wurden die Auswirkungen äußerer Einflüsse infolge Temperaturschwankungen und Verkehr bei den durchgeführten Messungen untersucht. Bei der praktischen Anwendung sind folgende Besonderheiten aufgetreten:

- Auftreten von benachbarten Eigenformen, aufgrund einer nicht symmetrischen Anordnung der Litzen bzw. der Verpressmasse im Hüllrohr mit der Folge einer richtungs-abhängigen Biegesteifigkeit.

- Unplanmäßiges Anliegen der Spannglieder an den Durchgangsrohren.

Durch die Verwendung des Modellkorrekturverfahrens konnten diese Besonderheiten weitgehend erfasst werden. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Verwendung dieses Verfahrens die Genauigkeit im Vergleich mit den bisherigen Schwingungsmessmethoden beachtlich erhöht. Ferner wird eine Erweiterung des Anwendungsbereiches auch auf Spezialfälle (z. B. bei einem unplanmäßigen Anliegen) gewährleistet.

8.2 Ausblick Die Anwendung des Parameteridentifikationsverfahrens bei der Überwachung der Zugkräfte externer Spannglieder wurde im Rahmen dieser Arbeit untersucht. Folgende Punkte sollten in zukünftigen Arbeiten geklärt werden:

- Die Ursache der großen Abweichungen im Falle von nicht verpressten Spanngliedern.

- Die Anwendung des Verfahrens zur Lokalisierung von Verpressmängeln.

Weiterer Forschungsbedarf besteht in der Übertragung des Verfahrens auf die Spannglieder von Schrägseilbrücken, bei denen die effektive Schwingungslänge nicht klar definiert ist, z. B. bei der Anwendung von Dämpfern oder wenn mehrere Spannglieder durch Kopplungs-elemente verbunden sind. Für die Berücksichtigung der Dämpfung bei der Modellanpassung kann das Programm UPDATE_c [Link et al., 2006] angewendet werden.

114 9 Literaturverzeichnis

9 Literaturverzeichnis

[Ahn, Kwon, H. K.Kim, M. Y. Kim, 2003]

Estimation of Stay Cable Tension by Error Correction Method

Proceedings of the fifth International Symposium on Cable Dynamics, Santa Margherita, Italy, September 2003

[Aktan, Ciloglu, Grimmels-man, Pan, Catbas, 2005]

Oppertunities and Challenges in Health Monitoring of Constructed Systems by Modal Analysis

Proceedings of the International Conference on Experimental Vibration Analysis for Civil Engineering Structures (EVACES 2005), Bordeaux, France, October 2005

[Bathe, 1990] Finite-Element-Methoden

Springer Verlag, Berlin, 1990

[Bauer, 1978] Näherungsweise Erfassung der Eigenschwingzahlen eines Spannbandes, Bauingenieur 53, 1978, pp. 133-138.

[Brincker , Andersen, 1999] Ambient Response Analysis – Modal Analysis for Large Structures

Proc. of the Sixth International Congress on Sound and Vibration, Copenhagen, Denmark, 1999

[Brincker, Zhang, Anderson 2000]

Modal Identification of Output-Only Systems using Frequency Domain Decomposition

Proc. of the 18th International Modal Analysis Conference San Antonio, Texas, 2000

[Cantieni, 2003] Dynamische Fahrzeug-Brücken-Interaktion

Aktuelle Probleme der Brückendynamik. D-A-CH Tagung 2003, sia Dokumentation D 0198, Schweizerischer Ingenieur- und Architektenverein, Zürich, pp. 131-138, 2003


[Cantieni, 2004] Experimental Methods used in System Identification of Civil Engineering Structures

2nd Workshop "Problemi di vibrazioni nelle strutture civile e costruzioni meccaniche", Perugia, 10-11 Giugno, 2004

[Casas, 1994] A Combined Method for Measuring Cable Forces: The Cable – Stayed Alamillo Bridge, Spain

Structural Engineering International, IABSE; vol. 4, number 4 S. 235-240, November 1994

[Crisfield, 1986]

Finite Elements and Solution Procedures for Structural analysis

Vol. I: linear analysis, Pineridge Press, Swansea, U.K., 1986

[DasyLab, 2001] DasyLab 6, Data Acquisition System Laboratory, User’s Guide, 2001

[De Roeck, Peeters, Teughels, 2005]

Stochastic Subspace Identifikation

In : Ambient Vibration Monitoring von H.Wenzel und D. Pichler, John Wiley & Sons Ltd, England 2005

[DIN 101, 2003] DIN-Fachbericht 101, Einwirkungen auf Beton Brücken

Beuth Verlag GmbH, Berlin, Wien, Zürich, 2. Auflage, 2003

[DIN 102, 2003] DIN-Fachbericht 102, Beton Brücken


[DIN 1045-1, 2001] DIN 1045-1, Tragwerke aus Beton, Stahlbeton und Spannbeton, Teil 1: Bemessung und Konstruktion

Beuth Verlag GmbH, Berlin, Wien, Zürich, 2001

[DIN 1045, 2003] Erläuterungen zu DIN 1045-1



[DIN 1076] Ingenieurbauwerke im Zuge von Straßen und Wegen; Überwachung und Prüfung

Beuth Verlag, Berlin, 1983

[Dischinger, 1938] Entwicklung und Fortschritte im Eisenbetonbau

Neues Bauen in Eisenbeton (2. ergänzte Auflage). Deutscher Beton-Verein. Zementverlag GmbH. Berlin 1938, S. 9 – 39

[Eibl, Voß, 1989] Zwei Autobahnbrücken mit externer Vorspannung

Beton- und Stahlbetonbau 84 (1989), Heft 11

[Eibl, 1998] Die externe Vorspannung in Deutschland – Entwicklung und Ausblick

In: Externe Vorspannung und Segment Segmentbauweise, Vorträge anlässlich des „Workshops Externe und verbundlose Vorspannung – Segmentbrücken“ , Karlsruhe

Verlag Ernst und Sohn, Berlin 1998

[Eilbracht, 1997] Identifikation von Rissbereichen in Stahlbetonbalken mit Hilfe von Schwingungsmessdaten.

Dissertation, Fortschritt-Berichte VDI, Reihe 18: Mechanik / Bruchmechanik, Düsseldorf: VDI, 1997

[Eschenauer, Olhoff, Schnell, 1997]

Applied Structural Mechanics

Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1997

[Fox, Kooper, 1968] Rate of Change of Eigenvalues and Eigenvectors

AIAA J., Vol. 6, pp 2426-2429, 1968

[Gautier, Moretti, Cremona, 2005]

Estimation of Cable Tension from Frequency Measurements


[Geier, 2003] Full Scale Monitoring of Stay Cables

Proceedings of the fifth International Symposium on Cable Dynamics, Santa Margherita, Italy, September 2003


[Geier / Petz, 2004].

Kraftbestimmung in Schrägseilen durch dynamische Messung


[Geier, Vorwagner, 2005] External Cables in Bridge Engineering and their Dynamic Response

Proceedings of the Sixth International Symposium on Cable Dynamics, Charleston, SC (USA), September 2005

[Grätsch, 1998] Korrektur von Geometriefehlern in strukturdynamischen Finite Elemnte Modellen mit Hilfe der experimentellen Modaldaten

Diplomarbeit, im Fachgebiet Leichtbau, Universität Kassel, 1998

[Haveresch, 2001] Externe Vorspannung für das Taktschiebeverfahren


[Haug, Choi, Komkov, 1986]

Design Sensitivity Analysis of Structural Systems

Academic Press Inc., Orlando, Florida, 1986

[Heiler, Scheibe, 2004] Vorspannung intern, extern mit und ohne Verbund


[Higgins, Cox, Frank, 2005] Acoustic Monitoring on the Fred Hartman Bridge : Understanding the Condition of Stay Cables


[Irretier, 2004] Experimentelle Modalanalyse

Teil I, 4. Auflage 2004, Institut für Mechanik, Universität Kassel

[Irvine, Caughey, 1974] The Linear Theory of Free Vibrations of a Suspended Cable

In: Proceedings of the Royal Society of London, Series A, Vol. 341, pp. 299-315, 1974


[Irvine, Griffin, 1976] On the Dynamic Response of a Suspended Cable

International Journal of Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol. 4, Issue No. 4, pp. 389-402, 1976

[Irvine, 1978] Free Vibration of Inclined Cables

ASCE, Journal of the Structural Division, Vol. 104, No. St 2, pp. 343-347, 1978

[Irvine, 1981] Cable Structures

MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1981

[Jahn, 1996] Ein Beitrag zur Identifikation von Schädigungsparametern an Stahlbetonbauteilen

genehmigte Dissertation, vom Fachgebiet Bauingenieurwesen, Universität Kassel, 1996

[Jungwirth, Nützel, 1998]

Anforderungen an und Lösungen für Spannsysteme der externen Vorspannung am Beispiel der DYWIDAG-Systeme



[Krautwald, Kamphues, 2000]

Neubau von Betonbrücken mit Kastenquerschnitt Ausgeführte Beispiele für Vorspannung mit ausschließlich externen Spanngliedern und Mischbauweise

BM, Bonn, Oktober 2000

[Krex, 1999] Identifikation von lokal begrenzten Rissgebieten an Stahlbeton-platten mit Hilfe der Schwingungsanalyse

genehmigte Dissertation, vom Fachgebiet Bauingenieurwesen, Universität Kassel, 1999

[LAP, 2002] Ausführungspläne zum Bauwerk Hopfenbachtalbrücke

Plan Nr.: 502 a - Zentr. Spannglieder der Fahrbahnplatte

Ingenieurbüro Leonhardt, Andrä und Partner, Dresden, Stuttgart, 2002


[Link, Krätzig, Meskouris, 1995]

Baudynamik und Systemidentifikation

In: der Ingenieurbau Baustatik, Baudynamik von G. Mehlhorn Ernst & Sohn, Berlin, 1995

[Link, 1999] Updating of Analytical Models, Basic Procedures and Extensions

Contribution in: J.M.M Silva, N.M.M Maia, Modal Analysis and Testing, NATO Science Series, Kluwer Academic Publ. (1999).

[Link, Conic, 2000] Combining Adaptive FE Mesh Refinement and Model Parameter Updating

Proc. of the Int. Modal Analysis Conf., IMAC 18, San Antonio, USA, 2000

[Link, 2002] Finite Elemente in der Statik und Dynamik

3. Auflage, Teubner Verlag, Karlsruhe, 2002

[Link, Weiland, Yu, 2002] Modal Analysis of Railway Bridge Hangers using Artificial and Ambient Excitation

SEWC, Conference Proceedings, Yokohama, Japan, 2002

[Link, Staples, Böswald, Boettcher, Göge, 2004]

Linking Analysis to Test Parameter Identification and Validation

Proc. of the Int. Conference on Noise and Vibration Engineering (ISMA 2004), Unniversity of Leuven, Belgium, Sept. 2004, ISBN 90-73802-82-2

[Link, Boettcher, Zhang, 2006]

Computational Model Updating of Structures with Non-Proportional Damping

Proc. of the International Modal Analysis Conference IMAC XXIV, St. Louis, USA, 2006

[Matfem, 2002] Matfem User’s Guide

Finite Element Programm,

FG Leichtbau, Universität Kassel, 2002


[Matlab, 2002] Matlab User’s Guide

Interaktives mathematisches Programm, R13

The Math Works, 2002

[Mehrabi, Corley, 2000] Cable-Supported Bridges and Structures: health & safety monitoring and problem solving

The Structural Engineer, The Institution of Structural Engineers, London, England, 2 May 2000, pp. 17-20.

[Mehrabi, Tabatabai, 1998] Unified Finite Difference Formulation for Free Vibration of Cables

ASCE, Journal of Structural Engineering, Vol. 124, No. 11, pp.1313-1322, 1998

[Meyberg, Vachenauer, 1993]

Höhere Mathematik 1

Springer Verlag, Berlin, 1993

[Michael, 2003] Rechnerische und experimentelle Untersuchungen zur freien Spanngliedlänge bei externer Vorspannung unter dynamischen Aspekten

Diplomarbeit, Bauhaus – Universität Weimar, Fakulität Bauingenieurwesen, Professur Verkehrsbau, 2003

[Morse, Ingard, 1986] Theoretical Acoustics

International series in pure and applied physics, McGraw-Hill, New York, 1986

[Natke,1992] Einführung in Theorie und Praxis der Zeitreihen- und Modalanalyse – Identifikation schwingungsfähiger elasto-mechanischer Systeme

Vieweg Verlag, Braunschweig, 1992

[Richtlinie, 1998] Richtlinie für Betonbrücken mit externen Spanngliedern

Bundesministerium für Verkehr, Ausgabe 1998.


[Riad, Fehling, Link, 2005] Determination of the Effective Tensile Force in External Prestressing Cables using Model Updating


[Riad, Fehling, 2005] Effective Tensile Force Determination in External Prestressing Cables using Vibration Measurements

Proceedings of First Munich Bridge Assessment Conference, MBAC 2005

[Ricken, Becker, Schöne-keß, Fehling, 2005]

Messung der mechanischen Zugbelastung in Spannstahllitzen mittels Wirbelstrom-Sensoren

VDI Berichte Nr. 1899, 2005

[Robert, Bruhart, Gervais, 1991]

Mesure de la tension des câbles par méthode vibratoire

Bulletin de Liaison des Laboratoires des Ponts et Chaussées, 173. Paris, 1991, pp.109-114

[Scheibe, Demelt, 1998] SUSPA-Spannverfahren für externe Vorspannung



[Schneider, 2004] Bautabellen für Ingenieure

Werner Verlag, 16. Auflage, 2004

[Shimada, 1994] Estimating Method of Cable Tension from Natural Frequency of High Mode

In: Proc., JSCE, 501/1-29, pp. 163-171, in Japanese, 1994

[Siegert, Dieng, Brevet, Toutlemonde, 2005]

Parameter identification of a hanger or stay-cable model based on measured resonant frequencies



[Starossek, 1990] Die Dynamik des durchhängenden Seiles

Institut für Tragwerksentwurf und –konstruktion der Univerität Stuttgart, November 1990

[Stoyanoff, Theryo, Garcia, 2005]

Full Dynamic Test of the Stay Cables of Sunshine Skyway Bridge


[Tabatabai, Mehrabi, Yen, 1998]

Bridge Stay Cable Condition Assessment Using Vibration Measurement Techniques in: Medlock, R. D. and Laffrey, D. C. (Eds.); Structural Materials Technology III, Bellingham: Proceedings of SPIE, Vol. 3400 (1998) pp. 194-204

[Triantafyllou, 1984] The Dynamics of Taut Inclined Cables

Quarterly Journal of Mechanics and applied Mechanics, Vol. 37 Pt. 3, pp. 421-440, 1984

[Triantafyllou, Grinfogel, 1986]

Natural Frequencies and Modes of Inclined Cables


[UPDATE_g2, 2003] UPDATE_g2

Software Code for Updating Finite Element Model Parameters Using Experimental Modal Data

Instructions for the user

FG Leichtbau, Universität Kassel, 2003

[Web 1] http://www.dwk-koeln.de/Web/deutsch/AProd.htm

2006

[Web 2] http://www.algor.com/news_pub/cust_app/jmimch/jmimch.asp

2006


[Wenzel, Pichler, 2005] Ambient Vibration Monitoring

John Wiley & Sons Ltd, England 2005

[Werkle, 2001] Finite Elemente in der Baustatik

vieweg Verlag, 2001

[Zui, Shinke, Namita, 1996] Practical Formulas for Estimation of Cable Tension by Vibration Method


[Zul. BBV, 2000] Allgemeine bauaufsichtliche Zulassung, Z-13.3-99

Deutsches Institut für Bautechnik, Berlin, 2000

[Zul. DYWIDAG, 1994] Allgemeine bauaufsichtliche Zulassung, Z-13.1-66


[Zul. SUSPA, 2003] Allgemeine bauaufsichtliche Zulassung, Z-13.3-85


[Zul. VT, 1996] Allgemeine bauaufsichtliche Zulassung, Z-13.1-78


[Zul. VT, 2004] Allgemeine bauaufsichtliche Zulassung, Z-13.3-110


124 10 Anhang

10 Anhang

10 Anhang 125

Anhang 1 Nachrechnung von Testdaten anderer Autoren [Siegert et al. 2005] haben die Zugkräfte in Stahlhängern einer Bogenbrücke mit Hilfe von Modellkorrektur identifiziert. Zusätzlich zur Zugkraft wurden die Hängerbiegesteifigkeit sowie die Steifigkeit C einer Drehfeder (für die Modellierung der Verbindung mit der Brücke) als Korrekturparameter betrachtet. Es wurden insgesamt sieben Hänger, mit Schwingungs-längen zwischen 7 m und 20 m, untersucht. Die geometrischen Daten der untersuchten Hänger, die gemessenen Eigenfrequenzen und die Ergebnisse sind in den folgenden Tabellen angegeben.

Bild A-1: Von den Autoren angewendetes Modell

Bild A-2: Untere Hängerverankerung

Tabelle A-1: Geometrische Daten der untersuchten Hänger

Tabelle A-2: Gemessene Eigenfrequenzen

126 10 Anhang

Tabelle A-3: Identifizierte Parameter

Die Zugkräfte wurden mit dem vereinfachten Verfahren unter Anwendung der in Tabelle (A-2) angegebenen Eigenfrequenzen nachgerechnet. Hierbei wurde nur die Länge L als Schwingungslänge und die Hänger als beidseitig eingespannt betrachtet (l = 0). Die Ergebnisse sind in Tabelle (A-4) angegeben.

Tabelle A-4: Identifizierte Parameter mit dem vereinfachten Verfahren für die Hänger S1 bis S7

ξ T [kN] ∆T [%] EI [kNm2] ∆EI [%]

S1 15 506 0,00 103 6,4

S2 22 727 1,10 176 5,6

S3 27 701 0,85 182 2,7

S4 33 706 0,42 184 4,4

S5 38 779 0,89 186 3,6

S6 39 761 0,78 184 6,6

S7 39 732 0,00 182 3,4

Die Abweichung zwischen beiden Verfahren bezüglich der Hängerzugkraft ist kleiner als 1 %, was die Anwendbarkeit des vereinfachten Verfahrens auch im Falle von hohen Biegesteifigkeitswerten bestätigt.

10 Anhang 127

Anhang 2 Berechnete Spannkraftabweichungen in der Hopfenbachtal-brücke und der Wehretalbrücke

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

0-5 5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 30-35 35-40

Spannkraftverluste (%)

Anzahl der Spannglieder(%)

EX-66

EX-48

Bild A-3: Ermittelte Spannkraftverluste und deren Häufigkeit (Hopfenbachtalbrücke)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

0-3 3-6 6-9 9-12 12-15

Spannkraftverluste (%)

Spanngliederanzahl(%)

primär

sekundär

Bild A-4: Ermittelte Spannkraftverluste und deren Häufigkeit (Wehretalbrücke)

berwachung der Vorspannkraft Externer Spannglieder.doc)

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