Beschreibende Statistik Schließende...

Beschreibende Statistik Schließende Statistik

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Modell

Schätzung

mit Risikoberechnung

Stichprobe

Grundgesamtheit

Relative Häufigkeit Wahrscheinlichkeit

Durchschnitt Erwartungswert

Literatur

Beichelt, F.

Stochastik für Ingenieure, Teubner (2002)

Beucher, O

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik mit MATLAB, Springer (2007)

Kühlmeyer, M

Statistische Auswertungsmethoden für Ingenieure, Springer (2001)

Sachs, L. u.a.

Angewandte Statistik, 14. Auflage, Springer (2011)

Ross, S.M.;

Statistik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Spektrum Akad. Verlag (2006)

Storm, R.

Wahrscheinlichkeitsrechnung, Mathematische Statistik, Statistische Qualitätskontrolle

Fachbuchverlag Leipzig – Köln (1995)

Fahrmeir, L. u.a.

Statistik, 4. Auflage, Springer (2003)

Timischl, W.

Biostatistik, 2. Auflage, Springer (2000)

Das Material darf nur zu Lehrzwecken an der EAH Jena verwendet werden.

Für Druckfehler übernehme ich keine Haftung, Hinweise auf Fehler bitte an [email protected].

Version Oktober 2014

Prof. J. Schütze, FH Jena

2

Inhalt A Beschreibende Statistik ............................................................................................................................................................. 3

1. Grundbegriffe ........................................................................................................................................................................ 3

2. Eindimensionale Merkmale .................................................................................................................................................. 3

Häufigkeitsverteilungen ........................................................................................................................................................ 3

Statistische Maßzahlen.......................................................................................................................................................... 4

3. Mehrdimensionale Merkmale .............................................................................................................................................. 5

Diskrete Merkmale: Kontingenztabelle............................................................................................................................... 5

Zusammenhangsmaße für nominale Merkmale ................................................................................................................. 5

Zusammenhangsmaß für metrische Merkmale .................................................................................................................. 6

Lineare Regression ................................................................................................................................................................ 6

Parameterschätzung bei einigen nichtlinearen Regressionsfunktionen ........................................................................... 7

B Wahrscheinlichkeitsrechnung ................................................................................................................................................. 8

4. Grundbegriffe ........................................................................................................................................................................ 8

Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten ..................................................................................................................................... 8

Rechnen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten ................................................................................................................... 9

5. Zufallsgrößen und ihre Verteilung ...................................................................................................................................... 9

Rechengesetze für Erwartungswert und Varianz ............................................................................................................... 9

Einige spezielle diskrete Verteilungen ............................................................................................................................... 10

Stetige Zufallsgrößen .......................................................................................................................................................... 10

Auswahl stetiger Verteilungen ........................................................................................................................................... 11

Spezielle Eigenschaften der Normalverteilung N(, 2) .................................................................................................. 11

Wichtige Verteilungen der schließenden Statistik ............................................................................................................ 12

6. Grenzwertsätze .................................................................................................................................................................... 12

C Schließende Statistik .............................................................................................................................................................. 13

7. Parameterschätzungen und Konfidenzintervalle ............................................................................................................. 13

Methoden zur Parameterschätzung ................................................................................................................................... 13

Konfidenzintervalle für die Parameter der Normalverteilung ........................................................................................ 13

Konfidenzintervalle für Parameter p der Binomialverteilung ........................................................................................ 14

8. Statistische Tests für unbekannte Parameter ................................................................................................................... 15

Tests über Mittelwerte normalverteilter Zufallsgrößen .................................................................................................. 16

Tests über Varianz normalverteilter Zufallsgrößen ........................................................................................................ 17

Tests für Parameter p der Binomialverteilung (unbekannte Wahrscheinlichkeit) ....................................................... 18

9. Parameterfreie Tests ........................................................................................................................................................... 19

²-Unabhängigkeitstest ..................................................................................................................................................... 19

²-Anpassungstest ............................................................................................................................................................. 20

Anhang ......................................................................................................................................................................................... 21

Tabelle 1: Quantile qmt , der t-Verteilung .............................................................................................................................. 21

Tabelle 2: Quantile der 2 - Verteilung ................................................................................................................................... 22

Tabelle 3a: 0.95 - Quantile der F-Verteilung ........................................................................................................................... 23

Tabelle 3b: 0.975 - Quantile der F-Verteilung .......................................................................................................................... 25

Tabelle 4: Gamma-Funktion ...................................................................................................................................................... 27

Tabelle 5: Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung )()( xXPx ................................................... 28


3

A Beschreibende Statistik

1. Grundbegriffe

Grundgesamtheit alle Elemente, die prinzipiell gemessen bzw. beobachtet werden könnten

Stichprobe alle Elemente, die zufällig zur Messung/Beobachtung ausgewählt wurden

Erhebungseinheit/ jedes in die Stichprobe gelangte Element

Merkmalsträger Merkmal/ Ziel der Untersuchung/Beobachtung

statistische Variable mögliche Ausprägungen Wertebereich

Merkmalswert tatsächlich beobachteter Wert an einem konkreten Element

Skalenniveaus

Nominalskala qualitativ, keine Ordnung

Ordinalskala Rangfolge zwischen Ausprägungen, aber keine sinnvollen Abstände

Metrische Skala quantitativ, durch Auszählen (diskret) oder Messen (i.a. stetig)

2. Eindimensionale Merkmale

Häufigkeitsverteilungen

Stichprobe ( , ,..., )x x xn1 2 mit n Beobachtungen des Merkmals X, n heißt Stichprobenumfang

Diskretes Merkmal X (nominal oder ordinal mit endlich vielen Ausprägungen)

k verschiedene mögliche Ausprägungen nkxx k ,,...1

absolute Häufigkeit von xi h h xi i ( ) Anzahl des Auftretens von xi

in ( , ,..., )x x xn1 2

relative Häufigkeit von xi f f x

h x

ni ki i

i

( )( )

, 1

Stetiges Merkmal X (mögliche Ausprägungen sind alle reellen Werte eines Intervalls)

Einteilung des Wertebereichs in k Klassen K i gleicher Breite, nkki ,1 (Faustregel)

absolute Klassenhäufigkeit von K i h h Ki i ( ) Anzahl der ( , ,..., )x x xn1 2 in K i

relative Klassenhäufigkeit von K i f f Kh K

ni ki i

i ( )( )

, 1

Eigenschaften h nii

k

1

f ii

k

1

1

Bei ordinalen und metrischen Merkmalen kann eine Summenhäufigkeitsfunktion berechnet werden.

absolute Summenhäufigkeit :

( ) ( )i

j

j i x K

H x h K

,

relative Summenhäufigkeit :

( ) ( )i

j

j i x K

F x f K

Histogramm: Diagramm mit Klassenhäufigkeiten in y-Richtung über den Klassen in x-Richtung

Empirische Verteilungsfunktion (für stetige Merkmale)

Anzahl der Stichprobenwerte ( )

xF x

n


4

Statistische Maßzahlen

nxx ,...,)1( geordnete Stichprobe vom Umfang n, d.h. min (1) ( ) max... nx x x x

empirisches -Quantil, 10

~( ) /

xx x k n

x k n k

k k

k

1 2

1

ganz

Ein Quantil teilt den Bereich zwischen kleinstem und größtem Stichprobenwert so, dass links davon etwa

·100%, rechts davon etwa (1-)·100% der Werte liegen.

Quartile: unteres Quartil bei = 0.25, Median bei = 0.5, oberes Quartil bei = 0.75

Quartilsabstand: Abstand zwischen oberem und unterem Quartil

Boxplot

Grafische Darstellung der Verteilung einer Stichprobe durch die Stichprobenkennwerte:

Quartile, min und max der Werte im Normalbereich sowie eventuell vorhandene Extremwerte

Normalbereich: unteres Quartil – 1.5*Quartilsabstand bis oberes Quartil + 1.5*Quartilsabstand

Achtung: Normalbereich ist im Boxplot nicht eingezeichnet! Werte außerhalb des Normalbereichs werden

im Boxplot separat dargestellt (ausreißerverdächtige Extremwerte).

Boxplot bei Stichprobe mit extremen Werten Boxplot bei Stichprobe ohne extreme Werte

Die aus den Stichprobenwerten berechneten Kenngrößen nennt man auch empirische Kenngrößen, um

sie von den entsprechenden Lage- und Streuungsmaßen der Grundgesamtheit zu unterscheiden..

extreme

Werte

Lagemaße Streuungsmaße

Arithmetisches

Mittel x

nxi

i

n

1

1

Empirische Varianz

n

ii

n

ii

xnxn

xxn

s

1

22

1

22

(1

1

)(1

1

mit absoluten.

Häufigkeiten )(

1 *

1

*

ii

k

i

i xhxn

x

2 * 2 * 2

1

1( ) ( )

1

k

i i ii

s x h x nxn

Standardabweichung 2ss

Variationskoeffizient (bei positiven Werten) x

sv

Standardfehler

n

ssx

Median 5,0~~ xx Quartilsabstand 25.075.05.0

~~~xxd

25% 25% der Werte 50%

0.25x 0.5x 0.75x min max 0.75x 0.25x

min, max im Normalbereich

extreme

Werte

extreme

Werte

extreme Werte

*

Alle Werte liegen im Normalbereich.

*

0.5x


5

3. Mehrdimensionale Merkmale

Diskrete Merkmale: Kontingenztabelle

Zwei nominale oder ordinale Merkmale X und Y werden am gleichen Objekt gemessen,

X mit p Ausprägungen x1,...,xp; Y mit q Ausprägungen y1,...,yq

Dimension der Kontingenztabelle: p Zeilen, q Spalten

Zelleninhalt nik in der i-ten Zeile und k-ten Spalte: Anzahl der Kombinationen (xi, yk )

Stichprobenumfang n ist gleich der Anzahl der Messwertpaare

Y

X

Y1 y2 ... yq Randverteilung von X

(Zeilensummen)

x1

n11 n12 n1q

q

kknn

11.1

x2

n21 n22 n2q

q

kknn

12.2

xp

np1 np2 npq

q

kpkp nn

1.

Randverteilung von Y

(Spaltensummen)

p

iinn

111.

p

iinn

122.

p

iiqq nn

1.

p

i

q

kiknn

1 1

empirische Randverteilungen absolute Häufigkeiten relative Häufigkeiten

von X (Zeilensummen): ni. = h(xi) f(xi)= h(xi)/n

von Y (Spaltensummen): n.k = h(yk) f(yk)= h(yk)/n

Bedingte Häufigkeiten

von X unter der Bedingung Y= yk f(X = xi /Y = yk) = kik nn ./ , i=1,...,p

Spalte von Y= yk , normiert mit Spaltensumme

h(yk) entspricht Einschränkung auf Y = yk

von Y unter der Bedingung X= xi f(Y = yk /X = xi) = ./ iik nn , k=1,...,q

Zeile von X = xi , normiert mit Zeilensumme h(xi)

entspricht Einschränkung auf X = xi

Empirische Unabhängigkeit der Merkmale X,Y liegt vor, falls

nik = ( ni. n.k )/n für alle i, k

Zusammenhangsmaße für nominale Merkmale

beobachtete Zellhäufigkeiten: nik

bei Unabhängigkeit erwartete Zellhäufigkeiten n

nnn ki

ik..ˆ

Chi-Quadrat-Maß

p

i

q

k ik

ikik

n

nn

1 1

22

ˆ

)ˆ(

Kontingenzkoeffizient n

C

2

2

Korrigierter Kontingenzkoeffizient 1

d

dCCkorr , wobei ),min( qpd gilt


6

Zusammenhangsmaß für metrische Merkmale

Pearsonscher Korrelationskoeffizient (empirischer)

2 2 2 2 2 2 2 22 2

( )( ) ( )

( ) ( )

i i i i i i i i

i i i ii i i i

X X Y Y n X Y X Y X Y nXYr

X X Y Y X nX Y nYn X X n Y Y

Für 1r besteht ein perfekter linearer Zusammenhang zwischen X und Y.

Zusammenhangsmaß für ordinale Merkmale oder metrische mit Ausreißern

)( ixR : Platznummer von ix bei aufsteigend geordneten Werten von X

)( iyR : Platznummer von iy bei aufsteigend geordneten Werten von Y

treten dabei Werte mehrfach auf, erhalten sie alle den gleichen mittleren Rang (Rangbindungen)

Rangkorrelationskoeffizient von Spearman

2222

2

22 )()(

)()((

))(())((

))()()((

RnyRRnxR

RnyRxR

RyRRxR

RyRRxRr

ii

ii

ii

ii

s

mit 1

2

nR

Falls keine Rangbindungen vorliegen, gilt 2

2

61 , ( ) ( )

( 1)

i

s i i i

dr d R x R y

n n

Für 1sr besteht ein monotoner Zusammenhang zwischen X und Y.

Lineare Regression

für Beschreibung des linearen Zusammenhangs kardinaler Merkmale X, Y mit hoher Korrelation

Ansatz: y a a x 0 1

Optimalitätskriterium ist die Methode der kleinsten Quadrate (MKQ)

y a a xi ii

n

0 1

2

1

min,

Residuen ii xaay 10 sind die vertikalen Abstände der Messpunkte von der Geraden

Normalengleichungen zur Bestimmung der Parameter a0 , a1 (summiert wird stets von i = 1 bis n )

x y a x a xi i i i 0 1

2

y a n a xi i 0 1

Parameterschätzung

221

ii

iiii

xxn

yxyxna

2

0 1 122

1i i i i i

i i

i i

x y x x ya y a x y a x

nn x x

‚Varianz‘zerlegung 222

1 0 1 0( ) ( ( )) ( )i i i iY Y Y a X a a X a Y

Bestimmtheitsmaß der linearen Regression

2

2

012

)(

)(

YY

YaXaR

i

i

Das Bestimmtheitsmaß ist der Anteil an Varianz der y-Werte, der durch die Regression erklärt wird.

Bei perfekter Anpassung ist das Bestimmtheitsmaß gleich 1.


7

Zusammenhang zum Pearsonschen Korrelationskoeffizienten r

Es gilt 22 Rr

Schätzgröße für Streuung der Residuen (root mean square error)

2

0 1( ( ))i iy a a xRMSE

n p

, p ist die Anzahl der geschätzten Regressionskoeffizienten

Parameterschätzung bei einigen nichtlinearen Regressionsfunktionen

Quadratische Regression 2

210 XaXaaY

4

2

3

1

2

0

2

3

2

2

10

2

210

XaXaXaYX

XaXaXaXY

XaXanaY

Die Parameter erhält man als Lösung dieses Normalengleichungssystems.

Potenzansatz bXaY

log(log ) log log log log

(log ) ( log )a

X Y X X Y

n X X

2

2 2

22 )log()(log

loglogloglog

XXn

YXYXnb

Exponentenansatz XbaY (analog für cxy ae mit

cb e )

22

2

)(

logloglog

XXn

YXXYXa

22 )(

logloglog

XXn

YXYXnb

Logistischer Ansatz ,1 bXae

kY

k muss bekannt sein (Sättigungsgrenze)

22

2

)(

1ln1ln

XXn

Y

kXX

Y

kX

a

22 )(

1ln1ln

XXn

Y

kX

Y

kXn

b

27


8

B Wahrscheinlichkeitsrechnung

4. Grundbegriffe

Zufallsexperiment unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholbares Experiment mit

ungewissem Ausgang,

wobei die Menge der möglichen Versuchsausgänge bekannt ist

Elementarereignis elementarer Versuchsausgang: ,

Elementarereignisse schließen sich gegenseitig aus

Ergebnismenge Menge aller Elementarereignisse:

Zufälliges Ereignis Teilmenge der Ergebnismenge

Das Ereignis ist das sichere Ereignis, das stets eintritt.

Ereignis A tritt ein, wenn der beobachtete Versuchsausgang ein Element von A ist.

Die leere Menge beschreibt das unmögliche Ereignis, das nie eintritt.

Komplementärereignis A A \ tritt genau dann ein,

wenn A nicht eintritt.

Zwei Ereignisse A, B heißen unvereinbar oder disjunkt,

wenn sie keine gemeinsamen Elementarereignisse besitzen,

A B =

Ereignis A zieht Ereignis B nach sich, wenn A B gilt.

Ereignis A B (Vereinigung) tritt ein, wenn mindestens eins

der Ereignisse A, B eintritt (A B).

Ereignis A B (Durchschnitt) tritt ein, wenn beide

Ereignisse A, B eintreten (A B).

Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten

Sicheres Ereignis 1)( P

Unmögliches Ereignis Ø 0)( P

Monotonie ( ) ( )A B P A P B

Additionssatz allgemein

Spezialfall: disjunkte Ereignisse

)()()()( BAPBPAPBAP

BABPAPBAP falls ),()()(

Spezialfall: diskret

A

PAP

)()(

Komplementäres Ereignis )(1)( APAP

Differenz ( \ ) ( ) ( )P A B P A P A B

Laplacesche Wahrscheinlichkeit: endlich,

Elementarereignisse gleichwahrscheinlich.

Anzahl der Elementarereignisse von A ( )

Anzahl der Elementarereignisse von P A


9

Bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B, P(B) > 0

( )( / )

( )

P A BP A B

P B

falls P(B)>0

Stochastische Unabhängigkeit der Ereignisse A, B

)()/( APBAP bzw. ( / ) ( )P B A P B bzw. ( ) ( ) ( )P A B P A P B

Rechnen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten

Multiplikationssatz

Spezialfall: unabhängige Ereignisse

( ) ( / ) ( )

( ) ( ) ( ), , falls unabhängig

P A B P A B P B

P A B P A P B A B

Satz der totalen Wahrscheinlichkeit

nBBB ...21 , Bk paarweise disjunkt 1

( ) ( / ) ( ) n

k k

k

P A P A B P B

Bayessche Formel

nBBB ...21 ,Bk paarweise disjunkt 1

( / ) ( ) ( / ) ( )( / )

( )( / ) ( )

i i i ii n

k k

k

P A B P B P A B P BP B A

P AP A B P B

5. Zufallsgrößen und ihre Verteilung

Zufallsgröße: Als Ergebnis eines Zufallsexperiments wird eine (reelle) Größe ( )X betrachtet.

Diskrete Zufallsgrößen: Wertebereich ,...,...,1 nxx , endlich oder abzählbar unendlich

Verteilung )( kk xXPp , 1k

kp (Wahrscheinlichkeitsfunktion)

Wahrscheinlichkeiten ( ) ( )k

k

x A

P X A P X x

Erwartungswert k

kk xXPxEX )(

Varianz 2 2 2( ) ( ) ( )k k

k

VarX x EX P X x EX EX

Standardabweichung VarXs (Streuung)

Unabhängigkeit: Zwei diskrete Zufallsgrößen X und Y mit Werten 1 2, ,...x x bzw.

1 2, ,...y y

sind unabhängig, falls ( , ) ( ) ( )j k j kP X x Y y P X x P Y y für beliebige j und k gilt.

Rechengesetze für Erwartungswert und Varianz

Erwartungswert Varianz

a b, konstant E a a Var a 0

X Zufallsgröße E aX a E X Var aX a 2Var X

E aX b a E X b Var aX b a 2Var X

X, Y Zufallsgrößen E X Y E X EY Var X Y Var X VarY + 2Cov(X,Y)

X Y, unabhängig E X Y E X EY Var X Y Var X VarY


10

Einige spezielle diskrete Verteilungen

Verteilung Parameter Einzelwahrscheinlichkeiten

( )P X k

Erwartungswert Varianz

Gleich-

verteilung

n 1/ n , k = 1,…,n 1

2

n 21 1

12 12n

Binomial-

verteilung

,n p (1 ) , 1,...,k n k

np p k n

k

np (1 )np p

Hypergeometr.

Verteilung

, ,

,

N M n

N M n N / , 1,...,

M N M Nk n

k n k n

Mn

N 1

1

M M N nn

N N N

Poisson-

verteilung

, 0,1,...

!

k

e kk

Geometrische

Verteilung

p 1(1 ) , 1,2,...kp p k 1

p

2

1 p

p

Näherungsformeln

Näherung der hypergeometrischen durch die Binomialverteilung

Faustregel: n ≤ 0.05∙N

oder (nach Sachs): n < 0.1 N, M < 0.1 N, N > 60

knk

N

ppk

n

n

N

kn

MN

k

M

1lim mit pM

N

Näherung der Binomialverteilung durch die Poissonverteilung

Faustregel: n > 10, p < 0.05

e

kpp

k

n kknk

pnn !

)1(lim mit np

Stetige Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße X heißt stetig, wenn sie alle reellen Werte eines Intervalls annehmen kann.

Verteilungsfunktion ( ) ( )F x P X x

Intervallwahrscheinlichkeit ( ) ( ) ( ) ( )P a X b P a X b F b F a

)()( bFbXP

)(1)( aFXaP

Dichte 0)( xf ,

1)( dxxf

Erwartungswert dxxfxEX )(

Varianz 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )VarX x EX f x dx x f x dx EX

2 2( )EX EX

Standardabweichung (Streuung) VarXs

Quantil der Ordnung , 0 < < 1 u mit )( auXP


11

Zusammenhang von Dichte und Verteilungsfunktion

( ) ( ) ( )

x

F x f t dt P X x

( ) '( )f x F x

Unabhängigkeit stetiger Zufallsgrößen

X, Y sind unabhängig, falls für alle reellen Zahlen x, y gilt

( , ) ( ) ( )P X x Y y P X x P Y y

Auswahl stetiger Verteilungen

Verteilung Para-

meter

Dichte f(x) Verteilungs-

Funktion F(x)

Erwartungs-

wert

Varianz

Gleich-

verteilung

a, b 1

0

a x bb a

sonst

0

1

x a

x aa x b

b a

x b

2

a b

2

12

b a

Exponential-

verteilung 0 0

0x

x

e x

0 0

1 0x

x

e x

1

2

1

Normal

Verteilung ,

2

22

2

1

2

x

e

( ) ( )

x

x f t dt

2

Weibull-

verteilung

T, b 1

, 0

bb x

Tb xe x

T T

1 , 0

bx

Te x

11T

b

2

2

2

21

11

Tb

Tb

Erlang-

verteilung , n 1( )

( 1)!

nxx

en

1

0

( )

!

kn

k

xe

k

n

2

n

Γ(x): Gamma-Funktion (Tabelle s. Anhang), speziell ist

( ) ( 1)!n n für n , somit (1) 1, (2) 1, (3) 2, …

(1/ 2) , 3 / 2 / 2, (5 / 2) 3 / 4 , 1 1 3 5 ... (2 1)

2 2n

nn

( ) ( 1) ( 1)

Spezielle Eigenschaften der Normalverteilung N(, 2)

Eine Zufallsgröße X N , 2 heißt standardnormalverteilt, wenn 20, 1 gilt.

Für X N , 2 ist Z

X

N 0 1, standardnormalverteilt, Z ~ 0,1N (Tab. der VF Anhang)

Intervallwahrscheinlichkeiten

abbXaP )(

aXaP 1)(

bbXP )(


12

k--Regel für normalverteilte Zufallsgrößen X N , 2 : 1)(2)( kkXP ,

für k = 1, 2, 3

9973.0)33(

9544.0)22(

6826.0)(

XP

XP

XP

Additionssatz für unabhängige normalverteilte Zufallsgrößen 2~ ( , ), 1i i iX N i n

2

1 1 1

~ ,n n n

i i i

i i i

X N

Seien nXX ,...1 unabhängig, identisch verteilt nach 2,N , dann gilt für den Mittelwert

iXn

X1

nN

2

,

Wichtige Verteilungen der schließenden Statistik

χ²-Verteilung (n FG) 2 2 2

1 ...n nZ Z mit iZ ~ N(0, 1), unabhängig

T-Verteilung (n FG) 2/ /n nT Z n mit Z ~N(0, 1), 2

n ~ χ², unabhängig von Z

F-Verteilung (n, m FG) 2 2

, ( / ) /( / )n m n mF n m mit 2 2,n m ~ χ², unabhängig

Die Quantile dieser Verteilungen liegen in Tabellen vor, s. Anhang..

6. Grenzwertsätze

Zentraler Grenzwertsatz

Sei 1 2, ,...X X eine Folge unabhängiger, identisch verteilter Zufallsgrößen, 2,i iEX VarX

Dann ist 1

/

n

i

in

X nX

Zn n

für n standardnormalverteilt (Faustregel: n > 30).

Grenzwertsatz von Moivre-Laplace

Sei X~Bin(n,p), dann nähert sich die Verteilung von )1( pnp

npXZn

für n

der Standardnormalverteilung. Es gilt (mit Stetigkeitskorrektur)

2 11 2

0.5 0.5( )

x np x npP x X x

npq npq

,

(Faustregel: )1(

9

ppn

, bei 5.0p auch 5 pn )

Schwaches Gesetz der großen Zahlen

Sei 1,2,...n n

X

eine Folge unabhängiger, identisch verteilter Zufallsgrößen mit 2,n nEX VarX ,

dann gilt für alle > 0

1

1lim 0

N

N n

n

P XN


13

C Schließende Statistik

7. Parameterschätzungen und Konfidenzintervalle

Methoden zur Parameterschätzung

Stichprobenfunktion Parameter der Grundgesamtheit

Relative Häufigkeit )( kn xf Wahrscheinlichkeit )( kxXP

Mittelwert )( knk

k xfxx Erwartungswert )( kk

k xXPxEX

empirische Varianz )()(1

22

kn

kk xfxx

n

ns Varianz )()( 2 k

kk xXPEXxVarX

empir. Standardabw. 2ss Standardabweichung VarX

Die Kennzahlen der Stichprobe verwendet man für eine Schätzung der entsprechenden Parameter der

Verteilung in der Grundgesamtheit.

Momentenmethode k-tes Moment einer Zufallsgröße X: k

kM EX

k-tes empirisches Moment (aus Stichprobe): 1

1( ... )k k

k nm x xn

Schätzungen für die i Parameter einer Verteilung nach der Momentenmethode gewinnt man durch

Gleichsetzen von k kM m für 1 k i .

Maximum-Likelihood-Methode Man maximiert die gemeinsame Dichte 1( ,... , )nf x x , wobei für den Vektor der Verteilungsparameter

steht, indem man die partiellen Ableitungen nach den Parametern gleich Null setzt.

Berechnung der Verteilung von Schätzfunktionen

Konkrete Stichprobe x1, . . . , xn (Messreihe)

Mathematische Stichprobe X1, . . . , Xn (unabhängige, identisch verteilte Zufallsgrößen, Modell)

Die konkrete Stichprobe entsteht durch Beobachtung der mathematischen Stichprobe bzw. als n

unabhängige Realisierungen der Zufallsgröße X.

Damit kann man aus der Verteilung von X oft die Verteilung geeigneter Schätzfunktionen ableiten, z.B.

gilt bei NV

Xn

X ii

n

1

1

~

nN

2

,

Daraus kann man einen Bereich konstruieren, der den unbekannten Parameter mit vorgegebener Sicherheit

überdeckt, den man Konfidenzintervall zur Sicherheit 1 - nennt.

Konfidenzintervalle für die Parameter der Normalverteilung

Bezeichnungen

n Stichprobenumfang

Irrtumswahrscheinlichkeit, Risiko

1 Sicherheit

1z , ( 2/1 z ) Quantil der Standardnormalverteilung der Ordnung 1 , ( 1 /2)

1,nt , ( 2/1, nt ) Quantil der t-Verteilung mit n Freiheitsgraden der Ordnung 1 , ( 1 /2)

2

1, n , ( )2

2/1, n Quantil der 2 -Verteilung mit n Freiheitsgraden der Ordnung 1 , ( 1 /2)


14

KI für Erwartungswert bei bekannter Standardabweichung zur Sicherheit 1

Zweiseitiges KI Einseitiges oben offenes KI Einseitiges unten offenes KI

nzx

nzx

2/12/1 ,

,1

nzx

nzx

1,

KI für Erwartungswert bei unbekannter Standardabweichung zur Sicherheit 1

Zweiseitiges KI Einseitiges oben offenes KI Einseitiges unten offenes KI

n

stx

n

stx nn 2/1,12/1,1 ,

,1,1

n

stx n

n

stx n 1,1,

Notwendiger Stichprobenumfang für maximale Länge L des Intervalls für ( bekannt)

2

2/12

L

zn

KI für Varianz ² , Sicherheit 1 KI für Standardabweichung , Sicherheit 1

2

2

2/,1

2

2

2/1,1

1,

1s

ns

n

nn

sn

sn

nn

2

2/,1

2

2/1,1

1,

1

Die gleichen Vorschriften führen zu asymptotischen Konfidenzintervallen, wenn keine Normalverteilung

vorliegt, aber der Stichprobenumfang größer als 30 ist.

Konfidenzintervalle für Parameter p der Binomialverteilung

Bezeichnungen

n Stichprobenumfang,

1 Sicherheit

1 / 2c z Quantil der Standardnormalverteilung der Ordnung 1 / 2

k Anzahl des Auftretens des Ereignisses in der Stichprobe (absolute Erfolgshäufigkeit)

n

kp ˆ relative Erfolgshäufigkeit, Schätzung für p

Asymptotische Konfidenzintervalle für p 50, 50k n k (1 ) 9np p

)ˆ1(ˆˆ,)ˆ1(ˆˆ pp

n

cppp

n

cp

2 2 2 2 2 2

2 2

2 4 2 4,

c k c c k ck c k k c k

n n

n c n c

Exaktes Konfidenzintervall für p

1 2

1 2 1 2

, ,1 / 2

, ,1 / 2 , ,1 / 2

( 1),

( 1) ( 1)

g g

f f g g

k Fk

k n k F n k k F

F: Quantil der F-Verteilung der Ordnung 1 / 2

mit entsprechenden Freiheitsgraden:

1 22( 1), 2f n k f k , 1 22( 1), 2( )g k g n k

Notwendiger Stichprobenumfang für max. Länge 2 des asymptotischen Konfidenzintervalls

ohne Information über Größenordnung von p

2

4

1

cn

wenn Größenordnung p̂ bekannt )ˆ1(ˆ

2

ppc

n


15

Asymptotisches Konfidenzintervall für Parameter λ der Poissonverteilung

2 2 2 2

1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 2

1 1 1 1 1 1,

2 4 2 4X z z X z X z z X z

n n n nn n

Asymptotisches Konfidenzintervall für Parameter λ der Exponentialverteilung 2 2

2 , / 2 2 ,1 / 2

1 1

,

2 2

n n

n n

i i

i i

X X

8. Statistische Tests für unbekannte Parameter

Test-Schema

am Beispiel des Mittelwertvergleichs 0 bei Normalverteilung mit bekanntem , 0 Referenzwert

00 : H Nullhypothese

01 : H Alternativhypothese (zweiseitig)

Irrtumswahrscheinlichkeit

n

XT

/

0

Testgröße, unter Gültigkeit von 0H ist T standardnormalverteilt

2/1 zT Ablehnbereich von 0H , 2/1 z ( 2/1 )-Quantil der Standardnormalverteilung

d.h. wenn der aus der Stichprobe berechnete Wert t der Testgröße diese Bedingung

erfüllt, wird die Nullhypothese abgelehnt.

Fehler 1. Art Wahrscheinlichkeit, dass eine Ablehnung von 0H erfolgt; obwohl 0H richtig ist,

(nicht vorhandener Unterschied gefunden) ist bei diesem Verfahren maximal

Fehler 2. Art Wahrscheinlichkeit, dass keine Ablehnung von 0H erfolgt; obwohl 0H falsch ist,

(vorhandener Unterschied wird übersehen)

äquivalente Testentscheidung anhand von p-Werten (Variante bei Rechnung mit Computer)

t aus Stichprobe berechneter Wert der Testgröße T

)( tTPp p-Wert, ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Testgröße T unter 0H einen extremeren

Wert als das aus den Stichprobenwerten berechnete t annimmt

Ablehnung von 0H , wenn p gilt

Wenn die Nullhypothese wahr ist, liegt der aus der Stichprobe berechnete Wert t der Testgröße T mit

Wahrscheinlichkeit im Ablehnbereich 2/1 zT = ),(),( 2/12/1 zz . Eine ungerechtfertigte

Ablehnung von 0H erfolgt somit maximal mit Irrtumswahrscheinlichkeit .

Fehlermöglichkeiten bei der Testentscheidung

H0 abgelehnt H0 nicht abgelehnt

H0 richtig Fehler 1. Art: richtige Entscheidung

H0 falsch richtige Entscheidung Fehler 2. Art:

Interpretation

Von beiden Wahrscheinlichkeiten bei Fehlentscheidung kann nur vorgegeben werden, d.h. die

Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine richtige Nullhypothese abgelehnt wird.

Eine Irrtumswahrscheinlichkeit besagt, dass man bei 100 Tests mit der Ablehnung der Null-

hypothese nach diesem Verfahren in etwa 100 Fällen einen Fehler macht.

Je kleiner gewählt wird, desto größer ist der mögliche Fehler , der bei Nichtablehnung der

Nullhypothese entsteht.


16

Die Wahrscheinlichkeit für die Beibehaltung der falschen Nullhypothese (vorhandener Unterschied

wird übersehen) kann für jeden alternativen Referenzwert 1 der Alternativhypothese und dem

Stichprobenumfang n berechnet werden. Durch Umstellen dieser Formel erhält man einen Mindes-

tstichprobenumfang n, der die Einhaltung vorgegebener Werte für und sichert (Fallzahlplanung).

Tests über Mittelwerte normalverteilter Zufallsgrößen

Bezeichnungen

Stichprobenumfänge: , ,x yn n n

Mittelwertschätzungen:

xn

i

i

x

Xn

X1

1

yn

i

i

y

Yn

Y1

1

Varianzschätzungen: 2 2

1

1( )

1

xn

x i

ix

s X Xn

, 2 2

1

1( )

1

yn

y i

iy

s Y Yn

gepoolte Varianz 2

)1()1( 22

2

yx

yyxx

gnn

snsns

Risiko:

Quantile: qz Quantil der Ordnung q der Standardnormalverteilung

qmt , Quantil der Ordnung q der t-Verteilung mit m Freiheitsgraden (m ganzzahlig)

qft , Quantil der Ordnung q der t-Verteilung mit f Freiheitsgraden, wobei

)1/()/()1/()/(

)//(2222

222

yyyxxx

yyxx

nnsnns

nsnsf (abrunden!) FG für Welch-Test

Einstichprobentests

Vergleich mit Referenzwert 0 ; bekannt2 (Gauß-Test)

Nullhypothese Alternativhypothese Testgröße Ablehnkriterium

00 : H 01 : H

n

XT

/

0

~ N(0, 1)

2/1 zT

00 : H 01 : H 1zT

00 : H 01 : H 1zT

Vergleich mit Referenzwert 0 , unbekannt2 (T-Test)


00 : H 01 : H

ns

XT

/

0

0

1~H

nt

2/1,1 ntT

00 : H 01 : H 1,1ntT

00 : H 01 : H 1,1ntT

Zweistichprobentests

Vergleich yxD mit 0; 2

D unbekannt; X, Y verbunden, D = X – Y


0:0 DH 0:1 DH n

s

dT

D

0

1~H

nt

2/1,1 ntT

0:0 DH 0:1 DH 1,1ntT

0:0 DH 0:1 DH 1,1ntT

mit i i id x y , d arithmetisches Mittel, Ds, empirische Standardabweichung der Werte der id .


17

Vergleich x mit y ;

22 , yx unbekannt, aber gleich; X, Y nicht verbunden (doppelter T-Test)


yxH :0 yxH :1

yx

yx

g nn

nn

s

YXT

~ 0

2~x y

H

n nt

2/1,2 yx nntT

yxH :0 yxH :1 1,2yx nntT

yxH :0 yxH :1 1,2yx nntT

Vergleich x mit y ;22 , yx unbekannt, verschieden; X, Y nicht verbunden (Welch-Test)


yxH :0 yxH :1

y

y

x

x

n

s

n

sYXT

22

/)(

~ ft (asymptotisch)

2/1, ftT

yxH :0 yxH :1 1,ftT

yxH :0 yxH :1 1,ftT

Planung des Stichprobenumfangs

Fehler 1. Art, d.h. Wahrscheinlichkeit für Ablehnung von 0H , obwohl 0H richtig ist

Fehler 2. Art, d.h. Wahrscheinlichkeit für Beibehaltung von 0H , obwohl 0H falsch ist

L statistisch relevanter Unterschied zwischen den Parametern und 0 bzw. x und y

d.h. Mittelwertdifferenzen kleiner als L sind praktisch vernachlässigbare Unterschiede

Mindeststichprobenumfang zur Einhaltung von , bei gegebenem L und bekanntem 2

Vergleich mit 0

(Einstichprobentest)

Vergleich X mit Y

(Zweistichprobentest)*

Zweiseitiger Test 2

2

2

12/1

0

)(

L

zznn

2

1 / 2 1 2

0 2

( )2

z zn n

L

Einseitiger Test 2

2

2

11

0

)(

L

zznn 2

2

2

11

0

)(2

L

zznn

1 2* 20n n n

Tests über Varianz normalverteilter Zufallsgrößen

Einstichprobentest

Vergleich 2

0

2 mit (Referenzwert)

Nullhypothese Alternativhypothese Testgröße Ablehnbereich 2

0

2

0 : H 2

0

2

1 : H 2

0

2 /)1( snT

0

2

1~H

nasy

2

2/1,1 nT oder 2

2/,1 nT

2

0

2

0 : H 2

0

2

1 : H 2

,1 nT

2

0

2

0 : H 2

0

2

1 : H 2

1,1 nT

Zweistichprobentest

Vergleich 2

2

2

1 mit

Nullhypothese Alternativhypothese Testgröße Ablehnbereich 2

2

2

10 : H 2

2

2

11 : H 22 / yx ssT

0

1, 1~x y

H

n nF

2/1,1,1 ynxnFT oder 2/,1,1

ynxnFT

2

2

2

10 : H 2

2

2

11 : H ,1,1 ynxnFT

2

2

2

10 : H 2

2

2

11 : H 1,1,1 ynxnFT


18

Schreibt man in der Testgröße den größeren der Werte in den Zähler bei entsprechender Anpassung von

,x yn n , vereinfacht sich der Ablehnbereich des zweiseitigen Tests zu 1, 1,1 / 2x yn nT F .

Tests für Parameter p der Binomialverteilung (unbekannte Wahrscheinlichkeit)

Bezeichnungen

Stichprobe nXX ,...,1 mit 1 falls A eingetreten

0 sonstiX

P( X = 1) = P(A) = p, unbekannte Wahrscheinlichkeit

k : Anzahl der Einsen in der Stichprobe (absolute Häufigkeit des Eintretens von A bei n Versuchen

n

kp ˆ relative Häufigkeit von A (Schätzung für p)

Einstichprobentests

Vergleich 0mit pp (Referenzwert), asymptotischer Binomialtest, (Faustregel: (1 ) 9np p )

Nullhypothese Alternativhypothese Testgröße Ablehnbereich

00 : ppH 01 : ppH

)1(/)( 000 pnpnpkT

~ N(0, 1) (asymptotisch)

2/1 zT

00 : ppH 01 : ppH 1zT

00 : ppH 01 : ppH 1zT

Exakter Binomialtest (wenn Faustregel: (1 ) 9np p nicht erfüllt)


00 : ppH 01 : ppH

k 0

~H

Bin(n, p0)

uk k oder ok k

00 : ppH 01 : ppH 'uk k

00 : ppH 01 : ppH 'ok k

Die Schranken , ,o uk k k des Ablehnbereichs werden mit 0p aus den Wahrscheinlichkeiten. der

Binomialverteilung so berechnet, dass seine Wahrscheinlichkeit bei Gültigkeit der Nullhypothese kleiner

als ist:

Ablehnbereich bei zweiseitigem Test

: 0,..., / 2u uk P k und 0,..., 1 / 2uP k sowie : ,..., / 2o ok P k n und 1,..., / 2oP k n

Ablehnbereich bei einseitigem Test 00 : ppH

' : 0,..., 'u uk P k und 0,..., ' 1uP k

Ablehnbereich bei einseitigem Test 00 : ppH

' : ',...,o ok P k n und ' 1,...,oP k n

Zweistichprobentests

Nicht verbundene Stichproben (asymptotischer Test)

Bezeichnungen

A wird beobachtet in zwei unabhängigen Grundgesamtheiten G1 und G2

G1: Stichprobenumfang n1, k1: Anzahl der Einsen, 111 /ˆ nkp Schätzung für P(A) = p1 in G1

G2: Stichprobenumfang n2, k2: Anzahl der Einsen, 222 /ˆ nkp Schätzung für P(A) = p2 in G2


19

21

21ˆnn

kkp

Schätzung für P(A) bei Gleichheit der Anteile


210 : ppH 211 : ppH

)ˆ1(ˆ)/1/1(

ˆˆ

21

21

ppnn

ppT

~ N(0, 1) asymptotisch

2/1 zT

210 : ppH 211 : ppH 1zT

210 : ppH 211 : ppH 1zT

Verbundene Stichproben (McNemar-Test)

Bezeichnungen: a, b, c, d sind absolute Häufigkeiten

Untersuchung 2

Untersuchung 1 A eingetreten A nicht eingetreten

A eingetreten A b

A nicht eingetreten C d

Nullhypothese: Wahrscheinlichkeit des Wechsels des Eintretens von A ist in beide Richtungen

gleich

Testgröße: 2( )b c

Tb c

Ablehnbereich : 2

2/1,1 T

Der Test ist asymptotisch, als Faustregel für gute Näherung gilt 30 cb .

Ist 30> 20b c , rechnet man mit der modifizierten Testgröße cb

cbT

2)1(.

Bei b + c < 20 oder erwarteten Zellhäufigkeiten für die Zellen b, c kleiner als 5 rechnet man einen

Binomialtest mit N = b + c, k = b, p0 = ½.

Einseitige Tests rechnet man mit der Testgröße ( ) /T b c b c , die unter H0 asymptotisch N(0,1) ist.

9. Parameterfreie Tests

²-Unabhängigkeitstest

Bezeichnungen

X, Y Zufallsgrößen mit diskreten Wertebereichen pxx ,...,1 bzw. qyy ,...,1

Stichprobe mit n Messwertpaaren ( ji yx , )

ijn : Anzahl des Auftretens der Kombination ( ji yx , ) in der Stichprobe

q

j

iji nn1

. ,

p

i

ijj nn1

. ,

q

j

p

i

ijnnn1 1

.. ,n

nnn

ji

ij

..ˆ

Nullhypothese: X, Y unabhängig

Testgröße

p

i

q

j ij

ijij

n

nnT

1 1

2

ˆ

)ˆ(

Risiko

Ablehnbereich 21),1()1( qpT

Der ²-Test kann auch für stetige Zufallsgrößen durchgeführt werden, wenn vorher eine

Klasseneinteilung erfolgte. Die Werte ijn sind dann die Klassenhäufigkeiten.


20

Achtung

Da die Testgröße nur näherungsweise ²-verteilt ist, sollte keine der erwarteten Häufigkeiten ijn̂ gleich

Null und maximal 25% kleiner als 5 sein (sonst benachbarte Klassen zusammenlegen).

²-Anpassungstest

Getestet wird, ob eine vorliegende Stichprobe einer Grundgesamtheit mit bestimmter Verteilung (z.B.

NV) entstammt.

Testidee: Vergleich der absoluten Häufigkeiten iO geeigneter Ereignisse mit den unter der Testverteilung

erwarteten Häufigkeiten iE dieser Ereignisse

Bei diskreter Testverteilung entsprechen diese Ereignisse den Realisierungen der Zufallsgröße, eventuell

werden dabei benachbarte Realisierungen zu einem Ereignis zusammengefasst.

Bei stetiger Testverteilung erfolgt Klasseneinteilung (analog Histogramm, aber mit offenen Randklassen).

Die Ereignisse entsprechen diesen Klassen, wobei eventuell benachbarte Klassen zusammengefasst

werden.

n: Stichprobenumfang,

k: Anzahl der Realisierungen (diskret) bzw. Anzahl der Klassen (stetig)

iO : absolute Häufigkeit der i-ten Realisierung bzw. der i-ten Klasse

iE : entsprechend der Testverteilung zu erwartende Häufigkeit, i iE p n

dabei werden gegebenenfalls die p unbekannten Parameter der Verteilung aus der Stichprobe geschätzt

(z.B. bei NV mit Schätzung von Erwartungswert und Varianz: p = 2)

Nullhypothese: Testverteilung liegt vor

Testgröße:

2

1

( )ki i

i i

O ET

E

, unter

2

0 1: ~ k pH T

Risiko

Ablehnbereich 2

1 ,1k pT

Achtung

Im Unterschied zu anderen Tests ist man hier i.a. nicht an einer Ablehnung der Nullhypothese interessiert!

Da man den dafür zuständigen -Fehler nicht kennt, hat man das Vorliegen der Testverteilung nicht mit

statistischer Sicherheit nachgewiesen.

Man geht bei Nichtablehnung der Nullhypothese davon aus, dass die Stichprobenwerte nicht gegen das

Vorliegen der Testverteilung sprechen.

Um den -Fehler klein zu halten, wählt man aus diesem Grund den -Fehler oft größer als 0.05.


21

Anhang

Tabelle 1: Quantile qmt , der t-Verteilung

m: Anzahl Freiheitsgrade, q: Quantilordnung,

qmt

mt qdxxf,

)(,

q

m ,90 ,95 ,975 ,99 ,995 ,999 0,9995

1 3,08 6,31 12,71 31,82 63,66 318,31 636,62

2 1,89 2,92 4,30 6,96 9,92 22,33 31,60

3 1,64 2,35 3,18 4,54 5,84 10,21 12,92

4 1,53 2,13 2,78 3,75 4,60 7,17 8,61

5 1,48 2,02 2,57 3,36 4,03 5,89 6,87

6 1,44 1,94 2,45 3,14 3,71 5,21 5,96

7 1,41 1,89 2,36 3,00 3,50 4,79 5,41

8 1,40 1,86 2,31 2,90 3,36 4,50 5,04

9 1,38 1,83 2,26 2,82 3,25 4,30 4,78

10 1,37 1,81 2,23 2,76 3,17 4,14 4,59

11 1,36 1,80 2,20 2,72 3,11 4,02 4,44

12 1,36 1,78 2,18 2,68 3,05 3,93 4,32

13 1,35 1,77 2,16 2,65 3,01 3,85 4,22

14 1,35 1,76 2,14 2,62 2,98 3,79 4,14

15 1,34 1,75 2,13 2,60 2,95 3,73 4,07

16 1,34 1,75 2,12 2,58 2,92 3,69 4,01

17 1,33 1,74 2,11 2,57 2,90 3,65 3,97

18 1,33 1,73 2,10 2,55 2,88 3,61 3,92

19 1,33 1,73 2,09 2,54 2,86 3,58 3,88

20 1,33 1,72 2,09 2,53 2,85 3,55 3,85

21 1,32 1,72 2,08 2,52 2,83 3,53 3,82

22 1,32 1,72 2,07 2,51 2,82 3,50 3,79

23 1,32 1,71 2,07 2,50 2,81 3,48 3,77

24 1,32 1,71 2,06 2,49 2,80 3,47 3,75

25 1,32 1,71 2,06 2,49 2,79 3,45 3,73

26 1,31 1,71 2,06 2,48 2,78 3,43 3,71

27 1,31 1,70 2,05 2,47 2,77 3,42 3,69

28 1,31 1,70 2,05 2,47 2,76 3,41 3,67

29 1,31 1,70 2,05 2,46 2,76 3,40 3,66

30 1,31 1,70 2,04 2,46 2,75 3,39 3,65

40 1,30 1,68 2,02 2,42 2,70 3,31 3,55

60 1,30 1,67 2,00 2,39 2,66 3,23 3,46

120 1,29 1,66 1,98 2,36 2,62 3,16 3,37

Näherung für große m: qqm zt , (Quantil der Normalverteilung N(0,1))


22

Tabelle 2: Quantile der 2 - Verteilung

Für große Werte von m gilt:

3

2

;9

2

9

21

mu

mm qqm

Näherungsformel von Wilson und Hilferty

m = Anzahl der Freiheitsgrade, q = Ordnung des Quantils

q

m 0,005 0,01 0,025 0,05 0,10 0,90 0,95 0,975 ,99 0,995

1 ,00 ,00 ,00 ,00 ,02 2,71 3,84 5,02 6,63 7,88

2 ,01 ,02 ,05 ,10 ,21 4,61 5,99 7,38 9,21 10,60

3 ,07 ,11 ,22 ,35 ,58 6,25 7,81 9,35 11,34 12,84

4 ,21 ,30 ,48 ,71 1,06 7,78 9,49 11,14 13,28 14,86

5 ,41 ,55 ,83 1,15 1,61 9,24 11,07 12,83 15,09 16,75

6 ,68 ,87 1,24 1,64 2,20 10,64 12,59 14,45 16,81 18,55

7 ,99 1,24 1,69 2,17 2,83 12,02 14,07 16,01 18,48 20,28

8 1,34 1,65 2,18 2,73 3,49 13,36 15,51 17,53 20,09 21,95

9 1,73 2,09 2,70 3,33 4,17 14,68 16,92 19,02 21,67 23,59

10 2,16 2,56 3,25 3,94 4,87 15,99 18,31 20,48 23,21 25,19

11 2,60 3,05 3,82 4,57 5,58 17,28 19,68 21,92 24,72 26,76

12 3,07 3,57 4,40 5,23 6,30 18,55 21,03 23,34 26,22 28,30

13 3,57 4,11 5,01 5,89 7,04 19,81 22,36 24,74 27,69 29,82

14 4,07 4,66 5,63 6,57 7,79 21,06 23,68 26,12 29,14 31,32

15 4,60 5,23 6,26 7,26 8,55 22,31 25,00 27,49 30,58 32,80

16 5,14 5,81 6,91 7,96 9,31 23,54 26,30 28,85 32,00 34,27

17 5,70 6,41 7,56 8,67 10,09 24,77 27,59 30,19 33,41 35,72

18 6,26 7,01 8,23 9,39 10,86 25,99 28,87 31,53 34,81 37,16

19 6,84 7,63 8,91 10,12 11,65 27,20 30,14 32,85 36,19 38,58

20 7,43 8,26 9,59 10,85 12,44 28,41 31,41 34,17 37,57 40,00

21 8,03 8,90 10,28 11,59 13,24 29,62 32,67 35,48 38,93 41,40

22 8,64 9,54 10,98 12,34 14,04 30,81 33,92 36,78 40,29 42,80

23 9,26 10,20 11,69 13,09 14,85 32,01 35,17 38,08 41,64 44,18

24 9,89 10,86 12,40 13,85 15,66 33,20 36,42 39,36 42,98 45,56

25 10,52 11,52 13,12 14,61 16,47 34,38 37,65 40,65 44,31 46,93

26 11,16 12,20 13,84 15,38 17,29 35,56 38,89 41,92 45,64 48,29

27 11,81 12,88 14,57 16,15 18,11 36,74 40,11 43,19 46,96 49,64

28 12,46 13,56 15,31 16,93 18,94 37,92 41,34 44,46 48,28 50,99

29 13,12 14,26 16,05 17,71 19,77 39,09 42,56 45,72 49,59 52,34

30 13,79 14,95 16,79 18,49 20,60 40,26 43,77 46,98 50,89 53,67

40 20,71 22,16 24,43 26,51 29,05 51,81 55,76 59,34 63,69 66,77

50 27,99 29,71 32,36 34,76 37,69 63,17 67,50 71,42 76,15 79,49

60 35,53 37,48 40,48 43,19 46,46 74,40 79,08 83,30 88,38 91,95

70 43,28 45,44 48,76 51,74 55,33 85,53 90,53 95,02 100,43 104,21

80 51,17 53,54 57,15 60,39 64,28 96,58 101,88 106,63 112,33 116,32

90 59,20 61,75 65,65 69,13 73,29 107,57 113,15 118,14 124,12 128,30

100 67,33 70,06 74,22 77,93 82,36 118,50 124,34 129,56 135,81 140,17


23

1m

2m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1 161,45 199,50 215,71 224,58 230,16 233,99 236,77 238,88 240,54 241,88 242,98

2 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,35 19,37 19,38 19,40 19,40

3 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 85 8,81 8,79 8,76

4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 5,94

5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 4,74 4,70

6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 4,03

7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 3,60

8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35 3,31

9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,14 3,10

10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,98 2,94

11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 2,85 2,82

12 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80 2,75 2,72

13 4,67 3,81 3,41 3,18 3,03 2,92 2,83 2,77 2,71 2,67 2,63

14 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,76 2,70 2,65 2,60 2,57

15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,71 2,64 2,59 2,54 2,51

16 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 2,49 2,46

17 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,61 2,55 2,49 2,45 2,41

18 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,58 2,51 2,46 2,41 2,37

19 4,38 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,54 2,48 2,42 2,38 2,34

20 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39 2,35 2,31

21 4,32 3,47 3,07 2,84 2,68 2,57 2,49 2,42 2,37 2,32 2,28

22 4,30 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 2,46 2,40 2,34 2,30 2,26

23 4,28 3,42 3,03 2,80 2,64 2,53 2,44 2,37 2,32 2,27 2,24

24 4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 2,51 2,42 2,36 2,30 2,25 2,22

25 4,24 3,39 2,99 2,76 2,60 2,49 2,40 2,34 2,28 2,24 2,20

26 4,23 3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 2,39 2,32 2,27 2,22 2,18

27 4,21 3,35 2,96 2,73 2,57 2,46 2,37 2,31 2,25 2,20 2,17

28 4,20 3,34 2,95 2,71 2,56 2,45 2,36 2,29 2,24 2,19 2,15

29 4,18 3,33 2,93 2,70 2,55 2,43 2,35 2,28 2,22 2,18 2,14

30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 2,27 2,21 2,16 2,13

40 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,25 2,18 2,12 2,08 2,04

50 4,03 3,18 2,79 2,56 2,40 2,29 2,20 2,13 2,07 2,03 1,99

75 3,97 3,12 2,73 2,49 2,34 2,22 2,13 2,06 2,01 1,96 1,92

100 3,94 3,09 2,70 2,46 2,31 2,19 2,10 2,03 1,97 1,93 1,89

200 3,89 3,04 2,65 2,42 2,26 2,14 2,06 1,98 1,93 1,88 1,84

300 3,87 3,03 2,63 2,40 2,24 2,13 2,04 1,97 1,91 1,86 1,82

400 3,86 3,02 2,63 2,39 2,24 2,12 2,03 1,96 1,90 1,85 1,81

500 3,86 3,01 2,62 2,39 2,23 2,12 2,03 1,96 1,90 1,85 1,81

1000 3,85 3,00 2,61 2,38 2,22 2,11 2,02 1,95 1,89 1,84 1,80

Tabelle 3a: 0.95 - Quantile der F-Verteilung

95.0)( 95.0,, 21 mmFFP


24

12 14 16 20 30 50 75 100 500 1000 1m

2m

243,91 245,36 246,46 248,01 250,10 251,77 252,62 253,04 254,06 254,19 1

19,41 19,42 19,43 19,45 19,46 19,48 19,48 19,49 19,49 19,49 2

8,74 8,71 8,69 8,66 8,62 8,58 8,56 8,55 8,53 8,53 3

5,91 5,87 5,84 5,80 5,75 5,70 5,68 5,66 5,64 5,63 4

4,68 4,64 4,60 4,56 4,50 4,44 4,42 4,41 4,37 4,37

4,00 3,96 3,92 3,87 3,81 3,75 3,73 3,71 3,68 3,67 6

3,57 3,53 3,49 3,44 3,38 3,32 3,29 3,27 3,24 3,23 7

3,28 3,24 3,20 3,15 3,08 3,02 2,99 2,97 2,94 2,93 8

3,07 3,03 2,99 2,94 2,86 2,80 2,77 2,76 2,72 2,71 9

2,91 2,86 2,83 2,77 2,70 2,64 2,60 2,59 2,55 2,54 10

2,79 2,74 2,70 2,65 2,57 2,51 2,47 2,46 2,42 2,41 11

2,69 2,64 2,60 2,54 2,47 2,40 2,37 2,35 2,31 2,30 12

2,60 2,55 2,51 2,46 2,38 2,31 2,28 2,26 2,22 2,21 13

2,53 2,48 2,44 2,39 2,31 2,24 2,21 2,19 2,14 2,14 14

2,48 2,42 2,38 2,33 2,25 2,18 2,14 2,12 2,08 2,07 15

2,42 2,37 2,33 2,28 2,19 2,12 2,09 2,07 2,02 2,02 16

2,38 2,33 2,29 2,23 2,15 2,08 2,04 2,02 1,97 1,97 17

2,34 2,29 2,25 2,19 2,11 2,04 2,00 1,98 1,93 1,92 18

2,31 2,26 2,21 2,16 2,07 2,00 1,96 1,94 1,89 1,88 19

2,28 2,22 2,18 2,12 2,04 1,97 1,93 1,91 1,86 1,85 20

2,25 2,20 2,16 2,10 2,01 1,94 1,90 1,88 1,83 1,82 21

2,23 2,17 2,13 2,07 1,98 1,91 1,87 1,85 1,80 1,79 22

2,20 2,15 2,11 2,05 1,96 1,88 1,84 1,82 1,77 1,76 23

2,18 2,13 2,09 2,03 1,94 1,86 1,82 1,80 1,75 1,74 24

2,16 2,11 2,07 2,01 1,92 1,84 1,80 1,78 1,73 1,72 25

2,15 2,09 2,05 1,99 1,90 1,82 1,78 1,76 1,71 1,70 26

2,13 2,08 2,04 1,97 1,88 1,81 1,76 1,74 1,69 1,68 27

2,12 2,06 2,02 1,96 1,87 1,79 1,75 1,73 1,67 1,66 28

2,10 2,05 2,01 1,94 1,85 1,77 1,73 1,71 1,65 1,65 29

2,09 2,04 1,99 1,93 1,84 1,76 1,72 1,70 1,64 1,63 30

2,00 1,95 1,90 1,84 1,74 1,66 1,61 1,59 1,53 1,52 40

1,95 1,89 1,85 1,78 1,69 1,60 1,55 1,52 1,46 1,45 50

1,88 1,83 1,78 1,71 1,61 1,52 1,47 1,44 1,36 1,35 75

1,85 1,79 1,75 1,68 1,57 1,48 1,42 1,39 1,31 1,30 100

1,80 1,74 1,69 1,62 1,52 1,41 1,35 1,32 1,22 1,21 200

1,78 1,72 1,68 1,61 1,50 1,39 1,33 1,30 1,19 1,17 300

1,78 1,72 1,67 1,60 1,49 1,38 1,32 1,28 1,17 1,15 400

1,77 1,71 1,66 1,59 1,48 1,38 1,31 1,28 1,16 1,14 500

1,76 1,70 1,65 1,58 1,47 1,36 1,30 1,26 1,13 1,11 1000

1;

;;

;12

21

1

mm

mmF

F


25

1m

2m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1 647,79 799,50 864,16 899,58 921,85 937,11 948,22 956,66 963,28 968,63 973,03

2 38,51 39,00 39,17 39,25 39,30 39,33 39,36 39,37 39,39 39,40 39,41

3 17,44 16,04 15,44 15,10 14,88 14,73 14,62 14,54 14,47 14,42 14,37

4 12,22 10,65 9,98 9,60 9,36 9,20 9,07 8,98 8,90 8,84 8,79

5 10,01 8,43 7,76 7,39 7,15 6,98 6,85 6,76 6,68 6,62 6,57

6 8,81 7,26 6,60 6,23 5,99 5,82 5,70 5,60 5,52 5,46 5,41

7 8,07 6,54 5,89 5,52 5,29 5,12 4,99 4,90 4,82 4,76 4,71

8 7,57 6,06 5,42 5,05 4,82 4,65 4,53 4,43 4,36 4,30 4,24

9 7,21 5,71 5,08 4,72 4,48 4,32 4,20 4,10 4,03 3,96 3,91

10 6,94 5,46 4,83 4,47 4,24 4,07 3,95 3,85 3,78 3,72 3,66

11 6,72 5,26 4,63 4,28 4,04 3,88 3,76 3,66 3,59 3,53 3,47

12 6,55 5,10 4,47 4,12 3,89 3,73 3,61 3,51 3,44 3,37 3,32

13 6,41 4,97 4,35 4,00 3,77 3,60 3,48 3,39 3,31 3,25 3,20

14 6,30 4,86 4,24 3,89 3,66 3,50 3,38 3,29 3,21 3,15 3,09

15 6,20 4,77 4,15 3,80 3,58 3,41 3,29 3,20 3,12 3,06 3,01

16 6,12 4,69 4,08 3,73 3,50 3,34 3,22 3,12 3,05 2,99 2,93

17 6,04 4,62 4,01 3,66 3,44 3,28 3,16 3,06 2,98 2,92 2,87

18 5,98 4,56 3,95 3,61 3,38 3,22 3,10 3,01 2,93 2,87 2,81

19 5,92 4,51 3,90 3,56 3,33 3,17 3,05 2,96 2,88 2,82 2,76

20 5,87 4,46 3,86 3,51 3,29 3,13 3,01 2,91 2,84 2,77 2,72

21 5,83 4,42 3,82 3,48 3,25 3,09 2,97 2,87 2,80 2,73 2,68

22 5,79 4,38 3,78 3,44 3,22 3,05 2,93 2,84 2,76 2,70 2,65

23 5,75 4,35 3,75 3,41 3,18 3,02 2,90 2,81 2,73 2,67 2,62

24 5,72 4,32 3,72 3,38 3,15 2,99 2,87 2,78 2,70 2,64 2,59

25 5,69 4,29 3,69 3,35 3,13 2,97 2,85 2,75 2,68 2,61 2,56

26 5,66 4,27 3,67 3,33 3,10 2,94 2,82 2,73 2,65 2,59 2,54

27 5,63 4,24 3,65 3,31 3,08 2,92 2,80 2,71 2,63 2,57 2,51

28 5,61 4,22 3,63 3,29 3,06 2,90 2,78 2,69 2,61 2,55 2,49

29 5,59 4,20 3,61 3,27 3,04 2,88 2,76 2,67 2,59 2,53 2,48

30 5,57 4,18 3,59 3,25 3,03 2,87 2,75 2,65 2,57 2,51 2,46

40 5,42 4,05 3,46 3,13 2,90 2,74 2,62 2,53 2,45 2,39 2,33

50 5,34 3,97 3,39 3,05 2,83 2,67 2,55 2,46 2,38 2,32 2,26

75 5,23 3,88 3,30 2,96 2,74 2,58 2,46 2,37 2,29 2,22 2,17

100 5,18 3,83 3,25 2,92 2,70 2,54 2,42 2,32 2,24 2,18 2,12

200 5,10 3,76 3,18 2,85 2,63 2,47 2,35 2,26 2,18 2,11 2,06

300 5,07 3,73 3,16 2,83 2,61 2,45 2,33 2,23 2,16 2,09 2,04

400 5,06 3,72 3,15 2,82 2,60 2,44 2,32 2,22 2,15 2,08 2,03

500 5,05 3,72 3,14 2,81 2,59 2,43 2,31 2,22 2,14 2,07 2,02

1000 5,04 3,70 3,13 2,80 2,58 2,42 2,30 2,20 2,13 2,06 2,01

Tabelle 3b: 0.975 - Quantile der F-Verteilung

1 2, ,0.975( ) 0.975m mP F F


26

12 14 16 20 30 50 75 100 500 1000 1m

2m

976,71 982,53 986,92 993,10 1001,41 1008,12 1011,49 1013,18 1017,24 1017,75 1

39,41 39,43 39,44 39,45 39,46 39,48 39,48 39,49 39,50 39,50 2

14,34 14,28 14,23 14,17 14,08 14,01 13,97 13,96 13,91 13,91 3

8,75 8,68 8,63 8,56 8,46 8,38 8,34 8,32 8,27 8,26 4

6,52 6,46 6,40 6,33 6,23 6,14 6,10 6,08 6,03 6,02

5,37 5,30 5,24 5,17 5,07 4,98 4,94 4,92 4,86 4,86 6

4,67 4,60 4,54 4,47 4,36 4,28 4,23 4,21 4,16 4,15 7

4,20 4,13 4,08 4,00 3,89 3,81 3,76 3,74 3,68 3,68 8

3,87 3,80 3,74 3,67 3,56 3,47 3,43 3,40 3,35 3,34 9

3,62 3,55 3,50 3,42 3,31 3,22 3,18 3,15 3,09 3,09 10

3,43 3,36 3,30 3,23 3,12 3,03 2,98 2,96 2,90 2,89 11

3,28 3,21 3,15 3,07 2,96 2,87 2,82 2,80 2,74 2,73 12

3,15 3,08 3,03 2,95 2,84 2,74 2,70 2,67 2,61 2,60 13

3,05 2,98 2,92 2,84 2,73 2,64 2,59 2,56 2,50 2,50 14

2,96 2,89 2,84 2,76 2,64 2,55 2,50 2,47 2,41 2,40 15

2,89 2,82 2,76 2,68 2,57 2,47 2,42 2,40 2,33 2,32 16

2,82 2,75 2,70 2,62 2,50 2,41 2,35 2,33 2,26 2,26 17

2,77 2,70 2,64 2,56 2,44 2,35 2,30 2,27 2,20 2,20 18

2,72 2,65 2,59 2,51 2,39 2,30 2,24 2,22 2,15 2,14 19

2,68 2,60 2,55 2,46 2,35 2,25 2,20 2,17 2,10 2,09 20

2,64 2,56 2,51 2,42 2,31 2,21 2,16 2,13 2,06 2,05 21

2,60 2,53 2,47 2,39 2,27 2,17 2,12 2,09 2,02 2,01 22

2,57 2,50 2,44 2,36 2,24 2,14 2,08 2,06 1,99 1,98 23

2,54 2,47 2,41 2,33 2,21 2,11 2,05 2,02 1,95 1,94 24

2,51 2,44 2,38 2,30 2,18 2,08 2,02 2,00 1,92 1,91 25

2,49 2,42 2,36 2,28 2,16 2,05 2,00 1,97 1,90 1,89 26

2,47 2,39 2,34 2,25 2,13 2,03 1,97 1,94 1,87 1,86 27

2,45 2,37 2,32 2,23 2,11 2,01 1,95 1,92 1,85 1,84 28

2,43 2,36 2,30 2,21 2,09 1,99 1,93 1,90 1,83 1,82 29

2,41 2,34 2,28 2,20 2,07 1,97 1,91 1,88 1,81 1,80 30

2,29 2,21 2,15 2,07 1,94 1,83 1,77 1,74 1,66 1,65 40

2,22 2,14 2,08 1,99 1,87 1,75 1,69 1,66 1,57 1,56 50

2,12 2,05 1,99 1,90 1,76 1,65 1,58 1,54 1,44 1,43 75

2,08 2,00 1,94 1,85 1,71 1,59 1,52 1,48 1,38 1,36 100

2,01 1,93 1,87 1,78 1,64 1,51 1,44 1,39 1,27 1,25 200

1,99 1,91 1,85 1,75 1,62 1,48 1,41 1,36 1,23 1,21 300

1,98 1,90 1,84 1,74 1,60 1,47 1,39 1,35 1,21 1,18 400

1,97 1,89 1,83 1,74 1,60 1,46 1,38 1,34 1,19 1,17 500

1,96 1,88 1,82 1,72 1,58 1,45 1,36 1,32 1,16 1,13 1000

1;

;;

;12

21

1

mm

mmF

F


27

Tabelle 4: Gamma-Funktion

0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,07 0,08 0,09

1,0 1,000 0,994 0,989 0,984 0,978 0,974 0,969 0,964 0,960 0,956

1,1 0,951 0,947 0,944 0,940 0,936 0,933 0,930 0,927 0,924 0,921

1,2 0,918 0,916 0,913 0,911 0,909 0,906 0,904 0,903 0,901 0,899

1,3 0,898 0,896 0,895 0,893 0,892 0,891 0,890 0,889 0,889 0,888

1,4 0,887 0,887 0,886 0,886 0,886 0,886 0,886 0,886 0,886 0,886

1,5 0,886 0,887 0,887 0,888 0,888 0,889 0,890 0,891 0,891 0,892

1,6 0,894 0,895 0,896 0,897 0,899 0,900 0,902 0,903 0,905 0,907

1,7 0,909 0,911 0,913 0,915 0,917 0,919 0,921 0,924 0,926 0,929

1,8 0,931 0,934 0,937 0,940 0,943 0,946 0,949 0,952 0,955 0,958

1,9 0,962 0,965 0,969 0,972 0,976 0,980 0,984 0,988 0,992 0,996

Erweiterung für 1x : ( ) ( 1) ( 1)x x x

0 1x (1 )( ) sin

xx x

Spezielle Funktionswerte ( ) ( 1)!, 1,2,3,...n n n

1

( )2

2 12 1

(2 ) ( ) ( ), 02

x

x x x x

3 0.53 1 2

(3 ) ( ) ( ) ( ), 02 3 3

x

x x x x x

Gaußsche Multiplikationsformel

(1 ) / 2 1/ 2 1 1( ) (2 ) ( ) ( ) ... ( ), 0, 1,2,3,...n nx nnx n x x x x n

n n


28

Tabelle 5: Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung )()( xXPx

Hinweise

Für 0x ist )(1)( xx zu verwenden

Für 9,3x ist bei der vorgegebenen Genauigkeit 1)( x zu setzen

0,00 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,00 ,5000 ,5040 ,5080 ,5120 ,5160 ,5199 ,5239 ,5279 ,5319 ,5359

0,10 ,5398 ,5438 ,5478 ,5517 ,5557 ,5596 ,5636 ,5675 ,5714 ,5753

0,20 ,5793 ,5832 ,5871 ,5910 ,5948 ,5987 ,6026 ,6064 ,6103 ,6141

0,30 ,6179 ,6217 ,6255 ,6293 ,6331 ,6368 ,6406 ,6443 ,6480 ,6517

0,40 ,6554 ,6591 ,6628 ,6664 ,6700 ,6736 ,6772 ,6808 ,6844 ,6879

0,50 ,6915 ,6950 ,6985 ,7019 ,7054 ,7088 ,7123 ,7157 ,7190 ,7224

0,60 ,7257 ,7291 ,7324 ,7357 ,7389 ,7422 ,7454 ,7486 ,7517 ,7549

0,70 ,7580 ,7611 ,7642 ,7673 ,7704 ,7734 ,7764 ,7794 ,7823 ,7852

0,80 ,7881 ,7910 ,7939 ,7967 ,7995 ,8023 ,8051 ,8078 ,8106 ,8133

0,90 ,8159 ,8186 ,8212 ,8238 ,8264 ,8289 ,8315 ,8340 ,8365 ,8389

1,00 ,8413 ,8438 ,8461 ,8485 ,8508 ,8531 ,8554 ,8577 ,8599 ,8621

1,10 ,8643 ,8665 ,8686 ,8708 ,8729 ,8749 ,8770 ,8790 ,8810 ,8830

1,20 ,8849 ,8869 ,8888 ,8907 ,8925 ,8944 ,8962 ,8980 ,8997 ,9015

1,30 ,9032 ,9049 ,9066 ,9082 ,9099 ,9115 ,9131 ,9147 ,9162 ,9177

1,40 ,9192 ,9207 ,9222 ,9236 ,9251 ,9265 ,9279 ,9292 ,9306 ,9319

1,50 ,9332 ,9345 ,9357 ,9370 ,9382 ,9394 ,9406 ,9418 ,9429 ,9441

1,60 ,9452 ,9463 ,9474 ,9484 ,9495 ,9505 ,9515 ,9525 ,9535 ,9545

1,70 ,9554 ,9564 ,9573 ,9582 ,9591 ,9599 ,9608 ,9616 ,9625 ,9633

1,80 ,9641 ,9649 ,9656 ,9664 ,9671 ,9678 ,9686 ,9693 ,9699 ,9706

1,90 ,9713 ,9719 ,9726 ,9732 ,9738 ,9744 ,9750 ,9756 ,9761 ,9767

2,00 ,9772 ,9778 ,9783 ,9788 ,9793 ,9798 ,9803 ,9808 ,9812 ,9817

2,10 ,9821 ,9826 ,9830 ,9834 ,9838 ,9842 ,9846 ,9850 ,9854 ,9857

2,20 ,9861 ,9864 ,9868 ,9871 ,9875 ,9878 ,9881 ,9884 ,9887 ,9890

2,30 ,9893 ,9896 ,9898 ,9901 ,9904 ,9906 ,9909 ,9911 ,9913 ,9916

2,40 ,9918 ,9920 ,9922 ,9925 ,9927 ,9929 ,9931 ,9932 ,9934 ,9936

2,50 ,9938 ,9940 ,9941 ,9943 ,9945 ,9946 ,9948 ,9949 ,9951 ,9952

2,60 ,9953 ,9955 ,9956 ,9957 ,9959 ,9960 ,9961 ,9962 ,9963 ,9964

2,70 ,9965 ,9966 ,9967 ,9968 ,9969 ,9970 ,9971 ,9972 ,9973 ,9974

2,80 ,9974 ,9975 ,9976 ,9977 ,9977 ,9978 ,9979 ,9979 ,9980 ,9981

2,90 ,9981 ,9982 ,9982 ,9983 ,9984 ,9984 ,9985 ,9985 ,9986 ,9986

3,00 ,9987 ,9987 ,9987 ,9988 ,9988 ,9989 ,9989 ,9989 ,9990 ,9990

3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9

,9987 ,9990 ,9993 ,9995 ,9997 ,9998 ,9998 ,9999 ,9999 ,9999

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