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Beschreibung linearer Systeme im Frequenzbereich
Jan Albersmeyer
Seminar Regelungstechnik
22.11.2002 Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 2
Ziel
Man möchte das Verhalten linearer Systeme der Form
in Abhängigkeit der Steuerungen u(t) beschreiben.
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Bisheriger Ansatz:
Allgemeine Lösung der linearen DGL
oder
Lösung mittels des Zustandsraummodells
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Anderer Ansatz:Frequenzbereichsbeschreibung
Idee
• Zerlege Eingangssignal u(t) in sinusförmige Anteile
• Betrachte Systemantworten für jeden einzelnen sinusförmigen Anteil von u(t)
• Bestimme Ausgangsgröße y(t) durch Überlagerung aller einzelnen Systemantworten(Superposition der Lösungen eines linearen Systems)
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Inhalt I
• Zerlegung der Ausgangssignale in Elementarsignale
• Fourierreihe
• Fouriertransformation
• Laplacetransformation
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Inhalt II
• Berechnung der Systemantworten
• Frequenzgang
• Übertragungsfunktion
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Inhalt III
• Zusammenhang zwischen Zeitbereich und Frequenzbereich
• Pole und Nullstellen der Übertragungsfunktion
• Zeitkonstantenform der Übertragungsfunktion
• Berechnung des Systemverhaltens mittels der Übertragungsfunktion
• Eigenschaften wichtiger Übertragungsglieder im Frequenzbereich
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Zerlegung des Eingangssignals
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Zerlegung des Eingangssignals
� Unterscheidung:• Periodische Signale
• Fourierreihe
• Nicht periodische Signale • Fouriertransformation
• Laplacetransformation
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Fourierreihe� Wir haben eine periodische Funktion f(t)
welche die sog. „dirichletschen Bedingungen“ erfüllt:• Es existiert endliche Zerlegung des
Definitionsbereiches, auf der f monoton und stetig ist
• Grenzwerte in den Unstetigkeitsstellen müssen existieren
•
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Dann kann man f darstellen als:
mit:
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Also kann man f darstellen als eine Überlagerung von Sinus- und Kosinusschwingungen mit diskreten Frequenzen.
Wenn man jetzt von periodischen Eingangssignalen hin zu nichtperiodischen möchte, kann man diese als eine Funktion mit unendlicher Periodendauer auffassen und man braucht zur Darstellung ein kontinuierliches Frequenzspektrum.
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Fouriertransformation
Wir haben eine Funktion f, die die Bedingungen für eine Fourierreihe erfüllt,
also insbesondere absolut integrierbar ist.
(„stabile Funktion“)
Dann erhält man die Fouriertransformiertevon f:
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Man kann dann schließlich f mittels der Fourierumkehrtransformation als Summe von Elementarsignalen mit kontinuierlichem Frequenzspektrum beschreiben:
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Laplacetransformation
• Fouriertransformation:• f muss wegen Forderung der abs.
Integrierbarkeit im Unendlichen verschwinden.
• z.B. die Sprungfunktion hat keine FT
• Idee der Laplacetransformation:• Betrachte statt f(t) modifiziertes Signal:
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Dann ist das modifizierte Signal für genügend großes Delta abs. integrierbar, falls |f(t)| nicht stärker als exponentiell wächst und man erhält die Laplacetransformierte als
und für die Darstellung von f(t) mittels der Rücktransformierten entsprechend
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Definitionsbereich der LT:– Konvergenz des Integrals nur in der Halbebene
für genügend großen Realteil (Delta)– F(s) stellt dort analytische Funktion dar.– Sie kann analytisch fortgesetzt werden auf die
ganze komplexe Ebene bis auf singuläre Punkte.
Gehe daher davon aus, dass LT F(s) in komplexer Ebene ohne singuläre Punkte existiert.Benutze in Zukunft normalerweise LT, weil am weitesten einsetzbar.
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Eigenschaften der LT� Überlagerungssatz
� Verschiebungssatz
� Grenzwertsätze– Satz vom Anfangswert
– Satz vom Endwert
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� Differentiationssatz
� Integrationssatz
� Faltungssatz
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Berechnung der Systemantworten
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Berechnung der Systemantworten
� Frequenzgang– Definition und Berechnung
– Interpretation
– Eigenschaften
– Graphische Darstellung� Ortskurve� Bode-Diagramm
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Berechnung der Systemantworten
� Übertragungsfunktion– Definition und Berechnung
– Eigenschaften
– Graphische Darstellung
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Frequenzgang
� Stabiles lineares System mit sinusförmigem Eingangssignal
� Betrachte Systemausgang für großes t (stationäre Bewegung)
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� Berechne Ausgangsamplituden aus E/A –Beschreibung
� Zuerst für
� Man erhält
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� Stationärer Anteil
� Definiere den Frequenzgang G als
und es folgt
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� Für sinusförmiges Signal erhält man durch Überlagerung
� und damit für gesuchte Amplitude
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Interpretation des Frequenzgangs
� Zerlege Frequenzgang
� Amplitudenveränderung
� Phasenverschiebung
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� Frequenzgang gibt also an– Wie Eingangssignal in Abhängigkeit von
Frequenz verstärkt oder abgeschwächt wird (Amplitudengang).
– Wie sehr Ausgangssignal „ verzögert“ wird(Phasengang).
Frequenzgang über dem gesamten Frequenzbereich betrachtet ist also eindeutige Beschreibung des E/A-Verhaltens des Systems
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Berechnung des Frequenzgangs aus der DGL
Es gilt
und damit
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� Einsetzen in DGL liefert
und schließlich
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� Eigenschaften– Für technisch interessante Systeme
Nennergrad q höchstens Zählergrad n
– Statische Verstärkung des Systems
– Signale hoher Frequenzen
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– Nicht sprungfähige Systeme können also Signale von sehr hoher Frequenz nicht übertragen
– Für sprungfähige nähert sich Amplitudengang dem Durchgriff
– „Symmetrien“ im Argument
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Graphische Darstellung
� Ortskurve– Graphische Darstellung von G in der
komplexen Ebene für den kompletten Frequenzbereich
– Wegen Symmetrie normalerweise nur positiver Bereich
– Hauptteil der Ortskurve durch kleinen Frequenzbereich bestimmt.
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– Beginn mit statischer Verstärkung
– Ende in 0 (nicht sprungfähige Systeme)
– bzw. Ende im Durchgriff (sprungfähige)
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Bode-Diagramm
(Frequenzkennlinien-Diagramm)
– Separate logarithmische Darstellung von � Betrag des Frequenzgangs� Phase des Frequenzgangs
in Abhängigkeit von Frequenz
Bezeichnet als
– Amplitudenkennlinie
– Phasenkennlinie
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– Bode-Diagramm leicht in Ortskurveumwandelbar
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Übertragungsfunktion
– Erweiterung des Frequenzgangs auf Exponentialsignale
– Definiert als
wobei alle Anfangsbedingungen als 0 angenommen werden
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– Zerlegung in Betrag und Phase
– Beziehung wie beim Frequenzgang
(Frequenzgang durch Grenzwertbildung)
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– Zur Bestimmung des Amplitudengangs auch bei instabilen Systemen nur stationäres Verhalten betrachten
(auch bei instabilen Systemen i.a. sinusförmig)
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Berechnung des Übertragungsverhaltens mit Hilfe der Übertragungsfunktion
– Es folgt aus der Definition als E/A-Beschreibung
– Danach Laplacerücktransformation
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Berechnung der Übertragungsfunktion aus der Gewichtsfunktion
– Aus E/A Beschreibung
bekommt man mit Faltungssatz der LT
– Durch Vergleich
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Berechnung der Übertragungsfunktion aus der DGL
– Aus DGL mittels Überlagerungs- und Differentiationssatz der LT
– Führt analog zum Frequenzgang auf
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– Darstellung als gebrochen rationale Funktion stets möglich für Systeme, die durch gew. DGL mit konstanten Koeffizienten beschrieben werden können.
– Betrachte im Folgenden nur solche Übertragungsfunktionen
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Berechnung der Übertragungsfunktion aus dem Zustandsraummodell
– Elementweise LT für Zustandsvektor x
– Differentiationssatz und Überlagerungssatz der LT
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– Inverse existiert für alle s außer für
– Aus Ausgabegleichung
– Zusammengefasst
(Zur Berechnung der Inversen: Fadeev-Algorithmus)
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Eigenschaften der Übertragungsfunktion
– Analog zu Frequenzgang: Statische Verstärkung
– Verhalten für hohe Frequenzen
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Graphische Darstellung
– Komplexe Funktion komplexer Variable� Dreidimensionale Darstellung für Amplitude und
Phase
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� Dreidimensionale Darstellung nicht sehr übersichtlich
� Es reicht auch meist Darstellung wie beim Frequenzgang zur Beschreibung
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Zusammenhang zwischen Zeitbereich und
Frequenzbereich
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Zusammenhang Zeit- und Frequenzbereich
� Pole und Nullstellen der Übertragungsfunktion– Pol – Nullstellenform der Übertragungsfunktion
– Interpretation der Pole und Nullstellen� Pole und Eigenwerte der Systemmatrix A� Nullstellen und Blockierung von Frequenzen
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Zusammenhang zwischen Zeitbereich und
Frequenzbereich� Zeitkonstantenform der
Übertragungsfunktion
� Berechnung des Systemverhaltens mittels der Übertragungsfunktion
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Zusammenhang zwischen Zeitbereich und
Frequenzbereich� Übertragungsfunktionen zusammengeschalteter
Übertragungsglieder– Reihenschaltung– Parallelschaltung– Rückführschaltung
� Beziehungen zwischen Kennfunktionenim Zeit-/Frequenzbereich
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Pole und Nullstellen der Übertragungsfunktion– Aus Darstellung
durch Zerlegung von Zähler und Nenner in Linearfaktoren
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– Pol-Nullstellen-Form
– Graphische Darstellung mittels Pol-Nullstellen-Bild
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– Nullstellen des Zählers heißen Nullstellen
– Nullstellen des Nenners heißen Pole
– Nennerpolynom heißt charakteristisches Polynom des Systems
– Zugehörige Gleichung heißt charakteristische Gleichung
– Entspricht der charakteristischen Gleichung der Systemmatrix A
– Falls sich Pole gg. Nullstellen „rauskürzen“, so werden nicht alle Zustände angeregt oder tragen nicht alle zur Ausgabe bei (vgl. kanonische Darstellung, in der nicht alle Lambdas vorkommen)
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Interpretation der Pole
– Pole der ungekürzten Übertragungsfunktion entsprechen genau den Eigenwerten der Systemmatrix A
– Eigenbewegung des Systems setzt sich aus Exponentialfunktionen zusammen, bei denen die Pole im Exponenten vorkommen
– System ist genau dann stabil, falls alle Realteile der Pole negativ sind
– Frequenzen im Eingangssignal, die Polen entsprechen, werden unendlich verstärkt („peaks“ nach oben in der 3D-Darstellung)
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Interpretation der Nullstellen
– Nullstellen entsprechen Frequenzen, für die G(s) Null wird.
– Ausgangsgröße Y besitzt keine Komponente mit Frequenz der Nullstelle
– System blockiert diese Frequenzen
– Evtl. nur noch Übergangsverhalten, falls Eingabesignal nur aus Nullfrequenzen besteht.
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Zeitkonstantenform der Übertragungsfunktion
– Definiere Zeitkonstanten (Zeitpunkt, zu dem zum Pol gehörender Eigenvorgang auf e-ten Teil von AW angenommen hat ). Nur für stabile Systeme
und analog
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– Man erhält Zeitkonstantenform der Übertragungsfunktion
– Für reelle Pole und Nullstellen mit
erhalte Summenzeitkonstante
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Berechnung des Systemverhaltens mittels der Übertragungsfunktion
– Gegeben:� Übertragungsfunktion G(s)� Eingangssignal u(t)
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1. Berechne Laplacetransformiertedes Eingangssignals
2. Berechne LT des Ausgangssignals aus der LT der Eingangsgröße und der Übertragungsfunktion
3. Bestimmung des Ausgangssignals durch Laplacerücktransformation
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– Rechenschema
Schwierigster Schritt: Laplacerücktransformation
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Übertragungsfunktion zusammengeschalteter Übertragungsglieder
– Gegeben: 2 Teilsysteme
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- Für Reihenschaltung gilt
Daraus folgt
– Analog zum Zeitbereich
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– Schaltbildansicht
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- Für Parallelschaltung gilt
Daraus folgt
– Analog zum Zeitbereich
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– Schaltbildansicht
22.11.2002 Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 68
- Für Rückführschaltung gilt
– Daraus folgt
und
– Im Zeitbereich ist nur implizite Formulierung möglich
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– Schaltbildansicht
22.11.2002 Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 70
Beziehungen zwischen Kennfunktionen im Zeitbereich und Frequenzbereich
Integrationssatz der LTÜbergangsfunktion
ÜbertragungsfunktionGewichtsfunktion
FrequenzbereichZeitbereich
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Endwert des FrequenzgangsAnfangswert der Übergangsfunktion
Statische VerstärkungStatische Verstärkung
FrequenzbereichZeitbereich
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– Graphischer Vergleich zwischen Übergangsfunktion und Frequenzgang
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Eigenschaften einiger Übertragungsglieder im Frequenzbereich
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Literatur
� Lunze: Regelungstechnik I, Kapitel 5