BeVorStudium

Modul Mathematik II

Skript

2017

Dr. Michael Seidl

Erstellt im Rahmen von

OTH mind -

BMBF Verbundprojekt

Vorbemerkung: Der Ubersichtlichkeit halber sind im Text farblich hervorgehoben:

Definitionen (blau), Satze (rot), Beispiele (grun).

Contents

1 Funktionen in der Mathematik 7

1.1 Funktionsterm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Definitionsmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Wertemenge und Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Graphische Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Quadratische Funktionen 9

2.1 Lineare Funktionen als Spezialfall (a = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Die Quadratfunktion (a = 1, b = c = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.1 Die Normalparabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.2 Quadratwurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.3 Irrationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 Der allgemeine Fall (a 6= 0, beliebige Werte von b und c) . . . . . . . . . . 12

2.3.1 Scheitelpunkt-Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3.2 Quadratische Erganzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3.3 Nullstellen: Quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Rationale Funktionen 15

3.1 Potenzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2

3.1.2 Verhalten fur x ≥ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.1.3 Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1.4 Verhalten im Unendlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1.5 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 Ganzrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2.1 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2.2 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2.3 Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3 Gebrochen-rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3.3 Polstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3.4 Nullstellen und Polstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3.5 Asymptoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4 Exponential- und Logarithmusfunktionen 29

4.1 Potenzen mit reellen Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.1.1 Positiv-ganze Exponenten: Potenzgesetze . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.1.2 Negative Exponenten (fur a 6= 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.1.3 Rationale Exponenten (fur a > 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.1.4 Reelle Exponenten (fur a > 0): Intervallschachtelung . . . . . . . . 31

4.2 Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.3 Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3.1 Der Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3.2 Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.3.3 Gleichungen mit Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3

4.3.4 Die drei wichtigsten Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . 37

5 Differenziation 38

5.1 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.2 Grenzwert einer Funktion fur x → x0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.3 Tangentensteigungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.4 Die Ableitung f ′(x) einer Funktion f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.4.1 Einfuhrendes Beispiel: f(x) = 18x(x− 6)2 = 1

8x3 − 3

2x + 9

2. . 42

5.4.2 Weiteres Beispiel: g(x) = −16x3 + 1

2x2 + 3

2x . . . . . . . . . . 43

5.4.3 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.5 Extrema von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6 Geometrie 48

6.1 Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.2 Satze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.2.1 Strahlensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.2.2 Winkelsumme im Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.2.3 Satz des Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6.2.4 Thaleskreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6.3 Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.3.1 Geometrische Definition von Sinus und Cosinus . . . . . . . . . . . 51

6.3.2 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.3.3 Winkel φ > 90◦ oder φ < 0◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.3.4 Sinus und Cosinus als Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.3.5 Gradmaß und Bogenmaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.3.6 Der Cosinussatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7 Vektoren 58

4

7.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

7.2 Punkte und ihre Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.2.1 Punkte in der (Zeichen-) Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.2.2 Punkte im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.3 Vektoren als Pfeilklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7.4 S-Multiplikation und Vektoraddition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7.5 Ortsvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7.6 Geraden und Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7.6.1 Geradengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7.6.2 Ebenengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7.7 Betrag und Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

7.7.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

7.7.2 Skalarprodukt und Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

7.7.3 Skalarprodukt und Vektorprodukt (KURZVERSION) . . . . . . . . 69

7.8 Ebenengleichung in Normalenform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

7.9 Relative Lage von Punkten, Geraden und Ebenen . . . . . . . . . . . . . . 71

7.9.1 Abstand eines Punktes von einer Geraden . . . . . . . . . . . . . . 71

7.9.2 Abstand zweier Geraden voneinander . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

8 Integrale 73

8.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

8.1.1 Positive Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

8.1.2 Lineare Funktionen als Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

8.1.3 Negative Funktionswerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

8.1.4 Vertauschte Integrationsgrenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

8.2 Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung (HDI) . . . . . . . . . . . 77

5

8.3 Beweis des HDI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

8.4 Integrale der Grundfunktionen: Integraltabellen . . . . . . . . . . . . . . . 81

6

1 Funktionen in der Mathematik

1.1 Funktionsterm

Def.: Eine Funktion f ordnet jeder Zahl x (aus einer Definitionsmenge Df ⊆ R)nach einer gegebenen Vorschrift jeweils eine Zahl y zu,

f : x 7→ y. (1)

Diese Vorschrift wird durch einen Funktionsterm f(x) gegeben, y = f(x).

Ein Beispiel soll dies erlautern.

Bsp.: Wir betrachten die Funktion f mit dem Term

f(x) = x +3

x− 2. (2)

f ordnet etwa der Zahl x = 6 die Zahl y = 4.5 zu, denn:

y = f(6)

= 6 +3

6− 2 = 4.5, f : 6 7→ 4.5. (3)

Auf dieselbe Weise finden wir:

1 7→ 2, 2 7→ 1.5, 3 7→ 2, 4 7→ 2.75, 5 7→ 3.6, 6 7→ 4.5, etc.

Deutung: Eine 200 km lange Hochspannungsleitung soll gebaut werden.Der Term (2) konnte die Betriebskosten y = f(x) (in Millonen Euro) darstellen,wenn x (in 100 kV) die Betriebspannung ist:Fur gunstige Kosten y darf die Spannung x weder zu niedrig (ohmsche Verluste!)noch zu hoch (Isolationsaufwand!) sein. Optimale Wahl: x ≈ 2 (200 kV).

1.2 Definitionsmenge

Def.: Die MengeDmaxf (maximale Definitionsmenge von f) umfaßt alle Zahlen

x ∈ R, die beim Einsetzen in den Term f(x) einen wohldefinierten Wert y liefern.Jede Teilmenge Df von Dmax

f kann als Definitionsmenge von f gewahlt werden.

Fur den Term f(x) = x+ 3x− 2 gilt

Dmaxf = R\{0}. (4)

Im Modell fur die Hochspannungsleitung wird man die Teilmenge Df = R+ wahlen.

7

1.3 Wertemenge und Nullstellen

Def.: Die Wertemenge Wf der Funktion f ist die Menge der fur alle x ∈ Df

auftretenden Funktionswerte y = f(x).

• Qualitativ erkennt man Wf am Graphen Gf der Funktion f , siehe Abschnitt 1.4.• Ein gegebener Wert y0 gehort zu Wf , also y0 ∈ Wf , wenn die Gleichung

f(x) = y0 (5)

(mindestens) eine Losung x = x0 hat.• Gilt insbesondere 0 ∈ Wf , so hat f mindestens eine Nullstelle:

Def.: Die Zahl x0 ∈ Df heißt Nullstelle der Funktion f , wenn gilt

f(x0) = 0. (6)

1.4 Graphische Darstellung

Eine Wertetabelle aus Zahlenpaaren (x|f(x)) fur den Term (2) mit x ∈ Df ist:

x 0.5 1 1.5 2 3 4 5 6f(x) 4.5 2 1.5 1.5 2 2.75 3.6 4.5

Die Abbildung zeigt die Wertepaare (x|f(x)) der Tabelle als rote Punkte in der xy-Ebene.Die Menge aller Wertepaare (x|f(x)) bildet den Graphen Gf von f (blaue Kurve).

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

Wahlen wir also Df = [0,+∞[ = R+,so ist offenbar Wf = [ymin,+∞[ , mit ymin ≈ 1.46.Spater werden wir den genauen Wert ymin = 2

√3− 2 ≈ 1.4641 bestimmen.

Bem. 1: Df und Wf sind die Projektionen des Graphen Gf auf die x- bzw. y-Achse.Bem. 2: Die Nullstellen von f sind die Schnittpunkte von Gf mit der x-Achse.

8

2 Quadratische Funktionen

Def.: Eine quadratische Funktion hat allgemein den Funktionsterm

f(x) = a x2 + b x + c, (7)

mit beliebigen fest vorgegebenen Zahlen (Koeffizienten) a, b, c ∈ R.

Bsp.: Im Fall a = −2, b = 15, c = −8 ergibt sich der Term

f(x) = −2 x2 + 15 x − 8. (8)

Der maximale Definitionsbereich einer quadratischen Funktion ist also

Dmaxf = R. (9)

Bem.: Die Funktion f(x) = x+ 3x− 2 aus Abschnitt 1.1 ist nicht quadratisch.

2.1 Lineare Funktionen als Spezialfall (a = 0)

Im Fall a = 0 wird aus einer quadratischen eine lineare Funktion,

f(x) = b x + c. (10)

Deren Graph ist eine Gerade mit Steigung b und mit y-Achsenabschnitt c.Die Abbildung zeigt den Graphen im Fall f(x) = 1

2x− 1, also mit b = 1

2und c = −1.

In roter Farbe ist ein Steigungsdreieck angedeutet.

1 2 3 4 5

-1

1

2

Die Nullstellen der linearen Funktion f(x) = bx+ c sind die Losungen der Gleichung

b x + c = 0. (11)

Im Fall b 6= 0 gibt es also immer genau eine Nullstelle,

x0 = −c

b. (12)

Ab jetzt betrachten wir nur noch den Fall a 6= 0.

9

2.2 Die Quadratfunktion (a = 1, b = c = 0)

Im speziellen Fall mit a = 1 und b = c = 0 haben wir

f(x) = x2. (13)

2.2.1 Die Normalparabel

Zur graphischen Darstellung dieser Funktion erstellen wir eine Wertetabelle.

x −3 −2 −1 0 1 2 3y 9 4 1 0 1 4 9

Der Graph heißt Normalparabel.

-3 -2 -1 1 2 3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Die Normalparabel ist achsensymmetrisch bezuglich der y-Achse.Ihr Scheitelpunkt (tiefster Punkt) sitzt im Ursprung.

Die Parabel ist ein Beispiel fur einen Kegelschnitt aus der Geometrie.

10

2.2.2 Quadratwurzeln

Die Zahl a2 heißt das Quadrat der Zahl a ∈ R.• Das Quadrat einer Zahl a ∈ R kann nicht negativ sein; fur a = −5 gilt etwa

a2 = (−5)2 = (−5) · (−5) = 5 · 5 = 25 > 0. (14)

• Gilt a2 = 0, so muß a = 0 sein.

Umgekehrt zeigt die Normalparabel:Jede Zahl a > 0 ist das Quadrat genau zweier Zahlen x1 < 0 und x2 > 0 (mit x1 = −x2).(Die Zahl a = 0 ist das Quadrat nur von sich selbst.)

Def.: Unter der Wurzel einer Zahl a ≥ 0 verstehen wir jene eindeutig bestimmte,nicht-negative Zahl x ≥ 0, deren Quadrat a ist, x2 = a. Man schreibt

x =√a. (15)

Wichtig: Fur negative Zahlen a < 0 ist die Wurzel√a nicht definiert.

(Allerdings: Bei den komplexen Zahlen wird die imaginare Einheit i =√−1 definiert.)

Bsp.: Einige Wurzeln sind etwa

√4 = 2,

√9 = 3,

√25 = 5,

√100 = 10,

√10000 = 100. (16)

Weitere Beispiele sind

√0.25 = 0.5,

√0.36 = 0.6,

√1.21 = 1.1,

√0.01 = 0.1. (17)

Insbesondere gilt

√1 = 1,

√0 = 0. (18)

2.2.3 Irrationale Zahlen

Eine sorgfaltige Zeichnung der Normalparabel zeigt:

1.4 <√2 < 1.5. (19)

Der genaue Wert von x =√2 kann keine rationale Zahl sein,

√2 /∈ Q.

Ware namlich x = pq∈ Q, mit zwei ganzen Zahlen p, q ∈ Z, so hatten wir

2 = x2 =(p

q

)2

=p2

q2⇒ p2 = 2 · q2. (20)

Dies stunde im Widerspruch zur Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung.

11

2.3 Der allgemeine Fall (a 6= 0, beliebige Werte von b und c)

Vorbemerkung: Wir erinnern an die binomischen Formeln

(x + u)2 = x2 + 2u x + u2, (21)

(x − u)2 = x2 − 2u x + u2. (22)

2.3.1 Scheitelpunkt-Form

Bsp. 1: Betrachte den Funktionsterm

f(x) = 3 · (x− 4)2 + 2. (23)

Wegen (x− 4)2 = x2 − 8 x+ 16 handelt es sich um eine quadratische Funktion,

f(x) = 3 · (x2 − 8 x + 16) + 2 (24)

= 3 x2 − 24 x + 50. (25)

Die ursprungliche Form, Gl. (23), auch Scheitelpunkt-Form genannt, hat jedoch denVorteil, daß man aus ihr Lage und Form des Graphen Gf direkt ablesen kann:

Satz 1: Ist eine quadratische Funktion gegeben in der sog. Scheitelpunkt-Form

f(x) = a · (x− xS)2 + yS, (26)

mit drei festen Zahlen a, xS, yS (in Bsp. 1 ist a = 3, xS = 4 und yS = 2),so geht der Graph Gf aus der Normalparabel hervor durch:(1) Streckung um den Faktor m = |a| in y-Richtung,

sowie, falls a < 0, Spiegelung an der x-Achse;(2) Verschiebung um xS in x-Richtung;(3) Verschiebung um yS in y-Richtung.Der Graph Gf ist also eine nach oben (a > 0) oder nach unten (a < 0) geoffneteParabel, mit dem Scheitelpunkt S(xS|yS).

-1 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5 Fur die Funktion aus Bsp. 1,

f(x) = 3 · (x− 4)2 + 2

= 3 x2 − 24 x + 50

ist also m = 3 und (xS|yS) = (4|2).Folglich (Abb.) entsteht ihr Graph Gf (rot)aus der Normalparabel (schwarz) durch:(1) Streck. um m = 3 in y-Richtung (blau),(2) Versch. um xS = 4 in x-Richtung (grun),(3) Versch. um yS = 2 in y-Richtung (rot).

12

Bsp. 2: Der Graph der Funktion f mit dem Term

f(x) = −14· (x+ 6)2 + 7

= −14x2 − 3 x − 2 (27)

ist eine um m = 14gestreckte, also um den Faktor 1

m= 4 gestauchte,

nach unten (a = −14< 0) geoffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt S(−6|7).

2.3.2 Quadratische Erganzung

Satz 2: Jede quadratische Funktion f(x) = ax2 + bx+ c, mit beliebigen Wertender Koeffizienten a, b und c, laßt sich auf Scheitelpunkt-Form bringen,

f(x) = a x2 + b x + c

= a · (x − xS)2 + yS. (28)

Die Koordinaten (xS|yS) sind durch a, b und c jeweils gegeben durch

xS = − b

2a, yS = c − b2

4a. (29)

Beweis: Die binomische Formel (x+ u)2 = x2 + 2u x+ u2 liefert

a ·(x − xS

)2+ yS = a ·

(

x +b

2a

)2

+(

c − b2

4a

)

= a ·(

x2 +b

a· x +

b2

4a2

)

+(

c − b2

4a

)

= a x2 + b x +b2

4a+

(

c − b2

4a

)

= a x2 + b x + c. (30)

Bem. 1: Wenn man die Formeln (29) nicht auswendig kennt,so kann man sie durch quadratische Erganzung gewinnen:

a x2 + b x + c = a ·[

x2 +b

ax]

+ c

= a ·[

x2 +b

ax +

( b

2a

)2

−( b

2a

)2]

+ c

= a ·[

x2 +b

ax +

( b

2a

)2]

− a · b2

4a2+ c. (31)

Hier bildet die eckige Klammer ein vollstandiges Quadrat (binomische Formel !),

a x2 + b x + c = a ·[

x +b

2a

]2

+(

− b2

4a+ c

)

= a · (x − xS)2 + yS. (32)

Bem. 2: Nach Satz 1 und 2 ist der Graph jeder quadratischen Funktion eine Parabel.

13

2.3.3 Nullstellen: Quadratische Gleichungen

Die Nullstellen einer quadratische Funktion (quF)

f(x) = a x2 + b x + c (33)

sind genau die Losungen einer quadratischen Gleichung (quG):

Def.: Eine quadratische Gleichung hat allgemein die Form

a x2 + b x + c = 0, (34)

mit einer Variable x und drei vorgegebenen Zahlen (Koeffizienten) a, b, c ∈ R.Die Zahl D = b2 − 4ac heißt Diskriminante der quadratischen Gleichung.

Da der Graph Gf eine Parabel ist, betragt die Anzahl N der Nullstellen von f(Schnittpunkte der Parabel Gf mit der x-Achse) entweder N = 2, N = 1 oder N = 0:

Satz: Alle N Losungen der quG (34) ergeben sich aus der Formel

x1,2 =−b ±

√b2 − 4ac

2a. (35)

Hinsichtlich der Diskriminante D = b2 − 4ac sind drei Falle zu unterscheiden:

Fall 1, D > 0: Jetzt liefert die Formel zwei verschiedene Losungen (N = 2),

x1 =−b +

√b2 − 4ac

2a, x2 =

−b −√b2 − 4ac

2a. (36)

Fall 2, D = 0: Mit√b2 − 4ac = 0 wird x1 = x2, und es gibt nur eine Losung (N = 1),

x1 = x2 = − b

2a. (37)

Dies ist offenbar der Fall, wenn der Scheitel von Gf genau auf der x-Achse liegt.

Fall 3, D < 0: Jetzt ist√b2 − 4ac nicht definiert, und es gibt keine Losung (N = 0).

Jetzt liegt der Scheitel nicht auf der x-Achse, und Gf ist von dieser weg geoffnet.

Bsp: Hier sind einige quadratische Gleichungen mit ihren Losungen x1 und x2.

Quadratische Gleichung a b c D√b2 − 4ac N x1 x2 Fall

x2 − 2x− 3 = 0 1 −2 −3 16 4 2 −1 3 Fall 1x2 + 5x+ 4 = 0 1 5 4 9 3 2 −1 −4 Fall 1x2 − 6x+ 9 = 0 1 −6 9 0 0 1 3 (3) Fall 2x2 + 2x+ 3 = 0 1 2 3 −8 - 0 - - Fall 3

14

3 Rationale Funktionen

3.1 Potenzfunktionen

3.1.1 Definition

Def.: Eine Funktion f : x 7→ y = f(x) heißt Potenzfunktion, wenn

f(x) = a xn, (38)

mit einem Koeffizienten a ∈ R und einem Exponenten n ∈ R.

Wir beschranken uns vorerst auf positiv-ganzzahlige Exponenten n,

n ∈ {1, 2, 3, ...}. (39)

In diesem Fall gilt Dmaxf = R.

3.1.2 Verhalten fur x ≥ 0

Bsp.: Wir betrachten die vier wichtigsten Falle, jeweils mit a = 1,

f(x) = x, f(x) = x2, f(x) = x3, f(x) = x4. (40)

• n = 1: Diese (lineare!) Funktion f(x) = x heißt auch identische Funktion.• n = 2: Dies ist die Quadratfunktion f(x) = x2.• n = 3: Die einfachste kubische Funktion f(x) = x3.• n = 4: f(x) = x4 hat keinen gebrauchlichen Namen.Fur diese Funktionen erstellen wir eine Wertetabelle.

x 0 0.1 0.2 0.5 0.8 1 1.1 1.2 2 3

x2 0 0.01 0.04 0.25 0.64 1 1.21 1.44 4 9x3 0 0.001 0.008 0.125 0.512 1 1.331 1.728 8 27x4 0 0.0001 0.0016 0.0625 0.4096 1 1.4641 2.0736 16 81

Diese Tabelle zeigt zweierlei:• Ist x > 0 aber x ≪ 1 (”x deutlich kleiner als 1”, etwa x = 0.1), so gilt

x2 ≫ x3 ≫ x4. (41)

• Ist x > 0 und x ≫ 1 (”x deutlich großer als 1”, etwa x = 3), so gilt

x2 ≪ x3 ≪ x4. (42)

Dieses Verhalten wird am besten durch die Graphen der Funktionen illustriert.

15

0.1 0.2 0.5 0.8 1 1.1 1.2

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

1

1.5

2

Figure 1: Die Graphen Gf von f(x) = x2 (blau), x3 (grun) und x4 (rot).

.

16

3.1.3 Symmetrie

Sei x ∈ R eine beliebige Zahl: Entweder x < 0 oder x = 0 oder x > 0.Auf der Zahlengerade (x-Achse) gilt stets:Die Zahl −x ist das Spiegelbild der Zahl x bezuglich der Zahl 0.

Bsp.: Zwei Zahlen x und ihr Spiegelbild:

x = 5 ⇒ −x = −5, (43)

x = −18 ⇒ −x = −(−18) = 18. (44)

Die Funktion f habe eine symmetrische Definitionsmenge Df :Mit x ∈ Df sei stets auch −x ∈ Df .Dann gilt fur den Graphen Gf von f offenbar:

• Gf ist achsensymmetrisch (bezuglich der y-Achse) genau dann, wenn

f(−x) = f(x) (fur alle x ∈ Df ). (45)

• Gf ist punktsymmetrisch (bezuglich des Ursprungs) genau dann, wenn

f(−x) = −f(x) (fur alle x ∈ Df ). (46)

Meistens hat Gf keine dieser Symmetrien!Fur die Funktion f(x) = (x− 1)2 gilt etwa:

f(−x) = (−x− 1)2 =[− (x+ 1)

]2= (x+ 1)2 6=

{f(x),−f(x).

(47)

Hier gilt also weder f(−x) = f(x) noch f(−x) = −f(x)!

Die Potenzfunktionen bilden jedoch eine besondere Klasse:

Bsp.: Fur die Funktionen f(x) = x2 und g(x) = x3 gilt offenbar

f(−x) = (−x)2 = (−x) · (−x) = x2 = f(x), (48)

g(−x) = (−x)3 = (−x) · (−x) · (−x) = −x3 = −g(x). (49)

Daher ist Gf achsen- und Gg punktsymmetrisch.

Fur f(x) = xn folgern wir allgemein:• Gf ist achsensymmetrisch, wenn n ∈ {2, 4, 6, ...} gerade ist.• Gf ist Punktsymmetrisch, wenn n ∈ {1, 3, 5, ...} ungerade ist.

Zur Illustration dieser Symmetrien zeigt die Abbildung die Graphen fur n = 1, 2, 3, 4, 5.

17

-1 1

-2

-1

1

2

Figure 2: Die Graphen Gf von f(x) = x2 (blau), x3 (grun), x4 (rot) und x5 (gelb).

3.1.4 Verhalten im Unendlichen

Aus dieser Abbildung erkennt man außerdem:

Die Funktionen f(x) = xn zeigen fur große Werte von |x| das Verhalten

x → +∞ : f(x) → +∞, (50)

x → −∞ : f(x) →{

+∞ (n gerade),−∞ (n ungerade).

(51)

Dasselbe gilt fur f(x) = axn, solange der Koeffizient a positiv ist, a > 0.Ist dagegen a negativ, a < 0, so kehrt sich das Vorzeichen von f(x) = axn um.

18

3.1.5 Monotonie

In moglichst anschaulichen Worten erklaren wir:

Eine Funktion f heißt monoton, wenn ihr Funktionswert f(x) mit wachsendem x• entweder nie abnimmt• oder nie zunimmt.

f heißt steng monoton, wenn f(x)• entweder immer zunimmt• oder immer abnimmt.

Der Graph Gf ist dann in der xy-Ebene (”von links nach rechts”)• entweder steigend• oder fallend.

1 2 3 4

1

2

Figure 3: Die Graphen einer streng monotonen (blau), monotonen (grun) und nicht mono-tonen Funktion (rot).

In mathematisch praziser Formulierung erklaren wir:

Def.: Das Intervall I = [a; b] liege innerhalb der Definitionsmenge Df .x1, x2 ∈ I seien zwei beliebige Zahlen aus I mit x1 < x2.Dann heißt die Funktion f :• in I streng monoton steigend (”sms”), wenn stets gilt

f(x1) < f(x2); (52)

• in I streng monoton fallend (”smf”), wenn stets gilt

f(x1) > f(x2). (53)

(Der Zusatz ”streng” fallt weg, wenn statt ”<” bzw. ”>” nur ”≤” bzw. ”≥” gilt.)

Satz: Die Potenzfunktionen f(x) = xn sind:• fur ungerade n ∈ {1, 3, 5, ...} auf I = R sms,• fur gerade n ∈ {2, 4, 6, ...} auf I = R−

0 smf und auf I = R+0 sms.

19

3.2 Ganzrationale Funktionen

3.2.1 Polynome

Eine typische quadratische Funktion ist

f(x) = 2 x2 − 5 x + 3. (54)

Spezialfalle quadratischer Funktionen sind lineare und konstante Funktionen, etwa

g(x) = 4x + 3, (55)

h(x) = 6. (56)

Es liegt nahe, Terme mit hoheren Potenzen der Variable x zu betrachten:

Bsp.: Ein sog. Polynom 3-ten Grades ist etwa

f(x) = 2 x3 − 6 x2 + 3 x + 1. (57)

Im Hinblick auf Polynome beliebigen Grades schreiben wir dafur allgemein

f(x) = a x3 + b x2 + c x + d

= a3 x3 + a2 x

2 + a1 x + a0. (58)

Def.: Unter einem Polynom n-ten Grades versteht man einen Term der Form

f(x) = an xn + an−1 x

n−1 + ... + a1 x + a0 (an 6= 0), (59)

wobei n ∈ {0, 1, 2, ...}.

Bsp.: Die Tabelle zeigt die Koeffizienten einiger Polynome 6-ten Grades (n = 6):

f(x) a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0

−7x6 + 3x5 + 18x4 + 2x3 − 5x2 − 4x+ 19 −7 3 18 2 −5 −4 19x6 − 3x5 + 7x3 − 8x+ 1 1 −3 0 7 0 −8 1

x6 + x3 + 1 1 0 0 1 0 0 11− x+ x2 − x3 + x4 − x5 + x6 1 −1 1 −1 1 −1 1

64− x6 −1 0 0 0 0 0 64

Spezialfalle sind konstante (n = 0), lineare (n = 1) und quadratische Polynome (n = 2),

f(x) = a0,

f(x) = a1 x + a0,

f(x) = a2 x2 + a1 x + a0.

20

3.2.2 Definition

Def.: Eine Funktion f : x 7→ y = f(x), deren Term f(x) ein Polynom n-tenGrades ist, heißt ganzrationale Funktion (GRF) n-ten Grades.

Die Abbildung zeigt die Graphen folgender GRF.

f(x) =1

10

(

x3 + 2x2 − 5x− 20)

,

g(x) =1

10

(

x4 − 2x3 − 5x2 + 8x+ 20)

,

h(x) =1

10

(

2x5 − 2x4 − 8x3 + 9x2 + 3x− 10)

. (60)

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

Figure 4: Die Graphen Gf (blau), Gg (grun) und Gh (rot) der Funktionen (60).

3.2.3 Nullstellen

(a) Allgemeines

Eine GRF n-ten Grades,

f(x) = an xn + an−1 x

n−1 + ..., (61)

• hat maximal n verschiedene Nullstellen x1, x2, ...,• hat maximal n Monotonie-Intervalle.• Das Verhalten im Unendlichen ist identisch mit demjenigen des fuhrenden Terms

g(x) = an xn (eine Potenzfunktion). (62)

• Ist n ∈ {1, 3, 5, ...} ungerade, so gibt es immer mindestens eine Nullstelle x1.

21

(b) Nullstellen aus Losungsformeln

1. Fall, n = 1: Die lin. Funkt. f(x) = a1x+ a0, mit a1 6= 0, hat die einzige Nullstelle

x1 = −a0a1

. (63)

2. Fall, n = 2: Die quadr. Funkt. f(x) = a2x2 + a1x + a0, mit a2 6= 0, kann zwei, eine

oder keine Nullstellen haben,

x1,2 =−a1 ±

√

a21 − 4a2a02a2

. (64)

(c) Polynomdivision

3. Fall, n ≥ 3: In diesem Fall ist die Situation komplizierter.Kann man eine Nullstelle x1 erraten, so hilft folgender Satz weiter.

Satz: Hat eine GRF f(x) vom Grade n eine Nullstelle x1,so gibt es eine GRF g(x) vom Grade n− 1 mit der Eigenschaft

f(x) = (x− x1) · g(x). (65)

Alle weiteren Nullstellen x2, x3, ... von f(x) sind dann diejenigen von g(x).

Bsp.: Hier ist eine GRF 3-ten Grades:

f(x) = 3 x3 + 5 x2 − 4 x − 4. (66)

Sie hat offenbar die Nullstelle x1 = 1. Daher gilt

f(x) = (x− 1) · g(x), (67)

mit einer quadratischen Funktion g(x).

Dieses g(x) findet man systematisch durch Polynomdivision, g(x) = f(x) : (x− 1),

g(x) = (3 x3 + 5 x2 − 4 x − 4) : (x− 1) = 3 x2 + 8 x + 4.

−(3 x3 − 3 x2)

8 x2 − 4 x

−(8 x2 − 8 x)

4 x − 4 (68)

Die beiden weiteren Nullstellen x2 und x3 von f(x) sind dann diejenigen von g(x),

x2,3 =−8±

√82 − 4 · 3 · 46

=

{−2

3,

−2.(69)

22

(d) Faktorisierung von f(x) und Vielfachheit der Nullstellen

Bsp.: Wir betrachten eine GRF vom Grade n = 5:

f(x) = x5 − 11 x4 + 44 x3 − 86 x2 + 88 x − 40. (70)

Durch Ausmultiplizieren kann man (ruckwarts) prufen, daß gilt

f(x) = (x− 2)2 · (x− 5) · g(x), (71)

mit g(x) = x2 − 2x+ 2.

Der Faktor g(x) kann nicht null werden, g(x) 6= 0, denn es gilt

g(x) = (x− 1)2 + 1 ≥ 1. (72)

Daher heißt der Ausdruck (71) die faktorisierte Form des Polynoms f(x).Die drei Faktoren (x− 2), (x− 2) und (x− 5) heißen Linearfaktoren (LF).g(x) heißt irreduzibler Faktor, da er nicht als Produkt von LF darstellbar ist.

Aus der faktorisierten Form (71) liest man direkt ab:• Die Funktion f hat nur zwei verschiedene Nullstellen: x1 = 2 und x2 = 5.• Dabei ist x1 = 2 eine doppelte und x2 = 5 eine einfache Nullstelle.

Def.: Tritt in der faktorisierten Form eines Polynoms f(x) der Faktor

(x− xk)ℓ (wobei ℓ ∈ {1, 2, 3, ...}) (73)

auf, so nennt man xk eine ℓ-fache Nullstelle von f .Man sagt auch: Die Nullstelle xk hat die Vielfachheit ℓ.

Satz: Sei xk eine ℓ-fache Nullstelle von f .Wachst x von x < xk zu Werten x > xk, so zeigt f(x) bei x = xk:• einen Vorzeichenwechsel (VZW), wenn ℓ ∈ {1, 3, 5, ...} ungerade ist;• keinen VZW, wenn ℓ ∈ {2, 4, 6, ...} gerade ist.

Um diese Aussage zu uberprufen, erstellen wir fur den Ausdruck (71) eineVorzeichentabelle.

x x < 2 2 < x < 5 x > 5f(x) < 0 < 0 > 0

23

3.3 Gebrochen-rationale Funktionen

3.3.1 Definition

Def.: Eine Funktion f , deren Term folgende Form hat

f(x) =p(x)

q(x), (74)

wobei p(x) und q(x) zwei Polynome sind, heißt gebrochen-rationale Funktion.

Die Nullstellen x1, ..., xk des Nenners q(x) mussen aus Df ausgeschlossen werden,

Df = R\{x1, ..., xk}. (75)

Sie heißen Definitionslucken.

3.3.2 Beispiel

Bsp.: Mit p(x) = x− 3 und q(x) = x− 1 ergibt sich die Funktion

f(x) =x− 3

x− 1, Df = R\{1}. (76)

Zur graphischen Darstellung erstellen wir eine Wertetabelle,

x −2 −1 0 1 2 3 4y 5

32 3 n. d. −1 0 1

3

-2 -1 1 2 3 4

-1

1

2

3

Wir sehen:• Die Nullstelle x1 = 3 des Zahlers p(x) = x− 3 ist auch Nullstelle von f(x).• Die Nullstelle x2 = 1 des Nenners q(x) = x− 1 ist eine sog. Polstelle von f(x).

24

3.3.3 Polstellen

Anschaulich: Polstellen sind Definitionslucken einer gebrochen-rationalen Funktion f ,in deren Umgebung der Betrag |f(x)| des Funktionswerts f(x) unbegrenzt anwachst.

Bsp.: (Nochmals) Die Funktion f(x) = x−3x−1

, mit der Definitionslucke x0 = 1.

Der Graph Gf zeigt:• Nahert sich x von links dem Wert x0 = 1, so strebt der Funktionswert f(x) gegen +∞.• Nahert sich x von rechts dem Wert x0 = 1, so strebt f(x) gegen −∞.Man schreibt dafur (mit dem Zeichen ”lim” fur Limes = Grenzwert)

limx→x0−0

f(x) = +∞, limx→x0+0

f(x) = −∞. (77)

Um diese Aussagen prazise zu fassen, brauchen wir einige Begriffe.

Def.: Fur β > 0 verstehen wir unter der β-Umgebung von x0 das offene Intervall

Uβ(x0) = ]x0 − β , x0 + β[ . (78)

Zusatzlich definieren wir die punktierte Umgebung U∗β(x0) = Uβ(x0)\{x0}.

-1 1 2 3 4

Figure 5: Die Umgebung U0.8(1) (rot) und die punktierte Umgebung U∗0.5(3) (grun).

Def.: Die Funktion f sei in einer punktierten Umgebung U∗β(x0) von x0 definiert,

U∗β(x0) ⊆ Df (fur ein gewisses β > 0). (79)

Dann sagt man, f habe bei x0 den linksseitigen Grenzwert +∞ (bzw. −∞),

limx→x0−0

f(x) = +∞ (bzw. −∞), (80)

wenn es zu beliebig großem T > 0 stets ein hinreichend kleines δ > 0 gibt,sodaß fur alle x mit x0 − δ < x < x0 gilt

f(x) > T(

bzw. f(x) < −T)

. (81)

Entsprechend wird der rechtsseitige Grenzwert ±∞ definiert,

limx→x0+0

f(x) = +∞ (bzw. −∞), (82)

indem man die Bedingung x0 − δ < x < x0 ersetzt durch x0 < x < x0 + δ.

25

Jetzt konnen wir prazise definieren:

Def.: Eine Definitionslucke x0 heißt Polstelle der gebrochen-rationalen Funktionf , wenn gilt

limx→x0−0

f(x) = ±∞ und limx→x0+0

f(x) = ±∞. (83)

(Das Symbol ±∞ steht jeweils fur ”entweder +∞ oder −∞”.)

3.3.4 Nullstellen und Polstellen

Alle Null- und Polstellen einer gebrochen-rationalen Funktion f lassen sich direkt ablesen,wenn Zahler- und Nennerpolynom p(x) bzw. q(x) jeweils vollstandig faktorisiert sind.

Bsp.: Eine gebrochen-rationale Funktion in derart faktorisierter Form ist etwa

f(x) =p(x)

q(x)=

(x+ 4) (x+ 3) (x+ 2)2 (x− 2)2 (x2 + 1)

(x+ 4) (x+ 3)2 (x+ 1)2 (x− 1) (x− 2) (x2 + 2), (84)

da (x2 + 1) > 0 und (x2 + 2) > 0 irreduzibel sind (nicht null werden konnen).

Die Definitionslucken von f sind genau die Nullstellen des Nenners q(x),

Df = R\{−4,−3,−1, 1, 2}. (85)

Fur alle x ∈ Df ist f(x) identisch mit dem vollstandig gekurzten Term

g(x) =(x+ 2)2 (x− 2) (x2 + 1)

(x+ 3) (x+ 1)2 (x− 1) (x2 + 2). (86)

Beachte: Zahler und Nenner von g(x) haben keine gemeinsame Nullstelle mehr!Die Nullstellen-Menge N von f umfaßt alle Zahlernullstellen von g, die zu Df gehoren,

N = {−2, 2} ∩ Df = {−2}. (87)

Die Menge P der Polstellen von f ist diejenige der Nennernullstellen von g,

P = {−3,−1, 1}. (88)

Alle Definitionslucken von f , die keine Polstellen sind, bilden die Menge

H = {−4, 2}, (89)

der sog. hebbaren Definitionslucken. Den Graphen Gf von f erhalt man aus demGraphen Gg von g, indem man alle Punkte (x|g(x)) mit x ∈ H entfernt (”Locher”).

Um eine Vorstellung vom Graphen Gg zu gewinnen, legen wir eine Vorzeichentabelle an.

x x < −3 −3 < x < −2 −2 < x < −1 −1 < x < 1 1 < x < 2 x > 2sgn g(x) − + + + − +

26

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

3

4

Figure 6: Der Graph der Funktion f(x) aus (84).

.

27

3.3.5 Asymptoten

Anschaulich: Die Asymptoten einer Funktion f sind Geraden in der xy-Ebene, denen derGraph Gf in hinreichend großer Entfernung vom Ursprung (0|0) ”beliebig nahe kommt”.

Um diese Aussage prazise zu fassen, brauchten wir einige Begriffe, etwa:

Def.: Die Funktion f hat fur x → ∞ (bzw. x → −∞) den Grenzwert 0,

limx→∞

f(x) = 0(

limx→−∞

f(x) = 0)

, (90)

wenn es zu beliebig kleinem ǫ > 0 stets ein hinreichend großes T > 0 gibt,sodaß fur alle x mit x > T (bzw. x < −T ) gilt

|f(x)| < ǫ. (91)

Damit laßt sich der Begriff Asymptote prazise definieren (siehe [dtv2, S. 305]).

Satz: Gegeben sei die gebrochen-rationale Funktion

f(x) =p(x)

q(x). (92)

Der Grad des Zahlerpolynoms p(x) sei np, der des Nennerpolynoms q(x) sei nq.• Ist x0 Polstelle von f , so ist die Gerade x = x0 vertikale Asymptote von Gf .Hinsichtlich der ubrigen Asymptoten unterscheiden wir folgende vier Falle.• np < nq: Die x-Achse y = 0 ist horizontale Asymptote von Gf .• np = nq: Es gibt eine horizontale Asymptote y = y0 von Gf , mit y0 6= 0.• np = nq + 1: Es gibt eine schrage Asymptote y = mx+ t von Gf .• np ≥ nq + 2: Gf hat keine Asymptoten.

Bestimmung der schragen Asymptoten durch Polynomdivision:Im Fall np ≥ nq fuhrt Polynomdivision nach 1 + np − nq Schritten auf die Form

f(x) =p(x)

q(x)=

a xnp + ...

b xnq + ...= fasy(x) +

r(x)

q(x), (93)

mit einem einfacheren Polynom fasy(x) und einem Restpolynom r(x) vom Grad nr < nq.

Bsp.:

f(x) =p(x)

q(x)=

x3 + 5x2 − 6x + 4

2x2 + 3x − 5= 1

2x + 7

4+

−354x + 51

4

2x2 + 3x − 5. (94)

Fur x → ∞ und x → −∞ schmiegt sich der Graph von f(x) demjenigen von fasy(x) an.• Im Fall np = nq gilt fasy(x) = y0 =

ab(horizontale Asymptote).

• Im Fall np = nq + 1 gilt fasy(x) = mx+ t (schrage Asymptote).• Im Fall np ≥ nq+2 ist fasy(x) vom Grade ≥ 2 (und man spricht von keiner Asymptote).

28

4 Exponential- und Logarithmusfunktionen

4.1 Potenzen mit reellen Exponenten

4.1.1 Positiv-ganze Exponenten: Potenzgesetze

Def.: Fur eine beliebige reelle Zahl a ∈ R und eine beliebige positiv-ganze Zahln ∈ {1, 2, 3, ...} definiert man die Potenz an zunachst als Produkt,

an = a · a · ... · a︸ ︷︷ ︸

n Faktoren

. (95)

a heißt Basis, n heißt Exponent der Potenz an. Zusatzlich definiert man

a0 = 1. (96)

Trivialer Spezialfall:

a1 = a. (97)

Fur beliebige n,m ∈ {0, 1, 2, ...} folgen die Potenzgesetze,

anam = an+m, (98)

(an)m = anm, (99)

anbn = (ab)n, (100)an

bn=

(a

b

)n

. (101)

Fur n ≥ m folgt aus (98) die aquivalente Aussage

an

am= an−m (n ≥ m). (102)

4.1.2 Negative Exponenten (fur a 6= 0)

Um negative Exponenten zu erklaren (a−1, a−2, ...), ohne die Potenzgesetze zu andern,mussen wir verlangen

ana−n = an+(−n) = a0 = 1 ⇒ a−n =1

an. (103)

Insbesondere gilt dann

a−1 =1

a. (104)

Bsp.:

2−1 =1

2, (−5)−1 =

1

(−5)= −1

5, (−5)−2 =

1

(−5)2=

1

25. (105)

29

4.1.3 Rationale Exponenten (fur a > 0)

Wir erinnern an die Definition der Wurzeln:

Def.: Die n-te Wurzel von a ≥ 0 ist jene Zahl w ≥ 0 mit der Eigenschaft

wn = w · w · ... · w︸ ︷︷ ︸

n Faktoren

= a. (106)

Man schreibt dafur

w = n√a (a ≥ 0). (107)

Um Exponenten der Form 1nzu erklaren (a

1

2 , a1

3 , ...), ohne die Potenzgesetze zu andern,mussen wir also verlangen

(a

1

n

)n= a

1

n·n = a1 = a ⇒ a

1

n = n√a (a ≥ 0). (108)

Insbesondere gilt dann

a1

2 =√a (a ≥ 0). (109)

Def.: Fur beliebige x ∈ Q, x = nm

(n ∈ Z, m ∈ Z+) legen wir (fur a ≥ 0) fest

ax = anm = an·

1

m = (an)1

m = m√an (a ≥ 0). (110)

Bsp.: Es folgt

a−x = a−nm =

m√a−n =

m

√

1

an=

1m√an

=1

ax. (111)

Satz 1: Sei a ∈ R und a > 1. Dann gilt fur beliebige x1, x2 ∈ Q mit x1 < x2

ax1 < ax2 . (112)

Beweis: Mit x1 =n1

m1

und x2 =n2

m2

gilt

x1 =n1m2

m1m2

=n1m2

m, x2 =

n2m1

m2m1

=n2m1

m. (113)

Wegen x1 < x2 ist also n1m2 < n2m1, und wir haben

ax1 =m√

an1m2 <

m√

an2m1 = ax2 . (114)

30

4.1.4 Reelle Exponenten (fur a > 0): Intervallschachtelung

Mit den bisher getroffenen Vereinbarungen konnen wir noch nicht berechnen: 10√2.

Dies hat folgenden Grund:

Die Zahl x =√2 ∈ R ist keine rationale Zahl,

√2 /∈ Q,

da sie nicht als Bruch nm

zweier ganzer Zahlem n,m ∈ {1, 2, 3, ...} darstellbar ist.Solche Zahlen nennt man irrational.

Satz 2: Jede irrationale Zahl x ∈ R\Q laßt sich beliebig genau zwischen zweirationalen Zahlen x1, x2 ∈ Q ”einschachteln”.Prazise Formulierung: Fur jedes x ∈ R\Q gibt es zu beliebig kleinem ǫ > 0 jeweilszwei Zahlen x1, x2 ∈ Q mit (x1 < x2 und) x2 − x1 < ǫ, sodaß gilt

x1 < x < x2. (115)

Wegen Satz 1 konnen wir also definieren:

Def.: Fur a > 1 und x ∈ R\Q ist ax die Zahl mit der Eigenschaft

ax1 < ax < ax2 fur alle x1, x2 ∈ Q mit x1 < x < x2. (116)

Bsp.: Mit√2 = 1.414 213 ... gilt

239

169= 1.414 201 ... <

√2 < 1.414 239 ... =

437

309. (117)

Fur die Zahl 10√2 gilt also

169√10239 < 10

√2 <

309√10437. (118)

Ein Rechner, der beliebig hohe Wurzeln ziehen kann, liefert

25.9538 < 10√2 < 25.9561. (119)

31

4.2 Exponentialfunktionen

Def.: Fur jede beliebig gewahlte Basis a ∈ R+ heißt die durch den Term

f(x) = ax (120)

erklarte Funktion f (mit Df = R) die Exponentialfunktion zur Basis a.(Der Fall a = 1 kann ausgeschlossen werden.)

Bsp.: Wir betrachten die drei Falle a = 10, a = 2 und a = 12,

f(x) = 10x, f(x) = 2x, f(x) = (12)x = 0.5x. (121)

Wir erstellen eine Wertetabelle und zeichnen die Graphen.

x −3 −2 −1 0 1 2 3

10x 0.001 0.01 0.1 1 10 100 10002x 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8(12)x 8 4 2 1 0.5 0.25 0.125

-3 -2 -1 1 2 3

1

2

3

4

5

6

7

8

32

Wir sehen:• Fur a > 1 ist f(x) = ax streng monoton steigend.• Fur a < 1 ist f(x) = ax streng monoton fallend.• In jedem Fall ist mit Df = R der Wertebereich gegeben durch Wf = R+.

Die Exponentialfunktionen (mit a > 0) sind bekannt fur ihr enorm schnelles Wachstum:

Satz: Fur a > 1 steigt f(x) = ax schneller an als jede Potenzfunktion p(x) = xn,

limx→+∞

xn

ax= 0 (fur jedes n ∈ {1, 2, 3, ...}.) (122)

Zur Illustration betrachten wir die Falle n = 2 und a = 2.

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20

x2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 4002x 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 1048576x2

2x0.5 1 1.125 1 0.78 0.56 0.38 0.25 0.16 0.098 0.00038

4.3 Logarithmusfunktionen

4.3.1 Der Logarithmus

Jede Exponentialfunktion f(x) = ax, mit festem a ∈ R+\{1}, ist streng monoton.Daher gibt es zu jedem y ∈ Wf = R+ jeweils genau ein x ∈ Df = R mit ax = y.Wir vertauschen die Benennungen x und y und legen fest:

Def.: Eine Zahl a ∈ R+\{1} sei vorgegeben.Die dann uber ay = x durch x ∈ R+ eindeutig festgelegte Zahl y ∈ R,

y = loga x (a ∈ R+\{1}), (123)

heißt der Logarithmus von x zur Basis a.

Merke: loga x ist die Antwort auf die Frage: ”a hoch wieviel ist x?”

Bsp.: Hier sind einige Zweierlogarithmen,

log2 8 = 3, log2 2 = 1, log2√2 = 0.5, log2 1 = 0, log2 0.5 = −1, (124)

sowie einige Zehnerlogarithmen,

log10 1000 = 3, log10 10 = 1, log10 0.001 = −3, log10 10−23 = −23. (125)

33

Bsp.: Wir betrachten Aufgabe 7 von Blatt 4.Erstellen Sie mit den Werten log10 2 = 0.301, log10 3 = 0.477 eine moglichstausfuhrliche Wertetabelle der Funktion

f(x) = log10 x

fur x ∈ [0, 10], ohne die LOG-Taste des Taschenrechners zu benutzen.Zeichnen Sie den Graphen Gf und lesen Sie daraus einen Wert fur

√10 ab.

34

4.3.2 Logarithmusfunktionen

Def.: Fur jede beliebig gewahlte Basis a ∈ R+\{1} heißt die durch den Term

f(x) = loga x (126)

erklarte Funktion f (mit Df = R+) die Logarithmusfunktion zur Basis a.

Wir erstellen eine Wertetabelle fur den Fall a = 2, um den Graphen zu zeichnen.

x 14

12

1√2 2 4 8

log2 x −2 −1 0 12

1 2 3

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

Wir sehen:• Der Graph von f(x) = loga x ist das Spiegelbild des Graphen von g(x) = ax.• Dies kommt daher, daß diese Funktionen zueinander Umkehrfunktionen sind,

f(g(x)) = x : loga(ax) = x, g(x) = f(x), (127)

g(f(x)) = x : aloga x = x, f(x) = g(x). (128)

• Definitions- und Wertebereich sind jeweils gegeben durch:

f(x) = loga x : Df = R+, Wf = R, (129)

g(x) = ax : Dg = R, Wg = R+. (130)

35

4.3.3 Gleichungen mit Logarithmus

• Um also etwa folgende Gleichung log2(4x+ 3) = 5 zu losen,

log2(4x+ 3) = 5, (131)

erhebt man beide Seiten zum Exponenten von 2,

2log2(4x+3) = 25 → 4x+ 3 = 32 → x =29

4= 7.25. (132)

• Um (umgekehert) folgende Gleichung zu losen,

2(x2+1) = 32, (133)

bildet man auf beiden Seiten den Zweierlogarithmus,

log2[2(x

2+1)]= log2 32 → x2 + 1 = 5 → x1,2 = ±2. (134)

Satz: Aus den Potenzgesetzen folgen die Rechenregeln des Logarithmus,

loga(xy) = loga x + loga y, logax

y= loga x − loga y, (135)

loga(xy) = y loga x. (136)

Um loga x aus logb x zu gewinnen, schreiben wir x = aloga x,

logb x = logb(aloga x

)= loga x(logb a) ⇒ loga x =

logb x

logb a. (137)

Merkregel: Drei Zahlen P , R und L seien verknupft durch

P = RL. (138)

Sind zwei davon bekannt, so ergibt sich jeweils die dritte Zahl durch:Potenzieren: P = RL,Radizieren: R = L

√P ,

Logarithmieren: L = logR P .

36

4.3.4 Die drei wichtigsten Logarithmusfunktionen

Wir zeichnen die Graphen von f(x) = loga x fur die Falle a = 2 (blau) und a = 10 (grun).

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

Da die Steigung (→ Kapitel 5) der Graphen an der gemeinsamen Nullstelle x = 1 jeweils:• im Fall a = 2 etwas großer als 1 ist,• im Fall a = 10 deutlich kleiner als 1 ist,ist außerdem dargestellt (rot) der Graph der Funktion

ln x = loge x (mit e = 2.718 281 828 459 045 235 ...), (139)

der bei x = 1 exakt die Steigung 1 hat.

37

5 Differenziation

5.1 Stetigkeit

Anschaulich: Die Funktion f (mit Df = R) heißt stetig an der Stelle x0 ∈ R, wenn derUnterschied |f(x)−f(x0)| beliebig klein wird, sobald x hinreichend nahe an x0 heranruckt.

Dies bedeutet, daß der Graph Gf in der xy-Ebene eine durchgehende Kurve bildet,die zwar Knicke aber keine Unterbrechungen (”Sprunge”) aufweisen kann.

(a)

(b)

(c)

-2 -1 1 2

1

2

3

4

Figure 7: Die Graphen zweier stetiger Funktionen (a,b) und einer bei x0 = 1 unstetigenFunktion (c).

Die mathematisch prazise Definition (fur beliebige Definitionsmengen Df ) lautet:

Def.: (1.) Die Funktion f heißt stetig an der Stelle x0 ∈ Df , wennzu jedem (noch so kleinen) ǫ > 0 ein (jeweils hinreichend kleines) δ > 0 existiert,sodaß fur alle x ∈ Df mit |x− x0| < δ gilt: |f(x)− f(x0)| < ǫ.(2.) f heißt stetig, wenn f an jeder Stelle x0 ∈ Df stetig ist.

Fur die Funktion mit dem Graphen (c) in der Abbildung existiert fur x0 = 1 etwa zuǫ = 0.3 kein passendes δ > 0, denn es gilt

|f(x)− f(x0)| = |f(x)− 1| > 0.3 fur alle x < x0 mit |x− x0| < 0.5. (140)

38

5.2 Grenzwert einer Funktion fur x → x0

Bsp.: Wir betrachten die Funktion

f(x) =

√x − 1

x− 1, Df = R+

0 \{1}. (141)

Fur x0 = 1 ist f(x) nicht definiert.

Einsetzen ergibt den unbestimmten Ausdruck ”f(x0) =00”. Nach der Wertetabelle

x 0.5 0.8 0.9 0.99 1 1.01 1.1 1.2 1.5f(x) 0.586 0.528 0.513 0.501 n. def. 0.499 0.488 0.477 0.449

scheint aber f(x) den Wert a = 12anzustreben, wenn x sich dem Wert x0 = 1 nahert.

Def.: Es sei β > 0 eine beliebig kleine positive Zahl.Man sagt, die auf U∗

β(x0) definierte Funktion f hat fur x → x0 den Grenzwert a,

limx→x0

f(x) = a, (142)

wenn es eine auf ganz Uβ(x0) stetige Funktion g gibt, mit g(x0) = a,die auf U∗

β(x0) mit f ubereinstimmt,

f(x) = g(x), fur alle x ∈ U∗β(x0). (143)

Bem. 1: Dieses g heißt stetige Fortsetzung der Funktion f von U∗β(x0) auf Uβ(x0).

Bem. 2: Ublicherweise definiert man den Grenzwert unabhangig vom Begriff der Stetigkeit:

Def.: Die auf U∗β(x0) definierte Funktion f hat fur x → x0 den Grenzwert a,

wenn zu beliebig kleinem ǫ > 0 stets ein hinreichend kleines δ > 0 existiert,sodaß fur alle x ∈ Df mit |x− x0| < δ gilt:

|f(x)− a| < ǫ. (144)

Fur die durch (141) gegebene Funktion f(x) finden wir die stetige Funktion g(x) durchErweitern des Bruchs mit dem Faktor

√x+ 1 und anschließendes Kurzen von x− 1,

f(x) =

√x − 1

x− 1=

(√x − 1)(

√x + 1)

(x− 1)(√x + 1)

=1√

x + 1= g(x). (145)

Im Gegensatz zu f(x) ist g(x) auch fur x0 = 1 definiert, und es gilt also

limx→1

f(x) = g(1) =1

2. (146)

39

5.3 Tangentensteigungen

Wir betrachten den Graphen Gf einer Funktion f in der xy-Ebene.Durch den Punkt (x0|f(x0)) auf Gf legen wir die Tangente an den Graphen.

Deren Steigung m(x0)T ist ein Maß dafur, wie stark der Funktionswert f(x) anwachst,

wenn x, ausgehend von x = x0, um eine kleine Differenz ∆x = x− x0 erhoht wird.

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figure 8: Der Graph von f(x) = x2 (schwarz), seine Tangente im Punkt (0.2|0.04) (rot),sowie drei Sekanten durch diesen Punkt (gelb, grun, blau).

Zur Berechnung von m(x0)T betrachten wir einen zweiten, benachbarten Punkt (x|f(x))

auf dem Graphen, sowie anstatt der Tangente zunachst die Schnittgerade (Sekante) durchden Graphen bei (x0|f(x0)) und (x|f(x)). Diese hat offensichtlich die Steigung

m(x0)S (x) =

f(x) − f(x0)

x − x0

= m(x). (147)

Diese Große wird Differenzenquotient genannt.

Die Funktion m(x) hat bei x = x0 eine Definitionslucke, ist also in einer punktiertenUmgebung U∗

β(x0) definiert. Da die Sekante in die Tangente ubergeht, wenn x sich demWert x0 nahert, so muß der Grenzwert x → x0 existieren und mit der gesuchten Tangen-tensteigung m

(x0)T ubereinstimmen,

m(x0)T = lim

x→x0

m(x)

= limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

. (148)

40

Bsp. 1a: Wir betrachten die Funktion f(x) = x2 an der Stelle x0 = 2.In diesem Fall lautet der Differenzenquotient

m(x) =f(x) − f(x0)

x − x0

=x2 − 4

x − 2(x 6= x0). (149)

Durch naives Einsetzen x = 2 ergabe sich der unbestimmte Ausdruck ”00”.

Wegen x2 − 4 = (x+ 2)(x− 2) konnen wir jedoch mit x− 2 ( 6= 0) kurzen,

m(x) =(x− 2)(x+ 2)

x− 2= x + 2 = g(x) (fur x 6= 2). (150)

Da die stetige Funktion g(x) = x+ 2 auch bei x = 2 definiert ist, folgt

m(2)T = lim

x→2m(x) = g(2) = 4. (151)

Interpretation: Die Tangente an die Normalparabel y = x2 an der Stelle x0 = 2 hat dieSteigung m

(2)T = 4. Wir konnen sie somit exakt einzeichnen.

-3 -2 -1 1 2 3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

41

5.4 Die Ableitung f ′(x) einer Funktion f(x)

5.4.1 Einfuhrendes Beispiel: f(x) = 18x(x− 6)2 = 1

8x3 − 3

2x + 9

2

Mit Hilfe einer Wertetabelle,

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8f(x) 0 3.125 4 3.375 2 0.625 0 0.875 4

,

zeichnen wir den Graphen Gf als blaue Kurve durch rote Punkte (x|f(x)):

1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

4

Nun zeichnen wir in einigen Punkten (x|f(x)) die Tangenten an den Graphen ein (grun),

um deren Steigungen m(x)T abzulesen. Perfekte Zeichengenauigkeit ergabe die Werte

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8

m(x)T 4.5 1.875 0 −1.125 −1.5 −1.125 0 1.875 4.5

.

Wir interpretieren dies als die Wertetabelle einer neuen Funktion f ′(x),genannt die Ableitung der ursprunglichen Funktion f(x),

f ′(x) = m(x)T . (152)

1 2 3 4 5 6 7 8

-1

1

2

3

4

Die Punkte (x|f ′(x)) scheinen auf einer Parabel mit Scheitel bei (x|y) = (4|− 32) zu liegen,

f ′(x) = 38(x− 4)2 − 3

2. (153)

42

5.4.2 Weiteres Beispiel: g(x) = −16x3 + 1

2x2 + 3

2x

Mit Hilfe einer Wertetabelle,

x −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5g(x) 9

213

−56

0 116

113

92

103

−56

,

zeichnen wir den Graphen Gg als blaue Kurve durch rote Punkte (x|g(x)):

-3 -2 -1 1 2 3 4 5

-1

1

2

3

4

Nun zeichnen wir in einigen Punkten (x|g(x)) die Tangenten an den Graphen ein (grun),

um deren Steigungen m(x)T abzulesen. Perfekte Zeichengenauigkeit ergabe die Werte

x −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

m(x)T −6 −2.5 0 1.5 2 1.5 0 −2.5 −6

.

Wir interpretieren dies als die Wertetabelle einer neuen Funktion g′(x),genannt die Ableitung der ursprunglichen Funktion g(x),

g′(x) = m(x)T . (154)

-3 -2 -1 1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

Die Punkte (x|g′(x)) scheinen auf einer nach unten geoffneten Parabel zu liegen,mit Scheitel bei (x|y) = (1|2),

g′(x) = −12(x− 1)2 + 2. (155)

43

5.4.3 Ableitungsregeln

Offenbar kann man zu jeder Funktion f(x), deren Graph Gf eine ”glatte” Kurve bildet,auf diese Weise (naherungsweise) den Graphen Gf ′ der Ableitung f ′(x) konstruieren.Da dieser in den Beispielen der Abschnitte 5.4.1 und 5.4.2 jeweils eine Parabel war,konnten wir sogar den Funktionsterm f ′(x) bzw. g′(x) ablesen,

f(x) = +18x3 − 3

2x2 + 9

2x ⇒ f ′(x) = +3

8x2 − 3x + 9

2,

g(x) = −16x3 + 1

2x2 + 3

2x ⇒ g′(x) = −1

2x2 + x + 3

2. (156)

Es stellt sich also die Frage:•Gibt es einRezept, wonach man den Term f ′(x) der Ableitung direkt (ohne Zeichnung)aus dem Term f(x) der ursprunglichen Funktion erhalt ?

• Die Antwort: Ja! Siehe die folgenden Regeln (a–e).

(a) Potenzfunktionen

Die Ableitungen der Funktionen f(x) = xn fur n = 2, 3, 4, 5 sind:

f(x) x2 x3 x4 x5 ...f ′(x) 2x 3x2 4x3 5x4 ...

.

Die allgemeine Regel fur beliebige n = 1, 2, 3, ... lautet

f(x) = xn ⇒ f ′(x) = nxn−1. (157)

Dies gilt insbesondere auch im Fall n = 1, mit f(x) = x ⇒ f ′(x) = 1.

Wir benutzen auch die Schreibweisen

d

dxxn = nxn−1, (xn)′ = nxn−1. (158)

(b) Summenregel

Ist ein Funktionsterm f(x) die Summe zweier anderer Terme g(x) und h(x), so ist dieAbleitung f ′(x) einfach die Summe der Ableitungen,

f(x) = g(x) + h(x) ⇒ f ′(x) = g′(x) + h′(x). (159)

(c) Faktorregel

Ist ein Funktionsterm f(x) das a-fache eines anderen Terms g(x), wobei a = const einkonstanter Faktor ist, so ist die Ableitung f ′(x) einfach das a-fache der Ableitung g′(x),

f ′(x) ≡ d

dx

[a g(x)

]= a g′(x) (a = const). (160)

44

(d) Produktregel

Satz: Ist ein Funktionsterm f(x) das Produkt zweier Terme u(x) und v(x), sogilt fur die Ableitung f ′(x)

f ′(x) ≡ d

dx

[u(x) · v(x)

]= u′(x) · v(x) + u(x) · v′(x). (161)

Bsp. 1: Die Ableitung von f(x) = x5 ist f ′(x) = 5x4.Andererseits ist f(x) = u(x) · v(x), mit u(x) = x2 und v(x) = x3.Wegen u′(x) = 2x und v′(x) = 3x2 gilt also in diesem Fall tatsachlich

u′(x) · v(x) + u(x) · v′(x) = 2x · x3 + x2 · 3x2 = 5x4 = f ′(x). (162)

Dies ist offenbar ganz verschieden von

u′(x) · v′(x) = 2x · 3x2 = 6x3. (163)

Bsp. 2: Im Spezialfall u(x) = a, mit u′(x) = 0, ergibt sich die Faktorregel,

d

dx

[a · v(x)

]= 0 · v(x) + a · v′(x) = a · v′(x). (164)

(e) Quotientenregel

Satz: Ist ein Funktionsterm f(x) der Quotient zweier Terme z(x) und n(x), sogilt fur die Ableitung f ′(x)

f ′(x) ≡ d

dx

[z(x)

n(x)

]

=n(x) · z′(x) − n′(x) · z(x)

n(x)2. (165)

Bsp. 3: Die Ableitung von f(x) = x5 ist f ′(x) = 5x4.

Andererseits ist f(x) = z(x)n(x)

, mit z(x) = x9 und n(x) = x4, und also

n(x) · z′(x) − n′(x) · z(x)n(x)2

=x4 · 9x8 − 4x3 · x9

x8= 5x4 = f ′(x). (166)

Dies ist offenbar ganz verschieden von

z′(x)

n′(x)=

9 x8

4 x3=

9

4x5. (167)

45

(f) Kettenregel

Mit den Funktionen f(u) =√u und g(x) = x2 − 4x+ 3 bilden wir die Verkettung

h(x) = f(g(x)) =

√x2 − 4x+ 3. (168)

Die Ableitung ist

h′(x) =[

f ′(u)∣∣u=g(x)

]

· g′(x)

=1

2√

g(x)· g′(x) =

1

2√x2 − 4x+ 3

· (2x− 4). (169)

Diese Kettenregel wird allgemein geschrieben in der Kurzform

d

dxf(g(x)

)= f ′

(g(x)

)· g′(x). (170)

Die Multiplikation mit dem Faktor g′(x) wird als Nachdifferenzieren bezeichnet.

(g) Exponential- und Logarithmusfunktionen

Satz: Die naturliche Exponential- bzw. Logarithmusfunktion haben die Ableitun-gen

d

dxex = ex,

d

dxln x =

1

x. (171)

Wegen ax = ex ln a und loga x = lnxln a

folgt nach Ketten- bzw. Faktorregel

d

dxax = ax ln a,

d

dxloga x =

1

x ln a. (172)

46

5.5 Extrema von Funktionen

Def.: Die Zahl x0 ∈ R liege im Definitionsbereich der Funktion f : x0 ∈ Df .

• Der Funktionswert f(x0) heißt lokales Maximum von f , wenn es ein ǫ > 0gibt, sodaß

f(x) ≤ f(x0), fur alle x ∈ Uǫ(x0). (173)

(Eigentlich sollte man hier zusatzlich verlangen, daß U∗ǫ (x0) ∩Df 6= ∅.)

Entsprechend heißt dann x0 eine lokale Maximalstelle von f .

• f(x0) heißt globales (oder absolutes) Maximum von f , wenn gilt

f(x) ≤ f(x0), fur alle x ∈ Df . (174)

Entsprechend heißt dann x0 eine globale Maximalstelle von f .

Lokale und globale Minima (bzw. Minimalstellen) werden auf analoge Weisedefiniert, indem man die Zeichen ≤ in Gln. (173) und (174) durch ≥ ersetzt.Ein Extremum ist entweder ein Maximum oder ein Minimum.Eine Extremalstelle ist entweder eine Maximal- oder eine Minimalstelle.

Satz: Das offene Intervall I = ]a, b[ liege im Definitionsbereich von f : I ⊆ Df .Ist f an allen Stellen x ∈ I differenzierbar, und ist x0 ∈ I (innerer Punkt!), so gilt:

(a) Ist x0 eine Extremstelle von f , so ist f ′(x0) = 0.

(b) Umgekehrt: Ist f ′(x0) = 0 und wechselt f ′(x) bei x = x0 das Vorzeichen, soist x0 eine Extremstelle von f .

47

6 Geometrie

6.1 Dreiecke

Die Eckpunkte eines Dreiecks werden meistens mit A, B und C bezeichnet.Im Dreieck ABC bezeichnet α den Innenwinkel bei A, β den bei B und γ den bei C.Dagegen sind a, b bzw. c die den Ecken A,B bzw. C gegenuber liegenden Seiten.Ein Dreieck heißt• rechtwinklig, wenn einer seiner drei Innenwinkel den Wert 90◦ hat.• gleichschenklig, wenn zwei seiner drei Seiten gleich lang sind.• gleichseitig, wenn alle drei Seiten gleich lang sind.

Def.: Zwei Dreiecke heißen kongruent, wenn sie durch Verschiebung, Drehungund/oder Spiegelung zur Deckung gebracht werden konnen.

Wir zeigen, wie man aus einem Dreieck ABC (blau) durch zentrische Streckung aneinem Zentrum Z um einen Faktor m ein neues Dreieck A′B′C ′ (grun) gewinnt:

Z

A

A′

B

B′

CC

′

Die Bildpunkte A′, B′ und C ′ liegen auf von Z ausgehenden Strahlen durch A, B bzw. C.Der Streckungsfaktorm wird durch Vorgabe eines der drei Bildpunkte, etwa A′, festgelegt.Dann erhalt man den nachsten Bildpunkt B′ als Schnittpunkt der durch A′ verlaufendenParallele zu AB mit dem Strahl ZB, etc.

Def.: Zwei Dreiecke heißen ahnlich, wenn sie kongruent gemacht werden konnen,indem eines von ihnen um einen geigneten Faktor (zentrisch) gestreckt wird.

48

6.2 Satze

6.2.1 Strahlensatz

Zwei von einem Punkt S ausgehende Strahlen s1 und s2 schneiden zwei zueinanderparallele Geraden g und h in den Punkten G1 und H1 bzw. G2 und H2.Dann gilt fur die Langen der auftretenden Strecken

SG1

SH1

=SG2

SH2

=G1G2

H1H2

. (175)

Beachte: Die Dreiecke SG1G2 und SH1H2 sind ahnlich.Es folgt: Zwei ahnliche Dreiecke haben die gleichen Streckenverhaltnisse.

Man kann daher die Breite eines Flusses durch Winkelmessung bestimmen,ohne den Fluß uberqueren zu mussen.Wie geht das ?

6.2.2 Winkelsumme im Dreieck

Die Summe der Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks ABC betragt 180◦,

α + β + γ = 180◦. (176)

Zum Beweis zeichne man durch den Eckpunkt C die Parallele zur Seite c = AB.

A

B

C

α β

γα β

Im rechtwinkligen Dreieck, mit γ = 90◦, gilt: α + β = 90◦.Im gleichseitigen Dreieck gilt: α = β = γ = 60◦.

49

6.2.3 Satz des Pythagoras

Def.: Die langste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks heißtHypothenuse. (Sieliegt dem 90◦-Winkel gegenuber.) Die beiden anderen Seiten heißen Katheten.

Die Summe der Quadrate der Kathetenlangen a und b eines rechtwinkligen Dreiecksist gleich dem Quadrat der Hypotenusenlange,

a2 + b2 = c2. (177)

Zum Beweis dieses Satzes zeichne man vier kongruente rechtwinklige Dreiecke, jeweilsum 90◦ gegeneinander gedreht, und zwar so, daß die vier Hypotenusen ein Quadrat mitSeitenlange c bilden und alle acht Katheten außerhalb dieses Quadrats liegen (Skizze).

Diese Katheten bilden dann ein Quadrat mit Seitenlange a+ b. Dessen Flacheninhalt,

F = (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2, (178)

ist andererseits gleich c2 plus dem vierfachen Inhalt eines der vier Dreiecke,

F = c2 + 4 · 12ab, q. e. d. (179)

6.2.4 Thaleskreis

Der Thaleskreis geht um den Mittelpunkt M einer Strecke und durch deren End-punkte A und B. Jedes Dreieck ABC, dessen dritter Punkt C auf dem Thaleskreisliegt, hat dort einen rechten Winkel.

Zum Beweis beachte man, daß AMC und BMC zwei gleichschenklige Dreiecke sind: Siehaben bei C jeweils die Winkel α bzw. β des großen Dreicks ABC bei A bzw. bei B.ABC hat daher bei C den Winkel γ = α + β, und fur seine Winkelsumme gilt

180◦ = α + β + (α + β), (180)

woraus die Behauptung folgt, γ ≡ (α + β) = 90◦.

50

6.3 Trigonometrie

6.3.1 Geometrische Definition von Sinus und Cosinus

Ein Dachbalken (schwarz) der Lange c sei um den Winkel α gegen die Horizontale geneigt.Welcher Hohenunterschied h liegt dann zwischen seinen beiden Endpunkten A und B ?

A

B

c

h

b

α• Im Grenzfall α = 0◦ gilt naturlich: h = 0.• Im Grenzfall α = 90◦ gilt naturlich: h = c.• Im Fall α = 30◦ werden wir zeigen: h = c · 1

2(Ubungsaufgabe).

• Im Fall α = 45◦ (b = h) gilt nach Pythagoras h2 + h2 = c2, also: h = c · 1√2.

Def. (vorlaufige Fassung): Im allgemeinen Fall 0◦ ≤ α ≤ 90◦ schreiben wir

h = c · sinα, (181)

und nennen die Verhaltniszahl sinα den Sinus des Winkels α.

Es gilt also: sin 0◦ = 0, sin 30◦ = 0.5, sin 45◦ = 1√2≈ 0.707, sin 90◦ = 1.

Bem.: Es gibt keine einfache Formel zur Berechnung des Sinus beliebiger Winkel α,siehe aber Gl. (202). Aus einer genauen Zeichnug kann man folgende Werte abschatzen:

α 0◦ 10◦ 20◦ 30◦ 40◦ 50◦ 60◦ 70◦ 80◦ 90◦

sinα 0.00 0.17 0.34 0.50 0.64 0.77 0.87 0.94 0.985 1.00cosα 1.00 0.985 0.94 0.87 0.77 0.64 0.50 0.34 0.17 0.00

Def. (vorlaufige Fassung): Fur den horizontalen Abstand b (blau in der Abb.)zwischen den Endpunkten A und B des Balkens schreiben wir

b = c · cosα, (182)

und nennen die Verhaltniszahl cosα den Cosinus des Winkels α.

Satz.: Wahlt man statt α den Winkel 90◦ − α, so vertauschen die Strecken h undb ihre Langen. Daher gilt die wichtige Formel

cosα = sin(90◦ − α). (183)

51

Die Strecken h = a, b und c in obiger Abb. bilden die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks,in dem α jener Innenwinkel ist, welcher a gegenuberliegt. Daher definieren wir:

Def. (endgultige Fassung): Sei α ein Winkel mit 0◦ < α < 90◦.Dann sind Sinus und Cosinus von α definiert durch

sinα =a

c=

Gegenkathete

Hypothenuse, cosα =

b

c=

Ankathete

Hypothenuse, (184)

wobei in einem beliebigen rechtwinkligen Dreieck mit Innenwinkel α:a die diesem Winkel gegenuberliegende Kathete (”Gegenkathete”),b die andere Kathete (”Ankathete”) undc die Hypothenuse ist.

a

b

cαWegen a = c · sinα und b = c · cosα gilt nach Pythagoras

a2 + b2 = (c · sinα)2 + (c · cosα)2= c2 · (sin2 α + cos2 α)

︸ ︷︷ ︸

=1

≡ c2, (185)

wobei wir die Kurzschreibweise (sinα)2 = sin2 α benutzen. Es folgt:

Satz.: Fur jeden Winkel α gilt allgemein die wichtige Formel

sin2 α + cos2 α = 1. (186)

Daraus kann man sinα und cosα fur gewisse Winkel α auf elementarem Wege berechnen,siehe Ubungsaufgaben. Die wichtigsten Ergebnisse zeigt die Tabelle.

α 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦

sinα 0 12

12

√2 1

2

√3 1

cosα 1 12

√3 1

2

√2 1

20

tanα 0 13

√3 1

√3 ∞

Merkregel:α 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦

sinα 12

√0 1

2

√1 1

2

√2 1

2

√3 1

2

√4

52

6.3.2 Anwendungsbeispiele

Bsp. 1: Ein Dachbalken ist L = 9 m lang, die Dachneigung betragt α = 58◦. WelcheHohe H und welche Breite B hat das (symmetrische) Dach ?

H = L · sinα = 7.64m, B = 2L · cosα = 9.50m. (187)

Bsp. 2: Ein Strommast erscheint in einer horizontalen Enfernung D = 50 m vom Bodenaus unter dem Winkel α = 37◦. Welche Hohe H hat der Mast ?

H = c · sinαD = c · cosα

}

⇒ H =D

cosα· sinα = D · sinα

cosα= 37.7m. (188)

Def.: Der Tangens von α ist definiert als das Verhaltnis

tanα =sinα

cosα, (189)

im rechtwinkligen Dreieck also das Langenverhaltnis von Gegen- zu Ankathete,

tanα =a

b=

Gegenkathete

Ankathete. (190)

In Bsp. 2 gilt also

H = D · tanα. (191)

53

6.3.3 Winkel φ > 90◦ oder φ < 0◦

Winkel φ > 90◦ oder φ < 0◦ konnen nicht Innenwinkel eines rechtwinkligen Dreiecks sein.Um auch fur solche Winkel Sinus und Cosinus zu erklaren, betrachten wir in der xy-Ebeneden Einheitskreis (mit Radius r = 1) um den Ursprung.

x

y

ϕcosϕsinϕ

III

III IV

Def.: Fur beliebige Winkel φ definieren wir

sinφ = y, cosφ = x, (192)

wobei x und y die Koordinaten der Spitze jenes Pfeils (rot in der Figur) sind,der vom Ursprung auf den Einheitskreis zeigt und, ausgehend von der positivenx-Achse, im Gegen-Uhrzeigersinn um den Winkel φ gedreht ist.(Im Fall φ < 0◦ handelt es sich um eine Drehung im Uhrzeigersinn.)

Im Fall 0◦ ≤ φ ≤ 90◦ entspricht dies offenbar unserer alten Definition aus Abschnitt 6.3.1.Im allgemeinen Fall konnen sinφ und cosφ auch negativ werden (vgl. Abschnitt 6.3.4).

Wir brauchen aber keine neuen Werte zu bestimmen:Liegt namlich der rote Pfeil in einem der Quadranten II, III oder IV, so wird er durchgeeignete Spiegelung (AS: Achsenspiegelung, PS: Punktspiegelung) auf einen Pfeil imQuadranten I abgebildet, zu dem ein Winkel φ′ mit 0◦ < φ′ < 90◦ gehort.Dann gilt sinφ = ± sinφ′ und cosφ = ± cosφ′ (wobei sinφ′, cosφ′ bekannt sind):

Quadrant von φ Spiegelung φ′ sinφ cosφ

II AS an der y-Achse 180◦ − φ +sinφ′ − cosφ′

III PS am Ursprung φ− 180◦ − sinφ′ − cosφ′

IV AS an der x-Achse 360◦ − φ − sinφ′ +cosφ′

Bsp.: Wir werten die Tabelle fur einige spezielle Winkel φ > 90◦ aus:

Quadrant von φ φ φ′ sinφ cosφ

II 120◦ φ′ = 180◦ − φ = 60◦ +12

√3 −1

2

III 225◦ φ′ = φ− 180◦ = 45◦ −12

√2 −1

2

√2

IV 300◦ φ′ = 360◦ − φ = 60◦ −12

√3 +1

2

54

6.3.4 Sinus und Cosinus als Funktionen

Wir stellen die resultierenden Werte von sinφ (blau) und cosφ (rot) graphisch dar.

30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Dies sind die Graphen der Sinusfunktion (blau) und der Cosinusfunktion (rot).Wir zeigen nur den Ausschnitt mit 0◦ < φ < 360◦. Fur beliebige φ ∈ R gilt generell

sin(360◦ + φ) = sinφ, cos(360◦ + φ) = cosφ. (193)

In Worten: Die Funktionen sind periodisch mit der Periode 360◦.Aus diesen Graphen lassen sich Naherungswerte ablesen, etwa

sin 140◦ ≈ 0.64, cos 140◦ ≈ −0.77. (194)

Deutlich sieht man, fur welche φ-Werte diese Funktionen jeweils negativ werden,

sinφ < 0 ⇔ 180◦ < φ < 360◦, (195)

cosφ < 0 ⇔ 90◦ < φ < 270◦, (196)

und an welchen Stellen sie jeweils die Werte 0,±1 annehmen,

φ 0◦ 90◦ 180◦ 270◦ 360◦

sinφ 0 1 0 −1 0cosφ 1 0 −1 0 1

Die Sinusfunktion hat tiefere Bedeutung, alsihre geometrische Definition erwarten laßt:Momentaufnahmen eines schwingenden Fed-erpendels in gleichen Zeitabstanden ergebeneine exakte Sinuskurve.

55

6.3.5 Gradmaß und Bogenmaß

Def.: Das Bogenmaß x eines Winkels φ ist die Bogenlange, die dieser aus demEinheitskreis (mit Radius r = 1) schneidet,

x =φ

360◦· 2π · r =

φ

180◦· π. (197)

Vorsicht: Dieses x hat nichts mit der Koordinate x aus Abschnitt 6.3.3 zu tun!

Bsp.: Die Tabelle gibt fur ausgewahlte Winkel φ jeweils das Bogenmaß x.

φ 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 120◦ 180◦ 360◦

x 0 16π 1

4π 1

3π 1

2π 2

3π π 2π

0.000 0.524 0.785 1.047 1.571 2.094 3.142 6.283

Entsprechend schreibt man sinφ = sin x, cosφ = cosx, ohne neue Symbole einzufuhren,

sin 30◦ = sin(16π) =

1

2, cos 30◦ = cos(1

6π) =

1

2

√3, etc. (198)

Vorteil des Bogenmaßes x (gegenuber dem Gradmaß φ): Die Graphen der Funktionen

f(x) = sin x, g(x) = cos x (199)

haben an den Nullstellen exakt die Tangentensteigungen +1 oder −1.

-1 1 2 3 4 5 6 7

-1

1

Satz: Es gelten die Ableitungsregeln

f(x) = sin x ⇒ f ′(x) = cos x, (200)

g(x) = cos x ⇒ g′(x) = − sin x. (201)

Bem.: Im Bogenmaß gilt die interessante Formel

sin x = x − x3

1 · 2 · 3 +x5

1 · 2 · 3 · 4 · 5 − x7

1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 +− ...

= x − x3

6+

x5

120− x7

5040+− ... (202)

Bsp.: sin(16π) = 0.523 599 − 0.023 925 + 0.000 328 − 0.000 002 +−... = 0.500 000.

56

B

A

C

C'

a

c

a'

b'

γ6.3.6 Der Cosinussatz

Im Dreieck ABC sei der Innenwinkel γ bei C beliebig. Das Lot vom Punkt B auf dieGerade AC hat mit dieser genau einen Schnittpunkt C ′. Da das Dreieck ABC ′, mit denSeiten a′ = a sin γ, b′ = b− a cos γ und c, bei C ′ rechtwinklig ist, so gilt nach Pythagoras

c2 = (a′)2 + (b′)2

= a2 sin2 γ + (b2 − 2ab cos γ + a2 cos2 γ)

= a2(sin2 γ + cos2 γ) + b2 − 2ab cos γ

= a2 + b2 − 2ab cos γ, (203)

wobei wir sin2 γ + cos2 γ = 1 benutzt haben.(Man beachte, daß unsere Argumentation auch im Fall γ ≥ 90◦ richtig ist.)

Cosinussatz: Fur ein beliebiges Dreieck mit den Seiten a, b, c und dem Innenwinkelγ zwischen a und b (mit 0◦ < γ < 180◦) gilt

c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ. (204)

Bem.: Fur rechtwinklige Dreiecke (γ = 90◦) folgt als Spezialfall der Satz von Pythagoras,

cos γ = 0 ⇒ c2 = a2 + b2. (205)

57

7 Vektoren

7.1 Motivation

Wir betrachten beliebig unregelmaßige Vierecke (blau) in der Zeichenebene.

Die Mittelpunkte ihrer Seiten scheinen jeweils ein Parallelogramm (grun) zu bilden.

Dies scheint sogar fur raumliche Vierecke zu gelten, die nicht in einer Ebene liegen.

Trifft diese Beobachtung nur bei den hier gewahlten Beispielen zu ?Oder weist sie auf ein allgemeingultiges Gesetz hin ?Solche Fragen lassen sich mithilfe von Vektoren beantworten, s. Abschnitt 7.5.

In diesem Zusammenhang erinnern wir an die Klassifikation der Vierecke:

Def: Ein Viereck heißt:• Parallelogramm, wenn je zwei gegenuberliegende Seiten parallel sind,• Raute, wenn alle vier Seiten gleich lang sind,• Rechteck, wenn alle Innenwinkel gleich groß (90◦) sind,• Quadrat, wenn es sowohl Raute als auch Rechteck ist.

Jede Raute ist ein Parallelogramm.Jedes Rechteck ist ein Parallelogramm.Mit naheliegenden Bezeichnungen gelten folgende Mengenbeziehungen,

P ⊂ V, Ra ⊂ P, Re ⊂ P, Re ∩ Ra = Q. (206)

58

7.2 Punkte und ihre Koordinaten

7.2.1 Punkte in der (Zeichen-) Ebene

Ein beliebig gewahlter Punkt O (Ursprung) und zwei zueinander senkrechte Richtungenlegen die Achsen eines kartesischen Koordinatensystems in der Zeichenebne fest.Die Achsen werden im GUS mit x1 (oder x) und x2 (oder y) bezeichnet. Nach Vorgabeeiner Langeneinheit wird dann die Lage eines Punktes P durch zwei Koordinaten p1und p2 eindeutig festgelegt, P (p1|p2).

x1

x2

A

B

C

D

O

Die gezeigten Punkte haben die Koordinaten A(5|3), B(−3|4), C(−2|− 1) und D(4|− 2).

7.2.2 Punkte im Raum

Im 3D Raum werden kartesische Koordinaten etwa durch einen Wurfel festgelegt:Als Ursprung O des Koordinatensystems dient einer der acht Eckpunkte des Wurfels.Die drei von O ausgehenden Wurfelkanten ergeben dann die Koordinatenachsen.Diese werden auf solche Weise mit x1, x2, x3 bezeichnet, daß sie in dieser Reihenfolge wieDaumen, Zeige- und Mittelfinger einer rechten Hand ausgerichtet sind.

x1

x2

x3

A

B C

D

E

F G

H

Die gezeigten Punkte haben die Koordinaten B(1|0|0), C(1|1|0), G(1|1|1), H(0|1|1), etc.,wenn man die Wurfelseite als Langeneinheit wahlt.

59

7.3 Vektoren als Pfeilklassen

Mit dem Symbol−→AB bezeichnen wir den vom Punkt A zum Punkt B zeigenden Pfeil,

also die Strecke [AB] mit einer am Endpunkt B erganzten Pfeilspitze.

Def.: Die Menge aller Pfeile gleicher Lange und gleicher Richtung nennt man einenVektor ~v. Jeder Pfeil dieser Menge heißt ein Reprasentant dieses Vektors.

In der Abbildung sind etwa die Pfeile−→CA,

−−→GE und

−−→HF Reprasentanten eines Vektors ~v.

Dagegen sind−−→BD,

−−→CE,

−−→FK und

−→HL Reprasentanten eines anderen Vektors ~w.

A B

C D

E F

G H K

L

Jeder Vektor ist also eine Klasse aus unendlich vielen Pfeilen. Anders als ein Pfeil hatein Vektor keine Position im Raum, sondern nur eine Lange und eine Richtung.

Def.: Sei−→AB ein Reprasentant des Vektors ~v. Die Koordinaten v1, v2, v3 von

~v erhalt man durch Subtraktion der Punktkoordinaten a1, a2, a3 des Fußpunkts Avon denen, b1, b2, b3, der Spitze B,

~v ≡

v1v2v3

=

b1 − a1b2 − a2b3 − a3

. (207)

Deutung: Um vom Fußpunkt A zur Spitze B eines beliebigen Reprasentanten−→AB des Vektors ~v zu gelangen, muß man um v1 Einheiten in x1-Richtung, dannum v2 Einheiten in x2-Richtung, schließlich um v3 Einheiten in x3-Richtung gehen.

Es ist klar, daß das Ergebnis nicht von der Wahl des Reprasentanten abhangt.

Bem.: Wir schreiben die Koordinaten p1, p2, p3 eines Punktes P als Zeile (p1|p2|p3),

diejenigen v1, v2, v3 eines Vektors ~v dagegen als Spalte

( v1v2v3

)

.

60

7.4 S-Multiplikation und Vektoraddition

Def.: Unter der S-Multiplikation eines Vektors ~v mit einer Zahl λ ∈ R verstehenwir die Operation

λ · ~v ≡ λ ·

v1v2v3

=

λ · v1λ · v2λ · v3

. (208)

Deutung: Offenbar ist λ ·~v ein neuer Vektor, dessen Reprasentanten die |λ|-facheLange und die gleiche (falls λ > 0) oder entgegengesetzte Richtung (falls λ < 0)wie diejenigen von ~v haben.

Bem.: Im Fall λ = −1 heißt λ · ~v der Gegenvektor von ~v. Man schreibt

(−1) · ~v = −~v. (209)

Die Reprasentanten von −~v haben die gleiche Lange aber die entgegengesetzte Richtungwie diejenigen von ~v.

Def.: Unter der Addition zweier Vektoren ~a und ~b verstehen wir die Operation

~a+~b ≡

a1a2a3

+

b1b2b3

=

a1 + b1a2 + b2a3 + b3

. (210)

Deutung: Ist−→PQ ein Reprasentant von ~a und

−→QR ein Reprasentant von ~b,

so hat der Vektor ~a+~b den Pfeil−→PR als Reprasentanten

Bem.: Die Addition des Gegenvektors −~b wird als Subtraktion geschrieben,

~a+ (−~b) = ~a−~b. (211)

Satz: S-Multiplikation und Vektoraddition erfullen das Distributivgesetz

λ ·(~a+~b

)= λ · ~a + λ ·~b. (212)

61

7.5 Ortsvektoren

Def.: Ist O der Ursprung des Koordinatensystems, so heißt der Vektor ~v mit dem

Reprasentanten−→OA der Ortsvektor der Punktes A. Man schreibt in diesem Fall

~v = ~A. (213)

Die Vektorkoordinaten von ~A sind offenbar gerade die Punktkoordinaten von A,

A(a1|a2|a3) ⇒ ~A =

a1a2a3

(214)

Satz: (1.) Der Mittelpunkt M der Strecke [AB] hat den Ortsvektor

~M =1

2·(~A+ ~B

). (215)

(2.) Der Pfeil−→AB ist ein Reprasentant des Vektors

~v = ~B − ~A. (216)

Mit diesem Satz laßt sich die Vermutung aus Abschnitt 7.1 beweisen:

A

B

C

D

M1

M2

M3

M4v

w

Um nachzuweisen, daß das grune Viereck M1M2M3M4 ein Parallelogramm ist, mussen

wir zeigen, daß die Vektoren ~v (repr. durch−−−−→M1M2) und ~w (durch

−−−−→M4M3) gleich sind.

Nach obigem Satz, zuerst (2.) und dann (1.), gilt

~v = ~M2 − ~M1 =1

2·(~B + ~C

)− 1

2·(~A+ ~B

). (217)

Wegen des Distributivgesetzes Gl. (212) konnen wir also schreiben

~v =1

2· ~B +

1

2· ~C − 1

2· ~A − 1

2· ~B =

1

2· ~C − 1

2· ~A. (218)

Auf analoge Weise erhalten wir

~w = ~M3 − ~M4 =1

2·(~C + ~D

)− 1

2·(~D + ~A

)=

1

2· ~C − 1

2· ~A. (219)

Tatsachlich gilt also ~w = ~v, Q.E.D.

62

7.6 Geraden und Ebenen

7.6.1 Geradengleichung

Eine Gerade (in der 2D Ebene oder im 3D Raum) ist festgelegt durch:• einen Punkt A, der auf ihr liegt (genannt Aufpunkt) und• einen Richtungsvektor ~v.Der Ortsvektor ~X jedes Punktes X auf dieser Gerade laßt sich darstellen als

~X = ~A + λ · ~v, (220)

mit geeigneter Wahl des Parameters λ ∈ R.Gl. (220) heißt Geradengleichung (in Parameterform).

Bsp.: Wir zeichnen (in der 2D Ebene) die beiden Geraden• g mit Aufpunkt A(−2|4) und Richtungsvektor ~v = ( 3

−1).• h mit Aufpunkt B(5| − 3) und Richtungsvektor ~w = (23).

x1

x2

A

v

-2

-1

0

1

2

3

4

5

B

w

0

1

2

3

Wir betrachten zuerst die Gerade g, mit der Gleichung ~X = ~A + λ · ~v,

~X =

(−24

)

+ λ ·(

3−1

)

≡(

−2 + 3λ4− λ

)

. (221)

Wir erstellen eine ”Wertetabelle” der Ortsvektoren ~X mit verschiedenen Werten von λ:

λ −2 −1 0 1 2 3 4 5

~X

(−86

) (−55

) (−24

) (13

) (42

) (71

) (100

) (13−1

)

Die entsprechenden Punkte X auf g sind in der Abbildung gekennzeichnet.Auf analoge Weise verfahren wir mit der zweiten Gerade h: ~X = ~B + µ · ~w.

63

Bem. 1: Damit ein beliebig gegebener Punkt P (p1|p2) auf g liegt: P ∈ g ?,muß es einen Wert des Parameters λ geben, sodaß gilt

~P = ~A + λ · ~v ⇔(

p1p2

)

=

(−2 + 3λ4− λ

)

. (222)

Dies ist ein System aus 2 Gleichungen fur 1 Unbekannte λ. Im Fall P (5|2) lautet es

5 = −2 + 3λ,

2 = 4− λ. (223)

Die zweite Gleichung verlangt λ = 2, was der ersten Gleichung widerspricht: P /∈ g.Wahlen wir dagegen statt P den Punkt Q(5.5|1.5), so ergibt sich

5.5 = −2 + 3λ,

1.5 = 4− λ, (224)

was offenbar durch λ = 2.5 gelost wird: Q ∈ g.

Bem. 2: Die Richtungsvektoren ~v und ~w sind offenbar nicht parallel zueinander:Es gibt keine Zahl ν ∈ R mit ν · ~w = ~v,

ν · ~w 6= ~v (fur alle ν ∈ R). (225)

Folglich sind auch die Geraden g und h nicht parallel.Da sie in einer Ebene liegen, mussen sie also einen Schnittpunkt S(s1|s2) haben:Es muß Werte λ und µ geben, sodaß gilt

~S = ~A + λ · ~v = ~B + µ · ~w ⇔(

−2 + 3λ4− λ

)

=

(5 + 2µ−3 + 3µ

)

. (226)

Dies ist ein System aus 2 Gleichungen fur 2 Unbekannte λ und µ,

3λ − 2µ = 7,

−λ − 3µ = −7. (227)

Aus der zweiten Gleichung folgt λ = 7− 3µ. Dies liefert in der ersten Gleichung

3 · (7− 3µ) − 2µ ≡ 21 − 11µ = 7, (228)

also 11µ = 14 bzw. µ = 1411.

(Damit folgt λ ≡ 7− 3µ = 7711

− 4211

= 3511.)

Der Schnittpunkt hat also den Ortsvektor

~S = ~B +14

11· ~w =

(83/119/11

)

≈(

7.550.82

)

. (229)

64

7.6.2 Ebenengleichung

Im 3D Raum ist eine Ebene festgelegt durch:• einen Aufpunkt A (der auf ihr liegt) und• zwei Richtungsvektoren ~v und ~w, die nicht zueiander parallel sind.Der Ortsvektor ~X jedes Punktes X auf dieser Ebene laßt sich darstellen als

~X = ~A + λ · ~v + µ · ~w, (230)

mit geeignet gewahlten Parametern λ, µ ∈ R.Gl. (230) heißt Ebenengleichung in Parameterform.

65

7.7 Betrag und Winkel

7.7.1 Definition

Def.: Als Betrag |~a| des Vektors ~a definiert man die Lange (also den raumlichenAbstand zwischen Fußpunkt und Spitze) eines (jeden) seiner Reprasentanten.

Satz: Hat der Vektor ~a die Koordinaten a1, a2, a3, so gilt

~a =

a1a2a3

⇒ |~a| =√

a21 + a22 + a23. (231)

Beweis: Fur die in der Abbildung eingezeichneten Langen gilt nach Pythagoras

a212 = a21 + a22 ⇒ |~a| ≡ a =√

a212 + a23

=√

a21 + a22 + a23. (232)

x1

x2

x3

a1a2

a3

a12

a

Def.: Unter dem Winkel φ zwischen zwei Vektoren ~a und ~b versteht man den(kleineren der beiden) Winkel zwischen einem Reprasentanten von ~a und einem

Reprasentanten von ~b mit gleichen Fußpunkten. Es gilt also 0◦ ≤ φ ≤ 180◦.

a

b

abϕ ϕ

Im Fall φ = 0◦ oder φ = 180◦ sind die Vektoren ~a und ~b parallel bzw. antiparallelzueinander; sie heißen dann kollinear.

66

7.7.2 Skalarprodukt und Vektorprodukt

Def.: Gegeben seien die Koordinaten zweier Vektoren,

~a =

a1a2a3

, ~b =

b1b2b3

. (233)

Unter dem Skalarprodukt von ~a und ~b versteht man die Zahl

~a ◦~b = a1b1 + a2b2 + a3b3. (234)

Das Vektorprodukt von ~a mit ~b dagegen ist der Vektor mit den Koordinaten

~a×~b =

a2b3 − a3b2a3b1 − a1b3a1b2 − a2b1

. (235)

Bsp. 1a: Wir berechnen SP und VP zweier Vektoren ~a und ~b,

841

◦

236

= 34,

841

×

236

=

21−4616

. (236)

Frage: Was bedeuten die Zahl ~a ◦~b und der Vektor ~a×~b anschaulich?

Satz 1: Ist φ der Winkel zwischen ~a und ~b, so gilt

~a ◦~b = |~a| · |~b| · cosφ, (237)

|~a×~b| = |~a| · |~b| · sinφ. (238)

Deutung: Falls |~a|, |~b| 6= 0, so gilt:

~a ◦~b = 0 ⇒ cosφ = 0 ⇒ ~a ⊥ ~b,

|~a×~b| = 0 ⇒ sinφ = 0 ⇒ ~a ‖ ~b. (239)

Das SP ~a ◦~b zeigt also, ob zwei Vektoren zueinander senkrecht stehen (φ = 90◦).

Generell liefert das SP eindeutig den Winkel φ zwischen ~a und ~b,

cosφ =~a ◦~b|~a| · |~b|

. (240)

Das VP ~a×~b liefert die Flache A des von ~a und ~b aufgespannten Parallelogramms,

A = Breite · Hohe = |~b| ·(

|~a| · sinφ)

= |~a×~b|. (241)

67

Bsp. 1b: Die Vektoren aus Bsp. 1a haben die Langen |~a| = 9 und |~b| = 7.Fur den Winkel φ zwischen ihnen gilt also

cosφ =34

9 · 7 = 0.5397 ⇒ φ = 57.34◦. (242)

Das von ihnen aufgespannte Parallelogramm hat den Flacheninhalt

|~a×~b| =√

212 + (−46)2 + 162 =√2813 = 53.04. (243)

Beweis von Satz 1: • Wir beweisen zuerst Gl. (237):

Nach Cosinussatz fur das von den Vektoren ~a und ~b aufgespannte Dreieck gilt

|~a−~b|2 = |~a|2 + |~b|2 − 2|~a| · |~b| · cosφ. (244)

Daraus folgt

|~a| · |~b| · cosφ =1

2

{

|~a|2 + |~b|2 − |~a−~b|2}

=1

2

{

(a21 + a22 + a23) + (b21 + b22 + b23)−[(a1 − b1)

2 + (a2 − b2)2 + (a3 − b3)

2]}

= a1b1 + a2b2 + a3b3

= ~a ◦~b, Q.E.D. (245)

• Der Beweis von Gl. (238) ist etwas muhsamer (und sollte ubersprungen werden):

Mit 0◦ ≤ φ ≤ 180◦ ist sinφ ≥ 0, also sinφ =√

sin2 φ. Mit sin2 φ = 1− cos2 φ folgt dann

|~a| · |~b| · sinφ =

√

|~a|2 |~b|2(1 − cos2 φ

)

=

√

|~a|2 |~b|2 −(~a ◦~b

)2

=√

(a21 + a22 + a23)(b21 + b22 + b23) − (a1b1 + a2b2 + a3b3)2. (246)

Ausmultiplizieren unter der Wurzel ergibt 15 Terme, von denen sich viele wegheben.Die restlichen Terme lassen sich zusammenfassen zu

|~a| · |~b| · sinφ =√

(a2b3 − a3b2)2 + (a3b1 − a1b3)2 + (a1b2 − a2b1)2

= |~a×~b|, Q.E.D. (247)

Satz 2: ~c = ~a×~b steht senkrecht auf der durch ~a und ~b aufgespannten Ebene,

~c ⊥ ~a, ~c ⊥ ~b. (248)

~a, ~b und ~c bilden in dieser Reihenfolge ein Rechts-System.

Bsp. 1c: Mit den Vektoren aus Bsp. 1a berechnen wir

~a ◦(~a×~b

)=

841

◦

21−4616

= 0, ~b ◦(~a×~b

)=

236

◦

21−4616

= 0.

68

7.7.3 Skalarprodukt und Vektorprodukt (KURZVERSION)

Satz: Der Winkel φ zwischen ~a und ~b ist gegeben durch

cosφ =~a ◦~b|~a| · |~b|

, (249)

wobei die Zahl ~a ◦~b das Skalarprodukt von ~a und ~b ist,

~a ◦~b ≡

a1a2a3

◦

b1b2b3

= a1b1 + a2b2 + a3b3. (250)

Satz: Sind ~a und ~b nicht kollinear, so ist durch das Vektorprodukt

~a×~b ≡

a1a2a3

×

b1b2b3

=

a2b3 − a3b2a3b1 − a1b3a1b2 − a2b1

(251)

ein dritter Vektor ~c gegeben, der senkrecht auf der durch ~a und ~b aufgespanntenEbene steht, und so orientiert ist, daß ~a, ~b und ~c in dieser Reihenfolge wie Daumen,Zeige- und Mittelfinger der rechten Hand ausgerichtet sind.

69

7.8 Ebenengleichung in Normalenform

Ist ~n ein Normalenvektor zur Ebene (der also auf dieser senkrecht steht), etwa ~n = ~v× ~w,

so erfullt offenbar der Ortsvektor ~X jedes Punkts auf der Ebene die Bedingung

~n ◦(~X − ~A

)= 0. (252)

Man nennt dies die Vektordarstellung der Ebenengleichung in Normalenform.Mit den Koordinaten n1, n2, n3 des Vektors ~n erhalt man durch Ausmultiplizieren desSkalarprodukts die Koordinatendarstellung dieser Gleichung,

n1x1 + n2x2 + n3x3 − a = 0, (253)

wenn wir ~n ◦ ~A = a setzen.

Es ist ublich, die Orientierung von ~n so zu wahlen, daß ~n vom Koordinatenursprung zurEbene zeigt, ~n ◦ ~A = a ≥ 0. Wahlt man zusatzlich ~n als Einheitsvektor, ~n = ~n0, so ist

~n0 ◦(~X − ~A

)= ~n0 ◦ ~X − d = 0 (254)

die Hessesche Normalenform und d = ~n0 ◦ ~A ≥ 0 der Abstand der Ebene vom Ursprung.

70

7.9 Relative Lage von Punkten, Geraden und Ebenen

7.9.1 Abstand eines Punktes von einer Geraden

Bsp.: Welche Abstande haben die Eckpunkte eines Wurfels von seiner Diagonale?

Eine Wurfelecke liege im Ursprung O(0|0|0), drei weitere auf den Koordinatenachsen,A(a|0|0), B(0|a|0), C(0|0|a). Wir betrachten die Wurfeldiagonale g durch die Ecke O,

g : ~X = λ · ~u, ~u =

111

. (255)

Damit liegen die beiden Ecken O(0|0|0) und D(a|a|a) auf g (Abstand null), wahrend dieubrigen 6 Ecken aus Symmetriegrunden gleiche Abstande von g haben mussen.Um den Abstand d(A, g) des Eckpunkts A von g zu finden, betrachten wir eine Ebene

E : ~Y = ~P + κ · ~v + µ · ~w, (256)

die senkrecht zur Diagonale g, also senkrecht zum Vektor ~u steht,

~v =

1−10

⊥ ~u, ~w = ~u× ~v =

11−2

⊥ ~u, (257)

und deren Aufpunkt P auf g liegt,

~P = λP · ~u. (258)

Den Wert λP (also den Punkt P ) wahlen wir so, daß A in der Ebene E liegt, ~Y = ~A,

~A = λP · ~u + κ · ~v + µ · ~w. (259)

Dies ist ein System aus drei linearen Gleichungen fur λP , κ und µ,

a00

= λP ·

111

+ κ ·

1−10

+ µ ·

11−2

. (260)

Es folgen a = 2κ, µ = λP

2, a = 2λP + 2µ = 3λP , also

κ =a

2, λP =

a

3, µ =

a

6. (261)

Mit λP = a3hat der Punkt P nach Gl. (258) die Koordinaten P (a

3|a3|a3), und es folgt

d(A, g) = d(A,P ) =∣∣~P − ~A

∣∣ =

√

(−2a3)2 + (a

3)2 + (a

3)2 =

a

3

√6 = 0.816 a. (262)

71

7.9.2 Abstand zweier Geraden voneinander

Ein Quader habe eine Ecke im Ursprung O und drei weitere Ecken A,B,C auf den dreikartesischen Koordinatenachsen bei x1 = a, x2 = b, bzw. x3 = c,

~O =

000

, ~A =

a00

, ~B =

0b0

, ~C =

00c

. (263)

Dann ist D(a|b|0) ein weiterer Eckpunkt desselben Quaders.

Wir wollen den Abstand zwischen den beiden Geraden g = OA und h = CD berechnen,

g : ~X = ~O + λ · ~v, ~v = ~A, (264)

h : ~X = ~C + µ · ~w, ~w = ~D − ~C. (265)

Wir brauchen Punkte G ∈ g und H ∈ h, deren Verbindungsgerade ℓ = GH sowohl g alsauch h senkrecht schneidet. ℓ hat also den Aufpunkt G und den Richtungsvektor ~v × ~w,

ℓ : ~X = ~G + κ ·(~v × ~w

). (266)

Da neben G auch H auf ℓ liegen soll, setzen wir

(~C + µ · ~w

)

︸ ︷︷ ︸

~H

=(~O + λ · ~v

)

︸ ︷︷ ︸

~G

+κ ·(~v × ~w

). (267)

Dies ist ein System aus drei linearen Gleichungen fur die drei Unbekannten µ, λ, κ,

00c

+ µ ·

ab−c

= λ ·

a00

+ κ ·

0acab

, (268)

mit der Losung µ = λ = c2

b2+c2, κ = bc

a(b2+c2). Mit a = c = 1 und b = 2 also

µ = λ =1

5= 0.2, κ =

2

5= 0.4. (269)

72

8 Integrale

8.1 Definition

8.1.1 Positive Funktionen

Def. 1: Sei a < b.Die Funktion f(x) sei fur alle x mit a ≤ x ≤ b (definiert, stetig und) positiv,

f(x) > 0 (fur a ≤ x ≤ b). (270)

Dann verstehen wir unter dem Integral uber f(x) von x = a bis x = b,

∫ b

a

f(x) dx = I, (271)

den Inhalt I des Flachenstucks Sf (a, b), das eingeschlossen wird• vom Graphen Gf ,• der x-Achse und• den beiden vertikalen Geraden x = a und x = b.

Die Abbildung zeigt den Graphen Gf einer Funktion f (blaue Kurve),sowie (als rote Flache) den Wert des Integrals (mit a = 2 und b = 7)

I =

∫ 7

2

f(x) dx. (272)

-1 1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

Abzahlen von Einheitsquadraten liefert in diesem Fall die Abschatzung I ≈ 15.

Sprechweise: Die Funktion f(x) heißt der Integrand des Integrals∫ b

af(x) dx,

die Zahlen a und b heißen seine untere bzw. seine obere Grenze.

In Abschnitt 8.2 werden wir lernen wie man Integrale beliebiger Funktionen berechnet.Bei linearen Funktionen, deren Graphen nicht krumm- sondern geradlinig verlaufen,gelingt uns dies bereits jetzt durch elementar-geometrische Flachenberechnung:

73

8.1.2 Lineare Funktionen als Beispiel

Der Graph Gf einer linearen Funktion

f(x) = m · x + t (273)

ist eine Gerade (mit Steigung m und Schnittpunkt mit der y-Achse bei y = t).In diesem Fall, sofern f(a) > 0 und f(b) > 0, ist das Flachenstuck Sf (a, b) ein Trapez.Die Abbildung zeigt das Beispiel mit f(x) = 1

2· x+ 2 und den Grenzen a = 1, b = 5.

-1 1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

Das Integral ist gleich dem Flacheninhalt des Trapezes, also gleich dem Produkt seinermittleren Hohe 1

2[f(b) + f(a)] (grune Linie in der Abbildung) und seiner Breite b− a,

∫ b

a

(m · x + t) dx =1

2

[

f(b) + f(a)]

· (b− a)

=1

2

[

(m · b+ t) + (m · a+ t)]

· (b− a)

=[m

2· (b+ a) + t

]

· (b− a)

=m

2· (b+ a) · (b− a) + t · (b− a). (274)

Mit der binomischen Formel (b+ a) · (b− a) = b2 − a2 erhalten wir hieraus den

Satz 1: Fur lineare Funktionen f(x) = m · x+ t [mit f(a) > 0 und f(b) > 0] gilt

∫ b

a

(m · x + t) dx =m

2· (b2 − a2) + t · (b− a). (275)

Bsp.: Fur das in der Abbildung angedeutete Integral (rote Flache) ergibt sich

∫ 5

1

(12· x + 2

)dx =

1

4·(52 − 12

)+ 2 · (5− 1) = 6 + 8 = 14. (276)

Bem.: Wie wir sogleich sehen werden, bleibt die Formel (275) fur lineare Funktionenallgemein gultig, auch wenn wir die Voraussetzung f(a), f(b) > 0 fallen lassen:

74

8.1.3 Negative Funktionswerte

Im allgemeinen Fall kann f(x) fur x-Werte zwischen x = a und x = b negativ werden.Die Abbildung zeigt ein Beispiel mit a = −1 und b = 6.

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-1

1

2

Jetzt liegen Teile des Flachenstucks Sf (a, b) unterhalb der x-Achse (gelb dargestellt).In Verallgemeinerung von Def. 1 legen wir fur den allgemeinen Fall fest:

Def. 2: Sei a < b. Das Integral uber f(x) von x = a bis x = b ist die Zahl

∫ b

a

f(x) dx = IO − IU , (277)

wobei:• IO > 0 der gesamte Inhalt des oberhalb der x-Achse liegenden Teils (rot) und• IU > 0 der gesamte Inhalt des unterhalb der x-Achse liegenden Teils (gelb)des Flachenstucks Sf (a, b) ist.

Diese Festlegung ist sinnvoll, denn nur durch sie• bleibt Gl. (275) fur lineare Funktionen allgemein richtig (siehe folgendes Beispiel),• nimmt der HDI im folgenden Abschnitt 8.2 seine einfache Form an, Gl. (285).

-2 -1 1 2 3 4 5

-4

-3

-2

-1

1

2

Als Beispiel betrachten wir die Grenzena = −1, b = 5, sowie die lineare Funktion

f(x) = x− 3. (278)

Abzahlen von Quadraten in der Abbildungergibt IO = 2 (rot), IU = 8 (gelb).Nach Def. 2 gilt also

∫ 5

−1

(x− 3) dx = IO − IU = −6. (279)

Wegen IU > IO ist dieses Integral negativ.

Bem.: Unsere Formel (275) liefert tatsachlich das gleiche Ergebnis,

m

2· (b2 − a2) + t · (b− a) =

1

2·[52 − (−1)2

]− 3 ·

[5 − (−1)

]= −6. (280)

75

8.1.4 Vertauschte Integrationsgrenzen

Fur drei Zahlen a, b, c mit a < b und b < c gilt offenbar

∫ b

a

f(x) dx +

∫ c

b

f(x) dx =

∫ c

a

f(x) dx, (281)

da die Flachenstucke Sf (a, b) und Sf (b, c) bei x = b aneinandergrenzen und zusammengenau das Flachenstuck Sf (a, c) bilden (siehe Abbildung).

a b c

-1 1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

Wir konnen erreichen, daß diese Formel sogar dann gultig bleibt, wenn die Voraussetzung”a < b und b < c” nicht gegeben ist. Dazu mussen wir lediglich festlegen:

Def. 3: Bei Vertauschung seiner Grenzen kehrt ein Integral sein Vorzeichen um,

∫ b

a

f(x) dx = −∫ a

b

f(x) dx. (282)

Die untere Grenze a darf also großer sein als die obere, b. Mit Gl. (276) gilt etwa

∫ 1

5

(12· x + 2

)dx = −

∫ 5

1

(12· x + 2

)dx = −14. (283)

Man kann sich leicht klarmachen, daß Gl. (281) nach dieser Festlegung allgemein gilt:

Satz 2: Die Funktion f(x) sei fur alle x mit x1 < x < x2 stetig.Dann gilt fur je drei beliebige Zahlen a, b, c mit x1 < a, b, c < x2 stets

∫ b

a

f(x) dx +

∫ c

b

f(x) dx =

∫ c

a

f(x) dx, (284)

gleichgultig, welche der drei Zahlen a, b, c die kleinste und welche die großte ist.

76

8.2 Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung (HDI)

Dieser Satz liefert das ”Rezept” zur Berechnung beliebiger Integrale (Integration):

Satz (HDI): Die Funktion f(x) sei stetig fur alle x mit x1 < x < x2.Dann erhalt man den Wert jedes Integrals uber f(x) aus der einfachen Formel

∫ b

a

f(x) dx = F (b) − F (a) (x1 < a, b < x2), (285)

wobei F (x) eine Stammfunktion von f(x) ist: Darunter versteht man irgend eineFunktion, welche die gegebene Funktion f(x) zur Ableitung hat,

F ′(x) = f(x). (286)

Integration ist also im folgenden Sinne die Umkehrung der Differenziation:• Differenziation: Funktion f(x) gegeben, Ableitung f ′(x) gesucht.• Integration: Ableitung F ′(x) gegeben, Funktion F (x) gesucht.

Den Beweis dieses wichtigen Satzes verschieben wir auf Abschnitt 8.3.Zuvor wollen wir ihn durch Beispiele illustrieren.

Bsp. 1: Welche Flache liegt unter der Normalparabel zwischen x = 0 und x = 1,

I =

∫ 1

0

x2 dx = ? (287)

1

1

Wir brauchen also eine Stammfunktion F (x)von f(x) = x2, etwa

F (x) =x3

3.

Mit dieser Funktion ergibt der HDI

I =

∫ 1

0

x2 dx = F (1)− F (0) =1

3.

Dieser Wert paßt gut zur Abschatzung ausder Skizze (grune Geraden): 1

2> I > 1

4.

Kurzschreibweise: F (b) − F (a) =[F (x)

]x=b

x=a≡

[F (x)

]b

a.

Damit nimmt Gl. (285) eine kompakte Form an,∫ b

a

f(x) dx =[F (x)

]b

a. (288)

77

Bsp. 2: Die Flache unter der Normalparabel zwischen x = −1 und x = 2 betragt

∫ 2

−1

x2 dx =

[x3

3

]2

−1

=23

3− (−1)3

3=

8

3− −1

3=

9

3= 3. (289)

-1 1 2

1

2

3

4

Bsp. 3: Als weiteres Beispiel betrachten wir die Flache I unter der Sinuskurve,dem Graphen von f(x) = sin x, zwischen den beiden Nullstellen x = 0 und x = π.Dazu brauchen wir eine Stammfunktion F (x) von f(x) = sin x.Wegen d

dxcos x = − sin x ist eine solche etwa F (x) = − cos x,

I =

∫ π

0

sin x dx =[

− cos x]π

0

= − cos π −[− cos 0

]= −(−1) −

[− (+1)

]= 2. (290)

1 2 3

1Die Flache unter der Sinuskurvezwischen x = 0 und x = πhat also genau den Inhalt

I = 2.

Bsp. 4: Fur die allgemeine lineare Funktion f(x) = m · x+ t gilt nach HDI

∫ b

a

(m · x+ t

)dx =

[

m · x2

2+ t · x

]b

a

. (291)

Dies ist genau unsere fruhere Formel (275).

78

8.3 Beweis des HDI

Wir haben nun gesehen, wie leicht es ist, mit dem HDI Integrale zu berechnen.Allerdings verstehen wir noch nicht, warum das Rezept ”HDI” richtig ist.Um dies (am Ende dieses Abschnitts) zu klaren, benotigen wir die Satze 3 und 4.

Satz 3: Sind F1(x) und F2(x) zwei Stammfunktionen von f(x), so ist ihre Differenz

F2(x) − F1(x) = C (292)

gleich einer Konstante C (die nicht von x abhangt).

Beweis: Die Ableitung D′(x) der Differenzfunktion D(x) = F2(x)−F1(x) ist gleich null,

D′(x) = F ′2(x) − F ′

1(x) = f(x) − f(x) = 0. (293)

Folglich hat der Graph GD von D(x) uberall eine horizontale Tangente, was nur moglichist, wenn GD eine horizontale Gerade, D(x) also gleich einer Konstante C ist.

-1 1 2 3 4 5 6 7

-1

1

2

3

Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f(schwarz), sowie die Graphen von vier verschiedenenStammfunktionen von f (farbig). Da letztere sich un-tereinander nur um Konstanten unterscheiden, habenihre Graphen alle die gleiche ”Form”, sind abergegeneinander um unterschiedliche Konstanten in y-Richtung verschoben.

Bemerkung: Nach unserer Definition hangt der Wert I des Integrals

∫ b

a

f(x) dx = I (294)

von drei Großen ab:• vom Wert der unteren Grenze a,• vom Wert der oberen Grenze b,• von der (Integranden-) Funktion f (genauer: von deren Graphen Gf ).I hangt dagegen nicht davon ab, wie die (Integrations-) Variable bezeichnet wird,

∫ b

a

f(x) dx =

∫ b

a

f(t) dt =

∫ b

a

f(u) du = ... = I. (295)

Def.: Bei gegebenem Wert a der unteren Grenze und gegebenem Integranden fstellt das Integral

∫ x

a

f(t) dt = Ia(x) (296)

eine Funktion Ia(x) der (variablen) oberen Grenze x dar.Ia(x) heißt die Integralfunktion von f zur unteren Grenze a.

79

Bsp.: Nach Satz 1 fur lineare Funktionen gilt

∫ x

2

(8t+ 5) dt =8

2· (x2 − 22) + 5 · (x− 2) = 4x2 + 5x − 26. (297)

Also hat f(x) = 8x+ 5 zur unteren Grenze a = 2 die Integralfunktion

I2(x) = 4x2 + 5x − 26. (298)

In diesem Fall ist die Ableitung der Integralfunktion gleich der usrprunglichen Funktion,

I ′2(x) =d

dx(4x2 + 5x − 26) = 8x + 5 = f(x). (299)

Satz 4 besagt, daß dies kein Zufall ist, sondern immer gilt:

Satz 4: Jede Integralfunktion Ia(x) von f ist eine Stammfunktion von f ,

I ′a(x) ≡ d

dx

∫ x

a

f(t) dt = f(x). (300)

Beweis: Nach Definition der Ableitung I ′(x) einer Funktion I(x) gilt

I ′a(x) = limh→0

Ia(x+ h) − Ia(x)

h= lim

h→0

1

h

{∫ x+h

a

f(t) dt −∫ x

a

f(t) dt

}

. (301)

Satz 2, in Kurzschreibweise, besagt:∫ x+h

a−

∫ x

a=

∫ x+h

x. Es gilt also

I ′a(x) = limh→0

1

h

∫ x+h

x

f(t) dt. (302)

Nun ist die Zahl∫ x+h

xf(t) dt gleich dem Inhalt eines schmalen Rechtecks mit Breite h,

dessen Hohe im Limes h → 0 gegen den Wert f(x) strebt. Somit folgt die Behauptung,

I ′a(x) = limh→0

1

h

[h · f(x)

]= f(x). (303)

Beweis des HDI: Fur a, b, g ∈ R gelte x1 < a, b, g < x2. Dann gilt nach Satz 2

∫ b

a

f(x) dx =

∫ b

g

f(x) dx −∫ a

g

f(x) dx = Ig(b) − Ig(a), (304)

mit der Integralfunktion Ig(x) =∫ x

gf(t) dt.

Ist nun F (x) eine beliebige Stammfunktion von f(x), so gibt es nach Satz 3 undSatz 4 eine Konstante C, sodaß Ig(x) = F (x) + C,

∫ b

a

f(x) dx =[F (b) + C

]−

[F (a) + C

]= F (b) − F (a), q.e.d. (305)

80

8.4 Integrale der Grundfunktionen: Integraltabellen

Nach dem HDI ist der entscheidende Schritt zur Berechnung eines Integrals∫ b

a

f(x) dx = F (b) − F (a) = ? (306)

die Bestimmung einer Stammfunktion F (x) des Integranden f(x).

Schreibweise: Ist F (x) eine Stammfunktion von f(x), so schreibt man

∫

f(x) dx = F (x) + C. (307)

(Die Integrationskonstante C laßt man meist weg.)• Der Ausdruck

∫f(x) dx , ohne Grenzen a, b, heißt unbestimmtes Integral.

• Der Ausdruck∫ b

af(x) dx wird dagegen als bestimmtes Integral bezeichnet.

In Integraltabellen wird diese Schreibweise (mit unbestimmtem Integral) benutzt, umzu einer Liste von Funktionen f(x) die jeweiligen Stammfunktionen F (x) anzugeben.

Bsp. 1a: Die Funktion F (x) = xk+1 hat die Ableitung

F ′(x) =d

dxxk+1 = (k + 1) xk. (308)

Im Fall k 6= −1 durfen wir durch k + 1 dividieren, und lesen von rechts nach links

xk =d

dx

xk+1

k + 1(k 6= −1). (309)

Daher steht in Integraltabellen, entsprechend Gl. (307) ohne ”C ”, die Formel

∫

xk dx =xk+1

k + 1(k 6= −1). (310)

In den einfachsten Fallen k = 1, k = 2 und k = 3 lautet diese Formel jeweils∫

x dx =x2

2,

∫

x2 dx =x3

3,

∫

x3 dx =x4

4. (311)

Im Fall k = −2, mit xk = x−2 = 1x2 , lautet sie

∫1

x2dx ≡

∫

x−2dx =x−1

−1= −1

x. (312)

Im Fall k = 12, mit xk = x1/2 =

√x, lautet sie

∫ √x dx ≡

∫

x1/2dx =x3/2

3/2=

2

3x3/2 =

2

3

√x3, (313)

wobei wir im letzten Schritt x3/2 =√x3 benutzt haben.

81

Bsp. 2: Im Fall k = −1 ist die Formel (310) nicht anwendbar.Da die Funktion f(x) = x−1 ≡ 1

xdie Ableitung des naturlichen Logarithmus ist,

x−1 ≡ 1

x=

d

dxln x, (314)

so gilt in diesem Fall die interessante Formel

∫

x−1 dx ≡∫

1

xdx = ln x. (315)

Abweichende Schreibweise:∫

1xdx =

∫dxx,∫

1x2dx =

∫dxx2 , etc.

Wir fassen zusammen:

Integraltafel1. Potenzfunktionen:

∫

xk dx =xk+1

k + 1(k 6= −1). (316)

In den Fallen k = 1, 2, 3 lautet diese Formel

∫

x dx =x2

2,

∫

x2 dx =x3

3,

∫

x3 dx =x4

4. (317)

Im Fall k = 0 ist sie (fast) trivial,∫1 dx = x1

1≡ x.

In den Fallen k = 12bzw. k = −2 lautet sie

∫ √x dx =

x3/2

3/2≡ 2

3

√x3,

∫dx

x2=

x−1

−1≡ −1

x. (318)

Im Fall k = −1 ist Gl. (316) nicht anwendbar. Jetzt gilt

∫

x−1 dx ≡∫

dx

x= ln x. (319)

2. Exponentialfunktion: Wegen ddxeax = a eax gilt

∫

eax dx =eax

a. (320)

3. Sinus, Cosinus: Wegen ddx

cos(ax) = −a sin(ax), ddx

sin(ax) = a cos(ax) gilt

∫

sin(ax) dx = −cos(ax)

a,

∫

cos(ax) dx =sin(ax)

a. (321)

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Impressum

Autor: Dr. Michael Seidl

Herausgegeben durch: Teilprojekt der OTH Amberg-Weiden aus dem Verbundprojekt „OTHmind“ mit der OTH Regensburg des Bund-Länder-Wettbewerbs „Aufstiegdurch Bildung: offene Hochschulen“

Kontakt: Hetzenrichter Weg 15, 92637 Weiden in der Oberpfalzothmind@oth-aw.dewww.oth-aw.de/oth-mind

Copyright: Vervielfachung oder Nachdruck auch auszugsweise zur Veröffentlichungdurch Dritte nur mit ausdrücklicher Zustimmung der Herausgeber/innen.

Hinweis: Diese Publikation wurde im Rahmen des vom Bundesministerium fürBildung und Forschung (BMBF) geförderten Bund-Länder-Wettbewerbs„Aufstieg durch Bildung: offene Hochschulen“ erstellt. Die in dieser Pu-blikation dargelegten Inhalte liegen in der alleinigen Verantwortung desAutors.