Beziehungen zwisehen speziellen linearen Integralgleiehungen erster und zweiter Art und Liisung des Dirichletschen Problems

durch das Potential einer einfachen Schicht yon HANS BLUMER, Glarus

Einleitung

Die vorliegende Arbeit ist aus der Aufgabe entstanden, die lineare Integralgleichung 1. Art, die bei der LOsung des Dirich]etschen Problems im R 3 durch ein Newtonsches Potential einfacher Schicht auftritt, auf eine lineare Integralgleichung 2. Art zu transformieren. .-:,

H i l b e r t hat die analoge Aufgabe in der Ebene in einer Vorlesung fiber Integralgleichungen (Sommersemester 1905)folgendermal3en gel0st. Wird der Rand C des einfach zusammenh~ngenden Gebietes G durch die redu- zierte Bogenlgnge s, 0 ~ s ~ 2~, beschrieben und s ind/ (s ) die Rand-

1 werte der gesuchten harmonischen Funktion u (p) = 5 g (t).log - - . dt,

C r p t

p c G, so ist die Dichte g der einfachen Schicht Losung der Integral- gleichung 1. Art

1 / (s) = .f g (t)- log - - �9 at

C ?'st

1 Hilbert hat festgesteUt, dab der Kern log - - dieselbe Singularit~t auf-

weist wie die Funktion ~ cos n (s - - t) r , t - - H ( s t ; r ffir r �89 Der n = l 7~ �9 n 2~ - -

Operator

V y - S H(8,t; r . / ( t ) . dt + - ~ . ~ / ( t ) �9 dt 0 O

ermOglicht die 13berffihrung der Integralgleichung 1. Art

!(,) = J" K (s, O.g (t). a t , 0

K ( s , t) = H (s, t ; r + regulate Funktion

197

in eine Integralgleichung 2. Art, dank den Eigenschaften

_]'~ (./glf) = F+~f, l~ = f, d 2 1 2~

F / = - F - ~ / + ~ . [ f ( t ) . ~ dt . dt ~

Bei der l~bertragung dieser Methode in den Raum kann man yon der Tatsache ausgehen, dab die Eigenfunktionen sin (ns), cos (ns) des Ker- nes H(s, t ;~ ) die periodischen LOsungen der Differentialgleichung ~ " ( s ) @ 2 . ? ( s ) = 0 ( 0 ~ s ~ 2 ~ , 2 = n ~) sind. Man wird somit die

Eigenschaften der Reihe ~ ~n (P)" ?n (q) __ H (p, q ; $) untersuchen, n =1 ~n

wobei die ~0n (p) die fiberall auf dem Rande T2 eines Gebietes regul~ren LOsungen und die 2~ die entsprechenden Eigenwerte der Laplace-Bel- tramischen Differentialgleichung A~ @ ~t.~ = 0 sind (w 2).

Eine uns w~hrend diesen Untersuchungen zur Kenntnis gekommene Arbeit yon Minakshisundaram und Pleijel [4] 10st im wesentlichen die uns interessierenden Probleme fiber die analytische Fortsetzung yon H (p, q; ~) bezfiglich ~. Fiir den Nachweis der Ableitungen yon H (p, q ; $) benoti- gen wir aber Absch~itzungen ffir ~--> ~-c~ der Greenschen Funktion

G(p,q; ~)~-~ ~ qJn(P)'q~'(q) des Differentialausdruckes A / - ~/, die

tiber die Resultate der Abhandlung [4] hinausgehen, und die wir in An- lehnung an die erw~thnte Arbeit in w 1 entwickeln.

1 �9 �9 f f ( q ) . d % , Der Operator I ~ f - - ~ H (p, q, ~). f(q). d % § ~ ~

S = Inhalt yon ~ , besitzt ~hnliche Eigenschaften wie das Analogon in der Ebene ( w 3) und gestattet die Zurtickftihrung der Integrulgleichungen 1. Art, deren Kerne die gleiche Singularit~t wie H(p, q; ~) aufweisen, auf Integralgleichungen 2. Art vom Fredholmschen Typus (w 4).

1 Insbesondere hat der reziproke Abstand der Punkte p und q

rp q

(p, q E f2) die Singularit~t yon H (p, q; �89 so dab die am Anfang ge- stellte Frage fiber die LOsung des Dirichletschen Problems durch Anwen- dung der Resultate yon w 4 in w 5 behandelt werden kann. In w 6 wird ftir die Einheitskugel noch ein weiteres Resultat in dieser Richtung angegeben.

E. Picard hat eine notwendige und hinreichende Bedingung angegeben fiir die LOsung des Dirichletschen Problems dutch das Potential einer ein- fachen Schicht mit quadratisch integrierbarer Dichte. (Siehe [2], S. 478 und [6].) Es scheint aber nicht leieht zu sein, daraus LOsbarkeitsbedin- gungen herzuleiten, die nur Differenzierbarkeitseigenschaften der Rand- werte enthalten. Unter Beniitzung Cauchyscher Hauptwerte hat Bertrand

198

[7] im Falle der Ebene zeigen k6nnen, dal] die Existenz der zweiten Ab- leitung der Randwer te hinreicht, was der in unserer Arbeit gefundenen Bedingung entspricht.

w 1 Greensche F u n k t i o n und Parametr ix

Wir betrachten eine im R 3 eingebettete, endliche, geschlossene, zu- sammenhttngende, zweidimensionale Flt~che g2. Ihre Punkte bezeichnen wir mit p, q, t . . . . die geodt~tische Entfernung von p und q mit %q.

Wir setzen in der ganzen Arbeit voraus, daB, in bezug auf lokale Nor- malkoordinaten ql, q2, die Koeffizienten gi~(q) der metrischen Form

ds 2 ~ ~_, gik(q).dqi.dqk 5real stetig differenzierbar sind. i , k ~ l

Ftir Funkt ionen / auf g2 fiihren wir folgende Bezeichnungen ein : /(p) e C r oder / (p , q) �9 C("), n = 0, 1, 2 . . . . . heiBt, / besitzt ein

n.stetiges Differential im betrachteten Bereiche. Wenn keiner be- zeichnet ist, handel t es sieh um ~9 bzw. ~9 •

/ (p , q) �9 C~ ~ heiltt : 1) / (p , q) �9 C ('~) ffir %q>O. 2) Es gibt zwei positive Kons tan ten ~ u n d c so, dab im Bereiche O<svq ~ 6 yon ~2• t / ( P , q ) ] <~c(Svq+ 1) fiir K r und I / ( P ,q ) l ~ c l l ~ flit K = 0 ist, und dag die absoluten Betr/ige der Ableitungen v. Ordnung, v = 1 ,2 . . . . . n. in diesem Bereiche kleiner sind als c(S~q ~ + 1).

[(p, q ) � 9 C~ ~) ffir q fest, heigt, die Ableitungen und ihre Schranken brauchen nur beziiglich des Punktes p zu existieren. Der Laplace-Beltrami-Operator auf D lautet

1 2 0 [ 2 0 ' z , ! (q) = lCd (q) 0! (q) ] q = q(q,, k=l oqk / '

2 wobei die gik durch Z gik.g kz = (~ definiert sind. d(q) = ]1 g~k(q) [[ �9

k = l

Die einzige iiberall auf Q regul/ire L6sung der Differentialgleichung zJq/(q)-~-0 ist / ~ const. Folglich existiert eine verallgemeinerte Greensche Funk t ion Go(p, q) des Differentialausdruckes 3 / , welche ffir svq --> 0 logari thmisch singul/ir wird und den Beziehungen

1 Av G o ( p , q ) -= AqG o(p ,q ) - S ' p ~ q ' S - ~ Inhal t von Q ,

genfigt. Ebenso existiert ein vollst/~ndiges Orthonormalsystem {~%(p)} yon Eigenfunkt ionen und eine Folge yon reellen, nichtnegat iven Eigen- werten X= der Differentialgleichung Aq ~- ~ . q ~ 0, n = 0, 1, 2 . . . . .

199

1 mit den Eigenschaften ~o = - ~ , ~. EC(~, 0 = Jlo<~1, ~ ~< ~.+1,

~. ~ r162 ftir n ~ oo. Go(p, q) ist symmetr isch und besitzt nach dem System der {~.(p)} die formale Entwicklung

Oo (v, q) (v) �9 (q) n ~ l ~

Da Go(p, q) c L 2 1), konvergiert ~ ~ .

Hilfssatz 1. Aus 0 < ~ , ~< 2,+~, n ----- 1, 2, 3 . . . und Z 2 g z < o o folgt n = l

l i m s u p 2. (2n.t_ 1 - - ~ t ) = OO . n--~ oo

Der Beweis ist elementar. Hiffssatz 1 ist scharf in dem Sinne, da$ es Beispiele gibt mi t

/r lira sup ~.(2.+~ -- 2.) = 0 ftir ~ < 1 . n-~oo

Nach unsern Voraussetzungen existiert ftir jeden komplexen Wert -r -- ~t. die Greensche Funk t ion G (p, q ; ~) des Differentialausdruckes

z J / - - ~ . / . G (p, q ; ~) ist symmetr isch in p und q und es gilt

A , G ( p , q ; ~) = AqG(p , q; ~) ----- ~ . G ( p , q ; ~) , p # q . (1)

Die vorher definierten Eigenfunkt ionen q, (p) sind auch die Eigen- funkt ionen der Differentialgleichung A q -- ~ .q + ~. q = 0 mit den Eigenwerten p , = ~, ~- ~. Demnach besitzt G(p, q ; ~) die formale

Entwicklung G (p, q; ~) ~ x- q" (P) _ __ q) . =% ~,

Die durch die Greensche Funk t ion vermit te l ten Beziehungen zwischen den Differential- und den Integralgleichungen formulieren wir ohne Be- weise im Hilfssatz 2, den wir in dieser Arbeit wesentlich bentitzen werden. Dabei ffihren wit folgende Bezeichnungen ffir Mittelwerte ein.

- f - - f f ( t ) . do~ t , - f ( . , q) = _ - ~ . f f ( t , q ) . d o h , f ( p , . ) - - - - ~ . f f ( p , t ) . d o h )

Hil~ssatz 2.

Aus /(p) ~ C (~) folgt : A ~ S O o ( p , q) . /(q) .do~q ---- ] - - - / ( p ) . (2.1)

Aus ] (p, q) �9 C~ ) ftir q fest , ~ > - -1 , folgt fiir p ~: q :

/t , , f Go(p, t) . /(t , q).d t = / ( . , q) - / ( p , q) �9 (2.2)

1) I m Lebesgueschen Sinne in tegr ierbare Funk t ionen ~t werden m i t ! c L bezeichnet , quadra t i sch integr ierbare Funk t ionen mi t / c L 2.

2) In tegra le ohne Bezeichnung der Grenzen sind iiber ~'J zu ers t recken, dw = Fl~chen- e lement .

200

Aus (A t - ~ ) / l ( p , t ) = / ~ ( p , t ) , /v(p , t )r K > 0 , v = 1 ,2 , folgt fiir $ # - - 2 , : [ l ( P , q ) = - - S G ( t , q ; ~ ) ' / 2 ( p , t ) ' d o J t �9 (2.3)

Aus den Regularit/~tsbedingungen und der Kompakthei t yon f2 folgt die Existenz einer yon p unabh~ngigen positiven Schranke Ro, derart, dal] die Umgebung %q ~< Ro ganz im Existenzbereich jedes Normal- koordinatensystems mit Zentrum p liegt.

Urn das Verhalten der Greenschen Funktion G (p, q; ~) ftir ~ -+ -4-oo zu untersuchen, konstruieren wir in einem Normalkoordinatensystem mit Zentrum p die ~'unktion

1 1 s K (V, q; ~) ~ 2~" U~ (p' q)" K~ ~- ~ " UI(p' q)" - ~ " K~ (sV~),

s =__ svq, ~ # 0 (2)

die im Bereiche 0 <%q ~< R0 yon t9 • t9 eindeutig definiert ist durch

die Metrik auf tg. Die Funktionen Uv(p, q) und K~(s .V~) , v = O, 1, sind folgendermal3en erkli~rt. U~(p, q) ist die fiir q ~ p regular blei- bende L0sung der Differentialgleichung

dU~(p,q) s d(logVd-~) s ds + -2 " ds " Uv (p' q) + v �9 U~ (p, q) =~ Aq U~_I (P, q)

d mit U 1 ~ 0. - ~ bedeutet Ableitung in Richtung der Geod/~tischen

yon p nach q. Es ist mit

Go(p, p) = 1, Uo(p, q) = \ d(q) ] '

1 q u l ( v , q) = Go(p, q). - - S (d(O) 1/'" ~ , ( d ( t ) ) - ~ / " d ~ �9

8pq

Die Determinante d hat die Gestalt d ---- 1 -4- s2vq. h (p, q) und somit gilt

Uo(p q) 1 -4- q) , (3) , = s ~ . h l ( p ,

wobei h, h~, U 0 und UI in svq ~< R 0 existieren und zu C (4) geh0ren. Die absoluten Betr/~ge aller Ableitungen v. Ordnung (v ~< 4) dieser Funktionen sind beschr/~nkt im Bereiche 0 ~< s,q ~< R0 yon D • Q.

Die Kv (u) sind modifizierte Hankeffunktionen und durch

vnl vni

~ . e 2 . O _ ~ ( i u ) - - e 2 . O ~ ( i u ) K . ( u ) = - ~ l i m

~_~. sin (v ~) 7~

- - : t < a r g u < ~ - , n = O , -4-1, =]=2...

201

mit den Besselfunktionen J~(u) verkntipft 8). Es gilt K~ (u) = K ~ (u)

n2

gn_~(u) + g ~ + ~ ( u ) = -- 2g~(u) , K'o(U) = - - g~(u) (4)

Ko (s 1/~-) = -- log (s V'~-) �9 _~-" a, �9 ( s~)~+ ~_b~. ( s~) ~ (5) n ~ O ~ = 0

~.-~. K~(s V~-) = �89 ~. log (s V ~ ) �9 Z ~,~- (~'~)'% ,~-~- Z ~,,. (~)'~+

a , ~ = 4 - n ( n ! ) -2 b , = a ~ . [ ~ ' ~ 1 + l o g 2 - - c ) c = 0 , 5 7 7 . . .

__ an / n l l % , d~ = c~. ( c - - l o g 2 - - X

n ~ l / \ m=l m 2 ( n ~ l )

K , ( s ] / / ~ ) = � 8 9 �9 . I e - ~ - ~ . t - ' - l . d t fiir ~ > 0 . (6) o

Fiir u reell, u ~ A-c~, beniitzen wir die Abschi~tzung

I K . ( u ) ] ~ const .e -u (7)

die nach (4) auch ftir die Ableitungen von K s (u) gilt. K (p, q ; ~) ist eine lokale Parametr ix der Gleichung A u -- $. u = 0,

denn es gilt nach [4] :

1 . A q U l ( p , q ) �9 8 A q K ( p , q; ~) -- ~. K ( p , q; ~) -~ 4~ ~-~" K I ( s V ~ )

Um eine auf der ganzen Fliiche D erkli~rte Parametr ix F(p , q ; ~) zu erhalten, w~hlen wit eine Kons tan te R, 0 < R ~ R 0, und eine viermal stetig differenzierbare Funk t ion VR(s) mit den Eigenschaften ~R(s) ~ 1

R ftir 0 ~ s ~ - und ~R(s) ~ 0 ftir s ~ R und definieren nach [4]:

F(p , q; ~) -~ Vn(%~)" K ( p , q ; ~) ftir s~q ~ R ,

F ( p , q ; $) ~ 0 ftir svr > R .

Nun setzen Wir F I (p , q ; $) - - AqF(p , q ; ~) -- ~ . F ( p , q ; ~) und be- weisen mit Hiffe yon

a) Die Bezeichnungen und Forme ln fiir Zyl inder funkt ionen usw. s ind aus [3] iiber- nomm e n .

202

( d*/(~) 1 d/(s) + d(log Vd(q)) d/(s)~ Aq(f(%q).g(q)) ~-- ds ~ + - ~ " ds ds d8 ] " g(q)

§ 2 �9 d/(s) dg(q) ds ds § f ( s ) . A q g ( q ) , s - - %q

1 s s K~(sV'-~) P l ( P ' q ; ~) ~" 4:~ " AqUI(p' q) " ~ " K~(sV'~)~-- V ~

fiir 8 ~ - (8)

1 .K~(~V~) F~ (p, q ; ~) ~-- V~(p, q). Ko(sl/~) § Ve(p, q). ~-~

-- Va(p,q). V'~. Kx(sV'~ ) + V~(p,q). K~(sV~)

F l ( p , q ; ~ ) = O ftir s ~ R .

R fiir ~ - ~ s ~ R

Die absoluten Betr~ge yon V,,(p, q), ~ --- 0, 1 ,2 , 3, 4, und ihrer Ab- lcitungen bis und mit der 2. Ordnung sind in den betreffenden Bereichen yon ~2 • kleiner als eine Kons tan te c(R).

T'(p, q; 2) hat fiir s~q -> 0 die gleiche Singularit~t wie eine Grund- 10sung yon d / -- 2"/. Unter Beriicksichtigung yon (8) besteht die Be- zeichnung Parametr ix somit zu Recht. Wir setzen deshalb

G(p, q; 2) ~ F(p, q ; ~) -- ~,(p, q; ~) (9)

und erhalten aus F 1 (P, q', ~) ~ C~ ), 7 (P, q', ~) ~ -~ C(2), K > 0, nach Hilfs- satz (2.3)

y(p,q ;~ )= -- ,~ G(q,t ;~). Fl (p,t ; ~ ) .do~ t = - ,f I '(q, t ; ~). F1 (p, t ; ~). do~ + . f r (q, t ; ~). I~ (p, t ; 2). do,t . (10)

Hilfssatz 3. (3.1) : Ftir ~ reell, ~ ~ ~o(R) d 0 , p und q beliebig, gilt :

I , ( p , q ; ~ ) ] ~ c . ~ - ~ ; I 0 , ~ 7 ( P q ; ~ ) ~c'2-3/2; ~ 7 ( P , q ; ~ ) ] ~ c ' ~ -3/2

0 0 Op~ resp. Oq~ bedeuten hier Ableitung im Zentrum p resp. q eines

Normalkoordinatensystems. Die Kons tan te c = c(R, 20) h~ngt nieht ,con der speziellen Wahl der Koordinatensys teme ab.

(3.2) : gu jeder reellen Zahl 1 gibt es eine Kons tan te c = e(1, d, ~o), die nieht yon der speziellen Wahl der Koordinatensysteme abh~ngt, so, dab im Bereiche s~q ~ d > 0 von D • die absoluten Betr~ige yon

203

G (p, q ; ~) und ihrer Ableitungen v. Ordnung, v ~< 2, kleiner sind als c.~ -z ffir ~ > t ~ o ( R ) > 0 .

Beweis yon (3.1). Da die diesbeziiglichen Rechnungen relativ lang aber nieht sehr schwierig sind, begniigen wir uns mit der Beweisandeutung.

Im Bereiche 0 < s l / } - < c ~ , ~ > 1, gelten nach (5) und (7) folgende Ab- schgtzungen :

] F(p , q ; ~) l <~ oq (s V~) , [ F~ (p, q ; ~) <~ ~-~.oq (s V~)

~ l ~ l ( p , q ; ~ ~ ~--112. ~I(S V~) , ~ V ~ ( p , q ; ~ ) <~Cq(SV~) (11)

mit al(u) = const (I log u [ + u) .e -" .

[ O - ~ T F , p , q ; ~ , [ < ~ l ' . o ~ ( s V ~ , mit ~ , ( u ) = c o n s t ( 1 - + - u ) . e -~.

R In %q >~ -~- sind die linken Seiten der Abschgtzungen (11) kleiner als

~3/2-~a(s. V~) mit ~3(u) = c(R).e -'~. Aus (10) ist durch Vertauschung von Differentiation und Integration

ersichtlich, dab ~ (p, q ; ~) und die bezeichnten Ableitungen flit alle p und q beschrgnkt sind. Das Maximum des absoluten Betrages wird in je zwei Punkten Poqo angenommen bei speziellen lokalen Koordinaten. Diese Punkte setzen wir in (10) ein und schgtzen ab.

Um zum Beispiel die erste Ungleichung zu beweisen, setzen wir

M(~) - - - -max l~ , (p ,q ;~ ) [ - - - - Iy (po , q0;~)l

und erhalten sofort aus (10)

M (~) <~ IS I'(qo, t: ~).V~(po, t; ~).&o t [ + M (~).S I Vl(po, t; ~)1 " [ dwt [,

woraus die Behauptung mit Hilfe der Formelgruppe (11) hergeleitet werden kann. Bei den fibrigen Ungleichungen gehen wir analog vor, unter Verwendung des oben gefundenen Resultates.

Beweis yon (3.2). Wir definieren ftir R genfigend klein

Mr - - max I Y (P, q ; ~) I ,

wobei srq > / / f . R ~< R o ist, /~ = 2, 3, 4 . . . Der Extremalwert wird je in einem Punktepaar p~q~, angenommen, u n d e s folgt aus (10) :

I S t; ).Fl(p2 , t ; ~)-doo t ] <~ M(~)'S I I ' ,(Pz,t; ~) ['1 doat l <~ M ( ~ ) ' c ( R ) ' ~ -2 ----- c2(R)'$ -a �9

204

Indukt ion bezfiglich # liefert

M(~)(~) ~< [ S r(%,, t; ~). Fl (p~, t; ~).do~ t I M(I~-I)(~).~ [ /'l(pt~, t ; ~)[.[ do)t[ ~ cv(R)-~ - ~

Analog erhalten wir mit

M(p ") (~) -- max ~ r(P, q; ~) ftir s,q ~ I~. R : M(pt')(~) ~ c . ( R ) . (~V'~) -~"

M ~ ( ~ ) - - m a x 0 p ~ g ~ , ( p , q ; ~ / far ~ , , ~ > ~ . R : M ~ ( ~ ) <~c,(R).~-".

De ~ (p, q ; ~) in s~, >~ R symmetriseh ist, gelten die Abseh~tzungen aueh ftir die Ableitungen beziiglieh q, und entspreehend untersuehen wit

0~ die gemisehten Ableitungen 0p~ 0q~" Um unsere Behauptung zu be-

I " weisen, brauehen wit lediglieh # ~> l, R ~ - �9 min {Ro, d} zu w~hlen.

Itilfssatz 3 haben wir ftir Normalkoordinaten hergeleitet. Er gilt natfir- lieh aueh ffir andere lokale Koordinaten, die genfigend regul/~r von den ersteren abh~ngen.

w Definition und Eigensehaften d e r K e r n e H ( p , q;~)

Ffir die folgenden Rechnungen benfitzen wir die Konvergenz von

x~ ~ ~(P)~n(2~'~(q)+ ~) -- f G~ t) �9 G(t , q; ~) �9 dco t , ~ :/: - - 4. . = 1

cfn(p), cf.(q) _ f Go(p ' t) . Go(t, q) . do~ t , (12) .=1 ~

und zwar konvergieren beide Reihen absolut und gleichmgBig in ~ • (siehe [2], Seite 452). Insbesondere gibt es eine Konstante c mit

~d ] v" (P) " v" (q) l < c < ~ , . . =1 ~.~,

Wir gehen aus yon der wichtigen Beziehung

G ( p , q ; ~ ) = - - ~ . ~ _ . r ~ - G o ( p , q ) + 1 .=1 ~.(~. + ~) s - :~ ' p ~ q ' (13)

deren Richtigkeit durch Vergleich der Entwicklungskoeffizienten nach dem voUsti~ndigen System {~(p)} nachgewiesen werden kann. Beide

205

Seiten von (13) sind stetig fiir p # q und ~L ~. Nun multiplizieren wir

G(p, q ; ~) mit ~ . e ~. ~-~, r : komplexer Parameter, und integrieren

in der ~-Ebene l/rags des geschlossenen Weges LR~ , der folgendermaBen festgelegt wird. LR~ l~uft von ~ = a, 0 < a < 2 x, l~ngs der positiven reellen ~-Aehse (arg ~ = 0) naeh ~ : R N = �89 (2 N -C 21v+i). ;tN < ~ N + I ,

N >~ 1, yon dort li~ngs des Kreises ] ~ I = Ra im positiven Sinne wieder nach ~ = R~, dannl~tngs der reellen ~-Achse (arg ~----2z) zurtick nach ~ = a, worauf der Kreis ] ~} = a, im negativen Sinne durch- laufen, zum Ausgangspunkt ftihrt. Da G (p, q; ~) meromorph ist in liefert der Residuensatz nach (13)

iv q,, (p) . %, (q) - -1 ei~, ~ / ~, . . . . G(p,q;~).~-~.d~ ,,:1 2~ 2~ti (14)

I.~1 = a

mar

2~i ~ " I~1 =RAT a

Die Umlaufsintegrale sind im positiven Sinne zu durchlaufen. Den Inte- granden fiber [ ~1 = R~ ersetzen wir durch (13) und erhalten unter Berficksichtigung der Absch/~tzungen

I ~ %~(P)'(P.(q)] ~< +.~ [<Pn(P)'~-(q)] 1

] 1-+- -~n I

l$1 =~ir z ---- ~ (]5)

NachHiffssatz 1 gibt es eine monoton wachsende Folge Nv, v : l , 2,3 . . . . , derart, dab fiir a l lev 2~v(2z%+l--A~v) >~ 8 > 0 ist. Somit folgt aus (15)

lira /G(p ,q ;~ ) .~ -~ .d~=O ftir z > 4. RNv'-)'~ 1~1. =R~Iv

Die linke Seite yon (14) konvergiert nach (12) absolut ffir N -->c~ fiir z ~> 2. Deshalb liefert der Grenztibergang Rzr v -->c~ aus (14) die Be- ziehung

206

f x" ~'(P)'q~"(q) _ - - . - - 1 e~,, ~ . . ,,=-'~ ~ - - 2 ~ i G ( p , q , ~). ~-~.d~

I~=~ (16) o~ sin(~$) . ~ G(p,q; ~).~-~-.d~ .

Das erste Integral in (16) ist eine ganze Funkt ion yon ~, das zweite ebenfalls, dank Hilfssatz (3.2). Somit ist die im Bereiche z ~ 2 du tch

die Reihe ~ ~ ( P ) " ~ ( q ) definierte holomorphe Funkt ion von C in die

ganze C-Ebene analyt isch for tsetzbar ftir p ~: q und stellt eine ganze Funkt ion yon r dar, die wir mit H (p, q ; $) bezeichnen, also

~ V oo e i': , ~-~. sin(~C).jG(p,q;~).~-~.d~.r H(p ,q; C)-~2~i" " (p,q" ~). d~-~

i~]=a a (17)

Itiltssatz 4 fiber Eigenschaften yon H (p, q ; C).

(4.1) Ffir p : ~ q gilt H ( p , q ; ~) c C (2), H ( p , q ; C)=- H ( q , p ; ~)

(4.2) Ftir p C q gilt A p H (p, q; ~) ----- AqH (p , q; ~) -~ -- H (p, q; $ - - l )

(4.3) H ( p , q ; 1 ) : G o ( p , q ) (18) 1

H ( p , q ; O ) - - S ' H ( p , q ; - - n ) ~ - O ffir n ~ - 1 , 2 , 3 . . . .

(4.4) H (p, q ; ~) ist fiir z > 0 absolut integrierbar fiber p und q.

(4.5) Fiir 0 <~ z < 1, %q ~ ~, ~ gentigend klein, gilt H ( p , q; C) : )r -~ + T ( p , q; C) mi t T ( p , q; C) c C(2~ (19)

und 1

Z(~) ~- 4~. F 2 ( ~ ) . s i n ( ~ ) :/: 0

(4.6)

(4.7)

SH(p , t ;C) .qJ t , ( t ) .d% : 2~-~.~(p), # ~-- 1, 2, 3 . . . . , z > 0 . (20)

S H ( p , t ; ~ ) . d w t - - -O , z > O (21) H ( p , t ; C ) . H ( t , q ; ~ l ) . d w t - ~ H ( p , q ; ~ + ~ i ) , z>O, Z I ~ - - ~ I ~ 0 .

Fiir B ( p , q ) ~ C ~ ) ffir q----const, K > 0 , gilt A ~ S ( p , t ; C ) . B ( t , q ) . d w t = ~ H ( p , t ; C ) A t B ( t , q ) ' d w t , z > O .

Beweis von (4.1). Die Symmetr ie folgt aus der Symmetr ie von G (p, q; ~). Die Differenzierbarkeit ftir das erste Integral in (17) ist evident, ftir das zweite Integral bentitzen wir Hilfssatz (3.2).

Beweis von (4.2). In (17) dfirfen wir nach Hilfssatz (3.2) Integral und A vertauschen. (1) liefert dann sofort die Behauptung.

207

Beweis yon (4.3). In (17) ersetzen wir den Integranden fiber I ~ I = a durch (13) und erhalten

1 .e~,,; f 2 ~ _ ~ ~ q~(p).~o,(q)d$_ a-~ s i n ~

I~[=a sin ~ (1 - - $) -k- s in ~ ~ . f G (p, q ; ~) . ~ - ~. d~

q-G~ u ( 1 - - ~) ~

Lassen wir ~ --~ 1 streben, so bleibt

1 H(p ,q ;1 )=~-~ e ~"~. n = l ~n(~n'~-~) [~l=a

D~s Integral ist aber Null, weil der Integrand in I ~ I < 2~ holomorph ist. Die beiden andern Beziehungen von (4.3) folgen daraus durch wiederholte Anwendung von (4.2).

Beweis von (4.4). Wit ersetzen in (17) halten, ffir z > 0

1 ein~ f H (p, q; ~) : ~ y(p, q; 2)" ~-:d~ ] ~ l = a

G ( p , q ; 2 ) nach (9) u n d e r -

s i n ~ f ~(p,q;2).~_~d ~ 7~ a

1 ei~ f i , ( p , q ;~ ) . 2_~d~ + s in~$ ~~ 2z~i ~ f F(p, q; ~).~-~d2 (22)

L~i=a a

Nach Hiffssatz (3.1) geh0ren die beiden ersten Integrale zu C r 02

wobei die Ableitung Oq~ Oq~ vorli~ufig ausgenommen ist. Da H (p , q ; ~)

neeh (4.1) stetig ist Nr s~q>O, genfigt es, das Verhalten der beiden letzten Integrale yon (22) ffir s~q --~ 0 zu untersuehen. Das letzte Inte- gral sehreiben wir in der Gestalt

1

f r(p, q; 2). ~-~a2 = f g (p, q; 2). 2-~d~ + f g(p, q; 2). ~-~. d~ a a 1

8 I

und ersetzen K(p, q ; ~) naeh (2), wobei wit im ersten Integral reehts

die Reihenentwieklungen (5) verwenden. Die Substitution s . g ' ~ = u liefert uns sehlieBlieh

a 1

+ l Uo(p,q)s'~-2. f [ - - l o g u . ~ u ' n . a n ' ~ ~ u'n.bn]~ 8Va n=0 n=0

+ l-l--ul(p,q)s2~, l o g u �9 N u2n'c,~-t - N u~.d~__ u22 �9 u 1-2~. du . 4 ~ 8V~ n=o n = o

2O8

Die Gr6i~en flo(~) ~ K o ( u ) "ul-~du und fll(~) ~ K l ( u ) u-2; 'du 1 1

sind ganze Funkt ionen yon ~. Bei den Reihen dtirfen wir Integrat ion und Summat ion vertauschen und erhalten ftir ~ r 1, 2, 3 , . . .

a n ~ b n

f r(~' q; ~)" ~-~" ~ =~-~-'' Uo(~' ~) "~o(:) + ~ "~o(~+ ~- ~)~+ ~" ~o h-+~-- ~ g

1 ' = 1 1 4- s~. Ul(p, q) 167~ n~_-o(n+l--~) e-~- STe ,~-~0n-~l--~ 4 ~ t L

:r 82a n al_~ [~ - 1 v ( 8 2 a ) n . b n 1 (sea)".an (23)

I= log V~aa �9 Z ~ i L ~ ] ~- 82. UI(p' q) a~ ; " �9 n=o ,~o n § i - -

~ (82 a) n. (~n] 1 1 . v (s~a)n'cn 1 . l o g V a . v . . . . . -~16~ ~"~=o (n~- 1 - ~)2 - - 8~ ,=~o n~- 1 - ~ ] 4 ~ U~(p'q).a-~

1 V (82a)n'an a1_;.8 ~ l . "~" ~ 1 - - ~ -- Uo(p, q). a ~-; �9 log s. 2~. ,----o n + 1-- ~ UI(p' q) log s . 8~ ,=~o "

Um den singul~ren Anteil des zweitletzten Integrales von (22) zu berechnen, schreiben wir F(p, q ; ~) in der Form

oo 1

+ ~ u~(p, q). s ~ �9 log V ~ . cn + ~ u~(p, q). s ~. dn + ~ . U~(p, q)

s . [ i ~ 1 ~ ] log ~ . Ux(p, q) �9 82* ~ (82 ~ ) n . ( ~ n - - ~ . U 0 (p, q) ~ X (82~) " ~ an �9 n=o n~o

Nur die Glieder, die den Fak tor log s besitzen, k6nnen unendlich werden fiir s~q --~ 0, einschlieBlich der Ableitungen bis zur 2. Ordnung. Wir erhalten

f ~- �9 8 [ 1 1 .e~, ~ F ( p , q ; } ) . } - ; . d } Ta(p,q;~)-~ sin~$ log - - ~ . U o ( p , q ) 27d H=a

(s2a) n "an 1 . . C(2) �9 v ~ v ~ + ~ vi(p'q)'a~-~'~*" ~ (~)n'~n]

Setzen wit (23) und (24) in (22) ein, so heben sich die Glieder mit dem Fak tor log s weg, und wir erhalten mit (3) die Darstellung

H ( p , q ; ~)=Z(~).s~;-~-~s2;.T~(p,q; ~)§ , I Z ( ~ ) l < c ~ (25)

�9 al-{

(2~)

14 CommentarU Mathematlei Helvetlct 209

~2 Tl(p, q ; ~) c C (~) , T2(P, q ; ~) �9 C (~) mit Ausnahme der Ableitung aq~Oqk "

Aus (25) und (4.1) folgt somit die absolute Integrierbarkeit ftir 0 < z < 2 und ~ :/: 1, aber nach (18) gilt diese Eigenschaft auch ffir

---- 1. Ftir z > /2 liefert die absolute und gleichm~Bige Konvergenz der linken Seite yon (16) die Behauptung.

Bewei8 yon (4.5). Aus (25) folgt die gesuchte Darstellung yon H (p, q ; ~) mit T(p, q ; ~) -= 8 ~- T1 (p, q; ~) + T2(p. q; ~). Da T(p, q; ~) symmetrisch ist in p und q folgt aus der Existenz und den Absch/itzungen

a~ ~2 fiir~_l_._~, dutch analoge Betraehtungen dasselbe ftir aq~Oq-----~" Es ist so-

mit T(p, q ; ~) ~ C(22~ ). Ferner gilt nach unsern Entwieklungen o~

Z($) ---- lira [ s ' -~ .H(p , q; ~)] ----- sin ~t~ . S Ko(u)"ul-~;'du 7g2 "

s ..-). O 0

Mit Hiffe yon (6) liiBt sich das Integral berechnen und einige Umformun- gen ergeben die gewiinschte Gestalt.

Beweis yon (4.6) dutch analytische Fortsetzung. Die Integrale (20), (21) existieren und haben die Gestalt F(p ; ~) -~ S H (p, t ; ~)./(t).do) t, / stetig auf $9. Wir setzen

F ( p ; ~ ) : l i m F R ( p ; ~ ) mit F R ( p ; ~ ) = S H ( p , t ; $ ) . / ( t ) . d % , R-> o ~2 t t

wobei ~R aus $2 entsteht durch Weglassen der R-Umgebung des Punktes p. In ~2 R ist der Integrand besehr~nkt und fiir feste p, t eine holomorphe Funktion yon ~. Fa (p ; ~) ist somit holomorph in ~ ftir 0 < z <c~. Ferner bleibt F R (p ; ~) nach (4.4) in jedem abgeschlossenen Teilbereieh yon 0 < z < o o gleichmi~ig beschri~nkt fiir R - ~ 0 , also ist F ( p ; $ ) holomorph in 0 < z < ~ .

Auf ~hnliche Weise, indem wir um p und q je eine R-Umgebung aus- schliei3en, k0nnen wir zeigen, dab F(p, q; ~) =SH(p, t; ~).H(t, q; ~t)"dtot mit z > 0 , Z l > 0 , ~ lest, holomorph ist in ~ ftir 0 < z < o o , p :~ q. Fiir

oo

z >/ 2 gilt H(p, q ; ~) ~ ~_~ qn (P)" 9%(q) , wobei die Konvergenz gleich-

m/i~ig ist fiir alle p und q. Mit dieser Formel beweisen wit (20), (21) dutch Vertauschung yon Summation und Integration. Durch analytische Fortsetzung folgt die Richtigkeit ffir z > 0.

Analog gilt fiir z >/ 2 .

[ H(p,t;~) .H(t,q; ~).d~ot-~ ~=~ ~ .~ %,(t).H(t, q; ~).deo t

210

Durch analytische Fortsetzung folgt wiederum die Giiltigkeit ftir z > 0 .

Beweis yon (4.7). Den Greensehen Satz fiir ~ sehreiben wir in der Gestalt

S B l (p , t ) .A tB2( t ,q ) .do~ t : S A t B ~ ( p , t ) . B 2 ( t , q ) . g ~ t ftir p # q

B~(p,q) cC~ ), K:>O, v : 1,2.

Daraus folgt sofort ftir z> 0

S H ( p , t; ~ + 1) A t B ( t , q).dw t : ~ A t H ( p , t; ~ + 1).B(t , q).do~ t = - - S H ( p , t ; ~ ) . B ( t , q ) . d % , B ( p , q ) EC~ ) , K:>O .

Vom ersten Integral k0nnen wir A~ berechnen durch Vertauschung mit dem Integralzeichen und erhalten nach (4.2) sofort die Behauptung.

Aus dem Greenschen Satze folgt noch ftir / E C (~)

.f AeI(t).d~ = o . ( 2 6 )

w 3 Der Integraloperator I;

Um gewisse Rechnungen, die immer wieder auftreten, formal einfacher schreiben zu k0nnen, ftihren wir den Integraloperator I ~ ein, der ein Analogon der yon M. Riesz in [5] eingefiihrten Operatoren ist.

Wir definieren ftir / e L, / beschr/~nkt, z > 0

I~qf(q) ~I~v / (q) - - S H ( p , q; $)./(q).dwq -4- ]-. (27)

Integrationsvariable ist somit derjenige Index des Operators I~vq , der auch in der Funktion / vorkommt, w/~hrenddem der andere Index die neue Variable bezeichnet. Hilfssatz (4.2) liefert die Darstellung

~+I I~,](q) = -- A~Ibq f(q) § f (28)

In (28) existiert I~ ftir z > -- 1, falls / r C (~), denn nach Hilfssatz (4.7) gilt

AvS H ( p , q ; ~ + 1).f(q).dcoq = S H ( p , q ; ~ + 1).Aqf(q).dr .

(28) ist die analytisehe Fortsetzung yon (27) beztiglich ~. Ftir Funktionen B(p , q) yon 2 Punkten fiihren wir die entsprechende

Definition ein, wobei wir schwi~ehere Voraussetzungen zulassen. Es sei B ( p , q ) ~ C ~ ) , K > - - 2 . Dannexis t ier t f i i r t ~ q , z > 0

I } p B ( p , q ) - : ~ S ( t , p ' $ ) . B ( p , q ) . d w v + ., q) c C (~ 4) . (29)

4) Zur Bes t immung dos Indexes K -~ 2z in C~)2z siehe [2] Seite 362.

211

Ferner liefert Hilfssatz (4.7) ftir B(p, q)E , ~ , ~> O, wie oben die Darstel lung

I~v B (p, q) =_ -- A t ] ~+1 B (p, q) + B ( �9 q) ~ ~+2~(~ flit z > -- 1, t # q . (30)

Ffir die Existenz von (30) ist auch die absolute Integrierbarkeit der Ableitungen 1. Ordnung von H(t, p ; 1 ~- $) und B(p, q) nach t und p hinreichend 5), das heiBt B(p , q) ~ C~ ) ftir q fest, K > - - 1, z > - - 1. I~vB(p, q) kann fiber alle Schranken wachsen ftir sty---> 0, bleibt jedoch absolut integrierbar in q und t.

Die weiteren uns interessierenden Eigenschaften von I ; fassen wir im folgenden Hilfssatz zusammen :

Hilfssatz 5.

(5.1) Es ist 1~111~. / ( q ) ) ~_ i~,+2t[.~ ~ p t \ ~ p q tq - I ~ tl )

ffir z~ > 0, z > 0 und / ~ L , / beschr~nkt, oder fiir / E C (2) und z ~ > 0 , z > - - I oder z ~ > - - l , z > 0 .

Ferner gilt I ~ (I~v B (V, q)) = tr,+~B -~v (P, q)

fiir B(p, q) e_,,C (2), ~r und Z l > 0 , z > - - I oder z~>-- 1, z > 0 oder fiir B(p, q) e C(~ ) fiir qfest , K>-- 1 und z~>0, z > - - � 8 9 z~>--�89 z>O.

(5.2)

(5.3)

(5.4)

(5.5)

I~ = / ( p ) fur / ~ C (~) , I~ q) = B( t ,q) ftir B(p, q) ~ C (1) ffir q lest, K > - - 1.

I~t S B(p, q).g(q).do% = ~ I~tB(p, q).g(q).d% [I~qB(p, q)] .g(t) .d% = ~ B(p, q)[I~qg(t)] .d%

fiir g e L , g beschr~nkt. B erffille die Bedingungen yon (30).

Ffir g c L 2, g beschri~nkt, z > 0 , folgt aus I~qg(q)= 0 fast fiberall g (q) = 0.

Wenn die beschr~nkten Funkt ionen g, (q) E L 2, v = 1, 2 . . . . . n , linear unabh~ngig sind, dann sind die Funkt ionen h, (p) = I~qg~ (q) ffir z > 0 stetig und ebenfalls linear unabh~ngig.

Beweis von.(5.1). Es sei B(p,q)EC~ ) fiir q = c o n s t , ~ > - - 1, z ~ > 0 , I~1 I ~ z > - - �89 I~vB(p, q) existiert naeh (30), die Existenz yon ~t(~vB(p,q))

folgt sodann aus (29). Wi t ersetzen I du tch seine Definitionen und er- hal ten

5) Sieho [1] Soito 317.

212

i t , t F B (p, q)) : ~ H (v t" ~1) [-- /~t S H (t, p" I + ~)" B ( p , q).dw~].dw t vt~ tp ~ ~

4- S H ( v , t ;~1)" do)t* B ( o , q)

4- S f [ - - A t f H(t, p; 1 4- ~). B(p, q) d~%] do~ t 4- B ( . , q ) .

Beim zweitletzten Summanden diirfen wir A t mit dem i~ul3ern Integral vertauschen und erhalten dann, wie auch beim vorangehenden Sum- manden, auf Grund yon (21) Null. Im ersten Gliede wenden wir die Hilfss~tze (4.7) und (4.6) an und erhalten

Iv,(I B(p, q)) -~ =- 2v S H (v, t ; $O[] H (t, p ; 1 4- $). B ( p , q).dc%].d~o t 4- B ( . , q)

-~ --- A ~ [S g ( v , t; $0.H( t , p ; 1 4- $) .dwt] .B(p , q).d% + B(., q)

: - d v ~ H ( v , p ; ~ 4- ~ 4- 1 ) .B(p ,q) .dc% 4- B ( . , q ) .

Die andern Behauptungen von (5.1) beweisen wir ~thnlich.

Beweis von (5.2). Der Beweis folgt unmittelbar aus Hilfssatz 2 unter Beachtung von (18).

Beweis von (5.3). Wir vertauschen die Reihenfolge der Integrationen.

Beweis yon (5.4). Wir bilden die Entwicklungskoeffizienten yon l~qg(q) nach dem vollst~ndigen System {?~(p)}, n ~- 0, 1 ,2 , 3 . . . und erhalten mit Hilfssatz (4.6) 2n~~g(q).cp~(q).d~o q -~ 0 fiir n >~ 1 und -g --~ 0, das hei6t alle Entwicklungskoeffizienten yon g verschwin- den.

Beweis yon (5.5). Die Stetigkeit yon h,(p) ist evident. Aus n

Xc~.h~(p) = 0, c~ --~ const, folgt I~q(Zc~.g~(q)) = 0, also nach (5.4) v=l v=l

c~.g~(q) -~ 0 fast iiberall. Da die g~ linear unabh/~ngig sind, miissen V=I die c~ versehwinden.

w 4 Integralgleiehungen 1. Art mit einem Kern K(p, q )=a . S~q~4-Bl(p,q).

Ihre Transtormation in Integralgleiehungen 2. Art

In diesem Abschnitt werden wir Beziehungen herleiten zwischen der linearen Integralgleichung 1. Art

]I(P) = ~ K ( p , q).g(q).dwq (31)

und linearen Integralgleichungen 2. Art fiir die Funktion g (q).

213

In diesem Paragraphen gelten nachstehende Voraussetzungen. Wir betrachten nur beschr/inkte L0sungen yon Integralgleichungen. K(p , q) r C(_~)q, q > 0, so, dal~ ftir svq ~< 5 die Darstellung

K (p, q) = a.svq~ + B, (p, q)

gilt, mit B 1 (p, q) ~ C~, wobei entweder 0 < ~ < 2 ist und K 1 > 0, oder 1 < ~ < 2 und K I > - - I . a = const : / :0. /~(p) cC (2).

(31) nimmt nach Multiplikation mit der Konstanten al "Z(~), ~=l--2q

reell, unter Beriicksichtigung yon (19) folgende Gestalt an :

/(P) = I~vqg(q) + S B(p , q).g(q).dt% (32)

B (p, q) c C(~ ), wobei entweder 1 > $ > 0 und K > 0 ist, oder

�89 und K>-- I. / (p) E C (*) .

Satz I: a) Jede Ltisung g yon (32) erfiillt die lineare Integralgleichung zweiter Art

I~t~l(t ) = g(u) -4- ~ K , (u , q).g(q).doJq (I) g x ( u , q) - - I ~ [ B ( t , q) ~ C(~

fast tiberall. Stetige LOsungen g erffillen (I) exakt. b) Jede I~sung g yon (I) ist stetig und befriedigt (32).

Beweis yon a). Wir setzen in (32), nach Hiffssatz (5.1) und (5.2) :

/(p) -= I~u(I;t~t(t)) , B (p , q) = I~v,,(I;t:B(t, q))

ein und erhalten, unter Beachtung yon (5.3)

I~v,(Iutr = I~vug(U) -4- I~u S I;t~B( t, q)'g(q)'d~ oder

I t , , [ I ~ t : l ( t ) - g ( u ) - S I ; t ~ B ( t , q ) ' g ( q ) . d o ~ ] = 0 .

Der Klammerinhalt ist nach unsern Voraussetzungen quadratisch inte- grierbar. Daraus folgt nach Hiffssatz (5.4) sofort (I). Ffir stetige g ist auch der Klammerinhalt stetig und (I) ist tiberall erffillt.

Beweis von b). Wit multiplizieren (I) mit I~v, und durchlaufen den Beweis yon a) rtickw~rts. DaB 9 stetig ist, folgt nach unsern Voraus- setzungen sofort aus

g (u) ~ Z~t~ / (t) -- S K~ (u, q)'9 (q)" dr% .

214

Unter einer Eigenfunkt ion einer linearen Integralgleiehung 1. Art (31) verstehen wir eine wesentlich von Null verschiedene, beschr/~nkte und integrierbare LOsung g ffir [~ ~ 0. Unter einer Eigenfunkt ion der linearen Integralgleichung 2. Art

/(p) :- g(p) + ~ K ( p , q) .g(q) .d% (33)

verstehen wir eine von Null versehiedene L0sung g yon (33) ffir r = 0. Jede solehe LOsung ist stetig bei unsern Voraussetzungen.

Zusatz I. a) (I), (32) und ihre t ransponier ten Gleiehungen haben dieselbe Anzahl k linear unabh/mgige Eigenfunktionen. 0 ~ k <oo.

b) Die Aufl0sbarkei tsbedingungen fiir (I) lauten, ffir /~ >~ 1

/'gZv --~ 0 , v ---- 1, 2 . . . . . k , (34)

wobei die Funkt ionen gl eine Basis der Eigenfunktionen yon

0 = ~ K ( p , q).gl (p).dr% (35) bilden.

Beweis von a). Wenn (I) genau k linear unabh/~ngige Eigenfunktionen besitzt, so hat nach Satz I auch (32) diese Eigenfunktionen. Umgekehr t erffillt jede Eigenfunkt ion yon (32) auch (I) fast fiberall.

Wenn g' (q) eine Eigenfunkt ion yon (35) ist, dann ist

e' (u) ---- I~upq ' (p) (36)

eine Eigenfunkt ion der t ransponier ten Gleichung yon (I)

0 = e'(u) + .[ I~t~B(t, u).e'(q).doJq , (37)

denn wir erhal ten beim Einsetzen von (36) unter Beachtung yon Hiffs- satz 5

I~pg'(P) + 5 [I~fiB(t, u)]- ; ' [Iq~g (p)]-dw~ - ' - zu g (p) + S u ) ) ] . g' (p) __ ~ r f -- Iuvg (p) + ,[ B(p , u) (p) .dwv -~ const. ~ g ( p , q).g' (p).dwv = 0

Wenn k' die Anzahl der linear unabh~ngigen Eigenfunktionen yon (35) ist, dann gilt offenbar k >~ k', weil die Transformat ion (36) nach Hilfssatz (5.5) die lineare Unabhiingigkeit bestehen 1/iBt. Nach unsern Voraussetzungen fiber den Kern K ( p , q) konnen wir dieselben Betrach- tungen ffir den t ransponier ten Kern von K (p, q) machen und erhalten k' /> k. Daraus folgt k = k'.

215

Beweis von b). Die Aufl0sbarkeitsbedingungen lauten

o = 5 [ I~[ l ( t ) ] .e' v ( u ) . d w u -~ S [I;t~/(t)]" [I~u~g'v (P)] "dwu �9

Wir formen nach Hilfssatz 5 um und erhalten

0 ----- S [ I~(Iut~/ ( t ) )] . g/(p), dw~ : S / (P)" g1 (p). dw~ .

Die Methode zur Bestimmung der Eigenfunktionen yon (37) ffihrt auf eine neue Integralgleichung 2. Art, bei der [ (p) unver~ndert eingeht. Als Vorbereitung beweisen wir

Hilfssatz 6. Jede L0sung g yon (I) genfigt der Beziehung

I ;~ -~ ( I~u g (u ) ) = g (t) .

Beweis. g(u) erffillt (32), somit gilt I ~ u g ( u ) = [(p) - - ~ B ( p , q ) .d~q Von der rechten SeRe k0nnen wir I ~ ~ bilden und erhalten nach (I) g (t).

Satz II. a) Wenn g eine L0sung yon (32) ist, dann ist

e(p) --- I~qg(q) (38)

eine L0sung der linearen Integralgleichung 2. Art

[ (p) ----- e (p) + S K2 (p, u)- e (u). doJ u , K 2 (p, u) ~ I u [ B (p, t) ~ C~)_2~ . (II)

b) Wenn e(p) eine L0sung yon (II) ist, dann ist I~ ;e (p ) stetig und 10st (32).

Zusatz II. (32), {II) und ihre transponierten Gleichungen haben dieselbe Anzahl k linear unabhi~ngige Eigenfunktionen. Fiir die L0sbar- keit yon (II) sind die Bedingungen (34) notwendig und hinreichend.

Beweis yon a). Wir setzen in (32) B ( p , q) = I~qu(I~t~B(p, t)) ein und erhalten

](p) -= I~qg(q) + S [Iut~B(P, t)] .I~qug(q).d~ou .

Die Substitution (38) liefert die gewiinschte Gestalt.

Beweis yon Zusa tz I I . Die Eigenfunktionen yon (32) gehen durch (38) in Eigenfunktionen yon (II) fiber, unter Erhaltung der linearen Unab- h~ngigkeit. (II) hat somit mindestens k linear unabh~ngige Eigenfunk- tionen, die wit ftir k ~/ 1 dutch e~(p) -~ I~qg,(q) , v = 1, 2 , . . . , k, darstellen, wobei wir die gv als Basis der Eigenfunktionen yon (I) stetig

216

annehmen konnen. Wenn e' (p) eine Eigenfunkt ion der t ransponier ten Gleichung yon (II) ist

0 = e'(p) + S [Ivt~B( u , t ) ] . e ' (u ) .do~ , (39)

dann erhalten wir durch Multiplikation yon (39) mit l~p

0 -~ I~ve'(p) -4- ~ B ( u , q).e '(u).d~% ,

das heil3t e' (p) ist eine Eigenfunkt ion yon (35). (II) kann somit nicht mehr als k linear unabh/~ngige Eigenfunktionen besitzen. Als Basis der Eigenfunktionen yon (39) w/~hlen wir die gl v (p), v ~-- 1, 2 . . . . , k, wor- aus sofort (34) folgt.

Beweis von b). Es sei go(q) eine LOsung yon (I), also auch yon (32) und e 0 (p) = Fpq go (q) die entsprechende LOsung yon (II). Dann 1/~13t sich jede LOsung e (p) yon (II) darstellen als

k

e(p) = eo(p) ~- Z, %.ev(p) 6) , cv = const. (40) v = l

Auf der rechten Seite yon (40) k0nnen wir nach Hiffssatz 6 summanden- weise Ivt ~ bilden und erhalten

k

I 7 [ e (p) = go (t) + ~ c~. g~ (t) . v = l

Die in den S/~tzen I und I I hergeleiteten Methoden zerstOren eine eventuell vorhandene Symmetr ie des Kernes K ( p , q). Ffir gewisse Werte yon K 1/tfJt sich das dutch folgendes Verfahren vermeidcn.

Satz III. a) Wenn g eine Lt~sung yon (32) ist, dann erftillt

h(t) :12 -= I~q g(q) (41)

die lineare Integralgleichung 2. Art, ftir 0 < ~ < 1, K > 0,

I~-/2/(p) =- h(t) -4- ~ K3(t, u ) .h (u) .d%~ K3(t, u) ~- I~ /~ ( Iu~ /2B(p , q)) E C~)_2; . (III)

K 3 (t, u) und K (p, q) sind gleichzeitig symmetr isch. b) Wenn h(t) eine LOsung yon (III) ist, dann ist Iut~/2h(t) stetig und

10st (32).

Zusatz I I I . (32), (III) und ihre t ransponier ten Gleiehungen haben dieselbe Anzahl k linear unabhi~ngige Eigenfunktionen. Ftir die Losbar- keit yon (III) sind die Bedingungen (34) notwendig und hinreiehend.

e) l ee re S u m m e n (d . h . k = 0) s i n d d u r c h :Null z u e r s e t z e n .

217

Bewei8 yon a). Wir bilden

I~q g (q) ~/~ ~]~ I~/t~h (t) (42) = I ~ ( G g(q)) =

B ( p , q) = I~2 B ' (t, q) oder B' (t, q) = I-[]l~B(p, q) . (43)

Nach (30) gilt B' (t, q)e (~(a) ffir t lest. Wit setzen (42) und (43) in v K - - 1

(32) ein und erhalten

/ (p) = I ~ h (t) + S I ~ ~B' (t, q) .g (q). doJ~ oder

I~[I~q~/2/(q) - - h(t) - - ~ B ' (t, q).g(q).doJq] = 0 .

Der Klammerinhalt ist stetig, somit liefert Hilfssatz (5.4)

I~r = h(t) + S B ' (t, q ) . g (q ) . dwq . (44)

Die Eigenschaften yon B ~ (t, q) gestatten uns, nach (30), zu schreiben

B' (t, q) ~/~ = I~qKa(t , u) also K3(t , u) = Iq~l~B'(t , q) . (45)

Wir erhalten demnach S B' (t, q) .g (q) .dwq = S K~ (t, u ) . h (u ) . dm u, was mit (44) zusammen die gewiinschte Gestalt ergibt.

Beweis von Zusa t z I I I . Die Eigenfunktionen yon (32)gehen dutch (41) in Eigenfunktionen yon (III) fiber, unter Erhaltung der linearen Unab- h~ngigkeit. (III) hat somit mindestens k linear unabh~ngige Eigen-

I ~12 ~ . h ' funktionen h~(t) = tq y~(q), v = 1 ,2 . . . . k, fiir k >/ 1 (t) sei eine Eigenfunktion der transponierten Gleiehung yon (III)

0 = h' (t) + S Ka (u, t).h' (u). de% . (46)

Wir multiplizieren (46) mit l:./z und erhalten

_iv .. (t) + S I ~ K a ( u , t ) .h ' ( u ) . d w u . (47)

Den neuen Kern formen wit naeh (45), (43) und I-Iilfssatz 5 um. I ~ K 3 ( u , t) = B ' ( u , v) = I ~ 2 ( I ~ ; B ( q , v)) setzen wit in (47) ein,

0 = I i ~ h ' ( t ) + y [I~q:B(q, v)]. [ I ~ ' h ' ( u ) l . & o t ,

woraus uns die Substitution (41) Gleichung (37) liefert, yon der wit wissen, dab sie genau k linear unabh~ngige Eigenfunktionen I~q9~ (q), v = 1 ,2 . . . . k ftir k ~ 1, hat. Somit besitzt (46) ebenfalls genau k linear unabhKngige Eigenfunktionen, die wir nach den letzten Betraeh- tungen mit h~r I ~/~,4 (q) bezeiehnen k0nnen. Die Auflosbarkeits- tq ~]y

bedingungen lauten folglich

S [ G ~ / ~ / ( p ) ] �9 ' ~ ' [Itq g~ (q)]. d~, = S [I~ ~(Ib~/~/(p))] "g~ r dco~ = S I(q)'g'~ (q)" dw , = 0 .

218

B e w e i s yon b). Jede L(~sung von (III) li~I~t sich darstellen als k

h( t ) = ho(t ) -t- X cv .hv ( t ) , c~ = const. v = l

Fiir die partikul~re LOsung ho(t ) w~hlen wir I i~go(q) , wobei go eine Losung yon (I) und somit auch yon (32) ist. Nach (44) gilt.

k

h( t ) -= I[q~/2/(q) - - ~ I ~ / ~ B ( p , q ) .g* (q) mit g* = go + X c~.g~ . v = l

In dieser Darstellung yon h dfirfen wir rechts I~t~/2 bilden und erhalten unter Berticksichtigung yon (I)

h (t) = g* (u) .

w 5 Die Liisung des Dirichletsehen Problems durch das Potential

einer einfachen Schieht

Im Dirichletschen Problem im R 3 ist eine Funktion V (p) gesucht, die in einem beschrankten Gebiete D harmonisch ist und auf dem gande ~2 yon D vorgeschriebene stetige Werte ]1 (P) annimmt. ~2 sei zusammen- hi~ngend und besitze fiberall eine eindeutige Tangentialebene. In einem r/~umlichen kartesischen Koordinatensystem mit Zentrum auf D, dessen x3-Achse mit der Fli~chennormalen zusammenf/~llt, lasse sich ~2 lokal durch die eindeutige Funktion x~ = x3(x l , x~), x3 e C r darstellen. Unter diesen Voraussetzungen kann man auf ~2 lokale Normalkoordi- naten einfiihren, welche die Voraussetzungen des w 1 erftillen. Somit gelten die in den vorangehenden Paragraphen hergeleiteten S/~tze.

Das Potential einer einfachen Schicht g

v (p) = f . g(q) . d% , (4s ) Q

r~q ~ - - - geradliniger Abstand der Punkte p und q, ff e L, g beschr~nkt, ist stetig im ganzen Raume und harmonisch im Innern und im ~uBern yon 52. Um das Dirichletsche Problem mit dem Ansatz (48) zu 16sen, haben wir somit lediglich daftir zu sorgen, dab die Randwerte angenom- men werden, das heiBt g (q) muB der linearen Integralgleichung 1. Art

f i ( P ) - ~ f r - ~ _ " g(q) . doJq , p c 5 2 (49) Q

gentigen. Umgekehrt erftillt jede beschri~nkte und integrierbare LOsung g yon (49) die gestellten Bedingungen. Nun weiB man abet, dal3 die Stetig-

219

keit von/1 im allgemeinen nicht genfigt, um (49) zu l(~sen~). Um unsere Methode anwenden zu k6nnen, fordern wir /~ e C (~) und zeigen, dal] (49) auf die Gestalt (32) gebracht werden kann. Wir setzen

:(p) = z( �89 �9 Z ( p ) , 1 1 1 1

Z(�89 ~ , B ( p , q ) - ~ 2~ r~q

Es bleibt noch nachzuweisen, dal~ B ( p , q ) zu C~ ) gehort, mit ~ > 0 . Die Differenzierbarkeit yon B(p, q) ist ffir p :~ q evident. Fiir s~q ge- nfigend klein entwickeln wit die Sehne r~q der geod~tischen Linie yon p nach q nach Potenzen der Bogenl~nge s~q und erhalten

k(a)----Krfimmung der Geod~tischen in einem Punkte a zwischen p und q. Daraus folgt

1 1

r~q 8~q ~- Spq.h(p,q) , S~q.h(p,q) EC(12) fiir Spq~(~.

Unter Verwendung von Hilfssatz (4.5) erhalten wir schlieBlich fiir

1 1 B (p, q) : ~ . 8pqO h(p, q) - - T (p, q ; �89 - - ~ ~ C(12) .

Die Kerne der Integralgleichungen 2. Art (I), (II), (III) werden somit h(~ehstens wie I log s~q I singular ftir s~q --> 0.

Die Gleichung

f r~q . g(q ) .d~q = O

besitzt die einzige stetige L0sung g ---- 0s). Aus dem Maximumprinzip folgt n~mlich aus /(p) -~ 0 sofort V(p) = 0 und die Sprungrelationen fiir die Norm~lableitungen yon V (p) ergeben g ---- 0.

Die Gleichungen (I), (II), (III) lassen sich somit eindeutig 16sen ftir jedes /E C (2), (k-~ 0). Die gesuchte Funktion g ist stetig, und der Kern K 3 (p, q) ist symmetriseh.

~) sieho [1] Seite 135 und [2] SeRe 479. 8) I m Diriehletschen :Problem der Ebene t re ten beim Einheitskreis Eigenfunktionen auf

und auch bei denjenigen Randkurven, die die Kapazi t~t des Einheitskreises besitzen. Siehe aueh [6].

220

w 6 Untersuehungen fiir die Einheitskugel

Auf der Oberflgehe der Einhei tskugel besitzt die Differentialgleichung

A~r + ~.~P(p)= 0

die tiberall regulgren L6sungen

cos (mT).P~, m (cos v~), sin (m~o).P~, m (eosvq), 2~,m = n 2 + n, n = 0, l , 2 . . . . , m = 0, 1 ,2 . . . . . n, (~, v q) = Pol~rkoordinaten des Punktes p,

P~,~(x) -~ zugeordnte Legendresche Funkt ionen,

P,,,0 (x) = P . (x) = Legendresche Po lynome n. Grades.

Dieses Funk t ionensys tem ist vollstgndig und orthogonal. Durch Nor- mierung und mit Hilfe des Addi t ionstheoremes der Kugel funkt ionen finden wir

H(p ,q ;~ )= ~q~(P)'q~(q)-- ~ 2 n + 1 P~(p,q) =1 ~ , W - I ~ " ~ ~-n~' P~(P'q) - -P~(cos Spq),

Wir stellen den K e r n H(p, q; ~) ffir z > 0 als Summe eines Kernes H' (29, ff ; $) und einer konvergenten Reihe dar, wobei H ' (p, q ; $) eine einf~che Integr~ld~rstel lung besitztg). Zu diesem Zwecke definieren wir

1 P~(p,q) =__1 H ' (p ,q ;~ )~ v~ 2 n + - �9 Z (50) P~(p, q) n=o 47~ ( 2 n + 1)~ 4~ n = o ( 2 n + l ) 2 ~ - l "

Da ] P~(29, q) I ~ 1 ist, konvergier t die Reihe (50) ffir z > 1 absolut und gleichmggig in p und q, und es gilt

1 N-1 p . ( p , q ) H ' ( 2 9 ' q ; ~ ) : ~ ' , ~ v o ( 2 n + 1 ) 2 ; - 1 + R~, N : 1 , 2 , 3 , . . . , z > l , (51)

R1=- 4~1 . ~ Pn(29, q) IRll~< . ! (2n+l ) l -~z~o far N - ~ . n=zy(2n-~- l)~ -1 '

In (51) setzen wir o~

( 2n - I - l ) 1 - ~ - 2~--1 fe_(2n+l) t.t2~_~.dt F(2~) o

und

p~ (p, q) = ~1 . f (cos ? + i sin ? �9 cos cp)'*, dcp , (? ~ Spq) 0

0) Integraldarstellung und analytische Fortsetzung der Kerne H(p, q; ~) sind yon Minakshisundaram in : Zeta-function on the sphere, J. Indian Math. Soc. 18 (1949), p. 41, untersueht worden.

221

ein und erhalten 2~ 1 N - 1

�9 ~ t~:-~'e - t" ~, e -2n t 'pn (P ,q ) 'd t -4- Rx H'(p,q;~)---- 4~t.F(2~) o ,,=o

F

2~ - - 1 . r t ~ _ 2 . _ r ~ - ~ = ~ r(2 ~) 0~ ~ '[0 ~ ~o(r176 ~s~ ?. cos ~)~. (~-~')".a~ . a t + ~ .

Fiir ? # 0 , ~ t ; ~ # 0 , ~ t ; 0~<t~<cr gilt .N =1 e2t

( c o s ? - ~ - i s i n ? . c o s ( ~ ) n . ( e - 2 t ) n - --}-R2, (52) ,=o (e~t--cos ? ) - - i . s i n? . cos ~0

1 R 2 = - - 2., t e o s ? § sin?eosq~)"' te-$tf~; IR21 ~< e~,Vt(1 e_~t ) �9

Da die rechte Seite von (52) summandenweise absolut integrierbar ist in 0 ~< ~0 ~< ~t, erhalten wit, unter Berficksichtigung yon

f = ~ ( a 2 - b~)-l/2 dq~

a q- b . cos (p 0

2 ~ - ~ HP(p'q;~) = 4zt. F(2~)

R~-- 492F(2 ~)

�9 ~ t2~_-2, et[(e2t_ cos ?)2-~- sin 2 ?]-1/2. dt + RI-~- R 3 0

~t

�9 "~ t ~:--~. ~'E f R~z~ .d t 0 0

oo ]2~ - - 1 [ �9 f t2z_~ e _ ~ t , dt

]R3]~< 4z t lF(2r o 2 . S i n t -->0 ftirN-->c,o.

Dureh geniigend groBe Wahl yon N kann ] R1 I + I R3 ] beliebig klein gemacht werden. Somit resultiert ftir z > 1 ; ? @ 0, zt ; ? ---= svq, die Darstellung z r

2 ~ - 1 f t~ -~ �9 �9 �9 d t . H ' ( p , q , ~ ) = 4zr. V2. F(2~) J V C o s 2 t - - c o s ?

0

Die Vorzeichen der Wurzeln sind positiv zu w/~hlen. Ftir p # q ist H ' (p, q ; ~) eine holomorphe Funktion yon $ in z > �89 Durch partielle Integration k0nnen wit sie behebig weit nach links fortsetzen. H ' (p, q ; ~) ist somit eine ganze Funktion in ~. Fiir z >- - �89 p ~ q, gilt zum Bei- spiel die Darstellung

oo

1 �9 f_ t ' ; - l : S i n 2 t H' (p ,q ; r = 4n 1/2-F(2r J ( C o s 2 t - - cos?) a/~ " d t .

0

Fiir spezielle Werte yon r erhalten wir

1 1 (53) Hr(p, q; O) = O, H~(p, q; �89 =- 4vr rrq

222

Die erste Beziehung folgt aus / '(0) = c~, die zweite aus

Pn(x ) = (2 -- 2x) -1/2 ftir [ x ]< 1 .

Ferner sehen wir, dab (50) ftir ~ = �89 konvergiert und in z > �89 holo- morph ist.

H (p, q ; ~) und H'(p , q ; ~) sind durch nachstehende Gleichung verkniipft,

- - 1 1 ~ Pn(P, q)" h~(~) U ( p , q ; ~ ) = 4 ~ " 4.:-~- 4 . : .H ' (p ,q ; ~) + ~ . n~..1- ( -~_~ i)2-- ~ , z > 0 , (54)

wobei die h,(~) definiert sind durch

1 4-: h,,(~) I h,,(~) I < I ~t" 23~+x n ----- 1, 2, (n2+ n).: -- (2n-f- 1)~.: + (2n A- 1)~.:+~ . . . . .

(55) Dank den Absch~tzungen ftir h~ (~) konvergiert die Reihe in (54) absolut und gleichmiiliig ftir z > 0 und ist holomorph in ~. Die Richtigkeit yon (54) ergibt sich fiir grol3e z sofort durch Einsetzen der Reihenentwick- lungen yon H(p , q; ~) und H ' ( p , q; ~). Analytische Fortsetzung be- weist die Behauptung. Um in (54) eine besser konvergente Reihe oder eLne Darstellung fiir negative z zu erhalten, miissen wir lediglich die Ent- wicklung (55) yon (n 2 + n)-.: nach Potenzen von (2n ~- 1) -2 weiter ausfiihren und erhalten eine zu (54) analoge Formel.

Da die Definitionen yon H ( p , q ; ~) und H ' ( p , q, ~) ~thnlieh sind, und da, wie aus (54) ersichtlieh ist, H ' (p, q ; ~) ebenfalls absolut inte- grierbar ist ffir z > 0, gelten wie in Hilfssatz (4.6) naehstehende Be- ziehungen

.f H ' ( p , t ; ~ ) . P ~ ( t , q ) . d w t = (2n- f -1)-~ . : .P~(p,q) , z > 0 , n~> 0 (56)

~ H ' ( p , t ; ~ ) . H ' ( t , q ; ~ l ) . d o ~ t = H ' ( p , q ; ~ + ~ l ) , z>O, z l > O

Neben den friiher behandelten L0sungsmethoden des Dirichletschen Problems mit dem Potential einer einfachen Schicht, erw~hnen wir fiir die Kugel noch folgenden Weg :

Die Gleichung

2 ~ . f ( p ) = / r - ~ . " 9(q) " d(Dq , f E C (2) (57)

hat die LOsung

2~'g(q)=-f[ 1 +R(p'q)] (58)

223

mit

oo p,~(p,q) P'(P'q) .h~(1) �9 IR(p,q) l ~ . R(p, q) = ~" n=l ~ n2 + n - - �88 n=l ~ (2n q- 1) 5 '

Z u m Beweise se tzen wir (58) in (57) ein u n d e rha l t en u n t e r B e a c h t u n g y o n (53), (56)

n=l(2n+l)2~ Pn(t'q) .hn(l).dogqj~tf(t).d~o t

~_ ~ 1 "n=x~ (2n+P'~(P'I) 3t) . h , (1 ) ] �9 zJtf(t ) .dw t + 2=-f.

Die F o r m e l n (54) u n d (26) l iefern uns schlie$1ich

u n d d a r a u s e r h a l t e n wir n a c h (4.7), (18) u n d (2.1)

f r-~ " g(q)d% = -- 2z~" Ap f Oo(p,t)" f ( t ) 'd% § 2~]-= 2z~f(p) .

LITERATURVERZEICHNIS

[1] Courant-Hilbert, Methoden der m a t h e m a t i s c h e n P h y s i k I, 2. Auflage, Berlin 1931.

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(E i nge ga nge n den 6. Mgrz 1953.)

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