Biegeknicken von Stäben und Stabtragwerken - Stahlbau und ......2019/11/25 · unter Druck und...

Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen

8 - 1

Kapitel 8Stabilitätsfälle

Biegeknicken von Stäben und Stabtragwerken

Bearbeitungsstand 25.11.2019

Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Inhalt

8 - 2

8.1 Einführung 8.2 Schnittgrößenermittlung nach Elastizitätstheorie II. Ordnung8.3 Ermittlung der Verzweigungslasten von Stäben und

Stabsystemen8.4 Tragfähigkeitsnachweise für einteilige Querschnitte bei

zentrischer Druckbeanspruchung und bei Druck und Biegung8.5 Tragfähigkeitsnachweise für mehrteilige Stäbe8.6 Aussteifungssysteme (Horizontal- und Vertikalverbände)


8 - 3

Abschnitt 8.1

EinführungModellstab, Spannungs- und Verzweigungsprobleme,

Zusammenhang zwischen Verzweigungslast, Theorie II. Ordnung sowie Traglast

Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Literatur

9-4

Literatur/1/ Petersen, C.: Statik und Stabilität der Baukonstruktionen, Vieweg Verlag, 1980/2/ Pflüger, Alf: Stabilitätsprobleme der Elastostatik, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York,1975 /3/ Sedlacek, G. Eisel, H., Hensen, W. Kühn, B., Paschen, M.: Leitfaden zum DIN-Fachbericht 103

Stahlbrücken, Ernst & Sohn, März 2003/4/ Roik, Carl, Lindner, Biegetorsionsprobleme gerader dünnwandiger Stäbe,

Verlag Wilhelm Ernst und Sohn, Berlin, München, Düsseldorf, 1972/5/ Kollbrunner, Meister: Knicken, Biegedrillknicken, Kippen, Springer Verlag 1961/6/ Petersen, C,: Stahlbau, Vieweg Verlag, 1988 /7/ Lindner, J., Heyde, S.: Schlanke Stabtragwerke, Kapitel 2 des Stahlbaukalenders 2009,

Verlag Wilhelm Ernst & Sohn, 2009/8/ Wagenknecht, G.: Stahlbau-Praxis, Band 1, Verlag Bauwerk Basis Bibliothek,

Bauwerk Verlag GmbH 2002 /9/ Greiner, R., Lindner, J.: Die neuen Regelungen in der europäischen Norm EN 1993-1-1 für Stäbe

unter Druck und Biegung, Stahlbau 72, 2003/10/ Kuhlmann U., Zizza A.: Stahlbaunormen – DIN EN 1993-1-1, Kapitel 2 aus Stahlbau-Kalender 2011,

Ernst & Sohn Verlag, 2011/11/ Stroetmann R., Lindner J.: Knicknachweise nach DIN EN 1993-1-1, Stahlbau 79, Heft 11, 2010/12/ Naumes J. Strohmann I., Ungermann U., Sedlacek G.: Die neuen Stabilitätsnachweise im Stahlbau

nach Eurocode 3, Stahlbau 77, Heft 10, 2008


8 - 5

StabilitätsnachweiseNachweismethoden, bei denen bei Druckbeanspruchung der Verformungseinfluss beim Tragsicherheitsnachweis zu berücksichtigen ist.

Stabilitätsprobleme treten bei

Stäben und Stabwerken (Biegeknicken und Biegedrillknicken),bei Platten (Plattenbeulen)und Schalen (Schalenbeulen) auf.

Tragfähigkeitsnachweise für stabilitätsgefährdete Bauteile


Einführung :Versagensformen bei Stäben

8 - 6

N v

y

z

z

y

w

w,v

Biegeknicken

Biegeknicken um die z- Achse

Biegeknicken um die y- Achse

Biegedrillknicken

Beanspruchung durch Normalkräfte und Biegemomente

NF

v

w

ϑ

y

z

w

Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Modellstab für Grundsatzuntersuchungen

8 - 7

e

N

x

z,w

wmL/2

L/2

e

N

HH wm

ϕ

cϕEJ

M

ϕ (κ)

Ideal elastisch

M

ϕ (κ)

ϕ (κ)

M

Mpl

M = cϕ ϕ

bilinear elastisch-plastisch

elastisch-plastisch

MplDie grundlegenden Zusammenhänge von stabilitätsgefährdeten Stäben werden zunächst an einem Modellstab untersucht, der aus starren Stäben und einer Drehfeder cϕ in Stabmitte besteht. Mit Hilfe der Drehfeder wird die Biegesteifigkeit des Stabes idealisiert. Dabei werden unterschiedliche Federkennlinien (M-ϕ-Beziehungen) betrachtet.

Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Imperfektionen

8 - 8

Geometrische Imperfektionen

strukturelle Imperfektionen

Eigen-spannungen σE

Streckgrenzen-verteilung

Lastexzentrizitäten, Vorkrümmung, Schiefstellung Geometrische

Ersatzimperfektionen

e0φ

σE fy

Bei stabilitätsgefährdeten Stäben sind die Beanspruchungen des Tragwerks unter Berücksichtigung der Tragwerksverformungen zu ermitteln. Dabei sind geometrische Imperfektionen (spannungslose Vorverformungen) und strukturelle Imperfektionen ( Eigenspannungen aus dem Schweißen und Walzen) sowie unterschiedliche Streck-grenzen in Abhängigkeit von der Materialdicke) zu berücksichtigen. In den Regelwerken werden die unterschiedlichen Imperfektions-arten durch geometrische Ersatz-imperfektionen in Form von Vorkrümmungen mit dem Stich e und und Schiefstellungen φ(Stabverdrehungen) erfasst .

Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Verzweigungslast - Einführung

8 - 9

cϕ

L/2

L/2

A B

N N

2/Lw ϕ=w

ϕ

M

ϕ (κ)

Ideal elastisch

M = cϕ ϕ

Es wird zunächst von einem ideal geraden Stab ohne Imperfektionen mit einem ideal elastischen Materialverhalten der Drehfeder und ideal zentrischer Lasteinleitung ausgegangen. Ferner werden kleine Verformungen vorausgesetzt.

Der Stab befindet sich dann bis zum erreichen der Verzweigungslast Ncr in einer stabilen Gleichgewichtlage. Unter der Verzweigungslast weicht der Stab seitlich in eine unbestimmte benachbarte Lager aus. Die Last Ncrwird als ideale Verzweigungslast oder auch ideale Knicklast bzw. ideale kritische Last bezeichnet, da die idealen Systemannahmen in der Realität nicht vorhanden sind.

Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Ermittlung der idealen Verzweigungslast

8 - 10

ϕϕ=ϕ= cLw4c2wN 0L

c4Nwc

Lw4wN =

−⋅=⋅

⋅− ϕϕGleichgewicht:

unverformtesSystem N

Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Ermittlung der idealen Verzweigungslast

8 - 11

Gleichung besitzt zwei Lösungen:

1) w=0 (triviale Lösung)

2)

Verzweigungslast N=Ncr:

0Lc4

NwcLw4wN =

−⋅=⋅

⋅− ϕϕ

unverformtesSystem N

Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Berücksichtigung großer Verformungen

8 - 12

crNN

cLN

sin

csinLN

==ϕ

ϕ

ϕ=ϕ

ϕ

ϕ

4

22

Bei Berücksichtigung großer Verformungen ist die Annahme sinϕ =ϕnicht mehr gültig.

Gleichgewichtsbedingung:

z.B: w=0,5 L ⇒ N/Ncr = 1,047

L/2

L/2

w

ϕ

NL/cNcr ϕ= 4

4,0

3,0

2,0

1,0

1,00,5

1,571

N/Ncr

w/L

überkritischer Bereich

unterkritischer Bereich


Gleichgewichtszustände bei Stabilitätsproblemen

8 - 13

N < Ncr stabiles GleichgewichtErfolgt eine Störung der Lage durch äußeren Arbeitsaufwand, so kehrt das System nach Fortfall der Störung in die Ausgangslage (unverformteLage) zurück.

N = Ncr indifferentes Gleichgewicht (Ver-zweigungspunkt)Kleine Lageänderungen verursachen weder Ver-lust noch Gewinn an Arbeit. Die Lösungskurve hat 2 Äste: Einer fällt mit der Ordinate zusammen, der andere zweigt rechtwinklig ab (Verzweigungs-punkt/Verzweigungslast Ncr). Nach Überschreitung des Verzweigungspunktes ist das Gleichgewicht labil, d.h. bei einer Störung wird die Ausgangslage verlassen. Das System gibt Energie ab und kehrt nicht mehr in die unverformte Lage zurück.

N > Ncr labiles GleichgewichtEin neuer stabiler Gleichgewichtszustand kann nur bei sehr großen Verformungen erreicht werden. In der Graden, unverformten Lage ist der Gleichgewichtszustand labil.

N/Ncr

A

B

C

D

w/L

1,0

A – stabiles Gleichgewicht

B - Verzweigungspunkt

C – labiles Gleichgewicht

D – stabiles Gleichgewicht bei großen Verformungen

1,0


Berechnung nach Elastizitätstheorie II. Ordnung

8 - 14

e0 w

unverformtesSystemTheorie I. Ordnung

verformtes SystemTheorie II. Ordnung

MI MIIL/2

L/2

N Ne

ϕo ϕ

cϕ

Bei einer Berechnung nach Elastizitätstheorie II. Ordnung werden Imperfektionen, Lastexzentrizitäten und Querlasten bei der Berechnung berücksichtigt. Es wird wie bei der Ermittlung der Verzweigungslast von einem ideal elastischen Materialverhalten und von kleinen Verformungen ausgegangen. Die Gleichgewichts- und Verträglichkeitsbedingungen werden am verformten System formuliert. Die Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung werden nachfolgend mit MIIgekennzeichnet.

M

ϕ (κ)

Ideal elastisch

M = cϕ ϕ

Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Berechnung nach Theorie II. Ordnung

8 - 15

)wwe(NM 0II ++=

ϕϕ =ϕ= cLw4c2M

0 0

cr

N (e w ) N (e w )w4 c / L N N N

+ ⋅ += =

− −φVerformung nach Theorie II Ordnung:

w0

w

unverformtes SystemTheorie I. Ordnung

verformtes SystemTheorie II. Ordnung

MI MIIL/2

L/2

N Ne

ϕo ϕ

Gleichgewicht:

Verträglichkeit: 2/Lw ϕ=

cϕ

)we(NM oI +=

M

ϕ (κ)

Ideal elastisch

M = cϕ ϕ


Berechnung nach Theorie II. Ordnung -Druckstab

8 - 16

NN)ee(N

NL/c)ee(Nw

cr −+⋅

=−ϕ

+= 00

4

crN/N)ee()eew(

−+=++

11

00

Verformung nach Theorie II. Ordnung:

Für die Gesamtverformung und das Biegemoment nach Theorie II. Ordnung:

cr

I

cr

II

NNM

NN

)ee(N)wee(NM−

=−

+=++=

1

1

1

00

cr

III

NNmitMM

−=αα⋅=

1

1

e

N N

L/2

L/2

e0 w

cϕLc

Ncrϕ=

4

Mit der Verzweigungslast ergibt sich

Das Biegemoment nach Theorie II. Ordnung ergibt sich im vorliegenden Fall aus dem Moment nach Theorie I. Ordnung multipliziert mit dem Vergrößerungsfaktor α, der auch als Dischinger-Faktor bezeichnet wird.


Berechnung nach Theorie II. Ordnung -Zugstab

8 - 17

Biegemoment nach Theorie II Ordnung:

Biegemoment:

Gesamtverformung:

cr

III

NNMM

+=

1

1

Lcw

wNeNMII ϕ=⋅−=4

e

N

wcϕ

MI=N e MII=N (e-w)

MI MII

crNNe)ew(

+⋅=+1

1

cr

II

NNeN)we(NM

+=+=

1

N

Beim Zugstab ergeben sich bei Berücksichtigung der Verformungen kleinere Schnittgrößen als nach Theorie I. Ordnung, wenn die Schnittgrößen aus Querlasten oder Imperfektionen resultieren. Bei eingeprägten Defor-mationen (z.B. Stützensenkungen) ergeben sich dagegen größere Beanspruchungen als nach Theorie I. Ordnung, da der Stab „steifer“ reagiert.


Biegemomente und Verformungen nach Elastizitätstheorie II. Ordnung

8 - 18

α= MII/MI

crNN

Druckstab

−=α

1

1

N/NcrN/Ncr

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

0,2 0,2 0,40,40,6 0,6 0,80,81,0 1,0

crNN

Zugstab

+=α

1

1


Biegemomente und Verformungen nach Elastizitätstheorie II. Ordnung

8 - 19

crNN

Druckstab

−=α

1

1

crNN

Zugstab

+=α

1

1

Bei Berechnung der Schnittgrößen nach Theorie zweiter Ordnung ergeben sich im Vergleich zu einer Berechnung am un-verformten System (Theorie I. Ordnung) bei Druckbeanspruchung größere und bei Zugbeanspruchung kleinere Biegemomente und Querkräfte.

Die Biegemomente und Querkräfte nach Theorie II. Ordnung können aus den Schnittgrößen nach Theorie I. Ordnung mit Hilfe des Vergrößerungsfaktors αberechnet werden, wenn die Biegelinie affin zur Knickbiegelinie (Eigenform des Stabes) ist.

cr

IIII

NNMMM

−=α=

1

1cr

IIII

NNMMM

+=α=

1

1Für N →Ncr werden die Biegemomente beim Druckstab bei ideal elastischem Materialverhalten unendlich groß.

N

NN

N


Die Traglast des Druckstabes nach Fließgelenktheorie II. Ordnung

8 - 20

M

N4N3N2N1

Mel

MR

MS = N2 (e + w0 + w)

MS = N1 (e + w0 + w)

Elastizitätstheorie II. Ordnung

(Verzweigungslast)NKi N

e

N

cϕ ew0

w cϕ

ϕ0ϕ

M

Mel

MR= Mpl(N)

w

wϕcϕ

N1

N4N3N2

N

NR,FG NR

Einfluss von Eigenspannungen


Ermittlung der Traglast bei nichtlinearem Materialverhalten

8 - 21

Das Biegemoment MS nach Theorie II. Ordnung wird zusammen mit der Momententragfähigkeit MR bei gleichzeitiger Wirkung der Normalkraft in einem Diagramm aufgetragen. Die Gleichgewichtsbedingung ist erfüllt, wenn MS=MR. Wird N über der Verformung w aufgetragen, so ergibt sich die Traglastkurve des Stabes. Sie besteht aus einem ansteigenden stabilen Ast, dem Maximalwert (Traglast) und einem abfallenden labilen Ast.

Setzt man ein bilineares Federgesetz (ideal elastisch-plastisches Materialverhalten) voraus, so erhält man die Traglast NR,FG nach Fließgelenktheorie II. Ordnung.

M

ϕ (κ)

ϕ (κ)

MMpl(N)

bilinear (ideal elastisch-plastisch)

nichtlinear (elastisch-plastisch)

Mpl (N)

Die tatsächliche Traglast NR liegt wegen des nichtlinearen Momenten-Krümmungsverhaltens (Einfluss von strukturellen Imperfektionen) unterhalb von NR,FG..

Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Traglastkurven

8 - 22

eN

wo

w

Ncr

Npl

NR,FG

NR,el

w

Elastizitätstheorie II. Ordnung (Vorverformung wo)

NR

Elastizitätstheorie II. Ordnung, (vergrößerte Vorverformung wo)

AC

B

D

A C

Fließgelenktheorie II. Ordnung B D Traglasttheorie (Fließzonentheorie)

Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Traglastkurve und Traglast NR

8 - 23

Bei der Berechnung nach der Fließzonentheorie werden geometrische und strukturelle Imperfektionen (Eigenspannungen) berücksichtigt. Die Berechnung liefert die Traglast NR des Stabes.

Bei der Berechnung nach der Fließgelenktheorie werden die Einflüsse aus den strukturellen Imperfektionen nicht berücksichtigt. Eine exakte Bestimmung der Traglast ist möglich, wenn vergrößerte Imperfektionen (Geometrische Ersatzimperfektionen) angesetzt werden.

Bei druckbeanspruchten Stäben liegt die Traglast NR infolge von Imperfektionen und Einflüssen aus der Theorie II. Ordnung immer unterhalb der plastischen Querschnittstragfähigkeit Nplund unterhalb der idealen Verzweigungslast Ncr.

Bei der Berechnung nach Elastizitätstheorie II. Ordnung wird ideal elastisches Materialverhalten unterstellt und die Gleichgewichts- und Verträglichkeitsbedingungen werden am verformten System aufgestellt. Imperfektionen werden berücksichtigt. Die Berechnung liefert die elastische Grenzlast NR,el des Stabes.


8 - 24

Kapitel 8.2

Berechnung von Stäben und Stabtragwerken nach

Elastizitätstheorie II. Ordnung

Differentialgleichung nach Elastizitätstheorie II. Ordnung,Druck- und Zugstäbe, Einfluss von Schubverformungen,Näherungsverfahren zur Berechnung der Schnittgrößen

nach Theorie II. Ordnung


Einfluss der Verformungen auf die Schnittgrößen

Theorie I. und Theorie II. Ordnung

5-25

FEd

4LFM EdEd =

Theorie I. Ordnung

Linearer Zusammenhang zwischen Einwirkung FEdund Beanspruchung MEd

wN4

LFM EdEdEd +=

wN4

LFM EdEdEd −=

NEdNEd

M

F

w

w FEd

A

MA

B

Druckstab mit Querlast - Theorie II. Ordnung

Die Biegemomente wachsen mit steigender Normalkraft überlinear an.

FEd

A

B

C

MB

MC

Zugstab mit Querlast - Theorie II. Ordnung

Die Biegemomente wachsen mit steigender Normalkraft unterlinear an.

MI

C

NEdNEd FEd

Die Schnittgrößen dürfen bei druckbeanspruchten Bauteilen nach Theorie I. Ordnung berechnet werden, wenn die aus den Verformungen resultierende Vergrößerung der Schnittgrößen kleiner als 10% ist.


Ermittlung der Beanspruchungen –Schnittgrößenermittlung - Übersicht

5-26

Methoden der Schnittgrößenermittlung

Elastische Berechnungsverfahren(linearer Zusammenhang zwischen

Dehnungen und Spannungen)

Elastizitätstheorie I. Ordnung

Die Schnittgrößen können ohne Berücksichtigung des Einflusses aus Verformungen ermittelt werden. Einzelne Lastfälle können superponiert werden, da ein linearer Zusammenhang zwischen Einwirkungen und Schnittgrößen besteht.

ElastizitätstheorieII. Ordnung

Der Einfluss der Verfor-mungen auf die Schnittgrößen muss berücksichtigt werden (geometrische Nichtlinearitäten). Es besteht kein linearer Zusammenhang zwischen Einwirkungen und Schnittgrößen. Es ist somit keine Superposition von einzelnen Lastfällen möglich.

nichtlineare Berechnungsverfahren(es besteht kein linearer Zusammenhang zwischen

Dehnungen und Spannungen und /oder zwischen Schnittgrößen und Einwirkungen-

geometrische und physikalische Nichtlinearitäten)

FließgelenktheorieDie Schnittgrößen werden unter Berücksichtigung der plastischen Querschnitts-und Systemreserven ermittelt. Der Nachweis ausreichender Rotations-kapazität erfolgt indirekt durch Begrenzung der b/t –Werte.

FließzonentheorieDie Beanspruchungen werden unter Berücksichti-gung des nichtlinearen Materialverhaltens und gegebenfalls unter Berück-sichtigung der Verformungen ermittelt. Der Nachweis ausreichender Rotations-kapazität erfolgt durch Begrenzung der b/t-Werte oder durch direkte Ermittlung der erforderlichen und vorhandenen Rotationskapazität.

Flie

ßgel

enk-

theo

rie

I. O

rdnu

ng

Flie

ßgel

enk-

theo

rie

II. O

rdnu

ng


Ermittlung der Schnittgrößen von Stäben und Stabtragwerken nach Elastizitätstheorie

II. Ordnung

8 - 27

Die Gleichgewichts- und Verträglichkeitsbedingungen werden am verformten System aufgestellt.

H)ww(TH)ww(sinT)ww(cosHN

0

00

≈′+′−=

′+′−′+′=

)ww(HT)ww(sinH)ww(cosTV

0

00

′+′+=

′+′+′+′=

unverformte Stabachse

verformte Stabachse

NM

V

oww ′+′

HT

M

N

MV

H

N

TV

oww ′+′)ww(sinH o′+′

)ww(sinT o′+′

Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Differentialgleichung - Druckstab

8 - 28

qz

Nw(x)L

x,

)x(wN)x(MM I +=Gleichgewichtsbedingung:

)x(wJEM ′′−=

Verträglichkeitsbedingung:

)x(MwNwEJ I−=+′′

Differentialgleichung:

JEN

L=εStabkennzahl

Lx

=ξ

)x(qwNwEJ z=′′+′′′′

EJqw

Lw z

2=′′

ε+′′′′

MI - Biegemoment nach Theorie I. Ordnung

Es wird ideal elastisches Materialverhalten unterstellt..

Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Lösungsansatz beim Druckstab

8 - 29

22

4z

4321JE2

LqCCcosCsinC)(w ξε

++ξε+εξ+εξ=ξ

ξε

+ε

+ξεε

−ξεε

=ξ′JE

LqL

CsinL

CcosL

C)(w 23

z321

JELqcos

LCsin

LC)(w 2

2z

2

2

2

1ε

+ξε

ε−εξ

ε−=ξ′′

εξ

ε+εξ

ε−=ξ′′′ sin

LCcos

LC)(w

3

2

3

1

EJqw

Lw z

2=′′

ε+′′′′ JE

NL=ε

Die Konstanten C1 bis C4 ergeben sich aus den Randbedingungen

qzN

Lx,ξ

w(ξ)

M(ξ)

Lx

=ξ


Ermittlung der Schnittgrößen und Randbedingungen

8 - 30

qz

N

x,ξL

w(ξ)

M(ξ)

Randbedingungen an der Stelle x=0:

Randbedingungen an der Stelle x=L:

0CC0w 41 =+→=

0JE

LqL

C0w 22

z2

2 =ε

+

ε−→=′′

0LEJ2

LqCCcosCsinC

0w22

z4321 =

ε++ε+ε+ε

=

0JE

LqCcosL

CsinL

C

0w

2

2z

4

2

2

2

1 =ε

++ε

ε−ε

ε

=′′


Gleichungssystem zur Bestimmung der Konstanten C1 bis C4

8 - 31

0 1 0 1

0 1 0 0

sin ε cos ε 0 0

sin ε cos ε ε 1

C1

C2

C3

C4

0

=2

2z

NLqε

2

2z

NLqε

N2Lq 2z−

εε−

⋅ε

=sincos1

NLqC 2

2z

1

2

2z

2 NLqCε

=

ε⋅⋅

−=N2LqC

2z

3

2

2z

4 NLqCε

−=JE

NL=ε

M(ξ)

w(ξ)N

qz

x,ξL


Schnittgrößen und Verformung nach Theorie II. Ordnung

8 - 32

ξ−ξ+

−

εξ−ε

ε=ξ )1(

211

)2/(cos)5,0(cos1

NLq)(w 2

2z

Verformung w

)(wN)(M)(wEJ)(M I ξ+ξ=ξ′′−=ξ

Biegemoment M

−

εξ−ε

ε=ξ 1

)2/(cos)5,0(cosLq)(M 2

2z

Querkraft

)(wEJ)(Vz ξ′′′−=ξ

−

εξ−ε

ε=ξ 1

)2/(cos)5,0(sinLq)(V

2z

z

JEN

L=ε

N

qz

w(ξ)

x,ξL

M(ξ)

Vergrößerungsfaktor des Momentes bei ξ=0,5

)2/(cos)2/(cos18

MM

2I

II

εε−

ε=

Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Der Stab mit sinusförmiger Vorverformung wo

8 - 33

)x(MwNwEJ I−=+′′Differentialgleichung

N N

w(ξ)

EJ

L

wo(ξ)

Lx

=ξ

πξπ

=ξ cosL

wN)(V omI

Lösungsansatz

πξ=ξ sinw)(w m

Einsetzen in die Differentialgleichung

0sinEJwNsinw

EJNsinw

Lom

mm2

2=πξ+πξ+πξ

π−

mit 22

Ki LEJN π= folgt:

cr

III

cr

III

crooges

N/NVV

N/NMM

N/N)(w)(w)(ww

−=

−=

−ξ=ξ+ξ=

11

11

11

πξ=ξ sinw)(w omo

Das Bildelement mit der Beziehungs-ID rId23 wurde in der Datei nicht gefunden.


Der Stab mit Randmomenten, Vorverformung und Querlasten

8 - 34

sin (1 ) sin cos (0,5 )( ) 1sin cos ( / 2)R o

M M Mψ ε ξ ε ξ ε ξξε ε

− + −= + −

cos (1 ) cos sin (0,5 )( ) 1sin cos ( / 2)

Rz o

MV ML

ε ψ ε ξ ε ξ ε ξξε ε

− + −= + −

Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung:

Extremales Moment an der Stelle ξM:

2

max 01[0,5 (1 ) ]

cos(0,5 )R oc

M M M Mψε

+= + + −

( 1) 1(1 ) 2 tan(0,5 )

R

R o

McM M

ψψ ε

−=

+ + ε+=ξ

carctan5,0M

2o o 2

1M (q L 8Nw )ε

= +N

LE J

ε =

=ξ

0ddM

maxM

ζMζ

Lwo

q

MR

ψMRN

EJ

MR

ψMR

Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Der Druckstab mit Randmomenten

8 - 35

4,0

3,0

2,0

1,0

0,25 0,50 0,75 1,00

exakte Lösung

Näherungslösung

ψ=1,0

ψ=0,5

ψ= - 0,5

ψ=0

α

KiNN

MR

ψMR N

L

EJ

ζM

Exakte Lösung:

)5,0cos(c1)1(M5,0M

2

Rmax ε+

ψ+=

)5,0(tan1

11c

εψ+−ψ

=

ε+=ξ

carctan5,0M JEN

L=ε

Näherungslösung:

crR

max

NNM

M

−

β==α

1

ψ+=β 44,066,0

2

2

LEJNcr

π=

maxM

ζ

4401

1 ,

NNcr

≥−

≥β

MR

ψMR

Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Differentialgleichung - Zugstab

8 - 36

qz

N

w(x)L

x,

)x(wN)x(MM I −=Gleichgewichtsbedingung:

)x(wJEM ′′−=Verträglichkeitsbedingung:

)x(MwNwEJ I−=−′′


JEN

L=εStabkennzahl

Lx

=ξ

)x(qwNwEJ z−=′′−′′′′

EJqw

Lw z

2=′′

ε−′′′′

MI - Biegemoment nach Theorie I. Ordnung

Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Lösungsansatz beim Zugstab

8 - 37

22

4z

4321JE2

LqCCcoshCsinhC)(w ξε

++ξε+εξ+εξ=ξ

ξε

+ε

+ξεε

−ξεε

=ξ′JE

LqL

CsinhL

ChcosL

C)(w 23

z321

JELqcosh

LCsinh

LC)(w 2

2z

2

2

2

1ε

+ξε

ε−εξ

ε−=ξ′′

εξ

ε+εξ

ε−=ξ′′′ sinh

LCcosh

LC)(w

3

2

3

1

EJqw

Lw z

2=′′

ε−′′′′ JE

NL=ε

Die Konstanten C1 bis C4 ergeben sich aus den Randbedingungen

Lx

=ξ

qzN

x,ξL

w(ξ)

M(ξ)

N


Differentialgleichung – Druckstab unter Berücksichtigung der Schubverformung

8 - 38

qz

N

w(x)

L

x,

)x(wN)x(MM I +=

Gleichgewichtsbedingung:

Verträglichkeitsbedingung:

Lx

=ξ

wM(x)wV(x)

Verformung (Biegung und Querkraft)

)x(w)x(w)x(w VM +=

idV S

Vw =′ MV ′′=′

ididV S

MSVw

′′=

′=′′

idVM S

MJE

Mwww

′′+−=′′+′′=′′

Querkraftverformung:

id

II

id SEJ)M(MwN

SN1wEJ ′′+−=⋅+

−′′

Differentialgleichung

EJ, Sid

VV

wid

V SV

w =′

Schubsteifigkeit:Sid= GAv


Differentialgleichung – Druckstab unter Berücksichtigung der Schubverformung

8 - 39

qz

N

w(x)

Lx,

Lx

=ξ

wM(x)wV(x)

id

II

id SEJ)M(MwN

SN1wEJ ′′+−=⋅+

−′′


zid

qwNSN1wEJ =′′⋅+

−′′′′

zI q)M( −=′′mit

idS/N11

JENL

−=γ

γ=ε

Stabkennzahl bei Berücksichtigung der Schubverformung:

EJqw

Lw z

2=′′

ε+′′′′

EJ, Sid


Es können die Lösungen des für den Druckstab ohne Schubverformung verwendet werden, wenn die modifizierte Stabkennzahl ε verwendet wird.


Iterative Berechnung der Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung

8 - 40

πξ=ξ sinq)(q 0 ξ = πξπ

20

o 2q LM ( ) sin

2

20

00L

EIMwsinw)(w

π⋅=πξ=ξ

Durchbiegung nach Theorie I. Ordnung

1. Iterationsschritt

2

21

1o1L

EIM

wwNMπ

⋅∆

=∆⋅=∆

2. Iterationsschritt

2

22

212L

EIM

wwNMπ

⋅∆

=∆∆⋅=∆

n. Iterationsschritt

2

2n

n1nnL

EIMwwNM

π⋅

∆=∆∆⋅=∆ −

N N

L

Lx

=ξ

Ι0w

1w∆

2w∆

1nn wNM −∆⋅=∆



8 - 41

N N

L

Lx

=ξ

Ι0w

1w∆

2w∆

...MMMMM 321III +∆+∆+∆+=

Biegemoment und Verformung

...wwwww 321III ∆+∆+∆+=

∆++∆

+∆

+∆

+= IIIIIII

MM

...MM

MM

MM

1MMn321

)q....qqq1(MM n32III +++++=

M

+

∆∆∆

∆∆

+∆

∆∆

+∆

+= .MM

MM

MM

MM

MM

MM

1MM I1

1

2

2

3I1

1

2I

III 1

...)qqqqqq1(MM 123121III +⋅⋅+⋅++=

kiki1n2

1n2

1n

n

1n

nn

1NN

wEIwLN

ww

MMq

η==

∆⋅⋅π∆⋅⋅

=∆∆

=∆∆

=−

−

−−

πξ=ξ sinq)(q 0



8 - 42

N N

L

Lx

=ξ

Ι0w

1w∆

2w∆ crII N

Nww

ww

MM

MMq =

∆∆

=∆

=∆∆

=∆

=1

21

1

21

Unendliche geometrische Reihe mit dem Grenzwert:

q11ww

q11MM IIIIII

−=

−=

MDer Faktor q ist nur dann konstant, wenn die Biegelinie affin zur ersten Eigenform(Knickbiegelinie) ist.

)q....qqq1(MM n32III +++++=πξ=ξ sinq)(q 0


Iterative Berechnung der Schnittgrößen bei nicht affiner Verformungsfigur

8 - 43

Bei der Berechnung von Stäben mit anderen Belastungsanordnungen undmit von der Knickbiegelinie abweichenden Verformungen nach Theorie I.Ordnung stellt man fest, dass die Reihenglieder qn > q1 schnell konstanteWerte annehmen. Dies gilt insbesondere dann, wenn die Biegelinie nachTheorie I. Ordnung näherungsweise affin zur Eigenform des Stabes ist. Mitq2 ≈ q3 ≈ qn = q folgt dann:

⋅+

+⋅⋅+⋅+++=

− 21nn

2343221

IIIq....qq...

...qqqqqq1q1MM

−

+=

−

+=q1

q1wwq1

q1MM 1I1III

crcrII

qNN

ww

MMq

ww

MMq =≅

∆∆

=∆∆

=∆

=∆

=1

2

1

2111

Iw1w∆

2w∆

N

L)]q....qqq1(q1[MM n321

III ++++++=

Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Zuschärfung der iterativen Berechnung

8 - 44

Da mit zunehmender Iteration die Reihenglieder gegen den Grenzwert qcrkonvergieren, ergibt sich:

mit

Wird bei jedem Reihenglied das letzte Reihenglied an subtrahiert undaddiert, so kann die Reihe in zwei Anteile aufspalten:

Die Reihenglieder in der letzten Reihe konvergieren sehr schnell gegenNull. Berücksichtigt man nur das erste Reihenglied, so folgt:

( ) ( ) ( )( )I 2 2n n cr n cr n 1 n cr 2 n crM M a a q a q ..... 1 a a a q a a q ... = + + + + − + − + − +

I 2 n1 1 2 1 2 ncr cr cr2 n

cr cr cr

q q q q q .....qM M 1 q q ... qq q q

⋅ ⋅= + + + +

( )I 2 n1 cr 2 cr n crM M 1 a q a q ..... a q= + ⋅ + ⋅ + + ⋅ 1 2 ii icr

q q .... qaq

⋅ ⋅=

( )I n ncr

1M M a 1 a1 q

= + − −

( )n crI crcr cr

1 a 1 q 1 qM M1 q 1 q

+ − + δ= =

− −


Korrekturfaktoren für die Ermittlung der Momente nach Theorie II. Ordnung

8 - 45

Nsinusförmig

δ = 0,0

δ = + 0,0324

δ = - 0,189

δ = + 0,273

Die Korrekturwerte δ ergeben sich aus dem Vergleich der Schnittgrößen mit den Werten der exakten Lösung.

Dischinger Faktor:

2

cr 2cr

EJNL

π=

II I

cr

cr

M M N1N

N1N

β= ⋅

−

β= + δ


Berücksichtigung von Imperfektionen durch Ersatzlasten - Vorkrümmung

8 - 46

L

eoNN

parabelförmiger VorkrümmungN

Leq o28=

N N

NLeo4 N

Leo4

sinusförmige Vorkrümmung

NLeq omax 2

2π=

NLeoπ N

Leoπ

N N

)x(w

Anstelle einer Berechnung am vorverformten System kann auch ein planmäßig gerades System mit Ersatzbelastungen untersucht werden.

N

N

dϕ

R

dx

qdϕ

q dxdxwN

RdxNdxq

wR1

Rdxddtan

dNdx)x(q

′′−==

′′−=κ==ϕ≈ϕ

ϕ=

wNq ′′−=


Berücksichtigung von Imperfektionen durch Ersatzlasten – Schiefstellung (Vorverdrehung)

8 - 47

N N

NN

vorverdrehte Lage

planmäßige Lage

Ersatzbelastung

∆H=N φ

Bei Stäben und Stabtragwerken, die am verformten System Stabdrehwinkel aufweisen und die durch Normalkräfte beansprucht werden, sind Schiefstellungen (Vorverdrehungen) zu berücksichtigen, wenn das Tragwerk nach Theorie II. Ordnung untersucht werden muss..

LHM

LNwNM

Lw

o

o

∆=

φ==

φ=

∆H=N φ

w0

L

φ∆H=N φ


Beispiel zu iterativen Berechnung der Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung

8 - 48

L

LR

EJREJ EJ

qSd

Hd

Fd3Fd2

φ

Vorverdrehung und ErsatzbelastungN1 N1φ N2 N3

qSd ,Fdi und Hd :

Bemessungswerte der Einwirkungen

RdRSd1 L/LH2/LqN −=

Normalkräfte in den Stielen nach Theorie I. Ordnung

2dRdRSd2 FL/LH2/LqN ++=

3d3 FN =

Resultierende Horizontalkraft aus Vorverdrehung: φ φ

N1φ

N2φ

N2φ

N3φ

N3φiH Nφ ∑= ϕ



8 - 49

L

LR

EJR

EJ EJ

qSd Fd2

N3ϕo

ϕ+= HHH d

Fd3

Fd3

Vertikallasten:

M1V M2v

Biegemomente nach Theorie I. Ordnung:

M1H

M2H

R

R

2R

V2V1

LL

EJEJ812

LqMM+

−==

Horizontallasten:

H1H2

dH1

MM

L)HH(21M

−=

+= ϕ



8 - 50

EJR

EJ

H

M1HM2H EJL

LR

wI wI wIN1

N2

N3

M

M

1H =

2L

JEL5,0LH5,0

312L

EJL5,0LH5,0

312dx

EIMMw R

RI

⋅+

⋅== ∫

-0,5 L

0,5 L ϕ+= HHH d

Ermittlung der Horizontalverformung nach Theorie I. Ordnung

H1H2dH1 MMLH5,0L)HH(21M −==+= ϕ

+

⋅=

R

R3

I EJEJ

LL

211

EJLH

61w



8 - 51

EJR

EJ

iH∆

EJL

LR

N1

N2

N3

)NNN(LwH 321I1 ++=∆1. Iterationschritt

+

⋅∆=∆

R

R3

11 EJ

EJL

L211

EJLH

61w

iH∆

iw∆ iw∆iw∆

iM∆

iM∆

2. Iterationschritt )NNN(LwH 32112 ++

∆=∆

+

⋅∆=∆

R

R3

22 EJ

EJL

L211

EJLH

61w

∑

+=

∆=

∆=

R

R2

i1

I

11 EJ

EJL

L211

EJL

61N

HH

wwq

Reihenglieder:

11

22 qw

wq =∆∆

= Die Reihenglieder sind konstant.



8 - 52

L

LR

EJR

EJ EJ

qSd Fd2

ϕ+= HHH d

Fd3

Fd3

M1V M2v

M1H

M2H

∑

+=

R

R2

i EJEJ

LL

211

EJ6LNq

Biegemoment und Verformungen nach Theorie II. Ordnung :

q11MMM IH

Iv

II−

+=

MV

MH

Bei der Anwendung des Vergrößerungsfaktors ist bei verschieblichen Systemen zu beachten, dass der Vergrößerungsfaktor nur auf diejenigen Einwirkungen anzusetzen ist, die eine affin zur Knickfigur verlaufende Verformung erzeugen. Bei dem unter-suchten Rahmen sind dies die Horizontalbelastung H und die aus der Imperfektion (Schiefstellung) resultierende Ersatzbelastung Hϕ.

q11ww III−

=


Ermittlung der Verzweigungslast mit Hilfe der iterativen Berechnung

8 - 53

N=N1 N2

N3

LR

L

w w w

EJR

EJ EJ∑

+=

R

R2

i EJEJ

LL

211

EJ6LNq

Linke Rahmenstütze:

rechte Rahmenstütze

Verzweigungslastfaktor

cr crcr cr

N 1q N NN

= = = αα

232 R

cr 1 1 R

NN L1 N L 1 EJ1 16EJ N N 2 L EJ

= + + + α

2

2

cr 232 R

1 1 1 R

EJL

NN L1 EJ1 16N N N 2 L EJ

π

α = π

+ + +

cr,1 1 crN N= α

cr,2 2 crN N= α


8 - 54

Kapitel 8.3

Ermittlung der Verzweigungslasten von

Stäben und Stabtragwerken

Spannungs- und Verzweigungsproblem bei biegesteifen Stäben, Ermittlung der Verzweigungslast von Stäben und

Stabtragwerken, elastisch gestützte Träger, Druckstab mit elastischer Bettung,nichtrichtungstreue

Belastung,Näherungsverfahren zur Ermittlung der Verzweigungslast


Ermittlung der idealen Verzweigungslast -Grundlagen

8 - 55

Spannungsproblem Theorie II. Ordnung Verzweigungsproblem

w0

qzN N

EJqw

Lw z

2=′′

ε+′′′′ 0wL

w2

=′′

ε+′′′′ JE

NL=ε

Ncr

w

A

A

B

BN

ε

σ

Eε=σ


Verzweigungslast - Differentialgleichung und Lösungsansatz

8 - 56

0wL

w2

=′′

ε+′′′′

4321 CCcosCsinC)(w +ξε+ξε+ξε=ξ

JEN

L=εNN

w(ξ)

L

x,ξ

0 1 0 1

0 1 0 0

sin ε cos ε 0 0

sin ε cos ε ε 1

C1

C2

C3

C4

= 0

Aus den Randbedingungen resultiert ein homogenes Gleichungssystem zur Bestimmung der Konstanten Ci

Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Ermittlung der Eigenwerte εKi

8 - 57

)(D)(DC ii ε

ε=

Bestimmung der Konstanten mit der Cramerschen Regel

Liefert Ci=0, da das Gleichungssystem homogen ist und somit Di(ε)=0 . Diese triviale Lösung gibt den unverformten Grundzustand an.

1

2 Eine eindeutige Lösung existiert nur, wenn die Koeffizientendeterminante D(ε)=0

000

)(D)(DC ii ≠=ε

ε=

Dies bedeutet, dass eine benachbarte Gleichgewichtslage existiert, bei der der Betrag der Verformung jedoch unbestimmt bleibt. Die Determinante D(ε)=0 ist nur für ausgezeichnete Werte von ε ≠ 0 gleich Null. Diese Werte εKi werden als Eigenwerte bezeichnet.


Ermittlung der Eigenwerte und der Verzweigungslast

8 - 58

0 1 0 10 1 0 0

sin ε cos ε 0 0sin ε cos ε ε 1

D(ε) = = ε sin ε = 0

Eigenwerte:ε= εcr = 0 (triviale Lösung N=0)

sin ε = sin εcr = 0 ⇒ εcr = nπ

Kleinster Eigenwert:

εcr = π für n=1

Eigenform:

Einsetzen der Eigenwerte in das homogene Gleichungssystem

w(ξ) = f sin (εcr ξ) = f sin (n π ξ)

f bleibt dabei unbestimmt .

f f

w(ξ) w(ξ)

ξ

Ncr

n=1n=2

Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Ermittlung der Verzweigungslast

8 - 59

w(ξ)

f

Ncr

ξ

L

EJ

cr crcr

N NL LEJ EJ

αε = = = π

2 2cr ki cr 2 2

EJ EJN NL L

= α = ε = π

Stabkennzahl und Eigenwert:

Normalkraft unter der kleinsten Verzweigungslast (Knicklast):

Eigenform (Knickbiegelinie)

)(sinf)(w πξ=ξ

Verzeigungslastfaktor des Stabes oder Stabsystems:

crcr

NN

α =

L

Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Die Eulerfälle I bis IV (Euler 1759)

8 - 60

Eulerfall I Eulerfall II Eulerfall III Eulerfall IV

Knickbedingung ε cos ε =0 ε sin ε =0 ε / tan ε =1,0 cos ε = 1,0

Kleinster Eigenwert εcr εcr=0,5 π εcr= π εcr= 1,431 π εcr= 2 π

Verzweigungslast Ncr

Knicklängenbeiwert β 2,0 1,0 0,7 0,5

Eigenform w(ζ)

2cr 2

EJN(2 L)

= π2

cr 2EJNL

= π 2cr 2EJN

(0,7 L)= π 2cr 2

EJN(0,5 L)

= π

L

crcr

NLEJ

ε =

Lcr = β Lcr

πβ=

ε

crf (1 cos )− ε ξ crf (sin )ε ξ cr crcr cr

(1 cos )f

sin− ε ξ ε

+ ε ξ − ε ξ crf / 2 (1 cos )− ε ξ

ξ

Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Definition der Knicklänge

8 - 61

Die Knicklänge Lcr eines Stabes mit beliebigen Randbedingungen ergibt sich aus dem Vergleich der Knicklast mit der Knicklast des Eulerfall II (Ersatzstab).

Sie ergibt sich aus dem Abstand der Wendepunkte des sinusförmigen Verlaufes der Knickbiegelinie.

( )

2 2cr

cr 2 2 2cr

EJ EJ EJNL L L

ε π π= = =

β

crcr

L L π=β β =ε

Ersatzstab

Lcr=L Lcr=βL

Wendepunkt

2

cr 2cr

EJNL

π=

β=0,5

Ncr

Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Beispiele zur Knicklängenermittlung

8 - 62

Ncr Ncr

Lcr=β L

β=2,0

L

Ersatzstab

L L

Wendepunkt Ncr

NcrLcr=βL β=1,0

Ersatzstab2

cr 2cr

EJNL

π=

crL L=β

Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Beispiele zur Knicklängenermittlung

8 - 63

Ncr

Ncr

Lcr=β L

β=2,0

L

Ersatzstab

L

L

Ncr

Ncr

Lcr=βL

β=0,7

Ersatzstab

NcrNcr

seitlich verschieblicher Rahmen

seitlich unverschieblicher Rahmen

EJ

2

cr 2cr

EJNL

π= cr

L L=β

EJR ⇒∞EJR ⇒∞

EJ


Ermittlung von Federsteifigkeiten für Ersatzsysteme

8 - 64

N N

LEJ

EJR

EJR

ϕ

M=1

M

LR

Ersatzsystem

EJ

cϕ

cϕ

ϕ

M

M=1

Federgesetz

Ermittlung der Drehfedersteifigkeit

R

R

R EJL0,10,1

31dx

EJMM

==ϕ ∫

ϕ=ϕ

1cR

RLEJ3c =ϕ

M= cϕ ϕ

Merke:

Es können nur normalkraftfreie Stäbe durch linear elastische Federn ersetzt werden.

Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Ersatzsysteme bei Rahmenkonstruktionen

8 - 65

LR LR/2

L

cϕ

Wendepunkt

ϕM=1,0

EJ

EJR

EJR2

LEJ

10,10,131dx

EJMM R

RR==ϕ ∫

ϕ

M=1,0

M

cϕM= cϕ ϕ

R

RLEJ61c =

ϕ=ϕ

Ersatzsystem mit elastischer Randlagerung

Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Ersatzsysteme bei Rahmenkonstruktionen

8 - 66

LR LR/2

L

cϕ

M=1,0

EJ

EJR

EJR 2L

EJ10,10,1dx

EJMM R

RR=∫=ϕ

ϕM=1,0

M

cϕ

M= cϕ ϕR

RLEJ21c =

ϕ=ϕ

Ersatzsystem mit elastischer Randlagerung

N N

M

ϕ

N

Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Beispiel zur Ermittlung von Ersatzsystemen

8 - 67

a

a a

EJREJ

EAD L=a

cϕ

cw

Ersatzsystem

M=1

ϕ

0,50,5

RR

2

R EJ6a

EJa

21

312dx

EJMM

=

==ϕ ∫

aEJ61c R=

ϕ=ϕ

wF=1

DD

2

D EA2a

EA2a

212dx

EANNw =

== ∫

2aEA

w1c Dw ==

Federgesetz

M (F)

ϕ (w)

wcFcM w=ϕ= ϕ1,0EJ


Ermittlung der Verzweigungslast für Stäbe mit elastischen Randlagerungen

8 - 68

cw

EJ L

ζ=x/L

cϕ

N w11w′

0wL

w2

=′′

ε+′′′′ JE

NL=ε

4321 CCcosCsinC)(w +ξε+ξε+ξε=ξ


Lösungsansatz

Randbedingungen an der Stelle x=0:

0w = 0w =′

Randbedingungen an der Stelle x=L:

M - cϕ⋅w1′ = -EJ⋅w″ - cϕ⋅w′ = 0

V- N . w´ + cw. w = + EJ w’’’ -N . w´ + cw . w= 01w′

NM

cw wϕ′ cw1

T1wNVT ′−=


Stäbe mit elastischen Randlagerungen -Knickbedingung

8 - 69

cw

EJ L

ζ=x/L

cϕ

N

0 1 0 1

0 0

0D(ε) =

Lε

εγ−εε cossin γ−

εδsin εδcos 3ε−εδ δ

= 0

JELc

JELc 3w=δ=γ ϕ

Knickbedingung:

Lε

εγ−εε sincos

( )( ) 0sin)cos1(2

sincossincos 34

=εε−ε−δγ+ε−εεεδ−εεγ+εε

Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Auswertung der Knickbedingung [ 1 ]

8 - 70

JELc

JELc

3w=δ

=γ ϕ

cw

cϕ

cϕ cw

LEJ

Knicklänge: 2cr

2cr L

EJNπ

=Verzweigungslast:Lcr= β L

JELc

JELc

3w=δ

=γ ϕ

cwcϕ

LEJ

0 2 4 6 8 10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 8 6 4 2 00,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

0,5

1,0

1,5

2,0

x 10² 1/δδ x 10² 1/δδ

γ=0

0,5

2,0

5

10

∞γ=0

0,52,0

510∞

β β

γ=0

0,2

0,5

1,0

2,05,0

10∞

Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Auswertung der Knickbedingung [ 1 ]

8 - 71

γ =0

0 2 4 6 8 10 8 6 4 2 00,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0,5

1,0

5,0 10

β

Knicklänge: 2cr

2cr L

EJNπ

=Verzweigungslast:Lcr= β L

JELc

JELc

uu

oo

ϕ

ϕ

=γ

=γ

cϕo

cϕuL

cϕo

cϕuL

JELc

JELc

uu

oo

ϕ

ϕ

=γ

=γ

EJ EJ

2,0

∞

100/γuγu

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

β

0 2 4 6 8 10 8 6 4 2 0

100/γuγu

γ =0

0,2

0,5

2,0

10

o

1,0

∞5,0

o

Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Verzweigungslast bei Stabsystemen

8 - 72

N1

N2

N1 N2

L1L2EJ EJ

Verzweigungslastfaktor desGesamtsystems

1,cr cr 1N N=α

2,cr cr 2N N=α

2

1,cr cr 1 121 1

EJN N aus Literatur( L )π

=η = → ββ

22

2,cr cr 2 1,cr 21 2,cr 2

N EJN N NN N L

π=α = → β =

LR

EJR

R

1R

1

2

2

1LL

EJEJ

LL

NN

=δ=κ=χ

Knicklänge des Stabes 2

crα

crαcrα

Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Knicklängenbeiwerte - Zweigelenkrahmen

8 - 73

R

1R

1

2

2

1

LL

EJEJLLNN

=δ

=κ

=χ

N1

N2

L1L2EJ

EJ

LR

EJR

0,8

0,9

1,4

1,6

1,8

2,1

1,1

1,3

1,9

1,0

1,2

1,5

1,7

2,0

0,25 0,5 1,0 1,5 4,02,0 2,5 3,0

κ = 1,0 κ = 0,5

χ0,25 0,5 1,0 1,5 2,52,0 3,0

0,5

0,6

1,1

1,3

1,5

1,8

0,8

1,0

1,6

0,7

0,9

1,2

1,4

1,7

β1 β1

χ

Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Stab mit elastischer Einzelstützung

8 - 74

N EJcwL1 L1

L

symmetrisches Versagen

antimetrisches Versagen

δε

−=

εε

21

1tan JE

Lc5,0 31w=δ

EINL11 =π=ε (Eulerfall II)

Mindestfedersteifigkeit:

crε = πδ

π−=

ππ

21

1tan

31

2min,w

31w2

LEI2c

EILc 5,0

π=→=π=δ

31

2min,w L

EJ2c π=

cr2 2

NEJ / Lπ

4

1

22π=δ∗ δ

2010 30

2

3

A B

A

B

2cw

2cw

wc

2cw

Ersatzsystem bei symmetrischer Knicklinie:


Knicklängen von elastisch gestützten Stäben mit unterschiedlicher Stützweite

8 - 751

2LL

=κ

β1

2

112 L

Lβ=β

JE2Lc 31w=δ

JE2Lc 31w=δ

L1 L2

EJN N

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,6 0,7 0,8 0,9 1,01,0

1,1

1,4

1,6

1,7

1,9

1,2

1,3

1,8

2,0

21

2

21

cr LEJ1N π

β=


Beispiele für Druckstäbe mit elastischer Bettung

8 - 76

Obergurt einer Trogbrücke

Obergurt einer Fachwerkbrücke

Querrahmen

elastischer Endrahmen

steifer Endrahmen

w wH H

hhv

bH h

H hv

EJvEJq

EJv⇒∞

wcH w=Federgesetz

v

v2v

q

2

EJhhH

312

EJbhHdx

EJMMw2 +=∫=

v

3v

q

2w

EJ3h

EJ2bh

1wHc

+==


Stab mit elastischer Stützung -Differentialgleichung

8 - 77

EJqw

Lw z

2=′′

ε+′′′′ JE

NL=ε

Differentialgleichung nach Theorie II. Ordnung

mit qz= - cw w folgt

0wL

wL

w 422

=⋅η

+′′

ε+′′′ EI

Lc 4w=η

)nsin(L

nc)(w

)n(sinL

nc)(w

)nsin(c)(w

4

2

ξπ

π⋅⋅=ξ′′′′

ξπ

π⋅⋅−=ξ′′

ξπ⋅=ξ

Lösungsansatz:

n- Halbwellenanzahl

L

s s s s s

CW

sCc ww =

kontinuierliche elastische Bettung

N N

NN

EJ


Stab mit elastischer Stützung -Verzweigungslast

8 - 78

JEN

L=ε


0wL

wL

w 422

=⋅η

+′′

ε+′′′ EJ

Lc 4w=η

0)n()n( 2224 =η+πε−π

Einsetzen des Lösungsansatzes in die Differentialgleichung liefert die charakteristische Gleichung zur Bestimmung von εKi

22 2cr (n ) n

η ε = π + π

( )2

22cr cr 2 2

EJ EJN nnL L

η = ε ⋅ = π + π

Stabkennzahl und Eigenwert:

Verzweigungslast:


Stab mit elastischer Stützung Verzweigungslast und Knicklänge

8 - 79

( )2

2cr 2

EJN nnL

η = π + π Verzweigungslast:

Die Verzweigungslast ist somit eine Funktion der Halbwellenzahl n. Das erste Glied gibt die Knicklast des Eulerfalls II für die n-Halbwellen und das zweite Glied die Erhöhung infolge der elastischen Bettung an. Die kleinste Verzweigungs-last und die zugehörige Halbwellenzahl n folgt aus der Bedingung: 2

2cr3

dN 20 2ndn n

η = = π − ⋅ π πη

=n

Knicklängenbeiwert:

Einsetzen von n in die Gleichung für NKi liefert liefert die kleinste Verzweigungslast:

cr,min w2EJN 2 2 c EJL

= η =2

cr w 2EJN 2 c EJ mitL 2

π π= = β =

β η

4

22 1

nn

1

π⋅

η+

=β EJLc 4w=η

Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Stab mit elastischer Stützung - Knicklänge

8 - 80

Ls s s s s

CW

sCc ww =

kontinuierliche elastische Bettung

N N

NN

Zusammenhang zwischen Knicklänge und Halbwellenlänge

c crL Ls 2 Ln

π= = =

η

Annahme einer kontinuierlichen Bettung ist zulässig, wenn Lcr ≥1,2 s

EJLc 4w=ηη

π=β

2

2

cr cr2cr

EJN L LL

π= =β

Halbwellenlänge

EJ

scsK

Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Stab mit elastischer Stützung

8 - 81

NKi

πη

EJLc 4w=η

EJ

cW

L

NN

n=1 n=2 n=3 n=4

1,0 2,0 3,0 4,02 6 12

Nki,min

cr,min w2EJN 2 2 c EJL

= η =

Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Systeme mit nicht-richtungstreuer Belastung

8 - 82

Pylon einer Schrägseilbrücke

w w

L

Endrahmen einer Fachwerkbrücke

L

w angependelte Stütze

N2

w w

ϕ

N2ϕN2ϕN1

N1

ϕ

N2ϕ


Stab mit nicht-richtungstreuer Belastung Differentialgleichung

8 - 83

L

a

N

EJ

wma

wN m

awN m

w(x)

wm

N wm

N

awN m

N

)aL1(wNM m +=


)x(MwEJ lI−=′′

Biegemoment am verformten Tragwerk

+⋅−

⋅⋅+⋅=

aL1wN

axwNwN)x(M mm

lI

Differentialgleichung der Knickbiegelinie

++ξ

ε=⋅

ε+′′ )

aL1(

aL

Lww

Lw

2

m

2

Lx,x =ξ Lösungsansatz

JEN

L=ε

ξ++−ξε+ξε=ξ )1(

aL1CcosCsinC)(w 321


Stab mit nicht-richtungstreuer Belastung -Knickbedingung

8 - 84

L

a

N

EJ

wm

w(ζ)

ξ

JEN

L=ε

ξ++−ξε+ξε=ξ )1(

aL1CcosCsinC)(w 321

Lösungsansatz:

Randbedingungen:

mw)1(w0)0(w0)0(w ==ξ==ξ′==ξ

0 1

1 0

0

homogenes Gleichungssystem:

C1

C2

C3

=0aL1+

ε−

1aL

εsin εcos

Knickbedingung: D(ε) =0La1

1tan +

=ε

ε


Stab mit nicht-richtungstreuer Belastung-Knicklänge

8 - 85

La1

1tan +

=ε

ε

aL

0,1

0,2

0,3

0,4

0,1 0,2 0,3

0,5

0,4 0,50,1−0,2−0,3−

a

L

N

β

crL 2La

=

= −∞crL L

a L=

= −crL 2,7

a L=

=

a=0 Normalkraft greift direkt am Kragträger an β=0,7(Eulerfall III)

a=-L Die Wirkungslinie geht durch den Fußpunkt β=1,0

(Eulerfall II)

a=±∞ Kraft wirkt richtungstreuβ=2,0 (Eulerfall I)

a>0 Die Knicklänge ist erheblichgrößer als die Stablänge(gefährlicher Fall z.B. beiangependelten Stützen)

a

Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Anwendung bei anderen Systemen

8 - 86

∑=i

mi LwNH

1i

m1i L

wN+

+Ni

wm wm

Ni+1

wm

i

mi LwN

Li

Li+1L

N

N

∑=i

iLL

NN

aL

awNH m=

N

a

L

wm

∑=i

mi

mL

wNa

wN


Näherungsverfahren zur Ermittlung von Verzweigungslasten

8 - 87

Beim Durchbiegungsverfahren nach Sattler wird der Verlauf der Knickbiegelinie durch eine Funktion w(ξ) approximiert, die von einem oder mehreren Bezugswerten abhängt. Die Bezugswerte werden mit Hilfe des Arbeitssatzes berechnet und durch Gleichsetzen die Knickbedingung aufgestellt. Als Funktion für die Knickbiegelinie w(ξ) kann näherungsweise eine quadratische Parabel angenommen werden.

∫ ==ξ= m2

mm wEJ

LN485L

4L

JEwN

125d

EJMMw

2

cr 2 248 EI EIN 0,975 L L

π= =

Durchbiegungsverfahren nach Sattler

wm

M(ξ)=N w(ξ)

w(ξ)

N wm

EJ

L

N

„1“

M L/4

N

x,ξ


Durchbiegungsverfahren nach Sattler -Beispiel

8 - 88

∑=i

mi LwNH

∫

+==

EJLLLH

31LwN

125dx

EIMMw mm

∑+=

i

i2

mm LL

NN

31

125

EJLNww

2

cr 2 2 2EJ 1 EJN 5 1L L

12 3

π= =

β+ χ

1i

m1i L

wN+

+Ni

wmwm

Ni+1

wm

i

mi LwN

LiLi+1EJL

N

N

EJL

„1“

N wm H L 1 L

Parabel

Verformung am Stützenkopf:

∑=χi

iLL

NN

χ+π=β31

125

Verzweigungslast und Knicklängenbeiwert


8 - 89

Kapitel 8.4Tragfähigkeitsnachweise für einteilige

Querschnitte bei zentrischer Druckbeanspruchung und bei

Druck und Biegung


8 - 90

Kapitel 8.4.1Tragfähigkeitsnachweise

nach Eurocode 3-1-1-Allgemeines


Tragfähigkeits-nachweis

EN 1993-1-1: Übersicht-Stabilitätsnachweise

Ersatzstabverfahren und Interaktionsgleichungen

Tragwerks-berechnung nach

Theorie I. Ordnung

Imperfektionen ezo,d nach EC 3-1-1,5.3.2 (3) affin zur Eigenform

(Vorverdrehung)

Tragwerksberechnung nach Theorie II. Ordnung

Methode I-A Methode I-B

1≤+χ

+⋅χ ⋅ Rd,z

Ed,zyz

Rd,yLT

Ed,yyy

Rdy

EdMM

kM

Mk

NN

Nachweis mit linearer Interaktion am Einzelstab mit Randmomenten nach

Theorie II. Ordnung, Abmin-derungsbeiwert χ wird mit der

Stablänge ermittelt. (EC 3-1-1, 6.3.3)

Nachweis mit linearer Inter-aktion am Einzelstab, Abmin-derungsbeiwert χ wird mit der am Gesamtsystem ermittelten Knicklänge (EC3-1-1,6.3.3)

1≤+χ

+⋅χ ⋅ Rd,z

Ed,zzz

Rd,yLT

Ed,yzy

Rdz

EdMM

kM

Mk

NN

Methode II

Allgemeines Verfahren mit Hilfe

des System-schlankheitsgrades

011

,M

ultop ≥γ

α⋅χ

op,cr

k,ultop α

α=λ

Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen EN 1993-1-1: Übersicht -Stabilitätsnachweise

92

Berechnung des Gesamtsystems nach Theorie II. Ordnung

Imperfektionen ezo,d und eyod nach der Eigenform nach EC 3-1-1,5.3.2 (11) in

Abhängigkeit von der Schlankheit

Elastische Tragwerks-berechnung

Tragfähigkeits-nachweis mit

linearer plastischer Interaktion (Torsion

nicht geregelt)

elastische Querschnittstrag-

fähigkeit(Klassen 3 u. 4)

Imperfektionen ezo,d nach EC 3-1-1,5.3.2 (3) und eyo,d nach

5.3.4 affin zur Eigenform(Vorverdrehung und Vorkrümmung

in Abhängigkeit von der Art der Tragwerksberechnung)

Elastische Tragwerks-berechnung

Plastische Tragwerks-berechnung

Tragfähigkeits-nachweis mit linearer plastischer Interaktion

(Torsion nicht geregelt)

elastische Querschnitts-tragfähigkeit

(Klassen 3 u. 4)

MethodeI III Methode V

21

20

1120

λ⋅χ−

γλ⋅χ−⋅−λα= M

Rk

Rk /)(NM),(e

Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Abgrenzungskriterien

8 - 93

10≥=αEd

crcr N

N

Auf einen Stabilitätsnachweis darf verzichtet werden, wenn der Zuwachs der Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung bei elastischer Berechnung kleiner als 10% ist.

cr

EdNN

MM

wwq,

q=

∆=

∆=≤

−=α 11

11

Dieses Kriterium ist bei elastischer Tragwerksberechnung erfüllt, wenn die nachfolgende Bedingung eingehalten ist.

w, ∆w

NH

NEdNEd

Bei plastischer Tragwerksberechnung (z.B. Fließgelenktheorie) gilt wegen des Einflusses des nichtlinearen Materialverhaltens auf die Steifigkeiten:

15≥=αEd

crcr N

N


8 - 94

Kapitel 8.4.2Tragfähigkeitsnachweis nach Theorie II.

Ordnung


Tragfähigkeitsnachweis nach Theorie II.Ordnung

8 - 95

Die Schnittgrößen werden am Gesamtsystem nach Elastizitätstheorie II. Ordnung berechnet. Bei der Schnittgrößenermittlung sind geometrische Ersatzimperfektionenzur Erfassung der Einflüsse aus geometrischen und strukturellen Imperfektionen zu berücksichtigen. Die Imperfektionsansätze sind von der Ausnutzung der Querschnittstragfähigkeit /elastisch oder vollplastisch) abhängig.

Ermittlung der Schnittgrößen

Querschnittstragfähigkeit und Nachweisverfahren

Elastische Querschnittstragfähigkeit Vollplastische Querschnittstragfähigkeit

--

fyd

++

σ≤fyd

N

MM

N


Geometrische und strukturelle Imperfektionen– Geometrische Ersatzimperfektionen

5-96

geometrische Imperfektionen

strukturelle Imperfektionen

Eigen-spannungen σE

Streckgrenzen-verteilung

+

-

-

LastexzentrizitätenVorkrümmung e, Schiefstellung φ

Geometrische Ersatzimperfektionen

e0d

σE fy

e

φ

e NEdNEd

äquivalente Ersatzbelastungparabelförmige Vorkrümmung mit

maximalem Stich eod

L

8LqeN

2e

d0Ed =

2d,0Ed

e LeN8

q =

LeN4 d,0Ed

LeN4 d,0Ed

Vorkrümmung

Schiefstellung

NEdNEd

NEd

NEd

NEd

NEd

NEdφ

NEdφ

φ

Die bei der Tragwerks-berechnung anzusetzenden Werte für die Imperfektioneneod und φ sind in EN 1993-1-1 geregelt.

Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Imperfektionen – Stich der Vorkrümmung

97

Imperfektionen für BiegeknickenKnicklinie DIN EN 1993-1-1 DIN EN 1993-1-1/NA

Querschnittsausnutzung

elastisch plastisch elastisch plastisch

ao L/350 L/300 L/900 wie elastisch jedoch

Mpl,k/Mel,k-facha L/300 L/250 L/550

b L/250 L/200 L/350

c L/200 L/150 L/250

d L/150 L/100 L/150

Toleranz nach DIN EN 1090 -2: L/750

eo

NN

parabelförmiger Vorkrümmung

NLeq o28=

N N

NLeo4 NL

eo4

sinusförmige VorkrümmungN

Leq omax 2

2π=

NL

eoπ NLeoπ

N N

L

Imperfektionen für die schwache Achse - BiegedrillknickenQuerschnittsabmessungen Querschnittsausnutzung

elastisch plastisch

Gewalzte I-Profile

h/b≤2,0 L/500 L/400

h/b>2,0 L/400 L/300

Geschweißte I-Profile

h/b≤2,0 L/400 L/300

h/b>2,0 L/300 L/200


Geometrische Ersatzimperfektionen -Vorverdrehung nach Eurocode 3-1-1

8 - 98

Bei der Ermittlung von m dürfen Stiele mit geringer Normalkraft (Ni< 0,50 Nm nicht mitgezählt werden. Dabei ist Nm der Mittelwert der Stützenlasten für die betrachtete Richtung

Vorverdrehung bei einteiligen StäbenN1 N2 N3

h1h2 h3

φ1

N1 N2 N3

N1 φ1Reduktionsfaktor zur Berücksichtigung von m voneinander unabhängigen Ursachen für Vorverdrehungen

Ersatzbelastung

Vorverdrehung

φ2 φ3

N1 φ1

N2 φ2

N2 φ2

N3 φ3

N3 φ3

2/3≤αh≤1,0

mh0 ααφ=φ

ih h

2=α

+=α

m11

21

m

2001/o =φ


Tragfähigkeitsnachweis bei elastischer Querschnittsausnutzung

(Querschnittsklassen 1, 2 und 3 )

8 - 99

zJ

MA

Ny

Ed,yEdEd +=σ

010101 ,,,Rd

Ed,v

Rd

Ed

Rd

Ed ≤σ

σ≤

ττ

≤σσ

Tragfähigkeitsnachweise:

Die Spannungen sind mit den Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung unter Ansatz von Imperfektionen zu berechnen

tJSV

y

yEd,zEd =τ

22 3 EdEd,xv τ+σ=σ

NEd

eo w MEd

qEd

FEd

My,Ed y

zVz,Ed

II 2Ed

Ed Ed ED o Ed dEd

cr

MM M N e q L / 8 F L / 4N1N

= = + +−

2

cr cr2cr

EJN L LL

π= =


Tragfähigkeitsnachweis bei plastischer Querschnittsausnutzung (Querschnitte der Klassen

1 und 2)

8 - 100

Tragfähigkeitsnachweis mit Interaktionsbedingung nach EC 3-1-1, 6.2.9 oder vereinfacht mit einer linearen Interaktionsbedingung

Die Schnittgrößen sind nach Theorie II. Ordnung unter Ansatz von geometrischen Ersatzimperfektionen zu berechnen. Die geometrische Ersatzimperfektion ergibt sich in Abhängigkeit von der maßgebenden Knickspannungskurve.

NEd

eo wMEd

qEd

1≤+d,pl

Ed

d,pl

EdNN

MM

d,plMM

d,plNN

1,0

1,0

fyd

II 2

Ed Ed Ed o dEd

cr

MM M N e q L / 8N1N

= = +−

2

cr cr2cr

EJN L LL

π= =


8 - 101

Kapitel 8.4.3Ersatzstabnachweis


8 - 102

Kapitel 8.4.3.1

Ersatzstabnachweis-Nachweis bei zentrischem Druck


Versagensformen beim Druckstab mit doppeltsymmetrischem Querschnitt

8 - 103

y

y

z

z w

v

ϑ

Beim zentrisch beanspruchten Druckstab mit doppelt-symmetrischem Querschnitt treten drei Versagensformen auf, Biegeknickenum die beiden Querschnittshauptachsen und Drillknicken um die x-Achse.

Biegeknicken um die y-Achse

Biegeknicken um die z-Achse

Drillknicken um die x-Achse

N

ϑ

Wird der Stab zusätzlich durch eine Druckkraft beansprucht entstehen in der verformten Lage zusätzliche elastische Abtriebskräfte in y- und z- Richtung und bei einem Verdrillen des Stabes zusätzliche Torsionsmomente .

y

z

y

z

L

Wird der Stab durch eine Normalkraft und ein Biegemomente My beansprucht, tritt immer ein kombiniertes Versagen mit Ausweichen in y-Richtung und gleichzeitigem Verdrehen auf (Biegedrillknicken )

ϑ vy

z

Stabilitätsversagen bei Druck und Biegung My

Stabilitätsversagen bei zentrischer Druckbeanspruchung

Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Nachweisverfahren in den Regelwerken

8 - 104

NcrNplNR

Das Bild kann nicht angezeigt werden.

N

ϑ,v,w

pl

RNN

=χN idealer Druckstab(Euler-Hyperbel)

Druckstab mit geometrischen und strukturellen Imperfektionen

1,0

1,0

χDas Bild kann nicht angezeigt werden.

1,0

Tragfähigkeitsnachweis:Das Bild kann nicht angezeigt werden.

Das Bild kann nicht angezeigt werden.

21λ

NEd

yzϑ

Bei der Ermittlung der Tragfähigkeit des Stabes müssen das bilineare Spannungs-Dehnungsverhalten von Baustahl sowie der Einfluss von geometrischen und strukturellen Imperfektionen berücksichtigt werden. Diese Einflüsse werden bei der Bemessung von zentrisch gedrückten Stäben durch den Abminderungsfaktor κ (Knickspannungslinien) berücksichtigt. Die verschiedenen Knickspannungslinien berücksichtigen dabei in Abhängigkeit von der Querschnittsform und der Versagensrichtung den unterschiedlichen Einfluss der strukturellen und geometrischen Imperfektionen. Im allgemeinen Fall ist das Biegeknicken um die y- und z-Achse sowie das Biegedrillknicken zu untersuchen. Die Abminderungsfaktoren ergeben sich in Abhängigkeit von den zugehörigen bezogenen Schlankheiten .

mit χ= min (χy,χz,χϑ)

ϑϑ =λ

=λ

=λ

,cr

pl

y,cr

ply

z,cr

plz

NN

NN

NN

λ

N

pl,Rkb,Rd

M1

NN = χ

γ


Ermittlung des Abminderungsbeiwertes für Stabknicken

105

N

M

Npl

Mpl

NEd=NR

MR

eo

z

y

NEd

Querschnittstragfähigkeit(Sandwichquerschnitt) Ed Ed

pl pl

N M 1,0N M

+ =

Ed Ed oE cr

1 xM N e sin1 N / N L

π=

−

L

x

Ed Ed o

pl pl Ed cr

N N e 1 1,0N M 1 N / N

+ =−

pl,Rk2Ed

pl,Rk cr

NNN N

χ = λ =Abminderungsfaktor für NE= NR und bezogene Schlankheit

011

120 ,eM

N

Rk,pl

Rk,pl =λχ−

χ+χ

),(NM

eRk,pl

Rk,plo 20−λα=

Annahme für den maximalen Stich der Imperfektion eo:

Bestimmungsgleichung für den Abminderungsfaktor χ:

α- von der Querschnittsform abhängiger Imperfektionsbeiwert

011

120 2 ,),( =λχ−−λαχ+χ

Tragfähigkeitsnachweis

Querschnittstragfähigkeit (lineare Interaktion)

Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Knicklinien

8 - 106

pl

crNN

=λ21

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,2 0,6 1,0 1,4 1,8

χ

λ

Eulerhyperbel

cr

plNN

=λ

a

Bezogene Schlankheit Abminderungsbeiwert κ

b cd

20,≤λ

22

1

λ−φ+φ=χ

0320 ,, ≤λ<

01,=χ

]),([,2

20150 λ+−λα+=φ

KSL α

ao 0,13

a 0,21

b 0,34c 0,49d 0,79

ao Bezogene Schlankheit


Zuordnung der Querschnitte zu den Knickspannungslinien (Eurocode 3)

8 - 107

Querschnitte BegrenzungAusweichen rechtwinklig zur Achse

KnickspannungslinieS235, S275 S355, S420 S460

h/b >1,2tf < 40mm

y-yz-z

ab

a0a0

40 mm < tf < 100mmy-yz-z

bc

aa

h/b 100mmy-yz-z

dd

cc

tf < 40mm y-yz-z

bc

bc

tf > 40mm y-yz-z

cd

cd

warm gewalzt y und z a a0

kalt gewalzt y und z c c

Gew

alzt

eI-P

rofil

eG

esch

wei

ßte

I-Pro

file

Hoh

l-pr

ofile

h

tf

b

z

z

y y

z

z

z

tl tf tfy y y y

y yy y

z

z

z

z


Zuordnung der Querschnitte zu den Knicklinien (Eurocode 3-1-1)

8 - 108

Querschnitte BegrenzungAusweichen rechtwinklig zur Achse

KnickspannungslinieS235, S275 S355, S420 S460

y und z b b

Schweißnaht: a > 0,5 tfb / tf < 30b / tw < 30

y und z c c

y und z c c

y und z b b

U-,

T-un

dVo

llque

rsch

nitte

L-Pr

ofile

Ges

chw

eißt

eK

aste

nque

rsch

nitte

h

tf

y y

tw

z

zb


8 - 109

Kapitel 8.4.3.2

Ersatzstabnachweis-Nachweis bei Druck und Biegung

Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Nachweisverfahren im Eurocode 3

9-110

Der Eurocode 3 Teil 1-1 gibt für den Nachweis gegen Biegedrillknicken bei Druck und Biegung zwei Nachweisverfahren an.

Die Nachweismethode I: Der Nachweis wird am herausgeschnittenen Einzelstab geführt. Der Nachweis ist für das Biegeknicken, bzw. Biegedrillknicken um die z- und y-Achse zu führen. Die Interaktionsbeiwerte k wurden mit Hilfe geometrisch und physikalisch nichtlinearer Berechnungen unter Berücksichtigung von Eigenspannungen und geometrischen Imperfektionen ermittelt. Bei der Nachweismethode I sind wiederum zwei unterschiedliche Verfahren I-A und I-B zur Ermittlung des Abminderungsbeiwertes für Biegeknicken möglich.

Nachweismethode I

Ausweichen um die z-Achse

Ausweichen um die y-Achse

Bei der Nachweismethode II wird die Schlankheit und der Abminderungsbeiwert am Gesamtsystem unter Berücksichtigung der gleichzeitigen Wirkung von Normalkräften und Biegemomenten ermittelt.

Nachweismethode II

y,Ed z,EdEdzy zz

z pl,Rd LT pl.y,Rd pl,z,Rd

M MN k k 1,0N M M

+ + ≤χ ⋅ χ

y,Ed z,EdEdyy yz

y pl,Rd LT pl,y,Rd pl,z,Rd

M MN k k 1,0N M M

+ + ≤χ ⋅ χ

sys ult,k

M1,0

χ α≥

γ


Nachweis mit Interaktionsbedingungen bei kombinierter Beanspruchung durch Biege-

momente und Normalkräfte (Nachweismethode 1)

9-111

1,01,0

LTz,λλ

LTλ

)( zz λχ=χ

)( LTLT λχ=χ

1,0

RdMM

zλ

RdNN

Querschnittsinteraktions-kurve N-My ohne Stabilitätsgefahr y

z

v

Ncr,z y

z

ϑ

Ncr,ϑ

Biegeknicken um die z-Achse bzw. Drillknicken bei reiner Normalkraftbeanspruchung

Rd,plzRd

Rd

Ed

NN

0,1NN

χ=

≤

Biegedrillknicken bei reiner Momentenbeanspruchung

y

z

ϑ

v

w

Rd,y,plLTRd

Rd

Ed

MM

0,1MM

χ=

≤

NEd

MEd

Bei kombinierter Beanspruchung wird der Biegedrill-knicknachweis mit Hilfe einer Interaktionsbeziehung geführt. Der Beiwert kzy ist dabei von der Schlankheit λz, der Normalkraftausnutzung NEd/Npl,d und vom Momentenverlauf My(x) abhängig.

Interaktionsbedingung für Biegedrillknicken

1,0

Ed Edzy

Rd Rd

N M k 1,0N M

+ ≤


Ersatzstabnachweis nach Eurocode 3 bei Biegeknicken für Querschnitte der Klassen 1, 2

und 3

8 - 112

DIN EN 1993-1-1 (6.61)

DIN EN 1993-1-1 (6.62)

Dabei sind:NEd, My,Ed und Mz,Ed:

χy und χz:

kyy, kyz , kzy , und kzz :

Die Bemessungswerte der einwirkenden Druckkraft und der einwirkenden maximalen Momente um die y-y Achse und z-z Achse;

Die Abminderungsbeiwerte für Biegeknicken

Die Interaktionsfaktoren

1MM

kMM

kNN

1M

Rkz

Edzy z

1M

RkyLT

Edyyy

1M

Rky

Ed ≤

γ

+

γχ

+

γ

⋅χ⋅

,

,

,

,

1MM

kMM

kNN

1M

Rkz

Edzzz

1M

RkyLT

Edyzy

1M

Rkz

Ed ≤

γ

+

γχ

+

γ⋅χ

⋅,

,

,

,


= =χ ⋅ γ χ ⋅ γ

Ed Edy z

y Rk M1 z Rk M1

N Nn ; nN / N /

Querschnittstyp/Verdrehwiderstand Querschnitte der Klassen 1 und 2 Querschnitte der Klassen 3 und 4

I-Querschnitte, Quadrat- und

Rechteckhohlprofile

Verdrehsteife Stäbe

Verdrehweiche Stäbe

I-Querschnitte

Quadrat- und Rechteckhohlprofile

, , Äquivalente Momentenbeiwerte nach Tabelle 9 (s. auch Tabelle B.3, Anhang B nachDIN EN 1993-1-1unter Berücksichtigung der maßgebenden Momentenverteilung zwischen seitlichgehaltenen Punkten

Interaktionsbeiwerte für den Knicknachweisnach DIN EN 1993-1-1, Anhang B

113

( )( ) = ⋅ + λ − ⋅ λ ≤

= ⋅ + ⋅ λ ≥

yy my y y y

my y y

k C 1 0,2 n für 1,0

C 1 0,8 n für 1,0

( )( )

= ⋅ + ⋅ λ ⋅ λ ≤

= ⋅ + ⋅ λ ≥

yy my y y y

my y y

k C 1 0,6 n für 1,0

C 1 0,6 n für 1,0

= ⋅yz zzk 0,6 k

= ⋅zy yyk 0,6 k

=yz zzk k

= ⋅zy yyk 0,8 k

⋅ λ ⋅= − λ ≤

−

≤ + λ λ <

⋅= − λ ≥

−

z zzy z

mLT

z z

zz

mLT

0,1 nk 1 für 1,0C 0,25

0,6 für 0,40,1 n1 für 1,0

C 0,25

⋅ λ ⋅= − λ ≤

−

⋅= − λ ≥

−

z zzy z

mLT

zz

mLT

0,05 nk 1 für 1,0C 0,250,05 n1 für 1,0

C 0,25

( )( )

= ⋅ + ⋅ λ − ⋅ λ ≤ = ⋅ + ⋅ λ ≥

zz mz z z z

mz z y

k C 1 2 0,6 n für 1,0

C 1 1,4 n für 1,0

( )( )

= ⋅ + λ − ⋅ λ ≤ = ⋅ + ⋅ λ ≥

zz mz z z z

mz z y

k C 1 0,2 n für 1,0

C 1 0,8 n für 1,0

( )( )

= ⋅ + ⋅ λ ⋅ λ ≤

= ⋅ + ⋅ λ ≥

zz mz z z z

mz z y

k C 1 0,6 n für 1,0

C 1 0,6 n für 1,0

myC mzC mLTC


Momentenverlauf BereichMomentenbeiwerte Cmy, Cmz und Cm,LTGleichlast Einzellast

− ≤ ψ ≤1 1

Äquivalente Momentenbeiwertenach DIN EN 1993-1-1, Anhang B, Tabelle B3

114

+ ⋅ ψ ≥0,6 0,4 0,4

≤ α ≤s0 1

− ≤ α ≤s1 0

− ≤ ψ ≤1 1

≤ ψ ≤0 1

− ≤ ψ ≤1 0

+ ⋅ α ≥s0,2 0,8 0,4

− ⋅ α ≥s0,1 0,8 0,4

( )⋅ − ψ − ⋅ α ≥s0,1 1 0,8 0,4

+ ⋅ α ≥s0,2 0,8 0,4

− ⋅ α ≥s0,8 0,4

( )⋅ −ψ − ⋅ α ≥s0,2 0,8 0,4

≤ α ≤h0 1

− ≤ α ≤h1 0− ≤ ψ ≤1 0

≤ ψ ≤0 1

− ≤ ψ ≤1 1 + ⋅ αh0,95 0,05

+ ⋅ αh0,95 0,05

( )+ ⋅ α ⋅ + ⋅ ψh0,95 0,05 1 2

+ ⋅ αh0,90 0,10

+ ⋅ αh0,90 0,10

( )+ ⋅ α ⋅ + ⋅ ψh0,90 0,10 1 2

Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Nachweismethode I-A

8 - 115

HEd NEd NEd

L

My,EdNEd

Bei der Methode I-A werden die Schnittgrößen bei seitlich verschieblichenRahmentragwerken nach Theorie II. Ordnung ermittelt. Anschließend wird der Einzelstab herausgeschnitten und mit den Randmomenten MEd nach Theorie II. Ordnung mit Hilfe der Interaktionsbedingungen nachgewiesen. Für den Fall der einachsigen Biegung mit Normalkraft sowie ohne Biegedrillknickgefahr ergibt sich für die Biegeachse y-y für die Querschnittsklassen 1 und 2:

Rahmen EinzelstabSchnittgrößen nach Theorie II. Ordnung

M

9-115

2

2

L

EJN

NN

yy,cr

y,cr

ply

π=

=λ

01,M

Mk

NN

Rd,y

Ed,yyy

Rdy

Ed ≤+χ 11 M

k,plyRd,y

M

ykRd

MM

fAN

γ=

γ=

My,Ed

Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Nachweismethode I-B

8 - 116

HEd NEd NEdLcr=L

My,Ed

NEd

Bei der Methode I-B werden die Schnittgrößen bei seitlich verschieblichenRahmentragwerken nach Theorie I. Ordnung ermittelt. Anschließend wird der Einzelstab als Ersatzstab mit der Knicklänge lcr = βL betrachtet Für den Fall der einachsigen Biegung mit Normalkraft sowie ohne Biegedrillknickgefahr ergibt sich für die Biegeachse y-y für die Querschnittsklassen 1 und 2:

Rahmen

Ersatzstab

Schnittgrößen nach Theorie I. Ordnung

9-116

2

2

)L(

EJN

NN

yy,cr

y,cr

ply

β

π=

=λ

01,M

Mk

NN

Rd,y

Ed,yyy

Rdy

Ed ≤+χ 11 M

k,plyRd,y

M

ykRd

MM

fAN

γ=

γ=


Nachweis bei Doppelbiegung nach Eurocode 3 für Querschnitte der Klassen 1 und 2

9-117

yy

z

z

L

My,Ed

Mz,Ed

Fz

NEdMz,R Ausweichen um die z-Achse

Ausweichen um die y-Achse

y Ed Edyy my my

y pl,Rd y pl,Rd

( 0,2) N Nk C 1 C 1 0,8N N

λ −= + ≤ + ⋅ χ ⋅ χ ⋅

Die Faktoren kyy, kzz, kyz und kz,y werden in Anhang A bzw. B zu Euro-code 3-1-1 angegeben. Die Beiwerte sind abhängig vom Querschnitts-typ (I- Querschnitt oder Hohlprofil) sowie von der Querschnittsklasse.

Für I-Profile der Querschnittsklassen 1 und 2 gilt nach Anhang B:

Ed Edzzy

M,LT z pl,Rd M,LT z pl,Rd

N N0,1 0,1k 1 1C 0,25 N C 0,25 N

λ= − ≥ −

− χ − χ

yz zzk 0,6 k=

yz

My

Mz

Die Beiwerte Cmy,Cmz und Cm,LT erfassen den Momentenverlauf. Siehe hierzu Eurocode 3-1-1. Für die dargestellte Stütze ergibt sich z.B:

Mz My

Cmz=0,6 Cmy=CmLT=0,9

z Ed Edzz mz mz

z pl,Rd z pl,Rd

(2 0,6) N Nk C 1 C 1 1,4N N

λ −= + ≤ + ⋅ χ ⋅ χ ⋅

y,Ed z,EdEdzy zz

z pl,Rd LT pl.y,Rd pl,z,Rd

M MN k k 1,0N M M

+ + ≤χ ⋅ χ

y,Ed z,EdEdyy yz

y pl,Rd LT pl,y,Rd pl,z,Rd

M MN k k 1,0N M M

+ + ≤χ ⋅ χ


8 - 118

Kapitel 8.5Tragfähigkeitsnachweise

für mehrteilige Stäbe

Grundlagen der Bemessung von Rahmen- und Gitterstützen, Schubsteifigkeit

von Rahmen und Gitterstützen, Nachweisverfahren nach

Eurocode 3

Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Gitter- und Rahmenstützen- Bezeichnungen

8 - 119

Bei Gitterstützen und Rahmenstäben muss der Einfluss aus den Verformungen der Diagonalen bei Gitterstützen sowie die Verformungen aus der Vierendeelwirkung bei Rahmenstäben berücksichtigt werden. Dies erfolgt näherungsweise durch Idealisierung des Systems als schubweicher Stab.

Gitterstab Rahmenstab

h0

a

b

tb

AchAD

aIch, Ach

h0

2eff 0 ch chI 0,5 h A 2I= +

2eff 0 ch chI 0,5 h A 2 I= + µ

Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Rahmenstützen- Effektive Biegesteifigkeit

8 - 120

a

btb

Ich, Achh0

2eff 0 ch chI =0,5 h A +2 μI

L

Effektive Biegesteifigkeit beim Rahmenstab:

Wirkungsgrad µ

20 ch ch

ch

0,5h A 2IL ii 2A

+λ = =

Geometrische Schlankheit der Stütze ohne Berücksichtigung der Schubverformung :

λ µ

0

0

75≤λ

15075 ≤λ< 2 / 75−λ150>λ


Schubverformung und Schubsteifigkeit Sid bei Gitterstützen

8 - 121

h0

aα

d

Ad

V=1

V=1

γ

w

Normalkraft der Diagonale:

α=

sinVND

Verformung w:

dEA

NNdxAENNw ∑∫ ==

α=

cosad

2d

a 1wEA sin cos

=α α

Schubverformung idS

Vaw

==γ

Schubsteifigkeit Sid

2id d

VS E A sin cos= = α αγ


Schubverformung und Schubsteifigkeit Sid bei Rahmenstützen

8 - 122

h0

a/2 Ich

V=1

V=1

γ

w

Verformung w:

dxJEMMw ∫=

Schubverformung idS

Vaw

==γ

Schubsteifigkeit Sid2

chid 2 2

ch b

2 EIV 1Sa ah a

24EI 12EI

π= = ≤

γ +

a/2Ib

1/2a/4

a/2

Biegemomente

a/4

a

2 20

ch b

h1 a a 1 aw 4 23 4 2EI 6 2 EI

= +

1/2

Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Ideelle Blechdicke von Fachwerkscheiben

6-123

Fachwerk mit wechselnden Diagonalenb b

hdAo

AuAD

b b

dAo

Au

ADAV h

b b

d

Ao

Au

ADAV h

d

b b

hADAo

Au

Fachwerk mit fallenden Diagonalen

K-Fachwerk

Rautenfachwerk

+++

=

uo

3

V

3

D

3V,id

A1

A1

12b

Ah

Ad

bhGEt

++

=

uo

3

D

3V,id

A1

A1

3b

Ad

bhGEt

+++

=

uo

3

V

3

D

3V,id

A1

A1

12b

A4h

Ad2

bhGEt

++

=

uo

3

D

3V,id

A1

A1

12b

A2d

bhGEt

hTVftPfostenkradTD:aftDiagonalkr

s

s

=

=

0VftPfostenkradTD:aftDiagonalkr s

=

=

2hTVftPfostenkra

dTD:aftDiagonalkr

s

s

=

=

2dTD:aftDiagonalkr s=


Verzweigungslast bei Berücksichtigung der Schubverformung

8 - 124

0wL

w2

=′′

ε+′′′′

id

N 1L NE J 1S

γε = γ =

−


L

w(ξ)

f

ξ

Ncr

EJ

Sid

Knickbedingung

Verzweigungslast

2

cr 22

2id

EJNEJL 1

L S

π=

π+

crcr

cr

id

N1L NE J 1S

ε = = π−


Schnittgrößen des Gesamtstabes nach Theorie II. Ordnung (beidseitig gelenkig gelagerter Stab)

8 - 125

Lx

=ξ

womo L

NEd

crEdom

IImax

crEd

IIIN/N

wNMN/N

MM−

=−

=1

11

1

πξ=ξ sinwN)(M omI

πξπ

=ξ cosL

wN)(V omI

Schnittgrößen nach Theorie II.Ordnung

J - Flächenmoment zweiten Gradesdes Gesamtquerschnitts um die strofffreie Achse

π+

π=

id

cr

SLEJL

EJN

2

22

2

1

πξ=ξ sinw)(w omoVorverformung

LMV

N/NVV IImax

IImax

crEd

III π=−

=1

Biegeknicken von Stäben und Stabtragwerken - Stahlbau und ......2019/11/25 · unter Druck und...

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