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Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello

Biegung

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In diesem Foliensatz geht es um:

Inhalt

© Prof. Dr. Remo IannielloBiegung

Biegespannung

Flächenträgheitsmoment

Satz von Steiner

Durchbiegung

Folie 2© Prof. Dr. Remo Ianniello

𝜎 𝑏

FTM

© Prof. Dr. Remo IannielloBiegung Folie 3

Biegespannung

© Prof. Dr. Remo Ianniello

Auf

gabe

Qui

z

Biegung

Biegung Folie 4

Die Balken in der Skizze denke man sich aus lauter waagerechten Schichten bestehend, etwa wie ein Buch. Die Schichten sind aber miteinander verwachsen.

Durch die Kräfte am Ende der Balken werden die Balken tordiert / gestreckt / gebogen / gestaucht.

In der oberen Hälfte jedes Balkens herrscht

Zug / Druck / Schub / Torsion, in der unteren Druck.

Nur die mittlere Schicht ist nicht gespannt. Diese Schicht besteht aus neutralen Fasern. Krümmt sich der Balken, werden die die neutralen Fasern länger / kürzer / bleiben gleich lang.

Diese verschiedenen Spannungen werden als Torsions- / Schub- / Biege-

Spannung zusammengefasst.Am stärksten ist die Biegespannung

in der obersten / mittleren / untersten Schicht.

𝜎 𝑏FTM


Biegespannung


Bei Zug-Druck gilt für die Spannung:

mit A = Querschnittsfläche

Gilt das auch bei Biegung ?F und A sind bei beiden Balken gleich. Ist dann auch in beiden Balken die Biegespannung gleich?

© Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 5

𝜎 𝑏FTMσ = F/A

Auf

gabe

Qui

z

Biegemoment

Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 6

Momenten-Bilanzσ

b hängt vom Biegemoment M

b = F∙r / nur von der Belastungskraft F ab.

Dieses Biegemoment Mb wird im Querschnitt des Bretts

gelöscht / kompensiert / verstärkt / geschwächt.Dazu wirken im Querschnitt Kräfte: Zugkräfte in der oberen - und Scher- / Zug-/ Druck-Kräfte in der unteren Hälfte. Diese Kräfte erzeugen eine Torsion, Kraft, ein Gegenmoment zum Biegemoment.Der Hebelarm im Querschnitt ist sehr lang / breit / kurz, daher müssen die Kräfte dort entsprechendparallel / groß / klein / senkrechtsein.


𝜎 𝑏FTM


Auf

gabe

Auf

gabe

Biegung

Biegung Folie 7

Springer auf dem BrettEin Springer steht mit seinen 81 kg am Ende eines Sprungbrettes. Betrachten Sie den Querschnitt des Brettes 3,4 m hinter dem Mann. Das Brett ist 8 cm hoch und 40 cm breit.

a) Wie groß ist das Moment Mb, mit dem der Springer eine Biegung im Brett verursacht?

b) Würde diese Biegung durch zwei einzelne, antiparallele Kräfte im Querschnitt kompensiert (blau): Wie groß wären die Kräfte, wenn sie mittig in der oberen bzw. unteren Hälfte wirken würden?

c) Wie sähe das Kräfteprofil im Querschnitt aus?

𝜎 𝑏FTM

Auf

gabe

Qui

z

Biegespannung

Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 8© Prof. Dr. Remo Ianniello

Hebelarm L

Biegespannung (Zug)

Biegespannung (Druck)

neutrale Faser (spannungsfrei)

gestreckte Randfasergestauchte Randfasergrößte

Biegepannung

2

3Biegespannung (Druck)

gestreckte Randfaser

Biegespannung (Zug)

gestauchte Randfaser

größte Biegepannung

größte Biegepannung

Hebelarm L

𝜎 𝑏FTM

Auf

gabe

Qui

z

Biegespannung


StützwirkungObwohl sich Biegespannungen aus Zug- und Druck-Spannungen zusammen setzen, sind die zulässigen Spannungen für Biegung größer als die für Zug oder Druck.

Beispiel Einsatzstahl 18CrNi8Re = 785 N/mm2 < bF = 1.100 N/mm2

Wie ist dieser Unterschied zu erklären?

Die Festigkeitswerte bei Biegebelastung sind infolge der Stützwirkung größer als bei Zug- bzw. Druck-Belastung


𝜎 𝑏FTM

Biegespannung


Schmetterlings-Gleichung

Flächenträgheits-Moment I

Widerstands-Moment W


b,max y

= ey

Gleichung der Biegespannung 𝜎 𝑏FTM


Auf

gabe

Auf

gabe

Biegespannung

Biegung Folie 11

SprungbrettEin stämmiger Herr steht am Ende eines Sprungbrettes, 4,5 m von der Einspannung entfernt. Mit seinen 98 kg verbiegt er das Brett (W = 106 mm³) bis die Randfasern stark unter Biegespannung stehen.a) Wie groß ist diese Biegespannung?b) Wo tritt sie auf?c) Das Brett ist 40 cm breit und 10 cm

dick. In welchem Abstand von der neutralen Faser ist die Spannung nur halb so groß?


𝜎 𝑏FTM


Flächenträgheits-Moment (FTM)

Auf

gabe

Qui

z



Das Flächenträgheitsmoment (FTM) I stellt den Widerstand gegen die Verbiegung dar. Aus der Schmetterlingsgleichung wird klar:


𝜎 𝑏=𝑀𝑏

𝑊 =𝑀𝑏

𝐼 ∙𝑒 𝐼𝑀𝑏

𝜎 𝑏

Fazit: Je größer das FTM ist, um so • höher / geringer ist bei gegebenem Mb

die entstehende Biegespannung b

• höher / geringer ist (bei vorgegebenemb) das anwendbare Moment Mb , kurz:

• desto höher / geringer ist die Verbiegbarkeit.

𝜎 𝑏FTM

Auf

gabe

Qui

z



StabilitätMan kann einen Stab gegen Verbiegung stabilisieren, ohne mehr Material zu verwenden, in dem man seine Querschnittsfläche anders anordnet. Sie sollen z.B. den Stab eines hydraulischen Hebels besser gegen Biegung auslegen ohne Mehrausgaben für das Material zu benötigen.

a) Wie könnte der Querschnitt geändert werden, um die höhere Stabilität gegen Biegung zu erreichen?

b) Wie könnte man die Stabilität eines Flachstabes gegen Verbiegung erhöhen?


𝜎 𝑏FTM

Auf

gabe

Qui

z



StabilitätMan kann einen Stab gegen Verbiegung stabilisieren, ohne mehr Material zu verwenden, in dem man seine Querschnittsfläche anders anordnet.

a) Wie könnte man die Stabilitäteiner Container-Wand erhöhen?

b) Kennen Sie Beispiele aus der Praxis, bei denen die Oberflächengestaltung eine höhere Stabilität bewirkt?


𝜎 𝑏FTM


Auf

gabe

Qui

z

Querschnitts-Größen

Biegung Folie 16

Wo stehen in Ihrer Formelsammlung diea) Flächenträgheitsmomente (FTM) für folgende Querschnitte ?b) Widerstandsmomente (W) für dieselben Querschnitte ?


𝜎 𝑏FTM

Auf

gabe

Auf

gabe

Widerstandsmoment


AchseEine Achse aus Vergütungsstahl C 60 E mit d = 40 mm wird auf Biegung beansprucht. Die Sicherheitszahl ist hier v = 3 zu setzen.a) Wie groß ist das maximal erlaubte

Biegemoment?b) Wie groß ist die Biegespannung in

einer Faser, die von der Randfaser einen Abstand von 5 mm hat?


𝜎 𝑏FTM

Auf

gabe

Auf

gabe

Widerstandsmoment


WelleEine Welle aus S 185 mit d = 36 mm wird auf Biegung beansprucht. Die zulässige Biegespannung betrage b zul = 183 N/mm2.

a) Wie groß ist das axiale Widerstandsmoment?

b) Wie groß ist das maximal erlaubte Biegemoment?

c) Wie erhält man bei bekanntem b max

(=

b zul) die Biegespannung von

by in

einer Faser, die von der Rand-faser einen Abstand von 6 mm hat?


𝜎 𝑏FTM


Auf

gabe

Qui

z

Widerstandsmoment

Biegung Folie 19

Alle Balken in der Skizze sind gleich breit. Die Kräfte wirken im selben Abstand von der Mauer (gleicher Hebelarm).

Ein Versuch zeigt: Bricht der Balken A durch die Last F, so bricht der Balken B, der doppelt so hoch ist, erst durch 4F. Balken C ist drei mal so hoch wie A und bricht erst bei 9F.

Die Höhen der Balken verhalten sich wie 1 : 2 : 3,

ihre Tragfähigkeiten aber wie 1 : 4 : 9 oder 1² : 2² : 3².

Daher wächst die Tragfähigkeit linear / quadratisch mit der Höhe.

Dagegen bewirkt 2fache und 3fache Breite nur 2fache und

3fache Tragfähigkeit. Daher wächst die Tragfähigkeit

linear / quadratisch mit der Breite.

𝜎 𝑏FTM



WiderstandsmomentDas Volumen einer Walze V = b·/4·h² wächst mit dem

Quadrat des Durchmessers h und linear zur Breite b.Daher ist die Tragfähigkeit des Balkens dem Volumen

der „eingeschriebenen“ Walzen proportional.Wächst die Höhe, so wächst

die Tragfähigkeit quadratisch!

Biegung Folie 20

𝜎 𝑏FTM



Auf

gabe

Qui

z

Widerstandsmoment

Biegung Folie 21

Je größer das Volumen der einbeschriebenen Walze, desto schwerer brechen die Balken.

Die Walzen A und B haben gleiches Volumen. Also brechen die Balken A und B durch

dieselbe Last.Die Querschnitts-

flächen der Balken A und B sind aber

verschieden!

Balken B und C haben dieselbe Querschnitts-

fläche, Balken C bricht aber bei kleinerer

Last. Warum?Weil das Volumen der Walze in C kleiner ist.

Im selben Verhältnis hat sich seine Tragfähigkeit verringert.

𝜎 𝑏FTM


Auf

gabe

Auf

gabe

Widerstandsmoment


FlachstahlEin Flachstahl aus E 335 mit den Abmessungen 25 mm 10 mm soll das Biegemoment Mb = 100 Nm aufnehmen.

a) Wie groß sind axiales Flächen- und Widerstandsmoment, wenn der Flachstahl hochkant gebogen wird?

b) Wie groß sind I und W, wenn der Flachstahl flachkant gebogen wird?


𝜎 𝑏FTM

Frag

en


1) Was unterscheidet die Biegespannung von der Zugspannung?Sie ist nicht von der Kraft pro Querschnitt abhängig.

2) Wovon hängt das Widerstandsmoment ab? A) vom Werkstoff, B) vom E-Modul, C) von der Querschnittsgeometrie, D) von der Biegespannung?C) von der Querschnittsgeometrie

3) Was ist die Bedeutung des axialen Flächenträgheitmoments I ? Widerstand gegen die Verbiegung.

4) Welche geometrische Größe ist für die Biegestabilität maßgebend? Der durchschnittliche Abstand der Querschnittsfläche von derBiegeachse (neutralen Faser), das FTM, das Widerstandsmoment

5) Wie berechnet man bei unsymmetrischen Querschnitten die Position der Biegeachse? Die Biegeachse verläuft immer durch den Schwerpunkt derQuerschnittsfläche. Man bildet den gemeinsamen Schwerpunkt.

6) Wie hängen Randfaserabstand e, Widerstandsmoment W und lächenträgheitsmoment I miteinander zusammen? I = W·e

Fragen


𝜎 𝑏FTM


Satz von Steiner

Auf

gabe

Qui

z

Satz von Steiner


1) Komplizierte geom. Flächen werden unterteilt.

2) Berechnung der Position von Gesamtschwerpunkt S0 und der Teilschwerpunkte Si.

3) Abstand Li der Teilschwerpunkte vom Gesamtschwerpunkt bestimmen

4) Satz von Steiner auf jede Teilfläche anwenden:

5) Teil-Trägheitsmomente summieren:

Was meinen Sie?Wie wird das Trägheitsmoment von „komplizierten“ Flächen berechnet?


𝜎 𝑏FTM


Auf

gabe

Auf

gabe

Satz von Steiner

Biegung Folie 26

WinkelstahlDas FTM eines Winkelstahls 50 x 50 x 5 beträgt laut Tabelle Ix = 11 cm4. a) Verifizieren Sie diesen Wert, indem Sie

den Querschnitt in zwei Teilflächen zerlegen und die FTM der beiden Teilflächen addieren.

b) Wie groß ist Iy ?c) Biegt man den Winkelstahl um die 45°

Achse , ergibt sich ein Wert von I = 17,4 cm4. Warum ist dieser Wert größer als der in a)

d) Welche Biegeachse müsste demnach den kleinsten Wert für I von 4,59 liefern?


𝜎 𝑏FTM

Satz von Steiner


Da nur die Abstände von der Biegeachse eingehen, und nicht die x-Position, darf man Teile parallel zur Achse

verschieben.


𝜎 𝑏FTM

Auf

gabe

Qui

z

Satz von Steiner


Satz von SteinerStimmt es, dass das Widerstandsmoment einer Teilfläche den kleinsten Wert annimmt, wenn seine Schwerachse mit der gemeinsamen Biegeachse übereinstimmt?Begründen Sie Ihre Antwort.

Zur Erinnerung:

Der Gesamtschwerpunkt liegt auf der gemeinsamen Biegeachse.


𝜎 𝑏FTM

Auf

gabe

Auf

gabe

Satz von Steiner


I – und T – TrägerAuf einen Träger mit rechteckigem Querschnitt wirkt ein Biegemoment von M

b= 180 Nm.

Der Träger wird um die x-Achse gebogen. Wie groß sind …a) das axiale Flächenmoment?b) das axiale Widerstandsmoment?c) die Biegespannung ? d) Wie groß ist das axiale

Flächenmoment Ix desselben

rechteckigen Querschnitts, wenn er ein Teil eines T-Profils ist?

e) Wie groß ist das Flächen-trägheitsmoment Iy des T-Querschnitts?


𝜎 𝑏FTM


Durchbiegung


DurchbiegungBegriffe Biegemomente Mb verursachen die

Krümmung k einer vorher geraden Trägerachse.

Krümmungsradius = Kehrwert der Krümmung k.

Durchbiegung w = Abweichung der neutralen Faser (bei Belastung) von der Höhe ohne Belastung an einer Stelle.

f = maximale Durchbiegung (oft auch nur „Durchbiegung“ genannt)

Biegung Folie 31

𝜎 𝑏FTM



Durchbiegung

Biegung Folie 32

Die Biegelinie w(x) = elastische Linie = • Verlauf w(x) der neutralen Faser eines

belasteten Trägers über die Trägerlänge.• gibt die Durchbiegung w an der Stelle x

des Balkens an

𝜎 𝑏FTM



Durchbiegung

Biegung Folie 33

Je größer das Biegemoment Mb, desto so

• stärker wird der Träger gekrümmt (k groß) • kleiner wird der Krümmungsradius .

Je weniger elastisch ein Werkstoff (E-Modul groß), desto• kleiner die Krümmung, • größer der Krümmungsradius

Je starrer sich ein Träger gegen Biegung verhält, desto • größer das Flächenträgheitsmoment I• kleiner die Krümmung.

Daraus ergibt sich folgender Zusammenhang:

𝜌 1𝑀𝑏+

E

+

I

=

𝜌 𝐸 ∙ 𝐼𝑀𝑏

𝜎 𝑏FTM



Durchbiegung„Reine Biegung“: Das Biegemoment wird am einen Ende durch ein Kräftepaar eingeleitet und am anderen Ende aufgenommen. Entlang des Trägers ist Mb konstant.Mit

und mit E, I = konstant folgt:Krümmungsradius = konstant. Die Biegelinie ist ein Kreisbogen.

Biegung Folie 34

𝜌=𝐸 ∙ 𝐼𝑀 𝑏

𝜎 𝑏FTM



Durchbiegung

Biegung Folie 35

Biegemoment ist nicht konstant

Durchbiegung w(x) kann bei best. xE zu hoch werden

Zu hohe Durchbiegung w(x) kann z. Bruch führen

Aufgabe: max. Durch-biegung f = wmax ermitteln

f mit fzul vergleichen

Bei Bedarf: Bauteil verstärken; Verkehrslast einschränken

𝜎 𝑏FTM



Auf

gabe

Auf

gabe

Durchbiegung

Biegung Folie 36

TrägerEin I-Träger I-140 wird durch eine mittig angreifende Einzelkraft von F = 8,5 kN belastet.Ermitteln Sie für den Angriffspunkt von Fa) den Krümmungsradiusb) die Krümmungc) die maximale

Durchbiegung

𝜎 𝑏FTM



Durchbiegung

Biegung Folie 37

Ein Element des Balkens an der Stelle x verschiebt sich nach unten um w(x) und verdreht sich dabei um den Winkel (x).

Zusammenhang zw. w(x) und (x)(x) = Neigung der Biegelinie w(x)

tan (x) = Steigung der Biegelinie, d.h.tan (x) = Ableitung dw/dx = w‘(x).

(x)

x

w(x)

𝜎 𝑏FTM



DurchbiegungBiegelinieDie Biegelinie beschreibt den Verlauf der Neutralen Faser im belasteten Zustand.Ihre Abweichung von der Linie im unbelasteten Zustand kann man als Funktion w(x) darstellen.Für verschiedene Standardsituationen ist diese Funktion bereits tabelliert als „Gleichung der Biegelinie“.

Biegung Folie 38

𝜎 𝑏FTM


Durchbiegung

Biegung Folie 39

𝜎 𝑏FTM



Auf

gabe

Auf

gabe

Durchbiegung

Biegung Folie 40

Stahlträger IGegeben ist ein einseitig eingespannter Stahlträger der Länge L = 3 m, belastet durch die Einzellast F = 1 kN. Der Querschnitt ist quadratisch: h = b = 40 mm. Gesucht ista) die Gleichung der Biegelinie,b) die Durchbiegung

am Trägerende,c) der Neigungswinkel

am Ende des Trägers.

𝜎 𝑏FTM


Die Formelsammlung liefert:


DurchbiegungZusammenhang der GrößenDie Krümmung k der elastischen Linie w(x) ist die 2. Ableitung der Biegelinie. Sie lässt sich aus den Kennwerten des Bauteils darstellen:

Biegung Folie 41

=1𝜌=

𝑀𝑏𝐸 ∙ 𝐼=−𝑤 ′ ′ (𝑥 ) !

Integrieren liefert die Gleichung des Neigungswinkels:

tan (𝜑)=∫ 𝑀𝑏𝐸 ∙ 𝐼 𝑑𝑥=𝑤 ′ (𝑥)

Noch einmal Integrieren liefert die Biegelinie:

∬ 𝑀𝑏𝐸 ∙ 𝐼 𝑑𝑥 ∙𝑑𝑥=𝑤 (𝑥)

𝜎 𝑏FTM


Vorsicht: Minuszeichen ab w‘‘(x) !


DurchbiegungZusammenhang der GrößenDiese Integrale sind zunächst nicht weiter bearbeitbar: Im Integral steht keine Koor-dinate x, über die sich integrieren ließe.

Biegung Folie 42

tan (𝜑)=∫ 𝑀𝑏𝐸 ∙ 𝐼 𝑑𝑥=𝑤 ′ (𝑥)

Daher wird Mb als Funktion von x ausgedrückt, z.B.

Mb = F·x

Jetzt ist ein Integrieren möglich:

∫ 𝑀𝑏𝐸𝐼 𝑑𝑥=

1𝐸𝐼∫𝐹𝑥𝑑𝑥

𝜎 𝑏FTM


¿𝐹 𝑥22𝐸𝐼 +𝐶1=𝑤 ′ (𝑥)


DurchbiegungRandbedingungenErstellt man die Gleichung der Biege-linie selbt, muss man Integrale lösen. Man erhält dabei eine Integrationskonstante.Diese Konstante lässt sich mit Hilfe von Randbedingungen lösen, die sich aus der Lagerung des Trägers ergeben:

Biegung Folie 43

𝜎 𝑏FTM


Auf

gabe

Auf

gabe

Durchbiegung

Biegung Folie 44

Stahlträger IIDer einseitig eingespannter Stahlträger der Länge L = 3 mist immer noch durch die Einzellast F = 1 kN belastet. Querschnitt: h = b = 40 mm. Gesucht ista) die selbst erstellte Gleichung der Biegelinie,b) die Durchbiegung am Trägerende,c) der Neigungswinkel am Ende des Trägers.

𝜎 𝑏FTM


𝑤 (𝑥 )=∬𝑀𝑏𝐸 ∙ 𝐼 𝑑𝑥 ∙𝑑𝑥

𝑤′ (𝑥 )=tan (𝜑 )=∫ 𝑀𝑏𝐸 ∙ 𝐼 𝑑𝑥

𝑤′ ′ (𝑥 )=−𝑀𝑏𝐸 ∙ 𝐼

(1)

(2)

(3) Rand

bedi

ngun

g


Auf

gabe

Auf

gabe

Durchbiegung

Biegung Folie 45

KranEin Kran ist für eine maximale Traglast von m = 3.000 kg aus gelegt. Die feststehende Säule (Rohr) hat die Abmessungen D = 300 mm und d = 240 mm; Sie besteht aus Stahl und ist unten fest eingespannt. Gesucht ist diea) Biegespannung in der Säule b) Durchbiegung der Säule bei B

𝜎 𝑏FTM



Übungs-Aufgaben

Biegung Folie 46


Auf

gabe

Auf

gabe

FTM

Biegung Folie 47

WinkelstahlDas FTM eines Hohlprofils 50 x 30 mm² und der Wanddicke s = 3 mm beträgt laut Tabelle Ix = 13,6 cm4. Verifizieren Sie diesen Wert, indem Sie den Querschnitt in zweiTeilflächen zerlegen und die FTM der Teilflächen voneinander subtrahieren.


Auf

gabe

Auf

gabe

Satz von Steiner


Abgerundeter Biegeträger

Ein Biegeträger aus Baustahl S235JR hat ein Biegemoment auf zunehmen.

Wie groß darf dieses Biegemoment werden, wenn die zulässige Biegespannung σ

zul 72,5 N/mm2

beträgt, und das Bauteil um diea) x-Achse,

I1 = 7.854 mm4, I2 = 33.333 mm4, Mb max = 298,5 Nm

b) y-Achse gebogen wird ?I1 = 135,4210³ mm4, I2 = 208,3 10³ mm4, Mb max = 992,52 Nm


Auf

gabe

Auf

gabe

Satz von Steiner


Zusammengesetzter Träger

a) Wo liegt der gemeinsame Schwerpunktder Flächen 1, 2 und 3?Ergebnis: S=(14,53 mm / 47,3 mm)

b) Wie groß sind die Abstände der Teilschwerpunkte l1 und l2 von derneutralen Faser?l1 = 28,7mm, l2=2,3mm, l3=37,3mm

c) Wie groß sind die Flächenmomenteder Teilflächen?I1 = 454.512,6mm4, I2 = 53.405,8mm4, I3 = 569.849mm4

d) Wie groß ist das Gesamt-Flächenmoment?Iges= 1,08106 mm4

e) Wie groß ist das Widerstandsmoment?W = 22.750 mm³

Folie 49© Prof. Dr. Remo Ianniello

Auf

gabe

Auf

gabe

Satz von Steiner


Schiene

Für den dargestellten Querschnitt ist

a) das Flächenträgheitsmoment I für eine Biegung um die Waagerechte zu bestimmen,Ix = 907,939·106 mm4

b) sowie das Widerstandsmoment Wy der Fläche.Wy = 517,867·103 mm3



Auf

gabe

Auf

gabe

Durchbiegung

Biegung Folie 51

Schnapp-ElementDie Skizze zeigt einen Deckel mit Schnapp-Element. Damit das Schnapp-Element am (nicht gezeichneten) Rahmen einrasten kann, muss sich das untere Ende des Schnapp-Elements um f = 15 mm nach rechts bewegen, während der Deckel nach unten gedrückt wird. Deckel und Rahmen sind als starr anzu-nehmen. Das Schnapp-Element der Länge l = 18 mm hat einen Rechteck-Querschnitt: Breite b = 8 mm, Dicke t. Es besteht aus Kunststoff:• E-Modul E = 2.000 N/mm², • Biegefließspannung bF = 50 N/mm²).

Wie groß muss die Dicke t sein, damit bmax= 0,7·bF wird?



Auf

gabe

Lösu

ng

Durchbiegung

Biegung Folie 52


Auf

gabe

Auf

gabe

Durchbiegung

Biegung Folie 53

Eingespannte StreckenlastGegeben ist ein einseitig eingespannter Träger der Länge L, belastet durch die gleichbleibende Streckenlast q.

In der Streckenlast ist das Eigengewicht des Trägers enthalten. Gesucht ist a) die Gleichung der Biegelinieb) die Durchbiegung

am Ende des Trägersc) der Neigungswinkel

am Ende des Trägers



Auf

gabe

Lösu

ng

Durchbiegung

Biegung Folie 54


Auf

gabe

Auf

gabe

Durchbiegung

Biegung Folie 55

FreiträgerEin Freiträger vom Profil I 160 ist mit einer Streckenlast von fq = 179 N/m (Gewichts-kraft) belastet. Länge l = 4 m, F = 900 N, E = 2,1105 N/mm²Berechnen Sie die Durchbiegung am freien Ende, hervorgerufen nur durch die Streckenlast, wenn die y-Achse des Querschnittes senkrecht steht.Welche Durchbiegung tritt auf, wenn statt der Streckenlast am freien Ende in der y-Richtung nur die Kraft F angreift?Wie groß ist die Durchbiegung, hervorgerufen durch Streckenlast q und Kraft F, wenn der Träger mit waagerechter y-Achse befestigt wird?Welche Stützkräfte sind in beiden Trägerlagen (horizontal und vertikal) am freien Ende erforderlich, damit der Träger an dieser Stelle keine Durchbiegung hat?

a) f1 = 2,917 mm, b) f2 = 9,778 mm c) f = 217 mm d) Fx = 1.168 N = Fy


Auf

gabe

Auf

gabe

Durchbiegung

Biegung Folie 56

Stützträger mit mittiger EinzellastErmitteln Sie für den Stahlträger aus der Abbildunga) den Verlauf des Biegemoments M(x) und das maximale Biegemomentb) durch 2-fache Integration der Differentialgleichung der elastischen Linie

die Durchbiegung f = ymax(x)

c) die erforderliche Festigkeit des Werkstoffes bmax d) den Krümmungsradius für den Angriffspunkt von Fe) die Krümmung f) die Gleichung der Biegelinie


Auf

gabe

Lösu

ng

Durchbiegung

Biegung Folie 57


Auf

gabe

Auf

gabe

Durchbiegung

Biegung Folie 58

Stützträger mit StreckenlastBetrachten Sie einen Stützträger, der über seine ganze Länge mit einer Streckenlast q(x) belastet ist (DIN 1025 - I 120). L = 6 m, q = 2 kN/mGesucht sind die Gleichungen füra) die Querkraftb) das Biegemomentc) den Biegewinkeld) die maximale Durchbiegung an einer

beliebigen Stelle x des Trägers.


Auf

gabe

Lösu

ng

Durchbiegung

Biegung Folie 59


Auf

gabe

Auf

gabe

Durchbiegung

Biegung Folie 60

Stützträger mit MischlastBestimmen Siea) die Lagerkräfteb) die Gleichung der Biege linie

unter der Annahme, dass die größte Durchbiegung an der Angriffsstelle von F liegt

c) das erforderliche Flächenmoment I für eine Durchbiegung von maximal 4 mm

d) das dazu erforderliche IPE-Profil und die tatsächliche Durchbiegung

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