Binomialmodell: Grundlagen und Future Contractssgerhold/pub_files/sem12/s_knapp.pdf · Durch das...

of 23/23
Binomialmodell: Grundlagen und Future Contracts Seminararbeit Verfasser: Bernhard Knapp Wien, am 28. Februar Studienkennzahl: 1027250 Studienrichtung: Bachelorstudium Finanz- und Versicherungsmathematik Betreuer: Privatdoz. Dipl.-Ing. Dr.techn. Stefan Gerhold
  • date post

    03-May-2018
  • Category

    Documents

  • view

    213
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Binomialmodell: Grundlagen und Future Contractssgerhold/pub_files/sem12/s_knapp.pdf · Durch das...

  • Binomialmodell: Grundlagen undFuture Contracts

    Seminararbeit

    Verfasser:

    Bernhard Knapp

    Wien, am 28. Februar

    Studienkennzahl: 1027250

    Studienrichtung: Bachelorstudium Finanz- und Versicherungsmathematik

    Betreuer: Privatdoz. Dipl.-Ing. Dr.techn. Stefan Gerhold

  • INHALTSVERZEICHNIS INHALTSVERZEICHNIS

    Inhaltsverzeichnis

    1 Einleitung 2

    1.1 Arbitrage und weitere Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    2 Das Binomialmodell 5

    2.1 Das Basis-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    2.2 Forwards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    2.2.1 Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    2.3 FX-Derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    2.3.1 Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    2.4 Zinsderivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    3 Mehr-Perioden-Modell 13

    3.1 Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    3.2 Rckwrts Induktions Preis Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    3.3 Forwards im Mehr-Perioden Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    4 Futures 16

    4.1 Margin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    4.2 Future-Preis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    4.3 Der Marginwert zur Flligkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    4.4 Forwards und Futures im Vergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    Quellenverzechnis 22

    1

  • 1 EINLEITUNG

    1 Einleitung

    Das Ziel dieser Seminararbeit ist zu beschreiben, wie man Preise von Derivate in einem

    binomialen Rahmen mit diskreten Zeitabstnden und diskreten Zustnden festlegt. Be-

    vor wir vernnftige Preise fr diese Finanzinstrumente festlegen knnen, mssen wir

    allgemeine Grundlagen, wie die Struktur von finanzmathematischen Binomialmodel-

    len einfhren. Die wichtigste Grundlage wird sein, dass die eingefhrten Modelle kei-

    ne Arbitrage-Mglichkeiten zulassen. Nachdem wir uns im vereinfachten Ein-Schritt-

    Binomialmodell, Preisformeln fr beliebige Derivate hergeleitet haben, erweitern wir

    das vorhandene Binomialmodell um weitere diskrete Zeitschritte und Zustnde in ein

    Mehr-Perioden-Modell. Durch die Resultate der vorigen Kapitel knnen wir auch in

    diesem Modell die Preise von Finanzgeschften festlegen, sodass wir uns zum Schluss

    den brsengehandelten Finanzgeschften, die sogenannten Futures, widmen knnen.

    1.1 Arbitrage und weitere Grundlagen

    Zur Erinnerung, ein Derivat ist ein Finanzinstrument, dessen Preis von anderen Ver-

    mgenswerten (engl.: assets) abhngt. Diese Wirtschaftsgter dienen dann fr dieses

    Derivat als Basiswert (engl.: underlying asset) und knnen sein:

    Gter, Rohstoffe, Aktien, Whrungskurse und Anleihen.

    Die Derivative, denen wir einen Preis festlegen wollen, sind Optionen, Forwards und

    Futures. Die Festlegung der Preise hat als Basis, dass keine Arbitrage-Mglichkeiten

    existieren. Die Nichtexistenz von Arbitrage-Mglichkeiten ist ein ganz allgemeiner Be-

    griff unabhngig von dem Binomial-Modell, welches wir erst spter einfhren werden.

    Definition (Arbitrage-Mglichkeit1): Ist ein Asset (oder ein Portfolio von Assets), des-

    sen Wert heute gleich Null ist und dessen Wert in der Zukunft in allen mglichen Zustn-

    den nie negativ ist, aber in zumindest einem Zustand strikt positiv ist.

    1Definition 1.1 (Arbitrage Oppurtunity) [2, S.1]

    2

  • 1.1 Arbitrage und weitere Grundlagen 1 EINLEITUNG

    Durch das folgende Axiom, legen wir nun fest, dass wir keine Arbitrage-Mglichkeiten

    zulassen.

    Axiom: Es existieren keine Arbitrage-Mglichkeiten.2

    Daraus knnen wir direkt die nchste Grundlage folgern.

    Theorem (Gesetz des einheitlichen Preises3): SindA undB Assets, fr deren Preise in

    der Gegenwart(t = 0) gilt P0(A) 0 , P0(B) 0, und zu einem beliebigen Zukunfts-

    wert T 0 sind die Preise der beiden Assets gleich in allen mglichen Zustnden:

    PT (A) = PT (B). (1)

    Dann gilt:

    P0(A) = P0(B). (2)

    Beweis : Wir zeigen, wenn Gleichung (2) nicht gilt, existiert eine Arbitrage Mglich-

    keit. Das heit ohne Beschrnkung der Allgemeinheit (o.B.d.A) nehmen wir an es gilt

    P0(A) > P0(B). So knnen wir ein Portfolio zum gegenwrtigen Zeitpunkt t = 0 mit

    einem Startkapital von 0e konstruieren. Indem wir das asset A ausborgen und verkau-

    fen, erhalten wir den Geldbetrag P0(A). Mit diesem kaufen wir das asset B um P0(B)

    und wegen der obigen Ungleichung bleibt uns ein Restkapital P0(A) P0(B) brig,

    welches wir beiseite legen.

    Im nchsten Zeitschritt t = T verkaufen wir das Asset B und erhalten den Betrag

    PT (B), dann kaufen wir das Asset A um PT (A) zurck und geben es dem ursprngli-

    chen Besitzer wieder, wegen Gleichung (1) haben wir Nettokosten von 0e. Aus dem

    ertsen Zeitschritt haben wir aber noch den positiven Betrag P0(A) P0(B) und damit

    eine Arbitrage-Mglichkeit konstruiert, doch das widerspricht dem Axiom.

    Da Optionen die ersten Derivate sind, fr die wir eine Preis-Formel herleiten, wieder-

    holen wir die Eigenschaften dieser Termingeschfte.

    2Axiom 1 [2, S.2]3Theorem 1.2 (Law of One Price) [2, S.2]

    3

  • 1.1 Arbitrage und weitere Grundlagen 1 EINLEITUNG

    Definition (Optionen4): Eine Call-Option ist das Recht, aber nicht die Verpflichtung,

    ein Asset fr einen bestimmten Preis vor oder zu einem Flligkeitsdatum zu kaufen.

    Eine Put-Option ist das Recht, aber nicht die Verpflichtung, ein Asset fr einen bestimm-

    ten Preis vor oder zu einem Flligkeitsdatum zu verkaufen.

    Die notwendigen Parameter, die eine Option beschreiben sind:

    ein Flligkeitsdatum T, einen Strike bzw. Ausbungspreis K und den Style der

    Option.

    Der Style einer Option beschreibt, ob es sich bei der Option um eine europische, ame-

    rikanische oder eine andere exotische Art von Optionen handelt.

    Bei der Beschreibung einer Preis-Formel wird der Begriff risiko-neutrale Wahrschein-

    lichkeiten von Bedeutung sein, dessen Definition nun folgt.

    Definition5: Ein Wahrscheinlichkeitsma P heit risiko-neutrales Ma, wenn gilt

    S0 = E[S1

    1 + r

    ]. (3)

    4Definition 1.4 (Options) [2, S.5]5Definition 1.5 [1, S.7]

    4

  • 2 DAS BINOMIALMODELL

    2 Das Binomialmodell

    2.1 Das Basis-Modell

    Das Einschritt-Binomialmodell hat zwei Zeitwerte, den gegenwrtigen bzw. zuknfti-

    gen Zeitpunkt t = 0 bzw. t = 1. Wie der Ausdruck binomial schon vermuten lsst haben

    wir zum Zeitpunkt t = 1 nur zwei mgliche Zustnde, die wir einfach mit upstate und

    downstate bezeichnen. In unserem Basis-Modell haben wir zwei handelbare Assets:

    1. Ein riskantes Asset,

    2. und ein risikoloses Asset.

    Das riskante Asset:

    Zu t = 0 , hat das riskante Asset S den bekannten Wert S0 und zu t = 1 bezeichen wir

    die zwei mglichen Werte mit S1() und S1(). O.B.d.A. knnen wir annehmen, dass

    S1() 6= S1() und S1() > S1() gilt. Nehmen wir an, dass St in unserem Basismodell

    die Entwicklung einer Aktie entspricht.

    Das risikolose Asset:

    Zu t = 0 hat das risikolose Asset B den Wert B0 = 1 und zu t = 1 auch nur einen Wert

    und zwar B1 = R = 1 + r. Das Asset B kann als risikolose Anleihe angesehen werden

    und r als der Zins betrachtet werden, den man an 1e verdient.

    Da das Basismodell (Abbildung 1) arbitragefrei sein soll, mssen gewisse Einschrn-

    kungen fr die Werte der Assets gelten. Durch diesbezgliche berlegungen erhlt man

    folgende wichtige Ungleichung

    S1() < RS0 < S1(), (4)

    die quivalent dazu ist, dass unser Einschritt-Binomialmodell arbitragefrei ist6.

    6Exercise 1.1.2 [1, S.6] : in einer bung der VO Finanzmathematik 1: diskrete Modelle bewiesen.

    5

  • 2.1 Das Basis-Modell 2 DAS BINOMIALMODELL

    B0 B1

    S0

    S1()

    S1()

    Abbildung 1: Basis-Modell

    Ein Portfolio von Assets ist in unserem Modell ein Vektor = (0, 1)T R2, wobei

    0 bzw. 1 die Menge der gehaltenen Anteile von B0 bzw. S0 sind, in der Zeit zwischen

    t = 0 und t = 1. Die beiden Assets jeweils zu t = 0 bzw. t = 1 fassen wir noch zu den

    Vektoren S0 = (B0, S0)T bzw. S1 = (B1, S1)T zusammen7.

    Nun wollen wir von einer beliebigen Option X , mit den zwei mglichen Werten X1()

    und X1() zum Zeitpunkt t = 1, den Preis X0 festlegen. In diesem Fall bezeichnen wir

    X als beliebigen Contingent Claim aus dem Englischen, welches von unserem riskanten

    Asset S abhngt.

    Zunchst suchen wir ein Portfolio = (0, 1)T R2, welches unseren Claim repliziert.

    Das heit wir formen folgendes Gleichungssytem nach um:

    X1 = S1 = 0R + 1S1, (5)

    und erhalten

    1 =X1()X1()S1() S1()

    , 0 =S1()X1() S1()X1()

    R(S1() S1()). (6)

    Aus der Gleichung (5) und der Annahme das unser Modell arbitragefrei ist, erhalten wir

    durch Anwendung des Theorems auf Seite 3 die Gleichung

    X0 = S0 = 0 + 1S0. (7)

    Nun setzen wir die Gleichungen von (6) in die Gleichung (7) ein und erhalten durch

    Umformung die Allgemeine Preis Formel8 eines Contingent Claims X einer Option7Verwendete Notation[1, S.3-5]8General Pricing Formula[2, S.19]

    6

  • 2.1 Das Basis-Modell 2 DAS BINOMIALMODELL

    im Einschritt-Binomial-Modell

    X0 =pX1() + (1 p)X1()

    R, (8)

    mit

    p =RS0 S1()S1() S(1, )

    > 0, 1 p = S1()RS0S1() S(1, )

    > 0. (9)

    Aus der Defintion des Erwartungswerts und der Gleichung (3) folgt unmittelbar, dass

    p bzw. 1 p die risiko-neutralen Wahrscheinlichkeiten fr die Zustnde () bzw. ()

    sind und wegen der Ungleichung (4)

    0 < p < 1,

    gelten muss.

    7

  • 2.2 Forwards 2 DAS BINOMIALMODELL

    2.2 Forwards

    Definition (Forward9): Ein (long/short) Forward ist ein Abkommen zum Kaufen oder

    Verkaufen eines Asset S, an einem zuknftigen Zeitpunkt T fr einen ausgemachten

    Preis F . Zu t = 0 findet keine Zahlung statt und der Preis F heit Basis-Preis.

    Die Bezeichnungen long bzw. short sagen aus, ob sich die Vertragsparteien zum Kauf

    bzw. Verkauf verpflichtet haben. In weiterer Folge wird auch die Formulierung benutzt,

    dass sich eine Vertragsseite in der long- bzw. short-Position befindet mit den entspre-

    chenden Bedeutungen.

    Die Auszahlung eines long-Forward entspricht dem Wert ST F und klarerweise wer-

    den wiederum zum Ausstellungszeitpunkt keine Zahlungen vorgenommen. Der ausge-

    machte Preis F heit Forward-Preis und entspricht dem Wert

    F = S0 R. (10)

    In einem angepassten Basismodell (Abb.:2) aus Abschnitt 2.1 knnen wir die Gltigkeit

    der Gleichung (10) beweisen.

    B0 = 1 B1 = R

    S0

    ST ()

    ST ()

    Abbildung 2: Adaptiertes Basis-Modell

    Da zum Ausstellungszeitpunkt keine Zahlungen stattfinden, ist der Wert des Forwards

    zum Zeitpunkt t = 0 gleich 0, daraus folgt:

    0 =1

    R[p(ST () F ) + (1 p)(ST () F )

    =1

    R[pST () + (1 p)ST (]

    F

    R

    = S0 F

    R F = S0 R.

    9Defintion 1.3 (Forward Contract)[2, S.41]

    8

  • 2.3 FX-Derivate 2 DAS BINOMIALMODELL

    2.2.1 Anwendung

    Die Forwards und die im Kapitel 4 eingefhrten Futures haben eine praktische Bedeu-

    tung fr Marktteilnehmer die mit Waren und Rohstoffen handeln wollen10.

    Ein Bauer und ein Nudelhersteller werden das gegenseitige Interesse haben einen For-

    ward abzuschlieen, der die Vertragsparteien verpflichtet, eine gewisse Menge und Gte

    von Weizen zu verkaufen bzw. kaufen und das zu einem bestimmten Preis und Zeit-

    punkt.

    Durch den Abschluss eines Forwards nehmen sich die Beteiligten die Ungewissheit

    zu welchem Preis sie eine Ware kaufen bzw. verkaufen mssen und knnen mit dem

    fixierten Preis ihre Finanzgeschfte besser planen.

    2.3 FX-Derivate

    Unter Verwendung des Basis-Modells aus Abschnitt 2.1 fhren wir ein Modell ein, das

    die Entwicklung eines Wechselkurses beschreibt. Der Wechselkurs kann in dem Sinn

    gewhlt werden, dass er eine beliebige auslndische Whrung (USD) in der heimischen

    Whrung (EUR) ausdrckt. In weiterer Folge erweitern wir das Modell um eine heimi-

    sche und eine auslndische Zinsrate deren Entwicklungen folgendermaen beschrieben

    werden:

    Bh0 = 1, Bh1 = Rh = 1 + rh bzw. B

    a0 , B

    a1 = Ra = 1 + ra.

    Die Abbildung 3 zeigt, dass das Modell nicht nur von der Entwicklung des Wechselkur-

    ses, sondern auch von den betreffenden Zinsraten abhngt.

    Nun legen wir den Preis eines Derivats fest, das vom Wechselkurs abhngt, sogenannte

    Foreign Exchange-Derivate(FX-Derivate). Dazu whlen wir ein beliebiges Contingent

    Claim mit dem Wert W1 in den zwei mglichen Zustnden zum Zeitpunkt t = 1.

    10Remark 3.2[2, S.43]

    9

  • 2.3 FX-Derivate 2 DAS BINOMIALMODELL

    Bh0 Bh1 = Rh

    X0

    Ra X1()

    Ra X1()

    Abbildung 3: Wechselkurs-Modell

    Um den Preis W0 festzulegen gehen wir analog wie in Abschnitt 2.1 vor, indem wir zu-

    nchst ein replizierendes Portfolio von W1 beschreiben und anschlieenden das Theo-

    rem auf Seite 3 anwenden. Die Gleichungen in der Zeile (11) zeigen den beschriebenen

    Lsungsweg,

    W1 = 0Rd +

    1RfX1, W0 = 0 + 1X0. (11)

    Durch Umformen und Einsetzen erhalten wir eine allgemeine Formel, um den Preis

    eines beliebigen Contingent Claims zu berechnen

    W0 =1

    Rd[pW1() + (1 p)W1()], (12)

    mit den risiko-neutralen Wahrscheinlichkeiten

    p =

    RdRfX0 X1()

    X1()X1(), 1 p =

    X1() RdRfX0X1()X1()

    . (13)

    2.3.1 Anwendung

    Modelle dieser Art sind notwendig um Preise von Optionen festzulegen, die Marktteil-

    nehmer kaufen um sich vor Wechselkursschwankungen abzusichern.

    Betrachten wir eine europische Firma die Waren nach Amerika exportiert. Fr den

    Transport gibt die Firma Geld aus, welches sie durch den Verkauf dieser Waren in Ame-

    rika erst spter wieder einnehmen kann. Um sich vor einem fallenden Wechselkurs des

    USD abzudecken, kann sich die Firma Put-Optionen kaufen und diese zum Flligkeits-

    datum ausben, wenn der Kurs XT unter dem ausgemachten Strike Preis K gefallen

    ist. Der Firmenbesitzer kann also mit dem hheren Kurs K, sein durch den Verkauf der

    Waren angesammeltes Vermgen(in USD) in seine heimische Whrung umwechseln.

    10

  • 2.4 Zinsderivate 2 DAS BINOMIALMODELL

    2.4 Zinsderivate

    Um ein geeigenetes Binomialmodell zu formulieren bentigen wir die Funktion P Tt ,

    die den Wert zum Zeitpunkt t, von 1 EUR zum spteren Flligkeitszeitpunkt T , anzeigt.

    Die Funktion P Tt entspricht dann also dem Wert einer auf den Zeitpunkt t diskontierten

    Anleihe, die 1 EUR zum Flligkeitsdatum T wert ist.

    Erneut unter Verwendung des Basismodells aus Abschnitt 2.1 fr die Entwicklung der

    diskontierten Anleihe P Tt , mit beliebigem Flligkeitsdatum T 2 erhalten wir das in

    Abbildung 4 dargestellte Binomialmodell.

    B0 = 1 B1 = R =1P 10

    P T0

    P T1 ()

    P T1 ()

    Abbildung 4: Zinsraten-Modell

    Durch die Resultate der vorigen Abschnitte, knnen wir die Preisformel eines Contin-

    gent Claims W sofort anschreiben durch

    W0 =1

    R[pW1() + (1 p)W1()], (14)

    mit den risiko-neutralen Wahrscheinlichkeiten

    p =RP T0 P T1 ()P T1 () P T1 ()

    , 1 p = PT1 ()RP T0

    P T1 () P T1 (). (15)

    Die risiko-neutrale Wahrscheinlichkeit p ist unabhngig vom Flligkeitszeitpunkt T ,

    denn fr ein beliebiges T gilt

    P T0 =1

    R[pP T1 () + (1 p)P T1 ()], (16)

    und durch Umformen nach p erhalten wir die Gleichung

    p =RP T0 P T1 ()P T1 () P T1 ()

    , (17)

    11

  • 2.4 Zinsderivate 2 DAS BINOMIALMODELL

    die mit der ersten Gleichung aus Zeile (15) bereinstimmt.

    Zwei bekannte und erwhnenswerte Zinsraten-Modelle sind das Ho-Lee-Modell11und

    das Black-Derman-Toy-Modell12.

    Das Ho-Lee-Modell war das erste arbitragefreie Zinsraten-Modell13, und bei gegebener

    Wahrscheinlichtkeit p und Konstante k gilt in diesem Modell R1() = kR1().

    Im Black-Derman-Toy-Modell werden die Zinsraten r1() und r1(), bei gegebener

    Wahrscheinlichkeit p und Volatilitt > 1 durch r1() = r1() festgelegt.

    11[2, S.57] und [2, Abschnitt 13.3]12[2, S.58] und [2, Abschnitt 13.6]13http://en.wikipedia.org/wiki/Ho-Lee_model

    12

  • 3 MEHR-PERIODEN-MODELL

    3 Mehr-Perioden-Modell

    3.1 Struktur

    Zum Aufbau des Mehr-Perioden-Modells (Abb.: 5) fhren wir Knoten mit der Beschrif-

    tung (n, j) ein, die den gegenwrtigen Zeitpunkt n und den jeweiligen Zustand j dar-

    stellen. Bei der Beschreibung der Entwicklung von Assets, werden die Knoten in die

    Indizes des jeweiligen Assets geschrieben(s. Abb. 6).

    Ein beliebiger Knoten (n, j) entwickelt sich im nchsten Zeitschritt nur in die zwei

    mglichen Zustnde (n+ 1, j + 1) und (n+ 1, j). Zu jedem Zeitpunkt n gibt es n+ 1-

    Zustnde und j nimmt die Werte j = 0, 1, 2, . . . , n an. Als maximalen Zeitwert werden

    wir die Variable N bentzen.

    (0, 0)

    (1, 1)

    (1, 0)

    (2, 2)

    (2, 1)

    (2, 0)

    (3, 3)

    (3, 2)

    (3, 1)

    (3, 0)

    Abbildung 5: Mehr-Perioden-Modell

    Die Vorgehensweise in den N n-ten Schritten zur Vervollstndigung des Modells bis

    zum maximalen Zeitwert N ist aus der Abbildung 5 offentsichtlich.

    Die Erweiterung der Basismodelle aus Kapitel 2 in ein Mehr-Perioden-Modell, stellt die

    Abbildung 6 auf S.14 anhand einer Aktie dar.

    Klarerweise ist Rn,j = 1 + rn,j der Wert zum Zeitpunkt t = n+ 1, den man nach einer

    Investition von 1 EUR zum Zeitpunkt t = n verdient hat.

    13

  • 3.2 Rckwrts Induktions Preis Formel 3 MEHR-PERIODEN-MODELL

    1 Rn,j = 1 + rn,j

    Sn,j

    Sn+1,j+1

    Sn+1,j

    Abbildung 6: Entwicklung einer Aktie S im n-ten Schritt

    3.2 Rckwrts Induktions Preis Formel

    Da das Multi-Perioden-Modell offensichtlich aus einzelnen Basismodellen besteht, ist

    es naheliegend die Resultate aus Kapitel 2 anzuwenden, um den Preis eines Contingent

    Claims festzulegen.

    Ist W ein beliebiges Contingent Claim einer Option mit den bekannten Auszahlungen

    WN,j fr alle j = 0, 1, . . . , N . So knnen wir unter der Anwendung der Allgemeinen

    Preis Formel (8), in den einzelnen Basismodellen

    1 RN1,j = 1 + rN1,j

    SN1,j

    SN,j+1

    SN,j

    Abbildung 7: Entwicklung einer Aktie S im N-ten Schritt

    die Werte WN1,j fr alle j = 0, 1, . . . , N 1 durch

    WN1,j =1

    RN1,j[pN1,jWN,j+1 + (1 pN1,j)WN,j] (18)

    berechnen.

    In analoger Weise knnen wir anschlieend die WerteWN2,j fr alle j = 0, 1, . . . , N

    2 in den Basismodellen im N 2-ten Schritt(s. Abbbildung 8, S.15) berechnen.

    14

  • 3.3 Forwards im Mehr-Perioden Modell 3 MEHR-PERIODEN-MODELL

    1 RN2,j = 1 + rN2,j

    SN2,j

    SN1,j+1

    SN1,j

    Abbildung 8: Entwicklung einer Aktie S im N 1-ten Schritt

    Diesen Vorgang knnen wir induktiv fr alle weiteren SchritteN3, . . . , 1, 0 fortsetzen

    und erhalten schlussendlich den Preis W0,0 des Contingent Claims.

    Die angewendete Formel (18) im Knoten (n, j) definieren wir als Rckwrts Indukti-

    ons Preis Formel14:

    Wn,j =1

    Rn,j[pn,jWn+1,j+1 + (1 pn,j)Wn+1,j]. (19)

    3.3 Forwards im Mehr-Perioden Modell

    Aufbauend auf Abschnitt 2.2 entspricht der Wert des Forwards zum Flligkeitszeitpunkt

    N im Knoten (N, j) dem Ausdruck SN,j F0,0. Diskontiert man diesen Ausdruck zum

    Knoten (0, 0), dann muss dieser Wert fr einen fairen Wert von F0,0 gleich 0 sein. So

    erhalten wir die Gleichung fr den Preis von F durch folgende Schritte:

    0 = SN,jPN0 F0,0PN0 = S0,0 F0,0PN0 F0,0 =

    S0,0PN0

    . (20)

    Wenn Fn,j mit Flligkeit N , der Forward-Preis von S ist, der im Knoten (n, j) eingelei-

    tet ist, dann gilt

    Fn,j =Sn,jP nj,Nn

    . (21)

    Im Mehr-Perioden-Modell zeigt die Funktion P nj,T den Wert im Knoten (n, j) von 1

    EUR zum Zeitpunkt T + n an.

    14Generalized Backward Induction Pricing Formula[2, Abschnitt 4.4]

    15

  • 4 FUTURES

    4 Futures

    Ein Future ist ein verbindliches Termingeschft, das an Brsen gehandelt wird. Er ist

    wie der Forward(s. Abschnitt 2.2), ein Abkommen zwischen zwei Vertragsparteien, hat

    aber einen bedeutsamen Vorteil. Die Futures lsen nmlich das Problem, dass die Partei

    in der short-Position das Risiko des Zahlungsverzugs bzw. Versumnisses des Vertrags-

    partners trgt.

    Da die Ausstellungs- und Flligkeitsdaten eine groe Zeitspanne entwickeln knnen,

    kann das Szenario auftreten, dass der zum Kauf verpflichtete Vertragspartner nicht mehr

    ausreichend liquide ist und dadurch in Zahlungsverzug kommt, was der anderen Ver-

    tragspartei natrlich schadet. Wie der Future dieses Problem beseitigt wird im letzten

    Abschnitt 4.4 gezeigt.

    Zusammengefasst ist also ein Future, ein brsengehandelter Vertrag, der zum Kauf bzw.

    Verkauf eines Assets zu einem ausgemachten Preis G0,0 und zu ausgemachter Zeit N

    verpflichtet. Diese Vertrge sind standardisiert durch die jeweiligen Brsen. Zur Be-

    deutung der Futures sei erwhnt, dass auf einer der grten Options-Brsen der Welt,

    der Chicago Board Options Exchange (CBOE15), ber eine Milliarde Vertrge jhrlich

    abgeschlossen werden.

    4.1 Margin

    Jede Brse hat ihre eigenen speziellen Regeln, aber im Allgemeinen muss man eine

    Margin(engl.:Margin Account[2, S.90]) an einer Brse erffnen um einen Future ber-

    haupt abschlieen zu knnen. hnlich wie bei Bankkonten verdient man durch einge-

    zahltes Kapital Zinsen, muss aber auch einen durch die Brse festgesetzten Mindestbe-

    trag auf dem Konto haben, der einer gewissen Sicherheitsleistung gegenber der Brse

    entspricht. Die Abrechnungsstelle der Brse hat Zugriff auf das Konto und kann zu-

    stzliche Betrge einzahlen bzw. entnehmen. Wenn der Betrag auf dem Konto unter

    dem Mindestbetrag fllt, kommt es zu einem Margin Call (deutsch:Aufruf zur Sicher-

    15http://de.wikipedia.org/wiki/Chicago_Board_Options_Exchange

    16

  • 4.2 Future-Preis 4 FUTURES

    heitsleistung16), der ein Warnhinweis an den betroffenen Kontoinhaber ist. Kommt der

    Hndler dem Aufruf zur erneuten Hinterlegung einer Sicherheitsleistung nicht nach,

    dann wird der Vertrag automatisch ausgeschlossen.

    4.2 Future-Preis

    Betrachten wir ein konkretes Beispiel in dem zwei Firmen einen Future an der Brse

    abschlieen wollen und es sich bei dem Asset um eine Aktie S handelt. Weiters nehmen

    wir an, dass in diesem Beispiel kein Margin Call notwendig sein wird.

    Die Firma in der long-Position, erffnet einen Margin Account mit dem BetragM0,0 und

    die Firma die sich zum Verkauf verpflichtet hat, erffnet ebenso einen Margin Account

    mit dem Betrag L0,0 . Klarerweise beschreiben Mn,j und Ln,j die Werte der Margin

    Accounts und Gn,j den Future Preis zum Zeitpunkt n in dem Zustand j. Offensichtlich

    gilt fr den Future-Preis zum Flligkeitsdatum N , GN,j = SN,j fr alle j = 0, 1, . . . , N .

    Um den Preis des Futures in den vorigen Zeitschritten n < N zu berechnen, betrachten

    wir zunchst die Entwicklung der Margin Accounts. Die Dynamic der Margin Accounts

    M bzw. L beschreiben die Gleichungen (22) und (23) bzw. (24) und (25).

    Mn+1,j+1 =Mn,jRn,j + [Gn+1,j+1 Gn,j] (22)

    Mn+1,j =Mn,jRn,j + [Gn+1,j Gn,j] (23)

    Ln+1,j+1 = Ln,jRn,j [Gn+1,j+1 Gn,j] (24)

    Ln+1,j = Ln,jRn,j [Gn+1,j Gn,j] (25)

    Von einem gegenwrtigen Zeitpunkt n zum zuknftigen Zeitwert n+1 verdienen beide

    Margin Accounts durch den aktuellen Betrag Zinsen Mn,jRn, j bzw. Ln,jRn,j .

    Aus den Vorzeichen der Gleichungen (22) und (24) ist weiters ersichtlich, dass wenn

    der Preis des Futures steigt, dann wird den Margin Accounts M bzw. L, die Differenz

    Gn+1,j+1 Gn,j > 0 gutgeschrieben bzw. belastet.16http://de.wikipedia.org/wiki/Margin_Call

    17

  • 4.2 Future-Preis 4 FUTURES

    Im Szenario, dass der Future-Preis sinkt ist aus den Gleichungen (23) und (25) der

    umgekehrte Fall zu betrachten.

    Den Prozess, die Margin Accounts in jeder Zeitperiode den Entwicklungen anzupassen,

    nennt man marking to market[2, S.91]. An den Brsen werden also die Gewinne bzw.

    Verluste nicht erst zur Auflsung des Vertrages ermittelt, sondern durch die verantwort-

    liche Abrechnungsstelle tglich berechnet und den jeweiligen Konten gutgeschrieben

    bzw. belastet. Dieser Prozess entspricht also einem tglichen Gewinn- und Verlustaus-

    gleich17.

    Um den Future-Preis zu berechnen, verwenden wir die Rckwrts Induktions Preis For-

    mel (19) fr den Margin Account M , so gilt in einem beliebigen Knoten (n, j):

    Mn,j =pn,jRn,j

    Mn+1,j+1 +1 pn,jRn,j

    Mn+1,j. (26)

    Im nchsten Schritt setzten wir (22) und (23) in die Gleichung (26) ein und formen nach

    Gn,j um:

    Mn,j =pn,jRn,j

    (Mn,jRn,j + [Gn+1,j+1 Gn,j]) +1 pn,jRn,j

    (Mn,jRn,j + [Gn+1,j Gn,j])

    =Mn,j +pn,jRn,j

    [Gn+1,j+1 Gn,j] +1 pn,jRn,j

    [Gn+1,j Gn,j]

    =Mn,j +pn,jRn,j

    [Gn+1,j+1] +1 pn,jRn,j

    [Gn+1,j]Gn,jRn,j

    .

    Aus den obigen Gleichungen folgt unmittelbar

    Gn,j = pn,jGn+1,j+1 + (1 pn,j)Gn+1,j, (27)

    und da zustzlich GN,j = SN,j fr alle j = 0, 1, . . . , N gilt, knnen wir in analoger

    Weise zu Abschnitt 3.2, Gn,j zu jedem Zeitpunkt n und in jedem Zustand j berechnen.

    17http://www.deifin.de/fuma2.htm

    18

  • 4.3 Der Marginwert zur Flligkeit 4 FUTURES

    4.3 Der Marginwert zur Flligkeit

    Fr beide Vertragsparteien wird sich natrlich die Frage stellen, welchen Betrag MN,j

    bzw. LN,j sie zum Flligkeitszeitpunkt auf ihren Margin Accounts haben.

    Dazu betrachten wir erneut die Gleichungen (22) - (25) und formen diese um. Den

    Ausdruck Rn,j ersetzen wir mit 1+ rn,j und bringen Mn,j bzw. Ln,j auf die andere Seite

    und erhalten folgende Gleichungen:

    Mn+1,j+1 Mn,j =Mn,jrn,j + [Gn+1,j+1 Gn,j] (28)

    Mn+1,j Mn,j =Mn,jrn,j + [Gn+1,j Gn,j] (29)

    Ln+1,j+1 Ln,j = Ln,jrn,j [Gn+1,j+1 Gn,j] (30)

    Ln+1,j Ln,j = Ln,jrn,j [Gn+1,j Gn,j]. (31)

    Betrachten wir nun ein beliebiges Szenario mit Flligkeitsdatum N = 3, dessen Ent-

    wicklung durch die Knoten (0, 0) (1, 1) (2, 1) (3, 2) beschrieben wird. Die

    entsprechende Entwicklung des Margin Accounts M nach dem Szenario, ergibt aus den

    Gleichungen (28) und (29) folgende Beziehungen:

    M1,1 M0,0 =M0,0r0,0 +G1,1 G0,0

    M2,1 M1,1 =M1,1r1,1 +G2,1 G1,1

    M3,2 M2,1 =M2,1r2,1 +G3,2 G2,1.

    Durch Addieren der drei Gleichungen miteinander und dem Ersetzen von G3,2 durch

    S3,2 erhalten wir

    M3,2 M0,0 =M0,0r0,0 +M1,1r1,1 +M2,1r2,1 + [S3,2 G0,0].

    Mit der letzten Umformung ist nun klar ersichtlich, dass sich der Betrag M3,2 zum Fl-

    ligkeitsdatum, aus dem ursprnglichen Wert, den verdienten Zinsen und der Differenz

    des Future-Peises und der Aktie S zusammensetzt:

    M3,2 =M0,0 +M0,0r0,0 +M1,1r1,1 +M2,1r2,1 + [S3,2 G0,0].

    Durch analoger Vorgehensweise fr den Margin Account L erhalten wir die jeweiligen

    19

  • 4.4 Forwards und Futures im Vergleich 4 FUTURES

    allgemeinen Formeln

    Mn,j =M0,0 + Zinsen + [Gn,j G0,0] (32)

    Ln,j = L0,0 + Zinsen + [Gn,j G0,0] (33)

    die fr alle Knoten (n, j) mit n = 1, 2, . . . , N und j = 0, 1, . . . , n gelten.

    4.4 Forwards und Futures im Vergleich

    Wir werden uns nun dem Problem des Zahlungsverzugs stellen, und nehmen an, dass

    der Kontoinhaber des Margin Accounts M in einem beliebigen Knoten (n, j) in Verzug

    kommt. Das kann geschehen wenn der BetragMn,j unter der in Abschnitt 4.1 eingefhr-

    ten Sicherheitsleistung fllt. Der Besitzer erhlt in weiterer Folge einen Margin Call.

    Nehmen wir an, der Kontoinhaber folgt diesem Warnhinweis nicht, dann wird diese

    Handelsposition automatisch geschlossen.

    Die zustndige Abrechnungsstelle der Brse arrangiert in diesem Fall mit einem an-

    deren Marktteilnehmer einen neuen Vertrag mit gleichem Flligkeitsdatum N . In den

    meisten Fllen ist es den Marktteilnehmern auch nicht bekannt, dass der ursprngliche

    Vertragspartner in Zahlungsversumnis geraten ist und keine weitere Sicherheitsleistung

    hinterlegt hat.

    Wir sehen, dass die Erfindung des Prozesses marking to market und von Margin Ac-

    counts, das Problem des Zahlungsverzugs in Forwards gelst hat. Tatschlich ist mar-

    king to market eine bliche Eigenschaft vieler Finanzmrkte, die garantiert, dass kein

    Marktteilnehmer dieses Risiko trgt.

    20

  • 4.4 Forwards und Futures im Vergleich 4 FUTURES

    Das nchste Theorom zeigt unter welchen Voraussetzungen die Preise von Futures und

    Forwards bereinstimmen.

    Theorem18: Stimmen die Zinsraten in jedem Zeitschritt n in allen Zustnden j =

    0, 1, . . . , n berein, dann gilt:

    Fn,j = Gn,j fr alle (n, j). (34)

    Beweis :Die Prmisse lsst sich wie folgt formulieren:

    n = 0, 1, . . . , N i, j = 0, 1, . . . , n : i 6= j Rn,i = Rn,j.

    In Folge verwenden wir Rn fr alle n, als verdiente Zinsrate an 1 EUR im Zeitschritt

    n 1 fr alle j = 0, 1, . . . , n. Weiters gilt

    FN,j = GN,j = SN,j, j = 0, 1, . . . , N. (35)

    Wir mssen im Folge dessen nur zeigen, dass die Rckwrts Induktions Preis Formel

    von Fn,j , mit der von Gn,j (Gleichung (27)) bereinstimmt.

    Der Ausdruck P nj,Nn beschreibt den diskontierten Wert im Knoten (n,j) von 1 EUR

    zum Zeitpunkt N und kann deswegen folgendermaen umformuliert werden:

    P nj,Nn =1

    Rn 1Rn+1

    1RN 1

    .

    Die obige Gleichung in (21) eingesetzt ergibt:

    Fn,j = Rn Rn+1 RN1 Sn,j

    = Rn Rn+1 RN1 (

    1

    Rn[pn,jSn+1,j+1 + (1 pn,j)Sn+1,j]

    )= Rn+1 RN1

    (pn,jSn+1,j+1 + (1 pn,j)Sn+1,j

    ).

    Daraus folgt die Gleichung

    Fn,j = pn,jFn+1,j+1 + (1 pn,j)Fn+1,j,

    die mit der Rckwrts Induktions Preis Formel (27) fr G bereinstimmt. Aus der Glei-

    chung (35) knnen wir nun schlieen, dass Fn,j = Gn,j fr alle n < N und j =

    0, 1, . . . , n gilt. 18Theorem 6.5 [2, S.2]

    21

  • LITERATUR LITERATUR

    Quellenverzeichnis

    Literatur

    [1] Hans Fllmer and ; Alexander Schied. Stochastic Finance. De Gruyter.

    [2] John van der Hoek and ; Robert J. Elliott. Binomial Models in Finance. Springer

    Finance Textbook, 2006.

    22