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…bis jetzt:
Signifikanztest:• Linksseitig • Rechtsseitig• ZweiseitigGegeben: Hypothesen n = Anzahl Durchführungen alpha oder KGesucht: alpha oder K
Grosser Nachteil des Signifikanztests:
Finanziell betrachtet oft zu teuer zum Durchführen!!!
Suche nach Alternativen
Neue Idee : Ab welchem n können wir schon sicher sein?
Einführungsaufgabe:
Die US-Army will ihre neue U-Boot Serie testen. Der Hersteller behauptet dass 80% der U-Boote einen Torpedo uberstehen. Die russische Armee spekuliert aber mit der Wahrscheinlichkeit von 50%. Bei dem Haupttest von 20 U-Booten kommt folgendes Ergebnis zustande:
LLKLL LKLKL LKLLL LKLLL
Dieses Ergebnis bekommt auch der russiche Geheimdienst mit.
Sollten die Russen angreifen? (Beide Irrtumswahrscheinlichkeiten sind 0,1)
Der Wald-Quotient:• 2 Hypothesen
• Ergebnis nach n=20: LLKLL LKLKL LKLLL LKLLL• Zusammengefasst als Sequenz• Wahrscheinlichkeit für die Sequenz S(n) bei k Treffer:
5,0:
8,0:
11
00
pH
pH
}{_____
20 LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLS knk pp )1(*
knkn
knkn
ppHSP
ppHSP
)1(*)|(
)1(*)|(
111
000
00000095,0)5,01(*5,0)|(
0000112,0)8,01(*8,0)|(515
1
5150
HSP
HSP
n
n
Jetzt wird aus beiden Wahrscheinlichkeiten ein Quotient gebildet:
knk
knk
n
n
pp
pp
HSP
HSP
)1(*
)1(*
)|(
)|(
00
11
0
1 85,0)|(
)|(
0
1 HSP
HSP
n
n
Nachdem der Qutient berechnet wurde bestehen 3 Möglichkeiten:
• 1) Ist der Quotient kleiner/gleich A, beendet man den Test und nimmt die Hypothese an.
• 2) Ist der Quotient grösser/gleich B, beendet man den Test und nimmt die Gegenhypothese an.
• 3) Liegt der Quotient zwischen A und B, wird der Test fortgefahren.
(Wenn der Quotient sehr klein ist entscheidet man sich eher für die Hypothese anstelle der Gegenhypothese)
Definition:
Die Irrtumswahrscheinlichkeiten werden meisstens definiert, dadurch erhält man schnell die zwei Grenzzahlen.
11
B
A
Praktische Durchführung des sequentiellen Quotiententests
Ausgangsterm:
1) Quotient kleiner/gleich A:
knk
knk
pp
pp
)1(*
)1(*
00
11
App
ppknk
knk
)1(*
)1(*
00
11
1)1(*
)1(*
00
11knk
knk
pp
pp
)(
1()1(
ln
1ln
*
1()1(
ln
11
ln
0
)10
01
)10
01
1
0
nK
pppp
n
pppppp
k
Bpp
ppknk
knk
)1(*
)1(*
00
11
1
)1(*
)1(*
00
11knk
knk
pp
pp
)(
1()1(
ln
1ln
*
1()1(
ln
11
ln
1
)10
01
)10
01
1
0
nK
pppp
n
pppppp
k
2) Quotient grösser/gleich B:
3) Durchführung des Tests bis 1) oder 2) eintritt.
Zusammenfassung der Entscheidungsregeln:
Fall Fall
Entscheidung Hypothese Entscheidung Hypothese
Entscheidung Gegenhypothese Entscheidung Gegenhypothese
Keine Entscheidung Keine Entscheidung
01 pp
)(0 nKk
10 pp
)(1 nKk
)(0 nKk
)(1 nKk
)()( 10 nKknK )()( 01 nKknK
Zurück zu unserer Aufgabe:
20
1,0
1,0
n
)10
01
)10
01
1
0
0
1()1(
ln
1ln
*
1()1(
ln
11
ln
)(
pppp
n
pppppp
nK
)5.01(8,0)8,01(5,0
ln
1,011,0
ln20*
)5.01(8,0)8,01(5,0
ln
5,018,01
ln)20(0
K
)5.01(8,0)8,01(5,0
ln
1,01,01
ln20*
)5.01(8,0)8,01(5,0
ln
5,018,01
ln)20(1
K
Beide K’s sind lineare Funktionen der Art: F(x)=a*x+b
Sie sind ausserdem parallel.
)10
01
)10
01
1
0
0
1()1(
ln
1ln
*
1()1(
ln
11
ln
)(
pppp
n
pppppp
nK
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
K0
K1
k
So entscheidet man sich für die Hypothese, p=0,8 .
Antwort auf die Aufgabe: Die russischen Torpedos sollten lieber in ihren U-Booten bleiben.
So haben wir gelernt ,wie man auch mit kleinen Sequenzen Hypothesen mit bestimmter Irrtumswahrscheinlichkeit testen kann ,ohne dabei grosse Zahlen zu benutzen.
Danke für das Zuhören.
Ivan Iliev
