Bloor David ¿Què Puede Decir El Sociologo Del Conocimiento de 2+ 2= 4?

8/6/2019 Bloor David Qu Puede Decir El Sociologo Del Conocimiento de 2+ 2= 4?

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Qu pued e decire l socilogo

del conocimientode 2 +2 = 4?

David Bloor

(Traduccin: .1 . Rubn Blanco)

Zwefle an al/em wenigstens einmal,

undwdre es auch der Satzzweimalzweist pien [Duda de todo al menos unavez, incluso de la proposicin dosms dos son cuatro.I

(G.C. Lichtenberg)

1. A los socilogos les interesan profesio-nalmente los aspectos convencionales del cono-

cimiento. Por tanto, intentar identificar los

componentes convencionales de los conceptos2 y 4 y suma. Las convenciones son for-mas compartidas de actuar que, en principio,

podran ser de otra manera. Son acuerdos con-

tingentes, no necesarios. As, es convencionalque conduzcamos por el lado de la carretera por

el que lo hacemos, y (si hiciera falta probarlo)podramos sealar a los que conducen por el

otro lado. Incluso si, de hecho, todos condujra-

mos por el mismo lado, podramos imaginar f-cilmente la alternativa. Por lo tanto, demostrarla convenciona)idad supone demostrar posibili-

dades alternativas. Aunque afirmar esta condi-

cin necesaria es fcil, no siempre lo es tanto sa-

tisfacerla en la prctica. De un lado, nuestra

imaginacin es limitada. De otro lado, las can-didatas alternativas suelen dar con objeciones:

razones para soslayaras, trivializaras o reinter-

pretaras de manera que su carcter de alternati-

vas se desdibuje.Dado que ste ser un rasgo importante de la

siguiente discusin, permtanme extenderme

unas lineas sobre l. Supongamos que un antro-plogo quisiera demostrar el carcter conven-

cional de la moralidad. Esto podra hacerse

mostrando modelos alternativos de conductaaceptada

porejemplo, sociedades donde la

poligamia es lo normal. Yo lo considerara una

demostracin acertada. Sin embargo, siempre

podra oponerse que no se trata de una morali-

dad alternativa, sino de absoluta inmoralidadAs se soslaya el candidato propuesto. Dudo

que haya algo que el antroplogo pudiera decirpara replicar al absolutismo y al esencialismo de

este tipo. Asque es mejor reconocerlo por ade-lantado.

Afortunadamente, no todas las estrategiasesencialistas son tan intratables como el dogma-

tismo moral. Supongamos que se dice que el jue-

go del ajedrez es una estructura convencional.Esto se podra justificar observando que las re-glas podran haber sido diferentes. No sera co-

David Bloor. Universidadde Estudios Sociales de la Ciencia.Universidad deEdimburgo.Poltica ySociedad, 14/15(1993-1994), Madrid (pp. 67-75)


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rrecto negarlo sobre la base de que entonces lavariante del juego simplemente no sera el aje-

drez. Tal rplica al convencionalista seria co-rrectamente rechazada como pedante. Sin em-

bargo, debemos estar alertas al hecho de que losmovimientos superficiales de este tipo pueden

realizarse y resultar plausibles.

Slo un preliminar ms. A menudo se dice

que 2+2=4 es un . Ms bien, dira: mira, aqu

hay dos manzanas, una, dos. Entonces cogenotras dos y dicen una, dos. Luego reunen am-

bos pares y concluyen contndolas: una, dos,tres, cuatro.

La mayora de la gente aceptara esto comouna explicacin adecuada de porqucreen que

2+24, de ques lo que creen, y como una prue-ba adecuada de la verdad de esa creencia. Las

personas sofisticadas, sin embargo, no suelenaceptar esta prueba. Creen que puede exigirse y

POU7I~p


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lograrse ms. Todo lo que la prueba naive ofre-

ce es una verdad sobre cuatro manzanas; no es-

tablece una necesidad atemporal sobre el n-mero 4. Se basa, dicen, en una confusin de

procedimientos simplemente inductivos con losverdaderamente matemticos. Aqu, por tanto,

existe un pequeo pero significativo hecho so-ciolgico por derecho propio: existe una distri-

bucin social de la creencia sobre lo que pasacomo una prueba adecuada de 2+2=4. De

quin est en lo cierto en este caso el ingenuoo el sofisticado me ocupar en breve. Por el

momento, veamos lo que el socilogo del cono-

cimiento podra decir sobre el intento generalpara fundamentar una aritmtica simplemente

en nuestra percepcin y conocimiento de los

objetos materiales.4. Aqu tenemos lo que dijo un famoso, aun-

que idiosincrsico, socilogo del conocimiento.Me refiero a Ludwig Wittgenstein. En sus Re-

marks on tire Foundations ofMathematics imagi-

na a alguien que dice:

Slo tienes que mirar esta figura

xY

xY

para ver que 2+24, Wittgenstein replica:

Entonces me basta con mirar la figura

para ver que 2+2+2 son4 (RFM, 1 , 38)

simplemente confrontar dos objetos no es lomismo que tener el concepto de < dos> , confron-

tar cuatro objetos no es lo mismo que tener el

concepto de no

establece, por s mismo, cmo vamos a emplearla palabra subsecuentemente. Es el paso a casos

nuevos, y el uso subsecuente de la etiqueta, lo

que constituye su significado; y ste es el criteriode que poseemos el concepto. En breve, Witt-

genstein extiende a los conceptos numricostodas las consideraciones que aplica a la defini-

cion ostensiva y a su uso. Es decir, nos invita a

apreciar el carcter problemtico del paso de uncaso a otro. Lo que pasa como la aplicacin co-

rrecta de dos, al igual que con la aplicacin co-rrecta de rojo, deriva de su rol en un juego de

lenguaje compartido, y esto nos lleva ms all dela aprehensin inmediata de las cruces en una

pgina frente a nosotros.

El aprendizaje ostensivo de los conceptos delos nmeros, por supuesto, no consiste solamen-

te en que a uno le sealen ejemplos de dos, treso cuatro cosas. Consiste tambin en adiestrar enla tcnica de contar y de sumar. Se nos instruye

en estas tcnicas, dice Wittgenstein, hasta que

adquieren un carcter obvio o rutinario. De he-cho, nuestro sentido de la inexorabilidad de las

matemticas es un producto de la inexorabilidadde este aprendizaje. 6 De nuevo, experimenta-

A dnde quiere llegar Wittgenstein? Detecto

dos cuestiones. Primera, nos est diciendo que


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mos con las propiedades numricas de los gru-

pos de objetos, o nos las muestran. Por ejemplo,vemos cuatro ejemplos divididos en dos gruposde dos, que primero se separan y luego se com-

binan. Estas operaciones nos impresionan la fi-sonoma del nmero. ~Retenemos ciertos patro-nes memorables. Lo que empieza como un

experimento llega luego a tener un rol diferente

como una imagen o criterio de suma correcta. 8Dos cuestiones merecen ser enfatizadas en

esta exposicin. Primera, nada en ella criticamplcitamente la prueba ingenua de 2+2=4 que

usa manzanas. Esa actuacin es precisamente laexhibicin de una tcnica que puede ser aplica-

da y re-aplicada: a guijarros, a marcas sobre pa-

pel, a lo que sea. En otras palabras, la prueba

ingenua exhiba un paradigma de 2+2=4. Yesto, para Wittgenstein, es inapelable. Segundo,debemos recordar el rasgo ms importante dela descripcin de Wittgenstein del aprendizaje

ostensivo. El aprendiz debe ir de los casos usa-

dos en la instruccin a casos nuevos. El profe-sor slo puede ofrecer un nmero finito de

ejemplos. Cmo se da el paso siguiente? Deacuerdo con Wittgenstein, no porque captemos

alguna esencia o porque el uso subsecuente estya presente de alguna manera misteriosa que ha

de aprehenderse por alguna forma de ultra-per-cepcin.

La idea es que debemos resolver por nosotrosmismos cada caso percibindolos como simila-

res a casos previos. Wittgenstein usa aqu los tr-

minos analoga y paradigma. Por fortuna, enmuchos casos procedemos automticamente, in-

cluso ciegamente. No experimentamos ningn

problema, pero no porque el camino correcto yaest trazado de antemano. Ni debemos suponer

errneamente que la aplicacin automtica de

una tcnica, o el seguimiento ciego de la regla deun individuo, constituye por smismo un criteriodel proceso correcto. Un estndar, insiste Witt-genstein, debe ser algo externo, esto es, externo

al individuo. ~ Si no fuera as, la nocin del se-guimiento correcto de la regla o de la aplicacin

correcta de conceptos estara a merced del juicio

individual, con toda su idiosincrasia y variacin.Por esta razn, Wittgenstein insiste en el carcter

colectivo y convencional de las reglas y los con-

ceptos; acenta el uso y la costumbre, 1 2 y afir-

ma que las yms e igual, pero una vez que las ideas han

recibido su significado, seguramente la mentedebe seguir ese significado. En este punto trans-

cendemos el mundo y la sociedad y entramos enun nuevo mbito, el mbito de la lgica y de la

verdad matemtica como tal. Esta es una imagenpersuasiva, quiz incluso natural. No puedo pro-bar que sea falsa, pero puede hacerse justicia a

los hechos con la alternativa, con la imagen fmi-tistaque acabo de bosquejar.

Asumamos que acabamos de aprender a con-tar y reflexionemos sobre nuestra condicin des-

de una perspectiva finitista. Confiamos en nues-tra nueva habilidad, as que zarpamos con ellahacia el complicado mundo emprico que nos

circunda. Contamos toda clase de cosas. Su dis-tribucin espacial y temporal, incluso la natura-leza de los objetos, nos importa poco. Podemos

contar sucesos, ideas, sentimientos y tambinmanzanas y guijarros. Aplicamos nuestra tcnica

en toda suerte de nuevas circunstancias. Hasta

podemos contar las mismas cosas que usamos

para contar, por ejemplo, diciendo hay tantos

nmeros pares entre 1 y 10 como nmeros im-pares. Nadie tiene porqu habernos advertidoque podemos o debemos hacer esto: tan slo

aplicamos nuestras tcnicas por nosotros mis-


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mos y sacamos nuestras propias conclusiones, y

casi siempre los dems estn de acuerdo.Envalentonados, exploramos con ms auda-

cia. Construimos una rueda y pintamos unos

nmeros sobre el permetro, digamos, 0, 1, 2, 3.Luego, giramos la rueda y contamos los nme-ros segn pasan; la giramos un nmero tras otro

y decimos y el estatus correcto que merece eldescubrimiento de que 2+2 puede sumar algo

distinto de 4. Se trata de decidir El estado actualde la cultura, el contexto en torno al nuevo re-

sultado y los intereses que conforman nuestrasprcticas, incidirn en la decisin. Se precisa unacto de discrecin, no un descubrimiento. Esta

decisin llegar a ser un nuevo elemento de con-vencin en el argumento. As pues, la descrip-

cin convencionalista ha vencido el primer obs-tculo. No concierne slo a las definiciones, sino

que tambin ilumina la denominada extraccinde sus implicaciones.


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6. Veamos el segundo obstculo, que atae

a la prueba. Si podemos probar que 2+2=4, en-tonces seguramente todo lo que se ha hablado

de discrecin y de ir de caso a caso, como si

cada paso fuese creativo y problemtico, debeestar equivocado. As que veamos una prueba;

no la prueba ingenua que consista en contarmanzanas o guijarros, sino una prueba rigurosa y

lgica. Necesitamos saber si la prueba realmente

socava la descripcin sociolgica finitista que es-t emergiendo.

Voy a reproducir la prueba de 2+2=4 discuti-

da por J.L. Mackie en un articulo tituladoProof ~ Lo que tengo que decir sobre esto esslo un eco de los sagaces comentarios de Mac-

kie en este agudo y provocador artculo. He aqu

la prueba:

1. (Br) (Bs) [rsK. sgK, r#s. (w)

fwrKD(w=r V w=s)1J.

(Bt) (Bu) [tsL. urL, tu.(x)

{xeLD(xt y x=u)}].(y) [ysKD - yDLJ.(z)

[zsM (zcK V zsL] - supuesto.

2. asK. b?K. a#b. (w) [wEKD(w~=aV w=b)]

-de 1, por simplificacin y E.I.

3. cCL. dEL. c#d. (x) [xuL D(x=c V x=d)]

-de 1, por simplificacin y El.

4. aCM. bEM. csM. duM -de 1,2 y 3,

usando Ud. etc.

5. a#c.a#d.b#c.bd-del,2y3,

usando U.I., d., etc.

6.

7.

8.9 .

esM -supuesto.

eEK y e~L -de 1 y 6 .

yeb V e=c V e=d -de 2,3 y 7(x) [xsMD(xa V x=b y x=c y x=dfl

-de 6-8 por C.P. y U.G.

10. aEM. bEM. ceM. dEM. a-it. a#c. a#d.

bc.b#d. c#d.(x) [xaMD(xa y x=b y x=c V x=d)]

-de 2,3,4,5 y 9.

11. (Br) (]s) (Bt) (Bu) [rEM. ssM. trM. uEM.r#s. r#t. pl-u. s#t. s - 4 - u . t#u.

(x) {xEMD(x=r y xs V x=t yx=u))]

-de 10 por E.G.

por C.P y U.G

La prueba emplea la definicin de nmero

que proviene de la tradicin de Frege y Russell.El nmero dos es el conjunto de los conjuntos

con dos elementos. El nmero cuatro es el con-

junto de los conjuntos con cuatro elementos, etc.

Hay objeciones a esta definicin, pero no soncentrales para nuestros problemas. 17

Veamos las primeras lneas de la prueba. Si

llamamos a un conjunto con dos elementos un

grupo-dos, y a un conjunto con cuatro elemen-tos un grupo-cuatro, entonces se afirma lo que

sigue. La lnea uno introduce un grupo-dos lla-

mado K, la lnea dos un grupo-dos llamado L.La tercera lnea introduce un grupo llamado Mformado por los elementos de K y L. Vase c-

mo preparan la escena de la prueba. Ms en con-

creto, la lnea uno dice: existe un r y existe un s,y r pertenece al conjunto K, y s pertenece al con-

junto K, y r no es lo mismo que 5; y para todo w,

si w pertenece a K, o bien wr o w=s. La lneados repite esto para los dos elementos t y u del

conjunto L. En la tercera lnea se lee: para todo

y, si y pertenece a K entonces y no pertenece a

L, y para todo z, si z pertenece a M, esto equiva-le a que z pertenece a 1 < o z pertenece a L.

Los pasos 2 y 3 repiten esta informacin deuna manera que elimina los cuantificadores exis-

tenciales. En vez de decir que existe al menos unobjeto r, se hace referencia a un objeto particu-

lar, denominado aqu a. Y lo mismo para las le-

tras s, t y u. Por medio de la denominada ms-tancacion existencial, podemos hablar ahorade los objetos a, b, e y d. Los pasos subsecuentes

manejan a, b, c y d hasta que llegamos al paso

10, que nos dice que M es un grupo consistenteen y slo en objetos a, b, c, y d. El paso 11 rein-

troduce los cuantificadores, y el paso 12 dice

que para todos los conjuntos K, L y M, si K per-

tenece al conjunto de los grupos-2 y L perteneceal conjunto de los grupos-2, y no tienen elemen-tos comunes, y M se obtiene al unir los miem-

bros de estos grupos, entonces M es un grupo-4.En el idioma de los Principia Matirematica, esto

significara que 2+2=4.Podramos tener an algunas dudas sobre si

realmente esta prueba nos dice que 2+2=4, pues-

to que 2+2=4 es una ecuacin, y la conclusin dela prueba es una implicacin. Las implicaciones

y las ecuaciones son, seguramente, diferentes.Esta fue una objecin

queFrederick

Waismannus contra el trabajo de la escuela logicista. ~

No me extender en ello porque Mackie tienealgunas observaciones crticas de inters ms in-

PB9II!TICA=.


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mediato. Mackie afirma que, pese a su aparente

rigor, la prueba formal depende exactamente delos mismos procesos de pensamiento que la

prueba ingenua con manzanas. La conclusin de

aquella, dice A4ackie, tiene exactamente e] mis-mo estatus que la que surge de la prueba con

manzanas. Vale decir: se basa en un ejemplo de2+24. Usamos el resultado de 2+2=4 para se-

leccionar, ordenar, aprehender y acordar lossmbolos de la prueba. Mackie lo expresa como

sigue:

Las tcnicas lgicas empleadas aqu para for-mular < K es un grupo-2 y L es un grupo-2>nos permite introducir a y b como nom-bres de los elementos de K, y c y d como

nombres de los elementos de L; esto aseguraque los nombres de los elementos de M sern a> , b, c y d; y el hecho de que haya slo

cuatro nombres asegura que M ser descrito

por la expresin que es una formulacin deM es un grupo-4. La prueba funciona y pro-

duce los resultados deseados; pero esto es asprecisamente porque el teorema que intenta-

mos probar es verdadero para los grupos desmbolos quejuegan un rol vital en la prueba.

(Mackie, 1966, 34).

Mackie no est diciendo que la prueba seacircular, que afirma que 2+2=4 en sus premisas.

Dice que la prueba descansa en la verdad de un

ejemplo particular del teorema probado (p. 35).Creo que eso significa que si la persona que hace

la prueba, o la persona que la lee, no estuvieran

ya en posicin de aplicar la ecuacin de que2+2=4 a los smbolos de la prueba, entonces no

podran generara ni asimilara. Aspues, en rea-lidad, la prueba no nos deja en mejor posicin

que con las manzanas. Unimos a y b en laprueba rigurosa igual que unimos las dos prime-ras manzanas en la prueba ingenua; y juntamos

c y d igual quejuntamos el segundo conjuntode manzanas. Reunimos a , b, e y da igual quereunimos las manzanas, excepto que el acto fsi-

co de reunirlas toma la forma de manipulacinde smbolos.

La conclusin de Mackie es que el conoci-miento derivado de la prueba ingenua y de la

prueba rigurosa tiene el mismo carcter empri-

co. Si la aplicacin con manzanas slo nos da elconocimiento emprico, eso es lo que har laaplicacin con objetos simblicos. Creo que la

conclusin de Mackie es correcta pero, para

nuestros fines, podra expresarse ms concreta-mente. Recurdese que nuestro anlisis de los

procedimientos por los que las operaciones arit-mticas se nos imponen sugera que no son ni-

ca o puramente empricas. Tienen un carctercuasi-empfrico que comporta un componentenormativo o convencional: una tcnica social-

mente aceptada. De hecho, el argumento de

Mackie cierra el crculo. Muestra que la pruebarigurosa presupone esos mismos procesos o tc-

nicas convencionale& Esta prueba no representaun principio del conocimiento ni un camino real

hacia el conocimiento que sean superiores a los

procesos convencionalizados de la aritmtica, si-no que los presupone. La prueba rigurosa, por

tanto, no transciende las consideraciones socio-

lgicas ya avanzadas: las ejemplifica.7. Resumamos. Empec diciendo que para

demostrar la convencionalidad convena mos-

trar alternativas y lo he intentado refirindome a

aritmticas alternativas donde 2+2*4. He procu-rado mostrar cmo esos resultados pueden sur-

gir naturalmente de la aplicacin de los concep-

tos y de las tcnicas mediante los cuales se nos

instruye por primera vez en las ideas de nmero,contar y sumar. Por supuesto, ahora tratamosestos resultados como si pertenecieran a un sis-

tema diferente de la aritmtica ordinaria, que co-

existe con ella. Si esto parece trivializar su signi-ficado, pienso que slo es as cuando leemos la

historia hacia atrs usando ideas esencialistas

del significado y el alcance de los conceptos re-levantes. Es para reducir el peso de este estilo de

pensamiento que puse tanto nfasis en lo que

denomin finitismo esto es, ver la aplicacinde conceptos yendo de caso en caso. Las met-

foras que debemos emplear son las de construc-clon, no las de


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rretera matemtica y quienes decimos unas ve-

ces que 2+2 son 4 y otras que no es as.Por ltimo, qu decir del uso aparentemente

universal de 2+2=4? Recurdese el caso de la

biologa de la nutricin y la sociologa de la ali-mentacin, y de la armoniosa divisin del traba-

jo que ha permitido entre bilogos y socilogos.Ambos son precisos para contar la historia com-

pleta. Cmo se ajusta este mapa al caso presen-

te? La particin crucial se da entre una cosa> yel nmero uno, y dos cosas y < e l nmero

dos. Diramos que las cosas qua cosas pertene-cen a la naturaleza, mientras los nmeros nospertenecen a nosotros, a la sociedad pero no

debemos olvidar que la sociedad es parte de la

naturaleza. Los nmeros, como los alimentos,

son instituciones, las cosas son como los nutrien-tes vaciados de su significado social. No niego

que nuestra capacidad innata para percibir enalgn sentido nos pone en contacto con la nu-meralidad de las cosas. Un pjaro puede detec-

tar a simple vista la diferencia entre dos y treshuevos en el nido: nosotros tambin. Esas habi-

lidades innatas son obviamente vitales paranuestras vidas individuales y colectivas como

lo es comer. Es en torno a esas prcticas y ten-

dencias instintivas que la sociedad teje siempre

redes ms o menos complejas de demandas yprohibiciones. Es aqu donde, en frase de Witt-

genstein, hay una necesidad profunda de con-

venciones, 19 tanto referidas a comer como a

contar. Son demasiado importantes para dejr-selas a los individuos. Recordamos las manerasproblemticas y divergentes como un individuo

podra responder a la definicin ostensiva de

nmero. 20 Desde cierto punto de vista, no es

sorprendente que existan grandes similitudesentre muchas de nuestras instituciones numen-

cas, aunque esa similitud casi ciertamente dismi-nuir conforme nos aproximamos a los deta-

lles. 21 An se ha estudiado muy poco sobrecomo comprende la gente sus conceptos de losnmeros, o lo que ellos mismos toman como ta-

les cuando los usan. Sin embargo, las dos prue-

bas de 2+2 que hemos examinado sirven paraprobar que debe esperarse diversidad; muestranque puede haber pensamientos y justificaciones

muy dispares en torno a 2+2=4, incluso si a lapostre todos sirven al mismo humilde propsito.

De hecho, una forma de resumir el argumentode Mackie, que establece la conexin que he-

mos estado buscando, es decir que Russell sac

tajadade 2+2=4.

RECONOCIMIENTOS

La prueba del articulo de J.L. Mackie se re-produce gracias al amable permiso de la Aristo-

telian Society. Debo agradecer a Barry Barnes,Celia Bloor y Martin Kusch sus valiosas criticas

de un borrador inicial. El encabezamiento y la

cita de Lichtenberg son de G.C. Lichtenberg,Wie glicklich knnte man leben..., Scherz Verlag,

Bern, Mnchen, Wien, n.d., p. 17 y p. 76 respec-

tivainente. Tambin estoy agradecido a Herr yFrau R. Joachimsthaler, de Gttingen, por el re-

galo de este delicioso volumen.

NOTAS

De nuevo Lichtenberg: Wenn uns c m Engel cinmalaus seiner Philosophie erzhite, ich glaube, es miissien wohlmanche Size so klingen ais wie 2 mai 2 is t 1 3 > . Creo que siun ngel nos expusiese su filosofa algunas de su s proposi-

ciones podran sonar como 2+2=i3] La referencia de stacita y la inicial seda en los Agradecimientos.

2 Estas son las tablas que representan la suma en estos

ca so s :

+ 0123

o 01231 12302 23013 3012

2+2=0

+ 012

0 0121 120

2 201

2+2=1

Una buena introduccin elemental es : W.W. Sawyer, AConcreteApproacit o AbstractAlgebra, San Francisco, Free-man, 1959.

Afortunadamente hay seales de que su inters est re-viviendo. Vase, por ejemplo, P . Kitcher, Tite Nature ofMar-itemarical Knowledge, Oxford, O.U.P., 1984, en especial el

captulo 5. Para mi defensa y extensin sociolgica del em-pirismo de J.S. Mill, vase, D. Bloor, Knowledge andSocial

magery, Londres, R.K.P., 1976 (segunda edicin, Chicago,ChicagoUniv. Press, 1991), Captulo 5fl~

Ludwig Wittgensein, Renzarks on rite Foundations ofMatitematics, Oxford, Biackwell, 1978, (tercera edicin).Las referencias, donde corresponda, se harn por partes ypor los nmeros de la s secciones.

Otros han sealado la misma cuestin, por ejemplo, el

pragmatista John D ew ey .~ La estructura completa de la scosas, por as decirlo, parece abundar en doses. Pero nodebe suponerse que esta experiencia comun le haya dado elnumero dos como expresin de orden o de relacin paramedir unidades. 3. McLellan and J . Dewey, Tite PsycitologyofNurnber, Nueva York, Appleton, 1903, p. 174.

Remarks on tite Foundations ofMaritensarics, 1,4. C f.tambin 1,118; VH,67~ Retnarks on tite FoundarionsofMaritematics L 7 8 ?8 Remarks on tite FoundationsofMatitemaics, 1,80.

Ren,arlcs on titeFoundationsofMatite,natics, 1,8.


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Remarkson die Foundarions ofMarhemarics, 1,122-126.

Sin embargo, lajustificacin consiste enapelar a algoindependiente, PhilosophicalInvestigations, 1,265.

12 Ren,arks on tite Foundaions ofMathematics, 1,63?

Comprese co n 1,9> Remarks on tite Foundations ofMatite,natics, VII,67.4 M. Hesse, Tite Strucrure ofSciendficInference~ Londres,

Macmillan, 1974 (especialmente captulo 8). La exposicin

m s desarrollada d e una teora finitista de l significado desdeuna perspectiva sociolgica se encuentra en B. Barnes, 775.Kuhn an Social Science Londres, Macmillan, 1982, Cap-tulo 2

5 La segunda de las estrategias expuestas s e podra de-nominar prohibicin-de-monstruos>. En e ste caso los axio-m a s de Peano prohiben el monstruo porque excluyen quehaya sistemas donde e l O sea un sucesor, y e n l a rueda e l Osigue a l 3 (base 4). La l ista de estrategias como la prohibi-cin-de-monstruos procede de 1 . Lakatos, Proofs andRefa-tations, Cambridge, ClIP., 1976. Para una lectura socio-

lgica vase 1=.Bloor, Polyhedra and the Abominations ofLeviticus>,, Britisit Journal for tite History ofScience, 1 1 ,1978, 245-272.

> J.L. Mackie, Proof, Proceedingsoftite Aristotelian So-c ie ry, (supp. vol.), XL, 1966, 23-38. Vase P . Benacerraf, What Numbers Could Not Be,

PhilosopiticalReview, vol. 74 , 1965,47-73.> F . Waismann, Lectures on tite Pitilosophy of Matitema-

tics, (cd. W. Grassl), Amsterdam, Rodopi, 1982, especial-

mente la s pginas 63-71.9 Remarks on tite Foundations ofMathematics, 1,74

2 1 > Una objecin naturalista y psicolgica a mi argumento

podra se r como sigue: no es correcto pensar que podramosir naturalmente de la exposicin a casos de dos, tres y cua-tro, y de adiest ramos en la suma, a una aplicacin del tipode la rueda(esto e s , un a aritmtica finita embrionaria).Ese paso sera m uy anti-narurat E l aparato psicolgico iii-

tacto de un se r humano, funcionando normalmente, nunca s edesviara as; seguira el camino estricto y directo de la sumanormal. Esta objecin e s fuerte porque ignoro evidencia psi-colgica decisiva alguna que apoye mi afirmacin aun quepor supuesto, tampoco el objetor tiene evidencia negativade-

cisiva, Nos limitamos a oponer nuestras intuiciones sobreuna cuestin emprica. Pero puedo reformular mi argumentopara que sirva incluso s i mi crtico imaginario tienen raznsobre nuestras disposiciones n aturales. Mi rpl ica dependedel hecho de que la s disposiciones no bastan para proporcio-na r normas, esto e s , estndares de lo correcto y lo equivoca-do. Depende siempre d e cada grupo social e l decidir que la sdisposiciones psicolgicas de su s miembros individualesdeben ser superadas, se a en nombre dela verdad o de la mo-

ralidad. P ara dramatizar e ste punto podramos imaginar a unescptico que asumiese la postura de que la generaliza-

clon correcta del entrenamiento ostensivo da como resulta-do que 2+2=0. Cmo podran mostrar aquellos cuyas dispo-siciones le s l levan a evitar esto, y a afirmar qu e 2+2 nunca

puede ser sino 4 . que su aserto es correcto? Cmo podranprobarque responden correctamente a l entrenamiento osten-sivo? No podran. Este argumento, por supuesto, e s idnticoa l invicto e invencible escptico de la exposicin que Kripkehace de Wittgenstein. C omprese 5 . Kripke, Wiugensrein on

Rules and Fn vate Language Oxford, Blackwel l , 1982.2 > Una dimensin que ha recibido cierto nfasis es la dis-

tincin entre lo s conceptos abstractos de nmero y la s no-ciones relativamente concretas, estrechamente unidas a lanaturaleza de la s cosas contadas. Es obvio que la cuestinde s i una demostracin ostensiva h a d e tomarse abstracta oconcretamente modificar lo que cuenta como su propia ge-neralizacin a nuevos ca so s . Para una discusin inicial va-s e : M. Wertheimer, Numbers an d Numerical Concepts inPrimitive Peoles (1912), en W.D. Ellis (cd.). A Soarce Rookof(SestairPsychology Nueva York, Humanities Press, 1950,seccin 22 .

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REVISTA INTERNACIONAL DE

1 eINSTITUTO DE ESTUDIOS SOCIALES AVANZADOS

TERCERA EPOCA - N2 6-

SEPTIEMBRE-DICIEIBRE,1993

E D IT O R : S a lv a d o rG in e rD IR E C T O R : M anue l P re z Y eue la

SECRETARIO: E d u a rd o M o y a n o

C O N SE JO ASESOR DE LA R E V IST A :A lc n la ra S a e z , M a n u e l; C a s le ls , M a n u e lD urn H e ra s , M . A nge les : F e r n n d e z C ordn , J u a n A .F e rn n d e z V a rg a s , V a len t i na : G a rc a Fe r r a ndo , M anue lG arca, S o le d a d ; G arr ido , LuisG onz lez d e la Fi, T e re s a : H om s i Fer re l , Orioli g les ias tlsteiJulio: La rn od e E sp in osaE m i l ioLzrn lcow Ze l te r l in g , Lu is ; L pez J im n ez , A n ge laL u q u e B a e n a , E n riq r a e : L lera R am o, F ranc i s coJ .M ardon es M art nez , J o s M .; M oya n o Es t rada . Edua rdoN avar ro , Vi cen re ; O rn B en l loch , A lfon soP aran io R odr igo , Lud o l fo : P re z D iaz, VictorR a m o s To r r e , R a m n ; R einare s N e s ta re s , Fem andoR od r guez C a b re ro , G regor io ; R od r guez V i l lasan le , Ton~T ohar iaC or ts , J u a n J .

C ~N S EJO D E R E D A C C IO N :Be l t rn , M ig ue l; C a r a b a a , Ju l i oLapona , Franc i sco : C asli l lo , J u a n J .Maraval l iosMtM on i ero , J o s R .M oren o . Lu i s ; S anz , Luis

ESTUD IO S

E S T R U C fU R A S O C I A L Y E S T R U C T U R A M U S IC A LJ E S S J O S L E V IC E S M A L L O y A R A C E L I S E R R A N O P A S C U A L

G N E S I S Y D E S A R R O L L O D E L E S T A D O D E L B I E N E S T A R E N E S P A N AL U I S M O R E N O , S E B A S T IA S A R A S A

E N T R E L A E L E C C I N R A C IO N A L Y L A E C O N O M AD E L A L A S O L I D A R I D A DC A R L O S G U E R R A R O D R G U E Z

N O T A S

C O N S ID E R A C IO N E S M E T O D O L O G IC A S S O B R E IN V E S T IG A C I ND E L A F A M I L I A E N E S P A AP E D R O S N C H E Z V E R A

M O D E L O D E P R O C R E A C I N . G E N E R O Y M A T R I M O N I O : U N AP R O P U E S T A M E T O D O L O G I C A B A S A D A E N E I1 ~ O G R A R A E U R O P E AY M E D I T E R R N E A

J O A N F R IG O L R E IX A C H

R E S E A S B IB L I O G R A J IC A S

EL EN FO Q U E EC O N M IC O E N S O C IO LO G IA , (P O R C A R LO T A S O L )

J . C O L E M A N Y G . B E C K E R

R E F L E X I O N E S E N T O R N O A L A S S O C I E D A D E S C O M P L E J A S ,(P O R C A R M E N R U ID A Z G A R C IA )D . B E L L

C o n s e ja S u p e r io r d e In v es t ig a c io n es C ien t f ic a s

PREC IO S 1 994

P r e c io : 3 n me ro s / a o : 4 . 0 0 0 p s .N m ero suel to: 1 .5 0 0 p is .Pr i ce : 5 . 0 0 0 p is .3 nmbers/year: 2.000 p s .

Bloor David ¿Què Puede Decir El Sociologo Del Conocimiento de 2+ 2= 4?

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