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BODENMECHANIK UND FELSMECHANIKDruckverteilung im Baugrund Seite 6.1 ·1

6

6.1

6.1.1

Druckverteilung im Baugrund

Spannungen und Verformungen infolge einer an der Oberflächeangreifenden lotrechten Einzellast

Lösung von Boussinesq

Voraussetzungen: 1. Der Halbraum ist homogen, E und ~ sind bei gleichbleibenderRichtung in jedem Punkt des Halbraumes gleich groß.

2. Der Halbraum ist isotrop, E und U sind in jeder Richtung gleichgroB.

3. Der Halbraum ist elastisch, das Hooke' sche Gesetz gilt ohneEinschränkungen. Dies bedeutet, daß auch Zugspannungen aufgenommen werden und einzelne Lastfälle linear superponiert werdenkönnen.

4. Der Halbraum ist gewichtslos.5. Die ersten Ableitungen der ve r ac nf.e bunge'n p und S sind klein im

Vergleich zu 1.

Bezeichnungen:

Spannungen im Punkt N im

elastisch-isotropen Halbraurn

infolge der Einzellast P

PLastr Radius (waagrechter Abstand von

der Lastachse)

~ Winkel zwischen Radiusvektor ON

und Lastachse

z lotrechter Abstand von der

Oberfläche des Halbraurnes

a z lotrechte Normalspannung

a r waagrechte radiale Normalspan

nungat waagrechte tangentiale Normal

spannung

~rz Schub spannung in Richtung

von r und zVPoissonzahl: des den Halbraum

erfüllenden Stoffes

~ Verschiebung in lotrechter

Richtung

Q Verschiebung in radialer Rich

tung

Die Poissonzahl liegt bei Gültigkeit des Hookeschen Gesetzes im Bereich

o s v s; 0, 5.

Eine Poissonzahl von 0,5 bedeutet, daß sich ein Bodenelement volumenkonstant

verformt. Es ist auch gebräuchlich, den Kehrwert m der Poissonzahl als Maß für die

Querdehnung zu verwenden. Es gilt:

1m=-.

v

Technische Universität Darmstadt • Institut für Werkstoffe und Mechanik im Bauwesen

03/2003

BODENMECHANIK UND FELSMECHANIKDruckverteilung im Baugrund

5.1.1.1 Ausgangsgleichungen

a ) . Gleichgewichtsbedingungen am Raumelement

dr

Oz It '!zr..

r

Seite 6.1 - 2

T,~zjDr

ih: Abb, 2dr

l:rz +~ dr

dz Aufriß rz -Ebene..OOr

1 0r +vr dr (Meridianschnitt)

()l:zr ..

1Oz''tz r +~dzÜO z15Z dz

z

;)0dr + uf- dr-

---I........ rAbb, 3

Grundriß z ~ const.

Wegen der Syrnrn e tr i e von System und Belastung werden in den Meridianebenen als Symmetrie

ebenen keine Schubspannungen übertragen. Für eine beliebige Ebene (rz) ergeben sich folgende

Gleichgewichts aus sagen:

1. Gl e ichge wic ht gegen Verdrehen:

'rz: = 'zr = 1: (zugeordnete Schubspannungen)

2. Gleichgewicht gegen Verschieben in Richtung z:

DOz . r + .Q!. . r + 1: = 0Oz: ur

3. Gleichgewicht gegen Verschieben in Richtung r:

VOr D't--' r + 0r + - • r ~ 0t = 0ur uz:


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(1 )

(2)

BODEN MECHANIK UND FELSMECHANIKDruckverteilung im Baugrund Seite 6,1 - 3

b) Verträglichkeit der Formänderungen (Geometrie)

VI e gen des rotationssyrnmetrischen Verformungs zustaride s treten senkrecht zur rz -Ebene (d , h , in

tangentialer 'Richtung) keine Ve r schfebunge n auf. Durch die Funktionen p ( r, z ) und ~ (r, z) sind die

Verschiebungen eines bel i e b i ge n Punktes N (r , z) somit eindeutig beschrieben,

Für die geometrische Verträglichkeit der Formänderungen ergeben sich folgende Bedingu;'gen:

Yrz =Y =Y1 + Y2

y=~+~

r ( p )

Abb, 4

dr--lf---- r--+-

z ( ~ )

Tz

J1

p

----'""'\\ \\pdlfl \\ I-l--+- r ( p )

Abb. 5

Wie vorausgesetzt, sind die Verschiebungen klein im Vergleich zu den Abmessungen:

Er =up

0;:-

EZ = iJ~

DiAus den obigen Abbildungen folgt: (3 )

Et = .e,r

y = 1l~ iJp-+

Jzur


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c) 'Werkstoffgesetz (Hooke)

Seite 6.1 ·4

, Das Hookesche Ge setz verknüpft die Verzerrungen mit den Spannungen wie folgt (Spannungs-

(4)

Yrz

Für die Volumendehnung (Dilatation) gilt:

e = [E = Er + Et + Ez: (5)

Der Zusammenhang zwischen Schubmodul und Elastizitätsmodul ist gegeben durch:

G =E mE

2 (1 + J.1) = 2 (rn- 1)

(6)

E 2Gm+1

= m

Mit (5) und (6) lassen sich aus (4) die Spannungen durch die Verzerrungen ausdrücken:

( Er +e

C1r = 2G iTi""=2 )

2G ( Et +e

C1t = rn:2 )

(7)

2G ( Ez: +eC1z = m - 2 )

t = G 'Y

6.1.1.2 Spannungs-Verformungs-Beziehungen am Bodenelement

Aus den Spannungs - Verzerrungs -Gleichungen (7) erhält man mit den Verträglichkeitsbedingun-

gen (3) die spannungs-Verformungs-Gleichungen.

C1r 2G (~ +e )= m-2ur

C1t = 2G (..e.. + m:2 )r(8)

C1 z = 2G ( D~ + _e_ )TIZ. m- 2

t = G ( Dp + .E.I )Jz ur


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Durch Einsetzen .vo n (8) in die Gleichgewichtsbedingungen (1) und (2) ergeben sich mit dem drei

dimensionalen Laplaceschen Operator I:!. (oder 'VV = V 2 ) fUr rotationssymmetrische Proble'me in

Zylinderkoordinaten

i)2 1 il i)2tJ. = DrY

. - """[i; • 0?r

die "elastischen Grundgleichungen":

tJ.~m De

0+ rn:2'" ""ITZ =

tJ.p m 1)e p0+~ ur -

~ =

(9)

(10)

Diese Gleichungen stellen die von den beiden Verschiebungen r; und p innerhalb des Kontinuums

(Halbraum) zu erfüllenden Bedingungen dar. Die Aufgabe ist eindeutig gelöst, wenn die Verfor- _

mungen den elastischen Grundgleichungen genügen und die mit Hilfe der Verformungen aus (8)

errechneten Spannungen die Randbedingungen des jeweiligen Problems befriedigen.

6.1.1.3 Randbedingungen

1. In der Grenzfläche des mit einer Einzellast belasteten Ha1braumes (z = 0) können mit Ausnahme

des Lastangriffpunktes weder Schubspannungen erz noch lotrechte Normalspannungen Oz auf

treten.

2. Der Lastangriffspunkt ist ein singulärer Punkt. Wegen der Definition der Einzellast muß dort

Oz.=OO sein.

3. In jedem horizontalen Schnitt z = const. muß die äußere Last P übertragen werden (Gleichge

wicht).

4. Für R = CD müssen alle Spannungen (und Verschiebungen) verschwinden.

6.1.1.4 Lösung des Gleichungssystems

Für die unbekannten Verschiebungen r; (r.z ) und p ( r.z ) erhält Boussinesq die nachstehenden Be

ziehungen:

~P m +1

[2m-1 1 zZ ] ( 11)= 2 TC E

-- R +"fPm m

p P rn v t [- m- 2 r r· z J (12)= 2TC E t z • R) R • RYm m

mit R = Y r Z • zZ


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Dur-ch Einsetzen von (11), (12) in (9) und (10) kann der unmitte.lbare Nachwe is geführt werden, daß

die Verschiebungen den elastischen Grundgleichungen genügen. Somit sind im Inneren des Kontinu

ums sowohl die Gleichgewichtsbedingungen erfüllt als auch die Verträglichkeit der elastischen Form

änderungen gewährleistet.

Die vier unbekannten Spannungen können mit Hilfe der Verschiebungen (11), (12) aus den Spannungs

Verschiebungs -Gleichungen (8) berechnet werden. Sie ergeben sich zu:

P [3r2Z m-2 R]°r =~ . R3 - --;:n- z. R

P m-2[ z ~ R - ~ Jot = 21t R2 m

P 3 Z3Oz. : 21t R2 . R3

P rz. 2'trz : 21tR2,3 R!"

(13 )

Mit dem Winkel ljJ des Radiusvektors R gegen die Lastachse können die Gleichungen für die Ver

schiebungen und Spannungen wie folgt geschrieben werden:

Mit

sin ljJ r=T

folgt:

cos ,I. = Z'!' R

P m.1: 21tE m [

=..2.:...(:.:..m:.:..-..,.:1....:,} ]co:s2 ljJ • ~m

(11 a)

p P= 2Tt E

m.1m

cos ljJ - m- 2 ~in ljJ 1m 1. cos ljJ

(12a)

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P[ 3 sin2 ljJ cos ljl m-2 1 ]°r =

21t R2 - --m 1. ccs e

ctP m- 2

[ 1.~ ljJ cos ljJ J= 21t R2 -- -m(13a)

Oz3P coS3 ljJ=

21t R2

3P . ~ coillj!'trz. = ~.sln21tR


BODENMECHANIK UND FELSMECHANIKDruckverteilung im Baugrund Seite 6.1 - 7

Nachweis der Randbedingungen:

1. HalbraumoberDäche mit Ausnahme des Lastangriffspunktes (z = 0 ; tlJ = ~ R r-).

Aus (13) b zw, (1301) folgt unmittelbar: dZ = 0

"trz= 0

2. Lastangriffspunkt (R = 0)

lim dzR_O

00 für tjJ :;:..TI.2

3. Die Resultierende aller in einer waagrechten Ebene (z const. ) wirkenden dz - Spannungen

muß gleich der äußeren Last P sein.

p

r p : J Oz • dF

F

mit dF = r dtp dr

Aus: ~(R) rdr R

erh ä It man

dF : R dR dtp

Mit 0'l.3P 'l.3

2 TC R2 R3 (13)

wird

co 2Tt

P ~'l.3 J dR J dtp2TC R:fZ 0

P 3P 3 12Tt--z . 3"Z'J2TC

P P

I---j---_.. r

Abb. 6

4. Aus (11 a, 1201, 1301) folgt, daß für R = co alle Verschiebungen U:nd Spannungen zu Null werden.


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6.~.1.5 Einflußwerte

Seite 6.1 - 8

Die Spannungen crz infolge einer lotrechten Einzellast P können durch die Aus

wertung von Einflußtafeln (sog. i-Tafeln) ermittelt werden, in denen die Be-

ziehungen nach (13) in Form von Kurven aufbereitet sind (s. S. 6.4. -1 ff).

Die Einflußwerte i l = ~;( cos5 ljJ fü::.- die lotrechten j·iormalspannungen sind in Ab

hängigkeit' von i in Tafel 1 dargestellt.

Für raumbeständiges :;:aterial ((I = 0,5) wird: 0t = O. Werden für diesen Sonderfall

die Hauptspannungen des in der r-z-Ebene wirkenden zweiachsigen Spannungszustandes

ermittelt, so ergibt sich eine dieser Hauptspannungen zu Null, die andere beträgt:

Die Hauptspannung 01 ist auf den Lastangriffs~unkt 0 hin gerichtet. Die Hauptspan

nungstrajektorien für diesen Sonderfall sind also Strahlen, die vom Lastangriffs

punkt ausgehen (geradlinige Druckausbreitung).

Verschiebungen:

(1 -V)]

Q = 27/. R • 1 E+ (J Icos ", - (1 - 2(1) 1 ] . ,I,L 't' 1 + cos ip • s an 't'

In der Oberfliiche des Halbraumes (ljJ = 90 0, cos ljJ = 0, sind ljJ = 1, R = r ) betragen

die Verschiebungen:

~o = --p- I _ (J 2

n r E·

p 1 - lJ - 2U2 ..QO = 2n Er

6.1.1.6 Besonderheiten des Spannungs- und Verformungszus.tandes

a) Halbraumobeffläche (Lastangriffspunhc.t ausgenommen)

Verschiebungen:p m2 - 1 1

~ = nE ~ r

p (m.1)(m-2) 1p = -2TtE m 2 r

( 11

(l2

Die radialen Verschiebungen p der in der Grenzfläche liegenden Punkte sind für In = 2 Null und

für m > 2 negativ, d, h. sie sind zum Lastangriffspunkt gerichtet.

Die lotrechten Verschiebungen S der Grenzfläche (Setzungen) s irid für jedes m positiv. Der Einfluß

der Querdehnungszahl (2 !. m s co ) auf die Setzungen ist geringer als auf die radialen Verschiebun-

gen.


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b) lforizontalschnitte (z = const.)

Die Spannungen Oz und -erz sind unabhängig von der Querdehnungszahl. Sie unterscheiden sich nur

durch die Ausdrücke cos tjJ bzw. sin tjJ ,die die ltichtungskosinus des Radiusvektors R darstellen.

F'ür- die Lastachse (Symmetrieachse) wird -erz zu Null; die lotrechte Normalspannung Oz ist damit

in der Lastachse (tjJ = 0) eine Ilauptspannung.

2

z = 2.0 mz = 1.5 mz = 1.0 mz = 0.5 m

o-1-2 b.======:.:L.. ----"=='--C:...L-"""-'~"_"'=_LJ.~oC.L=====_=d

-2

---

Abstand r[m] von der Lastachse

Abb. 7: Verlauf der vertikalen Normalspannungen cr z in verschiedenenHorizontalschnitten

Abb. 7 zeigt den Verlauf der vertikalen Spannungen crz infolge einer Einzellast P

an der Geländeoberfläche in verschiedenen Horizontalschnitten. Es sei darauf

hingewiesen, daß sich über die Tiefe lediglich der Verlauf der Spannungen im

jeweils betrachteten Horizontalschnitt ändert, das Fächenintegral über die

Spannungen in der horizontalen Ebene jedoch wegen des Gleichgewichts der

Vertikalkräfte unverändert bleibt.


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c) Meridianschnitte (rz-Ebene)

Seite 6.1 -10

Da die Meridianebenen schubspannungsfrei sind, ist die senkrecht auf die rz-Ebene wirkende tangen

tiale Normalspannung 0t (13a) eine llauptspannung; sie wird für m = 2 zu Null.

Unabhängig von m wird o t zu Null, wenn:

cos lj!,

- t)i,

1= 1 • cos lj!,

= 51,8 0

Das bedeutet, daß innerhalb eines Kegels mit dem Öffnungswinkel 2' 51,80

= 103,60

, dessen

Achse mit der Lastachse zusammenfällt, die Spannung o t eine Zugspannung (0 t < 0) ist, Während

sie außerhalb dieses Kegels in der Nähe der Halbraumoberfläche eine Druckspannung ist.

Die Hauptspannungen des in jeder Meridianebene herrschenden zweiachsigen Spannungs zustandes

errechnen sich aus den Komponentenspannungen 0 z ' 0 rund 1:rz (13a) zu:

P { ( 3 cos l.jJ -m- 2 1 )0',2 =

4 Tt R2 -- ljlm 1. cos

-6cosljl( 2sin2 lj! -1)l}Vs cos2ljJ • m-2 1 [ m- 2 1:!. 1• cos ijj 1• cos ijjm m'

Für den Sonderfall m = 2 werden die J-Iauptspannungen:

(14)

0,3P

= 2lt R2 cos 4J(15)

Die Richtung von Cl1

ergiht sich gemäß

tg 2 tjJo

zu: tjJo

21: r z=

Clz - °r

In die sem Sonderfall herrscht also ein einachsiger Spannungs zustand , da alle Spannungen mit Aus

nahme der polar, 'd'.h. auf den Angriffspunkt der Einzellast, gerichteten Normalspannung 01 zu

Null werden. Die J-Iauptspannungstrajektorien sind Strahlen, die vom Lastangriffspunkt ausgehen.

Diese Hauptspannung wird in der Grenzebene (tjJ = ~) zu Null und erreicht in der Lastachse (tjJ =0)

ihren Größtwert.

Der aufgezeigte Sonderfall kennze ic h ne t die "geradlinige Druckausbreitung". Sie wird von

Fr ö h 1 ich als Näherung für den Baugrund angenommen und bildet somit die 0rundlage für sei

nen Ansatz der Druckverteilung. Die von Fröhlich aufgestellten Formeln für die Spannungen genü

gen den Gleichgewichtsbedingungen. Die Verträglichkeit der Formänderungen ist jedoch nur in Son

derfällen erfüllt.


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6. :1..2 Lösung von Fröhlich

Fröhlich nimmt die geradlinige Druckverteilung, die streng nur für den aus einem

raumbeständigen, elastischen, isotropen und homogenen Stoff gebildeten Halbraum

gilt, als Näherung für jeden Baugrund an. Dem Einfluß der Anisotropie und Inhomo

genität der Böden auf die Druckverteilung versucht er dadurch gerecht zu werden,

daß er als freien Parameter den Konzentrationsfaktor V~einführt.

Die Spannungen sind (Bezeichnungen nach Abb. 1):

Vut' p- • cos vl<l.jJ2n • R2

Vb(' P cosv\.(2 L/J • sin2 L/J2n • R2

o

1:tz 1: tr = 0

Die Hauptspannunc~n dieses Spannungszustandes sind:

VK' P2 cos"l<2 ljJ, ü2 = (J3 = 02n • R

Fröhlich betrachtet nun die Spannungsverteilung über eine aus dem Halbraum

herausgeschnittene Halbkugelschale infolge einer Einzellast P, wobei er von

folgenden Voraussetzungen ausgeht:

a) Geradlinige Spannungsausbreitung vom Lastangriffspunkt aus

b) Für die Spannungsverteilung cr(~/) über die Halbkugelschale wird eine

vom Konzentrationsfaktor uK abhängige Cosinusfunktion angesetzt.

t ~ ."'IKM('7/X"".(t'"l)""I"n(/""N"""I\'T'()""''''MC''I/\''''~'~ .

.. . '-6. "Y Abb. 8

Cosinusförmige Spannungsverteilung

über eine Halbkugelschale


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BODENMECHANIK UND FELSMECHANIKDruckverteilung im Baugrund Seite 6.1 -12

p p

1 "1v.=2z l<.

I

jz

p.=3I.(

J) =6L(

oZ

JJ=3l.(

v=6I..<:

Abb.;} Abb. -10Lotrechte Normalspannung in der isobaren für v =2,3

J<Tiefe z und 6

Kit grö!Ser werdendem Konzentrationsfaktor V~konzentrieren sich die Spannungen

st~rker um die Lastachse (vergI. Abb. ~). Die Linien gleicher lotrechter Normal

spannung (Isobaren oder Druckzwiebeln genannt) sind in Abb.~Odargestellt.

chungen.

~ie angegebenen Formeln stellen statisch mögliche und damit widerspruchsfreie

Spannungsverteilungen dar. Die Formänderungsbedingungen sind im allgemeinen nicht

erfüllt. Für V = 3 ergeben sich die für V = 0,5 gültigen BoussinesQ'schen GleiI(

Der Sinfluß der Inhomogenität auf die Druckverteilung läßt sich durch die Forde

rung, daß die als Funktion des Konzentrationsfaktors Vb(aufgefaßte Formänderungs

arbeit des Halbraumes zum Minimum wird, abschätzen. Aus dieser Forderung ergeben

sich für:

E EO const -----7 V. = 3lt(

E EO z -----7 VI(= 4

E BOlz -----7 VI(= 2

Für anisotrope Böden, die in horizontaler Richtung nachgiebiger sind als in ver

tikaler Richtung, zeigen die mit der mathematischen Elastizitätstheorie gewonnenen

Lösungen eine stärkere Konzentration der Spannungen um die Lastachse als im Falle

des elastisch isotropen Halbraumes. Die Quantitative Erfassung dieses Einflusses

ist jedoch nicht möglich, da die Gesetze iib er- das Forrnänderungsverhalten anisotro

per Böden noch nicht erforscht sind.

In den meisten praktischen F21len kann der Konzentrationsfaktor zwischen 3 und 4

Gewählt werden.


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BODENMECHANIK UND FELSMECHANIKDruckverteilung im Baugrund Seite 6.2·1

6.2 Spannungsausbreitung infolge ausgedehnter Vertikallasten

Die von Boussinesg aufgestellten F'o r-rrie In sind für die Berechnung von Spannungen und Verformun

gen nicht direkt anwendbar, da die gesuchten Größen an der Lastangriffsstelle wegen der singulären

Krafteinleitung unbestimmte Werte annehmen. Im allgemeinen sind die Verschiebungen uZ;d Spannun

gen im Lastangriffspunkt unendlich groß, es können sich aber auch - entsprechend der Definition

des singulären Punktes - für ausgezeichnete Werte von tjJ beim Grenzübergang (R_o) von un

endlich abweichende Grenzwerte ergeben. Die Formeln von Boussinesq geben also nur einen Auf

schluß über die Verhältnisse in der Umgebung dieses Punktes.

Die Tatsache, daß ein .Las tkör-pe r den Boden nicht punktförmig, sonder flächenförrnig belastet, wird

durch Integration über unendlich kl e in e Flächenelemente , die dann als Punktlasten angesehen werden

können, berücksichtigt.

Diese Form der Superposition ist zulässig, da der Halbraum nach der Theorie von

Boussinesq als linear-elastisch angenommen wird.

Allen im Schrifttum angeführten Formeln für die Spannungsverteilung unter

ausgedehnten Lasten liegt die Halbraumtheorie nach Boussinesq zugrunde.

Für Lastflächen endlicher Größe ergeben sich stets eindeutige Werte für die

Spannungs- und Verschiebungsgrößen, wie nachstehend am Beispiel der gleich

mäßig belasteten, schlaffen Kreisplatte gezeigt wird.


03/2003


6.2.16.2.1.1

a)

Kreis1.asten

Anwendung der Halbraumtheorie

Gleichrn~ßig belastete, schlaffe Kreisplatte (EI = 0)

- Berechnung der lotrechten Normalspannungen 0 unter der Plattenmitte.z

-t---- r

p = co n s t ,

r ( p )

N

Abb. -1

dF

cos ljJ

R

rd<p . dr

zR

Vr2 • Z2


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Ein mit p belastetes Flächenelement dF ruft in der Tiefe z unter der Plattenmitte die Spannung

d (1 hervor:z

Nach (13a):

d Oz (z, r: 0) 3p: 21t R2 cos 3 q, dF

Durch Integration über die Kreisfläche ergibt sich für die Gesamtspannung (1 z

a

(1z ( z, r = 0) : f daz0

2Tt a~ z3 fJ r

dr dlj>: (1'2 • Z2 )5"221t00

[ 11 ]Oz ( Z, r = 0 ) : p -

[1.( ~ n:llz

Für die Halbraumoberfläche:

oz- ( Z = r :0 ) : lim Oz ( z, r = 0 )2 __ 0

oz (2=r:O) : p

(16)

(16a)

(17)

Für die Halbraumoberfläche:

!: (2=r=0) : lim ~ ( z , r = 0 )2_0

c 2P'Q rn2 -1

(2=r=0) : E'rnr (17a)

Die Berechnung der Spannungen und Verschiebungen für beliebige Punkte, die außerhalb der Platten

mitte liegen (r t 0), ist grundsätzlich auf dieselbe Weise möglich. Allerdings ergeben sich in einigen

Fällen größere mathematische Schwierigkeiten, w e i1 die für beliebige Punkte entstehenden Funktionen

auf elliptische Inte grale führen. Ihre numerische Auswertung liefert jedoch ebenfalls endliche Werte.


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b) Gleichmäßig belastete, starre Kreisplatte (EI ~ 00)

Seite 6.2·4

Die ':starre Gründungsplatte erzwingt gte iche Setzungen 1: der Halbraumoberfläche für alle Punkte

innerhalb der Lastiläche. Bei der mathematischen Behandlung gilt es hier - im Gegensatz zur

schlaffen Lastplatte - in Abhängigkeit von der vorgegebenen Belastung p eine Verteilung der Sohl

spannungen q (r) zu finden, die der Verformungsbedingung 1: = const. für .alle Werte 0 ~ r s a

genügt. Als Lösung einer Integralgleichung erhält B 0 u s s i ne s q die folgende Bezie~ung für die

Sohlpressung:

(18)

wobei P = p F

Mit (18) lassen sich die Setzungen 1: innerhalb und außerhalb der Kreisfläche errechnen. Beschränkt

~an sich auf die Setzungsermittlung innerhalb der Lastfläche ( 1: = c onstv ) , so vereinfacht sich der

,mathematische Aufwand wegen der Rotationssymmetrie des Problems beträchtlich. Für die Platten

mitte gilt nach (11 a)

d 1: (x,r 0 0 ) -} [cos2 ljJ + 2 m;; 1 ] d F (11 a)

Für die Halbraumoberfläche (tjJ = ~ ) folgt daraus:

dt; ( 2 • ro 0)q t r ) m+1 1 m-1

:2rtE'

-_. 2 --. r d<p' drm r m

nf-12Tt a

1: (xoroo) 1 2 11 q (r ) dr d<p: ---nT2TtE0 0

m2-1a

12 J q (r) dr: E' --rnr

0

Mit (18\ erhält man

( xo'roO )P 1 rn2 - 1

= 20' E . --n:iT" (gültig tür 0 s r ,!, 0 ) (19)

Zwischen der Sohlpressung q(r) und der Setzung 1: der starren Kreisplatte besteht damit folgender

Zusammenhang:

q (r)m2

E' --m2 - 1

(20)

03/2003



6.2.1.2 Vergleich schlaffe und starre Lastfläche

Seite 6.2·5

Abb , Z zeigt den theoretischen Verlauf der Sohlspannungen q und der Setzungen 1:: für die beiden

'Grenzfälle der Steifigkeit des Gründungskörpers:

1. schlaffe Kreisplatte (EI = 0)

2. starre Kreisplatte (EI ......ro)

schlaffe Kreisplalle

<,

A~.c

o~ \

)/

Grundriss

s t c rr-e Kreisplalle .

r

t- a-

rep) r (p)

p = co ns t .

EI =0

Mcrid ianschni lt

Belaslung p

Gründungskörper

ze~)

p = const.

EI = co

q = p

0,845· a 0,645· a

Sohl pressu n g q

Selzung ~

q = q ( r )

nach (18)

Af:,iJ.2

03/2003



Die nachfolgend angegebenen ZaWenwerte für

die Setzungen einiger ausgezeichneter Punkte

der Halbraumoberfläche erhält man durch Aus

wertung vollständiger elliptischer Integrale

(Plattenmitte aus genommen).

Die Setzungen aller Punkte der Halb

raumoberfläche , die innerhalb der

Lastfläc he He gen, errechnen sich

nach (19).

r : 0,50 : ~ : 2· If!f. ~ .1,4675 : 2 ~a . 0,934

pa 2r : 0,8450 : ~ : 2 . M' n' 1,233

Abkürzung : tv1 Em2

:m 2 -1

O~r~a : ~p

:p . Tt a2

:2atv1 2a tv1 (19)

pa rt: 2"1'1' 4

~ : 2 ~. 0785/vi '

:2.e.::..1000/vi '

: 2 pa. 0785tv1 '

tv1 :Abkürzung :

r: 0

: ~ :2' ~a . 2: 2 pa .0637r : 0

rt /vi '

1,50 : ~pa 2.. .03719 2 pa, 0355r : :2' M :

Tt ' /vi '

Im kennzeichnenden Punkt (0,845 . a) stimmt die Setzung des starren Lastkörpers mit der Setzung

der schlaffen Lastfläche überein.


03/2003


6.2.1.3 Spannungs ermittlung für verschiedene Lastbilder

Seite 6.2 - 7

a) Spannungen innerhalb und außerhalb einer kreisförmigen Flächenlast

- nach Fröhlich

Abb..3

Nach Fröhlich ist die Spannung in dei

LaBtflächenachBe in der Tiefe z :

- nach Lorenz und Neurneuer

i{ach Lorenz und lfeumeuer ist die Spannung unter einigen ausgewählten Punkten

innerhalb und außerhalb der Lastfläche in der Tiefe z

G z = i 5 • P

Der Einflußwert i 5 kann in der Tafel 4 für die im Bild angegebenen Junkte

abgelesen werden

Abb.l.f 1--------- 3,0' r ..I2,5' r :'1

1------- 2,0' r1----- 1,5' r -i

1,D'''~

p


03/2003


bl Spannungen infolge einer dreieckförmig verteilten Last

Seite 6.2 - 8

5 z Po' i

A lastfreier Punkt

B mit Po belasteter Punkt

Die lotrechte Spannung in der Tiefe z ist:

Abb ..5'

unter dem Punkt A :

A i Einflußwert für z/r

Die Einflußwerte i l o können in der Tafel 9 abgelesen werden.

unter dem Punlct B :

Die Einflußwerte i l l können in der Tafel 9 abgelesen werden.

cl Spannungen im kennzeichnenden Punkt eines Kreisfundamentes

/-----~

/ \I r \

r ~O'845.r-1\ /\ /

"'" /'----- ---Abb. f:,

Die Lage des kennzeichnenden Punktes C er

mittelte Graßhoff im Abstand 0,845 • r vom

:~reismi ttelpunkt.

Die lotrechten Sp31illungen unter dem kenn

zeichnenden Punkt sind :

Die Einflußwerte i 1 4 werden mit der Kurve 5

auf Tafel 4 erhalten.


03/2003


6.2.2 Linienlasten

unendlich lange Linienlast:

Die Spannungen im Punkt N in der Ent-

fernung x von der Lastebene sind:

2 L cos4 LjJ°z TI Z

2 L 2 sin2 tjJ°x TI z cos LjJ'

2 L 20y = TI z l.L c o s tjJ

2 L cos3 LjJ' sin LjJl:xz TI Z

Die Spannungen im elastisch-isotropen

Halbraurn infolge einer unendlich langen

geraden Linienlast p' {kN/m} auf der

Oberfläche des Halbraurnes werden für

den ebenen Formänderungszustand be

rechnet.

p'

-Ix---

Abb.-"

xDie Einflußwerte i2

sind in Abhängigkeit von z auf Tafel 1 aufgetragen.

begrenzte Linienlast:

Abb. 57

II

------j·1

pi

Für eine Linienlast mit begrenzter

Länge (y) ist:

p ' .5" z = z . ~3

Die Einflußwerte i3

sind in Abhängig

keit von ~ und ~ auf Tafel 2 aufgetra-z zgen.


03/2003


6.2.3 Rechtecklasten

6.2.3.1 Gleichmäßig verteilte Last

a ) unendlich lange Streifenlast

Abb.~

Seite 6.2 - 10

Die Spannungen im Punkt N sind

b z ~' [sin V· cos Y + y] I~:

E) x '= ~ • [ - s in y. co s v + 1.(JIY;r.

'lxz'=.~ [8in2yJ~~. y,

b) rechteckige Flächenlast

unter dem Eckpunkt der rechteckigen Flächenlast:

Abb.'10

8 E F cateinbrenner erhält die Spannung in der Tie~e zunter dem Eckpunkt einer rechteckigen Lastfläche

mit den Seiten a und b fUr a > b durch Integration der Gleichungen von Boussinesq für die Span

nungen infolge einer Einzellast.

V 2'Mit R '= x2 + y2 + z wird die lotrechte Span-

nung:

co '=zL [ . b a(a2+b2)_2 a .z(R-z) + b • z • a(R

2+ z2) ]

-"2n are tg (z· 2 2 2 ~ 2' 2(a+1i)(R-z)-z(R-z) b+z (a +z)·R

aDiese Gleichung ist in Tafel 3 ausgewertet. Aus dem Verhältnis 0

z. .' 1 E' fl ß t i4

_- S-pZ ermittelt.und b w~rd der d~mene~ons ose ~n u wer

Die lotrechte Spannung ist : (5z '= i 4 • p


03/2003


unter einem Punkt innerhalb der rechteckigen Flächenlast:

Seite 6.2· 11

~r die Ermittlung der lotrechten Span

nung ()~ in der Tiefe z unter dem Punkt N

wird das Rechteck in die 4 Teilflächen

I - IV unterteilt. Die Spannung unter dem

gemeinsamen Eckpunkt N wird für jede Teil

fläche nach Tafel 3 berechnet. Die Summe

dieser Spannungen ergibt die gesuchte lot

rechte Spannung:b= Schma.ls12.ite

i II + i III+4 4

. IV)~4

unter einem Puru{t außerhalb der rechteckigen Flächenlast:

Die Spannung in der Tiefe z unte+ dem

Pull1{t N'wird durch Superposition der Span

nungen unter dem gemeinsamen Eckpunkt der

4 Teilflächen ermittelt:

Abb.12-

A

D

a.F

E

B

[ i 4 ( ABU' D)

i (FBU'E)4

+ i (JHN'E). 4

i (GHN']))]- 4

pn1:er d"'m kPDnZeichn?nden Punkt einer Rorhtc,cklas-l.

Am kennzeichnenden Punkt haben die Setzungen unter einer starren und einerschlaffen Lastfläche dieselbe Größe.

I...

Abb. -13

-'-rr

C = kennzeichnender Punkt nach Graßhoff/Kany

Die lotrechten Spannungen in der Tiefe z un

ter dem kennzeichnenden Punkt sind :

Die Binflußwerte i1 3

können der Tafel 11 ent

nommen werden.


03/2003


Beispiel für die spannungsausbreitung

unter einer schlaffen Lastfläche

I I

I 1

V1\JE 'RI 1I /

/'

\A I /

1/l/M

1 //

/1 I /JVIJ

"!1

Ir11I,

o 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0oty

E

.1. 0a=b

0,52

R A·-y--x

1-0II

2 I 1,01

I I

1 1

I ... -\ ~,..1

I lb lb lb 1 1,5I 2 2 2 1I

II

I1

2,0

·M R,E A

iz2,5

zlb

Abb.14:Verlauf der Spannungen über die Tiefe unter verschiedenen Punktenunter einer schlaffen Rechtecklast

6.2.3.2 Dreieckförmig verteilte Last

Abb.1'5Mit der Seite NaN wird die Seite

bezeichnet, längs der die Span

nung von Po auf 0 abnimmt.

Die lotrechte Spannung in der

Tiefe z ist :

p • io

i Einflußwert für Z und'1ib aa bzw. 'E

Für die unendlich lange Streifen

last ist b = = zu setzen. Die

mit den Einflußwerten erhalte

nen Spannungen sind zuverdop-pe Ln , .


03/2003

BODENMECHANIK UND FELSMECHANIKDruckverteilung im Baugrund Seite 6.2· 13

unter dem Punkt A

Po~

bCJAa.

unter-oem Punkt B

a

a > b

Ein~lußwe:r;'te i 6siehe Tafel 5

a > b

Einflußwerte i 8siehe Tafel 7

b > aEinflußwerte i

7siehe Tafel 6

b > aEinflußwerte i

9'

siehe Tafel 8

unter einem Punkt innerhalb der Lastflächeo,

Abb.16 [p ·e ] [p .e JG z i S/ 9 ~,e,f,z + i S/ 9 -7,e, (b-f) ,zb-f

[P ·e ] r.e ]+ i 4 ~' (a-e),f,z + i 4 -7, (a-e) , (b-f).zf

+ i 6/ 7[Po( a-e)

(a-e) , r , z]a '

[Po( a-e)(b-f) , zJ+ i 6/ 7 a ' (a-e),

unter einem Punkt außerhalb der Lastfläche in Richtung von zunehmendem p :

e.- 0.

. [po~e ] [pooe ]~S/9 ---a-,e,f,z - i S/ 9 ---a-' e,(f-b), z

unter einem Punkt außerhalb der Lastfläche in Richtung von abnehmendem p:

(e-a), (f-b), z]

e-a.

I Po' eI 0.L _ •

a.i 4 [po,e,f,z]

_ i8/9

[ p 0 ~e , e , f ,z ]

+ i S/ 9 [po:e,e, (f-b) , zJ

. [po(e-a)~8/9 a '


03/2003


6.2.3.3 Sohlspannungsverteilung unter starren Lastflächen

Man beachte, daß die Spannungen am Rand des Fundamentstreifens(f = 1) theoretisch Uz = OJ sind. Im Boden treten diese Spannungen

. -. wegen· Last-uml agerung ni cht auf.

Bei den schlaffen Lastkörpern entspricht die Sohldruckverteilung deraufgebrachten Lastvertetlung, Anders ist dies bei starren Fundamenten: Bei mittiger Belastung eines Streifens der Breite b ergibt sichnach Boussinesq (1885) die Sohldruckverteilung mit

2'xf = -b-

p

zu

Gz(z=O)2'P 1

f'i."7

Verteilung des Sohl drucksunter einem starrenFundamentstreifen

Bel ausmltti oer Last ist di e Sohldruckverteil ung nach8orowlcka:

b

e

p

e > b/4

e ::;; b/4

für

für

e'~1+4·-

b

2P 1 + ~1O'z = --.

H·b ~1_~2. 1

2PO'z =--.

H·b

bzw.

xC7lC::J1I11I1

E ~-8 0-

:c0

LIl

~QJ

:t:'E

\\ \~\

I/-..) 10 l-1~..>J,,~r.......+I--+----'-_ Qj

K k=O,2'b . ~r-t-'\e=o.125·b '\f::\\ 1\rT~e= 0 ,W \

" '\ d=0,325'b l-

i"'-- e=O,25'b-1---\ t"">o..,

a)3.0

Abb.20mit

2x + b - 4e~1 = -2-b---4-e-

verteilung des Sohldrucks bei ausmittiger Last


03/2003


6.2.4 Verfahren von Newrnark und .Salas

Anwendung: Ermittlung der Spannungen unter einem Punkt innerhalb undaußerhalb einer beliebig begrenzten und belasteten Fläche

Verfahren von Newmark:

Seite 6.2· 15

Zur Ermittlung der Spannungen wird um den Grundriß der spannungserzeugenden

Lastfläche ein Einflußnetz aus konzentrischen Kreisen konstruiert. Für jede

untersuchte Tiefe muß entweder ein neues Einflußnetz gezeichnet (oder der

Grundriß der Lastfläche in einem anderen Maßstab in das Netz eingezeichnet

werden). Das Verfahren ist u.a. in der DIN 4019, Abschn. 7 beschrieben.

Verbessertes Newrnark'sches Verfahren nach Salas:

Das Verfahren von Salas erfordert nur ein einziges Einflußnetz.

nie ·lotrechte Normalspannung in der Tiefe z unter dem Mittelpunkt einer

gleichförmigen Kreislast mit dem Radius R beträgt

mit (1)

Die lotrechte Normalspannung infolge einer kreisringförmigen, zwischen den

Radien R· + 1:J. Rund R liegenden Lastfläche ergibt sich aus der Differenz zweier

Kreisflächen zu

(2)

mit

z3

2J372+ z

f--R+AR---1

r- R -l

tz

Abb.21

p( (1m 2)

",I U~I

Die Formel (2) gilt fUr den Fall,

daß die ßesam~e Kreisringfläche

belastet ist. Ein nur teilweise

belasteter Kreisrine erzeuet im

Punkt P (Abb.~1) die Spannung

A = Irrh. d. belast. Kreisrin~flächeInh. d. gesamt. Kreisrin8flnche

Technische Universität Darmstadt -Institut für Werkstoffe und Mechanik im Bauwesen

03/2003


mit p voll belasteter Kreisring (A::: 1)

Abb.1B

Seite 6.2 - 16

Anwendung:

Um den Punkt P, in de~ die Spannung

az ermittelt werden soll, zeichnet

man im Grundriß ein'Netz konzentri

scher Kreise. Es muß alle Fundamente

überdecken, deren Einfluß auf 0z

erfaßt werden soll (Abb. 13). Die

Größe von 0z erh~lt man durch Über

laeerung:

:::

all~

I<.r~isrin~p

[, L (Pj . Aj ) . i 12 ]J = 1,2 ....

Näherungsweise wird der Wert A eines Ringes durch Abzählen der belasteten

Feld er bestimmt:

Anzahl der durch Pj belasteten Felder

a Anzahl der Felder eines Kreisrinßes

Dami t ist

:::

o/llKr eisr trvs e

[ L (p. . .:.L.)} 0

} = ,,2 .... (4)

EinfluSwerte i 1 2 sind in den Tafeln 10 angegeben.


03/2003


Beispiel:

Gegeben:

PI 10 kN/m2

P2 20 kN/m2

P3 30 kN/m2

Gewähl t:

Rl 2 m

a 40

Gesucht:

Vertikale Spannung a zunter dem Punkt P",in10 mund 20 ci Tiefe

Spannungsermittlung

Seite 6.2 - 17

Abh.L?>

R1 '" Radius des innersten Kreises z 5 10 m ~~10 z",20mR1 '" z '"

x.Ring P j x j

-.-J.'" Aj Pj , A

j I(P j, Aj ) i 1 2 Ipj'A j'i1 2 i 12 Ipj'Aj'i1 240

kN/m2 kN/m2,kN/m2 kN/m2 kN/m2

1 ° 0,0571 ° 0,014-82-1 ° 0,1425 ° 0,04233-2 30 8 0,200 6,0 6,0 0,1699 1,02 0,0641 0,394-3 20 5 0,125 2,50

11 30 12 0,300 9,0 11,50 0,1544 1,78 0,0783 0,9005-4 20 6,5 0,162 3,24

11 30 9 0,225 6,75 9,99 0,1226 1,23 0,0849 0,856-5 20 3,5 0,088 1,76

11 30 5,5' 0,138 4,14 5,90 0,0912 0,54 0,0850 0,507-6 30 4,5 0,113 3,39 3,39 0,0660 0,22 0,0807 0,288-7 30 4 0,100 3,00 3;00 0,0475 0,14 0,0737 0,229-8 30 2 0,050 1,50 1,50 0,0343 0,05 0,0655 0,10

10-9 10 8 0,200 2,00 2,00 0,0251 0,05 0,0571 0,1112-10 10 12 0,300 3,00 3,00 0,0325 0,10 0,0912 0,2714-12 10 10 0,250 2,50 2,50 0,0189 0,05 0,0660 0,1716-14 10 5 0,125 1,25 1,25 0',0115 0,01 0,0475 0,06

az '" 5,2 a z '" 3 ,8--- === .


03/2003


6.3 Spannungen infolge Horizontallasten

Seite 6.3-1

a) Spannungen infolge einer waagrechten Einzellast auf der Oberfächedes Halbraums

T

//

y/

/

. /~----

z

-/1

,Abb. 1: Spannungen infolge einer waagrechten Einzellastauf der Oberfläche des Halbraums

Nach Cerutti lautet für den elastischen Halbraum der Spannungs zustandinfolge einer waagrechten Einzellast T (s. Abb. 1):

3T X z2a =----

z 21TR2 R3

T [ 3~ - (1 - 2v) ~ (1 _ 3 R2 + x2

(z + 3 R)) ]a x 21T R2 R3 R (z + R)2 '" (z+R)3

T [ X y2 X ( R2 y2(Z+3R))]a y 21T R23--(1-2v)-

1 - (z + R)2 + (z + R)3R3 R

T xyzT y Z -- 3--

21T R2 ' R3

T x 2 ZTx z 3-

21T R2 R3

TXYT [3 x

2Y 1 2 Y R ( 1 x

2(z + 3R))]

21TR2 R'3+( - V)(Z+R)2 -(z+R)R3


03/2003


b) Spannungen infolge einer Linienlast T quer zur x-Achse mit Kraftrichtungparallel zur x-Achse

y

/-

R.-/T

I+z O'z

Abb. 2: Vertikale Normalspannung infolge einer waagrechtenLinienlast auf der Oberfläche des Halbraums.

Nach MicheIl gilt für die Vertikalspannung (s. Abb. 2): - 2o =2T~

Z tr R R3

Man beachte, daß die Normalspannung crz auf der lastabgewandten Seite (x negativ)eine Zugspannung ist.

c) Spannungen infolge eines unendlich langen Laststreifens mitder Schubspannung ~O

Für die Vertikalspannung gilt (s. Abb. 3):

TO. .Oz = - sin a sm2 ß.

. 'Ir

z

Abb. 3: Vertikale Normalspannung infolge eines unendlichlangen Laststreifens mit der Schubspannung '0


03/2003


d) andere Lastbilder

Seite 6.3 - 3

Für rechteckige Lastflächen mit gleichmäßiger oder dreieckförmiger Belastungexistieren Lösungen in FOl~ von Tabellen und Kurven. Für einen Fall vondreieckförmiger Belastung ist der theoretische Hintergrund in DIN 4019 dargeteIlt.

Für die wichtigsten Lastbilder sind Kurven für die Ermittlung von Einflußfaktorenin Kapitel 6.4 zusammengestellt.


03/2003


6.4

6.4.1

Tafeln zur Spannungsermittlung

Einflußwerte für die lotrechten Normalspannungen im elastisch

isotropen Halbraum infolge vertikaler Lasten

Tafel 1

Tafel 2 :

Tafel 3 :

Tafel 4 :

Tafel 5bis Tafel 8 :

Tafel 9 :

Tafel 10a :bis Tafel lOb

Tafel 11 :

- Einzellast

- unendlich lange Linienlast

begrenzte Linienlast

rechteckige Flächenlast (Eckpunkt)

kreisförmige Flächenlast

dreieckförmig verteilte Last(rechteckige Lastfläche)

dreieckförmig verteilte Last(kreisförmige Lastfläche)

kreisringförmige Flächenlast

rechteckige Flächenlast(kennzeichnender Punkt)

03/2003



' .. Tofel1Ein flußwerte für die lotrechten NormalspannungenIm elastisch - isotropen l-lolbrourn infolge einerEinzellost P bzw. cirier unendlich longen lotrechtenLinil2:nlost pI.

X·U.-

Z

2p,\,

1,6

\\

1,6

\ P (pI)

r.~\

\ Ir

• 7///// '/// //7////////

\ \,I

('

1,2 \ Z

I\ \

\ \, , i! t1,0

\ \, ~ r 5 z. (-X) --J

\ " .O,ll

"<p

r\. ' ..-, " t'-.,0,6

~ p~,

1'-.. "

<, I',

' ....r-, 1'..o,-t <, ............-. 1'-,

""

~2 '" ' ...\ ...

f\ [\,

0

,0 q1 0,2 O? q,4 0,5 0,6 0,7.

z'2und = (Q~. ~LA ::. G~"-=- L')


03/2003


Tafel 2

Eiriflußwerte für. die lotrechten .Normalsponnungen imelastisch-isotrDpen I-Ialbrourn infolge· einer begrenztenLotrechten linienlost. pI. .

y.Z

V'[3 C/-l1

0,12

/T / q:n ~

0//0,30

1/ -,t ' C2: tp9 . v/(.-~z 1/ tp4. 11 /. -----1/,' Cf752: / I 11 V v~.x~ ""ql6

7q25I .x 11 Irn := z:- N r{L q2~

11. I.---""""• 023N ' YI YID q22

11 11 /.~..., . 0.21

IJo;zo

;,-jV0,19 11IJ /.

0)6

1/ Votr

11 ;,7-0)6

J I /0)5 10)4 1/1/ IJ

/ 1 v:0)3

ß / / l Vq/2

/1/ . /""~

:--0,11

0,10/1/, / / / /

0.09 '1/1 Ij / , 11 r9./--~ '/ / /V 1/ )7

///1 l /1 V ;.~:--

1//v// V iI V/I/IVI V VII

v~///iI/I/v / y-vV// "'/V/ rl1"~"'"

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~ßV t:;:::;fo' V~V....... /1.--" Vi-" ~---=~~ ~~ _I-" ~5

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qD6

qooo

~Ol

qo2

q03

qD5


03/2003


Tafel 3Einflußwertefür die lotrechten Normalspannungenim e.lostisch - isotropen I-lalbrourn unter demEd<pun\..\t einer rechteckigen Flächenlost p.

/:lOS o,} 0)5

5

0,5

1,0

1,5 ,

2,5

0.2-0,2 0lS b

. 5 zL4"' -'P

0,150,05

/

-:::~ :::;:::::I- --: :::::::~ A:-- I:.--:: :;:::;-a.~k :::::::-t::::~~ .... VI'6":" ,.-:. ,;.

0/ts. s;.. ,/ -:~ /.V'/

I/.} ~ 'l''l / jf'11 / / /i / ~

11// / 10/1 / / V;/11 11 V /W1 1/ 1 V /'//I/lA 20 V / '% /

/

/1/11 / / /: /I '0 / / / /I 1// ' / / / :fI - / / AI / V ./ !j

I / ./ 1/ //I 1 ./ / //

/ / 'l/ 1,5 /2 '/ ~ I

/ 1/ / //1 I/ / :Y/t

1/ V 1 I //// 1 115/

/ I1 / //111 1/ Vl/to

1 11 1 /;,11 1 1//

1 I 1/ f//2 n- I1 11 / / I 1

/ / IJ~I, / f!

/ / 1U '. rI / 1 j rI 1/ /0 1 I.J 1,

/ / 11/1 Q

I / :$/ / '11, I/ / ~

I / I! ",

2,0

16,0

10.0

6,0

8,0

12,0

1+,0

20,0

22fJ

10.0

16,0

23,0

12,0

N,O

1 ..,0

33,0

16,0

Technische Universität Darmstadt • Institut für Werkstoffe und Mechanik im Bauwesen03/2003


Seite 6.4·5

Tafel 4

Einflußwerte für die lotrechten NormCllspannungenim elastisch - isotropen J-lCllbraurn infolge. eine.rkreisförlTligen. FLächenlast unter verschiedene.nPunkten innerhalb u. Clußerhalb der LastflÖche.

/

o Ma.ßsta.b f.l<urvid-6 0,25o I I

'[\....Ha.8st.f. kurve 7-10 dos

\\ ~"-

1\

\\

.. \ /I!~

/I.'

qs .i

/0, 0

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V

II

.0,75

vv

/

//7

//

11

v3.0 -1---1--H-.HHflf---!--H--l---H--1--l--r-+--l--+--+--t---l--1r---+--+-+--i

z~

r

Kurve 5 (Abstand 0)845- r ): l-<ennzeiChnende:r Punkt fürdas .stcrre ~reisfundament..


03/2003


TafelS

Einflußwerte für die. lotrechten NormalspQnnungenim e\ostisch - isotropen Halbraum infolge einerdre.ied'förrnig verteilten Lost unter dem Pun\.-<t. A

. 5z.Co.;>, b). LG =--Po

QOI OjJ2 OjJJ qo", aos '06 0/.7

~r-:. -~ s -"'1.. '0.\;0.0 - I"--.: ~.o ,-

~11~ ~.!ib D2jJ

b ~:----. ----l-- :;;2t::;:;:: 7--",0

// ----V/'I ./'

//,/ -1 / /'

6,0.' .9: 1o ~ft .2,J- ,/ ~ /

-b '/lV11/ 3,0

~o AI/5 ,/I'tOjJ / / / Ir

f 11 I J 0.0

12PI I1// /

1/ -1I.jJ

11 1/1~0

18,0 1

~I

20"

22,0qo

I b

A2",0 a --l

2~

28

30,0

E,o

Np

J5jJ

3ß.0

"0,0z,


03/2003

BODENMECHANIK UND FELSMECHANIKDruckverteilung im Bauqrund

Seite 6.4·7

Tafel 6

Einflußwerrl2. für die lotrechten Normalspannungenim elastisch - isotropen l-l cilbr'ciurri infolge einerdrei ecl-<förrnig verteilten Lost unter dem Punl-<tA( b >OJ.

. 6 z.L7 =--g,

0.01 0.02 0.03 QO~ 0.05 Q06 a07 M6 MS 0)

-f:::::-

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1

V V1/~../

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7

I I III

I I I6

J I -~. ~a A

I

!J111Ii

z,-I0.

10

-


03/2003


Tafel 7-

Einflußwerte für die -lotrechten Norrnolspannunge.nim elastisch - i5otrOpen ~albro.urn 'info\ge einerdreiecKförITlig verteilten Lo s t unter d err-, Punlxt B(a.?' b).

oos 01 0)5 0,2

0,5

2.0

1.0

2,5

3,0

3,5"

zb

-p0,25

i = Gz8 'Po

0,20)50)0,05

f-I--r-- V t4f- -I=="'"1---

-5'"]hr t:::=- t::::!-:::=r::-~ I:::::: v- V L0 'I~

/ C4t:-j~ L---1~ t:::::: v V V VI I/VI//,v/ V v;,V2

./V

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N/ VI v v/ V 1/ v 1/ VIV" /

rl'l / / v .: / V V V//'

r/ I 1 / / V / V / 1;,// / / .> ./v 1/ V / ~V-

/ / /' V V / / '// / v V V / / V/

1 / ,,/ 1/ V / 1'/J / V- / V I VI

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03/2003


TafelS

Einflußw~rte für dil2. lotre.chten Norrnalspo.nnungl2.nim e.lastisch - isotropen l-Ialbraurn infolge e.inerdreieckförITlig ve.rteilten last unter dem Punl.<tB(b 7 a. ) .

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03/2003


Tafel 9-

Einflu ßwertl2. für die lotrechten N ornlolspann unQe.nim elostisch - isotropen ~a\braum infolge. e.iner'drei e.ckförrT1 ig verteilten Last unter den PunlAhz.nA und B einer \.-< r ei e Förrnigen Lastfl ö.criz.

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Technische Universität Darmstadt • Institut für Werkstoffe und Mechanik im Bauwesen03/2003

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6 - 5 0 .0 0.0011 0.0017 0.0023 0.0031 0.0196 0.0467 0.0731 0.0912Ul 0.0001 0.0002 0.0004 0.00070=+:CDc

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Cf)~ 18 - .16 0.0117 0.0168 0.0225 0.0284 0.0343 0.0655 0.0564 0.0421 0.0310 0.0233 0.0180 0.0143 0.0115 0.0095 0.0025 Srn

0 16 - 14- 0.0178 0.0250 0.0327 0.0403 0.0475 0.0737 0.0572 0.0404 0.0290 0.0215 0.0164 0.0129 0.0104- 0.0085 0.{)022 oQ)-. .

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z[ij9: 12 - 10· 0.0468 0.0607 0.0731 0.0834 0.0912 0.0850 0.0534 0.0343 0.0234 0.0169 0.0127 0.0098 0.0079 0.0064 0.0016 ::,;;•:J 10 .: 9 0.0345 0.0428 0.0495 0.0542 0.0571 0.0428 0.0249 0.0155 0.0104 0.0074 0.0056 0.0043 0.0034 0.0028 0.0007Cf)

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0.0060 0.0045 0.0034 0.0027 . .0.0022 0.0005...., 0.0727 0.0743 0.0737 0.0404 0.0215 0.0129 0.0085c:-.

7 - 6 0.0779 0.0841 0.0858 0.0193 0.0114. 0.0053 0.0039 0.0030 0.0024- 0.0019 0.0005~ 0.0842 0.0807 0.0379 0.0075(1)

6 - 5 0.0998 0.1011 0.0978 0.0920 0.0850 0.0343 0.0169 0.0098 0.0064 0.0045 0.0033 0.0026 0.0020 0.0016 0.0004~Cf)

0-4:(1) 5 - 4 0.1227 0.1157 0.1057 0.0951 0.0849 0.0299 0.0142 0.0082 0.0053 0.0037 0.0027 0.0021 0.0017 0.0013 0.0004c:J

4 - 3 0.1395 0.1220 0.1053 0.0907 0.0783 0.0243 0.0113 0.0064- 0.0041 0.0029 0.0021 0.0016 0.0013 0.0011 0.00020..

5: 3 - 2 0.1383 0.1124- 0.0922 0.0764 0.0641 0.0180 0.0082 0.0046 0.0030 0.0021 0.0015 0.0012 0.0009 0.0008 0.0002(1)o:::r 2 - 1 0.1059 0.0812 . 0.0639 0.0516 0.0423 .0.0111 0.0050 0.0028 0.0018 0.0012 0.0009 0.0007 0.0006 0.0005 0.0001Q):J

1 0.04030.Ö003

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Tafel 11

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Einflußwerte für die lotrechten Normalspo.nnungenim e.la.stisch - isotropen I-lalbraum _unter demkennzeichnenden Punkt eines Rechtee"" -

Funda.m12ntes (a.:S "2b).

2,0

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03/2003


6.4.2 Einflußwerte für die lotrechten Normalspannungen im elastisch-

isotropen Halbraum infolge horizontaler Lasten

Tafel Wl :

Tafel W2 :

Tafel w3 :

Tafel W4 bisTafel W5 :

Streifenlast mit gleichmäßiger Belastungsfläche

Rechtecklast mit gleichmäßiger Belastungsfläche

Streifenlast mit dreieckförmiger Belastungsfläche

Rechtecklast mit dreieckförmiger Belastungsfläche


03/2003


Ta fe J \r" 1

D,7 0,2

a/b =coa'z =w·/ wr

2 t--j-+-~=-t--t--+-+--+----j-if--+--+--+----l--+--l

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,; (5 H-J---J---I----l

b =Breite des gedrückten Teilesder Sohle

8 H--I---!---+--! z z: Tiefe unter der Gründungssohlebei entgegengesetzter Richtung

701--J---J---l----lvon wändern sich die Richtungenvon ~z b

72 t--+---+---!--! 1-i------+----,-_+_

z

- a'z Or-r- -+-_-'-_---()+ a'zZug Druck

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II

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74 I---t--t--t----i

75 I---t--t--t----i

20 f---'----'---.J....--'-----"'--- -----l

z/b

(J"

Beiwerte '.: = ~ für die Berechnung der lotrechten Spannungen (J"z in der Tiefe z unterw

den Randpunkten einer waagerechten rechteckförmigen Streifenlast w außerhalb derAngriffsebene im elastisch-isotropen Halbraum nach OHDE (1939)


03/2003


0,05 0,70 0,75

Ta fe I

/ wr

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7,0

2,0

3,0

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5.0

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70,0

z/b

..-..~~/ 0,2..- 11

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/ /J O'z=.tw·/ wr - 7,2/; f/ b

/ V/I 1 r I--

7,4/ /;~ ~tl

I--- II I/I

I--

- 02 t t+Uz I-- 7,6/ ~!j Zug Druck -

/ I/I ib t 7.8/ /

1/ -

-I // - 2,0

t:J

z/b

cBeiwerte iw r = .2. für die Berechnung der lotrechten Spannungen (fz in der Tiefe z unter

wden Eckpunkten einer waagerechten rechteckigen Flächenlast w unterhalb der Angriffsebene im elastisch-isotropen Halbraum nach SIEMER (1967). Die linke Skala ist für dielinke Kurvenschar, die rechte Skala für die rechte Kurvenschar zu benutzen

i = f (=- ~) = Cfz

wr b' b w

. w ( a(f =+-.

z - 2n Va2 +Z2


03/2003

I I

o/b =CXJ 1--+-+--+---1--+---+-+-+--4


D,J 0.2 0.3

Seite 6.4 - 17

Tafel \l\l3

6f1--+-+--+--+--+-+-J--/--+-+-+---+-+--+--+-J

bei entgegengesetzter Richtung von w8 öndern sich die Richtungen von O'z1 -

und rYz 2 I--

70b

I----

7 .. 2 =t f---

~/,

72 f---

z zZ f---

74/.5'.; ~ I--

'--

76 .0; I--+(]'z2

-rYz 3Druck I-

78 Zug--uz 1

I Zug I--

2D I

r/b ecot ß

(}z1. 0" 2 0" 3Beiwerte iwd 1 = w' 'wd2 = : und iWd3 = ~ für die Berechnung der lotrechten Span-

nungen O"zl' O"z2 und O"z3 in der Tiefe z unter den Randpunkten und dem Mittelpunkt einerwaagerechten dreieckförmigen Streifenlast w unterhalb der Angriffsebene im elastischisotropen Halbraum nach Schultze (TEFERRAI SCHULTZE 1988)

. (z) (}z1'wd1 = f b =--;;

iw d 2 = f (;)(}z2

W

iw d 3 = f (;)(}z3

-W

w - Z(}z1 = -- . (ß1 - sin ß1 • cos ß1) = W· iW d 1b'n .


03/2003

BODENMECHANIK UND FELSMECHANIKDruckverteilung im Baugrund Seite 604 ·18

Ta fe I ,,,, A

VV "+

0 0,05 0,70 0)5 l wd l0 <, -r----.......-. --- -

<,"-. h ~7,0

~\..:-;~ ~OJ

f-

~f/,t~c9 ~2,0 OAV/ cl\) \\I

3,0III

0.6(/{O / 'h

0.8//15,0 /'1/ 7,0

1~V(j~6,0

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':J'JII. 'f bI ~ ~7,0 1 t - 7,1,V/I ~8,0 11/ t+O-zl - 7,6/ 1/// Druck

I 'I ib t

J9,0 7,81

-

70.0 11 2.0-CJ

z/b r/b

J

CfBeiwerte iwd 1 = -.:2 für die Berechnung der lotrechten Spannungen Cfz 1 in der Tiefe z unter

wden Eckpunkten der Ordinate 0 einer waagerechten Dreieckslast w auf rechteckigerGrundfläche unterhalb der Angriffsebene im elastisch-isotropen Halbraum nach SIEMER(1967). Die linke Skala ist für die linke Kurvenschar, die rechte Skala für die rechte Kur-venschar zu benutzen

i = f (~ ~) = Cfz 1

(2 )wdl b' b w

wCf ~

zl - 2. ti : b

{11. Z2 a . b '- Z. arctan [a ~ b . Va 2 + b

2 + Z2J}. "2' Z- b 2 + Z2 . Va2 + b2 + Z2


03/2003


Ta fe I \A 1 5vv

0 0,05 0,7 0,75 i wd20

J-- V V--~po- V

7,0 ~ -:::- VI-- ,'\ /~

V 1/v 0,2

2,019rt/ A VIJ/;::7 0,4

3,0 I Y'I W 0,6

I IAI"O~if 0,8

5,0 !::J1!IytB 7,0

~ '1

6,0() ~

O'z =W·iWd 21/ () f-- 7,2

1b

II--

7,0 I- 7,4I~t~

II--

8,011

t+O'z f-- 7,6Druck

I1 b f--

9,0 1 127,8I

I--

I--

JO,D I1 l--.. 2,0C:J

z/b r/b

2

erBeiwerte i

Wd 2= --E. für die Berechnung der lotrechten Spannungen erz 2 in der Tiefe z unter

wden Eckpunkten mit der vollen Ordinate w einer waagerechten Dreieckslast auf recht-eckiger Grundfläche unterhalb der Angriffsebene im elastisch-isotropen Halbraum nachSIEMER (1967). Die linke Skala ist für die linke Kurvenschar, die rechte Skala für dierechte Kurvenschar zu benutzen

. ea) erz 2I w d 2 = f t; =-;-

Die Formel für iw d 2 ist aus den Formeln für iw r (1 ) 'und i.: (2 } zusammenzusetzen.


03/2003


6.5 Li teratur

Anmerkung: In Kapitel 1 bereits genannte Literatur bleibt nachfolgendunberücksichtigt.

Seite 6.5·1

Borowicka, H.

Borowicka, H.

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Cerutti

Fröhlich, O.K.

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BODENMECHANIK UND FELSMECHANIK Seite 6.1 ·1 … · Lösung von Boussinesq Voraussetzungen: 1. Der...

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