BODENMECHANIK UND FELSMECHANIKGrenzzustnde im Boden: Erddruck und Erdwiderstand Seite 8.1 1

88.18.1.J.8.1.2.1

Grenzzustnde im BodenErddruck und ErdwiderstandHalbraum im plastischen GrenzzustandDer allgemeine Spannungszustand an einem Bodenelement

Hauptspannungen, die mittlere

Hauptspannung G 2 wird nicht

bercksichtigt (ebener Ver-

formungszustand)

1

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8.1.1.2 Spannungs- und Verformungszustand in einer ausgedehnten,..gleichmigen Ablagerung mit waagerechter Oberflche

Sonderfall: HaIbr-a.urn 1m Ruhezustand

b d' I1xVerformungs e lIlgung-X- = 0

Seite 8.1 - 2

Spannungen im Ruhezustand

1OZ: rr;

- _O-x : 03"x

j erz: =t.:K o

Spannungszustand am Bodeneiern ent

Das Verhltnis Ko

zwischen waagerechter und lotrechter Hauptspannung eines im Ruhezusurnd be-

findlichen Erdkrpers ist von der Bodenart , vom Ursprung und der Entstehung des Bodens und von

der Vorbelastung ab hn gi g,

In nor-rnalverdichteten Bden gilt rar den Ruhedruckbeiwert Ko

= 1 _ sin ..pt [81

Dementsprechend:

im Sand

im Ton

Ko

=0,4 bis 0,5 nach LagerungsdichteK 0 = 0,6 bis 0,8 nach Konsistenz

In vorverdichteten Bden ist der Ruhedruckbeiwert grer und kann K0> 1 sein [2]

8.1.1.3 Mohr'sche Bruchtheorie

Aktiver und passiver plastischer Grenzzustand im unbegrenzten homogenen Halbraum (nach Rankinel'

Monr uche Bruchtheorie

In allgemeiner Form kann man den Spannungszustand im Bruch mit den folgenden Gleichungen be-

schreiben

in Hauptspannun gen au s gedr-ckt:

er + 0-Z x .sin-p = c v c o s 'P

20)

2

Sonde rfall c = 0

er + 0- er1 - 0-31 3 sin'P =

2

0- 3 1 - sin'fl

-C'coa'{J (2)

(3)

Anwendung der Mohr 'schen Bruchtheorie auf den Halbraum

FUr den aktiven W1d passiven Grenzzustnnd gilt mit guter Nherung die Mob rsche Bruchbedingung

(siehe Gle i chu.n ge n (1) und (2) ),

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1----- 0-, : (Tz: Y.z ---"'f

1------------ 0-,: CYp -----------i

Mohr'scher Sp annun g s kr-e Ls fUr einen bindigen Boden (c ~ o , 'P ~ 0) im aktive nund passiven Grenzzustand

Spannungs- und Verforrnungs::ustand arn Bodenelement

x

IL'--_..,-_-J

z

Seite 8.1 - 3

aktiver Gren z zustand!:lx

Verformungsbedingung _a = const F f(z):r

Horizontale Ob e r-fl che

passiver Grenzzustand!:lx

Verformungsbedingung J = co n st f(z)X'

Q---__ x

az : yz

akt! ver Gr e nz.zu at nrid pa s s i ve r- Gr-en z zu atand

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Beziehungen zwischen den Hauptspanriungen

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aktiver Grenzzustand passiver Grenzzustand

1: =0

} in Gleichung (2) eingesetzt 1: = 0 }0- = 0-1 P0- = er3 z

in Gleichung (2) eingesetzt

- erz (1 - sintp) + era

(1 + sintp)

er = 0- l-sinp. 2 cos9a z 1+sin'P c 1+sin 'P

2 c c o so - 0- (1- sintp) + er (1+ s irup) - -p z

0- = 0- l+sinop + 2 c cos 9P z 1- slnp 1- s in-o

2 c- c o s o

. 1 t 2 (4S o 'e..) = 1- sinop undImtKp = g2 1+ Bin 'P

=1 2.CVJi (4)er 0-'- -a z Kp Kp

./1 = cos'IJ = tg (4S o _ 'e..2

) . sindVT

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Der Boden entspricht im Grenzzustand des plastischen Gleichgewicbtes in Anniiherung

der Coulomb'schen Bruchbedingung:

s = c + 5 tg 'P mit 5' =6" - uDie Spannungskreise " die die ScherfestigJcei tslinie Jauch Bruchlinie genannt, be-

rhren, werden als Bruchkreise bezeichnet. Sie kennzeichnen den S~annungszustand im

Boden beim Bruch bzw. im Grenzzustnnd des

-T

~\\

\\\1

36 1 +6

Bedingungsgleichung fr den Grenzzustand des plastischen Gleichge~ichtes:

G l = 2 c tg(45 + ~)+63 tg2(45 +;) mit Alp tg2(45 +;) wird:

6" 1 2 c ~ + 03 . A'P

fr c 0-51

A

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8.1.1.4 Anwendungsbeispiele der Mohr'schen Bruchtheorie

Anwendung des Noh r ' sehen Bruch.kreises auf den plastischen Gren::::ust:md

1. Beisuiel: Aktiver Bruch::ustand, Richtung der Gleitflchen hinter der Wand

0,...~I I

T\ z\\\

~f\\ QQ

2

D e Wand kippt um den Fupunkt, der Boden sackt ab:~ Daher ist 1: -c 0 fUr den Boden

an der Wand. Da s Spannungsverhtil tnis entlang der \'I3nd 3 1/ er = tg cp (CP:= Wandre i-bungswirucel) gilt fr jede Tiefe z . Es wird durch die Gerade 12 dargestellt. Inder c;ewhlten Tiefe entspricht der Punkt 1 den Spannungen auf die Wilnd. 1m passiven

Bruch::ustand ist Punkt 2 der Spannungspunkt. Im kohtisionslosen Boden ist die Rich-

tung der Gleitflchen unabhngig von der Tiefe.

Die Unterscheidung von Gleitflche und PseudogleitflUche ergibt sich. aus der

Kinematik.

2. Beisuiel: Passiver Bruchzustand, Richtung der Gleitfl~chen in einer unendlich

langen Bschung

Der Spannungszustand in einer b s chungapar-o Ll.e Le n Ebene a a ist bekannt, da ul

urist.

1: = Y . z . c os . sin tC=1:/CJn

T

~G

1

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3. Beispiel:

Unter dem Winkel O)-. /+CJ'

Mo hr isc he r- Spannungskreis fr einen bindigen Boden (c ,I o , lp I 0) im aktiven undund passiven Grenzzustand bei geneigter Oberflche

--45" -~

l2assiver Zustand

Gleitflchenscharen fUr den aktiven und p a s s ive n Grenzzustand

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8.1.2

8.1.2.1

Erddrucktheorien

Methode des "kritischen Gleichgewichts"

Unter dem "kritischen Gleichgewicht" (Gr'enzg.le ic hgew ic ht] versteht man den labilen Zustand des

Erdmateriala. der bei der geringsten Strung in den Bruchzustand ilbergeht. Der Bruch kann sich

lngs einer einzigen Gleitilche (Linienbruch) oder in e irie rn Bereich (Zonenbruch) einstellen. Im

"kritischen Gleichgewicht" sind noch keine Bewegungen aufgetreten und die Bruchbedingung ist ge-

rade noch erfUllt. Die mathematische Formulierung lautet nach Sokolowski [6.7] .

Gleichgewichtsbedingungen:

UC1'"z Cft x z= (8)--+--- Y

oz ax

aC1'"x 01: xz(9)--+--- = 0

ax az

Bruchbedingung:

1 2 2 sin 24> + 2 H)2- (er - er) +1: (er +er (10)4 z x. x z =--4-- z' x

mit H = c c ot 'il

wobei Gleichung (10) mit Gleichung (1), Blatt 1 identisch ist.

Der Boden wird also durch 3 Kennwerte charakterisiert: Wichtey , Winkel der inneren Reibung 'P

und Kohsion c , die in diesem Verfahren als Konstante aufgefat werden. Als Kenngre sekundrer

Art kommt der Wandreibungswinkel 5 hinzu.

Lsungsmethode:

Durch EinfUhren neuer Variabler entsteht aus den Differentialgleichungen (8) bis (Ja) ein hyperbo-

lisches Differentialgleichungssystem , das man numerisch nach der Charakteristikentheorie aufl s e n

kann. Es knnen dann Zonen, die sich im kritischen Gleichgewicht befinden, ge gen die im elastischen

Zustand verbleibende Erdrnasse abgegrenzt werden. Das Gleitlinienbild kann konstruiert werden,

und die im Innern des Bruchbereiches und an dessen Umrandung wirkenden Spannungen knnen er->

mittelt werden.

Nachteile des Verfahrens:

Die Lsung des Differentialgleichungssystems ist nur mit groem Rechenaufwand mglich. Die we-

sentlichen Nachteile liegen aber darin begrilndet, da es sich um ein rein statisches Verfahren han-

delt. Es beschreibt nicht die Verhltnisse in dem im Bruchzustand befindlichen Erdkrpe r-. Es wird

ein sprder Bruch vorausgesetzt, dem keine Gestalts- und Volumennderungen vorausgehen. Kine-

matische und geometrische Bedingungen, wie etwa die Wandbewegungen knnen nicht erfllt werden.

Es werden nur ebene Formnderungszustnde betrachtet.

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8.1.2.2 Grenzwertverfahren

Theorie von Coulomb Erddruck auf ebenen Gleitflchen- aktiver Erddruck

Annahmen: a) die Wand kippt um den Fupunkt b

b) es bildet sich eine ebene Gleitfl c he (Linienbruch)

c) die auf den Erdkeil a- b- c (Bild 1 ) wirkenden Krltfte sind im Gleichgewicht.Der Gleitkeil wird hierfUr als starr angesehen. Der innere Verformungs-und Spannungszustand des Gleitkrpers bleibt unberilcksichtigt.

Th

6

Bild 1

Der Gre Itf.l c.he nwirike I ~l wird variiert. bis der Erddruck E a zum Maximum wird.

Die Gleichgewichtsbedingungen L H = 0 und LV: = 0 sind erfilllt. Um die 3. Gleichgewichts-bedingung l:M = 0 erfilllen zu knnen, mte der Angriffspunkt von E

abekannt sein. Die

Verteilung des Erddruckes,wie der Angriffspunkt von Ea

knnen jedoch beim Linienbruch

nicht vorgegeben werden. Die Aufgabe ist statisch unbestimmt. Dies ist nur bei der An-

nahme eines Zonenbruches mglich.

Der Zonenbruch mit gekrmmten Gleitflchen

liefert im allgemeinen einen greren Erddruck

als nach Coulomb. Fr baupraktische Zwecke

is