Bodenmechanik und Grundbau Übung, Teil 1„T Institut für Geotechnik und Tunnelbau, Universität...

Bodenmechanik und Grundbau Übung, Teil 1

W. Fellin ∗

18. Januar 2007

Inhaltsverzeichnis

1 Bodenkennwerte 41.1 i Korndichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Korngrößenverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 i Kombinierte Sieb- und Schlämmanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Dichte und Wichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5 Porenzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6 Sättigungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.7 Tiefenverdichtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.8 i Proctorversuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Benennung und Klassifikation von Böden 242.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2 Bedeutung der Atterbergschen Zustandsgrenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Grundwasserströmung 323.1 Bestimmung der Geschwindigkeitshöhe einer Grundwasserströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2 Abschätzung von k-Werten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3 i Bestimmung des Durchlässigkeitsbeiwertes bei fallender Druckhöhe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4 Prinzipbeispiel einer Grundwasserströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.5 Unterströmtes Wehr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.6 i Unterströmung des Staudamms Durlassboden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.7 Strömungskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.8 Hydraulischer Grundbruch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.9 Strömungskraft bei Spundwand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.10 i Baugrube im offenem Wasser und im Grundwasser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.11 i Hydraulischer Grundbruch bei Kanalgraben, Näherung! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51∗Institut für Geotechnik und Tunnelbau, Fakultät für Bauingenieurwesen und Architektur, Innsbruck; email: [email protected]

1

2 INHALTSVERZEICHNIS

3.12 Auftriebssicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.13 Filterregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.14 Hydraulische Bemessung einer Filterschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4 Spannungen im Boden 584.1 Wichte unter Auftrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.2 Totale Spannung, effektive Spannung und Porenwasserdruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.3 MOHRsches Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5 Setzungsberechnung 645.1 Prinzip der Setzungsberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.2 Zahlenbeispiel einer Setzungsberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.3 Zeitlicher Ablauf der Setzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.4 Setzung infolge Grundwasserabsenkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.5 Turmneigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.6 i Staudamm Durlassboden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6 Scherfestigkeit 856.1 Bruchhypothese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.2 Rahmenscherversuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.3 i Triaxialversuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7 Erddruck 997.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.2 Vorzeichenkonvention . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

7.3 Spundwand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

7.4 Schwergewichtsmauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7.5 Minimaler aktiver Erddruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.6 Erddruck auf geneigte Wand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7.7 Resultierender Erddruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

8 Böschungsstabilität 1118.1 Ebene Gleitfuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

8.2 Ebene Gleitfuge unter Auftrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

8.3 i Gleitkreisverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

8.4 i Reibungskreisverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

8.5 Lamellenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

8.6 Böschungsberechnung mit Grundwassereinfluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

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T Institut für Geotechnik und Tunnelbau, Universität Innsbruck c© 1995–2007 W. Fellin

INHALTSVERZEICHNIS 3

Vorwort

Dieses Skriptum ist Grundlage für die Bodenmechanik und Grundbau Übung, Teil 1. Die mit i gekennzeichneten Ab-schnitte sind informativ und nicht Inhalt der Übung. (Sie sind aber sehr wohl nützlich für spätere Lehrveranstaltungenwie z.B. AK-Grundbau oder Bodenmechanisches Versuchswesen.)

Dieses Skriptum dient weiters zur Vertiefung der in der Vorlesung Bodenmechanik und Grundbau gehörten Inhalte, bzw.als Ergänzung zum Buch: D. Kolymbas: Geotechnik - Bodenmechanik und Grundbau. Springer-Verlag, 1998.

Zum Weiterüben finden Sie alte Prüfungsbeispiele auf der Homepage des Institutes:http://geotechnik.uibk.ac.at/stud/pruefungs-fragen.html

Wir können 700 Lire sparen, wenn wir keinegeotechnischen Untersuchungen machen

Fehler im Skript: Diese Skriptum ist im Rahmen der Übungen von 1995 bis 2007 entstanden. Nachdem niemandvollkommen ist, sind mit 99,99 prozentiger Wahrscheinlichkeit Fehler in diesem Skriptum. Ich bitte Sie, mir diese1 mit-zuteilen, damit irgendwann ein „fehlerfreies“ Skriptum vorliegt ©. Auch wenn Sie etwas total unverständlich finden, undeine bessere Idee für eine Erklärung haben, bin ich für Hinweise dankbar.

Fehler in den Büchern von Prof. Kolymbas: Es gibt eine Fehlerliste am Internet:http://geotechnik.uibk.ac.at/publ/buchkorind.html

Danksagung: Ich möchte Kornelia Schlichting, Stefan Troyer, Peter Stippler und Frank Kellermann für die Mitarbeitan diesem Skriptum danken.

Innsbruck 18. Januar 2007 W. Fellin

1Auch diverse Tippfehler, und ähnliches.

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4 1 BODENKENNWERTE

1 Bodenkennwerte

1.1 i Korndichte

Zur Bestimmung der Korndichte %s eines Materials kann ein Kapillarpyknometer nach Abbildung 1 verwendet werden.2

� � ��

BodenprobePyknometermit Stöpsel

Abbildung 1: Pyknometerflasche

Dazu wird in folgenden 4 Arbeitsschritten vorgegangen (siehe Abbildung 2):

m + mp t m + mp t m + mp w,2+mw,1

mp

[1] [4][2] [3]

Abbildung 2: Schema des Pyknometer - Versuchsablaufes

Abbildung 3: Pyknometerflaschen: leer, mit trockener Probe, Probe und Wasser, Wasser

Das leere Pyknometer wird mit dem zugehörigen Stöpsel gewogen (Abbildung 2 [1]). Damit erhalten wir die Masse mp

des luftgefüllten Pyknometers. Dann wird die zuvor im Ofen bei 105◦C getrocknete Probe mit der Trockenmasse mt

eingefüllt, und wir wiegen die Masse mp + mt (Abbildung 2 [2]).Nun wird das Pyknometer zu 2/3 mit Wasser gefüllt und mit dem für die spätere Vollfüllung vorgesehenen Wasser entlüftet(siehe Abbildung 4).Das entlüftete Pyknometer wird mit dem entlüfteten Wasser ganz gefüllt. Der Stöpsel wird geschlossen. Dabei tritt dasüberflüssige Wasser durch die Bohrung im Stöpsel aus, und die Flasche hat somit ein definiertes Volumen. Das mit der

2Der Versuch ist in ÖNORM B4413 bzw. DIN 18124 genormt.

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1.1 i Korndichte 5

� � �� H O2 pumpeVakuum-

Abbildung 4: Entlüften der Probe

Probe und Wasser gefüllte Pyknometer wird nun gewogen (Abbildung 2 [3]). Wir erhalten mp + mt + mw,1. Da Wasserbei verschiedenen Temperaturen verschiedene Dichten besitzt, müssen wir noch die Temperatur ϑ1 des Wassers messen.

Dann wird das Pyknometer ausgeleert, ausgespült, wieder mit entlüftetem Wasser gefüllt und der Stöpsel geschlossen(Abbildung 2 [4]). Durch Wiegen erhalten wir mp + mw,2. Weiters messen wir noch die Temperatur des Wassers ϑ2.

Die Ermittlung der Korndichte basiert auf der Berechnung von Volumen. Mit den Arbeitsschritten [1] und [4] lässt sichdas Volumen des Pyknometers, das gleich dem Volumen des Wassers ist, bestimmen:

Vp =mw,2

%w(ϑ2)=

(mp + mw,2) − (mp)

%w(ϑ2)=

[4] − [1]

%w(ϑ2)

Aus den Arbeitsschritten [2] und [3] können wir ebenfalls das Volumen des Wassers bestimmen. Das Wasser nimmt hierden Raum Vp − Vs ein, wobei Vs das Volumen der Körner ist, weil sich das Wasser auch in den Poren der Probe befindet.

Vp − Vs =mw,1

%w(ϑ1)=

(mp + mt + mw,1) − (mp + mt)

%w(ϑ1)=

[3] − [2]

%w(ϑ1)

Aus den beiden obigen Gleichungen lässt sich leicht das Volumen der Körner Vs ermitteln. Die Korndichte ist dann

%s =mt

Vs

=(mp + mt) − (mp)

Vs

=[2] − [1]

Vs

Der Versuch wird mit 4 Proben und 4 Pyknometerflaschen gleichzeitig durchgeführt. Die Ergebnisse der einzelnen Probenwerden gemittelt.

In der nachfolgenden Tabelle sind die Messergebnisse eines Versuches mit Deponieuntergrundmaterial zusammenge-stellt:3

[1] mp 43,34 g[2] mp + mt 77,41 g[3] mp + mt + mw,1 166,05 g

ϑ1 19 ◦C[4] mp + mw,2 144,13 g

ϑ2 20 ◦C

Die Dichte von Wasser bei 19◦C ist %w,1 = 0,99843 g/cm3, und bei 20◦C ist %w,2 = 0,99823 g/cm3.

Somit erhalten wir für das Pyknometervolumen

Vp =144,13− 43,34

0,99823= 100,969 cm3 ,

und das Kornvolumen

Vs = 100,969− 166,05− 77,41

0,99843= 12,189 cm3 .

3Labor des Instituts für Geotechnik und Tunnelbau, 95/22

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6 1 BODENKENNWERTE

Die Korndichte für diesen Versuch ist somit

%s =77,41− 43,34

12,189= 2,795 g/cm3 .

Die 3 weiteren Pyknometerflaschen lieferten %s = 2,798; 2,790; 2,783 g/cm3. Die Korndichte ist der Mittelwert der vierVersuche

%s = 2,79 g/cm3 .

Die Korndichten liegen für übliche Böden bei:

Sand %s 2,65 g/cm3

Ton %s 2,70 ± 0,2 g/cm3

1.2 Korngrößenverteilung

Boden ist aus unterschiedlich großen Partikeln zusammengesetzt. Die Zusammensetzung kann durch die sogenannteKornverteilungskurve (Körnungslinie) beschrieben werden. Die Kornverteilungskurve y(d) gibt den Massenanteil y derKörner mit einem Durchmesser kleiner als d in einer Probe an.

Ist der Massenanteil der Körner mit einem Durchmesser kleiner als 0,063 eines Bodens gering (3%) kann die Kornver-teilungskurve durch eine reine Trockensiebung ermittelt werden. Sind die Massenanteile dieser kleinen Körner zu groß,muss eine kombinierte Sieb- und Schlämmanalyse durchgeführt werden.

Abbildung 5: Siebsatz, Maschenweite in mm

Abbildung 6: Siebmaschine

Für die Trockensiebung werden Siebe (Abbildung 5) mit Maschenweiten d = 0,063 mm, 0,125 mm, 0,25 mm, 0,5 mm,1 mm, 2 mm, 4 mm, 8 mm, 16 mm, 31,5 mm und 63 mm aufeinandergestellt, und die Bodenprobe in das oberste größteSieb gefüllt. Durch Rütteln wird die Probe gesiebt (Abbildung 6). Die Siebrückstände (Abbildung 7) werden gewogen.Nehmen wir an, die Wägung hat das Ergebnis in Tabelle 1 gebracht.

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1.2 Korngrößenverteilung 7

Abbildung 7: Beispiel für Kornfraktionen

Σ m(D<0,25)

...

m(0,25)

m(0,125)

m(0,063)

m(<0.063)

SiebrückstandMaschenweite

Siebdurchgang

d=0,25

d=0,125

d=0,063

Abbildung 8: Siebanalyse

Maschenweite Siebrückstandd in mm m(d) in g

4 02 1501 270

0,5 2000,25 154

0,125 930,063 52

< 0,063 10∑

m(d) 929

Tabelle 1: Ergebnis einer Trockensiebung

Aus den Messwerten der Siebanalyse folgten die Gewichtsanteile

y(d) =

D<d∑

D=0

m(D)

D=63∑

D=0

m(D)

=

∑m(D < d)∑

m(D),

worin∑

m(D < d) der Siebdurchgang durch das Sieb mit der Maschenweite d (vgl. Abbildung 8) und∑

m(D) dieGesamtmasse der Probe ist (vgl. Tabelle 1):

y(0,063) =10

929· 100 = 1,1 %

y(0,125) =10 + 52

929· 100 = 6,7 %

y(0,25) =10 + 52 + 93

929· 100 = 16,7 %

...

Die Kornverteilungskurve (Abbildung 9 und Tabelle 2) ist also eine Summenlinie der Siebdurchgänge.Der Ungleichförmigkeitsgrad U einer Korngrößenverteilung ist definiert als

U =d60

d10,

worin d10 der Korndurchmesser ist, für den y(d10) = 10 % ist. Die Masse der Körner mit einem Durchmesser kleiner alsd10 ist 10 % der Gesamtmasse der Probe. Gleiches gilt für d60: y(d60) = 60 %.

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8 1 BODENKENNWERTE

Maschenweite Siebrückstandd in mm m(d) in g y(d) in %

4 0 1002 150 83,91 270 54,8

0,5 200 33,30,25 154 16,70,125 93 6,70,063 52 1,1

< 0,063 10

Tabelle 2: Korngrößenverteilung

KÖRNUNGSLINIE

0.001 0.002 0.01 0.06 0.1 1 2 10 63 100

SchluffkornFeinstes Sandkorn Kieskorn Steine

0102030405060708090

100

Korndurchmesser (mm)

Mas

sena

ntei

le d

er

Ges

amtm

enge

(%)

Abbildung 9: Korngrößenverteilung

Für dieses Beispiel ergibt sich

U =1,13

0,16= 7,1 .

Die Krümmungszahl Cc ist

Cc =d230

d60d10=

0,44

1,13 · 0,16= 2,4 .

Ist U größer als 6 und liegt Cc zwischen 1 und 3, hat der Boden eine weitgestufte Korngrößenverteilung vor. Ansonstenist der Boden meist enggestuft (U und Cc klein) oder intermittierend gestuft (fehlende Korngrößenbereiche, U und Cc

groß).In diesem Beispiel hat der Boden eine weitgestufte Korngrößenverteilung.

1.3 i Kombinierte Sieb- und Schlämmanalyse

Angabe: An einer Bodenprobe des Projektes Umfahrung Kirchberg in Tirol (Bohrloch 4, Entnahmetiefe 6,0-6,3 m)wurde eine kombinierte Sieb-Schlämmanalyse durchgeführt. Gesucht ist die Kornverteilungskurve der Bodenprobe undder Ungleichförmigkeitsgrad des Bodens.

Genereller Versuchsablauf Die Korngrößenverteilung der Bodenkörner mit einem Durchmesser größer als 0,125 mmwird durch Siebung ermittelt, für Korngrößen kleiner als 0,125 mm (Feinkorn) wird eine Sedimentationsanalyse (Schläm-manalyse) durchgeführt. Da der Anteil der Körner mit d ≥ 0,125 mm (Feinteile) mehr als 5 % der Trockenmasse der

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1.3 i Kombinierte Sieb- und Schlämmanalyse 9

Probe beträgt, erfolgt die Siebung der Probe vor der Sedimentationsanalyse. Der Versuchsablauf ist in ÖNORM B4412bzw. in DIN 18123 beschrieben.

Dazu werden zwei Teilproben untersucht: Teilprobe A wird nach nassem Abtrennen (Sieben) der Feinteile getrocknetund dann trocken gesiebt. Der noch zu untersuchende Feinanteil wird von einer zweiten Teilprobe B nass abgetrennt. DasErgebnis der Sedimentationsanalyse an den Feinteilen der Teilprobe B wird dann auf den Feinkornanteil der Teilprobe Abezogen.

Versuchsergebnisse Siebanalyse an Teilprobe A:gesamte Trockenmasse: mA

d,ges = 1123 gvor dem Sieben abgetrennter Feinkornanteil: 572 g

Maschenweite Siebrückstandd in mm mA(d) in g

16 08 74 332 401 60

0,5 560,25 85

0,125 125< 0,125 145

∑551

Damit ergibt sich der gesamte Feinkornanteil der Teilprobe A zu mAd = 572 + 145 = 717 g.

Schlämmanalyse an Teilprobe B:Tach dem Versuch durch Trocknen des Zylinderinhaltes bestimmte Probenmasse (d < 0,125 mm): mB

d = 34,13 gKorndichte (aus Pyknometerversuch, oder geschätzt): %s = 2,70 g/cm3

Zeit Ablesung R′ Temperatur T30 s 18,0 17,2

1 min 17,3 17,22 min 16,0 17,25 min 13,5 17,2

15 min 11,2 17,245 min 9,4 17,2

2 h 7,5 17,24 h 5,2 17,2

24 h 2,7 17,5

Auswertung der Siebanalyse Aus den Messwerten der Siebanalyse folgen die Gewichtsanteile der einzelnen Korn-durchmesser

y(d) =

∑mA(D < d)∑

mA(d)· 100

in %, z.B. ergibt sich für d =0,5 mm:

y(0,5) =572 + 145 + 125 + 85

1123· 100 = 82,55 % .

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10 1 BODENKENNWERTE

Abbildung 10: Aräometers

Auswertung der Sedimentationsanalyse Für die Sedimentationsanalyse wird die Bodenprobe mit Wasser unter Zu-gabe eines Dispergierungsmittels zu einer Suspension aufgerührt und in einem Standzylinder stehen gelassen. Durch dasunterschiedlich schnelle Absinken von Körnern unterschiedlichen Durchmessers verändert sich mit der Zeit die verti-kale Dichteverteilung in der Suspension. Diese zeitliche Dichteveränderung kann mit dem Aräometer bestimmt werden(Abbildung 10).

Der Zusammenhang zwischen Sinkgeschwindigkeit, Korndurchmesser und Dichte ist durch das Gesetz von STOKESgegeben:

d =

√

18µ

(%s − %w)gv ,

v = h%/t .

Für folgende in der Bodenmechanik verwendeten Einheiten

d Korndurchmesser mmµ dynamische Zähigkeit Pa s = Nsm−2

%s Korndichte g/cm3

%w Dichte des Wassers g/cm3

g Erdbeschleunigung m/s2v Sinkgeschwindigkeit cm/sh% Sinkstrecke cmt Zeit s

wird die obige Formel zu:

d =

√

18µ

(%s − %w)g

h%

t·√

10

Der Faktor√

10 folgt aus dem Einsetzen der Werte in den oben angeführten Einheiten in die Formel von STOKES undeiner Dimensionsanalyse.

Die Sinkstrecke der Körner h% wird indirekt über die Ablesung %′ des Aräometers gemessen (vgl. Abbildung 12). Dieabgelesene Dichte %′ herrscht in der Tiefe des Schwerpunktes des Aräometers. Dabei wird eine lineare Dichteverteilungin der Suspension angenommen. Der Abstand von der Wasseroberfläche zum Schwerpunkt ist h1(%

′) + h/2, wie inAbbildung 11 dargestellt. Der Abstand h1 wird nun für zwei verschiedene %′ mit der Schublehre gemessen. Die Werte

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hρ

Va Az

Va Az0,5

Wasserspiegel

Meßquerschnitt

h

h

1

h/2

mit

gemessen’ρ

S

tatsächliche Sinkstrecke angehobener Wasserspiegeldurch eingetauchtes

Aräometer

Abbildung 11: Geometrie des Aräometers

dazwischen werden linear interpoliert. (Üblicherweise sind Aräometerbirnen so gebaut, dass für reines Wasser bei 20◦ dieAblesung %′ = 1,000 ist. Die Skaleneinteilung ist ungefähr gleichmäßig.)

Das Aräometer wird unmittelbar vor den einzelnen Ablesungen eingetaucht und dann wieder herausgenommen. MitAusnahme der ersten 3 Ablesungen (30 s, 1 min und 2 min). Diese werden aber gleich ausgewertet wie die weiterenAblesungen. Das führt zu einer Anhebung des Wasserspiegels und des Messquerschnittes (Abbildung 11). Die Sinkstreckeh% wird dann aus dem so gemessenen Abstand des Schwerpunktes des Aräometers zum Wasserspiegel rückgerechnet4:

h%(%′) = h1(%

′) +1

2(h − Va

Az

) ,

mit Va Volumen der Aräometerbirne cm3

Az Fläche des Standzylinders cm2

Als Aräometerablesung wird üblicherweise nicht %′ aufgeschrieben sondern der Wert R′ = (%′ − 1) · 103. Dahinter stecktein wenig ”Schreibfaulheit”.

Beim verwendeten Aräometer ergeben sich folgende Kennwerte:

%′1=1,000 R′=0 h%=22,31%′2=1,030 R′=30 h%=9,31

Die dazwischenliegenden Werte werden entsprechend der Aräometerteilung ermittelt. Sie können mit ausreichender Ge-nauigkeit linear interpoliert werden. Dann ergibt sich für das verwendete Aräometer

h%(R′) = 22,31− 0,433R′ .

Darüberhinaus ist eine Korrektur der Aräometerablesung notwendig, da

• das Aräometer am oberen Meniskusrand abgelesen wird, die Skala jedoch für einen ebenen Wasserspiegel gilt,

• die Dichte durch die Zugabe des Dispergierungsmittels erhöht wird,

• um einen etwaigen Nullpunktfehler des Aräometers zu erfassen.

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12 1 BODENKENNWERTE

Wasser mit

( >1,000)ρ

Dispergie-rungsmittel T = 20°

m

ρ’Ablesung

C =- ρ( -1)1000’

Abbildung 12: Meniskuskorrektur der Aräometerablesung

Diese Meniskuskorrektur ist in Abbildung 12 dargestellt und beträgt für das verwendete Gerät Cm = 1,6.5

Für die hier durchgeführte Schlämmanalyse ergibt sich z.B für den Zeitpunkt t = 5 min und die AräometerablesungR′ = 13,5:

R = R′ + Cm = 15,1

h%(R) = 22,31− 0,433 · 15,1 = 15,77 cm

mit6

µ(ϑ = 17,2) = 10,82 · 10−4 Pa s

%w(ϑ = 17,2) = 0,99876 g/cm3

ergibt sich

d =

√

18 · 10,82 · 10−4

(2,7− 0,99876) · 9,81· 15,77

300·√

10 = 0,0248 mm .

Die Körner mit diesem oder größerem Durchmesser sind bereits am Schwerpunkt der Aräometerbirne vorbeigesunken.

Der zugehörige Massenanteil der Körner in Schwebe mit einem Korndurchmesser kleiner als D beträgt

S(d) =100

mBd

· %s

%s − 1· (R + Cϑ) .

Darin ist:4Ausführliche Darstellung bei Kézdi, Handbuch der Bodenmechanik, Teil 3.5Die Ermittlung des Korrekturwertes ist in ÖNORM B 4412 / DIN 18123 beschrieben.6Werte für %w sind z.B. in Kézdi, Handbuch der Bodenmechanik, Teil 3 in Abhängigkeit von der Temperatur tabelliert, bzw. können µ und %w nach

folgenden Näherungsformeln für T = 10 − 30◦ C berechnet werden:

µ = (17,422 − 0,5127 · T + 8,644 · 10−3 · T 2 − 6,474 · 10−5 · T 3) · 10−4 [Pa s]%w = 0,999953 + 4,7 · 10−5 · T − 7,397 · 10−6 · T 2 + 3,496 · 10−8 · T 3 [g/cm3] .

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mBd Trockenmasse der Feinanteile Probe B in g

Cϑ Korrekturwert der den Einfluss der Temperatur auf die Dichteund den Rauminhalt der Aräometerbirne berücksichtigt.7

Das Ergebnis der Sedimentationsanalyse ist auf den bei der Siebanalyse ermittelten Feinkornanteil zu beziehen:

y(d) = S(d)mA

d (d < 0,125)

mAd,ges

.

Für dieses Beispiel ergibt sich mit Cϑ=17,2 = −0,48

S(d) =100

34,13· 2,7

2,7− 1· (15,1− 0,48) = 68,1% ,

und damit

y(d) = 68,1 · 572 + 145

1123= 43,5% .

Die Kornverteilungslinie hat folgende Werte und ist in Abbildung 13 graphisch dargestellt:

Korndurchmesser Gewichtsanteild in mm y(d) in %

16 1008 99,384 96,442 92,881 87,53

0,5 82,550,25 74,98

0,125 63,850,073 56,80,052 54,80,037 50,90,025 43,50,015 36,60,009 31,30,005 25,60,004 18,8

0,0016 11,5

Der Ungleichförmigkeitsgrad U einer Korngrößenverteilung ist definiert als

U =d60

d10.

Die Masse der Körner mit einem Korndurchmesser kleiner als dx ist x % der Gesamtmasse der Bodenprobe.

Für dieses Beispiel ergibt sich

U ≈ 0,1

0,001= 100 .

Es handelt sich damit um einen sehr ungleichförmigen Boden.7Werte für Cϑ siehe ÖNORM B4412 oder Kézdi, Handbuch der Bodenmechanik, Teil 3; bzw. für T = 10 − 30◦ C mit der Näherungsformel:

Cϑ = −1,466 − 0,0338 · T + 0,0053 · T 2 .

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14 1 BODENKENNWERTE

0,001 0,002 0,01 0,06 0,1 1 2 10 63 100


0102030405060708090

100

Korndurchmesser d (mm)

Mas

sena

ntei

le d

er K

örne

r < d

(%

der G

esam

tmen

ge)

Abbildung 13: Korngrößenverteilung

Erklärung der Formel für S(d): Der Messwert der Dichte der Suspension beträgt

% =md + mv

V=

%sVs + %wVw

V.

Dabei ist V das Volumen des Zylinders. Mit Vw = V − Vs und md = Vs%s wird das zu

% =%s − %w

%s

md

V+ %w .

Zur Zeit t sind die Körner mit dem Durchmesser D > d bereits an dem Schwerpunkt der Aräometerbirne vorbeigesunken. Die Dichtemessung wirdalso nur mehr von der Masse der noch schwebenden Körner ms(D < d) beeinflusst. Ihr Massenanteil ist S = ms(D<d)

md. Somit wird die gemessene

Dichte zur Zeit t gleich

% =%s − %w

%s

Smd

V+ %w .

Damit ergibt sich die Formel für den Massenanteil der Körner in Schwebe (ohne Korrekturen) zu

S(d) =1

md

%s

%s − %w

(% − %w)V .

Das Aräometer zeigt für T = 20◦ und reines Wasser %′ = 1 an. Damit ist %w = 1 in obiger Gleichung, die Temperaturabhängigkeit der Wasser-dichte wird in die Konstante Cϑ verpackt, und das Volumen des Zylinders ist mit 1000 cm3 genormt. Die Ablesung des Aräometers %′ ist mit derMeniskuskorrektur Cm zu korrigieren, womit % = %′ + Cm

1000wird.

S(d) =1

md

· %s

%s − 1· ((%′ − 1) · 1000 + Cm + Cϑ)

Das in Prozent ausgedrückt ergibt die Formel in der Norm.

1.4 Dichte und Wichte

Die Dichte eines Materials ist

% =m

V,

worin m die Masse eines Körpers mit dem Volumens V ist.

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1.5 Porenzahl 15

Die Wichte eines Materials ist

γ =G

V,

worin G das Gewicht eines Körpers mit dem Volumen V ist.Damit gilt der Zusammenhang

γ = %g ,

wobei g die Erdbeschleunigung ist.In der Bodenmechanik werden folgende Wichten verwendet:γ Wichte des feuchten Bodens (in Natur)γd Trockenwichte des Bodens (Laborwert)γr Wichte des wassergesättigten Bodensγ′ Wichte des Bodens unter Auftrieb

Typische Werte für Wichten sind in Tabelle 3 angeführt.

Erdstoff Hauptmineral γs[kN/m³ ] γd[kN/m³ ] γr[kN/m³ ] nmin nmax emin emax

Grobkies Quarz und Feldspat 26 - 27 16 - 19 0.27 0.41 0.37 0.69Kiessand (U > 10) Quarz 26.5 16 - 20 0.25 0.40 0.33 0.66Sand Quarz 26.5 15 - 17 0.36 0.43 0.56 0.77Schluff Quarz 26.5 16 - 19 0.28 0.40 0.39 0.66Schluff Kalk 26 - 28 16 - 20 0.23 0.43 0.30 0.75Ton, gesä ttigt, weichplastisch Kaolinit und Illit 27 - 28 15 - 17 0.59 0.72 1.43 2.60Ton, steifplastisch Kaolinit und Illit 27 - 28 17 - 19 0.47 0.61 0.89 1.57Ton, halbfest Kaolinit und Illit 27 - 28 19 - 21 0.35 0.50 0.55 1.00

nicht bindig 0.23 0.43 0.30 0.77bindig 0.35 0.72 0.55 2.60

gesamte Streuung 0.23 0.72 0.30 2.60

Tabelle 3: Typische Bodenkennwerte

1.5 Porenzahl

Berechnung der Porenzahl in Abhängigkeit von der Setzung.

Angaben: Eine Bodenschicht mit der Porenzahl e1 wird verdichtet und setzt sich infolgedessen um das Maß ∆h. Ge-sucht ist der Zusammenhang zwischen der gemessenen Setzung ∆h und der Abnahme der Porenzahl e.

Lösung: Die Porenzahl e ist definiert als das Verhältnis von Porenvolumen zu Feststoffvolumen

e1 =Vp1

Vs

, e2 =Vp2

Vs

.

Unter der Voraussetzung, dass Vs = konstant ist, folgt für eine beliebige Fläche A (Vergleiche Abbildung 14)

e1 − e2 =∆Vp

Vs

=A∆h

Vs

=A

Vs

∆h . (1)

Aus Ah1 = V1 = Vs + Vp1 folgt

Ah1

Vs

=Vs

Vs

+Vp1

Vs

= 1 + e1

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16 1 BODENKENNWERTE

Abbildung 14: Verdichtung einer Bodenschicht

und weiterA

Vs

= (1 + e1)1

h1.

Eingesetzt in (1) liefert

e2 = e1 − (1 + e1)∆h

h1.

Typische Werte für Porenzahlen sind in Tabelle 3 angeführt.

1.6 Sättigungsgrad

Angaben: Eine Bodenschicht (γs = 26,5 kN/m3) mit der Porenzahl e1 = 0,754 wird bis zu einer Porenzahl vone2 = 0,612 verdichtet. Der Wassergehalt von w = 3% ändert sich während der Verdichtung nicht.

Gesucht ist der Sättigungsgrad vor und nach der Verdichtung.

Lösung: Der maximale Wassergehalt vor der Verdichtung ist

wmax1= e1

γw

γs

= 0.754 · 10

26,5= 0,285 .

Damit wird der Sättigungsgrad der Bodenschicht vor der Verdichtung zu

S1 =w

wmax1

=0,03

0,285= 0,105 = 10,5% .

Die Werte nach der Verdichtung ergeben sich zu:

wmax2= e2

γw

γs

= 0.612 · 10

26,5= 0,231

S2 =w

wmax2

=0,03

0,231= 0,130 = 13,0%

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1.7 Tiefenverdichtung 17

1.7 Tiefenverdichtung

Die 10 m mächtige in Abbildung 15 dargestellte Sandschicht aus locker gelagertem Sand wurde mit Tiefenrüttlern ver-dichtet.8

GOK

GW

Fels

Sand

Abbildung 15: Zu verdichtende Sandschicht

Der Sand hatte vor der Verdichtung die Kennwerte: γs = 26,5 kN/m3, γ = 16 kN/m3, w = 3 % (über dem Grundwasser),nmax = 0,43, nmin = 0,36.Das Grundwasser steht 2 m unter der Geländeoberkante an.Das verdichtete Gebiet umfasst eine Grundfläche von 30× 50 m2. Die Verdichtungspunkte wurden in einem Abstand von2 m in einem quadratischen Raster angelegt.Das gleichartige Zugabematerial wurde in einer nahen Sandgrube gewonnen (γ = 20 kN/m3, w = 8 %); in aufgelocker-tem Zustand hatte es eine Feuchtwichte von γ = 15 kN/m3. Die mittlere Zugabemenge betrug 2,6 m3 je Verdichtungs-punkt.

a) Welche bezogenen Lagerungsdichten herrschten vor der Verdichtungsmaßnahme?

b) Wieviel m3 Sand musste aus der Sandgrube entnommen werden?

c) Welche bezogene Lagerungsdichte wurde nach der Verdichtung erreicht?

d) Welche Wassermenge ist abzuführen, wenn das Grundwasser in konstanter Höhe bleiben soll?

a) bezogene Lagerungsdichten vor der VerdichtungDie auf die Porenzahl e oder auf die Porosität n bezogenen Lagerungsdichten lassen sich berechnen:9

Ie = ID =emax − e

emax − emin

, In = D =nmax − n

nmax − nmin

Wir müssen zuerst die vorhandene Porenzahl e bestimmen

e =γs

γd

− 1 .

Mit γ = γd(1 + w) wird das zu

e =γs(1 + w)

γ− 1 =

26,5(1 + 0,03)

16− 1 = 0,706 .

Mit der Beziehung zwischen der Porenzahl und der Porosität e = n1−n

lässt sich die maximale und die minimale Porenzahlberechnen:

emax =0,43

1 − 0,43= 0,754 , emin =

0,36

1 − 0,36= 0,563

8Idee: Universität Karlsruhe9Zur Verwirrung ist es auch üblich, die bezogene Lagerungsdichte In als Lagerungsdichte D und die bezogene Lagerungsdichte Ie als relative

Lagerungsdichte ID zu bezeichnen.

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18 1 BODENKENNWERTE

Damit können wir die bezogene Lagerungsdichte Ie berechnen

Ie =0,754− 0,706

0,754− 0,563= 0,25 = 25% ,

und mit der vorhandenen Porosität n = e1+e

= 0,7061+0,706 = 0,414 auch die bezogene Lagerungsdichte In

In =0,43− 0,414

0,43− 0,36= 0,23 = 23% .

b) Entnahmevolumen aus der SandgrubeDer Sand liegt in der Sandgrube mit einer Dichte γ0 = 20 kN/m3 und einem Wassergehalt von w = 8% vor. Durchdas Ausbaggern lockert sich der Sand auf, das heißt der Luftanteil nimmt zu. Der Wassergehalt bleibt gleich. DieseVolumenzusammenhänge sind in Abbildung 16 dargestellt. Um nun auf das auszuhebende Volumen ∆V0 des Sandes

V∆ s V∆ s

V∆

V∆ w

l,1

V∆ 1

Zugabematerial

V∆V∆ w

l,0

V∆ 0

aufgelockertSandgrube

Abbildung 16: Zugabematerial

zu kommen, müssen wir ein wenig mit den Teilvolumen des Bodens jonglieren. Im Ausgangszustand (Zustand in derSandgrube) gilt für die Feuchtwichte

γ0 =γw ∆Vw + γs ∆Vs

∆V0,

wobei die Luft als gewichtslos betrachtet wird. Daraus erhalten wir das Ausbruchsvolumen

∆V0 =γw ∆Vw + γs ∆Vs

γ0. (2)

Die Wichte des aufgelockerten Materials ist


∆V1,

und daraus

γw ∆Vw + γs ∆Vs = γ1 ∆V1 .

Diese Beziehung in Gleichung 2 eingesetzt ergibt das auszubrechende Volumen pro Verdichtungspunkt

∆V0 =γ1

γ0∆V1 =

15

20· 2,6 = 1,95 m3 .

Es wurden AV erdichtungsfeld

ARaster= 30×50

2×2 = 375 Verdichtungspunkte ausgeführt. Das gesamte abzubauende Zugabematerial-volumen aus der Sandgrube ist somit

VAusbruch = ∆V0 · 375 = 1,95 · 375 = 731,25 m3 .

c) Lagerungsdichte nach dem Verdichten

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1.7 Tiefenverdichtung 19

V∆ s

V∆

V∆ w

l,1

V∆ 1Vp,0

Vs Vs

Vp,1V∆ s

materialZugabe-Verdichtungssäule

Material zugebenverdichten

unverdichtet verdichtet

V

Abbildung 17: Zugabematerial

Die Zusammenhänge der Volumen für eine von einem Rüttler beeinflusste Bodensäule mit dem Volumen V = 2×2×10 =40 m3 sind in Abbildung 17 dargestellt. Das Volumen der Körner der Bodensäule vor der Zugabe von Material ist mite = Vp,0/Vs = (V − Vs)/Vs :10

Vs =V

e + 1=

40

1 + 0,706= 23,45 m3

Da die Oberfläche auf gleicher Höhe blieb, ist ein Teil des Porenvolumens Vp,0 durch das Volumen der Körner desZugabematerials ersetzt worden. Im Folgenden berechnen wir das Volumen der Körner des Zugabematerials ∆Vs.

Die Feuchtwichte des aufgelockerten Zugabematerials ist


∆V1.

Wenn wir die Beziehung für den Wassergehalt w = γw∆Vw

γs∆Vseinsetzen wird die Feuchtwichte zu

γ1 =γs ∆Vs(w + 1)

∆V1.

Daraus können wir das Volumen der Körner des Zugabematerials bestimmen

∆Vs =γ1 ∆V1

γs(w + 1)=

15 · 2,6

26,5(0,08 + 1)= 1,36 m3 .

Die Porenzahl nach der Verdichtung ist nun (siehe Abbildung 17)

e2 =Vp,1

Vs + ∆Vs

=V − (Vs + ∆Vs)

Vs + ∆Vs

=40− (23,45 + 1,36)

23,45 + 1,36= 0,612 .

Die Porosität nach der Verdichtung ist n2 = 0,6121+0,612 = 0,380.

Damit erhalten wir für die bezogenen Lagerungsdichten:

Ie2=

0,754− 0,612

0,754− 0,563= 0,74 = 74%

In2=

0,43− 0,38

0,43− 0,36= 0,71 = 71%

d) Abzuführendes Wasser

10Oder mit n =Vp,0

V=

V − Vs

V:

Vs = V − nV = 40 − 0,414 · 40 = 23,45 m3

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20 1 BODENKENNWERTE

Unter dem Grundwasser ist der Boden gesättigt, das heißt Vp = Vw.Vor der Verdichtung ist das Wasservolumen einer Verdichtungssäule unter dem Grundwasser

Vw,0 = n0V = 0,414 · 2 × 2 × 8 = 13,24 m3 ,

und nach der Verdichtung

Vw,2 = n2V = 0,38 · 2 × 2 × 8 = 12,16 m3 .

Das gesamte abzuführende Wasservolumen ist somit

V = (Vw,0 − Vw,2) · Verdichtungspunkte = (13,24− 12,16) · 375 = 405 m3 .

1.8 i Proctorversuch

Angaben: Bei der Schüttung eines Dammes soll ein schluffiger, kiesiger Sand verwendet werden. Dieser Erdstoff hatbeim Antransport einen Wassergehalt von 12 % und eine Kornwichte γs von 26,8 kN/m3. Zur Bestimmung der erfor-derlichen Einbaudichte wurde eine Reihe von Proctor-Versuchen (Abbildungen 18 und 19) durchgeführt, bei denen derErdstoff mit der Energie von 0,6 MJ/m3 (Standard-Proctorversuch11) in einen Behälter von 2,0 dm3 Inhalt eingestampftwird.

Abbildung 18: Proctorversuchsgeräte

Abbildung 19: Proctorversuch

In der nachstehenden Tabelle ist angegeben, welche Erdstoffmengen bei den verschiedenen Wassergehalten in den Behäl-ter eingebracht werden konnten:

Versuch Wassergehalt w Feuchtgewicht G[%] [N]

1 8 34,72 11 37,43 13 39,04 16 40,65 19 40,76 21 40,7

11Siehe auch ÖNORM B 4418 (DIN 18127): Zweck des Proctorversuches ist es, festzustellen, bei welchem Wassergehalt sich ein Boden unterfestgelegten Versuchsbedingungen am besten verdichten lässt und innerhalb welches Wassergehaltsbereiches eine bestimmte Trockenwichte erzieltwerden kann.

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1.8 i Proctorversuch 21

a) Welche Trockenwichten γd wurden bei den einzelnen Versuchen erzielt?Stellen Sie diese in Abhängigkeit vom jeweiligen Wassergehalt graphisch dar!Wie groß ist für die angegebene Verdichtungsenergie der optimale Wassergehalt wpr?

b) Tragen Sie in dasselbe Diagramm die sogenannte Sättigungskurve ein!

c) Wieviel Liter Wasser müssen dem antransportierten Erdstoff je 10 kN Feuchtgewicht beigemengt werden, damitwpr erreicht wird?

a) Trockenwichten γd bei den einzelnen Versuchen:

Aus der Wichte γ einer feuchten Probe mit

γ =G

Vγ = γd(1 + w)

ergibt sich die Trockenwichte γd zu

γd =γ

1 + w.

Für Versuch 1 ergibt sich somit:

γ =G

V=

34,7

2,0= 17,35 kN/m3

γd =γ

1 + w=

17,35

1 + 8100

= 16,06 kN/m3

Analoges Vorgehen bei den Versuchen 2 bis 6 führt zu folgendem Ergebnis:

Versuch w G γ γd

[%] [N] [kN/m3] [kN/m3]1 8 34,7 17,35 16,062 11 37,4 18,7 16,843 13 39,0 19,5 17,264 16 40,6 20,3 17,505 19 40,7 20,35 17,106 21 40,7 20,35 16,82

Aus Abbildung 20 folgt jener Wassergehalt, bei dem sich der Erdstoff am besten verdichten lässt

wPr = 16 % .

b) Sättigungskurve für S=1:

Man erhält die Sättigunskurve12, indem man für den Erdstoff jene Trockenwichte ermittelt, die sich bei vollständigerSättigung ergeben würde. (siehe auch Abb. 21)

γd =Gd

V=

γsVs

Vw + Vs

=γs

1 +Vw

Vs

(3)

12Die Sättigungkurve S = 1 dient zur Kontrolle des Versuches. Denn die Proktorkurve muss immer unter der Sättigungskurve liegen! Sättigungslinienfür S = 0,8; 0,6; . . . können zusätzlich zum Abschätzen des Sättigungsgrades der Probe beim Proctorwassergehalt dienen.

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22 1 BODENKENNWERTE

14,00

16,00

18,00

20,00

22,00

4 8 12 16 20 24

Proctork. Sättigungsk.

γdmax=γPr =g ρPr

w [%]

γd [kN/m3]

wPr

Abbildung 20: Trockenwichte in Abhängigkeit vom Wassergehalt

V

Vw

(d.h.keine Luftin der Probe)

max

Vs

w = w

Abbildung 21: Volumenanteile einer gesättigten Probe

Aus der Beziehung

Vw

Vs

=Gw/γw

Gd/γs

= wγs

γw

folgt, eingesetzt in Gleichung (3)

γd =γs

1 + wγs

γw

.

Für Versuch 1 ergibt sich somi:

γd =26,8

1 + 8100 · 26,8

10

= 22,06 kN/m3 .

Wiederum analoges Vorgehen bei den Versuchen 2 bis 6 führt zu folgendem Ergebnis:

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1.8 i Proctorversuch 23

Versuch w γd

[%] [kN/m3]1 8 22,062 11 20,693 13 19,884 16 18,765 19 17,766 21 17,15

Die graphische Darstellung der ermittelten Trockenwichten erfolgt in Abbildung 20 (zur Kontrolle: Sättigungskurve fürS = 1 muss über Proctorkurve liegen).

Zusätzliche Erläuterungen beispielhaft zu Versuch 1:

Damit der Wassergehalt w=8 % zum max. Wassergehalt wmax wird, muss die Trockenwichte bei gleichem Volumen(Proctorzylinder) höher sein, das heißt es müssen mehr Körner im Zylinder sein als bei der verdichteten Probe, die ja auchLuft enthält.

d d

max

VL

Vw

Vs

Vs

Proctorversuchmit w = 8 %

γ = 16,06 kN/m3

32,

0 dm

0,54 dm

0,26 dm

1,20 dm

3

3

3

fiktiver Versuchmit

γ = 22,06 kN/m3

Vw0,35 dm

1,65 dm

3

3

w = w = 8 %

Abbildung 22: Volumenanteile des ersten Proctorversuches im Vergleich zu einer voll gesättigten Probe mit gleichemWassergehalt

Die Ermittlung der einzelnen Volumenanteile erfolgt, wie in Abbildung 22 dargestellt, für:

• w = 8 %

Vs =Gd

γs

=γdV

γs

=16,06 · 2 · 10−3

26,8= 1,2 · 10−3 m3

Vw =Gw

γw

=wGd

γw

=0,08 · 16,06 · 2 · 10−3

10= 0,26 · 10−3 m3

Vl = V − (Vs + Vw) = 0,54 · 10−3 m3

• w = wmax = 8 %

Vs =Gd

γs

=γdV

γs

=22,06 · 2 · 10−3

26,8= 1,65 · 10−3 m3

Vw = V − Vs = 0,35 · 10−3 m3

c) Wasserzugabe je 10 kN antransportiertem Erdstoff, sodass w = wPr erreicht wird:

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24 2 BENENNUNG UND KLASSIFIKATION VON BÖDEN

Aus der Gleichung G = Gd(1 + w) folgt das Gewicht der Körner mit

Gd =G

1 + w=

10

1 + 0,12= 8,93 kN .

Das Gewicht des beim Antransport je 10 kN Erdstoff enthaltenen Wassers beträgt somit

Gw,nat = G − Gd = 10,0− 8,93 = 1,07 kN .

Das Gewicht des Materials mit Proctorwassergehaltw = wPr = 16 % ist

GPr = Gd(1 + wPr) = 8,93 · (1 + 0,16) = 10,36 kN .

Das erforderliche Wassergewicht ist somit

Gw,Pr = GPr − Gd = 10,36− 8,93 = 1,43 kN .

Die je 10 kN Erdstoff zuzugebende Wassermenge berechnet sich aus der Differenz zwischen der erforderlichen und dervorhandenen Wassermenge

∆Gw = Gw,Pr − Gw,nat = 1,43− 1,07 = 0,36 kN .

Die Wasserzugabe beträgt demzufolge 36 Liter je 10 kN Feuchtgewicht.

2 Benennung und Klassifikation von Böden

2.1 Allgemeines

Was bringt eine Benennung bzw. Klassifizierung von Böden? Erfahrungen haben gezeigt, dass gewisse Böden im-mer ähnliche bodenmechanische Eigenschaften aufweisen. Wird der angetroffene Boden also geschickt eingeordnet sindgewisse Eigenschaften und Kennwerte bereits ungefähr bekannt. Die wichtigsten Böden sind: Kies, Sand, Schluff („Ge-steinsmehl“, hauptsächlich zerriebener Quarz) und Ton.

Sand (50:1) Schluff (50:1) Ton (1000:1)

Abbildung 23: Boden unter dem Mikroskop

Eigenschaften bestimmter Bodenarten: Folgende generelle Eigenschaften werden den Bodenarten zugeschrieben:

Blöcke, Steine: sehr stabil (je kantiger, desto „fester“ ist das Gefüge); Blöcke (> 200 mm) werden meist als Stützkörperverwendet

Kies, Sand: „guter“Baugrund (wenn mindestens mitteldicht gelagert), mittlere bis hohe Durchlässigkeit, geringe Zu-sammendrückbarkeit, hoher Reibungswinkel, gut verdichtbar (bei weitgestufter Kornverteilung), nicht besonderswitterungs- und erosionsempfindlich

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2.2 Bedeutung der Atterbergschen Zustandsgrenzen 25

Schluff: nicht bis schwach kohäsiv, frostempfindlich, leicht verflüssigbar, schlecht verdichtbar, erosionsgefährdet, niede-re Durchlässigkeit

Ton kohäsiv, neigt zum Schwellen / Schrumpfen bei Wassergehaltsänderung, sehr geringe Durchlässigkeit.

Organische Böden: bautechnisch unbrauchbar

Mittlere Bodenkennwerte (γ, γ ′, c, ϕ, Cc, k) der Hauptböden können für eine Vordimensionierung in gängigen Tabellen-werken13 gefunden werden.14

Schluffkorn, Schluff, Ton: Die Korngrößen von Schluff und Ton liegen im Feinkornbereich (< 0,06 mm).

Schluffkorn ist eine Bezeichnung der Partikelgröße nicht der Bodenart! Ein Gemisch aus Schluff und Ton kann sich bereitsbei geringen Tonmengen bautechnisch wie Ton verhalten, vor allem wenn die Tonminerale sehr aktiv sind. Deshalb istdie Benennung des Feinkornanteiles des Bodens als Schluff oder Ton nicht nach den prozentuellen Anteilen möglich. Eswird nach den Zustandsgrenzen (Atterberg) klassifiziert.

2.2 Bedeutung der Atterbergschen Zustandsgrenzen

Betrachtet man einen trockenen (ungebrannten) Ton. Er ist ein festes Material. Gibt man dem Ton Wasser zu wird erweicher. Mit steigender Wasserzugabe, also steigendem Wassergehalt, wird er immer weicher, bis er sozusagen flüssigwird. Es ist einleuchtend, dass ein trockener (fester) Ton und ein sehr feuchter (flüssiger) Ton verschiedene mechanischeEigenschaften hat.

Die Wassergehalte des Bodens an den Grenzen zwischen den (willkürlich festgelegten) Konsistenzbereichen – flüssig,plastisch, halbfest und fest – sind die Zustandsgrenzen (siehe Abbildung 24), welche im Labor mit genormten Versuchenbestimmt werden (Abbildungen 24 und 25) .

Was

serg

ehal

t w

stei

gend

er Ic = 0

Ic = 1

wlw =

wpw =

Boden Gemischflüssiges Wasser−

trockener Boden

flüssig

fest

halbfest

plastischFließgrenze

Schrumpfgrenze

Ausrollgrenze

Abbildung 24: Bedeutung der Zustandsgrenzen nach Atterberg

Eine niedrige Plastizitätszahl Ip = wl − wp also ein kleiner Abstand zwischen der Fließgrenze und der Ausrollgrenze(Plastizitätsgrenze) sagt uns, dass der Boden bereits bei geringer Wassergehaltsänderung seine Konsistenz maßgeblichändert.

Tone haben nach dem Plastizitätsdiagramm (Abbildung 28) eine höhere Plastizitätszahl als Schluffe, welche die gleicheFließgrenze haben. Das bedeutet Schluffe reagieren hinsichtlich der Konsistenz empfindlicher auf Wassergehaltsänderung,oder anders ausgedrückt, Tone können mehr Wasser aufnehmen ohne ihre Konsistenz stark zu verändern.

13Z.B. KRAPFENBAUER, STRÄUSSLER (1991): Bautabellen, Jugend und Volk.14Obwohl die Steifigkeit Es kein Bodenkennwert ist (Es ist von der Spannung abhängig!), wird sie oft auch tabelliert. Besser ist, den Kompressions-

beiwert Cc zu verwenden.

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Abbildung 25: Bestimmung der Fließgrenze nach Casa-grande, Ö-NORM B 4411 bzw. DIN 18122

Abbildung 26: Bestimmung der Ausrollgrenze, Ö-NORM B 4411 bzw. DIN 18122

2.3 Beispiel

Angabe: Im Rahmen einer geotechnischen Untersuchung für die Neutrassierung der Schnellstraße SS12 zwischen Bo-zen und Branzoll wurden für vier ausgewählte Bodenproben (Nr. 373, 387, 391 und 430) die jeweiligen Körnungslinien(siehe Abbildung 27) und die ATTERBERG Grenzen (siehe Abbildung 28) ermittelt.

Gesucht:

a) Benennung der Böden nach ÖN B4401-3 (Bodenart), DIN 4022

b) Klassifizierung der Böden nach ÖN B4400-Tabelle 1 (Bodengruppe), DIN 18196

Lösung: Die Benennung und Klassifikation von Lockergesteinen (Böden) erfolgt nach der in Abbildung 29 dargestelltenVorgehensweise. Demnach bezeichnen

• Grobkörnige Böden: Bodengemische mit einem Feinkornanteil von weniger als 5 Massenanteile in %,

• Gemischtkörnige Böden: Bodengemische mit einem Feinkornanteil zwischen 5 und 40 Massenanteilen in % und

• Feinkörnige Böden: Bodengemische mit einem Feinkornanteil von mehr als 40 Massenanteile in %.

a) Bodenart nach ÖN B4401-3 (DIN 4022-1)

Für unsere Bodenproben ergibt sich demnach folgende Einteilung:

Probennr. 373 387 391 430Feinanteil

< 5 % nein nein nein ja5 bis 40 % ja nein ja –> 40 % – ja – –

Boden nach ge- ge-ÖN mischt fein mischt grob

B4401-3 körnig körnig körnig körnig

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2.3 Beispiel 27

Institut für Geotechnik und TunnelbauDruckdatum: 18-01-2000 Dateiname: KV_UE.XLS

PROJEKT: SS12 LABORNUMMER: 373, 391AUFTRAG NR.: 96/17 430, 387VERS.DATUM: 16.09.96 AUFT.GEB.BEZEICH.: siehe untenBEARBEITER(IN): Fellin

KORNGRÖSSENVERTEILUNG (ÖN B4412)

LINIELABORNUMMER 373 391 430 387AUFTRAGGEBERBEZ. - - - N3ENTNAHMESTELLE B13 B12 B12 B6ENTNAHMETIEFE 28.1 - 28.2 m 11 -11.5 m 5 - 7 m 19.5 - 20.1 mU = d60 / d10 81 6 104 3STEINE [%] - - 14.3 -KIESKORN [%] 9.3 24.5 59.1 -SANDKORN [%] 64.8 69.4 23.2 5.2SCHLUFFKORN [%] 19.7 5.4 2.9 49.2FEINSTES [%] 6.2 0.7 0.4 45.6

Schluff, sehr sandig, gering kiesig *

Sand, kiesig, gering schluffig

Kies, sandig, gering steinig Ton, gering sandig *

* Hauptbodenart aus weiterem Versuch

KÖRNUNGSLINIE

100206.320.630.20.060.020.0020.001 63

SteineKieskornSandkornFeinstes Schluffkorn

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Korndurchmesser d [mm]

Mas

sena

ntei

le d

er K

ö rne

r < d

[% d

er G

esam

tmas

se]

BODENART NACHÖN B4401-3

Abbildung 27: Körnungslinien

Probe 430: Für die Bodenprobe Nr. 430 erfolgt somit die Benennung für nichtbindige Böden nach der Kornzusammen-setzung, das heißt nach den Massenanteilen der unterschiedlichen Kornbereiche. Mit einem Hauptwort ist jener Kornbe-reich anzuführen, der nach geschätzten Massenanteilen am stärksten vertreten ist.15

In unserem Fall ist der Kieskornbereich mit ≈ 59 % am stärksten vertreten (siehe Körnungslinie in Abbildung 27). DerHauptanteil der Bodenprobe Nr. 430 besteht demnach aus Kies (G).

Mögliche Kennbuchstaben für Hauptbestandteile des Bodens:16

15Sind bei grobkörnigen Böden zwei Kornbereiche mit etwa gleich hohem Anteil vertreten, so sind die beiden Hauptwörter durch ein „und“ zuverbinden, z.B. Kies und Sand (G,S).

16Eine weitere Einteilung der Haupt- und Nebenbestandteile der jeweiligen Kornfraktionsbereiche in fein, mittel und grob ist durch Voranstellen von

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Institut für Geotechnik und TunnelbauDruckdatum: 15-07-2002 Dateiname: AT_UE.XLS

PROJEKT: SS12 LABORNUMMER: 373, 387AUFTRAG NR.: 96/17 AUFT.GEB.BEZEICH.: siehe untenVERS.DATUM: 02.10.96BEARBEITER(IN): Fellin

BODENKLASSIFIKATION (ÖNORM B4400)

PUNKTLABORNUMMER 373 387 - -AUFTRAGGEBERBEZ. - N3 - -ENTNAHMESTELLE B13 B6 - -ENTNAHMETIEFE 28.1 - 28.2 m 19.5 - 20.1 m - -wL [%] 59.2 44.3 - -wP [%] 39.9 25.4 - -IP [%] 19.3 18.9 - -w [%] 44.6 29.7 - -IC [-] 0.8 0.8 - -

BODENGRUPPE NACH ÖN B4400

Schluff ausgeprägt plastisch

Ton mittelplastisch

PLASTIZITÄTS - DIAGRAMM

0

10

20

30

40

50

0 10 20 30 40 50 60 70 80Fließgrenze wL [Massen - %]

Pla

stiz

itä ts

zahl

Ip

= w

L -

wP

[Mas

sen

- %

]

TA

TM

TL

ST

SU

OUUM

OTUA

UL

Abbildung 28: Plastizitätsdiagramm

X . . . SteineG . . . KiesS . . . SandU . . . SchluffT . . . Ton

Die in einem Boden in geringeren Anteilen (Nebenanteilen) vorhandenen Korngrößenbereiche werden mit einem odermehreren Eigenschaftswörtern bezeichnet und dem Hauptwort (den Hauptwörtern) nachgestellt.Für Massenanteile < 15 % wird dem Eigenschaftswort das Beiwort „gering“ vorangestellt und dem Kennbuchstaben einApostroph angefügt bzw. für Massenanteile > 30 % stellt man dem Eigenschaftswort das Beiwort „sehr“ voran und demKennbuchstaben fügt man einen Querbalken an.Mögliche Kennbuchstaben für Nebenbestandteile des Bodens: 16

Kennbuchstaben f, m und g möglich, z.B. Grobsand, stark mittelsandig, feinkiesig (gS,ms, fg).

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2.3 Beispiel 29

anorganischeBöden

organischeBöden

„künstliche“Böden

(z.B. Bauschutt,Klärschlamm, . . .)

grobkörnigeBöden

y(d = 0,06)<5%

gemischtkörnigeBöden

5%≤y(d=0,06)≤40%

feinkörnigeBöden

y(d = 0,06)>40%

nichtbindigeBöden

Benennung undKlassifikation nach

Kornzusammensetzung(Anteil der Kornfraktion)

bindigeBöden

Benennung undKlassifikation nach den

bestimmendenEigenschaften =

Bildsamkeit (Plastizität)


organischen Anteilen


Inhaltsstoffen

Feinanteil (<0,06) bestimmt die Boden-eigenschaften nicht (Boden nicht knet-bar bzw. ohne Trockenfestigkeit, klebtnicht im nassen Zustand)

Feinanteil bestimmt die Bodeneigen-schaften

-

-

- -

-

-

-

-

-

Abbildung 29: Benennung von Böden nach ÖNORM B4401-3 (DIN 4022-1) und Klassifikation nach ÖNORM B4400(DIN 18196)

x′, x, x . . . gering steinig, steinig, sehr steinigg′, g, g . . . gering kiesig, kiesig, sehr kiesigs′, s, s . . . gering sandig, sandig, sehr sandigu′, u, u . . . gering schluffig, schluffig, sehr schluffigt′, t, t . . . gering tonig, tonig, sehr tonig

Bei der Bodenprobe Nr. 430 dieser Bodenprobe ergeben sich (siehe Abb. 27) die Massenanteile für die KornbereicheSteine zu ≈ 14 % und Sand zu ≈ 23 %. Der Schluffkornbereich mit einem Massenanteil von nur ≈ 3 % (das heißtweniger als 5 %) wird in der Bodenbezeichnung nicht berücksichtigt.

Die vollständige Bodenbenennung für die Bodenprobe Nr. 430 ist nach ÖN B4401-3:

Kies, sandig, gering steinig (G, s, x′)

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Probe 387: Bei dieser Bodenprobe handelt es sich um einen feinkörnigen Boden (y(d = 0,06) ≈ 95 %). Die Benennungund Klassifikation des Bodens muss nach den bestimmenden Eigenschaften (=Bildsamkeit oder Plastizität) des Bodenserfolgen.

Der Einfluss des Feinkornanteils wird unter anderem über die Ermittlung der Fließgrenze wL und die Ausrollgrenze wP

bestimmt, wobei die Differenz zwischen diesen beiden Konsistenzgrenzen die Plastizitätszahl IP ergibt:17

IP = wL − wP

Die Fließgrenze wL und der Ausrollgrenze wP wurden im Labor bestimmt und ergaben Werte von

wL = 44,3 %wP = 25,4 %

und somit eine Plastizitätszahl IP von

IP = 44,3− 25,4 = 18,9 % .

Im Plastizitätsdiagramm (siehe Abb. 28) wird die Plastizitätszahl IP über der Fließgrenze wL aufgetragen, um die Bo-denklassifikation nach ÖN B4400 zu erhalten. Die im Plastizitätsdiagramm eingezeichnete A-Linie (ATTERBERG-Linie)wird durch die Funktion IP = 0,73(wL − 20) beschrieben.

Für oberhalb der A-Linie liegende Punkte wird der Boden als Ton und für unterhalb der A-Linie liegende Punkte wird derBoden als Schluff bezeichnet.18

Für bindige Böden ist es zusätzlich erforderlich, die Zustandsform (Konsistenz) anzugeben. Die Konsistenzzahl IC istdefininert als

IC =wL − w

wL − wP

.

Mit einem aktuellen Wassergehalt von

w = 29,7 %

ergibt sich für die Bodenprobe Nr. 387 eine Konsistenzzahl von IC = 0,8, und es lässt sich demnach die Konsistenz als„steif“ (siehe auch Tabelle in Vorlesung Geotechnik I) angeben.

Die Bodenbenennung erfolgt daher nach ÖN B 4401-3 zu:

steifer Ton, gering sandig (T, s′)

Probe 391: Hier muss der Einfluss des Feinkornanteils (d < 0,06 mm) ermittelt werden, da ein gemischtkörniger Bodenvorliegt. Der Feinanteil bestimmt die Bodeneigenschaften wenn der Boden gut knetbar ist, wenn er eine Trockenfestigkeitaufweist, oder wenn er im nassen Zustand klebt. Die Probe 391 war, wie bei einer provisorischen Bodenansprache fest-gestellt wurde, nicht knetbar. Der Feinkornanteil bestimmt daher die Bodeneigenschaften nicht, und die Benennung undKlassifikation erfolgt wie für nichtbindige Böden nach der Kornzusammensetzung.

Wie aus Abbildung 27 ersichtlich, ist der Sandkornbereich mit ≈ 70 % am stärksten vertreten, gefolgt vom Kieskornbe-reich mit ≈ 25 % und vom Schluffkornbereich mit ≈ 5 %.

Laut ÖN B4401-3 ergibt sich für die Bodenprobe Nr. 391 die Benennung

Sand, kiesig, gering schluffig (S, g, u′)

17In ÖN B4400 ist: wf = wL, wa = wP , wfa = IP .18Liegt der Punkt bis zu 3 % über der A-Linie, kann der Boden als „Ton schluffig“ angesprochen werden, liegt er bis zu 3 % unter der A-Linie, kann

die Benennung zu „Schluff tonig“ lauten (DIN 4022).

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2.3 Beispiel 31

Probe 373: Die gemischtkörnige Bodenprobe Nr. 373 war knetbar, der feinkörnige Anteil (Korndurchmesser d <0,06 mm) bestimmt also die Bodeneigenschaften. Mittels der im Labor gewonnenen Größen von

w = 44,6 % , wL = 59,2 % , wP = 39,9 % ,

ergeben sich die Plastizitätszahl und die Konsistenzzahl zu

IP = 19,3 und IC = 0,8 .

Der Schluffkornanteil bestimmt bei dieser Bodenprobe die Bodeneigenschaften, obwohl der Sandkornanteil nach Mas-senanteilen (≈ 65 %) vorherrschend wäre.Die Konsistenzzahl IC von 0,8 lässt auf einen „steifen“ Boden schließen und die Bodenbenennung erfolgt daher nach ÖNB 4401-3 zu:

steifer Schluff, sehr sandig, gering kiesig (U, s, g′)

b) Bodengruppe nach ÖN B4400 (DIN 18196)

Probe 430: Im folgenden wird der Entscheidungsbaum durch die Tabelle 1 ÖN B4400 dargestellt.y(d ≤ 0,06) ≤ 5 % ; grobkörniger Bodeny(d > 2) > 40 % ; KiesU > 6 ; weitgestuftes Kies-Sand-Gemisch, GW

Probe 387: Nach Tabelle 1 ÖN B4400, und dem Plastizitätsdiagramm folgt:y(d ≤ 0,06) > 40 % ; feinkörniger Bodenwfa = IP > 7 % und oberhalb A-Linie ; Tonwf = wl : 35 . . .50 ; mittelplastischer Ton, TM

Der Grad der Plastizität wird, nach dem Wassergehalt bei der Fließgrenze wL, unterteilt in:

• leicht plastisch: wL ≤ 35 %

• mittel plastisch: 35 % < wL ≤ 50 %

• ausgeprägt plastisch: wL > 50 %

Die im Diagramm 28 eingetragenen Bodengruppen stehen daher für:

TA . . . ausgeprägt plastische ToneTM . . . mittel plastische ToneTL . . . leicht plastische ToneOT . . . Tone mit organischen Beimengungen

und organogene ToneUA . . . ausgeprägt plastische SchluffeUM . . . mittel plastische SchluffeUL . . . leicht plastische SchluffeOU . . . Schluffe mit organischen Beimengungen

und organogene SchluffeST . . . Sand-Ton-GemischeSU . . . Sand-Schluff-Gemische

Probe 373: Der Weg durch die Tabelle gibt:y(d ≤ 0,06) = 5 . . . 40 % ; gemischkörniger Bodeny(d > 2) =≤ 40 % und unterhalb A-Linie ; Sand-Schluff-Gemischy(d ≤ 0,06) = 15 . . .40 % ; SU

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32 3 GRUNDWASSERSTRÖMUNG

Probe 391: Wir beginnen wieder mit der Tabelle:

y(d ≤ 0,06) = 5 . . . 40 % ; gemischkörniger Boden

Nun ist keine Unterscheidung zwischen Schluff und Ton möglich, da die Atterberg Grenzen nicht ermittelt wurden. Die-se Unterscheidung muss wenigstens durch einen zusätzlichen Reibversuch und oder einen Schneideversuch getroffenwerden.

Die Probe zeigte nach dem Auseinanderschneiden eine stumpfe (nicht glänzende) Oberfläche und fühlte sich beim Zer-reiben weich und mehlig an ; Sand-Schluff-Gemisch, SU

3 Grundwasserströmung

3.1 Bestimmung der Geschwindigkeitshöhe einer Grundwasserströmung

Die Energiehöhe h setzt sich aus der geodätischen Höhe z, der Druckhöhe p/γ und der Geschwindigkeitshöhe v2/2gzusammen

h = z +p

γ+

v2a

2g. (4)

Die Bestimmung der Abstandsgeschwindigkeit va erfolgt durch Mittelung der tatsächlichen Wassergeschwindigkeit v′

über den Flächenanteil der Poren einer Querschnittsfläche, wie in Abbildung 30 ersichtlich. Die Geschwindigkeit va

beträgt für den Durchfluss Q

va =Q

Ap

.

AP

va

laminare Strömung

Abbildung 30: Abstandsgeschwindigkeit va

v

A laminare Strömung

Abbildung 31: Filtergeschwindigkeit v

Die Filtergeschwindigkeit v hingegen erhält man durch Mittelung der tatsächlichen Wassergeschwindigkeit v′ bzw. der

Abstandsgeschwindigkeit va über die gesamte betrachtete Schnittfläche A (siehe Abbildung 31)

v =Q

A.

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3.1 Bestimmung der Geschwindigkeitshöhe einer Grundwasserströmung 33

Nach dem Satz von DELESSE ist die Volumenporosität nV gleich der Flächenporosität nA, das heißt

n =Vp

V=

Ap

A. (5)

Aus der Kontinuitätsgleichung mit

Q = const = v · A = va · Ap

folgt unter Verwendung von Gleichung (5) die Abstandsgeschwindigkeit va zu

va = vA

Ap

=v

n. (6)

Nach dem Gesetz von DARCY19 ist die Geschwindigkeit v proportional zum hydraulischen Gefälle i

v = k · i ,

worin k die Durchlässigkeit (der Filterbeiwert) ist.

Das Einsetzen der Gleichung (6) führt zur Gleichung für die Abstandsgeschwindigkeit va mit

va =k · in

. (7)

Die hydraulische Höhe h nach Gleichung (4) berechnet sich unter Verwendung von (7) zu

h = z +p

γ+

(k·in

)2

2g.

Für die Werte von i, n und k

i = 1 für ein Gefälle von 45◦

k = 2 · 10−2 m/s sandiger Kiesn = 0,25 typisches nmin für sandigen Kies (vgl. Tabelle 3, S. 15)

wird die hydraulische Höhe zu

h = z +p

γ+

(0,02·10,25

)2

2g= z +

p

γ+ 0,0003 m .

19Die Gültigkeit des Gesetzes von DARCY beschränkt sich auf den laminaren Strömungsbereich. Als Kriterium für den Übergang in turbulenteStrömung gibt es den Ansatz in Bezug auf den maßgebenden Korndurchmesser dm (lt. KÉZDI, Handbuch der Bodenmechanik, Teil 1) mit

Rekrit =vdm

ν≤ 1 (bis 10) ,

oder besser den Ansatz bezüglich Kornstruktur und Porosität mit k∗ als Bezugsgröße zu (lt. SCHÖBERL, Institut für Wasserbau, Universität Innsbruck)

Rekrit =v√

k∗

ν≤ 0,09 (bis 0,1) .

Wobei:

v = ki ≈ 100d2mi Filtergeschwindigkeit [m/s]

dm ≈ d10 maßgebender Korndurchmesser [m]ν kinematische Viskosität [m2/s]

1,0001·10−6 [m2/s] bei 20◦k∗ = kν/g spezifische Permeabilität [m2]

Bemerkung zum maßgebenden Korndurchmesser dm:Dieser Wert ist theoretisch der Durchmesser einer Kugel mit dem Volumen VK = Volumen der Körner

Anzahl der Körner . Da dieser Wert jedoch praktisch nicht zuermitteln ist, wird dm gleich dem Durchmesser d10 gesetzt.

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Folgerung: Die für die getroffenen Annahmen errechnete Geschwindigkeitshöhe von 0,3 mm stellt einen für die in derPraxis auftretenden Druckhöhen im Meterbereich einen vernachlässigbar kleinen Wert dar. Die Geschwindigkeitshöhekann daher im Allgemeinen vernachlässigt werden.

3.2 Abschätzung von k-Werten

Angabe: Im Rahmen einer geotechnischen Untersuchung für die Neutrassierung der Schnellstraße SS12 zwischenBozen und Branzoll wurde für die Bodenprobe Nr. 373 (Schluff, sehr sandig, gering kiesig) eine Körnungslinie (sieheAbb. 32) ermittelt.

Wir bestimmen nun aus dieser gegebenen Kornverteilungskurve die Durchlässigkeiten k für lockere und für dichte Lage-rung des Bodens.

0.001 0.002 0.01 0.06 0.1 1 2 10 63 100


0102030405060708090

100

Korndurchmesser d (mm)

Mas

sena

ntei

lede

rKör

ner<

d(%

derG

esam

tmen

ge)

Abbildung 32: Körnungslinie von Bodenprobe Nr. 373

Lösung: Nach der empirischen Formel von HAZEN gilt die Beziehung für gleichförmige, locker gelagerte Sande(In ≈< 0,35) mit

k[cm/s] ≈ 100 · (d10[cm])2 .

Diese Formel kann auch für andere Böden als schnelle und grobe Abschätzung verwendet werden.

Für Sande und Kiese in verschiedenen Lagerungsdichten kann die Durchlässigkeit nach BEYER abgeschätzt werden:

k[cm/s] ≈ 100 ·(

A

U + B+ C

)

(d10[cm])2

mit der Ungleichförmigkeitszahl U = d60/d10 und den von der Lagerungsdichte abhängigen Koeffizienten A, B und Cnach Tabelle 4.

Um den benötigten Korndurchmesser d10 leichter ablesen zu können, zeigt Abbildung 33 einen vergrößert dargestelltenAusschnitt der Körnungslinie aus Abbildung 32.

Das Ablesen eines logarithmischen Diagrammes erfolgt, wie in Abbildung 34 dargestellt, nach der Beziehung

y = x · 10YA ,

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3.2 Abschätzung von k-Werten 35

Lagerungsdichte: locker mitteldicht dichtA = 3,49 2,68 2,34B = 4,40 3,40 3,10C = 0,80 0,55 0,39

Tabelle 4: Koeffizienten zur Abschätzung der Durchlässigkeit nach BEYER.

Abbildung 33: Ausschnitt der Körnungslinie von Probe Nr. 373

und das Auftragen eines Wertes zu

Y = A · [log y − log x] = A · logy

x.

x-Werten sind äquidistant.alle Abstände zwischen 10-fachen

Y

AA

log(x)y

x10

10xx

Abbildung 34: Ablesen bzw. Auftragen von log-Werten

Wir erhalten damit die Korndurchmesser

d10 = 0,001 · 1019

27,5 = 0,005 mm

und

d60 = 0,4 mm .

Die Ungleichförmigkeitszahl ist U = 0,4/0,005 = 80.

Die gesuchten Durchlässigkeitsbeiwerte k sind nach HAZEN

klocker ≈ 100 ·(

0,005

10

)2

= 2,5 · 10−5 cm/s ,

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und nach BEYER

klocker ≈ 100 ·(

3,49

80 + 4,40+ 0,80

)

·(

0,005

10

)2

= 2,1 · 10−5 cm/s ,

kdicht ≈ 100 ·(

2,34

80 + 3,10+ 0,39

)

·(

0,005

10

)2

= 1,0 · 10−5 cm/s .

Diese Werte liegen im üblichen Bereich für Schluff k ≈ 10−5 . . . 10−6. 20

3.3 i Bestimmung des Durchlässigkeitsbeiwertes bei fallender Druckhöhe

In der Mülldeponie Graslboden (Schönberg) wurde aus dem Rohbauplanum folgende Probe entnommen:

Probendurchmesser: d = 0.1 mProbenhöhe: ∆s = 0.102 mStaurohrdurchmesser: d0 = 0.004 m

Für diese Bodenprobe soll nun der Durchlässigkeitsbeiwert bestimmt werden. Der Durchlässigkeitsbeiwert k eines Bodenskann im Labor mit zwei verschiedenen Versuchsmethoden ermittelt werden:

• Versuch mit konstanter Druckhöhe

• Versuch mit veränderlicher Druckhöhe

Der Versuch mit konstanter Druckhöhe wird bei eher grobkörnigen (durchlässigen) Böden angewandt, während der Ver-such mit veränderlicher Druckhöhe bei wenig durchlässigen (bindigen) Böden eingesetzt wird. Für die vorliegende Boden-probe wurde angenommen, dass die Durchlässigkeit sehr gering ist, das heißt es wird der Versuch mit fallender Druckhöhezur Ermittlung des k-Wertes herangezogen. Die Versuchsanordnung ist in den Abbildungen 35 bis 37 dargestellt.

Abbildung 35: Versuchsanordnung zur Bestimmung des Durchlässigkeitsbeiwertes k bei fallender Druckhöhe

Bei der Durchführung des Versuches21 wurden folgende Messwerte erhalten:20Vgl. D, KOLYMBAS (1998): Geotechnik - Bodenmechanik und Grundbau. Springer-Verlag, S. 30.21Nach ÖNORM B4422-1 bzw. DIN 18130.

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3.3 i Bestimmung des Durchlässigkeitsbeiwertes bei fallender Druckhöhe 37

Abbildung 36: Versuchszelle zur Bestimmung desDurchlässigkeitsbeiwertes; Verhinderung der Randum-läufigkeit zwischen Probe und Membran durch Seiten-druck Abbildung 37: Versuchsanordnung zur Bestimmung des

Durchlässigkeitsbeiwertes k bei fallender Druckhöhe

t h ϑmin:sec m ◦C

0:00 3,380 14,50:30 3,162 14,51:00 3,042 14,51:30 2,932 14,52:00 2,830 14,52:30 2,735 14,53:30 2,555 14,54:00 2,475 14,54:30 2,398 14,5

Der Durchlässigkeitsbeiwert kϑ für die Wassertemperatur ϑ im Versuch ist:

kϑ =A0

A

∆s

t2 − t1ln

h1

h2(8)

A0 =d0

2π

4. . . Standrohrquerschnitt (9)

A =d2π

4. . . Bodenquerschnitt (10)

Einsetzen von Gleichung 9 und 10 in 8 ergibt:

kϑ =

(d0

d

)2∆s

∆tln

h1

h2

h1(t1), h2(t2) erhalten wir aus den Versuchsmesswerten. Für t = 30 s ergibt sich der k-Wert bei der Versuchstemperaturϑ = 14,5◦C zu

kϑ =

(0,004

0,1

)2

· 0,102

30· ln 3,380

3,162= 3,63 · 10−7 m/s .

Der Durchlässigkeitsbeiwert k ist abhängig von der Zähigkeit des Wassers und somit von der Wassertemperatur. Grund-wasser hat eine Temperatur von ungefähr 10 ◦C. Daher wird der ermittelte k-Wert auf jenen bei 10 ◦C umgerechnet. Diese

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Umrechnung erfolgt durch folgende Formel22:

k10 ..... k-Wert bei 10 ◦C

k10 =1,359

1 + 0,0337ϑ + 0,00022ϑ2· kϑ

Damit ergibt sich für unseren k-Wert bei t = 30 sec

k10 =1,359 · 3,63 · 10−7

1 + 0,0337 · 14,5 + 0,00022 · 14,52= 3,21 · 10−7 m/s .

Die folgende Tabelle zeigt die Auswertung aller Versuchsmesswerte:

t h ϑ kϑ k10

min:sec m ◦C 10−7m/s 10−7m/s0:00 3,380 14,50:30 3,162 14,5 3,6 3,21:00 3,042 14,5 2,1 1,91:30 2,932 14,5 2,0 1,82:00 2,830 14,5 1,9 1,72:30 2,735 14,5 1,9 1,63:30 2,555 14,5 1,9 1,64:00 2,475 14,5 1,7 1,54:30 2,398 14,5 1,7 1,5

Als Mittelwert der letzen 5 Versuche ergibt sich für den Durchlässigkeitsbeiwert bei 10 ◦C

k10 = 1,6 · 10−7 m/s ,

3.4 Prinzipbeispiel einer Grundwasserströmung

Die Abbildung 38 zeigt zwei miteinander verbundene Gefäße. Das Verbindungsstück ist mit Boden gefüllt. Die Wasser-spiegel bleiben konstant auf ihrer Höhe.

Aufgrund des Wasserspiegelunterschiedes ∆H wird sich eine Grundwasserströmung einstellen, und zwar vom Ort größe-rer Energie zum Ort kleinerer Energie. Dabei wird der Potentialunterschied ∆H über die Länge L abgebaut. Wir ermittelnnun den Volumenstrom q der Grundwasserströmung.

Für die Lösung des Problems benötigen wir:

• die Kontinuitätsgleichung

• das Gesetz von Darcy

• Potentialnetz der Strömung23

Kontinuitätsgleichung: Die Kontinuitätsgleichung besagt, dass der Durchfluss

q = vA

A = ∆b · (3. Dimension) = ∆b · (1 lfm)

für eine stationäre Strömung konstant ist.22Siehe ÖNORM B4422-1.23Das Potentialnetz stellt für ebene Probleme eine grafische Näherungslösung der Potentialgleichung ∂2h

∂x2+ ∂2h

∂z2= 0 dar.

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3.4 Prinzipbeispiel einer Grundwasserströmung 39

Abbildung 38: Der Boden im Verbindungsteil wird vom Wasser, welches vom Gefäß A in das Gefäß B fließt (auf Grundder Potentialdifferenz) durchströmt.

Gesetz von Darcy: Die Filtergeschwindigkeit v einer Grundwasserströmung ist

v = ki ,

wobei k der Durchlässigkeitsbeiwert des Bodens und i das hydraulische Gefälle der Strömung ist.

Potentialnetz: Das Potentialnetz ist in Abbildung 38 dargestellt. Die Stromlinien haben überall die Richtung der Was-sergeschwindigkeit und stellen bei einer stationären Strömung die Bahnlinien der Teilchen dar. Die Potentiallinien verlau-fen orthogonal zu den Stromlinien. Sie sind Linien gleichen Potentials. Zwischen zwei Potentiallinien erfolgt ein Poten-tialabbau der Größe ∆h (siehe Abbildung 38). Bei n Potentiallinien ergibt sich demnach die gesamte Potentialdifferenzaus ∆H = n∆h. Wenn nun ∆H bekannt ist,24 kann der Potentialabbau zwischen zwei Potentiallinien zu

∆h =∆H

n. (11)

bestimmt werden. Mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung, dem Gesetz von Darcy und dem Potentialnetz, kann der Durchflussdurch den Erdkörper (pro Laufmeter Tiefe) berechnet werden. Die Kontinuitätsgleichung besagt, dass der Durchflussdurch jedes Bodenelement in einer Stromröhre konstant ist

q1 = v∆b = ki∆b = const . (12)

Das hydraulische Gefälle i ergibt sich aus der Energiehöhe ∆h, die über Strecke ∆s abgebaut wird (siehe Abbildung 38)

i =∆h

∆s= − gradh . (13)

Durch Einsetzen von Gleichung 13 in 12 erhalten wir

q1 = k∆h

∆s∆b . (14)

24Energiebetrachtung zwischen OW und UW

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Bei quadratischem Potentialnetz ist ∆s = ∆b.25 Unter Berücksichtigung von Gleichung 11 ergibt sich somit für denDurchfluss durch eine Stromröhre

q1 = k∆h = k∆H

n.

Wenn nun der Durchfluss einer Stromröhre mit der Anzahl m der vorhandenen Stromröhren multipliziert wird, erhaltenwir den gesamten Durchfluss durch den Erdkörper26

q = mq1 = mk∆H

n=

m

nk∆H

[m3

s /lfm; m2

s

]

.

Abbildung 39: Druckhöhen in den Punkten A und B im durchströmten Erdkörper.

Eine weitere Größe, die von Interesse sein kann, ist die Druckverteilung im Bereich der Grundwasserströmung. DieBernoulligleichung, unter Vernachlässigung des Geschwindigkeitsterms, lautet

h = z +p

γ.

h ist die Energiehöhe im betrachteten Punkt, z die geodätische Höhe und pγ

die Druckhöhe, welche wir bestimmen wollen.Die Energiehöhe h nimmt entlang der Stromlinien linear ab. Bei einem annähernd quadratischen Potentialnetz ergibt sichfür h in einem beliebigen Punkt

h = h0 − n′∆H

n= h0 − n′∆h ,

mit:

h0. . . Energiehöhe am Ausgangspunkt der Strömungn . . . Anzahl der Potentiallinienn′ . . . betrachtete Potentiallinie 27

Nachdem nun die Energiehöhe im betrachteten Punkt bekannt ist, kann mit Hilfe der Bernoulligleichung die Druckhöhebestimmt werden

p

γ= h − z .

In Abbildung 39 sind die einzelnen Größen (h,z, pγ

) für die Punkte A und B im Potentialnetz eingetragen.25Hier liegt die Begründung dafür, dass ein Potentialliniennetz möglichst quadratisch gezeichnet werden soll.26Sickerwassermenge q27Punkte, die zwischen zwei Potentiallinien liegen, werden linear interpoliert.

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3.5 Unterströmtes Wehr 41

3.5 Unterströmtes Wehr

Angaben: Für das in Abbildung 40 dargestellte Wehr sollen die Wasserverluste infolge Unterströmung des Wehres so-wie die Druckverteilung auf die Wehrunterseite anhand des Potentialnetzes ermittelt werden. Der Durchlässigkeitsbeiwertdes Bodens beträgt k = 2 · 10−5 m/s.

��

��∆ H=5,0 m4,0 m

3,5 m

4,5 m

undurchlässige Schicht

2,0 m0,5 m

4,5 m. −5k=2 10 m/s

Abbildung 40: Unterströmung eines Wehres

Lösung: Zunächst wird das Potentialnetz gezeichnet. Dabei gelten folgende Randbedingungen:

• Die Linie ABCD, die Begrenzung des Strömungsraumes durch das Wehr, ist eine Stromlinie.

• Die undurchlässige untere Begrenzung ist die Bahn eines Wasserteilchens, welches aus großer Entfernung kommt.Sie ist ebenfalls eine Stromlinie.

• Die Grenzflächen Boden-Wasser sind Äquipotentiallinien mit jeweils konstanten Druckhöhen.

∆ H=5,0 m

0

1

23 4 5 6 7 8 9 10

11

12

A

B CD

z h12

h0

undurchlässige Schicht

��

��

Abbildung 41: Potentialnetz

In Abbildung 41 ist das Potentialnetz dargestellt. Die durchsickernde Wassermenge q je Längeneinheit erhält man aus

q = ∆Hm

nk .

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Darin sind:∆H gesamtes Druckgefällem Anzahl der Stromröhrenn Anzahl der Potentiallinienk Durchlässigkeitsbeiwert des Bodens

Somit wird

q = 5,0 · 3

12· 2 · 10−5 · 1000 = 0,025 l/sm .

∆H=5,0 m

31,364,6��

��

Abbildung 42: Druckverteilung auf das Wehr

Der Energieverlust infolge Reibung verteilt sich gleichmäßig entlang der Stromlinien. Die Energiehöhe h in einem belie-bigen Punkt des Potentialnetzes ergibt sich mit den Bezeichnungen laut Abbildung 41 und der Oberkante der wasserun-durchlässigen Schicht als Bezugsebene aus

h = h0 − ∆Hn′

n,

wobei h0 die Energiehöhe über der Bezugsebene vor dem Wehr und n′ die Anzahl der Potentiallinien bis zum untersuchtenPunkt ist. Die Druckhöhe p/γw auf die Wehrunterkante lässt sich aus h − z errechnen. Dabei ist z die geodätische Höhedes betrachteten Punktes über der Bezugsebene. Für den Punkt B ergibt sich damit z.B.

pB = (12 − 5,0 · 2,5

12︸︷︷︸

h

− 4,5︸︷︷︸

z

) · 10 = 64,6 kN/m2 .

Genauso erhält man für den Punkt C

pC = (12 − 5,0 · 10,5

12− 4,5) · 10 = 31,3 kN/m2 .

Die vollständige Druckverteilung ist in Abbildung 42 dargestellt.

3.6 i Unterströmung des Staudamms Durlassboden

Angaben: Der Staudammquerschnitt ist in Abbildung 43 vereinfacht dargestellt.28

Anhand des Potentialnetzes sollen die Wasserverluste infolge Unterströmung des Dammes ermittelt werden. Dabei könnenfolgende vereinfachende Annahmen getroffen werden:

• Die Schluffschicht in 60 m Tiefe ist wasserundurchlässig.28Tauernkraftwerke AG (1968): Durlassboden. ÖZE, Jg. 21 (1968), Heft 8.

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3.6 i Unterströmung des Staudamms Durlassboden 43

60 m

8 m

100 m105 m135 m

1345 m

wasserseitiger StützkörperHangschutt < 60 cm

Stauziel 1405 m1411 m

luftseitiger StützkörperHangschutt < 1,0 m

4Kies, Sandk=10 m/s

8

Filterschicht

Injektionsschirm

Dichtungskern

.

Schluff, fest gelagert, 1214 m Mächtigkeitk=3 10 m/s

y

x

k x 10= m/s−4

k xk z= 1/2

Kies, Sand

l=340 m

Abbildung 43: Vereinfachte Darstellung des Dammquerschnitts und der Untergrundverhältnisse

• Die Basisabdichtung des wasserseitigen Stützkörpers ist wasserundurchlässig.

Der Durchlässigkeitsbeiwert der Injektionsschürze beträgt k = 0,8 · 10−6 m/s, die gesamte injizierte Fläche senkrecht zurStromrichtung 10579 m2.Die vertikale Durchlässigkeit kz der wasserleitenden Sand-Kies-Schicht ist halb so groß wie ihre horizontale Durchläs-sigkeit kx = 10−4 m/s.

Lösung: Aus den Untergrundverhältnissen ergeben sich zwei Problemstellungen bei der Konstruktion des Potentialnet-zes:

1. Das Potentialnetz muss an die Anisotropie des Bodens infolge unterschiedlicher k-Werte in horizontaler und verti-kaler Richtung angepasst werden.

2. Die Inhomogenität des Bodens infolge des injizierten Bereiches unter dem Kern muss berücksichtigt werden.

Auch im Falle eines anisotropen Bodens mit unterschiedlichen k-Werten in horizontaler und vertikaler Richtung bleibtdie Kontinuitätsgleichung gültig und mit

vx = −kx

∂h

∂x, vz = −kz

∂h

∂z

wird die LAPLACE’sche Differentialgleichung der ebenen Strömung zu

∂2h

∂(√

kz/kx x)2+

∂2h

∂z2= 0 .

Der Faktor√

kz/kx lässt sich als Verzerrung des Stromlinienbildes in x-Richtung interpretieren. Daher multipliziertman die horizontalen Abmessungen des gegebenen Querschnittprofils mit dem Faktor

√

kz/kx und zeichnet für diesenverzerrten Querschnitt das Potentialnetz mit senkrecht aufeinanderstehenden Potential- und Stromlinien.

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Die durchsickernde Wassermenge q erhält man aus dem durch Multiplikation mit√

kx/kz zurücktransformierten Poten-tialnetz aus

q = kx i a m .

Mit

i =∆H/n

a√

kx/kz

ergibt sich die Durchflussmenge je Längeneinheit

q = ∆Hm

n

√

kxkz .

Darin sind:n Anzahl der Potentiallinienm Anzahl der Stromröhrena Abstand der Äquipotential- bzw. Stromlinien∆H gesamtes Druckgefälle

Die Strömung im inhomogenen Untergrund mit unterschiedlichen Durchlässigkeitsbeiwerten k1 und k2 in Stromrichtung,wie in Abbildung 44 schematisch dargestellt, kann im Potentialnetz durch unterschiedliche Abstände a und b der Äqui-potentiallinien nach folgenden Überlegungen berücksichtigt werden:29

aa

b

k < k2 11Kies−Sand, k injizierter Bereich

Abbildung 44: Potentialnetz im inhomogenen Boden

Es gilt die Kontinuitätsbedingung:

k1 i1 = k2 i2 .

Die Abnahme der Druckhöhe ∆h zwischen zwei Äquipotentiallinien ist konstant, daraus folgt mit den Bezeichnungenlaut Abbildung 44:

i1 =∆h

a, i2 =

∆h

b

und damit ergibt sich

b

a=

k2

k1.

29Ausführliche Darstellung z.B. in Kézdi, Handbuch der Bodenmechanik, Teil 1.

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3.6 i Unterströmung des Staudamms Durlassboden 45

Stauziel 1405 m

1345 m

∆H

a=20 m

0

1

23 4 5 6 41

42

43

l’ = 240,4 m

60 m

Abbildung 45: Strömungsbild am verzerrten Querschnitt

In Abbildung 45 ist das Potentialnetz für den mit√

kz/kx =√

0,5 verzerrten Querschnitt dargestellt. Der Strömungsraumwurde in m = 3 Stromröhren unterteilt, daraus ergibt sich der Abstand der Stromlinien bzw. Äquipotentiallinien zua = 20 m. Im injizierten Bereich verringert sich der Abstand der Äquipotentiallinien gemäß der obigen Überlegungen auf

b =0,8 · 10−6

10−4· 20 = 0,16 m .

Die Anzahl der Potentiallinien wird damit

n1 = 6 +8,0 · √0,5

0,16︸︷︷︸

injizierter Bereich

+2 = 43 .

Der gesamte Wasserverlust infolge Unterströmung des Dammes beträgt

Q = 60 · 3

43·√

0,5 · 10−8 · 10579

60· 1000 = 52 l/s .

Aus Abbildung 45 ist auch die Wirkung der Injektionsschürze unmittelbar ersichtlich. Wäre die Abdichtung nicht vor-handen, so reduzierte sich die Anzahl der Potentiallinien auf n = 8 und der Wasserverlust infolge Unterströmung erhöhtesich damit auf Q = 280 l/s.

Aus Abbildung 46 wird deutlich, dass eine Verfeinerung des Netzes keine Verbesserung des Ergebnisses liefert. Mitm = 5, a = 12 m, b = 0,096 m und n = 13 + 59 = 72 bleibt

Q = 60 · 5

72·√

0,5 · 10−8 · 10579

60· 1000 = 52 l/s .

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Stauziel 1405 m

1345 m

∆H

a=12 m

Abbildung 46: Verzerrtes Stromlinienbild mit feinerem Netz

Der Energieverlust infolge Reibung verteilt sich gleichmäßig entlang der Stromlinie. Der Strömungsdruck30 in einembeliebigen Punkt des Strömungsbildes ergibt sich daher aus:

pf = ∆hγw

n1 − n′

n1

wobei n′ die Anzahl der Potentiallinien bis zum untersuchten Punkt ist. Beim Eintritt in den Injektionsschirm ergibt sichz.B.

pf,e = 60 · 10 · 43− 6

43= 516,3 [kN/m2]

beim Austritt

Pf,a = 60 · 10 · 43− 41

43= 27,9 [kN/m2]

d.h. in der Injektionsschürze werden ca. 80% der Druckdifferenz zwischen Ober- und Unterwasser abgebaut.

3.7 Strömungskraft

Die Abbildung 47 zeigt ein Gedankenbeispiel zur Veranschaulichung der Strömungskraft.Am Bodenelement zwischen den Stellen n und n + 1 des Potentialnetzes wirken die Drücke

pn = γw(h0 − n∆h − zn)

pn+1 = γw(h0 − (n + 1)∆h − zn+1) .

Daraus ergibt sich eine Druckdifferenz ∆p = pn − pn+1 am Element

∆p = γw(h0 − n∆h − h0 + (n + 1)∆h) = γw∆h ,

da die geodätische Höhe zn = zn+1 ist.Die auf das Teilchen wirkende und auf das Volumen des Elementes bezogene Kraft ist somit

f =F

A∆s=

∆pA

A∆s=

∆p

∆s= γw

∆h

∆s= γwi .

Da sonst keine Kraft im System in der horizontalen Richtung wirkt, ist das die Strömungskraft

fs = γwi .

30Der Strömungsdruck pf wirkt zusätzlich zum hydrostatischen Wasserdruck pstat. Er verschwindet wenn ∆H gegen Null geht

p = (h − z)γw = (h0 − ∆Hn′

n− z)γw = (h0 − z)γw − ∆H

n′

nγw = (h0 − z − ∆H)γw

| {z }

pstat

+ ∆Hn − n′

nγw

| {z }

pf

.

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3.8 Hydraulischer Grundbruch 47

∆ s

∆ s

pn+1pn

� � � ��

Energielinie

n n+1

QuerschnittA

A

z

Hh0 ∆=∆ h

Abbildung 47: Prinzipskizze für die Strömungskraft

3.8 Hydraulischer Grundbruch

Die Abbildung 48 zeigt ein Gedankenbeispiel zur Veranschaulichung des hydraulischen Grundbruches.

Wie im Beispiel 3.7 wirken am Bodenelement die Drücke

pn = γw(h0 − n∆h − zn) ,

pn+1 = γw(h0 − (n + 1)∆h − zn+1) .

Daraus ergibt sich eine Druckdifferenz ∆p = pn − pn+1 am Element

∆p = γw(∆h + ∆z) .

Die volumenbezogene Kraft, welche das Wasser auf das Teilchen nach oben gerichtet ausübt, ist somit

f =F

A∆s=

∆pA

A∆s=

∆p

∆s= γw

∆h

∆s+ γw

∆z

∆s

= γwi︸︷︷︸

Strömungskraft fs

+ γw

∆z

∆s︸︷︷︸

hydrostatischer Anteil

.

Das Grenzgleichgewicht, bei dem das Teilchen gerade noch nicht aufschwimmt, ist:

G − F = 0

A(∆sγr − ∆p) = 0

∆sγr − γw∆h − γw∆z = 0

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� � � � ��

� � � ��

∆ s

∆ s

pn+1

pn

H∆

h0

A

∆ z

H∆

h∆

n+1n

QuerschnittA

G

n+1

n

z

Energielinie

OW

UW

=

Abbildung 48: Prinzipskizze für den hydraulischen Grundbruch

Mit ∆s = ∆z wird das zu:

∆s(γr − γw) − γw∆h = 0

∆sγ′ − γw∆h = 0

γ′ − γw

∆h

∆s= 0

γ′ − fs = 0

Soll kein hydraulischer Grundbruch auftreten, muss die Vertikalkomponente der volumenbezogenen Strömungskraft fs

kleiner als die Wichte des Bodens unter Auftrieb γ ′ sein.

3.9 Strömungskraft bei Spundwand

Wir interessieren uns nun speziell für die Strömungskraft auf der Baugrubenseite einer Spundwand. Der hydraulischeGrundbruch wird dort üblicherweise an einem Quader mit den Abmessungen – Tiefe der Spundwand unter Baugruben-sohle t und Breite t/2 – durchgeführt.

Das Stromliniennetz ist in Abbildung 49 dargestellt, und ein Ausschnitt für den zu betrachtenden Quader in Abbildung 50.

Das Potential in Punkt A′ ist

hA′ = h0 − ∆Hn′

A′

n.

Das Potential am Ende der Stromlinie A (die ja direkt an der Spundwand entlang geht) ist

hA = h0 − ∆Hn

n= h0 − ∆H .

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3.9 Strömungskraft bei Spundwand 49

WSP

1234

5

10BGS=WSP

GOK

3

54 6

7

8

1

29

Abbildung 49: Strömung bei Spundwand im offenem Wasser

WSP

GOK

n=10

n’=8

n’=7n’=6

t

t/2H∆

A

A’ B’

Abbildung 50: Strömung bei Spundwand, maßgebender Quader für hydraulischen Grundbruch

Die Potentialdifferenz ist

∆h = hA′ − hA = h0 − ∆Hn′

A′

n− h0 + ∆H = ∆H

n − n′A′

n.

Somit ist das hydraulische Gefälle am linken Rand des Quaders

iA′ =∆h

t=

1

t∆H

n − n′A′

n.

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Für den rechten Punkt B′ nehmen wir näherungsweise ebenfalls an, dass die Stromlinie senkrecht ist (Was natürlich lautAbbildung 49 nicht stimmt, aber für dieses Problem ausreichend genau ist.). Damit erhalten wir für das hydraulischeGefälle am rechten Rand des Quaders

iB′ =1

t∆H

n − n′B′

n,

und die im Quader wirkende Strömungskraft aus dem mittleren hydraulischen Gefälle im = (iA′ + iB′)/2 zu

fs = imγw =iA′ + iB′

2γw ,

welche nach obiger Annahme für die Richtung der Stromlinie in B ′ auch senkrecht nach oben zeigt.

Die Sicherheit gegen hydraulischen Grundbruch im Quader ist

η =γ′

fs

.

In diesem speziellen Beispiel ist n′A′ = 6 und n′

B′ ≈ 7,2 .

In den Ecken der Baugrube strömt aufgrund der dreidimensionalen Strömung lokal mehr Wasser zu. Die Strömungskräftesind dort höher.

3.10 i Baugrube im offenem Wasser und im Grundwasser

Die Randbedingungen für die Strömung bei einer Baugrube in offenem Wasser und einer Baugrube im Grundwasser sindgrundsätzlich verschieden.

Für eine Baugrube im offenen Wasser (Abbildung 51-a) stellt die Geländeoberkante (GOK) eine Potentiallinie dar. Dem-zufolge starten die Stromlinien senkrecht dazu. Bei einer Baugrube im Grundwasser (Abbildung 51-c) kommen die Strom-linien aus dem Fernfeld, der Grundwasserspiegel ist keine Potentiallinie; er sinkt zur Stützwand hin.31 Der endgültigabgesenkte Wasserspiegel stellt sich erst nach einer gewissen Pumpdauer ein.32

GOK

WSP

BGS=WSP

GOK

k1

k1

k2

k2

k1

GOK

GWGW

BGS=WSP

<<

BGS=WSP

(a) (b) (c)

Abbildung 51: Strömung bei Spundwänden: (a) im offenem Wasser; (b) im Grundwasser bei geschichtetem Baugrund –obere Schicht sehr viel durchlässiger als untere; (c) im Grundwasser – abgesenkter GW-Spiegel

31Berechnung entweder nummerisch oder näherungsweise analytisch z.B. nach W. Knaupe (1979): Baugrubensicherung und Wasserandrang, VEBVerlag für Bauwesen.

32A. Herth (1985): Theorie und Praxis der Grundwasserabsenkung, 2. Aufl., Ernst & Sohn.

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3.11 i Hydraulischer Grundbruch bei Kanalgraben, Näherung! 51

Wird der Potentialabbau einer Baugrube im Grundwasser näherungsweise wie bei einer Baugrube im offenen Wasserberechnet, d.h. der Grundwasserspiegel wird als eben und als Potentiallinie betrachtet, wird die Strömungskraft in derRegel überschätzt und der Nachweis gegen hydraulischen Grundbruch liegt auf der sicheren Seite33.

3.11 i Hydraulischer Grundbruch bei Kanalgraben, Näherung!

Beim Bau eines Abschnittes des Regionalkanals Lechtal wurde wegen des hohen Grundwasserstandes und der großenDurchlässigkeit des Bodens Spundwände mit offener Grundwasserhaltung als Verbaumaßnahme gewählt (siehe Abbil-dung 52). Die Spundwände waren 8 m lang, die Baugrube war 1,4 m breit, und die Sohltiefe betrug 4,5 m.

GW GOK

t

l

h

b

Abbildung 52: Baugrube mit maximalem Grundwasserstand

Die Wichte γ′ des Kieses unter Auftrieb wurde mit 11 kN/m3 angenommen.

Die Sicherheit η = γ ′/fs gegen hydraulischen Grundbruch muss für Kies 1,5 bis 2,0 sein34. Die hydraulische Strömungs-kraft pro Volumen ist

fs = iγw ,

wobei die Wichte des Wassers γw = 10 kN/m3 angesetzt wird.

Der Potentialunterschied zwischen der Grabensohle und dem Spundwandfuß lässt sich bei Annahme von senkrechtenStrömungslinien abschätzen. Der Abbau des Potentials entlang einer Stromlinie ist ungefähr wie in Abbildung 53.

Das Potential der Grundwasserströmung am Spundwandfuß ist bezogen auf die Grabensohle bei nl Potentialstufen aufder Länge l einer Stromlinie:

h0 − ∆Hn′

n= t − t

nl

t

l+ nl

nl

t

l+ 2nl

=t

2 +t

l

Das hydraulische Gefälle i zwischen der Spundwand ist dieser Potentialunterschied dividiert durch die Fließlänge l:

i =t

2l + t.

33S. Schmitz (1989): Hydraulische Grundbruchsicherheit bei räumlicher Anströmung. Mitteilungen aus dem Fachgebiet Grundbau und Bodenmecha-nik, Universität-Gesamthochschule-Essen, Heft 16.

34KNAPPE 1987, Baugrubensicherung und WasserhaltungIm Tabellenbuch STRÄUSSLER finden wir ein Beispiel mit Sicherheit 2,5.Laut EAU (Empfehlungen des Arbeitsausschusses Ufereinfassung) 1990 E115 soll die Sicherheit größer 1,5 sein.Die Größe der Sicherheit ist nicht genormt!

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lt

nlt

h

l

Pote

ntia

l−st

ufen

n P

oten

tialst

ufen

n P

oten

tialst

ufen

l l

Abbildung 53: Ungefähre Verteilung des Potentialabbaues entlang einer Stromlinie

Mit diesen Annahmen ergibt sich für die 8 m lange Spundwand, bei der Sohltiefe von t = 4,5 m:

η =γ′

fs

=(t + 2l)γ′

tγw

=(4,5 + 2 · 3,5) · 11

4,5 · 10= 2,8 > 2,0

Variante mit Verdichtung der Sohle. Um keine Setzungen des verlegten und eingeschütteten Rohres beim Ziehen derSpundwände zu erhalten, wurde der Boden zwischen den Spundwänden mit der Rütteldruckverdichtung unter Zugabe vonfeinem Material verdichtet. Nun wird aber das Material zwischen der Spundwand dichter, und somit das Potentialgefälleund dadurch die Strömungskraft in diesem Bereich größer. Um wieviel muss die Spundwand jetzt verlängert werden, umdie hydraulische Grundbruchsicherheit zu gewährleisten?

Für die Berechnung der hydraulischen Grundbruchsicherheit der Baugrube wurden folgende Annahmen getroffen. DieDurchlässigkeit des verdichteten Materials (grauer Bereich in Abbildung 54) wird mit 1/10 des unverdichteten angenom-men. Die Wichte γ ′ des Kieses unter Auftrieb wird so wie vorher mit 11 kN/m3 angenommen.35

k1k2

GW GOK

t

l

h

b

Abbildung 54: Baugrube mit verschiedenen Durchlässigkeiten

Der Potentialunterschied zwischen der Grabensohle und dem Spundwandfuß lässt sich bei Annahme von senkrechtenStrömungslinien abschätzen. Dabei sind innerhalb der Spundwand nun k1

k2

nl Potentialstufen entlang der Stromlinie. Au-

35Wenn wir die Erhöhung der Wichte durch das Verdichten nicht berücksichtigen, bleiben wir auf der sicheren Seite.

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3.12 Auftriebssicherheit 53

ßerhalb der Spundwand bleibt die Anzahl der Potentialstufen gleich. Damit erhalten wir für den Potentialunterschied

t

1 +k2

k1+

k2t

k1l

,

wobei k1 die Durchlässigkeit des die Spundwand umgebenden unverdichteten Bodens und k2 die Durchlässigkeit desverdichteten Bodens zwischen der Spundwand ist. Hier wurde angenommen, dass k2

k1

= 110 ist.

Das hydraulische Gefälle i ist der Potentialunterschied dividiert durch die Fließlänge

i =t

(

1 +k2

k1+

k2t

k1l

)

l

.

Mit diesen Annahmen ergibt sich für eine 11,5 m lange Spundwand und der Sohltiefe t = 4,5 m

η =γ′

fs

=γ′

iγw

= 2,0 ≥ ηerf = 2,0 .

3.12 Auftriebssicherheit

Wird im Beispiel 3.11 der Boden zwischen der Spundwand injiziert, so wird er sehr undurchlässig. Es muss die Auftriebs-sicherheit nach ÖN B 4435 Teil 2 gegeben sein.

Die resultierende Druckkraft an der Sohle des undurchlässigen Bodenkörpers zwischen der Spundwand (grauer Bereichin Abbildung 54) ist auf den Laufmeter Spundwandlänge

W = hbγw .

Die Wichte des injizierten Bodens kann ungefähr gleich der Wichte des wassergesättigten Kieses γr = γ′ + γw =20 kN/m2 angesetzt werden. Das entgegenwirkende Gewicht pro Laufmeter Spundwandlänge des Bodenkörpers ist

G = lbγr = (h − t)bγr .

Die zusätzlich haltenden Reibungskräfte entlang der Spundwand werden nicht eingerechnet.Die Teilsicherheitsbeiwerte für die Lastfallklasse 2 (Bauzustand) sind für die Einwirkungen γW = 1,0 und die ständigwirkenden Widerstände aus Eigengewicht γG = 1,05:Für Auftriebssicherheit muss gelten

G

γG

≥ WγW .

Für eine Spundwandlänge h = 10 m und einer Grabentiefe t = 4,5 m folgt

G = (h − t)bγr = (10− 4,5) · 1,4 · 20 = 154 kN/lfmW = hbγw = 10 · 1,4 · 10 = 140 kN/lfm ,

und damit istG

γG

≥ WγW

154

1,05≥ 140 · 1,0

146,6 ≥ 140

erfüllt.

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3.13 Filterregel

Filtermaterial wird grundsätzlich so gewählt, dass es zwei Kriterien erfüllt:

• Mechanische Wirksamkeit

• Hydraulische Wirksamkeit

Beschrieben werden diese Kriterien durch die Filterregel von Terzaghi (1948):

DFilter15

dErdstoff85

︸︷︷︸

mechanische Wirksamkeit: Verhinderung desAusspülens von Körnern aus dem angrenzendenBoden in den Filter

< 4 . . . 5 <DFilter

15

dErdstoff15

︸︷︷︸

hydraulische Wirksamkeit: Durchlässigkeit desFilters ist erheblich größer als jene des an-grenzenden Bodens, das heißt kFilter ≈(4 . . . 5)2 kErdstoff

(vgl. Formel von HAZEN)

Ein Erdstoff ist also dann für den Einbau in die Filterschicht geeignet, wenn der Korndurchmesser bei y(D) = 15 %(entspricht D15) mindestens viermal so groß ist wie der Korndurchmesser d15 und höchstens fünfmal so groß wie Korn-durchmesser d85 der angrenzenden Bodenschicht.

Abbildung 55: Repräsentative Korndurchmesser d15 (kleinster), d85 (größter)

Hierbei repräsentiert d15 (D15) den kleinsten Korndurchmesser der betrachteten Bodenschicht (Filterschicht), währendd85 für den größten Korndurchmesser der angrenzenden Bodenschicht steht (siehe Abbildung 55).

Die Kornverteilungskurve A in Abbildung 56 stellt die zu schützende Bodenschicht dar. Der Bereich für mögliche Filter-schichten, den wir durch Anwendung der Filterregel erhalten, ist ebenfalls in Abbildung 56 eingetragen. Die Kurve B inAbbildung 56 stellt eine möglichen Kornverteilungslinie einer Filterschicht dar, welche die Filterregel erfüllt.

Der Filterbeiwert (4...5) wird folgendermaßen ermittelt:

„Die größten Körner des Erdstoffes sollen nicht in den Filter gespült werden.“ Das bedeutet, dass die größten Körner d85

des Erdstoffes von den kleinsten Körnern D15 des Filters gehalten werden müssen36.

Man stellt sich die Bodenkörner als eine Packung Kugeln gleichen Durchmessers vor, die unterschiedlich angeordnetsein können. In der regelmäßigen Anordnung bilden sie ein rechtwinkliges Raumgitter (siehe Abbildung 57). Für den

36Dabei geht man von einer inneren Filterstabilität des Erdstoffes aus, das heißt die kleineren Körner des Erdstoffes werden durch die größerenKörner des Erdstoffes gehalten, das Korngerüst bleibt also in sich stabil.

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3.13 Filterregel 55

Abbildung 56: A ... zu schützende Bodenschicht, B ... mögliches Filtermaterial

Abbildung 57: Lockerste Lagerung, der als Kugeln idealisierten Bodenkörner

Durchmesser der größten Kugel, die in den Hohlräumen gerade noch Platz findet, ergibt sich:

d85 =D15

1 +√

2bzw.

D15

d85= 1 +

√2 = 2,41

In der dichtesten Lagerung, wobei eine Kugel zwölf benachbarte Kugeln berührt und die Mittelpunkte ein Tetraedergitter(siehe Abbildung 58) bilden, ergibt sich für den Durchmesser der kleinen Kugel:

d85 =D15

1 + 2√

3bzw.

D15

d85= 1 + 2

√3 = 4,46

Der Mittelwert für eine unregelmäßige Packung beträgt 3,43. Mit Rücksicht darauf, dass die Erdstoffe nicht aus Kugelnbestehen und eine gemischte Körnung haben, wird als Filterbeiwert 4 . . . 5 angesetzt.

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Abbildung 58: Dichteste Lagerung, der als Kugeln idealisierten Bodenkörner

3.14 Hydraulische Bemessung einer Filterschicht

Für den Dammquerschnitt (siehe Abbildung 59a) soll eine Filterschicht bemessen werden.37 Diese besteht aus einer auf-gehenden, schräg liegenden und aus einer horizontalen Schicht. Die Abmessungen können der Abbildung 59 entnommenwerden.

Abbildung 59: Staudamm mit Filterschichten d1, d2

Zuerst wird das Strömungsbild konstruiert und damit die durch den Kern sickernde Wassermenge unter Berücksichti-gung des Durchlässigkeitsbeiwertes ermittelt. Außerdem muss jene Wassermenge durch Schätzung bestimmt werden, diedurch den Untergrund in die horizontale Filterschicht gelangt. Nehmen wir an, dass diese Werte in unserem Fall für denlaufenden Meter Dammlänge q1 = 0,2 m3/Tag und q2 = 1,0 m3/Tag betragen.

37Siehe Kezdi-Handbuch der Bodenmechanik Teil 2, Seiten 79–80.

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3.14 Hydraulische Bemessung einer Filterschicht 57

Schräge Filterschichten: Wenn die Dicke d1 der schrägen Filterschicht 3,5 m ist, berechnet sich der Durchfluss q1 aus

q1 = vd1 = k1i1d1

und daraus ergibt sich für den erforderlichen Durchlässigkeitsbeiwert k1

k1 =q1

d1i1. (15)

Der Durchfluss q1 und die Dicke d1 sind bekannt, während das hydraulische Gefälle i1 der schrägen Filterschicht erstberechnet werden muss (siehe Abbildung 59b):

i1 =H1

l1(16)

Aus dem Steigungsverhältnis der schrägen Filterschicht (siehe Abbildung 59c) folgt

l1 =

√

H21 +

(H1

4

)2

= H1

√

1 +1

42. (17)

Einsetzen der Gleichungen 16 und 17 in 15 ergibt

k1 =q1l1d1H1

=q1H1

√174

d1H1=

0,2 ·√

174

3,5= 0,059 m/Tag = 6,8 · 10−5 cm/s .

Die Durchlässigkeit von k ≥ 7 · 10−5 cm/s wird zum Beispiel von einem gering schluffigen Sand erfüllt (Su’). Hierbei istdie Filterschicht rein den hydraulischen Erfordernissen entsprechend gewählt worden. Sie muss auch die Filterkriterienzu dem angrenzenden Kern erfüllen. Dies soll jedoch nicht weiter verfolgt werden.

Horizontale Filterschicht: Der horizontale Teil des Filtersystems soll so bemessen werden, dass sie die Wassermenge

q = q1 + q2 = 1,2 m3/Tag

so ableitet, dass kein Überdruck darin entsteht, das heißt die größte Druckhöhe (= Energiehöhe = Wasserspiegellage beifreier Strömung) nicht größer wird als die Schichtdicke d2.

Dies führt zu folgender Bedingung : Energiehöhe H2 ≤ Schichtdicke d2 .Wie bereits bei der schrägen Filterschicht berechnet sich die Durchlässigkeit aus

k2 =q

d2i2. (18)

Das Potential wird über die gesamte Fließstrecke abgebaut. Das gemittelte hydraulische Gefälle ist demnach i2 = H2

l2.

Die Bedingung der Überdruckfreiheit wird beschrieben durch die Gleichung H2 ≤ d2. Somit ist im Grenzfall

i2 =H2

l2=

d2

l2. (19)

Gleichung 19 in Gleichung 18 eingesetzt ergibt

k2 =ql2

d22 .

Daraus erhalten wir durch Umformen die erforderliche Dicke

d2 =

√

ql2k

.

Für Perlkies mit k ≈ 100 m/Tag ergibt sich mit d2 =√

1,2 · 165/100 die erforderliche Dicke zu d2 =√

1,98 = 1,40 m.

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58 4 SPANNUNGEN IM BODEN

4 Spannungen im Boden

4.1 Wichte unter Auftrieb

Die Wichte unter Auftrieb γ ′ ist ein etwas seltsamer Parameter. In geotechnischen Problemen tritt aber oft Grundwasserauf, und deshalb ist es wichtig zu verstehen, was mit dieser Wichte gemeint ist. Wir werden dazu drei Gedankenexperi-mente machen.

Gedankenexperiment 1 Wir stellen uns einen Würfel aus wassergesättigtem Boden mit der Grundfläche A und derHöhe z vor (siehe Abbildung 60).38

z

A

F u(z)

Abbildung 60: Gedankenexperiment

Stellen wir diesen Würfel auf eine gewichtslose Glasplatte, können wir die Kraft, mit der der Würfel auf die Glasplattedrückt, durch Wiegen messen. Sie ist

F = γrV = γrAz . (20)

Der Wasserdruck in der Fuge zwischen Bodenwürfel und Glasplatte ist

u = γwz , (21)

wenn wir annehmen, dass die Poren des Bodens kommunizierende Gefäße sind.

Die auf die Glasplatte wirkende totale Spannung errechnet sich mit Gleichung 20 einfach aus

σ =F

A= γrz . (22)

Mit der Definition der effektiven Spannung σ′ = σ − u und den Gleichungen 21 und 22 wird die effektive Spannung inder Fuge zwischen Bodenwürfel und Glasplatte zu

σ′ = (γr − γw︸︷︷︸

=:γ′

)z .

Mit der Wichte unter Auftrieb γ ′ = γr − γw werden also die effektiven Spannungen berechnet.

Gedankenexperiment 2 Wir versenken obigen wassergesättigten Würfel in Wasser und berechnen sein Gewicht unterWasser.39

Das Gewicht über Wasser ist

G = γrV .

38Damit das Wasser nicht ausrinnt, soll der Würfel mit einem gewichtslosen unflexiblem Material eingehüllt sein.39Dabei ist der Würfel wieder gedanklich in eine wasserundurchlässige Hülle gewickelt.

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4.2 Totale Spannung, effektive Spannung und Porenwasserdruck 59

Unter Wasser wiegt der Würfel um die Auftriebskraft (Wasserwichte mal verdrängtes Volumen)

A = γwV

weniger. Somit ist sein Gewicht unter Wasser

G′ = G − A = (γr − γw)︸︷︷︸

=:γ′

V = γ′V .

Mit der Auftriebswichte wird also das Gewicht des (wassergesättigten) Bodens unter Auftrieb berechnet. (Nicht weiterverwunderlich, oder?)

Gedankenexperiment 3 Wir versenken nun einen trockenen Würfel aus Boden in Wasser. Diesmal lassen wir zu, dassWasser in die Bodenporen dringt.

Das Gewicht des trockenen Bodenwürfels über Wasser ist

Gd = γsVs .

Unter Wasser wiegt der Würfel um die Auftriebskraft

As = γwVs

weniger. Wobei diesmal nur die Körner Wasser verdrängen. Somit ist sein Gewicht unter Wasser

G′ = Gd − As = (γs − γw)Vs .

Dies formen wir noch etwas um. In wassergesättigtem Boden ist das Porenvolumen gleich dem Wasservolumen und somitgilt: n = Vw/V und (1−n) = Vs/V . Damit können wir das Gewicht des Würfels unter Wasser aus dem GesamtvolumenV berechnen

G′ = (γs − γw)(1 − n)V (23)= (γs − γw − nγs + nγw)V

= [(1 − n)γs + nγw − γw]V . (24)

Nun erinnern wir uns noch an das Gewicht des wassergesättigten Würfels über Wasser

G = γrV = γsVs + γwVw .

Daraus erhalten wir eine Beziehung für die Wichte des gesättigten Bodens

G

V= γr = γs

Vs

V+ γw

Vw

V= (1 − n)γs + nγw .

Vergleichen wir dies mit der gerade eben abgeleiteten Gleichung (24) für G′, entdecken wir diesen Ausdruck und könnenin ersetzen. Damit erhalten wir die bekannte Formel

G′ = (γr − γw)︸︷︷︸

=:γ′

V = γ′V .

Übrigens zeigt Gleichung (23) eine kurze (elegante) Berechnungsformel für die Wichte unter Auftrieb

γ′ = (γs − γw)(1 − n) .

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z´��

z

Boden 2

GOK

Boden 1

� � � � � � � � � �� +

-2,00

GW -4,00

0,00

Abbildung 61: Bodenaufbau

4.2 Totale Spannung, effektive Spannung und Porenwasserdruck

Angaben: Für den in Abbildung 61 dargestellten Bodenaufbau mit

Bodenschicht 1: SandKornwichte γs = 26,0 kN/mPorenanteil n = 0,3Wassergehalt w = 0,1Erdruhedruckbeiwert K0 = 0,5

Bodenschicht 2: TonKornwichte γs = 28,0 kN/mPorenanteil n = 0,6Sättigungsgrad S = 0,3 oberhalb GWErdruhedruckbeiwert K0 = 0,74

sind die Spannungsverteilungen der totalen Spannungen (σz ,σh), der effektiven Spannungen (σ′z ,σ

′h) und des Porenwas-

serdruckes u über die Tiefe z bis zu einer Tiefe von 7,0 m zu berechnen und darzustellen.Hinweis: Beachte die Beziehung zwischen σ′

z , σ′h und K0 mit

σ′h = K0 · σ′

z ,

und die Definition der totalen Spannung σ zu

σ = σ′ + u .

Lösung: Für die Ermittlung der Spannungen in vertikaler Richtung muss die Raumwichte γ eines feuchten Bodens bzw.die Wichte γr eines gesättigten Bodens berechnet werden.

Bodenschicht 1: Aus der bekannten Beziehung für den Porenanteil n mit der Trockenwichte γd und der Kornwichte γs

n = 1 − γd

γs

erhalten wir die Trockenwichte γd zu

γd = γs(1 − n) = 26,0 · (1 − 0,3) = 18,2 kN/m3 .

Die Feuchtwichte γ ergibt sich für den gegebenen Wassergehalt von w = 0,1 zu

γ = γd(1 + w) = 18,2 · (1 + 0,1) = 20,0 kN/m3 .

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4.2 Totale Spannung, effektive Spannung und Porenwasserdruck 61

Bodenschicht 2, oberhalb des Grundwassers: Analog zu Bodenschicht 1 ergibt sich die Trockenwichte γd zu

γd = γs(1 − n) = 28,0 · (1 − 0,6) = 11,2 kN/m3 .

Den aktuellen Wassergehalt erhalten wir über den Sättigungsgrad S und den maximalen Wassergehalt wmax mit

S =w

wmax

,

wobei sich der maximale Wassergehalt wmax über die Gleichung

wmax =n

1 − n

γw

γs

bestimmen lässt.Die fehlenden Bodenkenngrößen ergeben sich zu

wmax =0,6

1 − 0,6

10,0

28,0= 0,537 und

w = 0,3 · 0,537 = 0,16 ,

und wir erhalten die Feuchtwichte γ für den Bereich oberhalb des Grundwassers zu

γ = γd(1 + w) = 11,2 · (1 + 0,16) = 13 kN/m3 .

Bodenschicht 2, im Grundwasser: Die Wichte γr des mit Wasser gesättigten Bodens berechnet sich zu

γr = γd(1 + wmax) = 11,2 · (1 + 0,537) = 17,2 kN/m3 ,

wobei jedoch zu beachten ist, dass das Grundwasser eine Auftriebskraft auf den Boden ausübt. Die verbleibende,für die effektiven Spannungen im Boden relevante Wichte γ ′ ergibt sich aus der Differenz zwischen γr und derWichte des Wassers mit γw = 10,0 kN/m3 zu

γ′ = γr − γw = 17,2− 10,0 = 7,2 kN/m3 .

Die effektiven Spannungen und der Porenwasserdruck werden nach den bekannten Formeln

σ′z(z) =

z∫

0

γ′(z) dz und u(z′) = γwz′

berechnet.

Der Porenwasserdruck ist bis zu einer Tiefe von 4 m nicht vorhanden, da in diesem Bereich die Bodenschichten nichtmit Wasser gesättigt sind.40 Ab z = 4 m steigt der Porenwasserdruck linear mit der Tiefe an, und ist in horizontaler undvertikaler Richtung gleich groß (Wasserdruck ist richtungsunabhängig). Die Porenwasserdruckverteilung ergibt sich zu:

Kote Porenwasserdruck u[m] [kN/m2]

±0,00 0−2,0 0−4,0 0−7,0 3,0 · 10,0 = 30,0

Der Verlauf der effektiven Spannung σ′z hat bei z = −2 m aufgrund der Änderung der Wichte γ (Schichtwechsel) einen

Knick. Bei z = −4 m ändert sich die für die Spannungsberechnung relevante Wichte des Bodens wegen des vorhandenenGrundwassers von γ auf γ ′. Der Verlauf der effektiven Spannung σ′

h ergibt sich aus dem Produkt der effektiven vertikalenSpannung und dem Erdruhedruckkoeffizienten K0 der jeweiligen Bodenschicht. Die effektiven Spannungen ergeben sichzu:

40Eventuell vorhandene kapillare Saugspannungen werden hier nicht berücksichtigt.

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u

−2 m

−4 m

0 m

−7 m

σ σ

40,0

66,0

87,630,0 64,8

48,8

20,0 40,0

66,0

20,0

48,8

94,8117,6

29,6 29,6

σ ´ σ ´h z hz

Abbildung 62: Spannungsverteilungen [kN/m2] über die Tiefe z

Kote Wichte σ′z

[m] [kN/m3] [kN/m2]±0,00 0−2,0 γ = 20,0 2 · 20,0 = 40,0−4,0 γ = 13,0 40,0 + 2,0 · 13,0 = 66,0−7,0 γ′ = 7,2 66,0 + 3,0 · 7,2 = 87,6

Kote K0 σ′h

[m] [kN/m2]±0,00 0−2,0 0,5 0,5 · 40,0 = 20,0

0,74 0,74 · 40,0 = 29,6−4,0 0,74 0,74 · 66,0 = 48,8−7,0 0,74 0,74 · 87,6 = 64,8

Die Verteilungen für die totalen Spannungen berechnen sich aus der Summe der effektiven Spannung σ ′ und des Poren-wasserdrucks u:

Kote σz σh

[m] [kN/m2] [kN/m2]±0,00 0 0−2,0 40,0 20,0

29,6−4,0 66,0 48,8−7,0 117,6 94,8

Die gesuchten Spannungsverteilungen im Untergrund sind in Abbildung 62 dargestellt.

4.3 Das Diagramm von MOHR zur Darstellung von Spannungen

Zur Übung für die Anwendung des MOHRschen Diagramms, wird die Spannungsänderung in einem elastischen Halb-raum41 unter einen Fundament betrachtet.

41Der Boden ist in keinem Fall elastisch. Bei der Spannungsberechnung zur Setzungsermittlung von Fundamenten wird er aber üblicherweise alselastisch betrachtet.

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4.3 MOHRsches Diagramm 63

Abbildung 63: Unvorbelasteter Halbraum mit horizontaler Oberfläche

Boden ohne Auflast: In dem unbelasteten Halbraum mit horizontaler Oberfläche nach Abbildung 63 verursacht dasEigengewicht des Bodens die Spannungen

σz = γz

σx = K0γz = (1 − sin ϕ)γz

τxz = 0 .

σz und σx sind die Hauptspannungen σ1 und σ2. Für ein Bodenelement in der Tiefe z = 2 m lassen sich also dieHauptspannungen aus folgenden Gleichungen ermitteln

σ1 = σz = 22 · 2 = 44 kN/m2 ,

σ2 = σx = (1 − sin 30◦) · 22 · 2 = 22 kN/m2 .

Abbildung 64: Zusatzspannungen durch Streifenfundament

Spannungsänderung durch Streifenfundament: Auf den vorhandenem Boden wird nun im Zuge einer Baumaßnahmeein Streifenfundament errichtet (siehe Abbildung 64). Für den bereits betrachteten Punkt in der Tiefe z = 2 m werdennun mit einer elastischen Berechnung42 die zusätzlichen Spannungen ermittelt, wobei wir nicht vergessen, dass der Bodennicht elastisch ist! Als Ergebnis dieser Berechnung erhalten wir

∆σz = 16,4 kN/m2

∆σx = 3,6 kN/m2

∆τxz = 6,4 kN/m2 .

42Poulos und Davis: Elastic Solutions for Soil and Rock Mechanics, 1974.

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64 5 SETZUNGSBERECHNUNG

Da die aufgebrachte Belastung eine endliche Ausdehnung hat, erfolgt eine Spannungsausbreitung in horizontaler Rich-tung. Diese Spannungsausbreitung wird durch die mobilisierten Schubspannungen ∆τxz ermöglicht. Da nun aber für diex- beziehungsweise die z-Richtung die Schubspannungen nicht mehr verschwinden (τxz = τzx 6= 0), sind diese Richtun-gen nicht mehr die Hauptspannungsrichtungen. Die Ebenen auf denen die Schubspannungen verschwinden, können nunauf einfache Weise mit dem Diagramm nach MOHR ermittelt werden (siehe Abbildung 65).

Für den kohäsionslosen Boden bilden die Geraden

τ = ±σ tan ϕ

im Mohrschen Diagramm Grenzen für mögliche Spannungszustände. Tangiert ein Spannungskreis diese Geraden, sohandelt es sich um einen Grenzspannungszustand bei dem die Schubspannung τ gleich der Scherfestigkeit τf ist. Da dieSchubspannung τ für eine bestimmte Normalspannung σ nie größer als τf werden kann, sind auch keine Spannungskreisemöglich, die die Grenzgeraden schneiden. Für unseren betrachteten Punkt in der Tiefe z = 2 m, dessen Spannungskreisinnerhalb der Grenzgeraden liegt (siehe Abbildung 65), wird die Bruchbedingung43 nicht erfüllt.

Abbildung 65: Diagramm nach Mohr zur Ermittlung der Hauptnormalspannungen und als Bruchkriterium für einen ebe-nen Spannungszustand

5 Setzungsberechnung

5.1 Prinzip der Setzungsberechnung

Wird eine Last auf dem Boden aufgebracht treten Spannungen im Boden zufolge der Last auf. Diese Spannungen führenzu Verzerrungen im Boden. Aus der Integration dieser Verzerrungen über die Tiefe folgt die Verformung der Oberflächealso die Setzung.

Der Zusammenhang zwischen der Spannung σ und der Verzerrung ε ist über den (spannungsabhängigen) Steifemodul Es

gegeben. Die Bestimmung des Steifemoduls Es erfolgt

analytisch: bei erstmaliger Belastung des Bodens mittels des Kompressionsbeiwertes Cc zu

Es =1 + e0

Cc

σ ,

43Die Bruchbedingung ist erfüllt, wenn der Spanungskreis die Grenzgerade tangiert.

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5.1 Prinzip der Setzungsberechnung 65

und bei Entlastung oder Wiederbelastung des Bodens mittels des Schwellbeiwertes Cs zu

Es =1 + e0

Cs

σ .

Der Kompressionsbeiwert Cc bzw. der Schwellbeiwert Cs ist je nach Boden aus Tabellen (siehe Vorlesung) zubestimmen. Die bei σ0 herrschende Porenzahl e0 kann z.B. über die Lagerungsdichte Ie abgeschätzt werden.

Am Beispiel der Spannungs-Dehnungs-Kurve für das Inntal (siehe Abbildung 66) ist erkennbar, wann Cc bzw. CS

zu verwenden ist. Der Boden erfährt bis zum Schmelzen des Gletschers eine erstmalige Belastung (→ Cc) und istnormalkonsolidiert. Das Schmelzen des Gletschers bewirkt eine Entlastung des Bodens (→ Cs) und führt zu einerÜberkonsolidierung. Eine nun aufgebrachte Wiederbelastung geschieht näherungsweise entlang der Entlastungs-kurve (solange σ < σv → Cs), danach entlang der Belastungskurve (→ Cc).

ε

σ

Erstbelastung,

Schmelzen

Gletscherwachstum

ueberkonsolidiertEntlastung, Wiederbelastung,

normal konsolidiert

vσ

Abbildung 66: Erstmalige Belastung, Entlastung und Wiederbelastung am Beispiel des Inntales mit einer Vorbelastungσv durch einen Gletscher

mittels Ödometerversuch (nach ÖN B4420 bzw. DIN 18135): Eine Bodenprobe wird in einem Gefäß mit unnachgie-bigen Seitenwänden belastet. Als Ergebnis des Ödometerversuches erhält man eine Spannungs-Dehnungs-Kurve(sog. Druck-Setzungs-Kurve). Der Steifemodul Es ist somit direkt aus der Druck-Setzungs-Kurve zu

Es =∆σ

∆ε

berechnen (siehe Abbildung 67).Der Ödometerversuch wird üblicherweise mit einem Probendurchmesser von 7 bzw. 10 cm bei einem GrößtkornGK von

GK ≈ Probendurchmesser8 ÷ 5

durchgeführt.

Die Ermittlung des Steifemoduls Es erfolgt für bindige und sandige Böden meist mittels des Ödometerversuches. Hinge-gen wird der Steifemodul für kiesige Böden meistens analytisch mittels der Beiwerte Cc bzw. Cs bestimmt.

Der Steifemodul Es stellt keine Bodenkonstante dar, sondern ist von der Größe der Ausgangs-spannung σ und der Zusatzspannung ∆σ abhängig.

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��

��

h0

σ=F/A

ε= ∆hh0

��

A

F

Abbildung 67: Prinzipskizze eines Ödometer und Druck-Setzungs-Kurve

Abbildung 68: Ödometer: Belastungszelle Abbildung 69: Ödometer: Belastungszelle mit eingebau-ter Probe

Abbildung 70: Ödometer: Probe

Abbildung 71: Ödometer: Belastungseinrichtung

Die Setzung eines Punktes der Oberfläche rechnet sich allgemein zu

s =

∫ ∞

0

ε dz ,

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5.1 Prinzip der Setzungsberechnung 67

wobei für die praktische Berechnung dieses Integral näherungsweise zu

s =

∫ ∞

0

ε dz ≈n∑

i=1

εi di

berechnet wird.

Für die Berechnung der Setzung unterhalb einer schlaffen Fundamentplatte ist es notwendig, die Vertikalspannungsvertei-lungen zufolge Eigengewicht des Bodens σ0 und Belastung (z.B. mittels Steinbrenner) σF zu ermitteln. Der Boden wirdin Schichten di unterteilt und die Spannung zufolge Eigengewicht und Zusatzbelastung in Schichtmitte ermittelt. Mittelsdieser Ausgangsspannung σ0,i und Berücksichtigung der Zusatzspannung σF,i kann schichtenweise die Stauchung εi ausdem Versuchsdiagramm abgelesen werden (siehe Abbildung 72). Bei nicht bekannter Druck-Setzungs-Kurve werden derTangentenmodul Es,i und die Stauchung εi über die Beziehungen

Es,i =1 + e0

Cc

(

σ0,i +σF,i

2

)

,

εi =σF,i

Es,i

berechnet. Die Teilsetzungen si ergeben sich hiermit zu

si = diεi .

σ0

1d

2d

3d

σ0,1 0,1σ +σF,1

1ε

σ

ε

ε 2

σ

ε

σ0,2 0,2σ +σF,2

σF

0,3σ +σF,30,3σ

ε 3

σ

ε

σF,1

σ0,1

F

Grenztiefe

Abbildung 72: Spannungsverteilung zufolge Eigengewicht und Zusatzbelastung

Die Gesamtsetzung s berechnet sich durch Aufsummierung der Teilsetzungen si aus

s = Σsi .

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Für die Genauigkeit der Setzungsberechnung ist es ausreichend, die Schichteneinteilung bis zu einer Grenztiefe z vorzu-nehmen, an der die Zusatzspannung σF ≤ 0,2 · σ0 ist.

Ist das Fundament im Boden eingebunden (siehe Abbildung 74), wirkt der Aushub zur Erstellung des Fundamentes ent-lastend auf den Boden unter der Fundamentunterkante (FDUK). Der Boden hebt sich also (Schwellbeiwert Cs) und wirddurch das Fundamenteigengewicht und die Fundamentlast (und eventuell dem Gewicht wiederverfüllten Bodens) wiedernach unten gedrückt (zuerst ein Stück Wiederbelastung mit Cs und dann Erstbelastung mit Cc, siehe Abbildung 73).

Aushub

Belastung

σ

ε

σo

Abbildung 73: Entlastung durch Aushub, Wiederbelasten durch Eigengewicht und Fundamentlast

Die Setzungsberechnung kann deshalb mit einer reduzierten Belastung (Sohlpressung) pred unterhalb des Fundamentes

pred =F − GA + GB

a · b

durchgeführt werden. Dabei ist GA das Gewicht des von der Fundamentkonstruktion verdrängten Bodens und GB dasEigengewicht der Fundamentkonstruktion.

Die reduzierte Sohlpressung ist für den Spezialfall in Abbildung 74

pred =F

a · b + (γBeton − γ) · t .

F

t

a x b

γBeton

Abbildung 74: Eingebundenes Fundament

Mit dieser reduzierten Belastung wird mittels Steinbrenner der Verlauf von σz ermittelt.

5.2 Zahlenbeispiel einer Setzungsberechnung

Angaben: Für das in Abbildung 75 gegebene Einzelfundament soll bei gegebener Sohlpressung44 die zu erwartendeSetzung abgeschätzt werden. Als Ergebnis eines eindimensionalen Kompressionsversuches erhalten wir die Deformati-onsbeziehung für den Boden (siehe Abbildung 76). Zur Setzungsberechnung müssen wir nun die Spannungen im Bodenunter der Fundamentsohle bestimmen.

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5.2 Zahlenbeispiel einer Setzungsberechnung 69

Abbildung 75: Fundament, Sohlpressung=150 kN/m2

σ σ in kN/m2

0123456789

101112

0 100 200 300 400 500 600 700 800

εε in

%

Abbildung 76: Druck-Setzungskurve aus Kompressionsversuch (Schluff)

Ein Einzelfundament wird in der Regel als starres Fundament betrachtet. In der Berechnung wird üblicherweise dieSetzung unter dem Mittelpunkt einer schlaffen Last berechnet. Diese Setzung wird dann reduziert, um auf den Wert derSetzung des starren Fundamentes zu kommen.45

Mit Hilfe der bekannten Spannungen und der Deformationsbeziehung können dann die zu erwartenden Setzungen berech-net werden.

Spannungsberechnung: Die Spannungen im Boden unter dem Fundament setzen sich aus dem Eigengewichtsanteilσ0 und dem Anteil aus der Auflast σp zusammen. Da die später folgende Setzungsberechnung als numerische Integra-tion durchgeführt wird, werden Spannungswerte punktuell für einzelne Bodenschichten bestimmt, wobei in Bereichenmit hohem Spannungsgradienten eine engere Teilung gewählt wird. Für unser Beispiel wählen wir eine Aufteilung in 4Schichten (siehe Abbildung 77).

Die Spannungsermittlung der einzelnen Anteile (Bodeneigengewicht und Auflast) erfolgt am besten tabellarisch. Exem-plarisch wird die Ermittlung der Werte für die dritte Schicht (1,0− 3,0 m) durchgeführt. Der Spannungswert wird hierbei

44Die Sohlpressung beinhaltet auch das Eigengewicht des Fundamentes.45Alternativ kann auch die Setzung unter dem sogenannten kennzeichnenden Punkt einer schlaffen Last berechnet werden. Diese errechnete Setzung

für die schlaffe Last ist unter diesem Punkt gleich groß wie Setzung des starren Fundamentes.

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Abbildung 77: Schichtenaufteilung und Spannungsverlauf

für die Schichtmitte, das heißt für z = 2,0 m bestimmt. Die Spannung zufolge Bodeneigengewicht ergibt sich dann zu

σ0 = γz = 19 · 2,0 = 38 kN/m2 .

Die zusätzlichen Spannungen zufolge Auflast können mit der Formel von Steinbrenner berechnet werden. Hierbei wirddas Verformungsverhalten des Boden linear-elastische angenommen, wodurch einzelne Lösungen superponiert werdenkönnen. Die Spannung σzz unter dem Mittelpunkt der schlaffen Rechtecklast kann somit als Überlagerung der Eckspan-nungen von vier schlaffen Rechteckslasten ermittelt werden (siehe Abbildung 78).

Abbildung 78: Spannungsermittlung unter dem Mittelpunkt eines Einzelfundamentes mit Hilfe der Formel von Steinbren-ner durch Überlagerung von Rechtecksflächen

Allgemein lautet die Formel von Steinbrenner für die Vertikalspannung unter der Ecke σzz,Eck – hier kurz σp,Eck – einerschlaffen Rechteckslast p in der Tiefe z

σp,Eck =p

2π

[

arctanab

zR+

abz

R

(1

a2 + z2+

1

b2 + z2

)]

Achtung Falle: Der arctan in der Formel muss in Bogenmaß eingesetzt werden!

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mit

R =2

√

a2 + b2 + z2 =2

√

12 + 12 + 22 = 2,45 m

und durch Überlagerung von 4 Rechtecksflächen folgenden Wert für die Spannung σp = 4 · σp,Eck

σp = 4150

2π

[

arctan1 · 1

2 · 2,45+

1 · 1 · 22,45

·(

1

12 + 22+

1

12 + 22

)]

.

Die Auswertung dieser Gleichung ergibt σp = 50 kN/m2. Die sich für die anderen Schichten ergebenden Spannungswerteσ0 und σp sind in Tabelle 5 eingetragen. Die Berechnung von σp kann in jener Tiefe abgebrochen werden, in der dieZusatzspannungen zufolge Auflast (σp) kleiner als 20 % der ursprünglichen Spannungen (σ0) sind (siehe Abbildung 77).

Setzungsberechnung: Mit Hilfe der Druck-Setzungs-Kurve (Abbildung 76) und den berechneten Spannungen kann diesich aus der Auflast ergebenden Setzungen bestimmt werden. Setzungswirksam sind nur jene Spannungen, welche sichaus der zusätzlichen Belastung des Bodens durch das Fundament ergeben. Beispielhaft wird wiederum die Ermittlung fürSchicht 3 durchgeführt.

Schicht 3: z = 2,0 mσ0= 38 kN/m2

σp= 50 kN/m2

σ0+p= 88 kN/m2

Die Ablesung der Werte ε0 und ε0+p wird im Detail in Abbildung 79 dargestellt. Aus den abgelesenen Dehnungen kanndurch die Bildung der Differenz ∆ε = ε0+p − ε0 die setzungswirksame Dehnung bestimmt werden46. Mit Hilfe derDehnung ∆ε3 für Schicht 3 und der bekannten Schichtdicke ist es möglich die Setzung für Schicht 3 zu bestimmen:

∆ε3 = 3,3− 1,6 = 1,7 %

∆s3 = ∆ε3 d3 =1,7

100· (3 − 1) = 0,034 m

Die weiteren Ergebnisse sind in der Tabelle 5 zusammengestellt.

Deformationsbeziehung mittels Ödometerversuch rechnerischSchicht

Nr. Grenze Mitte σ0 σp εo εo+p ∆ε ∆s Es ∆ε ∆s

[m] [m] [ kN/m2] [ kN/m2] [%] [%] [%] [m] [MN/m2] [m]0

1 0,5 10 139 0,5 4,5 4,0 0,040 3,4 4,1 0,0411

2 2 38 50 1,6 3,3 1,7 0,034 2,9 1,7 0,0353

3 4,5 86 13 3,2 3,6 0,4 0,012 4,3 0,3 0,0096 13

86=0,15<0,2

Σ 0,09 Σ 0,09sstarr = 0,75 · sschlaff Σ 0,07 Σ 0,07

Tabelle 5: Ergebnisse der Setzungsberechnung

Die aufintegrierten Dehnungen ergeben dann die Setzung des Fundamentes. Dies durch eine Summenbildung der Teilset-zungen in den Einzelschichten durchgeführt. Die Setzung unter dem Mittelpunkt der schlaffen Rechtecklast ist damit

sschlaff =

4∑

i=1

∆εi di = 0,09 m .

46Die Dehnung ε0, verursacht durch das Bodeneigengewicht, ist bereits vor dem Aufbringen der Auflast auf den Boden aufgetreten.

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σ σ in kN/m2

0

1

2

3

4

0 20 40 60 80 100

ε[%

]ε[

%] εε0

εε0+p

SETZ

UNG

in %

σσ0 σσ0+p

setzungswirksameSpannung

Abbildung 79: Ablesung der Dehnungen ε0 und εp zufolge der Spannungen σ0 und σp aus der Deformationsbeziehung

Aus der Setzung in der Mitte der schlaffen Last47 wird die Setzung des starren Fundamentes 48 näherungsweise berechnet

sstarr = 0,75 · 9 cm = 7 cm .

Abhängig vom vorhandenen Boden sind weitere Abminderungen möglich49. Man muss sich jedoch darüber im klaren sein,dass Setzungsberechnungen nur eine Abschätzung der Größenordnung der wirklich auftretenden Setzungen erlauben. Dierealen Setzungen können oft um 100 %, manchmal bis zu 300 % von den berechneten Setzungen abweichen.

Berechnung ohne Kompressionsversuch: Ohne Kompressionsversuch müssen Annahmen für den Steifemodul ge-troffen werden. Der Steifemodul kann in Abhängigkeit von der Porenzahl e0, dem Kompressionsbeiwert Cc und demSpannungszustand σ abgeschätzt werden

Es =1 + e0

Cc

σ . (25)

Die Porenzahl wurde im Labor mit e0 = 0,83 bestimmt50. Für den Kompressionsbeiwert kann bei einem tonigen Schluff51

näherungsweise Cc = 0,04 angenommen werden. Aus Gleichung 25 ist leicht erkennbar, dass der Steifemodul vomaugenblicklichen Spannungszustand σ abhängig ist. Werden in Gleichung 25 die Spannung σ mit σ0 angenommen, soergeben sich rechnerisch zu große Setzungen, werden hingegen σ zu σ0+p gesetzt, so ergibt die Berechnung zu kleineSetzung. Normalerweise sind die Ergebnisse für σ = σ0 +

σp

2 am besten (siehe Abbildung 80).

Exemplarisch wird wiederum die Berechnung für Bodenschicht 3 gezeigt:

Schicht 3: z = 2,0 m47Die Berechnung der Spannungen im Boden geht von einer gleichmäßigen Einleitung der Auflast in den Boden aus – eine sogenannte schlaffe Last.

Diese Annahme stimmt ungefähr für ein biegeschlaffes Fundament oder eine Sandschüttung. Bei biegesteifen Fundamenten stimmt diese Annahmenicht mehr. Die Setzung eines biegesteifen Fundamentes beträgt ungefähr 75 % der Setzung in der Mitte einer gleich großen schlaffen Last.

48Üblicherweise werden Einzelfundamente als starr und Streifenfundamente (in Längsrichtung) als schlaff betrachtet. Im Einzelfall muss aber dasbaustatische System genau betrachtet werden. Ist zum Beispiel ein Streifenfundament schubsteif mit der aufgehenden Wand vebunden wirkt es auchstarr.

49Siehe ÖNÖRM B4431/1 (DIN 4019): abhängig vom Boden sabgem = (1 . . . 23) · s .

50Es besteht auch die Möglichkeit die Porenzahl e0 über die Wichte γ abzuschätzen.51Cc = 0,03 − 0,06 . . .toniger Schluff

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Abbildung 80: Mögliche Annahmen des Steifemoduls Es

σ0= 38 kN/m2

σp= 50 kN/m2

σ0+p= 88 kN/m2

Es =1 + 0,83

0,04·(

38 +50

2

)

= 2882 kN/m2

∆ε3 =σp

Es

=50

2882= 0,0173

∆s3 = ∆ε3 d3 = 0,0173 · 2 = 0,035 m

Die Ermittlung der restlichen Werte kann der Tabelle 5 entnommen werden. Als Ergebnis erhalten wir für die Setzungsschlaff =

∑∆s = 0,08 m. Für das starre Fundament folgt

sstarr = 0,75 · sschlaff = 0,06 m .

Eine Variation des Kompressionsbeiwertes Cc

Cc = 0,03 . . .0,06

ergibt eine Streuung der Ergebnisse für die Setzung von

sstarr = 5 . . . 9 cm .

Spannungsausbreitung unter Streifenfundament: Die Spannungen unter einem Streifenfundament können ebenfallsmit der Formel von Steinbrenner ermittelt werden. Dazu kann einfach a sehr viel größer als b eingesetzt werden (z.B.a = 100 · b), oder aber genauer auch der Grenzwert der Steinbrennerformel für a gegen unendlich gebildet werden.Daraus folgt die Spannung an der Ecke einer unendlich langen Streifenlast der Breite b

σp,Eck =p

2π

[

arctanb

z+

bz

b2 + z2

]

.

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Diese Werte sind übrigens in den üblichen Tabellenwerken unter a/b = ∞ zu finden.

Die Spannung unter der Fundamentmitte ist dann wie vorher der vierfache Wert der Eckspannung für die halbe Funda-mentbreite.

5.3 Zeitlicher Ablauf der Setzung

Setzungen treten nicht sofort auf. Erstens muss das Porenwasser aus dem sich durch die Setzung verringernden Porenraumausfließen, das wird Konsolidierung genannt. Sie kann bei entsprechend geringer Durchlässigkeit (bindige Böden) undgroßer Mächtigkeit der beeinflussten Schicht sehr lange (Monate, Jahre) dauern. Zweitens treten vor allem bei bindigenBöden Kriechverformungen auf. Beide Effekte laufen gleichzeitig ab und führen z.B. in einem Kompressions- bzw. Ödo-meterversuches zu der in Abbildung 81 dargestellten Zeitsetzungskurve.

s100

t µ=100% ln t

Primärsetzung Sekundärsetz.s

Abbildung 81: Experimentell ermittelte Zeitsetzungskurve

Der Abschluss der Primärsetzung und der Beginn der Sekundärsetzung wird durch den Zeitpunkt tµ=100 % definiert.

Die Setzung kann dimensionslos durch das gemittelte Konsolidierungsverhältnis µ ausgedrückt werden

µ(t) =s(t)

s100.

Weiters kann auch die Zeit dimensionslos ausgedrückt werden

τ =cvt

H2,

mit der Stoffkonstanten cv und der Schichtdicke (Probenhöhe) d = 2H bei beidseitiger Entwässerung, sowie d = H beieinseitiger Entwässerung.52

Aus der Konsolidierungstheorie nach TERZAGHI folgt ein last- und bodenunabhängiger Zusammenhang zwischen derdimensionslosen Zeit und dem mittleren Konsolidierungsverhältnis:

τ =

{π4 µ2 für µ < 0,6−0,405[0,21 + ln(1 − µ)] für µ > 0,6

Die Konsolidierung ist also theoretisch nie abgeschlossen (µ = 100% ; τ = ∞). Für praktische Probleme wird dasEnde der Konsolidierung bei µ = 98% angenommen.

52Die Konstante ist cv = k (1 + e)/γw/a. Der Quotient (1 + e)/a entspricht dem Steifemodul Es, wobei die Verdichtungszahl a das VerhältnisCc,s/σ darstellt. Beim Komprimieren des Bodens im Versuch sinkt die Durchlässigkeit k in etwa um das gleiche Maß, wie sich der Steifemodul Es

erhöht → cv ≈ const.

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5.3 Zeitlicher Ablauf der Setzung 75

2.50

3.00

3.50

4.00

4.50

5.00

5.50

6.00

1 10 100 1000 10000 100000Zeit [sec]

Setz

ung

[%]

Laststufe 25 - 50 kN/m²



Umfahrung Reute; Lechbrücke Pflach 1974Entnahmestelle R4/4

Ton, schluffig

Abbildung 82: Zeitsetzungskurve einer Probe für verschiedene Laststufen, die unmittelbar aufeinanderfolgend durchge-führt werden, Setzung [%] = ∆h

h0· 100 = ε · 100 .

Die Ergebnisse eines Kompressionversuches zeigen, dass die Setzungen für verschiedene Laststufen ungefähr gleich lan-ge dauern (siehe Abbildung 82). Dabei wird in der ersten Laststufe die Last von 25 kN/m2 (Stempel des Rahmens) durchAufbringen von Zusatzgewichten auf 50 kN/m2 gesteigert. Die Probe reagiert dann entsprechend der dargestellten Set-zung. Am Ende der ersten Laststufe (hier t ≈ 100000 s) wird die Last auf 100 kN/m2 erhöht und die Zeitmessung wiederbei Null begonnen.

Aufgrund der Gleichheit der dimensionslosen Zeit τ für Labor- und Feldverhältnisse erhalten wir eine Beziehung für dieDauer der Konsolidierung tNatur zu

tNatur = tLabor

(HNatur

HLabor

)2

.

Ödometerversuch: Bei einer Probenhöhe von h0 = 1,98 cm und beidseitiger Entwässerung ist die Primärsetzung derersten Laststufe (25-50 kN/m2) in Abbildung 82 nach tµ=100% = 2000 s abgeschlossen. Das Ende der Primärsetzung inder Natur berechnet sich bei einer Tiefe der setzungsempfindlichen Schichten (vgl. Bsp. 5.2, Tabelle 5, S. 71) von 6 m zu

tNatur = tLabor

(HNatur

HLabor

)2

= 2000

(3

0,99

)2

≈ 1,8 · 108 s ≈ 5,8 Jahre .

Darin sind HLabor = h0/2 = 0,99 cm und HNatur = Schichtdicke/2 = 3 m wegen der beidseitigen Entwässerung inbeiden Fällen.

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50t 100t

0ε

50ε

ε100t 2t 1

ε1ε2

=

=

ln t

ε

t 4t

==

Abbildung 83: Konstruktion und Ergebnisse der Zeitsetzungskurve

Die Konstruktion der Zeitsetzungskurve (siehe Abbildung 83) und weitere Auswertungen des Ödometerversuches erfol-gen nach folgender Anleitung:

1. Konstruktion der Stauchung ε0 für den Zeitpunkt t = 0. Der Abstand zwischen der Stauchung ε0 und der Stauchungε zu einem beliebigen Zeitpunkt t ist gleich groß, wie der Abstand zwischen dieser Stauchung ε und der Stauchungzu dem Zeitpunkt 4t (die Kurve entspricht in diesem Bereich näherungsweise einer Parabel).

2. Konstruktion der Stauchung ε100 (Ende der Primärsetzung) als Schnittpunkt der Tangente an die Primärsetzungs-kurve und der Asymptote an die Sekundärsetzungskurve. Die Bestimmung des Zeitpunktes t100 (Laborzeit) erfolgtentweder durch Ablesen aus dem Diagramm oder analytisch über die Gleichung

t100 ≈ H2τ(µ)

cv

,

wobei die dimensionslose Zeit τ z.B. zu 1,5 für µ = 98 % eingesetzt wird und die Probenhöhe dem Wert 2Hentspricht (beidseitige Entwässerung).

3. Konstruktion der Stauchung ε50 (Halbierung des Abstandes zwischen ε0 und ε100) und Ablesen des zugehörigenZeitpunktes t50. Die Stoffkonstante cv kann mittels der Beziehung

cv ≈ 0,2H2

t50

berechnet werden, wobei die dimensionslose Zeit τ mit ungefähr 0,2 angenommen wurde (siehe Vorlesung).

4. Bestimmung der BUISMAN-Konstante CB nach der Gleichung

CB =ε2 − ε1

ln t2 − ln t1,

und Berechnung der zusätzlichen sekundären Konsolidierung ∆ε infolge Kriechens (zunehmende Verformung beikonstanter Spannung) zu

∆ε = CB ln

(t

t100

)

.

In der folgenden Tabelle sind typische Werte für die Stoffkonstante cv und CB zusammengestellt:

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5.4 Setzung infolge Grundwasserabsenkung 77

Erdstoff cv [m2/s] CB [-]Feinschluff 10−4 0,001schluffiger Ton 10−5 − 10−6 0,002-0,003Rohton 10−7 0,05Ton 10−8 0,1-0,3Klei 10−5 − 10−7 0,005-0,03Torf 10−4 − 10−6 0,1-0,5

Die gesamte Stauchung berechnet sich aus der Summe der Primärsetzung und der Sekundärsetzung zu

εges = ε100 + ∆ε .

5.4 Setzung infolge Grundwasserabsenkung

Hier sollen die Setzungen eines Fundamentes aufgrund einer Grundwasserabsenkung berechnet werden.

Abbildung 84: Fundament, Sohlpressung=150 kN/m2

Boden : γ = 20,2 kN/m3

γ′= 11,1 kN/m3

e = 0,44Cc =0,005

Unter einem Fundament wird der Grundwasserspiegel von 1,0 m auf 3,0 m abgesenkt (siehe Abbildungen 84 und 85).

Der Absenkbereich wird durch ein Rechteck 20 × 20 m2 angenähert. Das Fundament steht über der Mitte dieses Recht-eckes. Durch die Absenkung des Grundwassers erhöht sich die effektive Vertikalspannung in der Tiefe 3,0 m näherungs-weise53 um pW = (γ − γ′)∆h.54 Dies kann wie eine Zusatzbelastung pW , die in der Tiefe 3,0 m auf eine Fläche von20 × 20 m2 wirkt, betrachtet werden. Im Bereich der Absenkung (1,0 − 3,0 m) wird die Erhöhung der effektiven Span-nung linear interpoliert. Unterhalb des abgesenkten Grundwassers wird die Erhöhung der effektiven Spannung aus derSpannungsausbreitung unter einer schlaffen Rechteckslast pW = (γ − γ′)∆h der Größe 20× 20 m2 berechnet.55

Wir erhalten also zwei Bereiche (siehe Abbildung 86):53Bei einer Absenkung über einen unbegrenzten Bereich wäre dies exakt.54Man kann sich auch vorstellen, dass der Boden zwischen 1,0 und 3,0 m durch das Wegfallen des Auftriebes „schwerer“ wird, und die Schichten

unterhalb mehr belastet werden.55Bei einer Absenkung über einen unbegrenzten Bereich würde die Erhöhung der effektiven Spannung unterhalb von 3,0 m konstant bleiben.

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Abbildung 85: Grundwasserabsenkung

Bereich 1 : 1,0 ≤ z ≤ 3,0∆σW = (γ − γ′)z1

Bereich 2 :z ≥ 3,0∆σW = 4σStein.

Eck (a = 10 m, b = 10 m, ∆σW )

Abbildung 86: Spannungsverteilung im Boden nach der Grundwasserabsenkung

Um eine Setzungsberechnung durchführen zu können, müssen auch die Ausgangsspannungen (σ0 und σp) bekannt sein.56

Die Spannungen zufolge Bodeneigengewicht erhalten wir aus

σ′γ =

∑

γ′i ∆zi ,

wobei für γi die Wichte der jeweiligen Bodenschicht einzusetzen ist. Die Spannungen σp, verursacht durch das Funda-ment, können mit der Formel nach Steinbrenner bestimmt werden. Die Berechnung der Werte wird nun ausführlich füreinzelne Schichten gezeigt.

Spannungsberechnung: Die Formel von Steinbrenner in der Form

∆σz = σSteinbr.Eck (a; b; z; p)

abgekürzt, wobei a und b die Abmessungen der Rechtecksauflast, z die Tiefenordinate und p die Größe der Belastungbeschreibt. Zur Berechnung der Zusatzspannungen werden zwei zusätzliche lokale Koordinatensysteme eingeführt (siehe

56Der Steifemodul Es ist abhängig vom Spannungszustand!

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5.4 Setzung infolge Grundwasserabsenkung 79

Setzungen als Folge einer GrundwasserabsenkungSchicht z γ σ′

γ σp σ0 = σ′

γ + σp ∆σW Es ε ∆s

m kN/m3 kN/m2 kN/m2 kN/m2 kN/m2 MN/m2 m0

1 0,5 20 10 139 1501

2 2 11 31 50 82 9 24,9 0,0004 0,0013

3 4,5 11 59 13 72 18 23,4 0,0008 0,0026

4 9 11 109 3 112 16 < 0,2 σ0 34,7 0,0005 0,00312

Σ 0,006 ≈ 1 cm

Tabelle 6: Ergebnisse der Setzungsberechnung

Abbildung 86), wobei der Zusammenhang zum globalen System über die Beziehungen

z1 = z − 1,0 mz2 = z − 3,0 m

hergestellt wird.

Schicht 1 (0-1 m) :z = 0,5 m

σ′γ = γ z = 20,2 · 0,5 = 10 kN/m2

σp = 4 σSteinbr.Eck (1; 1; 0,5; 150) = 139 kN/m2

∆σW = 0

Schicht 2 (1-3 m) :z = 2,0 m

σ′γ =

2∑

i=1

γ′i ∆zi = 20,2 · 1,0 + 11,1 · 1,0 = 31 kN/m2

σp = 4 σSteinbr.Eck (1; 1; 2; 150) = 50 kN/m2

∆σW = (γ − γ′)z1 = (20,2− 11,1) · 1,0 = 9 kN/m2

Schicht 3 (3-6 m) :z = 4,5 m

σ′γ =

3∑

i=1

γ′i ∆zi = 20,2 · 1,0 + 11,1 · 2,0 + 11,1 · 1,5 = 59 kN/m2

σp = 4 σSteinbr.Eck (1; 1; 4,5; 150) = 13 kN/m2

∆σW = 4 σSteinbr.Eck (10; 10; z2; pW = (γ − γ′)∆h)

= 4 σSteinbr.Eck (10; 10; 1,5; 18) = 18 kN/m2

Die Berechnung der Werte für die weiteren Schichten erfolgt analog zur Schicht 3. Die Berechnung wird in jener Tiefeabgebrochen, in der die Zusatzspannnung ∆σW nur mehr 20 % der Ausgangsspannung σ′

γ + σp beträgt. Die Ergebnissesind in der Tabelle 6 eingetragen.

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Setzungsberechnung: Mit den berechneten Spannungen ist es nun möglich, den Steifemodul

Es =1 + e0

Cc

(σ′γ + σp +

∆σW

2)

zu bestimmen. Mit den Zusatzspannungen ∆σW ergeben sich dann die Dehnungen ε aus der Beziehung

ε =∆σW

Es

in jeder beliebigen Tiefe z. Da die Setzungsberechnung als nummerische Integration durchgeführt wird, werden die Deh-nungen für die Mitten einzelner Schichten mit den endlichen Abmessungen ∆z berechnet (siehe Tabelle 6). Die Ge-samtsetzung infolge der Grundwasserabsenkung ergibt sich aus der Summation der Anteile der einzelnen Schichten

s =

n∑

i=1

εi∆zi .

Diese Setzung in der Mitte der schlaffen Last pW überträgt sich auf das Fundament nach oben. In der über 20 × 20 m2

großen Setzungsmulde setzt sich das Fundament (2 × 2 m2) um den gleichen Wert.

Bemerkung: Bei genügend großem Bereich der Absenkung kann auch näherungsweise mit ∆σW = konstant unterhalbdes abgesenkten Spiegels gerechnet werden.57

5.5 Turmneigung

Angabe: Zwei Türme sollen nebeneinander gebaut werden. Der Grundriss ist in Abbildung 5.5 dargestellt.

H

A B C

E

D

FG8m

8m8m

8m4m

Der Baugrund besteht aus Schluff (γ = 20 kN/m3, e0 = 0,52, Cc = 0,02), die Gründungssohle liegt −2,0 m unter GOK.Die mittlere Bodenpressung der Türme beträgt 340 kN/m2. Man ermittle die Setzungen der Punkte A und B.

Lösung: Die Koordinate z zählt von der Gründungssohle nach unten. Die Koordinate z ′ zählt von der Geländeoberkantenach unten (z′ = z + 2 m).

Zunächst unterteilen wir den Untergrund in einzelne Schichten, wie in Abbildung 87 dargestellt:

Schicht Tiefe Dicke Schichtmittei [m] di [m] bei z =1 0 < z < 2 2,0 1 m2 2 < z < 4 2,0 3 m3 4 < z < 6 2,0 5 m4 6 < z < 10 4,0 8 m5 10 < z < 14 4,0 12 m6 14 < z < 22 8,0 18 m

57Dabei würden unendliche Setzungen entstehen, die rein rechentechnisch durch den Abbruch bei ∆σW < 0,2(σ′

γ + σp) begrenzt werden.

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5.5 Turmneigung 81

z‘z

GOK

i=123

4

5

6

d=2,0 m2,0 m2,0 m

4,0 m

4,0 m

8,0 m

2,0 m

Abbildung 87: Schichteinteilung

Durch die Herstellung der Türme erfährt die Gründungssohle (z ′ = 2 m) eine Zusatzbelastung von p = 340 kN/m2 −γz′ = 340− 20 · 2 = 300 kN/m2. Die Spannung infolge dieser Zusatzbelastung wird mit wachsender Tiefe infolge Span-nungsausbreitung abgemindert. Wir berechnen die Zusatzspannungen σz in verschiedenen Tiefen z unterhalb der PunkteA und B. Um die Formeln (Tafel) von Steinbrenner zu benutzen, müssen wir Rechteckbelastungen superponieren, die denPunkt A (bzw. B) als Eckpunkt haben. Um die Zusatzspannungen unterhalb von A und B zu bekommen, superponierenwir folgende Tabellen- bzw. Formelwerte:

σz,A = Rechteck(ADEH)−Rechteck(ACFH) + Rechteck(ABGH)

σz,B = Rechteck(ABGH)+Rechteck(BDEG) − Rechteck(BCFG)

Um z.B. die Zusatzspannung unter dem Punkt A in der Tiefe z = 5,0 m zu finden, geht man mit z/b = 5/8 = 0,625und a/b = 2,5 in die Formel (bzw. Tabelle58) und erhält den Einflussbeiwert 0,232 für die Spannung. Ebenso folgt füra/b = 1,5 (; Einflussbeiwert = 0,229), a/b = 1 (; 0,220). Damit wird

σz,A(z = 5,0 m) = 300 · (0,232− 0,229 + 0,220) = 67,0 kN/m2 .

Auf gleiche Weise folgen die Einflussbeiwerte für Zusatzspannung unter dem Punkt B:

z/b = 0,625; a/b = 1 ; 0,220

a/b = 1,5 ; 0,229

z/b = 1,25; a/b = 2 ; 0,177

(in Tabellen wird ist b die kürzere Seite des Rechtecks!). Die Zusatzspannung wird damit zu

σz,B(z = 5,0 m) = 300 · (0,220 + 0,229− 0,177) = 81,5 kN/m2 .

Man beachte, dass unmittelbar unterhalb des Fundamentes (z = 0) die Zusatzspannung

σz,A(z = 0) = σz,B(z = 0) =1

4· 300 = 75 kN/m2

58Ö-Norm B4431/1 oder Krapfenbauer, Sträussler (1991): Bautabellen, Jugend und Volk.

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beträgt.Wir berechnen so die Zusatzspannungen σz,A und σz,B jeweils in Schichtmitte:

i z [m] σz,A [kN/m2] σz,B [kN/m2]1 1,0 74,9 75,32 3,0 72,7 79,33 5,0 67,0 81,54 8,0 55,2 74,65 12,0 41,2 57,96 18,0 27,6 37,2

Ferner berechnen wir die Ausgangsspannung σ0 = γ · z′ in den Schichtmitten. Daraus folgt der jeweilige Steifemodul zu

Es = σm

1 + e0

Cc

,

worin σm = σ0 + σz

2 ist.59

Die Setzung (Zusammendrückung) si jeder Teilschicht mit der Dicke di wird

si = diε = di

σz

Es

.

Damit ergibt sich für Punkt A:

i σ0 σz,A Es,A di sA

kN/m2 kN/m2 kN/m2 m cm1 60 74,9 7406,2 2 2,02 100 72,7 10362,6 2 1,43 140 67,0 13186,0 2 1,04 200 55,2 17297,6 4 1,35 280 41,2 22845,6 4 0,76 400 27,6 31448,8 8 0,7

Summe 7,1

und für Punkt B:

i σ0 σz,B Es,B di sB

kN/m2 kN/m2 kN/m2 m cm1 60 75,3 7421,4 2 2,02 100 79,3 10613,4 2 1,53 140 81,5 13737,0 2 1,24 200 74,6 18034,8 4 1,75 280 57,9 23480,2 4 1,06 400 37,2 31813,6 8 0,9

Summe 8,2

Es kommt zu einer leichten Verkippung der Türme (vgl. Holsten-Tor in Lübeck).Mit feinerer Schichtunterteilung steigt die Berechnungsgenauigkeit, dies ist jedoch unangemessen, da die Eingangsdateninfolge der Bodeninhomogenität mit großen Streuungen behaftet sind. Schichten in größerer Tiefe braucht man nicht zubetrachten, da sie zur Setzung kaum beitragen. Die Grenztiefe befindet sich bei σz < 0,2 · σ0.60

59Da die σ-ε-Kurve aus dem Ödometerversuch nichtlinear ist, sollte man den Steifemodul an einem geeigneten Mittelwert zwischen σ und σ + σz

auswerten. Wertet man Es bei der Ausgangsspannung σ0 aus, so überschätzt man die Setzung.Wird für diese Beispiel mit

Es,A = Es,B = σ01 + e0

Cc

gerechnet, ergeben sich die Setzungen zu sA = 9,4 cm und sB = 11,0 cm.60In diesem Beispiel wurde etwas weiter gerechnet: σz < 0,1 · σ0 .

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5.6 i Staudamm Durlassboden 83

5.6 i Staudamm Durlassboden

Angaben: Der Vertikalschnitt in Abbildung 88 zeigt die Bodenverhältnisse des Staudamms Durlassboden in Talmitte.Der Dammuntergrund besteht überwiegend aus sandig-kiesigen Flussablagerungen (Alluvionen) mit schluffigen Einla-gerungen. In ca. 70 m Tiefe befindet sich eine setzungsempfindliche Schluffschicht mit einer Mächtigkeit von 11 m.Felsiger Untergrund steht in ca. 120 m Tiefe unter der Geländeoberfläche an. Für die dargestellten Bodenverhältnisse solldie Setzung der Gründungssohle unter dem Kern des Dammes berechnet werden.61

Gründungssohle

γ = 20 kN/m3

C =0,005 e = 0,5c

γ = 20 kN/m , E =35700 kN/ms3 2

1281

1229

1270

1350

1411 Dammkrone

γ 3= 22 kN/mDammschüttung

Schluff

Sand,Kies

Sand,Kies

Fels

γ = 20 kN/m3

C = 0,005 e = 0,5c

0

0

z

Abbildung 88: Bodenverhältnisse unter dem Staudamm

Lösung: Von der Gründungssohle auf 1350 m Höhe zählt die Koordinate z nach unten. Der Untergrund wird wie inAbb. 89 dargestellt in einzelne Schichten unterteilt. Für jede Schicht wird die Vertikalspannung in Schichtmitte berechnetund als repräsentativer Wert für die gesamte Schicht betrachtet.

Schicht Tiefe Dicke Schichtmittei z [m] di [m] bei z =1 0< z <17 17 8,5 m2 17< z <34 17 25,5 m3 34< z <51 17 42,5 m4 51< z <69 18 60 m5 69< z <80 11 74,5 m6 80< z <100 20 90 m7 100< z <121 21 110,5 m

Die Spannungsverteilung im Untergrund infolge einer dreiecksförmigen Dammauflast wird – wie die Formel von STEIN-BRENNER für gleichmäßige Belastung – durch Integration der Spannungsfunktion erhalten. Für die Ermittlung der Span-nungsverteilung unter dem Damm wurden tabellarisch ausgewerteten Formeln62 verwendet. Die Vorgangsweise ist inAbbildung 90 skizziert: Die dreiecksförmige Belastung infolge Dammauflast wurde durch Überlagerung einer gleichför-migen Belastung mit einer antimetrischen Dreieckslast erzeugt. Für diese Belastung wurden die Vertikalspannungen unterdem Eckpunkt B einer rechteckigen Lastfläche ermittelt und so überlagert, dass man die Spannungsverteilung unter demKern in Talmitte erhält.

61Tauernkraftwerke AG (1968): Durlassboden. ÖZE, Jg. 21 (1968), Heft 8.62Formeln für die Berechnung von Spannungen und Verschiebungen in einem beliebigen Punkt des Halbraumes für unterschiedliche Belastungsbilder

sind z.B. im Grundbau-Taschenbuch, Teil 1, 4.Aufl. angegeben. Tabellarisch ausgewertete Formeln für zahlreiche Belastungsbilder und Lastflächenfinden sich z.B. bei H.G. POULOS, E.H. DAVIS: Elastic solutions for soil and rock mechanics.

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Sand,Kies

Schluff

Sand,Kies

Schicht 1

2

3

45

6

7

17 m

17 m

18 m11 m

20 m

21 m

d=17 m

69 m

11 m

41 m

Fels

z

Gründungssohle

Abbildung 89: Schichteinteilung

B

!"!"!"!"!!"!"!"!"!!"!"!"!"!!"!"!"!"!#"#"#"##"#"#"##"#"#"##"#"#"#

a

b

p

+ =p/2−p/2

p/2p

Abbildung 90: Ermittlung der Spannungsverteilung

Die halbe Dammbreite auf Höhe der Gründungssohle beträgt a=135 m. Die Länge der Aufstandsfläche auf den Alluvionenbeträgt ca. 250 m, das heißt b = 125 m und a/b ≈ 1. Die Vertikalspannung σz infolge Dammauflast errechnet sich mitden Bezeichnungen laut Abbildung 90 aus:

σz = 4 · p

2(K0 + M0) .

Darin sindK0 Einflusswert infolge GleichlastM0 Einflusswert infolge antimetrischer

Dreiecksbelastung

Die Ordinate der Dreieckslast p ist

p = γDammHDamm

= 22 · (1411− 1350) = 1342kN/m2

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85

i z z/a K0 M0 σz [kN/m2]1 8,5 0,06 0,250 0,248 13372 25,5 0,19 0,249 0,191 11813 42,5 0,31 0,244 0,158 10794 60 0,44 0,237 0,125 9725 74,5 0,55 0,228 0,102 8866 90 0,67 0,215 0,082 7977 110,5 0,82 0,198 0,060 692

Die Setzungen si der einzelnen Schichten ergeben sich aus:

si =σz

Es

di

mitEs Steifemodul des Bodensdi Schichtdicke

Der Steifemodul Es lässt sich aus dem Spannungszustand des Bodens ermitteln:

Es =(

σ0 +σz

2

) 1 + e0

Cc

mit

σ0 = γz

Darin sindCc Kompressionsbeiwerte0 Porenzahlγ Wichte des Bodens

Mit den Werten laut Abb. 88 lässt sich die Setzung der Geländeoberfläche unter dem Kern in Talmitte wie folgt berechnen:

i z σz σ0 Es di si

m kNm2

kNm2

kNm2 m m

1 8,5 1337 170 251.000 17 0,092 25,5 1181 510 330.000 17 0,063 42,5 1079 850 417.000 17 0,044 60 972 1200 506.000 18 0,035 74,5 886 35.700 63 11 0,266 90 797 1800 660.000 20 0,027 110,5 692 2210 767.000 21 0,02∑

0,52

Aus der Berechnung wird der wesentliche Einfluss der oberflächennahen Bodenschichten sowie der Schluffschicht aufdie Größe der Setzung deutlich. Die tatsächlich an dieser Stelle des Dammes gemessene Setzung betrug nach Abklingender Setzungen ca. 80 cm.

6 Scherfestigkeit

6.1 Bruchhypothese

Die Scherfestigkeit τf ist die maximale Schubspannung τ , welche der Boden aufnehmen kann. Die Scherfestigkeit ist vonder Normalspannung abhängig und wird üblicherweise auf Reibung und Kohäsion zurückgeführt.

63Versuchsmäßig ermittelter Wert für den Steifemodul der Schluffschicht bei einer Belastung von 1 MN/m2, Tauernkraftwerke AG (1968): Durlass-boden. ÖZE, Jg. 21 (1968), Heft 8.

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86 6 SCHERFESTIGKEIT

Im Allgemeinen wird die Bruchhypothese nach COULOMB angenommen

τf = c + σ tan ϕ ,

worin σ die Normalspannung auf die sich ausbildende Scherfuge ist. Die Scherparameter, innerer Reibungswinkel ϕ undKohäsion c, werden in erster Näherung als konstant angenommen.

Wird die Bruchhypotese als Umhüllende von Spannungskreisen im MOHRschen Diagramm interpretiert, kann sie inHauptspannungen als Bruchbedingung nach MOHR-COULOMB formuliert werden

σ1 − σ3

2=

σ1 + σ3

2sin ϕ + c cosϕ ,

mit der größten Hauptspannung σ1 und der kleinsten σ3. Die theoretischen Bruchflächen haben dann die Neigung α =±(π/2 + ϕ).

Boden mit Wasser: Für Berechnungen in wassergesättigten Böden werden die effektiven Spannungen eingesetzt, unddie dränierten Scherparameter c und ϕ verwendet (oft auch mit c′ und ϕ′ bezeichnet)

τf = c + σ′ tan ϕ (26)= c′ + σ′ tan ϕ′ = c′ + (σ − u) tan ϕ′ ,

mit dem Porenwasserdruck u.

Undränierte Bedingungen: Liegen undränierte Bedingungen vor (Porenwasser kann nicht ausfließen, volumenkon-stante Verformung) kann auch mit den totalen Spannungen und undränierten Scherparametern cu und ϕu gerechnet wer-den

τfu = cu + σ tanϕu . (27)

Für wassergesättigte Böden ist ϕu = 0. Für teilgesättigte Böden wird ϕu > 0. Eine Berechnung mit den totalen Spannun-gen ist dann nur eine grobe Näherung.

Anfangszustand: Wird wassergesättigter bindiger Boden belastet, kann das Porenwasser nicht sofort aus den Porenfließen, somit bauen sich Porenwasserüberdrücke auf (Konsolidierung). Im ersten Moment liegen also (beinahe) undrä-nierte Bedingungen vor. Deshalb wird der Anfangszustand mit den undränierten Scherparametern cu und ϕu berechnet,Gleichung (27). Dieser Fall tritt bei nicht bindigen Böden (große Durchlässigkeit) nicht auf.

Endzustand: Am Ende der Konsolidierung ist das Porenwasser ausgeflossen, die Porenwasserüberdrücke abgebaut.Der Boden ist dräniert, und dashalb wird mit den dränierten Scherparametern c und ϕ gerechnet, Gleichung (26).

6.2 Rahmenscherversuch

Der Rahmenscherversuch dient zur Bestimmung der dränierten Scherparameter.64 Die Durchführung des Rahmenscher-versuchs65 erfolgt mittels eines zweiteiligen Kastens, in dessem Inneren sich die Bodenprobe der Breite b, Tiefe a undHöhe h befindet (siehe Abb. 92 und 93).

Die kleinste Probenabmessung h ist abhängig vom Größtkorn (GK) der Bodenprobe zu wählen

h = f(GK) ≈ (5 . . . 10) · GK .

Die Abmessungen a und b sollen sehr viel größer als h sein, damit die Scherfläche möglichst im Spalt bleibt. ÜblicheGrößen im Labor sind zum Beispiel a = b = 10 cm und h = 2 cm.

64Eigentlich müssten wir Scherparameter für dränierte Bedingungen schreiben, aber das wird meist (etwas unsauber) mit dränierte Scherparameterabgekürzt. Nicht die Parameter sind dräniert sondern der Versuch.

65Siehe auch ÖN B4416 bzw. DIN 18137.

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6.2 Rahmenscherversuch 87

Abbildung 91: Scherrahmenb

h

$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$&%&%&%&%&%&%&%&%&%&%&%&%&

Nh∆

s

F

Abbildung 92: Rahmenscherversuch schematisch

'''((()*)*)*)*)*)*)*)*))*)*)*)*)*)*)*)*))*)*)*)*)*)*)*)*))*)*)*)*)*)*)*)*))*)*)*)*)*)*)*)*))*)*)*)*)*)*)*)*))*)*)*)*)*)*)*)*))*)*)*)*)*)*)*)*)+*+*+*+*+*+*+*+*++*+*+*+*+*+*+*+*++*+*+*+*+*+*+*+*++*+*+*+*+*+*+*+*++*+*+*+*+*+*+*+*++*+*+*+*+*+*+*+*++*+*+*+*+*+*+*+*++*+*+*+*+*+*+*+*+,*,*,*,*,*,*,*,,*,*,*,*,*,*,*,,*,*,*,*,*,*,*,,*,*,*,*,*,*,*,-*-*-*-*-*-*-*--*-*-*-*-*-*-*--*-*-*-*-*-*-*--*-*-*-*-*-*-*-

N

FsN

s

F.*..*..*..*.////

0*00*00*00*01*11*11*11*12*2*2*2*2*2*2*2*22*2*2*2*2*2*2*2*22*2*2*2*2*2*2*2*23*3*3*3*3*3*3*3*33*3*3*3*3*3*3*3*33*3*3*3*3*3*3*3*3

Abbildung 93: Versuchsgerät zur Durchführung des Rahmenscherversuchs

Die Bodenprobe wird durch eine Vertikalkraft N belastet. Durch das Aufbringen einer Verschiebung s wird die HaltekraftF geweckt und die Abscherung der Probe herbeigeführt. Dabei werden die Verformung ∆h (Zu- bzw. Abnahme derProbendicke) und die Horizontalkraft F gemessen. Daraus werden die Normalspannungen σ und Schubspannungen τberechnet:

σ =N

A=

N

ab, τ =

F

A=

F

ab

Die Berechnung der Volumendehnung εv erfolgt mittels der Beziehung

εv =∆V

V0=

ab∆h

abh=

∆h

h.

Die Darstellung der Versuchsergebnisse für drei verschiedene Versuche mit verschiedenen Normalspannungenσ erfolgt inverschiedenen Diagrammen (siehe Abbildung 94). Mit den Versuchspunkten wird τ -σ-Diagramm eine Regressionsgeradeberechnet, deren Neigung der Reibungswinkel ϕ und deren Ordinatenabschnitt die Kohäsion c ist (siehe Abbildung 95).

i Mögliche Fehler bei der Versuchsdurchführung:

• „Scherfläche“ nicht genau bekannt, und Scherspannungen über die Scherfläche nicht gleichverteilt.

• „Mischreibung“ zwischen Bodenprobe und Rahmen (in der Scherebene) aufgrund Verschiebung des Rahmens: Dieeigentliche Scherfläche im Boden ist As = a(b − s) (siehe Abbildung 96).Die Reibung zwischen Rahmen und Boden ist i.A. kleiner als die Reibung im Boden. Damit liegt die Berechnungder Schubspannuing mit der Fläche A = ab auf der sicheren Seite.

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τ max,1

τ max,3

τ max,2

σ1bei

bei σ3

∆ h

σ1bei

s

τ

s

Abbildung 94: Ergebnisse eines Rahmenscherversuchs

τ max,1

σ1 σ

τ

σ2σ3

τ max,3

τ max,2

c

ϕ

Abbildung 95: Auswertung eines Rahmenscherversuchs

4545454545454545454454545454545454545445454545454545454544545454545454545454

6565656565656565656656565656565656565665656565656565656566565656565656565656

A s

b

a

h

s

Abbildung 96: Probenabmessungen und rechnerische Scherfläche As

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6.3 i Triaxialversuch 89

• „Rahmenkippen“: Das Gewicht des oberen Rahmens hängt an der Bodenprobe (eigentlich ≈ 1,5 kg mehr Auflast).Eine Verkantung des oberen Rahmens bewirkt daher:

– eine Zusatzreibung: Scherkraft F wird größer,– Boden stützt sich im oberen Rahmen ab, wodurch die Vertikalkraft N nicht auf die Scherfläche wirkt.

A

s

Abbildung 97: Kreisförmige Bodenprobe

A

b

hb << D h << D

D

Drehung

Abbildung 98: Kreisringförmige Bodenprobe

i Andere Schergeräte: Die Durchführung des Rahmenscherversuchs kann auch mit anderen Schergeräten erfolgen:

• mit kreisförmigem Querschnitt A (siehe Abb. 97). Hier kann eine ”ungestörte” Probe besser eingebaut werden.

• mit kreisringförmigem Querschnitt A (siehe Abb. 98).Vorteil:

– As ≈ const,– lange Scherwege möglich (Restscherfestigkeit).

Nachteil:

– nur gestörte Proben,– kleine Abmessung b → kleines Größtkorn (GK).

6.3 i Triaxialversuch

Der Triaxialversuch66 wird zur Bestimmung der Scherparameter von Böden verwendet. Der Einbau einer Probe ist in denAbbildungen 99 – 103 dargestellt. Beim Versuch wird der zylindrische Probekörper mit der Höhe h0 und dem Durchmes-ser d0 unter einen axialsymmetrischen Spannungszustand gesetzt, wobei die radialen Hauptspannungen σ2 und σ3 gleichgroß sind (siehe Abbildung 104). In axialer Richtung wirkt die Hauptspannung σ1. Die radialen Hauptspannungen werdendurch Flüssigkeitsdruck aufgebracht, die axiale Hauptspannung wird über die Kopfplatte und einen Stempel erzeugt.

Genereller Ablauf Die Versuchsdurchführung gliedert sich in drei Teile:

1. Sättigungsvorgang

2. Konsolidationsvorgang (entfällt bei unkonsolidierten Versuchen)

3. Abschervorgang66ÖNORM B 4416, DIN 18137

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Abbildung 99: Gestörte Probe aus bindigem Material mitProctorhammer verdichtet

Abbildung 100: Membran trennt Probe von Zellflüssig-keit

Abbildung 101: Eingebaute ProbeAbbildung 102: Montage der Zelle

Sättigungsvorgang: Die Volumsänderung der Probe beim Konsolidieren und Abscheren soll mit Hilfe des ausgedrück-ten Porenwassers bestimmt werden. Dazu muss die Probe wassergesättigt werden, also keine Luft mehr in den Porensein. Die selbst nach Durchströmen der Probe noch vorhandenen Luftblasen werden durch Aufbringen eines Überdruckesim Porenwasser gelöst. Dieser Druck wird Sättigungsdruck oder „backpressure“ genannt und in Abhängigkeit des Ein-bausättigungsgrades der Bodenprobe gewählt. Der Porenwasserdruck im Probenkörper muss so geändert werden, dasssich die effektiven Spannungen σ′ in der Probe nicht verändern. Diese Bedingung wird durch gleichzeitige Erhöhung desZelldrucks p erfüllt, sodass gilt

∆σ′ = ∆p − ∆u ≈ 0 .

Kontrolliert wird die Sättigung dadurch, dass der Zelldruck p, bei geschlossener Dränageleitung, um einen Wert ∆p erhöhtwird, und die damit verbundene Zunahme des Porenwasserdruckes u gemessen wird. Hierbei muss das Verhältnis

B :=∆u

∆p≥ 0,85 . . .0,95

sein. Ist der B-Wert nicht genügend groß, so muss die Sättigungsphase mit erhöhtem „backpressure“ verlängert werden.

Konsolidationsvorgang: Durch die Konsolidation wird der Anfangszustand hergestellt, unter dem die Probe abgeschertwerden soll. Dazu werden die effektiven Spannungen in der Bodenprobe erhöht. Erreicht wird dies dadurch, dass der Zell-

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Abbildung 103: Triaxial Versuchsgerät

Abbildung 104: Zylindrischer Probekörper mit aufgebrachten Spannungen σ1 und σ3, und dem Porenwasserdruck u

druck um einen Wert ∆p erhöht wird, während der Sättigungsdruck im Porenwasser konstant gehalten wird (bei offenerDränageleitung), das heißt der zusätzliche Druck ∆p wirkt auf das Korngerüst der Probe. Die Konsolidationsspannungkann zum Beispiel der Spannung σz angeglichen werden, welche in der Entnahmetiefe der Probe vorhanden war.

Der Vorgang der Konsolidation ist normalerweise mit einer geringfügigen Deformation der Probe verbunden. Die neueProbenhöhe hc und den neuen Probendurchmesser dc werden näherungsweise unter der Annahme der Formtreue67 derProbe bestimmt.

67Das trifft (erstaunlicherweise) nicht zu (weder für Sand noch für Ton).

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Abbildung 105: Volumsveränderung der Bodenprobe beim Konsolidationsvorgang

Aus der Beziehung

d0

h0=

dc

hc

(siehe Abbildung 106) ergibt sich die Höhe hc und der Durchmesser dc der verformten Probe

hc = h03

√Vc

V0

dc = d03

√

Vc

V0,

wobei Vc bestimmt wird aus

Vc = V0 − ∆V.

Das Volmen des ausgedrückten Porenwassers ∆V wird aus dem Wasseranstieg in der Bürette berechnet (siehe Abbildun-gen 105 und 106). Die Querschnittswerte der konsolidierten Probe, hc und dc, dienen als Bezugsgrößen für die Auswer-tung beim Abschervorgang.

Abbildung 106: Bestimmung der Volumsveränderung der Bodenprobe über das ausgedrückte Porenwasser

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Abscheren: Der Abschervorgang kann entweder kraftgesteuert – Erhöhung der Stempelkraft bis zum „Bruch“ – oderweggesteuert – konstante Vorschubgeschwindigkeit des Stempels bis zum Versagen der Probe – ausgeführt werden. So-wohl beim kraftgesteuerten als auch beim weggesteuerten Versuch muss die Abschergeschwindigkeit v genügend kleinbleiben, damit sich kein Porenwasserdruck aufbauen kann68 (dränierter Versuch). Bei den undränierten Versuchen darfdie Stempelvorschubgeschwindigkeit höher gewählt werden, da hier der Porenwasserdruck nicht abklingen sondern sichlediglich in der Probe gleichmäßig verteilen muss.

Der Versuch gilt als beendet:

• Bei Erreichen des Spannungsmaximums69

• Die Stauchung der Probe überschreitet 20 % 70

Versuchsarten Die Probe kann entweder vor dem Abscheren konsolidieren71 oder wird direkt abgeschert. Weiters kanndie Probe während des Versuchs entweder entwässern72 oder nicht. Folgende Versuche werden durchgeführt:

• Der konsolidierte dränierte Versuch (CD-Versuch)

• Der konsolidierte, undränierte Versuch (CU-Versuch)

• Der unkonsolidierte, undränierte Versuch (UU-Versuch)

• Der konsolidierte, dränierte Versuch mit konstantgehaltenem Volumen (CCV-Versuch), welcher aber fast nie durch-geführt wird

Beim unkonsolidierten Versuch (UU-Versuch) erfolgt der Abschervorgang ohne vorausgegangene Konsolidation, und beiden undränierten Versuchen wird die Probe während des Abschervorganges nicht entwässert.

Die Versuchsauswertung ist wiederum abhängig von der Versuchsart.

CD-Versuch In konstanten Zeitabständen werden folgende Messwerte erfasst (siehe Abbildung 107):

• Zeit t

• Zusammendrückung der Probe ∆h

• Stempelkraft F

• ausgedrücktes Wasservolumen ∆V

• Zelldruck p = σ2 = σ3

• „backpressure“ u

Der Abschervorgang wird nach der Konsolidation begonnen. Während des Abscherens wird der Seitendruck konstantgehalten (σ2 = σ3 = konstant). Hierbei verformt sich die Probe, womit die Bezugsfläche für die Spannungsauswertungständig neu ermittelt werden muss. Die Querschnittsfläche der Probe lässt sich näherungsweise mit Hilfe des Stempelvor-schubes und dem ausgedrückten Porenwasser ∆V ermitteln (siehe Abbildung 108):

A =Vc − ∆V

hc − ∆h

68In DIN 18137 Teil 2 gibt es Richtlinien für die Wahl der maximalen axialen Stauchungsgeschwindigkeit v.69Die Berechnung der maßgebenden Spannung ist von der jeweiligen Versuchsart abhängig.70Dieser Wert ist willkürlich in den Normen festgelegt.71Die Probe wird unter einen Ausgangsspannungszustand gesetzt und kann dabei entwässern.72Die Entwässerung der Probe erfolgt über Filtersteine und wird als „Dränieren“der Probe bezeichnet.

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Abbildung 107: Beobachtete Größen beim Abschervorgang, CD-Versuch

Abbildung 108: Bestimmung des Probenquerschnittes während des Abschervorganges

Die effektive Axialspannung erhalten wir aus (siehe Abbildung 109)

σ′1 =

F − p AStempel

A+ p

︸︷︷︸

σ1

−u , (28)

wobei der Porenwasserdruck u dem beim Sättigungsvorgang aufgebrachten „backpressure“ entspricht.Die Stauchung ε1 bestimmen wir aus der Gleichung

ε1 =∆h

hc

=hc − haktuell

hc

.

Eine weitere Größe, die von Interesse sein kann, ist die Volumendehnung εV , die mit Hilfe des ausgedrückten Porenwas-sers ∆V berechnet werden kann:

εV = −∆V

Vc

= −Vc − Vaktuell

Vc

.

Als Ergebnis des Versuches erhält man eine Spannungs-Dehnungs-Beziehung und eine Volumen-Dehnungs-Kurve. Beider Spannungs-Dehnungs-Kurve können für die Ordinate entweder die effektive Hauptnormalspannung σ ′

1, der deviato-rische Spannungsanteil73 (σ1 − σ3)/2 oder die dimensionslose Größen σ1/σ3 beziehungsweise (σ1 − σ3)/(σ′

1 + σ′3)

73Entspricht der maximalen Schubspannung.

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Abbildung 109: Bestimmung der axialen Hauptspannung σ′1

gewählt werden. Bei der Volumen-Dehnungs-Kurve wird auf der Ordinate die Volumendehnung εV aufgetragen. Als Ab-szissenwert wird sowohl bei der Spannungsdehnungskurve als auch bei der Volumendehnungskurve die axiale Dehnungε1 oder die sogenannte logarithmische Dehnung ε1 = ln

(hh0

)

verwendet (siehe Abbildungen 110 und 111).

3

Abbildung 110: Spannungsdehnungsbeziehung beim Triaxialversuch

Bestimmung der Scherparameter: Für die Spannungszustände mit max σ1 werden im MOHRschen Diagramm dieSpannungskreise gezeichnet (siehe Abbildung 112). Die Gerade, welche die einzelnen Spannungskreise tangiert, be-schreibt die Grenze für die möglichen Spannungszustände (siehe Abbildung 112). Ihre Neigung ist der Reibungswinkel74

ϕ. Der Ordinatenwert der Geraden entspricht der Kohäsion c.

Die Bestimmung der Scherparameter ist einfacher im Spannungspfad-Diagramm: (σ ′1 + σ′

3)/2 als Abszissenwert und(σ′

1 − σ′3)/2 als Ordinatenwert einzutragen (siehe Abbildung 113). Hier werden die Punkte der maximal erreichten σ1

eingetragen. Aus dem Anstieg der Interpolationsgeraden und dem Schnittpunkt mit der Abszisse können die Scherpara-meter bestimmt werden:

tan α = sinϕ (29)b = c cosϕ (30)

74Reibungswinkel des dränierten Bodens.

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Abbildung 111: Volumendehnung εV in Abhängigkeit von der axialen Dehnung ε1

Abbildung 112: Bestimmung der Scherparameter ϕ, c mit den MOHRschen Spannungskreisen

Abbildung 113: Bestimmung der Scherparameter ϕ, c mit dem Spannungspfaddiagramm

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CU-Versuch Nach Abschluss der Konsolidationsphase wird die Entwässerungsleitung (Verbindung zum Standrohr) ge-schlossen. Anschließend wird die Dichtheit der Gummihülle, welche die Bodenprobe umschließt, und des Porenwasser-druckmesssystems überprüft75. Nach erfolgreichem Abschluss der Prüfung wird der Abschervorgang eingeleitet. Währenddes Abscherens werden folgende Messwerte aufgezeichnet (siehe Abbildung 114):

• Zeit t

• Zusammendrückung der Probe ∆h

• Stempelkraft F

• Porenwasserdruck u

• Zelldruck p = σ2 = σ3

Abbildung 114: Beobachtete Größen beim CU-Versuch

Der Versuch wird beendet:

• Bei Erreichen des Spannungsmaximums von σ1 − σ3 beziehungsweise σ′1/σ′

3

• Bei Anschmiegen des Spannungspfades an eine umhüllende Gerade (siehe Abbildung 116)

• Die Stauchung der Probe überschreitet 20 %

Die sich bei der Stauchung ändernde Querschnittsfläche der Probe erhalten wir aus:

A =Vc

hc − ∆h

Die effektive Axialspannung σ′1 berechnen wir mit Gleichung 28, wobei der Porenwasserdruck u nicht mehr konstant ist

(siehe Abbildung 115), wie beim CD-Versuch.

Bestimmung der Scherparameter: Die Scherparameter können mit Hilfe des Spannungspfad-Diagrammes bestimmtwerden (siehe Abbildung 116). Hierzu wird auf der Abszisse der Wert (σ ′

1 + σ′3)/2 und auf der Ordinate der Wert

(σ1 −σ3)/2 aufgetragen. Aus der Steigung der umhüllenden Geraden und dem Schnittpunkt mit der Ordinate können mitden Gleichnungen 29 und 30 die Werte für den Reibungswinkel ϕ und die Kohäsion c berechnet werden.

75Nach Schließung der Dränageleitung darf sich der Porenwasserdruck nicht verändern.

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Abbildung 115: Änderung des Porenwasserdruckes in Abhängigkeit von der Stauchung ε1

Abbildung 116: Bestimmung der Scherparameter beim CU-Versuch

UU-Versuch: Wie bereits erwähnt wird beim UU-Versuch keine Konsolidation der Bodenprobe herbeigeführt (Vc=V0,hc=h0, dc=d0). Der notwenige Seitendruck wird bei geschlossener Dränage aufgebracht, und die Probe sofort bei wei-terhin geschlossener Dränageleitung abgeschert, wobei die Stauchungsgeschwindigkeit ε̇1 = 1 %/min betragen darf, unddamit sehr groß ist im Vergleich zum CD- und CU-Versuch. Die mit dem UU-Versuch ermittelten Scherparameter cu

und ϕu76 werden vor allem für die Untersuchung von Bauzuständen77 herangezogen. Die Messwerte, die während des

Abscherens aufgezeichnet werden, entsprechen jenen des CU-Versuchs.

Bestimmung der Scherparameter: Die Spannungskreise für die totalen Spannungen werden in einem τ,σ-Diagrammeingezeichnet (siehe Abbildung 117). Für vollgesättigte Böden ergeben sich Schergeraden wie in Abbildung 117.

CCV-Versuch Beim konsolidierten, dränierten Versuch mit konstantgehaltenem Volumen erfolgt nach abgeschlossenerKonsolidation und Wassersättigung der Abschervorgang78. Während des Abscherens wird der Zelldruck σ3 so geregelt,dass der Porenwasserdruck u = u0 konstant bleibt. Die Auswertung entspricht jener des CU-Versuchs.

76Theoretisch müsste bei vollkommener Wassersättigung und abgeschlossenem Porenwassersystem ϕu = 0 sein, da durch die Inkompressibilität desWassers keine Stauchung des Korngerüsts zugelassen wird, womit sich auch keine Reibung zwischen den Bodenkörnern einstellen kann.

77Vorstellung: Das Porenwasser wird während der Bauzeit nicht vollständig ausgedrückt, das heißt nur ein Teil der Belastungsspannungen σ werdenauf das Korngerüst übertragen.

78Dränagesystem ist geöffnet und steht unter dem Druck u0.

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99

Abbildung 117: Bestimmung der undränierten Scherparameter mit dem UU-Versuch

7 Erddruck

7.1 Allgemeines

In der Ableitung der Erddrucktheorie wird oft von einem sogenannten Erddruckkeil ausgegangen (Abbildung 118), wel-cher bei Bewegung der Wand um s vom Boden weg auf einer um ϑ geneigten Gleitfläche abrutscht. Die in dieser Gleitfugegeweckten Kräfte stehen mit dem Gewicht des Keils und dem Erddruck auf die Wand im Gleichgewicht. Ist diese Gleit-fuge wirklich real?

Abbildung 118: Erdkeil beim Bruchmechanismus zur Berechnung des Erddruckes nach COULOMB

Dazu wurde im Labor verschiedenfarbiger aber sonst gleicher Sand in Schichten zwischen zwei Glasplatten eingebaut(Abbildung 119-links, Abmessungen L × H × T = 35 × 28× 10 cm).

Abbildung 119: Experiment zur Visualisierung des aktiven Erddruckkeiles

Die linke Wand des Behälters wurde nach links verschoben, dabei bildete sich schon bald eine Scherfuge, die durch diedunklen Sandschichten gut sichtbar ist (Abbildung 119-Mitte, s = 6 mm). Nach weiterer Verschiebung bildet sich die

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100 7 ERDDRUCK

Gleitfuge stärker aus, es fließt deutlich Material nach unten (Abbildung 119-rechts, s = 19 mm). Die Gleitfläche kann inguter Näherung als Ebene angesetzt werden.

Ein Auswertung der Versuches mit der PIV-Methode (Particel Image Velocimetry), in der zwei Digitalaufnahmen zuverschiedenen Zeiten verglichen werden, liefert ein sehr anschauliches Bild der Bewegungsvektoren direkt nach Ver-suchsbeginn (Abbildung 120).

0 5 10 15 20 25

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

Abbildung 120: Bewegungsvektoren im Sand direkt nach Beginn der Verschiebung

7.2 Vorzeichenkonvention

α+

δ+

β+

Ea

Abbildung 121: Definition der Vorzeichen (positiv)

Hier gelten die Vorzeichen nach Abbildung 121.79

Achtung Falle: Die Vorzeichen für die Winkel sind nicht immer so geregelt. Hier ist α positiv wenn sich die Wand zumBoden hin neigt. In ÖN-B4434 ist der Wandneigungswinkel α gegensinnig definiert. Das wirkt sich natürlich auch in denErddruckformeln aus!

7.3 Spundwand

Diese Beispiel behandelt eine Uferwand im Tidegebiet, Ostfriesland, Deutschland. Das statische System ist eine einge-spannte, einfach verankerte Spundwand.

Angaben: Die zu bemessende Spundwand ist in Abbildung 122 dargestellt.80 Der Boden hat folgende Kenngrößen:79Sowie im Buch von D. Kolymbas Geotechnik - Bodenmechanik und Grundbau bzw. DIN 4085.80Klöckner-Spundwand-Handbuch

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7.3 Spundwand 101

−12.58

+7.50

+5.80HHW +7.0

NNW −1.0

Sohle −4.5

Gwsp. +0.0

Sand

sandiger Schluff

p=10kN/m²

Abbildung 122: Uferwand im Tidegebiet

Schicht γ γ′ ϕ ckN/m3 kN/m3 kN/m2

1 Sand 18 10 33 02 Schluff 9 25 20

Für den Fall des extremen Niedrigwassers verformt sich die Spundwand zur Wasserseite hin, das heißt auf der Bodenseitewirkt der aktive Erddruck. Im Einspannungsbereich der Spundwand wird außerdem der Erdwiderstand aktiviert. In diesemBereich wirkt die Differenz aus passivem und aktivem Erddruck.

Lösung: Die Erddruckverteilung ergibt sich für den aktiven Erddruck zu

ea = σ′γKaγ + pKav + cKac ,

bzw. für den passiven Erddruck zu

ep = σ′γKpγ + pKpv + cKpc .

Für die Spundwand (Metall) wird für den aktiven Erddruck der Wandreibungswinkel mit δa = 2/3ϕ angenommen.

Erddruckbeiwerte: Der Erddruckbeiwert für die horizontale Komponente des Erddruckes zufolge Bodeneigengewichtist allgemein

Kaγh =

cos(α + ϕ)

cosα ·[

1 +

√

sin(ϕ + δa) sin(ϕ − β)

cos(α − δa) cos(α + β)

]

2

,

und der Erddruckbeiwert für den um δa geneigten aktiven Erddruck ist

Kaγ = Kaγh

1

cos(α − δa).

Der Erddruckbeiwert für die Auflast ist

Kav = Kaγ

cosα cosβ

cos(β + α).

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102 7 ERDDRUCK

Der Erddruckbeiwert zur Berücksichtigung der Kohäsion ist

Kac = − 2 cos(β − α) cosϕ

[1 + sin(δa + ϕ − α − β)] cos α.

Für den passiven Erddruck wird üblicherweise ein kleinerer Wandreibungswinkel, z.B. δp = −1/3ϕ angenommen. Beieiner Spundwand ist aber eine Nebenbedingung zu erfüllen. Die Vertikalkomponenten, der aus den Erddrücken errechne-ten Erddruckkräfte, müssen im Gleichgewicht stehen. Es muss also

∑V = 0 zumindest annähernd eingehalten werden.

Der vertikale Komponente der passiven Erddruckkraft kann auf der linken Seite der Spundwand nur so groß werden wieder aktive Erddruck und das Eigengewicht der Spundwand nach unten wirken.81 Das führt zu einem iterativen Prozess zurFestlegung des Wandreibungswinkels. In der Handrechnung wird üblicherweise δp = −1/3ϕ gewählt, und der Nachweis∑

V = 0 nach Ermittlung der Erddruckkräfte durchgeführt. Geht sich dieser Nachweis nicht aus, ist also die (nach obenwirkende) Vertikalkomponente des passiven Erddruckes zu groß, wird meist gleich mit δp = 0 gerechnet, da dies auf dersicheren Seite82 liegt.Die Erddruckbeiwerte für den passiven Erddruck sind in Tabelle 3 in ÖN B 4434 angeführt.83 (Zwischenwerte werdenlinear interpoliert.)Die Wandreibungswinkel und Erddruckbeiwerte für unser Beispiel ergeben sich wie folgt:

Schicht δa Kaγ Kav Kac

1 2/3ϕ 0,2645 0,26452 2/3ϕ 0,3608 0,3608 - 1,0888

Schicht δp Kpγ Kpc

2 −1/3ϕ 84 3,08 4,32

aktiver Erddruck: Wir benötigen zuerst die Verteilung der effektiven vertikalen Spannung σ ′γ zufolge des Eigenge-

wichtes rechts der Spundwand:

Tiefe σ′γ

[m] [kN/m2]+5,80 0±0,00 5,8 · 18 = 104,4−4,50 104,4 + 4,5 · 10 = 149,4−12,58 149,4 + 8,08 · 9 = 222,1

Die Verteilung des aktiven Erddruckes wird somit zu:

Tiefe ea = σ′γKaγ + pKav + cKac

[m] [kN/m2]+5,80 10 · 0,2645 = 2,64±0,00 104,4 · 0,2645 + 10 · 0,2645 = 30,26−4,50 149,4 · 0,2645 + 10 · 0,2645 = 42,16−4,50 149,4 · 0,3608 + 10 · 0,3608

−20 · 1,0888 = 35,75−12,58 222,1 · 0,3608 + 10 · 0,3608

−20 · 1,0888 = 58,37

Bemerkung: Beachte, dass die Erddruckverteilung auf Höhe des Grundwasserspiegels (±0,00 m) einen Knick hat, dasich die Wichte γ ändert, und damit der Verlauf der effektiven Vertikalspannung σz einen Knick hat. An der Grenze zurSchluffschicht (−4,50 m) weist die Erddruckverteilung einen Sprung auf, da sich der Reibungswinkel ϕ und damit derErddruckbeiwert Ka ändert und außerdem die Kohäsion c des schluffigen Bodens berücksichtigt wird.

81Man sagt auch der passive Erddruck, kann nur in dem Maße geweckt werden, indem aktive Erddruckkräfte wirken.82Sicher ist das, weil der passive Erddruck für die Stützung verantwortlich ist, und eine Unterschätzung seiner Größe die Sicherheit etwas erhöht.83Hier unterscheiden sich ÖN B 4434 und DIN 4085!84Nach Ermittlung der Erddrücke wird mit dieser Annahme

PEav = 206 ≈ −Epv = 232 kN/lfm.

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7.4 Schwergewichtsmauer 103

42,2

GOK

35,8

30,3

2,6

16,7°8,3°

86,4

310,4

Sohle

Gwsp.22°

Schicht-wechsel

Diffe

renz

wass

erdr

uck

10

ee

pa

NNW

Drücke in kN/m²

58,4

Abbildung 123: Erd- und Wasserdruckverteilung bei Niedrigwasser

Passiver Erddruck: Auf der linken Seite der Spundwand baut sich der passive Erddruck auf. An der Oberfläche ist dieeffektive Vertikalspannung zwar null, aber durch die vorhandene Kohäsion ist der passive Erddruck dort

ep = c · Kpc = 20 · 4,32 = 86,4 kN/m2 .

Der passive Erddruck in der Tiefe -12,58 m wird (mit σ′z = γ′z links der Spundwand) zu

ep = 9 · 8,08 · 3,08 + 20 · 4,32 = 310,4 kN/m2 .

Wasserdruck: Auf die Spundwand wirkt noch der Wasserdruck. Bei Vernachlässigung der Strömungskräfte wirkt derstatische Differenzwasserdruck γwz, der sich zwischen Grundwasserspiegel und Niederwasserspiegel aufbaut (siehe Ab-bildung 123).

Darstellung: Die Erddrücke und der Differenzwasserdruck sind in Abbildung 123 dargestellt.

7.4 Schwergewichtsmauer

Angaben: Für die Schwergewichtsmauer aus unbewehrtem Beton in Abbildung 124 soll die Größe, die Exzentrizitätund die Neigung des Sohldruckes berechnet werden.

Das Hinterfüllungsmaterial hat folgende Bodenkennwerte: γ=18 kN/m3, ϕ = 30◦, c = 0.

Das gesamte Beispiel wird für 1 lfm Stützmauer berechnet werden, um das ständige Schreiben von /lfm bei den Einheitender Kräfte zu sparen.

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104 7 ERDDRUCK

Hinterfüllung

p=10 kN/m²

β=10°

3.8 m

1,2 m

nichtbindigerUntergrund

Abbildung 124: Schwergewichtsmauer

Lösung: Durch die Verschiebung bzw. Verdrehung der Stützmauer vom Erdreich weg erfolgt auf der rechten Seite derStützmauer eine Bodenauflockerung. Hier wirkt der aktive Erddruck. Zunächst berechnet man die resultierende aktiveErddruckkraft infolge Bodeneigengewicht und Auflast.

Der Erddruck zufolge des Eigengewichtes der Hinterfüllung ist

σzKaγ ,

und der Erddruck zufolge einer verteilten vertikalen Last pv ist

pvKav .

Für eine senkrechte Wand (α = 0) oder ebenes Gelände (β = 0) gilt Kaγ = Kav. Wir wollen deshalb nur mehr Ka

schreiben. Damit ergibt sich der Erddruck in der Tiefe z zu

ea = σzKaγ + pvKav(α=0)

= (γz + p)Ka .

Der aktive Erddruckbeiwert Ka ist eine Funktion des Bodenreibungswinkels ϕ, der Neigung der Geländeoberkante β,der Neigung der Wandrückseite α und vom Neigungswinkel δ des Erddrucks gegenüber der Wandrückseite. Letztererhängt vom Reibungswinkel zwischen Wand und Erdreich ab. Für eine rauhe Wand, wie z.B. geschalter Beton, beträgtδ = 2/3ϕ, bei glatter Wand (z.B. Stützwand mit plastischer Dichtungsschicht) wird δ = 0.85 Der Erddruckbeiwert kannaus folgender Formel 86 berechnet werden:

Ka =

cos(α + ϕ)

cosα ·[

1 +√

sin(ϕ+δ) sin(ϕ−β)cos(α−δ) cos(α+β)

]

2

1

cos(α − δ)

Für das Beispiel ergibt sich mit ϕ = 30◦, β = 10◦, α = 0◦, δ = 2/3ϕ ; Ka = 0,34.

Daraus folgt die (trapezförmige) Erddruckverteilung und die resultierende aktive Erddruckkraft Ea wie in Abbildung 125dargestellt.87

Mit γBeton = 24 kN/m3 wird∑

V = G1 + G2 + G3 + Eav = 74,9 + 36,5 + 91,2 + 32,0 = 234,6 kN

85Siehe ÖN B4434.86Die Erddruckbeiwerte sind in Abhängigkeit von den genannten Parametern tabelliert: z.B. im Grundbau-Taschenbuch, oder in Krapfenbauer,

Sträussler (1991): Bautabellen, Jugend und Volk.87Die Wirkungslinie der Resultierenden Ea geht durch den Schwerpunkt der Trapezverteilung ea(z).

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7.5 Minimaler aktiver Erddruck 105

Eah

3.4

δ=2/3 ϕa

Eav

E =93.5 kN

34.01.82 m

z

G2

G3

G1

2.60

1.20

3.80

0.8 0.8 1.0

= 87,9 kN

= 32,0 kN

Abbildung 125: Erddruckverteilung

Der Sohldruck ergibt sich als Resultierende aller Kräfte

Q =√

(∑

V )2 + (∑

H)2 =√

234,62 + 87.92 = 250,5 kN .

Seine Neigung zur Vertikalen ist

δS = arctan

∑H

∑V

= arctan87,9

234,6= 20,5◦ .

Mit dem Moment um den Mittelpunkt der Fundamentsohle∑

Mm = G2 · 0,03 + G3 · 0,8 + Eav · 1,30− Eah · 1,82 = −44,3 kNm .

kann die Exzentrizität berechnet werden

e =

∣∣∣∣

∑Mm

∑V

∣∣∣∣= 0,19 m .

Abbildung 126: Versagen durch Kippen

Ist die Exzentrizität zu groß, kann eine Mauer kippen, wie in Abb. 126 dargestellt. Für ständige Lasten muss der Sohldruckim Kern der Gründungssohle angreifen, siehe Abb. 127.

7.5 Minimaler aktiver Erddruck

Angaben: Für die senkrechte Stützwand mit der Höhe h = 10 m in Abbildung 128 soll der Erddruck berechnet werden.Der Boden hat die Kennwerte γ=18 kN/m3, ϕ = 25◦, c = 10 kN/m2.

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106 7 ERDDRUCK

b

d

b/6 b/6

d/6

d/6

Abbildung 127: Kernfläche eines Rechteckfundamentes

h

Abbildung 128: Senkrechte Wand

Lösung: Der Erddruck ist

ea = σzKaγ + cKac .

Die Spannung in der Tiefe 10 m ist

σz = γh = 18 · 10 = 180 kN/m2 .

Wie schon in den vorigen Beispielen sind die Erddruckbeiwerte für den aktiven Erddruck

Kaγ =

cos(α + ϕ)

cosα ·[

1 +√


]

2

1

cos(α − δ)

und

Kac = − 2 cos(β − α) cosϕ

[1 + sin(δ + ϕ − α − β)] cosα.

Für das Beispiel ergibt sich mit ϕ = 25◦, β = 0◦, α = 0◦, δ = 2/3ϕ = 16,7◦ ; Kaγ = 0,3608, Kac = −1,089.

Damit ergibt sich der Erddruck an der Oberfläche zu

ea = cKac = −10 · 1,089 = −10,89 kN/m2 ,

und in 10 m Tiefe

ea = σzKaγ + cKac = 180 · 0,3608− 10 · 1,089 = 54,05 kN/m2 .

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7.6 Erddruck auf geneigte Wand 107

Ein negativer Erddruck darf nach ÖN B4434 nicht in Rechnung gestellt werden.88 Es muss mindestens ein horizontalerErddruck von 0,2σz auf die Wand wirken. Das wäre in 10 m Tiefe

min ea,h = 0,2σz = 0,2 · 180 = 36 kN/m2 .

Es muss somit ein um δ geneigter Mindesterddruck von

min ea =min ea,h

cos(α − δ)=

36

cos 16,7= 37,6 kN/m2

in Rechnung gestellt werden.Die Erddruckverteilung wird in Abbildung 129 dargestellt. Die punktierte Linie entspricht der Größe des minimalenErddruckes in jeder Tiefe. Der Schnittpunkt des minimalen Erddruckverlaufes mit der zuvor ermittelten rechnerischenErddruckverteilung wird durch die Konstruktion auf der linken Seite der Abbildung 129 ermittelt. Er liegt in 3,98 m Tiefeund hat den Erddruckwert 15,0 kN/m2.89 Die Einhüllende (dicke Linie) ist dann der rechnerische Erddruck.

54,1

−10,9

54,116,7°

ea,min

Konstruktion Erddruckverteilung

3,98

37,5

15,015,0


Die Erddruckkraft ist die Resultierende der oben konstruierten Erddruckverteilung.

7.6 Erddruck auf geneigte Wand

Angaben: Für die einfachen Verhältnisse einer mit α = 15◦ geneigten Wand in Abbildung 130, soll die Erddruckver-teilung und die Erddruckkraft berechnet werden.Der Boden hat die Kennwerte γ=18 kN/m3, ϕ = 40◦, c = 0. Die Höhe des Geländesprunges ist h = 10 m.

Lösung: Der Erddruck ist allgemein

ea = σzKa .

Die Spannung in der Tiefe 10 m ist

σz = γh = 18 · 10 = 180 kN/m2 .

88Nach DIN 4085 ist selbiges bei mangelnder Bewegungsmöglichkeit für bindige Schichten zu prüfen.89Entweder grafisch bestimmt oder bei homogenen Baugrund einfach aus:

0,2γz/ cos(α − δ) = γzKaγ + cKac

z =1

γ

cKac

0,2/ cos(α − δ) − Kaγ

, ea = 0,2γz/ cos(α − δ)

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108 7 ERDDRUCK

h α

Abbildung 130: Geneigte Wand

Der Erddruckbeiwert für den aktiven Erddruck ist mit ϕ = 40◦, β = 0◦, α = 15◦, δ = 2/3ϕ = 26,7◦

Ka =

cos(α + ϕ)

cosα ·[

1 +√


]

2

1

cos(α − δ)= 0,1124 .

Damit ergibt sich der Erddruck in 10 m zu

ea = σzKa = 180 · 0,1124 = 20,23 kN/m2 .

Dieser Erddruck wirkt in einer die vertikalen Projektion der Stützwand. Er ist gegenüber der Wand um δ geneigt (sieheAbbildung 131)

h α

δ

ea


Die Erddruckkraft (pro Laufmeter Wand) ist die Resultierende dieser Dreieckslast

Ea = ea

h

2= 20,23

h

2= 101,2 kN/lfm .

Auch die Erddruckkraft ist gegenüber der Wand um δ, und gegenüber der horizontalen um δ − α geneigt (siehe Abbil-dung 132)

Berechnung mit Kha : Der horizontal wirkende Anteil des Erddruckes ist

eha = σzK

ha ,

mit

Kha =

cos(α + ϕ)

cosα ·[

1 +

√

sin(ϕ + δ) sin(ϕ − β)

cos(α − δ) cos(α + β)

]

2

.

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7.6 Erddruck auf geneigte Wand 109

hδ

h/3

aE

Abbildung 132: Erddruckkraft

Für das Beispiel ergibt sich mit ϕ = 40◦, β = 0◦, α = 15◦, δ = 2/3ϕ = 26,7◦ ; Kha = 0,1101.

Damit wird

ea = σzKa = 180 · 0,1101 = 19,82 kN/m2 ,

wie in Abbildung 133 dargestellt, und die horizontale Komponente der Erddruckkraft (pro Laufmeter Wand)

Eha = eh

a

h

2= 19,82

h

2= 99,09 kN/lfm .

h α

eah


hδαh/3

aE

Eah


Die Erddruckkraft ist dann, wie in Abbildung 134 dargestellt

Ea =Eh

a

cos(δ − α)= 101,2 kN/lfm .

Merke: Mit Ka wird der Erddruck berechnet, der um den Wandreibungswinkel δ gegenüber der Wandgeneigt, aber auf eine vertikale Projektion der Wand bezogen ist.

Mit Kha wird der horizontal wirkende Erddruck berechnet. Auch dieser wirkt in einer vertikalen Projektion der Wand.

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110 7 ERDDRUCK

7.7 Resultierender Erddruck - Ausflug in die Statik

Als kurzen Einschub möchte ich hier noch ein paar Worte über die Berechnung der Resultierenden des Erddruckes ver-lieren, die Erddruckkraft.90 Dies ist eigentlich reine Statik, macht aber doch häufig Verständnisschwierigkeiten.Betrachten wir als einfachstes Beispiel eine senkrechte Stützwand mit homogenen Boden in Abbildung 135.

Eah

eah

eav

Eav

Eav

Eah

Ea

Ea

ea

h

Abbildung 135: Erddruckverteilung, Erddruckkraft

Hier ist die Ordinate des geneigten Erddruckes am Fuß der Stützwand

ea = σ′zKa = γhKa .

Die Ordinate des horizontalen Erddruckes an derselben Stelle ist

eha = σ′

zKha .

Die Resultierende des horizontalen Erddruckes ist somit leicht als Fläche des Dreiecks zu berechnen

Eha = h

eha

2.

Ebenso gilt für den vertikalen Erddruck

eva = σ′

zKva .

Daraus folgt

Eva = h

eva

2.

Die Summe dieser beiden Kräfte ist die geneigte Erddruckresultierende

Ea =

√

(Eha )

2+ (Ev

a)2

=h

2

√

(eha)

2+ (ev

a)2

.

90Eigentlich ist die Erddruckkraft ja das ursprüngliche Ergebnis der COULOMBschen Erddruckberechnung, und die Verteilung des Erddruckes überdie Tiefe ist eine Umrechnung dieser Kraft auf eine verteilte Last in Analogie zum RANKINEschen Sonderfall. Aber in den Erddruckberechnungenwird üblicherweise umgekehrt vorgegangen (besonders bei geschichtetem Baugrund), und damit muss die Erddruckkraft dann als Resultierende desErddruckes berechnet werden.

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111

Mit den Beziehungen

Kha = Ka cos(δ − α) , Kv

a = Ka sin(δ − α)

gilt

eha = ea cos(δ − α) , ev

a = ea sin(δ − α)

und die Erddruckkraft wird zu

Ea =h

2

√

ea2 cos2(δ − α) + ea

2 sin2(δ − α) =h

2ea

Zahlenbeispiel: Für einen Boden mit γ = 18 kN/m3 und ϕ = 30◦, sowie eine senkrechte Mauer mit h = 3 m undδ = 2/3ϕ folgt:

Ka = 0,2973

Kha = Ka cos(δ − α) = 0,2973 · cos(20◦) = 0,2794

Kva = Ka sin(δ − α) = 0,2973 · sin(20◦) = 0,1017

Damit wird der Erddruck am Fuß der Mauer zu

ea = σzKa = γzKa = 18 · 3 · 0,2973 = 16,05 kN/m2

eha = 18 · 3 · 0,2794 = 15,08 kN/m2

eva = 18 · 3 · 0,1017 = 5,49 kN/m2 ,

und die Erddruckkraft

Ea =h

2ea =

3

2· 16,05 = 24,08 kN

Eha =

h

2eh

a =3

2· 15,08 = 22,62 kN

Eva =

h

2ev

a =3

2· 5,49 = 8,24 kN .

Die Resultierende aus der horizontalen und der vertikalen Erddruckkraft√

(Eha )

2+ (Ev

a)2

=√

22,622 + 8,242 = 24,07 kN

ist genau Ea = 24,08 kN (bis auf Rundungsfehler).

8 Böschungsstabilität

8.1 Standsicherheitsberechnung für eine Böschung mit Annahme einer ebenen Gleitfuge

Im Zuge einer Baumaßnahme muss der anstehende Kleiboden vollständig ausgetauscht werden. Der Aushub wird miteinem Schwimmbagger vorgenommen. Es soll nun herausgefunden werden wie hoch das Wasser in der Baugrube stehenmuss, damit eine Anfangsstandsicherheit von ηc=1,4 eingehalten wird (siehe Abbildung 136). Der Sicherheitsfaktor ηc istdefiniert durch das Verhältnis der vorhandenen Kohäsion c zu der im Grenzgleichgewicht mobilisierten Kohäsion cm

ηc =c

cm

.

Hier wird die Anfangsstandsicherheit untersucht, deshalb wird mit den Scherparametern für undrainierte Bedingungen,ausgedrückt durch die Anfangsscherfestigkeit cu, gerechnet.

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112 8 BÖSCHUNGSSTABILITÄT

Abbildung 136: Systemskizze

Für das Beispiel darf näherungsweise eine ebene Gleitfuge91 angenommen werden. Geometrie und Bodenkennwerte sindaus Abbildung 136 ersichtlich.Für das Einhalten des Grenzgleichgewichtes werden die Widerstandswerte so bestimmt, dass sich Gleichgewicht mitden Einwirkungsgrößen ergibt. In Abbildung 137 sind die einzelnen resultierenden Kräfte eingezeichnet, die auf denangenommenen Gleitkeil einwirken. Der Winkel ϑ der Gleitfuge ist willkürlich gewählt. Die Winkelbeziehungen und

Abbildung 137: Resultierende Kräfte auf Gleitkeil

Längen, die zur Bestimmung der einzelnen Größen notwendig sind, können der Abbildung 138 entnommen werden.

Kohäsionskraft Die Kohäsionskraft C ergibt sich aus der Gleitfugenlänge und dem Wert der mobilisierten Kohäsioncm pro Laufmeter Böschung

C = cm

h

sin ϑ. (31)

Gewichtskraft: Die Gewichtskraft G bestimmen wir über die Fläche des Gleitkeils und die Dichte γr des wasserge-sättigten Bodens pro Laufmeter Böschung. Die Gleitkeil-Querschnittsfläche AGlk erhalten wir mit den Bezeichnungen in139:

91Ebene Gleitfugen liefern nur für steile Böschungen brauchbare Ergebnisse

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8.1 Ebene Gleitfuge 113

Abbildung 138: Geometrische Beziehungen am Gleitkeil für einen bestimmten Winkel ϑ

AGlk

h

a

ϑ

β

Abbildung 139: Gleitkeilfläche

AGlk = ah

2a = h cot ϑ − h cotβ

AGlk =h2

2(cot ϑ − cotβ) ,

Damit ergibt sich für die Gewichtskraft G

G = AGlkγr =h2

2γr(cot ϑ − cotβ) . (32)

Wasserdruck Schlussendlich müssen wir noch die resultierende Wasserdruckkraft FW bestimmen, die am Gleitkeilangreift (siehe Abbildung 137). Diese berechnet sich aus dem Wasserdruck, der über die Länge hw

sin βwirkt

FW =1

2(γwhw)

hw

sinβ. (33)

Kräftegleichgewicht In Richtung der Kohäsionskraft C wird nun das Kräftegleichgewicht aufgestellt (siehe KrafteckAbbildung 140). Wir erhalten hieraus die Gleichung

C + FW sin(β − ϑ) = G sin ϑ (34)

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Abbildung 140: Kräftegleichgewicht

Es werden nun die Gleichungen 31, 32, 33 in die Gleichung 34 eingesetzt

cm

h

sin ϑ+

hW2

2γw

1

sin βsin(β − ϑ) =

h2

2γr

(cosϑ

sinϑ− cosβ

sinβ

)

︸︷︷︸

cos ϑ sin β−cos β sin ϑsin ϑ sin β

=sin(β−ϑ)sin ϑ sin β

sin ϑ .

Daraus erhalten wir den Wert für die mobilisierte Kohäsion cm des Bodens in Abhängigkeit vom Gleitfugenwinkel ϑ

cm =h

2γr

sin(β − ϑ)

sin ϑ sinβsin ϑ2 − hw

2

2hγw

sin(β − ϑ)

sinβsin ϑ

=γrh

2

(

1 − γwhw2

γrh2

)

sin(β − ϑ)sin ϑ

sin β. (35)

Sowohl die mobilisierte Kohäsion cm als auch der Gleitfugenwinkel ϑ stellen unbekannte Größen92 dar. Wir kennen zwarden Wert der undränierten Kohäsion des Bodens, wissen aber nicht wie groß cm sein muss, damit sich im GrenzfallGleichgewicht einstellt.

Wir wollen nun cm in Abhängigkeit von ϑ so bestimmen, dass cm maximal wird. Dies liefert uns die Bedingung

dcm

dϑ= 0

Durch Einsetzen von Gleichung 35 erhalten wir:

d

dϑ(sin(β − ϑ) sin ϑ) = 0

sin(β − ϑ) cosϑ − cos(β − ϑ) sin ϑ = 0

sin(β − ϑ − ϑ) = 0

β − 2ϑ = kπ

Für k = 0, 1, 2, . . . , n erhalten wir für k=0 die physikalisch sinnvolle Lösung ϑ = β2 .

92Die Wasserhöhe hw ist ebenfalls unbekannt. Diese wird aber zunächst so behandelt, als ob sie bekannt wäre.

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8.2 Ebene Gleitfuge unter Auftrieb 115

Wir haben nun die Gleitfugenneigung so bestimmt, dass die im Boden zu mobilisierende Kohäsion cm zur Herstellungdes Grenzgleichgewichtes maximal wird. Diesen Winkel ϑ setzen wir nun in die Gleichung 35 ein.

cm =γrh

2

(

1 − γwhw2

γrh2

)sin2(β

2 )

sinβ(36)

Die mobilisierte Kohäsion im Grenzgleichgewicht cm erhalten wir für die geforderte Sicherheit ηc=1,4 bei gegebenerKohäsion93 cu aus

ηc =cu

cm

= 1,4

cm =15

1,4= 10,71 kN/m2 .

Durch Umformung der Gleichung 36 können wir hw in Abhängigkeit von den bekannten Größen bestimmen:

2cm

γrh

sin β

sin2(β2 )

= 1 − γwhw2

γrh2

hw2 = h2 γr

γw

[

1 − 2cm

γrh

sinβ

sin2(β2 )

]

hw = h 2

√√√√

γr

γw

[

1 − 2cm sinβ

γrh sin2(β2 )

]

(37)

Mit dem Wert für cm und den anderen bekannten geometrischen Größen wird mit Gleichung 37 die erforderliche Wasser-höhe

hw,erf = 5 · 2

√√√√20

10

[

1 − 2 · 10,71 · sin 70◦

20 · 5 · sin2( 7020 )

]

= 4,41 m .

8.2 Standsicherheitsberechnung für eine Böschung mit Annahme einer ebenen Gleitfuge un-ter Auftrieb

Abbildung 141: Systemskizze93cu kann zum Beispiel mit einem undränierten Triaxialversuch bestimmt werden.

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Für die Böschung in Abbildung 141 soll eine Endstandsicherheitsberechnung durchgeführt werden. Da die Neigung derBöschung sehr groß ist, darf eine ebene Gleitfuge angenommen werden.

Ein Teil der Böschung befindet sich unterhalb des Grundwasserspiegels. Es gibt zwei verschiedene Methoden den Was-serdruck in der Berechnung zu berücksichtigen (siehe Abbildung 142). Entweder man rechnet mit der Auftriebswichte γ ′

∆∆

∆

Abbildung 142: Berücksichtigung des Wasserdruckes

ohne weiter auf die vertikalen Wasserdruckkräfte einzugehen oder man führt die Berechnung mit der Wichte des gesättig-ten Bodens γr durch und setzt die resultierenden Wasserdruckkräfte am Gleitkeil an. Beide Methoden führen zum selbenErgebnis.

Rechnung mit γ′:

∆G = γ′∆x∆y = (1 − n)(γs − γw)∆x∆y

Rechnung mit γr:

∆G = γr∆x∆y − γw∆x∆y (38)

Die Wichte γr eines gesättigten Bodens erhalten wir aus

γr = γd + nγw , (39)

und für die Trockenwichte γd gilt

γd = (1 − n)γs . (40)

Mit Gleichung 39 und 40 in 38 erhalten wir

∆G = (γd + nγw)∆x∆y − γw∆x∆y

= ((1 − n)γs + (n − 1)γw)∆x∆y

= (1 − n)(γs − γw)∆x∆y .

Wir wollen in unserem Beispiel mit der Wichte γr des gesättigten Bodens und den Wasserdruckkräften rechnen. Dakeine Grundwasserströmung vorliegt gibt es keine resultierende horizontale Kraftwirkung zufolge des Wassers. Abbildung143 zeigt die einzelnen resultierenden Kräfte, die auf den angenommenen Gleitkeil mit dem willkürlich festgelegtenWinkel ϑ einwirken. Bei der Ermittlung der Gewichtskraft G des Erdkeils müsste man genau genommen für den Bereichoberhalb des Grundwasserspiegels mit der Wichte γ rechnen. Zur Vereinfachung wollen wir aber die Wichte γr des

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8.2 Ebene Gleitfuge unter Auftrieb 117

Abbildung 143: Kräfte am Gleitkeil

wassergesättigten Bodens für den gesamten Bereich des Gleitkeils ansetzen, zudem wir mit dieser Annahme auf dersicheren Seite liegen.

Die Sicherheit η wird durch das Verhältnis der Kohäsion c zur mobilisierten Kohäsion cm festgelegt. Um das Grenz-gleichgewicht beschreiben zu können, müssen wir die einzelnen resultierenden Kräfte ermitteln, die laut Abbildung 143am Gleitkeil angreifen.

Gewichtskraft: Die Ermittlung der Gewichtskraft G erfolgt analog zu Beispiel 8.1. Als Ergebnis erhalten wir für G

G = AGlkγr =h2

2γr(cot ϑ − cotβ) .

Kohäsionskraft: Für die Kohäsionskraft C erhalten wir bei Annahme einer ebenen Gleitfuge laut Beispiel 8.1

C = cm

h

sin ϑ. (41)

Abbildung 144: Geometrie und Winkelbeziehungen für die Ermittlung der Wasserdruckkräfte

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Wasserdruck: Die am Gleitkeil wirkenden Wasserdrücke werden in die horizontalen und vertikalen Anteile zerlegt(siehe Abbildung 143). Die horizontalen Anteile heben sich gegenseitig auf. Aus den vertikalen Anteilen ergeben sich dieresultierenden Kräfte Fw1,v und Fw2,v. Unter Berücksichtigung der geometrischen Beziehungen in den Abbildungen 143und 144 können wir Fw1,v und Fw2,v bestimmen:

Fw1,v = Fw1 cosβ =1

2(γwhw)

hw

sinβcosβ =

1

2γwhw

2 cot β

Fw2,v =1

2γwhw

2 cot ϑ

Abbildung 145: Kräftegleichgewicht

Kräftegleichgewicht: Über das Krafteck in Abbildung 145 kann mit dem Sinussatz und den bekannten Winkeln dieGröße von C bestimmt werden. Wir erhalten hiermit für den Grenzgleichgewichtszustand folgende Beziehung:

C

sin(ϑ − ϕm)=

G +

Fw︷︸︸︷

Fw1,v − Fw2,v

sin(90◦ + ϕm)︸︷︷︸

cos ϕm

(42)

Durch Einsetzen von Gleichung 41 in Gleichung 42 und Freistellen von cm ergibt sich eine Beziehung zwischen dermobilisierten Kohäsion cm und dem angenommenen Winkel ϑ:

cm =G + Fw1,v − Fw2,v

cosϕm

sin(ϑ − ϕm)sin ϑ

h(43)

Es muss nun der maximal mögliche Wert der mobilisierten Kohäsion cm bestimmt werden, um eine Aussage über dievorhandene Sicherheit treffen zu können. Den maximalen Wert erhalten wir wiederum (siehe Beispiel 8.1) durch dieBedingung

dcm

dϑ= 0 . (44)

Für die Auswertung dieser Gleichung müssen zuerst in Gleichung 43 die Werte für G, Fw1,v und Fw2,v eingesetzt werden:

cm =hγr

2(1 − γwhw

2

γrh2)(cot ϑ − cot β)

sin ϑ sin(ϑ − ϕm)

cosϕm

(45)

Über die Bedingung 44 erhalten wir den Winkel ϑ für den sich der maximale Wert für die mobilisierte Kohäsion cm

einstellt:dcm

dϑ= 0

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8.3 i Gleitkreisverfahren 119

d

dϑ[(cot ϑ − cot β) sin ϑ sin(ϑ − ϕm)] = 0

...cos(2ϑ − ϕm) − cotβ sin(2ϑ − ϕm) = 0

1 − cotβ tan(2ϑ − ϕm) = 0

tan(2ϑ − ϕm) =1

cotβ= tan β

2ϑ − ϕm = β

ϑ =β + ϕm

2

Unter der Annahme, dass der Reibungswinkel voll mobilisiert wird, ϕm = ϕ = 17,5◦ und für β=70◦ ergibt sich für dieGleitflächenneigung:

ϑ =70◦ + 17,5◦

2= 43,75◦

Wir können nun mit Gleichung 45 den Wert der mobilisierten Kohäsion cm bestimmen:

cm =5 · 17

2(1 − 10 · 32

17 · 52)(cot 43,75◦ − cot 70◦)

sin 43,75◦ · sin(43,75◦ − 17,5◦)

cos 17,5◦

= 7,3 kN/m2

Die vorhandene Sicherheit ηc hat die Größe

ηc =c

cm

=10

7,3≈ 1,4 .

8.3 i Gleitkreisverfahren

Angabe: Es soll die Standsicherheit der in Abbildung 146 gegebenen Baugrubenböschung bestimmt werden. Eine Bo-

Abbildung 146: Endliche Böschung im bindigen Boden

denansprache ergab, dass der Boden zum Großteil aus Ton und Lehm besteht. Der Boden ist wassergesättigt. Da der

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Konsolidierungsgrad sehr gering ist94 wird die Standsicherheitsberechnung mit der Scherfestigkeit für undrainierte Be-dingen durchgeführt, d.h. wir rechnen mit cu und ϕu, wobei ϕu ≈ 0.95 Man spricht in diesem Zusammenhang auch voneiner „ϕ = 0“-Analyse.

Aus Erfahrung ist bekannt, dass viele Böschungsbrüche entlang einer annähernd zylindrisch gekrümmten Gleitflächeerfolgen. Aus diesem Grund wird bei den meisten Standsicherheitsuntersuchungendavon ausgegangen, dass das Abgleitender Böschung durch Gleitkreise beschrieben werden kann. Die Aufgabe besteht nun darin, jenen Gleitkreis zu finden fürden die Sicherheit minimal wird.

Abbildung 147: Angenommener Prüfgleitkreis und angreifende Kräfte

Die Abbildung 147 zeigt eine erste Annahme für eine mögliche Gleitfläche. Es soll nun die vorhandene Standsicherheitfür diese Annahme bestimmt werden.

Bestimmung der am Gleitkreis angreifenden Kräfte: In Abbildung 147 sind die am Gleitkreis angreifenden Kräf-te eingetragen. Für die Ermittlung der Gewichtskräfte G1 und G2 muss der Flächeninhalt der entsprechenden Flächenbestimmt werden.

Für den Kreissektorenabschnitt wird der Flächeninhalt mit der Formel

A2 =r2

2(απ

180− sin α)

berechnet.

Der Winkel α kann graphisch oder rechnerisch gefunden werden. In Abbildung 148 sind die zur Gewichtsermittlungnotwendigen Größen eingetragen. Aus Abbildung 148 folgt α = 97◦. Damit kann der Flächeninhalt der Fläche A2

berechnet werden:

A2 =10,02

2

(97◦ · π180

− sin 97◦)

= 35,02 m2

Die Fläche A1 wird durch ein Dreieck beschrieben

A1 = xH

2.

94Die Aushubarbeiten wurden erst kürzlich abgeschlossen.95Vorstellung: Der Reibungswinkel kann nur durch eine Belastung des Korngerüstes mobilisiert werden. Infolge der Wassersättigung und der geringen

Durchlässigkeit des Bodens werden die Lasten aber durch einen Anstieg des Porenwasserdruckes u aufgenommen (Zeitpunkt t = 0), so dass dasKorngerüst näherungsweise keine zusätzliche Belastung erfährt.

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8.3 i Gleitkreisverfahren 121

1

2

Abbildung 148: Flächenaufteilung für Gewichtsermittlung

Die notwendigen geometrischen Größen können wiederum der Abbildung 148 entnommen werden.Die Teilfläche A1 hat somit die Größe

A1 =6,6 · 8

2= 26,4 m2 .

Nachdem nun A1 und A2 bekannt sind, kann mit G = Aγ die Gewichtskraft pro laufendem Meter Baugrubenböschungbestimmt werden. Wir erhalten somit:

G1 = A1γ = 26,4 · 17,9 = 473 kN/lfmG2 = A2γ = 35,0 · 17,9 = 627 kN/lfm

Sicherheitsdefinition: Die Sicherheit η kann durch das Verhältnis der maximal erreichbaren Kohäsion c 96 des Bodenszur mobilisierten Kohäsion cm festgelegt werden.Eine andere Sicherheitsdefinition ergibt sich dadurch, dass das maximal mobilisierbare haltende Moment Mhaltend,max =clr dem treibenden Moment Mtreibend = G1r1 + G2r2 gegenübergestellt wird.Beide Definitionen führen zum selben Ergebnis. Zur Bestimmung der mobilisierten Kohäsion cm wird eine Gleichge-wichtsbeziehung zwischen dem treibenden Moment Gr = G1r1 + G2r2 und dem haltenden Moment Mhaltend,mob. =cmlr aufgestellt. Die Hebelarme r1 und r2 werden in Abbildung 149 zeichnerisch ermittelt, wobei der Angriffspunkt vonG2 (siehe Abbildung 147) mit

e =a3

12A2=

153

12 · 35,02= 8,03m

rechnerisch ermittelt wird.

cmlr = Gr = G1r1 + G2r2

l = rα

Damit folgt die mobilisierte Kohäsion

cm =G1r1 + G2r2

r2α

cm =473 · 3,43 + 627 · 4,27

10,02 · 97◦π180◦

cm = 25,4 kN/m2 .

96Es handelt sich hierbei um die undränierte Kohäsion cu (zum Beispiel aus einem UU-Versuch), da wir vorausgesetzt haben, dass der Bodenwassergesättigt und unkonsolidiert ist.

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Abbildung 149: Sicherheitsdefinition am Gleitkreis, treibendes und haltendes Moment

Die Sicherheit η kann nun, wie bereits angeführt, durch das Verhältnis

η =c

cm

beschrieben werden. Es ergibt sich somit für die Standsicherheit der Böschung

η =40

25= 1,6 .

Die zweite Sicherheitsdefinition führt zum selben Ergebnis, wie sich leicht zeigen lässt:

η =Mhaltend,max

Mtreibend

=c rα r

G1r1 + G2r2=

cG1r1 + G2r2

rc2α

=c

cm

Die ÖNORM B 4433 fordert für Böschungen im Bauzustand (Lastfall II, Sicherheitsklasse 3) eine Sicherheit η > 1,2(DIN 4084 Lastfall 2 η > 1,3). Für den angenommenen Prüfgleitkreis ist somit die Standsicherheit der Böschung nach-gewiesen. Es steht jedoch noch nicht fest, dass diese ermittelte Sicherheit die minimale Sicherheit für alle möglichenGleitkreise darstellt. Zur Ermittlung der minimalen Standsicherheit müssten theoretisch unendlich viele Fälle betrachtetwerden. Normalerweise führt jedoch eine geringe Anzahl von Untersuchungen zum gewünschten Ergebnis. Allgemeinerfolgt die Findung von ηmin durch

• händisches Probieren

• Tabellen (Taylor 1948)

• Computerprogramme (mit speziellen Algorithmen)

Minimale Sicherheit: Die minimale Sicherheit ηmin wird durch Variation der Mittelpunktskoordinaten berechnet. Inunserem Fall wird vorausgesetzt, dass der Gleitkreis durch Böschungsfuß geht, um die Variationsmöglichkeiten zu ver-ringern. Dies gilt nach TAYLOR für homogene Böschungen, die steiler als 53◦ sind. Die Abbildung 150 zeigt den Variati-onsbereich und die Lage des Gleitkreises für den sich die minimale Sicherheit ηmin=1,55 ergibt.

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8.4 i Reibungskreisverfahren 123

Abbildung 150: Variation des Gleitkreismittelpunktes

Abbildung 151: Endliche Böschung im bindigen Boden mit Kohäsion c und Reibung ϕ

8.4 i Reibungskreisverfahren

Angaben: Die Standsicherheit der im Beispiel 8.3 behandelten Baugrubenböschung wird unter anderen Randbedingun-gen nochmals untersucht. Es wird angenommen, dass der Boden genügend Zeit hatte sich zu konsolidieren. Damit geltennun andere Scherparameter, nämlich c und ϕ.97

Neben den Kohäsionskräften wirken nun zusätzlich Reibungskräfte auf den Gleitkörper ein (siehe Abbildung 152). DieReibungskraft Qi, die auf ein Flächenelement ∆Ai des Gleitkörpers einwirkt, ist um den Reibungswinkel ϕ gegen dieFlächennormale der Gleitfläche geneigt (siehe Abbildung 152). Der Abstand vom Gleitkreismittelpunkt ergibt sich dannzu

rReibungskreis = r sin ϕ .

97Dränierte Scherparameter: c 6= cu, ϕ>ϕu mit ϕu ≈ 0 .

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Abbildung 152: Kräfte, die auf den Gleitkörper einwirken

Da diese Beziehung für jedes Flächenelement ∆Ai der Gleitfläche gilt, ist die Wirkungslinie jeder beliebigen Reibungs-kraft Qi durch die Tangente an den Reibungskreis mit dem Radius r sin ϕ festgelegt. Die Wirkungslinie der Resultierendender Kräfte Qi ist abhängig von der Verteilung der Normalspannungen in der Gleitfuge und vom Öffnungswinkel α desGleitkreises. Sie bildet im Allgemeinen keine Tangente an den Reibungskreis. Für das Reibungskreisverfahren kann abernäherungsweise angenommen werden, dass auch die Resultierende der Kräfte Qi den Reibungskreis tangiert.

Bestimmung der am Gleitkreis angreifenden Kräfte: Es wird der Gleitkreis des Beispiels 8.3 verwendet. Die amGleitkörper angreifende Gewichtskraft G, ist wie in diesem Beispiel die Summation der Teilflächenkräfte G1 und G2.

G = G1 + G2 = 473 + 627 = 1100 kN/lfm .

Den Abstand der Kraft G vom Gleitkreismittelpunkt können wir mit den bereits bekannten Abständen r1 und r2 derTeilflächenschwerpunkte bestimmen (siehe Abbildung 153):

rG =G1r1 + G2r2

G=

473 · 3,43 + 627 · 4,27

1100= 3,9 m

Die Resultierende Cm aller mobilisierten Kohäsionskräfte hat die Richtung der Geraden AB (siehe Krafteck Abbildung153). Der Betrag von Cm ergibt sich aus Cm=AB · cm, wobei die Strecke AB aus AB = 2r sin α

2 berechnet werdenkann. Den Hebelsarm rc bezogen auf den Gleitkreismittelpunkt M erhalten wir aus der Gleichgewichtsbeziehung

Cmrc =

∫

rcmds =

∫

rcmrdα = cmr2α

rc =cmr2α

cm2r sinα

2︸︷︷︸

cm·AB

=rα

2 sin α2

=10 · 97◦ · π

180

2 sin 97◦

2

= 11,3 m

Die Wirkungslinie der mobilisierten resultierenden Kohäsionskraft Cm ist somit bestimmt (siehe Abbildung 153), ihrBetrag ist jedoch noch nicht bekannt, da wir nicht wissen wie groß die mobilisierte Kohäsion cm sein muss, um denGrenzgleichgewichtszustand zu erfüllen.

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8.4 i Reibungskreisverfahren 125

9

Abbildung 153: Bestimmung der Wirkungslinie von G und Cm

Abbildung 154: Wirkungslinien der Kräfte die am Gleitkörper angreifen und Krafteck für die Bestimmung der mobili-sierten Kohäsionskraft Cm

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Die Wirkungslinie der resultierenden Reibungskraft Q wird einerseits dadurch festgelegt, dass sie den Reibungskreistangiert (Näherung), andererseits durch die Bedingung, dass im Zustand des Grenzgleichgewichtes kein resultierendesMoment auftreten darf. Die Momentengleichgewichtsbedingung wird erfüllt, wenn sich die Wirkungslinien aller Kräftein einem Punkt (X in Abbildung 154) schneiden. Somit ist die Lage von Q festgelegt (siehe Abbildung 154).

Mit den bekannten Richtungen der Kraftresultierenden und der betragsmäßig bekannten Gewichtskraft G kann nun dieGröße von Cm bestimmt werden und damit die Sicherheit für den gewählten Prüfgleitkreis abgeschätzt werden. DasKrafteck in Abbildung 154 wird zur graphischen Ermittlung von Cm herangezogen. Zur Schließung des Kraftecks isteine resultierende Kohäsionskraft Cm von 44 kN/lfm notwendig. Damit folgt für die mobilisierte Kohäsion cm in derGleitfuge:

Cm = 44 kN/m = 2r sinα

2cm

cm =Cm

2r sin α2

=44

2 · 10 · sin 972

= 2,9 kN/m2

Aus dem Verhältnis der vorhandenen Kohäsion c zu der für die Aufrechterhaltung des Gleichgewichtszustandes erforder-lichen kann die Sicherheit ηc bestimmt werden

ηc =16

2,9= 5,5 .

Laut ÖNORM B 4433 ist für den Lastfall I (Regellasten) eine Sicherheit η > 1,3 gefordert (DIN 4084 Lastfall 1 η > 1,3).Mit ηc = 5,5 ist die Sicherheit für den angenommenen Prüfgleitkreis nachgewiesen. Da noch nicht feststeht, ob diesdie minimale Sicherheit der Böschung ist, müssen weitere Gleitkreise untersucht werden. Eine Variation der Gleitkreis-

Abbildung 155: Gleitkreis mit ηc,min für die betrachtete Böschung

mittelpunkte liefert für den in Abbildung 155 eingezeichneten Gleitkreis die minimale Standsicherheit der Böschung.Die erforderliche zu mobilisierende Kohäsion cerf beträgt 12,0 kN/m2. Damit folgt die Sicherheit gegen Auftreten einesBöschungsbruches

ηc,min =16

12= 1,33 .

8.5 Standsicherheit von Böschungen, Lamellenverfahren

Die Endstandsicherheit der in Abbildung 156 dargestellten Böschung soll mit dem Lamellenverfahren nach FELLENIUSund BISHOP untersucht werden.

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8.5 Lamellenverfahren 127

Abbildung 156: Böschung im bindigen Boden

Lamellenverfahren nach FELLENIUS Die Methode von Fellenius eignet sich zur Berechnung aller praktisch vorkom-menden endlichen Böschungen mit und ohne Grundwasserströmung.

Abbildung 157: Lamellenverfahren nach FELLENIUS, Kräfte an einer beliebigen Lamelle

FELLENIUS teilt den Gleitkörper – hier in Kreisform und deshalb als Gleitkreis bezeichnet – in eine willkürlich Anzahlvon etwa gleich großen Lamellen ein und untersucht die Kräfte, die an jeder Lamelle angreifen, sowie die Standsicherheitder Summe aller Lamellen. Abbildung 157 zeigt eine Lamelle mit den Kräften, die an ihr wirken.98

Im Verfahren von Fellenius werden die Lamellenzwischenkräfte El,i und Er,i vernachlässigt. Das Gewicht Gi und einevorhandene Auflast Pi werden in eine Normalkomponente99 Ni und in eine Tangentialkomponente Ti zerlegt (Abbil-dung 157).

98Eine Grundwasserströmung würde neben den vorhandenen Kräften zusätzlich Strömungskräfte an der Lamelle verursachen99Diese Kraft wirkt normal auf den Kreis, geht also durch den Mittelpunkt. Sie könnte somit auch Radialkraft genannt werden.

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Abbildung 158: Bestimmung der an einer Lamelle angreifenden Kräfte

Nun wird das haltende und treibende Moment der Lamelle bezogen auf den Gleitkreismittelpunkt M betrachtet. Dastreibende Moment MT,i wird durch die Auflast Pi und das Eigengewicht der Lamelle Gi verursacht. Die NormalkraftNi = (Gi + Pi) cosαi liefert keinen Anteil100. Die Tangentialkomponente bewirkt ein Moment der Größe r(Gi +Pi) sin αi bezogen auf den Gleitkreismittelpunkt M . Durch die Aufsummierung der Momentenanteile aller Lamellenerhält man das resultierende treibende Moment für den Gleitkörper:

n∑

i=1

MT,i =

n∑

i=1

r(Gi + Pi) sin αi

Das haltende Moment MH,i wirkt dem treibenden Moment MT,i entgegen und besteht aus einem Kohäsionsanteil rCi

und einem Reibungsanteil rRi. Die Kohäsionskraft Ci erhalten wir aus der linearisierten Lamellenlänge (siehe Abbildung158) bi

cos αiund der Kohäsion101ci:

Ci = ci

bi

cosαi

Die Reibungskraft folgt aus der Normalkomponente Ni und dem Reibungswinkel102 ϕi (siehe Abbildung 158):

Ri = Ni tan ϕi

Die Aufsummierung der haltenden Anteile liefert das resultierende haltende Momentn∑

i=1

MH,i =

n∑

i=1

r

[

(Gi + Pi) cosαi tan ϕi + ci

bi

cosαi

]

.

Abbildung 159 zeigt die für die Böschung gewählte Lamelleneinteilung103. Das Verfahren von FELLENIUS wird nun100Abstand vom Gleitkreismittelpunkt M ist Null.101Es wird der maximal mobilisierbare Wert für ci eingesetzt.102Der Index i beim Reibungswinkel ϕ soll darauf hinweisen, dass nicht ein homogener Boden vorausgesetzt wird und somit der Reibungswinkel sich

von Lamelle zu Lamelle verändern kann.103Für die praktische Anwendung des Verfahrens reichen 4 Lamellen nicht aus. Es sollten für dieses Beispiel etwa 8-10 Lamellen sein.

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8.5 Lamellenverfahren 129

Abbildung 159: Einteilung der Böschung in 4 Lamellen (für das Beispiel wäre eine Teilung in etwa 10 Lamellen notwen-dig um eine vernünftige Aussage über die Standsicherheit der Böschung treffen zu können)

beispielhaft an der Lamelle 3 angewandt.

Lamelle 3:G3 = b3h3γ = 3,0 · 7,2 · 17,9 = 387 kN/m

MT,3 = G3r sin α3 = 387 · 10 · sin 28◦ = 1817 kNm/m

MH,3 = (G3 cosα3 tan ϕ3 + c3b31

cosα3)r

= (387 · cos 28◦ · tan 20◦ +16 · 3

cos 28◦) · 10 = 1787 kNm/m

Die folgende Tabelle zeigt die Auswertung für die restlichen Lamellen.

Lamellenverfahren nach FELLENIUSi hi bi αi Gi MT,i MH,i

m m ◦ kN/m kNm/m kNm/m1 2,3 3,0 -5,5 124 -118 9302 6,2 3,0 9,5 333 549 16823 7,7 3,0 28 387 1817 17874 4,3 3,7 56 285 2361 1638

Σ 4609 6037

Die Standsicherheit des betrachteten Prüfgleitkreises wird durch das Verhältnis der haltenden Momente∑

MH zu dentreibenden Momente

∑MT definiert. Somit können wir, unter Verwendung der gewonnenen Ergebnisse, die Sicherheit

für den angenommenen Gleitkörper berechnen:

η =

∑MH,i

∑MT,i

=6037

4609= 1,31

Eine Erhöhung der Lamellenanzahl von vier auf neun Lamellen ergibt η = 1,45 für den selben Gleitkreis. Ein Vergleichmit dem Reibungskreisverfahren (η = 5,5) zeigt wie sich die unterschiedlichen Annahmen der Berechnungsverfahren aufdie Ergebnisse auswirken.Eine Variation der Gleitkreise (Computerprogramm) liefert für r = 11,15 und den Öffnungswinkel α = 60◦ die minimaleStandsicherheit der Böschung ηmin = 1,24.

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Lamellenverfahren nach BISHOP: Im Verfahren von BISHOP werden die Lamellenzwischenkräfte El,i und Er,i nä-herungsweise als horizontale Kräfte angesetzt. Daraus resultiert das Krafteck an einer Lamelle ohne Auflast in Abbil-dung 160. Die Reibungs- und Kohäsionskräfte in der Scherfuge werden mit reduzierten Scherparametern berechnet:

E∆

N

Gi

i

i

C iR i

α

α

Abbildung 160: Krafteck an der Lamelle i für das Verfahren von BISHOP

Ci =ci

η

bi

cosαi

Ri = Ni

tan ϕi

η

Aus dem Gleichgewicht der vertikalen Kräfte an einer Lamelle ergibt sich die Normalkraft in der Fuge Ni

N =

Gi −ci

ηb tan αi

cosαi +tan ϕi

ηsinαi

und daraus die Reibungskraft Ri in der Scherfuge.Aus dem Momentengleichgewicht des Gesamtsystems als Summe über alle Lamellen

∑

rGi sinαi =∑

r (Ri + Ci)

∑

Gi sinαi =∑

(

Ni

tan ϕi

η+

ci

η

bi

cosαi

)

folgt dann die implizite Beziehung für die Sicherheit:

η =

∑[cibi + Gi tan ϕi]/mi

∑Gi sinαi

mit

mi = cosαi +tan ϕi sin αi

η.

Wirkt zusätzlich ein Porenwasserdruck in der Scherfuge wird die Gleichung zu:

η =

haltendeKomponente H︷︸︸︷∑

[cibi + (Gi − uibi) tan ϕi]/mi∑

Gi sin αi

︸︷︷︸

treibendeKomponente T

(46)

Eventuelle Auflasten können in das betreffende Lamellengewicht Gi eingerechnet werden.Die Ermittlung von η für einen angenommenen Gleitkreis erfolgt mit Gleichung 46 iterativ. Man wählt ein η1 und be-stimmt mit Gleichung 46 ein η2. Sofern η2 nicht genügend genau mit η1 übereinstimmt wird die Gleichung 46 mit η2

ausgewertet und ein η3 berechnet. Der Vorgang wir solange wiederholt bis die gewünschte Genauigkeit erreicht wird

|ηi+1 − ηi| < 0,05 .

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8.6 Böschungsberechnung mit Grundwassereinfluss 131

Das Lamellenverfahren von BISHOP wird nun auf den bereits im Verfahren von FELLENIUS behandelten Prüfgleitkreis(siehe Abbildung 159) angewandt. Es wird wiederum beispielhaft die Lamelle 3 genauer untersucht.

Lamelle 3:

η1 = 1,31 . . . angenommener Wert

m3 = cosα3 +tanϕ3 sinα3

η1= cos 28◦ +

tan 20◦ sin 28◦

1,31= 1,013

H3 = (c3b3 + (G3 − u3b3) tanϕ3)/m3

= (16 · 3 + 387 · tan 20◦)/1,013 = 186 kN/mT3 = G3 sin α3 = 387 · sin 28◦ = 182 kN/m

H3 entspricht der haltenden, T3 entspricht der treibenden Komponente in Gleichung 46. In der folgenden Tabelle erfolgtdie Auswertung für alle Lamellen:

Lamellenverfahren nach BISHOPi bi αi Gi mi Hi Ti

m ◦ kN/m kN/m kN/m1 3,0 -5,5 124 0,969 96 -122 3,0 9,5 333 1,032 164 553 3,0 28 387 1,013 186 1824 3,7 56 285 0,790 206 236

Σ 652 461

Die Auswertung ergibt die Sicherheit

η2 =652

461= 1,41 .

Da η2 nicht genügend genau mit η1 übereinstimmt wird die Tabellenrechnung mit η2 wiederholt. Die Auswertung liefertdie Sicherheit η3 = 1,43. Weitere Iterationen sind nicht mehr notwendig.

Für die Ermittlung der minimalen Sicherheit der Böschung müssen die Gleitkreise variiert werden. Für r = 11,15 undden Öffnungswinkel α = 60◦ ergibt sich die minimale Standsicherheit der Böschung nach dem Verfahren von BISHOPmit ηmin = 1,26.

Vergleich der beiden Verfahren Im Allgemeinen liefert eine Berechnung nach FELLENIUS geringere Sicherheitenals eine Berechnung nach BISHOP. Eine Berechnung nach FELLENIUS liegt somit auf der sicheren Seite.104 In unseremBeispiel ist ηmin = 1,24 für das FELLENIUS-Verfahren und ηmin = 1,26 für das BISHOP-Verfahren.

Deshalb sollte bei der Angabe einer Sicherheit immer das Verfahren erwähnt werden.

Die in ÖN B 4433 angegebenen Sicherheiten gelten für das Verfahren von BISHOP. (In der DIN 4084 sind verschiedeneSicherheiten für lamellenfreie und Verfahren mit Lamellen angegeben.)

8.6 Böschungsberechnung mit Grundwassereinfluss

Ohne Grundwasser104Siehe: KOLYMBAS (1997), Geotechnik – Bodenmechanik und Grundbau, Springer.

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Angaben: Für die in Abbildung 161 dargestellte Böschung mit den Bodenparametern

Wichte γ = 17,9 kN/m3

Kornwichte γs = 20,1 kN/m3

Reibungswinkel ϕ = 20◦

Kohäsion c = 16 kN/m2

soll mittels dem Lamellenverfahren nach FELLENIUS eine Standsicherheitsberechnung durchgeführt werden.

Abbildung 161: Böschung mit angenommenem Gleitkreis und i Lamellen

Lösung: Beim Lamellenverfahren nach FELLENIUS wird ein angenommener kreisförmiger Gleitkörper in i Lamel-len unterteilt. Die in der jeweiligen Gleitfuge i wirkende Vertikalkraft wird in eine Normalkomponente Ni und eineTangentialkomponente Ti zerlegt (Abbildung 162). Die zwischen den einzelnen Lamellen herrschenden Kräfte werdenvernachlässigt.

A= γ

Ti

NiG i Ni

G i

ib

G i

α i

α iib

ccos

u bi i

G i i

Lamelle iKräftehaltendetreibende

Kräfte

iN tan iϕ

Abbildung 162: Wirksame Kräfte an der Lamelle i, ohne Grundwasser

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Die Summe der haltenden Momente∑

MH um den Gleitkreismittelpunkt M berechnet sich zu

∑

MH =∑

i

(

Gi cosαi tan ϕi + ci

bi

cosαi

)

r ,

und die Summe der treibenden Momente∑

MT zu∑

MT =∑

i

Gi sin αi r .

Die Standsicherheit η ergibt sich bei einem bestimmten Gleitkreis aus dem Quotienten der Summe der haltenden Momentezur Summe der treibenden Momente zu

η =

∑MH

∑MT

.

Wir erhalten durch Ablesen der geometrischen Größen aus Abbildung 161 folgende Werte für die einzelnen Lamellen:

Lamelle i bi [m] hi [m] Ai [m2] αi [◦]1 0,92 0,66 0,61 18,32 0,92 1,90 1,75 23,43 0,92 3,05 2,81 28,74 0,92 4,09 3,76 34,35 0,92 4,99 4,59 40,36 1,05 4,84 5,08 47,37 1,05 3,52 3,70 56,38 1,05 1,58 1,66 67,3

Die Berechnung der Lamellengewichte Gi je Laufmeter Böschung zu

Gi = γ · Ai

und die Auswertung der haltenden und treibenden Momente der einzelnen Lamellen ergibt folgende Werte:

Lamelle i Gi [kN/m] MT [kN] MH [kN]1 10,9 38,1 214,72 31,3 138,6 295,43 50,2 268,9 365,94 67,4 423,2 424,55 82,2 592,6 469,56 91,0 745,4 526,67 66,2 613,7 486,68 29,7 305,5 531,9∑

3126,0 3315,1

Die Standsicherheit η der Böschung ergibt sich nun für den gewählten Gleitkreis zu

η =3315,1

3126,0= 1,1 .

Anmerkung: Diese Sicherheit muss nicht die minimale sein. Zur Bestimmung der minimalen Standsicherheit müssenmehrere Gleitkreise verglichen werden.

Stehendes Grundwasser

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Angaben: Für die in Abbildung 163 dargestellten Böschung mit den Bodenparametern

Wichten γ = 17,9 kN/m3, γ′ = 9 kN/m3

Kornwichte γs = 20,1 kN/m3

Wasserwichte γw = 10 kN/m3



und dem vorherrschenden Grundwasserspiegel soll mittels dem Lamellenverfahren nach FELLENIUS eine Standsicher-heitsberechnung durchgeführt werden.

Abbildung 163: Böschung unter Grundwassereinfluss mit angenommenem Gleitkreis und i Lamellen

Lösung: Die Berechnung der haltenden Momente MH und der treibenden Momente MT kann auf zwei verschiedeneArten erfolgen, wobei wir in beiden Fällen eine gleiche Böschungsstandsicherheit η erhalten.

Verfahren mit der Wichte γr des gesättigten Bodens und dem Porenwasserdruck u: Wir berechnen die maßgeblicheVertikalkraft in der i-ten Gleitfuge als Differenz zwischen der Gewichtskraft Gi und der Porenwasserdruckkraft uibi

(siehe auch Abbildung 164). Die Zerlegung dieser resultierenden Vertikalkraft in eine Normalkomponente Ni und eineTangentialkomponente Ti ergibt wiederum haltende Momente

∑MH zu

∑

MH =∑

i

[

(Gi − uibi) cosαi tan ϕi + ci

bi

cosαi

]

r ,

und treibende Momente∑

MT zu∑

MT =∑

i

(Gi − uibi) sin αi r .

Bei der Ermittlung der Gewichtskraft Gi ist zu berücksichtigen, dass je nach geometrischen Verhältnissen unterschiedlicheWichten γw, γ oder γr zu verwenden sind. Es ergibt sich beispielsweise für die Lamelle 2 die Gewichtskraft G2 zu

G2 = WV + Gγr≈ (a2γw + h2γr)b2 ,

und für die Lamelle 5 die Gewichtskraft G5 zu

G5 = Gγ + Gγr≈ (d5γ + t5γr)b5 ,

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Ti

NiG i Ni

G i

ib

G i

α i

α iib

ccos

u bi i

u bi i u bi i

Lamelle iKräftehaltendetreibende

Kräfte

iN tan iϕ

Abbildung 164: Wirksame Kräfte an der Lamelle i, stehendes Grundwasser

γ w

b2 b5

GW

GW

5t

5d

h2

2a

r ’γγ , r ’γγ ,

Lamelle 2 Lamelle 5

γ

Abbildung 165: Gewichtskraftermittlung der Lamellen 2 und 5

siehe auch Abbildungen 165 und 166.

Wir erhalten als Wichte γr des gesättigten Bodens aus

γr = γ′ + γw = 9 + 10 = 19,0 kN/m3 .

Durch Ablesen der geometrischen Größen aus Abbildung 163 ergeben sich folgende Werte für die einzelnen Lamellen(auf das Anführen der Gleitfugenneigungswinkel αi wurde aufgrund der gleichen Geometrie wie im vorherigen Beispielverzichtet):

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5

G γ

G γ rLU

UR

US

US,V

G γ

G γ r

US,V

G γ’

G γ

ccosb

αϕN

tan

G γ r

horizontale Wasser−drücke heben sichauf.

G γ r G γ r

ccosb

α

WV WV

UV UV

ϕN tan

haltend treibend

N

T

N2

Wv

G γ r

Uv

G γ’

2

5WSP

US,H

US,V

N

T

N

Abbildung 166: Wirkende Kräfte an den Lamellen bei ruhendem Grundwasser

Lamelle i bi hi ai di ti1 0,92 0,66 3,20 0 3,862 0,92 1,90 1,60 0 3,503 0,92 3,05 0,40 0,40 3,054 0,92 4,09 0 1,60 2,495 0,92 4,99 0 3,20 1,796 1,05 4,84 0 4,00 0,847 1,05 3,52 0 3,52 08 1,05 1,58 0 1,58 0

Die Berechnung der resultierenden Vertikalkraft Gi, der Vertikalkomponente der Porenwasserdruckkraft an der GleitfugeUV = uibi mit

ui = tiγw ,

und der haltenden und treibenden Momente der einzelnen Lamellen je Laufmeter Böschung ergibt folgende Größen:

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Lamelle i Gi uibi MT MH

1 41,0 35,5 19,1 193,92 47,9 32,2 69,6 237,43 56,6 28,1 152,7 288,64 69,6 22,9 295,0 356,15 84,0 16,5 486,9 424,26 91,9 8,80 681,1 505,07 66,2 0 613,7 486,68 29,7 0 305,5 531,9∑

2623,5 3023,6


η =3023,6

2623,5= 1,2 .

Verfahren mit der Auftriebswichte γ ′: Die Berechnung der maßgeblichen Vertikalkraft Gi in der Gleitfuge geschiehtunter Verwendung der Auftriebswichte γ ′ und der Wichte γ, abhängig von der Höhe des Grundwasserspiegels. Das An-setzen der Porenwasserdruckkraft uibi ist daher nicht mehr notwendig. Wir erhalten zum Beispiel für die Gewichtskraftder Lamelle 2 den Wert

G2 = Gγ′ ≈ (h2γ′)b2 ,

und für die Lamelle 5 die Gewichtskraft

G5 = Gγ + Gγ′ ≈≈ (d5γ + t5γ

′)b5 ,

siehe wiederum Abbildungen 165 und 166.

Analog zur Böschungsberechnung ohne Grundwassereinfluss werden die haltenden Momente∑

MH zu

∑

MH =∑

i

(


bi

cosαi

)

r ,

und die treibenden Momente∑

MT zu∑

MT =∑

i

Gi sin αi r

berechnet, wobei die geometrischen Größen wiederum aus Abbildung 163 abgelesen werden können:

Lamelle i bi hi ai di αi

1 0,92 0,66 3,20 0 18,32 0,92 1,90 1,60 0 23,43 0,92 3,05 0,40 0,40 28,74 0,92 4,09 0 1,60 34,35 0,92 4,99 0 3,20 40,36 1,05 4,84 0 4,00 47,37 1,05 3,52 0 3,52 56,38 1,05 1,58 0 1,58 67,3

Die analytische Bestimmung der resultierenden Vertikalkraft Gi (Gewicht unter Auftrieb) und der haltenden und treiben-den Momente der einzelnen Lamellen je Laufmeter Böschung ergibt folgende Größen:

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Lamelle i Gi MT MH

1 5,5 19,1 193,92 15,7 69,6 237,43 28,5 152,7 288,64 47,0 295,0 356,15 67,5 486,9 424,26 83,1 681,1 505,07 66,2 613,7 486,68 29,7 305,5 531,9∑

2623,5 3023,6

Die Standsicherheit η der Böschung ergibt für den gewählten Gleitkreis wiederum einen Wert von

η =3023,6

2623,5= 1,2 .


Gegenüberstellung: Zusammenfassend sei hier nocheinmal festgestellt, dass sich die beiden behandelten Berechnungs-verfahren prinzipiell nicht unterscheiden und somit gleiche Ergebnisse liefern. Der Grundwassereinfluss wird bei erste-rem Verfahren durch explizites Ansetzen der Wasserdrücke WV bzw. UV und der Verwendung der Sättigungswichte γr

berücksichtigt, hingegen wird bei zweiterem Verfahren durch Verwendung der Auftriebswichte γ ′ das Ansetzen des Was-serdruckes nicht mehr notwendig (siehe auch Abbildung 165). Dieser Zusammenhang erklärt sich auch analytisch durchBetrachtung einer erweiterten Schreibweise der haltenden Momente

∑MH mit

∑

MH =∑

i

[

(γwaibi + Gγr−

ui︷︸︸︷

γwti bi) cosαi︸︷︷︸

Ni

tan ϕ + cbi

cosαi

]

r ,

und der treibenden Momente∑

MT zu

∑

MT =∑

i

(

WV,i

︷︸︸︷

γwaibi +Gγr−

UV,i

︷︸︸︷

γwtibi)︸︷︷︸

Gγ′

sin αir .

Strömendes Grundwasser

Angaben: Für die in Abbildung 167 dargestellte Böschung mit den Bodenparametern

Wichte γ = 17,9 kN/m3

Sättigungswichte γr = 19,0 kN/m3

Auftriebswichte γ′ = 9,0 kN/m3



soll bei strömendem Grundwasser mittels dem Lamellenverfahren nach FELLENIUS eine Standsicherheitsberechnungdurchgeführt werden.

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Abbildung 167: Böschung bei strömendem Grundwasser, angenommener Gleitkreis und i Lamellen

Lösung: Die Böschungsberechnung bei strömendem Grundwasser unterscheidet sich von der Vorgehensweise bei ste-hendem Grundwasser insofern, dass die durch das strömende Grundwasser hervorgerufene Strömungskraft Fw in derBerechnung berücksichtigt werden muss. Die Strömungskraft Fw je Lamelle mit

Fw = fs · V = i · γw · V ≈ ∆h

∆lγw · V

≈ sin βw · γw · V = sin βw · γw · Aw [kN/lfm] ,

einem Angriffspunkt in Lamellenmitte und einer Wirkrichtung tangential zu den Stromlinien bewirkt ein zusätzlichestreibendes Moment mit dem Hebelsarm rw. Die Variablen V bzw. Aw entsprechen dabei der Lamellenfläche unter demGW-Spiegel und die Vereinfachung mit ∆h

∆l≈ sinβw bedeutet ein ungefähr konstantes Wasserspiegelgefälle über der

jeweiligen Lamelle ( Abbildung 168).

GW

GWw,iF

i

γ ,γr ’

βi∆ l i

w,iF βi

GW

γw,i

bzgl. Gleitkreis−mittelpunkt

Hebelsarm r

∆ hi

i

Abbildung 168: Strömungskraft aufgrund des Grundwasserspiegelgefälles

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Wir erhalten nach den Abbildungen 167 und 168 folgende Strömungskräfte und wirksame Hebelsarme:

Lamelle i bi ti βw,i Fw,i rw,i

1 0,92 0,55 53,1 4,0 9,02 0,92 1,18 42,0 7,3 10,13 0,92 1,44 34,0 7,4 10,54 0,92 1,43 27,4 6,1 10,45 0,92 1,15 21,4 3,9 10,06 1,05 0,52 15,3 1,4 9,27 1,05 0 0 0 08 1,05 0 0 0 0

Analog zum stehenden Grundwasser besteht auch hier die Möglichkeit die haltenden und treibenden Momente∑

MH

und∑

MT auf zwei verschiedene Arten zu berechnen.

Verfahren mit Sättigungswichte γr und Porenwasserdruck u: Wir berechnen das haltende Moment∑

MH zu∑

MH =∑

i

[

(Gi − uibi) cosαi tan ϕi + ci

bi

cosαi

]

r ,

und das treibende Momente∑

MT zu∑

MT =∑

i

[(Gi − uibi) sin αi r + Fw,irw,i

].

Bei der Ermittlung der in der Gleitfuge wirkenden Vertikalkraft Gi wird wiederum berücksichtigt, dass sich das Lamel-lengewicht aus unterschiedlichen Wichten γr bzw. γ zusammensetzt. Die Gewichtskraft G2 erhalten wir zu

G2 = Gγ + Gγr≈ (d2γ + t2γr)b2 ,

und für die Lamelle 5 ist das Gewicht gleich

G5 = Gγ + Gγr≈ (d5γ + t5γr)b5 ,

siehe auch Abbildung 169.

b2

GW

b5

r ’γγ ,

GW

5t

5d

r ’γγ ,

2d

t 2

Lamelle 2 Lamelle 5

γ

γ

Abbildung 169: Gewichtskraftermittlung der Lamellen 2 und 5

Wir bestimmen die geometrischen Größen aus Abbildung 167 und erhalten für die einzelnen Lamellen folgende Werte(für den Gleitfugenneigungswinkel αi gelten die gleichen Werte wie in den vorherigen Beispielen):

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Lamelle i bi hi di ti1 0,92 0,66 0,11 0,552 0,92 1,90 0,72 1,183 0,92 3,05 1,61 1,444 0,92 4,09 2,66 1,435 0,92 4,99 3,84 1,156 1,05 4,84 4,32 0,527 1,05 3,52 3,52 08 1,05 1,58 1,58 0

Die Berechnung der resultierenden Vertikalkraft Gi, der Vertikalkomponente der Porenwasserdruckkraft an der GleitfugeUV = uibi mit

ui = tiγw ,

und der haltenden und treibenden Momente der einzelnen Lamellen je Laufmeter Böschung ergibt folgende Größen:

Lamelle i Gi uibi MT MH

1 11,4 5,1 58,7 197,42 32,5 10,9 169,1 259,43 51,7 13,2 283,6 323,94 68,8 13,2 412,6 385,25 83,3 10,6 563,3 440,46 91,6 5,5 718,8 513,27 66,2 0 613,7 486,68 29,7 0 305,5 531,9∑

3125,2 3137,9


η =3137,9

3125,2≈ 1,0 .

Verfahren mit der Auftriebswichte γ ′: Analog zur Böschungsberechnung bei stehendem Grundwasser ermitteln wiruns das haltende Moment

∑MH nach der Beziehung

∑

MH =∑

i

(


bi

cosαi

)

r ,

und das treibende Momente∑

MT mit Berücksichtigung der Strömungskraft Fw zu∑

MT =∑

i

(Gi sin αi r + Fw,irw,i) .

Das Ansetzen der Porenwasserdruckkraft uibi in der Gleitfuge ist hier nicht notwendig, da der Einfluss des Grundwassersschon in der Berechnung der Gewichtskräfte Gi durch Verwendung der Auftriebswichte γ ′ eingeht.

Die Gewichtskraft G2 ermittelt sich demnach zu

G2 = Gγ + Gγ′ ≈ (d2γ + t2γ′)b2 ,

und das Gewicht G5 für die Lamelle 5 zu

G5 = Gγ + Gγ′ ≈ (d5γ + t5γ′)b5 ,

siehe auch Abbildung 169.Entsprechendes Ablesen der geometrischen Größen aus Abbildung 167 führt zu folgenden Werten für die einzelnen La-mellen (für den Gleitfugenneigungswinkel αi gelten die gleichen Werte wie in den vorherigen Beispielen):

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Lamelle i bi hi di ti1 0,92 0,66 0,11 0,552 0,92 1,90 0,72 1,183 0,92 3,05 1,61 1,444 0,92 4,09 2,66 1,435 0,92 4,99 3,84 1,156 1,05 4,84 4,32 0,527 1,05 3,52 3,52 08 1,05 1,58 1,58 0

Die Berechnung der resultierenden Vertikalkraft Gi und der haltenden und treibenden Momente der einzelnen Lamellenje Laufmeter Böschung ergibt folgende Größen:

Lamelle i Gi MT MH

1 6,4 58,7 197,42 21.6 169,1 259,43 38.4 283,6 323,94 55.6 412,6 385,25 72.8 563,3 440,46 86.1 718,8 513,27 66,2 613,7 486,68 29,7 305,5 531,9∑

3125,2 3137,9

Wir erhalten wie erwartet die gleiche Standsicherheit η der Böschung mit

η =3137,9

3125,2≈ 1,0 .


Gegenüberstellung: Analog zur Böschungsberechnung bei stehendem Grundwasser ist auch hier zu erkennen, dass bei-de Berechnungsmethoden zu gleichen Standsicherheiten η führen. Der Unterschied zwischen den Berechnungsarten liegtnur darin, in welchem Rechenschritt der Grundwassereinfluss berücksichtigt wird. In einem Fall wird dem Grundwasserdurch Ansetzen der Sättigungswichte γr und der Porenwasserdruckkraft uibi Rechnung getragen, im anderen Fall durchVerwendung der Auftriebswichte γ ′ ohne zusätzliches Anbringen der Porenwasserdruckkraft. Die durch das strömendeGrundwasser hervorgerufene Strömungskraft Fw geht bei beiden Methoden gleich in die Berechnung ein, nämlich alszusätzliches treibendes Moment mit dem Hebelsarm rw bezüglich dem Gleitkreismittelpunkt.

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Bodenmechanik und Grundbau Übung, Teil 1„T Institut für Geotechnik und Tunnelbau, Universität...

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