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Bragg-Spektroskopie an entarteten Quantengasen in optischen Gittern Diplomarbeit Karsten Pyka Department Physik der Universität Hamburg Institut für Laserphysik Hamburg, den 29. 09. 2008

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Bragg-Spektroskopie an entartetenQuantengasen in optischen Gittern

DiplomarbeitKarsten Pyka

Department Physik der Universität HamburgInstitut für Laserphysik

Hamburg, den 29. 09. 2008

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Bragg-spectroscopy of denegenerate quantum gases in

optical lattices

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Referent: Prof. Dr. Klaus SengstockKoreferent: Prof. Dr. Markus Drescher

Erklärung

Hiermit erkläre ich, die vorliegende Diplomarbeit selbständig und nur unter Zuhilfe-nahme der angegebenen Quellen und Hilfsmittel verfasst zu haben. Mit einer späterenAusleihe meiner Arbeit an die Bibliotheken bin ich einverstanden.

Karsten Pyka

Hamburg, den 29. 09. 2008

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Zusammenfassung

Nach der erstmaligen experimentellen Realisierung der Bose-Einstein Kondensati-on dünner atomarer Gase 1995, wie sie siebzig Jahre zuvor erstmals durch AlbertEinstein vorhergesagt wurde, eröffnete sich ein neues und weites Feld der Physikzur Untersuchung fundamentaler Fragestellungen der Quantenmechanik, sowie derErforschung von gasförmigen Vielteilchensystemen, deren quantenmechanische Ei-genschaften ihr Verhalten dominieren. Verschiedenste Anregungszustände, beispiels-weise Solitonen oder Vortizes konnten bis dato erzeugt und vermessen werden. DieBragg-Spektroskopie, wie sie in der Quantenoptik eingesetzt wird, erlaubt es, durchdie spektroskopische Vermessung – also impulsaufgelösst – von Bose-Einstein Kon-densaten, deren Anregungsspektrum zu untersuchen.

Die vorliegende Arbeit befasst sich erstmalig mit der Strukturuntersuchung desImpulsspektrums von Bose-Einstein Kondensaten im optischen Gitter mit Hilfe derBragg-Spektroskopie. Durchgeführt wurde die Arbeit am bestehenden Experimentzur Präparation und Manipulation von Bose-Fermi-Mischungen im Institut für La-serphysik der Universität Hamburg. Im Rahmen dieser Arbeit wurde das für dieBragg-Spektroskopie benötigte Laser-System aufgebaut und ins Experiment inte-griert. Erste Messungen an 87Rb-Atomen wurden erfolgreich durchgeführt.

Der Schwerpunkt dieser Arbeit lag vor allem im Aufbau und der Charakterisie-rung des Bragg-Systems. Als kohärente Lichtquelle für die Bragg-Beugung dienteein Diodenlaser in Littrow-Anordnung, welcher mittels Offset-Regelung mit der be-nötigten Verstimmung ∆ von einigen Gigahertz zur D2-Übergangslinie von 87Rb

stabilisiert wurde. Die Aufteilung des Laserstrahls diente der Erzeugung der zweifür den Bragg-Prozess benötigten k-Vektoren, wobei deren relative Verstimmung δum wenige Kilohertz mit akusto-optischen Modulatoren realisiert wurde. Dank desweiten optischen Zugangs der Glaszelle, in der die Kondensate präpariert wurden,konnte ein großer Winkelbereich zwischen den beiden Bragg-Strahlen eingestellt undsomit die Vermessung eines großen Bereiches der Dispersionsrelation der Kondensateim optischen Gitter bis hin zur Brillouin-Zonen-Grenze durchgeführt werden.

Die Charakterisierung erfolgte im Hinblick auf die zwei wesentlichen Parameter,von denen die Bragg-Beugung abhängt. So wurde zum Einen die Frequenzbreite desBragg-Pulses, welche das Auflösungsvermögen des Systems vorgibt, abhängig vonverschiedenen äußeren Einflüssen bestimmt. Zum Anderen wurde das Intensitätsver-halten des Bragg-Pulses untersucht im Hinblick auf die Impulsantwort des atomarenSystems.

Die ersten spektroskopischen Messungen erfolgten für Bose-Einstein Kondensatein der Magnetfalle und im optischen Gitter, welche jeweils durch Magnetfelder bzw.durch retroreflektierte Laserstrahlen erzeugt wurden.

Ausgewertet wurden die Messungen im Hinblick auf die Dispersionsrelation desKondensats in den beiden externen Potentialen. Damit konnten erste Vergleiche derMessungen zu theoretischen Modellen gemacht werden und sowohl eine gute Überein-

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stimmung des Bogoliubov-Anregungsspektrums mit den Daten gezeigt werden, alsauch eine vorläufige quantitative Untersuchung des dichteabhängigen Wechselwir-kungsparameters für wechselwirkende Bosegase über den veränderbaren Einschlussder Atome im optischen Gitter.

Eine weiterführende Untersuchung ist geplant.

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abstract

In 1995, when Bose-Einstein condensation, as Albert Einstein made the predictionalready seventy years ago, has been realized experimentally for the first time, a newand rich field of physics opened up and fundamental questions in quantum mechanicsconcerning degenerate quantum gases arose due to the upcoming experimental possi-bilities. Many different and exciting phases and states have been predicted. Some ofthem have already been realised experimentally, such as dark and filled solitons, sys-tems exhibiting vortices or the Mott-insulator. The method of Bragg-spectroscopy,as it is used in quantum optics, allows the momentum-resolved measurement of thecorresponding excitation spectra and therefore constitutes an important enlargementof the range of detection tools.

This diploma thesis for the first time deals with the spectral analysis of the energy-momentum-relation of Bose-Einstein condensates in optical lattices with Bragg-spectroscopy. The thesis was done at the experiment for preparing and manipulatingBose-Fermi-mixtures at the University of Hamburg. In the frame of this thesis alaser-setup has been constructed and integrated in the experimental setup to be ableto do spectroscopic measurements. First analysis on 87Rb has been done successfully.

The main part of this thesis consists in the construction and characterizationof the laser-setup. A stabilized diode-laser was used as the coherent light source.The stabilisation was done with a frequency offset-locking scheme detuning ∆ thelaser of several gigahertz from the D2-line of 87Rb. The necessary two k-vectors areproduced by splitting the beam of the diode laser, whereas the detuning δ betweenthose two is applied by acousto-optical modulation. A wide optical access allowsspectroscopic measurement over a wide range of the momentum-spectrum of therubidium-condensate up to edge of the Brillouin-zone of the optical lattice.

The characterisation followed the main parameters of Bragg-scattering, name-ly the frequency-width of the Bragg-wave, which sets the frequency-resolution.Thesecond is the intensity of the Bragg-wave, which gives the response of the atomicsystem to the pulse.

The first spectroscopic measurements have been done for Bose-Einstein conden-sates in a magnetic trap, as well as in an optical lattice.

The focus of the analysis of the measured data was the dispersion relation ofthe condensate trapped in these external potentials. Therefore first preliminary re-sults are presented concerning the comparison of the measured dispersion with theBogoliubov-excitation-spectrum for the magnetically trapped condensate, as well asthe quantitative analysation of the interaction parameter in the lattice depending ofthe density in the periodic potential.

Further measurements are currently conducted.

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Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 8

2 Theoretische Grundlagen 112.1 Bose-Einstein Kondensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1 Gross-Pitaevskii-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.2 Elementare Anregungen – Dispersionsrelation . . . . . . . . . 132.1.3 Bose-Einstein Kondensate in externen Potentialen . . . . . . 15

2.2 Bragg-Spektroskopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.1 Beugung von Atomen an Licht . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.2 Bragg-Beugung als Spektroskopie-Instrument . . . . . . . . . 22

3 Experimenteller Aufbau und Durchführung 253.1 Aufbau des Experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Das Bragg-Lasersystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2.1 Aufbau des Masterlasers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.2 Die Offset-Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2.3 Der Bragg-Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3 Charakterisierung des Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3.1 Bestimmung der Frequenzbreite . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3.2 Bestimmung der Intensitätsbreite . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4 Ablauf der Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.4.1 Abschätzung der Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.4.2 Bragg-Spektroskopie an Bose-Einstein Kondensaten in der Ma-

gnetfalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.4.3 Bragg-Spektroskopie an Bose-Einstein Kondensaten im opti-

schen Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4 Ergebnisse und Interpretation 514.1 Bestimmung der Bragg-Resonanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.2 Dispersion in der Magnetfalle und im Gitter . . . . . . . . . . . . . . 56

5 Ausblick 62

A Schaltplan des error-signal-circuit 64

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INHALTSVERZEICHNIS 7

Literaturverzeichnis 66

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Kapitel 1

Einleitung

Der theoretische Grundstein zur Physik von Quantengasen, also von atomaren gas-förmigen Systemen, welche durch quantenmechanische Eigenschaften dominiert wer-den, wurde bereits im ersten Drittel des 20. Jahrhunderts gelegt, also in der Zeit, inder die Quantenmechanik ins kollektive Bewusstsein der Physiker rückte. So machteEinstein 1925 die Vorhersage von einem Phasenübergang eines atomaren Gases ineinen energetischen Grundzustand, der sich dadurch auszeichnet, dass die keines-falls geringe Anzahl an Teilchen in dem Gas sich durch eine einzige Wellenfunktionbeschreiben lassen.

Da dieser Übergang bei Temperaturen von wenigen hundert Nanokelvin und Teil-chendichten von einigen 1014 cm−3 stattfindet, dauerte es aufgrund der großen tech-nischen Herausforderungen noch 70 Jahre bis zur ersten experimentellen Realisie-rung der Bose-Einstein Kondensation im Jahr 1995 [1], [2], wofür sechs Jahre späterschließlich der Nobelpreis verliehen wurde an E. Cornell, W. Ketterle und C. Wie-man.

Dazu bedurfte es neuartiger Methoden zur Manipulation der Geschwindigkeitenvon Atomen durch Laserlicht, welche Ende der 1980er Jahre entwickelt wurden undinzwischen als unverzichtbare Standardwerkzeuge zur Untersuchung von entartetenQuantengasen weltweit Anwendung finden. Mit Hilfe der Kombination von elektri-schen (Licht) und magnetischen Feldern, gelang es erstmals, neutrale Atome in einermagneto-optischen Falle (MOT) auf eine Temperatur von wenigen hundert Mikro-kelvin herunter zu kühlen. S. Chu, C. Cohen-Tannoudji und W. D. Phillips bekamen1997 den Nobelpreis für die Entwicklung der Laser-Kühlungsmethoden. Mit Hilfeder evaporativen Kühlung gelang schließlich der Schritt bis unterhalb der kritischenTemperatur für die Bose-Einstein Kondensation.

Seither hat sich ein weites Feld der Physik zur Erforschung grundlegender quan-tenmechanischer Fragestellungen eröffnet, welches ein genauso weites Spektrum völ-lig neuer Anwendungen und Verknüpfungen verschiedener physikalischer Bereichebietet. So weisen Anwendungen optischer Gitter [3] Analogien zwischen der Quan-tenoptik und der Festkörperphysik auf. Beispielsweise erlaubt die Periodizität dieseroptischen Stehwellen die Anwendung theoretischer Modelle, wie sie bereits aus der

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Festkörperphysik bekannt sind. Aufgrund der Inhomogenität der Quantengase undderen Endlichkeit, bedingt durch die Art der Präparation und den räumlichen Ein-schluss der Atome, sind der Anwendbarkeit Grenzen gesetzt. Trotzdem lässt sichdurch geeignete Näherungen und Annahmen über weite Teile eine große Überein-stimmung erzielen.

Im Zuge der Analogiesierung entstand auch die Frage nach geeigneten Untersu-chungsverfahren für Quantengase, die einen Einblick in deren strukturelle Natur er-möglichen, nach den Vorbildern aus der Festkörperphysik. Strukturanalyse-Verfahrenwie die Röntgen-Beugung an Kristallen sind zuverlässige und weit verbreitete Metho-den zur Untersuchung von kristallinen Vielteilchensystemen, wobei deren Vorteil vorallem in der optimalen Ausnutzung der periodischen Struktur des Festkörpers unddem damit einhergehenden maximal verfügbaren Informationsgehalt besteht. Letz-terer beschränkt sich auf Intensitätsverteilungen des gebeugten Lichtes, weshalb einedirekte Bestimmung der Struktur nicht möglich ist, sondern lediglich der Vergleichmit theoretischen Vorhersagen, die vorab durch konkrete Annahmen der Struktur-parameter gemacht werden müssen.

Anders ist dies bei Atomen im optischen Gitter. Die Atome im Bose-EinsteinKondensat haben eine feste relative Phasenlage zueinander und können miteinanderinterferieren, weshalb es erst zur Ausbildung einer makroskopischen Wellenfunkti-on kommt. Durch das Beugen der Materiewelle an einer optischen Stehwelle, wie siedurch kohärentes Licht erzeugt wird, ist es möglich ein direktes Abbild der Impulsver-teilung des Kondensats nach der Beugung zu erhalten, aufgrund der Expansion derTeilchen, die durch die aufgeprägte Impulsverteilung vorgegeben ist. Dies ermöglichteine detaillierte Untersuchung einer Vielzahl von Eigenschaften und Anregungszu-ständen des Kondensats.

Die Übertragung des Prinzips der impulsaufgelösten Messung von der Röntgen-beugung zur Strukturanalyse entarteter Quantengase in optischen Gittern bietet dieMöglichkeit der Untersuchung der Anregungsstruktur gasförmiger atomarer Systemebei gleichzeitiger Berücksichtigung interatomarer Wechselwirkungen und deren Ein-fluss auf das kollektive Verhalten dieser Vielteilchensysteme. Realisiert wurde diesesPrinzip in der Quantenoptik durch die Bragg-Spektroskopie, die zwar dem Namennach verwandt ist mit der Röntgenbeugung an Kristallen, tatsächlich aber einenanderen physikalischen Zugang erfordert.

Die Bragg-Beugung wird beschrieben durch einen Materie-Licht-Wechselwirk-ungsmechanismus, welcher auf der mit Licht getriebenen Zustandsänderung von Ato-men beruht. Genauer handelt es sich um einen Zwei-Photonen-Prozess, welcher durchdie Streuung zweier Photonen am Atom charakterisiert wird und impulsselektiv auf-tritt. So ist es prinzipiell möglich, gezielt Impulsklassen im atomaren Ensemble anzu-sprechen und damit einen spektroskopischen Zugang zur Energiestruktur entarteterQuantengase zu bekommen. Die durch das Kristallgitter vorgegebene Selektivität fürdie konstruktive Überlagerung der am Kristall gebeugten Röntgenstrahlen und diedurch die Periodizität des optischen Gitters modulierte Dispersionsrelation der Ato-

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10 KAPITEL 1 Einleitung

me in entarteten Quantengasen, welche die Resonanzbedingung für den Streuprozessvorgibt, begründen die Analogie der beiden Analyseverfahren.

Für das genannte Verfahren wurde im Rahmen dieser Arbeit ein Lasersystemaufgebaut und in den bestehenden Aufbau eines Experimentes zur Präparation undManipulation von Bose-Fermi-Mischungen in optischen Gittern integriert mit demZiel, spektroskopische Untersuchungen an Bose-Einstein Kondensaten im optischenGitter durchzuführen. Dabei lag der Schwerpunkt der Arbeit auf der Charakterisie-rung des Lasersystems.

Die Gliederung der Arbeit sieht folgendermaßen aus: Zunächst werden in Kapitel2 kurz theoretische Modelle bezüglich der Eigenschaften von Bose-Einstein Konden-saten in externen Potentialen vorgestellt, die später als Grundlage für die ersten Mes-sungen dienen sollen. Des Weiteren soll kurz auf den Materie-Licht-Wechselwirkungs-mechanismus eingegangen werden, der der Bragg-Spektroskopie in der Quantenoptikzugrunde liegt und die experimentellen Parameter bestimmt.

Im folgenden Kapitel, welches den Schwerpunkt dieser Arbeit bildet, werden zu-nächst die Komponenten des Bragg-Systems detailliert beschrieben, sowie deren In-tegration in die Apparatur, in der die eigentlichen Messungen erfolgen. Der Hauptteilumfasst die Charakterisierung des im Rahmen dieser Arbeit realisierten Lasersystemsim Hinblick auf die Anforderungen, welche nach den Überlegungen aus Kapitel 2 andas System gestellt werden. Schließlich erfolgt noch die Beschreibung der Durchfüh-rung der ersten spektroskopischen Messungen, die die Funktionsfähigkeit des Systemsbestätigen sollen.

In Kapitel 4 werden die Messungen ausgewertet und die ersten Ergebnisse prä-sentiert. Die aufgenommenen Dispersionskurven werden mit den in Kapitel 2 vorge-stellten Modellen verglichen und erste Ansätze für die Interpretation der Ergebnisseim Hinblick auf die Anwendbarkeit der theoretischen Modelle dargestellt.

Kapitel 5 gibt schließlich mögliche Richtungen für die weiteren Messungen mitdem System an im Hinblick auf die Untersuchung neuer physikalischer Aspekte, sowieden spektroskopischen Zugang bekannter Sachverhalte.

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Kapitel 2

Theoretische Grundlagen

Der Inhalt der theoretischen Vorbetrachtungen zum Experiment soll sich im We-sentlichen in zwei Teile gliedern. Zunächst gilt es, das Konzept der Bose-EinsteinKondensation im Zuge der zweiten Quantisierung, wie sie aus der Quantenmecha-nik bekannt ist, zu umreissen und dabei auf die Besonderheiten einzugehen, die sichdurch den Experimentaufbau und die damit verbundene Präparation des atomarenEnsembles ergeben. Ein wichtiger Punkt ist dabei das Verhalten von Anregungen inder Energiestruktur des Kondensats und das daraus folgende Verhalten im Impuls-raum. Des Weiteren soll auf den Einfluss äusserer Potentiale auf die Energiestruktur,wie sie im Experiment zum Fangen und Manipulieren des Ensembles benutzt werden,eingegangen werden.

Der zweite inhaltliche Schwerpunkt ist der der Bragg-Spektroskopie zugrunde lie-gende physikalische Prozess im Rahmen einer streutheoretischen Behandlung. Es sollauf die grundlegenden Mechanismen der Materie-Licht-Wechselwirkung eingegangenwerden. Grundlegende Abhängigkeiten der freien Parameter und die sich daraus er-gebenden Möglichkeiten für die Anwendung zur Strukturanalyse von Bose-EinsteinKondensaten stehen hierbei im Vordergrund.

2.1 Bose-Einstein Kondensation

2.1.1 Gross-Pitaevskii-Gleichung

Damit eine angemessene Beschreibung des Systems vorliegt, müssen zunächst einigeBeschränkungen gemacht werden. So ist der durchschnittliche atomare Abstand sehrviel grösser als die Reichweite der Wechselwirkung der Atome untereinander (diesführt zur Näherung des Kontaktpotentials). Die Teilchenzahldichte ist so gering,dass lediglich Zweikörper-Stösse zur Wechselwirkung beitragen und Stösse von dreiAtomen bereits vernachlässigbar sind. Des Weiteren ist die Temperatur dieses ver-dünnten Gases unterhalb der kritischen Temperatur für Bose-Einstein Kondensation.Bei solch geringen Impulsen wird die Stosswahrscheinlichkeit energie- und winkelu-nabhängig, weshalb die Wechselwirkung durch ein skalares Zwei-Körper-Potential

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12 KAPITEL 2 Theoretische Grundlagen

VWW beschrieben werden kann, welches durch die s-Wellen-Streulänge a vorgegebenist. Das Vorzeichen von a gibt die Art der Wechselwirkung vor, repulsiv bei positi-ver Streulänge1 bzw. attraktiv bei negativer Streulänge. Der Vielteilchen-Hamilton-Operator des Systems ist dann in zweiter Quantisierung:

H =∫d3r Ψ† (~r, t)

[− h2

2m~∇2 + Vext (~r, t)

]~Ψ (~r, t)

+12

∫d3r′ d3r Ψ† (~r, t) Ψ†

(~r ′, t

)VWW (~r ′ − ~r)Ψ

(~r ′, t

)Ψ (~r, t) ,

(2.1)

mit dem bosonischen Feldoperator Ψ, welcher in einer Basis der Erzeugungs- undVernichtungsoperatoren a† bzw. a dargestellt werden kann: Ψ(~r, t) =

∑ϕ(~r)a(t),

wobei ϕ(~r) die dazugehörigen Einteilchen-Wellenfunktionen sind. Bereits vorgesehenist ein externes Potential Vext, welches aber vorerst vernachlässigt werden soll undspäter noch zum Tragen kommt.

Die Zeitentwicklung des Systems wird durch die Heisenberg-Gleichung des Feld-operators beschrieben:

ih∂

∂tΨ(~r, t) =

[Ψ(~r, t), H(~r, t)

]. (2.2)

In den Hamiltonoperator wird dabei ein Kontaktpotential als Wechselwirkung ein-gesetzt, VWW (~r ′ − ~r) = gδ(~r ′ − ~r) mit der Kopplungskonstanten g = 4πh2a

m . DerFeldoperator wird nach Bogoliubov genähert, d. h. Ψ = Φ+∆Ψ mit Φ = 〈Ψ〉, Quan-tenfluktuationen werden also als kleine Störungen angenommen. Somit lässt sich dasKondensat im Grundzustand durch eine Einteilchen-Wellenfunktion, im folgenden alsOrdnungsparameter bezeichnet, beschreiben, welche der Gross-Pitaevskii-Gleichunggehorcht:

ih∂

∂tΦ(~r, t) =

[− h2

2m~∇2 + Vext (~r, t) + g|Φ(~r, t)|2

]Φ(~r, t) . (2.3)

Diese entspricht der Schrödinger-Gleichung zusätzlich mit einem nichtlinearen Termin der Wechselwirkung (Jedes Teilchen erfährt effektiv ein weiteres Potential durchdie Anwesenheit aller anderen Teilchen, man spricht deshalb auch von der „mean-fieldNäherung”). Im stationären Fall lässt sich die Zeitabhängigkeit von Φ abspalten inder Form Φ (~r, t) = Φ (~r) e−i

µht und die linke Seite der GP-Gleichung ist das Produkt

aus ortsabhängiger Wellenfunktion und dem chemischen Potential µ, welches denEnergieaufwand, ein weiteres Teilchen ins System einzubringen, darstellt.

1Bedingung für ein stabiles und somit detektierbares Kondensat ist eine abstossende Wechsel-wirkung, welche dem Bestreben der bosonischen Teilchen, in den gleichen Zustand überzugehen(Quantendruck), entgegenwirkt

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2.1 Bose-Einstein Kondensation 13

2.1.2 Elementare Anregungen – Dispersionsrelation

Neben dem Grundzustand des Kondensats sind auch angeregte Zustände notwendig,sowohl zur Strukturuntersuchung des Kondensats, als auch zur Beschreibung derDynamik des Systems. Zur Bestimmung der Grundzustandsenergie reicht es aus,den Hamilton-Operator in einer Basis der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatorena† und a auszudrücken mit ~p = 0. Bei Berücksichtigung von Zuständen mit ~p 6= 0ergeben sich in höherer Ordnung nichtdiagonale Terme, welche durch Linearisierungder alten Zustände in eine neue Basis überführt werden können, zur Bestimmung derEnergie-Eigenwerte angeregter Zustände.

Dabei werden a† und a mittels Bogoliubov-Transformation (siehe [4] S.30ff) durchneue Operatoren b† und b ausgedrückt, welche unabhängige „Quasiteilchen” darstellenund genau die elementaren Anregungen2 repräsentieren. Damit kann der Hamilton-Operator diagonalisiert werden in der Form:

H = E0 +∑~p 6=0

ε(~p) b†~p b~p . (2.4)

Über den Vakuumzustand der „Quasiteilchen” b |~p = 0〉 = 0 erhält man dann denGrundzustand des Kondensats. Die Näherung der Energie in nächster Ordnung Stö-rungsrechnung ergibt die Dispersionsrelation

ε(p) =

[gn

mp2 +

(p2

2m

)2]1/2

(2.5)

der elementaren Anregungen, wobei n die Teilchenzahldichte ist. In Abbildung 2.1sind die Dispersionsrelation für ein freies Teilchen und die gerade hergeleitete für einKondensat, welche auch die Wechselwirkung der Atome im Kondensat berücksich-tigt, vergleichend aufgetragen. Zu sehen ist der unterschiedliche Verlauf für kleineImpulsüberträge, was darauf hindeutet, dass der Impuls nicht auf einzelne Atome imKondensat gegeben wird. Aufgrund der Wechselwirkung mit den anderen Atomenwird der Impuls auf das Kondensat verteilt.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Atome miteinander stossen, ist geschwindigkeits-und damit impulsabhängig und die freie Weglänge, also die Strecke auf der statis-tisch keine Wechselwirkung stattfindet, wächst mit zunehmender Geschwindigkeitund erreicht bei ausreichendem Impuls die Ausdehnung des Kondensats. Dabei istdie Schallgeschwindigkeit c =

√gn/m der kritische Wert, mit dem sich kollektive

Anregungen im Kondensat ausbreiten können. Der zu einer Geschwindigkeit höherals c korrespondierende Impuls wird vollständig von einem Atom aufgenommen, wel-ches aus dem Kondensat herausbeschleunigt wird.

2mit Anregungen sind hier nur Impulszustände mit ~p 6= 0 gemeint, die inneren Freiheitsgradeder Atome bleiben unverändert

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14 KAPITEL 2 Theoretische Grundlagen

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

1000

2000

3000

4000

5000

6000

Impulsuebertrag [prec]

Ener

gie

[Hz]

freies Teilchen ohne WWBogoliubov mit 1e4 AtomenBogoliubov mit 5e4 AtomenBogoliubov mit 1e5 Atomen

Abbildung 2.1: Dispersionsrelation für ein freies Teilchen und Bogoliubov-Spektrum derelementaren Anregungen eines Bose-Einstein Kondensats nach (Gl. 2.5) für verschiedeneTeilchenzahlen. Der Impuls ist in Einheiten des Rückstoß-Impulses prec = hkRb, bezüglichder D2-Linie von 87Rb angegeben.

Es gibt also zwei Grenzfälle für das Verhalten von Anregungszuständen im Konden-sat. Für kleine Impulsüberträge dominieren die kollektiven Anregungen mit einemlinearen Spektrum

ε(p) = cp , (2.6)

während sich für hinreichend große Impulse der Verlauf dem des freien Teilchensannähert:

ε(p) ≈ p2

2m+mc2 . (2.7)

Dazwischen liegt ein Bereich, in dem aufgrund der quantenmechanischen Natur derAtome und der statistischen Schwankungen im Ensemble eine Überlagerung aus bei-den Prozessen stattfinden kann.

Sowohl die kollektiven Anregungen, als auch die herausgelösten Atome sind fürMessungen zugänglich, und somit zumindest prinzipiell relevant für spektroskopischeUntersuchungen, abhängig von der experimentellen Umsetzung3.

3Einen Überblick über die quantitativen Untersuchungen hinsichtlich der Verifikation derBogoliubov-Theorie für Anregungen im Bose-Einstein Kondensat gibt [5]

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2.1 Bose-Einstein Kondensation 15

2.1.3 Bose-Einstein Kondensate in externen Potentialen

Bisher wurde die Lösung von (Gl. 2.3) für ein atomares Ensemble ohne äusserenEinfluss betrachtet. Ein in der Anwendung häufig vorkommendes externes Potentialist ein harmonisches der Form

Vext(~r) =12mω2

xx2 +

12mω2

yy2 +

12mω2

zz2 . (2.8)

Die Einteilchenzustände der Atome im Kondensat entsprechen nun den diskretenNiveaus des harmonischen Oszillators mit dem Abstand ∆E = hω ausgehend vomGrundzustand E0 = 1

2 hω. Aufgrund der Wechselwirkung der Atome wird die Orts-verteilung im Vergleich zum wechselwirkungsfreien Fall breiter. Die Teilchendichtenimmt ab und damit auch der Gradient des Ordnungsparameters, welcher den Bei-trag des kinetischen Terms in der GP-Gleichung bestimmt. Ein wichtiger Grenzfall,in dem der Beitrag der kinetischen Energie der Atome vernachlässigbar ist gegen de-ren Wechselwirkung, heisst Thomas-Fermi-Näherung. Für diesen Fall lässt sich dieGP-Gleichung

µΦ(~r) =[Vext(~r) + g|Φ(~r)|2

]Φ(~r) , mit |Φ(~r)|2 = nTF (~r) , (2.9)

analytisch lösen und es ergibt sich:

nTF (~r) =1g

(µTF − Vext(~r)) . (2.10)

Für den Einschluss in jede Raumrichtung hat die Verteilung bei harmonischem Ein-schluss nun die Form einer umgedrehten Parabel, entsprechend der Frequenzen ωi. Inden meisten Fällen besitzen die Fallen zur Präparation von Bose-Einstein Kondensa-ten eine Symmetrie, bei der zwei Frequenzen gleich sind (lege fest ωx = ωy) und diedritte (ωz) je nach Potentialtiefe unter Umständen sehr verschieden. Daraus ergibtsich ein unterschiedlicher Einschluss in radialer bzw. axialer Richtung, der durch dasAspektverhältnis A = ωr/ωa angegeben werden kann.

Nach dem plötzlichen Abschalten des Potentials äussert sich dieses Aspektver-hältnis nun durch die unterschiedliche Expansion des Kondensats in die jeweili-gen Richtungen. In Richtung mit dem stärkeren Einschluss erfolgt die Ausdehnungschneller, aufgrund des höheren Gradienten des Ordnungsparameters. Auf diese Wei-se kann man zum Einen herausfinden, ob die gefangenen Atome kondensiert sind.Zum Anderen ist auch eine Bestimmung des Kondensatanteils der gefangenen Ato-me möglich, indem man die Verteilung der thermischen, also nicht kondensierten,

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16 KAPITEL 2 Theoretische Grundlagen

Atome aus der gemessenen Verteilung herausrechnet. Für thermische Atome in ei-nem harmonischen Potential ergibt sich eine gauss-förmige Verteilung, die gleichmä-ßig in alle Raumrichtungen expandiert, da sie nur von der mittleren Fallenfrequenzωho = (ωxωyωz)1/3 abhängt.

Während das eben beschriebene Potential im allgemeinen durch Magnetfelder erzeugtwird und die atomaren Niveaus über den Zeeman-Effekt lokal verschiebt, funktioniertdas im folgenden beschriebene Potential über einen Materie-Licht-Wechselwirkungs-mechanismus, welcher durch das Dressed-Atom-Modell (siehe [6] Kap. 6B) beschrie-ben werden kann. Abhängig von der Intensität des mit den Atomen wechselwirkendenLichtes werden die neuen Eigenzustände des Systems

(Atom

WW←→ Licht)verschoben

im Verhältnis zu den atomaren ohne Wechselwirkung.Das Lichtfeld ist zeitlich nicht konstant, es schwingt aber mit einer Frequenz,

die so hoch ist, dass das Atom ihm nicht folgen kann und deshalb nur das zeitlichgemittelte Feld spürt. Ein phasenstarres Lichtfeld erzeugt somit ein lokal konstantesPotential, welches räumlich aber nicht zeitlich variiert. Eine stehende Lichtwelle (z.B. durch das in sich zurück Reflektieren eines Laserstrahls) in Richtung x und mitder Wellenzahl q erzeugt ein Potential

Vext(x) = sErec sin2(qx) , (2.11)

mit der Laserintensität, eingebracht durch den dimensionslosen Faktor s und derRückstoßenergie Erec = h2q2/2m, die mit dem Quasi-Impuls ~q des Gitters korrespon-diert. Aufgrund der Periodizität des Potentials ist auch die Lösung der GP-Gleichungfür den Grundzustand periodisch und lässt sich in einer Fourier-Reihe entwickeln undschreibt sich dann als ebene Welle mit einem Modulationsfaktor uq(x) mit der Peri-odizität des Potentials4:

Φq(x) = eiqx/h uq(x) . (2.12)

Impulse q, die dem vielfachen der Gitterperiode entsprechen, sind physikalisch iden-tisch, weshalb es ausreicht, sich das Impulsverhalten in der ersten Brillouin-Zoneanzuschauen. Die Lösung für Φq(x) reduziert sich auf eine Lösung für uq(x):

µ(q)uq(x) = − h2

2m

(d

dx− i p

h

)2

uq(x) + g|uq(x)|2 + Vext(x)uq(x) . (2.13)

In Abbildung 2.2 ist der Verlauf der Energie E(p) des Systems mit einer solchen4entspricht der Aussage des Blochschen Theorems, wie es bereits aus der Festkörperphysik be-

kannt ist

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2.1 Bose-Einstein Kondensation 17

periodischen Lösung der GP-Gleichung zu sehen, welche im Allgemeinen numerischerfolgt. Unter der Annahme fehlender Wechselwirkung und sehr tiefem Gitterpoten-tial ist auch eine analytische Lösung möglich, die GP-Gleichung nimmt dann dieForm der Schrödinger-Gleichung an.

−1 −0.5 0 0.5 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

x 104

Quasiimpuls in Einheiten von π/a

Ener

gie

in H

z

Abbildung 2.2: Bandstruktur im optischen Gitter mit der Periodizität a für ein homogenesSystem, wie in (Gl. 2.13) angenommen, wobei der Wechselwirkungsterm nichts beiträgt.Energie und Impuls sind in Einheiten der Rückstoss-Energie Erec/h in Hz resp. desQuasi-Impulses ~q in π

a angegeben. Die Richtung entspricht der Winkelhalbierenden zweiersenkrechter Gitterachsen.

Da die Gitterachsen im kubischen Gitter orthogonal zueinander liegen, könnendie eindimensionalen Potentiale überlagert werden und die Lösungen für die GP-Gleichung können als Linearkombination geschrieben werden: Φ~q(~r) = Φqx(x) +Φqy(y)+Φqz(z). Dementsprechend ändert sich der Verlauf für E(p) qualitativ nicht ineiner beliebigen Richtung. Später im Experiment erfolgt der Impulsübertrag entlangder Diagonalen zweier Gitterachsen. Die Gitterkonstante und damit der Quasi-Impulsqdiag verlängern sich um den Faktor

√2, wie bereits in Abbildung 2.2 berücksichtigt.

In Abbildung 2.3 ist der Verlauf der Bragg-Strahlen entlang der Diagonalen zweierGitterachsen dargestellt.

Über Fourier-Transformation überträgt sich die räumliche Modulation durch dasGitter auch auf die Impulsverteilung des Systems, d. h. es gibt Komponenten mitvielfachem Quasi-Impuls, was sich bei der Detektion durch Resonanz-Peaks entlangder Gitterachse ausdrückt. Anschaulich kann man sich dieses Bild als Beugungs-

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18 KAPITEL 2 Theoretische Grundlagen

a

a

Fourier−

Transf.

1. BZ

/aπ

/aπ2

2

Abbildung 2.3: 2D-Gitter-Schema. links: Ortsgitter mit Gitterkonstante a, der Impuls-übertrag geht in Richtung der Winkelhalbierenden der beiden diagonal verlaufenden Git-terachsen. rechts: Reziprokes Gitter mit erster Brillouin-Zone. Dispersion entlang derDiagonalen dargestellt in Abbildung 2.2.

bild der Wellenfunktionen der Atome in den einzelnen Gitterplätzen vorstellen, wo-bei konstruktive Überlagerung durch die Gitterperiodizität vorgegeben ist, d. h. dieAbstände der Peaks entsprechen dem jeweiligen Impuls der Fourier-Komponente.Möglich ist die kohärente Überlagerung der Wellenfunktionen, solange die Atomenicht auf einen Gitterplatz eingeschränkt sind, es also eine ausreichende Tunnel-wahrscheinlichkeit zwischen den Gitterplätzen gibt, so dass ein Überlapp mehrererWellenfunktionen aus verschiedenen Gitterplätzen vorhanden ist.

Man spricht in diesem Zusammenhang auch von der superfluiden Phase des Kon-densats. Mit zunehmender Stärke des Gitters nimmt der lokale Einschluss der Atomezu, deren Phasenkorrelation nimmt ab, weshalb sie ihre Kohärenz-Eigenschaften ver-lieren. Es bilden sich keine Resonanz-Peaks mehr aus und zu sehen ist nur nocheine diffuse Wolke, das Kondensat befindet sich in der Mott-Isolator-Phase. DieserPhasenübergang ist kontinuierlich und wesentlich durch das Verhältnis von Wech-selwirkung der Atome in einem Gitterplatz und der Tunnelwahrscheinlichkeit derAtome zwischen den Gitterplätzen bestimmt. Eine theoretische Beschreibung wirddurch das Bose-Hubbard-Modell geliefert (siehe [4] Kap. 15.7).

Das bisher betrachtete System war homogen, sowohl das Gitter als auch dasKondensat. Ein reelles System ist aufgrund der Präparation, also dem Fangen undKühlen der Atome, auf einen endlichen Bereich ausgedehnt. In der Regel erfolgtdas Präparieren innerhalb einer Magnetfalle, die einen näherungsweise harmonischenEinschluss erzeugt, während das Gitter weiterhin als homogen über die Ausdehnungdes Kondensats hinweg angenommen werden soll. Daraus ergibt sich eine Abnahmeder Teilchenzahldichte vom Zentrum der Falle zum Rand hin, die eine Abnahme derHöhe der Resonanz-Peaks zur Folge hat (siehe Kapitel 3.4.3).

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2.2 Bragg-Spektroskopie 19

2.2 Bragg-Spektroskopie

2.2.1 Beugung von Atomen an Licht

Die Bragg-Beugung in der Quantenoptik wird durch den stimulierten Raman-Prozessbeschrieben, bei dem das Atom ein Photon spontan absorbiert und ein weiteresPhoton stimuliert emittiert. Beide Prozesse einzeln sind stark unterdrückt, da dieFrequenzen der Photonen weit verstimmt vom benutzten optischen Übergang desAtoms sind. Erst die zeitliche Koinzidenz beider Prozesse liefert eine relevante Über-gangswahrscheinlichkeit. Es werden Übergänge zwischen Impulszuständen angeregt,d. h. die inneren Freiheitsgrade wie Drehimpuls oder magnetisches Moment bleibenunverändert. Dementsprechend geben Energie- und Impulserhaltung abhängig vomAnfangszustand mögliche Endzustände vor. Abbildung 2.4 zeigt Bragg-Beugung amfreien Atom.

p

E

∆0 p

δ

ppump probep

Abbildung 2.4: Schema für Bragg am freien Atom. ∆ ist die Verstimmung zum angeregtenNiveau, δ die relative Verstimmung von Pump- und Probestrahl, pR der Impulsübertrag.

In diesem Fall ist das Atom im Ausgangszustand mit ~p = 0. Der Endzustand gibt dieEnergiedifferenz ∆E = hδ = h(νpump− νprobe) zwischen dem Pump-Photon, welchesvom Atom absorbiert wird, und dem Probe-Photon, welches die stimulierte Emissionauslöst, an. Da jeweils ein Photon absorbiert und emittiert wird, ergibt sich für denImpulsübertrag ∆~p = ~ppump − ~pprobe mit ~p = h~k, wobei k = |~k| die Wellenzahl derPhotonen ist. Bei maximal möglichem Impulsübertrag, also entgegengesetzt laufen-den Impulsen, gilt:

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20 KAPITEL 2 Theoretische Grundlagen

∆p = hkpump − (−hkprobe) = 2hk und damit

∆E =(∆p)2

2m=

(2hk)2

2m= hδ . (2.14)

Diese Vereinfachung ist möglich, weil sich die Wellenzahlen der Photonen bei einerrelativen Verstimmung in der Größenordnung Kilohertz praktisch nicht unterschei-den, bezogen auf die absoluten Frequenzen welche im Bereich von einigen hundertTerahertz liegen.

Eine weitere wichtige Größe ist die Verstimmung ∆, welche den energetischenAbstand der Photonen zum angeregten Niveau des Atoms angibt. Sie beläuft sichje nach Experiment auf bis zu einige Gigahertz (natürliche Linienbreiten sind typi-scherweise bei etwa 6 MHz), während der Abstand δ zwischen den Photonen in derGrößenordnung Kilohertz liegt. Dieser große Abstand zum angeregten Niveau er-gibt sich aus der Abhängigkeit der Übergangswahrscheinlichkeiten der auftretendenProzesse von der Verstimmung. Neben der stimulierten Emission kann auch ein spon-taner Prozess auftreten, bei dem das Photon unkontrolliert in irgendeine Richtungabgegeben wird, was es unmöglich macht, einen definierten Impulsübertrag zu indu-zieren. Die Wahrscheinlichkeit für den spontanen Prozess fällt mit 1

∆2 ab, die für denstimulierten Prozess lediglich mit 1

∆ , weshalb sich ein Kompromiss zwischen mög-lichst hoher Intensität für eine ausreichende Effizienz des erwünschten Prozesses undmöglichst niedriger Intensität für eine effektive Unterdrückung des unerwünschtenProzesses finden lässt.

Die Effizienz für die Beugung der Atome hängt weiterhin von der Rabi-FrequenzΩ ab (tritt auf bei der Erzeugung der neuen Eigenzustände für die Atom-Licht-Wechselwirkung im Rahmen des Dressed-Atom-Modells). Sie ist ein Maß für dieKopplungsstärke der Atom- und Lichtzustände und gibt an, wie schnell die Anre-gungswahrscheinlichkeit des Atoms zwischen maximal 0 und 1 oszilliert, während dasLichtfeld eingeschaltet bleibt und ist minimal im Resonanzfall, also für ∆ = 0. DieAnregungswahrscheinlichkeit oszilliert gemäß:

P (t) = −∆2

Ω2− Ω2 −∆2

Ω2· cos Ωt . (2.15)

Der Verlauf ist für verschiedene Verstimmungen ∆ in Abbildung 2.5 dargestellt.Das bedeutet einerseits, dass es nicht möglich ist, mit Lichtpulsen bestimmter

Länge, die der vielfachen Rabi-Periode entsprechen, Atome in den angeregten Zu-stand zu bringen. Auf der anderen Seite ergibt sich die Bedingung für einen maxima-len Übertrag der Besetzung der Atome im angeregten Zustand, wie er typischerweiseim Experiment angestrebt wird, um ein möglichst grosses Signal zu erhalten. Aus

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2.2 Bragg-Spektroskopie 21

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3x 10−3

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t [s]

norm

. Anr

egun

gswa

hrsc

hein

lichk

eit

δ = 0 Hzδ = 500 Hzδ = 1000 Hz

Abbildung 2.5: Normierte Anregungswahrscheinlichkeit für einen Anregungs-Prozess inAbhängigkeit von der Wechselwirkungszeit tWW für verschiedene Verstimmungen vonder Resonanzfrequenz des Prozesses. Spontane Prozesse, die zu einer Dämpfung füh-ren, sind nicht berücksichtigt. Die Effizienz des Prozessses nimmt mit größer werdenderVerstimmung ab.

der Beziehung Ω · tWW = π bestimmt sich die Länge des sogenannten Pi-Pulses,bei dem maximal viele Atome angeregt werden. Dies gilt für die Wechselwirkungmit einem Lichtfeld einer Frequenz. Da es sich bei der Bragg-Beugung um einenZwei-Photonen-Prozess handelt, treten auch zwei Rabi-Frequenzen der unabhängi-gen Ein-Photonen-Prozesse auf, die sich multiplikativ ergänzen, es gilt:

Ω =Ωpump Ωprobe

2∆, (2.16)

wobei rechts die Rabi-Frequenzen der Ein-Photonen-Prozesse stehen und die Ver-stimmung zum angeregten Niveau. Weiterhin gilt:

Ωpump =

√Γ2I

2Isat, mit Isat =

πhc

3λ3Γ , (2.17)

resp. für Ωprobe, wobei Γ die Linienbreite des Übergangs ist und Isat die Sättigungs-intensität. I ist die eingestrahlte Lichtintensität.

Es sei nur kurz erwähnt, dass es auch Bragg-Beugung höherer Ordnung gibt, wo-bei die n-te Ordnung durch einen 2n-Photonen-Prozess gekennzeichnet ist. Die Rabi-Frequenzen und Übergangswahrscheinlichkeiten lassen sich ganz analog zum Prozesserster Ordnung berechnen, wobei dann entsprechend 2n Ein-Photon-Frequenzen bei-tragen. Die Übergangswahrscheinlichkeiten nehmen stark ab mit wachsender Ord-

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22 KAPITEL 2 Theoretische Grundlagen

nung, da mehr nicht-resonante Ein-Photonen-Prozesse beitragen.

2.2.2 Bragg-Beugung als Spektroskopie-Instrument

Bisher wurde die Beugung von Atomen anfänglich in Ruhe betrachtet. Besitzt einAtom eine Anfangsgeschwindigkeit, so wirkt sich diese auf den Prozess aus, der-art, dass die Frequenzverschiebung der Photonen nicht mehr gleich ist aufgrund desDopplereffektes, das Atom „sieht” abhängig von seiner Geschwindigkeitskomponentebezüglich der k-Vektoren der Photonen andere Frequenzen. Die Energiedifferenz ab-hängig vom effektiven Impulsübertrag ist dann für eine Geschwindigkeitskomponentev des Atoms in Richtung des Bragg-Impulses

∆E =(mv − 2hk)2 − (mv)2

2m

= hδ(v) , mit δ(v) =2hk2

m− 2kv .

(2.18)

Diese Geschwindigkeitsabhängigkeit von δ ist sehr anschaulich in Abbildung 2.4 nach-vollziehbar, wenn man zwei Punkte der Parabel mit konstantem Abstand entlang derImpulsachse verschiebt.

Des Weiteren ist der Impulsbetrag noch von der Orientierung von Pump- undProbestrahl zueinander abhängig. Der Impulsübertrag ergibt sich aus der Differenzder k-Vektoren der Photonen, was bedeutet, dass dieser maximal ist bei gegenläu-figen Strahlen und null bei parallelen Strahlen. Da beide Strahlen in einer Ebeneliegen, kann man die Impulse durch zweikomponentige Vektoren ausdrücken. Damitergibt sich für den effektiven Impulsübertrag:

∆~peff = ~ppump − ~pprobe = hk

(sin(θ/2)cos(θ/2)

)− hk

(− sin(θ/2)cos(θ/2)

)

= 2hk

(sin(θ/2)

0

) (2.19)

woraus die Energiedifferenz

∆E =(2hk sin(θ/2))2

2m

= hδ(θ) , mit δ(θ) =2hk2

msin2(θ/2)

(2.20)

resultiert, wobei θ der Winkel zwischen den beiden Strahlen ist. Abhängig vom kon-kreten Aufbau des Experiments kann so jeder beliebige Impulsübertrag zwischen nullund 2hk eingestellt werden.

Wie bereits erwähnt, handelt es sich bei der Bragg-Beugung um einen Streupro-zess von Licht und Atomen, auf den nicht nur die Intensität des eingestrahlten LichtesEinfluß hat, sondern auch die Einstrahldauer. Bezüglich der Wechselwirkungszeit und

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2.2 Bragg-Spektroskopie 23

der Energiedifferenz der eingestrahlten Photonen gilt nach Heisenberg:

∆E ∆tWW = h∆δ ∆tWW ≥h

2. (2.21)

Daraus ergibt sich über die Energie-Impuls-Relation ∆E = ∆p2/2m eine Impulsbrei-te bei endlicher Wechselwirkungszeit. Je länger die Einstrahldauer ist, desto schma-ler wird die Impulsbreite und die Auflösung steigt, es können präziser Impulsklassenausgekoppelt werden. Umgekehrt führt eine kürzere Zeit zu einer höheren Beugungs-effizienz, es werden mehr Atome aus einem breiteren Impulsspektrum ausgekoppelt,das Signal wird erhöht. Dies ist vor allem bei Resonanzmessungen sinnvoll, um einoptimales Signal zu Rausch Verhältnis zu erreichen, was zur genauen Bestimmungder Resonanz beiträgt. Schmale Impulsklassen werden vorwiegend bei interferome-trischen Messungen ausgekoppelt um einen möglichst scharfen Interferenzkontrast zubekommen. Die Einstrahldauer kann nicht beliebig hoch gewählt werden, da durchStöße zwischen gebeugten und nicht gebeugten Atomen und andere statistische Pro-zesse die kinetische Energie verteilt wird und die kohärenten Eigenschaften des En-sembles verloren gehen, die Atome rethermalisieren5.

Die Form des Signals hängt von der Form des Bragg-Pulses ab. Die Ein- und Aus-schaltzeiten der Braggstrahlen erlauben die Annahme eines Rechteckpulses, woraussich über Fouriertransformation die Impulsantwort des Systems, also die Intensitäts-verteilung im Frequenzraum, ergibt zu:

I(ω) = I0 sinc2

((ω − δ) tWW

2

)(2.22)

Daher ist auch damit zu rechnen, einen Bragg-Übertrag neben der erwarteten Fre-quenz zu sehen, was besonders bei der Einstellung der Leistung zur Optimierung desPi-Pulses und damit des Übertrags zu beachten ist. Die Breite des Signals ergibtsich als FWHM für die sinc-Funktion zu ∆ [(ω − δ) tWW ] = 2, 78 und hängt von derEinstrahldauer ab. Damit ergibt sich für die Frequenzauflösung die Bedingung:

∆δ2π· tWW = 0, 9 , (2.23)

wobei zu beachten ist, dass δ hier in Einheiten der Kreisfrequenz angegeben ist.Die Einstrahldauer ist somit der Parameter zur Steuerung der Auflösung des Bragg-Systems. In Abbildung 2.6 ist die spektrale Intensitätsverteilung nach (Gl. 2.22) fürverschiedene Pulslängen aufgetragen.Mit inelastischer Streuung und Frequenz-Verbreiterung durch eine endliche Ein-strahldauer gibt es zwei Prozesse, die einander beeinflussen. Durch eine Erhöhung der

5Eine ausführliche Untersuchung der Bragg-Beugung bei hohen Dichten und zur Einstrahldauerdes Bragg-Pulses ist in [7] dargelegt. Dort findet auch eine Berechnung der Streurate statt, welchedie Häufigkeit der relevanten Stöße abhängig von der Dichte angibt.

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24 KAPITEL 2 Theoretische Grundlagen

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 50000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

δ [Hz]

norm

. Anr

egun

gswa

hrsc

hein

lichk

eit

ωRabi = 500 Hz, t = 1ms

ωRabi = 333 Hz, t = 1.5msωRabi = 125Hz, t = 4ms

Abbildung 2.6: Anregungswahrscheinlichkeit für einen Bragg-Prozess um die Resonanz inAbhängigkeit von der Verstimmung bei konstanter Rabi-Frequenz, nach (Gl. 2.22).

Dichte steigt die Streurate und damit die Rethermalisierung des Ensembles, weshalbdie Einstrahldauer entsprechend kürzer gewählt werden muss, um die Kohärenz desSystems zu erhalten. Andererseits verschlechtert sich damit die Frequenz-Auflösungdes Systems. Daraus ergibt sich für spektroskopische Messungen die Forderung nachlangen Einstrahldauern für eine hohe Auflösung und dementsprechend eine geringeDichte des Ensembles.

Abschließend lässt sich sagen, dass die zuletzt genannten Eigenschaften und Abhän-gigkeiten die Anwendung der Bragg-Beugung als spektroskopisches Instrument fürdie Untersuchung atomarer Systeme ermöglichen, wobei das grundlegende Prinzip inder gezielten Ansprache definierter Impulsklassen liegt. Dabei kommt es zum Einenauf die geeignete Präparation des Anfangszustandes an, vor allem bei Vielteilchen-systemen. Zum Anderen ist es notwendig, geeignetes Licht einzusetzen, beispielsweiseLaserlicht, welches aufgrund seiner Kohärenzeigenschaften in der Lage ist – bezogenauf atomare Dimensionen – grosse Gebiete mit denselben k-Vektoren auszuleuch-ten und damit einen kohärenzerhaltenden Prozess in einem Vielteilchensystem zusteuern. Insofern bietet die Bragg-Beugung vielfältige Möglichkeiten Bose-EinsteinKondensate, welche Systeme kohärenter Atome darstellen, hinsichtlich ihrer sowohlEinteilchen- als auch Vielteilcheneffekte zu untersuchen und quantenmechanischeEffekte geeigneter Systeme auf makroskopischer Ebene sichtbar zu machen und zuerforschen.

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Kapitel 3

Experimenteller Aufbau undDurchführung

Im folgenden Kapitel soll der experimentelle Aufbau für die Bragg-Spektroskopieerläutert werden, wobei der Schwerpunkt auf dem Lasersystem, welches das Lichtfür den Bragg-Prozess liefert, und dessen Charakterisierung liegen wird.

Zunächst jedoch soll ein kurzer Überblick verschafft werden über den Aufbau derApparatur, mit der die 87Rb-Atome gefangen und gekühlt werden und in den derBragg-Aufbau integriert wird.

Anschließend folgt die Erläuterung zum Aufbau des Lasersystems und der benö-tigten Regelung, sowie dessen Integration in die Apparatur.

Daran anknüpfend sollen dann die Messungen zur Charakterisierung des Laser-systems vorgestellt werden, bevor im letzten Teil der eigentliche Experimentablaufund die angestrebten Messungen zur Bragg-Spektroskopie an Bose-Einstein Konden-saten folgen.

3.1 Aufbau des Experiments

Die Erzeugung und Manipulation von Bose-Einstein Kondensaten erfolgt in diesemExperiment in evakuierten Glaszellen, welche den notwendigen optischen Zugangbieten für die Laserstrahlen, mit denen die verschiedenen Fang- und Kühlkonzepteumgesetzt werden. Da bereits umfangreiche Beschreibungen des Aufbaus und seinerKomponenten in diversen Diplomarbeiten und Dissertationen vorgenommen wurden,werde ich mich auf einen für die Anschaulichkeit hilfreichen Überblick beschränkenund auf die entsprechenden Arbeiten verweisen ([8], [9], [10], [11]). Des Weiterensei erwähnt, dass der im Folgenden beschriebene Aufbau zusätzlich die Möglichkeitbietet, entartete Fermi-Gase mit 40K zu erzeugen und Bragg-Spektroskopie an Fer-mionen bzw. Fermi-Bose-Mischungen von 40K und 87Rb durchzuführen.

Die Abbildung 3.1 zeigt den schematischen Aufbau der Apparatur. Zu sehen sindzwei Glaszellen angebracht an einem zentralen Verbindungsstück, woran auch zwei

25

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26 KAPITEL 3 Experimenteller Aufbau und Durchführung

RF−Antenne

Spulenkörper

Abbildung 3.1: Schematischer Aufbau der Apparatur von vorne. Oben und unten sindjeweils die Glaszellen zum Fangen der Atome und zum Kühlen, an der Seite des Verbin-dungsstückes befinden sich die Anschlüsse für die Titan-Sublimations-Pumpen (Abbildungwurde [12] entnommen).

Titan-Sublimations-Pumpen und die Druckmessgeräte befestigt sind, um die erfor-derlichen Drücke bereitzustellen und zu kontrollieren. Dazwischen dient ein Graphit-röhrchen mit einem Loch in der Mitte als differentielle Pumpstufe. In der oberenGlaszelle befinden sich Dispenser, aus denen aufgrund einer chemischen Reaktionnach Anlegen einer elektrischen Spannung die Rb-Atome austreten und dann mitHilfe einer 2D-MOT („magneto-optical trap”, siehe auch [13] S. 156ff) gefangen wer-den, bei einem Druck von rund 10−9 mbar.

Durch die Pumpstufe gelangen sie in die untere Glaszelle und werden dort in einer3D-MOT gehalten, um in weiteren Schritten zur Kondensation gebracht zu werden,wobei alles bei einem Druck von etwa 10−11 mbar geschieht. Die unterschiedlichen

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3.1 Aufbau des Experiments 27

Drücke sind notwendig, da das schnelle und effiziente Laden einer MOT eine ausrei-chende Zahl an Teilchen benötigt, hingegen das Herunterkühlen und Kondensierenvon Ensembles einen möglichst niedrigen Druck verlangt, um Wechselwirkungen mitdem Hintergrundgas zu minimieren. Sowohl elastische als auch inelastische Stössemit dem Hintergrundgas haben Verluste in der Falle zur Folge. Wegen der Über-sichtlichkeit wurden in Abbildung 3.1 die optischen Elemente, die für die Fallen undGitter notwendig sind, weggelassen.

Der zweidimensionale Einschluss der Atome in der oberen Glaszelle entlang derVertikalen erfolgt durch eine Kombination aus Spulen, welche in Anti-Helmholtz-Konfiguration geschaltet sind, also ein Feld mit linearem Gradienten in radialerRichtung erzeugen, und zwei aufgeweitete, orthogonale in sich zurück reflektierteLaserstrahlen (angedeutet in Abbildung 3.1) und ist möglichst genau über die Pump-stufe justiert. Um das Laden der 3D-MOT in der unteren Zelle zu verbessern, ist einLaserstrahl („pushing beam”) entlang der Einschlußrichtung und durch das Loch inder Pumpstufe ausgerichtet und resonant auf einen Übergang von 87Rb geregelt ent-sprechend der optimalen Laderate für die 3D-MOT.

Für den dortigen dreidimensionalen Einschluss sorgen drei orthogonale Laser-strahlen, in sich zurückreflektiert, zusammen mit einem Spulenpaar ganz analog zur2D-MOT. Zusätzliche Spulen um die untere Glaszelle erzeugen optional ein homoge-nes Feld zur Veränderung der Fallengeometrie bzw. zur Kompensation von Unregel-mäßigkeiten in den angelegten Feldern oder unerwünschter Felder von aussen.

Sowohl die MOT-Spulen als auch die zur Erzeugung des homogenen Feldes1 sindzusammen in Kunststoffgehäuse eingearbeitet, um eine Wasserkühlung zu ermög-lichen. Die ist nötig, um die Spulen zum Einen vor Überhitzung zu schützen undzum Anderen temperaturabhängige Schwankungen der magnetischen Eigenschaftender Spulen zu verhindern und somit die Felder möglichst konstant zu halten. Fürdie anderen Spulen ist die Wärmelast unkritisch und die Felder bleiben dauerhafteingeschaltet, weshalb hier auf die Wasserkühlung verzichtet werden kann.

Neben den MOT-Strahlen müssen außerdem die Gitter- und die Braggstrahlendurch die Glaszelle geführt werden. Die Gitterstrahlen werden mit den MOT-Strahlenüberlagert und entlang derselben Achsen geführt. Die Braggstrahlen werden in derEbene, in der auch die zwei diagonal geführten Gitterstrahlen (D1 und D2) entlang-laufen, in die Glaszelle gelenkt. Sie werden über verstellbare Spiegel abgelenkt, damitder Winkel zwischen Pump- und Probestrahl verändert werden kann, um verschiede-ne Impulsüberträge zu ermöglichen. Der dafür im Rahmen dieser Arbeit konstruierteAufbau, mit dem die Strahlen vorbereitet und in das Experiment integriert werden,soll in Kapitel 3.2.3 noch einmal näher beschrieben werden. In Abbildung 3.2 ist diegemeinsame Ebene der diagonalen Gitterstrahlen und der Braggstrahlen dargestellt.

1Diese Spulen sind so beschaltet, dass sie sowohl in Helmholtz-Konfiguration arbeiten können(zur Erzeugung des Fallenbodens), als auch in Anti-Helmholtz-Konfiguration zur Erzeugung einesFeldgradienten.

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28 KAPITEL 3 Experimenteller Aufbau und Durchführung

θ/2

θ/2

massive Platte

Bragg−Aufbau

Braggp

horizont.

2D−GitterGlaszelle

Abbildung 3.2: Schema der Bragg-Ebene, die mit der 2D-Gitter-Ebene zusammenfällt.Über θ wird der Impulsübertrag pBragg eingestellt, welcher stets in die gleiche Richtungzeigt (nach oben).

Entlang der in Abbildung 3.1 gezeigten Langen Achse verläuft auch der Detektionss-trahl, welcher den Bereich des Kondensats gleichmäßig ausleuchtet.

Die Detektion erfolgt durch resonant auf eine Übergangslinie von 87Rb eingestelltesLicht, das erst durch die Glaszelle und dann auf eine CCD-Kamera geschickt wird.Durch die Absorption und die anschließende stochastische Emission der Photonenentsteht ein Absorptionsbild, welches auf der Kamera abgebildet und schließlich ineine Dichteverteilung umgerechnet wird. Es entsteht so etwas wie ein Schattenwurfdes Kondensats auf der Kamera. Insgesamt werden drei Bilder gemacht. Das ers-te ist das „belichtete” Kondensat, welches die eigentlichen Informationen enthält.Kurz darauf folgt ein zweites Bild, mit eingeschaltetem Detektionslicht, wobei dasKondensat schon verschwunden ist. Zuletzt wird ein drittes Bild bei abgeschaltetemDetektionslicht zur Erfassung des Restlichtes der Umgebung2 und des elektronischen

2Grundsätzlich werden alle Messungen hinter heruntergelassenen Vorhängen gemacht um dasStreulicht von vornherein gering zu halten.

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3.2 Das Bragg-Lasersystem 29

Rauschens gemacht. Mit der so gewonnenen optischen Dichte des abgebildeten Gaseskönnen Rückschlüsse auf dessen Teilchendichte gezogen werden.

Das Einfangen und Kühlen der Atome verläuft in mehreren Schritten, da sich derTemperaturbereich von Raumtemperatur bis zur Bose-Einstein Kondensation übermehr als zehn Größenordnungen erstreckt und die möglichen Kühlmechanismen nichtüber den gesamten Weg funktionieren.

Der erste und größte Schritt erfolgt in der MOT, welche aufgrund der Kombinati-on von Magnet- und elektrischen (genau genommen die elektrische Komponente desLaserlichts) Feldern einen Einschluss sowohl im Ortsraum als auch im Impulsraumerreicht3. Dabei werden etwa 1010 bis 1011 Teilchen gefangen, von denen der größteTeil im weiteren Kühlprozess wieder verloren geht. Die zu erreichende Temperaturin der MOT liegt im Bereich von wenigen hundert Mikrokelvin, was von Experimentzu Experiment und verwendetem Element stark differieren kann.

In der nächsten Phase werden die Magnetfelder ausgeschaltet und die Atomein einer optischen Melasse (siehe [13] Kap. 7) weiter herunter gekühlt. Mit Hil-fe der Polarisationsgradienten-Kühlung wird dabei eine Temperatur weit unterhalbdes Doppler-Limits erreicht, welches bei einer Temperatur in Einheiten des Photon-Impulses von etwa 30− 50 hk liegt. Das Sub-Doppler-Limit liegt bei etwa 2− 4 hk.

Zuletzt werden die Atome in der Magnetfalle bis unterhalb der kritischen Tem-peratur für Bose-Einstein Kondensation auf wenige hundert Nanokelvin gebrachtmittels RF-induzierter Evaporationskühlung (siehe [15]), wobei am Ende noch etwa105 bis 106 Atome übrig sind.

3.2 Das Bragg-Lasersystem

Das im Rahmen dieser Arbeit entwickelte Lasersystem besteht im Wesentlichen auszwei Modulen, einem Aufbau in dem ein Masterlaser mittels Offset-Regelung auf dieVerstimmung ∆ geregelt wird und dem eigentlichen Bragg-Aufbau, in dem der er-zeugte Strahl geteilt wird in Pump- und Probestrahl und deren relative Verstimmungδ aufgeprägt wird, bevor sie dann ins Experiment gelenkt werden.

3.2.1 Aufbau des Masterlasers

Der in diesem Experiment benutzte optische Übergang zwischen dem Grund- undangeregten Zustand entsprach der D2-Linie, welche bei 780, 24 nm liegt. Für dieverschiedenen Fang- und Kühlmechanismen wurde die Hyperfeinstruktur der Linieausgenutzt, weshalb sich Verschiebungen der einzelnen Laserfrequenzen um wenige

3Eine umfassende Beschreibung liegt in diversen Standardwerken vor (siehe [13] Kap. 11.4), dieerstmalige experimentelle Realisierung mit Na-Atomen erfolgte durch [14].

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30 KAPITEL 3 Experimenteller Aufbau und Durchführung

hundert Megahertz ergaben. Als einzige Methode mit großer Verstimmung, bildetdie Bragg-Spektroskopie mit etwa fünf Gigahertz die Ausnahme4. Laserlicht mit dergenannten Wellenlänge und der erforderlichen Durchstimmbarkeit kann durch kom-merziell erhältliche Halbleiter-Laserdioden erzeugt werden, bedarf aber aufgrund dertechnischen Ausführung einer Aufbereitung vor dem Einsatz im Experiment. Dieseerfolgt in dem in Abbildung 3.3 gezeigten Aufbau.

4)5)

7)3)

6)

1)

2)

Abbildung 3.3: Draufsicht des Mastermoduls. Die rote Linie zeigt den Strahlverlauf. Kom-ponenten: 1) Laserdiode (in Halterung befestigt), 2) Kollimator, 3) Gitter, 4) Piezo, 5)Diodenschutzschaltung, 6) Thermistor, 7) Peltierelement (zwischen Diodenhalterung undGehäuseboden)

Anhand der nachfolgend genannten drei Punkte soll dieser Aufbau erläutert werden.Die für die experimentelle Verwendung entscheidenden Faktoren bei der Lichterzeu-gung sind:

• Auswahl und Stabilisierung der absoluten Frequenz des emittierten Lichtes,

• spektrale Breite des emittierten Lichtes,

4Dies äussert sich vor allem in der unterschiedlichen technischen Umsetzung der Regelung, wiesie noch in dem Kapitel 3.2.2 erläutert wird.

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3.2 Das Bragg-Lasersystem 31

• Strahlqualität des emittierten Lichtes.

Da der aus der Diode austretende Strahl aufgrund von Beugungseffekten stark diver-giert und somit eine ungenügende Qualität aufweist, wird dieser mit einer asphäri-schen Linse kollimiert. Die ersten beiden Punkte hängen in erster Linie von dem ver-wendeten Gitter ab, weil dieses unter einem Winkel zur ursprünglichen Strahlachseeingebaut wird, so dass die minus erste Beugungsordnung in die Diode zurückreflek-tiert wird, und somit einen externen Resonator bildet.

Da die Frequenz des von der Diode emittierten Lichtes stark von der Temperaturund dem Strom abhängt, ist es für ein konstantes Signal notwendig, entsprechendeSchwankungen durch eine geeignete Regelung zu kompensieren. Andersherum lässtsich durch kontrollierte Änderung der beiden Parameter die Frequenz in einem be-grenzten Bereich durchstimmen. Gemessen wird die Temperatur über einen wärme-empfindlichenWiderstand, der möglichst nahe bei der Diode an die Halterung geklebtwird. Die Regelung erfolgt über ein Peltierelement, welches zwischen Diodenhalte-rung und Gehäuseboden fixiert ist. Über das Gitter wird der frei durchstimmbareBereich vergrößert und eine kontrollierte Verschiebung der Frequenz ist möglich, dieAbhängigkeit der Frequenz von Temperatur und Strom wird hauptsächlich zur Stabi-lisierung benutzt. Die Verschiebung des Gitters erfolgt elektromechanisch über einenPiezo-Kristall, an dem das Gitter befestigt ist.

Ebenfalls nachhaltig beeinflusst durch das Gitter wird die Frequenzbreite desemittierten Lichtes, während sie bei einer freilaufenden Diode in der Größenordnungum 10 MHz liegt, verringert sie sich in dem Aufbau auf unter 1 MHz, was für die Küh-lung von Rb-Atomen notwendig ist, bei natürlichen Linienbreiten von rund 6 MHz.Zusätzlich verbessert sich die Stabilität der jeweils eingestellten Mode.

Durch den Einsatz eines Gitters kann die Kohärenzlänge des Lasers, also die Inter-ferenzfähigkeit des Lichtes, um ein Vielfaches auf mehrere Meter verbessert werden,was auch notwendig ist, da das Licht vom Aufbau der Offset-Regelung über eine Fasermit etwa sieben Metern Länge zum Experiment gebracht wird. Die Interferenzfähig-keit ist notwendig für den Bragg-Prozess, da die Atome sonst nicht kohärent an derLichtwelle gebeugt werden können. Mit der Beziehung Lkoh = c/∆ν ergibt sich mitder Lichtgeschwindigkeit c und einer erwarteten Bandbreite von ∆ν = 1 MHz eineKohärenzlänge von 300 m, was als ausreichend für dieses Experiment angenommenwerden kann.

Zuletzt sei noch das Leistungsverhalten des Mastermoduls erwähnt. Da im ex-ternen Resonator und somit auch in der Diode aufgrund der Rückkopplung einehöhere Leistungsdichte vorhanden ist als in der freilaufenden Diode, die maximaleLeistungsdichte der Diode selbst aber gleich geblieben ist, verringert sich die freiverfügbare Leistung des Systems im Vergleich zur freilaufenden Diode. Aus diesemGrund werden die im Experiment verwendeten Mastermodule auch vorrangig alsReferenz eingesetzt, um Systeme mit ausreichender Leistung zu steuern. Im Fall des

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32 KAPITEL 3 Experimenteller Aufbau und Durchführung

Bragg-Systems ist dies allerdings nicht notwendig, da im Experiment Leistungen umdie 100µW pro Bragg-Strahl benötigt werden, was selbst mit den üblichen Einkop-pelverlusten durch die Faser und die AOMs durch wenige mW Ausgangsleistungerreicht werden kann. Dadurch verringert sich der technische Aufwand entscheidendim Vergleich zu den anderen Systemen.

3.2.2 Die Offset-Regelung

Aufgrund von Temperaturschwankungen und daraus folgenden Längenschwankun-gen im Aufbau der Laser, welche durch einen massiven und kompakten Aufbaugering gehalten werden sollen, ist es notwendig die Laser zu stabilisieren zur Ge-währleistung einer konstanten Frequenz. Für gewöhnlich erfolgt dies relativ nah anden atomaren Übergängen, um eine hohe Effizienz zu gewährleisten. Dadurch ori-entiert sich die Regelung auch meist direkt an atomaren Referenzen, wie z. B. inder Frequenz-Modulations-Spektroskopie5. Wie aber bereits in Kapitel 2.2.1 erläutert,wird die Bragg-Spektroskopie weit vom atomaren Übergang verstimmt durchgeführt,um spontane Prozesse zu unterdrücken. Um die benötigten Verstimmungen zu errei-chen, werden die Frequenzen des Bragg-Lasers und eines resonanten Referenz-Lasersmiteinander verglichen und in ein elektronisches Regelsignal umgesetzt. Abbildung3.4 zeigt den schematischen Aufbau für die im Rahmen dieser Arbeit eingesetztenMethode6.

Zunächst wird ein Teil des Bragg-Strahls mit dem Referenz-Strahl7 überlagertund auf eine schnelle Fotodiode (FFD) gegeben. Das Schwebungssignal (auch beat-note genannt) enthält zwei Frequenzkomponenten, wobei nur die Differenzfrequenzωbragg − ωref betrachtet wird, welche der Verstimmung ∆ in (Gl. 2.16) entspricht.Dieses Signal wird erneut überlagert mit einem RF-Signal (radio frequency) ähnlicherFrequenz und so auf eine Frequenz übersetzt, die im Arbeitsbereich der Regelelektro-nik liegt. Anschließend wird das Signal auf einen Hochpaß-Filter und einen −3 dB-Abschwächer aufgeteilt, wobei der Abschwächer nur zur Signalstärkeanpassung dientund den Nulldurchgang an die Stelle des −3 dB-Punktes des Filters setzt.

Im error-signal-circuit (ESC8) werden die beiden Teile zueinander invertiert wie-der zusammengeführt und die Summe in die Regelelektronik gegeben. Beim Durch-stimmen der Frequenz des Bragg-Lasers über den Piezo (siehe Abbildung 3.3) kannman nun die Frequenz des Signals vor dem Hochpassfilter verändern und dessenFlanke „abfahren”. Unterhalb der Durchlaßfrequenz trägt nur der Teil aus dem Ab-schwächer zum Signal bei, oberhalb dagegen kompensieren sich beide Teile maximal.

5Über das Absorptionssignal eines Lasers, der eine Glaszelle mit dem betreffenden atomaren Gasdurchläuft, wird der Laser auf den gewünschten Übergang geregelt, siehe [16].

6Der Aufbau stützt sich im Wesentlichen auf [17], der eingesetzte ESC wurde aber variiert, umdie Signal-Ankopplung verlustfrei zu gestalten.

7wird in diesem Experiment vom Kühllaser der Rb-MOT abgezweigt, näheres zum Lock-Schemader MOT in [8]

8ein Schaltplan ist in Anhang A

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3.2 Das Bragg-Lasersystem 33

−3dB

Bragg

Referenz

FFD

WM

MIXER

RFSpectrum−Analyzer

HP

ESC

PI−Regler

Experiment

AMP

Abbildung 3.4: Schematischer Aufbau der Offset-Regelung

Die Flanke, die den Übergang beschreibt, dient schließlich als Regelsignal, welchesin Abbildung 3.5 dargestellt ist.

Durch das Vor- und Zurückfahren des Piezo-Kristalls, an dem das Gitter befestigtist, durch Anlegen einer Dreiecksspannung kann man über die Flanke des Hochpaß-Filters fahren, wodurch die zwei Flanken in der Abbildung entstehen. Der Weg vomNulldurchgang der Regelflanke bei etwa 2, 4 ms bis zum Minimum9 bei etwa 3 ms ent-spricht einer Frequenzbreite von 164 MHz, wie sie der Hochpaß-Filter vorgibt. Dasabgebildete Signal ist stabil und kann über den gesamten Bereich durchgestimmtwerden, d. h. es ist eine Regelbandbreite von etwa 1, 5 GHz vorhanden. Durch Op-timierung der Rückkopplung der Laserdiode lässt sich diese noch auf mehrere GHzvergrößern. Somit ergibt sich der Vorteil des Systems in seiner Variabilität bezüglichder Verstimmung zum Referenzlaser, was es einem erlaubt, sehr schnell und oh-ne zusätzlichen Aufwand den Bragg-Laser zur Justage zeitweise resonant auf einenÜbergang von 87Rb zu regeln.

9entspricht dem Umkehrpunkt des schwingenden Piezos

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34 KAPITEL 3 Experimenteller Aufbau und Durchführung

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5x 10−3

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Zeit [s]

Span

nung

[V]

Regelsignal

Abbildung 3.5: Aufnahme des Regelsignals für die Offset-Regelung. Der Nulldurchgangder linken Flanke dient als Regelpunkt.

3.2.3 Der Bragg-Aufbau

Um die Regelung des Bragg-Lichtes und das Experiment möglichst unabhängig von-einander zu halten, wurde erstere räumlich separat aufgebaut und per optischer Fasermit dem Experimentaufbau verbunden. Das hat zum Einen den Vorteil der mecha-nischen Entkopplung, sowie das Verringern von Streulicht am Ort des Experiments.Zum Anderen besitzt das aus der Faser austretende Licht eine sehr gute Strahlquali-tät unabhängig davon, wie das Profil vor der Faser aussah. Eventuelle „Defekte” imIntensitätsprofil, die beim Durchlaufen der verschiedenen optischen Komponentenzum Teil nur schwer zu vermeiden sind, können dadurch minimiert werden.

Die Aufteilung des Lichtes in Pump- und Probestrahl erfolgt direkt am Experi-ment und die verwendeten Komponenten sind auf einer separaten VA10-Platte mon-tiert zur unabhängigen Vorjustage und zur unproblematischen Integration in dieApparatur. Abbildung 3.6 zeigt den Aufbau.

Zur Aufteilung des Lichtes wird der Strahl nach der Kollimation durch zweipolarisationsabhängige Strahlteiler gelenkt, wobei die jeweilige Aufteilung durch λ

2 -Platten eingestellt werden kann. Die beiden erhaltenen Strahlen werden anschließenddurch akusto-optische Modulatoren (AOM) gelenkt, welche zweierlei Funktion erfül-len. Zum Einen dienen sie als Schalter für das Bragg-Licht, weil sie viel schnellerals mechanische Shutter sind und somit ein rechteckiges Intensitätsprofil für denBragg-Puls liefern können. Zum Anderen prägen sie den beiden Strahlen separateFrequenzen auf, womit die relative Verstimmung δ, wie sie in Kapitel 2.2.1 einge-führt wurde, erreicht wird.

10VA bezeichnet eine Stahllegierung, die sich durch Korrosionsbeständigkeit und fehlende Magne-tisierung auszeichnet, wobei besonders letzteres entscheidend ist für die präzise Kontrolle der amExperiment erzeugten Magnetfelder.

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3.2 Das Bragg-Lasersystem 35

AO

M

AO

M

Offset−Regelung

λ/2 λ/2Kollimator

TeleskopTeleskop

k δk+

Abbildung 3.6: Schema des Bragg-Aufbaus im Experiment. Nach den Teleskopen werdendie Strahlen nach oben auf die beweglichen Spiegel in Abbildung 3.2 gelenkt.

Entscheidend für die Wahl des beschriebenen Aufbaus ist, dass es sich bei derBragg-Beugung um einen Zwei-Photonen Prozess handelt. Mit der Aufteilung desLichtes von einer Laserdiode umgeht man Phasenverschiebungen, die bei der Überla-gerung zweier unabhängiger Strahlen auftreten können. Leistungs- und damit Inten-sitätsschwankungen erfolgen ebenfalls nicht unabhängig in beiden Strahlen. DamitPump- und Probestrahl synchron geschaltet werden können, erfolgt die Ansteue-rung der AOMs durch einen gemeinsamen Treiber. Ein Frequenzgenerator prägt denaufgeteilten Strahlen die Frequenzdifferenz auf, welche über die Experimentsteue-rung beliebig eingestellt werden kann. Weil die numerische Apertur der AOMs denStrahldurchmesser begrenzt, werden die Strahlen dahinter mit Teleskopen auf etwa3 mm aufgeweitet, um eine konstante Intensitätsverteilung am Ort des Kondensatszu erreichen11.

Um verschiedene Impulsüberträge zu ermöglichen im Hinblck auf die spektrosko-pischen Untersuchungen, werden die Spiegel, welche das Bragglicht auf das Konden-sat lenken, an einer mit Langlöchern versehenen VA-Platte befestigt, wodurch sichder Abstand dieser Spiegel und somit der Winkel θ zwischen Pump- und Probestrahlvariieren lässt, wie bereits in Abbildung 3.2 angedeutet. Damit ist in diesem Aufbauein Winkelbereich von etwa 5 bis 65 zugänglich, was einem Impulsübertrag vonetwa 0, 002 · 2 hk bis 0, 29 · 2 hk entspricht. Die massive VA-Platte soll verhindern,dass mechanische Schwingungen der Spiegel, sowohl relativ zueinander als auch be-züglich des Kondensats, Verschiebungen der Strahlen und somit Verbreiterungen inder Impulsverteilung der gebeugten Atome und damit eine Verschlechterung in der

11die Ausdehnung des Kondensats beträgt typischerweise weniger als 100µm

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36 KAPITEL 3 Experimenteller Aufbau und Durchführung

Auflösung hervorrufen.Die Justage von Pump- und Probestrahl gestaltet sich umkompliziert und erfolgt

indirekt über die MOT. Zunächst wird der Bragg-Laser resonant auf einen Übergangvon Rb geregelt. Dann erfolgt die Ausrichtung der Spiegel an der gewünschten Stellefür den zu vermessenden Winkel. Die Intensität der Strahlen reicht dabei aus um dieAtome aus der MOT herauszustoßen, wobei die optimale Position gefunden ist wenndie verbleibende Wolke am kleinsten bzw. ganz verschwunden ist, abhängig von dereingestrahlten Intensität.

3.3 Charakterisierung des Systems

Der Bragg-Laser gibt zwei wesentliche Faktoren vor, die die spektroskopischen Mes-sungen beeinflussen. Zum Einen ist das die Frequenz-Breite des Lasers, wodurchunter anderem die Auflösung und damit die Genauigkeit bei der Bestimmung derResonanzfrequenz limitiert wird. Zum Anderen tragen die Intensitätschwankungenin den Bragg-Strahlen zur Breite des Spektroskopiesignals bei.

3.3.1 Bestimmung der Frequenzbreite

Bei der Frequenzbreite muss man eine Unterscheidung vornehmen von der absolutenBreite des Masterlasers, der um ∆ vom atomaren Übergang verstimmt ist und derBreite des Signals, welche sich aus der Überlagerung von Pump- und Probestrahl mitder relativen Verstimmung δ zueinander ergibt und sich nach der Resonanzbedingungfür den Bragg-Prozess richtet. Da die Bragg-Strahlen aus demselben Strahl des Mas-terlasers hervorgehen, hat dessen Breite innerhalb der Regelbandbreite keinen nen-nenswerten Einfluss auf die Breite der Überlagerung von Pump- und Probestrahl, daSchwankungen innerhalb der Kohärenzlänge phasenstarr erfolgen. Lediglich in derEffizienz12 des Bragg-Prozesses und somit in der Signalstärke der Spektroskopie istein Einfluss zu erwarten.

Einen direkten Einfluss auf die Breite des Spektroskopiesignals hat die Unsi-cherheit der relativen Verstimmung δ, weshalb hierauf besonderes Augenmerk gelegtwerden soll in der Charakterisierung. Untersucht man den Aufbau hinsichtlich derStellen, an denen die beiden Bragg-Strahlen unabhängig voneinander beeinflusst wer-den, ergeben sich die folgenden Punkte, an denen ein Einfluss zu erwarten ist:

• Der Frequenzgenerator, welcher die Verstimmung δ vorgibt,

• Spiegel, welche die einzelnen Strahlen führen, und relativ zueinander mecha-nisch schwingen können.

12Wie in Kapitel 2.2.1 bereits erwähnt, ist die Übergangswahrscheinlichkeit für die stimulierteEmission und somit auch für den Zwei-Photonen-Prozess proportional zu 1

∆.

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3.3 Charakterisierung des Systems 37

Der Frequenzgenerator liefert die Referenz für den AOM-Treiber und die relativeVerstimmung, wie in Abbildung 3.6 gezeigt. Seine Auflösung begrenzt also die Breitedes Beat-Signals von Pump- und Probestrahl.

Mechanische Schwingungen der Spiegel können dazu führen, dass am Ort desKondensats Intensitätsschwankungen mit der Schwingungsfrequenz auftreten undsomit das Bragg-Signal verschlechtern. Bereits Schwingungen mit einer AmplitudeimWellenlängenbereich des Bragg-Lasers können dies bewirken, weshalb ein massiverAufbau notwendig ist.

Um den kohärenten Bragg-Prozess zu ermöglichen, muss das Licht über Streckenvon mehreren Metern auf dem optischen Tisch kohärent bleiben. Die Kohärenzlängedes Bragg-Lasers hat somit entscheidenden Einfluss auf das Experiment. In ersterLinie sollte für immer längere Strahlen der Interferenzkontrast, also die Signalstärkeder überlagerten Bragg-Strahlen, schwächer werden und somit zu mehr spontanenProzessen und weniger Bragg-Prozessen führen. Ob es im Rahmen des vorgestelltenAufbaus zu Problemen kommen kann, soll ebenfalls untersucht werden.

Die Frequenz-Breite des Bragg-Lasers wurde indirekt gemessen über das Beat-Signalder Offset-Regelung. Das Spektrum einer Laserdiode entspricht einer Lorentz-Ver-teilung. Die Faltung zweier Spektren (Überlagerung auf der Fotodiode) ist ebenfallseine Lorentz-Verteilung. Abbildung 3.7 zeigt das Überlagerungsspektrum, welcheslediglich als Screen-Shot vorhanden ist, da das verwendete Gerät nicht über einegeeignete Ausgabefunktion der Daten verfügt, weshalb auch keine weitergehendeAuswertung möglich war.

Durch das Ablesen am −3 dB-Punkt lässt sich ein Wert von weniger als 5 MHzabschätzen. Eine genaue Bestimmung ist nicht nötig, wenn man bedenkt, dass dieVerstimmung durch die Offset-Regelung bei 5 GHz liegt. Der Einfluss der Breite desBragg-Lasers auf die Übergangswahrscheinlichkeiten ist somit zu vernachlässigen.Bei einer Korrektur der in Kap. 3.2.1 berechneten Kohärenzlänge von 300 m, ergibtsich für die vorsichtige Schätzung von 5 MHz immer noch ein Wert von 60 m, wasweiterhin ausreichen sollte und von den folgenden Messungen bestätigt wurde.

Für die Bestimmung der Frequenz-Breite des Bragg-Pulses wurden die Bragg-Strahlen hinter den AOMs auf einer Fotodiode überlagert und erneut das Beat-Signal mit einem Spectrum-Analyzer aufgenommen, welcher über eine geeigneteAusgabefunktion der Daten verfügte. Nacheinander wurden dabei die diskutiertenAspekte näher betrachtet. Für die Messungen wurde stets eine Bragg-Frequenz vonδ = 10 kHz gewählt. Die Genauigkeit des Frequenzgenerators liegt bei einem 1 mHz,weshalb hier keine nennenswerten Verbreiterungen zu erwarten sind.

Zunächst wurden die etwa gleich langen Bragg-Strahlen überlagert. Das in Abbil-dung 3.8 oben gezeigte Spektrum entspricht der Mittelung aus zehn hintereinandererfolgten Aufnahmen. Vergleichend ist direkt darunter die Messung für unterschied-

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38 KAPITEL 3 Experimenteller Aufbau und Durchführung

Abbildung 3.7: Beat-Signal von Bragg- und Referenz-Laser. Die Signalstärke ist loga-rithmisch in dBm angegeben, das Maximum liegt bei 4, 8 GHz. Die Breite wird am−3 dB-Punkt abgelesen.

lich lange Bragg-Strahlen mit einer Längendifferenz von rund 1 m gezeigt, auch hierwurden zehn Aufnahmen gemittelt. Es sind jeweils die Gesamtausschnitte, sowie dervergrößerte Bereich um das zentrale 10 kHz-Signal gezeigt, um dessen Breite abschät-zen zu können. Ein Fit der Linienform an die Datenpunkte war nicht aussagekräftig,da in dem relevanten Bereich zu wenig Punkte vorhanden sind aufgrund der be-grenzten Auflösung des Spectrum-Analyzers. Daher lässt sich lediglich sagen, dassdie Breite des Signals, sowohl für die gleich langen als auch für die unterschiedlichlangen Bragg-Strahlen, kleiner als 2 Hz ist, was der Auflösung des Analyzers ent-spricht. Innerhalb der Auflösung ist also keine Verbreiterung des Signals aufgrundder Längenänderung der Strahlwege aufgetreten. Die Kohärenzlänge des Lasers vonvorsichtig geschätzten 60 m kann somit als ausreichend für den Versuch angenommenwerden.

Auffällig sind die nach der Mittelung der Einzelmessungen nicht unterdrücktenFrequenz-Anteile der Spektren, welche sich vom Rauschen abheben. Den größtenAnteil hat dabei der Peak bei 9, 985 kHz in der Messung zu den gleichlangen Bragg-

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3.3 Charakterisierung des Systems 39

0.95 1 1.05x 104

−100

−80

−60

−40

−20

0

Frequenz [Hz]

Leist

ung

[dBm

]

beat−Signal

0.998 0.999 1 1.001 1.002x 104

−100

−80

−60

−40

−20

0

Frequenz [Hz]

Leist

ung

[dBm

]

beat−Signal

0.95 1 1.05x 104

−80

−60

−40

−20

0

Frequenz [Hz]

Leist

ung

[dBm

]

beat−Signal

0.998 0.999 1 1.001 1.002x 104

−80

−60

−40

−20

0

Frequenz [Hz]

Leist

ung

[dBm

]

beat−Signal

Abbildung 3.8: oben: Beat-Signal der beiden gleichlangen Bragg-Strahlen. unten: Beat-Signal der unterschiedlich langen Bragg-Strahlen. Rechts ist jeweils der vergrößerte Aus-schnitt zur Abschätzung der Breite

Strahlen, welcher um 10 dB vom eigentlichen Signal unterdrückt ist. Bei nähererBetrachtung ist er auch in den Messungen zur Spiegelschwingung vorhanden. Dadiese Messungen direkt hintereinander erfolgten und vor der Messung zum Längen-unterschied ein Umbau der Spiegel erfolgte, ist davon auszugehen, dass es sich hierbeium eine lokale Störung durch genau diesen Aufbau handelte, die nach dem Umbauschon nicht mehr auftrat.

Ausgehend von der Differenz zum Signal von 15 Hz, ist eine mögliche Ursachedie Modulation des Signals durch Schwingungen des optischen Tisches, auf dem derAufbau ruht. Offenbar war der Abstand der Spiegel zufällig so gewählt, das dieAmplitude dieser Schwingung sehr gut übertragen werden konnte, was nach demUmbau dann nicht mehr der Fall war.

Die anderen, symmetrischen Peaks, welche aus dem Rauschen hervortreten undsehr stark unterdrückt sind (in diesem Fall bereits vernachlässigbar schwach), ent-standen sehr wahrscheinlich bei der Berechnung des Spektrums durch den Analy-zer. Solche Artefakte entstehen bei der numerischen Berechnung der Fourier-Trans-formierten eines Signals mit endlicher Dauer.

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40 KAPITEL 3 Experimenteller Aufbau und Durchführung

Um das Schwingungsverhalten näher zu untersuchen wurde bei weiteren Mes-sungen an einen Spiegel ein Lautsprecher gestellt, der an einen Funktionsgeneratorangeschlossen war. Es wurde eine Sinus-Schwingung mit einer Frequenz von 200 Hzeingestellt und das Spektrum des Beat-Signals für verschiedene Amplituden der Spie-gelschwingung aufgenommen. Abbildung 3.9 zeigt die Mittelung über jeweils fünfAufnahmen.

Zu sehen sind deutlich Frequenzkomponenten im Signal, die der Frequenz derSpiegelschwingung, sowie deren höheren Harmonischen entsprechen. Weiterhin istdie Intensität der Komponenten abhängig von der Amplitude der Schwingung relativzum zentralen Peak zu sehen. Sind die Grundschwingungen bei kleiner Amplitudenoch um 10 dB unterdrückt, so werden sie mit zunehmender Amplitude stärker,wobei das Leistungsmaximum vom zentralen Peak nach aussen wandert. Das liegtvor allem daran, das der Spiegel immer weiter von seiner Ruhelage ausgelenkt wirdund somit im zeitlichen Mittel immer weiter nach aussen hin abwandert.

Nicht zu beobachten ist eine Verbreiterung des zentralen Peaks durch die Spiegel-schwingung, unabhängig von der eingestellten Amplitude. Es ist davon auszugehen,dass selbst sehr starke Schwingungen, wie sie im Experiment sehr unwahrschein-lich sind, nicht zu einer Verbreiterung des Signals führen, die über die Auflösungdes Analyzers hinausgeht. Was allerdings relevant sein kann, sind die zusätzlichenFrequenzkomponenten, welche mit zunehmender Amplitude an Einfluss gewinnen.Durch die Überlagerung mehrerer Frequenzkomponenten käme es zu einer Frequenz-Verbreiterung des Bragg-Pulses. Aus diesem Grund wurde der Aufbau für die Spie-gelhalterung entsprechend massiv gewählt, um die Eigenschwingungen des Systemsvon vornherein zu minimieren.

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3.3 Charakterisierung des Systems 41

0.8 0.9 1 1.1 1.2x 104

−80

−60

−40

−20

0

Frequenz [Hz]

Leist

ung

[dBm

]

beat−Signal

0.998 0.999 1 1.001 1.002x 104

−80

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0

Frequenz [Hz]Le

istun

g [d

Bm]

beat−Signal

0.8 0.9 1 1.1 1.2x 104

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Frequenz [Hz]

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0.998 0.999 1 1.001 1.002x 104

−80

−60

−40

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0

Frequenz [Hz]

Leist

ung

[dBm

]

beat−Signal

Abbildung 3.9: Beat-Signal der Bragg-Strahlen, bei dem an einen Spiegel ein Lautsprechergestellt wurde, an den ein sinusförmiges Signal mit 200 Hz und einer Spannung von oben:1 V, mitte: 2, 5 V und unten: 5 V angelegt wurde.

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42 KAPITEL 3 Experimenteller Aufbau und Durchführung

3.3.2 Bestimmung der Intensitätsbreite

Da die Rabi-Frequenz und damit der Übertrag des Bragg-Prozesses von der Intensi-tät des eingestrahlten Lichtes abhängen, wurde im Rahmen dieser Arbeit das Leis-tungsverhalten des Bragg-Systems untersucht. Dazu wurden in mehreren MessreihenBragg-Pulse aufgenommen, wie sie später im Experiment realisiert wurden. Gemes-sen wurde die Intensität eines Bragg-Strahls, nachdem er den AOM passiert hatteund ein Teil des Lichtes per Strahlteiler abgezweigt und auf eine Fotodiode gegebenwurde. Es wurde eine Messserie durchlaufen, in der jeweils 25 Pulse zu einer festenIntensität aufgenommen wurden.

Eingestellt wurde die Intensität über die Beugungseffizienz des AOMs, indem dieStärke der auf den Kristall modulierten Schallwelle, an der das Licht gebeugt wird,variiert wurde. Je nach Intensität der Schallwelle wurde dann ein bestimmter Anteildes eingestrahlten Lichtes daran gebeugt und abgelenkt. Dieses Verhalten funktio-niert bis zu einem maximalen Wert von etwa 60 % der eingestrahlten Lichtintensität.So wurden die Messungen für verschiedene Intensitäten bis zur maximal einstellbarengemacht. Die Pulslänge betrug stets 1 ms, genau wie bei den eigentlichen Messungenzur Dispersion, welche im nächsten Teilkapitel erläutert werden. In Abbildung 3.10sind Pulse zu verschiedenen Intensitäten dargestellt.

Die Zeit ist in Sekunden angegeben und die Intensität in beliebigen Einheiten, wobeidie eingestellte Intensität auf den Maximalwert bezogen ist. Im linken Diagrammist jeweils ein einzelner Puls zur eingestellten Intensität dargestellt und im rechtenDiagramm die Mittelung über alle 25 Pulse derselben Intensität. Die unteren zweiBilder zeigen die Messungen bei erreichter Sättigung des AOM-Kristalls.

Auffällig sind vor Allem zwei Dinge. Zum Einen ist dies eine Modulation der In-tensität, die für alle Messungen denselben charakteristischen Verlauf hat, mit einerFrequenz von etwa 2, 5 kHz und einer variablen absoluten Amplitude, deren Ver-lauf bei mittleren Beugungseffizienzen ihr Maximum erreicht, was auf ein resonantesVerhalten hindeutet. Am kleinsten ist sie bei maximaler Intensität. Des Weiterenist diese Modulation nicht phasenstabil, was daran zu sehen ist, dass sie bei derMittelung über mehrere Messungen fast vollständig verschwindet.

Bezogen auf die eingestrahlte Intensität, verursacht die Modulation ein Inten-sitätsrauschen, das bei der kleinsten eingestellten Intensität von 0, 15 etwa 40 %beträgt, bei 0, 5 immer noch 30 % und bei maximaler Intensität etwa 7 %. Da dieModulation auch bei maximaler Beugungseffizienz das Intensitätsprofil sichtbar über-lagert, ist davon auszugehen, dass das Intensitätsrauschen des Bragg-Lasers im Ver-gleich dazu vernachlässigbar ist.

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3.3 Charakterisierung des Systems 43

0 0.5 1 1.5 2x 10−3

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Zeit [s]

Inte

nsita

et [a

rb.]

rel. Intensitaet 0,15

0 0.5 1 1.5 2x 10−3

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Zeit [s]

Inte

nsita

et [a

rb.]

rel. Intensitaet 0,15

0 0.5 1 1.5 2x 10−3

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Zeit [s]

Inte

nsita

et [a

rb.]

rel. Intensitaet 0,25

0 0.5 1 1.5 2x 10−3

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Zeit [s]In

tens

itaet

[arb

.]

rel. Intensitaet 0,25

0 0.5 1 1.5 2x 10−3

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Zeit [s]

Inte

nsita

et [a

rb.]

rel. Intensitaet 0,5

0 0.5 1 1.5 2x 10−3

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Zeit [s]

Inte

nsita

et [a

rb.]

rel. Intensitaet 0,5

0 0.5 1 1.5 2x 10−3

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Zeit [s]

Inte

nsita

et [a

rb.]

rel. Intensitaet 0,8

0 0.5 1 1.5 2x 10−3

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Zeit [s]

Inte

nsita

et [a

rb.]

rel. Intensitaet 0,8

0 0.5 1 1.5 2x 10−3

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Zeit [s]

Inte

nsita

et [a

rb.]

rel. Intensitaet 1,0

0 0.5 1 1.5 2x 10−3

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Zeit [s]

Inte

nsita

et [a

rb.]

rel. Intensitaet 1,0

Abbildung 3.10: Fotodioden-Signal eines Bragg-Strahls nach dem Passieren des AOMs.Gemessen wurde ein 1 ms langer Bragg-Puls, wie er schließlich in den Messungen zurDispersion benutzt wurde. links: Aufnahme eines einzelnen Pulses. rechts: Mittelung über25 Pulse mit gleicher Intensität.

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44 KAPITEL 3 Experimenteller Aufbau und Durchführung

Hervorgerufen wird diese Modulation sehr wahrscheinlich in der Ansteuerung derAOMs, wobei davon auszugehen ist, dass sie beim Mischen der verschiedenen Fre-quenzen zur Aufprägung der relativen Verstimmung δ auf die Bragg-Strahlen ent-steht. Um dies zu überprüfen, wurde eine Messreihe durchgeführt, in der Pulse mitverschieden eingestellten Verstimmungen aufgenommen wurden. In Abbildung 3.11sind die Ergebnisse dargestellt.

0 0.5 1 1.5 2x 10−3

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Zeit [s]

Inte

nsita

et [a

rb.]

rel. Verstimmung 1000Hz

0 0.5 1 1.5 2x 10−3

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Zeit [s]

Inte

nsita

et [a

rb.]

rel. Verstimmung 1500Hz

0 0.5 1 1.5 2x 10−3

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Zeit [s]

Inte

nsita

et [a

rb.]

rel. Verstimmung 2000Hz

0 0.5 1 1.5 2x 10−3

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Zeit [s]

Inte

nsita

et [a

rb.]

rel. Verstimmung 3000Hz

Abbildung 3.11: Messung eines Bragg-Pulses mit der relativen Intensität 0, 5 für verschie-dene relative Verstimmungen δ.

Zu sehen sind Messungen zu vier verschiedenen Verstimmungen, wobei die relativeIntensität auf 0, 5 eingestellt wurde. Die jeweilige Modulationsfrequenz ist nicht ein-deutig zu bestimmen, da nicht ganz klar ist, welchen Verlauf eine Schwingung hat.Im Bild mit der Verstimmung 1 kHz kann man dies gut sehen. Gehörte der Bereichzwischen 0, 5 und 1, 0 ms zu einer Periode, so wäre die Frequenz genau doppelt sohoch wie die eingestellte Verstimmung. Der doppelt so lange Bereich ergäbe die ein-gestellte Frequenz. Eindeutig ist aber, das die Änderung der gemessenen Frequenzgenau proportional zur Verstimmung ist. Deshalb kann man davon ausgehen, dassdiese Modulation von der Elektronik stammt, welche die Verstimmung auf die beidenAOM-Signale aufprägt.

Zum Einfluss auf den Bragg-Übertrag ist zu sagen, dass diese Modulation in ersterLinie zu statistischen Schwankungen führt. Die durch (Gl. 2.22) gegebene Signalformfür die in Kapitel 3.4 erläuterten Resonanzmessungen wird nicht beeinflusst, da im

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3.4 Ablauf der Messungen 45

Mittel immer die gleiche Intensität eingestrahlt wird, lediglich das Signal zu RauschVerhältnis wird schlechter.

Das zweite charakteristische Merkmal des Signals ist die starke Überhöhung amAnfang des Pulses, welche nicht bei der Mittelung wegfällt. Dieser Peak ist für stei-gende Intensitäten immer gleich stark ausgeprägt, bis er schließlich nicht weiter mitdem Signal wandert, sobald die Sättigung des Kristalls einsetzt. Bei maximal einge-stellter Intensität verschwindet er schließlich.

Seine Ursache hat der Peak wahrscheinlich ebenfalls in der elektronischen An-steuerung der AOMs, hervorgerufen durch das Entladen eines Kondensators beimEinschaltvorgang. Es ist schwer zu sagen, welchen Einfluss der Peak genau auf denBragg-Übertrag hat. Da er nur sehr kurz ist, verglichen mit der Pulsdauer, wird derEinfluss wahrscheinlich gering sein.

Abschließend ist zu sagen, dass die in diesem Kapitel erläuterten Intensitätsmes-sungen des Bragg-Pulses erst nach den ersten spektroskopischen Messungen zur Di-spersion, welche in Kapitel 4 ausgewertet wurden, erfolgten. Das bedeutet, dass dieIntensitätsanpassungen zur Einstellung des maximalen Bragg-Übertrages über dieAOM-Steuerung erfolgte und die Messungen bei relativen Intensitäten um die 0, 25durchgeführt wurden, das Intensitätsrauschen betrug dabei stets etwa 30 %. Zur Ver-besserung des Intensitätsrauschens wurde die Intensität bei den späteren Messungenüber die Kombination eines polarisierenden Strahlteilerwürfels und eines Polarisa-tors eingestellt, wobei die AOM-Ansteuerung stets auf maximale Beugungseffizienzeingestellt blieb. Die letzten Ergebnisse zur Dispersionrelation des Kondensats in derMagnetfalle entstanden aus Messungen, welche mit der neuen Methode zur Intensi-tätseinstellung und somit einem Intensitätsrauschen von etwa 7 % erfolgten.

3.4 Ablauf der Messungen

Im Folgenden soll nun der Ablauf der Messungen beschrieben werden, sowie die Vor-überlegungen zum Rahmen der Messparameter. Ziel der Messungen war es, die Di-spersionsrelation von Bose-Einstein Kondensaten in optischen Gittern zu untersuchenund den Verlauf des ersten Bandes innerhalb der ersten Brillouin-Zone aufzunehmen.Des Weiteren wurde die Dispersionsrelation für einen schwachen harmonischen Ein-schluss, wie er in der Magnetfalle näherungsweise vorhanden ist, aufgenommen, umanhand von (Gl. 2.5) die Wechselwirkung abschätzen zu können. Dass dies eine guteAbschätzung ist, beruht auf der Annahme, dass die Abweichung zum freien Konden-sat vernachlässigbar klein ist, und die Zustände in der Falle dicht genug beieinanderliegen, so dass sie ein Kontinuum bilden.

3.4.1 Abschätzung der Parameter

Im Hinblick auf die Verständlichkeit des Versuchsablaufes soll noch einmal kurz aufdie Art und Weise eingegangen werden, wie Messungen an Bose-Einstein Kondensate

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46 KAPITEL 3 Experimenteller Aufbau und Durchführung

in der Regel vorgenommen werden. Die Messung erfolgt über die Aufnahme von Ab-sorptionsbildern, wie bereits in Kapitel 3.1 erklärt. Dementsprechend ist sie destruk-tiv und liefert einmalig Informationen über die Dichteverteilung eines präpariertenEnsembles. Aufgrund der guten Reproduzierbarkeit desselben Ausgangszustandes,lässt sich eine Messreihe zur Untersuchung funktionaler Zusammenhänge durch dieaufeinanderfolgende Aufnahme einzelner Absorptionsbilder mit variierendem Para-meter realisieren.

Da der Impulsübertrag beim Bragg-Prozess von dem Winkel zwischen Pump- undProbestrahl abhängt, soll zunächst der Winkelbereich abgeschätzt werden, in demdie erste Brillouin-Zone des Gitters liegt. Die Gitterkonstante a entspricht der halbenWellenlänge des Gitterlasers, welche λG = 1030 nm ist. Daraus ergibt sich ein Im-pulsübertrag bis an die Zonengrenze von ∆pZ(a) = hkZ , mit kZ = 2π

λG. Ausgehend

von (Gl. 2.19) lässt sich so mit der Wellenlänge des Bragglasers λB der maximaleinzustellende Winkel berechnen:

sin(θ

2

)=√

12λBλG

, es ist θZ = 63 . (3.1)

Der minimal einstellbare Winkel aufgrund der gegenseitigen Blockierung der Spie-gel zu kleinen Winkeln hin ist θmin ≈ 5 . Der Einstellbereich der Spiegel für dieBraggstrahlen wurde dementsprechend berücksichtigt bei der Fertigung des Aufbaus.

Aufgrund der Detektion ergeben sich weitere Einschränkungen für den zugäng-lichen Winkelbereich. Für eine konstante Flugzeit nach Abschalten der Magnetfallewird die räumliche Trennung der gebeugten und der ungebeugten Kondensatwolkeimmer geringer für kleiner werdende Impulsüberträge, bis sich die Wolken schließlichso weit überlappen, dass eine Trennung nicht mehr möglich ist und somit der relativeAnteil der gebeugten Atome nicht mehr bestimmt werden kann. Verringert man denImpulsübertrag noch weiter, dominieren nach (Gl. 2.5) die kollektiven Anregungen.

Diese können in der Expansionsphase nach Abschalten der Magnetfalle ihrenImpuls und ihre Energie an einzelne Atome abgeben, welche sich dann aus dem Kon-densat herausbewegen. Sind diese Atome langsamer als die expandierende Konden-satwolke, können erstere mit letzterer interferieren und es ist eine Dichtemodulationentsprechend des Impulses der angeregten Atome sichtbar13. Über den maximalenInterferenzkontrast lässt sich die Resonanz des Bragg-Prozesses bestimmen.

Der kritische Impuls für den Austritt des so angeregten Atoms hängt direktvom Verhältnis der Fallenfrequenzen der Magnetfalle ab, welches für die evaporativeKühlung zur Erzeugung des Kondensats typischerweise stark ungleich eins ist. Soist in radialer Richtung, in der auch der Bragg-Übertrag erfolgt, eine hohe Frequenz

13siehe [18], [19]

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3.4 Ablauf der Messungen 47

aufgrund des starken Einschlusses vorhanden und somit eine hohe Dichte, wodurchder räumliche Überlapp der Wellenfunktionen der einzelnen Atome groß genug ist,so dass sich Interferenzen der Materiewellen ausbilden können.

Allerdings nimmt mit zunehmender Dichte die freie Weglänge der Atome ab unddie Stossrate steigt derart, dass die angeregten Atome mehrmals mit den ungebeug-ten Atomen stossen, bevor sie das Kondensat verlassen. Für grosse Impulsüberträgebedeutet dies, dass die herausgebeugten Atome ihre Kohärenz verlieren und sich alsthermische Wolke weiterbewegen, was eine Verbreiterung der Impulsverteilung zurFolge hat und somit direkten Einfluss auf die Genauigkeit der spektroskopischenMessungen.

Für die spektroskopische Untersuchung des konkreten Ausgangszustandes einespräparierten Ensembles steht somit ein eingeschränkter Winkelbereich zur Verfü-gung, der sich aus der Dichte des Ensembles ergibt. Die Interferenzmethode für klei-ne Impulse eignet sich besonders für hohe Dichten, während bei großen Impulsengeringe Dichten notwendig sind zur verlässlichen Auswertung der getrennten Wolkendes gebeugten und des ungebeugten Kondensanteils.

In diesem Experiment erfolgte die Vermessung der Dispersionsrelation für großeImpulsüberträge bis hin zur Brillouin-Zonen-Grenze des optischen Gitters. Die Mes-sungen erfolgten ausgehend von grossen Winkeln bis hin zum minimalen Winkel θmin,bei dem eine verlässliche Trennung der Atom-Wolken noch möglich wahr, welcherschliesslich bei etwa θmin = 20 erreicht wurde. Die Wahl fiel auf diesen Winkelbe-reich, um den Einfluss des Gitters auf die Wechselwirkung der Atome und besondersdas Verhalten der Atome an der Brillouin-Zonen-Grenze zu untersuchen. Da die Tun-nelwahrscheinlichkeit im Gitter und somit die Ausprägung kollektiver Anregungenbei den eingestellten Gittertiefen ohnehin sehr klein sind, wurde der Teil des Anre-gungsspektrums, in dem die kollektiven Anregungen dominieren (nämlich für kleineBragg-Winkel), nicht in die Messungen mit einbezogen.

Der im Experiment vermessene Winkelbereich war also 20 ≤ θ ≤ 63 , was ei-nem Impulsübertrag von 0, 03 · 2 hk ≤ ∆pBragg ≤ 0, 29 · 2 hk entspricht.

Im Vorfeld der Messungen, wurde eine Schwingungsmessung des Kondensats in derMagnetfalle durchgeführt, zum Einen zur Optimierung der Justage, um die Schwin-gungen zu minimieren und deren Einfluss auf die Messungen, zum Anderen aberauch, um die Fallenfrequenzen abschätzen zu können und damit die Stärke des har-monischen Einschlusses zur Kontrolle der Dichte des Kondensats.

Für diese Messung wurde die Haltezeit des Kondensats in der Falle stetig erhöht,um die Position zu bestimmen und damit die Schwingungsparameter. Abbildung 3.12zeigt auszugsweise eine solche Messreihe. Die Messung erfolgte in einem Bereich von0 ms bis 200 ms Haltezeit und wurde mehrfach durchlaufen und die Einzelmessun-gen gemittelt. Die Auswertung erfolgte in der Weise, dass für jedes Bild Zeilen-

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48 KAPITEL 3 Experimenteller Aufbau und Durchführung

(a) (b) (c) (d) (e)

Abbildung 3.12: Bestimmung der Fallenfrequenzen der Magnetfalle. Zu sehen ist diePosition des angestoßenen Kondensats in der Magnetfalle nach einer Haltezeit von jeweilsa) 20 ms, b) 40 ms, c) 60 ms, d) 80 ms und e) 100 ms.

und Spaltensummen der Intensität gebildet wurden zur Bestimmung der Dichtever-teilung. Deren Schwerpunkt wurde berechnet und gegen die Pixelposition in demfesten Bildausschnitt, welcher für die Auswertung ausgewählt wurde, aufgetragen.Abbildung 3.13 zeigt die Ergebnisse für beide Richtungen.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2120

125

130

135

140

145

Haltezeit [s]

Pixe

l Pos

.

gewichtetes Maximum horiz.gewichtetes Maximum vert.Fit an gew. Max Offset: 133.50 Ampl.: 3.21 Freq.: 11.45Fit an gew. Max Offset: 133.98 Ampl.: −1.54 Freq.: 16.46

Abbildung 3.13: Ergebnis der Fallenfrequenz-Messung. Die roten Datenpunkte entspre-chen der Position der Wolke in der axialen Richtung, die blauen der Position in derradialen Richtung.

Die Berechnung der Fallenfrequenzen ergab ωa = 11, 45 Hz und ωr = 16, 46 Hz. DieBestimmung der Auslenkung ist nicht so ohne weiteres möglich, wenn man bedenkt,dass das Kondensat zunächst mit einer kleinen Amplitude in der Falle oszilliert im

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3.4 Ablauf der Messungen 49

Vergleich zur Ausdehnung nach der Fallzeit. Die Position im Bild hängt von derPosition des Kondensats in der Falle während des Abschaltens ab, wobei davon aus-zugehen ist, dass das Kondensat aus den Wendepunkten der Schwingung geradeherunterfällt, während es aus dem Fallenzentrum am stärksten nach aussen hin ab-gelenkt wird. Mit einer Vergrößerung der Detektionsoptik von 2, 46 und einer Pixel-größe von 6, 46µm ergibt sich eine maximale Auslenkung im Bild, von sa = 8, 43µmund sr = 4, 04µm. Man kann davon ausgehen, dass diese Auslenkungen für die kom-menden Messungen unerheblich sind. Zum Einen was deren Amplitude angeht undzum Anderen die Dämpfung dieser Schwingung, die durch das langsame Hochfahrendes Gitterpotentials entsteht.

3.4.2 Bragg-Spektroskopie an Bose-Einstein Kondensaten in derMagnetfalle

Die nachfolgend beschriebenen Messungen wurden in Gemeinschaft der Mitarbeiterdes Experimentes durchgeführt.

Der Ablauf der Messungen folgt dem sich wiederholenden Zyklus des Experi-ments, während dem die Atome gefangen, gekühlt, manipuliert und per Absorpti-onsbild detektiert werden, wodurch das Kondensat zerstört wird und der Zyklus vonneuem anläuft. Nach etwa 33 s entsteht so stetig ein neues Bild, in dem je nachEinstellung beliebige Parameter verändert werden können.

Zur Vermessung der Dispersionsrelation wurden verschiedene Winkel der Bragg-Strahlen eingestellt und somit der Impulsübertrag variiert von 0, 06 hk bis 0, 58 hk14.Für jeden Winkel wurden jeweils Resonanzmessungen durchgeführt, Messreihen, indenen die relative Verstimmung δ der Bragg-Strahlen bildweise verändert und überdie Resonanz „gefahren” wurde. Die Resonanzmessungen erfolgten in 20 Hz-Schrittenund die Länge des Bragg-Pulses betrug 1 ms. Entsprechend wurde die Intensitätangepasst, um einen Pi-Puls einzustellen. Abbildung 3.14 zeigt ausschnittsweise eineResonanzmessung zum Winkel θ = 50 . Der Bragg-Puls wurde nach einer Wartezeitin der Magnetfalle von 1 ms eingestrahlt.

(a) (b) (c) (d) (e)

Abbildung 3.14: Resonanzmessung am Kondensat in der Magnetfalle für θ = 50 . DieVerstimmung δ ist jeweils a) 2380 Hz, b) 2800 Hz, c) 3080 Hz, d) 3500 Hz und e) 4000 Hz

14Siehe auch Abbildung 2.5. Die Skalierung wurde dem Experiment angepasst. Das Maximumder Impulsachse entspricht der Zonengrenze des optischen Gitters.

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50 KAPITEL 3 Experimenteller Aufbau und Durchführung

3.4.3 Bragg-Spektroskopie an Bose-Einstein Kondensaten im opti-schen Gitter

Die Vermessung der Dispersionsrelation des Kondensats im Gitter erfolgte ganz ähn-lich zu der in der Magnetfalle. In der Tat wurden die Messungen für gleiche Winkeldirekt hintereinander gemacht. So wurden für jeden Winkel Messreihen durchgeführtfür verschiedene Gittertiefen, angefangen mit der Gittertiefe null, der Magnetfalle al-so. Die Magnetfalle blieb auch in der Gitterphase eingeschaltet um das Kondensatan derselben Stelle zu halten. Im ersten Teil der Gitterphase wurden die Atomein 150ms adiabatisch ins Gitter geladen. Nach einer Wartezeit von 1ms wurde derBragg-Puls eingestrahlt, wieder 1 ms lang, und zusammen mit dem Gitter abgeschal-tet. Die Schrittweite betrug wieder 20 Hz. Abbildung 3.15 zeigt einen Ausschnitteiner Resonanzmessung für θ = 50 .

(a) (b) (c) (d) (e)

Abbildung 3.15: Resonanzmessung am Kondensat im Gitter für θ = 50 . Die Gittertiefebeträgt 7 Erec. Die Verstimmung δ ist jeweils a) 100 Hz, b) 500 Hz, c) 900 Hz, d) 1300 Hzund e) 1660 Hz

Die Rahmen dieser Arbeit entstandenen Messungen deckten den Parameterraumab für die Braggwinkel θ = 25 , 35 , 45 und 60 , sowie die Gittertiefen 0 (Magnet-falle), 3, 5, 7, 9, 11, 13 und 15 in Einheiten von Erec bezogen auf den Quasi-Impulsdes Gitters.

Wie bereits erwähnt, hat die Dichte Einfluss auf die Stoßrate der Atome unddamit auf die Rethermalisierung des Ensembles, weshalb für die Messungen einegeringe Dichte eingestellt wurde über die Fallenparameter und die Teilchenzahl. Zu-sätzlich dazu erfolgten die Messungen im 2D-Gitter, welches in derselben Ebene wiedie Bragg-Strahlen liegt (siehe Abbildung 3.6), um den stärkeren Einschluss unddamit die erhöhte Dichte durch das Gitter zu minimieren.

Um die Dichte kontrolliert zu erhöhen und damit den Einfluss der Wechselwirkungder Atome untersuchen zu können, wurden zusätzliche Messreihen durchgeführt, indenen bei konstanter 2D-Gittertiefe von 5 Erec die dritte Achse hinzugenommen undderen Gittertiefe variiert wurde zwischen Werten von 0 bis 25 Erec. Die Messungenerfolgten für die Bragg-Winkel 40 und 45 . Die Pulsdauer betrug 1 ms.

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Kapitel 4

Ergebnisse und Interpretation

Die Ergebnisse der Messungen, die im Rahmen dieser Arbeit durchgeführt wurden,sollen nun ausgewertet und präsentiert werden, um sie mit den in Kapitel 2 ge-machten Annahmen in Beziehung setzen zu können. Zunächst soll dabei die Energie-Impuls-Relation des Kondensats in der Magnetfalle bestimmt werden und mit dementsprechend der Bogoliubov-Näherung berechneten Verlauf verglichen werden.

Des Weiteren soll die energetische Bandstruktur des Kondensats im optischenGitter aufgezeigt werden. Der in Abbildung 2.2 gezeigte Verlauf für die Energie desuntersten Bandes in der ersten Brillouin-Zone soll mit den Messergebnissen verglichenwerden, um den Einfluss der bosonischen Wechselwirkung auf das Anregungsspek-trum des Kondensats zu untersuchen.

Da die Messungen in einem zweidimensionalen Gitter erfolgten unter der Annah-me der Entkopplung der Gitterachsen, soll noch der Einfluss der dritten Gitterachsediskutiert werden.

Die im folgenden beschriebenen Auswertungen, sowie deren Ergebnisse entstan-den in Gemeinschaft der Mitarbeiter des Experimentes.

4.1 Bestimmung der Bragg-Resonanz

Ganz analog zur Messung der Fallenfrequenzen wurden auch bei der Auswertung derBilder aus den spektroskopischen Messungen wieder die Zeilen- und Spaltensummenund daraus die Teilchenzahlen bestimmt. Zusätzlich mussten hier noch die Bereichefür die Bragg-Ordnungen der gebeugten und ungebeugten Atome angegeben werden,innerhalb derer die jeweilige Teilchenzahl berechnet werden sollte. In Abbildung 4.1ist dieses Vorgehen illustriert.

Ausgewählt für die Auswertung wurden die Bereiche der nullten, der ersten undder minus-ersten Beugungsordnung. Aus den Teilchenzahlen in den Bereichen wur-den dann die relativen Anteile der ersten und minus-ersten Ordnung im Verhältniszur nullten Ordnung bestimmt, um die Resonanzbedingung des Bragg-Prozesses zuuntersuchen. Auffällig ist die wesentlich kompliziertere Struktur nach der kombi-nierten Beugung der Atome sowohl am Gitter als auch an den Bragg-Strahlen im

51

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52 KAPITEL 4 Ergebnisse und Interpretation

−1. Ordnung

1. Ordnung

0. Ordnung

(a)

1. Ordnung

0. Ordnung

−1. Ordnung

(b)

Abbildung 4.1: Bilder aus den in Kapitel 3.4.2 gezeigten Messreihen zur Bragg-Beugungvon Atomen in der (a) Magnetfalle bzw. im (b) Gitter, nachdem die für die Auswertungbenötigten Bereiche ausgewählt wurden. Markiert ist jeweils der Bragg-Übertrag in dienullte (rot), erste (blau) und minus-erste (grün) Ordnung

Vergleich zur Beugung nur an den Bragg-Strahlen in der Magnetfalle. Die nullteBeugungsordnung und die durch das Gitter hervorgerufenen Resonanz-Peaks sindnoch eindeutig zuzuordnen, da diese ohne Einstrahlen des Bragg-Pulses an derselbenStelle sitzen – aufgrund der festen Position des Gitters – wie nach dem Einstrah-len des Bragg-Pulses. Genauso eindeutig ist der Bragg-Peak erster und minus-ersterOrdnung eindeutig zuzuordnen. Nicht eindeutig ist aber, aus welcher Kombinationdieser Beugungs-Prozesse der jeweilige Übertrag in die weiteren Beugungsordnungenentstand, ob der Zwei-Photonen-Prozess zuerst stattfand oder die Beugung am Git-ter. Bezüglich der Auswertung dieser weiteren Beugungsordnungen sei auf Kapitel5 verwiesen. Im Rahmen dieser Arbeit wurde der Schwerpunkt der Untersuchungenauf die Vermessung der Dispersionskurven der Atome im Gitter gelegt, wie sie inKapitel 2 vorgestellt wurden.

Probleme, die bei der Detektion der Bilder auftreten, sind Intensitätsmodula-tionen , „fringes”, wie sie durch Beugungseffekte des Detektionslichtes aufgrund vonStreuung an den optischen Elementen auftreten können. Diese Beugungsringe, diedie Dichteverteilung und damit die Teilchenzahlbestimmung verfälschen sind ansatz-weise in den gezeigten Bildern zu erkennen. Sie können Abweichungen von bis zuzehn Prozent und mehr ausmachen. Um das zu umgehen, wurde in die Detektions-optik eine Blende eingebaut, welche nur den Bildausschnitt unmittelbar um den Ortder Atome belichtet, was zu einer deutlichen Verringerung der Intensitätsmodulationführt und diesen Fehler vernachlässigbar klein im Vergleich zu anderen macht.

Ein weiterer Aspekt bei der Abbildung der Atomwolke ist dessen optische Dichte,das Absorptionsvermögen eines atomaren Gases abhängig von seiner Teilchendichteund der zu durchdringenden Dicke. Oberhalb einer kritischen Teilchendichte sättigtdie Absorption des Gases und lässt somit keine zuverlässigen Rückschlüsse mehr aufdie Teilchenzahl zu. In der Regel blieb die optische Dichte unterhalb des kritischen

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4.1 Bestimmung der Bragg-Resonanz 53

Wertes, da in den Messungen mit geringen Teilchenzahlen von um die 5 · 104 ope-riert wurde. Sie ist daher nicht vollständig auszuschließen als Fehlerquelle bei derBestimmung der Teilchenzahlen, hat aber einen geringeren Einfluss als die Teilchen-zahlschwankungen, die bei der Präparation der Kondensate auftreten.

Nach der Auswertung der Einzelbilder hinsichtlich der Teilchenzahlen, wurdendie relativen Anteile in den Beugungsordnungen gegen die jeweils eingestellte relativeVerstimmung δ der Bragg-Strahlen aufgetragen. Aus dem Verlauf der Datenpunktewurde mittels (Gl. 2.22) die Resonanzfrequenz für jede Messreihe bestimmt. Abbil-dung 4.2 zeigt eine solche Resonanzkurve für eine Messreihe in der Magnetfalle. Zusehen ist der Übertrag in die erste Beugungsordnung (blau) und in die minus-erste(grün). Die roten Daten sind in dieser Auswertung die Differenz aus dem maximalenÜbertrag (eins) und der Summe der Überträge in die beiden Beugungsordnungen. Siesind keine neuen Informationen und sollen lediglich der Veranschaulichung dienen.

2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Bragg Freq. [Hz]

rel.

Ante

il Bra

ggor

dnun

g

Bragg 50deg, 20 ms TOF, 2008_09_02, 0004−0834 D1 0.0, D2 0.0, LA 0.0

Bragg−Int.: 1.00 , Bragg−Time.: 1.00 ms

Messwerte 0.OrdnungMesswerte 1.OrdnungMesswerte −1.OrdnungFit 0.Ordnung Freq. = 3179.36 Hz Offset = 0.89 Ampl. = 0.65 Rabif. = 513.27 HzFit 1.Ordnung Freq. = 3181.67 Hz Offset = 0.09 Ampl. = 0.65 Rabif. = 505.33 HzFit −1.Ordnung Freq. = 2064.60 Hz Offset = 0.00 Ampl. = 0.02 Rabif. = 419.87 Hz

Abbildung 4.2: Resonanzmessung zur Bestimmung der Bragg-Resonanz in der Magnet-falle. blau: relativer Anteil der gebeugten Atome in der ersten Beugungsordnung. grün:relativer Anteil in der minus ersten Beugungsordnung. rot: berechnet sich aus 1 minusder Summe von erster und minus-erster Beugungsordnung.

In Abbildung 4.3 ist die Resonanzkurve einer Messung im 2D-Gitter gezeigt. DieGittertiefe betrug 7 Erec bezogen auf den Quasi-Impuls des Gitters. Die Signalformentspricht dem in Gleichung 2.22 angegebenen Verlauf, die Pulsform lässt sich somitin sehr guter Näherung als Rechteck annehmen. Des Weiteren gibt die Breite deszentralen Maximums die Auflösung des Systems wieder, welche zum Einen von derPulsdauer abhängt (siehe Abbildung 2.6) und zum Anderen von der Impulsverteilung

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54 KAPITEL 4 Ergebnisse und Interpretation

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Bragg Freq. [Hz]

rel.

Ante

il Bra

ggor

dnun

gBragg 50deg, 20 ms TOF, 2008_09_02, 1309−1392

D1 7.0, D2 7.0, LA 0.0 Bragg−Int.: 1.00 , Bragg−Time.: 1.00 ms

Messwerte 0.OrdnungMesswerte 1.OrdnungMesswerte −1.OrdnungFit 0.Ordnung Freq. = 896.69 Hz Offset = 0.90 Ampl. = 0.55 Rabif. = 485.07 HzFit 1.Ordnung Freq. = 889.62 Hz Offset = 0.03 Ampl. = 0.82 Rabif. = 263.33 HzFit −1.Ordnung Freq. = 918.69 Hz Offset = 0.00 Ampl. = 0.27 Rabif. = 692.96 Hz

Abbildung 4.3: Resonanzmessung zur Bestimmung der Bragg-Resonanz im Gitter. blau:relativer Anteil der gebeugten Atome in der ersten Beugungsordnung. grün: relativerAnteil in der minus ersten Beugungsordnung. rot: berechnet sich aus 1 minus der Summevon erster und minus-erster Beugungsordnung.

und damit der Frequenzbreite des untersuchten atomaren Ensembles1. Die Frequenz-breite der überlagerten Bragg-Strahlen wurde auf weniger als 2 Hz bestimmt und istsomit zu vernachlässigen gegenüber der durch die Pulslänge bedingten Verbreiterung.Nach (Gl. 2.23) ergibt sich für die Frequenz-Breite des Bragg-Pulses ∆δ = 900 Hz beieiner Einstrahldauer von 1 ms. Vergleicht man dies mit den Messungen in den Abbil-dungen 4.2 und 4.3, so kann man davon ausgehen, dass es zu keiner nennenswertenVerbreiterung aufgrund von anderweitigen Störungen gekommen ist.

Die Justage des Bragg-Winkels hängt vor allem vom linearen Versatz des Spie-gels ab, der einer bestimmten Winkeländerung entspricht. Der Versatz ergibt sich ausdem Abstand der Spiegel zur Glaszelle und dem einzustellenden Winkel. Der dich-tere der beiden Spiegel, der horizontale Abstand beträgt 260 mm, muss um 4, 5 mmverschoben werden, um um ein Grad von der Horizontalen verstellt zu werden. Zugrößeren Winkeln wächst auch der Versatz und damit die Einstellgenauigkeit.

Da die Bragg-Strahlen genau parallel zum Langloch in der VA-Platte verlaufenund die Löcher für die Feststellschrauben der Spiegel genau unterhalb der Spiegelo-berfläche gebohrt wurden, treffen die Strahlen immer an derselben Stelle unterhalbder Feststellschraube auf den Spiegel. Daher lässt sich der Versatz auf 2 mm genaueinstellen, was für den Bragg-Winkel zu einem Fehler bei der Justage von weniger als

1Ergibt sich aus der Dopplerverbreiterung der Bragg-Resonanz, siehe (Gl. 2.18), welche für einKondensat mit einer Temperatur von etwa 10 nK, wie es für diese Messungen abgeschätzt wurde,zu vernachlässigen ist.

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4.1 Bestimmung der Bragg-Resonanz 55

±0, 5 führt. Dies ergibt eine Ungenauigkeit des Impulsübertrages von 2 ·10−6 ·2 hk.Der Einfluss der Ungenauigkeit bei der Spiegeljustage ist daher zu vernachlässigen.

Die einzig relevanten Faktoren, die zur Verbreiterung beitragen, sind die Intensi-tätsschwankungen des Bragg-Lasersystems, welche in Kapitel 3.3 bestimmt wurdenund die Teilchenzahlschwankungen, welche bei der Präparation der Kondensate auf-treten. Diese Schwankungen treten von Bild zu Bild auf und betragen bis zu 50 % beimittleren Teilchenzahlen von 5 · 104. Im Verlauf der Optimierung des Experimenteskonnten die mittlere Teilchenzahl erhöht und die Schwankungen reduziert werden.Die Ergebnisse stehen noch aus. Der Einfluss von Dichteschwankungen auf die Di-spersion wurde bereits in Kapitel 2.1.2 in Abbildung 2.1 skizziert. Eine quantitativeUntersuchung der Resonanzverschiebung aufgrund von Dichteänderungen erfolgtemittels Hinzuschalten der dritten Gitterachse und wird im zweiten Teilkapitel derAuswertung weiter untersucht.

Die bisherige Auswertung zur Charakterisierung des Bragg-Systems zeigt, dassdas System in der Lage ist, spektroskopische Untersuchungen zur Dispersionsrelationvon Vielteilchensystemen durchzuführen.

Deutlich zu erkennen ist der Übertrag in die minus-erste Ordnung bei der Messungim Gitter, welcher in der Messung für die Magnetfalle nicht vorkommt. Dieser Effekthat zwei Ursachen:

• Die Frequenzbreite des Bragg-Pulses aufgrund der endlichen Einstrahldauerund der Pulsform

• Bragg-Reflektionen an der Brillouin-Zonen-Grenze.

Die Richtung und die Verstimmung der Bragg-Strahlen voneinander sind festgelegtin dem Aufbau, die Reihenfolge von Absorption und Emission der beiden Photonen,kann dagegen nicht bestimmt werden, sie ist lediglich von der Resonanzbedingungabhängig. Aufgrund der Frequenzbreite des endlichen Bragg-Pulses (siehe Abbildung2.6) besteht somit die Möglichkeit auch nicht resonant einen Bragg-Übertrag zu er-halten. Zum Einen ergibt sich daraus die Signalform für die erste Ordnung, wiesie aus Abbildung 4.2 und 4.3 hervorgehen, zum Anderen erlaubt sie den Übertragin die minus-erste Ordnung, wie er auch in der Magnetfalle für kleine Winkel ge-sehen wurde. Liegt die Resonanz für die minus-erste Ordnung noch innerhalb derFrequenzbreite des Bragg-Pulses bzw. in einem der Nebenmaxima, können relevanteÜberträge stattfinden.

Bereits für das erste Nebenmaximum ist der maximale Übertrag nur noch etwa10 % des Hauptmaximums (siehe Abbildung 2.6) und für die nächsten Ordnungen

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56 KAPITEL 4 Ergebnisse und Interpretation

fällt er zunehmend geringer aus. Abbildung 4.3 zeigt die Resonanzkurve für die Mes-sung in der Magnetfalle bei 50 , wobei die Resonanz bei etwa 3, 2 kHz liegt. Aus-gehend von einer Breite des Signals von 900 Hz ist in die minus-erste Ordnung keinrelevanter Übertrag zu erwarten und tatsächlich auch nicht zu sehen. Der kleinsteWinkel, für den gemessen wurde, betrug 25 und es ergab sich eine Resonanzfrequenzvon etwa 750 Hz, was bedeutet, dass dort nur noch ein Bragg-Übertrag aus dem ers-ten Nebenmaximum in die minus-erste Ordnung zu erwarten war. Der nächst höhereWinkel ergab eine Resonanzfrequenz von etwa 1700 Hz, bei der schon kein relevanterÜbertrag mehr zu erwarten war. Aus diesem Grund wurde keine nähere Analyse derersten Daten bezüglich der minus-ersten Bragg-Ordnung vorgenommen.

Der zweite Punkt stellt eine Eigenschaft des Gitters dar, wobei die mit demQuasi-Impuls angeregten Atome an der Zonen-Grenze reflektiert werden und eineUmverteilung der Zustände stattfindet. Dieser Prozess ist resonant für Impulsüber-träge, die dem Quasi-Impuls des Gitters entsprechen. Bei Messungen mit θ = 60

war die Besetzung der beiden Bragg-Ordnungen nahezu gleich, was für diesen Effektsprechen könnte. Da sich an dieser Stelle aber viele Effekte überlagern, wie die kom-binierte Beugung am Gitter und den Bragg-Strahlen bzw. umgekehrt, lassen sich dieDaten nicht so ohne weiteres in diese Richtung auswerten. Dazu sei auf noch folgendeArbeiten bzw. Veröffentlichungen verwiesen.

4.2 Dispersion in der Magnetfalle und im Gitter

Ziel der Messungen war die Untersuchung der Dispersionsrelation des präpariertenSystems und wie sich diese unter Änderung des äußeren Einschlusses verändert.In Abbildung 4.4 sind die Resonanzfrequenzen gegen den Impulsübertrag in derMagnetfalle, sowie bei verschiedenen Gittertiefen aufgetragen.

Sehr gut zu erkennen ist die Abflachung der Dispersion für größer werdende Git-tertiefen. Allerdings lässt sich die genaue Form bei vier gemessenen Winkeln nochnicht zuverlässig bestimmen bzw. mit der durch (Gl. 2.13) vorgegebenen Lösungvergleichen. Die Verschiebung der Datenpunkte der Messungen zu θ = 60 nach aus-sen liegt nicht an einer ungenauen Justage der Spiegel, sondern an der anfänglichenAuswertung. Um eine gute Referenz bezüglich der Winkel für die Gittermessungenzu haben, wurden aus den ermittelten Resonanzen der Magnetfallenmessungen um-gekehrt die Winkel berechnet, denen die Resonanzen nach der Theorie entsprachen.Dabei wurde allerdings von der falschen Dispersionsrelation, nämlich der des wechsel-wirkungsfreien Kondensats, ausgegangen, wodurch sich die Daten etwas verschobenhaben. Somit ist kein Rückschluss auf die Übereinstimmung mit den theoretischenModellen sinnvoll, weshalb in Abbildung 4.4 lediglich die gemessenen Werte aufge-tragen sind. Ein qualitativer Vergleich der Magnetfallenmessungen mit der Theorieist in diesem Fall zwar nicht aussagekräftig, jedoch sollte sie auf die im folgendenbeschriebenen Analysen der Messungen im Gitter keinen Einfluss haben, da sowohldie Theoriekurven als auch die eingetragenen Daten auf der Eichung basieren und

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4.2 Dispersion in der Magnetfalle und im Gitter 57

0.5 1 1.41420

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

Quasi−Impuls in Einheiten von π/a

Ener

gie

[Hz]

0 Er3 Er5 Er7 Er9 Er11 Er13 Er15 Er

Abbildung 4.4: Ergebnis für die Dispersionrelation von Bose-Einstein Kondensaten in derMagnetfalle bzw. im optischen Gitter bei verschiedenen Gittertiefen. Die Frequenz ist inHz angegeben, der Impulsübertrag in Einheiten des Quasi-Impuls.

somit im gleichen Masse verschoben sind.Was man aus diesen Messungen aber weiterhin sehr gut sehen kann, ist das

Verhalten der Resonanzfrequenz von der Gittertiefe. In Abbildung 4.5 ist diese Ab-hängigkeit für die verschiedenen Winkel dargestellt. Es wurde die Frequenz gegendie Gittertiefe aufgetragen jeweils für die eingestellten Winkel. Vergleichend dazu istder Verlauf der Resonanzfrequenz abhängig von der Gittertiefe berechnet und aufge-tragen worden, ausgehend von der Lösung für (Gl. 2.13), wobei die Wechselwirkungnicht berücksichtigt wurde. Ausgehend von der Magnetfalle – Gittertiefe null – isteine gute Übereinstimmung der Daten mit dem theoretischen Verlauf zu erkennen.Mit steigender Gittertiefe jedoch verschieben sich die gemessenen Werte im Vergleichzur Theorie.

Zur näheren Analyse wurde diese Verschiebung gegen die Gittertiefe aufgetra-gen, zu sehen in Abbildung 4.6. Von null ausgehend nimmt die Verschiebung anfangsstark zu und flacht für tiefere Gitter immer weiter ab. Weiterhin scheint die Verschie-bung unabhängig vom eingestellten Bragg-Winkel und damit vom Impuls-Übertragzu sein, was auf eine Eigenschaft des Kondensats hindeutet. Wahrscheinlich lässt sichdiese Verschiebung so erklären, dass aufgrund des höheren Einschlusses durch dasGitterpotential die Dichte der Teilchen erhöht wird und damit auch deren Wechsel-wirkung. Gemäß des Bose-Hubbard-Modells nimmt mit größer werdender Gittertiefe

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58 KAPITEL 4 Ergebnisse und Interpretation

0 5 10 150

1000

2000

3000

4000

Ergebnisse 25°

Gittertiefe [Erec

]

Energ

ie [H

z]

0 5 10 150

1000

2000

3000

4000

Ergebnisse 35°

Gittertiefe [Erec

]

Energ

ie [H

z]

0 5 10 150

1000

2000

3000

4000

Ergebnisse 45°

Gittertiefe [Erec

]

Enegie

[H

z]

0 5 10 150

1000

2000

3000

4000

Ergebnisse 60°

Gittertiefe [Erec

]

Energ

ie [H

z]

Daten

Theorie

Daten

Theorie

Daten

Theorie

Daten

Theorie

Abbildung 4.5: Energieverschiebung bei der gemessenen Resonanz zur theoretischen Kur-ve, in der keine Wechselwirkung berücksichtigt wurde.

die Lokalisierung der Teilchen in den Gittertöpfen zu und damit auch der Überlappder Wellenfunktionen, wodurch das Wechselwirkungsmatrixelement größer wird.

Bedenkt man, dass die Messungen im zweidimensionalen Gitter gemacht wur-den, könnte man sagen, dass die Teilchen in der unveränderten dritten Richtung„ausweichen” können, um der Dichteerhöhung entgegenzuwirken. Dies verhindern al-lerdings der Einschluss der Magnetfalle, sowie der zusätzliche Einschluss durch diegaussförmigen Gitterstrahlen, die in axialer Richtung – senkrecht zur Bragg-Ebene– einen zusätzlichen Einschluss, erzeugen, welcher ebenfalls harmonisch genähertwerden kann wie in der Magnetfalle. Bei einer Gittertiefe von 15 Erec wird so eineFallenfrequenz von etwa 40 Hz erreicht im Vergleich zu 11 Hz nur in der Magnetfalle.

Um jedoch den Einfluss der Dichte im dreidimensionalen Gitter zu untersuchen,wurden bei den Winkeln 40 und 45 zusätzliche Messungen vorgenommen und dieResonanzfrequenz bestimmt. Das Ergebnis ist in Abbildung 4.7 dargestellt für dieerste Beugungs-Ordnung bei 45 und für die erste und minus-erste Ordnung bei 40 .Zu erkennen ist wieder die Verschiebung zu höheren Frequenzen für steigende Git-tertiefen. Die große Abweichung der Ergebnisse für die unterschiedlichen Winkel bei20 Erec ist wahrscheinlich auf die Teilchenzahlschwankungen bei der Präparation desKondensats zurückzuführen, da das Experiment zu dem Zeitpunkt bereits schlechterlief als zum Zeitpunkt der anderen Messung. Eine Störung im Kühlkreislauf der Tran-sistoren, die den Strom für die MOT-Spulen schalten, führte zu einer ungenügenden

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4.2 Dispersion in der Magnetfalle und im Gitter 59

0 5 10 15−200

−100

0

100

200

300

400

500

Gittertiefe [Erecoil]

Abwe

ichun

g [H

z]

25_135_145_160_1

Abbildung 4.6: Energieverschiebung bei der gemessenen Resonanz zur theoretischen Kur-ve, in der keine Wechselwirkung berücksichtigt wurde.

Regulierung des Stroms und damit der Magnetfelder der MOT und der Magnetfalle,wodurch es zu den starken Teilchenzahlschwankungen kam.

Da in der ersten Messreihe nur vier Winkel eingestellt wurden, lässt sich der Ver-lauf der Dispersion nur qualitativ abschätzen und ein Vergleich mit den in Kapitel2 berechneten Kurven ist nicht sehr aussagekräftig. Während der Optimierung desExperimentes kam es deshalb zu weiteren Messungen mit höherer Winkelauflösung,um die Dispersionsrelation näher analysieren zu können. In Abbildung 4.8 sind dieErgebnisse der weiteren Messungen zu sehen. Diesmal wurden die Winkel rein geo-metrisch ermittelt und nicht mehr durch Rückrechnung der gemessenen Resonanzenbestimmt, um den Vergleich mit der Theorie durchführen zu können.

Es wurden die aus den Messungen in der Magnetfalle ermittelten Resonanzfre-quenzen gegen den Impulsübertrag aufgetragen und mit den Berechnungen nach (Gl.2.5) für verschiedene Teilchenzahlen, woraus unterschiedliche Dichten aufgrund desEinschlusses resultieren, verglichen.

Um zu verstehen, inwieweit die Daten mit der Theorie übereinstimmen, ist eswichtig, darauf hinzuweisen, dass die Messungen von großen hin zu kleinen Winkelngemacht wurden und dass das Experiment über die Zeit nicht gleichbleibend gut

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60 KAPITEL 4 Ergebnisse und Interpretation

0 5 10 15 20 25 30600

700

800

900

1000

1100

1200

1300

1400

Gittertiefe LA

Reso

nanz

frequ

enz

45deg40deg 0.Ordnung40deg 1.Ordnung

Abbildung 4.7: Energieverschiebung der Resonanz für steigende Gittertiefe der drittenGitterachse

lief. Zum Ende hin war eine stetige Abnahme der Teilchenzahlen zu verzeichnen,was sich in der Verschiebung der Daten gegenüber den theoretischen Kurven zeigt.Die Abweichung einzelner Datenpunkte hängt im Wesentlichen von der Teilchenzahl-schwankung ab, wie sie bei der Präparation des Kondensats auftritt.

Innerhalb der Ungenauigkeit der Messungen lässt sich sagen, dass das von derBogoliubov-Näherung abgeleitete Anregungsspektrum eine gute Beschreibung für dasin dieser Arbeit beschriebene System liefert, wobei mit einer stabileren Teilchenzahleine höhere Übereinstimmung zu erreichen ist.

Abschließend lässt sich nach den ersten Messungen sagen, dass das System, wel-ches im Rahmen dieser Arbeit entwickelt, aufgestellt und charakterisiert wurde, ge-eignet ist, um spektroskopische Untersuchungen an Vielteilchen-Systemen in opti-schen Gittern vorzunehmen mit der notwendigen Präzision, welche durch die Opti-mierung des Versuchsablaufs und des Apparaturaufbaus im Laufe der Arbeit stetigverbessert werden konnte. Betrachtet man die Ergebnisse, so lässt sich sagen, dasstrotz des vermeintlich grossen Intensitätsrauschens (siehe Kapitel 3.3.2) des Bragg-Pulses in der ersten Messserie bereits verwertbare Daten produziert werden konntenund eine physikalische Interpretation möglich war.

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4.2 Dispersion in der Magnetfalle und im Gitter 61

0.5 1 1.41420

1000

2000

3000

4000

5000

6000

Quasi−Impuls in Einheiten von π/a

Ener

gie

[Hz]

Experimentelle Wertefreies Teilchen ohne WWBogoliubov mit 5e4 AtomenBogoliubov mit 1e5 AtomenBogoliubov mit 5e5 Atomen

Abbildung 4.8: Ergebnis für die Dispersionrelation von Bose-Einstein Kondensaten in derMagnetfalle, zusammen mit dem nach (Gl. 2.5) berechneten Verlauf für verschiedeneTeilchenzahlen. Die Frequenz ist in Hz angegeben, der Impulsübertrag in Einheiten desQuasi-Impuls.

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Kapitel 5

Ausblick

Die in der vorausgegangenen Arbeit durchgeführten Messungen zeigen, dass der dafürweiterentwickelte experimentelle Aufbau dazu geeignet ist, spektroskopische Unter-suchungen an Quantengasen durchzuführen. Es wurde gezeigt, dass das im Rahmendieser Arbeit aufgebaute und charakterisierte Laser-System die benötigte Auflösungbesitzt und eine ausreichende Stabilität besitzt, um Messreihen über einen längerenZeitraum hinweg durchführen zu können, wie es durch die Art der Messungen und derdamit verbundenen Präparation der atomaren Ensembles vorgegeben ist. MöglicheSchwierigkeiten bei der Auswertung liegen zum großen Teil darin begründet, dassdie Teilchenzahlen der präparierten Kondensate von Bild zu Bild schwankten unddadurch eine Verschiebung der Resonanzbedingung einhergehend mit der schwan-kenden Dichte verursachten.

Die ersten Messungen konnten neben der Charakterisierung des Bragg-Systemsbereits erste Ergebnisse bezüglich der Dispersionsrelation von Bose-Einstein Kon-densaten in externen Potentialen erzielen. So zeigten sie eine gute Übereinstim-mung bezüglich Bose-Einstein Kondensaten schwach wechselwirkender 87Rb-Atomeim schwachen harmonischen Einschluss und der Dispersionsrelation, die sich aus derBogoliubov-Näherung ergibt. Dagegen konnte eine Abweichung beobachtet werdenbei den Messungen im optischen Gitter zur theoretischen Lösung, welche keine Wech-selwirkung zwischen den Atomen berücksichtigte, woraus sich die Möglichkeit derquantitativen Untersuchung der Wechselwirkungsparameter aufgrund der gezieltenÄnderung der Gitterparameter ergab.

Weitergehende Messungen sind für mehrere Fragestellungen denkbar. So solltenbeispielsweise bei ausreichender Kenntnis der Abhängigkeit der Wechselwirkung vonder Dichte Untersuchungen in die umgekehrte Richtung möglich sein, um damit überdie Verschiebung der Dispersion aufgrund der Wechselwirkung Rückschlüsse auf dieDichte und damit auf die Teilchenzahl ziehen zu können.

Weiterhin könnten neue Aspekte des Mott-Isolator-Zustandes von Kondensatenim Gitter entdeckt werden durch impulsaufgelöste Messungen. Im Zuge dessen wür-den sich direkt spektroskopische Untersuchungen des Übergangs von der superfluidenPhase in die Mott-Isolator-Phase anschließen, wobei hier zusätzlich der Einfluss von

62

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Fermionen auf das System gemessen werden könnte.Durch eine hochaufgelöste Bestimmung der Impulsverteilung der Atome im Gitter

sollte eine quantitative Untersuchung der Temperatur von Atomen im Gitter möglichsein.

Schließlich besteht die Möglichkeit der Beobachtung neuer Quantenphasen (z. Bsuper-solids) entarteter Quantengase.

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Anhang A

Schaltplan des error-signal-circuit

In Abbildung A.1 ist der Schaltplan des error-signal-circuit dargestellt, wie er inder Offset-Regelung zum Einsatz kommt. Die beiden Eingangssignale werden überdie Impedanzanpasser eingekoppelt und auf gegenpolig verschaltete Dioden gege-ben. Die inversen Signalanteile werden überlagert und auf den Ausgang gegeben.Bei der Schaltung wird die Dioden-Kennlinie für den Strom in quadratischer Nähe-rung ausgenutzt, in der Elektrotechnik wird diese Schaltung auch power-law-detektorgenannt.

Der Vorteil gegenüber dem in [17] verwendeten Design ist die ohmsche Einkopp-lung des Signals gegenüber der kapazitiven in [17], die es notwendig macht, zusätz-liche Abschwächer vor die Eingänge zu setzen, um den Stromkreis der Dioden zuschliessen, was allerdings mit einem Signalstärkeverlust einhergeht.

Abbildung A.1: Schaltplan des error-signal-circuit

64

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65

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Danksagung

Zu guter Letzt möchte ich noch meinen Dank aussprechen, an die Personen, diemich mit ihrer Kompetenz und unermüdlichem Einsatz während der ganzen Zeitunterstützten und eine wirklich angenehme Arbeitsatmosphäre schufen.

Zu nennen wären da zum Einen Prof. Dr. Klaus Sengstock, der es mir ermöglichte,die Arbeit an diesem komplexen, spannenden und vor allem aktuellen Experimentdurchzuführen.

Prof. Dr. Kai Bongs möchte ich für die erkenntnisreichen Diskussionen dankenund für die Möglichkeit, immer Fragen stellen zu können.

Des Weiteren sei ganz besonders den beiden Hauptakteuren an dem Experiment,Philipp T. Ernst und Sören Götze, gedankt, die mir gleichermaßen Mentoren, Kol-legen und Sparringspartner waren.

Nicht zu vergessen ist die gesamte restliche Arbeitsgruppe von Herrn Sengstock,mit der es wirklich Spaß machte, Tag ein, Tag aus über die Flure des Instituts zublödeln und angeregte Fach-Diskussionen zu führen.

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