physics.uvt.rophysics.uvt.ro/~brutus/mecanalt.pdf · Cuprins I Mecanica newtonian‚a 7 1 Elemente...

Brutus Demsoreanu

Mecanica analitica

- Note de curs -

TIMISOARA 2003

Tehnoredactarea ın LATEX2ε apartine autorului.

Copyright c© 2003, B. Demsoreanu

Cuprins

I Mecanica newtoniana 7

1 Elemente de cinematica punctului 91.1 Traiectoria punctului, viteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Hodograful miscarii, acceleratia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Clasificarea miscarilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4 Viteza areolara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Principiile Galilei-Newton 152.1 Enunturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Problema determinarii miscarii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 Miscarea relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4 Sisteme inertiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Dinamica punctului material 253.1 Integralele prime ale miscarii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Teoreme generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.1 Teorema impulsului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2.2 Teorema momentului cinetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2.3 Teorema energiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3 Dinamica punctului supus la legaturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 Dinamica sistemelor de puncte materiale 344.1 Teoreme generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.1.1 Teorema impulsului si teorema miscarii centrului de masa . . . . . . . 354.1.2 Teorema momentului cinetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.1.3 Teorema energiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5 Solidul rigid 445.1 Precizarea pozitiei rigidului ın spatiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.1.1 Gradele de libertate ale rigidului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.1.2 Matricea de rotatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.1.3 Unghiurile Euler. Vectorul rotatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.2 Momente de inertie. Caracteristicile dinamice ale rigidului . . . . . . . . . . 515.2.1 Momentul de inertie al rigidului ın raport cu o axa . . . . . . . . . . 525.2.2 Elipsoidul de inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3

4 CUPRINS

5.2.3 Impulsul, momentul cinetic si energia cinetica . . . . . . . . . . . . . 56

5.3 Dinamica solidului rigid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.3.1 Ecuatiile de miscare ale rigidului liber . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.3.2 Miscarea rigidului cu axa fixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.3.3 Miscarea rigidului cu punct fix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

II Mecanica lagrangeeana 77

6 Concepte fundamentale 79

6.1 Legaturi si deplasari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.2 Determinarea miscarii. Axioma legaturilor ideale . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.3 Ecuatia generala a dinamicii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.3.1 Principiul deplasarilor virtuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7 Sisteme olonome 88

7.1 Coordonate generalizate. Spatiul configuratiilor . . . . . . . . . . . . . . . . 88

7.2 Ecuatiile Lagrange pentru sisteme olonome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

7.3 Teorema energiei. Forte potentiale si nepotentiale . . . . . . . . . . . . . . . 93

7.4 Sisteme naturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.5 Impulsuri generalizate. Coordonate ciclice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

7.6 Teoreme generale si legi de conservare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.6.1 Conservarea impulsului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.6.2 Conservarea momentului cinetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7.6.3 Conservarea energiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

8 Sisteme neolonome 106

8.1 Ecuatiile Lagrange pentru sisteme neolonome . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

9 Problema celor doua corpuri 109

9.1 Masa redusa. Problema echivalenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

9.2 Miscarea ın camp central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

9.3 Miscarea kepleriana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

9.4 Imprastierea particulelor ıntr-un camp de forte centrale . . . . . . . . . . . . 122

III Mecanica hamiltoniana 127

10 Ecuatiile lui Hamilton 129

10.1 Coordonate canonice. Spatiul fazelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

10.2 Coordonatele ciclice si functia lui Routh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

10.3 Parantezele Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

CUPRINS 5

11 Principiile variationale ale mecanicii 13911.1 Principiul lui Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13911.2 Forma canonica a principiului lui Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14211.3 Invariantul integral fundamental Poincare-Cartan . . . . . . . . . . . . . . . 14411.4 Invariantul integral universal Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

12 Transformari canonice. Metoda Hamilton-Jacobi 15012.1 Ecuatiile transformarilor canonice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15012.2 Ecuatia si teorema Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15612.3 Metoda separarii variabilelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

IV Mecanica mediilor deformabile 163

13 Notiunile fundamentale 16513.1 Principii generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16513.2 Teoria geometrica a micilor deformatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16913.3 Tensorul tensiunilor. Legea de miscare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17313.4 Legi constitutive. Ecuatiile lui Lame si Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . 176

13.4.1 Medii elastice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17613.4.2 Fluide reale si ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

Bibliografie 179

6 CUPRINS

I.Mecanica newtoniana

Capitolul 1

Elemente de cinematica punctului

In cadrul disciplinelor teoretice, pornind de la cateva enunturi generale numite principii ,sunt deduse, folosind un aparat matematic adecvat, legile si proprietatile fenomenelor siproceselor descrise ın cadrul disciplinelor experimentale. Daca unele rezultate nu concordala un moment dat cu realitatea, se impune reformularea sau completarea principiilor, caz ıncare ın mod necesar se extinde si obiectul de studiu. Situatia cea mai semnificativa ın acestsens o constituie mecanica relativista al carei obiect de studiu ıl reprezinta ın specialmiscarea microparticulelor la viteze mari, care cuprinde ca un un caz particular limita simecanica clasica .

Modul ın care, pornind de la cateva concepte generale, pot fi deduse coerent proprietatileunor marimi mecanice cunoscute ınca din scoala, va fi ilustrat prin prezentarea unor elementede cinematica punctului.

1.1 Traiectoria punctului, viteza

Admitand ca spatiul este tridimensional, omogen si izotrop, pozitia unui punct P ınraport cu un reper fix este precizata prin vectorul sau de pozitie ~r , care ın sistemul cartezianare coordonatele scalare x, y, z :

~r = x ·~ı + y · ~ + z · ~k (1.1)

Presupunand ın plus ca timpul t se scurge uniform spre valori pozitive de la o originearbitrara de masurare, daca punctul ocupa la fiecare moment o alta pozitie ın spatiu, vectorulde pozitie al punctului devine functie de parametrul t :

~r = ~r(t) (1.2)

ceea ce reprezinta ecuatia vectoriala a traiectoriei punctului P . Avand ın vedere (1.1),din (1.2) rezulta ecuatiile parametrice ale traiectoriei :

x = x(t) ; y = y(t) ; z = z(t) (1.3)

Ecuatia propriu-zisa a traiectoriei rezulta prin eliminarea succesiva a parametrului t, eareprezentand curba dupa care se intersecteaza doua suprafete avand ecuatiile generaleϕ(x, y, z) = 0 si ψ(x, y, z) = 0 .

9

10 CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE CINEMATICA PUNCTULUI

Prin definitie, viteza medie a punctului P ın intervalul de timp ∆t , este :

~vm =∆~r

∆t(1.4)

Viteza momentana a punctului P la momentul t se obtine facand ∆t → 0 :

~v = lim∆t→0

∆~r

∆t= lim

∆t→0

~r(t + ∆t)− ~r(t)

∆t=

d~r

dt= ~r (1.5)

Este evident (v. Fig. 1.1.b) ca vectorul ~v este orientat dupa tangenta la traiectorie ın Psensul fiind dat de directia ın care decurge miscarea.

Figura 1.1: Traiectoria punctului, viteza

Din definitia (1.5) si folosind (1.1), rezulta :

~v = vx ·~ı + vy · ~ + vz · ~k = x ·~ı + y · ~ + z · ~k (1.6)

adica proiectia vitezei pe una din axe este egala cu viteza proiectiei vectorului de pozitie peaxa respectiva (afirmatia este adevarata numai ın sistemul de referinta cartezian!). Marimeavitezei va fi :

v ≡ |~v| =√

x2 + y2 + z2 (1.7)

Rezultate similare pot fi obtinute pornind de la ecuatia orara a miscarii . Daca tra-iectoria este o curba rectificabila care are ın fiecare punct o tangenta unica, pozitia unuipunct P pe traiectorie poate fi determinata cunoscand valoarea s a arcului socotit pe curbaıncepand de la o origine data P0 a arcelor, precum si sensul pozitiv de masurare al arcelor :

s = s(t) (1.8)

Eliminand timpul din ecuatiile (1.2) si (1.8), se va putea scrie ca :

~r = ~r(s) (1.9)

din definitia (1.5), rezultand :

~v =d~r

dt=

d~r

ds

ds

dt= s ~τ (1.10)

1.2. HODOGRAFUL MISCARII, ACCELERATIA 11

unded~r

ds= ~τ (1.11)

reprezinta versorul tangentei la traiectorie ın P , orientata ın sensul pozitiv de masurare alarcelor (v. Fig. 1.1.c). Marimea vitezei va fi :

v = |s| (1.12)

deoarece derivata s poate fi pozitiva sau negativa, dupa cum la momentul respectiv punctulP se deplaseaza pe traiectorie ın acelasi sens, sau ın sens contrar, cu cel de masurare alarcelor.

1.2 Hodograful miscarii, acceleratia

Daca este data traiectoria miscarii ~r = ~r(t) si daca se cunoaste ın fiecare punct al traiec-toriei vectorul viteza momentana, poate fi construit ıntr-un punct O din spatiu un sistem devectori concurenti, astfel ıncat fiecare sa fie egal si paralel cu una din vitezele ~v(t) pe care le

Figura 1.2: Hodograful miscarii

ia succesiv punctul material pe traiectorie (v. Fig. 1.2). Unind extremitatile acestor vectorise obtine o curba numita hodograful miscarii . Un punct A se va deplasa pe aceasta curbacu o anumita viteza. Prin analogie, viteza momentana a lui A la momentul t va fi notata cu~v , vectorul reprezentand viteza de variatie a vitezei punctului material, adica acceleratiapunctului :

~a(t) = ~v(t) = ~r(t) (1.13)

Componentele carteziene ale vectorului acceleratie vor rezulta din egalitatea :

~a = ax ·~ı + ay · ~ + az · ~k = x ·~ı + y · ~ + z · ~k (1.14)

iar marimea acestui vector la un moment dat va fi :

a ≡ |~a| =√

x2 + y2 + z2 (1.15)


Daca traiectoria punctului este o curba plana, atunci si hodograful miscarii este tot o curbaplana, forma celor doua curbe fiind ın general esential diferita.

In ceea ce priveste orientarea ın spatiu a vectorului acceleratie momentana, unicul lucrucare poate fi afirmat ın acest stadiu al rationamentului este ca acesta trebuie sa fie tangent lahodograful miscarii, observatia fiind nesemnificativa din punct de vedere intuitiv. Apelanddin nou la ecuatia orara a miscarii, care a condus la rezultate corecte pentru precizareaorientarii ın spatiu a vectorului viteza, se va putea scrie succesiv :

~a =d2~r

dt2=

d

dt

(d~r

dt

)=

d

dt

(d~r

ds

ds

dt

)=

d

dt(s ~τ) = s ~τ + s

(d~τ

ds

ds

dt

)= s ~τ + s2 d~τ

ds(1.16)

Derivatad~τ

dsreprezinta vectorul de curbura ın punctul P , marimea si orientarea sa fiind

data de prima formula a lui Frenet :

d~τ

ds=

1

ρ~ν (1.17)

Aici ρ reprezinta raza de curbura ın punctul P , iar ~ν este versorul normalei principalecare este orientata ıntotdeauna spre centrul de curbura C (v. Fig. 1.3). Folosind formula

Figura 1.3: Raza de curbura si normala principala

(1.17), expresia acceleratiei devine :

~a = s ~τ +s2

ρ~ν (1.18)

Astfel, vectorul acceleratie se gaseste tot timpul ıntr-un plan determinat de tangenta sinormala principala la traiectorie ın punctul respectiv, numit plan osculator . Componenteleacceleratiei pe cele doua directii reciproc perpendiculare vor fi (v. Fig. 1.4) :

- acceleratia tangentiala : aτ = s

- acceleratia normala : aν =s2

ρ=

v2

ρ

(1.19)

1.3. CLASIFICAREA MISCARILOR 13

marimea vectorului acceleratie fiind data de expresia :

a =√

a2τ + a2

ν =

√s 2 +

s4

ρ2=

√s 2 +

v4

ρ2(1.20)

Figura 1.4: Planul osculator

1.3 Clasificarea miscarilor

In functie de valorile pe care le pot lua componentele acceleratiei ın planul osculator, potfi facute cateva observatii interesante :

a) aτ = 0 : s = 0 : v = |s| = const . Miscarea curbilinie este uniforma ;

b) sgn aτ = sgn s . Acceleratia tangentiala fiind orientata ın sensul miscarii, viteza cresteın valoare absoluta si miscarea este accelerata.

Intr-adevar, deoarece aτ =ds

dtsi observand ca ıntotdeauna dt > 0 , din aτ > 0 si s > 0

rezulta ds = d|s| = dv > 0 . Rationand analog ın cazul aτ < 0 si s < 0 , rezulta ds =− d|s| < 0 , adica tot d|s| = dv > 0 ;

c) sgn aτ 6= sgn s . Reluand rationamentul anterior, se arata ca viteza scade ın valoareabsoluta si deci miscarea este ıncetinita (decelerata) ;

d) aτ = const . Miscarea este uniform variata , ea putand fi uniform accelerata sauuniform ıncetinita ;

e) deoarece aν =v2

ρ> 0 , acceleratia normala este orientata ıntotdeauna spre centrul de

curbura ;

f) aν = 0 . Deoarece v 6= 0 , situatia este posibila numai daca ρ →∞ , adica ın punctelede inflexiune ale traiectoriei, sau cand miscarea este rectilinie ;

g) singura miscare pentru care acceleratia este nula este miscarea rectilinie si uni-forma, deoarece ~a = 0 numai daca simultan aν = 0 si aτ = 0 .


1.4 Viteza areolara

Daca la momentul t, vectorul de pozitie al unui punct P de pe traiectorie este ~r , iarviteza sa este ~v , atunci prin definitie vectorul viteza areolara ~Ω are expresia :

~Ω =1

2(~r × ~v) (1.21)

Interpretarea geometrica a marimii acestui vector se bazeaza pe observatia ca

dA =1

2|~r × d~r | (1.22)

reprezinta aria maturata de vectorul de pozitie ~r la o deplasare elementara d~r a punctuluiP pe traiectorie (v. Fig. 1.5). Pentru deducerea formulei (1.22) s-a folosit proprietatea

produsului vectorial |~a×~b | = |~a| |~b| sin(~a,~b) . Folosind aceasta observatie, din (1.21) rezulta :

| ~Ω | = dA

dt(1.23)

deci marimea vitezei areolare reprezinta viteza de variatie a ariei maturate de vectorul depozitie al punctului.

Figura 1.5: Viteza areolara

Daca traiectoria este continuta ın planul xOy , atunci se verifica usor urmatoarea expresieın coordonate polare :

~Ω =1

2r2θ ~k (1.24)

Capitolul 2

Principiile Galilei-Newton

2.1 Enunturi

La baza mecanicii clasice sta principiul inertiei , pus ın evidenta experimental de Galileisi formulat matematic de Newton ca prima lege a mecanicii :

”Orice corp ısi pastreaza starea de repaus sau de miscare rectilinie uniforma,daca asupra lui nu actioneaza forte care sa-i modifice starea.”

Aici prin corp se ıntelege un punct material, adica un punct geometric caruia i se asociazao masa. Trebuie observat ca ın realitate un corp se gaseste ıntotdeauna ın interactiune cuun alt corp din Univers, ınsa aceasta interactiune poate fi micsorata (ın cazul ındepartariicorpului respectiv), anulata (prin actiunea unui alt corp), iar interactiunile care nu potfi anulate (ca de exemplu frecarile) pot fi facute oricat de mici utilizand metode tehniceadecvate.

Posibilitatea unui corp de a ramane un timp nedefinit ın stare de repaus sau de miscarerectilinie uniforma (stari naturale ale corpurilor), ın absenta fortelor exterioare, conduce laproprietatea numita inertie intrinseca a corpurilor. Definind masa m ca masura a inertieicorpului, respectiv ca masura a modului ın care corpul se opune variatiei starii sale naturale,precum si impulsul (cantitatea de miscare) ~p = m~v , enuntul matematic al prinicipiuluiinertiei se reduce la expresia :

~p = const. (2.1)

Deoarece din principiul inertiei rezulta ca poate exista miscare si ın absenta fortelor, nuse poate stabili o legatura directa ıntre viteza si forta, asa cu credea Aristotel. Se sugereazaastfel ideea ca nu miscarea, ci variatia miscarii ar trebui sa fie proportionala cu forta.

Principiul inertiei nu permite determinarea concreta a starii de repaus, sau de miscarerectilinie si uniforma a corpului. In acest sens Galilei a facut observatia ca pentru a cunoasteprecis starea corpului la orice moment, vor trebui cunoscute pozitia si viteza sa la momentulinitial t0 al miscarii. Principiul conditiilor initiale afirma ca starea initiala a corpuluidetermina ın mod unic miscarea acestuia. Deoarece la un moment t ulterior lui t0 ,dar suficient de apropiat, se poate scrie :

~r(t) = ~r(t0) +(t− t0)

1!~r(t0) +

(t− t0)2

2!~r(t0 + ε∆t) ; ∆t = t− t0 , 0 < ε < 1 (2.2)

15

16 CAPITOLUL 2. PRINCIPIILE GALILEI-NEWTON

rezulta ca daca se cunoaste starea initiala a corpului, pentru cunoasterea miscarii sale estenecesara si determinarea acceleratiei sale (v. ultimul termen), daca aceasta este diferitade zero. Astfel, si acest principiu sugereaza existenta unei legaturi dintre forta si variatiamiscarii.

Folosind observatiile care decurg din primele doua principii, poate fi postulat cel de altreilea principiu care sta la baza mecanicii, anume principiul actiunii fortelor (legea adoua a lui Newton).

”Variatia miscarii este proportionala cu forta motoare imprimata si este di-rijata dupa linia dreapta ın lungul careia este imprimata forta.”

Daca ~F este forta care actioneaza asupra corpului, expresia matematica a principiuluieste data de ecuatia :

~p =d~p

dt= ~F (2.3)

constanta de proportionalitate ın (2.3) fiind considerata unitatea. Postuland ın mecanicaclasica ca masa m = const. , ecuatia (2.3) se mai scrie :

m~v = m~a = ~F (2.4)

unde ın general forta ~F = ~F (t, ~r, ~r) este data. Din (2.3) rezulta ca forta ~F ar reprezenta omasura a interactiunii corpului cu mediul, ınsa trebuie observat ca forta nu poate fi consi-derata ca o masura universala a interactiunii, deoarece exista situatii ın care interactiuneanu poate fi caracterizata printr-o forta.

Legea a doua a lui Newton se bazeaza de asemenea pe o serie de observatii experimentale.Daca se studiaza alunecarea fara frecare a unui corp pe un plan ınclinat, se verifica usor cavariatia vitezei este proportionala cu componenta greutatii ın lungul planului si ca ea esteorientata dupa directia fortei. Pe de alta parte, se stie ca pentru a scoate un corp din stareasa naturala, este necesara o forta cu atat mai mare, cu cat masa sa inerta este mai mare.

Un alt principiu fundamental al mecanicii este cel referitor la egalitatea actiunii sireactiunii (legea a treia a lui Newton).

”Actiunile reciproce a doua corpuri sunt ıntotdeauna egale si dirijate ın sen-suri contrare.”

Considerand doua puncte materiale A1 si A2 ın interactiune, notand cu ~F12 actiunea pecare o exercita A2 asupra lui A1 si cu ~F21 actiunea lui A1 asupra lui A2 , conform enuntuluiva trebui ca :

~F12 + ~F21 = 0 ; ~F12 ‖−→A1A2 (2.5)

Deoarece actiunea implica existenta unei reactiuni egale si de sens contrar, daca ~F12 repre-zinta actiunea lui A2 asupra lui A1 , atunci ~F21 va reprezenta reactiunea corpului A1 .Rolul lui A2 poate fi jucat si de un camp extern.

Insasi legea a doua a lui Newton, scrisa sub forma :

~F −m~a = 0 (2.6)

poate fi interpretata pe baza principiului enuntat mai sus : daca ~F este forta exercitata de unagent extern asupra punctului material, atunci punctul produce o reactiune, o forta aplicata

2.2. PROBLEMA DETERMINARII MISCARII 17

agentului, egala cu −m~a . Forta −m~a poarta numele de forta de inertie, ea fiind datoratainertiei punctului material.

Aceste principii sunt completate de obicei de principiul independentei actiuniifortelor, care stabileste ca diferitele forte la care este supus punctul materialactioneza independent . Astfel, mai multe forte care actioneaza simultan asupra punctuluipot fi ınlocuite cu rezultanta lor, si invers, o forta poate fi descompusa ın forte componentedupa mai multe directii concurente.

La enuntarea acestor principii s-a presupus existenta unui reper absolut si a unei cro-nologii absolute, la care este raportata miscarea. Se va arata ulterior ca aceste principii ısipastreaza valabilitatea pentru o clasa ıntreaga de repere, care vor fi numite inertiale .

Cele cinci principii enuntate ın acest paragraf, la care se adauga afirmatiile referitoarela spatiu, timp si masa, alcatuiesc un sistem complet de axiome care pot fi puse la bazamecanicii clasice .

2.2 Problema determinarii miscarii

Admitand ca forta ~F (t, ~r, ~r) este o marime fizica data, proiectand ecuatia lui Newton

m~r = ~F pe axele unui sistem cartezian de coordonate :

m x = Fx(t, x, y, z, x, y, z)

m y = Fy(t, x, y, z, x, y, z)

m z = Fz(t, x, y, z, x, y, z)

(2.7)

rezulta un sistem de trei ecuatii diferentiale de ordinul doi, cu conditiile initiale :

x(t0) = x0 , x(t0) = x0

y(t0) = y0 , y(t0) = y0

z(t0) = z0 , z(t0) = z0

(2.8)

Solutia sistemului (2.7) conduce la determinarea miscarii, adica a functiilor :

x = x(t)y = y(t)z = z(t)

(2.9)

Facand notatiile :

q1 = x , q2 = y , q3 = z , q4 = x , q5 = y , q6 = z

Q1 = x , Q2 = y , Q3 = z , Q4 =Fx

m, Q5 =

Fy

m, Q6 =

Fz

m

(2.10)

sistemul (2.7) se reduce la un sistem de sase ecuatii diferentiale de ordinul ıntai cu sasefunctii necunoscute qi = qi(t) ; i = 1, . . . , 6 :

qi = Qi(t, q1, q2, q3, q4, q5, q6) ; i = 1, . . . , 6 (2.11)


fiind cunoscute conditiile initiale :

qi(t0) = q0i ; i = 1, . . . , 6 (2.12)

Daca ın marimile Qi ; i = 1, . . . , 6 intervine explicit timpul, sistemul este neautonom , iardaca timpul nu intervine explicit ın marimile respective, sistemul este numit autonom saudinamic. Majoritatea fenomenelor mecanice sunt descrise de sisteme dinamice.

Problema integrarii sistemului (2.11) cu conditiile initiale (2.12) este cunoscuta ın mate-matica sub numele de problema Cauchy . Din teoria ecuatiilor diferentiale se stie ca dacafunctiile Qi(t, q1, . . . , q6) ; i = 1, . . . , 6 si deci si functiile Fx , Fy , Fz , sunt continue , atuncisolutia problemei Cauchy exista (teorema lui Peano). Solutia este unica , daca functiile

respective satisfac conditia lui Lipschitz , adica pentru orice pereche (q(1)1 , . . . , q

(1)6 ) si

(q(2)1 , . . . , q

(2)6 ) exista constantele pozitive Aj ; j = 1, . . . , 6 asa ıncat :

∣∣∣ Qi(t, q(1)1 , . . . , q

(1)6 )−Qi(t, q

(2)1 , . . . , q

(2)6 )

∣∣∣ ≤6∑

j=1

Aj

∣∣∣ q(1)j − q

(2)j

∣∣∣ ; i = 1, . . . , 6 (2.13)

Daca sistemul (2.11) este dinamic, si daca functiile Qi(q1, . . . , q6) ; i = 1, . . . , 6 si decisi functiile Fx(~r, ~r) , Fy(~r, ~r) , Fz(~r, ~r) sunt de clasa C1 , atunci conditia lui Lipschitz esteıntotdeauna satisfacuta.

Daca sunt ındeplinite conditiile de existenta si unicitate, atunci solutia generala a siste-mului (2.11) depinde de sase constante de integrare :

qi = qi(t, C1, . . . , C6) ; i = 1, . . . , 6 (2.14)

care pot fi determinate impunand conditiile initiale (2.12) :

q0i = qi(t0, C1, . . . , C6) ; i = 1, . . . , 6 (2.15)

Odata cu teorema de existenta si unicitate se demonstraza ca solutia (2.14) este de clasa C2

si de asemenea ca : ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂q01

∂C1

. . .∂q0

1

∂C6...

...∂q0

6

∂C1

. . .∂q0

6

∂C1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=∂(q0

1, . . . , q06)

∂(C1, . . . , C6)6= 0 (2.16)

ceea ce ınseamna ca sistemul algebric (2.15) poate fi rezolvat ın raport cu necunoscuteleCi ; i = 1, . . . , 6 :

Ci = Ci(t0, q01, . . . , q

06) ; i = 1, . . . , 6 (2.17)

Solutia generala a sistemului (2.11) va fi astfel :

qi = fi(t, t0, q01, . . . , q

06) ; i = 1, . . . , 6 (2.18)

Revenind la notatiile fizice, solutia generala a sistemului (2.7) cu conditiile initiale (2.8)se scrie :

x = fx(t, t0, x0, y0, z0, x0, y0, z0)

y = fy(t, t0, x0, y0, z0, x0, y0, z0)

z = fz(t, t0, x0, y0, z0, x0, y0, z0)

(2.19)

2.3. MISCAREA RELATIVA 19

In concluzie, daca forta satisface conditiile de existenta si unicitate pentrusolutie, atunci ecuatia lui Newton si conditiile initiale determina ın mod uni-voc miscarea, ıntr-un interval finit de timp .

Tot cu ajutorul ecuatiei lui Newton se defineste si conditia de echilibru a punctuluimaterial, sub influenta unor forte date. Se stie ca daca la momentul t0 pozitia punctuluieste ~r(t0) = ~r0 si viteza sa este ~v(t0) = 0 , iar la un moment ulterior t > t0 pozitia punctuluiramane aceeasi ~r(t) = ~r0 , atunci avem de a face cu o pozitie de echilibru. Scriind ca ecuatialui Newton este verificata de aceasta solutie, rezulta :

~F (t, ~r0, 0) = 0 (2.20)

In baza teoremei de unicitate, solutia (2.20) reprezinta nu numai o conditie necesara ci siuna suficienta de echilibru.

Pentru ca un punct material sa fie ın echilibru ıntr-o pozitie ~r0 , este nece-sar si suficient ca ın pozitia respectiva, rezultanta fortelor ce actioneaza asuprapunctului sa fie nula.

Trebuie observat ca daca ~F depinde explicit de timp, atunci ecuatia (2.20) nu admite

ın general o solutie constanta ~r0 , oricare ar fi timpul t . Daca ınsa ~F nu depinde de timp,atunci din (2.20) rezulta, prin proiectare pe cele trei axe, un sistem algebric de trei ecuatiiscalare :

Fx(x0, y0, z0) = 0

Fy(x0, y0, z0) = 0

Fz(x0, y0, z0) = 0

(2.21)

care permite determinarea coordonatelor pozitiei de echilibru ~r0 .

2.3 Miscarea relativa

Principiile Galilei-Newton au fost enuntate ın ipoteza ca miscarea este raportata la unsistem de referinta fix O1x1y1z1 . Raportand miscarea la un sistem de referinta mobil Oxyz ,

Figura 2.1: Miscarea relativa


ne intereseaza forma ecuatiei de miscare fata de acest sistem. Miscarea sistemului mobil ınraport cu cel fix este cunoscuta daca sunt date functiile ~rO(t) , ~ı(t) , ~(t) si ~k(t) (v. Fig. 2.1).Miscarea punctului P ın raport cu sistemul fix O1x1y1z1 va fi numita miscare absoluta ,iar miscarea aceluiasi punct fata de sistemul mobil Oxyz va fi numita miscare relativa .

Sa observam pentru ınceput ca orientarile axelor sistemului Oxyz ın raport cu orientarileaxelor sistemului O1x1y1z1 sunt determinate doar de trei parametrii independenti. Intr-adevar, desi directiile versorilor ~ı , ~ , ~k sunt date de noua consinusi directori, ıntrucat ıntreacesti versori exista sase relatii (conditiile de ortonormare) :

~ı ·~ı = 1 , ~ · ~ = 1 , ~k · ~k = 1

~ı · ~ = 0 , ~ · ~k = 0 , ~k ·~ı = 0(2.22)

prin elimiare, raman doar trei parametri independenti care determina ın ıntregime orientarealui Oxyz ın raport cu O1x1y1z1 .

Pe de alta parte, derivand relatiile (2.22) dupa timp :

~ı ·~ı = 0 , ~ · ~ = 0 , ~k · ~k = 0

~ı · ~ = − ~ ·~ı , ~ · ~k = − ~k · ~ , ~k ·~ı = −~ı · ~k(2.23)

si facand notatiile :

~ı · ~ = ωz , ~ · ~k = ωx , ~k ·~ı = ωy (2.24)

rezulta ca componentele vectorilor ~ı , ~ , ~k pe axele sistemului Oxyz sunt :

~ı = (0, ωz,−ωy) , ~ = (−ωz, 0, ωx) , ~k = (ωy,−ωx, 0) (2.25)

adica se va putea scrie (formulele lui Poisson) :

~ı = ~ω ×~ı , ~ = ~ω × ~ , ~k = ~ω × ~k (2.26)

unde vectorul ~ω(ωx, ωy, ωz) caracterizeaza rotatia la un moment dat a sistemului Oxyz ınraport cu O1x1y1z1 si de aceea poarta numele de vectorul rotatie . Componentele (2.24)ale acestui vector pot fi folosite de asemenea pentru a preciza orientatile axelor sistemuluimobil ın raport cu cele ale sistemului fix.

Semnificatia fizica a vectorului rotatie poate fi pusa foarte usor ın evidenta examinandcazul particular cand sistemul mobil este rotit ın raport cu cel fix cu unghiul ψ ın jurul axeiOz1 , care coincide cu axa Oz (v. Fig. 2.2) . Deoarece :

~ı = cos ψ~ı1 + sin ψ~1 , ~ı = ψ (− sin ψ~ı1 + cos ψ~1) = ψ ~

~ = − sin ψ~ı1 + cos ψ~1 , ~ = − ψ ( cos ψ~ı1 + sin ψ~1) = − ψ~ı

~k = ~k1 , ~k = 0

(2.27)

folosind definitiile (2.24) rezulta :

ωx = ~ · ~k = 0 , ωy = ~k ·~ı = 0 , ωz = ~ı · ~ = ψ (2.28)

2.3. MISCAREA RELATIVA 21

Figura 2.2: Rotatia cu unghiul ψ ın jurul axei Oz1

In consecinta, ın situatia studiata, vectorul rotatie are drept suport chiar axa ın jurul careiaa avut loc rotatia. Observatia ısi pastreaza valabilitatea si ın cazul unor rotatii ın jurul unoraxe de tip Ox sau Oy , sau ın cazul unei rotatii un jurul unei axe avand o orientare oarecare,cand toate cele trei componente ale vectorului rotatie pot fi diferite de zero.

Legatura dintre derivata unui vector ~V raportat la sistemul fix si derivata aceluiasi vector,ınsa raportat la sistemul mobil, se obtine derivand dupa timp identitatea :

Vx1~ı1 + Vy1

~1 + Vz1~k1 = Vx~ı + Vy ~ + Vz

~k (2.29)

si folosind formulele lui Poisson :

Vx1~ı1 + Vy1

~1 + Vz1~k1 = Vx~ı + Vy ~ + Vz

~k + Vx~ı + Vy ~ + Vz~k =

= Vx~ı + Vy ~ + Vz~k + ~ω × (Vx~ı + Vy ~ + Vz

~k) (2.30)

Definind derivata absoluta a vectorului ~V , raportat la sistemul fix :

d~V

dt= Vx1

~ı1 + Vy1~1 + Vz1

~k1 (2.31)

si derivata relativa a aceluiasi vector ~V , raportat la sistemul mobil, calculata ca si cumversorii ~ı , ~ , ~k nu ar depinde de timp :

d′ ~Vdt

= Vx~ı + Vy ~ + Vz~k (2.32)

relatia (2.30) devine :

d~V

dt=

d′ ~Vdt

+ ~ω × ~V (2.33)

unde ın membrul drept, vectorul ~V este raportat la sistemul mobil.Folosind (2.33), pot fi deduse expresiile vitezei si acceleratiei punctului ın miscarea rela-

tiva. Conform Fig. 2.1 , se poate scrie ca :

~r1 = ~rO + ~r (2.34)


Derivand aceasta relatie dupa timp, rezulta :

d~r1

dt=

d~rO

dt+

d′~rdt

+ ~ω × ~r (2.35)

Aici :

~va =d~r1

dt(2.36)

reprezinta viteza punctului P ın raport cu sistemul fix, adica viteza absoluta , iar

~vr =d′~rdt

(2.37)

reprezinta viteza aceluiasi punct P ın raport cu sistemul mobil, adica viteza relativa .Notand cu :

~vt = ~vO + ~ω × ~r (2.38)

viteza pe care ar avea-o punctul P daca ar fi legat solidar de sistemul Oxyz , adica vitezade transport , formula de compunere a vitezelor ın miscarea relativa va fi :

~va = ~vO + ~vr + ~ω × ~r = ~vr + ~vt (2.39)

Derivand ınca o data dupa timp relatia (2.35), se obtine :

d2~r1

dt2=

d2~rO

dt2+

d′ 2~rdt2

+ ~ω × d′~rdt

+d~ω

dt× ~r + ~ω × d′~r

dt+ ~ω × (~ω × ~r)

=d2~rO

dt2+

d′ 2~rdt2

+ 2 ~ω × ~vr + ~ω × ~r + ~ω × (~ω × ~r) (2.40)

Aici :

~aa =d2~r1

dt2(2.41)

reprezinta acceleratia punctului P ın raport cu sistemul fix, adica acceleratia absoluta ,iar

~ar =d′ 2~rdt2

(2.42)

reprezinta acceleratia aceluiasi punct P ın raport cu sistemul mobil, adica acceleratia re-lativa . Notand :

~at = ~aO + ~ω × ~r + ~ω × (~ω × ~r) (2.43)

acceleratia de transport , care se compune din acceleratia de translatie a originii O , dinacceleratia unghiulara ~ω × ~r si din acceleratia centripeta ~ω × (~ω × ~r) , si

~ac = 2 ~ω × ~vr (2.44)

acceleratia Coriolis , care se datoreste rotatiei sistemului mobil combinata cu miscarea luiP ın raport cu acest sistem, legea de compunere a acceleratiilor ın miscarea relativa devine :

~aa = ~ar + ~at + ~ac (2.45)

2.4. SISTEME INERTIALE 23

Folosind aceste rezultate, poate fi dedusa ecuatia miscarii relative . Deoarece ecuatialui Newton este adevarata doar daca miscarea este raportata la un sistem de referinta abso-lut : m~aa = ~F , ınlocuind aici pe (2.45) rezulta :

m (~ar + ~at + ~ac) = ~F (2.46)

de unde pentru miscarea relativa se obtine ecuatia :

m~ar = ~F + ~Ft + ~Fc (2.47)

unde s-au facut notatiile :

~Ft = −m~at = −m[~aO + ~ω × ~r + ~ω × (~ω × ~r)

]

~Fc = −m~ac = − 2 m ~ω × ~vr

(2.48)

Se observa ca miscarea relativa a unui punct material poate fi determinata cu ajutorul uneiecuatii similare cu cea a lui Newton, ınsa pe langa forta data ~F , vor trebui introduse douaforte complementare : ~Ft - forta de transport si ~Fc - forta Coriolis , care se datorescluarii ın considerare a miscarii sistemului mobil. Fortele ~Ft si ~Fc sunt numite si forteinertiale , deoarece ele sunt proportionale cu masa inerta a punctului. Acestea sunt nisteforte reale pentru un observator legat solidar de sistemul de referinta mobil, spre deosebirede observatorul din sistemul fix pentru care aceste forte complementare nu exista.

Folosind ecuatia (2.47) poate fi scrisa usor conditia de echilibru relativ ın sistemulmobil :

~F + ~Ft = 0 (2.49)

deoarece ın aceasta situatie ~vr = ~ar = 0 si deci ~Fc = 0 .

2.4 Sisteme inertiale

Se observa ca daca simultan ~ω = 0 si ~aO = 0 , atunci se anuleaza fortele complementarecare actioneaza asupra punctului ın miscarea relativa. Invers, daca ~Ft = 0 si ~Fc = 0 pentruorice ~r , atunci obligator va trebui ca ~ω = 0 si ~aO = 0 .

Conditia ~ω = 0 implica faptul ca versorii ~ı , ~ , ~k au directii fixe, asa ıncat ın particularei pot fi alesi coliniari cu versorii ~ı1 , ~1 , ~k1 . Conditia ~aO = 0 implica relatia evidenta(~vO = ~v 0

O = const .) :~rO(t) = ~v 0

O t + ~r 0O (2.50)

adica originea O a sistemului mobil se gaseste ın miscare rectilinie uniforma, sau ın repausdaca ~v 0

O = 0 , ın raport cu sistemul fix.Astfel, daca sistemul mobil efectueaza o miscare de translatie rectilinie uniforma ın ra-

port cu cel fix, ecuatia de miscare a punctului material are aceeasi forma generala ın ambelesisteme de referinta. Observand ca principiul inertiei se prezinta la fel ın ambele sisteme dereferinta, deoarece din formula de compunere a vitezelor rezulta ca daca ~va = const . atuncisi ~vr = const . , iar principiul egalitatii actiunii si reactiunii este independent de sistemul dereferinta ales, se poate afirma ca legile lui Newton si deci principiile mecanicii new-toniene se prezinta la fel ın sistemele de referinta aflate ın miscare de translatie


rectilinie si uniforma unele fata de altele . Aceste sisteme sunt numite si sistemeinertiale , deoarece conserva principiul inertiei. Evident, prin experiente pur mecanice, nupoate fi detectat din interiorul unui astfel de sistem, faptul ca acesta se gaseste ın miscare detranslatie rectilinie si uniforma. Aceste observatii reunite alcatuiesc principiul relativitatiigalileene . Ipoteza privind existenta unui sistem de referinta fix ısi pierde importanta, deoa-rece din punctul de vedere a relativitatii galileene, nu mai este necesara luarea ın considerarea unui sistem privilegiat.

Presupunand ca la momentul initial originile a doua sisteme inertiale coincid (~r 0O = 0)

si notand cu ~v 0 viteza relativa de translatie, din (2.34) si (2.50) rezulta relatiile dintrecoordonatele aceluiasi punct ın cele doua sisteme de referinta :

x1 = v0x t + x

y1 = v0y t + y

z1 = v0z t + z

(2.51)

Ecuatiile (2.51) sunt cunoscute si sub numele de transformarea lui Galilei . Principiulrelativitatii galileene poate fi reformulat si ın sensul ca legile mecanicii newtoniene suntinvariante ın raport cu transformarea lui Galilei.

Capitolul 3

Dinamica punctului material

3.1 Integralele prime ale miscarii

Dupa cum s-a aratat, daca sunt ındeplinite anumite conditii, ecuatiile de miscare :

m~r = ~F (t, ~r, ~r) (3.1)

admit o solutie unica care depinde de sase constante de integrare, care se determina impunandconditiile initiale. In o serie de situatii, problema determinarii miscarii este mult simplificatadaca sunt cunoscute una sau mai multe integrale prime ale miscarii.

Vom numi integrala prima a ecuatiilor de miscare (3.1), o functie de timp, decoordonata si viteza punctului, care ın cursul miscarii ısi pastreaza o valoare constanta,determinata de conditiile initiale :

f(t, ~r, ~r) = C unde C = f(t0, ~r0, ~r0) (3.2)

Daca este cunoscut setul complet de sase integrale prime independente de forma (3.2) :

fα(t, ~r, ~r) = Cα ; α = 1, . . . , 6 (3.3)

problema determinarii miscarii se reduce la rezolvarea sistemului algebric (3.3), care conducela determinarea dependentei de timp a vectorului de pozitie (si a vitezei), ın functie decele sase constante care se determina din conditiile initiale. Aceasta situatie ideala esterar ıntalnita, putine fiind problemele pentru care este posibila scrierea setului complet deintegrale prime independente. Dupa cum rezulta din aplicatii, chiar daca este cunoscut unnumar mai mic de integrale prime, problema determinarii miscarii pornind de la ecuatiile(3.1) este mult simplificata.

Aceste integrale prime ale miscarii pot fi scrise destul de usor, daca asupra punctuluimaterial este aplicata o forta de o forma particulara. Cunoasterea integralelor prime, careexprima legile de conservare ale unor marimi fizice importante care caracterizeaza miscarea,devine esentiala ın problemele pentru care, chiar daca solutia exista si este unica, aceastanu poate fi dedusa prin metode analitice cunoscute. In astfel de situatii, integralele primefurnizeaza informatii cu privire la proprietatile miscarii punctului material pe traiectorie.

25

26 CAPITOLUL 3. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL

3.2 Teoreme generale

3.2.1 Teorema impulsului

Prin definitie, impulsul unui punct material de masa m care se deplaseaza cu viteza ~v ,reprezinta marimea vectoriala :

~p = m~v = m~r (3.4)

Folosind ecuatia lui Newton m~r = ~F si axioma constantei masei, se va putea scrie :

m~r = md~r

dt=

d(m~r)

dt=

d~p

dt= ~p = ~F (3.5)

adica : miscarea punctului material se face astfel ıncat, ın orice moment, derivataimpulsului este egala cu rezultanta fortelor aplicate punctului .

In particular, daca proiectia fortei pe o axa arbitrara fixa este nula la orice moment detimp, atunci proiectia impulsului pe axa respectiva este o constanta a miscarii. Daca, deexemplu, axa fixa este Oz si Fz = 0 , atunci din (3.5) rezulta :

~p · ~k = ~F · ~k = 0 adicad

dt(~p · ~k) = 0 deci ~p · ~k = const . (3.6)

integrala prima avand expresia :m z = const . (3.7)

Daca ın general ~F = 0 , se obtine urmatoarea lege de conservare : ın cazul ın carerezultanta fortelor aplicate punctului material este nula, atunci impulsul ~p esteconstant ın tot cursul miscarii (principiul inertiei). Rezulta trei integrale prime :

m x = Cx

m y = Cy

m z = Cz

(3.8)

Sa observam ca daca este nula proiectia fortei pe o axa mobila , atunci nu este obligatorca proiectia impulsului pe aceeasi axa sa fie o constanta. Intr-adevar, folosind coordonatelepolare, Fr are expresia :

Fr = m ar = m (r − rθ2) (3.9)

Este evident ca din anularea expresiei (3.9) rezulta pr = mvr = m r = const . numai dacaθ = 0 , ceea ce este imposibil daca axa este mobila.

3.2.2 Teorema momentului cinetic

Prin definitie, momentului cinetic al unui punct material ın raport cu o origine O estemarimea vectoriala :

~L = ~r × ~p = ~r ×m~r = m (~r × ~v) = 2 m ~Ω (3.10)

Inmultind vectorial la stanga ecuatia ~F = m~r cu ~r si observand ca :

~r × ~F = ~r ×m~r = ~r ×md~r

dt=

d

dt(~r ×m~r) =

d

dt(~r × ~p) =

d~L

dt= ~L (3.11)

3.2. TEOREME GENERALE 27

deoarece ~MO(~F ) = ~r × ~F este momentul ın O al rezultantei fortelor, se obtine egalitatea :

~L = ~MO(~F ) (3.12)

adica : miscarea punctului material se face astfel ıncat, ın orice moment, derivatamomentului cinetic este egala cu momentul rezultantei fortelor aplicate, ambelemarimi fiind calculate ın raport cu aceeasi origine .

In particular, daca proiectia momentului fortei pe o axa fixa este nula la orice momentde timp, atunci proiectia momentului cinetic pe aceeasi axa este o constanta. Alegand dreptaxa fixa axa Oz , din (3.12) rezulta :

~L · ~k = ~MO(~F ) · ~k = 0 adicad

dt(~L · ~k) = 0 (3.13)

adica :~L · ~k = m (~r × ~v) · ~k = 2 m ~Ω · ~k = const . (3.14)

In coordonate carteziene, integrala prima are expresia :

m (xy − yx) = const . (3.15)

In Fig. 3.1 se presupune ca suportul fortei ~F trece prin axa fixa Oz . Deoarece ın aceastasituatie (~r × ~F ) · ~k = 0 , sunt realizate conditiile cerute de cazul particular descris mai sus.Conform ultimei egalitati din (3.14), deplasarea punctului pe traiectorie se face astfel, ıncat

proiectia sa pe orice plan perpendicular pe ~k se misca cu viteza areolara constanta.

Figura 3.1: Conservarea momentului cinetic

Daca ın general ~MO(~F ) = 0 , atunci din (3.12) rezulta urmatoarea lege de conservare :ın cazul ın care momentul rezultantei ın O al fortelor aplicate punctului estenul, atunci momentul cinetic ~L ın raport cu acelasi punct O este constant ın totcursul miscarii . Pot fi scrise integralele prime :

m (yz − zy) = Cx

m (zx− xz) = Cy

m (xy − yx) = Cz

(3.16)


Aceasta ultima situatie se realizeaza cand asupra punctului material actioneaza forte cen-trale :

~F = F (r)~r

r(3.17)

Deoarece suportul unei forte de tip central trece ıntotdeauna prin origine, momentul acesteiaeste ıntotdeauna nul, momentul cinetic se conserva, si se va putea scrie egalitatea :

~r × ~v = ~r 0 × ~v 0 (3.18)

Observand ca :~r · (~r × ~v) = ~r · (~r 0 × ~v 0) = 0 (3.19)

rezulta ca sub actiunea unor forte de tip central, miscarea punctului material este ıntotdeaunaplana , vectorul de pozitie ~r aflandu-se tot timpul ın planul determinat de vectorii ~r 0 si ~v 0 .In acest plan, miscarea se efectueaza cu viteza areolara constanta . Daca vitezaareolara este nula, atunci ~r 0‖~v 0 si miscarea este rectilinie.

Figura 3.2: Planul miscarii sub actiunea fortelor centrale

3.2.3 Teorema energiei

Energia cinetica reprezinta prin definitie marimea scalara :

T =1

2mv2 =

1

2m~v 2 =

1

2m~r

2(3.20)

Inmultind scalar cu d~r ecuatia m~r = ~F si observand ca :

m~r d~r = m~r ~r dt = m~r d~r = d(

1

2m~r

2)

= dT (3.21)

notand lucrul mecanic elementar efectuat de rezultanta ~F a fortelor aplicate cu :

dL = ~F · d~r (3.22)

se obtine :dT = dL (3.23)


adica : miscarea punctului se face astfel ıncat, ın orice moment, diferentiala totalaa energiei cinetice este egala cu lucrul mecanic elementar efectuat de rezultantafortelor aplicate .

Pentru o deplasare finita a punctului material ıntre doua stari (1) si (2) , observand caenergia cinetica (3.20) este o functie de stare, prin integrarea ecuatiei (3.23) rezulta :

T2 − T1 =

(2)∫

(1)

~F · d~r (3.24)

Deoarece ın general ~F = ~F (t, ~r, ~r) , pentru a calcula integrala din membrul drept, va trebuicunoscuta de obicei legea de miscare ~r = ~r(t) a punctului. Exista ınsa o clasa destul delarga de forte, pentru care poate fi calculat lucrul mecanic efectuat la o deplasare, fara a ficunoscuta forma traiectoriei. Acestea sunt fortele potentiale stationare.

O forta ~F = ~F (t, ~r) este potentiala , daca ea ındeplineste conditia :

rot ~F = 0 (3.25)

Aceasta conditie poate fi satisfacuta daca exista o functie scalara V = V (t, ~r) , asa ıncat :

~F = − grad V (3.26)

Se spune despre functia V ca ea reprezinta potentialul din care deriva forta. In acest caz,lucrul mecanic elementar are expresia :

dL = ~F · d~r = −∇V · d~r = −(

∂V

∂xdx +

∂V

∂ydy +

∂V

∂zdz

)= − dV +

∂V

∂tdt (3.27)

Pentru o forta potentiala stationara , va trebui ca∂V

∂t= 0 si lucrul mecanic elementar

devine o diferentiala totala exacta :

~F · d~r = − dV (3.28)

La o deplasare finita, lucrul mecanic nu va depinde de forma traiectoriei, ci doar de valorilefunctiei V ın starea initiala si ın cea finala :

L12 =

(2)∫

(1)

~F · d~r = −(2)∫

(1)

dV = V1 − V2 (3.29)

Inlocuind (3.29) ın (3.24), se va putea scrie ca :

T1 + V1 = T2 + V2 (3.30)

semnificatia fizica a functiei V fiind cea de energie potentiala a punctului material ıncampul fortelor potentiale stationare. Daca se cunoaste ~F (~r) , din (3.28) rezulta expresia


potentialului V (~r) din care deriva forta potentıala stationara corespunzatoare, sub formaunei integrale nedefinite :

V = −∫

~F · d~r + C (3.31)

unde C este o constanta care stabileste nivelul de zero al energiei potentiale.In cazul unei forte centrale de forma (3.17), deoarece ~r d~r = r dr , din (3.31) se obtine :

V = −∫

F (r) dr + C (3.32)

Pentru forta de atractie newtoniana :

~F = − fm1m2

r2

~r

rrezulta V (r) = − f

m1m2

r; C = V (∞) = 0 (3.33)

iar pentru forta elastica :

~F = − k ~r = − kr~r

rrezulta V (r) =

kr2

2; C = V (0) = 0 (3.34)

Daca forta potentiala este nestationara , pentru calculul lucrului mecanic la o deplasarefinita va trebui folosita formula generala (3.27) :

L12 =

(2)∫

(1)

~F · d~r = V1 − V2 +

(2)∫

(1)

∂V

∂tdt (3.35)

Deoarece acum V = V (t, ~r) , este evident ca rezultatul depinde de forma traiectoriei, ultimaintegrala putand fi calculata numai daca se cunoaste legea de miscare ~r = ~r(t) .

In afara fortelor potentiale, ın studiul miscarii pot fi ıntalnite si alte tipuri de forte.Dintre acestea amintim fortele giroscopice ~F g , care sunt ın general liniare ın viteza siıntotdeauna perpendicualre pe ~v . Lucrul mecanic al fortelor giroscopice este ıntotdeaunanul. Astfel, ın cazul fortei Lorentz, se verifica direct ca :

dLg = ~F g · d~r = q (~v × ~B)~v dt = 0 (3.36)

O alta categorie de forte nepotentiale ıl reprezinta fortele disipative ~F d , care sunt orientatede obicei ın sens opus vitezei, acestea aparand atunci cand corpul se deplaseaza ıntr-un mediucare ıi opune rezistenta. Lucrul mecanic al fortelor disipative este negativ :

dLd = ~F d · d~r = − k ~v · ~v dt ≤ 0 (k > 0) (3.37)

Presupunand ca asupra unui corp actioneaza toate cele trei tipuri de forte :

~F = −∇V + ~F g + ~F d (3.38)

lucrul mecanic elementar efectuat de aceste forte va fi :

dL = ~F d~r = − dV +∂V

∂tdt + ~F d~v dt (3.39)

3.3. DINAMICA PUNCTULUI SUPUS LA LEGATURI 31

Definind energia mecanica totala E a punctului ca suma dintre energia cinetica si ceapotentiala :

E = T + V (3.40)

folosind teorema energiei (3.23) se deduce expresia variatiei acesteia ın unitate de timp :

E =dE

dt=

dT

dt+

dV

dt=

dLdt

+dV

dt= − ∂V

∂t+ ~F d~v (3.41)

Se observa ca ın general energia mecanica totala a punctului material poate sa creasca, sascada, sau sa se conserve. In particular, daca asupra punctului material nu actioneazaforte disipative, iar fortele potentiale sunt stationare, atunci energia mecanicatotala se conserva :

E =1

2mv2 + V (~r) =

1

2m (x2 + y2 + z2) + V (x, y, z) = h (3.42)

Rezultatul constituie o noua integrala prima a ecuatiilor de miscare, numita integrala ener-giei si ea permite determinarea valorii vitezei punctului ın functie de pozitie, fara a mairezolva ecuatiile de miscare.

3.3 Dinamica punctului supus la legaturi

Exista situatii cand ın cursul miscarii, indiferent de fortele aplicate, sunt impuse restrictiiın ceea ce priveste pozitiile posibile pe care la poate ocupa punctul material ın spatiu. Deexemplu, daca ın cursul miscarii punctul este constrans sa ramana tot timpul pe o suprafatadata, atunci coordonatele punctului vor trebui sa satisfaca la ecuatia suprafetei :

f(t, x, y, z) = 0 (3.43)

Daca punctul este obligat sa ramana pe o curba, atunci ın cursul miscarii vor trebui sa fieındeplinite simultan ecuatiile celor doua suprafete a caror intersectie furnizeaza curba data :

f1(t, x, y, z) = 0

f2(t, x, y, z) = 0(3.44)

In ambele cazuri se spune ca punctul se misca sub actiunea fortelor ce actioneaza asuprasa, doar ın limitele admise de legaturi. Daca timpul t nu intervine explicit ın ecuatiilelegaturilor, acestea sunt numite stationare , sau scleronome . De exemplu, daca punctuleste constrans sa se miste pe o sfera fixa de raza R cu centrul ın origine, ecuatia legaturii vafi :

x2 + y2 + z2 −R2 = 0 (3.45)

Daca timpul intervine explicit ın ecuatiile legaturilor, acestea sunt numite nestationare ,sau reonome . De exemplu, pentru punctul constrans sa se miste pe o sfera de raza R , acarei centru de deplaseaza uniform cu viteza v0 ın lungul axei 0x , va trebui ca :

(x− v0t)2 + y2 + z2 −R2 = 0 (3.46)


Legaturile pot fi ideale , adica fara frecare, si reale , adica cu frecare. In cele ce urmeazavor fi studiate doar legaturile ideale.

Sunt situatii cand legaturile sunt exprimate prin inegalitati. Astfel, restrictia ca ın cursulmiscarii punctul sa se gaseasca tot timpul de aceeasi parte a unei suprafete date, se va scrie :

f(t, x, y, z) > 0 sau f(t, x, y, z) < 0 (3.47)

Legaturile exprimate prin egalitati poarta numele de legaturi bilaterale , iar cele exprimateprin inegalitati sunt numite legaturi unilaterale . Restrictia ca ın cursul miscarii, punctulsa se afle tot timpul ın interiorul sferei fixe de raza R cu centrul ın origine, se scrie :

x2 + y2 + z2 −R2 < 0 (3.48)

Pentru a scrie ecuatia de miscare a punctului material supus la legaturi, sa observamca ın cazul punctului constrans sa ramana tot timpul pe o suprafata sau o curba, avem dea face cu un sistem material ın interactiune , format din punctul material si suprafatasau curba respectiva. La tendinta punctului material de a parasi suprafata sau curba, se vaopune reactiunea acesteia. Din acest motiv putem admite ca prezenta legaturii echivaleazacu o forta suplimentara ~R , asa ıncat sub actiunea fortelor date ~F si a fortei ~R , punctul sapoata fi considerat liber (axioma de legatura). Ecuatia de miscare se va putea scrie :

m~a = ~F + ~R (3.49)

Forta ~R poarta numele de forta de legatura , sau reactiune , ea fiind o marime apriorinecunoscuta. Se stie ca ın cazul legaturilor ideale, forta ~R este ıntotdeauna normala lasuprafata sau curba. In cazul unei suprafete, avem ca :

~R = λ

(∂f

∂x~ı +

∂f

∂y~ +

∂f

∂z~k

)= λ grad f (3.50)

iar ın cazul unei curbe, reactiunea ~R se gaseste ın planul determinat de cele doua normale la

Figura 3.3: Reactia legaturii pentru punctul constrans se se miste pe o curba

suprafetele a caror intersectie determina curba, ın punctul curent de pe curba (v. Fig. 3.3) :

~R = λ1 grad f1 + λ2 grad f2 (3.51)

3.3. DINAMICA PUNCTULUI SUPUS LA LEGATURI 33

Admitand ca legaturile sunt ideale, proiectand ecuatia (3.49) pe tangenta ıntr-un punctal traiectoriei, se obtine o ecuatie independenta de reactiune, ecuatie suficienta pentru de-terminarea ecuatiei orare a miscarii s = s(t) , deoarece se stie ca pozitia punctului pe curbapoate fi precizata si cu ajutorul unui singur parametru, care este lungimea arcului masuratde la originea de masurare a arcelor pe traiectorie. Odata determinata aceasta functie, prinproiectarea ecuatiei (3.49) pe normala la traiectorie, va putea fi determinata reactiunea.Intr-adevar, deoarece ın planul osculator construit ıntr-un punct oarecare al traiectoriei~r = ~r(s) ; s = s(t) , acceleratia are expresia :

~a = s ~τ +v2

ρ~ν = s ~τ +

s2

ρ~ν (3.52)

proiectiile ecuatiei (3.49) pe tangenta, respectiv normala la traiectorie, conduc la ecuatiile :

m s = ~F · ~τ

ms2

ρ= ~F · ~ν + ~R · ~ν

(3.53)

Solutia primei ecuatii este functia s = s(t) , care ınlocuita ın cea de a doua ecuatie permitedeterminarea reactiei legaturii :

~R(t) = ms2

ρ~ν − (~F · ~ν)~ν (3.54)

Procedeul descris este avantajos doar pentru studiul miscarii punctului constrans sa se mistepe curbe sau suprafete relativ simple, ca de exemplu cercul sau sfera.

Teorema impulsului si teorema momentului cinetic pentru punctul supus la legaturi nuprezinta un interes deosebit, aparand ın plus doar termenii corespunzatori luarii ın conside-rare a reactiunii legaturii :

~p = ~F + ~R

~L = ~MO(~F ) + ~MO(~R)(3.55)

Un rezultat interesant se obtine din teorema energiei :

dT = dL = ~F d~r + ~R d~r (3.56)

daca punctul este constrans sa se miste fara frecare pe o suprafata f = 0. In aceasta situatie :

~R d~r = λ

(∂f

∂xdx +

∂f

∂ydy +

∂f

∂zdz

)= λ

(df − ∂f

∂tdt

)= −λ

∂f

∂tdt (3.57)

deoarece df = 0 . Daca ın plus legatura ideala este si scleronoma :∂f

∂t= 0 , atunci lucrul me-

canic al reactiei legaturii este nul, teorema energiei avand enuntul si consecintele identice cucele din cazul miscarii punctului material liber. Astfel, daca asupra punctului nu actioneazaforte disipative, fortele potentiale sunt stationare, iar legatura este ideala si scleronoma,energia mecanica totala este o integrala prima, care nu depinde de reactia ~R a legaturii.

Capitolul 4

Dinamica sistemelor de punctemateriale

Se studiaza miscarea unui ansamblu finit de N puncte materiale Pi(mi, ~ri) ; i = 1, . . . , Naflate ın interactiune. Pozitia sistemului la un moment dat este data de ansamblul vectorilorde pozitie ~ri = ~ri(xi, yi, zi) ; i = 1, . . . , N . Sistemul are 3N grade de libertate, iar miscareasistemului este determinata de cunoasterea functiilor ~ri = ~ri(t) ; i = 1, . . . , N , ca solutii alesistemului de N ecuatii de miscare scrise pentru fiecare punct i care alcatuieste ansamblul :

mi~ri = ~Fi +N∑

j=1j 6=i

~Fij ; i = 1, . . . , N (4.1)

Aici ~Fi reprezinta rezultanta fortelor exterioare aplicate ın Pi , iar ~Fij reprezinta actiunile

punctelor Pj ; j = 1, . . . , N ; j 6= i care se exercita asupra punctului Pi . In general

interactiunile ~Fij , numite si forte interioare , nu sunt cunoscute apriori si nici nu pot fideterminate fara a face ipoteze suplimentare privind structura si modul de deformare a sis-temului. Miscarea sistemului nu poate fi determinata complet fara a cunoaste interactiunilesi de obicei nici interactiunile nu pot fi determinate daca nu se cunoaste miscarea.

Problema generala a dinamicii sistemelor de puncte materiale consta ın adetermina miscarea si interactiunile. Deoarece problema pusa astfel este mult maicomplexa decat cea privind studiul miscarii punctului material, liber sau supus la legaturi,ın cele ce urmeaza ne vom limita doar la a indica modul ın care pornind de la ecuatiile(4.1) pot fi obtinute cateva teoreme generale , care caracterizeaza miscarea de ansamblua sistemului si care ne pot furniza unele integrale prime . O integrala prima a sistemuluide ecuatii de miscare (4.1) este o functie de timp, de coordonatele si vitezele punctelor carealcatuiesc sistemul, care pastreaza o valoare constanta ın cursul evolutiei sistemului :

f(t, ~r1, . . . , ~rN , ~r1, . . . , ~rN) = C unde C = f(t0, ~r01 , . . . , ~r 0

N , ~r0

1 , . . . , ~r0

N) (4.2)

Deoarece acum setul complet de integrale prime independente este 6N , devine practic im-posibila determinarea miscarii pornind numai de la integrale prime, prin rezolvarea unuisistem algebric, aceasta pentru ca ın mecanica newtoniana nu exista o metoda coerenta deconstruire a setului complet de integrale prime independente, pornind de la cateva cunoscute.

34


4.1 Teoreme generale

4.1.1 Teorema impulsului si teorema miscarii centrului de masa

Prin definitie, impulsul total al sistemului de puncte materiale este vectorul :

~p =N∑

i=1

mi~vi =N∑

i=1

mi~ri (4.3)

Sumand ecuatiile (4.1) pe toate punctele sistemului, rezulta :

N∑

i=1

mi~ri =N∑

i=1

mid~ri

dt=

d

dt

(N∑

i=1

mi~ri

)=

d~p

dt= ~p (4.4)

respectiv :N∑

i=1

~Fi = ~F (4.5)

unde ~F reprezinta rezultanta tuturor fortelor exterioare aplicate asupra sistemului de puncte,iar :

N∑

i,j=1j 6=i

~Fij =N∑

i<j

(~Fij + ~Fji) = 0 (4.6)

rezultanta fortelor interioare fiind zero datorita principiului egalitatii actiunii cu reactiunea.Reunind rezultatele, se obtine ecuatia :

~p = ~F (4.7)

care exprima faptul ca miscarea sistemului se face astfel ıncat ın orice momentderivata impulsului total ın raport cu timpul este egala cu rezultanta fortelorexterioare (teorema impulsului).

Daca rezultanta fortelor exterioare care actioneaza asupra sistemului este nula ( ~F = 0) ,atunci impulsul total al sistemului se conserva :

N∑

i=1

mi~ri = ~p0 unde ~p0 =N∑

i=1

mi~r0

i =N∑

i=1

mi~v0i (4.8)

rezultand astfel trei integrale prime scalare. Conditia ~F = 0 se realizeaza ın cazul unui sistemınchis sau izolat , interactiunea acestuia cu corpurile ınconjuratoare fiind neglijabila.

Pornind de la definitia pentru vectorul de pozitie al centrului de masa :

~rc =1

M

N∑

i=1

mi~ri ; M =N∑

i=1

mi (4.9)

prin derivare de doua ori dupa timp, folosind (4.4) rezulta :

M ~rc =N∑

i=1

mi~ri = ~p (4.10)

36 CAPITOLUL 4. DINAMICA SISTEMELOR DE PUNCTE MATERIALE

si ın conformitate cu ecuatia (4.7) se poate scrie :

M ~rc = ~F (4.11)

adica : centrul de masa al unui sistem de puncte materiale se misca la fel ca unpunct material ın care ar fi concentrata ıntreaga masa a sistemului si ın carear fi aplicata rezultanta fortelor exterioare (teorema miscarii centrului de masa). Seobserva ca fortele interioare nu au nici o influenta asupra miscarii centrului de masa. Astfel,ın cazul unui proiectil care explodeaza, centrul de masa al fragmentelor sale are aceeasimiscare, neglijand rezistenta aerului, pe care ar avea-o proiectilul daca nu ar exploda.

In cazul unui sistem ınchis, centrul de masa are o miscare rectilinie si uniforma, sauramane ın repaus, chiar daca elementele sistemului pot avea miscari diferite sub influentafortelor interioare. Din acest motiv un om nu poate ınainta pe o gheata perfect lucie,greutatea omului fiind anulata de reactiunea ghetii, rezultanta fortelor fiind astfel nula.

In baza teoremei miscarii centrului de masa, apare posibilitatea asimilarii miscarii unuicorp de dimensiuni finite, cu miscarea unui singur punct, care este chiar centrul de masa alcorpului respectiv.

4.1.2 Teorema momentului cinetic

Momentul cinetic total ın raport cu O al unui sistem de puncte materiale are expresia :

~L =N∑

i=1

~Li =N∑

i=1

(~ri × ~pi) =N∑

i=1

(~ri ×mi~ri) =N∑

i=1

mi(~ri × ~vi) = 2N∑

i=1

mi~Ωi (4.12)

Inmultind vectorial la stanga fiecare din ecuatiile (4.1) cu ~ri si sumand pe toate punctelesistemului, rezulta :

N∑

i=1

(~ri ×mi~ri) =N∑

i=1

(~ri ×mi

d~ri

dt

)=

N∑

i=1

d

dt(~ri ×mi~ri) =

d

dt

N∑

i=1

(~ri × ~pi) =d~L

dt= ~L (4.13)

respectiv :N∑

i=1

(~ri × ~Fi) = ~MO(~F ) (4.14)

unde ~MO(~F ) reprezinta momentul rezultant ın O al fortelor exterioare, iar :

N∑

i,j=1j 6=i

(~ri× ~Fij) =N∑

i<j

[ (~ri× ~Fij)+ (~rj × ~Fji) ] =N∑

i<j

[ (~ri−~rj)× ~Fij ] =N∑

i<j

(~rij × ~Fij) = 0 (4.15)

unde ın calcule s-a tinut cont de principiul egalitatii actiunii cu reactiunea. Reunind rezul-tatele, se obtine ecuatia :

~L = ~MO(~F ) (4.16)

adica : miscarea sistemului se face astfel ıncat ın orice moment derivata mo-mentului cinetic total ın raport cu timpul este egala cu momentul rezultant al


fortelor exterioare (teorema momentului cinetic). Evident, ambele marimi sunt calculateın raport cu aceeasi origine O . Similar cu (4.7), si ecuatia (4.16) prezinta avantajul ca esteindependenta de interactiuni.

Daca exista un punct O ın spatiu, ın raport cu care momentul rezultant al fortelor exte-rioare este nul, atunci ın tot cursul miscarii se conserva momentul cinetic total al sistemuluiın raport cu punctul respectiv :

N∑

i=1

(~ri ×mi~vi) = 2N∑

i=1

mi~Ωi = ~L0 unde ~L0 =

N∑

i=1

(~r 0i ×mi~v

0i ) = 2

N∑

i=1

mi~Ω0

i (4.17)

Proiectia momentului cinetic total pe orice axa care trece prin O va fi de asemenea o con-stanta. Daca axa este de tip Oz , atunci :

N∑

i=1

(~ri ×mi~vi) · ~k = 2N∑

i=1

mi~Ωi · ~k = const . (4.18)

In consecinta : ariile descrise de proiectiile punctelor sistemului pe orice plan caretrece prin O , ınmultite cu masele respective si sumate, dau o constanta ; ariilerespective vor fi maxime ın planul perpendicular pe vectorul ~L0 (teorema ariilor).

Deoarece ın coordonate polare ~Ωi · ~k =1

2r2i θi , din (4.18) rezulta

N∑

i=1

mir2i θi = const . , ceea

ce ınseamna ca atunci cand o parte din proiectiile punctelor sistemului se misca ıntr-un sens(θ > 0) , proiectiile celorlalte puncte trebuie sa se miste ın sens contrar (θ < 0) . Evident,toate aceste observatii ısi pastreaza valabilitatea si pentru un sistem ınchis .

Teorema I a lui Koenig

Sa observam ca din teorema impulsului ~p = ~F si teorema miscarii centrului de masaM ~rc = ~F , rezulta ca impulsul total al sistemului coincide cu impulsul centruluide masa , ın care se considera ca este concentrata ıntreaga masa a sistemului. In cazulmomentului cinetic total situatia este ceva mai complexa. Presupunand ca centrul de masa

Figura 4.1: Centrul de masa al sistemului de puncte materiale

constituie originea unui sistem de referinta avand vectorul de pozitie ~rc ın raport cu O , dinFig. 4.1 rezulta :

~ri = ~rc + ~r ′i~vi = ~vc + ~v ′i

; i = 1, . . . , N (4.19)


unde ~vc = ~rc este viteza centrului de masa, iar ~v ′i = ~r ′i este viteza punctului Pi ın raport cucentrul de masa. Inlocuind (4.19) ın definitia (4.12), rezulta :

~L =N∑

i=1

(~ri ×mi~vi) =N∑

i=1

[ (~rc + ~r ′i )×mi(~vc + ~v ′i ) ] = (4.20)

= ~rc ×(

N∑

i=1

mi

)~vc +

N∑

i=1

(~r ′i ×mi~v′

i ) +

(N∑

i=1

mi~r′

i

)× ~vc + ~rc × d

dt

(N∑

i=1

mi~r′

i

)

Contributiile ultimilor doi termeni sunt nule, deoarece se poate verifica direct din definitia

(4.9) pentru vectorul de pozitie al centrului de masa caN∑

i=1

mi~r′

i = 0 . In concluzie

~L = ~rc ×M ~vc + ~L′ unde ~L′ =N∑

i=1

(~r ′i ×mi~v′

i ) (4.21)

adica : momentul cinetic al sistemului ın raport cu O se compune din momentulcinetic al sistemului calculat ın ipoteza ca ıntreaga sa masa ar fi concentrata ıncentrul de masa si din momentul cinetic datorat miscarii sistemului ın raport cucentrul de masa (teorema I a lui Koenig). Se observa ca ın general momentul cinetic total~L depinde de alegerea originii O . Doar ın situatia ın care centrul de masa este imobil ınraport cu O (~vc = 0), momentul cinetic ~L este independent de acest punct, el reducandu-sela momentul cinetic al sistemului ın raport cu centrul de masa.

Teorema momentului cinetic, precum si consecintele sale, ısi pastreaza valabilitatea ınsistemul de referinta avand originea ın centrul de masa. Intr-adevar, derivand (4.21) dupatimp si folosind teorema miscarii centrului de masa, rezulta :

~L =d

dt(~rc ×M ~vc) + ~L′ = ~rc ×M ~rc + ~L′ = ~rc × ~F + ~L′ (4.22)

Pe de alta parte :

~MO(~F ) =N∑

i=1

[ (~rc + ~r ′i )× ~Fi ] = ~rc ×(

N∑

i=1

~Fi

)+

N∑

i=1

(~r ′i × ~Fi) = ~rc × ~F + ~M ′(~F ) (4.23)

Inlocuind ın (4.16), teorema momentului cinetic devine :

~L′ = ~M ′(~F ) (4.24)

ceea ce confirma afirmatia anterioara.Teorema ariilor ın raport cu o axa care trece prin centrul de masa explica experienta

cunoscuta sub numele de scaunul lui Prandtl . Daca o persoana sta ın pozitie verticalape un suport orizontal circular, centrul de masa al persoanei fiind situat pe prelungirea axeisuportului si persoana tine ın maini o roata de bicicleta avand osia ın lungul aceleiasi axe,iar pe circumferinta rotii sunt distribuite cat mai uniform mase de plumb, atunci punereaın miscare a rotii provoaca o rotatie ın sens contrar a persoanei si deci a suportului circularorizontal.


Figura 4.2: Scaunul lui Prandtl

4.1.3 Teorema energiei

Energia cinetica totala a sistemului de puncte materiale reprezinta prin definitie marimeascalara :

T =1

2

N∑

i=1

miv2i =

1

2

N∑

i=1

mi~v2i =

1

2

N∑

i=1

mi~r2

i (4.25)

Inmultind scalar fiecare din ecuatiile (4.1) cu d~ri si sumand pe toate punctele sistemului,rezulta pentru membrul stang expresia :

N∑

i=1

mi~rid~ri =N∑

i=1

mi~ri~ridt =N∑

i=1

mi~rid~ri = d

(1

2

N∑

i=1

mi~r2

i

)= dT (4.26)

Notand cu :

dLext =N∑

i=1

~Fid~ri (4.27)

lucrul mecanic elementar al fortelor exterioare si cu :

dLint =N∑

i,j=1j 6=i

~Fijd~ri (4.28)

lucrul mecanic elementar al fortelor interioare, se obtine ın final :

dT = dLext + dLint (4.29)

adica : miscarea sistemului se face astfel ıncat ın orice moment diferentiala ener-giei cinetice totale este egala cu suma dintre lucrul mecanic elementar al fortelorexterioare si lucrul mecanic elementar al fortelor interioare (teorema energiei).

Presupunand ca fortele care actioneaza asupra punctelor sistemului pot fi potentiale,giroscopice si disipative si tinand cont ca lucrul mecanic al fortelor giroscopice este nul, se


va putea scrie :

dLext =N∑

i=1

~F pi d~ri +

N∑

i=1

~F di d~ri

dLint =N∑

i,j=1j 6=i

~F pijd~ri +

N∑

i,j=1j 6=i

~F dijd~ri

(4.30)

Pentru fortele potentiale exterioare exista functiile scalare V ei (t, ~ri) ; i = 1, . . . , N asa

ıncat :~F p

i = −∇iVei (4.31)

unde ∇i reprezinta operatorul gradient ın care derivatele se efectueaza ın raport cu coordo-natele punctului Pi . Notand functia de potential a sistemului ın camp extern cu :

V e =N∑

i=1

V ei (t, ~ri) (4.32)

si observand ca V e = V e(t, ~r1, . . . , ~rN) , lucrul mecanic elementar al fortelor potentiale exte-rioare va avea expresia :

N∑

i=1

~F pi d~ri = − dV e +

∂V e

∂tdt (4.33)

In ceea ce priveste fortele potentiale interioare ~F pij , ele fiind forte de interactiune ıntre

doua particule, daca ele deriva dintr-o functie de potential Vij , aceasta trebuie sa depindanumai de distanta reciproca dintre cele doua particule :

Vij = Vij(|~ri − ~rj|) (4.34)

deoarece ın caz contrar fortele nu ar satisface la principiul egalitatii actiunii cu reactiunea.Intr-adevar, daca fortele sunt potentiale, conforma definitiei va trebui ca :

~F pij = −∇iVij , ~F p

ji = −∇jVij (4.35)

Efectuand notatiile :~rij = ~ri − ~rj ; rij ≡ |~rij| = |~ri − ~rj| (4.36)

si observand ca ın ipoteza (4.34) va trebui ca :

∇iVij =dVij

drij

~rij

rij

(4.37)

se verifica direct egalitatea :∇iVij = −∇jVij (4.38)

Inlocuind aici relatiile (4.35) rezulta ca ıntr-adevar fortele interioare satisfac la ecuatia :

~F pij + ~F p

ji = 0 (4.39)

iar ın conformitate cu (4.37) ele sunt orientate ın lungul liniei drepte care uneste cele douapuncte.


Lucrul mecanic elementar al fortelor potentiale interioare va fi :

N∑

i,j=1j 6=i

~F pijd~ri =

N∑

i<j

(~F p

ijd~ri + ~F pjid~rj

)=

N∑

i<j

~F pij d(~ri − ~rj) = −∑

i<j

∇iVij d~rij (4.40)

= −N∑

i<j

dVij

drij

drij = −N∑

i<j

dVij = − 1

2

N∑

i,j=1j 6=i

dVij = − d

1

2

N∑

i,j=1j 6=i

Vij

= − dV in

unde :

V in =1

2

N∑

i,j=1j 6=i

Vij(|~ri − ~rj|) (4.41)

reprezinta energia potentiala interna a sistemului, care este ın general diferita de zero sise poate modifica odata cu evolutia ın timp a sistemului. Doar ın cazul solidului rigid, canddistantele reciproce dintre oricare doua puncte ale sale nu se modifica ın cursul miscarii,fortele interioare nu efectueaza lucru mecanic si V in = const .(= 0) .

Energia potentiala V a sistemului de puncte va fi suma :

V = V e + V in =N∑

i=1

V ei (t, ~ri) +

1

2

N∑

i,j=1j 6=i

Vij(|~ri − ~rj|) (4.42)

Definind energia mecanica totala E a sistemului ca :

E = T + V (4.43)

si folosind relatiile anterioare, rezulta :

E =dT

dt+

dV

dt=

dLext

dt+

dLint

dt+

dV e

dt+

dV in

dt=

∂V e

∂t+

N∑

i=1

~F di ~vi +

N∑

i,j=1j 6=i

~F dij ~vi (4.44)

In consecinta, daca asupra punctelor care alcatuiesc sistemul nu actioneaza fortedisipative exterioare sau interioare, iar energia potentiala a sistemului ın campextern nu depinde explicit de timp, atunci energia mecanica totala a sistemuluise conserva (integrala energiei) :

E =1

2

N∑

i=1

miv2i +

N∑

i=1

V ei (~ri) +

1

2

N∑

i,j=1j 6=i

Vij(|~ri − ~rj|) = h (4.45)

Un astfel de sistem va fi numit conservativ.


Teorema a II-a a lui Koenig

Inlocuind ın definitia (4.25) viteza punctului prin suma dintre viteza centrului de masasi viteza ın raport cu centrul de masa (v. Fig. 4.1), rezulta :

T =1

2

N∑

i=1

mi~v2i =

1

2

N∑

i=1

mi(~vc +~v ′i )(~vc +~v ′i ) =1

2

(N∑

i=1

mi

)v2

c +1

2

N∑

i=1

miv′ 2i +~vc

d

dt

(N∑

i=1

mi~r′

i

)

(4.46)Deoarece contributia ultimului termen este nula, se va putea scrie :

T =1

2Mv2

c + T ′ unde T ′ =1

2

N∑

i=1

miv′ 2i (4.47)

adica : energia cinetica totala a sistemului se compune din energia cinetica asistemului calculata ın ipoteza ca ıntreaga sa masa ar fi concentrata ın centrulde masa si din energia cinetica datorata miscarii sistemului ın raport cu centrulde masa (teorema a II-a a lui Koenig).

Teorema energiei ısi pastreaza forma si ıntr-un sistem de referinta cu originea ın centrulde masa. Deoarece ~ri = ~rc+~r ′i , folosind si teorema miscarii centrului de masa, lucrul mecanicelementar al fortelor exterioare poate fi scris sub forma :

dLext =N∑

i=1

~Fid~ri =

(N∑

i=1

~Fi

)d~rc +

N∑

i=1

~Fid~r ′i = ~F d~rc + dL′ext = d(

1

2M v2

c

)+ dL′ext (4.48)

Lucrul mecanic elementar al fortelor interioare poate fi evaluat ın mod asemanator :

dLint =N∑

i,j=1j 6=i

~Fijd~ri =N∑

i<j

[ (~Fij + ~Fji) ] d~rc +N∑

i,j=1j 6=i

~Fijd~r ′i = dL′int (4.49)

observandu-se ca acesta nu depinde de sistemul de referinta ales. Prin diferentierea relatiei(4.47) si ınlocuirea rezultatelor ın teorema energiei (4.29), rezulta ın final :

dT ′ = dL′ext + dL′int (4.50)

∗∗ ∗

Teoremele generale prezentate nu ısi modifica substantial forma daca sistemului ıi sunt im-puse anumite legaturi . Observand ca legaturile pot fi atat interioare (de exemplu conditiilede rigiditate), cat si exterioare, prezenta acestora se manifesta ın ecuatiile de miscare prinreactiunile corespunzatoare, asa ıncat sub actiunea fortelor efectiv aplicate si a fortelor dereactiune ale legaturilor, sistemul sa poata fi considerat liber.

Teorema impulsului va avea forma generala :

~p = ~F + ~R (4.51)


unde ~R este rezultanta reactiunilor legaturilor exterioare, iar teorema momentului cinetic seva scrie :

~L = ~MO(~F ) + ~MO(~R) (4.52)

unde ~MO(~R) este momentul rezultant ın O al reactiunilor legaturilor exterioare. In ceea ce

priveste variatia energiei mecanice totale, ın membrul drept al expresiei (4.44) pentru ~E vamai trebui adaugat un termen general avand forma :

N∑

i=1

~Ri ~vi (4.53)

care corespunde puterii reactiunilor legaturilor. Se va arata ulterior ca acest termen seanuleaza numai ın cazul legaturilor olonome ideale stationare.

Problema determinarii miscarii sistemelor de puncte materiale libere, sau supuse lalegaturi, este suficient de complexa, asa ıncat folosirea metodelor mecanicii newtoniene ducela rezultate semnificative doar ın cateva cazuri particulare, cum ar fi problema celor douacorpuri, sau cand este studiata miscarea solidului rigid.

Capitolul 5

Solidul rigid

5.1 Precizarea pozitiei rigidului ın spatiu

5.1.1 Gradele de libertate ale rigidului

Solidul rigid reprezinta un sistem de puncte materiale caracterizat prin proprietatea cadistantele reciproce dintre oricare doua puncte ale sale raman constante ın cursul miscarii.

Ne intereseaza numarul parametrilor independenti necesari pentru a defini pozitiala un moment dat a rigidului ın spatiu. Pentru definirea pozitiei unui sistem de N punctemateriale ıntre care nu exista legaturi, avem nevoie de 3N parametri si spunem ca sistemulare 3N grade de libertate. Daca ıntre cei 3N parametri exista m relatii (legaturi), atuncinumarul gradelor de libertate scade la n = 3N −m . In cazul solidului rigid ar trebui

sa existe m =N(N − 1)

2legaturi :

|~ri − ~rj| = const . ; i, j = 1, . . . , N , i 6= j (5.1)

care exprima conditiile de rigiditate si s-ar parea ca rigidul are n = 3N − N(N − 1)

2grade

de libertate. Rezultatul nu este corect, deoarece pentru N suficient de mare (N ≥ 7),rezulta m ≥ 3N si calculul numarului de grade de libertate cu formula mentionata devineun nonsens.

In realitate numarul gradelor de libertate ale rigidului liber este sase , cu exceptiacazului N = 2 cand numarul gradelor de libertate scade la cinci. Observatia se datorestefaptului ca nu toate legaturile de forma (5.1) sunt independente. Demonstratia poate fifacuta fie analitic, fie grafic. Intr-adevar, pentru N = 2 rezulta n = 3 · 2− 1 = 5 , iar pentruN = 3 rezulta n = 3 · 3 − 3 = 6 . Pentru N = 4 exista 3 · 4 = 12 coordonate, pe langa celetrei legaturi anterioare intervenind suplimentar trei legaturi, anume cele corespunzatoaresegmentelor P4P1 , P4P2 si P4P3 (v. Fig. 5.1), deci n = 12− 6 = 6 . Pentru N = 5 numarulcoordonatelor este 3 ·5 = 15 , ınsa pe langa cele sase legaturi anterioare nu intervin decat treilegaturi distincte, corespunzatoare distantelor de la punctul P5 la cele trei puncte necoliniareP1 , P2 P3 , distanta P5P4 fiind unic determinata din geometria figurii. Rationamentul poatefi continuat, observandu-se ca fiecare punct introduce suplimentar trei coordonate si treilegaturi distincte, asa ıncat pentru N ≥ 3 numarul gradelor de libertate ale rigidului libereste ıntotdeauna n = 6 .

44

5.1. PRECIZAREA POZITIEI RIGIDULUI IN SPATIU 45

Figura 5.1: Solidul rigid - legaturile independente

Daca rigidului ıi sunt impuse anumite legaturi suplimentare, numarul gradelor de libertatescade. Astfel, rigidul cu axa fixa are un singur grad de libertate, fiind suficient un singurparametru pentru precizarea pozitiei sale ın spatiu, iar rigidul cu punct fix are trei grade delibertate, fiind necesari trei parametrii pentru precizarea starii sale de rotatie ın spatiu.

5.1.2 Matricea de rotatie

Revenind la cazul rigidului liber , se pune problema alegerii celor sase parametriindependenti cu ajutorul carora sa fie descrisa pozitia rigidului ın spatiu.

Figura 5.2: Sistemul de referinta solidar legat de rigid

Considerand un sistem de referinta fix O1x1y1z1 si unul mobil Oxyz solidar legat derigid, pozitia rigidului la un moment dat este definita de pozitia sistemului Oxyz ın raportcu cel fix (v. Fig. 5.2). Problema este asemanatoare cu cea ıntalnita la studiul miscariirelative, motiv pentru care vor fi folosite aceleasi notatii. Trei parametri vor defini pozitiaoriginii O a sistemului solidar legat de rigid ın raport cu sistemul de referinta fix (ın multeaplicatii O este ales ın centrul de masa al rigidului), iar alti trei parametri vor precizaorientarile axelor sistemului mobil, ın raport cu orientarile axelor sistemului fix. Acesteorientari pot fi definite cu ajutorul cosinusilor directori ai axelor sistemului Oxyz ın raportcu axele sistemului O′x′y′z′ construit prin translatia sistemului fix ın originea sistemului

46 CAPITOLUL 5. SOLIDUL RIGID

mobil (O ≡ O′) :

~ı = (~ı ·~ı ′)~ı ′ + (~ı · ~ ′)~ ′ + (~ı · ~k ′)~k ′

~ = (~ ·~ı ′)~ı ′ + (~ · ~ ′)~ ′ + (~j · ~k ′)~k ′

~k = (~k ·~ı ′)~ı ′ + (~k · ~ ′)~ ′ + (~k · ~k ′)~k ′(5.2)

Folosind notatiile :

~e1 =~ı ~e ′1 =~ı ′

~e2 = ~ ~e ′2 = ~ ′

~e3 = ~k ~e ′3 = ~k ′si

x1 = x x′1 = x′

x2 = y x′2 = y′

x3 = z x′3 = z′(5.3)

cosinusii directori vor fi :

aij = (~ei , ~e′j) = cos(Oxi, Ox′j) ; i, j = 1, 2, 3 (5.4)

iar relatiile (5.2) capata forma compacta :

~ei =3∑

j=1

aij~e′j ; i = 1, 2, 3 (5.5)

Deoarece orice vector, ın particular vectorul de pozitie ~r , are componentele xi = (~r · ~ei)ın baza (~e1, ~e2, ~e3) , folosind (5.5) se va putea scrie :

xi = (~r · ~ei) =3∑

j=1

aij(~r · ~e ′j) =3∑

j=1

aijx′j ; i = 1, 2, 3 (5.6)

unde x′i = (~r · ~e ′i ) ; i = 1, 2, 3 reprezinta componentele aceluiasi vector ın baza (~e ′1, ~e′2, ~e

′3) .

Aceste relatii pot fi adoptate ca relatii de definitie pentru un vector. Vom spune ca un ansam-blu de trei scalari xi ; i = 1, 2, 3 formeaza componentele unui vector, daca la o transformarea bazei definita de (5.5), acesti scalari se transforma dupa formulele (5.6).

Cu notatiile matriceale :

~r =

x1

x2

x3

, ~r ′ =

x′1x′2x′3

si A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

(5.7)

ecuatiile (5.6) se transcriu sub forma matriceala simpla :

~r = A~r ′ (5.8)

Cei noua cosinusi directori (5.4) nu sunt toti independenti ıntre ei. Pentru a gasi relatiiledintre cosinusii directori, pornim de la proprietatea ca indiferent de sistemul de coordonatefolosit, marimea (modulul) vectorului este aceeasi, deci :

3∑

k=1

x2k =

3∑

k=1

x′ 2k (5.9)


adica :3∑

k=1

(3∑

i=1

akix′i

)

3∑

j=1

akjx′j

=

3∑

i,j=1

(3∑

k=1

akiakj

)x′ix

′j (5.10)

Pentru ca proprietatea (5.9) sa fie ındeplinita, va trebui ca :

3∑

k=1

akiakj = δij ; i, j = 1, 2, 3 (5.11)

sau, folosind notatiile matriceale :

A A = I unde I =

1 0 00 1 00 0 1

(5.12)

unde A reprezinta transpusa matricei A . Se observa ca exista ın total sase relatii indepen-dente de forma (5.11), asa ıncat vor fi suficienti trei cosinusi directori pentru a precizaorientarile axelor sistemului solidar legat de rigid, fata de axele sistemului fix.

O transformare ın urma careia componentele unui vector se transforma dupa relatiile(5.6), fiind ındeplinite totodata conditiile (5.11), poarta numele de transformare ortogo-nala , iar matricea A este numita matrice ortogonala .

O consecinta directa a relatiei de ortogonalitate este aceea ca inversa matricei A coincidecu transpusa : A−1 = A . Intr-adevar, ınmultind la dreapta egalitatea (5.12) cu A−1 rezultaA A A−1 = A−1 , adica A = A−1 . Folosind aceasta proprietate, prin ınmultirea la stanga arelatiei (5.8) cu A−1 rezulta :

~r ′ = A−1 ~r = A~r (5.13)

adica :

x′i =3∑

j=1

a−1ij xj =

3∑

j=1

ajixj ; i = 1, 2, 3 (5.14)

Aceasta ınseamna ca pentru a realiza transformarea inversa , nu este necesara evaluareainversei matricei, putand fi utilizata ın acelasi scop si transpusa matricei respective, prinaplicarea regulii (5.14). Deoarece A−1 este de asemenea o matrice ortogonala, se va puteascrie ca :

3∑

k=1

a−1ki a−1

kj =3∑

k=1

aikajk = δij ; i, j = 1, 2, 3 (5.15)

obtinandu-se astfel o alta forma a relatiei de ortogonalitate.

5.1.3 Unghiurile Euler. Vectorul rotatie

In paragraful anterior s-a aratat ca pentru a preciza orientarile axelor sistemului Oxyzsolidar legat de rigid, fata de orientarile axelor sistemului fix O′x′y′z′ , sunt suficienti treiparametri scalari independenti, care pot fi trei din cei noua cosinusi directori continuti ınmatricea de rotatie A . Pentru a avea o reprezentare mai intuitiva asupra orientarilor axe-lor sistemului mobil, pot fi folosite la fel de bine si cele trei unghiuri Euler , aflate ıncorespondenta biunivoca cu cosinusii directori.


Notand cu ON linia dupa care se intersecteaza planele x′Oy′ si xOy si numind-o linianodurilor (v. Fig. 5.3), pot fi definite urmatoarele trei unghiuri :

1) unghiul de precesie notat de obicei cu ψ , care reprezinta unghiul dintre axa Ox′ asistemului fix si linia nodurilor ON ;

2) unghiul de rotatie proprie notat de obicei cu ϕ , care reprezinta unghiul dintre ONsi axa Ox a sistemului solidar legat de rigid ;

3) unghiul de nutatie notat cu θ , care reprezinta unghiul dintre axa Oz′ a sistemuluifix si axa Oz a sistemului mobil.

Figura 5.3: Unghiurile Euler

Se observa ca sistemul Oxyz poate fi obtinut din sistemul Ox′y′z′ prin trei rotatii succe-sive :

a) o rotatie cu unghiul ψ ın jurul axei Oz′ a sistemului fix :

~ξ = D~r ′ ; D =

cos ψ sin ψ 0− sin ψ cos ψ 0

0 0 1

(5.16)

unde ~ξ desemneaza componentele vectorului de pozitie ın sistemul rotit, iar D reprezintamatricea de rotatie corespunzatoare ;

b) o rotatie cu unghiul θ ın jurul liniei nodurilor ON :

~ξ ′ = C ~ξ ; C =

1 0 00 cos θ sin θ0 − sin θ cos θ

(5.17)

unde ~ξ ′ desemneaza componentele vectorului de pozitie ın noul sistem rotit, iar C reprezintamatricea de rotatie corespunzatoare ;


c) o rotatie cu unghiul ϕ ın jurul axei Oz a sistemului mobil :

~r = B ~ξ ′ ; B =

cos ϕ sin ϕ 0− sin ϕ cos ϕ 0

0 0 1

(5.18)

unde ~r desemneaza componentele vectorului de pozitie ın sistemul solidar legat de rigid, iarB reprezinta matricea de rotatie corespunzatoare.

Se poate verifica direct ca ordinea indicata pentru efectuarea rotatiilor este obligatorie.Reunind rezultatele, componentele unui vector ın sistemul solidar legat de rigid (rotit), dacasunt cunoscute componentele aceluiasi vector ın sistemul fix, sunt date de formula :

~r = B ~ξ ′ = B C ~ξ = B C D~r ′ = A~r ′ (5.19)

matricea de rotatie A = B C D exprimata folosind unghiurile Euler avand expresia :

A =

cos ψ cos ϕ− sin ψ sin ϕ cos θ sin ψ cos ϕ + cos ψ sin ϕ cos θ sin ϕ sin θ− cos ψ sin ϕ− sin ψ cos ϕ cos θ − sin ψ sin ϕ + cos ψ cos ϕ cos θ cos ϕ sin θ

sin ψ sin θ − cos ψ sin θ cos θ

(5.20)Deoarece produsul a doua matrice nu este ın general comutativ, este obligatorie ordineaindicata ın (5.19) pentru efectuarea ınmultirii matricelor.

Invers, daca ne intereseaza componentele unui vector ın sistemul fix, fiind cunoscutecomponentele aceluiasi vector ın sistemul mobil, va trebui efectuata transformarea ~r ′ = A~r .Rotatiile vor fi realizate ın ordinea : a) cu unghiul −ϕ ın jurul axei Oz a sistemului mobil ; b)cu unghiul −θ ın jurul liniei nodurilor ON ; c) cu unghiul −ψ ın jurul axei Oz′ a sistemuluifix. Facand aceste ınlocuiri ın matricea (5.20) si schimband ıntre ele unghiurile ψ si ϕ , seobtine chiar matricea transpusa A .

Se stie de la studiul miscarii relative, ca orientarile la un moment dat ale axelor sistemuluisolidar legat de rigid, pot fi precizate si cu ajutorul celor trei componente scalare ale vec-torului rotatie . Acestea pot fi exprimate cu ajutorul unghiurilor Euler aplicand definitiilecunoscute, ın care se fac ınlocuirile (5.5). Deoarece calculele sunt destul de complexe, seprefera calculul componentelor vectorului ~ω pornind de la observatia ca daca rigidul seroteste ın sens direct trigonometric ın jurul unei axe, vectorul rotatie este orien-tat ın sensul pozitiv al axei respective, marimea sa fiind chiar derivata unghiuluide rotatie . Deoarece sistemul Oxyz se obtine din sistemul Ox′y′z′ prin intermediul celortrei rotatii succesive mentionate anterior, tinant cont si de faptul ca doua sau mai multerotatii concurente pot fi ınlocuite printr-o rotatie unica, se va putea scrie :

~ω = ~ωψ + ~ωθ + ~ωϕ ; |~ωψ| = ψ , |~ωθ| = θ , |~ωϕ| = ϕ (5.21)

unde vectorii ~ωψ , ~ωθ , ~ωϕ sunt orientati conform Fig. 5.4 .Marimea vectorului rotatie poate fi calculata foarte usor observand ca vectorul ~ωθ este

ıntotdeauna perpendicular pe vectorul ~ωψ + ~ωϕ . In consecinta, folosind si (5.21), rezulta :

ω2 = ~ω2 = [ (~ωψ + ~ωϕ) + ~ωθ ]2 = (~ωψ + ~ωϕ)2 + ~ω2θ = ψ2 + ϕ2 + θ2 + 2 ψϕ cos θ (5.22)


Figura 5.4: Vectorul rotatie ~ω

Utilizand formulele de transformare scrise anterior, pot fi calculate componentele vec-torului rotatie ın oricare din sistemele de coordonate mentionate. Din examinarea figurii5.4 rezulta ca expresia matriceala pentru calculul componentelor vectorului ~ω ın sistemul dereferinta solidar legat de rigid, are forma generala :

~ω = A ·

00

ψ

+ B ·

θ00

+

00ϕ

(5.23)

de unde, folosind (5.20) si (5.18), rezulta :

ωx = ψ sin ϕ sin θ + θ cos ϕ

ωy = ψ cos ϕ sin θ − θ sin ϕ

ωz = ψ cos θ + ϕ

(5.24)

Un rationament analog permite calculul componentelor aceluiasi vector ın sistemul de refe-rinta fix, dar poate fi folosita ın acelasi scop si transformarea generala ~ω ′ = A ~ω :

ωx′ = ϕ sin ψ sin θ + θ cos ψ

ωy′ = − ϕ cos ψ sin θ + θ sin ψ

ωz′ = ϕ cos θ + ψ

(5.25)

Expresiile obtinute poarta numele generic de formulele cinematice ale lui Euler .Odata cunoscute dependentele de timp ale componentelor vectorului rotatie, unghiurile

Euler pot fi calculate ca solutii ale unui sistem de trei ecuatii diferentiale de ordinul ıntai.Pornind de la expresiile (5.24), pot fi deduse usor ecuatiile :

ψ =1

sin θ(ωx sin ϕ + ωy cos ϕ)

θ = ωx cos ϕ− ωy sin ϕ (5.26)

ϕ = ωz − ctg θ (ωx sin ϕ + ωy cos ϕ)

5.2. MOMENTE DE INERTIE. CARACTERISTICILE DINAMICE ALE RIGIDULUI 51

5.2 Momente de inertie. Caracteristicile dinamice ale

rigidului

Considerand solidul rigid ca fiind alcatuit dintr-un numar suficient de mare de punctemateriale Pi , fiecare avand masa mi , vom numi prin definitie moment de inertie alrigidului ın raport cu un punct, dreapta, sau plan , suma :

I =∑

i

mid2i (5.27)

extinsa la toate punctele solidului, unde di reprezinta distantele de la punctele Pi la punctul,dreapta, sau planul respectiv.

Considerand un sistem de referinta cartezian Oxyz , conform definitiei (5.27) pot fi dis-tinse :

- momentul de inertie polar ın raport cu O :

IO =∑

i

mi(x2i + y2

i + z2i ) (5.28)

- momente de inertie axiale :

Ixx =∑

i

mi(y2i + z2

i ) , Iyy =∑

i

mi(z2i + x2

i ) , Izz =∑

i

mi(x2i + y2

i ) (5.29)

- momente de inertie planare :

IxOy =∑

i

miz2i , IyOz =

∑

i

mix2i , IzOx =

∑

i

miy2i (5.30)

Pot fi stabilite usor o serie de relatii ıntre momentele de simetrie definite mai sus. Caexemplu, daca ın particular corpul studiat are o simetrie axiala, momentul de inertie ınraport cu axa respectiva va fi dublul momentului de inertie ın raport cu orice plan carecontine axa de simetrie.

Tot prin definitie, prin momente de inertie centrifugale (numite si produse deinertie , sau momente de deviatie), vom ıntelege expresiile :

Ixy = Iyx = −∑

i

mixiyi , Iyz = Izy = −∑

i

miyizi , Izx = Ixz = −∑

i

mizixi (5.31)

Se observa ca daca sistemul de referinta este ales astfel ıncat planele de coordonate sacoincida cu planele de simetrie materiale si geometrice ale corpului, atunci aceste expresii sesimplifica. Astfel, daca planul xOy este un plan de simetrie, atunci Iyz = Izx = 0 , deoarecedoua puncte simetrice de coordonate z si −z aduc aceeasi contributie la suma. Similar, dacaaxa Oz este o axa de simetrie, atunci de asemenea Iyz = Izx = 0 .

In cele ce urmeaza prezinta o importanta deosebita ın special momentele de inertie axialesi centrifugale, care cu notatiile cunoscute pot fi scrise condensat ın forma :

Iαβ =∑

i

mi

3∑

γ=1

xiγx

iγ

δαβ − xi

αxiβ

; α, β = 1, 2, 3 (5.32)

unde xi1 = xi , xi

2 = yi , xi3 = zi .


5.2.1 Momentul de inertie al rigidului ın raport cu o axa

Considerand o axa D de versor ~u(ux, uy, uz) care trece prin O , distanta de la un punctPi al rigidului la axa D are marimea di = |~ri × ~u| (v. Fig. 5.5) . Conform definitiei (5.27),

Figura 5.5: Momentul de inertie ın raport cu axa D de versor ~u

momentul de inertie al rigidului ın raport cu axa de orientare ~u va fi :

Iu =∑

i

mid2i =

∑

i

mi(~ri × ~u)(~ri × ~u) (5.33)

Folosind proprietatea de permutare a termenilor produsului mixt : ~a · (~b× ~c) = ~c · (~a×~b) sepoate scrie ın continuare :

Iu =∑

i

mi~u · [ (~ri × ~u)× ~ri ] = ~u ·∑i

mi [~ri × (~u× ~ri) ] =3∑

α=1

uα

∑

i

mi [~ri × (~u× ~ri) ]

α(5.34)

Componenta α a celui de al doilea vector, care este un dublu produs vectorial, se calculeazausor pornind de la proprietatea generala : ~a× (~b× ~c) = (~a · ~c)~b− (~a ·~b)~c , rezultand :

∑

i

mi [~ri × (~u× ~ri) ]

α

=∑

i

mi

3∑

γ=1

xiγx

iγ

uα −

3∑

β=1

xiβuβ

xi

α

(5.35)

=3∑

β=1

∑

i

mi

3∑

γ=1

xiγx

iγ

δαβ − xi

αxiβ

uβ =

3∑

β=1

Iαβuβ

unde s-a facut ınlocuirea uα =3∑

β=1

δαβuβ , s-a inversat ordinea de sumare si s-a tinut cont

de relatia (5.32). Expresia (5.34) a momentului de inertie al rigidului ın raport cu axa deorientare ~u devine :

Iu =3∑

α,β=1

Iαβuαuβ (5.36)

Deoarece Iu este un scalar, marimea sa nu se modifica la o rotatie a sistemului de axe :

3∑

α,β=1

Iαβuαuβ =3∑

µ,ν=1

I ′µνu′µu

′ν (5.37)


Facand aici ınlocuirile u′µ =3∑

α=1

aαµuα si u′ν =3∑

β=1

aβνuβ si intervertind ordinea sumarilor,

rezulta :3∑

α,β=1

Iαβuαuβ =3∑

α,β=1

3∑

µ,ν=1

aαµaβνI′µν

uαuβ (5.38)

adica, la o transformare ortogonala, numerele Iαβ ; α, β = 1, 2, 3 se transforma dupa regula :

Iαβ =3∑

µ,ν=1

aαµaβνI′µν ; α, β = 1, 2, 3 (5.39)

ceea ce ınseamna ca ele alcatuiesc elementele unui tensor de ordinul doi ın spatiul euclidian :

τ =

I11 I12 I13

I21 I22 I23

I31 I32 I33

≡

Ixx Ixy Ixz

Iyx Iyy Iyz

Izx Izy Izz

(5.40)

numit tensorul momentelor de inertie . Deoarece :

Iαβ = Iβα ; α, β = 1, 2, 3 (5.41)

tensorul momentelor de inertie este simetric .Se observa ca vectorul avand componentele (5.35) se poate scrie sub forma :

∑

i

mi [~ri × (~u× ~ri) ] = (τ~u) (5.42)

unde ın membrul drept figureaza contractia unui tensor de ordinul trei, care este un tensorde ordinul ıntai, adica un vector.

In concluzie, avand ın vedere si (5.34), momentul de inertie al rigidului ın raport cu oaxa D avand orientarea ~u , care trece prin O , poate fi scris sub forma produsului scalar :

Iu = ~u (τ~u) (5.43)

Daca axa D reprezinta suportul vectorului rotatie, atunci ~ω = ω ~u , cele doua relatiiprecedente devenind,: ∑

i

mi [~ri × (~ω × ~ri) ] = (τ~ω) (5.44)

respectiv :

Iω =1

ω2

∑

i

mi(~ri × ~ω)2 =1

ω2~ω (τ~ω) (5.45)

Teorema lui Steiner

In majoritatea aplicatiilor momentul de inertie poate fi calculat relativ usor, daca axade versor ~u trece prin centrul de masa al solidului rigid. Daca axa respectiva nu trece princentrul de masa, poate fi stabilita o relatie care leaga momentul de inertie ın raport cu o axa


Figura 5.6: Teorema lui Steiner

care trece prin centrul de masa, de momentul de inertie calculat ın raport cu o axa paralelacare trece prin O (v. Fig. 5.6). Inlocuind ~ri = ~rc + ~r ′i ın definitia (5.33), rezulta :

Iu =∑

i

mi(~ri × ~u)2 =∑

i

mi [ (~rc + ~r ′i )× ~u ]2

=

=

(∑

i

mi

)(~rc × ~u)2 +

∑

i

mi(~r′i × ~u)2 + 2 (~rc × ~u)

[(∑

i

mi~r′i

)× ~u

](5.46)

Deoarece∑

i

mi~r′i = 0 , expresia (5.46) devine :

Iu = M (~rc × ~u)2 + I ′u unde I ′u =∑

i

mi(~r′i × ~u)2 (5.47)

adica : momentul de inertie al unui rigid ın raport cu o axa D , este egal cumomentul de inertie al rigidului ın raport cu o axa D ′ paralela la D care treceprin centrul de masa, la care se adauga momentul de inertie ın raport cu axaD calculat ın ipoteza ca ıntreaga masa a rigidului este concentrata ın centrul demasa (teorema lui Steiner).

5.2.2 Elipsoidul de inertie

Pentru a examina situatia care apare atunci cand axa D , ın raport cu care se calculeazamomentul de inertie Iu , ia orice orientare posibila ın spatiu, se considera pe axa D un punctA avand vectorul de pozitie :

~r =1√Iu

~u (5.48)

Pentru a determina locul geometric al punctului A , atunci cand axa D ia toate orientarileposibile, se face ınlocuirea ~u =

√Iu ~r ın expresia Iu = ~u (τ~u) . Va rezulta ecuatia :

~r (τ~r) = 1 adica3∑

α,β=1

Iαβxαxβ = 1 (5.49)

ceea ce se scrie explicit sub forma :

Ixxx2 + Iyyy

2 + Izzz2 + 2Ixyxy + 2Iyzyz + 2Izxzx = 1 (5.50)


In consecinta, locul geometric cautat este o cuadrica cu centrul ın originea O a triedrului

de referinta. Deoarece Iu > 0 , marimea1√Iu

a razei vectoare a cuadricii este ıntotdeauna

finita, deci cuadrica reprezinta un elipsoid cu centrul ın O . El va fi numit elipsoid deinertie al rigidului ın raport cu punctul O . Elipsoidul de inertie furnizeaza o imaginegeometrica a variatiei momentului de inertie Iu fata de axele care trec prin O ,deoarece modulul vectorului de pozitie al oricarui punct de pe elipsoid, va reprezenta inversulradicalului momentului de inertie ın raport cu axa care trece prin punctul respectiv. Celetrei axe ale elipsoidului poarta numele de axe principale de inertie .

Conform ecuatiei (5.50), de obicei axele principale de inertie nu coincid cu axele decoordonate, dar se stie ca poate fi realizata ıntotdeauna o rotatie ın spatiu, asa ıncat noileaxe Oξ , Oη , Oζ sa coincida cu axele principale de inertie. Intr-un astfel de sistem dereferinta, forma patratica (5.50) este adusa la forma canonica :

Aξ2 + B η2 + C ζ2 = 1 (5.51)

Se observa ca ın aceste conditii, tensorul momentelor de inertie se diagonalizeaza :

τ =

A 0 00 B 00 0 C

(5.52)

momentele de inertie centrifugale devenind nule. In expresiile (5.51) si (5.52) marimile A ,B si C reprezinta momentele de inertie ale rigidului ın raport cu axele principale de inertie,motiv pentru care ele sunt numite momente principale de inertie .

Marimile a , b si c ale semiaxelor principale ale elipsoidului de inertie sunt determinatede momentele principale de inertie, deoarece :

a =1√A

, b =1√B

, c =1√C

(5.53)

De aici rezulta ca daca a > b > c , atunci A < B < C si deci momentul principal de inertieal rigidului ın raport cu semiaxa mare a elipsoidului va avea valoarea cea mai mica.

Daca A 6= B = C , ecuatia (5.51) a elipsoidului de inertie devine :

Aξ2 + B (η2 + ζ2) = 1 (5.54)

ceea ce reprezinta un elipsoid de revolutie ın jurul axei principale Oξ . Daca A = B = C

elipsoidul de inertie se transforma ıntr-o sfera de raza1√A

.

Daca originea O a sistemului de referinta este aleasa astfel ıncat sa coincida cu centrul demasa al rigidului, atunci elipsiodul este numit elipsoid central de inertie , iar axele salevor fi numite axe principale centrale de inertie .

Printr-o alegere adecvata a orientarilor axelor sistemului de referinta, expresiile deduse ınparagraful anterior se simplifica considerabil. Astfel, notand cu ~ω(ωx, ωy, ωz) componentelevectorului rotatie ~ω ın raport cu triedrul determinat de axele principale de inertie, vectorul(τ~ω) definit ın (5.44) va avea componentele (Aωx, B ωy, C ωz) , iar scalarul Iω · ω2 , unde Iω

este momentul de inertie (5.45) al rigidului ın raport cu o dreapta care constituie suportullui ~ω , devine :

Iω · ω2 = ~ω (τ~ω) = Aω2x + B ω2

y + C ω2z (5.55)


5.2.3 Impulsul, momentul cinetic si energia cinetica

Pornind de la elementele prezentate ın paragrafele anterioare, pot fi calculate usor carac-teristicile dinamice ale rigidului.

Viteza unui punct Pi al rigidului fiind chiar viteza de transport definita la studiul miscariirelative :

~vi = ~vO + ~ω × ~ri (5.56)

observand ca vectorii ~ω si ~vO sunt aceeisi ın toate punctele rigidului, pentru impulsulrigidului se gaseste expresia :

~p =∑

i

mi~vi =∑

i

mi(~vO +~ω×~ri) =

(∑

i

mi

)~vO +~ω×

(∑

i

mi~ri

)= M ~vO +~ω×M ~rc (5.57)

adica :

~p = M (~vO + ~ω × ~rc) (5.58)

Deoarece expresia din paranteza reprezinta chiar viteza centrului de masa, rezultatul (5.58)putea fi scris si direct, pe baza observatiei ca impulsul total al unui sistem de puncte materialecoincide cu impulsul centrului de masa, ın care se considera ca este concentrata ıntreaga masaa sistemului.

Procedand analog, pentru momentul cinetic al rigidului ın raport cu originea O1 a siste-mului fix rezulta expresia :

~L1 =∑

i

(~r1i ×mi~vi) =∑

i

[ (~rO + ~ri)×mi~vi ] =

= ~rO ×(∑

i

mi~vi

)+

∑

i

[~ri ×mi(~vO + ~ω × ~ri) ] =

= ~rO × ~p +

(∑

i

mi~ri

)× ~vO +

∑

i

mi [~ri × (~ω × ~ri) ] =

= ~rO × ~p + M ~rc × ~vO + (τ~ω) (5.59)

Se remarca aparitia vectorului (τ~ω) , unde τ este tensorul de inertie care contine momentelede inertie axiale si centrifugale ale rigidului ın raport cu sistemul de referinta legatsolidar de rigid . Deoarece acest termen se anuleaza cand ~ω = 0 , vectorul (τ~ω) mai estenumit si moment cinetic de rotatie al rigidului.

Pentru energia cinetica a rigidului se obtine expresia :

T =1

2

∑

i

mi~v2i =

1

2

∑

i

mi(~vO + ~ω × ~ri)(~vO + ~ω × ~ri) =

=1

2

(∑

i

mi

)v2

O + ~vO

[~ω ×

(∑

i

mi~ri

)]+

1

2

∑

i

mi (~ω × ~ri)2 =

=1

2M v2

O + M ~vO (~ω × ~rc) +1

2~ω (τ~ω) =

=1

2M v2

O + M ~vO (~ω × ~rc) +1

2Iω · ω2 (5.60)

5.3. DINAMICA SOLIDULUI RIGID 57

Primul termen se datoreaza exclusiv miscarii de translatie a rigidului, ultimul termen estedatorat exclusiv miscarii sale de rotatie, el reprezentand energia cinetica de rotatie , iartermenul al doilea este legat de ambele tipuri de miscari.

Expresiile obtinute se simplifica considerabil ın o serie de cazuri particulare. Astfel,daca originea sistemului mobil este aleasa ın centrul de masa al rigidului (~rc = 0) ,atunci :

~p = M ~vO ; ~L1 = ~rO × ~p + (τ~ω) ; T =1

2M v2

O +1

2~ω (τ~ω) (5.61)

Deoarece rigidul este asimilat cu un sistem discret de puncte materiale, aceste rezultateputeau fi scrise si direct. Se observa ca ultimele doua relatii exprima cele doua teoreme alelui Koenig.

Daca este studiata miscarea unui rigid cu punct fix , alegand originile O1 si O ale celordoua sisteme de coordonate astfel ıncat ele sa coincida cu punctul fix, atunci ~rO = 0 ; ~vO = 0si expresiile generale devin :

~p = ~ω × ~rc ; ~L = (τ~ω) ; T =1

2~ω (τ~ω) =

1

2~ω · ~L (5.62)

Este evident ca atat momentul cinetic ın raport cu punctul fix, cat si energia cinetica arigidului, se datoresc exclusiv miscarii sale de rotatie.

In fine, daca orientarile axelor sistemului mobil sunt alese astfel ıncat ele sa coincidacu axele principale ale elipsoidului de inertie, tensorul de inertie va avea forma diagonala,coordonatele vectorului (τ~ω) si scalarul ~ω (τ~ω) capatand expresiile simple prezentate ınparagraful anterior.

5.3 Dinamica solidului rigid

5.3.1 Ecuatiile de miscare ale rigidului liber

Deoarece rigidul liber are sase grade de libertate, pentru a descrie miscarea acestuiasunt necesare sase ecuatii scalare, avand drept necunoscute cei sase parametri independenticu ajutorul carora este precizata pozitia rigidului la un moment dat. Aceste ecuatii pot fiobtinute pornind de la teoremele generale enuntate pentru sisteme de puncte materiale, ıncare pentru caracteristicile dinamice ale rigidului sunt folosite expresiile deduse ın sectiuneaanterioara.

Pentru a scrie teorema impulsului , derivand dupa timp expresia ~p = M (~vO + ~ω×~rc) ,rezulta :

M (~aO + ~ω × ~rc + ~ω × ~rc) = ~F (5.63)

unde ~F este rezultanta fortelor exterioare aplicate rigidului. Deoarece derivata dupa timp aunui vector de pozitie ın sistemul solidar de rigid este ~r = ~ω × ~r , viteza relativa fiind nula,ecuatia (5.63) devine :

M[~aO + ~ω × ~rc + ~ω × (~ω × ~rc)

]= ~F (5.64)

Procedand analog pentru teorema momentului cinetic , deoarece ın raport cu sistemulfix se stie ca ~L1 = ~rO × ~p + M ~rc × ~vO + (τ~ω) , prin derivare dupa timp rezulta :

~rO × ~p + ~vO × ~p + M ~rc × ~vO + M ~rc × ~aO +d

dt(τ~ω) = ~MO1

(~F ) (5.65)


unde ~MO1(~F ) este momentul rezultant ın O1 al fortelor exterioare. Se observa ca :

~vO × ~p + M ~rc × ~vO = ~vO ×M (~vO + ~ω × ~rc) + M (~ω × ~rc)× ~vO = 0 (5.66)

sid

dt(τ~ω) =

d′

dt(τ~ω) + ~ω × (τ~ω) = (τ ~ω) + ~ω × (τ~ω) (5.67)

deoarece elementele tensorului τ sunt niste constante ın sistemul de referinta solidar cu

rigidul, iard′~ωdt

=d~ω

dt. Folosind aceste rezultate, (5.65) devine :

~rO × ~p + M ~rc × ~aO + (τ ~ω) + ~ω × (τ~ω) = ~MO1(~F ) (5.68)

Ecuatia se simplifica si mai mult daca se tine cont de faptul ca :

~MO1(~F ) =

∑

i

[(~rO + ~ri)× ~Fi

]= ~rO × ~F +

∑

i

(~ri × ~Fi) = ~rO × ~p + ~MO(F ) (5.69)

unde s-a folosit teorema impulsului, iar ~MO(~F ) este momentul rezultant ın originea sistemuluisolidar legat a rigid al fortelor exterioare. Egaland ultimele doua ecuatii, rezulta :

M ~rc × ~aO + (τ ~ω) + ~ω × (τ~ω) = ~MO(~F ) (5.70)

Deoarece fortele aplicate asupra rigidului sunt date, ecuatiile (5.64) si (5.70) sunt suficientepentru determinarea functiilor necunoscute ~rO(t) si ~ω(t) .

In ceea ce priveste teorema energiei , ıntrucat dLint = 0 , aceasta se reduce la :

dT = dLext (5.71)

Daca dLext = 0 (cazul rigidului greu fixat ın centrul de masa), din (5.71) rezulta o integralaprima.

Alegand ın mod adecvat sistemul de referinta solidar legat de rigid, ecuatiile de miscare(5.64) si (5.70) capata forme mult mai simple. Astfel, alegand originea sistemului mobilın centrul de masa al rigidului (~rc = 0), ecuatia (5.64) se reduce la :

M ~aO = ~F (5.72)

Daca ın plus axele sistemului mobil coincid cu axele principale ale elipsoidului deinertie al rigidului , proiectand ecuatia (5.70) pe axele sistemului mobil si folosind notatiilecunoscute, se obtine :

A ωx + (C −B) ωyωz = ( ~MO)x

B ωy + (A− C) ωzωx = ( ~MO)y (5.73)

C ωz + (B − A) ωxωy = ( ~MO)z

deoarece :

~ω × (τ~ω) =

∣∣∣∣∣∣∣∣

~ı ~ ~kωx ωy ωz

Aωx B ωy C ωz

∣∣∣∣∣∣∣∣(5.74)


In aceste ecuatii, ~aO este acceleratia centrului de masa al rigidului ın raport cu sistemul fix,iar ~MO este momentul rezultant al fortelor exterioare ın centrul de masa.

Daca fortele exterioare sunt date, ecuatia (5.72) determinaa miscarea centrului de masaal rigidului. Se observa ca aceasta coincide cu ecuatia lui Newton scrisa pentru centrulmaselor, ın care ar fi concentrata ıntreaga masa a rigidului si ın care ar fi aplicata rezultantafortelor exterioare. Aceasta ınseamna ca atunci cand ın diverse probleme de miscare rigiduleste asimilat cu un punct material, iar pentru determinarea miscarii este folosita ecuatia luiNewton, ın realitate este studiata doar miscare centrului de masa al rigidului.

Sistemul neliniar de ecuatii diferentiale de ordinul ıntai scris ın forma normala (5.73),permite determinarea functiilor ωx(t) , ωy(t) , ωz(t) daca sunt cunoscute valorile acestora lamomentul initial. Odata integrat acest sistem de ecuatii (ın cazurile ın care acest lucru esteposibil), pentru determinarea pozitiei rigidului, deci pentru determinarea unghiurilor Eulerψ(t) , θ(t) si ϕ(t) , va mai trebui integrat sistemul neliniar de ecuatii diferentiale de ordinulıntai scris sub forma normala (5.26). Este de asteptat ca doar ın cateva cazuri cu totulparticulare, sa fie posibila integrarea succesiva a celor doua sisteme de ecuatii diferentialeneliniare.

Rigidul liber ın camp gravitational omogen

Daca asupra punctelor materiale care alcatuiesc rigidul actioneaza doar forta de greutate,atunci (~rc = 0) :

~F =∑

i

mi~g = M ~g ; ~MO =∑

i

(~ri ×mi~g) =

(∑

i

mi~ri

)× ~g = M ~rc × ~g = 0 (5.75)

Ecuatiile (5.72) si (5.73) se reduc la :~aO = ~g (5.76)

si

A ωx + (C −B) ωyωz = 0

B ωy + (A− C) ωzωx = 0 (5.77)

C ωz + (B − A) ωxωy = 0

Conform ecuatiei (5.76), centrul de masa al rigidului se deplaseaza ca un punct materialgreu care, ın functie de conditiile initiale, poate descrie ın vid o traiectorie verticala sauparabolica. Pentru determinarea miscarii de rotatie a rigidului ın jurul centrului sau demasa, va trebui integrat sistemul (5.77). Solutia acestui sistem, ın cateva cazuri particulare,a fost data pentru prima data de Euler , sistemul fiind acelasi cu cel scris cand este studiatamiscarea rigidului cu punct fix.

5.3.2 Miscarea rigidului cu axa fixa

Rigidul are doua puncte O si O′ imobilizate ın raport cu sistemul fix, distanta ıntre elefiind h . Axa care trece prin O si O′ fiind fixa, unica posibilitate de miscare a rigidului vafi cea de rotatie ın jurul acestei axe. Se alege punctul O ca origine comuna a celor doua


sisteme de coordonate, fix si solidar legat de rigidul care se misca, si pentru simplitate seconsidera ca axele Oz1 si Oz coincid cu axa OO′ . Pozitia rigidului la un moment dat t va fideterminata de unghiul θ format de planele x1Oz1 si xOz (v. Fig. 5.7).

Figura 5.7: Rigidul cu axa fixa

Rigidul avand un singur grad de libertate, miscarea sa va fi descrisa de ecuatia θ = θ(t) .Vectorul rotatie ~ω si vectorul ~ω vor avea componente numai dupa axa Oz, marimile lor fiindθ si θ :

~ω = ~ω (0, 0, ω) ; ω = θ

~ω = ~ω (0, 0, ω) ; ω = θ(5.78)

Imobilizarea punctelor O si O′ se traduce prin aparitia a doua reactiuni ~R si ~R ′ care suntapriori necunoscute. Cunoscand fortele aplicate asupra rigidului, se cere sa se de-termine miscarea sa, precum si reactiunile. Ecuatiile de miscare sunt asemanatoarecu cele deduse ın paragraful anterior :

M[~aO + ~ω × ~rc + ~ω × (~ω × ~rc)

]= ~F + ~R + ~R ′ (5.79)

respectiv :

M ~rc × ~aO + (τ ~ω) + ~ω × (τ~ω) = ~MO(~F ) + ~MO(~R) + ~MO(~R ′) (5.80)

cu deosebirea ca acum intervin si reactiunile. Tinand cont de (5.78) si observand ca ~aO = 0 ,~ω × (~ω × ~rc) = (~ω · ~rc) ~ω − ω2 ~rc ,

(τ~ω) =

Ixx Ixy Ixz

Iyx Iyy Iyz

Izx Izy Izz

0

0

ω

=

Ixz ω

Iyz ω

Izz ω

, ~ω × (τ~ω) =

∣∣∣∣∣∣∣∣

~ı ~ ~k

0 0 ω

Ixzω Iyzω Izzω

∣∣∣∣∣∣∣∣(5.81)

si

~MO(~R) = 0 , ~MO(~R ′) =

∣∣∣∣∣∣∣∣

~ı ~ ~k

0 0 h

R′x R′

y R′z

∣∣∣∣∣∣∣∣(5.82)


din (5.78) si (5.79) rezulta sistemul de ecuatii scalare :

−M (xc ω2 + yc ω) = Fx + Rx + R′x

−M (yc ω2 − xc ω) = Fy + Ry + R′y

0 = Fz + Rz + R′z

− Iyz ω2 + Ixz ω = Mx − hR′y

Ixz ω2 + Iyz ω = My + hR′x

Izz ω = Mz

(5.83)

Fiind cunoscute fortele aplicate rigidului, deoarece ultima ecuatie din sistemul (5.83) nucontine reactiunile, prin integrarea de doua ori a acestei ecuatii, ar putea fi determinatafunctia θ = θ(t) . Odata cunoscuta aceasta functie, din ecuatiile a patra si a cincea se potdetermina componentele R′

x si R′y , iar apoi din prima si a doua ecuatie componentele Rx si Ry

ale reactiunilor. Cea de a treia ecuatie din (5.83) permite doar determinarea sumei Rz +R′z .

Faptul ca componentele Rz si R′z nu pot fi determinate individual, se datoreste ipotezei

facute asupra rigiditatii segmentului OO′ . Cele doua componente raman nedeterminate ,deoarece prin adaugarea ın O , respectiv ın O′ , a doua forte egale si de sens opus ın lungulsegmentului OO′ , cele doua componente se modifica, ın schimb raman nemodificate Rx , Ry ,R′

x , R′y , Rz + R′

z , nefiind astfel modificata nici miscarea rigidului. Nedeterminarea poate firidicata doar prin renuntarea la ipoteza de rigiditate.

Se observa ca reactiunile ~R si ~R ′ depind de vectorul de rotatie ~ω si este de asteptat cala viteze de rotatie foarte mari, fortele necesare pentru fixarea axei sa fie mari. In plus,solicitarea axei de rotatie din partea corpului va fi foarte mare si axa se poate rupe. Dinecuatiile (5.83) rezulta ca reactiunile nu vor depinde de viteza de rotatie a rigidului, dacaindiferent de ~ω 6= 0 si ~ω 6= 0 , sunt ındeplinite simultan ecuatiile :

ω2xc + ω yc = 0

− ω xc + ω2yc = 0;

−ω2Iyz + ω Ixz = 0

ω Iyz + ω2Ixz = 0(5.84)

Deoarece determinantul acestor sisteme este ∆ = ω4 + ω2 > 0 , solutiile la care verifica (5.84)vor fi :

xc = yc = 0 si Ixz = Iyz = 0 (5.85)

Prima conditie spune ca axa de rotatie trebuie sa treaca prin centrul de masa, iar conformcelei de a doua conditii, axa Oz trebuie sa fie axa principala de inertie. Deci, daca axade rotatie a rigidului este axa principala centrala de inertie, reactiunile ei nudepind de viteza de rotatie . Rezultatul obtinut prezinta importanta deosebita ın tehnicala montarea turbinelor, elicelor, etc.

Se poate pune de asemenea problema de a gasi conditiile ın care este suficient un singurpunct fix, pentru a asigura imobilitatea ıntregii axe OO′ , indiferent de valoarea lui ~ω . Inacest caz, axa OO′ va purta numele de axa permanenta de rotatie . Din ultimele treiecuatii (5.83) rezulta ca ın vederea realizarii acestui scop (~R ′ = 0), va trebui ca simultan :

Ixz = Iyz = 0 si Mx = My = 0 (5.86)

Aceste conditii sunt suficiente, deoarece datorita nedeterminarii remarcate anterior, R′z poate

fi ınglobata in Rz . Rezulta ca OO′ este o axa permanenta de rotatie, daca ea este


o axa principala de inertie care trece prin O , iar momentul rezultant al fortelorefectiv aplicate rigidului este orientat ın lungul axei respective . Situatia se reali-zeaza daca, ın particular, asupra rigidului actioneaza o forta unica ın planul xOy , iar axade rotatie Oz este axa principala de inertie a rigidului relativa la punctul O (pendulul fizic).

Se observa ca si reactiunea ın O se anuleaza (~R = 0), daca ın plus sunt ındepliniteconditiile :

xc = yc = 0 si Fx = Fy = Fz = 0 (5.87)

Daca conditiile (5.86) si (5.87) sunt simultan satisfacute, axa de rotatie nu are nevoiede nici un punct de sprijin. O astfel de axa poarta numele de axa libera (spontana) derotatie si se observa ca ın mod necesar ea trebuie sa fie o axa principala centrala de inertie.

Pendulul fizic

Un rigid greu se poate roti ın jurul axei orizontale fixe Oz1 . Alegand axa Ox1 pe verticalaın jos si presupunand ca axa Ox trece prin centrul de masa C (v. Fig. 5.8), momentul

Figura 5.8: Pendulul fizic

greutatii va fi :

~MO(~G) =

∣∣∣∣∣∣∣

~ı1 ~1 ~k1

l cos θ l sin θ 0Mg 0 0

∣∣∣∣∣∣∣= −Mgl sin θ ~k1 (5.88)

unde l reprezinta distanta OC , iar θ este unghiul de rotatie. Ultima ecuatie din (5.83), carereprezinta chiar ecuatia de miscare a pendulului fizic, va avea expresia :

Izz θ + Mgl sin θ = 0 (5.89)

adica :

θ +g

l′sin θ = 0 unde l′ =

Izz

Ml(5.90)

Marimea l′ poarta numele de lungime redusa si reprezinta lungimea unui pendul matematiccare ar oscila cu aceeasi perioada ca cea a pendulului fizic, ın aceleasi conditii initiale. Inaproximatia micilor oscilatii, perioada miscarii pendulului va fi :

T = 2π

√l′

g= 2π

√Izz

Mgl(5.91)


Folosind teorema lui Steiner, momentul de inertie Izz ın raport cu axa Oz , poate fiexprimat cu ajutorul momentului de inertie Ic

zz ın raport cu o axa paralela la Oz , dartrecand prin centrul de masa C :

Izz = Ml2 + Iczz (5.92)

Impartind cu Ml si tinand cont de definitia (5.90), lungimea redusa poate fi scrisa sub forma :

l′ = l +Iczz

Ml= l + l1 unde l1 =

Iczz

Ml(5.93)

Daca pendulul ar oscila ın jurul unei axe paralele la axa Oz , care ınsa trece printr-un punctO1 aflat pe axa Ox la distanta l′ = l + l1 de O , lungimea sa redusa va fi :

l′1 = l1 +Iczz

Ml1= l1 +

Iczz

M

Ml

Iczz

= l1 + l = l′ (5.94)

deci pendulul ar oscila cu aceeasi perioada ın jurul oricareia din axele considerate. Axa caretrece prin O este numita axa de suspensie , iar axa paralela care trece prin O1 este numitaaxa de oscilatie , cele doua axe fiind reciproce . Proprietatea ca axa de suspensie poatedeveni la randul ei axa de oscilatie, si invers, poarta numele de reversibilitate . Odatadeterminate pozitiile punctelor O si O1 ın raport cu C , asa ıncat ın ambele situatii perioadade oscilatie sa fie T , poate fi calculata valoarea acceleratiei gravitationale :

g = 4π2 l′

T 2= 4π2 l + l1

T 2(5.95)

Deoarece conditia de reversibilitate pentru determinarea lui g este foarte dificil de realizat,ın practica se prefera utilizarea unei metode, cunoscuta sub numele de pendulul lui Kater ,ın care axele care trec prin O , respectiv O1 , sunt succesiv axe de suspensie. Cunoscanddistantele l si l1 fata de centrul de masa, sunt determinate perioadele T si T1 ale miscarilorın cele doua situatii. Folosind (5.93) si (5.94) pot fi scrise relatiile :

l l′ = l2 +Iczz

M

l1l′1 = l21 +

Iczz

M

(5.96)

care prin scadere conduc la egalitatea :

l l′ − l1l′1 = l2 − l21 (5.97)

Deoarece lungimile reduse sunt legate de perioadele corespunzatoare prin relatiile :

l′ =gT 2

4π2si l′1 =

gT 21

4π2(5.98)

ecuatia (5.97) devine :g

4π2(lT 2 − l1T

21 ) = l2 − l21 (5.99)

de unde rezulta formula :

g = 4π2 l2 − l21lT 2 − l1T 2

1

(5.100)

care permite calculul acceleratiei gravitationale g , fara a mai fi necesara realizarea conditieide reversibilitate.


5.3.3 Miscarea rigidului cu punct fix

Rigidul are un punct fixat care pentru comoditate este ales ca fiind originea comuna O asistemelor de referinta fix si solidar legat de rigid. Dupa cum s-a aratat anterior, impulsul,momentul cinetic ın raport cu O si energia cinetica a rigidului au forma simpla :

~p = M ~ω × ~rc ; ~L = (τ~ω) ; T =1

2~ω (τ~ω) =

1

2~ω · ~L =

1

2Iω ω2 (5.101)

unde ~rc este vectorul de pozitie al centrului de masa al rigidului (avand componentele xc, yc,zc ın sistemul mobil), ~ω este vectorul rotatie, τ este tensorul de inertie ın raport cu O, iarIω este momentul de inertie ın raport cu o axa care trece prin O si care este suportul lui ~ω.

Notand cu ~R forta care asigura imobilitatea punctului O, deoarece ~MO(~R) = 0, teoremaimpulsului si teorema momentului cinetic au ın acest caz expresiile :

~ω ×M~rc + ~ω × (~ω ×M~rc) = ~F + ~R

(τ ~ω) + ~ω × (τ~ω) = ~MO(~F )(5.102)

unde ~F este rezultanta fortelor exterioare aplicate rigidului. Deoarece cea de a doua ecuatie(5.102) nu contine reactiunea, ea va reprezenta ecuatia fundamentala a miscarii. Ea permitegasirea dependentei de timp a functiilor ωx, ωy, ωz si deci prin intermediul ecuatiilor (5.26) afunctiilor ψ(t), θ(t), ϕ(t). Cu aceasta problema determinarii miscarii este complet rezolvata,deoarece rigidul cu punct fix are trei grade de libertate. Pe de alta parte, odata determinat~ω(ωx, ωy, ωz), prima ecuatie din (5.102) permite determinarea reactiunii ~R care apare ın Odatorita imobilizarii punctului respectiv si care este o marime apriori necunoscuta.

In cazul particular cand axele mobile sunt alese astfel ıncat sa coincida cu axele principaleale elipsoidului de inertie al rigidului ın raport cu O, tensorul τ se reduce la termenii de pediagonala principala, ceilalti fiind nuli, iar vectorul (τ~ω) va avea proiectiile Aωx, Bωy, Cωz

pe axele sistemului mobil. Proiectand cea de a doua ecuatie din (5.102) pe axele sistemuluimobil, rezulta urmatorul sistem de trei ecuatii scalare :

A ωx + (C −B) ωyωz = Mx(~F )

B ωy + (A− C) ωzωx = My(~F ) (5.103)

C ωz + (B − A) ωxωy = Mz(~F )

Acestea sunt ecuatiile lui Euler. Solutia sub forma finita a acestor ecuatii nu se poate dadecat ın cateva cazuri particulare. Vor fi studiate ın continuare doar doua dintre acestea.

Cazul Euler-Poinsot

Este examinat cazul particular ın care vectorul ~MO este nul, adica cand suma momentelorfortelor exterioare ın raport cu punctul fix este nula. Situatia se realizeaza daca, de exemplu,fortele date se reduc la una singura care trece prin O, cum ar fi cazul rigidului greu fixat ıncentrul sau de masa (O ≡ C). Ecuatiile (5.103) devin :

A ωx + (C −B) ωyωz = 0

B ωy + (A− C) ωzωx = 0 (5.104)

C ωz + (B − A) ωxωy = 0


Se remarca identitatea acestor ecuatii cu cele care descriu miscarea de rotatie a rigiduluiliber greu ın jurul centrului sau de masa, care la randul sau descrie o traiectorie determinatade conditiile initiale ın raport cu sistemul fix.

Sistemul (5.104) admite urmatoarele solutii particulare :

ωx = ω0x , ωy = 0 , ωz = 0

ωx = 0 , ωy = ω0y , ωz = 0

ωx = 0 , ωy = 0 , ωz = ω0z

(5.105)

unde ω0x, ω0

y, ω0z sunt valorile initiale ale componentelor vectorului ~ω. Daca, de exemplu, la

momentul initial sunt ındeplinite conditiile (5.105a), ele vor fi ındeplinite la orice momentulterior si miscarea rigidului va fi o rotatie uniforma ın jurul axei Ox. Deoarece vectorul

~ω este constant ın sistemul mobil, el este constant si ın sistemul fix

(d~ω

dt=

d′~ωdt

), ceea ce

ınseamna ca directia axei Ox ramane constanta ın raport cu sistemul fix. Axa Ox fiind axaprincipala de inertie, va fi si o axa permanenta de rotatie a rigidului. In mod analog,conditiile (5.105b) si (5.105c) exprima faptul ca axele Oy, respectiv Oz, pot fi de asemeneaaxe permanente de rotatie, ele fiind si axe principale de inertie ın O.

Daca A 6= B 6= C, prin O trec doar trei axe principale de inertie, ceea ce ınseamna caın acest caz exista doar trei axe permanente de rotatie. Daca elipsoidul de inertie este derevolutie, de exemplu ın jurul axei Oz (A = B 6= C), atunci orice axa din planul xOy caretrece prin O este o axa principala de inertie si deci o axa permanenta de rotatie. Dacaelipsoidul de inertie se reduce la o sfera (A = B = C), atunci orice axa care trece prin Oeste o axa principala de inertie si deci o axa permanenta de rotatie.

Revenind la cazul general, cand conditiile initiale nu au forma (5.105), se constata casistemul (5.104) admite doua integrale prime. Astfel, ınmultind prima ecuatie cu Aωx, adoua cu Bωy si a treia cu Cωz, adunand si integrand, rezulta :

A2ω2x + B2ω2

y + C2ω2z = ∆2µ2 (5.106)

unde s-a notat constanta de integrare cu ∆2µ2. Pe de alta parte ınmultind prima ecuatie cuωx, a doua cu ωy si a treia cu ωz, adunand si integrand, rezulta :

Aω2x + Bω2

y + Cω2z = ∆ µ2 (5.107)

unde ∆ µ2 este o alta constanta de integrare. Evident, valoarea constantelor de integrareeste determinata de conditiile initiale ale problemei. Integrala prima (5.106) exprima faptul

ca vectorul moment cinetic al rigidului ~L = (τ~ω) ın raport cu O, are o valoare constanta.

Rezultatul era de asteptat, deoarece din teorema momentului cinetic ~L = ~MO(~F ) rezulta ca~L este un vector constant daca ~MO(~F ) este nul. Integrala prima (5.107) exprima faptul caenergia cinetica a rigidului este o constanta ın problema considerata. Intr-adevar, deoarecefortele interioare si reactiunea punctului fix O nu contribuie la lucrul mecanic, teoremaenergiei se reduce la dT = dLext . Deoarece ın cazul considerat :

dLext =∑

i

~Fid~ri =∑

i

~Fi~vidt =∑

i

~Fi(~ω × ~ri)dt = ~ω ·∑i

(~ri × ~Fi)dt = ~ω · ~MO(~F ) dt = 0

(5.108)


din teorema energiei rezulta T =1

2~ω (τ~ω) = const.

Din ecuatiile (5.106) si (5.107) se pot exprima ωx si ωz ın functie de ωy :

ω2x =

B(B − C)

A(A− C)

(α2 − ω2

y

), ω2

z =B(A−B)

C(A− C)

(β2 − ω2

y

)(5.109)

unde

α2 =∆(∆− C)

B(B − C)µ2 , β2 =

∆(A−∆)

B(A−B)µ2 (5.110)

Se observa ca fractiile ce figureaza ın expresiile lui ω2x si ω2

z sunt pozitive daca :

C < B < A (5.111)

ceea ce de altfel nu particularizeaza problema. Atunci α2 si β2 vor trebui sa fie de asemeneapozitivi, deoarece altfel ω2

x si ω2z ar avea doar valori negative. In consecinta, pentru ca

problema sa admita solutii reale, va trebui ca obligator sa fie ındeplinita si conditia :

C < ∆ < A (5.112)

In cele ce urmeaza se va presupune ca α si β sunt doua numere pozitive. Daca ın (5.112) arfigura semne de egalitate, rezultatele se reduc la cazul rotatiilor uniforme discutate anterior.Daca de exemplu A = ∆, atunci β2 = 0 si din (5.109b) rezulta :

B(A−B) ω2y + C(A− C) ω2

z = 0 (5.113)

deci obligator va trebui ca ωy = ωz = 0, din (5.106) si (5.107) rezultand ca ωx = ±µ .Tinand cont de (5.109), din (5.104b) rezulta o ecuatie diferentiala pentru ωy :

ωy = ±√

(A−B)(B − C)

AC

(α2 − ω2

y

) (β2 − ω2

y

)(5.114)

Presupunem ca datele initiale sunt astfel alese ıncat :

∆ < B (5.115)

Din formulele (5.109) rezulta ca ω2y trebuie sa ramana inferior celui mai mic dintre numerele

α2, β2. Se verifica usor ca α2 < β2. Intr-adevar, din (5.110) rezulta :

α2 − β2 = µ2 ∆(A− C)(∆−B)

B(A−B)(B − C)< 0 (5.116)

Se deduce ca limita superioara a lui ω2y este α2, adica functia ωy(t) va varia ın intervalul

(−α, +α). Pe de alta parte, din (5.109) rezulta ca ωx se anuleaza numai daca ωy = ±α, ıntimp ce ωz ısi pastreaza tot timpul semnul. Pentru a gasi modul cum variaza ın timp functiaωy, va trebui integrata ecuatia (5.114). Impunem ca la momentul initial t0 sa avem ω0

y = 0(ω0

x < 0, ω0z > 0) si alegem semnul (+) ın fata radicalului, ceea ce ınseamna ca functia ωy(t)

ıncepe prin a creste. Cu schimbarea de variabila

ωy = α x (5.117)


ecuatia (5.114) devine :dx√

(1− x2)(1− k2x2)= n dt (5.118)

unde s-au facut notatiile

n = µ

√∆(A−∆)(B − C)

AB C, k2 =

α2

β2< 1 (5.119)

Valoarea lui x si deci a lui ωy la momentul t se obtine integrand expresia (5.118) :

x(t)∫

0

dx√(1− x2)(1− k2x2)

= n (t− t0) (5.120)

In consecinta x(t) si deci ωy(t) va fi o functie eliptica de speta ıntai. Functia ωy pornind dela valoarea initiala ω0

y = 0 va creste monoton pana la valoarea +α cand ωy = 0. Apoi ωy

devine negativ, deci ωy va descreste monoton trecand prin valoarea zero si va atinge valoarea

−α cand ωy se anuleaza din nou. In continuare ωy devine din nou pozitiv, ωy reıncepe sacreasca si va continua sa oscileze ıntre valorile limita +α si −α pe care le atinge periodic.Perioada oscilatiilor lui ωy ıntre limitele amintite se calculeaza folosind (5.120) si va fi :

T =4

n

1∫

0

dx√(1− x2)(1− k2x2)

(5.121)

Odata determinata functia ωy(t), folosind (5.109) pot fi calculate si functiile ωx(t) si ωz(t),care vor fi de asemenea niste functii eliptice de timp.

Daca datele initiale sunt astfel alese ıncat ∆ > B (β2 < α2), functiile ωx(t), ωy(t), ωz(t) sedetermina printr-un rationament analog cu cel de mai sus, rezultand ca ele sunt de asemeneaniste functii eliptice periodice. Daca ınsa ∆ = B (α2 = β2 = µ2), atunci ın urma unor calculeelementare rezulta ca ωx(t), ωy(t), ωz(t) sunt niste functii hiperbolice de timp.

O solutie simpla a problemei se obtine daca elipsoidul de inertie este un elipsoid de rotatie.Astfel daca A = B 6= C, din ecuatiile (5.104) rezulta :

ωz = ω0z ; ωx + Ω ωy = 0 , ωy − Ω ωx = 0 (5.122)

unde s-a facut notatia

Ω =C − A

Aω0

z (5.123)

Presupunand ω0z > 0 si notand z = ωx + i ωy se obtine pentru z ecuatia diferentiala :

z − i Ω z = 0 (5.124)

care are solutia :

z = C e i Ω (t− t0) (5.125)


Figura 5.9: Vectorul rotatie ın cazul elipsoidului de revolutie

Deoarece e ix = cos x + i sin x, folosind si conditia initiala ωx(t0) = ω0x, pentru ωx(t) si ωy(t)

se obtin expresiile :

ωx = ω0x cos Ω(t− t0) , ωy = ω0

x sin Ω(t− t0) (5.126)

In consecinta vectorul ωx~ı + ωy ~ are o marime constanta si se roteste uniform ın jurul axeiOz cu viteza unghiulara Ω . Deoarece proiectia vectorului rotatie ~ω pe Oz este de asemeneaconstanta (egala cu ω0

z), unghiul dintre ~ω si Oz va ramane constant si ın consecinta ın cursulmiscarii vectorul ~ω va descrie fata de sistemul mobil un con circular avand pe Oz drept axasi varful ın O.

Pentru a rezolva complet problema determinarii miscarii rigidului cu punct fix, va maitrebui gasita dependenta de timp a unghiurilor Euler ψ, θ, ϕ. Inainte de toate trebuie

observat ca ın acest caz, din teorema momentului cinetic rezulta ~L = 0 , deci momentulcinetic ~L al rigidului este un vector constant ~L0. Pentru simplitatea calculelor se alege axaOz1 a sistemului fix sa coincida cu ~L0.

Deoarece coordonatele lui ~L ın sistemul mobil sunt Aωx, Bωy, Cωz, iar marimea sa esteµ ∆, folosind matricea rotatiilor (5.20) rezulta :

Aωx

Bωy

Cωz

= A ·

0

0

µ ∆

adica

Aωx = µ ∆ sin ϕ sin θ

Bωy = µ ∆ cos ϕ sin θ

Cωz = µ ∆ cos θ

(5.127)

Aceste ecuatii determina pe ϕ(t) si θ(t). Unghiul ψ(t) va fi determinat din ecuatia :

ψ =1

sin θ(ωx sin ϕ + ωy cos ϕ) =

Aω2x + B ω2

y

µ ∆ sin2 θ(5.128)

In cazul particular al elipsoidului de revolutie A = B 6= C, deoarece :

tg ϕ =ωx

ωy

= ctg Ω(t− t0) = tg[π

2− Ω(t− t0)

](5.129)

rezulta pentru ϕ(t) expresia :

ϕ(t) =π

2+

(1− C

A

)ω0

z(t− t0) (5.130)


Unghiul ϕ creste daca C < A sau descreste daca A < C, pornind de la valoareaπ

2pe care o

are pentru t = t0.

Figura 5.10: Cazul Euler-Poinsot. Miscarea de precesie regulata

Pentru a gasi functia θ(t), se observa ca θ reprezinta unghiul dintre vectorul ~L0 si axa

Oz. Proiectia lui ~L0 pe Oz fiind Cω0z , rezulta ca :

cos θ =Cω0

z

|~L0| = const. deci θ = θ0 = const. (5.131)

Astfel axa Oz va descrie un con cu varful ın O ın jurul vectorului ~L0.Functia ψ(t) se obtine integrand ecuatia (5.128), care ın acest caz are forma :

ψ =|~L0|A

(5.132)

si ın consecinta :

ψ(t) =|~L0|A

(t− t0) + ψ0 (5.133)

Se verifica usor ca vectorii ~k (0, 0, 1), ~ω (ωx, ωy, ωz) si ~L (Aωx, Bωy, Cωz) sunt coplanari,deoarece ~ω este tot timpul perpendicular pe linia nodurilor. Acest plan va avea o miscare

de rotatie uniforma ın jurul axei Oz1 cu viteza unghiulara ψ =|~L0|A

. In concluzie, rigidul

se roteste uniform ın jurul axei sale de simetrie, care la randul ei efectueaza o miscare derotatie uniforma ın jurul axei fixe care trece prin centrul de masa. Miscarea este cunoscuta

sub numele de precesie regulata, viteza precesiei fiind|~L0|A

.

Cazul Lagrange-Poisson

Daca punctul fix al rigidului nu coincide cu centrul sau de masa, atunci ın ecuatia (5.102b)~MO(~F ) 6= 0 . Daca asupra punctelor rigidului actioneaza doar greutatea lor proprie, sistemul

de forte poate fi ınlocuit cu o forta unica ~G = M~g , cu punctul de aplicatie ın centrul de masa,


care are vectorul de pozitie ~rc de componente xc, yc, zc ın sistemul de referinta legat solidarde rigid. Notand cu ~γ versorul axei fixe Oz1 , acesta va avea ın sistemul mobil componentele :

γx = sin θ sin ϕ

γy = sin θ cos ϕ

γx = cos θ

(5.134)

Deoarece momentul ın raport cu O al fortei de greutate are ın sistemul mobil componentele :

~MO(~G) = ~rc × (−Mg~γ) = −Mg

∣∣∣∣∣∣∣∣

~ı ~ ~k

xc yc zc

γx γy γz

∣∣∣∣∣∣∣∣(5.135)

ecuatia momentului cinetic (5.102b) proiectata pe axele sistemului mobil va da :

A ωx + (C −B) ωyωz = Mg (zcγy − ycγz)

B ωy + (A− C) ωzωx = Mg (xcγz − zcγx) (5.136)

C ωz + (B − A) ωxωy = Mg (ycγx − xcγy)

Rezulta astfel un sistem de trei ecuatii diferentiale pentru sase necunoscute ωx, ωy, ωz, γx,γy, γz. Mai pot fi obtinute ınca trei ecuatii scriind ca vectorul ~γ este constant ın raport cu

sistemul de referinta fix :d~γ

dt=

d′~γdt

+ ~ω × ~γ = 0 , ceea ce proiectat pe axele sistemului mobil

va da :γx + ωyγz − ωzγy = 0

γy + ωzγx − ωxγz = 0

γz + ωxγy − ωyγx = 0

(5.137)

Integrand ecuatiile (5.136), (5.137) si tinand cont de (5.134), vor rezulta functiile θ(t) si ϕ(t).Functia ψ(t) va fi apoi determinata folosind ecuatiile cinematice ale lui Euler.

Sistemele (5.136) si (5.137) admit urmatoarele integrale prime :

Aωxγx + B ωyγy + C ωzγz = L0

Aω2x + B ω2

y + C ω2z = − 2Mg (xcγx + ycγy + zcγz) + 2 h

γ2x + γ2

y + γ2z = 1

(5.138)

dintre care ultima este evidenta, deoarece ~γ este un versor. Prima integrala se obtineınmultind ecuatiile (5.136) respectiv cu γx, γy, γz si ecuatia (5.137) respectiv cu Aωx, B ωy,C ωz, adunand si integrand (L0 este deocamdata o constanta neprecizata). Cea de a doua in-tegrala prima se obtine ınmultind ecuatiile (5.136) respectiv cu ωx, ωy, ωz, adunand, tinand

cont de (5.137) si integrand (h este tot o constanta deocamdata neprecizata). In fond(5.138a) nu reprezinta altceva decat legea de conservare a momentului cinetic. Intr-adevar,

proiectand teorema momentului cinetic ~L = ~MO(~G) pe axa Oz1 a sistemului fix, deoarece

~MO(~G) ·~γ = 0, rezulta ~L ·~γ = 0, ceea ce prin integrare da ~L ·~γ = L0. Semnificatia constanteiL0 devine evidenta, ea reprezentand proiectia momentului cinetic al rigidului pe axa fixa


Oz1 , proiectie care ın acest caz este o constanta. Explicitand produsul ~L · ~γ ın sistemulmobil rezulta (5.138a). Ecuatia (5.138b) exprima teorema conservarii energiei. Se observaca ın acest caz lucrul mecanic elementar al fortelor externe are expresia :

dLext = −Mg~γ d~rc = −Mg d(γxxc + γyyc + γzzc) (5.139)

iar energia cinetica se scrie :

T =1

2

(Aω2

x + B ω2y + C ω2

z

)(5.140)

Introducand aceste expresii ın teorema energiei dT = dLext si integrand, rezulta T = Lext+h,adica tocmai ecuatia (5.138b).

Pentru a integra sistemul de ecuatii (5.136), (5.137) ar trebui sa dispunem de un numar desase integrale prime independente. Se poate ınsa arata ca, deoarece variabila independentat nu intervine explicit ın acest sistem, iar pe de alta parte ca sistemul admite ıntotdeaunaun factor integrant, numarul necesar de integrale prime se reduce patru. Astfel problemaintegrarii sistemului (5.136), (5.137) se reduce la problema gasirii unei a patra integraleprime, ın afara celor trei din (5.138). In conditii initiale generale, sunt cunoscutedoar doua cazuri ın care se poate gasi o a patra integrala prima functie de ωx, ωy, ωz sinedepinzand explicit de timp. Aceste cazuri sunt : cazul Lagrange-Poisson ın care A = B,xc = yc = 0 si cazul Sofia Kowalewskaia ın care A = B = 2 C, zc = 0 . In cele ce urmeazava fi studiat doar primul dintre ele.

Cazul Lagrange-Poisson se realizeaza atunci cand rigidul are doua momente de inertieprincipale (relative la punctul fix) egale, iar centrul de masa se gaseste pe axa corespunzatoarecelui de al treilea moment de inertie principal. Cu conditiile

A = B 6= C , xc = yc = 0 (5.141)

ecuatia (5.136c) furnizeaza cea de a patra integrala prima necesara :

ωz = s (5.142)

unde s (= ω0z) este o constanta numita spin . Facand aceasta ınlocuire ın primele doua

ecuatii (5.138) si folosind (5.134) rezulta :

ω2x + ω2

y = α− β cos θ

(ωx sin ϕ + ωy cos ϕ) sin θ = γ − δ cos θ(5.143)

unde α, β, γ, δ sunt patru constante (β si δ pozitive) :

α =2h− Cs2

A, β =

2Mgzc

A, γ =

L0

A, δ =

Cs

A(5.144)

Folosind formulele cinematice ale lui Euler (5.24), expresiile (5.142) si (5.143) devin :

ψ cos θ + ϕ = s

ψ2 sin2 θ + θ2 = α− β cos θ

ψ sin2 θ = γ − δ cos θ

(5.145)


Cu notatia

cos θ = u (5.146)

din ultima ecuatie (5.145) rezulta :

ψ =γ − δu

1− u2(5.147)

iar ecuatia (5.145b) devine :

u2 = P (u) unde P (u) = (α− βu)(1− u2)− (γ − δu)2 (5.148)

Se obtine astfel cuadratura :

t =

u(t)∫

u0

du

(±)√

(α− βu)(1− u2)− (γ − δu)2(5.149)

unde u0 este valoarea initiala a lui u . Radicalul va fi luat cu (+) sau cu (−) dupa cumderivata u la momentul initial este pozitiva sau negativa. In consecinta u(t) si deci θ(t) vafi o functie eliptica de timp. Cunoscand forma functiei u(t), din ecuatiile (5.147) si (5.145a)vor rezulta functiile ψ(t) si ϕ(t). Scrise sub aceasta forma ecuatiile de miscare sunt foartegreu de interpretat din punct de vedere fizic. Din fericire caracterizarea generala a miscariipoate fi realizata si fara a se efectua integrala (5.149).

Figura 5.11: Radacinile polinomului P (u)

Se observa ca pentru ca ecuatia (5.148) sa aiba o solutie, va trebui ca polinomul degradul trei P (u) sa fie ≥ 0 . Radacinile acestui polinom vor da unghiurile pentru care θ ısischimba semnul. Separarea radacinilor se face usor remarcand ca P (−∞) < 0 , P (+∞) > 0 ,P (±1) < 0 . Notand cu u0 valoarea initiala a lui u si observand ca u0 ∈ (−1, +1) , deoareceP (u0) ≥ 0 apar doua situatii posibile (v. Fig. 5.11). In ambele cazuri cele trei radacini aleecuatiei P (u) = 0 sunt reale, asa ıncat se va putea scrie :

P (u) = β (u− u1)(u2 − u)(u3 − u) (5.150)

Deoarece u < u3 , factorul u3 − u va fi pozitiv si deci pentru ca P (u) sa fie pozitiv va trebuica u1 ≤ u ≤ u2 . Aceasta ınseamna ca unghiul de nutatie θ va trebui sa fie cuprins ıntre


valorile extreme corespunzatoare θ1 , θ2 care vor fi presupuse distincte. Daca u1 < u2 , atunciθ1 > θ2 si deci :

θ2 ≤ θ(t) ≤ θ1 (5.151)

Pornind de la valoarea initiala θ0 corespunzatoare valorii u0, unghiul θ va creste sau descrestedupa cum semnul din fata radicalului este ales (−) sau (+). Presupunand ca s-a ales semnul(−), θ va creste monoton pana va atinge valoarea θ1 . In acest moment polinomul P (u) seanuleaza si ın continuare u ısi schimba semnul, deci θ ıncepe sa descreasca monoton catre

Figura 5.12: Variatia unghiului de nutatie dintre axele Oz1si Oz

cealalta valoare limita θ2 cand polinomul P (u) se anuleaza din nou. Apoi u schimbandu-sidin nou semnul, θ va ıncepe sa creasca pana cand va atinge valoarea θ1 , etc. In consecintaθ(t) este o functie periodica, perioada oscilatiilor valorilor sale fiind :

T = 2

u2∫

u1

du√(α− βu)(1− u2)− (γ − δu)2

(5.152)

In cazul ın care cele doua radacini u1, u2 ale polinomului sunt confundate, deoarece u0

trebuie sa aiba valoarea comuna a celor doua radacini egale, va trebui ca :

P (u) = − β (u− u0)2(u3 − u) (5.153)

Pentru ca P (u) nu poate fi negativ, iar factorii β si u3 − u sunt ambii pozitivi, rezulta ca :

u(t) = u0 , θ(t) = θ0 = const. (5.154)

Prin urmare, ın cazul particular u1 = u2 = u0 , unghiul θ dintre axa mobila Oz si axa fixaOz1 va ramane constant ın cursul miscarii.

Pentru a obtine o imagine intuitiva asupra miscarii, va fi examinata curba descrisa depunctul P ın care axa mobila Oz intersecteaza sfera de raza unitate cu centrul ın O. In cazulgeneral aceasta curba se situeaza pe sfera ıntre paralelele θ = θ1 si θ = θ2 (θ1 > θ2). Pozitiapunctului P este determinata cu ajutorul unghiului θ situat ın planul meridian z1Oz si al

unghiului ψ − π

2facut de planul z1Oz cu planul fix z1Ox1.


Forma curbei descrisa de punctul P este data de radacina binomului γ−δu care figureazala numaratorul expresiei (5.147) a lui ψ. Notand aceasta radacina cu

u′ =γ

δ=

L0

Cs(5.155)

ın raport cu conditiile initiale sunt posibile trei situatii distincte .

Figura 5.13: Miscarea de precesie a rigidului combinata cu miscarea de nutatie

a) u′ > u2 sau u′ < u1 . Deoarece conform (5.147) ψ nu se anuleaza pentru nici o valoarea lui u, ψ va fi ıntotdeauna sau pozitiv, sau negativ, pentru orice θ aflat ıntre valorile extremeθ1 si θ2 . Functia ψ(t) variind monoton, planul meridian se va roti si el tot timpul ın acelasisens, iar punctul P va descrie traiectoria indicata ın Fig. 5.13a. Pentru θ = θ1 si θ = θ2

traiectoria lui P va fi tangenta la paralele, deoarece ın aceste puncte θ = 0 conform (5.148).Axa Oz a rigidului efectueaza o miscare de precesie ın jurul axei verticale, ınsa miscarearespectiva nu este o precesie regulata ca ın cazul miscarii libere a rigidului, deoarece axa Ozın afara rotatiei sale ın jurul verticalei, oscileaza totodata ın planul meridian ıntre unghiurileθ1 si θ2 . In timpul precesiei, rigidul are si o miscare de nutatie .

b) u1 < u′ < u2 . Functia ψ poate varia atat ıntr-un sens, cat si ın celalalt. Traiectoriapunctului P intersecteaza normal paralela θ = θ′, deoarece ın aceste puncte ψ = 0 conform(5.147), dar va fi tangenta la paralelele limita θ1 si θ2 . Forma traiectoriei este cea din Fig.5.13b. Deoarece valoarea medie a lui ψ este diferita de zero, va exista o miscare de precesieıntr-un sens bine determinat.

c) u′ = u1 sau u′ = u2 . In aceasta situatie P (u′) = 0 ceea ce conform (5.148) ınseamna

u′ =α

β. Rezulta ca pe unul din cercurile θ1 sau θ2 va trebui sa avem concomitent θ = 0

si ψ = 0. Se observa ca niciodata conditiile initiale nu pot fi alese astfel ıncat u′ = u1.Intr-adevar, ın acest caz din (5.148) ar rezulta :

P ′(u1) = − β (1− u21) < 0 (5.156)

ceea ce contrazice ınsa relatia

P ′(u1) = β (u2 − u1)(u3 − u1) > 0 (5.157)


care ar rezulta din derivarea expresiei (5.150). Ramane astfel doar posibilitatea u′ = u2.Deoarece ın vecinatatea lui u2, u este de ordinul lui

√u2 − u (v. expr. (5.150)), iar ψ este

de ordinul u2 − u (v. expr. (5.147)), va trebui ca :

limθ→θ2

dψ

dθ= 0 (5.158)

si astfel traiectoria punctului P va intersecta normal paralela θ = θ2 (v. Fig. 5.13c).Revenim la situatia ın care doua radacini ale polinomului (5.148) sunt confundate u1 =

u2 = u0. Dupa cum s-a aratat anterior, va trebui ca u(t) = u0, adica θ(t) = θ0. In consecintaaxa Oz va descrie un con ın jurul axei Oz1. Pe de alta parte din (5.145c) si (5.145a) rezultaca ψ si ϕ sunt constante, ceea ce ınseamna ca axa Oz solidara cu rigidul va descrie conulın jurul lui Oz1 cu viteza unghiulara constanta ψ, ın timp ce rigidul se roteste uniform cuviteza unghiulara ϕ ın jurul axei Oz. Miscarea, dupa cum s-a vazut si cu alte ocazii, esteo precesie regulata. Pentru a gasi conditiile initiale care trebuie ındeplinite pentru a serealiza o astfel de miscare, se elimina factorii α − βu0 si γ − δu0 din ecuatiile P (u0) = 0,P ′(u0) = 0 si (5.145c). Rezulta ın final :

Csψ0 − Aψ20 cos θ0 = Mgzc (5.159)

sau eliminand pe s cu ajutorul lui (5.145a) :

Cϕ0ψ0 + (C − A)ψ20 cos θ0 = Mgzc (5.160)

unde ψ0 si ϕ0 sunt valorile initiale ale lui ψ si ϕ. In concluzie, precesia regulata ın cazulLagrange-Poisson este un caz particular, nu ca ın cazul Euler-Poinsot unde precesia regulataare loc ıntotdeauna cand elipsoidul de inertie este elipsoid de revolutie.

II.Mecanica lagrangeeana

Capitolul 6

Concepte fundamentale

Din cele prezentate pana acum, rezulta clar limitele formalismului newtonian. Daca pen-tru punctul material liber, sau chiar supus la legaturi, apare posibila determinarea miscarii,care ın esenta este o problema de matematica, prin trecerea la studiul miscarii sistemelorde puncte materiale, problema devine suficient de complexa, datorita numarului foarte marede necunoscute care urmeaza a fi determinate. Folosirea teoremelor generale poate servi lacunoasterea unor proprietati ale miscarii sistemului pe traiectorie, dar determinarea propriu-zisa a miscarii ramane o problema deschisa, chiar ın cazul unor sisteme relativ simple. Esteevident ca formalismul folosit este prea ”sarac”, motiv pentru care daca sunt studiate pro-bleme complexe de miscare a unor sisteme supuse la legaturi, fara a iesi din limitele mecaniciiclasice stabilite de principiile Galilei-Newton, va trebui modificat radical modul de abordare,prin precizarea sau chiar redefinirea unor concepte de baza, ceea ce are consecinte directe siasupra formalismului matematic utilizat.

6.1 Legaturi si deplasari

Se studiaza miscarea unui sistem de N puncte materiale Pi(mi, ~ri) ; i = 1, . . . , N . Re-zultanta tuturor fortelor exterioare si interioare care actioneaza asupra punctului Pi va finotata cu ~Fi . Pozitia (~r) a sistemului la un moment dat va fi data de ansamblul vectorilorde pozitie : (~r1, ~r2, . . . , ~rN) , iar viteza (~r) a sistemului la un moment dat va fi precizata deansamblul vectorilor viteza : (~r1, ~r2, . . . , ~rN) . Va fi numita legatura, orice restrictiede natura geometrica sau cinematica care se impune asupra sistemului . Dacasistemului nu i se impune nici o restrictie, el va fi numit sistem liber , ın caz contrar el fiindnumit sistem cu legaturi .

Reastrictia ca pentru un t dat, sistemul sa nu poata ocupa ın spatiu decat o pozitieadmisa de ecuatia generala :

f(t, ~r) = 0 adica f(t, ~r1, ~r2, . . . , ~rN) = 0 (6.1)

va fi numita legatura geometrica , sau finita . Restrictia ca pentru un t dat si o pozitiedata, sistemul sa nu poata avea orice viteza, ci doar o viteza admisa de ecuatia generala :

g(t, ~r, ~r) = 0 adica f(t, ~r1, . . . , ~rN , ~r1, . . . , ~rN) = 0 (6.2)

79

80 CAPITOLUL 6. CONCEPTE FUNDAMENTALE

va fi numita legatura cinematica , sau diferentiala. In cele ce urmeaza, vor fi luate ınconsiderare doar acele legaturi cinematice, care sunt exprimate sub forma unei dependenteliniare ın raport cu vitezele punctelor care alcatuiesc sistemul :

N∑

i=1

~Ai · ~ri + At = 0 unde

~Ai = ~Ai(t, ~r) ; i = 1, . . . , N

At = At(t, ~r)(6.3)

Este evident ca ın (6.3) nu toti coeficientii ~Ai ; i = 1, . . . , N pot fi simultan nuli, deoarece ıncaz contrar legatura ar fi geometrica.

Se observa ca orice legatura finita (6.1) poate fi pusa sub forma unei legaturi diferentialeliniare de forma (6.3), deoarece derivata totala dupa timp a ecuatiei (6.1) se scrie :

N∑

i=1

∂f

∂~ri

· ~ri +∂f

∂t= 0 (6.4)

unde s-a facut notatia :

∂f

∂~ri

≡ ∇if =∂f

∂xi

~ı +∂f

∂yi

~ +∂f

∂zi

~k (6.5)

Reciproca acestei afirmatii nu este ın general valabila, ıntrucat nu ıntotdeauna o legaturadiferentiala poate fi pusa sub forma unei legaturi finite. Legaturile diferentiale care potfi puse sub forma finita sunt numite legaturi integrabile, caz ın care ıntre coeficientii~Ai ; i = 1, . . . , N si At trebuie sa existe relatii bine determinate. Intr-adevar, scriind (6.3)sub forma :

N∑

i=1

~Aid~ri + Atdt = 0 (6.6)

membrul stang al acestei ecuatii va reprezenta o forma diferentiala liniara (forma Pfaff) de

3N + 1 variabile : δΠ3N+1 =3N+1∑

k=1

Xkdxk , unde Xk = Xk(x1, . . . , x3N+1) ; k = 1, . . . , 3N + 1 .

Daca exista functia µ(x1, . . . , x3N+1) numita factor integrant, asa ıncat produsul acesteiacu forma Pfaff sa conduca la diferentiala totala exacta a unei functii Φ(x1, . . . , x3N+1) :

dΦ3N+1 = µ(x1, . . . , x3N+1) δΠ3N+1 (6.7)

se spunde despre forma diferentiala respectiva ca este integrabila , sau olonoma . Se stiedin matematica ca formele Pfaff de una si doua variabile admit ıntotdeauna un factor inte-grant, ın schimb forma Pfaff de trei variabile δΠ3 = X1dx1 + X2dx2 + X3dx3 este olonoma,numai daca este ındeplinita conditia ~X · rot ~X = 0 , unde ~X = ~X(X1, X2, X3) . Rezultatuleste un caz particular al teoremei lui Frobenius , care da conditiile care trebuiesc sa-tisfacute de catre coeficientii unei forme diferentiale liniare, asa ıncat ea sa admita un factorintegrant.

Daca un sistem mecanic este supus numai la legaturi finite si legaturi diferentiale inte-grabile, el va fi numit sistem olonom (de exemplu : sistemul liber, sistemul cu legaturifinite si legaturi diferentiale integrabile). Daca sistemul este supus si la legaturi diferentialeneintegrabile, el va fi numit sistem neolonom .

6.1. LEGATURI SI DEPLASARI 81

Se stie ca legaturile pot fi nestationare sau stationare, dupa cum timpul figureaza saunu figureaza explicit ın ecuatia legaturii. In cazul unei legaturi finite (6.1), conditia ca ea

sa fie stationara se scrie :∂f

∂t= 0 , iar ın cazul unei legaturi diferentiale (6.6) conditiile de

stationaritate vor fi :∂ ~Ai

∂t= 0 ; i = 1, . . . , N si At = 0 . Un sistem material supus numai la

legaturi stationare, poarta numele de sistem scleronom . Daca el este supus si la legaturinestationare, el va fi numit sistem reonom .

Prezenta legaturilor aduce ın rezolvarea problemelor de mecanica doua dificultati majore.Prima dintre ele consta ın aceea ca nu toate coordonatele ~ri ; i = 1, . . . , N sunt independente,ıntrucat ele sunt legate prin intermediul unor relatii date. Pentru sisteme olonome, acesterelatii permit eliminarea din ecuatiile de miscare a coordonatelor dependente, asa ıncatdin punct de vedere formal, problema determinarii miscarii unui sistem olonom poate firezolvata ıntotdeauna folosind o metoda generala unica. Nu acelasi lucru se poate spunedespre sistemele neolonome, studiul miscarii acestora impunand ın majoritatea cazurilor otratare individuala. A doua dificultate introdusa de prezenta legaturilor este legata de faptulca reactiile legaturilor sunt apriori necunoscute. Dupa cum se va vedea, dificultatea poate fiocolita printr-o reformulare adecvata a problemei, asa ıncat ın ea sa nu mai figureze explicitca necunoscute reactiile legaturilor, ci doar niste marimi legate de fortele efectiv aplicateasupra sistemului, forte care sunt presupuse ca fiind date.

Presupunem ca unui sistem oarecare de puncte materiale ıi sunt impuse un numar n1

de legaturi geometrice independente fj(t, ~r) = 0 ; j = 1, . . . , n1 si un numar n2 de legaturicinematice independente din clasa considerata :

N∑

i=1

∂fj

∂~ri

~ri +∂fj

∂t= 0 ; j = 1, . . . , n1

N∑

i=1

~Ali ~ri + Alt = 0 ; l = 1, . . . , n2

(6.8)

unde ecuatiile legaturilor geometrice au fost scrise sub forma echivalenta diferentiala. Lamomentul t si pentru o pozitie posibila a sistemului, viteza sistemului (~r1, . . . , ~rN) va fi oviteza posibila, daca ea satisface la cele n1 + n2 ecuatii liniare (6.8). Astfel, o vitezaposibila este cea compatibila cu legaturile impuse sistemului . Deoarece n1 + n2 <3N , pentru orice pozitie posibila a sistemului la momentul t , exista o infinitate de vitezeposibile . In raport cu fortele efective aplicate sistemului, miscarea reala va fi efectuata cuuna din aceste viteze posibile.

Ansamblul :d~ri = ~ridt ; i = 1, . . . , N (6.9)

cu (~r1, . . . , ~rN) una din vitezele posibile ale sistemului, va reprezenta o deplasare posibila(infinitezimala) a sistemului la momentul t , dintr-o pozitie posibila. Ecuatiile care definescdeplasarile posibile vor fi :

N∑

i=1

∂fj

∂~ri

d~ri +∂fj

∂tdt = 0 ; j = 1, . . . , n1

N∑

i=1

~Ali d~ri + Alt dt = 0 ; l = 1, . . . , n2

(6.10)


Intucat exista o infinitate de viteze posibile, va exista si o infinitate de deplasari posibileale sistemului, compatibile cu legaturile.

Se considera doua deplasari posibile ale sistemului din aceeasi pozitie posibila si la acelasimoment de timp t :

d~ri = ~ridt

d′~ri = ~r′idt

; i = 1, . . . , N (6.11)

Deoarece ambele ansambluri (d~r1, . . . , d~rN) si (d′~r1, . . . , d′~rN) satisfac la ecuatiile (6.10),

rezulta ca diferentele :δ~ri = d′~ri − d~ri ; i = 1, . . . , N (6.12)

vor satisface la ecuatiile :

N∑

i=1

∂fj

∂~ri

δ~ri = 0 ; j = 1, . . . , n1

N∑

i=1

~Ali δ~ri = 0 ; l = 1, . . . , n2

(6.13)

Ansamblul (δ~r1, . . . , δ~rN) care satisface la ecuatiile (6.13) va constitui o deplasare virtualaa sistemului si este evident ca va exista o infinitate de deplasari virtuale , compatibilecu legaturile.

Denumirea de deplasare virtuala provine din faptul ca cel putin din punct de vedereformal, ea apare ca o deplasare posibila instantanee , adica realizata ın ipoteza dt = 0 ,dintr-o pozitie posibila a sistemului ıntr-o alta pozitie infinit vecina. Trebuie ınsa subliniatca desi deplasarea virtuala apare ca o deplasare care nu se face ın timp, ea depinde de timpprin aceea ca la fiecare moment t , sistemul de ecuatii (6.13) care defineste deplasarea este

altul, coeficientii∂fj

∂~ri

si ~Ali fiind ın general functii de timp, cu exceptia sistemului scleronom.

Pentru sistemul scleronom (cu legaturi stationare), orice deplasare virtuala estesi o deplasare posibila. Afirmatia reciproca este de asemenea adevarata.

Pentru a ilustra deosebirea dintre cele doua tipuri de deplasari, examinam miscarea farafrecare a unui punct material P pe o suprafata data S .

Figura 6.1: Deplasari posibile si deplasari virtuale

Daca suprafata S este fixa si are ecuatia f(x, y, z) = 0 , orice vector ~r = ~v cu origineaın P si tangent la suprafata, va reprezenta o viteza posibila (v. Fig. 6.1.a). Conform

6.2. DETERMINAREA MISCARII. AXIOMA LEGATURILOR IDEALE 83

primei ecuatii (6.10), deoarece∂f

∂t= 0 , orice deplasare posibila d~r = ~vdt se va gasi ın planul

tangent la S ın P . Diferenta δ~r = d′~r − d~r a doua astfel de deplasari va fi de asemeneaun vector ın planul tangent respectiv. In consecinta, orice variatie elementara a vectoruluide pozitie, avand originea ın P si aflata ın planul tangent la suprafata fixa, poate desemnafie o deplasare posibila d~r , fie o deplasare virtuala δ~r. Legatura fiind stationara, deplasarileposibile coincid cu deplasarile virtuale.

Daca ınsa suprafata S este mobila, ea deplasandu-se cu viteza de translatie ~u (v. Fig.6.1.b), atunci o viteza posibila a punctului P la un moment t este ~v = ~vr + ~u , unde ~vr esteviteza relativa a punctului fata de suprafata S , aceasta fiind ın planul tangent la suprafataın P . Deplasarea posibila corespunzatoare va fi d~r = (~vr + ~u)dt si cu certitudine ea nuse gaseste ın planul tangent. O alta deplasare posibila se va face cu o alta viteza relativa :d′~r = (~v ′r + ~u)dt , asa ıncat o deplasare virtuala va fi δ~r = d′~r − d~r = (~v ′r − ~vr)dt . Aceasta

va fi un vector ın planul tangent ın P la momentul t :∂f

∂~rδ~r = 0 , desi deplasarile posibile

d~r = ~vdt si d′~r = ~v ′dt nu se gasesc ın acest plan.

6.2 Determinarea miscarii. Axioma legaturilor ideale

In ceea ce priveste problema determinarii miscarii unui sistem de puncte materialePi(mi, ~ri) ; i = 1, . . . , N ın absenta legaturilor, fiecare punct al sistemului se va deplasaconform ecuatiei :

mi~ai = ~Fi ; i = 1, . . . , N (6.14)

unde ~Fi este rezultanta fortelor exterioare si interioare care actioneaza ın Pi . In prezenta

legaturilor, acceleratiile ~ai =1

mi

~Fi ; i = 1, . . . , N pot fi incompatibile cu legaturile impuse,

deoarece este putin probabil ca ele sa satisfaca la ecuatiile obtinute prin derivarea relatiilor(6.8) :

N∑

i=1

∂fj

∂~ri

· ~ai +N∑

i=1

d

dt

(∂fj

∂~ri

)· ~vi +

d

dt

(∂fj

∂t

)= 0 ; j = 1, . . . , n1

N∑

i=1

~Ali · ~ai +N∑

i=1

d ~Ali

dt· ~vi +

dAlt

dt= 0 ; l = 1, . . . , n2

(6.15)

Acestea sunt constrangeri asupra acceleratiilor, impuse de legaturile sistemului. De aceea sepoate considera ca prezenta legaturilor se manifesta prin interventia unor forte suplimentare~Ri , apriori necunoscute, numite reactiile legaturilor , asa ıncat sub actiunea fortelor date~Fi si a reactiilor legaturilor ~Ri , punctele sistemului sa se miste astfel, ıncat acceleratiiledeterminate din ecuatiile

mi~ai = ~Fi + ~Ri ; i = 1, . . . , N (6.16)

sa fie compatibile cu legaturile (6.15). Se admite ca fortele ~Fi , numite forte efective , sunt

functii date de timp, pozitia si viteza sistemului : ~Fi(t, ~r1, . . . , ~rN , ~r1, . . . , ~rN) ; i = 1, . . . , N .Problema fundamentala a dinamicii sistemelor cu legaturi consta ın urmatoarele :

fiind date fortele efective ~Fi = ~Fi(t, ~r, ~r) ; i = 1, . . . , N , pozitia initiala ~r 0i si viteza


initiala ~v 0i a fiecarui punct i = 1, . . . , N a sistemului, compatibile cu legaturile, se

cere sa se determine miscarea sistemului si reactiile legaturilor .Se observa ca numarul total de necunoscute ale problemei : ~ri(t) , ~Ri(t) ; i = 1, . . . , N

este 6N , iar numarul ecuatiilor avute la dispozitie (6.8) si (6.16) este 3N + n1 + n2 < 6N .Cat timp nu se face o ipoteza asupra naturii legaturilor, care sa furnizeze restul de

n = 6N − (3N + n1 + n2) = 3N − n1 − n2 (6.17)

ecuatii de care este nevoie, problema apare ca fiind nedeterminata. Aceste ecuatii pot fiobtinute daca ne limitam la clasa legaturilor ideale , anume a legaturilor pentru caresuma lucrurilor mecanice ale reactiilor legaturilor este nula, pentru orice depla-sare virtuala a sistemului, compatibila cu legaturile :

N∑

i=1

~Ri δ~ri = 0 (6.18)

Mecanica analitica se limiteaza doar la studiul aceastei clase de legaturi, relatia (6.18) fiindcunoscuta si sub numele de axioma legaturilor ideale .

Conditia (6.18) este suficienta pentru a furniza cele n ecuatii scalare de care mai avemnevoie pentru determinarea miscarii si a legaturilor. Intr-adevar, din sistemul (6.13) la caresatisfac deplasarile virtuale, pot fi determinate un numar de n1 + n2 deplasari dependentede forma . . . , δxi, δyi, δzi, . . . ın functie de celelalte n = 3N − n1 − n2 deplasari de aceeasiforma generala, notate cu δq1, . . . , δqn , care raman arbitrare. Introducand aceste marimi

ın (6.18) si grupand termenii astfel ıncat sa se poata scrie suma sub forman∑

k=1

R ′kδqk = 0 ,

deoarece variatiile δqk ; k = 1, . . . , n sunt independente, va trebui ca toti coeficientii R ′k ; k =

1, . . . , n sa se anuleze simultan. Deoarece acesti n coeficienti contin obligator necunoscuteleproblemei, au rezultat astfel cele n ecuatii scalare de care mai era nevoie, pentru ca problemafundamentala a dinamicii sistemelor cu legaturi sa fie complet determinata.

Ca exemple de legaturi ideale amintim : miscarea fara frecare a unui punct materialpe o suprafata fixa, mobila, sau deformabila ; miscarea fara frecare a unui punct materialpe o curba fixa, mobila, sau deformbila ; rigidul liber ; rigidul cu punct fix ; rigidul cu axafixa ; miscarea rigidului fara frecare pe o suprafata fixa sau mobila. In general conceptulde legatura ideala este aproape universal aplicabil, cu exceptia situatiilor ın care intervinefrecarea.

6.3 Ecuatia generala a dinamicii

Prin ınlocuirea ın axioma legaturilor ideale (6.18) a reactiilor legaturilor care se obtin dinecuatiile de miscare (6.16), rezulta o ecuatie independenta de reactiuni :

N∑

i=1

(~Fi −mi~ai

)δ~ri = 0 (6.19)

Ecuatia (6.19) poarta numele de ecuatia generala a dinamicii , sau ecuatia d’Alembert-Lagrange . Ea exprima faptul ca miscarea sistemului material se face astfel, ıncat ın

6.3. ECUATIA GENERALA A DINAMICII 85

orice moment si pentru orice pozitie compatibila cu legaturile, este ındeplinitaecuatia (6.19), oricare ar fi deplasarea virtuala a sistemului compatibila culegaturile. Deoarece vectorul −mi~ai a fost interpretat ca forta de inertie, enuntul poatefi reformulat si ın sensul ca : miscarea sistemului material se face astfel, ıncat ınorice moment si pentru orice pozitie compatibila cu legaturile, suma dintre lu-crul mecanic al fortelor active si cel al fortelor de inertie este nula, pentru oricedeplasare virtuala a sistemului compatibila cu legaturile .

Forma concreta a ecuatiilor de miscare pentru sistemele cu legaturi, precum si expresiilereactiilor legaturilor, pot fi obtinute folosind metoda multiplicatorilor lui Lagrange .Observand ca deplasarile δ~ri din ecuatia (6.19) nu sunt toate arbitrare, ele trebuind sasatisfaca la un numar de n1 + n2 ecuatii de forma :

N∑

i=1

∂fj

∂~ri

δ~ri = 0 ; j = 1, . . . , n1

N∑

i=1

~Ali δ~ri = 0 ; l = 1, . . . , n2

(6.20)

fiecare ecuatie din primul grup va fi ınmultita cu un multiplicator λj , ecuatiile rezultateurmand a fi ınsumate dupa toate valorile lui j , iar fiecare ecuatie din cel de al doilea grup vafi ınmultita cu un multiplicator µl , ecuatiile rezultate fiind apoi ınsumate dupa toate valorilelui l . Intervertind si ordinea sumarilor, vor rezulta expresiile :

N∑

i=1

n1∑

j=1

λj∂fj

∂~ri

δ~ri = 0 ;

N∑

i=1

( n2∑

l=1

µl~Ali

)δ~ri = 0 (6.21)

care adunate la ecuatia (6.19) conduc la identitatea :

N∑

i=1

−mi~ai + ~Fi +

n1∑

j=1

λj∂fj

∂~ri

+n2∑

l=1

µl~Ali

δ~ri = 0 (6.22)

Folosind ecuatiile (6.20) pot fi exprimate un numar de n1 + n2 deplasari dependente deforma . . . , δxi, δyi, δzi . . . ın functie de celelalte n = 3N−n1−n2 deplasari considerate inde-pendente si notate cu δq1 . . . , δqn . Impunand conditia ca cei n1 + n2 multiplicatori λj si µl

sa fie determinatii din cele n1+n2 ecuatii care rezulta prin anularea coeficientilor deplasarilordependente , ın suma (6.22) vor ramane n termeni avand forma unor produse dintre nistecoeficienti si deplasarile independente . Pentru ca identitatea sa ramana satisfacuta ın con-tinuare, vor trebui sa se anuleze simultan cei n coeficienti ai deplasarilor independente . Inconcluzie, multiplicatorii λj ; j = 1, . . . , n1 si µl ; l = 1, . . . , n2 pot fi ıntotdeauna astfelalesi, ıncat coeficientii din suma (6.22) sa se anuleze simultan . Rezulta sistemul deN ecuatii vectoriale :

mi~ai = ~Fi +n1∑

j=1

λj∂fj

∂~ri

+n2∑

l=1

µl~Ali ; i = 1, . . . , N (6.23)

Acestea reprezinta ecuatiile Lagrange de speta I-a cu multiplicatori . In coordonatecarteziene, ecuatiile (6.23) sunt echivalente cu urmatorul sistem de 3N ecuatii scalare pentru


determinarea miscarii sistemului material :

mixi = Fix +n1∑

j=1

λj∂fj

∂xi

+n2∑

l=1

µl Alix

miyi = Fiy +n1∑

j=1

λj∂fj

∂yi

+n2∑

l=1

µl Aliy ; i = 1, . . . , N

mizi = Fiz +n1∑

j=1

λj∂fj

∂zi

+n2∑

l=1

µl Aliz

(6.24)

Ecuatiile Lagrange de speta I-a, ımpreuna cu ecuatiile legaturilor

fj(t, ~r1, . . . , ~rN) = 0 ; j = 1, . . . , n1

N∑

i=1

~Ali ~ri + Alt = 0 ; l = 1, . . . , n2

(6.25)

furnizeaza cele 3N +n1 +n2 ecuatii pentru determinarea necunoscutelor probemei : functiilexi, yi, zi ; i = 1, . . . , N si multiplicatorii Lagrange λj ; j = 1, . . . , n1 si µl ; l = 1, . . . , n2 .Reactiile legaturilor pot fi apoi determinate folosind direct ecuatiile de miscare (6.16) :

~Ri =n1∑

j=1

λj∂fj

∂~ri

+n2∑

l=1

µl~Ali ; i = 1, . . . , N (6.26)

Desi metoda descrisa este destul de greoaie, ea are avantajul ca este aplicabila atat lasisteme olonome, cat si la cele neolonome. In cazul sistemelor olonome, dificultatea legata defaptul ca nu toate coordonatele sistemului sunt independente, poate fi evitata prin folosireacoordonatelor generalizate, alese astfel ca ecuatiile legaturilor sa fie automat satisfacute.

6.3.1 Principiul deplasarilor virtuale

Folosind ecuatia generala a dinamicii poate fi obtinuta usor expresia conditiei deechilibru a unui sistem material supus la legaturi . Reamintim ca sistemul materialPi(mi, ~ri) ; i = 1, . . . , N este ın echilibru ıntr-o pozitie oarecare (~r 0

1 , . . . , ~r 0N) , daca ~ri(t) =

~r 0i ; i = 1, . . . , N este o solutie a ecuatiilor de miscare pentru t ≥ t0 . Conform acestei

definitii, facand ~ai = 0 ; i = 1, . . . , N ın ecuatia d’Alembert-Lagrange, rezulta ca ın pozitiade echilibru va trebui ca :

N∑

i=1

~Fi δ~ri = 0 (6.27)

Deci, sistemul material este ın echilibru ıntr-o pozitie compatibila cu legaturile,daca si numai daca ın acea pozitie este satisfacuta ecuatia (6.27), oricare arfi deplasarea virtuala compatibila cu legaturile a sistemului . Deoarece ın general~Fi = ~Fi(t, ~r1, . . . , ~rN , ~r1, . . . , ~rN) ; i = 1, . . . , N , ecuatia (6.27) este adevarata pentru oricevaloare a lui t , daca ın expresiile pentru fortele efective se fac ınlocuirile ~ri = ~r 0

i , ~ri = 0 ; i =1, . . . , N . Cu aceasta precizare, ecuatia (6.27) determina care din pozitiile admise de legaturicorespunde pozitiei de echilibru a sistemului.

6.3. ECUATIA GENERALA A DINAMICII 87

Daca legaturile sunt stationare, formularea ”compatibila cu legaturile” se traduce prinaceea ca pozitia sistemului satisface legaturile finite, legaturile diferentiale fiind automatsatisfacute deoarece ~ri = 0 ; i = 1, . . . , N . Daca legaturile sunt nestationare, atunci aceeasiformulare se traduce prin aceea ca legaturile sunt satisfacute pentru orice valoare a lui t ,daca ın ele se fac ınlocuirile ~ri = ~r 0

i , ~ri = 0 ; i = 1, . . . , N . De remarcat ca ın aceastasituatie, deplasarea virtuala a sistemului poate sa depinda de timp.

Ecuatia (6.27) este cunoscuta si sub numele de principiul deplasarilor virtuale , sauprincipiul lucrului mecanic virtual . Acesta reprezinta principiul cel mai general alstaticii analitice si se enunta dupa cum urmeaza : pentru ca o pozitie a unui sistemmaterial compatibila cu legaturile, sa fie o pozitie de echilibru, este necesarsi suficient sa fie nul lucrul mecanic al fortelor efective la o deplasare virtualacompatibila cu legaturile a sistemului .

In ıncheiere sa observam ca ecuatia generala a dinamicii poate fi privita ca o ecuatie careexprima principiul deplasarilor virtuale si caracterizeaza o pozitie momentana de echilibru,daca s-ar admite ca la fortele efective ~Fi se adauga fortele de inertie −mi~ai ; i = 1, . . . , N .Cu notatia :

~Φi = ~Fi −mi~ai ; i = 1, . . . , N (6.28)

principiul deplasarilor virtuale devine :

N∑

i=1

~Φi δ~ri = 0 (6.29)

ceea ce nu reprezinta altceva decat ecuatia (6.19). Pe baza acestei observatii poate fi enuntatprincipiul lui d’Alembert , care afirma ca orice pozitie a unui sistem material ınmiscare, poate fi privita ca o pozitie de echilibru, daca la fortele efective aplicateın aceasta pozitie se adauga fortele fictive de inertie . Principiul lui d’Alembert per-mite extinderea metodelor de rezolvare ale problemelor de statica, la probleme de dinamica.

Capitolul 7

Sisteme olonome

7.1 Coordonate generalizate. Spatiul configuratiilor

Admitem ca sistemul de puncte materiale Pi(mi, ~ri) ; i = 1, . . . , N este supus numai lalegaturi finite si la legaturi diferentiale integrabile. Determinand pentru fiecare din acesteadin urma factorul integrant corespunzator si aducandu-le la forma finita prin integrare,sistemului ıi sunt impuse numai legaturi de forma :

fj(t, ~r1, . . . , ~rN) = 0 ; j = 1, . . . , n1 (7.1)

Aceste legaturi fiind independente, ın baza teoremei functiilor implicite, pot fi eliminate unnumar de n1 coordonate din numarul total de 3N , rezultand pe aceasta cale doar n = 3N−n1

coordonate independente, numarul acestora fiind egal cu numarul gradelor de libertate alesistemului.

Eliminarea coordonatelor dependente poate fi realizata si ın alt mod, presupunand ca potfi definite n = 3N −n1 variabile independente, notate prin q1, . . . , qn , asa ıncat coordonatele~r1, . . . , ~rN sa poata fi exprimate prin intermediul acestor variabile :

~ri = ~ri(t, q1, . . . , qn) ; i = 1, . . . , N (7.2)

Setul de n variabile independente, al caror numar coincide cu numarul gradelor de libertate,este ales astfel ıncat prin introducerea functiilor (7.2) ın (7.1), legaturile sa fie satisfacuteautomat, sistemul de ecuatii (7.1) reducandu-se la niste identitati. Din acest punct de vedere,ecuatiile (7.2) pot fi privite ca niste ecuatii de transformare de la variabilele ~r1, . . . , ~rN lavariabilele q1, . . . , qn . Se verifica direct ca ın coordonatele sferice θ si ϕ , restrictia ca unpunct sa nu paraseasca o sfera fixa x2 + y2 + z2 −R2 = 0 , se reduce la o identitate ın urmatransformarilor x = R sin θ cos ϕ , y = R sin θ sin ϕ , z = R cos θ .

Coordonatele qk ; k = 1, . . . , n sunt numite coordonate Lagrange , sau coordonategeneralizate ale sistemului olonom. Multimea valorilor pe care aceste coordonate le potparcurge vor defini un spatiu n-dimensional, numit spatiul configuratiilor , sau spatiul luiLagrange Λn . La un moment dat, unei pozitii (~r1, . . . , ~rN), compatibila cu legaturile, a sis-temului ın spatiul fizic, ıi va corespunde un punct figurativ avand coordonatele (q1, . . . , qn)ın spatiul configuratiilor si invers. Atunci cand timpul t variaza continuu ıntr-un intervalfinit, ansamblului de traiectorii descrise de punctele sistemului ın spatiul fizic ıntre doua stari

88

7.1. COORDONATE GENERALIZATE. SPATIUL CONFIGURATIILOR 89

(1) si (2) , ıi va corespunde ın spatiul configuratiilor Λn o traiectorie care trece prin punc-

tele figurative avand coordonatele (q(1)1 , . . . , q(1)

n ) si (q(2)1 , . . . , q(2)

n ) (v. Fig. 7.1). Miscareasistemului ın spatiul lui Lagrange va fi descrisa de ecuatiile :

qk = qk(t) ; k = 1, . . . , n (7.3)

care reprezinta ecuatiile parametrice ale traiectoriei punctului figurativ ın spatiulconfiguratiilor Λn .

Figura 7.1: Spatiul fizic si spatiul configuratiilor

Corespondenta (7.2) poate fi extinsa la toate elementele miscarii. Unei deplasari posibiled~ri = ~ridt ; i = 1, . . . , N a sistemului ın spatiul fizic, ıi va corespunde o deplasare posibiladqk = qkdt ; k = 1, . . . , n ın spatiul Λn , cele doua deplasari fiind legate de relatiile :

d~ri =n∑

k=1

∂~ri

∂qk

dqk +∂~ri

∂tdt ; i = 1, . . . , N (7.4)

In cazul deplasarilor virtuale, relatiile dintre acestea vor fi :

δ~ri =n∑

k=1

∂~ri

∂qk

δqk ; i = 1, . . . , N (7.5)

Din (7.4) rezulta ca vitezele ~vi = ~ri ; i = 1, . . . , N ın spatiul fizic, sunt liniar dependente devitezele qk ; k = 1, . . . , n din Λn :

~ri =n∑

k=1

∂~ri

∂qk

qk +∂~ri

∂t; i = 1, . . . , N (7.6)

Lucrul mecanic elementar al fortelor efective la o deplasare virtuala a sistemului, va fidat de expresia :

δL =N∑

i=1

~Fi δ~ri =N∑

i=1

~Fi ·n∑

k=1

∂~ri

∂qk

δqk =n∑

k=1

(N∑

i=1

~Fi∂~ri

∂qk

)δqk =

n∑

k=1

Qk δqk (7.7)

unde s-a facut notatia :

Qk =N∑

i=1

~Fi∂~ri

∂qk

; k = 1, . . . , n (7.8)

90 CAPITOLUL 7. SISTEME OLONOME

Marimile Qk ; k = 1, . . . , n vor reprezenta coordonatele fortei generalizate . Trebuieobservat ca coordonatele generalizate nu au neaparat dimensiunea unei lungimi, asa ıncat nicicoordonatele fortei generalizate nu vor avea obligator dimensiunea de forta, ınsa produselede forma Qk δqk vor avea ıntotdeauna dimensiunea unui lucru mecanic. De exemplu, dacaqk este o coordonata unghiulara care descrie rotatia ın jurul unei axe, Qk va reprezentamomentul fortelor efective ın raport cu axa respectiva.

In ıncheiere sa observam ca ın spatiul configuratiilor Λn , principiul lucrului mecanicvirtual afirma ca ın pozitia de echilibru a sistemului, va trebui ca :

n∑

k=1

Qk δqk = 0 (7.9)

oricare ar fi deplasarea virtuala compatibila cu legaturile. Deoarece ıntr-o pozitie oare-care, deplasarea virtuala satisface legaturile pentru o alegere arbitrara a variatiilor δqk ; k =1, . . . , n , pozitia de echilibru a sistemului ın Λn va fi definita de ecuatiile :

Qk = 0 ; k = 1, . . . , n (7.10)

In consecinta pozitia unui sistem olonom este o pozitie de echilibru, daca si numaidaca, ın pozitia respectiva toate coordonatele fortei generalizate sunt nule .

7.2 Ecuatiile Lagrange pentru sisteme olonome

Pentru a deduce ecuatiile de miscare ale unui sistem olonom ın spatiul configuratiilor Λn ,se porneste de la ecuatia generala a dinamicii :

N∑

i=1

(~Fi −mi~ai

)δ~ri = 0 (7.11)

Observand caN∑

i=1

~Fi δ~ri =n∑

k=1

Qk δqk , pentru cea de a doua suma din (7.11) va putea fi scrisa

relatia :N∑

i=1

mi~ai δ~ri =n∑

k=1

Zk δqk (7.12)

unde, prin analogie cu (7.8), ın membrul drept vor fi evaluate expresiile :

Zk =N∑

i=1

mi~ri∂~ri

∂qk

=N∑

i=1

mid~ri

dt

∂~ri

∂qk

=d

dt

(N∑

i=1

mi~ri∂~ri

∂qk

)−

N∑

i=1

mi~rid

dt

(∂~ri

∂qk

); k = 1, . . . , n

(7.13)Tinand cont de relatiile liniare (7.6), se poate scrie direct :

∂~ri

∂qk

=∂~ri

∂qk

;i = 1, . . . , N

k = 1, . . . , n(7.14)

7.2. ECUATIILE LAGRANGE PENTRU SISTEME OLONOME 91

Pe de alta parte, utilizand aceleasi relatii, rezulta :

d

dt

(∂~ri

∂qk

)=

n∑

j=1

∂2~ri

∂qj∂qk

qj +∂2~ri

∂t∂qk

=∂~ri

∂qk

;i = 1, . . . , N

k = 1, . . . , n(7.15)

Folosind aceste proprietati, expresia (7.13) devine :

Zk =d

dt

(N∑

i=1

mi~ri∂~ri

∂qk

)−

N∑

i=1

mi~ri∂~ri

∂qk

=d

dt

(∂T

∂qk

)− ∂T

∂qk

; k = 1, . . . , n (7.16)

deoarece ınlocuind (7.6) ın definitia T =1

2

N∑

i=1

mi~r2

i , va rezulta formal ca T = T (t, q, q) .

Inlocuind toate aceste rezultate ın (7.11), ecuatia generala a dinamicii ın spatiul Λn

devine :n∑

k=1

[d

dt

(∂T

∂qk

)− ∂T

∂qk

]−Qk

δqk = 0 (7.17)

Deoarece deplasarile δqk ; k = 1, . . . , n sunt arbitrare, egalitatea este satisfacuta doardaca toti coeficientii variatiilor respective se anuleaza simultan. In concluzie, ın spatiulconfiguratiilor Λn ecuatia generala a dinamicii este echivalenta cu sistemul de ecuatii :

d

dt

(∂T

∂qk

)− ∂T

∂qk

= Qk ; k = 1, . . . , n (7.18)

Acestea sunt ecuatiile de miscare ale sistemului olonom ın Λn , ele fiind numite si ecuatiileLagrange de speta a II-a . Marimile qk ; k = 1, . . . , n sunt numite viteze generalizatesi ın mod analog marimile qk ; k = 1, . . . , n sunt numite acceleratii generalizate .

Ecuatiile Lagrange pentru sisteme olonome constituie un sistem de n ecuatii diferentialede ordinul doi pentru functiile necunoscute qk = qk(t) ; k = 1, . . . , n . Pentru a verificaaceasta afirmatie, se porneste de la observatia ca energia cinetica a sistemului ın Λn areexpresia :

T =1

2

N∑

i=1

mi~r2

i =1

2

N∑

i=1

mi

(n∑

k=1

∂~ri

∂qk

qk +∂~ri

∂t

)

n∑

j=1

∂~ri

∂qj

qj +∂~ri

∂t

=

=1

2

n∑

k,j=1

akj qkqj +n∑

k=1

akqk + a0 (7.19)

unde coeficientii

akj =N∑

i=1

mi∂~ri

∂qk

∂~ri

∂qj

; ak =N∑

i=1

mi∂~ri

∂qk

∂~ri

∂t; a0 =

1

2

N∑

i=1

mi

(∂~ri

∂t

)2

(7.20)

sunt ın general functii de timpul t si de coordonatele generalizate q1, . . . , qn . Energia cinetica(7.19) mai poate fi scrisa formal :

T = T2 + T1 + T0 (7.21)


unde T2 este o forma patratica ın vitezele generalizate, T1 este o forma liniara de acesteviteze, iar T0 este o forma de grad zero ın raport cu variabilele respective, expresiileacestor termeni obtinandu-se prin identificare.

In cazul unui sistem scleronom , timpul nu poate interveni explicit ın relatiile (7.2)

dintre coordonatele ın spatiul fizic si coordonatele generalizate, adica∂~ri

∂t= 0 ; i = 1, . . . , N .

Atunci, conform definitiilor (7.20) va trebui ca a0 = 0 si ak = 0 ; k = 1, . . . , n , ceea ce aredrept consecinta faptul ca T0 = T1 = 0,. In consecinta, energia cinetica a unui sistemscleronom se reduce la forma patratica :

T = T2 =1

2

n∑

k,j=1

akj qkqj =1

2

n∑

k,j=1

(N∑

i=1

mi∂~ri

∂qk

∂~ri

∂qj

)qkqj (7.22)

Se observa ca forma patratica T2 ın vitezele generalizate este ıntotdeauna pozitiv defi-nita, aceasta putand fi scrisa si sub forma :

T2 =1

2

N∑

i=1

mi

(n∑

k=1

∂~ri

∂qk

qk

)2

≥ 0 (7.23)

In fine, o proprietate foarte utila ın aplicatii este aceea ca determinantul matricei A ,construita pe coeficientii formei patratice T2 , este ıntotdeauna diferit de zero :

det A = det (akj) 6= 0 ; k, j = 1, . . . , n (7.24)

In baza acestei proprietati se poate arata ca ecuatiile Lagrange (7.18) definesc ınmod unic miscarea sistemului, fiind date valorile la momentul initial ale coordonatelorsi vitezelor generalizate. Deoarece din (7.19) rezulta ca :

∂T

∂qk

=n∑

j=1

akj qj + ak ; k = 1, . . . , n (7.25)

derivata totala dupa timp va avea expresia :

d

dt

(∂T

∂qk

)=

n∑

j=1

akj qj +n∑

j=1

akj qj + ak ; k = 1, . . . , n (7.26)

Pe de alta parte termenii∂T

∂qk

si Qk din ecuatiile Lagrange (7.18) nu contin explicit

acceleratiile generalizate, ei fiind functii doar de timp, coordonate si viteze generalizate.Grupand ımpreuna toti termenii care nu contin acceleratii, ecuatiile Lagrange de speta aII-a pot fi scrise formal :

n∑

j=1

akj qj =∼Qk (t, q, q) ; k = 1, . . . , n (7.27)

Conform proprietatii (7.24), sistemul poate fi rezolvat ın raport cu acceleratiile generalizateqk ; k = 1, . . . , n si adus la forma generala :

qk =≈Qk (t, q, q) ; k = 1, . . . , n (7.28)

7.3. TEOREMA ENERGIEI. FORTE POTENTIALE SI NEPOTENTIALE 93

Admitand ca functiile Qk = Qk(t, q, q) sunt date si indeplinesc conditiile cunoscute de conti-nuitate, solutia sistemului (7.28) exista si este unica. Daca la momentul initial t = t0 se stieca :

qk(t0) = q0k , qk(t0) = q0

k ; k = 1, . . . , n (7.29)

solutia sistemului (7.28) are forma generala :

qk = qk(t, t0, q01, . . . , q

0n, q0

1, . . . , q0n) ; k = 1, . . . , n (7.30)

ceea ce reprezinta ecuatiile parametrice ale traiectoriei punctului figurativ al sistemului ınspatiul configuratiilor Λn . In continuare, daca problema o cere, folosind relatiile (7.2) poatefi determinata miscarea sistemului ın spatiul fizic : ~ri = ~ri(t) ; i = 1, . . . , N . Reactiilelegaturilor, care nu figureaza explicit ın ecuatiile Lagrange, pot fi determinate din ecuatiile~Ri = mi~ai − ~Fi ; i = 1, . . . , N , unde acceleratiile se calculeaza usor fiind deja cunoscutamiscarea ın spatiul fizic.

Ecuatiile Lagrange au un caracter intrinsec , adica forma lor nu depinde de alegereasetului de coordonate generalizate (q1, . . . , qn) folosite pentru descrierea miscarii sistemului.Daca pentru studiul miscarii sistemului este ales setul de coordonate (q ′1, . . . , q

′n) aflat ın

corespondenta biunivoca cu vechiul set de coordonate :

qk = qk(t, q′1, . . . , q

′n) , det

(∂qk

∂q ′j

)6= 0 ; k, j = 1, . . . , n (7.31)

atunci ın noile coordonate, ecuatiile Lagrange au forma generala :

d

dt

(∂T ′

∂q ′k

)− ∂T ′

∂q ′k= Q ′

k ; k = 1, . . . , n (7.32)

unde T ′ = T ′(t, q ′, q ′) si Q ′k = Q ′

k(t, q′, q ′) ; k = 1, . . . , n . Se spune ca forma ecuatiilor

Lagrange de speta a II-a este invarianta ın raport cu alegerea setului de coordonate gene-ralizate, folosit pentru rezolvarea problemei.

7.3 Teorema energiei. Forte potentiale si nepotentiale

In cazul unor forte generalizate care nu depind de vitezele generalizate :

Qk = Qk(t, q1, . . . , qn) ; k = 1, . . . , n (7.33)

daca exista o functie V (t, q1, . . . , qn) astfel ıncat :

Qk = − ∂V

∂qk

; k = 1, . . . , n (7.34)

fortele Qk ; k = 1, . . . , n sunt numite potentiale , functia V (t, q) reprezentand potentialulfortelor , sau energia potentiala . In acest caz, lucrul mecanic elementar la o deplasarevirtuala are expresia :

δL =n∑

k=1

Qkδqk = −n∑

k=1

∂V

∂qk

δqk = − δV (7.35)


Consideram si cazul mai general cand ın afara fortelor potentiale determinate depotentialul V , asupra sistemului actioneaza si forte nepotentiale, scrise ın general sub forma :

Q∗k = Q∗

k(t, q1, . . . , qk, q1, . . . , qn) ; k = 1, . . . , n (7.36)

In acesta situatie se va putea scrie :

Qk = − ∂V

∂qk

+ Q∗k ; k = 1, . . . , n (7.37)

ecuatiile Lagrange de speta a II-a capatand forma :

d

dt

(∂T

∂qk

)− ∂T

∂qk

= − ∂V

∂qk

+ Q∗k ; k = 1, . . . , n (7.38)

Prin definitie, energia mecanica totala a sistemului reprezinta suma dintre energiacinetica si cea potentiala :

E = T + V (7.39)

Pentru a evalua derivata dupa timpdE

dt, va fi calculata mai ıntai derivata :

dT

dt=

n∑

k=1

∂T

∂qk

qk +n∑

k=1

∂T

∂qk

qk +∂T

∂t=

n∑

k=1

∂T

∂qk

dqk

dt+

n∑

k=1

∂T

∂qk

qk +∂T

∂t=

=d

dt

(n∑

k=1

∂T

∂qk

qk

)+

n∑

k=1

[∂T

∂qk

− d

dt

(∂T

∂qk

)]qk +

∂T

∂t(7.40)

Avand ın vedere ca ın general T = T2 +T1 +T0 , conform teoremei lui Euler asupra functiiloromogene, se va putea scrie :

n∑

k=1

∂T2

∂qk

qk = 2 · T2 ;n∑

k=1

∂T1

∂qk

qk = 1 · T1 ;n∑

k=1

∂T0

∂qk

qk = 0 · T0 (7.41)

Facand aceste ınlocuiri ın (7.40) si tinand cont de ecuatiile Lagrange (7.38), rezulta ıncontinuare :

dT

dt=

d

dt(2T2 + T1) +

n∑

k=1

(∂V

∂qk

−Q∗k

)qk +

∂T

∂t=

= 2dT

dt− d

dt(T1 + 2T0) +

dV

dt− ∂V

∂t−

n∑

k=1

Q∗k qk +

∂T

∂t(7.42)

Folosind definitia (7.39), se obtine ın final :

dE

dt=

n∑

k=1

Q∗k qk +

d

dt(T1 + 2T0)− ∂T

∂t+

∂V

∂t(7.43)

Aici termenuln∑

k=1

Q∗k qk reprezinta puterea fortelor nepotentiale , urmatorii doi termeni

d

dt(T1 + 2T0)− ∂T

∂tsunt diferiti de zero doar ın cazul sistemelor reonome , iar ultimul

termen∂V

∂teste este nenul doar pentru forte potentiale nestationare .

7.3. TEOREMA ENERGIEI. FORTE POTENTIALE SI NEPOTENTIALE 95

Folosind formula (7.43) pot fi facute o serie de afirmatii privind variatia energiei totale aunui sistem olonom arbitrar aflat ın miscare. Consideram cateva cazuri particulare :

a) In cazul unui sistem scleronom , expresia (7.43) se reduce la :

dE

dt=

n∑

k=1

Q∗k qk +

∂V

∂t(7.44)

b) In cazul unui sistem scleronom asupra caruia actioneaza forte potentialestationare :

dE

dt=

n∑

k=1

Q∗k qk (7.45)

c) In cazul unui sistem conservativ , care este un sistem scleronom caruia ıi sunt aplicatedoar forte potentiale stationare, din ecuatia (7.43) rezulta :

dE

dt= 0 adica E = const . (= h) (7.46)

Deci, energia totala a sistemului conservativ nu se modifica ın cursul miscariisistemului . Deoarece ecuatia E = h nu contine acceleratiile generalizate qk ; k = 1, . . . , n ,iar h este o constanta determinata de conditiile initiale, expresia (7.46) va reprezenta ointegrala prima a ecuatiilor de miscare, numita si integrala energiei .

In ceea ce priveste fortele nepotentiale , acestea apartin ın majoritatea cazurilor launa din urmatoarele doua categorii :

- forte giroscopice , daca puterea lor este nula :

n∑

k=1

Q∗ gk qk = 0 (7.47)

- forte disipative , daca puterea lor este negativa :

n∑

k=1

Q∗ dk qk ≤ 0 (7.48)

Aceasta clasificare a fortelor generalizate este ın acord cu cea folosita si pentru fortele ınspatiul fizic. Sa observam ca ın cazul sistemului scleronom, asupra caruia actioneaza fortepotentiale stationare si forte giroscopice, energia mecanica totala este o constanta. Dacaasupra unui astfel de sistem actioneaza si forte disipative, atunci E ≤ 0 , ceea ce ınseamnaca ıntr-o astfel de situatie, energia mecanica totala a sistemului scade (este disipata) ın cursulmiscarii, motiv pentru care un astfel de sistem este numit sistem disipativ .

In multe probleme, fortele generalizate nepotentiale Q∗k ; k = 1, . . . , n sunt forme liniare

si omogene ın vitezele generalizate qk ; k = 1, . . . , n , caz ın care clasificarea de mai sus sereflecta ın anumite proprietati asupra coeficientilor formelor respective.

Daca :

Q∗ gk =

n∑

j=1

γkj qj ; k = 1, . . . , n (7.49)


si matricea coeficientilor este antisimetrica , adica :

γkj = − γjk , γkk = 0 ; k, j = 1, . . . , n (7.50)

atunci fortele (7.49) sunt giroscopice . Intr-adevar :

n∑

k=1

Q∗ gk qk =

n∑

k,j=1

γkj qkqj =n∑

k=1

γkkq2k +

n∑

i<j

(γkj + γjk) qkqj = 0 (7.51)

Ca exemple tipice de forte giroscopice amintim forta Lorentz si forta Coriolis.Daca :

Q∗ dk = −

n∑

j=1

bkj qj ; k = 1, . . . , n (7.52)

ınsa matricea coeficientilor este simetrica :

bkj = bjk ; k, j = 1, . . . , n (7.53)

si ın plus forma patratica ın viteze, construita pe acesti coeficienti :

n∑

k,j=1

bkj qkqj ≥ 0 (7.54)

este pozitiv definita, atunci fortele (7.52) sunt disipative , deoarece :

n∑

k=1

Q∗ dk qk = −

n∑

k,j=1

bkj qkqj ≤ 0 (7.55)

Se verifica direct ca fortele generalizate (7.52) pot fi obtinute din forma patratica :

D =1

2

n∑

k,j=1

bkj qkqj (7.56)

prin intermediul formulelor :

Q∗ dk = − ∂D

∂qk

; k = 1, . . . , n (7.57)

Forma patratica (7.56) reprezinta functia disipativa a lui Rayleigh , sensul ei fizic fi-ind evident daca observam ca pentru un sistem scleronom, asupra caruia actioneaza fortepotentiale stationare si forte disipative de forma (7.57), rezulta :

dE

dt=

n∑

k=1

Q∗ dk qk = −

n∑

k=1

∂D

∂qk

qk = − 2 D (7.58)

unde a fost utilizata si teorema lui Euler pentru functii omogene. Astfel, pentru cazuldiscutat, dublul functiei disipative a lui Rayleigh reprezinta viteza de scadere a energieimecanice totale a sistemului. Daca functia D este o forma patratica pozitiv definita ınvitezele qk ; k = 1, . . . , n , atunci energia totala a sistemului este strict descrescatoare ıncursul miscarii. In aceasta categorie intra fortele de rezistenta opuse de un mediu asuprapunctelor unui sistem aflat ın miscare relativ lenta.

7.4. SISTEME NATURALE 97

7.4 Sisteme naturale

Examinam pentru ınceput miscarea unui sistem asupra caruia sunt aplicate doar fortepotentiale Qk = Qk(t, q) ; k = 1, . . . , n , ceea ce ınseamna ca exista o functie V = V (t, q) ,asa ıncat sa fie adevarate relatiile (7.34). In aceasta situatie, ecuatiile Lagrange :

d

dt

(∂T

∂qk

)− ∂T

∂qk

= − ∂V

∂qk

; k = 1, . . . , n (7.59)

pot fi scrise sub forma :

d

dt

(∂L

∂qk

)− ∂L

∂qk

= 0 ; k = 1, . . . , n (7.60)

unde functia :L(t, q, q) = T (t, q, q)− V (t, q) (7.61)

este numita functia lui Lagrange sau potential cinetic al miscarii . Pentru a scrieecuatiile (7.60), s-au folosit proprietatile :

∂L

∂qk

=∂T

∂qk

,∂L

∂qk

=∂T

∂qk

− ∂V

∂qk

; k = 1, . . . , n (7.62)

Se observa ca lagrangeeanul sistemului se poate scrie sub forma generala :

L = L2 + L1 + L0 (7.63)

unde, avand ın vedere (7.19), ın situatia analizata :

L2 = T2 =1

2

n∑

k,j=1

akj qkqj , L1 = T1 =n∑

k=1

akqk , L0 = T0 − V = a0 − V (7.64)

Aici L2 este o forma patratica pozitiv definita ın vitezele generalizate, L1 este o forma liniaraın aceleasi varibile, iar L0 este o forma independenta de vitezele generalizate qk ; k = 1, . . . , n .Dependenta de timpul t si coordonatele generalizate qk ; k = 1, . . . , n poate fi continuta doarın coeficientii din dezvoltarile (7.64).

Se poate verifica usor ca daca fortele efective ~Fi ; i = 1, . . . , N ın spatiul fizic aplicatesistemului sunt potentiale , adica daca exista o functie V (t, ~r1, . . . , ~rN) asa ıncat :

Fix = − ∂V

∂xi

; Fiy = − ∂V

∂yi

; Fiz = − ∂V

∂zi

(7.65)

atunci si fortele generalizate Qk(t, q1, . . . , qn) ; k = 1, . . . , n ın spatiul configuratiilor,sunt tot potentiale , potentialul V (t, q1, . . . , qn) fiind acelasi, ınsa exprimat ın coordonategeneralizate. Intr-adevar, folosind (7.65) si (7.35), se va putea scrie :

n∑

k=1

Qk δqk =N∑

i=1

~Fi δ~ri = − δV = −n∑

k=1

∂V

∂qk

δqk (7.66)


de unde rezulta definitiile (7.34). Afirmatia inversa nu este ıntotdeauna adevarata!Ecuatiile Lagrange (7.60) ısi pastreaza forma si ın cazul ın care asupra sistemului

actioneaza forte nepotentiale Qk(t, q, q) ; k = 1, . . . , n , daca exista un asa numit potentialgeneralizat Π(t, q, q) , care furnizeaza fortele respective cu ajutorul formulelor :

Qk =d

dt

(∂Π

∂qk

)− ∂Π

∂qk

; k = 1, . . . , n (7.67)

Functia lui Lagrange va avea ın acest caz forma generala :

L(t, q, q) = T (t, q, q)− Π(t, q, q) (7.68)

de unde rezulta :

∂L

∂qk

=∂T

∂qk

− ∂Π

∂qk

,∂L

∂qk

=∂T

∂qk

− ∂Π

∂qk

; k = 1, . . . , n (7.69)

Din definitia (7.67) rezulta ca daca Π = Π(t, q, q) , atunci :

Qk =n∑

j=1

∂2Π

∂qj∂qk

qj +n∑

j=1

∂2Π

∂qj∂qk

qj +∂2Π

∂t∂qk

− ∂Π

∂qk

; k = 1, . . . , n (7.70)

Pe de alta parte s-a admis ca fortele nu pot depinde explicit si de acceleratii, motiv pentru

care va trebui ca ın (7.70) sa avem obligator∂2Π

∂qj∂qk

= 0 ; j, k = 1, . . . , n , ceea ce este

posibil numai daca potentialul generalizat Π(t, q, q) este o functie liniara de vitezelegeneralizate :

Π = Π1 + Π0 =n∑

j=1

Vj(t, q) qj + V (t, q) (7.71)

Se observa ca si ın acest caz, lagrangeeanul sistemului poate fi scris sub forma generalaL = L2 + L1 + L0 , unde :

L2 = T2 , L1 = T1 − Π1 , L0 = T0 − V (7.72)

Introducand (7.71) ın definitia (7.67), se obtine :

Qk =dVk

dt− ∂

∂qk

n∑

j=1

Vj qj + V

=

∂Vk

∂t+

n∑

j=1

(∂Vk

∂qj

− ∂Vj

∂qk

)qj − ∂V

∂qk

; k = 1, . . . , n

(7.73)de unde rezulta ca daca forma liniara ın viteze Π1 a potentialului generalizat nu contine

explicit timpul, adica daca∂Vk

∂t= 0 ; k = 1, . . . , n , atunci fortele generalizate se compun din

forte potentiale − ∂V

∂qk

; k = 1, . . . , n si forte giroscopice de forma (7.49), unde

γkj = − γjk =∂Vk

∂qj

− ∂Vj

∂qk

; k, j = 1, . . . , n (7.74)

7.4. SISTEME NATURALE 99

Sistemele materiale pentru care fortele deriva dintr-un potential obisnuitV (t, q) sau un potential generalizat Π(t, q, q) sunt numite sisteme naturale. Pentruaceste sisteme, lagrangeeanul sistemului are forma generala L = L2 + L1 + L0 , unde L2 esteo forma patratica pozitiv definita de vitezele generalizate, L1 este o forma liniara, iar L0 esteo forma independenta de viteze. Ecuatiile de miscare ın spatiul configuratiilor Λn au forma :

d

dt

(∂L

∂qk

)− ∂L

∂qk

= 0 , L = T −

VΠ

; k = 1, . . . , n (7.75)

si printr-un procedeu analog cu cel descris ın §7.2, se arata ca pentru conditii initiale date,aceste ecuatii determina ın mod unic miscarea, daca :

det

(∂2L

∂qk∂qj

)6= 0 ; k, j = 1, . . . , n (7.76)

Se verifica direct ca functia Lagrange L(t, q, q) care satisface ecuatiile (7.75), estedeterminata abstractie facand de derivata totala ın raport cu timpul a unei functiiarbitrare Φ(t, q) . Intr-adevar, lagrangeeanul :

L′ = L +dΦ

dtcu Φ = Φ(t, q) (7.77)

satisface de asemenea ecuatiile Lagrange (7.75), deoarece pentru orice functie Φ(t, q) :

d

dt

(∂Φ

∂qk

)− ∂Φ

∂qk

= 0 ; k = 1, . . . , n (7.78)

Verificarea proprietatii (7.78) se poate face direct, observand ca :

Φ =dΦ

dt=

n∑

j=1

∂Φ

∂qj

qj +∂Φ

∂t(7.79)

de unde rezulta pe de o parte :

∂Φ

∂qk

=∂Φ

∂qk

sid

dt

(∂Φ

∂qk

)=

n∑

j=1

∂2Φ

∂qj∂qk

qj +∂2Φ

∂t∂qk

(7.80)

respectiv :∂Φ

∂qk

=n∑

j=1

∂2Φ

∂qk∂qj

qj +∂2Φ

∂qk∂t(7.81)

In incheiere, mentionam ca daca asupra sistemului material, pe langa forte care derivadintr-un potential simplu sau generalizat, actioneaza si forte disipative Q∗ d

k ; k = 1, . . . , nde forma (7.52) care deriva din functia disipativa D a lui Rayleigh (7.56) prin intermediulformulelor (7.57), atunci ecuatiile Lagrange ale sistemului ın spatiul Λn au forma :

d

dt

(∂L

∂qk

)− ∂L

∂qk

= − ∂D

∂qk

; k = 1, . . . , n (7.82)


7.5 Impulsuri generalizate. Coordonate ciclice

Pana acum s-a acordat o atentie mai mare modului de obtinere al ecuatiilor de miscare,fara a spune aproape nimic despre metodele de rezolvare a lor ın diferite cazuri concrete. Ingeneral aceasta este o problema de matematica, fiind vorba de rezolvarea unui sistem de necuatii diferentiale de ordinul doi cu conditii initiale, daca problema are n grade de libertate.Solutia generala contine 2n constante de integrare, care se determina din conditiile initialeale problemei q0

k , q0k ; k = 1, . . . , n . In unele cazuri particulare, ecuatiile pot fi integrate

prin metode elementare, ınsa ın general gasirea solutiei analitice exacte implica dificultatimatematice deosebite.

Uneori, din cauza complexitatii calculelor, nici nu se pune problema determinarii formeiconcrete a solutiei qk(t) ; k = 1, . . . , n , multumindu-ne cu o serie de informatii cu privirela proprietatile miscarii sistemului. Aceste informatii sunt furnizate de integralele primeale sistemului de ecuatii diferentiale care descriu miscarea. Daca sistemul este natural, ointegrala prima a ecuatiilor Lagrange :

d

dt

(∂L

∂qk

)− ∂L

∂qk

= 0 ; k = 1, . . . , n (7.83)

va fi o functie f(t, q, q) care se reduce la o constanta pentru orice t , pe solutia ecuatiilor carealcatuiesc sistemul (7.83). Aceste integrale prime :

f(t, q1, . . . , qn, q1, . . . , qn) = const . (7.84)

reprezinta niste ecuatii diferentiale de ordinul ıntai, a caror cunoastere, pe langa faptul causureaza problema determinarii miscarii, includ ın ele legi de conservare care, dupa cums-a vazut ın capitolele de mecanica newtoniana, furnizeaza informatii privind caracteris-ticile miscarii. Cunoasterea setului complet fj(t, q, q) = Cj ; j = 1, . . . , 2n de integraleprime independente , reduce problema determinarii miscarii la gasirea solutiei unui sis-tem algebric, de obicei neliniar, de 2n ecuatii. Spre deosebire de mecanica newtoniana, undeintegralele prime puteau fi scrise pornind de la unele proprietati de simetrie ale sistemului,sau cunoscand natura fortelor aplicate, ın mecanica lagrangeeana exista un criteriu mult maisimplu si mai coerent, care permite scrierea integralelor prime.

Examinam miscarea unui sistem de puncte materiale aflat ıntr-un camp de forte carederiva dintr-un potential obisnuit. Lagrangeeanul sistemului ın coordonate carteziene, careın abesenta legaturilor pot servi drept coordonate generalizate, se va scrie :

L = T − V =1

2

N∑

i=1

mi(x2i + y 2

i + z 2i )− V (t, x1, y1, z1, . . . , xN , yN , zN) (7.85)

Derivata :∂L

∂xi

=∂T

∂xi

= mixi = pix (7.86)

reprezinta componenta pe axa Ox a impulsului particulei i . Generalizand aceasta observatie,impulsul generalizat pk asociat coordonatei qk va reprezenta, prin definitie, marimea :

qk −→ pk =∂L

∂qk

; k = 1, . . . , n (7.87)

7.6. TEOREME GENERALE SI LEGI DE CONSERVARE 101

Deoarece ın general L = L(t, q, q) , atunci si pk = pk(t, q, q) . Daca qk nu nu are dimensiuneaunei lungimi, nici impulsul generalizat corespunzator pk nu are dimensiunea unui impuls.

Daca lagrangeeanul unui sistem mecanic nu contine explicit o anumita coordonata gene-ralizata qα :

∂L

∂qα

= 0 (7.88)

putand ınsa contine viteza generalizata corespunzatoare qα , coordonata respectiva va fi nu-mita coordonata ciclica. Ecuatia Lagrange (7.83) corespunzatoare coordonatei respectivedevine :

d

dt

(∂L

∂qα

)=

dpα

dt= pα = 0 (7.89)

adica :pα(t, q, q) = const . (7.90)

ceea ce reprezinta, avand ın vedere (7.84), o integrala prima a ecutiilor de miscare (7.83)ın spatiul configuratiilor Λn .

In concluzie, ın mecanica lagrangeeana teorema de conservare are urmatorul enunt :daca o coordonata generalizata qα este ciclica, atunci impulsul generalizat pα

asociat acesteia ramane constant ın tot cursul miscarii . Dupa cum se va verifica ınparagraful ce urmeaza, legile de conservare prezentate ın capitolul de mecanica newtonianareprezinta cazuri particulare ale acestui enunt general.

7.6 Teoreme generale si legi de conservare

7.6.1 Conservarea impulsului

Se alege o coordonata generalizata qk astfel, ıncat variatia ei elementara dqk sa reprezinteo deplasare a sistemului, considerat ca un ıntreg, ıntr-o directie data ~u , adica sa reprezinteo translatie . Drept astfel de coordonata poate servi una din coordonatele carteziene ale

Figura 7.2: Translatia sistemului ın lungul directiei ~u

centrului de masa. In aceasta situatie energia cinetica a sistemului nu va contine explicit


coordonata qk . Intr-adevar, deoarece conform Fig. 7.2 :

∂~ri

∂qk

= limdqk→0

~ri(qk + dqk)− ~ri(qk)

dqk

= limdqk→0

dqk · ~udqk

= ~u (7.91)

folosind si proprietatea (7.15), se verifica direct ca :

∂T

∂qk

=∂

∂qk

(1

2

N∑

i=1

mi~r2

i

)=

N∑

i=1

mi~ri∂~ri

∂qk

=N∑

i=1

mi~rid

dt

(∂~ri

∂qk

)=

N∑

i=1

mi~rid~u

dt= 0 (7.92)

unded~u

dt= 0 , pentru ca ~u este versorul unei directii fixe.

Daca fortele active aplicate sistemului deriva dintr-un potential obisnuit V = V (t, q) ,atunci ecuatia Lagrange corespunzatoare coordonatei qk devine

d

dt

(∂L

∂qk

)=

∂L

∂qk

=∂T

∂qk

− ∂V

∂qk

= Qk (7.93)

adica :

pk = Qk (7.94)

ceea ce exprima teorema impulsului , anume ca derivata dupa timp a proiectiei im-pulsului total al sistemului pe directia fixa de versor ~u, este egala cu componentape aceeasi directie a rezultantei fortelor aplicate . Intr-adevar, folosind si (7.14),rezulta :

pk =∂L

∂qk

=∂T

∂qk

=∂

∂qk

(1

2

N∑

i=1

mi~r2

i

)=

N∑

i=1

mi~ri∂~ri

∂qk

=N∑

i=1

mi~ri∂~ri

∂qk

=

(N∑

i=1

mi~ri

)· ~u = ~p · ~u

(7.95)deci pk reprezinta proiectia impulsului total pe directia ~u , iar pe de alta parte :

Qk =N∑

i=1

~Fi∂~ri

∂qk

=

(N∑

i=1

~Fi

)· ~u = ~F · ~u (7.96)

adica Qk este componenta pe directia ~u a rezultantei fortelor.

Daca coordonata qk este ciclica, adica daca∂L

∂qk

= − ∂V

∂qk

= 0 , atunci (7.94) devine :

pk = Qk = −∂V

∂qk

= 0 deci pk = const . (7.97)

rezultand astfel legea de conservare a impulsului : daca componenta de o directie data arezultantei fortelor aplicate este nula, atunci proiectia pe aceeasi directie a impulsului totaleste o constanta ın tot cursul miscarii.


7.6.2 Conservarea momentului cinetic

Daca coordonata qk este aleasa astfel, ıncat variatia ei elementara dqk sa corespundaunei rotatii de ansamblu a sistemului ın jurul unei axe fixe de versor ~u , atunci ecuatiaLagrange corespunzatoare va exprima teorema momentului cinetic. Aceasta afirmatie poatefi verificata printr-un rationament analog cu cel din sectiunea anterioara, cu deosebirea caacum qk este o coordonata unghiulara.

Variatia elementara a lui qk corespunde unei rotatii infinitezimale a vectorului ~ri care ısipastraza lungimea, deci (v. Fig. 7.3) :

|d~ri| = ri sin θ dqk adica

∣∣∣∣∣∂~ri

∂qk

∣∣∣∣∣ = ri sin θ (7.98)

Deoarece vectorul∂~ri

∂qk

este perpendicular pe planul definit de vectorii ~ri si ~u , va trebui ca :

∂~ri

∂qk

= ~u× ~ri (7.99)

aceasta expresie luand loc formulei (7.91) ın toate calculele care urmeaza, calcule care panala un anumit punct coincid cu cele precedente.

Figura 7.3: Rotatia sistemului ın jurul axei de versor ~u

Se verifica usor ca coordonata unghiulara qk nu este continuta explicit ın energia cinetica :

∂T

∂qk

=∂

∂qk

(1

2

N∑

i=1

mi~r2

i

)=

N∑

i=1

mi~rid

dt

(∂~ri

∂qk

)=

N∑

i=1

mi~rid

dt(~u× ~ri) =

N∑

i=1

mi~ri

(~u× ~ri

)= 0

(7.100)unde din nou s-a tinut cont de faptul ca ~u = 0 .

Daca fortele aplicate deriva dintr-un potential obisnuit V = V (t, q) , ecuatia Lagrangecorespunzatoare coordonate qk ısi pastreaza forma generala ~pk = Qk, ınsa ea acum exprimateorema momentului cinetic , anume ca derivata dupa timp a proiectiei momen-tului cinetic total al sistemului pe axa de rotatie fixa de versor ~u, este egala cu


momentul rezultant ın raport cu aceeasi axa al tuturor fortelor aplicate . Intr-adevar, reluand partial calculele anterioare, rezulta :

pk =∂L

∂qk

=∂

∂qk

(1

2

N∑

i=1

mi~r2

i

)=

N∑

i=1

mi~ri∂~ri

∂qk

=N∑

i=1

mi~ri (~u× ~ri) =

(N∑

i=1

~ri ×mi~ri

)·~u = ~L ·~u

(7.101)deci pk reprezinta proiectia momentului cinetic total pe axa de versor ~u , iar pe de alta parte :

Qk =N∑

i=1

~Fi∂~ri

∂qk

=N∑

i=1

~Fi (~u× ~ri) =

(N∑

i=1

~ri × ~Fi

)· ~u = ~MO(~F ) · ~u (7.102)

adica Qk este momentul rezultant ın raport cu axa ~u al fortelor ce actioneaza sistemului.Daca coordonata qk este ciclica atunci, ca si ın cazul anterior, se verifica direct ca Qk = 0 ,

adica pk = const . , rezultand astfel legea de conservare a momentului cinetic ın raportcu axa de rotatie.

7.6.3 Conservarea energiei

O alta lege de conservare care poate fi dedusa din structura lagrangeeanului este legeaconservarii energiei mecanice totale a unui sistem conservativ . Reamintim ca unsistem conservativ este un sistem scleronom, asupra caruia actioneaza forte care deriva dintr-un potential obisnuit care nu contine explicit timpul t . Lagrangeeanul unui astfel de sistemnu va contine nici el explicit timpul :

∂L

∂t= 0 adica L = L(q, q) (7.103)

el putand depinde de timp doar prin intermediul coordonatelor si vitezelor generalizate.Derivata totala a lagrangeeanului dupa timp va avea expresia :

dL

dt=

n∑

k=1

∂L

∂qk

qk +n∑

k=1

∂L

∂qk

qk =n∑

k=1

∂L

∂qk

dqk

dt+

n∑

k=1

[d

dt

(∂L

∂qk

)]qk =

d

dt

(n∑

k=1

∂L

∂qk

qk

)(7.104)

unde ın calcule s-au folosit ecuatiile lui Lagrange. Rezultatul se mai poate pune sub forma :

d

dt

(n∑

k=1

∂L

∂qk

qk − L

)= 0 (7.105)

adica :n∑

k=1

pkqk − L = h (7.106)

unde h este o constanta. Integrala prima obtinuta reprezinta chiar integrala energiei .

Intr-adevar, fortele fiind potentiale

(∂V

∂qk

= 0

)si sistemul scleronom (T = T2) :

pk =∂L

∂qk

=∂T

∂qk

=∂T2

∂qk

(7.107)


Conform teoremei lui Euler, energia cinetica fiind o functie omogena de ordinul doi ın vitezelegeneralizate, relatia (7.107) devine :

n∑

k=1

pkqk − L =n∑

k=1

∂T2

∂qk

qk − L = 2 T2 − L = 2 T − (T − V ) = T + V = h (7.108)

adica suma dintre energia cinetica si cea potentiala a sistemului este o constanta a miscarii.Acelasi rezultat a fost obtinut ın §7.3 printr-o metoda mult mai complicata.

Se observa ca daca timpul t este privit ca o ”coordonata”, asa-zisul ”impuls generalizat”asociat (marimea care se conserva cand t nu intervine explicit ın lagrangeean), reprezintachiar energia mecanica totala.

Capitolul 8

Sisteme neolonome

Un sistem este neolonom, daca cel putin una din legaturile cinematice nu admite un factorintegrant, aceasta neputand fi adusa la o forma finita. Problema devine mult mai complexasi ın general solicita o tratare individuala. Desi metoda bazata pe ecuatiile lui Appeleste suficient de generala, ın cele ce urmeaza va fi prezentata, din considerente metodologice,metoda mult mai greoaie a lui Lagrange.

8.1 Ecuatiile Lagrange pentru sisteme neolonome

Presupunem ca pe langa cele n1 legaturi finite si legaturi diferentiale intergabile, avandforma generala :

fj(t, ~r1, . . . , ~rN) = 0 ; j = 1, . . . , n1 (8.1)

sistemului ıi sunt impuse si un numar n2 de legaturi diferentiale neintegrabile, ın generalliniare ın viteze :

N∑

i=1

~Ali d~ri + Alt dt = 0 ; l = 1, . . . , n2 (8.2)

unde de obicei coeficientii sunt functii de timp si de coordonate.Folosind formulele de transformare :

~ri = ~ri(t, q1, . . . , qn) ;i = 1, . . . , N

n = 3N − n1

(8.3)

se introduc coordonatele generalizate (q1, . . . , qn) astfel ıncat legaturile finite (8.1) sa fiesatisfacute identic. Se construieste astfel un spatiu al configuratiilor Λn ın care, datoritalegaturilor (8.2), nu toate coordonatele generalizate sunt independente. Pentru a transcrielegaturile cinematice (8.2) ın noul set de coordonate, se fac ınlocuirile cunoscute :

N∑

i=1

~Ali

(n∑

k=1

∂~ri

∂qk

dqk +∂~ri

∂tdt

)+ Alt dt = 0 ; l = 1, . . . , n2 (8.4)

Intervertind ın (8.4) ordinea sumarilor si facand notatiile :

alk =N∑

i=1

~Ali∂~ri

∂qk

, alt =N∑

i=1

~Ali∂~ri

∂t+ Alt ;

l = 1, . . . , n2

k = 1, . . . , n(8.5)

106

8.1. ECUATIILE LAGRANGE PENTRU SISTEME NEOLONOME 107

se obtin ecuatiile care exprima legaturile diferentiale neintegrabile ın Λn :

n∑

k=1

alkdqk + altdt = 0 ; l = 1, . . . , n2 (8.6)

De aici rezulta ca o deplasare virtuala a sistemului ın Λn , va fi definita de ecuatiile :

n∑

k=1

alkδqk = 0 ; l = 1, . . . , n2 (8.7)

Pentru a obtine ecuatiile de miscare ale sistemului neolonom ın spatiul Λn , se pornestede la ecuatia generala a dinamicii, care ın coordonatele (q1, . . . , qn) are forma generala :

n∑

k=1

[d

dt

(∂T

∂qk

)− ∂T

∂qk

]−Qk

δqk = 0 (8.8)

Acum variatiile δqk ; k = 1, . . . , n nu mai sunt arbitrare, ıntre ele existand cele n2 relatiide tipul (8.7). Forma concreta a ecuatiilor de miscare rezulta folosind metoda multipli-catorilor lui Lagrange . Inmultind fiecare din ecuatiile (8.7) cu cate un multiplicatorλl ; l = 1, . . . , n2 si ınsumand toate ecuatiile obtinute, va rezulta identitatea :

n2∑

l=1

λl

n∑

k=1

alkδqk =n∑

k=1

( n2∑

l=1

λl alk

)δqk = 0 (8.9)

Scazand aceasta expresie din (8.8) se obtine ecuatia :

n∑

k=1

[d

dt

(∂T

∂qk

)− ∂T

∂qk

]−Qk −

n2∑

l=1

λl alk

δqk = 0 (8.10)

Deoarece din ecuatiile (8.7) care definesc deplasarea virtuala a sistemului, pot fi exprimate unnumar de n2 variatii δqk ın functie de celelalte n−n2 variatii considerate arbitrare, se impunconditiile ca multiplicatorii λl ; l = 1, . . . , n2 sa fie determinati din ecuatiile care rezulta prinanularea coeficientilor celor n2 variatii dependente. In aceste conditii, restul coeficientilorcelor n − n2 variatii δqk care acum sunt arbitrare, trebuie sa se anuleze, pentru ca sumaramasa sa fie nula. Se obtine ın final sistemul de ecuatii :

d

dt

(∂T

∂qk

)− ∂T

∂qk

= Qk +n2∑

l=1

λl alk ; k = 1, . . . , n (8.11)

Acestea sunt ecuatiile Lagrange cu multiplicatori pentru sisteme neolonome , careımpreuna cu ecuatiile legaturilor :

n∑

k=1

alkqk + alt = 0 ; l = 1, . . . , n2 (8.12)

rezolva problema determinarii miscarii sistemului neolonom, deoarece numarul n + n2 alecuatiilor avute la dispozitie, este egal cu numarul necunoscutelor problemei qk ; k = 1, . . . , nsi λl ; l = 1, . . . , n2 .

108 CAPITOLUL 8. SISTEME NEOLONOME

Pentru a gasi sensul fizic al ultimului termen din membrul drept al ecuatiilor (8.11), sepoate face presupunerea ca sistemul este eliberat de legaturile neintegrabile impuse asupra sa,ın locul acestora urmand a fi aplicate niste forte exterioare suplimentare Q ′

k ; k = 1, . . . , n ,aceasta facandu-se astfel ıncat sa nu fie modificata starea de miscare a sistemului. Acesteforte suplimentare reprezinta chiar reactiile legaturilor , deoarece ele obliga sistemul sa semiste ın conformitate cu restrictiile impuse. In prezenta acestor forte suplimentare, ecuatiilede miscare vor fi :

d

dt

(∂T

∂qk

)− ∂T

∂qk

= Qk + Q ′k ; k = 1, . . . , n (8.13)

unde Q ′k =

n2∑

l=1

λl alk ; k = 1, . . . , n . Astfel, ın cazul studiului miscarii sistemelor neolonome,

legaturile nu sunt eliminate din ecuatiile de miscare, ele fiind obtinute ca o parte a solutiei.Ecuatiile Lagrange cu multiplicatori (8.11) pot fi utilizate si pentru studiul miscarii siste-

melor olonome, aceasta deoarece orice legatura finita f(t, q1, . . . , qn) = 0 , poate fi scrisa sub

forma unei legaturi diferentiale din clasa considerata :n∑

k=1

∂f

∂qk

dqk +∂f

∂tdt = 0 . Procedeul

este folosit ın situatiile ın care apare neconvenabil sa se reduca toate coordonatele sistemu-lui numai la cele independente, sau atunci cand se doreste obtinerea directa si a reactiilorlegaturilor.

In ceea ce priveste variatia energiei totale a unui sistem neolonom, formula poate fi dedusafolosind aceeasi metoda ca cea descrisa ın capitolul anterior, obtinandu-se ın final expresia :

dE

dt=

n∑

k=1

Q∗k qk +

d

dt(T1 + 2T0)− ∂T

∂t+

∂V

∂t+

n2∑

l=1

λl

n∑

k=1

alkqk (8.14)

Daca sistemul este scleronom , atunci alt = 0 ; l = 1, . . . , n2 si din ecuatiile (8.12) pentru

legaturi rezulta :n∑

k=1

alkqk = 0 ; l = 1, . . . , n2 . Astfel, ultimul termen din (8.14) se anuleaza,

reobtinandu-se expresia derivatei E calculata pentru sisteme olonome. Concluziile deduse an-terior privind variatia energiei mecanice totale, se pastreaza si ın cazul sistemelor neolonomescleronome. In particular, daca sistemul neolonom este conservativ (sistem scleronom,pentru care toate fortele sunt potentiale stationare), energia sa totala E = T + V nu semodifica ın cursul miscarii . Proprietatea se pastreaza daca asupra sistemului actioneazasi forte giroscopice.

Capitolul 9

Problema celor doua corpuri

Este studiata miscarea unui sistem compus din doua puncte materiale aflate ıninteractiune reciproca si ın absenta fortelor exterioare. In pofida acestui enunt banal, seva vedea ca ın realitate problema este suficient de generala, fiind posibila aparitia unorcomplicatii de calcul semnificative.

9.1 Masa redusa. Problema echivalenta

Problema determinarii miscarii celor doua corpuri poate fi simplificata considerabil, ob-servand ca miscarea sistemului poate fi descompusa ın doua miscari independente :cea a centrului de masa al sistemului si cea a miscarii celor doua puncte materialeın raport cu centrul lor de masa .

Figura 9.1: Problema celor doua corpuri

Cu notatiile P1(m1, ~r1) si P2(m2, ~r2) , unde ~r1 si ~r2 sunt vectorii de pozitie ai punctelor ınraport cu un reper inertial, deoarece sistemului nu ıi este impusa nici o legatura, el va aveasase grade de libertate , deci pozitia sa va putea fi precizata cu ajutorul a sase coordonategeneralizate independente. In calitate de astfel de coordonate pot fi alese cele trei coordonateale vectorului de pozitie ale centrului de masa ~rc si cele trei coordonate ale vectorului :

~r = ~r2 − ~r1 (9.1)

109

110 CAPITOLUL 9. PROBLEMA CELOR DOUA CORPURI

care specifica pozitia relativa a celui de al doilea corp ın raport cu primul.Deoarece ıntre cele doua corpuri actioneaza doar forte de interactiune reciproca,

potentialul din care deriva aceste forte (egale si de sens contrar) depinde doar de distantarelativa dintre corpuri : V = V (|~r2 − ~r1|) = V (|~r |) . Lagrangeeanul problemei, ın setul decoordonate specificat, va avea forma generala :

L = T (~rc, ~r)− V (|~r |) (9.2)

Conform celei de a doua teoreme a lui Koenig, energia cinetica a sistemului se compune dinenergia cinetica a miscarii centrului de masa si energia cinetica a miscarii celor doua corpuriın raport cu centrul de masa :

T =1

2(m1 + m2) ~r

2

c +1

2

2∑

i=1

mi~r′ 2i (9.3)

unde ~r ′1 si ~r ′2 reprezinta vectorii de pozitie ai celor doua puncte ın raport cu centrul de masa(v. Fig. 9.1). Acesti doi vectori nu sunt independenti, deoarece din definitia vectorului depozitie al centrului de masa rezulta ;

m1~r′1 + m2~r

′2 = 0 (9.4)

Folosind aceasta relatie, pentru vectorul pozitie relativa ~r pot fi deduse expresiile :

~r = ~r2 − ~r1 = ~r ′2 − ~r ′1 = − m1 + m2

m2

~r ′1 =m1 + m2

m1

~r ′2 (9.5)

de unde rezulta :~r ′1 = − m2

m1 + m2

~r , ~r ′2 =m1

m1 + m2

~r (9.6)

Derivand aceste expresii dupa timp si ınlocuind rezultatele ın (9.3), se obtine ın final pentrulagrangeeanul problemei expresia :

L =1

2(m1 + m2) ~r

2

c +1

2µ ~r

2 − V (|~r |) (9.7)

unde marimea :1

µ=

1

m1

+1

m2

adica µ =m1m2

m1 + m2

(9.8)

poarta numele de masa redusa a sistemului.Examinand expresia (9.7) a lagrangeeanului, se observa ca nu intervin explicit coordona-

tele vectorului de pozitie ~rc , ceea ce ınseamna ca impulsurile generalizate asociate acestorasunt constante ale miscarii. Cele trei integrale prime, scrise vectorial, conduc la proprietatea :

~rc = ~r0

c deci ~rc(t) = ~r0

c t + ~r 0c (9.9)

ceea ce ınseamna ca centrul de masa al sistemului este fie ın repaus, fie ın miscare rectilinieuniforma, ın raport cu un sistem inertial de referinta, depinzand de conditiile initiale. Re-zultatul era de asteptat, deoarece asupra sistemului nu actioneaza forte exterioare, iar celeinterioare nu au nici o influenta asupra miscarii centrului de masa.

9.2. MISCAREA IN CAMP CENTRAL 111

Deoarece ecuatiile Lagrange corespunzatoare componentelor lui ~r nu vor contine compo-nentele vectorilor ~rc si ~rc , ele pot fi deduse formal pornind de la lagrangeeanul :

L′ =1

2µ ~r

2 − V (|~r |) (9.10)

Insa aceasta functie coincide cu lagrangeeanul unui punct material de masa µ , aflat ınmiscare ıntr-un camp de forte exterior care deriva din potentialul V (|~r |) , care este simetricın raport originea unui sistem de axe, vectorul de pozitie al punctului la un moment dat ınraport cu aceasta origine fiind ~r .

In consecinta, problema determinarii miscarii celor doua corpuri ın raport cu centrulde masa, poate fi redusa ıntotdeauna la problema echivalenta a studiului miscarii uneiparticule de masa µ sub actiunea unei forte centrale a carei marime depinde numai dedistanta dintre particula si centrul de forte. Odata cunoscuta aceasta miscare ~r = ~r(t) ,folosind relatiile (9.6) pot fi determinate ecuatiile de miscare ~r ′1 = ~r ′1(t) si ~r ′2 = ~r ′2(t) ale celordoua puncte ın raport cu centrul de masa. Miscarile individuale ale celor doua corpuri ınraport cu sistemul inertial Oxyz vor fi date de expresiile :

~r1 = ~rc + ~r ′1 = ~rc − m2

m1 + m2

~r , ~r2 = ~rc + ~r ′2 = ~rc +m1

m1 + m2

~r (9.11)

9.2 Miscarea ın camp central

Se studiaza miscarea unei particule de masa m ıntr-un camp de forte caracterizat prinaceea ca energia potentiala depinde numai de distanta r la un punct fix, ın care se consideraplasat centrul de forte si care constituie originea sistemului de referinta. Intrucat V = V (r) ,forta care actioneaza asupra punctului este de tip central :

~F = −∇V (r) = − dV

dr· ~rr

; F (r) = − dV

dr(9.12)

deoarece | ~F | depinde numai de distanta r de la centrul de forte la punctul de masa m , iarsuportul fortei trece obligator prin origine.

Dupa cum se stie, caracteristic miscarii unui punct ın camp central este faptul ca mo-mentul sau cinetic ın raport cu centrul de forte este constant ın tot cursul de miscarii :

~L = m (~r × ~v) = m (~r 0 × ~v 0) = ~L 0 (9.13)

In plus deoarece ~r ·~L 0 = 0 miscarea este plana , vectorul de pozitie ~r gasindu-se tot timpulın planul determinat de vectorii ~r 0 si ~v 0, plan perpendicular pe vectorul constant ~L 0.

Problema are astfel doua grade de libertate, functia lui Lagrange ın coordonatelepolare r si θ avand expresia :

L =1

2m (r2 + r2θ2)− V (r) (9.14)

Se observa ca coordonata θ este ciclica , ceea ce ınseamna ca impulsul generalizat cores-punzator ei este o integrala prima a ecuatiilor de miscare :

pθ =∂L

∂θ= mr2θ = const . (9.15)


In fond, se reobtine legea de conservare a momentului cinetic pentru sistemul consi-derat, constanta care figureaza ın (9.15) fiind chiar | ~L 0 | ≡ L0 :

mr2θ = L0 (9.16)

Interpretarea geometrica a acestei integrale prime este evidenta, daca se are ın vederea

expresia vitezei areolare ın coordonate polare | ~Ω | = 1

2r2θ . Din (9.16) rezulta :

L0 = 2m | ~Ω | (9.17)

si miscarea punctului pe traiectorie se face cu viteza areolara constanta. Cu alte cuvinte,din conservarea momentului cinetic rezulta ca vectorul de pozitie al punctului materialdescrie arii egale ın timpuri egale (legea a doua a lui Kepler).

O alta integrala prima care poate fi scrisa direct este integrala energiei. Sistemul fiindconservativ, lagrangeeanul nu contine explicit timpul si ın consecinta energia mecanica totalaa sistemului se conserva ın cursul miscarii :

E =1

2m (r2 + r2θ2) + V (r) =

1

2m r2 +

L0 2

2mr2+ V (r) (9.18)

unde, folosind (9.16), s-a facut ınlocuirea θ =L0

mr2. Aceasta lege de conservare este de fapt

o consecinta a ecuatiei Lagrange radiale :

mr −mrθ2 +dV

dr= 0 (9.19)

care, facand aceeasi substitutie, se poate scrie si sub forma :

mr − L0 2

mr3+

dV

dr= 0 (9.20)

Inmultind aceasta ecuatie cu r , rezultatul poate fi scris sub forma unei diferentiale totaledupa timp :

d

dt

1

2m r2 +

L0 2

2mr2+ V

= 0 (9.21)

care integrata conduce la ecuatia (9.18). Reciproc, derivand (9.18) se obtine ecuatia demiscare (9.20).

Solutia completa a problemei miscarii particulei ın camp central, poate fi obtinuta formalpornind de la legile de conservare ale energiei si momentului cinetic. Din ecuatia (9.18)rezulta :

r =dr

dt= ±

√√√√ 2

m

[E − V (r)− L0 2

2mr2

](9.22)

Separand variabilele si integrand, se va obtine :

t = t0 ±r(t)∫

r0

dr√√√√ 2

m

[E − V (r)− L0 2

2mr2

] (9.23)


unde r0 reprezinta valoarea lui r la momentul t = t0 . Efectuand aceasta integrala, poate fidedusa, cel putin ın principiu, functia r = r(t) .

Odata determinata aceasta functie, pornind de la ecuatia (9.16) scrisa sub forma :

dθ =L0

mr2(t)dt (9.24)

prin integrare va rezulta functia θ = θ(t) :

θ = θ0 +

t∫

t0

L0dt

mr2(t)(9.25)

unde θ0 reprezinta valoarea lui θ la momentul t = t0 .Pentru a obtine direct ecuatia propriu-zisa a traiectoriei r = r(θ) , fara a deduce ın preala-

bil ecuatiile parametice, se porneste de la observatia ca : dt =dr

±√√√√ 2

m

[E − V (r)− L0 2

2mr2

] .

Facand aceasta ınlocuire ın (9.25), se obtine ın final :

θ = θ0 ±r(t)∫

r0

L0

r2dr

√√√√2m

[E − V (r)− L0 2

2mr2

] (9.26)

care reprezinta ecuatia traiectoriei punctului material a carui miscare este studiata folo-sind coordonate polare.

Dupa cum era de asteptat, problema avand doua grade de libertate, solutia ei generala(9.23) si (9.25) depinde de patru constante de integrare : r0 , θ0 , E , L0 , ultimele doua fiindlegate de conditiile initiale r0 , θ0 , r0 , θ0 prin intermediul relatiilor (9.16) si (9.18).

Alegerea corespunzatoare a semnelor ın (9.23) si (9.26) este de asemenea determinatade conditiile initiale. De exemplu, semnul integralei din (9.23) este determinat de semnulderivatei r la momentul t = t0 . Pe de alta parte, observand din (9.16) ca functia θ este ofunctie monotona, tot conditiile initiale vor spune daca functia θ(t) este monoton crescatoaresau descrescatoare ın timp.

Desi odata cu gasirea solutiei generale (9.23) si (9.25) problema este principial rezolvata,din punct de vedere practic situatia nu este chiar atat de simpla, deoarece chiar pentru ex-presii banale ale potentialului V (r) , integralele care urmeaza a fi evaluate nu conduc decatfoarte rar la expresii care contin functii elementare usor de interpretat calitativ. Astfel, pen-

tru V =k

rn, integralele se exprima prin functii elementare numai daca n = −2 , −1 , 1 , 2 ;

iar pentru n = −6 , −4 , 3 , 4 , 6 integralele respective se exprima prin functii eliptice.O analiza calitativa a caracterului miscarii poate fi obtinuta obsevand ca ecuatia radiala

(9.20) poate fi interpretata ca o ecuatie care descrie miscarea unidimensionala a unui punctmaterial de masa m asupra caruia actioneaza forta efectiva :

Feff = − dV

dr+

L0 2

mr3; Veff (r) = −

∫Feffdr = V (r) +

L0 2

2mr2(9.27)


Termenul suplimentar care apare este de natura centrifugala, deoarece avand ın vedere ex-presia (9.16) pentru L0 , rezulta :

L0 2

mr3= mrθ2 =

mv2θ

r(9.28)

Legea conservarii energiei (9.18) se va transcrie ın forma :

E =1

2mr2 + Veff (r) (9.29)

si deoarece r2 ≥ 0 , va trebui ca ıntotdeauna :

E ≥ Veff (r) = V (r) +L0 2

2mr2(9.30)

Aceasta conditie defineste domeniul de variatie al valorilor lui r ın functie de formapotentialului V (r) si de valorile energiei mecanice totale E . Semnul de egalitate este posibildoar atunci cand r = 0 , deci atunci cand r ısi schimba semnul, adica cand functia r(t)din crescatoare devine descrescatoare si invers (reamintim ca functia θ(t) este fie monotoncrescatoare, fie monoton descrecatoare, deoarece ıntotdeauna θ 6= 0).

Figura 9.2: Potentialul efectiv pentru miscarea ın camp central

Presupunem ca asupra particulei actioneaza o forta atractiva F (r) = − k

r2; (k > 0) ,

care deriva din potentialul V (r) = − k

r; (k > 0) . In acest caz, potentialul efectiv cores-

punzator problemei unidimensionale are expresia :

Veff (r) = − k

r+

L0 2

2mr2(9.31)

In conformitate cu conditia E ≥ Veff , valorile posibile ale lui r se situeaza ın domeniul ıncare curba Veff (r) se gaseste sub dreapta E = const . (v. Fig. 9.2). Punctele de intersectiedefinesc valorile extreme ale coordonatei radiale.


Se observa ca pentru E ≥ 0 ıntotdeauna r(t) ≥ rmin . Particula, venind de la infinit, seva lovi de o ”bariera de potential centrifugala” si apoi se va ındrepta din nou spre infinit (v.Fig. 9.3.a).

Figura 9.3: Forme posibile ale traiectoriilor ın camp central

Pentru (Veff )min < E < 0 rezulta ca rmin ≤ r(t) ≤ rmax , traiectoria fiind continuta ıninteriorul unui inel delimitat de cercurile avand razele rmin si rmax si va fi tangenta la acestecercuri ın punctele de contact (v. Fig. 9.3.b). Curba va fi ınchisa doar daca n ∆θ = 2πk ,unde n si k sunt numere ıntregi, iar ∆θ reprezinta unghiul descris de raza vectoare ıntredoua valori consecutive ale lui rmax :

∆θ = 2

rmax∫

rmin

L0

r2dr

√√√√2m

[E − V (r)− L0 2

2mr2

] (9.32)

Limitele de integrare rmin si rmax sunt radacinile polinomului de la numitor.

Pentru E = (Veff )min , traiectoria degenereaza ıntr-un cerc (v. Fig. 9.3.c).

Analiza calitativa prezentata ısi pastreaza ın ıntregime valabilitatea pentru orice potential

atractiv care satisface la conditiile : a) |V (r)| scade mai lent ca1

r2pentru r →∞ ; b) |V (r)|

creste mai lent decat1

r2pentru r → 0 . Pentru orice potential atractiv care ındeplineste

aceste conditii va exista ıntotdeauna un rmin 6= 0 pana la care particula se poate apropia decentrul de forte.

Refacand rationamentul pentru un potential repulsiv de forma V (r) =k

r; (k > 0) , se

observa ca ıntotdeauna E ≥ Veff > 0 . In consecinta va exista un singur punct de intersectieal curbei Veff (r) cu dreapta E = const . (> 0) si deci ıntotdeauna r(t) ≥ rmin .

Punctele de pe traiectorie pentru care r atinge o valoare extrema poarta numele deapside , iar razele vectoare respective se numesc raze apsidale . Traiectoria este ıntotdea-una simetrica fata de o raza apsidala.


Ecuatia lui Binet

In ceea ce priveste ecuatia diferentiala a traiectoriei, ea poate fi obtinuta din ecuatiagenerala de miscare (9.20) :

mr − L0 2

mr3= − dV

dr(9.33)

eliminand timpul cu ajutorul relatiei (9.16). Intrucat :

r =dr

dt= θ

dr

dθ=

L0

mr2

dr

dθ= − L0

m

d

dθ

(1

r

)

r =dr

dt= θ

dr

dθ= − L0 2

m2r2

d2

dθ2

(1

r

) (9.34)

ecuatia (9.33) devine :d2

dθ2

(1

r

)+

1

r=

mr2

L0 2

dV

dr(9.35)

care este cunoscuta sub numele de ecuatia lui Binet . Solutia generala r = r(θ) a acesteiecuatii diferentiale de ordinul doi depinde, ın afara de constanta L0 , de ınca doua constantede integrare :

1

r= f(θ, L0, C1, C2) (9.36)

Constantele L0 , C1 , C2 sunt determinate ın ıntregime de conditiile initiale. Astfel, dacala momentul initial t = t0 , vectorul de pozitie ~r0 face unghiul θ0 cu o directie fixa de

Figura 9.4: Conditiile initiale ale problemei

referinta, iar viteza initiala ~v0 face unghiul α cu axa polara (v. Fig. 9.4), componentelevitezei punctului la momentul respectiv sunt :

r0 = v0 cos α

r0θ0 = v0 sin α(9.37)

Conform definitiei (9.16), constanta L0 va avea valoarea :

L0 = mr20 θ0 = mr0 · r0θ0 = mr0v0 sin α (9.38)

iar constantele C1 si C2 rezulta din sistemul de ecuatii :

1

r0

= f(θ0, L0, C1, C2) ;

(− r

r2

)

0=

L0

mr20

(∂f

∂θ

)

0

(9.39)

9.3. MISCAREA KEPLERIANA 117

Dupa cum s-a aratat la ınceputul paragrafului, cunoscand potentialul V (r) din carederiva forta, solutia ecuatiei (9.35) poate fi obtinuta indirect si prin cuadraturi, ea avandforma explicita (9.26) .

9.3 Miscarea kepleriana

Se studiaza miscarea unei particule de masa m ıntr-un camp atractiv cu simetrie cen-trala, avand forma :

V (r) = − k

r, F (r) = − k

r2; k > 0 (9.40)

centrul de forte gasindu-se ın originea sistemului de coordonate. Exemplul tipic ıl consti-tuie campul gravitational al Pamantului , pentru care k = fmM , unde M este masaPamantului, m este masa corpului atras, iar f este constanta atractiei universale. O problemasimilara este cea a miscarii unei planete ın jurul Soarelui, M reprezentand masa Soarelui, iarm masa planetei. In ambele situatii, ecuatiile de miscare ale problemei echivalente ar trebui

sa contina masa redusa1

µ=

1

m+

1

M, ınsa deoarece ın majoritatea cazurilor M À m , se

poate considera ın buna aproximatie ca µ ≈ m , iar centrul de masa al sistemului coincidepractic cu centrul masei M , care poate fi ales ca origine a sistemului inertial fata de careeste raportata miscarea. Studiul interactiunii coulombiene dintre doua sarcini Z1e si Z2eavand semne diferite, se ıncadreaza ın aceeasi clasa de probleme, caz ın care k = −Z1Z2e

2 .Metoda cea mai simpla de obtinere a ecuatiei traiectoriei r = r(θ) consta ın determinarea

solutiei ecuatiei lui Binet (9.35), ın care se face ınlocuireadV

dr=

k

r2:

d2

dθ2

(1

r

)+

1

r=

km

L0 2 (9.41)

Solutia generala a acestei ecuatii diferentiale de ordinul doi este :

1

r= C1 cos(θ − θ1) +

km

L0 2 (9.42)

unde C1 si θ1 sunt constante de integrare care pot fi determinate din conditiile initiale.Efectuand notatiile :

p =L0 2

km; C1 =

e

p(9.43)

ecuatia traiectoriei (9.42) capata forma :

r =p

1 + e cos(θ − θ1)(9.44)

care reprezinta ecuatia unei conice ın coordonate polare, avand focarul ın origineasistemului de coordonate (care coincide cu centrul de forte). Aici p reprezinta parame-trul conicei, iar e este excentricitatea conicei, adica raportul dintre distanta de la centrul


conicei la unul din focare si semiaxa mare. In functie de valoarea excentricitatii, conica poatefi o hiperbola (e > 1) , o parabola (e = 1) , o elipsa (0 < e < 1) , care poate degenera ıntr-un

cerc (e = 0) . O relatie foarte utila ın aplicatii este : p = a(1− e2) = ± b2

a, unde semnul (+)

corespunde elipsei, iar semnul (−) hiperbolei.Impunand conditiile initiale obisnuite, pot fi determinate usor constantele de integrare e

si θ1 . Pentru ınceput va fi evaluat parametrul conicei :

p =L0 2

km=

mr20v

20 sin2 α

k(9.45)

In continuare, scriind (9.44) sub forma1

r=

1

p[ 1 + e cos(θ − θ1) ] si facand t = t0 , rezulta :

1

r0

=1

p[ 1 + e cos(θ0 − θ1) ] (9.46)

adica :e cos(θ0 − θ1) =

p

r0

− 1 (9.47)

Derivand aceeasi expresie dupa timp :

r

r2θ=

e

psin(θ − θ1) (9.48)

facand din nou t = t0 si tinand cont de (9.37), rezulta :

v0 cos α

r0v0 sin α=

e

psin(θ0 − θ1) (9.49)

adica :e sin(θ0 − θ1) =

p

r0

cos α

sin α(9.50)

Ridicand la patrat (9.47) si (9.50) si adunand rezultatele, obtinem :

e2 =(

p

r0

− 1)2

+p2

r20

cos2 α

sin2 α= 1−2

p

r0

+p2

r20

(1 +

cos2 α

sin2 α

)= 1+2

p

r0

(p

2r0 sin2 α− 1

)(9.51)

de unde, folosind (9.45), rezulta :

e2 = 1 + 2L0 2

kmr0

(mr0v

20

2k− 1

)(9.52)

Deoarece, pornind de la conservarea energiei mecanice totale a particulei, se poate scrie :

1

2mv2

0 = E − V = E +k

r0

(9.53)

expresia excentricitatii (9.52) poate fi pusa si sub forma :

e2 = 1 + 2L0 2

kmr0

[r0

k

(E +

k

r0

)− 1

]= 1 +

2EL0 2

mk2(9.54)


Constanta θ1 se determina facand raportul relatiilor (9.50) si (9.47) :

tg (θ0 − θ1) =p

p− r0

cos α

sin α=

L0 2

L0 2 − kmr0

cos α

sin α=

r0v20 sin α cos α

r0v20 sin2 α− k

m

(9.55)

Daca conditiile initiale sunt astfel alese, ıncat la momentul t = t0 punctul se gaseste la

distanta minima fata de centrul atractiv, atunci α = ± π

2si daca unghiul θ este masurat de

la aceasta raza, atunci θ0 = θ1 = 0 .

Ecuatia (9.44) a traiectoriei poate fi obtinuta si direct, efectuand ınlocuirea V (r) = − k

rın solutia generala (9.26). Se porneste de la integrala :

θ − θ0 =

r∫

r0

L0

r2dr

√2mE +

2mk

r− L0 2

r2

(9.56)

ın care se face schimbarea de variabila :

u =1

r; du = − 1

r2dr (9.57)

rezultand expresia :

θ − θ0 = −u∫

u0

du√2mE

L0 2 +2mk

L0 2 u− u2

(9.58)

Folosind formula de integrare :

∫ dx√ax2 + bx + c

= − 1√− aarcsin

2ax + b√b2 − 4ac

+ C ;

a < 0

b2 − 4ac > 0(9.59)

se obtine :

θ − θ2 = arcsin−u +

mk

L0 2√

m2k2

L0 4 +2mE

L0 2

(9.60)

unde constanta θ2 contine pe θ0 si termenul constant din integrala. Facand schimbarea

θ2 = θ1 +π

2rezultatul devine :

u =mk

L0 2 +

√m2k2

L0 4 +2mE

L0 2 cos(θ − θ1) (9.61)

adica :

r =

L0 2

km

1 +

√1 +

2EL0 2

mk2cos(θ − θ1)

(9.62)


Desi calculele sunt mult mai complicate decat ın cazul obtinerii nemijlocite a solutiei ecuatieilui Binet, procedeul prezinta avantajul ca rezultatul contine expresiile explicite ale constan-telor p si e .

Avand ın vedere expresiile (9.52) si (9.54) pentru excentricitate, traiectoriile posibile ale

punctului material ın campul atractiv V (r) = − k

rvor fi determinate de conditiile initiale

dupa cum urmeaza :

- hiperbola (e > 1) daca E > 0 sau r0v20 >

2k

m

- parabola (e = 1) daca E = 0 sau r0v20 =

2k

m

- elipsa (0 < e < 1) daca − mk2

2L0 2 < E < 0 sauk

m< r0v

20 <

2k

m

- cerc (e = 0) daca E = − mk2

2L0 2 sau r0v20 =

k

m

(9.63)

Proprietatile miscarii pe o traiectorie eliptica

In cele ce urmeaza vor fi studiate mai amanuntit proprietatile miscarii eliptice, acesteaprezentand un interes deosebit si din punct de vedere istoric, ıntrucat ele sunt sintetizate ınlegile lui Kepler .

Figura 9.5: Miscarea kepleriana - traiectoria eliptica

Distanta minima, respectiv cea maxima, fata de centrul atractiv, se obtine din solutia(9.44) facand θ = θ1 , respectiv θ = θ1 + π :

rmin =p

1 + e; rmax =

p

1− e(9.64)

Aceste valori pot fi folosite pentru a calcula semiaxele elipsei (v. Fig. 9.5) :

a =1

2(rmin + rmax) =

p

1− e2; b = a

√1− e2 =

p√1− e2

(9.65)

Folosind formulele (9.45) si (9.54), aceste marimi pot fi exprimate prin intermediul constan-telor E si L0 :

a =L0 2

km

mk2

2|E |L0 2 =k

2|E | ; b =L0 2

km

√√√√ mk2

2|E |L0 2 =L0

√2m|E |

(9.66)


Se observa ca marimea semiaxei mari a elipsei depinde doar de energia mecanicatotala si nu depinde de momentul cinetic al punctului material . Doar marimeasemiaxei mici depinde si de momentul cinetic.

Perioada miscarii corpului de elipsa poate fi calculata usor observand ca daca ıntreagaarie πab a elipsei este parcursa ın timpul T , atunci aria descrisa ın unitate de timp trebuiesa fie egala cu viteza areolara :

| ~Ω | = L0

2m=

πab

T(9.67)

In consecinta, pentru T se obtine valoarea :

T =2mπab

L0=

2mπ

L0

k

2|E |L0

√2m|E |

= πk

√m

2|E |3 = 2πa3/2

√m

k(9.68)

Rezulta ca perioada unei rotatii complete pe elipsa depinde doar de energia totalaa punctului, sau de marimea semiaxei mari si nu depinde de marimea momentuluicinetic, sau de marimea semiaxei mici . Expresia (9.68) poate fi pusa si sub forma :

T 2

a3= 4π2m

k(9.69)

Se observa ca pentru k = fmM , raportulT 2

a3= 4π2 1

fMnu depinde de valoarea masei m .

Ecuatiile (9.44), (9.67), (9.69) reprezinta expresiile matematice ale legilor lui Kepler ,enuntate la ınceputul sec. al XVII-lea pe baza observatiilor directe efectuate asupra miscariiplanetelor :

Legea I : Planetele descriu ın jurul Soarelui elipse, Soarele aflandu-se ın unul din focare.Legea a II-a : Viteza areolara a fiecarei planete ın raport cu Soarele este constanta.Legea a III-a : Raportul dintre patratul timpului de revolutie si cubul semiaxei mari a

orbitei este acelasi pentru toate planetele.Trebuie remarcat ca legea a III-a, asa cum a fost ea formulata de catre Kepler este

adevarata doar aproximativ. Intr-adevar, problema miscarii unei planete ın jurul Soareluieste o problema tipica de miscare a doua corpuri si de aceea cand trebuie efectuat un calcul

corect, ın expresia (9.68) ın locul masei m trebuie sa figureze masa redusa µ =mM

m + Ma

sistemului Soare-planeta, unde M este masa Soarelui, iar m este masa planetei. Deoarecek = fmM , expresia (9.68) devine :

T = 2πa3/2

√µ

k= 2πa3/2

√1

f(M + m)= 2πa3/2

√√√√√1

fM(1 +

m

M

) (9.70)

Doar ın aproximatiam

M¿ 1, raportul

T 2

a3=

4π2

fMeste acelasi pentru toate planetele. Cu

exceptia planetei Jupiter, pentru carem

M≈ 0, 05 , aproximatia continuta implicit ın formu-

larea legii a III-a a lui Kepler este justificata pentru toate planetele.


9.4 Imprastierea particulelor ıntr-un camp de forte

centrale

Studiul ciocnirii elastice a doua particule de mase m1 si m2 reprezinta de asemenea un cazparticular al problemei generale a miscarii a doua corpuri ın interactiune reciproca. Deoarececentrul de masa al sistemului ramane ın repaus, sau se misca rectiliniu uniform ın raportcu un sistem de referinta fix, numit sistemul laboratorului (SL), determinarea miscariisistemului format din cele doua particule se reduce la studiul miscarii acestora ın raportcu un sistem solidar legat de centrul de masa (SCM). Dupa cum s-a aratat ın §9.1 ,acesta problema este echivalenta su studiul miscarii unei particule de masa µ ıntr-un campcu simetrie centrala V (r), pentru care se face ipoteza suplimentara lim

r→∞V (r) = 0 .

Figura 9.6: Traiectoria particulei ıntr-un camp central repulsiv (a), sau atractiv (b)

Indiferent de faptul ca potentialul V (r) este atractiv sau repulsiv, daca E > 0 , traiectoriaparticulei de masa µ este o curba simetrica fata de raza apsidala OA, cele doua asimptoteale traiectoriei intersectand raza apsidala sub acelasi unghi : Θ ın cazul campului repulsiv ;π − Θ ın cazul campului atractiv (v. Fig. 9.6). Unghiul de ımprastiere χ (unghiul dintredirectia incidenta si cea emergenta)

χ = π − 2Θ

χ = π − 2 (π −Θ) = − π + 2Θ = − (π − 2Θ)

χ = |π − 2Θ| (9.71)

iar unghiul apsidal se calculeaza cu expresia :

Θ =

∞∫

rmin

L0

r2dr

√√√√2µ

[E − V (r)− L0 2

2µr2

] (9.72)

unde rmin este o radacina a polinomului de sub radical. In locul constantelor E si L0 seprefera utilizarea constantelor v si ρ , unde v reprezinta viteza particulei la distanta inifinita

9.4. IMPRASTIEREA PARTICULELOR INTR-UN CAMP DE FORTE CENTRALE123

de centrul de forte, iar ρ reprezinta parametrul de cionire , adica distanta la care ar treceparticula fata de centrul de forte ın absenta interactiunii. Deoarece :

E =1

2µv2 ; L0 = µρv (9.73)

expresia (9.72) devine :

Θ =

∞∫

rmin

µρv

r2dr

√2µ · 1

2µv2 − 2µV (r)− 2µ

µ2ρ2v2

2µr2

=

∞∫

rmin

ρ

r2dr

√1− 2V (r)

µv2− ρ2

r2

(9.74)

Relatiile (9.71) si (9.74) vor determina legatura dintre unghiul de ımprastiere χ (ın SCM) siparametrul de ciocnire ρ , ın functie de forma potentialului V (r) . Pentru un potential de

interactiune de tip coulombian : V (r) = − k

r(k > 0 pentru camp atractiv, k < 0 pentru

camp repulsiv ; k = −Z1Z2e2), cu schimbarea de variabila u =

1

r; du = − dr

r2ecuatia (9.74)

devine :

Θ =

umax∫

0

du√1

ρ2− 2k

µv2ρ2u− u2

(9.75)

unde umax este radacina polinomului de sub radical :

umax =k

µv2ρ2+

√k2

µ2v4ρ4+

1

ρ2=

k

µv2ρ2+

1

ρ

√1 +

k2

µ2v4ρ2(9.76)

Utilizand formula cunoscuta (9.59), integrala (9.75) devine :

Θ = − arcsin−umax +

k

µv2ρ2

1

ρ

√1 +

k2

µ2v4ρ2

+ arcsin

k

µv2ρ2

1

ρ

√1 +

k2

µ2v4ρ2

=π

2+ arcsin

k

µv2ρ√1 +

k2

µ2v4ρ2

(9.77)

Dupa calcule elementare, rezultatul (9.77) se transcrie sub forma :

k

µv2ρ= cos Θ ·

√1 +

k2

µ2v4ρ2(9.78)

de unde, avand ın vedere ca x = cos θ√

1 + x2 se mai poate pune si sub forma x2tg2θ = 1 ,rezulta :

ρ2 =k2

µ2v4tg2Θ =

k2

µ2v4ctg2χ

2(9.79)

deoarece :

- pentru camp repulsiv : Θ =π − χ

2si tg Θ = ctg

χ

2

- pentru camp atractiv : Θ =π + χ

2si tg Θ = − ctg

χ

2

(9.80)


Figura 9.7: Traiectoria particulei ımprastiate sub unghiul χ ıntr-un camp central repulsiv

Presupunem ca asupra centrului de forte cade un fascicul paralel si omogen de particuleincidente, avand fiecare viteza v . Deoarece parametrul de ciocnire ρ difera de la particulala particula, va fi diferit si unghiul corespunzator de ımprastiere χ fata de directia initiala(v. Fig. 9.7). Notand cu dN numarul de particule deviate ın unitate de timp ın unghiulsolid dΩ delimitat de conurile avand deschiderile la varf χ si χ + dχ , si cu n fluxul incident,raportul :

dσ =dN

n(9.81)

va reprezenta sectiunea eficace diferentiala de ımprastiere elastica si are dimensiune desuprafata. Marimea dσ este ın ıntregime determinata de forma potentialului de interactiuneV (r) si reprezinta o caracteristica esentiala a procesului de imprastiere. Observand din figuraca dN = n · 2πρdρ , formula (9.81) devine :

dσ = 2πρdρ = 2πρ(χ)

∣∣∣∣∣dρ(χ)

dχ

∣∣∣∣∣ dχ (9.82)

unde derivata este luata ın valoare absoluta, deoarece ın majoritatea cazurilor ρ este o functiemonoton descrescatoare de χ . Trecand la elementul de unghi solid dΩ = 2π sin χdχ , formula(9.82) devine :

dσ =ρ(χ)

sin χ

∣∣∣∣∣dρ(χ)

dχ

∣∣∣∣∣ dΩ unde ρ =k

µv2ctg

χ

2(9.83)

Pentru potentialul V (r) = − k

r, deoarece dΩ = 4π sin

χ

2cos

χ

2dχ , se obtine ın final expresia :

dσ =

k

µv2ctg

χ

2sin χ

· 1

2

k

µ2

1

sin2 χ

2

dΩ =

(k

2µv2

)2dΩ

sin4 χ

2

= π

(k

µv2

)2 cosχ

2

sin3 χ

2

dχ (9.84)

Se observa ca dσ nu depinde de semnul constantei k .Rezultatul exprima sectiunea eficace diferentiala de imprastiere ın SCM. Pentru a re-

veni ın SL, va trebui stabilita o legatura ıntre unghiul de ımprastiere ın SCM si unghiurile

9.4. IMPRASTIEREA PARTICULELOR INTR-UN CAMP DE FORTE CENTRALE125

de ımprastiere ın SL, motiv pentru care se impune o analiza mai detaliata a cinematiciiprocesului .

Deoarece viteza centrului de masa nu se modifica ın cursul miscarii :

~vc =1

m1 + m2

(~p

(−)1 + ~p

(−)2

)=

1

m1 + m2

(~p

(+)1 + ~p

(+)2

)(9.85)

folosind notatiile obisnuite, se va putea scrie :

~p(−)1 =

m1

m1 + m2

(~p

(−)1 + ~p

(−)2

)+ ~p

′ (−)1 ; ~p

(+)1 =

m1

m1 + m2

(~p

(−)1 + ~p

(−)2

)+ ~p

′ (+)1

~p(−)2 =

m2

m1 + m2

(~p

(−)1 + ~p

(−)2

)+ ~p

′ (−)2 ; ~p

(+)2 =

m2

m1 + m2

(~p

(−)1 + ~p

(−)2

)+ ~p

′ (+)2

(9.86)

unde marimile notate cu ′ sunt raportate la centrul de masa.In SCM, prin aplicarea legii conservarii impulsului si legii conservarii energiei la limita

asimptotica(

limr→∞V (r) = 0

), rezulta ca :

~p′ (−)1 + ~p

′ (−)2 = ~p

′ (+)1 + ~p

′ (+)2 = 0 ;

∣∣∣~p ′ (−)1

∣∣∣ =∣∣∣~p ′ (−)

2

∣∣∣ =∣∣∣~p ′ (+)

1

∣∣∣ =∣∣∣~p ′ (+)

2

∣∣∣ (9.87)

ceea ce ınseamna ca ın urma ciocnirii nu se modifica marimile impulsurilor ın raport cu SCM,ci doar orientarea lor ın spatiu. Particulele vor fi deviate de la directia lor initiala cu acelasiunghi χ ın SCM (v. Fig. 9.8.a).

Figura 9.8: Cinematica ımprastierii elastice ıntr-un camp central repulsiv

In cazul particular ın care particula 2 este ın repaus : ~p(−)2 = 0, expresiile impulsurilor ın

SL ınainte si dupa ciocnire devin :

~p(−)1 =

(1 +

m1

m2

)~p′ (−)1 =

m1 + m2

m2

~p′ (−)1

~p(+)1 =

m1

m1 + m2

~p(−)1 + ~p

′ (+)1 =

m1

m2

~p′ (−)1 + ~p

′ (+)1 (9.88)

~p(+)2 =

m2

m1 + m2

~p(−)1 + ~p

′ (+)2 = ~p

′ (−)1 − ~p

′ (+)1


Expresiile pot fi usor interpretate geometric considerand un cerc de raza∣∣∣~p ′ (−)

1

∣∣∣ =∣∣∣~p ′ (+)

1

∣∣∣(v. Fig. 9.8.b). Construind vectorii :

−→AO=

m1

m2

~p′ (−)1 ,

−→OB= ~p

′ (−)1 ,

−→AB= ~p

(−)1 ,

−→OC= ~p

′ (+)1 ,

rezulta ca :−→AC= ~p

(+)1 ,

−→CB= ~p

(+)2 . Aici χ este unghiul de ımprastiere ın SCM, iar ϕ1 si ϕ2

sunt unghiurile de ımprastiere ın SL. Tot din figura rezulta evident :

tg ϕ1 =m2 sin χ

m1 + m2 cos χ; ϕ2 =

π − χ

2(9.89)

Revenind la formula (9.84), facand χ = π − 2ϕ2 rezulta sectiunea de ımprastiere pentruparticulele aflate initial ın repaus (particulele tintei) :

dσ2 = 2π

(km1

2µE(−)1

)2sin ϕ2

cos3 ϕ2

dϕ2 =

(km1

2µE(−)1

)2dΩ2

cos3 ϕ2

; 0 ≤ ϕ2 ≤ π

2(9.90)

unde E(−)1 =

1

2m1v

(−) 2

1 =1

2m1v

2 reprezinta energia particulelor incidente.

Deoarece ın cazul general, pentru dσ1 se obtine o expresie foarte complicata, vor fi luateın considerare doua cazuri particulare :

a) m1 ¿ m2 : ceea ce are drept consecinta χ ≈ ϕ1 si µ ≈ m1 . Atunci :

dσ1 =

(k

4E(−)1

)2dΩ1

sin4 ϕ1

2

; 0 ≤ ϕ1 ≤ π (9.91)

Inlocuind aici k = −Z1Z2e2 se obtine formula lui Rutherford , care exprima sectiunea de

ımprastiere a particulelor α (Z1 = 2) pe nuclee grele de sarcina Z2 , ın functie de unghiul deımprastiere.

b) m1 = m2 = m : atunci χ = 2ϕ1 , µ =m

2si ın consecinta :

dσ1 = 2π

(k

E(−)1

)2cos ϕ1

sin3 ϕ1

dϕ1 =

(k

E(−)1

)2cos ϕ1

sin4 ϕ1

dΩ1 ; 0 ≤ ϕ1 ≤ π

2(9.92)

Daca particulele incidente sunt identice din toate punctele de vedere (nu numai din cel almasei) cu particulele tintei, atunci este inutil ca dupa ımprastiere sa se mai faca deosebireaıntre particulele aflate initial ın miscare si cele aflate initial ın repaus. Deoarece ϕ1 = ϕ2 = ϕ ,sectiunea de imprastiere globala pentru toate particulele va fi :

dσ = dσ1 + dσ2 =

(k

E(−)1

)2 (1

sin4 ϕ+

1

cos4 ϕ

)cos ϕ dΩ ; 0 ≤ ϕ ≤ π

2(9.93)

In acest caz unghiul maxim de ımprastiere nu poate depasi valoareaπ

2.

III.Mecanica hamiltoniana

Capitolul 10

Ecuatiile lui Hamilton

10.1 Coordonate canonice. Spatiul fazelor

In cele ce urmeaza studiul va fi limitat doar la sistemele naturale , adica la sistemele olo-nome cu un numar finit de grade de libertate, asupra carora actioneaza forte care deriva dintr-un potential obisnuit sau generalizat. Cunoscand lagrangeeanul sistemului L = L(t, q, q) ,miscarea sa va fi determinata de sistemul de ecuatii diferentiale de ordinul doi :

d

dt

(∂L

∂qk

)− ∂L

∂qk

= 0 ; k = 1, . . . , n (10.1)

Se stie din matematica ca un sistem de ecuatii diferentiale de ordinul doi poate fi re-dus printr-o infinitate de moduri la un sistem de ecuatii diferentiale de ordinul ıntai. Ceamai simpla reducere se obtine considerand ca necunoscute functiile de timp (q, q) , sistemulechivalent avand forma generala :

dqk

dt= qk

dqk

dt=≈Qk (t, q, q)

; k = 1, . . . , n (10.2)

Insa ın calitate de functii necunoscute pot fi alese la fel de bine, pe langa cele n coordonategeneralizate, un numar de alte n functii independente care sa depinda ıntr-un fel sau altulde vitezele generalizate. Hamilton a propus alegerea ca necunoscute ale problemei pe langacoordonatele generalizate, a impulsurilor generalizate :

pk =∂L

∂qk

; k = 1, . . . , n (10.3)

Ansamblul de variabile independente (q, p) va alcatui setul de coordonate canonice folositpentru rezolvarea problemei.

Deoarece ın cazul sistemelor naturale se stie ca L = L2 + L1 + L0 , din definitiile (10.3)rezulta :

pk =n∑

j=1

akj(t, q) · qk + ck(t, q) ; k = 1, . . . , n (10.4)

129

130 CAPITOLUL 10. ECUATIILE LUI HAMILTON

unde akj ; k, j = 1, . . . , n reprezinta coeficientii formei patratice care figureaza ın energia cine-

tica L2 = T2 =1

2

n∑

k,j=1

akj qkqj, coeficienti care pot fi aranjati ıntr-o matrice avand ıntotdeauna

determinantul diferit de zero. In baza acestei proprietati, sistemul de ecuatii liniare (10.4)poate fi rezolvat ın raport cu vitezele generalizate, rezultand expresiile :

qk =n∑

j=1

bkj(t, q) · pj + dk(t, q) ; k = 1, . . . , n (10.5)

O serie de marimi folosite pana acum, exprimate ın variabilele (t, q, q) ıntre care figureazasi vitezele generalizate, ca de exemplu energia cinetica, fortele generalizate, potentialul ge-neralizat, etc., urmeaza a fi transcrise ın noul set de variabile (t, q, p) care contin coordo-natele canonice, folosind formulele (10.5) . Operatia respectiva va fi marcata simbolic prinsemnul ”_” plasat deasupra marimii sau expresiei ın care se fac ınlocuirile specificate :_

F (t, q, q) → F (t, q, p) , rezultatul reprezentand expresia asociata a functiei respective.Trecerea de la variabilele (t, q, q) la variabilele (t, q, p) poate fi realizata folosind o metoda

mult mai simpla, cunoscuta sub numele de transformarea lui Legendre . Metoda va fiilustrata examinand cazul particular al unei functii de doua variabile f(x, y) . Diferentialatotala a unei functii f(x, y) are expresia generala :

df = u dx + v dy ; u =∂f

∂x, v =

∂f

∂y(10.6)

unde u si v sunt functii de (x, y) . Trecerea de la variabilele independente (x, y) la variabileleindependente (u, y) se face folosind functia g(u, y) :

g = f − ux (10.7)

a carei diferentiala totala este :

dg = df − u dx− x du (10.8)

adica :

dg = −x du + v dy ; x = − ∂g

∂u, v =

∂g

∂y(10.9)

unde x si v sunt acum functii de variabilele (u, y) .Extinzand metoda la cazul trecerii de la variabilele (t, q, q) la variabilele (t, q, p) , ın locul

lagrangeeanului L(t, q, q) va fi utilizata functia :

H(t, q, p) =n∑

k=1

pk

_qk −

_

L (10.10)

construita ın analogie cu functia (10.7), ınsa care, pentru comoditatea calculelor ce urmeaza,este ınmultita cu −1 . Parantezele plasate deasupra marimilor qk ; k = 1, . . . , n si L , indicafaptul ca ın aceste functii vitezele generalizate sunt ınlocuite prin functii de (t, q, p) , cuajutorul formulelor (10.5). Functia H(t, q, p) astfel definita, poarta numele de functia lui

10.1. COORDONATE CANONICE. SPATIUL FAZELOR 131

Hamilton , sau hamiltonian , ea preluand rolul functiei lui Lagrange L(t, q, q) din mecanicalagrangeeana. Folosind echivalentele :

f −→ L x −→ qk ; k = 1, . . . , n

g −→ −H u −→ pk ; k = 1, . . . , n

y −→ t , qk ; k = 1, . . . , n

(10.11)

din egalitatea v =∂f

∂y=

∂g

∂yrezulta :

∂L

∂t= − ∂H

∂tsi

∂L

∂qk

=d

dt

(∂L

∂qk

)= pk = − ∂H

∂qk

; k = 1, . . . , n (10.12)

unde au fost utilizate ecuatiile lui Lagrange (10.1) si definitiile (10.3). Pe de alta parte,

ınlocuind ın x = − ∂g

∂use obtine :

qk =∂H

∂pk

; k = 1, . . . , n (10.13)

In concluzie, ecuatiile de miscare ın coordonate canonice au forma generala :

qk =∂H

∂pk

, pk = − ∂H

∂qk

; k = 1, . . . , n (10.14)

ele purtand numele de ecuatiile lui Hamilton , sau ecuatii canonice . Deoarece ın hamil-tonianul H(t, q, p) nu intervin derivate ale coordonatelor sau impulsurilor, (10.14) reprezintaun sistem de 2n ecuatii diferentiale de ordinul ıntai ın necunoscutele qk , qk ; k = 1, . . . , n ,care permit determinarea miscarii sistemului dinamic. Ecuatiile lui Hamilton, care repre-zinta echivalentrul ecuatiilor lui Lagrange din spatiul configuratiilor Λn , descriu miscarea

Figura 10.1: Traiectoria unui punct reprezentativ ın spatiul fazelor

sistemului ıntr-un spatiu 2n-dimensional definit de coordonatele (q, p) , notat cu Λ2n si nu-mit spatiul fazelor , sau spatiul Gibbs . Starii sistemului la un moment dat ın Λ2n ıicorespunde un punct reprezentativ avand coordonatele canonice (q, p) , evolutia ın timp


a sistemului mecanic fiind descrisa de ecuatiile parametrice ale traiectoriei punctului repre-zentativ ın spatiul fazelor (v. Fig. 10.1) :

qk = qk(t)

pk = pk(t); k = 1, . . . , n (10.15)

Ecuatiile lui Hamilton (10.14) puteau fi obtinute si direct, identificand expresia :

dH =∂H

∂tdt +

n∑

k=1

∂H

∂qk

dqk +n∑

k=1

∂H

∂pk

dpk = (10.16)

cu diferentiala totala a definitiei (10.10) :

dH =n∑

k=1

qkdpk+n∑

k=1

pkdqk−∂L

∂tdt−

n∑

k=1

∂L

∂qk

dqk−n∑

k=1

∂L

∂qk

dqk = − ∂L

∂tdt−

n∑

k=1

pkdqk+n∑

k=1

qkdpk

(10.17)unde au fost folosite ecuatiile lui Lagrange (10.1) si expresiile (10.3).

Metoda generala de alcatuire a ecuatiilor lui Hamilton pentru un sistem mecanic dat, im-pune de obicei parcurgerea urmatoarelor etape : construirea lagrangeeanului L(t, q, q) , calcu-lul impulsurilor generalizate cu definitiile (10.3), construirea functiei lui Hamilton H(t, q, p)pornind de la definitia (10.10) ın care se fac ınlocuirile (10.5), si ın final ınlocuirea acesteifunctii ın ecuatiile (10.14), urmata de calculul derivatelor. Dupa cum se va arata ulterior,o parte din etapele aceastei metode aparent foarte greoaie, pot fi evitate ın unele cazuriparticulare.

Se observa ca utilizand ecuatiile lui Hamilton, rezulta identitatea :

dH

dt=

∂H

∂t+

n∑

k=1

(∂H

∂qk

qk +∂H

∂pk

pk

)=

∂H

∂t(10.18)

adica : derivata totala ın raport cu timpul a functiei lui Hamilton este egala cuderivata sa partiala . Aceasta ınsemna ca daca functia H nu depinde explicit de timp :∂H

∂t= 0 ; H = H(q, p) , atunci ın baza identitatii (10.18) rezulta

dH

dt= 0 . Cu alte cuvinte,

daca t nu figureaza explicit ın H , ın cursul miscarii sistemului va trebui ca :

H(q, p) = const (= h) (10.19)

unde h este o constanta determinata de conditiile initiale. Din acest motiv, (10.19) vareprezenta o integrala prima a sistemului canonic .

Pentru a gasi interpretarea fizica a hamiltonianului , reamintind ca sunt studiatedoar sisteme naturale pentru care L = L2 + L1 + L0 , din definitia (10.10) rezulta ca :

H =n∑

k=1

pk

_qk −

_

L=n∑

k=1

_∂L

∂qk

qk −_

L=n∑

k=1

_∂L2

∂qk

qk +n∑

k=1

_∂L1

∂qk

qk −_

L2 −_

L1 −L0 (10.20)

Aplicand teorema lui Euler pentru functii omogene, ultima expresie devine :

H =_

L2 −L0 (10.21)

10.2. COORDONATELE CICLICE SI FUNCTIA LUI ROUTH 133

Deoarece ın general T = T2 +T1 +T0 , iar fortele aplicate sistemului deriva dintr-un potentialobisnuit V sau un potential generalizat Π = Π1 + V , rezulta ca L2 = T2 , L0 = T0 − V si ınconsecinta :

H =_

T2 −T0 + V (10.22)

Daca ın plus sistemul este scleronom, atunci T = T2 , T0 = 0 si deci :

H =_

T +V (10.23)

In consecinta, ın cazul unui sistem natural si scleronom, functia lui Hamiltonreprezinta energia mecanica totala a sistemului exprimata cu ajutorul variabilelorcanonice .

Daca sistemul este conservativ , adica daca sistemul este natural, olonom. scleronom,pentru care fortele deriva dintr-un potential obisnuit V care nu depinde explicit de timp,atunci energia totala H nu va contine explicit timpul si ın conformitate cu relatia (10.19)rezulta :

_

T +V = h (10.24)

adica integrala energiei . Se remarca ca integrala energiei exista de asemenea daca sistemul

este scleronom, fortele deriva dintr-un potential generalizat Π = Π1 + V si ın plus∂V

∂t= 0 ,

deoarece si ın aceasta situatie functia H va fi data de formula (10.23) si de asemenea ea nuva depinde explicit de timp.

10.2 Coordonatele ciclice si functia lui Routh

Ecuatiile lui Hamilton se dovedesc a fi foarte utile pentru determinarea miscarii, ın specialın cazul sistemelor ce contin coordonate ciclice.

Se observa ca daca o coordonata qα este ciclica, adica daca∂L

∂qα

= 0 , rezulta pα = 0 ,

ceea ce implica conform ecuatiilor lui Hamilton ca∂H

∂qα

= 0 , adica coordonata ciclica nu

figureaza explicit nici ın expresia hamiltonianului . Deci, din punctul de vedere alabsentei coordonatei ciclice, ıntre lagrangeean si hamiltonian exista o similitudine perfecta.Insa din punctul de vedere al determinarii miscarii, ıntre cele doua functii L si H existadeosebiri esentale.

Presupunand ca coordonatele qα ; α = m + 1, . . . , n sunt ciclice, functia lui Lagrange sescrie :

L = L(t, q1, . . . , qm, q1, . . . , qn) (10.25)

ea putand contine toate vitezele si atunci indiferent de prezenta coordonatelor ciclice, vatrebui rezolvata tot o problema cu n grade de libertate.

Daca ınsa miscarea sistemului este descrisa cu ajutorul functiei lui Hamilton, deoareceimpulsurile generalizate corespunzatoare coordonatelor ciclice sunt niste constante pα = bα ;α = m + 1, . . . , n , hamiltonianul se va scrie sub forma generala :

H = H(t, q1, . . . , qm, p1, . . . , pm, bm+1, . . . , bn) (10.26)


In prezenta coordonatelor ciclice sistemul canonic se reduce la primele 2m ecuatii cu 2mnecunoscute (q1, . . . , qm, p1, . . . , pm) :

qj =∂H

∂pj

, pj = − ∂H

∂qj

; j = 1, . . . , m (10.27)

solutia sa generala scriindu-se :

qj = qj(t, a1, . . . , am, b1, . . . , bm, bm+1, . . . , bn)

pj = pj(t, a1, . . . , am, b1, . . . , bm, bm+1, . . . , bn); j = 1, . . . , m (10.28)

unde aj , bj ; j = 1, . . . , m sunt constante de integrare. Coordonatele ciclice ramase nedeter-minate qα ; α = m + 1, . . . , n , rezulta din sistemul canonic avand hamiltonianul :

H = H(t, a1, . . . , am, b1, . . . , bn) (10.29)

Folosind ecuatiile

qα =∂H

∂bα

; α = m + 1, . . . , n (10.30)

prin integrari directe rezulta :

qα =∫ ∂H

∂bα

dt + aα ; α = m + 1, . . . , n (10.31)

Astfel, problema determinarii miscarii este rezolvata ın ıntregime, fiind determinate toatefunctiile qk = qk(t) ; k = 1, . . . , n .

Metoda descrisa pare simpla doar la prima vedere, aplicarea ei fiind de multe ori greoaieatunci cand trebuie rezolvata o problema concreta. In asemenea situatii este preferabilautilizarea metodei lui Routh, care ın esenta reprezinta de asemenea o metoda de trecerede la variabilele (q, q) la variabilele (q, p) , ınsa care este realizata doar pentru o parte dincoordonate.

Presupunem ca miscarea este descrisa ın setul de variabile independente :

(t, q1, . . . , qm, q1, . . . , qm, qm+1, . . . , qn, pm+1, . . . , pn) (10.32)

Pentru a trece de la setul de variabile (q, q) la setul de variabile (10.32), vor trebui determinatemarimile qα ; α = m + 1, . . . , n din sistemul liniar :

pα =∂L

∂qα

; α = m + 1, . . . , n (10.33)

si admitand ca acest lucru este posibil, va rezulta ca :

qα = qα(t, q1, . . . , qn, q1, . . . , qm, pm+1, . . . , pn) ; α = m + 1, . . . , n (10.34)

Folosind transformarea Legendre, se introduce functia lui Routh :

R =n∑

α=m+1

pα

_qα −

_

L (10.35)

10.3. PARANTEZELE POISSON 135

unde se fac ınlocuirile (10.34). Avand ın vedere ca functia lui Routh depinde de setul de va-riabile independente (10.32), ecuatiile de miscare corespunzatoare coordonatelor pentru carenu se face trecerea la impulsurile generalizate vor trebui sa fie de tipul ecuatiilor Lagrange :

d

dt

(∂R

∂qj

)− ∂R

∂qj

= 0 ; j = 1, . . . , m (10.36)

iar restul de ecuatii care furnizeaza miscarea, corespunzand transformarilor (10.34), vor fi detipul ecuatiilor lui Hamilton :

qα =∂R

∂pα

, pα = − ∂R

∂qα

; α = m + 1, . . . , n (10.37)

Au fost astfel deduse ecuatiile lui Routh , care consta din m ecuatii diferentiale deordinul doi, de tip Lagrange si 2 (n−m) ecuatii diferentiale de ordinul ıntai, de tip Hamilton.In primul set de ecuatii, functia R joaca rolul lagrangeeanului, iar ın al doilea set de ecuatii,aceeasi functie joaca rolul hamiltonianului.

Daca coordonatele qα ; α = m + 1, . . . , n sunt ciclice, atunci impulsurile generalizatecorespunzatoare sunt niste constante pα = bα ; α = m + 1, . . . , n care pot fi determinate dinconditiile initiale . Deoarece coordonatele respective nu intervin ın lagrangeean, ele nu vorinterveni explicit nici ın functia lui Routh, care are forma generala :

R = R(t, q1, . . . , qm, q1, . . . , qm, bm+1, . . . , bn) (10.38)

In aceasta situatie, ecuatiile (10.36) pot fi rezolvate facand abstractie de existenta coordo-natelor ciclice, solutia acestora fiind functiile qj = qj(t) ; j = 1, . . . , n . Functiile qα = qα(t) ;

α = m + 1, . . . , n se obtin prin integrarea directa a ecuatiilor qα =∂R

∂bα

; α = m + 1, . . . , n .

Astfel, problema determinarii miscarii sistemului este complet rezolvata.

10.3 Parantezele Poisson

In cele ce urmeaza vor fi discutate mai amanuntit o serie de proprietati ale integralelorprime ale sistemului de ecuatii de miscare ale lui Hamilton. Se stie ca o integrala prima asistemului de 2n ecuatii diferentiale de ordinul ıntai :

qk =∂H

∂pk

, pk = − ∂H

∂qk

; k = 1, . . . , n (10.39)

este o functie f(t, q, p) care se reduce identic, pentru orice t , la o constanta, cand necunos-cutele (q, p) sunt solutii ale ecuatiilor (10.39) :

f(t, q, p) = const . (10.40)

Dupa cum s-a vazut ın paragraful anterior, daca timpul nu intervine explicit ın hamiltonian,atunci H(q, p) este o integrala prima a sistemului canonic. Analog, daca qα este o coordonataciclica, aunci impulsul generalizat corespunzator pα este de asemenea o integrala prima aecuatiilor de miscare.


Este evident ca daca functiile f1, . . . , fl sunt integrale prime ale ecuatiilor de miscare,atunci orice functie F (f1, . . . , fl) va fi de asemenea o integrala prima, ınsa ın cele ce urmeazaprezinta interes doar integralele prime independente , numarul total al acestora fiind 2n .Daca se cunoaste acest sistem de 2n integrale prime independente :

fj(t, q, p) = Cj ; j = 1, . . . , 2n (10.41)

atunci prin rezolvarea acestui sistem algebric ın raport cu necunocutele (q, p) , apare posibi-litatea de a obtine direct ecuatiile de miscare ale sistemului :

qk = qk(t, C1, . . . , C2n)

pk = pk(t, C1, . . . , C2n); k = 1, . . . , n (10.42)

cele 2n constante urmand a fi determinate din conditiile initiale ale problemei. Deoarece esteputin probabila cunoasterea tuturor celor 2n integrale prime independente ale sistemuluicanonic, obiectivul celor ce urmeaza consta ın determinarea numarului maxim de astfel deintegrale prime independente ale ecuatiilor de miscare.

Metoda care permite determinarea integralelor prime ale ecuatiilor de miscare este da-torata lui Poisson si Jacobi . Cunoscand ca f(t, q, p) este o integrala prima pe solutiasistemului canonic, ınseamna ca :

df

dt=

∂f

∂t+

n∑

k=1

(∂f

∂qk

qk +∂f

∂pk

pk

)=

∂f

∂t+

n∑

k=1

(∂f

∂qk

∂H

∂pk

− ∂f

∂pk

∂H

∂qk

)= 0 (10.43)

Cu notatia :

[ ϕ, ψ ] =n∑

k=1

(∂ϕ

∂qk

∂ψ

∂pk

− ∂ϕ

∂pk

∂ψ

∂qk

)(10.44)

care reprezinta paranteza Poisson construita pe doua functii arbitrare ϕ(t, q, p) si ψ(t, q, p) ,conditia necesara si suficienta pentru ca functia f(t, q, p) sa fie o integrala primaa sistemului canonic se scrie :

∂f

∂t+ [ f,H ] = 0 (10.45)

Parantezele Poisson satisfac la unele identitati remarcabile, fapt ce le confera o maresuplete ın calcule. In cele ce urmeaza amintim doar cateva dintre acestea, ele putand fiverificate direct cu ajutorul definitiei (10.44) :

[ ϕ, ϕ ] = 0

[ ϕ, ψ ] = − [ ψ, ϕ ]

[ ϕ, c ] = 0 ; c = const .

[ cϕ, ψ ] = c [ ϕ, ψ ] ; c = const .

[ ϕ + ψ, χ ] = [ ϕ, χ ] + [ ψ, χ ]

[ ϕψ, χ ] = ϕ [ ψ, χ ] + ψ [ ϕ, χ ]

∂

∂t[ ϕ, ψ ] =

[∂ϕ

∂t, ψ

]+

[ϕ,

∂ψ

∂t

]

(10.46)

10.3. PARANTEZELE POISSON 137

Pe langa aceste identitati, o importanta deosebita ın calcule o prezinta identitatea luiPoisson :

[ ϕ, [ ψ, χ ] ] + [ ψ, [ χ, ϕ ] ] + [ χ, [ ϕ, ψ ] ] = 0 (10.47)

care poate fi scrisa ın patru variante distincte, ın functie de pozitia parantezei Poisson inte-rioare si a sensului ın care se fac permutarile circulare.

Observand ca pentru coordonatele canonice sunt adevarate proprietatile :

∂qj

∂qk

= δjk ,∂pj

∂pk

= δjk ,∂qj

∂pk

= 0 ; j, k = 1, . . . , n (10.48)

pornind tot de la definitia (10.44) pot fi verificate usor relatiile :

[ qj, ψ ] =∂ψ

∂pj

, [ pj, ψ ] = − ∂ψ

∂qj

; j = 1, . . . , n (10.49)

Daca ψ ≡ H , atunci din (10.49) rezulta ecuatiile lui Hamilton scrise cu ajutorulparantezelor Poisson :

[ qj, H ] = qj , [ pj, H ] = pj ; j = 1, . . . , n (10.50)

remarcandu-se simetria acestora. Identificand succesiv ın (10.49) functia ψ cu qk , respectivcu pk , se obtin parantezele fundamentale ale lui Poisson :

[ qj, qk ] = 0 , [ pj, pk ] = 0 , [ qj, pk ] = δjk ; j, k = 1, . . . , n (10.51)

Orice set de coordonate canonice va trebui sa satisfaca aceste identitati.Pe baza acestor proprietati pot fi enuntate urmatoarele doua teoreme, care permit con-

struirea unor integrale prime, pornind de la una, sau cateva integrale prime cunoscute.Teorema 1. Daca functia lui Hamilton H nu depinde explicit de timp si daca functia

f(t, q, p) este o integrala prima a sistemului canonic, atunci si derivatele partiale succesive∂f

∂t,∂2f

∂t2, . . . vor fi tot integrale prime ale sistemului canonic.

Pentru a demonstra teorema, se aplica operatorul∂

∂tconditiei (10.45) si se foloseste

ultima identitate din (10.46). Rezulta :

∂

∂t

(∂f

∂t

)+

∂

∂t[ f, H ] =

∂

∂t

(∂f

∂t

)+

[∂f

∂t,H

]+

[f,

∂H

∂t

]=

∂

∂t

(∂f

∂t

)+

[∂f

∂t,H

](10.52)

deoarece∂H

∂t= 0 . Rezultatul arata ca

∂f

∂teste tot o integrala prima a miscarii. Procedeul

poate fi repetat ori de cate ori este necesar.Teorema 2 (Jacobi-Poisson). Daca f1(t, q, p) si f2(t, q, p) sunt doua integrale prime ale

sistemului canonic, atunci si paranteza Poisson [ f1, f2 ] este tot o integrala prima a aceluiasisistem.

Intr-adevar, deoarece :

∂f1

∂t+ [ f1, H ] = 0 si

∂f2

∂t+ [ f2, H ] = 0 (10.53)


atunci :

∂

∂t[ f1, f2 ] =

[∂f1

∂t, f2

]+

[f1,

∂f2

∂t

]= − [ [ f1, H ], f2 ]−[ f1, [ f2, H ] ] = [ H, [ f1, f2 ] ] (10.54)

unde s-au folosit proprietatile (10.46) si identitatea lui Poisson (10.47). Din ultima egalitaterezulta :

∂

∂t[ f1, f2 ] + [ [ f1, f2 ], H ] = 0 (10.55)

si atunci [ f1, f2 ] este o integrala prima a ecuatiilor de miscare.Teorema Jacobi-Poisson furnizeaza o metoda foarte simpla de a construi integrale prime

ale ecuatiilor de miscare, pornind de la doua integrale prime date f1 si f2 . Odata construitaintegrala prima [ f1, f2 ] , poate fi construita si integrala prima [ f1, [ f1, f2 ] ] , etc. Deoareceprocedeul poate fi continuat de o infinitate de ori, iar numarul de integrale prime indepen-dente este 2n , noua integrala prima astfel construita poate sa se dovedeasca a fi fie identicnula, fie o functie de integralele prime deja cunoscute. Observatia ramane valabila si pen-tru sirul de integrale prime construite prin metoda indicata de prima teorema. Acesta estemotivul pentru care este foarte putin probabil, ca prin aplicarea simultana sau succesivaa celor doua teoreme mentionate, sa poata fi construit sirul complet de 2n integrale primeindependente.

Capitolul 11

Principiile variationale ale mecanicii

11.1 Principiul lui Hamilton

Se studiaza un sistem olonom, natural, a carui pozitie ın Λn este specificata cu setul decoordonate independente q1, . . . , qn , avand lagrangeeanul L(t, q, q) . Prin definitie, integrala :

S =

t1∫

t0

L(t, q, q) dt (11.1)

este numita actiune ın sensul lui Hamilton pe intervalul de timp (t0, t1) , iar expresiaL dt va fi numita actiune elementara . Pentru a calcula actiunea S, vor trebui cunoscutefunctiile qk = qk(t) ; k = 1, . . . , n ın intervalul de timp t0 ≤ t ≤ t1 . Acesta ınseamna ca Seste o functionala dependenta de miscarea sistemului.

Fiind date legaturile ın cadrul carora este constrans sa se miste sistemul, un ansambluoarecare de functii qk(t) ; k = 1, . . . , n pentru care legaturile sunt automat satisfacute, va de-scrie o miscare cinematic posibila a sistemului. Intr-un spatiu (n+1)-dimensional (t, q) ,

Figura 11.1: Traiectorii corespunzatoare unor miscari cinematic posibile ın Λn+1

numit spatiu extins al configuratiilor si notat cu Λn+1 , miscarii respective ıi corespundeo anumita curba. In cele ce urmeaza, vor fi luate ın considerare toate miscarile cinema-tic posibile, prin intermediul carora sistemul poate trece dintr-o stare initiala M0(t0, q

0)

139

140 CAPITOLUL 11. PRINCIPIILE VARIATIONALE ALE MECANICII

ıntr-o stare finala M1(t1, q1) . In spatiul considerat, acestor miscari le vor corespunde niste

curbe, care trec prin cele doua puncte date M0 si M1 (v. Fig. 11.1). Este evident ca prin-tre curbele corespunzatoare miscarilor cinematic posibile, va trebui sa se gaseasca si curbacorespunzatoare miscarii reale , adica curba ın lungul careia sistemul evolueaza ın confor-mitate cu potentialul cinetic dat L(t, q, q) , care este determinat de forma campului de fortece actioneaza asupra sistemului. Pe curba corespunzatoare miscarii reale (curba plina dinFig. 11.1), functiile qk(t) ; k = 1, . . . , n vor trebui sa satisfaca la ecuatiile lui Lagrange :

d

dt

(∂L

∂qk

)− ∂L

∂qk

= 0 ; k = 1, . . . , n (11.2)

Principiul lui Hamilton afirma ca dintre toate miscarile posibile (compatibilecu legaturile) ale unui sistem olonom, miscari care pornesc toate din aceeasipozitie (q0) la acelasi moment t0 si ajung toate ın aceeasi pozitie (q1) la acelasimoment t1 , miscarea reala este aceea si numai aceea, care corespunde curbei pecare functionala S admite un extremum (este stationara) .

Pentru a ne convinge de aceasta, sa consideram ın Λn+1 o familie uniparametrica arbitrarade curbe :

qk = qk(t, α) ,t0 ≤ t ≤ t1

− γ ≤ α ≤ γ; k = 1, . . . , n (11.3)

care pentru α = 0 contine curba corespunzatoare miscarii reale. Impunem conditia ca acestecurbe sa aiba aceeasi origine si acelasi punct final, indiferent de valoarea parametrului α :

qk(t0, α) = q0k

qk(t1, α) = q1k

, − γ ≤ α ≤ γ ; k = 1, . . . , n (11.4)

Intrucat curbele apartinand familiei considerate difera doar prin valoarea parametrului α ,ınseamna ca ele pot fi obtinute una din alta prin intermediul unui sir de deplasarivirtuale . Intr-adevar, sa consideram doua curbe ınvecinate, caracterizate de parametrii α siα + δα (v. Fig. 11.2) si care corespund la doua miscari cinematic posibile. Pentru o valoarearbitrara a timpului t cuprinsa ın intervalul t0 ≤ t ≤ t1 , starii sistemului care evolueaza pecurba de parametru α ıi va corespunde un punct figurativ M(t, q) = M(t, q(t, α)) , iar stariisistemului care evolueaza pe curba de parametru α + δα ıi va corespunde punctul figurativM ′(t, q′) = M ′(t, q(t, α + δα)) . Deoarece :

qk(t, α + δα) ' qk(t, α) +

[∂qk(t, α)

∂α

]

tδα ; k = 1, . . . , n (11.5)

rezulta ca la momentul t , sistemul poate fi adus direct din starea posibila M ın stareaposibila ınvecinata M ′ , efectuand o deplasare infinitezimala instantanee :

(δqk)t =

[∂qk(t, α)

∂α

]

tδα ; k = 1, . . . , n (11.6)

In consecinta, admitand la fiecare moment un ansamblu de astfel de variatii, care nu re-prezinta altceva decat niste deplasari virtuale ale sistemului, se pot obtine toate punctele

11.1. PRINCIPIUL LUI HAMILTON 141

Figura 11.2: Doua traiectorii ınvecinate ın Λn+1

curbei de parametru α+ δα din punctele corespunzatoare de pe curba de parametru α , pro-cedeul putand fi continuat pentru a obtine ıntreaga familie de curbe considerate. Evident,deplasarea punctului figurativ corespunzator unei stari posibile a sistemului pe fiecare dinaceste curbe, se face sincron . Regula (11.6) ısi pastreaza valabilitatea pentru orice functiede (t, q) . Deoarece ın acest paragraf variatiile elementare δ... ale unor marimi, atunci candse trece de pe o curba de parametru α pe o curba ınvecinata de parametru α + δα , se cal-culeaza ıntotdeauna ın conditiile ın care timpul t este mentinut constant, se va renunta laspecificarea explicita (δ...)t .

Actiunea S , calculata ın lungul unei curbe apartinand familiei considerate, va fi functiede parametrul α :

S(α) =

t1∫

t0

L[ t, q(t, α), q(t, α) ] dt (11.7)

Variatia lui S , cand se trece de pe curba de parametru α pe curba parametru α + δα , seevalueaza calculand diferentiala totala a expresiei (11.7) si aplicand regula descrisa anterior :

δS = S ′δα =

t1∫

t0

δL dt =

t1∫

t0

n∑

k=1

(∂L

∂qk

δqk +∂L

∂qk

δqk

)dt (11.8)

Variatiile fiind calculate ın conditiile ın care timpul t este fixat, operatorul δ comuta cu

operatorul de derivare dupa timp : δd

dt=

d

dtδ . Intr-adevar :

δqk = δd

dtqk(t, α) =

∂

∂α

[d

dtqk(t, α)

]

tδα =

d

dt

[∂

∂αqk(t, α)

]

tδα

=

d

dtδqk (11.9)

Folosind aceasta proprietate, ın urma integrarii prin parti, (11.8) devine :

δS =n∑

k=1

∂L

∂qk

δqk

∣∣∣∣∣t1

t0

+

t1∫

t0

n∑

k=1

[∂L

∂qk

− d

dt

(∂L

∂qk

) ]δqk dt (11.10)


Fiind variatii cu capete fixe, din (11.4) rezulta (δqk)t0 = (δqk)t1 = 0 ; k = 1, . . . , n si primulfactor din (11.10) este nul. In consecinta :

δS =

t1∫

t0

n∑

k=1

[∂L

∂qk

− d

dt

(∂L

∂qk

) ]δqk dt (11.11)

Deoarece pe curba α = 0 corespunzatoare miscarii reale, expresiile de sub integrala suntidentic nule, din (11.11) rezulta conditia necesara pentru ca actiunea S sa admita unextrem pe curba qk = qk(t, α = 0) ; k = 1, . . . , n din Λn+1 :

δS = 0 ; α = 0 (11.12)

indiferent de sistemul de deplasari δqk ; k = 1, . . . , n . Similar ca ın analiza, conditia su-ficienta de extremum va fi furnizata de semnul variatiei de ordinul doi. Daca δ2S > 0actiunea va fi minima pe curba corespunzatoare miscarii reale, iar daca δ2S < 0 , actiuneava fi maxima pe aceeasi curba. In marea majoritate a problemelor de miscare, actiunea esteminima. Expresia (11.12) reprezinta forma matematica a principiului lui Hamilton enuntatanterior.

Afirmatia inversa este de asemenea adevarata : daca pe o anumita curba din Λn+1

se stie ca δS = 0 , atunci curba respectiva corespunde miscarii reale a sistemului .Intr-adevar, deoarece ansamblul de variatii δqk ; k = 1, . . . , n este arbitrar, unica limitarefiind ca acestea sunt nule la capete, din conditia δS = 0 si expresia (11.11) rezulta ecuatiileLagrange (11.2) la care satisfac functiile qk ; k = 1, . . . , n care descriu miscarea reala.

Intrucat din principiul lui Hamilton rezulta ecuatiile Lagrange si invers, acest principiupoate fi asezat la baza dinamicii sistemelor olonome. Miscarea reala a sistemului cores-punzatiare functiei date L , poate fi caracterizata atat cu ajutorul ecuatiilor diferentiale demiscare ale lui Lagrange, cat si cu ajutorul principiului variational al lui Hamilton, ınsaıntre cele doua moduri de abordare ale problemei exista o diferenta esentiala. In timp ceprincipiul lui Hamilton are marea calitate ca ne arata ca miscarea sistemului laun moment dat este determinata de miscarea sa pe un interval finit de timp,principiile diferentiale fac sa intervina ın determinarea miscarii la un momentdat, numai miscarea din vecinatatea imediata a acestuia . Din acest motiv, o serie decapitole moderne, neclasice, ale mecanicii si nu numai ale mecanicii, ısi gasesc fundamentareanu ıntr-un principiul diferential, ci ıntr-un principiu variational (integral).

Sa mai observam ca demonstratia principiului lui Hamilton se bazeaza pe utilizareaecuatiilor Lagrange, care la randul lor au fost deduse pornindu-se de la ecuatia generalaa dinamicii. Se poate arata usor ca ecuatia fundamentala a dinamicii conduce ınmod necesar la principiul lui Hamilton, ecuatiile lui Lagrange fiind apoi deduseulterior din principiul astfel obtinut .

11.2 Forma canonica a principiului lui Hamilton

Dupa cum s-a aratat, conform principiului lui Hamilton, miscarea unui sistem meca-

nic ıntre doua momente date t0 si t1 se face pe curba pe care functionala S =

t1∫

t0

L dt este

11.2. FORMA CANONICA A PRINCIPIULUI LUI HAMILTON 143

stationara. Aceasta constituie o proprietate intrinseca a miscarii care poate fi explicitata ınorice sistem de coordonate, deci si ın sistemul de coordonate canonice qk, pk ; k = 1, . . . , n .Pentru a gasi si ın acest caz forma matematica a principiului, vom considera un spatiu(2n + 1)-dimensional de coordonate (t, q, p) . Miscarii reale a sistemului ın intervalul finit

Figura 11.3: Traiectorii corespunzatoare unor miscari cinematic posibile ın Λ2n+1

de timp t0 ≤ t ≤ t1 ıi va corespunde ın acest spatiu o curba cu extremitatile ın puncteleM0(t0, q

0, p0) si M1(t1, q1, p1) . Prin aceleasi puncte vor trece si curbele corespunzatoare ce-

lorlalte miscari cinematic posibile (v. Fig. 11.3). Pe curba corespunzatoare miscarii reale,functiile qk(t), pk(t) ; k = 1, . . . , n vor satisface la ecuatiile lui Hamilton :

qk =∂H

∂pk

, pk = − ∂H

∂qk

; k = 1, . . . , n (11.13)

Ecuatiile lui Hamilton pot fi scrise ın forma lagrangeeana, daca se introduce functia de(4n + 1) variabile independente avand expresia :

L∗(t, q, p, q, p) =n∑

k=1

pkqk −H(t, q, p) (11.14)

In aceasta situatie, ecuatiile (11.13) vor fi echivalente cu :

d

dt

(∂L∗

∂qk

)− ∂L∗

∂qk

= 0 ,d

dt

(∂L∗

∂pk

)− ∂L∗

∂pk

= 0 ; k = 1, . . . , n (11.15)

Caracterizand curba corespunzatoare miscarii reale ın spatiul (2n + 1)-dimensional cu aju-torul ecuatiilor (11.15), problema a fost adusa la o forma analoaga cu cea prezentata ınparagraful precedent. Rationand identic, va rezulta ca pe curba corespunzatoare miscarii

reale qk = qk(t, α = 0), pk = pk(t, α = 0) ; k = 1, . . . , n din Λ2n+1 , functionala

t1∫

t0

L∗dt este

stationara, adica :

δ

t1∫

t0

L∗dt = δ

t1∫

t0

(n∑

k=1

pkqk −H

)dt = 0 ; α = 0 (11.16)

Aceasta este expresia matematica a formei canonice a principiului lui Hamilton .Reciproca este de asemenea adevarata.


11.3 Invariantul integral fundamental Poincare-Cartan

In §11.1 a fost calculata variatia actiunii δS corespunzatoare trecerii de pe o curba co-respunzatoare unei miscari posibile a sistemului, pe o curba ınvecinata, ambele curbe avandaceeasi origine M0(t0, q

0) si acelasi punct final M1(t1, q1) ın spatiul (n+1)-dimensional (t, q) .

In aceste conditii, deplasarea unui punct M corespunzator unei stari posibile a sistemului pefiecare din aceste curbe, se facea sincron.

In cele ce urmeaza va fi calculata variatia actiunii δS ın cazul general ın care originile sipunctele finale ale curbelor nu mai sunt fixate, ele fiind functii de valoarea parametrului α :

q0k = q0

k(α) , t0 = t0(α)

q1k = q1

k(α) , t1 = t1(α); k = 1, . . . , n (11.17)

In acest caz miscarea punctului corespunzator unei stari a sistemului pe curba caracterizatade parametrul α , nu se mai face sincron cu miscarea punctului corespunzator pe curbacaracterizata de parametrul α + δα . Punctului M(t, q) ıi va corespunde ın aceasta situatiepunctul M ′(t+δt, q+δq) (v. Fig. 11.4), ceea ce ınseamna ca la trecerea pe o curba ınvecinatase vor modifica nu numai coordonatele qk ; k = 1, . . . , n , ci si timpul t , motiv pentru care vatrebui considerat si timpul t ca functie de parametrul α . Variatia unei coordonate qk[ t(α), α ]va fi definita nu numai de dependenta ei explicita de α , ci si de dependenta implicita, realizataprin intermediul timpului t :

δqk = q tk δt +

[∂qk(t, α)

∂α

]

tδα = q t

k δt + (δqk)t ; k = 1, . . . , n (11.18)

unde (δqk)t reprezinta variatia calculata ın conditiile din §11.1 cand t = const . Variatiaoricarei alte functii de variabilele (t, q) va fi calculata cu aceeasi regula (11.18).

Figura 11.4: Doua traiectorii ınvecinate ın Λn+1 avand capetele functii de valoarea lui α

Pentru a putea calcula variatia actiunii

S(α) =

t1(α)∫

t0(α)

L[ t, q(t, α), q(t, α) ] dt (11.19)

11.3. INVARIANTUL INTEGRAL FUNDAMENTAL POINCARE-CARTAN 145

la o variatie infinitezimala a parametrului α , limitele de integrare fiind de asemenea functiide acelasi parametru, va fi folosita regula enuntata anterior. Notand primitiva functiei L cuI(t) , rezulta :

δS = δ

t1(α)∫

t0(α)

L dt = δI(t1)− δI(t0) = I(t1) δt1 − I(t0) δt0 + (δI)t1 − (δI)t0 (11.20)

adica :

δS = L1δt1−L0δt0 + δ

t1∫

t0

L dt = L1δt1−L0δt0 +

t1∫

t0

n∑

k=1

[∂L

∂qk

(δqk)t +∂L

∂qk

(δqk)t

]dt (11.21)

unde variatia integralei a fost evaluata ın conditiile din §11.1 cand timpul t este fixat, iar L1

si L0 reprezinta valorile functiei L la momentele t1 , respectiv t0 :

L1 = L[ t1, q(t1, α), q(t1, α) ] ; L0 = L[ t0, q(t0, α), q(t0, α) ] (11.22)

Integrand prin parti ultimul termen din (11.21), se obtine :

δS = L1δt1+n∑

k=1

p 1k (δqk)1−L0δt0−

n∑

k=1

p 0k (δqk)0+

t1∫

t0

n∑

k=1

[∂L

∂qk

− d

dt

(∂L

∂qk

) ](δqk)t dt (11.23)

unde pk =∂L

∂qk

; k = 1, . . . , n sunt impulsurile generalizate. Deoarece conform (11.18), vari-

atiile coordonatelor capetelor au expresiile :

δq 1k = q 1

k δt1 + (δqk)1 , δq 0k = q 0

k δt0 + (δqk)0 ; k = 1, . . . , n (11.24)

prin ınlocuirea acestora ın (11.23) si gruparea termenilor, rezulta ın continuare :

δS =

[n∑

k=1

p 1k δq 1

k −(

n∑

k=1

p 1k q 1

k − L1

)δt1

]−

[n∑

k=1

p 0k δq 0

k −(

n∑

k=1

p 0k q 0

k − L0

)δt0

]+

+

t1∫

t0

n∑

k=1

[∂L

∂qk

− d

dt

(∂L

∂qk

) ](δqk)t dt (11.25)

Folosind notatia :

H =n∑

k=1

pkqk − L (11.26)

variatia actiunii cand capetele nu sunt fixe, poate fi scrisa sub forma compacta :

δS =

[n∑

k=1

pk δqk −H δt

]1

0

+

t1∫

t0

n∑

k=1

[∂L

∂qk

− d

dt

(∂L

∂qk

) ](δqk)t dt (11.27)

In particular, cand indiferent de valoarea parametrului α , curbele corespunzatoare de-scriu miscari reale ale sistemului, adica cand qk = qk(t, α) ; k = 1, . . . , n reprezinta o familie


uniparametrica de curbe corespunzatoare unor miscari reale, ultima integrala din (11.27)este nula pentru orice α si variatia actiunii capata forma simpla :

δS =

[n∑

k=1

pk δqk −H δt

]1

0

(11.28)

Rezultatul avand un caracter intrinsec, este de preferat ca ın cele ce urmeaza, ın loculspatiului Λn+1 de coordonate (t, q) , sa fie considerat spatiul Λ2n+1 de coordonate (t, q, p) . Inaceasta situatie, functia H din (11.28) definita cu (11.26), va reprezenta chiar hamiltonianulsistemului.

Figura 11.5: Un tub de curbe corespunzatoare unor miscari reale ın Λ2n+1

In acest spatiu se considera un contur ınchis C0 avand ecuatiile :

qk = q0k(α)

pk = p0k(α)

t = t0(α)

, 0 ≤ α ≤ l ; k = 1, . . . , n (11.29)

unde pentru α = 0 si α = l se obtine acelasi punct al curbei C0 (v. Fig. 11.5). Presupunandca fiecare punct al curbei C0 corespunde unei stari initiale posibile a sistemului, din fiecareastfel de punct va porni o singura curba corespunzatoare unei miscari reale, pe curbarespectiva punctul reprezentativ evoluand ın conformitate cu ecuatiile lui Hamilton. Rezultaastfel un tub de curbe corespunzatoare unor miscari reale. Ecuatiile parametrice ale curbeicare porneste din starea corespunzatoare unei anumite valori α vor fi :

qk = qk(t, α)

pk = pk(t, α); k = 1, . . . , n (11.30)

si conform ipotezei facute :

qk(t, 0) = qk(t, l)

pk(t, 0) = pk(t, l); k = 1, . . . , n (11.31)

Pe acest tub se poate considera un alt contur ınchis C1 , care are cu fiecare din generatoa-rele tubului (cu fiecare curba corespunzatoare unei miscari reale), un singur punct comun.

11.3. INVARIANTUL INTEGRAL FUNDAMENTAL POINCARE-CARTAN 147

Aceasta ınseamna ca unei anumite valori α ıi corespunde un singur punct al conturului C1 ,cu exceptia valorilor α = 0 si α = l la care corespunde acelasi punct pe C1 . Ecuatiile acestuicontur vor fi :

qk = q1k(α)

pk = p1k(α)

t = t1(α)

, 0 ≤ α ≤ l ; k = 1, . . . , n (11.32)

Actiunea S , calculata ın lungul unei generatoare caracterizata prin parametrul α vatrebui sa fie functie de acest parametru :

S(α) =

t2(α)∫

t1(α)

L dt (11.33)

Pentru orice valoare a acestui parametru, variatia actiunii la o variatie infinitezimala a lui αva avea expresia (11.28) :

δS = S ′(α) δα =

[n∑

k=1

pk δqk −H δt

]1

0

(11.34)

Integrand (11.34) ın raport cu α, de la α = 0 la α = l , rezulta :

l∫

0

δS = S(l)− S(0) =

l∫

0

[n∑

k=1

pk δqk −H δt

]1

0

=

=

l∫

0

[n∑

k=1

p 1k δq 1

k −H1 δt1

]−

l∫

0

[n∑

k=1

p 0k δq 0

k −H0 δt0

]=

=∮

C1

[n∑

k=1

pk δqk −H δt

]−

∮

C0

[n∑

k=1

pk δqk −H δt

]= 0 (11.35)

adica : ∮

C0

[n∑

k=1

pk δqk −H δt

]=

∮

C1

[n∑

k=1

pk δqk −H δt

](11.36)

In consecinta, integrala curbilinie :

I =∮

C

[n∑

k=1

pk δqk −H δt

](11.37)

calculata pe un contur ınchis arbitrar care ınconjoara tubul de curbe, nu se modifica ıncursul unei deplasari arbitrare (cu deformatie) a conturului, ın lungul tubului de curbecorespunzatoare unor miscari reale. Din acest motiv I este un invariant integral , cunoscutsi sub numele de invariantul integral Poincare-Cartan .

Poate fi demonstrata relativ usor si afirmatia reciproca , anume ca daca miscarea realaa sistemului este definita univoc de sistemul de ecuatii diferentiale :

qk = Fk(t, q, p) , pk = Gk(t, q, p) ; k = 1, . . . , n (11.38)


si daca integrala I este un invariant integral ın raport cu curbele corespunzatoare unormiscari reale definite de ecuatiile (11.38), atunci :

Fk(t, q, p) =∂H

∂pk

, Gk(t, q, p) = − ∂H

∂qk

; k = 1, . . . , n (11.39)

unde functia H este cea care intervine ın expresia (11.37) a lui I . Cu alte cuvinte, daca Ieste un invariant integral al sistemului (11.38), atunci acesta are forma canonica .

In concluzie, invarianta integralei Poincare-Cartan constituie o conditie necesara si su-ficienta pentru ca miscarea sistemului mecanic sa fie descrisa de ecuatiile canonice ale luiHamilton. Din acest motiv, invariantul I poate fi pus la baza mecanicii, el fiind numit siinvariantul fundamental al mecanicii .

11.4 Invariantul integral universal Poincare

Sa presupunem ca conturul C din spatiul (2n+1)-dimensional pe care se calculeaza inte-grala Poincare-Cartan (11.37), este definit de o multime de stari simultane ale sistemuluimecanic. Un astfel de contur rezulta daca tubul de curbe corespunzatoare unor miscari realeeste intesectat de un hiperplan t = const . (v. Fig. 11.6). Evident, pe un astfel de contur vatrebui ca δt = 0 , invariantul fundamental (11.37) capatand forma :

I1 =∮ n∑

k=1

pk δqk (11.40)

Figura 11.6: Contururi de stari simultane pe un tub de curbe care descriu miscari reale

Integrala (11.40), cunoscuta si sub numele de integrala lui Poincare , nu ısi va modi-fica valoarea ın cursul unei deplasari (cu deformatie) a conturului ın lungul tubului, unicarestrictie fiind aceea ca ın urma deplasarii, noul contur C ′ va consta dintr-o alta multime destari simultane, la un alt moment t′ .

Dupa cum se observa, ın expresia lui I1 nu intervine expresia hamiltonianului H . Acestaınseamna ca invariantul Poincare I1 nu depinde de sistemul material concret, ci

11.4. INVARIANTUL INTEGRAL UNIVERSAL POINCARE 149

numai de forma canonica a ecuatiilor de miscare . Din acest motiv I1 este cunoscutsi sub numele de invariantul integral universal al lui Poincare .

Teorema lui Lee Hwa-Chung (1947) afirma ca orice alt invariant integral universal,avand forma generala :

I ′ =∮ n∑

k=1

[ Ak(t, q, p) δqk + Bk(t, q, p) δpk ] (11.41)

difera de invariantul integral universal al lui Poincare doar printr-o constanta :

I ′ = c I1 (c = const .) (11.42)

Capitolul 12

Transformari canonice. MetodaHamilton-Jacobi

12.1 Ecuatiile transformarilor canonice

Dupa cum s-a observat, existenta variabilelor ciclice simplifica considerabil problemadeterminarii miscarii unui sistem mecanic. Daca ın particular toate coordonatele generalizateqk ; k = 1, . . . , n ar fi ciclice, atunci toate impulsurile generalizate corespunzatoare ar fi nisteconstante pk = bk ; k = 1, . . . , n , integrarea sistemului canonic reducandu-se la calculul unorintegrale de forma :

qk =∫ ∂H

∂bk

dt + ak ; k = 1, . . . , n (12.1)

unde H = H(t, b1, . . . , bn) este hamiltonianul sistemului, iar ak ; k = 1, . . . , n sunt constantede integrare care pot fi determinate din conditiile initiale.

Problema pusa ın acest mod nu prezinta un avantaj practic deosebit, deoarece este putinprobabil ca toate coordonatele generalizate ale unui sistem mecanic sa fie ciclice. Deoareceınsa setul de coordonate generalizate cu ajutorul caruia este descrisa miscarea sistemuluinu este determinat ın mod univoc, are sens sa se puna problema elaborarii unui procedeugeneral care sa permita trecerea de la un sistem de coordonate la altul, care sa fie maiconvenabil pentru determinarea miscarii. De exemplu, problema determinarii miscarii ıncamp central folosind coordonate carteziene x, y duce la complicatii matematice deosebite,ın schimb rezolvarea aceleiasi probleme ın coordonate polare r, θ se face destul de usor,deoarece ın acest caz coordonata θ este ciclica. Daca ın particular, ın urma transformarii,noile coordonate sunt toate ciclice, rezolvarea ın continuare a problemei va deveni banala.

In spatiul configuratiilor Λn al lui Lagrange, o astfel de transformare este definita desistemul de ecuatii :

Qk = Qk(t, q) , det

(∂Qk

∂qj

)6= 0 ; k, j = 1, . . . , n (12.2)

si dupa cum se stie, la o astfel de transformare ecuatiile Lagrange ısi pastreaza forma. Trans-formarile definite de ecuatiile (12.2) poarta numele de transformari punctuale , deoareceansamblul de coordonate (Q) si ansamblul de coordonate (q) definesc acelasi punct ın Λn .

150

12.1. ECUATIILE TRANSFORMARILOR CANONICE 151

In spatiul fazelor Λ2n , pe langa cele n coordonate generalizate, fiind considerate ca varia-bile independente si cele n impulsuri generalizate, conceptul de transformare a coordonatelorva trebui sa fie extins, asa ıncat acesta sa includa transformarea simultana atat a coordona-telor generalizate qk ; k = 1, . . . , n , cat si a impulsurilor generalizate pk ; k = 1, . . . , n .

Transformarea simultana a coordonatelor si impulsurilor generalizate, definitade ecuatiile :

Qk = Qk(t, q, p)

Pk = Pk(t, q, p); k = 1, . . . , n ,

∂(Q, P )

∂(q, p)6= 0 (12.3)

va fi numita canonica, daca ın urma ei un sistem canonic caracterizat de hamil-tonianul H = H(t, q, p) :

qk =∂H

∂pk

, pk = − ∂H

∂qk

; k = 1, . . . , n (12.4)

se transforma tot ıntr-un sistem canonic :

Qk =∂K

∂Pk

, Pk = − ∂K

∂Qk

; k = 1, . . . , n (12.5)

unde K = K(t, Q, P ) este o functie de noile variabile, care acum joaca rolul dehamiltonian.

Aplicand aceasta metoda, este posibil sa se treaca de la sisteme canonice complicate, lasisteme canonice mult mai simple. Daca ın particular, ın urma unei astfel de transformari,noul hamiltonian este identic nul (K = 0) , atunci Qk = Ak , Pk = Bk ; k = 1, . . . , n sifunctiile (12.3) vor fi integrale prime ale sistemului canonic.

Figura 12.1: O tansformare canonica a spatiului extins al fazelor Λ2n+1

Pentru a gasi conditiile ın care transformarea (12.3) este canonica, se considera douaspatii (2n + 1)-dimensionale, definite de coordonatele (t, q, p) si (t, Q, P ) , unul trecand ıncelalalt ın urma transformarii (12.3). Se considera de asemenea doua tuburi de curbe cores-punzatoare unor miscari reale, pe care sunt ındeplinite ecuatiile (12.4) si (12.5). In urmatransformarii (12.3), un contur ınchis arbitrar C trece ın conturul ınchis C (v. Fig. 12.1) si

152 CAPITOLUL 12. TRANSFORMARI CANONICE. METODA HAMILTON-JACOBI

invers. Intersectiile celor doua tuburi cu unul si acelasi hiperplan t = const . , vor reprezentade asemenea doua contururi ınchise C0 si C0 , care trec unul ın celalalt prin intermediultransformarii (12.3). Din invarianta integralei Poincare-Cartan rezulta :

∮

C

[n∑

k=1

pk δqk −H δt

]=

∮

C0

[n∑

k=1

pk δqk

](12.6)

∮

C

[n∑

k=1

Pk δQk −K δt

]=

∮

C0

[n∑

k=1

Pk δQk

](12.7)

Folosind succesiv transformarea (12.3) si teorema Lee Hwa-Chung, ultima integrala din (12.7)se poate scrie sub forma :

∮

C0

[n∑

k=1

Pk δQk

]=

∮

C0

n∑

k=1

[ Ak(t, q, p) δqk + Bk(t, q, p) δpk ] = c∮

C0

[n∑

k=1

pk δqk

](c = const .)

(12.8)Tinand cont de (12.6), pentru membrul stang din (12.7) va rezulta expresia :

∮

C

[n∑

k=1

Pk δQk −K δt

]= c

∮

C

[n∑

k=1

pk δqk −H δt

](12.9)

Folosind din nou transformarea (12.3), coordonatele (Q,P ) pot fi exprimate prin coordo-natele (q, p), iar conturul C va trece ın conturul C . In aceasta situatie, identitatea (12.9)devine : ∮

C

[n∑

k=1

Pk δQk −K δt

]− c

[n∑

k=1

pk δqk −H δt

]= 0 (12.10)

Deoarece conturul C este ales arbitrar, va trebui ca expresia de sub integrala sa fie diferentialatotala exacta a unei functii oarecare, care va fi notata cu −S(t, q, p) :

n∑

k=1

Pk δQk −K δt = c

(n∑

k=1

pk δqk −H δt

)− δS (12.11)

Constanta c va trebui sa fie obligator diferita de zero : c 6= 0 , deoarece expresia din membrulstang al identitatii (12.11) nu este ın general o diferentiala totala exacta si deci nu poatefi identificata cu − δS . Functia S poarta numele de functie generatoare a transformariicanonice (12.3), iar constanta c 6= 0 reprezinta valenta transformarii respective. O transfor-mare canonica pentru care c = 1 poarta numele de transformare canonica univalenta .

In concluzie, conditia necesara si suficienta pentru ca transformarea (12.3) safie canonica, consta ın existenta unei functii generatoare S si a unei constanteoarecare c 6= 0, pentru care ecuatia (12.11) sa fie satisfacuta identic ın bazatransformarii (12.3) .

Functia generatoare S depinde de un numar de (2n+1) variabile independente : timpul tsi un numar de (2n) argumente alese din totalul de (4n) coordonate si impulsuri generalizateqk, Qk, pk, Pk ; k = 1, . . . , n care sunt legate prin intermediul ecuatiilor (12.3). In identitateafundamentala (12.11) se considera ca S = S(t, q, p) si atunci daca este data constanta


c 6= 0 , functia generatoare S(t, q, p) va genera transformarile canonice definite deecuatiile (12.3) . Este ınsa evident ca ın anumite conditii, pot fi generate transformaricanonice pornind si de la functii avand forma generala :

S1(t, q, Q) , S2(t, q, P ) , S3(t, p, Q) , S4(t, p, P ) (12.12)

sau de la functii de variabile combinate. In cele ce urmeaza, vor fi examinate doar trans-formarile canonice generate de functiile de tipul S1(t, q, Q) si S2(t, q, P ) .

Daca se au ın vedere transformarile (12.3) pentru care este ındeplinita conditia suplimen-tara :

det

(∂Qk

∂pj

)6= 0 ; k, j = 1, . . . , n (12.13)

atunci din ecuatiile Qk = Qk(t, q, p) ; k = 1, . . . , n pot fi exprimate vechile impulsuri ınfunctie de vechile si noile coordonate :

pk = pk(t, q, Q) ; k = 1, . . . , n (12.14)

functia generatoare S(t, q, p) devenind astfel functie de variabilele independente (t, q, Q) :

S [ t, q, p(t, q, Q) ] = S1(t, q, Q) (12.15)

Transformarile caracterizate de conditia suplimentara (12.13) si care sunt generate de functiaS1(t, q, Q) sunt numite transformari canonice libere . Ecuatiile acestor transformari seobtin din identitatea fundamentala (12.11) care devine :

n∑

k=1


(n∑

k=1

pk δqk −H δt

)− δS1(t, q, Q) (12.16)

adica :

n∑

k=1

(c pk − ∂S1

∂qk

)δqk −

n∑

k=1

(Pk +

∂S1

∂Qk

)δQk +

(K − cH − ∂S1

∂t

)δt = 0 (12.17)

Din anularea simultana a coeficientilor, rezulta ecuatiile transformarii cautate :

c pk =∂S1

∂qk

, Pk = − ∂S1

∂Qk

; k = 1, . . . , n (12.18)

precum si legatura dintre noul si vechiul hamiltonian :

K = cH +∂S1

∂t(12.19)

Daca functia generatoare S1(t, q, Q) ındeplineste conditia :

det

(∂2S1

∂Qk∂qj

)6= 0 ; k, j = 1, . . . , n (12.20)

atunci din primul grup de ecuatii (12.18) rezulta dependentele Qk = Qk(t, q, p) ; k =1, . . . , n , care ınlocuite ın cel de al doilea grup de ecuatii (12.18) conduc la dependentele


Pk = Pk(t, q, p) ; k = 1, . . . , n . In consecinta, fiind data functia generatoare S1(t, q, Q)care ındeplineste conditia (12.20), precum si constanta arbitrara c 6= 0 , ecuatiile(12.18) definesc o transformare canonica .

Daca sunt alese ca variabile independente marimile (t, q, P ) , functia generatoare a trans-

formarii canonice va fi S2(t, q, P ) . Deoarece Pk = − ∂S1

∂Qk

; k = 1, . . . , n , trecerea de la va-

riabilele (t, q, Q) la variabilele (t, q, P ) poate fi realizata folosind o transformare Legendre,conform careia functia S2 poate fi obtinuta din functia S1 cu ajutorul relatiei :

S2(t, q, P ) = S1(t, q, Q) +n∑

k=1

PkQk (12.21)

Identitatea fundamentala (12.16) se va scrie acum sub forma :

n∑

k=1


(n∑

k=1

pk δqk −H δt

)− δS2(t, q, P ) +

n∑

k=1

Pk δQk +n∑

k=1

Qk δPk (12.22)

adica :

−n∑

k=1

Qk δPk −K δt = c

(n∑

k=1

pk δqk −H δt

)− δS2(t, q, P ) (12.23)

si atunci :

n∑

k=1

(c pk − ∂S2

∂qk

)δqk −

n∑

k=1

(Qk − ∂S2

∂Pk

)δPk +

(K − cH − ∂S2

∂t

)δt = 0 (12.24)

Ecuatiile transformarilor canonice vor fi :

c pk =∂S2

∂qk

, Qk =∂S2

∂Pk

; k = 1, . . . , n (12.25)

si ın plus :

K = cH +∂S2

∂t(12.26)

Daca functia generatoare S2 ındeplineste conditia :

det

(∂2S2

∂Pk∂qj

)6= 0 ; k, j = 1, . . . , n (12.27)

atunci din primul grup de ecuatii (12.25) rezulta dependentele Pk = Pk(t, q, p) ; k = 1, . . . , n ,care ınlocuite ın cel de al doilea grup de ecuatii (12.25) conduc la dependentele Qk =Qk(t, q, p) ; k = 1, . . . , n . In consecinta, pornind de la functia generatoare S2(t, q, P )asa ıncat conditia (12.27) sa fie satisfacuta si dandu-se o constanta c 6= 0 , ecuatiile(12.25) definesc o transformare canonica .

Deoarece ın mecanica prezinta interes ın special transformarile canonice univalente(c = 1) , ın cele ce urmeaza vor fi date cateva exemple de astfel de transformari.

a) Se considera o functie generatoare de tipul S1 avand forma :

S1(q,Q) =n∑

k=1

qkQk (12.28)


si c = 1 . In acest caz K = H , iar ecuatiile transformarilor, conform (12.18), vor fi :

pk =∂S1

∂qk

= Qk , Pk = − ∂S1

∂Qk

= − qk ; k = 1, . . . , n (12.29)

In esenta, o astfel de transformare schimba ıntre ele locurile coordonatelor si impulsu-rilor (cu exceptia unui semn), ceea ce confirma din nou pozitia echivalenta a coordonatelor siimpulsurilor generalizate ın descrierea miscarii sistemului ın spatiul fazelor Λ2n . Deosebireadintre ele consta doar ın terminologie !

b) Se alege ca functie generatoare a unei transformari canonice univalente c = 1 functia :

S2(t, q, P ) =n∑

k=1

fk(t, q) Pk (12.30)

Folosind al doilea grup de formule (12.25), rezulta ca noile coordonate vor fi :

Qk =∂S2

∂Pk

= fk(t, q) ; k = 1, . . . , n (12.31)

ceea ce reprezinta ecuatiile transformarilor punctuale. In consecinta, toate transformarilepunctuale sunt si transformari canonice , reciproca nefiind ınsa ıntotdeauna adevarata.

Daca :

fk =n∑

j=1

akjqj ; k = 1, . . . , n (12.32)

cu :n∑

j=1

akjalj = δkl ; k, l = 1, . . . , n (12.33)

atunci K = H si :

Qk =n∑

j=1

akjqj ; k = 1, . . . , n (12.34)

ceea ce reprezinta ecuatiile transformarilor ortogonale pentru coordonate . Folosindprimul grup de formule (12.25), se va putea scrie succesiv :

pj =∂S2

∂qj

=∂

∂qj

(n∑

l=1

flPl

)=

∂

∂qj

n∑

l,k=1

alkqkPl

=

n∑

l,k=1

alkδkjPl =n∑

l=1

aljPl ; j = 1, . . . , n

(12.35)Inmultind fiecare din aceste ecuatii cu akj si sumand dupa toate valorile lui j rezulta :

n∑

j=1

akjpj =n∑

j,l=1

akjaljPl =n∑

l=1

δklPl = Pk ; k = 1, . . . , n (12.36)

ceea ce ınseamna ca si noile impulsuri se obtin folosind aceeasi transformare ortogonala casi pentru coordonate, lucru care era de asteptat.

Daca ın particular akj = δkj ; k, j = 1, . . . , n , atunci :

Qk = qk , Pk = pk ; k = 1, . . . , n (12.37)

adica functia generatoare S2 =n∑

k=1

qkPk , cu c = 1 , conduce la transformarea identica .


12.2 Ecuatia si teorema Hamilton-Jacobi

Revenim asupra unei probleme enuntata anterior, anume fiind dat un sistem olonom acarui miscare este descrisa de ecuatiile lui Hamilton :

qk =∂H

∂pk

, pk = − ∂H

∂qk

; k = 1, . . . , n (12.38)

urmeaza a fi cautata transformarea canonica univalenta ın urma careia noul hamil-tonian K al ecuatiilor de miscare pentru noile coordonate si impulsuri :

Qk =∂K

∂Pk

, Pk = − ∂K

∂Qk

; k = 1, . . . , n (12.39)

sa fie identic nul :

K = H +∂S

∂t≡ 0 (12.40)

In acest caz, solutia generala a sistemului (12.39) va fi :

Qk = bk , Pk = ak ; k = 1, . . . , n (12.41)

unde ak , bk ; k = 1, . . . , n sunt 2n constante arbitrare. Cunoscand transformarea canonica :

Qk = Qk(t, q, p)

Pk = Pk(t, q, p); k = 1, . . . , n ,

∂(Q, P )

∂(q, p)6= 0 (12.42)

si tinand cont de (12.41), sistemul (12.42) poate fi rezolvat ın raport cu necunoscutele (q, p) ,rezultand :

qk = qk(t, a1, . . . , an, b1, . . . , bn)

pk = pk(t, a1, . . . , an, b1, . . . , bn); k = 1, . . . , n (12.43)

adica solutia generala a ecuatiilor de miscare (12.38). Constantele ak , bk ; k = 1, . . . , n potfi exprimate prin conditiile initiale ale problemei.

Dupa cum se stie, transformarea canonica cautata este definita ın ıntregime, daca estecunoscuta functia generatoare a transformarii respective (c = 1) . In consecinta, pentru arezolva problema determinarii miscarii ın maniera descrisa mai sus, va trebui gasitafunctia generatoare a transformarii canonice, ın urma cariea noile variabile canonice suntniste constante. In conformitate cu conditia (12.40), rezulta ca functia generatoare va inde-plini ecuatia :

∂S

∂t+ H(t, q1, . . . , qn, p1, . . . , pn) = 0 (12.44)

Alegand ın calitate de functie generatoare o functie de tipul S2(t, q, P ) , deoarece :

pk =∂S2

∂qk

, Qk =∂S2

∂Pk

; k = 1, . . . , n (12.45)

rezulta ca functia generatoare cautata va fi o solutie a ecuatiei :

∂S

∂t+ H

(t, q1, . . . , qn,

∂S

∂q1

, . . . ,∂S

∂qn

)= 0 (12.46)

12.2. ECUATIA SI TEOREMA HAMILTON-JACOBI 157

unde s-a renuntat la scrierea indicelui ın S2 . Ecuatia (12.46) este o ecuatie diferentialacu derivate partiale de ordinul ıntai, care permite determinarea dependentei functiei S detimpul t si de coordonatele q1, . . . , qn , ınsa nu da nici o informatie cu privire la dependentafunctiei generatoare S de noile impulsuri, despre care se stie doar ca ele trebuie sa fie nisteconstante Pk = ak ; k = 1, . . . , n .

Ecuatia (12.46) poarta numele de ecuatia Hamilton-Jacobi , iar functia S este cu-noscuta sub numele de functia principala a lui Hamilton . Odata determinata functiaS(t, q, a) ca solutie a ecuatiei (12.46), ecuatiile transformarii canonice cautate vor fi :

pk =∂S(t, q, a)

∂qk

, Qk = bk =∂S(t, q, a)

∂ak

; k = 1, . . . , n (12.47)

si problema determinarii miscarii sistemului mecanic se ıncheie. Intr-adevar, deoarece functiageneratoare trebuie sa ındeplineasca conditia :

det

(∂2S

∂ak∂qj

)6= 0 ; k, j = 1, . . . , n (12.48)

folosind primul grup de ecuatii (12.47) pot fi determinate, pentru t = t0 , valorile constantelorak ; k = 1, . . . , n ın functie de valorile initiale ale coordonatelor si impulsurilor (q0, p0) . Aldoilea grup de ecuatii (12.47) va furniza direct valorile constantelor bk ; k = 1, . . . , n , dacasunt cunoscute valorile (q0) la timpul t = t0 . Rezolvand apoi al doilea grup de ecuatii (12.47)ın raport cu variabilele qk ; k = 1, . . . , n , rezulta solutia finala :

qk = qk(t, a, b) ; k = 1, . . . , n (12.49)

deoarece constantele (a, b) sunt deja determinate ın raport cu datele initiale ale problemei.Inlocuind (12.49) ın primul grup de ecuatii (12.47), vor rezulta prin derivare impulsurile :

pk = pk(t, a, b) ; k = 1, . . . , n (12.50)

Se observa ca problema integrarii sistemului canonic este ınlocuita de problema echi-valenta a determinarii unei solutii a ecuatiei Hamilton-Jacobi, care sa fie functie de timp,de coordonatele generalizate (q) si de un numar de n constante arbitrare ak ; k = 1, . . . , n .Pe de alta parte, se stie din teoria ecuatiilor diferentiale, ca o integrala completa a uneiecuatii cu derivate partiale de ordinul ıntai care contine (n + 1) variabile independente,contine tot atatea constante independente arbitrare. Deoarece ın ecuatia Hamilton-Jacobi,

functia S intervine doar sub forma derivatelor∂S

∂tsi

∂S

∂qk

; k = 1, . . . , n , ınseamna ca una din

aceste constante este aditiva , spre deosebire de celelalte n care sunt constante esentiale .Facand abstractie de constanta aditiva, integrala completa a ecuatiei Hamilton-Jacobi va fiscrisa formal :

S = S(t, q1, . . . , qn, a1, . . . , an) (12.51)

Deoarece ın plus integrala completa satisface la o conditie similara cu (12.48), rezulta ca sepoate identifica integrala completa a ecuatiei (12.46) cu functia generatoare a transformariicanonice cautate.


Rezumand cele expuse, poate fi formulata teorema Hamilton-Jacobi , conform careiadaca functia S(t, q, a) este o integrala completa a ecuatiei Hamilton-Jacobi (12.46),atunci solutia generala a sistemului canonic (12.38) este determinata de sistemulde ecuatii :

pk =∂S

∂qk

, bk =∂S

∂ak

; k = 1, . . . , n (12.52)

ın care ak , bk ; k = 1, . . . , n sunt niste conatante arbitrare .Aceasta teorema reduce rezolvarea sistemului canonic la gasirea unei integrale complete

a ecuatiei Hamilton-Jacobi. Trebuie ınsa observat ca determinarea integralei complete aecuatiei Hamilton-Jacobi implica scrierea sistemului caracteristic asociat , care ınsa coin-cide cu sistemul canonic. De aceea teorema Hamilton-Jacobi poate fi utila doar daca esteposibila determinarea unei integrale complete pe alta cale, fara a face apel la sistemul carac-teristic.

In cele ce urmeaza, sunt examinate cateva cazuri particulare ın care ecuatia Hamilton-Jacobi si integrala ei completa, au forme ceva mai simple.

Daca timpul t nu intervine explicit ın expresia functiei H :∂H

∂t= 0 , atunci,

dupa cum se stie, pe solutia sistemului canonic va trebui ca :

H(q1, . . . , qn, p1, . . . , pn) = h (12.53)

unde h este o constanta, care reprezint energia sistemului. Deoarece ecuatia Hamilton-Jacobise reduce acum la :

∂S

∂t= −h (12.54)

rezulta ca :S = −h t + W (q1, . . . , qn) (12.55)

Functia W se determina scriind ca (12.55) satisface ecuatia Hamilton-Jacobi. Rezulta :

H

(q1, . . . , qn,

∂W

∂q1

, . . . ,∂W

∂qn

)= h (12.56)

Ecuatia obtinuta poarta numele de ecuatia redusa Hamilton-Jacobi , functia W fiindcunoscuta sub numele de functia caracteristica a lui Hamilton . Integrala completa aecuatei (12.56) va depinde de un numar de (n− 1) constante esentiale ak :

W = W (q1, . . . , qn, a1, . . . , an−1, h) (12.57)

la care se adauga constanta an ≡ h . Functia W satisface conditia :

det

(∂2W

∂ak∂qj

)6= 0 ; k, j = 1, . . . , n , an ≡ h (12.58)

In consecinta, integrala completa a ecuatiei Hamilton-Jacobi va avea forma :

S = −h t + W (q1, . . . , qn, a1, . . . , an−1, h) (12.59)

12.2. ECUATIA SI TEOREMA HAMILTON-JACOBI 159

Aplicand teorema Hamilton-Jacobi, sistemul (12.47) care permite determinarea solutiei sis-temului canonic, se reduce la :

pk =∂W

∂qk

; k = 1, . . . , n (12.60)

bk =∂W

∂ak

; k = 1, . . . , n

bn = − t +∂W

∂h(an ≡ h)

(12.61)

In baza conditiei (12.58), din ecuatiile (12.60) se pot determina, pentru t = t0 , valorileconstantelor ak ; k = 1, . . . , n ın functie de valorile initiale (q0, p0) . Apoi, rezolvand sistemul(12.61) ın raport cu qk ; k = 1, . . . , n , se obtine solutia finala a ecuatiilor de miscare :

qk = qk(t, a, b) ; k = 1, . . . , n (12.62)

Sa mai observam ca ıntrucat primele (n − 1) ecuatii (12.61) nu contin explicit timpul t ,este posibila exprimarea unui numar de (n − 1) coordonate ın functie de coordonata qn

aleasa arbitrar. Se obtine astfel ecuatia traiectoriei miscarii ın spatiul configuratiilor Λn .In miscarea bidimensionala, procedeul este analog cu gasirea directa a ecuatiei traiectorieiy = y(x) , fara a fi cunoscute ın prealabil ecuatiile parametrice x = x(t) si y = y(t) din caresa fie eliminat ulterior timpul.

Se poate verifica direct ca functia caracteristica W a lui Hamilton, este functia genera-toare a unei transformari canonice univalente, ın urma careia noile coordonate devin ciclice ınraport cu noul hamiltonian K (deoarece timpul nu figureaza explicit ın functia generatoare,noul hamiltonian coincide cu vechiul hamiltonian, care reprezinta chiar integrala energiei !).

Un alt caz ın care ecuatia Hamilton-Jacobi capata o forma simpla, corespunde situatieiın care un numar de coordonate qα ; α = m + 1, . . . , n sunt ciclice :

H = H(t, q1, . . . , qm, p1, . . . , pn) , pα = aα ; α = m + 1, . . . , n (12.63)

Deoarece :

pα =∂S

∂qα

= aα ; α = m + 1, . . . , n (12.64)

functia principala a lui Hamilton va avea forma generala :

S =n∑

α=m+1

aα qα + S0(t, q1, . . . , qm, a1, . . . , an) (12.65)

Pentru functia S0 se obtine ecuatia :

∂S0

∂t+ H

(t, q1, . . . , qm,

∂S0

∂q1

, . . . ,∂S0

∂qm

, am+1, . . . , an

)= 0 (12.66)

care corespunde unui sistem canonic cu 2m variabile, asa cum arata si rezultatele obtinutela studiul sistemelor avand un numar de n−m coordonate ciclice.


Daca hamiltonianul sistemului nu depinde explicit de timp si ın plus un numar de coor-donate sunt ciclice, atunci integrala completa a ecuatiei Hamilton-Jacobi are forma

S = −h t +n∑

α=m+1

aα qα + W0(q1, . . . , qm, a1, . . . , am−1, h, am+1, . . . , an) (12.67)

functia W0 fiind integrala completa a ecuatiei :

H

(t, q1, . . . , qm,

∂W0

∂q1

, . . . ,∂W0

∂qm

, am+1, . . . , an

)= h (12.68)

12.3 Metoda separarii variabilelor

Teorema Hamilton-Jacobi ısi dovedeste utilitatea practica numai daca poate fi gasitao integrala completa a ecuatiei Hamilton-Jacobi fara a se recurge la sistemul caracteristicasociat ecuatiei respective, care nu este altul decat sistemul canonic pentru care se cautasolutia. O metoda foarte des utilizata ın fizica pentru determinarea integralei complete, estemetoda separarii variabilelor . Pentru a nu complica expunerea, vor fi considerate doarsistemele mecanice al caror hamiltonian nu depinde explicit de timp, deci pentru care :

H(q1, . . . , qn, p1, . . . , pn) = h (12.69)

In acest caz integrala completa a ecuatiei Hamilton-Jacobi se scrie :

S = −h t + W (q1, . . . , qn, a1, . . . , an) ; an ≡ h (12.70)

unde W este o integrala completa a ecuatiei reduse Hamilton-Jacobi :

H

(q1, . . . , qn,

∂W

∂q1

, . . . ,∂W

∂qn

)= h (12.71)

Metoda separarii variabilelor consta ın cautarea unei solutii a ecuatiei (12.71) sub forma :

W =n∑

k=1

Wk(qk, a1, . . . , an) (12.72)

In aceasta situatie, se va putea scrie :

pk =∂S

∂qk

=∂W

∂qk

=∂Wk

∂qk

; k = 1, . . . , n (12.73)

si atunci printr-o alegere adecvata a constantelor , ecuatia (12.71) poate fi divizataıntr-un sistem echivalent de n ecuatii, avand forma :

fk

(qk,

∂Wk

∂qk

, a1, . . . , an

)= ak ; k = 1, . . . , n (12.74)

12.3. METODA SEPARARII VARIABILELOR 161

Acestea sunt niste ecuatii diferentiale ordinare ın variabilele qk ; k = 1, . . . , n . Daca suntındeplinite conditiile :

∂fk

∂pk

6= 0 ; k = 1, . . . , n (12.75)

ecuatiile (12.74) pot fi rezolvate ın raport cu∂Wk

∂qk

; k = 1, . . . , n , rezultand ın final pentru

Wk ; k = 1, . . . , n niste cuadraturi :

pk =∂Wk

∂qk

= Fk(qk, a1, . . . , an) =⇒ Wk =∫

Fk(qk, a1, . . . , an) dqk ; k = 1, . . . , n

(12.76)Folosind (12.72), integrala completa a ecuatiei Hamilton-Jacobi se va scrie :

S = −h t +n∑

k=1

∫Fk(qk, a1, . . . , an) dqk (12.77)

Bineınteles, procedeul descris nu este realizabil ıntotdeauna si chiar ın cazul unor sistememecanice care admit o integrala completa de forma (12.77), esentiala ramane alegerea setuluide variabile independente ın care se lucreaza. De exemplu, ın cazul problemei miscarii ıncamp central, folosirea coordonatelor sferice permite separarea variabilelor, ın schimb folosi-rea coordonatelor carteziene nu permite acest lucru. In cele ce urmeaza, sunt examinate douaforme particulare ale hamiltonianului H , care admit integrale complete de forma (12.77).

a) Variabilele sunt separate ın ınsasi structura lui H , ca de exemplu ın expresia hamil-

tonianului oscilatorului tridimensional anizotrop H =3∑

i=1

(p2

i

2m+

kiq2i

2

):

H = H [ f1 (q1, p1) , . . . , fn (qn, pn) ] (12.78)

Fiecare functie fk contine perechea de variabile qk , pk ; k = 1, . . . , n si ın plus sunt ındepliniteconditiile (12.75). Ecuatia redusa Hamilton-Jacobi se va scrie sub forma :

H

[f1

(q1,

∂W

∂q1

), . . . , fn

(qn,

∂W

∂qn

)]= h (12.79)

Cautand solutia sub forma sumei (12.72), ecuatia (12.79) va fi satisfacuta numai daca :

fk (qk, pk) = ak , pk =∂Wk

∂qk

; k = 1, . . . , n (12.80)

ıntre constantele ak ; k = 1, . . . , n existand legatura evidenta :

H (a1, . . . , an) = h (12.81)

In baza conditiilor (12.75), ecuatiile (12.80) pot fi rezolvare ın raport cu pk ; k = 1, . . . , n :

pk =∂Wk

∂qk

= Fk(qk, ak) =⇒ Wk =∫

Fk(qk, ak) dqk ; k = 1, . . . , n (12.82)


si integrala completa a ecuatiei reduse Hamilton-Jacobi se va scrie :

W =n∑

k=1

∫Fk(qk, ak) dqk (12.83)

Odata cunoscuta functia S = −h t + W , aplicand teorema Hamilton-Jacobi se determinamiscarea sistemului mecanic.

b) Metoda separarii variabilelor poate fi aplicata si daca H are forma generala :

H = fn . . . f3 f2 [ f1 (q1, p1) , q2, p2 ] , q3, p3 , . . . , qn, pn (12.84)

fiind indeplinite si conditiile suplimentare (12.75). Un hamiltonian cu o astfel de structuraeste cel care descrie miscarea ın camp central a unui corp de masa m , cand sunt folosite

coordonate sferice : H =1

2m

[p2

r +1

r2

(p2

θ +p2

ϕ

sin2 θ

)]+V (r) . Pentru hamiltonianul (12.84),

ecuatia redusa Hamilton-Jacobi va avea forma :

fn

. . . f3

f2

[f1

(q1,

∂W

∂q1

), q2,

∂W

∂q2

], q3,

∂W

∂q3

, . . . , qn,

∂W

∂qn

= h (12.85)

Cautand solutia sub forma sumei (12.72), pot fi facute notatiile evidente :

f1 (q1, p1) = a1

f2 (a1, q2, p2) = a2

f3 (a2, q3, p3) = a3

...fn (an−1, qn, pn) = an

, pk =∂Wk

∂qk

; k = 1, . . . , n (12.86)

Rezolvand aceste ecuatii ın raport cu impulsurile generalizate, rezulta :

p1 =∂W1

∂q1

= F1(q1, a1) =⇒ W1 =∫

F1(q1, a1) dq1

p2 =∂W2

∂q2

= F1(q2, a1, a2) =⇒ W2 =∫

F2(q2, a1, a2) dq2

p3 =∂W3

∂q3

= F3(q3, a2, a3) =⇒ W3 =∫

F3(q3, a2, a3) dq3

...

pn =∂Wn

∂qn

= Fn(qn, an−1, an) =⇒ Wn =∫

Fn(qn, an−1, an) dqn

(12.87)

In consecinta, integrala completa a ecuatiei reduse Hamilton-Jacobi se va scrie :

W =n∑

k=1

∫Fk(qk, ak−1, ak) dqk (12.88)

iar integrala completa a ecuatiei Hamilton-Jacobi va fi :

S = −h t +n∑

k=1

∫Fk(qk, ak−1, ak) dqk (12.89)

Aplicand apoi teorema Hamilton-Jacobi, vor rezulta ecuatiile de miscare ale sistemului me-canic considerat.

IV.Mecanica mediilor deformabile

Capitolul 13

Notiuni fundamentale ale mecaniciimediilor continue deformabile

13.1 Principii generale

Sunt studiate sistemele cu un numar foarte mare (practic infinit) de puncte materiale,care sunt dispuse compact ın spatiu. Un astfel de sistem va fi numit mediu continuu , carepoate fi deformabil sau nedeformabil , dupa cum distantele reciproce dintre puncte, ca siunghiurile dintre elementele liniare, se modifica sau nu se modifica ın cursul miscarii. Pentrustudiul miscarii mediului continuu deformabil, conceptul de punct material ısi pierde sensul,deoarece chiar daca ar putea fi scrise ecuatiile de miscare pentru fiecare punct ın parte, ele nuar putea fi integrate din cauza complexitatii calculelor matematice. O descriere aproximativa,ınsa suficient de exacta a miscarii mediului continuu deformabil poate fi realizata folosindconceptul de particula materiala.

Prin particula materiala se ıntelege o portiune arbitrar de mica a mediului, care contineun numar relativ mic de puncte materiale ın raport cu numarul celor care alcatuiesc sistemul,ınsa suficient de mare pentru ca proprietatile sale sa poata fi caracterizate cu ajutoul unorparametri macroscopici. Pozitia particulei materiale la un moment oarecare t este data devectorul de pozitie al centrului de masa. In cursul evolutiei ın timp a sistemului sub actiuneaunor forte exterioare, particula materiala ısi modifica pozitia, forma si dimensiunile.

Miscarea unui mediu deformabil poate fi reprezentata matematic printr-o transformarecontinua a spatiului euclidian ın el ınsusi, parametrul transformarii fiind timpul t . O par-ticula materiala M aflata initial ın pozitia ~r0(x

01, x

02, x

03) se va gasi la momentul t ın pozitia

~r(x1, x2, x3) si evident :~r = ~r(~r0, t) = ~r(x0

1, x02, x

03, t) (13.1)

Individualizand particula M (deci fixand pe ~r0), ecuatia (13.1) va reprezenta traiectoriaparticulei M . Fixand pe t si dand lui ~r0 toate valorile posibile corespunzatoare punctelorın D0 , aceeasi ecuatie (13.1) va reprezenta transformarea domeniului D0 ın Dt . Vorfi luate ın considerare doar acele transformari ale lui D0 ın Dt , care au loc fara fisuri saugoluri interioare si care sunt reversibile , adica pentru care :

0 6= J < ∞ unde J =∂(x1, x2, x3)

∂(x01, x

02, x

03)

(13.2)

165

166 CAPITOLUL 13. NOTIUNILE FUNDAMENTALE

Figura 13.1: O tansformare a domeniului D0 ın Dt

deci exista si transformarea inversa :

~r0 = ~r0(~r, t) (13.3)

Conditia (13.2) exprima principiul indestructibilitatii materiei .Variabilele (~r0, t) sunt numite coordonate materiale sau lagrangeene , iar variabilele

(~r, t) se numesc coordonate spatiale sau euleriene . O functie scalara (sau vectoriala)oarecare F , care corespunde unui parametru macroscopic caracteristic particulei, poate fiexprimata atat cu ajutorul variabilelor lagrangeene, cat si cu cele euleriene. Prin F = F (~r0, t)se va ıntelege valoarea lui F la momentul t pentru particula care la momentul initial t0 = 0se afla ın pozitia ~r0 , deci F (~r0, t) va fi o functie legata de particula ın miscare. Prin F (~r, t)se va ıntelege valoarea lui F pentru particula care la momentul t se gaseste ın punctul ~r alspatiului. Valorile F (~r0, t) si F (~r, t) sunt legate prin intermediul transformarii (13.1). Se potconsidera doua tipuri de derivate :

∂F (~r0, t)

∂t=

dF

dt(13.4)

∂F (~r, t)

∂t=

∂F

∂t6= dF

dt(13.5)

Derivata (13.4) reprezinta viteza de variatie a lui F pentru o particula mobila individualizatasi de numeste derivata substantala sau materiala . Derivata (13.5) reprezinta viteza devariatie a lui F ın punctul fixat ~r al spatiului si se numeste derivata locala .

Viteza unei particule se va calcula cu formula :

~v =d~r(~r0, t)

dt=

∂~r(~r0, t)

∂t(derivata substantiala !) (13.6)

Folosind inversa transformarii (13.1), se obtine campul vitezelor la momentul arbitrar t :~v = ~v(~r, t) , adica repartitia vitezelor ın toate punctele domeniului.

Acceleratia unei particule va fi :

~a =d~v(~r0, t)

dt=

∂~v(~r0, t)

∂t=

∂2~r(~r0, t)

∂t2(13.7)

13.1. PRINCIPII GENERALE 167

de unde, folosind din nou transformata inversa a lui (13.1), rezulta campul acceleratiilorsub forma ~a = ~a(~r, t) . La campul acceleratiilor se poate ajunge si direct, pornind de lacampul vitezelor ~v = ~v(~r, t) :

~a =d~v

dt=

∂~v

∂t+

3∑

i=1

∂~v

∂xi

dxi

dt=

∂~v

∂t+ (~v · grad)~v (13.8)

In consecinta, acceleratia ıntr-un punct ~r al spatiului se compune dintr-un termen localcare se datoreste nestationaritatii campului vitezelor si care se calculeaza considerand pe~r fixat, si un termen cauzat de neomogenitatea campului vitezelor si care se calculeazaconsiderand pe t fixat.

Generalizand (13.8) pentru o functie oarecare F (~r, t) , rezulta legatura dintre derivatasubstantiala si cea locala :

dF

dt=

∂F

∂t+

3∑

i=1

∂F

∂xi

dxi

dt=

∂F

∂t+ (~v · grad) F (13.9)

Unul din principiile fundamentale care stau la baza mecanicii mediilor continue ıl con-stituie principiul invariantei masei , conform caruia masa oricarei portiuni a mediuluiramane constanta ın tot cursul miscarii. Introducand masa specifica ρ(~r, t) prin definitia :

dm = ρ(~r, t) dv unde dv = dx1dx2dx3 (13.10)

va trebui ca : ∫

D0

ρ0(~r0, t0) dv0 =∫

Dt

ρ(~r, t) dv (13.11)

Avand ın vedere ca :

dv = J dv0 cu J =∂(x1, x2, x3)

∂(x01, x

02, x

03)

(13.12)

ecuatia (13.11) devine : ∫

D0

(ρ0 − J ρ) dv0 = 0 (13.13)

de unde rezulta ecuatia de continuitate a masei ın forma lui d’Alembert :

J ρ = ρ0 (13.14)

Daca ın cursul miscarii ρ = ρ0 , adica J = 1 , mediul este incompresibil .Conditia de invarianta ın timp a masei poate fi pusa si sub forma :

d

dt

∫

Dt

ρ(~r, t) dv = 0 (13.15)

Utilizand teorema lui Euler :dJ

dt= J div~v (13.16)


conditia (13.15) devine :

d

dt

∫

Dt

ρ dv =d

dt

∫

D0

ρ J dv0 =∫

D0

d

dt(ρ J) dv0 =

∫

D0

(dρ

dtJ + ρ

dJ

dt

)dv0 =

∫

Dt

(dρ

dt+ ρ div~v

)dv

(13.17)si atunci pentru orice Dt va trebui ca :

dρ

dt+ ρ div~v = 0 sau

∂ρ

∂t+ div (ρ~v) = 0 (13.18)

Se obtine astfel ecuatia de continuitate a masei ın forma lui Euler. Cele doua formeale ecuatiei de continuitate sunt echivalente. Intr-adevar, folosind teorema lui Euler (13.16),rezulta :

Jdρ

dt+ ρ J div~v = J

dρ

dt+ ρ

dJ

dt=

d

dt(J ρ) = 0 deci J ρ = ρ0 (13.19)

Daca mediul este incompresibil (ρ = const .), atunci din (13.18) rezulta : div~v = 0 .In o serie de calcule care urmeaza mai intervin derivatele :

d

dt

∫

Dt

F (~r, t) dv =∫

Dt

(dF

dt+ F div~v

)dv =

∫

Dt

[∂F

∂t+ div (F ~v)

]dv (13.20)

si :d

dt

∫

Dt

ρ(~r, t) F (~r, t) dv =∫

Dt

[d (ρF )

dt+ (ρF ) div~v

]dv =

∫

Dt

ρdF

dtdv (13.21)

unde la evaluarea ultimei integrale s-a tinut cont si de ecuatia (13.18).Folosind definitiile generale, pot fi scrise usor impulsul si momentul cinetic pentru

mediul care ocupa domeniul Dt :

~p =∫

Dt

~v dm =∫

Dt

ρ~v dm ; ~L0 =∫

Dt

(~r × ~v) dm =∫

Dt

(~r × ρ~v) dv (13.22)

In ceea ce priveste fortele care actioneaza asupra si ın interiorul mediului continuu,acestea pot fi forte exterioare si forte interioare . Din alt punct de vedere, aceste forte potfi ımpartite ın forte masice : ~f dm si forte de suprafata : ~Tndσ . Fortele de suprafata sedatoresc actiunilor de contact exercitate pe suprafetele elementare de separare ale particulelorsi depind de orientarea elementului de suprafata, orientare caracterizata de normala ~n .Marimea ~Tn poarta numele de tensiune sau efort unitar . Rezultanta fortelor careactioneaza asupra portiunii Dt delimitata de suprafata Σt va fi :

~F =∫

Dt

~f dm +∫

Σt

~Tndσ =∫

Dt

ρ ~f dv +∫

Σt

~Tndσ (13.23)

In mod analog, momentul rezultant al fortelor ın raport cu originea sistemului fix va fi :

~MO =∫

Dt

(~r × ~f

)dm +

∫

Σt

(~r × ~Tn

)dσ =

∫

Dt

(~r × ρ ~f

)dv +

∫

Σt

(~r × ~Tn

)dσ (13.24)

13.2. TEORIA GEOMETRICA A MICILOR DEFORMATII 169

Teorema impulsului si teorema momentului cinetic pentru medii continue au for-mulari asemanatoare cu cele din dinamica sistemelor de puncte materiale, cu deosebireaesentiala ca formularile respective sunt locale , adica ele ısi pastreaza valabilitatea pentruorice portiune Dt a mediului :

d

dt

∫

Dt

ρ~v dv =∫

Dt

ρd~v

dtdv =

∫

Dt

ρ ~f dv +∫

Σt

~Tndσ ;d~v

dt= ~a (13.25)

si :

d

dt

∫

Dt

ρ (~r × ~v) dv =∫

Dt

ρ

(~r × d~v

dt

)dv =

∫

Dt

(~r × ρ ~f

)dv +

∫

Σt

(~r × ~Tn

)dσ (13.26)

unde s-a folosit (13.21) si proprietatea evidenta : ~v × ρ~v = 0 .

13.2 Teoria geometrica a micilor deformatii

Este examinata deplasarea mica a unei particule a mediului continuu. O astfel de depla-sare poate fi privita ca o transformare continua a domeniului D ın D ′ definita de ecuatiile :

~r ′ = ~r ′(~r, t) ; t = fixat . (13.27)

Aceasta corespondenta ıntre punctele din D si D ′ defineste atat un proces de deplasarea particulei ın ansamblul ei, cat si un proces de deformatie(v. Fig. 13.2). O deplasare a

Figura 13.2: Deplasarea cu deformatie a particulei materiale

unui punct care initial ocupa pozitia M(~r) si ulterior pozitia M ′(~r ′) va fi caracterizata cuvectorul deplasare :

~u = ~r ′ − ~r ; ~u = ~u(~r, t) (13.28)

Luand ın considerare doar micile deplasari si deformatii , se poate calcula deplasarearelativa a punctului N ın raport cu punctul M . Folosind dezvoltarea ın serie Taylor siretinand doar infinitii mici de ordinul ıntai :

~uN − ~uM = ~u(~r + δ~r)− ~u(~r) =3∑

k=1

∂~u

∂xk

δxk = (δ~r · grad~r) ~u (13.29)


din Fig. 13.2 rezulta :

~uN − ~uM = δ~r ′ − δ~r = d (δ~r ) = (δ~r · grad~r) ~u (13.30)

Proiectand aceasta relatie pe axele sistemului cartezian considerat, se obtine :

d (δxi) =3∑

k=1

∂ui

∂xk

δxk =3∑

k=1

(Ωki + εki) δxk ; i = 1, 2, 3 (13.31)

deoarece derivatele∂ui

∂xk

; k, i = 1, 2, 3 pot fi scrise ıntotdeauna sub forma unei sume dintre

componentele unui tensor antisimetric :

Ωki =1

2

(∂ui

∂xk

− ∂uk

∂xi

)= −Ωik ; k, i = 1, 2, 3 (13.32)

si ale unui tensor simetric :

εki =1

2

(∂ui

∂xk

+∂uk

∂xi

)= εik ; k, i = 1, 2, 3 (13.33)

Deoarece tensorul antisimetric are doar trei elemente independente, se poate asocia ten-sorului un (pseudo)vector, care conform (13.32) are componentele :

Ω23 =1

2(rot ~u)1 , Ω31 =

1

2(rot ~u)2 , Ω12 =

1

2(rot ~u)3 (13.34)

Efectuand notatia :

~Ω (Ω23, Ω31, Ω12) =1

2rot ~u (13.35)

se va putea scrie ca :

3∑

k=1

Ωkiδxk =(~Ω× δ~r

)i

; i = 1, 2, 3 (13.36)

Pe de alta parte, introducand scalarul :

Ψ =3∑

i,k=1

εikδxiδxk (13.37)

se va putea scrie ca :

3∑

k=1

εkiδxk =1

2(gradδ~rΨ)i ; i = 1, 2, 3 (13.38)

Reunind rezultatele si ınlocuind ın (13.30), rezulta ın final :

~uN = ~uM + ~Ω× δ~r +1

2gradδ~rΨ (13.39)

13.2. TEORIA GEOMETRICA A MICILOR DEFORMATII 171

deci deplasarea mica a particulei materiale se compune dintr-o translatie rigida data devectorul ~uM , o rotatie rigida ~Ω× δ~r ın jurul unei axe care trece prin M si o deplasarelegata de deformarea particulei , adica de modificarea formei si volumului. In mod cores-punzator, tensorul avand elementele Ωki ; i, k = 1, 2, 3 poarta numele de tensor de rotatie ,tensorul avand elementele εki ; i, k = 1, 2, 3 poarta numele de tensor de deformatie , iar

vectorul1

2gradδ~rΨ reprezinta vectorul de deformatie .

Tensorul de deformatie ısi justifica denumirea prin aceea ca cu ajutorul componentelorsale pot fi caracterizate modificarile distantelor reciproce dintre punctele corpului, precumsi variatiile unghiurilor dintre elementele liniare, ın urma procesului de deformatie.

Luand ın considerare elementul liniar MN de lungime δs , care dupa deformatie de-vine elementul M ′N ′ de lungime δs′ si notand cu ~n versorul directiei MN (v. Fig. 13.2),deformatia specifica liniara , sau lungire specifica , a unui element liniar, ın punctul Mdupa directia ~n , va fi numita expresia :

en =δs′ − δs

δs=

d (δs)

δs(13.40)

Pornind de la egalitatea evidenta (δs)2 = δ~r · δ~r , prin diferentiere rezulta :

δs d (δs) = δ~r d (δ~r) =3∑

i=1

δxi d (δxi) =3∑

i,k=1

∂ui

∂xk

δxiδxk =3∑

i,k=1

εikδxiδxk (13.41)

deoarece3∑

i,k=1

Ωkiδxiδxk = 0 . Impartind rezultatul cu (δs)2 , rezulta ca :

en =3∑

i,k=1

εiknink unde ni =δxi

δs; i = 1, 2, 3 (13.42)

si ni ; i = 1, 2, 3 reprezinta cosinusii directori ai versorului ~n . Daca en > 0 avem de a face cuo alungire , iar daca en < 0 avem de a face cu o scrutare , a elementului liniar respectiv.

Presupunand ca−→MN‖ Ox1 , atunci n1 = 1 , n2 = n3 = 0 si ın consecinta :

e1 = ε11 (13.43)

adica, componenta ε11 a tensorului de deformatie va caracteriza lungirea specifica a unuielement liniar care initial era paralel cu axa Ox1 . Interpretari analoage pot fi date si pentrucelelalte elemente diagonale ε22 si ε33 .

Pentru a gasi semnificatia elementelor nediagonale ale tensorului de deformatie, va trebuistabilita ın prealabil o relatie ıntre unghiurile formate de doua elemente liniare date, ınaintesi dupa deformatie. Notand cu θ unghiul dintre doua elemente liniare avand versorii ~n si ~mınainte de deformatie si cu θ′ unghiul dintre aceleasi elemente dupa deformatie, deformatiaspecifica unghiulara , sau lunecarea specifica , va fi numita diferenta :

θnm = θ − θ′ (13.44)


Figura 13.3: Lunecarea specifica la deplasarea cu deformatie a particulei materiale

Folosind notatiile−→MN= δ~r si

−→MP= ∆~r (v. Fig. 13.3), ın aproximatia micilor deformatii se

va putea scrie :

δ~r ·∆~r = δs ∆s cos θ =3∑

i=1

δxi ∆xi (13.45)

si :

δ~r ′ ·∆~r ′ = δs′ ∆s′ cos θ′ =3∑

i=1

[ δxi + d(δxi) ] [ ∆xi + d(∆xi) ] =

=3∑

i=1

δxi∆xi +3∑

i=1

δxid(∆xi) +3∑

i=1

∆xid(δxi) +3∑

i=1

d(δxi)d(∆xi) =

=3∑

i=1

δxi∆xi +3∑

i,k=1

εikδxi∆xk +3∑

i,k=1

εikδxk∆xi =

=3∑

i=1

δxi∆xi + 23∑

i,k=1

εikδxi∆xk (13.46)

de unde rezulta :

δs′ ∆s′ cos θ′ = δs ∆s cos θ + 23∑

i,k=1

εikδxi∆xk (13.47)

Folosind pentru cosinusii directori ai normalelor notatiile obisnuite :

ni =δxi

δs, mi =

∆xi

∆s; i = 1, 2, 3 (13.48)

si observand ca :

δs′

δs= 1 +

3∑

i,k=1

εiknink ,∆s′

∆s= 1 +

3∑

i,k=1

εikmimk (13.49)

13.3. TENSORUL TENSIUNILOR. LEGEA DE MISCARE 173

din (13.47) rezulta :

cos θ′ = cos(θ − θnm) =

cos θ + 23∑

i,k=1

εiknimk

1 +

3∑

i,k=1

εiknink

1 +

3∑

i,k=1

εikmimk

' cos θ + 2

3∑

i,k=1

εiknimk

(13.50)

Daca ın particular−→MN‖ Ox1 si

−→MP‖ Ox2 , atunci θ =

π

2, iar n1 = 1 , n2 = n3 = 0 si

m2 = 1 ,m1 = m3 = 0 , deci :sin θ12 = 2 ε12 (13.51)

Deoarece ın buna aproximatie sin θ12 ≈ θ12 , rezulta ın final :

ε12 =1

2θ12 (13.52)

adica componenta ε12 reprezinta jumatatea variatiei unghiului drept dintre doua elementeliniare, care initial erau paralele cu axele OX1 si Ox2 . Interpretari analoage pot fi date sipentru elementele ε23 si ε31 .

O alta marime care caracterizeaza deformatia este deformatia specifica de volum ,sau deformarea volumica :

ϑ =δV ′ − δV

δV(13.53)

Considerand un paralelipiped cu laturile δxi ‖ Oxi ; i = 1, 2, 3 , deoarece :

d(δxi)

δxi

= εii ; i = 1, 2, 3 (13.54)

se va putea scrie :

δV = δx1δx2δx3 (13.55)

δV ′ = [ δx1 + d(δx1) ] [ δx2 + d(δx2) ] [ δx3 + d(δx3) ] =

= (1 + ε11) (1 + ε22) (1 + ε33) δx1δx2δx3 ' (1 + ε11 + ε22 + ε33) δV (13.56)

de unde rezulta :

ϑ = ε11 + ε22 + ε33 =3∑

i=1

∂ui

∂xi

= div ~u (13.57)

Daca ın vecinatatea oricarui punct al mediului ϑ = div ~u = 0 , mediul respectiv este incom-presibil. Se poate arata ca ϑ este invariant la o transformare a sistemului de coordonate.

13.3 Tensorul tensiunilor. Legea de miscare

Tensiunile interioare sunt o consecinta a fortelor exterioare care deformeaza corpul, ınsensul ca daca un corp sufera o deformatie, atunci ın interiorul sau iau nastere forte care seopun deformarii. In general aceste forte actioneaza pe elementele de suprafata care separa


Figura 13.4: Tensiunile interioare

doua parti adiacente ale corpului. Se considera suprafata Σ care trece prin punctul M(~r ) sicare separa potiunile D1 si D2 (v. Fig. 13.4). In punctul M este aplicata normala ~n carecaracterizeaza orientarea elementului de suprafata dσ . Admitand ca sensul pozitiv al nor-malei corespunde directiei orientate spre exteriorul lui D1 , portiunea D2 va actionaasupra portiunii D1 pe elementul dσ cu forta ~Tndσ . Deoarece ın general vectorul ~Tn nu estenormal la dσ , el poate fi descompus ıntr-o componenta normala si una tangentiala .Tensiunea normala va fi pozitiva daca corespunde unui fenomen de ıntindere si negativadaca corespunde unui fenomen de compresiune .

Figura 13.5: Caracterizarea starii de tensiune

Vectorul ~Tn poate fi exprimat si prin componentele sale ıntr-un sistem catezian de axe.Efectuand notatiile :

~n ‖ Ox1~T1 = ~T1(T11, T12, T13)

~n ‖ Ox2~T2 = ~T2(T21, T22, T23)

~n ‖ Ox3~T3 = ~T3(T11, T12, T13)

(13.58)

se observa ca ın orice punct M al mediului se poate defini starea de tensiune cu ajutorul

13.3. TENSORUL TENSIUNILOR. LEGEA DE MISCARE 175

ansamblului de noua numere Tik ; i, k = 1, 2, 3 , numite componentele tensiunii ın M .Primul indice va corespunde directiei normalei pozitive, iar cel de al doilea indice corespundeaxei ın lungul careia actioneaza componenta respectiva. Pentru i = k rezulta componentelenormale, iar pentru i 6= k rezulta componentele tangentiale (v. Fig. 13.5).

In cazul unei orientari arbitrare ~n a elementului dσ , vectorul tensiune ~Tn asociat elemen-tului respectiv, poate fi de asemenea exprimat cu ajutorul componentelor tensiunii. Utilizandtetraedrul elementar, dupa calcule simple rezulta :

~Tn =3∑

k=1

~Tknk (13.59)

unde nk ; k = 1, 2, 3 sunt cosinusii directori ai normalei ~n . In proiectie pe cele trei axe, din(13.59) rezulta :

Tni =3∑

k=1

Tkink ; i = 1, 2, 3 (13.60)

Pentru suprafete exterioare, expresiile (13.60) reprezinta conditii la limita .Numerele Tki ; i, k = 1, 2, 3 alcatuiesc elementele unui tensor simetric de ordinul doi ,

numit tensorul tensiunilor . Marimea Θ = T11 +T22 +T33 este invarianta la o transformareortogonala a sistemului de coordonate.

Folosind (13.59) si teorema impulsului (13.25) :

∫

D

ρ~a dv =∫

D

ρ ~f dv +∫

Σ

~Tndσ (13.61)

poate fi dedusa ecuatia de miscare a particulei materiale . Aplicand teorema Gauss-Ostrogradski :

∫

D

div ~V dv =∫

Σ

~V · ~n dσ adica∫

D

3∑

k=1

∂Vk

∂xk

dv =∫

Σ

3∑

k=1

Vknkdσ (13.62)

pentru componenta i a ultimului termen din teorema impulsului rezulta :

∫

Σ

Tnidσ =∫

Σ

3∑

k=1

Tkinkdσ =∫

D

3∑

k=1

∂Tki

∂xk

dv ; i = 1, 2, 3 (13.63)

sau ın scriere vectoriala : ∫

Σ

~Tndσ =∫

D

3∑

k=1

∂ ~Tk

∂xk

dv (13.64)

Introducand rezultatul ın teorema impulsului si grupand toti termenii ıntr-un singur membru,rezulta ca pentru orice D va trebui ca :

~a = ~f +1

ρ

3∑

k=1

∂ ~Tk

∂xk

(13.65)


care reprezinta ecuatia de miscare , ın interiorul mediului continuu deformabil, pentru par-ticula materiala care are acceleratia ~a ın pozitia ~r(x1, x2, x3) . Proiectand ecuatia vectoriala(13.65) pe axe, rezulta ecuatiile lui Cauchy :

ai = fi +1

ρ

3∑

k=1

∂Tki

∂xk

; i = 1, 2, 3 (13.66)

Aplicand teorema momentului cinetic (13.26) va rezulta ca tensorul avand componenteleTik ; i, k = 1, 2, 3 este un tensor simetric.

13.4 Legi constitutive. Ecuatiile lui Lame si Navier-

Stokes

Din punct de vedere principial, ın practica avem de a face cu doua clase mari de pro-bleme care se cer rezolvate : pe de o parte se cere sa se determine miscarea (sau echilibrul),pe de alta parte se cere sa se determine deformatiile si tensiunile. Este evident ca numarulecuatiilor avute la dispozitie pentru a rezolva astfel de probleme, anume ecuatiile Cauchy,ecuatia de continuitate, la care se adauga conditiile initiale si la limita, este mult mai micdecat numarul necunoscutelor pe care le contin, asa ıncat pentru formularea rationala a unorprobleme concrete, vor trebui introduse o serie de ipoteze restrictive suplimentare, subforma unor ecuatii sau relatii care sa lege ıntre ele necunoscutele. In cele ce urmeaza,acest lucru va fi facut pentru doua tipuri particulare de medii continue deformabile, anumepentru medii elastice si pentru medii fluide.

Deoarece ın fiecare punct al mediului deformatiile εik si tensiunile Tik ; i, k = 1, 2, 3reprezinta efecte ale acelorasi cauze, este natural sa se presupuna ca ıntre ele trebuie saexiste anumite relatii, care sa indice modul cum se comporta mediul din punct de vederemecanic. O astfel de relatie depinde de natura fizica a mediului si poarta numele de legeconstitutiva .

13.4.1 Medii elastice

In cazul unui corp omogen care suporta mici deformatii, ın fiecare punct al sau legeaconstitutiva are forma generala :

Tik = Tik(ε11, ε22, ε33, ε23, ε31, ε12) ; i, k = 1, 2, 3 (13.67)

Pentru un corp elastic omogen (un corp este elastic, daca ın urma ıncetarii actiunii de-formatoare, acesta revine la forma initiala) legea constitutiva are forma liniara :

Tik =3∑

j,l=1

Cik,jl εjl ; i, k = 1, 2, 3 (13.68)

Ecuatiile (13.68) reprezinta legea generalizata a lui Hooke , coeficientii Cik,jl , care suntindependenti de punctul pentru care sunt scrise ecuatiile, fiind modulii de elasticitatecare caracterizeaza din punct de vedere mecanic proprietatile elastice ale mediului studiat.

13.4. LEGI CONSTITUTIVE. ECUATIILE LUI LAME SI NAVIER-STOKES 177

Desi numarul total al modulilor de elasticitate este 81 , din considerente de simetrie numarulmodulilor independenti pentru corpul elastic omogen scade la 21 , iar daca ın plus corpuleste si izotrop, numarul modulilor de elasticitate independenti scade la 2 . In acest caz,ecuatiile (13.68) se scriu :

Tik = λϑ δik + 2µ εik ; i, k = 1, 2, 3 (13.69)

unde, conform (13.57) : ϑ = ε11 + ε22 + ε33 = div ~u . Modulii de elasticitate λ si µ poartanumele de constantele elastice ale lui Lame , care pot fi exprimate prin constantele teh-nice cunoscute, anume modulul de elasticitate longitudinala E (modulul Young) si modululde contractie transversala ν (coeficientul lui Poisson).

Adaugand cele 6 ecuatii (13.69) la ecuatiile de miscare (ın numar de 3) :

ρ∂2ui

∂t2= ρ fi +

3∑

k=1

∂Tik

∂xk

; i = 1, 2, 3 (13.70)

unde s-a avut ın vedere ca :

~r = ~r0 + ~u(~r0, t) si ~a =∂2~r(~r0, t)

∂t2=

∂2~u

∂t2(13.71)

si tinand cont de cele 6 ecuatii care leaga componentele deformatiei de componentele de-plasarii :

εik =1

2

(∂ui

∂xk

+∂uk

∂xi

); i, k = 1, 2, 3 (13.72)

rezulta un sistem de 15 ecuatii pentru tot atatea necunoscute ui , εik , Tik ; i, k = 1, 2, 3 ,solutia fiind unica doar daca se precizeaza conditiile la limita (sub forma unor deplasari sausarcini exterioare) si conditiile initiale. In functie de conditiile la limita impuse, problemapoate fi rezolvata alegand drept necunoscute fundamentale fie numai deplasarile, fie numaitensiunile, celelalte necunoscute fiind eliminate ıntre cele 15 ecuatii.

In cazul unei rezolvari ın deplasari , introducand (13.69) ın (13.70) rezulta :

ρ∂2ui

∂t2= ρ fi +

3∑

k=1

∂

∂xk

(λϑ δik + 2µ εik) = ρ fi + λ∂ϑ

∂xi

+ 2µ3∑

k=1

∂εik

∂xk

; i = 1, 2, 3 (13.73)

Folosind (13.72), pot fi calculate sumele :

3∑

k=1

∂εik

∂xk

=1

2

3∑

k=1

∂

∂xk

(∂ui

∂xk

+∂uk

∂xi

)=

1

2

3∑

k=1

∂2ui

∂x2k

+1

2

∂

∂xi

(3∑

k=1

∂uk

∂xk

)=

1

2∆ui +

1

2

∂ϑ

∂xi

i = 1, 2, 3 (13.74)

Reunind rezultatele, se obtin ecuatiile lui Lame :

µ ∆ui + (λ + µ)∂ϑ

∂xi

+ ρ fi = ρ∂2ui

∂t2; i = 1, 2, 3 (13.75)

care ın forma vectoriala se scriu compact :

µ ∆~u + (λ + µ) grad div ~u + ρ ~f = ρ∂2~u

∂t2(13.76)

unde div ~u = ϑ . Pentru conditii initiale si la limita bine precizate, ecuatia (13.76) permitedeterminarea deplasarilor ~u(u1, u2, u3) .


13.4.2 Fluide reale si ideale

In cazul fluidelor , legea constitutiva exprima o legatura ıntre tensiunile Tik ; i, k = 1, 2, 3si componentele tensorului viteza de deformatie . Deoarece ın cazul fluidelor, ıntr-un timp finit t , deplasarile pot fi foarte mari, pentru a putea folosi rezultatele obtinuteanterior ın cazul micilor deformatii, vor trebui sa fie luate ın considerare doar intervale detimp infinitezimale, pentru care deplasarile ui ; i = 1, 2, 3 sunt ınlocuite cu vidt ; i = 1, 2, 3 .Atunci :

εik =1

2

(∂ui

∂xk

+∂uk

∂xi

)=

1

2

(∂vi

∂xk

+∂vk

∂xi

)dt = vik dt ; i, k = 1, 2, 3 (13.77)

unde vik ; i, k = 1, 2, 3 reprezinta componentele tensorului vitezelor de deformatie .Legea constitutiva pentru un fluid real (vascos) are expresia :

Tik = −(p +

2

3η div~v

)δik + 2η vik ; i, k = 1, 2, 3 (13.78)

si evident, tensiunile se reduc la presiuni ın starea de echilibru (~v = 0). Coeficientul ηpoarta numele de coeficient de viscozitate . Legea (13.78) se simplifica daca fluidul esteincompresibil (div~v = 0), sau daca este ideal (η = 0).

Pentru deducerea ecuatiilor de miscare, expresiile (13.78) vor fi ınlocuite ın ecuatiile luiCauchy (13.66). Notand viteza deformatiei specifice de volum cu θ = div~v , rezulta :

dvi

dt= fi +

1

ρ

3∑

k=1

∂

∂xk

[−

(p +

2

3η θ

)δik + 2η vik

]= fi − 1

ρ

∂p

∂xi

− 2

3

η

ρ

∂θ

∂xi

+ 2η

ρ

3∑

k=1

∂vik

∂xk

i = 1, 2, 3 (13.79)

Folosind pentru evaluarea ultimelor sume expresii similare cu (13.74), se obtine :

dvi

dt= fi − 1

ρ

∂p

∂xi

+η

ρ∆vi +

1

3

η

ρ

∂θ

∂xi

; i = 1, 2, 3 (13.80)

care reprezinta ecuatiile Navier-Stokes pentru fluide reale (vascoase). In notatie vecto-riala, ecuatiile (13.80) devin :

d~v

dt= ~f − 1

ρgrad p +

η

ρ∆~v +

1

3

η

ρgrad div~v (13.81)

Daca fluidul este ideal (η = 0), se obtin ecuatiile lui Euler :

d~v

dt= ~f − 1

ρgrad p (13.82)

Adaugand la aceste ecuatii, ecuatia de continuitate a masei scrisa ın forma lui Euler :dρ

dt+ ρ div~v = 0 , precum si ecuatia caracteristica f(p, ρ) = 0 , avem la dispozitie un numar

de 5 ecuatii pentru cele 5 necunoscute ρ , p si ~v(v1, v2, v3) , solutia fiind unica daca se preci-zeaza conditiile initiale si la limita. In cazul unui fluid ideal , conditiile la limita exprimafaptul ca acesta aluneca pe peretii vasului, iar ın cazul fluidului vascos , aceleasi conditiila limita exprima faptul ca acesta adera la peretii vasului.

Bibliografie

[1] V. ARNOLD - Methodes mathematiques de la mecanique classique, EditionsMir, Moscou, 1976.

[2] N. I. BEZUHOV - Teoria elasticitatii si plasticitatii, Editura Tehnica, Bucuresti,1957.

[3] P. BRADEANU - Mecanica fluidelor, Editura Tehnica, Bucuresti, 1973.

[4] P. BRADEANU, I. POP, D. BRADEANU - Probleme si exercitii de mecanicateoretica, Editura Tehnica, Bucuresti, 1979.

[5] B. DEMSOREANU - Mecanica analitica si a mediilor deformabile (cu aplicatii),Tipo. Universitatea din Timisoara, 1980.

[6] L. DRAGOS - Principiile mecanicii analitice, Editura Tehnica, Bucuresti, 1976.

[7] L. DRAGOS - Principiile mecanicii mediilor continue, Editura Tehnica, Bucuresti,1981.

[8] M. DRAGANU - Introducere matematica ın fizica teoretica moderna. Vol. I,Editura Tehnica, Bucuresti, 1957.

[9] GH. DRECIN - Mecanica teoretica. Partea a II-a, Tipo. Universitatea dinTimisoara, 1973.

[10] M. M. FILONENCO-BORODICI - Teoria elasticitatii, Editura Tehnica, Bucuresti,1952.

[11] J. FLOREA, V. PANAITESCU - Mecanica fluidelor, Editura Didactica si Pedago-gica, Bucuresti, 1979.

[12] Z. GABOS, D. MANGERON, I. STAN - Fundamentele mecanicii, Editura Acade-miei, Bucuresti, 1962.

[13] F. GANTMACHER - Lectures in Analytical Mechanics, Mir Publishers, Moscow,1970.

[14] H. GOLDSTEIN - Classical Mechanics, Addison-Wesley, Cambridge, Mass., 1953.

179

180 BIBLIOGRAFIE

[15] O. V. GOLUBEVA - Teoreticeskaia mehanika. Izd. 2-e, Izd. Vassaia skola, Moskva,1968.

[16] L. G. GRECHKO, V. I. SUGAKOV, O. P. TOMASEVICH, A.M. FEDORCHENKO -Problems in Theoretical Physics, Mir Publishers, Moscow, 1977.

[17] M. HAIMOVICI - Teoria elasticitatii, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti,1969.

[18] C. IACOB - Mecanica teoretica, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1971.

[19] C. IACOB - Introducere matematica ın mecanica fluidelor, Editura Academiei,Bucuresti, 1952.

[20] A. S. KOMPANEET - Kurs teoreticeskoi fiziki. Tom I, Izd. Prosvescenie, Moskva,1972.

[21] G. KOTKINE, V. SERBO - Recueil de problemes de mecanique classique,Editions Mir, Moscou, 1981.

[22] L. LANDAU, E. LIFCHITZ - Mecanique, Editions Mir, Moscou, 1960.

[23] L. LANDAU, E. LIFCHITZ - Theorie de l’elasticite, Editions Mir, Moscou, 1967.

[24] L. LANDAU, E. LIFCHITZ - Mecanique des fluides, Editions Mir, Moscou, 1971.

[25] M. MAYER - Ecuatiile fizicii matematice (pentru sectiile de fizica), EdituraDidactica si Pedagogica, Bucuresti, 1961.

[26] I. MERCHES, L. BURLACU - Mecanica analitica si a mediilor deformabile,Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1983.

[27] N. I. MUSHELISVILI - Nekotoraie osnovnaie zadaci matematiceskoi teoriiuprugosti. Izd. 5-e, Izd. Nauka, Moskva, 1966.

[28] V. NOVACU - Mecanica teoretica, Tipo. Universitatea din Bucuresti, 1969.

[29] W. NOWACKI - Dinamica sistemelor elastice, Editura Tehnica, Bucuresti, 1969.

[30] I. I. OLHOVSKI - Kurs teoreticeskoi mehaniki dlia fizikov, Izd. 2-e, Izd. Mosk.Univ., Moskva. 1974.

[31] A. RADU - Probleme de mecanica, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti,1978.

[32] I. N. SNEDDON, D. S. BERRY - The Classical Theory of Elasticity, Handbuchder Physik, Bd. VI, Springer-Verlag, Berlin, 1958.

[33] A. STOENESCU, GH. SILAS - Mecanica teoretica, Editura Tehnica, Bucuresti,1957.

BIBLIOGRAFIE 181

[34] A. STOENESCU, GH. BUZDUGAN, A. RIPIANU, M. ATANASIU - Culegere deprobleme de mecanica toeretica, Editura Tehnica, Bucuresti, 1958.

[35] G. K. SUSLOV - Mecanica rationala, Editura Tehnica, Bucuresti, 1950.

[36] P. P. TEODORESCU - Dinamica corpurilor liniar elastice, Editura Academiei,Bucuresti, 1972.

[37] P. P. TEODORESCU, V. ILLE - Teoria elasticitatii si introducere ın mecanicasolidelor deformabile. Vol. I, Editura Dacia, Cluj-Napoca, 1976.

[38] M. Vasiu - Fizica teoretica. Ed. a II-a, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti,1970.

[39] V. VALCOVICI - Curs de mecanica, Tipo. Universitatea din Bucuresti, 1958.

[40] V. VALCOVICI, ST. BALAN, R. VOINEA - Mecanica teoretica, Editura Tehnica,Bucuresti, 1959.

[41] B. YAVORSKI, A. DETLAF - Aide-memoire de physique, Editions Mir, Moscou,1975.

physics.uvt.rophysics.uvt.ro/~brutus/mecanalt.pdf · Cuprins I Mecanica newtonian‚a 7 1 Elemente...

Documents

Transcript of physics.uvt.rophysics.uvt.ro/~brutus/mecanalt.pdf · Cuprins I Mecanica newtonian‚a 7 1 Elemente...