Institut fr BaustatikifbTechnische Universitt GrazErzherzog-Johann-UniversittBaustatik 2Skriptum zur Lehrveranstaltung 202.292, Bachelorstudium, BauingenieurwissenschaftenVortragender: Univ.-Prof. Dr. Gernot BeerSS 20100-2 Baustatik 2Deformationsmethode1-1Einfhrung1-1Diskretisiertes Tragwerksmodell1-2Vorzeichenkonvention fr Kraft- und Weggren1-3Ebene Stabelemente1-5Berechnung der Steifigkeitskoeffizienten1-6Beidseitig gelenkig angeschlossener Stab - Fachwerkstab1-6Beiderseits starr angeschlossener Biegestab1-12Verschiebung quer zur Stabachse 1-12Verdrehung 1-14Zusammenfassung der Ergebnisse1-17Einseitig gelenkig angeschlossener Stab1-18Globale Steifigkeitskoeffizienten1-19Einfluss der Querschubanteile1-21Starreinspannwerte1-21Gleichlast1-21Temperaturnderung1-23Gleichmige Erwrmung1-24Temperaturgradient1-25Weitere Starreinspannwerte1-27Berechnungsschritte1-32Schritt 1: Diskretisierung des Systems1-32Schritt 2: Bestimmung der unbekannten Weggren1-33Allgemeines1-33Schritt 3: Belastung am kinematisch bestimmten System aufbringen.1-35Schritt 4: Verformungszustand D1=1 am kinematisch best. Grundsystem1-36Schritt 5: Verformungszustand D2=1 am kinematisch best. Grundsystem1-37Schritt 5: Verformungszustand D3=1 am kinematisch best. Grundsystem1-38Schritt 6: Aufstellung der Knotengleichgewichtsbedingungen1-39Schritt 7: Lsung des Gleichungssystems1-39Schritt 8: Bestimmung der Schnittgren1-39Matrix stiffness method2-1Einfhrung2-1Numerisches Modell des Tragwerks2-1Definition der Weg- und Kraftgren an den Knoten und Elementen2-3Lokale Elementsteifigkeitsmatrix2-4Transformation lokal-global2-6Globale Elementsteifigkeitsmatrix2-7Assemblierung der Steifigkeitsmatrix2-8Assemblierung des Belastungsvektors2-12Knotenkrfte2-12Belastung zwischen den Knoten2-12Lsung des Gleichungssystems2-13Gausches Eliminationsverfahren2-13Spezielle Methoden zur Lsung von schwach besetzten Matrizen2-15Berechnung der Ergebnisse2-1600-3 Baustatik 2Stabverformungen2-17Schnittkraftverlufe2-18Federelemente2-20Wegfedern2-20Drehfedern2-20Allgemeine Federlagerung2-21Verwendung von Federn fr Auflagerbedingungen2-21Rechenbeispiel2-22Numerisches Modell2-23Berechnung der Elementsteifigkeitsmatrizen2-24Lokale Steifigkeitsmatrix2-24Transformationsmatrix2-24Globale Elementsteifigkeitsmatrizen2-25Assemblierung der Systemsteifigkeitsmatrix2-27Belastungsvektor2-28Starreinspannwerte in lokaler Richtung2-28Starreinspannwerte in globalen Richtungen2-28Assemblierung des Belastungsvektors2-29Lsung des Gleichungsystems2-29Zurodnung der WGR zu den Elementen und Transformation2-30Berechnung der StabendKGR2-31Schnittgren2-32Momentenverlauf2-32Querkraftverlauf2-32Normalkraftverlauf2-33Drehwinkelverfahren3-1Einfhrung3-1Definition der Stabverformung ber Drehwinkel3-2Berechnung der Steifigkeitskoeffizienten3-3Beiderseits starr angeschlossener Biegestab3-3Einseitig gelenkig angeschlossener Biegestab3-4Berechnungsschritte3-5Schritt 2: Bestimmung der unbekannten Drehwinkel3-5Schritt 3: Bestimmung der abhngigen Sehnendrehungen3-6Allgemeines3-6Schritt 4: Belastung am kinematisch bestimmten System aufbringen.3-7Schritt 5: Verformungszustand D1=1 am kinematisch best. Grundsystem3-9Schritt 6: Verformungszustand D2=1 am kinematisch best. Grundsystem3-12Schritt 6: Aufstellung der Knotengleichgewichtsbedingungen3-14Schritt 7: Lsung des Gleichungssystems3-14Schritt 8: Bestimmung der Schnittkrfte3-15Verschieblicher Rahmen3-19Angabe3-19Diskretisierung des Systems3-20Bestimmung der unbekannten Drehwinkel3-20Bestimmung der abhngigen Sehnendrehungen3-210-4 Baustatik 2Schritt 1: Belastung am kinematisch bestimmten System3-22Schritt 2: D1=13-25Schritt 3: D2=13-27Schritt 4: D3=13-29Gleichgewichtsbedingungen3-31Temperaturnderung3-33Belastung am kinematisch bestimmten Grundsystem3-34Temperaturgradient3-35Gleichmige Temperaturerhhung3-37Auflagerverschiebung3-39Kinematisch bestimmtes Grundsystem3-41Beispiel mit Feder 3-46Belastung am kinematisch bestimmten System 3-48Kinematisch bestimmtes Grundsystem3-41Beispiel mit Feder 3-46Belastung am kinematisch bestimmten System 3-48D1=1, D2=0, D3=0 3-49D1=0, D2=1, D3=0 3-50D1=0, D2=0, D3=1 3-51Symmetrische Tragwerke4-1Einfhrung4-1Achsensymmetrie4-1Symmetrieachse schneidet normal zur Stabachse4-3Symmetrieachse schneidet den Stab parallel zur Stabachse4-4Zyklische Symmetrie4-6Beispiele4-6Symmetrisches System4-6Diskretisierung des Systems4-7Ersatzsystem fr Lastfall 14-7Bestimmung der unbekannten Drehwinkel4-8Schritt 1: Belastung am kinematisch bestimmten System4-9Schritt 2: D1=14-10Ergebnisse4-11Antimetrisches System4-12Ersatzsystem4-12Bestimmung der unbekannten Drehwinkel4-13Schritt 1: Belastung am kinematisch bestimmten System4-13Schritt 2: D1=14-14Schritt 3: D2=14-15Ergebnisse4-16Zyklische Symmetrie4-18Ersatzsystem4-1800-5 Baustatik 21-1 Baustatik 21Deformationsmethode1.1EinfhrungFr die Berechnung von statisch unbestimmten Systemen gibt es ein zweites Ver-fahren: die Deformationsmethode (stiffness method). Letztere ist auch unter demNamen Weggrenverfahren, Verschiebungsgrenverfahren oder Steifigkeitsme-thodebekannt.DerUnterschiedbestehtdarin,dasbeiderKraftgrenmethodezuerst die Gleichgewichtsbedingungen und dann die Vertrglichkeitsbedingungenerfllt werden whrend es bei der Deformationsmethode genau umgekehrt ist. Diessoll an Hand eines Beispiels eines Durchlauftrgers erklrt werden (Abb. 1.1). Abb. 1.1 Gegenberstellung Kraftgren- und DeformationsmethodeBei der Kraftgrenmethode wird ein statisch bestimmtes Grundsystem eingefhrtindemmaneinGelenkberdemAuflagereinfhrt.WiemaninAbb.1.1anderStatischbestimmtesGrundsystemVertrglichkeitsbedingung!KinematischbestimmtesGrundsystemd1d2d3Gleichgewicht !!1Deformationsmethode1-2EinfhrungBaustatik 2verformtenFigurerkennt,wirddieVertrglichkeitsbedingung(eindeutigeTan-gente) ber dem Auflager nicht erfllt und mu durch ein aufgebrachtes Momen-tenpaarwiederhergestelltwerden.DieGrediesesMomentswirdmitderVertrglichkeitsbedingung bestimmt. Bei der Deformationsmethode wird ein kinematisch bestimmtes Grundsystem ein-gefhrt (alle unbekannten Weggren werden zu Null gesetzt). In Abb. 1.1 ist dar-gestellt das in diesem Fall die Gleichgewichtsbedingungen nicht erfllt sind, da anallen Knoten ein Moment aufgebracht werden mu um die Verdrehung zu verhin-dern.WerdendieHaltemomenteweggenommenverdrehensichdieKnoten.Frdie Bestimmung dieser Verdrehungen verwendet man die Bedingung, das alle amKnoten angreifende inneren Krfte im Gleichgewicht sind. Hier soll die Deforma-tionsmethode nher erklrt werden. Abb. 1.2 Tragwerk und diskretisiertes Tragwerk 1.1.1Diskretisiertes TragwerksmodellDerersteSchrittderDeformationsmethodeistesdasTragwerkinStabelementewelche an Knoten verbunden sind, zu unterteilen. Diesen Vorgang nennt man auchDiskretisierung.BeieinemdiskretisiertenTragwerksmodelltretenunbekannteWeggrennurandenKnotenpunktenauf.AusdiesenkanndieVerformungdereinzelnenStabelementeunddamitauchderVerlaufderInnererKraftgrenausden Knotenweggren bestimmt werden. Die Bewegungsmglichkeiten der Kno-StabelementKnoten1212 341-3 Baustatik 2DeformationsmethodeEinfhrungten sind fr ebene Tragwerke: die horizontale und vertikale Verschiebung und dieVerdrehung.DieseBewegungsmglichkeitennenntmanauchFreiheitsgrade(degrees of freedom). Je nach dem wie die Knoten ausgebildet sind mssen fr dieangrenzendenStabelementegewisseVertrglichkeitsbedingungenerflltwerden.Je nach verwendeten Symbol sind die Verdrehungen der an den Knoten verbunde-nen Stbe voneinander abhngig oder unabhngig. Die verwendeten Symbole sindFr das in Abbildung 1.2 dargestellte Tragwerk sind in Abb. 1.3 die Freiheitsgradedargestellt.DasTragwerk hat 11 Freiheitsgrade, 6 Verschiebungen und 5 Verdre-hungen. Der Einfachheit halber werden die Freiheitsgrade hier durchgehend nume-riert und mit bezeichnet.Abb. 1.3 Tragwerk mit Freiheitsgraden1.1.2Vorzeichenkonvention fr Kraft- und WeggrenBeidenKraft-undWeggrenunterscheidenwirzwischenuerenundinnerenundobsieamKnotenoderamStabelementwirken.Abb.1.4.zeigtdieVorzei-chenkonvention fr Knoten Weg- und Kraft-gren. Die inneren Kraftgren wer-den durch das Freischneiden der Stabelemente vom Knoten freigelegt. Die lokaleKoordinate x verluft entlang des Stabes von i nach j. Statt der lokalen Numerie-rungderEndknotenkannauchdieKennfaserverwendetwerden,daeineklareBeziehung besteht. Die am Stab angreifenden inneren Kraftgren in Abb. 1.5 sindauf die Stabachse bezogen und entsprechen daher der Gre nach den Schnittkrf-ten.starre Verbindung - Verdrehungen aller verbundenen Stbegelenkige Verbindung - Verdrehungen aller verbundenenHalbgelenk - Verdrehung des mit Halbgelenk verbundenenStbe sind unabhngig Stabes ist unabhngingsind gleichD1D7D1D2D3D4D5D6D71Deformationsmethode1-4EinfhrungBaustatik 2AllerdingsistdieVorzeichenkonventionhieranders.WhrenddieRichtungderSchnittgren davon abhngt ob man das linke oder rechte Schnittufer betrachtet,ist die Konvention fr die Deformationsmethode die, dass die inneren Krfte unab-hngig davon sind. Der Grund dafr ist, dass die Methode auch zum Programmie-rengeeignetseinsollunddieBegriffelinks/rechtsfrdenComputerunverstndliche Ausdrcke sind. Um diesen Unterschied zu den Schnittgren zuunterstreichen werden die inneren Kraftgren nicht mit N, Q, M sondern mit, px ,py , m bezeichnet.Abb. 1.4 Vorzeichenkonvention fr positive Knoten-weg- und kraftgrenAbb. 1.5 Innere Kraftgren am Stab und an den KnotenXYuXuYuWeggrenKraftgrenMPXPYmjmipyjpyipxjpxiStabelementEndknoten jpyjmjAnfangsknoten ipyimiyxijKennfaser1-5 Baustatik 2DeformationsmethodeEbene Stabelemente1.2Ebene StabelementeDir Grundlage der Deformationsmethode ist es zunchst die Stabelemente einzelnzu betrachten und dann zu einem Tragwerk zu assemblieren. Die Einflsse welcheaufeinStabelementwirkenknnensind:Verschiebung/VerdrehungderElement-knoten und eine Belastung zwischen den Knoten. Abb. 1.6 Globale Weggren eines StabelementsAbb. 1.7 Lokale Weggren eines StabelementsIn Abb. 1.6 und Abb. 1.7 werden die Weggren eines Stabelements im globalenundlokalenKoordinatensystem(entlangundquerzurStabrichtung)gezeigt.InAbb. 1.8 und Abb. 1.9 sind die inneren Kraftgren dargestellt. Dabei werden dieglobalenKoordinatenmitGrobuchstaben,dielokalenmitKleinbuchstabenbezeichnet.Esflltauf,dasssichbeidemVerdrehungsfreiheitsgradbzw.demMoment keine nderung zwischen den lokalen und globalen Gren ergibt, da derMomentenvektor aus der Ebene zeigt.XYuXiijuXjuYiuYjuiujXYuxiijuxjuyiuyjuiujxy1Deformationsmethode1-6Berechnung der SteifigkeitskoeffizientenBaustatik 2Abb. 1.8 Globale Kraftgren eines StabelementsAbb. 1.9 Lokale Kraftgren eines Stabelements1.3Berechnung der SteifigkeitskoeffizientenHier werden die Einwirkungen getrennt behandelt, indem man alle Weggren zuNullsetztunddannnureinenEinheitswerteinerWeggrebercksichtigt.DieAuswirkung dieser Einheitsgre auf die inneren Kraftgren wird bestimmt. DiesoerhaltenenKraftgrenwerdenalsSteifigkeitskoeffizienten(stiffnesscoef-ficients)bezeichnet.Dabeiistzuunterscheiden, ob die Einheits-Weggren bzw.dieerhaltenenKraftgreninRichtungderlokalenStabachsenoderinglobalerRichtung angenommen werden. 1.3.1Beidseitig gelenkig angeschlossener Stab - FachwerkstabZunchst betrachten wir ein Stabelement, das an beiden Enden gelenkig am Kno-ten angeschlossen ist und zwischen den Knoten keine Belastung erfhrt: den Fach-werkstab.HieristdasMomentandenStabendenNull.ZuerstwerdendieSteifigkeitskoeffizienten im lokalen und anschlieend im globalen Koordinatensy-stem bestimmt. XYipXipYipXjpYjmimjjipxipyipxjpyjmimjxyXYj1-7 Baustatik 2DeformationsmethodeBerechnung der SteifigkeitskoeffizientenAbb. 1.10 Lokale Stabendkraftgren infolge Einheitswerte lokaler WeggrenAuseinerVerschiebungdesKnotensiumeinenBetrag1 inStabrichtungergibtsich die Dehnung im Stab :Aus dem Hookeschen Gesetz erhlt man dann die Spannung zu EAL--------LEAuxi1 =uyi1 =uyj1 =EAL-------- 00EAL--------EAL-------- 0000000000uxj1 =xyc1L--- =o E c =1Deformationsmethode1-8Berechnung der SteifigkeitskoeffizientenBaustatik 2und somit die Stabkraft bzw. die Kraftgre am Stabende i mitAndere Kraftgren ergeben sich aus Gleichgewichtsbedingungen. Man sieht, dassfr die Verschiebungen in die lokale y-Richtung keine Stabkrfte entstehen. Diesgilt natrlich nur unter der Annahme kleiner Verformungen (siehe Skriptum Bau-statik 1, Abschnitt 4.1.1). Mit Hilfe der eben errechneten Steifigkeitskoeffizientenistesnunmglich,eineBeziehungenzwischendenKnotenweggrenunddenKnotenkraftgren herzustellen. Fr den Fachwerkstab sind diese:Die Stabkraft ist somitDer Einflu von globalen Weggren auf globale Kraftgren ist in Abb. 1.11 frdie Verschiebungen am Knoten i und in Abb. 1.12 fr die Verschiebungen am Kno-tenjdargestellt.HierbestimmtmanzuerstdieLngennderungdesStabes.AusdieserkannmandanndieKraftgreinStabrichtungbestimmen.DieglobalenKraftgren werden dann als die globalen Komponenten des Kraftvektors in Stab-richtungbestimmt.Mansieht,dasshier2Transformationenstattfinden,einederWeggren, die andere der Kraftgren.pxiA o EAL-------- = =pxiEAL-------- uxiuxj ( ),pxjEAL-------- uxjuxi ( ) = =pyi0,pyj0= =S p xipxjEAL-------- uxjuxi ( ) = = =1-9 Baustatik 2DeformationsmethodeBerechnung der SteifigkeitskoeffizientenAbb. 1.11 Globale Stabendkraftgren infolge von globalen Weggren am Anfangsknoten iuXi1 =ijo1 cosoEA/L cosoEAL-------- o2cos EAL-------- o o sin cos EAL-------- o2cos EAL-------- o o sin cos uYi1 =ijoEA/L sinoEAL-------- o2sin EAL-------- o sin o cos EAL-------- o2sin EAL-------- o sin o cos 1 sinoLEA1Deformationsmethode1-10Berechnung der SteifigkeitskoeffizientenBaustatik 2Abb. 1.12 Globale Stabendkraftgren infolge von globalen Weggren am Endknoten jMit Hilfe der eben errechneten Steifigkeitskoeffizienten ist es nun mglich Bezie-hungen zwischen den Knotenweggren und den Knotenkraftgren herzustellen. uXj1 =ijo1 cosoEAL-------- o2cos EAL-------- o o sin cos EAL-------- o2cos EAL-------- o o sin cos uYj1 =ijoEA/L sinoEAL-------- o2sin EAL-------- o sin o cos EAL-------- o2sin EAL-------- o sin o cos 1 sinoEA/L coso1-11 Baustatik 2DeformationsmethodeBerechnung der SteifigkeitskoeffizientenFr den Fachwerkstab sind diese:Die Stabkraft wird aus den globalen Knotenverschiebungen wie folgt berechnet:Die Steifigkeitskoeffizienten sind in Tab. 1.1 dargestellt.Tab. 1.1 Globale Steifigkeitskoeffizienten fr den FachwerkstabpXiEAL-------- o2uXiuXj ( )EAL-------- o o uYiuYj ( ) cos sin + cos =pYiEAL-------- o2uYiuYj ( )EAL-------- o o uXiuXj ( ) cos sin + sin =pXjEAL-------- o2uXjuXi ( )EAL-------- o o uYjuYi ( ) cos sin + cos =pYjEAL-------- o2uYjuYi ( )EAL-------- o o uXjuXi ( ) cos sin + sin =SEAL-------- uXiuXj ( ) o uYiuYj ( ) o sin + cos ( ) =uXi1 = uYi1 =pXiEAL-------- o2cosEAL-------- o o cos sinpYipXjpYjEAL-------- o o cos sinEAL-------- o2sinEAL-------- o2cosEAL-------- o o cos sinEAL-------- o o cos sinEAL-------- o2sinuXj1 =EAL-------- o2cosEAL-------- o o cos sinEAL-------- o2cosEAL-------- o o cos sinuYj1 =EAL-------- o o cos sinEAL-------- o2sinEAL-------- o o cos sinEAL-------- o2sinoooo1Deformationsmethode1-12Berechnung der SteifigkeitskoeffizientenBaustatik 21.3.2Beiderseits starr angeschlossener BiegestabHierbetrachtenwirdenallgemeinerenFalldesbeiderseitsstarrangeschlossenenBiegestabs. Der Stab hat nun sechs Freiheitsgrade. Es wird wieder so vorgegangen,dass zunchst die Weggren/Kraftgren in lokalen Koordinaten betrachtet wer-den. Die Verformungszustnde uxi=1 und uxj=1 wurden bereits behandelt. Fr dieBestimmungderKraftgrenausdenanderenVerformungszustndenwirddieKraftgrenmethode verwendet. Das zu berechnende Tragwerk ist 3-fach statischunbestimmt. Es kann aber erkannt werden, dass fr die untersuchten aufgebrachtenVerformungen die unbekannte Kraftgre inRichtung des Stabes Null sein wird.Die Querschubanteile werden zunchst einmal vernachlssigt.1.3.2.1Verschiebung quer zur Stabachse :Man erkennt, dass das System und die Belastung Antimetriebedingungen erfllen.Daher wird nur eine Unbekannte X1 (das Moment in der Einspannung) angesetzt(Abb. 1.13).Abb. 1.13 Verschiebungszustand und Wahl der Unbekannten.Am statisch bestimmten Grundsystem knnen die Verdrehungen der Stabenden einfach aus der Geometrie bestimmt werden (Abb. 1.14).Abb. 1.14 Statisch bestimmtes Grundsystem mit X1=0Die Klaffung am 0-System ergibt sich:uyj1 =uyi1 =xyX1X1uyi1 =uyi1 =1L--- =L2d102 = d101L--- =1-13 Baustatik 2DeformationsmethodeBerechnung der SteifigkeitskoeffizientenAbb. 1.15 Statisch bestimmtes Grundsystem mit X1=1Fr einen Stab mit konstanten Querschnittswerten erhlt man fr die Klaffung am1-System folgende Beziehung:Aus der Kompatibilittsbedingung ergibt sich nun die statisch Unbestimmte zu:Mit der Gleichgewichtsbedingung erhlt manund aus Summe aller Krfte quer zum Stab.Die Ergebnisse der Berechnung sind in Abb. 1.16 zusammengefat.d11X11 =X11 =d11-11M1Q12/Lij2EId11 M12 dx}= d11L6EI--------- = X1d10d11------- 1L--- 6EIL--------- \ .| |,X16EIL2--------- mimj= = = = =E MjmimjpyiL + 0 = =pyimimj+L------------------12EIL3------------ = =pyj12EIL3------------ =1Deformationsmethode1-14Berechnung der SteifigkeitskoeffizientenBaustatik 2Abb. 1.16 Zusammenfassung der StabendkraftgrenDer Schnittkraftverlauf ber das Stabelement ist in Abb. 1.17 gezeigt. Bei der gra-phischen Darstellung der Momente ist auf die Vorzeichen zu achten, da diese stetsauf die Kennfaser bezogen werden mssen.Abb. 1.17 Momenten- und Querkraftverlauf im Stabelement zufolge 1.3.2.2Verdrehung :Hier ist es notwendig zwei Unbekannte X1 und X2 (Momente in den Einspannun-gen) zu bestimmen (siehe Abb. 1.18). Abb. 1.18 Verdrehungszustand und Wahl der Unbekanntenuyi1 =x12EIL3------------ 6EIL2---------12EIL3------------6EIL2---------6EIL2---------6EIL2---------12EIL3----------- -MQuyi1 =ui1 =ui1 =xyX1X2ui1 =1-15 Baustatik 2DeformationsmethodeBerechnung der SteifigkeitskoeffizientenAbb. 1.19 Statisch bestimmtes Grundsystem mit X1=1.Abb. 1.20 Statisch bestimmtes Grundsystem mit X2=1Fr einen Stab mit konstanten Querschnitt sind die Klaffungen:Die Vertrglichkeitsbedingungen sind:und damitd11X11 =d21-1M1d12X21 =d221M2EId11EId22L3--- , EId12EId21L6--- = = = =d1d11X1d12X2 + 1 = =d2d21X1d22X2 + 0 = =L3--- XiL6--- Xj 0 =L6--- XiL3--- Xj+ EI =X22EIL---------mj= = X14EIL---------mi= =1Deformationsmethode1-16Berechnung der SteifigkeitskoeffizientenBaustatik 2Aus Gleichgewicht folgt:Die Ergebnisse sind in Abb. 1.21 zusammengefat.Abb. 1.21 Zusammenfassung der StabendkraftgrenDie Schnittkrfte sind wieder auf die Kennfaser zu beziehen (siehe Abb. 1.22).Abb. 1.22 Momenten- und Querkraftverlauf im Stabelement zufolge BeieinemStabmitkonstantemQuerschnittergebensichdierestlichenVerfor-mungszustnde aus Symmetrie.pyi6EIL2---------= pyj6EIL2--------- =ui1 =4EIL---------2EIL---------6EIL2---------6EIL2--------- QM4EIL ---------2EIL ---------6EIL2---------ui1 =1-17 Baustatik 2DeformationsmethodeBerechnung der Steifigkeitskoeffizienten1.3.2.3Zusammenfassung der ErgebnisseDielokalenKraftgrenauslokalenEinheitsweggrenandenKnotensindinTab. 1.2 zusammengefat.Tab. 1.2 Zusammenfassung der Ergebnisse fr starr angeschlossenen StabDie Beziehungen zwischen lokalen Kraftgren und den Weggren lauten:uxi1 = uyi1 = ui1 =uxj1 =uyj1 =uj1 =pxiEAL--------E AL-----------pyi6EIL2---------12EIL3------------12EIL3------------ 6EIL2---------mi6EIL2---------4EIL---------6EIL2--------- 2EIL---------pxjEAL-------- EAL--------pyj12EIL3------------ 6EIL2--------- 12EIL3------------6EIL2--------- mj6EIL2---------2EIL---------6EIL2--------- 4EIL---------00 0 000000 00 0000 0pxiEAL-------- uxiuxj ( ) =pyi12EIL3------------ uyiuyj ( )6EIL2--------- uiuj+ ( ) + =mi6EIL2--------- uyiuyj ( )4EIL---------ui2EIL---------uj + + =pxjEAL-------- u xiuxj+ ( ) =pyi12EIL3------------ u yiuyj+ ( )6EIL2--------- uiuj+ ( ) =mj6EIL2--------- uyiuyj ( )4EIL---------uj2EIL---------ui + + =1Deformationsmethode1-18Berechnung der SteifigkeitskoeffizientenBaustatik 21.3.3Einseitig gelenkig angeschlossener StabHier werden die Ergebnisse fr ein Stabelement gezeigt, welches am linken Kno-ten gelenkig verbunden ist.Tab. 1.3 Zusammenfassung der Ergebnisse, links gelenkig, rechts starr angeschlossener StabDie Beziehungen zwischen lokalen Kraftgren und den Weggren lauten:uxi1 = uyi1 =uxj1 =uyj1 =uj1 =pxiEAL--------E AL-----------pyi3EIL3---------3EIL3--------- 3EIL2---------mi00 0pxjEAL-------- EAL--------pyj3EIL3--------- 3EIL3---------3EIL2--------- mj3EIL2---------3EIL2--------- 3EIL---------00 0 000000 00 000000000pxiEAL-------- uxiuxj ( ) =pyi3EIL3--------- uyiuyj ( )3EIL2---------uj + =mi0 =pxjEAL-------- u xiuxj+ ( ) =pyj3EIL3--------- u yiuyj+ ( )3EIL2--------- uj =mj3EIL2--------- uyjuyi ( )3EIL---------uj + =1-19 Baustatik 2DeformationsmethodeBerechnung der Steifigkeitskoeffizienten1.3.4Globale SteifigkeitskoeffizientenDieBerechnungderglobalenKraftgrenwirdnurfrinAbb.1.23gezeigt.DerBerechnungsverlaufisthnlichwiebeimFachwerkstabd.h.eswer-den zunchst die Komponenten der Kraftgren am lokalen und dann am globalenKoordinatensystem bestimmt.Abb. 1.23 Globale Kraftgren am Knoten i aus Die Steifigkeitskoeffizienten sind in Tab. 1.4 zusammengefat.uXi1 =jo 1 cosoEA/L cosoLEA, EIuXi1 =1 sino-12EI/L3 sinoEAL--------12EIL3------------ \ . || |o o cos sinEAL-------- o2 12EIL3------------ o2sin + cos6EI L2------------ o siniuXi1 =1Deformationsmethode1-20Berechnung der SteifigkeitskoeffizientenBaustatik 2Tab. 1.4 Globale SteifigkeitskoeffizientenuXi1 = uYi1 = ui1 =pXiEAL-------- o2 12EIL3------------ o2sin + cosEAL--------12EIL2------------ \ . || |o o cos sinpYimipXjpYjmj6EIL2--------- o sinEAL--------12EIL2------------ \ . || |o o cos sinEAL-------- o2 12EIL3------------ o2cos + sin6EIL2--------- o cos6EIL2--------- o sin6EIL2--------- o sin4EIL---------EAL-------- o2 12EIL3------------ o2sin cos12EIL2------------EAL-------- \ . || |o o cos sin6EIL2--------- o sin12EIL2------------EAL-------- \ . || |o o cos sinEAL-------- o2 12EIL3------------ o2cos + sin6EIL2--------- o cos6EIL2--------- o sin6EIL2--------- o sin2EIL---------ooouXj1 =uYj1 =uj1 =pXiEAL-------- o2 12EIL3------------ o2sin + cosEAL--------12EIL2------------ \ . || |o o cos sinpYimipXjpYjmj6EIL2--------- o sinEAL--------12EIL2------------ \ . || |o o cos sinEAL-------- o2 12EIL3------------ o2cos + sin6EIL2--------- o cos6EIL2--------- o sin6EIL2--------- o sin4EIL---------EAL-------- o2 12EIL3------------ o2sin cos12EIL2------------EAL-------- \ . || |o o cos sin6EIL2--------- o sin12EIL2------------EAL-------- \ . || |o o cos sinEAL-------- o2 12EIL3------------ o2cos + sin6EIL2--------- o cos6EIL2--------- o sin6EIL2--------- o sin2EIL---------ooo1-21 Baustatik 2DeformationsmethodeStarreinspannwerte1.3.5Einflu der QuerschubanteileUmdenEinfluderQuerschubanteileaufdieSteifigkeitzubestimmen,mubeider Berechnung der Steifigkeit der Querkraftanteil bercksichtigt werden (d.h. beider Berechnung Klaffungen in 1.3.2 mu die virtuelle Arbeit aus Querkraft dazu-genommen werden.) Fr die Berechnung der Kraftgren ausin 1.3.2.1ist z.B. der vollstndige Ausdruck: mit Man sieht, dass der Einflu des Querschubs nur bei sehr ungnstigen VerhltnissenQuerschnittgre zu Lnge zum tragen kommt, da die Lnge mit dem Quadrat imNenner vorkommt.1.4StarreinspannwerteHier wird der Effekt einer Belastung zwischen den Knoten betrachtet. Dabei wer-denalleFreiheitsgradegesperrt,d.h.manrechnetmiteinemkinematischbestimmtenGrundsystem.DaszuberechnendeSystemist3-fachstatischunbe-stimmt, aus Symmetrie ergeben sich aber Vereinfachungen.1.4.1GleichlastAbb. 1.24 zeigt die Belastung am kinematisch bestimmt aufgelagerten Stab.Abb. 1.24 Kinematisch bestimmtes Grundsystemuyj1 =EId11 M12 dx+EIGAQ------------ Q12 dx+} }16--- LEIGAQ------------2L---\ .| |2L + = =X1d10d11------- 2LEI------L3---EIGAQ------------4L--- +\ .| |---------------------------------------,X16EIL21 c + ( )----------------------- m1m2= = = = =c12EIL2GAQ------------------ =i jLqEI X1X1x1Deformationsmethode1-22StarreinspannwerteBaustatik 2DieBerechnungerfolgtmitdemKraftgrenverfahren.ZunchstwirdderBela-stungszustand am statisch bestimmten Grundsystem ermittelt. Abb. 1.25 Belastung am statisch bestimmten GrundsystemAbb. 1.26 Einheitswerte der Unbekannten am stat. bestimmten GrundsystemDie Klaffungen ergeben sich als:und damitM0qL28----------+qd10d10d11M1-1d11X11 =X11 =EId1023---qL28--------- 1 ( ) L , EId11 1 ( ) 1 ( ) L = =X123-- -qL38--------- L-----------------qL212--------- mimj = = = =1-23 Baustatik 2DeformationsmethodeStarreinspannwerteAbb. 1.27 Zusammenfassung der Ergebnisse1.4.2TemperaturnderungIst die Temperaturnderung ber den Querschnitt nicht konstant sondern linearvernderlich kann man den Zustand in Anteile gleichmiger und ungleichmigerErwrmung aufteilen (Abb. 1.28).Abb. 1.28 Aufteilung einer ungleichmigen TemperatureinwirkungqL212 ----------qL212 ----------qL2-------qL2------ -LMqL212 ----------qL212 ----------qL28----------qL2------ -QqL2-------ATu ATuAToATS=ATSATo+hSchwerlinie1Deformationsmethode1-24StarreinspannwerteBaustatik 21.4.2.1Gleichmige ErwrmungHier braucht man nur eine Unbekannte ansetzen, da kein Moment und keine Quer-kraft auftritt.Abb. 1.29 Gleichmige Erwrmung eines StabesAbb. 1.30 Statisch bestimmtes Grundsystem Abb. 1.31 Zustand X1=1Das Ergebnis der Berechnung ist:ATsi jLX1X1d10d11X11 = X11 =-1N1X1oT ATsL LEA------------------------------------ EA oT AT pxipxj = = = =1-25 Baustatik 2DeformationsmethodeStarreinspannwerte1.4.2.2TemperaturgradientIn diesem Fall tritt nur eine Krmmung und keine Normalkraft auf. Aus der Sym-metriebedingung ergibt sich nur eine Unbekannte.Abb. 1.32 Ungleichmige Erwrmung eines StabesAbb. 1.33 Statisch bestimmtes Grundsystem Abb. 1.34 Zustand X1=1Die Unbekannte ergibt sich zu :ATuAToijLX1X1d10d10d11M1-1d11X11 =X11 =X1o TATuATo ( )h------------------------------ L LEI----------------------------------------------------------- EIoTATuATo ( )h------------------------------ mimj = = = =1Deformationsmethode1-26StarreinspannwerteBaustatik 2InAbb.1.35sinddieErgebnisseausTemperaturzusammengefat,dabeiistATsdie Temperaturnderung in der Schwerachse des Querschnitts.Abb. 1.35 Zusammenfassung der Ergebnisse TemperaturE IoTATuATo ( )h------------------------------ E IoTATuATo ( )h------------------------------ EA oT ATs E A oT ATs MNEIoTATuATo ( )h------------------------------ E A oT ATs 1-27 Baustatik 2DeformationsmethodeStarreinspannwerte1.4.3Weitere StarreinspannwerteIn den folgenden Tabellen sind weitere Einspannwerte fr das Biegemoment auf-gelistet. Die Stabendkraftgren knnen aus dem Gleichgewicht ermittelt werden.Tab. 1.5 Starreinspannwerte BELASTUNGSFALLLEI = constmjBmiBi jmiBmjB+qL212---------qqL212---------+11192--------- qL2qL/2 L/25192--------- qL2+qc24L---------- 3L2c2 ( )qL/2 L/2cqc24L----------3L2c2 ( )+L260------ 3qA2qB+ ( )qBqAL260------ 2qA3qB+ ( ) +qL220---------qqL230---------1Deformationsmethode1-28StarreinspannwerteBaustatik 2BELASTUNGSFALLLEI = constmjBmiBi jmiBmjB+596------ qL2qL/2 L/2596------ qL2+PL8-------L/2 L/2PPL8-------+Pab2L2------------a bPPa2bL2------------+M4-----L/2 L/2M+M4-----+MbL2-------- 3a L ( )a bM+MaL2-------- 3b L ( )1-29 Baustatik 2DeformationsmethodeStarreinspannwerteTab. 1.6 Starreinspannwerte fr einseitig gelenkig aufgelagerten StabBELASTUNGSFALLBELASTUNGSFALLLEI = constmjBmiBi jmiBmjB6EIL2--------- A A B A ( ) AAABSttzensenkung6EIL2--------- A A B A ( ) +EIT oTAh------------------------T DhklterwrmerEIT oTAh------------------------LEI = constmjBi jmiBmjB0qqL28---------0qL/2 L/27128--------- qL21Deformationsmethode1-30StarreinspannwerteBaustatik 2BELASTUNGSFALLLEI = constmjBi jmiBmjB0qL/2 L/2cqc16L---------- 3L2c2 ( ) 0qBqAL2120---------7qA8qB+ ( ) 0q7120--------- qL20qL/2 L/2564------ qL20L/2 L/2P316------ PL0a bPPab2L2--------- L a + ( ) 1-31 Baustatik 2DeformationsmethodeStarreinspannwerteBELASTUNGSFALLLEI = constmjBi jmiBmjB0L/2 L/2M+ M8-----0a bM+ M2L2---------L23a2 ( )0AAABSttzensenkung3EIL2--------- A A B A ( ) 0T Dhklterwrmer3EIT oTA2h---------------------------1Deformationsmethode1-32BerechnungsschritteBaustatik 21.5BerechnungsschritteDie Deformationsmethode soll hier an Hand eines Beispiels erklrt werden. Abb.1.36 zeigt das zu berechenende Tragwerk (dieses ist 3-fach statisch unbestimmt).Abb. 1.36 Beispiel zur Deformationsmethode1.5.1Schritt 1: Diskretisierung des SystemsIn Abb. 1.37 wird das System in Stabelemente unterteilt und die Stbe sowie dielokalenKnoteni,jbezeichnet.Stabelement1istbeidseitigstarrangeschlossen,2ist an der rechten Seite gelenkig angeschlossen und Stab 3 ist ein Fachwerkstab.Abb. 1.37 DiskretisierungHier sei anzumerken, dass die positive Richtung von o zu bercksichtigen ist unddieser Winkel von der lokalen Numerierung des Elements abhngt.30L1=6,00 mL2=5,00 mL3 = 6,93 mBiegestab:EI 5410kNm2=EAB6610kN =q=10 kN/mFachwerkstab:EA 6510kN =1 23iji jij1o 30 =L1L2L31-33 Baustatik 2DeformationsmethodeBerechnungsschritte1.5.2Schritt 2: Bestimmung der unbekannten WeggrenInAbb.1.38werdendieunbekanntenWeggrendesSystemsidentifiziert.DasSystem hat 3 unbekannte Weggren, 2 Verschiebungen und eine Verdrehung amKnoten 1. Das System ist 3-fach kinematisch unbestimmt. Die Weggren wer-denmitD1-D3bezeichnet.DiepositivenRichtungenderWeggrenistinRich-tung der globalen Achsen bzw. entgegen dem Uhrzeigersinn,Hier soll darauf hingewiesen werden, dass im Gelenk des rechten Auflagers eineVerdrehung auftritt. Bercksicht man jedoch die reduzierte Steifigkeit des Stabes 2soistdiesebekannt,wenndieVerdrehungamKnoten1bekanntist.Daherwirddiese Weggre nicht als Unbekannte bercksichtigt. Abb. 1.38 Unbekannte Weggren1.5.3AllgemeinesFr die Berechnung werden am Knoten temporre Auflager angebracht welche dieWeggren sperren. Dadurch wird das Tragwerk kinematisch bestimmt. FolgendeSymbole werden fr die temporren Auflager verwendet:ImfolgendenwirddasKnotengelichgewichtbetrachtet.DabeiwirdeinRund-schnitt um den Knoten gemacht um die inneren Kraftgren sichtbar zu machen.Die inneren (auf den Stab wirkenden) Krfte werden in globalen Richtungen X,Yangegeben. Nach dem Prinzip actio und reactio wirken die Stabendkrfte in entge-gengesetzter Richtung auf den Knoten. Als Beispiel soll in Abb. 1.39 die Berech--D1 (X-Verscheibung)-D2 (Y-Verschiebung)D3(Verdrehung)XYSperrung in globaler X-RichtungSperrung in globaler Y-RichtungSperrung der Verdrehung1Deformationsmethode1-34BerechnungsschritteBaustatik 2nungdesGleichgewichtaneinemKnotengezeigtwerdenandemeinStabeinschleust.Abb. 1.39 Beispiel fr die Berechnung des KnotengleichgewichtsImfolgendenwerdendieaufdenStabwirkendenKraftgrengraphischimmer in positiver Richtung angezeigt. Es wird nur den auf den Stab wirken-den Kraftgren ein Wert zugewiesen, welcher positiv oder negativ sein kann. pXjpYjpXjpYjPXPYMmjmjPXpXj 0 = PYpYj 0 =M mj 0 =Knotengleichgewicht:PXpXj=PXpXj=M mj=j1-35 Baustatik 2DeformationsmethodeBerechnungsschritte1.5.4Schritt 3: Belastung am kinematisch bestimmten System aufbringen.FrdiesesSystemwerdennundieKraftgrenandentemporrenAuflagernberechnet und mit K10 bis K30 bezeichnet. Diese sind:Abb. 1.40 Verformungszustand unter Belastung q und D1=D2=D3=0EFX0 :K100 = =EFY0 :K20qL12--------- 30 kN = = =EM 0 :K30qL1212-------------- 30 kNm = = =qL12---------qL1212--------------K10K20K30Verformte FigurKnotengleichgewichtD1=D2=D3=0-3045M0 [kNm] -3015q=10 kN/m1Deformationsmethode1-36BerechnungsschritteBaustatik 21.5.5Schritt 4: Verformungszustand D1=1 am kinematisch bestimmten GrundsystemAls nchstes wird der Einflu einer Einheitsverformung in die X-Richtung unter-sucht.AusGleichgewichtsbedingungenwerdendietemporrenAuflagerkrfte,welche den Steifigkeiten entsprechen, bestimmt:Abb. 1.41 Verformungszustand D1=1, D2=D3=0EFX0 :K11EABL1-----------EABL2-----------EAL3-------- 30 ( )2cos + + 2 26610kN/m , = = =EFY0 :K21EAL3-------- 30 ( ) 30 ( ) cos sin 3 75410kN/m , = = =EM 0 :K310 = =K11K21Verformte FigurKnotengleichgewichtD11 =EABL1-----------EABL2-----------EAL3-------- 30 ( ) 30 ( ) cos sinEAL3-------- 30 ( )2cosD1=1M10 =K311-37 Baustatik 2DeformationsmethodeBerechnungsschritte1.5.6Schritt 5: Verformungszustand D2=1 am kinematisch bestimmten GrundsystemAls nchstes wird der Einflu einer Einheitsverformung in die Y-Richtung unter-sucht.AusGleichgewichtsbedingungenwerdendietemporrenAuflagerkrfte,welche auch hier den Steifigkeiten entsprechen, bestimmt:Abb. 1.42 Verformungszustand D1=0, D2=1, D3=0EFX0 :K12EAL2-------- 30 ( ) 30 ( ) cos sin 3 75410kN/m , = = =EFY0 :K22EAL3-------- 30 ( )2sin12EIL13------------3EIL23--------- + + 2 56410kN/m , = = =EM 0 :K326EIL12--------- 3EIL22--------- + 2 33310kNm/m , = = =K12K22Verformte FigurKnotengleichgewichtD21 =EAL3-------- 30 ( ) 30 ( ) cos sinEAL3-------- 30 ( )2sin6EIL12--------- 12EIL13------------K323EIL22---------3EIL23---------D2=1-8,338,33-6M2[MNm]1Deformationsmethode1-38BerechnungsschritteBaustatik 21.5.7Schritt 5: Verformungszustand D3=1 am kinematisch bestimmten GrundsystemAls nchstes wird der Einflu einer Einheitsverdrehung untersucht. Aus Gleichge-wichtsbedingungenwerdendietemporrenAuflagerkrftebzw.Steifigkeitenbestimmt:Abb. 1.43 Verformungszustand D1=0, D2=0, D3=1EFX0 :K130 = =EFY0 :K236EIL12--------- 3EIL22--------- + 2 33310kNm/m , = = =EM 0 :K334EIL1---------3EIL2--------- + 6 33410kNm , = = =K23Verformte FigurKnotengleichgewichtD31 =4EIL1---------6 EIL12------------K333EIL2---------3EIL22---------D3=133,3-30-16,6[MNm]M3K131-39 Baustatik 2DeformationsmethodeBerechnungsschritte1.5.8Schritt 6: Aufstellung der KnotengleichgewichtsbedingungenDieunbekanntenWeggrenmssensogrosein,dassdieKraftgrenindentemporren Auflagern verschwinden. Dies ergibt:oder in Matrizenschreibweise::bzw. nach Berechnung der Koeffizienten:K1K10K11D1K12D2K13D3 + + + 0 = =K2K20K21D1K22D2K23D3 + + + 0 = =K3K30K31D1K32D2K33D3 + + + 0 = =0qL12----------q L1212-------------EABL1------------EABL2------------EAL3-------- 30 ( ) , 2cos + +EAL3-------- 30 ( ) 30 ( ), cos sin 0EAL3-------- 30 ( ) 30 ( ), cos sinEAL3-------- 30 ( )2sin12EIL13------------3EIL23---------- ,+ +6EIL12---------- 3EIL22---------- +06EIL12---------- 3EIL22---------- +4EIL1---------3EIL2--------- +D1D2D3+000=0 2 26610 D13 75410 D20 + , , + 0 =30 3 75410 D12 56410 D22 33310 D3 , , + , 0 =30 0 2 33310 D26 33410 D3 , + , + 0 =1Deformationsmethode1-40BerechnungsschritteBaustatik 21.5.9Schritt 7: Lsung des GleichungssystemsDie Lsung des Gleichungssystems ergibt folgende Weggren:1.5.10Schritt 8: Bestimmung der Schnittgren Zunchst bestimmt man die Normalkraft im Fachwerkstab (siehe Seite 1-11):DenBiegemomentenverlauferhltmandurchSuperpositiondesVerlaufesamkinematischenGrundsystemunddenVerlufenausdenEinheitsverformungszu-stndenmultipliziertmitdenerrechnetenWertderentsprechendenWeggre(siehe Abb. 1.44).D11 92 105 m , = X-VerschiebungD21 16 103 m , = Y-VerschiebungD34 31 104 rad , =VerdrehungSEAL3-------- D130 ( ) D230 ( ) sin + cos | | 48 76 kN , = =1-41 Baustatik 2DeformationsmethodeBerechnungsschritteAbb. 1.44 Endgltiger Momentenverlauf in [kNm]-3045++=M2D2M0M3D3-3015-9,669,666,96-12,93-7,1814,373,59-46,84-5,9718,59MM1D1 0 =+1Deformationsmethode1-42BerechnungsschritteBaustatik 2Abb. 1.45 Endgltiger Querkraftverlauf in [kN]-30++=Q2D2Q0303,22-1,392,593,5936,81-23,191,19Q1D1 0 =QQ3D3+1-43 Baustatik 2DeformationsmethodeBerechnungsschritteAbb. 1.46 Endgltiger Normalkraftverlauf in [kN]+=N2D2N1D1-19,2050,2023,04-1,4448,7623,04-19,20NN00 =N3D3 0 =++1Deformationsmethode1-44BerechnungsschritteBaustatik 22-1 Baustatik 22Matrix stiffness method2.1EinfhrungMan erkennt aus dem Vorhergehenden, dass der Aufwand in der Berechnung mitder allgemeinen Deformationsmethode schon bei einfachen Tragwerken erheblichist.DieseMethodeistfreineHandrechnungnichtgeeignet,bringtaberidealeVoraussetzungen fr eine Implementierung in ein Rechenprogramm. Die MethodemussjedochfrdieProgrammierungetwasandersaufbereitetwerden.DieVer-wendung von Matrizen vereinfacht die Aufstellung des Gleichungssytems und dieUmsetzung in ein Rechenprogramm wesentlich. Daher ist die Methode auch unterdem Namen Matrix Stiffness Method bekannt.2.1.1Numerisches Modell des TragwerksDa der Rechner nur Zahlen versteht, mssen wir das diskretisierte Tragwerksmo-dell in ein numerisches Modell berfhren, welches nur aus Zahlen besteht. Abb. 2.1 Diskretisiertes Tragwerk mit Nummerierung und AbmessungenStabnummerglobale Knotennummer2 31231 4 XY3m4m4,0mij1mijijlokale Knotennummern2Matrix stiffness method2-2EinfhrungBaustatik 2AnHanddesBeispielsinAbb.2.1solldieErstellungdesnumerischenModellsbeschriebenwerden.ZunchstwerdeneinKoordinatensystemdefiniertundalleKnotenundStbenummeriert.DasnumerischeModellbestehtauszweiListen:Eine fr die Knoten, die andere fr die Elemente. Die Knotenliste enthlt die Koor-dinaten der Knoten und die Angabe, welche Freiheitsgrade gesperrt sind (Tab. 2.1).Die Konvention fr die Sperrung der Freiheitsgrade ist 1=gesperrt, 0=frei.Tab. 2.1 KnotenlisteDie Elementliste enthlt Angaben mit welchen Knoten das Element verbunden ist,die Materialnummer und die Angabe, ob es mit den Endknoten i,j starr oder gelen-kigverbundenist(0=starr,1=gelenkig).DieLagederEndknoteni,jbzw.dieSequenzinderdieKnoteneingegebenwerdenistinAbb.2.1gezeigtundhngtmitderKennfaserzusammen.SchlielichgibtdieMaterial/Querschnittswerte-Listean,welcheMatrial-undQuerschnittswertedenMaterialnummernzugewie-sen werden. Tab. 2.2 ElementlisteTab. 2.3 Matrial/Querschnittwerte ListeKnoten X Y1 1,0 0,0 1 1 02 0,0 4,0 0 0 03 5,0 4,0 0 0 04 8,0 0,0 1 1 1Stabvon ibisjMaterial NoVerbindungiVerbindungj1 1 2 1 1 02 2 3 1 0 13 3 4 1 1 0Material NoEMPaIm4Am21 1000,00 0,001 0,01uxuyu2-3 Baustatik 2Matrix stiffness methodDefinition der Weg- und Kraftgren an den Knoten und Elementen2.2Definition der Weg- und Kraftgren an den Knoten und ElementenDieFreiheitsgradeoderWeggren(WGR)einesKnotensnwerdenineinemPseudovektor (d.h. eine Matrix mit einer Spalte) zusammengefasst. Dies kann auch in lokaler, auf das Element bezogener Nummerierung ausgedrcktwerden.DerPseudovektorfrdieglobalenWGRdesEndknotensidesStabele-ments e ist z.B.oder auf die lokale Stabachsen x,y bezogen Die am Knoten wirkende uere Belastung ist definiert durchu { }nuXnuYnun=u { }eiuXiuYiuie=u { }eiuxiuyiuie=P { }nPXnPYnMn=2Matrix stiffness method2-4Lokale ElementsteifigkeitsmatrixBaustatik 2Die Stabend-Kraftgren (KGR), welche grenmig den Schnittkrften entspre-chen, sind im lokalen Koordinatensystem x,yDiese knnen auch durch KGR in globale Richtungen X,Y ausgedrckt werden2.3Lokale ElementsteifigkeitsmatrixIm1.KapitelwurdefrjedenStabeineBeziehungzwischendenStabend-WGRunddenStabend-KGR(Steifigkeit)abgeleitetunddieTabelle1.2erstellt.Diesewird nun in eine Matrix bergefhrt. p { }eipxipyimie ,p { }ejpxjpyjmje = =p { }eipXipYimie ,p { }ejpXjpYjmje= =AL----AL---- 6IL2-----12IL3--------12IL3-------- 6IL2-----6IL2-----4IL-----6IL2----- 2IL-----AL---- AL----12IL3-------- 6IL2----- 12IL3--------6IL2----- 6IL2-----2IL-----6IL2----- 4IL-----00 0 000000 00 0000 0[k]e = E2-5 Baustatik 2Matrix stiffness methodLokale ElementsteifigkeitsmatrixDie Beziehung zwischen lokalen KGR und den WGR ist in MatrizenschreibweiseDie Element-Submatrizen werden wie folgt definiertFr die Berechnung der Steifigkeiten wird die Stablnge aus den Stabendkoordina-ten berechnet.p { }iek | |eiiu { }iek | |eiju { }je+ =p { }jek | |ejiu { }iek | |ejju { }je+ =AL----6IL2-----12IL3--------6IL2-----4IL-----0000k | |iie= EAL----6 IL2--------12IL3--------6 IL2--------4IL-----0000k | |jje= Ek | |jiek | |ije( )T=AL---- 12IL3-------- 6IL2----- 6IL2-----2IL-----0 000= ELcxjxi ( )2yjyi ( )2+ =2Matrix stiffness method2-6Transformation lokal-globalBaustatik 22.4Transformation lokal-globalFrdieBerechnungmusseineBeziehungzwischendenlokalen(stabbezogenen)unddenglobalenKoordinatenhergestelltwerden.FrebeneTragwerkeistdieBeziehung zwischen lokalen und globalen WGR bzw. KGR.wobei die Transformationsmatrix fr ein Stabelement e wie folgt definiert istDie inverse Transformation istDamitkanndieBeziehungzwischenlokalenWGRundKGRineineBeziehungzwischenglobalenWGRundKGRumgewandeltwerden.FrdenEndknotenihaben wir z.B.Multipliziert man die Gleichung mit so erhlt manoderEine globale Stabsteifigkeitssubmatrix ist dannu { }eT ||eu { }e ;p { }eT ||ep { }e= =T ||evxvy0vy vx00 0 1=ijAXAYLvvvxvy1L--- AXAY= =AX XjXi =AY YjYi =u { }eT ||e( )Tu { }e ;p { }eT ||e( )Tp { }e= =p { }iek | |iieT ||eu { }iek | |ijeT ||eu { }je+ =T ||e( )TT ||e( )Tp { }ieT ||e( )Tk | |iieT ||eu { }ieT ||e( )Tk | |ijeT ||eu { }je+ =p { }ieK | |iieu { }ieK | |ijeu { }je+ =K | |iieT ||e( )Tk | |iieT ||e=2-7 Baustatik 2Matrix stiffness methodGlobale Elementsteifigkeitsmatrix2.5Globale ElementsteifigkeitsmatrixFrdieAssemblierungistesvonVorteil,wenndieStabend-WGRundKGR(inglobalerRichtung)frjedenStabineinemPseudovektorzusammengefasstunddurchnummeriert werden.Die Beziehung zwischen Stabend-KGR und Stabend-WGR istmit der globalen ElementsteifigkeitsmatrixDieSteifigkeitsmatrixdesStabesistsymmetrischd.h..DiesisteineKonsequenzdesSatzesvonMaxwell.DieDiagonalgliederderMatrixmssenimmer positiv sein.u { }euXiuYiuiuXjuYjuju1eu2eu3eu4eu5eu6e ,p { }epXipYimipXjpYjmjp1ep2ep3ep4ep5ep6e= = = =p { }eK | |eu { }e=K11eK12eK13eK14eK15eK16eK21eK22eK23eK24eK25eK26eK31eK32eK33eK34eK35eK36eK41eK42eK43eK44eK45eK46eK51eK52eK53eK54eK55eK56eK61eK62eK63eK64eK65eK66e1 2 3 4 5 6uXiuYi uiuXjuYj ujFreiheitsgrade:pXipYimipXjpYjmjKraftgren:K | |e=KijKji=2Matrix stiffness method2-8Assemblierung der SteifigkeitsmatrixBaustatik 22.6Assemblierung der SteifigkeitsmatrixAlsnchsterSchrittwerdendieSteifigkeitsanteilederStbeassembliert,umdasTragwerkzuberechnen.ZuerstwirddieAnzahlderunbekanntenFreiheitsgradebestimmt. Sind alle Stbe starr an den Knoten angeschlossen, so hat ein Knoten 3Freiheitsgrade. Im Falle eines gelenkigen Anschlusses kommen noch weitere Frei-heitsgradedazu.DieBezeichnungderFreiheitsgradeinAbb.2.2istgegenberKapitel 1 aufgrund der systematischeren Vorgangsweise bei Computerberechnun-gen gendert.Abb. 2.2 Verformte Figur und Freiheitsgrade des TragwerksDie unbekannten Freiheitsgrade und die zugehrigen Knotenlasten werden nun ineinem Pseudovektor zusammengefasst und die Freiheitsgrade durchnummeriert. 2 31uX22 ( )uY23 ( )u24 ( )uX35 ( )uY36 ( )u3re8 ( ) u3li7 ( ) u11 ( ) u { }u1uX2uY2u2uX3uY3u3lu3ru1u2u3u4u5u6u7u8, P { }M1PX2PY2M2PX3PY3M3lM3rP1P2P3P4P5P6P7P8= = = =2-9 Baustatik 2Matrix stiffness methodAssemblierung der SteifigkeitsmatrixDieinnerenKGR,,mssenmitdenuerenKGR,,imGleichge-wicht sein,wobei [K] die assemblierte Steifigkeitsmatrix ist. Fr die Assemblierung der Stei-figkeitsmatrix werden die Vertrglichkeitsbedingungen herangezogen. Dazu ist esnotwending eine Zuordnung von den lokalen Freiheitsgradnummern zu den globa-len zu erstellen. Dies ist fr das Beispiel in Abb. 2.1 in Tab. 2.4 dargestellt.Tab. 2.4 Zuordnung der globalen FreiheitsgradnummernMit dieser Zuordnung kann die Steifigkeitsmatrix assembliert werden.lokale FreiheitsgradnummernStab 1 2 3 4 5 61 0 0 1 2 3 42 2 3 4 5 6 73 5 6 8 0 0 0K | | u { } P { }K | | u { } P { } =1 2 3 4 5 6 7u1uX2uY2u2uX3uY3u3liu3re812345678K331K441K112+K341K351K361K451K122+ K461K132+K142K152K162K551K222+K561K232+ K242K252K262K661K332+ K342K352K362K442K113+K452K123+K462K552K223+ K562K662SymmetrischK133K233K3330 0 0000002Matrix stiffness method2-10Assemblierung des BelastungsvektorsBaustatik 2In der Tab. 2.4 sind in der obersten Reihe die lokalen Freiheitsgradnummern ange-fhrt,diefolgendenReihengebendieBeziehungzudenglobalenNummernan.Ein Nulleintrag bedeutet, dass der Freiheitsgrad gesperrt ist, also in der Systemstei-figkeitsmatrix nicht vorkommt. Fr die Assemblierung wird in der Tabelle nachgeschaut in welche Zeile/Spalte derSystemsteifigkeitsmatrixeinSteifigkeitskoeffizienteingespeichertwerdensoll,z.B.derSteifigkeitskoeffizientdesStabes1,,gehrtindieSpalte/Zeile1/1etc. Man sieht, dass dort, wo 2 Stbe an einem Knoten anschlieen, eine Additionder Steifigkeiten stattfindet. Da die Stabsteifigkeitsmatrizen symmetrisch sind, istauchdieSystemsteifigkeitsmatrixsymmetrisch,undesmussnurdieobereDrei-ecksmatrix assembliert werden. Die Matrix ist nicht voll besetzt, d.h. sie hat Nul-leintrge wo keine Beziehung zwischen Freiheitsgraden bestehen (z.B. zwischen 7und 8).2.7Assemblierung des Belastungsvektors2.7.1KnotenkrfteIst das Tragwerk nur an den Knoten belastet, werden diese direkt in den Pseudo-vektor {P} eingetragen.2.7.2Belastung zwischen den KnotenBeiBelastungzwischendenKnotenwerdenzuerstdieStarreinspannwerteimlokalen Koordinatensystem ausgerechnet (siehe 1-21).In Vektoren zusammengefasst sind dieseK331ijmiBmjBpyiBpyjBpxiBpxjBp { }iBepxiBpyiBmiB ,p { }jBepxjBpyjBmjB= =2-11 Baustatik 2Matrix stiffness methodAssemblierung des BelastungsvektorsVorderAssemblierungmssendieEnd-KGRineinglobalesKoordinatensystembergefhrt werdenDa die Stabend-KGR in die entgegengesetzte Richtung auf die Knoten wirken giltfr die am Knoten angreifenden KGR z.B.Sind zwei Stbe an einen Knoten angeschlossen, so werden die KGR addiert. Frdie Belastung in Abb. 2.3 ergibt sich der Belastungsvektor: Abb. 2.3 Tragwerk mit Belastungp { }iBeT ||e( )Tp { }iBe;p { }jBeT ||e( )Tp { }jBe= =P { }iBep { } iBe=P { }MiB1PxjB1PxiB2+PxjB1PxiB2+MjB1MiB2+PxjB2PxjB2MjB20=2 31231 4 ijiji j1 kN/m2 kN/m2Matrix stiffness method2-12Lsung des GleichungssystemsBaustatik 22.8Lsung des GleichungssystemsFrdieLsungdesentstandenenGleichungssystemssthenvieleMethodenzurVerfgung. Ein einfaches Verfahren ist das Gausche Eliminationsverfahren.2.8.1Gausches Eliminationsverfahren-facheGleichungnvonGleichungiabziehen;solangedurchfhrenbisunterderDiagonalenurNullenvorkommen.DiesistauchalsDreieckszerlegungbekannt.Rekursionsformeln: Dreieckszerlegung: (triangular decomposition) Vorwrtseinsetzen: (forward substitution)Nach der Dreieckszerlegung der Steifigkeitsmatrix kann die rechte Seite frdie einzelnen Lastflle getrennt behandelt werden.. Knnun. Knjuj. + + + + Pn=. Kin un. Kijuj. + + + Pi= +. Knnun. Knjuj. + + + + Pn=0 . KijKinKnn--------Knj\ . || |uj. + + PiKinKnn--------Pn = +Gleichung n KinKnn

*Gleichung iNeue Gleichung iGleichung nKinKnn

0Kij -Kij =KinKnjKnn--------------------Pi -Pi =Kin PnKnn---------------2-13 Baustatik 2Matrix stiffness methodLsung des Gleichungssystems Rckeinsetzen: (back substitution)Ist eine Weggre bereits vorgegeben z.B. Auflagersenkung u0 so folgt2.8.2Spezielle Methoden zur Lsung von schwach besetzten MatrizenDie Systemsteifigkeitsmatrix hat N2 Koeffizienten, wobei N die Anzahl der Frei-heitsgrade ist. Fr die Speicherung einer Zahl sind im Computer 8 Bytes vorgese-hen,d.h.derSpeicherplatzbedarfistN2*8.DieAnzahlderOperationen(Multiplikation, Division, Subtraktion) fr den Gauschen Algorithmus ist unge-fhr N3.Wie schon im kleinen Beispiel fr die Assemblierung der SystemsteifigkeitsmatrixgezeigtenthltdieMatrixNulleintrge.DieAnzahlderNulleintrgenimmtmitderGredesSystemsrapidezu.MatrizenmitsehrvielenNulleintrgennenntmanauchschwachbesetzt.DieKoeffizienten,welchenichtNullsind,befindensich bei optimaler Nummerierung der Freiheitsgrade in der Nhe der Diagonalen.Durch eine Skyline Speicherung kann der Speicherplatz (und auch die Anzahl derOperationen; da nicht mit 0 multipliziert wird) wesentlich verringert werden.y Skyline SpeicherungAbb. 2.4 Skyline der Systemsteifigkeitsmatrixun1Knn-------- Kni uiPni n 1 + =N\ . || | =. Knjuj. + + PnKnnu0 =. Kijuj. + PiKinu0 = +unu0......bekannt = . Knnun. Knjuj. + + + + Pn=. Kin un. Kij uj. + + + Pi= +0Symm.2Matrix stiffness method2-14Berechnung der ErgebnisseBaustatik 2InderSkylineSpeicherungwerdendieKoeffizientenbiszumerstenNulleintrag(mitfolgendenNullen)ineinenVektorgespeichert.DiePositioninderSteifig-keitsmatrix (Spalte/Zeile) wird in einem Positionsvektor vermerkt.DurchdieVerwendungspeziellerMethodenkanndieBerechnunggroerGlei-chungssysteme entscheidend optimiert werden.2.9Berechnung der ErgebnisseDurchLsungdesGleichungssystemserhltmandieWeggrenanallenunge-sperrtenKnoten(Pseudo-Vektor{u}).DieErgebnissewerdennunfrjedenStabgetrenntberechnet.DazumssendieStabendverformungenindielokale(Stab)NummerierungundindaslokaleKoordinatensystembergefhrtwerden.Dieswird in Abb. 2.5 gezeigt.{ ....}u { }i100u1=u { }j1u2u3u4=u { }i2u2u3u4=u { }j2u5u6u7=21uX22 ( )uY23 ( )u24 ( )u11 ( ) 2 3uY23 ( )u24 ( )uY36 ( )u3li7 ( ) uX22 ( ) uX35 ( )2-15 Baustatik 2Matrix stiffness methodBerechnung der ErgebnisseAbb. 2.5 StabendverformungenFrdieberfhrungderStabendverformungenindaslokaleKoordinatensystemverwenden wir die in Abschnitt 2.4 abgeleitete Formel. 2.9.1StabverformungenDie Stabverformungen bestehen aus zwei Komponenten: Verformung des kinema-tisch bestimmt aufgelagerten Stabes (aus Belastung) und der Verformung des Sta-bes auf Grund der Stabendverformungen. Letzteres ist durch eine elastische Linie(HermitescheFunktion,siehe8.3)definiert.Abb.2.6zeigtdieBestimmungderVerformungen eines belasteten Stabes.u { }i3u5u6u8=u { }j3000=3uX35 ( )uY36 ( )u3re8 ( ) u { }ieT ||eu { }ie= u { }jeT ||eu { }je=2Matrix stiffness method2-16Berechnung der ErgebnisseBaustatik 2Abb. 2.6 Stabverformung2.9.2SchnittkraftverlufeZunchstwerdenausdenStabend-WGRdieStabend-KGRmitHilfederlokalenSteifigkeitsmatrixbestimmt(sieheAbschnitt2.3).HierwerdenwiederzweiEin-flsse addiert: die KGR am kinematisch bestimmten System (Starreinspannwerte)und die KGR aus Stabend-WGR:DieStabend-KGRentsprechennungrenmigdenSchnittkrften,dasVorzei-chen muss jedoch angepasst werden, wenn es der Kennfaserregel entsprechen soll.Abb. 2.7 und Abb. 2.8 zeigen die Bestimmung der Schnittkraftverlufe eines bela-steten Stabes.i juiujuyiuxiuxjuyjmit HermiteschenFunktionenKinematischbestimmt(aus Tabellen)=p { }iep { }iBek | | +eiiu { }iek | |eiju { }je+ =p { }jep { }jBek | | +ejiu { }iek | |ejju { }je+ =2-17 Baustatik 2Matrix stiffness methodBerechnung der ErgebnisseAbb. 2.7 Bestimmung des Momentenverlaufs im StabAbb. 2.8 Bestimmung des Querkraftverlaufes im Stabi jmiBmjBi jmimjmiB mjBmimj+i ji jpyiB+pyjBpyiBp yjBpyipyjpyi p yj2Matrix stiffness method2-18FederelementeBaustatik 22.10 Federelemente2.10.1WegfedernEineWegfederwirktwieeinFachwerkstab.DielokaleSteifigkeitsmatrixeinesFederelementes mit der Federsteifigkeitist daher:Die globale Steifigkeitsmatrix erhlt man durch Transformation der Freiheitsgrade.2.10.2DrehfedernDie Steifigkeitsmatrix einer Drehfeder mit der Verdrehsteifigkeitist:Hier besteht kein Unterschied zwischen lokaler und globaler Steifigkeitsmatrix. Eshandelt sich hierbei um eine Drehfeder, die zwischen zwei Stben wirkt und somiteine nachgiebige Verbindung darstellt.kwk | |ekw1 0 1 00 0 0 01 0 1 00 0 0 0=xijux1uy1ux2uy2K | |ekwo2cos o o cos sin o2cos o o cos sin o o cos sin o2sin o o cos sin o2sin o2cos o o cos sin o2cos o o cos sino o cos sin o2sin o o cos sin o2sin=xXYoijuX1uY1uX2uY2kDK | | k | | kD1 1 1 1= =ijui uj2-19 Baustatik 2Matrix stiffness methodFederelemente2.10.3Allgemeine FederlagerungDie lokale Steifigkeitsmatrix fr einen allgemein federgelagerten Knoten ist:Die globale Steifigkeitsmatrix erhlt man durch Transformation der Freiheitsgrade.2.10.4Verwendung von Federn fr AuflagerbedingungenIm vorhergehenden wurden die Auflagerbedingungen dadurch bercksichtigt, dassman den zugehrigen WGR keine FG Nummern zugewiesen hat, da der Wert derWGR ja bekannt ist (=0). Eine andere Mglichkeit ist, das Tragwerk ber Feder-elemente, denen eine sehr groe Steifigkeit zugewiesen wird, mit dem Auflager zuverbinden.DerVorteildieserMethodeistes,dassAuflagerkrftedirekterhaltenwerden und dass man eine Nachgiebigkeit des Auflagers, welche in vielen Fllengegeben ist, bercksichtigen kann. Die Zuweisung eines sehr groen Steifigkeits-wertes stellt bei der Lsung des Gleichungssystems kein Problem dar, da die Koef-fizienten zu den Diagonalgliedern addiert werden.xXYokykxkk | |ekx0 00 ky00 0 k=T||o cos o sin 0o sin o cos 00 0 1=K | |eT||Tk | |eT|| =2Matrix stiffness method2-20RechenbeispielBaustatik 22.11 RechenbeispielInAbb.2.9isteinBeispielgezeigt,welchesdieRechenablufederMatrixStiff-ness Method zeigen soll.Abb. 2.9 AngabeAbb.2.10zeigtdasdiskretisierteTragwerkmitderNummerierungderElementeundKnoten.DabeiwirddasschiefeAuflagerdurcheinesteifeFedermodelliert,welche eine Verschiebung in Richtung normal zur Auflagerbewegung verhindert.Abb. 2.10 Diskretisiertes Tragwerk6m10m4m451kN m 4m1kNDrehfeder, kD10000kNm rad=Alle Stbe:E= 107kN/m2A=10-3 m2I= 10-2 m412kw1 105 kN m=34123XY2-21 Baustatik 2Matrix stiffness methodRechenbeispielAbb. 2.11 zeigt die Nummerierung der Freiheitsgrade. Abb. 2.11 Nummerierung der Freiheitsgrade (in Klammern sind die entsprechenden WGR angegeben; die Pfeile sollen nur die Beweglichkeit veranschaulichen; d.h. sind nicht immer in positiver Richtung)2.11.1Numerisches ModellDas numerische Modell besteht aus 3 Tabellen (Element-, Knoten- und Freiheits-gradliste). Die Federn werden nur in der Freiheitsgradliste erwhnt.Tab. 2.5 KnotenlisteTab. 2.6 StabelementlisteKnoten X Y1 0,0 6,0 1 1 12 10,0 6,0 0 0 03 18,0 0,0 0 0 0Stabvon ibisjMaterialNoLmVerbindungiVerbindungj1 1 2 1 10 0 12 2 3 1 10 1 12 uY2( )1 uX2( )3 u2li( )4 u2re( )7 u3( )5 uX3( )6 uY3( )uxuyu2Matrix stiffness method2-22RechenbeispielBaustatik 2Tab. 2.7 Zuordnung der globalen FreiheitsgradnummernTab. 2.8 Material/Querschnittswertliste2.11.2Berechnung der Elementsteifigkeitsmatrizen2.11.2.1Lokale SteifigkeitsmatrixDa Stab 1 und Stab 2 gleiche Queschnittswerte und Lnge haben, sind die lokalenStabsteifigkeitsmatrizen ident:2.11.2.2TransformationsmatrixStab 1: DaderStabhorizontalliegt,giltDielokaleSteifig-keitsmatrix ist zugleich die globale Matrix.lokale FreiheitsgradnummernElement 1 2 3 4 5 61 0 0 0 1 2 32 1 2 4 5 6 73 3 4 - - - -4 0 0 5 6 - -Material NoEkPaIm4Am21 10000000 0,01 0,001k | |ii11000 0 00 1200 60000 6000 40000= k | |jj11000 0 00 1200 6000 0 6000 40000=k | |ji11000 0 00 1200 6000 0 6000 20000= k | |ij1k | |ji1T=T ||1I | | Einheitsmatrix. =2-23 Baustatik 2Matrix stiffness methodRechenbeispielStab 2:2.11.2.3Globale ElementsteifigkeitsmatrizenStab1:T ||20 8 , 0 6 , 00 6 , 0 8 , 00 0 1=K | |11000 0 00 1200 60000 6000 400001000 0 00 1200 60000 6000 200001000 0 00 1200 6000 0 6000 200001000 0 00 1200 6000 0 6000 40000=0001 2 32Matrix stiffness method2-24RechenbeispielBaustatik 2Stab 2:Federelement 3:K | |ii20 8 , 0 6 , 00 6 , 0 8 , 00 0 11000 0 00 1200 60000 6000 400000 8 , 0 6 , 00 6 , 0 8 , 00 0 11072 96 360096 1128 48003600 4800 40000= =K | |jj20 8 , 0 6 , 00 6 , 0 8 , 00 0 11000 0 00 1200 6000 0 6000 400000 8 , 0 6 , 00 6 , 0 8 , 00 0 11072 96 3600 96 1128 4800 3600 4800 40000= =K | |ji20 8 , 0 6 , 00 6 , 0 8 , 00 0 11000 0 00 1200 6000 0 6000 200000 8 , 0 6 , 00 6 , 0 8 , 00 0 11072 96 3600 96 1128 4800 3600 4800 20000= =K | |ij2K | |ji2T=K | |21072 96 360096 1128 48003600 4800 400001072 96 360096 1128 48003600 4800 200001072 96 360096 1128 48003600 4800 200001072 96 3600 96 1128 4800 3600 4800 40000=1 2 45 6 7K | |31 1 1 1=34 2-25 Baustatik 2Matrix stiffness methodRechenbeispielFederelement 4:2.11.3Assemblierung der SystemsteifigkeitsmatrixDasSystemhat7Freiheitsgrade,daherhatdieSystemsteifigkeitsmatrixdieDimension 7x7.K | |41050 5 , 0 5 , 00 5 , 0 5 , 00 0 0=5 67 1 2 3 4 5 67u2liuX2uY2u1reuX3uY3u31234567Symmetrisch1000 +0107296 3600-1072 -9636001200 +1128-6000 4800 -96 -1128 480040000 +-10000 0 0 040000 +-3600 -4800 200001072 +0,5x10596 +0,5x105 -36001128 +0,5x105-48004000010000100002Matrix stiffness method2-26RechenbeispielBaustatik 22.11.4Belastungsvektor2.11.4.1Starreinspannwerte in lokaler RichtungDie Starreinspannwerte in lokalen Richtungen sind (siehe Tabelle 1.5):Stab 1: Stab 2: 2.11.4.2Starreinspannwerte in globalen RichtungenStab 1:Stab 2:p { }iB1058 33 , ;p { }jB1058 33 ,= =p { }iB200 5 ,1 25 , ;p { }jB200 5 ,1 25 , = =p { }iB1058 33 , ;p { }jB1058 33 ,= =p { }iB20 8 , 0 6 , 00 6 , 0 8 , 00 0 100 5 ,1 25 ,0 3 ,0 4 ,1 25 ,= =p { }jB20 3 ,0 4 ,1 25 , =2-27 Baustatik 2Matrix stiffness methodRechenbeispiel2.11.4.3Assemblierung des BelastungsvektorsDer Belastungsvektor ist2.11.5Lsung des GleichungsystemsDie Lsung des Gleichungssystems ergibt:Da die Angabe und Berechnung in m und rad erfolgte, sind die Ergebnisse dement-sprechend in den gleichen Einheiten.P { }0 3 , 5 0 4 , + ( ) 8 333 ,1 25 ,0 3 ,0 4 ,1 25 ,=u { }3 771 104 ,7 570 103 , 7 102 104 , 1 578 104 ,3 591 103 ,3 611 103 ,7 167 104 ,=2Matrix stiffness method2-28RechenbeispielBaustatik 22.11.6Zurodnung der WGR zu den Elementen und TransformationMit Hilfe von Tabelle 2.6 werden die WGR den einzelnen Elementen zugeordnetund, falls notwendig, in das lokale Koordinatensystem transformiert.Stab 1:Stab 2:Federelement 4:u { }i1000 ; u { }j13 771 104 ,7 570 103 , 7 102 104 , = =u { }i20 8 , 0 6 , 00 6 , 0 8 , 00 0 13 771 104 ,7 570 103 , 1 579 104 ,4 844 103 ,5 830 103 , 1 578 104 ,= =u { }j20 8 , 0 6 , 00 6 , 0 8 , 00 0 13 591 103 ,3 611 103 ,7 167 104 ,5 039 103 ,7 338 104 , 7 167 104 ,= =u { }40 5 , 0 5 ,0 5 , 0 5 ,3 591 103 ,3 611 103 ,9 771 106 ,9 771 106 , = =2-29 Baustatik 2Matrix stiffness methodRechenbeispiel2.11.7Berechnung der StabendKGRStab 1:Stab 2:p { }i1058 333 ,1000 0 00 1200 60000 6000 200003 771 104 ,7 570 103 , 7 102 104 ,+0 377 ,9 823 ,39 550 ,= =p { }j1058 333 ,1000 0 00 1200 6000 0 6000 400003 771 104 ,7 570 103 , 7 102 104 ,+0 377 ,0 177 ,8 679 ,= =p { }i200 5 ,1 25 ,1000 0 00 1200 60000 6000 200005 039 103 ,7 338 104 , 7 167 104 ,1000 0 00 1200 60000 6000 400004 844 103 ,5 830 103 , 1 578 104 ,+ +0 195 ,0 368 , 8 679 ,==p { }j200 5 ,1 25 ,1000 0 00 1200 6000 0 6000 200004 844 103 ,5 830 103 , 1 578 104 ,1000 0 00 1200 6000 0 6000 400005 039 103 ,7 338 104 , 7 167 104 ,+ +0 195 ,1 368 ,0==2Matrix stiffness method2-30RechenbeispielBaustatik 2Drehfeder:Wegfeder:2.11.8SchnittgrenDie Schnittgren ergeben sich nach Anpassung des Vorzeichens (Kennfaserregel)aus den StabendKGR.2.11.8.1Momentenverlauf2.11.8.2Querkraftverlaufp { }31041 1 1 17 102 104 , 1 578 104 ,8 679 ,8 679 ,= =p { }41051 00 09 771 106 ,9 771 106 , 0 977 , 0= =-39,5508,6796,8409,823-0,177-1,368-0,3682-31 Baustatik 2Matrix stiffness methodRechenbeispiel2.11.8.3Normalkraftverlauf0,3770,1952Matrix stiffness method2-32RechenbeispielBaustatik 23-1 Baustatik 23Drehwinkelverfahren3.1EinfhrungMan kann den Aufwand in der Berechnung bei der allgemeinen Deformationsme-thode wesentlich reduzieren indem man Vereinfachungen einfhrt. Bei einem Bie-getragwerk kann man z.B. in den meisten Fllen die Lngennderung der Stbe ausNormalkraft vernachlssigen. Beim Rahmen in Abb. 3.1 ist z.B. der Unterschied inden Biegmomenten weit unter 1%. Abb. 3.1 Einfluss der Stablngennderung auf den Momentenverlauf bei einem BiegetragwerkBei einem Tragwerk, in dem gar keine Normalkrfte auftreten (z.B. Durchlauftr-ger) hat diese Vereinfachung natrlich berhaupt keine Auswirkungen. Dehnstarre Stbeohne Vereinfachungmit Vereinfachung,3Drehwinkelverfahren3-2Definition der Stabverformung ber DrehwinkelBaustatik 2Durch die Annahme dehnstarrer Stabelemente ergeben sich zwei wesentliche Ver-einfachungen: erstens ist es mglich, die Verformungen des Stabelements nur berDrehwinkelzudefinieren,zweitenskannmanberabhngigeWeggrendieAnzahl der Unbekannten wesentlich verringern. Das hier vorgestellte Drehwinkel-verfahren ist im Gegensatz zur vorhergehenden Methode als Handrechenverfahrenvorgesehen.3.2Definition der Stabverformung ber DrehwinkelWirddieLngennderungdesStabesausNormalkraftvernachlssigt,dannkannmandieVerformungdesStabesber3Drehwinkelvollstndigbeschreiben:dieKnotenverdrehungen und und die Sehnendrehung. Abb. 3.2 Beschreibung der Stabverformung mit Hilfe von DrehwinkelnDie Beziehung zwischen Stabendverformungen und dem Sehnendrehwinkel ist:Weiters gilt fr das dehnstarre Stabelement:uiujXYuxiijuyiuiujuxjuxi=LuyjuyiuyjxyuyjuyiL------------------- =uxiuxj=3-3 Baustatik 2DrehwinkelverfahrenBerechnung der Steifigkeitskoeffizienten3.3Berechnung der SteifigkeitskoeffizientenDie im vorhergehenden Kapitel berechneten Steifigkeitskoeffizienten mssen mitderBeziehungzwischendenlokalenWeggrenunddemSehnendrehwinkelmodifiziert werden. Fr den Stab gibt es dann nur mehr 6 Steifigkeitskoeffizientenwobei die Koeffizienten fr und unverndert bleiben.3.3.1Beiderseits starr angeschlossener BiegestabStatteinerQuerverschiebungeinesAuflagerswirdhiereineSehnendrehung betrachtet (Abb. 3.3). Der Steifigkeitskoeffizient fr die Sehnendrehung istder Steifigkeitskoeffizient fr eine Querverschiebung von 1 multipliziert mit L.Abb. 3.3 Verformungszustand Tab. 3.1 Zusammenfassung der Ergebnisse des starr angeschlossenen Stabesui1 = uj1 = 1 = 1 =L1 L 6EIL--------- 6EIL--------- 1 =ui1 = 1 =uj1 =6EIL--------- mi4EIL---------2EIL---------mj2EIL---------4EIL---------6EIL--------- 3Drehwinkelverfahren3-4Berechnung der SteifigkeitskoeffizientenBaustatik 23.3.2Einseitig gelenkig angeschlossener BiegestabDer Steifigkeitskoeffizient fr die Sehnendrehung ist der Steifigkeitskoef-fizient fr die Querverschiebung 1 multipliziert mit L.Abb. 3.4 Verformungszustand .Tab. 3.2 Zusammenfassung Ergebnisse des links gelenkig angeschlossenen Stabes 1 = 1 =L1 L 3EIL--------- 1 = 1 = uj1 =0mimj03EIL---------3EIL--------- 3-5 Baustatik 2DrehwinkelverfahrenBerechnungsschritte3.4BerechnungsschritteDerBerechnungsablaufistnunidentischmitderallgemeinenDeformationsme-thode mit dem Unterschied, dass fr Biegestbe Sehnendrehwinkel eingefhrt wer-den.DiessollandemimvorhergehendenKapitelgezeigtenBeispielerklrtwerden. Schritt 1 (Diskretisierung) ist identisch, allerdings wird hier jetzt die Dehnung ausden Normalkrften in den Biegestben vernachlssigt (Dehnsteifigkeit EA>>). AbSchritt 2 ergeben sich Unterschiede.3.4.1Schritt 2: Bestimmung der unbekannten DrehwinkelEsgibteinenwesentlichenUnterschied:EswerdennurDrehwinkelalsUnbe-kannte definiert. Dadurch verringert sich die Anzahl der Unbekannte um eins, dafr die dehnstarren Biegstbe keine Verformung in X-Richtung mglich ist. Es isthierabereinzustzlicherBerechnungsschrittnotwendig:DieabhngigeSehnen-drehung des Stabes 2 muss bestimmt werden. Abb. 3.5 Unbekannte Drehwinkel30L1=6,00 mL2=5,00 mL3 = 6,93 mBiegestab:EI 5410kNm2=EAB>>10 kN/mFachwerkstab:EAD1XYD2 =3Drehwinkelverfahren3-6BerechnungsschritteBaustatik 23.4.2Schritt 3: Bestimmung der abhngigen SehnendrehungenDie Sehnendrehung des Stabes 2 ist abhngig von der Sehnendrehung des Stabes 1.Dies kann man am besten durch das Sehnendiagramm in Abb. 3.6 bestimmen.Abb. 3.6 Sehnendiagramm zur Bestimmung des Drehwinkels des Stabes 23.4.3AllgemeinesBeim Drehwinkelverfahren werden andere temporre Auflager verwendet um dasSystem kinematisch bestimmt zu machen. Diese sind:FrdieBestimmungdesKrftegleichgewichtswirddasPrinzipdervirtuellenWeggren (siehe Baustatik I Skriptum Absatz 2.4) verwendet. Dabei werden diean den Stabenden wirkenden Momente durch das Einfhren von Gelenken sichtbargemachtunddasSystemumeinevirtuelleSehnendrehungverschoben.DievirtuelleninnerenArbeitensinddieandenStabendenwirkendenreellenMomentemultipliziertmitdenvirtuellenVerdrehungen.DievirtuellenuerenArbeiten sind die reelen ueren Kraftgren multipliziert mit den virtuellen Weg-gren.Gleichgewichtherrscht,wenndieSummeallervirtuellenArbeitenNullist.6m 5m2 6 25 =2L1L2----- 65--- = =Sperrung der KnotenverdrehungSperrung der Sehnendrehungo 1 =3-7 Baustatik 2DrehwinkelverfahrenBerechnungsschritte3.4.4Schritt 4: Belastung am kinematisch bestimmten System aufbringen.FrdiesesSystemwerdendieunbekanntenVerdrehungenNullgesetzt.DasMoment amtemporren Auflager wird mit K10 und in der Sperrung der Sehnen-drehung mit K20 bezeichnet.Abb. 3.7 Verformungszustand D1=D2=0Abb. 3.8 Virtueller Verschiebungszustand zur Berechnung von K20 (die am Tragwerk wirkenden reelen Kraftgren sind grau eingezeichnet)qL1212--------------K10Verformte FigurFreigeschnitteneD1=D2=03045M0K20qL1212-----------[kNm] innere Momente undRckhaltemomente:3Drehwinkelverfahren3-8BerechnungsschritteBaustatik 2o 1 =1 L1K20R q L1 =L12-----3-9 Baustatik 2DrehwinkelverfahrenBerechnungsschritteDas Moment im temporren Auflager wird mit Hilfe der Summe der Momente amKnoten berechnet:FrdieBerechnungdesHaltemomentsinderSehnensperrewirddasPrinzipdervirtuellen Weggren verwendet (siehe Abb. 3.8). Gleichgewicht ergibt sich, wenndie Summe der virtuellen Arbeiten verschwindet:Damit ist das Haltemoment in der Sehnensperre:EM 0 :K10qL1212-------------- 30 kNm = = =K201qL1212----------- 1 qL1212----------- 1 q L1L12----- + 0=K20q L212--------------- 180 kNm = =3Drehwinkelverfahren3-10BerechnungsschritteBaustatik 23.4.5Schritt 5: Verformungszustand D1=1 am kinematisch bestimmten GrundsystemAls nchstes wird der Einfluss einer Einheitsverdrehung untersucht. Dies ist iden-tisch zur Deformationsmethode.Abb. 3.9 Verformungszustand D1=1, D2=0Abb. 3.10 Virtueller Verschiebungszustand zur Berechnung von K21 (die am Tragwerk wirkenden reellen Kraftgren sind grau eingezeichnet)Verformte FigurD11 =4EIL1---------K113EIL2---------D1=133,3-30-16,6[MNm]M12EIL1---------K21Kraftgren an den Knoteno 1 =K21L1/L23-11 Baustatik 2DrehwinkelverfahrenBerechnungsschritteDasMomentimtemporrenAuflagerwirdmitHilfederSummederMomenteberechnet:Fr die Berechnung des Haltemoments in der Sehnensperre ist wieder das PrinzipdervirtuellenWeggrenzuverwenden(sieheAbb.3.10).Gleichgewichtergibtsich auch hier wieder, wenn die Summe der virtuellen Arbeiten verschwindet:Damit ist das Haltemoment in der Sehnensperre:EM 0 :K114EIL1---------3EIL2--------- + 6 33410kNm , = = =K2112EIL1---------4EIL1--------- +\ .| |13EIL2---------L1L2----- + 0=K2114 00 ,310kNm =3Drehwinkelverfahren3-12BerechnungsschritteBaustatik 23.4.6Schritt 6: Verformungszustand D2=1 am kinematisch bestimmten GrundsystemAlsnchsteswirdderEinflusseinerEinheitssehnendrehungdesStabes1unter-sucht. Abb. 3.11 Verformungszustand D1=0, D2=1Abb. 3.12 Virtueller Verschiebungszustand zur Berechnung von K22 (die am Tragwerk wirkenden reellen Kraftgren sind grau eingezeichnet)Verformte Figur+=1EAL3-------- 30 ( )2sin L16EIL1--------- K123EIL2---------L1L2----- D2=1-50-36[MNm]M21 L16EIL1--------- 50K22Kraftgren an den Knoten+2=6/5o 1 =L1K22L1/L23-13 Baustatik 2DrehwinkelverfahrenBerechnungsschritteDasMomentimtemporrenAuflagerwirdmitHilfederSummederMomenteberechnet:Fr die Berechnung des Haltemoments in der Sehnensperre wird wieder das Prin-zipdervirtuellenWeggrenverwendet(sieheAbb.3.12).Gleichgewichtergibtsich, wenn die Summe der virtuellen Arbeiten verschwindet:Damit ist das Haltemoment in der Sehnensperre:EM 0 :K126EIL1--------- 3EIL2---------L1L2----- + 14 00310kNm , = = =K221 26EIL1--------- 13EIL2---------L1L2----- \ . || |L1L2-----EAL3-------- 30 ( )2sin L1L1 0=K229 23 105kNm , =3Drehwinkelverfahren3-14BerechnungsschritteBaustatik 23.4.7Schritt 6: Aufstellung der KnotengleichgewichtsbedingungenDieunbekanntenWeggrenmssensogrosein,dassdieKraftgrenindentemporren Auflagern verschwinden. Dies ergibt:oder:3.4.8Schritt 7: Lsung des GleichungssystemsDie Lsung des Gleichungssystemsergibt folgende Weggren:Die Y-Verschiebung des Knotens ist:(Ver-gleicht man dies mit dem im Abschnitt 1 erhaltenen Wert von -1,16 mm ergibt sichein Unterschied von unter 3% gegenber der Berechnung welche die nderung derStablngen aus Normalkraft bercksichtigt).K1K10K11D1K12D2 + + 0 = =K2K20K21D1K22D2 + + 0 = =qL1212----------------q L212-----------------4EIL1---------3EIL2--------- +2EIL1---------4EIL1--------- +\ . || | 13EIL2---------L1L2------ + 2EIL1---------4EIL1--------- +\ . || | 13EIL2---------L1L2------ + 12EIL1------------3EIL2---------L1L2------\ .| |2EAL3--------30 ( )2sin L12 + +D1D2+00=30 6 33 104 D114 00 103 D20 = , , +180 14 00 103 D19 23 105D2 , + 0 = , D14 32 104 rad , = KnotenverdrehungD21 89 104 rad , = Sehnendrehung1 89 104 6 , 1 13 ,3 10m =3-15 Baustatik 2DrehwinkelverfahrenBerechnungsschritte3.4.9Schritt 8: Bestimmung der Schnittkrfte Zunchst bestimmt man die Normalkraft im Fachwerkstab (siehe Seite 6-10):verglichen mit 48,76 kN, der genaueren Berechnung. Den Biegemomentenverlauferhlt man durch Superposition des Verlaufes am kinematischen Grundsystem mitdenVerlufenausdenEinheitsverformungszustndenmultipliziertmitdemerrechneten Wert der entsprechenden Weggre (siehe Abb. 3.13).DerQuerkraft-undNormalkraftverlaufkannebenfallsdurchSuperpositionbzw.aus Gleichgewichtsbetrachtungen am entgltigen Biegemomentenverlauf ermitteltwerden.SEAL3-------- L130 ( )2sin \ .| |D2 48 98 kN , = =3Drehwinkelverfahren3-16BerechnungsschritteBaustatik 2Abb. 3.13 Endgltiger Momentenverlauf in [kNm]-3045+=M1D1M0M2D2-3015-46,63-6,1718,60-12,9614,40-7,20-9,439,436,79M+3-17 Baustatik 2DrehwinkelverfahrenBerechnungsschritteAbb. 3.14 Endgltiger Querkraftverlauf in [kN]-30+=Q1D1Q0Q2D2303,22-1,392,593,5936,81-23,191,19Q+3Drehwinkelverfahren3-18BerechnungsschritteBaustatik 2Abb. 3.15 Endgltiger Normalkraftverlauf in [kN]Bem.: N im Balken aufgrund von Gleichgewichtsbedingungen nicht eindeutig be-stimmbar, aber aufgrund der Geometrie (Lngenverhltnis) lsbar.+=N2D2N1D1-19,2050,2023,04-1,4448,7623,04-19,20N00 =+N3-19 Baustatik 2DrehwinkelverfahrenVerschieblicher Rahmen3.5Verschieblicher RahmenHiersollanHandeinesverschieblichenRahmensnochmalsderBerechnungsab-lauf erklrt werden. Zunchst wird die Belastung durch Krfte behandelt. Die Last-flleTemperaturundAuflagerveschiebungwerdenindennchstenKapitelnbesprochen.3.5.1AngabeDie Abmessungen des Rahmentragwerks sowie die Angaben fr Lastfall 1 sind inAbb. 3.16 gegeben.Abb. 3.16 Beispiel, verschieblicher Rahmen, Lastfall 1P = 10 kNq = 24 kN/m4 m6 m3 mEI=12000 kNm2EA>>3Drehwinkelverfahren3-20Verschieblicher RahmenBaustatik 23.5.2Diskretisierung des SystemsAbb. 3.17 zeigt das diskretisierte System mit den Element- und Knotennummerie-rungen.Abb. 3.17 Diskretisiertes System3.5.3Bestimmung der unbekannten DrehwinkelDas System hat 3 unbekannte Drehwinkel: 2 Knotendrehungen und eine Sehnen-drehung (Abb. 3.18)Abb. 3.18 Unbekannte Drehwinkel123ij1iijj2L1=4,00L2=6,00L3=5,00D2D1D3 =3-21 Baustatik 2DrehwinkelverfahrenVerschieblicher Rahmen3.5.4Bestimmung der abhngigen SehnendrehungenAbb.3.19zeigtdieBestimmungderabhngigenSehnendrehungen.Dazuwirddurch Einfhrung von Gelenken eine kinematische Kette erzeugt und um eine Seh-nendrehung von 1 verschoben. Diese Sehnenfigur kann auch als virtuelle Verschie-bungsfigur zur Bestimmung des Moments in der Sehnensperre verwendet werden. Abb. 3.19 Figur zur Bestimmung der abhngigen Sehnendrehungen1 L134--- L154--- L134---L1L2----- 12--- =54---L1L3----- 1 =1 L113Drehwinkelverfahren3-22Verschieblicher RahmenBaustatik 23.5.5Schritt 1: Belastung am kinematisch bestimmten SystemZunchst werden alle unbekannten Drehwinkel Null gesetzt und die Haltemomentebestimmt.DieandenStabendenwirkendeninnerenMomentewerdendurchdas3-23 Baustatik 2DrehwinkelverfahrenVerschieblicher RahmenEinfhrenvonGelenkensichtbargemachtundzurbesserenDarstellungnachinnen gerckt.Abb. 3.20 Bestimmung der Haltekfte fr D1=D2=D3=0P = 10 kNq = 24 kN/mVerformte Figurq L2212-------------q L2212------------- K10K20K30Innere MomenteM0-72[kNm]3Drehwinkelverfahren3-24Verschieblicher RahmenBaustatik 2Aus der Summe der Momente an den Knoten ergibt sich:Das Haltemoment zur Verhinderung der Sehnedrehung wird wieder mit Hilfe desPrinzips der virtuellen Weggren (PvW) ermittelt.Abb. 3.21 Virtuelle Verschiebung zur Ermittlung der HaltekraftDie Summe aller virtuellen Arbeiten ergibt:und damit:K10q L2212------------- 72 kNm = =K20q L2212------------- 72 kNm = =1 L1111/232---P = 10 kNK30R q L2 =3K301 P L1q L232-- -q L2212-------------12-- -q L2212-------------12--- + + 0 =K30176 kNm =3-25 Baustatik 2DrehwinkelverfahrenVerschieblicher Rahmen3.5.6Schritt 2: D1=1Abb. 3.22 Bestimmung der Haltekfte fr D1=1,D2=D3=0Verformte Figur4EIL2---------K11K21K31Innere MomenteM1EI-------34---23--- 13-- -2EIL2---------3EIL1---------13Drehwinkelverfahren3-26Verschieblicher RahmenBaustatik 2Aus der Summe der Momente an den Knoten ergibt sich:DasHaltemomentzurVerhinderungderSehnendrehungwirdmitHilfedesPvWermittelt.Abb. 3.23 Virtuelle Verschiebung zur Ermittlung der HaltekraftDie Summe aller virtuellen Arbeiten ergibt:und damit:K113EIL1---------4EIL2--------- + 1 417 EI , = =K212EIL2---------EI3------ = =111/2K31K3113EIL1--------- 14EIL2---------12---2EIL2---------12--- + 0 =K310 25 EI , =3-27 Baustatik 2DrehwinkelverfahrenVerschieblicher Rahmen3.5.7Schritt 3: D2=1Abb. 3.24 Bestimmung der Haltekfte fr D1=0,D2=1,D3=0Verformte Figur2EIL2---------K12K22K32Innere MomenteM2EI-------13--- 4EIL2---------23---4EIL3---------2EIL3---------45--- 25-- -13Drehwinkelverfahren3-28Verschieblicher RahmenBaustatik 2Aus der Summe der Momente an den Knoten ergibt sich:DasHaltemomentzurVerhinderungderSehnendrehungwirdmitHilfedesPvWermittelt.Abb. 3.25 Virtuelle Verschiebung zur Ermittlung der HaltekraftDie Summe aller virtuellen Arbeiten ergibt:und damit:K122EIL2---------EI3------ = =K224EIL2---------4EIL3--------- + 1 467 EI , = =111/2K321K3212EIL2---------12---4EIL2---------12---4EIL3--------- 12EIL3--------- 1 + + 0 =K320 7 EI , =3-29 Baustatik 2DrehwinkelverfahrenVerschieblicher Rahmen3.5.8Schritt 4: D3=1Abb. 3.26 Bestimmung der Haltekfte fr D1=D2=0, D3=1Aus der Summe der Momente an den Knoten ergibt sich:Verformte Figur6EIL2---------12--- K13K23K33Innere MomenteM3EI-------3EIL1--------- 1/26EIL2---------12--- 6EIL3--------- 1 6EIL3--------- 1 6/51/2-1/2-3/4-6/511K133EIL1--------- 6EIL2--------- +12--- 0 25 EI , = =3Drehwinkelverfahren3-30Verschieblicher RahmenBaustatik 2DasHaltemomentzurVerhinderungderSehnendrehungwirdmitHilfedesPvWermittelt.Abb. 3.27 Virtuelle Verschiebung zur Ermittlung der HaltekraftDie Summe aller virtuellen Arbeiten ergibt:und damit:K236EIL2---------12---6EIL3--------- 1 0 7 EI , = =111/2K31K3313EIL1--------- 16EIL2---------\|12---.|12-- -6EIL2---------\|12-- -.|12---6EIL3--------- 1 16EIL3--------- 1 1 0 =K333 65 EI , =3-31 Baustatik 2DrehwinkelverfahrenVerschieblicher Rahmen3.5.9GleichgewichtsbedingungenDie Bedingungen, dass alle Haltekrfte verschwinden sind:Dies ergibt:Abb. 3.28 Verformte FigurK1K10K11D1K12D2K13D3 + + + 0 = =K2K12K21D1K22D2K23D3 + + + 0 = =K3K30K31D1K32D2K33D3 + + + 0 = =1 417 , 0 333 , 0 25 ,0 333 , 1 467 , 0 7 , 0 25 , 0 7 , 3 65 ,EID1D2D372 72176=EID161 68, =EID292 64, =EID361 80, =D15 143 10rad , = Verdrehung Knoten 1 D27 723 10rad , = Verdrehung Knoten 2 D35 153 10 rad , = Sehnendrehung5 153 10 ,5 143 10 ,7 723 10 ,3Drehwinkelverfahren3-32Verschieblicher RahmenBaustatik 2Abb. 3.29 Superposition der MomentenverlufeM0-72-72M1EI------- EI D1 10841,14-46,28-20,57M2EI------- EI D2 -30,8661,72-74,0737,03M3EI------- EI D3 -30,87 30,87-46,3174,10-74,10-92,59M0,03-37,07+++=[kNm]3-33 Baustatik 2DrehwinkelverfahrenTemperaturnderungAbb. 3.30 QuerkraftverlaufAbb. 3.31 Normalkraftverlauf3.6Temperaturnderung Hier soll ein weiterer Lastfall berechnet werden. Fr den Lastfall wird angenom-men,dassderRiegelsichungleichmigerwrmt(eswirdeinsymmetrischerQuerschnitt mit Hhe h angenommen). Der Einfluss der Erwrmung kann in zweiTeile getrennt werden: Gleichmige Erwrmung um -23,15Q-56,56-7,4287,44[kN]N-87,44-33,15-65,14[kN]Tm= ATuATo+2-------------------------- 40 K =3Drehwinkelverfahren3-34TemperaturnderungBaustatik 2 Temperaturgardient von Abb. 3.32 Beispiel, verschieblicher Rahmen, Lastfall 2Fr die Berechnung ist es nur mehr notwendig eine neue rechte Seite fr das Glei-chungssystem d.h. die Koeffizienten K10, K20 K30 zu berechnen.3.6.1Belastung am kinematisch bestimmten GrundsystemHiertrennenwirdiebeidenEinflsse(Temperaturgradientundgleichm.Erwr-mung)ATu A Toh----------------------- 100 Km------- =ATu30K =AT050K =h 0 2m , =oT15 101K------- =3-35 Baustatik 2DrehwinkelverfahrenTemperaturnderung3.6.1.1TemperaturgradientAbb. 3.33 Bestimmung der Haltekfte fr D1=D2=D3=0Verformte FigurEIoT100 ( ) E IoT100 ( ) K10K20K30Innere MomenteM012 12[kNm]3Drehwinkelverfahren3-36TemperaturnderungBaustatik 2Aus der Summe der Momente an den Knoten ergibt sich:DasHaltemomentzurVerhinderungderSehnendrehungwirdmitHilfedesPvWermittelt.Abb. 3.34 Virtuelle Verschiebung zur Ermittlung der HaltekraftDie Summe aller virtuellen Arbeiten ergibt:und damit:KAT10EIoT100 ( ) 12 kNm = =KAT20E IoT100 ( ) 12 kNm = =11/2K30KAT301 1212--- 1212-- - + 0 =KAT300 =3-37 Baustatik 2DrehwinkelverfahrenTemperaturnderung3.6.1.2Gleichmige TemperaturerhhungDurchdiegleichmigeTemperaturerhhungergibtsicheineVerlngerungdesStabes 2 umAbb. 3.35 Bestimmung der Haltekfte fr D1=D2=D3=0AL oT40K L2 2 4 103 m , = =Verformte Figur6E IL2------------ 0 3 103 , K10K20K30Innere MomenteM054---AL 34---AL 34---AL6------- 0 3 103 , =54-- -AL5------- 0 6 103 , =6EIL3--------- 0 6 103 , AL3,6-6,846,84-3,63Drehwinkelverfahren3-38TemperaturnderungBaustatik 2Aus der Summe der Momente an den Knoten ergibt sich:DasHaltemomentzurVerhinderungderSehnendrehungwirdmitHilfedesPvWermittelt.Abb. 3.36 Virtuelle Verschiebung zur Ermittlung der HaltekraftDie Summe aller virtuellen Arbeiten ergibt:und damit:KTm106E IL2------------ 0 3 103 , 3 6 kNm , = =KTm206E IL2------------ 0 36EIL3--------- 0 6 , + , \ .| |103 5 04 kNm , = =111/2K30KTm301 26EIL2--------- 0 3 103 , \ .| |12---12EIL3------------ 0 6 103 , \ .| |1 + 0 =KTm3020 88 kNm , =3-39 Baustatik 2DrehwinkelverfahrenTemperaturnderungDies ergibt eine neue rechte Seite fr das Gleichungssystem:K30KTm30K +AT3020 88 kNm , = =K20KTm20K +AT2017 04 kNm , = =K10KTm10K +AT1015 6 kNm , = =1 417 , 0 333 , 0 25 ,0 333 , 1 467 , 0 7 , 0 25 , 0 7 , 3 65 ,EID1D2D315 6 ,17 04 , 20 88 ,=D11 23 103 rad , = Verdrehung Knoten 1D21 08 103 rad , =Verdrehung Knoten 2D33 54 104 rad , =Sehnendrehung3Drehwinkelverfahren3-40TemperaturnderungBaustatik 2Abb. 3.37 Superposition der MomentenverlufeM0M1EI------- EI D1 M2EI------- EI D2 M3EI------- EI D3 M15,6-8,648,6411,11-9,874,9410,364,32-5,188,4-8,64-3,19-2,132,135,10-5,106,82-1,647,92+++=[kNm]3-41 Baustatik 2DrehwinkelverfahrenAuflagerverschiebungAbb. 3.38 Verformung des Tragwerks3.7AuflagerverschiebungWir untersuchen den Fall, wenn sich das linke Auflager um 5 cm nach unten ver-schiebt.Abb. 3.39 Definition des Lastfalls3.7.1Kinematisch bestimmtes GrundsystemUm die neue rechte Seite zu bestimmen wird die Auflagerverschiebung am kine-matisch bestimmten Grundsystem aufgebracht.3 543 10 ,1 233 10 ,1 083 10 ,0,05m3Drehwinkelverfahren3-42AuflagerverschiebungBaustatik 2Abb. 3.40 Bestimmung der Haltekfte fr D1=D2=D3=0Aus der Summe der Momente an den Knoten ergibt sich:Verformte FigurK10K20K30Innere MomenteM00,05m0,05m0 05 ,L2------------ 8 333 10 , =6E IL2------------ 8 333 10 , 100-100[kNm]3-43 Baustatik 2DrehwinkelverfahrenAuflagerverschiebungDasHaltemomentzurVerhinderungderSehnendrehungwirdmitHilfedesPvWermittelt.Abb. 3.41 Virtuelle Verschiebung zur Ermittlung der HaltekraftDie Summe aller virtuellen Arbeiten ergibt:und damit:Dies ergibt eine neue rechte Seite fr das Gleichungssystem:K10K206E IL2------------ 8 333 10 , 100 = = =11/2K30K301 2 6E IL2------------ 8 333 10 , \ .| |12--- 0 =K30100 kNm =1 417 , 0 333 , 0 25 ,0 333 , 1 467 , 0 7 , 0 25 , 0 7 , 3 65 ,EID1D2D3100100100=D15 063 10radVerdrehung Knoten 1 , =3Drehwinkelverfahren3-44AuflagerverschiebungBaustatik 2D26 373 10radVerdrehung Knoten 2 , =D33 853 10radSehnendrehung , =3-45 Baustatik 2DrehwinkelverfahrenAuflagerverschiebungAbb. 3.42 Superposition der MomentenverlufeM0M1EI------- EID1M2EI------- EID2M3EI------- EID3M100-10045,54-40,4820,24-25,4850,96-61,1530,57-34,65-23,123,1-55,4455,4410,9-5,7-24,9+++=[kNm]3Drehwinkelverfahren3-46Beispiel mit FederBaustatik 2Abb. 3.43 Verformte Figur3.8Beispiel mit FederHierwirddasmitderMatrixstiffnessmethodberechneteBeispieletwasverein-facht (die Richtung der Verschieblichkeitdes Auflagers wird paralell zum Stab 2angenommenunddieBleastungvereinfacht)mitdemDrehwinkelverfahrenberechnet. Abb. 3.44 zeigt die Angabe.Abb. 3.44 AngabeZunchst wird das System diskretisiert (Abb. 3.45),die unbekannten Drehwinkel(Abb. 3.46) und schlielich die abhngige Sehnendrehung bestimmt (Abb. 3.47) 3 = 83 10 ,50 mm15,4 mm54--- 15 4 , 19 3 mm , =15,4 mm50 mm5 063 10rad ,6 373 10rad ,6m10m4m1kN m 4mDrehfeder, kD105kNm rad=Alle Stbe:E= 107kN/m2A>>I= 10-2 m43-47 Baustatik 2DrehwinkelverfahrenBeispiel mit FederAbb. 3.45 Diskretisiertes SystemAbb. 3.46 Unbekannte DrehwinkelAbb. 3.47 Bestimmung des abhngigen Drehwinkels (virtuelles Verschiebungsdiagramm)12123L1=10mL2 =10mD1D2D3 1 =1010m810m2810------ 0 8 , = =8m3Drehwinkelverfahren3-48Beispiel mit FederBaustatik 23.8.1Belastung am kinematisch bestimmten SystemKnotengleichgewicht:Prinzip der virtuellen Arbeiten:1kN m qL212---------- 8 3 , =M0K10K20qL212---------- K30qL212----------qL1=10K10qL212---------- 8 33 , = =K200 =K301qL212----------qL212---------- q L1L12----- + 0 K3050 = =3-49 Baustatik 2DrehwinkelverfahrenBeispiel mit Feder3.8.2D1=1,D2=D3=0Knotengleichgewicht:Prinzip der virtuellen Arbeiten:M1K11K214EIL1---------K314EIL1--------- 4 104 =2EIL1--------- 2 104 =2EIL1---------kD1 105= (Drehfeder)1auf den Knotenwirkende uere KGK114EIL1--------- kD1 + 1 4 , 105 = =K21kD1 =K3114EIL1--------- 1 2EIL1--------- 1 + + 0 K316EIL1--------- 6 104 = = =3Drehwinkelverfahren3-50Beispiel mit FederBaustatik 23.8.3D1=0,D2=1,D3=0Knotengleichgewicht:Prinzip der virtuellen Arbeiten:M2K12K223EIL2---------K323EIL2--------- 3 104 =1kD1 105= (Drehfeder)K223EIL2--------- kD1 + 13 104 = =K12kD1 =K3213EIL2--------- 0 8 , 0 K322 4 , 104 = =3-51 Baustatik 2DrehwinkelverfahrenBeispiel mit Feder3.8.4D1=0,D2=0,D3=1Knotengleichgewicht:Prinzip der virtuellen Arbeiten:Das assemblierte Gleichungssystem ist in Matrizenschreibweise:M3K13K233EIL2--------- 0 8 , K336EIL1--------- 6 104 =13EIL2--------- 0 8 , 2 4 , 104 =6EIL1--------- 6EIL1--------- 6 104 =K136EIL1--------- 6 104 = =K233EIL2--------- 0 8 , 2 4 , 104 = =K3316EIL1--------- 16EIL1--------- 1 \ .| |3EIL2---------0,8 0 8 , ( ) + + 0 K3313 92 , 104 = =3Drehwinkelverfahren3-52Beispiel mit FederBaustatik 2q L212------ 0qL122----- 4EIL1--------- kD+\ .| | kD 6EIL1--------- \ .| |kD 3EIL2--------- kD+\ .| |

3EIL2--------- 0 8 , \ .| |6EIL1---------\ .| |3EIL2--------- 0 8, \ .| |12EIL1------------ 1 3EIL2---------0,82+\ .| |D1D2D3+000=8 33 ,05010414 10 ( ) 6 ( )10 ( ) 13 2 4 ,6 ( ) 2 4 , 13 92 ,D1D2D3+000=D11 41 , 4 10radVerdrehung Knoten links =D20 32 , 4 10radVerdrehung Knoten rechts =D34 144 10radSehnendrehung , =3-53 Baustatik 2DrehwinkelverfahrenBeispiel mit FederM0M1D1M2D2M3D3M+++=[kNm]8 3 , ( )8 3 , ( )5 64 , 2 82 ,24 84 ,9 94 ,24 84 , 0 96 ,30 32 , 10 90 ,3Drehwinkelverfahren3-54Beispiel mit FederBaustatik 2fr kD= 0fr kD>>D11 67 , 3 10radVerdrehung Knoten links =D21 00 ,3 10radVerdrehung Knoten rechts =D31 25 , 3 10radSehnendrehung =50 00 , 0M[kNm]D10 76 , 4 10radVerdrehung Knoten links =D20 76 ,4 10radVerdrehung Knoten rechts =D33 79 , 4 10radSehnendrehung =29 55 , M[kNm]11 36 ,4-1 Baustatik 24Symmetrische Tragwerke4.1EinfhrungBei symmetrischen Tragwerken ergeben sich Vereinfachungen in der Berechnung,welche hier besprochen werden sollen. Es gibt grundstzlich bei Tragwerken zweiArten von Symmetrie (Abb. 4.1 ): die Tragwerksgeometrie spiegelt sich an Achsen (Achsensymmetrie). Geometrie wiederholt sich zyklisch (zyklische Symmetrie)Abb. 4.1 Beispiele fr Symmetrie und zyklische Symmetrie4.2AchsensymmetrieBeisymmetrischenTragwerkenistdieVerformungbeisymmetrischerBelastungsymmetrischundbeiantimetrischerBelastungantimetrisch.Abb.4.2zeigtdieVerformung,Normalkraft,QuerkraftundMomentenverlufefreinesymmetri-Symmetrieachse4Symmetrische Tragwerke4-2AchsensymmetrieBaustatik 2scheBelastung.DaderQuerkraftverlaufinderSymmetriachseeinenNulldurch-ganghatistesmglich,dasSystemdurcheinhalbesSystemmiteinemQuerkraftgelenk in der Symmetrieachse zu ersetzen. Man sieht, dass dieses Systemjetzt horizontal unverschieblich ist, d.h. dass bei symmetrischer Belastung fr dieBerechnung keine Sehnensperre fr den vertikalen Stab notwendig ist.Abb. 4.2 Verformung, M, N, Q Verlauf aus symmetrischer Belastung und ErsatzsystemAbb. 4.3 zeigt die Verformung, Normalkraft, Querkraft und Momentenverlufe freineantimetrischeBelastung.DaderMomenten-undNormalkraftverlaufinderSymmetrieachseeinenNulldurchganghat,istesmglichdasSystemdurcheinhalbes System mit einem verschiebbaren und gelenkigen Auflager in der Symme-trieachse zu ersetzen.wMN QSymmetrischSymmetrischSymmetrischAntimetrischL/2Ersatzsystem4-3 Baustatik 2Symmetrische TragwerkeAchsensymmetrieAbb. 4.3 Verformung, M, N, Q Verlauf aus antimetrischer Belastung und ErsatzsystemIm Weiteren sollen verschiedene Flle der Symmetrieachse behandelt werden.4.2.1Symmetrieachse schneidet normal zur StabachseSchneidet die Symmetrieachse einen Stab in zwei Hlften, wie in Abb. 4.2 darge-stellt, so muss bei der Berechnung dieses Stabes eine spezielleVerdrehsteifigkeitangenommen werden. Bei einer symmetrischen Belastung ergibt sich mit der Sym-metriebedingung (Vorzeichen beachten !!):mitwMNQSymmetrischAntimetrisch AntimetrischAntimetrischL/2ErsatzsystemkT4EIL--------- Ti2EIL--------- Tj+ =TjTi1 = = kT2EIL---------=4Symmetrische Tragwerke4-4AchsensymmetrieBaustatik 2Abb. 4.4 Verdrehsteifigkeit eines SymmetriestabesZumselbenErgebniskommtman,wennmandenhalbenStabmiteinemQuer-kraftgelenk betrachtet.Bei einer antimetrischen Belastung (Abb. 4.3) ergibt sich:mitAbb. 4.5 Steifigkeit eines antimetrisch belasteten StabesDasselbe Ergebnis bekommt man, wenn man den halben Stab mit einem gelenki-gen Auflager betrachtet.4.2.2Symmetrieachse schneidet den Stab parallel zur StabachseSchneidetdieSymmetrieachsedurcheinenStabparallelzurStabachse,wieinAbb. 4.6 und Abb. 4.7 gezeigt dann darf bei der Berechnung des Ersatzsystems dieSteifigkeitdesSymmetriestabesnurmitdenhalbenQuerschnittswerten(A,I)berechnet werden.TiTjTi =i jL2EIL--------- 2EIL--------- M2EIL--------- kT4EIL--------- Ti2EIL--------- Tj+ =TjTi1 = = kT6EIL---------=TiTjTi=i jL6EIL--------- M6EIL--------- 6EIL---------6EIL--------- 4-5 Baustatik 2Symmetrische TragwerkeAchsensymmetrieAbb. 4.6 Symmetrisch belastetes System und ErsatzsystemAbb. 4.7 Antimetrisch belastetes System und Ersatzsystem1242'q1'33qA2----I2-- - ,h1242'+q1'q33-qI2---A2---- ,4Symmetrische Tragwerke4-6Zyklische SymmetrieBaustatik 24.3Zyklische SymmetrieAbb. 4.8 zeigt ein Beispiel einer zyklischen Symmetrie. Das Tragwerk ist in die-semFallrotationssymmetrischunddieBelastungzyklisch.AnderverformtenFigursiehtman,dasssichgewisseVerformungsfigurenzyklischwiederholen.IndiesemFallbrauchtnureinSegmentdesTragwerksmitQuerkraftgelenkeninradialer Richtung berechnet werden.Abb. 4.8 Beispiel fr zyklische Geometrie und Belastung mit dazugehrigem Ersatzsystem4.4Beispiele4.4.1Symmetrisches SystemDieAbmessungendesRahmentragwerkssowiedieAngabenfrdensymmetri-schen Lastfall 1 sind in Abb. 4.9 gegeben.SystemErsatzsystem4-7 Baustatik 2Symmetrische TragwerkeBeispieleAbb. 4.9 Beispiel, verschieblicher Rahmen, Lastfall 14.4.1.1Diskretisierung des SystemsAbb. 4.10 zeigt das diskretisierte System mit den Element- und Knotennummerie-rungen.Abb. 4.10 Diskretisiertes System4.4.1.2Ersatzsystem fr Lastfall 1Fr die symmetrische Belastung ist das Ersatzsystem in Abb. 4.11 gezeigt.q = 24 kN/m4 m6 mEI=12000 kNm2EA>>13ij1ij2L1=4,00L2=6,00L3=4,00ijSymmerieachse24Symmetrische Tragwerke4-8BeispieleBaustatik 2Abb. 4.11 Ersatzsystem fr symmetrische Belastung4.4.1.3Bestimmung der unbekannten DrehwinkelDas System hat nur einen Freiheitsgrad: eine Knotendrehung (Abb. 4.12)Abb. 4.12 Unbekannter Drehwinkel1D1D14-9 Baustatik 2Symmetrische TragwerkeBeispiele4.4.1.4Schritt 1: Belastung am kinematisch bestimmten SystemDie Berechnung der Haltekraft K10 wird in Abb. 4.13 gezeigtAbb. 4.13 Bestimmung der Haltekfte fr D1=0q = 24 kN/mVerformte Figurq L22

12-------------K10M0 -72[kNm]108K10q L22

12------------- 72 kNm = =4Symmetrische Tragwerke4-10BeispieleBaustatik 24.4.1.5Schritt 2: D1=1Abb. 4.14 Zustand D1=1Verformte Figur2EIL2---------K11M1EI-------113--- 4EIL1---------12--- K114EIL1---------2EIL2--------- + 1 33 EI = =(Symmetriestab)D11 =D11 =4-11 Baustatik 2Symmetrische TragwerkeBeispiele4.4.1.6ErgebnisseDie Bedingung, dass die Haltekraft verschwindet ist:Dies ergibt:Abb. 4.15 Engltiger MomentenverlaufK1K10K11D1 + 0 = =EID154 =D14 5 103 u rad = Verdrehung Knoten 1M0-72-72M1EI------- EI D1 108M+=[kNm]-54 -541827 27-54 -5410827 27-54 -544Symmetrische Tragwerke4-12BeispieleBaustatik 24.4.2Antimetrisches SystemDieAngabenfrdenantimetrischenLastfall2sindinAbb.4.16gegeben.Dergezeigte Lastfall ist eigentlich nicht antimetrisch, jedoch kann bei der Vernachls-sigung der Stablngennderungen die Last von 10 kN durch zwei Lasten von 5 kNwelche links und rechts des Systems wirken ersetzt werden.Abb. 4.16 Beispiel, verschieblicher Rahmen, Lastfall 24.4.2.1Ersatzsystem Fr die antimetrische Belastung ist das Ersatzsystem in Abb. 4.17 gezeigt.Abb. 4.17 Ersatzsystem fr antimetrische Belastung4 m6 mEI=12000 kNm2EA>>10 kN15 kN4-13 Baustatik 2Symmetrische TragwerkeBeispiele4.4.3Bestimmung der unbekannten DrehwinkelDas System hat zwei unbekannte Drehwinkel: eine Knotendrehung und eine Seh-nendrehung (Abb. 4.18).Abb. 4.18 Unbekannte Drehwinkel4.4.3.1Schritt 1: Belastung am kinematisch bestimmten SystemDie Berechnung der Haltekrfte K10 und K20 wird in Abb. 4.19 gezeigtAbb. 4.19 Bestimmung der Haltekfte fr D1=0D1D2K101 L1

1K205 kNK100 =K201 5 1 L1 + 0 =K2020kNm =5 kN4Symmetrische Tragwerke4-14BeispieleBaustatik 24.4.3.2Schritt 2: D1=1Abb. 4.20 Haltemomente aus D1=1Verformte Figur6EIL2---------K11M1EI-------11 4EIL1---------112--- K114EIL1---------6EIL2--------- + 2 EI = =1K21K2114EIL1--------- 12EIL1--------- 1 + + 0 =K2132---EI =2EIL1---------4-15 Baustatik 2Symmetrische TragwerkeBeispiele4.4.3.3Schritt 3: D2=1Abb. 4.21 Haltemomente aus D2=1Verformte FigurK12Innere MomenteM2EI-------64--- 6EIL1--------- K126 EIL1------------32--- EI = =1K22K221 26EIL1--------- 1 0 =K223 EI =64---14Symmetrische Tragwerke4-16BeispieleBaustatik 24.4.3.4ErgebnisseDie Bedingungen, dass alle Haltekrfte verschwinden, sind:Abb. 4.22 Verformte FigurK1K10K11D1K12D2 + + 0 = =K2K20K21D1K22D2 + + 0 = = D16 67 104 u rad= Verdrehung Knoten 1D28 89 104 u rad= SehnendrehungD1D24-17 Baustatik 2Symmetrische TragwerkeBeispieleAbb. 4.23 berlagerung der MomentenverlufeM0M1EI------- EI D1 M2EI------- EI D2 M+=[kNm]-8-8-4 488-16-16 1616-88-12 124Symmetrische Tragwerke4-18BeispieleBaustatik 24.4.4Zyklische SymmetrieGegebenseidasTragwerkinAbb.4.24.Die