BS2_Skriptum_2010

5/14/2018 BS2_Skriptum_2010 - slidepdf.com

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Institut für Baustatik

ifb

Technische Universität GrazErzherzog-Johann-Universität

Baustatik 2Skriptum

zur Lehrveranstaltung 202.292,

Bachelorstudium, Bauingenieurwissenschaften

Vortragender: Univ.-Prof. Dr. Gernot Beer

SS 2010



0-2Baustatik 2

Deformationsmethode 1-1

Einführung 1-1

Diskretisiertes Tragwerksmodell 1-2

Vorzeichenkonvention für Kraft- und Weggrößen 1-3Ebene Stabelemente 1-5

Berechnung der Steifigkeitskoeffizienten 1-6

Beidseitig gelenkig angeschlossener Stab - Fachwerkstab 1-6

Beiderseits starr angeschlossener Biegestab 1-12

Verschiebung quer zur Stabachse 1-12

Verdrehung 1-14

Zusammenfassung der Ergebnisse 1-17

Einseitig gelenkig angeschlossener Stab 1-18

Globale Steifigkeitskoeffizienten 1-19

Einfluss der Querschubanteile 1-21

Starreinspannwerte 1-21Gleichlast 1-21

Temperaturänderung 1-23

Gleichmäßige Erwärmung 1-24

Temperaturgradient 1-25

Weitere Starreinspannwerte 1-27

Berechnungsschritte 1-32

Schritt 1: Diskretisierung des Systems 1-32

Schritt 2: Bestimmung der unbekannten Weggrößen 1-33

Allgemeines 1-33

Schritt 3: Belastung am kinematisch bestimmten System aufbringen. 1-35Schritt 4: Verformungszustand D1=1 am kinematisch best. Grundsystem 1-36

Schritt 5: Verformungszustand D2=1 am kinematisch best. Grundsystem 1-37


Schritt 6: Aufstellung der Knotengleichgewichtsbedingungen 1-39

Schritt 7: Lösung des Gleichungssystems 1-39

Schritt 8: Bestimmung der Schnittgrößen 1-39

Matrix stiffness method 2-1

Einführung 2-1

Numerisches Modell des Tragwerks 2-1

Definition der Weg- und Kraftgrößen an den Knoten und Elementen 2-3

Lokale Elementsteifigkeitsmatrix 2-4Transformation lokal-global 2-6

Globale Elementsteifigkeitsmatrix 2-7

Assemblierung der Steifigkeitsmatrix 2-8

Assemblierung des Belastungsvektors 2-12

Knotenkräfte 2-12

Belastung zwischen den Knoten 2-12

Lösung des Gleichungssystems 2-13

Gauß’sches Eliminationsverfahren 2-13

Spezielle Methoden zur Lösung von schwach besetzten Matrizen 2-15

Berechnung der Ergebnisse 2-16



0

0-3 Baustatik 2

Stabverformungen 2-17

Schnittkraftverläufe 2-18

Federelemente 2-20

Wegfedern 2-20Drehfedern 2-20

Allgemeine Federlagerung 2-21

Verwendung von Federn für Auflagerbedingungen 2-21

Rechenbeispiel 2-22

Numerisches Modell 2-23

Berechnung der Elementsteifigkeitsmatrizen 2-24

Lokale Steifigkeitsmatrix 2-24

Transformationsmatrix 2-24

Globale Elementsteifigkeitsmatrizen 2-25

Assemblierung der Systemsteifigkeitsmatrix 2-27

Belastungsvektor 2-28Starreinspannwerte in lokaler Richtung 2-28

Starreinspannwerte in globalen Richtungen 2-28

Assemblierung des Belastungsvektors 2-29

Lösung des Gleichungsystems 2-29

Zurodnung der WGR zu den Elementen und Transformation 2-30

Berechnung der StabendKGR 2-31

Schnittgrößen 2-32

Momentenverlauf 2-32

Querkraftverlauf 2-32

Normalkraftverlauf 2-33Drehwinkelverfahren 3-1

Einführung 3-1

Definition der Stabverformung über Drehwinkel 3-2

Berechnung der Steifigkeitskoeffizienten 3-3

Beiderseits starr angeschlossener Biegestab 3-3

Einseitig gelenkig angeschlossener Biegestab 3-4

Berechnungsschritte 3-5

Schritt 2: Bestimmung der unbekannten Drehwinkel 3-5

Schritt 3: Bestimmung der abhängigen Sehnendrehungen 3-6

Allgemeines 3-6

Schritt 4: Belastung am kinematisch bestimmten System aufbringen. 3-7Schritt 5: Verformungszustand D1=1 am kinematisch best. Grundsystem 3-9


Schritt 6: Aufstellung der Knotengleichgewichtsbedingungen 3-14

Schritt 7: Lösung des Gleichungssystems 3-14

Schritt 8: Bestimmung der Schnittkräfte 3-15

Verschieblicher Rahmen 3-19

Angabe 3-19

Diskretisierung des Systems 3-20

Bestimmung der unbekannten Drehwinkel 3-20

Bestimmung der abhängigen Sehnendrehungen 3-21



0-4Baustatik 2

Schritt 1: Belastung am kinematisch bestimmten System 3-22

Schritt 2: D1=1 3-25


Schritt 4: D3=1 3-29Gleichgewichtsbedingungen 3-31

Temperaturänderung 3-33

Belastung am kinematisch bestimmten Grundsystem 3-34

Temperaturgradient 3-35

Gleichmäßige Temperaturerhöhung 3-37

Auflagerverschiebung 3-39

Kinematisch bestimmtes Grundsystem 3-41

Beispiel mit Feder 3-46

Belastung am kinematisch bestimmten System 3-48

Kinematisch bestimmtes Grundsystem 3-41

Beispiel mit Feder 3-46Belastung am kinematisch bestimmten System 3-48

D1=1, D2=0, D3=0 3-49

D1=0, D2=1, D3=0 3-50

D1=0, D2=0, D3=1 3-51

Symmetrische Tragwerke 4-1

Einführung 4-1

Achsensymmetrie 4-1

Symmetrieachse schneidet normal zur Stabachse 4-3

Symmetrieachse schneidet den Stab parallel zur Stabachse 4-4

Zyklische Symmetrie 4-6Beispiele 4-6

Symmetrisches System 4-6

Diskretisierung des Systems 4-7

Ersatzsystem für Lastfall 1 4-7

Bestimmung der unbekannten Drehwinkel 4-8

Schritt 1: Belastung am kinematisch bestimmten System 4-9


Ergebnisse 4-11

Antimetrisches System 4-12

Ersatzsystem 4-12

Bestimmung der unbekannten Drehwinkel 4-13Schritt 1: Belastung am kinematisch bestimmten System 4-13



Ergebnisse 4-16

Zyklische Symmetrie 4-18

Ersatzsystem 4-18



0

0-5 Baustatik 2



1-1Baustatik 2

1

Deformationsmethode

1.1 Einführung

Für die Berechnung von statisch unbestimmten Systemen gibt es ein zweites Ver-fahren: die Deformationsmethode (stiffness method). Letztere ist auch unter dem

Namen Weggrößenverfahren, Verschiebungsgrößenverfahren oder Steifigkeitsme-thode bekannt. Der Unterschied besteht darin, das bei der Kraftgrößenmethodezuerst die Gleichgewichtsbedingungen und dann die Verträglichkeitsbedingungenerfüllt werden während es bei der Deformationsmethode genau umgekehrt ist. Diessoll an Hand eines Beispiels eines Durchlaufträgers erklärt werden (Abb. 1.1).

Abb. 1.1 Gegenüberstellung Kraftgrößen- und Deformationsmethode

Bei der Kraftgrößenmethode wird ein statisch bestimmtes Grundsystem eingeführtindem man ein Gelenk über dem Auflager einführt. Wie man in Abb. 1.1 an der

Statisch bestimmtesGrundsystem

Verträglichkeitsbedingung!

Kinematisch bestimmtesGrundsystem

d1

d2

d3

Gleichgewicht !!



1Deformationsmethode

1-2

Einführung

Baustatik 2

verformten Figur erkennt, wird die Verträglichkeitsbedingung (eindeutige Tan-gente) über dem Auflager nicht erfüllt und muß durch ein aufgebrachtes Momen-tenpaar wiederhergestellt werden. Die Größe dieses Moments wird mit der

Verträglichkeitsbedingung bestimmt.Bei der Deformationsmethode wird ein kinematisch bestimmtes Grundsystem ein-geführt (alle unbekannten Weggrößen werden zu Null gesetzt). In Abb. 1.1 ist dar-gestellt das in diesem Fall die Gleichgewichtsbedingungen nicht erfüllt sind, da anallen Knoten ein Moment aufgebracht werden muß um die Verdrehung zu verhin-dern. Werden die Haltemomente weggenommen verdrehen sich die Knoten. Für die Bestimmung dieser Verdrehungen verwendet man die Bedingung, das alle amKnoten angreifende inneren Kräfte im Gleichgewicht sind. Hier soll die Deforma-tionsmethode näher erklärt werden.

Abb. 1.2 Tragwerk und diskretisiertes Tragwerk

1.1.1 Diskretisiertes Tragwerksmodell

Der erste Schritt der Deformationsmethode ist es das Tragwerk in Stabelementewelche an Knoten verbunden sind, zu unterteilen. Diesen Vorgang nennt man auch Diskretisierung . Bei einem diskretisierten Tragwerksmodell treten unbekannteWeggrößen nur an den Knotenpunkten auf. Aus diesen kann die Verformung der einzelnen Stabelemente und damit auch der Verlauf der Innerer Kraftgrößen aus

den Knotenweggrößen bestimmt werden. Die Bewegungsmöglichkeiten der Kno-

Stabelement

Knoten 1 2

1

2 3

4



1-3Baustatik 2

Deformationsmethode

Einführung

ten sind für ebene Tragwerke: die horizontale und vertikale Verschiebung und dieVerdrehung. Diese Bewegungsmöglichkeiten nennt man auch Freiheitsgrade

(degrees of freedom). Je nach dem wie die Knoten ausgebildet sind müssen für die

angrenzenden Stabelemente gewisse Verträglichkeitsbedingungen erfüllt werden.Je nach verwendeten Symbol sind die Verdrehungen der an den Knoten verbunde-nen Stäbe voneinander abhängig oder unabhängig. Die verwendeten Symbole sind

Für das in Abbildung 1.2 dargestellte Tragwerk sind in Abb. 1.3 die Freiheitsgradedargestellt. Das Tragwerk hat 11 Freiheitsgrade, 6 Verschiebungen und 5 Verdre-hungen. Der Einfachheit halber werden die Freiheitsgrade hier durchgehend nume-riert und mit bezeichnet.

Abb. 1.3 Tragwerk mit Freiheitsgraden

1.1.2 Vorzeichenkonvention für Kraft- und Weggrößen

Bei den Kraft- und Weggrößen unterscheiden wir zwischen äußeren und innerenund ob sie am Knoten oder am Stabelement wirken. Abb. 1.4. zeigt die Vorzei-chenkonvention für Knoten Weg- und Kraft-größen. Die inneren Kraftgrößen wer-den durch das Freischneiden der Stabelemente vom Knoten freigelegt. Die lokaleKoordinate x verläuft entlang des Stabes von i nach j. Statt der lokalen Numerie-rung der Endknoten kann auch die Kennfaser verwendet werden, da eine klareBeziehung besteht. Die am Stab angreifenden inneren Kraftgrößen in Abb. 1.5 sindauf die Stabachse bezogen und entsprechen daher der Größe nach den Schnittkräf-

ten.

starre Verbindung - Verdrehungen aller verbundenen Stäbe

gelenkige Verbindung - Verdrehungen aller verbundenen

Halbgelenk - Verdrehung des mit Halbgelenk verbundenen

Stäbe sind unabhängig

Stabes ist unabhänging

sind gleich

D1 D7 –

D1 D2

D3

D4

D5

D6

D7




1-4

Einführung

Baustatik 2

Allerdings ist die Vorzeichenkonvention hier anders. Während die Richtung der Schnittgrößen davon abhängt ob man das linke oder rechte Schnittufer betrachtet,ist die Konvention für die Deformationsmethode die, dass die inneren Kräfte unab-

hängig davon sind. Der Grund dafür ist, dass die Methode auch zum Programmie-ren geeignet sein soll und die Begriffe “links/rechts” für den Computer unverständliche Ausdrücke sind. Um diesen Unterschied zu den Schnittgrößen zuunterstreichen werden die inneren Kraftgrößen nicht mit N, Q, M sondern mit, px ,

py , m bezeichnet.

Abb. 1.4 Vorzeichenkonvention für positive Knoten-weg- und kraftgrößen

Abb. 1.5 Innere Kraftgrößen am Stab und an den Knoten

X

Y

uX

uY

Weggrößen Kraftgrößen

MPX

PY

m j

mi

pyj

pyi

pxj

pxi

Stabelement

Endknoten j

pyj

m j

Anfangsknoten i

pyi

mi

y

x

i

j

Kennfaser



1-5Baustatik 2

Deformationsmethode

Ebene Stabelemente

1.2 Ebene Stabelemente

Dir Grundlage der Deformationsmethode ist es zunächst die Stabelemente einzelnzu betrachten und dann zu einem Tragwerk zu assemblieren. Die Einflüsse welcheauf ein Stabelement wirken können sind: Verschiebung/Verdrehung der Element-knoten und eine Belastung zwischen den Knoten.

Abb. 1.6 Globale Weggrößen eines Stabelements

Abb. 1.7 Lokale Weggrößen eines Stabelements

In Abb. 1.6 und Abb. 1.7 werden die Weggrößen eines Stabelements im globalen

und lokalen Koordinatensystem (entlang und quer zur Stabrichtung) gezeigt. InAbb. 1.8 und Abb. 1.9 sind die inneren Kraftgrößen dargestellt. Dabei werden dieglobalen Koordinaten mit Großbuchstaben, die lokalen mit Kleinbuchstaben

bezeichnet. Es fällt auf, dass sich bei dem Verdrehungsfreiheitsgrad bzw. demMoment keine Änderung zwischen den lokalen und globalen Größen ergibt, da der Momentenvektor aus der Ebene zeigt.

X

Y

uXi

i

j uXj

uYi

uYj

i

j

X

Y

uxi

i

juxj

uyi

uyj

i

j x

y




1-6

Berechnung der Steifigkeitskoeffizienten

Baustatik 2

Abb. 1.8 Globale Kraftgrößen eines Stabelements

Abb. 1.9 Lokale Kraftgrößen eines Stabelements

1.3 Berechnung der Steifigkeitskoeffizienten

Hier werden die Einwirkungen getrennt behandelt, indem man alle Weggrößen zu Null setzt und dann nur einen Einheitswert einer Weggröße berücksichtigt. DieAuswirkung dieser Einheitsgröße auf die inneren Kraftgrößen wird bestimmt. Dieso erhaltenen Kraftgrößen werden als Steifigkeitskoeffizienten (stiffness coef-ficients) bezeichnet. Dabei ist zu unterscheiden, ob die Einheits-Weggrößen bzw.die erhaltenen Kraftgrößen in Richtung der lokalen Stabachsen oder in globaler

Richtung angenommen werden.

1.3.1 Beidseitig gelenkig angeschlossener Stab -

Fachwerkstab

Zunächst betrachten wir ein Stabelement, das an beiden Enden gelenkig am Kno-ten angeschlossen ist und zwischen den Knoten keine Belastung erfährt: den Fach-werkstab. Hier ist das Moment an den Stabenden Null. Zuerst werden dieSteifigkeitskoeffizienten im lokalen und anschließend im globalen Koordinatensy-stem bestimmt.

X

Y

i pXi

pYi

pXj

pYj

mi

m j

j

i pxi

pyi

pxj

pyj

mi

m j

x

y

X

Y

j



1-7Baustatik 2

Deformationsmethode


Abb. 1.10 Lokale Stabendkraftgrößen infolge Einheitswerte lokaler Weggrößen

Aus einer Verschiebung des Knotens i um einen Betrag 1 in Stabrichtung ergibtsich die Dehnung im Stab :

Aus dem Hooke’schen Gesetz erhält man dann die Spannung zu

EA

L--------

L

EA

uxi 1=

uyi 1=

uyj 1=

EA

L-------- – 0

0

EA

L--------

EA

L-------- –

0

0

00

0

0

0

0

0

0

uxj 1=

x

y

1

L---=

E =




1-8


Baustatik 2

und somit die Stabkraft bzw. die Kraftgröße am Stabende i mit

Andere Kraftgrößen ergeben sich aus Gleichgewichtsbedingungen. Man sieht, dassfür die Verschiebungen in die lokale y-Richtung keine Stabkräfte entstehen. Diesgilt natürlich nur unter der Annahme kleiner Verformungen (siehe Skriptum Bau-statik 1, Abschnitt 4.1.1). Mit Hilfe der eben errechneten Steifigkeitskoeffizientenist es nun möglich, eine Beziehungen zwischen den Knotenweggrößen und denKnotenkraftgrößen herzustellen. Für den Fachwerkstab sind diese:

Die Stabkraft ist somit

Der Einfluß von globalen Weggrößen auf globale Kraftgrößen ist in Abb. 1.11 für die Verschiebungen am Knoten i und in Abb. 1.12 für die Verschiebungen am Kno-ten j dargestellt. Hier bestimmt man zuerst die Längenänderung des Stabes. Aus

dieser kann man dann die Kraftgröße in Stabrichtung bestimmen. Die globalenKraftgrößen werden dann als die globalen Komponenten des Kraftvektors in Stab-richtung bestimmt. Man sieht, dass hier 2 Transformationen stattfinden, eine der Weggrößen, die andere der Kraftgrößen.

pxi A EA

L--------= =

pxi

EA

L-------- uxi uxj – , pxj

EA

L-------- uxj uxi – ==

pyi 0 , pyj 0==

S p – xi pxj

EA

L-------- uxj uxi – = = =



1-9Baustatik 2

Deformationsmethode


Abb. 1.11 Globale Stabendkraftgrößen infolge von globalen Weggrößen am

Anfangsknoten i

uXi 1=i

j

1 c o s

E A

/ L c o

s

EA

L--------

2cos

EA

L

-------- sincos

EA

L-------- –

2cos

EA

L-------- – sincos

uYi 1=

i

j

E A / L

s i n

EA

L--------

2sin

EA

L

-------- sin cos

EA

L-------- –

2sin

EA

L-------- – sin cos

1 s i n

L

E A




1-10


Baustatik 2

Abb. 1.12 Globale Stabendkraftgrößen infolge von globalen Weggrößen am

Endknoten j

Mit Hilfe der eben errechneten Steifigkeitskoeffizienten ist es nun möglich Bezie-hungen zwischen den Knotenweggrößen und den Knotenkraftgrößen herzustellen.

uXj 1=

i

j

1 c o s

EA

L--------

2cos

EA

L-------- sincos

EA

L-------- –

2cos

EA

L-------- – sincos

uYj 1=

i

j

E A / L

s i n

EA

L--------

2sin

EA

L

-------- sin cos

EA

L-------- –

2sin

EA

L-------- – sin cos

1 s i n

E A / L c o s



1-11Baustatik 2

Deformationsmethode


Für den Fachwerkstab sind diese:

Die Stabkraft wird aus den globalen Knotenverschiebungen wie folgt berechnet:

Die Steifigkeitskoeffizienten sind in Tab. 1.1 dargestellt.

Tab. 1.1 Globale Steifigkeitskoeffizienten für den Fachwerkstab

pXi

EA

L

-------- 2

uXi uXj – EA

L

-------- uYi uYj – cossin+cos=

pYi

EA

L--------

2uYi uYj –

EA

L-------- uXi uXj – cossin+sin=

pXj

EA

L--------

2uXj uXi –

EA

L-------- uYj uYi – cossin+cos=

pYj

EA

L--------

2uYj uYi –

EA

L-------- uXj uXi – cossin+sin=

SEA

L-------- uXi uXj – uYi uYj – sin+cos =

uXi 1= uYi 1=

pXiEA

L--------

2cos

EA

L-------- cossin

pYi

pXj

pYj

EA

L-------- cossin

EA

L--------

2sin

EA

L-------- –

2cos

EA

L-------- – cossin

EA

L-------- – cossin

EA

L-------- –

2sin

uXj 1=

EA

L--------

2cos

EA

L-------- cossin

EA

L-------- –

2cos

EA

L-------- – cossin

uYj 1=

EA

L-------- cossin

EA

L--------

2sin

EA

L-------- – cossin

EA

L-------- –

2sin




1-12


Baustatik 2

1.3.2 Beiderseits starr angeschlossener Biegestab

Hier betrachten wir den allgemeineren Fall des beiderseits starr angeschlossenen

Biegestabs. Der Stab hat nun sechs Freiheitsgrade. Es wird wieder so vorgegangen,dass zunächst die Weggrößen/Kraftgrößen in lokalen Koordinaten betrachtet wer-den. Die Verformungszustände uxi=1 und uxj=1 wurden bereits behandelt. Für dieBestimmung der Kraftgrößen aus den anderen Verformungszuständen wird dieKraftgrößenmethode verwendet. Das zu berechnende Tragwerk ist 3-fach statischunbestimmt. Es kann aber erkannt werden, dass für die untersuchten aufgebrachtenVerformungen die unbekannte Kraftgröße in Richtung des Stabes Null sein wird.Die Querschubanteile werden zunächst einmal vernachlässigt.

1.3.2.1 Verschiebung quer zur Stabachse :

Man erkennt, dass das System und die Belastung Antimetriebedingungen erfüllen.Daher wird nur eine Unbekannte X1 (das Moment in der Einspannung) angesetzt(Abb. 1.13).

Abb. 1.13 Verschiebungszustand und Wahl der Unbekannten.

Am statisch bestimmten Grundsystem können die Verdrehungen der Stabendeneinfach aus der Geometrie bestimmt werden (Abb. 1.14).

Abb. 1.14 Statisch bestimmtes Grundsystem mit X 1 =0

Die Klaffung am 0-System ergibt sich:

uyj 1=

uyi 1=x

y

X1

X1

uyi 1=

uyi 1=

1

L---=

L

2d10 2 – = d101

L--- – =



1-13Baustatik 2

Deformationsmethode



Für einen Stab mit konstanten Querschnittswerten erhält man für die Klaffung am1-System folgende Beziehung:

Aus der Kompatibilitätsbedingung ergibt sich nun die statisch Unbestimmte zu:

Mit der Gleichgewichtsbedingung

erhält man

und aus Summe aller Kräfte quer zum Stab .

Die Ergebnisse der Berechnung sind in Abb. 1.16 zusammengefaßt.

d11X1 1= X1 1=

d11

-1

1M1

Q12/L

i j

2EId11

M1

2 dx

= d

11

L

6EI---------=

X1

d10

d11

------- – 1

L--- –

6EI

L---------

, X1 –

6EI

L2

--------- mi m j= = = = =

M j mi m j pyi – L+ 0= =

pyi

mi m j+

L------------------

12EI

L3

------------= =

pyj

12EI

L3

------------ – =




1-14


Baustatik 2

Abb. 1.16 Zusammenfassung der Stabendkraftgrößen

Der Schnittkraftverlauf über das Stabelement ist in Abb. 1.17 gezeigt. Bei der gra- phischen Darstellung der Momente ist auf die Vorzeichen zu achten, da diese stets

auf die Kennfaser bezogen werden müssen.

Abb. 1.17 Momenten- und Querkraftverlauf im Stabelement zufolge

1.3.2.2 Verdrehung :

Hier ist es notwendig zwei Unbekannte X1 und X2 (Momente in den Einspannun-gen) zu bestimmen (siehe Abb. 1.18).

Abb. 1.18 Verdrehungszustand und Wahl der Unbekannten

uyi 1=x

12EI

L3

------------ –

6EI

L2

---------

12EI

L3

------------

6EI

L2

---------

6EI

L2---------

6EI

L2---------

12EI

L3------------

M

Q

uyi 1=

i 1=

i 1=x

y

X1

X2

i 1=



1-15Baustatik 2

Deformationsmethode


Abb. 1.19 Statisch bestimmtes Grundsystem mit X 1 =1.


Für einen Stab mit konstanten Querschnitt sind die Klaffungen:

Die Verträglichkeitsbedingungen sind:

und damit

d11X1 1= d21

-1M1

d12

X2

1=

d22

1 M2

EId11 EId22

L

3--- , EId12 EId21

L

6--- – = == =

d1 d11 X1 d12 X2+ 1= =

d2 d21 X1 d22 X2+ 0= =

L3--- Xi

L6--- X j – 0=

L6--- Xi – L

3--- X j+ EI=

X2

2EIL

--------- m j= =X1

4EIL

--------- mi= =




1-16


Baustatik 2

Aus Gleichgewicht folgt:

Die Ergebnisse sind in Abb. 1.21 zusammengefaßt.

Abb. 1.21 Zusammenfassung der Stabendkraftgrößen

Die Schnittkräfte sind wieder auf die Kennfaser zu beziehen (siehe Abb. 1.22).

Abb. 1.22 Momenten- und Querkraftverlauf im Stabelement zufolge

Bei einem Stab mit konstantem Querschnitt ergeben sich die restlichen Verfor-mungszustände aus Symmetrie.

pyi

6EI

L2---------

= pyj

6EI

L2---------

– =

i 1=4EI

L--------- 2EI

L---------

6EI

L2

--------- 6EI

L2

--------- –

Q

M4EI

L ---------

2EI

L ---------

6EI

L2---------

i 1=



1-17Baustatik 2

Deformationsmethode


1.3.2.3 Zusammenfassung der Ergebnisse

Die lokalen Kraftgrößen aus lokalen Einheitsweggrößen an den Knoten sind inTab. 1.2 zusammengefaßt.

Tab. 1.2 Zusammenfassung der Ergebnisse für starr angeschlossenen Stab

Die Beziehungen zwischen lokalen Kraftgrößen und den Weggrößen lauten:

uxi 1= uyi 1= i 1= uxj 1= uyj 1= j 1=

pxi

EA

L--------

E – A

L-----------

pyi

6EI

L2---------

12EI

L3------------

12EI

L3------------ –

6EI

L2---------

mi

6EI

L2

---------4EI

L--------- 6EI

L2

--------- – 2EI

L---------

pxjEA

L-------- –

EA

L--------

pyj12EI

L3

------------ – 6EI

L2

--------- – 12EI

L3

------------ 6EI

L2

--------- –

m j

6EI

L2

---------2EI

L---------

6EI

L2

--------- – 4EI

L---------

0 0 0 0

0 0

0 0

0 0 0 0

0 0

0 0

pxi

EA

L-------- uxi uxj – =

pyi

12EI

L3

------------ uyi uyj – 6EI

L2

--------- i j+ +=

mi

6EI

L2

--------- uyi uyj – 4EI

L--------- i

2EI

L--------- j++=

pxj

EA

L-------- u – xi uxj+ =

pyi

12EI

L3

------------ u – yi uyj+ 6EI

L2

--------- – i j+ =

m j

6EI

L2

--------- uyi uyj – 4EI

L

--------- j

2EI

L

--------- i++=




1-18


Baustatik 2

1.3.3 Einseitig gelenkig angeschlossener Stab

Hier werden die Ergebnisse für ein Stabelement gezeigt, welches am linken Kno-

ten gelenkig verbunden ist.Tab. 1.3 Zusammenfassung der Ergebnisse, links gelenkig, rechts starr

angeschlossener Stab

Die Beziehungen zwischen lokalen Kraftgrößen und den Weggrößen lauten:

uxi 1= uyi 1= uxj 1= uyj 1= j 1=

pxi

EA

L--------

E – A

L-----------

pyi

3EI

L3

---------3EI

L3

--------- – 3EI

L2

---------

mi0 0 0

pxjEA

L-------- –

EA

L--------

pyj3EI

L3

--------- – 3EI

L3

---------3EI

L2

--------- –

m j

3EI

L2

---------3EI

L2

--------- – 3EI

L---------

0 0 0 0

0 0

0 0

0 0 0 0

0 0

0 0

0

0

0

0

pxi

EA

L-------- uxi uxj – =

pyi

3EI

L3

--------- uyi

uyj

– 3EI

L2

--------- j

+=

mi 0=

pxj

EA

L-------- u – xi uxj+ =

pyj

3EI

L3

--------- u – yi uyj+ 3EI

L2

--------- – j=

m j

3EI

L2

--------- uyj uyi – 3EI

L

--------- j+=



1-19Baustatik 2

Deformationsmethode


1.3.4 Globale Steifigkeitskoeffizienten

Die Berechnung der globalen Kraftgrößen wird nur für in Abb. 1.23

gezeigt. Der Berechnungsverlauf ist ähnlich wie beim Fachwerkstab d.h. es wer-den zunächst die Komponenten der Kraftgrößen am lokalen und dann am globalenKoordinatensystem bestimmt.

Abb. 1.23 Globale Kraftgrößen am Knoten i aus

Die Steifigkeitskoeffizienten sind in Tab. 1.4 zusammengefaßt.

uXi 1=

j

1 c o s

E A / L

c o s

L

E A, E I

uXi 1=

1 s i n

- 1 2 E I / L

3 s

i n

EA

L--------

12EI

L3

------------ –

cossin

EA

L--------

2 12EI

L3

------------ 2

sin+cos

6EI –

L2

------------ sin

i

uXi 1=




1-20


Baustatik 2

Tab. 1.4 Globale Steifigkeitskoeffizienten

uXi 1= uYi 1= i 1=

pXi

EA

L--------

2 12EI

L3

------------ 2

sin+cosEA

L--------

12EI

L2

------------ –

cossin

pYi

mi

pXj

pYj

m j

6EI

L2

--------- – sin

EA

L--------

12EI

L2

------------ –

cossinEA

L--------

2 12EI

L3

------------ 2

cos+sin6EI

L2

--------- cos

6EI

L2

--------- – sin6EI

L2

--------- sin4EI

L---------

EA

L-------- –

2 12EI

L3

------------ – 2

sincos 12EI

L2

------------EA

L-------- –

cossin6EI

L2

--------- sin

12EI

L2

------------EA

L-------- –

cossin EA

L-------- –

2 12EI

L3

------------ – 2

cos+sin6EI

L2

--------- cos

6EI

L2

--------- – sin6EI

L2

--------- sin2EI

L---------

uXj

1=uYj 1= j 1=

pXi

EA

L--------

2 12EI

L3

------------ 2

sin+cos EA

L--------

12EI

L2

------------ –

cossin

pYi

mi

pXj

pYj

m j

6EI

L2

--------- – sin

EA

L--------

12EI

L2

------------ –

cossinEA

L--------

2 12EI

L3

------------ 2

cos+sin6EI

L2

--------- cos

6EI

L2

--------- – sin6EI

L2

--------- sin 4EI

L---------

EA

L-------- –

2 12EI

L3

------------ – 2

sincos12EI

L2

------------EA

L-------- –

cossin6EI

L2

--------- – sin

12EI

L2

------------EA

L-------- –

cossinEA

L-------- –

2 12EI

L3

------------ – 2

cos+sin6EI

L2

--------- cos

6EI

L2--------- – sin

6EI

L2--------- sin 2EIL---------



1-21Baustatik 2

Deformationsmethode

Starreinspannwerte

1.3.5 Einfluß der Querschubanteile

Um den Einfluß der Querschubanteile auf die Steifigkeit zu bestimmen, muß bei

der Berechnung der Steifigkeit der Querkraftanteil berücksichtigt werden (d.h. beider Berechnung Klaffungen in 1.3.2 muß die virtuelle Arbeit aus Querkraft dazu-genommen werden.) Für die Berechnung der Kraftgrößen aus in 1.3.2.1ist z.B. der vollständige Ausdruck:

mit

Man sieht, dass der Einfluß des Querschubs nur bei sehr ungünstigen VerhältnissenQuerschnittgröße zu Länge zum tragen kommt, da die Länge mit dem Quadrat im

Nenner vorkommt.

1.4 Starreinspannwerte

Hier wird der Effekt einer Belastung zwischen den Knoten betrachtet. Dabei wer-den alle Freiheitsgrade gesperrt, d.h. man rechnet mit einem kinematisch

bestimmten Grundsystem. Das zu berechnende System ist 3-fach statisch unbe-stimmt, aus Symmetrie ergeben sich aber Vereinfachungen.

1.4.1 Gleichlast

Abb. 1.24 zeigt die Belastung am kinematisch bestimmt aufgelagerten Stab.

Abb. 1.24 Kinematisch bestimmtes Grundsystem

uyj 1=

EId11 M12 dx+

EI

GAQ

------------ Q12

dx+1

6--- L

EI

GAQ

------------2

L---

2

L+= =

X1

d10

d11

------- – 2

L

EI

------L

3---

EI

GAQ

------------4

L

---+

--------------------------------------- , X1

6EI

L2

1 c+ ----------------------- m1 m2= = = = =

c12EI

L2GAQ

------------------=

i j

L

q

EI

X1 X1

x




1-22

Starreinspannwerte

Baustatik 2

Die Berechnung erfolgt mit dem Kraftgrößenverfahren. Zunächst wird der Bela-stungszustand am statisch bestimmten Grundsystem ermittelt.

Abb. 1.25 Belastung am statisch bestimmten Grundsystem

Abb. 1.26 Einheitswerte der Unbekannten am stat. bestimmten Grundsystem

Die Klaffungen ergeben sich als:

und damit

M0

qL2

8

----------

+

q

d10 d10

d11

M1

-1

d11

X1 1= X1 1=

EId10

2

3---

qL2

8--------- 1 – L , EId11 1 – 1 – L = =

X1

23--- qL

3

8---------

L-----------------

qL2

12--------- mi m j – = = = =



1-23Baustatik 2

Deformationsmethode

Starreinspannwerte

Abb. 1.27 Zusammenfassung der Ergebnisse

1.4.2 Temperaturänderung

Ist die Temperaturänderung über den Querschnitt nicht konstant sondern linear

veränderlich kann man den Zustand in Anteile gleichmäßiger und ungleichmäßiger Erwärmung aufteilen (Abb. 1.28).

Abb. 1.28 Aufteilung einer ungleichmäßigen Temperatureinwirkung

qL2

12 ---------- –

qL2

12 ----------

qL

2-------

qL

2-------

L

MqL2

12 ---------- qL2

12 ----------qL2

8----------

qL

2-------

Q

qL

2-------

Tu Tu

To

–

TS=

TS

To

+h

Schwerlinie




1-24

Starreinspannwerte

Baustatik 2

1.4.2.1 Gleichmäßige Erwärmung

Hier braucht man nur eine Unbekannte ansetzen, da kein Moment und keine Quer-kraft auftritt.

Abb. 1.29 Gleichmäßige Erwärmung eines Stabes

Abb. 1.30 Statisch bestimmtes Grundsystem

Abb. 1.31 Zustand X 1 =1

Das Ergebnis der Berechnung ist:

Ts

i j

L

X1X1

d10

d11

X1 1= X1 1=

-1 N1

X1

T Ts L

L

EA--------

---------------------------- EA T T pxi pxj – = = = =



1-25Baustatik 2

Deformationsmethode

Starreinspannwerte

1.4.2.2 Temperaturgradient

In diesem Fall tritt nur eine Krümmung und keine Normalkraft auf. Aus der Sym-metriebedingung ergibt sich nur eine Unbekannte.

Abb. 1.32 Ungleichmäßige Erwärmung eines Stabes

Abb. 1.33 Statisch bestimmtes Grundsystem

Abb. 1.34 Zustand X 1 =1

Die Unbekannte ergibt sich zu :

Tu To –

i j

L

X1X1

d10 d10

d11

M1

-1

d11

X1 1= X1 1=

X1

– T

Tu To –

h------------------------------ L

L

EI------

----------------------------------------------------- – EIT

Tu To –

h------------------------------ mi m j – = = = =




1-26

Starreinspannwerte

Baustatik 2

In Abb. 1.35 sind die Ergebnisse aus Temperatur zusammengefaßt, dabei ist Tsdie Temperaturänderung in der Schwerachse des Querschnitts.

Abb. 1.35 Zusammenfassung der Ergebnisse Temperatur

E – IT

Tu To –

h------------------------------

E – IT Tu To – h

------------------------------

EA T Ts E – A T Ts

M

N

EI TTu To –

h------------------------------

E – A T Ts



1-27Baustatik 2

Deformationsmethode

Starreinspannwerte

1.4.3 Weitere Starreinspannwerte

In den folgenden Tabellen sind weitere Einspannwerte für das Biegemoment auf-

gelistet. Die Stabendkraftgrößen können aus dem Gleichgewicht ermittelt werden.Tab. 1.5 Starreinspannwerte

BELASTUNGSFALL

L

EI = const

m jB

miB i j

miB

m jB

+qL 2

12---------

q qL 2

12--------- –

+ 11

192--------- qL 2

q

L/2 L/2

5

192--------- qL 2 –

+qc

24L---------- 3L 2 c2 –

q

L/2 L/2c

qc

24L---------- 3L 2 c2 – –

+ L2

60------ 3qA 2qB+

qBqA L2

60------ 2qA 3qB+ –

+qL 2

20---------

q qL 2

30--------- –




1-28

Starreinspannwerte

Baustatik 2

BELASTUNGSFALL

L

EI = const

m jB

miB i j

miB

m jB

+ 596------ qL 2

q

L/2 L/2

596------ qL 2 –

+ PL8

-------L/2 L/2

P

PL8

------- –

+

Pab2

L2------------ a b

P

Pa2 b

L2

------------ –

+ M4-----

L/2 L/2

M

+ M4-----

+ MbL2-------- 3a L –

a b

M

+ MaL2-------- 3b L –



1-29Baustatik 2

Deformationsmethode

Starreinspannwerte

Tab. 1.6 Starreinspannwerte für einseitig gelenkig aufgelagerten Stab

BELASTUNGSFALL

BELASTUNGSFALL

L

EI = const

m jB

miB i j

miB

m jB

6EIL2

--------- A B – – A

B

Stützensenkung

6EIL2

--------- A B – –

+EI T T

h------------------------

TD

hkälter

wärmer EI T T

h------------------------ –

L

EI = const

m jBi j

miB

m jB

0

qqL 2

8--------- –

0

q

L/2 L/2

7128--------- qL 2 –




1-30

Starreinspannwerte

Baustatik 2

BELASTUNGSFALL

L

EI = const

m jBi j

miB

m jB

0

q

L/2 L/2c

qc

16L---------- 3L 2 c2 – –

0q

Bq

A L2

120--------- 7qA 8qB+ –

0

q7

120--------- qL2

–

0

q

L/2 L/2

564------ qL 2 –

0L/2 L/2

P316------ PL –

0a b

P

Pab2L 2--------- L a+ –



1-31Baustatik 2

Deformationsmethode

Starreinspannwerte

BELASTUNGSFALL

L

EI = const

m jBi j

miB

m jB

0L/2 L/2

M

+ M8-----

0a b

M

+ M2L 2--------- L2 3a 2 –

0 AB

Stützensenkung

3EI

L2--------- A B – –

0

TD

hkälter

wärmer 3EI T T

2h--------------------------- –




1-32

Berechnungsschritte

Baustatik 2

1.5 Berechnungsschritte

Die Deformationsmethode soll hier an Hand eines Beispiels erklärt werden. Abb.1.36 zeigt das zu berechenende Tragwerk (dieses ist 3-fach statisch unbestimmt).

Abb. 1.36 Beispiel zur Deformationsmethode

1.5.1 Schritt 1: Diskretisierung des Systems

In Abb. 1.37 wird das System in Stabelemente unterteilt und die Stäbe sowie dielokalen Knoten i,j bezeichnet. Stabelement 1 ist beidseitig starr angeschlossen, 2

ist an der rechten Seite gelenkig angeschlossen und Stab 3 ist ein Fachwerkstab.

Abb. 1.37 Diskretisierung

Hier sei anzumerken, dass die positive Richtung von zu berücksichtigen ist unddieser Winkel von der lokalen Numerierung des Elements abhängt.

30

L1=6,00 m L2=5,00 m

L 3 = 6 ,9 3 m

Biegestab:

EI 5410 kNm

2=

EAB 6610 kN=q=10 kN/m

Fachwerkstab:EA 6

510 kN=

1 2

3

i

ji j i j

1

30° – =

L1 L2

L 3



1-33Baustatik 2

Deformationsmethode

Berechnungsschritte

1.5.2 Schritt 2: Bestimmung der unbekannten Weggrößen

In Abb. 1.38 werden die unbekannten Weggrößen des Systems identifiziert. Das

System hat 3 unbekannte Weggrößen, 2 Verschiebungen und eine Verdrehung amKnoten 1. Das System ist 3-fach kinematisch unbestimmt. Die Weggrößen wer-den mit D1-D3 bezeichnet. Die positiven Richtungen der Weggrößen ist in Rich-tung der globalen Achsen bzw. entgegen dem Uhrzeigersinn,

Hier soll darauf hingewiesen werden, dass im Gelenk des rechten Auflagers eineVerdrehung auftritt. Berücksicht man jedoch die reduzierte Steifigkeit des Stabes 2so ist diese bekannt, wenn die Verdrehung am Knoten 1 bekannt ist. Daher wirddiese Weggröße nicht als Unbekannte berücksichtigt.

Abb. 1.38 Unbekannte Weggrößen

1.5.3 Allgemeines

Für die Berechnung werden am Knoten temporäre Auflager angebracht welche dieWeggrößen sperren. Dadurch wird das Tragwerk kinematisch bestimmt. FolgendeSymbole werden für die temporären Auflager verwendet:

Im folgenden wird das Knotengelichgewicht betrachtet. Dabei wird ein Rund-schnitt um den Knoten gemacht um die inneren Kraftgrößen sichtbar zu machen.Die inneren (auf den Stab wirkenden) Kräfte werden in globalen Richtungen X,Yangegeben. Nach dem Prinzip actio und reactio wirken die Stabendkräfte in entge-gengesetzter Richtung auf den Knoten. Als Beispiel soll in Abb. 1.39 die Berech-

-D1 (X-Verscheibung)

-D2 (Y-Verschiebung) D3(Verdrehung)

X

Y

Sperrung in globaler X-RichtungSperrung in globaler Y-Richtung

Sperrung der Verdrehung




1-34

Berechnungsschritte

Baustatik 2

nung des Gleichgewicht an einem Knoten gezeigt werden an dem ein Stabeinschleust.

Abb. 1.39 Beispiel für die Berechnung des Knotengleichgewichts

Im folgenden werden die auf den Stab wirkenden Kraftgrößen graphisch

immer in positiver Richtung angezeigt. Es wird nur den auf den Stab wirken-

den Kraftgrößen ein Wert zugewiesen, welcher positiv oder negativ sein kann.

pXj

pYj

pXj

pYj

PX

PY

M

m j

m j

PX pXj – 0= PY pYj – 0= M m j – 0=

Knotengleichgewicht:

PX pXj= PX pXj= M m j=

j



1-35Baustatik 2

Deformationsmethode

Berechnungsschritte

1.5.4 Schritt 3: Belastung am kinematisch bestimmten

System aufbringen.

Für dieses System werden nun die Kraftgrößen an den temporären Auflagern berechnet und mit K 10 bis K 30 bezeichnet. Diese sind:

Abb. 1.40 Verformungszustand unter Belastung q und D 1 =D 2 =D 3 =0

FX 0 : K 10 0= =

FY 0 : K 20

qL1

2--------- 30 kN= = =

M 0 : K 30

qL12

–

12-------------- 30 kNm – = = =

qL1

2---------

qL1

2 –

12--------------

K 10

K 20

K 30

Verformte Figur

Knotengleichgewicht

D1=D2=D3=0

-3045 M0 [kNm]-30

15

q=10 kN/m




1-36

Berechnungsschritte

Baustatik 2

1.5.5 Schritt 4: Verformungszustand D1=1 am kinematisch

bestimmten Grundsystem

Als nächstes wird der Einfluß einer Einheitsverformung in die X-Richtung unter-sucht. Aus Gleichgewichtsbedingungen werden die temporären Auflagerkräfte,welche den Steifigkeiten entsprechen, bestimmt:

Abb. 1.41 Verformungszustand D 1 =1, D 2 =D 3 =0

FX 0 : K 11

EAB

L1

-----------EAB

L2

-----------EA

L3

-------- 30 – 2

cos+ + 2 26610 kN/m= = =

FY 0 : K 21

EA

L3

-------- 30 – 30 – cossin 3 – 75410 kN/m= = =

M 0 : K 31 0= =

K 11

K 21

Verformte Figur

Knotengleichgewicht

D1 1=

EAB

L1

-----------EAB

L2

-----------

EA

L3

-------- 30 – 30 – cossin

EA

L3

-------- 30 – 2

cos

D1=1

M1 0=

K 31



1-37Baustatik 2

Deformationsmethode

Berechnungsschritte



Als nächstes wird der Einfluß einer Einheitsverformung in die Y-Richtung unter-sucht. Aus Gleichgewichtsbedingungen werden die temporären Auflagerkräfte,welche auch hier den Steifigkeiten entsprechen, bestimmt:

Abb. 1.42 Verformungszustand D 1 =0, D 2 =1, D 3 =0

FX 0 : K 12

EA

L2

-------- 30 – 30 – cossin 3 – 75410 kN/m= = =

FY 0 : K 22

EA

L3

-------- 30 – 2

sin12EI

L13

------------3EI

L23

---------+ + 2 56410 kN/m= = =

M 0 : K 32

6EI

L12--------- –

3EI

L22---------+ 2 – 33

3

10 kNm/m= = =

K 12

K 22

Verformte Figur

Knotengleichgewicht

D2

1=

EA

L3

-------- 30 – 30 – cossin

EA

L3

-------- 30 – 2

sin

6EI

L12

--------- – 12EI

L1

3------------

K 323EI

L22

---------

3EI

L23

---------

D2=1

-8,33

8,33

-6M2[MNm]




1-38

Berechnungsschritte

Baustatik 2



Als nächstes wird der Einfluß einer Einheitsverdrehung untersucht. Aus Gleichge-wichtsbedingungen werden die temporären Auflagerkräfte bzw. Steifigkeiten

bestimmt:

Abb. 1.43 Verformungszustand D 1 =0, D 2 =0, D 3 =1

FX 0 : K 13 0= =

FY 0 : K 23

6EI

L1

2--------- –

3EI

L2

2---------+ 2 – 33

310 kNm/m= = =

M 0 : K 33

4EI

L1

---------3EI

L2

---------+ 6 33410 kNm= = =

K 23

Verformte Figur

Knotengleichgewicht

D3 1=

4EI

L1

--------- 6 – EI

L12

------------

K 333EI

L2

---------

3EI

L22

---------

D3=1

33,3

-30-16,6

[MNm]

M3

K 13



1-39Baustatik 2

Deformationsmethode

Berechnungsschritte

1.5.8 Schritt 6: Aufstellung der

Knotengleichgewichtsbedingungen

Die unbekannten Weggrößen müssen so groß sein, dass die Kraftgrößen in dentemporären Auflagern verschwinden. Dies ergibt:

oder in Matrizenschreibweise:

:bzw. nach Berechnung der Koeffizienten:

K 1 K 10 K 11 D1 K 12 D2 K 13 D3+++ 0= =

K 2 K 20 K 21 D1 K 22 D2 K 23 D3+++ 0= =

K 3 K 30 K 31 D1 K 32 D2 K 33 D3+++ 0= =

0

qL1

2----------

q – L12

12-------------

EAB

L1

------------EA

B

L2

------------EA

L3

-------- 30 – ,2

cos+ +EA

L3

-------- 30 – 30 – ,cossin 0

EA

L3

-------- 30 – 30 – ,cossinEA

L3

-------- 30 – 2

sin12EI

L1

3------------

3EI

L2

3---------- ,+ +

6EI

L1

2---------- –

3EI

L2

2----------+

06EI

L

1

2---------- –

3EI

L

2

2----------+

4EI

L1

---------3EI

L2

---------+

D1

D2

D3

+

0

0

0

=

0 2 26610 D1 3 – 75

410 D2 0++ 0=

30 3 75410 D1 2 56

410 D2 2 – 33310 D3+ – 0=

30 – 0 2 33310 D2 6 33

410 D3+ – + 0=




1-40

Berechnungsschritte

Baustatik 2

1.5.9 Schritt 7: Lösung des Gleichungssystems

Die Lösung des Gleichungssystems ergibt folgende Weggrößen:

1.5.10 Schritt 8: Bestimmung der Schnittgrößen

Zunächst bestimmt man die Normalkraft im Fachwerkstab (siehe Seite 1-11):

Den Biegemomentenverlauf erhält man durch Superposition des Verlaufes amkinematischen Grundsystem und den Verläufen aus den Einheitsverformungszu-ständen multipliziert mit den errechneten Wert der entsprechenden Weggröße(siehe Abb. 1.44).

D1 1 92 10 5 – m – = X-Verschiebung

D2 1 16 103 –

m – = Y-Verschiebung

D3 4 31 104 –

rad= Verdrehung

SEA

L3

-------- D1 30 – D2 30 – sin+cos 48 76 kN= =



1-41Baustatik 2

Deformationsmethode

Berechnungsschritte

Abb. 1.44 Endgültiger Momentenverlauf in [kNm]

-3045

+

+

=

M2 D2

M0

M3 D3

-30

15

-9,66

9,66

6,96

-12,93-7,18

14,373,59

-46,84

-5,97

18,59

M

M1 D1 0=

+




1-42

Berechnungsschritte

Baustatik 2

Abb. 1.45 Endgültiger Querkraftverlauf in [kN]

-30

+

+

=

Q2 D2

Q0

30

3,22

-1,39

2,593,59

36,81

-23,19

1,19

Q1 D1 0=

Q

Q3 D3

+



1-43Baustatik 2

Deformationsmethode

Berechnungsschritte

Abb. 1.46 Endgültiger Normalkraftverlauf in [kN]

+

=

N2 D2

N1 D1

-19,20

50,20

23,04-1,44

48,76

23,04-19,20

N

N0 0=

N3 D3 0=

+

+




1-44

Berechnungsschritte

Baustatik 2



2-1Baustatik 2

2

Matrix stiffness method

2.1 Einführung

Man erkennt aus dem Vorhergehenden, dass der Aufwand in der Berechnung mitder allgemeinen Deformationsmethode schon bei einfachen Tragwerken erheblichist. Diese Methode ist für eine Handrechnung nicht geeignet, bringt aber idealeVoraussetzungen für eine Implementierung in ein Rechenprogramm. Die Methodemuss jedoch für die Programmierung etwas anders aufbereitet werden. Die Ver-wendung von Matrizen vereinfacht die Aufstellung des Gleichungssytems und dieUmsetzung in ein Rechenprogramm wesentlich. Daher ist die Methode auch unter

dem Namen „Matrix Stiffness Method“ bekannt.

2.1.1 Numerisches Modell des Tragwerks

Da der Rechner nur Zahlen versteht, müssen wir das diskretisierte Tragwerksmo-dell in ein numerisches Modell überführen, welches nur aus Zahlen besteht.

Abb. 2.1 Diskretisiertes Tragwerk mit Nummerierung und Abmessungen

Stabnummer

globale Knotennummer

2 3

1

2

3

1 4X

Y

3m4m

4,0m

i

j

1m

i

j

i j

lokale Knotennummern



2Matrix stiffness method

2-2

Einführung

Baustatik 2

An Hand des Beispiels in Abb. 2.1 soll die Erstellung des numerischen Modells beschrieben werden. Zunächst werden ein Koordinatensystem definiert und alleKnoten und Stäbe nummeriert. Das numerische Modell besteht aus zwei Listen:

Eine für die Knoten, die andere für die Elemente. Die Knotenliste enthält die Koor-dinaten der Knoten und die Angabe, welche Freiheitsgrade gesperrt sind (Tab. 2.1).Die Konvention für die Sperrung der Freiheitsgrade ist 1=gesperrt, 0=frei.

Tab. 2.1 Knotenliste

Die Elementliste enthält Angaben mit welchen Knoten das Element verbunden ist,die Materialnummer und die Angabe, ob es mit den Endknoten i,j starr oder gelen-kig verbunden ist (0=starr, 1=gelenkig). Die Lage der Endknoten i,j bzw. dieSequenz in der die Knoten eingegeben werden ist in Abb. 2.1 gezeigt und hängtmit der Kennfaser zusammen. Schließlich gibt die Material/Querschnittswerte-Liste an, welche Matrial- und Querschnittswerte den Materialnummern zugewie-sen werden.

Tab. 2.2 Elementliste

Tab. 2.3 Matrial/Querschnittwerte Liste

Knoten X Y

1 1,0 0,0 1 1 0

2 0,0 4,0 0 0 0

3 5,0 4,0 0 0 0

4 8,0 0,0 1 1 1

Stabvon

i

bis j

Material No

Verbindungi

Verbindung j

1 1 2 1 1 0

2 2 3 1 0 1

3 3 4 1 1 0

Material

No

E

MPa

I

m4

A

m2

1 1000,00 0,001 0,01

ux uy



2-3Baustatik 2


Definition der Weg- und Kraftgrößen an den Knoten und Elementen

2.2 Definition der Weg- und Kraftgrößen an

den Knoten und Elementen

Die Freiheitsgrade oder Weggrößen (WGR) eines Knotens n werden in einem Pseudovektor (d.h. eine Matrix mit einer Spalte) zusammengefasst.

Dies kann auch in lokaler, auf das Element bezogener Nummerierung ausgedrücktwerden. Der Pseudovektor für die globalen WGR des Endknotens i des Stabele-ments e ist z.B.

oder auf die lokale Stabachsen x,y bezogen

Die am Knoten wirkende äußere Belastung ist definiert durch

u n

uXn

uYn

n

=

u ei

uXi

uYi

i

e

=

u ei

u xi

u yi

i

e

=

P n

PXn

PYn

Mn

=




2-4

Lokale Elementsteifigkeitsmatrix

Baustatik 2

Die Stabend-Kraftgrößen (KGR), welche größenmäßig den Schnittkräften entspre-chen, sind im lokalen Koordinatensystem x,y

Diese können auch durch KGR in globale Richtungen X,Y ausgedrückt werden

2.3 Lokale Elementsteifigkeitsmatrix

Im 1. Kapitel wurde für jeden Stab eine Beziehung zwischen den Stabend-WGR

und den Stabend-KGR (Steifigkeit) abgeleitet und die Tabelle 1.2 erstellt. Diesewird nun in eine Matrix übergeführt.

p ei

p xi

p yi

mi

e

, p e j

p x j

p y j

m j

e

==

p e

i

pXi

pYi

mi

e

, p e

j

pXj

pYj

m j

e

==

A

L----

A

L---- –

6I

L2

-----12I

L3

--------12I

L3

-------- – 6I

L2

-----

6I

L2-----

4I

L----- 6I

L2----- –

2I

L-----

A

L---- –

A

L----

12I

L3

-------- – 6I

L2

----- – 12I

L3

-------- 6I

L2

----- –

6I

L2

-----2I

L-----

6I

L2

----- – 4I

L-----

0 0 0 0

0 0

0 0

0 0 0 0

0 0

0 0

[k]e = E



2-5Baustatik 2


Lokale Elementsteifigkeitsmatrix

Die Beziehung zwischen lokalen KGR und den WGR ist in Matrizenschreibweise

Die Element-Submatrizen werden wie folgt definiert

Für die Berechnung der Steifigkeiten wird die Stablänge aus den Stabendkoordina-ten berechnet.

p ie

k eii u i

ek

eij u j

e+=

p je

k e ji u i

ek

e jj u j

e+=

A

L----

6I

L2

-----12I

L3

--------

6I

L2

-----4I

L-----

0 0

0

0

k iie = E

A

L----

6 – I

L2

--------12I

L3

--------

6 – I

L2

--------4I

L-----

0 0

0

0

k jje = E

k jie

k ije

T

=

A

L---- –

12I

L3

-------- – 6I

L

2----- –

6I

L2

-----2I

L-----

0 0

0

0

= E

Lc x j xi – 2

y j yi – 2

+=




2-6

Transformation lokal-global

Baustatik 2

2.4 Transformation lokal-global

Für die Berechnung muss eine Beziehung zwischen den lokalen (stabbezogenen)und den globalen Koordinaten hergestellt werden. Für ebene Tragwerke ist dieBeziehung zwischen lokalen und globalen WGR bzw. KGR.

wobei die Transformationsmatrix für ein Stabelement e wie folgt definiert ist

Die inverse Transformation ist

Damit kann die Beziehung zwischen lokalen WGR und KGR in eine Beziehungzwischen globalen WGR und KGR umgewandelt werden. Für den Endknoten i

haben wir z.B.

Multipliziert man die Gleichung mit so erhält man

oder

Eine “globale” Stabsteifigkeitssubmatrix ist dann

u e

T e

u e

; p e

T e

p e

==

T e

vx vy 0

vy – vx 0

0 0 1

=

i

j

X

Y

L

v

vvx

vy

1

L

--- X

Y

= =

X X j Xi – =

Y Y j Yi – =

u e

T e

T

u e

; p e

T e

T

p e ==

p ie

k iie

T e

u ie

k ije

T e

u je

+=

T e

T

T e

T

p i

eT

e

Tk ii

eT

eu i

eT

e

Tk ij

eT

eu j

e+=

p i

eK ii

eu i

eK ij

eu j

e+=

K iie

T e

T

k ii

eT

e =



2-7Baustatik 2


Globale Elementsteifigkeitsmatrix

2.5 Globale Elementsteifigkeitsmatrix

Für die Assemblierung ist es von Vorteil, wenn die Stabend-WGR und KGR (inglobaler Richtung) für jeden Stab in einem Pseudovektor zusammengefasst unddurchnummeriert werden.

Die Beziehung zwischen Stabend-KGR und Stabend-WGR ist

mit der “globalen” Elementsteifigkeitsmatrix

Die Steifigkeitsmatrix des Stabes ist symmetrisch d.h. . Dies ist eineKonsequenz des Satzes von Maxwell. Die Diagonalglieder der Matrix müssenimmer positiv sein.

u e

uXi

uYi

i

uXj

uYj

j

u1e

u2e

u3e

u4e

u5e

u6

e

, p e

pXi

pYi

mi

pXj

pYj

m j

p1e

p2e

p3e

p4e

p5e

p6

e

= == =

p e

K e

u e

=

K 11

eK 12

eK 13

eK 14

eK 15

eK 16

e

K 21e

K 22e

K 23e

K 24e

K 25e

K 26e

K 31e

K 32e

K 33e

K 34e

K 35e

K 36e

K 41e

K 42e

K 43e

K 44e

K 45e

K 46e

K 51e

K 52e

K 53e

K 54e

K 55e

K 56e

K 61e

K 62e

K 63e

K 64e

K 65e

K 66e

1 2 3 4 5 6uXi uYi i uXj uYj jFreiheitsgrade:

pXi

pYi

mi

pXj

pYj

m j

Kraftgrößen:

K e =

K ij K ji=




2-8

Assemblierung der Steifigkeitsmatrix

Baustatik 2

2.6 Assemblierung der Steifigkeitsmatrix

Als nächster Schritt werden die Steifigkeitsanteile der Stäbe assembliert, um dasTragwerk zu berechnen. Zuerst wird die Anzahl der unbekannten Freiheitsgrade

bestimmt. Sind alle Stäbe starr an den Knoten angeschlossen, so hat ein Knoten 3Freiheitsgrade. Im Falle eines gelenkigen Anschlusses kommen noch weitere Frei-heitsgrade dazu. Die Bezeichnung der Freiheitsgrade in Abb. 2.2 ist gegenüber Kapitel 1 aufgrund der systematischeren Vorgangsweise bei Computerberechnun-gen geändert.

Abb. 2.2 Verformte Figur und Freiheitsgrade des Tragwerks

Die unbekannten Freiheitsgrade und die zugehörigen Knotenlasten werden nun ineinem Pseudovektor zusammengefasst und die Freiheitsgrade durchnummeriert.

2 3

1

uX2 2

uY2 3

2

4

uX3 5

uY3 6

3re

8 –

3li

7 –

1 1 –

u

1

uX2

uY2

2

uX3

uY3

3l

3r

u1

u2

u3

u4

u5

u6

u7

u8

, P

M1

PX2

PY2

M2

PX3

PY3

M3l

M3r

P1

P2

P3

P4

P5

P6

P7

P8

= == =



2-9Baustatik 2


Assemblierung der Steifigkeitsmatrix

Die inneren KGR, , müssen mit den äußeren KGR, , im Gleichge-wicht sein,

wobei [K] die assemblierte Steifigkeitsmatrix ist. Für die Assemblierung der Stei-figkeitsmatrix werden die Verträglichkeitsbedingungen herangezogen. Dazu ist esnotwending eine Zuordnung von den lokalen Freiheitsgradnummern zu den globa-len zu erstellen. Dies ist für das Beispiel in Abb. 2.1 in Tab. 2.4 dargestellt.

Tab. 2.4 Zuordnung der globalen Freiheitsgradnummern

Mit dieser Zuordnung kann die Steifigkeitsmatrix assembliert werden.

lokale Freiheitsgradnummern

Stab 1 2 3 4 5 6

1 0 0 1 2 3 4

2 2 3 4 5 6 7

3 5 6 8 0 0 0

K u P

K u P =

1 2 3 4 5 6 7

1 uX2 uY2 2 uX3 uY3 3li

3re

8

1

2

3

4

5

6

7

8

K 331

K 44

1K 11

2+

K 341

K 35

1K 36

1

K 451

K 122

+ K 461

K 132

+ K 14

2K 15

2K 16

2

K 55

1K 22

2+ K 56

1K 23

2+ K 24

2 K 25

2K 26

2

K 66

1K 33

2+ K 34

2K 35

2K 36

2

K 442

K 113

+ K 45

2K 12

3+ K 46

2

K 55

2K 22

3+ K 56

2

K 66

2

Symmetrisch K 133

K 23

3

K 333

0 0 0 0

0

0

0

0




2-10

Assemblierung des Belastungsvektors

Baustatik 2

In der Tab. 2.4 sind in der obersten Reihe die lokalen Freiheitsgradnummern ange-führt, die folgenden Reihen geben die Beziehung zu den globalen Nummern an.Ein Nulleintrag bedeutet, dass der Freiheitsgrad gesperrt ist, also in der Systemstei-figkeitsmatrix nicht vorkommt.

Für die Assemblierung wird in der Tabelle nachgeschaut in welche Zeile/Spalte der Systemsteifigkeitsmatrix ein Steifigkeitskoeffizient eingespeichert werden soll,z.B. der Steifigkeitskoeffizient des Stabes 1, , gehört in die Spalte/Zeile 1/1etc. Man sieht, dass dort, wo 2 Stäbe an einem Knoten anschließen, eine Additionder Steifigkeiten stattfindet. Da die Stabsteifigkeitsmatrizen symmetrisch sind, istauch die Systemsteifigkeitsmatrix symmetrisch, und es muss nur die obere Drei-ecksmatrix assembliert werden. Die Matrix ist nicht voll besetzt, d.h. sie hat Nul-

leinträge wo keine Beziehung zwischen Freiheitsgraden bestehen (z.B. zwischen 7und 8).

2.7 Assemblierung des Belastungsvektors

2.7.1 Knotenkräfte

Ist das Tragwerk nur an den Knoten belastet, werden diese direkt in den Pseudo-vektor {P} eingetragen.

2.7.2 Belastung zwischen den Knoten

Bei Belastung zwischen den Knoten werden zuerst die Starreinspannwerte imlokalen Koordinatensystem ausgerechnet (siehe 1-21).

In Vektoren zusammengefasst sind diese

K 33

1

i j

miB

m jB

pyiB

py jB

pxi B p

xj B

p iBe

pxi B

pyi B

miB

, p jBe

pxj B

pyj B

m jB

==



2-11Baustatik 2


Assemblierung des Belastungsvektors

Vor der Assemblierung müssen die End-KGR in ein globales Koordinatensystemübergeführt werden

Da die Stabend-KGR in die entgegengesetzte Richtung auf die Knoten wirken giltfür die am Knoten angreifenden KGR z.B.

Sind zwei Stäbe an einen Knoten angeschlossen, so werden die KGR addiert. Für die Belastung in Abb. 2.3 ergibt sich der Belastungsvektor:

Abb. 2.3 Tragwerk mit Belastung

p iB

e

T

e

T

p iB

e

; p jB

e

T

e

T

p jB

e

==

P iBe

p – iBe

=

P

MiB1

Pxj B1

Pxi B2

+

Pxj B1

Pxi B2

+

M jB1

MiB2

+

Pxj B2

Pxj B2

M jB2

0

=

2 3

1

2

3

1 4i

j i

j

i j

1 kN/m

2 kN/m




2-12

Lösung des Gleichungssystems

Baustatik 2

2.8 Lösung des Gleichungssystems

Für die Lösung des entstandenen Gleichungssystems sthen viele Methoden zur Verfügung. Ein einfaches Verfahren ist das Gauß’sche Eliminationsverfahren.

2.8.1 Gaußsches Eliminationsverfahren

-fache Gleichung n von Gleichung i abziehen; solange durchführen bisunter der Diagonale nur Nullen vorkommen. Dies ist auch als Dreieckszerlegung

bekannt.

Rekursionsformeln:

Dreieckszerlegung: (triangular decomposition)

Vorwärtseinsetzen: ( forward substitution)

Nach der Dreieckszerlegung der Steifigkeitsmatrix kann die rechte Seite für die einzelnen Lastfälle getrennt behandelt werden.

K nn un K nj u j + + + + Pn=

K in un K ij u j + + + Pi=+

K nn un K nj u j + + + + Pn=

0 K ijK inK nn

--------K nj –

u j + + Pi

K inK nn

--------Pn – =+

Gleichung n K in K nn *

Gleichung i

Neue Gleichung i

Gleichung n

K in K nn

0

K ij K ij=K in K nj

K nn

-------------------- –

Pi Pi=

K in Pn

K nn

--------------- –



2-13Baustatik 2


Lösung des Gleichungssystems

Rückeinsetzen: (back substitution)

Ist eine Weggröße bereits vorgegeben z.B. Auflagersenkung u0 so folgt

2.8.2 Spezielle Methoden zur Lösung von schwach

besetzten Matrizen

Die Systemsteifigkeitsmatrix hat N2 Koeffizienten, wobei N die Anzahl der Frei-heitsgrade ist. Für die Speicherung einer Zahl sind im Computer 8 Bytes vorgese-hen, d.h. der Speicherplatzbedarf ist N2*8. Die Anzahl der Operationen(Multiplikation, Division, Subtraktion) für den Gauß’schen Algorithmus ist unge-fähr N3.

Wie schon im kleinen Beispiel für die Assemblierung der Systemsteifigkeitsmatrixgezeigt enthält die Matrix Nulleinträge. Die Anzahl der Nulleinträge nimmt mitder Größe des Systems rapide zu. Matrizen mit sehr vielen Nulleinträgen nenntman auch schwach besetzt . Die Koeffizienten, welche nicht Null sind, befindensich bei optimaler Nummerierung der Freiheitsgrade in der Nähe der Diagonalen.Durch eine Skyline Speicherung kann der Speicherplatz (und auch die Anzahl der Operationen; da nicht mit 0 multipliziert wird) wesentlich verringert werden.

Skyline Speicherung

Abb. 2.4 Skyline der Systemsteifigkeitsmatrix

un

1

K nn-------- K ni ui Pn – i n 1+=

N

– =

K nj u j + + Pn K nn u0 – =

K ij u j + Pi K in u0 – =+

un u0......bekannt= K nn un K nj u j + + + + Pn=

K in un K ij u j + + + Pi=+

0

Symm.




2-14

Berechnung der Ergebnisse

Baustatik 2

In der Skyline Speicherung werden die Koeffizienten bis zum ersten Nulleintrag(mit folgenden Nullen) in einen Vektor gespeichert. Die Position in der Steifig-keitsmatrix (Spalte/Zeile) wird in einem Positionsvektor vermerkt.

Durch die Verwendung spezieller Methoden kann die Berechnung großer Glei-chungssysteme entscheidend optimiert werden.

2.9 Berechnung der Ergebnisse

Durch Lösung des Gleichungssystems erhält man die Weggrößen an allen unge-sperrten Knoten (Pseudo-Vektor {u}). Die Ergebnisse werden nun für jeden Stabgetrennt berechnet. Dazu müssen die Stabendverformungen in die lokale (Stab)

Nummerierung und in das lokale Koordinatensystem übergeführt werden. Dieswird in Abb. 2.5 gezeigt.

{ ....}

u i

1

0

0

u1

=

u j1

u2

u3

u4

=

u i

2

u2

u3

u4

= u j2

u5

u6

u7

=

2

1

uX2 2

uY2 3

2 4

1 1 –

2 3

uY2 3

2 4 uY3 6 3

li7 –

uX2 2 u

X35



2-15Baustatik 2



Abb. 2.5 Stabendverformungen

Für die Überführung der Stabendverformungen in das lokale Koordinatensystemverwenden wir die in Abschnitt 2.4 abgeleitete Formel.

2.9.1 Stabverformungen

Die Stabverformungen bestehen aus zwei Komponenten: Verformung des kinema-tisch bestimmt aufgelagerten Stabes (aus Belastung) und der Verformung des Sta-

bes auf Grund der Stabendverformungen. Letzteres ist durch eine elastische Linie(Hermite’sche Funktion, siehe 8.3) definiert. Abb. 2.6 zeigt die Bestimmung der Verformungen eines belasteten Stabes.

u i3

u5

u6

u8

= u j3

0

0

0

=

3

uX3 5

uY3 6

3re

8 –

u ie

T e

u ie

= u je

T e

u je

=




2-16


Baustatik 2

Abb. 2.6 Stabverformung

2.9.2 Schnittkraftverläufe

Zunächst werden aus den Stabend-WGR die Stabend-KGR mit Hilfe der lokalenSteifigkeitsmatrix bestimmt (siehe Abschnitt 2.3). Hier werden wieder zwei Ein-flüsse addiert: die KGR am kinematisch bestimmten System (Starreinspannwerte)und die KGR aus Stabend-WGR:

Die Stabend-KGR entsprechen nun größenmäßig den Schnittkräften, das Vorzei-chen muss jedoch angepasst werden, wenn es der Kennfaserregel entsprechen soll.Abb. 2.7 und Abb. 2.8 zeigen die Bestimmung der Schnittkraftverläufe eines bela-steten Stabes.

i j

i

j

uyi

uxi

uxj

uyj

mit Hermiteschen

Funktionen

Kinematisch

bestimmt

(aus Tabellen)

=

p ie

p iBe

k +e

ii u ie

k e

ij u je

+=

p je

p jBe

k +e

ji u ie

k e jj u j

e+=



2-17Baustatik 2



Abb. 2.7 Bestimmung des Momentenverlaufs im Stab

Abb. 2.8 Bestimmung des Querkraftverlaufes im Stab

i j

miB

m jB

i j

mi

m j

miB

– m jB

mi

–

m j

+

i j

i j

pyi B

+

pyj B

pyi B

p – yj B

pyi pyj

pyi p – yj




2-18

Federelemente

Baustatik 2

2.10 Federelemente

2.10.1 Wegfedern

Eine Wegfeder wirkt wie ein Fachwerkstab. Die lokale Steifigkeitsmatrix einesFederelementes mit der Federsteifigkeit ist daher:

Die globale Steifigkeitsmatrix erhält man durch Transformation der Freiheitsgrade.

2.10.2 Drehfedern

Die Steifigkeitsmatrix einer Drehfeder mit der Verdrehsteifigkeit ist:

Hier besteht kein Unterschied zwischen lokaler und globaler Steifigkeitsmatrix. Eshandelt sich hierbei um eine Drehfeder, die zwischen zwei Stäben wirkt und somiteine nachgiebige Verbindung darstellt.

k w

k e

k w

1 0 1 – 0

0 0 0 0

1 – 0 1 0

0 0 0 0

=

xi j

ux1 uy1 ux2 uy2

K e

k w

2

cos cossin 2

cos – cossin –

cossin 2

sin cossin – 2

sin –

2cos – cossin – 2cos cossin

cossin – 2

sin – cossin 2

sin

=

x

X

Y

i

j

uX1 uY1 uX2 uY2

k D

K k k D1 1 –

1 – 1

= =i j

i j



2-19Baustatik 2


Federelemente

2.10.3 Allgemeine Federlagerung

Die lokale Steifigkeitsmatrix für einen allgemein federgelagerten Knoten ist:

Die globale Steifigkeitsmatrix erhält man durch Transformation der Freiheitsgrade.

2.10.4 Verwendung von Federn für Auflagerbedingungen

Im vorhergehenden wurden die Auflagerbedingungen dadurch berücksichtigt, dassman den zugehörigen WGR keine FG Nummern zugewiesen hat, da der Wert der WGR ja bekannt ist (=0). Eine andere Möglichkeit ist, das Tragwerk über Feder-elemente, denen eine sehr große Steifigkeit zugewiesen wird, mit dem Auflager zuverbinden. Der Vorteil dieser Methode ist es, dass Auflagerkräfte direkt erhalten

werden und dass man eine Nachgiebigkeit des Auflagers, welche in vielen Fällengegeben ist, berücksichtigen kann. Die Zuweisung eines sehr großen Steifigkeits-wertes stellt bei der Lösung des Gleichungssystems kein Problem dar, da die Koef-fizienten zu den Diagonalgliedern addiert werden.

x

X

Y

k yk x

k

k e

k x 0 0

0 k y 0

0 0 k

=

T̃

cos sin 0

sin – cos 0

0 0 1

=

K e

T̃ T

k e

T̃ =




2-20

Rechenbeispiel

Baustatik 2

2.11 Rechenbeispiel

In Abb. 2.9 ist ein Beispiel gezeigt, welches die Rechenabläufe der Matrix Stiff-ness Method zeigen soll.

Abb. 2.9 Angabe

Abb. 2.10 zeigt das diskretisierte Tragwerk mit der Nummerierung der Elementeund Knoten. Dabei wird das schiefe Auflager durch eine steife Feder modelliert,welche eine Verschiebung in Richtung normal zur Auflagerbewegung verhindert.

Abb. 2.10 Diskretisiertes Tragwerk

6m

10m 4m

45

1kN m

4m

1kN

Drehfeder, k D 10000kNm rad =

Alle Stäbe:

E= 107kN/m2

A=10-3

m2

I= 10-2 m4

1

2

k w 1 105

kN m =

3

4

1

2

3 X

Y



2-21Baustatik 2


Rechenbeispiel

Abb. 2.11 zeigt die Nummerierung der Freiheitsgrade.

Abb. 2.11 Nummerierung der Freiheitsgrade (in Klammern sind die entsprechenden

WGR angegeben; die Pfeile sollen nur die Beweglichkeit veranschaulichen; d.h. sind

nicht immer in positiver Richtung)

2.11.1 Numerisches Modell

Das numerische Modell besteht aus 3 Tabellen (Element-, Knoten- und Freiheits-gradliste). Die Federn werden nur in der Freiheitsgradliste erwähnt.

Tab. 2.5 Knotenliste

Tab. 2.6 Stabelementliste

Knoten X Y

1 0,0 6,0 1 1 1

2 10,0 6,0 0 0 0

3 18,0 0,0 0 0 0

Stabvon

i

bis j

Material No

Lm

Verbindungi

Verbindung j

1 1 2 1 10 0 1

2 2 3 1 10 1 1

2 uY2

1 uX2

3 2li

4 2

re

7 3 5 uX3

6 uY3

ux uy




2-22

Rechenbeispiel

Baustatik 2

Tab. 2.7 Zuordnung der globalen Freiheitsgradnummern

Tab. 2.8 Material/Querschnittswertliste

2.11.2 Berechnung der Elementsteifigkeitsmatrizen

2.11.2.1 Lokale Steifigkeitsmatrix

Da Stab 1 und Stab 2 gleiche Queschnittswerte und Länge haben, sind die lokalenStabsteifigkeitsmatrizen ident:

2.11.2.2 Transformationsmatrix

Stab 1:

Da der Stab horizontal liegt, gilt Die lokale Steifig-keitsmatrix ist zugleich die globale Matrix.

lokale Freiheitsgradnummern

Element 1 2 3 4 5 6

1 0 0 0 1 2 3

2 1 2 4 5 6 7

3 3 4 - - - -

4 0 0 5 6 - -

Material NoE

kPa

I

m4

A

m2

1 10000000 0,01 0,001

k ii1

1000 0 0

0 1200 6000

0 6000 40000

= k jj1

1000 0 0

0 1200 6000 –

0 6000 – 40000

=

k ji1

1000 – 0 0

0 1200 – 6000 –

0 6000 20000

= k ij

1k ji

1T

=

T 1

I Einheitsmatrix.=



2-23Baustatik 2


Rechenbeispiel

Stab 2:

2.11.2.3 Globale Elementsteifigkeitsmatrizen

Stab1:

T 2

0 8 0 – 6 0

0 6 0 8 0

0 0 1

=

K 1

1000 0 0

0 1200 6000

0 6000 40000

1000 – 0 0

0 1200 – 6000

0 6000 – 20000

1000 – 0 0

0 1200 – 6000 –

0 6000 20000

1000 0 0

0 1200 6000 –

0 6000 – 40000

=

0 0 0 1 2 3




2-24

Rechenbeispiel

Baustatik 2

Stab 2:

Federelement 3:

K ii2

0 8 0 6 0

0 – 6 0 8 0

0 0 1

1000 0 0

0 1200 6000

0 6000 40000

0 8 0 – 6 0

0 6 0 8 0

0 0 1

1072 96 3600

96 1128 4800

3600 4800 40000

= =

K jj2

0 8 0 6 0

0 – 6 0 8 0

0 0 1

1000 0 0

0 1200 6000 –

0 6000 – 40000

0 8 0 – 6 0

0 6 0 8 0

0 0 1

1072 96 3600 –

96 1128 4800 –

3600 – 4800 – 40000

= =

K ji2

0 8 0 6 0

0 – 6 0 8 0

0 0 1

1000 – 0 0

0 1200 – 6000 –

0 6000 20000

0 8 0 – 6 0

0 6 0 8 0

0 0 1

1072 – 96 – 3600 –

96 – 1128 – 4800 –

3600 4800 20000

= =

K ij2

K ji2T

=

K 2

1072 96 3600

96 1128 4800

3600 4800 40000

1072 – 96 – 3600

96 – 1128 – 4800

3600 4800 20000

1072 – 96 – 3600

96 – 1128 – 4800

3600 4800 20000

1072 96 3600 –

96 1128 4800 –

3600 – 4800 – 40000

=

1 2 4 5 6 7

K 3 1 1 –

1 – 1

=

3 4



2-25Baustatik 2


Rechenbeispiel

Federelement 4:

2.11.3 Assemblierung der Systemsteifigkeitsmatrix

Das System hat 7 Freiheitsgrade, daher hat die Systemsteifigkeitsmatrix dieDimension 7x7.

K 4

105 0 5 0 5 0

0 5 0 5 0

0 0 0

=

5 6 7

1 2 3 4 5 6 7

2li

uX2 uY2 1re

uX3 uY3 3

1

2

3

4

5

6

7

Symmetrisch

1000 + 01072

96 3600 -1072 -96 3600

1200 +1128

-6000 4800 -96 -1128 4800

40000 + -10000 0 0 0

40000 + -3600 -4800 20000

1072 +

0,5x105

96 +

0,5x105 -3600

1128 +

0,5x105-4800

40000

10000

10000




2-26

Rechenbeispiel

Baustatik 2

2.11.4 Belastungsvektor

2.11.4.1 Starreinspannwerte in lokaler Richtung

Die Starreinspannwerte in lokalen Richtungen sind (siehe Tabelle 1.5):

Stab 1:

Stab 2:

2.11.4.2 Starreinspannwerte in globalen Richtungen

Stab 1:

Stab 2:

p iB1

0

5

8 33

; p jB1

0

5

8 – 33

==

p iB2

0

0 5

1 25

; p jB2

0

0 5

1 25 –

==

p iB1

0

5

8 33

; p jB1

0

5

8 – 33

==

p iB2 0 8 0 6 0

0 – 6 0 8 0

0 0 1

00 5

1 25

0 30 4

1 25

= = p jB

2 0 30 4

1 25 –

=



2-27Baustatik 2


Rechenbeispiel

2.11.4.3 Assemblierung des Belastungsvektors

Der Belastungsvektor ist

2.11.5 Lösung des Gleichungsystems

Die Lösung des Gleichungssystems ergibt:

Da die Angabe und Berechnung in m und rad erfolgte, sind die Ergebnisse dement-sprechend in den gleichen Einheiten.

P

0 3 –

5 0 4+ –

8 333

1 – 25

0 – 3

0 – 4

1 25

=

u

3 771 104 –

7 570 103 –

–

7 102 104 –

–

1 578 104 –

3 591 103 –

3 611 103 –

7 167 104 –

=




2-28

Rechenbeispiel

Baustatik 2

2.11.6 Zurodnung der WGR zu den Elementen und

Transformation

Mit Hilfe von Tabelle 2.6 werden die WGR den einzelnen Elementen zugeordnetund, falls notwendig, in das lokale Koordinatensystem transformiert.

Stab 1:

Stab 2:

Federelement 4:

u i1

0

0

0

; u j1

3 771 104 –

7 570 103 –

–

7 – 102 104 –

==

u i2

0 8 0 – 6 0

0 6 0 8 0

0 0 1

3 771 104 –

7 570 103 –

–

1 579 104 –

4 844 103 –

5 830 103 –

–

1 578 104 –

= =

u j2

0 8 0 – 6 0

0 6 0 8 0

0 0 1

3 591 103 –

3 611 103 –

7 167 104 –

5 039 103 –

7 338 104 –

–

7 167 104 –

= =

u 4 0 5 0 5

0 5 0 5

3 591 103 –

3 611 10 3 –

9 – 771 106 –

9 771 10 6 – –

= =



2-29Baustatik 2


Rechenbeispiel

2.11.7 Berechnung der StabendKGR

Stab 1:

Stab 2:

p i1

0

5

8 333

1000 – 0 0

0 1200 – 6000

0 6000 – 20000

3 771 104 –

7 570 103 –

–

7 – 102 104 –

+

0 – 377

9 823

39 550

= =

p j1

0

5

8 – 333

1000 0 0

0 1200 6000 –

0 6000 – 40000

3 771 104 –

7 570 103 –

–

7 – 102 104 –

+

0 377

0 177

8 679

= =

p i2

0

0 5

1 25

1000 – 0 0

0 1200 – 6000

0 6000 – 20000

5 039 103 –

7 338 104 –

–

7 167 104 –

1000 0 0

0 1200 6000

0 6000 40000

4 844 103 –

5 830 103 –

–

1 578 104 –

+ +

0 – 195

0 368 –

8 – 679

=

=

p j2

0

0 5

1 – 25

1000 – 0 0

0 1200 – 6000 –

0 6000 20000

4 844 103 –

5 830 103 –

–

1 578 104 –

1000 0 0

0 1200 6000 –

0 6000 – 40000

5 039 103 –

7 338 104 –

–

7 167 104 –

+ +

0 195

1 368

0

=

=




2-30

Rechenbeispiel

Baustatik 2

Drehfeder:

Wegfeder:

2.11.8 Schnittgrößen

Die Schnittgrößen ergeben sich nach Anpassung des Vorzeichens (Kennfaserregel)aus den StabendKGR.

2.11.8.1 Momentenverlauf

2.11.8.2 Querkraftverlauf

p 3

104

1 1 – 1 – 1

7 102 10

4 –

–

1 578 104 –

8 – 679

8 679= =

p 4

105 1 0

0 0

9 – 771 106 –

9 771 106 –

–

0 977 –

0

= =

-39,550

8,679

6,840

9,823

-0,177

-1,368

-0,368



2-31Baustatik 2


Rechenbeispiel

2.11.8.3 Normalkraftverlauf

0,3770,195




2-32

Rechenbeispiel

Baustatik 2



3-1Baustatik 2

3

Drehwinkelverfahren

3.1 Einführung

Man kann den Aufwand in der Berechnung bei der allgemeinen Deformationsme-thode wesentlich reduzieren indem man Vereinfachungen einführt. Bei einem Bie-getragwerk kann man z.B. in den meisten Fällen die Längenänderung der Stäbe aus

Normalkraft vernachlässigen. Beim Rahmen in Abb. 3.1 ist z.B. der Unterschied inden Biegmomenten weit unter 1%.

Abb. 3.1 Einfluss der Stablängenänderung auf den Momentenverlauf bei einem

Biegetragwerk

Bei einem Tragwerk, in dem gar keine Normalkräfte auftreten (z.B. Durchlaufträ-

ger) hat diese Vereinfachung natürlich überhaupt keine Auswirkungen.

Dehnstarre Stäbe

ohne Vereinfachung

mit Vereinfachung,



3Drehwinkelverfahren

3-2

Definition der Stabverformung über Drehwinkel

Baustatik 2

Durch die Annahme dehnstarrer Stabelemente ergeben sich zwei wesentliche Ver-einfachungen: erstens ist es möglich, die Verformungen des Stabelements nur über Drehwinkel zu definieren, zweitens kann man über abhängige Weggrößen die

Anzahl der Unbekannten wesentlich verringern. Das hier vorgestellte Drehwinkel-verfahren ist im Gegensatz zur vorhergehenden Methode als Handrechenverfahrenvorgesehen.

3.2 Definition der Stabverformung über

Drehwinkel

Wird die Längenänderung des Stabes aus Normalkraft vernachlässigt, dann kannman die Verformung des Stabes über 3 Drehwinkel vollständig beschreiben: dieKnotenverdrehungen und und die Sehnendrehung .

Abb. 3.2 Beschreibung der Stabverformung mit Hilfe von Drehwinkeln

Die Beziehung zwischen Stabendverformungen und dem Sehnendrehwinkel ist:

Weiters gilt für das dehnstarre Stabelement:

i j

X

Y

uxi

i

j

uyi

i

j

uxj uxi=

L

uyj uyi –

uyj x

y

uyj uyi –

L-------------------=

uxi uxj=



3-3Baustatik 2

Drehwinkelverfahren


3.3 Berechnung der Steifigkeitskoeffizienten

Die im vorhergehenden Kapitel berechneten Steifigkeitskoeffizienten müssen mitder Beziehung zwischen den lokalen Weggrößen und dem Sehnendrehwinkelmodifiziert werden. Für den Stab gibt es dann nur mehr 6 Steifigkeitskoeffizientenwobei die Koeffizienten für und unverändert bleiben.

3.3.1 Beiderseits starr angeschlossener Biegestab

Statt einer Querverschiebung eines Auflagers wird hier eine Sehnendrehungbetrachtet (Abb. 3.3). Der Steifigkeitskoeffizient für die Sehnendrehung ist

der Steifigkeitskoeffizient für eine Querverschiebung von 1 multipliziert mit L.

Abb. 3.3 Verformungszustand

Tab. 3.1 Zusammenfassung der Ergebnisse des starr angeschlossenen Stabes

i 1= j 1=

1=

1=

L

1 L6EI

L--------- –

6EI

L--------- –

1=

i 1= 1= j 1=

6EI

L--------- – mi

4EI

L---------

2EI

L---------

m j2EI

L---------

4EI

L---------

6EI

L--------- –




3-4


Baustatik 2

3.3.2 Einseitig gelenkig angeschlossener Biegestab

Der Steifigkeitskoeffizient für die Sehnendrehung ist der Steifigkeitskoef-

fizient für die Querverschiebung 1 multipliziert mit L.

Abb. 3.4 Verformungszustand .

Tab. 3.2 Zusammenfassung Ergebnisse des links gelenkig angeschlossenen Stabes

1=

1=

L

1 L

3EI

L--------- –

1=

1= j 1=

0mi

m j

0

3EI

L---------

3EI

L--------- –



3-5Baustatik 2

Drehwinkelverfahren

Berechnungsschritte

3.4 Berechnungsschritte

Der Berechnungsablauf ist nun identisch mit der allgemeinen Deformationsme-thode mit dem Unterschied, dass für Biegestäbe Sehnendrehwinkel eingeführt wer-den. Dies soll an dem im vorhergehenden Kapitel gezeigten Beispiel erklärtwerden.

Schritt 1 (Diskretisierung) ist identisch, allerdings wird hier jetzt die Dehnung ausden Normalkräften in den Biegestäben vernachlässigt (Dehnsteifigkeit EA>>). AbSchritt 2 ergeben sich Unterschiede.

3.4.1 Schritt 2: Bestimmung der unbekannten Drehwinkel

Es gibt einen wesentlichen Unterschied: Es werden nur Drehwinkel als Unbe-kannte definiert. Dadurch verringert sich die Anzahl der Unbekannte um eins, dafür die dehnstarren Biegstäbe keine Verformung in X-Richtung möglich ist. Es isthier aber ein zusätzlicher Berechnungsschritt notwendig: Die abhängige Sehnen-drehung des Stabes 2 muss bestimmt werden.

Abb. 3.5 Unbekannte Drehwinkel

30

L1=6,00 m L2=5,00 m

L 3 = 6 ,9 3 m

Biegestab:

EI 5410 kNm

2=

EAB>>10 kN/m

Fachwerkstab:EA

D1

X

Y

D2 – – =




3-6

Berechnungsschritte

Baustatik 2

3.4.2 Schritt 3: Bestimmung der abhängigen

Sehnendrehungen

Die Sehnendrehung des Stabes 2 ist abhängig von der Sehnendrehung des Stabes 1.Dies kann man am besten durch das Sehnendiagramm in Abb. 3.6 bestimmen.

Abb. 3.6 Sehnendiagramm zur Bestimmung des Drehwinkels des Stabes 2

3.4.3 Allgemeines

Beim Drehwinkelverfahren werden andere temporäre Auflager verwendet um dasSystem kinematisch bestimmt zu machen. Diese sind:

Für die Bestimmung des Kräftegleichgewichts wird das Prinzip der virtuellenWeggrößen (siehe Baustatik I Skriptum Absatz 2.4) verwendet. Dabei werden diean den Stabenden wirkenden Momente durch das Einführen von Gelenken sichtbar gemacht und das System um eine virtuelle Sehnendrehung verschoben.Die virtuellen inneren Arbeiten sind die an den Stabenden wirkenden reellenMomente multipliziert mit den virtuellen Verdrehungen. Die virtuellen äußerenArbeiten sind die reelen äußeren Kraftgrößen multipliziert mit den virtuellen Weg-

größen. Gleichgewicht herrscht, wenn die Summe aller virtuellen Arbeiten Nullist.

6m 5m

2

6 2 5= 2

L1

L2

----- 6

5

---= =

Sperrung der Knotenverdrehung

Sperrung der Sehnendrehung

1=



3-7Baustatik 2

Drehwinkelverfahren

Berechnungsschritte


System aufbringen.

Für dieses System werden die unbekannten Verdrehungen Null gesetzt. DasMoment am temporären Auflager wird mit K 10 und in der Sperrung der Sehnen-drehung mit K 20 bezeichnet.

Abb. 3.7 Verformungszustand D 1 =D 2 =0

Abb. 3.8 Virtueller Verschiebungszustand zur Berechnung von K 20 (die am Tragwerk

wirkenden reelen Kraftgrößen sind grau eingezeichnet)

qL12

–

12--------------

K 10

Verformte Figur

Freigeschnittene

D1=D2=0

3045 M0

K 20qL1

2

12-----------

[kNm]

innere Momente und

Rückhaltemomente:




3-8

Berechnungsschritte

Baustatik 2

1= 1 L1

K 20

R q L1

=

L1

2-----



3-9Baustatik 2

Drehwinkelverfahren

Berechnungsschritte

Das Moment im temporären Auflager wird mit Hilfe der Summe der Momente amKnoten berechnet:

Für die Berechnung des Haltemoments in der Sehnensperre wird das Prinzip der virtuellen Weggrößen verwendet (siehe Abb. 3.8). Gleichgewicht ergibt sich, wenndie Summe der virtuellen Arbeiten verschwindet:

Damit ist das Haltemoment in der Sehnensperre:

M 0 : K 10

qL12

–

12-------------- 30 kNm – = = =

K 20 1qL1

2

12----------- 1

qL12

12----------- 1 – q L1

L1

2----- – + 0=

K 20

q L21

2--------------- 180 kNm==




3-10

Berechnungsschritte

Baustatik 2



Als nächstes wird der Einfluss einer Einheitsverdrehung untersucht. Dies ist iden-tisch zur Deformationsmethode.

Abb. 3.9 Verformungszustand D 1 =1, D 2 =0

Abb. 3.10 Virtueller Verschiebungszustand zur Berechnung von K 21 (die am

Tragwerk wirkenden reellen Kraftgrößen sind grau eingezeichnet)

Verformte Figur

D1 1=

4EI

L1

---------

K 11

3EI

L2

---------

D1=1

33,3

-30-16,6

[MNm]

M1

2EI

L1

---------K 21

Kraftgrößen an den Knoten

1=

K 21

L1/L2



3-11Baustatik 2

Drehwinkelverfahren

Berechnungsschritte

Das Moment im temporären Auflager wird mit Hilfe der Summe der Momente berechnet:

Für die Berechnung des Haltemoments in der Sehnensperre ist wieder das Prinzipder virtuellen Weggrößen zu verwenden (siehe Abb. 3.10). Gleichgewicht ergibtsich auch hier wieder, wenn die Summe der virtuellen Arbeiten verschwindet:


M 0 : K 11

4EI

L1---------

3EI

L2---------+ 6 33

4

10 kNm= = =

K 21 12EI

L1

---------4EI

L1

---------+ 1

3EI

L2

---------L1

L2

----- – + 0=

K 21 14 – 00 310 kNm=




3-12

Berechnungsschritte

Baustatik 2



Als nächstes wird der Einfluss einer Einheitssehnendrehung des Stabes 1 unter-sucht.

Abb. 3.11 Verformungszustand D 1 =0, D 2 =1

Abb. 3.12 Virtueller Verschiebungszustand zur Berechnung von K 22 (die am

Tragwerk wirkenden reellen Kraftgrößen sind grau eingezeichnet)

Verformte Figur

=1

EA

L3

-------- 30 – 2

sin L1

6EI

L1

--------- –

K 12

3EI

L2

---------L1

L2

-----

D2=1

-50-36

[MNm]

M2

1 L1

6EI

L1

--------- –

50

K 22

Kraftgrößen an den Knoten

2

=6/5

1=L1

K 22

L1/L2



3-13Baustatik 2

Drehwinkelverfahren

Berechnungsschritte

Das Moment im temporären Auflager wird mit Hilfe der Summe der Momente berechnet:

Für die Berechnung des Haltemoments in der Sehnensperre wird wieder das Prin-zip der virtuellen Weggrößen verwendet (siehe Abb. 3.12). Gleichgewicht ergibtsich, wenn die Summe der virtuellen Arbeiten verschwindet:


M 0 : K 12

6EI

L1--------- –

3EI

L2---------

L1

L2-----+ 14 – 00

3

10 kNm= = =

K 22 1 26EI

L1

--------- 13EI

L2

---------L1

L2

-----

L1

L2

-----EA

L3

-------- 30 – 2

sin L1

L1

– – – 0=

K 22 9 23 105

kNm=




3-14

Berechnungsschritte

Baustatik 2

3.4.7 Schritt 6: Aufstellung der

Knotengleichgewichtsbedingungen

Die unbekannten Weggrößen müssen so groß sein, dass die Kraftgrößen in dentemporären Auflagern verschwinden. Dies ergibt:

oder:

3.4.8 Schritt 7: Lösung des Gleichungssystems

Die Lösung des Gleichungssystems

ergibt folgende Weggrößen:

Die Y-Verschiebung des Knotens ist: (Ver-gleicht man dies mit dem im Abschnitt 1 erhaltenen Wert von -1,16 mm ergibt sichein Unterschied von unter 3% gegenüber der Berechnung welche die Änderung der Stablängen aus Normalkraft berücksichtigt).

K 1 K 10 K 11 D1 K 12 D2++ 0= =

K 2 K 20 K 21 D1 K 22 D2++ 0= =

qL

1

2 –

12----------------

q L21

2-----------------

4EI

L1

---------3EI

L2

---------+2EI

L1

---------4EI

L1

---------+

– 1

3EI

L2

---------L

1

L2

------+

2EI

L1

---------4EI

L1

---------+

– 13EI

L2

---------L

1

L2

------+ 12EI

L1

------------3EI

L2

---------L

1

L2

------

2EA

L3

-------- 30 – 2

sin L12

+ +

D1

D2

+ 0

0

=

30 – 6 33 104 D1 14 00 10

3 D2 0= – +

180 14 00 103

D1 9 23 105

D2+ 0= –

D1 4 32 104 –

rad= Knotenverdrehung

D2 1 89 104 –

rad – = Sehnendrehung

1 89 10 4 – 6 – 1 13 3 – 10 m – =



3-15Baustatik 2

Drehwinkelverfahren

Berechnungsschritte

3.4.9 Schritt 8: Bestimmung der Schnittkräfte

Zunächst bestimmt man die Normalkraft im Fachwerkstab (siehe Seite 6-10):

verglichen mit 48,76 kN, der genaueren Berechnung. Den Biegemomentenverlauf erhält man durch Superposition des Verlaufes am kinematischen Grundsystem mitden Verläufen aus den Einheitsverformungszuständen multipliziert mit demerrechneten Wert der entsprechenden Weggröße (siehe Abb. 3.13).

Der Querkraft- und Normalkraftverlauf kann ebenfalls durch Superposition bzw.aus Gleichgewichtsbetrachtungen am entgültigen Biegemomentenverlauf ermittelt

werden.

S EAL3

-------- L1 30 – 2

sin D2 48 98 kN= =




3-16

Berechnungsschritte

Baustatik 2

Abb. 3.13 Endgültiger Momentenverlauf in [kNm]

-3045

+

=

M1 D1

M0

M2 D2

-30

15

-46,63

-6,17

18,60

-12,96

14,40

-7,20

-9,43

9,436,79

M

+



3-17Baustatik 2

Drehwinkelverfahren

Berechnungsschritte

Abb. 3.14 Endgültiger Querkraftverlauf in [kN]

-30

+

=

Q1 D1

Q0

Q2 D2

30

3,22

-1,39

2,593,59

36,81

-23,19

1,19

Q

+




3-18

Berechnungsschritte

Baustatik 2

Abb. 3.15 Endgültiger Normalkraftverlauf in [kN]

Bem.: N im Balken aufgrund von Gleichgewichtsbedingungen nicht eindeutig be-stimmbar, aber aufgrund der Geometrie (Längenverhältnis) lösbar.

+

=

N2 D2

N1 D1

-19,20

50,20

23,04-1,44

48,76

23,04-19,20

N0 0=

+

N



3-19Baustatik 2

Drehwinkelverfahren

Verschieblicher Rahmen

3.5 Verschieblicher Rahmen

Hier soll an Hand eines verschieblichen Rahmens nochmals der Berechnungsab-lauf erklärt werden. Zunächst wird die Belastung durch Kräfte behandelt. Die Last-fälle Temperatur und Auflagerveschiebung werden in den nächsten Kapiteln

besprochen.

3.5.1 Angabe

Die Abmessungen des Rahmentragwerks sowie die Angaben für Lastfall 1 sind inAbb. 3.16 gegeben.

Abb. 3.16 Beispiel, verschieblicher Rahmen, Lastfall 1

P = 10 kN

q = 24 kN/m

4 m

6 m 3 m

EI=12000 kNm2

EA>>




3-20


Baustatik 2

3.5.2 Diskretisierung des Systems

Abb. 3.17 zeigt das diskretisierte System mit den Element- und Knotennummerie-

rungen.

Abb. 3.17 Diskretisiertes System

3.5.3 Bestimmung der unbekannten Drehwinkel

Das System hat 3 unbekannte Drehwinkel: 2 Knotendrehungen und eine Sehnen-

drehung (Abb. 3.18)


1

2

3

i

j1 ii j

j

2

L 1 = 4 , 0

0

L2=6,00

L 3 =

5 , 0

0

D2D1

D3 =



3-21Baustatik 2

Drehwinkelverfahren


3.5.4 Bestimmung der abhängigen Sehnendrehungen

Abb. 3.19 zeigt die Bestimmung der abhängigen Sehnendrehungen. Dazu wird

durch Einführung von Gelenken eine kinematische Kette erzeugt und um eine Seh-nendrehung von 1 verschoben. Diese Sehnenfigur kann auch als virtuelle Verschie- bungsfigur zur Bestimmung des Moments in der Sehnensperre verwendet werden.

Abb. 3.19 Figur zur Bestimmung der abhängigen Sehnendrehungen

1 L1

3

4

--- L1

5

4--- L1

3

4---

L1

L2

-----1

2---=

5

4---

L1

L3

----- 1=

1 L1

1




3-22


Baustatik 2


System

Zunächst werden alle unbekannten Drehwinkel Null gesetzt und die Haltemomente bestimmt. Die an den Stabenden wirkenden inneren Momente werden durch das



3-23Baustatik 2

Drehwinkelverfahren


Einführen von Gelenken sichtbar gemacht und zur besseren Darstellung nachinnen gerückt.

Abb. 3.20 Bestimmung der Haltekäfte für D 1 =D 2 =D 3 =0

P = 10 kN

q = 24 kN/m

Verformte Figur

q L22

12-------------

q L22

12------------- –

K10 K20

K30

Innere Momente

M0

-72

[kNm]




3-24


Baustatik 2

Aus der Summe der Momente an den Knoten ergibt sich:

Das Haltemoment zur Verhinderung der Sehnedrehung wird wieder mit Hilfe desPrinzips der virtuellen Weggrößen (PvW) ermittelt.

Abb. 3.21 Virtuelle Verschiebung zur Ermittlung der Haltekraft

Die Summe aller virtuellen Arbeiten ergibt:

und damit:

K 10

q L22

12

------------- 72 kNm= =

K 20

q L2

2

12------------- – 72 kNm – = =

1 L1

11

1/2

3

2---

P = 10 kN

K 3 0

R q L2=

3

K 30 1 P L1 q L2

3

2---

q L22

12-------------

1

2---

q L22

12-------------

1

2--- – + + – 0=

K 30 176 kNm – =



3-25Baustatik 2

Drehwinkelverfahren


3.5.6 Schritt 2: D1=1

Abb. 3.22 Bestimmung der Haltekäfte für D 1 =1,D 2 =D 3 =0

Verformte Figur

4EI

L2

---------

K11 K21

K31Innere Momente

M1

EI-------

3

4---

2

3--- –

1

3---

2EI

L2

---------

3EI

L1

---------

1




3-26


Baustatik 2


Das Haltemoment zur Verhinderung der Sehnendrehung wird mit Hilfe des PvWermittelt.



und damit:

K 11

3EI

L1

---------4EI

L2

---------+ 1 417 EI= =

K 21

2EI

L2

---------EI

3------= =

11

1/2

K 3 1

K 31 13EI

L1

--------- 14EI

L2

---------1

2---

2EI

L2

---------1

2--- – – + 0=

K 31 0 25 EI – =



3-27Baustatik 2

Drehwinkelverfahren


3.5.7 Schritt 3: D2=1

Abb. 3.24 Bestimmung der Haltekäfte für D 1 =0,D 2 =1,D 3 =0

Verformte Figur

2EI

L2

---------

K12

K22

K32Innere Momente

M2

EI-------

1

3--- –

4EI

L2

---------

2

3---

4EI

L3

---------

2EI

L3

---------

4

5--- –

2

5---

1




3-28


Baustatik 2





und damit:

K 12

2EI

L2

---------EI

3

------= =

K 22

4EI

L2

---------4EI

L3

---------+ 1 467 EI= =

1 1

1/2

K 3 21

K 32 12EI

L2

---------1

2---

4EI

L2

---------1

2---

4EI

L3

--------- 12EI

L3

--------- 1++ – – 0=

K 32 0 7 EI – =



3-29Baustatik 2

Drehwinkelverfahren


3.5.8 Schritt 4: D3=1

Abb. 3.26 Bestimmung der Haltekäfte für D 1 =D 2 =0, D 3 =1


Verformte Figur

6EI

L2

---------1

2---

K13K23

K33Innere Momente

M3

EI-------

3EI

L1

--------- –

1/2

6EI

L2

---------1

2---

6EI

L3

--------- – 1

6EI

L3

--------- – 1

6/5

1/2-1/2

-3/4

-6/5

11

K 13

3EI

L1

--------- – 6EI

L2

---------+1

2--- 0 – 25 EI= =




3-30


Baustatik 2




und damit:

K 23

6EI

L2---------

1

2---6EI

L3--------- – 1 0 – 7 EI= =

11

1/2

K 3 1

K 33 13EI

L1

--------- 16EI

L2

--------- –

1

2---

1

2---

6EI

L2

--------- –

1

2--- 1

2---

6EI

L3

--------- – 1 16EI

L3

--------- – 1 1 – 0=

K 33 3 65 EI=



3-31Baustatik 2

Drehwinkelverfahren


3.5.9 Gleichgewichtsbedingungen

Die Bedingungen, dass alle Haltekräfte verschwinden sind:

Dies ergibt:

Abb. 3.28 Verformte Figur

K 1 K 10 K 11 D1 K 12 D2 K 13 D3+++ 0= =

K 2 K 12 K 21 D1 K 22 D2 K 23 D3+++ 0= =

K 3 K 30 K 31 D1 K 32 D2 K 33 D3+++ 0= =

1 417 0 333 0 – 250 333 1 467 0 7 –

0 25 – 0 7 – 3 65

EID1

D2

D3

72 –

72

176

=

EID1 61 – 68=

EID2 92 64=

EID3 61 80=

D1 5 – 143 – 10 rad= Verdrehung Knoten 1

D2 7 723 – 10 rad= Verdrehung Knoten 2

D3 5 153 – 10 rad= Sehnendrehung

5 153 – 10

5 – 143 – 10

7 723 – 10




3-32


Baustatik 2

Abb. 3.29 Superposition der Momentenverläufe

M0

-72 -72

M1

EI

------- EI D1

108

41,14

-46,28-20,57

M2

EI------- EI D2

-30,86

61,72

-74,07

37,03

M3

EI------- EI D3

-30,87 30,87

-46,31

74,10

-74,10

-92,59

M

0,03

-37,07

+

+

+

=

[kNm]



3-33Baustatik 2

Drehwinkelverfahren

Temperaturänderung

Abb. 3.30 Querkraftverlauf

Abb. 3.31 Normalkraftverlauf

3.6 Temperaturänderung

Hier soll ein weiterer Lastfall berechnet werden. Für den Lastfall wird angenom-men, dass der Riegel sich ungleichmäßig erwärmt (es wird ein symmetrischer Querschnitt mit Höhe h angenommen). Der Einfluss der Erwärmung kann in zweiTeile getrennt werden:

Gleichmäßige Erwärmung um

-23,15

Q

-56,56

-7,4287,44

[kN]

N-87,44

-33,15

-65,14[kN]

m =

Tu To+

2-------------------------- 40 °K =




3-34

Temperaturänderung

Baustatik 2

Temperaturgardient von


Für die Berechnung ist es nur mehr notwendig eine neue rechte Seite für das Glei-chungssystem d.h. die Koeffizienten K 10, K 20 K 30 zu berechnen.

3.6.1 Belastung am kinematisch bestimmten Grundsystem

Hier trennen wir die beiden Einflüsse (Temperaturgradient und gleichm. Erwär-mung)

Tu – To

h----------------------- 100

K

m------- – =

Tu 30K =

T0 50K =

h 0 2m=

T 15 – 10

1

K -------=



3-35Baustatik 2

Drehwinkelverfahren

Temperaturänderung

3.6.1.1 Temperaturgradient


Verformte Figur

EI T 100 – E – I T 100 –

K10 K20

K30Innere Momente

M0

12 12

[kNm]




3-36

Temperaturänderung

Baustatik 2





und damit:

K T10 EI T 100 – 12 – kNm= =

K T20 E – I T 100 – 12 kNm= =

1

1/2

K 3 0

K T30 1 12

1

2--- 12

1

2--- – + 0=

K T30 0=



3-37Baustatik 2

Drehwinkelverfahren

Temperaturänderung

3.6.1.2 Gleichmäßige Temperaturerhöhung

Durch die gleichmäßige Temperaturerhöhung ergibt sich eine Verlängerung desStabes 2 um


L T 40K L2 2 4 103 –

m= =

Verformte Figur

6E – I

L2

------------ 0 3 103 –

K10

K20

K30Innere Momente

M0

5

4--- L

3

4--- L

3

4---

L

6------- 0 3 10

3 – =

5

4---

L

5------- 0 6 10

3 – =

6EI

L3

--------- 0 6 103 –

L

3,6 -6,84

6,84

-3,6




3-38

Temperaturänderung

Baustatik 2





und damit:

K Tm10

6E – IL2

------------ 0 3 103 –

3 6 kNm – = =

K Tm20

6E – I

L2

------------ 0 36EI

L3

--------- 0 6+ 10

3 – 5 04 kNm= =

11

1/2

K 3 0

K Tm30 1 2

6EI

L2

--------- – 0 3 103 –

1

2---

12EI

L3

------------ 0 6 103 –

1+ – 0=

K Tm30 20 – 88 kNm=



3-39Baustatik 2

Drehwinkelverfahren

Temperaturänderung

Dies ergibt eine neue rechte Seite für das Gleichungssystem:

K 30 K Tm30 K +

T

30 20 – 88 kNm= =

K 20 K Tm20 K +

T

20 17 04 kNm= =

K 10 K Tm10 K +

T

10 15 – 6 kNm= =

1 417 0 333 0 – 25

0 333 1 467 0 7 –

0 25 – 0 7 – 3 65

EI

D1

D2

D3

15 6

17 04 –

20 88

=

D1 1 23 103 – rad= Verdrehung Knoten 1

D2 1 08 10 3 – rad – = Verdrehung Knoten 2

D3 3 54 104 –

rad= Sehnendrehung




3-40

Temperaturänderung

Baustatik 2


M0

M1

EI------- EI D1

M2

EI------- EI D2

M3

EI------- EI D3

M

15,6

-8,64

8,6411,11

-9,87

4,94

10,364,32

-5,18

8,4

-8,64

-3,19

-2,13

2,13

5,10

-5,10

6,82

-1,64

7,92

+

+

+

=

[kNm]



3-41Baustatik 2

Drehwinkelverfahren

Auflagerverschiebung

Abb. 3.38 Verformung des Tragwerks

3.7 Auflagerverschiebung

Wir untersuchen den Fall, wenn sich das linke Auflager um 5 cm nach unten ver-schiebt.

Abb. 3.39 Definition des Lastfalls

3.7.1 Kinematisch bestimmtes Grundsystem

Um die neue rechte Seite zu bestimmen wird die Auflagerverschiebung am kine-matisch bestimmten Grundsystem aufgebracht.

3 543 – 10

1 233 – 10

1 – 083 – 10

0,05m




3-42


Baustatik 2



Verformte Figur

K10 K20

K30Innere Momente

M0

0,05m

0,05m

0 05

L2

------------ 8 333 – 10=

6E – I

L2

------------ 8 333 – 10

100

-100

[kNm]



3-43Baustatik 2

Drehwinkelverfahren





und damit:

Dies ergibt eine neue rechte Seite für das Gleichungssystem:

K 10 K 20

6E – I

L2------------ 8 33

3 –

10 100 – = = =

1

1/2

K 3 0

K 30 1 2 – 6E – I

L2

------------ 8 333 – 10

1

2--- 0=

K 30 100 kNm – =

1 417 0 333 0 – 25

0 333 1 467 0 7 –

0 25 – 0 7 – 3 65

EI

D1

D2

D3

100

100

100

=

D1 5 063 –

10 rad Verdrehung Knoten 1=




3-44


Baustatik 2

D2 6 373 – 10 rad Verdrehung Knoten 2=

D3 3 853 – 10 rad Sehnendrehung=



3-45Baustatik 2

Drehwinkelverfahren



M0

M1

EI------- EID1

M2

EI------- EID2

M3

EI------- EID3

M

100

-100

45,54

-40,48

20,24

-25,48

50,96

-61,15

30,57

-34,65

-23,1

23,1

-55,44

55,44

10,9

-5,7

-24,9

+

+

+

=

[kNm]




3-46

Beispiel mit Feder

Baustatik 2


3.8 Beispiel mit Feder

Hier wird das mit der Matrix stiffness method berechnete Beispiel etwas verein-facht (die Richtung der Verschieblichkeit des Auflagers wird paralell zum Stab 2angenommen und die Bleastung vereinfacht) mit dem Drehwinkelverfahren

berechnet. Abb. 3.44 zeigt die Angabe.

Abb. 3.44 Angabe

Zunächst wird das System diskretisiert (Abb. 3.45), die unbekannten Drehwinkel

(Abb. 3.46) und schließlich die abhängige Sehnendrehung bestimmt (Abb. 3.47)

3= 83 – 10

50 mm

15,4 mm

5

4--- 15 4 19 3 mm=

15,4 mm

50 mm

5 063 – 10 rad

6 373 –

10 rad

6m

10m 4m

1kN m

4m

Drehfeder, k D 105kNm rad =

Alle Stäbe:

E= 107kN/m2

A>>

I= 10-2 m4



3-47Baustatik 2

Drehwinkelverfahren

Beispiel mit Feder



Abb. 3.47 Bestimmung des abhängigen Drehwinkels (virtuelles

Verschiebungsdiagramm)

1

2

1

2

3

L1 =10m

L 2 = 1 0 m

D1D2

D3

1= 10

10m

8

1 0 m

2

8

10------ – 0 – 8= =

8m




3-48

Beispiel mit Feder

Baustatik 2

3.8.1 Belastung am kinematisch bestimmten System


Prinzip der virtuellen Arbeiten:

1kN m

qL2

12---------- – 8 – 3=

M0

K10

K20

qL2

12---------- –

K30

qL2

12----------

qL1=10

K 10qL

2

12---------- – 8 – 33= =

K 20 0=

K 30 1qL

2

12----------

qL2

12---------- – q L1

L1

2----- – + 0 K 30 50= =



3-49Baustatik 2

Drehwinkelverfahren

Beispiel mit Feder

3.8.2 D1=1,D2=D3=0



M1

K11

K21

4EI

L1

---------K31

4EI

L1

--------- 4 104

=

2EI

L1

--------- 2 – 104

=

2EI

L1

---------k D 1 10

5= (Drehfeder)

1

auf den Knotenwirkende äußere KG

K 11

4EI

L1

--------- k D 1+ 1 4 105

= =

K 21 k D 1 – =

K 31 14EI

L1

--------- 12EI

L1

--------- 1+ + 0 K 31

6EI

L1

--------- – 6 – 104

= = =




3-50

Beispiel mit Feder

Baustatik 2

3.8.3 D1=0,D2=1,D3=0



M2

K12

K22

3EI

L2

---------

K32

3EI

L2

--------- – 3 – 104

=

1

k D 1 105

= (Drehfeder)

K 22

3EI

L2

--------- k D 1+ 13 104

= =

K 12 k D 1 – =

K 32 13EI

L2

--------- 0 8 – 0 K 32 2 4 104

= =



3-51Baustatik 2

Drehwinkelverfahren

Beispiel mit Feder

3.8.4 D1=0,D2=0,D3=1



Das assemblierte Gleichungssystem ist in Matrizenschreibweise:

M3

K13

K23

3EI

L2

--------- 0 8

K33

6EI

L1

--------- – 6 – 104

=

1

3EI

L2--------- 0 8 – 2 4, – 10

4

=

6EI

L1

--------- –

6EI

L1

--------- 6 104

=

K 13

6EI

L1

--------- – 6 – 104

= =

K 23

3EI

L2

--------- 0 8 2 4 104

= =

K 33 16EI

L1

--------- 16EI

L1

--------- 1 – – 3EI

L2

---------0,8 0 – 8 + + 0 K 33 13 92 104

= =




3-52

Beispiel mit Feder

Baustatik 2

q – L2

12------

0

qL1

2

2-----

4EI

L1--------- k D+ k D –

6EI

L1--------- –

k D – 3EI

L2

--------- k D+

3EI

L2

--------- 0 8

6EI

L1

--------- – 3EI

L2

--------- 0 8 12EI

L1

------------ 13EI

L2

---------0,82

+

D1

D2

D3

+

0

0

0

=

8 – 33

0

50

104

14 10 – 6 –

10 – 13 2 4

6 – 2 4 13 92

D1

D2

D3

+

0

0

0

=

D1 1 41, – 4 – 10 rad Verdrehung Knoten links=

D2 0 32, – 4 – 10 rad Verdrehung Knoten rechts=

D3 4 – 144 – 10 rad Sehnendrehung=



3-53Baustatik 2

Drehwinkelverfahren

Beispiel mit Feder

M0

M1 D1

M2 D2

M3 D3

M

+

+

+

=

[kNm]

8 – 3 8 – 3

5 64, – 2 82,

24 84,

9 94,

24 84, –

0 96,

30 32, –

10 90,




3-54

Beispiel mit Feder

Baustatik 2

für k D= 0

für k D>>


D2 1 00,3 – 10 rad Verdrehung Knoten rechts=

D3 1 25, – 3 – 10 rad Sehnendrehung=

50 00, –

0

M

[kNm]


D2 0 – 76,4 – 10 rad Verdrehung Knoten rechts=

D3 3 79, – 4 – 10 rad Sehnendrehung=

29 55, –

M

[kNm]11 36,



4-1Baustatik 2

4

Symmetrische Tragwerke

4.1 Einführung

Bei symmetrischen Tragwerken ergeben sich Vereinfachungen in der Berechnung,

welche hier besprochen werden sollen. Es gibt grundsätzlich bei Tragwerken zwei

Arten von Symmetrie (Abb. 4.1 ):

die Tragwerksgeometrie spiegelt sich an Achsen (Achsensymmetrie).

Geometrie wiederholt sich zyklisch (zyklische Symmetrie)

Abb. 4.1 Beispiele für Symmetrie und zyklische Symmetrie

4.2 Achsensymmetrie

Bei symmetrischen Tragwerken ist die Verformung bei symmetrischer Belastung

symmetrisch und bei antimetrischer Belastung antimetrisch. Abb. 4.2 zeigt die

Verformung, Normalkraft, Querkraft und Momentenverläufe für eine symmetri-

Symmetrieachse



4Symmetrische Tragwerke

4-2

Achsensymmetrie

Baustatik 2

sche Belastung. Da der Querkraftverlauf in der Symmetriachse einen Nulldurch-

gang hat ist es möglich, das System durch ein halbes System mit einem

Querkraftgelenk in der Symmetrieachse zu ersetzen. Man sieht, dass dieses System

jetzt horizontal unverschieblich ist, d.h. dass bei symmetrischer Belastung für dieBerechnung keine Sehnensperre für den vertikalen Stab notwendig ist.

Abb. 4.2 Verformung, M, N, Q Verlauf aus symmetrischer Belastung und Ersatzsystem

Abb. 4.3 zeigt die Verformung, Normalkraft, Querkraft und Momentenverläufe für

eine antimetrische Belastung. Da der Momenten- und Normalkraftverlauf in der

Symmetrieachse einen Nulldurchgang hat, ist es möglich das System durch ein

halbes System mit einem verschiebbaren und gelenkigen Auflager in der Symme-

trieachse zu ersetzen.

w M

N Q

Symmetrisch

Symmetrisch

Symmetrisch

Antimetrisch

L/2 Ersatzsystem



4-3Baustatik 2


Achsensymmetrie

Abb. 4.3 Verformung, M, N, Q Verlauf aus antimetrischer Belastung und Ersatzsystem

Im Weiteren sollen verschiedene Fälle der Symmetrieachse behandelt werden.

4.2.1 Symmetrieachse schneidet normal zur Stabachse

Schneidet die Symmetrieachse einen Stab in zwei Hälften, wie in Abb. 4.2 darge-

stellt, so muss bei der Berechnung dieses Stabes eine spezielle Verdrehsteifigkeit

angenommen werden. Bei einer symmetrischen Belastung ergibt sich mit der Sym-

metriebedingung (Vorzeichen beachten !!):

mit

w M

N Q

Symmetrisch

Antimetrisch Antimetrisch

Antimetrisch

L/2 Ersatzsystem

k

4EI

L--------- i

2EI

L--------- j+= j i

– 1= = k

2EI

L--------- =




4-4

Achsensymmetrie

Baustatik 2

Abb. 4.4 Verdrehsteifigkeit eines Symmetriestabes

Zum selben Ergebnis kommt man, wenn man den halben Stab mit einem Quer-

kraftgelenk betrachtet.

Bei einer antimetrischen Belastung (Abb. 4.3) ergibt sich:

mit

Abb. 4.5 Steifigkeit eines antimetrisch belasteten Stabes

Dasselbe Ergebnis bekommt man, wenn man den halben Stab mit einem gelenki-

gen Auflager betrachtet.

4.2.2 Symmetrieachse schneidet den Stab parallel zur

Stabachse

Schneidet die Symmetrieachse durch einen Stab parallel zur Stabachse, wie in

Abb. 4.6 und Abb. 4.7 gezeigt dann darf bei der Berechnung des Ersatzsystems die

Steifigkeit des Symmetriestabes nur mit den halben Querschnittswerten (A,I)

berechnet werden.

i

j

i

– =i j

L

2EI

L

---------2EI

L

---------

M2EI

L--------- –

·

k

4EI

L--------- i

2EI

L--------- j+= j i

1= = k

6EI

L--------- =

i

j

i

=

i j

L

6EI

L---------

M6EI

L--------- –

6EI

L---------

6EI

L---------



4-5Baustatik 2


Achsensymmetrie

Abb. 4.6 Symmetrisch belastetes System und Ersatzsystem

Abb. 4.7 Antimetrisch belastetes System und Ersatzsystem

1

2

4

2'

q

1'

3

3

q

A

2----

I

2---,h

1

2

4

2'

+q

1'

q

3

3

-q

I

2---

A

2----,




4-6

Zyklische Symmetrie

Baustatik 2

4.3 Zyklische Symmetrie

Abb. 4.8 zeigt ein Beispiel einer zyklischen Symmetrie. Das Tragwerk ist in die-sem Fall rotationssymmetrisch und die Belastung zyklisch. An der verformten

Figur sieht man, dass sich gewisse Verformungsfiguren zyklisch wiederholen. In

diesem Fall braucht nur ein Segment des Tragwerks mit Querkraftgelenken in

radialer Richtung berechnet werden.

Abb. 4.8 Beispiel für zyklische Geometrie und Belastung mit dazugehörigem Ersatzsystem

4.4 Beispiele

4.4.1 Symmetrisches System

Die Abmessungen des Rahmentragwerks sowie die Angaben für den symmetri-

schen Lastfall 1 sind in Abb. 4.9 gegeben.

System

Ersatzsystem



4-7Baustatik 2


Beispiele


4.4.1.1 Diskretisierung des Systems

Abb. 4.10 zeigt das diskretisierte System mit den Element- und Knotennummerie-

rungen.


4.4.1.2 Ersatzsystem für Lastfall 1

Für die symmetrische Belastung ist das Ersatzsystem in Abb. 4.11 gezeigt.

q = 24 kN/m

4 m

6 m

EI=12000 kNm2

EA>>

1 3

i

j1 i

j

2

L 1 = 4 , 0

0

L2=6,00

L 3 = 4 , 0 0

i

j

Symmerieachse

2




4-8

Beispiele

Baustatik 2

Abb. 4.11 Ersatzsystem für symmetrische Belastung

4.4.1.3 Bestimmung der unbekannten Drehwinkel

Das System hat nur einen Freiheitsgrad: eine Knotendrehung (Abb. 4.12)

Abb. 4.12 Unbekannter Drehwinkel

1

D1

D1



4-9Baustatik 2


Beispiele

4.4.1.4 Schritt 1: Belastung am kinematisch bestimmten System

Die Berechnung der Haltekraft K 10 wird in Abb. 4.13 gezeigt

Abb. 4.13 Bestimmung der Haltekäfte für D 1 =0

q = 24 kN/m

Verformte Figur

q L2

2

12-------------

K10

M0-72 [kNm]108

K 10

q L2

2

12------------- 72 kNm= =




4-10

Beispiele

Baustatik 2

4.4.1.5 Schritt 2: D1=1

Abb. 4.14 Zustand D 1 =1

Verformte Figur

2EI

L2

---------

K11

M1

EI-------

1

1

3--- –

4EI

L1

---------

1

2--- –

K 11

4EI

L1

---------2EI

L2

---------+ 1 33 EI= =

(Symmetriestab)

D1 1=

D1 1=



4-11Baustatik 2


Beispiele

4.4.1.6 Ergebnisse

Die Bedingung, dass die Haltekraft verschwindet ist:

Dies ergibt:

Abb. 4.15 Engültiger Momentenverlauf

K 1 K 10 K 11 D1+ 0= =

EID1 54 – =

D1

4 5 103 –

rad – = Verdrehung Knoten 1

M0

-72 -72

M1

EI------- EI D1

108

M

+

=

[kNm]

-54-54

18

27 27

-54-54

108

27 27

-54-54




4-12

Beispiele

Baustatik 2

4.4.2 Antimetrisches System

Die Angaben für den antimetrischen Lastfall 2 sind in Abb. 4.16 gegeben. Der

gezeigte Lastfall ist eigentlich nicht antimetrisch, jedoch kann bei der Vernachläs-sigung der Stablängenänderungen die Last von 10 kN durch zwei Lasten von 5 kN

welche links und rechts des Systems wirken ersetzt werden.


4.4.2.1 Ersatzsystem

Für die antimetrische Belastung ist das Ersatzsystem in Abb. 4.17 gezeigt.

Abb. 4.17 Ersatzsystem für antimetrische Belastung

4 m

6 m

EI=12000 kNm2

EA>>

10 kN

15 kN



4-13Baustatik 2


Beispiele

4.4.3 Bestimmung der unbekannten Drehwinkel

Das System hat zwei unbekannte Drehwinkel: eine Knotendrehung und eine Seh-

nendrehung (Abb. 4.18).


4.4.3.1 Schritt 1: Belastung am kinematisch bestimmten System

Die Berechnung der Haltekräfte K 10 und K 20 wird in Abb. 4.19 gezeigt

Abb. 4.19 Bestimmung der Haltekäfte für D 1 =0

D1

D2

K10

1 L1

1 K 2 0

5 kN

K 10 0= K 20 1 5 1 L1 + 0=

K 20 20 kNm – =

5 kN




4-14

Beispiele

Baustatik 2

4.4.3.2 Schritt 2: D1=1

Abb. 4.20 Haltemomente aus D 1 =1

Verformte Figur

6EI

L2

---------

K11

M1

EI-------

1

1 –

4EI

L1

---------

1

1

2

--- –

K 11

4EI

L1

---------6EI

L2

---------+ 2 EI= =

1 K 2 1

K 21 14EI

L1

--------- 12EI

L1

--------- 1++ 0=

K 21

3

2---EI – =

2EI

L1

---------



4-15Baustatik 2


Beispiele

4.4.3.3 Schritt 3: D2=1

Abb. 4.21 Haltemomente aus D 2 =1

Verformte Figur

K12

Innere Momente

M2

EI-------

6

4--- –

6EI

L1

--------- –

K 12

6 – EI

L1

------------3

2--- – EI= =

1 K 2 2

K 22 1 26EI

L1

--------- 1 – 0=

K 22 3 EI=

6

4

---

1




4-16

Beispiele

Baustatik 2

4.4.3.4 Ergebnisse

Die Bedingungen, dass alle Haltekräfte verschwinden, sind:


K 1 K 10 K 11 D1 K 12 D2++ 0= =

K 2 K 20 K 21 D1 K 22 D2++ 0= =

D1 6 67 104 –

rad= Verdrehung Knoten 1

D2 8 89 104 –

rad= Sehnendrehung

D1

D2



4-17Baustatik 2


Beispiele

Abb. 4.23 Überlagerung der Momentenverläufe

M0

M1

EI------- EI D1

M2

EI------- EI D2

M

+

=

[kNm]

-8-8

-4 4

8 8

-16

-1616

16

-8

8

-1212




Beispiele

4.4.4 Zyklische Symmetrie

Gegeben sei das Tragwerk in Abb. 4.24. Die Belastung ist eine ungleichmäßige

Erwärmung von 2° C für alle Stäbe.

Abb. 4.24 Beispiel für zyklische Symmetrie

4.4.5 Ersatzsystem

Wegen der zyklischen Symmetrie braucht nur 1/12 des Systems berücksichtigt

werden.

Abb. 4.25 Ersatzsystem

Da eine Auflagerbewegung nur stattfinden kann, wenn sich der Stab ausdehnt, istdas System kinematisch bestimmt und der endgültige Momentenverlauf ergibt sich

aus den Starreinspannwerten für den Temperaturgradienten.

50 cm

60°

E 2 18

10 kN/m2

=

I 300 cm4

=

A>>

h = 10 cm

Ti

1C=Ta 1 – C=

T 1

5 –

10 1/°K =

miB EI T

Ti Ta –

h------------------------ 0 126 kNm= =

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