Musterlosungen fur die Ubungsaufgaben zur Vorlesung

”Mathematik 2 fur Informationswirtschaft“

Markus Richter

24. September 2011

Inhaltsverzeichnis

1 Normen und Skalarprodukte 21.1 Normen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Skalarprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Induzierte Normen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Orthonormalbasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Definitheit symmetrischer Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Grundbegriffe der Analysis 82.1 Folgen und Familien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Infimum, Supremum, Minimum und Maximum . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.5 Grenzwerte von Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Topologische Begriffe 123.1 Inneres, Rand und Abschluss von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2 Offene und abgeschlossene Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.3 Beschranktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.4 Kompakte Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.5 Vollstandigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.6 Zusammenhangende Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 Konvergenzbegriffe und Konvergenzkriterien 164.1 Konvergenz reeller Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2 Konvergenz von Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.3 Absolute Konvergenz von Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.4 Punktweise Konvergenz von Funktionenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.5 Gleichmaßige Konvergenz von Funktionenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . 254.6 Konvergenz von Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1

1 Normen und Skalarprodukte

1.1 Normen

1. Fur den Vektor a erhalt man

|a| =√

22 + (−1)2 + 52 =√

4 + 1 + 25 =√

30 (euklidische Norm),

‖a‖∞ = max{|2|, |−1|, |5|} = max{2, 1, 5} = 5 (Maximumnorm),

‖a‖1 = |2|+ |−1|+ |5| = 2 + 1 + 5 = 8 (Betragssummennorm).

Fur die ubrigen Vektoren ergibt sich

|b| = 1, |c| =√

3, |d| = 5,

‖b‖∞ = 1, ‖c‖∞ = 1, ‖d‖∞ = 4,

‖b‖1 = 1, ‖c‖1 = 3, ‖d‖1 = 7.

2. Die Einheitsspharen entsprechen genau den Randkurven der offenen Einheitskugeln:

3. Im folgenden seien u, v, w ∈ V und α, β ≥ 0 beliebig gewahlt. Es gilt dann |α| = α und|β| = β. Die Resultate folgen dann aus der Tatsache, dass Normen homogen sind und dieDreiecksungleichung erfullen.

• ‖−v‖ = ‖(−1)v‖ = |−1|‖v‖ = 1 · ‖v‖ = ‖v‖.• ‖v − w‖ = ‖v − u+ u− w‖ = ‖(v − u) + (u− w)‖ ≤ ‖v − u‖+ ‖u− w‖.• ‖αv + βw‖ ≤ ‖αv‖+ ‖βw‖ = |α|‖v‖+ |β|‖w‖ = α‖v‖+ β‖w‖.

4. Man erhalt die folgenden Ergebnisse:

‖x‖1 = |1|+ |2| = 3,

‖x‖2 = |x| =√

12 + 22 =√

1 + 4 =√

5 (≈ 2,236068),

‖x‖4 =4√

14 + 24 = 4√

1 + 16 =4√

17 (≈ 2,030543),

‖x‖8 =8√

18 + 28 = 8√

1 + 256 =8√

257 (≈ 2,000975),

‖x‖16 =16√

116 + 216 = 16√

1 + 65536 =16√

65537 (≈ 2,000002),

‖x‖∞ = max{|1|, |2|} = max{1, 2} = 2.

Offenbar ist ‖x‖p umso kleiner je großer p ist. Fur wachsendes p nahert sich ‖x‖p dabeiimmer mehr dem Wert von ‖x‖∞ an.

5. Im folgenden Sei v, w ∈ V beliebig gewahlt. Sind r, s > 0 zwei positive Zahlen, so gilt furjeden Vektor u ∈ V die Aussage u ∈ Br(v) bzw. die Aussage u ∈ Bs(w) genau dann, wenn‖u− v‖ < r bzw. ‖u− w‖ < s gilt.

• Es gelte ‖v − w‖ ≤ s − r, also r + ‖v − w‖ ≤ s. Wahlt man einen Vektor u ∈ Br(v),so gilt ‖u − v‖ < r. Daraus folgt, dass ‖u − w‖ = ‖(u − v) + (v − w)‖ ≤ ‖u − v‖ +‖v−w‖ < r+ ‖v−w‖ ≤ s gilt, was wiederum u ∈ Bs(w) impliziert. Entsprechend giltBr(v) ⊆ Bs(w).

2

• Wir setzen voraus, dass ‖v − w‖ ≥ r + s gilt. Angenommen, es existiert ein Vektoru ∈ Br(v) ∩ Bs(w). Dann gilt ‖u − v‖ < r und ‖u − w‖ < s. Entsprechend wurde‖v −w‖ = ‖(v − u) + (u−w)‖ ≤ ‖v − u‖+ ‖u−w‖ < r + s gilt, was im Widerspruchzur Voraussetzung steht. Es gilt also u 6∈ Br(v) ∩ Bs(w) fur alle u ∈ V , und somitBr(v) ∩Bs(w) = ∅.

6. Die Betragsfunktion R→ R, a 7→ |a| ist durch

|a| :=

{a falls a ≥ 0,

−a falls a < 0

fur alle a ∈ R definiert. Wir weisen nun die vier definierenden Eigenschaften einer Norm aufR nach.

Nichtnegativitat: Falls a ≥ 0 gilt, erhalt man |a| = a ≥ 0. Gilt a < 0, so erhalt man|a| = −a > 0. Daher gilt |a| ≥ 0 fur alle a ∈ R.

Definitheit: Offenbar gilt |0| = 0. Man erhalt also a = 0 =⇒ |a| = 0 fur alle a ∈ R. Sei nuna ∈ R eine beliebig gewahlte Zahl, fur die |a| = 0 gilt. Nimmt man an, dass a > 0 gilt, folgtmit |a| = a > 0 ein Widerspruch. Nimmt man andererseits an, dass a < 0 gilt, so folgt mit|a| = −a > 0 erneut ein Widerspruch. Es muss also a = 0 gelten. Wir haben somit gezeigt,dass |a| = 0 =⇒ a = 0 fur alle a ∈ R gilt.

Homogenitat: Es seien α, a ∈ R beliebig gewahlt. Falls α ≥ 0 und a ≥ 0 gilt, so gilt auchαa ≥ 0, und man erhalt |αa| = αa = |α||a|. Falls α < 0 und a ≥ 0 gilt, so erhalt manαa < 0 und folglich |αa| = −αa = |α||a|. Diesselbe Gleichung erhalt man fur den Fall dasα ≥ 0 und a < 0 gilt. Gilt schließlich α < 0 und a < 0, so erhalt man αa > 0, woraus|αa| = αa = (−α)(−a) = |α||a| folgt. Wir haben also gezeigt, dass |αa| = |α||a| fur alleα, a ∈ R gilt.

Dreiecksungleichung: Seien a, b ∈ R beliebig gewahlt. Falls a ≥ 0 und b ≥ 0 gilt, so folgtauch dass a+ b ≥ 0 gilt, und man erhalt |a+ b| = a+ b = |a|+ |b|. Falls a < 0 und b < 0 gilt,so gilt auch a+ b < 0, und man erhalt |a+ b| = −(a+ b) = −a+ (−b) = |a|+ |b|. Falls a ≥ 0und b < 0 gilt, so betrachtet man die beiden Unterfalle, in denen a + b ≥ 0 bzw. a + b < 0gilt. Im ersten Fall erhalt man |a+ b| = a+ b = a− (−b) = |a| − |b| < |a|+ |b|. Im zweitenFall erhalt man |a + b| = −(a + b) = −a + (−b) = −|a| + |b| ≤ |a| + |b|. In gleicher Weiseverfahrt man fur den Fall, dass a < 0 und b ≥ 0 gilt. Insgesamt hat man dann gezeigt, dass|a+ b| ≤ |a|+ |b| fur alle a, b ∈ R gilt.

7. Im folgenden sei n ∈ N beliebig gewahlt. Wir weisen die vier definierenden Eigenschafteneiner Norm nach, wobei wir ausnutzen, dass die Betragsfunktion eine Norm auf R ist.

Nichtnegativitat: Sei x = (x1, x2, . . . , xn)T ∈ Rn beliebig gewahlt. Dann gilt offenbar |xi| ≥ 0fur alle i = 1, 2, . . . , n, und daraus folgt dass ‖x‖1 = |x1|+ |x2|+ · · ·+ |xn| ≥ 0 gilt.

Definitheit: Fur den Nullvektor 0 ∈ Rn gilt offenbar ‖0‖1 = 0. Also gilt x = 0 =⇒ ‖x‖1 = 0fur alle x ∈ Rn. Sei nun x = (x1, x2, . . . , xn)T ∈ Rn ein beliebig gewahlter Vektor, fur den‖x‖1 = 0 gilt. Angenommen, es existiert ein i ∈ {1, 2, . . . , n}, so dass xi 6= 0 gilt. Dann folgtdaraus, dass |xi| > 0 gilt. Dies impliziert jedoch, dass ‖x‖1 = |x1|+|x2|+· · ·+|xi|+· · ·+|xn| >0 gilt, was ein Widerspruch zu ‖x‖1 = 0 ist. Es muss also xi = 0 fur alle i = 1, 2, . . . , n gelten,was bedeutet dass x = 0 gilt. Wir haben also gezeigt, dass ‖x‖1 = 0 =⇒ x = 0 fur allex ∈ Rn gilt.

Homogenitat: Wir nutzen hier aus, dass die Betragsfunktion homogen ist. Fur einen belie-bigen Vektor x = (x1, x2, . . . , xn)T ∈ Rn und einen beliebigen Skalar α ∈ R erhalt mansomit

‖αx‖1 = |αx1|+ |αx2|+ · · ·+ |αxn|= |α||x1|+ |α||x2|+ · · ·+ |α||xn|= |α|

(|x1|+ |x2|+ · · ·+ |xn|

)= |α|‖x‖1.

3

Dreiecksungleichung: Die Betragsfunktion erfullt als Norm auf R die Dreiecksungleichung.Fur beliebige Vektoren x = (x1, x2, . . . , xn)T ∈ Rn und y = (y1, y2, . . . , yn)T ∈ Rn erhaltman somit

‖x+ y‖1 = |x1 + y1|+ |x2 + y2|+ · · ·+ |xn + yn|≤ |x1|+ |y1|+ |x2 + y2|+ · · ·+ |xn + yn|≤ |x1|+ |y1|+ |x2|+ |y2|+ · · ·+ |xn + yn|≤ · · ·≤ |x1|+ |y1|+ |x2|+ |y2|+ · · ·+ |xn|+ |yn|=(|x1|+ |x2|+ · · ·+ |xn|

)+(|y1|+ |y2|+ · · ·+ |yn|

)= ‖x‖1 + ‖y‖1.

1.2 Skalarprodukte

1. Man berechnet a · b folgendermaßen:

a · b = (−2) · 1 + (−5) · 2 + 3 · 4 = −2− 10 + 12 = 0.

Die ubrigen Ergebnisse lauten

a · c = −8, b · c = −2, a · a = 38,

b · b = 21, c · c = 2.

2. Jede der aufgefuhrten Rechenregeln folgt direkt aus der Bilinearitat des Skalarprodukts. Imfolgenden seien v, w, x, y ∈ V sowie α, β ∈ R beliebig gewahlt.

• 〈αv + βw , x〉 = 〈αv , x〉+ 〈βw , x〉 = α〈v , x〉+ β〈w , x〉.• 〈v , αx+ βy〉 = 〈v , αx〉+ 〈v , βy〉 = α〈v , x〉+ β〈v , y〉.• 〈v + w , x+ y〉 = 〈v , x+ y〉+ 〈w , x+ y〉 = 〈v , x〉+ 〈v , y〉+ 〈w , x〉+ 〈w , y〉.• Man beachte, dass −v = (−1)v und −w = (−1)w gilt. Daher erhalt man 〈−v ,−w〉 =〈(−1)v , (−1)w〉 = (−1)〈v , (−1)w〉 = (−1)(−1)〈v , w〉 = 〈v , w〉.

• Offenbar gilt 〈−v , w〉 = 〈(−1)v , w〉 = (−1)〈v , w〉 = −〈v , w〉, wie auch 〈v , −w〉 =〈v , (−1)w〉 = (−1)〈v , w〉 = −〈v , w〉.

• Sei u ∈ V ein beliebiger Vektor, so gilt 0 = 0u. Hierbei bezeichnet die”0“ auf der linken

Seite des Gleichheitszeichens das Nullelement im Vektorraum V und die”0“ auf der

rechten Seite die reelle Zahl Null. Man erhalt dann 〈v ,0〉 = 〈v ,0u〉 = 0〈v ,u〉 = 0 sowie〈0 , w〉 = 〈0u , w〉 = 0〈u , w〉 = 0.

1.3 Induzierte Normen

1. Fasst man x1, x2, . . . , xn und y1, y2, . . . , yn als Komponenten zweier n-dimensionaler Vek-toren x = (x1, x2, . . . , xn)T ∈ Rn und y = (y1, y2, . . . , yn)T ∈ Rn, so gilt (x · y)2 =(x1 y1 +x2 y2 + . . .+xn yn)2, |x|2 =

(x21 +x22 + . . .+x2n

)und |y|2 =

(y21 + y22 + . . .+ y2n

). Die

Cauchy–Schwarzsche Ungleichung liefert (x · y)2 = |x · y|2 ≤ (|x| |y|)2 = |x|2 |y|2 und somit(x1 y1 + x2 y2 + . . .+ xn yn)2 ≤

(x21 + x22 + . . .+ x2n

)(y21 + y22 + . . .+ y2n

).

2. Fur eine durch ein Skalarprodukt 〈 · , · 〉 induzierte Norm ‖ · ‖ auf R2 gilt ‖x‖ =√〈x , x〉

fur alle x ∈ R2. Daher gilt ‖x‖# =√

2x21 − 2x1 x2 + 2x22 fur alle x = (x1, x2)T ∈ R2. Manerhalt daher ‖a‖# =

√14, ‖b‖# =

√2 und ‖c‖# = 1.

3. Zur Berechnung der Winkel verwendet man die Formel

∠(x, y) = arccos

(x · y|x| |y|

)

4

fur x, y ∈ R2. Damit ergibt sich:

∠(a, a) = 0 (= 0◦), ∠(a, b) =π

4(= 45◦), ∠(−a, b) =

3π

4(= 135◦),

∠(a, c) =3π

4(= 135◦), ∠(b, c) =

π

2(= 90◦).

4. Seien v, w ∈ V \ {0} zwei Vektoren und α > 0 und β > 0 zwei reelle Zahlen. Wegen derBilinearitat des Skalarprodukts 〈 · , · 〉 gilt 〈αv , βw〉 = αβ〈v , w〉. Da α und β positiveZahlen sind ist, gilt ferner |α| = α und |β| = β. Wegen der Homogenitat der Norm ‖ · ‖,welche vom Skalarprodukt 〈 · , · 〉 induziert wird, gilt daher ‖αv‖ = |α|‖v‖ = α‖v‖, sowie‖βw‖ = |β|‖w‖ = β‖w‖. Daraus folgt

∠(αv, βw) = arccos

(〈αv , βw〉‖αv‖ ‖βw‖

)= arccos

(αβ〈v , w〉α‖v‖β‖w‖

)= arccos

(〈v , w〉‖v‖ ‖w‖

)= ∠(v, w).

1.4 Orthonormalbasen

1. Die Vektoren q(1), q(2) und q(3) bilden eine Orthnormalbasis des R3. Daher gilt

v = (q(1) · v) q(1) + (q(2) · v) q(2) + (q(3) · v) q(3)

fur alle Vektoren v ∈ R3. Fur den Vektor x erhalt man also

x = (q(1) · x) q(1) + (q(2) · x) q(2) + (q(3) · x) q(3) = 2√

3 q(1) −√

2

2q(2) −

√6

2q(3)

In gleicher Weise erhalt man

y =

√3

3q(1) +

√2

2q(2) +

√6

6q(3), z =

√2 q(2).

2. Wir definieren die Vektoren

v(1) :=

212

, v(2) :=

151

, v(3) :=

−111

.

Die Anwendung des Gram–Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren liefert

p(1) := v(1) =

212

p(2) := v(2) − 〈p

(1) , v(2)〉〈p(1) , p(1)〉

p(1) =

151

− 9

9

212

=

−14−1

p(3) := v(3) − 〈p

(1) , v(3)〉〈p(1) , p(1)〉

p(1) − 〈p(2) , v(3)〉〈p(2) , p(2)〉

p(2) =

−111

− 1

9

212

− 2

9

−14−1

=

−101

Die Vektoren p(1), p(2) und p(3) bilden eine Orthogonalbasis des R3. Eine Orthonormalbasiserhalt man, indem man die Vektoren normiert. Man erhalt dann die Vektoren

q(1) :=p(1)

|p(1)|=

1

3

212

, q(2) :=p(2)

|p(2)|1√18

−14−1

, q(3) :=p(3)

|p(3)|1√2

−101

Die Vektoren q(1), q(2) und q(3) bilden eine Orthonormalbasis des R3.

5

In gleicher Weise erhalt man durch Anwendung des Gram–Schmidtschen Orthogonalisie-rungsverfahrens auf die Vektoren

v(1) :=

111

, v(2) :=

112

, v(3) :=

−112

und anschließender Normalisierung die Vektoren

q(1) :=1√3

111

, q(1) :=1√6

−1−1

2

, q(1) :=1√2

−110

,

welche eine Orthonormalbasis des R3 bilden.

3. Fur alle Vektoren x = (x1, x2)T ∈ R2 und y = (y1, y2)T ∈ R2 gilt

〈x , y〉# = 2x1y1 − x1y2 − x2y1 + 2x2y2

sowie

‖x‖# =√〈x , y〉# =

√2√x21 − x1x2 + x22.

Die Standardbasis des R2 wird von den Vektoren

e(1) :=

(10

), e(2) :=

(01

)gebildet. Die Anwendung des Gram–Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahrens liefert

p(1) := e(1) =

(10

),

p(2) := e(2) − 〈p(1) , e(2)〉#〈p(1) , p(1)〉#

p(1) =

(01

)− −1

2

(10

)=

1

2

(12

)

Normiert man diese Vektoren bezuglich 〈 · , · 〉#, so erhalt man die Vektoren

q(1) :=p(1)

‖p(1)‖#=

1√2

(10

), q(2) :=

p(2)

‖p(2)‖#=

1√6

(12

),

welche eine Orthonormalbasis des R2 bezuglich 〈 · , · 〉# bilden.

4. Die Abbildung pj : Rn → R bildet einen Vektor x = (x1, x2, . . . , xn)T ∈ Rn auf seine j-teKomponente ab. Wahlt man das Standardskalarprodukt vpj · x =

∑nj=1 vpjxj = vp1x1 +

vp2x2 + · · ·+ vpnxn, so gilt pj(x) = vpj · x = xj fur alle x ∈ Rn genau dann, wenn vpj an der

j-ten Komponente eine 1 und sonst nur Nullen enthalt. Also gilt vpj = e(j), wobei e(j) denj-ten Vektor in der Standardbasis des Rn bezeichnet.

1.5 Definitheit symmetrischer Matrizen

1. Eine Matrix A ist genau dann symmetrisch, wenn AT = A gilt. Fur die Transposition vonMatrizen gelten die Rechenregeln (AB)T = BTAT und (AT)T = A. Daraus folgt (ATA)T =AT (AT)T = ATA, sowie (AAT)T = (AT)TAT = AAT. Die Matrizen (ATA) und (AAT)T

sind also symmetrisch.

2. ⇒: Setzt man voraus, dass A symmetrisch ist, so gilt AT = A. Daraus folgt 12

(A + AT

)=

12

(A+A

)= 1

2

(2A)

= A.

⇐: Setzt man voraus, dass A = 12

(A + AT

)gilt, so folgt daraus AT = 1

2 (A + AT)T =12

(AT + (AT)T

)= 1

2

(AT +A

)= 1

2

(A+AT

)= A. Also ist A symmetrisch.

6

3. Da alle drei Matrizen symmetrisch sind, kann man das Hauptminorenkriterium anwenden.Fur die Matrix A erhalt man

A[1] = det(−4)

= −4, A[2] = det

(−4 2

2 −3

)= 8, A[3] = det

−4 2 02 −3 −20 −2 −1

= 8.

Es gilt also A[1] < 0, A[2] > 0 und A[3] > 0. Die Matrix A ist somit weder positiv definitnoch negativ definit.

Fur die Matrix B erhalt man

B[1] = det(1)

= 1, B[2] = det

(1 11 3

)= 2, B[3] = det

1 1 21 3 −12 −1 5

= −7.

Es gilt also B[1] > 0, B[2] > 0 und B[3] < 0. Die Matrix B ist somit weder positiv definitnoch negativ definit.

Fur die Matrix C erhalt man

C[1] = det(4)

= 4, C[2] = det

(4 −1−1 4

)= 17, C[3] = det

4 −1 −1−1 4 −1−1 −1 4

= 50.

Da also alle Hauptminoren von C positiv sind, ist C positiv definit.

4. Wir zeigen, dass 〈 · , · 〉A die definierenden Eigenschaften eines Skalarprodukts erfullt. Dabeiverwenden wir die Eigenschaften des euklidischen Skalarprodukts sowie die Beziehung v·Ay =Av · y, welche fur symmetrischen Matrizen A ∈ Rn×nsym und alle Vektoren x, y ∈ Rn gilt.

Bilinearitat: Fur alle Vektoren x, x1, x2, y, y1, y2 ∈ Rn und alle reellen Zahlen α, β ∈ R gilt

〈x1 + x2 , y〉A = (x1 + x2) ·Ay = (x1 ·Ay) + (x2 ·Ay)

= 〈x1 , y〉A + 〈x2 , y〉A,〈αx , y〉A = (αx ·Ay) = α(x ·Ay)

= α〈x , y〉A,〈x , y1 + y2〉A = x ·A(y1 + y2) = x · (Ay1 +Ay2) = (x ·Ay1) + (x ·Ay2)

= 〈x , y1〉A + 〈x , y2〉A,〈x , βy〉A = x ·A(βy) = x · (βAy) = β(x ·Ay)

= β〈x , y〉A.

Damit ist 〈 · , · 〉A linear in beiden Argumenten.

Nichtnegativitat: Da die Matrix A positiv definit ist, gilt x · Ax > 0 fur alle x ∈ Rn \ {0}.Fur x = 0 gilt außerdem x ·Ax = 0. Es gilt somit 〈x , x〉A ≥ 0 fur alle x ∈ Rn.

Definitheit: Fur x = 0 gilt offenbar 〈x , x〉A = 0. Sei anderseits x ∈ Rn ein Vektor, so dass〈x,x〉A = x ·Ax = 0 gilt. Wegen der positiven Definitheit von A folgt dann, dass x 6∈ Rn\{0}und somit x = 0 gelten muss. Somit ist 〈 · , · 〉A definit.

Symmetrie: Fur alle x, y ∈ V gilt 〈x , y〉A = x · Ay = Ax · y = y · Ax = 〈y , x〉A. Also ist〈 · , · 〉A symmetrisch.

7

2 Grundbegriffe der Analysis

2.1 Folgen und Familien

1. Durch Anwendung der Rekursionsformel erhalt man

f1 = 1,

f2 = 1,

f3 = f2 + f1 = 1 + 1 = 2,

f4 = f3 + f2 = 2 + 1 = 3,

f5 = f4 + f3 = 3 + 2 = 5,

f6 = f5 + f4 = 5 + 3 = 8,

f7 = f6 + f5 = 8 + 5 = 13,

f8 = f7 + f6 = 13 + 8 = 21,

f9 = f8 + f7 = 21 + 13 = 34,

f10 = f9 + f8 = 34 + 21 = 55.

2. Zunachst berechnen wir einige Folgenglieder der Folge (an)n∈N. Durch Anwendung der Re-kursionsvorschrift ergibt sich a1 = 1 = 12, a2 = a1 + 2 · 2− 1 = 4 = 22, a3 = a2 + 2 · 4− 1 =9 = 32. Die ersten drei Folgenglieder legen die Vermutung nahe, dass ganz allgemein

an = n2

fur alle n ∈ N gilt. Dies muss nun mittels Vollstandiger Induktion bewiesen werden. DerInduktionsanfang fur n = 1 ist dabei trivial. Wie wir bereits wissen gilt namlich a1 = 1 = 12.Fur den Induktionsschritt von n− 1 nach n− 1 nehmen wir an, dass an−1 = (n− 1)2 fur einfest gewahltes n ∈ N gilt. Gemaß Rekursionsvorschrift erhalt man dann

an = an−1 + 2n− 1IV= (n− 1)2 + 2n− 1 = n2 − 2n+ 1 + 2n− 1 = n2.

Damit ist die Vermutung bewiesen.

Berechnet man die ersten Folgenglieder der Folge (bn)n∈N, so erhalt man b1 = 2 = 21,b2 = 1 = 20, b3 = 1/2 = 2−1, b4 = 1/4 = b−2. Die Vermutung ist also, dass

bn = 22−n

fur alle n ∈ N gilt. Der Beweis dieser Vermutung erfolgt wiederum mittels vollstandigerInduktion. Der Induktionsanfang fur n = 1 ist dabei trivial. Im Induktionsschritt erhalt man

bn =bn−1

2

IV=

22−(n−1)

2= 22−n+1−1 = 22−n

Damit ist die Vermutung bewiesen.

Die ersten Folgenglieder der Folge (cn)n∈N sind durch c1 = 1/2, c2 = 2/3, c3 = 3/4 gegeben.Also liegt die Vermutung nahe, dass

cn =n

n+ 1

fur alle n ∈ N gilt. Wieder verwendet man vollstandige Induktion, um diese Vermutung zubeweisen, wobei der Induktionsanfang fur n = 1 trivial ist. Im Induktionsschritt von n − 1nach n erhalt man

cn =1

cn−1 + 2n

IV=

1n−1n + 2

n

=1n+1n

=n

n+ 1.

Die ersten Glieder der Folge (dn)n∈N sind die ersten ungeraden Zahlen 1, 3, 5, . . . . Daher liegtdie Vermutung nahe, dass

dn := 2n− 1

fur alle n ∈ N gilt. Wie zuvor schon beweist man diese Vermutung mittels vollstandigerInduktion.

8

3. Es gilt

p0(x) = x2 + (1− 02)x− 1 = x2 + x− 1 = f2,

p−1(x) = x2 + (1− (−1)2)x− 1 = x2 + (1− 1)x− 1 = x2 − 1 = (x− 1)(x+ 1) = f4,

p1(x) = x2 + (1− 12)x− 1 = x2 + (1− 1)x− 1 = x2 − 1 = (x− 1)(x+ 1) = f4.

Somit sind f2 und f4 Mitglieder der Familie (pα)α∈R. Dabei kommt f2 genau einmal undf4 genau zweimal in der Familie vor. Die Funktionen f1 und f3 sind keine Mitglieder derFamilie, da weder fur f1 noch fur f3 ein α ∈ R existiert, sodass f1 = x2 + (1−α2)x− 1 oderf3 = x2 + (1− α2)x− 1 fur alle x ∈ R gilt.

2.2 Algebren

1. Zeigen Sie, dass der Vektorraum R2 zusammen mit der Funktion R2 × R2 → R2, welchedurch

x~ y :=

(x1y2 − x2y1

x2y2

)fur alle x = (x1, x2)T ∈ R2 und alle y = (y1, y2)T ∈ R2 definiert ist, eine Algebra uber R ist.

. Beides zusammen beweist die Bilinearitat der Mutliplikation.

Linearitat der Abbildung x 7→ x~ y fur festes y ∈ R2 nachweisen:

(αa+ b) ~ y =

((αa+ b)1y2 − (αa+ b)2y1

(αa+ b)2y2

)=

(αa1y2 + b1y2 − αa2y1 + b2y1

αa2y2 + b2y2

)=

(αa1y2 − αa2y1

αa2y2

)+

(b1y2 − b2y1

b2y2

)= α

(a1y2 − a2y1

a2y2

)+

(b1y2 − b2y1

b2y2

)= α(a~ y) + b~ y

Zeigen, dass x~ y = y ~ x gilt:

• x~ y =

(x1y2 − x2y1

x2y2

)=

(x1y2 − x2y1

y2x2

)

2. Betrachte die Matrix A :=

(1 11 1

).⇒ ‖A‖max = 1

Es gilt A2 =

(1 11 1

)·(

1 11 1

)=

(2 22 2

)⇒ ‖A2‖max = 2

Fur Submultipliktivitat musste ‖A ·A‖max ≤ ‖A‖max ‖A‖max gelten,aber es gilt ‖A ·A‖max = 2 > ‖A‖max ‖A‖max = 1.

Somit ist ‖A‖max nicht submultiplikativ.

3. Wir betrachten die Menge

M :=

{(a −bb a

)∈ R2×2

∣∣∣∣ a, b ∈ R}

und die Funktion ‖ · ‖M : M → R, welche durch ‖A‖M := |A11| + |A12| fur alle A ∈ R2×2

definiert ist.

• Zeigen Sie, dass M eine Algebra auf R ist.

9

• Um zu zeigen, dass ‖ · ‖M eine Norm auf M ist, weisen wir folgende vier Eigenschaftennach

(a) Nichtnegativitat: Fur alle A ∈ R2×2 gilt ‖A‖ ≥ 0,da |A11| ≥ 0 und |A12| ≥ 0 fur alle A ∈ R2×2.

(b) Definitheit: Fur alle A ∈ R2×2 gilt ‖A‖ = 0 ⇐⇒ A = 0,“ ⇒′′: Aus |A11| + |A12| = 0 folgt (wegen |A11| ≥ 0 und |A12| ≥ 0), dass A11 =

A12 = 0 und damit A =

(0 00 0

).

“⇐′′: Aus A =

(0 00 0

)folgt |A11|+ |A12| = 0 + 0 = 0.

(c) Homogenitat: Fur alle A ∈ R2×2 und alle α ∈ R gilt:

‖αA‖M = ‖(αa α− bαb αa

)‖ = |αa|+ |α− b| = |α|(|A11|+ |A12|) = α‖A‖M

(d) Fur alle A,B ∈ R2×2 gilt‖A+B‖M = |A11|+ |A12|+ |B11|+ |B12|

‖v + w‖ ≤ ‖v‖+ ‖w‖.

.

• Zeigen Sie, dass (M, ‖ · ‖M ) eine normierte Algebra ist.

2.3 Infimum, Supremum, Minimum und Maximum

1. Fur x1 := −3/2, x2 := π, x3 :=√

2 und x4 := log10(124) gilt

• −2 ≤ −3/2 ≤ −1⇒ bx1c = −2, dx1e = −1

• 3 ≤ π ≤ 4⇒ bx2c = 3, dx2e = 4

• 1 ≤√

2 ≤ 2⇒ bx3c = 1, dx3e = 2

• 2 ≤ log10(124) ≤ 3⇒ bx4c = 2, dx4e = 3

2. Skizzieren Sie die Funktionsgraphen der Funktionen [−3, 3] → R, x 7→ bxc und [−3, 3] →R, x− bxc.Skizze fertige ich an.

3.

inf min sup maxM1 0 − 1 1M2 −12 −12 1 1M3 −2 −2 − −M4 0 − − −

4.

inf min sup maxan − − a2 = 4 a2 = 4bn b1 = −1 b1 = −1 b2 = 1/2 b2 = 1/2cn c2k+1 = −1 c2k+1 = −1 c2k−1 = 1 c2k−1 = 1 (k ∈ N)dn 0 − d1 = 4 d1 = 4

5.

inf min sup maxf1 f1(1) = 3 f1(1) = 3 6 −f2 − − − −f3 f3(0) = 0 f3(0) = 0 − −f4 f4(1) = 1 f4(1) = 1 − −

10

2.4 Monotonie

1. • an := 12n ist streng monoton fallend, da an = 1

2n > 12·2n = 1

2n+1 = an+1 fur alle n ∈ Ngilt.

• bn := 2n ist streng monoton steigend, da bn = 2n < 2 ·2n = 2n+1 = bn+1 fur alle n ∈ Ngilt.

• cn := cos(πn2

)ist weder monoton steigend noch monoton fallend, da

c4k−3 = cos(π2 ) = 0; c4k−2 = cos(π) = −1; c4k−1 = cos( 3π2 ) = 0; c4k = cos(2π) = 1

fur alle k ∈ N.

• d1 := 1, dn+1 := 1 + 2dn ist streng monoton steigend, da dn < 2dn < 2dn + 1 = dn+1

wegen d1 > 0 fur alle n ∈ N gilt.

2. (a2n)n∈N:

• n = 1⇒ 2n = 2⇒ 2 ≡ 1 mod 3⇒ a2 = 2

• n = 2⇒ 2n = 4⇒ 4 ≡ 1 mod 3⇒ a4 = 2

• n = 3⇒ 2n = 6⇒ 6 ≡ 0 mod 3⇒ a6 = 1

• n = 4⇒ 2n = 8⇒ 8 ≡ 2 mod 3⇒ a8 = 3

• n = 5⇒ 2n = 10⇒ 10 ≡ 1 mod 3⇒ a10 = 2

(an2)n∈N:

• n = 1⇒ n2 = 1⇒ 1 ≡ 1 mod 3⇒ a1 = 2

• n = 2⇒ n2 = 4⇒ 4 ≡ 1 mod 3⇒ a4 = 2

• n = 3⇒ n2 = 9⇒ 9 ≡ 0 mod 3⇒ a9 = 1

• n = 4⇒ n2 = 16⇒ 16 ≡ 1 mod 3⇒ a16 = 2

• n = 5⇒ n2 = 25⇒ 25 ≡ 1 mod 3⇒ a25 = 2

(a6n+1)n∈N:

• n = 1⇒ 6n+ 1 = 7⇒ 7 ≡ 1 mod 3⇒ a7 = 2

• n = 2⇒ 6n+ 1 = 13⇒ 13 ≡ 1 mod 3⇒ a13 = 2

• n = 3⇒ 6n+ 1 = 19⇒ 19 ≡ 1 mod 3⇒ a19 = 2

• n = 4⇒ 6n+ 1 = 25⇒ 25 ≡ 1 mod 3⇒ a25 = 2

• n = 5⇒ 6n+ 1 = 31⇒ 31 ≡ 1 mod 3⇒ a31 = 2

(an!)n∈N:

• n = 1⇒ n! = 1⇒ 1 ≡ 1 mod 3⇒ a1 = 2

• n = 2⇒ n! = 2⇒ 2 ≡ 2 mod 3⇒ a2 = 3

• n = 3⇒ n! = 6⇒ 6 ≡ 0 mod 3⇒ a6 = 1

• n = 4⇒ n! = 24⇒ 24 ≡ 0 mod 3⇒ a24 = 1

• n = 5⇒ n! = 120⇒ 120 ≡ 0 mod 3⇒ a120 = 1

3. • an := n ist Teilfolge von xn := dn/2e, da an = x2n fur alle n ∈ N gilt.

• bn := dn/3e ist keine Teilfolge von xn.Fur jedes a ∈ N gilt: Es gibt genau drei i ∈ N und genau zwei j ∈ N, sodass gilt: bi = aund xj = a. Da i > j kann es keine streng monoton wachsende Funktion ϕ : N → Ngeben, so dass bn = xϕ(n) fur alle n ∈ N gilt.

• cn := n2 ist Teilfolge von xn, da cn = x2n2 fur alle n ∈ N gilt.

• dn := 4n − n2 ist keine Teilfolge von xn. Es gilt d1 = 3; d2 = 4; d3 = 3. dn ist somitkeine monoton steigende Folge und somit auch keine Teilfolge der monoton steigendenFolge xn.

11

2.5 Grenzwerte von Folgen

1. • limn→∞

an = limn→∞

2n+13n2+2n+1 = lim

n→∞

2n+ 1

n2

3+ 2n+ 1

n2= 0

• limn→∞

bn = limn→∞

n√n2 = lim

n→∞n√n n√n = 1

• limn→∞

cn = limn→∞

1+2+···+nn2 = lim

n→∞n(n+1)2n2 = lim

n→∞n+12n = lim

n→∞1+ 1

n

2 = 12

• limn→∞

dn = limn→∞

n+√n

3n = limn→∞

1+√

nn

3 = limn→∞

1+ 1√n

3 = 13

• limn→∞

en = limn→∞

(2n−1)(3n−2)(n+1)(5n−1)(2n+1)(3n−1) = lim

n→∞(2− 1

n )(3− 2n )(1+ 1

n )

(5− 1n )(2+ 1

n )(3− 1n )

= 620 = 3

10

Induktionsbeweis, dass 1 + 2 + . . .+ n = n(n+1)2 fur alle n ∈ N gilt:

• IA: n = 1⇒ 1 = 1 · 1+12 = 1

• IV: 1 + 2 + . . .+ n = n(n+1)2 gelte fur ein beliebiges, aber festes n ∈ N.

• IS: 1 + 2 + . . .+ n+ (n+ 1)

IV︷︸︸︷= n(n+1)

2 + (n+ 1) = n(n+1)+2(n+1)2 = (n+1)(n+2)

2

2. Sei (V, ‖ · ‖) eine normierte Algebra uber K, sei (vn)n∈N eine konvergente Folge in V mitGrenzwert v, und sei p : V → V, x 7→ α0 + α1x + α2x

2 + . . . + αnxn ein Polynom mit

Koeffizienten in α0, α1, . . . , αn ∈ K. Begrunden Sie, weshalb die Folge (p(vn))n∈N gegen p(v)konvergiert.

3. Zeigen Sie, dass die reellen Zahlenfolgen (an)n∈N, (bn)n∈N und (cn)n∈N, definiert durch

an := (−1)n,

bn :=

{1 falls n ungerade ist,

n/2 falls n gerade ist,

cn :=n2 − 2

n− 1

fur alle n ∈ N, divergent sind.

3 Topologische Begriffe

3.1 Inneres, Rand und Abschluss von Mengen

1. • (M1)◦ = (−1, 0); M1 ∩ ∂M1 = (−1, 0) ∩ {−1, 0} = ∅• (M2)◦ = (1, 2); M2 ∩ ∂M2 = [1, 2] ∩ {1, 2} = {1, 2}• (M3)◦ = (−2, 0)∪(0, 2); M3∩∂M3 = ((−2, 0)∪(0, 2))∩({−2, 0}∪{0, 2}) = {−2, 0, 2}• (M4)◦ = Z; M4 ∩ ∂M4 = Z ∩ ∅ = ∅

2. Es gilt ∂S = ∅. Wahlt man v = 1/m mit m ∈ N und ( 1m −

1m+1 ) > ε > 0, so gilt fur alle

Punkte p ∈ Bε(v) dass p /∈ S. Somit erfullt v nicht die Bedingungen eines Randpunktes bzgl.S.

Da ∂S = ∅ gilt, folgt auch dass ∂S \ S = ∅.3. Sei (V, ‖ · ‖) ein normierter Raum uber K. Zeigen Sie, dass fur jede Teilmenge M ⊆ V die

folgenden Aussagen gelten:

• M◦ ∩ ∂M = ∅Ware v ein Randpunkt von M , gabe es fur jede positive Zahl ε > 0 zwei Vektorenv0, v1 ∈ Bε(v), so dass v0 6∈M und v1 ∈M gilt.

Ware v ein innerer Punkt von M , gabe es eine positive Zahl ε > 0, so dass Bε(v) ⊆Mgilt.

Dies steht im Widerspruch zueinander, sodass daraus M◦ ∩ ∂M = ∅ folgt.

12

• (∂M)◦ = ∅Fur einen inneren Punkt v ∈ ∂M musste ein ε > 0 existieren, sodass Bε(v) ⊆ ∂M gilt.

Dann gabe es zwei Moglichkeiten:

1. v ∈M◦ ⇒ v /∈ ∂M (da M◦ ∩ ∂M = ∅).2. v /∈M ⇒ v /∈ ∂M .

Beide Moglichkeiten fuhren zum Widerspruch, sodass (∂M)◦ = ∅ folgt.

• ∂(∂M) = ∂M

– ∂(∂M) ⊂ ∂M : Ist w ein Randpunkt von ∂M , gibt es fur jede positive Zahl ε > 0zwei Vektoren w0, w1 ∈ Bε(w), so dass w0 6∈ ∂M und w1 ∈ ∂M gilt.Gilt w0 6∈ ∂M , gibt es zwei Moglichkeiten:

1. w0 ∈M◦

2. w0 /∈M ⇒– ∂(∂M) ⊃ ∂M : Ist w ein Randpunkt von M , gibt es fur jede positive Zahl ε > 0

zwei Vektoren w0, w1 ∈ Bε(w), so dass w0 6∈M und w1 ∈M gilt.

4. v ist Randpunkt einer Menge M, wenn fur jede positive Zahl ε > 0 zwei Vektoren v0, v1 ∈Bε(v) existieren, so dass v0 6∈M und v1 ∈M gilt.

Mithilfe dieser Definition ergibt sich

v ∈ ∂(A ∩B) ⇔ (v0 6∈ (A ∩B) ∧ v1 ∈ (A ∩B))

⇔ (v0 /∈ A ∨ v0 /∈ B) ∧ (v1 ∈ A, v1 ∈ B)

⇔ (v0 /∈ A, v1 ∈ A, v1 ∈ B) ∨ (v0 /∈ B, v1 ∈ A, v1 ∈ B)

⇔ (v ∈ ∂A, v ∈ B) ∨ (v ∈ A, v ∈ ∂B)

⇔ v ∈ (∂A ∩B) ∨ v ∈ (A ∩ ∂B)

⇔ v ∈ ((∂A ∩B) ∪ (A ∩ ∂B))

3.2 Offene und abgeschlossene Mengen

1. • O1 := (−1, 1) \ {0} = (−1, 0) ∪ (0, 1) ist als Vereinigung zweier offener Mengen wiedereine offene Menge.

• O2 :=⋃α∈[0,1](α, α+ 1) ist eine Familie offener Teilmengen und als Vereinigung dieser

wiederum eine offene Menge.

• O3 := R \([−3,−2] ∪ [2, 3]

)= (−∞,−3) ∪ (−2, 2) ∪ (3,∞) ist als Vereinigung dreier

offener Mengen wieder eine offene Menge.

• O4 := {1/x | x > 0} = (0,∞) ist eine offene Menge.

2. Es gilt O \A = (V \A) ∩O und A \O = (V \O) ∩A.

A ⊆ V ist eine abgeschlossene Menge, d.h. (V \A) ist offen. Da auch O offen ist, ist O \A =(V \A) ∩O als Schnitt zweier offener Mengen wieder eine offene Menge.

O ⊆ V ist eine offene Menge, also ist (V \O) abgeschlossen. Da auch A abgeschlossen ist, istA \ O = (V \ O) ∩ A als Schnitt zweier abgeschlossener Mengen wieder eine abgeschlosseneMenge.

3. Zeigen Sie mit Hilfe des Folgenkriteriums fur Abgeschlossenheit, dass jede nach unten be-schrankte, abgeschlossene Teilmenge von R ein Minimum besitzt. Zeigen Sie außerdem, dassjede nach oben beschrankte, abgeschlossene Menge ein Maximum besitzt.

4. Benutze die beiden Beziehungen M offen ⇔M = M◦ und M abgeschlossen ⇔M = M .

• M1 := [0, 1] × (0, 1] ⇒ M◦1 = (0, 1) × (0, 1);M1 = [0, 1] × [0, 1] ⇒ M◦1 6= M1,M1 6=M1 ⇒M1 ist weder offen noch abgeschlossen.

13

• M2 := B1(0) \ {0} ⇒ M◦2 = B1(0);M1 = B1(0) ⇒ M◦2 6= M2,M2 6= M2 ⇒ M2 istweder offen noch abgeschlossen.

• M3 :={

(x1, x2)T ∈ R2∣∣ x2 > 1

}= (−∞,∞)× (1,∞) ist eine offene Menge, da beide

Intervalle offen sind.

• M4 := R2 \Z2 =⋃x,y∈Z((x, x+ 1)× (y, y+ 1)) ist als Vereinigung einer Familie offener

Mengen wieder eine offene Menge.

3.3 Beschranktheit

1. Fur alle x ∈ Br(v) gilt: ‖x− v‖ ≤ r.Mithilfe der umgekehrten Dreiecksungleichung erhalt man ‖x‖ − ‖v‖ ≤ ‖x − v‖ und damit‖x‖ − ‖v‖ ≤ ‖x− v‖ ≤ r ⇒ ‖x‖ ≤ ‖v‖+ r.

Somit gilt auch x ∈ B‖v‖+r(0).

2. • an := (−1)n ist beschrankt, da ai ∈ [−1, 1] fur alle i ∈ N gilt.

• bn := 2n3+nn3+1 =

2+ 1n2

1+ 1n3

ist beschrankt, da 1 ≤ 21+ 1

n3≤ 2+ 1

n2

1+ 1n3≤ 2+ 1

n2

1 ≤ 3 und damit

bi ∈ [1, 3] fur alle i ∈ N gilt.

• cn := −n4−3n2+2 ist nicht beschrankt, da lim

n→∞cn = −∞.

3.4 Kompakte Mengen

1. Verwende den Satz von Heine-Borel zur Losung der Aufgabe:

• M1 := [1, 2] ∪ [3, 4] ist kompakt, da M1 abgeschlossen und beschrankt ist.

• M2 := [−1, 1] \ {0} = [−1, 0) ∪ (0, 1] ist nicht abgeschlossen, also auch nicht kompakt.

• M3 := {1/n | n ∈ N} ∪ {0} ist beschrankt und abgeschlossen (da x ∈M3 ⇒ x ∈ [0, 1]),also kompakt.

• M4 := N ist nicht beschrankt, also auch nicht kompakt.

2. Nach ?? ist eine kompakte Menge beschrankt und abgeschlossen.

Der Durchschnitt beliebig vieler kompakter Teilmengen von Kn ist ebenfalls kompakt:

Nach ?? ist der Durchschnitt D einer beliebigen Anzahl abgeschlossener Teilmengen von Knwieder eine abgeschlossene Teilmenge von Kn.

Nach ?? ist der Durchschnitt D einer beliebigen Anzahl beschrankter Teilmengen von Knwieder eine beschrankte Teilmenge von von Kn.

D ist somit abgeschlossen und beschrankt und damit nach ?? kompakt.

Die Vereinigung endlich vieler kompakter Teilmengen von Kn ist ebenfalls kompakt:

Nach ?? ist die Vereinigung V einer endlichen Anzahl abgeschlossener Teilmengen von Knwieder eine abgeschlossene Teilmenge von Kn.

Nach ?? ist die Vereinigung V einer endlichen Anzahl beschrankter Teilmengen von Knwieder eine beschrankte Teilmenge von Kn.

V ist somit abgeschlossen und beschrankt und damit nach ?? kompakt.

3.5 Vollstandigkeit

1. Wahlt man N = 2ε , so gilt fur an := (−1)n

n

14

‖vn − vm‖ = ‖ (−1)n

n− (−1)m

m‖

≤ ‖ (−1)n

n‖+ ‖ (−1)m

m‖

= ‖ 1

n‖+ ‖ 1

m‖

≤ 2‖ 1

N‖

= 2‖ε2‖ = ε.

Wahlt man N = log3( 2ε ), so gilt fur bn := 1

3n

‖vn − vm‖ = ‖ 1

3n− 1

3m‖

≤ ‖ 1

3n‖+ ‖ 1

3m‖

≤ 2‖ 1

3N‖

= 2‖ 12ε

‖ = 2 · ε2

= ε.

Somit erfullen beide Folgen die Cauchy-Definition.

2. Sind (vn)n∈N und (wn)n∈N zwei Cauchy–Folgen in V , so gibt es fur jede positive Zahlε > 0 zwei naturliche Zahlen N1, N2 ∈ N, so dass ‖vn1

− vm1‖ < ε, ‖wn2

− wm2‖ <

ε fur alle m1, n1,m2, n2 ∈ N mit n1 ≥ m1 ≥ N1 sowie n2 ≥ m2 ≥ N2.

DefiniereM := maxN1, N2, dann gilt ‖vn1−vm1

‖ < ε, ‖wn2−wm2

‖ < ε fur alle m1, n1,m2, n2 ∈N mit n1 ≥ m1 ≥M sowie n2 ≥ m2 ≥M .

Wahle nun ein M ′ ≥ M , so dass fur alle n3,m3 ∈ N mit n3 ≥ m3 ≥ M ′ gilt, dass ‖vn3 −vm3‖ < ε/2 und ‖wn3 − wm3‖ < ε/2.

Dann gilt:

‖(vn3 + wn3)− (vm3 + wm3)‖ = ‖vn3 − vm3 + wn3 − wn3‖≤ ‖vn3 − vm3‖+ ‖wn3 − wn3‖< ε/2 + ε/2 = ε.

Somit ist (vn + wn)n∈N eine Cauchy-Folge.

Wahlt man M ′ ≥M , so dass fur alle n3,m3 ∈ N mit n3 ≥ m3 ≥M ′ gilt, dass ‖vn3−vm3

‖ <ε|α| , so gilt fur (αvn)n∈N mit α ∈ K:

‖αvn3− αvm3

‖ = |α|‖vn3− vm3

‖ < |α| · ε|α| ≤ ε.

Somit ist auch (αvn)n∈N eine Cauchy-Folge.

3.6 Zusammenhangende Mengen

1. • M1 := (−∞, 2)∩(−2,∞) = (−2, 2) ist eine nichtleere Teilmenge von R und ein Intervall⇒M1 ist zusammenhangend.

• M2 := Z ist kein Intervall auf R ⇒M2 ist nicht zusammenhangend.

• M3 := (−1, 1) \ {0} = (−1, 0) ∪ (0, 1) ist kein Intervall auf R ⇒ M3 ist nicht zusam-menhangend.

15

• M4 :=⋃n∈N[n − 1, n) = (0,∞) ist eine nichtleere Teilmenge von R und ein Intervall

⇒M4 ist zusammenhangend.

2. Die Vereinigung von zwei zusammenhangenden Mengen ist im Allgemeinen nicht zusam-menhangend, denn [1, 2] ⊂ R und [3, 4] ⊂ R sind jeweils zusammenhangende Mengen, nichtjedoch (1, 2) ∪ (3, 4) (kein Intervall auf R).

3. Fur eine einpunktige Menge {v} mit v ∈ V waren die einzigen existenten Mengen O1 =O2 = {v}.Dann gilt jedoch nicht O1 ∩ O2 = ∅, sodass die Bedingung fur Zusammenhang nicht erfulltwerden kann.

4. Es gelten folgende zwei Bedingungen:

• Abgeschlossenheit:Eine Menge A ⊆ R heißt abgeschlossen, wenn die Menge R \A offen ist.

• Zusammenhang:Eine nichtleere Teilmenge von R ist genau dann zusammenhangend, wenn sie ein In-tervall ist.

Ist A nun nach oben, nicht aber nach unten beschrankt, muss es ein Intervall der Form(−∞, b] oder (−∞, b) sein, um die Bedingung fur Zusammenhang zu erfullen.

Da nur mit A := (−∞, b] gilt, dass R \A = (b,∞) offen ist, folgt die Behauptung.

4 Konvergenzbegriffe und Konvergenzkriterien

4.1 Konvergenz reeller Zahlenfolgen

1. In diesem Abschnitt wurde diskutiert, dass

limn→∞

(1 +

x

n

)n= ex

fur alle x ∈ R gilt. Dies wird bei den folgenden Grenzwertbestimmungen standig verwendet.Es gilt

limn→∞

an = limn→∞

((1 +

1

n

)(1 +

1

n

)n)= limn→∞

(1 +

1

n

)· limn→∞

(1 +

1

n

)n= 1 · e = e,

limn→∞

bn = limn→∞

(n+ 1

n

)−n= limn→∞

(1 +

1

n

)−n=

(limn→∞

(1 +

1

n

)n)−1= e−1,

limn→∞

cn = limn→∞

((1 +

1

n

)(1− 1

n

))n= limn→∞

(1 +

1

n

)n· limn→∞

(1 +−1

n

)n= e · e−1 = 1.

limn→∞

dn = limn→∞

(2

n2

n−1∑n=1

n

)n= limn→∞

(2

n2· (n− 1)n

2

)n= limn→∞

(1 +−1

n

)n= e−1.

2. Da die n-ten Wurzelfunktionen monoton wachsend sind, gilt offenbar n√

1 ≤ an ≤ n√n fur

alle n ∈ N mit n ≥ 100. Außerdem gilt

limn→∞

n√

1 = limn→∞

n√n = 1.

Nach dem Sandwichtheorem gilt somit

limn→∞

an = 1.

Die Abschatzungn√n2 ≤ bn ≤ n

√2n2 gilt fur alle n ∈ N. Ferner gilt

limn→∞

n√n2 = lim

n→∞n√

2n2 = 1.

16

Nach dem Sandwichtheorem gilt also

limn→∞

bn = 1.

Man uberlegt sich leicht, dass fur alle n ∈ N mit n ≥ 2 die Abschatzung n2 ≤ 3n gilt.Entsprechend gilt auch 1/3n ≤ cn ≤ 3n/n2 = 3/n fur alle n ≥ 2, sowie

limn→∞

1

3n= limn→∞

3

n= 0.

Nach dem Sandwichtheorem gilt somit

limn→∞

cn = 0.

Fur jede reelle Zahl x ≥ 1 gilt 1 ≤ 3√x ≤√x. Daher erhalt man die Abschatzung

1√n2 + n

≤ dn ≤√n√

n3 + n=

√n

n3 + n≤√

n

n3=

√1

n2=

1

n

fur alle n ∈ N. Weiterhin gilt

limn→∞

1√n3 + n

= limn→∞

1

n= 0.

Nach dem Sandwichtheorem gilt also

limn→∞

dn = 0.

3. Nach Voraussetzung ist die Folge (bn)n∈N beschrankt. Also existiert eine untere Schrankeu ∈ R sowie eine obere Schranke o ∈ R fur die Folgenglieder von (bn)n∈N. Es gilt dannu ≤ bn ≤ o fur alle n ∈ N. Ebenso gilt anu ≤ anbn ≤ ano fur alle n ∈ N. Da die Folge(an)n∈N eine Nullfolge ist, gilt

limn→∞

(anu

)= u · lim

n→∞an = 0,

sowielimn→∞

(ano)

= o · limn→∞

an = 0,

Entsprechend erhalt manlimn→∞

(anbn

)= 0.

nach dem Sandwichtheorem.

4. Es sei x = (x1, x2, . . . , xn)T ∈ Kn ein beliebiger Vektor. Es gilt dann

ap = p√|x1|p + |x2|p + · · ·+ |xn|p

fur alle p ∈ N. Sei nun k ∈ {1, 2, . . . , n} ein Index, so dass |xk| := ‖x‖∞ gilt. Wir nehmenalso an, dass xk eine betragsgroßte Komponente von x ist. Man uberlegt sich leicht, dassdann

‖x‖ = |xk| = p√|xk|p ≤ ap

undap ≤ p

√n|xk|p = p

√n p√|xk|p = p

√n‖x‖∞

gilt. Ferner giltlimp→∞

‖x‖∞ = limp→∞

(p√n p√|xk|p

)= ‖x‖∞.

Nach dem Sandwichtheorem konvergiert die Folge (ap)p∈N also gegen ‖x‖∞.

17

5. Es gilt

an+1 − an =1

2n+ 2+

1

2n+ 1− 1

n+ 1=

1

2(2n+ 1)(n+ 1)> 0

und somit an+1 > an fur alle n ∈ N. Die Folge (an)n∈N ist also streng monoton wachsend.Ferner gilt

an =1

n+ 1+

1

n+ 2+ · · ·+ 1

2n≤ n · 1

n+ 1=

n

n+ 1≤ 1

fur alle n ∈ N. Die Folge (an)n∈N ist also durch die Zahl 1 nach oben beschrankt. Damiterfullt (an)n∈N die Voraussetzungen des Monotoniekriteriums. Die Folge (an)n∈N ist alsokonvergent.

Mittels Vollstandiger Induktion nach n kann man beweisen, dass die Glieder der Folge(bn)n∈N durch die Zahl 2 nach oben beschrankt sind. Der Induktionsanfang fur n = 1 folgtdabei unmittelbar aus der Definition der Folge. Fur den Induktionsschritt von n nach n+ 1nimmt man an, dass bn ≤ 2 fur eine beliebige Zahl n ∈ N gilt. Es folgt dann

bn+1 =√

2 + bnI.V.≤√

2 + 2 = 2.

Fur alle n ∈ N gilt also bn ≤ 2. Entsprechend erhalt man die Abschatzung

bn+1 =√

2 + bn ≥√

2 · bn ≥√bn · bn = bn

fur alle n ∈ N. Die Folge (bn)n∈N ist also monoton wachsend. Sie erfullt damit die Voraus-setzungen des Monotoniekriteriums.

Gemaß Definition der Folge (cn)n∈N gilt offenbar cn > 0, sowie

cn+1

cn= 1− 1

n≤ 1,

woraus cn+1 ≤ cn fur alle n ∈ N folgt. Die Folge (cn)n∈N ist also monoton fallend und durchdie Zahl Null nach unten beschrankt. Nach dem Monotoniekriterium ist die Folge (cn)n∈Nalso konvergent.

Offenbar sind die Glieder der Folge (dn)n∈N nichtnegativ. Es gilt also dn ≥ 0 fur alle n ∈ N.Daraus folgt

dn+1 =1

d1 + d2 + · · ·+ dn≤ 1

d1 + d2 + · · ·+ dn−1= dn

fur alle n ∈ N. Die Folge (dn)n∈N ist somit monoton fallend und durch Null nach untenbeschrankt. Nach dem Monotoniekriterium ist die Folge also konvergent.

4.2 Konvergenz von Reihen

1. Die ersten vier Partialsummen der ersten Reihe sind durch

1∑n=1

n = 1,

2∑n=1

n = 1 + 2 = 3,

3∑n=1

n = 1 + 2 + 3 = 6,

4∑n=1

n = 1 + 2 + 3 + 4 = 10

gegeben. Fur die ubrigen Reihen erhalt man in gleicher Weise

1∑n=1

1

n2= 1,

2∑n=1

1

n2=

5

4,

3∑n=1

1

n2=

49

36,

4∑n=1

1

n2=

205

144,

0∑n=0

(−1)n

2n+ 1= 1,

1∑n=0

(−1)n

2n+ 1=

2

3,

2∑n=0

(−1)n

2n+ 1=

13

15,

3∑n=0

(−1)n

2n+ 1=

76

105,

1∑n=1

(−2)n = −2,

2∑n=1

(−2)n = 2,

3∑n=1

(−2)n = −6,

4∑n=1

(−2)n = 10.

18

2. Betrachtet man fur eine beliebige naturliche Zahl N ∈ N die N -te Partialsumme der erstenReihe, so erhalt man

N∑n=1

(1

n− 1

n+ 1

)=

(1− 1

2

)+

(1

2− 1

3

)+ · · ·+

(1

N − 1− 1

N

)+

(1

N− 1

N + 1

)= 1− 1

N + 1.

Dies liegt daran, dass die Bruche 1/2, 1/3, . . . , 1/N in der Summe jeweils genau zweimal mitunterschiedlichen Vorzeichen auftreten. Der Grenzwert einer Reihe ist als der Grenzwert derFolge ihrer Partialsummen definiert. Also erhalt man

∞∑n=1

(1

n− 1

n+ 1

)= limN→∞

N∑n=1

(1

n− 1

n+ 1

)= limN→∞

(1− 1

N + 1

)= 1.

In gleicher Weise erhalt man

∞∑n=1

(n− 1

n2− n

(n+ 1)2

)= limN→∞

N∑n=1

(n− 1

n2− n

(n+ 1)2

)= limN→∞

(0− N

(N + 1)2

)= 0,

∞∑n=1

3

n2 + n= limN→∞

N∑n=1

(3

n− 3

n+ 1

)= limN→∞

(3− 3

N + 1

)= 3.

3. Betrachtet man die erste Reihe, so stellt man fest, dass

∞∑n=1

1

4n=

1

4

∞∑n=0

(1

4

)ngilt. In dieser Darstellung erkennt man eine geometrische Reihe

∞∑n=0

qn

mit q = 1/4. Da hier offenbar |q| < 1 gilt, ist die Reihe konvergent, und ihr Grenzwert istdurch

∞∑n=0

qn =1

1− q

gegeben. Demzufolge erhalt man

∞∑n=1

1

4n=

1

4· 1

1− 1/4=

1

3.

Wenn hingegen |q| ≥ 1 gegolten hatte, so ware die Reihe divergent gewesen. Entsprechenderhalt man

∞∑n=0

6

5n= 6

∞∑n=0

(1

5

)n= 6 · 1

1− 1/5=

15

2, da

∣∣∣∣15∣∣∣∣ =

1

5< 1,

∞∑n=0

6n

5n=

∞∑n=0

(6

5

)nist divergent, da

∣∣∣∣65∣∣∣∣ =

6

5> 1,

∞∑n=2

(√2

2

)n=

(√2

2

)2 ∞∑n=0

(√2

2

)n=

1

2· 1

1−√

2/2=

2 +√

2

2, da

∣∣∣∣√2

2

∣∣∣∣ =

√2

2< 1,

∞∑n=0

(1 + i)n ist divergent, da |1 + i| =√

2 > 1,

∞∑n=0

(1 + i)−n =

∞∑n=0

(1

1 + i

)n=

1

1− (1 + i)= i, da

∣∣∣∣ 1

1 + i

∣∣∣∣ =

√2

2< 1.

19

4. Sei z ∈ {0, 1, 2, . . . , 9} eine beliebig gewahlte Ziffer. Nach Definition der Dezimaldarstellunggilt dann

0,z =z

10+

z

100+

z

1000+ · · · =

∞∑n=1

z

10n=

z

10

∞∑n=0

(1

10

)n=

z

10· 1

1− 1/10=z

9.

5. Betrachtet man die Summanden der Reihe

∞∑n=1

√n

n,

so stellt man fest, dass √n

n≥ 1

n

fur alle n ∈ N gilt. Daher stellt die harmonische Reihe

∞∑n=1

1

n

eine Minorante zur ersten Reihe dar. Da die harmonische Reihe divergent ist, folgt aus demMinorantenkriterium, dass auch die erste Reihe divergent ist.

Fur die Summanden der zweiten Reihe gilt

limn→∞

(n+ 1)(n− 1)

n2= limn→∞

n2 − 1

n2= limn→∞

(1− 1

n2

)= 1.

Die Folge der Summanden bildet also keine Nullfolge. Daher kann die zweite Reihe nichtkonvergent sein.

Fur die Summanden der dritten Reihe gilt die Ungleichung

n

n2 + 4≥ n

n2 + n2=

n

2n2≥ 1

2n

fur alle n ≥ 2. Da die harmonische Reihe divergent ist, ist auch die Reihe

∞∑n=1

1

2n=

1

2

∞∑n=1

1

n

divergent. Wir haben somit eine divergente Minorante zur dritten Reihe gefunden.

Die Summanden der vierten Reihe erfullten die Ungleichung

1

n+√n≥ 1

n+ n=

1

2n

fur alle n ∈ N. Die Reihe∞∑n=1

1

2n

ist also auch fur die vierte Reihe eine divergente Minorante.

6. Es gilt

∞∑n=k

qn = qk + qk+1 + qk+2 + · · · = qk(1 + q + q2 + · · ·

)= qk

∞∑n=0

qn = qk · 1

1− q=

qk

1− q.

20

4.3 Absolute Konvergenz von Reihen

1. Fur die Summanden der ersten Reihe gilt∣∣∣∣ 1

n√n+ 1

∣∣∣∣ =1

n√n+ 1

≤ 1

n√n

=1

n3/2

fur alle n ∈ N. Also ist∞∑n=1

1

n3/2

eine Majorante zur ersten Reihe. Die Majorante ist absolut konvergent, da der Exponent vonn echt großer ist als Eins. Nach dem Majorantenkriterium ist die erste Reihe somit absolutkonvergent.

Die zweite Reihe ist offenbar konvergent nach dem Leibnizkriterium. Sie ist jedoch nichtabsolut konvergent. Es gilt namlich

∞∑n=1

∣∣∣∣ (−1)n+1

2n− 1

∣∣∣∣ =

∞∑n=1

1

2n− 1.

Fur die Summanden der rechten Reihe gilt die Abschatzung

1

2n− 1≥ 1

2n

fur alle n ∈ N. Also ist die Reihe∞∑n=1

1

2n=

1

2

∞∑n=1

1

n

eine divergente Minorante von∞∑n=1

∣∣∣∣ (−1)n+1

2n− 1

∣∣∣∣.Fur die Untersuchung der dritten Reihe bietet sich das Wurzelkriterium an. Bezeichnet mannamlich den n-ten Summanden der Reihe mit an, so gilt

limn→∞

n√|an| = lim

n→∞n

√n2

2n= limn→∞

(n√n)2

2=

1

2< 1.

Also ist die Reihe absolut konvergent. Auch das Quotientenkriterium fuhrt zum Ziel. Es giltnamlich

limn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = limn→∞

(n+ 1)2 2n

2n+1 n2= limn→∞

n2 + 2n+ 1

2n2=

1

2< 1.

Betrachtet man die vierte Reihe, so stellt man fest, dass die Summanden dieser Reihe durchdie Partialsummen der geometrischen Reihe

∞∑k=1

(1

3

)kgegeben sind. Da |1/3| < 1 gilt, konvergiert die geometrische Reihe gegen den Grenzwert

1

1− 1/3=

3

2.

Die Summanden der vierten Reihe bilden also keine Nullfolge. Daher ist die vierte Reihenicht konvergent und somit auch nicht absolut konvergent.

Fur die Untersuchung der funften Reihe kann man beispielsweise das Quotientenkriteriumverwenden. Bezeichnet man mit an den n-ten Summanden der Reihe, so gilt

limn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = limn→∞

2n+1(n3 + 1)

((n+ 1)3 + 1) 2n= limn→∞

2n3 + 2

n3 + 3n2 + 3n+ 2= 2 > 1.

Die Reihe ist also divergent.

21

2. Fur die Summanden der Reihe gilt die Abschatzung∣∣∣∣cos(n)

2n

∣∣∣∣ =|cos(n)|

2n≤ 1

2n

fur alle n ∈ N. Also ist die Reihe

∞∑n=1

1

2n=

1

2

∞∑n=0

(1

2

)neine konvergente Majorante zur ursprunglichen Reihe. Nach dem Majorantenkriterium istdie ursprungliche Reihe absolut konvergent, weshalb man auf sie die Dreiecksungleichung furabsolut konvergente Reihen anwenden kann. Fur den Grenzwert s der Reihe gilt daher

|s| =

∣∣∣∣∣∞∑n=1

cos(n)

2n

∣∣∣∣∣ ≤∞∑n=1

∣∣∣∣cos(n)

2n

∣∣∣∣ ≤ ∞∑n=1

1

2n=

1

2

∞∑n=0

(1

2

)n=

1

2· 1

1− 1/2= 1.

3. Zunachst stellt man fest, dass −1 ≤ cos(πn) ≤ 1 fur alle n ∈ N gilt. Daher gilt fur dieSummanden der Reihe die Abschatzung

1

4n+cos(πn)≤ 1

4n−1

fur alle n ∈ N. Also ist die geometrische Reihe

∞∑n=1

1

4n−1=

∞∑n=0

(1

4

)neine konvergente Majorante zur ursprunglichen Reihe. Gemaß Majorantenkriterium ist dieursprungliche Reihe also absolut konvergent. Sie erfullt damit die Voraussetzungen desUmordnungssatzes. Betrachten den Cosinus-Term etwas genauer, so stellt man fest, dasscos(nπ) = (−1)n fur alle n ∈ N0 gilt. Also sind die Summanden der ursprunglichen Reihedurch

1

4ϕ(n)

fur alle n ∈ N gegeben, wobei die Abbildung ϕ : N0 → N0 gemaß ϕ(n) := n+ (−1)n fur allen ∈ N definiert ist. Die Wertetabelle

n 0 1 2 3 4 5 6 7 · · ·ϕ(n) 1 0 3 2 5 4 7 6 · · ·

legt nahe, dass die Funktion ϕ die Menge N0 bijektiv auf sich selbst abbildet. Tatsachlich istdie Funktion ϕ selbstinvers, d.h. es gilt ϕ−1 = ϕ bzw. (ϕ ◦ϕ)(n) = n fur alle n ∈ N0. Es giltdaher

∞∑n=1

1

4−n−cos(πn)=

∞∑n=1

1

4ϕ(n)= −1

4+

∞∑n=0

1

4ϕ(n)= −1

4+

∞∑n=0

1

4ϕ(n)

Umordnungssatz= −1

4+

∞∑n=0

1

4(ϕ◦ϕ)(n)= −1

4+

∞∑n=0

1

4n

= −1

4+

∞∑n=0

(1

4

)n= −1

4+

1

1− 1/4=

13

12.

4.4 Punktweise Konvergenz von Funktionenfolgen

1. Die Funktionsgraphen von s1, s2, s3 und c1, c2, c3 sehen folgendermaßen aus:

22

2. Die Legendre–Polynome P2, P3 und P4 sind durch

P2(x) =(2 · 2− 1)

2xP1(x)− (2− 1)

2P0(x) =

3

2x2 − 1

2,

P3(x) =(2 · 3− 1)

3xP2(x)− (3− 1)

3P1(x) =

5

2x3 − 3

2x,

P4(x) =(2 · 4− 1)

4xP3(x)− (4− 1)

4P2(x) =

35

8x4 − 15

4x2 +

3

8

fur alle x ∈ R gegeben.

3. Wahlt man eine beliebige Stelle x ∈ R, so gilt

limn→∞

fn(x) = limn→∞

nx

n+ 1= limn→∞

x

1 + 1/n= x.

Also konvergiert die Funktionenfolge (fn)n∈N auf ganz R punktweise gegen die Grenzfunktionf : R→ R, welche durch

f(x) := x

fur alle x ∈ R definiert ist. Der Konvergenzbereich von (fn)n∈N ist also R.

Wahlt man x 6= 0, so giltlimn→∞

gn(x) = limn→∞

n√|x| = 1.

An der Stelle x = 0 gilt jedoch

limn→∞

gn(0) = limn→∞

n√

0 = 0.

Also konvergiert die Funktionenfolge (gn)n∈N auf ganz R punktweise gegen die Grenzfunktiong : R→ R, welche durch

g(x) :=

{0 falls x = 0,

1 sonst

fur alle x ∈ R definiert ist. Der Konvergenzbereich von (gn)n∈N ist also R.

Aus |x| < 1/2 folgt offenbar |2x| < 1. Daher gilt

limn→∞

hn(x) = limn→∞

(2x)n + 1 = 1

fur alle x ∈ R mit |x| < 1/2. Fur x = 1/2 gilt außerdem

limn→∞

hn

(1

2

)= limn→∞

1n + 1 = 2.

23

Fur x > 1/2 und x ≤ −1/2 divergiert die Folge (hn(x))n∈N. Daher konvergiert die Funk-tionenfolge (hn)n∈N auf dem Intervall (−1/2, 1/2] punktweise gegen die Grenzfunktion h :(−1/2, 1/2]→ R, welche durch

g(x) :=

2 falls x =1

2,

1 sonst

fur alle x ∈ (−1/2, 1/2] definiert ist. Auf der Menge R \ (−1/2, 1/2] ist die Funktionenfolge(hn)n∈N divergent. Daher ist das Intervall (−1/2, 1/2] der Konvergenzbereich von (hn)n∈N.

Sei x > 0 beliebig gewahlt. Dann existiert eine naturliche Zahl N ∈ N, so dass 1/n < x furalle n ∈ N mit n ≥ N gilt. Dementsprechend gilt auch x 6∈ [−1/2, 1/2] und somit rn(x) = 0fur alle n ∈ N mit n > N . Also hat man

limn→∞

rn(x) = 0

fur alle x > 0. In gleicher Weise zeigt man, dass

limn→∞

rn(x) = 0

fur alle x < 0 gilt. Als nachstes wenden wir uns dem Fall x = 0 zu. Offenbar gilt −1/n <0 < 1/n und somit 0 ∈ [−1/n, 1/n] fur alle n ∈ N. Demzufolge gilt

limn→∞

rn(0) = limn→∞

n

2=∞.

Die Folge (rn(0))n∈N divergiert also bestimmt gegen ∞. Wir haben damit gezeigt, dassdie Funktionenfolge (rn)n∈N auf der Menge R \ {0} punktweise gegen die Grenzfunktionr : R \ {0} → R konvergiert, die durch r(x) := 0 fur alle x ∈ R \ {0} definiert ist. Auf dereinpunktigen Menge {0} divergiert die Funktionenfolge. Daher ist die Menge R \ {0} derKonvergenzbereich von (rn)n∈N.

4. Man erkennt sehr leicht, dass die Glieder der Funktionenfolge (fn)∞n=0 durch

fn(x) := 1 + x+ x2 + · · ·+ xn =

n∑k=0

xk

fur alle n ∈ N0 und alle x ∈ R gegeben sind. Fur eine fest gewahlte Stelle q ∈ R entsprichtdie Folge der Funktionswerte (fn(q))∞n=0 also genau der geometrischen Reihe

∞∑k=0

qk

Die geometrische Reihe ist bekanntlich genau dann konvergent, wenn |q| < 1 gilt. Ihr Grenz-wert betragt in diesem Fall

1

1− q.

Die geometrische Reihe ist hingegen divergent, wenn |q| ≥ 1 gilt. Also konvergiert dieFunktionenfolge (fn)∞n=0 im offenen Intervall (−1, 1) punktweise gegen die Grenzfunktionf : (−1, 1)→ R, welche durch

f(x) :=1

1− xfur alle x ∈ (−1, 1) gegeben ist. Sie divergiert hingegen auf der Menge R \ (−1, 1). Also istdas Intervall (−1, 1) der Konvergenzbereich von (fn)∞n=0.

24

4.5 Gleichmaßige Konvergenz von Funktionenfolgen

1. Die Funktionenfolge (fn)n∈N konvergiert punktweise auf [0, 1] gegen die Grenzfunktion f :[0, 1]→ R, welche durch f(x) = 0 fur alle x ∈ [0, 1] definiert ist. Um zu zeigen, dass (fn)n∈Ngleichmaßig gegen f konvergiert, wahlt man eine beliebige Stelle x ∈ [0, 1]. Es gilt danninsbesondere 0 ≤ x und x ≤ 1. Außerdem gilt∣∣fn(x)− f(x)

∣∣ =|x||x+ n|

=x

x+ n≤ 1

0 + n=

1

n

fur alle n ∈ N. Es ist also moglich, fur beliebige Stellen x ∈ [0, 1] den Abstand der Funk-tionswerte fn(x) und f(x) durch einen von x unabhangigen Term nach oben abzuschatzen,der fur n→∞ gegen Null konvergiert. Damit ist die gleichmaßige Konvergenz von (fn)n∈Ngegen f gezeigt.

Offenbar konvergiert die Funktionenfolge (gn)n∈N auf dem Intervall [0, 1] punktweise gegendie Grenzfunktion g : [0, 1] → R, welche durch g(x) :=

√x fur alle x ∈ [0, 1] definiert ist.

Außerdem gilt

∣∣gn(x)− g(x)∣∣ =

√x+

1

n−√x =

(x+ 1/n)− x√x+ 1/n+

√x

=1

n· 1√

x+ 1/n+√x

≤ 1

n· 1√

0 + 1/n+√

0=

√n

n=

1√n

fur alle x ∈ [0, 1] und alle n ∈ N. Wiederum kann fur jede Stelle x ∈ [0, 1] der Abstand derFunktionswerte gn(x) und g(x) durch einen von x unabhangigen Term nach oben abgeschatztwerden, der fur n→∞ gegen Null konvergiert. Damit ist die gleichmaßige Konvergenz von(gn)n∈N gegen g gezeigt.

Definiert man die Funktion h : [0, 1]→ R durch h(x) := sin(πx) fur alle x ∈ [0, 1], so gilt

∣∣hn(x)− h(x)∣∣ =

∣∣∣∣n sin(πx) + cos(nπx)

n− sin(πx)

∣∣∣∣ =

∣∣n sin(πx) + cos(nπx)− n sin(πx)∣∣

n

=|cos(nπx)|

n≤ 1

n

fur alle x ∈ [0, 1] und alle n ∈ N. Also konvergiert die Funktionenfolge (hn)n∈N gleichmaßiggegen die Grenzfunktion h.

Schließlich betrachten wir die Funktion p : [0, 1] → R, welche durch p(x) := x fur allex ∈ [0, 1] definiert ist. Es gilt

∣∣pn(x)− p(x)∣∣ =

∣∣∣∣ nx2

nx+ 1− x∣∣∣∣ =

∣∣∣∣nx2 − x(nx+ 1)

nx+ 1

∣∣∣∣ =x

nx+ 1≤ x

nx=

1

n

fur alle x > 0 und alle n ∈ N, sowie∣∣pn(0)− p(0)∣∣ = 0 <

1

n

fur alle n ∈ N. Also gilt ∣∣pn(x)− p(x)∣∣ < 1

n

fur alle x ∈ [0, 1] und alle n ∈ N. Damit ist gezeigt, dass die Funktionenfolge (pn)n∈Ngleichmaßig gegen p konvergiert.

2. Zunachst stellen wir fest, dass die Nullfunktion auf der Menge D eine beschrankte Funk-tion ist, und daher ein Element von B(D,W ). Das Bild der Nullfunktion ist namlich dieeinpunktige Menge {0W }, welche beschrankt ist. Hierbei bezeichnet 0W das Nullelement imVektorraum W . Sind nun f1 ∈ B(D,W ) und f2 ∈ B(D,W ), so existieren nach Vorausset-zung zwei nichtnegative Zahlen R1 ≥ 0 und R2 ≥ 0, so dass ‖f1(x)‖ ≤ R1 und ‖f2(x)‖ ≤ R2

25

fur alle x ∈ D gilt. Setzt man nun R := R1 + R2, so gilt R ≥ 0, und man erhalt dieAbschatzung

‖f1(x) + f2(x)‖ ≤ ‖f1(x)‖+ ‖f2(x)‖ ≤ R1 +R2 = R

fur alle x ∈ R. Also ist die Funktion (f1 + f2) beschrankt, d.h. es gilt (f1 + f2) ∈ B(D,W ).Sei nun f ∈ B(D,W ) eine beschrankte Funktion und α ∈ K ein beliebiger Skalar. Dannexistiert eine nichtnegative Zahl R0 ≥ 0, so dass ‖f(x)‖ ≤ R0 fur alle x ∈ D gilt. Setzt man

R := |α|R0, so gilt R ≥ 0, und man erhalt die Abschatzung

‖αf(x)‖ = |α|‖f(x)‖ ≤ |α|R0 = R

fur alle x ∈ D. Es gilt also (αf) ∈ B(D,W ). Wir haben damit gezeigt, dass die MengeB(D,W ) abgeschlossen bezuglich Addition und skalarer Multiplikation ist. Da B(D,W )außerdem die Nullfunktion enthalt, ist B(D,W ) ein Vektorraum uber K.

3. Wir wissen bereits, dass B(D,W ) ein Vektorraum uber K ist. Wir weisen nun die Normei-genschaften der Abbildung ‖ · ‖∞,D : B(D,W )→ R nach.

Nichtnegativitat: Sei f ∈ B(D,W ) eine beliebig gewahlte, beschrankte Funktion, und seix0 ∈ D ein beliebiger Punkt. Dann gilt ‖f(x0)‖ ≥ 0, da ‖ · ‖ eine Norm ist. Daraus folgtjedoch auch

‖f‖∞,D = supx∈D‖f(x)‖ ≥ ‖f(x0)‖ ≥ 0.

Also gilt ‖f‖∞,D ≥ 0 fur alle f ∈ B(D,W ).

Definitheit: Fur die Nullfunktion 0 ∈ B(D,W ) gilt offenbar ‖0‖∞,D = 0. Sei nun f ∈B(D,W ) eine beschrankte Funktion, fur die ‖f‖∞,D = 0 gilt. Wir wollen zeigen, dass f dieNullfunktion ist, dass also f(D) = {0W } gilt, wobei 0W das Nullelement in W bezeichnet.Wir beweisen dies durch Widerspruch, indem wir annehmen, dass f nicht die Nullfunktionauf D ist. Dann existiert mindestens eine Stelle x0 ∈ D mit f(x0) 6= 0W . Dann gilt aberauch ‖f(x0)‖ > 0 und somit

‖f‖∞,D = supx∈D‖f(x)‖ ≥ ‖f(x0)‖ > 0,

was im Widerspruch zur Voraussetzung steht. Die Funktion f muss also die Nullfunktionauf D sein.

Homogenitat: Sei f ∈ B(D,W ) eine beschrankte Funktion und α ∈ K ein Skalar. Dann gilt

‖αf‖∞,D = supx∈D‖αf(x)‖ = sup

x∈D

(|α|‖f(x)‖

)= |α| sup

x∈D‖f(x)‖ = |α| ‖f‖∞,D.

Dreiecksungleichung: Es seien f ∈ B(D,W ) und g ∈ B(D,W ) zwei beschrankte Funktionen.Es gilt dann

‖f + g‖∞,D = supx∈D‖f(x) + g(x)‖ ≤ sup

x∈D

(‖f(x)‖+ ‖g(x)‖

)≤ supx∈D

(‖f(x)‖+ sup

x∈D‖g(x)‖

= ‖f‖∞,D + ‖g‖∞,D.

4.6 Konvergenz von Potenzreihen

1. Bezeichnet man den n-ten Koeffizienten der ersten Potenzreihe mit an, so erhalt man fur dieerste Potenzreihe

limn→∞

n√|an| = lim

n→∞2 = 2.

Also besitzt die erste Potenzreihe den Konvergenzradius R := 1/2. Die Potenzreihe konver-giert also auf dem Intervall (−1/2, 1/2) und divergiert auf der Menge R \ [−1/2, 1/2]. Unter-sucht man das Konvergenzverhalten der Potenzreihe an den Randpunkten von (−1/2, 1/2),so stellt man fest, dass sie an diesen ebenfalls divergiert. Der Konvergenzbereich der Potenz-reihe ist somit das Intervall (−1/2, 1/2).

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Bezeichnet man den n-ten Koeffizienten der zweiten Potenzreihe mit an, so erhalt man

limn→∞

n√|an| = lim

n→∞

(1 +

1

n

)= 1.

Die zweite Potenzreihe besitzt somit den Konvergenzradius R := 1/1 = 1.

Fur die dritte Potenzreihe erhalt man

limn→∞

n√|an| = lim

n→∞

(n√n)2

n√n!

= 0.

Die dritte Potenzreihe besitzt somit den Potenzradius ∞, d.h. sie konvergiert auf ganz Rpunktweise.

Untersucht man die vierte Potenzreihe, so erhalt man

limn→∞

n√|an| = lim

n→∞

(1− 1

n

)n= e−1.

Somit ist R := 1/e−1 = e der Konvergenzradius der vierten Potenzreihe.

Bei der funften Potenzreihe ist der n-te Koeffizient durch

an := 1 +1

2+

1

3+ . . .+

1

n

fur alle n ∈ N gegeben. Fur alle n ∈ N gilt daher die Abschatzung 1 ≤ |an| ≤ n, und somitauch 1 ≤ n

√|an| ≤ n

√n. Das Sandwichtheorem liefert daher

limn→∞

n√|an| = 1.

Somit ist R := 1/1 = 1 der Konvergenzradius der funften Reihe.

2. Ziel in dieser Aufgabe ist es, eine moglichst kleine positive Konstante s > 0 zu finden, so dassn√|an| < s fur alle n ∈ N gilt, wobei an den n-ten Koeffizienten der jeweiligen Potenzreihe

bezeichnet. Es gilt dann r = 1/s. Falls die Folge ( n√|an|)n∈N gegen einen Grenzwert S

konvergiert, kann man fur r den Konvergenzradius 1/S wahlen.

Betrachtet man den n-ten Koeffizienten an der ersten Reihe, so gilt

n√|an| = 2 n

√|cos(n)| ≤ 2

n√

1 = 2.

Somit konvergiert die erste Potenzreihe mindestens auf dem Intervall (−r, r) punktweisegegen eine Grenzfunktion mit r = 1/2.

Fur die Koeffizienten der zweiten Potenzreihe gilt die Abschatzung

4n√

2=

√4n

2≤ n√

4n − 1 ≤ n√|an| ≤ n

√4n + 1 ≤ n

√2 · 4n =

n√

2 · 4

fur alle n ∈ N. Wegen

limn→∞

4n√

2= limn→∞

n√

2 · 4 = 4

folgt nach dem Sandwichtheorem auch

limn→∞

n√|an| = 4.

Man kann also r = 1/4 wahlen, was dem Konvergenzradius der Potenzreihe entspricht.

Fur die dritte Potenzreihe gilt die Identitat

∞∑n=0

x2n =

∞∑k=0

akxk,

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wobei die Koeffizienten durch

ak :=

{0 falls k ungerade,

1 falls k gerade

fur allen n ∈ N gegeben sind. Entsprechend erhalt man die Abschatzung

k√|ak| ≤ k

√1 = 1

fur alle k ∈ N. Somit konvergiert die Potenzreihe mindestens auf dem Intervall (−r, r) punkt-weise gegen eine Grenzfunktion, mit r = 1/1 = 1.

Betrachtet man die Koeffizienten der vierten Potenzreihe, so erhalt man

n√|an| = n

√|sin(n) cos(n)| ≤ n

√1 = 1.

Man kann also r = 1/1 = 1 wahlen.

3. Da die Potenzreihen der Exponentialfunktion, des Sinus Hyperbolicus und des Cosinus Hy-perbolicus auf ganz R konvergieren, gilt fur alle x ∈ R die Identitat

ex =

∞∑n=0

xn

n!=

∞∑k=0

(x2k

(2k)!+

x2k+1

(2k + 1)!

)=

∞∑k=0

x2k

(2k)!+

∞∑`=1

x2`+1

(2`+ 1)!= cosh(x) + sinh(x).

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