CAS Befehlsliste TG Abitur

1 Version 1.3, 2012, D. Lhning

TI-200 Befehlsbersicht

1 Grundlagen...................................................................................................................................................... 2 1.1 CAS-Einstellungen .................................................................................................................................. 2 1.2 Hinweise zur Eingabe im Hauptfenster................................................................................................... 2

1.2.1 Sonderzeichen ................................................................................................................................. 3 1.2.2 Editieren der Eingabezeile .............................................................................................................. 3

1.3 Eingabe hufig verwendeter Funktionen ................................................................................................ 4 1.3.1 Wurzelfunktionen............................................................................................................................ 4 1.3.2 Logarithmusfunktionen ................................................................................................................... 4 1.3.3 Trigonometrische Funktionen ......................................................................................................... 4 1.3.4 Weitere Funktionen ......................................................................................................................... 4

1.4 Terme und Gleichungen .......................................................................................................................... 5 1.4.1 Termumformungen ......................................................................................................................... 5 1.4.2 Gleichungen .................................................................................................................................... 5 1.4.3 Gleichungssysteme.......................................................................................................................... 5

2 Analysis........................................................................................................................................................... 6 2.1 Definition von Funktionen und Funktionenscharen ................................................................................ 6

2.1.1 Funktionen ...................................................................................................................................... 6 2.1.2 Abschnittsweise definierte Funktionen ........................................................................................... 6 2.1.3 Funktionenscharen .......................................................................................................................... 7 2.1.4 Funktionsanpassung mittels Regression.......................................................................................... 7

2.2 Funktionsuntersuchungen ....................................................................................................................... 8 2.2.1 Nullstellen ....................................................................................................................................... 8 2.2.2 Ableitungsfunktionen ...................................................................................................................... 8

2.3 Integralrechnung..................................................................................................................................... 9 2.3.1 Berechnung von Integralen ............................................................................................................. 9 2.3.2 Stammfunktionen ............................................................................................................................ 9

2.4 Grenzwerte ............................................................................................................................................ 10 3 Lineare Algebra............................................................................................................................................. 10

3.1 Vektoren ................................................................................................................................................ 10 3.2 Matrizen ................................................................................................................................................ 11

3.2.1 Eingabe von Matrizen im Hauptbildschirm .................................................................................. 11 3.2.2 Eingabe von Matrizen im Data/Matrix-Editor .............................................................................. 12 3.2.3 Matrixoperationen ......................................................................................................................... 12 3.2.4 Lineare Gleichungssysteme in Matrixform ................................................................................... 13

4 Stochastik ...................................................................................................................................................... 13 4.1 Kombinatorik ........................................................................................................................................ 13 4.2 Wahrscheinlichkeitsverteilungen .......................................................................................................... 13

4.2.1 Binomialverteilung........................................................................................................................ 13 4.2.2 Normalverteilung .......................................................................................................................... 14

5 Problembehebung.......................................................................................................................................... 15 5.1 Fehlermeldungen und mgliche Ursachen............................................................................................ 15

5.1.1 Argument Error ............................................................................................................................. 15 5.1.2 Dimensionsfehler (Dimension, Dimension Mismatch) ................................................................. 15 5.1.3 Domain Error ................................................................................................................................ 16 5.1.4 Unvollstndige Gleichungen ......................................................................................................... 16 5.1.5 Fehlerhafte Verwendung von Namen............................................................................................ 16 5.1.6 Verwendung bereits definierter Variablen .................................................................................... 16 5.1.7 Verwendung gelschter Variablen ................................................................................................ 17 5.1.8 Syntaxfehler .................................................................................................................................. 17

5.2 Eingabefehler ........................................................................................................................................ 18 5.2.1 Klammerfehler .............................................................................................................................. 18 5.2.2 Auswertungsfehler ........................................................................................................................ 18

5.3 Abbruch von Berechnungen .................................................................................................................. 18 Befehlsreferenz ..................................................................................................................................................... 19 Index ..................................................................................................................................................................... 20


1 Grundlagen 1.1 CAS-Einstellungen Mit der Taste [MODE] wird das Einstellungsmen des CAS aufgerufen, das aus drei Seiten besteht, die mit [F1], [F2] und [F3] angezeigt werden. Alternativ kann man mit den Cursortasten [] und [] durch die Liste der Ein-stellungen scrollen. Zu den Einstellungen, die in einigen Situationen verndert werden mssen, gehren: Graph Umschaltung des Y-Editors zwischen Funktionen (1:FUNCTION) und Folgen (4:SEQUENCE) Display Digits Einstellung der Anzahl von Stellen, die im Ergebnis angezeigt werden Angle Umschaltung zwischen Winkelangaben im Bogenma (1:RADIAN) oder Gradma (2:DEGREE) Exact/Approx Umschaltung zwischen den mglichen Einstellungen fr die Ergebnisausgabe (Standardein-

stellung ist 1:AUTO) In dieser Befehlsbersicht wird als Spracheinstellung Englisch (Language 1:ENGLISH) vorausgesetzt. Vernder-te Einstellungen werden mit [ENTER] gespeichert. Mit [ESC] verlsst man das Men, ohne die Einstellungen zu speichern.

Eine weitere wichtige Einstellung kann man im Format-Men des Graph-Bildschirms vornehmen, das man im Graph-Bildschirm mit der Tastenkombination [F1][9] aufruft. Ist die Funktion Discontinuity Detection abge-schaltet, dann werden Graphen mit Sprung- oder Polstellen nicht korrekt gezeichnet. Daher sollte man diese Funktion einschalten (ON).

Die folgende Abbildung zeigt den Graphen von 1/(x1) links ohne und rechts mit eingeschalteter Discontinuity Detection.

1.2 Hinweise zur Eingabe im Hauptfenster Fr die in den folgenden Abschnitten beschriebenen Befehle stehen hufig die folgenden Eingabemglichkeiten zur Verfgung:

Eingabe ber die QWERTY-Tastatur des TI-200, Eingabe mit Hilfe einzelner Sondertasten oder Tastenkombinationen Auswahl aus Mens

So kann man den solve-Befehl ber die Tastatur eingeben oder mit der Tastenkombination [F2][1] bzw. [F2][ENTER] aus dem Algebra-Men auswhlen. In vielen Fllen ist die Tastenkombination krzer als die direkte Eingabe des Befehls. Es gibt auch Ausnahmen, so z.B. beim rref-Befehl mit der Tastenkombination [2nd][5][4][4]. Es hngt aber vor allem von den eigenen Vorlieben und Gewohnheiten ab, welche der Mglich-keiten man nutzt.


1.2.1 Sonderzeichen Die Tastenbelegung, die mit Hilfe der Taste [2nd] zu erreichen ist, ist auf dem Tastenfeld des TI-200 in blau aufgedruckt. Einige Sonderzeichen sind jedoch auch mit Hilfe der Taste [] zu erreichen. In diesen Fllen ist die Tastenbelegung leider nicht immer angegeben. Fr drei hufig gebrauchte Zeichen sind daher nachfolgend die Tastenkombinationen angegeben. [] [=] [] [0] alternativ: = [2nd] [.] [=] Griechische Buchstaben (z.B. fr den Erwartungswert einer Zufallsgre) werden ber die Tastenkombination [][G][Buchstabe] eingegeben. Welche Buchstabentaste nach der Taste [G] gedrckt werden muss, ist der folgen-den bersicht (Quelle: pdf-Anleitung des TI-200) zu entnehmen.

Die Kreiszahl pi erhlt man schneller ber die Tastenkombination [2nd][^]. Die Eulersche Zahl e kann man mit Hilfe der Tastenkombination [2nd][LN] eingeben. Entweder vervollstndigt man die Eingabe zu e^(1) oder man lscht die Zeichen ^(. Die Taste [E] kann hier nicht verwendet werden!

1.2.2 Editieren der Eingabezeile In der Eingabezeile des Hauptfensters stehen Funktionen zur Verfgung, die man in hnlicher Form vom PC kennt. Bei gehaltener Umschalttaste [] kann man mit den Cursortasten [] und [] einen Teil der Eingabezeile markieren. Bei Verwendung der Cursortasten [] und [] wird alles zwischen dem Cursor und dem Anfang bzw. dem Ende der Zeile markiert. Den markierten Teil der Eingabezeile kann man dann mit [][X] ausschnei-den, mit [][C] kopieren und mit [][V] an anderer Stelle einfgen. Mit den Tastenkombinationen [2nd][] und [2nd][] bewegt man den Cursor an den Anfang bzw. an das Ende der Eingabezeile. Die Backspace-Taste [] dient zum Lschen des Zeichens links neben dem Cursor, bei gedrckter []-Taste wird dagegen das Zeichen rechts neben dem Cursor gelscht. In Verbindung mit der [2nd]-Taste sorgt die Backspace-Taste hufig fr Verwirrung: Die Tastenkombination [2nd][] schaltet vom Einfge- in den ber-schreibmodus. Im standardmigen Einfgemodus wird der Cursor als senkrechter Strich dargestellt. In diesem Modus kann man an jeder Stelle der Eingabe Zeichen einfgen. Im berschreibmodus, erkennbar am blockfr-migen Cursor, ist das nicht mglich. Befindet sich rechts vom Cursor ein Zeichen, so wird dieses berschrieben. Mit der Tastenkombination [2nd][] schaltet man dann wieder zurck in den Einfgemodus. Die folgende Abbildung zeigt ein Beispiel, in dem eine Null vergessen wurde. Links ist der Einfgemodus aktiv, so dass an der Cursorposition die fehlende Null eingefgt werden kann. Rechts dagegen ist der berschreibmo-dus eingeschaltet. Wenn jetzt die Taste [0] gedrckt wrde, wrde das Komma durch die Null berschrieben.


1.3 Eingabe hufig verwendeter Funktionen

1.3.1 Wurzelfunktionen Fr die Berechnung von Quadratwurzeln steht das bliche Wurzelzeichen (Tastenkombination [2nd][]) zur Verfgung. Fr andere Wurzelfunktionen wird der Befehl root (Tastenkombination [][^] oder [][9]) verwen-det. Alternativ kann auch die Schreibweise mit gebrochenen Exponenten verwendet werden.

1.3.2 Logarithmusfunktionen Der natrliche Logarithmus ln wird ber die Taste [LN] eingegeben. Andere Logarithmen knnen mit Hilfe des log-Befehls (Tastenkombination [][LN] oder [][7]) eingegeben werden, wobei ein oder zwei Parameter angege-ben werden knnen. Bei Eingabe von log mit einem Parameter wird der Zehnerlogarithmus berechnet. Bei zwei Parametern steht der zweite Parameter fr die verwendete Basis.

1.3.3 Trigonometrische Funktionen Bei der Verwendung der Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens muss man beachten, dass diese Funktionen in zwei unterschiedlichen Anwendungszusammenhngen vorkommen. Bei der Berechnung von Winkeln in der Geometrie wird das Gradma verwendet, whrend die auf den reellen Zahlen definierten Funktionen sin(x), cos(x) und tan(x) auf dem Bogenma basieren. Je nach Anwendung muss der TI-200 daher auf Gradma (DE-GREE) oder Bogenma (RADIAN) eingestellt werden. Dazu whlt man im Einstellungsmen (vgl. 1.1) unter Angle den passenden Eintrag aus. Alternativ kann man auch den TI-200 permanent auf Radian eingestellt lassen und bei der Berechnung von Win-keln das Gradzeichen (Tastenkombination [2nd][D]) in die Eingabe aufnehmen.

1.3.4 Weitere Funktionen Die Betragsfunktion f(x)=|x| wird als abs(x) eingegeben, die Signumfunktion f(x)=sgn(x) als sign(x). Bei der Berechnung von sgn(0) wird leider nicht der mathematisch korrekte Wert 0 ausgegeben.


1.4 Terme und Gleichungen

1.4.1 Termumformungen Der Befehl expand (Tastenkombination [F2][3]) dient zum Umwandeln von Produkten und Quotienten in Sum-men. Typische Anwendungen sind das Ausmultiplizieren von Termen sowie die Polynomdivision.

Das Gegenstck dazu ist der Befehl factor (Tastenkombination [F2][2]) zum Faktorisieren von Termen.

1.4.2 Gleichungen Zum Lsen von Gleichungen wird der solve-Befehl (Tastenkombination [F2][1]) verwendet. Als Parameter wird zuerst die Gleichung und danach die Variable angegeben, nach der die Gleichung aufgelst werden soll. Der solve-Befehl kann auch auf Gleichungen mit Funktionen, Vektoren und Matrizen angewendet werden.

Es ist mglich, Bedingungen fr die Lsung vorzugeben. Dazu wird die Bedingung nach einem senkrechten Strich (Tastenkombination [2nd][K]) im Anschluss an den solve-Befehl angegeben. Die Lsungsmenge wird dann entsprechend eingeschrnkt, wie an dem Beispiel in der folgenden Abbildung zu sehen ist.

1.4.3 Gleichungssysteme Der solve-Befehl wird auch zum Lsen von Gleichungssystemen verwendet. Die einzelnen Gleichungen des Gleichungssystems werden in diesem Fall mit and verknpft eingegeben. Dabei muss vor und nach jedem and ein Leerzeichen eingegeben werden!Statt einer Variablen sollen im Regelfall alle auftretenden Variablen be-stimmt werden. Dazu gibt man die Variablen durch Komma getrennt in Mengenklammern an. Um bei umfang-reichen Gleichungen die Lnge des Befehls auf ein bersichtliches Ma zu beschrnken, kann man die Glei-chungen auch jeweils unter eigenem Namen speichern und im solve-Befehl nur die Namen der Gleichungen mit and verknpfen.


2 Analysis 2.1 Definition von Funktionen und Funktionenscharen

2.1.1 Funktionen Funktionen knnen definiert werden, indem man den Funktionsterm eingibt und ihm dann mit Hilfe der Taste [STO] einen Namen zuweist. Dabei muss in Klammern die Variable angegeben werden, von der die Funktion abhngig ist. Danach kann man die Funktion ber den zugewiesenen Namen ansprechen und so z.B. Funktions-werte berechnen. Im folgenden Beispiel wurde die Funktion f(x) = x3 2x2 definiert und der Funktionswert von f an den Stellen 1; 2 und 3a berechnet. Es lassen sich auch Funktionen definieren, die von anderen Variablen als x abhngen. Fr einen zeitabhngigen Wachstumsprozess knnte z.B. die Funktion w(t) = 100 2,5 t definiert werden.

Auch im Y-Editor knnen Funktionen definiert werden, allerdings ist man in der Wahl der Funktionsnamen und der Variablen eingeschrnkt. Alle im Y-Editor verwendeten Funktionen sind von x abhngig. Als Namen sind y1 bis y99 vorgegeben. Wie in der folgenden Abbildung bei y3 zu sehen ist, kann man einer Funktion im Y-Editor auch eine vorher im Hauptbildschirm definierte Funktion zuordnen. Umgekehrt kann man die im Y-Editor definierten Funktionen im Hauptbildschirm ansprechen.

2.1.2 Abschnittsweise definierte Funktionen Abschnittsweise definierte Funktionen werden in unterschiedlichen Intervallen durch unterschiedliche Funkti-onsterme bestimmt. Fr die Betragsfunktion gilt z.B.


Mehrere when-Befehle knnen ineinander verschachtelt werden, um Definitionen mit mehr als zwei Intervallen zu realisieren. Die folgende Abbildung zeigt die Definition der Signum-Funktion, bei der drei unterschiedliche Terme auftreten.

Die Bedingungen knnen auch aus mehreren mit and bzw. or verknpften Teilbedingungen bestehen. Im fol-genden Beispiel wird das an einer Funktion demonstriert, deren Graph im Intervall [5; 5] einen Halbkreis mit Radius 5 um den Ursprung beschreibt und sonst auf der x-Achse verluft.

2.1.3 Funktionenscharen Eine Funktionenschar definiert man, indem man eine Funktion erstellt, die von zwei Variablen abhngig ist. Im folgenden Beispiel wird die Funktionenschar fk(x)=kx2+3x als f(x, k) definiert. Ersetzt man k durch eine Zahl, so erhlt man die Funktionsgleichung einer Funktion der Schar. Zur Berechnung von Funktionswerten dieser Funk-tion ersetzt man zustzlich x durch die Stelle, an der der Funktionswert berechnet werden soll.

2.1.4 Funktionsanpassung mittels Regression Gegebenen Datenpunkten kann man mit Hilfe des Regressionsbefehls des TI-200 einen mglichst guten Funkti-onsgraphen anpassen. Dazu gibt man die Datenpunkte im Data/Matrix-Editor ein. Nach dem Aufruf des Editors ber die Tastenkombination [APPS][6][3] wird unter Type die Art der Eingabe eingestellt (Data) und unter Variable ein Name fr die Tabelle angegeben. Nach Drcken der Taste [ENTER] gelangt man in den Editor, in dem man die Datenwerte eingibt (hier x-Werte in Spalte 1, y-Werte in Spalte 2).


Nach der Eingabe der Datenwerte kann man die Regression mit [F5] starten. In dem daraufhin angezeigten Men muss der Typ der Regression (hier lineare Regression) angegeben werden. In den Feldern x und y werden die entsprechenden Spalten mit Daten eingetragen (hier c1 bzw. c2). Nach Drcken von [ENTER] liefert der TI-200 die Regressionsgerade.

Bei der Auswahl des Regressionstyps kann man auer der linearen Regression noch andere Typen whlen, z.B. quadratische (QuadReg), kubische (CubicReg), exponentielle (ExpReg) oder logistische Regression (Logistic).

2.2 Funktionsuntersuchungen In diesem Abschnitt wird vorausgesetzt, dass die untersuchte Funktion mit [STO] definiert wurde.

2.2.1 Nullstellen Die Nullstellen einer Funktion f bestimmt man, indem man die Gleichung f(x)=0 mit Hilfe des solve-Befehls lst. Der TI-200 kennt aber auch einen speziellen Befehl zur Nullstellenberechnung (zeros, Tastenkombination [F2][4]).

2.2.2 Ableitungsfunktionen Die Ableitung einer Funktion bestimmt man mit dem Befehl d (fr differenzieren), der nur mit der Tastenkombi-nation [2nd][8] oder alternativ ber das Men mit [F3][1] eingegeben wird. Die Taste [D] kann fr die Ableitung nicht verwendet werden! Nach dem Funktionsterm ist die Variable anzugeben, nach der differenziert werden soll. Zur Bestimmung hherer Ableitungen wird als dritter Parameter die Nummer der gewnschten Ableitung ange-geben. In der folgenden Abbildung sieht man in der Eingabezeile den Befehl zur Bestimmung der dritten Ablei-tung von f.

Es ist sinnvoll, die so ermittelten Ableitungsfunktionen unter einem eigenen Namen zu speichern. Es hat sich bewhrt, die erste Ableitung einer Funktion f als f1, die zweite Ableitung als f2 usw. zu speichern. Wenn man


nicht den Term der Ableitungsfunktion, sondern den Ableitungsbefehl unter diesem Namen speichert, dann stehen nach einer Neudefinition von f sofort die Ableitungen zur Verfgung:

Die Angabe der Variablen, nach der abgeleitet werden soll, ist vor allem bei Funktionenscharen von Bedeutung. Ein Beispiel ist nachfolgend zu sehen. Je nachdem, ob nach x oder nach k abgeleitet wird, erhlt man unter-schiedliche Ableitungen von g(x, k).

2.3 Integralrechnung

2.3.1 Berechnung von Integralen Integrale werden mit dem entsprechenden Symbol ( , Tastenkombination [2nd][7] oder alternativ ber das Men mit [F3][2]) eingegeben. Es werden vier Parameter angegeben: Funktionsterm, Integrationsvariable, untere Gren-ze und obere Grenze.

Der Integralbefehl kann auch dazu verwendet werden, die Integralfunktion Ja einer Funktion f zur unteren Gren-ze a zu definieren. Im folgenden Beispiel wird die Integralfunktion von f(x)=sin(x2) zur unteren Grenze 1 defi-niert.

2.3.2 Stammfunktionen Zur Bestimmung einer Stammfunktion verwendet man ebenfalls den Integralbefehl, lsst aber die untere und obere Grenze bei der Eingabe weg. Das Ergebnis ist die einfachste Stammfunktion, die brigen erhlt man ggf. durch Addition einer Konstante c.


2.4 Grenzwerte Zur Bestimmung von Grenzwerten steht der Befehl limit (Tastenkombination [F3][3]) zur Verfgung. Zunchst wird der Term angegeben, fr den der Grenzwert berechnet werden soll. Danach wird die Variable angegeben, die gegen einen bestimmten Wert streben soll, gefolgt von diesem Wert. Als Term kann natrlich auch der Name einer bereits definierten Funktion verwendet werden.

Fr reelle Werte wird der Grenzwert sowohl von rechts als auch von links ermittelt. Nur bei bereinstim-mung beider Grenzwerte wird ein Ergebnis ausgegeben. Stimmen die beiden Grenzwerte nicht berein, lautet das Ergebnis undef. Die einseitigen Grenzwerte knnen in solchen Fllen durchaus existieren. Man erhlt sie, indem man den Befehl um die Angabe 1 (fr den Grenzwert von rechts) bzw. 1 (fr den Grenzwert von links) erweitert. In der folgenden Abbildung ist das am Beispiel der Signum-Funktion zu sehen.

3 Lineare Algebra 3.1 Vektoren Vektoren knnen als Zeilen- oder Spaltenvektoren eingegeben werden. Die Koordinaten des Vektors werden in eckigen Klammern eingegeben, wobei sie bei einem Zeilenvektor durch Komma, bei Spaltenvektoren durch Semikolon getrennt werden. Die Art der Eingabe wirkt sich auf die Interpretation des Vektors als n1- oder als 1n-Matrix aus, was auch an der Darstellung des Vektors zu erkennen ist. In der folgenden Abbildung wurde der gleiche Vektor links als Zeilenvektor, rechts als Spaltenvektor eingegeben.

Fr die in der Vektorrechnung blichen Fragestellungen knnen prinzipiell beide Darstellungen fr Vektoren verwendet werden. Da das Komma (Taste [,]) bequemer eingegeben werden kann als das Semikolon (Tasten-kombination [2nd][M]), ist die Verwendung von Zeilenvektoren komfortabler. Hat man einen Vektor z.B. als Zeilenvektor eingegeben und bentigt ihn spter doch einmal als Spaltenvektor, dann kann man den Vektor mit dem Operator T in die andere Form transponieren. Diesen Operator findet man entweder im Untermen Matrix


des Math-Mens (Tastenkombination [2nd][5][4][1]) oder mit Hilfe der Katalogfunktion des TI-200 (Tastenkom-bination [2nd][2][T][ENTER]). In der Abbildung ist auerdem zu erkennen, dass Vektoren mit der Taste [STO] unter einem Namen gespeichert und dann ber diesen Namen angesprochen werden knnen. Fr Vektoren sind folgende Operationen definiert: Vielfachenbildung (Multiplikation mit einer reellen Zahl, mit negativem Vorzeichen auch zur Bildung des Gegenvektors), Addition und Subtraktion von Vektoren sowie Be-trag eines Vektors (Befehl norm). Mit Hilfe dieser Operationen kann man auch Geraden und Ebenen definieren.

.

Zur Berechnung des Einheitsvektors zu einem gegebenen Vektor dient der Befehl unitV. Das Skalarprodukt von Vektoren wird mit dem Befehl dotP berechnet. Fr das Vektor- oder Kreuzprodukt kann der Befehl crossP verwendet werden.

Vektorgleichungen knnen mit dem solve-Befehl gelst werden. Im folgenden Beispiel wird ermittelt, welcher Punkt P einer gegebenen Gerade g die x3-Koordinate 500 hat. Wenn die Gerade nach dem Lsen der Gleichung in weiteren Rechnungen verwendet werden soll, dann kann sie unter einem Namen gespeichert werden. Auch in dieser Form kann sie im solve-Befehl verwendet werden (in der rechten Abbildung zu sehen).

3.2 Matrizen

3.2.1 Eingabe von Matrizen im Hauptbildschirm Matrizen werden wie Vektoren in eckigen Klammern eingegeben. Die Werte einer Zeile werden durch Komma getrennt. Die Zeilen werden entweder wie bei einem Spaltenvektor durch Semikolon getrennt eingegeben oder als Zeilenvektoren jeweils in eckige Klammern gesetzt. Die folgende Abbildung zeigt beide Eingabeformen.

Intern verwendet der TI-200 die Darstellung der Zeilen als Zeilenvektoren. Matrizen knnen mit der Taste [STO] unter einem Namen gespeichert und dann ber diesen Namen angesprochen werden. Fr die nn-Einheitsmatrix gibt es den Befehl identity(n).


3.2.2 Eingabe von Matrizen im Data/Matrix-Editor Bei groen Matrizen ist es aus Grnden der bersichtlichkeit ratsam, die Eingabe im Data/Matrix-Editor vorzu-nehmen. Nach dem Aufruf des Editors ber die Tastenkombination [APPS][6][3] wird unter Type die Art der Ein-gabe eingestellt (Matrix). Die Auswahl eines anderen Ordners als main ist optional. Zwingend erforderlich sind die Eingabe eines Variablennamens, unter dem die eingegebene Matrix gespeichert werden soll, sowie die An-zahl der Zeilen (Row dimension) und Spalten (Col dimension). In der folgenden Abbildung ist die Definition einer Matrix mit zwei Zeilen und drei Spalten zu sehen.

Im Editor sind die Eintrge der Matrix mit Nullen vorbelegt. Nach Eingabe der gewnschten Werte kann man den Editor verlassen (z.B. mit [][Q]). Die eingegebene Matrix steht dann unter dem angegebenen Namen im Hauptbildschirm zur Verfgung.

3.2.3 Matrixoperationen Fr Matrizen sind die Operationen Addition, Subtraktion, Vielfachenbildung (Multiplikation mit einer reellen Zahl) und Matrixmultiplikation definiert.

Matrixpotenzen werden mit dem gleichen Operator (Taste [^]) berechnet wie Potenzen von Zahlen. Die inverse Matrix wird durch Eingabe des Exponenten 1 erzeugt.


Die transponierte Matrix wird mit Hilfe des Operators T bestimmt.

Den Operator findet man im Untermen Matrix des Math-Mens (Tastenkombination [2nd][5][4][1]) oder ber die Katalogfunktion des TI-200 (Tastenkombination [2nd][2][T][ENTER]).

3.2.4 Lineare Gleichungssysteme in Matrixform Schreibt man ein lineares Gleichungssystem als Koeffizientenmatrix, dann kann man die Lsung des Glei-chungssystems durch Anwendung des Befehls rref (Tastenkombination [2nd][5][4][4]) auf die Matrix bestim-men. Dieser Befehl erzeugt die zugehrige Diagonalmatrix, an der die Lsung direkt abgelesen werden kann. Die folgende Abbildung zeigt die Lsung eines linearen Gleichungssystems mit rref und zum Vergleich mit solve.

4 Stochastik 4.1 Kombinatorik Die Fakultt einer natrlichen Zahl wird in der blichen Schreibweise eingegeben. Das Ausrufezeichen ! erhlt man ber die Tastenkombination [2nd][W]. Der Befehl nCr(n,k) dient zur Berechnung von Binomialkoeffizien-ten (n ber k).

4.2 Wahrscheinlichkeitsverteilungen

4.2.1 Binomialverteilung Die Binomialverteilung Bn;p mit den Parametern n und p erhlt man mit dem Befehl binompdf(n,p), die entspre-chende aufsummierte (kumulierte) Binomialverteilung Fn;p mit binomcdf(n,p). In der Ausgabe werden die Wahrscheinlichkeiten P(X=0), P(X=1), ..., P(X=n) bzw. P(X0), P(X1), ..., P(Xn) aufgelistet.


Durch zustzliche Eingabe der Trefferanzahl k kann man die einzelnen Wahrscheinlichkeiten P(X=k)=Bn;p(k) bzw. P(Xk)=Fn;p(k) berechnen.

Der binomcdf-Befehl kann auch zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten P(aXb)=Fn;p(b)Fn;p(a1) benutzt werden. Dazu gibt man nach den Parametern n und p die Grenzen a und b ein. Zu beachten ist die unterschiedli-che Behandlung der unteren Grenze in den beiden nachfolgend gezeigten Berechnungsvarianten!

4.2.2 Normalverteilung Die Dichtefunktion ;(x) der Normalverteilung mit Erwartungswert und Standardabweichung steht mit dem Befehl normpdf(x,,) zur Verfgung. Fr =0 und =1 reicht die Eingabe von normpdf(x).

Das zugehrige Integral b

a

dxx)(; erhlt man ber den Befehl normcdf(a,b,,). Fr =0 und =1 reicht

die Eingabe von normcdf(a,b). Als Grenzen des Intervalls knnen auch und angegeben werden. Umgekehrt kann man mit dem Befehl invNorm(p,,) die Stelle x bestimmen, fr die die Integralfunktion

;(x) den Wert p annimmt:

==x

pdttx )()( ;;


5 Problembehebung 5.1 Fehlermeldungen und mgliche Ursachen

5.1.1 Argument Error Dies ist eine der rgerlichsten Fehlermeldungen, denn sie ist an Allgemeinheit kaum zu bertreffen. In der be-mngelten Eingabe ist ein Fehler in einem der Argumente festgestellt worden. Als Argument bezeichnet man dabei jede der Angaben, die man bei Befehlen in Klammern angeben kann. Leider gibt es keine Auskunft dar-ber, welche der Angaben in einem Befehl fehlerhaft ist und um welche Art von Fehler es sich handelt. In der folgenden Abbildung ist der Fehler im linken Bild durch eine unvollstndige Vektorgleichung entstanden, in der nur die linke Seite der Gleichung angegeben wurde, whrend das Gleichheitszeichen und die rechte Seite fehlten. Warum in dieser Situation nicht der in 5.1.4 beschriebene Fehler angezeigt wird, wei wohl nur TI. Im rechten Bild wurde dagegen das Argument der vorher definierten Funktion f vergessen.

Der Fehler tritt hufig bei Vektorgleichungen auf, wenn eine der Gleichungen des zugehrigen linearen Glei-chungssystems unter allen Umstnden erfllt ist. Im folgenden Beispiel, in dem der Schnittpunkt zweier Geraden berechnet werden soll, ist z.B. die zu den x3-Koordinaten gehrende Gleichung 1=1 stets erfllt. Bei der Eingabe der Vektorgleichung erhlt man die Fehlermeldung Argument Error, unabhngig davon, ob die Vektoren als Spalten- oder Zeilenvektoren eingegeben werden. Das entsprechende LGS lst der TI-200 jedoch wie im zwei-ten Bild gezeigt anstandslos! Eine andere Alternative besteht in diesem Beispiel darin, die x3-Koordinaten aus der Vektorgleichung zu entfernen, da sie zur Lsung nichts beitragen. Die auf zwei Dimensionen reduzierte Vektorgleichung kann der TI-200 ebenfalls lsen.

5.1.2 Dimensionsfehler (Dimension, Dimension Mismatch) Der klassische Fall des Dimensionsfehlers ist die Multiplikation von Matrizen, bei denen die Spaltenanzahl der ersten nicht mit der Zeilenanzahl der zweiten bereinstimmt.

Ein Dimensionsfehler tritt aber auch dann auf, wenn Matrixelemente oder Vektorkoordinaten angesprochen werden, die nicht existieren. Im folgenden Beispiel wird auf das Element m1,3 einer Matrix M zugegriffen, die gar keine dritte Spalte hat. Ein hnlicher Fehler ist im rechten Bild gezeigt. Hier sollen zwei Matrizen addiert werden, deren Format nicht bereinstimmt (mismatch).


5.1.3 Domain Error Domain ist die englische Bezeichnung fr den Definitionsbereich einer Funktion. Wenn also ein Domain Error angezeigt wird, dann liegt ein verwendeter Wert auerhalb des zulssigen Bereichs. Im folgenden Beispiel wur-de als Erfolgswahrscheinlichkeit einer Binomialverteilung der Wert 5 eingegeben. Da eine Wahrscheinlichkeit immer aus dem Intervall [0; 1] sein muss, ist der Wert 5 nicht erlaubt.

5.1.4 Unvollstndige Gleichungen Mit der Fehlermeldung First argument of solve or cSolve must be an equation or inequality weist der TI-200 darauf hin, dass der solve-Befehl als erstes Argument eine Gleichung oder Ungleichung erfordert. Tritt die be-schriebene Fehlermeldung auf, dann sollte man prfen, ob man vielleicht nur eine Seite der Gleichung eingege-ben oder das Gleichheitszeichen vergessen hat. Bei der Eingabe von langen Gleichungen oder Ungleichungen ist das schnell passiert. Vielleicht handelt es sich auch nur um einen Tippfehler (z.B. [M] statt [=] gedrckt).

5.1.5 Fehlerhafte Verwendung von Namen Bei der Verwendung einer greren Anzahl von Namen fr Variablen, Funktionen, Vektoren, Matrizen usw. kann es vorkommen, dass man Namen miteinander verwechselt. Im folgenden Beispiel wurde der Name einer Matrix so verwendet, als ob es sich um den Namen einer Funktion handelt. Das ist natrlich nicht zulssig.

5.1.6 Verwendung bereits definierter Variablen Es gibt einige Variablen, die festgelegte Bedeutungen haben. So sind c1, c2, c3 usw. die Bezeichnungen fr Spalten im Data/Matrix-Editor. Die Verwendung des Variablennamens in anderen Rollen ist daher nicht erlaubt. Daher kann im Zusammenhang mit der Spline-Interpolation oft ein Problem auftreten, weil die Koeffizienten der einzelnen Teilfunktionen oft mit a, b, c und d und der Nummer der jeweiligen Teilfunktion bezeichnet werden. Da z.B. c1 in diesem Fall die Rolle einer Zahl (statt einer Tabellenspalte) bernehmen msste, handelt es sich um eine ungltige Bezugnahme auf diese Variable. Bei der Definition der Funktionen und ihrer Ableitungen meldet der TI-200 aber noch kein Problem. Erst nach der Eingabe eines des solve-Befehls oder bei der Berech-nung eines Funktionswertes erscheint eine entsprechende Fehlermeldung.

hnliche Probleme knnen sich auch bei Verwendung solcher Variablen in einem LGS ergeben. Glcklicher-weise ist leicht Abhilfe zu schaffen: Statt c1, c2 usw. verwendet man einfach andere Bezeichnungen wie z.B. cc1, cc2 usw.


Natrlich kann man unter dem Namen einer fest definierten Variablen auch keine Objekte wie Funktionen, Mat-rizen, Vektoren usw. speichern. Darauf deutet die Fehlermeldung im folgenden Bild hin.

Die Fehlermeldung Non-algebraic variable in expression deutet auf eine Eingabe, in der eine Variable ver-wendet wird, mit der nicht gerechnet werden kann. Hufig ist die Ursache eine Variable, unter der z.B. die Ta-belle mit Daten fr eine Regression gespeichert worden sind. Wird die gleiche Variable dann in Termen verwen-det, msste die Tabelle in den Term eingesetzt werden, was natrlich nicht mglich ist. Mit der Tastenkombina-tion [2nd][-] kann man die Var-Link-Liste aufrufen, in der die definierten Variablen mit ihrem Typ aufgelistet sind. Im Beispiel erkennt man, dass die Variable k tatschlich Daten enthlt und somit als Faktor in der Parame-terdarstellung einer Geraden nicht verwendet werden kann. In solchen Situationen verwendet man dann eine andere Variable oder man lscht die Variable mit dem DelVar-Befehl.

5.1.7 Verwendung gelschter Variablen Auch die Verwendung von Variablen, die bereits gelscht wurden, kann zu Problemen fhren. Im folgenden Beispiel war ursprnglich eine Funktion f definiert. Unter der Bezeichnung f1 wurde die Ableitung von f gespei-chert. Nach dem Lschen von f kam es zu den folgenden Fehlermeldungen. Die Ableitung von f an der Stelle 3 kann nicht gebildet werden (linkes Bild), da der Zahlenwert nicht in die Definition der Ableitungsfunktion f1 eingesetzt werden kann. Die Ausgabe der Definition der Ableitung ist dagegen immer noch mglich (mittleres Bild). Der Fehler Undefined variable im Graphenfenster (rechtes Bild) tritt auf, weil im y-Editor y1=f(x) definiert wurde. Da f jedoch nicht mehr vorhanden ist, kann auch y1 nicht mehr angezeigt werden.

5.1.8 Syntaxfehler Als Syntaxfehler werden alle Fehler bezeichnet, die dadurch entstehen, dass die Eingabe gegen die korrekte Schreibweise verstt. Dazu gehrt z.B. eine fehlende Klammer, die Verwendung des falschen Minuszeichens oder ein fehlender Eintrag in einer Matrix. Whrend im ersten Fall die Fehlermeldung das Problem genau be-schreibt, wird man im zweiten und dritten Fall lapidar mit der Meldung Syntax abgespeist. Immerhin steht der Cursor in der Eingabezeile an der Stelle, an der der Fehler aufgefallen ist. Von dieser Stelle ausgehend sollte man die Eingabe in Richtung Zeilenanfang genau untersuchen. Bei langen Eingaben (z.B. Gleichungssysteme, Vektorgleichungen oder Matrizendefinitionen) kann das recht zeitaufwendig sein. In solchen Fllen ist zu ber-legen, ob man den Befehl nicht lieber neu eingibt.


5.2 Eingabefehler Eine Vielzahl an Fehlermglichkeiten bietet sich bereits bei der Eingabe von Befehlen. Man sollte sich z.B. immer der Unterschiede zwischen der mathematischen und der auf dem CAS verwendeten Schreibweise bewusst sein. Eine gewisse Kontrolle ermglicht die vom TI-200 ausgegebene Wiederholung des Befehls links vom Ergebnis. Man sollte immer prfen, ob diese Ausgabe mit dem bereinstimmt, was man gemeint hat.

5.2.1 Klammerfehler Nicht oder falsch gesetzte Klammern sind eine hufige Fehlerquelle. Im folgenden Beispiel sollte der Bruch

cba

736 +

eingegeben werden. Dabei wurde jedoch vergessen, dass der Bruchstrich in der Mathematik wie eine Klammer um Zhler bzw. Nenner wirkt. Da bei der Eingabe nur das Zeichen / zur Verfgung steht, muss man bei der Eingabe oft auch an Stellen Klammern setzen, an denen der Bruch in mathematischer Schreibweise ohne Klammern auskommt. Wie das zweite Bild zeigt, reicht eine Klammer um den Zhler nicht aus, denn der TI-200 interpretiert die Eingabe korrekt nach der Regel von links nach rechts, d.h. es wird zunchst durch 7 dividiert und das Ergebnis dann mit dem Faktor c multipliziert. Um von dieser Reihenfolge abzuweichen, muss auch um den Nennerterm eine Klammer gesetzt werden. Erst dann stimmt die Ausgabe des TI-200 im Hauptfenster mit dem gewnschten Bruch berein.

Im nchsten Beispiel soll das Quadrat von 4 berechnet werden. Auch hier wurde jedoch zunchst die bliche Vorrangregelung nicht beachtet, so dass das Quadrat von 4 mit einem negativen Vorzeichen versehen wurde. Nach dem Setzen von Klammern um 4 wird das korrekte Ergebnis ausgegeben.

5.2.2 Auswertungsfehler Es gibt eine Reihe von Operationen, die der TI-200 ausfhrt, obwohl sie nach unseren Mastben zumindest bezglich der Schreibweise nicht ganz einwandfrei sind. Diese Fehler sind hier unter der Bezeichnung Auswer-tungsfehler zusammengefasst. Interessant ist z.B. der folgende Fehler bei der Berechnung der Differenz von 17 und 8. Leider wurde flschlicherweise das Vorzeichen-Minus statt des Rechenzeichen-Minus eingegeben. Eine solche Schreibweise mit zwei Zeichen unmittelbar nacheinander sollte eigentlich nicht ausgewertet werden. Der TI-200 interpretiert die Eingabe jedoch als 17(8) und liefert als Ergebnis 136.

Ebenfalls fragwrdig ist die Eingabe im rechten Beispiel, denn eigentlich sollte man eine Zahl und eine Matrix nicht addieren knnen. Whrend die Addition fr eine Zahl und einen Vektor tatschlich zu einem Dimensions-fehler fhrt, wird die Addition einer Zahl und einer Matrix jedoch ausgefhrt, indem die Zahl zu jedem Element der Matrix addiert wird.

5.3 Abbruch von Berechnungen Zuletzt noch ein hilfreicher Tipp: Ein Druck auf die [ON]-Taste beendet die aktuell laufende Berechnung oder das Zeichnen von Graphen.


Befehlsreferenz Hufig verwendete Funktionen Betrag von n abs(n)

Fakultt von n n!

Quadratwurzel Eingabe mit [2nd][] n-te Wurzel root (Radikand, n)

Natrlicher Logarithmus Eingabe mit [LN] Zehnerlogarithmus von n log(n)

Logarithmus von n zur Basis b log(n,b)

Trigonometrische Funktionen (sin, cos, tan): Einstellung DEGREE bei Betrachtung von Winkeln, RADIAN bei Betrachtung von sin, cos, tan als Funktionen

Gleichungen Auflsen einer Gleichung nach einer Variablen solve(x^2=5, x)

Lsen eines Gleichungssystems solve(x^2+y=5 and x+y=3,{x,y})

Lsen eines Gl.systems in Form einer Matrix M rref(m)

Analysis Definieren von Funktionen x^2+3x-4f(x) t^2+3t-4f(t)

Definieren von Funktionenscharen x^2+a*xf(x,a)

Nullstellen zeros(f(x),x) zeros(x^3,x) solve(f(x)=0,x) solve(x^3=0,x)

Ableitung (Eingabe mit [2nd][8]) d(f(x),x) d(f(x,a),x) d(f(t),t)

n-te Ableitung: zustzlicher Parameter n d(f(x),x,n)

Integral (Eingabe mit [2nd][7]) (f(x),x,2,5) (f(t),t,2,5) Stammfunktion (f(x),x)

Grenzwert (Eingabe mit [F3][3]) limit(f(x),x,5)

Einseitiger Grenzwert von rechts bzw. links limit(f(x),x,5,1) limit(f(x),x,5,-1)

Lineare Algebra Vektoren Eingabe als Zeilenvektor [1,2,3]v Eingabe als Spaltenvektor [1;2;3]v Betrag eines Vektors norm(v) norm([1,2,3])

Einheitsvektor zu einem Vektor unitV(v)

Skalarprodukt dotP(v1,v2)

Vektor- oder Kreuzprodukt crossP(v1,v2)

Matrizen (Zeilen durch Semikolon getrennt oder als Zeilenvektoren) [1,2;3,4]m [[1,2][3,4]]m

Einheitsmatrix der Form nn identity(n)

Matrixpotenzen m^3

Inverse Matrix m^-1

Stochastik Binomialkoeffizient (n ber k) ncr(n,k)

Fr die Verteilungsfunktionen muss die Flash-App Stats/List-Editor installiert sein (wird nach Drcken von [APPS][ENTER] angezeigt, falls vorhanden). Binomialverteilung Bn;p(k): binompdf(n,p,k) Fn;p(k): binomcdf(n,p,k) Fn;p(b)Fn;p(a): binomcdf(n,p,a+1,b) Normalverteilung Dichtefunktion ;(x): normpdf(x,,)

Integral von ; in den Grenzen von a bis b: normcdf(a,b,,) Stelle x, fr die die Integralfunktion ;(x) den Wert p annimmt: invNorm(p,,)


Index Abbruch von Berechnungen 18 Ableitung 8 Angle 2, 4 Ausmultiplizieren 5 ausschneiden 3

Backspace 3 Betrag 5

eines Vektors 11 binomcdf 14 Binomialkoeffizient 14 Binomialverteilung 14 binompdf 14 Bogenma 2, 4

crossP 11 Cursor

blockfrmig 3 strichfrmig 3

Data/Matrix-Editor Dateneingabe 8 Matrix 12

DEGREE 2, 4 DelVar 18 differenzieren 8 Discontinuity Detection 2 Display Digits 2 dotP 11

Einfgemodus 3 einfgen 3 Einheitsmatrix 12 Einheitsvektor 11 Einstellungen 2 Eulersche Zahl 3 Exact/Approx 2

Faktorisieren 5 Fakultt 14 Fehler

Argument Error 16 Argument must be variable name 18 Dimension 16 Dimension Mismatch 16 Domain Error 17 First argument of solve... 17 Invalid variable reference 17 Name is not a function... 17 Non-algebraic variable in expression 18 Syntax 18 Undefined variable 18 Variable ... is locked,... 18

Funktionen abschnittsweise definierte 7 definieren 6 im Y-Editor 6

Funktionenschar 7 Funktionsanpassung 8

Funktionswerte 6

Gradma 2, 4 Graph 2 Grenzwert 10 Griechische Buchstaben 3

identity 12 Integral 9 Integralfunktion 9 inverse Matrix 13 invNorm 15

kopieren 3 Kosinus 4 Kreuzprodukt 11

Limes 10 limit 10 Logarithmus 4 Lschen

Variable 18 von Zeichen 3

markieren 3 Matrix 12

inverse 13 Operationen 12

Matrixpotenz 13 MODE 2

n ber k 14 nCr 14 norm 11 Normalverteilung 15

Dichtefunktion 15 normcdf 15 normpdf 15 Nullstelle 8

P(aXb) 14 P(X=k) 14 P(Xk) 14

Quadratwurzel 4

RADIAN 2, 4 Regression 8 rref 13

Signum 5 Sinus 4 Skalarprodukt 11 solve

Bedingungen 5 Gleichungen 5 Gleichungssysteme 6 Vektorgleichungen 11

Sonderzeichen 3


Spracheinstellung 2 Stammfunktion 10

Tangens 4 transponieren

Matrix 13 Vektor 11

berschreibmodus 3 unitV 11

Vektor 10 Operationen 11 Spaltenvektor 10 Zeilenvektor 10

Vektorprodukt 11

when 7 Wurzel 4

zeros 8

4 3 3 3 e 3 pi 3

CAS Befehlsliste TG Abitur

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