CAS-Rechner in der Sek. 1 - Mathematik: Mathematik...

CAS-Rechner in der Sek. 1

Unterrichtsbeispiele aus Klasse 9

A. Baeger, Münstermaifeld 13.2.06

Erste Begegnung mit dem Classpad

Nach dem Reset muss zunächst die Darstellung initialisiert werden.

● Touchscreen

● Kontrast


Sprache

Tastatur

Schriftsatz


Funktionseinheiten

Hauptarbeitsbereich

Iconleiste

Schalter für Softwaretastatur

VorzeichenEXE führt den Befehl aus

Scrollbalken

Cursorwippe

Touchscreen


Grundeinstellung des ClasspadZurücksetzen über O Einstellungen Setup Grundformat.

Die Einstellungen sollten aussehen wie rechts in der Abbildung. Weitere Einstellungen sind nicht erforderlich.

Der Rechner ist nun so eingestellt, dass alle Berechnungen exakt erfolgen, d.h. als gekürzter Bruch ausgegeben werden.


Softwaretastatur

k-Taste


Eingabe von DatenEingabe über Tastatur 2*(7+6)/(12-8)E

Eingabe mit dem Stift: c*(h+i)/(bc-i)w

oderc*Nh+gcbc-iw


Korrektur von falschen Eingaben

Korrekturmöglichkeiten wie beim PC:c, K

oder virtuelle Tastatur

oder drag and drop


Umgehen mit Termen

Eingabe des Terms i.d.R. über die virtuelle Tastatur.

Das Zusammenfassen erfolgt automatisch.


Befehle zur Vereinfachung von Termen finden sich in den Menüs:(3x+5)(4-2x)(2x-1) soll ausmultipliziert und vereinfacht werden:

expand(Term)

oder (wenn der Term bereits eingegeben und markiert ist)

Interaktiv-Menü

Analoges Vorgehen z.B. beim Faktorisieren:Ist 243 – 1 eine Primzahl?


Lösen von Gleichungen


Graphen und WertetabellenEs soll der Graph der Zuordnung mit dem Bruchterm im Intervall [-3; 7] gezeichnet werden. Außerdem ist eine Wertetabelle zu erstellen.

Um in das Graphikmodul zu gelangen, tippt man zuerst mit dem Stift auf m in der Ikonleiste, und dann im Hauptmenü auf W.

Der ClassPad sieht dann aus wie auf dem Bild rechts.


Ende Teil 1


1. Beispiel: Der GeradenbausteinBekannt war die Bausteintechnik aus Klasse 8:

dreieck(g,h) =0,5g*h z.B. dreieck(10,3)trapez (a,c,h) = 0,5(a+c)*h trapez(2,8,5)

Der Geradenbaustein diente nun dazu, das vorhandene Grund-wissen über lineare Funktionen zu wiederholen und zu vertiefen. Auch neue Begriffe wie Geradenbüschel, Parallenschar, Schnitt-punkte konnten die Schüler selbst entdecken.

Aufgabe:Definiert in eurem Classpad den neuen Baustein gerade(x, m, n) = m • x + n.Untersucht die Funktionsweise des Bausteins und fasst die Ergebnisse übersichtlich zusammen.


etwas weniger offen:Definiert in eurem Classpad den neuen Baustein

gerade(x, m, n) = m • x + n.Untersucht die Funktionsweise des Bausteins. Führt dazu die folgenden Eingaben aus, notiert und erläutert die Ergebnisse.

Aufruf des Bausteins Ergebnisse, BeschreibungenGerade(x,2,3)

Gerade(x,2,L)Gerade(3,2,-1)Gerade(L,-1,3)Gerade(4,3,-2)=10Gerade(3,-3,2)=2solve(Gerade(x,-2,4)=0, x)solve(Gerade(x,-2,4)=6, x)solve(Gerade(1,m,4) = 2, m)

define y1(x) = Gerade(x,2,3){-2, -1, 1, 2, 3}W LGerade(x, L,3)


Beispiele von Schülerlösungen

Aufruf desBausteins

Ergebnisse, Beschreibungen

Gerade(x,2,3) Der Ausdruck 2x + 3 erscheint.define y1(x) =Gerade(x,2,3)

Der Graph der linearen Funktion y1 = 2x + 3wird gezeichnet.

{-2, -1, 1, 2, 3}W LGerade(x, L,3)

Ausgegeben werden die Terme einesGeradenbüschels durch n=3.


nicht geplante Entdeckungen der Schüler


Erfahrungen aus dem Unterricht

✔ SiS mussten selbst über strukturierende Kriterien nachdenken

✔ teilweise erst eine Vielzahl von Beispielen und dann „gezielte“ Suche, teilweise deduktives Vorgehen, um aus dem Vorwissen erst eine Struktur und dann passende Beispiele zu finden

✔ die Schülerinnen und Schüler müssen wissen, dass Parameter frei gewählt und verändert werden können; unter dieser Voraussetzung arbeiten sie sehr motiviert und engagiert

✔ Binnendifferenzierung leicht möglich

✔ Lehrer als Moderator und Ratgeber, projektartiger Unterricht

✔ die strukturierte Zusammenfassung der Gruppenergebnisse erfolgte im UnterrichtsgesprächA. Baeger, Münstermaifeld 13.2.06

define gerade(x,m,n)=m*x+n

gerade(x,2,-1)Gleichung für y = 2x-1

gerade(x,m,1)Geradenbüschen y = mx+1

gerade(x,2,n)Parallelenschar y =2x + n

gerade(5,2,-1)=9Berechnung des Funk-

tionswerts für x = 5P(5/9) liegt auf der Geraden

gerade(5,2,-1)= 3No solution! P(5/3)

liegt nicht auf der Geraden.

gerade(x,2,-1)=0Nullstelle?

solve(gerade(x,2,-1)=0,x)berechnet die Nullstelle

gerade(-(n1-n2)/(m1-m2),m1,n1)allg. Berechnung des y-Wertes des

Schnittpunktes zweier Geraden

solve(gerade(x,m1,n1) = gerade(x,m2,n2),x)allg. Berechnung des x-Wertes des

Schnittpunktes zweier Geraden


Anregungen zur Weiterarbeit

1) Die Arbeit am Geradenbaustein führt zur Idee, einen Baustein für die Berechnung des Schnittpunktes zweier Geraden zu konstruieren.

2) Bekanntlich lässt sich die Gleichung einer Geraden, die durch ihre Steigung m und einen Punkt P(x0, y0) gegeben ist, als y – y0 = m(x –x0) oder y = m(x -x0) + y0 ausdrücken.a) Definieren einen entsprechenden Baustein.b) Verwende ihn, um den Schnittpunkt Sgh zweier Gearden g und h zu finden, die gegeben sind durch g: A(-4/2), mg = -0,5 und h: B(5/1), mh = 2. Fertige eine Skizze an nach dem Bild des Classpad.c) Ersetze nun die Gerade g durch eine Schar von Geraden, die alle auf h senkrecht stehen. Leite eine Formel zur Berechnung der Schnittpunkte her und bestätige damit das Ergebnis von b).


2. Beispiel: Lineares OptimierenEin Arzneimittelhersteller produziert die Beruhigungstabletten Valdispert und Baldriandispert. Die Herstellung erfolgt auf den Maschinen A, B, C und D, die immer nur ein Präparat bearbeiten können. Die Arbeitszeiten für 1000 Tabletten beider Mittel, die Höchstzahl der Betriebsstunden pro Tag und die Gewinne entnehme man der Tabelle.

Wie viele Tabletten beider Sorten sind herzustellen, damit der Gewinn möglichst groß wird?


Lösung mit dem Classpad

E-Activity

E-Activity Aufstellen der Gleichungen

Geraden im y-Editor


Planungsvieleck Bestimmung der Eckpunkte


Schnittpunkt (4/12)Gewinnberechnung mit Tabellenkalkulation


Anregungen zur Weiterarbeit (2)


3. Beispiel: Quadratische Funktionen

Die quadratische Funktion mit f(x) = x2 + eLies in deinem Buch Seite 166. Notiere die jeweilige Definition der Begriffe Normalparabel, Scheitelpunkt uns Symmetrieachse in deinem Heft.Löse die Aufgaben 3, 4, 5 und 6. Nimm zur Kontrolle deinen CAS-Rechner zur Hilfe.


Die quadratische Funktion mit f(x) = ax2

Untersuche mit dem Classpad den Einfluss, den der Parameter a auf den Verlauf des Graphen der Funktion hat. Gehe möglichst systematisch vor und dokumentiere deine Ergebnisse.


Die quadratische Funktion mit f(x) = a(x - d)2 + e

Untersuche mit dem Classpad den Einfluss, den die Parameter a, d und e auf den Verlauf des Graphen der Funktion f(x) = a(x - d)2 + e haben.Fertigt dazu in Gruppen Plakate an, mit deren Hilfe ihr den Mitschülerinnen und Mitschülern die Einflüsse erläutern sollt.



Modellierung:

Versuche für das rechts abgebildete regelmäßige Gebiss eine Funktion zu finden, die die ungefähre Lage der Zähne beschreibt.


4. Beispiel: Malen nach ZahlenDie Tulpe und der schlafende Tiger werden von Funktionsgraphen gebildet. Wie lautet jeweils die zugehörige Funktionsvorschrift und in welchem Abschnitt ist sie dargestellt?


Eine genaue Analyse der einzelnen Abschnitte lieferte schließlich die zugehörigen Funktionen. Dabei wurde auch das Statistikmodul des Classpad eingesetzt, das durch Lineare bzw. quadratische Regression schnell die notwendigen Funktionen liefert:


Lösungen



Zeichne selbst ein einfaches Bild, das aus Funktionsgraphen zusammengesetzt werden kann. Notiere Funktionsgleichungen und zugehörige Definitionsbereiche auf einem gesonderten Zettel. Gib nun einem Mitschüler das Bild mit dem Auftrag, es auf seinen Classpad zu übertragen.


Anregungen


Lösungen (Drei Chinesen)


Lösungen (Kommt ein Vogel geflogen ...)


Parabeltunnel: Im Hauptmenü wird zunächst eine Liste definiert: {-4, -3.5, ...3.5, 4} W List.


5. Beispiel: Katastrophe im Wattenmeer?

Das Ausflugsschiff „Hallig Hooge“ verlässt bei dichtem Nebel seinen Heimathafen und fährt mit konstanter Geschwindigkeit. Zur gleichen Zeit befindet sich der Fischkutter „Krabbe“ in der Position (50/0). Nach einer Stunde ist die „Hooge“ 10 Kilometer in x-Richtung und 8 Kilometer in y-Richtung gefahren. In derselben Zeit bewegt sich die „Krabbe“ 10 Kilometer in negative x-Richtung und 3 Kilometer in y-Richtung.

Zeichne Positionen und Bewegungen der beiden Schiffe in ein Koordinatensystem.Kommt es zu einer Katastrophe?


Im Plot der beiden Geraden sieht man sofort, dass sie sich schneiden, und zwar im Punkt S(13,64/10,91). Das bedeutet aber nur, dass sich die Kurse der beiden Schiffe schneiden. Zum Zusammenstoß kommt es nur, wenn sich beide zur gleichen Zeit an dieser Position befinden.

Lösung:


Um dies zu untersuchen, verwenden wir den Classpad im Parameter-Modus. Die Umschaltung erfolgt durch Anklicken. Damit die Graphen gleichzeitig gezeichnet werden, wird im Menü Graphikformat auf Simultangraphik umgeschaltet.


„Hallig Hooge“ x t = t, y t = 0,8 t (das Schiff startet bei 0 und fährt in 1 Zeiteinheit 1 Einheit in x-Richtung und 0,8 Einheiten in y-Richtung)

„Krabbe“ x t = 50 - t, y t = 0,3 t (das Schiff startet bei 0 und fährt in 1 Zeiteinheit 1 Einheit in x-Richtung und 0,8 Einheiten in y-Richtung)


Betrachten wir nun im Trace-Modus, wann sich jedes Schiff am zuvor berechneten Schittpunkt der beiden Kurse befindet, so stellen wir fest, dass zu keinem Zeitpunkt die Gefahr einer Schiffskatastrophe bestand:

7,2 Zeiteinheiten liegen zwischen den beiden Zeitpunkten, an denen die Schiffe den Schnittpunkt der Kurse erreichen.

Entwarnung!



(1) Du stehst auf einer Brücke in (4/3) und lässt ein Kaugummi senkrecht herunterfallen mit -0,5 in y-Richtung. Zur gleichen Zeit startet ein Fahrrad im Nullpunkt mit 1 in x-Richtung und 0,2 in y-Richtung. Trifft das Kaugummi den Radfahrer?

(2) Du wirfst einen Schneeball, vom Nullpunkt aus. Seine Kurve wird durch die Gleichungen x = t und y = -0,5 t (t – 4) beschrieben. Die Aufsicht führende Lehrkraft, Frau Wohlfahrt, bewegt sich vom Punkt (5/0,5) in deine Richtung, und zwar 0 in y-Richtung und -0,3 in x-Richtung. Volltreffer?


(3) Ein mathematischer Hase läuft auf der Parabel förmigen Kurve, die durch die Gleichungen x = t und y =- t 2 + 4t gegeben ist. Gleichzeitig läuft eine Häsin vom Punkt (5/2) geradlinig los, um den Hasen zu erwischen. Welchen Kurs muss die Häsin wählen?Eine Lösung dazu ist unten angegeben. Probiere, ob es weitere gibt.


(4) In dem Bild sind zwei Schneeballkurven gezeichnet.x 1 = t und y 1 = -0,5t(t- 4)x 2 = 5 – t und y2 = 1 – t 2 + 3t

Untersuche.

Ändere jeweils eine Gleichung ab. Notiere, was sich im Bild ändert.

➔Wodurch wird die Flughöhe größer? ➔Wodurch wird die Flugbahn weiter? ➔Wodurch wird der Flug schneller ?


Literatur

Die Ideen stammen u.a. aus:

Berliner CAS-Projekt; Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Sport, Berlin 2002 und 2003

Bärbel Barzel u.a.: Quadratische Funktionen (Neue Materialien für den Mathematikunterricht). Schroedel 2002(Beim Schroedelverlag ist eine Vielzahl von Anregungen für den Einsatz von GTR und CAS erschienen.)

Handreichungen zum Einsatz von GTR und CAS der Firmen CASIO Europe (www.classpad.de, www.classpad.net) und Texas Instrumentshttp://education.ti.com/educationportal/sites/DEUTSCHLAND/homePage/index.html.


http://www.classpad.de/

http://www.classpad.net/

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit und Mitarbeit!

Bitte denken Sie daran: Die Classpads gehören der Firma CASIO Europe!

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