~LE POLYTECHNIQUE FEDERALE DE LAUSANNE

J. Natterer M. Hoeft

CHAIRE DE CONSTRUCTION EN BOIS

D~©D~ LEHRSTUHLF0RHOLZKONSTRUKnONEN

PROFESSOR JULIUS NATIERER

Zum Tragverhalten von

Holz-Beton-Verbundkonstru ktionen

Forschungsbericht CERS Nr. 1345

Marz 1987 ·

VORWORT

Der vorliegende Abschlussbericht zum Forschungsvorhaben "Verbundbauweise Holz-Beton" ist das Ergebnis der in den Jahren 1984-1986 am lnstitut fUr Holzkonstruktionen ( IBOIS) der Eidgenossischen Technischen Hochschule Lausanne ( EPFL) durchgefUhrten Arbeiten . Ziel der theoretischen und experi ­mentellen Untersuchungen war es, Bemesssungs- und Konstruktionsregeln fUr die Holz-Beton-Ver­bundbauweise zu erarbeiten . Da der Frage der Verbindungsmittel zwischen Holz und Beton eine besondere Bedeutung zugemessen werden musste, wurde eine Zusammenarbeit mit dem lnstitut fur Werkstoffkunde ( LMC) der EPFL vereinbart Die dart unter Leitung von Prof. Dr. V. Wittmann durchge­fUhrten Untersuchungen sollten Aufschlusse uber geeignete Verbindungsmittel unter Beachtung phy­sikalischer und chemischer Vorgange in der Fuge ergeben . Die Ergebnisse dieser Forschung werden in einem seperaten Bericht des LMC zusammengefasst .

Die Kommission zur Fbrderung der wissenschaftlichen Forschung ( CERS) unter Le itung von Herrn Dr. P. Kuentz finanzierte dieses Projekt zur Halfte, wahrend die andere Halfte in Form von Beratung und Materiallieferung fur die Versuche von verschiedenen Firmen aufgebracht wurde . lm einzelnen sind dieses :

HIL Tl SA, Schaan (Liechtenstein) Verband der schweizerischen Zementindustrie NOVOPAN Keller AG , Klingnau I AG Pasquier, Bulle I FR Bois Consult Natterer SA. Etoy I VD

Allen genannten Firmen sei an dieser Stelle fUr die grosszugig gewahrte Unterstutzung gedankt, ohne die dieses Forschungsprojekt nicht durchfuhrbar gewesen ware .

Die Koordination des Projektes am lnstitut und die wissenschaftliche Betreuung lag in den Handen von Herrn Dr.-lng . M .H. Kessel, der durch seine fachliche Kompetenz in jeder Phase wertvolle Impulse zu geben vermochte. DafUr und fur die uber das rein fachliche hinausgehende Unterstutzung sei ihm besonders gedankt. Die experimentellen Untersuchungen profitierten von der unkonventionellen Hilfsbereitschaft alter im Konstruktiven lngen ieurbau (ISS) der EPFL zusammengeschlossenen Institute. Den Mechanikern dieser Institute sei ebenso Dank gesagt fur viele wichtige Hinweise und Hilfen . wie allen Beteiligten am IBOIS. Herr P. Gallay unterstutzte mit seiner sorgfaltigen Arbeitsweise den Versuchsaufbau und sorgte damit fur das reibungslose Funktionieren der Messeinrichtung. Fraulein C. Rettig war mit vie! Geduld und Engagement an der Durchfuhrung der einzelnen Versuche beteiligt . Die sauberen Fotoarbeiten und Zeichnungen verdanken wir Herrn J. Leimgruber . Last not least sei Frau G. Juillerat fUr das ausserst sorgfaltige Schreiben und Korrigieren des Manuskriptes sowie das Lay-out gedankt

Lausanne, im Marz 1987

Prof . Dip!. lng . J. Natterer

Dip!. lng. M . Hoeft

IN HAL TSVERZEICHNIS

I. EINLEITUNG

II. DER ELASTISCHE VERBUND

1. Grundsatzliches zum Tragverhalten

2. Herleitung der Differentialgleichung

3. Der frei aufliegende Einfeldtrager unter gleichformiger Belastung

4. Der frei aufliegende Einfeldtrager unter linear veranderlicher Belastung

5. Der frei aufliegende Einfeldtrager unter sinusformiger Belastung

6. Der frei aufliegende Einfeldtrager unter Einzellast an beliebiger Stelle

7. Der frei aufliegende Einfeldtrager unter Zwangsbeanspruchungen

8. Bie Berechnung der Schnittkratte

9. Berucksichtigung einer "klaffenden Fuge"

1 o. Verbindungsmittel

II. DIE MllWIRKENDE PLATIENBREITE

1. Die mitwirkende Plattenbreite infolge reiner Momentenbelastung

2. Die mitwirkende Plattenbreite infolge reiner Normalkraftbelastung

3. Die mitwirkende Plattenbreite in der Berechnung von Verbundtragern

IV. KONSTRUKTION UND BEMESSUNG

1. Berechnung und Nachweise der Verbundtrager

2. Die Berechnung von Durchlauftragern

3. Die Proportionierung des Verbundsystems

4. Praktische Bemessung und Konstruktion

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V. EXPERIMENTELLE UNTERSUCHUNGEN

1. Versuchsaufbau und Mef3einrichtung

2. Versuchsergebnisse, Auswertung und Interpretation

VI. ZUSAMMENFASSUNG

LITERATURVERZEICHNIS

AN HANG

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I_ EINLEITUNG

lm konstruktiven lngenieurbau ist ein stetiger Trend zu immer komplexeren Betrachtungsweisen von Bauaufgaben festzustellen . Die rasante Entwicklung der Technik allgemein, die Verfugbarkeit einer standig steigenden Anzahl von Werkstoffen mit zum Teil sehr unterschiedlichen bautechnischen Eigen­schaften und die marktwirtschaftlichen Bedingungen in den lndustriestaaten eroffnen nicht nur eine Fulle neuer Moglichkeiten, sondern fuhren auch zu immer restriktiveren Anforderungsprofilen und zur Notwendigkeit, wirtschaftlich konkurrenzfahige Konstruktionen zu entwickeln. Diese Situation zwingt zur Abkehr von der einfachen Methode des additiven Konstruierens. bei der die Teilaufgaben bau­statischer, bauphysikalischer, asthetischer und okonomischer Art gelbst und zu einem Ganzen zusam­mengefasst werden . Es wird vielmehr verlangt, durch sinnvolle Verknupfung bautechnischer Eigen­schaften die jeweiligen Mangel der beteiligten Werkstoffe zu kompensieren, um so fur das Gesamt­system eine auch asthetisch und bkonomisch befriedigende Lbsung zu finden. Man spricht in diesem Fall von einer integrierten Bauweise im Gegensatz zur additiven Bauweise. Es ist Ieicht vorstellbar, dass in vielen Fallen durch die Komplexitat der Zusammenhange eine Zerlegung in Teilsysteme unumgehbar ist. Erst wenn die Zusammenhange und das Verhalten der Teilsysteme, die Systemantwort auf bestimm­te Einwirkungen, bekannt ist, kann an eine Optimierung des Gesamtsystems gedacht werden, wobei die Beziehungen zwischen den Teilsystemen zu beachten sind. Aufbauend auf diesen Uberlegungen lasst sich die Entwicklung des lngenieurbaus vereinfacht darstellen als Bemuhung, dort wo die Aufgabe es erfordert, additive durch integrative Konstruktionsmethoden zu ersetzen . Mit· dem Stahlbeton wurde Mitte des 19. Jahrhunderts der erste Versuch unternommen, Trager aus zwei verschiedenen Werkstoffen herzustellen. Es handelt sich dabei noch um eine rein additive Bauweise, da dem Werkstoff Beton eindeutig die Ubernahme der Druckkrafte und dem Stahl die Uber­nahme der Zugkrahe zugeordnet wurde. Auch die Verwendung von aus einem Werkstoff (Holz oder Stahl) bestehenden, zusammengesetzten und verbundenen Querschnitten, ist als rein additive Bauweise zu bezeichnen, wenngleich damit auch Beschrankungen, die vom Werkstoff her gegeben waren, umgangen oder teilweise aufgehoben wurden. Erst nach dem Aufkommen der Plattenbalken und der ersten Verbundbrucken kann erstmals von einer integrierenden Bauweise gesprochen werden, da gleichzeitig mit der Bewaltigung der baustatischen Aufgabe andere Anforderungen an das Bauwerk, z.B. nach Raumabschluss oder einer befahrbaren Oberflache, erfullt werden. Die Vielzahl der Verbffentlichungen und Diskussionen zu dieser Konstruktionsart (siehe Literaturverzeichnis im An­hang) belegt die Schwierigkeit, bei geringfugig steigender Zahl der freien Einflussparameter die uber­proportional wachsende Komplexitat der Zusammenhange zu erkennen und fur die jeweilige Aufgabe eine sinnvolle Wichtung der Parameter vorzunehmen. Dennoch ist mit dem Einsatz und der Erfor­schung der Sandwichkonstruktionen im Stahlleichtbau ein weiterer Schritt in Richtung integrierter Bauweise getan worden. Das tragende Bauteil ist mit bauphysikalisch wichtigen Eigenschaften ausge­stattet und gleichzeitig sind Gestaltungs- und Rationalisierungsmoglichkeiten gegeben. lm Holzbau ist die Entwicklung noch nicht so weit gediehen. Zwar werden die Vorteile zusammen­gesetzter Querschnitte und das Zusammenwirken mit anderen Werkstoffen, z.B. bei der Verwendung von Stahlteilen zum Anschliessen der Stabkrafte, genutzt, jedoch fehlt es an Zielstrebigkeit auf der Suche nach integrierten Bauweisen, die gleichzeitig die bekannten Mangel des Werkstoffs Holz kom­pensieren und andere Anforderungen, wenn nicht optimal, so doch im hochstmbglichen Masse erfullen k6nnen. Eine Forcierung der ersten zaghaften Ansatze bote dem Holzbau die Chance, neue Anwen­dungsbereiche und damit neue Markte zu erschliessen. Das Interesse an einer solchen Bauweise - ins­besondere der Holz-Beton-Verbundbauweise- ist national wie international gross und nimmt standig zu . In der Schweiz sind in den letzten Jahren mehrere Projekte erfolgreich durchgefuhrt worden . Als Referenzprojekte seien an dieser Stelle genannt:

- Wohn- und Burohaus Arconciel I FR ( Architekt J. Python) - Umbau Wohnhaus Etoy I VD ( BOISCONSULT Natterer SA) - Umbau Hotel Palace Montreux I VD ( lngenieurburo F. Benini ) - Wohnhaus Taufelen I BE ( Architekt Schar) - mehrere Um- und Neubauten in Gent und Umgebung ( lngenieurburo R. Hald i )

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Aus Schweden, Finnland, Polen und ltalien sind Ansatze einer gezielten Forschung bekannt, die sich jedoch auf einen bestimmten Konstruktionstyp, d.h. insbesondere Verbindungsmitteltyp oder einen bestimmten Aspekt wie z.B. das Schwingungsproblem beschranken. Diese Tatsache belegt erneut die Komplexitat der Zusammenhange und die Vielzahl der Einflussgrossen, die bestimmte Festlegungen unbedingt erforderlich machen, urn im Rahmen des jeweiligen Forschungsvorhabens mit experimen­tellen Untersuchungen Oberhaupt konkrete Ergebnisse zu erzielen. Die bei der praktischen Umsetzung oft festzustellenden Unsicherheiten im Entwurf und in der Bemessung von Holz-Beton-Verbund­konstruktionen sind insbesondere darauf zuruckzufuhren, dass die vorhandenen Vorschriften nicht auf diese spezielle Anwendung zugeschnitten sind und allgemein wenig uber das Verhalten der Konstruk­tion bei der Veranderung eines oder mehrerer Parameter bekannt ist. Wenn auch prinzipiell die Trag­wirkung von der Stahi-Beton-Verbundbauweise und im Holzbau von den nachgiebig zusammenge­setzten Querschnitten her bekannt ist, liegen bei der Holz-Beton-Verbundbauweise doch andere Verhaltnisse vor, die eine einfache Obernahme des Entwurfs- und Bemessungskonzeptes einschranken und unter Umstanden aus Sicherheitsgrunden auch verbieten konnen.

Die vorliegende Forschungsarbeit soli eine geschlossene Darstellung des Tragverhaltens der Holz­Beton-Verbundtrager geben. Auf der Grundlage der allgemeinen Verbundtheorie werden fur aile ublichen Lastarten (Dauerlast, Temperaturdehnung, Kriechen und Schwinden) und Laststellungen (Gieichstreckenlast, Punktlast, Sinus- und Dreieckslast) die fOr die Bemessung des Querschnittes be­notigten Spannungs- und Verformungsgrossen hergeleitet. Dabei wird von einem eindimensionalen Stabproblem ausgegangen, welches das tatsachlich bei Holz-Beton-Verbunddecken vorliegende zwei­dimensionale Problem als Naherung beschreibt. Zur Beurteilung der Qualitat dieser Naherung ist insbesondere die Platten- bzw. Scheibenwirkung des Betonplattenstreifens bei der Aufnahme und Verteilung der in der Verdubelungsfuge ubertragenen Schubkrafte zu berucksichtigen. Aus einem Vergleich beider Berechnungsmethoden erhalt man fur die eindimensionale Betrachtung eine redu­zierte Betonplattenbreite, die "mitwirkende Plattenbreite", mit deren Hilfe sich die Qualitat der Nahe­rung erhohen lasst. In einem separaten Kapitel dieses Berichtes wird die Berechnung der "mit­wirkenden Plattenbreite" dargestellt und fur die Verhaltnisse bei Holz-Beton-Verbunddecken aus­gewertet. Fur die Beurteilung der Sicherheit einer Konstruktion ist es erforderlich, den Einfluss der verschiedenen in der Berechnung enthaltenen Naherungen zu untersuchen und eventuell kritische Fehlerkombi­nationen zu erkennen, urn Bemessungen zur unsicheren Seite hin zu vermeiden. Zu diesem Zweck werden in einer Parameterstudie die Einflusse der "mitwirkenden Plattenbreite", der Verschiebungs­kennwerte der Verbindungsmittel, der Streuung der Materialkennwerte und der geometrischen Querschnittskennwerte auf das Tragverhalten der Holz-Beton-Verbundkonstruktionen geklart. Auf dieser Grundlage werden verschiedene Konstruktionstypen besprochen und bewertet. In Anlehnung an die Sicherheitskonzepte gultiger Vorschriften fur den konstruktiven lngenieurbau wird ein Bemessungsverfahren vorgestellt und fur eine leichtere Handhabung analytisch und graphisch aufbereitet. Damit soli dem Anwender eine schnelle und zuverlassige Bewertung nach den fur ihn massgebenden Kriterien moglich gemacht werden, so dass er mehr Freiheit gewinnt durch Einbeziehung anderer als baustatischer Aspekte zu einer integrierten Losung seiner Aufgabe zu gelangen.

Der zweite Teil des Berichtes enthalt die Beschreibung und Auswertung der experimentellen Untersu­chungen am Bauteil, die vom IBOIS durchgefuhrt wurden. Ziel der Versuche war es, das theoretisch beschriebene Tragverhalten zumindest qualitativ zu bestatigen. Auf Serienversuche wurde zugunsten zweier messtechnisch aufwendig ausgerusteter Proben mit den Abmessungen 5.20 x 2.40 m verzichtet. Es schien wenig sinnvoll, lediglich aus Durchbiegungsmessungen auf die Verbundwirkung dieses hoch­gradig statisch unbestimmten Systems schliessen zu wollen, ohne zusatzliche lnformationen uber andere, das Tragverhalten beschreibende Grossen in die Analyse einzubringen. Zudem konnen die aus Serienversuchen an kleinen Proben ableitbaren Erkenntnisse, z.B. uber die Verschiebungskennwerte der Verbindungsmittel, nur dann richtig eingeordnet und verwertet werden, wenn deren tatsachliche Beanspruchungen im Bauteil bekannt sind. Die an wenigen grossformatigen Proben gewonnenen Erkenntnisse uber die qualitative und quantitative Beanspruchung der Konstruktionselemente ermog­lichen es einerseits kritische Stellen der Gesamtkonstruktion zu erkennen und dort mit detailierteren Untersuchungen anzusetzen, andererseits werden Fehlinterpretationen aufgrund von Versuchen an kleinen Proben weitgehend vermieden. Bei der messtechnischen Ausstattung der heiden Bauteilproben wurde also Wert darauf gelegt, moglichst viele fur die baustatische Analyse wichtige Grossen zu

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messen. Zusatzlich zu den Weg- und Krahgrossen wurden die Spannungszustande des Holzes und Betons in Feldmitte und in einer grossen Zahl von Verbindungsmitteln gemessen. Die fast einhundert applizierten OMS pro Probe ermoglichten es, Messfehler durch lokale Storungen oder Messausfalle weitgehend zu kompensieren und so ein reprasentatives Bild der tatsachlichen Verhaltnisse zu erhalten. Es muss jedoch darauf hingewiesen werden, dass gerade die Umrechnung der indirekt uber OMS elektrisch gemesssenen Dehnungen in Spannungen bzw. Krahe mit Unsicherheiten behaftet ist. Diese resultieren zum einen aus der fur die Berechnung benotigten Bestimmung der E-Moduli des verwendeten Holzes und den an den Applikationsstellen eventuell vorhandenen strukturellen Sto­rungen im Holz und Beton. Des weiteren bereitet die Ermittlung der Schubspannungen in der Fuge zwischen Holz und Beton insofern Schwierigkeiten, als diese nur indirekt uber Normalkraft- und Momentenbeanspruchung der Verbindungsmittel gemessen werden konnen. Zur genauen Umrech­nung der gemessenen Grossen in die gewunschten Grossen ist es erforderlich, die lokalen Vorgange bei der Krafteum- und -einleitung zu berucksichtigen, was im Rahmen der hier gestellten Aufgabe nicht geleistet werden konnte. Trotz dieser Erschwernisse und Unsicherheiten bei der Interpretation wurden die Messungen mit ausserster Sorgfalt durchgefuhrt, um im Bezug auf die Datenakquisition zusatzliche Unsicherheiten zu vermeiden.

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II. DER ElASTISCHE VERBUND

Seit Beginn dieses Jahrhunderts ist eine grosse Zahl theoretischer und experimenteller Untersuchungen zum Tragverhalten zusammengesetzter Biegetrager mit elastischem Verbund durchgefUhrt worden . Die ersten Ansatze bauten auf der Vorstellung auf, dass der zusammengesetzte, verdubelte Biegetra­ger in seiner Tragwirkung mit einem Rahmentrager verglichen werden konne. Die beiden Teilquer­schnitte entsprechen den Gurten und die punkt- bzw. stabformigen Verbindungsmittel (Dubel) den Pfosten, die in den Knotenpunkten biegesteif an die Gurte angeschlossen sind. Fur solche sogenannte Vierendeei-Rahmenbalken gaben Ljungberg [1] und Engesser [2] in den zwanziger Jahren vereinfachte Berechnungsverfahren an . Es wird angenommen, dass die Lasten nur in den Knotenpunkten angreifen und die Biegesteifigke iten von Ober- und Untergurt abschnittsweise konstant und gleich sind . Zusammen mit der geometrischen Bedingung, dass die Durchbiegung des Ober- und Untergurtes in den zugehorigen Knoten jeweils gleich gross sind, ergibt sich die gleichmassige Verteilung der Lasten auf Ober- und Untergurt (Bild 1 ) . Die Pfosten konnen somit a is normalkraftfrei angesehen werden .

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Bild 1: Rahmentrager als Modell fiir elastischen Verbund nach {1]

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Aus der Verformungsgeometrie (Bild 1) ist abzuleiten, dass in der Mitte zwischen zwei Pfosten Wende­punkte liegen. Der Rahmenbalken kann also horizontal in der Mitte aufgeschnitten werden, wenn die Querkrafte in der M itte der Pfosten als Unbekannte angetragen werden .

Bild 2: Superposition der Momentenlinien fiir einen Gurt

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Ober die elementaren Gleichgewichtsbedingungen und die Verformungs-Steifigkeits-Beziehungen wird ein lineares Gleichungssystem entwickelt, aus dem die unbekannten Schub- bzw. Querkrafte der Pfosten berechnet werden konnen. Auf diese Weise lasst sich dann die Normalkraft und Momen­tenbeanspruchung der Gurte ermitteln . Aus dem Normalkraftverlauf uber die Gurtlange ergibt sich direkt mit dem Faktor halber Gurtachsenabstand die stufige Momentenlinie, d ie mit der uber ein Segment veranderlichen Momentenlinie aus den in den Knoten in den Gurt ubertragenen Momenten superponiert der Momentenlinie aus der ausseren Belastung entspricht (Bild 2) . Nachteile dieser Berechnungsmethode sind die auf gleiche Gurte beschrankte Anwendbarkeit und die schwierige Wahl der Pfostensteifigkeiten, durch die die Steifigkeit der Verbindungsmittel simuliert werden muss. Ferner werden bei dieser Methode die Normalkraftdehnungen der Gurte nicht beruck­sichtigt, die eine nicht vernachlassigbare Vergrbsserung der Schubkrafte bewirken . In [3] wendet Ljungberg dieses Verfahren Ieicht modifiziert fUr die Berechnung funfteilig doppelsymmetrischer Druckstabe an .

In den fUnfziger Jahren gab Stussi [4] - [6] erste geschlossene Lbsungen fUr die Berechnung verdubelter Balken mit elastischem Verbund an . Er verglich dabei die bis dahin in den Holzbau-Vorschriften verwen­deten Abminderungsfaktoren mit den aus der genauen Theorie gewonnenen und stellte betrachtliche Unterschiede fest. Des weiteren machte er darauf aufmerksam, dass fur die Tragwirkung der Einfluss der Dubelverteilung relativ gering ist und es vielmehr auf den "verteilten Dubelwiderstand " ankomme. Das bedeutet fUr das Modell des Rahmentragers, dass dieser ein annahernd gleiches Tragverhalten aufweist, wenn die Pfosten enger sitzen und entsprechend biegeweicher sind . Durch diese Massnahme flacht d ie Momentenlinie der Gurte ab und die Normalkraftlinie verlauft kontinuierlicher. lm Extremfall entspricht die Normalkraftlinie der des ausseren Momentes und die Momentenlinie der Gurte verschwindet. Hier treten Widerspruche zu den tatsachlichen Verhaltnissen auf, da in diesem Modell die Eigenbiegesteifigkeit der Gurte und die geometrischen Bedingungen bei einer vertikalen Durchbiegung des Rahmentragers nicht ausreichend berucksichtigt sind . Dennoch eignet sich das Mo­dell recht gut, um das Auftreten von nicht mehr vernachlassigbaren, lokalen Stbrungen durch zu grosse Dubelabstande zu veranschaulichen. In der weiteren Entwicklung der Theorie des elastischen Verbun­des wurde jedoch aufgrund der Erkenntnisse Stussi 's die Schubfedersteifigkeit als uber die Tragerlange konstant angenommen, unter der Voraussetzung ausreichend kleiner Abstande der Verbindungs­mittel. Durch die Annahme einer kontinuierlichen Schubkraftubertragung in der Fuge war es somit moglich, das Problem des elastischen Verbundes durch Differentialgleichungen zu beschreiben.

Wahrend sich die bisher durchgefuhrten Untersuchungen auf symmetrische zwei- oder dreiteil ige Querschnitte beschrankten, gibt Hoischen [7] erstmals die Differentialgleichung fUr den dreiteilig un­symmetrischen Verbundquerschnitt an, woraus exakte Lbsungen fur die Verformungs- und Schnitt­grbssen eines dreiteilig symmetrischen Holzquerschnittes und eines Stahi -Beton-Verbundquerschnittes abgeleitet wurden. Lombardi [8] erweiterte die Theorie auf zusammengesetzte Drucksti:ibe mit bis zu fUnftei lig doppelsymmetrischem Holz-Querschnitt. Der Unterschied zu dem von Ljungberg [3] ange­gebenen Verfahren besteht in der Annahme einer kontinuierlichen Verbindung der Querschnittsteile.

In den sechziger Jahren richtete sich das Interesse verstarkt auf die Stahi-Beton-Verbundbauweise, wie eine Vielzahl von Verbffentlichungen zu diesem Themenbereich dokumentiert. Insbesondere die Erfassung der Eigenspannungszustande aus Temperaturanderung, Schwinden und Kriechen gewann zunehmend an Bedeutung . Die bisher fur den Stahi-Beton-Verbund angewandte, einfache Theorie des starren Verbundes wurde entsprechend erweitert. Von Heilig werden u.a. die exakten Lbsungen fUr ungleiche Erwarmung von Stahl und Beton fur den starren [1 0] und den elastischen Verbund [ 11] angegeben. Sattler [13] [14] entwickelte ein allgemein anwendbares Naherungsverfahren fur den elastischen Verbund, wobei allerdings d ie Biegesteifigkeit der Betonplatte und die gleich grossen Durchbiegungen von Unter- und Obergurt nicht berucksichtigt werden . Wrycza [15] gibt Berech­nungsmethoden fUr Schwind en und Kriechen an . lm Holzbau wurden wahrenddessen Anstrengungen gemacht, auf theoretischer Grundlage einfache Bemessungsverfahren zu erarbeiten und deren Zuverlassigkeit durch die experimentelle Ermittlung der Schubfedersteifigkeit verschiedener, im Holzbau ublicher Verbindungsmittel abzusichern. Ahnlich wie Stussi [6] ermittelte Mohler [16] zur Berucksichtigung der Nachgiebigkeit einen Abminderungsfaktor fur das Tragheitsmoment bei starrem Verbund . Doch wahrend Stussi das Tragheitsmoment insgesamt abmindert, bezieht Mohler seinen Abminderungsfaktor auf den Steiner-Anteil des Tragheitsmomentes. Die fUr den Einfeldtrager unter Sinuslast berechneten Faktoren sind seitdem Bemessungsgrundlage fUr

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zusammengesetzte Biegetrager und Druckstabe (I= IK) in der deutschen Norm DIN 1055. In der Schweizer Norm SIA 164 wird das Verfahren nach Stussi angtwendet [1 7]. Der Nachteil dieser Vorge­hensweise ist, dass sie streng genommen nur auf den Fall anwendbar ist, fUr den die Abminderungs­faktoren ermittelt wurden . Fur abweichende statische Systeme, Querschnitte oder Belastungen. waren neue Abminderungsfaktoren zu berechnen. wodurch allerdings die Handlichkeit des Bemessungsver­fahrens verloren ginge. Mohler hat nachgewiesen, dass die Abminderungsfaktoren fUr Einfeldtrager mit symmetrischem Querschnitt nur schwach von der Belastungsart und der betrachteten Tragerstelle abhangig sind, jedoch kann diese Aussage nicht verallgemeinert werden . Besondere Vorsicht ist bei der Anwendung der Abminderungsfaktoren fUr Druckstabe geboten . Neben generellen Einwanden zur Bemessung von Holzdruckstaben in den genannten Normen [18], sind hier die Uberlagerungseffekte aus den Vereinfachungen auf die Sicherheit vollig unklar. In dem Bemuhen, die Bemessung nachgiebig zusammengesetzter Trager moglichst einfach und doch genau durchfuhren zu kbnnen, stellte Pischl in [19] und [20] Tabellen zur Berechnung von Abminderungsfaktoren fur den Durchbiegungs- und Spannungsnachweis zweiteiliger und dreiteilig symmetrischer Holzquerschnitte unter verschiedenen Belastungen auf. Ferner zeigte er an Beispielen den Einfluss der Belastung bei der Bemessung und stellte- im Gegensatz zu Mohler- zum Teil erhebliche Unterschiede fest

War die Theorie des elastischen Verbundes bisher auf maximal funheilige doppelsymmetrische Quer­schnitte beschrankt, gelang Schelling [21] die Losung fur beliebig viele Einzelquerschnitte aus beliebi­gem Material mit Hilfe eines komplexen Fourrierreihenansatzes fur die Belastungsfunktion Die Losung ist folglich nicht exakt, sondern stellt eine Naherung dar . Papsch [22] entwickelte schliesslich eine allgemein gultige Stabtheorie fUr gerade Stabe aus beliebig vielen Einzelquerschnitten mit elastischem Verbund, woraus samtliche Teilprobleme, insbesondere auch Stabilitatsprobleme als Sonderfalle ab­geleitet werden konnen. Zwei allgemeine Naherungsverfahren zur Berechnung hblzerner Biegetrager werden von Bergfelder [23) angegeben. lm Gegensatz zu der bisherigen Annahme eines kontinuierlichen Verbundes, ist es mit den angegebenen Verfahren moglich, veranderliche Abstande der Verbindungsmittel und veranderli­che Steifigkeiten der Teilquerschnitte zu berucksichtigen . Das erste Verfahren ist eine Modifikation der von Ljungberg [1] bekannten Berechnung als Rahmenbalken (Vierendeeltrager) . Bergfelder ermittelt durch die vereinfachte, feste Vorgabe von Wendepunkten bzw . Momentennullpunkten in den Gurten und Pfosten uber die Arbeitsgleichungen ein fiktives Traghei t smoment fur jeden Pfosten unter Berucksichtigung der jeweiligen Steifigkeit des Verbindungsmittels.

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Bild 3: Rahmentrager als Modell fur den elastischen Verbund nach [23]

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Die nachfolgende Berechnung mit Hilfe von Stabwerksprogrammen fuhrt bedingt durch die stark vereinfachten Annahmen zu Unstimmigkeiten in der Momentenlinie der Gurte, die Bergfelder durch Polygonzuge ausgleicht. In einem Beispiel wird die gute Ubereinstimmung der Naherung mit der strengen L6sung gezeigt, woraus sich jedoch keine allgemeine Aussage uber die Qualitat dieser Nahe­rung ableiten !asst. lm zweiten angegebenen Verfahren wird die Differentialgleichung des elastischen Verbundes durch die entsprechende Differenzengleichung angenahert. Wahrend sich dieses Verfahren

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durch beliebig kleine Differenzen in seiner Genauigkeit beliebig steigern lasst, ist die Genauigkeit der Berechnung als Rahmenbalken durch die Vorgabe der Systemgeometrie und Biegesteifigkeiten der Pfosten in se iner Naherungsqualitat festgelegt.

M it der Entwicklung der Sandwichkonstruktionen ist ein neuer Typ des elastisch verbundenen Tragers entstanden . Er hebt sich vom herkommlichen Verbundtrager fur die vernachlassigbar geringe Biegesteifigkeit der Teilquerschnitte ab. Das aussere Moment wird fast ausschliesslich vom Normalkraftpaar in den sehr dunnen Deckenschichten aus Stahl aufgenommen. Der Schubverbund wird durch eine Hartschaumschicht hergestellt, die ausserdem fUr den notigen Hebelarm sorgt und zur Stabilisierung der knittergefahrdeten Deckschicht herangezogen werden kann , wenn ausreichende Haftung zwischen den Schichten gewahrleistet ist . Ober das spezielle Tragverhalten der Sandwichkonstruktionen existiert eine umfangreiche Literatur, wobei insbesondere auf [24] und [25] verwiesen sei. lm Holzbau wurden die weiteren Forschungen hauptsachlich durch das verstarkte Interesse an der Ta­felbauweise bestimmt. Hauptgegenstande der Untersuchungen waren und sind die Scheibenwirkung der Tafeln aus Holzwerkstoffen in Abhangigkeit vom elastischen Verbund , die Materialkennwerte der Holzwerkstoffe und die experimentelle Ermittlung der Nachg iebigkeiten der Verbindungsmittel [26] [27] . Die Tafelbauweise des Holzbaus ist in etwa mit der Sandwichbauweise des Stahlbaus vergleichbar. Die guten Rationalisierungs- und Standardisierungsmoglichkeiten in der Fertigung , sowie die Mbglichkeit fertige, statisch und bauphysikalisch funktionstuchtige Konstruktionselemente fur Wande, Decken und Dacher auf die Baustelle zu liefern sind gewichtige Vorteile gegenuber herkommlichen Bauweisen. Dennoch wurden die Mbglichkeiten, die in einer Kombination der Holzwerkstoffe mit anderen Materialien liegen, zwar prinzipiell erkannt [28]. jedoch bisher nicht konsequent erforscht. Insbesondere die Holz-Beton-Verbundbauweise bietet sich fur die industrielle Vorfertigung von hoch tragfahigen Decken-, Wand- und Dachelementen an . Die wenigen, bisher verbffentlichten Arbeiten speziell uber die Holz-Beton-Verbundbauweise, beschaftigen sich jedoch ausschliesslich mit der An­wendung dieser Bauweise fur Restaurierungen von uberalterten Holzdecken. Eine umfangreiche Darstellung wird von Turrini/Piazza in [29]- [31] gegeben. lm Vordergrund stehen dabei die Ermittlung der Nachgiebigkeit bestimmter Verbindungsmittel und der Entwurf eines Berechnungsverfahrens, in dem aber schon verschiedene Parameter festgelegt sind, so dass eine allgemeine Anwendung nicht infragekommt. Godycki/Pawlika/Kieszczewski [32] berichten in ihrer Arbeit uber Versuche an zweistegigen Plattenbalken mit verschiedenen Verbindungsmitteln und vergleichen die Ergebnisse mit der Theorie. Das angegebene Bemessungsverfahren auf der Grundlage zulassiger Spannungen, ist jedoch nicht allgemein anwendbar und geht von der Existenz einer neutralen Faser aus, was - wie anschliessend noch gezeigt werden wird- fUr den elastischen Verbund nicht zutrifft.

In den letzten Jahren sind grosse Anstrengungen gemacht worden, die Theorie des elastischen Ver­bundes fur den Computereinsatz aufzubereiten. Durch die rasche Entwicklung der Computer­technologie gewinnen diese Bemuhungen immer mehr an Bedeutung. Bestimmte Berechnungen, wie z.B. die Berucksichtigung nicht-linearer physikalischer Kennwerte, ware, mit vertretbarem Aufwand, ohne Computereinsatz gar nicht moglich. Speziell fur die Berechnung von Holzrippendecken wurde in den USA das Finite-Eiement-Programm FEAFLO [33] entwickelt, mit dem u.a. auch die Berucksichtigung von Langs- und Querfugen moglich ist. In einer neueren Arbeit berichten Tsujino/Koizumi [34] uber die Berechnung von zweiteiligen holzernen Biegetragern mit einem Finite-Eiement-Programm, welches das nicht-lineare Kraft-Verformungs-Verhalten der als Verbindungsmittel benutzten Nagel berucksichtigt. Die Verformungs- und Spannungszustande werden dabei durch inkrementelle Laststeigerungen ermittelt. Schuler [35] bereitete das Verfahren der Obertragungsmatrizen fUr die Berechnung von Durchlauftragern mit elastischem Verbund und abschnittsweise veranderlichen Steifigkeiten auf, um die auf der Basis dieses Verfahrens bekannten Ablaufschemen bereits existierender Durchlauftragerprogramme ausnutzen zu konnen .

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1. GRUNDSATZLICHES ZUM TRAGVERHALTEN

Das elastische Tragverhalten eines Biegetragers mit zusammengesetztem Querschnitt ist gekenn­zeichnet durch das Zusammenwirken der Teiltrager mit homogenem Querschnitt. Das vertikale Zusam­menwirken der Teiltrager wird mit der geometrischen Bed ingung festgelegt, dass die Durchbiegungen der Teiltrager an jeder Stelle gleich sein sollen, d.h., dass die Deformationen des Querschnitts selbst vernachlassigt werden . Hieraus ergibt sich das Verhaltnis der Einzelmomente in den Teiltragern in Abhangigkeit von deren Biegesteifigkeit. Fur den zweiteiligen Querschnitt gilt :

w 1

(x) w 2

(x) (1)

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(2)

M 1

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M 1

( x) E/1 (5) =

M 2

( x) E2!2

Bild 4: Vertikales Zusammenwirken der Teiltrager

Um die Beziehung zwischen den Einzelmomenten und dem ausseren Moment aufstellen zu konnen, muss das horizontale Zusammenwirken der Teiltrager betrachtet werden . Die durch geeignete Verbin­dungsmittel ubertragenen Schubkrahe in der Fuge zwischen zwei Teiltragern stehen im Gleichgewicht mit einander entgegengesetzt gerichteten, gleich grossen Normalkraften in den Teiltragern.

Bild 5: Horizon tales Zusammenwirken der Teiltrager

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Bei positivem Moment erhalt der obere Teilquerschnitt Druckspannungen, wahrend der untere auf Zug beansprucht wird . Dieses Normalkrahpaar mit dem Hebelarm des Achsabstandes der homogenen Teil­trager beteiligt sich an der Aufnahme eines ausseren Momentes in einem Masse, das in erster Linie von der Nachgiebigkeit der Verbindungsmittel, der Schubfedersteifigkeit, abhangig ist. Weitere Einfluss­grossen sind :

statisches System Tragerlange betrachtete Stelle Art der Belastung Geometrie des Verbundquerschnittes Materialkennwerte

Mit Kenntnis der Zusammenhange lasst sich daraus die Schubeinflusszahl >.. ermitteln, die das horizon­tale Zusammenwirken der Teiltrager berucksichtigt und mit deren Hilfe sich die Verteilung des ausseren Moments auf die Einzelmomente und das Normalkrahpaar berechnen lasst. lm Fall, dass kein Verbund zwischen den Teiltragern besteht, arbeiten diese als reine Biegetrager, wobei das aussere Moment im Verhaltnis der Biegesteifigkeiten aufgeteilt wird . lm Faile des starren Verbundes, kann der Verbund­querschnitt nach Einfuhrung ideeller Querschnittskennwerte, die die Biege- und Dehnsteifigkeitsbe­ziehungen berucksichtigen, wie ein homogener Biegetrager berechnet werden . Dadurch, dass bei vollem Verbund das grosstmogliche Normalkrahpaar auhritt, ist der Anteil der Einzelmomente ent­sprechend am kleinsten. Fur aile ubrigen Faile des elastischen Verbundes, mussen die Verformungs- und Schnittgrossen uber die Schubeinflusszahl .\ ermittelt werden. Fur den aus gleichen Teiltragern zusammengesetzten Verbundtrager ergeben sich besonders einfache Beziehungen. Die Spannungsverteilung in einem solchen Verbundquerschnitt ist in Bild 6 fUr die drei Faile dargestellt.

kein Verbund

elastischer Verbund

Bild 6: Spannungsverteilungen bei gleichbleibender ausserer Last

starrer Verbund

auschal kann festgestellt werden, dass durch die Erhohung der Schubfestigkeit die Beanspruchung des Teiltragers auf Biegung vermindert, die auf Normalkrah erhoht wird . Das bedeutet jedoch nicht in jedem Fall eine Verbesserung des Tragverhaltens, wie aus dem oben gewahlten Beispiel leichtfertig geschlossen werden konnte. Je nach Kombination der Einflussgrossen verandern sich die Spannungsbil­der zum Teil erheblich, so dass die Beurteilung des Tragverhaltens bei einer bestimmten (gewahlten) Schubfedersteifigkeit, insbesondere auch unter Berucksichtigung der beiteiligten Materialien, durchzu­fuhren ist. So hat man im Verbundbruckenbau in den sechziger Jahren nach Moglichkeiten gesucht, die bis dahin als nahezu starr angesehene Verdubelung zwischen Stahltrager und Betonfahrbahnplatte elastisch auszufUhren . Diese Massnahme schien erforderlich, da infolge immer grosserer Stutzweiten in den wirtschahlich noch vertretbaren Querschnitten die Betonspannungen zu gross wurden . Ausserdem wurde nach Wegen gesucht, die Rissegefahrdung der Fahrbahnplatte durch Kriech-, Schwind- und Temperaturspannungen und die bei der gewunschten Durchlaufwirkung auftretenden negativen Momente zu vermindern . Zur Losung des Problems wurde von Homberg [9] ein aufwendiger Schubver­band vorgeschlagen, wahrend Hoischen [12] auf die Moglichkeit einer unterbrochenen Verdubelung hinweist.

10

In bezug auf die Holz-Beton-Verbundbauweise stellt sich eher das umgekehrte Problem, dass die erreichbare Schubfedersteifigkeit zu gering ist. Dadurch ist das Verhaltnis der Einzelmomente zum Nor­malkraftmoment relativ gross. 1st zusatzlich durch die Wahl des Querschnittes und das Verhaltnis der Biegesteifigkeiten von Holz und Beton das vom Beton aufzunehmende Einzelmoment etwa in der gleichen Grbssenordnung wie das des Holzes. so besteht die Gefahr, dass der Beton Zugspannungen er­halt und somit teilweise unwirksam wird . Fur die Abschatzung des Tragverhaltens einer Konstruktion ist es also unbedingt erforderlich, die spezi­fische Kombination der Einflussgrbssen zu beachten . Es liegt nahe. die Verhaltnisse beim starren Ver­bund als Grundlage einer solchen Abschatzung zu verwenden, da mit der Ermittlung der ideellen Querschnittswerte aile Einflussgrbssen. mit Ausnahme der Schubeinflusszahl >.., erfasst werden . Diese kann dann mit der Abminderung des bei starrem Verbund vorhandenen ideellen Tragheitsmomentes zum "wirksamen Tragheitsmoment" des elastischen Verbundes berucksichtigt werden. Dieses Verge­hen ist im Holzbau aus der Normung bekannt. Fur die Berechnung muss die Grosse der zwischen den Teilquerschnitten wirksamen Schubfestigkeit bekannt sein. Dagegen ist von geringem Interesse, durch welche Verbundart und Verbindungsmittel diese Steifigkeit zustande kommt. Bei der heute ublichen Berechnungsmethode ist es lediglich erforderlich, dass die im Stahl- und Holzbau ublichen punktformigen Verbindungsmittel wie Nieten, Nagel und Dubel ausreichend dicht sitzen, um einen kontinuierlichen Verbund zu gewahrleisten. Diese Art des Verbundes wird als Trager-Dubei -Verbund bezeichnet, im Gegensatz zum Flachen-Haft­Verbund, wie er z.B. in der Sandwichbauweise verwendet wird . Fur die Holz-Beton-Verbundbauweise ware auch ein Trager-Haft-Verbund denkbar, wenn es gelange, die damit zusammenhangenden bautechnischen Probleme zu Ibsen . In der Brettschichtbauweise hat sich diese Art des Verbundes schon lange bewahrt. Der Verbund wird in diesem Fall als starr angesehen. da die Schubfedersteifigkeit in den Fugen in der Grbssenordnung des Gleitmoduls des Holzes liegt und somit der Fehler durch die Annahme eines starren Verbundes in etwa der gleiche ist, wie bei der Berechnung des homogenen Tragers ohne Berucksichtigung der Schubdeformationen .Bei der Verwendung von punktformigen Verbindungsmitteln ist jedoch deren Nachgiebigkeit zu berucksichtigen. Die in den Holzbaunormen angegebenen Verschiebungskennwerte sind in Serienversuchen unter zum Teil unterschiedlichen Bedingungen ermittelt worden und gelten streng genommen nur fur die jeweilige Bauart {Holz/Stahl oder Holz/Holz) . Fur die Holz-Beton-Verbundbauweise ist wegen der Einbindung der Verbindungs­mittel in den Beton generell ein steiferes Verhalten zu erwarten, so dass die in den Normen ange­gebenen Werte eine untere Grenze festlegen lm Zusammenhang mit der Berechnung der ideellen Querschnittswerte werden oft missverstandlich die Begriffe "Schwerachse" und "neutrale Faser" gleichwertig nebeneinander verwendet . Dieses ist zulassig, solange sich der betrachtete Querschnitt aus einem Material oder aus mehreren Materialien in

I

n=s--

I

kein Verbund

I

I

el-astischer Verbund

Bild 7: Lage der Schwerachse und neutralen Faser

I

r

starrer Verbund

I

l

11

symmetrischer Anordnung zusammensetzt (Bild 7). In diesem einfachen Fall wird die Lage von neutra­ler Faser und Schwerachse durch Wichtung der TeiiWichen, entsprechend ihrem Hebelarm, zu einer frei, aber sinnvollerweise senkrecht zur Belastungsrichtung gewahlten Bezugsachse ermittelt. Dieses Vorge­hen verbirgt die eigentlich zusatzlich erforderliche Wichtung mit dem fur die Schwerachse massgeben­den spezifischen Gewicht und dem fur die neutrale Faser massgebenden Elastizitatsmodul der Teil­flachen. Fur die oben genannten Querschnitte ist diese zusatzliche Wichtung jedoch ohne Einfluss, wie Ieicht gezeigt werden kann . lm allgemeinen Fall des aus ungleichen Werkstoffen und Flachen unsym­metrisch zusammengesetzten Querschnittes gilt die ldentitat von Schwerachse und neutraler Faser nicht mehr, da in der Regel die Verhaltnisse der spezifischen Gewichte nicht mit denen der Elastizi­tatsmoduli der Teilflachen ubereinstimmen. Da fur statische Berechnungen nur die neutrale Faser interessiert, sollte der Begriff "Schwerachse" generell vermieden werden . Ebenso unangebracht scheint der Begriff "neutrale Faser" in bezug auf den elastischen Verbund zu sein . Wenn man als neutrale Faser eines Querschnittes diejenige definiert, in der bei reiner Biegebeanspruchung keine Spannungen auftreten, so kann diese Faser im starr verbundenen Querschnitt eindeutig bestimmt werden. Bei elastischem Verbund gibt es mit Ausnahme der doppelsymmetrischen Querschnitte zwei neutrale Fasern, was der Vorstellung von der Eindeutigkeit ihrer Lage innerhalb des Querschnittes widerspricht. Die Berechnung eines ideellen Tragheitsmomentes bzw. der ideellen Biegesteifigkeit unter Annahme eines starren Verbundes kann zwar formal korrekt ind irekt uber die neutrale Faser erfolgen, weckt jedoch falsche Vorste l lungen uber deren Bedeutung fur die Verhaltnisse bei elastischem Verbund und ist zudem recht umstandlich. Viel einfacher ist die Berechnung direkt aus dem bekannten Abstand der neutralen Fasern der Teilquerschnitte und den Querschnitts- und Steifigkeitsverhaltnissen. lm folgenden wird also der Begriff "neutrale Faser" fUr den Verbund­querschnitt vermieden und ausschliesslich im Zusammenhang mit den Teilquerschnitten gebraucht.

2. HERLEITUNG DER DIFFERENTIALGLEICHUNG

Fur die Herleitung der Differentialgleichung des elastischen Verbundes werden die Gleichgewichts­bedingungen fur die Teilquerschnitte an einem Tragerstuck der Lange dx aufgestellt. Durch Einfuh­rung der geometrischen Verformungsbedingungen aus dem vertikalen und horizontalen Zusammen­wirken der Teilquerschnitte und der zugehorigen Elastizitatsgesetze werden die Teilschnittkrafte eli­miniert und es entsteht ein System gekoppelter Differentialgleichungen mit den unbekannten Weg­grossen Tragerdurchbiegung w(x) und Fugenverschiebung u(x) . Fur die entkoppelten Differential­gleichungen werden aus den Nullstellen des charakteristischen Polynoms die Ansatzfunktionen fur die homogenen Losungen wh (x) und uh (x) bestimmt und in das gekoppelte Differentialgleichungssystem eingesetzt, urn die Zahl der unbekannten Koeffizienten zu reduzieren . Anschliessend werden die partikularen Losungen durch Ansatz vom Typ der Storfunktion (Belastungsfunktion), Einsetzen in die entkoppelten Differentialgleichungen und Koeffizientenvergleich ermittelt. Aus der allgemeinen Losung werden durch Erfullung der Randbedingungen die Koeffizienten der speziellen Losung des Pro­blems gewonnen. Urn in der geschilderten Weise vorgehen zu konnen, mussen einige fundamentale Voraussetzungen erfullt sein. Ausserdem ist fur den Fall des elastischen Verbundes eine Rei he von Annahmen notwendig, urn die komplexen Zusammenhange fur die Berechnung soweit wie moglich und mechanisch sinnvoll zu vereinfachen. Die Voraussetzungen und Annahmen sind im einzelnen :

(1) Gultigkeit des Hook'schen Gesetzes vom linearen Zusammenhang zwischen Dehnungen und Spannungen (voll elastisches Werkstoffverhalten) .

o = c E

(2) Bernoulli'sche Hypothese vom Ebenbleiben der Querschnitte gilt fUr die Teilquerschnitte, nicht aber fur den Gesamtquerschnitt, da durch die Nachgiebigkeit in der Fuge ein Sprung in der Dehnungslinie des Gesamtquerschnittes auftritt .

12

(3) Verformungen sind klein gegenuber den Systemabmessungen, massige Verdrehung der Quer­schnitte, differentielle Anderung der Steigung der Biegelinie fur die Momentenkrummungs­beziehung kann wie aile anderen Produkte differentieller Grossen auch vernachlassigt werden.

1 w M

p (l+w'2)3/2 w

E I

(4) Teilquerschnitte uber die Tragerlange konstant rechteckig .

(5) Achsen der Teilquerschnitte vor der Belastung gerade und parallel.

(6) Achsen der Teilquerschnitte bei Belastung parallel, gleiche Durchbiegung und Krummung der Teilquerschnitte an jeder Stelle des Tragers.

(7) Reine Biegebeanspruchung des Tragers.

(8) Gesamtquerschnitt mindestens einfach symmetrisch.

(9) Belastung wird als in der vertikalen Symmetrieachse des Gesamtquerschnitts linien- bzw. punktformig vorausgesetzt, eindimensionales Problem, Vernachlassigung lokaler Storungen durch Krafteinleitung.

(10) Schubsteifigkeit k konstant uber die Lange des Tragers und mit linearer Kraft-Verformungs­Kennlinie.

T2 k u

(11) Verbindungsmittel sind in gleichmassigen, nicht zu grossen Abstanden, punktformig angeord­net.

(12) Schubfedersteifigkeit k in der Fuge ergibt sich aus der Einzelschubfedersteifigkeit C der Ver­bindungsmittel dividiert durch deren Abstand untereinander.

c k

e

(13) Elastizitatsmodul der beteiligten Materialien fur Biegung und Normal kraft gleich gross.

EN . = EB . = E . \l .z l

(14) Schubverformung der Teilquerschnitte wird vernachlassigt .

Aus den Bedingungen (7)- (9) kann auf einen linearen Zusammenhang zwischen Belastung und Schnitt­und Verformungsgrossen geschlossen werden. Somit sind Stabilitatsprobleme auszuschliessen. Es liegt ein Problem nach Theorie 1. Ordnung vor.

lm folgenden wird ausschliesslich der zweiteilige Querschnitt mit den Bezeichnungen nach Bild 9 be­trachtet . Es ist jedoch moglich, durch einfache Umformungen aus der Betrachtung dieses allgemeinen Falles auf das Verhalten mehrteiliger Querschnitte zu schliessen, die jedoch bestimmten Bedingungen

13

genugen mussen . In Bild 8 sind diese mehrtei ligen Querschnitte m it den auf den allgemeinen zweiteiligen Querschnitt bezogenen Umformungen angegeben .

E A 1 1

. Jb, + h,} e = ------,--

8, 2EI "I E.A.e' l = , .+ e:aa+-,:--

"' = k/2

E A 1 1

B. 2E I 2 "I E,A, e' ' = ,,+ ~J·-z--

k' = k

Bild 8: Spezielle mehrteilige Querschnitte

nl --t ' El A/

1

n2 - ·

E2 A2 ,;

t A 1 1

e' = h, - h 1

"' = k

"' = "

bl

b2

Bild 9 : Allgemeiner zweiteiliger Querschnitt

+

E A 1 1

. _ I b, + b,j • - --2-

"' = k

(b, + h,l -----,--

2E,I, + 2 E,A , ~A1 e'' B' = E,I, + {E,A, + 2 ElA

1}

"' = 2 k

hl

t.e e

h2

14

In Bild 9 ist fur den allgemeinen Fall des Verbundquerschnittes eine klaffende Fuge zwischen den beiden Teilquerschnitten vorgesehen, die real durch eine statisch nicht wirksame, inkompressible Schicht z.B. eine Spanplatte als verlorene Schalung entsteht. Die Obertragung der Schubkrafte erfolgt direkt zwischen den Teilquerschnitten und ohne Mitwirkung der Zwischenschicht. Die klaffende Fuge beeinflusst also lediglich den Hebelarm der Normalkrafte und somit die Aufteilung des ausseren Me­mentes auf die Einzelbiegemomente und das Normalkraftpaar. Da die Einzelbiegemomente kleiner werden, wird auch die Durchbiegung des Tragers reduziert. Gleichzeitig erhoht sich die zwischen den Teilquerschnitten zu ubertragende Schubkraft, so dass sich eine grossere Verschiebung der Teilquer­schnitte gegeneinander einstellt. Der Effekt einer klaffenden Fuge zwischen den Teilquerschnitten kann also zusammenfassend als Reduktion der Tragerdurchbiegung auf Kosten einer Erhohung der Fu­genverschiebung beschrieben werden. Fur die Herleitung der Differentialgleichungen wird der zwei­teilige Querschnitt ohne klaffende Fuge betrachtet. lm Anschluss an die Losungen fur die verschie­denen Lastarten wird gezeigt, wie eine klaffende Fuge in den Eingangsgrossen der Berechnung berucksichtigt werden kann .

In Bild 10 sind die Schnittkrafte am horizontal in der Fuge geschnittenen Balkenelement der Lange dx eingetragen. Aus den Gleichgewichtsbedingungen fur das Element konnen die Gesamtschnittgrossen angegeben werden :

N so dass Nl (6)

Q Ql + Q:l (7)

M = Ml + M2- N I al+ N 2 a2 (8)

hI h2 e - + - (9)

2 2

dX---4-

Bild 10: Schnittkrafte am Balkenelement

15

Die Gleichgewichtsbedingungen fUr die Teilquerschnitte Iauten:

(1 0)

dN1 --+T =0

dx 1 ( 11)

(12)

(13)

(14)

Gl. (14) und Gl. (12) in Gl. (6) eingesetzt ergibt

T = T = T 1 2 (15)

Q -qdx -p dx-Q -dQ =0 1 1 1 1 (16)

(17)

Q 2 + p 2 dx - Q 2 - dQ 2 = 0 (18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

16

MI QI TI hI

- + - = 0 2

(26)

dM 2 Q2 T 2

h 2 -- - + - = 0 dx 2

(27)

M 2 Q2 T2 h 2

- + - 0 2

(28)

MI M2 QI Q2 TI hi h2

+ - - + - + T2 - 0 2 2

(29)

Q 0 (30)

- q (31)

Durch Einsetzen der Elastizitatsbedingungen

T=T =T =ku I 2 (32)

M. l

w = (33) E .l.

L L

undmitG1.(1)

(34)

erhalt man die erste Differentialgleichung

w irv ( E 1 / 1 + E 21

2) + k u e = - q (35)

Fur die zweite Differentialgleichung werden die geometrischen Vertragl ichkeitsbedingungen in der Fuge nach Bild 11 verwendet. Es gilt

~ 1 + du 1 + u + du - du 2

- t::. 2

- u 0 (36)

17

Bild 7 7: Verlormungsgeometrie

mil du 1

dNI dM 1

h1 ) dx (37)

+

Da in diesem Ausdruck Produkte zweier differentieller Grossen auftreten. werden du 1,2 vernachlassigt.

du = !:J. 2 - fl. I (38)

( I + c N, 1 + c 8, 1 ) dx (39)

t:. 2 = ( I + c N,2 (40)

du = ( t: N 2 - C N I - c B 2 - C B I ) dx ' ' ' '

(41)

Die Dehnungen infolge Normal kraft und Moment in den Teilquerschnitten lassen sich durch d ie Spannungs-Dehnungs-Beziehungen ausdrucken

N 0

N,i r.N.i EN . = ·' A .

(42)

N

cN,i = (43)

E .A l

M . h ± EB . ±

l 0

8 , 1 c B,i = ,I

I . 2 (44)

l

18

M . h . h . ± I I + I (45)

eB,i = --- w . I

2 E . I . 2 I I

Daraus folgt

N2 NI .. ( hi h2 ) (46) u = + w - + -E2A2 EIAI

2 2

mit Gl. (9)

. ' N2 NI

(47) u = + ew

E2A2 EIAI

und Gl. (6)

u = N '(-1 + _I ) + ew (48)

EIAI E2A2

Da nach Gl. (12) bzw. Gl. (14)

N = T = k u (49)

erhaltman

u = k u (-I + _I ) + ew (50)

E IA 1 E2A2

k u (-I + _I ) IV = 0 (51) u ew

EIA1 E2A2

2 k (E1A1 + E2A 2)

(52) mit w = E I A 1 E 2A 2

(1)2 IV (53) u u ew 0

Die entkoppelte Differentialgleichung fur die Balkendurchbiegung w erhalt man, indem Gl. (35) nach u' aufgelost und daraus u"' abgeleitet wird. Diese beiden Ausdrucke werden in Gl (53) eingesetzt. Fur

I

19

die entkoppelte Differentialgleichung der Fugenverschiebung u wird analog vorgegangen, indem Gl. (53) nach wiV aufgelost und in Gl. (35) eingesetzt wird .

IV (E/1 + E 212) + k u w e = - q

VI w

u

u

= w

= w

Mit der Abkurzung

IV

VI

(E1

I1

+ E 212) q

k e k e

( E /I+ E 21 2 ) q

k e

q

k e

( E 11 1 + E 2 1 2 )

k e

IV ( E 111 + E 212 ) w

k e

1

( E 11 1 + E 21 2 )

lautet die entsprechende Differentialgleichung der Balkendurchbiegung

VI w

Aus Gl . (35) erhalt man

IV w =

in Gl (53) eingesetzt

1 ------(q

( E 111 + E 212)

k e u + q

q

k e

q

2 (.o) -

(35)

(54)

(55)

e w IV = 0

(56)

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

20

k e u + q u u - e------- = 0 (62)

zusammengefasst

q e = (63)

und umgeformt mit Gl. (59) liefert die entkoppelte Differentialgleichung der Fugenverschiebung

u q e

(64)

Der Ansatz fur die homogenen Losungen geht aus den charakteristischen Polynomen und deren Null­stellen hervor. Es erscheint sinnvoll, an dieser Stelle die dimensionslosen Ausdrucke fur die betrachtete Tragerstelle ~ und die Schubeinflusszahl A. einzufuhren.

X

~ = l

Fur die Differentialgleichung der Balkendurchbiegung Gl. (60) lautet das charakteristische Polynom

mit den Nullstellen

und dem Satz zugehoriger Funktionen

2 3 2 2 3 3 1 , .x , .x , x bzw . 1 , l ~ , l ~ , l ~

A - X l e e

A --X

l ),_7 _),_ 7 bzw. e ., , e .,

Allgemein gilt der Zusammenhang zwischen den Exponential- und Hyperbelfunktionen

(65)

(66)

(67)

1

21

cosh z + sinh z = e z (68a)

oosh z - sinh z = e - z (68b)

H 1 ( cosh z + sinh z ) + H 2

( oosh z - sinh z ) = K 1

cosh z + K 2

sinh z (69)

so dass der Ansatz fUr die hom ogene Losung der Differentialgleichung lautet

w h ( ~) = A 1 sinh ( A ~ ) + A 2 cosh ( !.. ~ ) + A 3

l 3 ~ 3 + A 4

l 2 ~ 2 + A 5

l ~ + A 6

(70)

Als Ableitungen erhalt man

h h w h ( ~ ) = A 1 l cosh ( A ~ ) + A 2 l sinh ( !.. ~ ) + 3 A

3 l 2 ~ 2 + 2 A 4 l ~ + A 5

(71)

A 2 A. 2

w ~· ( ~ ) = A 1 l 2

sinh ( A ~ ) + A 2 [2 cosh ( A ~ ) + 6 A 3

l ~ + 2 A 4 (72)

000 A3 1..3 w h ( ~ ) = A 1 "'i3 cosh ( A ~ ) + A 2 [3 sinh ( A ~ ) + 6 A 3

(73)

In gleicher Weise wird der Ansatz fur die homogene Losung der Fugenverschiebung u ( ~) hergeleitet. Das charakteristische Polynom der Differentialgleichung Gl. (64)

hat die Nullstellen

D =0 1

mit dem Satz zugehoriger Funktionen

}o. A - :t -- :z:

1 , e l l Jo.( -A~ bzw. 1 , e , e e

Daraus folgt

u h ( ~ ) = B 1 sinh ( A < ) + B 2 cosh ( !.. ~ ) + B 3

(74)

(75)

(76)

22

Durch Einsetzen des Ansatzes fur die Fugenverschiebung und Gl. (73) in die Kopplungsbedingung Gl. (SO) und anschliessenden Koeffizientenvergleich konnen die Koeffizienten B 1, B2 und B

3 durch die

Koeffizienten A 1, A2 und A3 ausgedruckt werden.

A 2

w 2

( H 1 sinh (A < ) + B 2 cosh ( .\ < ) + B 3

) + H 1

I 2

sinh (A ~ ) +

A 2 A 3 e A 3 e + B 2 - cosh ( A < J - A

1 l 2 cosh ( A < ) - A ·> -- sinh ( ,\ < J - 6 A e = 0 - I 3 3

(77)

sinh ().. ~) Bl p A2 B, A2

= = (78) p

1 - B 2 6 A 3

e = 0 (79) 3 w -

6 e

B3 = A3 (80) 2 w

cosh (A l,) H2 p AI B2 A,

(81) = = p

Damit lautet der homogene Losungsansatz fur die Fugenverschiebung

A 2 A 1 6e u h ( < ) = sinh ( A l, ) + cosh ( }.. < ) - A

3 p p w2 (82)

mit der Abkurzung

p 1) ke2

= ---) (83)

A. e !: E, I,

und den Ableitungen

A2 X AI A uh <<> = rosh ( }.. l, ) + sinh (A < )

p l 13 (84)

(85)

23

Den inhomogenen Losungsanteil zur Berucksichtigung der Storfunktion erhalt man nach Einsetzen der Belastungsfunktion in die rechte Seite der entkoppelten Differentialgleichungen Gl. (60) und Gl. (64}. 1st die Belastungsfunktion nicht stetig uber die Tragerlange, so mussen die Differentialgleichungen be­reichsweise gelost werden und die Losungen durch entsprechende Obergangsbedingungen verknupft werden (z.B.bei Punktlasten). In der Regel ist die Belastungsfunktion vom gunstigen Typ, d .h. sie kann durch eine Linearkombination von Exponentialfunktionen ausgedruckt werden. Der zugehorige Ansatz fur d ie inhomogene Losung ist unter Beachtung moglicher Resonanzen in die entsprechende, entkoppelte Differentialgleichung einzusetzen. Durch Vergleich der Koeffizienten der dann noch auftretenden Exponentialausdrucke werden die unbekannten Koeffizienten ermittelt. In den folgenden Kapiteln werden die allgemeinen Losungen fUr verschiedene Belastungsfunktionen angegeben und fur den Fall des frei aufliegenden Einfeldtragers die exakten Losungen hergeleitet.

3. DER FREI AUFLIEGENDE EINFELDTRAGER UNTER GLEICHFORMIGER BELASTUNG

Die Differentialgleichung der Balkendurchbiegung

A. 2 1 VI IV = w2q w w q

l 2 (E /1 + E 212)

(86)

wird mit

q ( ~ ) = q 0

= con.st. " q ( ~) 0 (87)

zu

A. 2 (1)2 qo wVl- IV w

l 2 (Elil + E212)

(88)

Der Ansatz fUr die Partikularlosung lautet wegen vielfacher Resonanz (vierfache Nullstelle des charakteristischen Polynoms D = O)

w ~ = 24 A 7

Durch Einsetzen in Gl. (88) und Koeffizientenvergleich lasst sich der Koeffizient A7 berechnen.

A = 7 mU B

B ist die Biegesteifigkeit des Gesamtquerschnittes unter der Annahme ideal starrer Verbindung der Teilquerschnitte in der Fuge.

Die inhomogene Partikularlosung lautet also

w = p

(89)

(90)

(91)

24

Durch Einsetzen der Belastungsfunktion in die Differentialgleichung fUr die Fugenverschiebung GL (64) erhalt man analog

A 2

u

und damit bei einfacher Resonanz den Ansatz

u u u 0 p p p

Der Koeffizient B 4 geht wiederum aus dem Koeffizientenvergleich hervor

Die inhomogene Partikularlbsung ist somit

u p ~ =

A 2 ( E 111 + E 212 )

q 0

e l

B w 2

(92)

(93)

{94)

(95)

Die allgemeinen Lbsungen fur die Durchbiegung des Verbundtragers und die gegenseitige Verschie­bung der Teilquerschnitte in der Fuge unter Gleichstreckenlast konnen somit angeschrieben werden.

w ( 0 A 1 sinh (A ~ ) + A 2 rosh (A ~ ) + A 3

l 3 4 3 + A 4

l 2 ~ 2 + A 5

l ~ + A 6

+

3 A A q o l

w ( ~ ) = A 1 l cosh ( A ~ ) + A 2 l sinh ( A ~ ) + 3 A 3

l 2 ~ 2 + 2 A 4

l ( + A 5

+ 6

B ( 3

(97)

w

A2 A2 qol2

( 0 = A 1

sinh ( A ~ ) + A 2 - cosh (A ~ ) + 6 A 3

l ~ + 2 A 4

+ ~ 2

zZ zZ 2B (98)

I '

6 e A2 A1 u ( ~ ) = sinh (A ~ ) + cosh ( A ~ )

w 2 A -

3

A A q o e u ( 0 = A 2 - cosh ( A ~ ) + A

1 sinh ( A ~ ) -

Pl Pl Bw2

A 2 A 2

u ( 0 = A 2 sinh ( A ~ ) + A 1

cosh ( A ~ ) pz2 pz2

25

(99)

(100)

(1 01)

Die sechs unbekannten Koeffizienten konnen durch jeweils drei unabhangige Randbedingungen an den Enden des frei aufliegenden Tragers bestimmt werden. An diesen Stellen sind die Momente und Durchbiegungen bekannt.

l I I I I I I I I I I I I I I I I I I I 1 ~ ~

..... , ---+• ~

I~= o I Bild 7 2 : Einfeldtrager unter Gleichstreckenlast

G) w (0) = 0 @ w (1) = 0

® M (0) = 0 ® M (1) 0

® M i (0) 0 0

Aus der Bedingung 0 erhalt man direkt

(1 02)

Die Beziehung zwischen Einzelmoment und Durchbiegungsfunktion lautet nach Gl. (33)

26

w ( 0) = M. ( 0)

I

E . I . I I

Damit kann Bedingung ® ausgewertet werden

A 2

A - + 2 A4 2 l 2

0

w (0)= 0 (1 03)

.A 2

(104)

Fur die Erfullung der Bedingung ® muss Gl. (46) umgeformt, nach N aufgelost und dieser Ausdruck in Gl. (8) eigesetzt werden.

u = (1 OS)

N=(u w e ) (1 06)

M = - w .. ( E 11

1 + E

21

2 +

( E 1 A 1 + E 2A 2) ) + u

E 1 A

1 E

2A

2 e

(1 07)

e k M = w B + u

w2 (108)

e k M ( 0) = w ( 0 ) B + u ( 0 ) = 0

2 w (1 09)

Wird nun noch Gl. (103) eingesetzt, so lautet die Bedingung ®

' u (0) = 0 (11 0)

Dam it erhalt man den Koeffizienten A2

0 ( 111)

und aus Gl. (102) bzw. Gl. (104)

27

( 112)

Analog ergibt si<h aus Bedingung ®

A A q o e A

2 - cosh ( A ) + A

1 sinh ( A ) - = 0

(31 (31 Bw2

( 113)

und mit Gl. (111)

q 0

e 1 (3 1 - cosh ( .\ )

sinh (A )

In Bedingung ®

= 0 (115)

werden die inzwischen bekannten Koeffizienten A 1, A 2 und A 4 eingesetzt und nach Aa aufgelost.

( - 1 + cosh ( A ) - cosh ( A ) + 1 ) -6 B1 2 w 2

Schliesslich liefert Bedingung @ den letzten unbekannten Koeffizienten As

=

3 2 q 0 l 4

A 1

sinh ( f. l + A 2

cosh (A ) + A 3

l + A l + A l + A + 4 5 6 24 B

+

(116)

0 ( 117)

0 (118)

(119)

28

Die Gleichung fur die Balkendurchbiegung wander Stelle ~

1 - cosh ( A ) q 0 e !3 l q 0 e l !3 w(O=--­

B A w 2 ----- sinh (A~) + cosh (A~)

sinh ( A ) B .A w 2

~3 + 12 B

wird zusammengefasst

~ + + BA.w 2

q0

e!3lA ----l;2-

2 B w 2

(120)

w <O = 1 - cosh ( A ) A 2

} sinh ( A ~ ) + cosh (A l; ) + -

2 ( ~ - l; 2

) - 1 sinh (A )

+ 4

q 0 l

24 B

Mit Hilfe von Gl. (83) kann der erste Teil von Gl. (121) umgeformt werden

) { _1_-_co_s_h_(_A_)

sinh (A )

Das Polynom der Variablen lautet somit

4 q 0 l

24 B

4 q 0 l

24 B

2 a

A 2

sinh ( A l; ) + rosh ( A l; ) + - ( ~ -2

( 121)

(123)

(124)

( 125)

Es gilt

1

2 a

29

( 126) a 2

a 2 ist eine dimensionslose Grosse und wird nur von der Geometrie und den E-Modui-Verhaltnissen des Querschnittes bestimmt. Sie gibt an, wie gross der Steiner-Anteil an der Gesamtbiegesteifigkeit ist.

Mit den Beziehungen

sinh ( 2 z) 2 sinh z rosh z rosh ( 2 z ) sinh 2 z + rosh 2 z

cosh 2 z - sinh 2 z = 1

erhalt man die Umformung fur

1- cosh (X) ---- sinh (X~) = - tanh (X 12) sinh (X~)

sinh (X )

und fUr den gesamten Teil transzendenter Funktionen

( 127)

( 128)

( 129)

- tanh ( .\ I 2) sinh (X ( ) + cosh (X ~) cosh ( A ~ ) cosh ( .\ I 2 ) - sinh ( X ( ) sinh ( A I 2 )

cosh (A I 2 )

Des weiteren mit

cosh ( z ± y ) = rosh z cosh y ± sinh z sinh y

cosh ( A < ) cosh ( A I 2 ) - sinh ( A ( ) sinh (}. I 2 )

rosh (!I I 2 )

die kurzere Schreibweise

) ( cosh ( A [ ~ - 0 . 5 ] )

rosh (A 12 )

cosh (A [ ~ - 0 .5 J)

cosh (X I 2)

cosh ( - z ) = cosh z

rosh (A [ ( - 0.5 l ) rosh (X I 2 )

(130)

(131)

(132)

(133)

( 134)

30

a 2 1 ( cosh (A [ ~ - 0.51)

1 - a 2 0 cosh (A /2)

(135)

Die Gleichung fOr die Balkendurchbiegung w( ~) erhalt somit die Form

w ( ~ ) q 0 1

4 { ~ [ _1_ ( ~ _ ~ 2 ) + ~ (cosh (A [ ~ - 0 .51) _

1) ] +

B 1-a 2 2A 2 A cosh (A /2)

+ 1 ( ~ - 2 ~3 + ~4 ) }

24 (136)

Setzt man die berechneten Koeffizienten A1. A2 und As ebenfalls in die allgemeine Losung der Differentialgleichung der Fugenverschiebung ein, so erhalt man

q 0 e l { ( 1 - cosh ( A ) ) u ( ~ ) = sinh ( A ~ ) + cosh (A ~ ) +

B A w 2 sinh ( A ) 2

Die Umformungen analog zu den vorher gezeigten

1 A. 1 1

= A z2w2 2 1 - a 2 2 A 2

sinh (A ~) + 1- cosh (A)

cosh (A ~) sinh (A. )

fOhren zu der handlicheren Schreibweise

{ 1 1 u ( ~) = B

= sinh (A [ 0.5 - ~ 1 )

cosh (1/2)

sinh (A. [ 0.5 - ~ 1 )

cosh (A /2)

(137)

(138)

(139)

) } (140)

31

4. DER FREI AUFLIEGENDE EINFELDTRAGER UNTER LINEAR VERANDERLICHER BELASTUNG

Fur die exakte Losung dieses Problems kann prinzipiell die gleiche Vorgehensweise gewahlt werden wie im vorherigen Fall des frei aufliegenden Einfeldtragers unter gleichformiger Belastung. Die Belastungsfunktion

q (~)=0 (141)

wird in die entkoppelten Differentialgleichungen der Balkendurchbiegung Gl. (60) und der Fugen­verschiebung Gl . (64) eingesetzt. Die Ansatze fur die inhomogenen Partikularlosungen Iauten

und (142)

Nach Einsetzen der entsprechenden Ableitungen in die entkoppelten Differentialgleichungen erhalt man die inhomogenen Partikularlosungen

und u = p

q o l a 2

---- ~2 2 e k

(143)

Fur die Ermittlung der Koeffizienten A 1 bis A5 werden die folgenden Randbedingungen verwendet

Bild 13 : Einfeldtrager unter linear veranderlicher Last

<D w (0) 0 G) w (1) = 0

® M (0) = 0 ® M (1) = 0

® Mi (O) = 0 0

Der Rechengang istder gleiche wie im Kapitel3 dargestellt. Die Koeffizienten Iauten

Al = q

0elP 1

----B A c..>

2 sinh ( "A )

(144)

32

q 0

e A p

6 B w 2

36 B

( 1 + 6 A 2

(145)

(146)

7 (147)

360 B

Nach einigen Umformungen erhalt man die exakten Losungen fur die Balkendurchbiegung und die Fugenverschiebung durch Einsetzen der Koeffizienten

{ l :: 2 I ( sinh (A. < l + ~ ) I + A 4 sinh ( 11 l

(148)

u ( <> = (

1 cosh (A <) - a 2 0 - A 3 sinh 11. + B

(149)

Durch Superposition dieses Lastfalles mit dem der Gleichstreckenlast kann jede trapezformige oder verschrankt lineare Belastung berechnet werden.

5. DER FREI AUFLIEGENDE EINFELDTRAGER UNTER SINUSFORMIGER BELASTUNG

Fur die Belastungsfunktion

q ( ~ ) = q 0

sin ( n < )

und deren zweite Ableitung

2 n

- q 0

sin ( n < ) L 2

(150)

( 151)

33

wird als Ansatz fur die in hom ogene Partikularlosung

w P = A 1 sin ( n ~ ) + A 2 cos ( n ~ ) (152)

bzw.

u P = B 1 sin ( n ~ ) + B 2 cos ( n ~ ) (1 53)

gewahlt. Durch Einsetzen der entsprechenden Ableitungen in die entkoppelten Differentialgleichun­gen und anschliessenden Koeffizientenvergleich erhalt man die inhomogenen Partikulatlosungen

( n 2 w2) + qo l 2

(1 54) w sin ( n ~) p

(E1I1 + E 212) ( n 6 4

h 2) n

-+ l 6 l 6

und

q o e 1 u = cos(n 0 (1 55) p n3 ( E 1 I 1 + E 212 ) ( n

A 2) -+ l 3 l 3

Die Randbedingungen sind bereits aus den beiden vorhergehenden Kapiteln bekannt.

q 0 sin (II~ )

d11111Jlllll~ ~ ~

f ... ~

Bild 14 : Einfeltrager unter sinusformiger Be/astung

<D w (0) 0 @ w (1) = 0

® M (0) = 0 ® M (1) 0

0 0

34

Mit der Erfullung der Randbedingungen werden aile noch unbekannten Koeffizienten der allgemeinen Losung zu Null, so dass die exakten losungen gleich den inhomogenen Partikularlosungen sind. Nach geringfOgigen Umformungen Iauten die Gleichungen fOr die Balkendurchbiegung und Fugenver­schiebung:

w <O =

u ( 0 =

4 q 0 l

B n 4

3 q 0

e l

B n

sin ( n ~)

1 1 cos ( n ~)

1 -a 2 ( n 2 + A 2

)

6. DER FREI AUFLIEGENDE EINFELDTRAGER UNTER EINZELLAST AN BELIEBIGER STELLE

(156)

(157)

lm folgenden wird der allgemeine Fall einer Einzellast an der Tragerstelle ~ = cp behandelt. lm An­schluss daran werden einige Sonderfalle untersucht. Prinzipiell kann jede Kombination von Einzellasten mit Hilfe des Superpositionsgesetzes berechnet werden. Wegen der (theoretisch vorausgesetzten) line­aren Kraft-Verformungs-Beziehungen ist dieses uneingeschrankt gultig . Die Besonderheit des lastfalles Einzellast liegt darin, dass die Belastungsfunktion unstetig ist. Daher konnen die Balkendurchbiegung und die Fugenverschiebung uber die Tragerlange nicht mehr durch jeweils eine Gleichung beschrieben werden. Es mussen zwei getrennte Ansatze fur die Funktionen links und rechts der Unstetigkeitsstelle gemacht werden, sodass sich die Anzahl der unbekannten Koeffi­zienten entsprechend auf zwolf verdoppelt. Da keine Belastungsfunktion jenseits der Unstetigkeits­stelle existiert, sind die zu losenden Differentialgleichungen homogen. Die zwolf unbekannten Koeffi­zienten konnen also sofort durch Einsetzen der linear unabhangigen sechs Rand- und sechs Ober­gangsbedingungen in die Gl. (70)-(73) und Gl. (82)-(85) ermittelt werden. Die Koeffizienten der Funkti­onen fur die Iinke Tragerseite werden mit Ai die der rechten Tragerseite mit Ci bezeichnet.

p

i 1- cp

~ +-f __ ._.., ~

I~= o I Bild 15 : Einfeldtrager unter Einzellast an der Tragerstelle ~ = <P

Randbedingungen :

(!) W} (0) = 0

0

® Mli(O) = 0

Obergangsbedingungen :

0 M1 (<I>) = M2 (<!>) = P ( 1 - <1>) <1>

® Ql (<I>) = Q2 (<!>) + p

® U} (<f>) = U2 (<f>)

Aus den Randbedingungen <D bis ® erhalt man direkt

Mit den Obergangsbedingungen 0 und ® wird

P(l -<!>)

6B

P<P 6B

p <I> l c =- --

4 2 B

Die Koeffizienten A,, C, und C2 werden mit Hilfe ®, ® und@) berechnet

p a2 ( sinh (A <1>) - cosh ( l <1>) ) AI

B b w 2 tanh (A )

p a2 sinh (A <1>) cl =

B b w 2 tanh ( A )

p a2

c2 = sinh (A <P) B b w 2

35

0

0

0

( 159)

(160)

(161)

(162)

(163)

(164)

(165)

Schliesslich werden fur die Berechnung der Koeffizienten A 5, c5 und c6 die verbleibenden Obergangs­bedingungen <D0, <D®, ® und@ verwendet. Man erhalt

36

p ( 6 a 2

-<t> l - <t>2

L2

C3-<t>l + 2<t>t 2 ) A5 = --(1 6B 2 w

(166)

p <t> ( 6 2 a l2(2+<t>2)) c5 = -

6 B 2 w (167)

p <t> l ( 6 2 a - <t> 2 l 2 ) c6 =

6B 2 w (168)

Nach dem Einsetzen der Koeffizienten in die allgemeinen Losungen der homogenen Differential­gleichungen fUr die Balkendurchbiegung Gl. (70) und die Fugenverschiebung Gl. (82) kann umgeformt und zusammengefasst werden . Die exakten Losungen Iauten dann

Bereich 1 ( 0 ::; ~ ::; <t>)

B { I:: 2 [ ( 1 -,.... ) 1 sinh (h. [ 1 - <t> ] ) l 't' ~ - - sinh ( A ~ ) +

A 2

A 3 sinh .\

P e L2

[ sinh ( 11. [ 1 - <t> J l j -- - ( I - <t> ) - cosh ( >.. ~ )

B l-a2

>..2

sinh >..

Bereich 2 ( <t> ::; ~ ::: 1 )

P !3 { 2 [ l a 1 1 sinh ( >.. <t> )

w 2 ( 0 = -- - ( I - ~ ) <t> - sinh ( >.. [ 1 - ~ I ) + B 1 -a

2 >.. 2 >.. 3 sinh >..

+ cp

6

(169)

(170)

( 171)

37

B (

sinh (A <t> ) ) ---- cosh ( A [ 1 - ~ ] ) - <P

1 -a 2 A 2 sinh A

1 (172)

Zur Berechnung eines durch mehrere Einzellasten an beliebiger Stelle belastet en Einfeltragers werden die jeweiligen Balkendurchbiegungen und Fugenverschiebungen superponiert. Dabei erhoht sich d ie Anzahl der die Verformungsgrossen uber die Tragerlange vollstandig beschreibenden Gleichungen auf n + 1 ( n- Anzahl der Einzellasten ). lm Sonderfall symmetrisch zur Feldmitte angeordneter Einzellasten ergeben sich Vereinfachungen wegen der ebenfalls symmetrischen Verformungsgrossen . Die Anzahl der zu deren Beschreibung benotigten Gleichungen w ird auf n' + 1 ( n' - Anza hl der Lastpaare ) redu­ziert. Durch die Symmetrieeigenschaft ist es moglich, im Faile n' = 1 ( Lastpaar in beliebiger symme­trischer Anordnung ) Rand- und Ubergangsbedingungen zur direkten Losung der homogenen Diffe­rentialgleichung anzugeben. So erhalt man d ie Losung fUr den einfachst en Fall einer in Feldmitte ange­ordneten Einzellast ( n' = 0) entweder durch die Ubergangsbedingungen der an der Unstetigkeitsstelle bekannten Schnitt- und Verformungsgrossen bzw. deren Ableitungen die benotigten oder durch Einsetzen von n == 0.5 in die Gl. ( 169) oder Gl. ( 171) bzw. Gl. ( 170).oder Gl. ( 172).

p 0.50

i +-----. .. ~

Bild 16 : Einfeldtrager mit Einzellast in Feldmitte

P z3 ( ~ -w ( () 48 B

u ( 0 B

0.50

sinh ( A ~ ) ) + 3 ~ _ 4 ~ 3 1 A cosh (A I 2)

cosh ( A ~ ) )

cosh (A I 2)

( 173)

(174)

38

lm Faile des Einfeldtragers unter beliebig symmetrisch angeordnetem Lastpaar ( n' = 1 ) empfiehlt es sich, die Gleichungen fur die Verformungsgrossen durch Einsetzen der Rand- und Obergangsbeding­ungen in die homogenen Differentialgleichungen zu ermitteln.

p p <P

± 1 - 2 <P

± ~ ~

f ... ~

I~= o I D Bild 17 : Einfeldtrager unter beliebig symmetrisch angeordnetem Lastpaar

Randbedingungen :

<D WJ (0) = 0

@ Mt (0) = 0

® Mli (0) = 0

Obergangsbedingungen :

® Mt (q>) = 0 Ql (q>) = ® UJ (q>)

® Mt (1)

Bereich 1 ( 0 $; ~ $; <P)

P(1-q>)q>

Q2 (q>) + p

U2 (q>)

M2 (q>)

a2

1-a 2

@ W2 (1) = 0

® M2 (1) 0

1 sinh ( A ~) l ~ - cosh ( ,\[(4>- 0.5)) +

.\ 2

.\ 3 cosh ( >. I 2 )

1

(175)

B

Bereich 2 ( <t> s ~ s 1 - <t>)

1 1

1-a 2 A 2

1

39

[ cosh ( A ~ ) I

1 - cosh ( A [ <t>- 0.5 1) cosh (h 12)

(176)

1-a 2 1 sinh ( ).. <P ) l

cosh ( J.. [~- 0.5]) + A 3 cosh ( ).. I 2 )

+ <P

2

P e Z2 1 1 sinh ( A <t> )

B 1 - a 2 A 2 cosh ( A I 2 )

Fur den Bereich 3 ( 1 - <t> s ~ s 1 ) gilt

(177)

sinh ( .\ [ ~ - 0.5 I) (178)

(179)

In experimentellen Untersuchungen wird haufig der Vierpunktversuch durchgefuhrt, bei dem ein Last­paar symmetrisch zur Feldmitte in den Viertelspunkten eines Einfeldtragers angeordnet ist. FOr die Aus­wertung solcher Versuche sei hier kurz die Losung angegeben, die man durch Einsetzen von 4>:::;; 0.25 in Gl. ( 175) bis Gl. ( 178) erhalt.

p p 0.25

± 0.50

± 0.25

~ ~ f .. ~

14 = o I D Bild 18 : Einfeldtrager mit in den Viertelspunkten symmetrisch angeordneten Einzellasten

40

Bereich 1 ( 0 s ~ s 0.25)

P z3 2 1 cosh ( A I 4 )

sinh ( A ~ ) l + a

w 1 ( ~ ) 2 A2 ~ -

A 3 cosh ( A I 2 ) B 1-a

1 ~ ( 9 - ~2 ) } +

6 16

( 180)

1 l cosh ( A I 4 ) l 1 - cosh ( A ~)

1 - a 2 A 2 cosh ( A I 2 )

( 181) 1

B

Bereich 2 ( 0.25 :s ~ :s 0.75)

a2 sinh ( A I 4 ) l ----cosh ( A[~- 0.5]) + cosh ( A I 2 ) B 1-a 2

+ ( 48 ~ - 48 ~ 2 - 1 ) }

(182)

384

1 sinh ( A I 4 )

1 -a 2 11.

2 cosh ( A I 2 ) sinh (A [ ~ - 0.5 ]) ( 183)

B

Fur den Bereich 3 ( 0.75 :s ~ :s 1) gilt wieder

(184)

7. DER FREI AUFLIEGENDE EINFELDTRAGER UNTER ZWANGSBEANSPRUCHUNGEN

In diesem Kapitel werden die Beanspruchungen eines Tragers durch klimatologische Einflusse und me­chanische Vorgange im Werkstoff untersucht, welche ohne Anderung der ausseren Last im Trager neben den Lastverformungen zusatzliche Formanderungen hervorrufen. Zu den klimatologischen Einflussen gehoren Temperaturschwankungen und Feuchtigkeitsanderungen in verschiedener zeitlicher Ausdehnung, welche je nach Warmeausdehnungskoeffizienten und Absorptionsverhalten des Materials unterschiedliche Auswirkungen haben . Der mechanische Vorgang im Werkstoff infolge

41

einer dauernden Belastung, das Kriechen, wird in erster Linie durch den Gefugeaufbau und die Moglichkeit zu Umlagerungen dieses Gefuges bestimmt. Daraus lasst sich ableiten, dass insbesondere in ihrer Mikrostruktur inhomogene Werkstoffe eine hohe Kriechfahigkeit besitzen, da durch die Steuung der Festigkeitswerte und die geometrischen Zwange grosse Spannungsdifferenzen zwischen benachbarten Querschnittsteilen auftreten konnen. Das fUhrt bei Belastung dazu, dass sich der Werkstoff mit der Zeit durch Umlagerungen in einen uber den Querschnitt ausgeglicheneren Spannungszustand bringt oder dass er sich- bei Kombination mit anderen Werkstoffen- teilweise der Belastung zu entziehen versucht und damit den Partnerwerkstoff starker belastet, soweit dieser nicht selbst versucht Belastung abzugeben. Generell entstehen durch die behinderte Formanderung eines Verbundquerschnittsteiles im Gesamtquerschnitt Zwangsbeanspruchungen. Daher ist die Beachtung von Temperaturanderungen, Schwinden und Kriechen nicht nur generell notwendig, um die Ge­brauchsfahigkeit aller Bauteile (Durchbiegungsnachweis) zu gewahrleisten, sondern in den Fallen, in denen der Tragerquerschnitt aus mehreren verschiedenen Materialien besteht, auch ein Gebot der Sicherheit (Spannungsnachweis). Bei der Berechnung von hochgradig statisch unbestimmten Systemen kommt der Berucksichtigung solcher Zwangsbeanspruchungen eine besondere Bedeutung zu, da sich in diesem Fall zum Teil erhebliche Veranderungen der Gesamtschnittkraftverlaufe uber die Tragerlange ergeben. Die Beanspruchungen aus Temperaturanderungen, Schwinden und Kriechen verursachen an einer bestimmten Tragerstelle Spannungsveranderungen, die sich nicht uber den Gesamtquerschnitt, sondern nur uber die gesamte Tragerlange ausgleichen. Als Beispiel seien hier Schragseilbrucken und Spannbeton-Durchlauftrager genannt, bei denen zum Teil erhebliche Veranderungen z.B. in den Auflagerreaktionen auftreten. Die Berechnung statisch bestimmter Systeme vere i nfacht sich gegegenuber der statisch unbestimmter Systeme insofern, als die erzwungenen Spannungsumlagerun­gen sich uber den Querschnitt ausgleichen und die Gesamtschnittkrafte an einer bestimmten Trager­stelle direkt aus dem der Zwangsbeanspruchung superponierten Lastfall (z.B . Eigengewicht) ermittelt werden konnen. Das Mass der zusatzlichen Belastung wird im wesentlichen durch die relative Form­anderung der am Aufbau des Verbundquerschnittes beteiligten Materialien infolge der jewei ligen Zwangsbeanspruchungen und die Steifigkeit der Verbindung zwischen den Querschnittsteilen bestimmt. Je grosser der Unterschied in der relativen Formanderung und je grosser die Steifigkeit der Verbindung ist, umso grosser ist die Spanungsanderung. Je nach Konstruktion werden die Teilquer­schnitte durch die Spannungsumlagerungen entlastet oder zusatzlich belastet. In der Praxis bereitet die Berucksichtigung von Temperaturanderungen, Schwinden und Kriechen gros­se Probleme, da wegen der Vielzahl der jeweiligen Einflussgrossen und deren komplexen Verknupf­ungen kaum eine mathematische Formulierung zu finden ist, die es erlauben wurde, die Zusam­menhange auch nur annahernd zu beschreiben. Um uberhaupt ein praktikables Bemessungsverfahren angeben zu kbnnen, ist eine Vielzahl von vereinfachenden Annahmen und sinnvollen Abschatzungen notwendig. Dieser Weg wurde beim Entwurf verschiedener Berechnungsverfahren und Normen be­schritten, wobei materialbedingt Schwerpunkte in der Wichtung der Parameter gesetzt wurden. Die umfangreichsten Untersuchungen zur Erfassung der Zwangsbeanspruchungen sind im Stahlbetonbau durchgefuhrt worden . Da Stahl weder kriecht noch schwindet, andert sich dessen Beanspruchung nur infolge Spannungsumlagerung durch Kriechen und Schwinden des Betons. Eine umfangreiche Ober­sicht der Rechnungsverfahren wird in [36] gegeben. Ein einfaches und dennoch ausreichend genaues Verfahren [37] berucksichtigt Schwinden und Kriechen und deren gegenseitige Oberlagerung durch eine Schwind- und Kriechfunktion, die inverse Funktionen des nach dem Code-Model! CEB/FIP 1978 ermittelten elastischen E-Moduls des 28 Tage alten Betons sind . Eingangsgrossen fur die Berechnung sind Umgebungsfeuchte, Betondicke und wirksamer elastischer E-Modul bei der Lastaufbringung. Die Temperatur spielt beim Vorgang des Schwindens durch den chem ischen Abbindeprozess eine unter­geordnete Rolle. Dagegen sind Beanspruchungen durch Temperaturanderungen im Stahlbetonbau wegen dem relativ hohen Warmeausdehnungskoeffizienten des Stahls immer dann zu berucksichtigen, wenn der Stahlanteil am Gesamtquerschnitt gross ist, was auf Verbundquerschnitte zutrifft. Jm Holzbau sind die Beanspruchungen aus Temperaturanderungen und Schwinden relativ einfach zu erfassen. Der Warmeausdehungskoeffizient des Holzes ist mit etwa 4- 6 x1 0 ·o I oc etwa halb so gross wie der von Stahl ( 12 x1 0 ·6 I oc) und Beton ( 8.5- 10 x1 0 ·6 I 0

() und die Schwind- und Quellverformun­gen Jangs der Faser sind mit 0.01% relativ zuverlassig anzugeben. Das Schwinden und Quell en radial und tangential zur Querschnittsachse ist durch eine Abminderung des wirksamen Bemessungsquer­schnittes ausreichend berucksichtigt. Die Erfassung des Kriechphanomens bereitet im Holzbau jedoch grossere Probleme. Zwar existiert eine Vielzahl von Untersuchungen zum Verhalten des Holzes bei Dauerbeanspruchung [39], jedoch ist die Obertragung der Versuchsergebnisse wegen ungenugender Deckungsgleichheit der Versuchsbedingungen mit denen der Praxis nur qualitativ mbglich. Bei Anwen-

42

dung der in den verschiedenen Normen angegebenen Verfahren [38] muss man sich bewusst sein, dass unter Umstanden wesentlich grossere Kriechverformungen auftreten konnen als berechnet. Wegen der grossen Streuung der Materialkennwerte kann an dieser Situation auch nichts geandert werden, solange keine zuverlassigen und einfach anwendbaren Sortierkriterien die unter Versuchsbedingungen gefundenen Korrelationen verschiedener Einflussgrossen auch in die Praxis ubertragbar machen. Die angegebenen Verfahren sind also grobe Abschatzungen der tatsachlichen, zu erwartenden Verfor­mungen aus Dauerbelastung. Die in [38] beschriebenen Normen berucksichtigen das Kriechen des Holzes durchweg durch eine Abminderung des wirksamen Elastizitatsmoduls. Wie wenig gesichert dieses Vorgehen ist, wird durch eine Untersuchung von Kufner [41] belegt, der einen Einfluss der Dauerbelastung auf den Elastitizitatsmodul statistisch nicht nachweisen konnte. In den Normen wird der Kriechfaktor wesentlich von dem Belastungsgrad (zulassige Last zu Dauerlast) und der Umge­bungsfeuchte beeinflusst. Der Zusammenhang zwischen Feuchtigkeit und Formanderungen wurde u.a. von Bethe [42] nachgewiesen, wahrend die Wichtung mit dem Belastungsgrad nicht besonders sinnvoll erscheint, da nach [38] bei einem Belastungsgrad von 20 bis 30% bezogen auf die Bruchlast (etwa Niveau der zulassigen Last) die zu beobachtenden Kriedwerformungen in der gleichen Grossen­ordnung liegen wie unter Eigengewicht (2 bis 4%). Bethe '.42] stellt im Bereich der zulassigen Belastung ein Verhaltnis des elastischen Elastizit<itsmoduls zum Anfangsmodul von 0.8 bis 0.9 fest. Angesichts dieser geringen Unterschiede erscheint eine derart starke Wichtung des Kriechfaktors mit dem Belastungsgrad, wie sie in den Normen vorgesehen ist, nicht gerechtfertigt. Hier scheint der Hinter­gedanke zu sein, die hohen Sicherheitsreserven bei der Bemessung nach zulassigen Spannungen ein wenig zu kompensieren. Fur die Bemessung von Holz-Beton-Verbundkonstruktionen wird langfristig eine Bemessung nach Traglasten angestrebt, weshalb ein Belastungsgrad von einheitlich 1.0 fOr den massgeblichen Kriechfaktor bei Gebrauchslast ( 1/ y- fache Traglast) vorgeschlagen wird. Fur die rechnerische Erfassung der Beanspruchungen aus Temperaturanderungen, Schwinden und Kriechen werden ausserdem folgende Annahmen getroffen:

- Als statisches System wird nur der Einfeldtrager betrachtet. lm Hinblick auf die gestellte Aufgabe, das Tragverhalten von Holz-Beton-Verbundkonstruktionen zu untersuchen, erscheint diese Ein­schrankung sinnvoll . Schelling [21) weist darauf hin, dass bei Durchlauftragern uber zwei gleiche Felder unter Gleichstreckenlast eine Abminderung des StUtzenmomentes zu beobachten ist, die mit abnehmender Steifigkeit des Tragers zunimmt. Ferner weist er darauf hin, dass die Verbundwirkung im Bereich der Mittelstutze nahezu verschwindet, sodass das Stutzenmoment fast ausschliesslich von den Einzelquerschnitten aufzunehmen ist. Die Auswertung zeigt, dass durch die im Mittelstutzen­bereich fast vollig aufgehobene Verbundwirkung der Durchlauftrager gegenuber dem ansonsten baugleichen Einfeldtrager eine rechnerisch geringere Tragfahigkeit besitzt. Es ist jedoch zu erwar­ten, dass nach lokalem Versagen des Querschnittes im StUtzenbereich Krafteumlagerungen statt­finden (Fiiessgelenke), sodass sich die Tragwirkung des Durchlauftragers immer mehr der des Einfeld­tragers nahert. Es liegt also nahe, im Sinne einer rationellen Bemessung auf die Durchlaufwirkung zu verzichten. Damit wird zusatzlich vermieden, dass die tatsachlichen Durchbiegungen von den berechneten zur unsicheren Seite hin abweichen.

- Aile drei Beanspruchungen werden getrennt betrachtet, gegenseitige Beeinflussungen werden nicht berucksichtigt.

- Das Kriechen des Betons und des Holzes wird durch die Abminderung des fur die Berechnung massgebenden E-Moduls in Abhangigkeit vom Belastungsgrad berucksichtigt.

(185)

- Das Kriechen der Verbindungsmittel wird auf gleiche Weise durch Abminderung des Verschiebungs­kennwertes k berucksichtigt.

(186)

43

- Der zeitliche Verlauf der Schwind- und Kriechverformungen interessiert nicht, nur der bei einer ge­planten Nutzungsdauer erreichte bzw. erreichbare Wert.

- Die aus Temperaturanderung und Schwinden entstehende Dehnung wird bei der Herleitung des Differentialgleichungssystems berucksichtigt, so dass mit den entsprechenden Vereinfachungen eine exakte Losung fUr diese Beanspruchungen ableitbar ist.

- Fur Temperaturanderung und Schwinden wird eine uber den Teilquerschnitt konstante Dehnung vorausgesetzt, Temperatur- und Feuchtigkeitsgefalle innerhalb des Teilquerschnitts bleiben unbe­rucksichtigt bzw. sind durch entsprechende Behandlung des Materials (langsames Trocknen des Hol­zes, Befeuchtung des Betons beim Abbinden) zu vermeiden, Eigenspannungen des Materials durch lnhomogenitaten werden ebenfalls vernachlassigt.

- Die Zwangsbeanspruchungen und massgebenden Materialkennwerte sind uber die Tragerlange konstant.

Die Losung der Differentialgleichungen fur den Fall Temperaturanderung und Schwinden erhalt man, indem die entsprechenden Formanderungen in die geometrischen Vertraglichkeitsbedingungen Gl. (46) eingearbeitet werden . Da vereinbarungsgemass die Dehnungen konstant uber die Teilquerschnitt­hohe sind, werden sie entsprechend den Normalkraftdehnungen behandelt. Soil zusatzlich noch eine linear Qber die Querschnittshohe veranderliche Dehnung berucksichtigt werden, so ist diese wie eine Momentendehnungen mit entsprechendem Vorzeichen ebenfalls in Gl. (46) einzuarbeiten.

Die Formanderungen der Teilquerabschnitte konnen allgemein geschrieben werden

t T $, 1 = a T $ , 1 6, t 1 (187)

t T $, 2 = a T $ , 2 6. t 2 (188)

Damit wird Gl. (46) um das Temperatur- bzw. Schwindglied erweitert

(189) u =

fur die weitere Berechnung wird zusammengefasst

(190)

8 ist also die Formanderungsdifferenz zwischen den beiden Querschnittsteilen . Das Vorzeichen ist positiv, wenn sich der untere Querschnitt starker ausdehnt als der obere. Aus dem Gleichungsaufbau Gl. (187) und Gl. (188) erkennt man, dass die Ursachen fur eine Formanderungsdifferenz un­terschiedlicher Natur sein konnen. Denkbar ist eine unterschiedliche Temperatur oder Feuchtigkeit der beiden Teilquerschnitte (z.B. Decke zwischen Keller und beheiztem Erdgeschoss), unterschiedliche Schwind- bzw. Warmedehnungskoeffizienten der aus verschiedenen Materialien bestehenden Teil­querschnitte (z.B. Holz und Beton) oder eine Kombination dieser Moglichkeiten.

Gl. (189) wird umgeschrieben und einmal abgeleitet. Man erhalt

u ( 191)

44

Da t::. ti und uti uber die Lange konstant angenommen wurden, gilt

0 = 0 ( 192)

Auf d ie allgemeine Losung der gekoppelten Differentialgleichungen hat die Formanderung infolge Temperatur oder Schwinden also keinen Einfluss. Da die Belastungsfunkt ion (Storfunktion) gleich Null ist. handelt es sich urn ein homogenes Problem, so dass die Gleichungen Gl. (70) und Gl. (76) direkt mit den Randbed ingungen ausgewertet werden konnen . Dabei ist jedoch zu beachten, dass sich die Beziehung zwischen Normalkrah, ausserem Moment und Verformungsgrossen gegenuber Gl. ( 1 09) andert.

M

N= ( -w e +u - 8)

w" ( El/1 + E 2/ 2 +

2 E1A

1 E

2A

2 e

------- ) + ( u

( E1

A1

+ E2

A2

)

a 2 B M w B+ ( u -8 )

e

- 8)

( 193)

(194)

E 1

A 1

E 2

A 2

e

(E1A

1 + E

2A 2 )

(195)

(196)

Die Randbedingungen dieses Problems sind .die gleichen wie bei den Lastfallen mit stetigem Verlauf der Belastungsfunktion.

£ ,

/

~ ""'

~ f II> ~ £2

I ~ = o I B Bild 19 : Einfeldtrager unter Zwangsbeanspruchung

G) w (0) 0 @ w (1) 0

0 M (0) 0 ® M (1) 0

® M i (0) 0 @ M · l (1 ) 0

45

Da nach ® und ®

w (0)= w (1)=0 (197)

erhalt man als Auswertung der Bedingungen ® und ®mit Gl. (196)

u (1 ) = 8 (198)

Damit sind zwei der sechs Randbedingungen von der Formanderung infolge Temperatur bzw. Schwin­den abhangig. Vor der Auswertung der Randbedingungen wird die Symmetrieeigenschaft dieser Bean­spruchung ausgenutzt, was die Berechnung der Koeffizienten vereinfacht. Diese Iauten dann

A4

A6

8 e 11.

2 cosh ( A I 2 )

? a-

2 e 8

z2 a 2

( A 2

- 1 ) 8 e A 2 8

(199)

(200)

(201)

(202)

Die Gleichungen fur die Balkendurchbiegung und die Fugenverschiebung ki:innen damit angegeben werden .

w ( ~)

u ( ~ )

8 [2 2 --a

e '

2 ( cosh (A [ 0.5 - ~I l _ 1 ) + 1 ~ (

1 _ ~ ) l

1'1. cosh (A I 2 ) 2

8 l sinh ( 11. [ ~ - 0. 5 I )

11. cosh (A I 2)

oder mit auf die Feldmitte transformierten Koordinaten

w ( ~ ) =

u ( ~ )

e

8 l sinh (A 0 A cosh (A 12)

cosh (A 0

cosh (A 12) - I ) + 8

~2 2

(203)

(204)

(205)

(206)

46

8. DIE BERECHNUNG DER SCHNITIKRAFTE

Fur die Beurteilung des Tragverhaltens und die Bemessung von Verbundkonstruktionen werden neben den Verformungsgrossen die Schnittkrafte benotigt. Es interessieren dabei in erster Linie die Momenten- und Normalkraftbelastungen der Teilquerschnitte, sowie die Schubkraft in der Fuge zwischen den Teilquerschnitten als Mass fUr die Beanspruchung der Verbindungsmittel. Von weniger grossem Interesse sind die Querkrafte in den Teilquerschnitten und der Pressdruck zwischen den beiden Konstruktionselementen . Der Zusammenhang zwischen den Verformungsgrossen und den Schnitt­kraften kann aus den Gleichungen abgeleitet werden, die schon fUr die Herleitung des Differential­gleichungssystems in Kapitel 2 verwendet wurden. lm einzelnen erhalt man aus Gl. (46) die allgemeine Gleichung fur die Normalkraft in den Teilquerschnitten, wobei zu beachten ist, dass eine positive Normalkraft im unteren Teilquerschnitt als Zugkraft und im oberen Teilquerschnitt als Druckkraft wirkt. lm Faile von Temperatur- und Schwindbeanspruchung ist der Klammerausdruck um den Term- 8 zu erweitern. Die Vorzeichenregelung kann Kapitel 7 entnommen werden .

a 2 B N(~)=(u CU w(i;)e)

e 2

(207)

Zur Kontrolle oder als einfacherer Weg kann Gl. (14) mit Gl. (32) verwendet werden . Allerdings muss dabei die lntegrationkonstante durch eine Randbedingung fur die Normalkraft bestimmt werden .

(208)

Fur die Berechnung der Einzelmomente in den Teilquerschnitten ergibt sich aus Gl. (3) bzw. Gl. (4)

,, M . (~)=- E .Iw C<>

I I I

(209)

Die Schubkraft in der Fuge wird nach Gl. (32)

T(~)=ku(i;) (21 0)

Die Fugenverschiebung u ( ~ ) ist dann positiv, wenn der obere Querschnitt am linken Auflager uber den unteren Querschnitt hinausragt. Die von einem Teilquerschnitt aufzunehmende Querkraft ist gleich dem Integral aus einem parabelformigen, durch die Momentenbelastung hervorgerufenen und einen linearen, aus der in der Fuge ubertragenen Schubkraft resultierenden Anteil der Schubspannung.

k h . I

E .! w (211)

L I 2

Der Pressdruck zwischen den beiden Teilquerschnitten schliesslich wird mit Hilfe von Gl. (21) berechnet.

p ( l, ) IV E 2

12

w ( <) + u ( ~) (212)

Auf den folgenden Doppelseiten werden jeweils links die Gleichungen fur die Durchbiegung, die Fugenverschiebung, die Normalkraft, die Einzelmomente, die Einzelquerkrafte und den Pressdruck

kein Verbund

·· .. ·-..

·· ..

elastischer Verbund

starrer Verbund

Bild 20 : Zusammensetzung der Schubspannungen uber die Teilquerschnitte

47

..··

zwischen den Querschnittsteilen angegeben. Durch eine moglichst einheitliche Schreibweise sol len die Gleichungen fOr die in den vorhergehenden Kapiteln besprochenen Lastfalle vergleichbar werden . Zusatzlich wird jeweils auf der rechten Seite eine graphische Darstellung fUr die Balkendurchbiegung, den in der Fuge w irksamen Schubfluss und das Verhaltnis von Normalkraftmoment zu der Summe der Einzelmomente gezeigt. Um eine moglichst allgemeine Aussage uber die Zusammenhange beim elastischen Verbund ZU

erhalten, werden folgende Abkurzungen verwendet:

a . = I

a2

1-a 2

w s

E .I . ! !

h . I

f3 . ! 2 e

Material- und Geometriefaktor nach Gl. (126)

Schubeinflusszahl nach Gl. (58) und Gl. (65)

Durchbiegung an derTragerst.elle ~ bei idea l slarrem Verbund

a ussere Q uerk ra fi a n der S t.eUe ~

(213 a)

(213 b)

(213 c)

(213 d)

(213 e)

In den Diagrammen sind die Extremwerte f.. = 0 ( kein Verbund) und f..~ co ( starrer Verbund) in etwas starkeren Linien dargestellt und formelmassig angegeben. Fur den Parameter :>.. werden folgende Werte untersucht:

[ 0, 1 , 2,3 , 4 , 5 , 10 ,oo I 2 k e• A. = --=--..:'----- (213 f)

Dam it ist in etwa der Bereich abgedeckt, der fur die Holz-Beton-Verbundbauweise anzunehmen ist.

48

Weg- und Schnittgrossen fur Gleichstreckenlast

w ( ~ ) = q 0 l 4

{ ~ I _I_ ( ~ - ~2) + ~ (cosh ( ,\ r ~ - 0 .5]) - 1) ] + B 1 -a 2 2 ,\ 2

,\ cosh ( ,\ I 2 )

+ 1 ( ~ - 2 ~3 + ~4) }

24

{ 1 1 u ( 0 = B

(214)

_si_n_h _c _x _l_~_-_o_. 5_1 l_ ) } cosh (,\ I 2)

(215)

a2

N < ~ ) = q o z2 [ 2

1 2 1 ( cosh [ ,\ ( ~- 0.5 ) 1 ) l (~-~)-2 1-

,\ cosh ( ,\ I 2 )

(216)

e

1 - ( ~ - ~2 ) ( 1-a 2) + 2

0 2 .2_ (

1 _ cosh [ ,\ ( ~- 0. 5 ) ] ) }

,\ 2

· cosh ( ,\ I 2 ) a .

I

a2

f 1 sinh[,\(~-0.5)] ( 0 .5- 0 +

e ,\ cosh ( ,\ I 2 )

{ 2 ( 1 sinh[,\ ( ~-0.5 )] )

Q 1. ( ~ ) = q 0 l a ( f3 ,--a

1. ) , + ( 0.5 - ~ ) + a .

11. cosh ( AI 2 ) 1

p ( ~ ) = q 0

{ a 2 ( f3 _ a ) ( cosh [ ,\ ( ~- 0.5 ) ] _ 1 ) _ a } 2 2 cosh ( ,\ I 2 ) 2

(217)

(218)

( 0.5 - ~ ) }

(219)

(220)

l I I I I I I I I I I I I I I I I I I I l ~ ~

f .. ~

A

1 Durchbiegung

A

1

Schubfluss in der Fuge

-------A

1 ~ f.-

Verha.ltnis Normalkraftmom ent zu Summe der Einzelmomente

Bild 21 : Auswertung der Gleichungen fur Gleichstreckenlast

------- -

0

--e

2 a --., 1 - a-

0

49

50

Weg- und Schnittgrossen fiir linear veranderliche Last

w ( ~) = { a

2 [ 1 3 1 ( sinh ( A ~ ) ) l -- --(~-~ )+- -~ +

1 -a 2

6 A 2 A 4 sinh A

1

+ ( 7 ~ - 10 ~ 3 + 3 ~ 5 ) } 360

(221)

a 2

(-_I +

A2

1 cosh (A ~) 1

---- + -6- ( 1 - 3 ~2) ) A sinh A

(222)

a 2

(~- sinh (A. ~) ) }

sinh A N<O

e

(223)

M . (0 I

T ( 0 a

2 1 1 cosh ( A ~ )

= q l - (- ( 1 - 3 <2) - + - ) 0

e 6 A 2 A sinh A

(225)

{ 2 ( 1 2 1 cosh ( >.. ~ ) 1 ) 1 2 } Q . ( 0 = q 0 l a ( 13 .-a . ) - (1 -3 ~ ) +- - - +a . - ( 1 - 3 ~ ) 1 1 1

6 A sinh A A 2 1 6

(226)

{ 2 ( cosh ( A ~ ) ) }

p ( ~ ) = = q 0 l a ( ~ 2- a 2 ) sinh A - ~ - a 2 ~ (227)

A

1 Durchbiegung

A

1

Schubfluss in der Fuge

Ws

-- 1-a2

0

Q Q2 _o_ e

A ~========~----~~ j-------------~====~~~

1 0

-Verhiiltnis Normalkraftmoment zu Summe der Einzelmomente

Bild 22: Auswertung der Gleichungen fiir linear veranderliche Last

51

52

Weg- und Schnittgrossen fur Sinuslast

w ( 0 =

N ( ~)

M ( ~)

T ( ~ )

p ( ~)

4 q 0 l

B n 4

B n

sin ( n ~ )

1 1

e

q 0 z2 a sin ( n ~ )

e

cos ( n ~)

2 ') 2 a (P

2-a

2).>..-+a

2n

(n2+A.2) sin ( n ~)

(228)

(229)

(230)

(231)

(232)

(233)

(234)

q 0 sin ( n ~ )

A.

1 Durchbiegung

A

1

SchubfZuss in der Fuge

A

1 Verhiiltnis Normalkraftmoment zu Summe der Einzelmomente

Bild 23: Auswertung der Gleichungen fur Sinuslast

--~ 2

1 · a

0

0

53

54

Weg- und Schnittgrossen furEinzellast in beliebiger Position

Bereich 1 (0 ~ ( ~ cp)

1 ( ) 1 sinh ( !.. [ 1 - cp 1 ) ] l-et>~-- sinh(!..{,)+

1..2

J. 3 sinhJ.

(235)

a 2

( sinh ( A [ 1 - 4> ]) ) u 1 ( 0 = P - ( 1 - 4> ) - . cosh ( A < )

e k stnh A (236)

a 2

( 1 sinh ( A [ 1 - 4> 1 ) ) ( 1 - cp ) ~ - , sinh ( A ~ )

e A ~~!..

(237)

M i . 1 ( ~ ) = P l a i ( ( 1 - a 2 ) ( 1 - cp ) ~ + a 2 1 sinh ( A [ 1 - 4> 1 ) ) ____ ___;_ sinh (A ~ )

A sinh A

(238)

a 2

( sinh ( A [ 1 - 4> ]) ) = P - ( 1 - <P ) - oosh ( A ~ ) e sinh A

(239)

{ 2 ( sinh ( A [ 1 - 4> l ) ) }

Q . 1 ( ~ ) = P a ( ~ - a . ) ( 1 - ct> ) - . h , cosh ( A. ~ ) + a 1. (1 - cp )

I, I I . Stn A

(240)

>.. 2 sinh ( >.. [ 1 - cp 1 ) = - p l a ( p 2- a 2 ) sinh A sinh ( >.. ~ )

(241)

Bereich2 ( rp 5 ( 5 1)

P 13 2

{ a [ 1 1 sinh (A cp ) ]

w ( ~ ) = - -- - ( 1 - 0 4> - -3

sinh (A [ 1 - < ] ) + 2 B 1 -a

2 A

2 A sinh A

+ : [ ~3- 3 ~2 + ( 2 + 4> 2 ) < - 4> 2] }

a2 ( u <O = P-2

e k

sinh (A 4>) ) cosh Od 1 - ~ 1 ) - 4>

sinh A

a 2

( 1 sinh (A 4> ) ) ( 1 - 4 ) 4> - - sinh ( A [ 1 - 4 ] )

e A sinh A

( 2 2 1 sinh ( .\ 4> ) )

M . 2 ( ~ ) = P I a . ( 1 - a ) ( 1 - 4 ) 4> + a - sinh ( A [ 1 - ~ 1 ) '·

1 A sinh A

a 2

( sinh ( A <P ) ) = P - - <P + cosh (A [ 1 - ~ ] ) e sinh A

55

(242)

(243)

(244)

(245)

(246)

Q . 2 ( 4 ) = P { a 2 ( ~ . - a . ) ( sin~ ( A 4> ) cosh (A [ 1 - 4 ] ) - <P ) - a . <t> } (24 ?)

I, I I smh A I

A 2 sinh ( A <t> ) = p l a ( ~ 2- a 2 ) sinh A sinh (A [ 1 - ~ I ) (248)

56

Bereich 1 und 2 ( rp = 0.5)

w ( 0 =

u ( 0 =

N (0 =

M ( 0 = l

a 2

24 ( 1 sinh ( J... ~ ) ) J ~ - + 3 ~- 4 ~ 3

1 - a 2

A 2

J... cosh ( J... I 2 )

2 e k

cosh ( J... ~) )

cosh (A 12)

2 e ( ~ -

1 sinh (A ~ ) )

A cosh (.\ I 2 )

p l

2 (

1 sinh (A ~ ) a . (1-a 2 )~+a 2

l A cosh (A I 2 ) )

= p a2 (I 2 e

cosh (A ~) )

cosh (.\I 2)

p

cosh ( J... ~)

cosh (.\I 2)

sinh (A ~ )

(249)

(250)

(251)

(252)

(253)

(254)

(255)

1 57

p

1 1 - <P

~ +-f __ _..,. .. ~

I~= o I

A

1 Durchbiegung

A

1 0

Schubfluss in der Fuge

A

1 Verhiiltnis Normalkraftmomenl zu Summe der Einzelmomente

Bild 24 : Auswertung der Gleichungen fUr Einzellast in beliebiger Position

58

Weg- und Schnittgrossen fur symmetrische Einzellasten in beliebiger Position

Bereich 1 ( 0 :::; ( :::; ¢)

{ a

2 f 1 1 sinh ( A ~ ) 1

~ - cosh ( A [(If> - 0.5 ]) + 1 - a

2 A 2 A 3 cosh ( A I 2 )

p e 12

B

cosh (A ~) ---- oosh ( A [ If>- 0.5]) cosh (A I 2 )

a 2

( 1 sinh ( A ~ ) ) N 1 ( 0 = P 1 - ~ - cosh ( A [ 4> - 0.5 ])

e A cosh ( A I 2 )

Mi. 1 ( ~) = P l a i ( 1 - a 2

) ~ + a cosh ( A ( cp- 0 .5]) ( 2 1 sinh ( A ~ ) )

A cosh (.A /2)

= p a 2 ( 1 - cosh ( A ~ ) cosh ( A [ 4> - 0. 5 ]) ) e cosh ( A I 2 )

Q. 1 (0=P [a 2(j3-a >(I , , l l .

cosh (A ~) ) oosh ( A [ If> - 0. 5 ]) + a .

cosh (A I 2 ) 1

A sinh ( .A ~ ) = - P - a 2

( ~ 2 - a 2 ) cosh ( A [ cp - 0 .5 ] ) l cosh (A I 2 )

(256)

(257)

(258)

(259)

(260)

(261)

(262)

59

Bereich 2 ( 4> s; ( s; 1 - 4>)

a 2

( 1 1 sinh ( A cp )

1 - a 2 , 2 cp - 3 rosh ( A [ ~- 0.5]) 1\ A cosh ( A I 2 )

+- (263)

2

P e 12

1 1 sinh ( A cp ) sinh ( A f < - 0. 5 ])

B 1 -a 2 A 2 cosh ( A I 2 ) (264)

a 2

( 1 sinh ( A <P ) ) N 2 ( 0 = P l - <P - cosh ( Af ~- 0.5 J)

e A cosh ( A I 2 ) (265)

M. 2 (0=Pl a.((l-a 2 )<P+ 1, 1

1 sinh ( A <P ) ) a

2 - cosh (A [ ~ - 0. 5 ] ) A rosh (A I 2 )

(266)

a 2

sinh ( A <P ) ) ---- sinh ( A [ ~- 0.5])

e rosh ( A /2 ) (267)

sinh ( A <P ) Q . 2 ( ~ ) = - P a

2 ( i3 . - a . ) sinh ( A [ ~ - 0. 5 ] ) 1

' ' 1

cosh (A /2 )

(268)

A a 2 sinh ( A <P ) =- P- <P 2-a 2 ) cosh(A[~-0 . 5])

l cosh (A /2 )

(269)

60

Bereich 1 ( 0 :5 ( :5 <}> = 0.25 )

a 2

( 1 cosh ( t. I 4 ) ) ~ - sinh ( A ~ )

e A cosh ( A I 2 ) (270)

M . 1 ( ~ ) = P l a . ( 1 - a 2 ) ~ + a 2 sinh ( t. ~ ) (

1 cosh ( t. I 4 ) )

z. 1

A cosh ( t. I 2 ) (271)

a 2

( cosh ( t. I 4 ) ) = P 1 - cosh ( A ~ ) e cosh (A I 2 )

(272)

Q i, 1 ( ( ) = p [ a 2 ( p i- a i ) ( 1 - cosh ( t. I 4 ) cosh ( t. ~ ) ) + a i l (273) cosh (A 12 )

A 2 cosh ( A I 4 ) =-P-a <P

2-a

2)

l cosh (A 12 ) sinh (A ~) (274)

Bereich 2 ( <}> = 0 .25 :5 ( :5 1 - 0. 75 )

1 sinh ( A I 4 ) ) cosh ( A [ ~ - 0. 5 ] )

A cosh (A I 2 ) (275)

M .2(0=Pla

I,

2 2 1 sinh (A I 4) ) ( 1 - a ) + a - cosh ( t. [ ~ - 0. 5 ] )

A cosh 0 12 ) (276)

a 2

sinh ( t. 14 ) (277) sinh ( A [ ~ - 0. 5 I )

e cosh 0 12 )

sinh (A 14) 2 Q . 2 ( ~ ) = - P a ( P . - a . ) sinh ( A [ ~ - 0. 5 ] ) 1

' 1 1

cosh ( A 12 )

(278)

cosh ( A. [ ~ - 0 .5 I) (279)

p <I>

± 1- 2 <I>

GJi f .. ~

I ~ = o I

,\

1 Durchbiegung

,\

1

Schubfluss in der Fuge

,\

1 Verhiiltnis Normalkraftmoment zu Summe der Einzelmomente

p

± ~

B

0

Qo a z

e

0

Bild 25 : Auswertung der Gleichungen fur symmetrische Einzellasten in beliebiger Position

61

62

Weg- und Schnittgrossen fur Zwangsbeanspruchungen

1 ( cosh (A [ ~- 005]) ) 1 -------1 + -~0-0

A 2

cosh ( A /2 ) 2

u ( ~ ) = 8 l sinh ( A [ ~ - 0 0 5 ])

A cosh (A /2)

N ( ~ ) a 2

( cosh ( A [ ~ - 0 0 5 ] ) ) =-B(l-a 2

) -I 6 e

2 cosh ( A /2 )

M . (~)=

' cosh (A [ ~- 0 05])

cosh (A/2) ) 8

T ( ~) = B (l-a 2 ) sinh(A[~- 005]) 8

cosh (A /2)

2 a A 2 sinh(A[~-005]) = --B ( 1-a )(P . -a . ) 8 e l ' ' cosh ( A /2 )

p ( ~ ) 2 ,2 h

a J\ 2 cos (A [ ~- 0 05 I) =--B(l-a )(p -a )------8

e 12 2 2

cosh ( A 12 )

(280)

(281)

(282)

(283)

(284)

(285)

(286)

el

/ ~

"" f ... ~ e2

I~= o I

T

Durchbiegung

T Schubfluss in der Fuge

T [ilr alle A

Verhaltnis Normalkraftmoment zu Summe der Einzelmomente

Bild 26 : Auswertung der Gleichungen fur Zwangsbeanspruchungen

~

B

__ Ws

Qo a 2

e

0

0

-1

63

64

9. BERUCKSICHTIGUNG EINER " KLAFFENDEN" FUGE

lm Zusammenhang mit der Herleitung der Differentialgleichungen wurde bereits auf die statische W irkung einer "klaffenden Fuge " zwischen den beiden elastisch verbundenen Teilquerschnitten hinge­wiesen . Die Berechnung des Verbundtragers mit einem Querschnitt nach Bild 9 andert sich geringfugig gegenuber der des Verbundtragers mit satt aufeinanderl iegenden Tei lquerschn i tten . Der Begriff "klaffende Fuge" entsteht aus der Vorstellung, dass die damit bezeichnete Zwischenschicht keinen direkten Beitrag zur Aufnahme eines ausseren Momentes leistet. Sie wird als inkompressibel, biege­und schubweich angenommen . Aus der ersten Annahme kann fUr den Verbundquerschnitt abgeleitet werden , dass die klaffende Fuge einen konstanten Hebelarm fur den an den Randern der Teilquerschnitte wirksamen und durch die schubsteifen Verbindungsmittel ubertragenen Schubfluss bildet , und somit ein zusatzli cher Momentenzuwachs auf dem Tragerstuck der Lange dx zu beruck­sichtigen ist. In der Herleitung der ersten Differentialgleichung verandert sich Gl. (29) geringfugig.

+ T + T /::,. e 0 (286) 2

In Gl. (8) ist ebenfalls ein zusatzli cher Term einzufuhren .

M (287)

Die Schubelemente bestehend aus dem inkompressiblen , schub- und biegeweichem Material und den Verbindungsmitteln, die in der Tragerlangsrichtung ebenfalls als biegeweich, jedoch schubsteif anzu­sehen sind, konnen insgesamt also als biegeweiche, aber schubsteife Elemente aufgefasst werden . Das entspricht der Annahme, die im Stahlbau fur die Hartschaumschicht von Sandwichplatten mit metallischer Deckschicht ublich ist . Nachdem nun d i e Auswirkung einer klaffenden Fuge i n den Gleichgewichtsaussagen fur das Tragerelement der Lange dx berucksichtigt ist, mussen noch die Veranderungen in der Verformungsgeometrie nach Bild 27 entsprechend in den Spannungs-Dehnungs­Beziehungen eingearbeitet werden.

Bild 27 : Verformungsgeometrie des allgemeinen Verbundquerschnittes nach Bild 9

In der Herleitung der zweiten Di fferentialg leichung laute t Gl. (46) somit

N2 Nl (288) u

65

Fur die Berechnung der Verformungs- und Schnittgrbssen konnen also die in den vorherigen Kapiteln angegebenen Gleichungen verwendet werden, wenn der tatsachliche Abstand der Teilquerschnitts­achsen eingesetzt wird .

e - + + 6 e (289) 2 2

Trotz der einfachen, rechnerischen Handhabung dieses Sonderfalles soli darauf hingewiesen werden, dass die ldealisierung der Schubelemente als schubsteife, biegewe iche Schicht zu Unstimmigkeiten bei den Grenzubergangen fuhrt, sobald diese Schicht eine Ausdehnung besitzt. In Bild 28 ist die Verfor­mungsgeometrie der Verbundquerschnitte mit und ohne klaffende Fuge fur die Grenzfalle starrer und nicht vorhandener Verbund dargestellt. Bei nicht vorhandenem Verbund ist d ie Komptabilitat zwischen den beiden Querschnittstypen gewahrleistet, wahrend bei starrem Verbund die Forderung nach dem Ebenbleiben des Gesamtquerschnittes mit klaffender Fuge einen Widerspruch zu der Aussage erzeugt, dass der Verbund starr sei und somit die Schubverformungen der Schubelemente gleich Null sein soli­ten

I

(~ = 0

Bild 28 : Verformungsgeometrie fur verschiedene Grenzfalle und Querschnittstypen

Die Besonderheit einer klaffenden Fuge ist auch beim Ansatz der Schubfedersteifigkeit fur das zur Anwendung gelangende Verbindungsmittel zu berucksichtigen . Je nach den fur das statische Modell nach Bild 29 anzunehmenden Einspanngraden bzw. Bettungsmoduli und Federsteifigkeiten resultieren aus dem der erzwungenen Verschiebung in Tragerlangsrichtung entsprechenden Lastfall der Stutzen­senkung Beanspruchungskombinationen, durch die das Verbindungsmittel sehr unterschiedlich ver­formt werden kann und damit auch sehr unterschiedliche Schubfedersteifigkeiten anzunehmen sind . Der Einspanngrad bzw. Bettungsmodul wird im wesentlichen durch die Verankerungslange und den Druck-Eiastizitatsmodul des Verankerungsgrundes bestimmt, die Verformungen im "freien" Teil des als Trager modellierten Verbindungsmittels durch dessen Gleit- und Biege-Eiastizitatsmodul . Ausserdem ist bei schrag liegenden Verbindungsmitteln die Normalkraftverformung und ubergeordnet der Verschiebungskennwert des Verbindungsmittels auf Herausziehen zu berucksichtigen . Allgemein kann fUr einen Verbundquerschnitt mit klaffender Fuge festgestellt werden, dass der Verschiebungsmodul mit zunehmendem Fugenabstand uberiinear abnehmen wird . Die Vereinfachun­gen des statischen Modells nach Bild 29 bestehen darin , dass lineare Feder-Dehnungsgesetze vorausgesetzt werden, der Zusammenhang zwischen Stutzensenkung und dazu notwendiger Kraft also ebenfalls linear sei . Aus einer Vielzahl von Veroffentlichungen und Versuchen ist jedoch bekannt, dass dieser Zusammenhang nur bereichsweise gultig ist und dass ausserdem eine grosse Streuung der Kraft ­Verschiebungs-Kurven zu beobachten ist. Weil der Verschiebungsmodul andererseits nur experimentell

66

Bild 29 : Allgemeines statisches Modell fur ein Verbindungsmittel im Verbundquerschnitt

bestimmt werden kann und nicht jeder Parameter in ausrei chend zuverlassigen Serien untersucht werden kann , sind gewisse sinnvolle Vereinfachungen unumganglich _ Fur den Fall einer klaffenden Fuge muss daher eine Abschatzung getroffen werden , in welcher Weise der an satt aufeinander­liegenden Querschnitten ermittelte Verschiebungsmodul abzumindern ist. Diese Abschatzung ist am statischen Modell unter Vorgabe der ungefahren Material- und Federkennwerte durchzufUhren . Generell ist anzumerken, dass der Verbundquerschnitt mit klaffender Fuge gegenuber dem mit satt aufeinanderliegenden Teilquerschnitten dann ein reduziertes Tragheitsmoment aufweist, wenn die Vergrosserung des Hebelarmes der Normalkraft statisch durch die Abminderung der Schubfeder­steifigkeit uberlagert und kompensiert wird. Es ist also im Einzelfall zu prufen, welche Auswirkungen eine klaffende Fuge hat.

10. VERBINDUNGSMITTEL

lm vorhergehenden Kapitel wurde bere its auf die Schwierigkeiten hingewiesen, experimentell ermittelte Verschiebungsmoduli fu r die praktische Bemessung aufzubereiten . Fur die Holz-Beton­Verbundbauwe ise kommen m it Einschrankungen aile im Holzbau ublichen Verbindungsmittel in Frage. Die fUr diese Verbindungsmittel z.B. in den Normen SIA 164 (1980), DIN 1052 und dem CIB-Vorschlag von 1980 angegebenen Verschiebungskennwerte sind trotz der unterschiedlichen Ansatze, wie sie von Gehri [43) und Mohler [44) beschrieben werden, fUr eine Anwendung auf die Holz-Beton-Verbundbau­weise generell aus Grunden der Sicherheit und Wirtschaftlichkeit zu hinterfragen. Da die Kennwerte in der Regel fUr die Verbindung von Holzquerschn itten angegeben sind, wird d ie Einspannung des Verbindungsmittels in den Beton stark unterschatzt, umgekehrt der anfangl iche Schlupf uberschatzt . Die Verwendung schrag liegender, . stabform iger Verbindungsmittel ist uberhaupt nicht vorgesehen Weiterhin ist fraglich, ob der in den genannten Normen assoziierte, lineare Zusammenhang zwischen dem Verschiebungsmodul und der Anzahl der verwendeten Verbindungsmittel zutreffend ist. Da das Bestreben sein sollte, mogl ichst wen ige Verbindungsmittel zu verwenden , um Material und Arbeits­stunden zu reduzieren, interessiert insbesondere der untere Bereich der zugehorigen Kurve, der relativ steil verlaufen durfte. Es ist zu erwarten, dass ein bereits stark verdubelter Balken weniger an Fugen­steifigkei t gewinnt als ein schwach verdubelter Balken durch die gleiche Anzahl zusatzlicher Dubel. Eine weitere grebe Vereinfachung steckt in der Angabe eines einzigen Verschiebungsmoduls fUr aile Lastbereiche. Das typische Last-Verformungsdiagramm eines Verb indungsmittels bei vorwiegender Schubbeanspruchung (Abscheren) ist in Bild 30 dargestellt. Daraus geht hervor, dass es einen "lokalen " (Tangentenmodul) und einen " globalen" Verschiebungs­modul (Sekantenmodul) gibt. Fur die statische Berechnug wird im allgemeinen der Sekantenmodul verwendet, der sowohl mit als auch ohne Einbeziehung des Schlupfes aus der Last-Verformungsdkurve

67

F.

w [mm]

Bild 30 : Typisches Last-Verschiebungs-Diagramm eines Verbindungsmittel

abgegriffen werden kann . Das genaue Nachfahren der Kurven wurde allerdings eine Iteration erfor­derlich machen, da der Sekantenmodul in der Regel uber den gesamten Anwendungsbereich veran­derlich ist. wenn der Schlupf -wie allgemein ublich- mit berucksichtigt wird . Urn den Rechenaufwand so gering wie moglich ZU halten, ist daher die Festlegung eines einzigen Verschiebungsmoduls notwendig. Dabei ist zu beachten, dass in etwa die der realen Beanspruchung entsprechende Stelle im Diagramm abgegriffen wird . Fur die richtige Wahl ist sowohl das Bemessungskonzept (Traglastnach­weis, Nachweis nach zulassigen Spannungen) als auch die Art des massgebenden Nachweises (Tragfahigkeitsnachweis, Gebrauchsfahigkeitsnachweis) fUr das Bauteil oder das Verbindungsmittel zu berucksichtigen. Man erkennt, dass die Komplexitat der Zusammenhange eine Vielzahl von Ober­legungen erforderlich macht, die fUr eine schnelle und praktische Bemessung zu umstandlich sind und dass die in den fur den Holzbau nach den einschlagigen Normen angegebenen Richtwerte fUr eine Anwendung in der Holz-Beton-Verbundbauweise zu grosse Unsicherheiten beinhalten. Es kann nam­lich Ieicht demonstriert werden, wie stark bei bestimmten vorgegebenen Verhaltnissen der Geometrie und der Materialsteifigkeiten im Verbundquerschnitt Fehler in der Annahme der Fugensteifigkeit auf die Berechnung von Verformungs- und Schnittgrbssen durchschlagen. Gerade mit der Holz-Beton­Verbundbauweise bewegt man sich in einem sehr sensiblen Bereich, in dem eine mehr oder weniger starke Verdubelung in hohem Masse die Effektivitat des Querschnittes bestimmt und daher aus Si cherheits- und Wirtschahl ichkeitsgrunden ei ne zuverlassige Annahme fur die Schubfederstei figkeit wunschenswert ist. Es wird daher folgender Weg vorgeschlagen, die aufgezeigten Mangel zumindest teilweise zu behe­ben :

Entwicklung eines universell einsetzbaren Verbindungsmittels fur die Holz-Beton-Verbundbau­weise, das dem spezifischen Anforderungsspektrum angepasst ist. Es soli sowohl fUr kleinere (Decken, Wande) als auch fur grbssere Konstruktionen (Fussgangerbrucken) mit entsprechend dich­ter sitzenden und starkeren Dubel einsetzbar sein . indirekte Ermittlung der Verschiebungskennwerte fur dieses Verbindungsmittel aus Durchbiegungsmessungen . An Bauteilen in realem Massstab werden die einflussreichsten Parameter variiert, urn eine ausreichend gesicherte Last-Verformungskurve als Basis fur die Festlegung des Verschiebungsmoduls in Abhangigkeit von den verschiedenen Parametern zu erhalten .

68

gesonderte Berucksichtigung des Schlupfanteiles. Mit der Annahme, dass die Kennlinie des Verbin­dungsmittels zumindest im mittleren Lastbereich II linear verlauft, kann der unmittelbar nach Lastaufbringung auhretende nicht-lineare und in der Regel nicht reversible Durchbiegungsanteil (Bereich I) bestimmt werden. Das zugehorige aussere Moment in Tragermitte bzw. die ent­sprechende Belastung (meist Gleichstreckenlast, da Eigengewicht den Anfangsschlupf verursacht) lasst sich nach der Theorie des elastischen Verbundes berechnen, indem die Schubeinflusszahl .\. zu Null gesetzt wird . Die weiteren Durchbiegungen und Schnittgr6ssen werden mit der um diesen Anteil reduzierten Belastung ermittelt. Die Nachweise sind mit der Sum me der Anteile zu fuhren. Bestimmung eines linearen Kennwertes fUr den Bereich II. Es ist zu erwarten und fUr Verbindungs­mittel im Holzbau durch Versuche bestatigt, dass im mittleren Lastbereich das Krah-Verformungs­verhalten linear ist. Nach Abzug des Schlupfanteiles an der Gesamtverformung ergibt sich somit fUr diesen Bereich eine weitgehende Obereinstimmung zwischen Sekanten- und Tangentenmodul der Kurve. Die Zuverlassigkeit dieses Kennwertes ist in jedem Fall hoher als die des Kennwertes mit verschmiertem Schlupfanteil. Da fUr die Holz-Beton-Verbundbauweise in erster Linie die Steifigkeit des Verbindungsmittels und nicht dessen Traglast von Bedeutung ist, wird vorausgesetzt, dass der Dubel nicht sehr hoch d .h. in der Nahe seiner Bruchlast (Bereich Ill) belastet wird . Damit ist im allgemeinen der aus dem linearen Ast der Verformungskurve ermittelte Verschiebungsmodul als zutreffend anzusehen. In Fallen extremer Beanspruchung der Verbindungsmittel ist ggf. eine Abminderung entsprechend dem Sekantenmodul der Kurve ohne Schlupf vorzunehmen .

Die geschilderte Vorgehensweise macht umfangreiche und detaillierte Untersuchungen erforderlich, die im Rahmen dieses Forschungsprojektes nicht vorgesehen sind . Solange keine genaueren Unter­suchungen vorliegen, muss auf die bekannten Ergebnisse einzelner, fur ganz spezielle Verbundtrager durchgefUhrter Versuche zuruckgegriffen werden, wobei die vorher geschilderten Unsicherheiten in Kauf genommen und durch entsprechend hohere Sicherheitsmargen abgedeckt werden mussen. Bei der Verwendung der in den genannten Normen angegebenen Werte hingegen kann davon ausge­gangen werden, dass sie zu ungunstig sind . Fur die Berechnung der Spannungszustande in den Teil­querschnitten bedeutet dieses eine z.T. erhebliche Oberschatzung des Anteiles der Eigenbiege­momente an der Aufnahme des ausseren Gesamtmomentes und somit fur den Beton nicht zulassige Zugspannungen, wodurch dessen Tragwirkung rechnerisch stark herabgesetzt wird . Mit dem vorhandenen Wissen uber das Verhalten der Verbindungsmittel ist also insgesamt nur eine sehr grobe Abschatzung des Tragverhaltens der Holz-Beton-Verbundkonstruktionen durchfuhrbar.

69

Ill. DIE MITWIRKENDE PLATTENBREITE

Die angegebenen Gleichungen fur die Verschiebungs- und Schnittgrbssen bei elastischem Verbund sind unter der Bedingung hergelei tet, dass die Querschnittsabmessungen im Verhaltnis zur Tragerlange klein sind . In diesem Fall liefert die Berechnung nach der klassischen Biegelehre ausreichend genaue Ergebnisse, da die Schubdeformationen der Teilquerschnitte in allen Ebenen vernachlassigt werden konnen . Bei Abweichungen von der obigen Annahme ist die Betrachtung des eindimensionalen Problems eine Naherung, deren Qualitat durch Verglei ch mit den Lbsungen aus der strengen Theorie beurteilt werden kann . lm Hinblick auf die Untersuchung des Tragverhaltens von Holz-Beton-Verbund­konstru ktionen kbnnen die Einflusse, die sich aus der Berucksichtigung der Schubverzerrungen in der x­z-Ebene ergeben, vernachlassigt werden, da das Verhaltnis der Teilquerschnittshbhe zur Tragerlange wegen beschrankter Bauhbhe und den zu veranschlagenden Spannweiten und Gebrauchslasten eine kritische Grenze von I I h "" 10 nie uberschreiten durfte . Dagegen ist anzunehmen, dass die Breite der Betonplattenstreifen im Verhaltnis zur Tragerlange Werte annimmt, die eine Berucksichtigung der Schubdeformationen in der x-y-Ebene aus Grunden der Sicherheit erforderlich macht. Um dennoch fur eine praktikable Berechnung solcher Rippenplatten die einfachere Theorie anwenden zu konnen, wird als fiktive Grosse die " mitwirkende Plattenbrei te" an Stelle der tatsachlichen Plattenbreite eingefUhrt. lhre Grosse wird aus einem Vergleich der konventionellen Balkenberechnung mit der Berechnung nach der strengeren Theorie ermittelt. Die von einer bestimmten Belastung erzeugten Spannungen im Plattenquerschnitt verlaufen nicht konstant uber die Querschnittsbreite, da die Platte sich mit zuneh­menden Abstand von der Lasteinleitungsstelle durch Schubdeformation der Belastung entzieht . In der einfachen Theorie werden die Normalspannungen allerd ings uber die Querschnittsbreite als konstant angesehen (Bild 31).

b b-

Bild 31 : Spannungsverteilung nach einfacher und strengerer Theorie

Um eine Kompabitil itat zwischen den beiden Berechnungsmethoden herzustellen, mussen die nach der strengeren Theorie bei einer bestimmten Beanspruchung auftretenden Schnittkrafte und Dehnungen in die Gleichgewichts- und geometrischen Vertraglichkeitsbedingungen der einfachen Theorie eingearbeitet werden. Insbesondere ist zu fordern , dass die nach beiden Verfahren berechneten Schnittgrbssen, also die Integrate der Normalspannungen uber die jeweils angesetzte Querschnitts­flache, und die Normaldehnungen uber der Rippenachse gleich gross seien . Fur den Fall, dass die Querdehnungszahl des Plattenwerkstoffes mit v = 0 eingesetzt wird, sind die den Dehnungen entspre­chenden Normalspannungen nach beiden Verfahren gleich gross . Die m itwirkende Plattenbreite lasst sich dann einfach schreiben als

2

I b 12

0 o-"( y ) dy F { y) dy 6

0 :r.

70

Hierin ist F ( y ) die Querverteilungsfunktion der Normalspannung . Die mitwirkende Plattenbreite ist von einer Vielzahl Parameter abhangig, deren wichtigste hier aufgezahlt und in ihrer Bedeutung kurz erlautert werden .

- Art der Plattenbelastung (Normal kraft oder Moment)

Die seperat betrachtete Platte ist Teil eines Gesamtquerschnittes, der die aussere Belastung aufnimmt. Sie ist sowohl durch Momente infolge der Durchbiegung des Gesamtquerschnittes als auch durch Normalkraft belastet, die sich infolge der in der Fuge zwischen den Querschnittsteilen i.ibertragenen Schubkrafte aufbaut. Die ersten wichtigen Abhandlungen zur mitwirkenden Plattenbreite von Karman [45]. Chwalla [46] und Beschkine [47] berucksichtigen nur die abmindernde Wirkung bei Normalkraft. Da die Anregung zur Beschaftigung mit dieser Thematik vorwiegend aus dem Flugzeug- und Stahlbau kam . ist es verstandlich, dass die Auswirkungen der Momentenbelastung wegen der geringen Eigenbiegesteifigkeit der Platten wenig interessierten. Damit konnte das Problem auf die Platte unter Normalkraftbelastung (Scheibe) reduziert werden . So gesehen wurde eigentlich die "mitwirkende Scheibenbreite" oder der Wirkungsgrad der Scheibe bestimmt. Mit dem Aufkommen der Plattenbalken im Stahlbetonbau verstarkte sich das Interesse, auch die abmindernde Wirkung der Momenten­belastung zu beri.icksichtigen, da die Eigenbiegesteifigkeit der Betonplatte nicht als vernach­lassigbar klein gegenuber der Gesamtbiegesteifigkeit des Gesamtquerschnittes anzusehen ist. Wichtige Beitrage zur Erweiterung der Theorie stammen von Maguerre [48] und van Langen­danek [49]. Eine Anwendung dieser und anderer zum Thema erschienener Aufsatze fUr die Holz-Beton-Verbundbauweise ist insofern nicht oder nur als grobe Naherung moglich, als die Herleitung der Bestimmungsgleichungen fur die verschiedenen mitwirkenden Plattenbreiten infolge Normalkraft- und Momentenbelastung der Platte unter der Bedingung eines starr verbundenen Querschnittes durchgefuhrt wurde. Es bleibt also die Auswirkung des elastischen Verbundes in die Losungen mit einzuarbeiten.

ausserer Lastfall, Verlauf der Momentenlinie uber die Tragerlange

Die mitwirkende Plattenbreite wird rechnerisch wesentlich durch den Lastfall beeinflusst und ist je nach Lastfall uber die Tragerlange mehr oder weniger stark veranderlich (Bild 36). Fur Punkt­lasten treten die grossten Abminderungen mit ausgepragten "Einschnurungen" an der Lastein­leitungsstelle auf. Allerdings hat Beschkine [47] nachgewiesen, dass schon bei einer Lastvertei­lung auf etwas weniger als 1/10 der Tragerlange die Abminderung uber diese wesentlich konti­nuierlicher verlauft. lnsofern genugt es, die Abminderungswerte bei Gleichstreckenlast herzu­leiten und anzuwenden. Generell ist anzumerken, dass die ldealisierung einer linienformigen, uber der Tragerachse eingeleiteten Belastung fur die mitwirkende Plattenbreite eine Abschat­zung zur sicheren Seite hin zur Folge hat. Die Biegespannungen im Plattenquerschnitt durften in Querrichtung wesentlich gleichmassiger verteilt sein, da die verursachende Last direkt und flachig uber die als Raumabschluss dienende Platte in den Querschnitt eingeleitet wird. Ebenso durfte die Membranspannung gleichmassiger verteilt sein, obwohl zu beachten ist, dass fUr deren Einleitung maximal die Stegbreite zur Verfugung steht. lm Hinblick auf die Holz-Beton­Verbundbauweise erscheint die Annahme einer linienformigen Einleitung der Membranspan­nungen wegen der "punktformigen" Verdubelung sinnvoll und nicht zu ungunstig.

statisches System in Langsrichtung ( Durchlauftrager, Einfeldtrager, Kragarm)

Das statische System bestimmt die Momentennulldurchgange bei gegebener Belastung. Fur die Holz-Beton-Verbundbauweise wird lediglich der statisch bestimmte Einfeldtrager in Betracht gezogen ( Begrundung siehe S. 42 ).

Lagerungsbedingungen in Querrichtung

Die Lagerungsbedingungen der Platte in Querrichtung werden uber die Randbedingungen in die Losung fUr die mitwirkende Plattenbreite eingearbeitet. Es werden vier Faile unterschieden (Bild 32), von denen fUr die Holz-Beton-Verbundbauweise zunachst nur der aus einer Decke freigeschnittene Plattenbalken interessiert (Bild 32b). Maguerre [48] gibt einen zusatzlichen Abminderungsfaktor zur Bestimmung der mitwirkenden Plattenbreite einer Kragplatte an .

F-·- - -·- · - · ~

a.)

E-·- ·- - ·-"3

b.)

,-·- ·- · - ·-- · - ·-·-·

I L

c.)

Bild 32 : Verschiedene Arten des Plattenbalkens

Verhaltnis Plattenbreite zu Tragerlange

71

Dieser Parameter hat den grossten Einfluss auf die mitwirkende Plattenbreite . Er wird in der Regel bei Angabe von Naherungen als alleinige Bezugsgrosse verwendet.

betrachtete Stelle in Langsrichtung

Ausser beim Ansatz einer sinusformigen Belastung ist die mitwirkende Plattenbreite mehr oder weniger stark uber die Tragerlange veranderlich. lm allgemeinen interessiert jedoch nur der Wert an der Bemessungstelle.

Querdehnungszahl des verwendeten Werkstoffes

lm Rahmen der Genauigkeit, mit der die Grundgleichungen des elastischen Verbundes hergeleitet wurden, kann die Querdehnungszahl mit Null angesetzt werden . Diese verein­fachende Annahme entspricht in ihren Auswirkungen in etwa der Vernachlassigung der Schub­deformation der Querschnitte nach der Balkentheorie .

- lsotropie, Quasiisotropie oder Orthotropie der Platte

Die Platte wird fur die Berechnung immer als isotrop angesehen. da es sich bei Stahl und Beton um quasiisotrope Werkstoffe handelt, im Gegensatz z. B. zu Holz und auch Spanplatten. Dadurch vereinfacht sich die Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite wesentlich . Maguerre [48) hat den Einfluss einer Anisotropie z. B. durch Quertrager untersucht und nur geringe Abweichungen festgestellt, so dass die Losungen fur eine isotrope Platte mit guter Naherung auch fUr den Fall einer schwachen Anisotropie verwendet werden konnen .

Da fUr die Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite von Holz-Beton-Verbundkonstruktionen der elastische Verbund zu berucksichtigen ist, werden an dieser Stelle allgemein die Bestimmungsglei­chungen getrennt nach Normal kraft- und Momentenbelastung hergeleitet.

1. DIE MITWIRKENDE PLATTENBREITE INFOLGE REINER MOMENTENBELASTUNG

Das Gleichgewicht fur das Plattenelement lautet nach Vinson [SO)

00 00 00 XX y x zx

0 (291) + oy + ox oz

72

8a 8a oa xy

+ yy

+ zy

0 (292) ox 8y oz

8a 8a oa xz yz zz

+ + 0 (293) 8x 8y 8z

Die Schnittmomente konnen als Integral des Produktes der Normalspannungen und deren Hebelarm uber die Querschnittshohe geschrieben werden

I h 12 I h /2 M a z dz M a z dz

X -h / 2 X y

-h/2 y

I h/2 I h 12 M = a z dz M

-h/2 a yx z dz

xy -h/2 xy yx

Die Querkrafte werden als Integral der Schubspannungen uber die Querschnittshohe definiert.

Qx = I h /2 a dz

-h/2 xz Qy I

h / 2

= a dz -h/2 yz

(294)

(295)

(296)

Nach Multiplizieren der Gl. (291) und Gl. (292) mit dem Faktor z dz und unter Verwendung der Gl. (294) und Gl. (295) erhalt man fUr das im lnnern unbelastete Element

oM 8M X xy

+ 8x 8y Q X

(297)

8M 8M y

+ yx

8y 8x Qy (298)

In Gl. (293) entfallt der dritte Term . Sie wird mit dz multipl iziert und mit Hilfe von Gl. (296) umgeformt. Man erhalt

+ 5Q

y 0 (299)

OX 8y

Gl. (297) und Gl. (298) abgeleitet und in Gl. (299) eingesetzt ergibt

5 2 M + 2 ___ x.;...y_ + 0 (300)

8x oy

73

Aus den Spannungs-Dehnungs- und den Verschiebungs-Dehnungs-Beziehungen erhalt man eine Aussa­ge uber die Flachenmomente in Abhangigkeit von der Durchbiegung w( x, y )

e X

e y

e z

e X.)'

e zx

e yz

ou OX

ov oy

ow oz

(

(

= (

ou oy

ou oz

ov oz

( 0 E XX v 0 )

yy

1 -(a-vo) E yy XX

0

+ xy ~) ox G

~) a xz

+ OX G

:: ) = 0

+ yz

G

Nach Integration uber die Querschnittshohe und anschliessenden Umformungen erhalt man

o2 w E h 3

(M - vM ) -K miL K = E

X y ox 2 12

1 o2 w

(M vM ) -K E

y X oy 2

M 5 2 w E xy - K 2 mil G

G ox oy 2 ( 1 + v )

Daraus folgt

5 2 w E h 3

M -D (l -v) miL D xy OX oy ·)

12 ( 1 - v-

- D ( 02 w 5 2 w

) M = + v X ox 2 oy 2

(301)

(302)

(303)

(304)

(305)

(306)

(307)

(308)

(309)

(31 0)

(311)

74

M y

8 2 w

+ v---)· ox 2

(312)

Diese Beziehungen werden in die Plattengleichung Gl . (300) eingesetzt, so dass man eine Differential­gleichung vierter Ordnung fUr die Durchbiegungsfunktion erhalt .

+ 2 + = 0 ox 4 ox 2 oy 2 oy 4

(313)

Fur die Lbsung der Differentialgleichung beschranken wir uns auf die zweiseitig gelagerte, symmetrisch belastete Platte. Prinzipiell ist die Losungsmethode fur andere Faile wie z. B. eine Kragplatte die glei­che . Es andern sich lediglich die Randbedingungen .

Bild 33 : Plattenelement mit dealisiert linienformiger, gleicher Randbelastung

Die Lbsung gelingt am einrachsten, wenn man fur die nach Bild 33 freigeschnittene Platte als Belastungsfunktion an beiden Randern in x-Richtung das gleiche Moment Mx ansetzt, das sich aus der Berechnung nach der Balkentheorie bei elastischen Verbund fur die Platte ergibt . Diese Belastungsfunktion wird durch harmonische Analyse in eine trigonomische Reihe entwickelt, in der wegen der freien Rander der Platte in x = 0 und x =I keine Cosinus-Giieder enthalten sind. Die allge­meine Form dieser Rei he lautet

n=oo

M (x) I

"" n n B 0 L B n sin ( -1- x )

n=l

(314)

Fur die Lastfalle Sinuslast, Gleichstreckenlast und Punktlast bei elastischem Verbund erhalt man mit den Gleichungen Gl. (231), Gl. (217) und Gl. (238) folgende Reihensummen

Sinuslast

n M (x)

X B

0 sin ( -[- x ) mit

Gleichstreckenlast

n::::oo 4

M (x) X

!1 k

mit k 2 n- 1 und

Punktlast an der Stelle ¢

M (x) X

n=oo "" k nk B 0 L ( - 1 ) sin ( -l -

n = 1

mit k n und

Q2

n2 + .\2(1-a2)

!12 (!12 + .\2)

) !1 k

----- sin c-,- x)

2(1-q>)(l-a 2) x)(----

n k

a 2 2 n k sinh [ A ( 1 - <P ) 1 )

ft.(.\2+n2k2)

75

(315)

(316)

(317)

Mit Kenntnis dieser Momentenverteilungsfunktion Mx (x) in Tragerlangsrichtung konnen die Randbe­dingungen fUr die Lbsung der Differentialgleichung Gl. (313) angegeben werden . Der Ansatz fur die Durchbiegungsfunktion lautet allgemein

n=ao

W (X, y) n k L A n sin ( -l- x ) F ( y)

n = I mit k je nach LastfaU

(318)

Dabei ist F (y) die Verteilungsfunktion in Querrichtung. lm folgenden werden das Summenzeichen und der Index n weggelassen, da die Gl. (313) und die Randbedingungen von jedem Summanden getrennt erfullt werden mussen. In dieser vereinfachten Schreibweise erhalt man nach Einsetzen der Ansatz­funktion in Gl. (313) und Kurzen

F(y) a 4 - 2

n

o2 FCyl a 2----

n oy2 +

Die charakteristische Gleichung der Querverteilungsfunktion

a 2 A 2 + A 4 0 n n n

0 (319)

(320)

76

hat die Nullstellen

}.. 1, 2 = an }.. 3, 4 = (321) a n

Damit lautet die allgemeine Losung

W (X, J )

n =oo

2:: A n sin ( an x ) ( ( C 1

+ C 2

y ) cosh ( an y ) + ( C 3

+ C 4

y ) sinh ( any ) ) n = I

(322)

Durch die Wahl des Koordinatensystems wird ein symmetrischer Belastungszustand in dem symmetri­schen Plattenelement erzeugt.

w (x , y) = w (x,-y) (323)

Die Randbedingungen zur Bestimmung der Koeffizienten An, C1n, C4n, erhalt man aus folgenden Oberlegungen

0 Da in den Tragerachsen der Gesamtplatte gleiche Belastungen wirksam sein sollen, sind die Dehnungen bzw. Krummungen in Tragerquerrichtung gleich Null. Wahrend in der Balkentheo­rie diese Tatsache stillschweigend erfullt ist, muss fur die strengere Theorie gelten

-K 0 2

W (X, y = b 12)

oy2 = 0

Nach Gl. (322) kann daraus die erste Randbedingung abgeleitet werden .

= 0

0 Die entsprechende Bedingung in Tragerlangsrichtung lautet

2 0 W ( X, y = b 12 ) -K M (x)

%

Nach Gl. (322) und Gl. (311) folgt daraus die zweite Randbedingung

- K a 2 A sin (ax) F (y = b 12) M (x) %

(324)

(325)

(326)

(327)

® Schliesslich erhalt man die dritte Randbedingung aus der Forderung, dass der uber der Tragerachse berechenbare Momentenwert in x-Richtung als Bezugsgrosse fur aile anderen Momente in x-Richtung heranzuziehen ist. Der Einfluss der Querverteilungsfunktion auf die

77

Berechnung dieser Schnittgrbsse soli also gleich 1 sein. Nach Gl. (311) kann also geschrieben werden

M (x,y = b/2) X

M X

Die Auswertung liefert die letzte Randbedingung

( I - v ) F ( y = b I 2 ) - 2 a v C 4

cosh y 1

Die Koeffizienten haben die Werte

2 + y tanh y A B

0B cl

Ka 2 2 cosh y

Die ebene Durchbiegungsfunktion lautet somit

n=oo

B 0

B -1- sin (a x) (

2 + y tanh y w(x ,y) ') = n 2 n

n = 1 K a 2 cosh y n n

mil y

c4

n cosh( a y) -

n

a b

2

a

2 cosh y

a Y

2 cosh y n

(328)

(329)

(330)

sinh ( a,1))

(331)

Zur Bestimmung der mitwirkenden Plattenbreite mussen die Momente M (x,y) nach Gl. (311) uber die Breite b integriert und mit der Belastungsfunktion verglichen werden. Man erhalt als Verhaltniswert

( 3 - V ) tanh y n ( 1 - v ) )

cosh 2 y n

(332)

Da die Belastungsfunktion in der Regel die Summe mehrerer Sinusfunktionen mit unterschiedlicher Periodizitat ist. erhalt man so viele Verhaltniswerte 0 wie die Reihe Glieder hat. Die mittragende Plattenbreite gewinnt man in diesem Fall aus der S~mme der abgeminderten Belastungsanteile dividiert durch die nach einfacher Balkentheorie angesetzte Belastungsfunktion Mx

n= oo

I on B sin (a x) n n

n = I (333) OMG n=oo

2: B sin (a x ) n n

n = 1

In dem Fall, dass die Reihe also nicht mit einem einzigen Glied der Sinusreihe ausreichend genau beschrieben ist, wird die mitwirkende Plattenbreite von der Tragerstelle x und der Schubeinflusszahl A

78

abhangig . Diese Abhangigkeit bzw. Veranderlichkeit wird umso grosser je mehr Glieder der Sinusreihe zur ausreichend genauen Darstellung der Belastungsfunktion benotigt werden, wie z.B. bei eventu ­ellen lnhomogenitaten der Belastungsfunktion (Punktlasten) . Gleichzeitig verringert sich die Qualitat der Naherung bei vorzeitigem Abbruch, da die Konvergenz der Reihe gegen den wahren Wert abnimmt. So genugt bei Gleichstreckenlast die Berucksichtigung von 2 Gliedern fUr eine recht gute Naherung, wahrend fUr Punktlasten die Abweichung vom tatsachlichen Wert bei Abbruch nach dem 2. Glied sehr erheblich ist.

---------- Stnu~last

r--- ----Punktl<!Sl in~ 0.9

<.J

"' ">.

~ " - - -!'-=. .>c .:! 0. c 0.8 2

i-- "'= = ~

~

.. b " c E ~

~

.. 0.7 .. II " b/1

0.e 0. I e.z 0.3

Verhiillms Pl<lllenbre11e zuTrager/iinge

Bild 34 Der Abminderungsfaktor f3Mc in Abhangigkeit vom Verhaltnis Plattenbreite zuTragerlange

In Bild 34 ist die mitwirkende Plattenbreite bzw . der Abminderungsfaktor f3c der tatsachlichen Planenbreite in Abhangigkeit vom Verhaltnis Plattenbreite zu Tragerlange fUr den Sonderfall v = 0, starrer Verbund und die Lastfalle Sinuslast, Punktlast in Feldmitte und Gleichstreckenlast aufgetragen. Bei Berucksichtigung der Querdehnung ist der nach einfacher Theorie ermittelte grosste Spannungs­wert nicht mehr mit der grossten auftretenden Spannung in der Platte identisch, da einerseits die tatsachliche Dehnung der Platte in der Lasteinleitungslinie in die Berechnung nach der einfachen Theorie eingeht, andererseits aber nach Gl. (30 1) und Gl. (302) nicht mehr der lineare Zus.ammenhang zwischen der Dehnungs- und Spannungskomponente einer Richtung vorhanden ist. Karman [45] und Chwalla [46] weisen auf diesen Umstand hin und bezeichnen ihn als "Schonheitsfehler"der Theorie.

2. DIE MITWIRKENDE PLATTENBREITE INFOLGE REINER NORMALKRAFTBELASTUNG

Fur den Fall einer reinen Normalkraftbeanspruchung der Platte vereinfachen sich die Gleichgewichts­aussagen Gl. (291) und Gl. (292) wegen des ebenen Spannungszustandes der Scheibe . Gl. (293) wird identisch zu NulL Daraus folgen die Gleichgewichtsbedingungen eines Plattenelementes.

00 XX

+ ox 00

)'X

oy 0 (334)

79

8o 8o __ :c_;y;_ + y y

0 (335) 8x 8y

Die Gleichgewichtsbedingungen werden von Airy'schen Spannungsfunktion <1> ( x, y ) erfUIIt, fUr die folgende Beziehungen gelten.

0 = %%

0 YY

0 xy

Die geometrische Vertraglichkeitsbedingung lautet nach [50]

+ ox oy

ox 8y

Mit den Spannungs-Dehnungs-Beziehungen Gl. (301), Gl. {302) und GL (304) erhalt man

5 2 c l

( 0 2

0 5 2 a

) X XX yy - v

oy2 E oy2 oy2

o2 c

~( 0 2

0 8 2 a

) y YY XX

- v ox 2 ox 2 ox 2

o2 e 1 o

2 0

xy xy E mit G

ox oy G ox 8y 2 ( 1 + v )

und in Gl. (337) eingesetzt

6 2 0 0 2

0 0 2 0 8 2 0 8 2

0 XX xy yy

v ( .XX yy

- (2 + 2 v) + + oy 2 ox oy ox 2

ox2 8y2

(336)

(337)

(338)

(339)

(340)

) (341)

Schliesslich ergibt sich die Scheibengleichung, wenn die Beziehungen zwischen Airy'scher Spannungs­funktion und den Flachenspannungen nach GL (336) eingesetzt werden.

+ = 0 (342)

80

Eine Losung gelingt wiederum, indem die Belastungsfunktion (Normalkraft) fUr die untersuchten Lastfalle Sinuslast Gl. (230), Gleichstreckenlast Gl . (216) und Punktlast Gl. (237) in eine trigonometrische Reihe entwickelt und am Rand der Scheibe nach Bild 33 angesetzt wird. Die Reihensummen der drei Lastfalle Iauten

Sinuslast

n N (x) Eo sin(- x) mit Eo qo zz

r l

Gleichstreckenlast

n= oo 4 ( 1 1

N (x) = Eo I r n k n 2 k 2 }.2 + n2 k2

" = 1

mit k 2 n- 1 und

Punktlast an der Stelle <P

N (x) r

n=oo k n k ( E 0 L ( - 1 ) sin ( -

1 - x ) -

n = I n k

2(1-q>)

mit k n und p l e

2 :>,.2 Q (343)

A 2 ) 2 ( n2 + e n

n k ) sin(--l

x)

+

(344)

2 n k sinh [ A. ( 1 - 4> ) ] )

A(/.2+n2k2)

(345)

Der Ansatz fur die gesuchte Spannungs-Funktion lautet entspricht den fUr die Durchbiegungsfunktion in Gl. (318). Aus Gl . (342) erhalt man

F(y) o 2 F (y)

Q4- 2 Q2 ___ _

n " oy2 + 0 mit Q

" n k (346)

Da wie bei der Losung der Plattengleichung dieselbe charakteristische Gleichung fUr die Querver­teilungsfunktion F (y) abgeleitet werden kann und wegen der Symmetrieeigenschaften nach Bild 33 die Koeffizienten C2 = C3 = 0 sind, lautet der Ansatz vollstandig

n= co

<l>(x,y) = LA,. sin(a,x) (c1

cosh(a~y) + C4

y sinh(a,y)) n = 1

(347)

Die drei Randbedingungen zur Bestimmung der drei Koeffizienten An. C1n. C40 , eines Reihengliedes ergeben sich aus den gleichen Oberlegungen wie bei der Losung der Plattengleichung.

81

0 Da die Normalkrahdehnungen am Plattenrand in y-Richtung aus Gleichgewichtgrunden nach beiden Theorien gleich Null sind muss als Vertraglichkeitsbedingung gelten

c y

c (x, y = b 12) y

1 -(o (x,y=bl2)- vo (x,y=bl2)) E YY :ex

Nach Gl . (336) kann daraus die erste Randbedingung abgeleitet werden .

8 2 <I> (x,y = bl2) v

8 2 <I> (x,y = bl2)

8y2

® Die entsprechende Bedingung in Tragerlangsrichtung lautet

c :c

c ( x,y = b I 2) :c

I (o (x,y=bl2)- vo (x,y=bl2))

E XX YY

Nach Gl. (343-345) und Gl. (336) folgt daraus die zweite Randbedingung

8 2 <I> ( x, y = b I 2)

8y2 - v

2 8 <I> (X, y = b I 2) N (x) X

= EA

0 (348)

(349)

(350)

(351)

® Schliesslich erhalt man die dritte Randbedingung aus der Forderung, dass die uber der Tragerachse berechenbare Normalkraft in x-Richtung als Bezugsgrosse fur aile anderen Normalkrahe in x-Richtung heranzuziehen ist. Der Einfluss der Querverteilungsfunktion auf die Berechnung dieser Schnittgrosse soli also gleich 1 sein. Nach Gl. (336) kann daher geschieben werden

1

Die Auswertung liefert die letzte Randbedingung

(1-v)F(y=bl2)-2

v C 4

cosh y = 1 a

Dam it lassen sich die Koeffizienten berechnen

A

( 1 + v ) b tanh y

v

a 2 cosh y 4 a cosh y

mit y = a b

2

(352)

(353)

(354)

(355)

82

( 1 + v )

2 a cosh y (356)

Die tatsachlich in der Platte wirksame Normal kraft bzw. Normalspannung in x-Richtung erhalt man aus Gl. (336) und durch lntegrieren uber die Querschnittsbreite . Die Resultierende wird mit der nach einfacher Balkentheorie angesetzten Belastungsfunktion nach Gl. (343-345) verglichen . Der Abminderungsfaktor Pn fUr ein Glied der Reihensumme lautet somit allgemein

l I - v) tanh y pn = (---n 2(l-v 2

) y n

+ l I + v ) )

rosh 2 y n

(357)

Zur Ermittlung der mitwirkenden Plattenbreite infolge reiner Normalkraftbelastung muss wiederum eine Wichtung der Summenglieder mit dem zugehorigen Abminderungsfaktor durchgefuhrt werden.

n = e»

L pn B sin (a x) n n

PNG n = I (358) n=m

2: B sin (a x) n n

n = I

Die Funktion ist fur die drei behandelten Lastfalle in Bild 35 dargestellt.

I.B

~ ~ ~ '

0.9 "' "' o:l.

... ~

~ -........__:::: ~~ichstreckenlast

~ Sinuslast t----._ ~ ~

~ .., ~ & t: 2 .. e.a b t:

! <(

" ~ - "'-.... ......_ ~

~in F~ldmine

t--- ~ !'--.. "" ~

~ ......... ~ 0\ r-. f--1--. 1>. ...._

t---.

II .. " ' ' b/1

e.e e. 1 0.3

VerMiltms Plattenbre•te zu Tragerl!inge

Bild 35 Der Abminderungsfaktor fJNG in Abhangigkeit vom Verhaltnis Plattenbreite zuTragerlange

83

3. DIE MITWIRKENDE PLATIENBREITE IN DER BERECHNUNG VON VERBUNDTRAEGERN

In den beiden vorhergehenden Kapiteln wurden die Abminderungsfaktoren der tatsachlichen Plattenbreite fUr jeweils

reine Momenten- und Normalkraftbelastung gleichungsmassig angegeben und in den Diagrammen Bild 34 und Bild 35

ausgewertet. Der fOr die Holz-Beton-Verbundbauweise relevante Wertebereich von btl liegt konstruktionsbedingt

etwa zwischen 0.05 und 0.30. In diesem Bereich ist die Abminderung der Plattenbreite infolge reiner Momenten­

belastung aus Gleichstreckenlast und Sinuslast verschwindend gering, wahrend aus Punktlast in Feldmitte als un­

gunstigstem Fall eine relativ geringe Abminderung resultiert . Dagegen wird die Wirksamkeit der tatsachlichen

Plattenbreite bei reiner Normalkraftbeanspruchung fOr aile drei Last! aile starker gemindert. Auch in diesem Fall ist die

Abminderung aus Punktlast wesentlich grosser als diejenige aus Gleichstreckenlast und Sinuslast, die ihrerseits in

etwa gleiche Grossenordnung haben. Die Ursache dieses Effektes wird klar, wenn man den Verlauf dar mitwirkenden

Plattenbreite bzw. der Abminderungsfaktoren Ober die Tragerlange betrachtet, wie er in Bild 36 fOr Gleich­

streckenlast und Punktlast an der Stelle r qualitativ dargestellt ist. Wahrend bei Gleichstreckenlast die grosste

Abminderung an den Plattenenden auftritt und an der Bemessungsstelle !;=0.5 den kleinsten Wert annimmt, ist das

Maximum bei Punktlast an der Lasteinleitungsstelle zu linden, die gleichzeitig auch Bemessungsstelle ist. Lediglich

fOr Sinuslast ist der Abminderungsfaktor konstant Ober die Tragerlange. Bemerkenswert ist die qualitative Ueber­

einstimmung des Verlaufes der mitwirkenden Plattenbreite uber die Tragerlange mit dem Verlauf des Verhaltnis­

wertes Normalkraftmoment zur Summa der Einzelmomente des elastischen Verbundtragers, der auf den Seiten 48

bis 63 fOr die verschiedenen Lastfalle aufgezeichnet ist. Hierbei spiel! wohl die gemeinsame mechanische Ursache,

die in den Gleichgewichtsbedingungen berOcksichtigten Schubdeformationen, eine Rolle.

b.) Punldlasl

Bild 36 : Verlauf der mitwirkenden Plattenbreite uber die Tragerlange

Der Unterschied zwischen den beiden Effekten liegt darin, dass in der Berechnung des elastischen Verbundtragers

die Wirksamkeit beider Querschnittsteile durch die Berucksichtigung der Schubdeformation um das gleiche Mass

abgemindert wird, wahrend vom Scheiben- bzw. Plat1eneffekt nur ein Querschnittsteil betroffen ist, sodass sich

gegenuber der NichtberOcksichtigung die Geometrieverhaltnisse im Verbundquerschnitt verandern, was nicht nur

den Geometriewert o.2, sondern auch die Schubeinflusszahl A. beeinflusst. Die gegenseitige Beeinflussung von

mitwirkender Plattenbreite und Schubeinflusszahl A. erschwert die Aufbereitung der hergeleiteten Formeln tor die

Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite elastisch verbundener Querschnitte, zumal auch die Veranderlichkeit

der fiktiven Plattenbreite und damit des gesamten Verbundquerschnittes Ober die Tragerlange im Widerspruch zur

Annahme 4 bei der Herleitung der Differentialgleichungen des elastischen Verbundes steht. Diese Nachteile mOssen

hingenommen werden, wenn ein einigermassen einfaches Berechnungsverfahren beibehalten und ein iteratives

Vorgehen vermieden werden soli. In einer Parameterstudie wurde deshalb untersucht, wie stark sich die

Abminderungsfaktoren fOr Gleichstreckenlast und Punktlast in Feldmitte nach Gleichung Gl. (333) und Gl. (358) bei

84

variablen a.2 und f.. verandern. Eine Abhangigkeit der Abminderungsf3ktoren von dem Material- und Geometriefaktor

a.2 war nicht festzustellen . Dagegen beeinflusst die Schubeinflusszahl f.. zumindest die Berechnung bei Punktlast in

Feldmitte erheblich.

An dieser Stelle sei kurz auf die Schwierigkeiten hingewiesen, die sich aus der Darstellung der Momenten- und

Normalkraftbeanspruchung der Platte als Fourierreihe ergeben. Wie schon erwahnt bereitet die Berechnung der

Abminderungsfaktoren flir Gleichstreckenlast keine grossen Problema, da die Konvergenz der Reihe sehr gut ist und

die Berechnung schon nach wenigen Schritten ohne grtisseren Fehler abgebrochen warden kann. lm Gegensatz

dazu ist die Konvergenz der Fourierreihe fUr Punktlast wegen der lnhomogenitat an der Stelle p unbefriedigend ,

zumal sie sich mit grosser werdendem f.. weiter verschlechtert. Dieses mathematische Problem bewirkt, dass selbst

bis zu 100 Berechnungsschritte noch ungenaue Ergebnisse liefern. Ursache !Or die mangelhafte Konvergenz sind

die der Berechnung zu Grunde liegenden Hyperbolicusfunktionen, die im Verlauf einer Periode sehr steil ansteigen

und somit weit von der Entwicklungsstelle liegende Werte sehr ungenau ermittelt werden. Der Versuch, durch eine

geschickter gewahlte Periode und Form der Ansatzfunktion die Konvergenz zu verbessern gelingt zwar, was jedoch

!Or das vorliegende Problem nicht von Bedeutung ist. In diesen Reihen treten neben den Sinus- auch noch

Cosinusglieder und konstante Koeffizienten auf, die mit dem angewendeten Berechnungsverfahren nicht erfassbar

sind. Die Abhangigkeit der Abminderungsfaktoren flir Punktlast von der Schubeinflusszahl A. kann daher nur uber

eine Grenzwertbetrachtung ermittelt werden. Es zeigt sich, dass die Abminderungskurve bei sehr klein werdendem A

( kein Verbund ) sich immer mehr derjenigen aus Sinuslast nahert und in diese ubergeht. Das gleiche Verhalten

konnte fUr die Abminderungskurve bei Gleichstreckenlast durch eine Parameterstudie belegt werden. Daraus lass!

sich ableiten, dass im Bereich sehr kleiner A die Abminderungskurve a us Sinuslast massgebend ist.

Fur die praktische Berechnung bietet es sich also an, den Abminderungsfaktor der tatsachlichen Plattenbreite in

Funktion von b!l und A.anzugeben. Die in den Normen SlA 164, DIN 1052 und DIN 1045 angegebenen Gleichungen

fUr die mitwirkende Plattenbreite sind nicht geeignet. auf die Hoiz-Beton-Verbundbauweise angewendet zu warden.,

Die dar deutschen DIN 1052 zu Grunde liegenden Untersuchungen von Mistier dSO] und Mohler u, . Mitarbeiter [51] :

sind fUr die Tafelbauweise durchgefuhrt worden und berucksichtigen somit die speziellen Eigenschaften der

Holzwerkstoffe. Durch den sehr hohen Verhaltniswert von Elastizitatsmodul zu Gleitmodul (v>D) erg eben sich andere

Verhaltnisse als beim Beton. Die in den Betonvorschriften DIN 1045 angegebenen Werte der mitwirkenden Platten­

breite sind wiederum nicht anwendbar, weil dort das Verhaltnis Gesamthohe des Querschnittes zu Htihe der Platte in

die Berechnung eingehen und ein Plattenbalken mit relativ breiter Lastiibertragungsfuge vorausgesetz1 wird. lm

Bezug auf die Holz-Beton-Verbundbauweise ist dieses wenig sinnvoll. Daher werden im angegebenen Wertebereich

von bll aus den Diagrammen in Bild 34 und Bild 35 folgende vereinfachten Gleichungen zur Bestimmung der

mitwirkenden Plattenbreite abgeleitet :

b A. \ -025

( 1 + .A p MG ""

PNG ( 1 + A ( I + ,\

b A a.) Gleichstreckenlast b.) Punktlast -0.8

( 1 + A

Wird die stillschweigend zu Grunde gelegte Annahme kleiner Werte v nicht eingehalten . so ist an hand der Glei­

chungen Gl. (332) und Gl. (357) zu uberprufen, ob gegebenenfalls ein anderer Abminderungsfaktor massgebend ist.

85

IV. BEMESSUNG UND KONSTRUKTION

Beim Entwurf von Holz-Beton-Verbundkonstruktionen uberwiegt in den meisten Fallen der baustatische Aspekt, so­

daB bauphysikalische, asthetische und okonomische Anforderungen ausreichend berucksichtigt sind , wenn sie als

Randbedingungen in die Losung mit eingearbeitet werden. Die Bemessung eines Verbundtragers macht im allgemei­

nen ein iteratives Vorgehen erforderlich, da die Querschnittswerte nicht als explizites Ergebnis einer Optimierungs­

aufgabe ableitbar sind . Der Aufwand bairn "Ausprobieren" verschiedener Kombinationen der Querschnittskennwerte

wird im wesentlichen von dar Oualitat und Schnelligkeit des angewandten Berechnungsverfahrens und dem Ver­

standnis des entwerfenden lngenieurs fUr das Verhalten der Verbundkonstruktionen allgemein und speziell bei Ver­

anderung verschiedener EinfluBparameter bestimmt.

Ein geeignetes Berechnungsverfahren soltte daher folgenden Forderungen genugen :

mbglichst direkte Berechnung der interessierenden GrbBen, ohne Zwischenschalten von Hilfswerten, die nicht

anschaulich aus dem mechanischen Verhalten ableitbar sind.

Vereinfachungen soltten nur insoweit einge!Uhrt warden, als die Transparenz der mathematischen Beschreibung

auf den mechanischen Hintergrund erhalten bleibt und sie beim weniger kundigen Anwender keine falschen

Vorstellungen vom Tragverhalten entstehen lassen. Diese Gefahr besteht bei der Verwendung von "Faust­

formeln", die beim entwerfenden lngenieur gerade dann Unbehagen und Unsicherheit verursachen, wenn die be­

sonderen Voraussetzungen und Annahmen der jeweiligen Vereinfachung nicht bekannt sind.

moglichst genaue Wiedergabe des mechanischen Verhattens im Rahmen der getroffenen Annahmen, sodaB von

der rechnerischen Seite her keine zusatzlichen Unsicherheiten bei der Beurteilung dar Konstruktion auftreten.

Diese Unsicherheiten sind entgegen oft unterschwelliger Denkweise nicht in den Sicherheitsfaktoren fUr die

zulassigen Werte der verschiedenen Nachweise enthalten, sodaB gr613ere rechnerische Abweichungen

einerseits zu unwirtschaftichen, andererseits zu weniger sicheren Losungen tuhren. Auf Grund der sehr kom­

plexen Zusammenhange beim Tragverhalten von Verbundkonstruktionen, muB akzeptiert werden, daB ein

entsprechendes Berechnungsverfahren umfangreicher ausfaltt als das fUr einen homogenen Biegestab dar Fall

ist. Diese Tatsache schlieBt jedoch nicht die praxisgerechte Aufbereitung eines solchen Verfahrens aus, zumal

durch den Einsatz von Computern und ahnlicher Hilfsmittel selbst kompliziert erscheinende Bestimmungs­

gleichungen mit relativ geringem Aufwand erfasst warden konnen.

zusatzlich zur Angabe dar Berechnungschritte Aufbereitung des Verfahrens in Diagrammen, sodaB der EinfluB

verschiedener Parameter visualisiert und somit das Verstandnis fur das Tragvberhalten gefordert wird. Zudem

sind solche Diagramme gut als Diskussionsgrundlage und zur schnellen Abschatzung verschiedener

Konstruktionen geeignet.

Bei dar Durchsicht dar bereits zur Verfugung stehenden Berechnungsverfahren faltt auf, daB gerade die Transparenz

auf den mechanischen Hintergrund im Verlauf der Berechnung der benotigten BemessungsgroBen verloren geht. Die

in dieser Hinsicht gravierensten Mangel zeigen die Hinweise fUr die Berechnung verdubelter Balkan in der schweize­

rischen Norm SIA 164 (1981) [55], die auf Untersuchungen von Stussi [4] (5] (6] zuruckgehen. Tragheits- und Wider­

standsmoment warden pauschal abgemindert, sodaB samtliche EinfluBgroBen unberiicksichtigt bleiben. Fur die Be­

rechnung von nachgiebig zusammengesetzten Biegetragern mit beliebigem Querschnitt sind jedoch nur globale Hin­

weise gegeben , so uber den anzusetzenden Sicherheitsbeiwert und den Umfang der notwendigen Nachweise. Die

franzosische Norm (57] gibt selbst kein Berechnungsverfahren an, sondern verweist auf den amerikanischen Stan­

dard-Code [59], der in etwa mit dem kanadischen [58] ubereinstimmt. In beiden Norman warden konkrete Angaben

zur Berechnung und Aus!Uhrung von Holz-Beton-Verbundkonstruktionen gemacht. Neben einer Reihe von Be­

schrankungen fUr die geometrischen Abmessungen solcher Konstruktionen, die auf das Hauptanwendungsgebiet,

86

den Bruckenbau, abgestimmt sind, wird ein Berechnungsverfahren angegeben, das jedoch nicht die Nachgiebigkeit

der Verbindung zwischen Holz und Beton berucksichtigt und somit von einem starren Verbund ausgeht. Dieses Vor­

gehen fUhrt rechnerisch zu groBen Abweichungen, die durch entsprechend hohe Sicherheiten in den zulassigen

Bemessungsgr6Ben abgedeckt warden mussen. Die deutsche Norm DIN 1052 (56) gibt ein allgemeines Verfahren zur

Berechnung von nachgiebig verbundenen, zweiteiligen oder doppelsymmetrischen, dreiteiligen Querschnitten an,

das in der Methode mit den amerikanischen und kanadischen Standard-Codes und dem von Godycki/Pawli­

ka/Kieszczewski (32) vorgestellten Verfahren ubereinstimmt. Der fUr eine bestimmte Aufgabe benotigte Verbund-­

querschnitt wird in seinen Abmessungen geschatzt. AnschlieBend wird die neutrale Faser des ideal starr verbunde­

nen Querschnittes bestimmt und mit Hille eines Abminderungsfaktors fUr den Steineranteil ein ideelles Tragheits­

moment ermittelt, mit dem die Nachweise der Tragfahigkeit (Spannungsnachweis) und Gebrauchsfahigkeit (Durch­

biegungsnachweis) durch Vergleich mit den zuliissigen Hochstwerten zu fuhren sind. Gegebenenfalls ist die Berech­

nung mit einem geeigneteren Querschnitt zu wiederholen.

Zu diesem Bemessungskonzept seien einige kritische Anmerkungen eingefugt. Die Berechnung der Rand­

spannungen erfolgt uber ei.n ideelles Tragheitsmoment, aus dem mit Kenntnis der neutralen Faser des starren Ver­

bundquerschnittes das Widerstandsmoment fUr die Randfaser berechnet wird . Dieses Vorgehen ist sehr um­

stlindlich, da zur Berechnung der Randspannung eines der Teilquerschnitte nur dessen tatsachliches Tragheits­

bzw. Widerstandsmoment und seine Normalkraft- bzw. Momentenbelastung bekannt sein miissen. Die Belastung

kann relativ einfach uber einen Aufteilungsfaktor fUr das auBere Moment bestimmt warden, der aus den Bestim­

mungsgleichungen des elastischen Verbundes ableitbar ist, indem das Verhaltnis zwischen dem Normalkraftmoment

und der Summe der Eigenbiegemomente gebildet wird . Man kann so einen Spannungsnachweis tuhren, bei dem

deutlich der EinfluB des elastischen Verbundes durch eine sich verandernde Aufteilung des auBeren Momentes

ablesbar ist. Auch fUr den Durchbiegungsnachweis ist es nicht erforderlich, ein abgemindertes, ideelles Tragheits­

moment uber die Abminderung des Steineranteiles zu berechnen. Einfacher ist ein auf die Summe der Eigenbiege­

steifigkeiten bezogener VergroBerungsfaktor zu handhaben. Ein solches Vorgehen hat den Vorteil, daB die Berech­

nung wesentlich schneller durchge!Uhrt warden kann, nicht zuletzt weil mit handlicheren Zahlen gearbeitet wird und

die Berechnung zweier Hilfswerte vollstandig entfallen kann. Es sei noch darauf hingewiesen, daB die Lage der neu­

tral en Faser des ideal starr verbundenen Ouerschnittes nur in sehr beschranktem MaB das Verhalten bei

elastischem Verbund interpretiert warden kann. Wie schon an verschiedenen Stellen vermerkt, kann in bezug auf

den elastischen Verbund nicht von einer neutralen Faser gesprochen warden, da dieser Terminus technicus die Lage

des Nulldurchganges der Spannungen bei reiner Biegebeanspruchung des Ouerschnittes beschreibt, und in einem

Yerbundquerschnitt immer noch Normalspannungen uberlagert sind. Dadurch entsteht im allgemeinen in der Fuge ein

Spannungssprung zwischen den Querschnitten, sodaB ein, zwei oder gar kein Nulldurchgang der Spannungen

moglich sind. Fur den Entwurf von Holz-Beton-Verbundkonstruktionen ist ein wichtiges Kriterium, daB der Beton

moglichst !rei von Zugspannungen sein sollte. Aus der Kenntnis der neutralen Faser des ideal starren Ouerschnittes

kann jedoch nur dann ein SchluB gezogen warden, wenn diese innerhalb des Betonquerschnittes liegt. In diesem Fall

erhii.lt der Beton unabhii.ngig von der Qualitat des Yerbundes Zugspannungen. Fur die Einhaltung des oben

genannten Kriteriums ist es also eine notwendige Bedingung, daB die neutrals Faser nicht im Betonquerschnitt liegt.

Doch ist damit noch nicht eine hinreichende Bedingung erfullt, da in allen anderen Fallen bei nicht genugend steifer

Verbindung der Teilquerschnitte die Gefahr besteht, daB im Beton rechnerisch Zugspannungen auftreten. Wie spater

gezeigt warden wird, konnen einfachere und aussagekrii.ftigere Kriterien angegeben warden. Es gibt jedenfalls

keinen vernunftigen Grund, die Lage der neutralen Faser des starren Verbundquerschnittes zu bestimmen, zumal

auch der innere Hebelarm des entgegengesetzt, gleichgrossen Normalkraftpaares einfach aus dem Abstand der

neutralen Fasern der Teilquerschnitte hervorgeht.

Die praktische Anwendung der oben genannten Bemessungsverfahren wird haufig dadurch beeintrachtigt, daB das

tatsii.chliche, statische System mehr oder weniger stark von dem der Nii.herungslosung zu Grunde gelegten

abweicht. Dadurch ist eine wirtschaftliche und sichere Bemessung in Frage gestellt. Die Superposition von

verschiedenen Lastfii.llen ist uberhaupt nicht vorgesehen und statisch unbestimmte Systeme sind nur mit groben

AbschiHzungen erfaBbar, wobei die maBgebenden Bemessungsstellen unberucksichtigt bleiben. Wahrend die

87

ldealisierung der Belastungsfunktion des Einfeldtragers als Sinuslast noch eine gute Naherung fur den Lastfall

Gleichstreckenlast darstellt, konnen andere Lastfalle nur noch mit einer zufalligen Genauigkeit berucksichtigt

warden. FaBt man ein statisch unbestimmtes System als Superposition einer gegebenen Belastung mit

entgegengesetzten Punktlasten auf, so wird klar, daB die ubliche Berechnung als Einfeldtrager m~ der Lange 0.8 l

nur eine mehr oder weniger zufallige Abschatzung des Tragverhaltens sein kann, da das Tragverhalten bei

Punktlasten sich wesentlich von dem der anderen Lastfalle unterscheidet. Aus diesem Grund wird in Abschnitt 2

dieses Kapitels kurz auf das Tragverhalten des zweifeldrigen Durchlauftragers eingegangen.

Um nicht autwendige Anpassungen an die bestehenden Verfahren durchtuhren zu mussen, wird iin Abschnitt 1 auf

der Grundlage der allgemeinen Verbundtheorie ein Bemessungsverfahren vorgestellt, das allgemein anwendbar und

anschaulich interpretierbar ist. Unterschiede zu den oben genannten Verfahren bestehen im wesentlichen darin, daB

auf die Berechnung einer neutralen Faser und eines ideellen Traghe~smomentes ganz verzichtet wird und daB aile

Berechnungsgrossen auf die Kennwerte dar Teilquerschn~e bezogen warden. So weit wie moglich wird mit Verhalt­

niswerten gearbeitet, um die Bedeutung einer ausgewogenen Proportionierung des Verbundquerschnittes und des

zugehorigen statischen Systems zu unterstreichen. Wahrend Oblicherweise ein Vergleich der Durchbiegungen des

ideal starren Verbundtragers und der des nachgiebig verbundenen Tragers gezogen wird und darauf basierend aile

Nachweise erbracht warden, orientiert sich das hier vorgestellte Verfahren an den Verhaltniswerten der fOr die ent­

sprechenden Nachweise maBgebenden GroBen.

Der Spannungsnachweis wird mit dem Verhattniswert von Normalkraftmoment zu der Summe der Eigenbiege­

momente gefuhrt, der Durchbiegungsnachweis mit dam Verhaltniswert von Durchbiegung der nicht verbundenen Teil­

trager zur Durchbiegung des elastisch verbundenen Tragers, und dar Schubspannungsnachweis mit dem Verhalt­

niswert der Ouerkraft aus FugenschubfluB zu der aus Eigenbiegung dar Teilquerschn~e . Der Nachweis der Verbin­

dungsmittel kann als Sonderfall des Schubspannungsnachweises fur die Fuge abgeleitet warden. In Ueberein­

stimmung mit den o. g. Verfahren der verschiedenen Norman wird der Nachweis gegen die zulassigen H6chstwerte

der Spannungen und Verformungen beibehalten. Dam~ wird das Sicherheitskonzept an das der einschlagigen

Norman angelehnt. Die zulassigen Spannungen warden durch einen globalen Sicherheitsfaktor von dar Proportiona­

l~atsgrenze abgeleitet. Der Sicherheitsfaktor deckt die Unsicherheiten in den Lastannahmen, Streuungen der Versa­

gensspannungen und dar geometrischen lmperfektionen dar Querschnitte ab. Nicht abgedeckt sind dagegen die

Streuungen des Elastizitatsmoduls, der fOr die Bestimmung der Schn~- und Verformungsgr6Ben wegen des inner­

lich statisch hochgradig unbestimmten Verbundtragers von Bedeutung ist. Aus diesem Grund ist zu uberlegen, ob

nicht fur das einzubauende Holz genauere Sortiermethoden verlangt warden sollten, wie sie z. B. durch Ultraschall­

messungen bei entsprechend guter, durch greBe Versuchsreihen nachgewiesener Regression gewahrleistet sind.

Denn die Genauigkeit dar Berechnung hangt wesentlich davon ab, ob die rechnerischen E-Moduli der beteiligten

Materialien auch tatsikhlich erreicht warden. Hier liegt ein besonderes Problem in bezug auf die Berechnung von

Holz-Beton-Verbundkonstruktionen, da sich sowohl der E-Modul des Holzes als auch derjenige des Batons nur grob

abschatzen lassen. Anders jedoch als im Stahi-Beton-Verbund, wo dar Verhaltniswert zwischen dem E-Modul des

Stahls und des Batons sehr hoch liegt (=10) und somit Schwankungen des E-Moduls des Batons nicht stark ins

Gewicht fallen, verandert sich dieser Wert fUr den Holz-Beton-Verbund unter Umstanden sehr stark. Eine Verbes­

serung dieses MiBstandes ist also nur durch zuverlassigere Sortierkriterien zu erwarten, wobei die Bestimmung des

E-Moduls am realen Bauteil global und nicht durch kleine Proben lokal erfolgen soltte. Unter diesem Aspekt ist Ierner

zu uberlegen, ob das Nachweisverfahren auf lange Siehl nicht auf Traglastniveau durchgefOhrt warden sollte. Eine

solche Umstellung brachte fur die Holz-Beton-Verbundbauweise den Vorteil, daB die Tragreserven in Rechnung

gestellt warden konnten, die nach lokalem Versagen durch Umlagerungen innerhalb des Verbundquerschnittes

aktiviert warden, sodaB im Unterschied zu anderen bekannten Bemessungsverfahren auf Traglastniveau weniger

die Plastifizierung der homogenen Teilquerschn~e als die scheinbare Plastifizierung des Gesamtquerschnittes eine

wirt-schaftlichere Bemessung erlauben wurde. Ein Nachweisverfahren auf Gebrauchslastniveau berucksichtigt die

oben geschilderten Umlagerungen nicht, was zu dem paradoxen Ergebnis tuhrt, daB ein ungunstig proportionierter

Querschnitt rechnerisch weniger tragfahig ist, als ein ahnlicher, aber kleinerer und besser proportionierter

Querschnitt. Wegen einer Vielzahl material- und konstruktionsbedingter Restriktionen muss im allgemeinen

88

hingenommen warden, daB eine Optimum des Querschnitts im Sinne einer vollen Ausnutzung aller zulassigen

Hochstwerte nicht moglich ist. Die Tragreserven dar Konstruktion sind jedoch umso gr6Ber, je mehr die gewahlte

Losung von diesem Optimum abweicht, sodaB durch einen Nachweis auf Traglastniveau dieser Nachteil zumindest

teilweise kompensiert warden konnte.

Der fur die Berechnung der Verbundtrager wichtige Verschiebungsmodul der Verbindungsmittel in der Fuga zwischen

Holz und Beton muB, solange keine gunstigeren Werte angegeben werden kennan, aus den Holzbaunormen SIA 164

(1981) oder der DIN 1052 entnommen werden. Wie bereits an anderer Stelle bemerkt, ist dieser Ansatz in aller Regel

eine Abschatzung zur sicheren Seite hin. Godycki!Pawlika/Kieszczewski [32] geben erstmals aus Bauteilversuchen

an Holz-Beton-Verbunddecken ruckgerechnete Verschiebungskennwerte fUr Nagel und Einschnitte in die tragenden

Holzbalken (Verzahnung) an.

1. BERECHNUNG UNO NACHWEISE DER VERBUNDTRAGER

Das Verhalten einer Verbundkonstruktion als Biegetrager ist gekennzeichnet durch das Zusammenwirken der homo­

genen Teilquerschnitte. Das auBere Moment wird durch ein Normalkraftpaar und die Eigenbiegemomente der Teil­

querschnitte bei entsprechender Durchbiegung aufgenommen. Die GroBe dar in den Achsen dar Teilquerschnitte

wirksamen, gleichgroBen und einander entgegengesetzt gerichteten Normalkrafte ist durch die Tragerstelle, die in

der Fuga wirksame Federsteifigkeit, die Materialkennwerte und Ouerschnittsgeometrie bestimmt.

Insbesondere die Bedeutung dar SchubeinfluBzahl A und des Geometrie- und Materialfaktors a2 ist Ieicht aus den

Bestimmungsgleichungen auf denS. 48 bis 63 abzulesen. Da beida GroBen dimensionslos sind, handelt as sich hier­bei urn eine Kombination von Verhaltniswerten, die durch eine geeignete Schreibweise der Formeln fUr A und o.2 ge-

bildet warden konnen. In Abschnitt 3 wird gezeigt warden, wie mit Hilfe dieser Verhaltniswerte schnell und einfach

eine Abschatzung fOr eine gute Proportionierung des Tragsystems moglich ist. Fur bestimmte Zielfunktionen lassen

sich Optimierungskriterien angeben, die zwar in der praktischen Umsetzung wegen einer Fulle verschiedener Re­

striktionen haufig nicht eingehalten warden konnen. Dennoch sollte in der ersten Phase des Entwurfs Wert auf eine

ausgewogene Proportionierung gelegt warden, bevor durch Einsetzen der absoluten GraBen Nachweise getuhrt

warden. Ein solches Vorgehen erspart unter Umstanden ein aufwendiges Herantasten an eine akzeptable Losung.

Aus Grunden der Uebersichtlichkeit wird hier jedoch die Beschreibung dar Berechnung und der Nachweise vorge­

zogen.

Das Prinzip dar Berechnung und der Nachweise ist fUr aile besprochenen Lastfalle -ausgenommen die Zwangsbean­

spruchungen- gleich, sodaB exemplarisch der Lastfall Gleichstreckenlast behandelt warden kann. Die Gleichungen

fUr Normalkraft und Moment in den Teilquerschnitten in Abhangigkeit von der Tragerstelle ~ ( ~ = x I l) Iauten :

N ( ~ )

2 a

e

Mi(~)=q 0 l 2 ai

2

( ~ _ ~ 2 ) _ ' 2

( 1 _ cosh [ ll ( ~ - 0. 5 ) I ) 1 1\ cosh ( ll /2)

I 2 ? - ( ~ - ( ) ( I -a- ) + 2

' 2

( 1

_ cosh l A ( (- 0 . 5 ) I ) }

11. cosh (A I 2)

•) a-

a 2 Geometrie-und Materialfaktor, Anteil des Steiner-Giiedes an der Gesamtbiegesteifigkeit des Verbundquer­

schnittes bei ideal starrem Verbund und in diesem Fall Anteil des Normalkraftmomentes an der Aufnahme des

auBeren Momentes

89

A. Schubeinflul3zahl, beriicksichtigt die horizontals Nachgiebigkeit in der Fuga

a: i Anteil des Teilquerschnittes ian der Aufnahme des aul3eren Momentes ohne Verbund bzw. Anteil an der Summe

der Eigenbiegemomente

Die zunachst kompliziert erscheinenden Gleichungen konnen jedoch anschaulich gedeutet warden. Das Moment aus

Normalkraft M n setzt sich zusammen aus dem Anteil bei ideal starrem Verbund, welcher direkt aus dem auBeren

Moment berechenbar ist, abgemindert urn den Anteil, der sich aus der Wirkung des elastischen Verbundes ergibt. Die

Summa der Eigenbiegemomente bei starrem Verbund wird entsprechend urn diesen Betrag vergroBert, da insgesamt

die Sum me der Momenta gleich bleibt.

MN N e 2 (Ms- ME<.: l a

Ms 2 ( < - ~2) q 0 l

2

Mt: ?

( 1 -cosh f A ( (- 0.5 ll ) q o z-

A 2 cosh (A /2 )

L M > (Ms + ME ) L ,L ,L

L M ( l-a2

) Ms+ 2

ME a

Die Gleichungen auf den Seiten S. 48 bis 63 sind bereits in einer entsprechenden Form geschrieben, sodaB fiir den

jeweiligen Lastfall Ieicht die analogen GraBen bestimmt warden konnen. Der Hilfswert ll gibt nun das tatsachliche

Verhaltnis zwischen Moment aus Normalkraft und der Summa der Eigenbiegemomente an.

N e

Aus den Gleichungen geht hervor, daB der Momentenaufteilungsfaktor 11 im allgemeinen iiber die Tragerlange ver­

anderlich ist. Der Verlauf des Verhaltniswertes iiber die Tragerlange zu den verschiedenen Lastfallen ist den Dia­

grammen S. 48 bis 63 zu entnehmen. Lediglich im Lastfall Sinuslast ist dieser Hilfswert 11 konstant iiber die

Tragerlange. In allen anderen Hillen muB untersucht warden, an welcher Stelle der Spannungsnachweis zu fiihren

ist. Durch eine Parameterstudie kann nachgewiesen warden, daB unter Beriicksichtigung aller EinfluBgroBen die

groBten Randspannungen in den Teilquerschnitten unter Gleichstreckenlast und Sinuslast in Feldmitte, unter linear

veranderlicher Last an der Stelle 0.58 I und unter Einzel- und symmetrischen Punktlasten an der Stelle der Lastein­

leitung liegen. Das bedeutet, daB die Veranderlichkeit des Momentes iiber die Tragerlange die des Hilfswertes T)

mehr als kompensiert. Die Berechnung des Hilfswertes 11 vereinfacht sich fiir den Lastfall Gleichstreckenlast also,

indem ~ = 0.5 eingesetzt wird.

Ms 8

90

ME ( 1 - ) A 2 cosh ( A I 2 )

Der Momentenaufteilungsfaktor 11 kann also als Funktion von a2 und A dargestellt warden. In Bild 37 ist der Verlauf

uber die Schubeinflu Bzahl A bei Variation des Parameters o.2 aufgetragen. Der Wertebereich ist so gewahlt , daB der

4.8

3.5

3. B

I:" 2.5

t: 2.8 ~

~ :S

1.5 ·-::t: 1.8

8. 5

8. 8

-~ - -.. :::: -- - -lllll l i ·! ll!l!!ll!lll -1-- f.--~ -~ 4$>

% 2::: ~ t::=-~ 1---+--- ' ~ I-0 0 % ::.--v-~ !----

~ ~ ~ ::::::: E::::::: ~ ~ ~ ~ ~ 1:::::::= ~

~ ~ ~ ~ ~ ~

Jf v

v ~

a ' · 0 .80

a'· 0.75

a '· 0.70

5 !0 IS 28

Schubeinflusszahl A.

Bild 37 : Der Hilfswert TJ zur Norma/kraft- und Momentenspannungen

tor die Holz-Beton-Verbundbauweise interessierende Bereich zwischen 5 ~ A:::; 15 gut uberschaubar ist. Fur aile be·

sprochen Lastfalle ist der Hilfswert 11 in den Diagram mender Anlage 1-1 bis 1-6 zusammengestellt. Der Spannungs­

nachweis tor die Teilquerschnitte kann nun mit Kenntnis des HiHswertes 11 durchgefOhrt werden, da dieser die Bezie­

hung zwischen auBerem Moment, Eigenbiegemoment und Normalkraft der Teilquerschnitte beschreibt, sodaB als

einzige KraftgroBe das auBere Moment erscheint.

0 i.R

Ms ( ~ 3 a i ) ±

p . l

A e 1 + ~

A i Flache des Teilquerschnittes

e Abstand der neutralen Fasern der Teilquerschnitte

~ i Verhaltnis der halben Hohe des Teilquerschnittes i zum Abstand der neutralen Fasern der Teilquerschnitte e

Der erste Summand des Klammerausdruckes berucksichtigt den Normalkraftanteil, der zweite das Moment, sodaB

I I

91

die Spannung in dar neutralen Faser der Teilquerschnitte einfach ermittelt warden kann, indem der zweite Summand

unberucksichtigt bleibt. Dar Nachweis der maximalen Spannungen in der neutralen Faser des Teilquerschnittes ist

immer dann erforderlich, wenn durch geringe Ouerschnittshohen dar Biegespannungsanteil relativ klein ist im Ver­

haltnis zur Normalkraftspannung und fUr den verwendeten Werkstoff eine hohere Biegerandspannung als Nor­

malkraftspannung zulassig ist. Dieser Sachverhalt trifft haufig auf die Gurte von zusammengesetzten Tragern zu.

In die Berechnung der Spannungen geht dar Verhaltniswert a i I~ i mit ein. Dieser Wert wird durch die Geometrie­

und Materialverhaltnisse des Verbundquerschn ittes bestimmt. Mit seiner HiHe kann eine Aussage gemacht warden

uber die gri:iBtmogliche Veranderung dar maximalen Randspannung eines Teilquerschnittes, wenn man die Span­

nung bei starrem Verbund mit dar bei fehlendem Verbund vergleicht. Die Veranderung bei elastischem Verbund liegt

zwischen den in Bild 38 durch die Kurven gekennzeichneten Werte und 1. Der schraffierte Bereich in Bild 38 zeigt

den Wertebereich von 0: i I~ ian, fur den der Verbund eine Spannungszunahme bringt.

...._ b

(

. :_ :

I< I>>> liii·i! 1.:::::

H.H H.H

i<:I I>< liii!ii

I 1<.

:

H ~ .··

•••

::" I

I ~ ~~

~ ~ ~ ::::::::: t--r--1--f--.

Verhii.ltniswert ai I /3;

Bild 38 Veranderung der maxima/en Randspannung durch Verbund der Teilquerschnitte

2.B

a '· 0 .70

a ' - 0.80

Dar Durchbiegungsnachweis kann entweder auf die Durchbiegung bei ideal starrem Verbund oder -rechnerisch ein­

facher- auf die Durchbiegung bei fehlendem Verbund d.h. auf die Summa dar Eigenbiegesteifigkeiten der Teilquer­

schnitte bezogen werden. Zur Bestimmung des entsprechenden Abminderungsfaktors wird die Durchbiegung bei

fehlendem Verbund mit derjenigen bei elastischem Verbund der Teilquerschnitte verglichen . Dieser Wert kann

prinzipiell nicht aus dem Momentenaufteilungsfaktor 11 abgeleitet werden, da das lokale Verhaltnis zwischen Nor­

malkraftmoment und Sum me der Einzelbiegemomente kein MaB ist fUr das fiktive, an dieser Stelle vorhandene Ver­

haltnis zwischen dam Steineranteil an der Gesamtbiegesteifigkeit und der Eigenbiegesteifigkeit der Teilquerschnitte .

Wahrend namlich der HiHswert 11 das tatsachliche Verhaltnis zweier nach der Theorie des elastischen Verbundes

berechneter SchnittgroBen angibt und somit dar Spannungsnachweis unabhangig von der zu Grunde liegenden The­

erie getuhrt warden kann, basiert der Hilfswert fur den Durchbiegungsnachweis auf dem Vergleich zweier nach ver­

schiedenen Theorien ermittelter Verformungsgri:issen. Damit soli es ermoglicht warden, den Durchbiegungsnachweis

unter Verwendung der bekannten Formeln aus der einfachen Balkentheorie zu erbringen . Diese setzt jedoch eine

92

liber die Tragerlange konstante Biegesteifigkeit voraus. was im allgemeinen nach der Theorie des elastischen Ver­

bundes nicht der Fall ist. Der Hitfswert flir den Durchbiegungsnachweis hat also die Aufgabe, diese Unvertraglichkeit

zu kompensieren. Er wird deshalb fur eine bestimmte Stelle durch das Integral der mit den jeweiligen Tragerstellen

gewichteten Wirksamkeiten des Verbundes Ober die Lange x festgelegt, welche direkt aus dem Mo­

mentenaufteilungsfaktor 11 abgeleitet warden kennan. Nur im Faile einer Sinuslast ist dar Momentenaufteilungsfaktor

11 konstant liber die Tragerlange, sodaB die lntegralbildung zur Bestimmung der lokalen Biegesteifigkeit entfallen

kann und die Biegesteifigkeit des Gesamtquerschnitts ebenfalls konstant ist. In diesem Fall kann die Durchbiegung

des Verbundtragers an jeder beliebigen Tragerstelle mit einem einzigen Hitfswert berechnet warden. FOr aile anderen

Lastfalle wurden Vargleichsrechnungen durchgefUhrt, die ergaben, daB die Abwaichungan bei dar Verwendung des

Momentenaufteilungsfaktors 11 fUr die Berechnung dar maximalen Durchbiegung immer dann sehr gering sind, wenn

eine stetige Belastungsfunktion (Gieichstrecken-, Sinus- oder linear veranderliche Last) vorliegt und die Bemessung­

stelle fUr den Spannungsnachweis in unmittelbarer Nahe der Nachweisstelle fUr die maximale Durchbiegung liegt.

Lediglich fUr die Lastfalle Einzellast und symmetrische Einzellast muss ein eiganer Hitfswert i1 angageben warden.

lm Rahmen dar hier sinnvollen Genauigkait kann flir beida Lastfalle ein Diagramm (Anlage 1-7) verwendat warden.

Die Genauigkeit der Berechnung laBt sich durch eine Berachnung mit Hitfe dar angegebenan Gleichungen erhohen

Bei Anwendung des Hilfswertes Ti lautet die Gleichung fUr die Durchbiegung

5 a I

w (0.5) = wo 384 E I .

I I 1 + ~ 1 + ii

Darin bedeutet Wo der Grundwert der Durchbiegung nach einfacher Balkentheorie an der maBgebenden Bemes­

sungsstelle. Dieser kann Tabella 1 entnommen warden. Fur die Lastfalle Gleichstrecken-, Sinus- und veranderliche

Last gilt 11 c 11 .

1

5.0

4. 5

4.0

"' 3. 5

3 . 0

2 . 5

~ "< 2. 0

- ~ ~ -t :::5 ~

~ <:; ~

1. 5

I. 0

0.5

0 .0

a 70

5 10 IS 20

Sclwheinjlu.ITZahl A.

Bild 39 : Durchbiegung des nachgiebig zusammengesetzten Tragers relativ zu dar bei stam3m Verbund

I I

nJl o­ct> ~

~ ~ ~ It> ::l f} to (!)

3 ~ {/)

~ {/)

~ ~ ::l c:: ::l Q.

~ Q.

~ ~ (!) .... c::, ....,

~

~ g.

~ ::l ([) ::l r­Ill {/)

1} ~ c:: ::l Q.

~ g. ~ iii' ([)

f'\ Nachweis Normalspanmm~ Durchhief:llllf: Schuhspanntm~

Lastfa/1 \]ormtsJun~JJI<ll<

n I I I I I I I I I I I Ull Llll (5. 1>-,_, 0 0

-="':amiomrlJ] A ~ ,_____ , 0 0

...-roTIIliiiiilJ:J:Jn. p. ~ ·--· 0 0

- '- j .. A ~ ·-- t

B EJ

~ ... ~ ·~

>----- ( El 0

,.. I-- '

E?il G7·1

1', = 0.50

1', = 0.58

1', = 0.50

1', =<1>

1',=<1>

1)

1', = 0.50

Grundwcrt M s

q 12

8

2.31 q 12

6

q 12

1t 2

2 P I ( <1> - <1> )

2 (l

P1<l>

-2 li EE ; I ; e

Dcmt.uunglHtflt

1', = 0.50

1', = 0.52

1', = 0.50

<t> = 0.1 f, = 0.421t

<t> = 0.2 f, = 0.4)4

<t> = 0.3 f, = 0.449

<I> = 0.4 f, = 0.47 1

<I> = 0.5 f, = 0.500

1', = 0.50

2)

1', = 0.50

1 ) zur rechnerischen Anpassung ist anstatt 11 = -1 der Wert 11 = 1 ainzuselzan

2 ) dar Hillswart i] ist dem Diagramm in dar Anlage 1 zu anlnehmen

Grundwut w,

5 q 14

384 1: E; I ;

2.35 q 14

360 1: E ; I ;

q 14

4

n 1:E; I ;

0.30

0.58

p 13 0.80

48 1: E; I ;

0.95

1.00

3 ( 3 <!> - 4 <!> ) I' I 3

24 1:E; I;

(l 2

0 12

c 8

RtmtsrungSJltllt

1', = 0

1', = I

1', = 0

I V'< W

1', = 0

vI > IV

1',=<1>

V' < IV

1', = 0

V'> IV

f, = <I>

3)

1', = 0

I

2 (l

e

3 ) zur rechnarlschan Anpassung 1st anslaH IV= ·1 der Wert IV= 1 elnzuselzen. Der Nachweis wird nur in der Fuga geiOhrt, da dort In jedem Fall das Maximum liegt . Fur die Berechnung anderer Stellen sird die Gleichungen auf Selle 62 zu verwenden.

Grundwut Q 1

q I

2

q I

3

q I

1t

p (I - <!>)

p

A - 2 li 1:E I I ( I

1.0 w

94

An dieser Stelle sei noch kurz erwahnt, wie die o.g. Berechnungsverfahren einzuordnen sind. Der in der SIA 164

(1981) angegebene Abminderungsfaktor fUr das wirksame Tragheits- bzw. Widerstandsmoment entspricht einem

konstanten Hilfswert 11 = 1.62, der tor beide Nachweise ohne Berucksichtigung des Lastfalles angewendet wird. Die

tor den Sonderfall des verdubelten Balkans aus zwei gleichen Querschnitten maBgebende Kurve (a2 =0.75)

schneidet die horizontals Gerade 11 = 1.62 etwa bei A= 6 (Gieichstreckenlast) . Der von Godycki,Pawlika und Klesz­

czewski [32] angegebene Hilfswert entspricht der Kurve fUr o.2 = 0. 73 bei Gleichstreckenlast. Das Berechnungs­

verfahren der deutschen Norm DIN 1052 nutzt den Vorteil, daB im Faile einer sinusformigen Belastung nur ein

Hilfswert 11 fur aile Nachweise ermittelt warden muB. Die Abweichungen, die sich aus der Anwendung dieses

Hilfswertes auf andere Lastfalle erg eben konnen mit den Diagram men der Anlage 1 abgeschatzt warden.

Aus diesen Diagrammen ist zu entnehmen, daB der Hilfswert 11 im Bereich kleiner A relativ steil ansteigt, um sich mit

zunehmender SchubeinfluBzahl A. dem Wert a 2 I ( 1 - a 2 ) assymptodisch zu nahern. Diese Beobachtung wird durch

Grenzwertbetrachtungen bestatigt. Daraus laBt sich ableiten, daB insbesondere im unteren Bereich von A der u. a.

fur die Holz-Beton-Verbundbauweise maBgebend ist, gering!Ugige Abweichungen greBe Auswirkungen auf die

Nachweise haben. Urn dieses zu verdeutlichen, ist in Bild 39 die Durchbiegung bei elastischem Verbund mit der des

ideal starren Querschnit1es verglichen. Man eri<ennt, wie eHektiv eine Verdubelung gerade im unteren Wertebereich

von A ist. Bei hoheren Wer-ten A kann eine Verbesserung der Durchbiegung nur noch mit groBem Aufwand, d.h. in

der Regel eine VergroBerung der Fugensteifigkeit durch eine groBere Anzahl von Verbindungsmit1el, erreicht werden.

Die uber die Teilquerschnittshohe wirksame Schubspannung setzt sich zusammen aus einem durch den Verbund

bewirkten linearen und einem aus dem Eigenbiegemoment resultierenden, parabelformigen Anteil. MaBgebender

Querschnitt fUr die Bemessung eines Einfeldtragers unter Gleichstreckenlast ist derjenige uber dem Auflager, sodaB

fUr die Herleitung eines eigenen Hilfswertes 'I'· der das Verhaltnis zwischen den beiden Anteilen beschreibt, !; = 0 zu

setzen ist. Die Analogie zur Herleitung des Hilfswertes 11 ist insofern nicht sofort ersichtlich, als aus praktischen

Grunden in den Gleichungen auf den Seiten S. 48 bis 63 die beiden Anteile der Querkraft in den Teilquerschnitten

nicht explizit angeschrieben sind. Es sind gering!Ugige Umformungen vorzunehmen, weil die Gleichung fUr den

FugenschubfluB und diejenige fUr die Gesamtquerkraft im Teilquerschnitt angegeben ist. Man erhalt wieder zwei

unabhangige Anteile der Querkraft.

sinh (). [ 0.5 - s]) cosh{ 1.. I 2}

Daraus folgt der Oueri<raftaufteilungsfaktor

T e

=

Der Zusammenhang ist in Bild 40 graphisch dargestellt. Der Verlauf der Kurven entspricht dem des Momenten­

aufteilungsfaktors 11. nur daB der Anstieg zum Maximalwert weniger steil ist. Fur die besprochenen Lastfalle kann der

Querkraftaufteilungsfaktor 'I' den Diagrammen der Anlage 3 entnommen werden.

Die Gesamtqueri<raft in einem Teilquerschnitt laBt sich nun Ieicht aus der auBeren Querkraft bestimmen .

Q, 1 + II'

95

3.8

2.5

~ 2.8

-.... 1.5 ~ s :S ~ l.B

8.5

e.e

--l:::=:: ~ ~

~ t:::: r:::: .. 1::::::: ~ ~ r:::: r:::: Jil l 1 JJ J! ll Ill! '; ! I ! ! ........- ::.....--1-:::: ~ b----r--

t;§ ~ J::::::: ~ r::-~ (;?> ~

~ ~ ~ t=:=: +------ (

~ ~ ~ ~ ~ f:::::: ~ F==:: 1-::: D D ~~ ~ §§ r:::::::: !==-::: f.-:::: F:::::: 1--::

:..-

lfJ IJ ~ §§ ~ p-

t;:: /

~ ~ v

.d v v

/

a ' · 0 .80

a : · 0 .75

a ' · 0.70

5 18 IS 20

Schubeinjlusszahl A.

Bild 40 : Der Hilfswert l/f zur Berechnung der Ouerkraftbeanspruchungen des Verbundtragers

Die Gleichung fUr die Schubspannung iiber die Hohe des Teilquerschnittes erhiilt man mit pals bezogene Hohe, von

der Fuge (p = 0) zum Querschnittsrand (p = 1) positiv gerechnet

Das Maximum dieser Funktion liegt bei

- ljJ p ' p = 0 5 -

6 a

Durch Einsetzen erhiitt man die GroBe der maximalen Schubspannung eines Teilquerschnittes

:2 P , 3 a

' p I

Das Maximum liegt genau dann in der Fuge selbst, wenn gilt

3 a

p (

96

In diesem Fall ist das Maximum also die von den Verbindungsmitteln aufzunehmende Schubspannung

Q S 6 a L" ( p )

A 1 + ~

Ansonsten kann die maxim ale Belastung der Verbindungsmittel uber die Gleichung

T = e I+lJ!

ermittelt warden. Der Nachweis der Verbindungsmittel mit diesem Wert wirkt sich allerdings ungOnstig auf die Barnes­

sung aus , da die tatsachliche Belastung der Verbindungsmittel dem Mittelwert uber die gesamte Tragerlange

entspricht. Man berechnet das Integral des in dar Fuga aufzunehmenden SchubfluBes uber die Tragerlange und divi­

diert diesen Wert durch die zulassige Scherkraft des gewahlten Verbindungsmittels. Als Ergebnis erhalt man die er­

forderliche Anzahl Verbindungsmittel, die kleiner sein muB als die vorgesehene Anzahl. Da im allgemeinen fUr die

Bemessung der Verbindungsmittel die gewunschte Fugensteifigkeit maBgebend ist, wird dieser Nachweis als letzter

zu fiihren sein. Urn eine moglichst gleichmaBige Belastung aller Verbindungsmittel zu gewahrleisten, sollten diese

entsprechend der SchubfluBkurve verteilt warden . Die Grundwerte der lntegrale des FugenschubfluBes. der

Grundwert Os fUr den Schubspannungsnachweis und die zugehorigen Bemessungsstellen konnen Tabella 1 ent­

nommen warden.

2. DIE BERECHNUNG VON DURCHLAUFTRAGERN

Fur die Betrachtung des Tragverhaltens von Durchlauftragern aus elastisch zusammengesetz1en Querschnitten wird

die uneingeschrankte Gultigkeit des Superpositionsgesetzes vorausgesetzt, sodaB zur Berechnung dar statisch

Ueberzahligen das KraftgroBenverfahren angewendet warden kann. Aus den durch die zusatzliche Auflagerungen

gegebenen Randbedingungen erhalt man ein lineares Gleichungssystem, aus dam die Unbekannten berechnet

warden. Die folgenden AusfUhrungen sind auf den zweifeldrigen Durchlauftrager unter Gleichstreckenlast beschrankt,

um den hier gesteckten Rahmen nicht zu sprengen. Dennoch lassen sich daraus Aussagen ableiten, die generell auf

Durchlauftrager zutreffen.

Als statische Ueberzahlige wird sinnvollerweise die mittlere Auflagerkraft gewahlt. Durch die Bedingung, daB die

Durchbiegung des Durchlauftragers an dieser Stelle Null sei, erhalt man aus dar auBeren Belastung und der fiktiven

1-Last eine Bestimmungsgleichung fUr die GroBe der Auflagerreaktion . Durch Superposition des Lastfalles

Gleichstreckenlast mit dem dar entgegengerichteten Punktlast an der Stelle des Auflagers , kann man samtliche

GraBen herleiten, die fUr die Durchfiihrung dar geforderten Nachweise benotigt werden. Dieses geschieht in der

gleichen Weise wie in Abschnitt 1 geschildert.

In einer Parameterstudie wurde das Tragverhalten eines zweifeldrigen Durchlauftragers mit verschiedenen

Verhaltnissen der Oeffnungsweiten unter Gleichstreckenlast untersucht und in den Diagrammen der Anlage 3

graphisch dargestellt. Zunachst wurde die Auflagerreaktion in Abhangigkeit von der SchubeinfluBzahl A und dam

Geometrie- und MateriaHaktor a.2 berechnet. lhr Verlauf uber die Schubeinflu Bzahl A aufgetragen ist jeweils in den

Diagrammen 6 fur die verschiedenen Oeffnungsweiten als Vie~aches der auBeren Belastung und der Gesamttrager­

lange angegeben. lhre GroBe nimmt ausgehend von dam A.= 0 zugehorigen, nach der einfachen Balkentheorie

berechenbaren Wert im Bereich kleiner A. ab, und erreicht etwa bei A. = 7 das Minimum. Von dort steigt der Wert

wieder Iangsam auf dam Maximalwert. Die Abminderung ist umso groBer, je groBer der Geometrie- und MateriaHaktor

a2 ist. Der Verlauf des Stiitzenmomentes, der jeweils in den Diagrammen 2 dargesteltt ist, kann auf die gleiche Weise

97

llllllllllllllli I I I I 1 ~ ~ ~

.-f __ ..,. .. ~

I~= o I

A

1 0

Schubf1uss in der Fuge

A.

1 Verhiiltnis Normalkra{lmomenl zu Sum me der Einzelmomente

Bifd 41 : Auswertung der G/eichungen fur Durchlauftrager unter G/eichstreckenlast

beschrieben werden. Das Feldmoment (Diagramme 4) nimmt in dem MaB zu, wie das StOtzmoment abnimmt. Zudem

verandert sich die Stelle des maximalen Feldmomentes. In den Diagrammen 2 und 4 sind die Bereiche, in denen das

jeweils andere Moment den gr6Beren Absolutwert einnimmt, schraffiert dargestellt. Die zugeh6rigen Momentenauf­

teilungsfahktoren 11 k6nnen den Diagrammen 3 (StDtzmoment) und 5 (Feldmoment) entnommen werden. Es zeigt

sich, daB trotzdem in einigen Fi:i.llen -besonders bei stark unterschiedlichen Oeffnungsweiten des Durchlauftragers­

das Feldmoment gr6Ber ist als das StOtzmoment der Spannungsnachweis des StOtzenquerschnitt maBgebend fUr die

Bemessung ist. Das hangt zusammen mit dem sehr ungunstigen Momentenaufteilungsfaktor uber der Stutze,

wodurch das auBere Moment zum graBen Teil durch Eigenbiegung der Teilquerschnitte aufgenommen warden muB,

ein Umstand, auf den schon Schelling [23] aufmerksam gemacht hat. Mechanisch kann das so erklart warden, daB

98

die im Bereich positiver Querkraft durch den SchubfluB in der Fuge im Teilquerschnitt aufgebaute Normalkraft von der

Stelle des maximalen Feldmomentes an wegen der dann negativen Ouerkraft bis zum Auflager teilweise wieder

abgebaut wird und erst nach dam mittleren Auflager wieder zunimmt. Der Verlauf des Momentenaufteilungsfaktors 11

uber die Tragerlange (11 : 12 = 0.5 : 0.5) ist in Bild 41 aufgezeichnet. Die Storungen im Bereich der mit A. veranderlichen Momentennulldurchgange sind auf Singularitaten zuruckzufUhren, die wegen dar Quotientenbildung

von gegen Null gehenden Werten unvermeidbar sind. In Bild 41 ist auBerdem der Verlauf des FugenschubfluBes fOr A. = 1 0 und A. ~ oo angegeben. Die beiden Darstellungen sind zu denjenigen auf den Seiten S. 48 bis 63 kompatibel.

Es fallt auf, daB bei nachgiebigem Verbund die Kurve fUr den FugenschubfluB den Nullpunkt uber dem Auflager

relativ flach durchlauft und im Vergleich zum starren Verbund die maximale Beanspruchung reduziert und die die

maBgebende Stelle verschoben ist. Zusatzlich zu dem ungunstigen Verlauf dar Ouerkraft durch die Superposition der

beiden Lastfalle Gleichstreckenlast und entgegengerichteter Einzellast wirkt sich dar uber die gesamte Tragerlange

reduzierte Anteil der Fugenschubkraft daran fUr den Aufbau der Normalkraft negativ aus.Um beurteilen zu konnen,

ob as sinnvoll ist, eine mehrfeldrige Verbundkonstruktion als Durchlauftrager auszubilden, sollte zunachst die

Einfeldtrageralternative untersucht warden. Ergeben die Nachweise, daB die Durchbiegungen zu groB, aber

beziiglich dar Spannungen Reserven vorhanden sind, so kann an eine Durchlauftragerli:isung gedacht werden. In

den meisten Fallen ist diese MaBnahme mit einer Erhohung der Beanspruchung des maBgebenden Querschnittes

und immer mit einer Reduktion der Durchbiegungen verbunden. Es sollte jedoch bedacht warden, daB die quasi

Umkehrung des Ouerschnittes uber dem Auf lager unter Umstanden konstruktive MaBnahmen erforderlich macht, die

den scheinbaren Vorteil zu nichte machen. Sind die o.g. Bedingungen nicht erfullt, so ist dar Ouerschnitt ein

geeigneter Weise abzuandern. Die Nachweise tor die Durchlauftragervariante konnen entsprechend den in

Abschnitt 1 hergeleiteten Beziehungen mit Hilfe dar Diagramme in Anlage 3 erbracht warden. Der Spannungs-

[%]

168

ISB

148

~ ~

/ ~-

/ __.,v

I, : I 1 = 0.5 : 0.5 on 138 c:: ::J N

:~ 128 / /

...c:: (.)

Cl)

1-o liB Q)

"'0 ...... =~ IBB -~ <; ::J a 98

a a

v /

I, : I , = 0.4 : 0.6 -r-- r--,_

/ v

/ v I I - 11 : I 1 = OJ : 0.7 ~ - ~ ....-:: r--- I I I --r--

1 1 ,' 12 = 0.2 .' 0.8 ----r- ~ r-- r--- - -1--~ ~ v 11 : 12 0.1 : 0 .9

........ ~ ~ ~ v F-

7B Ill IS 21l

Schubeinflusszahl A.

Bild 42 : Abweichung vom richtigen Wert bei Vetwendung der Niiherung 0.8 I 2 zur Durchbiegungsberechnung

99

nachweis ist prinzipiell fUr den Ouerschnitt uber dem mittleren Auflager und an der Stelle des maximalen Feldmo­

mentes zu !Uhren. Die Veranderlichkeit der Bemessungstelle fUr das Feldmoment ist in den Diagrammen 5 beruck­

sichtigt. Als Grundwert w o fUr den Durchbiegungsnachweis ist der Grundwert des Einfeldtragers mit dar groBeren der

beiden Oeffnungsweiten unter Gleichstreckenlast nach Tabella 1 zu verwenden. Aus Tabella 2 konnen Richtwerte fUr

die mogliche Reduktion der Durchbiegung bei verschiedenen Oeffnungsverhaltnissen entnommen warden. Dam it ist

es moglich schnell die Durchlaufwirtkung gegenuber dem Einfeldtrager abzuschatzen. Allerdings ist die Schubein­fluBzahl A. fUr aile Nachweise des Durchlauftragers auf die Gesamtlange I zu beziehen, sodaB fUr einen genaueren

Vergleich beider Varianten zwei verschiedene A. ermittelt warden mussen.

Offnungsweiten starrer V erbund kein V erbund

II : I 2 = 0.1 : 0.9 35 % 40 %

I I : I2 - 0.2:0.8 45 % 55 % -

I I : I2 - 0.3 : 0.7 55 % 55 % -

I I : I2 - 0.4 : 0.6 60 % 50 % -

II : I 2 = 0.5: 0.5 60% 50 %

Tabelle 2 : Reduktion der Durchbiegung mittels Durchlaufwirkung bezogen auf den grosseren Einfe/dtriiger

Der aufgezeigte Weg zur Berechnung von Durchlauftragem mit elastisch verbundenen Querschnitten unterscheidet

sich von der Berechnung des Einfeldtragers lediglich durch die zusatzliche Bestimmung der Schnittkrafte. Die Ver­

suchung diesen Schritt, der ohne ein Hilfsmittel wie z. B. Diagramme sehr aufwendig warden kann, durch Verwen­

dung einer Naherung einzusparen, ist sehr groB. Eine wait verbreitete Naherung zur Berechnung von Durch­

lauftragern ist die ersatzweise Berechnung eines Einfeldtragers dar Lange 0.8 I 2· In einer Parameterstudie wurden

die Grenzen der Anwendbarkeit einer solchen Naherung untersucht. Wegen der Vielzahl der zu berucksichtigenden

Parameter konnen die Ergebnisse nicht detailliert dargeboten warden, doch lassen sich einige allgemeingultige Aus­

sagen machen. Die Idee, mit einem Ersatztrager der Lange 0.8 12 zu arbeiten, ist aus der Durchbiegungsberechnung

des zweifeldrigen Durchlauftragers mit gleichen Oeffnungsweiten nach der einfachen Balkentheorie abgeleitet. Die

maximale Durchbiegung entspricht ziemlich genau derjenigen eines Tragers mit der Ersatzlange 0.8 12 . Die Stelle

der maximalen Durchbiegung bleibt dabei unberucksichtigt. Wendet man das gleiche Prinzip auf Durchlauftrager mit

anderen Verhaltnissen der Oeffnungsweiten an, so lassen sich Ersatzlangen eines Einfeldtragers bestimmen, die

zwar nicht sehr stark von 0.8 1 2 abweichen. Da jedoch die Balkan lange mit der vierten Potenz in die Berechnung der

Durchbiegung eingeht, entstehen zum Teil erhebliche Abweichungen vom rechnerisch richtigen Wert. Wird zusatzlich

die Nachgiebigkeit des Verbundquerschnittes berucksichtigt, entgleitet die Berechnung vollkommen jeglicher Kontrolle. Die Abweichungen vom richtigen Wert sind in Bild 42 Ober die SchubeinfluBzahl A. aufgetragen. Da diese

Abweichung sehr stark vom Geometrie- und Materialfaktor a.2 abhangig ist, warden der Uebersichtlchkeit wegen nur

die Kurven fUr a 2 = 0.75 angegeben.

100

Aus diesem Diagramm kann entnommen warden. daB je nach Oualitat des elastischen Verbundes und Oeffnungs­

weitenverhaltnis die Durchbiegung unter- oder uberschatzt wird. Die Spannungsberechnung am Ersatztrager der

Lange 0.8 I 2 fuhrt dagegen generell zu einer Unterschatzung der richtigen Werle. Der Zusammenhang ist in gleicher

Weise wie fUr die Durchbiegungsberechnung aus Bild 43 ersichtlich.

..... (].)

'0

[ % ]

1813

913

v r-. I I : I 1 = 0.3 . 0.7 . - 1----- ['....

1--+--r--r--,..----t~-:::; I I . I , - 0.4 . 0.6 l:::r---=--"""':::::::::::.:::--+---i--+--+--+--t--+--+--+---1 / ~ --;:::;:~ v ./~ --...r-... ~~ V r-.... r-::=:t::--

~ ~ I 1---:.. 1, = 0.2 : 0.8 ~r::::f=::::.~t:--813 v

v --... 1'---- r--r---,..._ v P--< I , : I , = 05 : 0.5 - -

~ r-~,.....----"' r--.. I I I - r--!::::= 713 v !"-r-1 I I -v

v--v I, : 11 = 0.1 : 0.9

1---+- -60

0 Ill 15 2tl

Schubeinflusszahl A

Bild 43 : Abweichung vom richtigen Wert bei Verwendung der Niiherung 0.81 2 zur Spannungsberechnung

A

Die Berechnung des Durchlauftragers mit Hilfe eines Ersatztragers der Lange 0.8 I 2 steltt also eine sehr unsichere

Naherung dar. Die Verwendung der in der Anlage 3 enthaltenen Diagramme laBt dagegen eine im Rahmen der

erforderlichen Genauigkeit liegende Berechnung mit vertretbarem Aufwand zu. Dabei wird das fUr den Einfeldtrager

entworfene Berechnungsschema beibehalten. sodaB das Gesamtkonzept ubersichtlich bleibt.

3. DIE PROPORTIONIERUNG DES VERBUNDSYSTEMS

Es wurde bereits auf die Bedeutung einer richtigen Proportionierung des Verbundquerschnittes selbst hingewiesen,

aber auch derjenigen der Querschnitle im Vergleich zur Tragerlange und zum Verschiebungsmodul des gewahlten

Verbindungsmitlels. Die Proportionen des Tragsystems bestimmen uber die SchubeinfluBzahl 1.. und den Geometrie­

und Materialfaktor o.2 als einzige Parameter die von der einfachen Balkentheorie abweichende Berechnung der

Schnitt- und VerformungsgroBen bei elastischem Verbund . Weiterhin geht der Verhaltniswert O.i 1 ~i in die

Berechnung der Spannungen ein und ist dart ein MaB fur die Steigung der Spannung uber die Teilquerschnittshohe.

In einer gegenuber der bisherigen Schreibweise modifizierten Form werden die Gleichungen fOr diese drei Parameter

als Funktion sinnvoll gewahlter Verhaltniswerte ausgedruckt. Die dadurch ableitbaren Beziehungen zwischen diesen

drei GraBen erleichtern die Durch!Uhrung von Parameterstudien wesentlich.

2 A.

f3 I

kl 2 (V+W)

E 2 A 2 W(I-a 2)

s 2 s 2 I 2

3VW(V+l+2Zl 3V 2 (V+l+2Z) 2

= = (V

3+ W)(V+ W) (VV 2 + l)(V 2 + V)

W(V+l+2Z)

(V 3 +W)

a2 V 2 (V+l+2Z) =

~2 (V3+W)

In diesen Gleichungen werden folgende Abkiirzungen verwendet

v = ~e w = z

Die Querschnittsbezeichnungen konnen Bild 44 entnommen werden.

Bild 44 Bezeichnungen der Ouerschnittskennwerte

101

Zur Bestimmung dar optimalen Proportionen eines Verbundsystems ist zu untersuchen, unter welchen Bedingungen

die Effektivitat einer VerbundmaBnahme gegeniiber dem System ohne Verbund besonders hoch ist, die zulassigen

Spannungen fur beida Teilquerschnitte moglichst ausgenutzt sind und somit die Ouerschnittsminimierung

gewahrleistet ist. Die so ermittelten giinstigsten Kombinationen der neu eingefiihrten Verhaltniswerte sind in Einklang

zu bringen mit den geometrischen Restriktionen (beschrankte Bauhohe, Minimal- oder Maximalquerschnitt,

102

Achsabstande), den materialbedingten (rechnerischer Betonquerschnitt ohne Zugspannungen) und den

wirtschaftlichen (moglichst geringe Anzahl Verbindungsmittel) . Da aus den einzelnen Bedingungen zum Teil wider­

spriichliche Forderungen abgeleitet warden, laBt es sich oft nicht vermeiden, die einzelnen Kriterien individuell nach

ihrer Bedeutung zu wichten und Kompromisse zu schlieBen. Der damit festgelegte Bewegungsspielraum fiir die Wahl

dar Verbundsystemproportionen sollte bairn Entwurf unbedingt berucksichtigt warden. Zur Anpassung des

proportionalen Systems an die gestellte Aufgabe ist lediglich die Festlegung dar absoluten GroBe zweier Kennwerte

so vorzunehmen, daB die erforderlichen Nachweise fiir das affine System ertiillt sind.

v a 2 = 0.70 a 1 = 0.72

::::.. 10 ~ <:u 9 ..t::

'C) ..t:: .t: 8 --~ ..t::

7 '-.)

"' lo... <:u ~ 6 <:::)---·-~ 5 lo...

~ - 4 lo... <:u ~

3 "' ·-~ ---'1::3 2 ..t:: lo...

~

v / v v v v L IL"' l:::::: v

./ v v v v r--v v v v v v

v v v v v v v r-- ......-1-v v 1--/ v / v ,......... 1-

v v v v v v v ......- ......-v k" v 1- :..----

/ b---'

~ v v v v v 1-v v v v v 1--1-v -1-

~ ~ v v v v v V'= W-1- r--

v v / ../ t---: ~ =

~ ~ v v v 1--~ t-1-t- r- -

~ v ~ 1- 1--1-t--t- -/ ~ t-- t-- t-r- -

~ ~ v v f-""' 1-- f:: 1-- 1-: !-: 1-- r-v ~ 1-:

J v ../ v I-1-::: 1-- !--"

~ v ~ ~ ~ ~ p-......

[/. F::::-p

a 1 = 0.73

a 1 = 0.74

a 2 = 0.75

a 2 =0.74

a 1 = 0.70

w 5 10 IS 20 25 30

V erhiiltniswert der Teilquerschnittsbreiten und E-M oduli W

Bild 45 : Der Geometrie- und Materialfaktors o.2 a/s Funktion von V und W (Z = 0)

Aus den Bestimmungsgleichungen des elastischen Verbundes ist zu entnehmen, daB sich ein moglichst groBer

Geometrie- und Materialfaktor a 2 und eine rnoglichst groBe SchubeinfluBzahl A giinstig auf die Schnitt- und

VerforrnungsgroBen auswirken. Eine Ausnahme gilt lediglich fiir den SchubfluB in der Fuga, der logischerweise

zunehmen rnuB, will man eine Verbundwirkung erreichen. In Bild 45 ist dar Material- und Geometriefaktor a2 als

Kurve iiber V und W aufgetragen. Man erkennt deutlich, daB der Wert von a2 genau dann sein Maximum ( a2 = 0.75)

erreicht, wenn dar Zusamrnenhang V 2 = W erfiillt ist. Das Diagramrn in Bild 45 setzt Z = 0 voraus, d.h. die beiden

Teilquerschnitte liegen satt aufeinander. lm Faile Z > 0 erhoht sich dar Wert a 2 urn den in Bild 46 ablesbaren

Faktor, jedoch bleibt die Maximalwertbedingung erhalten.

Die Schubeinflu Bzahl A laBt sich in die Anteile S 1 und S2 aufspalten. Dar Anteil S 1 gibt das Verhaltnis von

Fugensteifigkeit zur Dehnsteifigkeit des unteren Ouerschnitts nach Bild 44 an und ist ein MaB fiir die

Verbundkapazitat des Systems. Der Wert S1 kann erst dann bestirnrnt warden, wenn die absoluten GraBen des

Systems festgelegt sind. Der zweite Anteil S2 ist nur von den Verhaltniswerten V, W und z abhangig und kann somit

in gleicher Weise untersucht werden wie a 2. Die GroBe von Sz ist in Bild 47 iiber V mit variablem W aufgetragen. lm

Bereich kleiner Werte V steigt die Funktion relativ steil an, urn dann iiber groBe Wertebereiche annahernd konstant

103

F

- 2.00 "' ~

-. --- I. 80 --"' ~

lo...

~ l. 6B r.:...

lo... 0 ..... ~ l. ~B z = 1.0 ~ .., 0() s::: :::$ lo...

1.2B z = 05 ~

~ lo... 0() lo...

~ I.BB v 2 3 5 7 a IB

V erhiiltniswert der T eilquerschnittshi5hen V

Bild 46 Vergrof3erungsfaktor F fur cl I ( 1 - cl )

zu bleiben und in einer dritten Phase wieder verzogert anzusteigen. Der in der Untersuchung von a2 als Optimium

gefundene Zusammenhang V 2 = W ist im Diagramm dunner eingetragen. Es gilt

= w

Der Faktor S2 steigt bis V = 1 uberlinear an, wahrend daruber die Vergr6Berung unterlinear mit V erfolgt, um ab etwa

V = 1.5 zu stagnieren. Aus dieser Beobachtung und der Verknupfung mit der oben gewonnenen

Optimumsbedingung laBt sich ableiten, daB auch tor die GroBe der SchubeinfluBzahl A und damit die

Verbundwirkung der Zusammenhang V 2 = W ein Richtwert fOr eine gute Ouerschnittsproportionierung darstellt. Bei

Abweichungen von diesem Wert ist der oberhalb dieser Grenze liegende Wertebereich V > 1 einem kleineren Wert

vorzuziehen . So kann die zu erwartende Abminderung von a.2 zumindest teilweise durch ein hoheres A kompensiert

werden. 1st allerdings -im Gegensatz zu der dem Bild 47 zu Grunde gelegten Annahme- Z > 0, so verandert sich der

Verlauf der Kurven mit zunehmendem Z derart, daB sich im Bereich von 1 > V > 1.5 ein Hocker bildet, dessen

Maximum mit zunehmendem Z immer dichter an V = 1 heranruckt. Damit ist ein weiterer Hinweis darauf gegeben,

daB dieses eine ausgezeichnete Stelle ist.

Aus der Darstellung der Steigungswerte O.i I ~i in den Bildern 48 und Bild 49 laBt sich ein solches

Optimierungskriterium nicht ableiten, da die Abminderung des Steigungswertes eines Teilquerschnittes im gleichen

MaB eine Vergr6Berung des Steigungswertes des anderen Ouerschnittes zur Folge hat. Als Besonderheit sei

lediglich herausgestrichen, daB das Verhaltnis der Steigungswerte den gleichen Zusammenhang V 2 = W ergibt, der

bisher schon mehrmals genannt wurde. Gilt dieser ·zusammenhang fur den gewahlten Verbundsystem, so i~t der

Steigungswert beider Teilquerschnitte gleich 1 und es ergeben sich gewisse Rechenerleichterungen, wie das z. B.

fUr den aus gleichen Querschnitten verdubelten Balken zutrifft.

104

= ~ v = 15 ~ --------t: ~ N "':> "':> ~ v = ~ -~ ..t:::l ~

-t: I.>

CJ:l I...

~

- --" v = 1.0 v ~ /IX -.......

05 !J w ~ -v-- ~---/IJ t).( ./ ~-I--

"//_ v I~ ~

"' CJ:l I... <::> -~ ~ ~ B

2 3 5 7

V erhiiltniswert der T eilquerschnittshohen V

Bild 47 : Der Fak.tor Sz der SchubeinflufJzahl.?.. in Abhangigkeit von V und W

---~ -

B 9 IB

W = I

w = 5 w = 10

w = 30

v

Ein weiteres Kriterium zur Querschnittsoptimierung ist die Ausnutzung der fUr die Teilquerschnitte zulassigen

Spannungen. Da der Grad der Verbundwirkung in die Berechnung der Spannungen Ober den Hilfswert T\ eingeht und

dieser nur nach Festlegung der absoluten Querschnittskennwerte ermittett warden kann, muB man sich hier mit einer

Abschatzung behelfen. Dazu wird das Verhaltnis der maximalen Randspannungen bei starrem und nicht

vorhandenem Verbund untersucht. Als Bedingungen fUr eine voile Ausnutzung beider Ouerschnitte erhalt man nach

Umformungen und Naherungsberechnungen

01 Et =

02 E2 v

cr t Et (l+V2

) =

cr2 E2 v 2

Daraus laBt sich ableiten, daB im Faile V 2 = W das gesuchte Verhattnis der Randspannungen unabhangig ist vom

Grad des Verbundes. Liegt V Ober diesem Wert, so wird auch das Verhaltnis der Randspannungen groBer. FOr die

Holz-Beton-Verbundbauweise gilt bairn Nachweis nach zulassigen Spannungen cr1 1 02. Wegen des ungi.instigen E­

Modui-Verhaltnisses von ungefahr 3 ware V mit dem gleichen Wert vorgegeben. Unter der Voraussetzung V 2 = W

erhalt man jedoch ein W bzw. ein Breitenverhaltnis der Teilquerschnitte von ebenfalls 3, was aber den

Anforderungen nicht gerecht wird und bei weitem zu ungOnstig ware. Da ein wesentlich groBerer Wert als W = 9 zu

erwarten ist, wird das Verhattnis der Randspannungen immer so sein, daB der Betonquerschnitt nicht vall ausgenutzt

warden kann. Lediglich ein stark erhohtes Verhaltnis der Teilquerschnittshohen V wOr.de eine bessere Ausnutzung

105

2.5

--......... ............._

2.8 c:i"

............._ .............

......... .......... ............. ............ ............

........ ""...... ............. ::---.... ~-

1.5 i:: ~

~

'""' ·-E l.B --:~ -s::: .... ~

............ ............ "- ............. ........... ............. "-.... w = 30

.......... .......... ............._

:-..., ............ w = 20 .............

............ ............. ............ ............. !--.... ............._

w = /0 ............... ~

....... !--.

w = 5 ~ ----;:::...

e.5

8.B v 1.5 2.8 2.5 3.8 3.5 4.B 5.e

Verhiiltniswert der Teilquerschnittshohen V

Bild 48 : Oer Verhii ltniswert CtJ I f!I in Ab!Jangigkeit von \1 und IV

1. 5

c:Q 1.8 ........

d" .... .... ~

~ .:::;

::::: 8.5 ...... --:~ -s::: .... ~

;:::...

8.8 v I. B 1.5 2.8 2.5 3.8 3.5 U l 5.8

Verhiiltniswert der Teilquerschnittshohen V

Bild 49 : Oer Verhaltniswert a 2 I /32 in Abhangigkeit von V und W

106

des Betonquerschnittes ermoglichen, doch ist dieser MaBnahme durch die geometrischen Restriktionen Grenzen

gesetzt und sie steht auch im Widerspruch zu den bisher erarbeiteten Optimumsbedingungen, zumal diese selbst

wegen der geometrischen und herstellungstechnischen Restriktionen oft schwer zu erreichen ist. Mit der groben

Abschatzung

w = = 3·8=24

erhalt man bereits ein ungefahr notwendiges V = 5. Mit der Annahme einer Mindestbetonhohe von 4 em ist die

Mindestquerschnittshohe des Holzes 20 em unabhangig von statischem System und Belastung. DaB dennoch auch

fUr Holz-Beton-Verbundkonstruktionen ein Optimum in statischer Hinsicht erreicht warden kann, ist einer

Eigenschaft des Batons zu verdanken, die ansonsten eher als nachteilig empfunden wird :die Rissgefahrdung des in

der Zugzone liegenden Tails des Betonque~schnittes tuhrt dazu, daB dieser Teil als statisch unwirksam und somit

nach der anfangs eingetuhrten Terminologie als "klaffende Fuga• anzusehen ist. In Bild 50 ist dargestellt, bei

welchen geometrischen Verhiiltnissen V, W, Z und Steifigkeitsverhaltnissen S1 die Spannung am unteren Rand des

Betonquerschnittes gerade Null ist. Liegt das Wertepaar V, Z eines untersuchten Querschnittes rechts der

zugehorigen Kurve S12 so besteht keine Rissgefahr und dar valle Querschnitt kann rechnerisch angesetzt warden.

lm anderen Fall kann mit Hille der linken und unteren Skala die Rissentwicklung des Ausgangsquerschnittes an der

Verbindungsgeraden zwischen W und G bis zum "Stillstand" am Schnittpunkt der Geraden mit der Kurve fUr das

zugehorige S 12 verfolgt warden. Die Diagrammparameter sind nach folgenden Gleichungen zu berechnen

v =

=

v w 1/2

1+Z 0 v 1

w 1/2

z =

G = 2

s 2 = I

Das eingetragene Beispiel bezieht sich auf einen Verbundquerschnitt mit den Verhaltniswerten

2 w 25 0 G = 0.8

Man erhalt so nach Anwendung des Diagramms

v = 0.94 z = 0.26 v = 4.70 z = 1.30

d.h. es sind nur 43 % des Betonquerschnittes statisch wirksam.

s 2 = 20 1

1

w 1/2

Die Interpretation des Diagramms in Bild 50 ergibt wiederum, daB mindestens V 2 = W sein muB, um einen Gleichgewichtszustand ohne gerissene Betonzugzone .bei starrem Verbund (S 12-. oo) zu erreichen. Wird dagegen

von vornherein eine "klaffende Fuga• in Kauf genommen, solfte Z nicht wesentlich groBer als 1 warden, um nicht das

107

Verhalten der Verbindungsmittel zu beeintrachtigen. Die •klaffende Fuge• kann sowohl aus einer Schalung als auch

aus gerissenem Beton oder lsolierung bestehen. Das ·AuffOIIen· mit Beton erscheint zwar wegen des toten Gewichts

nicht besonders attraktiv, doch wird damit tor die Verbindungsmittel ein solider Verankerungsgrund geschaffen und

deren Verformbarkeit herabgesetzt. Der Vollstandiglkeit halber wird die Gleichung tor die Lage der neutralen Faser

des ideal starren Verbundquerschnittes angegeben, wobei die Bezugslinie die Betonunterkante ist und positive

Werte unterhalb, negative oberhalb dieser Linie liegen.

~ s = V(V+2Z)-W

hI 2(V+W)

Die neutrale Faser liegt also immer dann -auch bei nachgiebigem Verbund- im Betonquerschnitt, wenn gilt

W ~ V (V + 2Z)

1st dagegen die rechte Seite groBer als die Iinke, so kann daraus lediglich geschlossen werden, daB im ideal starren

Verbundquerschnitt der Beton keine Zugspannungen erhalt. In diesem Fall muB mit Hille des Steifigkeitsfaktors S12

und des Diagrammes in Bild 50 Gberpruft warden, welche Geometrieverhaltnisse tor die Berechnung des

nachgiebigen Verbundtragers gOitig sind.

4. PRAKTISCHE BEMESSUNG UNO KONSTRUKTION

Die praktische Bemessung von Holz-Beton-Verbundkonstruktionen erscheint wegen der groBen Zahl der freien

Entwurfsparameter aul3erordentlich schwierig. Die fOr eine Berechnung nach der Theorie des elastischen Verbundes

notwendigen Festlegungen von EingangsgroBen und die Reihenfolge dar Berechnungsschritte, die zu weiteren,

daraus abgeleiteten Festlegungen tohren, bestimmen im wesentlichen die Effizienz einer Vorgehensstrategie. Die

EingangsgroBen sollten vom entwerfenden lngenieur moglichst Ieicht und zuverlassig abgeschatzt warden konnen

und die Empfindlichkeit des Tragverhaltens auf eine prozentuale Veranderung dieser GraBen sollte moglichst gering

sein. Aul3erdem sollte der Berechnungsgang so gewahlt werden, daB allfallige Korrekturen verschiedener GroBen

moglichst wenige Wiederholungsberechnungen erforderlich machen. Auf Grund der bisher durchgefOhrten

Parameterstudien kann tor die Dimensionierung von Holz-Beton-Verbundkonstruktionen die Zahl der notwendigen

EingangsgroBen auf ein Minimum beschrankt warden. Folgendes Vorgehen bietet sich tor die Dimensionierung von

Holz-Beton-Verbundkonstruktionen an.

1.) Der Holzquerschnitt wird nach statischen und wirtschaftlichen Kriterien festgelegt. Aus der Forderung nach

Einhaltung einer zulassigen Durchbiegung von l I 300 kann fOr Gleichstreckenlast und Punktlast eine

Abschatzformel verwendet warden, die fur andere Werte der zulassigen Durchbiegung proportional zu andern

ist.

Dabei wird die rechnerische Breite des Querschnitts durch den Richtwert tor das Breitenverhaltnis b1 I h2 bestimmt.Dieses ist mit 7 bis 8 anzusetzen, auch wenn die Holzquerschnitte in den Achsen tor die Berechnung

zusammengefasst werden und der mal3gebende Betonquerschnitt Ober die Gesammtplattenbreite anzusetzen

ist. Als Richtwert fOr das Eigengewicht der Konstruktion ist 2 KN j .m2 eine gute Abschatzung.

108

I I ~ I I I l

~I

Relative Hohe der "klaffenden Fuge" Z

= =

~I

-=

U1

RissoffnungsmajJ G

=

Ni

=

Bild 50 Geometrie- und Steifigkeitsbedingungen fur einen rissfreien rechnerischen Betonquerschnitt und dessen Ableitung aus einem gegebenen, unzureichenden Verbundquerschnitt

109

2.) Die Wahl eines geeigneten Verbindungsmittels richtet sich in erster Linie nach wirtschaftlichen Oberlegungen.

Die Herstellungskosten einer Holz-Beton-Verbundkonstruktion sind wesentl ich von dar Art und Anzahl der

Verbindungsmittel abhangig. Randbedingungen aus stat ischer Siehl ist die Einhaltung von Mindest- und

Maximalabstanden in Langs- und Querrichtung und der erforderliche Verschiebungsmodul. Dieser ist, solange

nicht gunstigere Werte fUr den Holz-Beton-Verbund nachgewiesen warden kennan, den Holzbaunormen SIA

164 oder DIN 1052 zu entnehmen.

3.) Mit der Festlegung der Materialien Holz und Beton als Elemente des Verbundquerschnittes ist in etwa auch das

E-Modui-Verhaltnis bekannt. Dieser Verhaltniswert ist fur das Tragverhalten von groBer Bedeutung, sodaB

darauf zu achten ist, daB durch Oualitatskontrollen die dar Berechnung zu Grunde gelegten Werte auch

tatsachlich eingehalten warden oder daB nach Messung der tatsachlichen Werte gegebenenfalls eine

Kontrollrechnung die Zulassigkeit der Abweichungen bestatigt.

Das Verhaltnis der Ouerschnittsbreiten b1 I b2 so lite mindestens 5 betragen. Als Richtwert wird 7 bis 8 vorgeschlagen. Es ist nicht erforderlich, das AchsmaB zu benennen, da wegen der guten Lastverteilung dar

Betonplatte in Querrichtung eine geometrische Zwangung in den Achsen entsteht, sodaB aile Balkan gleiche

Durchbiegungen erhalten. Es kann also mit der gesamten Betonplattenbreite und den aufsummierten

Holzquerschnittsbreiten gerechnet warden. Eventuelle unterschiedliche E-Moduli der Balkan konnen durch

einen entsprechend der zugehorigen Breiten gemittelten E-Modul erfasst warden . Ebenso kann der

Gesamtholzquerschnitt -in Grenzen- beliebig verteilt warden , sodaB weder das AchsmaB noch die einzelnen

Querschnittsbreiten einheitlich sein mussen. Werden greBe Achsabstande gewahlt, so ist ggf. die mitwirkende

Plattenbreite des Betonquerschnittes infolge Momenten- und Normalkraftbelastung zu berucksichtigen. Da­

durch ergeben sich einige Veranderung in der Berechnung, die aus den folgenden Gleichungen zu entnehmen

sind.

s 2 2

cr i,R =

2 3VW ~N (V+l+2Z)

(V3

+ ~NW)(V+ PMW)

<PNV+W) 1

pNw 2 (1-a2)

1

1 + ll l Durch die Festlegung dar Ouerschnittsbreiten und E-Moduli kann dar Verhaltn iswert W bestimmt warden .

Dieser liegt etwa zwischen 15 und 25 , sodaB als ideates Hohenverhaltnis nach dem im vorigen Kapitel

abgeleiteten Optimierungskriterium Vi = 4.;. 5 gilt.

4.) Mit Hille des Diagramms auf Seite 108 kann die relative GroBe dar "klaffenden Fuga· ermittelt warden. Diese

sollte nicht gr6Ber als 1 sein. Kann auf Grund geometrischer Restriktionen dar Mindestwert fUr das aus dam

Diagramm entnommene Z nicht eingehalten warden, so ist ggf. der Wert V nach oben zu korrigieren. Fuhrt

diese MaBnahme nicht zu dem erwunschten Resultat, so sind die ubrigen Festlegungen zu uberprufen. Als

Mindestwert fUr Z kann 0 (keine "klaffende Fuge") und 0.3 (Schalung fUr Beton) angegeben warden.

110

5.) Der Spannungsnachweis fUr den Beton kann entfallen, wenn die Forderung

=

6.) Die SchubeinfluBzahl A und der Geometriefaktor a_2 werden nach den angegebenen Gleichungen berechnet

oder aus den Diagram men entnommen.

7.) Auf gleiche Weise werden die Hilfswerte 11. 11 und 'I' ermittelt.

8.) Die Schnittkrafte und Grundwerte werden nach Tabella 1 berechnet und damit die Nachweise gefUhrt.

9.) Ki:innen einzelne Nachweise nicht erbracht werden, so sind der Art der Nachweise entsprechende Korrekturen

vorzunehmen. Eine Veranderung des Holzquerschnittes ist nur dann erforderlich, wenn der Normalspannungs­

oder Durchbiegungsnachweis bei weitem nicht erfullt ist und A> 5 ist. Als Hille seien Bild 38 und Bild 39

empfohlen. woraus ablesbar ist. welche Spannungs- und Durchbiegungsanderung maximal durch eine starre

Verdubelung der Teilquerschnitte zu erwarten ist. Entsprechend ist der Spielraum fur eine Abminderung der

Spannungen infolge gri:iBerer Fugensteifigkeiten. 1st A.> 5 so bring! eine zusatzliche Versteifung kaum eine

Spannungs- oder Durchbiegungsanderung. Die Versteifung der Fuge erscheint dann als geeignete MaBnahme,

wenn A einen relativ kleinen Wert annimmt und die Spannungs- und Durchbiegungsnachweise knapp nicht

erfullt oder die Verbindungsmittel zu stark belastet sind. In diesem Fall kann mit Hille des Diagram mas in Bild 51

die Veranderung der Dubelbeanspruchung infolge einer prozentualen Veranderung R der Fugensteifigkeit in

Abhangigkeit von A. angegeben werden. Die nicht erfullten Nachweise werden mit

wiederholt. Wird das Diagramm in· Bild 51-dazu verwendet die zulassige Belastung fUr das Verbindungsmittel

optimal auszunutzen und R < 1 eingesetzt, so sind die Durchbiegungs- und Spannungsnachweise auf jeden

Fall mit dem eben genannten 1: zu wiederholen.

Die prozentuale Veranderung der Fugensteifigkeit wird entweder durch eine Veranderung des Dubelabstandes

bzw. der Anzahl der Dubel auf die Tragerlange, die Verwendung eines anderen Verbindungsmittels mit

anderem Verschiebungsmodul oder die Veranderung der Dehnsteifigkeit des Holzquerschnittes erreicht. lm

letztgenannten Fall sind &i:i.mtliche Nachweise zu wiederholen , da diese MaBnahme die Veranderung der

Ouerschnittshohe. -breite oder des E-Moduls beinhaltet und somit die Eingangsgri:il3en verandert warden.

Durch die hier aufgezeigte Vorgehensweise wird die Sicherheit der Holz-Beton-Verbundkonstruktionen im Rahmen

der allgemeinen, im Bauwesen gultigen Bemessungs- und Sicherheitsrichtlinien gewahrleistet, da allfallige

Abweichungen von Material- und Belastungsannahmen statistisch ausreichend abgedeckt sind. Dennoch sollte der

entwerfende lngenieur bei der konstruktiven Ausbildung von Holz-Beton-Verbundkonstruktionen sehr sorgfalt ig

vorgehen und dabei insbesondere der Gebrauchsfahigkeit und Lebensdauer der Konstruktion Beachtung schenken.

Zur Vermeidung von langfristig hohen Durchbiegungen sollte prinzipiell eine Oberhohung des Tragers in dem MaBe

vorgesehen warden, wie es sich aus dar Belastung durch Eigengewicht, Verkehrslasten und Kriechen uberschlagig

ergibt, mindestens aber I I 300. Diese MaBnahme .ist um so wichtiger, als im Holzbau immer mit einem

Anfangsschlupf gerechnet werden mul3 und somit ein Teil der Oberhohung beim Ausbau der Montagestutzen verloren geht.

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Schubeinflusszahl A

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111

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R = 15

R = 2.0

Bild 51 Prozentuale Veranderung der Dilbe/beanspruchung durch prozentuale Veranderung der Fugensteifigkeit

Die GroBe des Anfangsschlupfes ist wesentlich vom verwendeten Verbindungsmittel und der konstruktiven

Ausbildung des Querschnittes abhangig. Generell kommen aile im Holzbau Oblichen Verbindungsmittel als

Schubsicherung in Frage. Einschrankungen ergeben sich aus der Forderung nach Feuerbestandigkeit, sodaB direkt

dar Beflammung ausgesetzte, nicht hitzegeschutzte Verbindungsmittel, wie z.B. auBenliegende Laschen, nicht

verwendet werden sollten. Ebene Stahlteile konnen in zweiteilige Holzquerschnitte ( Bild 52 d ) oder in den

Vollquerschnitt eingeschlitzte Taschen eingelegt warden. Denkbar sind auch in fUr die Trocknung des Holzes

gOnstige Entlastungsnuten eingelegte und vernagelte Blechstreifen, die in den Betonquerschnitt hineinragen und

durch Ausfransen des oberen Randes in diesem verankert werden konnen. Oblicherweise wird der Verbund aber

durch punktformige, ausreichend dicht sitzende Dubel gewahrleistet. FOr senkrecht in den Holzbalken eingebrachte

Holzschrauben oder Stabdubel sind Appel-, Geka- oder Bulldogdubel zu verwenden ( Bild 52 b ). um die

Druckspannungsspitzen am oberen Rand des Holzbalkens bei der Einleitung der Schubkrafte und den

Anfangsschlupf zu reduzieren. Annahernd den gleichen Effekt erreicht man durch schrag eingeleimte Holz- oder

Bauschrauben ( Bild 52 c ).

Dar Aufbau des Verbundquerschnittes ist so zu wahlen. daB sowohl das Holz als auch dar Beton ausreichend gegen

schadliche EinfluBe geschOtzt sind. Gegenseitige Schadigungen, zumindest wahrend des AbbindeprozeBes, sind

nicht auszuschlieBen, da der Holzzucker einerseits das Abbinden des Betons verzogert, andererseits die alkalischen

Substanzen des Batons, die mit der Feuchtigkeit in das Holz eindringen, die Zellulose zerstoren, wobei zusatzlich

eine unschone. gelbliche Verfarbung des Holzes eintritt. Um diese unerwunschten Begleiterscheinungen zu

verrmeiden, sollten beida Werkstotfe voneinander getrennt warden, was am einfachsten und wirtschaftlichsten mit

einer auf die Holzbalken aufgelegten, verlorenen Schalung aus Spanplatten oder Brettern zu bewerkstelligen ist. An

den Stellen, an denen die Verdubelung die Schalung durchstoBt, ist je nach GroBe des DurchstoBes ein

Dichtungsmittel zu verwenden. Wird als Dichtungs- und Schutzmittel ein Kleber verwendet, so kann dieser bei

flachiger Aufbringung auch als Schubsicherung herangezogen warden. Es ist jedoch darauf zu achten, daB dar Beton

ohne Zwischenlage direkt auf den Holzbalken geklebt wird, da andernfalls die hohe Steifigkeit dieser Verbindung nicht

112

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Bild 52 : Verschiedene Moglichkeiten der Schubsicherung von Holz-Beton- Verbundkonstruktionen

genutzt werden kann und das Problem der Verdubelung an eine andere Stele des Verbundquerschnittes verlagert

wird . Durch die relativ kleine Klebeflache zwischen Beton und Holz und die zu erwartenden Verformungen besteht

eine nicht unerhebliche Gefahr, daB die Klebefuge aufreiBt. Die Verklebung bietet sich daher eher als zusatzliche

MaBnahme an, wie z. B. in Kombination mit einer Verzahnung • wo d ie Klebeschicht in der Trennflache zwischen

Holzbalken und Beton gleichzeitig eine Schutzfunktion ausubt ( Bild 52 a ). Oas Konstruktions.beispiel in Bild 52 a soli

nicht dari.iber hinwegtauschen, daB in den Betonquerschnitt hineinragende Holzbalken statisch nicht sinnvoll sind und

die oben genannten Probleme auftreten konnen, abgesehen von den langfristig zu erwartenden Schadan wie z. B.

der Verlust des direkten Kontaktes zwischen Holz und Beton be i einer Verzahnung durch unterschiedliche

Weidegeflecht mit

Lebmverstrich

alt

Bild 53 Sanierung einer a/ten Holzbalkendecke

neu

113

Bild 54 BrDckenquerschnitt mit Brettschichtholz. Ouertragern und Bretterschafung

SchwindmaBe und dam it eine Schwachung dar Schubfuge. Nur. in Fallen, in denen auch ohne die Verbundwirkung

eine ausreichende Sicherheit dar Decke gewahrleistet ist und in denen gestalterische Zwange vorliegen, kann

bedenkenlos auf diese Losung zuruckgegriffen warden.

In Bild 53 und Bild 54 sind zwei waiters Beispiele einer Anwendung dar Holz-Beton-Verbundbauweise dargestellt.

114

V. EXPERIMENTELLE UNTERSUCHUNGEN

Erganzend zu den theoretischen Untersuchungen des Tragverhaltens von Holz-Beton-Verbundkonstruktionen

wurden vom !BOIS sowohl Versuche auf Baustellen, als auch im Labor durchgefuhrt. Die an realisierten Projekten

durchgetohrten Messungen, wie u.a. der Umbau des Palace Hotels in Montreux durch das lngenieursburo Benini und

der Umbau eines Wohnhauses in Etoy!VD durch die Bois Consult Natterer SA, lieBen sich nicht serii:is fur eine

Bestatigung des theoretisch beschriebenen Tragverhaltens verwerten. Unter Baustellenbedingungen ist der Umfang

und die Art der mi:iglichen Versuche sehr begrenzt. zumal in der Regel auch der Bauablauf durch diese nicht

wesentl ich beeintrachtigt werden darl. Aus diesem Grund wurde f.i.ir die oben genannten Projekte lediglich eine

Durchbiegungsmessung in Feldmitte unter verschiedenen Lasten vorgesehen , die durch wassergefullte Fasser

aufgebracht wurden. Die bei den einzelnen Laststufen ablesbaren Durchbiegungen lagen teilweise im Bereich dar

Ablesegenauigkeit der mechanischen MeBuhren, obwohl rechnerisch nach den vorhandenen Planen eine hohere

Durchbiegung zu erwarten gewesen ware. Es ware jedoch falsch, aus diesem Umstand auf sine hochwertige bis

starre Verbundwirkung zwischen Beton und Holz schlieBen zu wollen, zumal die ri.ickgerechnete Biegesteifigkeit weit

uber der des starren Verbundquerschnittes nach Plan lag . Es muB also angenommen warden, daB bei der

praktischen Umsetzung der im lngenieurburo entworfenen Konstruktionen entweder gewollte oder

fertigungstechnisch erzwungene Sicherheitszuschlage in Form von erhi:ihter Betondeckung, zusatzlich eingebrachter

Armierung des Batons oder erhi:ihter Anzahl Verbindungsmittel entstehen. Insbesondere gilt dieses tor

UmbaumaBnahmen, wo haufig Angleichungen an bestehende Niveaus vorgenommen warden mussen oder auf

Grund nicht zuverlassig abschatzbarer Eigenschaften der vor Ort verbleibenden Konstruktionselemente zur sicheren

Seite hin bemessen wird .

Um also einen Einblick in das tatsachliche Tragverhalten von Holz-Beton-Verbundkonstruktionen zu erhalten,

mussen die Herstellung der Proben und die fertigen Proben selbst in hi:ichstmoglichem MaB kontrollierbar sein.

Dieses ist mit vertretbarem Aufwand nur im Labor mi:iglich. Am !BOIS wurden zwei Proben mit den Abmessungen

5.20 x 2.40 m tor den Full-Scale-Test gefertigt. Ziel der Versuche war es, das theoretsch beschriebene

Tragverhalten zumindest qualitativ zu bestatigen, konstruktiv und statisch kritische Stellen dar Gesamtkonstruktion zu

erkennen und sine Aussage uber die qualitativen und quantitativen Beanspruchungen dar Konstruktionselemente

insbesondere der Verbindungsmittel zu ermi:iglichen. In bezug auf die Verbindungsmittel interessierte in erster Linie

die GroBe und Verteilung von deren Beanspruchung in Tragerlangsrichtung bis zum globalen Versagen der

Konstruktion. Wird dieses Versagen durch das Versagen der Schubsicherung in dar Fuge zwischen Holz und Beton

verursacht, so ist neben dem Verschiebungsmodul der Verbindungsmittel bei Scherbeanspruchung auch dessen

Bruchlast ausschlaggebend tor die Sicherheit der Konstruktion. Ansonsten ist zu untersuchen, bis zu welcher

Laststufe das Verlormungsverhalten der Verbindungsmittel linear ist, um so die maximal zulassige Belastung durch

die Linearitatsgrenze zu bestimmen . Der Vergleich der so gefundenen Kennwerte der Verbindungsmittel mit den aus

Scherversuchen an kleinen Proben gewonnenen Werte ermi:iglicht eine Aussage daruber, inwieweit unmaBstabliche

Versuche das tatsachliche Verhalten des Verbindungsmittels im realen Bauteil zuverlassig beschreiben konnen.

Um die oben genannten Ziele zu erreichen , wurden in der ersten Probe samtliche 24 Oubel sines Referenzbalkens

mit jeweils zwei DehnmeBstreifen (OMS) bestOckt, in Viertelbruckenschaltung angeschlossen und indirekt uber

elektrische Widerstandsanderung deren Normalkraft- und Momentenbelastung gemessen . Die Durchbiegung in

Feldmitte wurde mit einer MeBuhr erlaBt , die gegenseitige Verschiebung zwischen Holz und Beton an den

Balkenenden mit induktiven Wegnehmern gemessen und die aufgebrachte Last an der Anzeige der manuellen

Steuerungsanlage tor die 20t-Presse abgelesen. Diese· Art der Datenakquisition erwies sich jedoch aus mehreren

Grunden als problematisch und fur die gestellte Aufgabe als unzulanglich. Das Ablesen und Notieren der MeBgr6Ben

115

war sehr aufwendig und teilweise war die Kompatibilitat der einzelnen MeBgr6Ben wegen mangelnder Gleichzeitigkeit

der Ablesungen besonders im Bereich kleiner Werte ungenugend. Zusatzlich war im Faile groBer, kurzfristiger

Veranderungen der MeBgroBen eine VerkOrzung der MeBintervalle nicht moglich. Aus diesem Grund wurde die

zweite Platte soweit wie m6glich mit elektrischen MeBinstrumenten versehen, sodaB die gesamte MeBanlage uber

einen Rechner gesteuert warden konnte . So wurden jeweils unter den Holzbalken an einer Auflagerseite

KraftmeBdosen und fUr die Durchbiegungsmessung in Feldmitte zwei induktive Wegnehmer am Rand der Platte

installiert . Durch diese MaBnahme wurde gleichzeitig ein zweites Manko behoben , das die Interpretation der

Versuche an der ersten Platte erschwerte oder teilwe ise sogar verhinderte. Du rch die Messung der

Auflagerreaktionen in den vier Balkenachsen und der Durchbiegung in Feldmitte an beiden Randern der Platte war

es moglich, die Ouerverteilung der Lasten und Verformungsgr6f3en und damit die Ausgleichswirkung der

VerbundmaBnahme zu bestimmen . Zum gleichen Zweck wurden in der zweiten Platte zusatzlich jeweils die beiden

Randdubel am rechten und linken Auflager jades Balkans mit je zwei OMS bestlickt. Die messtechnisch

aufwendigere Ausstattung der zweiten Probe fUhrte auch zu einer Ausweitung des Versuchsprogramms. Wahrend fUr

die erste Probe lediglich ein dreifaches Be- und Entlasten bis auf Gebrauchsla!?tn iveau und anschlieBende

Laststeigerung bis zum Versagen der Konstruktion vorgesehen war, wurde die zweite Probe zusatzlich unter einer

siebenwochigen Dauerbelastung und verschiedenen assymetrischen Lastkombinationen getestet.

1. VERSUCHSAUFBAU UNO MESSEINRICHTUNG

Der Versuchsaufbau tor die Versuche mit Laststeigerung ist in Bild 55 dargestellt. Fur die Versuche mit Dauerlast und

assymetrischen Lasten wurden jedoch anstatt der Stahltraversen und Pressen Betonbl6cke zu je 1 KN verwendet. Es

wurden zwei geometrisch gleiche Proben hergestellt , die sich led iglich in den Materialkennwerten des Betons und

des Holzes unterschieden. Auf diese GraBen konnte bei der Herstellung kein EinfluB genommen warden. Der Quer­

schnitt der Proben ist aus Bild 56 ersichtlich. Auf die vier im Abstand von 60 em liegenden Balkan (NH ll,,li1 8/14, 17%

Feuchtigkeit) ist eine 16 mm NOVOPAN-Spanplatte genagelt, die als Schalung tor die 6 em starke Betonplatte dient.

Der Verbund zwischen Holz und Beton ist durch 30° gegenuber der Tragerlangsachse geneigte ins Holz eingeklebte

Bauschrauben (M 12, 220 mm) hergestellt, denen am Schraubenkopf ein 40 x 40 mm Unterlegplattchen

angeschweiBt wurde, um eine bessere Verankerung im Beton zu erreichen. Die Anordnung der DObel in Trager­

langsrichtung ist in Bild 57 dargestellt. Die Neigungsrichtung der DObel wechselt in Feldmitte, was der Wirkungsrich­

tung des Schubflu Bas bei Gleichstreckenbelastung entspricht. In Feldmitte ist auBerdem der Verbund Ober eine kurze

Stracke unterbrochen, was sich jedoch nicht negativ auswirken durfte, da die Oualitat des Verbundes von der

Gesamtzahl der DObel und nicht von deren Verteilung abhangig ist.

Bei der Herstellung der Probek6rper muBte ein Gro Bteil der DehnmeBstreifen (HBM Typ L Y11-1 0/120) schon mit

eingebaut werden, was einigen Mehraufwand bedeutete , der bei der Herstellung normalerweise nicht anfallt. lnsofern

k6nnen die Aufwandswerte dieser Proben nicht zur Kostenanalyse herangezogen werden. Gleiches gilt tor Details

wie Schragverdi.ibelung , Unterlegplattchen am Schraubenkopf, Randschalung etc. , die in einer ·normalen" Konstruk­

tion nicht notig sind , aber -soweit erwOnscht- der Oualitatsverbesserung dienen. Die Balkan wurden auf eine Lange

von I = 550 em geschnitten, um eine genOgende Auflagerflache zur VerfOgung zu haben. AnschlieBend wurde durch

Ultraschallmessungen der E-Modul der Balken bestimmt. Die Locher fur die DObel wurden mit einem Holzbohrer 50 14 mm und einer Schablone im Winkel von 30° zur Uingsachse und ca. 110 mm tiel gebohrt, ausgeblasen und

abgedeckt. Led iglich die Dubel des Referenzbalkens, die mit je zwei OMS bes!Uckt waren, wurden vor dem

Zusammenbau des Schalkorpers gesetzt. Dadurch wurde die Verlegung der elektrischen Leitungen wesentlich

erleichtert und Beschadigungen der Dehnmef3streifen weitgehend vermieden. Zur Befestigung der Dubel im Holz

wurde die 2-Komponenten -Mortelmasse HILTI Hit C 10 mittels spezieller Mischpistole in die Bohr16cher eingepreBt.

Die Bausch rauben wurden in das zahe M6rtei-Kieber-Gemisch eingedruckt und auf den letzten Millimetern

116

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Bild 55 Versuchsaufbau fur Versuche mit Laststeigerung

Beton BN 25 16 mm Spanplatte

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Bild 56 Ouerschnitt der Proben

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eingedreht, um eine Verzahnung zwischen Gewinde und erhartetem Kleber zu begi..instigen. Bis zu m vollen

Ausharten nach ca. 2 Stunden wurde die Schraube am freien Ende durch Distanzholzer gesti..itzt, um gleichmaBig

den Winkel von 30°, die voile UmschlieBung der Di..ibel mit dem Mortei-Kieber-Gemisch zu garantieren und insbeson­

dere im Referenzbalken zu verhindern , daB die an der Di..ibelunterseite applizierten OMS beschadigt werden oder

durch den Kleber Zwangungen erlitten. Zwar wurde die Stelle der DMS-Applikationen auf der Ober- und Unterseite

der Bauschraube so gewah~. daB diese im Zwischenraum zwischen Holz und Beton zu liegen kommen sollten, doch

muBten wegen des flachen Neig ungswinkels Ungenauigkeiten beim Setzen der Oi..ibel in Kauf genommen werden. In

Bild 58 ist der Referenzbalken mit den eingeklebten Bauschrauben und den Distanzholzern zu erkennen. In der Ver­

g r6Berung (Bild 59) sieht man deutlich die obere der beiden DMS-Applikationen auf der Bauschraube mit der

entsprechenden Verkabelung.

117

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520

Bild 57 : Anordnung der Oubel in Tragerlangsrichtung

Bild 58 : Referenzba/ken nach dem Setzen der Oubel

118

Bild 59 DMS-Applikation auf einer Bauschraube des Referenzbalkens

Bild 60 Probek6rper nach dem Zusammenbau und Setzen aller DDbel

Die als Schalung dienende NOVOPAN-Spanplatte wurde in zwei Teilen vorbereitet, an den DurchstoBstellen der

Verbindungsmittel und in Feldmitte uber den Balkenachsen ausge~ommen, auf die vier im vorgesehenen Abstand

liegenden, in der Mitte ohne Oberhohung nochmals abgestUtzten Balkan aufgelegt, uber dam Referenzbalken

gestoBen und anschlie13end Ieicht vernagelt. Ober die Spanplatte wurde eine dunne, handelsubliche Plastikfolie

119

Bild 61 Probekorper vor dem Betonieren

aufgelegt, um zu verhindern , daB die Spanplatte dem Beton beim Abbinden Wasser entzieht und ihrerseits aufquillt.

lm AnschluB daran wurden die restlichen Di.ibel gesetzt und die DurchstoBe soweit notig mit Polyurethan aus­

geschaumt, sodaB keine Feuchtigkeit an die freien. teilweise mit OMS besti.ickten Te ile der Bauschrauben kommen

konnte . Auf die in Feldmitte freie Oberkante der vier Balkan wurden jeweils zwei OMS geklebt, die Kabel angelotet

und verlegt und die Offnungen ansch lieBend ausgeschaumt. In Bild 60 ist ein Tail des Probekorpers in dieser Phase

der Herstellung dargeste llt. lm Vordergrund kann man deutl ich die Ausschaumung in Feldmitte und die Rand­

schalung von 6 em Hohe erkennen . Bild 61 zeigt den zum Betonieren fertigen Probekorper, nachdem noch die

Schwindbewehrung (Stahlmatte K 84 150-150, 4.0-4.0) auf die 4 em hohen Distanzhalter montiert wurde. Ein

Bild 62 DMS-Applikation auf der Unterseite eines Holzbalkens

120

La.ngsschnitt des fert iggestellten Probekorpers ist auf dem Tite lbild dieses Berichtes zu sehen . Beim Betonieren

muBte besonders Wert auf eine gute Verdichtung des Betons und ausreichendes Ri.itteln gelegt werden, damit auch

die spitzen Winkel hinter den Dubeln mit Beton ausgetullt waren. Es wurde ein Normalbeton BN 25 mit einem

GroBtkorn von 16 mm Durchmesser verwendet, dessen Eigenschaften an je drei Probezylindern aus der jeweiligen

Lieferung ermittelt wurden. Der Beton wurde wahrend des AbbindeprozeBes feucht gehalten, um Risse auf Grund

von Eigenspannungen zu vermeiden. Nach dem Erharten des Betons wurde dieser in der Feldmitte uber den

Balkenachsen geschliffen und an diesen Stellen jeweils ei:~ OMS appliziert. Vier Wochen nach dem Betonieren wurde

der erste Versuch dadurch ausgefi.ihrt, daB die Durchbiegung der Verbundplatte be im Entfernen der

Mittenabstutzung gemessen wurde. Auf die von diesem ZeltpL:nkt an ireie lJn,ersE:ite der Balken in Feldmitte wurden

wiederum jeweils zwei OMS geklebt und an die MeBc:::l<:ge a:1geschloBen . Bild 62 zeigt eine solche MeBstelle. Es

wurden ausschlieBiich OMS der Fa. HBM Typ LY11-1 0/120 verwendet. die bei E:in9m Ausgangswiderstand von 120

Ohm und einem k-Faktor von 2.05 eine maxim ale Linearitatsabweichung von± 1% aufweisen. Temperatureinfli.i Be

und andere auf aile OMS gleichermaBen einwirkende, die MeBwerte verfalschende EinfluBe konnten durch die

Verwendung der sogenannten erweiterten Kreuzerschaltung neutralisiert werden, bei der eine im gleichen Milieu

applizierte OMS pro Zehnergruppe als sog. Kompensations-DMS dient. Die OMS wurden auf Holz und Beton mit dem

kalthartenden Kleber HBM X60, auf Stahl mit dem ebenfalls kalthartenden Kleber HBM Z70 appliziert. Zum Schutz

gegen Feuchtigke it und leichte mechanische Einwirkungen wurden aile DMS-MeBstellen mit dem HBM Silikon

Kautschuk SG 250 abgedeckt.

Bild 63 : Versuchsaufbau fOr Versuche mit Laststeigerung

Nach dem Entfernen der Mittenabs!Utzung wurden auf die erste Platte sofort die zur Lastverteilung benotigten Stahl­

profile verlegt (Bild 63), auf die zweite Probe wurde direkt die Dauerlast von ca. 1.92 KN/m2 aufgebracht (Bild 64) . Da

die Messungen der Durchbiegung im Dauerlastversuch mit mechanischen Uhren erfolgte, konnte in dieser Zeit die

elektrische MeBeinrichtung komplettiert, verkabelt und getestet werden. Zur Datenakquisition wurde eine HP 217-

GeriHekonfiguration gewahlt, wie sie in Bild 65 zu erkennen ist. Die Messung wurde uber den Rechner entweder zyk­

lisch oder willkurlich ausgelost. Ober zwei VielstellenmeBgerate UPM 60 der Fa. HBM und einen Scanner HP 3495A

mit angeschlossenem Digital-Voltmeter HP 3455A (Bild 66) wurden die MeBstellen angesteuert und die elektrischen

MeBgroBen nahezu gleichzeitig eingelesen. Durch die sofortige Abfrage der puren MeBwerte, Einlesen in den Rech­

ner und die spatere Verarbeitung der akquirierten Daten war die Schnittstelle IEEE 488-78 (HP-IB-Bus) schnellst­

moglich frei fUr weitere Messungen, sodaB ein MeBzyklus von weniger als 2 Sekunden mi:iglich war. Damit war auch

Bild 64 Dauerstandsversuch mit Lastaufbringung durch Betonblocke

Bild 65 HP-21 7-Geratekonfiguration fiir die

Datenakquisition Bild 66

121

Vie/stel/enmef3gerate UPM 60

HP-Scanner und H P-Oigital- Voltmeter

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den 4 Balkenachsen

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Diibelrnoment

im Rcfcrenzbalken und

in den Randdubc ln

Holzrandspannung in Fc ldmitte

oben und unten

Betonrandspannung

obcn

Re lativverschiebung

Holz-13eton am Au flagcr

Dll rchbicgung in Feldmi tte

am Rand der Platte

Mellnehmer

I 113M W!igczcllc 4

C I (51)

Dehnme!lstreifen 2 X 24

LY 11- 10/120

6x2x2

Dehnme!lstreifen 4x2x2

LY II - 10!120

Dehnme!lsrreifen 4

LY II - 10/120

HP Wegnehmer

2 X 4 (±5 mm)

HBM Wegnehmer 2

W 50(± 50 mm)

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UMH 3209

UMH 3209

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123

im Faile groBer, kurzfri ;; tiger Veranderungen eine ausreichend dichte Abfrage gewahrleistet. Bild 67 gibt einen

Uberblick uber die Verknupfung der einzelnen MeBinstrumente, den DatenfluB und den Zwack der jeweiligen

MeBstelle. Die voile Kapazitat der beteiligten MeBinstrumente von 140 MeBstellen konnte nicht voll ausgenutzt

werden, wail die verschiedenen Schaltungsarten immer blockweise uber eine dafur ausgelegte Umschalteinheit

(Scanner) angewahlt wurden. Fur aile applizierten OMS wurde eine Viertelbruckenschaltung mit einer

Kompensations-DMS pro Zehnergruppe gewahlt (UPM 60, Schaltung 98, UMH 3209). Die verwendeten

Prazisionswagezellen HBM Ct (Nennlast St) enthalten eine Vollbrucke (UPM 60, Schaltung 9H, UMH 3209) und die

induktiven Wegnehmer der Fa. HP (Nennweg ± 5 mm) und der Fa. HBM WSO (Nennweg ±50 mm) wurden an den

HP-Scanner und das HP-Digitai -Voltmeter angeschlossen .

Bild 68 lnduktive Wegnehmer in Plattenmitte zur Messung der Ourchbiegung

In Bild 68 ist dar induktive Wegnehmer HBM WSO zu erkennen, der fur die Durchb iegungsmessung in Feldmitte ver­

wendet wurde. An einer Querlatte sind jeweils uber der Balkenachse die MeBuhren zu sehen, die fur die Durch­

biegungsmessung im Dauerstandsversuch und spater zur Plausibilitatskontrolle der elektrischen Durchbiegungsmes­

sung eingesetzt wurden. Bild 69 zeigt die induktiven Wegnehmer HP zur Messung der Relativverschiebung zwischen

Holzbalke n und Betonplatte am Aufl ager. Der Einbau und die Positionierung der Kraftmessdosen HBM C1 erforderte

groBe Sorgfa lt und eine besondere Ausbildung des Auflagerdetails, w ie es in Bild 70 dargestellt ist. Da die

Holzbalken zum Te il tordiert eingebaut warden muBten, wurde zum Ausgleich ein !re i schwenkbarer Kopf fur die

KraftmeBdosen konstruiert. Die KraftmeBdosen solten nach Mogl ichke it ideal vertikal belastet werden, weshalb jede

Zwangung der Konstruktion mittels teflonbe schichteter Platten als Gleitlager vermieden werden sollte. Hohenunter­

schiede der Balkenunterseiten wurden soweit wie moglich durch Keile ausgeglichen. Dennoch zeigten erste Messun­

gen mit den fertig eingebauten KraftmeBdosen (Bild 71) deutliche Unterschiede in den einzelnen Auflagerreakt ionen,

die nicht auf unterschiedliche E-Moduli der Balken zuruckgefuhrt werden konnten, sondern nur durch geometrische

Zwangungen in der Auf lagerlinie (Ouerrichtung) erklart werden konnten. Das Eigengewicht wurde hauptsachlich

durch zwei salt aufliegende Balken ubertragen, wahrend die beiden anderen quasi noch in der Luf1 hingen und erst

bei hoheren Belastungen vollen Kontakt zum Untergrund erhielten . Ein Vergleich der insgesamt gemessenen Auf­

lagerreaktionen einer Seite zeigte Jedoch eine seh r gute Ubereinstimmung mit dem rechnerisch ermittelten

Eigengewicht der Konstruktion, worau s geschlossen warden konnte, daB die freie Aufl agerung an be iden Seiten der

Platte gewahrleistet war.

124

Bild 69 Jnduktive Wegnehmer HP am Auflager zur Mossung dor Rolativverschiebung zwischen Holz und Beton

Die Umrechnung der als MeBwert erhaltenen elektrischen GroBen erfolgt je nach Art des Mef3instrumentes . Fur die

induktiven Wegnehmer wird in der Regel vom Hersteller direkt ein Scale-Faktor zur Umrechnung der induzierten

Spannung in die WeggroBe angegeben, ebenso wie fOr die Kraftmef3dosen . Die Umrechnung der elektrischen

Widerstandsanderung der OMS in die entsprechende Dehnung bzw. Spannung des untersuchten Probekorpers kann

aus der mathematischen Beschreibung der Wheatstone'schen Bruckenschaltung abgeleitet werden. In der fur aile

OMS angewandten Viertelbruckenschaltung wird d ie Wheatstone'sche Brucke durch einen OMS und drei gerateseitig

zugeschaltete Prazisionswiderstande gebildet. Da die Verstimmung der Bruckenschaltung lediglich durch eine

Widerstandsanderung des OMS verursacht werden kann, erhalt man als einfache Umrechnungsgleichung

UA

UE

k - E 4

Bild 70 : Auf/agerdetai/

£

t 125

Bild 71 : KraftmeBdosen mit Auflagerdetail im eingebauten Zustand

Der k-Faktor der OMS wird vom Hersteller angegeben. Aus den Dehnungen lassen sich Ieicht uber das Hook'sche

Gesetz. dessen Gultigkeit fur die in der Konstruktion verwendeten Materialien uneingeschrankt vorausgesetzt wird ,

die Spannungen und Krafte bestimmen .

2. VERSUCHSERGEBNISSE, AUSWERTUNG UND INTERPRETATION

Fur die Auswertung der Versuche wurden die an den beiden Proben bestimmten geometrischen und

materialabhangigen Kennwene gemittelt zu Grunde geleg1. Die Unterschiede zu den rechnerisch angesetzten und fUr

eine Dimensionierung normalerweise verwendeten Werte sind zum Tail erheblich . In Tabelle 3 sind beide Werte

gegenubergestellt. Besonders die Abweichungen der tatsachlichen von den rechnerisch angenommenen E-Moduli

verandern die Proportionen des Verbundsystems und die Eigenbiegesteifigkeiten der Teilquerschnitte sehr stark. Es

muB jedoch darauf hingewiesen werden, daB gerade die E-Modui-Bestimmung problematisch und fehleranfallig ist.

Wahrend der E-Modul des Betons noch relativ zuverlassig durch standartdisierte Verfahren und mit geringen Streu­

ungen festgestellt werden kann, ist derjenige des Holzes sehr stark von der Feuchtigkeit und wegen der aus­

gepragten lnhomogenitat des Holzes ebenso von der MeBstelle abhangig. An den verwendeten Balken wurden in

Langsrichtung Ultraschallmessungen durchgeluhrt und mit Hille einer am IBOIS durch eine Vielzahl von Versuchen

an Fichtenholz gelundenen linearen Regression die E-Moduli bestimmt. Man erhalt so einen globalen E-Modul, in

dem lokale Storungen der Struktur und somit des Tragverhaltens enthalten sind . Der Korrelationskoeflizient dieser

Methode liegt bei etwa 0.80 . Der in Tabella 3 angegebene Wert ist der Mittelwert der acht verwendeten Balkan, die

zur Herstellung der beiden Proben so zusammengestellt wurden. daB fur die Vierergruppe einer jeden Probe dieser

Mittelwert angenommen werden konnte . Die ebenlalls in der Tabella angegebenen Verhaltniswerte V, W. Z sowie a 2

berucksichtigen nicht, daB der Beton in der Zugzone als gerissen und somit nicht wirksam anzusehen ist. Auf diesen

Elfekt w ird bei der Auswertung und Interpretation der einzelnen Versuche eingegangen, da das MaB des RiBes von

der unbekannten Fugensteifigkeit abhangt.

Das Eigengewicht der zweiten Probe wurde mit 21 .33 KN entsprechend 1.71 KN I cm2 gemessen. was sehr gut mit

dem rechne risch durch die gangigen Lastannahmen bestimmten Wert ubereinstimmt. Generell ist zur Fehlerab-

126

schatzung der Dehnungs- und Verschiebungsmessungen anzumerken, daB fOr aile MeBnehmer vom Hersteller eine

maximale Toleranz von ±1 %des Ausgangssignals angegeben wird. Die Genauigkert und Fehleranfalligkeit einer

Messung wird in erster Linie durch die Empfindlichkeit und Auflosung des Digrtai-Voltmeters bei Aufnahme, Verar­

beitung des Signals sowie bei dar Weitergabe des MeBwertes in dar gewlinschten Einheit bestimmt. Insbesondere

die Schnittstelle des Digital-Voltmeters stellt haufig kapazitatsbedingt einen EngpaB dar, an dem Genauigkeitsver­

luste auftreten. Aus diesem Grund wurde soweit als moglich auf eine Umrechnung des Signals im Digrtai-Voltmeter

verzichtet, die elektrische Spannungsanderungen direkt abgefragt und erst spater im Rechner in die entsprechende

GroBe umgerechnet. Auf diese Weis9 konnte die Empfindlichkeit dar Messung dar Dubelkrafte von 23 N auf 4.4 N

verbessert warden. Die Auflosung d<; ; l(raftmeBdosen bstragt 2.5 N, die dar induktiven Wegnehmer etwa 111000

Holz E- Modul Hohe I Breite Eiqenbieoesteifiakeit rechnerischer Wert 1 000 KN I cm"2 14 em I 4x Scm 7 317 333 KNcm"2 tatsachlicher Wert 1261 KN I cm"2 13.5 em I 4 x 7.8 em 8 066 585 KNcm"2

Beton E- Modul Hohe Breite Eiaenbieaesteifiakeit rechnerischer Wert 3000 KN I cm"2 Scm 240cm 12 960 000 KNcm"2 tatsachlicher Wert 3756 KN I cm"2 6.2cm 239.8 em 17 888 280 KNcm"2

Verhaltniswerte w v z v z G Gesamteiqenbieqesteifiqkeit rechnerischer Wert 22.5 2.33 0.27 0.49 0.06 0.88 20 277 333 KNcm"2 tatsachlicher Wert 22 .89 2.18 0.26 0.46 0.05 0.95 25 954 865 KNcm"2

Tabel/e 3 : Rechnerische und tatsach/iche Kennwerte des Versuchsquerschnittes

Seide Proben wurden bis zum Erharten des Batons in dar Mitte ohne Oberhohung abgestlitz1. Die Montagestiitze ist

wegen des hohen Anteils des Batons am Eigengewicht dar Konstruktion (80 - 90 %) erforderlich, soweit die Decke

nicht am Boden vorgefertigt warden kann. Da die Holzbalken im Montagezustand die Betonlast alleine trag en, waren

die Anfangsverformungen aus Eigengewicht ohne Abstiitzung im vorliegenden Fall bererts 4.25 em d.h. 1/ 122 und

nicht mehr akzeptabel. Durch die MittelstOtze kann die Durchbiegung dar Holzbalken auf ca. 1116 verkleinert warden.

Zusatzlich wird verhindert, daB durch ungleiche Muldenbildung wegen unterschiedlicher E-Moduli der Holzbalken

gerade der schwachste Balkan durch zusatzliches Betongewicht und eventual! Mannlasten libermaBig beansprucht

wird. Die Abs!Otzung in Feldmitte reich! jedoch haufig nicht a us, die gro Ben Anfangsverformungen auf Grund des

Schlupfes der Verbindungsmittel zu verhindern . Deshalb ist eine Oberhohung vorzusehen, die mindestens l I 300

betragen sollte . Mit diesem Wert wird in der Regel dar Durchbiegungsnachweis fur den Gebrauchszustand unter

Berucksichtigung des Kriechens gefiihrt, sodaB rechnerisch die tatsachliche Durchbiegung der Decke allein auf den

Schlup! der Verbindungsmittel zuruckzuflihren ware. Soweit der damit verbundene Aufwand vertretbar ist, sollten

jedoch strengere Kriterien zur Bestimmung der Oberhohung herangezogen warden. Ein mogliches Kriterium ist, fUr

die Holzbalken im Montagezustand keine pos itiven Momenta zuzulassen und diese somit vorzuspannen. Die

Bestimmungsgleichung flir die erforderliche Oberhohung erhalt man aus der Bedingung, daB die

Randauflagerreaktionen nach Aufbringen des Batons gleich Null seien. Man erhalt so die Gleichung

6 h = 384 ~~

wobei q das Eigengewicht der Konstruktion ist. Die zusiatzlich zur Stlitzkraft erforderliche Vorspannungkraft dar

Holzbalken in Feldmitte ist dann

p 3

8

127

q l

Zur Herleitung eines dritten Kriteriums muB man sich mit einer Abschatzung begnugen . Da die eigentliche Ursache

der Anfangsverformungen der Schlupf der Verbindungsmittel ist, wird untersucht, welche S!Utzkraft in Feldmitte nach

Aufbringen des Betons benotigt wird, um beim Entfernen der S!Utze an einer bestimmten Stelle des Tragers in der

Fuge zwischen Holz und Beton eine Verschiebung von 1 mm zu erreichen. Unter der Annahme, daB bis zum Greif en

der Verbindungsmittel nur die Eigenbiegesteifigkeit des Holzes und teilweise die des Betons wirksam ist, erhalt man

fUr die gefertigten Proben den in Bild 72 dargestellten Zusammenhang . Na!Urlich greifen die auBeren

Verbindungsmittel schon, bevor die innen liegenden den Schlup! uberwunden haben, sodaB ein nicht-lineares Ver­

formungsverhalten bis zum vollen Greifen aller Verbindungsmittel zu erwarten ist. Die ertorderliche Kraft zur Erzeu­

gung einer Verschiebung von 1 mm an den inneren Dubeln wird wegen der sich erhohenden Beigesteifigkeit der

Konstruktion groBer. Man erkennt, daB es keinen Sinn mach!, in Tragermitte Verbindungsmittel anzuordnen, die

einen relativ hohen Schlup! haben. Die fUr die Aktivierung dieser Dubel notwendige Anfangsdurchbiegung ware zu

groB. Bei der vorliegenden Probe ist deshalb und wegen des Richtungswechsels der Dubelneigung in Feldmitte

dieser Bereich unverdubelt. Beim Entfernen der Mittenabstiitzung wurde quasi eine Einzellast von ca. 13 KN in

Feldmitte wirksam , die nach Bild 72 ausreichen wurde, um die auBeren Dubel bis zu etwa einem Drittel der

Tragerlange zu aktivieren. Die beim Entfernen gemessenen Durchbiegungen und daraus zuri.lckgerechneten, fiktiven

Biegesteifigkeiten der Gesamtkonstruktion in Tabelle 4 deuten darauf hin , daB die voile Wirksamkeit der Verdubelung

bei weitem noch nicht erreicht ist. Eine weitergehende Aussage ist nur moglich, wenn der tatsachliche, bei diesem

Belastungsgrad uberwundene Schlup! und die Eigenbiegesteifigkeit des Betons bei reiner Biegebeanspruchung

bekannt sind.

P [ KN 1

3B

I 2B 1/

/ /

,/

...............

-~f-

Cl...

s:, ;:::

...!>C !:! ::::::: c))

Ill ~

..::: ~ ~

-:::::

~ ~

B.BB B.BS 9. 19 B.IS B.2B B.25 B.3B B.35 B.HI B. 45 B.SB

bezogene Triigerliinge ~ -

Bild 72 Erforder/iche Einzellast in Feldmitte zur Erzeugung von 1 mm Schlupf an der Tragerstelle e

128

absolute Durchbiegung relative Ourchbiegung fiktive Biegesteifigkeit Probe 1 8.90 mm II 611 43 874 172 KNcm"2 Probe 2 9.07 mm l/573 43 051 834 KNcm"2

T abelle 4 lnitia/durchbiegung der Proben in Feldmitte beim Entfernen der Mittelabstatzung

Bei einer Laststeigerung uber das Eigengewicht hinaus war also bei beiden Proben mit einer Verformung zu rechnen.

die bis zum vollstandigen Greifen der Verdubelung uber den rechnerisch zu erwartenden Werten liegen wurde. Mit

einer Oberhohung, sodaB beim Betonieren keine positiven Momenta in den Holzbalken aufgetreten waren, ware eine

zusatzliche StUtzkraft von ca. 8 KN wirksam geworden. Aus Bild 72 kann entnommen warden, daB diese Oberhohung

fur eine ausreichende Verschiebung im inneren Bereich bis etwa 0.4 l gesorgt hatte. Die hier demonstrierte Ab­

schatzung ist fUr jeden Einzelfall zu treffen. Da der tatsachliche Schlup! (hier 1 mm angenommen) nicht bekannt ist

und die Wirksamkeit der Verdubelung und damit diejenige des Verbundquerschnittes sehr stark von der Oberwindung

dieses unbekannten Anfangsschlupfes abhangt, muB fur dieses Problem kunftig eine Losung gefunden warden, die

im konstruktiven und nicht im rechnerischen Bereich ansetzt. Die rechnerischen Schwierigkeiten durch die

Anwendung geschlossener Losungen konnen Ieicht umgangen werden, indem fur jades spezielle Problem eine nu­

merische Berechnung nach der Methode der Finiten Elemente durchgefUhrt wird. Das primare Ziel sollte jedoch sein,

eine Losung im konstruktiven Bereich zu suchen, also konkret ein spezielles Verbindungsmittel zu entwickeln, das

entweder im ldealfall keinen Schlup! aufweist oder das den eventuell auftretenden Schlup! zu kompensieren im

Stande sind . Gedacht wird an ein Verbindungsmittel , das ein Nachspannen erlaubt und somit bestehende Verfor­

mungen ruckgangig gemacht warden konnten, wie sie z. 8 . auch durch Kriecheffekte verursacht warden.

p p p p p p

t <m! 86em

t 86 em

t 86em

t 86 em

t 86 em

t 45 em

I

~ A B c D E F ~ i ... ~

I ( = o I B Bild 73 : Statisches System fur den Dauerlastversuch mit den Achsbezeichnungen A - F

fUr die Versuche mit Einzellasten

Um die Bedeutung des Kriechens fUr Holz-Beton-Verbundkonstruktionen abschatzen zu konnen, wurde mit der

zweiten Probe ein 11 -w6chiger Dauerstansversuch durchgefiihrt (Bild 64). Die lnitialverformung beim Setzen der zur

Lastaufbringung verwendeten Betonblocke ist in Tabella 7 eingetragen. In Bild 74 ist die absolute Zunahme der An­

fangsverformung in Abhangigkeit von dar Zeit aufgetragen, aus Bild 75 kann die prozentuale Veranderung entnom­

men warden. Es stellt sich die Fraga, worin die recht ausgepragten, zeitabhangigen Verformungen ihre Ursache

haben. Es ist zu vermuten, daB jades der drei beteiligten Kriechelemente (Holz,Beton und Verbindungsmittel) einen

Anteil daran hat. Durch die groBere Gesamtverformung wird die fiktive Biegesteifigkeit des Querschnittes an der

Beobachtungsstelle in Feldmitte um den in Bild 75 dargestellten Betrag abgemindert. DaB es sich beim Kriechen der

129

em J

2 .B 00 § t: I...

'b I . 5 <u

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~ -«: I... I.B "'

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a ..., -C c:: B.B

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v [ Wochen j

e IB 12

Belastungsdauer

Bild 74 : Absolute Zunahme der Anfangsverformung im Dauer/astversuch

[ % 1

JBB

~ e: 'b "' 2SB ;;. ..., 00 t::

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/ v 1aa [ Wochen /

IB 12

8 elcutw zgsda uer

Bild 75 Relative Zunahme der Anfangsverformung im Dauerlastversuch

130

Verbunddecke hauptsachlich um plastische Verformungan handett, sieht man daran, daf3 die fiktive Biegesteifigkait

des Ouerschnittes bei spateren Versuchen teilweise sogar hi:iher lag , als vor Beginn des Kriechens. Daraus laf3t sich

ableiten, daf3 trotz der relativ hohen Kriechverformungen das elastische Verhalten der Konstruktion annahernd ken­

slant bleibt. Wie durch die Messungen belegt ist, steigt die Beanspruchung der Verbindungsmittel im Laufe des

Dauerlastversuches und es tritt mit hoher Wahrscheinlichkeit ein Verfestigungseffekt in der Fuge zwischen Holz und

Beton ein, da der Schlup! dar innen liegenden Verbindungsmittal in einam gewissen Maf3 uberwunden werden kann,

soweit das nicht schon bei anderen oder geringeren Belastungen geschehen ist. Zwar konnen aus diesem einen

Versuch keine allgemein gultigen Aussagen gamacht warden, jadoch un terstreicht das Resultat erneut die

Notwendigkeit, durch konstruktive MaBnahmen und schlupfarma Verbindungsmittel die Anfangsverformungen so

gering als moglich zu hattan , um das gunstige elastische Verhalten uberhaupt nutzen zu konnen und die Gebrauchs­

fahigkeit der Decke auch langfristig sicherstellen zu konnen.

Bild 76 Versuch mit assymetrischer und konzentrierter Last

Der Dauerlastversuch wurde kurzzeitig unterbrochen, um Versuche mit assymetrischen und konzentrierten Lasten

durchzutuhren (Bild 75 ). Ziel der Versuche wares in arster Linie, die Wirksamkeit der Verdubelung unter extremen,

aber wirklichkeitsnahen Bedingungen zu prufen und somit die Zuverlassigkeit der Konstruktion abschatzen zu kbn­

nen . Zu diesem Zweck wurden die Einzellasten jeweils in den Achsen A- F nach Bild 73 aufgesteltt . Zur Uberprufung

der Linearitat wurden drei Laststufen gewahlt. Zusatzlich wurden diverse Lastkombinationen mit zwei Einzellasten

getestet. Aus den Durchbiegungsmessungen wurden sowohl die fiktiven Biegesteifigkeiten als auch die Fugen­

ste ifigkeiten kji mit (i = 2) und ohne (i = 1) Berucksichtigung einer geriBenen Zugzone des Batons zuruckgerechnet.

A us den mechanischen (w 2) und elektrischen (w 1) Durchbiegungsmessungen wurde der jeweilige Mittelwert fur die

Berechnung verwendet. Es Iaiit auf, daB die Fugensteifigkeit sehr groBe Schwankungen aufweist. Diese sind zum

einen auf die lokale Empfindlichkeit der iterativen Ruckrechnung gegenuber geringen Schwankungen in den Ein­

gangsgri:if3en (last, Durchbiegung), zum anderen aber auf das Verhatten der Konstruktion selbst zuruckzu!Uhren .

Konzentrierte Lasten in Auf lagernahe bewirken zum Beispiel, daB -wia aus Bild 24 auf S. 57 ersichtlich- in Auf­

lagernahe sehr hoha SchubfluBe auttreten, im restlichen Feld dagegan kaum . Diasar Umstand kann zu lokalen

Uberbeanspruchungen fuhren oder -was im vorliegenden Fall wahrscheinl icher ist - durch lokale Unterbeanspruchun­

gen unter dem fur die Uberwindung des Schlupfes notwendigen MaB dazu, daB ein Tail der Dubel wirkungslos ist.

131

Doppellast GroBe w 1 k 1 k 2 fikt. Biegesteifigkeit

16 + 16 3 .92 20 29 61 149 735 in Achse A+ F 16 + 16 3.85 21 31 62 579 221

16 + 16 3 .86 21 31 62 417 098 16 + 16 8.48 63 105 76 473 928

in Achse B + E 16 + 16 8 .35 71 122 77 664 540 16 + 16 8.43 66 111 76 927 510 16 + 16 6 .05 48 74 73 506 521

in Achse 8 + F 16 + 16 5 .94 54 85 74 867 753 16 + 16 6 .03 49 76 73 750 323 16 + 16 7 .59 61 101 75 229 094

in Achse C + F 16 + 16 7.47 68 117 76 437 540 16 + 16 7 .59 61 101 75 229 094 16 + 16 8.41 35 52 69 378 230

in Achse A+ E 16 + 16 6.34 37 55 70 144 235 16 + 16 6 .36 36 54 69 923 656 16 + 16 8 .05 43 67 70 930 289

in Achse A+ D 16 + 16 7.95 46 72 71 822 493 16 + 16 8 .02 43 69 71 195 614

Einheit KN mm rnm KN/cm"2 KNcm"2

Tabelle 5 : Durchbiegungen der Probe 2 in Feldmitte unter Doppellasten in verschiedenen Positionen

Die Ergebnisse der Versuche mit konzentrierten und assymetrischen Lasten sind in Tabella 5 und 6

zusammengefaBt. lm Nebeneffekt wurde durch diese Versuche bestatigt, daB das der Berechnung zu Grunde

gelegte statische System sehr gut mit dem tatsachlichen iibereinstimmt. Die Messung der Auflagerreaktionen ergab

eine Abweichung von unter 1 % bei allen durchgespielten Lastpositionen.

Nach Beendigung der Dauerlastversuche wurden die zur Lastverteilung verwendeten Stahltraversen auf die Proben

verlegt (Bild 63), sodaB fiir die Auswertung der Laststeigerungsversuche das in Bild 77 dargestellte statische System

gultig ist. Mit beiden Proben wurden drei Laststeigerungen bis zur ein- bis eineinhalbfachen Gebrauchslast

durchgefOhrt, wobei die Last der Stahltraversen mitzurechnen ist, in der Auswertung jedoch nicht erscheint , da beim

Nullabgleich diese Last bereits vorhanden ist. Aus diesem Grund sind auch die spater angegebenen Bruchlasten urn

9.2 KN groBer als das aus den zugehorigen Diagrammen zu entnehmen ist.

Wie auch bei den vorhergehenden Versuchen interessierte bei der Auswertung die ROckrechnung der

Fugensteifigkeit k, deren Wert jedoch nur naherungsweise bestimmt warden kann unter der vereinfachenden

Annahme, daB die Eingangsgr6Ben der Berechnung mit ausreichender Zuverlassigkeit bekannt sind. Wie schon

erwahnt bereitet aber die Bestimmung des E-Moduls von Holz einige Schwierigkeiten, sodaB von dieser Seite herein

Fehler in der ROckrechnung der Fugensteigigkeiten aus Last-Durchbiegungsmessungen angenommen werden muB.

Zur Auswertung der Laststeigerungsversuche wurden daher die Diagramme in Bild 78 und Bild 79 verwendet, aus

denen die Fugensteifigkeit k direkt Ober das aus der Last-Verformungskurve abschatzbare SteigungsmaB der

Konstruktion abgelesen werden kann. Mit einer Fehlerschatzung fOr die E-Modui-Bestimmung des Holzes erhalt man

schlieBiich die Bandbreite der moglichen Werte von k. Die Diagramme sind jedoch nur fOr die gepruften Proben und

das fOr aile Laststeigerungsversuche gleiche statische System gultig. Das Diagramm in Bild 78 wurde mit vollem

Betonquerschnitt gerechnet, im Diagramm des Bildes 79 ist die geriBene Zugzone des Beton berOcksichtigt. Das

tatsachliche Verhalten des Beton durfte zwischen diesen beiden Extremen liegen. In Tabella 7 sind die fOr die

C\J (") r-

Einzellast

in Achse A

in Achse B

in Achse C

in Achse D

in Achse E

in Achse F

Einheit

Grol3e w 1 w2 k 11 k 21 k 12 k22 tiki. Biegesteifigkeit 1

8 0.78 0.74 63 102 106 220 77 221 154 16 1.58 1.52 58 78 94 143 76 243 670 24 2.39 2.35 55 61 87 102 75 605 648 8 2.42 2.77 30 17 45 26 66 993 688

16 4.43 4.42 47 48 74 75 73 194 007 24 6.2 6.23 77 74 136 129 78 447 448 8 3 .23 3 .17 40 40 64 71 69 740 530 16 6.06 6.06 58 58 97 97 74 343 868 24 - - - - - - -8 - - - - - - -16 6.13 6 .23 54 49 89 79 73 494 915 24 - - - - - - -8 2.28 2.3 40 39 61 58 71 107 336 16 4.46 4.57 46 40 70 60 72 701 671 24 6.3 6.49 68 55 115 88 77 202 250 8 1.1 1.13 13 12 20 18 54756818 16 1.69 1.72 39 35 58 52 71 281 065 24 2.77 2.84 25 23 37 33 65 233 755

KN mm mm KN/cm"2 KN/cm"2 KN/cm"2 KN/cm"2 KNcm"2

Tabelle 6 : Durchbiegungen der Probe 2 in Feldmitte unter Einzelfasten in den Achsen A- F

fikt. Biegesteifigkeit 2

81 395 270 79 253 289 76 892 553 58 528 782 73 359 605 78 069 692 71 060 540 74 343 868

--

72 315 221 -

70 489 011 70 951 740 74 942 092 53 303 097 70 037 790 63 625 880

KNcm"2 -

133

p p p p

020

t 0.20

t 020

t 0.20

t 020

~ ~ .. ~

I ~ = o I B

Bild 77 : Statisches System fur die Laststeigerungsversuche

Anwendung der Diagramme benotigten Werte zusammnegestellt. Wird der fur die getesteten Proben in Fraga

kommende Bereich schraffiert eingezeichnet, so erl<ennt man deutlich, daB groBerer SteifigkeitsmaBe die Fehleran­

falligkeit stark erhohen, da die Kurven die Horizontale sehr flach schneiden . Zur Auswertung des Bruchversuches

wurde die Last-Verformungskurve in drei Bereiche unterteilt, in denen ein lineares Verhalten erkennbar war. lm

Gegensatz zu den Versuchen mit assymetrischen Lasten sind die statischen Kennwerte beider Proben - aus­

genommen in Bruchnahe- annahernd konstant.

Das bestatigen auch die Kraft-Verformungs-Diagramme des Bruchversuches in Bild SO und Bild 81. Zur Kontrolle

und Sicherung der Daten bei eventuellen MeBausfallen wurden im Bruchversuch die Durchbiegungsmessungen

sowohl mechanisch als auch elektrisch durchgefOhrt. Die Ergebnisse stimmen weitgehend Oberein. Lediglich nach

dem ersten Bruch sind Abweichungen festzustellen. Die Kurven verlaufen im unteren Bereich linear und weichen von

der Geraden erst nach kleineren lokalen Bruchen ab, die aber anscheinend durch Umlagerungen innerhalb der

Konstruktion kompensiert warden konnen. Nach dem fast gleichzeitigen Bruch der Balkan mit dem hochsten und

dem niedrigsten E-Modul ist eine sprunghafte Durchbiegungszunahme festzustellen. Es stellt sich jedoch sofort

wieder ein Gleichgewicht ein, das es ermoglicht die Last weiter zu steigern. Die dabei stattfindenden Umlagerungen

innerhalb des Ouerschnittes lassen sich sehr anschaulich darstellen durch das Diagramm Bild 82, in dem die

Auflagerreaktionen in den vier Balkenachsen relativ zum Mittelwert uber die gesamte Belastungssteigerung

aufgetragen sind . Anfangs verteilen sich die Lasten entsprechend der Eigenbiegesteifigkeiten der einzelnen Balkan,

da auf Grund der geometrischen Zwangung gleiche Durchbiegungen in den Balkan induziert warden. Mit

zunehmender Belastung streben die Kurven immer mehr nach Ausgeglichenheit, die durch lokale Bruche

verschiedenen AusmaBes schlieBiich erreicht wird . Das deutet darauf hin -wie Gbrigens auch die Tatsache, daB die

Probe nicht vollstandig zerstort warden konnte-, daB die Holz-Beton-Verbundkonstruktionen generell hohe

Tragreserven besitzen, auch ohne daB deswegen gleich eine Oberdimensionierung oder mangelnde Proportio­

nierung des Querschnittes vorliegt.

Auf den folgenden Seiten sind einige Ergebnisse der Bruchversuche in Diagrammen dargestellt. Die interessanteste

Frage nach der GroBe der Schubkrafte und des Verschiebungsmoduls in der Fuga zwischen Holz und Beton kann

nicht unmittelbar beantwortet warden. Die Messung der Normalkrafte und eventuell auch der Momenta mimels

DehnmeBstreifen liefert zwar zufriedenstellende Resultate, was die qualitative Verteilung der Dubelbeanspruchungen

betrifft . In Bild 85 ist sehr schon ein zweifacher Hocker zu erkennen, der entsteht, wenn man den Lastfall symetrische

Doppellast mit unterschiedlichen Lastpositionen superponiert. lm Bild sind auch Ieicht die Lasteinleitungsstellen

ausfindig zu machen. Ebenso ist in Bild 84 gut zu verfolgen, wie sich die Dubelbeanspruchungen mit zunehmender

Last im einen Fall schon nicht-linaer verandern, wahrend ein Vergleichsdubelpaar noch ein sehr klar ausgepragtes

Kraft -Verformungsverhalten aufweist. Die auf den Achsen angegebenen Kraftwerte tauschen daruber hinweg, daB

die Kalibrierung des statischen Systems, durch das der DObel beansprucht wird, nahezu unmoglich ist. Die doch

134

[ KN I em 1

e e IB 21l 41l SB

Fugensteifigkeit k

+20%

+ 10% :!:0%

- 10%

-20%

k

Bild 78 : Die Fugensteifigkeit kin Abhangigkeit vom SteifigkeitsmaB der Konstruktion, dem Fehler bei der E-Modui­

Bestimmung, sowie unter der Annahme des vollen Betonquerschnittes

[ KN I em 1

s::: -~ Jll ~ :::: :.... o:; s::: 0

::.:: 21l

~ "1:::1

~ t: .~ Ill "" ~ C<;

s

~

~ "" C)

e e

/L~ ~ ~

~ ...--

Ill 21l 30

Fugensteifigkeit k

40 se

+20%

+ 10%

±0%

-10%

-20%

k

Bild 79 Die Fugensteifigkeit kin Abhangigkeit vom SteifigkeitsmaB der Konstruktion, dem Fehler bei der E-Modui­

Bestimmung, sowie unter der Annahme einer geriBenen Betonzugzone

Probe 1 Bel as tung w s fikt. Biegesteifigkelt Probe 2

Stahlprofile 9.2 2.85 32 60 895 918 Stahlprofile

Dauerlast Dauerlast

1 . Laststeigerung 0. 15 4.65 32 60 854 537 1. Laststeigerung

2. Laststeigerung 0. 28 7.65 37 69 048 024 2. Laststeigerung

3. Laststeigerung 0. 30 9.09 33 62 260 418 3. Laststeigerung

Bruchversuch I 0. 168 . . Bruchversuch I I

Bruchversuch II . . . Bruchversuch II

Brucversuch Ill . . Brucversuch Ill

Einheit KN mm KN/cm KNcm~2 Einheit

---- -

Tabel/e 7 Statische Kennwerle der Proben aus den Laststeigerungsversuchen

Belastung w

9.2 2.95

24 7.23

0. 24 6.51

0. 24 6.48

0. 29 7.85

0. 90 26 .9

90. 130 14.95

130. 160 14.48

KN mm

s

31

33

37

37

37

35

27

21

KN/cm

-

fikt. Biegesteifigkeit

58 839 643

62 631 490

69 498 316

69 762 424

69 649 235

63 121 977

50 482 490

39 088 086

KNcm~2

l . __ _ - -----~----

....... w 01

136

[ KN j

208

158

~ ~ c...

.,._, 100 \:::: --------r----

~ :::: -"' -2 ""-'

..!:::) 50

'-'

"" ""-' (.)

i I I

f----------t-------7"'---t-------r --+----+ -+---!

e [ em I

Durchhiegwzg in Feldnziue

Bild 80 : Kraft-Verformungsdiagramm im Bruchversuch (mechanische Wegnehmer)

I KN j

2B0

2 150 -~ c... ~

\:::: c.:: I Be

:::; --2 ~

-2 - 50 <.:3

""' "'-' (.)

0 [ em ]

Durchbiegung in Feldmitte

Bild 81 : Kraft- Verformungsdiagramm im Bruchversuch (induktive Wegnehmer)

i37

I -----

t - r---.. ---.. -..., ·- ::::e:

-- 1 J_ V".

~ F

I KN} 50 100 I 50 200

Gesamtbelastung der Platte

Bild 82 : Verteilung der Las ten vor und nach /okalen Bruchen

Bild 83 Bruch der ersten Probe bei 168 KN Belastung

138

I KN }

2B0

1se

lf\0

SB

[ KN ]

e IB 2B 38 4B

Diihclnormalkrafr -- -

Bild 84 : Beanspruchung zweier symetrisch zur Feldmitte /iegender Oiibelpaare im Bruchversuch

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Tra~crlangsricht ltn f!,

Bild 85 : Beanspruchung einer Oiibelreihe auf verschiedenen Lastniveaus im Bruchversuch

139

Bild 86 : Bruch der zweiten Probe bei 162 KN Belastung

[ KN}

3B

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Gesamtbe fa stung der Platte

Bild 87 Beanspruchung einer Dubelreihe am Auflager in Ouerrichtung

140

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Gesamtbelastung der Platte

Bild 88 Obere Randspannung des Betons in Feldmitte Dber den Achsen

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Gesamtbelastung der Plaue

Bild 89 : Obere Randspannung der Holzquerschnitte in Feldmitte

141

[ KN I em 2 1

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B [ KN 1 e se IBB !SB 2BB

Gesamtbelastung der Platte

Bild 90 Untere Randspannung der Holzquerschnitte in Feldmitte

recht hohen Belastungen sind vielmehr rechnerische Werte und nur aus den gemessenen Materialdehnungen

abgeleitet. Sie ki:innen jedoch nicht - auch nicht annahernd- zur Berechnung des FugenschubfluBes oder zur

quantitativen Bestatigung anderer Werte verwendet werden. Eine qualitative Aussage kann zum Beispiel aus Bild 87

abgeleitet werden. Hier ist die Beanspruchung einer Diibelreihe in Querrichtung uber die steigende Gesamtlast der

Platte aufgetragen. Diese Graphik ist von ihrer Aussage her vergleichbar mit der aus Bild 82 gewonnen uber die

Querverteilung der Lasten am Auflager. lnteressant ist, daB in dem MaB, in dem sich die Auflagerdriicke aneinander

anpassen, die entsprechenden Diibelbelastungen immer mehr auseinander driften, ein Effekt, der durch lokale

Briiche noch verstarkt wird . Das liegt daran, daB das gerissene oder gebrochen Holz nicht mehr in dem

urspriinglichen MaBe den geometrischen Zwangungen der Betonplatte unterworfen ist, sodaB etwaige relative

Formanderungen weniger Krafte iibertragen.

In den Bildern 88 bis 90 sind die meBbaren Spannungszustande im Verbundquerschnitt in Abhangigkeit von der

Belastungsstufe eingezeichnet. Die strichlierten Linien kennzeichnen die rechnerisch ermittelten Spannungen unter

Berucksichtigung der geriBenen Betonzugzone. Die Obereinstimmung fur die Holzquerschnitte mit den experimental!

erhaltenen Werten ist erstaunlich. zumindest im unteren Bereich der Kurve. Man erkennt deutlich die Umlagerungen

innerhalb des Querschnittes, wenn man aile drei Diagramme an den Stellen groBer Veranderungen miteinander

vergleicht. Die rechnerischen Betondruckspannungen ki:innen im Versuch nicht nachgewiesen warden . Vielmehr

liegen die experimentellen Werte deutlich daruber. Eine mi:igliche Ursache dafiir ist, daB der rechnerisch reduzierte

Betonquerschnitt doch mehr tragt als das aus Sicherheitsuberlegungen zugelassen werden kann.

Die Bruchlasten von i.iber 160 KN entsprechen in etwa einer Gleichstreckenlast von ca. 13 KN I m 2. Diese Traglast

bietet eine gute Absicherung gegeniiber den Gebrauchslasten, die normalerweise im Nutzungsbereich von Holz­

Beton-Konstruktionen auftreten .

142

143

VI. ZUSAMMENFASSUNG

Das Tragverhalten von Holz-Beton-Verbundkonstruktionen kann mit Hille der allgemeinen Theorie des elastischen

Verbundes beschrieben warden. Zu diesem Zweck wird das Ditferentialgleichungssystem fi.ir den zweiteiligen

Querschnitt mit elastischem Verbund hergeleitet und allgemein gelost. Fur die wichtigsten Belastungsfalle werden in

einer einheitlichen Schreibweise die Schnitt- und VerformungsgroBen angegeben und auf den Seiten S. 49 bis S. 63

graphisch aufbereitet. Besonderheiten im Zusammenhang mit der Holz-Beton-Verbundbauweise , wie z . B. das

Problem der mitwirkenden Plattenbreite, die "klaffende Fuge" u.a. und deren Berucksichtigung in der Theorie des

elastischen Verbundes, warden unte rsucht und so we it als moglich adaptiert. Auf dieser G rundlage wird ein

Bemessungsverfahren vorgestellt , das allgemein anwendbar ist und mit dessen Hille die baustat isch erforderlichen

Nachweise schnell und einfach erbracht warden konnen. Das Verfahren orientiert sich an den Verhaltniswerten der

Querschnitts- und Systemkennwerte untere inander, sodaB die Bedeutung einer richt igen Proportionierung des

Verbundquerschn ittes in den Vordergrund riickt. In einer Parameterstudie werden Kriterien erarbeitet. die fi.ir eine in

statischer Hinsicht optimierte Vorbemessung von Holz-Beton-Verbundkonstruktionen verwendet werden konnen.

Damit entfallen muhsame, iterative Annaherungen an eine befriedigende Losung oder werden zumindest auf ein

Minimum begrenzt. Dam it ist die rechnerische Seite des Entwurfes ausreichend abgedeckt.

Beim Entwurf von Holz-Beton-Verbundkonstruktionen muB der Wahl der Verbindungsmittel eine besondere

Bedeutung zugemessen warden . Wie die durchge!Uhrten Versuche zeigen sind die Anfangsverformungen bei

Verwendung der im Holzbau iiblichen Verbindungsmittel recht groB, so daB uber geeignete MaBnahmen zu deren

Reduzierung nachgedacht werde muB. Dagegen ist das elastische Verhalten der Gesamtkonstruktion als sehr gut zu

bezeichnen mit einer hohen Effektivitat der Verdiibelung . Kiinftige Untersuchungen und Entwicklungen sollten sich

also des Problemas der hohen Anfangs- und Langzeitverformungen annehmen und die statischen und konstruktiven

Einsatzmoglichkeiten der Holz-Beton-Verbundbauweise nicht nur tor Decken, sondern auch fUr vorgefertigte

Elements im Tafelbau priifen.

LITERATU RVERZEICHNIS

[ 1] LJUNGBERG, K.:

[2] ENGESSER, F.:

[3] LJUNGBERG, K.:

[4] STUSSI , F.:

[5] STUSSI, F.:

[6] STOSSI, F.:

[7] HOISCHEN, A :

[8) LOMBARDI, G.:

[9] HOMBERG, H.:

[10] HEILIG, R.:

[11] HEILIG, R.:

[12) HOISCHEN , A .:

[13) SATTLER, K.

[14] SATTLER, K.:

Beitrag zur Berechnung von Rahmenbalken DerEisenbau 7(1916)4 S.77

Uber verdubelte Balken Der Bauingenieur 3 ( 1922) 8 S. 226

Einiges uber gegliederte Ba lken und Druckstabe Der Bauingenieur 23 (1942) 27/28 5. 195

Beitrage zur Berechnung und Ausb i ldung zusammenge­setzter Vollwandtrager Schwei zerische Bauzeitung 61 ( 1943) 8/9 5. 102

Ober den verdubelten Balken Schweizerische Bauzeitung 65 (1947) 24 S. 316

Zusammengesetzte Vollwandtrager Abhandlungen der lnternationalen Vereinigung fur Bruckenbau 8 (1947) S. 249

Beitrag zur Berechnung zusammengesetzter Vollwandtrager mit elastischen Verbindungsmi tte ln Dissertation, Karlsruhe 1952

Der zusammengesetzte Druckstab aus Holz Schweizerische Bauzeitung 69 ( 1951) 22 S. 301

Bruc ke mit elastischem Verbund zwischen den Stahl ­haupttragern und der Betonfahrbahntafel DerBauingenieur 27(1952)6 5. 213

Zur Theorie des starren Verbundes DerStahlbau 22(1953)5 5. 84

Theorie des elast ischen Verbundes DerStahlbau 22(1953) 6 S. 104

Verbundtrager mit elastischer und unterbrochener Ver­dubelung Der Bauingenieur 29 (1954) 7 S. 241

Ein allgemeines Berechnungsverfahren fur Tragwerke mit elastischem Verbund Stahlbau-Verlags-GmbH, K6ln, 1955

Zusammenfassende Betra chtungen uber Berechnung und AusfUhrung von Verbund konstruktionen Schweizerischer Stahlbauverband Heft 20 ( 1959)

[15] WRYCZA, W .:

[16] MOHLER, K.:

[17] GEHRI. E.:

Verbundbauweise mit und ohne Vorspannung unter Berucksichtigung des Schwind- und Kriecheinflusses auf die statisch unbestimmten Systeme DieBautechnik 31{1954)8 5241

Uber das Tragverhalten von Biegetragern und Druckstaben mit zusammengesetzten Querschnitten und nachgiebigen Verbindungsmitteln Habilitation, Karlsruhe 1956

Zusammengesetzte Trager EinfUhrung in die Norm SIA 164 Holzbau, Lehrstuhl fur Baustatik und Stahlbau der ETH Zurich Publikation Nr . 81-1 S. 285

[18] KESSEUHOEFT/NATTERER: Zur Bemessung von Holzdruckstaben Bauen mit Hoi z 86 ( 1984) 8 S. 532

[19] PISCHL, R.: Ein Beitrag zur Berechnung zusammengesetzter holzerner Biegetrager Der Bauingenieur 43 (1968) 12 S. 448

[20] PISCHL, R.: Die praktische Berechnung zusammengesetzter holzerner Biegetrager mit Hilfstafeln zur Berechnung von Ab­mi nderungsfak toren Der Bauingenieur 44 (1969) 5 S. 181

[21] SCHELLING, W. : Die Berechnung nachgiebig verbundener, zusammenge­setzter Biegetrager im lngenieurholzbau Dissertation, Karlsruhe 1968

[22] PAPSCH, E.: Eine lineare Stabtheorie fUr mehrteilige gerade Stabe mit elastischem Verbund

[23] BERG FELDER, J.:

[24] STAMM, K./WITTE, H. :

[25) JUNGBLUTH, 0. :

[26) KOZELOUH,B. :

[27] HENRICI, D. :

[28) JOKLIK, 0 .:

Dissertation, Hannover 1976

Naherungsverfahren zur Berechnung allgemeiner zusammen­gesetzter holzerner Biegetrager mit elastischem Verbund Der Bauingenieur 49 (1974) 9 S. 350

Sandwichkonstruktionen Springer-Verlag Wien/New York 1974

Verbund- und Sandwichtragwerke Springer-Verlag Berlin/Heidelberg/New York/Tokio 1986

Belastungsversuche an verschiedenen Verbindungselementen von Deckenscheiben Holz als Roh- und Werkstoff 43 (1985) S. 273

Verankerung schubbeanspruchter Wandscheiben aus Holz und Holzwerkstoffen nach Versuchen Die Bautechnik 58 (1981) 5 S. 163

Fertighauselemente aus Holzrahmen und Porenle ichtbeton mit Zusatz von Holzspanen Holztechnologie 26 (1985) 2 S. 63

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

(34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

TURRINI, G./PIAZZA, M .:

TURRINI, G./PIAZZA, M .:

TURRINI , G./PIAZZA, M .:

GODYCKI/PAWLIKA/ KLESZCZEWSKI :

THOMPSONNANDERBILT/ GOODMAN :

TSUJINO, T./KOIZUMA, A .:

SCHULER, G.:

RUSCH, H./JUNGWIRTH, D./ HILSDORF, H.:

FAVRE, R./KOPRNA, M./ RODOJICIC, A .:

GRESSEL, P. :

GRESSEL, P.:

Una technica di recupero statico dei solai in legno Recuperare 2 ( 1983) 5 S. 224

II comportamento statico della struttura mista legno­calcestruz.zo Recuperare 2 ( 1983) 6 S. 214

II recupero dei solai in legno Recuperare 2 ( 1983) 7 S. 396

Verbunddecke aus Holz.rippen und Beton Der Bauingenieur 59 (1984) 12 S. 477

FEAFLO: A programm for the analysis of layered wood systems Computers & Structures 7 ( 1977) S. 237

Nonlinear bending analysis of two-layered wood beams connected with nails Jap.Zeit . 29 (1983) 9 S. 553

Durchlauftrager mit elastischem Verbund bei abschnittsweise veranderlichen Steifigkeiten Dissertation, Karlsruhe 1986

Kritische Sichtung der Verfahren zur Berucksichtigung der Einflusse von Kriechen und Schwinden des Betons auf das Verhalten der Tragwerke Beton- und Stahlbetonbau 68 ( 1973) 3 S. 49

Effets differes Fissuration et deformations des structures en beton Editions Georgi, Saint-Saphorin 1980

Kriechverhalten von Holz und Holzwerkstoffen BauenmitHolz 86(1984)4 5. 216

Kriechverhalten von Holz und Holzwerkstoffen­Auswirkungen auf den Formanderungsnachweis lngenieurholz.bau in Forschung und Praxis Bruderverlag, Karlsruhe 1982 S. 55

[40] BEISEL, T./SEDLACEK, G.: Eigenspannungsschnittgrbssen zur Berechnung von Verbund­tragwerken im Gebrauchszustand Der Baui ngenieur 60 ( 1985) 9 S. 377

[41] KUFNER, M .: Anderung der Festigkeit und des Elastiz.itatsmoduls von Kie­fernholz. infolge Dauerbeanspruchung Holz. als Roh- und Werkstoff 27 (1969) 7 S. 261

[42] BETHE, E. : Festigkeitseigenschaften von Bauholz bei Lagerung im Wechselklima unter gleichzeitiger mechanischer Beanspru­chung Holz als Roh- und Werkstoff 27 ( 1969) 7 S 291

[43] GEHRI, E.:

(44] MOHLER, K.:

(45] KARMAN, T. v. :

[46] CHWALLA, E.:

[47] BESCHKINE, L:

[48] MAGUERRE, K.:

[49] LANGENDONCK, T. v.:

[50] MISTLER, H.-L:

[51) MOEHLER, KJEHLBECK, J.: ABDEL-SAYED, G.

[52) VINSON, J. R.:

[53) SMITH, 1./CHUI, Y.H.::

[54] BACHMANN, H.: AMMANN,W ..

[55)

[56)

[57)

[58]

[59]

Grundlagen der Berechnung und Bemessung EinfUhrung in die Norm SIA 164 Holzbau, Lehrstuhl fUr Baustatik und Stahlbau der ETH Zurich Publikation Nr. 81-1 5. 64

Verschiebungsgrossen mechanischer Holzverbindungen der DIN 1052, Teil 2 (Entwurf 1984) Bauen mit Holz 88 (1986) 4 S. 206

Beitrage zur Technischen Mechanik A. Foppi-Festschrift 1924 S. 114

Die Formel zur Berechnung der 'vall mittragenden Breite' dunner Gurt- und Rippenplatten Die Bautechnik 9 (1936) 10

Determination de Ia largeur utile des tables de compression des poutres Memoires de !'Association International des Pants et Charpents 1937/38 S. 65

uber die Beanspruc!)ung von Plattentragern DerStahlbau 21 (1952) 8 S. 129

Die Berechnung der Plattenbalken und Verbundtrager Die Bautechnik 35 (1958) 12 5. 467

Zur Berechnung der mittragenden Plattenbreite doppelschaliger Tafelelemente Holz als Roh- und Werkstoff 35 ( 1977) S. 95

Zur Berechnung doppelseitiger, geleimter Tafelelemente Holz als Roh- und Werkstoff 21 (1963) 8 S. 328

Sructural Mechanics : The Behavior of Plates and Shells J. Wiley & Sons Inc., New York 1974

Predicting the natural frequencies of light-weight wooden floors CIB-W18 IUFRO SS .02 Proceeding Florence/Italy 1986

Schwingungsprobleme bei Bauwerken IABSE Structural Engeneering Documents 3d Zurich 1987

SIA 164 : Normen fur die Berechnung und AusfUhrung der Holzbauten 1981

DIN 1052 Teil 1 und 2 : Holzbauwerke, Berechnung und Aus­fuhrung, Dubelverbindungen besonderer Bauart 1986

Norm francais: Charpentes en bois lamelle-colle Collection UTI Eyrolles 1984

National Standard of Canada : Code for Engeneering Design inWood . Canadien Standard Association Ontario 1980

Timber Construction Standards AITC 100-65 American lnstitut of Timber Construction Washington 1965

ANLAGE 1

Anlage 1-1

ANLAGE 1 DIAGRAMME ZUR BERECHNUNG DER MAXIMALEN SPANNUNGEN UNO DURCHBIEGUNGEN

4.8

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3.8

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1.8

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a '· 0.70

B 5 10 IS 20

Schubeinjlusszahl A.

Diagramm 1 : Hilfswert TJ fur Gleichstreckenlast

4.8

3.5

3.8

~ 2.5

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1.5 ~

1. 8

B.5

B.8

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a' · 0.70

B 5 10 15 20

Schubeinflusszahl it

Diagramm 2 : Hilfswert 1) tar lineare Last

Anlage 1-2

4.B

3.5

3.B

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1.5 ~

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8.5

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a ' · 0.70

e 5 10 IS 28

Schubeinflusszahl ll

Diagramm 3 : Hilfswert 77 fUr Sinuslast

4.8

3.5 ·- ·-

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a ' · 0.75

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a 5 10 IS 2B

Schubeinflusszahl ll

Diagramm 4 a : Hilfswert 77 fUr Punktlast in Position p = 0.5

Anlage 1-3

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4.B

3.5 I I I ...

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a 1 • 0.80

a 1 • 0.75

a 1 • 0.70

B 5 IB 15 20

Schubeinjlusszah/ A

Diagramm 4 b : Hilfswert 11 fur Punktlast in Position p = 0.4

I}

4.8

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El 5 10 IS 20

Schubeinjlusszah/ A

Diagramm 4 c : Hilfswert 17 fur Punktlast in Position p = 0.3

Anlage 1-4

4. 8

3.5 ..

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Schubeinflusszahl A

Diagramm 4 d : Hilfswert 1J fUr Punktlast in Position p = 0.2

4.8

3.5 ...

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a 5 10

Schubeinflusszahl A

Diagramm 4 e : Hilfswert 1) tar Punktlast in Position p = 0. 1

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15

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15

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28

a' · 0.80

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a 1 • 0.80

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Anlage 1-5

~.B

3.5 . . , ... ! l

3.B

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0.5

B.B

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a 5 10 15 2B

Schubeinflusszahl it

Diagramm 5 a : Hilfswert TJ tar symetrische Punktlast in Position p = 0.4

4.8

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I.B

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a'· 0.80

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a 5 10 IS 2B

Schubeinflusszahl it

Diagramm 5 b : Hiltswert TJ fur symetrische Punktlast in Position p = 0.3

Anlage 1-6

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a 1 • 0 .80

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Schubeinflusszahl A

Diagramm 5 c : Hilfswert 11 tar symetrische Punktlast in Position p = 0.2

'1.B

3.5 . .... 3.B

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5 10 IS 2B

Schubeinflusszahl A

Diagramm 5 d : Hilfswert 17 fur symetrische Punktlast in Position p = 0. 1

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4.8

3.5

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I.B

B.S

B.B

Diagramm 6

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4. 8

3.5

3.8

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B.5

B.8

Anlage 1-7

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Schubeinflusszahl A.

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Durchbiegung

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5 10 15 28

Schubeinflusszahl A.

Diagramm 7 : Hilfswert ij fUr Zwangslbeastung zur Berechnung der max. Ourchbiegung (aile a 2)

ANLAGE 2

Anlage 2-1

ANLAGE 2 DIAGRAMME ZUR BERECHNUNG DER MAXIMALEN QUERKRAFT UNO DES

FUGENSCHUBFLUSSES

3.e

2.5

~ 2.e

i:: 1.5 ~

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B.S

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~ ~ !=::::: ~ f:::::: r::.:::: f::::: 1--t-<

~ f§ r- ~ B B ~ ~ f-::: r--: 1----~ ld §i ~ f-

' • ~ ~ ~ ;:;.-v

/ /

~ ~ v

~

~ IV"

v

a'· 0 .80

a'· 0.75

a ' · 0.70

5 10 15 20

Schubeinflusszahl A

Diagramm 1 : Hilfswert 'I' ftJr G/eichstreckenlast

3.0

1 2.5

a' · 0 .80

2.0 1--+---<

B a ' · 0.75

1.5 a ' · 0.70

1.0

0.5

e.e 5 10 IS 20

Schubeinflusszahl A

Diagramm 2 : Hilfswert 'I' tar lineare Last

Anlage 2-2

4.B

3.5

3.B

~ 2.5

1:: 2.B ~ ~

1.5 :t: I.B

e.s

B.B

v 1---v l---1--

v ~ ~ ~ ~ v v ~

~ ~ r-:: :::---t:::::: -:::::: -~ ~ ~ ~ ~ -~ ~

~ ~ ~ /; v .. . . .

• I--

~ e ~

b t--< a p = 0.5 a

j./ v I I I

a '· 0.80

a 1 • 0.75

a ' · 0.70

s IB IS 2B

Schubeinflusszahl it

Diagramm 3 a : Hilfswert 'II fOr Punktlast in Position p = 0.5

4.B a 1' 0.80

3.5 l--l--I--

--- - f-

3.B

~ 2.5 ..... 1... 2.B IU ~ ~

1.5 .... ::z::

I.B

B.S

B.B

~ ~ ~

1--L--/ L--1--

~ ~ ~ ~ !:=

t:::: t::....-: [:...--

~ ~ ~ t::=:::::: !:==::: 1-

~ j:::: I--

~ ~ ....

~ ~ ~

, ,

• ,.....__

~ v e. @.

+--- < / a p = 0.4 a

_l,/ ~

a ' · 0.75

a ' · 0.70

B s IB IS 26

Schubeinflusszahl A.

Diagramm 3 b : Hilfswert 'II fOr Punktlast in Position p = 0.4

Anlage 2-3

4.8

l 3.5

3.8

~ 2.5 .... lo... 2. 8 ~

S: :!;

1.5 5:: 1.8

8.5

8.8

v ~ ~ --- -~ ~ [::::

~ ~ f--. .. ~ ~ 1-- f.-l / ...---- ~ I-- a @

~ ~ ~ ~ 1--

1--' 0.3 ~ 1--a p a v / -1--

A ~ §§ ~ :::::: ~ t::::: ~ :%;:: :;:::: :::::::: ,_

~ ~ ~ ~

:;...--

~

/

~ ~

v ~

a'· 0.80

a'· 0.75

a'· 0.70

B 5 IS 28

Schubeinflusszahl A

Diagramm 3 c : Hilfswert "' fur Punktlast in Position p = 0.3

4.8

I-...J-....L__L__j____l_L_I...l._-+--+-+---1-+-+-+--+--+-1r~-t~:::::oi'~--::.. a • • 0.80

/--:::=.v:::::-3.5

l 3.8 1--

~ 2.5 p = 0.2 a'· 0.75

2.8

1.5

I.B

0.s L ...... .J •• ~~~

8.8 B 5 113 IS 28

Schubeinflusszahl A

Diagramm 3 d : Hilfswert 'I' fUr Punktlast in Position p = 0.2

Anlage 2-4

4.8

3.5 . .. 3.B 1--

l

e. ~

~ 2.5 1------ ' p = 0. 1 B B

-l... 2.B ~ s ~

1.5 ·-::X::

I.B

e.5

.....,;::::::;

~ l...-"

~ ~ f:=-~

p-~

e.a !--==' ~

p -~ a 5 1B 15

Schubeinflusszahl A.

Diagramm 3 e : Hilfswert 'I' fur Punktlast in Position p = 0. 1

"'P

4.8

3.5

3.B @

1------ '

~ 2.5 El aile p B

-l... 2.B ~ s ~

1.5 ·-::X::

I.B

15

~ ~ ~ ~ ~ ~ p-

,.....-::::: a 7 " 0.80

~ ~ p--

2B

2B

a 1 • 0.75

a 7 • 0.70

Anlage 2-5

'1.8 a,. 0.80

3.5

3.8

~ 2.5

-,_ 2.8 ~

~ ~ 1.5 ~

1.8

8.5

8.8

1-- ....--/ v -~

~ r:: v 1--1--

/ v 1--

~ ~ ~ ~ t::-r--r;;: ~ i-::% c.-

A ~ ~ ~ t:::-: t::::" ~ ~ [:::::::. I-"

I ~ ~ I/'

h ~ ... , . . t t

"----~

e A

h +---' p = 0.4 B B

v ~

a'· 0.75

a ' · 0.70

8 5 10 IS 28

Schubeinflusszahl A.

Diagramm 4 a : Hilfswert 'I' fur symetrische Punktlast in Position p = 0.4

4 .B a,. 0.80

3.5

J.e

~ 2.5 .... ,_

2.B ~

~ ~ 1.5 ·-::t::

I.B

B.S

a.e

,.,---....--- -1--

c:::: t:: - 1--~ v

/ [......- -1--1--

~ ~ ~ t::::-~ ~

t:::: 1--

t::;:: ~ 1--/ !:% ~

~ ~ ~ E:::=:: ~ 1--1-

~ 1--

~ ~ ~ ~ 1--

~ ~ ~ ~

. f ... f

1--

/~ v e @

+--- ' B p = 0.3 a

v ~

a'· 0.75

a ' · 0.70

B 5 10 IS 2B

Schu/;Jeinjlusszahl A.

Diagramm 4 b : Hilfswert V' fur symetrische Punktlast in Position p = 0.3

Anlage 2-4

4.B

3. s. . .. 3.B r-- !

~ e.

~ 2.5 t--< p = 0.1 E1 a

-.... 2.B ~ s ~

1.5 ·-::X::

t.B

B.S

~

~ ............

::::::: ;::::: :::::::.---..-,::::: ~ ::;..-

B.B ~ ~

~ ---B 5 113 IS

Schubeinjlusszahl A.

Diagramm 3 e : Hilfswert 'I' fur Punktlast in Position p = 0. 1

4.13

3.5 . .. 3.B r-- e.

! @

t-- <

~ 2.5 a aile p a

-.... 2.13 ~ s ~

I . 5 ·-::X::

l.B

B.S

B.B -f.-' !----

B 5 10 15

Schubeinjlusszahl A.

Diagramm 3 f : Hilfswert 'I' fur Punktlast ( Nachweisstelle ; = p )

~ ~ ~ ~ ~ §§§ ~ ~

.......-::: a >· 0.80

~ ~

2B

2B

0: l • 0.75

a'· 0.70

Anlage 2-5

4.B a ' · 0.80

3.5

3.B

~ 2.5

-l... 2.B ~

~ ~ I. 5 ~

l.B

13 .5

B.B

f.---/ v --

~ ~ v f--

/ v ~

~ ~ % :::::: ~ !--"

~ ~ :....-~

~ ~ ~ ~ :::...: ~ ~ ~ :::::::

I ~ ~ '/""

h ~ . i ... , i

1--r e @

h +--<

p = 0.4 El El

v ~

a'· 0.75

a ' · 0.70

B s 10 IS 28

Schubeinjlusszahl A.

Diagramm 4 a : Hilfswen 'I' fOr symetrische Punktlast in Position p = 0.4

4.B a'· 0.80

3.5

3.B

~ 2.5

-;;: 2.B ~

~ 1.5 ~

I.B

8.5

B.B

--:...--!--.,...... ---r-

~ ~ - !--,...-

~ --/ ......- --f.--

~ ~ ~ ::::: ::::::: ----~ ~ -!------

~ ~ ~ ~ t::=:: ::::::: r-

/2 ~ ~ ~ ~ -~ ~

~ ::;;.-

... J J

1--

/~ ;/ e ~

+--< 6 p = 0.3 B

v ~

a'· 0.75

a'· 0.70

B 5 10 IS 213

Schu!)einjlusszahl A.

Diagramm 4 b : Hilfswen 'I' tar symetrische Punktlast in Position p = 0.3

Anlage 2-6

'I .B

3.5

3.B

:to 2.5

-lo.. 2.B ~

~ ::S.

1.5 ·-::z::

I.B

B.S

B.B

-1--

t:::= ~ ~ f.-. .

~ ~ f.-. i . .. , i ~ v ~ I--

I-- iif @

~ v ~ t:::= j::-1--- 1--1----- ' ~ 1---El p = 0.2 D ./. ~ r--::::: f.- 1-::: 1-- -1--- t-

~ ~ ~ ~ ~ ~ t::::= j--- -r- -~ ~ ~ r:::: ~ r-~ ~ ~

~ ~ ~ f§ ~ ~ .......-A

~ ~

_&.

~ ~

y

a 1 • 0.80

a 1 • 0.75

a 1 • 0.70

a 5 te IS 2B

Schubeinflusszahl A.

Diagramm 4 c : Hilfswert IJI fUr symetrische Punktlast in Position p = 0.2

'I.B

1 3.5

3.B . . ... . i i ,....._ e @

+-- <

~ 2.5 El p = 0.1 El

-lo.. 2.B ~

~ ::S.

1.5 ·-::z::

I.B

e.5

B.B

.......-::: ~

~ ~ ~ ~ ~

-~ ~ ~

~ ~ P-=-

~ ~ ~ r::-

6:::::::

~ ~ ~

-- j.....-o=

a ' · 0.80

a 1 • 0.70

a 5 1a IS 28

Schubeinjlusszahl A.

Diagramm 4 d : Hilfswert IJI fUr symetrische Punktlast in Position p = o. 1

Anlage 2-7

4 . B

3.5 . 3.B

. ... i i

I-- ,;;;:-- ~ +--- <

~ 2.5 El all~ p a

!:: 2.B <:U s ~ 1.5 ~

I.B

B.S

B.B ).....-~ """'

~ ~

B 5 lfl IS 2B

Schubeinflusszahl A.

Diagramm 4 e : Hilfswert 'I' fiir symetrische Punktlast ( Nachweisstelle ~ = p )

ANLAGE3

Is::"

-..... Ill ~ ~ ·-::t

Anlage 3-1

ANLAGE 3 OIAGRAMME ZUR BERECHNUNG DES ZWEIFELDRIGEN DURCHLAUFTRAEGERS

1J

7.13

6. 13

5.13

4.13

3.13

2.13

1.13

13 .13

q,

l I I I I I I I I I I I I I I I I I I I 1 ~. l 1 ~ 12 ~

+--1--· ~

I ( = o I

I 1 : I 2 = 0.5 : 0.5

.. Jill ! IIIIIIIII I l ll l ll

Q. @ @ !--( ~

B B

-~ ~ ...... ~ ~

-~ ~ F-

@

~ ;::::::;-

5 Ill 15

Schubeinflusszahl A

Diagramm 1 : Hilfswert 17 zur Berechnung der maxima/en Durchbiegung

~ ~ a ' · 0.80

~ ~ ~ ~ a 1 • 0.75

~ ~ ~ ~ §f@ ~ ~

a 1 • 0.70

213

Artlage 3-3

F

8.8288

8. 8195 ....

~

* 8.8198 ~

t: 8.8185 IU E c a'- 0.80

.§ - a'· 0.70 IU 8.8188 ~

8 5 18

Schubeinflusszahl A

Diagramm 4 : Feldrnoment

4.8

.. lll llllllllll !Ill!! !l

1-- e. iii , Q 3.8 +---<

El a ...._ ~

~ ~

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

~-~ E:::::::::: F-

~ k:::::: ;:::::::.--

a ' · 0.80 ... 2.8 ~

IU ~ ~ ·-::r::

1.8

a ' · 0.75

a' · 0.70

~ ~ ~

~

8 Ill 15 28

Schubeinflusszahl A

Diagramm 5 : Hilfswert 77 zur Spannungsberechnung im Fe/d

Anlage 3-5

q,

lllllllllllllllllllll ~ 11 ~ 12 ~

I • ~

l<=ol [8

! 1 : I 2 = 0.4 : 0.6

1J

7 .ll

6.1l ~

5 .ll

II::" 4 .ll -lo....

llllllllll l !lllllll !l e A ~ --~ .,____ t

~ t::::: ~ 8 a V- ::---

.A~ ~ ~ ~ I-"

~ t::-::::: ~ ~ ~ ~ :::::::::::

f-':: ;::::::

a 1 " 0.80

a 1" 0.75

a 1 • 0.70

~

~ 3 .ll ~ ·-:X::

2 .ll

~ ~ ~ ~ ~

p-/

~ ~ v /

k:::: ~ l.ll

~ ~ -Ill IS 21l

Schubeinflusszahl A

Diagramm 1 : Hilfswert 71 zur Berechnung der maxima/en Durchbiegung

Anlage 3-6

F

-.8358

-.8345

-. 8348

.. -.8335

-~ -.8338

* - .8325 ~

- . 8328

- -.8315 s:: IU E ~ - .8318 E s:: IU -.8385 !:!

':::1 -(;) -.8388 8 5 18

Diagramm 2 : Stiitzmoment

u

1 3.8

I I I I ..

l ll llllllllllllllllll ~ e ~ ~

!-- (

8 a .. f::"

-..... 2.8 IU ~ ~ ·-::X::

1.8

- r--8.8

8 5 . 18

Schubeinflusszahl A

Diagramm 3 : Hi/fswert 71 zur Spannungsberechnung Ober der Stutze

IS

r--f----:: -::

IS

a 1 • 0.70

a 1 • 0.75

a 1 ' 0.80

A 28

- f.--21:l

a 1 • 0.80

a 1 • 0.70

F

B.II32B

B.B31S

B. B3BS

8.133138

8.B29S

B.B29B B 5 Ill

Schubeinflusszahl A

Diagramm 4 : Feldmoment

1Jj

•. Jll l ll llllllllllllll l

3.8 ,....._ e ji; 8 1-<

El a ..... ;::-

.... 1... 2.8 <u ~ ~ ~

1.8

.r

~ ~ ~~

~ = ~ ~ ~ ~

~ ::;.....--I-"""

~ h

B.B

~ .....

~ -~ B 18

Schubeinflusszahl A

Diagramm 5 : Hilfswert TJ zur Spannungsberechnung im Feld

IS

~ ~ 8 :::::::

~ ~ ~ ~ ~ f-::: ::::;::::::: I"""

IS

Anlage 3-7

...-~ ::::::: -:::::.-:

a ' · 0.70

a'· 0.75

a ' · 0.80

28

~ r::::::: a'· 0.80 ·

:::::::: ::::::: :::::::: :::::::.: a ' · 0.75

- a ' · 0.70

28

Anlage 3-8

F

- .&5 tro

* ~

Ill

"' .&4 a ' · 0.70 -:;::: -~ a'· 0.75 Ill -- a'· 0.80

~ '"-~ ~ .63 <:) ·--...:..: ~ !:: Ill C() 1:3

~ .62 A ~

8 5 18 IS 28

Schubeinjlusszahl A

Diagramm 6 : Auflagerreaktion in der MittelstOtze

Anlage 3-9

q,

1 I I I I I I I I I I I I I I I I I I I 1 ~. 11 ~ /2 ~

~

1J

7 .ll

1

6 .ll

5 .ll

•. -l llllllllllllllllllll e. @ a ..-:: ::::::::: ~ l--(

~ 8::: :::::::: :::::::: :::-:: a B / :.--

a 1 - 0.80

a 1- 0.75

I~ 4 .ll -I..

......-; ~ ~ ~ ~ ::::::;: ::::::: ::::::: ....-:: ~ ~ ~ ~ ~

a'- 0.70

~

~ 3.1l ~ ·-:X:: 2 .ll

~ ~ ~ ~ F-

--/

~ ~ ..,......,...

........: ~ ;;...-"

I.e ~

;..-.-ttf/1$ ,_

ll .ll ll 5 Ill IS 21l

Schubeinjlusszahl A

Diagramm I : Hilfswert TJ zur Berechnung der maxima/en Durchbiegung

Anlage 3-10

F

-.8488

1 -.8468

-.8448 -1::7-

* - .8428 ~

- -.8488 1:: ~

E C)

E -.8388 1:: ~ N -'::t -~ -.8368

B

Schubeinflusszahl it

Diagramm 2 : Stiitzmoment

.. Jl ! !JJ!llllllllllllll

t-- ~ A Q 3.8 +--<

8 8 .. s::-.... I.. 2.8 ~

~ $ ·-::r.:

1.8

-----:

ll.B ~ ~ ~

. Ill

Schubeinflusszahl it

Diagramm 3 : Hilfswert 71 zur Spannungsberechnung iiber der Statze

~ -r--~ -~

IS

a'· 0.70

a'· 0.80

-

21l

a'· 0.80

a'· 0.70

A_ ·

Anlage 3-11

F

B.BHB .. -~

* B.B13B I:.,

... s:: 8.8128 (U

t: a ' · 0.80 <::>

~ - a 1 • 0.70 (U B.811B I:.,

B.B1BB B 5 18

Schubeinflusszahl A.

Diagramm 4 : Feldmoment

1.8

I 3.8

..... $::"

... 1... 2.8 (U

~ ~ ·-::t:

l.B

I I I I I I ..

Jl l ll l llllll ! Ill !! I ll 1-- Q @ ~

~ t:::= ~ +--- (

~ El a

V:: c.-~ ~

~ ~ [::::::: ~ ~ ~ ~ ~ ~ 8::: .... E:::: ~ / !'"" 1- -~ ~ §§ ~ ~ --v ~ ~ ~ p ,....

~ v v ~ ~ / _... v

~ ~ v

/

a ' · 0.70

a 1 • 0.75

a ' · 0.80

~ v ...... ~ B.B

B 5 18 15 28

Schubeinflusszahl it

Diagramm 5 : Hilfswert 7J zur Spannungsberechnung im Fe/d

Anlage 3-12

F

- .73 1:3"

* tt..

~ N .71 .._

a 1 • 0.70 =::t -..!:'l

~ - a 1 • 0.80 -·-~ 1..

~ s: .69 ~;:) ·--~ ~ ~

t: ~ C()

~ :::1 .67 A. "'(

B 5 18 15 28

Schubeinjlusszahl A.

Diagramm 6 : Auflagerreaktion in der MittelstCitze

Anlage 3-13

q,

lllllllllllllllllllll ~l]~ 12 ~

I ~ ~

l<=ol ~

11 : l 2 = 0.2 : 0.8

11

Ul

I 6.B

S.B

,....... .. v r:: ~ lllllllllllllllllllll

~ ~ ~ t::-:: ~ ~ A A ./ -t--t

~ ~ ~ E::::: !==-::::: t:::: ~ 8 a ./ ~

a'· 0.80

a ' · 0.75

1;:::-4.B ....

1...

~

~ ~ ~ t:::::: I==::: \:::=-0 ~ -1:- --- -.d. ~ ~ ~ f§§ ? p-

a'· 0.70

~

S: ~ 3.1!

:X: 2.B

/ ~ ~ ~ ;..-

/ ~ / ~ ~ ~ v

~ ;::;..--

/

1.1! ~ ~ -1-

B.B 5 Ill IS 2B

Schubeinflusszahl A.

Diagramm 1 Hilfswert 17 zur Berechnung der maxima/en Durchbiegung

Anlage 3-14

F

1 .... -

- .1!658 ""'\.------.-------.-----..,......------,

- .8638 1--\~\----+------t------t------;

- .8618 1---~\\\~\--+-----+-------+-----~---1

-.8598 l-----1\\rT-----+--------1r------t-?"!'S~~~~:>-t a'· 0.75 \\ ~

a ' · 0 .80

a ' · 0.70

*

0 5 II! 15 28

Schubeinflusszahl A

Diagramm 2 : Stutzmoment

4.1!

l 3.8

I ..

Jl l llllllllllllllllll - e. iii & t--<

El 8 ....

$::""

- 2.8 1... Ill ;t ~ ·-:X::

1.1! -r--

::::::: f.-~ 1--r---1--:::: b:::: -

~ ~ ~ -~ 1! . 1!

B 5 IB IS 21!

Schubeinflusszahl A

Diagramm 3 : Hilfswert 11 zur Spannungsberechnung uber der StDtze

a ' · 0.70

a'· 0.80

Anlage 3-15

F

B.ll581l .-------.------r-------,------,

/- ........... 1! .1!571! 1-----+-,.~..;;~--=-:::---..:~::::::S::~0:-+-t.....-----+--------j

ll.llSiill ~~~""

* ll.llSSil

ll . ll541l a'· 0.80

ll . llSilll B Ill 15 21!

Schubeinjlusszahl A

Diagramm 4 : Feldmoment

3.1! - a'· 0.80 11 I I I I I I I I I I I I I I I I I I I Q iiii ~ +--<

....... a ;:-

-1... 2.1! ~ ~

::13, ·-::t::

l.l:l

ll:l 15 2EI

Sclzubeinflusszahl A

Diagramm 5 : Hilfswert TJ zur Spannungsberechnung im Feld

Anlage 3-16

F

- .92 1::1"

* l:t., .98

~ ~ .99 •::t ... a'· 0.70

~ ~ -... ·- .86 ~

a'· 0.80

t...

~ t: .84 <:;) .... -ol:<

~ t .82 ~ Cl() 1::3

~ .9B ~

ll 5 18 15 28

Schubeinflusszahl A.

Diagramm 6 : Auflageffeaktion in der Mittelstutze

Anlage 3-17

q.

1 I I I I I I 1 I I I I I I I I I 1 I I 1 ~A 12 ~

I • ~

[ 1 ." f2 = 0.} ." 0.9

1]

7.0 ~ a'· 0.80

6.0

5.0

.,. ~ v ~ ..

L ~ f.;:: ~ ~ t::::=: lll!lllllllll l lllllll e ~ Q ........ ~ 1:8 ~ ~ 8 I:===: t::==: t--- (

~ ~ ~ ~ ~ !===:::::: t::::: ~ F=== B a / t::::::;; -

a ' · 0.75

a'· 0.70

1$:'" Ul -.... d ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

~ ~ ~ ~ ~ <:u ~ ~ 3.0 ·-:X::

2.0

/~ = / L~

~ ~ / ~ ~

~ ~

1.0

..,...,.. p

i-

0.0 0 IB IS 20

Schubeinflusszahl it

Diagramm 1 : Hilfswer1 TJ zur Berechnung der maxima/en Durchbiegung

Anlage 3-18

F

- .8.958

-.8.988

- . iJBSil ... -I;)- - .iJBBil

*

""' -.8758

-~ - .87ilil ~

E C)

E -.8658 ~ ~ N -'::t -Cl:l - .86ilil

B 5 til

Schubeinflusszahl A

Diagramm 2 : StOtzmoment

~.B

1 3.8

.. l!! ! !! ! !!!!!! l l ! !! !!l

1-- Q ~ ~ +--- (

E!J a ... $::'"

.... 2.8 I... ~

~ ~ .... ::::::

l.B

-r- t--"

B.B 1!1 s Ill

Schubeinflusszahl A

Diagramm 3 : Hilfswert Tf zur Spannungsberechnung Dber der StDtze

IS

1---f.--1---

~

IS

a ' · 0.70

a ' · 0.75

a'· 0.80

28

1---1--- a ' · 0.80

a ' · 0.70 -

21l

Anlage 3-19

F

a'· 0.80

a ' · 0.75

a'· 0.70

II 5 Ill 15

Schubeinflusszahl A

Diagramm 4 : Fe/dmoment

~ . 8

1 3.8

....

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II 5 IB IS 21:1

Schubeinflusszahl A

Diagramm 5 : Hilfswert 11 zur Spannungsberechnung im Feld

Anlage 3-20

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B 5 lB IS 213

Schubeinflusszahl ).

Diagramm 6 : Auflagerreaktion in der MittelsWtze