Chapter 01

5/8/2018 Chapter 01 - slidepdf.com

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1 Physikalische Grundbegriffe der Elektrotechnik

1.1 Ungeladene und geladene KörperUm elektrische Erscheinungen erklären zu können, ist es notwendig, die wichtigsten Zusam-menhänge über den Aufbau der Materie zu kennen.

Bereits vor etwa 2500 Jahren wurde von den Griechen Leukipp und Demokrit der Begriff desAtoms als kleinsten Baustein der Materie geprägt (atomos – unteilbar). Gleichartige Atomesetzen sich zu den Grundstoffen der Materie – den chemischen Elementen – zusammen. Auf der Erde gibt es 83 verschiedene stabile und 22 instabile Elemente, die im so genannten „Peri-odensystem der Elemente“ zusammengestellt werden:

Stoff chemisches Zeichen OrdnungszahlWasserstoff H 1Helium He 2Lithium Li 3Beryllium Be 4··

··

··

Chlor Cl 17··

··

··

Wismut Bi 83

Polonium Po 84Astatin At 85···

···

···

Uran U 92···

···

···

Nobellium No 102

···

···

···

Verschiedenartige Elemente chemisch in bestimmten Gewichtsverhältnissen verbunden, wer-den „chemische Verbindungen“ genannt. Die kleinsten Bestandteile heißen Moleküle. Gleich-artige Atome können sich auch zu Molekülen zusammenlagern.

Beispiele:

Wasser H2O = 2H + O

1 Wassermolekül gleich 2 Wasserstoffatome und 1 Sauerstoffatom

Kochsalz NaCl = Na + Cl1 Kochsalzmolekül gleich 1 Natriumatom und 1 Chloratom



2 1 Physikalische Grundbegriffe der Elektrotechnik

Verschiedene Atome unterscheiden sich durch ihren Atomaufbau. Atommodelle sind theore-tisch erarbeitet und experimentell nachgewiesen worden, durch die der Atomaufbau veran-schaulicht werden kann.

Nach dieser Theorie besteht jedes Atom aus einem Atomkern, um den Elektronen kreisen,

ähnlich wie Planeten um die Sonne. Das Atom ist also entgegen der griechischen Auffassungteilbar.

Die Art der Atome wird durch die Anzahl der Kernbestandteile – im wesentlichen Protonenund Neutronen – und die Anzahl der umkreisenden Elektronen bestimmt. Nach den Modell-vorstellungen bewegen sich die Elektronen auf Bahnen – den Elektronenschalen.

Die im Periodensystem nacheinander aufgeführten Elemente besitzen entsprechend ihrer Ord-nungszahl entsprechend viele Protonen im Kern und umkreisende Elektronen. Dabei wirdzunächst die 1. Schale mit zwei Elektronen, die 2. und 3. Schale jeweils mit acht Elektronen,usw. aufgefüllt [1].

Beispiele:

Bild 1.1 Elektronenschalen und Atomdurchmesser

Innerhalb einer waagerechten Elementperiode nimmt der Atomradius entsprechend der wach-senden Anziehung des positiven Kerns auf die negative Elektronenhülle mit steigender Kern-

ladung ab. Innerhalb einer senkrechten Elementgruppe nimmt dagegen der Atomradius mitsteigender Kernladung zu, weil von einem zum nächsten Gruppenglied eine neue Elektronen-schale hinzukommt.

Die Größenordnung eines Atoms soll anhand eines Wasserstoffatoms veranschaulicht werden,dessen Durchmesser 2 · 10 –8 cm beträgt. Der Durchmesser des Wasserstoffatomkerns beträgtnur 6 · 10 –12 cm, d. h. fast das gesamte Atom ist masselos. Die Größenverhältnisse des Atom-kerns werden anschaulich, wenn der Kern als ein Ball mit einem Durchmesser von 6 cm ge-dacht wird, dann umkreist das Elektron das Zentrum in einem Abstand von 100 m:

.

cm6

cm10

cm106

cm101 4

12

8



1.1 Ungeladene und geladene Körper 3

Die Bahngeschwindigkeit des den Atomkern umkreisenden Elektrons beträgt etwa 2 200 km/s.Obwohl die Masse des Elektrons mit 0,91 · 10 –30 kg sehr klein ist, entsteht durch die hoheBahngeschwindigkeit eine beträchtliche Fliehkraft – zu berechnen nach F = m · v2/r – die dasElektron aus der Umlaufbahn bringen möchte. Es existiert zwischen Elektronen und Atomkerneine Anziehungskraft, die die Fliehkraft aufhebt. Man könnte annehmen, dass die Massenan-ziehungskraft (Gravitationskraft) genauso wie beim Sonnensystem die Fliehkraft aufhebt. EineAbschätzung ergibt jedoch, dass die Fliehkraft eines Elektrons etwa 1035 mal so groß ist wiedie Massenanziehungskraft zwischen Elektronen und Atomkern [2].

Die Anziehungskraft, die das Kreisen der Elektronen um den Atomkern ermöglicht, ist ebensonicht erklärbar wie die Massenanziehungskraft. Sie wird „elektrische Kraft“ genannt; den Namen hat sie von dem griechischen Bernstein – electron – erhalten, denn es tritt diese Kraftnach außen in Erscheinung, wenn Bernstein Papierschnitzel anzieht, nachdem der Bernsteinmit einem Wolllappen gerieben wurde.

Um sich die elektrische Kraft zu veranschaulichen, wurde der Begriff der elektrischen Ladung

eingeführt, der für Materie kennzeichnend ist. Das Elektron wird als kleinste negative Ladungund das Proton im Atomkern als kleinste positive Ladung angenommen; die Elementarladungdes Elektrons bzw. des Protons beträgt 1,602 · 10 –19 C (Coulomb). Ist in einem Körper dieAnzahl der Protonen (positive Ladungen) gleich der Anzahl der Elektronen (negative Ladun-gen), dann ist der Körper nach außen hin elektrisch neutral, d. h. ungeladen. Ein Körper, beidem die Anzahl der Protonen überwiegt, weil Elektronen durch äußere Energien entzogenworden sind, heißt „positiv geladen“. Ein Körper ist „negativ geladen“, wenn die Elektronen-anzahl gegenüber der Protonenanzahl größer ist, d. h. wenn ein Elektronenüberschuss vorliegt.

Wie beim Atom bestehen zwischen geladenen Körpern elektrische Kräfte: Anziehungskräftezwischen ungleich geladenen Körpern, Abstoßungskräfte zwischen gleich geladenen Körpern.

Auf elektrisch neutrale Körper wirken keine elektrischen Kräfte. Von außen ist einem Körper nicht anzusehen, ob er geladen oder ungeladen ist; das ist erst festzustellen durch einen ande-ren geladenen Körper. Die Einführung des Begriffs „Ladung“ erleichtert also die Beschreibungder elektrischen Kraft.

Experimenteller Nachweis: Der „Ping-Pong-Versuch“

Zwei tellerförmige Metallnetze sind in einem Abstand von ca. 30cm gegenüber angeordnetund werden mittels eines Bandgenerators unterschiedlich aufgeladen, d. h. das eine Netz hateinen Elektronenüberschuss (negativ geladen), das andere hat einen Elektronenmangel (positivgeladen). Zwischen den beiden geladenen Netzen befindet sich pendelförmig aufgehängt ein

mit Graphit überzogener Tischtennisball, der sich nicht bewegt, weil er elektrisch neutral, alsoungeladen ist. Eine isolierte Metallscheibe wird an das positiv geladene Netz gehalten unddamit selbst positiv geladen. Berührt nun die positiv geladene Metallscheibe den Tischtennis- ball, wird dieser ebenfalls positiv geladen, und er bewegt sich nun nach dem negativ geladenen Netz hin. Beim Anstoß an das negativ geladene Netz wird der Tischtennisball negativ geladenund von dem negativ geladenen Netz abgestoßen und gleichzeitig von dem positiv geladenen Netz angezogen. Beim Berühren des negativ geladenen Balles mit dem positiv geladenen Netzwird der Ball positiv geladen, wodurch er wieder abgestoßen wird, usw.




1.2 Das Coulombsche Gesetz und das elektrische Feld

Zwischen elektrisch geladenen Körpern wirken Anziehungs- bzw. Abstoßungskräfte, die durchdas Coulombsche Gesetz

1) (skalare Form) beschrieben werden:

221

r QQK F (1.1)

mit F: elektrische Kraft,

K: dimensionsbehafteter Proportionalitätsfaktor,

Q1, Q2: gleichnamige oder ungleichnamige Ladungen und

r: Abstand zwischen den beiden Ladungen.

Die elektrische Kraft wird also durch die beiden Ladungen und den Abstand bestimmt undwird damit als „Fernwirkung“ zwischen den beiden Ladungen erklärt.

Die gleiche Kraft kann aber auch aus der Wechselwirkung der Ladung Q2 und einer Zustands-größe in dem Punkt, in dem sich die Ladung Q2 befindet, beschrieben werden. Die Zustands-größe wird allein durch die Ladung Q1 bestimmt und heißt elektrische Feldstärke. Umgekehrtkann die Kraft auf die Ladung Q1 aus der Wechselwirkung zwischen der Ladung Q1 und der Feldstärke – verursacht durch die Ladung Q2 – erklärt werden. Die Kraft wird also als „Nah-wirkung“ zwischen Ladung und Raumzustand aufgefasst.

Die Feldtheorie nach Faraday2) geht davon aus, dass mit einer Ladung Q1 in der Umgebung einelektrisches Feld existiert. Im Punkt der Ladung Q2 herrscht eine Feldstärke E, abgeleitet ausdem oben angegebenen Coulombschen Gesetz:

21

r QK E , (1.2)

die von der Ladung Q1 und dem Abstand r abhängig ist. Die Kraft auf die Ladung Q2 ergibtich dann aus

.Qr

QK QEF 22

12 (1.3)

Entsprechendes gilt für die gleich große Kraft auf die Ladung Q1.

Mit der Einführung des Feldbegriffs ist es möglich, alle in der Umgebung der Ladung Q1 zu

erwartenden Kräfte auf Ladungen Q2 vorauszusagen und umgekehrt. Die Ladung Q2 wirktalso wie ein Indikator des Raumzustands in der Umgebung der Ladung Q1 und umgekehrt.

Das elektrische Feld in der Umgebung einer Ladung wird durch gedachte Linien, die so ge-nannten Feldlinien veranschaulicht. Jede elektrische Feldlinie hat einen Anfang bei einer posi-tiven Ladung und endet bei einer negativen Ladung, hat also eine Richtung. Wird nur die Um-gebung einer Ladung beschrieben, d. h. die Gegenladung ist weit entfernt, dann gehen dieFeldlinien strahlenförmig von der Ladung aus bzw. treffen auf die Ladung auf, je nachdem obdie Ladung positiv oder negativ ist.

1) Coulomb, französischer Physiker, 1736–18062) Faraday, englischer Physiker, 1791–1867



1.3 Das elektrische Potential und die elektrische Spannung 5

Auf eine positive Ladung wirkt damit immer eine Kraft in Richtung der elektrischen Feldlinie,auf eine negative Ladung wirkt eine Kraft entgegen der Feldlinienrichtung. Aus dem Feldbildkann die Richtung der Feldstärke und die zu erwartende Kraft auf Ladungen und die Größe der Feldstärke bzw. der Kraft abgelesen werden:

Die Richtung der Feldlinien stimmt mit der Richtung der Feldstärke überein, die Dichte der Feldlinien bestimmt die Größe der Feldstärke und die Größe der auf eine Ladung wirken-den Kraft.

Beispiele von Feldlinienbilder:

Bild 1.2 Feldbild zweier geladener Platten

Bild 1.3 Feldbilder von punktförmigen Ladungen

Bild 1.4 Feldbilder von zwei gleichnamigen und zwei ungleichnamigen punktförmigen Ladungen

1.3 Das elektrische Potential und die elektrische Spannung

Werden zwei ungleichnamige, dicht beieinanderliegende Ladungen um eine Entfernung sverschoben, dann muss entgegen der Coulombschen Anziehungskraft eine Kraft F aufgewen-det werden. Bei dieser Ladungstrennung wird die Arbeit W = F · s verrichtet. Wird die negati-ve Ladung Q2 um s verschoben, dann hat sie die an ihr verrichtete Arbeit in potentieller Ener-gie gespeichert, analog wie ein um s angehobener Körper mit der Masse m potentielle Energieenthält:

W1 = 1 · Q2. (1.4)




Die Ladung Q2 hat in Bezug auf die Ladung Q1 das elektrische Potential

1 W1

Q2, (1.5)

das ist die gespeicherte Energie bezogen auf die verschobene Ladung Q2.

vor der Trennung nach der Trennung nach weiterer Trennung

Bild 1.5 Ladungsverschiebungen

Wird die Ladung Q2 um ein weiteres s verschoben, dann wird die potentielle Energie der Ladung Q2 auf den Wert

W2 = 2 · Q2 (1.6)

erhöht. Dann hat die Ladung Q2 in Bezug zur Ladung Q1 das elektrische Potential

2 W2

Q2, (1.7)

das ist die erhöhte gespeicherte Energie bezogen auf die verschobene Ladung Q2.

Für die Verschiebung der negativen Ladung Q2 von der positiven Ladung um eine gleicheEntfernung s ist die aufzuwendende Energie immer gleich groß, gleichgültig in welcher Rich-tung die Ladung von Q1 aus verschoben wird. Den Punkten mit dem gleichen Abstand s vonder Ladung Q1 ist deshalb gleiches Potential zuzuordnen. Auf derartigen Flächen gleichenPotentials, den Äquipotentialflächen, geschieht eine weitere Verschiebung energielos.

Jedem Punkt in der Umgebung der Ladung Q1 kann also ein elektrisches Potential zugeordnetwerden, das ein Maß für die potentielle Energie der Ladung Q2 ist, die sich jeweils in denPunkten befindet.

Wird bei der Verschiebung der Ladung Q2 der Abstand zur Ladung Q1 größer, dann mussEnergie aufgewendet werden. Wird der Abstand kleiner, dann wird Energie frei; auf Grund der Coulombschen Anziehungskraft bewegt sich die Ladung Q2 auf die Ladung Q1 zu.

Die Differenz an potentieller Energie beim Verschieben der negativen Ladung Q2 in der Um-gebung der positiven Ladung Q1 von s nach s + s beträgt

W = W2 – W1 = (2 – 1) · Q2. (1.8)




Die Energiedifferenz W kann auf die zu verschiebende Ladung Q2 bezogen werden und wirdelektrische Spannung U genannt:

U W

Q2

2 1. (1.9)

Die elektrische Spannung U ist also gleich der Differenz der elektrischen Potentiale. Während jedem Raumpunkt in der Umgebung einer elektrischen Ladung ein elektrisches Potential zugeordnet werden kann, können gleiche Spannungen U zwischen verschiedenen Raumpunk-ten bestehen.

Wird eine positive Ladung in der Umgebung einer positiven Ladung verschoben oder einenegative Ladung in der Umgebung einer negativen Ladung verschoben, dann muss entgegender Coulombschen Abstoßungskräfte Energie aufgewendet werden.

Die Einheit des elektrischen Potentials und der elektrischen Spannung ist Volt1):

,C

m N1V1 (1.10)

denn das elektrische Potential und die elektrische Spannung haben die Dimension Energie proLadung.

Im Kapitel 3.3 „Das elektrostatische Feld“ wird genauer auf die Zusammenhänge zwischenLadung, elektrische Feldstärke, Feldlinien, elektrisches Potential und elektrische Spannungeingegangen.

Die Erzeugung elektrischer Spannung ist immer mit Ladungstrennung und Ladungsverschie- bung verbunden. Elektrische Energie bedeutet also potentielle Energie von getrennten un-

gleichnamigen Ladungen. Die Ladungstrennung erfolgt durch Einwirkung anderer Energie-formen wie mechanischer Energie, chemischer Energie, Wärmeenergie oder Lichtenergie.Andere Energien werden in elektrische Energie umgewandelt, indem sie die Ladungstrennung bewirken und aufrechterhalten.

Beispiele:

Umwandlung mechanischer in elektrische Energie:

Das Bewegen eines metallischen Leiters in einem zeitlich konstanten Magnetfeld bewirkt eine La-dungstrennung im Leiter (Dynamomaschine).

Umwandlung chemischer in elektrische Energie:

In Akkumulatoren wird die Ladungstrennung infolge von chemischen Reaktionen über längere Zeiten

aufrechterhalten.Umwandlung von Wärmeenergie in elektrische Energie:

Zwei verschiedene metallische Leiter mit unterschiedlicher Austrittsarbeit für Elektronen sind kon-taktiert und bilden einen Stromkreis. Haben beide Kontaktstellen unterschiedliche Temperaturen,dann tritt eine von der Temperaturdifferenz abhängige Spannung auf (Thermoelement).

Umwandlung von Lichtenergie in elektrische Energie:

Im Photoelement werden durch Bestrahlung mit Licht negative Ladungen von positiven Ladungengetrennt.

1) Volta, italienischer Physiker, 1745–1827




Jede von außen zugeführte Energie pro Ladung wird in einer Spannungsquelle durch dieQuellspannung Uq erfasst. Sie entspricht der Energie pro Ladung, die sich nach der Ladungs-trennung als Spannung ergibt.

In älterer Literatur wird die in einer Spannungsquelle zugeführte Energie pro Ladung durch die

elektrische Spannung E, der „Elektromotorischen Kraft“ (EMK) berücksichtigt. Wörtlich über-setzt heißt EMK „elektronenbewegende Kraft“ und bedeutet, dass die zugeführte SpannungElektronen durch die Leiterbahn – von Minus nach Plus – treiben kann. Auf die EMK wird inder neueren Literatur meist verzichtet, weil sie zu Verwechslungen mit der elektrischen Feld-stärke E führen kann und weil der Name „Kraft“ missverständlich ist, denn die EMK E ent-spricht einer Spannung.

Warum gibt es also zwei Bezeichnungen für die Spannung der Spannungsquelle? Im Gleich-

stromkreis kann eine Spannung gemessen werden, egal ob sie durch eine Ladungstrennung ineiner Spannungsquelle oder ob sie durch einen Stromfluss durch einen Widerstand entsteht.Deshalb werden alle Spannungen mit einem „U“ bezeichnet, also auch die Spannung der Spannungsquelle mit Uq. Sämtliche Berechnungen im Gleichstromkreis werden mit der Quell-spannung Uq vorgenommen, obwohl sie auch mit der Spannung E möglich sind.

Die EMK E dagegen ist eine wichtige Analogiegröße des Gleichstromkreises zum magneti-schen Kreis. Der magnetische Kreis wird mit den Begriffen „magnetischer Fluss“, „magneti-sche Flussdichte“, „magnetische Spannung“, „magnetische Feldstärke“ und „magnetischer Widerstand“ beschrieben, die dem Gleichstromkreis entlehnt sind, denn physikalisch lassen siesich nicht erklären. Im magnetischen Kreis müssen aber im Gegensatz zum Gleichstromkreis

zwei Arten von „magnetischen Spannungen“ unterschieden werden: die Durchflutung oder MMK , die der EMK entspricht, und die magnetischen Spannungen V infolge magnetischer Flüsse in magnetischen Widerständen. Die EMK im Gleichstromkreis vervollständigt alsodie Analogie zum magnetischen Kreis (siehe Abschnitt 3.4.3), so dass es möglich ist, für mag-netische Kreise Ersatzschaltbilder mit elektrischen Schaltsymbolen angeben zu können (sieheAbschnitt 3.4.5). Mit diesen Ersatzschaltbildern lassen sich Zusammenhänge in magnetischenKreisen vorteilhaft erklären.

Bei der Berechnung von magnetischen Kreisen ist eine Kennlinienüberlagerung (siehe Ab-schnitt 3.4.5.1, Bilder 3.124 und 3.125) notwendig, die der Kennlinienüberlagerung für denGrundstromkreis mit der EMK E entspricht (siehe Abschnitt 2.1.1, Bild 2.5).

Wird in der Literatur über das Induktionsgesetz und den Halleffekt berichtet, werden häufigdie Begriffe „induzierte Feldstärke“ und „Hallfeldstärke“ verwendet, die aber nur im Zusam-menhang mit der EMK E zu verstehen sind (siehe Abschnitt 3.4.6.1, S. 290 und Abschnitt3.4.8.2, S. 355).

Aus diesen Gründen ist der Quellspannung Uq die EMK E gegenübergestellt. Der Unterschiedzwischen beiden Betrachtungsweisen ist sehr einfach zu verstehen. Ausgangspunkt ist der unterschiedliche Energieansatz, der im Abschnitt 1.6 dargestellt wird.

Diejenigen Leser, die eine eindeutige Betrachtungsweise wünschen, sollten bei den Gegen-überstellungen grundsätzlich nur die linke Seite beachten und die Spannung E oder e ignorie-

ren. Mit der rechten Seite wird die Analogie zum Magnetfeld vervollständigt und der Zugangzu älterer Literatur ermöglicht.




Wird die Spannungsquelle, in der die Ladungen getrennt werden, durch einen elektrischenLeiter (äußerer Widerstand) zu einem Leiterkreis geschlossen, dann bewegen sich die Elektro-nen auf Grund des aufgebauten Spannungszustandes vom Minuspol (Elektronenüberschuss)über die Leiterbahn des elektrischen Leiters zum Pluspol (Elektronenmangel), wo sie mit den positiven Atomrümpfen rekombinieren. Die Bewegung der Elektronen bei ortsfesten positivenAtomrümpfen wird bei metallischen Leitern beobachtet. Bei Elektrolyten dagegen sind sowohlnegative Ladungen (Anionen) als auch positive Ladungen (Kationen) in umgekehrter Richtungin Bewegung und am Ladungsausgleich beteiligt.

Bild 1.6 Elektronenbewegung bei metallischenLeitern

Bild 1.7 Ionenbewegung bei Elektrolyten

Die Antriebsenergie der negativen Ladungen (Elektronen bei metallischen Leitern und Anio-nen bei Elektrolyten) ist im Punkt B höher als im Punkt A. Dagegen ist die Antriebsenergie der

positiven beweglichen Ladungen (Kationen) bei Elektrolyten im Punkt A höher als im PunktB. Für negative Ladungen herrscht im Punkt B ein höheres Potential, für positive Ladungen imPunkt A. Die Potentialdifferenz heißt Spannungsabfall oder einfach Spannungsfall.

In einem allgemeingültigen Ersatzschaltbild für die Spannungsquelle mit äußerem Widerstandwerden die Richtungen von Spannungen nach der Bewegungsrichtung und den Potentialen der positiven Ladungen (Kationen) festgelegt, also entgegen der Bewegungsrichtung und Potentia-le der negativen Ladungen (Elektronen, Anionen):

alle U: von Plus nach Minus

(EMK E: von Minus nach Plus).

Nach dieser Richtungsdefinition ist das elektrische Potential A im Punkt A höher als daselektrische Potential B im Punkt B. Der Spannungsabfall U ist also die Potentialdifferenz

U = A – B. (1.11)

Bild 1.8 Richtungsdefinitionen für Spannungen




In diesem so genannten Grundstromkreis bedeuten:

Uq (bzw. E): Die ideale Spannungsquelle wird als Quellspannung Uq durch einen durch-gezogenen Kreis mit einem außenliegenden Pfeil (siehe Bild 1.11, S. 13)dargestellt, der von Plus nach Minus zeigt. (Bei der EMK E wird der Rich-

tungspfeil, der von Minus nach Plus zeigt, innerhalb des Kreises einge-zeichnet.)

Ui: Infolge des Innenwiderstandes R i der Spannungsquelle und des Ladungs-transports (Konvektionsstrom) I entsteht ein Spannungsabfall.

U: Infolge des Widerstandes R a (Widerstand außen) des äußeren Leiters unddes Ladungstransports I entsteht der Spannungsabfall an den Klemmen der Spannungsquelle bzw. des äußeren Leiters, der deshalb auch Klemmen-spannung genannt wird.

1.4 Der elektrische StromGrundsätzlich gibt es zwei Arten des elektrischen Stroms:

den Verschiebungsstrom im Nichtleiter und den Konvektionsstrom im Leiter.

Verschiebungsstrom:

Während des Auf- und Entladens eines Zweielektrodensystems (z. B. zweier paralleler Leiter- platten) durch eine Spannungsquelle werden die Ladungen von der Spannungsquelle auf dieLeiterplatten verschoben. Im nichtleitenden Zwischenraum kann während dieses Vorgangs einmagnetischer Raumzustand gemessen werden, als ob im nichtleitenden Medium Ladungen

bewegt werden. Deshalb wird im Nichtleiter ein elektrischer Strom angenommen. Im Ab-schnitt 3.3.4 wird auf diesen Verschiebungsstrom genauer eingegangen.

Konvektionsstrom:

Die durch den Spannungszustand in der Spannungsquelle verursachte gerichtete Bewegungelektrischer Ladungen wird Konvektionsstrom genannt, weil er mit Stofftransport, den Ladun-gen, verbunden ist. Der Name „Konvektion“ ist auch gebräuchlich bei Wärmeübertragungs-vorgängen mit Stofftransport.

In Metallen sind ausschließlich die freien Elektronen beweglich, die positiven Atomrümpfe mitihren gebundenen Elektronen sind ortsfest. Der positiv definierte Gleichstrom I ist entgegenge-

richtet dem Elektronenstrom.In elektrolytischen Flüssigkeiten (anorganische und organische Säuren, Laugen, Salzlösungen)zerfallen die Moleküle zum Teil in positive Ionen, den Kationen, und negative Ionen, denAnionen. Dieser Vorgang heißt Dissoziation. Bei Anlegen einer Gleichspannung an zweiElektroden, die in der elektrolytischen Flüssigkeit eingetaucht sind, wandern infolge der Cou-lombschen Anziehungskräfte die Kationen zum Minuspol (Kathode) und die Anionen zumPluspol (Anode) und bilden damit den elektrischen Strom. Der positiv definierte Strom stimmtmit der Bewegungsrichtung der Kationen überein und ist entgegengerichtet dem Strom der Anionen.

Beispiel:

NaOH Na+ + OH –



1.4 Der elektrische Strom 11

Gase sind unter normalen Bedingungen Nichtleiter, weil praktisch keine Ladungsträger vor-handen sind. Ladungsträger (Ionen, Elektronen) können durch Ionisation von außen (z. B.Röntgenstrahlen) entstehen. Diese können durch die anliegende Spannung derart beschleunigtwerden, dass sie selbst Gasmoleküle ionisieren; Gase werden dann leitend (Lichtbogen).

Begleiterscheinungen des elektrischen Stroms sind:1. Wärmewirkung in einem Leiter:

Die beweglichen Elektronen stoßen mit den ortsfesten Atomrümpfen zusammen und ver-setzen sie in Schwingungen, die die Erwärmung des Leiters bedeuten. Die kinetische Ener-gie der Elektronen wird also in Schwingungsenergie (gleich Wärmeenergie) der Atom-rümpfe umgewandelt. Die im Leiter entstehende Wärmeenergie wird nach außen übertra-gen und damit der elektrischen Energie des Stromkreises entzogen.

2. Aufbau eines magnetischen Feldes:

Ein Konvektionsstrom ist immer von einem ihn umwirbelnden Magnetfeld begleitet, dasdurch Eisenfeilspäne oder kleine Magnetnadeln nachgewiesen werden kann, die durchmagnetische Kräfte ausgerichtet werden (siehe Abschnitt 3.4.1). Wie erwähnt, ist auch der Verschiebungsstrom mit einem magnetischen Feld verbunden.

3. Stofftransport bei Ionenleitern:

Bei der Stromleitung in elektrolytischen Flüssigkeiten ist die Bewegung der Ladungsträger,den Ionen, mit einem Stofftransport verbunden. Die zu den Elektroden wandernden Ionenrekombinieren und setzen sich als neutralisierte Stoffe an den Elektroden ab.

Beispiel:

Ein Strom von 1 A (Ampere

1), Einheit des elektrischen Stroms) scheidet in einer wässrigen Sil- bernitratlösung (AgNO3) in einer Sekunde 1,118 mg Silber (Ag) ab. So lautet die nicht mehr ge-

bräuchliche Definition der Einheit des elektrischen Stroms Ampere. Definition der Einheit des elektrischen Stroms:

Die Stromstärke I eines elektrischen Stroms beträgt 1 A (Ampere 1)), wenn durch die Quer-

schnittfläche des Leiters pro Sekunde die Ladungsmenge von 1 C (Coulomb), das sind6,24 · 1018 Elektronen, hindurchtritt:

Sekunde

Elektronen1024,6

s

C1A1

18 .

1 C sind selbstverständlich nur Elektronen, wenn die Elektronen den Ladungstransport über-nehmen, also bei metallischen Leitern.

Für einen zeitlich konstanten Ladungsstrom ist der Strom ein Gleichstrom

,t

QI (1.12)

bei zeitlich veränderlichem Ladungsstrom ist der Strom gleich dem Differentialquotient, alsodem Quotient der Differentiale dq und dt:

.dt

dqi (1.13)

1) Ampere, französischer Mathematiker und Physiker, 1775–1836




Bei gleichmäßiger Verteilung des Stroms über der Fläche ist die Stromdichte S konstant

S I

Amit [S] = 1 ,

mm

A2

(1.14)

bei ungleichmäßiger Stromverteilung über der Fläche ist der Teilstrom dI auf das FlächenteildA zu beziehen:

S dI

dA (1.15)

Im allgemeinen werden zwei Stromarten unterschieden:

Gleichstrom ist ein in Stärke und Richtung zeitlich gleichbleibender Strom (siehe Kapitel 2),Wechselstrom ist ein zeitlich periodisch sich ändernder Strom (siehe Band 2, Kapitel 4).

Bild 1.9 Gleichstrom Bild 1.10 Wechselstrom

1.5 Der elektrische Widerstand

Beim Stromdurchgang durch einen Körper wird die Antriebsenergie der Ladungsträger längsdes Stromkreises vermindert. Der elektrische Widerstand eines Körpers ist ein Maß dafür, wiesich der Körper dem Stromdurchgang widersetzt. Er wird wesentlich von den Materialeigen-schaften bestimmt.

Bei der Stromleitung in Metallen lässt sich die Eigenschaft des elektrischen Widerstandesdurch die Vorstellung erklären, dass die sich bewegenden Elektronen durch die positivenAtomrümpfe abgelenkt und gebremst werden.

Je nach Größe des elektrischen Widerstandes werden unterschieden:

1. Leiter: Metalle, metallische Verbindungen (Leiter 1. Ordnung), Elektrolyte (Leiter 2. Ord-nung),

2. Halbleiter: Beispiele sind Kohle, Silizium, Germanium, Selen, einige Schwermetalloxyde(Urandioxyd),

3. Nichtleiter (Isolatoren): Beispiele sind Glimmer, Quarz, Salze in fester Form, Kunststoffe.

Die Eigenschaft der unterschiedlichen Stromleitung fester Materialien lässt sich durch das sogenannte Bändermodell der Atome [2] erläutern. Nach diesen Modellvorstellungen bewegen

sich die Elektronen in verschiedenen Energiebändern, von denen für die Stromleitung nur dasValenzband mit Valenzelektronen und das Leitungsband mit freien Elektronen in Frage kommen.



1.5 Der elektrische Widerstand 13

Bei metallischen Leitern überlappen sich beide Bänder, so dass die Valenzelektronen dieStromleitung übernehmen können.

Bei Halbleitern sind Leitungsband und Valenzband energetisch nur relativ gering getrennt,denn bei relativ kleiner Wärmezufuhr wandern Valenzelektronen in das Leitungsband und

stehen der Stromleitung zur Verfügung.Beispiel:

An einem Siliziumstab liegt eine elektrische Spannung an, wodurch infolge des relativ hohenWiderstandes ein geringer Strom fließt. Bei Erwärmung des Stabes mit Hilfe eines Bunsenbren-ners erhöht sich der Strom auf ein Vielfaches. Durch die Widerstandserwärmung bleibt der hoheStrom erhalten; die äußere Erwärmung ist nicht mehr notwendig.

Bei Nichtleitern liegen Valenzband und Leitungsband energetisch so weit auseinander, dassValenzelektronen nicht die verschwindend wenigen freien Elektronen bei der Stromleitungunterstützen können.

Wird ein elektrischer Widerstand R a an eine Spannungsquelle angeschlossen, dann verursachtder Spannungsabfall U über dem elektrischen Widerstand einen bestimmten Strom I.

Bild 1.11

Spannung und Strom eines elektrischen Widerstandes

Ist der Widerstand R a von Einflussgrößen unabhängig, also konstant, dann tritt bei halber Spannung U/2 auch nur die Hälfte des Stroms I/2 auf und bei zweifacher Spannung 2 · U ver-doppelt sich der Strom auf 2 · I, d. h. der Quotient aus Spannung und Strom ist konstant

R a U

I(1.16)

und Spannung und Strom stehen in linearer Beziehung zueinander:

U = R a · I oder aR

UI (1.17)

Die Einheit des elektrischen Widerstandes heißt Ohm1):

.1A

V1]R [ a

1) Ohm, deutscher Physiker, 1789–1854




Die Kennlinie für einen konstanten Widerstand ist eine Nullpunktsgerade. Wegen des linearenZusammenhangs zwischen Strom und Spannung wird ein konstanter Widerstand auch linearer Widerstand genannt.

Bild 1.12Kennlinie eines linearen Widerstandes

Wird der lineare Widerstand R a von R a1 auf R a2 vergrößert und soll der Strom gleich bleiben,dann muss die Spannung proportional von U1 = R a1 · I auf U2 = R a2 · I erhöht werden:

R a2 > R a1

IU2 > IU1

U2 > U1

Bild 1.13 Kennlinien linearer Widerstände

Eine Vergrößerung des Stroms von I2 = U/R a2 auf I1 = U/R a1 bei gleichbleibender Spannungwird erreicht, wenn der Widerstand umgekehrt proportional verkleinert wird:

R a2 > R a1

2I

U>

1I

U

I2 < I1





Der Anstieg der Geraden

U = f (I) = R a · I (1.18)

ist ein Maß für die Größe des linearen Widerstandes und beträgt R a.

Die Abhängigkeit von Strom und Spannung wird auch oft umgekehrt angegeben,

I = f (U) =aR

1U = Ga · U, (1.19)

so dass die Steilheit der Geraden durch den Kehrwert des linearen Widerstandes bestimmtwird, der elektrischer Leitwert

Ga =aR

1(1.20)

genannt wird. Die Einheit des elektrischen Leitwerts heißt Siemens1):

[Ga] = 1S = 1 –1

.Wird der lineare Widerstand R a von R a1 auf R a2 vergrößert und soll der Strom gleich bleiben,dann muss die Spannung entsprechend erhöht werden:

Ga2 < Ga1

2aR

1<

1aR

1

R a2 > R a1

I

U2 > I

U1

U2 > U1


Eine Erhöhung des Stroms von I2 auf I1 bei gleichbleibender Spannung wird bei entsprechen-der Verkleinerung des Widerstands erreicht:

Ga2 < Ga1

2aR 1 <1aR 1

R a2 > R a1

2I

U>

1I

U

I2 < I1


1) Siemens, deutscher Elektrotechnik-Ingenieur, 1816–1892




Ein Widerstand R a hat also bei konstanten Einflussgrößen wie Temperatur und Druck einelineare Strom-Spannungs-Kennlinie, die Gleichung für den ohmschen Widerstand

R a= konstant (1.21)

beschreibt das Ohmsche Gesetz.

Ein Netzwerk mit nur konstanten ohmschen Widerständen und zwei Anschlussklemmen stellteinen passiven Zweipol dar. Wird an die beiden Klemmen eine Spannung U angelegt, dannfließt durch den Zweipol ein Strom I, der linear von der Spannung abhängt. Der Quotient ausSpannung U und Strom I entspricht einem ohmschen Widerstand R a = U/I, der als Ersatzschal-tung für den passiven Zweipol verwendet werden kann:

Bild 1.17 Ersatzschaltung eines passiven Zweipols

Lineare Widerstände werden als homogene Leiter hergestellt, die beim Stromfluss eine gleicheStromdichte über den Querschnitt garantieren. Sie lassen sich durch die Bemessungsgleichung

errechnen:R a

l

A

l

A(1.22)

mit l : Länge des Leiters

A: Querschnittfläche des Leiters

: spezifischer Widerstand

= 1/: spezifischer LeitwertMaterialgrößen

Die Materialgrößen und werden für verschiedene Materialien messtechnisch ermittelt.Durch Strom-Spannungs-Messungen kann der Widerstand R a bestimmt werden und dann auf die Querschnittsfläche 1 mm2 und die Länge 1 m bezogen werden:

= R a A

l mit [] =

m

mm1

2(1.23)

=1

R a

l

Amit [] =

22 mm

mS1

mm

m1

(1.24)




Nichtlineare Widerstände sind ohmsche Widerstände, die einen nichtlinearen Verlauf U = f (I)haben; sie sind stromabhängig [3]. Für einen nichtlinearen Widerstand werden zwei Wider-stände für unterschiedliche Anwendungen definiert, die aus der Kennlinie abgelesen werdenkönnen:

Gleichstrom-Widerstand R a (statischer Widerstand)und

differentieller Widerstand R d (dynamischer Widerstand)

Bild 1.18Kennlinie eines nichtlinearen Widerstandes

Wird der nichtlineare Widerstand an eine Gleichspannungsquelle mit einem Innenwiderstand

angeschlossen, dann stellt sich auf der Kennlinie ein Arbeitspunkt ein, der sich durch Kennli-nienüberlagerung ermitteln lässt (siehe Abschnitt 2.1.1, Bild 2.5). Der Gleichstromwiderstandist dann gleich dem Quotienten aus den im Arbeitspunkt ablesbaren Werten von Strom undSpannung R a (I) = U/I, der für jeden Arbeitspunkt verschiedene Werte annehmen kann. Für dieim Bild 1.18 gezeichnete Kurve erhöht sich der Gleichstromwiderstand vom Punkt P1 zumPunkt P2 auf das 1,5-fache:

,I

U)I(R

1

11a )I(R 5,1

I2

U3

I

U)I(R 1a

1

1

2

22a

.

Der differentielle Widerstand R d entspricht dem Anstieg der Tangente im Arbeitspunkt der Kurve und wird berücksichtigt, wenn sich der Gleichstrom I um geringe Weite verkleinert oder vergrößert. Die gekrümmte Kurve wird in diesem Bereich linearisiert, indem der Anstieg der Tangente den Widerstandswert bestimmt.

Genauso könnte auch der Sekantenanstieg von zwei benachbarten Punkten der nichtlinearen Kurveverwendet werden. Der Widerstand, der dem Sekantenanstieg entspricht, wird Schwankungswider- stand genannt, weil er die Spannungsschwankung U auf die Stromschwankung I bezieht.

Ist der Funktionsverlauf U=f(I) analytisch bekannt, dann kann der stromabhängige WiderstandR d=f(I) mit Hilfe der Differentiation errechnet werden. Da das im Allgemeinen nicht der Fallist, kann der differentielle Widerstand für bestimmte Ströme nur angenähert ermittelt werden.Die U=f(I)-Kennlinie kann durch Geradenstücke ersetzt werden, die durch benachbarte (I, U)-

Paare gebildet werden. Die Anstiegswerte der Geradenstücke können dann einfach berechnetund die R d=f(I)-Kurve angenähert dargestellt werden.




Beispiele von nichtlinearen Widerständen:

Dioden (Gleichrichter)

Lichtbogen

metallische Thermowiderstände (Metallfadenlampe)

Eisenwasserstoffwiderstand (Eisendrahtspirale in Wasserstoff unter Druck)Thermistoren (Halbleiter)

Sperrschichtwiderstände

Hochvakuumdiode

Bild 1.19 Kennlinie einer Diode Bild 1.20 Kennlinie eines Lichtbogens

Verschiedene Leitermaterialien verhalten sich hinsichtlich ihrer Stromleitfähigkeit bei unter-schiedlichen Temperaturen unterschiedlich, z. B. nichtferromagnetische und ferromagnetische

Stoffe.Die Temperaturabhängigkeit des spezifischen Widerstandes verschiedener Materialien lässtsich messtechnisch ermitteln und in einem Koordinatensystem darstellen:

Bild 1.21Temperaturabhängigkeit des spezifischenWiderstandes

Bei einer Bezugstemperatur z

beträgt der spezifische Widerstand z. Durch die Temperatur-

änderung = d wird z um geändert. Übersteigen die Temperaturen die Bezugstempera-tur z nur in bestimmten Grenzen, dann kann die Änderung des spezifischen Widerstandes




näherungsweise mit Hilfe der Tangente im Punkte (z, z) abgelesen werden: das Differentiald. Der Anstieg der Sekante wird also durch den Anstieg der Tangente angenähert:

dd

z

oder

dd

z

. (1.25)

Der spezifische Widerstand bei erhöhter Temperatur ist dann

= z + (1.26)

= z dd

z

(1.27)

= zz z

d11d

(1.28)

= z [1 + z · ] mit = – z. (1.29)

Im Allgemeinen wird der Temperaturkoeffizient z auf 20ºC bezogen. Die Temperaturabhän-gigkeit des spezifischen Widerstandes für Temperaturen < 200ºC lässt sich damit durchfolgende Formel berechnen, in der in ºC eingesetzt werden muss:

= 20 · (1 + 20 · ) mit = – 20ºC. (1.30)

Die Formel für die Temperaturabhängigkeit für höhere Temperaturen soll ohne Erläuterung

ergänzt werden:

= 20 · [1 + 20 · + 20 · ()2]. (1.31)

Damit lässt sich auch die Temperaturabhängigkeit eines linearen Widerstandes für Temperatu-ren bis 200ºC angeben:

Mit

R a = l

A= 20 [1 + 20 · ]

A

l (1.32)

ergibt sich

R a = R 20 · (1 + 20 · ) mit R 20 = 20A

l (1.33)

bzw. für Temperaturen über 200ºC:

R a = R 20 [1 + 20 · + 20 ()2] mit R 20 = 20A

l . (1.34)

Temperaturen können in K (Kelvin) oder ºC (Grad Celsius) angegeben werden, wobei der absolute Nullpunkt 0K = – 273,15ºC beträgt. Für Temperaturdifferenzen sollte nur dieEinheit K (Kelvin) verwendet werden, die sich aus der Differenz zweier Temperaturen in K

ergibt. Sind aber zwei Temperaturen in ºC (Grad Celsius) angegeben, ist es sinnvoll, derenTemperaturdifferenz auch in ºC anzugeben. Für Temperaturdifferenzen gilt deshalb 1K= 1ºC.




Spezifischer Widerstand , spezifischer Leitwert und Temperaturkoeffizient 20 sind vonverschiedenen Materialien messtechnisch ermittelt worden:

20

Material Symbol

m

mm2 2mm

m

K

1oder C

1

Aluminium Al 0,028 36 0,004

Silber Ag 0,016 63 0,004

Kupfer Cu 0,018 56 0,004

Gold Au 0,023 44 0,004

Platin Pt 0,11 9 0,002

Eisen Fe 0,125 8 0,005

Manganin Cu, Fe, Mn, Ni 0,4 2,5 0,00001

Chromnickel Cr, Ni, Fe 1 1 0,00005

Ist die Temperaturabhängigkeit eines Widerstandes nichtlinear wie bei Temperatursensoren,kann auch mit Gl. (1.34) gerechnet werden.

Beispiele für die Berechnung temperaturabhängiger Widerstände

Beispiel 1:

Ein temperaturabhängiger ohmscher Widerstand wird durch die Gleichung

R = R 20

· [1 + 20

· ( – 20ºC)]

berechnet, wobei der Widerstand R 20 bei = 20ºC bekannt sein muss. Ist der Widerstand R = R A bei einer anderen Temperatur A bekannt, dann lässt sich der Widerstand ebenfalls bei einer be-liebigen Temperatur berechnen.

1. Zunächst wird die Gleichung für R = f () hergeleitet, wenn A, R A und 20 gegeben sind. In dieGleichung wird dann der sogenannte Temperaturkennwert eingeführt:

1

20 20º C mit [20 ]

1

º Cund[ ] 1ºC

2. Anschließend wird der Temperaturkennwert für Kupfer mit dem genauen Temperaturkoeffizien-ten 20 = 3,92 · 10 –3 ºC –1 berechnet.

3. Schließlich wird der Widerstand eines Kupferdrahtes bei 20ºC und bei 80ºC berechnet, wenn bei10ºC der Widerstand 6 beträgt.

Lösung:

Zu 1. R = R 20 · [1 + 20 ( – 20ºC)]

R A = R 20 · [1 + 20 (A – 20ºC)]

AR

R =

120 20 20ºC

120 A 20 20ºC

R =

120

20ºC

1

20 20ºC

A

R A

A

R A mit 1

20

20ºC




Zu 2. für Kupfer: 1

0,00392 20

º C 235ºC

Zu 3. R 20 =235ºC 20ºC

235ºC 10ºC 6 6,24,

R 80 = 235ºC 80ºC235ºC 10ºC 6 7,71.

Beispiel 2:

Die Temperaturabhängigkeit metallischer Leiter kann bei Messinstrumenten zu Anzeigefehlernführen. Bei Feinmessgeräten wird deshalb vor dem Drehspulwiderstand aus Kupfer R Cu ein Vor-widerstand aus Manganin R M geschaltet, der einen viel kleineren Temperaturkoeffizienten hat:

M = 1 · 10 –5 K –1 gegenüber Cu = 3,92 · 10 –3 K –1.

1. Um wie viel Prozent erhöht sich der Drehspulwiderstand R Cu, wenn sich die Umgebungstempera-

tur von 20ºC auf 30ºC erhöht.2. Für den Gesamtwiderstand der Reihenschaltung R = R Cu + R M wird die Formel für den Tempera-

turkoeffizienten hergeleitet, wenn R Cu 20, R M 20, Cu und M gegeben sind.

3. Anschließend wird der Temperaturkoeffizient für R Cu 20 = 20 und R M 20 = 80 berechnet.

4. Schließlich wird festgestellt, um wie viel Prozent sich der Gesamtwiderstand R erhöht, wenn sichdie Umgebungstemperatur von 20ºC auf 30ºC erhöht.

Lösung:

Zu 1. R Cu = R Cu 20 (1 + Cu · )

R Cu = R Cu 20 (1 + 3,92 · 10 –3 K –1 ·10K)

R Cu = R Cu 20 · 1,039 d. h. 3,9 %Zu 2. R = R Cu + R M

R 20 (1 + · ) = R Cu 20 (1 + Cu · ) + R M 20 (1 + M · )

R 20 + · · R 20 = R Cu 20 + Cu · R Cu 20 + R M 20 + M · · R M 20

mit R 20 = R Cu 20 + R M 20

· · R 20 = Cu · · R Cu 20 + M · R M 20.

Die Gleichung durch dividiert ergibt:

· R 20 = Cu · R Cu 20 + M · R M 20

=

20M20Cu

20MM20CuCu

20

20MM20CuCu

R R

R R

R

R R

Zu 3. =3,92 103 K 1 20 1105 K 1 80

20 80=792 10 –6 K –1

Zu 4. R = R 20 (1 + · ) = R 20 (1 + 792 · 10 –6K –1 · 10K)

R = R 20 · 1,00792 das sind 0,79 %




1.6 Die elektrische Energie und die elektrische Leistung

Die Erzeugung elektrischer Spannung erfordert von außen zugeführte Energie, um Ladungenentgegen der Coulombschen Anziehungskräfte zu trennen. Die bei der Ladungstrennung zuge-führte Energie wird in den Ladungen in potentieller Energie gespeichert. Aus den Betrachtun-gen über die Verschiebung von Ladungen im Abschnitt 1.3 folgt für die in einer Spannungs-quelle erzeugte – genauer umgewandelte – elektrische Energie:

Werz = Q · Uq (1.35)

mit Quellspannung Uq

Werz = Q · E

mit EMK E

Wird die Spannungsquelle an einen Leiterkreis mit einem Widerstand angeschlossen, dannwird durch den Stromfluss im Leiterkreis Wärme erzeugt. Die Abnahme der potentiellen Ener-gie der Ladungen längs des Leiterkreises, für die der Spannungsabfall U maßgebend ist, ent-spricht der abgegebenen Energie:

Wabg = Q · U. (1.36)

In einem Stromkreis ist die Summe aller vorzeichenbehafteten Energien Null:

0W1i

i

l

(1.37)

oder ausführlich

W1 + W2 + ... + Wl = 0

Energieansatz mit Quellspannungen:Werden für die Spannungsquellen Quell-spannungen Uq angesetzt, gilt für denEnergiesatz, dass die Summe aller vorzei-chenbehafteten Energien (zugeführte Ener-gien sind negativ, nach außen abgegebeneEnergien sind positiv) Null ist.

Die in einem Stromkreis erzeugten Ener-gien sind gleich den abgegebenen Energien:

m

1iabg

n

1ierz ii

WW

oder ausführlich

Werz1 + Werz2 + ... + Werzn

= Wabg1 + Wabg2 +... + Wabgm

Energieansatz mit EMK E:Werden für die Spannungsquellen EMK Everwendet, dann gilt der Ansatz, dass dieerzeugte – also zugeführte – Energie gleichder abgegebenen Energie ist.

Im Kapitel 2 werden diese Energieansätze angewendet.



1.6 Die elektrische Energie und die elektrische Leistung 23

Die abgegebene Energie in ohmschen Widerständen lässt sich mit der Definitionsgleichung für den zeitlich konstanten Strom

tIQ. bzwt

QI

bei zeitlich konstanter Spannung angeben:

Wabg = Q · U = U · I · t (1.38)

und mit dem Zusammenhang zwischen Strom, Spannung und Widerstand

aa

R

UI. bzwIR U

ergibt sich

Wabg I2 R a t U2

R a t. (1.39)

Sind Strom und Spannung zeitlich veränderlich, dann ist mit

2

1

t

t

dqi bzw. Q i dt

dt (1.40)

die abgegebene Energie gleich dem Zeitintegral

.dtiuW2

1

t

t

abg (1.41)

Die Einheit der Energie ist 1 Joule1) gleich 1 Wattsekunden gleich 1 Newtonmeter:

[W] = 1 J = 1 Ws = 1 Nm. (1.42)

Der Stromfluss in einem ohmschen Widerstand ist mit der Umwandlung elektrischer Energiein Wärmeenergie verbunden. Aufgrund des unterschiedlichen Atomaufbaus verschiedener Stoffe ist die für die Erwärmung von 1ºC notwendige Wärmemenge unterschiedlich. Jeder Stoff hat eine spezifische Wärmekapazität c, die sich messtechnisch ermitteln lässt.

Die spezifische Wärmekapazität c eines Stoffes gibt an, wie viel Wärmeenergie notwendig ist,

um 1 kg dieses Stoffes um 1ºC = 1K zu erwärmen (siehe S. 19).

Beispiele:

Wasser 4 187 J/(kg · K), Aluminium 880 J/(kg · K),

Kupfer 394 J/(kg · K), Gold 130 J/(kg · K),

Eisen 461 J/(kg · K), Sauerstoff 730 J/(kg · K).

1) Joule, englischer Physiker, 1818–1889




Um einen Körper mit der Masse m in kg um eine Temperaturdifferenz in K erwärmen zukönnen, ist die Wärmeenergie (Wärmemenge)

W = c · m · (1.43)

erforderlich.

Für das Studium älterer Literatur sollten die heute nicht mehr gebräuchlichen Energieäquiva-lente zwischen mechanischer Arbeit, Wärmeenergie und elektrischer Energie bekannt sein:

mechanische Arbeit Wärmeenergie elektrische Energie

426,9 kp · m = 1 kcal = 4,187 · 103Ws

0,102 kp · m = 0,2388cal = 1Ws.

Für die konstruktive Auslegung von Stromkreisen und elektrischen Verbrauchern ist nicht diedort umgesetzte Gesamtenergie entscheidend, sondern die Energieänderung dW pro Zeit dt,die elektrische Leistung:

.dt

dWP (1.44)

Bei konstantem Strom I und konstanter Spannung U ist die Energieänderung pro Zeit konstant.Mit

W = U · I · t (1.45)

ergibt sich dann für die Gleichstromleistung

IUt

WP (1.46)

und mit U = R a · I bzw. I = U/R a

.R

UR IP

a

2

a2 (1.47)

Die Einheit der Leistung ist 1 Watt1)

gleich 1 Volt mal Ampere:[P] = 1 W = 1V · A. (1.48)

1) Watt, englischer Erfinder, 1736–1819



Übungsaufgaben zu den Abschnitten 1.1 bis 1.6 25

Übungsaufgaben zu den Abschnitten 1.1 bis 1.6

1.1 Ermitteln Sie die Anzahl der Elementarladungen, die den Querschnitt eines Drahtes in 1s passieren,der von einem zeitlich gleichbleibenden Strom von 1A durchflossen wird.

1.2 Ermitteln Sie die Geschwindigkeit der Elementarladungen in einem Kupferdraht mit dem Quer-

schnitt A=1mm2

, der mit einem Strom von 1A durchflossen wird. Die Anzahl der Elementarladun-gen pro cm3 beträgt n=8 ·1022.

1. Berechnen Sie zunächst die Ladung Q, die in dem Draht von 1 mm Länge vorhanden ist.

2. Anschließend ist die Stromstärke zu ermitteln, die durch Verschieben der Ladung Q um lmm ineiner Sekunde entsteht.

3. Schließlich ist die Strömungsgeschwindigkeit einer Ladung zu berechnen, die einem Strom von1A entspricht.

4. Geben Sie zusammenfassend die Gleichung an, mit der die Geschwindigkeit der Elementarla-dungen aus obigen Angaben direkt zu berechnen ist.

1.3 In einem Draht von 0,06mm Durchmesser fließt ein zeitlich konstanter Strom von 80mA.

1. Berechnen Sie die Elektrizitätsmenge (Ladung), die in einer Stunde den Querschnitt durchfließt.

2. Ermitteln Sie die Stromdichte in A/mm2 und in kA/cm2.

1.4 Für den skizzierten Stromkreis sind die Quellspannung Uq bzw. die EMK E, die KlemmenspannungUAD und die Spannung UAC zu ermitteln, wenn der Spannungsabfall aufgrund des inneren Wider-standes der Spannungsquelle Ui=10V und die elektrischen Potentiale der Punkte A bis D A=200V,B=150V, C=120V und D=0V betragen.

Bild 1.22 Übungsaufgabe 1.4

1.5 Der Drahtdurchmesser eines Kupferdrahtes beträgt 1,4mm. Berechnen Sie den ohmschen Wider-stand des Drahtes als kurzen Verbindungsdraht von 20cm Länge und als Fernsprechkabel von500km Länge.

1.6 Für eine Spule eines Drehspulinstrumentes wird das skizzierte Rähmchen mit den Maßena = 30mm, b = 6mm, c = 40mm und c = 0,6mm verwendet.

1. Zunächst ist die Windungszahl w einer Kupferdrahtwicklung zu berechnen, wenn für die Wick-lung (Lagenwicklung) die Fläche b·c zur Verfügung steht. Die Drahtdurchmesser betragenisoliert 0,12mm und unisoliert 0,10mm.

2. Berechnen Sie dann den Spulenwiderstand, indem Sie für die Länge einer Windung die mittlereLänge l m = 2(a + c + 2 · c) annehmen.





1.7 Durch Strom-Spannungs-Messungen wurde die skizzierte Kennlinie U = f(I) ermittelt.

Stellen Sie zunächst eine Wertetabelle für die markierten (I,U)-Paare auf. Berechnen Sie denGleichstromwiderstand R a = f(I) und den differentiellen Widerstand R d = f(I). Für R d nähern Sie dieKurve durch Geradenstücke an, die durch die markierten Punkte gebildet werden. Berechnen Sie dieAnstiege der Geradenstücke und stellen Sie die Funktionen R a = f(I) und R d = f(I) dar.


1.8 Der ohmsche Widerstand einer Spule aus Kupfer und einer Spule aus Manganin darf sich infolgeErwärmung nur um 0,1 % erhöhen.

1. Berechnen Sie die Temperaturen, die die beiden Spulen annehmen dürfen. Die Bezugstempera-tur soll 20ºC betragen.

2. Warum lässt sich nur die Spule aus Manganin für die Herstellung von Widerständen verwenden?

1.9 Ein Kupfer-Doppelkabel ist zwischen den Punkten A und B verlegt. Im Punkt B sind die beidenAdern des Kabels zusammengeschlossen, und im Punkt A wird eine Gleichspannung von 60V zwi-schen den beiden Adern angelegt.

1. Ermitteln Sie die Länge des Doppelkabels, wenn bei einer Kabeltemperatur von 20ºC eineStromdichte von 50mA/mm2 gemessen wird.

2. Bei einer anderen Temperatur wird eine um 10 % höhere Stromdichte gemessen. Wie hoch istdie Kabeltemperatur bei dieser Messung? Erläutern Sie das Ergebnis.

1.10 Die Kupferwicklung eines Transformators hat bei der Temperatur 1 = 15ºC den Gleichstromwider-stand R 1 = 20. Im Dauerbetrieb steigt der Widerstand auf R 2 = 24,3. Gesucht ist die Temperatur 2, die die Wicklung des Transformators im Dauerbetrieb annimmt.

1. Geben Sie zunächst die beiden Gleichungen für die temperaturabhängigen Widerstände R 1 undR 2 allgemein an.

2. Berechnen Sie aus beiden aufgestellten Gleichungen die gesuchte Wicklungstemperatur 2.1.11 Für einen Tauchsieder mit der Leistungsaufnahme von 1kW bei 220V soll ein Heizdraht aus

Chromnickel und mit einem Durchmesser von 0,3mm dimensioniert werden.

1. Ermitteln Sie die notwendige Länge des Heizdrahtes, indem Sie die Temperaturabhängigkeitdes Materials zunächst vernachlässigen.

2. Untersuchen Sie anschließend den Einfluss des Temperaturkoeffizienten, indem Sie den prozen-tualen Zuwachs des Widerstandes des Heizdrahtes bezogen auf gleiche Längen berechnen,wenn die Temperatur von 20ºC auf 100ºC anwächst.

1.12 Mit Hilfe eines Kochers, der einen ohmschen Widerstand von 24,2 besitzt und an 220V angeschlos-sen wird, sollen 8,6l Wasser nach einer halben Stunde von 20ºC zum Sieden gebracht werden.

1. Berechnen Sie die Strom- und die Leistungsaufnahme des Kochers.2. Berechnen Sie die vom Wasser aufgenommene Wärmemenge, wenn das Wasser siedet. Verglei-chen Sie die aufgenommene Wärmeenergie mit der vom Kocher abgegebenen Wärmeenergie.

Chapter 01

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