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Charakterisierung und Simulation optischer

Eigenschaften von mikromechanisch

abstimmbaren Filterbauelementen =

Friedhard Römer

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kasseluniversity

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Die vorliegende Arbeit wurde vom Fachbereich Elektro-

technik / Informatik der Universität Kassel als Dissertation

zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktors der

Ingenieurwissenschaften (Dr.-Ing.) angenommen.

Erster Gutachter: Prof. Dr. Hartmut Hillmer

Zweiter Gutachter: Prof. Dr. Bernd Witzigmann

Beisitzer: Prof. Dr.-Ing. Bernd Weidemann

Prof. Dr. Wolf-Jürgen Becker

Tag der mündlichen Prüfung 11. November 2005

Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek

Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in

der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografi-

sche Daten sind im Internet über

http://dnb.ddb.de abrufbar

Zugl.: Kassel, Univ., Diss. 2005

ISBN-10: 3-89958-196-2

ISBN-13: 978-3-89958-196-6

URN: urn:nbn:de:0002-1965

© 2006, kassel university press GmbH, Kassel

www.upress.uni-kassel.de

Umschlaggestaltung: 5 Büro für Gestaltung, Kassel

Druck und Verarbeitung: Unidruckerei der Universität Kassel

Printed in Germany

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Abstract

Electromechanically tunable microoptic filter devices are attractive com-ponents for several applications like telecommunication and spectroscopy foranalytics and gas sensing. In particular the development of WDM (Wave-length Division Multiplex) systems for optical communication in the past 15years has led to a high demand for optical filter components. As standardWDM components are fixed in wavelength the need for more flexibility anddynamic routing has led to the development of wavelength tunable filtersand lasers for the telecommunication range. Several implementations are yetknown; one very promising is the air-gap technology for vertical tunable fil-ters which employs several membranes of semiconductor material separatedby air gaps to form highly reflective DBR’s (Distributed Bragg Reflectors)which enable a short cavity with a length of λ/2 or λ. Wavelength tuning isachieved by applying a voltage to the membranes adjacent to the cavity andthus changing the cavity length by electrostatic attraction of the membra-nes. As the technological processes are subject to variations it is necessaryto verify the yield by device characterization and to improve the optical de-sign in order to make it more tolerant against geometric variations by modelcalculations, which is the aim of this work.

The optical characterization of the fabricated filters covers measuring thereflection and transmission by direct fiber coupling, which is supposed to bethe most advantageous set up for the technical application, and the lateralmode stimulation, which has been developed in particular to obtain someinformation on the influence of the suspensions on the optical performanceof the filters. Electromechanical measurements have been performed in orderto determine the tuning curve and the dynamic properties of the filters suchas the mechanical resonance frequency and the settling time. For the modelcalculations, a quasi three dimension BOR (Body of Revolution) model hasbeen adopted and a method has been worked out in order to determine thefilter transfer functions in transmission and reflection from the eigenmodes.In contrast to a stationary harmonic analysis this method is about 25 timesfaster and allows to compute the influence of source field variations withoutrecomputing the Finite Element Model.

ii

The simulation results show that in particular the optical performanceof large diameter filters suffers from membrane deformations which mighteven obstruct the filter whereas the side mode suppression can be improvedby choosing a longer cavity though the cavity length is limited by the freespectral range which might reach the tuning range for a long cavity. However,the measurements show that the suspensions do have a significant influenceon the optical performance which holds in particular for small membraneswith four suspensions. The agreement is good for those filters with a largemembrane diameter or membranes which are supported by a single cantile-ver which is confirmed by the reflection/transmission measurement as wellas the mode stimulation measurement. The dynamic characterization showsmultiple resonances for filters which are due to the mechanical coupling ofthe membranes by the enclosed air. This is confirmed by the measurementof single membranes which show a simple resonant low pass characteristic.

Part of this work has been published in the following articles and confe-rences:

� F. Romer, C. Prott, J. Daleiden, S. Irmer, M. Strassner, A. Tarraf, andH. Hillmer, “Micromechanically tunable air gap resonators for long wa-velength VCSEL’s.” Procedings of the IEEE LEOS International Se-miconductor Laser Conference, pp. 13-14, Garmisch, Germany, Sept.29-Oct.3,2002.

� F. Romer, C. Prott, S. Irmer, J. Daleiden, and H. Hillmer, “Tuningefficiency and linewidth of electrostatically actuated multiple air-gapfilters”, Appl. Phys. Lett., vol. 82, pp. 176-178, 2003.

� F. Romer, M. Streiff, C. Prott, S. Irmer, A. Witzig, B. Witzigmann,and H. Hillmer, “Transfer function simulation of all-air-gap filters basedon eigenmodes.” Proceedings of the 4th International Conference onNumerical Simulation of Optoelectronic Devices (NUSOD ’04), pp. 105-106, August 24-26, 2004, Santa Barbara, CA/USA.

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 1

2 Charakterisierung der Filter 92.1 Reflexion, Transmission und Abstimmung . . . . . . . . . . . . 10

2.1.1 Reflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.2 Transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.1.3 Abstimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.4 Diodenkennlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 Modenanregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.1 Messung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.2 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3 Abstimmdynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Optische Simulation der Filter 353.1 Physikalische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.1.1 Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.1.2 Ebene Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.1.3 Grenzflachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.1.4 Fabry-Perot-Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.1.5 Moden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2 Simulationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.3 Transfermatrixmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3.1 Transferfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3.2 Elektrisches Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.3.3 Eigenmoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.3.4 Gruppenlaufzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.4 FEM-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.4.1 BOR-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.4.2 Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.4.3 Quellenfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.4.4 Eigenmoden und Transferfunktion . . . . . . . . . . . . 61

iii

iv INHALTSVERZEICHNIS

3.4.5 Vergleich zu stationarer harmonischer Analyse . . . . . 72

4 Filterentwurf 774.1 Mechanische Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.1.1 Elektromechanische Aktuation . . . . . . . . . . . . . . 784.1.2 Thermische Aktuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.2 Anforderungen optischerUbertragungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.3 Anforderungen an Mikrospektrometer . . . . . . . . . . . . . . 904.4 Entwurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.4.1 Abstimmbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.4.2 Linienbreite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.4.3 Einfugedampfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.4.4 Entwurf eines InP/Luft-Filters . . . . . . . . . . . . . . 104

5 Simulations- und Messergebnisse 1095.1 Strukturbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.1.1 InP-Luftspalt-Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.1.2 SiNx-Luftspalt-Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.2 Analyse der optischenFiltereigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.2.1 Membrankrummung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.2.2 Kavitatslange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.2.3 Abstimmverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.2.4 Dielektrische Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.2.5 Einfluss der lateralen Struktur auf die Modenanregung 129

5.3 ElektromechanischeCharakterisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.3.1 Abstimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.3.2 Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

6 Zusammenfassung 1436.1 Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1446.2 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

A Implementierung des BOR-Modells in FEMLAB 149

B spectrafit 151B.1 Dialog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151B.2 Strukturbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154B.3 Batchbetrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

INHALTSVERZEICHNIS v

C zero 159

Kapitel 1

Einleitung

1

2 KAPITEL 1. EINLEITUNG

Die wirtschaftliche und technologische Bedeutung, die die Photonik inden letzten 20 Jahren gewonnen hat, ist nicht nur allein auf die Nachfra-ge zuruckzufuhren, sondern auch darauf, dass es große technologische Fort-schritte bei dem Entwurf und der Herstellung mikrooptischer Systeme ge-geben hat, wobei diese Entwicklung immer noch anhalt. Gleichzeitig sinddamit die Marktpreise fur mikrooptische Komponenten stark gefallen, undes konnte deren Zuverlassigkeit gesteigert werden. In diesem Kontext gewin-nen die MOEMS (Micro-Optical-Electromechnical-Systems) immer starkeran Bedeutung, vor allem auf dem Gebiet der Displaytechnologie, der Tele-kommunikation und der Sensorik [1, 2]. Die in dieser Arbeit untersuchtenmikromechanisch aktuierten Fabry-Perot-Filter sollen in Zukunft vor allenDingen in den Bereichen der optischen Telekommunikation und fur die Ana-lytik und Sensorik in Form von Mikrospektrometern Anwendung finden, wo-bei die Entwicklung hier noch am Anfang steht [3]. Die Miniaturisierung deroptischen Baulemente bringt nicht nur Vorteile in der Fertigungstechnolo-gie mit sich, da eine Vielzahl von Bauelementen in einem Schritt prozessiertwerden kann (Batch-Processing). Auch die Zuverlassigkeit und Lebensdauerwird gegenuber makrooptischen Bauelementen mit mechanischer Aktuationgesteigert, da sich bei der Miniaturisierung grundlegend andere Verhaltnisseder auf die funktionalen Komponenten wirkenden Krafte ergeben [4].

Neue Technologien und Dienste im Bereich der Nachrichtentechnik wiezum Beispiel Video On Demand, Bildtelefonie, IN (Intelligent Network) undMultimediadienste fur die mobile Kommunikation, sowie neuere Applikatio-nen des Internet erfordern eine immer großere Bandbreite der Nachrich-tenubertragung. Die bisherige Entwicklung wurde schon entscheidend vonoptischen Telekommunikationssystemen beeinflusst, deren Ubertragungsme-dium die Glasfaser ist. Als Transmitter werden dabei Halbleiterlaser undals Empfangerbauelemente Photodetektoren verwendet. Fur die Ubertragunguber lange Strecken (Wide Area Network, WAN) werden dabei heutzutagenur noch Single Mode Fasern (SMF) eingesetzt, die sich dadurch auszeichnen,dass sie insbesondere im C-Band bei 1550nm eine sehr geringe Absorptionvon 0.19dB/km [5] haben. Multi-Mode-Fasern finden dennoch zunehmendEinsatz in der Rechnervernetzung (Local Area Network, LAN) und fur digi-tale Audio/Video-Anwendungen.

Eine SMF mit 8.3µm Kerndurchmesser ist zumindest theoretisch in einemWellenlangenbereich von 1285-1625nm nutzbar [5]. Diese enorme Bandbreitekann aber nicht in einem Ubertragungskanal genutzt werden, da zum einendie als Transmitter verwendeten Halbleiterlaser eine Modulationsbandbrei-te von maximal 30GHz aufweisen [6, 7], und zum anderen die chromatischeDispersion und die Polarisationsdispersion [8] die Kanalbandbreite je nachLange der Ubertragungsstrecke begrenzen. Zur Erhohung der Ubertragungs-

3

bandbreite wird daher in den heute verwendeten System ein Wellenlangen-multiplexverfahren (Wavelength Division Multiplex, WDM) verwendet, beidem eine Reihe von Kanalen bei verschiedenen Wellenlangen definiert wer-den. Dabei erhoht sich naturlich der Aufwand an Komponenten fur dasSystem: auf der Transmitterseite werden Laser mit einer genau definiertenEmissionswellenlange fur jeden Kanal und ein Multiplexer benotigt, um dieeinzelnen Signale auf einer Glasfaser zu vereinen. Auf der Empfangerseitewird ein Demultiplexer benotigt, um die Kanale wieder zu trennen, wobei esauch moglich ist, die Kanale einzeln mit optischen Add-Drop-Multiplexern(OADM) herauszufiltern. Gegenwartig sind kommerzielle DWDM-Systeme(Dense Wavelength Division Multiplex) mit einer Ubertragungskapazitat vonca. 1.2Tb/s erhaltlich [8], wobei aber schon Systeme mit 10Tb/s demonstriertwurden [9].

Die Vorteile der WDM-Systeme liegen auf der Hand: neben der besserenAusnutzung der Bandbreite einer Glasfaser konnen auch die schon verleg-ten Glasfaserstrecken weiter verwendet werden, sofern es sich um SMF han-delt. Die Nachteile sind ein hoherer technischer und logistischer Aufwand, dadie Netzbetreiber Ersatzkomponenten fur alle 128 Wellenlangenkanale einesDWDM-Systems auf Vorrat halten mussen, und die fehlende Moglichkeit fureine dynamische Weiterleitung (Routing) der Kanale. Diese Nachteile lassensich durch die Verwendung von Komponenten vermeiden, deren Tragerwel-lenlange abstimmbar ist, weswegen seit einigen Jahren auf diesem Gebiet in-tensiv Forschung betrieben wird. Dabei eignen sich diese in der Wellenlangeabstimmbaren Komponenten auch fur den weiten Bereich der spektralen Cha-rakterisierung in analytischen und messtechnischen Anwendungen.

Fur abstimmbare Halbleiterlaser als Transmitter existieren im Wesent-lichen zwei Ansatze. Es gibt zum einen abstimmbare, kantenemittierendeHalbleiterlaser, die uber eine rein elektronische Abstimmung verfugen. Beidiesen Bauelementen wird die Wellenlangenabstimmung dadurch erzielt, dassin verschiedene funktionale Sektionen des Lasers bis zu 13 unterschiedlicheStrome eingepragt werden [10–12]. Diese Kantenemitter zeichnen sich durcheine hohe Ausgangsleistung und eine lateral einmodige Emission aus, wo-bei aber zur Ansteuerung auf jeden Fall ein Mikrocontroller notwendig ist,der abhangig von der Wellenlange die Steuerstrome bestimmt. Zum anderenexistieren VCSEL (Vertical Cavity Surface Emitting Laser), bei denen einerder Reflektoren mikromechanisch aktuierbar ist und so durch die Anderungder Kavitatslange eine Wellenlangenabstimmung ermoglicht. Dabei wird derReflektor zumeist elektrostatisch aktuiert [13–16]. Es sind aber auch Ansatzemit einer thermischen Aktuierung bekannt [17,18]. Die mikromechanisch ak-tuierten VCSEL haben zwar eine eher geringe Ausgangsleistung, bieten aberdafur die Moglichkeit der direkten Faserkopplung und der Wellenlangenab-


Abbildung 1.1: Vertikal gedehnte Darstellung eines Luftspalt-Filters mit denwesentlichen funktionalen Elementen.

stimmung uber einen einzelnen Parameter.

Mikromechanisch abstimmbare Filter basieren in der uberwiegendenMehrzahl auf dem Prinzip einer Faby-Perot-Kavitat [19, Kap. 9.6.1], wo-bei aber die Kavitatslange in der Großenordnung der Wellenlange liegt. Dashat zur Folge, dass hoch reflektierende Spiegel verwendet werden mussen,um die erforderlichen Linienbreiten realisieren zu konnen. Da sich mit einereinzelnen Materialgrenzflache keine Reflektivitat in dieser Großenordnung er-zielen lasst, werden verteilte Reflektoren (Distributed Bragg Reflector, DBR)verwendet. Diese sind aus alternierenden Schichten von zwei Materialen mitunterschiedlichen Brechungsindizes aufgebaut, wobei die Schichtdicke im Ide-alfall ein Viertel der Materialwellenlange betragt. Dabei gilt, dass je hoherder Brechungsindexkontrast ist, umso weniger Perioden (Schichtpaare) notigsind um eine vorgegebene Reflektivitat zu erzielen, was Systeme mit hohemKontrast besonders attraktiv in der Anwendung macht.

Die Mehrzahl der Konzepte fur abstimmbare Filter basiert auf einer ver-tikal angeordneten Kavitat, die einen oder zwei mikromechanisch aktuierbareReflektoren hat. Dabei existieren wie bei den vertikalen, abstimmbaren Halb-leiterlasern zwei Moglichkeiten die Reflektoren zu aktuieren. Fur der thermi-schen Aktuation werden dazu Heizelemente auf die Membranen aufgebrachtund so durch die thermische Expansion eine Veranderung der Kavitatslangeerreicht [20–23].

5

Die elektrostatische Aktuierung von Filtern ist allerdings grundsatzlichweniger problematisch, da eine kleinere Einstellzeit erzielt werden kann, unddie Filter thermisch nicht belastet werden. Bei einem Konzept wird die elek-trostatische Aktuierung durch eine Metallisierung der Aufhangungen an derder Kavitat zugewandten Seite ermoglicht, was aber eine Mikromontage er-fordert [25]. Das Konzept, das auch fur die in dieser Arbeit untersuchtenFilter verfolgt wird, basiert auf Membranen aus dotiertem Halbleitermaterial(InP), die zum einen elektrisch leitfahig und zum anderen fur den gewahltenWellenlangenbereich optisch transparent sind [24,26–30].

Monolithische Braggspiegel aus alternierenden Schichten von InP und git-terangepasstem quaternaren Material benotigen aufgrund des geringen Bre-chungsindexkontrasts sehr viele Perioden um eine genugend hohe Reflekti-vitat zu ermoglichen [31]. Daher werden Braggspiegel aus Halbleitermembra-nen verwendet, wobei die Zwischenraume mit Luft gefullt sind [32] und somitein besonders hoher Kontrast entsteht. Diese InP-Luft-Spiegel benotigen nur2.5 Perioden um eine genugend hohe Reflektivitat zu erzielen [33]. Aufgrunddes geringeren epitaktischen Aufwands und der kleineren Absorption wer-den diese InP-Luft-Spiegel inzwischen auch fur nicht abstimmbare VCSELverwendet [34].

Die technologische Herstellung lauft im Wesentlichen in 4 Schritten ab[30]:

1. zunachst wird das Schichtsystem aus den InP-Membranen und den Op-ferschichten (GaInAs) epitaktisch hergestellt,

2. in einem Trockenatzschritt wird die laterale Form der Aufhangungenund Membranen definiert,

3. danach wird das Opfermaterial durch eine nasschemische Atzung ent-fernt und

4. durch einen Kritisch-Punkt-Trockenschritt die Flussigkeit aus dem Fil-ter entfernt.

Im Ergebnis sehen die Filter wie in Abb. 1.2 dargestellt aus, wobei die einzel-nen Membranen wie in Abb. 1.1 dargestellt mit bis zu vier Aufhangungen anden Haltepfosten befestigt sind. Die Breite des Luftspalts, der die Kaviat aus-macht, entspricht dabei entweder etwa der Halfte der Filterwellenlange oderetwa der Filterwellenlange selbst. In der folgenden Darstellung werden dieseKavitaten daher entweder als λ/2-Kavitat oder λ-Kavitat in Bezug auf diezu filternde Wellenlange λ bezeichnet. Um die Haltepfosten vor einer starkenUnteratzung zu schutzen ist eine in Abb. 1.2 grun dargestellte Schutzmaske


Abbildung 1.2: Maßstabliche Darstellung eines InP-Luft-Filters mit 40µmMembrandurchmesser und. Die Aufhangungen haben eine Lange von 20µm.

aufgebracht. In der Mitte der Haltepfosten sind in Abb. 1.2 die Kontakte zuerkennen. Die technologischen Schritte, auch zur Herstellung von Kontaktenund der Definition von Schutzmasken, sind im Detail in [35] beschrieben.

Neben diesem auf Halbleitermaterial basierenden Filter ist noch ein weite-res Filterkonzept auf der Basis von dielektrischen Schichten mit Luftspaltenentwickelt worden [36], das sich durch eine kostengunstigere Herstellung undteilweise verbesserte Membraneigenschaften auszeichnet. Da dieser Filtertyprelativ neu ist, ist eine Wellenlangenabstimmung zwar projektiert aber bishernoch nicht realisiert worden.

Fur den Einsatz der Filter in DWDM-Systemen und Mikrospektrome-tern werden hohe Anforderungen an bestimmte optische Eigenschaften wiedie Toleranz der Linienbreite, die Seitenmodenunterdruckung und die Einfu-gedampfung gestellt. Gleichzeitig besteht auch ein Interesse an den elektro-mechanischen Eigenschaften, wie dem Abstimmbereich und der Abstimm-dynamik. Da die technologischen Prozesse immer gewissen Schwankungenunterworfen sind, und es auch Probleme technologischer Art wie z.B. ei-ne Verbiegung der Filtermembranen gibt, die sich nicht ganzlich vermeidenlassen [30], ist es notwendig die vorgenannten Eigenschaften durch die mes-stechnische Charakterisierung zu ermitteln und zu verifizieren. Andererseitskonnen durch geeignete Modellrechungen der Einfluss der Filtergeometrie aufdie optischen Eigenschaften bestimmen werden und damit Konzepte erarbei-tet werden, wie die Filter durch eine entsprechende Strukturierung einerseitsleistungsfahiger und andererseits unempfindlicher gegenuber technologischenArtefakten gemacht werden konnen. Damit eng verknupft ist der Filterent-wurf, d.h. die Definition der Geometrie fur die gewunschten Filtereigenschaf-ten, wobei die vertikale Struktur von besonderer Bedeutung ist.

7

Im Rahmen dieser Arbeit werden die auf der Luftspalttechnologie basie-renden Filter mit Membranen aus InP und dielektrischen Membranen mess-technisch und simulationstechnisch mit dem Ziel einer Entwurfsoptimierunguntersucht, wobei die jeweiligen Ergebnisse im Vergleich diskutiert werden.Die Arbeit ist wie folgt aufgebaut:

� Kapitel 1 gibt einen Uberblick uber den technischen Stand von mi-krooptischen, wellenlangenabstimmbaren Filtern und Lasern und derenAnwendungsgebiete. Daruber hinaus werden die untersuchten Filter-bauelemente eingefuhrt und die Zielsetzung der Charakterisierung undModellrechnungen erlautert.

� Kapitel 2 stellt die Methoden vor, die zur Charakterisierung der Filterverwendet wurden, wobei auch auf die Datenauswertung und die Kali-brierung eingegangen wird. Im Detail sind dies die Messung der Trans-mission und Reflexion, der Modenanregung, der Abstimmung und derAbstimmdynamik.

� Kapitel 3 geht auf die verwendeten Simulationsmethoden und -model-le ein und gibt einen Uberblick uber die physikalischen Grundlagen. Ne-ben der Implementierung der etablierten Transfermatrixmethode wirddas quasi dreidimensionale rotationssymmetrische Modell zur Bestim-mung der Eigenmoden und die Bestimmung der Transferfunktionen derFilter in Reflexion und Transmission aus den Eigenmoden dargestellt.

� Kapitel 4 erlautert die Anforderungen an die Filter, die sich aus demEinsatz in DWDM-Systemen und Mikrospektrometern ergeben. Wei-terhin werden die elektromechanischen Eigenschaften erlautert, und eswird dargestellt, wie sich die Eigenschaften abstimmbarer Filter gezieltdurch die Geometrie beeinflussen lassen.

� Kapitel 5 befasst sich nach einer Zusammenfassung der geometrischenDaten und Eigenschaften der Filter mit den Simulationen auf Basis desrotationssymmetrischen Modells. Insbesondere der Einfluss von Mem-brandeformationen und -durchmesser sowie der Kavitatslange auf dieTransferfunktionen wird untersucht. Neben einem Vergleich der Simu-lationen mit den Charakterisierungsergebnissen werden die Messungenund Auswertungen zu den elektromechanischen Eigenschaften der Fil-ter dargestellt.

� Kapitel 6 gibt eine zusammenfassende Bewertung und einen Ausblickauf die weitere Entwicklung.


� Anhang: enthalt die Implementierung des BOR-Modells in Femlabund Erlauterungen zu dem Transfermatrixprogramm und dem Pro-gramm zur Bestimmung der Transferfunktion aus den Eigemoden.

Kapitel 2

Charakterisierung der Filter

9

10 KAPITEL 2. CHARAKTERISIERUNG DER FILTER

Die im folgenden Kapitel erlauterten Charakterisierungsmethoden dienendazu, die Filter nach der technologischen Herstellung zu qualifizieren und dieSimulationsmethoden zu verifizieren. Die wesentlichen Eigenschaften der Fil-ter fur die technische Anwendung sind deren Reflexions- und Transmissions-charakteristik, weshalb sich auch alle Methoden zur Bauelementecharakteri-sierung auf diese Eigenschaften zuruckfuhren lassen. Der neben der Filtercha-rakteristik wichtigste Aspekt ist die Abstimmcharakteristik der Filter. Diesebasiert auf der Messung der Reflektionskurven, lasst sich aber grundsatzlichauch mit der Messung der Transmission kombinieren. Charakterisierung vonTransmission, Reflexion und Abstimmung werden daher gemeinsam in Kap.2.1 beschrieben. Zur Beurteilung der Epitaxie und der Kontakte wird vorder Messung der Abstimmcharakteristik die Diodenkennlinie gemessen, wasin Kap. 2.1.4 erlautert wird.

Ein weiterer wichtiger Aspekt ist, dass die Transmissions- und Reflexions-funktionen der Filter entscheidend von der Art und Anordnung der Licht-quelle abhangen, was in Kap. 3.4 naher erlautert wird. Der Einfluss der Po-sitionierung der Quelle auf die Reflexionsfunktionen der technologisch herge-stellten Filter wird wie in Kap. 2.2 dargestellt ermittelt. Um einen Vergleichder experimentell ermittelten Daten mit den Ergebnissen der theoretischenModellrechnung zu ermoglichen, ist es notwendig, die einzelnen Moden derReflexionsfunktionen zu trennen, und diese in Bezug auf die raumliche An-regungseffizienz mittles der Datenauswertung darzustellen.

Fur systemtechnische Anwendungen ist es insbesondere von Interesse,wie schnell die Abstimmung der Filterwellenlange moglich ist. Daher wurdeein Messplatz konstruiert, mit dessen Hilfe sowohl von einzelnen Membra-nen als auch von ganzen Filtern die mechanische Transferfunktion, also dieAbhangigkeit der Kavitatslangenanderung von Modulationsfrequenz bei har-monischer Kleinsignalanregung, ermittelt werden kann. Dieser Messplatz istin Kap. 2.3 beschrieben.

2.1 Reflexion,TransmissionundAbstimmung

Die nach außen hin zuganglichen Eigenschaften der Filter sind analog zurDarstellung von Zweitoren in der Mikrowellentechnik die Streuparameter,wobei insbesondere deren Abhangigkeit von der Wellenlange von Interesse ist.Dabei stellt der Streuparameter s11 ein Maß fur die Reflexion dar, wahrendder Streuparameter s21 die Transmission des Bauelements beschreibt [55,Kap. 3.2]. Auf die Ermittlung der ubrigen beiden Streuparameter wird in derRegel verzichtet, da diese fur den praktischen Betrieb uninteressant sind, unddie Anregung des Filters durch das Substrat hindurch schwer zu justieren und

2.1. REFLEXION, TRANSMISSION UND ABSTIMMUNG 11

OSA

3dB-Koppler

Temp.RegelungSpannungsquelle

ϑ

EELED-Quelle

TEC

Kontaktspitze

Probe

=3.4V

Abbildung 2.1: Schematische Darstellung des Aufbaus zur Messung der Re-flexion eines Filters.

wegen der Beugungsverluste und der Absorption uneffektiv ist. Im Gegensatzzur Mikrowellentechnik verzichtet man bei der Charakterisierung optischerBauelemente haufig darauf die komplexen Streuparameter zu bestimmen,sondern nur deren Betragsquadrat1. Dies hangt vor allen Dingen mit derVerfugbarkeit spektral weit abstimmbarer Laser mit einer hohen Koharenzzusammen, die fur den Wellenlangenbereich, in dem die optische Kommuni-kation stattfindet, seit etwa 12 Jahren kommerziell verfugbar sind [37]. Erstseit kurzer Zeit sind vektorielle optische Netzwerkanalysatoren kommerziellverfugbar [38], die eine direkte Bestimmung der komplexen Streuparameterermoglichen.

2.1.1 Reflexion

Der in Abb. 2.1 dargestellte Aufbau zur Messung der Reflexion basiert aufeinem skalaren optischen Spektrumanalysator (OSA) mit einem mechanischangetrieben Gittermonochromator [39]. Dies ist bei Geraten, die fur den Wel-lenlangenbereich der optische Kommunikation auf der Basis von Glasfasern2

konstruiert sind, noch ublich. Integrierte Gerate im sichtbaren Spektralbe-reich arbeiten heutzutage nur noch selten mit Monochromatoren, es wirdhaufig eine Anordnung aus einem Beugungsgitter und einer Silizium-CCD-Zeilenkamera verwendet [41], die uber keine beweglichen mechanischen Teileverfugt. Diese Gerate sind allerdings fur das O-, E-, S-, C-, L- und U-Band,

1Das sind dann die Werte, die sich auf die optische Leitung beziehen.2Im 1. Fenster bei 850nm und im O-, E-, S-, C-, L- und U-Band bzw. 2. und 3. Fenster

von 1270nm -1650nm [40, Kap. 6.1]


IIRMonochromator Detektor

Auflösung

Videofilter

Rauschpegel Videobandbreite

Abbildung 2.2: Schematischer Aufbau eines optischen Spektrumanalysatorsmit einem Monochromator nach [39].

Abbildung 2.3: Maßstabliche Darstellung eines Filters im Messaufbau. DerAbstand der Glasfaser in der Mitte zu der Oberflache des Filters betragtin der Darstellung ca. 3µm. In der Mitte unterhalb des Glasfaser sind diedrei untersten Membranen des Filters zu erkennen (Durchmesser: 20µm,Aufhangungen: 10µm). An der Seite rechts ist die Kontaktspitze angedeu-tet.

in dem die hier vorgestellten Filter arbeiten, unbrauchbar, da die Si-Sensorenin diesem Spektralbereich keine Empfindlichkeit aufweisen3.

Die mit den herkommlichen Spektrumanalysatoren erreichbare Wellen-langenauflosung liegt bei ca. 50pm, was fur die Charakterisierung der Filtervollig ausreichend ist. Fur eine noch genauere Wellenlangenauflosung werdenFouriertransformationsspektrometer [42] verwendet, die auf einem Autohe-terodynverfahren4 aufbauen, was sich optisch leicht mit einem Michelson-oder Mach-Zehnder-Interferometer realisieren lasst. Daher ist dieser Aufbaueher mit herkommlichen Mikrowellenspektrumanalysatoren zu vergleichen,

3Die Photonenenergie liegt unterhalb des Bandabstands von Silizium.4Das Signal wird zeitverzogert mit sich selbst gemischt


die meist mit mehreren Oszillatoren und Mischerstufen arbeiten und somitauch ein Heterodynverfahren anwenden. Die Funktionsweise des verwendetenSpektrumanalysators ist in Abb. 2.2 schematisch dargestellt. Das kontinuier-liche Durchfahren des Wellenlangenbereichs des Monochromators erzeugt amAusgang des Detektors ein Signal im Zeitbereich, von dem ein Rauschpegelsubtrahiert wird, und das danach ein Videofilter passiert. Die Starke dieseszur optischen Leitung proportionalen Signals, und damit die Empfindlich-keit, ist umgekehrt proportional zu der Auflosung des Monochromators (sie-he Kap. 4.3). Um die Empfindlichkeit zu erhohen muss entsprechend auchdie Bandbreite des Videofilters verkleinert werden, was zur Folge hat, dassdie Zeit zum Durchfahren des Wellenlangenbereichs (Sweep Time) vergroßertwerden muss, weil ansonsten das Videofilter gleichzeitig auch das Spektrumglattet und die Wellenlangenauflosung effektiv reduziert. Daher ist es meistnicht moglich, die Auflosung und die Empfindlichkeit gleichzeitig zu erhohen.Es macht wenig Sinn, die Auflosung hoher als notwendig einzustellen, dadamit kein besseres Ergebnis erzielt wird, sondern nur die Empfindlichkeitreduziert wird. Zudem ist eine Lichtquelle, die eine hohe spektrale Leistungs-dichte aufweist, von Vorteil, wenn die Messzeit reduziert werden soll.

Abb. 2.1 zeigt den schematischen Aufbau des Messplatzes fur die Re-flexion und die Abstimmung. Als Lichtquelle dient eine Edge-Emitting-LED(EELED, fur kurzere Wellenlangen auch auch Resonant Cavity LEDs), die imGrunde genommen wie ein kantenemittierender Fabry-Perot-Laser aufgebautist, wobei aber eine Facette sehr sorgfaltig entspiegelt ist [43, 44]. Dadurchwird eine optische Ruckkopplung verhindert und so die Fabry-Perot-Modenunterdruckt. Bedingt durch die lange Kavitat werden die spontanen Emis-sionen stimuliert verstarkt, so dass der Wirkungsgrad der Quelle effektivgesteigert wird. Das sich ergebende Spektrum wird auch als ASE-Spektrum(Amplified Spontaneous Emission) bezeichnet. Die spektrale Leistungsdichteist insbesondere dort hoch, wo der optische Gewinn in dem verstarkendenMedium hoch ist. EELEDs oder auch RCLEDs sind dadurch gekennzeich-net, dass der großte Teil ihrer Ausgangsleistung von stimulierten Emissionenverursacht wird [45], was sie von gewohnlichen LEDs unterscheidet. In Bezugauf die Ausgangsleistung liegen EELEDs zwischen normalen LEDs und Halb-leiterlasern. Die EELED ist insbesondere fur messtechnische Anwendungeninteressant, da sie neben einem breiten Emissionsspektrum lateral einmodigist, was bedeutet, dass ihre Ausgangsleistung mit einem geeigneten Strahl-transformator vollstandig in eine Single-Mode Glasfaser (SMF) eingekoppeltwerden kann.

Zur Wellenfuhrung wird eine Standard-SMF eingesetzt [5], die fur op-tische Telekommunikationssysteme gebrauchlich ist. Um das an dem Filterreflektierte Signal messen zu konnen wird wie in Abb. 2.1 dargestellt ein 3dB-


Koppler verwendet, der die an einem Tor eingespeiste Leistung im Verhaltnis50:50 jeweils auf die beiden gegenuberliegenden Tore aufteilt. Damit betragtdie maximale spektrale Leistungsdichte am OSA ein Viertel der spektralenLeistungsdichte der Quelle, da sowohl auf dem Hin- als auch auf dem Ruck-pfad jeweils die Halfte der Leistung am Koppler verloren geht. Da dieserWert schon das Optimum darstellt, konnte eine weitere Verbesserung derspektralen Leistungsdichte am OSA nur durch die Verwendung eines opti-schen Zirkulators erzielt werden, wobei allerdings die spektrale Bandbreitestark eingeschrankt wurde5, so dass diese Losung nicht praktikabel ist. DerAnteil der reflektierten Leistung, der in Richtung der EELED-Quelle zuruckpropagiert, wird in dem integrierten optischen Isolator absorbiert. DiesesBauelement ist von großer Bedeutung fur diese Quelle, denn anderenfallswurde durch die optische Ruckkopplung ein Resonator entstehen, der dasASE-Spektrum stark beeintrachtigt.

Die Kopplung der SMF mit dem Filter erfolgt direkt, d.h. das praparierte(senkrecht zur Faserachse gebrochene) Faserende wird in unmittelbarer Nahedirekt uber dem Filter platziert und ausgerichtet, was schematisch in Abb. 2.3dargestellt ist. Der Abstand zwischen Filter und Faserende ist dabei kleinerals 5µm, was bedeutet, dass die Anregung im Nahfeldbereich stattfindet. DieAusrichtung der Faser erfolgt manuell nach drei Kriterien:

1. Maximale Reflektvitat des Stopbands, wodurch sichergestellt wird, dasssich die Fasermitte uber der obersten Filtermembran befindet und nichtseitlich davon,

2. Maximale Filtereffizienz, d.h. minimale Reflektivitat bei der Filterwel-lenlage und

3. großtmogliche Seitenmodenunterdruckung, d.h. es wird ein Spektrumangestrebt, das nur eine einzige, moglichst stark ausgepragte Filterlinieaufweist.

Die direkte Ankopplung wurde vor allen Dingen deshalb gewahlt, weil sieeine visuelle Ausrichtung von Faser und Filter ermoglicht. Eine Alternativehierzu ist die indirekte Kopplung von Faser und Filter mit einem geeignetenStrahltransformator6, wodurch sich ein deutlich großerer Abstand zwischender SMF und dem Filter deutlich ergibt. Der Vorteil dieser Anordnung ware,dass durch die Fernfeldanregung keine Beeinflussung der Filtereigenschaften

5Wahrend 3dB-Koppler mit einer Bandbreite von ca. 1250nm bis ca. 1650nm verfugbarsind, ist die Bandbreite von optischen Zirkulatoren in diesem Bereich auf ca. 30nm be-schrankt.

6Zum Beispiel ein Kollimator oder eine Faserlinse.


Abbildung 2.4: Mechanischer Aufbau zur Kopplung von Faser und Filter.Die Probe mit den Filterbauelementen (ca. 200/cm2) liegt auf der transpa-renten Kunstoffplatte uber dem Detektor fur die Transmission, der in dieAufbauplatte fur die Kontaktspitzen eingebaut ist. Die freistehende Glasfa-ser beginnt etwa an der Spitze des trapezformigen Faserhalters. Rechts obenist der Mantel der Glasfaser zu erkennen.

durch das gebrochene Faserende mehr moglich ist. Allerdings ist es einerseitsmoglich durch die Einstellung des vertikalen Abstands zwischen Filter undFaserende die Eigenschaften zu verbessern (siehe Kap. 4.4), andererseits istdie direkte Kopplung auch fur eine industrielle Applikation wegen des gerin-geren Aufwands attraktiver. Eine leichte Winkelabweichung der Faserachsevon der optischen Achse des Filters zeigt dabei nur wenig Auswirkung aufdie Filterfunktion.

Abb. 2.4 zeigt den Aufbau zur Herstellung der Filter-Faser-Kopplung.Die Glasfaser wird senkrecht von oben an das Filter herangefuhrt, wahrenddie Probe mit den Filterbauelementen auf einer transparenten Abdeckungliegt. Oberhalb dieses Aufbaus ist ein Makroskop zum Ausrichten der Filterangebracht. Dieser vertikale Aufbau hat zum einen den Vorteil, dass es nichtnotwendig ist die Filterproben, die unterschiedlich in Form und Große ausfal-len konnen, mechanisch zu fixieren, zum anderen wird die visuelle Justierungmit dem Makroskop weder durch eine Strahlumlenkung noch durch Halte-rungen fur die Filterprobe behindert. Die Einstellung der Kontaktspitzen furdie Abstimmspannung und die Translationseinheit fur die Ausrichtung vonFilter und Faser sind mechanisch voneinander getrennt, so dass es moglich


Begriff Große

Reflektivitat R = |r|2Reflexionsfaktor r =

√R ejθ

Reflexion nur Eigenschaft

Tabelle 2.1: Gegenubersstellung der Begriffe fur die Reflexion. Der erste be-zeichnet die Reflexion der Leistung R. Der Reflexionsfaktor r bezieht sichauf das Feld oder die Leistungswelle und ist komplex. Der letzte Begriff wirdnur als Eigenschaft, nicht als Große verwendet.

ist das Filter zuerst zu kontaktieren und danach die Ausrichtung von Filterund Faser zu optimieren. Fur die Feinjustierung sind in dem Aufbau elektro-striktive Aktuatoren vorgesehen.

Um eine Messung der Reflexion7 des Filters zu ermoglichen muss der Ein-fluss des Spektrums der Quelle und der optischen Komponenten eliminiertwerden, wozu eine Kalibrierung des Messaufbaus notwendig ist. Dazu wird je-weils eine Messung mit einer Reflexionsreferenz, die eine moglichst hohe undgleichmaßige Reflexion hat, und einer Isolationsreferenz, die eine moglichstgeringe Reflexion aufweist, durchgefuhrt. Als Reflexionsreferenz bietet sichein einfacher metallischer Spiegel aus Gold an, der von 1270nm bis 1650nmeine Reflektivitat7RAu > 98% hat8 [46]. Da das Faserende in der Nahfeldan-regung einen nicht zu vernachlassigenden Einfluss auf das Filter hat, solltedie Isolationsreferenz moglichst die Reflexion am Faserende eliminieren. Dieserfordert jedoch einen hohen Aufwand, weswegen die Kalibrierung der Iso-lation mit dem Ubergang Faserende-Luft durchgefuhrt wird, und ansonstennur darauf geachtet wird, dass keine Reflexion an den Teilen des Aufbausdie Isolationsmessung stort, was durch ein stark absorbierendes Material aufdem Probenhalter garantiert werden kann. Die Reflektivitat des UbergangsGlas-Luft am Faserende betragt RGl = 3.6% und ist im Messbereich relativkonstant. Mit den Referenzmessungen (Leistungsdichtespektren) SR,Au furGold und SR,Gl mit dem offenen Faserende erhalt man zwei Stutzstellen fureine lineare Interpolation und damit die Reflektivitat

R = RGl +RAu −RGl

SR,Au − SR,Gl

(S − SR,Gl)

=RAu −RGl

1− SR,Gl/SR,Au

(S

SR,Au

− SR,Gl

SR,Au

), (2.1)

7Fur die diesem Zusammenhang verwendeten Begriffe siehe Tab. 2.1.8Die Grenzflache von Luft zu Gold hat bei 1535nm eine Reflektivitat von 98.7%, fur

den Ubergang Glas-Gold erhalt man 98.1%.


Abbildung 2.5: Aufbau zur Messung des Temperaturkoeffizienten. Das Pel-tierelement befindet sich unter der leicht angehobenen Abdeckplatte. Obenim Bild ist das angehobene Plexiglasgehause der Flowbox mit dem Schlauchzur Zufuhrung des Stickstoff zu erkennen. Zur Steigerung der Effizienz istdas Peltierelement wassergekuhlt. Von der Wasserkuhlung sind die Schlauch-klemmen im Hintergrund zu sehen.

wobei S das gemessene Leistungsdichtespektrum ist. Generell konnen alleParameter mit der Wellenlange variieren. Mit der integrierten Funktion desSpektrumanalysators die Messung relativ zu einer Referenz darzustellen, wasinsbesondere die Ausrichtung von Faser und Filter erleichtert, kommt manzu der zweiten Darstellung. Die interne Referenzbildung erfolgt in diesemFall mit dem Goldspiegel, und auch die Isolation wird relativ zu dieser Refe-renz bestimmt. Gl. 2.1 wird falls erforderlich bei der Auswertung der Datenberucksichtigt.

Der Aufbau zur Reflexionsmessung kann durch eine Aufbauplatte miteinem integrierten Peltierelement und einem Temperatursensor erganzt wer-den (siehe Abb. 2.5), wodurch es moglich ist den Temperaturkoeffizientender Filter zu bestimmen. Fur Messungen bei niedrigen Temperaturen mussdie Filterprobe durch eine kleine Flowbox, die mit Stickstoff gespult wird,geschutzt werden, da ansonsten die Luftfeuchtigkeit kondensieren konnteund in der Folge die Filterprobe durch Adhasion der Membranen zerstortwurde [36]. Eine Messung der Transmission ist parallel zur Bestimmung desTemperturkoeffizienten nicht moglich, da sich der Detektor mechanisch nicht


FaserProbeAbdeckung

Detektor

Abbildung 2.6: Anordnung von Faser, Probe und Detektor fur die Messungder Transmission. Der Detektor darf wegen der Strahlaufweitung eine be-stimmte Flache nicht unterschreiten.

mit dem Peltierelement integrieren lasst.

2.1.2 Transmission

Die Messung der Transmission erfolgt mit einem großflachigen Detektor9, derunterhalb der Probe in den Aufbau integriert ist, was grundsatzlich eine an-dere Messmethode erfordert. Diese Anordnung, die in Abb. 2.6 dargestelltist, hat den Vorteil, dass der Aufwand fur das Ausrichten des Filters ge-ring bleibt, und kein komplizierter mechanischer Aufbau zum unabhangigenAusrichten von zwei Fasern an der Vorderseite und der Ruckseite der Pro-be notwendig ist, zumal der Wirkungsgrad dieser Anordnung eher schlechtware, da auf der Ruckseite der Filterprobe das Substrat die Einkopplungwegen der Strahlaufweitung negativ beeinflusst. Die Anordung mit dem De-tektor ist zudem gegenuber einer Rauhigkeit des Substrats an der Ruckseiteeinigermaßen tolerant10.

Die numerische Apertur der Faser11 betragt ca. 0.14 [5], was bedeutet,dass bei einem Durchmesser von ca. 2mm der aktiven Flache des Photo-detektors die optische Weglange zu der aktiven Flache ca. 7mm (in Luft)betragen darf. Der tatsachliche physikalische Abstand betragt ca. 3mm, sodass mit einem ca. 350µm starken InP-Substrat die optische Weglange immernoch dem Kriterium genugt. Wie in Abb. 2.6 dargestellt wird die Probe ge-meinsam mit dem Detektor bewegt, so dass ein gewisser lateraler Spielraumzum Ausrichten der Faser notig ist. Versuche haben gezeigt, dass es ohne

9Durchmesser: 2mm10Poliergeatzte Substrate, die noch eine gewisse makroskopische Rauhigkeit an der Ruck-

seite haben, sind problemlos.11In Bezug auf ein Prozent der maximalen Leistungsdichte.


OSA 3dB Koppler

Opt. Schalter

3dB Koppler

Spannungsquelle

EELED-Quelle

Transientenrekorder

Probe

Referenz

Detektor=3.4V

TLS1550nm

Abbildung 2.7: Schematische Darstellung des Aufbaus zur Messung derTransmission eines Filters. Die Reflexion kann parallel dazu gemessen wer-den.

nennenswerte Verluste moglich ist, die Faser um ca. 0.5mm aus der Mittedes Detektors hinaus zu bewegen.

Die Anregung des Filters fur die Transmission erfolgt nicht mit derEELED-Quelle, sondern mit einem Halbleiterlaser, der sich in der Wellenlan-ge abstimmen lasst (Tunable Laser Source, TLS). Das verwendete Gerat12

besteht im wesentlichen aus einem Fabry-Perot-Laser als Verstarker, der ahn-lich wie bei einer EELED-Quelle auf einer Seite sehr sorgfaltig entspiegeltist [37]. Mit Hilfe von Kollimatoren und einem Beugungsgitter wird eineexterne Kavitat gebildet, wobei eine grobe Modenauswahl schon durch dasGitter gewahrleistet wird, dessen Anstellwinkel verstellbar ist. Die gezielteAuswahl einzelner Kavitatsmoden erfolgt durch ein Fabry-Perot-Etalon, dasunter einem gewissen Anstellwinkel in den Strahlengang eingebracht wird.Sowohl Gitter als auch Etalon sind motorisch verstellbar. Die gezielte Ein-stellung einer vorgegebenen Laserwellenlange wird von einem integriertenMikrocomputer gesteuert.

Der Aufbau zur Messung der Transmission ist wie in Abb. 2.7 in denAufbau zur Reflexionsmessung integriert, wobei mit einem optischen Schal-ter zwischen der TLS und dem Reflexionsaufbau umgeschaltet werden kann.Dies hat vor allen Dingen zwei Grunde: zum einen wird die Transmissionohnehin immer parallel zur Reflexion gemessen, und zum anderen wird zumDurchfahren des Wellenlangenbereichs bei der Transmission deutlich mehr

12Hewlett-Packard HP8168A


Wellenlänge einstellen

Signal und Referenz aufnehmen

Bereichsende?nein

FFT

Ampl. Grundfreq.

Messung d. Transmission: Start

Ende

ja

Abbildung 2.8: Ablauf der Transmissionsmessung. Datenerfassung und Da-tenauswertung arbeiten in zwei parallelen Prozessen um die Messzeit zuverkurzen.

Zeit benotigt13, was eine Ausrichtung der Faser in einem reinen Transmis-sionsaufbau nahezu unmoglich macht. Daher wird zunachst die Ausrichtungder Probe in Reflexion durchgefuhrt, und danach auf den optischen Pfad derTLS umgeschaltet und eine Transmissionsmessung durchgefuhrt. Zusatzlichzu dem Detektor, der die Transmission des Filters misst, ist noch ein Refe-renzdetektor in dem Aufbau vorgesehen, der gleichzeitig die Ausgangsleistungder TLS misst, wodurch sich die Messzeit erheblich verkurzen lasst, da dieStabilisierung der Ausgangsleistung der TLS mehrere Sekunden in Anspruchnimmt.

Aufgrund der geringen numerischen Apertur der Glasfaser ist der Reflexi-onsaufbau unempfindlich gegenuber Streulicht, weswegen hier keine zusatzli-chen Vorkehrungen getroffen werden mussen. Dies trifft auf den Transmissi-onsaufbau nicht zu, da der integrierte großflachige Detektor das Umgebungs-licht nahezu isotrop detektiert. Daher ist eine Lock-In-Technik notwendig,um den Streulichtanteil von dem Nutzsignal zu trennen. Die hier verwende-te Methode entspricht nicht dem klassischen Verfahren der phasensensitivenDetektion [47], sondern basiert auf einer numerischen Fouriertransformati-on (FFT). Zu diesem Zweck wird die TLS moduliert, und die Signale desDetektors und der Referenz von einem Transientenrekorder14 synchron auf-

13Bei vergleichbarer Auflosung von 0.5nm und einem Wellenlangenbereich von 60nmbenotigt eine Transmissionsmessung ca. 4 Min. aber die Reflexionsmessung nur ca. 7s.

14Perkin Elmer EG 7220


genommen und an den Steuerungsrechner weitergeleitet. Dieser fuhrt sowohlmit der Referenz, als auch mit dem Signal eine Fouriertransformation durchund bestimmt das Verhaltnis der Amplituden bei der Grundfrequenz derRechteckmodulation, so dass sich der parallele Programmablauf gemaß Abb.2.8 ergibt. Dadurch ergibt sich im Vergleich mit der herkommlichen Lock-In-Technik ein großer Zeitvorteil, da der Einschwingvorgang des Lock-In-Verstarkers nicht mehr abgewartet werden muss, bevor eine Messung moglichist. Daruber hinaus ist mit modernen Rechnern ist die Durchfuhrung einerFFT kein zeitintensiver Vorgang mehr. Mit numerischer Verarbeitung undder externen Referenz betragt die Messzeit pro Wellenlangenschritt ca. 2Sekunden, wahrend ein Schritt bei der Verwendung herkommlicher Lock-In-Technik ca. 30 Sekunden benotigt.

Fur die Kalibrierung der Transmission gelten ahnliche Regeln wie fur dieReflexion. Allerdings sind hier die Referenzen etwas einfacher zu definieren.So kann als Isolationsreferenz ein beliebiges Material genommen werden, dasdie aus der Faser austretende Leistung vollstandig absorbiert oder reflektiert.Fur die Transmissionsreferenz wird demzufolge einfach die Probe entfernt, sodass sich nur Luft in Strahlengang zwischen Faserende und Detektor befindet.Da aber die Grenzflache der Glasfaser wie bei der Reflexionsmessung einenEinfluss auf das Filter hat, muss hier der entsprechende Referenzwert beruck-sichtigt werden. Analog zu Kap. 2.1.1 ergibt sich TGl = 1 − RGl = 96.4%.Die Behandlung des Substrats der Filterprobe hangt dabei von der jeweili-gen Anwendung ab. Fur den Vergleich mit Simulationen ist es sinnvoll diegemessene Transmission um den Betrag der Absorption des Substrats zu kor-rigieren, da das Substrat nicht als Ganzes im Simulationsraum enthalten ist(siehe auch Kap. 3.4.2). Bei der Betrachtung der Filter als Bauelement be-einflusst das Substrat die Eigenschaften des Filters, so dass die Messungenohne Korrektur des Absorption des Substrats dargestellt werden.

2.1.3 Abstimmung

Zur Messung der Abstimmkurve eines Filters ist eine rechnergesteuerte Span-nungsquelle15 im Aufbau vorgesehen, mit deren Hilfe sich die Abstimmspan-nung des Filters einstellen lasst. Die Abstimmkurve wird nicht direkt gemes-sen, sondern es werden die Reflexionskurven des Filters bei den einzelnenAbstimmspannungen aufgenommen, und danach in der Datenverarbeitungdurch Suchen der absoluten Minima der Kurven und gegebenenfalls Anpas-sen einer Lorentzfunktion die Funktion bestimmt. Die Bestimmung der Ab-stimmfunktion mit Hilfe der Reflexionskurven ist deutlich schneller als mit

15Keithley 230.


einer Transmissionsmessung, aber es muss dafur gesorgt werden, dass derSpektrumanalysator mit der Abstimmspannung synchronisiert und eine ge-wisse mechanische Einschwingzeit abgewartet wird, da ansonsten Artefaktein den Kurven auftreten konnen.

Die maximale Abstimmspannung ist ein kritischer Faktor, da beim Uber-schreiten das Filter unwiderruflich zerstort wird. Zwei Faktoren beeinflussendiesen Wert: die Durchbruchspannung der pin-Diode in den InP-Luftspalt-Filtern und der Pull-In16. Die Duchbruchspannung ist nur bei Filtern mitlangeren Kavitaten (λ, 3/2λ-Kavitat) von Bedeutung. Daruber hinaus kannder Durchbruch der Diode effektiv durch eine Strombegrenzung verhindertwerden. Der Pull-In ist viel problematischer, da es kaum Anzeichen gibt wanndieser Punkt erreicht ist, und zudem wie in Kap. 4.1 dargestellt die Art derAnsteuerung eine Rolle spielt. In der Praxis lasst sich die Pull-In Spannung17

nicht erreichen; es ist nur moglich manuell durch vorsichtiges Erhohen derSpannung noch einen stabilen Punkt zu erreichen. Eine Orientierungshilfeist dabei die Modellanpassung18, die zumindest Auskunft uber den maximalmoglichen Abstimmbereich geben. Erfahrungsgemaß ist ab ca. der Halfte dertheoretischen Werts hochste Vorsicht beim Erhohen der Abstimmspannunggeboten. Zudem lasst sich haufig feststellen, dass die Filterwellenlange in derNahe des Pull-In nicht stabil bleibt, sondern sich langsam verschiebt (“Krie-chen”), was zum Teil auf die hochgradig nichtlineare Dynamik in der Nahedes Pull-In-Punkts zuruckzufuhren ist.

2.1.4 Diodenkennlinie

Die Messung der Diodencharakteristik ist das notwendige Kriterium um eineAbstimmung des Filters vornehmen zu konnen. Zum einen gibt sie Aufschlussdaruber, ob bei der Herstellung ein Fehler in Form eines Kurzschlusses auf-getreten ist, der die Abstimmung verhindert. Zum anderen ist es moglich dieDurchbruchspannung zu extrapolieren und mit der differentiellen KennlinieInformationen uber den Kontaktwiderstand zu gewinnen, der sich insbeson-dere auf die dynamischen Eigenschaften auswirkt. Der Aufbau lasst sich mitder Reflexions- und Transmissionsmessung integrieren und ist in Abb. 2.9dargestellt. Die Diode wird uber einen Impendanzwandler von einer gesteuer-ten Spannungsquelle versorgt. Gleichzeitig wird der Diodenstrom uber einenI/U-Wandler mit einem Voltmeter gemessen. Bei der programmgesteuertenErfassung der Daten werden diese Spannungswerte in den entsprechenden

16Eine Art irreversibler Kollaps der Filtermembranen, siehe auch Kap. 4.117Die Spannung, bei welcher der Kollaps der Filtermembranen eintritt.18siehe Kap. 5.3

2.2. MODENANREGUNG 23

Spannungsquelle

Probe

=3.4V

0.5V

Impedanz-

wandler

I/U-Wandler

DVM

Abbildung 2.9: Aufbau zur Messung der Diodenkennlinie.

Strom konvertiert. Die Spannung wird jeweils von 0 in positiver und nega-tiver Richtung erhoht bis der vorgegebene Grenzwert des Stroms erreichtwird. Die Diodenkennlinie wird exemplarisch an einem Filterbauelement aufder jeweiligen Probe bestimmt. Da die elektronischen Eigenschaften der Fil-ter auf einer Probe wesentlich von der Epitaxie bestimmt werden, ist dieDiodenkennlinie auf alle Bauelemente ubertragbar.

2.2 Modenanregung

Durch die laterale Verschiebung der Quelle, d.h. des Faserendes, ist es moglichverschiedene Filtermoden anzuregen und so die Modenstruktur des Filters zuanalysieren, was insbesondere beim Vergleich mit den Simulationen hilfreichist. Die Messung erfolgt als einfache Reflexionsmessung, wobei die Quelle la-teral verschoben wird. Dadurch ergeben sich je nach Position auf der Probeunterschiedliche Reflexionskurven, die dann in der nachfolgenden Auswer-tung bezuglich der Moden analysiert werden. Grundsatzlich ist es moglichund fur die nachfolgende Auswertung einfacher die Modenanregung in Trans-mission zu analysieren. Allerdings benotigt eine einzelne Transmissionsmes-sung schon deutlich mehr Zeit als eine Reflexionsmessung, so dass eine hohelaterale Auflosung praktisch nicht moglich ware, und außerdem fallt bei derReflexionsmessung gleichzeitig auch die ortliche Verteilung der Reflektivitatdes Filters ab, die die laterale Struktur wiedergibt. Dadurch ist es moglich,die Moden nicht nur in ihrer lateralen Position relativ zueinander, sondern


Abbildung 2.10: Aufbau zur Messung der Modenanregung.

auch in Bezug auf die geometrischen Abmessungen der Filter zu qualifizieren.

2.2.1 Messung

Der in Abb. 2.10 dargestellte Aufbau entspricht in wesentlichen Teilen denAufbau zur Reflexionsmessung, wobei hier aber die elektrostriktiven Aktua-toren programmatisch gesteuert werden. Als anregende Quelle (und auch alsSensor) wird hier ebenfalls die Facette einer SMF verwendet, so dass das an-regende Feld einen relativ großen effektiven Radius von etwa 5.2µm [5] hat.Dennoch lasst sich mit diesem Feld eine gute Auflosung erzielen, da die late-rale Strukturierung des Grundmode und der nachst hoheren Moden ebenfallsin dieser Großenordnung liegt. Die Anregung von lateral stark variierenden,hoheren Moden ist mit diesem breiten Feld allerdings kaum moglich19. EineVerbessung der Auflosung kann durch ein optisches System erreicht werden,das die numerische Apertur erhoht, wobei sich hier insbesondere eine Faser-linse anbietet. Daruber hinaus kann die Auflosung nur mit Hilfe eines SNOM(Scanning Nearfield Optical Microscope) weiter erhoht werden, was sich abereher nachteilig auswirkt, da mit der Erhohung der Auflosung auch die Emp-findlichkeit des Systems geringer wird, und insbesondere in Reflexion einschlechter Wirkungsgrad zu erwarten ist.

Die Ansteuerung der Aktuatoren erfolgt uber eine rechnergesteuerte

19siehe Kap. 3.4.4


Abbildung 2.11: Kalibrierung der elektrostriktiven Aktuatoren. Im Vorder-grund sind das Gehause des Aktuators, die Klemmvorrichtung und der Stem-pel zu sehen, im Hintergrund ist die Faser mit einem Magneten an dem Halterbefestigt. Das Faserende befindet sich gegenuber von einem Si-Plattchen, daszur Erhohung der Reflektivitat an dem Aufbau angebracht wurde.

Spannungsquelle20. Die Langenanderung der elektrostriktiven Aktuatoren21

ist nicht proportional zu der Spannung und weist zudem noch eine leichteHysterese auf [48], so dass eine Korrektur der Kennlinie erforderlich ist umeine verzerrungsfreie Darstellung der Moden zu erhalten. Aufgrund der Hy-sterese ist es zudem notwendig, die lateralen Messpunkte immer von einerRichtung aus anzusteuern. Die Programmsteuerung sorgt dafur, dass fur dieentsprechenden Messpunkte mit Hilfe der tabellierten Kennlinie die entspre-chende Aktuatorspannung ermittelt wird. Zur Vermeidung von Artefaktenwird das Durchfahren des Wellenlangenbereichs mit der lateralen Verschie-bung synchronisiert. Die maximal abtastbare Flache betragt mit den ver-wendeten Aktuatoren ca. 30µm x 30µm, was zumindest fur die Filter miteinem Membrandurchmesser von 20µm ausreichend ist. Auch fur die spatereAuswertung ist es wichtig, dass das Filter vor der Messung manuell so ausge-richtet wird, dass sich ein moglichst einmodiges Reflexionsspektrum ergibt.Um den maximal moglichen Weg der Aktuatoren fur die spatere Messungnutzen zu konnen wurde auf eine automatisierte Ausrichtung verzichtet.

Praktische Versuche haben gezeigt, dass sich die Charakteristik der Pie-zoaktuatoren im Laufe der Zeit geandert hat, was eine neue Kalibrierung

20Newport ESA-C21Piezoaktuatoren in Abb. 2.10


0 40 80 120 160Uact/V

0

5

10

15

20

25

30

∆x/µ

m

0 40 80 120 160Uact/V

0

5

10

15

20

25

30

∆y/µ

m

Abbildung 2.12: Darstellung der gemessenen (schwarz) und mit einem Poly-nom 5. Ordnung nach Gl. 2.2 angepassten Kurven (grau).

erforderte. Die Wegmessung wurde dabei interferometrisch mit dem vorhan-denen Aufbau durchgefuhrt. Wie in Abb. 2.11 wird dazu ein Fabry-PerotInterferometer zwischen dem gebrochen Ende der Glasfaser und der Trans-lationseinheit aufgebaut, wobei der Abstand ca. 80-100µm bei spannungslo-sem Aktuator betragt. Obwohl die Reflexion der geschliffenen Stahloberflacheausreicht um Fabry-Perot-Oszillationen sichtbar zu machen, wurde um dieReflektivitat zu erhohen ein Siliziumplattchen an dem Aufbau befestigt, wo-durch die Oszillationen noch ausgepragter werden. Die entstehenden Fabry-Perot-Moden lassen sich mit Gl. 3.59 beschreiben. Daraus folgt, dass dieVariation der Reflexion des Fabry-Perot-Interferometers im Frequenzbereichperiodisch ist, wobei die Periode ωc = kcc der fundamentalen Resonanz desInterferometers entspricht. Damit kann durch eine Fouriertransformation dieBreite des Luftspalts und der Weg des Aktuators ermittelt werden. Wegender Friktion in der Translationseinheit ist die so generierte Kurve allerdingsleicht stufig, wodurch eine direkte Verwendung als Interpolationskurve aus-geschlossen ist. Daher wird in Anschluss an die Messung ein Polynom an dieKurve angepasst, wobei der Startpunkt (Ua, xa) und der Endpunkt (Ue, xe)der Kurve festgelegt sind. Eine Darstellung, die diesem Fixpunktkriteriumgenugt ist

x =

(n∑

k=0

akUk

)(U − Ua) (U − Ue) + xa

U − Ue

Ua − Ue

+ xeUa − U

Ua − Ue

, (2.2)

wobei U die Aktuatorspannung, x der Weg und die ak die Polynomkoeffi-zienten sind. Die Anpassung als solche wird nach dem Kriterium des klein-sten Fehlerquadrats durchgefuhrt, wobei hier ein direktes Verfahren [49, Kap.15.4] zum Einsatz kommt, da die Funktion linear von den ak abhangt.

Das Ergebnis der Anpassung ist in Abb. 2.12 dargestellt. Die roten und dieblauen Kurven stellen die jeweils angepassten Funktionen fur die Vorwarts-


Moden suchen

Stopband Fitvon Mitte aus nächstenstärksten Mode wählen

Reflexionsspektrenmessen

Berechnung von-Linienbreite-Anregung

λη

FWHM

I

Tracking übergesamte Fläche

gefunden?

ja

nein

Abbildung 2.13: Ablaufdiagramm der Auswertung der Reflexionskurven.

bzw. Ruckwartsbewegung dar, wobei sich jeweils ein Polynom 5. Ordnungbezuglich der ak als Optimum erwiesen hat. Die Hysterese ist bei beidenAktuatoren (fur die Verschiebung in x- bzw. y-Richtung) deutlich zu erken-nen. Die gemessenen Kurven weisen zumindest zum Teil Stufen auf. Anhandder Tatsache, dass diese Stufen sehr ungleichmaßig ausgepragt sind, ist aberzu erkennen, dass es sich hier offensichtlich um ein mechanisches Problemhandelt, und keine Messungenauigkeit.

2.2.2 Auswertung

Das eigentliche Problem der messtechnischen Bestimmung der Modenanre-gung ist die Auswertung, da von der Messung selbst nur die ortsaufgelostenReflexionskurven generiert werden. Ideal ware eine Kurvenanpassung nachGl. 3.65. Praktisch ist dies aber nicht durchfuhrbar, da zu viele Parame-ter nicht genau genug bekannt sind, und die Gleichung außerdem noch einenichtlineare Abhangigkeit von den Parametern aufweist, wodurch ein itera-tiver Algorithmus notwendig wird [49, Kap. 15.5]. Bei nur 5 Moden ergebensich mindestens 18 unabhangige Variablen, wenn das Stopband mit beruck-sichtigt wird, was zum einen die Kurvenanpassung sehr langsam, und zumanderen sehr fehleranfallig macht. Dabei kommt noch hinzu, dass erheblicheMengen an Daten anfallen22, und es leider nicht moglich ist irgendwelche pau-schalen Annahmen uber die Existenz und Anregung von bestimmten Modenzu treffen. Daher wird zur Auswertung ein eher heuristisches, mehrstufiges

22ca. 1000 Messpunkte sind ublich


Schwellwert:Median-Rauschen

Parabel im Dipanpassen

ReflexionskurveDips ausblendenStopband anpassen

λ0

λFWHM

Eigenschaftendes Mode

RS

R

Abbildung 2.14: Verfahren zur Extraktion der Moden aus den einzelnen Re-flexionskurven und zur Anpassung des Stopbands.

Verfahren angewandt, dessen Ablauf in Abb. 2.13 dargestellt wird.

Zunachst werden die ortsabhangigen Reflexionskurven einzeln bezuglichder Moden untersucht und unter Vernachlassigung der Moden eine Parabel andas das Stopband der Reflexionskurve angepasst, die spater zur Bestimmungder Anregungseffizienz ηI verwendet wird. Dabei sind die Moden raumlichnoch vollig unsortiert, was eine recht aufwandige Sortierung der Moden er-fordert. Es hat sich leider gezeigt, dass es bei der Analyse kaum moglich istirgendwelche Verallgemeinerungen zu treffen. So ist beispielsweise der Grund-mode als Orientierung langst nicht uber die ganze Flache sichtbar, und estreten bisweilen ortlich einige Moden auf, die in anderen Regionen nicht vor-handen sind. Es lasst sich auch haufig eine leichte Frequenzverschiebung derModen uber die Flache feststellen, die zwar deutlich kleiner als die Linien-breite ist, aber dennoch das Sortieren stort. Daher wird zum Sortieren derModen ein Trackingverfahren verwendet, das einen bestimmten Mode uberdie gesamte Flache verfolgt, wobei immer von der Mitte aus sukzessive nachaußen weiter gesucht wird, und immer auch zunachst die starksten Modenberucksichtigt werden. Abschließend wird aus den Daten die Anregungseffi-zienz ηI , die Filterwellenlange λ0 und die Linienbreite λFWHM bestimmt.

In Abb. 2.14 ist das Verfahren zur Untersuchung der Moden einer einzel-nen Reflexionskurve dargestellt. Das Verfahren zur Bestimmung der Modenbasiert auf der sukzessiven Anpassung eines Parabelbogens an die Reflexi-onskurve, wobei die Breite des anzupassenden Bereichs von der geschatztenLinienbreite abhangt. Das leichte Rauschen, das der Kurve uberlagert ist,wirkt sich dabei storend aus, da dadurch auch Taler der Kurve gefunden


∆ λ0

λFWHM

∆ ηΙ

∆∆∆

∆ Σ∆

k Moden

min

1..k:

x

y

MesspunkteTracking: Iteration

Abbildung 2.15: Tracking der Moden uber die abgetastete Flache. Rechtssind die Messpunkte mit der Trajektorie fur das Tracking dargestellt, linksdas Kriterium zur Bestimmung des zu den Nachbarn passenden Mode.

werden, die keine Moden darstellen. Deswegen wird vorab der SchwellwertS(λ) fur die Moden mit einem Medianfilter ermittelt, wobei

S(λ) = Ravg(λ)− |R(λ)−Ravg(λ)| mit Ravg(λ0) =1

w

λ0+w/2∫λ0−w/2

Rλdλ (2.3)

gilt. Nur Taler, die unterhalb dieser Kurve liegen werden als Moden beruck-sichtigt. Fur die nachfolgende Auswertung der Anregung und der Linienbreitewird das Stopband der Reflexionskurve mit einer Parabel angepasst. Dazuwerden zunachst die identifizierten Moden ausgeblendet, indem in einem Be-reich von zweimal der Linienbreite um die Moden die Standardabweichungfur die Anpassung auf einen sehr hohen Wert gesetzt wird. Die Anpassungerfolgt dann nach dem Kriterium des kleinsten Fehlerquadrats [49, Kap. 15.4].

Anschließend werden die Moden durch das Verfolgen einzelner Modenraumlich sortiert, was in Abb. 2.15 schematisch dargestellt ist. Es hat sichals gunstig erwiesen, eine von der Mitte ausgehende, spiralformige Trajekto-rie fur die Verfolgung (Tracking) und Klassifizierung eines Mode zu wahlen.Als Startwert wird zunachst von der Mitte ausgehend der starkste noch nichtklassifizierte Mode gewahlt, wodurch der erste Mode in der Regel der Grund-mode ist. Danach wird fur alle Moden eines noch nicht erfassten Messpunktsin der Trajektorie ein Vergleich mit den benachbarten Messpunkten gebil-det, deren Moden in der Trajektorie schon in Bezug auf den aktuellen Modeklassifiziert worden sind, wobei als Kriterium sowohl die Abweichung der Fil-terwellenlange, als auch die Abweichung in der Anregungseffizienz mit ein-gehen. Derjenige Mode, der die kleinste Abweichung in beiden Kriterien hat,


wird fur diesen Messpunkt festgehalten, und danach die Moden des nachstenMesspunkts in der Trajektorie klassifiziert.

Anregungseffizienz, Linienbreite und Filterwellenlange werden aus demVergleich mit der angepassten Parabel ermittelt, die durch ihren Scheitel-punkt und die Krummung im Scheitelpunkt definiert ist. Weiterhin geht nochdie Reflektivitat des Stopbands mit in die Berechnung ein. Im Allgemeinenstellt man im Verlauf der Messung fest, dass das tatsachliche Stopband mehroder weniger von dem theoretischen Verlauf abweicht, wofur einerseits dievertikale Position der Faserendflache bezuglich der Filteroberflache verant-wortlich ist. Dadurch weist das Stopband Fabry-Perot-Oszillationen auf, dieaber nicht stark ausgepragt sind, da die Reflektivitat der Filterspiegel relativhoch ist. Andererseits wirkt sich die laterale Position der Faser auf die ge-messene Reflektivitat aus, da zum Rand der Membrane hin zunehmend dieaus der Faser austretenden Leistung gestreut wird, und nicht mehr in dieFaser eingekoppelt wird. Der Anteil der gestreuten Leistung ist dann auchdirekt anhand der verminderten Reflektivitat des Stopbands erkennbar. Da-her wird die Modenanregung relativ zu der Reflektivitat des Stopbands RS

(siehe Abb. 2.14) bei der entsprechenden Modenwellenlange dargestellt undist damit

ηI = 1−R/RS, (2.4)

wobei die Reflektivitat R den Wert im Filterdip darstellt. Die Linienbreitelasst sich mit Hilfe der Krummung der Parabel im Scheitelpunkt R′′ darstel-len. Ein Vergleich mit der 2. Ableitung der Lorentzfunktion ergibt

λFWHM =√

8 (RS −R) /R′′. (2.5)

2.3 Abstimmdynamik

Um eine Aussage uber die Abstimmgeschwindigkeit eines Filters zu erhal-ten wird der in Abb. 2.16 dargestellte Aufbau zur Messung der mecha-nischen Transferfunktion verwendet. Dabei wird zur Anregung des Filtersdie Abstimmspannung mit einem Wechselspannungsanteil aus einem HF-Generator23 uberlagert, so dass die Filtermembranen in Schwingungen ver-setzt werden. Die Messung der Auslenkung der Membranen erfolgt optischin Reflexion, wobei die Verschiebung der Filterwellenlange durch die Aus-lenkung der Membranen ausgenutzt wird. Das Filter wird dafur mit mono-chromatischem Licht aus der TLS angeregt, die aber im Gegensatz zu derTransmissionsmessung nicht moduliert wird. Um einen moglichst guten Mo-dulationswirkungsgrad zu erhalten muss dabei der Arbeitspunkt wie in Abb.

23Stanford Research Systems DS340

2.3. ABSTIMMDYNAMIK 31

DSO 3dB Koppler

HF Generator

Spannungsquelle

Probe

=3.4V

TLS

1550nm

52kHz~~

Detektor

Abbildung 2.16: Aufbau zur Messung der Abstimmdynamik eines Filters oderder mechanischen Grenzfrequenz von einzelnen Membranen.

2.17 dargestellt auf den steilsten Punkt der Filterflanke gelegt werden, sodass sich eine große Anderung der Reflektivitat durch die Schwingung derMembranen ergibt. Hierfur wird nach der Einstellung der Abstimmspannungdie Wellenlange der TLS programmgesteuert oder manuell so lange variiertbis sich fur einen festen Wechselanteil der Abstimmspannung ein moglichstgroßer Wechselanteil des Signals am Detektor ergibt. Das Signal wird mit Hil-fe eines Digitalspeicheroszilloskops24 (DSO) aufgenommen und dargestellt.Die Signalamplitude wird dabei durch die Reflektivitat des Stopbands unddes Filterdips begrenzt, weswegen bei der Modulation darauf geachtet werdenmuss, dass der Wechselanteil der Ansteuerspannung nicht zu groß gewahltwird, so dass die Aussteuerung im linearen Bereich bleibt.

Aufgrund der hohen Koharenz der Emission der TLS, die eine Linien-breite von ca. 150kHz hat25 [50], ergibt sich zusatzlich das Problem, dasskleinste parasitare Reflexionen in dem optischen Aufbau das Signal storen26.So entstehen durch die Reflexion am unbenutzten Faserende des Kopplersund am Detektor parasitare Interferenzen, die sich storend auf die Messungauswirken konnen. Diese konnen weitgehend durch technische Maßnahmen,wie die Verwendung eines Detektors mit geringer Ruckstreuung und das di-rekte Spleißen von Faserverbindungen, wodurch die Stoßkopplung von Fa-sersteckern vermieden werden kann, verhindert werden. Fur das freie Fa-serende des Kopplers hat sich das Aufwickeln auf einen dunnen Stab27 als

24Tektronix TDS460A25Das entspricht einer Koharenzlange von ca. 2km in Luft26Moderne Gerate bieten die Moglichkeit die Linienbreite zu erhohen um damit die

Koharenzlange zu verkleinern27Eine M4-Schraube ist aufgrund des Gewindes sehr vorteilhaft.


λTLS

∆R

AP~

Generator Membran-schwingung

Reflexion undArbeitspunkt

Abbildung 2.17: Funktionsweise der Messung: die Membranschwingungenwerden in eine entsprechende Verschiebung der Filterwellenlange konvertiert.Bei geeigneter Wahl des Arbeitspunkts, d.h. der Wellenlange der TLS kanndie Bewegung mit einer Reflexionsmessung sichtbar gemacht werden.

wirkungsvolles Mittel erwiesen um Reflexionen am Faserende weitgehend zuunterdrucken, da durch die starke Krummung der Faser die gefuhrte Wellestark gedampft wird [51, Kap. 2.6.7]. Eine noch starkere Unterdruckung derparasitaren Interferenzen kann durch Isolatoren erzielt werden, die aber ei-nerseits einen nicht unerheblichen Kostenfaktor darstellen, und andererseitsdie Bandbreite des Aufbaus einschranken.

Die Transferfunktion der Membranen wird rechnergesteuert erfasst, wo-bei das Steuerprogramm die Generatorfrequenz in einer geometrischen Folgeverstellt, so dass die Daten nachfolgend in einem Bodediagramm dargestelltwerden konnen. Das Programm ermittelt uber eine Fouriertransformationdes Signals vom DSO die Amplitude der Grundfrequenz der Modulation, waszwar aufwandiger als das Filtern des Signals ist, aber den Vorteil hat, dasalle Storanteile bei anderen Frequenzen automatisch ausgeblendet werden.Dies ist insbesondere von Vorteil, wenn die Signalamplitude sehr schwachist, und sich Storungen aufgrund der parasitaren Interferenzen umso starkerauswirken, was insbesondere bei der Messung einzelner Membranen der Fallist, da hier die Flankensteilheit nicht so hoch ist, wie bei einem Filter.

Um systematische Messfehler auszuschließen wird der Aufbau vor einerMessung kalibriert. Dabei wird zum einen mit einem schnell modulierbarenKommunikationslaser, dessen Transferfunktion bekannt ist, die Transferfunk-tion des Detektors gemessen. Zum anderen wird die Transferfunktion despassiven Netzwerks zwischen HF-Generator und Spannungsquelle, das denZweck hat die Eingange des HF-Generators und der Gleichspannungsquellezu entkoppeln, unter kapazitiver Belastung bestimmt. Die kapazitive Bela-stung ist dabei in etwa an die Sperrschichtkapazitat der Filter angepasst, die

2.3. ABSTIMMDYNAMIK 33

~=Rcontact

CjUtun

Filter

Abbildung 2.18: Elektrisches Ersatzschaltbild eines Filters. Fur die Aussteue-rung ist nur die Spannung Utun an der Sperrschichtkapazitat Cj wirksam,weswegen der Kontaktwiderstand einen Tiefpass verursacht.

fur die Bauelemente mit λ-Kavitat (siehe Kap. 5.1) ca. 6pF betragt28. Einweiteres systematisches Problem ist der Kontaktwiderstand der Filter, wobeisich insbesondere hohe Werte storend auswirken. Wie in Abb. 2.18 darge-stellt, kann das elektrische Ersatzschaltbild eines Filters fur die Abstimmungvereinfacht als Sperrschichtkapazitat in Serie mit dem Kontaktwiderstanddargestellt werden. Dadurch entsteht ein Tiefpass, dessen Ubertragungsfunk-tion

ge(ω) =1

1 + jωRcontCj

(2.6)

bei harmonischer Ansteuerung des Filters die Aussteuerung der Membra-nen beeinflusst. Da der Kontaktwiderstand nicht genau bekannt ist, kanndas Tiefpassverhalten auch bei der Kalibrierung nicht berucksichtigt werden.Allerdings ist es moglich das Tiefpassverhalten in der gemessenen Kurve an-zupassen und damit die mechanische Transferfunktion zu rekonstruieren, wasin Kap. 5.3.2 dargestellt wird.

28Wegen der pin-Struktur variiert die Kapazitat kaum mit der Sperrspannung.

Kapitel 3

Optische Simulation der Filter

35

36 KAPITEL 3. OPTISCHE SIMULATION DER FILTER

Dieses Kapitel stellt die Verfahren dar, die zur numerischen Simulati-on der der optischen Eigenschaften der hier behandelten abstimmbaren Fil-terbauelemente angewandt werden. Allen hier dargestellten Verfahren liegtdie Wellengleichung (Gl. 3.9) oder in vereinfachter Form die Helmholtz-Gleichung (Gl. 3.10) zugrunde. Die Losung der Wellengleichung fur optischeFilter stellt ein Randwertproblem dar, fur das es aufgrund seiner Komple-xitat keine allgemein gultigen analytischen Losungen gibt, sondern hochstensNaherungen wie z.B. die Gauss’schen Moden, deren Einsatz aber durchauszur Losung der Probleme beitragen kann. Schon das einfache eindimensiona-le Transfermatrixmodell ist im eigentlichen Sinne eine numerische Methode.Zunachst werden die physikalischen Grundlagen fur die Simulation der Fil-ter in Kap. 3.1 erlautert und die fur die Simulation relevanten Eigenschaftender Filter und die daraus folgenden Anforderungen an die optischen Simu-lationsmodelle in Kap. 3.2 dargestellt. Die angewandten Simulationsmodelleund deren Implementierung werden in den Kapiteln 3.3 und 3.4 beschrieben.

3.1 Physikalische Grundlagen

Die in diesem Abschnitt erlauterten Grundlagen bilden die unmittelbare Ba-sis fur die optische Simulation der Filter. Die Transfermatrixmethode in Kap.3.3 basiert auf dem Modell einer ebenen Welle, das in Kap. 3.1.2 erlautertwird. Die FEM-Modelle stellen dagegen ein Randwertproblem der Wellen-gleichung 3.9 dar.

3.1.1 Wellengleichung

Die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen lasst sich mit Hilfe der Maxwell-Gleichungen beschreiben, deren allgemeine Darstellung mit dem Vektor derelektrischen Feldstarke E und dem der magnetischen Feldstarke H

∇× E = −∂µrµ0H

∂t, (3.1)

∇× H = j +∂εrε0E

∂t, (3.2)

∇ ·(εrε0E

)= ρ und (3.3)

∇ ·(µrµ0H

)= 0 (3.4)

ist [52]. In dieser Darstellung im Zeitbereich sind alle Großen reell. Fur diebetrachteten Filter gilt allgemein Quellenfreiheit, so dass die Ladungsdichte

3.1. PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN 37

ρ in der 3. Gleichung verschwindet. Der Stromdichtevektor j muss jedoch mitberucksichtigt werden, da uber diesen die ohmschen Verluste (Absorption)modelliert werden. Fur den Ubergang in den Frequenzbereich sind nur zeit-harmonische Vorgange von Interesse, weswegen die explizite Zeitabhangig-keit der Gleichungen durch den Faktor exp(jωt) ersetzt wird. Damit erge-ben sich automatisch komplexe Vektoren der elektrischen und magnetischenFeldstarke E bzw. H, die sowohl die Amplituden- als auch die Phasenin-formation beinhalten. Dabei gilt fur die reelle Darstellung des elektrischenFeldvektors E = 2Re{E exp(jωt)}; der magnetische Feldvektor folgt analog.Mit dem ohmschen Gesetz j = σE erhalt man damit die Darstellung derMaxwell-Gleichungen im Frequenzbereich

∇× E = −jωµrµ0H, (3.5)

∇×H = j + jωεrε0E = jωε0

(εr − j

σ

ωε0

)E, (3.6)

∇ · (εrε0E) = 0 und (3.7)

∇ · (µrµ0H) = 0. (3.8)

Normalerweise wird fur die Darstellung im Frequenzbereich eine komplexerelative Dielektrizitatskonstante ε = εr − jσ/(ωε0) definiert. Auch wenn dieGroßen εr, σ und µr in homogenen Medien skalar sind, werden sie allgemeinals Tensoren dargestellt, so dass sich auch anisotrope oder doppelbrechendeMedien modellieren lassen. Dieser Tensorcharakter wird fur die Simulationzur Formulierung einer nicht reflektierenden Randbedingung genutzt (sieheKap. 3.4.2). Fur die in den Filtern verwendeten Materialien kann die relati-ve Permeabiltat µr = 1 gesetzt werden, obwohl auch Materialien mit einerrelativen Permeabiltat µr > 1 fur nichtreziproke optische Bauelemente (Iso-latoren, Zirkulatoren) Anwendung finden [53, Kap. 12]. Die Wellengleichungergibt sich, wenn Gl. 3.5 und Gl. 3.6 zusammengefuhrt werden:

∇× (∇× E) = ε0µ0ω2(εr − j

σ

ωε0

)E. (3.9)

Diese Gleichung bildet in leicht abgewandelter Form die Basis fur die opti-schen Simulationen. Uber die Relation ∇ × (∇ × E) = ∇(∇E) − ∇2E [54]kommt man zu der Helmholtz-Gleichung

∇2E + ε0µ0ω2(εr − j

σ

ωε0

)E = 0, (3.10)

die unter der Voraussetzung gilt, dass das Medium quellenfrei, homogen undisotrop ist, so dass nach Gl. 3.7 der Term ∇E verschwindet. Zu beachten ist


dabei aber, dass selbst unter den genannten Voraussetzungen die Helmholtz-gleichung nicht fur die Zylinderkoordinatendarstellung anwendbar ist.

Die Energiebilanz in einem elektromagnetischen Feld wird durch das so-genannte Poynting-Theorem beschrieben, das im Frequenzbereich

∇ (E×H∗) = jω (ε0εrEE∗ − µ0µrHH∗)− Ej∗ (3.11)

ist [52], wobei der Realteil der linken Seite die ohmschen Verluste (= Ej∗ aufder rechten Seite) darstellt. Mit dem Ubergang vom Divergenzoperator ∇zu der Oberflache eines endlichen Volumens wird deutlich, dass der Realteilvon E×H∗ ein Maß fur den Energiefluss durch ein Flachenelement ist. Manerhalt fur den Energieflussvektor oder auch Poyntingvektor

S = 2Re{E×H∗}. (3.12)

Das Energieflusstheorem wird bei der Ermittlung der Ubertragungsfunktio-nen eines Filters haufig angewandt.

3.1.2 Ebene Wellen

Ausgehend von der Helmholtzgleichung lasst sich die Ausbreitung einer ebe-nen Welle im Raum beschreiben. Unter Annahme einer in x- und y-Richtungunendlich ausgedehnten ebenen Welle verschwinden die Ableitungen ∂2/∂x2

und ∂2/∂y2 des Laplaceoperators und man erhalt

∂2E

∂z2+ εε0µ0ω

2E = 0. (3.13)

Man findet hier schnell eine Losung der Art

E = E0e±jβz, mit β =

√εε0µ0 =

√εω

c, (3.14)

wobei c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist. Fur den komplexen Bre-chungsindex gilt n =

√ε. Die gebrauchliche Darstellung der Ausbreitungs-

konstante β mit der Wellenlange λ ist damit

β =2πn

λ. (3.15)

Das magnetische Feld lasst sich mit Hilfe von Gl. 3.5 ermitteln. Fur dieLosung ∝ exp(−jβz) (eine in +z-Richtung laufende Welle) erhalt man

Hy = n

√ε0µ0

Ex und Hx = −n√ε0µ0

Ey. (3.16)


Fur eine in -z-Richtung laufende Welle sind ergeben sich umgekehrte Vor-zeichen des H-Felds. Die z-Komponenten sind bei beiden Feldvektoren 0, dadas Felds weder in x- noch in y-Richtung variiert.

Die Darstellung der Wellenausbreitung mit dem elektrischen Feld erweistsich als etwas unpraktisch, wenn die transportierte Leistung der Welle berech-net werden soll, da diese nicht nur von dem elektrischen Feld, sondern auchvon dem Brechungsindex des Materials abhangt. In Anlehnung an die Mi-krowellentechnik werden daher sogenannte Leistungswellen definiert [55], diedie Eigenschaft haben, dass das Betragsquadrat der Amplitude der Leistungentspricht (P = |a|2). Die Amplitude der Leistungswellen a ist proportionalzur komplexen Amplitude des elektrischen Feldes, wobei

|a| = |E|√2Z

mit Z =1

n

√µ0

ε0. (3.17)

gilt. Z ist der Wellenwiderstand des Materials. Die Leistungswelle ist einkomplexer Wert, d.h. mit einem Phasenfaktor behaftet, der die Anderung derPhase des elektrischen Felds bei der Ausbreitung in einem Medium erfasst.

3.1.3 Grenzflachen

Fur die Funktion der Braggspiegel sind die Ubergange von Materialen ver-schiedener Brechungsindizes, also die Grenzflachen, von großer Bedeutung.Die Grenzflachenbedingungen fur das elektrische und da magnetische Feldlassen sich aus den Maxwell-Gleichungen konstruieren. Mit Hilfe des Stokes-schen Satzes folgt aus den Maxwell-Gleichungen 3.5 und 3.6, dass die Tan-gentialkomponenten des elektrischen Felds Etan und magnetischen Felds Htan

an der Grenzflache stetig sein mussen [52]. Daher gilt fur die Grenzflache voneinem Material 1 und einem Material 2

E1tan = E2tan und H1tan = H2tan. (3.18)

Die entsprechende Randbedingung fur die Normalkomponenten des elektri-schen und magnetischen Felds Enorm bzw. Hnorm folgt mit Hilfe des Gauss-schen Satzes aus den Maxwell-Gleichungen 3.7 und 3.8:

ε1rE1norm = ε2rE2norm und µ1rH1norm = µ2rH2norm. (3.19)

Wenn eine ebene Welle senkrecht auf eine Grenzflache von einem Medi-um 1 zu einem Medium 2 auftrifft, mussen die Tangentialkomponenten deselektrischen und des magnetischen Felds stetig ein. Damit ergibt sich aus Gl.3.18 die Bedingung Ei +Er = Et fur das elektrische Feld, wobei Ei das elek-trische Feld der einfallenden Welle, Er den reflektierten Anteil und Et den


lcav

ReflektorReflektor Kavität

Abbildung 3.1: Funktionale Komponenten eines Fabry-Perot-Filters. In derMitte sind die ersten 3 Kavitatsmoden angedeutet.

transmittierten Anteil des elektrischen Felds darstellt. Aus der Stetigkeits-bedingung fur das magnetische Feld und Gl. 3.16 folgt n1Ei + n1Er = n2Et.Damit erhalt man den komplexen Reflexionsfaktor

r =Er

Ei

=ar

ai

=n1 − n2

n1 + n2

, (3.20)

der in dieser Form auch fur das Verhaltnis der reflektierten Leistungswellear zur einfallenden ai gilt. Der komplexe Transmissionsfaktor t ist fur daselektrische und das magnetische Feld unterschiedlich, da sich die Wellen injeweils unterschiedlichen Medien ausbreiten. Die Normierung auf Leistungs-wellen mit Gl. 3.17 ergibt

t =at

ai

=2√n1n2

n1 + n2

. (3.21)

3.1.4 Fabry-Perot-Filter

Ein Fabry-Perot-Filter besteht wie in Abb. 3.1 dargestellt im Wesentlichenaus zwei Reflektoren und einer Kavitat. Diese Anordnung hat in Transmis-sion und Reflexion eine Wellenlangenselektivitat, die sich durch die Inter-ferenz der hin- und herlaufenden Welle in der Kavitat ergibt. Es lasst sichleicht erkennen, dass die konstruktive Interferenz einer einfallenden und ei-ner reflektierten Welle genau dann gegeben ist, wenn sich die Phase nacheinem Umlauf, der eine Lange von 2lcav hat, reproduziert. Dies bedeutetmit anderen Worten, dass konstruktive Interferenz und damit Transmissionnur fur solche Wellen moglich ist, bei denen ein ganzes Vielfaches der Wel-lenlange der doppelten Kavitatslange entspricht, und somit das Kriteriummλ0 = 2lcav

1 erfullt. Es ergeben sich dann stehende Wellen in der Kavitat,wobei die Amplitudenverteilung der ersten drei Moden (m = 1..3) wie inAbb. 3.1 dargestellt aussieht.

1Diese Gleichung gilt fur eine Luftkavitat.


+

gcav

gcav

r1 r2

t2t1s( )ω t( )ω

Abbildung 3.2: Systemdiagramm eines Fabry-Perot-Filters in Transmission.

Systemtechnisch lasst sich das Fabry-Perot-Filter in Transmission mitdem Blockdiagramm in Abb. 3.2 darstellen. Anhand der Ruckkopplung lasstsich erkennen, dass ein Fabry-Perot-Filter ein IIR-Filter (Infinite ImpulseResponse Filter) ist. Die Transferfunktion der Kavitat lasst sich nach Gl.3.14 als gcav = ejωlcav/c fur eine verlustlose Kavitat darstellen, so dass dieUbertragungsfunktion des Fabry-Perot-Filters in Transmission

t(ω) =t1t2e

jωlcav/c

1− r1r2ejωlcav/c(3.22)

ist. Eine genauere Analyse zeigt, dass die Linienbreite des Filters bei gegebe-ner Filterwellenlange umgekehrt proportional zum Modenindex m und in et-wa proportional zur Transmission der Spiegel ist (siehe Kap. 4.4.2), weswegenbei Kavitaten, die lang im Vergleich zu der Filterwellenlange sind, keine hoch-reflektierenden Spiegel notwendig sind um schmale Linienbreiten zu erzielen.Umgekehrt muss die Reflektivitat der Spiegel fur vertikale, abstimmbare Fil-ter mit einer Kavitatslange, die in der Großenordnung der Wellenlange liegt,so hoch sein, dass eine einzelne Materialgrenzflache nicht mehr ausreicht. Da-her werden hier verteilte Reflektoren2 eingesetzt [19, Kap. 9.6.1], die wie inAbb. 3.3a) dargestellt aus alternierenden Schichten von zwei unterschiedli-chen Materialien bestehen, wobei die Schichtdicken im Idealfall ein ungeradesVielfaches einer Viertelwellenlange in dem jeweiligen Material sind. Dadurchlasst sich eine konstruktive Interferenz der reflektierten Teilwellen erzielen.

Betrachtet man den Umlauf einer Welle in einer Schicht eines Bragg-spiegels wie in Abb. 3.3b) dargestellt, dann ergibt sich bei der Entwurfs-wellenlange immer ein Vielfaches der halben Wellenlange, also einen Pha-senanderung der komplexen Feldamplitude von π. Andererseits wird eineTeilwelle an einem Ubergang von niedrigem zu hohem Brechungsindex re-flektiert und erfahrt dadurch einen Phasensprung von π, wahrend die andereTeilwelle an einem Ubergang von hohem zu niedrigem Brechungsindex re-flektiert wird und dadurch keiner zusatzlichen Phasenanderung unterworfen

2DBR (Distributed Bragg Reflector) oder auch Braggspiegel


1 Periode

nl... ...nh

π π ππ 0 0 0Grenzfläche: ∆ φ=

Schicht: ∆ φ=π

a) b)

Abbildung 3.3: Schematische Darstellung eines Braggspiegels aus Schichtenmit hohem (nh) und niedrigem (nl) Brechungsindex und der Reflexion derTeilwellen an einer Schicht. Der Hin- und Rucklauf der Welle in einer λ/4-Schicht verursacht eine Phasenanderung der komplexen Feldamplitude vonπ.

ist. Nimmt man den Umlauf und die Reflexion beider Teilwellen zusammen,erhalt man einen Phasenunterschied von 2π oder 0 und damit eine konstruk-tive Interferenz in Reflexion. Die Reflexion eines DBRs lasst sich durch dieAnzahl der Perioden (Schichtpaare) nahezu beliebig erhohen.

3.1.5 Moden

Jedes wellenfuhrende System erzwingt in der Ebene der Wellenfuhrung be-stimmte Resonanzen, die sich aus den Randbedingungen ergeben, was dazufuhrt, dass die Zustande in diesem Raum abzahlbar werden und kein Konti-nuum mehr bilden. Das kann man sich leicht anhand der Resonanzen in einerFabry-Perot-Kavitat verdeutlichen: Es entstehen stehende Wellen dadurch,dass sich die hin- und die rucklaufende Welle uberlagern, wobei der Abstandzwischen den Knoten der stehenden Wellen nur feste Werte annehmen kann,denen die Wellenlange der Welle entsprechen muss. Wurde man eine Wel-le mit einer anderen Wellenlange in die Kavitat einschleusen, die zwischenden beiden Reflektoren hin- und herpendelt, werden sich die komplexen Wel-lenamplituden nach einer gewissen Anzahl von Umlaufen an jedem Ort derKavitat gegenseitig ausloschen, womit dann keine stehende Welle zustandekommt. Damit sind nur abzahlbare, diskrete Werte der Wellenlange in derKavitat erlaubt. Diese Erwagungen gelten auch fur Wellenleiter, wobei sichhier die Moden nicht in der Ausbreitungsrichtung der Welle, sondern senk-recht dazu in der Ebene der Wellenfuhrung ergeben. Diese Moden werdendaher auch als laterale Moden im Gegensatz zu longitudinalen Moden ineiner Kavitat bezeichnet.

Eine wichtige Eigenschaft der Moden, die aber nicht zwingend erfullt ist,ist die Orthogonalitat. Dies bedeutet mathematisch, dass die Kreuzleistung

3.2. SIMULATIONSVERFAHREN 43

von zwei unterschiedlichen Moden den Wert 0 ergibt, was dann zur Folge hat,dass jeder Mode die in ihn eingebrachte Leistung unabhangig von den ande-ren transportiert. Einen Spezialfall stellen die Moden des freien Raums dar,die gewissermaßen ohne Wellenfuhrung auskommen, und durch die Gauss-Laguerre-Funktionen [56] beschrieben werden. Diese Moden sind eng mitdem Begriff der raumlichen Koharenz verknupft, die ein Maß dafur ist, unterwelchem betrachteten Raumwinkel eine Welle noch als koharent angesehenwerden kann, d.h. das Feld raumlich gesehen eine definierte Phase besitzt.Fur optische Systeme wird daher haufig eine so genannte numerische Aperturdefiniert, die ein Maß dafur ist, unter welchem Winkel das optische Systemnoch einfallende Strahlen akzeptiert. Eine große numerische Apertur bedeu-tet daher auch viele raumliche Moden, und damit eine hohe Bildauflosungabbildender Systeme3.

Je nach Randbedingungen kann es in einem Wellenleiter nur einen Modeoder mehrere gefuhrte Moden geben [51]. Berucksichtigt man das Orthogo-nalitatstheorem, dann wird klar, dass es zwar mit einem geeigneten Strahl-transformator moglich ist, die Leistung eines Mode vollstandig in einen Wel-lenleiter, der viele Moden fuhrt, einzukoppeln. Umgekehrt ist es aber nichtmoglich die gesamte in einem vielmodigen Wellenleiter gefuhrte Leistung ineinen einmodigen Wellenleiter einzukoppeln. Ahnliche Erwagungen geltenauch bei der Einkopplung von Lichtquellen. Da gewohnliche Leuchtmittel(wie Halogenlampen oder auch LEDs, wenn auch nicht ganz so extrem) einenahezu isotrope Abstrahlung haben, und damit sehr viele raumliche Moden,ist die Kopplungseffizienz dieser Quellen mit einer Einmodenfaser (SMF) sehrgering. Man ist daher bestrebt zur Einkopplung von Licht in eine SMF auchlateral einmodige Lichtquellen wie Laser oder SLEDs zu verwenden.

3.2 Simulationsverfahren

Aus systemtechnischer Sicht stellen die Filter lineare und zeitinvariante Bau-elemente dar, die durch die gegebene Geometrie und die Materialdaten voll-standig beschrieben werden, wobei die Geometrie in diesem Fall auch dieFeldverteilung des Quellenfeldes mit einschließt. Bei Betrachtung der Geo-metrie fallt auf, dass die Bauelemente bedingt durch ihre vertikale Schicht-struktur eine sehr große Ausdehnung senkrecht zur optische Achse, d.h zurAusbreitungsrichtung des Lichts, haben, wahrend die Ausdehnung parallelzur optischen Achse eher gering ist. Ein typisches Beispiel ist in Abbildung

3Da die Feldverteilung eines einzelnen Mode durch die Wellenfuhrung bzw. durch einenGauss-Laguerre-Mode vorgegeben ist, ist damit keine Abbildung im Sinne der geometri-schen Optik moglich.


Abbildung 3.4: Maßstabliche Darstellung der geometrische Eigenschaften deruntersuchten Filter. Die vertikale Ausdehnung betragt nur ca. 1/3 der latera-len. Die Lange der Luftkavitat ist dabei noch deutlich kleiner als die gesamtevertikale Ausdehnung.

3.4 dargestellt: die laterale Ausdehnung betragt (ohne Berucksichtigung derAufhangungen) ca. 20µm, wahrend die vertikale Ausdehnung nur ca. 5.9µmbetragt. Die Kavitat selbst ist noch deutlich kurzer. Die Filtermembranen ha-ben grundsatzlich eine zylindrische Form, was generell die Anwendung von ro-tationssymmetrischen Simulationsmodellen ermoglicht. Allerdings wird dieseRotationssymmetrie durch die Aufhangungen der Membranen (siehe Abbil-dung 3.4) gestort. Als weiterer Punkt kommt noch hinzu, dass die freistehen-den Membranen der Filter aufgrund des epitaktischen Prozesses (siehe auchKap. 5.1.1) eine individuelle Verkrummung aufweisen konnen, so dass stabileoder instabile Kavitaten moglich sind. Die Theorie der Gauss-Laguerre Mo-den [56, Kap. 16] bietet zwar eine elegante Methode um stabile und instabileFabry-Perot-Resonatoren zu beschreiben, gilt aber nur in paraxialer Nahe-rung, d.h. wenn vorausgesetzt werden kann, dass die Propagationskonstantedes Feldes in Richtung der optischen Achse viel großer als der Wert senkrechtdazu ist.

Die Wellenfuhrung wird in diesem Bauelementen durch den Brechungs-indexkontrast von dem Halbleitermaterial zur Luft ermoglicht, was analogauch fur Bauelemente auf der Basis von dielektrischen Materialien gilt. DasCharakteristische an dieser Indexfuhrung ist, dass sie im Vergleich zu Halb-leiterlasern [57, Kap. 5.4-5.5] oder Glasfasern [5,58] keine schwache, sondernbedingt durch den hohen Brechungsindexkontrast4 eine starke Indexfuhrungist. Der Indexkontrast ist dennoch nicht so hoch, dass von einem metalli-schen Verhalten, d.h. von einer nahezu vollstandigen Reflexion einer auf eineGrenzflache treffenden Welle, ausgegangen werden kann. Analytische Losun-gen der Wellengleichung fur eine zylindrische oder quaderformige Geometrie

4Der Indexkontrast ist bei InP/Luft-Filtern ca. 3.16:1, und bei dielektrischen Filternca. 1.96:1.44 bzw. 1.96:1.

3.2. SIMULATIONSVERFAHREN 45

existieren sowohl fur die schwache Indexfuhrung [58, Kap. 3.3], als auch furrein metallische Grenzflachen5 [54]. Wahrend eine metallische Grenzflache

die Randbedingung ~E = 0 impliziert, und damit bei einfachen Geometrieneine analytische Berechnung ermoglicht, erlaubt die schwache Indexfuhrungeine paraxiale Naherung. Dies lasst sich anhand einer isolierten Grenzflachedeutlich machen: die Totalreflexion einer Welle an dieser Grenzflache findetnur statt, wenn der Winkel flach genug ist (streifender Einfall). Umgekehrtlasst sich damit eine paraxiale Naherung nur bei starker Indexfuhrung nurdann anwenden, wenn die Abmessungen des fuhrenden Wellenleiters klein ge-genuber der Ausdehnung in Richtung der optischen Achse sind. Daher schei-den Methoden, die eine paraxiale Naherung implizieren fur die Simulationder Filter aus.

Im Zuge der Entwicklung von VCSELn, die haufig eine mit den Fil-tern vergleichbare Geometrie aufweisen, sind einige Simulationsansatze ent-wickelt worden, die nicht mehr auf einer paraxialen Naherung basieren, wiesie fur Kantenemitter, Gas- und Festkorperlaser durchaus praktikabel ist.Die “Weighted Index Method” [59] ist speziell auf monolithische VCSELund rotationssymmetrische Kavitaten zugeschnitten und basiert auf einemelementweisen Separationsansatz fur die Wellengleichung wobei die vekto-rielle Losung fur die Kavitat dann mittels des Transfermatrixverfahrens inaxialer und radialer Richtung ermittelt wird. Diese Methode setzt zumindestin einer Richtung (axial oder radial) eine schwache Kopplung voraus, wasfur die abstimmbaren Filter nicht als gegeben vorausgesetzt werden kann,und lasst sich zudem nur schwer fur in axialer Richtung verbogene Mem-branen anwenden. Ahnliches gilt auch fur die “Method of Lines” [60], diewie die ”Weighted Index Method” auf einem Separationsansatz basiert undneben der Berechnung von rotationssymmetrischen Kavitaten auch fur eineelliptische Aperturen geeignet ist, die in letzter Zeit insbesondere fur polari-sationsstabilisierte VCSEL interessant geworden sind [61].

Neben diesen Methoden, die teilweise auf analytischen Losungen undNaherungen beruhen, sind in letzter Zeit aufgrund der sich laufend verbes-sernden Rechenleistung und dem großeren Speicherausbau von Workstationsauch zunehmend reine Finite Elemente Methoden (FEM) fur die Losung derWellengleichung unter Randbedingungen attraktiv geworden. Grundsatzlichexistiert mit der Methode der Finiten Differenzen im Zeitbereich (Finite Dif-ference Time Domain, FDTD) [62] ein Werkzeug mit dem sich zumindesttheoretisch alle Probleme der elektromagnetischen Wellenausbreitung losenlassen. In der Praxis scheitert dies aber oft an den zu hohen Speicheranfor-

5Die praktische Anwendung ist hier die Berechnung von Hohlraumresonatoren fur dieMikrowellentechnik.


derungen und der zu hohen Rechenzeit. Ein weiterer Nachteil der FDTD-Methode ist die langsame Konvergenz, da der Einschwingvorgang des Sy-stems mit simuliert wird. An dieser Eigenschaft besteht in Bezug auf die ab-stimmbaren Filter nur wenig Interesse. Fur die Ermittlung der Transferfunk-tionen genugt der stationare Anteil der Systemantwort auf eine harmonischeAnregung6. Durch einen harmonischen Ansatz lasst sich die Wellengleichungimmerhin so modifizieren, dass sich mit Hilfe der Finiten Elemente Methodedie stationare Losung fur harmonische Anregung auch direkt ermitteln lasst.Dies ist in Kap. 3.4 beschrieben.

Speziell fur die Simulation von VCSELn sind auch Finite Elemente Me-thoden entwickelt worden, die auf einer rotationssymmetrischen Geometrieaufbauen. Das hat den Vorteil, dass sich die Losung des FEM-Problems aufzwei Dimensionen, d.h. auf die Ebene, die durch den Vektor in axialer undradialer Richtung aufgespannt wird, beschrankt. Die in [64, 65] dargestellteMethode implementiert speziell fur VCSEL einen vollstandig vektoriellen Ei-genmodensolver unter Verwendung des Body-Of-Revolution (BOR)-Modells.Auf diesem Solver baut auch die Simulation der Filter auf, da die Eigen-moden auch fur die Analyse von passiven, linearen Bauelementen wie denabstimmbaren Filtern von großer Bedeutung sind. Es lasst sich leicht nach-weisen (siehe auch Kap. 3.3.3), dass die Eigenwerte den Polen des linearenSystems entsprechen. In Kap. 3.4.4 wird beschrieben, wie die Eigenmodenausgewertet werden um zu einer vollstandigen Beschreibung des linearen Sy-stems mit den Nullstellen zu kommen.

Die geometrischen Verhaltnisse legen naturlich nahe, dass auch eindimen-sionale Verfahren fur die Filter anwendbar sind. Dies ist insbesondere wegender deutlich kurzeren Rechenzeit attraktiv und wird beim Entwurf der Filterangewandt (siehe auch Kap. 4.4). Allerdings basieren alle diese Verfahren aufeiner unendlichen lateralen Ausdehnung und ebenen Wellen und lassen somitprinzipiell keine Analyse der lateralen Moden oder der Kopplungseffizienz miteinem anregenden Feld zu, was die Analyse einiger wichtiger Eigenschaftender Filter unmoglich macht. Das Verfahren, was hierbei im Wesentlichen zurAnwendung kommt, ist die Transfermatrixmethode, auf die in Kap. 3.3 nahereingegangen wird. Speziell fur Kantenemitter (DFB-Laser) existiert ein ana-lytisches Verfahren, das sich gut fur die Analyse der schwachen Modenkopp-lung in einem DFB-Gitter eignet [52, Kap. 5]. Da der starke Indexkontrastder verwendeten Filtermaterialien auch eine starke Modenkopplung nach sichzieht, ist dieses Verfahren hier nicht anwendbar.

6Die Systemantwort eines linearen Systems auf die Anregung mit einem periodischenSignals ab t ≥ 0 lasst sich in einen Einschwingvorgang und einen stationaren Anteil zerle-gen [63]. Der stationare Anteil ist selbst periodisch mit derselben Periodendauer.

3.3. TRANSFERMATRIXMETHODE 47

a1

a1

a2

a2

a4

a4a1

a2 a4

a3

a3

a3

TI

TM

T= ·...·T T T T TI(m+1) Mm Im M1 I1

1...m

n1 n2

nz

Abbildung 3.5: Darstellung der Transfermatrixmethode: Die Transfermatrixdes gesamten Systems ergibt sich aus der Multiplikation der einzelnen Trans-fermatrizen miteinander. Die einzelnen Elemente werden durch die Propaga-tionsmatrizen TM und die Grenzflachenmatrizen TI beschrieben.

3.3 Transfermatrixmethode

Die Implementierung der Transfermatrixmethode orientiert sich stark an derDarstellung in [55, Kap. 3], wobei die Berechnungen mit Hilfe eines selbstentwickelten Programms erfolgten, dessen Bedienung in Anhang B naherbeschrieben wird. Dieses eindimensionale Berechnungsverfahren basiert aufder Annahme, dass die optisch wirksamen Elemente lateral7 eine unendlicheAusdehnung haben und alle anregenden Felder generell durch ebene Wellenbeschrieben werden. Dadurch wird jegliche Ableitung der Wellengleichung3.10 in x- und y-Richtung eliminiert und die Losung der Wellengleichungbeschrankt sich auf die z-Abhangigkeit. Fur die zeitliche Abhangigkeit wirdgrundsatzlich ein harmonischer Ansatz gewahlt, so dass ~E(z, t) = ~E(z)ejωt

gilt. Analog zur Mikrowellentechnik werden Leistungswellen definiert (sieheKap. 3.1.2) und somit der vektorielle Charakter des Feldes eliminiert, der fursenkrechten Einfall ohnehin keine Bedeutung hat.

3.3.1 Transferfunktionen

Lost man die Wellengleichung unter diesen Voraussetzungen, dann erhaltman als Losung zwei Wellen, die in unterschiedliche Richtungen propagieren.Eine Welle breitet sich in Richtung der optischen Achse (+z) aus, wahrend die

7senkrecht zur optischen Ausbreitungsrichtung


andere Welle sich gegen die Richtung der optischen Achse (−z) ausbreitet.Dies sind die beiden moglichen Eigenmoden, die in einem Medium immergemaß a(z) = a0e

±jβz propagieren. An den Grenzflachen zwischen Medienwerden wegen der Reflexion die hin- und die rucklaufende Welle miteinandergekoppelt. Damit gibt es zwei Arten von Transfermatrizen: eine Transferma-trix fur die Ausbreitung in einem Medium und eine fur Grenzflachen zwischenzwei Medien. Eine Transfermatrix hat die Eigenschaft, dass sie immer die hin-und rucklaufende Welle auf einer Seite der Grenzflache oder des Mediums alsFunktion der hin- und rucklaufenden Welle auf der anderen Seite darstellt,so dass nach Abb. 3.5 (

a3

a4

)=

(t11 t12t21 t22

)(a1

a2

)(3.23)

gilt. Dadurch lasst sich ein komplexer Aufbau wie in Abb. 3.5 durch dieMultiplikation von Transfermatrizen darstellen. Eine wichtige Eigenschaftder Transfermatrix ist, dass die Determinante fur reziproke Elemente, zudenen sowohl die Grenzflachen als auch die Ausbreitung zahlen, detT = 1ist. Fur die Propagationsmatrix TM erhalt man

TM =

(e−jβL 0

0 ejβL

)(3.24)

mit β = nk =2πn

λ, (3.25)

wobei L die Lange des Mediums in Richtung der optischen Achse ist, und n =nr +jni den komplexen Brechungsindex darstellt. Hier wurde die Konventionangewandt, dass sich Wellen in Richtung der optischen Achse (+z) gemaße−jβL ausbreiten. Mit dieser Konvention wird die Welle bei ni < 0 gedampftund bei ni > 0 verstarkt. Die Grenzflachenmatrix TI ist

TI =1

2√n1n2

(n2 + n1 n2 − n1

n2 − n1 n2 + n1

), (3.26)

wobei n1 den komplexen Brechungsindex des Materials links von der Grenz-flache und n2 den rechts von der Grenzflache darstellt (siehe auch Abb. 3.5).Damit lasst sich die Transfermatrix des gesamten Systems als

T = TI(m+1)

1∏k=m

TMkTIk (3.27)

darstellen. Zur Ermittlung der Transferfunktionen fur die Transmission unddie Reflexion, wird die rechte Seite, d.h. (a3, a4)

T, als Eingang gewahlt. Die

3.3. TRANSFERMATRIXMETHODE 49

a1k

a1ke-j zβ∆

a2kej zβ∆

zk z∆z

a2k a4k

a3k

Abbildung 3.6: Entwicklung der Leistungswellen an einem beliebigen Punktinnerhalb einer Schicht.

Leistungsreflexion R ist dann das Betragsquadrat des Verhaltnisses von a3

zu a4 unter der Voraussetzung, dass a1 = 0 gilt:

R = |r|2 =∣∣∣∣a3

a4

∣∣∣∣2a1=0

=∣∣∣∣t12t22

∣∣∣∣2 (3.28)

wobei r der Reflexionsfaktor und t12 und t22 die entsprechenden Elementeder Transfermatrix sind. Die Leistungstransmission kann auf ahnliche Weiseermittelt werden:

T = |t|2 =∣∣∣∣a2

a4

∣∣∣∣2a1=0

=∣∣∣∣ 1

t22

∣∣∣∣2 . (3.29)

Dabei sind allerdings die Materialien auf der linken und der rechten Sei-te zu beachten. Nach der Konvention entspricht zwar das Betragsquadrateiner Leistungswelle der transportierten Leistung, aber das Verhaltnis deselektrischen zum magnetischen Feld wird nicht berucksichtigt. Dies wird ins-besondere dort problematisch, wo die Transmission von einem Material miteinem kleinen Imaginarteil des Brechungsindex (z.B. Luft) zu einem Materi-al mit einem großen Imaginarteil (z.B. Metall) stattfindet. Hier muss dannbei der Berechnung der Transmission die Phasenverschiebung zwischen elek-trischem und magnetischem Feld berucksichtigt werden, die stark von demImaginarteil abhangt [52].

3.3.2 Elektrisches Feld

Zur Beurteilung eines Filters oder VCSELs ist es manchmal sinnvoll die Ver-teilung der elektrischen Feldstarke in der Kavitat darzustellen. Die lokaleelektrische Feldstarke steht in direktem Zusammenhang mit der Feldenergieund damit auch mit der lokalen Photonendichte. Letztere ist insbesonderefur die Positionierung der verstarkenden Quantenfilme in der Kavitat ei-nes VCSELs von Bedeutung. Grundsatzlich setzt sich die lokale elektrische


Feldstarke aus der Summe der Feldstarken aller Moden zusammen. Dabei istwichtig, dass die Addition komplex erfolgt, so dass die Phasenterme mit ein-gehen. Erst dadurch ergeben sich die Interferenzmuster bei der Uberlagerungvon Wellen. Im Transfermatrixmodell existieren zwei Moden: eine hinlaufen-de und eine rucklaufende Welle. Von einer Grenzflache aus lassen sich damitdie komplexen Amplituden fur die hin- und die rucklaufende Welle mit e−jβz

bzw. ejβz wie in Abb. 3.6 entwickeln. Ausgehend von den komplexen Ampli-tuden der Leistungswellen erhalt man damit fur die Amplitude des lokalenelektrische Felds

|E(z)| =∣∣∣∣∣√Z0

nk

(a1ke

−jβk(z−zk) + a2kejβk(z−zk)

)∣∣∣∣∣ fur zk≤z<zk+1 (3.30)

wobei sich zk auf die Position der Grenzflachen, und a1k bzw. a2k auf dieLeistungswellen am Eingang der k-ten Schicht bezieht.

3.3.3 Eigenmoden

Im Gegensatz zu der Transmission und der Reflexion, die eine Losung desSystems unter Berucksichtigung einer Quelle, die auf das System einwirkt,darstellen, ist es auch moglich Eigenmoden zu bestimmen, die eine Losungdes Systems ohne Quellenterme darstellen. Fur die Berechnung der Trans-mission und Reflexion wird immer implizit eine externe Signalquelle, die einzeitharmonisches Signal liefert, fur die Leistungswelle a4 angesetzt. InterneSignalquellen (z.B. Quellen spontaner Emission) sind bei den betrachtetenpassiven Bauelementen nicht vorhanden. Fur die Eigenmoden folgt dann,dass eine oder mehrere nichttriviale harmonische Losungen fur die Wellen-zahl k oder die Wellenlange λ = 2π/k gefunden werden mussen, fur die a1 = 0und a4 = 0 gilt, und die somit die homogene Losung der Wellengleichung dar-stellen. Im Allgemeinen ist dies fur eine reelle Wellenzahl k oder ein reelles λnicht moglich, so dass die resultierenden Werte komplex sind. Setzt man inGl. 3.23 a1 = 0 und a4 = 0 dann ist die charakteristische Gleichung

a3 = t12a2 und 0 = t22a2 ⇒ t22 = 0. (3.31)

Die bestimmende Gleichung t22 = 0 ist die einzig zulassige nichttrivialeLosung, und damit sind die Eigenwerte mit den Polen der Transferfunktionen3.28 und 3.29 identisch. Da die t22 eine nichtlineare Funktion von k bzw. λist, wird die Losung der Eigenwerte k0 = k0r + jk0i bzw. λ0 = λ0r + jλ0i miteinem Newton-Raphson Verfahren [49, Kap. 9.6] fur zwei unabhangige Va-riablen (Real- und Imaginarteil) ermittelt. Unter der Voraussetzung, dass t22eine analytische Funktion von k ist [66, Kap. 3.4.5], ließe sich das Newton-Verfahren insofern vereinfachen, dass nur noch eine unabhangige Variable

3.4. FEM-MODELLE 51

notwendig ware. Dies ist aber nicht gegeben, da die Dispersionsfunktionender Materialen nur vom Realteil von k oder λ abhangen. Fur die Losungmuss ein Startwert angegeben werden, von dem aus die Nullstelle ermitteltwird. Eine Eingrenzung des Zielbereichs ist auch notwendig, weil ein Filterje nach Anzahl der Schichten sehr viele Pole aufweisen kann, von denen diemeisten uninteressant sind. Fur die Pole der Transferfunktionen erhalt mandie Identitat

R, T ∝ 1

|k − k0|2=

1

k20i

1

1 + 1/k20i (k − kr)

2 . (3.32)

Das Filter hat die Form einer Lorentzfunktion mit der Linienbreite kFWHM =2k0i. Bei Darstellung in Einheiten der Wellenlange ergibt sich analog dazudie Mittenwellenlange λc = λ0r und die Linienbreite λFWHM = −2λ0i. Dar-aus folgt, dass wesentliche Eigenschaften eines Filters aus den Eigenwertenbestimmt werden konnen. Wahrend der Realteil des Eigenwerts mit der Re-sonanzwellenlange ubereinstimmt, ist der Imaginarteil ein Maß fur die Lini-enbreite.

3.3.4 Gruppenlaufzeit

Die Gruppenlaufzeit ist eine Eigenschaft, die insbesondere fur nachrichten-technische Anwendungen interessant ist. Hier kommt es vor allen Dingen aufdie Gruppenlaufzeitdispersion, d.h. die Anderung der Gruppenlaufzeit mitder Wellenlange oder Frequenz an. Diese Eigenschaft fuhrt zu einer Verzer-rung des Signals, da die Frequenzanteile unterschiedlich schnell propagieren.Mit der Definition aus [63, Kap. 5.1.2] erhalt man fur die Gruppenlaufzeit inTransmisson

τT = −d arg {t}dω

=dIm {ln t22}

dω= −Im

{1

t22

dt22dλ

}λ2

2πc. (3.33)

Die Gruppenlaufzeit in Reflexion ist z.B. fur Add-Drop-Multiplexer (sieheauch Kap. 4.2) ein relevanter Faktor. Analog zu Gl. 3.33 ergibt sich

τR = −Im

{1

t22

dt22dλ

− 1

t12

dt12dλ

}λ2

2πc. (3.34)

Eine analytische Ableitung der Transfermatrixelemente t12 und t22 ware zwartheoretisch moglich, ist aber aufgrund der Komplexitat der Funktion prak-tisch nicht durchfuhrbar. Daher wird die Ableitung mit einem numerischenVerfahren fur die gesamte Transfermatrix ermittelt.


rϕ

z

r-z plane

Er

Ez

Eϕ

Abbildung 3.7: Koordinatensystem des “Body Of Revolution” (BOR) Mo-dells. Durch die azimuthale Expansion beschrankt sich die Losung der Wel-lengleichung auf die Ebene, die in radialer und axialer Richtung aufgespanntwird.

3.4 FEM-Modelle

In diesem Abschnitt werden die Simulationsmodelle vorgestellt, die auf einerFiniten Elemente Methode basieren und speziell auch den Einfluss der late-ralen Strukturierung der Filter und des anregenden Felds erfassen, was mitdie Transfermatrixmethode nicht moglich ist. Da die Filter mit Ausnahmeder Aufhangungen rotationssymmetrisch aufgebaut sind, wird zur Verein-fachung der Darstellung der FEM das sogenannte “Body Of Revolution”(BOR) Modell angwandt, das am Institut fur Integrierte Systeme (IIS) derETH Zurich fur die Simulation von VCSELn [64,67] entwickelt wurde. Nebender Geometrie ist die Definition der außeren Randbedingungen essentiell umexakte und aussagekraftige Simulationsergebnisse zu erhalten. Die Transfer-funktionen konnen damit entweder unter direkter Einbeziehung der Quellebestimmt werden (stationar harmonisch), wobei eine inhomogene Losung derWellengleichung fur eine unabhangige Wellenzahl k ermittelt wird, oder eskonnen die homogenen Losungen der Wellengleichung, die Eigenmoden, be-rechnet werden, und daraus in einem weiteren Schritt die Transferfunktionenunter Einbeziehung der Quelle bestimmt werden. Obwohl beide Methodensich grundsatzlich unterscheiden gibt es doch einige gemeinsame Elemente,wie das geometrische Modell und die außeren Randbedingungen, so dass dieBeschreibung gemeinsam erfolgt. In Kooperation mit dem IIS wurde die Be-rechnung der Eigenmoden mit dem Modesolver LUMI [68] durchgefuhrt, derein Modul des Bauelementesimulators DESSIS ist [69]. Zur Simulation derFilter kam eine eigenstandige Version von LUMI zum Einsatz, die uber dieSkriptsprache Tcl/Tk [70] gesteuert wird. Die stationare harmonische Ana-

3.4. FEM-MODELLE 53

lyse unter direkter Einbeziehung der Quelle wurde mit dem SoftwarepaketFEMLAB [71] durchgefuhrt. Obwohl in FEMLAB schon einige Modelle furspezielle Probleme der Ausbreitung elektromagnetischer Wellen implemen-tiert sind, musste das BOR-Modell mit einer verallgemeinerten partiellenDifferentialgleichung selbst implementiert werden.

3.4.1 BOR-Modell

Die Losung der Wellengleichung mit der finiten Elemente Methode lasst sichdurch die Ausnutzung von Symmetrien stark vereinfachen. Eine besonderseffektive Methode stellt dabei das BOR-Modell dar, weil es dadurch fur einerotationssymmetrische Geometrie moglich ist, die Losung des Problems aufzwei anstelle von drei Dimensionen zu beschranken, wodurch sich die An-zahl der Elemente erheblich reduziert, und die Losung der Wellengleichungweniger Speicherplatz und Rechenzeit beansprucht. Ausgangspunkt ist dieWellengleichung

∇×(Λ−1 · (∇× E (r))

)− k2n2Λ · E (r) = F (r) (3.35)

mit der Wellenzahl k, dem komplexen Brechungsindex n2 und dem Orts-vektor r. Der diagonale 3x3-Tensor Λ wird fur die Modellierung von nicht-reflektierenden Schichtgrenzen (Perfectly Matched Layer, PML) eingefuhrt,die in Kap. 3.4.2 genauer beschrieben werden. Da nur harmonische Vorgangevon Interesse sind, ist die explizite Zeitabhangigkeit von Gl. 3.35 durch demharmonischen Ansatz E(r, t) = E(r) exp(jωt) beseitigt worden. Der Quellen-term F(r) auf der rechten Seite der Gleichung wird nur fur die stationareharmonische Analyse benotigt. In diesem Fall ist die Wellenzahl k eine un-abhangige Variable und reell. Fur die Bestimmung der Eigenmoden entfalltder Quellenterm (F(r) = 0) und k ist eine abhangige, komplexe Variable, dieden Eigenwert darstellt. Die Darstellung von Gl. 3.35 in Zylinderkoordinatenr = (r cosϕ, r sinϕ, z)T [66, Kap. 4.2.2.2] (siehe Abb. 3.7), wie sie von demBOR-Modell vorausgesetzt werden, wirkt sich primar auf die Darstellung desDifferentialoperators ∇× aus.

Der Ubergang von der dreidimensionalen zur zweidimensionalen Darstel-lung der Wellengleichung erfolgt durch eine harmonische azimuthale Expan-sion, wodurch die explizite Abhangigkeit von dem Winkel ϕ entfallt:

E(r, z, φ) =∑ν

(Eν

T (r, z) + Eνφ(r, z)eφ

)ejνφ. (3.36)

Der azimuthale Expansionsfaktor ν entspricht dem azimuthaler Modenin-dex zylindrischer Wellenleiter [72]. Bei der Darstellung in Gl. 3.36 wird das


ν=1ν=0 ν=2x

y

Abbildung 3.8: Raumliche Anderung des lateralen Feldvektors bei unter-schiedlichen azimuthalen Modenindizes. Nur bei ν = 1 ist das Feld trans-versal linear polarisiert.

elektrische Feld E in eine transversale und eine azimuthale Komponente auf-gespaltet. Nach wie vor wird eine voll vektorielle Losung der Wellengleichungunter Einbeziehung der azimuthalen Komponente des elektrischen Felds an-gestrebt. Die Darstellung des Operators ∇× als 3x3-Tensor ist demnach [54,Anhang]

∇× =

0 −∂/∂z jν/r∂/∂z 0 −∂/∂r−jν/r 1/r + ∂/∂r 0

(3.37)

wobei die explizite partielle Ableitung ∂/∂ϕ durch jν ersetzt wurde. Demzu-folge verbleibt eine partielle Differentialgleichung von den beiden Ortskoor-dinaten r und z bestehen, wobei der azimuthale Modenindex als Parametermit in die Gleichung eingeht. Die Formulierung der Wellengleichung fur dieallgemeine Form einer partiellen Differentialgleichung, wie es in FEMLABnotwendig ist, wird in Anhang A dargestellt. Die Losungen dieser Differen-tialgleichung konnen aufgrund der komplexen Randbedingungen nur nume-risch mit der FEM ermittelt werden.

Die azimuthale Entwicklung des elektrischen Feldvektors wird maßgeblichvon dem Modenindex ν bestimmt. Ausgehend von dem komplexen Vektor deselektrischen Feldes E(r0, z0) = E0er + jE0eϕ fur die festen Koordinaten r0und z0, sowie ein reelles E0 ergibt sich bei azimuthaler Expansion fur denreellen Feldvektor

Re {E(r, z, ϕ)}= Re{E(r, z)ejνϕ

}(3.38)

=E0 cos ((1− ν)ϕ) ex + E0 sin ((1− ν)ϕ) ey,

wodurch sich dann wie in Abb. 3.8 dargestellt die raumliche Polarisation jenach dem Wert von ν andert. Die Komponente des elektrischen Felds in Rich-

3.4. FEM-MODELLE 55

tung der optischen Achse spielt bei der Betrachtung keine Rolle. Entschei-dend ist, dass nach Gl. 3.38 eine raumlich lineare Polarisation des Feldvektorsnur fur ν = 1 moglich ist, was zur Konsequenz hat, dass nur Losungen derWellengleichung mit ν = 1 eine laterale Komponente des Feldvektors auf deroptischen Achse bei r = 0 haben. Fur alle anderen Werte von ν muss dielaterale Komponente des Feldvektors auf der Achse verschwinden.

Bei der Betrachtung von Wellenleitern werden gewohnlich Moden, dieannahernd identische Propagationskonstanten8 haben, zu sogenannten LPνµ-Moden (linear polarisierten Moden) zusammengefasst, die sich in Nomen-klatur und Form an den Moden eines rechteckigen Wellenleiters orientie-ren. Auch wenn sich Gruppen von Eigenmoden in den untersuchten Fil-terkavitaten bilden, ist es nicht sinnvoll diese zusammenzufassen, da ihreResonanzfrequenz nach wie vor unterschiedlich ist, und damit die zeitlicheMittelung der Kreuzleistungsdichte verschwindet. Bei Wellenleitern fuhrt derleichte Unterschied in der Ausbreitungskonstante der Bestandteile eines LP-Mode nur dazu, dass sich der Polarisationszustand entlang der optischenAchse langsam andert [51, Kap. 2.6.1]. Die Benennung der Moden orientiertsich daher an den HEνµ und EHνµ Nomenklatur, wie sie fur Hohlleiter ver-wendet wird. Dabei ist ν fest vorgegeben wohingegen der radiale Modenindexµ eher auf heuristische Weise anhand der Intensitatsverteilung vergeben wird.Der fundamentale Mode ist aber in der Regel eindeutig.

3.4.2 Randbedingungen

Die Losung der Wellengleichung mit einer Finiten Elemente Methode setzteinen begrenzten Raum voraus, so dass der Definition der außeren Rand-bedingungen dieses Raums eine besondere Bedeutung zukommt. Fur einenHohlraumresonator mit metallischen Wanden ist es moglich den Raum aufdie inneren Abmessungen des Resonators zu begenzen, und als außere Rand-bedingung die tangentialen Komponenten des elektrischen Felds auf Null zusetzen, was dem Verhalten einer ideal reflektierenden, metallischen Grenz-flache entspricht. Dies ist bei den untersuchten Filtern nicht so einfach mog-lich. Zwar wird durch die starke Indexfuhrung ein großer Teil der Feldenergieauf den Innenraum des Filters konzentriert, der von den außeren Grenz-flachen der Membranen definiert wird, aber dennoch kann im Gegensatz zueiner metallischen Grenzflache ein wesentlicher Teil diese Grenzflachen pe-netrieren, was naturlich auch fur die Funktion wichtig ist. Daher macht eswenig Sinn, den Simulationsraum exakt auf die außeren Abmessungen des Fil-

8Dies ist bei schwacher Fuhrung, wie sie in einer Glasfaser vorliegt, moglich. Die un-tersuchten Filterbauelemente haben dagegen eine starke Fuhrung.


kt

nk

kn

Abbildung 3.9: Der Wellenvektor ~k kann in eine Komponente normal zurGrenzflache ~kn und in eine Komponente tangential zur Grenzflache ~kt zerlegtwerden. Fur die Propagationskonstante normal zur Grenzflache gilt dannβn = |~kn|.

ters zu begrenzen, zumal diese Grenzflachen mit starkem Indexkontrast einewichtige funktionale Komponenten des Filters sind. Dahingegen konnen sichWellen außerhalb des Filters ungehindert ausbreiten. Da die außeren Rand-bedingungen die eigentliche Filterkavitat so wenig wie moglich beeinflussensollten, sind Randbedingungen wie der perfekte elektrische Leiter, die einenbestimmten Wert fur das Feld festlegen, ungeeignet. Durch diese Randbedin-gungen wird selbst eine Kavitat generiert, die das Simulationsergebnis starkverfalscht. Geeignet ist hier eine nicht reflektierende oder schwach reflektie-rende außere Randbedingung, die an den Grenzen eine Freiraumausbreitungnachbildet und somit die Kavitat nur gering beeinflusst.

Eine solche Randbedingung lasst sich unter der Annahme formulieren,dass die Komponenten des Felds lokal durch eine ebene Welle bestimmt wer-den, die unter einem bestimmten Winkel die Grenzflache passiert [73, 74].Fur die Darstellung in der finiten Elemente Methode lasst sich daraus ei-ne Neumann-Randbedingung generieren [75]. Diese Randbedingung funktio-niert sehr gut, wenn der Winkel, unter dem die Welle die außere Grenzflachepassiert, und damit die Propagationskonstante senkrecht zur Grenzflache be-kannt sind (siehe Abb. 3.9. Anderenfalls ergibt sich das Problem, dass dieGrenzflachen mehr oder weniger stark reflektieren, was dann auch das Ergeb-nis der Simulation beeinflusst. Ein weiterer Vorteil dieses Typs von Rand-bedingung ist, dass sich relativ einfach Quellenterme auf der Grenzflachedefinieren lassen. Der Vorteil liegt auf der Hand: auf diese Art lassen sich

3.4. FEM-MODELLE 57

0 rRPML+dRPML

sz=1

sz=1+js ''z

sz=1+js ''z

sr=1+js ''rsr=1

rRPML

zTPML+dTPML

zTPML

zBPML-dBPML

zBPML

Abbildung 3.10: Darstellung des Simulationsraums mit der PML in denschraffierten Bereichen. Die Koordinatentransformation mit sr und sz wirdnur in den Bereichen der PML angewandt. In den Ecken uberlappen sichdiese Bereiche.

externe Quellen fur die stationare harmonische Simulation generieren.

Die Untersuchung dieser Art von Randbedingung fur die stationare har-monische Analyse zeigte jedoch trotz einer Verringerung der Reflexionen,dass die Beeinflussung der Simulation durch die Grenzflachen des Simula-tionsraums immer noch groß war. Dies ist vor allen Dingen darauf zuruck-zufuhren, dass a priori die lokale Propagationskonstante senkrecht zur Grenz-flache nicht bekannt ist, und somit bei der Festlegung eine Fehlanpassunginharent ist. Eine Abhilfe wurde hier nur eine deutliche Vergroßerung des Si-mulationsraums bringen, da sich in Fernfeldnaherung eine annahernd sphari-sche Wellenfront [51, Kap. 2.1.2] ausbildet, deren lokaler Winkel zur Grenz-flache genau bekannt ist. Dies ist aber eher unerwunscht, da sich damit auchdie Anzahl der Elemente stark vergroßert.

Dieses Problem lasst sich mit einer außen liegenden Schicht eines ab-sorbierenden Materials losen, wobei aber gewahrleistet sein muss, dass dieGrenzflache dieser Schicht zu dem Raum, der das Filter umgibt, nicht re-flektierend ist. Durch diese Maßnahme konnen die Grenzflachen des Simula-tionsraums von dem Filter entkoppelt werden, und beeinflussen die Eigen-moden im Idealfall nicht mehr. Die Realisierung einer solchen Schicht (auchPerfectly Matched Layer (PML) genannt) mit einem anisotropen Materialwurde zunachst in [76] fur kartesische Koordinaten vorgestellt. In der ver-allgemeinerten Darstellung in [77] wird diese PML als komplexe Koordina-tentransformation interpretiert. Die Definition einer PML in zylindrischenKoordinaten ist in [78] dargestellt. Diese Koordinatentransformation mani-


festiert sich dann in dem Tensor Λ. Die Transformation setzt voraus, dassdie PML uniaxial ist, d.h. dass eine Welle nur in der jeweiligen Richtungdes Koordinatenvektors gedampft wird. Dies setzt wiederum voraus, dassdie Grenzflachen der PML senkrecht zu den jeweiligen Koordinatenvektorensind, was aber im Allgemeinen keine große Einschrankung darstellt. Damitlassen sich die Transformationsvariablen sz und sr fur die jeweiligen Achsendefinieren. Die Transformationsvariable sϕ fur die azimuthale Komponentelasst sich in der BOR-Darstellung aus sr bestimmen. Durch die Einfuhrungeiner PML wird der Simulationsraum wie in Abb. 3.10 in mehrere Bereichaufgeteilt. Im Innenraum wird keine Transformation angewandt, in den Be-reichen der PML wird die Transformation fur die jeweilige Achse angewandt.In den Eckbereichen werden alle betroffenen Achsen unabhangig voneinan-der transformiert. Die Implementierung der PML in FEMLAB basiert aufder Darstellung in [68] mit einem Parabelprofil, so dass fur die Transforma-tionsvariablen nach [78]

sz =

1 + js0

(z−zb

db

)2; zb − db < z < zb

1 ; zb ≤ z ≤ zt

1 + js0

(z−zt

dt

)2; zt < z < zt + dt

,

sr =

1 ; 0 ≤ r ≤ rr

1 + js0

(r−rr

dr

)2; rr < r < rr + dr

und

sϕ = 1r

∫ r0 srdr =

1 ; 0 ≤ r ≤ rr

1 + js0

3r

(r−rr

dr

)3; rr < r < rr + dr

(3.39)

gilt, wobei zb, zt und rr die untere, obere und rechte Grenze der PML dar-stellen und db, dt und dr die entsprechenden Breiten der PML sind. Der Werts0 bestimmt die Absorption der PML. Die Diagonalelemente des Tensors Λsind damit

Λrr =sϕsz

sr

Λϕϕ =srsz

sϕ

(3.40)

Λzz =srsϕ

sz

s0 ist ein kritischer Wert, denn zum einen fuhrt eine zu niedrige Absorpti-on zu einer Beeinflussung der Eigenmoden durch die außeren Grenzen, zumanderen fuhrt ein zu hoher Wert von s0 dazu, dass die Eigenmoden aus der ei-gentlichen Kavitat “auswandern”, d.h. dass sich die Feldenergie in der Umge-bung der PML konzentriert. Dieser Effekt ist in [68] beschrieben, und konnte

3.4. FEM-MODELLE 59

auch mit FEMLAB nachgewiesen werden. Ursache ist vermutlich, dass diespezielle Anisotropie der PML zwar Wellen, die sich in der entsprechendenAchsenrichtung ausbreiten, dampft, aber Wellen, die sich in der PML senk-recht dazu ausbreiten, verstarkt. Ein brauchbarer Wert ist s0 = 5, was auchden Ergebnissen in [68] entspricht.

Im Vergleich mit der nichtreflektierenden Randbedingung ist die Anwen-dung der PML zwar deutlich komplizierter, da anisotrope Medien eingefuhrtwerden mussen, aber stellt bei sorgfaltiger Dimensionierung eine zuverlassi-ge Methode dar, um den Simulationsraum reflexionsfrei zu begrenzen. Durchdie Einfuhrung der PML haben die außeren Randbedingungen nahezu keinenEinfluss mehr, weshalb es auch moglich ist, die Randbedingung ~n × ~E = 0zu verwenden. Durch die Kombination mit einer nichtreflektierenden Rand-bedingung kann eine schwachere PML verwendet werden.

3.4.3 Quellenfelder

Die Filter als passive Bauelemente benotigen Quellen zur Anregung. Dies giltinsbesondere fur die stationare harmonische Analyse, aber auch die Trans-ferfunktionen lassen sich auf Basis der Eigenmoden nur dann entwickeln,wenn Informationen uber das anregende Feld vorliegen. Typische Quellensind raumlich annahernd linear polarisiert9, was bedeutet, dass sich die Rich-tung der Feldvektoren uber einen Querschnitt senkrecht zur optischen Aus-breitungsrichtung kaum andert. Zwei Falle werden hier betrachtet: zum einender HE11-Mode10 einer Single Mode Glasfaser (SMF) bei direkter Kopplungdes Filters mit einer Glasfaser und zum anderen der TEM00-Mode11 bei in-direkter Kopplung mit einem abbildenden System. In beiden Fallen ist einevoll vektorielle Darstellung der Feldkomponenten notwendig, da die FEM-Analyse ebenfalls auf einer vollstandig vektoriellen Darstellung beruht. DieGlasfaser wird durch den Brechungsindex im Mantel n1, den Brechungsindexn2 im Kern und die entsprechenden Wellenzahlen k1,2 = 2πn1,2/λ, sowie denKernradius a charakterisiert. Allerdings wird im den Datenblattern [5] derBrechungsindex im Kern uber die relative Brechzahldifferenz ∆ = n2/n1 − 1spezifiziert. Die vektorielle Darstellung des Grundmodes einer Glasfaser mitschwacher Fuhrung folgt aus der Herleitung in [58, Kap. 3.3]. In einem Quer-schnitt senkrecht zur optischen Achse erhalt man damit die Komponenten

9Das sind auch im Allgemeinen die Grundmoden der Wellenleiter.10Wird auch als LP01 bezeichnet.11Der TEM00-Mode wird auch Gauss’scher Grundmode bezeichnet.


fur den Grundmode:

Er(r, ϕ) =

E0

(2βk21r

J1(kkr)J1(kka)

+ βkk

J0(kkr)J1(kka)

)ejϕ ; r ≤ a

E0

(2βk22r

K1(kmr)K1(kma)

+ βkm

K0(kmr)K1(kma)

)ejϕ ; r > a

Eϕ(r, ϕ) =

jE0βkk

J0(kkr)J1(kka)

ejϕ ; r ≤ a

jE0β

km

K0(kmr)K1(kma)

ejϕ ; r > a(3.41)

Ez(r, ϕ) =

E0J1(kkr)J1(kka)

ejϕ ; r ≤ a

E0K1(kmr)K1(kma)

ejϕ ; r > a

Die transversalen Propagationskonstanten in Kern und Mantel, kk und km,ergeben sich aus der Forderung, dass die tangentialen Feldkomponenten ander Kern-Mantel Grenze stetig sein mussen. Damit erhalt man auch die Aus-breitungskonstante β. E0 ist ein beliebiger komplexer Wert. Die charakteri-stische Gleichung fur kk bzw. km basiert auf den Besselfunktionen Jn(x) undden modifizierten Besselfunktionen Kn(x) [66, Kap. 3.3.1] und ist daher nichtanalytisch losbar:

J0(kka)

kkaJ1(kka)=

K0(kma)

kmaK1(kma)(3.42)

mit k2k + k2

m = k22 − k2

1 ≈ 2∆k21 (3.43)

Die Feldkomponenten einer typische SMF mit a = 4.1µm, ∆ = 0.0036 undn1 = 1.468 sind fur λ = 1550nm in Abb. 3.11 dargestellt. Bemerkenswert ist,dass die Betrage der radialen Komponente Er und der azimuthalen Kompo-nente Eϕ nicht identisch sind, was nach Kap. 3.4.1 zur Folge hat, dass dasFeld in einem transversalen Querschnitt nicht exakt linear polarisiert ist.

Die Entwicklung des TEM00-Modes folgt aus dem Huygens’schen Integralund stellt damit eine Art Eigenmode des freien Raums dar. Neben diesemGrundmode existieren auch hohere Gauss-Laguerre Moden, die sich insbe-sondere in Kavitaten von Gas- und Festkorperlasern ausbilden, die keine ei-gene Indexfuhrung aufweisen. Durch die fehlende Wellenfuhrung gibt es keinebevorzugte Polarisation, so dass in der Literatur immer eine skalare Feldver-teilung fur den Mode angegeben wird. Charakteristisch fur den TEM00-Modeist, dass alle Eigenschaften des Modes aus dem geringsten Strahlquerschnitt(der Strahltaille) w0, der Wellenlange λ und dem Abstand von der Strahl-taille z − z0 bestimmt werden konnen [58, Kap. 2.3.1]. Eine ausfuhrlicheHerleitung mit Hilfe des Huygens’schen Integrals ist in [56, Kap. 16.3] dar-gestellt. In der Strahltaille selbst ist die Phasenfront des Gauss-Mode eben,wahrend sich weit davon entfernt spharische Phasenfronten ergeben, derenRadius proportional zum Abstand zur Strahltaille ist. Analog zu Gl. 3.38 ist

3.4. FEM-MODELLE 61

0 2 4 6 8 10Radius/µm

0

5

10

15

20

25

30

|E| (

a.u.

)|Er||Eϕ|

|Ez|

core cladding

Abbildung 3.11: Betrage der Feldkomponenten einer typischen SMF mit a =4.1µm, ∆ = 0.0036 und n1 = 1.468 als Funktion des Radius r bei λ =1550nm.

die vektorielle Darstellung des Felds in der Strahltaille:

Er(r, ϕ) = E0e−(r/w0)2ejϕ

Eϕ(r, ϕ) = jE0e−(r/w0)2ejϕ

Ez = 0.

(3.44)

Ez = 0 ergibt sich fur die ebene Phasenfront in der Strahltaille. Bei ge-krummten Phasenfronten ist Ez nicht identisch mit 0, aber in Achsennahe be-tragsmaßig sehr klein gegenuber Er oder Eϕ. Da die Darstellung des TEM00-Mode auf skalaren Feldern basiert, ware fur eine exakte Bestimmung vonEz eine vektorielle Losung der Wellengleichung notig. Die Beschreibung desTEM00-Mode mit einem skalaren Feld in paraxialer Naherung ist jedoch inder Regel ausreichend.

3.4.4 Eigenmoden und Transferfunktion

Die Transferfunktionen eines linearen, zeitinvarianten Systems kann allge-mein als gebrochen rationale Funktion dargestellt werden, die bis auf einenProportionalitatsfaktor durch ihre Pole und Nullstellen bestimmt wird [63,Kap. 5.2]. Die Eigenmoden stellen hingegen die Eigenwerte dieses Systemsdar, so dass sich naturlich die Frage stellt, in wie weit sich die Transfer-funktionen eines optischen Filters durch die Eigenmoden bestimmen lassen.Wie schon in Kap. 3.3.3 erlautert sind die Eigenwerte kνµ mit den Polender Transferfunktion identisch, wobei allerdings zu beachten ist, dass fur die


auf die Leistung bezogenen Transferfunktionen jeweils auch der konjugiertkomplexe Wert k∗µ einen Pol darstellt, da T = tt∗ gilt. Da die Eigenmodenein vollstandig orthogonales System bilden, ist die Kreuzleistung von zweiEigenmoden identisch mit 0, d.h. jeder Eigenmode ubertragt die in ihn ein-gekoppelte Energie unabhangig von den anderen Moden. Daher lasst sicheinerseits fur jeden Eigenmode unabhangig von den anderen eine Transfer-funktion ermitteln. Andererseits erhalt man die Transferfunktion des Filtersdamit unter Berucksichtigung der Transferfunktionen von allen relevantenEigenmoden und deren Anregung durch die Quelle. Die Verfahren zur Be-rechnung der Stimulation durch eine externe Quelle und der Ermittlung derTransferfunktion eines Eigenmode und die werden im Folgenden beschrieben.

Externe Anregung

Zur Ermittlung der Kopplung einer externen Quelle mit einem bestimmtenEigenmode kommt ein Methode zum Einsatz, die eigentlich zur Bestimmungder Kopplungskoeffizienten von Wellenleitern mit verschiedenen Querschnit-ten dient12. Diese werden mit einem Kopplungsintegral (oder auch Uberlap-pintegral) in einem Wellenleiterquerschnitt senkrecht zur Ausbreitungsrich-tung bestimmt, wobei Modenorthogonalitat in diesem Querschnitt vorausge-setzt wird. Die verallgemeinerte Darstellung der Kreuzleistung nach [52, Kap.4.4] ist

P sνµ =

∫AEνµ ×Hs∗ + Es∗ ×HνµdA (3.45)

wobei Es und Hs das elektrische und magnetische Feld der Quelle und Eνµ

und Hνµ das des Eigenmode mit dem Index νµ darstellt und A der betrach-tete Querschnitt ist. Da nur ein Querschnitt senkrecht zur z-Achse betrachtetwird, ist auch nur die z-Komponente von E ×H von Bedeutung. Die Dar-stellung des Integrals in Zylinderkoordinaten wird damit

P sνµ =

∫ r0

0

∫ 2π

0Eνµ

r Hs∗ϕ − Eνµ

ϕ Hs∗r + Es∗

r Hνµϕ − Es∗

ϕ Hνµr dϕ rdr (3.46)

Dabei gilt unter Berucksichtigung der azimuthalen Expansion 3.36 Eνµ =Eνµ(r, z) exp(jνϕ). Da die Wellengleichung 3.35 nur fur das elektrische Feldgelost wird, wird unter Anwendung des Induktionsgesetzes H = j/(ωµ0)∇×E das magnetische Feld ersetzt. Die Darstellung des Operators ∇× erfolgtdabei in Zylinderkoordinaten (siehe 3.37) unter Berucksichtigung der azi-

12Eine Anwendung ist die Kopplung von einem kantenemittierenden Laser und einerGlasfaser

3.4. FEM-MODELLE 63

muthalen Expansion in Gl. 3.36. Damit erhalt man fur das magnetische Feld

Hνµr =

j

kZ0

ejνϕ

(jνEνµ

z (r, z)

r−∂Eνµ

ϕ (r, z)

∂z

)und

Hνµϕ =

j

kZ0

ejνϕ

(∂Eνµ

r (r, z)

∂z− ∂Eνµ

z (r, z)

∂r

). (3.47)

Die Darstellung des H-Felds der Quelle erfolgt analog zu Gl. 3.47 auchin Zylinderkoordinaten mit dem azimuthalen Expansionsindex νs fur daselektrische sowie das magnetische Feld. Zusatzlich werden das laterale elek-trische Feld EL = (Er, Eφ, 0) und der laterale Differentialoperator ∇L =(∂/∂r, jν/r, 0) eingefuhrt. Damit wird die Kreuzleistung

P sνµ =

2πj

kZ0

r0∫0

2π∫0

Es∗L

(∂Eνµ

L

∂z−∇LE

νµz

)ej(ν−νs)ϕ

− EνµL

(∂Es

L

∂z−∇LE

sz

)∗ej(νs−ν)ϕ dϕ rdr (3.48)

Das Integral uber den Winkel dϕ kann dabei zwei Werte annehmen. Wenn νidentisch mit νs ist, dann ist der Wert des Integrals 2π und anderenfalls 0.Daraus folgt, dass bei gegebenem Quellenfeld nur solche Moden des Filtersangeregt werden konnen, die denselben azimuthalen Modenindex ν haben.In Bezug auf die in Kap. 3.4.3 dargestellten Quellenfelder bedeutet dies,dass ebenfalls nur Moden mit ν = 1 angeregt werden, die zumindest inder azimuthalen Expansion linear polarisiert sind. Es ist also moglich, dieBerechnung der Eigenmoden der Filter auf den Wert ν = 1 zu beschranken.Als Ergebnis fur die Kreuzleistung ergibt sich

P sνµ

ν=νs=2πj

kZ0

r0∫0

Es∗L

(∂Eνµ

L

∂z−∇LE

νµz

)− Eνµ

L

(∂Es

L

∂z−∇LE

sz

)∗rdr

P sνµ

ν 6=νs= 0 (3.49)

Der auf das Feld bezogene Wert P sνµ ist im Allgemeinen komplex und

zudem noch nicht auf den Energiefluss durch den gewahlten Querschnitt Anormiert. Demnach sind die leistungsbezogenen Kopplungskoeffizienten κνµ

das Verhaltnis des Betragsquadrats von der Kreuzleistung zu dem Energief-luss des Eigenmode Pνµ und der Quelle Ps

κνµ =

∣∣∣P sνµ

∣∣∣2PsPνµ

(3.50)


Abbildung 3.12: Fundamentaler Mode eines Filters (HE11). Dargestellt istdie Energiedichte des elektrischen Felds im logarithmischen Maßstab.

Der Energiefluss lasst sich ebenfalls mit Hilfe von Gl. 3.45 berechnen, wennEνµ = Es gesetzt wird13. Gl. 3.49 lasst sich dann zu

P =4π

kZ0

∫ r0

0Im

{EL

(∂EL

∂z−∇LEz

)∗}rdr. (3.51)

vereinfachen.Die Berechnung der Kopplungseffizienz impliziert, dass die Eigenmoden

in der Kopplungsebene orthogonal sind, was bedeutet, dass die Kreuzleistungzweier beliebiger Moden nach Gl. 3.49 den Wert 0 hat. Dies kann aber nichtallgemein angenommen werden, da die Orthogonalitat der Eigenmoden sichauf die gesamte r−z-Ebene bezieht, und somit eine raumliche Orthogonalitatdarstellt14. Tatsachlich lasst sich feststellen, dass die Orthogonalitat der Ei-genmoden in der Kopplungsebene mehr oder weniger gut ist, aber es nie zweivollstandig orthogonale Moden gibt. Um zu beurteilen in wie weit dies dasErgebnis verfalscht, sind neben den physikalisch nicht sinnvollen Losungennoch solche Losungen zu unterscheiden, die vorwiegend Energie in vertika-ler Richtung15 abstrahlen (siehe Abb. 3.12), und damit vertikal orientierte

13Daraus resultiert das Integral des Poyntingvektors S = 2Re{E×H} uber eine Flacheuber eine Flache A.

14Eigentlich sind die Eigenmoden raumlich auch nur quasi-orthogonal. Die Ursachehierfur sind die kunstliche Begrenzung des Simulationsraums durch die PML und dieVerluste [65, Kap. 3.4.2].

15In Richtung der optischen Achse (z-Achse).

3.4. FEM-MODELLE 65

Abbildung 3.13: Ein lateral orientierter Mode eines Filters. Dargestellt istdie Energiedichte des elektrischen Felds im logarithmischen Maßstab. An-hand der Energiedichte ist zu erkennen, dass die Abstrahlung vorwiegend inradialer Richtung erfolgt.

Moden darstellen, und solche, die hauptsachlich lateral Energie abgeben16

(siehe Abb. 3.13). Da sich das Feld der Quelle in Richtung der optischenAchse ausbreitet, und auch die Extraktion vertikal stattfindet, werden dielateral orientierten Moden nicht effektiv angeregt. Der Vergleich der nor-mierten Kreuzleistung ψµm = |P νm

νµ |2/(PνmPνµ) mit den Kopplungskoeffizi-enten in Tab. 3.1 zeigt daher auch, dass mit steigender Kopplungseffizienz dieKreuzleistung ab und damit die Orthogonalitat zunimmt. Fur das spezielleFilter in Tab. 3.1 betragt das Maximum der normierten Kreuzleistung, unddamit der relative Fehler, etwa 5 Prozent. Der absolute Fehler ist allerdingsnoch geringer, da die betroffenen Moden nur eine geringe Kopplung mit derSMF aufweisen.

Transferfunktionen

Um mit der Kopplung die Transferfunktion des Filters zu bestimmen mussenzunachst die Transferfunktionen der einzelnen Moden ermittelt werden. Diewichtigste Information sind hier die Eigenwerte selbst, die die Pole der Trans-ferfunktion darstellen. Die Transferfunktion eines Eigenmode hat demzufol-ge einen Pol, der vom Eigenwert bestimmt wird. Allerdings genugt dieseInformation noch nicht vollstandig, da der Absolutwert der Transmission

16In radialer Richtung.


µ κµ HE11 EH11 HE12 EH12 HE13

HE11 0.440 1 0.00006 0.00233 0.00114 0.00303EH11 0.156 0.00006 1 0.00549 0.00363 0.01351HE12 0.048 0.00233 0.00549 1 0.00810 0.05132EH12 0.076 0.00114 0.00363 0.00810 1 0.01940HE13 0.018 0.00303 0.01351 0.05132 0.01940 1

Tabelle 3.1: Vergleich der normierten Kreuzleistung und der Kopplungskoeffi-zienten fur ein Filter mit λ/2-Kavitat und 20µm Durchmesser. GeometrischeDetails sind in Kap. 5.1 zusammengefasst; die ersten 5 Moden sind in Abb.5.6 dargestellt. Die Kooplungskoeffizienten gelten fur eine SMF.

des Filters auch entscheidend von den Beugungsverlusten (siehe Abb. 3.14)und der Absorption des verwendeten Materials abhangt. Daher wird fur ei-ne vollstandige Darstellung der Transferfunktion das Modell einer einfachenFabry-Perot Kavitat herangezogen, deren Parameter aus dem Eigenmode ex-trahiert werden, was im folgenden Abschnitt erlautert wird. Nach [55, Kap.3.3.3] ist die Transmission eines Fabry-Perot Filters bezogen auf die Feldam-plitude

t =t1t2gcav

1− r1r2g2cav

(3.52)

und analog die Reflexion

r =t21r2g

2cav

1− r1r2g2cav

− r1. (3.53)

Die Transferfunktionen hangen von der Transferfunktion der Kavitat gcav so-wie den Reflexions- und Transmissionskoeffizienten der Spiegel r1,2 bzw. t1,2

ab17. Da insbesondere die auf die Leistung bezogenen Ubertragungsfunktio-nen T = |t|2 und R = |r|2 von Interesse sind, werden die Gleichungen 3.52und 3.53 durch die Beschrankung auf skalare Reflexions- und Transmissions-koeffizienten vereinfacht, so dass r2

1 +t21 = 1 und r22 +t22 = 1 gilt. Ein eventuell

vorhandener statischer Phasenfaktor von r1 und r2, der sich im Nenner vonGl. 3.52 und Gl. 3.53 auswirkt, wird einfach der Kavitatstransferfunktion gcav

zugeordnet. Fur die Betrachtung ist es gunstig eine lineare Phase vorauszu-setzen, so dass φ = (∂φ/∂k)k gilt, wobei k die Wellenzahl ist und ∂φ/∂kkonstant. Die geringe Anderung der Phase hat wenig Auswirkung auf dieTransferfunktion zumal vorausgesetzt wird, dass die Linienbreite (FWHM)

17Der Index 1 steht fur den oberen, also den quellenseitigen Spiegel, und Index 2 furden unteren Spiegel.

3.4. FEM-MODELLE 67

deutlich kleiner als die Filterwellenlange ist. Betrachtet man nun einen Um-lauf der Welle in der Kavitat mit der Lange L, dann gilt

gcav = e−jβLejϕ = e−j(nL+∂φ/∂k)k. (3.54)

Der Realteil des Faktors nL + ∂φ/∂k ist das Resonanzkriterium, wahrendder Imaginarteil ein Maß fur die Verluste der Kavitat ist. Betrachtet mandie Phase von g2

cav, so ist diese eine periodische Funktion von k, wobei diePeriode in Einheiten der Wellenzahl kc = π/(L + ∂φ/∂k) ist. Es gilt alsoarg(g2

cav(k)) = arg(g2cav(k + kc)). Damit lasst sich die Transferfunktion der

Kavitat als

gcav = exp

(jmπ

kc

(k

m− kc +

j

2τmlc

))(3.55)

darstellen, wobei hier vorausgesetzt wird, dass sich ahnlich wie bei der Phasedie Verluste in der unmittelbaren Umgebung der Filterfunktion nur unwesent-lich andern. Der Wert m entspricht dem longitudinalen Modenindex, so dassfur eine λ/2-Kavitat m = 1 gilt. Die Zeitkonstante τml wurde hier zunachstphanomenologisch eingefuhrt und beschreibt wie in Abb. 3.14 dargestellt dieBeugungs- und Materialverluste. Betrachtet man einen Umlauf einer Wellein der Kavitat, so ist diese wahrend der Umlaufzeit τc = 2mπ/(kcc) einemVerlustfaktor von r1r2 durch die Spiegel unterworfen. Damit lassen sich dieReflexionskoeffizienten r1,2 durch die Spiegelzeitkonstanten τ1,2 darstellen, furdie

r1,2 = exp

(− τc

2τ1,2

)= exp

(− πn

kccτ1,2

)(3.56)

gilt. Die Zeitkonstanten τ1, τ2 und τml umfassen samtliche Verluste der Ka-vitat, so dass damit die Photonenlebensdauer

1

τph

=1

τ1+

1

τ2+

1

τml

(3.57)

definiert werden kann. Diese Beziehung wird zusammen mit der Gl. 3.55 undGl. 3.56 in die Transferfunktionen Gl. 3.52 und Gl. 3.53 eingesetzt, wodurchsich eine Darstellung dieser Funktionen in Abhangigkeit von den Zeitkonstan-ten ergibt, so dass fur die auf die Leistung bezogenen Transferfunktionen

T = |t|2 =2 sinh (π/ (kccτ1)) sinh (π/ (kccτ2))

cosh (π/ (kccτph))− cos (2π (k/kc −m))und (3.58)

R = |r|2 = 1− 2 sinh (π/ (kccτ1)) sinh (π/kcc (1/τph − 1/τ1))

cosh (π/ (kccτph))− cos (2π (k −mkc) /kc)(3.59)


gilt. Diese Darstellung der Transferfunktionen ist zwar moglich, aber unprak-tisch, da es keine gebrochenen rationalen Funktionen sind. Diese erhalt man,wenn die transzendenten Funktionen cos, sinh und cosh durch die erstenGlieder ihrer Taylorreihe ersetzt werden, was moglich ist, da die Argumentein der der Umgebung der Filterlinie hinreichend klein sind. Die gebrochenerationale Darstellung der Transferfunktionen fur einen Eigenmode ist

T =4τ 2

ph

τ1τ2

1

1 + (2τphc (k −mkc))2 und (3.60)

R = 1− 4τph (τ1 − τph)

τ 21

1

1 + (2τphc (k −mkc))2 . (3.61)

Da der Eigenwert dem Pol dieser Funktionen entspricht, ergibt sich uber denKoeffizientenvergleich sofort, dass

mkc = kνµ0 = Re{kνµ} und τ νµ

ph = (2c Im{kνµ})−1 (3.62)

ist. Zur Bestimmung der Spiegelzeitkonstanten τ1 und τ2 ist die Auswertungdes Eigenmode notwendig. Betrachtet man einen isolierten Verlustmechanis-mus, so verringert sich die Energie W0 die zum Zeitpunkt t = 0 in der Kavitatgespeichert ist nach dem Zerfallsgesetz ∂W/∂t = W/τ , wobei τ die entspre-chende Zerfallskonstante ist. Die Ableitung ∂W/∂t entspricht der LeistungP , die zu einem bestimmten Zeitpunkt t abgegeben wird. Damit lasst sichdie Zerfallskonstante τ bestimmen: es gilt τ = W/P . Bezogen auf die Eigen-moden bedeutet dies, dass sich die Spiegelzeitkonstanten τ1,2 aus dem demVerhaltnis der in der Kavitat gespeicherten Energie zu der Leistung, die nachoben, bzw. nach unten abgestrahlt wird, ermitteln lassen. Sinnvollerweise istdies jeweils die Leistung, die durch die Grenze zu der oberen PML (PTPML)bzw. der unteren PML (PBPML) hindurch tritt. Diese lasst sich numerischmit Gl. 3.51 ermitteln, und man erhalt fur die Zeitkonstanten

τ νµ1 =

W

P νµTPML

und τ νµ2 =

W

P νµBPML

. (3.63)

Mit den Kopplungskoeffizienten κνµ aus Gl. 3.50 lassen sich so die Transfer-funktionen des Filters darstellen:

T =∑νµ

κνµ

4τ νµph

2

τ νµ1 τ νµ

2

1

1−(2cτ νµ

ph (k − kνµ0 ))2 und (3.64)

R = 1−∑νµ

κνµ

4τ νµph

(τ νµ1 − τ νµ

ph

)τ νµ1

2

1

1−(2cτ νµ

ph (k − kνµ0 ))2 . (3.65)

3.4. FEM-MODELLE 69

Top mirror loss: τ1

Bottom mirror loss: τ2

Diffraction and

intrinsic loss: τml

Abbildung 3.14: Verluste einer Fabry-Perot Kavitat. Die Verluste des oberenund unteren Spiegels werden durch die Zeitkonstanten τ1 bzw. τ2 beschrieben.Die Zeitkonstante τml stellt die Material- und Beugungsverluste dar.

Fur linear polarisierte Quellen gilt bei zentrischer Anregung, dass alle Kopp-lungskoeffizienten mit ν 6= 1 gleich 0 sind. Beide Gleichungen lassen sichdurch Umformen in eine gebrochene rationale Funktion, d.h. in den Quotien-ten aus zwei Polynomen, umwandeln. Die Pole sind bekannt, die Nullstellender Funktion werden numerisch ermittelt.

Implementierung

Die Ermittlung der Transferfunktion erfolgt in zwei Schritten: zunachst wer-den die Eigenmoden bestimmt und selektiert, danach werden aus den Eigen-moden und den zugehorigen Eigenwerten die Transferfunktionen ermittelt.Die Eigenmoden werden mit einer finiten Elemente Methode bestimmt, wasebenfalls zwei Schritte erfordert: die Erzeugung eines FEM-Gitters mit einemMeshgenerator, und einen Modesolver, der fur das spezielle Randwertproblemauf Basis des Gitters die homogenen Losungen der Wellengleichung ermittelt.Dafur wurde zum einen aus dem kommerziellen Softwarepaket ISE Techno-logy CAD [69] der Meshgenerator und Geometrieeditor mdraw und der Mo-desolver lumi verwendet. Der Modesolver lumi basiert auf einem iterativenAlgorithmus zur Losung des Eigenwertproblems [65, Kap. 4.5]. Zunachst wirdfur einen vorgegebenen Eigenwert (Target) ein Preconditioner bestimmt, derdann als Startwert fur die iterative Losung des Gleichungssystems dient.Diese Methode wurde deswegen gewahlt, weil sie im Gegensatz zu direktenVerfahren (LU-Dekomposition) weniger Speicherplatz benotigt. Des weite-ren wurde das FEM-Paket “FEMLAB” [71] verwendet, das Geometrieeditor,


gv1

v2

e (g v )>0z 1x

e (g v )<0z 2xx

y

z

Abbildung 3.15: Verfahren zur Projektion der Gitterpunkte auf eine Schnitt-gerade. Die Beurteilung, ob eine bestimmte Gitterlinie die Gerade schneideterfolgt anhand der Ortsvektoren der Endpunkte zu einem beliebigen Punktauf der Geraden.

Mesh-Generator, Solver und Auswertung unter einer graphischen Oberflacheintegriert. Grundsatzlich stehen hier mehrere Solver zur Auswahl, iterativeund direkte, wobei bisher die direkten Solver die besten Ergebnisse gelieferthaben.

Fur die vorgegebene Filtergeometrie und -wellenlange liefert der Modesol-ver ca. 10-20 unterschiedliche Eigenmoden in einem Wellenlangenbereich vonetwa 40nm, von denen alledings der großte Teil lateral orientiert ist. Diesewerden manuell anhand der Energieverteilung des elektrischen Felds (sieheAbb. 3.12 und 3.13) selektiert, so dass nur noch mutmaßlich vertikal orien-tierte ubrigbleiben. Eine automatisierte Selektion anhand der Kopplungsko-effizienten, Kreuzleistung und lateralen Verluste ist zwar moglich, nur bleibtdas Verfahren ebenso wie die manuelle Selektion heuristisch, da es kein ein-deutiges mathematisches Kriterium gibt um laterale von vertikalen Modenzu unterscheiden. Der Ubergang ist hier eher unscharf.

Die Nachbearbeitung der selektierten Eigenmoden lasst sich im Grundegenommen auf die Evaluierung des Kreuzleistungsintegrals 3.49 zuruckfuh-ren. Das Leitungsintegral 3.51 stellt nur eine Spezialform des letzteren dar.Dazu mussen die Vektorkomponenten des elektrischen Felds und deren Ablei-tung in axialer und radialer Richtung bekannt sein. Zur Verfugung stehen diegeometrischen Daten, die der Mesh-Generator erzeugt hat, sowie die kompo-nentenweise Darstellung des elektrischen Felds des Eigenmode an den Gitter-punkten und der Eigenwert, die von dem Modesolver generiert worden sind.Diese Daten werden von einem eigens dafur entwickelten Postprozessor (zero:siehe auch Anhang C) zur Darstellung der Transferfunktionen ausgewertet.

Da die Integrale auf einer definierten Ebene18 zu evaluieren sind, und

18Die Ebene senkrecht zur optischen Achse, die z.B. die obere PML ausmacht, ist imBOR Modell mathematisch gesehen eine Gerade.

3.4. FEM-MODELLE 71

r

z

ϕ

Raster definieren Gitterprojektion Axiale Spline-Interpol.

Radiale Spline-Interpol.Num. Integration

T

k

Eval. Transferfunktionen

Abbildung 3.16: Schematische Darstellung der Schritte zur Auswertung derEigenmoden um die Transferfunktionen zu evaluieren.

nicht vorausgesetzt werden kann, dass die Gitterpunkte immer exakt auf die-ser Ebene liegen, ist es zunachst notwendig, die Gitterpunkte auf diese Ebenezu projizieren und die Feldkomponenten fur diese projizierten Punkte zu in-terpolieren. Dazu werden zunachst diejenigen Gitterlinien ermittelt, die dieGerade schneiden, oder deren Endpunkte auf der Gerade liegen. Ausgehen-dend von einem beliebigen Punkt auf der Geraden werden die Ortsvektorender Endpunkte der Linie ermittelt. Haben wie in Abb. 3.15 dargestellt dieVektorprodukte der Ortsvektoren mit dem Geradenvektor ein unterschied-liches Vorzeichen, dann schneidet die Linie die Gerade. Ist mindestens einWert gleich 0, dann liegt mindestens ein Endpunkt auf der Geraden. DerSchnittpunkt ist dann auch der Projektionspunkt fur die Feldkomponenten,die ausgehend von den beiden Endpunkten linear interpoliert werden. DieGitterweite ist mit λ/16 so klein, dass durch die lineare Interpolation keingroßer Fehler zu erwarten ist.

Die Evaluierung der Ableitung stellt insofern ein Problem dar, dass eineAbleitung, die auf der linearen Interpolation basiert, an den Gitterpunktenunstetig ist, was insbesondere in der Nahe der Achse zu Artefakten fuhrt.Daher werden die Feldkomponenten durch kubische Splines [49, Kap. 3.3]interpoliert, wodurch die Ableitung in den Gitterpunkten stetig wird. Einweiterer Punkt, der fur die Verwendung von Splines spricht, ist die freieFestlegung des Werts der Ableitung an den Randern. Dies ist vor allem furdie radiale Ableitung von Bedeutung, deren Wert auf der Achse fur die radialeund die azimuthale Feldkomponente 0 betragt.

Um die Ableitung sowohl in radialer als auch axialer Richtung zu be-


stimmen wird eine bikubische Splineinterpolation verwendet, die eigentlicheine Verschachtelung von zwei Splineinterpolationen in axialer und radia-ler Richtung darstellt [49, Kap. 3.6]. Es wird ein Raster fur die Integrationdefiniert, dessen Punkte in der Schnittebene19 wie in Abb. 3.16 radial aqui-distant sind, und danach durch die so festgelegten Radien jeweils ein Schnittin axialer Richtung durch das Gitter gelegt (siehe Abb. 3.16) und eine Splin-einterpolation durchgefuhrt. An den Rasterpunkten wird dann der Wert derFeldkomponenten und deren Ableitung ∂/∂z in ermittelt. In einem zwei-ten Schritt wird dann eine Splineinterpolation der Feldkomponenten an denRasterpunkten durchgefuhrt, wodurch sich dann die radiale Ableitung ∂/∂rergibt. Mit den Werten der Feldkomponenten an den Rasterpunkten, sowiederen Ableitung erfolgt dann die Evaluierung der Integrale 3.49 und 3.51numerisch nach der Trapezmethode. Da der Modesolver die in der Kavitatgespeicherte Energie berechnet, ist es damit moglich die Parameter κνµ, τ νµ

1

und τ νµ2 zu bestimmen. Die Transferfunktionen nach Gl. 3.64 und Gl. 3.65

konnen damit direkt evaluiert werden.

Zur Ermittlung der Nullstellen mussen die Transferfunktionen in die ge-brochene rationale Darstellung uberfuhrt werden, was durch die Erweiterungder einzelnen Terme der Summe moglich ist. Die Nullstellen des Nennerpo-lynoms sind dann schon bekannt, wahrend die Nullstellen des Zahlerpoly-noms numerisch ermittelt werden mussen. Dafur wird eine leicht modifizier-te Laguerre-Methode [49, Kap. 9.5] verwendet, die einerseits berucksichtigt,dass sowohl die Pole, als auch die Nullstellen immer als konjugiert komple-xe Paare auftreten, und zum anderen die numerische Probleme, die durchdas teilweise extreme Verhaltnis von Real- zu Imaginarteil einer Nullstelleauftreten, durch eine geeignete Variablentransformation umgeht.

3.4.5 Vergleich zu stationarer harmonischer Analyse

Die stationare harmonische Simulation wurde vor allen Dingen durchgefuhrt,um einen Vergleich fur die auf den Eigenmoden basierende Methode zur Er-mittlung der Transferfunktionen zu haben. Nicht zuletzt sind fur letztereeinige Naherungen notwendig, wie der Ubergang von raumlicher Orthogona-litat zur Orthogonalitat in einem Querschnitt, und die Naherung der Trans-ferfunktionen durch ein Fabry-Perot-Modell. Fur den Vergleich wurden beideModelle mit FEMLAB implementiert und fur dieselbe Geometrie berechnet.Im Fall der stationaren harmonischen Simulation besteht das Problem, dieQuelle zu platzieren. Physikalisch einwandfrei ware eine nicht reflektierendeRandbedingung (siehe Kap. 3.4.2), die durch einen zusatzlichen Quellenterm

19d.h. fur einen festen axialen Wert z = z0

3.4. FEM-MODELLE 73

Abbildung 3.17: Anordung der Quelle (rot) fur die stationare harmonischeSimulation und die entsprechende Feldverteilung. Die schwarz schraffiertenBereiche zeigen die Anordnung der PML. Dargestellt ist die stationare har-monische Losung fur λ = 1612nm.

erganzt wird. Diese Randbedingung lasst sich einerseits aber nicht mit einerPML kombinieren (das externe Quellenfeld wird absorbiert), andererseits istdie Wirkungsweise der nicht reflektierenden Randbedingung nicht so gut wiedie einer PML, so dass diese Moglichkeit entfallt. Daher wird wie in Abb.3.17 schematisch dargestellt eine verteilte Quelle an der Grenzen der oberenPML definiert, die durch gezielte Modifizierung der Grenzbedingungen einsich in axialer Richtung ausbreitendes Feld einer SMF darstellt. Mit Hilfedieser Quelle lasst sich die Transmission des Filters simulieren, aber es istkeine Simulation der Reflexion moglich, da aufgrund der Platzierung und De-finition der Quelle, die Darstellung des Felds im der PML physikalisch nichtsinnvoll ist20.

Auf dieser Basis wurde die Transferfunktion ermittelt, wobei die trans-mittierte Leistung mit dem Leistungsintegral Gl. 3.51 an der Grenze zu derunteren PML bestimmt wurde. Die Modellgeometrie ist im Detail in Kap.5.1 beschrieben. Fur die stationare harmonische Analyse ist die Wellenlangeeine unabhangige Variable und gleichzeitig der Laufparameter, wobei der

20Das bedeutet nicht, dass die PML fur die von der Kavitat reflektierte Welle wirkungslosgeworden ist, sondern, dass die Quelle auch einen nichtphysikalischen Feldanteil in derPML additiv beisteuert, der allerdings ebenfalls absorbiert wird.


1590 1595 1600 1605 1610 1615Wavelength/nm

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Tra

nsm

issi

on

Result of eigemode analysisResult of FDSH analysis

Abbildung 3.18: Vergleich des Ergebnisses der stationaren harmonischen Si-mulation mit dem Resultat der Eigenmodenmethode.

Wellenlangenbereich und die Diskretisierung spezifiziert werden mussen. Furdie in Abb. 3.18 dargestellte Simulation wurde auf der Auswertung der Eigen-moden basierend der Wellenlangenbereich von 1590nm bis 1615nm bei einerDiskretisierung von 0.1nm gewahlt, und die Wellengleichung fur jeden die-ser Werte gelost. Die Wahl der Diskretisierung ist gewohnlich ein kritischerPunkt, da bei zu feinen Wellenlangenabstanden unotige Rechenzeit anfallt,bei zu grober Diskretisierung aber die Gefahr besteht, dass die Filterliniennicht mehr aufgelost werden.

Zum Vergleich wurden auf derselben Geometrie und demselben Gitterbasierend die Eigenmoden bestimmt und die Transferfunktion ermittelt, dieebenfalls in Abb. 3.18 dargestellt ist. Bei insgesamt guter Ubereinstimmungist zu erkennen, dass offensichtlich die Kopplungskoeffizienten mit der auf denEigenmoden basierenden Methode etwas großer ausfallen, was sich durch dieNaherung in Bezug auf die Orthogonaltat der Moden in einer Schnittflacheerklaren lasst. Ein wesentlicher Vorteil der Eigenmodenmethode ist, dass eskeine Unsicherheit bei der Diskretisierung der Wellenlange gibt, und dassmit relativ wenigen Solverschritten21 im Vergleich zu der stationaren harmo-nischen Methode ein relativ genaues Ergebnis erzielt werden kann. Wahrenddie Rechenzeit22 fur dieses Problem mit der auf den Eigenmoden basierendenMethode 396 Sekunden betragt, dauert die stationare harmonische Analyse167 Minuten, womit erstere um den Faktor 25 schneller ist. Nicht zuletzt

21In etwa Anzahl der Eigenmoden in dem gewahlten Wellenlangenbereich22Auf einem Apple Power Macintosh G5 Dual 2 GHz mit 3,5 GB RAM und FEMLAB

3.1.

3.4. FEM-MODELLE 75

ergibt sich mit Hilfe der Eigenmodenmethode eine analytische Darstellungder Transferfunktion, was insbesondere fur die Systemsimulation von Vorteilist.

Kapitel 4

Filterentwurf

77

78 KAPITEL 4. FILTERENTWURF

Dieses Kapitel gibt einen Uberblick uber die systemtechnischen Anforde-rungen und Aspekte beim Entwurf durchstimmbarer Filter, welche sowohl furden Einsatz der Filter in optischen Ubertragungssystemen, als auch fur dieAnwendung als Mikrospektrometer wichtig sind. Die mechanischen Eigen-schaften der Filter bei elektrostatischer und thermischer Aktuation werdenin Kap. 4.1 diskutiert sowie der zu erwartenden Abstimmbereichs und dieGeschwindigkeit abgeschatzt. In den Abschitten 4.2 bzw. 4.3 werden einemogliche Systemkonfigurationen fur ein optisches Ubertragungssystem undein optisches Mikrospektrometer erlautert und die sich daraus ergebendenAnforderungen an die Filter dargelegt. In Kapitel 4.4 wird dann mit Hilfe desTransfermatrixmodells erklart, wie diese Eigenschaften durch den vertikalenAufbau der Filter auf Basis von dielektrischen Materialien und Halbleiter-Luft-Spiegeln gezielt beeinflusst werden konnen.

4.1 Mechanische Eigenschaften

4.1.1 Elektromechanische Aktuation

Das Grundprinzip der elektromechanischen Aktuation ist die anziehendeelektrostatische Kraft, die zwischen zwei Ladungen mit unterschiedlichemVorzeichen wirkt. In durchstimmbaren Filtern mit Luftkavitat lasst sich diesausnutzen, indem eine Potentialdifferenz zwischen den beiden an die Kavitatangrenzenden Membranen oder Spiegeln durch Anlegen einer Spannung er-zeugt wird. Dies setzt naturlich voraus, dass zumindest Teile der Membranenoder Spiegel aus elektrisch leitfahigem Material bestehen. Zum einen kanndies ein dotierter Halbleiter oder ein Material wie Indium-Zinn-Oxid (ITO)sein, die zwar bei niederen Frequenzen elektrisch leitfahig aber im gewahl-ten optischen Frequenzbereich hinreichend transparent ist [15, 27, 28]. Zumanderen konnen insbesondere an dielektrischen Membranen Metallkontakteangebracht werden, was zwar ingesamt einen hoheren technologischen Auf-wand nach sich zieht, aber mittlerweile auch erfolgreich praktiziert wordenist [16,17].

Die hier behandelten Filter mit InP-Luft Spiegel haben einen n-dotiertenoberen und einen p-dotierten unteren Spiegel, wahrend das Halbleitermateri-al, das die Lange der Kavitat definiert, undotiert ist. Durch das Anlegen einerSperrspannung an die resultierende pin-Diode lasst sich dann das elektrischeFeld zur Aktuation der Membranen erzeugen. Da samtliche Membranen desoberen bzw. des unteren Spiegels jeweils dasselbe elektrische Potential ha-ben, werden wegen der resultierenden Abschirmung der außeren Membranennur die unmittelbar an die Kavitat angrenzenden Membranen aktuiert, was

4.1. MECHANISCHE EIGENSCHAFTEN 79

k/2 d/2M/2

k, M, d

Abbildung 4.1: Einfaches Modell fur die elektrostatische Aktuation mit einerbeweglichen Kondensatorplatte. Da in dem realen Modell beide Membranenausgelenkt werden, mussen die Parameter im Modell skaliert werden.

naturlich die optische Abstimmeffizienz beeinflusst (siehe auch Kap. 4.4.1).Wie in Abb. 4.1 dargestellt ist das einfachste Modell der elektromecha-

nischen Abstimmung ein Plattenkondensator auf dessen Platten die Ruck-stellkraft einer Feder mit der Federkonstante k durch die Aufhangungen undzusatzlich eine Dampfung d, die durch das nicht ideal elastische Verhaltender Membranen und das umgebende Medium (Luft) hervorgerufen wird, ein-wirken. Fur dieses Modell lasst sich eine Kraftgleichung aufstellen, die sichfur den rein statischen Fall, wenn die Membranmasse M und die Dampfungd vernachlassigt werden, auch analytisch losen lasst:

ε0AU2 1

2(x− lcav)2− kx− d

∂x

∂t−M

∂2x

∂t2= 0 (4.1)

Damit erhalt man fur die Spannung U , die notwendig ist um die Membranum die Wegstrecke x auszulenken [79]:

U =

√2kx

ε0A(lcav − x) (4.2)

Die Membranauslenkung x entzieht sich messtechnisch dem direkten Zugriff,weswegen eine Darstellung mit der Wellenlangenabstimmung ∆λ0 eines Fil-ters angebracht ist. Wellenlangenabstimmung und Auslenkung x sind uberdie optische Abstimmeffizienz ηopt verknupft (siehe Kap. 4.4.1), wobei dieseRelation mit guter Naherung als linear betrachtet werden kann. Allerdingskann das Modell insbesondere an den Grenzen der Stopbander stark davonabweichen. Daruber hinaus kann das Federmodell eine Nichtlinearitat auf-weisen, die durch den Kennlinienexponenten a dargestellt wird. Damit erhaltman die Darstellung

U =

√2k

ε0A

(∆λ0

ηopt

)a/2 (lcav −

∆λ0

ηopt

). (4.3)


Da die elektrostatische Kraft bei x = lcav einen Pol hat, wahrend dieRuckstellkraft der Feder nur linear anwachst, gibt es eine kritische SpannungU , bei der die Ruckstellkraft die elektrostatische Kraft nicht mehr kompen-sieren kann und die Membranen zusammenfallen. Diese sogenannte Pull-InSpannung [79] hangt von der Flache der Membran A, dem Abstand lcav undvon der Federkonstante ab. Die daraus resultiernde maximale Aktuation xmax

der Membran betragt xmax = lcav/3 [79] fur ein lineares Federmodell F = kx.In der Praxis stellt man allerdings haufig fest, dass das Federmodell einerMembrane nicht exakt linear ist, sondern einen Exponenten großer als 1hat, so dass F = kxa gilt1. Dies hat auch eine großere maximale Aktuationxmax = alcav/(2 + a) zur Folge. Die Tatsache, dass die maximale Aktua-tion ausschließlich von der Kavitatslange lcav und dem Federexponenten aabhangt schrankt den maximalen Abstimmbereich eines Filters ein, da auchdie optische Abstimmeffizienz umso kleiner wird je großer die Kavitatslangeist.

Dieser Wert der maximalen Aktuation lasst sich allerdings praktisch nichtausnutzen, da einerseits ein Zusammenfallen der Membranen wegen der Ad-hasion nicht reversibel ist und damit das Filter zerstort, und andererseits diedynamischen Eigenschaften des Filters, insbesondere die kinetische Energieder Membran, mit berucksichtigt werden mussen. Abb. 4.2 zeigt die Simu-lation einer Sprungantwort fur ein Filter mit 900nm Kavitatslange, 40µmMembrandurchmesser und 357nm Membrandicke und einer Federkonstantek = 10N/m, die aus gemessenen Kurven extrahiert wurde (siehe Kap. 5.3.1 ).Die Dampfungskonstante wurde dabei so gewahlt, dass sich die Membranenfur kleine Aussteuerungen nach ca. 15µs eingeschwungen haben. Das durchdie Massentragheit der Membranen verursachte Uberschwingen fuhrt dabeischon ab einer Auslenkung von 214nm zu einem Pull-In, was deutlich unterdem statischen Wert von 300nm liegt.

Eine Verbesserung bringt die Ansteuerung des Filters mit einer Span-nungsrampe, wie in Abb. 4.3 dargestellt. Der maximale stationare Endwertliegt hier fur eine Rampe von 10µs Dauer bei 263nm. Bei einer unendlichlangsamen Erhohung der Spannung ließe sich auf diese Art auch der stati-sche Endwert erreichen.

Ein weiterer wichtiger Aspekt ist die Einstellzeit des Filters, die nicht nurvon den dynamischen Eigenschaften abhangt, sondern auch von der Art derAnsteuerung. Wie in Abb. 4.2 und 4.3 dargestellt erhoht die Ansteuerungmit einer Spannungsrampe die Einstellzeit in etwa um die Dauer der Rampe.Gleichzeitig hat die Dampfung d einen starken Einfluss auf die Einstellzeit,wobei sich dieser Wert allerdings kaum beeinflussen lasst. Zudem ist die Op-

1Die Einheit von k ist dann nicht mehr N/m.


0 10 20 30 40 50time/µs

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1de

flect

ion/

µm

step response, U=8.434V, endpoint at 0.214 µmstep response, U=8.435V, pull-in

Abbildung 4.2: Sprungantwort eines elektrostatisch aktuierten Filters mit900nm Kavitatslange. Der großtmogliche stationare Endwert der Auslenkungliegt bei 214nm.

0 10 20 30 40 50time/µs

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

defle

ctio

n/µm

ramp t=10µs, U=8.682V, endpoint at 0.263 µmramp t=10µs, U=8.684V, pull-in

Abbildung 4.3: Ansteuerung desselben Filters mit einer Spannungsrampe von10µs Dauer. Hier wird ein maximaler stationarer Endwert von 263nm er-reicht.


~ u(t)x

elektrost. Kraft u(t)a

Kopplung mit 4 (x -x )k34 4 3

Kopplung mit 2 (x -x )k23 2 3

Dämpfung j dxw 3

Trägheit Mxw2

3

Rückstellkraft k x3 3

3 4 5 621

Abbildung 4.4: Darstellung der Krafte, die in einem Multimembransystemauf eine Membran wirken.

timierung der Dampfung fur eine moglichst schnelle Einschwingzeit (aperi-odischer Grenzfall) wegen der nichtlinearen Differentialgleichung 4.1 nur fureine bestimmte Auslenkung moglich. Insbesondere in Datennetzen ist eineschnelle Einstellzeit von großem Vorteil, weshalb hier die Sprungansteuerungtrotz eines effektiv geringeren Abstimmbereichs sinnvoller ist.

Zur Ermittlung der mechanischen Ubertragungsfunktion ist eine lineareDarstellung von Gl. 4.1 notig. Bei einen Arbeitspunkt (U0, x0) erhalt man

kaxa−10

lcav − (2/a+ 1)x0

lcav − x0

x+ d∂x

∂t+M

∂2x

∂t2=

√2kεAxa

0

x0 − lcav

u(t), (4.4)

wobei hier schon die explizite Abhangigkeit U20 = 2(x0− lcav)

2kxa/εA ersetztworden ist, so dass der Arbeitspunkt nur noch von x0 bestimmt wird. Andieser Gleichung lasst sich auch sehr gut der Pull-In erkennen, der erreichtist, wenn die Ruckstellkraft am Arbeitspunkt den Wert 0 erreicht (1. Termvon Gl. 4.4). Die durch plastische Verformung der Membran und Einfluss desumgebenden Mediums (Luft) verursachte Dampfung d ist in der Regel nichtso stark, dass die Resonanz der Filtermembran unterbunden wird. Die mitsteigender Auslenkung der Filtermembran kleiner werdende effektive Feder-konstante ke = kaxa−1

0 (lcav − (2/a + 1)x0)/(lcav − x0) fuhrt dazu, dass auchdie Resonanzfrequenz leicht abnimmt. Die normierte Ubertragungsfunktionfur harmonische Anregung wird damit

g(ω) =1

1 + jωd/ke − ω2M/ke

. (4.5)

Es lasst sich allerdings auch messtechnisch feststellen (siehe Kap. 5.3.2),dass diese Ubertragungsfunktion nur fur eine isolierte Membran gilt. Beieinem Filter, das ein System von mehreren Membranen darstellt, kommt esdurch die zwischen den Membranen eingeschlossene Luft zu einer Kopplung


der aktuierten inneren Membranen mit den außen liegenden Membranen, sodass diese ebenfalls zu Resonanzen angeregt werden. Das Resultat ist eineAufspaltung der Filterresonanz in mehrere Linien [80, Kap. 4.4]. Unter derAnnahme, dass bei entsprechend hohen Frequenzen die Dampfung durch dieLuft einer elastischen Kopplung durch deren Kompression weicht, erhalt manein System von mehreren gekoppelten, linearen Differentialgleichungen. DasKraftdiagramm, auf dem die Differentialgleichungen basieren, ist dabei inAbb. 4.4 dargestellt. Fur die innenliegenden Membranen folgt daraus dieKraftgleichung

knxn + d∂xn

∂t+M

∂2xn

∂t2− κ(n−1)n(xn−1−xn)− κn(n+1)(xn+1−xn)=fe, (4.6)

wobei die kn die Federkonstante der entsprechenden Membran und die κn(n+1)

den Kopplungskoeffizienten der Luftspalte entsprechen. Diese unterschiedli-chen Werte der Federkonstanten ergeben sich zum einen aus einer unter-schiedlich tiefen Unteratzung der Membranen [35]; zum anderen hat die Ver-spannung und die daraus resultierende Verbiegung der Membranen einen Ein-fluss auf die Federkonstante. Nicht zuletzt muss auch bei den beiden innenlie-genden Membranen die effektive Federkonstante berucksichtigt werden. Dieunterschiedlichen Kopplungskoeffizienten ergeben sich aus den unterschiedli-chen Breiten der Luftspalte. Bei der Bestimmung der elektrostatischen Kraft

fe =

√2k3k4εAxa

0

k3 + k4

1

x0 − lcav

u(t) (4.7)

an einer Membran geht anstelle einer einzelnen Federkonstante k die Kombi-nation der Federkonstanten der beiden inneren Membranen ein. Da sich dieelektrostatische Kraft an den beiden die Kavitat begrenzenden Membranengegenseitig aufheben muss, gilt außerdem, dass an der gegenuberliegendenMembrane −fe angreift. Streng genommen sind auch die Dampfungskonstan-ten der einzelnen Membranen unterschiedlich, wobei auch die Kopplung derMembranen einer gewissen Dampfung unterliegt, da bei der Kompression derLuft Energie in Warme umgewandelt wird. Die Kraftgleichungen der ande-ren Membranen ergeben sich analog, so dass die Matrixdarstellung des resul-tierenden Gleichungssystems im Frequenzbereich (0, 0, fe,−fe, 0, 0)T= G−1xmit

G−1=

κ12+γ1

−κ12

0000

−κ12

κ12+κ23+γ2

−κ23

000

0−κ23

κ23+κ34+γ3

−κ34

00

00

−κ34

κ34+κ45+γ4

−κ45

0

000

−κ45

κ45+κ56+γ5

−κ56

0000

−κ56

κ56+γ6

(4.8)


1e+05 1e+06 1e+07f/Hz

0

1

2

3

4

5

6

7

g(f)

Abbildung 4.5: Simulation der mechanischen Ubertragungsfunktion mit 6gekoppelten Membranen. Die Masse M und die Dampfungskonstante d be-tragen 0.2 ng bzw. 0.15 mg/s. Fur die Federkonstanten gilt k1 = k2 = 18N/m, k3 = k5 = k6 = 12 N/m und k4 = 8 N/m. Die Kopplungskoeffizientensind κ12 = κ23 = κ45 = κ56 = 6 N/m und κ34 = 3 N/m.

und γn = kn + jωd− ω2M (4.9)

ist. Die Auflosung des Gleichungssystems erfolgt dann numerisch uber eineMatrixinversion, wobei als Parameter die Frequenz eingeht. Die messtech-nisch erfassbare Große, d.h die Anderung der Kavitatslange, entspricht derDifferenz ∆L = x4 − x3.

Abb. 4.5 zeigt eine Simulation, bei der 5 Linien auftreten. Bei genauererUntersuchung stellt man fest, dass bei der Charakterisierung oft mehr als 3Linien auftreten, wohingegen bei identischen Federkonstanten der Membra-nen nur eine dreifache Linienaufspaltung durch die Kopplung moglich ist, dadas System in diesem Fall symmetrisch bezuglich der Mitte der Kavitat ist,und damit die Resonanzen zweifach entartet sind. Daraus folgt, dass die Fe-derkonstanten der einzelnen Membranen oft nicht exakt identisch sind, wobeidie Aufspaltung umso starker ist, je großer die Unterschiede sind.

Fur die Kopplungskoeffizienten lasst sich analog dazu feststellen, dasseine Aufspaltung in mehr als zwei Linien nur moglich ist, wenn eine Kopplungzwischen den Membranen vorliegt. In einigen Fallen sind weniger als 6 Linienzu sehen, was auf den geringen Frequenzabstand zuruckzufuhren ist, so dassdiese bei der gegebenen Dampfung nicht mehr aufgelost werden.

Die vielfachen, schwach gedampften Resonanzen wirken sich eher unguns-tig auf die elektromechanischen Eigenschaften aus, da sie einen negativenEinfluss auf die Einschwingzeit haben.


Wie in Kap. 5.3.2 dargestellt wird, wirkt die Luft zwischen den Membra-nen nicht dampfend, sondern es treten mehr die kompressiven Eigenschaftenzu Tage. Daher ist es zur Verbesserung der Dynamik notwendig, die Damp-fung und die Resonanzfrequenz durch eine Anderungen der Geometrie zubeeinflussen. Durch eine Vergroßerung des Querschnitts der Aufhangungenkann die Resonanzfrequenz und auch die Dampfung erhoht werden. Um dieKopplung zwischen den Membranen zu verringern konnen zum einen dieLuftspalte vergroßert werden, zum anderen ware es moglich das Filter her-metisch gekapselt unter Vakuum zu betreiben. Zu beachten ist allerdings,dass insbesondere den Anderungen der vertikale Struktur eines Filters durchdie optischen Eigenschaften enge Grenzen gesetzt sind.

Abschießend ist noch zu bemerken, dass unter dem ungunstigen Um-stand eines zu hohen Kontaktwiderstands auch die elektrische Transferfunk-tion einen wesentlichen Einfluss auf die Filter hat. Dieser Zusammenhangwird in Kap. 2.3 naher beschrieben, da er vor allen Dingen als technologi-scher Artefakt im Zusammenhang mit der dynamischen Charakterisierungauftritt.

4.1.2 Thermische Aktuation

Die thermische Aktuation ist insbesondere fur solche Materialsysteme inter-essant, die von sich aus nicht elektrisch leitfahig sind und somit die elek-tromechanische Aktuation nur schwer zu realisieren ist. Dazu werden aufden Aufhangungen der Spiegel, die in diesem Fall nicht aus einzelnen Mem-branen, sondern aus einer Abfolge dielektrischer SiO2- bzw. SiNx-Schichtenbestehen, Heizelemente angebracht. Die thermische Langenausdehnung derAufhangungen wird dann aufgrund der Fixierung an den Halteblocken ineine vertikale Auslenkung des Spielgels umgesetzt. Dabei spielt die Vorver-biegung des Spiegels und der Aufhangung insofern eine Rolle, dass bei einerstabilen Kavitat (siehe Abb. 4.6) die Kavitatslange vergroßert wird und beieiner instabilen Kavitat verkleinert wird. Da stabile Kavitaten insbesonderebei großen Kavitatslangen eine deutlich bessere Gute aufweisen [56], ist inder Regel nur eine Vergroßerung der Kavitatslange bei der Einpragung einesHeizstroms in der Praxis relevant.

Ein einfaches Modell der thermischen Aktuation ist in Abb. 4.6 darge-stellt, wobei die dynamischen Effekte vernachlassigt worden sind. Da zu er-warten ist, dass die thermischen Zeitkonstanten um den Faktor 100 bis 1000großer als die mechanischen Zeitkonstanten sind, spielen letztere ohnehin kei-ne große Rolle. Die geometrische Analyse ergibt L2

0(1 + α∆T )2 = ∆x2 + L20,

wobei L0 die Lange der Aufhangungen, ∆x die Auslenkung des Spiegels,α der thermische Ausdehnungskoeffizient und ∆T die Temperaturerhohung


∆xL0

L (1+ T)0 α∆

Abbildung 4.6: Einfaches Modell fur die thermische Aktuation. Die Tempe-raturerhohung in der Aufhangung wird als konstant angenommen.

sind. Fur die Temperaturerhohung ∆T , die durch die ohmschen Verlustein den Heizelementen bestimmt wird, gilt ∆T = RthQ = RthRelI

2, wobeiRth und Rel der thermische bzw. der elektrische Widerstand sind, und I derStrom durch das Heizelement ist. Damit erhalt man als Naherung fur dieAuslenkung

∆x = L0

√2α∆T = L0

√2αRthRelI, (4.10)

wobei der Term (α∆T )2 vernachlassigt wurde, da α∆T � 1 ist.

Ein Problem bei der thermischen Aktuation ist die plastische Verformungder Aufhangungen, die unter der Einwirkung statischer Krafte schon weit un-terhalb des Schmelzpunktes auftritt und zu einer langsamen Degeneration desFilters fuhrt. Diese Probleme sind fur MEMS aus Polysilizium beschriebenworden [81] und treten ab einer Temperatur von ca. 1000K deutlich auf, wobeiSi einen deutlich hoheren Schmelzpunkt als SiO2 hat. Daraus folgt, dass diemaximal zulassige Temperatur von der projektierten Lebensdauer der Filterabhangt. Die maximale Auslenkung ist nach Gl. 4.10 zwar nur proportionalzu der Wurzel aus der maximalen Temperaturerhohung ∆Tmax, aber direktproportional zu der Lange der Aufhangungen L0, was einen weiten Bereichermoglicht.

Die bei thermischer Aktuation realisierbaren Einstellzeiten liegen im Be-reich von 1/1000s bis zu 1s [23] was ca. 1000 mal mehr als die realisierbarenZeitkonstanten bei elektromechanischer Aktuation ist. Thermisch aktuierteFilter sind daher nur eingeschrankt fur flexible DWDM-Netze und Spektro-meter nutzbar, eher als universeller Ersatz fur Filter bei einer festen Wel-lenlange. Ein Vorteil der thermisch aktuierten Filter ist, dass die maximaleAuslenkung nicht an die Kavitatslange gekoppelt ist, sondern wesentlich vonder Geometrie der Filter, d.h. der Lange der Aufhangungen beeinflusst wird.

4.2. OPTISCHE UBERTRAGUNGSSYSTEME 87

Rx

Tx

Mux

Filter

Circulator

...1 2 m-1 m

ADM

Abbildung 4.7: Modell eines rekonfigurierbaren optischen Netzwerks zurAbschatzung des Einflusses der Filtereigenschaften.

4.2 Anforderungen optischer

Ubertragungssysteme

Basis fur die Untersuchung ist das Modell eines optischen Netzwerks mitrekonfigurierbarem optischen Routing in einem Glasfaserring, wie es z.B. inMetropolitan Area Netzen (MAN) eingesetzt werden konnte. Das Netzwerkbasiert auf einem WDM-Verfahren, d.h. zur Verbindung zweier Knoten wirdein bestimmter Wellenlangenkanal ausgewahlt. Als WDM-Verfahren kommendabei im Wesentlichen das nach ITU spezifizierte DWDM (Dense WDM)mit 100 GHz Kanalabstand im Bereich von 1492nm bis 1612nm, und dasCWDM (Coarse WDM) mit 20nm Kanalabstand von 1310nm bis 1610nmin Frage [8, Kap. 2.5]. Jeder Knoten des Netzwerks besteht, wie in Abb. 4.7dargestellt aus einem Add-Drop-Multipexer (ADM) der zwar eine feste Wel-lenlange bei dem Sendebauelement, aber eine einstellbare Wellenlange beidem Empfangsbauelement, einem durchstimmbaren Filter mit nachgeschal-tetem Detektor, aufweist.

Der Aufbau des Demultiplexers fur dem Empfang mit einem Zirkulatorermoglicht, dass eine an Tor 1 eingekoppelte Welle einer bestimmten Wel-lenlange entweder das Filter an Tor 2 passiert oder am Filter reflektiertwird und uber Tor 3 wieder in das System eingespeist wird. Bezogen aufdas Eingangssignal an Tor 1 ergeben sich so fur jeden Knoten verschiedeneDampfungen und Verluste:

� die ”Drop”-Verluste fur die eingestellte Filterwellenlange Tm , die derTransmission des Filters entsprechen,

� die ”Pass”-Verluste fur alle anderen Wellenlangen R, die sich aus derReflexion des Filters und den Verlusten des Zirkulators und der Faser-strecke zusammensetzen, und

� die Seitenmodendampfung Tsm, die der Sperrtransmission des Filters


entspricht.

Ist nun m die Anzahl der Knoten im System, dann durchlauft ein Si-gnal die maximale Anzahl von m − 2 Knoten bevor es detektiert wird. DieSignalstarke am Detektor ist

Psig = Rm−2TmP0, (4.11)

wobei P0 die Leistung des Sendebauelements ist. Dieser Wert bestimmt zu-sammen mit dem Signal-Rausch-Verhaltnis am Empfanger die maximale An-zahl der Knoten im System.

Von großerer Bedeutung ist hier allerdings noch die Seitenmodenunter-druckung der Filter. Zwar hat jeder Seitenmode in Abhangigkeit von derFilterwellenlange eine andere Seitenmodenunteruckung, allerdings wird hierder Einfachheit halber ein mittlerer Wert angenommen. Die Leistung desStorsignals am Detektor ergibt sich damit dann zu

Psm =

(m−1∑k=0

Rk −Rm−2

)TsmP0. (4.12)

Das Verhaltnis der Signalleistung zur Storleistung am Detektor Sdet =Psig/Psm bestimmt somit die Signalqualitat. Der tolerierbare Wert hangtvon verschiedenen Faktoren wie der Fehlerkorrektur und der Signalbandbrei-te ab. Fur die Praxis interessant ist die maximale Anzahl der Knoten imSystem, die sich aus den obigen Abschatzungen fur eine vorgegebene Signal-qualitat ergibt. Wird R = 1 gesetzt, ergibt sich der einfache Zusammen-hang mmax,R=1 = 1 + Tm/Tsm/Sdet, der wesentlich von der Seitenmodenun-terdruckung SSMSR = Tsm/Tm bestimmt wird. Fur einen realistischeren Wertvon R < 1 erhalt man nach einigen Rechenschritten:

mmax =

⌊− ln (mmax,R=1(1−R)/R2 + 1)

ln (R)

⌋. (4.13)

Die in Tab. 4.1 dargestellte Abschatzung der maximalen Anzahl vonKnoten in einem System zeigt, dass eine gute Seitenmodenunterdruckungder Filter, d.h. eine moglichst hohe Transmission der Filterwellenlange beigleichzeitig moglichst geringer Transmission der anderen Wellenlangen einedeutliche Verbesserung der Leistungsfahigkeit des Systems durch die Anzahlder maximal moglichen Knoten bewirkt. Die Dampfung im Pass-Betrieb ei-nes Knotens hat zwar auch einen großen Einfluss auf das System, wird aberwesentlich von den Eigenschaften des Zirkulators und der Faserstrecke be-stimmt, so dass das Filter nur eine untergeordnete Rolle spielt.

4.2. OPTISCHE UBERTRAGUNGSSYSTEME 89

R = 1 R = 0.95 R = 0.8

SSMSR=-30dB 100 18 11SSMSR=-40dB 1000 63 21

Tabelle 4.1: Abschatzung der Anzahl der moglichen Knoten m im System beieiner vorgegebenen Signalqualitat Sdet = 10. Die Seitenmodenunterdruckungist in dB angegeben.

Ein weiterer wichtiger Faktor, ist die Linienbreite der Filter. Wie schonerlautert betragt der Kanalabstand in einem DWDM-System 100GHz, wasin dem gewahlten Wellenlangenbereich ca. 0.8nm entspricht. Bei einer idea-len Linienform des Filters, d.h. einer Rechteckcharakteristik, ließe sich aucheine Datenrate von 100GBit/s uber den Kanal ubertragen. In der Praxislasst sich die Rechteckform nur annahern, indem mehrere optische Kavitatenmiteinander gekoppelt werden [82]. Dies erfordert aber einen hohen technolo-gischen Aufwand und ist fur mikromechanisch durchstimmbare Filter wegender nicht zu vermeidenden Fertigungstoleranzen und dem Abstimmfehler dereinzelnen Kavitaten nicht praktikabel.

Die praktisch realisierbare Filtercharakteristik bei abstimmbaren Filternkommt einer Lorentz-Funktion nahe (s.a. Kap 3.4.4). Das bedeutet aller-dings, dass aufgrund der nicht rechteckformigen Charakteristik die Signal-bandbreite nur einen Bruchteil des vorgegebenen Kanalabstands betragenkann. Zum einen wird die Seitenmodenunterdruckung durch die Linienbreiteder Lorentz-Charakteristik entscheidend mit bestimmt, zum anderen verur-sacht die Krummung der Lorentzfunktion im Durchlassbereich des Filterseine nicht zu vernachlassigende Gruppenlaufzeitdispersion und eine starkeDampfung hochfrequenter Signalanteile bei einer zu kleinen Linienbreite.

Die fur DWDM empfohlene maximale Bitrate betragt 10GBit/s. DieserWert lasst zwar eine gewisse Toleranz der Linienbreite zu, bedeutet abertrotzdem, dass die Linienbreite des Filters sehr gut angepasst werden muss,zumal eine gewisse Anderung der Linienbreite bei der Abstimmung des Fil-ters nicht zu vermeiden ist (s.a. nachfolgende Abschnitte). Die fur CWDMspezifizierte Bitrate betragt 2.5GBit/s, was zusammen mit dem relativ weitenKanalabstand von 20nm sehr große Toleranzen der Linienbreite erlaubt.

Ein weiterer wichtiger Punkt ist der Abstimmbereich eines Filters, der imwesentlichen durch folgende Faktoren begrenzt wird:

� die mechanische Begrenzung des Verstellwegs der Membranen oderSpiegel,

� die (kleinste) Stopbandbreite der Spiegel und


� den freien Spektralbereich (FSR).

Wenn der Abstimmbereich einen Sicherheitsabstand zum jeweiligen Ende desStopbands einhalt und gleichzeitig kleiner als der freie Spektralbereich ist,dann ist das Verhaltnis der Anderung der Filterwellenlange ∆λ zu dem me-chanischen Weg ∆x der Membranen bzw. Spiegel nahezu konstant und lasstsich durch die optische Abstimmeffizienz ηopt = ∆λ/∆x beschreiben. Gene-rell wird ein Abstimmbereich angestrebt, der moglichst gut auf die Anwen-dung angepasst ist. In diesem Zusammenhang ist insbesondere die Konstanzder Eigenschaften wie Linienbreite und Seitenmodenunterdruckung uber denAbstimmbereich wichtig. Wahrend der Abstimmbereich bei DWDM-Filternvon ca. 120nm eine eher große Entwurfsfreiheit zulasst stellt der Abstimm-berich von 300nm bei CWDM-Filtern und die dazu erforderliche optischeAbstimmeffizienz große Anforderungen an das Design.

4.3 AnforderungenanMikrospektrometer

Ein Mikrospektrometer besteht aus der Kombination eines durchstimmba-ren Filters mit einem Detektor. Physikalisch lasst der Vorgang der Spektral-analyse durch eine Filterung des Signals beschreiben, das anschließend vomDetektor integral erfasst wird [39]. Die Filterung der Signalquelle bedeutetim Frequenzbereich eine Multiplikation, und damit lasst sich der gesamteVorgang wie folgt darstellen:

P (f0) =∫ ∞

−∞G(f − f0)Θ(f)df (4.14)

Dabei ist Θ(f) das Leistungsdichtespektrum des zu messenden Signals, G(f−f0) die Filterfunktion und P (f0) die detektierte Leistung. Der gesamte Vor-gang nach Gl. 4.14 stellt eine Faltung im Frequenzbereich dar, also im Zeit-bereich eine Multiplikation, und ist somit zu den in der Mikrowellentechnikverwendeten Mischern zur Spektralanalyse aquivalent. Damit ist es offen-sichtlich, dass eine ideale Rekonstruktion des Signals nur gelingt, wenn dieFilterfunktion der Deltafunktion entspricht, d.h. G(f − f0) = δ(f − f0). Inrealen Filtern entspricht diese Filterfunktion wie schon in Kap. 4.2 erlauterteher einer Lorentzfunktion mit endlicher Linienbreite.

Diese Linienbreite bestimmt sowohl die Auflosung des Spektrums alsauch die Leistung P (f0) des detektierten Signals, was anhand der folgendenAbschatzung erlautert wird. Ist das Leistungsdichtespektrum Θ(f) konstantuber die Linienbreite des Filters, dann ergibt Gl. 4.14 fur eine Lorentzfunk-tion mit der Linienbreite fFWHM : P (f0) = π/2fFWHMΘ(f0). Somit ist diedetektierte Leistung proportional zur Linienbreite. Es ist daher nicht sinnvoll

4.3. ANFORDERUNGEN AN MIKROSPEKTROMETER 91

-100 -50 0 50 100∆f/GHz

-40

-30

-20

-10

0

Am

plitu

de [d

B]

SMSR = 0SMSR = -40dBSMSR = -30dBSMSR = -20dBoriginal spectrum

Abbildung 4.8: Rekonstruktion des Spektums eines DFB-Laser mit einemFilter mit ca. 0.04nm Linienbreite. Die unterste Kurve zeigt das Original-spektrum.

eine moglichst kleine Linienbreite des Filters anzustreben, da davon auch dasSignal-Rauschverhaltnis am Detektor abhangt. Vielmehr muss die Linienbrei-te auf die spektrale Charakteristik der Signalquelle angepasst werden. Dahergilt, wie bei Filtern fur optische Kommunikationssysteme, dass es moglichsein muss die Linienbreite maßzuschneidern, auch wenn die Toleranzgrenzenhier weiter als bei DWDM-Systemen sind.

Fur eine moglichst genaue Rekonstruktion ist auch eine gute Seitenmo-denunterdruckung des Filters von großer Bedeutung, was an folgendem Bei-spiel verdeutlicht werden soll. Abb. 4.8 zeigt die Rekonstruktion des Spek-trums eines DFB-Lasers nach Gl. 4.14 mit ca. 5MHz Linienbreite, -30dBSeitenmodenunterdruckung und ca. 0.8nm Seitenmodenabstand. Das Filterzur Rekonstruktion hat eine Linienbreite von ca. 5GHz, was in etwa 0.04nmbei 1600nm Wellenlange entspricht. Die Lorentz-Charakteristik des Filtersverursacht schon fur unendliche Seitenmodenunterdruckung des Filters einenFehler von ca. 3dB bei der Messung der Seitenmodenunterdruckung des La-sers. Eine Seitenmodenunterdruckung des Filters von -40dB erlaubt eine guteRekonstruktion, wahrend bei einer kleineren Seitenmodenunterdruckung dieQualitat immer schlechter wird, so dass bei -20dB schließlich die Seitenmodendes Laser nicht mehr aufgelost werden konnen.

Der Abstimmbereich von Mikrospektrometern sollte idealerweise so großwie moglich sein. Allerdings gelten auch hier die Einschrankungen, die furoptische Ubertragungssysteme gelten: die Eigenschaften des Filters, Seiten-modenunterdruckung und Linienbreite, mussen uber den Abstimmbereich


RT

11 Perioden11 Perioden

Kav.

Abbildung 4.9: Aufbau des Modellfilters.

innerhalb bestimmter Toleranzgrenzen bleiben.

4.4 Entwurf

Die in den vorhergehenden Abschnitten dargestellten Anforderungen an dieEigenschaften abstimmbarer Filter konnen durch die Anderung des Schicht-systems gezielt beeinflusst werden. Daher wird in diesem Abschnitt darge-stellt, wie der Aufbau des Filters beim Entwurf durch die geforderten Eigen-schaften beeinflusst wird. Basis fur diese Untersuchungen ist im wesentlichendas auf dem 1D Transfermatrixmodell basierende optische Modell.

Im Vergleich zu dem in Kap. 3.4 prasentierten Modell, mit Hilfe des-sen sich die Eigenschaften der Filterbauelemente aufgrund der Berucksich-tigung der lateralen Strukturierung viel genauer analysieren lassen, gibt esdennoch einige Eigenschaften, die von dem Transfermatrixmodell sehr genauvorhergesagt werden. Zu diesen zahlen der Abstimmbereich und die optischeAbstimmeffizienz. Fur die Linienbreite (FWHM) und die Einfugedampfunglassen sich zumindest Richtwerte fur die Dimensionierung ermitteln, wobeibei letzterer Eigenschaft die Modenankopplung nicht erfasst werden kann.Die Seitenmodenunterdruckung lasst sich hingegen nur mit 2D- oder 3D-Modellen analysieren.

Die Vorteile des Transfermatrixmodells fur den Entwurf von Filtern lie-gen dennoch auf der Hand: die Handhabung ist deutlich einfacher, und dieAusfuhrung ist ebenfalls deutlich schneller. Wo es angebracht ist, wird inden folgenden Abschnitten auf Unterschiede zum BOR-Modell in Fußnotenhingewiesen.

Da sich nicht fur alle Eigenschaften einfache analytische Beziehungen her-leiten lassen, werden einige Eigenschaften anhand eines Filters mit dielektri-schen Spiegeln (Brechungsindexkontrast 1.44:1.96, 11 Perioden, nominellenFilterwellenlange von 1550nm) erlautert. Der Aufbau des Filters ist in Abb.4.9 dargestellt.

Abschließend wird auf den Entwurf eines InP/Luft-Filters eingegangen,

4.4. ENTWURF 93

das technologisch implementiert wurde und Basis fur einige Untersuchungenist.

4.4.1 Abstimmbereich

Der maximale Abstimmbereich wird durch mehrere Faktoren beeinflusst: ne-ben dem maximalen mechanischen Abstimmbereich sind auf optischer Seiteinsbesondere die Stopbandbreite und der freie Spektralbereich (Free SpectralRange, FSR), der von der Kavitatslange abhangt, wichtig. Die Stopbandbrei-te ist eine feste Grenze fur den Abstimmbereich, was durch den Vergleich miteinem 1D photonischen Kristall, den ein Braggspiegel darstellt, deutlich wird.Das Stopband ist aquivalent zur Bandlucke des photonischen Kristalls [83],wahrend die Kavitat eine lokalisierte Storstelle, die Filterfunktion, in derBandlucke erzeugt. Jenseits der Bandlucke beginnt das Kontinuum, das ge-nerell ausbreitungsfahige Wellen ermoglicht. Es ist daher weder sinnvoll nochmoglich, den Abstimmbereich uber das Stopband hinaus auszudehnen.

Der Vergleich mit einem photonischen Kristall fuhrt ebenfalls zu einer ein-fachen Beziehung fur die Stopbandbreite eines Braggspiegels. Die Elementar-zelle, d.h. eine Periode eines Braggspiegels, besteht aus zwei Schichten un-terschiedlichen Materials und wird durch die Transfermatrix TP dargestellt,so dass sich die Transfermatrix des gesamten Braggspiegels mit n Periodenzu T = Tn

P ergibt. Durch eine Orthogonaltransformation lasst sich TP ineine diagonale Form T′

P = C−1TPC uberfuhren, wobei die diagonalen Wer-te von T′

P den Eigenwerten µ1 und µ2 von TP entsprechen [66]. Somit lasstsich dann die Transfermatrix des Braggspiegels durch T = CT′n

P C−1 dar-stellen. Da die hier behandelten optischen Systeme reziprok sind gilt zudem:detTP = 1 [55] und daraus folgend µ1 = 1/µ und µ2 = µ [66]. T′

P nimmtsomit wie in Kap. 3.3 erlautert die Form einer Propagationsmatrix an undes lasst sich eine effektive Ausbreitungskonstante βe fur die Welle im Spiegelbestimmen. Fur eine reziproke Transfermatrix ergibt sich:

TP =

(tP11 tP12

tP21 tP22

)= C

(1/µ 00 µ

)C−1

= C

(e−jβe2Lopt 0

0 ejβe2Lopt

)C−1 (4.15)

mit µ =tP11 + tP22

2+

√(tP11 + tP22

2

)2

− 1 (4.16)

und 2βeLopt = arccos(tP11 + tP22

2

)(4.17)


Der Realteil der effektiven Ausbreitungskonstante βe beschreibt die Aus-breitung der Welle in Richtung der optischen Achse durch den Braggspiegel,wahrend der Imaginarteil ein Maß fur die Dampfung der Welle ist. Lopt istdie optische Lange einer einzelnen Schicht2. Folglich beschreibt eine Aus-breitungskonstante, bei der der Realteil Re{βe} = 0 ist, eine evaneszenteWelle, d.h. eine Welle, die in dem Braggspiegel nicht ausbreitungsfahig ist.Die Menge dieser Wellen bildet das Stopband des Braggspiegels.

Im einfachsten Fall sind die beiden Schichten, die die Periode eines Bragg-spiegels ausmachen, verlustlos und haben dieselbe optische Lange. Damitergibt sich die Transfermatrix einer Periode zu

TP =

(1/t r/tr/t 1/t

)(e−jβLopt 0

0 ejβLopt

)·

(1/t −r/t−r/t 1/t

)(e−jβLopt 0

0 ejβLopt

)

=

1/t2(e−2jβLopt − r2

)r/t2

(e2jβLopt − 1

)r/t2

(e−2jβLopt − 1

)1/t2

(e2jβLopt − r2

) (4.18)

wobei r und t der Reflexions- bzw. Transmissionsfaktor der Schichtgrenzensind und Lopt die optische Lange einer einzelnen Schicht. Mit Gl. 4.17 ergibtsich damit fur die effektive Ausbreitungskonstante

2βeLopt = arccos

(1− 2 sin2 (βLopt)

t2

)(4.19)

Da sowohl β als auch t reell sind lassen sich zwei Falle unterscheiden:

1. fur sin2 (βLopt) > t2 wird βe imaginar, β liegt im Stopband des Spiegels,

2. fur sin2 (βLopt) ≤ t2 wird βe reell, die Welle kann sich im Braggspiegelausbreiten.

Fur die Grenzen des Stopbands gilt damit

sin2 (βLopt) = t2 = 4n1n2/(n1 + n2)2 (4.20)

was mit der Losung in [84, 6.2.3.1] ubereinstimmt. Fur einen Braggspiegel ausSiO2 (n=1.44) und SiNx (n=1.96) ist die normierte effektive Ausbreitungs-konstante βeLopt/(2π) als Funktion der normierten Ausbreitungskonstante

2Die optische Lange ist das Produkt aus physikalischer Lange und Realteil des Bre-chungsindex Lopt = Lnr.

4.4. ENTWURF 95

der Welle in Abb. 4.10 dargestellt. Deutlich zu erkennen ist das Stopbanddes Spiegels, das um βLopt/(2π) = 0.25 zentriert ist. Mit anderen Worten,die Dampfung des Braggspiegels ist am großten, wenn die optische Langeder Schichten gerade einem Viertel der Wellenlange entspricht. Die relativeStopbandbreite lasst sich, wie aus Gl. 4.19 ersichtlich wird, nur durch eineAnderung des Brechungsindexkontrasts n1/n2 beeinflussen und ist damit vondem gewahlten Materialsystem abhangig. Insofern sind der Beeinflussung derStopbandbreite durch technologische Maßnahmen enge Grenzen gesetzt.

Durch eine Anderung der Tastverhaltnisses3 τ = lopt1/(lopt1 + lopt2) derSchichten lasst sich zumindest eine Verringerung der Stopbandbreite errei-chen, was aber in den seltensten Fallen erwunscht ist. Nach 4.17 ergibtsich fur die effektive Ausbreitungskonstante unter Berucksichtigung des Tast-verhaltnisses

2βe(τ)Lopt = arccos

(cos (2βLopt)− r2 cos (2βLopt(1− 2τ))

1− r2

). (4.21)

Damit wird die charakteristische Gleichung fur die Grenzen des Stopbands∣∣∣∣∣cos (2βLopt)− r2 cos (2βLopt(1− 2τ))

1− r2

∣∣∣∣∣ > 1. (4.22)

Wahrend die Gleichung fur τ = 0.5 aquivalent zu Gl. 4.19 ist, ist es offen-sichtlich, dass die Bedingung fur τ = 0 oder τ = 1 nie erfullt wird und esdemzufolge kein Stopband gibt.

Fur die Funktion des Filters sind insbesondere die Spiegelverluste vonBedeutung, die als 1 − R definiert sind4. Fur einen Braggspiegel ist cha-rakteristisch, dass die Spiegelverluste wie in Abb. 4.11 dargestellt uber dasStopband variieren. Diese Eigenschaft lasst sich weder durch die Erhohungder Anzahl der Perioden noch durch die Wahl eines anderen Materialsystemseliminieren.

Ein weiteres Kriterium, das den Abstimmbereich stark beeinflusst, ist dieKavitatslange, und zwar in zweierlei Hinsicht:

1. die optische Abstimmeffizienz hangt von der Kavitatslange ab und

2. der Abstimmbereich wird durch den freien Spektralbereich (FSR), d.h.den Abstand der Kavitatsmoden, begrenzt.

3Definiert als das Verhaltnis der optischen Lange einer Schicht zu der gesamten optischeLange der Periode. Bei zwei λ/4-Schichten ergibt sich demzufolge τ = 0.5.

4Im Allgemeinen unterscheiden sich Spiegelverluste und Transmission sich wegen derAbsorption: T = 1−R−A.


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5βLopt/2π

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

β effL op

t/2π

realimaginary

Abbildung 4.10: Normierte effektive Ausbreitungskonstante als Funktion derAusbreitungskonstante eines Braggspiegels mit einem Indexkontrast von 1.44zu 1.96.

1000 1200 1400 1600 1800 2000Wavelength/nm

1e-03

1e-02

1e-01

1e+00

Mirr

or L

oss

(1-R

)

Abbildung 4.11: Spiegelverluste des Modellfilters dargestellt als Funktion derWellenlange. Die rechnerischen Grenzen des Stopbands sind durch die graugestrichelten Linien markiert.

4.4. ENTWURF 97

1300

1400

1500

1600

1700

1800

Filt

er W

l./nm

m=1, lnom=775nmm=2, lnom=1550nmm=3, lnom=2325nmm=4, lnom=3100nmm=5, lnom=3875nm

-800 -400 0 400 800(l-lnom)/nm

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

η opt

ηopt = 0.635

ηopt = 0.444

ηopt = 0.339

ηopt = 0.273

ηopt = 0.229

Abbildung 4.12: Oberer Graph: Wellenlangenabstimmung als Funktion derAnderung der Kavitatslange bezogen auf die nominelle Kavitatslange lnom =mλc/2 fur unterschiedliche longitudinale Moden. Die Langenanderung ist auf1/3 der maximalen Lange begrenzt, was die Randbedingung fur die elektro-statische Abstimmung ist. Unterer Graph: optische Abstimmeffizienz ηopt.Der Mittelwert kann der Legende entnommen werden.

Fur die optische Abstimmeffizienz ηopt lasst sich keine allgemein gultige ana-lytische Beziehung angeben, da diese neben der Kavitatslange auch von demMaterialsystem der Spiegel und von der Art der Abstimmung abhangt. DieArt der Abstimmung macht insofern einen Unterschied aus, dass bei einemelektrostatisch aktuierten InP/Luft Filter nur die an die Kavitat angrenzen-den InP-Membranen aktuiert werden und nicht der gesamte Braggspiegel.

Fur ideale Spiegel lassen sich die Moden einer Fabry-Perot Kavitat mitmλ = 2nl beschreiben, wobeim ein ganzzahliger Wert ist, n der Brechungsin-dex in der Kavitat und l die Kavitatslange. Damit erhalt man fur die optischeAbstimmeffizienz ηopt = ∆λ/∆l = 2n/m. Demnach hat eine λ/2 Kavitat eineoptische Abstimmeffizienz von ηopt = 2n. Die tatsachlich erreichbare optischeAbstimmeffizienz ist bei der Verwendung von Braggspiegeln allerdings gerin-ger, was sich durch das Eindringen des Felds in die Spiegel erklaren lasst.Dadurch befinden sich signifikante Anteile der in der Kavitat gespeichertenEnergie in den Braggspiegeln, was die Kavitatslange effektiv vergroßert. Je


langer die physikalische Kavitatslange ist desto mehr nahert sich die opti-sche Abstimmeffizienz dem theoretischen Maximum an. Diese Eigenschaftist in Abb. 4.12 anhand des dielektrischen Modellfilters dargestellt. Da furelektrostatische Aktuation wie in Kap. 4.1 beschrieben die Langenanderungimmer auf etwa 1/3 der Kavitatslange begrenzt ist, erreicht man bei einerVergroßerung der Kavitatslange zunachst auch eine Vergroßerung des Ab-stimmbereichs wie in Abb. 4.12 dargestellt.

Der freie Spektralbereich eines Filters ist gemaß der theoretischen Defi-nition FSR = λ/m [85, Kap. 4, S. 113]. Allerdings gilt auch hier, dass dertheoretische Wert fur Filter mit Braggspiegeln eine Abschatzung nach obendarstellt. Dies wird bei Betrachtung der Transferfunktion des Spiegels 4.11sofort offensichtlich: der Abstand von zwei ausbreitungsfahigen Wellen istmaximal so groß wie die Stopbandbreite. Bei einer kontinuierlichen Vergroße-rung der Kavitatslange werden so nach und nach die longitudinalen Modender Kavitat angeregt, wie es in Abb. 4.13 dargestellt ist. Entscheidend ist,dass sich diese Moden umso mehr uberlappen, je großer die Kavitatslange ist,was sich dann in einer Verringerung des freien Spektralbereichs manifestiert.Die Markierungen sind die Grenzen der mechanischen Kavitatslangenande-rung. Von diesen Grenzen ausgehend wurde fur jeden Modenindex m dieFilterwellenlange fur die angrenzenden Modenindizes ermittelt. Die Diffe-renz ist damit ein Maß fur den freien Spektralbereich. Die Ergebnisse sindzusammen mit den Ergebnissen fur den großtmoglichen Abstimmbereich inAbb. 4.14 dargestellt.

Deutlich zu erkennen ist, dass zwar mit zunehmender Kavitatslange dieAbstimmbereich großer wird, aber auch gleichzeitig der freie Spektralbereichkleiner wird.

Dabei wird vor dem Schnittpunkt der roten und der schwarzen Linieder großtmogliche Abstimmbereich durch die Abstimmeffizienz begrenzt unddanach durch den freien Spektralbereich. Der Schnittpunkt stellt somit denmaximal moglichen Abstimmbereich dar.

Diese beiden gegenlaufigen Effekte sorgen dafur, dass der großte Ab-stimmbereich von 275.4nm bei einer nominellen Kavitatslange von 1550nmerreicht wird, die einem longitudinalen Modenindex m = 2 entspricht.

4.4.2 Linienbreite

Wahrend der Abstimmbereich fur die meisten Anwendungen so groß wiemoglich sein sollte, ist die Linenbreite eine Eigenschaft, die fur die einzelnenAnwendungen angepasst werden muss. Die Photonenlebensdauer in einemFabry-Perot-Interferometer erhalt man aus Gl. 3.56, 3.57 unter der Annah-me, dass die Beugungs- und Materialverluste gleich 0 sind. Mit der Relation

4.4. ENTWURF 99

0 1000 2000 3000 4000 5000Cavity length/nm

1300

1400

1500

1600

1700

1800W

avel

engt

h/nm

m=1 m=2 m=3 m=4 m=5 m=6

Abbildung 4.13: Kennlinien der longitudinalen Moden, die bei einer konti-nuierlichen Variation der Kavitatslange im Stopband auftreten. Unten ange-geben ist der Modenindex. Die Markierungen in den Kennlinien bezeichnendie Grenzen der Kavitatslangenanderung. Die grauen gestrichelten Linienbezeichnen die Grenzen des Stopbands nach der oben angegbenen Relation.

775 1550 2325 3100 3875lnom/nm

100

150

200

250

300

350

400

Lim

its/n

m

TuningFSRStop Band

Abbildung 4.14: Grenzwerte fur die Abstimmung, den freien Spektralbereichund die Stopbandbreite in Abhangigkeit von der nominellen Kavitatslange


von Photonenlebensdauer und Linienbreite λFWHM = λ20/(2πcτph), die aus

Gl. 3.60 hergeleitet wurde, ergibt sich eine einfache analytische Darstellungder Linienbreite, die von den Spiegelreflektivitaten R1,2 = r2

1,2 und der Fil-terwellenlange λ0 abhangt:

λFWHM = −λ0 ln(R1R2)

2πm≈ λc(2−R1 −R2)

2πm. (4.23)

wobei m der longitudinale Modenindex ist. Die Naherung gilt nach [66, S.32]fur R1,2 ≈ 1. Bei gegebener Entwurfswellenlange λc ist daher die Linien-breite nahezu proportional zu den Spiegelverlusten 1 − R1,2 und umgekehrtproportional zu dem longitudinalen Modenindex m.

Um die Linienbreite des Filters an die technischen Anforderungen anzu-passen kann daher einerseits uber die Lange der Kavitat der Modenindex meingestellt werden, was allerdings mit den Anforderungen fur den Abstimm-bereich kollidieren konnte, da dieser uber den freien Spektralbereich und dieoptische Abstimmeffizienz stark von m abhangt. Andererseits ist es moglichdie Reflektivitat der Braggspiegel relativ genau uber die Anzahl der Periodenund das Tastverhaltnis zu steuern. Abb. 4.15 zeigt die Spiegelverluste 1−Rbei der Entwurfswellenlange des Spiegels als Funktion des Tastverhaltnissesin Abhangigkeit von der Anzahl der Perioden des Spiegels.

Wahrend die Periodenanzahl naturgemaß eine diskrete Variation der Spie-gelverluste ermoglicht, konnen durch eine leichte Variation des Tastverhalt-nisses von ca. 0.3 bis 0.5 auch Zwischenwerte realisiert werden. Dabei ist aberzu beachten, dass sich nach Gl. 4.22 auch die Stopbandbreite verkleinert.

Bei verlustlosen Materialien kann durch eine geeignete Anzahl von Spie-gelperioden auch ein beliebig geringer Spiegelverlust eingestellt werden. Inder Praxis sorgt jedoch schon eine geringe Absorption der verwendeten Ma-terialien dafur, dass es einen minimalen Wert großer als 0 fur die Spiegel-verluste gibt, der nicht unterschritten werden kann. In Abbildung 4.16 sinddie Spiegelverluste fur das dielektrische System SiO2/SiNx bei verschiede-nen Absorptionswerten in SiNx dargestellt. Es lasst sich erkennen, dass jenach Hohe der Absorption sich die Kurven immer asymptotisch an einen be-stimmten Wert annahern. Dieses Verhalten lasst sich dadurch erklaren, dassdie Welle beim Durchgang durch eine Periode immer einem gewissen anteili-gen Verlust durch die Absorption unterworfen ist, der unwiderruflich verlorenist und nicht in den nachfolgen Perioden aufgefangen werden kann. DieserVerlust tragt auch zu den Spiegelverlusten insgesamt bei.

Wenn die Absorption der verwendeten Spiegelmaterialien stark unter-schiedlich ist, was fur InP/Luft-Spiegel bei einer p-Dotierung des InP [86,Kap. 8.4] moglich ist, lassen sich die Spiegelverluste durch eine Anderung

4.4. ENTWURF 101

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Duty cycle τ

1e-04

1e-03

1e-02

1e-01

1e+00M

irror

loss

(1

- R

)

8 periods10 periods12 periods14 periods16 periods

Abbildung 4.15: Spiegelverluste eines Braggspiegels dargestellt als Funkti-on des Tastverhaltnisses und der Anzahl der Perioden. Der Indexkontrastbetragt 1.96:1.44. Die Materialien sind als verlustlos angenommen.

0 4 8 12 16Num. Periods

1e-04

1e-03

1e-02

1e-01

1e+00

Mirr

or L

oss

(1-R

)

αSiN=0.1/cmαSiN=1/cmαSiN=10/cmαSiN=100/cmαSiN=1000/cm

Abbildung 4.16: Spiegelverluste eines Braggspiegels aus SiO2/SiNx dargestelltals Funktion der Anzahl der Perioden und des Absorptionskoeffizienten α inSiNx.


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5Duty cycle τ

1e-03

1e-02

1e-01

1e+00

Mirr

or lo

ss (

1-R

)

αSiN = 0.1/cmαSiN = 1/cmαSiN = 10/cmαSiN = 100/cmαSiN = 1000/cm

τ(min(1-R)) = 0.37

Abbildung 4.17: Bei stark inhomogener Absorption liegt das Minimum derSpiegelverluste nicht bei einem Tastverhaltnis von 50:50 fur die Spiegelschich-ten, sondern bei einen anderen Wert zugunsten der Schicht mit der geringerenAbsorption. Dargestellt ist diese Eigenschaft fur die Spiegel des Modellfilters,wobei die Absorption in SiNx variiert.

des Tastverhaltnisses τ zugunsten der Schicht mit der geringeren Absorptionverbessern.

Dieses Verhalten ist in Abbildung 4.17 dargestellt. Bei einer Absorptionvon 1000/cm erhalt man die kleinsten Spiegelverluste fur ein Tastverhaltnisvon 0.63:0.37 fur SiO2/SiNx. Eine extreme Anwendung findet dieses Ver-fahren bei Braggspiegeln aus alternierenden metallischen und dielektrischenSchichten, bei denen die (stark absorbierenden) Metallschichten nur wenigenm dick ist, wahrend die die dielektrischen Schichten eine Dicke von etwaλ/2 haben [84, Kap. 7.6].

Beim Entwurf eines abstimmbaren Filters fur eine bestimmte Linienbreiteergibt sich das Problem, dass diese nicht uber den gesamten Abstimmbereichkonstant ist. Bei verlustlosen Spiegeln ergibt sich ein Minimum der Linien-breite, wenn die Entwurfswellenlange der Spiegel mit der Kavitatswellenlangeubereinstimmt. Die Ursache dieses Verhaltens lasst sich im Wesentlichen aufdie Braggspiegel zuruckfuhren. Da die Spiegelverluste im Stopband nicht kon-stant sind (siehe auch Abb. 4.11), andert sich nach Gl. 4.23 auch die Lini-enbreite. Abb. 4.18 zeigt die Variation der Linienbreite fur das dielektrischeModellfilter uber den Abstimmbereich bei verschiedenen Modenindizes5 m.Die starke Anderung der Linienbreite, die fur die grune Kurve in etwa ei-

5Durch den Einfluss lateraler Moden im BOR-Modell wird die Anderung der Linien-breite beim Abstimmen noch komplexer. Siehe Kap. 5.2.3

4.4. ENTWURF 103

1300 1400 1500 1600 1700 1800Filter Wavelength/nm

0

1

2

3

4

5

6

FW

HM

/nm

m=1m=2m=3

Abbildung 4.18: Linienbreite dargestellt als Funktion der Filterwellenlangeuber den Abstimmbereich fur unterschiedliche longitudinale Modenindizes.

ne Großenordnung betragt, schrankt die technische Anwendbarkeit ein. AlsLosung des Problems bietet sich hier nur eine Einschrankung des Abstimm-bereichs auf die technisch vertretbare Toleranz der Linienbreite an oder al-ternativ die Verwendung von Materialen mit einem hoheren Indexkontrast,wodurch sich dann die Stopbandbreite erhoht und damit auch der Bereich,in dem die Linienbreite innerhalb der Toleranzgrenzen liegt.

4.4.3 Einfugedampfung

Die Einfugedampfung hangt wie in Kap. 3.4.4 dargestellt sowohl von der Mo-denkopplung, d.h. dem anregenden Feld, als auch von der Transferfunktionendes Filters ab. Wahrend die erste Eigenschaft sich prinzipiell nicht mit Hilfeder Transfermatrixmethode erfassen lasst, konnen dennoch einige Aussagenuber die Transferfunktion gemacht werden. Fur die Transmissionsfunktioneines Fabry-Perot Interferometers existiert zudem die analytische Beziehung(siehe auch Kap. 3.4.4)

T = |t|2 =4τ 2

ph

τ1τ2

1

1 + (8π2c2τph (1/λ− 1/λc))2 . (4.24)

In dieser Gleichung ist τph die Photonenlebensdauer, die in direkter Bezie-hung zur Linienbreite λFWHM = λ2

c/(2πcτph) steht. Der Einfluss der Spiegelwird durch die Spiegelzeitkonstanten τ1,2 erfasst, die sich nach Gl. 3.56 di-rekt aus der Reflektivitat der Spiegel ableiten lassen. Fur eine verlustlose


Kavitat gilt 1/τph = 1/τ1 + 1/τ2, fur eine verlustbehaftete Kavitat ist diePhotonenlebensdauer τph kleiner als dieser Wert.

Nach Gleichung 4.24 ist der Vorfaktor 4τ 2ph/(τ1τ2) entscheidend fur die

Einfugedamfung, da der zweite Term nur die Lorentzfunktion beschreibt undbei der Kavitatswellenlange λc immer den Wert 1 annimmt.

Demnach ergibt sich nur dann eine Einfugedampfung von 0dB fur dasFilter, wenn die beiden Spiegelzeitkonstanten τ1,2 und damit auch die Spie-gelverluste 1−R1,2 identisch sind.

Dies gilt auch nur unter der Voraussetzung, dass das Filter verlustlosist. Verluste, gleich welcher Art, fuhren dazu, dass die Einfugedampfungkleiner als 0dB ist. Um also die Voraussetzung fur eine moglichst geringeEinfugedampfung zu erfullen, wie sie fur alle Anwendungen anzustreben ist,muss also darauf geachtet werden, dass die Reflektivitaten moglichst iden-tisch und die Spiegel selbst moglichst verlustlos sind. Auch wenn sich dieseForderung nahezu trivial anhort muss im Einzelfall doch ein gewisser Ent-wurfsaufwand getrieben werden, da einer der beiden Spiegel von der An-kopplung (z.B. Glasfaser) und der andere vom Substrat beeinflusst wird. DieSpiegel konnen also nicht isoliert betrachtet werden.

4.4.4 Entwurf eines InP/Luft-Filters

Das im Folgenden vorgestellte InP/Luft-Filters ist in enger Anlehnung andie technischen Anwendung als abstimmbares DWDM-Kanalfilter entworfenworden. Der Entwurf basiert nicht nur auf den systemtechnischen Anforde-rungen des ITU-Standards [8], sondern auch auf den Restriktionen durch dietechnologischen Herstellungsverfahren [35]. So besteht die Forderung, dassdie InP-Membranen eine gewisse Mindestdicke aufweisen mussen, da anson-sten die Bauelementeausbeute zu gering ausfallt. Zudem ist generell ehereine kleinere Anzahl von Membranen anzustreben, da zusatzliche Membra-nen ebenfalls den Ausschuss erhohen. Die Opferschichten mussen ebenfallseine bestimmte Mindestdicke haben, damit der nasschemische Unteratzpro-zess noch funktioniert. Zudem muss das Design einigermaßen tolerant gegentechnologisch bedingte Abweichungen der tatsachlichen Breite der Luftspaltesein.

Aufgrund der technologischen Gegebenheiten ist die Basis fur die wei-teren Untersuchungen ein Design mit je 3 InP Membranen fur den oberenund den unteren Spiegel, die eine Dicke von jeweils 367nm haben, was beieiner Designwellenlange von 1550nm 3/4λ entspricht. Die Realisierung vondunneren Schichten ist technologisch zu schwierig und fuhrt zu erhohtemAusschuss. Die Breite der Luftspalte betragt jeweils 388nm bzw. λ/4 bei derDesignwellenlange der Spiegel. Rechnerisch ergibt sich damit nach Gl. 4.19

4.4. ENTWURF 105

0 500 1000 1500 2000Last airgap thickness/nm

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

max. transmission (untuned)

FWHM/nm (untuned)

max. transmission (tuned)

FWHM/nm (tuned)

lc=1488nm (tuned)

lc=1612nm (untuned)

Abbildung 4.19: Einfluss der Breite des letzten Luftspalts auf die Linienbreiteund die Einfugedampfung.

eine Stopbandbreite von 534.8nm, was fur den vorgegebenen Abstimmbereichvon ca. 122nm noch genugend Spielraum ermoglicht.

Der in Abb. 5.1 dargestellte asymmetrische Aufbau des Filters erforderteine Optimierung um neben einer moglichst geringen Einfugedampfung aucheine moglichst konstante Linienbreite uber den Abstimmbereich zu erhal-ten. Daher wird zunachst mit einer nominellen λ/2-Kavitat die Breite desLuftspalts zwischen dem Substrat und der ersten InP-Membran angepasst.Abbildung 4.19 zeigt den Einfluss dieses Luftspalts auf die Linienbreite unddie Einfugedampfung fur Start und Ende des Abstimmbereichs. Durch eineungeschickte Wahl der Breite kann sich demnach die Linienbreite zwischen1nm und ca. 2.5nm andern, was die erlaubten Toleranzen bei weitem uber-steigt. Gleichzeitig ist zu erkennen, dass die erwunschte geringe Linienbreitemit einer leicht erhohten Einfugedampfung einhergeht, was darauf hindeutet,dass die Spiegel dort nicht ganz symmetrisch sind. Dasselbe Verhalten lasstsich allerdings auch bei dem Maximum der Linienbreite beobachten.

Damit eine starke Variation der Linienbreite sowohl durch die Abstim-mung als auch durch technologische Toleranzen ausgeschlossen ist muss dieBreite des untersten Luftspalts zwischen ca. 300nm und 600nm gewahlt wer-den. In dem vorliegenden Fall sind es 465nm.

Die grundlegenden Eigenschaften des Filters sind fur eine λ/2-Kavitatsind in Abbildung 4.20 dargestellt. Die Einfugedampfung variiert von ca. 0.4bis 0.6 was fur die meisten Anwendungen noch tolerierbar ist. Die Linien-breite liegt mit 0.9nm bis ca. 1.2nm hier nicht mehr im Spezifikationsbe-


ηI

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

λFWHM /nm

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2∆lcav /µm

1460

1480

1500

1520

1540

1560

1580

1600

1620

λ 0/n

m

λ0 /nm

ηopt (1491-1611nm) = 0.785

Abbildung 4.20: Grundlegende Eigenschaften eines InP/Luft-Filters mit ei-ner λ/2-Kavitat (m = 1) (effektiv 850nm) dargestellt als Funktion der Ka-vitatslange.

ηI

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

λFWHM /nm

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2∆lcav /µm

1480

1500

1520

1540

1560

1580

1600

1620

λ 0/n

m

λ0 /nm

ηopt = 0.544

Abbildung 4.21: Grundlegende Eigenschaften eines InP/Luft-Filters mit ei-ner λ-Kavitat (m = 2) (effektiv 1658nm) dargestellt als Funktion der Ka-vitatslange.

4.4. ENTWURF 107

reich. Um die Linienbreite zu verkleinern gibt es wie in Kap. 4.4.2 dargestelltdie Moglichkeit die Periodenanzahl und das Tastverhaltnis der Spiegel oderdie Kavitatslange zu verandern. Die erste Moglichkeit ist nicht besondersattraktiv, da aus technologischen Grunden eine geringe Anzahl von Mem-branen angestrebt wird. Eine Vergroßerung der Kavitatslange bringt hierdie Losung. Abbildung 4.21 zeigt, dass mit einer λ-Kavitat die Linienbreiteim erforderlichen Bereich nur noch von ca. 0.55nm bis 0.7nm variiert. DieEinfugedampfung ist zwar insgesamt nicht besser geworden, aber konstan-ter. Auch wenn die optische Abstimmeffizienz etwas geringer ausfallt, lasstsich doch insgesamt ein etwas großerer Abstimmbereich erzielen (siehe Kap.4.4.1). Die geometrischen Daten sind in Tab. 5.1 fur den Typ DIn006 zusam-mengefasst.

Kapitel 5

Simulations- undMessergebnisse

109

110 KAPITEL 5. SIMULATIONS- UND MESSERGEBNISSE

In diesem Kapitel werden die Ergebnisse der Filtercharakterisierung undder Simulation dargestellt. Es wird allerdings keine exakte Trennung vorge-nommen, da die Ergebnisse teilweise aufeinander aufbauen. Daher wird inKap. 5.1 zunachst auf die Struktur der technologisch realisierten Filter ein-gegangen, die die Basis fur die Modellrechnungen darstellen, und es werdenderen Eigenschaften erlautert. In Kap. 5.2 stehen die Analyse der Filtereigen-schaften auf der Basis von Modellrechnungen im Vordergrund, wobei auchhier an geeigneter Stelle einige Ergebnisse der Charakterisierung, insbeson-dere zu den Transmissions- und Reflexionseigenschaften und der Modenan-regung, gezeigt werden. In Kap. 5.3 werden die Messungen zu der Abstimm-charakteristik und -dynamik dargestellt und analysiert.

5.1 Strukturbeschreibung

Grundsatzlich kann zwischen 3 verschiedenen Strukturen unterschieden wer-den, die sowohl charakterisiert wurden, als auch Gegenstand von Modellrech-nungen waren. Zwei dieser Filterimplementierungen basieren auf dem InP-Luft-System und eine auf dem SiNx-Luft-System. Die geometrischen Datensind bei allen Filtern unterschiedlich, ebenso wie die Anzahl der Membra-nen, wobei die wichtigsten Parameter in Abb. 5.1 dargestellt sind. Nebendem Durchmesser D und der Starke lm der Membranen ist auch die Breiteder Luftspalte lg, die Kavitatslange lcav und die Breite des letzten Luftspaltsls von Bedeutung.

Der Trockenatzschritt fur die laterale Strukturierung erzeugt in der Regelkeine exakt senkrechten Seitenwande sondern eine sich leicht nach oben hinverjungende Struktur, weswegen die Mesainklination αmit in die Betrachtun-gen eingeht. Aus praktischen Grunden wird dieser Wert dazu verwendet dieAnderung des Membrandurchmessers in Bezug auf die unterste Membran zubeschreiben, wobei aber die Membranen selbst in der Simulation senkrechteSeitenwande haben. Die typischen kleinen Mesawinkel von ca. α = 3◦ habenohnehin nur einen unwesentlichen Einfluss auf das Simulationsergebnis. Ei-ne eventuelle Verbiegung der Membranen wird durch den vertikalen Versatzdes Rands der Membrane relativ zur Mitte d dargestellt, was zwar nicht derublichen Darstellung mit einem Krummungsradius (ROC) entspricht, aberbei der Beschreibung der Geometrie vorteilhafter ist und ebenso leicht durcheine weisslichtinterferometrische Messung bestimmt werden kann. Der Ab-stand der in Abb. 5.1 angedeuteten Faser ist keine geometrische Eigenschaftdes Filters. Eine Zusammenfassung dieser geometrischen Daten fur die ver-schiedenen Filtertypen kann Tab. 5.1 entnommen werden.

5.1. STRUKTURBESCHREIBUNG 111

lcav

lm

lg

lsD

Substrat

α d

Faser

k

Abbildung 5.1: Geometrische Parameter der Luftspaltfilter. Die vertikalenDistanzen werden generell in der Mitte gemessen.

5.1.1 InP-Luftspalt-Filter

Die InP-Luftspalt-Filter sind wie in Abb. 1.1 dargestellt aus kreisformigenMembranen aufgebaut, die durch 3 oder 4 Aufhangungen an Haltepfostenbefestigt sind. In der Mitte ist die etwas breitere Kavitat zu erkennen. Deruntere Spiegel hat 3 Perioden, der obere hingegen nur 2.5, da effektiv einLuftspalt verloren geht. Die resultierende ungleiche Reflektivitat der Spie-gel wirkt sich ungunstig auf die Einfugedampfung aus (siehe Kap. 4.4.3),weswegen der an das Substrat angrenzende Luftspalt in der Breite angepasstwird um die Eigenschaften zu verbessern. Die technologische Realisierung derFilter umfasst sehr viele Schritte, von denen die wichtigsten die epitaktischeHerstellung des Schichtsystems [87,88], die Ausformung des Mesa durch einenTrockenatzprozess und das nasschemische Unteratzen der Membranen sind,wobei die Breite der Luftspalte durch die des Opfermaterials1 definiert wird.Die technologischen Herstellungsprozesse sind in [30] detailliert erlautert. Ins-besondere die Epitaxie hat großen Einfluss auf die Funktion des Filters, dasie nicht nur die vertikale Struktur definiert, sondern uber den epitaktischenProzess selbst auch die Absorption in den Schichten.

Die Absorption von reinem InP hat in dem Wellenlangenbereich von 1270-1650nm einen sehr geringen Wert von α < 1/cm, da die Photonenenergiesehr weit unterhalb der Bandlucke liegt. Allerdings ist das Material fur die

1Im Fall von InP-Membranen ist dies GaInAs.


Typ Mat. lcav D/µm lm lg ls k α

KIn005 InP ≈820 40 357 375 465 3 3KIn005 InP ≈905 20 357 375 465 3 3

DIn006 InP85016502468

20 367 388 465 3 3

Dielfi03 SiN ≈730 15-30 570 370 0 5 1

Tabelle 5.1: Zusammenfassung der geometrischen Eigenschaften der Filter.Die Struktur Dielfi03 hat keinen an das Substrat angrenzenden Luftspalt,dafur ist die letzte SiN-Schicht etwas starker. Sofern nicht anders angegebenist die Langeneinheit nm.

Filter dotiert um die elektrostatische Abstimmung zu ermoglichen. Dazu wirdder eine Spiegel p- und der andere n-dotiert, und an die so entstandenepin-Diode2 eine Sperrspannung angelegt. Die p- und die n-Dotierung habenaber auch einen großen Einfluss auf die Absorption der Membranen, wobeiinsbesondere durch die p-Dotierung Werte von mehr als 100/cm zustandekommen konnen [86, Kap. 8.4]. Ein zweiter Effekt, der sich ungunstig aufdie Absorption auswirkt, ist die Arsendiffusion in die InP-Schichten wahrenddes epitaktischen Prozesses [87], da durch die ungewollte Verunreinigung desMaterials auch vermehrt Storstellenabsorption moglich ist. Die resultierendeAbsorption ist schwer zu quantifizieren, allerdings haben Modellrechnungenuber den Vergleich der Linienbreiten der Filter ergeben, dass in etwa miteiner Absorption von ca. 60-100/cm in den Schichten gerechnet werden muss,wobei naturlich auch noch andere Verunreinigungen als die oben erwahntendazu kommen konnen.

Durch den epitaktischen Prozess kann es zudem zu gezielten oder un-gewollten Verspannungen in den Schichten kommen, so dass diese nach derUnteratzung nicht mehr eben, sondern in bestimmter Art und Weise ge-krummt sind. Man unterscheidet zwei Arten von Verspannungen: homogeneVerspannung und Gradientenverspannung. Die Ursache der homogenen Ver-spannung ist eine Gitterfehlanpassung der epitaktischen Schichten gegenuberdem Substratmaterial oder untereinander. Auch wenn eine homogene Span-nung teilweise gezielt zur Veranderung der Bandstruktur und der elektroni-schen Eigenschaften verwendet wird, ist es fur die Filter doch sinnvoll die-se moglichst zu vermeiden, da sich sonst beim Unteratzen die Membranenverkrummen oder sogar reißen. Durch die Epitaxie ist es moglich die Ver-spannung gezielt zu verstellen, wobei fur die Membranen eine leicht tensile

2Das Material, das die Kavitat definiert, wird nicht dotiert.

5.1. STRUKTURBESCHREIBUNG 113

Abbildung 5.2: Oberflachenprofile von zwei unterschiedlichen InP-Luft-Filtern (mit einem Weisslichtinterferometer gemessen). Bei dem linken Filterist die oberste Membran nach oben gekrummt, wahrend bei dem rechts dar-gestellten Filter die Membran nach unten gekrummt ist.

Verspannung gewahlt wird.

Ein problematischer Effekt ist die Gradientenverspannung, die sich zumTeil auf den oben erwahnten Prozess der Arsendiffusion zuruckfuhren lasst,der graduell die Gitterkonstante in den Membranen aus InP andert [87].Die Diffusion erfolgt unsymmetrisch bevorzugt in Wachstumsrichtung, da eswahrscheinlicher ist, dass sich ein As-Atom in einer unvollstandig gewachse-nen InP-Schicht anlagert, als dass es in der fertig gewachsenen InP-Schicht einP-Atom ersetzt. Bisher ist es noch nicht gelungen, diesen Effekt vollstandigzu unterdrucken. Das Resultat ist, dass die Filtermembranen praktisch im-mer mehr oder weniger stark gekrummt sind, wobei die Starke und die Rich-tung der Krummung auch auf einer Probe variieren konnen, wie es in denWeisslichtinterferometermessungen in Abb. 5.2 dargestellt ist. Generell mussdavon ausgegangen werden, dass sich der obere und der untere Spiegel schonaufgrund ihrer unterschiedlichen Dotierung und einer leichten Anisotropie desnasschemischen Unteratzens [35] anders verhalten. Dieser Effekt ist schwer zuerfassen, da es mit einem Weisslichtinterferometer nur moglich ist die ober-ste Membran zu analysieren, und auch ein Abtragen der oberen Membranenohne Beeinflussung der darunter liegenden praktisch nicht moglich ist. Al-lerdings zeigen auch die dynamischen Untersuchungen (siehe Kap. 5.3.2 undKap. 4.1), dass die oberen und die unteren Membranen unterschiedliche Ei-genschaften haben. In einigen Fallen lasst sich dies sogar im Mikroskopbildin einer Seitenansicht wie in Abb. 5.3 beobachten. Daraus folgt, dass es beider Analyse sinnvoll ist, sowohl der Filter mit geraden Membranen also auchsolche mit individuell gekrummten Membranen zu vergleichen.


Abbildung 5.3: REM-Bild eines InP-Luft Filters. Bei diesem Exemplar istdeutlich zu erkennen, dass die Abstande der Membranen des oberen Spie-gels kleiner als die des unteren sind, und somit die Spiegel unterschiedlicheEigenschaften haben.

5.1.2 SiNx-Luftspalt-Filter

Die SiNx-Luftspalt-Filter bestehen ebenso wie die InP-Luftspalt-Filter auskreisformigen Membranen, die aber wie in Abb. 5.4 dargestellt nur mit ei-nem einzigen Biegebalken (Cantilever) an einem Haltepfosten befestigt sind.Wegen des geringeren Brechungsindex von SiNx sind je 5 Membranen furden oberen bzw. unteren Spiegel notwendig um eine ausreichend hohe Re-flektivitat zu erzielen. Zwischen der untersten Membran und dem Substratbefindet sich kein Luftspalt, was bei dieser Implementierung moglich ist, daSiNx einen hoheren Brechungsindex als das Glassubstrat hat. Damit habenbeide Spiegel 4.5 Perioden und in etwa dieselbe Reflektivitat. Im Prinzip ba-siert die technologische Realisierung auf denselben Schritten, die schon furdas InP-Luft-Filter beschrieben wurden. Da SiNx ein amorphes Material ist,wird aber keine Epitaxie zur Deposition angewandt sondern eine PECVD(Plasma Enhanced Chemical Vapor Deposition), die einfacher zu handha-ben und kostengunstiger ist. Grundsatzlich existieren hier dieselben Verspan-nungsprobleme wie bei der Epitaxie, so dass sich ebenfalls eine unbeabsich-tigte Verkrummung der Membranen ergeben kann. Durch viele Versuche istes allerdings gelungen sowohl die homogene als auch die Gradientenverspan-nung zu minimieren, so dass sich nahezu ebene Membranen ergeben [36]. Dasmittels PECVD abgeschiedene SiNx hat im nahen Infrarot eine Absorptionα < 40cm−1 [89], wobei dieser Wert je nach Prozessbedingungen variierenkann.

5.2. OPTISCHE FILTEREIGENSCHAFTEN 115

Abbildung 5.4: Schematische Darstellung eines dielektrischen Filters mit SiN-Membranen.

5.2 Analyse der optischen

Filtereigenschaften

Die in diesem Kapitel prasentierten Simulationsergebnisse basieren alle aufder Auswertung der Eigenmoden wie in Kap. 3.4.4 dargestellt, wobei diesemit dem BOR-Modell ermittelt worden sind. Die Darstellung der Intensitats-verteilungen erfolgt daher in einem vertikalen Schnitt durch das Filter, wobeibei dem Winkel ϕ = 0 horizontal die r-Achse (Radius) und vertikal die z-Achse dargestellt sind. Wegen der Symmetrie ist jeweils nur eine Halfte desSchnitts beginnend von r = 0 dargestellt, so dass der linke Rand des In-tensitatsgraphen die z-Achse darstellt. Den Schnitt durch das gesamte Filtererhalt man, wenn man die Intensitatsverteilung an der z-Achse spiegelt. DieFarbskala gibt die Intensitatsverteilung des elektrischen Felds in einer loga-rithmischen Skala wieder (rot = hohe Intensitat, blau = niedrige Intensitat,Werte siehe Abb. 3.12).

Die Kopplungseffizienz wurde fur die direkte Kopplung mit einer SMFermittelt, so dass sich eine Verteilung des anregenden Felds in der Kopp-lungsebene ergibt, wie sie in Abb. 3.11 dargestellt ist. Die Daten der SMFwurden dafur aus [5] entnommen.

5.2.1 Membrankrummung

Da sich wie in Kap. 5.1 erlautert Membrankrummungen nicht grundsatzlichvermeiden lassen, zielt ein Punkt der Untersuchungen darauf ab, wie sich dieKrummung der Membranen auf die Eigenschaften der Filter auswirkt. Die


dd

stabil instabil

Abbildung 5.5: Stabile und instabile Modellkavitat. Bei beiden Kavitaten istder untere Spiegel immer eben, wobei alle Membranen des oberen Spiegelgleichmaßig in die jeweilige Richtung gekrummt sind.

Vielzahl von Moglichkeiten3, die sich bei der Betrachtung der individuellenBiegung jeder einzelnen Membran ergibt, lasst dabei aber nur eine ganz ge-zielte Auswahl zu. Voruntersuchungen haben gezeigt, dass die wesentlichenEigenschaften anhand einer stabilen oder instabilen Kavitat nach Abb. 5.5untersucht werden konnen. Das wichtigste Merkmal ist dabei, wie die Mem-branen, die an die Luftkavitat angrenzen, relativ zueinander gebogen sind.Die Ursache hierfur ist, dass die Feldenergie sich zum großten Teil in derLuftkavitat konzentriert. Die Verbiegung der anderen Membranen wirkt sicheher geringfugig aus. Daher werden nur die Kavitaten gemaß Abb. 5.5 un-tersucht, bei denen der untere Spiegel immer eben und der obere Spiegeleben oder individuell, aber gleichmaßig gekrummt ist, so dass sich eine sta-bile oder eine instabile Kavitat bildet. Negative Werte des Parameters d, derdie Verbiegung der Membranen beschreibt, stehen fur eine instabile Kavitat,wahrend positive eine stabile Kavitat darstellen.

Filter mit D = 40µm

Ausgangspunkt der Untersuchung sind die Filter des Typs KIn005 aus Tab.5.1, deren wesentlicher Unterschied der Membrandurchmesser ist. Die Simu-lation wurde mit einer homogenen Absorption im InP von 100/cm durch-gefuhrt. Die Klassifizierung der Eigenmoden erfolgt anhand der radialen Ma-xima der Intensitatsverteilung des elektrischen Felds, und man erhalt die inAbb. 5.6 dargestellten Moden fur das Filter mit 40µm Membrandurchmes-ser bei ebenen Membranen, wobei der Grundmode und die 5 nachst hoherenModen dargestellt sind. Anhand der Modenbilder ist deutlich zu erkennen,dass es sich um eine λ/2-Kavitat handelt, da in vertikaler Richtung die Fel-

3Schon 729 bei 6 Membranen, wenn jede Membran nur entweder gerade, nach obenoder nach unten gekrummt ist.


Abbildung 5.6: Grundmode (HE11) und die 5 nachst hoheren Moden desFilters mit D = 40µm bei ebenen Membranen. Die Abmessungen sind ∆r ≈20µm und ∆z ≈ 10µm.

dintensitat nur ein Maximum in der Kavitat hat. In Abb. 5.8 sind die Re-sonanzwellenlange λ und die Resonatorverluste α der einzelnen Moden beiverschiedenen Membrankrummungen d dargestellt, wobei fur die Photonen-lebensdauer τph = 1/(αc) gilt.

Das Ergebnis ist insofern bemerkenswert, dass die Variation der Reso-natorverluste eher klein ist, was darauf hindeutet, dass die laterale Wel-lenfuhrung durch den starken Brechungsindexkontrast auch fur hohere Mo-den noch gut funktioniert.

Zwar sind die Verluste der Moden einer instabilen Kavitat (grun) ehergroßer als diejenigen der ebenen Kavitat, aber der Unterschied ist im Allge-meinen nicht groß, was ebenfalls auf eine gute laterale Wellenfuhrung hin-deutet.

Eine deutliche Anderung ist bei der stabilen Kavitat (blau) zu erken-nen; hier ist der Wellenlangenabstand zwischen den Moden großer als beiden andern beiden Kavitaten, was sich dadurch erklaren lasst, dass die Wel-lenfuhrung durch die stabile Kavitat eingeengt wird, und damit effektiv einschmalerer Wellenleiter zur Verfugung steht. Im Vergleich mit der Theorievon Hohlraumresonatoren [54] bedeutet dies, dass der laterale Wellenzahlvek-tor großer ist, und somit die Abstande der einzelnen Moden ebenfalls. Wei-terhin ist zu erkennen, dass die Verluste der Moden in der stabilen Kavitat


Abbildung 5.7: Veranderung des Grundmode (HE11) des Filters mit D =40µm bei unterschiedlichen Membrankrummungen.

1550 1555 1560 1565λ/nm

3400

3600

3800

4000

4200

4400

α*m

d=16nmd=0d=-4nm

HE11HE11

EH11

EH11

HE12EH12

HE13

EH13

HE14

EH12

EH13

HE12HE13

HE14

HE11HE12

EH12

HE13

EH13HE14

EH11

Abbildung 5.8: Modenkarte des Filters mit D = 40µm fur eine stabile, in-stabile und ebene Kavitat. Auf der x-Achse ist die Resonanzwellenlange undauf der y-Achse der Verlust der Moden aufgetragen.


-0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04d/µm

3500

3550

3600

3650

3700

3750

3800

α*m

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

κ HE

11

Abbildung 5.9: Kopplungseffizenz und Verluste fur den Grundmode HE11des Filters mit D = 40µm; dargestellt als Funktion der Membranbiegung d.

nahezu egalisiert werden, wobei einige hohere Moden aufgrund der besserenlateralen Fuhrung sogar geringere Verluste als der Grundmode aufweisen.Dieser Effekt wirkt sich eher ungunstig auf die Seitenmodenunterdruckungdes Filters aus, da auch hohe Resonatorverluste die Einfugedampfung derModen vergroßern (siehe Kap. 3.4.4), weswegen die unerwunschten hoherenModen im Vergleich zum Grundmode hohe Verluste aufweisen sollten.

Die Krummung der Membran hat einen nicht unwesentlichen Einfluss aufdie Intensitat des elektrischen Felds der Moden. Wie in Abb. 5.7 dargestellt,wird der Grundmode bei einer stabilen Kavitat stark eingeengt. Dabei istzu beachten, dass die Biegung d nur 16nm, also ca. 1/50 der Kavitatslange,betragt. Bei der instabilen Kavitat tendiert der Grundmode dazu eine Inten-sitatsverteilung auszubilden, die dem nachst hoheren Mode (EH11 in Abb.5.8) ahnelt. Bei einer starkeren Verbiegung stellt man dann eine Verschmel-zung des Grundmode und des nachst hoheren Mode fest. Diese Anderung derIntensitatsverteilung mit der Verbiegung hat naturlich auch einen nicht un-wesentlichen Einfluss auf die Kopplungseffizienz, die in Abb. 5.9 zusammenmit dem Verlust des Grundmode dargestellt ist.

Die starke Variation der Kopplungseffizienz von ca. 0.05 bis 0.5 bei demFilter mit D = 40µm erfordert eine sehr geringe Toleranz in Bezug auf dieMembrankrummung um reproduzierbare Resultate zu erzielen, was auch an-hand der Transferfunktionen, die in Abb, 5.10 dargestellt sind, zu erkennenist.

Es ist hier deutlich zu sehen, dass in dem Filter eine starke Modenkon-kurrenz herrscht; je nach Membrankrummung sind der Grundmode oder dernachst hohere Mode besser an das Feld der SMF angepasst, wobei aber die


1540 1550 1560 1570 1580λ/nm

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

R/T

d=0d=-4nmd=16nm

HE11

EH11/HE12

EH12/HE13

EH13/HE14

Abbildung 5.10: Transferfunktionen des Filters mit D = 40µm bei verschie-denen Membranbiegungen d.

Anpassung immer suboptimal bleibt, so dass die Seitenmodenunterdruckungeher schlecht ist. In der Transferfunktion ist ebenfalls zu erkennen, dass derGrundmode die Tendenz hat bei einer instabilen Kavitat zu verschwinden.

Abb. 5.11 zeigt den Vergleich der Simulation mit einer Reflexions- bzw.Transmissionsmessung des Filters mit 40µm Durchmesser. Die Simulationerfolgte dabei fur eine stabile Kavitat mit einer Biegung von d = 56nm,was nach den Untersuchungen mit dem Weisslichtinterferometer einen ubli-chen Wert darstellt. Der Grundmode wird sehr gut wiedergegeben, wobeider Unterschied in der Transmission auf die Absorption und Streuung desSubstrats zuruckzufuhren ist4. Die Seitenmoden werden durch die Simulati-on zu stark wiedergegeben. Die Ursache hierfur ist, dass die technologischeImplementierung des Filter durch die Aufhangungen von der exakt rotati-onssymmetrischen Geometrie abweicht, was wie in Kap. 5.2.5 dargestellt daselektrische Feld nicht unwesentlich beeinflusst.

Filter mit D = 20µm

Abb. 5.13 zeigt die Verteilung des elektrischen Felds bei dem Filter mit 20µmDurchmesser und ebenen Membranen. Bedingt durch den kleineren Durch-messer sind auch die lateralen Verluste hoher (siehe Abb. 5.12), was dazufuhrt, dass insbesondere bei den hoheren Moden die lateralen Verluste deut-lich anhand der seitlich erhohten Feldstarke zu erkennen sind. Die Moden-karte in Abb. 5.12 zeigt eine wesentlich großere Variation der Verluste von

4Der Wert betragt im Vergleich etwa 9.5/cm


1540 1550 1560 1570 1580λ/nm

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

R/T

R gemessenT gemessenR simuliertT simuliert

Abbildung 5.11: Vergleich von Simulation und Charakterisierung des Filtersmit D = 40µm.

ca. 5000/m beim Grundmode HE11 bis hin zu ca. 11000/m bei den hoherenModen. Auffallig ist, dass dieser annahernd lineare Zusammenhang von Re-sonanzwellenlange und Verlusten von den zwei Moden EH13 und HE13 nichteingehalten wird, was moglicherweise auf eine besonders gut angepasste la-terale Resonanz zuruckzufuhren ist.

Ebenso wie bei dem Filter mit 40µm Durchmesser sind zwar auch bei ei-ner stabilen Kavitat die Modenverluste geringer, wobei gleichzeitig der Wel-lenlangenabstand zwischen den einzelnen Moden gestreckt wird. Dieser Ef-fekt ist aber bei Weitem nicht so ausgepragt, was darauf hindeutet, dass dielaterale Wellenfuhrung hier dominiert, zumal eine Biegung von 16nm hiereinem kleineren Krummungsradius entspricht. Dem entsprechend zeigt auchdie Verteilung der elektrischen Feldstarke in Abb. 5.14 keine extreme Ande-rung bei einer stabilen oder einer instabilen Kavitat. Im Wesentlichen lasstsich nur eine leichte Einengung bzw. Aufweitung des Felds erkennen, so dassauch die in Abb. 5.15 dargestellte Kopplungseffizienz des Grundmode HE11fur stabile und instabile Kavitaten keine allzu große Anderung erfahrt. Al-lerdings ist es hier so, dass die Kopplungseffizienz bei einer stabilen Kavitatwieder abnimmt, wenn die Membranen zu stark gebogen sind. Es existiertalso hier einen Punkt, bei dem das elektrische Feld des Grundmode im Durch-messer besonders gut an das einer Glasfaser angepasst ist.

Die in Abb. 5.16 dargestellten Transferfunktionen weisen eine wesentlichweniger ausgepragte Anderung als die des Filters mit 40µm Durchmesser auf,wobei insbesondere auffallt, dass eine instabile Kavitat eher wenig Einflussauf die Filtereigenschaften hat. Eine stabile Kavitat ist insofern ungunstig,


1580 1590 1600 1610 1620 1630 1640λ/nm

4000

6000

8000

10000

12000

α*m

d=0d=16nmd=-8nm

HE11

EH11HE12

HE13

HE14

EH12

EH13

Abbildung 5.12: Modenkarte des Filters mit D = 20µm fur eine stabile,instabile und ebene Kavitat. Auf der x-Achse ist die Resonanzwellenlangeund auf der y-Achse der Verlust der Moden aufgetragen.

Abbildung 5.13: Grundmode (HE11) und die 5 nachst hoheren Moden desFilters mit D = 20µm bei ebenen Membranen. In horizontaler Richtungbetragt die Ausdehnung der Graphen ca. 13µm und in vertikaler Richtungca. 10µm.

Abbildung 5.14: Veranderung des Grundmode (HE11) des Filters mit D =20µm bei unterschiedlichen Membrankrummungen.


-0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02d/µm

5000

5100

5200

5300

5400

5500

5600

α*m

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

κ HE

11

Abbildung 5.15: Kopplungseffizenz und Verluste fur den Grundmode HE11des Filters mit D = 20µm; dargestellt als Funktion der Membranbiegung d.

da auch die Seitenmoden eine verbesserte Kopplung aufweisen. Im Trans-missionsspektrum treten die hoheren Seitenmoden deutlich weniger hervor,als es bei dem Filter mit großen Membranen der Fall ist, was sich auf diewesentlich erhohten Modenverluste zuruckfuhren lasst.

Insgesamt ist das Filter mit 20µm Membrandurchmesser wesentlich tole-ranter gegenuber Membrankrummungen als die Variante mit D = 40µm. EinNachteil ist naturlich, dass die Verluste allgemein hoher sind, und dadurchdie Linienbreite vergroßert wird.

Der Vergleich mit der Messung in Abb. 5.17 zeigt eine eher weniger guteUbereinstimmung, wobei insbesondere die Seitenmoden nicht wiedergegebenwerden. Die Ursache ist wahrscheinlich der starke Einfluss der Aufhangungenauf die lateralen Moden des Filters. Bemerkenswert bei der Messung ist, dassder Grundmode offenbar viel besser angeregt wird, als die Simulation zeigt,was vermutlich darauf zuruckzufuhren ist, dass der Einfluss der Aufhangun-gen ein viel besser linear polarisiertes Feld erzeugt.

5.2.2 Kavitatslange

Grundsatzlich ist es wie in Kap. 4.4.1 gezeigt auch moglich Filter mit einerλ- oder 3/2λ-Kavitat zu konstruieren, wobei der effektive Abstimmbereichsogar noch großer wird. Eine Frage, die dabei nicht geklart wurde, ist dasVerhalten der Seitenmoden bei großeren Kavitaten, das sich prinzipbedingtnicht mit der Transfermatrixmethode erfassen lasst. Dieses Verhalten wurdeanhand des Filters DIn006 in Tab. 5.1 untersucht, wobei als physikalischeLange fur die λ/2-Kavitat 850nm und 1658nm bzw. 2468nm fur die λ- bzw.


1580 1590 1600 1610 1620 1630 1640λ/nm

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

R/T

d=0d=16nmd=-8nm

HE11

EH11/HE12

EH12/HE13

EH13/HE14

Abbildung 5.16: Transferfunktionen des Filters mit D = 20µm bei verschie-denen Membranbiegungen d.

1580 1590 1600 1610 1620 1630 1640λ/nm

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

R/T

R gemessenT simuliertR simuliert

Abbildung 5.17: Vergleich von Simulation und Charakterisierung des Filtersmit D = 20µm.


1580 1590 1600 1610 1620λ/nm

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

α*m

λ/2-Kav.λ-Kav.3λ/2-Kav.

HE11

EH11

HE12

HE13

EH12

Abbildung 5.18: Vergleich der Eigenmoden einer λ/2- (schwarz), λ- (rot) und3/2λ-Kavitat (grun). Auf der x-Achse ist die Resonanzwellenlange und aufder y-Achse der Verlust der Moden aufgetragen.

3/2λ-Kavitat gewahlt wurden um wie in Kap. 4.4.4 dargestellt eine Filter-wellenlange von ca. 1612nm ohne Aktuation zu erhalten. Dabei wurde furden oberen, n-dotierten Spiegel eine homogene Absorption von 10/cm undfur den unteren p-dotierten Spiegel eine Absorption von 60/cm angenommen.

Die Modenkarte ist fur alle drei Kavitatslangen in Abb. 5.18 dargestellt,wobei sofort auffallt, dass die Verluste umso hoher werden, je großer die Ka-vitatslange ist. Dies gilt fur alle Moden außer dem Grundmode HE11, der dasumgekehrte Verhalten zeigt, was sich mit dem Ergebnis des Entwurfs in Kap.4.4.4 deckt. Offenbar wirkt beim Grundmode die starke Indexfuhrung nochso gut, dass selbst bei langeren Kavitaten die Tendenz noch zu einer kleine-ren Linienbreite geht. Bei den hoheren Moden dominieren dann die lateralenVerluste, so dass sich insbesondere bei der 3/2λ-Kavitat eine Variation von1000/m bis annahernd 12000/m ergibt. Dieser Effekt wirkt sich wie schonin Kap. 5.2.1 dargestellt gunstig auf die Seitenmodenunterdruckung aus, wasauch die in Abb. 5.19 dargestellte Simulation der Transferfunktionen zeigt.

Insbesondere bei der 3/2λ-Kavitat werden die hoheren Seitenmoden desFilters effektiv unterdruckt, was sich vor allen Dingen in der Transmissiondes Filters bemerkbar macht. Allerdings lasst sich auch eine leichte Abnahmeder Kopplungseffizienz des Grundmode HE11 erkennen, die aber durch eineAnpassung des Durchmessers ausgeglichen werden kann.

Da neben den systemtechnischen und optischen Eigenschaften auch dieGroße der Abstimmspannung sowie einige technologische Randbedingungenzu beachten sind, wurde fur eine erneute Implementierung ein Filter mit einerλ-Kavitat gewahlt, mit dem sich leichter die Zielvorgabe fur die Linienbreite


1580 1590 1600 1610 1620λ/nm

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

R/T

λ-Kav.λ/2-Kav.3λ/2-Kav. Reflection

Transmission

Abbildung 5.19: Vergleich der Transferfunktionen der Filter mit λ/2-(schwarz), λ- (rot) und 3/2λ-Kavitat (grun).

und die Seitenmodenunterdruckung einhalten lasst. Nach den errechnetenTransferfunktionen in Abb. 5.19 betragt die Einfugedamfung des Filters ca.7dB.

5.2.3 Abstimmverhalten

Neben dem Einfluss der Seitenmoden auf die Transferfunktion besteht na-turlich die Frage, wie sich die laterale Begrenzung des Filters auf das Ab-stimmverhalten auswirkt. Der Entwurf fur das Filter DIn006 wurde mit derTransfermatrixmethode ausgefuhrt (siehe Kap. 4.4), die keine Moglichkeitbietet eine laterale Strukturierung mit einfließen zu lassen. Die Ergebnis-se der Simulation des Abstimmverhaltens mit der Transfermatrixmethodeund dem BOR-Modell mit derselben vertikalen Geometrie sind in Abb. 5.20gegenubergestellt. Die Filterwellenlange ist durch den Einfluss der latera-len Begrenzung etwas kleiner, was sich im Vergleich mit einem rechteckigenHohlraumresonator plausibel machen lasst. Die Resonanzwellenzahl setzt sichhier aus den Beitragen der einzelnen Raumrichtungen zusammen [54], undje großer die Ausdehnung in einer Raumrichtung ist, desto kleiner wird dieWellenzahl der Resonanz in dieser Raumrichtung. Im Grenzubergang zu dem1D-Modell wird die laterale Resonanzwellenzahl dann 0. Ansonsten ist in deroptischen Abstimmeffizenz ηopt kein Unterschied erkennbar, was bestatigt,dass das Transfermatrixmodell hier sehr realitatsnahe Ergebnisse liefert.

Das Verhalten der Linienbreite, die durch die gesamten Verluste des Fil-ters bestimmt wird, zeigt in der Simulation mit dem BOR-Modell einige


0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1D: λFWHM /nmBOR: λFWHM /nm

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1∆lcav /µm

1480

1500

1520

1540

1560

1580

1600

1620

λ 0/n

m

1D: λ0 /nmBOR: λ0 /nm

ηopt = 0.544

Abbildung 5.20: Vergleich von Verlusten und Filterwellenlange des Grund-mode HE11 des Filters DIn006 bei der Abstimmung. Die Simulation wurdezum einen mit der Transfermatrixmethode (1D) und zum andern mit demBOR-Modell durchgefuhrt.

Sprunge, die in ihrer Form Polstellen ahneln. Es ist zwar moglich, aber eherunwahrscheinlich, dass diese Sprunge Artefakte sind, die durch das Gitterhervorgerufen werden, da der Verlauf der Kurve sich ansonsten gut an dieTransfermatrixsimulation anpasst. Die allgemein etwas großere Linienbrei-te lasst sich durch die lateralen Verluste erklaren, die in dem BOR-Modellmit eingehen. Eine mogliche Ursache hierfur konnte die Uberlagerung meh-rerer lateraler und vertikaler Resonanzen sein. Da Real- und Imaginarteildes Eigenmode miteinander korreliert sind, treten ahnliche Effekte wahr-scheinlich auch in der Abstimmkurve auf, die aber wegen der Skalierung(λ0 > 1000λFWHM) nicht sichtbar sind.

5.2.4 Dielektrische Filter

Die dielektrischen Filter des Typs Dielfi03 zeichnen sich durch eine besondersgute Optimierung der Gradientenverspannung aus, was zu nahezu ebenenMembranen fuhrt, die uber eine Lange von ca. 100µm nur wenige nm gebo-gen sind [35]. Zudem wird die rotationssymmetrische Geometrie durch dieFixierung der Membranen mit einer einzelnen Aufhangung nur wenig gestort(siehe auch Abb. 5.24), auch wenn dadurch eine Asymmetrie entsteht. DieDarstellung der Eigenmoden in Abb. 5.21 zeigt, dass aufgrund des geringe-ren Indexkontrasts das elektrische Feld im Vergleich zu den InP-Luft-Filternauch starker in die Spiegel eindringt. Die Modenkarte in Abb. 5.22 zeigteinen Vergleich der Moden eines Filters mit D = 20µm und eines Filters mit


Abbildung 5.21: Grundmode (HE11) und die beiden nachsten Moden desFiltertyps Dielfi03 (D = 20µm). Die Grenzen der Membranen sind durchschwarze Linien angedeutet. In horizontaler Richtung betragt die Ausdeh-nung der Graphen ca. 13µm und in vertikaler Richtung ebenfalls ca. 13µm.

1455 1460 1465 1470 1475λ/nm

2800

3000

3200

3400

3600

3800

α*m

D=30µmD=20µm

HE11HE11

EH11

EH11

HE12

EH12

EH12

EH13

HE12

HE13

Abbildung 5.22: Modenkarte des Filters Dielfi03 fur D = 30µm (blau) undD = 20µm (rot). Auf der x-Achse ist die Resonanzwellenlange und auf dery-Achse der Verlust der Moden aufgetragen.

D = 30µm. Im Vergleich zu den InP-Luft-Filtern ist hier die Variation derVerluste schon großer, wobei aber nach wie vor die Indexfuhrung dominiert.Auch hier lasst sich erkennen, dass durch die laterale Einengung des Feldsdie Abstande zwischen den Moden erheblich vergroßert werden, wobei hieraber nur der Membrandurchmesser und nicht die Verbiegung eingeht.

Abb. 5.23 zeigt den Vergleich der gemessenen Transferfunktionen einesFilters mit den simulierten fur D = 20µm und D = 30µm. Die Simulation furD = 20µm entspricht der Messung schon relativ gut, wobei aber offensichtlichder effektive Membrandurchmesser bei der Messung etwas großer ist, da dieModen enger zusammen liegen. Obwohl die Anregung des fundamentalenMode in der Simulation zu schwach im Vergleich zu der Messung ist, ist die


1440 1450 1460 1470 1480λ/nm

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

R/T

MessungSim. D=20µmSim. D=30µm

Abbildung 5.23: Vergleich von Simulation und Charakterisierung des FiltersDielfi03.

Ubereinstimmung von Simulation und Messung doch besser als bei dem FilterKIn005 mit D = 20µm, was offensichtlich darauf zuruckzufuhren ist, dass dieRotationssymmetrie durch die Kantileveraufhangung weniger gestort wird.

5.2.5 Einfluss der lateralen Struktur auf die Moden-anregung

Der Vergleich der Simulation mit den Messungen hat gezeigt, dass offenbardie Aufhangungen wie in Abb. 5.24 schematisch dargestellt einen wesentli-chen Einfluss auf die Filtereigenschaften haben, so dass naturlich die Fragebesteht, wie sich die lateralen Moden in den einzelnen Filtertypen ausbilden.Bei der Abtastung der Filteroberflache werden dabei aber nicht nur die linearpolarisierten Moden HE1x und EH1x erfasst, sondern aufgrund des lateralenVersatz der Faser auch andere Moden. Zum Vergleich wurden daher einigeSimulationen mit Wellenleitern durchgefuhrt, die einen der Membranformangepassten Querschnitt haben5. Dabei ist allerdings zu beachten, dass dieseErgebnisse insbesondere in Bezug auf die Eigenwerte nicht auf die Filter-simulation ubertragbar sind, da hier in der optischen Ausbreitungsrichtungvollig andere Verhaltnisse vorliegen. Deswegen sind in den Bildern auch nichtdie entsprechenden Eigenwerte angegeben. Die Farbskala ist dabei im Gegen-satz zu den Darstellungen der Eigenmoden in der r-z-Ebene sowohl fur dieSimulation als auch fur die Messung linear, wobei ein Querschnitt senkrechtzur z-Achse dargestellt ist. Durch den relativ großen Strahldurchmesser der

53D Simulationen waren aufgrund von Speicherproblemen nicht moglich.


10µmD D

Abbildung 5.24: Laterale Form der Membranen der InP-Luft-Filter (links)und der SiN-Luft-Filter (rechts). Fur einen Membrandurchmesser von D =20µm ist die Darstellung maßstabsgetreu.

Abbildung 5.25: Wellenleitersimulation fur einen stark fuhrenden, zylindri-schen Wellenleiter. Dargestellt sind die ersten drei Moden.

Glasfaser konnen nur die niedrigen Moden einschließlich des Grundmodesangeregt werden, die keine starke laterale Variation aufweisen. Die raumlicheAuflosung der Abtastung betragt in allen Fallen etwa 500nm.

Wellenleitersimulationen

Die Moden, die hochstwahrscheinlich in den Filtern angeregt werden, sind inAbb. 5.25 fur einen zylindrischen Querschnitt und in Abb. 5.26 fur einen Wel-lenleiterquerschnitt mit Aufhangungen dargestellt. Die Begrenzung ist dabeijeweils durch eine weiße Linie markiert. Wahrend die Form des Grundmo-de bei beiden Strukturen sehr ahnlich ist, ist bei den hoheren Moden dochein deutlicher Unterschied zu erkennen. Die in dem zylindrischen Wellenlei-ter vorhandenen, torusformigen Moden sind in der anderen Struktur nichtvorhanden. Da insbesondere der dem Grundmode HE11 benachbarte, line-ar polarisierte Mode (EH11, siehe Abb. 5.13), der auch eine torusformigeIntensitatsverteilung aufweist, meist recht deutlich in den simulierten Trans-ferfunktionen auftritt, ist zu vermuten, dass dieser Beitrag durch den Einflussder Aufhangungen deutlich verringert wird. Der fur den zylindrischen Wel-lenleiter dargestellte Mode HE21 hat im Vergleich mit den Moden E01 undH01 dieselbe Intensitatsverteilung und einen fast identischen Eigenwert, wo-


Abbildung 5.26: Wellenleitersimulation fur einen stark fuhrenden Wellenleitermit einem Querschnitt, der den Membranen des Filters DIn006 entspricht.Dargestellt sind die Moden, die wahrscheinlich angeregt werden.

bei sich aber das vektorielle Feld jeweils unterscheidet. Die gangige Praxisdiese drei Moden (E01, HE21 und H01) fur schwach fuhrende Wellenleiter zudem linear polarisierten LP02-Mode zusammenzufassen lasst sich allerdingsnicht auf die Filter ubertragen. Tatsachlich ist aber die Intensitatsverteilungund die Resonanzfrequenz dieser drei Moden so weit identisch, dass mess-technisch keine Trennung moglich ist.

Messung der Modenanregung

Abb. 5.27 zeigt die messtechnisch ermittelten Moden eines Filters von TypDIn006. Es ist deutlich zu erkennen, dass nur der Grundmode in etwa demeines zylindrischen Filters entspricht, wobei hier auch eine leichte Verzerrungerkennbar ist. Die beiden hoheren Moden ahneln in ihrer Form am ehestenden in Abb. 5.26 dargestellten hoheren Moden, wobei die teilweise starke Ver-zerrung wahrscheinlich auf eine Verbiegung der Membranen zuruckzufuhrenist. Die raumliche Darstellung der Reflektivitat in Abb. 5.27 zeigt, dass dieAnnahme eines zylindrischen Querschnitts fur diese Filter eher ungerechtfer-tigt ist. Ein rechteckiger Querschnitt ware hier eher angebracht.

Ein Filter desselben Typs zeigt ein ungewohnliches Verhalten, das in Abb.5.28 dargestellt ist. Hier sind die beiden hoheren Moden jeweils aufgespalten,so dass sich in der Uberlagerung der Moden bei 1600.0nm bzw. 1594.9nmmit den Moden bei 1598.8nm bzw. 1593.3nm die in Abb. 5.26 dargestelltenFeldverteilungen ergeben. Die Ursache hierfur konnte eine axiale Biegungder Membranen sein, so dass das Filter keine vierzahlige Symmetrie mehraufweist. Eine Biegung der Membranen, die sich bevorzugt in bestimmtenAchsen ausbildet, wurde schon bei der Untersuchung von Membranen miteinem Weisslichtinterferometer festgestellt [35]. Zudem sieht die raumlicheVerteilung der Reflektivitat in einer Achse auch leicht gestreckt aus.

Die Messung der Modenanregung bei den Filtern des Typs Dielfi03 in


Abbildung 5.27: Messung der Modenanregung bei einem Filters des TypsDIn006.

Abbildung 5.28: Messung der Modenanregung bei einem Filters des TypsDIn006, dessen Membranen vermutlich eine axiale Verbiegung aufweisen. Dieabgetastete Flache betragt etwa 20× 20µm2.


Abbildung 5.29: Messung der Modenanregung bei einem Filters des TypsDielfi03 mit D = 20µm. Die Aufhangung der Membranen ist rechts angeord-net.

Abbildung 5.30: Messung der Modenanregung bei einem Filters des TypsDielfi03 mit D = 30µm. Die Aufhangung der Membranen ist rechts angeord-net.


Abb. 5.29 und 5.30 zeigt nicht nur in der Reflexion, dass hier offenbar dieVoraussetzungen fur eine rotationssymmetrische Geometrie gut erfullt wer-den. Schon bei dem Filter mit D = 20µm sind die beiden hoheren angeregtenModen annahernd torusformig, wobei sich diese Tendenz bei dem Filter mitD = 30µm noch verstarkt. Es lasst sich dennoch eine gewisse Asymmetrieerkennen, die sich vor allen Dingen in dem asymmetrischen Anregungsma-ximum der Moden bei 1430.8nm bzw. 1439.8nm zeigt. Die Ursache hierfurkann zum einen die Aufhangung selbst sein, zum anderen hat sich in den Un-tersuchungen mit dem Weisslichtinterferometer gezeigt, dass die Membranenzumindest teilweise leicht nach oben gebogen sind [35], was auch dadurchunterstutzt wird, dass der Grundmode leicht nach links verschoben ist.

5.3 Elektromechanische

Charakterisierung

Die Elektromechanische Charakterisierung umfasst zum einen die Messungder Abstimmfunktionen, die in Kap. 5.3.1 fur einige Filter dargestellt sind,und die dynamischen Eigenschaften bei harmonischer Anregung, die in Kap.5.3.2 analysiert werden.

5.3.1 Abstimmung

Die Abstimmfunktionen werden wesentlich von den elektromechanischen Ei-genschaften der Filter beeinflusst, aber auch die optische Abstimmeffizienzhat Einfluss auf die gemessenen Abstimmkurven. Die Kurven werden mitGl. 4.3 angepasst, wobei aber insbesondere die optische Abstimmeffizienzηopt und die Federkostante k eine starke Korrelation haben. Es ist dahernicht einfach eine prazise Unterscheidung zu treffen, wie groß der Einflussder einzelnen Effekte wie Federkonstante und optische Abstimmeffizienz aufdie gemessene Kurve ist. Im Folgenden wird versucht durch eine Anpassungder Modellkurven eine Abschatzung zu erhalten. Gl. 4.3 ist fur die Anpassungunterbestimmt. Eine genaue Analyse ergibt, dass sich nur 3 unabhangige Va-riablen fur die Anpassung ergeben, wohingegen es mindestens 4 unbekannteGroßen (Kavitatslange lcav, Federkonstante k, optische Abstimmeffizienz ηopt

und Kennlinienexponent a) gibt. Daher muss einer der ersten 3 Werte vorge-geben werden, wobei sich dazu die Kavitatslange am besten eignet, da sie sichuber die Filterwellenlange relativ zuverlassig bestimmen lasst. Die maximaleAbstimmung ∆λmax und die Pull-In-Spannung Up lassen sich direkt aus dendrei Anpassparametern bestimmen, so dass hier kein Parameter vorgegebenwerden muss.

5.3. ELEKTROMECHANISCHE CHARAKTERISIERUNG 135

1540 1560 1580 1600 1620 1640 1660λ/nm

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

R

0 5 10 15 20 25U/V

1560

1600

1640

1680

λ/nm

Abbildung 5.31: Reflexionsspektren und die daraus ermittelte Abstimmkurveeines Filters des Typs DIn006.

1500 1520 1540 1560 1580 1600 1620λ/nm

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

R

0 1 2 3 4 5 6 7U/V

1500

1550

1600

λ/nm

Abbildung 5.32: Reflexionsspektren und die daraus ermittelte Abstimmkurveeines Filters des Typs KIn005.


0 10 20 30 40Utun/V

0

20

40

60

80

100

∆λ 0/n

m

1Av20sx3y11Bv30sx4y31Iv30sx1y12Hv10sx2y2

Abbildung 5.33: Experimentell ermittelte Abstimmkurven von Filtern desTyps DIn006. Die Messdaten sind durch Kreuze markiert, wahrend die Mo-dellanpassung mit der durchgezogenen Linie dargestellt ist. Die Daten derFilter sind in Tab. 5.2 zusammengefasst.

Die Abbildungen 5.31 und 5.32 zeigen die Reflexionsspektren, die sichbei der Abstimmung der Filter ergeben. Haufig lasst sich feststellen, dassdie Linienbreite zum Ende des Abstimmbereichs hin zunimmt, was zwar auf-grund der vertikalen Veranderung der Spiegel und der Kavitat zu erwartenist, aber in der beobachteten Großenordnung wahrscheinlich auf eine asym-metrische Auslenkung der Membranen zuruckzufuhren ist. Im Allgemeinenzeigen Filter dieses Verhalten umso weniger je kurzer die Aufhangungen sind.Einige der so entstandenen Abstimmkurven sind in Abb. 5.33 fur die Filterdes Typs DIn006 und in Abb. 5.34 fur den Typ KIn005 dargestellt, wobeidie Messpunkte jeweils durch Kreuze und die Modellanpassung durchgezogendargestellt sind. Die entsprechenden Parameter sind in Tab. 5.2 zusammen-gefasst. Generell existiert naturlich die Tendenz, dass mit der Lange derAufhangungen auch der Abstimmbereich großer wird. Allerdings ist dieserEffekt lediglich darauf zuruckzufuhren, dass die Durchbruchspannung derpin-Diode bei ca. 30V liegt. Demzufolge haben die extrapolierten Abstimm-bereiche der einzelnen Filter auch immer in etwa dieselbe Große, wobei nurdie Spannung, die notig ist um diese Abstimmung zu erreichen, je nach Filterstark variiert.

In der Tendenz ist die Federkonstante k umso großer je kurzer die Auf-hangungen sind, allerdings sind hier auch einige Ausnahmen moglich. DasFilter 1Iv30sx1y1 zeichnet sich durch eine stark vergroßerte Kavitatslangeaus, wobei gleichzeitig die optische Abstimmeffizienz ungewohnlich niedrig


Filter la lcav ηopt k a ∆λm Up

µm nm N/ma µm V

1Av20sx3y1 20 1635 0.55 19.9 0.95 0.29 861Bv30sx4y1 30 1670 0.55 19.8 1.0 0.31 641Iv30sx1y1 30 1730 0.32 3.8 1.0 0.18 282Hv10sx1y1 10 1490 0.58 24.4 0.93 0.28 953Gd20x5y4 20 860 0.69 18.9 1.03 0.20 9.93Gd30x5y3 30 875 0.65 11.1 1.03 0.19 7.8

Tabelle 5.2: Mechanische Daten der Filter von Typ DIn006 und KiN005, diedurch Anpassen der Modellfunktion ermittelt wurden. Die Kavitatslange lcav

ist vorgegeben, a ist der Kennlinienexponent.

ist, was darauf hindeutet, dass die Kavitatswellenlange und die Mittenwel-lenlange der Spiegel stark gegeneinander verschoben sind. Offenbar wirkt sichdiese Verschiebung, die nur durch die Verbiegung der Membranen verursachtwerden kann, auch stark auf die Federkonstante k aus, die bei diesem Filterim Vergleich zu dem anderen Filter dieser Reihe mit 30 µm langen Auf-hangungen sehr gering ausfallt. Das Resultat ist ein außerordentlich weiterAbstimmbereich, da die Pull-In-Spannung in diesem Fall unter der Durch-bruchspannung der Diode liegt. Generell wird die theoretisch ermittelte op-tische Abstimmeffizienz (siehe Abb. 4.21) aber bei den Filtern dieser Gruppegut wiedergegeben. Die beiden letzten Filter in Tab. 5.2 weisen deutlich ge-ringere Pull-In-Spannungen als die ubrigen Filter auf, was auf die kleinereKavitatslange zuruckzufuhren ist. Die Kennlinienexponenten weichen in allenFallen nicht stark von a = 1 ab, was bedeutet, dass das Federmodell nahezulinear ist.

5.3.2 Dynamik

Die dynamischen Eigenschaften wurden sowohl fur Filter des Typs DIn006 alsauch fur einzelne Membranen ermittelt. Bei der Anwendung in Systemen istin Bezug auf die dynamischen Eigenschaften insbesondere die Einschwingzeitder Sprung- oder Impulsantwort im Zeitbereich von Bedeutung, wohingegendas Messverfahren eine Charakterisierung im Frequenzbereich vorsieht (sie-he Kap. 2.3). Der Grund hierfur ist, dass die zu messenden Signale oft einesehr kleine Amplitude haben und verrauscht sind, und daher die Messungim Frequenzbereich genauere Ergebnisse liefert. Um eine Vorstellung vonder Zeitbereichsantwort zu erhalten wurde daher die Impulsantwort aus derUbertragungsfunktion (d.h aus der AM response) mit einer inversen Fourier-


0 2 4 6 8Utun/V

0

20

40

60

80

100

120

∆λ 0/n

m

3Gd20x5y43Gd30x5y3

Abbildung 5.34: Experimentell ermittelte Abstimmkurven von Filtern desTyps KIn006. Die Messdaten sind durch Kreuze markiert, wahrend die Mo-dellanpassung mit der durchgezogenen Linie dargestellt ist. Die Daten derFilter sind in Tab. 5.2 zusammengefasst.

transformation ermittelt.

Die Ubertragungsfunktionen einzelner Membranen wurden mit einer spe-ziell praparierten Probe gemessen und sind in Abb. 5.35 dargestellt. DieMembranen entsprechen in ihrer Form denen des Filtertyps DIn006, aberes wurde bei der Prozessierung keine Schutzmaske gegen das Unteratzen(gruner Uberzug der Haltepfosten in Abb. 1.2) verwendet [35], weswegen dieAufhangungen effektiv langer sind. In den Ubertragungsfunktionen ist im-plizit die Korrektur der elektrischen Ubertragungsfunktion enthalten, derenGrenzfrequenz wegen der schlechten Kontakte ca. 65kHz fur alle Strukturenbetragt. Die Grenzfrequenz betragt je nach Lange der Aufhangungen ca. 200-400kHz, wobei wie zu erwarten die Grenzfrequenz umso kleiner ist, je langerdie Aufhangungen sind. Die Membran mit 10µm langen Aufhangungen zeigtein fast aperiodisches Verhalten, was bedeutet, dass die Dampfung der Mem-bran hoher als bei den anderen Proben ist. Die Ursache hierfur konnten dieextrem kurzen Aufhangungen sein, die die Membranbewegung effektiver aufdie unteratzte Flache der Haltepfosten ubertragen, wodurch die Bewegungstark gedampft wird.

Die Ubertragungsfunktionen eines Filters des Typs DIn006 mit 10µm lan-gen Aufhangungen sind in Abb. 5.36 fur verschiedene Vorspannungen dar-gestellt. Bei dieser Messung ist keine Korrektur der elektrischen Ubertra-gungsfunktion vorgenommen worden, weswegen die Ubertragungsfunktionenaufgrund der elektrischen Grenzfrequenz (siehe auch Abb. 2.18) einen leich-


1000 10000 1e+05 1e+06f/Hz

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2A

mpl

itude

lsusp=10µm

lsusp=20µm

lsusp=30µm

Abbildung 5.35: Vergleich der experimentell ermittelten mechanischen Uber-tragungsfunktionen von einzelnen Membranen mit unterschiedlichen Langender Aufhangungen lsusp.

100 1000 10000 1e+05 1e+06 1e+07f/Hz

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

u/V

rms

Bias: 15VBias: 20VBias: 25V

0 2.5 5 7.5 10 12.5t/µs

-1

-0.5

0

0.5

1

Impulsantwort (FFT)

Abbildung 5.36: Mechanische Ubertragungsfunktion eines Filters vom TypDIn006 mit 10µm langen Aufhangungen bei verschiedenen Vorspannungen.Die Impulsantwort wurde fur 25V ermittelt.


100 1000 10000 1e+05 1e+06 1e+07f/Hz

0

0.001

0.002

0.003

u/V

rms

Bias: 15VBias: 20VBias: 25V

0 2.5 5 7.5 10 12.5t/µs

-1

-0.5

0

0.5

1

Impulsantwort (FFT)

Abbildung 5.37: Mechanische Ubertragungsfunktion eines Filters vom TypDIn006 mit 20µm langen Aufhangungen bei verschiedenen Vorspannungen.Die Impulsantwort wurde fur 25V ermittelt.

ten Abfall vor den eigentlichen Resonanzen aufweisen. Generell fallt auf, dasssich eine ganze Serie mechanischer Resonanzen bilden (5 bei diesem Filter),die keineswegs messtechnische Artefakte darstellen, sondern durch die Kopp-lung der einzelnen Membranen untereinander zustande kommen, was in Kap.4.1 erlautert wird.

Die Vielzahl der Resonanzen deutet darauf hin, dass neben einer nichtunerheblichen Kopplung auch die einzelnen Membranen unterschiedliche Fe-derkonstanten haben, so dass sich bezuglich der Kavitat eine Asymmetrieergibt.

Die Form der Ubertragungsfunktion andert sich kaum mit der Variationder Bias-Spannung, was darauf hindeutet, dass hier die Nichtlinearitat derelektrostatischen Anziehungskraft in Gl. 4.1 noch keine große Rolle spieltund die Vorspannung somit noch weit von der Pull-In-Spannung entfernt ist.Die Impulsantwort des Filters ist in dem eingesetzten Bild dargestellt, wobeihier deutlich die Schwebung zu erkennen ist, die aufgrund der vielfachenResonanzen entsteht.

Trotz der hohen mechanischen Resonanzfrequenz von ca. 3MHz betragtdie Einschwingzeit hier ca. 10µs, was auf die schwache Dampfung der Reso-nanzen zuruckzufuhren ist.

Abb. 5.37 zeigt die Ubertragungsfunktionen eines Filters mit 20µm langenAufhangungen. Hier ist ebenso wie bei dem anderen Filter der leichte Ab-fall der Ubertragungsfunktion vor der Resonanz aufgrund der elektrischenGrenzfrequenz zu erkennen, aber es lassen sich nur 2-3 mechanische Reso-nanzen erkennen. Die Ursachen hierfur konnen einerseits relativ identische


Federkonstanten und andererseits aber auch eine schwache Kopplung bzw.eine starke Dampfung der außeren Membranen sein.

Hier lasst sich auch eine leichte Verkleinerung der Resonanzfrequenz vonca. 2.8MHz auf ca. 2.2MHz mit steigender Vorspannung erkennen, die auf dieVerkleinerung der effektiven Federkonstante keff durch die elektrostatischeAnziehungskraft zuruckzufuhren ist.

Da die Ubertragungsfunktion keine starken Nebenresonanzen aufweist,zeigt auch die Impulsantwort nur ein einfaches Resonanzverhalten und keineSchwebungen. Auch hier betragt die Einschwingzeit wegen der schwachenDampfung ca. 10µs.

Kapitel 6

Zusammenfassung

143

144 KAPITEL 6. ZUSAMMENFASSUNG

6.1 Ergebnisse

Die in dieser Arbeit durchgefuhrten Messungen und Simulationen von ab-stimmbaren Filtern haben das Ziel die Ergebnisse der technologischen Prozes-se zu verifizieren und durch die theoretischen Modellrechnungen den Einflussvon technologisch bedingten Abweichungen der Geometrie auf die optischenEigenschaften zu untersuchen um damit den Entwurf der Filter zu verbessern.Dafur wurden zur Charakterisierung der Filter Messaufbauten entwickelt, diesowohl eine Messung der Transmission und der Reflexion der Filter als aucheine Analyse der Moden bei direkter Faserankopplung ermoglichen. Um dieelektromechanischen Eigenschaften der Filter zu analysieren wurden mes-stechnisch die Abstimmcharakteristik und -dynamik erfasst und mit Hilfeeines eindimensionalen, mechanischen Modells die Parameter extrahiert.

Fur die Simulation der optischen Eigenschaften wurde ein Modell ent-wickelt, das auf der Grundlage der Eigenmoden der Filter die Transferfunk-tion ermittelt, wobei die Eigenmoden mit einer FEM bestimmt wurden. Aufdie rotationssymmetrische Geometrie wurde eine azimuthale Expansion an-gewandt, so dass sich mit Hilfe des BOR-Modells die Losung der Wellenglei-chung auf die zweidimensionale r-z-Ebene beschrankt, was einen erheblichenRessourcenvorteil bringt. Durch die numerische Auswertung der Eigenmo-den wird dann fur ein beliebiges Quellenfeld die Transferfunktion der Filterbestimmt, wobei jeder einzelnen Mode durch die Transferfunktion einer ein-fachen Fabry-Perot-Kavitat dagestellt wird, deren Parameter aus dem Eigen-mode extrahiert werden. Das Modell zeigt im Vergleich zu einer stationarenharmonischen Analyse, die auf der inhomogenen Losung der Wellengleichungfur die vorgegebene Geometrie unter Einbeziehung der Quelle basiert, einesehr gute Ubereinstimmung und benotigt im Vergleich viel weniger Rechen-zeit, da die Anzahl der Losungen, die mit der FEM ermittelt werden, derAnzahl der Eigenmoden und nicht der der Wellenlangenschritte entspricht.

Im Vergleich mit den Messungen zeigt sich bei insgesamt guter Uberein-stimmung, dass die Abweichungen umso starker sind je mehr die tatsachlicheMembrangeometrie, die sich unter Berucksichtigung der Aufhangungen er-gibt, von der Rotationssymmetrie abweicht. Dieser Effekt lasst sich sowohlin dem Vergleich der simulierten und gemessenen Transferfunktionen als auchbei der Bestimmung der Modenanregung erkennen, die nur fur annahernd ro-tationssymmetrische Membranen die typischen torusformigen Moden zeigt.Gleichwohl lassen sich die Erkenntnisse, die durch die Simulation rotations-symmetrischer Membranen gewonnen wurden, auch auf eine andere Geome-trie ubertragen.

Ein wichtiger Punkt ist der Einfluss der Membrankrummung, die einestabile oder instabile Kavitat erzeugen kann, auf die optischen Eigenschaften

6.1. ERGEBNISSE 145

der Filter. Hier konnte gezeigt werden, dass im Vergleich von Membranenmit 40µm und 20µm Durchmesser die Filter mit 20µm Membranen tole-ranter gegenuber Deformationen sind und auch eine bessere Seitenmoden-unterdruckung bei der direkten Kopplung mit einer Glasfaser zeigen. Derbeliebigen Verkleinerung der Membranen sind aber Grenzen gesetzt, da dieVerluste und damit die Linienbreite der Filter mit kleiner werdendem Mem-brandurchmesser stark ansteigen und auch die Nahfeldanregung durch dasFeld einer SMF ineffizienter wird. Dabei kann bei der Abstimmung auch eineperiodische Schwankung der Linienbreite beobachtet werden.

Der Vergleich von verschiedenen Kavitatslangen zeigt, dass selbst fureinen relativ kleinen Membrandurchmesser von 20µm die Linienbreite desGrundmode umso kleiner wird, je langer die Kavitat ist, was auch von demeinfachen Fabry-Perot-Modell vorausgesagt wird. Im Gegensatz dazu zeigendie hoheren Moden das umgekehrte Verhalten: die Verluste steigen stark mitder Kavitatslange an. Dieses Verhalten ist gunstig fur die Seitenmodenun-terdruckung, da mit steigenden lateralen Verlusten auch die Einfugeverlusteder Moden großer werden. Eine beliebige Vergroßerung der Kavitatslange istdennoch nicht moglich, da so auch der freie Spektralbereich eingeschranktwird, was sich insbesondere storend auswirkt, wenn ein weiter Abstimmbe-reich das Ziel ist. Fur den Entwurf eines InP-Luft-Filters wurde daher eineKavitatslange von 1658nm gewahlt, was einer λ-Kavitat entspricht. Durchdiese Wahl konnte einerseits im Entwurf die Anforderung an eine LinienbreiteλFWHM < 0.8nm bei nur 3 Membranen pro Spiegel erfullt werden, anderer-seits ergibt sich ein großerer maximaler Abstimmbereich im Vergleich zu einerλ/2-Kavitat, welche aus technologischer Sicht wegen der weniger aufwandi-gen Epitaxie bevorzugt wird. Wahrend mit einer Filter mit λ/2-Kavitat schonein Rekordwert von 142nm in der Abstimmung erzielt wurde [30] haben dieFilter mit λ-Kavitat das Potential fur einen noch großeren Abstimmbereich.

Die Ergebnisse der elektromechanischen Untersuchungen zeigen, dass dieFiltermembranen insbesondere bei kurzen Aufhangungen vergleichsweise steifsind, so dass ziemlich hohe Spannungen zur Abstimmung notwendig sind.Die Anpassung einer auf einem eindimensionalen elektromechanischen Mo-dell basierenden Funktion an die Abstimmcharakteristik zeigt eine sehr guteUbereinstimmung, wobei sich in allen Fallen ein nahezu lineares Federmodellergibt. Die Abschatzung des maximal moglichen Abstimmbereichs mit Hilfedieses Modells ergibt Werte von ca. 200nm fur die Filter mit λ/2-Kavitat undWerte von ca. 300nm fur die Filter mit λ-Kavitat, was mit den theoretischenWerten gut ubereinstimmt.

Die messtechnische Bestimmung der elektromechanischen Modulations-antwort zeigt, dass die Membranen eines Filters ausgepragte Resonanzen miteiner Frequenz von ca. 3MHz aufweisen, die sich in einem Filter in mehre-

146 KAPITEL 6. ZUSAMMENFASSUNG

re Resonanzlinien aufspalten, da alle Filtermembranen durch die Luftspaltemechanisch gekoppelt sind. Die eingeschlossene Luft wird bei diesen hohenFrequenzen offenbar nicht mehr verdrangt sondern komprimiert, so dass diedampfende Wirkung verloren geht. Isolierte Membranen zeigen dagegen kei-ne Aufspaltung der Linien. Diese ausgepragten Resonanzen wirken sich inder technischen Anwendung der Filter eher ungunstig aus, da sich dadurcheine relativ lange Einschwingzeit von ca. 10µs ergibt, wie die Auswertung derMessdaten zeigt.

6.2 Ausblick

Die Bestimmung der Transferfunktionen auf der Basis von Eigenmoden hatsich als nutzliches Werkzeug erwiesen um die optischen Eigenschaften vonvertikalen Filtern zu analysieren, wobei aber der Anwendbarkeit durch dasBOR-Modell Grenzen gesetzt sind. Die Analyse der Transferfunktionen aufder Basis von Eigenmoden lasst sich leicht auf ein vollstandiges dreidimensio-nales Modell ubertragen, mit dessen Hilfe auch der Einfluss der Aufhangun-gen und nicht symmetrischer Membrandeformationen analysiert werdenkann, was dieses Modell insbesondere im Hinblick auf den deutlich großereRechenzeit, die eine vollstandige dreidimensionale FEM benotigt, attraktivmacht.

Schon mit dem BOR-Modell lassen sich auf Basis der Eigenmoden Eigen-schaften wie ein radialer Versatz der Quelle oder nicht rotationssymmetri-sche Quellenfelder simulieren, ohne dass das FEM-Modell geandert werdenmuss, was mit der stationaren harmonischen Analyse nicht moglich ist. Dabeimussen dann aber auch Moden mit azimuthalen Modenindizes ν 6= 1 beruck-sichtigt werden, die dann ebenfalls einen Beitrag liefern. Die mit der Eigen-modenmethode generierten analytischen Transferfunktionen sind in Hinblickauf eine Systemsimulation ebenfalls vorteilhaft.

In Bezug auf die Messungen lasst sich die Modenanalyse noch durch dieVerwendung einer Faserlinse mit einer hohen numerischen Apertur verbes-sern, wodurch dann eine laterale Auflosungen im Bereich von 1-2 µm erreichtwerden kann. Eine noch hohere Auflosung lasst sich gegebenenfalls noch miteinem SNOM (Scanning Nearfield Optical Microscope) erreichen, wobei aberdann keine Messung in Reflexion mehr moglich ist, sondern die Anregungin Transmission mit einer TLS durchgefuhrt werden muss, was eine grundle-gende Uberarbeitung der Messmethode erfordert. Auch im Hinblick auf dieTransmission und Reflexions ist es sinnvoll die Messung mit einer polarisier-ten Quelle durchzufuhren um so die Polarisationsabhangigkeit der Moden zubestimmen. Hierzu muss der optische Aufbau zum einen mit polarisationser-

6.2. AUSBLICK 147

haltenden Fasern und zum anderen mit einem Polarisationssteller ausgestat-tet werden, was prinizipiell moglich ist.

Die Auswertung der dynamischen Eigenschaften der Filter durch eine pa-rametrische Anpassung ist grundsatzlich schwierig, da aufgrund der Kopp-lung der Membranen untereinander eine Vielzahl von Parametern eingeht,und die Funktion bezuglich der Parameter nichtlinear ist. Allerdings konn-ten durch eine gute Anpassung die Federkonstanten der Membranen unterder Voraussetzung, dass die Haltepfosten nicht stark unteratzt sind, relativgenau ermittelt werden. Diese konnen dann wieder in die Verbesserung deselektromechanischen Entwurfs der Filter einfließen. Um isolierte Resonanzenzu erhalten, die sich besser auswerten lassen, ware eine dynamische Charak-terisierung unter Vakuum denkbar, so dass die Kopplung der Membranenverringert wird oder ganz verschwindet.

Anhang A

Implementierung desBOR-Modells in FEMLAB

FEMLAB bietet verschiedene allgemeine PDE-Modelle (Partial DifferentialEquation) an [71], von denen sich die PDE in Koeffizientenform am Bestenfur die Implementierung des BOR-Modells eignet. Ausgangspunkt ist dieWellengleichung 3.35 mit der Darstellung des Operators ∇× in Zylinderko-ordinaten nach Gl. 3.37. Die allgemeine Form der PDE in der Eigenwertformist

∇ · (−c∇u− αu + γ) + au + β · ∇u = daλu, (A.1)

wobei der elektrische Feldvektor in der Darstellung u = (Er, Eϕ, Ez)T ist, λ

der Eigenwert und der Operator ∇ = (∂/∂r, ∂/∂z) ist. Die Tensoren −c, α , aund β werden uber die Expansion des Differentialterms der Wellengleichungermittelt. Es ergeben sich die Tensoren

c =

[0 00 Λ−1

ϕϕ

]0

[0 0

−Λ−1ϕϕ 0

]

0

[Λ−1

zz 00 Λ−1

rr

]0[

0 −Λ−1ϕϕ

0 0

]0

[Λ−1

ϕϕ 00 0

]

, (A.2)

α =

~0 ~0 ~0[

Λ−1zz jν/r

0

] [Λ−1

zz 1/r0

] [0

Λ−1rr jν/r

]~0 ~0 ~0

, (A.3)

149

150 ANHANG A. BOR-MODELL IN FEMLAB

a =

Λ−1zz ν

2/r2 Λ−1zz − jν/r2 0

0 0 00 0 Λ−1

rr ν2/r2

, (A.4)

β =

~0

[−Λ−1

zz jν/r0

]~0

~0 ~0 ~0 0Λ−1

ϕϕ1/r0

[0

−Λ−1rr jν/r

] [−Λ−1

ϕϕ1/r0

]

und (A.5)

γ = 0. (A.6)

Fur den Eigenwertterm der PDE gilt

da =

Λrrn2 0 0

0 Λϕϕn2 0

0 0 Λzzn2

. (A.7)

Anhang B

spectrafit

Wie der Name schon andeutet, war der ursprungliche Sinn des Programms dienumerische Anpassung einer Modellfunktion an gemessene Reflexions- oderTransmissionsspektren um mittels einer Parameterextraktion Schichtdickenund gegebenenfalls Brechungsindizes von optischen Schichten bestimmen zukonnen. Das Programm selbst basiert auf der in Kap. 3.3 dargestellten Trans-fermatrixmethode.

B.1 Dialog

Abb. B.1 zeigt den Dialog fur die Berechnung von Systemfunktionen. DieBedeutung der Dialogfelder ist im einzelnen

Design Auswahl der Datei mit der Strukturbeschreibung (siehe Kap. B.2).Select offnet eine Dateiauswahlbox.

Output Auswahl der Ausgabedatei. Select offnet eine Dateiauswahlbox.

Ref. Wavelength Referenzwellenlange zur Bestimmung der physikalischenSchichtdicke aus der optischen.

Type Zu berechnende Systemfunktion. Zur Auswahl stehen

� reflection

� transmission

� absorption

� confinement (Feldenergie)

� reflection group delay (Gruppenlaufzeit in Reflexion)

� transmission group delay (Gruppenlaufzeit in Transmission)

151

152 ANHANG B. SPECTRAFIT

Abbildung B.1: Dialog von spectrafit fur die Berechnung von Systemfunktio-nen.

� dispersion (Gruppenindex eines Materials berechnen. Im Feld De-sign wird dann die Materialdatei ausgewahlt))

� ASE noise (Verstarkte spontane Emissionen. Ist nur fur aktiveMaterialien sinnvoll)

Start Startwellenlange

Stop Stopwellenlange

Points Anzahl der Punkte.

complex output In der Ausgabedatei wird bei komplexen Großen nicht dasBetragsquadrat, sondern Real- und Imaginarteil ausgegeben.

Incident angle Einfallswinkel, nur fur Transmission und Reflexion. DerWert 0 bedeutet einen senkrechten Einfall.

Polarisation TE oder TM, ist nur fur einen Einfallswinkel > 0 wichtig.

Das Feld Parameter Variation ermoglicht eine Simulationsreihe mit derVariation eines Parameters durchzufuhren, wobei der zu variierende Wert inder Strukturbeschreibung angegeben werden muss. Dieser Wert wird mit demjeweiligen Variationsparameter e multipliziert. Die Parameter konnen zumeinen manuell in der Tabelle eingegeben und geandert werden, zum andernbesteht die Moglichkeit sich eine lineare oder eine geometrische Variation

B.1. DIALOG 153

Abbildung B.2: Dialog von spectrafit fur die Berechnung der Eigenmoden.

vorgeben zu lassen. Fur die lineare Variation gilt:

e(n = 0..Points− 1) = Start +Stop− Start

Points− 1n. (B.1)

Fur die geometrische Variation gilt:

e(n = 0..Points− 1) = Start ·(

Stop

Start

)n/(Points−1)

. (B.2)

Die Eingabe der Parameter muss durch Set quittiert werden. Alternativbesteht die Moglichkeit eine Parametertabelle mit Load zu laden. Die Tabellekann mit einem Texteditor erstellt werden, wobei in jeder Zeile ein Wertstehen muss. Die Ausgabedatei enthalt 2 oder 3 Spalten, wobei die erste dieWellenlange ist und die zweite und dritte der Funktionswert in reeller oderkomplexer Darstellung.

In Abb. B.2 ist der Dialog zur Bestimmung der Eigenmoden dargestellt.Folgende Felder unterscheiden sich von denen der Systemfunktionen:

Spatial Steps Auflosung, d.h. Anzahl der Schritte pro Schicht, fur die Aus-gabe der Eigenfunktion (Feldverteilung).

Target Startwert der Wellenlange fur die Ermittlung des Eigenmode.

Field Energy Die Eigenfunktion wird in der Einheit der Energiedichte an-stelle der Amplitude des elektrischen Felds dargestellt.

Save Field Bestimmt, ob der Eigenmode oder nur die Eigenwerte ausgege-ben werden.


Results Eigenwert und Photonenlebensdauer. Bei Parametervariation wirdnur der 1. Wert ausgegeben.

Der Startwert sollte dem gesuchten Eigenwert so nahe wie moglich sein. Eswird eine Datei mit den Eigenwerten ausgegeben, die die Endung “-tgt.dat”hat und, falls mit Save Field gewahlt, eine den Parametern entsprechendeAnzahl von Dateien mit der Endung “-pn.dat”. Die Datei mit den Eigenwer-ten enthalt 6 Spalten:

1. Parameter,

2. Realteil des Eigenwerts als Wellenlange, Einheit m,

3. Imaginarteil des Eigenwerts als Wellenlange, Einheit m,

4. Photonenlebensdauer in s,

5. Zeitkonstante des oberen Spiegels in s und

6. Zeitkonstante des unteren Spiegels in s.

Die Dateien mit den Eigenmoden enthalten 2 Spalten, wobei die erste dieOrtskoordinate auf der optischen Achse und die zweite die Feldamplitudebzw. Energiedichte sind.

B.2 Strukturbeschreibung

Die Strukturbeschreibung gliedert sich in 2 Teile: im ersten Teil werden dieSchichten und ihre Eigenschaften definiert und im zweiten Teil wird dieSchichtfolge festgelegt. Eine Schichtdefiniton besteht aus den folgenden Fel-dern, die immer durch Leerzeichen oder Tabs getrennt sind:

#< Bst > Schichtkennung mit dem Buchstaben <Bst>. Es muss die al-phabetische Reihenfolge eingehalten werden. Buchstaben durfen wedervertauscht noch weggelassen werden.

MAT=< Name > Name des Materials. An den Namen hangt spectrafit“.mdf” und ladt die Datei aus dem angegeben Materialverzeichnis. BeiUNIX muss unbedingt auf die Groß- bzw. Kleinschreibung geachtetwerden.

WP=< Wert > Physikalische Schichtdicke in nm.

WO=< Wert > Optische Schichtdicke (alternativ).

B.2. STRUKTURBESCHREIBUNG 155

WVAR Variation der Schichtdicke. Diese wird mit dem Parameter en mul-tipliziert.

WVAN Umgekehrte Variation der Schichtdicke. Multiplikation mit dem Pa-rameter 2− en.

EVAR Variation der Extinktion (Imaginarteil des Brechungsindex)

CAR=< Wert > Tragerdichte in einer aktiven Schicht (nur fur die ASE-Berechnung).

ACTV Aktive Schicht (nur fur Lasersimulation).

DIFF Diffusionsschicht (nur fur Lasersimulation).

FIT=W0 Parametrische Anpassung der Schichtdicke.

FIT=W1 Parametrische Anpassung der Schichtdicke mit linearer Ande-rung.

FIT=NR Parametrische Anpassung des Realteil des Brechungsindex.

FIT=NI Parametrische Anpassung des Imaginarteil des Brechungsindex.

FIT=NC Parametrische Anpassung des komplexen Brechungsindex.

Die Felder FIT= haben fur alle Funktionen außer der Anpassung keine Wir-kung. Bei den Feldern CAR= und ACTV sucht spectrafit zusatzlich nachden Gaindaten in der Datei “<material> gain.dat”.

Die Schichtfolge besteht aus einer Abfolge der Buchstaben entsprechendder Materialkennung. Zur Gruppierung durfen Leerzeichen eingefugt werden.Auch Zeilenumbruche sind erlaubt. Zur Wiederholung einer Schichtfolge kanndiese in Klammern mit der Anzahl der Wiederholungen davor eingeschlossenwerden. Die Konstruktion n(<Folge>) ist nicht schachtelbar. Die Definitioneines dielektrischen Filters mit Luftkavitat sieht demnach wie folgt aus

#A MAT=air WO=0

#B MAT=sina0 WO=0.25

#C MAT=sio2a0 WO=0.25

#D MAT=air WO=2.0 WVAR

A 11(CB) D 11(BC)


B.3 Batchbetrieb

Unter UNIX ist es moglich spectrafit im Batchmodus zu betreiben, d.h.es wird eine Kommandodatei ubergeben. Der Aufruf erfolgt mit “xspec-trafit <datei>”. Die Initialisierungsdatei fur spectrafit hat dieselbe Form,und befindet sich bei UNIX in “$HOME/.spectrafit” und bei Windows imProgrammverzeichnis in “spectrafit.ini”. Folgende Parameter werden unter-stutzt:

� Allgemein:

job= Durchzufuhrende Simulation (z.B reflection, transmission,mode solver).

file(output)= Ausgabedatei.

file(design)= Strukturbeschreibung.

var(start)= Startparameter fur Variation.

var(stop)= Stopparameter fur Variation.

var(points)= Anzahl der Variationsparameter.

var(type)= Art der Variation (linear | geom).

file(parameter)= Datei mit Variationsparametern (alternativ).

set(spline)= Splineinteroplation ein- oder generell ausschalten (on |off).

set(heading)= Kopfzeile ausgeben (on | off).

path(matl)= Pfad zu den Materialdaten.

wl(center)= Referenzwellenlange.

� Systemfunktionen:

wl(start)= Startwellenlange.

wl(stop)= Stopwellenlange.

wl(points)= Anzahl der Punkte.

complexout= Daten komplex ausgeben (yes | no)

beam(angle)= Einfallswinkel.

beam(polarise)= Polarisation (TE | TM).

� Eigenmoden:

field(points)= Raumliche Auflosung pro Schicht.

B.3. BATCHBETRIEB 157

field(ref)= Referenz fur el. Feld (ohne Bedeutung).

wl(rtarget)= Realteil Startwert.

wl(itarget)= Imaginarteil Startwert.

save(field)= Eigenmoden abspeichern (on | off)

� Anpassen:

file(input)= Datei mit dem anzupassenden Spektrum.

path(fitmatl)= Pfad zu den angepassten Materialien.

� Laser:

set(activ)= Nur zum Test.

set(activtrans)= Nur zum Test.

set(activsplit)= Nur zum Test.

set(kkr)= Nur zum Test.

area= Querschnittsflache des aktiven Bauelements

temperature= Temperatur

wl(stim)= Wellenlange, mit der optisch gepumpt wird.

nrrecomb(0)= Koeffizient der nichtstrahlenden Rekombination(Offset).

nrrecomb(1)= Koeffizient der nichtstrahlenden Rekombination(Proportional zu Tragerdichte).

nrrecomb(2)= Koeffizient der nichtstrahlenden Rekombination(zweiter Ordnung).

nrrecomb(3)= Koeffizient der nichtstrahlenden Rekombination(dritter Ordnung).

pwr(max)= Pumpleistung, bei der die Simulation gestoppt wird.

confinement= Confinement der spont. Emissionen.

rtherm= thermischer Widerstand.

Anhang C

zero

Der Postprozessor zero ermoglicht die Bestimmung der Transferfunktionenaus den Eigenmoden. Die Pol- und Nullstellenfunktion hat dem Programmseinen Namen verliehen. Das anregende Feld wird ebenfalls entweder fur eineGlasfaser oder fur einen Gaussschen Strahl berechnet. Der Aufruf ist “zero<datei> mit einer Kommandodatei, die wie folgt aufgebaut ist:

job= Funktion: Kopplungseffizenz (coupling), Pole und Nullstellen(polzero), Transferfunktionen (xfer), Modenorthogonalitat (ortho)

field(type)= Anregendes Feld: Gaussscher Strahl (gauss), Glasfaser (smf)

fiber(ncore)= Brechungsindex der Glasfaser im Kern.

fiber(nclad)= Brechungsindex der Glasfaser im Mantel.

fiber(radius)= Kernradius der Glasfaser oder Strahltaille des GaussschenStrahls.

file(modes)= Ausgabedatei fur die Daten der Moden.

file(xfer)= Ausgabedatei fur die Transferfunktionen.

file(slice)= Ausgabedatei fur das Feld im horizontalen Schnitt und dessenAbleitungen (optional, fur Test).

file(root)= Ausgabedatei fur den Pol/Nullstellenplans.

mode(tpml)= z-Koordinate der oberen PML.

mode(bpml)= z-Koordinate der unteren PML.

mode(sample)= Schrittweite (in µm) fur die horizontale Interpolation.

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160 ANHANG C. ZERO

xfer(start)= Startwellenlange oder -wellenzahl fur die Transferfunktionen.

xfer(stop)= Stopwellenlange oder -wellenzahl fur die Transferfunktionen.

xfer(points)= Anzahl der Punkte

mode(real)= Vorlage fur den Dateinamen des Realteils des Eigenmode,wobei “%d” der Platzhalter fur die Knotennummer ist.

mode(imag)= Vorlage fur den Dateinamen des Imaginarteils des Eigenmo-de, wobei “%d” der Platzhalter fur die Knotennummer ist.

mode(grid)= Vorlage fur den Dateinamen des Gitters, wobei “%d” derPlatzhalter fur die Knotennummer ist.

mode(eigen)= Vorlage fur den Dateinamen des Eigenwerts, wobei “%d”der Platzhalter fur die Knotennummer ist.

nodes(field)= Knotennummern der Eigenmoden.

nodes(grid)= Knotennummern des Gitters (bei nur einer Nummer wirddas eine Gitter allen Eigenmoden zugeordnet).

set(bpml)= untere PML bearbeiten (on) oder ignorieren (off). Gilt nurfur Kopplungseffizienz und Modenorthogonaliat.

set(header)= Kopfzeile ausgeben (on) oder nicht ausgeben (off).

set(unit)= Wellenlange (wavelen) oder Wellenzahl (wavenum).

template(root)= Grace-Template fur Pol/Nullstellen, optional.

template(xfer)= Grace-Template fur Transferfunktionen, optional.

Zero kann bis zu acht Moden gleichzeitig bearbeiten, um daraus die Trans-ferfunktionen zu bestimmen. Als Eingabe werden die Ausgabedateien vonLUMI, wobei eine vektorielle Darstellung des Felds erforderlich ist, und dasvon mdraw generierte Gitter benotigt. Die Dateinamen werden dabei nachder in GENESIS ublichen Konvention mit einer Vorlage und der entsprechen-den Knotennummer gehandhabt. Die Moglichkeit, die untere PML bei derBerechnung zu ignorieren dient dazu Rechenzeit zu sparen, falls nur die Kopp-lungskoeffizienten erforderlich sind. Fur die Ausgabe des Pol/Nullstellenplansund der Transferfunktionen konnen Vorlagen spezifiziert werden, die eine di-rekte Darstellung der Graphen in Grace [90] ermoglichen. Die Ausgabedateider Transferfunktionen hat 3 Spalten:

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1. Wellenlange oder Wellenzahl

2. Reflexion

3. Transmission

Die Ausgabedatei der Modendaten hat 7 Spalten:

1. laufende Nummer des Mode (nicht identisch mit Knotennummer, aberdieselbe Reihenfolge)

2. Kopplungseffizienz

3. Resonanzkreisfrequenz

4. Resonanzwellenlange

5. Photonenlebensdauer

6. Zeitkonstante des oberen Spiegels

7. Zeitkonstante des unteren Spiegels

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[90] http://plasma-gate.weizmann.ac.il/Grace/

Danksagung

An dieser Stelle mochte ich mich recht herzlich bei all denjenigen bedanken,die zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen haben.

Mein besonderer Dank gilt Herrn Prof. Dr. Hartmut Hillmer, der durch seinetatkraftige Unterstutzung in allen Bereichen, sein wissenschaftliches Inter-esse und seine stetige Diskussionsbereitschaft wesentlich zur erfolgreichenDurchfuhrung dieser Arbeit beigetragen hat.

Herrn Soren Irmer, Frau Ina Kommallein und Herrn Amer Tarraf danke ichfur ihre Unterstutzung durch die Bereitstellung von Filterproben, REM- undWeisslichtbildern, sowie fur die Erlauterung der technologischer Aspekte.

Herrn Prof. Dr. Wolfgang Fichtner, Herrn Dr. Andreas Witzig und Herrn Dr.Matthias Streiff von Institut fur Integrierte Systeme der ETH Zurich dankeich fur ihre wertvolle Unterstutzung bei der Nutzung der am IIS entwickeltenSimulationssoftware und fur ihre stete Diskussionsbereitschaft.

Herrn Prof. Dr. Bernd Witzigmann von Institut fur Integrierte Systeme derETH Zurich danke ich fur die Ubernahme des Zweitgutachtens sowie seineUnterstutzung bei der Simulation der Filter.

Frau Dr. Cornelia Prott danke ich fur die hilfreichen Diskussion zu den theo-retischen Modellen und Messergebnissen und ihre Unterstutzung in der Cha-rakterisierung.

Herrn Prof. Dr.-Ing. Bernd Weidemann und Herrn Prof. Dr.-Ing. Wolf-JurgenBecker danke ich fur die freundliche Ubernahme des Beisitzes in der Prufungs-komission.

Herrn Dietmar Gutermuth und Herrn Albert Malkomes danke ich fur ihreUnterstutzung in allen technischen Aspekten, insbesondere der promptenAbwicklung von Werkstattauftragen.

Den Mitgliedern der am IMA vertretenen Arbeitsgruppen der TechnischenElektronik und der Technischen Physik danke ich fur ihre freundschaftliche

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und produktive Zusammenarbeit.

Nicht zuletzt danke ich meinen Eltern dafur, dass sie mich immer in meinenZielen und Entscheidungen unterstutzt haben.

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