Cherenkov Strahlung

Alessandro Simon

15. Mai 2015

Inhaltsverzeichnis

1 Historisches 1

2 Theoretische Beschreibung 2

3 Anwendungen 63.1 H.E.S.S. Teleskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2 Super-Kamiokande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1 Historisches

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Abbildung 1: Messaparatur

Im Jahre 1934 entdeckte Pavel Cherenkov wäh-rend seiner Forschungsarbeit die nach ihm benann-te Cherenkov Strahlung (in Russland auch Vavilov-Cherenkov Strahlung genannt). Nach dem Studi-um ging Cherenkov für seine Promotion an dasLebedev-Institut in Moskau wo ihm der Instituts-leiter Sergei Vavilov einige Forschungsgebiete vor-schlug. Er entschied sich für das Gebiet der Fluo-reszenz (Vavilov hatte hier bereits Erfolge verzeich-net), speziell die der Uransalze. Diese löste er in ver-schiedenen Lösungsmitteln auf und bestrahlte siemit γ-Strahlung (s. Abb. 1). 1

Die schnellen Photonen bewirkten, dass die Ato-me der Salze angeregt wurden und Licht emittier-ten sobald sie in einen tieferen Zustand wechselten.Während seiner Untersuchungen fiel ihm auf, dassFlüssigkeiten ohne gelöstes Salz, also schon die Lösungsmittel allein leuchteten. Diese

1R0: Strahlenquelle, 1: Lösung

1

Beobachtung veranlasste Cherenkov fast dazu sein Forschungsthema zu ändern, da erdachte dass die von ihm beabsichtigten Messungen so unmöglich wären. Jedoch konnteVavilov ihn überzeugen weiter an der unbekannten Strahlung zu arbeiten. Diese wurdedann zunächst mit Fluoreszenz der Lösungsmittel selbst begründet. Um diese Theorieweiter zu festigen wurden Effekte der Fluoreszenzlöschung verwendet. Dazu gehört dasHinzufügen von Quenchern die die Energie der angeregten Atome in Form von kinetischerEnergie übernehmen sollen was die Helligkeit des erzeugten Lichts vermindert. Allerdingsänderte sich nichts am Leuchten der Flüssigkeit.

Da es sich nun scheinbar nicht um Fluoreszenz handelte mutmaßte man die Strahlungkönnte etwas mit schnellen Elektronen in der Flüssigkeit zu tun haben. Diese These wurdeunterstützt durch die Tatsache, dass sich die Richtung der Strahlung durch Anlegen einesMagnetfeldes änderte. Eine vollständige Erklärung wurde jedoch nicht gefunden.

4 CERENKOV RADIATION AND ITS APPLICATIONS

so that the negative charges of the electrons are displaced to one sideof the heavier positive charges of the nuclei of these atoms. The mediumthus becomes polarized about the point P. When now the electron moveson to another point, say P' 9 the elongated atoms around P return totheir normal shape. While the atoms are distorted they behave like

elementary dipoles, with the negative poles pointing away from thetrack if the passing particle is a negative electron, or vice versa for apositron or proton. Thus, as the particle passes through the medium,each elemental region of the glass along the track will in turn receivea very brief electromagnetic pulse. Owing to the complete symmetry of

OOQOooo'n n C

O _000

ooo

OOo0<3ooooono

%&oQo

O^OOP'

(a)

FIG. 1.1. The polarization set up in a dielectric by the passage of a charged particle,(a) At low velocity, (b) At high velocity.

the polarization field surrounding the electron, there will be no resultantfield at large distances and therefore no radiation. There is symmetryboth in azimuth and along the axis, in this case.

If however the electron is moving fast, that is at a speed comparableto that of light in the medium, the picture is quite different (see Fig.Lib). In this case the polarization field is no longer completely sym-metrical. In the azimuthal plane, symmetry is preserved, but along theaxis there is a resultant dipole field which will be apparent even at largedistances from the track of the electron. Such a field will be momentarilyset up by the electron at each element along the track in turn, eachelement then radiating a brief electromagnetic pulse. The radiationwill be spread over a band of frequencies corresponding to the variousFourier components of this pulse.In the general case, the radiated wavelets from all parts of the track

Abbildung 2: Polarisierung des Mediums

2 Theoretische Beschreibung

Die Antwort auf die Herkunft der Strahlung lieferten im Jahr 1937 die, auch am Lebedev-Institut beschäftigten, Theoretiker Igor Tamm und Ilja Frank. Zusammen mit Cherenkoverhielten sie hierfür 1958 den Nobelpreis für Physik.

2

Für die theoretische Beschreibung gehen wir davon aus, dass ein geladenes Teilchendurch ein polarisierbares Medium fliegt. Wie man in Abb. 2 sieht, werden die Atomedes Mediums polarisiert. Diese Polarisierung findet mit einer endlichen Geschwindigkeitstatt (nämlich c/n, mit n : Brechungsindex im Medium).

P1: SFK/UKS P2: SFK Trim: 246mm × 189mm Top: 10.544mm Gutter: 18.98mm

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23.7 Cherenkov Radiation 907

(a) (b)

Figure 23.17: The Cherenkov effect for a charged particle (black dot) moving at constant speed. (a) Sphericalwaves are emitted at previous positions of the particle (small open circles) and expand at speed c/n. (b) When theparticle speed v > c/n, two information-collecting shells collapse onto every observation point (star) inside theMach cone at the same observation time. Figure from Ohanian (1995).

Rret

v(t–tret)

R

θ

Figure 23.18: The present-time position (black dot) and retarded-time position (small white circle) of a chargemoving with constant velocity v. R and Rret point to the observation point.

The interesting feature of these equations is that the equation which determines the retarded time,

tret − t = R(tret)cn

, (23.172)

has two solutions when the observation point lies inside the Mach cone and no solutions when it liesoutside the cone. We can demonstrate this graphically using the concept of the “information-collectingshell” introduced in Section 23.2.2.

Figure 23.17(b) shows an observation point (star) inside the Mach cone of a charge moving atconstant velocity. Also shown are two views of an information-collecting shell which collapses at speedcn and arrives at the star at time t . The moving charge enters the volume enclosed by the shell at timet1 < t and exits that volume at time t2 where t > t2 > t1. Both of these are legitimate “retardedtimes” when v > cn. By contrast, the trajectory r0(t) of the charge never enters or exits the volumewhen the observation point lies outside the Mach cone. There is no retarded time and the field iszero at such points. To be more quantitative, we refer to Figure 23.18 and note that the square ofRret = |R + v(t − tret)| is a quadratic equation for t − tret with the solutions

t − tret =−v · R ±

√(v · R)2 − (v2 − c2

n)R2

v2 − c2n

≥ 0. (23.173)

If v > cn, the positivity condition on the far right side of (23.173) imposes two conditions:

v · R < 0 and (v · R)2 > (v2 − c2n)R2. (23.174)

With the definition of θC in (23.169), the left and right sides of (23.174) respectively imply thatsolutions to (23.173) exist if

θ >π

2and sin θ ≤ sin θC = 1/βn. (23.175)

The conditions (23.175) define the volume inside the Mach cone in Figure 23.17(a).

FOR ENDORSEMENT PURPOSES ONLY. DO NOT DISTRIBUTE

Abbildung 3: Interferenz der Wel-len

Die Grundannahme ist die, dass das geladene Teil-chen auf jedem Punkt seines Weges eine elektro-magnetische Elementarwelle auslöst. In Abb. 2 (a)ist die Teilchengeschwindigkeit klein gegenüber cn2 und die Polarisierung in alle Richtungen symme-trisch, sodass alle entstehenden Wellen sich gegen-seitig auslöschen. In Abb. 2 (b) ist das Teilchen nunschneller als cn, was zur Folge hat, dass die Polari-sierung langsamer als das Teilchen ist, wodurch dieSymmetrie entlang der Bewegungsrichtung verlo-ren geht. Die entstehenden Wellen können sich kon-struktiv überlagern. Um zu verstehen wann dies derFall ist betrachten wir Abb. 3. Die vom Teilchenausgesendeten Kugelwellen breiten sich mit der Ge-

schwindigkeit cn aus, das Teilchen selbst mit v. Die Wellen überlagern sich zu einem Kegelmit Außenwinkel θc wenn gilt 3

sin θc =cnv

=1

βn

Dies ist die Grundvoraussetzung damit Cherenkov Strahlung entstehen kann. Ausserdemfolgt hieraus die Minimalgeschwindigkeit des Teilchens und der maximale Winkel desKegels

• βmin = 1/n

• θmax = arcsin 1/n

Für die Berechnung benutzen wir, anders als Tamm und Frank, die Liénard-Wiechert-Potentiale

φ(r, t) =1

4πε

[q

R− βR

]ret

(1)

A(r, t) =µ

4π

[qv

R− βR

]ret

(2)

2cn = c/n3v/c = β

3

Das Kürzel ret deutet an, dass die Größen in der Klammer zur retardierten Zeit tretausgewertet werden müssen. Um diese zu ermitteln betrachten wir die Geometrie desProblems (s. Abb. 4). Es gilt

Rret = R+ v(t− tret) (3)

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23.7 Cherenkov Radiation 907

(a) (b)

Figure 23.17: The Cherenkov effect for a charged particle (black dot) moving at constant speed. (a) Sphericalwaves are emitted at previous positions of the particle (small open circles) and expand at speed c/n. (b) When theparticle speed v > c/n, two information-collecting shells collapse onto every observation point (star) inside theMach cone at the same observation time. Figure from Ohanian (1995).

Rret

v(t–tret)

R

θ

Figure 23.18: The present-time position (black dot) and retarded-time position (small white circle) of a chargemoving with constant velocity v. R and Rret point to the observation point.

The interesting feature of these equations is that the equation which determines the retarded time,

tret − t = R(tret)cn

, (23.172)

has two solutions when the observation point lies inside the Mach cone and no solutions when it liesoutside the cone. We can demonstrate this graphically using the concept of the “information-collectingshell” introduced in Section 23.2.2.

Figure 23.17(b) shows an observation point (star) inside the Mach cone of a charge moving atconstant velocity. Also shown are two views of an information-collecting shell which collapses at speedcn and arrives at the star at time t . The moving charge enters the volume enclosed by the shell at timet1 < t and exits that volume at time t2 where t > t2 > t1. Both of these are legitimate “retardedtimes” when v > cn. By contrast, the trajectory r0(t) of the charge never enters or exits the volumewhen the observation point lies outside the Mach cone. There is no retarded time and the field iszero at such points. To be more quantitative, we refer to Figure 23.18 and note that the square ofRret = |R + v(t − tret)| is a quadratic equation for t − tret with the solutions

t − tret =−v · R ±

√(v · R)2 − (v2 − c2

n)R2

v2 − c2n

≥ 0. (23.173)

If v > cn, the positivity condition on the far right side of (23.173) imposes two conditions:

v · R < 0 and (v · R)2 > (v2 − c2n)R2. (23.174)

With the definition of θC in (23.169), the left and right sides of (23.174) respectively imply thatsolutions to (23.173) exist if

θ >π

2and sin θ ≤ sin θC = 1/βn. (23.175)

The conditions (23.175) define the volume inside the Mach cone in Figure 23.17(a).

FOR ENDORSEMENT PURPOSES ONLY. DO NOT DISTRIBUTE

Abbildung 4: Position zu versch. Zeiten

Quadriert man diese Gleichung und betrachtet t − tret als Variable gelangt man zu derquadratischen Gleichung

t− tret =−v ·R±

√(v ·R)2 − (v2 − c2n)R2

v2 − c2n(4)

Aus der Positivität von Gleichung (4) können wir schon zwei Schlüsse ziehen

• v ·R < 0 =⇒ θ > π2

• sin θ ≤ sin θc = 1/βn

Rechnet man den Term aus Gleichung (4) aus vereinfacht sie die Wurzel zu

Rv

√c2nv2− sin2 θ

Die Lösung aus Gleichung (4) kann man dann über Gleichung (2) in die Liénard-Wiechert-Potentiale einsetzen 4

φ(r, t) =1

2πε

q

R(1− β2n sin2 θ)1/2Θ(cos θc − cos θ) (5)

A(r, t) =µ

2π

qv

R(1− β2n sin2 θ)1/2Θ(cos θc − cos θ) (6)

Aus den Potentialen folgen schließlich über

E = −∇φ− ∂A

∂tund B = ∇×A

die Vektorfelder E und B

4Die Θ-Funktion folgt aus der zweiten Bedingung oben

4

E = − 1

2πε

(β2n − 1)R

R2(1− β2n sin2 θ)3/2Θ(cos θc − cos θ)

+1

2πε

√β2n − 1R

R2βn(1− β2n sin2 θ)1/2δ(cos θc − cos θ)

(7)

B =v

c2nsin θ(−θ ×E) (8)

An Gleichung (7) erkennt man, dass das E-Feld aus zwei Komponenten besteht. Die Erstesorgt für ein Feld innerhalb des Kegels, dass in Richtung der Ladung zeigt. Der zweiteTeil ist ein singuläres Feld (δ-Funktion) auf der Kegeloberfläche das zum Beobachterzeigt. Um das Frequenzspektrum zu bestimmen bilden wir die Fouriertransformation deszeitabhängigen Feldes E(t). Dieses finden wir auf folgende Art. Wir legen den Ursprungdes Koordinatensystems zur bewegten Ladung (s. Abb. 5). Die Position des Beobachterszur Zeit t = 0 ist (R(0), θc). Nehmen wir an, dass R(0) ≈ R(t)� vt und ∆θ � 1, folgendurch θ(t) = θc + ∆θ die Näherungen

∆θ ≈ vtsin θcR(0)

(9)

cos θc − cos θ(t) = cos θc − cos θc + ∆θ ≈ sin θc∆θ =cnt

βnR(0)(10)

1− β2n sin2 θ(t) ≈ −2β2n cos θc sin θc∆θ =2cnt

√1− β2n

R(0)(11)

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23.7 Cherenkov Radiation 909

c0tυt

Figure 23.19: The polar coordinates of a stationary laboratory observer change as a function of time (smallwhite circles) when they are referred to coordinate axes centered at the position of a moving point charge (blackdot). Figure adapted from Smith (1997).

at t = 0. In that case, Figure 23.19 shows that the polar coordinates of the observer are (R(0), θC).A short time later, the observer finds him/herself inside the cone with polar coordinates (R(t), θ(t))where θ (t) = θC + "θ . This information, and the assumptions that R(0) ≈ R(t) ≫ vt and "θ ≪ 1,will permit us to write the Cherenkov electric field (23.180) as an explicit function of time.

Using (23.169) and βn = v/cn = nv/c, we infer from the geometry of Figure 23.19 that

"θ ≈ vtsin θC

R(0)(23.182)

and

cos θC − cos θ (t) = cos θC − cos(θC + "θ ) ≈ sin θC"θ = cnt

βnR(0). (23.183)

Then, because β2n sin2 θC = 1,

1 − β2n sin2 θ (t) ≈ −2β2

n cos θC sin θC"θ =2cnt

√1 − β2

n

R(0). (23.184)

Substituting these results into (23.180) gives the electric field as

E(t) ≈ q(β2n − 1)1/4

(2cn)3/2πϵ√

R(0)

[δ(t)√

t− '(t)

2t3/2

]R(0). (23.185)

The Fourier transform E(ω) follows by substituting (23.185) into the rightmost integral in (23.75).Integrating the delta function by parts, we find

E(ω) = − iωq(β2n − 1)1/4

(2cn)3/2πϵ√

R(0)R(0)

∞∫

0

dt t−1/2 exp(iωt) = q(β2n − 1)1/4ω1/2

4√

πϵc3/2n

√R(0)

(1 − i)R(0). (23.186)

The fact that E(t) and E(ω) vary as 1/√

R(0) tells us that we are dealing with a two-dimensionalcylindrical wave rather than a three-dimensional spherical wave.19 This motivates us to alter slightlythe analysis of Section 23.4.1 and evaluate the energy radiated per unit area per unit frequency [cf.(23.80)]:

d 2Urad

dωdA= ϵcn

π|E(ω)|2. (23.187)

The literature of Cherenkov radiation typically transforms (23.187) into a spectral distribution per unitpath length ℓ. This the energy per unit frequency which passes through a unit length of a cylinder of

19 See the discussion surrounding (20.86).

FOR ENDORSEMENT PURPOSES ONLY. DO NOT DISTRIBUTE

Abbildung 5: Zeitabhängiges Feld

Eingesetzt erhalten wir für das elektrische Feld

E(t) ≈ q(β2n − 1)1/4

(2cn)3/2πε√R(0)

[δ(t)√t− Θ(t)

2t3/2

](12)

5

Die Fouriertransformation führen wir mithilfe von partieller Integration durch und erhal-ten

E(ω) ≈ iωq(β2n − 1)1/4

(2cn)3/2πε√R(0)

R(0)

∫ ∞0

dt t−1/2eiωt =q(β2n − 1)1/4ω1/2

4√πc

3/2n ε

√R(0)

(1− i)R(0) (13)

Nun wollen wir die abgestrahlte Energie in Abhängigkeit der Frequenz bestimmen, alsodas Frequenzspektrum. Der Faktor

√R(0) legt Nahe dass es sich um eine zylindrische

Welle handelt. Daher folgt

d2U

dωdA=εcnπ‖E(ω)‖2 (14)

Um nicht die Energie pro Flächenelement dA sondern pro Längeneinheit d` zu erhaltenmüssen wir mit dem Umfang eines Kreises mit Radius ρ multiplizieren

d2U

dωd`= 2πρ(ρ · (−θ))

d2U

dωdA(15)

Eingesetzt mit den Größen aus Abb. 5 erhalten wir schließlich

d2U

dωd`= −2π sin θc cos θc

d2U

dωdA(16)

Zusammen mit Gleichung (13) und (14) folgt

d2U

dωd`=µ(ω)q2

4π

(1− c2

v2n2(ω)ω

)bzw. (17)

d2U

d`=q2

4π

∫v> c

n(ω)

µ(ω)ω

(1− c2

v2n2(ω)

)dω (18)

Am Endergebnis (auch Tamm-Frank-Formel gennant) sehen wir warum die CherenkovStrahlung auf Fotos immer bläulich wirkt. Die Intensität des Lichts ist direkt propor-tional zur Frequenz, und da blaues Licht das sichtbare Licht mit der größten Frequenzist überwiegt es im Spektrum. Nun kann so Aussehen, dass die abgestrahlte Energieunbeschränkt ist, da das Integral proportional zu ω ist und wir über alle Frequenzenintegrieren müssen, dies ist jedoch natürlich nicht der Fall. Wie in Gleichung (18) an-gemerkt ist der Brechungsindex n nicht konstant sondern hängt von der Frequenz desLichts ab. Für hohe Frequenzen geht n gegen 1 und die Bedingung

v >c

n(ω)

6

kann nicht mehr erfüllt werden (hier handelt es sich um die Vakuumslichtgeschwindig-keit), weshalb keine Strahlung mehr emittiert wird. Neben der Frequenz ist die Strahlungauch proportional zur Permeabilität µ des Mediums was Sinn macht, da der Effekt jaauf der Polarisierung des Mediums beruht. Aus dem Klammer-Ausdruck folgt, dass dieIntensität mit höheren Geschwindigkeiten steigt. (Allerdings beschränkt, da v < c)

3 Anwendungen

Der Cherenkov Effekt findet in vielen Teilgebieten der Physik Anwendung, vor allem zurDetektion von Teilchen. Im Folgenden werden kurz zwei wichtige Projekte beschrieben,die den Cherenkov Effekt nutzen um bestimmte Größen zu messen. Bei beiden wirdsowohl die Intensität als auch die Richtung 5 der Strahlung genutzt.

3.1 H.E.S.S. Teleskop

Abbildung 6: Das H.E.S.S Teleskop

Beim H.E.S.S. Teleskop (High Energy Stereoscopic System) handelt es sich um mitt-lerweile fünf Spiegelteleskope, die in der Wüste von Namibia aufgestellt sind. Mit die-

5Zur Bestimmung des Ursprungs der Teilchen

7

sen möchte man die Quellen von hochenergetischer γ-Strahlung untersuchen. Tritt γ-Strahlung, mit Energien im TeV-Bereich, in die Atmosphäre ein, entstehen durch Paarbil-dung Elektronen-Positronen Paare, die wiederum durch Bremsstrahlung, neue γ-Strahlungemittieren. Durch diesen Kreislauf entstehen viele schnelle geladene Teilchen, die, nunmit Luft als Medium, Cherenkov Strahlung aussenden. Diese wird aus einer Höhe von ca.10 km innerhalb von Nanosekunden Richtung Erde gestrahlt wo sie von den Teleskopenregistriert wird. Da nur einige wenige Photonen prom2 am Boden ankommen können nurbei optimalen Bedingungen (d.h. z.B. kein Mondlicht) Messungen vorgenommen werden(ca. 1000 h im Jahr).

3.2 Super-Kamiokande

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Abbildung 7: Super-Kamiokande

Ein weiteres Beispiel ist der Neutrino De-tektor Super-Kamiokande (s. Abb. 7).Es handelt sich m Grunde ein Tank, dermit 50 000 t hochreinem Wasser gefülltist und an der Oberfläche mit Photomul-tipliern ausgekleidet ist. Um die, beimH.E.S.S. Teleskop noch essentielle, kosmi-sche Strahlung abzuschirmen liegt der De-tektor ca. 1 km unter der Erdoberfläche.Die Cherenkov Strahlung wird hier durchandere Effekte hervorgerufen.

Die elektrisch neutralen Neutrinos die z.B.von der Sonne zu uns gelangen, können miteiner geringen Wahrscheinlichkeit mit demWasser in den Tanks wechselwirken und sogeladene Teilchen entstehen lassen. Dieseführen dann bekannterweise zu CherenkovStrahlung die mit den Photomultipliern aufgezeichnet wird. Aus dem Durchmesser der„Kegelböden“ und der Schärfe der Ränder (s. Abb. 8) kann man Rückschlüsse auf diedetektierten Teilchen ziehen (z.B. deren Masse).

8

Abbildung 8: Beispiel eines Events

9

Literatur

[1] url: www.wikipedia.org.[2] Boris M Bolotovskii. “Vavilov – Cherenkov radiation: its discovery and application”.

In: Physics-Uspekhi 52.11 (2009), S. 1099. url: http://stacks.iop.org/1063-7869/52/i=11/a=R03.

[3] J V Jelley. “Cerenkov radiation and its applications”. In: British Journal of AppliedPhysics 6.7 (1955), S. 227. url: http://stacks.iop.org/0508-3443/6/i=7/a=301.

[4] K. Kleinknecht. Detektoren für Teilchenstrahlung. Teubner Studienbücher Physik.Vieweg+Teubner Verlag, 2005. isbn: 9783835100589. url: https://books.google.de/books?id=Ythy5VR3TjkC.

[5] Ig. Tamm. “Radiation Emitted by Uniformly Moving Electrons”. English. In: SelectedPapers. Hrsg. von BorisM. Bolotovskii, VictorYa. Frenkel und Rudolf Peierls. Sprin-ger Berlin Heidelberg, 1991, S. 37–53. isbn: 978-3-642-74628-4. doi: 10.1007/978-3-642-74626-0_3. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-74626-0_3.

[6] Andrew Zangwill. Modern electrodynamics. Cambridge University Press, 2012.

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