Clemens Simmer

Einführung in die Meteorologie I

- Teil I: Einleitung -

2

I EinführungI.1 Mathematische GrundlagenI.1.1 Physikalische EinheitenI.1.2 Differential- und IntegralrechnungI.1.3 meteorologische FelderI.1.4 Vektoren-Operationen und AbleitungenI.2 Meteorologische Grundgleichungen I.2.1 Physikalische GrundlagenI.2.2 Skalenbetrachtungsweise

3

I.1.1 Physikalische Einheiten• Dimensionen und Dimensionsanalyse• SI-Einheiten• Abgeleitete SI-Einheiten• Vielfache und Bruchteile von Einheiten• Dimensionsanalyse

4

Einheiten und Einheitenanalyse• Wenn man physikalische Gleichungen auswertet, d.h.

mit ihnen rechnet, z.B. das 2. Newtonsche Axiom Kraft = Masse · Beschleunigung oder

F=maso müssen alle Größen (Variablen, Konstanten, etc.) im gleichen Einheitensystem anngegeben werden.

• Umgekehrt kann eine Gleichung nur dann richtig sein, wenn rechts und links vom Gleichheitszeichen die gleichen Einheiten stehen, oder

x=y ist nur dann physikalisch prinzipiell sinnvoll (Voraussetzung), wenn gilt [x]=[y], wobei [ ] bedeutet„Einheit von“

5

SI-EinheitenIn der Meteorologie benutzt man das sogenannte SI-

System (Système International d’Unités).

Basisgröße Name Symbol

Länge Meter m

Masse Kilogramm kg

Zeit Sekunde s

el. Stromstärke Ampere A

Temperatur Kelvin K

Stoffmenge Mol mol

Lichtstärke Candela cd

6

Abgeleitete SI-EinheitenAus den Basisgrößen können weitere SI-Einheiten

abgeleitet werden:abgeleitete SI-Einheit Name Symbol

FlächeVolumen

Quadratmeter

Kubikmeter

m2

m3

Frequenz Hertz Hz = s-1

Kraft (=MassexBeschleunigung)

Newton N = kg ms-2

Druck (=Kraft/Fläche) Pascal Pa = N m-2 = kg m-1s-2

Energie (=Arbeit=KraftxWeg) Joule J = N m = kg m2s-2

Leistung (Energie/Zeit) Watt W = Js-1 = kg m2 s-3

el. Spannung Volt V = WA-1 = kg m2 s-3 A-1

7

Vielfache und Bruchteile• Für Vielfache der Basis- und abgeleiteten Einheiten

gelten folgende Bezeichnungen:Vielfaches Name Symbol Bruchteil Name Symbol

1012 Tera T 10-1 Dezi d

109 Giga G 10-2 Zenti c

106 Mega M 10-3 Milli m

103 Kilo* k 10-6 Mikro* μ

102 Hekto h 10-9 Nano n

101 Deka da 10-12 Pico p

*ab ±3 schreitet man bei Potenzen in 3er Schritten voran.

8

Erweiterte Einheitenanalyse• Einheiten können auch zum Auffinden physikalischer

Gesetze genutzt werden• Beispiel:

– Wir vermuten, dass die Reibung R (= „negative“ Kraft) eines Körpers im Luftstrom abhängt von der Geschwindigkeit v, der Luftdichte ρL und vom Querschnitt des Körpers Q also

R=f(v, Q, ρL) mit f(y) „Funktion von y“ woraus für die Einheiten

– Wir versuchen den Ansatz R=C∙vk∙Ql∙ρLn mit C dimensionslose

Konstante. Aus [x]=[y] folgt dann

kg m/s²≡kg1 m1 s-2=(m/s)k∙(m²)l∙(kg/m³)n

– Es muss dann gelten:• 1=n siehe Potenz von kg• 1=k+2l-3n siehe Potenz von m• -2=-k siehe Potenz von s

– Es folgt n=1 und l=2, durch Einsetzen dann k=1, womit das Reibungsgesetz lauten könnte: R=C· ρL·Q·v²

9

Meteorologische Variablen• Meteorologische Variablen bezeichnen die

wichtigsten variablen physikalischen Eigenschaften, die ein Luftelement (z.B. 1 m³ Luft) beschreiben (z.B. Temperatur, Druck, Wind, etc.)

• Meteorologische Variable können Skalare (nur ein Wert, z.B. Temperatur) oder Vektoren (drei Werte, z.B. der Wind mit den drei Richtungskomponenten) sein.

• Es gibt auch komplexere Elemente (z.B. Schubspannungstensor) die durch Matrizen (i.a. 3x3 Größen) beschrieben werden müssen.

10

Einige wichtige Elemente

Element Symbol SI-Einheitungefährer

Wert in Bodennähe

Bedeutung

Luftdruck (S) pkg/(ms2)

= Pa101325

Antrieb für die Luftbewegung

Luftdichte (S) kg/m3 1,2 Masse, Trägheit

Lufttemperatur (S) T K 288,15 Wärme-energie

Luftfeuchte (S) verschieden verschieden variabelWolken,

Niederschlag, Energie

Windgeschwindigkeit (V)

u, v, w m/s 0 - 20 Impuls der Luft

Schubspannungs-tensor (T)

τ kg/(ms²) sehr variabel Reibung

Strahlungsflussdichte (S)

F W/m2 0 - 1000 Wärmequelle

11

Übungen zu I.1.1• Überprüfe die Konsistenz folgender Gleichungen in

Bezug auf Art der Variablen und ihre physikalischen Einheiten

• Die Zentrifugalkraft FZ eines Teilchens auf einer Kreisbahn hängt ab von seiner Masse m, seiner Geschwindigkeit v und vom Radius R des beschriebenen Kreises. Zeige mit der Einheitenanalyse, dass gilt:

FZ=C m R-1 v² mit C dimensionslose Konstante

Volumen,konstantem bei zität Wärmekapaespezifisch

eflussdichtStrahlungs

, g,chleunigunSchwerebes mit

(c) (b) (a)

J/(kg K)][c

W/m²[F]

[x][dx]g

dt

dT

cdz

dFg

dz

dpvTp

p

p

1

12

I.1.2 Differential und Integralrechnung• Differentialrechnung

– Allgemeines– Produktregel– Kettenregel– allgemeine Regeln

• Integralrechnung– Allgemeines– partielle Integration– Substitution– allgemeine Regeln

13

Differentialrechnung• Die Ableitung einer Variablen f (z.B. T, Temperatur)

nach einer anderen Variablen x (z.B. t, Zeit), df/dx≡f‘ gibt die Änderung von f an, wenn x um eine Einheit fortschreitet.

• Mit gilt für die physikalische Einheit der

Ableitung [f‘]=[f]/[x]

• Regeln:

xfdxdff

x

0lim'

-sinxf'cosxf ; cos'sin

'ln

ln' ; '

lKettenrege '/))'((

elProduktreg '''

lSummenrege '''

ln

xfxfxfxf

aafeafCbxfCxf

gdzdfxgf

fggffg

gfgf

xaxxbb

1

1

14

Integralrechnung (1)• Mit f=f(x) ist das bestimmte Integral von f über x

zwischen a=x1 und b=x2 die Fläche die von f(x) und der f=0-Linie zwischen a und b eingeschlossen wird. Dabei zählen Flächenanteile unterhalb f=0 als negativ.

• Die Stammfunktion F(x) von f(x) ist eine Umkehrung der Ableitung, und es gilt

ii

ii

ii

b

ax

Δxxxxx

xxxxfdxxfi

Intervall im von Wertein und und zwischen

in Intervalle alle mit )(lim)(

2

0

1

CF(x)f(x)dx oder ' mit

)()()()(

fF

xFaFbFdxxfb

a

b

a

15

Integralrechnung (2)• Regeln

sincos ; cossin

)(

onsregelSubstituti )()('))((

nIntegratio partielle ''

lSummenrege )()()()(

Konstanten mit

)(

)(

b

a

b

a

b

a

b

a

xx

bb

xgy

xgy

x

x

xdxxxdxx

Cedxe

Cxbdxx

dyyfdxxgxgf

(x)g(x)dxff(x)g(x)-(x)dxf(x)g

dxxgdxxfdxxgxf

C, DDCxdxCCdx

11

22

11

2

1

16

Übungen zu I.1.2• Bestimme die Ableitung von

• Bestimme die Stammfunktion von von

3

52

2x

CxBexAxf x ,sin)(

)sin(cossinln)( xxxxxf 2

17

I.1.3 Meteorologische FelderAlle meteorologischen Variablen haben

– an jedem Punkt der Atmosphäre, gegeben durchx Koordinate in Ostrichtung (Richtungseinheitsvektor )y Koordinate in Nordrichtung (Richtungseinheitsvektor )z Koordinate in der Vertikalen (Richtungseinheitsvektor )

– zu jeder Zeit teinen Wert, also z.B.

i

j

k

),,,(

),,,(

),,,(

),,,(),,,(

),,,(

tzyxw

tzyxv

tzyxu

tzyxvtzyxv

w

v

u

vv

tzyxTT

ii

x

z

y

ij

k

18

Vektoren - kartesische Koordinaten

werden.verschoben beliebig

daher können und Aufpunktkeinen z.B. also haben Sie

nichts. sonst -Drehsinn) (oder Richtung und Länge haben Vektoren

nachsenKoordinate der Richtung in ktorenEinheitsve

nachsenKoordinate entlang schnitte Achsenab,,

k, j, i

a zyx

, ,

mit

1

0

0

0

1

0

0

0

1

kji

kajaiaa

a

a

a

a zyxi

z

y

x

a

x

z

y

ij

k

19

Kontinuität → Diskretisierung• Die meisten meteorologischen Variablen, ob

Skalar, Vektor, oder Tensor, sind als kontinuierliche Felder zu betrachten. Meist muss man zur Berechnung diese Felder in Zeit und Raum diskretisieren– bedingt durch eine endliche Anzahl von Messungen, oder– zur Erzeugung von numerischen (Computer-)Modellen.

uvp,

T

w

ρ

yz

x x

y

z

t =t0= const

20

Zeitabhängiges dreidimensionales Wind- und Temperaturfeld als Linien:Stromlinien= verbundene Tangenten an Geschwin-digkeitsvektoren

Juni, 2003,11–19:30 UTGebiet 69 x 69 x 3 km3

um Lindenberg

in Farbe:Temperatur in 200 m Höhe

21

Übungen zu I.1.3• Es herrsche ein SSW-Wind mit 20 km/h und einer

leicht aufsteigenden Komponente von 1 cm/s. Schreibe den Windvektor (Richtung ist durch die Verlagerungsrichtung gegeben) in kartesischen Koordinaten im SI System.

22

I.1.4 Vektor-Operationen und Ableitungen• Skalar-Produkt• Vektor-Produkt• Nabla-Operator • Divergenz• Rotation• Partielle Ableitung• Individuelle Ableitung

23

Vektor-Operationen- Multiplikation mit einem Skalar a -

z

y

x

z

y

x

ii

av

av

av

v

v

v

aavavavva

• Der Vektor bleibt ein Vektor.• Jedes Element des Vektors wird einzeln mit dem Skalar

a multipliziert.• Der Vektor verlängert (oder verkürzt) sich um den

Faktor a.• Konvention: Bei der Multiplikation Skalar – Vektor

benutzen wir (wie bei Skalar – Skalar) keinen Punkt.

24

Vektor-Operationen- Skalar-Produkt (a) -

iii

iiiizzyyxx

z

y

x

z

y

x

vfvfvffvfvfv

f

f

f

v

v

v

vffv

• Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist ein Skalar.• Es wird komponentenweise multipliziert, dann addiert.• Summenkonvention (Summation über mehrfach auftauchenden

Indices)• Es ist maximal bei parallelen Vektoren und verschwindet, wenn diese

aufeinander senkrecht stehen.• Konvention: Das Skalarprodukt wird durch einen Multiplikationspunkt

(·) gekennzeichnet. f

v

cosfvfv

25

Vektor-Operationen- Betrag (Länge) eines Vektors und das Skalar-Produkt (b) -

iiiiizyx vvvvvvv

vvvvvvv

222

cos

26

Vektor-Operationen- Vektor-Produkt -

bbaabababa

baba

baba

baba

baba

babakbabajbabai

bbb

aaa

kji

axbba

xyyx

zxxz

yzzy

ijkkj

kjijkkjijk

xyyxxzzxyzzy

zyx

zyx

, sin ,

sonst) azyklisch, (zyklisch, kj,i, wenn1,-1,0)( mit

)()()(

,

• Das Vektor-Produkt zweier Vektoren ist wieder ein Vektor.• Es verschwindet bei parallelen Vektoren und ist maximal, wenn die beiden

Vektoren senkrecht aufeinander stehen.• Mit den Multiplikatoren (hier Reihenfolge beachten) bildet das Produkt zusammen

ein Rechtssystem (Rechte-Hand-Regel).• Das Vektorprodukt ist der 0-Vektor, wenn die beiden Vektoren parallel sind.• Konvention: Das Vektor-Produkt oder Kreuz-Produkt wird durch ein x

gekennzeichnet.

27

Die räumliche und zeitliche Ableitung meteorogischer Felder• Die Ableitung meteorologischer Felder nach

Raumkoordinaten oder nach der Zeit ist meist wichtiger als die Felder selbst (z.B. Druckgradient).

• Berechnung (Beispiel für Zeitableitung):

t

T

Δt

ΔTt

T

t

T

dt

dTT

t

0lim

28

Partielle Ableitungen• Da meteorologischen Variablen meist von vier

Koordinaten abhängen (x,y,z,t), muss man bei Ableitungen nach einer speziellen Koordinate spezifizieren, was mit den anderen Koordinaten geschieht.

• Hält man alle anderen Koordinaten bei der Ableitung nach einer speziellen Koordinate konstant, so nennt man dies partielle Ableitung, und schreibt ∂ (sprich „del“):

z

T

dz

dT

y

T

dy

dT

x

T

dx

dT

t

T

dt

dT

consttyxconsttzxconsttzy

constzyx

,,,,,,

,,

, ,

Selbstverständlich lässt sich dies auf beliebige Abhängigkeiten verallgemeinern.

29

BezeichnungenÄnderung des Wertes mit der Zeit an einem festen Ort (z. B. Thermometer in einer Wetterstation)

= lokalzeitliche Ableitung= partielle Ableitung nach der Zeit

Änderung des Wertes mit dem Ort entlang einer Raumkoordinatenrichtung (hier x, z.B. annähernd eine Temperaturmessung mit einem sehr schnellen Flugzeug) zu einer festen Zeit

= lokale (räumliche) Ableitung= partielle Ableitung nach einer

Raumrichtung

t

T

x

T

30

Räumlicher Gradient – Nabla Operator= Zusammenfassung der räumlichen Gradienten in Richtung der Raumkoordinatenachsen.

Der räumliche Gradient hat also drei Komponenten, ist also ein Vektor:

Operator-Nabla mit , T

z

y

x

ii

z

y

x

zT

yT

xT

TT

Der räumliche Gradient weist in Richtung der stärksten Zunahme der Größe. Sein Betrag (Länge des Vektors) ist die Größe der Ableitung in Richtung der stärksten Zunahme.Beachte: Es wird beim Gradient kein Punkt hinter dem Nabla geschrieben. Es ist ähnlich der Multiplikation zwischen Skala und Vektor.

31

Räumlicher Gradient – Nabla Operator• Beachte: Nabla ist ein (Vektor-)Operator, d.h.

die Reihenfolge darf hier nicht vertauscht werden!

T i

z

y

x

i

z

y

x

zT

yT

xT

T

T

T

T

TTT

Nabla ist ein (Vektor-)Operator der nach rechts wirkt.Er ergibt nur einen Wert, wenn er links von einem Ausdruck steht. Steht er rechts von einem Ausdruck, so behält er seine Operatorfunktion bei (und „wartet“ auf Anwendung).

32

Divergenz eines Vektorfeldes- Skalar-Produkt des Nabla-Operators mit einem Vektor -

ii

z

y

x

vz

w

y

v

x

u

w

v

u

vdivv

x < 0 > 0 < 0

Die Divergenz quantifiziert das Zusammenströmen (Senke, negativ) und Auseinanderströmen (Quelle, positiv) eines Vektorfeldes.

y t=0

t=t1

33

Beachte die Reihenfolge!

ii

z

y

x

ii

z

y

x

vz

wy

vx

u

w

v

u

v

vz

w

y

v

x

u

w

v

u

vdivv

34

Rotation eines Vektorfeldes- Vektor-Produkt des Nabla-Operators mit einem Vektor -

kjijkzyx

z

y

x

v

y

u

x

vx

w

z

uz

v

y

w

wvu

kji

w

v

u

vrotv

Der Rotationsvektor steht senkrecht auf der Ebene in der sich die Strömung maßgeblich krümmt. Dabei dreht sich die Strömung nach links , wenn man entgegengesetzt zur Richtung des Rotationsvektors schaut.

35

Windgeschwindigkeit= Windvektor= Ortsversatz eines Luftvolumens p (parcel) über die Zeit

pro Zeiteinheit= zeitliche Änderung des Ortsvektors eines Luftvolumens

w

v

u

x

z

y

x

dt

dr

dt

rd

t

rvv i

dt

dzdt

dydt

dx

p

p

p

ti

p

p

p

0

lim

)( tr

)(tr

rtrttr )()(

0

36

Änderung von meteorologischen Elementen in bewegten Systemen (a)• Betrachte die Temperaturänderung an einem mit

Geschwindigkeit vF (F=Fahrrad) in Richtung s bewegten Thermometer mit der Zeit, dFT/dt

• dTF/dt hängt intuitiv ab von– der lokalzeitlichen Temperaturänderung ∂T/∂t

– von der Geschwindigkeit des Fahrrades vF und vom räumlichen Gradienten der Temperatur in Fahrtrichtung sF

– beachte die passenden Einheiten!– überprüfe Gültigkeit an einem Beispiel– erweitere auf Geschwindigkeitsvektor für Fahrrad

FF

F

s

Tv

t

T

dt

dT

37

Änderung von meteorologischen Elementen in bewegten Systemen (b)• Das Fahrrad kann sich in alle Richtungen x, y, z bewegen, d.h.

seine Geschwindigkeit ist ein Vektor• Bewegt sich das Fahrrad in x-Richtung, so wird entsprechend

die gemessene Temperatur durch die Änderung der Temperatur in x-Richtung bestimmt, und analog für die anderen RichtungenWir können also anstatt

schreiben:

FF

F

s

Tv

t

T

dt

dT

Tvt

T

T

z

y

x

w

v

u

t

T

z

Ty

Tx

T

w

v

u

t

T

z

Tw

y

Tv

x

Tu

t

T

dt

Td

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

FF

FF

FF

F

38

Individuelle Ableitung DT/Dt

Meteorologische Definition: Ersetze das Fahrrad durch ein Luftvolumen P, das mit dem Wind bewegt wird, also

Tvt

TT

w

v

u

t

T

t

T

Dt

DT

z

y

x

zT

yT

xT

dt

dzdt

dydt

dx

p

p

p

)(

39

Individuelle Ableitung DT/Dt• Alternative Ableitung: Betrachte die Temperatur eines sich

bewegen-den Luftvolumens. Allgemein hängt die Lufttemperatur von der Zeit und vom Ort des Luftpartikels ab, wobei auch der Ort (gegeben durch seine Koordinaten) von der Zeit abhängt. Dann kann man formal nach der Kettenregel ableiten:

dt

rd

r

T

t

T

dt

tzyxdT

dt

trdT

Dt

DT p

p

pppp

),,,(),(

,...

x

T

x

T

dt

dz

z

T

dt

dy

y

T

dt

dx

x

T

t

T

pw

p

pv

p

pu

p

p

Tvt

TT

w

v

u

t

T

t

T

z

y

x

zT

yT

xT

dt

dzdt

dydt

dx

p

p

p

)(

40

Interpretation DT/Dt

Tv

Dt

DT

t

TTv

t

T

Dt

DT)( , )(

term"Advektions"

Änderungichelokalzeitl

Änderungleindividuel

Die Änderung z.B. der Temperatur eines sich mit dem Wind verfrachteten Luftvolumens lässt sich also formal in zwei Anteile aufspalten:

1. die lokalzeitliche Änderung (z.B. Messung eines feststehenden stationären Thermometers)

2. der sogenannte „Advektionsterm“. Der Name wird verständlich, wenn man die rechte Gleichung nimmt (lokalzeitliche Änderung) und annimmt, dass individuelle Luftteilchen ihre Temperatur nicht ändern (DT/Dt=0). Dann beschreibt der Advektionsterm offensichtlich die lokale Änderung, die durch einen Temperaturgradienten, verfrachtet mit dem Wind (Advektion), erzeugt wird.

41

Übungen zu 1.3 bis 1.4 (1)• Ein kartesisches Koordinatensystem sei festgelegt durch die

Konventionen: x-Richtung zeigt nach Osten, y-Richtung zeigt nach Norden, z-Richtung zeigt nach oben. Wie lautet der Windvektor für einen Südostwind mit 10 m/s Geschwindigkeit und einer aufwärtigen Komponente von 1 cm pro Sekunde?

• Ein Luftvolumen sei zur Zeit t0 am Ort (x,y,z)=(1000,500,2) und nach 10 Minuten am Ort (2500,-1000,3). Schätze den Windvektor ab. Wie groß ist der Betrag der Windgeschwindigkeit? Wo wäre das Partikel nach der gleichen Zeit gewesen, wenn der Betrag der Windgeschwindigkeit 1,5 mal so hoch gewesen wäre bei gleicher Windrichtung?

• Berechne allgemein und für (u,v,w)=(10,sinx,0):

vvvv

vvvvvv

vvvv

, , ,

, ,

, ,

222

42

Übungen zu 1.3 bis 1.4 (2)• Skizziere die Felder, bestimme die lokalzeitlichen und die

individuelle Ableitung der Temperatur und die Divergenz und Rotation der Windfelder.

• Der Wind weht konstant aus Westen mit 5 m/s. In der Luft nimmt bei fest gehaltener Zeit von Südwest nach Nordost die Temperatur um 1 K auf 100 km ab. Die Luft selbst wird durch die Sonne und ander Effekte überall um 1 K pro Stunde erwärmt. Welche Änderung der Lufttem-peratur zeigt ein Thermometer an einem festen Ort pro Stunde an?

• Ein Themometer an einem festen Ort misst eine Temperaturerhöhung um 1 K pro Stunde. Der Wind kommt aus Nord mit 10 m/s. Die Sonne erwärmt die Luft mit 2 K pro Stunde. Offensichtlich nimmt also die Lufttemperatur nach Norden ab. Um wieviel Grad pro 100 km nimmt die Temperatur nach Norden ab?

L

yT

L

x

vL

xv

1015288

0

0

210

0

210

10

, und

sin

b) und sin a)

43

I.2 Meteorologische Grundgleichungen• Physikalische Beziehungen zwischen den

wesentlichen meteorologischen Variablen (Druck, Temperatur, Dichte, Feuchte und Wind) in Form von Gleichungen, die an jedem Ort in der Atmosphäre gelten

• Sogenannter „dynamischer Kern“ der numerischen Simulationsmodelle für die Atmosphäre die in der Meteorologie für die Wetter- und Klimavorhersage genutzt werden

• Die Meteorologischen Grundgleichungen setzen sich i.w. aus vier Erhaltungsgesetzen und der Zustandsgleichung für ideale Gase (Gasgleichung) zusammen.

44

I.2.1 Physikalische GrundlagenVier Erhaltungsgesetze

Impulserhaltung (Newtonsche Axiome: Masse x Beschleunigung = Summe der angreifenden Kräfte)

Gesamtmassenerhaltung: Erhöht sich die Dichte an einem Ort, so muss Masse aus der Umgebung dorthin geflossen sein.

Wassermassenerhaltung: Analog zu 2., jedoch eingeschränkt auf Wasserdampf. Außer zum Ausgleich durch Massenfluss kann es auch zu Phasenumwandlungen kommen

Wärmeenergieerhaltung: Eine Temperaturänderung wird hervorgerufen durch Druckabnahme, Strahlungsumwandlungen und/oder Phasenänderungen des Wasserdampf (Kondensationswärme)

45

Meteorologische Grundgleichungen- 5 (7) Primitive Equations -• 1-3 Bewegungsgleichung (Navier-Stokes Gleichung)• -> Wind (Vektor!=3

Gleichungen)• 4 Kontinuitätsgleichung• -> Luftdichte• 5 Erster Hauptsatz der Wärmelehre• -> Lufttemperatur• 6 Haushaltsgleichung des Wasserdampfes• -> Luftfeuchte, Wolken• 7 Zustandsgleichung der Luft• -> Luftdruck

46

Überblick - Grundgleichungen

zFr

yFr

xFr

fugz

pwv

t

w

dt

dw

fuy

pvv

t

v

dt

dv

fwvx

puv

t

u

dt

du

,

,

,

cos21

)( .3

sin21

)( .2

)cossin(21

)( .1

vvtdt

d

)( 4.

Wvvtdt

dww

ww )( 5.

11

)( 6.

Hcdt

dp

cTv

t

T

dt

dT

pp

TRp L 7.

6 prognostische, nicht-lineare,gekoppelte Diff‘gleichungen

1 diagnostische Gleichung

47

Lösung des Gleichungssystems• Die Grundgleichungen bilden einen Satz von meist

nicht-linearen gekoppelten Differentialgleichungen• Notwendig zur Lösung sind:

– zu einem Zeitpunkt (Anfangswerte) die Kenntnis aller 7 meteorologischen Parameter an jedem Ort im Vorhersagegebiet

– zu jedem Zeitpunkt die Werte der meteorologischen Parameter an allen Rändern des Vorhersagegebietes (auch oben und unten)

• Dann ist eine Vorhersage in die Zukunft möglich (→ Wetter- und Klimavorhersage)

48

I.2.2 Skalenbetrachtungsweise• Grundüberlegungen• Beispiele • Skalendiagramm

49

Grundüberlegungen• Als Skalen bezeichnet man Längen- (L) und Zeitintervalle (T).• Die meisten meteorologischen Phänomene haben für sie ganz typische

Längen- und Zeitskalen im Sinne von Größenordnung (z.B. Wolken, Hurrikane, Zyklonen).

• Beobachtung in der Atmosphäre: Je größer die Längenskala L eines Phänomens, desto größer i.a. die dazugehörige Zeitskala T; also mit L nimmt T zu.

• Die Analyse der Grundgleichungen nach den Skalen von bestimmten Phänomenen wie z. B. einem Tiefdrucksystem (Skalenanalyse = Vergleich der Größenordnung von Termen) isoliert die jeweils dominanten Terme und führt so zu vereinfachten Gleichungen.

• Beispiele, ableitbar aus Bewegungsgleichungen: Geostrophischer Wind: Der Wind in den mittleren Breiten weht

meist parallel zu den Isobaren mit dem tiefen Druck links liegend (auf NH).

Statische Grundgleichung: Die Druckabnahme nach oben ist proportional zum Produkt aus Luftdichte und Schwerebeschleunigung

50

Beispiele• Turbulenz• Staubteufel• Cumuluswolken• Schwerewellen• Tornados• Cumulus congestus• Gewitter• Meso-Zyklone• Tropische Zyklone (Hurrikan, Taifun)• Zyklone der mittleren Beiten• Rossby-Wellen

51

Turbulenz

Lokale Messung

Flugzeugmessung

52

Schwerewellen

53

Staubteufel u.l., Trombe u.r. und Tornado (Großtrombe) o.r.

54

Cumulus congestus

55

Tropische Zyklone

56

Zyklone und Meso-Zykloneim Mittelmeer

57

Rossby-Wellen (Strömung in ca 5 km Höhe)

58

Skalendiagramm

Logarithmische Achsen:

U=L/T → T=L/Ulog T = log L-log ULinien konstanter charakteristischer Geschwindigkeit U sind Geraden mit Steigung 1.

B=U/T=L/T²→T=(L/B)1/2

Log T =1/2 log L - 1/2 log BLinien konstanter Beschleunigung B sind Geraden mit Steigung ½.

1 m/s

10 m/s