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COMSOL Multiphysics Tutorial Chafee-Infante-Equation (1D) Denny Otten Universität Bielefeld Fakultät für Mathematik

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  • COMSOL Multiphysics TutorialChafee-Infante-Equation (1D)

    Denny Otten

    Universitt Bielefeld

    Fakultt fr Mathematik

  • Einleitung (Mathematischer Hintergrund)

    Das Ziel dieses Tutorials ist die Implementierung der rumlich eindimensionalen Chafee-Infante-Gleichungmit Hilfe von COMSOL Multiphysics. Die Namensgebung der Gleichung ist auf die Mathematiker Natha-niel (Nat) L. Chafee und Ettore (Jim) Ferrari Infante zurckzufhren. Wir betrachten das folgendeAnfangs-Randwertproblem

    ut(x, t)u(x, t) = (u(x, t) u3(x, t)) , |x| < 1, t ]0,[

    u(x, t) = 0 , |x| = 1, t [0,[

    u(x, 0) = u0(x) , |x| < 1, t = 0

    Hierbei bezeichnet einen reellen Kontrollparameter, u0 : [1, 1] eine geeignete Anfangsfunktionund u : [1, 1] [0,[ die gesuchte Lsung.

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  • 1 Die Chafee-Infante-Gleichung (1D)

    1. Starte COMSOL Multiphysics.

    1.1 Modell-Navigator

    2. ffne im Modell-Navigator die Registerkarte Neu.

    3. Whle dort die Raumdimension 1D.

    4. Whle im linken Bildteil Anwendungsmodi COMSOL Multiphysics Partielle Diffe-rentialgleichungen (PDGL) PDGL, Allgemeine Form Zeitabhngige Analyse.

    5. Whle unter Abhngige Variablen u, unter Name des Anwendungsmodus g und unter Ele-ment Lagrange-Linear.

    6. Besttige abschlieend auf OK.

    1.2 Konstanten festlegen

    7. Whle in der Menleiste Optionen Konstanten...

    8. Gebe in den Spalten Name, Ausdruck, Wert und Beschreibung die in der folgenden Abbildungenthaltenen Variablen und Werte ein. Die Spalte Wert wird dabei automatisch aus der SpalteAusdruck erzeugt.

    Name Ausdruck Wert Beschreibung

    lam 10.0 10 lambda, Bifurkationsparameter

    9. Besttige abschlieend auf OK.

    1.3 Grundgebiet erzeugen

    10. Whle in der Menleiste Zeichnen Objekt eingeben Linie...

    11. Gebe im Bereich Koordinaten fr x -1 1 ein. Weiter setze Stil auf Polylinie und trage unter NameIntervall_0_2 ein (2 Intervalllnge, 0 Intervallmittelpunkt).

    12. Besttige die Eingaben auf OK.

    13. Klicke abschlieend auf den Button Auf alle Objekte zoomen (rotes Kreuz mit einer Lupe).Alternativ geht dies auch ber Optionen Zoom Auf alle Objekte zoomen.

    1.4 Differentialgleichung definieren

    1.4.1 PDGL, Allgemeine Form (g)

    14. Markiere im Modell-Verzeichnisbaum den Eintrag PDGL, Allgemeine Form (g) durch einenMausklick mit der linken Taste.

    Gebietbedingungen

    15. Whle in der Menleiste Physik Gebietbedingungen (F8)

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  • 1 Die Chafee-Infante-Gleichung (1D)

    16. Whle auf der linken Seite die Registerkarte Gebiete, markiere in der Gebietauswahl das Gebiet1 durch einen Mausklick mit der linken Taste und mache einen Haken bei der Check-Box Aktiv indiesem Bereich.

    17. In der Registerkarte Koeffizienten geben wir die folgenden PDGL-Koeffizienten ein

    Koeffizient Wert/Ausdruck Beschreibung

    -ux FlussvektorF lam*(u-u3) Quelltermea 0 Massenkoeffizientda 1 Dmpfung/Massen-Koeffizient

    18. In der Registerkarte Anfangsbedingung geben wir die folgenden Anfangswerte ein

    u(t0) sin((x+1)pi)ut(t0) 0

    19. In der Registerkarte Element geben wir in der Element-Auswahl unter Vordefinierte Ele-mente Lagrange-Linear ein (insofern wir dies zu Beginn vergessen haben). Die Eigenschaften sha-pe (Formfunktion), gporder (Integrationsordnung), cporder (Nebenbedingungs-Ordnung) undbnd.gporder (Integrationsgrad fr ultraschwachen Term) bleiben dabei unverndert.

    20. In der Registerkarte Schwache Form lassen wir den Inhalt zu Beitrag schwachen Form unver-ndert.

    21. Besttige die Eingabe abschlieend mit OK.

    Randbedingungen

    22. Whle in der Menleiste Physik Randbedingungen (F7)

    23. Whle auf der linken Seite die Registerkarte Rnder, markiere in der Randauswahl alle 2 Rnder:Dazu markiere durch einen Mausklick mit der linken Taste den Rand 1, halte die Shift-Taste gedrcktund markiere erneut durch einen Mausklick mit der linken Taste den 2. Rand.

    24. In der Registerkarte Koeffizienten geben wir unter Randbedingungen Dirichlet-Randbedingungein. Fr die Koeffizienten G (bzw. R) whlen wir den Wert/Ausdruck 0 (bzw. u).

    25. Die Registerkarte Schwache Form bleibt unverndert.

    26. Besttige die Eingabe abschlieend mit OK.

    1.5 Netz-Generierung

    27. Markiere im Modell-Verzeichnisbaum den Modell-Namen Geom1 durch einen Mausklick mitder linken Taste.

    28. Whle in der Menleiste Netz Freie Netzgenerierungsparameter... (F9)

    29. In der Registerkarte Global stellen wir Maximale Elementgre auf 0.1. Der Maximale Skalie-rungsfaktor fr Elementgre wird auf 1 und die Elementvergrerungsrate auf 1.3 gesetzt.

    30. Klicke nun auf den Button Netz generieren und warte bis das Netz erzeugt wurde.

    31. Besttige die Eingabe abschlieend mit OK.

    1.6 Modell lsen

    32. Whle in der Menleiste Lsen Lserparameter... (F11)

    33. Whle auf der linken Seite unter Lser Zeitabhngig und mache darunter einen Haken bei derCheck-Box Plotten whrend des Lsens.

    34. In der Registerkarte Allgemein, die sich auf der rechten Seite befindet, geben wir unter Zeitschritt-steuerung die Zeiten 0:0.01:6, die Relative Genauigkeit 0.001 und die Absolute Genauigkeit0.00010 ein.

    35. Die Registerkarten Zeitschrittsteuerung und Erweitert bleiben in diesem Beispiel unverndert.3

  • 1 Die Chafee-Infante-Gleichung (1D)

    36. Besttige die Eingabe mit OK.

    37. Whle in der Menleiste Lsen Lsermanager...

    38. In der Registerkarte Anfangswert whlen wir unter Anfangswert Anfangsbedingung und unterWerte fr nicht zu lsende Variablen und Linearisierungspunkt Einstellung aus der An-fangsbedingung verwenden.

    39. Besttige die Eingabe abschlieend mit OK.

    40. Whle in der Menleiste Lsen Modell lsen....

    41. Beachte: Falls nachtrglich nderungen am Modell (z.B. nderung der Konstanten, Randbedingun-gen, Gebietbedingungen, u.s.w.) vorgenommen werden, muss das Modell zunchst wieder aktualisiertwerden. Dies erfolgt ber die Menleiste: Lsen Modell aktualisieren. Das Modell muss nunerneut gelst werden.

    1.7 Postprozessing

    42. Whle in der Menleiste Postprozessing Plotparameter... (F12)

    43. In der Registerkarte Allgemein werden Ploteigenschaften (Linie (Lsungsgraph durch eine Liniedarstellen), Min/Max-Markierung (Markierung von Min/Max des Lsungsgraphen) und Geo-metriebegrenzungen (Hervorhebung der Randpunkte)) angezeigt. Beachte: nderungen in denPlotparametern knnen durch einen Klick mit der linken Maustaste auf Zuweisen direkt (d.h. un-mittelbar) angezeigt werden. Unter zu verwendende Lsung auf der rechten Seite knnen wir frLsung zur Zeit einen beliebigen Zeitpunkt auswhlen, zu dem wir den Lsungsgraphen betrachtenwollen. Wir nehmen hier keine weiteren nderungen vor.

    44. In der Registerkarte Linie knnen wir unter Liniendarstellung auswhlen, ob der Funktionsgraphangezeigt werden soll. Unter Hhendaten lsst sich bei Vordefinierte Gren einstellen, ob dieLsung selbst oder eine bestimmte zeitliche (bzw. rumliche) Ableitung geplottet werden soll. ImBereich Linienfarbe lsst sich unter Einheitliche Farbe die Farbe des Funktionsgraphen festlegen.Wir nehmen auch hier keine weiteren nderungen vor.

    45. In der Registerkarte Min/Max knnen wir unter Min/Max-Markierung einstellen, ob das Mini-mum und Maximum der Lsung angezeigt werden sollen. Wir nehmen auch hier keine nderungenvor.

    46. In der Registerkarte Animation erstellen wir nun ohne groen Aufwand ein kleines Movie. Beachte:Diese lassen sich anschlieend auch problemlos (z.B. mit dem movie15-Paket) in Beamer-Vortrgeeinbinden. Unter Animationseinstellungen whlen wir fr den Ausgabe-Typ Film, DateitypAVI, Breite (in Pixeln) 640, Hhe (in Pixeln) 480 und unter Bilder pro Sekunde 20. UnterErweitert whlen wir als Filmqualitt Beste. Besttige die Eingabe abschlieend auf Animationstarten und warte bis die Animation beendet ist. Im Fenster COMSOL-Animation, in dem dieAnimation durchgelaufen ist, lsst sich die Animation durch einen Klick mit der linken Maustasteauf das Diskettensymbol speichern. Das Video wird zum Ende dieses Dokuments prsentiert undlsst sich durch einen Mausklick starten.

    1.8 Ergnzende Einstellungen

    47. Whle in der Menleiste Datei Modelleigenschaften....

    48. In der Registerkarte Allgemein whlen wir fr Modellname Chafee-Infante-1D, fr Autor Vor-name Nachname, fr Firma Universitt Bielefeld, fr Abteilung Fakultt fr Mathematik, das FeldReferenz lassen wir leer und unter URL geben wir http://www.math.uni-bielefeld.de.

    49. In der Registerkarte Beschreibung vermerken wir in der Modellbeschreibung Dieses Modellberechnet die Lsung der eindimensionalen Chafee-Infante-Gleichung im Intervall zwischen -1 und1.

    50. In der Registerkarte Bemerkung fhren wir unter Ergebnisbeschreibung auf Die Lsungenkonvergieren allesamt fr t gegen unendlich...

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  • 1 Die Chafee-Infante-Gleichung (1D)

    51. Die Registerkarte Info wird von COMSOL automatisch ausgefllt.

    52. Besttige die Eingabe mit OK.

    53. Zuletzt werden wir das Modell speichern. Dazu whle in der Menleiste Datei Speichern un-ter....

    54. Wechsle im Fenster Speichern unter in das gewnschte Verzeichnis und gebe den DateinamenChafee-Infante-1D.mph ein.

    55. Besttige die Eingabe mit Speichern und beende COMSOL Multiphysics.

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    Chafee-Infante-1D.aviMedia File (video/avi)

    Einleitung (Mathematischer Hintergrund)1 Die Chafee-Infante-Gleichung (1D)1.1 Modell-Navigator1.2 Konstanten festlegen1.3 Grundgebiet erzeugen1.4 Differentialgleichung definieren1.4.1 PDGL, Allgemeine Form (g)

    1.5 Netz-Generierung1.6 Modell lsen1.7 Postprozessing1.8 Ergnzende Einstellungen