D Mathematik ist schön - mi.fu-berlin.de · konkrete Probleme des All-tags zu lösen. So hat...
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28 WISSEN & CAMPUS Frankfurter Rundschau Dienstag, 19. Mai 2015 71. Jahrgang Nr. 114 D ie Faszination für mathema- tisches Denken ist in uns Menschen angelegt. Als Kultur- technik reicht sie zurück bis in uralte Gesellschaften. Mathema- tik ist auch sehr nützlich, aus un- serem Alltag ist sie nicht mehr wegzudenken: Die gesamte Com- putertechnologie basiert auf ma- thematischen Methoden – kein Handy, kein Auto, keine Wasch- maschine kommt ohne sie aus. Mathematiker sind in der Regel Analytiker, die komplizierte Pro- bleme knacken – ganz anders als Künstler, denen es nicht um den Alltags- nutzen ihrer Werke geht. Doch immer wieder haben sich Künstler Anregungen in der Mathema- tik geholt, wie etwa Leonar- do da Vinci, Albrecht Dü- rer oder M.C. Escher. Ganz neue Möglich- keiten zu Vi- sualisierung eröffnet heute der Computer. Konrad Pol- thier, Mathematik- Professor an der Freien Universität Berlin, erklärt: „Früher ging es bei der Mathema- tik immer darum, ganz konkrete Probleme des All- tags zu lösen. So hat Archime- des die Flugbahnen von Kanonen- kugeln berechnet, und der große Mathematiker Carl Friedrich Gauß hat im 19. Jahrhundert das Königreich Hannover vermes- sen.“ Zu Beginn des 20. Jahrhun- derts hätten sich die Mathemati- ker dann auf fundamentale ma- thematische Theorien besonnen. Sie machten sich bewusst von der Anschauung frei, und leite- ten die ganze mathematische Theorie aus einigen wenigen defi- nierten Axiomen her. Nur so konnten sie sicher sein, dass das Gedankengebäude keine Lücken hat und es ohne Begründungen wie „das sieht man doch“ aus- kommt. Die Anschauung kann ei- nen nämlich auch ganz schnell zu falschen Schlüssen verleiten. Diese sehr theorielastige Sicht- weise der Mathematik wurde auch in den Schulen übernom- men. Waren vorher noch an- schauliche Gipsmodelle gang und gäbe, verstaubten diese nun in den Vitrinen. Doch gab es immer einen gewissen Anteil von Schüle- rinnen und Schülern, die sich für das logische Denken begeisterten. „Eigentlich lernt man schon in der Schule eine ganze Menge ma- thematisches Handwerkszeug“, meint Polthier. „Aber es fehlt oft der letzte Schritt, bei dem die Schüler sehen, was man damit anfangen kann.“ Konrad Polthier hat das abstrakte mathematische Denken zwar immer großen Spaß gemacht, aber ihm lag auch das Visuelle, im Nebenfach studierte er Computergraphik. Um diese beiden Neigungen zu verbinden, ging er schon in den 1980er Jah- ren in die Mathematik-Bibliothek und suchte in den Büchern nach Abbildungen mit der Frage: Was sind die Formen der Mathematik? Ernüchtert stellte er fest: Selbst Geometrie-Bücher bestanden fast nur aus Text und Formeln, nur sporadisch gab es mal eine Sche- ma-Zeichnung. Sehr früh hat Pol- thier daher Computeranimatio- nen erstellt: „Von den Formen, die ich in Gedanken sah, konnte ich nun auch Bilder machen – aber umgekehrt konnte ich aus den Grafiken etwas lernen und kam zu neu- en Resultaten, die meine For- schung weiterbrachten.“ Anfang der 1980er Jahre waren diese Computergrafiken noch neu, und sie stießen nicht überall auf Be- geisterung. Viele angestammte Mathematiker waren der Mei- nung, damit lenke man sich nur ab. „Dabei machten wir es nicht der Ästhetik wegen“, betont Pol- thier. „Wir wollten in erster Linie mathematische Inhalte transpor- tieren.“ Gemeinsam mit seinem Kolle- gen Georg Glaeser, Mathematik- Professor an der Universität für angewandte Kunst in Wien, hat er das Buch „Bilder der Mathema- tik“ veröffentlicht. Auf jeder Dop- pelseite gibt es eine zentrale ma- thematische Visualisierung, die dem Leser ein bedeutendes ma- thematisches Thema anschaulich vor- stellt und ihn in seinen Bann zieht. „Wir wollten damit den glei- chen Effekt erreichen wie die Bilder von Escher.“ Wer zum Beispiel dessen Bild von der Treppe sehe, die immer nur nach oben führt, fange sofort an zu analysieren – ganz ohne dazu aufgefordert zu werden. Wer es genauer wissen will, findet Litera- turangaben und Internetlinks zum Vertie- fen. Nicht nur anse- hen, sondern mathematische Ornamente selbst zeichnen können die Nutzer der App „iOrna- ment“. Jürgen Richter-Gebert von der Technischen Universität München trieb schon lange die Frage um, wie sich Mathematik vermitteln lässt, so dass es Spaß macht. Mit „iOrnament“ hat er wahre Begeisterungsstürme aus- gelöst. Auf der ganzen Welt kreie- ren Menschen damit wunder- schöne Bilder. Hinter den Mus- tern steckt eine starke mathema- tische Struktur, die auf Drehun- gen, Spiegelungen und Verschie- bungen beruht. Schon durch ein- faches Darauf-Loskritzeln können faszinierende Ornamente entste- hen. Will man jedoch ein Kunst- werk zielgerichtet gestalten, muss man die Symmetrieregeln dahin- ter durchschauen – dann wird Mathematik zum kreativen Pro- zess. Jürgen Richert-Gebert sagt: „Ich war erstaunt, wer alles unse- re App nutzt – vom dreijährigen Kind über den Professor, der die Ornamente für die Lehre nutzt, bis hin zu Künstlern.“ Begeisterte Nutzer haben Richter-Gebert immer wieder ihre schönsten Werke zugesandt. Um diese zu teilen, hat der Mathema- tiker die Ornamente der Öffent- lichkeit in einer digitalen Orna- mente-Weltausstellung zu- gänglich gemacht. „Beson- ders überrascht war ich, dass man vielen Bildern den kulturellen Hinter- grund ansehen kann. Das gilt besonders für Ornamente aus exoti- schen Kulturkreisen, in denen Traditionen im Alltag noch eine größere Rolle spie- len als bei uns, wie zum Beispiel Mexiko oder Korea.“ Mathe ist schön – gilt das nur für die Bilder der Mathe- matik oder auch für die Mathematik selbst, mit ihrer abs- trakten Formelspra- che? Der Direktor des Bonner Max- Planck-Instituts für Mathematik, Don Za- gier, merkt an: „Die Mathematiker benut- zen Wörter wie schön und elegant sogar häufi- ger als wissenschaftliche Begriffe wie überzeugend und korrekt. Und, was noch interessanter ist: Dieses Gefühl für mathematische Schönheit stellt sich sehr häufig als der si- cherste Führer bei der Wahl des besten Weges durch das Laby- rinth der Mathematik heraus, als eine Art Ariadnefaden.“ Warum können das so viele Menschen nicht nachempfinden? Don Za- gier meint, dass die meisten Men- schen nie echte Mathematik gese- hen haben. Das zeigt vielleicht folgende Geschichte von Carl Friedrich Gauß, von dem oben schon die Rede war: Als neunjäh- riger Schüler bekam er die Aufga- be, die Zahlen von 1 bis 100 zu addieren. Eine lästige Fleißaufga- be, die keinerlei Schönheit der Mathematik erahnen lässt. Der kleine Carl Friedrich ließ aber schon damals sein Genie aufblit- zen. Er schrieb die Zahlen von 1 bis 100 in eine Reihe, in der Reihe darunter schrieb er sie in umge- kehrter Reihenfolge von 100 bis 1. Nun addierte er jeweils die bei- den untereinander stehenden Zahlen, also 1+100=101, 2+99=101, 3+98=101, usw. bis 100+1=101. Er hatte 100 Mal die Summe 101 erhalten, und da er die Reihe doppelt aufaddiert hatte, musste er das Ergebnis nur noch halbieren. Die Lösung ist so schön und elegant, dass sie sich ganz einfach verallgemeinern lässt: Ist n eine beliebige natürli- che Zahl, so ist die Summe von 1 bis n gleich n x (n+1)/2. Das ist doch eine schöne Lösung – finden Sie nicht? Reise ins Reich der Formen: die Spiralflächen des Wiener Geometrie- und Mathematikprofessors Georg Glaeser. G.GLAESER Mathematik ist schön Zwei Hochschullehrer visualisieren das Fach – und lassen es so besser begreifbar werden / Von Gesine Wiemer PRIMZAHLEN Unendlich viele Primzahlen gibt es. Das lernt jeder in der Schule. Aber wie beweist man das? Es kann doch sein, dass es irgendwo ab Hunderttrillionen- trillarden plötzlich keine Primzahlen mehr gibt? Ein wirklich schöner Beweis geht auf Euklid zurück: Wir nehmen an, es gäbe nur endlich viele Prim- zahlen, sagen wir n Stück, diese benennen wir als p1, p2, p3, … pn. Diese n Primzahlen multiplizieren wir miteinander und addieren eine 1, also p1 x p2 x p3 x … x pn+1 und nennen diese Zahl z. Die Zahl z lässt sich durch keine der Primzahlen p1 bis pn teilen. Das hieße aber, dass z selbst eine Primzahl ist. Und das ist ein Wider- spruch zu unserer Annahme, dass es nur die Primzahlen p1 bis pn gibt. Dieser Trick wird bei vielen mathe- matischen Beweisen angewendet: Wenn man etwas nicht direkt zeigen kann, nimmt man einfach das Gegen- teil an und beweist, dass dies nicht möglich ist. Manchmal sind so auf den ersten Blick komplizierte Probleme ganz einfach zu lösen. Fundgrube für schöne Mathematik: Georg Glaeser, Konrad Polthier: Bilder der Mathematik. – 2. Auflage in voll- ständig überarbeiteter Softcover-Ver- sion, Heidelberg 2014. http://www.bilder-der-mathematik.de / (mit freien Downloads) iOrnament – App erhältlich im Apple App Store. Ornamente-Weltausstellung: http://www.science-to-touch.com/
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28 WISSEN & CAMPUS Frankfurter Rundschau Dienstag, 19. Mai 2015 71. Jahrgang Nr. 114
Die Faszination für mathema-tisches Denken ist in uns
Menschen angelegt. Als Kultur-technik reicht sie zurück bis inuralte Gesellschaften. Mathema-tik ist auch sehr nützlich, aus un-serem Alltag ist sie nicht mehrwegzudenken: Die gesamte Com-putertechnologie basiert auf ma-thematischen Methoden – keinHandy, kein Auto, keine Wasch-maschine kommt ohne sie aus.Mathematiker sind in der RegelAnalytiker, die komplizierte Pro-bleme knacken – ganz andersals Künstler, denen esnicht um den Alltags-nutzen ihrer Werkegeht. Doch immerwieder habensich KünstlerAnregungen inder Mathema-tik geholt, wieetwa Leonar-do da Vinci,Albrecht Dü-rer oder M.C.Escher. Ganzneue Möglich-keiten zu Vi-sualisierungeröffnet heuteder Computer.
Konrad Pol-thier, Mathematik-Professor an derFreien UniversitätBerlin, erklärt: „Früherging es bei der Mathema-tik immer darum, ganzkonkrete Probleme des All-tags zu lösen. So hat Archime-des die Flugbahnen von Kanonen-kugeln berechnet, und der großeMathematiker Carl FriedrichGauß hat im 19. Jahrhundert dasKönigreich Hannover vermes-sen.“ Zu Beginn des 20. Jahrhun-derts hätten sich die Mathemati-ker dann auf fundamentale ma-thematische Theorien besonnen.Sie machten sich bewusst vonder Anschauung frei, und leite-ten die ganze mathematischeTheorie aus einigen wenigen defi-nierten Axiomen her. Nur sokonnten sie sicher sein, dass dasGedankengebäude keine Lückenhat und es ohne Begründungenwie „das sieht man doch“ aus-kommt. Die Anschauung kann ei-nen nämlich auch ganz schnell zufalschen Schlüssen verleiten.
Diese sehr theorielastige Sicht-weise der Mathematik wurdeauch in den Schulen übernom-men. Waren vorher noch an-schauliche Gipsmodelle gang undgäbe, verstaubten diese nun inden Vitrinen. Doch gab es immereinen gewissen Anteil von Schüle-rinnen und Schülern, die sich fürdas logische Denken begeisterten.„Eigentlich lernt man schon inder Schule eine ganze Menge ma-thematisches Handwerkszeug“,meint Polthier. „Aber es fehlt oftder letzte Schritt, bei dem dieSchüler sehen, was man damitanfangen kann.“ Konrad Polthierhat das abstrakte mathematischeDenken zwar immer großen Spaßgemacht, aber ihm lag auch dasVisuelle, im Nebenfach studierteer Computergraphik. Um diesebeiden Neigungen zu verbinden,ging er schon in den 1980er Jah-ren in die Mathematik-Bibliothekund suchte in den Büchern nachAbbildungen mit der Frage: Wassind die Formen der Mathematik?Ernüchtert stellte er fest: SelbstGeometrie-Bücher bestanden fastnur aus Text und Formeln, nursporadisch gab es mal eine Sche-ma-Zeichnung. Sehr früh hat Pol-thier daher Computeranimatio-nen erstellt: „Von den Formen,
die ich in Gedanken sah,konnte ich nun auch Bildermachen – aber umgekehrtkonnte ich aus den Grafikenetwas lernen und kam zu neu-en Resultaten, die meine For-schung weiterbrachten.“ Anfangder 1980er Jahre waren dieseComputergrafiken noch neu, undsie stießen nicht überall auf Be-geisterung. Viele angestammteMathematiker waren der Mei-nung, damit lenke man sich nurab. „Dabei machten wir es nichtder Ästhetik wegen“, betont Pol-thier. „Wir wollten in erster Liniemathematische Inhalte transpor-tieren.“
Gemeinsam mit seinem Kolle-gen Georg Glaeser, Mathematik-Professor an der Universität fürangewandte Kunst in Wien, hat erdas Buch „Bilder der Mathema-tik“ veröffentlicht. Auf jeder Dop-pelseite gibt es eine zentrale ma-thematische Visualisierung, diedem Leser ein bedeutendes ma-thematisches Thema anschaulich
vor-stelltund ihnin seinenBann zieht.„Wir wolltendamit den glei-chen Effekt erreichenwie die Bilder von Escher.“ Werzum Beispiel dessen Bild von derTreppe sehe, die immer nur nachoben führt, fange sofort an zuanalysieren – ganz ohne dazuaufgefordert zu werden. Wer esgenauer wissen will, findet Litera-turangaben und Internetlinks
zumVertie-
fen.Nicht
nur anse-hen, sondern
mathematischeOrnamente selbst
zeichnen können dieNutzer der App „iOrna-
ment“. Jürgen Richter-Gebertvon der Technischen UniversitätMünchen trieb schon lange dieFrage um, wie sich Mathematikvermitteln lässt, so dass es Spaßmacht. Mit „iOrnament“ hat erwahre Begeisterungsstürme aus-gelöst. Auf der ganzen Welt kreie-ren Menschen damit wunder-
schöne Bilder. Hinter den Mus-tern steckt eine starke mathema-tische Struktur, die auf Drehun-gen, Spiegelungen und Verschie-bungen beruht. Schon durch ein-faches Darauf-Loskritzeln könnenfaszinierende Ornamente entste-hen. Will man jedoch ein Kunst-werk zielgerichtet gestalten, mussman die Symmetrieregeln dahin-ter durchschauen – dann wirdMathematik zum kreativen Pro-zess. Jürgen Richert-Gebert sagt:„Ich war erstaunt, wer alles unse-re App nutzt – vom dreijährigenKind über den Professor, der dieOrnamente für die Lehre nutzt,bis hin zu Künstlern.“
Begeisterte Nutzer habenRichter-Gebert immer wieder ihreschönsten Werke zugesandt. Umdiese zu teilen, hat der Mathema-tiker die Ornamente der Öffent-
lichkeit in einer digitalen Orna-mente-Weltausstellung zu-gänglich gemacht. „Beson-
ders überrascht war ich,dass man vielen Bildern
den kulturellen Hinter-grund ansehen kann.
Das gilt besonders fürOrnamente aus exoti-schen Kulturkreisen,
in denen Traditionenim Alltag noch einegrößere Rolle spie-len als bei uns, wiezum Beispiel Mexikooder Korea.“
Mathe ist schön –gilt das nur für dieBilder der Mathe-matik oder auch fürdie Mathematikselbst, mit ihrer abs-trakten Formelspra-
che? Der Direktordes Bonner Max-Planck-Instituts für
Mathematik, Don Za-gier, merkt an: „DieMathematiker benut-
zen Wörter wie schönund elegant sogar häufi-
ger als wissenschaftlicheBegriffe wie überzeugend
und korrekt. Und, was nochinteressanter ist: Dieses Gefühlfür mathematische Schönheit
stellt sich sehr häufig als der si-cherste Führer bei der Wahl desbesten Weges durch das Laby-rinth der Mathematik heraus, alseine Art Ariadnefaden.“ Warumkönnen das so viele Menschennicht nachempfinden? Don Za-gier meint, dass die meisten Men-schen nie echte Mathematik gese-hen haben. Das zeigt vielleichtfolgende Geschichte von CarlFriedrich Gauß, von dem obenschon die Rede war: Als neunjäh-riger Schüler bekam er die Aufga-be, die Zahlen von 1 bis 100 zuaddieren. Eine lästige Fleißaufga-be, die keinerlei Schönheit derMathematik erahnen lässt. Derkleine Carl Friedrich ließ aberschon damals sein Genie aufblit-zen. Er schrieb die Zahlen von 1bis 100 in eine Reihe, in der Reihedarunter schrieb er sie in umge-kehrter Reihenfolge von 100 bis1. Nun addierte er jeweils die bei-den untereinander stehendenZahlen, also 1+100=101,2+99=101, 3+98=101, usw. bis100+1=101. Er hatte 100 Maldie Summe 101 erhalten, und daer die Reihe doppelt aufaddierthatte, musste er das Ergebnis nurnoch halbieren. Die Lösung ist soschön und elegant, dass sie sichganz einfach verallgemeinernlässt: Ist n eine beliebige natürli-che Zahl, so ist die Summe von 1bis n gleich n x (n+1)/2. Das istdoch eine schöne Lösung – findenSie nicht?
Reise ins Reich derFormen: die Spiralflächen
des Wiener Geometrie-und MathematikprofessorsGeorg Glaeser. G.GLAESER
Mathematik ist schönZwei Hochschullehrer visualisieren das Fach – und lassen es so
besser begreifbar werden / Von Gesine Wiemer
PRIMZAHLENUnendlich viele Primzahlen gibt es.Das lernt jeder in der Schule. Aber wiebeweist man das? Es kann doch sein,dass es irgendwo ab Hunderttrillionen-trillarden plötzlich keine Primzahlenmehr gibt? Ein wirklich schöner Beweisgeht auf Euklid zurück: Wir nehmenan, es gäbe nur endlich viele Prim-zahlen, sagen wir n Stück, diesebenennen wir als p1, p2, p3, … pn.Diese n Primzahlen multiplizieren wirmiteinander und addieren eine 1, alsop1 x p2 x p3 x … x pn+1 und nennen
diese Zahl z. Die Zahl z lässt sich durchkeine der Primzahlen p1 bis pn teilen.Das hieße aber, dass z selbst einePrimzahl ist. Und das ist ein Wider-spruch zu unserer Annahme, dass esnur die Primzahlen p1 bis pn gibt.
Dieser Trick wird bei vielen mathe-matischen Beweisen angewendet:Wenn man etwas nicht direkt zeigenkann, nimmt man einfach das Gegen-teil an und beweist, dass dies nichtmöglich ist. Manchmal sind so auf den
ersten Blick komplizierte Probleme ganzeinfach zu lösen.
Fundgrube für schöne Mathematik:Georg Glaeser, Konrad Polthier: Bilderder Mathematik. – 2. Auflage in voll-ständig überarbeiteter Softcover-Ver-sion, Heidelberg 2014.http://www.bilder-der-mathematik.de/ (mit freien Downloads) iOrnament –App erhältlich im Apple App Store.Ornamente-Weltausstellung:http://www.science-to-touch.com/
