D S V - dnt.kr.hsnr.dednt.kr.hsnr.de/DSV17/dsv_v6.pdf · 1. Signalwandlung Abbildung1.2.:Analoges...

D S V

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Digitale SignalverarbeitungHans-Günter Hirsch (Autor)Frank Kremer (Editor)

Version und Änderung

Version Datum Änderung

1 21.10.2014 Erstellen der Vorlage, Inhalte der Kapitel Einleitungund Signalwandlung

2 24.11.2014 Kapitel Faltung3 03.12.2014 Kapitel Korrelation4 25.02.2015 Kapitel Signale und Systeme im Frequenzbereich

Neues Unterkapitel Unterabtastung vonBandpasssignalen im Kapitel Signalwandlung

Fehlerkorrektur in Abbildung 2.14Kapitel Filter

5 09.09.2015 Redaktionelle ÄnderungenFehlerkorrektur in Abbildung 2.10

6 17.01.2017 Fehlerkorrekturen

H.G. Hirsch 3 Digitale Signalverarbeitung

Inhaltsverzeichnis

Einleitung 7

1. Signalwandlung 101.1. Abtastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2. Unterabtastung von Bandpasssignalen . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3. Abtastratenwandlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4. Quantisierung und Codierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.5. Rekonstruktion des analogen Signals (Digital-/Analogumsetzung) . . 371.6. Nichtlineare Quantisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2. Diskrete Faltung zur Beschreibung digitaler Systeme im Zeitbereich 502.1. Lineare, zeitinvariante (LTI) Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.2. Herleitung des Faltungsintegrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.3. Herleitung der diskreten Faltung aus dem Faltungsintegral . . . . . . 552.4. Die diskrete Faltung zur Beschreibung der additiven Überlagerung

der Reaktionen auf eine Impulsfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.5. Graphische Vorgehensweise zur Bestimmung der Faltungssumme . . . 592.6. Faltungsalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.7. Impulsantwort des idealen Tiefpasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.8. Zweidimensionale Faltung zur Verarbeitung digitalisierter Bilder . . . 66

3. Korrelationsanalyse 793.1. Herleitung der Kreuz- und Autokorrelationsfunktion . . . . . . . . . . 793.2. Eigenschaften von AKF und KKF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.3. Anwendungbeispiel einer Korrelationsanalyse . . . . . . . . . . . . . . 853.4. Die Darstellung der Korrelationsanalyse als Faltung . . . . . . . . . . 873.5. Das Leistungsdichtespektrum als Fourier-Transformierte der AKF . . 883.6. Die zweidimensionale Kreuzkorrelationsfunktion . . . . . . . . . . . . 903.7. Signale mit speziellen Korrelationseigenschaften . . . . . . . . . . . . 91


Inhaltsverzeichnis

4. Signale und Systeme im Frequenzbereich 1004.1. Einführung der diskreten Fourier-Transformation (DFT) . . . . . . . 1014.2. Eigenschaften der Diskreten Fourier Transformation . . . . . . . . . . 1054.3. Theoreme der DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.4. Anwendung der Theoreme der Fourier Transformation zur Bestim-

mung der Spektren von Cosinus und Sinus . . . . . . . . . . . . . . . 1114.5. Analyse von Signalen im Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.6. Beschreibung von Signalverarbeitungssystemen im Frequenzbereich . 1234.7. Diskrete Cosinus Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

5. Digitale Filter 1415.1. Digitales Filter als schaltungstechnische Realisierung einer Impulsant-

wort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.2. Z Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475.3. FIR Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1505.4. IIR Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1535.5. Realisierungsaspekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615.6. Spezielle Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1635.7. Filterentwurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

Abbildungsverzeichnis 169

Index 174


Einleitung

In allen Bereichen der Elektrotechnik ist die Erfassung und Verarbeitung physi-kalischer Messgrößen eine notwendige und unumgängliche Aufgabenstellung zumAufbau signalverarbeitender Systeme, z.B. von Mess- und Steuerungssystemen inder Automatisierungstechnik oder Übertragungssystemen in der Kommunikations-technik. Da die Verarbeitung heutzutage nahezu ausschließlich mit Digitalrechnernerfolgt, werden die physikalischen Messgrößen als zeitdiskrete Signale mit einer digi-talen Darstellung jedes Messwerts erfasst. Typische Messgrößen sind der Schalldruckzur Erfassung akustischer Signale, die Helligkeits- und Farbintensität zur Erfassungvon Bildinformationen, die mechanische Position oder die mechanische Verände-rung der Teilkomponenten einer Maschine zur Erfassung des Arbeitszustands derMaschine, die Lufttemperatur und der Luftdruck als mögliche Einflussgrößen beieinem Herstellungsprozess, das Gewicht und der Dampfdruck zur Bestimmung derchemischen Zusammensetzung eines Gases. Zur Erfassung der jeweiligen Messgrößeund ihrer Umsetzung in ein elektrisches Signal benötigt man entsprechende Kom-ponenten, die man in der Automatisierungstechnik auch als „Sensoren“ bezeichnet.Zwei Beispiele für Sensoren sind das Mikrofon zur Erfassung der Veränderung desSchalldrucks oder ein Dehnungsmessstreifen zur Erfassung einer Längenänderung.Die in den Sensoren erzeugten Spannungen nehmen häufig nur recht kleine Wer-te an. Daher setzt man meist einen Vorverstärker zur Erzielung größerer und fürdie Erfassung besser geeigneter Spannungspegel ein. Wie im nachfolgenden Kapitelgezeigt wird, benötigt man im Weiteren zur korrekten Bestimmung der zeitdiskre-ten Messwerte des digitalen Signals ein Tiefpassfilter. Aus dem tiefpassgefiltertenSignal, das noch ein analoges Signal ist, wird mit einem Analog-/Digitalumsetzer(ADU) das digitale Signal erzeugt. Nach der Verarbeitung und/oder Übertragungdes digitalen Signals besteht bei einigen Aufgabenstellungen die Notwendigkeit, ausden zeitdiskreten Werten des digitalen Signals wieder ein kontinuierliches, analogesSignal zur erzeugen. Ein Beispiel ist die Übertragung eines Sprachsignals über einenMobilfunkkanal, wobei man auf der Empfängerseite das Signal wieder als akustischesSignal hörbar machen möchte. Dazu benötigt man die Hintereinanderschaltung eines


Digital-/Analogumsetzers (DAU), eines Tiefpassfilters, in vielen Fällen eines End-verstärkers und einer Komponente zur Umwandlung des elektrischen Signals und zurErzeugung der gewünschten physikalischen Ausgangsgröße. Für diese Wandlerkom-ponenten wird in der Automatisierungstechnik der Begriff „Aktor“ als Gegenstückzum „Sensor“ verwendet. Bei dem Beispiel der Telefonübertragung fungiert ein Laut-sprecher als „Aktor“ zur Generierung des Luftschalls. Im Allgemeinen lässt sich dieVerarbeitungskette zur Erfassung der physikalischen Eingangsgröße, zur Erzeugungund Verarbeitung des digitalen Signals und die erneute Rekonstruktion eines analo-gen Signals und letztlich der physikalischen Ausgangsgröße durch das in Abbildung0.1 dargestellte Blockschaltbild beschreiben.

Sensor A/DSignal-

verarbeitungD/A Aktor

Abbildung 0.1.: Struktur eines Signalverarbeitungssystems

In diesem Skript werden zunächst die Vorgehensweise zur Wandlung eines analogenSignals in ein digitales Signal sowie die umgekehrte Erzeugung eines analogen Si-gnals aus einem digitalen vorgestellt. Es werden die besonderen Eigenschaften desdigitalen Signals im Zeit- und Frequenzbereich erläutert, mit deren Kenntnis manbeispielsweise auch den Verarbeitungsschritt einer Abtastratenwandlung verständ-lich und nachvollziehbar darstellen kann. In dem darauf folgenden Kapitel wird diediskrete Faltung eingeführt, mit deren Hilfe man die Wirkungsweise eines Signal-verarbeitungssystems im Zeitbereich beschreiben kann. Mit Hilfe der Faltung lässtsich bei Kenntnis der Impulsantwort des Verarbeitungssystems das zeitdiskrete Aus-gangssignal für jedes beliebige Eingangssignal bestimmen. Es werden die eindimen-sionale Faltung und deren Anwendung zur Verarbeitung einer zeitlichen Folge vonAbtastwerten sowie die zweidimensionale Faltung, die man zur Verarbeitung vonBildsignalen verwendet, vorgestellt. Ein Bild wird dazu als eine zweidimensionaleAnordnung der diskreten Helligkeits- oder Farbintensitäten von Bildpunkten be-schrieben. Im Anschluss wird die Korrelationsanalyse eingeführt, mit der man einMaß für die Ähnlichkeit zweier Signale bestimmen kann. Es wird erläutert, wel-che Korrelationseigenschaften ein Signal besitzen sollte, damit man es beispielsweisenach der Übertragung über einen gestörten Kanal gut wieder erkennen kann. Die-se Wiedererkennung kann man beispielsweise bei einem Radarsignal dazu benut-zen, die Laufzeit eines Signals zu bestimmen und daraus auf die Entfernung einesObjekts zu schließen. Es werden Folgen von Abtastwerten vorgestellt, die die ge-


forderten Korrelationseigenschaften besitzen. Ihre Anwendung zur Bestimmung derImpulsantwort von Systemen wird dargestellt. Das Verhalten vieler Signalverarbei-tungssysteme lässt sich einfacher und anschaulicher im Frequenzbereich darstellen.Dazu wird im anschließenden Kapitel die Behandlung von Verarbeitungsblöckenim Frequenzbereich eingeführt. Die Diskrete Fourier Transformation (DFT) ist derzentrale Algorithmus, um aus einer Folge zeitdiskreter Abtastwerte ein ebenfallsdiskretes Frequenzspektrum zu bestimmen. Nach einer Herleitung der DFT als dieFourier Transformation einer endlichen Anzahl von Abtastwerten werden die darausresultierenden Eigenschaften der DFT erläutert. Insbesondere der „Leckeffekt“ derDFT wird dargestellt. Für das Beispiel eines idealen Tiefpasses werden die Theoremeder Fourier Transformation dazu genutzt, die zugehörige Impulsantwort des idealenTiefpasses zu bestimmen und den Effekt einer zeitlichen Beschränkung der Impul-santwort zu erläutern. Es wird damit ein Verfahren vorgestellt, um die Impulsantworteines beliebigen Tiefpass-, Hochpass oder Bandpassfilters sowie die zugehörige Fre-quenzcharakteristik zu bestimmen. Im abschließenden Kapitel werden die digitalenFilter und ihre Behandlung mit Hilfe der Z-Transformation vorgestellt. Die Diffe-renzierung von Filtern mit einer zeitlich begrenzten Impulsantwort (FIR) und einerzeitlich nicht begrenzten Impulsantwort (IIR) wird vorgenommen. Die Möglichkeiteiner Adaption der Filterkoeffizienten wird aufgezeigt, die sich bei bestimmten Auf-gabenstellungen wie einer Stör- oder Echokompensation im Fall von Signalen, dieihre Eigenschaften in Abhängigkeit der Zeit verändern, notwendig wird.


1. Signalwandlung

In Systemen zur Erfassung und Verarbeitung von Informationen werden diese Infor-mationen heutzutage als digitale Signale benötigt und dargestellt. Da die Informa-tionen meist mittels eines Sensors, z.B. eines Mikrofons oder eines CCD-Elementsbei einer Kamera oder eines Messwertaufnehmers an einer Maschine, als analoge,elektrische Signale erfasst werden, ist eine Umwandlung des analogen Signals inein digitales Signal erforderlich. Dabei wird das analoge Signal, das ein zeit- undwertekontinuierliches Signal darstellt, in ein zeit- und wertediskretes Signal gewan-delt. Nachfolgend werden die dazu notwendigen Arbeitsschritte zur Abtastung einesanalogen Signalverlaufs, zur Quantisierung der Abtastwerte und zur Codierung derquantisierten Abtastwerte als Dualzahl erläutert. Diese Vorgehensweise bezeichnetman als Puls-Code-Modulation (PCM). Nach der Einführung der Abtastung werdenin dem sich anschließenden Abschnitt 1.3 die Kenntnisse über das Aussehen derSpektren abgetasteter Signale dazu genutzt, um die Arbeitsschritte zur Änderungder Abtastfrequenz eines digitalisierten Signals vorzustellen. Nach der Vorstellungder linearen Quantisierung werden im nachfolgenden Abschnitt 1.6 die Möglichkei-ten einer Wahl nicht gleich breiter Quantisierungsintervalle aufgezeigt, um damitdie mittlere Leistung der Quantisierungsfehler zu minimieren.

1.1. Abtastung

Zur Erfassung eines analogen, elektrischen Signalverlaufs wird das Signal zu äquidi-stanten Zeitpunkten n ·T abgetastet, wie es beispielhaft für das von einem Mikrofonerfasste Signal in Abbildung 1.1 veranschaulicht wird. n nimmt einen ganzzahligenWert im Bereich von −∞, · · · ,−2,−1, 0, 1, 2, · · · ,∞ an und wird als Abtastindexbezeichnet. Der Kontakt des Abtasters wird dabei mit dem zeitlichen Abstand Tnur zu den Zeitpunkten n ·T geschlossen, wobei man idealisiert nur ein Schließen ineinem unendlichen kurzen Zeitraum annimmt. Damit erhält man am Ausgang einSignal xab(t), das bis auf die Abtastzeitpunkte den Wert des Massepotentials (übli-cherweise 0V) annimmt. Zur weiteren Verarbeitung des Signals mit einem Rechner


1. Signalwandlung

genügt es daher die Werte x(n · T ) des Signals x(t) zu den Abtastzeitpunkten n · Tzu betrachten.

Abbildung 1.1.: Abtastung eines tiefpassgefilterten Mikrofonsignals

Den Kehrwert der Zeit T bezeichnet man als die Abtastfrequenz fa = 1T, die die

Anzahl der Abtastwerte je Sekunde festlegt. Zum einen würde man für die Zeit Tgerne einen möglichst großen Wert wählen, um die Anzahl der Abtastwerte und dendaraus resultierenden Speicher- und Verarbeitungsaufwand möglichst gering zu hal-ten. Zum anderen muss die Zeit T aber so gewählt werden, dass man den schnellstenVeränderungen im zeitlichen Verlauf der Spannung noch folgen kann. Die konkre-te Wahl des Werts der Abtastfrequenz wird durch das sogenannte Abtasttheorembestimmt, das auch als 1. Nyquistkriterium bezeichnet wird. Das Abtasttheorembesagt, dass ein Signal mit einer Frequenz abgetastet werden muss, die größer alsdas Doppelte der höchsten in dem Signal enthaltenen Frequenz ist.

fa > 2 · fmax

Die Frequenz fmax beschreibt quantitativ die schnellsten Veränderungen, die im Si-gnalverlauf auftreten. Da man die in einem Signal auftretende maximale Frequenzhäufig nicht kennt, erfolgt vor der Abtastung eine Filterung des analogen Signalsmit einem Tiefpass. Dieser verhindert weitgehend das Auftreten von Frequenzan-teilen oberhalb von fa

2, um das zur Festlegung von fmax umgestellte Abtasttheorem

fmax <fa2zu erfüllen. Da ein realer analoger Tiefpass nicht die ideale rechteckförmige

Charakteristik besitzt, wie sie in Abbildung 1.1 veranschaulicht wird, wird die Grenz-frequenz fg des Tiefpasses in der Regel zu fg < fa

2gewählt. Damit wird insbesondere

der Tatsache Rechnung getragen, dass die Flanke im Bereich der Grenzfrequenz desTiefpasses nur eine endliche Steilheit besitzt.

Zur Festlegung der Grenzfrequenz des Tiefpasses wird beispielhaft das Sprachsignalbetrachtet, das Frequenzanteile im Bereich bis etwa 7 kHz besitzt. Dies bedingt eine


1. Signalwandlung

Abtastung mit einer Frequenz, die größer als 14 kHz sein muss. Bei der Entwicklungdes analogen Telefons hat man allerdings festgestellt, dass auch die Beschränkung aufden Bereich von 300 Hz bis 3,4 kHz noch ein gut verständliches Sprachsignal liefert.Daher verwendet man zur digitalen Erfassung der Sprache im Bereich der Telephoniehäufig eine Abtastfrequenz von 8 kHz, so dass man auch bei Einsatz eines nichtidealen Tiefpasses, der eine Grenzfrequenz unterhalb von 4 kHz besitzen muss, nochFrequenzanteile bis 3,4 kHz erfassen kann. Damit erhält man 8000 Abtastwerte jeSekunde.

Die Abtastwerte des zeitdiskreten Signals x(n · T ) mit n = −∞, · · · ,−2,−1, 0, 1, 2,

· · · ,∞ lassen sich aus einer mathematischen Beschreibung des analogen Signals x(t)

durch eine Substitution von t durch n ·T berechnen. Damit ergibt sich beispielsweisefür ein Cosinussignal die nachstehende mathematische Darstellung des zeitdiskretenSignals.

x(t) = cos (2 · π · f · t) t→ n · T x(n · T ) = cos

(2 · π · n · f

fa

)Es ergibt sich eine Folge von Abtastwerten, die das Cosinussignal repräsentiert. Manfindet an dieser Stelle einen wesentlichen Aspekt der digitalen Signalverarbeitung,nämlich die Abhängigkeit von dem Frequenzverhältnis f

fa. Beispielsweise ergibt sich

bei gleichzeitiger Verdopplung der Frequenz f und der Abtastfrequenz fa die gleicheFolge von Abtastwerten. Bei einer Folge von Abtastwerten kann man absolute Fre-quenzangaben nur bei Kenntnis der Abtastfrequenz machen. Dies macht deutlich,dass die Verarbeitung eines Signals in einem Digitalrechner immer relativ zur Ab-tastfrequenz erfolgt. Man beschreibt das zeitdiskrete Signal in der Regel auch nur inAbhängigkeit des Abtastindex n als x(n). Dabei definiert n, welcher Wert aus derFolge von Abtastwerten bearbeitet wird.

Um die Eigenschaften des abgetasteten Signals im Frequenzbereich zu bestimmen,beschreibt man die Abtastung zu äquidistanten Zeitpunkten mathematisch als dieMultiplikation des Signals mit einer Folge von Dirac Impulsen, wie es Abbildung 1.2veranschaulicht.


1. Signalwandlung

Abbildung 1.2.: Analoges Signal (oben), Folge von Dirac-Impulsen (Mitte), PAMSignal (unten)

Das Signal, das aus der Folge von Dirac Impulsen besteht, nimmt zu den Abtast-zeitpunkten den Wert 1 an und ist ansonsten Null. Das aus der Multiplikation re-sultierende Signal nimmt zu den Abtastzeitpunkten die Werte x(n · T ) an und istansonsten Null. Man bezeichnet diese Vorgehensweise auch als Pulsamplitudenmo-dulation (PAM). Die Folge von Dirac Impulsen lässt sich formal beschreiben als

∞∑n=−∞

δ(t− n · T )

Unterwirft man diese Impulsfolge einer Fourier Transformation, so ergibt sich imSpektralbereich ebenfalls eine Folge von Dirac Impulsen:

∞∑n=−∞

δ(t− n · T ) 1T

∞∑n=−∞

δ(f − n

T

)= 1

T

∞∑n=−∞

δ (f − n · fa)

Die Dirac Impulse treten bei Vielfachen der Abtastfrequenz fa auf.

Aus der Multiplikation des Signals mit einer Impulsfolge im Zeitbereich wird eineFaltung des Spektrums mit der entsprechenden Impulsfolge im Frequenzbereich.


1. Signalwandlung

xab(t) = x(t) ·∞∑

n=−∞

δ(t− n · T )

Xab(f) = X(f) ∗ 1

T

∞∑n=−∞

δ (f − n · fa)

Dies wird in Abbildung 1.3 in einer zweiseitigen spektralen Darstellung einschließ-lich negativer Frequenzen veranschaulicht, in der das Betragsspektrum eines gemäßdem Abtasttheorem tiefpassgefilterten Signals, die Folge von Dirac Impulsen im Fre-quenzbereich sowie das Betragsspektrum des abgetasteten Signals dargestellt sind.Der trapezförmige Funktionsverlauf des Spektrums X(f) ist nur als beispielhafteDarstellung zu sehen. In der Realität ist der Verlauf abhängig von den in dem Si-gnal x(t) enthaltenen Frequenzkomponenten. Nach der Tiefpassfilterung dürfen nurkeine Anteile mehr oberhalb der halben Abtastfrequenz enthalten sein.

Abbildung 1.3.: Wiederholtes Auftreten des TP-Spektrums nach einer Faltung desSpektrums mit einer Folge von Dirac-Impulsen

Die Abtastung im Zeitbereich führt zu einer periodischen Wiederholung des tiefpass-gefilterten Spektrums bei Vielfachen der Abtastfrequenz. Das Spektrum des PAMSignals xab(t) ist unendlich ausgedehnt.

An dieser Stelle wird auch einsichtig, wie man aus dem PAM Signal xab(t) wie-der das analoge Signal x(t) rekonstruieren kann. Man benötigt einen Tiefpass mit


1. Signalwandlung

einer Grenzfrequenz fg ∼ fa2, um das unendlich ausgedehnte Spektrum auf den Fre-

quenzbereich −fa2≤ f ≤ fa

2zu beschränken. Diese Tiefpassfilterung kann man im

Zeitbereich anschaulich als die Rekonstruktion des kontinuierlichen Signals x(t) ausdem Signal xab(t), das nur zu den Abtastzeitpunkten Werte ungleich Null besitzt,darstellen. Die glättende Wirkung des Tiefpasses führt somit zur Rekonstruktion desSignalverlaufs zwischen den Abtastzeitpunkten. Die komplette Verarbeitungskettezur Gewinnung und Übertragung eines pulsamplitudenmodulierten Signals sowie ei-ner Rekonstruktion des analogen Signals aus dem PAM Signal ist in Abbildung 1.4dargestellt. Anstelle einer Übertragung des Signals xab(t) kann man auch nur dieAbtastwerte x(nT ) übertragen und auf der Empfängerseite das Signals xab(t) beiKenntnis der Abtastfrequenz bzw. der Zeit T daraus rekonstruieren. Dies stellt dasPrinzip einer digitalen Übertragung da, bei der nur die Werte x(nT ) übertragenwerden. Auf der Empfängerseite müsste man ein Signal generieren, dass bis auf dieAbtastzeitpunkte nT den Wert Null besitzt. Die Generierung unendlich kurzer Im-pulse ist in der Praxis nicht möglich. Auf die daraus resultierenden Konsequenzenwird später im Abschnitt zur Digital-/Analogumsetzung eingegangen (Kapitel 1.5).

Abbildung 1.4.: PAM Signalgenerierung und Rekonstruktion des TP gefilterten ana-logen Signals

Die Kenntnis von dem wiederholten Auftreten des Spektrums eines abgetastetenSignals kann auch herangezogen werden, um die bei einer Verletzung des Abtast-theorems auftretenden Effekte darzustellen. Es wird der Fall betrachtet, dass vor derAbtastung eines Signals keine entsprechende TP Filterung erfolgt, so dass in demabzutastenden Signal Frequenzanteile oberhalb der halben Abtastfrequenz enthaltensind. Beispielhaft ist dazu in Abbildung 1.5 das Spektrum eines Cosinussignals, daseine Frequenz von 5 kHz besitzt, im oberen Bild dargestellt. Das Spektrum bestehtaus zwei Dirac Impulsen bei den Frequenzen -5 und +5 kHz. Nach einer Abtastungdes Cosinussignals mit einer Frequenz von 8 kHz, treten weitere Impulse bei 8-5 = 3kHz und bei 8+5 = 13 kHz als „erste“ Wiederholung des Spektrums auf. Als „zweite“Wiederholung treten weitere Impulse bei 16-5 = 11 kHz und bei 16+5 = 21 kHzauf. Entsprechend fortgesetzt treten weitere Impulse für die weiteren Vielfachen der


1. Signalwandlung

Abtastfrequenz sowie im negativen Frequenzbereich auf.

Abbildung 1.5.: Spektrum eines 5 kHz Signals (oben), Spektrum des unterabgetas-teten Signals (Mitte), Spektrum des TP gefilterten Signals (unten)

Wird das aus der Abtastung resultierende PAM Signal mit einem korrekt gewähltenTiefpass gefiltert, so erhält man ein Cosinussignal, das eine Frequenz von 3 kHzbesitzt. Den beobachteten Effekt kann man verallgemeinernd so beschreiben, dassFrequenzanteile, die im abzutastenden Signal oberhalb von fa

2bei fa

2+ ∆f vorhan-

den sind, nach der Abtastung und Filterung bei fa2− ∆f auftreten. Man spricht

dabei auch von einer „Rückfaltung“ der oberhalb von fa2liegenden Frequenzanteile.

Im Allgemeinen kommt es zu einer Überlagerung der eigentlichen Frequenzanteileim Frequenzbereich unterhalb von fa

2mit den „rückgefalteten“ Komponenten. Man

nennt diesen Effekt der Überlagerung von Spektralanteilen „Aliasing“. Das vor derAbtastung eingesetzte TP Filter wird daher häufig auch als Antialiasingfilter be-zeichnet.

1.2. Unterabtastung von Bandpasssignalen

Das im vorherigen Abschnitt eingeführte Abtasttheorem nach Nyquist und Shannonbesagt, dass ein Signal mit mindestens dem Doppelten der Frequenz des höchst-frequenten, in dem Signal enthaltenen Signalanteils abgetastet werden muss. Dieswürde bedeuten, dass man bei einem Bandpasssignal, das nur Frequenzanteile imBereich von fmin bis fmax besitzt, mit einer Frequenz von fa ≥ 2 · fmax abtastenmüsste, obwohl im Frequenzbereich von 0 bis fmin keine Frequenzanteile vorhan-


1. Signalwandlung

den sind. Würde man das Bandpassspektrum in den niederfrequenten Bereich ver-schieben, so dass fmin bei der Frequenz 0 landet, so wäre eine Abtastung mit derFrequenz fa ≥ 2 · (fmax − fmin) ausreichend. Diese Überlegungen sind von prakti-scher Bedeutung, wenn man die unmittelbare digitale Verarbeitung eines hochfre-quenten Funksignals anstrebt, ohne zuvor mit einer analogen Verarbeitung in Formeines Abwärtsmischers das Signal in einen niederfrequenteren Bereich zu verschie-ben. Beispielsweise streben die Aktivitäten unter dem Stichwort Software DefinedRadio (SDR) die möglichst unmittelbare digitale Verarbeitung des hochfrequen-ten Radiosignals an. Die Vorteile dieser weitgehend digitalen Verarbeitung liegenin einem reduzierten Hardwareaufwand und einer sehr hohen Flexibilität, was dieVerarbeitung des digitalen Signals angeht. Allerdings resultieren aus dieser Zielset-zung relativ hohe Anforderungen an den Analog-/Digitalwandler und entsprechendhöhere Kosten, wenn man die in der Regel sehr hohen Funkfrequenzen in Betrachtzieht. In diesem Zusammenhang hat man Überlegungen angestellt, ob es möglichist, ein Bandpassignal bei einer bewußten Verletzung des Abtasttheorems mit einerniedrigeren Frequenz fa < 2 · fmax abzutasten, ohne dass dabei Aliasingeffekte auf-treten und Informationen verloren gehen. Durch geschickte Wahl der Abtastfrequenzkann dabei ein Bandpasssignal in einem niederfrequenteren Bereich erfasst werden.Durch die verringerte Abtastrate reduziert sich das Datenaufkommen, und es kön-nen günstigere A/D-Wandler eingesetzt werden. Im Folgenden wird beispielhaft dergesamte UKW Frequenzbereich von 88MHz bis 108MHz, in dem die Audiosignalevon Radiosendern übertragen werden, als Bandpasssignal betrachtet.

Nach dem Abtasttheorem müsste zur Erfassung dieses Frequenzbandes eine Abtas-tung mit mindestens 216MHz erfolgen. Die Kernüberlegung besteht nun darin, eineniedrigere Abtastfrequenz so zu wählen, dass es zu keiner Überlappung des Original-spektrums und der auf Grund der Verletzung des Abtasttheorems zurückgefaltetenSpektren kommt. Man kann herleiten, dass die Abtastfrequenz so zu wählen ist, dassdie nachstehende Ungleichung erfüllt ist1:

2 · fmaxn+ 1

≤ fa ≤2 · fminn

, n = 0, 1, 2, ...

Gesucht wird nmax als dem größten Wert n, für den die Ungleichung noch erfüllt ist.

Für n = 0 entspricht die Ungleichung dem bekannten Abtasttheorem:

1Peter Adam Höher, Grundlagen der digitalen Informationsübertragung, S. 369 ff, 2. Auflage,Springer 2013


1. Signalwandlung

2 · fmax0 + 1

≤ fa ≤2 · fmin

0

2 · fmax ≤ fa ≤ ∞

Für das Beispiel der Erfassung des UKW-Bands ergeben sich folgende Werte:

n = 1 : 108MHz ≤ fa ≤ 176MHz

n = 2 : 72MHz ≤ fa ≤ 88MHz

n = 3 : 54MHz ≤ fa ≤ 58, 6MHz

n = 4 : 43, 2MHz ≤ fa ≤ 44MHz

n = 5 : 36MHz ≤ fa ≤ 35, 2MHz

Für n = 5 ist die Ungleichung nicht mehr erfüllt. Für eine korrekte Rekonstruktionsollte eine Abtastrate im Bereich 43, 2MHz ≤ fa ≤ 44MHz gewählt werden.Zu beachten ist, dass bei ungeraden n das Signal nach der Abtastung in Kehrlagevorliegt. Das bedeutet, dass die Frequenzanteile in umgekehrter Reihenfolge überder Frequenz auftreten. Es tritt eine Art Spiegelung des Spektrums auf. Ist diesnicht erwünscht, sollten nur gerade n verwendet werden.

Eine direkte Berechnung von nmax ist mit folgender Formel möglich:

nmax =

⌊fmin

fmax − fmin

⌋Im gewählten Beispiel ergibt sich:

nmax =

⌊88MHz

108MHz − 88MHz

⌋= 4

In Abbildung 1.6 sind im oberen Bild das Bandpasspektrum des UKW Bands sowieim unteren Bild das resultierende Spektrum des Signals nach einer Abtastung mitfa = 44MHz dargestellt. Der abfallende Verlauf im Bereich von 88 bis 108 MHz beidem Originalspektrum wurde dabei nur zur besseren Wiedererkennung des Verlaufsim Spektrum des abgetasteten Signals gewählt. Das Spektrum des abgetasteten Si-gnals resultiert aus der Faltung des Originalsignals mit der Folge von Dirac Impulsenbei Vielfachen der Abtastfrequenz. Alternativ kann man dies auch als Überlagerungder um ...,−2 · fa,−fa, 0, fa, 2 · fa, ... verschobenen Versionen des Originalspektrums


1. Signalwandlung

ansehen. Zum einen wird deutlich, dass es zu keiner Überlappung von verschobenenSpektren kommt, also zu keinerlei Aliasingeffekten. Zum anderen findet man die in-teressierenden Spektralanteile des Bandpasssignals im niederfrequenten Bereich von0 bis 20 MHz.

−108 −88 0 88 108

X(f)

f/MHz

−88 −44 −20 0 20 44 88

X(f)

f/MHz

Abbildung 1.6.: Bandpassunterabtastung am Beispiel des UKW Bands

1.3. Abtastratenwandlung

Im Bereich der digitalen Signalverarbeitung stößt man an einigen Stellen auf die Pro-blematik aus den Abtastwerten x(n·T1) eines mit der Frequenz fa1

(= 1

T1

)abgetaste-

ten Signals die Abtastwerte x(n ·T2) eines mit der Frequenz fa2

(= 1

T2

)abgetasteten

Signals zu generieren. Hat man beispielsweise ein Sprachsignal mit einer Abtastfre-quenz von 8 kHz aufgezeichnet und möchte es später auf einer Audio-CD speichern,benötigt man eine mit 44.1 kHz abgetastete Version des Sprachsignals, da dies dieim Bereich von Audio-CDs vorgegebene und standardisierte Frequenz darstellt. MitHilfe der im vorherigen Abschnitt vermittelten Kenntnisse zur Abtastung und zumAussehen des Spektrums eines abgetasteten Signals lassen sich die zur Abtastra-tenwandlung benötigten Arbeitsschritte herleiten. Nachstehend werden die Vorge-hensweisen zur Reduktion der Abtastfrequenz, die man auch als Unterabtastungbezeichnet, um einen ganzzahligen Faktor und zur Erhöhung der Abtastfrequenz,die man als Überabtastung bezeichnet, um einen ganzzahligen Faktor erläutert. Ab-schließend wird die Vorgehensweise zur Wandlung für ein beliebiges Verhältnis vonalter und neuer Abtastfrequenz vorgestellt.


1. Signalwandlung

1.3.1. Unterabtastung um einen ganzzahligen Faktor

Bei der Unterabtastung um einen ganzzahligen Wert k ergibt sich die neue Abtast-frequenz zu faneu = fa

k. Nach dem Abtasttheorem darf das mit der Frequenz faneu

abgetastete Signal nur Anteile bis faneu2

beinhalten. Das mit fa abgetastete Aus-gangssignal beinhaltet allerdings Frequenzanteile bis fa

2= k · faneu

2. Dies macht die

Notwendigkeit einer Tiefpassfilterung als erstem Verarbeitungsschritt deutlich. MitHilfe eines digitalen Tiefpasses mit der Grenzfrequenz faneu

2müssen die Anteile im

Bereich von faneu2

bis k · faneu2

zur Erfüllung des Abtasttheorems entfernt werden. Da-mit resultiert im Fall einer Unterabtastung ein Verlust der in den Frequenzanteilenoberhalb von faneu

2enthaltenen Informationen. Wie man später beim Entwurf digita-

ler Filter sehen wird, benötigt man dazu die Angabe des Frequenzverhältnisses vonGrenzfrequenz und Abtastfrequenz. Im Allgemeinen ergibt sich dieses Verhältnis beiFilterung des mit fa abgetasteten Signals zu

fgfa

=faneu

2

fa=

fak · 2 · fa

=1

2 · k

Der zweite Verarbeitungsschritt besteht in einer Extraktion jedes k-ten Abtastwerts.Dies ergibt sich aus der k-fachen Zeit zwischen 2 Abtastwerten

Tneu =1

faneu=

k

fa= k · T

Damit reduziert sich die Anzahl der Abtastwerte um den Faktor k. Abbildung 1.7zeigt die zur Unterabtastung benötigten Schritte.

Extrahieren jedesk-ten Werts

f =gTP mit neuaf2

Abbildung 1.7.: Verarbeitungsschritte zur Unterabtastung

Im Folgenden wird als Beispiel ein mit fa = 24 kHz abgetastetes Signal und dessenSpektrum in Abbildung 1.8 betrachtet. Es soll eine Unterabtastung bei der Frequenzfaneu = 8 kHz erfolgen. Damit ergibt sich der ganzzahlige Faktor zu k = fa

faneu= 3.


1. Signalwandlung

−36 −32 −28 −24 −20 −16 −12 −8 −4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36f / kHz

Abbildung 1.8.: Spektrum bei fa = 24 kHz

Zunächst ist eine TP Filterung mit der relativen Grenzfrequenz von fgfa

= 12·k = 1

6

erforderlich. Dies entspricht bei der Abtastfrequenz von fa = 24 kHz einer Grenz-frequenz von fg = fa

6= 4 kHz. Nach der Filterung erhält man das in Abbildung 1.9

dargestellte Spektrum. Die rechteckförmige Charakteristik eines idealen Tiefpassesim Bereich von -4 bis +4 kHz mit ihren spektralen Wiederholungen bei Vielfachender Abtastfrequenz wird dabei multiplikativ mit dem Spektrum des in Abbildung1.8 dargestellten Spektrums verknüpft. Daraus resultiert der Informationsverlust mitder Entfernung der Frequenzanteile im Bereich von faneu

2= 4 kHz bis fa

2= 12 kHz

sowie an der Ordinate gespiegelt im Bereich von -4 bis -12kHz.

−36 −32 −28 −24 −20 −16 −12 −8 −4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36f / kHz

Abbildung 1.9.: Spektrum nach TP Filterung

Das Extrahieren jedes dritten Abtastwerts als zweitem Verarbeitungsschritt und diedamit verbundene Reduktion der Abtastfrequenz auf einen Wert von 8 kHz geht ein-her mit einem wiederholten Auftreten des Spektrums im Bereich von −faneu

2= 4kHz

bis faneu2

= 4 kHz bei Vielfachen der Abtastfrequenz faneu = 8 kHz. Daraus resul-tiert das in Abbildung 1.10 dargestellte Spektrum. Anschaulich kann man sich diesesSpektrum auch als ein Zusammenschieben der nach der TP Filterung verbliebenen,um die Vielfachen der Abtastfrequenz liegenden Spektren, wie sie in Abbildung 1.9zu sehen sind, vorstellen.


1. Signalwandlung

−36 −32 −28 −24 −20 −16 −12 −8 −4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36f / kHz

Abbildung 1.10.: Spektrum nach dem Extrahieren jedes dritten Werts

1.3.2. Überabtastung um einen ganzzahligen Faktor

Bei der Überabtastung um einen ganzzahligen Wert k ergibt sich die neue Abtast-frequenz zu faneu = k · fa. Das überabgetastete Signal besteht aus einer um denFaktor k höheren Anzahl von Abtastwerten und deckt einen um den Faktor k grö-ßeren Frequenzbereich bis faneu

2= k · fa

2ab. Demnach kommt es in diesem Fall

zu keinem Informationsverlust, da das Spektrum bis fa2vollständig erhalten bleibt.

Die Erhöhung der Anzahl der Abtastwerte kann man durch ein Einfügen von k-1zusätzlichen Werten zwischen jeweils zwei Abtastwerten des mit fa abgetastetenSignals erreichen. Anschaulich könnte man sich dabei eine Interpolation der ein-zufügenden Werte aus den vorhandenen Werten als Lösungsansatz vorstellen. Einederartige Vorgehensweise würde allerdings mit spektralen Verzerrungen einhergehen.Man wählt daher die nachfolgende, zweistufige Vorgehensweise. In einem ersten Ver-arbeitungsschritt fügt man k-1 Nullwerte zwischen jeweils 2 Abtastwerten ein. Manerhält dabei bereits ein Signal, dessen Abtastfrequenz faneu ist. Dieses Einfügen vonNullwerten kann man sich auch als eine zweistufige Abtastung, wie sie in Abbildung1.11 dargestellt ist, vorstellen. Zunächst erfolgt die Abtastung mit der Frequenz fa.Das Ausgangssignal dieser ersten Abtastung xab1(t) nimmt bis auf die Abtastzeit-punkte n · T den Wert Null an. Tastet man das Signal xab1(t) zeitlich synchronisiertzur ersten Abtastung mit der um den Faktor k höheren Frequenz faneu erneut ab,so erhält man am Ausgang das Signal xab2(t), das unverändert dem Signal xab1(t)

entspricht. Lediglich die Abtastwerte x(n · Tneu) beinhalten nun die k-1 Nullwertezwischen jeweils zwei Abtastwerten.


1. Signalwandlung

Abbildung 1.11.: Einfügen von Nullwerten mit Hilfe einer zweistufigen Abtastung

Die Vorstellung des Einfügens von Nullwerten als eine zweistufige Abtastung machtdeutlich, dass die Spektren Xab1(f) und Xab2(f) der identischen Signale xab1(t) undxab2(t) auch gleich sein müssen. Das Spektrum Xab1(f) besteht aus dem Spektrumdes tiefpassgefilterten Signals x(t) im Bereich von −fa

2bis +fa

2sowie den spektra-

len Wiederholungen bei Vielfachen der Abtastfrequenz fa. Allerdings beinhaltet dasidentische Spektrum Xab2(f) gemäß dem Abtasttheorem die Frequenzanteile eineszugehörigen analogen Signals im Bereich bis faneu

2. Im Bereich von fa

2bis faneu

2findet

man die Anteile der spektralen Wiederholungen des mit fa abgetasteten Signals, diefür die Aufgabenstellung der Erzeugung eines überabgetasteten Signals mit identi-schem Spektrum unerwünscht sind. Aus dieser Betrachtung wird deutlich, dass als2. Verarbeitungsschritt wieder eine TP Filterung benötigt wird, um die Anteile imBereich von fa

2bis faneu

2zu entfernen. Die relative Grenzfrequenz des TP müsste

idealerweise fgfaneu

=fa2

faneu= 1

2·k betragen.

Abbildung 1.12 zeigt die zur Überabtastung benötigten Schritte.

Einfügen von

k-1 Nullwertenf =g

aTP mit

f2

Abbildung 1.12.: Verarbeitungsschritte zur Überabtastung

Zur Veranschaulichung werden im Folgenden beispielhaft die Spektren eines mit fa =

8 kHz abgetasteten Signals und der mit faneu = 24 kHz überabgetasteten Versiondargestellt. Das in Abbildung 1.13 dargestellte Spektrum repräsentiert zum einen dieFrequenzzusammensetzung des mit 8 kHz abgetasteten Signals mit den spektralenWiederholungen bei Vielfachen von fa = 8 kHz, wobei der dreiecksförmige Verlaufnur als beispielhafte Charakteristik gewählt wurde.


1. Signalwandlung

−28 −24 −20 −16 −12 −8 −4 0 4 8 12 16 20 24 28

f / kHz

fa

2

fa

2neu

Abbildung 1.13.: Spektrum vor bzw. nach Einfügen von Nullwerten

Zum anderen beinhaltet das Spektrum die Frequenzzusammensetzung des mit 24kHz

abgetasteten Signals nach der Einfügung von k− 1 = faneufa− 1 = 3− 1 = 2 Nullstel-

len. Allerdings ist die Darstellung in diesem Fall so zu interpretieren, dass die Anteileim Bereich von −12 bis +12 kHz wiederholt bei den Vielfachen von faneu = 24 kHz

auftreten. Zur Entfernung der unerwünschten Anteile im Bereich von 4 bis 12 kHz

wird eine digitale Filterung mit einem Tiefpass, dessen Grenzfrequenz 4kHz beträgt,durchgeführt. Damit verbleiben nach der Filterung nur noch die Anteile im Bereichvon −4 bis +4 kHz sowie die Wiederholungen bei den Vielfachen von 24 kHz, wiees der Darstellung in Abbildung 1.14 entnommen werden kann.

−28 −24 −20 −16 −12 −8 −4 0 4 8 12 16 20 24 28

f / kHz

fa

2neu

Abbildung 1.14.: Spektrum nach TP Filterung

1.3.3. Unter- und Überabtastung um einen nicht

ganzzahligen Faktor

Zur Realisierung einer Über- oder Unterabtastung um einen nicht ganzzahligenFaktor kann man die beiden zuvor vorgestellten Verarbeitungsschritte der Über-und der Unterabtastung hintereinander anwenden. Man definiert sich dazu einehöhere Zwischenabtastfrequenz faz , die sich aus dem kleinsten gemeinsamen Viel-fachen (KGV) der beiden Abtastfrequenzen ergibt. Dann lässt sich faz als ganz-zahliges Vielfaches der Abtastfrequenzen fa und faneu darstellen: faz = k1 · fa =

k2 ·faneu mitk1, k2 ganzzahlig. Zunächst führt man eine Überabtastung des mit faabgetasteten Signals um den Faktor k1 durch. Als ersten Verarbeitungsschritt fügt


1. Signalwandlung

man dazu k1 − 1 Nullwerte zwischen jeweils zwei Abtastwerten des mit fa abgetas-teten Signals ein. Man erhält damit ein mit faz abgetastetes Signal, bei dem manals zweitem Verarbeitungsschritt eine TP Filterung mit der relativen Grenzfrequenzfgfaz

= 12·k1

anwenden muss, wie es im vorhergehenden Abschnitt gezeigt wurde. ImAnschluss führt man eine Unterabtastung um den Faktor k2 durch. Dazu ist eine TPFilterung mit der relativen Grenzfrequenz fg

faz= 1

2·k2erforderlich. Als letzten Verar-

beitungsschritt extrahiert man jeden k2 − ten Wert des gefilterten Signals, so dassman das gewünschte mit faneu abgetastete Signal erhält. Die zuvor beschriebenenVerarbeitungsschritte, die aus der nacheinander durchgeführten Über- und anschlie-ßenden Unterabtastung bestehen, beinhalten zwei unmittelbar aufeinander folgendeTP Filterungen. Diese kann man zusammenfassen, in dem man eine TP Filterungmit dem Minimum der beiden Grenzfrequenzen fg

faz= min

{1

2·k1, 1

2·k2

}durchführt.

Die Grenzfrequenz fg wird dabei als Minimum der beiden halben Abtastfrequenzenfa2

und faneu2

festgelegt. In Abbildung 1.15 wird nochmals die zur Über- oder Un-terabtastung um einen nicht ganzzahligen Faktor erforderliche Verarbeitungsketteveranschaulicht.

Einfügen von

k -1 Nullwerten1

Extrahieren jedes

k -ten Werts2f =MIN{ , }g

a

TP mitf2

neuaf2

Abbildung 1.15.: Verarbeitungsschritte zur Abtastratenwandlung um einen nichtganzzahligen Faktor

In einigen praktischen Anwendungsfällen führt die beschriebene Vorgehensweise zurBestimmung sehr großer Werte der Zwischenabtastfrequenz faz . Hat man beispiels-weise ein Audiosignal mit einer Abtastfrequenz von fa = 16000Hz auf einem PC er-fasst und möchte es später auf einer Audio-CD, bei der die Abtastfrequenz standard-mäßig auf faneu = 44100 Hz festgelegt ist, abspeichern, so erhält man als kleinstesgemeinsamen Vielfaches einen Wert von faz = 7056000 Hz. Dies würde bedeuten,dass man zunächst eine Überabtastung um den Faktor 441 und eine anschließen-de Unterabtastung um den Faktor 160 durchführen müsste. Die erforderliche TPFilterung mit der Grenzfrequenz fa

faz= min

{1

882, 1

320

}= 1

882würde sich nur mit

einem sehr hohen Aufwand realisieren lassen, was die erforderliche Rechenleistungund den Speicheraufwand angeht. Zur Realisierung eines qualitativ guten Filtersmit einer derart kleinen Grenzfrequenz benötigt man eine hohe Filterordnung miteiner entsprechend großen Anzahl von Filterkoeffizienten. Daher modifiziert man dieVorgehensweise in einem solchen Fall in der Weise, dass man eine nicht zu große Zwi-


1. Signalwandlung

schenabtastfrequenz wählt, die näherungsweise ein gemeinsames Vielfaches darstellt.Für das vorgestellte Beispiel mit fa = 16000 Hz und faneu = 44100 Hz erhält manbeispielsweise für die beiden Werte 16000 und 44000 die Zahl 176000 als kleinstesgemeinsamen Vielfaches. Man kann eine Überabtastung um den Faktor 11 vorneh-men, bei der nach Einfügen von 10 Nullwerten eine TP Filterung mit fg

faz= 1

22

durchgeführt wird. Zur Unterabtastung mit dem Faktor 4 benötigt man ein mit176400 Hz abgetastetes Signal, um das gewünschte Signal bei der Abtastfrequenzfaneu = 44100 Hz zu erhalten. Dazu kann man die Abtastwerte bei der Frequenz176400 Hz durch Interpolation der mit 176000 Hz abgetasteten Werte und Berech-nung der Amplituden für die Zeitpunkte der Abtastung mit 176400 Hz bestimmen.Abbildung 1.16 versucht dies zu veranschaulichen. Durch die Extraktion jedes vier-ten Werts der interpolierten Abtastwerte kann man dann die Unterabtastung umden Faktor 4 vornehmen. In diesem Fall ist es ausreichend die Interpolation auchnur für jeden vierten Wert vorzunehmen.

t

1/176400 Hz1/176000 Hz

Abtastzeitpunkte

Interpolationszeitpunkte

Abbildung 1.16.: Interpolation der Abtastwerte bei angenäherterZwischenabtastfrequenz

Die Interpolation kann dabei im einfachsten Fall durch eine lineare Interpolationzwischen jeweils zwei Abtastwerten oder aber durch Interpolation mit Hilfe einesPolynoms höheren Grades aus mehreren Abtastwerten erfolgen.

1.3.4. Verkleinern und Vergrößern von Bildern

Die vorgestellten Verarbeitungsschritte zur Unter- und Überabtastung können auchim Bereich der Bildverarbeitung verwendet werden, um digital erfasste Bilder miteiner größeren oder kleineren Anzahl von Bildpunkten darzustellen. Die prinzipielleVorgehensweise, die in den vorhergehenden Abschnitten zur Verarbeitung eindimen-sionaler Signale, bei denen eine Folge von Abtastwerten in Abhängigkeit der Zeitauftritt, beschrieben wurde, kann auch auf die zweidimensionale Anordnung derFarb- oder Lichtintensitäten eines Bildes übertragen werden. Digitale Bilder lassensich als zweidimensionale Signale in Abhängigkeit der beiden Ausdehnungen eines


1. Signalwandlung

Bildes in horizontaler und vertikaler Richtung darstellen. Bei einem Farbbild tretendabei in der Regel drei separate Signale für die drei Farbbasiskomponenten, häufigrot, grün und blau, auf. Die Verkleinerung und Vergrößerung soll an Hand konkreterBeispiele aufgezeigt werden. Möchte man ein Bild, das aus 400 mal 200 Bildpunktenbesteht, auf eine Darstellung mit 200 mal 100 Bildpunkten reduzieren, so kann mansich dies als eine Beschränkung auf jeden zweiten Bildpunkt sowohl in Zeilen- alsauch in Spaltenrichtung vorstellen. Diese Beschränkung auf die Bildpunkte in jederzweiten Zeile und jeder zweiten Spalte wird in Abbildung 1.17 veranschaulicht.

Abbildung 1.17.: Extrahieren jedes zweiten Bildpunktes

Vor der Extraktion jedes zweiten Bildpunkts in Zeilen- und Spaltenrichtung musswie bei der zuvor beschriebenen Unterabtastung bei eindimensionalen Zeitsignaleneine TP Filterung durchgeführt werden, um das Abtasttheorem nicht zu verletzen,was die Veränderungen der Intensität in einer Zeile oder Spalte angeht. Diese TPFilterung kann separat nacheinander in Zeilen- und Spaltenrichtung ausgeführt wer-den. Idealerweise müsste die Grenzfrequenz des Tiefpasses fg

fa= 1

2·k = 14betragen,

da die Anzahl der Punkte in Zeilen- bzw. Spaltenrichtung jeweils um den Faktork = 2 reduziert wird. Alternativ kann auch in einem einzelnen Verarbeitungsschritteine zweidimensionale Faltung mit der zweidimensionalen Impulsantwort eines ge-eigneten TP Filters erfolgen. Die Vorgehensweise zur zweidimensionalen Faltung alsauch das Aussehen derartiger Filter werden im nachfolgenden Kapitel zur diskretenFaltung vorgestellt. Im umgekehrten Fall der Erhöhung der Anzahl von Bildpunktenvon 200 mal 100 auf eine Pixelanzahl von 400 mal 200 kann man wie bei der Über-abtastung im eindimensionalen Fall entsprechende Nullintensitäten einfügen, wie esin Abbildung 1.18 veranschaulicht wird.

Abbildung 1.18.: Einfügen von Nullintensitäten


1. Signalwandlung

Zum Ersatz der Nullintensitätswerte durch Werte, mit denen der Intensitätsverlaufin Zeilen- und Spaltenrichtung interpoliert wird, kann wiederum eine entsprechendeTP Filterung angewendet werden. Die Grenzfrequenz des Tiefpasses müsste idealer-weise fg

fa= 1

2·k = 14betragen, da die Anzahl der Punkte in Zeilen- bzw. Spaltenrich-

tung jeweils um den Faktor k = 2 erhöht wird. Dieser kurze Exkurs in den Bereichder Bildverarbeitung soll deutlich machen, dass man die grundsätzlichen Überle-gungen zur Abtastratenwandlung bei eindimensionalen Signalen wie auch anderespäter vorgestellte Verarbeitungsschritte auch auf zweidimensionale Signale über-tragen kann.

1.4. Quantisierung und Codierung

In einem Digitalrechner werden Werte als Dualzahlen mit einer bestimmten Anzahlvon Bits dargestellt. Dazu werden in einem zweiten Schritt nach der Abtastungdie Amplituden x(n) der Abtastwerte quantisiert. Der Wertebereich, in dem dieAmplitudenwerte auftreten, wird in eine festgelegte Anzahl von 2k gleich breitenIntervallen unterteilt. Alle Amplitudenwerte in einem Intervall werden anschließendals eine Dualzahl mit k Bits codiert.

Legt man den zu erfassenden Amplitudenbereich symmetrisch um den Wert Nullherum im Bereich von −Amax bis +Amax fest, so ergibt sich für die Breite ∆x einesQuantisierungsintervalls ein Wert von

∆x =Amax − (−Amax)

2k=

2 · Amax2k

=Amax2k−1

−Amax beschreibt dabei die kleinste und +Amax die größte Amplitude, die in demzu erfassenden Signal auftreten sollte. Für eine beispielhafte Codierung mit k = 3

Bits ergibt sich damit eine Breite von ∆x = Amax2k−1 = Amax

4

Das Intervall, in das ein Abtastwert x(n) fällt, wird als Dualzahl mit 3 Bits co-diert. In der Regel verwendet man bei bipolaren Signalen, die negative und positiveAmplitudenwerte annehmen, eine Zuordnung der Dualzahlen gemäß dem Zweier-komplement, da man mit dieser Zahlendarstellung die Amplitudenwerte unmittelbarrechnerisch verarbeiten kann. In der nachstehenden Tabelle 1.1 werden die Zuord-nung der Dualzahlen und der Intervalle gemäß der Darstellung im Zweierkomplementsowie die Beschreibung der Dualzahl als ganze Zahl verdeutlicht.


1. Signalwandlung

Intervall Dualzahl Darstellung als ganze Zahlb2 b1 b0 Z = −b2 · 22 +

∑1i=0 bi · 2i

−Amax = −4 ·∆x ≤ x < −3 ·∆x 1 0 0 −4−3 ·∆x ≤ x < −2 ·∆x 1 0 1 −3−2 ·∆x ≤ x < −∆x 1 1 0 −2−∆x ≤ x < 0 1 1 1 −10 ≤ x < ∆x 0 0 0 0

∆x ≤ x < 2 ·∆x 0 0 1 12 ·∆x ≤ x < 3 ·∆x 0 1 0 2

3 ·∆x ≤ x < 4 ·∆x = Amax 0 1 1 3

Tabelle 1.1.: Beschreibung der Abtastwerte in einem Intervall durch eine Dualzahl(Zweierkomplement)

Die Abfolge von Abtastung, Quantisierung und Codierung bezeichnet man als Puls-Code-Modulation (PCM). Das Ausgangssignal der PCM ist zeit- und wertediskret.Die praktische Realisierung der PCM erfolgt in einem Analog-Digital Umsetzer(ADU).

Möchte man die mit k Bit codierten Werten zur Rekonstruktion des analogen Signalswieder auf die ursprünglichen Amplitudenwerte x(n) abbilden, so stößt man auf dasProblem, auf Grund der Quantisierung nicht mehr die genaue Lage des Abtastwertsin dem entsprechenden Quantisierungsintervall zu kennen. Daher verwendet zur Re-konstruktion den Amplitudenwert in der Mitte des zugehörigen Intervalls. Damitlässt sich der Vorgang der Quantisierung durch die in Abbildung 1.20 dargestelltestufenförmige Kennlinie beschreiben, die man auch als Quantisierungskennlinie be-zeichnet. In Abbildung 1.20 wird beispielhaft eine Quantisierung mit k = 3 Bit undder zugehörigen Unterteilung des Amplitudenbereichs in 8 Intervalle dargestellt.

Mit Hilfe der Quantisierungskennlinie kann man den Quantisierungsvorgang als Ver-arbeitungsblock definieren, den man beispielsweise im Rahmen einer Simulation ein-setzen kann.

x(n) x(n)^Q

Abbildung 1.19.: Verarbeitungsblock zur Quantisierung

Abbildung 1.19 visualisiert diesen Verarbeitungsblock, bei dem x(n) als Eingangs-wert und x(n) als Ausgangswert des Blocks auftreten.


1. Signalwandlung

Abbildung 1.20.: Quantisierungs- und Abbildungskennlinie für eine PCM bei einerWortlänge von 3 Bit

Die Quantisierungskennlinie lässt sich mathematisch beschreiben durch

x(n) = sign (x(n)) ·[int

(|x(n)|∆x

)+

1

2

]·∆x,

wobei sign(arg) das Vorzeichen von arg repräsentiert und int(arg) die Bestimmungder nächstkleineren ganzen Zahl von arg definiert.

Auf Grund der Abbildung aller Amplitudenwerte in einem Quantisierungsintervallauf den Wert in der Mitte des Intervalls treten Fehler auf, die sich quantitativ als Dif-ferenz des quantisierten Amplitudenwerts und des ursprünglichen Werts beschreibenlassen

e(n) = x(n)− x(n)

Zur modellhaften Beschreibung dieser Fehler, z.B. im Rahmen einer Simulation derQuantisierungseffekte, kann man die Quantisierung als einen Additionsblock dar-stellen, wie er in Abbildung 1.21 dargestellt ist. Den Amplitudenwerten x(n) desSignals überlagern sich additiv die Werte des Fehlersignals e(n), wobei man zur Ge-nerierung der Fehlerwerte ein gleichverteiltes Rauschen verwenden kann, wie es imFolgenden erläutert wird.


1. Signalwandlung

x(n) x(n)

e(n)

^

Abbildung 1.21.: Darstellung des Quantisierungsfehlers als additive Störung

Die Quantisierungsfehler treten in dem Intervall −∆x2≤ e(n) ≤ ∆x

2auf. Sie überla-

gern sich dem ursprünglichen Signal als so genanntes Quantisierungsrauschen. Beiakustischen Signalen wird das Rauschen bei einer zu geringen Bitanzahl hörbar.

Abbildung 1.22.: Analoges und PAM Signal (oben), Quantisiertes PAM Signal (mit-te), Quantisierungsfehler (unten)

Die Quantisierungsfehler, die bei einer Quantisierung des bereits in Abbildung 1.2verwendeten Signalabschnitts auftreten, werden in Abbildung 1.22 veranschaulicht.Dabei wird eine Quantisierung des Amplitudenbereichs von -2 bis +2 mit 3 Bitvorgenommen, so dass sich die Breite eines Quantisierungsintervalls zu ∆x = 2·2

23 = 12

ergibt und die Quantisierungsfehler im Intervall −14≤ e(n) ≤ 1

4auftreten.

Um den Einfluss des Quantisierungsrauschens quantitativ zu beschreiben, betrachtetman das Verhältnis der Leistungen des Signals und des Rauschens. Man bezeichnet


1. Signalwandlung

das Verhältnis daher auch als Signal/Rauschleistungsverhältnis (SNR = signal-to-noise ratio). Die Leistung eines Signals lässt sich bei Kenntnis der Auftrittswahr-scheinlichkeiten aller Amplitudenwerte als Erwartungswert der quadrierten Ampli-tude berechnen:

S = E{x2}

=

∞∫x=−∞

p(x) · x2 dx

Man bezeichnet die Funktion p(x), die die Wahrscheinlichkeit des Auftretens derAmplitude x beschreibt, auch als Verteilungsdichtefunktion.

Bei einem natürlichen Signal kann man annehmen, dass die Quantisierungsfehler imBereich −∆x

2≤ e(n) ≤ ∆x

2mit gleich großer Wahrscheinlichkeit auftreten, da sich

die Lage eines Amplitudenwerts in einem Quantisierungsintervall zufällig ergibt.Damit nimmt die Verteilungsdichtefunktion p(e) das in Abbildung 1.23 dargestellteAussehen an.

Abbildung 1.23.: Verteilungsdichtefunktion des Quantisierungsfehlers

Eine Verteilungsdichtefunktion besitzt die grundlegende Eigenschaft, dass die Fläche

unter der Funktion gleich Eins ist:∞∫−∞

p(x) dx = 1. Damit ergibt sich die konstante

Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines Quantisierungsfehlers im Intervall −∆x2≤

e(n) ≤ ∆x2

zu p(e) = 1∆x

. Die Leistung N des Quantisierungsrauschens lässt sichdamit berechnen zu

N =

∞∫x=−∞

e2·p(e) de =

∆x2∫

−∆x2

1

∆x·e2 de =

1

∆x

[e3

3

]∆x2

−∆x2

=1

3 ·∆x·(

∆x3

8+

∆x3

8

)=

∆x2

12

Nimmt man auch für das Signal ein gleichwahrscheinliches Auftreten der Amplitu-denwerte im Quantisierungsbereich −Amax ≤ x(n) ≤ +Amax an, so lässt sich dieLeistung S des Signals berechnen zu


1. Signalwandlung

S =

∞∫x=−∞

p(x) · x2 dx =

Amax∫−Amax

1

2 · Amax· x2 dx =

1

2 · Amax·[x3

3

]Amax−Amax

=1

6 · Amax·(2 · A3

max

)=A2max

3

Damit ergibt sich das Signal/Rauschleistungsverhältnis in dB zu

SNR = 10 · log10

(S

N

)= 10 · log10

(A2max · 12

3 ·∆x2

)

Mit ∆x =2 · Amax

2k⇒ SNR = 10 · log10

(4 · A2

max

4 · A2max

· 22k

)= 10 · log10

(22k)

SNR = 10 · 2 · k · log10(2) = k · 20 · 0, 301 = k · 6, 02 dB

Unter der Annahme des gleichwahrscheinlichen Auftretens aller Amplitudenwerteim gesamten Quantisierungsbereich erhält man damit den einfachen Zusammen-hang einer linearen Abhängigkeit des Signal/Rauschleistungsverhältnisses von derBitanzahl k. Damit ergibt sich beispielsweise die häufiger zu findende Angabe einesSignal/Rauschleistungsverhältnisses von 96 dB (≈ 16 · 6, 02 dB) als Qualitätsanga-be bei CDs (compact disks), bei denen ein Audiosignal in 216 Intervallen, d.h. miteiner Wortlänge von 16 Bit, quantisiert wird.

Die Bestimmung des Signal/Rauschleistungsverhältnisses mit SNR = k · 6, 02 dB

ist an zwei Bedingungen gebunden, die für viele Signale in der Regel nicht erfülltsind. Die erste Bedingung ist die volle Ausnutzung des Quantisierungsbereichs. EinAnalog-/Digitalumsetzer wird normalerweise so konfiguriert, dass es nicht zu ei-ner Überschreitung des Quantisierungsbereichs (Übersteuerung) kommen sollte. Ei-ne Übersteuerung kann zu sehr großen Quantisierungsfehlern führen, die sich auchakustisch störend bemerkbar machen. Daher wird man beispielsweise bei der Erfas-sung von Sprache die Quantisierung so konfigurieren, dass es auch bei einem „lauten“Sprecher nicht zur Übersteuerung kommt. Andererseits führt dies bei einem „leisen“Sprecher dazu, dass möglicherweise nur ein kleiner Teil des Quantisierungsbereichsgenutzt wird.

In diesem Fall reduziert sich die Signalleistung bei einer weiterhin angenomme-nen Gleichverteilung der Amplitudenwerte im Amplitudenbereich−Amax

r≤ x(n) ≤


1. Signalwandlung

+Amaxr

auf

S =1

3·(Amax ·

1

r

)2

wobei r einen Wert größer 1 annimmt. Die Leistung N des Rauschens verändert sichdabei nicht, da die Breite eines Quantisierungsintervalls unverändert bleibt und dieFehler damit weiterhin im gleichen Wertebereich auftreten.

Beispielsweise würde r = 2 bedeuten, dass nur die Hälfte des möglichen Wertebe-reichs des A/D Umsetzers verwendet wird.

Das resultierende Signal/Rauschleistungsverhältnis ergibt sich allgemein zu

SNR = 10 · log10

(S

N

)= 10 · log10

(12 · A2

max

3 ·∆x2· 1

r2

)= 10 · log10

(22k

r2

)

= 10 · log10

(22k)− 10 · log10

(r2)

= k · 6, 02 dB − 20 · log10(r)

Für r = 2 resultiert daraus eine Verschlechterung des SNRs um 6,02 dB.

Für das Beispiel einer Quantisierung mit 16 Bit (wie bei der CD) würde eine Be-schränkung der Aussteuerung auf die Hälfte des maximal möglichen Amplitudenbe-reichs zu einem SNR von 96− 20 · log102 = 90 dB führen. Dies entspricht dem SNR,das sich bei einer Quantisierung mit 15 Bit einstellt. Die Beschränkung auf die Hälftedes maximal möglichen Quantisierungsbereichs entspricht einer Quantisierung mitder Hälfte der insgesamt 2k Intervalle: 1

2· 2k = 2k−1

Dies bedeutet, dass die Quantisierung eines Signals, das nur die Hälfte des Quan-tisierungsbereichs ausnutzt, einer Quantisierung mit einer um 1 Bit geringeren Ge-nauigkeit entspricht.

Für ein Signal, das zwar eine Gleichverteilung der Amplituden aufweist, aber denQuantisierungsbereich nicht voll ausnutzt, kann man die folgende Abhängigkeit desSNR von der Leistung S des Signals bzw. von dem Leistungsverhältnis S

Svollableiten,

wobei Svoll der Leistung bei einer vollen Ausnutzung des Quantisierungsbereichsentspricht.

SNR

(S

Svoll

)= 10 · log10

(S

N

)= 10 · log10

(S

N· SvollSvoll

)= 10 · log10

(SvollN· S

Svoll

)


1. Signalwandlung

= 10 · log10

(SvollN

)+ 10 · log10

(S

Svoll

)= k · 6, 02 dB + 10 · log10

(S

Svoll

)Damit ergibt sich ein einfacher linearer Zusammenhang für den Wert des SNR in dBin Abhängigkeit des logarithmischen Verhältnisses 10 · log10

(S

Svoll

), wie man es der

Darstellung in Abbildung 1.24 für eine Quantisierung mit k=8 Bit und mit k=12Bit entnehmen kann.

Abbildung 1.24.: Abhängigkeit des SNR von der Ausnutzung des maximalenQuantisierungsbereichs

Bei einer vollen Ausnutzung des Quantisierungsbereichs ist S = Svoll bzw. 10 ·log10

(S

Svoll

)= 0 und das SNR nimmt den Wert k · 6, 02 dB an. Verkleinert sich

beispielsweise die Signalleistung relativ um 6 dB, so resultiert daraus auch eineVerschlechterung des SNR um 6 dB.

Auch die zweite Bedingung, dass alle Amplitudenwerte mit gleicher Wahrschein-


1. Signalwandlung

lichkeit auftreten, ist bei vielen Signalen nicht erfüllt. Beispielsweise treten bei Au-diosignalen kleine Amplitudenwerte wesentlich häufiger auf als große. Eine nähe-rungsweise Darstellung der Verteilungsdichtefunktion für Audiosignale findet sich inAbbildung 1.25. Diese Funktion besitzt die Charakteristik einer Laplace oder Gam-ma Verteilung . Dabei ist die logarithmische Skalierung der Ordinate zu beachten.Bei einer linearen Darstellung würde eine noch deutlich höher gelegene Spitze beidieser Verteilung auftreten.

Abbildung 1.25.: Gamma Funktion zur Beschreibung der Verteilungsdichtefunktionbei Audiosignalen

Da die kleinen Amplitudenwerte wesentlich häufiger als große auftreten, resultiertdaraus auch eine im Vergleich zur Gleichverteilung wesentlich geringere Signalleis-tung. Für Sprache erhält man daher bei linearer Quantisierung ein SNR, das umetwa 6 bis 7 dB schlechter ist als bei einem Signal, dessen Amplitudenwerte eineGleichverteilung über den gleichen Amplitudenbereich aufweisen.

Zusammenfassend kann man festhalten, dass die häufig angegebene BeschreibungSNR = k · 6, 02 dB als Maß für die Güte der Quantisierung die in der Praxis anzu-treffenden Signal/Rauschleistungsverhältnisse bei vielen Signalen, z.B. bei Sprach-und Audiosignalen, nur näherungsweise wiedergeben.

Insgesamt ergibt sich bei Anwendung der Puls-Code-Modulation auf Grund der


1. Signalwandlung

Abtastung und Quantisierung ein Datenstrom, den man quantitativ durch eine Da-tenrate beschreiben kann. Beispielsweise benötigt man zur Codierung von Spracheeine Quantisierung mit k = 12 Bit, um bei einer Rekonstruktion des Signals einegute Sprachqualität zu gewährleisten. Damit ergeben sich Datenraten von

160001s· 12 Bit = 192000Bit

sbei einer Abtastung mit fa = 16 kHz und von

80001s· 12 Bit = 96000Bit

sbei einer Abtastung mit fa = 8 kHz.

Bei der zweikanaligen (Stereo) Erfassung eines Musiksignals mit der im Bereichder Audio-CD üblichen Abtastfrequenz von 44,1 kHz und einer Quantisierung mitk = 16 Bit erhält man eine Datenrate von

2 · 441001s· 16 Bit = 1411200Bit

2∼ 1, 4MBit

s.

1.5. Rekonstruktion des analogen Signals

(Digital-/Analogumsetzung)

Um aus den codierten Abtastwerten wieder das analoge Signal zu rekonstruieren,kann man zunächst die Dualzahlen auf die Amplitudenwerte x(n) abbilden, die denWert in der jeweiligen Mitte des zugehörigen Intervalls annehmen. Dann müsste manaus der Folge von Abtastwerten {· · · x(−2) x(−1) x(0) x(1) x(2) · · · } wie-der das pulsamplitudenmodulierte Signal generieren, das ein analoges Signal dar-stellt, dessen Amplitude gleich Null ist außer zu den Zeitpunkten n · T , bei denendas Signal die Amplitudenwerte x(n ·T ) annimmt. Die Rekonstruktion des analogenSignals aus dem pulsamplitudenmodulierten Signal mit Hilfe eines Tiefpassfiltersmit der Grenzfrequenz fg <∼ fa

2wurde bereits in Abschnitt 1.1 beschrieben.

In der Praxis lassen sich allerdings keine „unendlich“ kurzen Impulse erzeugen. Manverwendet in einem Digital-/Analogumsetzer (DAU) meist ein „Abtast-Halte-Glied“,das für die Dauer T eines Abtastzyklus ein Signal mit der konstanten Amplitudex(n) erzeugt. Damit erhält man ein treppenförmiges Signal, wie es beispielhaft inAbbildung 1.26 dargestellt ist.

Zur korrekten Rekonstruktion des analogen Signals aus dem treppenförmigen Si-gnal benötigt man neben dem bereits erwähnten Tiefpassfilter noch ein weiteresFilter, dessen Charakteristik sich aus der mathematischen Beschreibung des trep-penförmigen Signals ableiten lässt. Der Ersatz der mit den Werten x(n) gewichtetenDirac-Impulse durch Rechteckimpulse mit der Dauer T lässt sich als eine Faltungder Dirac-Impulse mit einer Rechteckfunktion der Breite T darstellen:


1. Signalwandlung

[x(n) ·

∞∑n=−∞

δ(t− n · T

]∗ rect

(t

T

)Der Faltung mit der Rechteckfunktion entspricht im Frequenzbereich eine Multipli-kation mit der Fourier Transformierten der Rechteckfunktion. Die Fourier Transfor-mierte der Rechteckfunktion nimmt die Charakteristik einer so genannten SI Funk-tion an, was in einem späteren Kapitel detailliert hergeleitet wird. Die SI Funktionstellt eine gedämpfte Sinusschwingung der Form sin(x)

xdar. Die Transformation des

Rechtecks mit der Breite T führt zu der Übertragungsfunktion

rect(tT

)T · sin(π·f ·T )

π·f ·T = T · sin(π·ffa

)π· ffa

Der Amplitudengang |H(f)| =sin(π· ffa )π· ffa

ist in Abbildung 1.27 dargestellt. Zur kor-

rekten Rekonstruktion des analogen Signals benötigt man daher ein Filter, das zumeinen die Wichtung mit der SI förmigen Charakteristik kompensiert und zum ande-ren die TP Filterung, idealerweise mit einem TP mit der halben Abtastfrequenz alsGrenzfrequenz, beinhaltet. Die aus der multiplikativen Verknüpfung von 1

H(f)und

dem „idealen“ TP resultierende Filtercharakteristik ist in Abbildung 1.28 dargestellt.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Zeit/ms

Abbildung 1.26.: Generierung eines treppenförmigen Signals mit Hilfe eines Abtast-Halte-Glieds


1. Signalwandlung

−3 −2 −1 0 1 2 3

0

0.25

0.5

0.75

1

f/fa

|H(f)|

Abbildung 1.27.: SI förmige Frequenzcharakteristik

0 fa/2 fa

0

0.5

1

1.5

Frequenz

|Hcomp

(f)|

Abbildung 1.28.: Frequenzgang des Kompensations- und Rekonstruktionsfilters

1.6. Nichtlineare Quantisierung

Ausgehend von der in Abbildung 1.25 gezeigten Verteilungsdichtefunktion, die deut-lich macht, dass bei dem beispielhaft betrachteten Audiosignal kleine Amplituden-


1. Signalwandlung

werte wesentlich häufiger auftreten als große, lässt sich der Ansatz einer nichtli-nearen Quantisierung ableiten. Dabei wird die Breite eines Quantisierungsintervallsnicht einfach konstant über den gesamten Quantisierungsbereich gewählt, sondern inAbhängigkeit der Auftrittswahrscheinlichkeit bestimmter Amplituden oder Ampli-tudenbereiche festgelegt. Im Fall des Audiosignals wird im Bereich kleiner Amplitu-denwerte, die mit einer wesentlich höheren Wahrscheinlichkeit auftreten, die Breiteder Quantisierungsintervalle kleiner gewählt als im Bereich der mit einer deutlichgeringeren Wahrscheinlichkeit auftretenden größeren Amplitudenwerten. Dadurchtreten bei den kleinen Amplituden geringere Quantisierungsfehler auf. Da sich dieRauschleitung N als Erwartungswert über den gesamten Quantisierungsbereich un-ter Einbezug der zugehörigen Auftrittswahrscheinlichkeiten berechnet, ergibt sichdabei eine insgesamt geringere mittlere Leistung des Quantisierungsrauschens. Diesführt zu einer Verbesserung des SNRs im Vergleich zu einer gleichmäßigen Quanti-sierung mit der gleichen Bitanzahl.

Im Folgenden wird zunächst als ein Beispiel einer nichtlinearen Quantisierung dieCodierung von Sprache gemäß dem internationalen Standard G.711 der ITU (Inter-national Telecommunication Union) vorgestellt. Abschließend wird eine Vorgehens-weise vorgestellt, um für ein Signal mit einer beliebigen, aber bekannten Verteilungs-dichtefunktion, die Intervallgrenzen einer nichtlinearen Quantisierung zur Minimie-rung des SNR festzulegen. Der aus dieser Vorgehensweise resultierende Quantisiererwird nach den Erfindern als „Max Lloyd“ Quantisierer bezeichnet.

1.6.1. Codierung von Sprache gemäß der ITU Empfehlung

G.711

Der Ansatz einer nichtlinearen Quantisierung bei Sprachsignalen wurde mit der Ziel-setzung verfolgt, eine geeignete Sprachcodierung zur Sprachübertragung im ISDN(Integrated Services Digital network) zu finden. Bei ISDN steht zur Übertragungvon Sprache ein Nutzkanal mit einer Datenrate von 64 kBit

szur Verfügung. Es wur-

de zuvor gezeigt, dass bei der Puls-Code-Modulation von Sprache zur Erzielung einerguten Sprachqualität im Bereich der Telefonie ein Datenstrom mit einer Datenratevon 96 kBit

sentsteht. Zur Reduktion der Datenrate auf den Wert von 64 kBit

shat

man daher bei der Entwicklung der verschiedenen Dienste im ISDN die nichtlineareQuantisierung zur Codierung der Sprache herangezogen.

Da die technische Realisierung eines unmittelbar nichtlinear arbeitenden Quantisie-rers einigen Aufwand erfordert, nimmt man eine Abbildung der Amplitudenwerte


1. Signalwandlung

mit Hilfe einer nichtlinearen Kennlinie und eine anschließende lineare Quantisierungder abgebildeten Werte vor. Dies hat den Vorteil, dass die Quantisierung in bekann-ter Weise bei einer linearen Unterteilung des Quantisierungsbereichs vorgenommenwerden kann. In Abbildung 1.29 ist eine solche Kennlinie y = g(x) dargestellt ist,wobei nur der Bereich der positiven Amplitudenwerte betrachtet wird.

Abbildung 1.29.: Kompressor-Kennlinie zur nichtlinearen Quantisierung

Für negative Werte erfolgt die Abbildung mit Hilfe der zum Ursprung punktsym-metrischen Kennlinie. Zudem erfolgt hier eine normierte Darstellung durch eineSkalierung der Eingangs- und Ausgangswerte der Abbildung auf den Wertebereichzwischen 0 und 1. Man bezeichnet eine derartige Kennlinie auch als Kompressor -Kennlinie. Die lineare Quantisierung der abgebildeten y Werte führt zu einer nicht-linearen Quantisierung der x Werte, wie es Abbildung 1.29 veranschaulicht. DieQuantisierungsfehler sind bei kleinen Amplitudenwerten deutlich niedriger als beigroßen. Nach Codierung und Übertragung der quantisierten abgebildeten Ampli-tudenwerte müssen zur Rekonstruktion des Signals beim Empfänger die codiertenWerte mit Hilfe einer inversen Expander -Kennlinie wiederum auf den Wertebereichvon x abgebildet werden, wie es in Abbildung 1.30 veranschaulicht wird. DiesenVorgang der Kompression und anschließenden Expansion bezeichnet man auch alsKompandierung .


1. Signalwandlung

Abbildung 1.30.: Quantisierung mit Kompandierung

Bei ISDN ergibt sich für die angestrebte Datenrate von 64 kBits

bei der im Bereich derTelephonie üblichen Abtastfrequenz von 8 kHz eine Anzahl von 8 Bits zur Quantisie-rung eines Abtastwerts. Somit kann die lineare Quantisierung der mit der Kennlinieabgebildeten Werte in 256 Abtastintervallen vorgenommen werden.

Die genaue Definition des Verlaufs der in Abbildung 1.29 gezeigten Abbildungs-kennlinie wurde zur Erreichung zweier Ziele vorgenommen. Das erste Ziel war eineQuantisierung der kleinen, häufig auftretenden Amplitudenwerte mit einer Genau-igkeit, die der einer linearen Quantisierung mit 12 Bit entspricht. Dieses Ziel lässtsich erreichen, wenn die Kennlinie im Ursprung relativ steil mit einer Steigung von16 verläuft. Damit nehmen die Quantisierungsintervalle im Bereich kleiner Amplitu-den eine Breite an, die 1

16der Breite eines Quantisierungsintervalls bei der linearen

Quantisierung der abgebildeten Werte entspricht. Dem entspricht eine um 4 Bithöher aufgelöste Quantisierung gegenüber der linearen Quantisierung mit 8 Bit.

Als zweites Ziel wurde ein Verlauf des SNRs in Abhängigkeit der Signalleistungangestrebt, so dass sich dabei ein nahezu konstanter Wert des SNRs im Bereichgrößerer Amplituden einstellt. Da die Signalleistung S ∼ x2 und die RauschleistungN ∼ ∆x2 ist, kann man aus dem zweiten Ziel das Kriterium ableiten, einen möglichstkonstanten relativen Quantisierungsfehler ∆xi

x= const zu erreichen. Daraus ergibt

sich ein logarithmischer Verlauf der Kennlinie.

In Europa wurde die sogenannte „A-Kennlinie“ festgelegt, die aus 2 Abschnittenbesteht:

y1(x) =A

1 + ln(A)· x fur 0 ≤ x ≤ 1

Aund

y2(x) = 1 +ln(x)

1 + ln(A)=

1 + ln(A) + ln(x)

1 + ln(A)=

1 + ln(A · x)

1 + ln(A)fur

1

A≤ x ≤ 1


1. Signalwandlung

Bei dem ersten Abschnitt handelt es sich eine Geraden-Kennlinie. A nimmt einenWert von A = 87.56 an, womit sich die Steigung im Ursprung zu A

1+ln(A)= 16 er-

gibt. Damit verkleinern sich die Quantisierungsintervalle um den Faktor 16 = 24, sodass sich das Signal-/Rauschleistungsverhältnis (SNR) in dem Bereich − 1

A≤ x ≤ 1

A

um 4 · 6 = 24 dB gegenüber einer linearen Quantisierung erhöht. Wie schon zuvorerwähnt, wird für die negativen Amplitudenwerte die zum Ursprung punktsymme-trische Kennlinie verwendet.

In den digitalen Telefonsystemen Nordamerikas und Japans wird zur nichtlinearenQuantisierung die sogenannte µ-Kennlinie verwendet:

y(x) = sign(x) · ln(1 + µ · |x|)ln(1 + µ)

mit µ = 255 fur − 1 ≤ x ≤ 1

Die Verläufe von A- und µ-Kennlinie sind allerdings nahezu identisch.

Die exakte Berechnung des SNR ist bei einer nichtlinearen Quantisierung etwas auf-wendiger. Näherungsweise lässt sich das SNR für eine Vollaussteuerung des gesam-ten, zur Quantisierung zur Verfügung stehenden Amplitudenbereichs berechnen zuSNR/dB = 8 ·6, 02−9, 99 = 38, 17 dB, wobei dazu wieder das gleichwahrscheinlicheAuftreten aller Amplitudenwerte im gesamten Quantisierungsbereich angenommenwird. Damit ergibt sich ein um etwa 10 dB schlechteres SNR im Vergleich zur li-nearen Quantisierung, wenn man den Quantisierungsbereich voll ausnutzt und einSignal annimmt, dessen Amplitudenwerte aller mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf-treten. Wie jedoch im vorhergehenden Abschnitt bereits gezeigt wurde, sind dieseAnnahmen bei Sprache nicht zutreffend.

Die Verläufe des SNRs in Abhängigkeit der Ausnutzung des zur Verfügung stehendenQuantisierungsbereichs werden in Abbildung 1.31 für eine lineare Quantisierungmit 8 oder 12 Bit sowie für eine nichtlineare Quantisierung mit 8 Bit dargestellt.Dabei wird wie in Abbildung 1.24 das SNR in Abhängigkeit des logarithmiertenVerhältnisses der Leistungen 10 · log10

(S

Svoll

)angegeben unter der Annahme eines

gleichwahrscheinlichen Auftretens der Amplitudenwerte.

Dem Verlauf kann man entnehmen, dass man in den Signalabschnitten, in denen nurkleine Amplitudenwerte mit einer entsprechend geringen Signalleistung auftreten, imVergleich zur linearen Quantisierung mit 8 Bit eine Verbesserung des SNRs um 24dB erzielt. Dies resultiert aus der Quantisierung der kleinen Amplituden mit derum den Faktor 16 geringeren Intervallbreite, was effektiv einer Quantisierung mit8 + 4 = 12 Bit entspricht. Bei Sprache treten solche Signalabschnitte sehr häufigauf. Im Bereich größerer Amplituden stellt sich das angestrebte konstante SNR mit


1. Signalwandlung

einem Wert von etwa 38 dB ein.

Abbildung 1.31.: SNR in Abhängigkeit der Signalleistung S eines gleichverteiltenSignals

Insgesamt stellt sich bei der nichtlinearen Quantisierung des Sprachsignals in derpraktischen Anwendung im ISDN ein besseres SNR im Vergleich zur linearen Quan-tisierung mit 8 Bit ein. Die gröbere Quantisierung bei größeren Amplitudenwertenwird aufgrund der psychoakustischen Wahrnehmungseigenschaften des menschlichenGehörs als nicht besonders störend wahrgenommen.

In der praktischen Realisierung wird die logarithmische Kennlinie in einzelnen Ab-schnitten durch eine jeweils lineare Kompander-Kennlinie angenähert. Dazu wirdder gesamte Wertebereich −1 ≤ x ≤ 1 in 13 Segmente unterteilt, weshalb man auchvon einer 13-Segmentkennlinie spricht. In Abbildung 1.32 ist der positive Bereichder Kennlinie für x ≥ 0 und y ≥ 0 dargestellt, in dem 7 der 13 Segmente zu sehensind.


1. Signalwandlung

Abbildung 1.32.: 13 Segment-Kennlinie

Dabei ist das unterste Segment in dieser Darstellung im Bereich 0 ≤ x < 164

nurzur Hälfte zu sehen, da die sich durch den Ursprung fortsetzende, gleiche Geraden-Kennlinie auch im Bereich − 1

64< x ≤ 0 negativer Werte verwendet wird. Die

anderen 6 Segmente im Bereich x ≥ 164

treten im negativen Bereich aufgrund derpunktsymmetrischen Kennlinie in entsprechender Weise auf, so dass sich insgesamt13 Abschnitte ergeben.

Bei einer linearen Quantisierung des y Wertebereichs mit 8 Bit bedeutet diese Seg-mentierung, dass für die positiven Werte x ≥ 0 im untersten Segment 32 der insge-samt 128 Quantisierungsstufen im positiven Wertebereich liegen und in den verblei-benden 6 Segmenten jeweils 16 Quantisierungsstufen liegen. Im negativen Bereichsieht es entsprechend aus, so dass das den Ursprung einschließende Segment 64 derinsgesamt 256 Quantisierungsstufen umfasst.

Die nichtlineare Quantisierung mittels dieser Kompander-Kennlinie kann man auchals eine Abbildung von digitalen Werten, die linear mit 12 Bit quantisiert wurden,auf digitale Werte, die durch 8 Bit beschrieben werden, ansehen. Diese Abbildungs-vorschrift kann man für die 13 Segmente der tabellarischen Zusammenstellung inTabelle 1.2 entnehmen.


1. Signalwandlung

Segment Bereich Dualzahl (12 Bit) Code (8 Bit)0 0 ≤ |x| < 2−7 S 0000000.... S 000 ....0 2−7 ≤ |x| < 2−6 S 0000001.... S 001 ....1 2−6 ≤ |x| < 2−5 S 000001....- S 010 ....2 2−5 ≤ |x| < 2−4 S 00001....- - S 011 ....3 2−4 ≤ |x| < 2−3 S 0001....- - - S 100 ....4 2−3 ≤ |x| < 2−2 S 001....- - - - S 101 ....5 2−2 ≤ |x| < 2−1 S 01....- - - - - S 110 ....6 2−1 ≤ |x| < 2−0 S 1....- - - - - - S 111 ....

Tabelle 1.2.: Abbildungsvorschrift von 12 auf 8 Bit bei der nichtlinearen Quantisie-rung nach G.711

Das Vorzeichenbit S des 8 Bit Codes wird von der 12-stelligen Dualzahl übernom-men. Die nächsten drei Bit beschreiben sozusagen die Segmentzugehörigkeit. Unddie 4 niederwertigsten Bits entsprechen den 4 Bit der 12-stelligen Dualzahl nach derführenden 1 (gepunktet dargestellt). Diese 4 Bit beschreiben eine lineare Untertei-lung eines Segments in 16 Intervalle. Insgesamt resultiert damit eine Quantisierungmit einer zu größeren Amplituden hin zunehmend geringeren Auflösung. Bei kleinenAmplituden nimmt man eine Quantisierung mit 12 Bit vor, die sich zu größerenAmplituden hin schrittweise bis auf einen Wert von 6 Bit verschlechtert. Die ausdieser Abbildungsvorschrift resultierende Quantisierungskennlinie ist in Abbildung1.33 dargestellt.

Die nichtlineare, in den einzelnen Abschnitten jedoch wieder lineare Quantisierungsowie die zuvor angegebene Abbildungsvorschrift werden in dieser Form durch deninternationalen Standard G.711 der ITU (International Telecommunication Union)beschrieben, der die Grundlage für die Übertragung von Sprachsignalen im ISDNdarstellt. Damit lässt sich eine subjektiv gute Sprachqualität erzielen. Die mit derCodierung nach G.711 erzielte Sprachqualität wird auch häufig als Referenz fürdie Beurteilung der mit anderen Sprachcodierungsverfahren erzielten Sprachqualitätherangezogen, beispielsweise in der Mobilkommunikation.


1. Signalwandlung

Abbildung 1.33.: ALAW- Quantisierungskennlinie nach dem ITU Standard G.711

Zukünftig wird das ISDN vollständig durch ein schon heute vorhandenes, parallelbetriebenes IP basiertes Netzwerk mit einer paketbasierten Übertragung der Datenersetzt werden. Zur Übertragung von Sprache steht eine Vielzahl verschiedener Co-dierverfahren zur Verfügung, mit denen deutlich niedrigere Datenraten im Vergleichzu G.711 bei einem allerdings deutlich höheren Rechenaufwand erzielt werden kön-nen. Daher wird zurzeit und vermutlich auch in Zukunft die Codierung gemäß G.711weiterhin in vielen Fällen zur Sprachübertragung eingesetzt werden.

1.6.2. Max-Lloyd Quantisierer

Im vorhergehenden Abschnitt wurde beispielhaft die Quantisierung des Sprachsi-gnals betrachtet, bei dem die kleineren Amplitudenwerte mit wesentlich höhererWahrscheinlichkeit auftreten. Es gibt selbstverständlich viele Signale, die die Cha-rakteristik anderer Verteilungsdichtefunktionen besitzen. Daher hat man Verfahrenentwickelt, um für eine beliebige, aber vorgegebene Verteilungsdichtefunktion dieLage und die Breiten der Quantisierungsintervalle mit dem Ziel einer Minimierungdes mittleren SNR festzulegen. Das nach seinen Erfindern benannte Verfahren bein-haltet eine iterative Vorgehensweise zur Festlegung der Quantisierungsniveaus für


1. Signalwandlung

eine vorgegebene Verteilungsdichtefunktion p(x). Im Folgenden werden die einzelnenSchritte des Verfahrens erläutert.

Das Ziel ist eine Bestimmung der Quantisierungsniveaus x(i) mit i = 1, 2, . . . ,M

für M Quantisierungsintervalle, so dass die Leistung N der Quantisierungsfehlerein Minimum annimmt. Die M Intervalle decken dabei den Amplitudenbereich von−Amax bis +Amax ab.

M wird in der Regel zu 2k gewählt, wenn die Quantisierung mit k Bits erfolgen soll.Die Rauschleistung N lässt sich als Erwartungswert über dieM Intervalle berechnenzu

N =M∑i=1

bi∫bi−1

(x(i)− x)2 · p(x) ∂x

wobei die Werte bi mit i = 0, 1, . . . ,M die Grenzen der Quantisierungsintervalledefinieren.

In einem ersten Initialisierungsschritt werden die Quantisierungsniveaus x(i) zu-nächst „zufällig“ festgelegt. Beispielsweise könnte man die Niveaus und die Grenzenbi gemäß einer linearen Quantisierung mit ∆x = Amax

2k−1 festlegen zu

bi = −Amax + i ·∆x mit i = 0, 1, ...,M

x(i) = −Amax +2 · i− 1

2·∆x mit i = 1, ...,M

Nach dieser Initialisierung und einer Berechnung der dabei zu erwartenden Fehler-leistung Nini wird im nächsten Schritt unter Berücksichtigung der Verteilungsdich-tefunktion p(x) die neue und veränderte Lage der Quantisierungsniveaus berechnetmittels

xneu(i) =

bi∫bi−1

x · p(x) ∂x

bi∫bi−1

p(x) ∂x

mit i = 1, ...,M

Die Grenzen der Quantisierungsintervalle werden mittig zwischen den Quantisie-rungsniveaus gewählt zu


1. Signalwandlung

bi =xneu(i) + xneu(i+ 1)

2mit i = 1, ...,M − 1 und bo = −Amax, bM = +Amax

Mit den so gewählten Niveaus und Intervallgrenzen kann die Fehlerleistung für diesenIterationsschritt berechnet werden. Die iterative Vorgehensweise mit einer wieder-holten Bestimmung neuer Quantisierungsniveaus kann man beispielsweise so langefortsetzen, bis die relative Veränderung der Fehlerleistung von einem Iterations-schritt zum nächsten eine festgelegte Schwelle unterschreitet.


2. Diskrete Faltung zurBeschreibung digitaler Systemeim Zeitbereich

Um die Eigenschaften eines Systems, mit dem Signale verarbeitet werden, im Zeit-bereich ohne den Einsatz komplexer Differentialgleichungssysteme zu beschreiben,wird ein solches System als Zweitor betrachtet. Die Darstellung als Zweitor kannman in gleicher Weise bei der Verarbeitung analoger und digitaler Signale verwen-den, wie es in Abbildung 2.1 veranschaulicht wird.

Abbildung 2.1.: Signalverarbeitungssystem als Zweitor

Das Zweitor kann im Rahmen der Systemtheorie durch die Angabe eines analogenAusgangssignals y(t) oder eines digitalen Ausgangssignals y(n) als Reaktion aufein Eingangssignal x(t) oder x(n) beschrieben werden, wobei man y(t) oder y(n)

mathematisch als Funktion des Einganssignals darstellen kann:

y (t) = f {x(t)} bzw. y(n) = f {x (n)}

Nachfolgend werden zunächst die Eigenschaften linearer, zeitinvarianter Systeme de-finiert, auf deren Betrachtung sich dieses Kapitel beschränkt. Zur Bestimmung desanalogen Ausgangssignals eines solchen Systems, konkret des funktionalen Zusam-menhangs zwischen Eingangs- und Ausgangssignal, wird das Faltungsintegral her-geleitet. Dazu wird die Kenntnis der Stossantwort des Systems benötigt. Aus dem


2. Diskrete Faltung zur Beschreibung digitaler Systeme im Zeitbereich

Faltungsintegral ergibt sich für zeitdiskrete Signale und Systeme eine Faltungssum-me zur Bestimmung des digitalen Ausgangssignals. Neben dieser mathematischenHerleitung der Faltungssumme wird eine anschauliche Ableitung aus den grundlegen-den Eigenschaften linearer, zeitinvarianter Systeme gegeben. Abschließend werdendie algebraischen Regeln vorgestellt, die bei der Faltung von Signalen gelten.

2.1. Lineare, zeitinvariante (LTI) Systeme

Im Folgenden wird die Betrachtung auf lineare, zeitinvariante Systeme beschränkt,die sich durch die beiden Eigenschaften Linearität und Zeitinvarianz auszeichnen.Gemäß der englischen Übersetzung als „linear time invariant system“ findet manin der Literatur häufig das Kürzel LTI zur Kennzeichnung von Systemen, die dieseEigenschaften besitzen. Die beiden Eigenschaften definieren sich wie folgt:

• Es wird ein System betrachtet, an dessen Ausgang die Signale yi(t) als Reakti-on auf die zugehörigen Eingangssignale xi(t) auftreten. Dieses System wird alslinear bezeichnet, wenn eine beliebige, mit Faktoren ai gewichtete Linearkom-bination von Eingangssignalen xi(t), i = 1, 2, 3, ... zu einer entsprechenden,gewichteten Linearkombination von Ausgangssignalen yi(t) führt:

y(t) = f

{∑i

ai · xi(t)

}=∑

ai · f {xi(t)} =∑

ai · yi(t)

• Es wird ein System betrachtet, an dessen Ausgang das Signal y(t) als Re-aktion auf das Eingangssignal x(t) auftritt. Das System heißt zeitinvariant,wenn eine zeitliche Verschiebung des Eingangssignals zur gleichen zeitlichenVerschiebung des Ausgangssignals führt, ohne die Form des Ausgangssignalsdabei zu verändern:

y(t) = f {x(t− t0} = y(t− t0)

Als ein von [1] übernommenes Beispiel wird die Reaktion eines RC-Zweitors aufeinen analogen Rechteckimpuls als Folge des Auf- und Entladens des Kondensatorsbetrachtet, wie es in Abbildung 2.2 dargestellt ist.



Abbildung 2.2.: Reaktion eines RC-Zweitors auf einen Rechteckimpuls [1]

Abbildung 2.3.: Reaktion eines RC-Zweitors auf eine Folge von Rechteckimpulsen[1]

Da es sich bei dem RC-Zweitor um ein lineares, zeitinvariantes System handelt,kann die Reaktion auf eine Folge von Impulsen als eine additive Überlagerung derReaktionen auf jeden einzelnen Impuls beschrieben werden. Dies wird beispielhaftin Abbildung 2.3 veranschaulicht, in dem zwei Impulse mit unterschiedlichen Am-plitudenfaktoren zeitlich versetzt auf den Eingang des RC-Zweitors gegeben werden.

2.2. Herleitung des Faltungsintegrals

Das in Abbildung 2.3 gezeigte Beispiel deutet an, wie das Ausgangssignal eines li-nearen, zeitinvarianten Signalverarbeitungssystems prinzipiell als additive Überlage-rung der Reaktionen auf eine Summe elementarer Eingangssignale bestimmt werdenkann, wenn man das Ausgangssignal als Reaktion auf das elementare Eingangssi-gnal kennt. Damit lässt sich das Ausgangssignal für ein beliebiges Eingangssignalbestimmen. Kennt man beispielsweise das Ausgangssignal eines Systems für einenRechteckimpuls x0(t) der Breite T0 und der Amplitude 1

T0, so lässt sich allgemein



ein beliebiges Eingangssignal näherungsweise als Summe derartiger Rechteckimpulseund das Ausgangssignal als additive Überlagerung der Reaktionen auf die Folge vonImpulsen beschreiben. Dies wird in Abbildung 2.4 veranschaulicht.

Abbildung 2.4.: Beschreibung des Ausgangssignals als Summe der Reaktionen aufeine Folge von Rechteckimpulsen [1]

Das Signal x(t) kann näherungsweise als Folge von Rechteckimpulsen beschriebenwerden, wobei die Amplitude jedes Rechtecks durch den Amplitudenwert x (n · T0)

bei der zeitlichen Mitte jedes Impulses beschrieben wird. Wird jeder Rechteckimpulsals gewichtete Version des bekannten Rechteckimpulses xo(T ), der die Amplitude 1

T0

besitzt, beschrieben, so lässt sich das Signal x(t) näherungsweise beschreiben als

∞∑n=−∞

x0 (t− n · T0) · x (n · T0) · T0 ≈ x (t)

Das Ausgangssignal lässt sich dann ebenfalls näherungsweise als additive Überlage-rung der mit den jeweiligen Amplitudenfaktoren x (n · T0) · T0 gewichteten Reaktio-nen beschreiben als

∞∑n=−∞

y0 (t− n · To) · x (n · T0) · T0 ≈ y(t)



Das Eingangssignal und damit auch das Ausgangssignal werden umso exakter be-schrieben, je kleiner die Breite des Rechteckimpulses gewählt wird. Führt man denGrenzübergang T0 → 0 durch, so erhält man den sogenannten Stoss δ(t) als Ele-mentarsignal.

Abbildung 2.5.: Dirac Stoss δ(t)

Gibt man einen Dirac Stoss als Eingangssignal auf ein System, so erhält man amAusgang die sogenannte Stossantwort als Reaktion des Systems auf den Impuls:

T0 → 0 :x0(t)→ δ(t)

y0(t)→ h(t) Stossantwort

Die zuvor eingeführte Berechnung des Ausgangssignals als Reaktion auf eine Summevon Rechteckimpulsen geht dann in das sogenannte Faltungsintegral über:

Mit n · T0 → τ und T0 → dτ ⇒ y(t) =

∞∫−∞

x(τ) · h(t− τ)dτ

Anschaulich bedeutet dies die Multiplikation des Eingangssignals x(τ) mit der ander Ordinate gespiegelten und um die Zeit t verschobenen Stossantwort h(t − τ).Über dieses Produkt erfolgt dann die Integration. Man verwendet auch die folgendeSchreibweise, um die Faltung des Eingangssignals x(t) mit der Stossantwort h(t) desÜbertragungssystems zu definieren:

y(t) = x(t) ∗ h(t)

Man bezeichnet dies als das Faltungsprodukt von x(t) und h(t). Das Symbol ∗beschreibt den sogenannten Faltungsoperator.



2.3. Herleitung der diskreten Faltung aus dem

Faltungsintegral

Betrachtet man anstelle der zeitkontinuierlichen Signale x(t), h(t) und y(t) die ent-sprechenden abgetasteten, zeitdiskreten Signale x (n · T ) , h (n · T ) und y (n · T ) , sokann man das Faltungsintegral bei Substitution von τ durch m · T und von t durchn · T beschreiben als

Mit τ → m · T und t→ n · T ⇒ y (n · T ) =∞∫−∞

x (m · T ) · h (n · T −m · T ) d (m · T )︸︷︷︸T

Da die Signale nur noch zu den Zeitpunkten n · T von Null verschiedene Werteaufweisen, geht das Integral über in eine Summe

y(n) =∞∑

m=−∞

x (m · T ) · h [(n−m) · T ] · T

Die Zeit T zwischen zwei Abtastwerten ist nur beim Abtasten als auch bei derRekonstruktion eines analogen Signals von Bedeutung. Bei einer reinen Betrachtungder Folge von Abtastwerten, die mit einem digitalen System verarbeitet werden,kann man ohne Informationsverlust T = 1 setzen. Daraus resultiert die üblicheSchreibweise der diskreten Faltung als Faltungsssumme:

y(n) = x(n) ∗ h(n) =∞∑

m=−∞

x (m) · h (n−m)

Die zeitdiskrete Stossantwort h(n) bezeichnet man als Impulsantwort . Sie tritt amAusgang eines Systems auf, wenn man einen Dirac Impuls δ(n) auf den Eingang desSystems gibt.



Abbildung 2.6.: Dirac Impuls δ(n)

2.4. Die diskrete Faltung zur Beschreibung der

additiven Überlagerung der Reaktionen auf

eine Impulsfolge

Neben der mathematischen Herleitung der diskreten Faltungssumme aus dem Fal-tungsintegral kann man die diskrete Faltung auch anschaulich zur Bestimmung desErgebnisses der additiven Überlagerung der Reaktionen eines Systems auf eine Im-pulsfolge darstellen. Dabei wird die Kenntnis der Impulsantwort eines digitalen Sys-tems vorausgesetzt. Dazu wird beispielhaft die in Abbildung 2.7 dargestellte Impul-santwort h(n) betrachtet.

Abbildung 2.7.: Impulsantwort h(n) eines Signalverarbeitungssystems

Stellt man sich ein beliebiges, zeitdiskretes Eingangssignal als Summe einzelner Im-pulse vor, so folgt aus den Eigenschaften der Linearität und der Zeitinvarianz, dassman das Ausgangssignal als gewichtete Summe der Reaktionen auf alle Impulsebestimmen kann.

Beispielhaft wird dazu das in Abbildung 2.8 dargestellte Eingangssignal x(n) be-trachtet, das aus 3 Abtastwerten besteht. Alle anderen Werte von x(n) sind gleich



Null. Gibt man x(n) auf das System mit der Impulsantwort h(n), so reagiert dasSystem auf jeden der 3 Impulse zum entsprechenden Zeitpunkt mit einer dem Wertvon x(n) entsprechend gewichteten Version der Impulsantwort, wie es in Abbildung2.8 veranschaulicht wird.

Das Ausgangssignal y(n) lässt sich aus der additiven Überlagerung der Reaktionenauf alle Abtastwerte des Signals bestimmen. Damit ergibt sich beispielsweise fürn = 3 der Ausgangswert y(3)

y(3) = x(0) · h(3) + x(1) · h(2) + x(2) · h(1) = −1 · 0, 25 + 0, 5 · 0, 5 + 1 · 0, 75 = 0, 75

n

-1 0 1 2 3 4 5 6

x(n)

-1

1

0,5

n

-1 0 1 2 3 4 5 6

h(n-0) als Reaktion

auf x(0)=-1

-1

-0,75

-0,5-0,25

0,50,375

0,25n

-1 0 1 2 3 4 5 6

h(n-1) als Reaktion

auf x(1)=0,50,125

n

-1 0 1 2 3 4 5 6

h(n-2) als Reaktion

auf x(2)=1

1

0,5

0,25

0,75

n

-1 0 1 2 3 4 5 6

y(n) 0,625

-1

-0,25

0,8750,75

0,25

}}+

Abbildung 2.8.: Bestimmung des Ausgangssignals als additive Überlagerung derzeitversetzten Impulsantworten



Das additive Überlagern der Reaktionen auf alle Abtastwerte des Eingangssignalsentspricht mathematisch der im vorhergehenden Abschnitt hergeleiteten Faltungss-umme:

y(n) = x(n) ∗ h(n) =∞∑

m=−∞

x (m) · h (n−m)

Beispielsweise ergibt sich für n = 3 der Ausgangswert y(3) zu

y(3) =∞∑

m=−∞

x(m)·h(3−m) =2∑

m=0

x(m)·h(3−m) = x(0)·h(3)+x(1)·h(2)+x(2)·h(1)

Zusammenfassend lässt sich nochmals festhalten, dass die Faltungssumme die ma-thematische Beschreibung der additiven Überlagerung der Reaktionen auf alle Ab-tastwerte eines zeitdiskreten Signals darstellt. Benötigt wird dazu die Kenntnis derImpulsantwort h(n) eines Systems. Daher verwendet man zur Darstellung eines LTISystems die in Abbildung 2.9 gezeigte Charakterisierung des Systems durch seineImpulsantwort.

Abbildung 2.9.: Beschreibung eines Signalverarbeitungsblocks durch seine Impul-santwort h(n)

Handelt es sich bei dem Signal x(n) um ein zeitlich begrenztes Signal mit K Wertenungleich Null und bei der Impulsantwort h(n) um ein zeitlich begrenztes Signal mitL Werten ungleich Null, so ergibt sich als Ergebnis der Faltung ein Signal mit K +

L− 1 Werten ungleich Null. In dem in Abbildung 2.8 gezeigten Beispiel besteht daszeitbegrenzte Signal x(n) aus K = 3 Werten und die zeitbegrenzte Impulsantworth(n) aus L = 4 Werten. Somit ergibt sich ein Ausgangssignal mit K + L − 1 =

3 + 4− 1 = 6 Werten ungleich Null.

Der zur Ausführung der Faltung benötigte Rechnenaufwand kann an Hand der An-zahl benötigter Multiplikationen abgeschätzt werden. Zur Berechnung eines Aus-gangswerts y(n) sind eine der Anzahl der Werte der Impulsantwort entsprechendeAnzahl Multiplikationen erforderlich. Beispielhaft soll eine Impulsantwort betrachtetwerden, die 100 Werte beinhaltet. Dann ergibt sich beispielsweise die zur Filterung



eines mit 48 kHz abgetasteten Audiosignals notwendige Anzahl von Multiplikationenzu 48000Hz · 100 = 4, 8 · 106 Multiplikationen/s.

2.5. Graphische Vorgehensweise zur Bestimmung

der Faltungssumme

Neben der Bestimmung des Ausgangssignals durch die mathematische Berechnung

der Faltungssumme y(n) =∞∑

m=−∞x (m) · h (n−m) lässt sich auch eine graphische

Vorgehensweise angeben, mit der man in „anschaulicher“ Form die Faltungssummeberechnen und die Ausgangswerte y(n) bestimmen kann.

Die Berechnung eines Ausgangswerts y(n) als Faltungssumme∞∑

m=−∞x (m)·h (n−m)

kann man anschaulich durch

• eine Spiegelung der Impulsantwort h(m) an der Ordinate zur Genierung vonh(−m),

• eine Verschiebung der gespiegelten Impulsantwort an den Zeitpunkt n zurGenerierung von h(n−m) sowie die

• Berechnung der Summe der Produktterme x(m) · h(n−m) für alle Zeitpunk-te m vornehmen, bei denen x(m) und h(n-m) von Null verschiedene Werteannehmen.



m

-1 0 1 2 3 4 5 6

y(m)0,625

-1

-0,25

0,8750,75

0,25

-2-3-4

m

-1 0 1 2 3 4 5 6

h(4-m)

1

0,75

0,25

-2-3-4

0,5

m

-1 0 1 2 3 4 5 6

h(1-m)

1

0,75

0,25

-2-3-4

0,5

m

-1 0 1 2 3 4 5 6

h(0-m)

1

0,75

0,25

-2-3-4

0,5

m

-1 0 1 2 3 4 5 6

x(m)

1

-2-3-4

0,5

-1

y(0)=-1 1=-1.

y(1)=-1 0,75+0,5 1=-0,25. .

y(4)=0,5 0,25+1 0,5=0,625. .

} }} }

} }

n=0

n=0

n=...

n=4

Abbildung 2.10.: Graphische Lösung zur diskreten Faltung der Signale x(n) undh(n)

Die Berechnung aller Werte von y(n) kann man durch ein Schieben der gespiegeltenImpulsantwort von links nach rechts über alle Zeitpunkte hinweg vornehmen. Bei-spielhaft wird diese „graphische“ Lösungsweise in Abbildung 2.10 zur Bestimmungder Werte y(0), y(1) und y(4) veranschaulicht.



2.6. Faltungsalgebra

Das Rechnen mit dem Faltungsoperator lässt sich durch eine entsprechende Algebrabeschreiben, die weitgehend der der Multiplikation entspricht:

1. Der Dirac-Impuls stellt das Einselement der Faltungsalgebra dar:

x(n) = x(n) ∗ δ(n),

wobei der Dirac-Impuls δ(n) definiert ist als

δ(n) =

1 n = 0

fur

0 n 6= 0

2. Es gilt das Kommutativgesetz , nach dem die Faktoren eines Faltungsproduktsvertauscht werden dürfen:

x(n) ∗ h(n) = h(n) ∗ x(n)

Anschaulich bedeutet dies, dass das Ausgangssignal eines Systems mit der Im-pulsantwort h(n) bei Anliegen des Eingangssignals x(n) dem Ausgangssignaleines Systems mit der Impulsantwort x(n) bei Anliegen des Eingangssignalsh(n) entspricht.

3. Es gilt das Assoziativgesetz, nach dem bei Faltung von 3 Faktoren zwei be-liebige Faktoren zunächst miteinander gefaltet werden und dann eine Faltungmit dem dritten Faktor erfolgt:

x(n) ∗ g(n) ∗ h(n) = [x(n) ∗ g(n)] ∗ h(n) = x(n) ∗ [g(n) ∗ h(n)]

Das Assoziativgesetz lässt sich zur Bestimmung des Ausgangssignals bei derHintereinanderschaltung zweier Systeme, die die Impulsantworten g(n) undh(n) besitzen, anwenden. Entweder berechnet man das Ausgangssignal schritt-weise, in dem man erst die Faltung des Eingangssignals x(n) mit der Impul-santwort g(n) des ersten Systems berechnet und das daraus resultierende Si-gnal mit der Impulsantwort h(n) faltet. Alternativ kann man auch zuerst dieImpulsantwort des Gesamtsystems als Faltung von g(n) und h(n) bestimmen.Das Eingangssignal x(n) wird dann mit der Impulsantwort des Gesamtsystems



gefaltet. Abbildung 2.11 veranschaulicht diesen Zusammenhang.

g(n) h(n)x(n) y(n)

g(n) h(n)x(n) y(n)

*

} }Abbildung 2.11.: Assoziativgesetz

4. Es gilt das Distributivgesetz:

x(n) ∗ [g(n) + h(n)] = [x(n) ∗ g(n)] + [x(n) ∗ h(n)]

2.7. Impulsantwort des idealen Tiefpasses

Es stellt sich die Frage, wie die Werte einer Impulsantwort zu wählen sind, um einegewünschte Funktionalität eines Signalverarbeitungsblocks zu erzielen. Dabei stösstman auf die Erkenntnis, dass ein gewünschtes Verhalten in vielen Fällen einfacherund anschaulicher im Frequenzbereich festgelegt werden kann. Eine häufig anzu-treffende Aufgabenstellung ist die Filterung eines Signals, bei der beispielsweise dieFrequenzanteile in bestimmten Bereichen möglichst weitgehend unterdrückt werdensollen. Beispielhaft wird im Folgenden mit Hilfe einer inversen Fourier Transformati-on aus der Übertragungscharakteristik eines Tiefpasses das Aussehen der zugehöri-gen Impulsantwort abgeleitet. Die Anwendung der inversen Fourier Transformationerfolgt im Vorgriff auf das erst später folgende Kapitel zur Beschreibung von Signa-len und Signalverarbeitungssystemen im Frequenzbereich. Die ideale Charakteristikeines Tiefpasses lässt sich durch einen rechteckförmigen Verlauf beschreiben, wie erin Abbildung 2.12 als Fourier Spektrum in einer zweiseitigen Ansicht unter Berück-sichtigung negativer Frequenzen dargestellt ist.



f

fg-fg

|H (f)|TP

Abbildung 2.12.: Spektrum des idealen Tiefpass

Oberhalb der Grenzfrequenz fg bzw. unterhalb von −fg sollte der Betrag |HTP (f)|der Übertragungsfunktion den Wert Null annehmen, um die Frequenzanteile in die-sem Bereich vollständig zu unterdrücken. Mathematisch lässt sich der Verlauf alsHTP (f) = 1

2·fg · rect(

f2·fg

)beschreiben, wobei die Basisfunktion rect(f) ein Recht-

eck der Breite 1 im Bereich von −12bis +1

2mit einer Amplitude von 1 definiert.

Bei HTP (f) wird ein Amplitudenwert von 12·fg verwendet, um eine „normierte“ Dar-

stellung mit einem Flächeninhalt des Rechtecks von 1 zu erhalten. Eigentlich sollteder Wert von HTP (f) für den Fall eines ungedämpften Verhaltens im Durchlass-bereich des Filters den Wert 1 besitzen. Wir kommen später nochmals auf diesenNormierungs- oder Skalierungsterm zurück. Mit Hilfe der inversen Fourier Transfor-mation von HTP (f) lässt sich das Aussehen der zugehörigen Impulsantwort hTP (t)

ableiten:

hTP (t) =∞∫−∞

HTP (f) · ej·2·π·f ·t df

= 12·fg ·

fg∫−fg

ej·2·π·f ·t df(∫

ea·x = 1a· ea·x

)= 1

2·fg ·1

j·2·π·t ·[ej·2·π·f ·t

]fg−fg

= 12·fg ·

1j·2·π·t ·

(ej·2·π·fg ·t − e−j·2·π·fg ·t

)(ej·x = cos(x) + j · sin(x))

= 12·fg ·

1j·2·π·t · [cos (2 · π · fg · t) + j · sin (2 · π · fg · t)

−cos (2 · π · fg · t)− j · sin (−2 · π · fg · t)]

= 12·fg ·

1j·2·π·t · (2 · j · sin (2 · π · fg · t))

= sin(2·π·fg ·t)2·π·fg ·t → SI Funktion

Als Ergebnis erhält man die gedämpfte Sinusfunktion hTP (t) = sin(2·π·fg ·t)2·π·fg ·t , wie sie

in Abbildung 2.13 dargestellt ist.



t

h (t)TP

12 fg.

32 fg.

1fg

-12 fg.

-32 fg.

-1fg

Abbildung 2.13.: SI-Funktion

Die Funktion sin(x)x

bezeichnet man auch als SI Funktion, die hier für t = 0 den Wert1 annimmt und Nullstellen bei t = 1

2·fg und Vielfachen davon besitzt. Dabei han-delt es sich um eine zeitlich nicht begrenzte Funktion. Zur praktischen Realisierungmuss man die Funktion zeitlich begrenzen, was wiederum zur Folge hat, dass diezugehörige Übertragungscharakteristik im Frequenzbereich nicht den idealen recht-eckförmigen Verlauf besitzt. An dieser Stelle wird auch deutlich, dass man ein Filtermit unendlich hoher Flankensteilheit im Bereich der Grenzfrequenz praktisch nichtrealisieren kann. Das Begrenzen der zeitlichen Länge der Impulsantwort kann manmathematisch als Multiplikation mit einer entsprechend breiten Rechteckfunktiondarstellen. Der Multiplikation mit der Rechteckfunktion entspricht im Frequenz-bereich eine Faltung der idealen rechteckförmigen Tiefpasscharakteristik mit einerSI förmigen Charakteristik. Daraus resultiert ein Frequenzgang mit einer endlichenFlankensteilheit im Bereich der Grenzfrequenz sowie ein schwingungsförmiger Ver-lauf im Durchlass- und Sperrbereich. Eine genauere Betrachtung erfolgt im späterenKapitel zur Analyse von Signalen und Systemen im Frequenzbereich.

Zur digitalen Signalverarbeitung benötigt man eine zeitdiskrete Realisierung der SIförmigen Charakteristik. Durch die Substitution von t durch n · T = n

faerhält man

die diskreten Werte der Impulsantwort hTP (n) =sin(

2·π·n· fgfa

)2·π·n· fg

fa

.

Man beobachtet wieder die in der digitalen Signalverarbeitung typische Abhängig-



keit von einem Frequenzverhältnis, in diesem Fall von dem Verhältnis der Grenzfre-quenz zur Abtastfrequenz. Dies macht deutlich, dass die Faltung mit dieser Impul-santwort zu einer Tiefpassfilterung bei einer Grenzfrequenz fg führt, die abhängigist von der Abtastfrequenz des Signals, auf das man die Faltung anwendet.

Für das beispielhaft gewählte Verhältnis fgfa

= 18ergeben sich die diskreten Werte

der Impulsantwort zu hTP (n) =sin(2·π·n· 1

8)2·π·n· 1

8

=sin(π·n· 14)π·n· 1

4

.

Beschränkt man die Abtastindizes und damit die Breite der Impulsantwort auf denBereich von -16 bis +16, so erhält man die 33 in Abbildung 2.14 dargestellten Werte.Die Nullstellen treten bei n = 4, 8, 12, ... auf. Zusätzlich wird rechts das Betragsspek-trum der Impulsantwort mit 33 Werten dargestellt. Wie leicht zu erkennen ist, weichtder Verlauf von der des idealen TP in Abbildung 2.12 ab.

n=4

n=8

n=12

h (n)TP

|H (f)|TP

f

ff

= 18

g

a

| |

n

Abbildung 2.14.: Diskrete SI Funktion mit 33 Werten und zugehöriger Frequenzgang

Die Darstellungen in den Bildern 2.13 und 2.14 zeigen Impulsantworten, die auchfür negative Werte von t bzw. nWerte ungleich Null besitzen. Dies würde bedeuten,dass man Systeme betrachtet, die auf einen Dirac Impuls bereits zeitlich vor demAuftreten des Impulses eine Reaktion zeigen. Man spricht in diesem Zusammenhangvon nicht kausalen Systemen, da ein solches Verhalten praktisch nicht realisierbarist. In der Praxis wendet man beispielsweise die in Bild dargestellte Impulsantwortzeitversetzt um 16 Abtastzyklen an, in dem man die Werte an Stelle der Indizierungvon n = −16 bis +16 mit einer Indizierung von n = 0 bis 32 versieht. Als Kon-sequenz beobachtet man dann diesen Zeitversatz auch bei dem Signal am Ausgangdes Filters. Im Bereich der digitalen Filter bezeichnet man diesen Zeitversatz als die„Gruppenlaufzeit“ des Filters.



2.8. Zweidimensionale Faltung zur Verarbeitung

digitalisierter Bilder

Bisher wurde die diskrete Faltung zur Verarbeitung von Zeitsignalen, konkret einerFolge von Abtastwerten, die man aus der Abtastung eines elektrischen Spannungs-verlaufs in äquidistanten Zeitabständen gewonnen hat, angewendet. In diesem Ab-schnitt wird erläutert, dass man das Prinzip der Faltung auch auf andere Signalewie die Intensitätswerte eines digitalisierten Bildes anwenden kann. Bei einem digi-talisierten Bild erfolgt keine Abtastung über der Zeit, sondern über die räumlicheAusdehnung eines Bildes in horizontaler und vertikaler Richtung. Dabei lässt sichdie Helligkeits- oder Farbinformation als zweidimensionales Signal in Abhängigkeitder horizontalen und vertikalen Ausdehnung des Bildes darstellen. Zur Bearbeitungderartiger Signale kann man die bisherige Betrachtung der eindimensionalen Fal-tung auf eine zweite Dimension erweitern. Bevor dies erläutert wird, finden sichin den nachfolgenden Abschnitten grundlegende Informationen zur Erfassung undDarstellung digitalisierter Bildinformationen.

2.8.1. Grundlagen der digitalen Bildverarbeitung

Ein Bild kann man als die Projektion eines meist dreidimensionalen Geschehensauf eine zweidimensionale Darstellung betrachten, wie dies in einem Photoapparatund auch im menschlichen Sinnesorgan zur Wahrnehmung visueller Informationen,dem Auge, der Fall ist. Diese zweidimensionale Darstellung wird in unserem Augedurch eine ebenfalls zweidimensionale Anordnung von Nervenzellen auf der Netz-haut, den sogenannten Rezeptoren, in nervliche Aktivitäten umgesetzt. Der Aufbaudes menschlichen Auges ist in Abbildung 2.15 zu sehen.

Abbildung 2.15.: Aufbau des menschlichen Auges [1]



Die über den Sehnerv übertragenen Nervenaktivitäten lassen schließlich im Gehirndas eigentliche Bild entstehen. In Analogie dazu wird zur Digitalisierung eines Bildesdie zweidimensionale Abbildung in eine Vielzahl kleiner Segmente zerlegt, die manals Bildpunkte oder Pixel bezeichnet. In jedem Segment bestimmt man die Hellig-keit oder Werte, die die Intensität von drei Grundfarben definieren. Wählt man dieSegmente alle gleich groß, so erhält man die in Abbildung 2.16 dargestellte, zwei-dimensionale Segmentanordnung, die man auch als Zeilen und Spalten des Bildesbeschreiben kann.

Abbildung 2.16.: Zerlegung eines Bildes in eine Zeilen- und Spaltenanordnung vonSegmenten

Die Unterteilung des Bildes in diese zeilenund spaltenförmige Segmentanordnungstellt eine Abtastung der Bildinformation in horizontaler und vertikaler Richtungdar. Es stellt sich die Frage, wie viele Zeilen und Spalten und damit insgesamt Bild-punkte benötigt werden, um bei einem Betrachter einen zufriedenstellenden Ein-druck des Bildes zu erzeugen. Dabei bestimmt das örtliche Auflösungsvermögen desAuges maßgeblich den subjektiven Bildeindruck. Die Größe, mit der das Bild einemBetrachter angeboten wird, sowie der Abstand des Betrachters zu dieser Präsen-tation sind letztlich die Parameter, die die Dichte der Bildpunkte näherungsweisefestlegen. Für ein früheres Fernsehgerät ließen sich diese Parameter beispielsweiseals die Betrachtung eines etwa 50 mal 40 cm großen Bildes in einem Abstand von ca.3 m festlegen. Für diese Darstellungs- und Betrachtungsparameter hat sich heraus-gestellt, dass sich mit einer Zeilenanzahl von etwa 600 und einer Spaltenanzahl vonetwa 800 eine zufriedenstellende Betrachtung gewährleisten lässt. Neben der Fra-ge, wie viele Bildpunkte zur Beschreibung eines Bildes benötigt werden, stellt sichdie Frage, wie jeder einzelne Bildpunkt zu beschreiben ist. Handelt es sich um ein



Schwarz-/Weißbild oder ist man nur an der Schwarz-/Weißinformation eines Bildesinteressiert, so lässt sich der einzelne Bildpunkt durch ein Maß für die Helligkeitbeschreiben, das auch als Luminanz bezeichnet wird. Im menschlichen Auge dienendie Rezeptoren der Helligkeits- und Farbintensitätbestimmung. Sie lassen sich insogenannte „Zapfen“ und „Stäbchen“ unterteilen. Die Stäbchen, von denen etwa 120Millionen vorhanden sind, werden im Wesentlichen zur Wahrnehmung der Helligkeitbenutzt. In der Mitte der Netzhaut sind fast ausschließlich nur Zapfen vorhanden,während zur Peripherie der Netzhaut hin die Dichte der Stäbchen stetig zunimmt.

Meist ist man jedoch an der Farbinformation eines Bildes, die man als Chrominanzbezeichnet, interessiert. Im menschlichen Auge dienen die „Zapfen“ zur Wahrneh-mung der Farbinformation, wobei es drei verschiedene Zapfentypen gibt, die ent-weder sensitiv für die Farbe rot oder grün oder blau sind. Von den Zapfen besitztunser Auge etwa 6 Millionen. Aus den drei Grundfarben rot, grün und blau lassensich durch Mischung alle anderen Farben erzeugen. Physikalisch ist die Wellenlängedes Lichts der die Farbempfindung bestimmende Parameter. Zur digitalen Erfassungvon Bildern existieren entsprechende Sensoren, z.B. CCD Chips (Charge CoupledDevice), die für eine bestimmte Zeilen- und Spaltenanzahl gemäß der Anforderun-gen an die örtliche Auflösung für jeden Bildpunkt ein Maß für die Intensitäten derdrei Farben rot, grün und blau erzeugen. Die drei Intensitätswerte resultieren aus derspektralen Analyse des Lichts in dem entsprechenden Bereich der Wellenlänge. Jederder drei Intensitätswerte wird in der Regel mittels eines Analog-/Digital Umsetzersals digitaler Wert beschrieben, wobei häufig eine Quantisierung in 256 Intervallen,entsprechend einer Darstellung als 8 Bit Wert, erfolgt. Damit ergibt sich die Größedes Speichers, der für ein Bild aus 800 mal 600 Bildpunkten und bei Beschreibungjedes einzelnen Bildpunkts durch die 3 Intensitätswerte für rot (R), grün (G) undblau (B) benötigt wird, zu

800 · 600 · 3 · 8Bit = 11.520.000Bit = 1.440.000Byte = 1, 44MByte

Die Größe des für 1 Bild benötigten Speichers macht die Notwendigkeit deutlich,zur nachrichtentechnischen Übertragung diese Datenmenge entscheidend zu verrin-gern. Man spricht bei einem derart codierten Bild auch von einem RGB Signal. DieBeschreibung eines Bildpunkts durch die 3 mit jeweils 8 Bit quantisierten Intensi-tätswerte R, G und B Werte wird als Festlegung einer sogenannten Farbtiefe von24 Bit bezeichnet. Neben der Verwendung der drei Grundfarben rot, grün und blaulässt sich die Farbe auch durch eine Mischung anderer Farbbasiskomponenten, z.B.die mit der Abkürzung CMY (cyan – magenta – yellow) festgelegte Mischung der



Farben zyan, magenta und gelb, definieren.

Denkt man beispielsweise an die Historie der Fernsehtechnologie, so gab es zunächstnur Schwarz-/Weiß Geräte. Dabei wird jeder Bildpunkt nur durch einen Helligkeits-oder Grauwert beschrieben. Diese Luminanzkomponente Y lässt sich als gewichteteAddition von Rot-, Grün- und Blauanteilen beschreiben:

Y = 0, 299 ·R + 0, 587 ·G+ 0, 114 ·B

Die Luminanzkomponente Y wird zur Übertragung und Darstellung von Schwarz-/Weiß Fernsehbildern nach dem PAL (Phase Alternating Line) Standard verwendet.Bei Einführung der Farbfernsehtechnologie musste gewährleistet sein, dass auch dieBesitzer von Schwarz-/Weiß Geräten weiterhin Fernsehen konnten. Daher wurdenneben der Y Komponente zwei Komponenten U und V eingeführt, die sich als Dif-ferenz von Blau- bzw. Rotanteil und dem Luminanzwert Y beschreiben lassen:

U = 0, 493 · (B − Y ) V = 0, 877 · (R− Y )

Die U und V Komponenten lassen sich als gewichtete Summe von R, G und BAnteilen beschreiben:

U = 0, 493·B−0, 493·(0, 299 ·R + 0, 587 ·G+ 0, 114 ·B) = −0, 146·R−0, 288·G+0, 434·B

V = 0, 877·R−0, 877·(0, 299 ·R + 0, 587 ·G+ 0, 114 ·B) = 0, 617·R−0, 517·G−0, 1·B

Damit lässt sich die Bestimmung der Y , U und V Komponenten, die als Farbbasis-komponenten des PAL Standards verwendet werden, auch als Multiplikation einerMatrix von Wichtungsfaktoren mit einem Spaltenvektor der R, G und B Wertedarstellen: Y

U

V

=

0, 299 0, 587 0, 114

−0, 146 −0, 288 0, 434

0, 617 −0, 517 −0, 1

· R

G

B

Die Y , U und V Komponenten werden zur Übertragung eines Farbbilds nach demPAL Standard benutzt, wie es der Darstellung in Abbildung 2.17 entnommen werdenkann.



Abbildung 2.17.: Schematische Beschreibung des Farbfernsehens nach dem PALStandard [2]

Für den Besitzer eines Schwarz-/Weiß Empfängers war damit gewährleistet, dass erunter ausschließlicher Verwendung der Y Komponente sein Gerät weiterhin verwen-den konnte. Neben der Beschreibung von Farben durch die Basiskomponenten R, Gund B oder Y , U und V gibt es noch andere Definitionen von Basiskomponenten,die beispielsweise bei anderen Fernsehstandards oder im Bereich der Photographieoder Drucktechnik verwendet werden.

Die zeilenund spaltenweise Abtastung eines Bildes führt zu einer Beschreibungeines Bildes als zweidimensionales Signal I(m,n), wobei m und n dem Spalten- bzw.Zeilenindex eines Bildpunkts entsprechen. Im Fall eines Grauwertbildes definiertI(m,n) die Helligkeit in dem Segment mit dem Spaltenindexm und dem Zeilenindexn. Im Fall eines Farbbilds existieren drei zweidimensionale Signale, z.B. IR(m,n),IG(m,n) und IB(m,n) zur Beschreibung der Farbintensitäten bei einem RGB Bild.

Abbildung 2.18.: Intensität des Bildpunkts in der Zeile mit dem Index n und derSpalte mit dem Index m

Bei einem aus 800 mal 600 Bildpunkten bestehenden Bild nimmt der Index m dabeiWerte zwischen 0 und 799 und der Index n Werte zwischen 0 und 599 an. x(m,n)

nimmt als Wert bei einem Schwarz-/Weißbild den Grauwert des durch die Indices m



und n definierten Bildpunkts an. Bei einem Farbbild, bei dem jeder Bildpunkt durch3 quantisierte Farbbasiskomponenten beschrieben wird, existiert für jede Farbbasis-komponente ein zweidimensionales Signal, wobei in der Regel auf jede Komponentebei einer digitalen Verarbeitung des Bildes die gleiche Operation angewendet wird.

Abbildung 2.19.: Geänderte Anordnung der Bildpunkte zum Drehen bzw. Spiegelneines Bildes

Die zweidimensionale Signaldarstellung kann auch als Anordnung der Grau- bzw.Farbintensitätswerte in einer Matrix angesehen werden. Operationen, die sehr ein-fach durchgeführt werden können, sind das Drehen eines Bildes um ein Vielfachesvon 90 Grad oder das horizontale oder vertikale Spiegeln eines Bildes. In Abbildung2.19 wird beispielhaft das Drehen des Bildes um 90 Grad in Linksrichtung und dasSpiegeln in horizontaler Richtung veranschaulicht. Beim Drehen werden die Inhalteder Zeilen und Spalten der Matrix entsprechend der gewünschten Drehrichtung aus-getauscht, beim Spiegeln werden die Werte in jeder Zeile in umgekehrter Richtungangeordnet.

2.8.2. Zweidimensionale Faltung

Komplexere Veränderungen eines Bildes können als eine zweidimensionale Faltungdes Signals I(m,n) mit der Impulsantwort h(m,n) eines Filters durchgeführt wer-den. Durch eine Erweiterung der Definition der eindimensionalen Faltung auf zweiDimensionen lässt sich das Ergebnis der zweidimensionalen Faltung mathematischbestimmen mittels:

I (m,n) = I (m,n) ∗ ∗h (m,n) =∞∑

k=−∞

∞∑l=−∞

I (k, l) · h (m− k, n− l)

Die Impulsantwort h(m,n) ist die Reaktion eines zweidimensionalen Verarbeitungs-



blocks auf den zweidimensionalen Dirac-Impuls als Eingangssignal, wobei der Dirac-Impuls definiert ist als:

δ (m,n) =

1 m = n = 0

fur

0 sonst

Als Signal I(m,n) sei beispielhaft der folgende Ausschnitt eines Bildes mit denIntensitätswerten im Bereich der 40. Zeile und der 50. Spalte gegeben:

I =

... ... ...

... 112 116 118 ...

... 115 120 132 ...

... 117 124 132 ...

... ... ...

m−→ 49 50 51

n ↓39

40

41

Da zur Berechnung der Intensität I(m,n) jedes Bildpunkts eine Vielzahl von Mul-tiplikationen benötigt werden, begrenzt man die Impulsantwort h(m,n) auf die Be-trachtung einer Matrix mit einer beschränkten Anzahl von Werten, beispielsweisemit 3× 3 Werten. Dann werden zur Berechnung eines Intensitätswerts am Ausgangdes Verarbeitungsblocks 9 Multiplikationen benötigt. Diese Anzahl von Multiplika-tionen wird für jeden Bildpunkt und für jede Farbintensität benötigt.

h(m,n) =

−0, 1 −0, 2 0, 1

−0, 2 1 0, 2

−0, 3 0, 2 0, 3

m−→ −1 0 1

n ↓−1

0

1

Die Lösung der Faltungssumme∞∑

k=−∞

∞∑l=−∞

I (k, l)·h (m− k, n− l) kann man, ähnlich

wie bei der eindimensionalen Faltung, als ein in horizontaler und vertikaler Rich-tung umgekehrtes Anordnen der Werte der Impulsantwort als h(−k,−l) und eineVerschiebung dieser Werte an die jeweilige Position eines Bildpunkts h(m−k, n− l)



veranschaulichen. Die gespiegelte Anordnung der Werte h(k,l ) in der Form h(-k,-l)bezeichnet man auch als Filtermaske. Beinhaltet die Impulsantwort eine ohnehinbezüglich der horizontalen und vertikalen Richtung symmetrische Anordnung vonWerten, so sind Impulsantwort und Filtermaske identisch. Dies ist bei vielen in derPraxis eingesetzten Impulsantworten der Fall, beispielsweise bei den später gezeigtenGauß- und Laplacefiltern.

... ...

... ...

Spiegelachsen

h(−k,−l) =

0, 3 0, 2 −0, 3

0, 2 1 −0, 2

0, 1 −0, 2 −0, 1

Die benachbarten Intensitätswerte des Bildpunkts an der Position mit den Indicesm und n werden dann mit den zugehörigen Werten der Filtermaske multipliziert.Aus der Summation aller Produktterme resultiert dann der Intensitätswert an derStelle (m,n) am Ausgang des Signalverarbeitungsblocks.

... ... ...

... 112 · 0, 3 116 · 0, 2 118 · (−0, 3) ...

... 115 · 0, 2 120 · 1 132 · (−0, 2) ...

... 117 · 0, 1 124 · (−0, 2) 132 · (−0, 1) ...

... ... ...

⇒ I(50, 40) = 112 · 0, 3 + ...+ 132 · (−0, 1) = 111, 7

Die Multiplikation mit den Werten der Impulsantwort bzw. der Filtermaske kannman in der mathematischen Darstellung der zweidimensionalen Faltungssumme durcheine formale Substitution von m − k → r und n − l → s noch etwas anschaulicherverdeutlichen. Damit ergibt sich das Ergebnis der Faltung zu:

I (m,n) =∞∑

m−r=−∞

∞∑n−s=−∞

I (m− r, n− s) · h (r, s)



Im Fall, dass h(r, s) aus einer beschränkten Anzahl von Werten besteht, die sichbeispielsweise als quadratische Matrix mit (2 ·N + 1)× (2 ·N + 1) Werten für r =

−N, ..., 0, .., N und s = −N, ..., 0, .., N darstellen lässt, kann man die Summationauf die Dimension dieser Matrix beschränken:

I (m,n) =N∑

r=−N

N∑s=−N

I (m− r, n− s) · h (r, s)

Dies verdeutlicht noch einmal die Multiplikation der Intensitätswerte I(m−r, n−s)in der Umgebung des Bildpunkts an der Position mit den Indices m und n mit denWerten der Impulsantwort h(r, s).

Analog zur eindimensionalen Signalverarbeitung besitzen Verarbeitungsblöcke, diesich durch die Faltung mit einer zweidimensionalen Impulsantwort beschreiben las-sen, die Eigenschaften der Linearität und der Verschiebungsinvarianz, wobei dieVerschiebungsinvarianz der Zeitinvarianz bei der eindimensionalen Verarbeitung ent-spricht.

Probleme tauchen bei der Faltung mit der Impulsantwort h(m,n) an den Ränderndes Bildes auf, da in Abhängigkeit der Größe von h(m,n) bei den äußeren Zeilenund Spalten des Bildes teilweise keine Intensitätswerte des Bildes existieren. Mög-liche Lösungen sind dabei eine künstliche Erweiterung des Bildes durch einfacheWiederholung der Intensitätswerte in den Randzeilen und -spalten oder durch ei-ne zu den Rändern spiegelsymmetrische Fortsetzung mit den Intensitätswerten deräußeren Zeilen und Spalten.

Die Realisierung einer zweidimensionalen Faltung ist mit einem nicht ganz unerheb-lichen Rechenaufwand verbunden. Die Abschätzung des Rechenaufwands kann manan Hand der Anzahl benötigter Multiplikationen vornehmen. Besteht die Impulsant-wort beispielsweise aus 5× 5 Werten und führt man die Faltung bei einem Farbbildmit seinen drei Farbintensitäten und mit einer Pixelanzahl von 1024 · 768 durch,so erhält man 3 · 1024 · 768 · 5 · 5 = 58.982.400 Multiplikationen. Zur Realisierungmit einem Prozessor, dessen Leistungsfähigkeit begrenzt ist und der zur Ausführungeiner Multiplikation meist eine Vielzahl von Prozessorzyklen benötigt, findet mandaher häufig auch Impulsantworten, in denen Faktoren mit den Werten 2, 4, 8, ..., 2k

bzw. 12, 1

4, 1

8, ..., 1

2kauftreten. Die Multiplikation mit diesen Faktoren lässt sich als

„Bitshift“ Operation in der Regel in einem Prozessorzyklus realisieren. Dabei nimmtman auch in Kauf, dass man die gewünschten Werte der Impulsantwort nur nähe-rungsweise realisieren kann.



2.8.3. Beispiele zweidimensionaler Impulsantworten

Ähnlich wie bei der eindimensionalen Faltung stellt sich auch hier die Frage, wie dieAnzahl und die Werte einer Impulsantwort für eine gewünschte Aufgabenstellungzu wählen sind. Dazu werden nachfolgend die Definitionen zweier häufig im Bereichder Bildverarbeitung eingesetzter Impulsantworten vorgestellt.

Das erste Beispiel basiert auf der Verwendung der Gauß Funktion h(r) = 12·π·σ2 ·e−

r2

2·σ2

zur Festlegung der Werte der Impulsantwort. r beschreibt dabei den Radius oderAbstand von dem Wert in der Mitte der Impulsantwort. Dabei geht man von einersymmetrischen Anordnung vonWerten um diesen Mittelpunkt sowohl in horizontalerals auch in vertikaler Richtung aus. Mit dem Satz des Pythagoras kann man denquadrierten Abstand r2 durch m2 + n2 ersetzen, so dass sich die Impulsantwortbeschreiben lässt durch h(m,n) = e−

m2+n2

2·σ2

Der konstante Faktor 12·π·σ2 , mit dem alle Werte der Impulsantwort multipliziert

würden, wurde dabei vernachlässigt. Es findet ohnehin noch eine Skalierung derWerte h(m,n) statt, auf die etwas später eingegangen wird. In der Abbildung 2.20sind die beiden Gaußglocken h(r) für σ2 = 1 und σ2 = 2 dargestellt. Für die diskretenWerte h(m,n) mit m,n ε {−2,−1, 0, 1, 2} ergeben sich dabei die in den Matrizen inTabelle 2.1 zusammengestellten Werte.

−2

−1

0

1

2

−2

−1

0

1

2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

m

variance sig2 = 1

n −2

−1

0

1

2

−2

−1

0

1

2

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

m

variance sig2 = 2

n

Abbildung 2.20.: Gauß Funktionen mit σ2 = 1 und σ2 = 2



h(m,n) für Gauß mit σ2 = 1

0.02 0.08 0.14 0.08 0.020.08 0.37 0.61 0.37 0.080.14 0.61 1.00 0.61 0.140.08 0.37 0.61 0.37 0.080.02 0.08 0.14 0.08 0.02

h(m,n) für Gauß mit σ2 = 2

0.14 0.29 0.37 0.29 0.140.29 0.61 0.78 0.61 0.290.37 0.78 1.00 0.78 0.370.29 0.61 0.78 0.61 0.290.14 0.29 0.37 0.29 0.14

Tabelle 2.1.: Werte der Gauß Funktionen für m,n ε {−2,−1, 0, 1, 2} mit σ2 = 1 undσ2 = 2

Es wird deutlich, dass sich durch die Faltung mit diesen Impulsantworten am Aus-gang jeweils ein Intensitätswert ergibt, der aus der gewichteten Summe der IntensitätI(m,n) an der Stelle (m,n) und den Intensitäten der Bildpunkte in der Umgebungder Position (m,n) gebildet wird. Alle Faktoren sind positiv, so dass sich bei die-sem „Summierer“ die „glättende“ Wirkung einer Tiefpass Filterung einstellt. Manbezeichnet dieses Filter als Gauß-Filter. Es wird für viele Anwendungen eingesetzt.Beispielsweise kann man damit ein sich auf Grund einer Störung additiv überla-gerndes Bildrauschen reduzieren. Oder man kann es als das für eine Unter- oderÜberabtastung eines Bildes benötigte Tiefpassfilter einsetzen. In Programmen zurBildbearbeitung kann man das Gauß-Filter für den unter dem Begriff „Weichzeich-nen“ geführten Effekt verwenden.

In Abhängigkeit der Anzahl der Werte der Impulsantwort und des Summenwerts∑∑h(m,n) erhält man nach der Faltung möglicherweise Ausgangswerte I(m,n),

die einen anderen Wertebereich abdecken als die Eingangswerte I(m,n). Benötigtman die Werte I(m,n), um sie ohne eine Visualisierung weiter zu verarbeiten, istdiese Veränderung des Wertebereichs vermutlich unkritisch. Möchte man die Aus-gangswerte aber wieder als Bild visualisieren, so sollten sie im gleichen Wertebereichwie die Eingangswerte I(m,n) liegen. Wurden die Werte I(m,n) beispielsweise mit8 Bit quantisiert und zur Rechnung auf ganzzahlige Werte im Bereich von 0 bis 255abgebildet, so sollten auch die Ausgangswerte y(m,n) in diesem Bereich liegen undeinen in etwa gleich großen Bereich abdecken wie die Eingangswerte. Im Fall desGauß Filters, bei dem nur positive Werte in der Impulsantwort auftreten, lässt sichdie Skalierung beispielsweise mittels hskal(m,n) = h(m,n)∑∑

h(m,n)realisieren.

Als zweites Beispiel wird das unter der Bezeichnung „Laplace“ oder „Mexican Hat“Filter geführte Filter betrachtet, dessen Impulsantwort sich durch h(r) = 1

πσ4 ·(1− r2

σ2

)·e−

r2

2·σ2 beschreiben lässt. Wie bei dem Gauß Filter kann man den Radius rdurch die Summe der Quadrate m2 +n2 ersetzen und den konstanten Term vernach-



lässigen, so dass sich h(m,n) darstellen lässt als h(m,n) =(

1− m2+n2

σ2

)· e−

m2+n2

2·σ2 .

−2

−1

0

1

2

−2

−1

0

1

2

−0.5

0

0.5

1

m

variance sig2 = 0.5

n −2

−1

0

1

2

−2

−1

0

1

2

−0.5

0

0.5

1

m

variance sig2 = 1

n

Abbildung 2.21.: Laplace Funktionen mit σ2 = 0, 5 und σ2 = 1

h(m,n) für Laplace mit σ2 = 0.5

-0.01 -0.06 -0.13 -0.06 -0.01-0.06 -0.41 -0.37 -0.41 -0.06-0.13 -0.37 1.00 -0.37 -0.13-0.01 -0.06 -0.13 -0.06 -0.01-0.06 -0.41 -0.37 -0.41 -0.06

h(m,n) für Laplace mit σ2 = 1

-0.13 -0.33 -0.41 -0.33 -0.13-0.33 -0.37 0.00 -0.37 -0.33-0.41 0.00 1.00 0.00 -0.41-0.33 -0.37 0.00 -0.37 -0.33-0.13 -0.33 -0.41 -0.33 -0.13

Tabelle 2.2.: Werte der Laplace Funktion für m,n ε {−2,−1, 0, 1, 2} mit σ2 = 0, 5und σ2 = 1

Betrachtet man das Aussehen dieser Impulsantwort, die in Abbildung 2.21 für σ2 =

0.5 und σ2 = 1 dargestellt ist, so erkennt man die Form eines Sombreros, wor-aus sich auch der Name des Filters ableitet. Im Gegensatz zum Gauß Filter tre-ten hier auch negative Werte in der Impulsantwort auf. Man kann die Faltung indiesem Fall beschreiben als eine gewichtete Differenzbildung der Intensität an derPosition (m,n) und der Intensitäten der Bildpunkte in der Umgebung von (m,n).Diese differenzierende Verarbeitungsform besitzt eine Hochpass Charakteristik. DasHervorheben von Intensitätsunterschieden eignet sich insbesondere als Vorverarbei-tungsschritt für eine weitergehende Verarbeitung zur Detektion von Kanten in demBild. In Programmen zur Bildbearbeitung lässt sich damit der unter dem Begriff„Scharfzeichnen“ geführte Effekt realisieren.

Quellenangabe zu Bildern:



[1] J.-R. Ohm, H.D. Lüke: „Signalübertragung“, Springer Verlag, 2005

[2] H. Schönfelder: „Bildkommunikation“, Springer Verlag, 1983


3. Korrelationsanalyse

In vielen Anwendungen der Signalverarbeitung ist es hilfreich und notwendig, einMaß für die Ähnlichkeit zweier Signale bestimmmen zu können. Man bezeichnetdieses Maß auch als den Grad der Korrelation, der zwischen diesen beiden Signalenvorhanden ist. Im Folgenden werden die Begriffe der Kreuzkorrelationsfunktion fürden Vergleich zweier im allgemeinen unterschiedlicher Signale und der Begriff derAutokorrelationsfunktion für den Vergleich zweier identischer, aber möglicherweisezeitverschobener Signale eingeführt sowie ihre Beziehungen zum Leistungsdichte-spektrum hergestellt. Des Weiteren werden einige Anwendungen zur Korrelations-analyse aufgezeigt.

3.1. Herleitung der Kreuz- und

Autokorrelationsfunktion

Als Ausgangspunkt der nachfolgenden Ableitung und Definition der Korrelations-funktionen werden sogenannte Energiesignale betrachtet, deren Energie endlich ist:

E =

∞∫−∞

x2(t) dt <∞

Diese Bedingung wird beispielsweise von Signalen erfüllt, die nur in einem begrenztenZeitabschnitt von Null verschiedene, endliche Amplitudenwerte aufweisen und derenAmplitude außerhalb dieses Abschnitts gleich Null ist.

Viele Signale, wie z.B. periodische Signale oder zeitlich nicht begrenzte stationäreSignale, deren Eigenschaften später noch detailliert erläutert werden, besitzen keineendliche Signalenergie. Diese Signale werden als Leistungssignale bezeichnet, wennsie eine endliche mittlere Leistung besitzen:



P = limT→∞

1

T

T∫0

x2(t) dt <∞

Um die Ähnlichkeit zweier Energiesignale x1(t) und x2(t) zu beschreiben, kann mandie Differenz [x1(t)− x2(t)] betrachten und die Energie dieses Differenzsignals be-stimmen:

E(x1−x2) =

∞∫−∞

[x1(t)− x2(t)]2 dt =

∞∫−∞

x21(t) dt+

∞∫−∞

x22(t) dt− 2 ·

∞∫−∞

x1(t) · x2(t) dt

Die Betrachtung des Differenzsignals ist an die Annahme geknüpft, dass x1(t) undx2(t) Amplitudenwerte im gleichen Wertebereich annehmen. Bei vielen Anwendun-gen der Korrelationsanalyse stellt x2(t) eine modifizierte Version des Signals x1(t)

dar. Beispielsweise könnte x2(t) die nach einer Übertragung über einen gestörtenKanal empfangene Version des Signals x1(t) sein. Häufig stellt x2(t) dann eine ge-dämpfte Version von x1(t) dar, wobei x1 und x2 dann Amplituden in ganz unter-schiedlichen Wertebereichen annehmen und die Betrachtung der Differenz der Si-gnale nicht sonderlich sinnvoll erscheint. Um das Maß der Ähnlichkeit in diesem Fallvon der Amplitude bzw. der Energie unabhängig zu machen, kann man die Signaleauf ihre Energien Ex1 und Ex2 normieren:

Enorm =

∞∫−∞

[x1(t)√Ex1

− x2(t)√Ex2

]2

∂t =

∞∫−∞

x21(t) dt

Ex1

+

∞∫−∞

x22(t) dt

Ex2

−2·

∞∫−∞

x1(t) · x2(t) dt√Ex1 · Ex2

Da∞∫−∞

x21 = Ex1 und

∞∫−∞

x22 = Ex2 ist, ergibt sich die Energie zu

Enorm = 1 + 1− 2 ·

∞∫−∞

x1(t) · x2(t) dt√Ex1 · Ex2

Vernachlässigt man die Addition des konstanten Werts 2 und die Multiplikation mitdem konstanten Faktor -2, so erhält man die Definition des normierten Korrelati-onskoeffizienten:



ρx1x2 = 1− Enorm2

=

∞∫−∞

x1(t) · x2(t) dt√Ex1 · Ex2

Das so definierte Maß der Ähnlichkeit resultiert in einer Integration des Produkts derbeiden zu vergleichenden Signale, wobei als Ausgangspunkt die Differenz der beidenSignale betrachtet wurde. Sind die beiden Signale x1 und x2 identisch, so ergibt sichbei der Integration die Energie des Signals und der Korrelationskoeffizient nimmtden Wert 1 an. Dabei stellt dieser Wert den Maximalwert dar, der denn auch diegrößte Ähnlichkeit beim Vergleich von x1 und x2 definiert. Sind x1 und x2 bis aufdas Vorzeichen identisch (x1(t) = −x2(t)), so nimmt der Korrelationskoeffizient denWert −1 an. Insgesamt definieren der Minimalwert von −1 und der Maximalwertvon +1 den gesamten Wertebereich des normierten Koeffizienten. Ergibt sich fürzwei Signale ein Korrelationswert von Null, so bezeichnet man die beiden Signale alsunkorreliert. Die beiden Signale nehmen dabei statistisch unabhängig voneinanderzufällig positive und negative Amplitudenwerte an, so dass das Integral über dasProdukt in dem Wert Null resultiert.

Betrachtet man des Weiteren noch eine zeitliche Verschiebung des Signals x2(t) umdie Zeit τ gegenüber dem Signal x1(t), so gelangt man zur normierten Kreuzkorre-lationsfunktion

ρx1x2(τ) =

∞∫−∞

x1(t) · x2(t+ τ) dt√Ex1 · Ex2

Ohne Normierung auf die Energien des Signals beschreibt der im Zähler stehendeTerm die Kreuzkorrelationsfunktion (KKF )

ϕx1x2(τ) =

∞∫−∞

x1(t) · x2(t+ τ) dt

Mit Hilfe dieser Funktion generiert man ein Maß, das die Ähnlichkeit eines Signalsx1(t) zu einem zeitverschobenen Signal x2(t + τ) in Abhängigkeit der zeitlichenVerschiebung τ beschreibt. Für zeitdiskrete Signale x1(n) und x2(n)x2(n) lässt sichdas Integrieren durch eine Summenbildung ersetzen:

ϕx1x2(l) =∞∑

n=−∞

x1(n) · x2(n+ l) fur l = 0,±1,±2, ...



Die relative zeitliche „Links“-Verschiebung des Signals x2 um l Abtastintervalle kannman auch alternativ als eine „Rechts“-Verschiebung des Signals x1(n) um l Intervallebeschreiben. Damit erhält man die alternative Definition der KKF als:

ϕx1x2(l) =∞∑

n=−∞

x1(n− l) · x2(n)

Vertauscht man die Beziehungsabhängigkeit der beiden Signale x1(n) und x2(n), so

bestimmt sich die Kreuzkorrelationsfolge ϕx2x1(l) zu ϕx2x1(l) =∞∑

n=−∞x2(n− l) ·x1(n)

Daraus lässt sich unmittelbar die folgende Beziehung zwischen ϕx1x2(l) und ϕx2x1(l)

als grundlegende Eigenschaft der KKF ableiten:

ϕx1x2(l) = ϕx2x1(−l)

Anschaulich bedeutet die zuvor abgeleitete Beziehung, dass sich prinzipiell für diebeiden Fälle des Vergleichs des Signals x1 mit dem Signal x2 und des Vergleichsdes Signals x2 mit dem Signal x1 die gleichen Ähnlichkeitswerte ergeben. Allerdingsbeobachtet man den gleichen Ähnlichkeitswert einmal bei l und einmal bei −l, inAbhängigkeit der Wahl von Signal x1 als Bezugspunkt oder der Wahl von x2 alsBezugspunkt, wie es in Abbildung 3.1 veranschaulicht wird.

x1

x2

Bezugspunkt

+l

x1

x2

Bezugspunkt

-l

}}}}

φ ( )lx1x2

φ (- )lx2x1

=

Abbildung 3.1.: Wahl des Bezugspunktes für die Korrelation

Es bleibt anzumerken, dass die Definition der Kreuzkorrelationsfunktion teilwei-se in der Literatur mit einer vertauschten Zuordnung der Indices x1 und x2 als

ϕx1x2(l) =∞∑

n=−∞x1(n + l) · x2(n) vorgenommen wird. Beispielsweise ist diese mo-

difizierte Definition die Basis zur Berechnung der Kreuzkorrelation mit Hilfe der



Funktion xcorr in Matlab. Daher sind die Signale x1 und x2 der Funktion xcorr

in der Reihenfolge xcorr(x2, x1) zu übergeben, um das Ergebnis gemäß der hier

verwendeten Definition ϕx1x2(l) =∞∑

n=−∞x1(n) · x2(n+ l) zu erhalten.

Sind die beiden Signale x1 und x2 identisch, so erhält man die Autokorrelations-funktion (AKF) für zeitkontinuierliche Signale bzw. die Autokorrelationsfolge fürzeitdiskrete Signale:

ϕxx(τ) =

∞∫−∞

x(t) ·x(t+τ) ∂t ϕxx(l) =∞∑

n=−∞

x(n) ·x(n+ l) fur l = 0,±1,±2, ...

Damit erhält man ein Maß für die Ähnlichkeit einer Folge x(n) mit der um l Zy-klen verschobenen gleichen Folge x(n). Man vergleicht also das Signal x(n) mit sichselbst unter Berücksichtigung eines Zeitversatzes. Wir werden später sehen, dass dasAussehen der AKF ein wichtiges Kriterium darstellt, um die Möglichkeiten einer De-tektion der Sequenz x(n) nach der Übertragung über einen möglicherweise gestörtenKanal zu beurteilen.

3.2. Eigenschaften von AKF und KKF

Im vorhergehenden Abschnitt wurde bereits die Eigenschaft ϕx1x2(l) = ϕx2x1(−l)der KKF vorgestellt. Bezüglich der Eigenschaften der AKF kann man angeben, dassder Wert der Autokorrelationsfunktion für t = 0 bzw. l = 0 der Energie des Signalsentspricht:

E = ϕxx(0) =

∞∫−∞

x2(t) ∂t bzw. ϕxx(0) =∞∑

n=−∞

x2(n)

Die Autokorrelationsfunktion nimmt demnach für l = 0 (bzw. t = 0) ihr Maximuman: ϕxx(0) ≥ |ϕxx(l 6= 0)|

Der Wert der AKF an der Stelle l beschreibt ein Maß für die Korrelation einesSignals mit dem um l Abtastintervalle zeitlich verschobenen, identischen Signal.Für die AKF gilt des weiteren die Symmetriebedingung: ϕxx(l) = ϕxx(−l)

Beispielhaft ist in Abbildung 3.2 das dreieckförmige Signal x(n) und die zugehörigeAutokorrelationsfolge dargestellt. Man kann aus der Betrachtung der AKF Werte im



Bereich des Maximums ablesen, dass sich bei der Berechnung der Ähnlichkeit auchbei einem Zeitversatz um einige Abtastzyklen immer noch große Werte ergeben.

Abbildung 3.2.: Signal x(n) und zugehörige Autokorrelationsfolge

Die normierten Kreuzkorrelations- und Autokorrelationsfolgen ergeben sich, wie diesschon zuvor für zeitkontinuierliche Signale eingeführt wurde, durch Normierung aufdie Energien der Signale:

ρx1x2(l) =ϕx1x2(l)√

ϕx1x1(0) · ϕx2x2(0)ρxx(l) =

ϕxx(l)

ϕxx(0)

Die normierten Korrelationsfolgen nehmen nur Werte zwischen -1 und 1 an und sinddamit unabhängig von der Skalierung der Amplitudenwerte.

Handelt es sich bei den Signalen x1(n) und x2(n) bzw. dem Signal x(n) um zeitlichbegrenzte Folgen von Abtastwerten, deren Amplitudenwerte gleich Null sind fürn < 0 und n >= N , so lassen sich die Kreuzkorrelations- und Autokorrelationsfolgeberechnen zu:

ϕx1x2(l) =N−1∑n=0

x1(n) · x2(n+ l) ϕxx(l) =N−1∑n=0

x(n) · x(n+ l)



Repräsentieren x1(n) und x2(n) bzw. x(n) keine Energiesignale, sondern periodischeFolgen von Abtastwerten mit einer Periodenlänge von N Abtastintervallen, so lassensich Kreuzkorrelations- und Autokorrelationsfolge definieren zu:

ϕx1x2(l) =1

N·N−1∑n=0

x1(n) · x2(n+ l) ϕxx(l) =1

N·N−1∑n=0

x(n) · x(n+ l)

Der Faktor 1N

kann als Normierungsfaktor angesehen werden, um auch bei unter-schiedlichen Periodenlängen die Korrelationsergebnisse miteinander vergelichen zukönnen. ϕx1x2(l) und ϕxx(l) sind in diesem Fall ebenfalls periodische Signale mit derPeriodenlänge N . Die KKF und die AKF werden dann für Werte von l, die einemVielfachen von N entsprechen, wieder den Wert ϕx1x2(0) bzw. ϕxx(0) annehmen.

Handelt es sich bei x1(n) und x2(n) um zeitlich nicht begrenzte, aber stationäreSignale, die ihre Eigenschaften über der Zeit nicht verändern, so kann man KKFbzw. AKF aus der Betrachtung eines möglichst langen Abschnitts abschätzen:

ϕx1x2(l) = limN→∞

[1

N·N−1∑n=0

x1(n) · x2(n+ l)

]ϕxx(l) = lim

N→∞

[1

N·N−1∑n=0

x(n) · x(n+ l)

]

3.3. Anwendungbeispiel einer Korrelationsanalyse

Im Folgenden wird beispielhaft die Anwendung der Korrelationsanalyse zur Bestim-mung von Laufzeitunterschieden und weitergehend zur Bestimmung der Geschwin-digkeit eines Fahrzeugs gezeigt. Es wird die Anordnung zweier Induktionsschleifenbetrachtet, die sich in einem definierten Abstand im Belag einer Strasse befinden,wie es in Abbildung 3.3 visualisiert wird.

x1 x2

∆sv v =∆s∆t

|

Abbildung 3.3.: Zeiterfassung durch Kreuzkorrelation der Signale zweierInduktionsschleifen



Fährt ein Kraftfahrzeug über diese Schleifenanordnung, so werden in den SchleifenStröme induziert, deren zeitlicher Verlauf in der Regel sehr ähnlich sein wird. In Ab-bildung 3.4 sind die den induzierten Strömen entsprechenden Signalverläufe sowieeine aus den beiden Signalen hervorgehende normierte Kreuzkorrelationsfunktiondargestellt. Die beiden Maxima im Signalverlauf könnten auf einen PKW hindeu-ten, dessen beide, im Vergleich zum Fahrzeuggehäuse tiefer angeordnete Achsen diebeiden Maxima hervorrufen. In Abhängigkeit des Schleifenabstands ∆s und der Ge-schwindigkeit v des Fahrzeugs treten die beiden Signalverläufe zeitlich versetzt auf.Mit Hilfe einer Korrelationsanalyse kann dieser zeitliche Versatz ∆t bestimmt wer-den. Bei Kenntnis des Abstands der beiden Induktionsschleifen kann damit auchunmittelbar die Geschwindigkeit des Fahrzeugs berechnet werden

(v = ∆s

∆t

).

Abbildung 3.4.: Zeitversetzte Signalverläufe und zugehörige KKF

Bei genauer Betrachtung der beiden Signale beobachtet man einen etwas verrausch-ten Signalverlauf. Dies wird bei derartigen Messanordnungen in der Praxis häufig derFall sein. Zur Berechnung der in Abbildung 3.4 dargestellten normierten Kreuzkor-relationsfunktion wird zunächst der Puls von Signal x1 im Bereich von 50 bis 300 msdetektiert. Diese Detektion könnte man beispielsweise durch das Über- bzw. Unter-schreiten eines Schwellwerts realisieren (siehe Abbildung 3.7). Anschließend wird dieKorrelation der Abtastwerte in dem 250 ms breiten Fenster mit den Abtastwerten des



Signals x2 berechnet. Damit kann man aus dem Verlauf der Kreuzkorrelierten unddem Zeitpunkt, bei dem die Kreuzkorrelierte ein Maximum annimmt, unmittelbarden zeitlichen Versatz der beiden Signale ablesen. In der beispielhaften Betrachtungfindet sich das Maximum bei etwa 140 ms. Bei einem Schleifenabstand von exakt 5Metern würde sich die Geschwindigkeit des Fahrzeugs auf einen Wert von 128, 6 km

h

abschätzen lassen. Das Maximum der KKF tritt bei dieser beispielhaften Realisie-rung allerdings nicht sehr deutlich hervor, so dass bei einer stärkeren Störung derSignale die Laufzeitmessung fehlerbehaftet sein könnte.

3.4. Die Darstellung der Korrelationsanalyse als

Faltung

In der folgenden Abbildung wird die KKF mit der diskreten Faltung zweier Signale,wie sie im vorhergenden Kapitel eingeführt wurde, verglichen. Durch einige Substi-tutionen der Bezeichnungen der Signale und Zeitindices werden die Definitionen vonFaltung und KKF aufeinander zugeführt.

Faltung Kreuzkorrelationsfunktion

y(n) = x(n) ∗ h(n) ϕx1x2(l) =∑n

x1(n) · x2(n+ l)

⇒ y(n) =∑m

x(m) · h(n−m) mit x1 → x x2 → h

⇒ ϕxh(l) =∑n

x(n) · h(n+ l)

mit y → ϕ n→ l mit n→ m⇒ ϕ(l) =

∑m

x(m) · h(l −m) ⇒ ϕxh(l) =∑m

x(m) · h(l +m)

identisch bis auf das Vorzeichen bei −m bzw. +m

Abbildung 3.5.: Vergleich von Faltung und KKF

Bis auf das Vorzeichen bei dem Zeitindex m des Signals h in der Summendarstellungsind die beiden Ausdrücke identisch. Das negative Vorzeichen bei der Faltungssum-me wurde in Abschnitt 2.5, in der eine graphische Vorgehensweise zur Lösung derFaltungssumme vorgestellt wurde, als das Spiegeln der Werte der Impulsantwort ander Ordinate beschrieben. Dies bedeutet, dass man sich die Berechnung der KKFϕxh(l) anschaulich als eine unmittelbare Verschiebung des Signals h an die Stelle l



vorstellen kann, ohne vorher die Spiegelung vorgenommen zu haben. Oder weiter-gehend kann man die Berechnung der KKF als die Faltung des Signals x mit derImpulsantwort h(−m) darstellen. Dann führt die Spiegelung von h(−m) zu dem Si-gnal h(m) selbst, das man an die Stelle l verschiebt. Die Berechnung der KKF kannman also als Faltung und somit durch ein Signalverarbeitungssystem, das im Zeitbe-reich durch die Impulsantwort h(−l) definiert ist, beschreiben, wie es in Abbildung3.6 dargestellt ist.

h(-l)φ (l)x(l)

xh

Abbildung 3.6.: Korrelation als Faltung

Wie schon zuvor einmal erwähnt wurde, setzt man die KKF in diesem Zusammen-hang häufig dazu ein, den Zeitpunkt des Auftretens von Signal h(n) in dem Signalx(n) zu detektieren. Daher bezeichnet man das System, dessen Impulsantwort h(−n)

ist und dessen Ausgangsignal der KKF von x(n) und h(n) entspricht , als „Korrelati-onsfilter“ oder „matched“ Filter. Die englische Bezeichnung „matched“ deutet daraufhin, dass es sich um ein „angepasstes“ Filter zur Detektion des Signals h(n) handelt.

3.5. Das Leistungsdichtespektrum als

Fourier-Transformierte der AKF

In diesem Abschnitt wird der Zusammenhang zwischen der AKF und dem Leis-tungsdichtespektrum eines Signals als Fourier Transformierte der AKF hergeleitet.Es wird zudem aufgezeigt, wie man bei einem Signalverarbeitungssystem die AKFund das Leistungsdichtespektrum am Ausgang des Systems aus den AKFs und denLeistungsdichtespektren von Eingangssignal und Impulsantwort des Systems bestim-men kann.

Wie bereits zuvor gezeigt wurde, ist die Definition der Korrelationsfunktion demFaltungsprodukt sehr ähnlich, so dass sich beispielsweise die AKF beschreiben läßtals:



AKF : ϕxx(τ) =

∞∫−∞

x(t) ·x(t+τ) dt Faltung : x(τ)∗x(τ) =

∞∫−∞

x(t) ·x(t−τ) dt

⇒ ϕxx(τ) = x(τ) ∗ x(−τ)

Transformiert man diese Beziehung mit Hilfe der Fourier Transformation in denFrequenzbereich, so erhält man:

ϕxx(τ) = x(τ) ∗ x(−τ)

X(f) ·X∗(f) = |X(f)|2

⇒ |X(f)|2 =

∞∫−∞

ϕxx(τ) · e−j·2·π·f ·τdτ

Den Term |X(f)|2 bezeichnet man als Energiedichtespektrum bzw. bei der Betrach-tung von stationären Signalen als Leistungsdichtespektrum. Diese Beziehung zwi-schen der AKF und dem Energie- bzw. Leistungsdichtespektrum bezeichnet man alsWiener-Khintchine Theorem.

Betrachtet man die Autokorrelationsfunktion ϕyy(t) am Ausgang eines linearen, zei-tinvarianten Systems mit der Stoßantwort h(t), so läßt sich dabei der folgende Zu-sammenhang zu den Autokorrelationsfunktionen ϕxx(t) des Eingangssignals x(t) undϕhh(t) der Stoßantwort h(t) herleiten:

ϕyy(τ) = y(τ) ∗ y(−τ) = x(τ) ∗ h(τ) ∗ x(−τ) ∗ h(−τ) = x(τ) ∗ x(−τ) ∗ h(τ) ∗ h(−τ)

ϕyy(τ) = ϕxx(τ) ∗ ϕhh(τ)

Die AKF des Ausgangssignals ergibt sich somit aus der Faltung der AKFs von Ein-gangssignal und Impulsantwort. Diesen Zusammenhang bezeichnet man als Wiener-Lee Beziehung.

Unter Verwendung des Wiener-Khintchine Theorems ergibt sich damit der folgen-de Zusammenhang zwischen den Autokorrelationsfunktionen und den zugehörigen



Energie- bzw. Leistungsdichtespektren bei Übertragung eines Signals x(t) über einSystem mit der Stoßantwort h(t):

ϕxx(τ) ∗ ϕhh(τ) = ϕyy(τ)

|X(f)|2 · |H(f)|2 = |Y (f)|2

Das Energie- bzw. Leistungsdichtespektrum am Ausgang des Übertragungssystemsergibt sich als Produkt der Energie- bzw. Leistungsdichtespektren von Eingangssi-gnal und Stoßantwort des Übertragungssystems.

3.6. Die zweidimensionale

Kreuzkorrelationsfunktion

Die Korrelationsanalyse kann auch im Bereich der Bildverarbeitung eingesetzt wer-den. Dazu muß wie bei der diskreten Faltung die Definition der Korrelationsfunktionum die zweite Dimension erweitert werden. An Stelle der Zeit im eindimensionalenFall treten bei Bildern die Ausdehnungen des Bildes in vertikaler und horizontalerRichtung auf. Damit lässt sich zur Berechnung der Ähnlichkeit zweier Bilder un-ter Berücksichtigung eines örtlichen Versatzes in Spalten- und Zeilenrichtung dieKorrelationsfunktion im Fall von zweidiemnsionalen Signalen definieren zu

ϕI1I2(k, l) =∞∑

m=−∞

∞∑n=−∞

I1(m,n) · I2(m+ k, n+ l) fur k, l = 0,±1,±2, ...

Eine Anwendung der zweidimensionalen KKF könnte in der Suche und Detektioneines Objekts in einem Bild bestehen. Dazu kann man die KKF zwischen den In-tensitätswerten I1, die den Bildausschnitt, der das Objekt beinhaltet, beschreiben,und den Intensitätswerten I2 des größeren Bildes berechnen. Damit berechnet mandie Ähnlichkeit des Bildausschnitts, der durch die Intensitätswete I1 definiert ist,zu allen möglichen gleich großen Bildausschnitten des größeren Bildes. Jeder Bild-ausschnitt des größeren Bildes ist definiert durch einen Versatz um k Spalten undl Zeilen. Durch die Bestimmung der Position der maximalen Ähnlichkeit kann man



auf die Spalten- und Zeilenindices schließen, bei denen das Objekt, das durch dieIntensitätswerte I1 definiert ist, vermutlich in dem größeren Bild auftritt.

Wie bei der eindimensionalen Korrelation kann man auch im zweidimensionalen Falleine normierte KKF berechnen, in dem man eine Normierung auf die Energien derbeiden zu vergleichenden Bildausschnitte vornimmt:

ρI1I2(k, l) =

∞∑m=−∞

∞∑n=−∞

I1(m,n)·I2(m+k,n+l)

√EI1 .EI2

Dabei werden EI1 =∑m

∑n

I21 (m,n) und EI2 =

∑m

∑n

I22 (m,n) über die beiden gleich

großen Ausschnitte berechnet.

3.7. Signale mit speziellen

Korrelationseigenschaften

Ein häufig betrachteter Anwendungsfall der Korrelationsanalyse ist die Detektioneiner ausgewählten Sequenz x(n) nach der Übertragung dieser Sequenz über einenKanal, wie es in Abbildung 3.7 dargestellt ist. Der Kanal kann die Übertragung desSignals über eine drahtgebundene Verbindung beschreiben. Dabei kommt es in derRegel lediglich zu einer zeitlichen Verzögerung ohne große Störung des Signals x(n).Häufiger betrachtet wird allerdings der Fall einer drahtlosen Übertragung über eineFunkstrecke. Dabei kommt es neben der Verzögerung auch zur Überlagerung einerStörung in Abhängigkeit der Bedingungen auf dem Funkkanal. Die generelle Inten-tion besteht in der Bestimmung des genauen Zeitpunkts, zu dem die ausgesendeteSequenz beim Empfänger eintrifft. Dazu führt man eine Korrelationsanalyse zwi-schen ausgesendetem und empfangenen Signal durch und bestimmt den Zeitpunktdurch den Vergleich des berechneten Korrelationskoeffizienten mit einem Schwellwertbei Überschreitung des vorgegebenen Schwellwerts. Damit kann man beispielsweisedie zeitliche Synchronisation eines empfangenen Datenstroms vornehmen. Oder imFall, dass sich Sender und Empfänger wie bei einer Radaranwendung an der gleichenStelle befinden und das empfangene Signal die von einem Objekt reflektierte Versiondes ausgesendeten Signals darstellt, kann man die Laufzeit des Signals berechnenund daraus wiederum eine Entfernung oder Geschwindigkeit abschätzen.



x(n) } }y(n)φ

xy

Sender Kanal Empfänger

Detektor

φxy

1

0Schwellwert

Abbildung 3.7.: Übertragung und anschließende Detektion

Im Folgenden wird nun abgeleitet, welche Autokorrelationseigenschaften die Sequenzx(n) haben sollte, damit man sie nach der Übertragung über einen mehr oder wenigergestörten Kanal möglichst gut detektieren kann. Dazu wird zunächst ein Kanalbetrachtet, der lediglich zu einer zeitlichen Verzögerung um ld Abtastintervalle führt,wie es in Abbildung 3.8 dargestellt ist.

x(n) y(n) = x(n - )ld

ld

Abbildung 3.8.: Zeitverzögerung bei Übertragung über einen Kanal

Berechnet man die Kreuzkorrelationsfunktion ϕxy(l), so erhält man den folgendenZusammenhang

ϕxy(l) =∑n

x(n) · y (n+ l) =∑n

x(n) · x (n+ l − ld)

Dabei handelt es sich um die Autokorrelationsfunktion der Sequenz x(n). Das Signallässt sich detektieren, wenn die AKF für l = ld einen größeren Wert annimmmt imVergleich zu allen anderen Werten der AKF ϕxx (l 6= ld). Betrachtet man noch einmaldie grundlegende Eigenschaften der AKF ϕxx(0) ≥ ϕxx(l), so wird die Forderung vonvielen Signalen erfüllt.

Im Weiteren wird nun zusätzlich die Überlagerung einer additiven Störung betrach-tet, wie sie im Fall einer drahtlosen Übertragung zu erwarten ist. Die Modellierungeiner analogen Funkübertragung kann man mit einem so genannten AWGN Kanalvornehmen. das „A“ steht dabei für „additiv“, was die Störung als rein additive Über-lagerung eines Rauschsignals („N“=“noise“) beschreibt. Der Buchstabe „G“ definiertdas statistische Auftreten der Amplitudenwerte des Rauschens gemäß einer GaußVerteilung. „W“ definiert das Spektrum des Rauschens als „weiß“, womit eine gleich-mäßige Verteilung der Energie über den gesamten betrachteten Frequenzbereich ein-hergeht. Das Spektrum nimmt einen konstanten Wert an. Insgesamt resultiert damit



ein Modell zur Erfassung der bei der Funkübertragung auftretenden Effekte, wie esin Abbildung 3.9 dargestellt ist.

x(n) y(n) = x(n - ) + r(n)ld

ld

r(n)

n

r(n)

Abbildung 3.9.: AWGN Kanal

Neben der schon zuvor betrachteten Verzögerung überlagern sich additiv die zufäl-ligen Werte des Rauschsignals r(n):

y(n) = x (n− ld) + r(n)

Die Kreuzkorrelationsfunktion lässt sich dabei als additive Überlagerung zweier Ter-me darstellen:

ϕxy(l) =∑n

x(n) · [x (n− ld + l) + r(n+ l)]

=∑n

x(n) · x (n− ld + l) +∑n

x(n) · r(n+ l)︸︷︷︸Storterm

Der erste Term ist die AKF, den zweiten Term kann man als einen Störterm an-sehen, der sich additiv den Werten der AKF überlagert und damit die Detektionder Sequenz x(n) in dem empfangenen Signal erschwert. Dabei legt das Verhältnisder Amplituden von Nutzsignal x(n) und Störsignal r(n) den Grad der Störungfest, was man durch die quantitative Angabe eines SNR als logarithmiertes Ver-hältnis der Energien oder Leistungen von x(n) und r(n) beschreiben kann. Mankann daraus die Forderung ableiten, dass die AKF für l = 0 einen deutlichen grö-ßeren Wert im Vergleich zu allen anderen Werten für l ungleich 0 annehmen sollte:ϕxx(0)� ϕxx (l 6= 0)

Die zuvor angestellten Überlegungen haben dazu geführt, Sequenzen x(n) auf dasangestrebte Aussehen ihrer AKF hin zu untersuchen. Im Folgenden werden beispiel-haft zwei Klassen von Codesequenzen vorgestellt, die die genannte Forderung erfül-len. Die erste Klasse sind die nach ihrem Entdecker benannten Barker Codes. Dabeihandelt es sich um binärwertige Sequenzen x(n) mit einer Länge zwischen 2 und 13,



deren konkrete Werte der Tabelle 3.1 bei Verwendung der beiden Amplitudenwerte−1 und +1 entnommen werden können.

Länge des Codes x(n)2 +1 −13 +1 +1 −14 +1 +1 −1 +15 +1 +1 +1 −1 +17 +1 +1 +1 −1 −1 +1 −111 +1 +1 +1 −1 −1 −1 +1 −1 −1 +1 −113 +1 +1 +1 +1 +1 −1 −1 +1 +1 −1 +1 −1 +1

Tabelle 3.1.: Barker Codes

Beispielhaft sind in Abbildung 3.10 der Barker Code der Länge 11 und die zugehöri-ge Autokorrelationsfunktion dargestellt. Im Allgemeinen nimmt die AKF den Wertϕxx(0) = N an, wenn N die Länge des Barker Codes definiert und die Amplituden-werte −1 und +1 verwendet werden. In dem dargestellten Beispiel nimmt ϕxx(0)

somit den Wert 11 an.

Abbildung 3.10.: Barker Code der Länge 11 und zugehörige AKF

Verallgemeinernd stellt man bei Barker Codes fest, dass alle anderen Werte der AKFbetragsmäßig nicht größer als 1 werden: |ϕxx (l 6= 0) | ≤ 1



Damit ist die Forderung ϕxx(0)� ϕxx (l 6= 0) erfüllt. Je größer die Länge des BarkerCodes ist, desto höher hebt sich ϕxx(0) von den restlichen AKF Werten ab. Somitkönnen die längeren Barker Codes auch besser nach der Übertragung über einengestörten Kanal mit einem relativ geringen SNR detektiert werden.

Eine zweite Klasse sind die so genannten Maximum-Length Sequenzen (MLS). Dabeihandelt es sich um pseudozufällige Sequenzen x(n) mit einer Länge N = 2k− 1. MLSequenzen können mit einem rückgekoppelten Schieberegister erzeugt werden, wobeidie Rückkopplungen durch ein „primitives“ Polynom festgelegt sind. Beispielhaftwird in Abbildung 3.11 das aus der Betrachtung des primitiven Polynoms G(z) =

1 + z1 + z4 resultierende Schieberegister dargestellt.

T x(n)T T Tz0 z1 z2 z3

z4

Abbildung 3.11.: Schieberegister zur Erzeugung einer MLS

Aus dem höchsten Grad des Polynoms, im Beispiel 4, ergibt sich die Anzahl kvon Registerelementen. Bei den in dem Polynom auftretenden Termen mit einemExponenten größer Null und kleiner als k findet man dann in der Schaltung eine XORVerknüpfung zur Rückkopplung des zugehörigen Registerwerts, wie es in Abbildung3.11 für z3 der Fall ist. Initialisiert man die Register der rückgekoppelten Schaltungso, dass nicht alle Werte gleich Null sind, beobachtet man Folge von Binärwerten,die eine Länge von 2k−1 besitzt, also in dem betrachteten Beispiel 24−1 = 15. Nachden 15 Zyklen tritt die gleiche Folge dann wieder, sich periodisch wiederholend, auf.Die Verwendung eines primitiven Polynoms garantiert die Periodenlänge von 2k−1.Bei einer anderen Wahl der Rückkopplungen erhält man in der Regel eine kürzerePeriodenlänge. Die 15 Abtastwerte einer Periode sind in Abbildung 3.12 dargestellt,wobei die Nullwerte der Binärfolge als Werte mit der Amplitude -1 realisiert werden.Zudem ist in Abbildung das DFT Spektrum der dargestellten Sequenz dargestellt.



0 2 4 6 8 10 12 14

−1

−0.5

0

0.5

1

Maximum Length Sequenz

0 2 4 6 8 10 12 140

1

2

3

4

Betragsspektrum

Abbildung 3.12.: Abtastwerte und Betragsspektrum einer MLS

Erstaunlicherweise nehmen die Spektralkomponenten bis auf den Gleichanteil einenkonstanten Wert an. Dies beobachtet man auch bei allen anderen ML Sequenzen.Somit handelt es sich bei den ML Sequenzen um Signale, deren Energie gleichmäßigüber den gesamten betrachteten Frequenzbereich bis zur halben Abtastfrequenz (mitAusnahme des Gleichanteils) verteilt ist. Ein derartiges Signal mit einer gleichmäßi-gen Energieverteilung ist besonders gut zur Bestimmung der Übertragungsfunktioneines unbekannten Systems geeignet. Man braucht nur das Spektrum des Ausgangs-signals zu bestimmen, dem man unmittelbar entnehmen kann, wie stark welcheFrequenzkomponente gedämpft wurde. Deutlich wird diese Eigenschaft auch, wennman den Vergleich der Spektren von ML Sequenz und Dirac Impuls anstellt. Wieaus Abbildung 3.13 ersichtlich, nimmt das Spektrum des Dirac Impulses ebenfallseinen konstanten Wert an.



δ(t)

t

|H(f)|

f

δ(n)

n

|H(k)|

k

Abbildung 3.13.: Dirac Stoss δ(t) und kontinuierliches Spektrum (links) und DiracImpuls δ(n) und diskretes Spektrum (rechts)

Verwendet man den Dirac Impuls als Eingangssignal eines unbekannten Systems,erhält man am Ausgang die Impulsantwort des Systems, der im Frequenzbereich dieÜbertragungsfunktion entspricht. Problematisch ist allerdings im Fall einer analo-gen Signalbetrachtung die Generierung eines Dirac Impulses, da man einen unendlichkurzen Impuls in der Praxis nicht erzeugen kann. Deutlich wird an dieser Stelle, dassdie Verwendung einer ML Sequenz dabei eine hilfreiche Alternative darstellen kann.Bevor der Einsatz einer ML Sequenz zur Bestimmung der Impulsantwort eines Über-tragungssystems aufgezeigt wird, wird noch die AKF der ML Sequenz betrachtet.Für die beispielhaft betrachtete Folge von 15 Werten erhält man bei Bestimmungder AKF über die periodische Wiederholung der Sequenz hinweg die in Abbildung3.14 dargestellte Werte der AKF im Bereich von -14 bis +14.



0 2 4 6 8 10 12 14

−1

−0.5

0

0.5

1

Maximum Length Sequenz

−15 −10 −5 0 5 10 15

0

5

10

15

Autokorrelationsfunktion

Abbildung 3.14.: Abtastwerte und AKF einer MLS

Man erkennt, dass die AKF denWert ϕxx(0) = 15 annimmt, wohingegen alle anderenWerte der AKF den kleinen Wert −1 annehmen. Diese Beobachtung kann man aufML Sequenzen der Länge N übertragen. ϕxx(0) nimmt im Allgemeinen den WertN an, wohingegen alle anderen Werte den kleinen Wert −1 annehmen. Damit hebtsich wie bei den Barker Codes der Wert ϕxx(0) um so deutlicher von allen anderenWerten der AKF ab, je länger die Sequenz ist. Bei relativ langen Sequenzen kannman die AKF näherungsweise als einen Dirac Impuls ansehen.

In Abbildung 3.15 ist nun der Fall der Bestimmung der Impulsantwort eines unbe-kannten Systems bei Verwendung einer ML Sequenz als Eingangssignal dargestellt.

x (n) y(n) = x (n) h(n)h(n) x (-n)mls

mls

φxymls *Abbildung 3.15.: Bestimmung der Impulsantwort eines unbekannten Systems

Man bestimmt die Kreuzkorrelationsfunktion des Ausgangssignals mit der verwen-deten ML Sequenz:

ϕxy = y(n) ∗ xmls(−n) = xmls(n) ∗ xmls(−n)︸︷︷︸AKF≈δ(n)

∗ h(n) ≈ h(n)



Mit der näherungsweisen Beschreibung der AKF als Dirac Impuls kann man erken-nen, dass man als Ergebnis der Kreuzkorrelation unmittelbar die Impulsantwort desSystems erhält.


4. Signale und Systeme imFrequenzbereich

In den vorhergehenden Kapiteln wurde die Verarbeitung von Signalen im Zeitbereichmit Hilfe der diskreten Faltung oder mit Hilfe einer Korrelationsanalyse vorgestellt.Insbesondere das Verhalten signalverarbeitender Systeme, aber auch die inhaltlicheAnalyse von Signalen lassen sich allerdings häufig einfacher und anschaulicher imSpektralbereich beschreiben. Beispielsweise lässt sich die Wirkung eines digitalenFilters im Spektralbereich als multiplikative Verknüpfung des Spektrums des Ein-gangssignals mit der Übertragungsfunktion des Filters darstellen. Dies ist in derRegel einfacher nachvollziehbar und vorstellbar als die Angabe der zugehörigen Im-pulsantwort, mit der das Eingangssignal gefaltet wird.

Daher wird im Folgenden die diskrete Fourier Transformation (DFT) eingeführt, mitderen Hilfe die Abtastwerte eines Zeitsignals in den Spektralbereich transformiertund dort analysiert werden können. Es wird ebenfalls die zugehörige inverse DiskreteFourier Transformation (IDFT) vorgestellt, mit der ein DFT Spektrum wieder inden Zeitbereich zurücktransformiert werden kann. Die Eigenschaften von DFT undIDFT werden erläutert.

Anschließend wird die Anwendung der DFT zur Analyse der Frequenzzusammen-setzung von unbekannten Signalen oder kurzen Signalabschnitten vorgestellt, wo-bei man dazu auch den Begriff der Spektralanalyse verwendet. Insbesondere wirdder dabei auftretende Leckeffekt hergeleitet und erläutert. Es werden verschiede-ne Möglichkeiten zur Reduzierung der Fehler auf Grund des Leckeffekts durch eineVergrößerung der Transformationslänge, eventuell auch mit Hilfe eines Anhängensvon Nullwerten an ein zeitlich begrenztes Signal, sowie durch eine Wichtung der zutransformierenden Abtastwerte mit einer Fensterfunktion vorgestellt. Zur rechenef-fizienten Realisierung der DFT kann man die schnelle (fast) Fourier Transformation(FFT, Kapitel 4.5.3) einsetzen. Die Voraussetzungen zur Anwendung der FFT unddie Eigenschaften der FFT werden erläutert.


4. Signale und Systeme im Frequenzbereich

Neben der Spektralanalyse von Signalen kann man die DFT zur Analyse des Ver-haltens signalverarbeitender Systeme einsetzen. Es wird aufgezeigt, dass man durchdie Fourier Transformation der Impulsantwort zur Übertragungsfunktion des Sys-tems gelangt. Das Spektrum des Ausgangssignals ergibt sich aus der multiplikativenVerknüpfung des Spektrums des Eingangssignals und der Übertragungsfunktion.Auf diesem Umweg über den Frequenzbereich kann man aus dem Ausgangsspek-trum durch eine inverse Transformation auch das Ausgangssignal bestimmen. DieseVorgehensweise, die man zur Realisierung einer Verarbeitung in Echtzeit auf kür-zere Signalsegmente jeweils anwendet, bezeichnet man auch als periodische oderschnelle Faltung. Sie kann recheneffizienter sein als die Durchführung der Faltungim Zeitbereich. Als Beispiel eines Signalverarbeitungssystems wird ein idealer Tief-pass betrachtet. Es wird gezeigt, dass man die zugehörige zeitlich nicht begrenzteImpulsantwort zur praktischen Realisierung durch die Multiplikation mit einer Fens-terfunktion zeitlich beschränken muss. Die Auswirkungen der Wichtung mit derFensterfunktion auf den resultierenden Frequenzgang werden hergeleitet und aufge-zeigt. Im Folgenden wird aufgezeigt, wie man aus der Impulsantwort eines TP dieImpulsantwort eines BP oder HP bestimmen kann, wobei dies aus einer Verschiebungder TP Charakteristik im Frequenzbereich abgeleitet wird. Mit der Betrachtung derFilter als Beispiele eines Signalverarbeitungssystems werden die Vorgehensweise zurBestimmung der zeitlich begrenzten Impulsantwort des Filters und damit gleich-zeitig auch ein Entwurfsverfahren zur Bestimmung der Koeffizienten eines digitalenFilters vorgestellt.

Abschließend wird als weitere Transformation die diskrete Cosinus Transformation(DCT) eingeführt, die man auch als „einfachere“ Variante der DFT ansehen könn-te. Dabei versucht man den Signalverlauf „nur“ durch eine gewichtete Summe vonCosinusschwingungen zu beschreiben. Die DCT findet Anwendung in verschiedenenBereichen der Sprach- und Bildverarbeitung.

4.1. Einführung der diskreten

Fourier-Transformation (DFT)

Bestimmte Eigenschaften von Signalen und Signalverarbeitungssystemen können imFrequenzbereich besser und anschaulicher dargestellt werden. Bei den meisten Signa-len können die spektralen Merkmale durch Anwendung einer Fourier Transformationermittelt werden. Die Fourier Transformation ist für zeitkontinuierliche Signale de-



finiert zu

X(f) =

∞∫−∞

x(t) · e−j·2·π·f ·t dt

=

∞∫−∞

[x(t) · cos (2 · π · f · t)] dt − j ·∞∫

−∞

[x(t) · sin (2 · π · f · t)] dt

Das Ergebnis dieser Transformation bezeichnet man als Fourier Spektrum. Die Be-trachtung soll hier auf reelwertige Signale x(t) beschränkt werden. Der komplexeWert X(f) des Fourier Spektrums bei der Frequenz f ergibt sich als Integral überdas Produkt des Signals x(t) und einer Cosinus- bzw. Sinusfunktion mit der Frequenzf . Bezugnehmend auf die Korrelationsanalyse, die im vorhergehenden Kapitel vorge-stellt wurde, könnte man die Integration über das Produkt von Signal und Cosinus-bzw. Sinusfunktion auch als die Bestimmung eines Korrelationswerts interpretieren.Man bestimmt an dieser Stelle ein Maß für die Ähnlichkeit des Signals x(t) miteinem Cosinus und mit einem Sinus der Frequenz f . Alternativ könnte man diesauch als die Bestimmung eines Werts darstellen, der angibt, ob und gegebenfallsmit welcher Amplitude ein Cosinus und ein Sinus der Frequenz f in dem Signalenthalten sind. Die Berechnung von X(f) kann man auch für negative Werte von fvornehmen, wobei sich an der Stelle die Frage nach der physikalischen Bedeutungstellt. Da der Cosinus eine gerade und der Sinus eine ungerade Funktion ist, siehtman allerdings recht schnell, dass für negative Werte von f gilt: X(−f) = X∗(f) Estreten die konjugiert komplexen Werte wie bei dem entsprechenden positiven Wertder Frequenz auf. Ist man nur an einer Spektralanalyse des Signals interessiert, kannman sich somit auf die „einseitige“ Darstellung der Werte von X(f) für positive Wer-te von f beschränken. Für die Rücktransformation eines Fourier Spektrums in denZeitbereich, wie sie beispielsweise zur Bestimmung der Impulsantwort eines idea-len Tiefpasses im Kapitel zur diskreten Faltung angewendet wurde, benötigt manallerdings das gesamte Spektrum X(f) für f von −∞ bis +∞.

Im Folgenden wird die Definition der DFT schrittweise hergeleitet, in dem man dieBerechnung des Fourier Integrals für abgetastete Signale und bei Beschränkung aufeinen zeitlich begrenzten Signalabschnitt vornimmt. Für zeitdiskrete Signale gehtdas Integral in eine Summe über und das frequenzkontinuierliche Spektrum läßtsich berechnen zu

t→ n · T ⇒ Xab(f) =∞∑

n=−∞

x (n · T ) · e−j·2·π·f ·n·T



Zur praktischen Anwendung der Fourier-Transformation beschränkt man die Be-trachtung auf einen zeitlich begrenzten Signalabschnitt, der N Abtastwerte x(n)

beinhaltet. Dabei ergibt sich allerdings das Problem, das die Bestimmung des Ähn-lichkeitsmasses nur dann fehlerfrei vorgenommen werden kann, wenn sich in dembetrachteten Signalabschnitt der Länge N · T genau eine oder mehrere Periodendes Cosinus oder des Sinus mit der Frequenz f befinden. Ansonsten wird die Be-rechnung der Ähnlichkeit stark fehlerbehaftet sein. Daraus folgt, dass das Spektrumnur für einige diskrete Frequenzwerte berechnet werden kann. Bei der Betrachtungdes zeitlichen begrenzten Signalabschnitts mit N Abtastwerten und einer zeitlichenLänge von N · T kann das Spektrum nur für die Frequenzen fk bestimmt werden,bei denen der betrachtete Signalabschnitt der zeitlichen Dauer einer Periode odereines ganzzahligen Vielfaches einer Periode entspricht:

fk = k · 1

N · T= k · fa

N(k − ganzzahlig und positiv)

Bei der Anwendung der Fourier-Transformation auf einen zeitlich begrenzten Signal-abschnitt wird das Spektrum bei den genannten Frequenzen bestimmt, was manauch als eine Abtastung im Frequenzbereich ansehen kann. Als Ergebnis erhält manein sogenanntes Linienspektrum, bei dem äquidistant im Abstand ∆f = fa

NSpek-

tralwerte auftreten. Betrachtet man eine Folge von N Abtastwerten, so kann dasfrequenzdiskrete Spektrum bei den Frequenzen fk = k · fa

Nberechnet werden zu

Xab

(k · fa

N

)=

N−1∑n=0

x (n · T ) · e−j·2·π·k·faN·n·T =

N−1∑n=0

x (n · T ) · e−j·2·π·k·nN

Im Abschnitt zur Abtastung wurde gezeigt, dass das Spektrum eines zeitdiskretenSignals x(n) unendlich ausgedehnt ist, wobei die Spektralanteile im Bereich −fa

2≤

f ≤ fa2

wiederholt bei Vielfachen der Abtastfrequenz auftreten. Daraus kann manableiten, dass eine Berechnung der Werte Xab

(k · fa

N

)im Bereich 0 ≤ f ≤ fa

2genügt,

um das Spektrum vollständig beschreiben und darstellen zu können. Dies würde füreine beliebige Wahl des Werts von N (gerade oder ungerade) bedeuten, die WerteXab

(k · fa

N

)für 0 ≤ k ≤

⌊N2

⌋zu berechnen. Im Fall eines geraden Werts von N erhält

man N2

+ 1, im Fall eines ungeraden Werts von N erhält man N+12

Werte Xab(k), diedas Spektrum bis zur halben Abtastfrequenz beschreiben. Der Wert Xk=0 =

∑n

x(n)

ist reelwertig und repräsentiert den Gleichanteil des Signals. Für einen geraden Wertvon N erhält man für k = N

2mit



Xab

(N2

)=

N−1∑n=0

x (n · T ) · e−j·2·π·N2· nN =

N−1∑n=0

x (n · T ) · cos (π · n)

ebenfalls einen reelen Wert, der den Spektralanteil bei f = fa2

definiert. Eigentlichsollte dieser Anteil den Wert Null annehmen, wenn zuvor eine korrekte und idealeTP Filterung mit fg < fa

2durchgeführt wurde.

Möchte man das DFT Spektrum verarbeiten und im Anschluß wieder eine Rück-transformation in den Zeitbereich durchführen, so benötigt man das vollständigeSpektrum im Bereich 0 ≤ f < fa, was den N DFT Werten X(k) mit den Indices0 ≤ k ≤ N −1 entspricht. Damit betrachtet man eine Periode des Spektrums, derenWerte für k ≥ N wiederholt auftreten. Mit einer leicht vereinfachten Schreibweise,bei der man sich auf den Zeitindex n und den Frequenzindex k beschränkt, ergibtsich somit die Definition der Diskreten Fourier Transformation (DFT) zu

X(k) =N−1∑n=0

x(n) · e−j·2·π·k·nN =

N−1∑n=0

[x(n) · cos

(2 · π · k · n

N

)]

− jN−1∑n=0

[x(n) · sin

(2 · π · k · n

N

)]fur k = 0, 1, ..., N − 1

Als Ergebnis der DFT ergeben sich somit N komplexe Werte, die ein Linienspektrumbei den Frequenzen fk =

{0Hz, fa

N, 2 · fa

N, 3 · fa

N, ..., , (N − 1) · fa

N

}= k · fa

Nmit 0 ≤

k ≤ N − 1 definieren.

Die schon erwähnte Rücktransformation der komplexen Werte X(k) in den Zeitbe-reich sieht formal recht ähnlich aus wie die DFT. Der einzige Unterschied findet sichin dem Vorzeichen beim Exponenten der Exponentialfunktion. Die inverse diskreteFourier Transformation (IDFT) ist definiert zu

x(n) =1

N·N−1∑k=0

X(k) · ej·2·π·k·nN =

1

N·N−1∑k=0

[X(k) · cos

(2 · π · k · n

N

)]

+ j · 1

N·N−1∑k=0

[X(k) · sin

(2 · π · k · n

N

)]fur n = 0, 1, ..., N − 1

Aus der Beschränkung auf die Bestimmung von N Spektralwerten bei den diskre-ten Frequenzen fk kann man folgern, dass mit der DFT exakt eigentlich nur Si-gnale analysiert werden können, die abgesehen von einem möglichen Gleichanteil(k = 0⇒ f = 0Hz) nur Frequenzanteile bei fa

Nund bei Vielfachen dieser Frequenz



besitzen. Diese Voraussetzung wird von periodischen Signalen erfüllt, bei denen ex-akt eine oder mehrere Perioden in dem zu analysierenden Signalabschnitt liegen.

An dieser Stelle lässt sich auch ein Bezug zur Darstellung eines periodischen Signalsals Fourier-Reihe herstellen, mit der man einen periodischen Signalverlauf als eineSumme gewichteter Cosinus- und Sinusschwingungen darstellen kann:

Fourier−Reihe : x(t) =a0

2+∞∑k=1

[ak · cos (2 · π · k · f0 · t) + bk · sin (2 · π · k · f0 · t)]

Die Frequenz f0, die den Kehrwert einer Periodenlänge darstellt, entspricht dabeider Frequenz fa

N, die aus der zeitlichen Länge des Analysefensters resultiert. Die

Real- und Imaginärteile der aus der diskreten Fourier-Transformation resultierendenFourier-KoeffizientenX(k) entsprechen den Wichtungskoeffizienten ak und bk. Dabeigilt der folgende Zusammenhang zwischen den Koeffizienten der Fourier Reihe undden DFT Koeffizienten:

ak ∼=2

N·Re [X(k)] fur k = 0, 1, 2, ...,

⌊N

2

⌋

bk ∼= −2

N· Im [X(k)] fur k = 1, 2, ...,

⌊N

2

⌋− 1

4.2. Eigenschaften der Diskreten Fourier

Transformation

Um einige Eigenschaften der DFT aufzuzeigen, werden beispielhaft in Abbildung4.1 die 20 Abtastwerte x(n) für 0 ≤ n ≤ 19 einer Periode eines periodischen Zeit-signals sowie der Realteil und der Imaginärteil des mit Hilfe der DFT bestimmtenSpektrums X(k) für 0 ≤ k ≤ 19 dargestellt.



Abbildung 4.1.: Eine Periode eines Zeitsignals und der Real- und Imaginärteil derzugehörigen DFT

Es wird angenommen, dass die Abtastung bei diesem Beispiel im Abstand von T =

1ms erfolgte, so dass sich die Abtastfrequenz zu fa = 1T

= 1 kHz ergibt.

Die Spektralwerte X(k) können mit der DFT im Abstand ∆f = 1N ·T = fa

N=

100020

= 50Hz berechnet werden. Somit kann das Spektrum mit k = 0, 1, ..., N − 1

für fk = k · faN

= k ·∆f = 0Hz, 50Hz, 100Hz, ..., 950Hz berechnet werden.

Vergleicht man an dieser Stelle nochmals die Definition der IDFT x(n) = 1N·

N−1∑k=0

X(k) ·[cos(2 · π · k · n

N

)+ j · sin

(2 · π · k · n

N

)]mit der Darstellung als Fouri-

er Reihe x(t) = a0

2+∞∑k=1

[ak · cos (2 · π · k · f0 · t) + bk · sin (2 · π · k · f0 · t)], so las-

sen sich für das betrachtete Beispiel die zugehörigen Wichtungskoeffizienten ak undbk aus den DFT Koeffizienten X(k) bei Beschränkung auf die Indices im Bereich0 ≤ k ≤ N

2bestimmen. Gemäß den am Ende des vorherigen Abschnitts angeführten



Zusammenhängen, ergeben sich die Koeffizienten ak und bk damit zu:

a1 =2

N·Re [X(1)] =

2

20· 10 = 1 a3 =

2

20· 3 = 0, 3 a5 =

2

20· (−5) = −0, 5

b2 = − 2

N·Im [X(2)] = − 1

10·(−5) = 0, 5 b4 = − 2

N·Im [X(4)] = − 1

10·7 = −0, 7

Mit der Frequenz f0 = faN

= 50Hz lässt sich das zugrunde liegende analoge Si-gnal x(t), aus dessen Abtastung sich die in Abbildung 4.1 dargestellten Abtastwerteergeben haben, beschreiben als

x(t) = 1 · cos (2 · π · 1 · f0 · t) + 0, 5 · sin (2 · π · 2 · f0 · t) + 0, 3 · cos (2 · π · 3 · f0 · t)

−0, 7 · sin (2 · π · 4 · f0 · t)− 0, 5 · cos (2 · π · 5 · f0 · t)

x(t) = 1·cos (2 · π · 50Hz · t)+0, 5·sin (2 · π · 100Hz · t)+0, 3·cos (2 · π · 150Hz · t)

−0, 7 · sin (2 · π · 200Hz · t)− 0, 5 · cos (2 · π · 250Hz · t) mit t in s

Die Abtastung eines zeitkontinuierlichen Signals führt zu einer periodischen Wie-derholung des TP-Spektrums im Bereich −fa

2≤ f ≤ fa

2bei Vielfachen der Abtast-

frequenz. Da zudem X(−f) = X∗(f) gilt, treten im Frequenzbereich fa2< f < fa ,

der durch die DFT Indices N2< k ≤ N − 1 beschrieben wird, die gleichen Spektral-

werte wie im Bereich −fa2< f < 0 auf. Im Allgemeinen gilt damit: X

(fa2

+ ∆f)

=

X∗(fa2−∆f

)mit 0 < ∆f < fa

2. Damit ergibt sich das auch in Abbildung 4.1 zu

sehende symmetrische Auftreten der Ausgangswerte der DFT bezüglich des Fre-quenzwerts bei k = N

2, der der halben Abtastfrequenz entspricht. Beispielsweise

entspricht der Wert des Realteils der DFT Komponente bei 50 Hz (k = 1) demWert bei 950 Hz (k = 19) und der Wert des Imaginärteils bei 200 Hz (k = 4) un-ter Berücksichtigung des konjugiert komplexen Auftretens, also mit umgekehrtemVorzeichen, dem Wert bei 800 Hz (k = 16).

Im Allgemeinen gilt bei Wahl eines geraden oder ungeradenWerts vonN die folgendeBeziehung zwischen den Spektralwerten unterhalb und oberhalb von fa

2:

N gerade : X

(N

2+ l

)= X∗

(N

2− l)mit l = 1, 2, ...,

N

2− 1

N ungerade : X

(N + 2 · l − 1

2

)= X∗

(N − 2 · l − 1

2

)mit l = 1, 2, ...,

N − 1

2



Das symmetrische Auftreten der DFT Werte um die halbe Abtastfrequenz herumwird nochmals in Abbildung 4.2 getrennt für einen geraden oder einen ungeradenWert von N dargestellt. Die Darstellung beschränkt sich auf die Betrachtung desBetragsspektrums, so dass der Aspekt des konjugiert komplexen Auftretens unbe-rücksichtigt bleibt.

} } } }} } k

|X(k)|

0 1 N2

-1N2}

+1}

N-1N2

N gerade

x( + )=x ( - )N2 l

N2 l*

k

|X(k)|

0 1 N-12

N-1

N ungerade

f2a

f2a

N+12

x( )=x ( )N+2 -12l * N-2 -1

2l

Abbildung 4.2.: Vergleich des Spektrums bei geradem und ungeradem N

Ist man nur an einer Darstellung des Ergebnisses der DFT als Spektrum interessiert,so kann man die Betrachtung und auch die Berechnung von X(k) auf den Bereichvon k = 0, 1, ...,

⌊N2

⌋beschränken, der dem Frequenzbereich von 0Hz bis zur halben

Abtastfrequenz entspricht. Zudem stellt man das Spektrum häufig nicht als Real-und Imaginärteil, sondern mittels Betrag und Phase dar.

4.3. Theoreme der DFT

Um die Fourier Transformation zur Analyse verschiedener Aufgabenstellungen ausdem Bereich der Signalverarbeitung anwenden zu können, ist es hilfreich, einige



Theoreme zu kennen.

Einselement:

Aus der Kenntnis der Beziehung x(t) = x(t) ∗ δ(t) kann manableiten, dass die Fourier Transformierte des Dirac Impulses derKonstanten 1 entsprechen muss.

x(t) = x(t) ∗ δ(t)

X(f) = X(f) · 1

Dies bedeutet, dass das Spektrum des Dirac-Stosses unabhängigvon der Frequenz einen konstanten Wert annimmt und somit un-endlich ausgedehnt ist. Dies ist in der folgenden Abbildung dar-gestellt.

δ(t)

t

0

|X(f)|

f

Abbildung 4.3.: Dirac-Stoss und Fourier-Transformierte

Linearität (Superposition): a1 · x1(t) + a2 · x2(t) a1 ·X1(f) + a2 ·X2(f)

Die lineare Überlagerung von Zeitsignalen führt zu einer ebenfallslinearen Überlagerung der zugehörigen Spektren.

Ähnlichkeitstheorem: x(b · T ) 1|b|X

(fb

)Wird ein Zeitsignal gestaucht, so wird das zugehörige Spektrumgedehnt. Umgekehrt führt eine Dehnung im Zeitbereich zu einerStauchung im Frequenzbereich.



x(t)

t12fg

|X(f)|

fg−fg

f

x(t)

t

14fg

|X(f)|

2fg−2fg

f

Abbildung 4.4.: Ähnlichkeitstheorem der Fourier Transformation

Verschiebungstheorem: x(t− t0) X(f) · e−j·2·π·f ·t0

Der multiplikative Term e−j·2·π·f ·t0 besitzt den Betrag 1. Die zeit-liche Verschiebung des Signals x(t) um t0 führt somit zu keinerbetragsmäßigen Veränderung des Spektrums, sondern nur zu einerPhasenverschiebung.

Symmetrie:

Fourier- und inverse Fourier Transformation unterscheiden sichnur durch das Vorzeichen des Exponenten. Daraus lässt sich diefolgende Symmetriebeziehung ableiten:

x(t) X(f)⇒ X(t) x(−f)

Die folgende Abbildung illustriert diesen Zusammenhang.

x(t)

t

|X(f)|

f

|x(f)|

f

X(t)

t

Abbildung 4.5.: Symmetrie-Theorem der Fourier Transformation

Faltung:

Mit Hilfe der Symmetriebeziehung lässt sich weiterhin ableiten,dass das Produkt zweier Zeitsignale zu einer Faltung der zugehö-rigen Spektren führt:



x1(t) · x2(t) X1(f) ∗X2(f)

Parselvalsches Theorem:

Die Energie eines Signalabschnitts lässt sich im Zeitbereich be-rechnen zu

E =N−1∑n=0

[x(n)]2

oder im Frequenzbereich zu

E =1

N·N−1∑k=0

|X(k)|2 =N−1∑n=0

[x(n)]2

Diesen Zusammenhang zwischen der Berechnung der Energie imFrequenz- und im Zeitbereich bezeichnet man als das ParsevalscheTheorem.

4.4. Anwendung der Theoreme der Fourier

Transformation zur Bestimmung der Spektren

von Cosinus und Sinus

Im Folgenden wird beispielhaft die Anwendung der Theoreme der Fourier Transfor-mation aufgezeigt, um die Fourier Spektren eines cosinus- und eines sinusförmigenSignalverlaufs herzuleiten. Ausgangspunkt ist die Betrachtung eines Dirac Impulses,der zum Zeitpunkt t0 auftritt, und den man in der Signalverarbeitung als δ(t − t0)

darstellen kann. Mit Hilfe des Verschiebungstheorems ergibt sich das zugehörigeFourier Spektrum zu

δ(t− t0) 1 · e−j·2·π·f ·t0

Wendet man nun die Symmetriebeziehung an, so resultiert aus der Funktion e−j·2·π·f ·t0

im Frequenzbereich die Funktion e−j·2·π·f0·t im Zeitbereich. Im Frequenzbereich er-gibt sich damit ein Dirac Impuls, der allerdings gespiegelt bei der Frequenz −f0

auftritt:



1 · e−j·2·π·f0·t δ(f + f0)

Betrachtet man anstelle der Frequenz f0 die Frequenz −f0, so erhält man im Zeit-und Frequenzbereich das folgende Transformationspaar:

e+j·2·π·f0·t δ(f − f0)

Unter Einbeziehung der Linearität ergibt sich für die Summe der beiden Exponenti-alfunktionen im Frequenzbereich die additive Kombination der beiden Dirac Impulsebei den Frequenzen f0 und −f0:

e−j·2·π·f0·t + e+j·2·π·f0·t δ(f + f0) + δ(f − f0)

Verwendet man die Beschreibung der Exponentialfunktion

e+j·2·π·f0·t = cos (2 · π · f0 · t) + j · sin (2 · π · f0 · t)

als Summe von Cosinus und Sinus, so erhält man anstelle der Summe der Exponen-tialfunktionen die Cosinusfunktion:

2 · cos (2 · π · f0 · t) δ(f + f0) + δ(f − f0)

Den Faktor 2 kann man durch die Multiplikation mit dem Faktor 12im Zeit- und

Frequenzbereich in den Frequenzbereich verschieben, so dass sich das Spektrum desCosinus als zwei mit dem Faktor 1

2auftretende Dirac Impulse bei den Frequenzen

−f0 und +f0 ergibt:

cos (2 · π · f0 · t) 12δ(f + f0) + 1

2δ(f − f0)

Abbildung 4.6 veranschaulicht diesen Zusammenhang.

t

1

1

f0

f1

2

1

2

−f0 f0

Abbildung 4.6.: Cosinussignal und das zugehörige Spektrum

Betrachtet man anstelle der Summe die Differenz der beiden Exponentialfunktionen,so erhält man im Zeitbereich die Sinusfunktion:



e−j·2·π·f0·t − e+j·2·π·f0·t δ(f + f0)− δ(f − f0)

−2 · j · sin (2 · π · f0 · t) δ(f + f0)− δ(f − f0)

Durch Multiplikation mit j2im Zeit- und Frequenzbereich ergibt sich das Spektrum

des Sinus als zwei Dirac Impulse, die mit den Amplituden j2und − j

2bei den Fre-

quenzen −f0 und +f0 auftreten:

sin (2 · π · f0 · t) j2δ(f + f0)− j

2δ(f − f0)

Abbildung 4.7 veranschaulicht diesen Zusammenhang.

t

1

1

f0

fj2

−

j2

−f0 f0

Abbildung 4.7.: Sinussignal und das zugehörigeSpektrum

Alternativ hätte man das Spektrum des Sinussignals auch aus einer zeitlichen Ver-schiebung des Cosinussignals und der damit im Frequenzbereich einhergehendenmultiplikativen Verknüpfung des Cosinuspektrums mit dem zugehörigen Phasen-term ableiten können. Das Sinussignal lässt sich als eine Rechtsverschiebung desCosinussignals um eine Viertelperiode mit t0 = 1

4· 1f0

darstellen:

sin (2 · π · f0 · t) =

cos(

2 · π · f0 ·(t− 1

4f0

)) [12δ(f + f0) + 1

2δ(f − f0)

]· e−j·2·π·

f4f0

Auf Grund der Multiplikation des Exponentialterms mit den beiden Diracimpulsenverbleiben nur die beiden konkreten Werte des Exponentialterms bei den beidenFrequenzen −f0 und +f0 als Amplitudenfaktoren der Diracimpulse:

sin (2 · π · f0 · t) 12δ(f + f0) · e−j·2·π·

−f04f0 + 1

2δ(f − f0) · e−j·2·π·

f04f0

sin (2 · π · f0 · t) 12δ(f + f0) · ej·π2 + 1

2δ(f − f0) · e−j·π2

sin (2 · π · f0 · t) j2δ(f + f0)− j

2δ(f − f0)



4.5. Analyse von Signalen im Frequenzbereich

Die Spektralananalyse mit Hilfe einer Fourier Transformation wird häufig zur Be-stimmung der Frequenzzusammensetzung unbekannter Signale eingesetzt. Erfasstman beispielsweise mit einem entsprechenden Sensor die Schwingung eines Bauteilseiner Maschine, so ist die Kenntnis der Frequenz oder Frequenzen, mit denen dasBauteil schwingt, meist interessanter als die reine Betrachtung des Schwingungs-verlaufs im Zeitbereich. Daher setzt man in einem solchen Fall die DFT X(k) =N−1∑n=0

x(n) · e−j·2·π·k· nN zur Bestimmung der Frequenzanteile aus den N Abtastwerten

x(n) des Signalverlaufs ein. Wie im Abschnitt 4.1 bereits erwähnt wurde, dürftedas zu analysierende Signal streng genommen eigentlich nur ein periodisches Signalsein. Zudem müsste die Bedingung erfüllt sein, dass der zu transformierende Si-gnalabschnitt, der aus N Abtastwerten besteht, genau eine oder mehrere Periodendes periodischen Signals beinhaltet. Da eine oder beide Bedingungen von einem zuanalysierenden Signal häufig nicht erfüllt werden, wird im Folgenden untersucht,welchen Einfluss dies auf das Ergebnis der DFT besitzt. In der Regel weiß mannicht, ob es sich überhaupt um ein periodisches Signal handelt bzw. kennt im Falleines periodischen Signals die Periodenlänge nicht.

4.5.1. Herleitung des Leckeffekts

Die Beschränkung auf einen Signalabschnitt, der aus N Abtastwerten besteht unddamit eine zeitliche Länge von N · T besitzt, kann man mathematisch als eine Mul-tiplikation mit einer Rechteckfunktion der Länge N · T beschreiben. Zur Herleitungder Fourier Transformierten der Rechteckfunktion wird zunächst die Basisfunktionrect(t) betrachtet, die im Bereich von −1

2bis +1

2den Wert annimmt, wie es in

Abbildung 4.8 veranschaulicht wird.

Abbildung 4.8.: Rechteckimpuls mit der Bezeichnung rect(t)

Ein „Einheits“-Rechteckimpuls mit der zeitlichen Breite von 1 und einer Amplitude



von 1 ist definiert als:

rect(t) =

1 |t| ≤ 1

2

fur

0 |t| > 12

Das Spektrum des Rechteckimpulses lässt sich mit Hilfe der Fourier-Transformationbestimmen zu

X(f) =

∞∫−∞

rect(t) · e−j·2·π·f ·t dt =

+ 12∫

− 12

e−j·2·π·f ·t dt

Mit

∫ea·x dx =

1

a· ea·x ⇒ X(f) =

1

−j · 2 · π · f·[e−j·2·π·f ·t

]+ 12

− 12

=−1

j · 2 · π · f·(e−j·π·f − ej·π·f

)=

−1

j · 2 · π · f· [cos(π · f)− j · sin(π · f)− cos(π · f)− j · sin(π · f)] =

sin(π · f)

π · f

Bei dem Term sin(π·f)π·f handelt es sich um eine gedämpfte Sinusschwingung, die man

auch als SI -Funktion bezeichnet und für das Argument π · f die Schreibweise Si(π ·f) verwendet. Die Fourier-Tranformierte des Rechteckimpulses ist die Si-Funktion:rect(t) Si(π · f)

Von dieser Definition der Fourier Transformierten des Rechteckimpulses lässt sichmit Hilfe des Ähnlichkeitstheorems die Fourier Transformierte des Rechteckimpulsesmit der Länge N · T ableiten zu: rect

(t

N ·T

)N · T · sin(π·f ·N ·T )

π·f ·N ·T

Mit Hilfe dieser Fourier Transformierten des Rechteckfenster der Länge NT lässtsich, ausgehend von einem analogen Signalverlauf x(t), dessen Abtastung sich als

Multiplikation mit der Summe von Dirac-Impulsen∞∑

n=−∞δ (t− n · T ) und dessen

zeitliche Beschränkung auf einen Abschnitt der Länge N · T sich als eine weitereMultiplikation mit der Rechteckfunktion rect

(t

N ·T

)darstellen lässt, das Spektrum

des abgetasteten und zeitlich begrenzten Signals bestimmen zu:



x(t) ·∞∑

n=−∞

δ (t− n · T ) · rect

(t

N · T

)

X(f) ∗ 1

T

∞∑n=−∞

δ (f − n · fa) ∗ N · T · sin (π · f ·N · T )

π · f ·N · T

Es ergibt sich eine Faltung des TP-Spektrums X(f) mit der Folge von Dirac-Stößenbei Vielfachen der Abtastfrequenz sowie eine weitere Faltung mit der zur Rechteck-funktion gehörigen Si-Funktion. Die Faltung mit der Folge von Dirac-Stößen führtzu der bekannten spektralen Wiederholung bei Vielfachen der Abtastfrequenz. DerEinfluss der zeitlichen Beschränkung auf einen Signalabschnitt spiegelt sich daherin der Faltung des TP-Spektrums mit der Si-Funktion wieder.

X(f) ∗ N · T · sin (π · f ·N · T )

π · f ·N · T

Beispielhaft werden dazu in Abbildung 4.9 eine Rechteckfunktion mit einer Längevon N · T = 20ms und die Fourier Transformierte dieser Rechteckfunktion darge-stellt.

−30 −20 −10 0 10 20 300

0.5

1

Sig

nal x(t

)

Zeit/ms

−500 −400 −300 −200 −100 0 100 200 300 400 500−0.5

0

0.5

1

Frequenz/Hz

Spektr

um

X(f

)

Abbildung 4.9.: Zeitsignal und Spektrum eines Rechteckfensters

Die Si Funktion als Fourier Transformierte der Rechteckfunktion nimmt bei derFrequenz f0 = 1

N ·T = 10,02s

= 50Hz und Vielfachen dieser Frequenz den Wert 0 an.



Die Faltung des Si-förmigen Verlaufs mit dem Spektrum eines Cosinussignals wirdin Abbildung 4.10 veranschaulicht. Dabei besitzt das Cosinussignal eine Frequenzvon 50 Hz, so dass das zugehörige Fourier Spektrum aus 2 Dirac-Impulsen beif = −50Hz und bei f = +50Hz besteht, die in der obersten Teilgraphik dar-gestellt sind. Analysiert man einen Signalabschnitt mit einer Länge von 20ms, sofällt genau eine Periode in das betrachtete Zeitfenster. Die zugehörige SI-förmigeFrequenzcharakteristik des 20ms langen Rechteckfensters entspricht dabei dem derin der zweiten Teilgraphik in Abbildung 4.9 dargestellten Verlauf. Das Lösen desFaltungsintegrals wird in anschaulicher Form in Abbildung 4.10 durch eine Ver-schiebung des SI-förmigen Verlaufs über der Frequenz angedeutet. Als Ergebnis derFaltung ergibt sich die additive Überlagerung zweier Si-Funktionen, wie sie in derdritten Teilgraphik dargestellt ist. Diese Überlagerung lässt sich auch aus der ma-thematischen Darstellung der Faltung der Summe von Diracimpulsen mit der SI

Funktion[

12δ(f + 50) + 1

2δ(f − 50)

]∗ sin(π· f50)

π· f50

ableiten, wobei der Amplituden-faktor NT bei der SI Funktion vernachlässigt wurde. Die Faltung mit einem DiracImpuls führt zur Verschiebung der SI Funktion an die Stelle des Dirac Impulses, sodass sich als Ergebnis die additive Überlagerung der bei den Frequenzen −50 und

+50Hz auftretenden SI Funktionen ergibt:sin(π· f+50

50 )π· f+50

50

+sin(π· f−50

50 )π· f−50

50

Da das Ziel dieBestimmung des prinzipiellen, sich aus der Faltung ergebenden Verlaufs ist, ohneWert auf eine korrekte amplitudenmäßige Darstellung zu legen, werden zur Verein-fachung auch hier die Amplitudenfaktoren 1

2der Diracimpulse vernachlässigt.



Abbildung 4.10.: Faltung des Spektrums eines 50Hz-Cosinussignals mit derSi-förmigen Frequenzcharakteristik eines 20 ms langenAnalysefensters

Mit der Diskreten Fourier-Transformation können nur die Spektralwerte bei Vielfa-chen der Frequenz ∆f = 1

N ·T = faN

= 50Hz bestimmt werden, bei denen genau eineoder mehrere Perioden in das Anlaysefenster der Breite von 20ms passen. Man kanndies auch als eine „Abtastung“ des Ergebnisses der Faltung bei Vielfachen von ∆f

ansehen. Das Ergebnis dieser Abtastung ist in der untersten Teilgraphik dargestellt.Das DFT Spektrum weist dabei nur Werte ungleich Null bei der tatsächlichen Fre-quenz von 50Hz des Cosinussignals und bei dem negativen Wert von −50Hz auf.Bei allen anderen Vielfachen von 50Hz treten gerade die Nullstellen der additivenÜberlagerung der SI förmigen Verläufe auf.

Vergleichend wird die Analyse des 20ms langen Abschnitts eines Cosinussignalsmit einer Frequenz von 75Hz betrachtet. In diesem Fall fallen 1,5 Schwingungendes Cosinus in das betrachtete Zeitfenster, so dass die genannten Voraussetzungenzur Anwendung der DFT eigentlich nicht erfüllt sind. Das sich dabei einstellendeErgebnis wird in Abbildung 4.11 veranschaulicht, in dem wiederum die Faltung desSignalspektrums mit der Fourier Transformierten der Rechteckfunktion gezeigt wird.



Abbildung 4.11.: Faltung des Spektrums eines 75Hz-Cosinussignals mit derSi-förmigen Frequenzcharakteristik eines 20 ms langenAnalysefensters

Das DFT Spektrum, das aus der „Abtastung“ des Ergebnisses der Faltung bei Vielfa-chen von ∆f = 50Hz resultiert, besitzt bei allen betrachteten Frequenzwerten vonNull abweichende Werte. In der Umgebung der eigentlichen Frequenz von 75Hz desCosinus werden größere Amplitudenwerte bei 50Hz und bei 100Hz bestimmt. Manbezeichnet diese Beobachtung als leakage (Leck-) Effekt. Das DFT Spektrum weistSpektralkomponenten aus, die real nicht in dem Signal enthalten sind. Das Ergebnisder Analyse mit Hilfe der DFT ist in diesem Fall stark fehlerbehaftet.

4.5.2. Reduktion der Fehler auf Grund des Leckeffekts

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, um die Fehler bei der Spektralanalyse mit derDFT zu verkleinern. Eine einfache Möglichkeit besteht in der Analyse eines länge-ren Signalabschnitts, so dass die Anzahl N der Abtastwerte und damit auch dieTransformationslänge vergrößert wird. Zum einen wird damit das Spektrum miteiner größeren Anzahl von Werten bei einer Verringerung des Abstands ∆f = fa

N

zwischen den Spektralkomponenten beschrieben. Daraus resultiert eine höher auf-gelöste Spektralanalyse. Zum anderen ist die Fourier Transformierte des breiteren



Rechteckfensters eine gestauchte SI Funktion. Die gestauchte SI Funktion besitzt einstärker gedämpftes Schwingungsverhalten, so dass es nur in einem geringeren Fre-quenzbereich zum Auftreten größerer Fehler kommt. Insgesamt bewirken die beidenEffekte, die Abtastung in einem geringeren Frequenzabstand und die Faltung miteiner gestauchten SI Funktion, eine Verkleinerung der Fehler auf Grund des Leckef-fekts. Die Analyse eines längeren Signalabschnitts ist allerdings nur möglich, wenn essich um ein stationäres Signal handelt, das seine spektralen Eigenschaften nicht überder Zeit verändert, und man eine größere Anzahl von Abtastwerten zur Verfügunghat. Zudem muß auch die Rechenleistung zur Verfügung stehen, um die Transforma-tion der größeren Anzahl von Abtastwerten im Fall möglicher Echtzeitanforderungendurchzuführen.

In der Praxis kann die Anzahl N jedoch nicht immer beliebig erhöht werden. Stehenbeispielsweise bei einem zeitbegrenzten Signal nur N Abtastwerte zur Verfügung, sokann man alternativ durch das Anhängen von Nullwerten, das man als „zero pad-ding“ bezeichnet, eine größere Transformationlänge NDFT erzielen. Ergänzt man dieN Abtastwerte um NDFT −N Nullwerte, so wird das Ergebnis der Faltung an denStellen k · fa

NDFTabgetastet, so dass man mehr Werte und damit eine höhere Frequen-

zauflösung erzielt. Im Zeitbereich bleibt es aber weiterhin bei der Multiplikation mitdem Rechteckfenster der Länge NT , so dass es im Frequenzbereich unverändert zurFaltung mit der zugehörigen SI Funktion kommt. Beim „zero padding“ kann manfolglich nur den einen der beiden im vorhergehenden Abschnitt erläuterten Effekten,nämlich den einer Abtastung mit dem geringeren Abstand fa

NDFT, ausnutzen.

Eine dritte Möglichkeit lässt sich aus der Betrachtung der SI Funktion als FourierTransformierte des Rechteckfensters ableiten. Die SI Funktion weist über einen wei-ten Bereich hin ein Schwingungsverhalten auf und verursacht damit auch über einenbreiten Frequenzbereich hinweg Fehler. Würde man nun anstelle der SI Funktion einealternative Funktion verwenden, die ein stärker gedämpftes Schwingungsverhaltenbesitzt, könnte man die breite „Streuung“ von Fehlern reduzieren. Die Rücktrans-formation derartiger Schwingungsverläufe mit stärkerer Dämpfung führen einen imZeitbereich zur Verwendung von anderen „Fensterfunktionen“ als dem Rechteck-fenster. Diese Fensterfunktionen sehen prinzipiell so aus, dass sie in der Mitte desFensters den Wert 1 und zum Rand hin kleinere Werte annehmen. Es gibt eineVielzahl von Fensterfunktionen, die zum größten Teil nach ihren Erfindern benanntwurden, z.B. Hamming, Hanning, Blackman, Kaiser, ... Viele der Funktionen sindmathematisch durch eine Summe von Cosinustermen definiert. In Abbildung 4.12sind in der rechten Bildhälfte beispielhaft die Definition und der Verlauf eines Ham-



mingfensters w(n) der Breite von 20ms sowie der logarithmierte Betrag der FourierTransformierten dargestellt.

−15 −10 −5 0 5 10 150

0.5

1

Rechteck

Zeit/ms

w(n

)

−500 0 500−60

−40

−20

0

log|W

(f)|

/dB

Frequenz/Hz

−15 −10 −5 0 5 10 150

0.5

1

Hamming

Zeit/ms

w(n

)

−500 0 500−60

−40

−20

0

log|W

(f)|

/ d

B

Frequenz/Hz

Abbildung 4.12.: Zeitsignal und logarithmiertes Betragsspektrum des Rechteck- undHammingfensters

Die DFT wendet man auf die mit den Faktoren w(n) gewichteten Abtastwerte x(n)

an:

X(k) =N−1∑n=0

x(n) · w(n) · e−j·2·π·k·nN fur k = 0, 1, ..., N − 1

Vergleicht man die beiden logarithmierten Betragsspektren des Rechteck- und desHammingfensters, die in Abbildung 4.12 dargestellt sind, so erkennt man eine we-sentlich höhere Dämpfung bei den Nebenzipfeln der Fourier Transformierten derHammingfunktion. Dies macht den wesentlich stärker gedämpften Verlauf der Fou-rier Transformierten der Hammingfunktion im Vergleich zur SI Funktion deutlich,woraus wiederum eine wesentlich geringere Streuung der Fehler über einen wei-ten Frequenzbereich auf Grund des Leckeffekts folgt. Allerdings besitzt die FourierTransformierte der Hammingfunktion eine wesentliche breitere Hauptkeule, bei derdie erste Nullstelle erst oberhalb von 100Hz im Vergleich zur ersten Nullstelle derSI Funktion bei 50Hz auftritt. Die Faltung des eigentlich zu bestimmenden Spek-trums X(f) mit dieser breiteren Hauptkeule führt zu einer Art „Verschmierung“der eigentlichen Komponenten von X(f) über die Breite dieser Hauptkeule. Eineeinzelne Frequenzkomponente, in deren Nachbarschaft keine weiteren Frequenzan-teile auftreten, wird damit nicht so genau im Ergebnis der DFT zu lokalisieren sein.



Bei der Wahl der Fensterfunktion kann man nun verstärkt entweder auf eine ge-ringe Breite der Hauptkeule oder eine hohe Nebenzipfeldämpfung achten. Erwartetman ein zu analysierendes Spektrum mit einigen wenigen Komponenten mit großenAmplitudenwerten, deren Frequenzlage man relativ genau bestimmen möchte, sosollte man eher ein Fenster mit einer schmäleren Hauptkeule wählen. Ist man an dergenaueren Analyse von Frequenzbereichen mit relativ kleinen Amplitudenwerten in-teressiert, so sollte man eher ein Fenster mit einer höheren Nebenzipfeldämpfungwählen.

4.5.3. Fast Fourier Transformation

Eine effiziente Berechnung der DFT ist möglich, wenn man Signalabschnitte, die2k Abtastwerte beinhalten, analysiert und damit die Transformationslänge der DFTauf die Werte ..., 32, 64, 128, 256, 512, 1024, ... beschränkt. Diese recheneffiziente Rea-lisierung der DFT bezeichnet man als „Fast Fourier Transformation“ (FFT). DerRechenaufwand einer DFT ergibt sich im Wesentlichen aus der Anzahl der durch-zuführenden Multiplikationen. Zur Bestimmung der Werte

X(k) =N−1∑n=0

[x(n) · cos

(2 · π · k · n

N

)]− j

N−1∑n=0

[x(n) · sin

(2 · π · k · n

N

)]fur 0 ≤ k ≤ N − 1

werden N ·N Multiplikationen zur Bestimmung der Realteile (Multiplikationen vonx(n) mit den Abtastwerten der Cosinusfunktionen) und N ·N Multiplikationen zurBestimmung der Imaginärteile (Multiplikationen von x(n) mit den Abtastwerten derSinusfunktionen) benötigt. Nutzt man noch die Kenntnis des wiederholten Auftre-tens der Werte X(k) unterhalb von fa

2als konjugiert komplexe Werte oberhalb von

fa2, so ergeben sich insgesamt etwa N ·N Multiplikationen. Bei einer Beschränkung

auf Signalabschnitte, die 2m Abtastwerte beinhalten, nehmen die Abtastwerte derCosinus- und Sinusfunktionen an mehreren Stellen den gleichen Wert oder betrags-mäßig den gleichen Wert an, wie es beispielhaft für N = 64 = 26 und m = 6 inAbbildung 4.13 bei k = 4 dargestellt ist. Damit kann man durch eine vorherigeAddition oder Subtraktion der Abtastwerte x(n) an diesen Stellen und das anschlie-ßende einmalige Multiplizieren des Ergebnisses der Addition und Subtraktion mitdem zugehörigen Wert des Cosinus oder Sinus die Anzahl der Multiplikationen deut-lich reduzieren. Konkret lässt sich damit die Anzahl von N ·N Multiplikationen aufN · ld(N) reduzieren. Beispielsweise lässt sich so die Anzahl der Multiplikationen bei



einer 256 Punkte FFT von 28 · 28 = 216 = 65536 auf 28 · 8 = 211 = 2048 reduzieren.

0 10 20 30 40 50 60

−1

−0.9239

−0.7071

−0.3827

0

0.3827

0.7071

0.9239

1

Abbildung 4.13.: Wiederholtes Auftreten der Werte bei einem abgetastetenSinussignal

Möchte man einen Signalabschnitt, der weniger als 2m Abtastwerte beinhaltet, inForm einer FFT analysieren, so kann man mit Hilfe des bereits erwähnten „zeropaddings“ entsprechend viele Nullen anfügen bis zum Erreichen der Länge von 2m.

4.6. Beschreibung von

Signalverarbeitungssystemen im

Frequenzbereich

Neben dem in den vorherigen Abschnitten vorgestellten Einsatz der Fourier Transfor-mation zur Bestimmung der Frequenzzusammensetzung zeitdiskreter Signale kannman die Transformation und ihre konkrete Realisierung in Form der DFT auch zurAnalyse des Übertragungsverhaltens von Signalverarbeitungssystemen im Frequenz-bereich einsetzen. Aus der alleinigen Betrachtung der Impulsantwort h(t) oder h(n)

im Zeitbereich und der Faltung des Eingangssignals mit dieser Impulsantwort zurBestimmung des Ausgangssignals y(t) = x(t) ∗ h(t) oder y(n) = x(n) ∗ h(n) erhältman nur in begrenztem Umfang eine Vorstellung von dem Übertragungsverhaltendes Systems. Da viele Systeme das Ziel einer Filterung mit einer Unterdrückung



oder Abschwächung bestimmter Frequenzanteile verfolgen, läßt sich das Übertra-gungsverhalten einfacher und anschaulicher im Frequenzbereich nachvollziehen.

Transformiert man eine Stossantwort h(t) bzw. eine zeitdiskrete Impulsantwort h(n)

in den Frequenzbereich, so erhält man die komplexe Übertragungsfunktion H(f):

h(t) H(f) =∞∫−∞

h(t) · e−j·2·π·f ·t dt

h(n) H(f) =∞∑

n=−∞h(n) · e−j·2·π·n·

ffa

Den Betrag der Übertragungsfunktion |H(f)| bezeichnet man als Amplitudengang.Der Phasengang beschreibt die Veränderung der Phase in Abhängigkeit der Fre-quenz.

Die Faltung y(t) = x(t) ∗ h(t) zur Beschreibung linearer, zeitinvarianter Systeme imZeitbereich geht bei Anwendung der Fourier Transformation über in das Produktdes komplexen Spektrums X(f) des Eingangssignals und der ÜbertragungsfunktionH(f) zur Bestimmung des komplexen Ausgangsspektrums Y (f) = X(f) ·H(f)

Das Spektrum X(f) bestimmt sich für ein zeitdiskretes Signal x(n) in gleicher Weisewie die Übertragungsfunktion:

x(n) X(f) =∞∑

n=−∞x(n) · e−j·2·π·n·

ffa

Die Zusammenhänge zur Bestimmung von Ausgangssignal und Ausgangsspektrumwerden nochmals in Abbildung 4.14 visualisiert.

Abbildung 4.14.: Lineares, zeitinvariantes System in Zeit- und Frequenzbereich

Der vergleichenden Betrachtung eines Signalverarbeitungssystems im Zeit- und imFrequenzbereich kann man entnehmen, dass man das Ausgangssignal y(t) nebender Faltung von Eingangssignal x(t) und Impulsantwort h(t) auch über den Um-weg einer Transformation der beiden Signale x(t) und h(t) in den Frequenzbereich,



der multiplikativen Verknüpfung der beiden Spektren X(f) unf H(f) und einerRücktransformation des Spektrums Y (f) in den Zeitbereich bestimmen kann. DieseVorgehensweise, die man im Fall einer blockweisen Verarbeitung des Signals x(n)

auch als periodische Faltung bezeichnet, kann bei der Realisierung mit Hilfe der FFTin einigen Fällen recheneffizienter im Vergleich zur Faltung im Zeitbereich sein.

4.6.1. Periodische Faltung im Frequenzbereich

Zur Realisierung der periodischen Faltung im Frequenzbereich setzt man bei zeit-diskreten Signalen x(n) die DFT ein. Dabei erfolgt

• eine Transformation des Signals x(n) und der Impulsantwort h(n) des Filtersin den Spektralbereich mit Hilfe einer DFT (FFT),

• eine Filterung des Signals durch Multiplikation der beiden Spektren X(k) undH(k) und

• eine Rücktransformation des berechneten Spektrums Y (k) in den Zeitbereichmit Hilfe einer IDFT (IFFT).

Die Voraussetzung zur Durchführung der zuvor genannten Verarbeitungsschritte isteine Transformation von x(n) und h(n) mit der gleichen Transformationslänge, sodass sich gleich viele Werte X(k) und H(k) ergeben, die dann elementweise mitein-ander multipliziert werden können. Zunächst wird die Faltung eines zeitbegrenztenSignals x(n) mit einer ebenfalls zeitlich begrenzten Impulsantwort h(n) betrachtet.Besteht x(n) beispielsweise aus L Abtastwerten x(n) ungleich Null für 0 ≤ n < L

(x(n < 0) = 0 und x(n ≥ L) = 0) und h(n) aus P Abtastwerten ungleich Null für0 ≤ n < P (h(n < 0) = 0 und h(n ≥ P ) = 0), so resultieren aus der Faltung vonx(n) und h(n) im Zeitbereich L+P − 1 Abtastwerte. Somit muss die Transformati-onslänge der DFT ebenfalls L+P −1 sein, damit sich nach der RücktransformationL+P − 1 Werte y(n) ergeben. Die gesamte Vorgehensweise wird in Abbildung 4.15veranschaulicht. Die Signale x(n) und h(n) werden mit Hilfe des „zero paddings“um die entsprechende Anzahl von Nullen ergänzt, so dass eine Transformation derLänge L+P − 1 durchgeführt werden kann. Grundsätzlich verursacht die Verarbei-tung im Frequenzbereich eine Verzögerung, da die Transformation erst durchgeführtwerden kann, wenn alle Abtastwerte x(n) vorhanden sind. Im Gegensatz dazu kanndie Faltung im Zeitbereich abtastwertweise angwendet werden.



Abbildung 4.15.: Zusammenhang zwischen Faltung im Zeitbereich und Multiplika-tion im Frequenzbereich

In der Regel findet eine Verarbeitung zeitlich nicht begrenzter Signale statt. Bei-spielsweise stellt die kontinuierliche Folge von Abtastwerten, die bei der Aufnahmeeines Audiosignals mit einem Mikrofon generiert wird, ein solches Signal dar. Indiesem Fall kann man die periodische Faltung in der Weise anwenden, dass man dasSignal x(n) in zeitlich begrenzte Abschnitte der Länge Lseg zerlegt. Die Länge Lsegsollte so gewählt werden, dass es bei einer Verarbeitung in Echtzeit zu einer tolerier-baren Verzögerung kommt. Beispielsweise kann man bei einer Kommunikation überein Telefonsystem eine Verzögerung von 50 bis 100ms als noch tolerabel einstufen.Kommt man allerdings in den Bereich mehrerer 100 Millisekunden, so entstehenSituationen, bei denen sich die beiden Gesprächspartner gegenseitig ins Wort fal-len und die Kommunikation als unangenehm empfunden wird. Die Zerlegung einesSignals wird in Abbildung 4.16 veranschaulicht.



0 10 20 30 40 50 60

Zeit/ms

Abbildung 4.16.: Zerlegung eines Signals in Fenster

Dabei wird ersichtlich, dass man die Zerlegung in der Regel überlappend vornimmt,um beispielsweise bei Audiosignalen eine hohe Audioqualität zu gewährleisten. Be-trachtet man das Signal x(n), das nach dem Einschalten des Systems zum Zeitpunktt = 0 nur Amplitudenwerte ungleich Null für n ≥ 0 besitzen soll, so kann man die Ab-tastwerte xr(nseg) eines Segments, das mit dem Index r versehen wird, beschreibenals xr(nseg) = x (r · Lshift + nseg) · w (nseg). Dabei stellt nseg den Abtastindex dar,der für jedes der aus Lseg Abtastwerten bestehenden Segmente einen Wert im Be-reich 0 ≤ nseg < Lseg annimmt. Der Segmetindex r nimmt die Werte r = 0, 1, 2, ...,an. Die überlappende Analyse wird durch den Wert Lshift definiert, mit dem dieVerschiebung des Analysefensters um Lshift ≤ Lseg Abtastwerte festgelegt wird.Zur Reduktion der Fehler auf Grund des Leckeffekts werden die Abtastwerte jedesSegments mit den Werten w(nseg) einer der bereits vorgestellten Fensterfunktionengewichtet, wie es auch in Abbildung 4.16 veranschaulicht wird. An der Stelle wirdaus der Betrachtung des Zeitsignals deutlich, dass es für eine nicht überlappendeAnalyse mit Lshift = Lseg bei der Rekonstruktion des Ausgangssignals mit einerAneinanderreihung der mit den Fensterfunktionen gewichteten Signalsegmente zuSignalverzerrungen kommen würde.



Jeder der Signalabschnitte xr(nseg) kann mit Hilfe einer DFT (FFT) in den Spektral-bereich transformiert werden, um so das zugehörige Kurzzeit-Spektrum Xr(k) diesesAbschnitts zu bestimmen. Jedes Kurzzeit-Spektrum Xr(k) wird mit dem SpektrumH(k) der in den Frequenzbereich transformierten Impulsantwort des Übertragungs-systems zur Bestimmung des Ausgangsspektrums Yr(k) = Xr(k) · H(k) multipli-ziert. Das Ergebnis Yr(k) der Multiplikation wird mit Hilfe der IDFT (IFFT) in denZeitbereich zurücktransformiert. Die rücktransformierten Signalabschnitte yr(nseg)werden zeitlich an die Position des zugehörigen Analysefensters geschoben und diesich überlappenden Signalabschnitte werden additiv überlagert, wie in Abbildung4.17 veranschaulicht wird.

0 10 20 30 40 50

Zeit/ms

Abbildung 4.17.: Rekonstruktion eines Signals aus Fenstern

Man bezeichnet diese Vorgehensweise auch als Overlap-add Verfahren. Mathema-tisch lässt sich die additive Überlagerung der Signalwerte aller Segmente zur Gene-

rierung des Ausgangssignals y(n) beschreiben als: y(n) = fac ·∞∑r=0

yr (n− r · Lshift)

Der Korrekturfaktor fac wird zur Bestimmung der Ausgangswerte y(n) im unge-fähren Amplitudenbereich der Eingangswerte x(n) benötigt. Der Wert von fac ist



abhängig vom Grad der Überlappung aufeinanderfolgender Segmente sowie von derverwendeten Fensterfunktion.

Bei Einsatz der FFT und IFFT zur Durchführung der Hin- und Rücktransformatio-nen bezeichnet man die periodische Faltung auch als „schnelle Faltung“.

In Abhängigkeit der gewählten Transformationslänge und des Grads der Überlap-pung kann der Umweg über den Frequenzbereich recheneffizienter sein als die Faltungmit einer relativ langen Impulsantwort im Zeitbereich.

4.6.2. Der Tiefpass als Beispiel eines Übertragungssystems

Im Folgenden wird der ideale Tiefpass, dessen Impulsantwort bereits im Kapitelzur Faltung aus der Betrachtung der idealen, rechteckförmigen Frequenzcharakte-ristik HTP (f) = 1

2·fg · rect(

f2·fg

)und einer Rücktransformation in den Zeitbereich

abgeleitet wurde, nochmals als Beispiel eines Übertragungssystems betrachtet. Essoll insbesondere die zur praktischen Realisierung notwendige Beschränkung der Si

förmigen Impulsantwort hTP (n) =sin(

2·π·n· fgfa

)2·π·n· fg

fa

auf eine endliche Anzahl von Abtast-

werten analysiert werden. Mit Hilfe der mathematischen Beschreibung der zeitlichenBeschränkung und einer Fourier-Transformation dieser mathematischen Beschrei-bung lässt sich dann das Aussehen der resultierenden Frequenzcharakteristik exaktangeben. Mit Hilfe dieser Betrachtung wird auch ein Verfahren zum Entwurf vonFiltern vorgestellt.

Ausgangspunkt ist die Betrachtung der unendlich ausgedehnten, Si förmigen Impul-santwort hTP (t) = sin(2·π·fg ·t)

2·π·fg ·t und der zugehörigen Fourier TransformiertenHTP (f) =

12·fg ·rect

(f

2·fg

). In einem der vorhergehenden Abschnitte zur Herleitung des Leckef-

fekts wurde die mathematische Beschreibung eines Rechteckfensters der Länge NTund deren Fourier Transformierte vorgestellt:

rect(

tN ·T

)N · T · sin(π·f ·N ·T )

π·f ·N ·T

Damit lässt sich die zeitliche Beschränkung der unendlich ausgedehnten Impulsant-wort auf N Abtastwerte mathematisch als Multiplikation mit dieser Rechteckfuntiondarstellen. Die Fourier Transformierte des Produkts ergibt sich damit als Faltungs-produkt der zugehörigen Fourier Transformierten von Si- und Rechteckfunktion:



h (t) = hTP (t) · rect(

tN ·T

)= sin(2·π·fg ·t)

2·π·fg ·t · rect(

tN ·T

)H (f) = HTP (f) ∗N · T · sin(π·f ·N ·T )

π·f ·N ·T = 12·fg · rect

(f

2·fg

)∗N · T · sin(π·f ·N ·T )

π·f ·N ·T

Beispielhaft wird in Abbildung 4.18 der Vorgang der Faltung und das Ergebnis derFaltung visualisiert, wobei wie zur Bestimmung der in Abbildung 2.14 dargestelltenÜbertragungsfunktion eine Grenzfrequenz von fg = fa

8und eine Beschränkung auf

N = 33 Abtastwerte benutzt werden. Unter Vernachlässigung der beiden Amplitu-denterme 1

2fgund NT ergibt sich das Faltungsprodukt rect

(f

2·fg

)∗ sin(π·f ·N ·T )

π·f ·N ·T =

rect(

4·ffa

)∗ sin(π·f ·33·T )

π·33·T = rect(

4·ffa

)∗ sin(π·33· f

fa)

π·33· ffa

. Man erhält wieder die in der digi-

talen Signalverarbeitung übliche Abhängigkeit von dem Frequenzverhältnis ffa.

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

HTP

f/fa

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

HSI

f/fa

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Hf

f/fa

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

|Hf|

f/fa

Abbildung 4.18.: Faltung Hf = HSI ∗HTP

Im Vergleich zur idealen, rechteckförmigen Charakteristik erhält man ein Schwin-gungsverhalten im Durchlass- und im Sperrbereich, aus der eine frequenzabhängigeVerstärkung im Durchlassbereich und keine ideale Dämpfung im Sperrbereich resul-tieren, wie man es auch der Darstellung von |H(f)| in der untersten Teilgraphik von



Abbildung 4.18 entnehmen kann. Zudem stellt sich eine endliche Flankensteilheit imBereich der Grenzfrequenz des Tiefpasses ein.

In Analogie zur Reduzierung des Leckeffekts bei der Spektralanalyse mit der DFTkann man nun anstelle der Multiplikation mit der Rechteckfunktion die Multiplika-tion mit einer der bekannten Fensterfunktionen in Erwägung ziehen. Das Ergebnisder Multiplikation der SI förmigen Impulsantwort mit der aus 33 Werten beste-henden Hammingfunktion ist beispielhaft in Abbildung 4.19 dargestellt. Neben dengewichteten Werten der zeitdiskreten Impulsantwort ist auch der zugehörige Ampli-tudengang |H(f)| dargestellt.

n

hTP

(n)

f

|HTP

(f)|

fgfa

=1

8

Abbildung 4.19.: Mit Hamming-Fenster gewichtete diskrete SI Funktion und zuge-höriger Frequenzgang

Das Schwingungsverhalten im Durchlass- und im Sperrbereich wird durch die Wich-tung mit der Hammingfunktion erheblich reduziert, so dass sich eine nahezu frequen-zunabhängige Verstärkung im Duchlassbereich und eine durchgehend hohe Dämp-fung im Sperrbereich einstellt. Diesen Vorteilen steht allerdings eine reduzierte Flan-kensteilheit im Bereich der Grenzfrequenz gegenüber.

Die vorgestellte Vorgehensweise mit einer

• mathematischen Beschreibung einer idealen, gewünschten Filtercharakteristik,im Beispiel die Rechteckfunktion zur Definition des Tiefpasses im Frequenz-bereich, und

• einer Rücktransformation dieser Charakteristik in den Zeitbereich zur Bestim-mung einer in der Regel zeitlich nicht begrenzten Impulsantwort, im Beispieldie Si Funktion im Zeitbereich, und

• die zeitliche Begrenzung der unendlich ausgedehnten Impulsantwort durch dieMultiplikation mit einer Fensterfunktion



stellt ein Entwurfsverfahren zur Festlegung der Filterkoeffizienten eines Filters miteiner zeitlich begrenzten Impulsantwort dar, das man in Bezug auf den letzten Ver-arbeitungsschritt als Fensterverfahren bezeichnet.

4.6.3. Erzeugung eines Band- oder Hochpasses aus einem

Tiefpass

Mit einer einfachen Überlegung kann man aufzeigen, wie man aus der Impulsant-wort eines Tiefpasses die Impulsantwort eines Band- oder Hochpasses ableiten kann.Vergleicht man die Rechteckfunktion des idealen Tiefpasses im Frequenzbereich−fa

2< f < fa

2, wie sie in Abbildung 4.20 dargestellt ist, mit den beiden gleich brei-

ten Rechtecken einer darunter dargestellten Bandpasscharakteristik, so kann mansich die Erzeugung der Bandpasscharakteristik als eine Rechtsverschiebung des TPRechtecks an die Stelle fm und eine weitere Linksverschiebung an die Stelle -fmvorstellen.

Abbildung 4.20 zeigt die Spektren eines idealen digitalen Tiefpasses und Bandpassesmit den spektralen Wiederholungen bei Vielfachen der Abtastfrequenz.

−fa −

fa2

−fg fg fa2

fa

|HTP (f)|

f

−fa −

fa2

−fm (fm − fg)fm fa2

fa

|HBP (f)|

f

Abbildung 4.20.: Spektren eines Tiefpasses (oben) und Bandpasses (unten)

Die Rechtsverschiebung kann man durch die Faltung der TP Charakteristik miteinem Dirac-Impuls δ (f − fm) an der Stelle fm und die Linksverschiebung ducheine Faltung mit einem Dirac-Impuls δ (f + fm) an der Stelle −fm realisieren, sodass sich die Bestimmung der Übertragungsfunktion des Bandpasses beschreiben



lässt alsHBP (f) = HTP (f) ∗ [δ (f + fm) + δ (f − fm)]

−fm 0 fm

|Hcos(f)|

f

Abbildung 4.21.: Dirac-Impuls im Spektralbereich

Die beiden Dirac Impulse, wie sie auch in Abbildung 4.21 dargestellt sind, beschrei-ben gemäß der Ableitung in Abschnitt 4.4 eine Cosinusfunktion im Zeitbereich, diemit der Frequenz fm schwingt. Somit ergibt sich die Impulsantwort des BandpasseshBP (t) als eine Multiplikation der Impulsantwort hTP (t) des Tiefpasses mit der Co-sinusfunktion, wie es sich aus der Rücktransformation des Faltungsprodukts in denZeitbereich ergibt:1.

HBP (f) = HTP (f) ∗ [δ (f + fm) + δ (f − fm)]

hBP (t) = hTP (t) · 2 · cos (2 · π · fm · t)

Der Faktor 2 bei der Impulsantwort resultiert aus den Amplitudenwerten von 1

bei den beiden Dirac-Impulsen, die gemäß der Ableitung in Abschnitt 4.4 für einCosinussignal mit der Amplitude 1 eigentlich den Wert 1

2besitzen sollten. Die Her-

leitung der Übertragungsfunktion und der Impulsantwort eines Bandpasses aus denentsprechenden Charakteristika eines Tiefpasses kann man auch zur Bestimmungder Koeffizienten eines Bandpassfilters heranziehen, dessen Mittenfrequenz fm unddessen Bandbreite ∆f gemäß einer gewünschten Charakteristik vorgegeben werden.Aus der Bandbreite ∆f des Bandpasses ergibt sich dann die Grenzfrequenz desTiefpasses, den man auch als Prototyp TP bezeichnet, zu fg = ∆f

2. Ausgehend von

dem SI förmigen Verlauf der idealen Impulsantwort des TP erfolgt zur zeitdiskreten1Im Bereich der Übertragungstechnik beschreibt diese Vorgehensweise das als Modulation be-zeichnete Verfahren, mit der man das tiefpassbegrenzte Spektrum eines Basisband-Signals inden Frequenzbereich einer Tragerfrequenz fTR verschiebt, z.B. zur Übertragung des Signalsüber einen Funkkanal.



Realisierung zunächst die zeitliche Beschränkung durch die Multiplikation mit einerFensterfunktion w(n), wie es im vorhergehenden Abschnitt gezeigt wurde. Des Wei-teren werden die Amplituden der zeitdiskreten Impulsantwort mit den Abtastwertender Cosinusfunktion multipliziert:

hBP (n) = hTP (n) · w (n) · 2 · cos(

2 · π · n · fmfa

)

In Abbildung 4.22 wird die gesamte Vorgehensweise beispielhaft zur Bestimmungder zeitdiskreten Impulsantwort eines Bandpasses, dessen Bandbreite zu 4f

fa= 1

4

und dessen Mittenfrequenz zu fmfa

= 14vorgegeben werden. Damit ergibt sich die

Grenzfrequenz des zugehörigen Prototyp TP zu fg = ∆f2

= fa8. In dem dargestellten

Beispiel wird die Anzahl der Werte der Impulsantwort des TP durch die Multi-plikation mit dem aus 201 Werten bestehenden Hamming Fenster auf diese Längebeschränkt.

a) Si Funktion

t

−fg 0 fg

log. Betragsspektrum von a)

f

b) Hamming Fenster

t

0

log. Betragsspektrum von b)

f

c) Multiplikation von a) und b)

t

−fg 0 fg

log. Betragsspektrum von c)

f

d) Cosinus

t

−fm 0 fm

log. Betragsspektrum von d)

f

e) Multiplikation von c) und d)

t

−fm 0 fm

log. Betragsspektrum von e)

f

Abbildung 4.22.: Erzeugung eines BP aus einem TP



Mit der gezeigten Vorgehensweise der Verschiebung der Frequenzcharakteristik einesTP kann man auch einen Hochpass generieren, wie es in Abb 4.23 veranschaulichtwird. Die Charakteristik eines digitalen Filters ist durch die Betrachtung des Fre-quenzbereichs 0 ≤ f ≤ fa

2vollständig definiert. Daher stellt sich die Charakteristik

eines idealen HP als rechteckförmiger Verlauf im Bereich der Flanke bei fa2− fg bis

zur halben Abtastfrequenz fa2dar. Unter Berücksichtigung der konjugiert komplexen

Werte bei negativen Werte HHP (−f) = H∗HP (f) im Bereich −fa2≤ f ≤ 0 und der

spektralen Wiederholung der Charakteristik im Bereich −fa2≤ f ≤ fa

2bei Vielfa-

chen der Abtastfrequenz ergeben sich die Rechtecke mit der Breite ∆f = 2 · fg umdie Frequenz fa

2bzw. −fa

2herum in Abbildung 4.23.

−fa −

fa2

−fg fg fa2

fa

|HTP (f)|

f

−fa −

fa2

fa2 − fg

fa2

fa

|HHP(f)|

f

Abbildung 4.23.: Spektrum eines Tiefpass (oben) und Hochpass (unten)

Im Unterschied zum Bandpass kommt es hier nicht zu einer Verdopplung der Recht-ecke. Verschiebt man die Rechtecke der TP Charakteristik einmal nach rechts umfa2und einmal nach links um fa

2, so kommt es zur additiven Überlagerung der nach

rechts und links verschobenen Rechtecke an der gleichen Stelle. Daraus würde eineVerdopplung der Amplituden folgen. Zur Kompensation dieses Effekts versieht mandie beiden Dirac Impulse bei −fa

2und fa

2jeweils mit dem Amplitudenfaktor 1

2:



HHP (f) = HTP (f) ∗[

1

2· δ(f +

fa2

)+

1

2δ

(f − fa

2

)]

hHP (t) = hTP (t) · cos(

2 · π · fa2· t)

Aus dem Cosinusterm cos(2 · π · fa

2· t)wird bei einer zeitdiskreten Realisierung

cos(

2 · π · fa2· nfa

)= cos (π · n). Die Faktoren der Multiplikation werden demnach

durch die alternierende Folge [1,−1, 1,−1, ...] beschrieben. Das bedeutet, dass mandurch eine Umkehr jedes zweiten Vorzeichens der Impulsantwort des Tiefpasses einenHochpass erzeugen kann.

4.6.4. Filterbänke

Die im vorhergehenden Abschnitt vorgestellte Vorgehensweise zum Entwurf einesBP aus einem Prototyp TP kann man auch heranziehen, um damit eine komplet-te Filterbank mit gleich breiten Bandpässen in einem festgelegten Frequenzbereichzu definieren. Filterbänke werden eingesetzt, um ein Eingangssignal in sogenannteTeilbandsignale zu zerlegen. Jedes Teilbandsignal enthält dabei die Information desEingangssignals in einem bestimmten Frequenzband. Eine derartige Vorgehensweisewird beispielsweise bei der Audiocodierung gemäß des Standards MP3 angewandt.Dabei wird das Signal im Bereich von 0 ≤ f ≤ fa

2in 32 Teilbandsignale zerlegt.

Jedes der Teilbandsignale kann unter Ausnutzung des so genannten Verdeckungsef-fekts beim Menschen mit einer relativ geringen Bitanzahl quantisiert werden. AufGrund des Verdeckungseffekts ist das Quantisierungsrauschen, das bei einer gerin-gen Bitanzahl mit einem entsprechend hohem Pegel auftritt, für den menschlichenZuhörer nicht hörbar. Die Teilbandsignale können dann wieder additiv überlagertwerden, um ein qualitativ hochwertiges Audiosignal zu rekonstruieren.

Im Allgemeinen kann so eine ausM Kanälen bestehende Filterbank definiert werden.Durch die Multiplikation der Impulsantwort des einzelnen geeignet gewählten Pro-totyp TP können durch die Multiplikation mit den entsprechenden Cosinustermendie Impulsantworten der M Bandpässe bestimmt werden:

hBPk (t) = hTPProto (t) · 2 · cos (2 · π · fmk · t) fur k = 1, ...,M



Die Frequenzen fmk entsprechen dabei den Mittenfrequenzen der M Bandpässe, wiees beispielhaft in Abbildung 4.24 für eine 6-kanalige Filterbank zu sehen ist. DieBandbreite jedes Bandpasses ergibt sich bei der Analyse des gesamten Frequenz-bereichs 0 ≤ f ≤ fa

2zu ∆f =

fa2

M=

fa2

6= fa

12. Daraus resultiert wiederum die

Grenzfrequenz des Prototyp TP zu fg = ∆f2

= fa24.

0 fm1fm2

fm3fm4

fm5fm6

fa2

|HBPk(f)|

f

Abbildung 4.24.: Schematische Ansicht einer Filterbank

Die Impulsantworten der Bandpässe können zur Extraktion der Teilbandsignale ver-wendet werden:

xk(n) = x(n) ∗ hBPk (n) fur k = 1, ...,M

Die Teilbandsignale können dann separat analysiert oder bearbeitet werden, wobeidie Verarbeitung auch im Frequenzbereich durch Betrachtung des zu xk(n) gehöri-gen Spektrums Xk(f) stattfinden kann. Um aus den bearbeiteten Teilbandsignalenwieder ein Gesamtsignal zu erzeugen, müssen die Teilbandsignale lediglich addiertwerden. Entsprechend dem Superpositionstheorem (siehe Kapitel 4.3) kann dies so-wohl im Zeit- als auch im Frequenzbereich geschehen, in dem dieM Teilbandsignaleoder die M Spektren additiv überlagert werden:

xrekon(n) =M∑k=1

xk(n) bzw. Xrekon(f) =M∑k=1

Xk(f)

Diese Vorgehensweise setzt im Allgemeinen eine ideale TP Charakteristik voraus.Wie bereits zuvor beschrieben, verfügen reale Filter über eine endliche Flankens-teilheit und eine gewisse Welligkeit im Sperr- und Durchlassbereich. In der Folgeüberlappen sich benachbarte Filter möglicherweise teilweise. Zur Beurteilung derGüte einer derartigen Filterbank kann man die additive Überlagerung der M Teil-bandcharakteristiken im Frequenzbereich betrachten. Dabei sollte sich ein möglichstglatter Verlauf mit dem Amplitudenwert 1 ergeben.



4.7. Diskrete Cosinus Transformation

Eine weitere Transformation, die in einigen Verfahren der Bildcodierung (JPEG,MPEG) und auch in der Sprachverarbeitung verwendet wird, ist die diskrete CosinusTransformation (DCT). Die DCT ist definiert zu:

XDCT (k) = 2 ·N−1∑n=0

x(n) · cos(π · k · n+ 0, 5

N

)fur k = 0, 1, ..., N − 1

Die Bestimmung der inversen diskreten Cosinus Transformation (IDCT) führt zueiner nahezu gleich aussehenden Definition wie die DCT selbst:

x(n) =1

N·

[N−1∑n=0

XDCT (k) · cos(π · k · n+ 0, 5

N

)]− 1

2N·X(0) fur n = 0, 1, ..., N−1

Die DCT wird auf ein reeles Signal angewendet und erzeugt im Gegensatz zur DFTauch als Ausgangswerte reele Werte. Im Vergleich zur DFT werden die Abtastwertex(n) bei der DCT nur mit den Werten abgetasteter Cosinusfunktionen multipliziert.Sinusfunktionen werden nicht verwendet. Die DCT basiert folglich auf dem Ansatzeinen Signalverlauf nur als Summe gewichteter Cosinusfunktionen zu beschreiben.Die Cosinus Basisfunktionen für k = 1, 2, ..., 6 sind in Abbildung 4.25 dargestellt.



Abbildung 4.25.: Basisfunktionen der DCT für k = 1, 2, ..., 6

Dieser Darstellung kann man entnehmen, dass die Basisfunktion für k = 1 einehalbe Periode einer Cosinusschwingung ist, wobei die zeitliche Länge dieser halbenPeriode der Fensterlänge N · T entspricht. Die DCT Koeffizienten höherer Ordnungergeben sich entsprechend durch die Multiplikation der Abtastwerte des Eingangs-signals mit Vielfachen dieser halben Periode. Prinzipiell erhält man durch die DCTund den daraus resultierenden Koeffizienten auch eine Beschreibung der spektralenEigenschaften des Signals.

Die DCT wird z.B. angewendet bei der Codierung von Einzelbildern nach dem JPEG(Joint Photographic Expert Group) Standard und von Bewegtbildern nach demMPEG (Moving Picture Expert Group) Standard. Dabei wird Crominanz- undLuminanzinformation von Blöcken, die aus 8 mal 8 Bildpunkten bestehen, mit einerzweidimensionalen DCT transformiert.

In der Sprachverarbeitung wird die DCT verwendet, um das logarithmierte Betrags-oder Leistungsdichtespektrum, das mittels einer FFT bestimmt wurde, wiederumspektral zu analysieren und mittels der DCT in den sogenannten „Cepstral“bereichzu transformieren. Die Cepstralkoeffizienten niedriger Ordnung beschreiben die Ein-



hüllende des FFT Spektrums und damit die Übertragungsfunktion des menschlichenVokaltrakts. Daher eignen sich diese Koeffizienten gut als akustische Parameter zurSpracherkennung. Des Weiteren hat die Transformation mit der DCT eine „dekor-relierende“ Wirkung. Besitzen benachbarte Spektralwerte noch eine relativ hohestatistische Abhängigkeit voneinander, so ist die statistische Abhängigkeit der Ceps-tralkoeffizienten wesentlich geringer. Die Berechnung von Wahrscheinlichkeitswertenin Abhängigkeit mehrerer Merkmalsparameter, wie es typischerweise bei einer Mus-tererkennung der Fall ist, lässt sich im Fall von statistisch unabhängigen Merkmalenwesentlich recheneffizienter realisieren.


5. Digitale Filter

Die Extraktion oder die Wichtung bestimmter Frequenzkomponenten eines Signalsstellt eine in der Praxis häufig anzutreffende Aufgabenstellung der digitalen Signal-verarbeitung dar. Im vorhergehenden Kapitel zur Diskreten Fourier Transformationwurde bereits ein Verfahren vorgestellt, um die Impulsantworten von Filtern bestim-men zu können.

In diesem Kapitel wird die konkrete Realisierung eines Signalverarbeitungssystems,dessen Impulsantwort bekannt ist, als digitales Filter aufgezeigt. Früher hat manmit dieser Realisierungsform auch einen schaltungstechnischen Aufbau, beispiels-weise mit Flip-Flops zum Speichern von Abtastwerten, verknüpft. Heutzutage fin-det in der Regel eine softwaremäßige Realisierung mit einem Prozessor oder einemprogrammierbaren Hardwareaufbau, z.B. einem FPGA, statt. Die grundlegendenEigenschaften digitaler Filter und die Analyse ihres Verhaltens im Spektralbereichmit Hilfe der Z-Transformation werden erläutert. Es werden die Unterschiede vonFiltern mit zeitlich begrenzter Impulsantwort (FIR) und Filtern mit zeitlich nichtbegrenzter Impulsantwort (IIR) aufgezeigt. Abschließend werden verschiedene Ver-fahren zum Entwurf digitaler Filter vorgestellt.

5.1. Digitales Filter als schaltungstechnische

Realisierung einer Impulsantwort

Beispielhaft wird die zeitdiskrete Realisierung der Impulsantwort eines Tiefpass

hTP (n) =sin(

2·π·n· fgfa

)2·π·n· fg

fa

mit fgfa

= 16bei einer zeitlichen Beschränkung auf den Be-

reich −2 ≤ n ≤ +2 mit einem Rechteckfenster betrachtet, wie es im vorhergehen-den Kapitel hergeleitet wurde. Die daraus hervorgehende Impulsantwort ist links inAbbildung 5.1 dargestellt.


5. Digitale Filter

−2 −1 0 1 2

0.4135

0.8270

1

0.8270

0.4135

h(n)

n

0 1 2 3 4

0.4135

0.8270

1

0.8270

0.4135

hmod

(n)

n

Abbildung 5.1.: Impulsantwort eines TP mit fgfa

= 16

Die dargestellte Impulsantwort mit Amplituden für negative Werte von n repräsen-tiert ein nicht kausales System, das schon eine Reaktion zeigen würde, bevor derDirac Impuls zum Zeitpunkt n = 0 überhaupt angelegt würde. Daher wird die zeit-liche Zurodnung so geändert, dass der erste Impuls erst zum Zeitpunkt n = 0 amAusgang erscheint, wie es ebenfalls in Abbildung 5.1 im rechten Teilbild veranschau-licht wird. Das prinzipielle Aussehen der Impulsantwort wird dabei nicht verändert,so dass die Filtercharakteristik erhalten bleibt. Gemäß dem Verschiebungstheoremder Fourier Transformation kommt es lediglich zu einer Phasenverschiebung, wasim späteren Verlauf des Kapitels noch genauer erläutert wird. Zur schaltungstech-nischen Realisierung wird ein System benötigt, an dessen Ausgang beim Anlegeneines Dirac Impulses δ(n) zum Zeitpunkt n = 0 der Wert hmod(0), zum Zeitpunktn = 1 der Wert hmod(1) bis hin zum Zeitpunkt n = 4 der Wert hmod(4) auftreten. InAbbildung 5.2 ist eine schaltungstechnische Realiserung gezeigt, um dieses Ziel zuerreichen.

Abbildung 5.2.: Schaltungstechnische Realisierung eines TP mit fgfa

= 16

Das Kernelement dieses Aufbaus ist das mit dem Buchstaben T gekennzeichneterechteckförmige Symbol, das ein Speicherlement (Flip-Flop) darstellt, um den vor-hergehenden Abtastwert zu speichern. Der Buchstabe T deutet an, dass das Element


5. Digitale Filter

im Takt der Abtastfrequenz fa = 1Tgetaktet wird. Das Dreieckssymbol repräsentiert

einen Multiplikator mit einem definierten Faktor, das kreisrunde Symbol die Additi-on der beiden anliegenden Werte zu einem Taktzeitpunkt. Diese drei Elemente, dieeinzeln in Abbildung 5.3 dargestellt sind, stellen die Basiskomponenten zum Aufbaueines beliebigen digitalen Filters dar.

Abbildung 5.3.: Grundelemente eines linearen, zeitinvarianten, zeitdiskretenSystems

Bei digitalen Filtern handelt es sich um lineare, zeitinvariante, diskrete Systeme miteinem zeitdiskreten Eingangssignal x(n) und einem zeitdiskreten Ausgangssignaly(n). Das lineare und zeitinvariante Verhalten von Systemen wurde bereits in Kapitel2 ausführlich beschrieben. Ein System weist ein lineares Verhalten auf, wenn dasEingangssignal x(n) = a1 ·x1(n) + a2 ·x2(n), das eine Linearkombination der beidenSignale x1(n) und x2(n) darstellt, das Ausgangssignal y(n) = a1 · y1(n) + a2 · y2(n)

erzeugt. Dabei stellen y1(n) und y2(n) die Ausgangssignale dar, die bei der alleinigenBetrachtung von x1(n) oder x2(n) als Eingangssignal am Ausgang generiert würden.Des Weiteren nennt man ein System zeitinvariant, wenn ein um m Abtastintervalleverzögertes Eingangssignal x(n−m) ein ebenfalls um m Abtastintervalle verzögertesAusgangssignal y(n−m) erzeugt.

Die in Abbildung 5.2 dargestellte Filterrealisierung kann man im Zeitbereich nebender bekannten Beschreibung durch die Faltung von Eingangssignal und Impulsant-wort durch eine so genannte Differenzengleichung zur Bestimmung der Werte desAusgangssignals y(n) beschreiben:

y (n · T ) = hmod(0) · x (n · T ) + hmod(1) · x ((n− 1) · T ) + hmod(2) · x ((n− 2) · T )

+hmod(3) · x ((n− 3) · T ) + hmod(4) · x ((n− 4) · T )

Durch Setzen von T = 1 erhält man die Beschreibungsform, die nur noch den Indexn beinhaltet und sich auf die im Rechner gespeicherten und mit dem Index n zu


5. Digitale Filter

referenzierenden Abtastwerte x(n) des Eingangssignals bezieht:

y (n) = hmod(0) · x (n) + hmod(1) · x (n− 1) + hmod(2) · x (n− 2)

+hmod(3) · x (n− 3) + hmod(4) · x (n− 4)

Die komplexe Übertragungsfunktion H(f) kann man mit Hilfe der Fourier Trans-formation unter Berücksichtigung des Verschiebungstheorems, das bei einer Verzö-gerung um einen Abtastzyklus T zu einem multiplikativen Phasenterm e−j·2·π·f ·T =

e−j·2·π·ffa führt, bestimmen:

Y (f) = hmod(0) ·X(f) + hmod(1) ·X(f) · e−j·2·π·ffa + hmod(2) ·X(f) · e−j·4·π·

ffa

+hmod(3) ·X(f) · e−j·6·π·ffa + hmod(4) ·X(f) · e−j·8·π·

ffa

H(f) =Y (f)

X(f)= hmod(0) + hmod(1) · e−j·2·π·

ffa + hmod(2) · e−j·4·π·

ffa

+hmod(3) · e−j·6·π·ffa + hmod(4) · e−j·8·π·

ffa

Da die Fourier Transformation eine lineare Transformation darstellt, bleiben dieadditiven und die multiplikativen Terme erhalten. Der sich aus der mathematischenBeschreibung ergebende Amplitudengang |H(f)| ist in Abbildung 5.4 dargestellt.

|H(f)|

f/fa

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Abbildung 5.4.: Amplitudengang |H(f)| des TP mit fgfa

= 16


5. Digitale Filter

Man erkennt die Tiefpasscharakteristik des Filters, die allerdings auf Grund derzeitlichen Beschränkung der Impulsantwort auf 5 Werte weit von der idealen recht-eckförmigen Charakteristik entfernt ist.

Ein weiteres, einfaches Beispiel eines linearen, zeitinvarianten, diskreten Systems,das aus den Grundelementen gebildet wird, ist in Abbildung 5.5 dargestellt.

Abbildung 5.5.: Schaltungsanordnung eines einfachen digitalen Filters

Die Werte des zeitdiskreten Ausgangssignals y(n) lassen sich mit Hilfe der Differen-zengleichung bestimmen:

y(n) = b0 · x(n) + b1 · x (n− T )T=1= b0 · x(n) + b1 · x(n− 1)

Mit dem Dirac Impuls als Eingangssignal lässt sich die Impulsantwort h(n) diesesFilters, deren Werte in Abbildung 5.6 dargestellt sind, beschreiben als

h(n) = b0 · δ(n) + b1 · δ(n− 1)

Abbildung 5.6.: Impulsantwort des in Abbildung 5.5 dargestellten Filters

Möchte man die spektralen Eigenschaften dieses Systems analysieren, so lässt sichdurch Anwendung der Fourier Transformation der Frequenzgang H(f) = Y (f)

X(f)be-

stimmen zuY (f) = b0 ·X(f) + b1 ·X(f) · e−j·2·π·f ·T


5. Digitale Filter

H(f) =Y (f)

X(f)= b0+b1·e−j·2·π·f ·T = b0+b1·cos (2 · π · f · T )+j·(−b1)·sin (2 · π · f · T )

Damit ergibt sich der Betrag |H(f)| der Übertragungsfunktion zu

|H(f)| =√Re2 + Im2 =

√[b0 + b1 · cos (2 · π · f · T )]2 + b2

1 · sin2 (2 · π · f · T )

=√b2

0 + 2 · b0 · b1 · cos (2 · π · f · T ) + b21 · cos2 (2 · π · f · T ) + b2

1 · sin2 (2 · π · f · T )

=√b2

0 + b21 + 2 · b0 · b1 · cos (2 · π · f · T )

Der Betrag |H(f)| des Frequenzgangs lässt sich für die Werte b0 = b1 = 1 sowieb0 = 1 und b1 = (−1) bestimmen zu:

b0 = 1 b1 = 1 :

|H(f)| =√

2 + 2 · cos (2 · π · f · T )

Es gilt : cos(α

2

)= ±

√1 + cos α

2⇒ 2 · cos

(α2

)= ±√

2 + 2 · cos α

⇒ |H(f)| = |2 · cos (π · f · T )| =∣∣∣∣2 · cos(π · ffa

)∣∣∣∣⇒ Tiefpass

b0 = 1 b1 = −1 :

|H(f)| =√

2− 2 · cos (2 · π · f · T )

Es gilt : sin(α

2

)= ±

√1− cos α

2⇒ 2 · sin

(α2

)= ±√

2− 2 · cos α

⇒ |H(f)| = |2 · sin (π · f · T )| =∣∣∣∣2 · sin(π · ffa

)∣∣∣∣⇒ Hochpass

Die resultierenden Verläufe der Amplitudengänge werden in Abbildung 5.7 wieder-gegeben. Für den Fall b1 = 1 besitzt die Übertragungsfunktion dieser einfachenAnordnung eine Tiefpasscharakteristik und für b1 = (−1) eine Hochpasscharakteris-tik.


5. Digitale Filter

Abbildung 5.7.: Zwei mögliche Frequenzgänge des in Abbildung 5.5 dargestelltenFilters

Ein derartiges Hochpassfilter wird beispielsweise zur Höhenanhebung in der Sprach-verarbeitung verwendet mit b0 = 1 und b1 = −0, 95...−0, 98 bei einer Abtastfrequenzvon 8 kHz. Damit werden Spektralkomponenten im niedrigeren Frequenzbereich ge-dämpft, die den größten Energieanteil eines Sprachsignals beinhalten. Umgekehrtwerden höherfrequente Komponenten angehoben, bei denen Sprache geringere Ener-gie besitzt, die aber für bestimmte Laute, z. B. Zischlaute, informationstragend sind.Deshalb spricht man bei dieser Filterung auch von einer Höhenanhebung (Preem-phasis). Insgesamt wird durch diese Filterung ein Signal erzeugt, bei dem die Energiegleichmäßiger über das gesamte Spektrum verteilt ist.

5.2. Z Transformation

Das Verhalten digitaler Filter im Spektralbereich kann durch die Verwendung der ZTransformation einfacher beschrieben und besser veranschaulicht werden als durchalleinige Verwendung der Fourier Transformation. In Analogie zur Laplace Transfor-mation bei analogen Signalen gewährleistet die Z Transformation bei zeitdiskreten


5. Digitale Filter

Signalen auch eine Konvergenz für Signale, die beispielsweise Pole oder Dirac Stös-se im Spektrum besitzen und für die die Fourier Transformation keine Konvergenzaufweist.

Die Z Transformation eines zeitdiskreten Signals x(n) ist im Allgemeinen definiertzu

X(z) =∞∑

n=−∞

x (n · T ) · z−n·T T=1=

∞∑n=−∞

x(n) · z−n

Dabei stellt z den komplexen Wert z = e(σ+j·2·π·f) dar. Damit ist das Z Spektrum ineiner komplexen Ebene definiert:

X(z) =∞∑

n=−∞

x (n · T ) · z−n·T =∞∑

n=−∞

x (n · T ) · e−σ·n·T · e−j·2·π·f ·n·T

Durch die Multiplikation mit dem Term e−σ·n·T kann man auch für Signale, diekeine Konvergenz besitzen, bei einem entsprechend gewählten σ die Konvergenz desSignals x (n · T ) · e−σ·n·T erreichen.

Beschränkt man sich auf Signale, deren Fourier Transformierte Konvergenz aufwei-sen, können Z Transformierte und Fourier Transformierte ineinander überführt wer-

den durch Setzen von σ = 0. Ausgehend von der Darstellung X(z) =∞∑

n=−∞x(n)·z−n,

die sich mit T = 1 ergeben hatte, kann durch Substitution mit z = ej·2·π·f ·T = ej·2·π·ffa

das Fourier Spektrum

X(f) =∞∑

n=−∞

x (n · T ) · e−j·2·π·f ·n·T =∞∑

n=−∞

x (n · T ) · e−j·2·π·ffa·n

bestimmt werden. Das Fourier Spektrum findet sich dann in der komplexen Z Ebeneauf dem Einheitskreis |z| = 1, wie es in Abbildung 5.8 veranschaulicht wird.


5. Digitale Filter

Abbildung 5.8.: Auftreten der Fourier Transformierten auf dem Einheitskreis der ZTransformierten

Das Spektrum H(f) im Bereich von 0 ≤ f ≤ fa2, das die Übertragungsfunktion

eines digitalen Filters schon vollständig festlegt, findet man auf dem oberen Halb-kreis. Die Betrachtung des unteren Halbkreises in der komplexen Ebene, bei dembis auf das Vorzeichen des Imaginärteils die gleichen Werte wie auf dem oberenHalbkreis auftreten, verdeutlicht nochmals das Auftreten der konjugiert komplexenWerte H

(fa2

+ ∆f)

= H∗(fa2−∆f

)im Bereich von fa

2< f < fa. Für Frequen-

zen oberhalb von fa wiederholt sich gemäß der fortgesetzten Bewegung auf demEinheitskreis das Spektrum im Bereich 0 ≤ f ≤ fa periodisch.

Bei der Z Transformation gelten ebenfalls die Theoreme der Fourier Transformation.Insbesondere geht die Faltung im Zeitbereich in eine Multiplikation im Z Spektrumüber:

y(n) = x(n) ∗ h(n) Y (z) = X(z) ·H(z)

Für das in Abschnitt 5.1 verwendete Beispiel eines einfachen digitalen Filters ergibtsich die Übertragungsfunktion bei Anwendung der Z Transformation zu

Y (f) = b0 ·X(f) + b1 ·X(f) · e−j·2·π·f ·T

Mit ej·2·π·f ·T = z ⇒ Y (z) = b0 ·X(z) + b1 ·X(z) · z−1

H(z) =Y (z)

X(z)= b0 + b1 · z−1

Die Verzögerung um ein Abtastintervall T führt bei Betrachtung der Z Transfor-mierten zu einer Multiplikation mit dem Phasenterm z−1. Dies verdeutlicht, dass


5. Digitale Filter

man für ein lineares, zeitinvariantes, diskretes System die Z Transformierte auf ein-fache Weise bestimmen kann. Tritt bei einem Filter eine Verzögerung eines Signalsum N Abtastintervalle auf, so definiert sich gemäß dem Verschiebungstheorem dasresultierende Z Spektrum als Multiplikation der Z Transformierten X(z) des Signalsmit dem Phasenterm z−N .

x(n) ∗ ∂ (n−N) = x (n−N) X(z) · z−N

Durch die Substitution z = ej·2·π·f ·T = ej·2·π·ffa kann aus der Übertragungsfunktion

H(z) der Frequenzgang H(f) unmittelbar bestimmt werden. Die recht anschauli-che Analyse der Eigenschaften des Filters, die man aus der Darstellung der Über-tragungsfunktion H(z) als das Verhältnis eines Zähler- und eines Nennerpolynomsgewinnen kann, werden in den nachfolgenden Abschnitten erläutert.

5.3. FIR Filter

Im ersten Abschnitt dieses Kapitels wurden beispielhaft zwei Filter vorgestellt, derenImpulsantworten zeitlich begrenzt aus 2 bzw. aus 5 Werten bestehen. Für derartigeFilter, die durch eine Impulsantwort endlicher Länge charakterisiert sind, verwendetman die Bezeichnung Finite Impulse Response (FIR) Filter. Alle Filter mit einernicht-rekursiven Struktur, wie es beispielhaft in Abbildung 5.9 dargestellt ist, sindFIR Filter. Nicht rekursiv bedeutet, dass es keine Rückkopplung des Ausgangssignalsy(n) in dieser Schaltungsanordnung gibt.

Das Ausgangssignal y(n) setzt sich aus einer Summe gewichteter und um bis zu NAbtastintervalle zurückliegender Abtastwerte des Eingangssignals x(n) zusammen.Man bezeichnet die in Abbildung 5.9 dargestellte Filterstruktur auch als Trans-versalfilter . Es wird der Begriff der Filterordnung eingeführt, der der Anzahl vonVerzögerungselementen entspricht, die zur Generierung der größten Verzögerung desEingangssignals benötigt werden. Die Filterordnung ist in diesem allgemeinen Bei-spiel folglich N . Die Faktoren bk bezeichnet man als Filterkoeffizienten.


5. Digitale Filter

Abbildung 5.9.: Struktur eines Transversalfilters

Das Ausgangssignal y(n) läßt sich als Differenzengleichung beschreiben zu

y(n) = b0 ·x(n)+b1 ·x(n−1)+b2 ·x(n−2)+ ...+bN−1 ·x [n− (N − 1)]+bN ·x(n−N)

Durch Anwendung der Z Transformation läßt sich die Übertragungsfunktion H(z)

bestimmen zu

Y (z) = b0·X(z)+b1·X(z)·z−1+b2·X(z)·z−2+...+bN−1·X(z)·z−(N−1)+bN ·X(z)·z−N

H(z) =Y (z)

X(z)= b0 + b1 · z−1 + b2 · z−2 + ...+ bN−1 · z−(N−1) + bN · z−N =

N∑k=0

bk · z−k

Die Übertragungsfunktion H(z) lässt sich einfach umformen, so dass nur positiveExponenten bei den z Termen auftreten:

H(z) =b0 · zN + b1 · zN−1 + b2 · zN−2 + ...+ bN−1 · z1 + bN

zN

Im Zähler tritt dabei ein Polynom vom Grad N auf. Ermittelt man die Nullstellendieses Polynoms und betrachtet deren Lage in der komplexen Z Ebene, so lässtsich damit auf einfache Weise feststellen, bei welchen Frequenzen der Frequenzgangdes Filters Minima aufweist. Man erhält somit eine grobe Vorstellung über dasAussehen der Frequenzcharakteristik des Filters. Diese Betrachtungsweise wird beider Darstellung der IIR Filter detaillierter vorgestellt. Der Term zN im Nenner,mit dem man eine N -fache Nullstelle des Nennerpolynoms im Ursprung verknüpfenkann, stellt einen reinen Phasenterm dar, der keinen Einfluß auf den Betrag derÜbertragungsfunktion |H(f)| hat. Der Punkt im Ursprung besitzt zu allen z Werten


5. Digitale Filter

auf dem Einheitskreis den gleichen Abstand, was veranschaulicht, dass |H(f)| somitnicht verändert wird.

Nicht rekursive Filter sind wegen der fehlenden Rückkopplung immer stabil, wobeider Begriff der Stabilität bei der Betrachtung nicht-rekursiver Filter noch genauererläutert wird. FIR Filter sind zudem linearphasig, wenn die Filterkoeffizienten eineder in Abbildung 5.10 gezeigten Symmetrien aufweisen.

Abbildung 5.10.: Symmetrische Impulsantworten linearphasiger FIR Filter

Man bezeichnet derartige Filter als linearphasig, weil der Phasengang der Übertra-gungsfunktion eine lineare Abhängigkeit der Phase von der Frequenz aufweist. DerPhasengang Φ(f) läßt sich mittels

Φ(f) = −2 · π · f · N2· T = −π ·N · f

fa

beschreiben.

Anschaulich bedeutet das linearphasige Verhalten eine zeitliche Verschiebung desSignalverlaufs am Ausgang um N

2Abtastintervalle ohne Verzerrungen im Vergleich

zum Signalverlauf am Eingang. Diese anschauliche Betrachtungsweise läßt sich for-mal als konstante Gruppenlaufzeit τg beschreiben. Die Gruppenlaufzeit ist definiertals die Ableitung der Phase über der Frequenz zu τg = − 1

2·π ·∂Φ(f)∂f

. Aus dem zuvorangegebenen Phasengang für Filter mit symmetrischer Anordnung der Filterkoeffi-zienten folgt somit eine konstante Gruppenlaufzeit

τg = − 1

2 · π· ∂Φ(f)

∂f= − 1

2 · π·(−2 · π · N

2· T)

=N

2· T


5. Digitale Filter

Dies wird auch in Abbildung 5.11 verdeutlicht, in dem die Filterung zweier Schwin-gungen eines Sinussignals mit einer dreieckförmigen Impulsantwort eines symme-trischen FIR Filters der Ordnung 6 dargestellt ist. Abgesehen von den Ein- undAusschwingvorgängen zu Beginn und am Ende des Signalabschnitts bleibt die Formder Sinusschwingung unbeeinflusst. Es kommt allerdings zu einer zeitlichen Verschie-bung des Ausgangssignals um N

2= 3 Abtastwerte. Die Gruppenlaufzeit entspricht

der zeitlichen Verschiebung, die im ersten Abschnitt dieses Kapitels vorgenommenwerden musste, um aus dem nicht kausalen Filter, dessen Impulsantwort h(n) Werteungleich Null für negative Indices n besitzt, ein kausales Filter zu definieren, dessenImpulsantwort Werte ungeich Null nur für n ≥ 0 besitzt.

Abbildung 5.11.: Ausgangssignal y(n) eines symmetrischen FIR Filters nach Faltungvon x(n) mit h(n)

Mit FIR Filtern können die häufig benötigten Basis Filtercharakteristiken wie Tief-paß, Hochpaß, Bandpaß und Bandsperre als auch komplexere Filterstrukturen rea-lisiert werden.

5.4. IIR Filter

Im Gegensatz zu FIR Filtern besitzen Infinite Impulse Response (IIR) Filter eineImpulsantwort, die keine endliche Länge aufweist. Dies ist die Folge einer Rückkopp-


5. Digitale Filter

lung des Ausgangssignals, wie es in der allgemeinen Darstellung eines rekursivenFilters in Abbildung 5.12 zu sehen ist. Der obere Teil des Bildes entspricht dembereits zuvor gezeigten FIR Transversalfilter. Des Weiteren werden auch um bis zuN Abtastintervalle zurückliegende Werte des Ausgangssignals gewichtet aufaddiert.Das Ausgangssignal läßt sich beschreiben als Differenzengleichung mit

a0·y(n) = b0·x(n)+b1·x(n−1)+...+bN ·x(n−N)−a1·y(n−1)−a2·y(n−2)−...−aM ·y(n−N)

=N∑k=0

bk · x(n− k)−N∑k=1

ak · y(n− k)

Abbildung 5.12.: Nicht-kanonische Direktstruktur eines IIR Filters

Es wird hier eine Darstellung gewählt, bei der um bis zu N Abtastintervalle zurück-liegende Werte des Eingangssignals x(n) und um ebenfalls bis zu N Abtastintervallezurückliegende Werte des Ausgangssignals y(n) berücksichtigt werden. Diese Be-trachtung entspricht den meisten in der Praxis eingesetzten Filter. Grundsätzlichmuss nicht die gleiche Anzahl zurückliegender Eingangswerte und zurückliegenderAusgangswerte berücksichtigt werden. Dies lässt sich in der Darstellung in Abbil-dung 5.12 in der Weise realisieren, dass entweder die Filterkoeffizienten bN , bN−1, ...

oder die Filterkoeffizienten aN , aN−1, ... den Wert Null annehmen. Die Ordnung desFilters resultiert aus der maximalen Anzahl von Verzögerungen im Vorwärts- oderim Rückwärtszweig. In dieser allgemeinen Darstellung nimmt die Filterordnung denWert N an.

Die Vorteile des Versehens der Filterkoeffizenten a1 bis aN mit dem negativen Vor-


5. Digitale Filter

zeichen werden später erläutert.

Die Übertragungsfunktion H(z) dieser allgemeinen Darstellung eines IIR Filtersergibt sich mit Hilfe der Z Transformation zu

a0 · Y (z) = b0 ·X(z) + b1 ·X(z) · z−1 + ...+ bN ·X(z) · z−N

−a1 · Y (z) · z−1 − a2 · Y (z) · z−2 − ...− aN · Y (z) · z−N

Y (z)·(a0 + a1 · z−1 + a2 · z−2 + ...+ aN · z−N

)= X(z)·

(b0 + b1 · z−1 + ...+ bN · z−N

)

H(z) =Y (z)

X(z)=

b0 + b1 · z−1 + ...+ bN · z−N

a0 + a1 · z−1 + a2 · z−2 + ...+ aN · z−N=

N∑k=0

bk · z−k

N∑k=0

ak · z−k

An dieser Stelle wird deutlich, warum die Filterkoeffizienten a1 bis aN mit demnegativen Vorzeichen versehen wurden. Dadurch erhält man eine Beschreibung derÜbertragungsfunktionH(z) mit einem Zähler- und einem Nennerpolynom, bei denenbei beiden eine Summe von Polynomtermen auftritt. Beispielsweise wird später nochgezeigt, dass man durch ein einfaches Vertauschen der Filterkoeffizienten des Zähler-und des Nennerpolynoms eine „inverse“ Filtercharakteristik erzeugen kann.

In den meisten Fällen wird der Verstärkungsfaktor a0, mit dem die Werte des Aus-gangssignals y(n) gewichtet werden, den Wert 1 an. Dann ergibt sich die Übertra-gungsfunktion H(z) zu

H(z) =

N∑k=0

bk · z−k

1 +N∑k=1

ak · z−k

Die Polynome der Übertragungsfunktion H(z) im Zähler und Nenner können durchMultiplikation mit zN im Zähler und im Nenner sowie durch eine Faktorisierung desZähler- und des Nennerpolynoms mit Hilfe der Nullstellen des jeweiligen Polynomsin einer anderen Form dargestellt werden:

H(z) =

N∑k=0

bk · z−k

1 +N∑k=1

ak · z−k· z

N

zN=

b0 · zN + b1 · zN−1 + ...+ bNzN + a1 · zN−1 + a2 · zN−2 + ...+ aN


5. Digitale Filter

=b0 · (z − o1) · (z − o2) · ... · (z − oN)

(z − p1) · (z − p2) · ...(z − pN)

Die im Allgemeinen N komplexen Werte oi werden als Nullstellen von H(z) unddie N Werte pi als Polstellen oder Pole von H(z) bezeichnet. Die Nullstellen undPole können in der komplexen Z Ebene dargestellt werden. Diese Darstellung wirdals Pol-/Nullstellendiagramm bezeichnet, dem wesentliche Eigenschaften des Filtersentnommen werden können. Unter anderem lässt sich aus der Lage der Null- undPolstellen in der komplexen Z Ebene bereits der grobe Verlauf des Frequenzgangs|H(f)| abgeschätzen.

Zunächst gilt grundsätzlich, daß reele Koeffizienten ai und bi zu Polen und Nullstellenführen, die entweder selbst reel sind oder in einem konjugiert komplexem Paar vonPolen oder Nullstellen resultieren. Aus der Lage der Pole in der komplexen Z Ebenekann man die Stabilität des Filters erkennen. Ein zeitdiskretes System heißt stabil,wenn sich bei einer Folge amplitudenbeschränkter Eingangswerte |x(n)| < ∞ aucham Ausgang eine Folge amplitudenbeschränkter Werte |y(n)| < ∞ einstellt. Diese

Bedingung ist erfüllt, wenn für die Impulsantwort h(n) gilt:∞∑n=0

|h(n)| <∞

Dieser Bedingung im Zeitbereich entspricht bei Betrachtung der Z Transformier-ten eine Lage der Polstellen innerhalb des Einheitskreises, also bei einem stabilenFilter muss gelten: |pi| < 1 für alle i. Das Nennerpolynom von H(z) darf wederNull werden noch negative Werte annehmen, wenn man die Werte von z auf demEinheitskreis zur Bestimmung von H(f) betrachtet. Würde das Nennerpolynom füreinen bestimmten Bereich von z auf dem Einheitskreis negative Werte annehmen, solässt sich daraus schlussfolgern, dass unter der Massgabe eines stetigen Funktions-verlaufs das Polynom auch für einen bestimmten z Wert Null werden muss. Nimmtdas Nennerpolynom den Wert Null an, so resultiert daraus das instabile Verhaltenmit H(z)→∞. Damit ergeben sich die Bedingungen, dass Polstellen weder auf demEinheitskreis noch außerhalb des Einheitskreises liegen dürfen, um die Stabilität zugewährleisten. Diese Bedingung wird in Abbildung 5.13 veranschaulicht, in der derStabilitätsbereich für die Lage der Pole in der komplexen Z Ebene dargestellt ist.


5. Digitale Filter

Abbildung 5.13.: Stabilitätsbereich für die Lage der Pole von H(z)

Im Folgenden wird beispielhaft das in Abbildung 5.14 dargestellte Filter 2. Ordnunganalysiert.

Abbildung 5.14.: IIR Filter 2. Ordnung

Das Ausgangssignal lässt sich beschreiben als Differenzengleichung


5. Digitale Filter

y(n) = 0, 245 · x(n)− 0, 245 · x(n− 2)− 0, 51 · y(n− 2)

Daraus lässt sich die Übertragungsfunktion H(z) bestimmen zu

y(n) = 0, 245 · x(n)− 0, 245 · x(n− 2)− 0, 51 · y(n− 2)

Y (z) = 0, 245 ·X(z)− 0, 245 ·X(z) · z−2 − 0, 51 · Y (z) · z−2

Y (z) ·(1 + 0, 51 · z−2

)= 0, 245 ·X(z) · (1− z−2)

H(z) =Y (z)

X(z)= 0, 245 · 1− z−2

1 + 0, 51 · z−2

Zur Bestimmung der Nullstellen und Pole der Übertragungsfunktion wird die Über-tragungsfunktion umgeformt:

H(z) = 0, 245 · 1− z−2

1 + 0, 51 · z−2· z

2

z2= 0, 245 · z2 − 1

z2 + 0, 51

Nullstellen : z2 − 1 = 0 ⇒ o1 = −1 o2 = 1

Polstellen : z2 + 0, 51 = 0

⇒ p1,2 = ±√−0, 51 p1 = −0, 7141 · j p2 = 0, 7141 · j

Die Lage der reelen Nullstellen in der komplexen Z Ebene ist mit kleinen Kreisenund die Lage des konjugiert komplexen Polpaares mit Kreuzen in Abbildung 5.15markiert.


5. Digitale Filter

Abbildung 5.15.: Lage der Null- und Polstellen des Filters 2. Ordnung

Aus der Lage der Null- und Polstellen kann man einfach und schnell den Frequenz-gang abschätzen.

Aus dem Winkel, unter dem eine Null- oder Polstelle auftritt, kann man näherungs-weise auf die Frequenz schließen, bei der im Frequenzgang ein Extremwert auftritt.Die Zuordnung der Frequenzen von 0 bis zur halben Abtastfrequenz gemäß der Be-wegung auf dem oberen Halbkreis wurde in Abbildung 5.8 auf Seite 149 verdeutlicht.Dabei resultiert aus einer Nullstelle, also einem Wert, bei dem das Zählerpolynomden Wert Null annimmt, ein Minimum im Frequenzgang. Umgekehrt resultiert auseiner Polstelle, also einem Wert, bei dem das Nennerpolynom einen Wert nahe Nullannimmt, ein Maximum im Frequenzgang. Die Übertragungsfunktion H(f) ergibtsich aus den Werten von H(z) auf dem Einheitskreis. Daher fällt ein Minimum oderMaximum umso extremer aus, je näher die Null- oder Polstelle am Einheitskreisliegt. Liegt eine Nullstelle auf dem Einheitskreis, so nimmt die Übertragungsfunkti-on H(f) bei der zugehörigen Frequenz den Wert Null an.

In dem betrachteten Beispiel resultiert somit aus der Nullstelle o2 = 1, die unter demWinkel von ϕ = 0 auftritt, H(f = 0) = 0 und aus der Nullstelle o1 = −1, die unterdem Winkel von ϕ = π auftritt, H

(f = fa

2

)= 0. Damit werden Frequenzanteile bei

f = 0 (= Gleichanteil) und bei f = fa2

durch dieses Filter vollständig unterdrückt.


5. Digitale Filter

Aus der Polstelle, die auf der imaginären unter dem Winkel von ϕ = π2auftritt,

resultiert ein Maximum bei f = fa4. Die konjugiert komplexe Polstelle im negativen

Bereich der imaginären Achse beschreibt das wiederholte Auftreten des Maximumsoberhalb von fa

2bei f = 3

4· fa. Aus dieser kurzen Analyse der Lage von Null- und

Polstellen kann man folgern, dass das Filter eine Bandpasscharakteristik besitzt.

Die genaue Berechnung einiger Werte von H(f) kann durch die Substitution z =

ej·2·π·ffa vorgenommen werden:

H(f)z=e

j·2·π· ffa

= 0, 245 ·

(ej·2·π·

ffa

)2

− 1(ej·2·π·

ffa

)2

+ 0, 51= 0, 245 · ej·4·π·

ffa − 1

ej·4·π·ffa + 0, 51

H(f = 0) = 0, 245 · 1− 1

1 + 0, 51= 0 H

(f =

fa2

)= 0, 245 · ej·2·π − 1

ej·2·π + 0, 51= 0

H

(f =

fa4

)= 0, 245 · ej·π − 1

ej·π + 0, 51= 0, 245 · −1− 1

−1− 0, 51=−0, 49

−0, 49= 1

Eine nähere Lage der Polstellen am Einheitskreis würde zu einem größeren Wertvon H

(f = fa

4

)führen. Der genaue Verlauf des Betrags der Übertragungsfunktion

ist in Abbildung 5.16 wiedergegeben.

Mit IIR Filtern können auch alle Basis-Filterstrukturen wie Tiefpaß, Hochpaß, Band-paß und Bandsperre realisiert werden.


5. Digitale Filter

Abbildung 5.16.: Frequenzgang |H(f)| des Filters 2.Ordnung

5.5. Realisierungsaspekte

Die Struktur des in Abbildung 5.12 dargestellten IIR Filters bezeichnet man alsnicht-kanonische Direktform. Eine alternative Darstellung in der sogenannten 1. ka-nonischen Direktform ist in Abbildung 5.17 wiedergegeben.

Abbildung 5.17.: 1. kanonische Direktform eines IIR Filters

Die Bezeichnung kanonisch beinhaltet dabei einen Aufbau des Filters mit der mi-nimalen Anzahl von Grundelementen, also des Addierers mit zwei Eingängen, des


5. Digitale Filter

Multiplizierers mit einer Konstanten und des Speicherelements zum Speichern desvorhergehenden Abtastwerts.

Für ein IIR Filter, bei dem der maximale Grad des Zählerpolynoms oder des Nen-nerpolynoms N ist, ergibt sich die Anzahl der

• Verzögerungselemente zu N

• Addierer zu 2 ·N

• Multiplizierer zu 2 ·N + 1.

In der Praxis realisiert man ein Filter höherer Ordnung häufig durch eine Kaskadie-rung (Hintereinanderschaltung) von IIR Filtern der Ordnung 2. Die Übertragungs-funktion ergibt sich als Produkt der Übertragungsfunktionen der kaskadierten Filter2. Ordnung. Bei Betrachtung der logarithmierten Betrags- oder Leistungsdichte-spektren geht das Produkt in eine Summe über. Die logarithmierten Frequenzgängelassen sich folglich einfach additiv überlagern.

H(z) = H1(z) ·H2(z) · ...

log |H(f)| = log |H1(f)|+ log |H2(f)|+ ...

Im Gegensatz zu FIR Filtern besitzen IIR Filter im Allgemeinen keinen linearenPhasengang und damit eine frequenzabhängige Gruppenlaufzeit. Die Gruppenlauf-zeit ist jedoch häufig kleiner als die eines symmetrischen FIR Filters. FIR Filter sindimmer stabil, wohingegen IIR Filter instabil sein können. FIR Filter sind wenigerempfindlich gegenüber Quantisierungseffekten aufgrund der Quantisierung der Fil-terkoeffizienten mit einer begrenzten Anzahl von Bits und damit einer begrenztenGenauigkeit in Digitalrechnern. Bei IIR Filtern können derartige Quantisierungsun-genauigkeiten durch die mehrfache Verwendung eines Filterkoeffizienten aufgrundder Rückkopplung zu Abweichungen von der gewünschten Filtercharakteristik füh-ren. Eine bestimmte Filtercharakteristik in einem vorgegeben Toleranzschema läßtsich in der Regel durch IIR Filter mit einer geringeren Ordnung als bei einem FIRFilter realisieren. Damit sind der Realisierungsaufwand und die benötigte Rechen-kapazität in diesem Fall beim IIR Filter geringer.


5. Digitale Filter

5.6. Spezielle Filter

Es gibt einige Anwendungen, bei denen man ein Filter mit einem „inversen“ Fre-quenzgang G(z) = 1

H(z)benötigt. Dies wird beispielsweise bei der Codierung und De-

codierung eines Sprachsignals zur Sprachübertragung im Mobilfunk eingesetzt. ZurCodierung auf der Senderseite werden für jeweils kurze Signalabschnitte mit einerLänge von etwa 20ms die Filterkoeffizienten eines adaptiven FIR Filters bestimmt,mit dem dann der jeweilige Signalabschnitt gefiltert wird. Die Filterkoeffizientenwerden auf die Empfängerseite übertragen. Zur Rekonstruktion des Sprachsignalsbeim Empfänger wird dann eine Filterung mit dem inversen Frequenzgang G(z) be-nötigt, damit sich insgesamt eine ÜbertragungsfunktionH(z)·G(z) = H(z)· 1

H(z)= 1

ergibt.

Verwendet man zur Beschreibung von H(z) die Darstellung mit Null- und Polstellen

H(z) =(z − o1) · (z − o2) · ... · (z − oN)

(z − p1) · (z − p2) · ...(z − pN)

so ergibt sich

G (z) =1

H(z)=

(z − p1) · (z − p2) · ...(z − pN)

(z − o1) · (z − o2) · ... · (z − oN)

=zN + a1 · zN−1 + a2 · zN−2 + ...+ aNzN + b1 · zN−1 + b2 · zN−2 + ...+ bN

Es wird deutlich, dass man durch ein Vertauschen von Null- und Polstellen dieCharakteristik G(z) erhält. Mit der Forderung eines stabilen Filters mit der Über-tragungsfunktion G(z) bedingt dies eine Lage der Nullstellen von H(z) innerhalb desEinheitskreises, damit die Polstellen von G(z) das Stabilitätskriterium erfüllen. DerDarstellung von G(z) mit den Filterkoeffizienten ai und bi kann man entnehmen,dass man durch ein einfaches Vertauschen der Filterkoeffizienten a1 bis aN und derKoeffizienten b1 bis bN des Filters H(z) (b0 = 1) die inverse Charakteristik erzeugenkann. Gemäß der Filterdarstellung in Abbildung 5.17, aus der die Beschreibungenvon H(z) und G(z) mit den Koeffizienten bi und ai resultierte, sind die Werte ainoch um ein negatives Vorzeichen zu ergänzen. Dies bedeutet in der praktischenRealisierung, dass die Werte von bi zu negieren sind, um sie als Filterkoeffizientenim Rückkopplungszweig zu verwenden.

Neben der Bestimmung der inversen Filtercharakteristik wird an dieser Stelle nocheinmal die Herleitung eines Hoch- oder Bandpasses aus einem Prototyp TP betrach-


5. Digitale Filter

tet, wie es im Kapitel zur Fourier Transformation dargestellt wurde. Die Impulsant-wort des Band- oder Hochpasses ergab sich dabei aus einer Multiplikation der Werteder Impulsantwort des TP mit einer Cosinusfunktion, deren Frequenz die Verschie-bung der TP Charakteristik auf der Frequenzachse definiert. Konkret ergab sichbeispielsweise für die Impulsantwort des HP: hHP (n) = hTP (n) · cos (π · n)

Die zeitdiskrete Funktion cos(π · n) beinhaltet dabei die alternierende Folge vonWerten +1 und −1. Zu Beginn dieses Kapitels wurde erläutert, dass die Werteder Impulsantwort unmittelbar als Koeffizienten eines FIR Filters verwendet wer-den können. Dies bedeutet, dass man durch die einfache Negierung jedes zweitenFilterkoeffizienten eines TP FIR Filters eine Hochpasscharakteristik erzeugen kann.

5.7. Filterentwurf

Nachdem in den vorangegangenen Abschnitten das Verhalten und die Eigenschaf-ten digitaler Filter vorgestellt wurden, bleibt die Frage, wie ein Filter zu entwerfenist, das eine bestimmte Filtercharakteristik mit einem gewünschten Frequenzgangaufweist. Konkret führt dies zu der Frage, welche Ordnung das Filter und welcheWerte die Filterkoeffizienten eines FIR oder IIR Filters anzunehmen haben, umeinen bestimmten Frequenzgang zu erzielen.

In diesem Abschnitt wird die prinzipielle Vorgehensweise zur Bestimmung der Fil-terkoeffzienten für IIR und FIR erläutert, ohne auf die im Detail recht komplexenalgorithmischen Lösungen einzugehen. In nahezu allen verfügbaren Programmpake-ten zur digitalen Signalverarbeitung finden sich Programme, die die verschiedenenEntwurfsverfahren beinhalten und die zur Findung der Filterkoeffizienten verwendetwerden können.

Der Entwurf von IIR Filtern beruht auf den bekannten Verfahren zur Bestimmunganaloger Filter mit einer bestimmten Filtercharakteristik. Der Entwurf analoger Fil-ter wiederum basiert auf dem Ansatz, daß der Betrag des Frequenzgangs in einemvorgegebenen Toleranzschema liegt, wie es beispielhaft für einen Tiefpaß in Abbil-dung 5.18 dargestellt ist. In Analogie dazu kann man auch für Hochpaß, Bandpaßund Bandsperre entsprechende Toleranzschemata definieren.


5. Digitale Filter

Abbildung 5.18.: Toleranzschema zum Entwurf eines Tiefpasses

Das gezeigte Toleranzschema beinhaltet die Anforderung an den Betrag des Fre-quenzgangs, innerhalb des hell markierten Bereichs zu verlaufen und damit einebestimmte Flankensteilheit beim Übergang vom Durchlaß- zum Sperrbereich undeine maximale Welligkeit im Durchlaß- und im Sperrbereich zu gewährleisten. DasVerhalten im Sperrbereich lässt sich durch den Wert von h1 als mindestens zu er-reichende Dämpfung 20 · log

(1h1

)in dB, das Verhalten im Durchlassbereich durch

den Wert von h2 als maximal erlaubte Welligkeit 20 · log(

11−h2

)in dB beschreiben.

Es existieren verschiedene Approximationsverfahren zum Filterentwurf, die sich be-züglich der Anforderungen an den Verlauf des Frequenzgangs unterscheiden. Die 4Verfahren werden in Abbildung 5.19 veranschaulicht, wobei die dargestellten Fre-quenzgänge durch Filterentwurf mit den jeweils angegebenen Parametern mit Hilfeder Matlab Signalverarbeitungsroutinen bestimmt wurden.


5. Digitale Filter

Abbildung 5.19.: Approximationsverfahren zum Entwurf von IIR Filtern

Die Butterworth Approximation beinhaltet die Forderung eines möglichst flachenVerlaufs des Betragsspektrums im Durchlass- und Sperrbereich. Die TschebyscheffApproximationen vom Typ I und II erlauben eine Welligkeit entweder im Durchlass-bereich (Typ I) oder im Sperrbereich (Typ II). Bei der Approximation nach Cauerwird sowohl im Durchlass- als auch im Sperrbereich eine Welligkeit zugelassen.

Alle Verfahren beruhen auf der Wahl bestimmter Funktionen zur Approximation desgewünschten Filterverlaufs, wobei sich die prinzipiellen Funktionstypen der Verfah-ren unterscheiden. Beispielsweise werden die nach dem Cauer Verfahren bestimmtenFilterfunktionen auch als elliptische Filter bezeichnet, da zur Approximation ellip-tische Funktionen verwendet werden.

Die schließlich gewählte Funktion mit den für das Filter spezifischen Parameternläßt sich als Laplace Transformierte H(p) darstellen. Aus H(p) läßt sich mit Hilfeder sogenannten bilinearen Transformation durch die Substitution p = 2

T· 1−z−1

1+z−1 dieÜbertragungsfunktion H(z) bestimmen. Anschaulich bildet die bilineare Transfor-mation den Frequenzgang, der sich auf der imaginären Achse der Laplace Transfor-mierten findet, auf den Einheitskreis in der komplexen Z Ebene ab. Damit sind die


5. Digitale Filter

Koeffizienten des IIR Filters bestimmt.

Zur Bestimmung der Koeffizienten eines FIR Filters gibt es verschiedene Verfahren,von denen 3 im Folgenden kurz erläutert werden. Das erste Verfahren wird nach sei-nen Erfindern als Parks-McClellan Methode bezeichnet. Ausgangspunkt ist wie beider Bestimmung der Koeffizienten eines IIR Filters ein Toleranzschema für den ge-wünschten Frequenzgang. Zunächst wird die Filterordnung geschätzt. Anschliessendwerden mit Hilfe des sogenannten Remez-Exchange Algorithmus in einem iterativenProzess die Filterkoeffizienten eines symmetrischen FIR Filters so lange verändert,bis der Frequenzgang sich innerhalb des festgelegten Toleranzschemas befindet.

Die zweite Methode wird als Fenster-Verfahren bezeichnet, das bereits ausführlichim Kapitel zur Fourier Transformation vorgestellt wurde. Der gewünschte ideale Fre-quenzgang H(f) wird mit Hilfe einer Inversen Fourier Transformation in den Zeit-bereich transformiert, wobei im allgemeinen eine Impulsantwort h(n) generiert wird,deren Länge nicht beschränkt ist. Im Kapitel zur diskreten Fourier-Transformationwurde beispielsweise der SI-förmige Verlauf der Impulsantwort eines idealen TP-Filters aus dem rechteckförmigen Verlauf im Frequenzbereich hergeleitet. Zur Be-schränkung der Filterlänge wird dann durch die Wichtung der Impulsantwort h(n)

mit den Abtastwerten w(n) einer Fensterfunktion ein endlich langer Abschnitt derImpulsantwort herausgeschnitten.

Als Fensterfunktionen werden die zur Anwendung der Diskreten Fourier Transforma-tion bekannten Funktionen verwendet, beispielsweise das Hanning-, das Hamming-oder das Kaiser-Fenster. Ein Beispiel für den Entwurf eines Filters nach dem FensterVerfahren wird in Abbildung 5.20 veranschaulicht.


5. Digitale Filter

Abbildung 5.20.: Fenster-Verfahren zum Entwurf von FIR Filtern

In der obersten Graphik wird der Verlauf der SI-förmigen Impulsantwort gezeigt,die zur Realisierung eines idealen Tiefpasses mit einer Grenzfrequenz von 250Hz

bei einer Abtastfrequenz von 1000Hz benötigt wird. In der darunter liegenden Gra-phik wird eine Hamming Funktion dargestellt, mit der die Werte der Impulsantwortgewichtet und zeitlich auf den Bereich −20ms ≤ t ≤ +20ms begrenzt werden. DasErgebnis der Multiplikation der Abtastwerte der Impulsantwort mit den Werten derFensterfunktion wird in der dritten Graphik dargestellt. Der sich aus einer Fourier-Transformation ergebende Betrag der Übertragungsfunktion |H(f)| wird in der un-tersten Graphik veranschaulicht. Die Wichtung mit der Fensterfunktion führt zueinem „glatten“ Verlauf der Frequenzcharakteristik im Durchlass- und Sperrbereichohne das bei Wichtung mit einer Rechteckfunktion typische Schwingungsverhalten.Allerdings verringert sich dadurch die Steigung des Frequenzgangs im Bereich derGrenzfrequenz.

Das Frequenz-Abtastverfahren stellt eine dritte Möglichkeit zur Bestimmung derKoeffizienten eines FIR Filters da. Dabei wird der gewünschte Frequenzverlauf durchdie Angabe der Werte von |H(f)| bei den diskreten Frequenzwerten fk = k· fa

NDFT, die

sich bei Anwendung einer DFT mit der Transformationslänge NDFT in äquidistantenFrequenzabständen ergeben, definiert. Durch Anwendung einer IDFT kann darauseine zeitlich begrenzte Impulsantwort, die NDFT Werte beinhaltet, generiert werden.


Abbildungsverzeichnis

0.1. Struktur eines Signalverarbeitungssystems . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1. Abtastung eines tiefpassgefilterten Mikrofonsignals . . . . . . . . . . 111.2. Analoges Signal (oben), Folge von Dirac-Impulsen (Mitte), PAM Si-

gnal (unten) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3. Wiederholtes Auftreten des TP-Spektrums nach einer Faltung des

Spektrums mit einer Folge von Dirac-Impulsen . . . . . . . . . . . . . 141.4. PAM Signalgenerierung und Rekonstruktion des TP gefilterten ana-

logen Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5. Spektrum eines 5 kHz Signals (oben), Spektrum des unterabgetaste-

ten Signals (Mitte), Spektrum des TP gefilterten Signals (unten) . . . 161.6. Bandpassunterabtastung am Beispiel des UKW Bands . . . . . . . . 191.7. Verarbeitungsschritte zur Unterabtastung . . . . . . . . . . . . . . . . 201.8. Spektrum bei fa = 24 kHz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.9. Spektrum nach TP Filterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.10. Spektrum nach dem Extrahieren jedes dritten Werts . . . . . . . . . . 221.11. Einfügen von Nullwerten mit Hilfe einer zweistufigen Abtastung . . . 231.12. Verarbeitungsschritte zur Überabtastung . . . . . . . . . . . . . . . . 231.13. Spektrum vor bzw. nach Einfügen von Nullwerten . . . . . . . . . . . 241.14. Spektrum nach TP Filterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.15. Verarbeitungsschritte zur Abtastratenwandlung um einen nicht ganz-

zahligen Faktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.16. Interpolation der Abtastwerte bei angenäherter Zwischenabtastfrequenz 261.17. Extrahieren jedes zweiten Bildpunktes . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.18. Einfügen von Nullintensitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.19. Verarbeitungsblock zur Quantisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.20. Quantisierungs- und Abbildungskennlinie für eine PCM bei einer Wort-

länge von 3 Bit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.21. Darstellung des Quantisierungsfehlers als additive Störung . . . . . . 31



1.22. Analoges und PAM Signal (oben), Quantisiertes PAM Signal (mitte),Quantisierungsfehler (unten) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.23. Verteilungsdichtefunktion des Quantisierungsfehlers . . . . . . . . . . 321.24. Abhängigkeit des SNR von der Ausnutzung des maximalen Quanti-

sierungsbereichs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.25. Gamma Funktion zur Beschreibung der Verteilungsdichtefunktion bei

Audiosignalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.26. Generierung eines treppenförmigen Signals mit Hilfe eines Abtast-

Halte-Glieds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.27. SI förmige Frequenzcharakteristik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.28. Frequenzgang des Kompensations- und Rekonstruktionsfilters . . . . . 391.29. Kompressor-Kennlinie zur nichtlinearen Quantisierung . . . . . . . . . 411.30. Quantisierung mit Kompandierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.31. SNR in Abhängigkeit der Signalleistung S eines gleichverteilten Signals 441.32. 13 Segment-Kennlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.33. ALAW- Quantisierungskennlinie nach dem ITU Standard G.711 . . . 47

2.1. Signalverarbeitungssystem als Zweitor . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.2. Reaktion eines RC-Zweitors auf einen Rechteckimpuls [1] . . . . . . . 522.3. Reaktion eines RC-Zweitors auf eine Folge von Rechteckimpulsen [1] . 522.4. Beschreibung des Ausgangssignals als Summe der Reaktionen auf eine

Folge von Rechteckimpulsen [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.5. Dirac Stoss δ(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.6. Dirac Impuls δ(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.7. Impulsantwort h(n) eines Signalverarbeitungssystems . . . . . . . . . 562.8. Bestimmung des Ausgangssignals als additive Überlagerung der zeit-

versetzten Impulsantworten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.9. Beschreibung eines Signalverarbeitungsblocks durch seine Impulsant-

wort h(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.10. Graphische Lösung zur diskreten Faltung der Signale x(n) und h(n) . 602.11. Assoziativgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.12. Spektrum des idealen Tiefpass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.13. SI-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.14. Diskrete SI Funktion mit 33 Werten und zugehöriger Frequenzgang . 652.15. Aufbau des menschlichen Auges [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.16. Zerlegung eines Bildes in eine Zeilen- und Spaltenanordnung von Seg-

menten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67



2.17. Schematische Beschreibung des Farbfernsehens nach dem PAL Stan-dard [2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.18. Intensität des Bildpunkts in der Zeile mit dem Index n und der Spaltemit dem Index m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.19. Geänderte Anordnung der Bildpunkte zum Drehen bzw. Spiegeln ei-nes Bildes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.20. Gauß Funktionen mit σ2 = 1 und σ2 = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 752.21. Laplace Funktionen mit σ2 = 0, 5 und σ2 = 1 . . . . . . . . . . . . . . 77

3.1. Wahl des Bezugspunktes für die Korrelation . . . . . . . . . . . . . . 823.2. Signal x(n) und zugehörige Autokorrelationsfolge . . . . . . . . . . . 843.3. Zeiterfassung durch Kreuzkorrelation der Signale zweier Induktions-

schleifen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.4. Zeitversetzte Signalverläufe und zugehörige KKF . . . . . . . . . . . 863.5. Vergleich von Faltung und KKF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.6. Korrelation als Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.7. Übertragung und anschließende Detektion . . . . . . . . . . . . . . . 923.8. Zeitverzögerung bei Übertragung über einen Kanal . . . . . . . . . . 923.9. AWGN Kanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.10. Barker Code der Länge 11 und zugehörige AKF . . . . . . . . . . . . 943.11. Schieberegister zur Erzeugung einer MLS . . . . . . . . . . . . . . . . 953.12. Abtastwerte und Betragsspektrum einer MLS . . . . . . . . . . . . . 963.13. Dirac Stoss δ(t) und kontinuierliches Spektrum (links) und Dirac Im-

puls δ(n) und diskretes Spektrum (rechts) . . . . . . . . . . . . . . . 973.14. Abtastwerte und AKF einer MLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.15. Bestimmung der Impulsantwort eines unbekannten Systems . . . . . . 98

4.1. Eine Periode eines Zeitsignals und der Real- und Imaginärteil derzugehörigen DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.2. Vergleich des Spektrums bei geradem und ungeradem N . . . . . . . . 1084.3. Dirac-Stoss und Fourier-Transformierte . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.4. Ähnlichkeitstheorem der Fourier Transformation . . . . . . . . . . . . 1104.5. Symmetrie-Theorem der Fourier Transformation . . . . . . . . . . . . 1104.6. Cosinussignal und das zugehörige Spektrum . . . . . . . . . . . . . . 1124.7. Sinussignal und das zugehörigeSpektrum . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.8. Rechteckimpuls mit der Bezeichnung rect(t) . . . . . . . . . . . . . . 1144.9. Zeitsignal und Spektrum eines Rechteckfensters . . . . . . . . . . . . 116



4.10. Faltung des Spektrums eines 50Hz-Cosinussignals mit der Si-förmigenFrequenzcharakteristik eines 20 ms langen Analysefensters . . . . . . 118

4.11. Faltung des Spektrums eines 75Hz-Cosinussignals mit der Si-förmigenFrequenzcharakteristik eines 20 ms langen Analysefensters . . . . . . 119

4.12. Zeitsignal und logarithmiertes Betragsspektrum des Rechteck- undHammingfensters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.13. Wiederholtes Auftreten der Werte bei einem abgetasteten Sinussignal 1234.14. Lineares, zeitinvariantes System in Zeit- und Frequenzbereich . . . . . 1244.15. Zusammenhang zwischen Faltung im Zeitbereich und Multiplikation

im Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.16. Zerlegung eines Signals in Fenster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.17. Rekonstruktion eines Signals aus Fenstern . . . . . . . . . . . . . . . 1284.18. Faltung Hf = HSI ∗HTP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.19. Mit Hamming-Fenster gewichtete diskrete SI Funktion und zugehöri-

ger Frequenzgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314.20. Spektren eines Tiefpasses (oben) und Bandpasses (unten) . . . . . . . 1324.21. Dirac-Impuls im Spektralbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.22. Erzeugung eines BP aus einem TP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1344.23. Spektrum eines Tiefpass (oben) und Hochpass (unten) . . . . . . . . 1354.24. Schematische Ansicht einer Filterbank . . . . . . . . . . . . . . . . . 1374.25. Basisfunktionen der DCT für k = 1, 2, ..., 6 . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.1. Impulsantwort eines TP mit fgfa

= 16

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1425.2. Schaltungstechnische Realisierung eines TP mit fg

fa= 1

6. . . . . . . . 142

5.3. Grundelemente eines linearen, zeitinvarianten, zeitdiskreten Systems . 1435.4. Amplitudengang |H(f)| des TP mit fg

fa= 1

6. . . . . . . . . . . . . . . 144

5.5. Schaltungsanordnung eines einfachen digitalen Filters . . . . . . . . . 1455.6. Impulsantwort des in Abbildung 5.5 dargestellten Filters . . . . . . . 1455.7. Zwei mögliche Frequenzgänge des in Abbildung 5.5 dargestellten Filters1475.8. Auftreten der Fourier Transformierten auf dem Einheitskreis der Z

Transformierten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1495.9. Struktur eines Transversalfilters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1515.10. Symmetrische Impulsantworten linearphasiger FIR Filter . . . . . . . 1525.11. Ausgangssignal y(n) eines symmetrischen FIR Filters nach Faltung

von x(n) mit h(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1535.12. Nicht-kanonische Direktstruktur eines IIR Filters . . . . . . . . . . . 1545.13. Stabilitätsbereich für die Lage der Pole von H(z) . . . . . . . . . . . 157



5.14. IIR Filter 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575.15. Lage der Null- und Polstellen des Filters 2. Ordnung . . . . . . . . . 1595.16. Frequenzgang |H(f)| des Filters 2.Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . 1615.17. 1. kanonische Direktform eines IIR Filters . . . . . . . . . . . . . . . 1615.18. Toleranzschema zum Entwurf eines Tiefpasses . . . . . . . . . . . . . 1655.19. Approximationsverfahren zum Entwurf von IIR Filtern . . . . . . . . 1665.20. Fenster-Verfahren zum Entwurf von FIR Filtern . . . . . . . . . . . . 168


Index

13-Segmentkennlinie, 44

AAbtastfrequenz, 11Abtastratenwandlung, 19ADU, 29A-Kennlinie, 42AKF, 83Aliasing, 16Analog-Digital Umsetzer, 29Assoziativgesetz, 61Auge, 66Autokorrelationsfunktion, 83AWGN Kanal, 92

BBandpassunterabtastung, 16Barker Codes, 93Butterworth, 166

CCauer, 166CCD, 68Cepstralbereich, 139Charge Coupled Device, 68Chrominanz, 68CMY, 68

DDAU, 37DCT, 101, 138

DFT, 100Differenzengleichung, 143Digital-/Analogumsetzer, 37Diskrete Cosinus Transformation, 101,

138Diskrete Fourier Transformation, 100Distributivgesetz, 62

EEinselement, 61Elliptische Filter, 166Expander-Kennlinie, 41

FFarbtiefe, 68Fast Fourier Transformation, 100, 122Fensterfunktion, 120FFT, 100, 122Filterbänke, 136Filterentwurf, 164Filterkoeffizienten, 150Finite Impulse Response Filter, 150FIR Filter, 150FPGA, 141

GGamma Verteilung, 36Gauß-Filter, 76Gruppenlaufzeit, 65


Index

HHöhenanhebung, 147

IIDCT, 138IDFT, 100IIR Filter, 153Impulsantwort, 55Infinite Impulse Response Filter, 153Inverse Diskrete Fourier Transformati-

on, 100inversen diskreten Cosinus Transforma-

tion, 138

JJoint Photographic Expert Group, 139JPEG, 139

KKanonische Direktform, 161Kaskadierung, 162KKF, 81Kommutativgesetz, 61Kompandierung, 41Kompressor-Kennlinie, 41Korrelation, 79Korrelationsfilter, 88Kreuzkorrelationsfunktion, 81

LLaplace Filter, 76Laplace Verteilung, 36leakage, 119Leckeffekt, 119Lineare, zeitinvariante Systeme, 51Linearität, 51linearphasig, 152Linienspektrum, 103Lloyd-Max Quantisierer, 47

LTI, 51Luminanz, 68

MMatched Filter, 88Maximum-Length Sequenzen, 95Max-Lloyd Quantisierer, 47Mexican Hat Filter, 76MLS, 95Moving Picture Expert Group, 139MPEG, 139

NNichtlineare Quantisierung, 39Normierte Kreuzkorrelationsfunktion, 81

PPAL, 69Parks-McClellan Methode, 167Parselvalsches Theorem, 111PCM, 10, 29Phase Alternating Line, 69Pol-/Nullstellendiagramm, 156Preemphasis, 147Puls-Code-Modulation, 10, 29

QQuantisierungsfehler, 31Quantisierungskennlinie, 29Quantisierungsrauschen, 31

RRemez-Exchange Algorithmus, 167RGB, 68

SScharfzeichnen, 77schnelle Faltung, 129Sehnerv, 67SI-Funktion, 115


Index

Signal/Rauschleistungsverhältnis, 32SNR, 32Stäbchen, 68Stabilität, 152, 156Stossantwort, 54

TTeilbandsignal, 136Transversalfilter, 150Tschebyscheff, 166

UÜberabtastung, 22Übertragungsfunktion, 124Unterabtastung, 20

VVerschiebungsinvarianz, 74Verteilungsdichtefunktion, 32

WWeichzeichnen, 76Wiener-Khintchine Theorem, 89Wiener-Lee Beziehung, 89

YYUV, 69

ZZ Transformation, 147Zapfen, 68Zeitinvarianz, 51zero padding, 120, 123


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