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Darst. Geom. ¨ Ubung Mathematik 2 (Bauing.+Chem.) SS 2012 Geben Sie f¨ ur die folgenden Konstruktionen jeweils in Worten eine ausf¨ uhrliche Beschreibung an, die die Schritte erl¨ autert, die Sie zu der L¨ osung gef¨ uhrt haben. 1. Gegeben ist die Gerade g durch die Punkte A(5|0|2) und B(2|10|8) sowie der Punkt P (5|5|6). Bestimmen Sie die Spurgeraden der Ebene E durch P , die senkrecht zu g ist, und den Durchstoßpunkt von g durch E. 2. Gegeben ist die Ebene E durch ihre Spuren e G und e A , wobei e G mit x 12 den Winkel 60 und e A mit x 12 den Winkel 45 einschließt. Konstruieren Sie das gleichseitige Dreieck ABM in der Ebene E, dessen Grundseite AB in der Grundrißebene liegt und L¨ ange 4 cm hat und dessen Spitze M ¨ uber der Grundrißebene und 4 cm vor der Aufrißebene liegt. 3. Gegeben sind die Punkte A(4|1|4), B(7|5|6), C (2|7|1), U (1|6|7), V (8|3|1) und W (2|2|6). Konstruieren Sie die Projektionen der Figur, die von den beiden Dreiecken ABC und UVW gebildet wird, und ber¨ ucksichtigen Sie dabei, welche Teile der Kanten nicht sichtbar sind (gestrichelt zeichnen). 4. F¨ ur folgende Objekte soll der Schatten auf der Grund- bzw. Aufrißebene bestimmt werden, wenn die Lichtstrahlen parallele Strahlen sind, deren Grundriß und Aufriß jeweils mit der Rißachse einen Winkel von 45 einschließen. x 12 l ′′ l P ′′ P (a) Punkt P x 12 l ′′ l P ′′ P = Q Q ′′ (b) Strecke PQ x 12 l ′′ l A E B F C G D H A ′′ B ′′ C ′′ D ′′ E ′′ F ′′ G ′′ H ′′ (c) Quader ABCDEFGH

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Darst. Geom. Ubung Mathematik 2 (Bauing.+Chem.) SS 2012

Geben Sie fur die folgenden Konstruktionen jeweils in Worten eine ausfuhrliche Beschreibungan, die die Schritte erlautert, die Sie zu der Losung gefuhrt haben.

1. Gegeben ist die Gerade g durch die Punkte A(5|0|2) und B(2|10|8) sowie der PunktP (5|5|6). Bestimmen Sie die Spurgeraden der Ebene E durch P , die senkrecht zu g ist,und den Durchstoßpunkt von g durch E.

2. Gegeben ist die Ebene E durch ihre Spuren eG und eA, wobei eG mit x12 den Winkel 60◦

und eA mit x12 den Winkel 45◦ einschließt.Konstruieren Sie das gleichseitige Dreieck ABM in der Ebene E, dessen Grundseite AB inder Grundrißebene liegt und Lange 4 cm hat und dessen SpitzeM uber der Grundrißebeneund 4 cm vor der Aufrißebene liegt.

3. Gegeben sind die Punkte A(4|1|4), B(7|5|6), C(2|7|1), U(1|6|7), V (8|3|1) und W (2|2|6).Konstruieren Sie die Projektionen der Figur, die von den beiden Dreiecken ABC undUVW gebildet wird, und berucksichtigen Sie dabei, welche Teile der Kanten nicht sichtbarsind (gestrichelt zeichnen).

4. Fur folgende Objekte soll der Schatten auf der Grund- bzw. Aufrißebene bestimmt werden,wenn die Lichtstrahlen parallele Strahlen sind, deren Grundriß und Aufriß jeweils mit derRißachse einen Winkel von 45◦ einschließen.

x12

l′′

l′

P ′′

P ′

(a) Punkt P

x12

l′′

l′

P ′′

P ′ = Q′

Q′′

(b) Strecke PQ

x12

l′′

l′ ❜

❜ ❜ ❜❜

❜ ❜ ❜❜

A′E′

B′F ′

C′G′

D′H′

A′′ B′′ C′′D′′

E′′ F ′′ G′′H′′

(c) Quader ABCDEFGH

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5. Gegeben seien zwei horizontale Ebenen E1 und E2 der Hohe 82 m bzw. 74 m. Dazwischenliegt eine Hangebene E3, die E1 in g1 und E2 in g2 schneidet. Ein Weg fuhrt von E1 nachE2. Konstruieren Sie die Wegboschungen! Steigung fur die Auftragsboschung 2 : 3, fur dieAbtragsboschung 1 : 1.

❥❨

3 m

32 m

✛ ✲

g′1

g′2

11 m

E3

E2(74)

E1(82)

8 m75◦

6. Gegeben seien drei Quader, deren Grundseite jeweils ein Quadrat mit Seitenlange 20 inder Standebene ist, mit den Hohen 15, 25 und 50, und deren Grundriß im folgendenBild dargestellt wird. Konstruieren Sie das perspektive Bild, wenn die Distanz 65 und dieAughohe 35 ist.

❜ eO′60◦45◦

30◦

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1. Ubung Mathematik 2 (Bauing.+Chem.) SS 2012

1. Sei ~a = (2, 3,−5). Bestimmen Sie ~b = (x1, y1, 10) und ~c = (x2, 1, z2) so, daß je zwei dieserVektoren linear abhangig sind.

2. Untersuchen Sie, ob folgende Vektoren linear unabhangig sind:

(a) ~a = (1, 2, 3),~b = (3, 2, 1),~c = (0, 4, 8), (b) ~a = (1, 3, 3),~b = (3, 3, 1),~c = (3, 1, 3),

(c) ~a = (0, 1, 2),~b = (1, 1, 1),~c = (0, 4, 8).

3. Bestimmen Sie a so, daß folgende Vektoren linear abhangig sind:

(a) ~a = (2, 1,−3),~b = (1, a, 3),~c = (1, 1, 0), (b) ~a = (a, 2a, 7),~b = (1, 3, 5),~c = (2, 4, 5),

(c) ~a = (1, a, 3),~b = (a, 2, 1),~c = (1, 2, a).

4. Zeigen Sie, daß ~a = (1, 1, 1), ~b = (0, 1, 1), ~c = (1, 0, 1) eine Basis des IR3 bilden. Ist

sie orthogonal oder normiert? Stellen Sie folgende Vektoren als Linearkombination derBasisvektoren dar:

(a) ~d = (6, 6, 6), (b) ~d = (3, 5, 5), (c) ~d = (4, 3, 6).

5. Vereinfachen Sie:

(a) (~a− 2~b)× (3~a+~b), (b) (~a+~b)× (~a−~b),

(c) (~b+ ~c)× (~a− ~c) + ~a× (~b− ~c)− (~a−~b)× (~b+ ~c).

6. Zeigen Sie: In einem Parallelogramm ist die Summe der Quadrate der Seitenlangen gleichder Summe der Quadrate der Diagonallangen.

7. Bestimmen Sie Volumen und Oberflache des durch die Vektoren ~a = (−3, 5, 7), ~b =(3, 4, 15), ~c = (10,−6, 3) aufgespannten Spats.

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2. Ubung Mathematik 2 (Bauing.+Chem.) SS 2012

8. Gegeben seien die Punkte

P1 =

121

, P2 =

−112

, P3 =

53−1

, P4 =

−7−25

, P5 =

a

5b

.

Stellen Sie die Gleichung der Geraden g durch P1 und P2 auf und untersuchen Sie, welcheder Punkte P3 und P4 auf g liegt. Fur welche Werte von a und b liegt P5 auf G?

9. Gegeben seien die Punkte

P1 =

112

, P2 =

123

, P3 =

2−1−2

, P4 =

a

43

, P5 =

43b

.

(a) Geben Sie die Parameterdarstellung der Ebene E durch P1, P2 und P3 an.

(b) Geben Sie die Gleichung der Geraden von g an.

(c) Fur welche Werte von a und b gilt

i. g liegt in E,

ii. g ist parallel zu E,

iii. g schneidet E?

Losen Sie (c) mit Hilfe der Parameterdarstellung von E und mit Hilfe der Glei-chungsdarstellung von E und bestimmen Sie fur a = 1, b = 1 den Schnittpunkt!

10. Bestimmen Sie die Gleichungen der Ebenen E1 und E2 senkrecht zu ~n = (8,−1, 4) durchP1 = (−1, 5, 5) bzw. P2 = (−3, 0, 6) und ihren Abstand. Geben Sie die Parameterdarstel-lungen der Ebenen an.

11. Zerlegen Sie den Vektor ~v = (1, 2, 3) in eine Komponente senkrecht zu ~a = (2, 1, 2) undeine Komponente senkrecht zur Ebene mit der Gleichung x+ y + 2z = 0.

12. Zerlegen Sie den Vektor ~v = (1,−2,−3) in eine Komponente parallel zu ~a = (2,−1,−2)und eine Komponente parallel zur Ebene mit der Gleichung 4x− 3y + 5z = 27.

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3. Ubung Mathematik 2 (Bauing.+Chem.) SS 2012

13. Die Gerade g gehe durch die Punkte P1 = (1, 1, 1) und P2 = (−1, 3, 2). Bestimmen Sieden Fußpunkt des Lotes von P0 = (−2, 5, 8) auf g, den Abstand von P0 zu g und dieGleichung der Geraden h senkrecht zu g durch P0.

14. Gegeben seien die Punkte P1 = (1, 0,−1), P2 = (2, 1,−3), P3 = (−1, 2, 1), P4 = (0,−2, 1).Bestimmen Sie den Abstand von P4 zur Ebene E durch P1, P2 und P3.Geben Sie die Gleichungen der Parallelebenen E1 und E2 zu E im Abstand 2 an.

15. Sei ~a = (1, 2,−5), ~b = (1,−2,−1). Berechnen Sie die Projektion von ~a auf ~b, den Winkel

zwischen ~a und ~b, den Flacheninhalt des von ~a und ~b aufgespannten Parallelogramms,die Gleichung der von ~a und ~b aufgespannten Ebene E durch den Nullpunkt und einenEinheitsvektor in E senkrecht zu ~a.

16. Gegeben seien die Punkte P1 = (1, 0,−1), P2 = (2, 1,−3), P3 = (−1, 2, 1), P4 = (0,−2, 1).Bestimmen Sie

(a) den Abstand von P4 zur Geraden g durch P1 und P2,

(b) den Abstand der Geraden g zu der Geraden h durch P3 und P4.

17. Gegeben seien die Punkte P1 = (0, 0, 3), P2 = (0, 3, 0), P3 = (1, 1, 4) und die Ebene E1 :x+2y−3z = 4. Bestimmen Sie die Gleichung der Schnittgeraden g von E1 mit der EbeneE2 durch P1, P2 und P3 und die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenebenen)von g.

18. Gegeben seien die Geraden

g1 : ~x =

101

+ s

11−1

, g2 : ~x =

521

+ t

210

,

g3 : ~x =

212

+ u

−3−33

, g4 : ~x =

312

+ v

420

.

Welche Paare (g1, g2), (g1, g3), (g1, g4) von Geraden sind parallel, schneiden sich bzw. sindwindschief.Bestimmen Sie den Schnittpunkt und die Abstande.

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4. Ubung Mathematik 2 (Bauing.+Chem.) SS 2012

19. Eine Mobelfabrik hat noch Restkapazitaten frei: 225 Minuten der Sagemaschine, 400 Mi-nuten der Polstermaschine und 300 qm Lagerraum. Zur Produktion eines Tisches brauchtman 5 Minuten Sagezeit, 0 Minuten Polsterzeit und 10 qm Lagerraum, fur einen Ses-sel 9 Minuten Sagezeit, 20 Minuten Polsterzeit und 3 qm Lagerraum. Wie viele Sesselbzw. Tische sollte man herstellen, um bei einem Verdienst von 25 Euro pro Tisch und 30Euro pro Sessel moglichst hohen Gewinn zu erzielen? Stellen Sie das zugehorige lineareOptimierungsproblem auf und losen Sie es grafisch!

20. Sie wollen im nachsten Semester einen Ubungsschein im Fach Phrasologie bei dem bekann-ten Dialektiker Prof. Dr. Rudi Laberer erwerben. Dazu mussen Sie Leistungsnachweise imUmfang von mindestens 50 Punkten nachweisen, und fur jede Hausarbeit erhalten Sie 5Punkte, fur jedes Referat 10 Punkte, allerdings werden hochstens 5 Referate angerechnet.Sie benotigen fur die Hausarbeiten durchschnittlich 2 Stunden, fur die Vorbereitung derReferate 5 Stunden und wollen maximal 30 Stunden investieren. Pro Hausaufgabe fallenKosten von 4 Euro und je Referat von 6 Euro an, und mehr als 48 Euro sind in Ihremknappen Budget fur diesen Zweck nicht verfugbar. Wieviele Hausaufgaben und Referatesollten Sie ubernehmen, um eine moglichst hohe Punktzahl zu erhalten? Stellen Sie daszugehorige Optimierungsproblem auf und losen Sie es grafisch!

21. Zwei Getranke A und B enthalten unter anderem die Nahrstoffe P , Q und R, und zwardas Getrank A in den Anteilen 4, 3 bzw. 0, 5, das Getrank B in den Anteilen 2, 6 bzw.3. Der wochentliche Mindestbedarf an den Nahrstoffen ist 20, 42 bzw. 15, A kostet 1, 20Euro, B 3, 60 Euro jeweils pro Liter. Gesucht: Ein Einkauf der Getranke, der den Bedarfmoglichst preiswert abdeckt. Stellen Sie das Optimierungsproblem auf und losen Sie esgrafisch.

22. In einer pharmazeutischen Fabrik werden die beiden Schlafmittel SLEEPYWELL undHEIAPOPEIA hergestellt. Die Herstellung erfolgt in getrennten Arbeitsgangen auf dreiMaschinen I, II und III. Arbeitszeit in Stunden je kg, Gewinn in Euro je kg und maximaleBetriebsstunden pro Tag gibt die folgende Tabelle an:

Maschine SLEEPYWELL HEIAPOPEIA max.Betriebsstd.I 1 1 7II 1 2 10III 1 − 6Gewinn 6.− 8.−

.

Formulieren Sie das zugehorige Optimierungsproblem zur Gewinnmaximierung und losenSie es mit dem Simplex-Verfahren.

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23. Losen Sie mit dem Simplexverfahren folgende Optimierungsprobleme:

(a) x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 112x2 + x3 ≤ 8

x1 + x4 ≤ 52x1 + x3 + x4 ≤ 8

xi ≥ 0, 1 ≤ i ≤ 4,

z = 2x1 + 3x2 + x3 + x4 → max .

(b) 4x1 + x2 ≥ 62x1 + 3x2 ≥ 8x1 + 3x2 ≥ 5, 5

xi ≥ 0, 1 ≤ i ≤ 2,

z = 4x1 + 2x2 → min .

24. Eine Nahrungsmittelmischung besteht aus den Zutaten I, II, III und IV. In jeder Zutatbefinden sich gewisse Mengen der Vitamine A, B, C und D (in ME = Mengeneinhei-ten). Bestimmen Sie mit dem Simplexverfahren, wie man die Nahrungsmittel moglichstkostengunstig kombiniert, um den Mindestgehalt an Vitaminen zu erfullen.

Zahl der ME je kg Mindestgehalt in MischungI II III IV

A 2 3 2 5 10B 1 2 0 2 12C 2 1 1 1 20D 1 1 0 1 15Kosten 10 8 12 6

.

25. Gegeben sei das nebenstehende aus-geglichene Transportproblem. Ermit-teln Sie eine Ausgangslosung mit Hil-fe der Nord-West-Ecken-Regel und be-stimmen Sie mit Hilfe der Potentialme-thode die Optimallosung. Transportko-sten und Verschiebekreise sind in jederStufe anzugeben.

B1 B2 B3 V orrat

4 3 3A1

82 4 3

A215

4 5 3A3

16

Bedarf 16 10 13

.

26. An 4 verschiedenen Baustellen B1, B2, B3, B4 werden Lkw’sbenotigt, und zwar 6 in B1, 3 in B2, 4 in B3 und 5 in B4.Die Lkw’s sind in 3 Garagen G1, G2 und G3 stationiert sind,und zwar 4 in G1, 6 in G2 und 8 in G3. Die Entfernungen derGaragen von den Baustellen sind in folgender Tabelle wieder-gegeben. Ermitteln Sie einen Fahrplan so, daß die Kilometer-leistung insgesamt minimal wird (mit Nachweis).

B1 B2 B3 B4

G1 11 13 15 20G2 14 17 12 13G3 18 18 13 12

.

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5. Ubung Mathematik 2 (Bauing.+Chem.) SS 2012

27. Skizzieren sie folgende Mengen, die in Polarkoordinaten beschrieben sind, in einem kar-tesischen Koordinatensystem:

(a) 0 ≤ φ < 2π, 0 ≤ r ≤ φ, (b) 2 < r < 4,π

4≤ φ ≤ 3π

4,

(c) 0 ≤ φ < 2π, 0 ≤ r ≤∣

∣ cosφ∣

∣.

28. Welche Mengen D ⊂ IR3 werden durch folgende Ungleichungen beschrieben? Ist D be-

schrankt, offen, abgeschlossen, oder weder offen noch abgeschlossen?

(a) 3 ≤ x ≤ 4, 1 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ x, (b) 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ z ≤ x+ y + 1,

(c) 2 ≤ r ≤ 3, 0 ≤ φ < 2π, 0 ≤ θ ≤ π

2, (Kugelkoord.)

(d) 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ φ < 2π, 0 ≤ z ≤ r2 (Zylinderkoord.).

29. Durch Rotation der Normalparabel z = x2, 0 ≤ x ≤ 2, um die z-Achse entsteht einRotationsparaboloid. Skizzieren Sie diesen Korper und beschreiben Sie ihn mit Hilfe von

(a)kartesischen Koordinaten (b)Zylinder-Koordinaten.

30. Die Grundflache eines geraden Kreiskegelstumpf der Hohe h sei ein Kreis mit Radius r1und die Deckflache ein Kreis mit Radius r2. Beschreiben Sie ihn mit Hilfe von Zylinder-koordinaten.

31. Ein Korper werde gebildet aus einer Halbkugel mit Radius r1 (außerer Rand), einer kon-zentrischen Halbkugel mit Radius r2 (innerer Rand) und einem Kreisring. BeschreibenSie ihn mit Hilfe von Kugelkoordinaten.

32. Skizzieren Sie Hohenlinien und gegebenenfalls Schnitte mit anderen Ebenen und versuchenSie, ein perspektives Bild der Flache, die durch z = f(x, y) definiert ist, zu entwerfen.Untersuchen Sie, an welchen Stellen ihres Definitionsbereichs D die Funktion stetig ist.

(a) f(x, y) = x2 + 4y2, (b) f(x, y) = 3x+ 4y − 7

(c) f(x, y) =

x√

x2 + y2fur (x, y) 6= (0, 0)

0 fur (x, y) = (0, 0), (d) f(x, y) = a ·

x2 + y2, a 6= 0.

33. Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Stetigkeit und berechnen Sie die partiellen Ab-leitungen 1.Ordnung, falls sie existieren:

(a) f(x, y) = sin(

x · y +√y)

, (b) f(x, y) = ln(

x2 +√xy

)

(c) f(x, y) =

x · cos(

x2 + y2)

fur x > 0

x2 fur x ≤ 0, (d) f(x, y) =

ey − 1

x2 + y2fur (x, y) 6= (0, 0)

0 fur (x, y) = (0, 0).

(e) f(x, y) = x2 − y4, (f) u(x, y) = ex−xy (g) x =uev

2+1

1 + sin2(

1 + u4)

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6. Ubung Mathematik 2 (Bauing.+Chem.) SS 2012

34. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene an die durch f(x, y) gegebene Flacheim Punkt P0 fur:

(a) f(x, y) = 3x2ex+y2√

5− y4, P0(−1,−1, z0) (b) f(x, y) = xx+y, P0(1, 2, z0).

35. Berechnen Sie die Richtungsableitungen der Funktion f im Punkt P0 in Richtung ~a fur

(a) f(x, y) =x2

2+ xy, P0 = (1, 2), ~a = (2, 3), (3, 2) bzw. (−1,−3),

(b) f(x, y, z) = 2xy3 − yz2, P0 = (2, 1,−1), ~a = (3, 0, 1).

In welcher Richtung ist die Richtungsableitung am großten und wie ist dann ihr Wert?Skizzieren Sie fur die Funktion aus (a) Hohenlinien, insbesondere die durch P0, und dieRichtung mit maximaler Richtungsableitung.

36. Von einem Zylinder wurde der Durchmesser d = (4, 84± 0, 01)cm, die Hohe h = (6, 74±0, 01)cm und durch Wagung die Masse m = (968, 5 ± 0, 1)g bestimmt. Mit welchem

prozentualen Fehler laßt sich hieraus die Dichte ρ =4m

πd2hbestimmen?

37. Zur Bestimmung der Elastizitat eines Stahldrahtes wurden dessen Lange l = (2473±3)mm

und der Durchmesser d = (0, 292±0, 001)mm gemessen. Durch eine am Draht angreifendeKraft K = (1± 0, 005)kp ergab sich eine Langenanderung von ∆l = (1, 750± 0, 005)mm.

Man bestimme den Elastizitatsmodul E =K · l

14d2π ·∆l

und seinen relativen und absoluten

Maximalfehler.

38. Bestimmen Sie Lage und Art der Extremwerte der folgenden Funktionen:

(a) f(x, y) := (x2 − 4)2 + (4 + x2)y2, (b) z = (x2 + y2)ex2−y2 ,

(c) t = p3 + p2q2 − p, (d) u = 3x2 + 3y2 + 3z2 − xz + yz − 3x− 3y,

(e) f(x, y, z) := x2(y2 + z2) + x2 +1

3y3 − y + z2 + 4z

39. In den 8 Gemeinden eines ostfriesischen Kreises wurde die Anzahl der in jeder Gemeindenistenden Storche und die Anzahl der Geburten im Jahr 1972 gezahlt. Wie jeder weiß,werden die Babys von den Storchen gebracht, und ein anderer als ein linearer Zusam-menhang zwischen Anzahl von Geburten und Storchen wurde die Ostfriesen uberfordern.Geben Sie die zu folgender Tabelle gehorige Ausgleichsgerade an:

Storche: 6 5 1 6 3 4 5 2Geburten: 16 12 9 13 14 17 11 12

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40. Durch die Meßpunkte

(a)xi 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20yi 0, 18 0, 31 0, 41 0, 62 0, 74 0, 87 0, 93 1, 01 1, 10 1, 19

soll eine Ausgleichsgerade y = a1x+ a0

(b)xi 1 2 4 6yi 0 2 3 7

soll eine Ausgleichsparabel y = a2x2 + a1x+ a0

gelegt werden. Bestimmen Sie die Koeffizienten auf 2 Dezimalstellen.

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7. Ubung Mathematik 2 (Bauing.+Chem.) SS 2012

41. Bestimmen Sie Art und Lage der Extrema der Funktion

(a) f(x, y) := x2 + y2 + 3 unter der Nebenbedingung x2 + y − 2 = 0,

(b) f(x, y, z) := x− 2y + 2z unter der Nebenbedingung x2 + y2 + z2 = 1.

(c) f(x, y) := x2 + y2 + z2 unter der Nebenbedingung 4x2 + 9y2 + 16z2 = 576.

42. Bestimmen Sie die Lange der langsten Sehne der Ellipsex2

4+ y2 = 1 durch den Punkt

(0| − 1).

43. Bestimmen Sie Lange, Breite und Hohe des Quaders mit großtem Volumen, der einerHalbkugel mit Radius r einbeschrieben werden kann.

44. Die Funktion y = f(x), x > 0, sei gegeben durch die Gleichung

0 = F (x, y) = e√x tan y +

y

x− 3(x2 − 1)− π.

Bestimmen Sie y′ fur alle Punkte P (x, y) des Graphen von f(x) und speziell in P0(1|π).

45. Welche Steigung hat die Kurve, die durch die Gleichung 2y3 + 6x2 − 24x + 6y = 0beschrieben wird?

46. Durch z = f(x, y) = 24xy−10x2−6y2 wird eine Flache im Raum beschrieben. BerechnenSie den Anstieg der Isoquanten y = g(x) fur z = 2 im Kurvenpunkt P (2|y0) mit y0 > 2.

47. (a) Es sei G das Dreieck in der (x, y)-Ebene mit den Ecken (0|0), (1|1), (0|3). BerechnenSie

∫∫

G2x2y dydx.

(b) Es sei G das Dreieck in der (x, y)-Ebene mit den Ecken (0|0), (2|12), (0|1). Berechnen

Sie∫∫

G(ex + sin y) dydx.

(c) Es sei G das Funfeck in der (x, y)-Ebene mit den Ecken (1|1), (2|0), (3|0), (3|2),(1|2). Berechnen Sie

∫∫

G(x+ y) dydx.

48. Das Gebiet G werde durch die Kurven y = x und y = 2 − x2 begrenzt. Zeichnen Sie G

und berechnen Sie die Flache von G mit Hilfe eines Doppelintegrals.

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8. Ubung Mathematik 2 (Bauing.+Chem.) SS 2012

49. Das Gebiet G der (x, y)-Ebene wird durch die Kurven y = x2 und y =√x begrenzt. G sei

mit der Masse mit Massendichte m(x, y) = x+ y belegt. Berechnen Sie die Gesamtmasseund die Schwerpunktkoordinaten von G.

50. Berechnen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes des Gebiets, das durch den paraboli-schen Zylinder z = 4 − x2 und die Ebenen x = 0, y = 0 und y = 6 begrenzt wird, wenndie Dichtefunktion konstant ist.

51. Gegeben ist das 3-dimensionale Gebiet G, das durch das Paraboloid z = 4− x2 − y2 unddie (x, y)-Ebene begrenzt wird, mit der Massendichte m(x, y) = 1.

(a) Berechnen Sie die Gesamtmasse des Gebietes.

(b) Berechnen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes von G.

(c) Berechnen Sie das Tragheitsmoment bezuglich der z-Achse.

52. Berechnen Sie das Volumen des Gebietes, das durch das Paraboloid z = x2 + y2 und denZylinder x2 + y2 = 4 begrenzt wird.

53. Von einer Kugel mit Radius R wird durch einen ebenen Schnitt eine”Kugelhaube“ der

Hohe h abgeschnitten. Bestimmen Sie Volumen und Schwerpunkt der Kugelhaube unddes Restes der Kugel.

54. Berechnen Sie Realteil und Imaginarteil von

(a) z =1

(

1− (1 + 2i)2) (b) z = (1 +

√3 i)4

55. Bestimmen Sie die Losungen folgender quadratischer Gleichungen in IC:

(a) x2 + 10x+ 34 = 0 (b) x2 + 4ix− 13 = 0 (c) ix2 + 8x− 25i = 0.

56. Sei a ∈ IR, a 6= 0. Zeigen Sie, daß die Gleichung x2 + 2ix− a = 0 keine reelle Losungbesitzt. Fur welche Werte von a sind die Losungen rein imaginar? Geben Sie die Losungenan!

57. Zeigen Sie, daß 1− i eine Losung der Gleichung z4 − 3z3 + 2z2 + 2z − 4 = 0 ist undbestimmen Sie alle anderen Losungen.

58. Es sei z1 =3

2+

√3

2i, z2 = −1 + i. Berechnen Sie z1 · z2 direkt, uberfuhren Sie z1 und z2

in Exponentialform und berechnen Sie nochmals z1 · z2.

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9. Ubung Mathematik 2 (Bauing.+Chem.) SS 2012

59. Bestimmen Sie die Losungen folgender exakter Differentialgleichungen:

(a) (3x2y2 + 2y − 1)dx+ (2x3y + 2x+ 2y)dy = 0, y(0) = 1,

(b)

(

1

xy+ 2x

)

dx+

(

y2 − ln x

y2

)

dy = 0,

(c) 2xy + x2 − tan y

x2+

(

x2 + y2 +1

x cos2 y

)

y′ = 0, y(1) = 1,

(d)(

ey + y cos(xy))

+(

xey + x cos(xy))

y′ = 0.

60. Ermitteln Sie die Losungen folgender Differentialgleichungen:

(a) y′ =y

x, (b) (y − 1) dx− (x− 1) dy = 0,

(c) y′ =2x

1 + x2y, (d) xyy′ =

1 + y2

1 + x2, x, y > 0.

61. Bestimmen Sie die Losung der Differentialgleichung

(a) y′ = − 1

x2e−y, x > 0, durch P0(1|1), (b) y′ = xy − y

x2, x > 0, y(1) = 1.

62. Bestimmen Sie die Losung der Differentialgleichung

y′ + y · tan x = tan x mit y(0) = 4.

63. Bestimmen Sie die Losung des Anfangswertproblems

xy′ + y = 2x, y(1) = 0, x > 0.

64. Bestimmen Sie alle Losungen von

(a) 2y + y′ = ex, (b) y′ − 2

x− 1y = x− 1,

(c) xy′ − (x2 + 1)y = x2ex2/2, (d) 3x′ + x = 3t.

65. Zeigen Sie: Die Funktionen

y1 = e−x cos 2x, y2 = e−x sin 2x

bilden ein Fundamentalsystem der Differentialgleichung

y′′ + 2y′ + 5y = 0.

66. Ermitteln Sie die allgemeine Losung folgender Differentialgleichungen:

(a) y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = x2e2x,

(b) y′′′ − 2y′′ + 4y′ − 8y = xex + sin 2x,

(c) y(4) + 8y′′ + 16y = sin x+ sin 2x .

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10. Ubung Mathematik 2 (Bauing.+Chem.) SS 2012

67. Die Messung der Druckfestigkeit von 20 Betonwurfeln erbrachte folgendes Ergebnis:

183, 181, 183, 180, 182, 182, 185, 182, 184, 179,

182, 184, 180, 181, 179, 180, 182, 180, 181, 183.

Bestimmen Sie die absoluten, relativen und prozentualen Haufigkeiten sowie die entspre-chenden kumulierten Haufigkeiten und stellen Sie beides grafisch dar.Welcher Anteil der Betonwurfel hat eine Druckfestigkeit von hochstens 182?Geben Sie an, welche Druckfestigkeit 15% der Betonwurfel mindestens haben.Bestimmen Sie das arithmetische Mittel, den Median, die Varianz, die Standardabwei-chung, die Spannweite und den Quartilsabstand.

68. Die Monatsgehalter xi der Beschaftigten einer Firma haben das arithmetische Mittelx = 5000 Euro und die Standardabweichung ist sx = 1000 Euro. Wie verandern sich x,sx, der Variationskoeffizient νx, der Zentralwert Z und die Spannweite, wenn man jedesGehalt

(a) um 100 Euro erhoht (b) um 2% erhoht.

69. Fur die Ausgaben fur Werbung von Unternehmen im Siegerland hat sich einer Stichprobefolgende Klasseneinteilung ergeben:

Ausgaben in T Euro (0,10] (10,50] (50,100] (100,230]Anzahl 200 300 250 250

.

Ermitteln Sie ein Histogramm, d.h. den Graph der”Dichtefunktion“

f(x) :=fi

∆xifur xi ≤ x < xi+1, f(x) = 0 sonst.

Zeichnen Sie das Bild der zugehorigen Haufigkeitsverteilungsfunktion F (x) :=

∫ x

−∞f(x) dx.

Welcher Anteil der Unternehmen gibt hochstens 40 T Euro fur Werbung aus? Geben Siedie Obergrenze fur Werbeausgaben an, die 60 % der Unternehmen nicht uberschreiten!

70. Bestimmen Sie fur die Verteilung der vorigen Aufgabe das arithmetische Mittel, denMedian, die Varianz, die Standardabweichung, die Spannweite und den Quartilsabstand.

71. Teilen Sie die Punkteverteilung aus Beispiel 5.2.3 in die Klassen

[0, 10], (10, 15], (15, 20], (20, 30], (30, 35], (35, 42], (42, 50], (50, 60], > 60

ein. Erstellen Sie das zugehorige Histogramm und die Haufigkeitsverteilungsfunktion undstellen Sie diese grafisch dar.Wie viele Klausuren haben mehr als 20, aber nicht mehr als 40 Punkte?Bei welcher Mindestpunktzahl haben 60 % der Teilnehmer bestanden?

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72. In deutschen Texten treten die Vokale mit folgenden Wahrscheinlichkeiten auf:

Vokal e i a u op 0,147 0,064 0,043 0,032 0,018

.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Buchstabe kein e?Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Buchstabe kein Vokal?

73. Fur die Konfektionsgroßen von 2000 reprasentativen Kunden wurden empirisch folgendeHaufigkeiten ermittelt:

Große S M L XLAnzahl 331 505 682 482

.

Geben Sie an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Kunde Große L hat!Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein Kunde Große S oder XL?

74. Zwei (ideale) Wurfel mit Augenzahlen 1 bis 6 werden geworfen. Die Augenzahl des erstenWurfels sei X , die des zweiten Y . Dann sei

A :=”X = Y ”, B :=

”X + Y > 9”, C :=

”X + Y = 7”, D :=

”X + Y gerade”.

(a) Welche dieser Ereignisse sind paarweise disjunkt?

(b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten von A, B, C, D und A ∩ B, A ∪ B, A ∩ C,A ∪ C.

75. Ein bestimmter Schutze trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 0, 2 ins Schwarzeeiner Scheibe. Berechnen Sie (unter der Annahme, daß die Schusse unabhangig sind,) dieWahrscheinlichkeit dafur, daß

(a) er dreimal hintereinander ins Schwarze trifft,

(b) er bei drei Schussen genau zweimal ins Schwarze trifft,

(c) er bei drei Schussen mindestens zweimal ins Schwarze trifft.

(d) Wie oft muß er schießen, damit die Wahrscheinlichkeit, wenigstens einmal ins Schwar-ze zu treffen, großer als 0,95 wird?

76. Ein Backer backt jeden Morgen fur einen Kunden frische Brotchen. Die gewunschte AnzahlX der Bestellung ist zufallig und wir durch folgende Verteilung beschrieben:

p(x) =

110000

fur 1 ≤ x ≤ 10001

500fur 1001 ≤ x ≤ 1400

16000

fur 1401 ≤ x ≤ 2000

0 sonst

.

(a) Zeigen Sie, daß durch p(x) eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gegeben wird.

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(b) Der Backer kann maximal 1500 Brotchen herstellen. Wie groß ist die Wahrschein-lichkeit, daß die Bestellmenge diese Kapazitat ubersteigt?

77. (a) Gegeben sei die Dichtefunktion f(x) =

0 fur x < 1

c · x2 fur 1 ≤ x ≤ 5

0 fur 5 < x

.

Bestimmen Sie c und geben Sie die zugehorige Verteilungsfunktion an!

(b) Gegeben ist die Verteilungsfunktion

F (x) =

0 fur x < 0(x− 3)3

27+ 1 fur 0 ≤ x ≤ 3

1 fur 3 < x

.

Bestimmen Sie zugehorige Dichtefunktion!

78. Gegeben ist folgende Verteilungsfunktion:Welche der folgenden Aussagen ist wahr?

(a) P (X ≤ 4) = 0, 9

(b) P (X ≥ −1) = 0, 8

(c) P (−1 < X < 1) = 0

(d) P (−1 ≤ X < 0) = 0

(e) P (X = 3) = 0, 4

(f) P (X < 1 oder X > 2) = 0, 8

(g) P (X ∈ [2, 3]) = 0, 6

(h) P (X ∈ (3, 5)) = 0, 1

x

F (x)

r

r

r

r

r

−1−2 1 2 3 4 5

1, 0

0, 2

0, 3

0, 9

0, 5

79. Die Zufallsvariable X sei N(1, 8; 2)-verteilt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten

(a) P (X ≤ 2, 44) (b) P (X ≤ −1, 6) (c) P (X ≥ 1) (d) P (2 ≤ X ≤ 10)

80. X sei N(−2; 0, 5)-verteilt. Bestimmen Sie c mit

(a) P (X ≤ c) = 0, 05 (b) P (−c ≤ X ≤ −1) = 0, 5

81. In einer Flaschenfullanlage mit Sollwert 1000 ml ist die tatsachliche Fullmenge einerFlasche eine normalverteilte zufallige Variable mit Standardabweichung σ = 3ml. EineStichprobe vom Umfang n = 50 ergab das Stichprobenmittel x = 999ml. KonstruierenSie ein Konfidenzintervall fur den wahren Mittelwert µ der Anlage mit Wahrscheinlichkeit95%. Kann man aus dem Ergebnis schließen, daß die Maschine im Mittel zu wenig abfullt?

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82. Ein Intelligenztest ergab bei 100 Versuchspersonen einer bestimmten Bevolkerungsgruppeeinen mittleren Intelligenzquotienten von 105 bei einer Standardabweichung von 12. Be-rechnen Sie ein 92%-Vertrauensintervall fur den mittleren IQ µ dieser Bevolkerungsgruppe!Wie sieht ein 75%-Vertrauensintervall aus?Wie sieht ein 92%-Vertrauensintervall aus, wenn die Stichprobe 400 Personen umfaßt?

Standard-Normalverteilung

Tabelliert sind die Werte der Verteilungsfunktion Φ(z) =1√2π

∫ z

−∞e−x2/2 dx.

Fur z < 0 ist die Formel Φ(z) = 1− Φ(−z) anzuwenden.

Beispiel: Φ(−0.21) = 1− Φ(0.21) = 1− 0.5832 = 0.4168.

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.090.0 .5000 .5040 .5080 .5120 .5160 .5199 .5239 .5279 .5319 .53580.1 .5398 .5438 .5478 .5517 .5556 .5596 .5636 .5675 .5714 .57530.2 .5792 .5832 .5870 .5910 .5948 .5987 .6026 .6064 .6102 .61400.3 .6179 .6217 .6255 .6293 .6330 .6368 .6406 .6443 .6480 .65170.4 .6554 .6591 .6627 .6664 .6700 .6736 .6772 .6808 .6844 .68790.5 .6914 .6950 .6984 .7019 .7054 .7088 .7122 .7156 .7190 .72240.6 .7257 .7290 .7323 .7356 .7389 .7422 .7454 .7486 .7518 .75480.7 .7580 .7612 .7642 .7672 .7703 .7733 .7764 .7793 .7823 .78520.8 .7881 .7910 .7938 .7967 .7995 .8023 .8050 .8078 .8106 .81320.9 .8159 .8186 .8212 .8238 .8264 .8289 .8314 .8340 .8364 .83881.0 .8413 .8438 .8461 .8484 .8508 .8531 .8554 .8576 .8599 .86211.1 .8643 .8664 .8686 .8707 .8728 .8749 .8770 .8790 .8810 .88301.2 .8849 .8868 .8887 .8906 .8925 .8944 .8962 .8980 .8997 .90141.3 .9032 .9049 .9066 .9082 .9098 .9114 .9130 .9146 .9162 .91771.4 .9192 .9207 .9222 .9236 .9250 .9264 .9278 .9292 .9304 .93181.5 .9330 .9346 .9358 .9370 .9382 .9394 .9406 .9418 .9429 .94401.6 .9452 .9462 .9473 .9484 .9494 .9506 .9516 .9526 .9536 .95451.7 .9554 .9564 .9572 .9582 .9590 .9599 .9608 .9616 .9624 .96331.8 .9641 .9648 .9656 .9664 .9671 .9678 .9686 .9692 .9699 .97061.9 .9712 .9719 .9725 .9732 .9738 .9744 .9750 .9756 .9762 .97672.0 .9772 .9778 .9783 .9788 .9793 .9798 .9802 .9808 .9812 .98172.1 .9822 .9826 .9830 .9834 .9838 .9842 .9846 .9850 .9854 .98572.2 .9860 .9864 .9868 .9872 .9874 .9878 .9881 .9884 .9887 .98902.3 .9892 .9896 .9898 .9901 .9904 .9906 .9908 .9911 .9914 .99162.4 .9918 .9920 .9922 .9924 .9926 .9928 .9930 .9932 .9934 .99362.5 .9938 .9940 .9942 .9943 .9944 .9946 .9948 .9949 .9950 .99522.6 .9954 .9954 .9956 .9957 .9958 .9960 .9961 .9962 .9963 .99642.7 .9966 .9966 .9968 .9968 .9969 .9970 .9971 .9972 .9972 .99742.8 .9974 .9975 .9976 .9976 .9978 .9978 .9979 .9980 .9980 .99802.9 .9982 .9982 .9982 .9983 .9984 .9984 .9984 .9985 .9986 .9986

z 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.93 .9986 .9990 .9993 .9995 .9996 .9998 .9998 .9999 1.0000 1.0000

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Losung Ubung 10 Mathematik 2 (Bauing./Chem.) SS 2012

67. arithm. Mittel:

1

20(2 · 179 + 4 · 180 + 3 · 181 + 5 · 182 + 3 · 183 + 2 · 184 + 185) = 181, 65.

Median: 7 Wurfel kleiner als 182, 5 gleich 182, 6 großer. Halfte von 20 ist 10, und der 10.und 11. Wurfel haben Festigkeit 182, d.h. der Median ist 182.

Wert ai abs.Hauf. hi ai ∗ hi ai − x (ai − x)2 hi ∗ ()2179, 00 2 358, 00 −2, 65 7, 02 14, 05180, 00 4 720, 00 −1, 65 2, 72 10, 89181, 00 3 543, 00 −0, 65 0, 42 1, 27182, 00 5 910, 00 0, 35 0, 12 0, 61183, 00 3 549, 00 1, 35 1, 82 5, 47184, 00 2 368, 00 2, 35 5, 52 11, 04185, 00 1 185, 00 3, 35 11, 22 11, 22Summe 20 3633 54, 55

Varianz: s2 = 2, 8711, Standard-Abweichung s = 1, 6944.

Spannweite 185− 179 = 6. Quartilsabstand: 25% von 20 Wurfeln sind 5 Wurfel. Heraus-nahme der 5 Wurfel mit der kleinsten Festigkeit bzw. der 5 mit der großten Festigkeitergibt 183− 180 = 3.

15% = 3 Wurfel haben Festigkeit mindestens 184.

68. (a) Erhohung um 100:

arithm. Mittel xneu =1

n

n∑

i=1

(xi + 100) = 5100.

Standardabweichung: sneu =

1

n− 1

n∑

i=1

(

(xi + 100)− (x+ 100))2

= s.

Median: Auch der Mitarbeiter mit dem”mittleren“ Einkommen bekommt 100 mehr,

d.h. zneu = z + 100.Spannweite:

(

(großter Lohn + 100)− (kleinster Lohn + 100))

bleibt gleich.

(b) prozentuale Erhohung:

arithm. Mittel xneu =1

n

n∑

i=1

1, 02 · xi = 1, 02 · 5000 = 5100.

Standardabweichung: sneu =

1

n− 1

n∑

i=1

(

1, 02 · xi − 1, 02 · x)2

= 1, 02 · s.

Median: Relative Einkommensstaffelung andert sich nicht, d.h. zneu = 1, 02 · z.Spannweite:

(

(großter Lohn·1, 02)−(kleinster Lohn·1, 02))

= 1, 02·alte Spannweite.

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69.

Wert ai Kl.-breite h∗i f ∗

i f(x) Mitte a∗i a∗i ∗ h∗i a∗i − x∗ (a∗i − x∗)2 h∗

i ∗ ()2(−∞, 0] − 0 0 0 − 0 0 0 0(0, 10] 10 200 0, 2 0, 02 5 1 −65 4225 845000(10, 50] 40 300 0, 3 0, 075 30 9 −40 1600 480000(50, 100] 50 250 0, 25 0, 005 75 18, 75 5 25 6250(100, 230] 130 250 0, 25 0, 0019 165 41, 25 95 9025 2256250(230,∞) − 0 0 0 − 0 0 0 0Summe 1000 1 70 3587500

T Euro

f(x)

10 50 100 200 230 250

0, 005

0, 0075

0, 01

0, 02 Histogramm

F (x) =

0 x ≤ 0

0, 02x 0 ≤ x ≤ 10

0, 2 + 0, 075(x− 10) 10 ≤ x ≤ 50

0, 5 + 0, 005(x− 50) 50 ≤ x ≤ 100

0, 75 + 0, 0019(x− 100) 100 ≤ x ≤ 230

1 230 ≤ x

T Euro

F (x)

r

r

r

r

r

10 50 100 200 230250

0, 2

0, 5

0, 75

1, 0

Anteil mit hochstens 40 T Euro : F (40) = 0, 2 + 0, 0075 · (40− 10) = 0, 425.Sei x die Obergrenze fur 60%, d.h. x = F (0, 6).

0, 6 = 0, 5 + 0, 005(x− 50) =⇒ x = 70.

70. arithm. Mittel x∗ = 70. Varianz: s2 =3587500

999= 3591, 09, Standard-Abweichung

s = 59, 93.

Median: Z = 50 (Rand von 2 Klassen). Spannweite 230− 0 = 230.

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F−1(0, 25) liegt im Bereich 10 ≤ x ≤ 50:

0, 25 = 0, 2 + 0, 0075(x− 10) =⇒ x25% = 16, 67.

F−1(0, 75) = 100 = x75%.Damit Quartilsabstand x75% − x25% = 83, 33.

71.

Intervall Hauf. hi proz.Hauf. fi δxi Hohe[0,10) 3 6 10 0, 6[10,15) 5 10 5 2[15,20) 4 8 5 1, 6[20, 30) 3 6 10 0, 6[30,35) 9 18 5 3, 6[35,42) 6 12 7 1, 71[42,50) 9 18 8 2, 25[50,60) 8 16 10 1, 6[60,100) 3 6 40 0, 15

F (x) =

0 x ≤ 0

0, 006 · x 0 ≤ x ≤ 10

0, 02 · (x− 10) + 0, 06 10 ≤ x ≤ 15

0, 016 · (x− 15) + 0, 16 15 ≤ x ≤ 20

0, 006 · (x− 20) + 0, 24 20 ≤ x ≤ 30

0, 036 · (x− 30) + 0, 3 30 ≤ x ≤ 35

0, 0171 · (x− 35) + 0, 48 35 ≤ x ≤ 42

0, 0225 · (x− 42) + 0, 6 42 ≤ x ≤ 50

0, 016 · (x− 50) + 0, 78 50 ≤ x ≤ 60

0, 0015 · (x− 60) + 0, 94 60 ≤ x ≤ 100

1 100 ≤ x

Relativer Anteil mit mehr als 20 und hochstens 40 Punkten:

F (40)− F (20) = 0, 0171 · 5 + 0, 48− 0, 24 = 0, 3255.

Absolut 16 Klausuren.Wenn 60% bestehen, haben 40% weniger als x Punkte:

F (x) = 40 =⇒ 30 ≤ x ≤ 35.

0, 4 = 0, 036 · (x− 30) + 0, 3 =⇒ x = 32.

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72. Wahrscheinlichkeit fur”e“ ist p(e) = 0, 147. Gesamtwahrscheinlichkeit ist 1, d.h. die

Wahrscheinlichkeit, daß der Buchstabe kein”e“ ist, ist

p(nicht e) = 1− 0, 147 = 0, 853.

Wahrscheinlichkeit fur einen Vokal ist

p(a oder e oder i oder o oder u) = 0, 043 + 0, 147 + 0, 064 + 0, 018 + 0, 032 = 0, 304,

d.h.p(Konsonant) = 1− 0, 304 = 0, 696.

73. Sei X die Große des Kunden.

p(X =”L“) =

682

2000= 34, 1%.

p(X =”S“ oder X =

”XL“) =

331

2000+

482

2000= 40, 65%.

74. (a) Disjunkt sind A und C, B und C bzw. C und D, d.h. diese Ereignisse schließen sichgegenseitig aus.A und B moglich mit X = 5 oder X = 6, B und D moglich mit X + Y = 10 oderX + Y = 12, und wenn A gilt, gilt immer auch D.

(b)

Es gibt 36 mogliche Wurf-Konstellationen und jede ist gleichwahrscheinlich, d.h. jede hat Wahr-

scheinlichkeit p =1

36:

1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 72 3 4 5 6 7 83 4 5 6 7 8 94 5 6 7 8 9 105 6 7 8 9 10 116 7 8 9 10 11 12

In jeweils 6 Fallen gilt A bzw. B bzw. C, d.h. p(A) = p(B) = p(C) =6

36, in 18, d.h.

der Halfte der Falle D, d.h. p(D) =1

2.

Analog p(A∩B) =2

36, p(A∪B) =

10

36, p(A∩C) = 0 und p(A∪C) = p(A)+p(C) =

2

6.

75. Jeweils Binomialverteilung, d.h. die Wahrscheinlichkeit von k Treffern bei n Schussen ist(mit p = 0, 2)

p(X = k) =

(

n

k

)

pk (1− p)n−k.

(a) Fur n = 3, k = 3 folgt p(X = 3) = 0, 23 = 0, 008.

(b) Fur n = 3, k = 2 folgt p(X = 2) = 3 · 0, 22 · 0, 8 = 0, 096.

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(c) Fur n = 3, k ≤ 2 folgt

p(X ≤ 2) =

2∑

k=0

(

3

k

)

0, 2k 0, 83−k = 1− p(X = 3) = 1− 0, 008 = 0, 992.

(d) Fur beliebiges n ist

p(X ≥ 1) = 1− p(X = 0) = 1−(

n

0

)

0, 20 0, 8n−0 = 1− 0, 8n.

0, 813 = 0, 055, 0, 814 = 0, 044, d.h. kleinstes n mit 1− 0, 8n > 0, 95 ist n = 14.

76. (a) p(x =≥ 0 und

∫ ∞

−∞p(x) dx =

1000

10000+

400

500+

600

6000= 1, d.h. p(x) ist eine Wahr-

scheinlichkeitsverteilung.

(b) Sei x die Bestellmenge. Die zugehorige Verteilungsfunktion ist

F (x) =

0 fur x ≤ 01

10000x fur 1 ≤ x ≤ 1000

1500

(x− 1000) + 0, 1 fur 1001 ≤ x ≤ 14001

6000(x− 1400) + 0, 9 fur 1401 ≤ x ≤ 2000

1 sonst

.

Damit folgt

p(x > 1500) = 1− p(x ≤ 1500) = 1− F (1500)

= 1− (100

6000+ 0, 9) = 1− 0, 916 = 0, 083 = 8, 3%.

77. (a) Mit 1 =

∫ ∞

−∞f(x) dx =

∫ 5

1

cx2 dx =c

3x3∣

5

1=

124c

3folgt c =

3

124.

Verteilungsfunktion: F (x) = 0 fur x ≤ 1, F (x) =

∫ x

1

3

124t2 dt fur 1 ≤ x ≤ 5 und

F (x) = 1 fur x ≥ 5.

(b) f(x) = 0 fur x < 0 und fur x > 3. Fur 0 ≤ x ≤ 3 gilt f(x) = F ′(x) =(x− 3)2

9.

78. (a) p(X ≤ 4) = F (4) = 0, 9, d.h. wahr.

(b) p(X ≥ −1) = 0, 8 ⇔ p(X < −1) = 1 − 0, 8 = 0, 2. Es gilt p(X < −1) = 0 alsofalsch.

(c) p(−1 < X < 1) = p(X < 1)− p(X ≤ −1) = 0, 2− 0, 2 = 0, d.h. wahr.

(d) p(−1 ≤ X < 1) = p(X < 1)− p(X < −1) = 0, 2− 0 = 0, 2, d.h. falsch.

(e) p(X = 3) = p(X ≤ 3)− p(X < 3) = 0, 9− 0, 5 = 0, 4, d.h. wahr.

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(f) X < 1 und X > 2 disjunkt, d.h. p(X < 1 oder X > 2) = p(X < 1) + p(X > 2) =p(X < 1) + 1− p(X ≤ 2) = 0, 2 + 1− 0, 5 = 0, 7, d.h. falsch.

(g) p(2 ≤ X ≤ 3) = p(X ≤ 3)− p(X < 2) = 0, 9− 0, 3 = 0, 6, d.h. wahr.

(h) p(3 < X < 5) = p(X < 5)− p(X ≤ 32) = 0, 9− 0, 9 = 0, d.h. falsch.

79. (a) p(X ≤ 2, 44) = F (2, 44) = Φ(2, 44− 1, 8

2) = Φ(0, 32) = 0, 6255.

(b) p(X ≤ −1, 6) = F (−1, 6) = Φ(−1, 6 − 1, 8

2) = Φ(−1, 7) = 1−Φ(1, 7) = 1−0, 9554 =

0, 0446.

(c) p(X ≥ 1) = 1 − p(X ≤ 1) = 1 − F (1) = 1 − Φ(1− 1, 8

2) = 1 − Φ(−0, 4) =

1− (1− Φ(0, 4) = Φ(0, 4) = 0, 6554.

(d) p(2 ≤ X ≤ 10) = F (10)− F (2) = Φ(10− 1, 8

2)− Φ(

2− 1, 8

2) = Φ(4, 1)− Φ(0, 1) =

1− 0, 5398 = 0, 4602.

80. Sei µ = −2, σ := 0, 5.

(a) p(X ≤ c) = 0, 05 ⇔ F (c) = 0, 05 ⇔ Φ(c− µ

σ) = 0, 05 = 1 − 0, 95 ⇔

Φ(−c− µ

σ) = 0, 95 ⇔ c− µ

σ= −1, 645 ⇔ c = σ · (−1, 645) + µ = 0, 5 ·

(−1, 645) + (−2) = −2, 8225.

(b) p(−c ≤ X ≤ −1) = F (−1) − F (−c) = 0, 5 ⇔ Φ(−1− (−2)

0, 5) − Φ(

−c− µ

σ) =

Φ(2) − Φ(−c− µ

σ) = 0, 9772 − Φ(

−c− µ

σ) = 0, 5 ⇔ Φ(

−c− µ

σ) = 0, 4772 =

1−0, 5228 ⇔ c+ µ

σ= 0, 057 ⇔ c = σ ·0, 057−µ = 0, 5 ·0, 057+2 = 2, 0285.

81. Konfidenzniveau p = 0, 95, σ = 3, n = 50, x = 999.

Zu bestimmen z mit Φ(z) =1 + p

2=

1 + 0, 95

2= 0, 975. Tabelle ergibt z = 1, 96.

Mit ∆ :=z · σ√

n=

1, 96 · 3√50

= 0, 83 ergibt sich das Intervall [x−∆; x+∆] = [998, 17; 999, 83].

Sollwert 1000 nicht im Intervall, d.h. die Maschine fullt im Mittel zu wenig ab.

82. (a) p = 0, 92, σ = 12, n = 100, x = 105.

Zu bestimmen z mit Φ(z) =1 + p

2=

1 + 0, 92

2= 0, 96. Tabelle ergibt mit Interpo-

lation z = 1, 751.

Mit ∆ :=z · σ√

n=

1, 751 · 12√100

= 2, 10 ergibt sich das Intervall [x − ∆; x + ∆] =

[102, 9; 107, 1].

(b) p = 0, 75, σ = 12, n = 100, x = 105.

Zu bestimmen z mit Φ(z) =1 + p

2=

1 + 0, 75

2= 0, 875. Tabelle ergibt mit Interpo-

lation z = 1, 150.

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Mit ∆ :=z · σ√

n=

1, 150 · 12√100

= 1, 38 ergibt sich das Intervall [x − ∆; x + ∆] =

[103, 62; 106, 38].

(c) p = 0, 92, σ = 12, n = 400, x = 105.

Mit ∆ :=z · σ√

n=

1, 751 · 12√400

= 1, 05 ergibt sich das Intervall [x − ∆; x + ∆] =

[103, 95; 106, 05].