Das Jaynes-Cummings-Modell - itp.tu-berlin.de · Einleitung Der Jaynes-Cummings-Hamiltonian...

EinleitungDer Jaynes-Cummings-Hamiltonian

DiagonalisierungDynamik der Besetzungswahrscheinlichkeit

Das Jaynes-Cummings-Modell

Brem SamuelHauer Jasper

Lachmann TimTaher Halgurd

Wachtler Christopher

Projekt in Quantenmechanik II - WS 2014/15

12. Februar 2015

Brem, Hauer, Lachmann, Taher, Wachtler Das Jaynes-Cummings-Modell 1/ 29



Table of Contents

1 Einleitung

2 Der Jaynes-Cummings-Hamiltonian

3 Diagonalisierung

4 Dynamik der Besetzungswahrscheinlichkeit




Table of Contents

1 Einleitung


3 Diagonalisierung





Einleitung

1963 von E.T. Jaynes, F.W.Cummings

Wechselwirkung vonZwei-Niveau-Systems (ZNS)und quantisiertem EM-Feld

Effekte wieVakuum-Rabi-Oszillation,Collapse-Revival Dynamik




Table of Contents

1 Einleitung


3 Diagonalisierung





Der Atom-Hamiltonian

Annahme: elektronisches ZNS

z.B. Valenzelektronen im Atom oder Festkorper

Bekannten Eigenenzustande und -energien

Grundzustand (Ground State) |g〉angeregter Zustand (Excited State) |e〉

”Atom“ Hamiltonian : HAtom = ~

∑i=g ,e

ωi |i〉〈i |




Der EM-Feld-Hamiltonian

Einzelne quantisierte Lichtmode

Hamilton Operator in zweiter Quantisierung:

HFeld = ~ωc†c

Mit zugehorigen Energieeigenwerten En = ~ωn zu Eigenzustanden |n〉(harmonischer Oszillator)




Der Wechselwirkungs-Hamiltonian

Dipol-Naherung: HWW = −d · Ed = dge |e〉〈g |+ deg |g〉〈e|E = αc† + βc

mit Rotating-Wave-Approximation(Energieerhaltung)

HWW = ~g(|g〉〈e| c† + |e〉〈g | c)

g = Kopplungsstarke




Der Jaynes-Cummings-Hamiltonian des Gesamtsystems




Darstellung durch Pauli-Matrizen

ZNS Wellenfunktion als 2D-Vektor :

|ψ〉 = Cg |g〉+ Ce |e〉∧=

(Ce

Cg

)Hamiltonian lasst sich durch Auf- und Absteigeoperatoren darstellen:

HJC = εσ+σ−+~ωc†c+~g(σ−c†+σ+c)

σ+ = 12 (σx + iσy ) =

(0 10 0

)und σ− = 1

2 (σx − iσy ) =

(0 01 0

)




Anregungszahlerhaltung

Anregungszahloperator :

N = c†c + σ+σ−

Betrachte zeitliche Entwicklung von 〈N〉:[HJC , N

]= 0

⇒ 〈N〉 ist Erhaltungsgroße




Table of Contents

1 Einleitung


3 Diagonalisierung





Diagonalisierung

HJC und 〈N〉 haben gemeinsame Basis aus Eigenvektoren

Entwickle nach ungestorten Eigenzustanden |σ, n〉 = |σ〉 ⊗ |n〉 mitσ = g , e

HJC =∑σ,σ′

∑n,n′|σ′, n′〉 hσ

′,n′σ,n 〈σ, n| mit hσ

′,n′σ,n = 〈σ′, n′|HJC |σ, n〉

Außerdem aus der Anregungszahlerhaltung:

hσ′,n′σ,n = 〈σ′, n′|HJC |σ, n〉 = 0 fur |n − n′| > 1




Diagonalisierung

Definiere 2× 2-Matrizen

H(n)JC∧=

(hg ,ng ,n he,n−1

g ,n

hg ,ne,n−1 he,n−1e,n−1

)=

(~ωn ~g

√n

~g√n ε+ ~ω(n − 1)

)Blockdiagonalmatrix:

HJC∧=

0 0 0 0

0 H(1)JC 0 0

0 0 H(2)JC 0

0 0 0. . .




Diagonalisierung des Jaynes-Cummings Hamiltonians

Diagonalisiere H(n)JC fur beliebige n

Bestimme dafur zunachst Eigenwerte von H(n)JC zu den Eigenzustanden

|ψ(n)i 〉:

H(n)JC |ψ

(n)i 〉 = E

(n)i |ψ(n)

i 〉

Liefert:

E(n)± = ~ωn + ~

2

(δ ± Ω(n)(δ)

)Mit dem Frequenz-Detuning: δ = ωge − ωUnd der verallgemeinerten Rabi-Frequenz: Ω(n)(δ) =

√δ2 + 4g2n




Energieeigenwerte des Jaynes Cummings Hamiltonians




Table of Contents

1 Einleitung


3 Diagonalisierung





Zeitliche Dynamik

Entwickle”nackte“ Produktzustande:

|ψ(t)〉 =∑nCe,n(t) |e, n〉+ Cg ,n(t) |g , n + 1〉

Zeitentwicklung im Wechselwirkungsbild :

i~∂t |ψ(t)〉 = HWW |ψ(t)〉

Einsetzen liefert Bewegungsgleichung fur Koeffizienten:

Ce,n = −ig√n + 1Cg ,n

Cg ,n = −ig√n + 1Ce,n




Zeitliche Dynamik

Anfangsbedingung : ZNS angeregt und Feld in beliebigem Zustand

Losung :

Ce,n(t) = C 0n cos(g

√n + 1t)

Cg ,n(t) = −iC 0n sin(g

√n + 1t)

Mit Photonenstatistik p(n) =∣∣C 0

n

∣∣2




Zeitentwicklung der Besetzungsinversion

Betrachte die Besetzungsinversion:

∆ = 〈ne〉 − 〈ng 〉 = 〈σz〉

Einsetzen ergibt:

∆(t) =∞∑n=0

p(n) cos(2g√n + 1t)




Verschiedene Lichstatistiken




Fockzustand

∆(t) = cos(2g√n0 + 1t)




Thermisches Lichtfeld




Koharenter Zustand

”Quantum-Collapse/-Revivals“




Einfluss von Kopplungsstarke g

g=1 g=2




Einfluss der mittleren Photonenzahl 〈n〉

〈n〉 = 20 〈n〉 = 40




Literaturangaben

[1] M. O. Scully: Quantum Optics (Cambridge University Press, 1997).[2] C. Cohen-Tannoudji, J. Dupont-Roc, and G. Grynberg: Atom-photon

interactions: basic processes and applications (J. Wiley, 1992).[3] D. Suter: Vorlesungsskript Laserspektroskopie und Quantenoptik

(Sommersemester 2010).[4] A. Knorr: Vorlesungsskript Theoretische Optik (Sommersemester 2014)




Danke fur die Aufmerksamkeit.


Das Jaynes-Cummings-Modell - itp.tu-berlin.de · Einleitung Der Jaynes-Cummings-Hamiltonian...

Documents

Transcript of Das Jaynes-Cummings-Modell - itp.tu-berlin.de · Einleitung Der Jaynes-Cummings-Hamiltonian...