Das Newton-Verfahren – VorstellungDas Newton-Verfahren – Vorstellung

• Manchmal sind die Funktions-Manchmal sind die Funktions-vorschriften zu kompliziert um vorschriften zu kompliziert um NullstellenNullstellen ausrechnen zu ausrechnen zu können.können.

• Darum hat Sir Isaac Newton Darum hat Sir Isaac Newton das nach ihm benannte das nach ihm benannte Verfahren entwickelt.Verfahren entwickelt.• Mit diesem Verfahren kann Mit diesem Verfahren kann man mit Hilfe von Tangenten in man mit Hilfe von Tangenten in mehreren Schritten eine mehreren Schritten eine Nullstelle finden.Nullstelle finden.

Zur Erinnerung - TangentenZur Erinnerung - Tangenten

xx00

Die Die TangenteTangente einer Funktion einer Funktion f(x) f(x) im Punkt im Punkt (x(x00;f(x;f(x00))))

f(x0)

f(x)y

x

Hat die Steigung Hat die Steigung f ‘(xf ‘(x00) und die ) und die Gleichung:Gleichung:

0 0 0 0'p x f x x x f x 0 0 0 0'p x f x x x f x

Sie nähert die Funktion in einer kleinenSie nähert die Funktion in einer kleinenUmgebung von Umgebung von xx00 gut an. gut an.

Wie funktioniert das Wie funktioniert das Newton-Verfahren?Newton-Verfahren?

xx00

f(x0)

f(x)y

x

Wenn die Wenn die TangenteTangente einer einer Funktion Funktion f(x) f(x) im Punkt im Punkt (x(x00;f(x;f(x00)) )) die Funktion annährt, die Funktion annährt,

x*x*

dann nähert natürlich auch die dann nähert natürlich auch die Tangentennullstelle Tangentennullstelle xx11

die die NullstelleNullstelle x* x* von von f(x)f(x) an. an.

xx1

Nun geht es weiter…Nun geht es weiter…

xx00

f(x0)

f(x)y

xx*x* xx1

xx11 liegt näher an x* als x liegt näher an x* als x00

daher zeichnen wir nun eine daher zeichnen wir nun eine Tangente in Tangente in (x(x1 1 ; f(x ; f(x11)).)).

f(x1)

Mit der neuen Tangentennullstelle Mit der neuen Tangentennullstelle haben wir haben wir x*x* schon fast erreicht… schon fast erreicht…

Nun noch ein bisschen Nun noch ein bisschen Rechnerei…Rechnerei…

0 1 0 0' 0f x x x f x Nullstelle Nullstelle xx11 der Tangentengleichung:der Tangentengleichung:

0 1 0 0' 0f x x x f x Klammer ausmultilpizieren:Klammer ausmultilpizieren:

0 1 0 0 0' ' 0f x x f x x f x

Nun noch ein bisschen Nun noch ein bisschen Rechnerei…Rechnerei…

f‘(xf‘(x00)) xx11 -- f‘(xf‘(x00) )

xx00

++ f(xf(x00))== 00

Nun nach Nun nach xx11 auflösen:auflösen:

--

Durch Addition auf die Durch Addition auf die andere Seiteandere Seite

Durch Subtraktion Durch Subtraktion auf die andere Seiteauf die andere Seite

Durch Division auf Durch Division auf die andere Seitedie andere Seite

Noch etwas vereinfachen…Noch etwas vereinfachen…

f‘(xf‘(x00))xx11

f‘(xf‘(x00) )

xx00

f(xf(x00))==--

f‘(xf‘(x00))

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xx00

fertigfertig

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