Das unbestimmte Integral 7 -...

Kapitel 7. Integralrechnung fur Funktionen einer Variablen

In diesem Kapitel sei stets D ⊆ R, und I ⊆ R ein Intervall.

7.1 Das unbestimmte Integral

(Stammfunktion)Es sei f : I → R eine Funktion. Eine differenzierbareFunktion F : I → R heißt eine Stammfunktion vonf , falls gilt:

F ′ = f .

Die Funktion f heißt dann integrierbar.

Mathematik I – WiSe 2004/2005 701

Beispiel 7.1 (i) Sei f : R → R gegeben durch f(x) = xn, n ∈ N0. Dann ist

F : R → R mit F (x) =1

n + 1xn+1 eine Stammfunktion von f .

(ii) Sei f : R → R gegeben durch f(x) = x2 − 3x + 5. Dann ist F : R → R

gegeben durch F (x) =1

3x3− 3

2x2 +5x eine Stammfunktion von f . Aber auch

G : R → R mit G(x) =1

3x3 − 3

2x2 + 5x + 2 ist eine Stammfunktion von f .

Achtung: Nicht jede Funktion besitzt eine Stammfunktion.

Ist F (x) eine Stammfunktion von f(x), so ist auch F (x)+ c eine Stammfunktionvon f(x) (c ist hier eine Konstante). Weitere Stammfunktionen gibt es nicht, wieder folgende Satz zeigt:


Satz 7.1 Sei f : I → R eine reelle Funktion. Sind F,G Stammfunktionen von f ,dann gibt es eine Konstante c ∈ R mit

G(x) = F (x) + c fur alle x ∈ I.

Mit F (x) ist auch jede Funktion F (x) + c eine Stammfunktion von f(x).

Es gilt also:

Hat die Funktion f eine Stammfunktion F , dann istdie Menge

{F + c | c ∈ R}die Menge aller Stammfunktionen von f .

Der Begriff “unbestimmtes Integral” bedeutet nichts anderes als“Stammfunktion”:


(Unbestimmtes Integral)Sei f : I → R eine reelle Funktion, die eineStammfunktion F besitzt. Dann bezeichnet dasSymbol

∫

f(x) dx

eine beliebige Stammfunktion von f , und es wirdunbestimmtes Integral der Funktion f genannt.Sprechweise: “Integral von f(x) dx.” Manchmalwird auch

∫

f(x) dx = F (x) + c,

geschrieben, wobei c ∈ R eine beliebige Konstanteist. Das unbestimmte Integral ist also nicht eindeutigbestimmt, sondern nur bis auf eine (additive)Konstante.


Es gilt also nach Definition fur jede differenzierbare Funktion F :

∫

F ′(x) dx = F (x) + c .

Beispiel 7.2 Es soll eine Funktion s(x) zur Berechnung der Einkommensteuermit den folgenden Eigenschaften gefunden werden:

(i) s : R≥0 → R≥0 ist stetig.

(ii) Das Existenzminimum ist steuerfrei:

s(x) = 0 fur x ∈ [0, 10000].

(iii) Der Grenzsteuersatz steigt linear bis zu einer gegebenen Einkommensgrenze:

s′(x) =x

200000+

1

20fur x ∈ [10000, 120000].


(iv) Der Grenzsteuersatz ist fur große Einkommen konstant:

s′(x) = 0.65 fur x ≥ 120000.

Den Steuersatz fur x ∈ [10000, 120000] erhalten wir als unbestimmtes Integraluber den Grenzsteuersatz:

s(x) =

∫(

x

200000+

1

20

)

dx =x2

400000+

x

20+ c1

Aus der Stetigkeit von s(x) an der Stelle x = 10000 folgt, dass die Konstante alsc1 = −750 zu wahlen ist. Insbesondere ist dann s(120000) = 41250.

Den Steuersatz fur x ≥ 120000 erhalten wir ebenso als unbestimmtes Integral


uber den Grenzsteuersatz:

s(x) =

∫

0.65 dx = 0.65 · x + c2

Aus der Stetigkeit von s(x) an der Stelle x = 120000 folgt, dass die Konstanteals c2 = −36750 zu wahlen ist.

Die gesuchte Steuerfunktion s(x) hat also die Form

s(x) =

0 fur x ∈ [0, 10000]

x2

40000+

x

20− 750 fur x ∈ [10000, 120000]

0.65 · x − 36750 fur x ≥ 120000

Wir haben erwahnt, dass nicht jede Funktion eine Stammfunktion haben muss.


Es gilt aber:

Satz 7.2 Ist f : I → R stetig, dann besitzt f eine Stammfunktion

Da viele der von uns untersuchten Funktionen stetig sind, haben sieStammfunktionen. Wir listen im folgenden einige auf, wobei wir stets aufdie Angabe der Konstante c verzichten. D bezeichnet den Definitionsbereich.

Die Stammfunktion kann man nicht immer einfach “angeben”, selbst wenn manaus theoretischen Grunden weiß, dass sie existieren muss. Zum Beispiel gibt eskeine elementare Darstellung von

∫

e−x2d.


f(x) D∫

f(x) dx

xnR

1

n + 1· xn+1 n ∈ N0

xαR+

1

α + 1· xα+1 α ∈ R, α 6= −1

1

xR \ {0} ln(|x|)

eαxR

1

αeαx α ∈ R, α 6= 0

axR

1

ln(a)ax a > 0, a 6= 1


f(x) D∫

f(x) dx

sinx R − cosx

cosx R sinx

tan x R \ {(2k + 1)π2 , k ∈ Z} − ln(| cosx|)

cotx R \ {kπ, k ∈ Z} ln(| sinx|)1

cos2 xR \ {(2k + 1)π

2 , k ∈ Z} tanx

1

sin2 xR \ {kπ, k ∈ Z} cotx


f(x) D∫

f(x) dx

1√1 − x2

(−1, 1) arcsinx

−1√1 − x2

(−1, 1) arccosx

1

1 + x2R arctan x

−1

1 + x2R arccot x

Aus der Umkehrung von Differenziationsregeln ergeben sich nunIntegrationsregeln, zum Beispiel


Haben f, g : I → R Stammfunktionen, dann gilt:

∫

λ · f(x) dx = λ

∫

f(x) dx, fur alle λ ∈ R

∫

(f(x) ± g(x)) dx =

∫

f(x) dx ±∫

g(x) dx.

Grundsatzlich kann man sagen, dass die Integration schwieriger ist als dieDifferenziation, die man doch sehr “nach Kochrezept” durchfuhren kann.

Wir geben hier die wichtigen Regeln der partiellen Integration, der Integration

durch Substitution sowie die Integration rationaler Funktionen an (jeweils mitBeispielen). Es sei aber fairerweise zugegeben, dass man heutzutage zumIntegrieren fast immer “Computeralgebrasysteme” (CAS) benutzt. Wichtiger, als


perfekte Integrierer zu werden, ist es zu verstehen, was das unbestimmte Integralist (namlich eine Stammfunktion), und dass es viele Stammfunktionen gibt, diesich aber alle nur durch eine additive Konstante unterscheiden. Wenn Ihnen dasklar ist, durfen Sie beim Integrieren ruhig dem Computer vertrauen.

Partielle Integration.

Seien f, g : I → R differenzierbare Funktionen. Danngilt

∫

f(x) · g′(x) dx = f(x) · g(x) −∫

f ′(x) · g(x) dx.

Beispiel 7.3 Gesucht ist∫

lnx dx.Setze f(x) = lnx und g(x) = x. Dann ist g′(x) = 1, und mit partieller


Integration folgt:

∫

lnx dx =

∫

f(x) · g′(x) dx

= f(x) · g(x) −∫

f ′(x) · g(x) dx

= lnx · x −∫

1

x· x dx

= lnx · x −∫

1 dx

= lnx · x − x + c

= x (lnx − 1) + c,

wobei c ∈ R, wie immer, eine beliebige Konstante ist.


Dieses Beispiel laßt sich verallgemeinern, um eine Stammfunktion zu lnx · xn furn ∈ N0 zu berechnen. Wir geben hier nur das Ergebnis an:

∫

lnx · xn dx =xn+1

n + 1

(

lnx − 1

n + 1

)

+ c.

Beispiel 7.4 Gesucht ist∫

ex sinx dx. Seien f(x) = sinx und g(x) = ex, alsog′(x) = ex. Es folgt


∫

ex sin x dx =

∫

f(x) · g′(x) dx

= f(x) · g(x) −∫

f ′(x) · g(x) dx

= ex sinx −∫

ex cosx dx.

Analog erhalten wir

∫

ex cosx dx = ex cosx +

∫

ex sinx dx.


Somit ist

∫

ex sinx dx = ex sin x −∫

ex cosx dx

= ex sin x −(

ex cosx +∫

ex sinx dx)

= ex sin x − ex cosx −∫

ex sinx dx.

Also

2

∫

ex sinx dx = ex sinx − ex cosx + c

und somit∫

ex sinx dx =ex

2(sinx − cos x) + c.

Integration durch Substitution

Es handelt sich hier um die Umkehrung der Kettenregel:


Sei f : I → R eine stetige Funktion mitStammfunktion F : I → R. Sei g : D → I einedifferenzierbare Funktion auf dem Intervall D. Danngilt

∫

f (g(x)) g′(x) dx = F (g(x)) + c,

wobei c ∈ R eine beliebige Konstante ist.

Beispiel 7.5 Sei f : I → R eine stetige Funktion mit Stammfunktion F ,D ein Intervall und g : D → I differenzierbar. Dann kann man mit derobigen Substitutionsregel die folgenden unbestimmten Integrale bestimmen (dieKonstante c ist wieder weggelassen):

(i)

∫

f(ax + b) dx =1

aF (ax + b), a, b ∈ R, a 6= 0.


(ii)

∫

(g(x))ng′(x) dx =

1

n + 1(g(x))n+1, n ∈ N0.

(iii)

∫

g′(x)

g(x)dx = ln (|g(x)|).

(iv)

∫

g′(x)

(g(x))n dx =

−1

(n − 1) (g(x))n−1 , n ∈ N, n ≥ 2.

(v)

∫

g′(x) eg(x) dx = eg(x).

Beispiel 7.6 (i) Gesucht ist

∫

2

3x − 1dx.


Sei g(x) = 3x − 1, dann ist g′(x) = 3 und daher

∫

2

3x − 1dx =

∫

2

3

g′(x)

g(x)dx

=2

3

∫

g′(x)

g(x)dx

=2

3ln (|g(x)|) + c

=2

3ln (|3x − 1|) + c

= ln 3√

(3x − 1)2 + c.

(ii) Gesucht ist∫

xex2dx.


Sei f(x) = ex und g(x) = x2, also g′(x) = 2x und F (x) = ex. Dann ist

∫

xex2dx =

∫

f(g(x)) · 1

2g′(x) dx

=1

2F (g(x)) =

1

2ex2

+ c

Integration rationaler Funktionen

Rationale Funktionen lassen sich mit Hilfe der Partialbruchzerlegung immerso umformen, dass sich eine Stammfunktion mit den bis jetzt bereitgestelltenVerfahren ermitteln laßt. Wir betrachten also eine rationale Funktion f von derForm f(x) = P (x)

Q(x) mit Polynomen P (x), Q(x), wobei gradP < gradQ gelte. Es sei


hier der Fall betrachtet, dass das Nennerpolynom Grad(Q) viele reelle Nullstellenhat, also Q(x) = (x − x1)

m1 · · · (x − xk)mk mit verschiedenen x1, . . . , xk ∈ R.

Dann hat die Partialbruchzerlegung die Form (vgl. Seite 235)

P (x)

Q(x)=

k∑

i=1

mi∑

j=1

cij

(x − xi)j

mit cij ∈ R. Also treten als Summanden rechts nur Ausdrucke der Formb

(x − a)j

mit j ∈ N auf.Fur j = 1 ist

∫

b

x − adx = b · ln(|x − a|) + c


Fur j ≥ 2 ist∫

b

(x − a)jdx =

−b

(j − 1)(x − a)j−1+ c

Wir illustrieren dies an einem Beispiel:

Beispiel 7.7 Sei f(x) =x4 − 3x2 + 5x + 4

x3 − 3x + 2. Wir wollen

∫

f(x) dx bestimmen.

Da das Nennerpolynom einen kleineren Grad als das Zahlerpolynom hat, fuhrenwir zunachst eine Division mit Rest durch; dies liefert:

f(x) =x4 − 3x2 + 5x + 4

x3 − 3x + 2= x +

3x + 4

x3 − 3x + 2.

Das Nennerpolynom hat x1 = 1 als Nullstelle mit Vielfachheit m1 = 2 undx2 = −2 als Nullstelle mit Vielfachheit m2 = 1. Also ist der Ansatz fur die


Partialbruchzerlegung

3x + 4

x3 − 3x + 2=

3x + 4

(x − 1)2(x + 2)=

c11

x − 1+

c12

(x − 1)2+

c2

x + 2

Nach Multiplikation mit dem Nennerpolynom Q(x) und Koeffizientenvergleicherhalten wir die Gleichungen

0 = c11 + c2 , 3 = c11 + c12 − 2c2 , 4 = −2c11 + 2c12 + c2.

Als Losungen ergeben sich daraus:

c11 =2

9, c12 =

7

3, c2 = −2

9.


Damit erhalten wir fur das gesuchte Integral

∫

f(x) dx =

=

∫

x dx +

∫

3x + 4

x3 − 3x + 2dx

=x2

2+

∫

(

29

x − 1+

73

(x − 1)2−

29

x + 2

)

dx

=x2

2+

2

9· ln(|x − 1|) − 7

3(x − 1)− 2

9· ln(|x + 2|) + c

=x2

2− 7

3(x − 1)+ ln

9

√

(

x − 1

x + 2

)2

+ c

7.2 Das bestimmte Integral


Sei f : [a, b] → R eine auf [a, b] definiertexx Funktion. WennF : [a, b] → R eine Stammfunktion ist, d.h. F ′(x) = f(x) fur allex ∈ (a, b), dann heißt

∫ b

a

f(x)dx = F (b) − F (a)

das bestimmte Integral von f uber dem Intervall [a, b]. Weiter heißtx die Integrationsvariable, f(x) der Integrand, und a, b heißen(untere und obere) Integrationsgrenzen. Wir sagen, die Funktionist auf dem Intervall [a, b] integrierbar.


Ist f auf [a, b] und auf [b, c] integrierbar, so nennen wir f auch auf[a, c] integrierbar mit

∫ c

a

f(x)dx =

∫ b

a

f(x)dx +

∫ c

b

f(x)dx

In diesem Fall muss die Funktion f auf [a, c] keine Stammfunktionhaben!

Warnung: Diese Definition stimmt nicht mit der in vielen Mathematikbucherngegebenen Definition der Riemann-Integrierbarkeit uberein. Fur alle in derOkonomie auftretenden Funktionen, insbesondere fur alle stetigen Funktionen,stimmt unsere Definition aber mit der Definition der Riemann-Integrierbarkeituberein.


Die anschaliche Bedeutung des Integrals ist die einer Flache. Wir nehmenf(x) ≥ 0 fur alle x ∈ [a, b] an. Gesucht ist der Inhalt der Flache, die durch denGraphen der Funktion und die x-Achse begrenzt wird.

Wir benutzen im folgenden fur F (b) − F (a) auch die Bezeichnung

F (x)∣

∣

∣

b

a


� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

a b

f

y

x

Man kann zeigen, dass dieser Flacheninhalt fur stetige Abbildungen f mit f(x) ≥ 0

fur alle x ∈ [a, b] genau∫ b

af(x)dx = F (b) − F (a) ist. Gilt f(x) ≤ 0 fur alle

x ∈ [a, b], dann ist das Integral∫ b

af(x)dx ≤ 0 und der negative Wert des Integrals

ist der Flacheninhalt.

Ist f in einigen Bereichen negativ, so werden die entsprechenden Bereiche im


Integral negativ gewichtet.� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

x

a - b

-

++

Das Integral ist also die Summe der Flacheninhalte oberhalb der x-Achse minusden Flacheninhalten unterhalb der x-Achse.

Die Berechnung des bestimmten Integrals ist in allen uns interessierenden Fallenim Prinzip nicht schwieriger als die Berechnung unbestimmter Integrale: Es geht


“nur” darum, Stammfunktionen zu bestimmen.

Beispiel 7.8 (i)∫ 1

0

x dx =1

2x2∣

∣

∣

1

0=

1

2

(ii)∫ 3

2

1

t − 1+ t dt = (ln(t − 1) +

t2

2)∣

∣

∣

3

2=

5

2+ ln 2 ≈ 3, 2

(iii) Sei f(x) = lnx. Dann ist F (x) = x lnx − x eine Stammfunktion von f . Alsoist

∫ 2

1

lnx dx = F (x)∣

∣

∣

2

1= F (2) − F (1) = 2 ln 2 − 1 ≈ 0, 4 .


(iv) Sei f(x) = 1x. Dann ist

∫ e

1

1

xdx = lnx

∣

∣

∣

e

1= ln e − ln 1 = 1 .

(v) Sei f(x) = sin(x), dann ist

∫ 2π

0

f(x) dx = − cos(x)∣

∣

∣

2·π

0= 0

(vi) Sei f(x) = cos(x), dann ist

∫ 3π/2

0

f(x) dx = sin(x)∣

∣

∣

3π/2

0= −1


In der folgenden Skizze sind die Graphen dieser Funktionen gezeichnet (in derReihenfolge (i), (ii), (iii), (iv), (v), (vi) von links oben nach rechts unten). MachenSie sich in jedem Fall bitte klar, welchen Flacheninhalten das Integral entspricht.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

0

1

2

3

4

y

2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

t


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

t

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

y

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6

t

–1

–0.5

0

0.5

1

1 2 3 4 5 6

x

–1

–0.5

0

0.5

1

1 2 3 4

x


(Eigenschaften bestimmter Integrale)Sei f : [a, b] → R eine integrierbare Funktion.

•∫ a

af(x) dx = 0.

• Ist a > b, dann setzen wir

∫ b

a

f(x) dx = −∫ a

b

f(x) dx

• Fur alle c ∈ R gilt:

∫ c

a

f(x) dx +

∫ b

c

f(x) dx =

∫ b

a

f(x) dx .


• Sei g : [a, b] → R eine weitere integrierbare Funktion. Ist g(x) ≤f(x) fur alle x ∈ [a, b], dann gilt

∫ b

a

g(x) dx ≤∫ b

a

f(x) dx

Es ist nicht ganz einfach, sich die Bedeutung des Integrals klarzumachen, wennes nicht um eine Flachenberechnung geht. Es geht vielleicht so: Sie berechnenzu einem Zeitpunkt t = a einen Funktionswert F (a). Das kann z.B. die AnzahlArbeiter sein, die ein Betrieb beschaftigt, aber auch die Menge des in einemLager vorratigen Erdols. Wenn Sie nun zu jedem Zeitpunkt t ∈ [a, b] wissen,wie sich F andert, wenn Sie also F ′(t) kennen, dann kann man sich fragen,


was denn F (b) ist. Wir nennen F ′(t) = f(t). Anschaulich ist klar, dass manF (b) bestimmen kann, denn F (a) ist ja bekannt und die Anderungen sind auchbekannt! Mathematisch ist dies (im wesentlichen) das Integral, denn

F (b) − F (a) =

∫ b

a

f(t) dt.

Das bestimmte Integral auf dem Intervall [a, b] der Grenzfunktion (Ableitung)einer Funktion F ist die Differenz F (b) − F (a).


Beispiel 7.9 Die momentane Nachfrage nach einem Gut werde durch die

Funktion f(t) =1000

(1 + t)2beschrieben. Die momentane Nachfrage ist die

Grenzfunktion der Gesamtnachfragefunktion. Die Gesamtnachfrage F (T ) fureinen Zeitraum [0, T ] ist gegeben durch

F (t) =

∫ T

0

f(t) dt =

∫ T

0

1000

(1 + t)2dt

Um diese Gesamtnachfrage zu berechnen, bestimmen wir zunachst eineStammfunktion von f . Mit g(t) = 1 + t erhalten wir:

∫ T

0

1000

(1 + t)2dt = 1000

∫ T

0

g′(t)

(g(t))2dt = −1000

g(t)+ c


Also ist∫ T

0

1000

(1 + t)2dt = −1000

1 + t

∣

∣

∣

T

0=

1000 T

1 + T

Sind in einem Lager zunachst a < 1000 Stucke des Gutes vorhanden, so ist dasLager leer zum Zeitpunkt T mit

a =1000 T

T + 1, d.h. zum Zeitpunkt T =

a

1000 − a

7.3 Uneigentliche Integrale

Ist eine der Integrationsgrenzen unendlich oder ist die zu integrierende Funktionan den Integrationsgrenzen unbeschrankt, dann sprechen wir von uneigentlichenIntegralen. Drei Falle sind zu unterscheiden:


(Uneigentliche Integrale I)Sei f : [a,∞) → R eine stetige Funktion. Falls der Grenzwert

limR→∞

∫ R

a

f(x) dx

existiert, so schreiben wir dafur

∫ ∞

a

f(x) dx = limR→∞

∫ R

a

f(x) dx.

Analog wird das Integral∫ b

−∞ f(x) dx fur eine Funktion f :(−∞, b] → R definiert.


Beispiel 7.10 Gesucht ist, falls existent,

∫ ∞

1

1

x2dx. Es ist

∫ R

1

1

x2dx =

−1

x

∣

∣

∣

R

1= 1 − 1

R.

Also erhalten wir

∫ ∞

1

1

x2dx = 1 .


(Uneigentliche Integrale II)Sei f : (a, b] → R eine stetige Funktion. Falls der Grenzwert

limε↘0

∫ b

a+ε

f(x) dx

existiert, dann schreiben wir dafur

∫ b

a

f(x) dx = limε↘0

∫ b

a+ε

f(x) dx.

Analog wird das Integral∫ b

af(x) dx fur eine Funktion f : [a, b) → R

definiert.


Beispiel 7.11 Gesucht ist, falls existent,∫ 1

01√x

dx. Es ist

∫ 1

ε

1√x

dx = 2x12

∣

∣

∣

1

ε= 2

(

1 −√

ε)

.

Also erhalten wir

∫ 1

0

1√x

dx = 2.


(Uneigentliche Integrale III)Seien a, b ∈ R ∪ {±∞}, a < b, und sei f : (a, b) → R eine stetigeFunktion. Sei nun c ∈ (a, b). Falls die beiden Grenzwerte

limα↘a

∫ c

α

f(x) dx und limβ↗b

∫ β

c

f(x) dx

existieren, dann schreiben wir

∫ b

a

f(x) dx = limα↘a

∫ c

α

f(x) dx + limβ↗b

∫ β

c

f(x) dx.


Beispiel 7.12 Wir bestimmen

∫ 1

−1

1√1 − x2

dx

Es istlimα↘−1

∫ 0

α1√

1−x2dx + limβ↗1

∫ β

01√

1−x2dx

= limα↘−1 (arcsin(0) − arcsin(α))

+ limβ↗1 (arcsin(β) − arcsin(0))

= − limα↘−1 arcsin(α) + limβ↗1 arcsin(β)

= −(−π2) + π

2 = π.


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