TECHNISCHE MECHANIK l (1980) Heft l

Manuskripteingang:4.4. 1980

Das logarithmische Wandgesetz turbulenter Grenzschichten

bei positiven Druckkennzahlen

M. Hoffmeister

Die Auswertung einer Reihe von Experimentalarbeiten zeigt die annähernde Konstanz des logarithmischen Wandgesetzes bis zu mäßigen

positiven Druckkennzahlen [2]. Dieser Sachverhalt kann durch die Einführung einer mit der Wurzel aus dem Verhältnis der lokalen

Schubspannung zur Wandschubspannung modifizierten Mischungswegverteilung oder einer unveränderten Mischungswegverteilung nicht

ausreichend erklärt werden. Eine neuartige Abschlufihypothese liefert unter Einbeziehung gewisser Wandrauhigkeitseffekte einfache

explizite Näherungsbeziehungen für die wandnahen Mischungswegverteilungen mit der Druckkennzahl als Parameter. Damit und unter

Berücksichtigung der von der Druckkennzahlabhängigen Lage des Wendepunktes im mittleren Geschwindigkeitsprofil kann das beobach-

tete Verhalten des logarithmischen Wandgesetzes approximiert werden.

O. Abgrenzung und Problemstellung

In der Theorie turbulenter Wandgrenzschichten nimmt

das logarithmische Wandgesetz nach wie vor eine zen-

trale Stellung ein. Es wird gewöhnlich in der Form

ip = Alnn + B (0.1)

mit den Ähnlichkeitskoordinaten

xzvän =.. . (0.2)

V

‘p:

o<*l

OI

angegeben. Hierin bedeuten El die mittlere Geschwindig-

keit in der Hauptströmungsrichtung, x2 den Wand-

abstand, V(> 0) die kinematische Zähigkeit des Mediums

und v; (> 0) die Wandschubspannungsgeschwindigkeit.

Die folgenden Ausführungen beziehen sich auf zwei-

dimensionale stationäre Grenzschichtentwicklungen ent-

lang ungekrümmter Wände ohne äußere Massenkräfte.

Das Strömungsmedium soll inkompressibel, homogen,

isotherm und von Newtonschem Charakter sein.

Herleitung und Begründung von (0.1) können auf unter-

schiedliche Weise vorgenommen werden, stets treten

zwei von vornherein nicht näher bestimmte Parameter A

und B auf. Während man für A — oft auch als reziproke

von-Kzirmein-Konstante eingeführt —- unabhängig von der

Wandrauhigkeit empirische Werte von 2,5 i 0,4- findet,

ergibt sich bei hydraulisch glatten Wänden ein Bereich

der experimentellen Befunde für B von 5,0i 1,3 [l].

Darüber hinaus hängt der additive Parameter von Größe

und Art einer etwa vorhandenen Wandrauhigkeit ab.

Über die Auswirkungen von Gradienten des statischen

Druckes in der Hauptströmungsrichtung— vor allem,

wenn sie positiv sind — und von gleichgerichteten

Beschleunigungskräften auf (0.1) gibt es zwei unter-

schiedliche Konzeptionen, die in [2] einer näheren

Betrachtung unterzogen worden sind. Die unmodifizierte

Mischungswegkonzeption, die z. B. in [3] konsequent

angewandt wird, führt zu einer Veränderung von (0.1)

im gesamten wandnahen Bereich.

Demgegenüber steht die Wandgesetzkonzeption, die von

einer unveränderten Gültigkeit von (0.1) im wandnahen

Bereich ausgeht, wobei mit zunehmenden Gradienten

des statischen Druckes und —gegebenenfalls— ent-

sprechenden Beschleunigungskräften lediglich ein wach-

sendes Eindringen der Außen- oder Mittengesetzmäßig-

keiten der Grenzschichten in die wandnahen Zonen zu

verzeichnen ist. Auf der Grundlage verschiedener Experi-

mentalarbeiten gelangen die Autoren in [2] zu dem

Schluß, daß die Wandgesetzkonzeption umfassender

anwendbar ist als die unmodifizierte Mischungswegkon—

zeption. Führt man die Mischungswegdefinition in

dimensionsloser Form mit

1+2v v_ = _ n z (0.3)

v3 vä( ) m d7)

ein, so folgt mit (0.1)

*

1+ = i n L. (0.4)

m A v3

Hierin bedeuten

r 1/2 l v*

v* =( _) (>0);1fn= m 0

p v

mit T als turbulenter Schubspannung, lm als Mischungs-

weg und p(> 0) als Dichte des Mediums.

-x-

Nur im Falle T E l ‚ d. h. bei verschwindenden Gra-

v0

dienten des statischen Druckes und verschwindenden

Beschleunigungskräften stimmt (0.4) mit dem üblichen

Mischungswegansatz

771+ : __ (0.5A )

überein. Wir wollen

+ + V*

als modifizierten Mischungsweg für das Gebiet des loga-

rithmischen Wandgesetzes bezeichnen (Index m).

Während 1+ nach (0.5) mit festem A unabhängig von

Druck- und Beschleunigungskräften ist und seine Anwen-

95

vit-

dung be1 F 5F l

0

zu einer Veränderung von (0.1) führt— z. B. [3] —,

liefert der modifizierte Mischungsweg I; nach (0.6) bei

festem A stets die Gesetzmäßigkeit (0.1). Allerdings

kann daraus für den letzten Fall nicht— wie in [2]

geschehen — die Folgerung einer Äquivalenz zwischen

(0.1) und (0.6) gezogen werden; denn die auftretende

Integrationskonstante B kann zunächst durchaus noch

von druck- und beschleuniglmgsabhängigen Parametern

beeinflußt werden. Anders ausgedrückt, nur wenn die

mittlere Geschwindigkeitsverteilung von der Wand zum

Gültigkeitsbereich des logarithmischen Wandgesetzes hin

ebenfalls von Druck- und Beschleunigungswirkungen —

zumindest in ausreichender Näherung— unberührt

bleibt, ist die Äquivalenz zwischen (0.1) und (0.6) voll-

ständig. Mit dieser Problematik beschäftigt sich die

Arbeit im Folgenden.

l. Zur Anwendung des modifizierten Mischungs-

weges auf die wandnahen Schichten

Bezeichnen wir den Verknüpfungspunkt zwischen der

nuttleren Geschwindigkeitsverteilung in den wandnahen

Schichten und dem logarithmischen Wandgesetz mit 171,

so findet man in der Fachliteratur Angaben

111 ß 30+ 70. Für das Intervall 0<n S111 können die

konvektiven Beschleunigungsglieder in der Bewegungs-

gleichung mit guter Näherung vernachlässigt werden —

vergl. [2] — und man erhält in dimensionsloser Form

T 46 2

V <— = (T) = 1 + an (0<n~ 171) (1.1)

’0 V0

mit der wandbezogenen Druckkennzahl

1 df)

a=— ——v*‘3v, 1.2p dxl( o) ( )

die aus dem Gradienten des mittleren statischen Druckes

Rxl) in der Hauptströmungsrichtung x1 gebildet wird.

Für voll entwickelte turbulente Couetteströmungen gilt

(1.1) exakt über den ganzen Kanalquerschnitt. Beton:

werden muß, daß hier und im folgenden mit 1' dir

gesamte Scherspannung, gebildet aus turbulenten und

viskosen Anteilen, bezeichnet wird. Damit folgt anstelle

von (0.3)

_T_ :(.V:)2 = (1+1+2Ef)i€. (1.3)10 v3 m dn dn

Eine einfache Umstellung liefert aus (0.6), (1.3)

d 1 * 4 1/2

i=————— (—1+(1+41+2(v—)) )(1.4)d1] +2 v* 2 v3 )

21V'X‘

0

wobei nur das physikalisch sinnvolle Vorzeichen der

d

Wurzel verwendet wird >0). Ohne Modifikation

l7

des Mischungsweges würde sich

96

d—n<dn<dn

d (I) l -x- 1/2

i = (-1+(1+4I*2<1’—>2)an 21+2 v3

) (1.5)

ergeben, wobei der obere Index an «p zur Unterscheidung

von (1.4) dient. +

Unabhängig davon, welcher spezielle Ansatz für l

genutzt werden soll, erhält man für große l: asympto-

tlsch aus (1.4), (1.5) entsprechend dem Übergang 1n das

Gebiet des logafithnuschen Wandgesetzes

11m 2‘5 N (1.6)] —>oo dn

hm 2951).. 1_ V: (1.7)]+—>oo d1] 1+ v3

Fiir kleine l+ folgt analog

lim if = (1.3)

1+ +0 dn vg’

_ (1) 1:-

11m d” = " (1.9){++03

also eine Übereinstimmung bei Annäherung an die—

hydraulisch glatte — Wand. Offenbar hängt die Neigung

der mittleren Geschwindigkeitsprofile in der zähen

Unterschicht und im Übergangsbereich wegen (1.1) stets

von a ab.

'11"

Für a: 0, d. h. 1*- E 1, liefern (1.4)‚(1.5) das gleie.V

0

che Resultat

d (2) 1 1/2

J— — (-1 + (1+4f‘2) ) . (1.10)dTI 21+2

Die zugehörige mittlere Geschwindigkeitsverteilung,

gekennzeichnet durch den oberen Index (2), eignet sich

daher als Vergleichsnormal. Sie müßte auch als repräsen-

tativ für ein universelles, (lt-unabhängiges Gesetz im

gesamten wandnahen Bereich angesehen werden.

Unter Verwendung des bekannten und gebräuchlichen

van Driestschen Mischungswegansatzes fiir die wandnahe

Strömung

1+177?

— X 1 — exp( — :))

kann auf der Grundlage von (1.4), (1.5), (1.10) die

Ungleichung

d(1>>d >d<2) *>‘0 ‘0 ‘p (L 2 1) (1.12)

*

V0

(a = const) (1. 11)

fiir jedes 17 bewiesen werden. Hieraus ergibt ch mit (l. l)

d (1) d d (2) > 0,—‘" 212.35 (n ) (1.13)dn dn dn a ä 0

und weiter wegen (1.6) lediglich asymptotisch

. d . d (2)

Die Integration mit der gemeinsamen Randbedingung

‚2:0., ¢(1)=¢=¢<2)=0 (1.15)

liefert aus (1.13)

(n > 0.

¢(1)(n) ä WO?) ä Wm), 01%0 ) (“6)

d. h. der modifizierte Mischungsweg entsprechend (0.6)

führt im Vergleich zu (1.5) zwar zu Lösungskurven, die

näher bei einer als universell gedachten Geschwindig-

keitsverteilung — hier cp(2)(n) — liegen, sie fallen jedoch

nicht mit dieser zusammen. Für große n schlägt sich

dieser Sachverhalt in

B(oz) z 13(2) ((1 ä 0) (1.17)

nieder, wobei 8(2) die zu (1.10) gehörige additive Kon-

stante im logarithmischen Wandgesetz darstellt.

Insgesamt ist festzustellen, dal3 mit Hilfe des modifi-

zierten Mischungswegansatzes die Druckzahlabhängigkeit

der mittleren Geschwindigkeitsprofile im gesamten

wandnahen Bereich, also für die zähe Unterschicht, für

das Übergangsgebiet und den Bereich des logarith-

mischen Wandgesetzes, zwar herabgesetzt aber nicht

beseitigt werden kann. Für den Fall der verschwindenden

Wandschubspannung (70 r’ 0) entartet der Ansatz (0.6).

Abgesehen von der Frage, in welchen Grenzen sowie mit

welcher Genauigkeit B in (0.1) als unabhängig von a

angesehen werden kann, bleibt die physikalische

Deutung dieser Erscheinung zunächst offen. Im folgen-

den wird eine Erklärung mit Hilfe einer neuartigen

Abschlußhypothese versucht.

2. Schlußfolgerungen aus Potenzgesetzen für die

wandnahen Schichten

Eine neuartige Abschlußhypothese für ausgebildete zwei-

dimensionale turbulente Scherströmungen hat phänome-

nologische Aussagen über die lokal definierte Ähnlich-

keitskennzahl

— 2— .1we: 37' BA T_1(8 c1) : v+vg

6x2 6x2 6x3 V+VT

(2.1)

zum Inhalt [4], [5]. Hierin bedeuten V9 die Wirbelzähigv

keit für den Rotationstransport und v7. die Wirbelzähig—

keit für den Impulstransport. Für die wandnahen

Schichten — Index w —— ergeben sich mit der einfachen

Annahme, daß K: unabhängig von x2 ist, Potenzgesetze

für die mittleren Geschwindigkeitsverteilungen

_1 1 -1 K3;¢=a (K—‘t+1) (1+om) -1 . (2.2)

(0 <72 <n1) '

Dabei fanden (1.1) und die Randbedingungen

d

n=0"\ WO; i=1 (2.3)

dn

Verwendung. Ferner können gewisse Typen von Rauhig-

keitsströmungen in die Betrachtungen einbezogen

werden, wenn Druckkennzahl und dimensionsloser

Wandabstand durch

_ 1 d5 66.3 . _ as -1a — —— — (12+ v1.0)v0 , n — x2 v0 (11+ v1.0) (2.4)p dxl

definiert sind [5]. Die Wirbelzähigkeit für den Impuls-

transport an der rauben Wand v1.0 ergibt sich aus

1’

Hum = E (1 + (1 +4Re§)1/2) (2.5)

mit der Rauhigkeitsreynoldszahl Res = 7Svä V'l .

S (> 0) ist eine charakteristische Abmessung der Rauhig-

keit und

7 (> 0) hängt von der Geometrie der Rauhigkeit ab.

Untersucht man den Grenzfall a -> 0 für (2.2), so folgt,

daß K: ~ 01 für betragsmäßig kleine a-Zahlen gelten

muß [5].

Wird für große positive Druckzahlen lim w = — l ge-

a->oo

setzt, so kann der einfache phänomenologische Ansatz

P a„ = 1

(2.6)

Kw l—Ploz

als Ergänzung zu (2.2) konstruiert werden Einsetzen

in (2.2) liefert

cp=1p(a;n)=Pl[(1+an) la—l]. (2.7)

(0<n<n1)

An n1 soll (2.2) bzw. (2.7) in ein logarithmisches Gesetz

der Form (0.1) übergehen. Prinzipiell können die Para-

meter A, B beide druckzahlabhängig sein. Nach dem vor-

liegenden Beobachtungsmaterial scheint jedoch der

mögliche Einfluß auf A bei hinreichend großen Rey-

noldszahlen der betrachteten Grenzschichtströmungen,

die für die Existenz einer logarithmischen Schicht vor-

ausgesetzt werden müssen [6], geringer als auf B zu sein

[2]. Wir nehmen A im folgenden als konstant an, vergl.

auch

du .Die Stetigkeit der Ableitungen —d—— an n1 liefert

n

1

K*

Tll (1+ou71) w = (2.8)

und die Stetigkeit der Funktionen

1——+1

f*(at)=oz'1(—l +1)'1{(1+an1)K‘I' —1}-Alnn1,

K: ‘(2.9)

also die Druckzahlabhängigkeit der additiven Konstanten

in (0.1), wobei a0) = B gelten soll.

Die Auswertung der Beziehungen (2.8), (2.9) mit (2.6)

unter Verwendung der Konstanten P1 = — 16,7; A = 2,5

zeigt Bild 1. Abweichend von [2] fällt EG!) schon bei

mäßig positiven a—Zahlen fühlbar ab. Nach dem in

[2] zitierten empirischen Material muß SGI]

aber bis zu a z 0,08 annähernd konstant

sein und für größere Werte ansteigen. Offenbar

97

/ Bild 1

/ Einflufigrößen des logarithmischen

- -—-- é-sn _ Wandgesetzes in Abhängig-

é 8keit von der Druckkkennzahl

6

'70

l.

2

0

‘2 ‘ ' ' I - 20

0.001 0.002 0.0 01. 0.01 00 2 0.01. 0 1

0‘ _D-

werden mit dem Potenzgesetz (2.2) bzw. (2.7) in Ver» (12¢

bindung mit (2.6) die mittleren Geschwindigkeitsver- Aus (2.11) folgt für die Unterschicht (1—172 E a.

teilungen in den wandnahen Schichten nur bis zu wenig

von null verschiedenen positiven Druckzahlen aus-

reichend beschrieben. Eine nähere Betrachtung zeigt,

daß eine Ursache in der Vernachlässigung des wandnahen

Wendepunktes in <p(a; n) für a > 0 durch die Annahme

eines von n unabhängigen K: im ganzen Intervall

O < n < n1 zu suchen ist. Speziell für hydraulisch glatte

Wände (Res -> 0) gilt streng genommen, wenn der

Spezialfall (x = O einmal ausgeklammert wird, wegen

(2.1) mit an der Wand versehwindenden Wirbelzähig—

keiten

lim K3; = K30 = 1 , (2.10)

n -> 0

also ein i. a. von (2.6) verschiedener Wert. Obwohl dazu

noch weitere Untersuchungen erforderlich sind, soll hier

angenommen werden, daß (2.10) für die in diese

Betrachtungen einbezogenen Rauhigkeitsströmungen

auch zutrifft.

Eine einfache Möglichkeit zum näherungsweisen

Studium des mit dem wandnahen Wendepunkt ver-

bundenen Effektes besteht in der Abtrennung einer

dünnen, der Wand benachbarten Schicht von den Gesetz-

mäßigkeiten nach (2.2) bzw. (2.7) mit (2.6). Für diese

Unterschicht soll wegen (2.10) K": El gelten. Die

zugehörige mittlere Geschwindigkeitsverteilung unter

Einhaltung der Randbedingungen kann sofort aus (2.2)

zu

go: 21—“ [(1+Om)2 -1]=n(1+%n) (0<n<n0)

(2.11)

erhalten werden. Mit n0 wird der Verknüpfungspunkt

zum Gültigkeitsbereich von (2.6) im Intervall

n6 < n < 111 bezeichnet.

98

Da streng genommen — zumindest für hydraulisch glatte

Wände _— jede mittlere Geschwindigkeitsverteilung die

B d. d2we m n —- = a

erfüllen muli, stellt (2.11) eine Approximation dar, die

an n = 0 die korrekte Krümmung hat. An dieser Stelle

muß darauf verwiesen werden, daß allein schon wegen

der Druckzahlabhängigkeit der mittleren Geschwindig-

keitsverteilungen für n -> 0 eine exakte Invarianz auch

bei betragsmäßig kleinen a-Werten nicht vorliegen kann.

Es wird sich stets nur um eine annähernde Druckzahl-

unahhängigkeit handeln.

Ohne Berücksichtigung der Randbedingungen an n = 0

lautet (2.2)

1 +1

—1 1 '1 E35cp=D1a 6+1) (1+an) —1 +D2.

W (2.12)

Die Integrationskonstanten D1; D2 dienen zur Ver-

knüpfung mit (2.11) an n0 unter Einhaltung der Stetig-

d np

keit von «p und ————

dn

Esergibtsich

1

1+a 2 1+0: E”

«p=__("0) ( n)w _1 +

1 1+oz'n0

a(——+1) (2.13)Kir

W

Bild 2

Wandnahe mittlere Geschwindigkeitso

verteilungen in Abhängig-

keit von der Druckkennzahl

2.5ln7s $0

0000 nach (HD)

8 0°00 nach (LL ) n (“Ihn-30

AA“ nach (1.5)

l. _—__-} nach (2.11).(z.13)12.u)

—-—-—- mus-6.0

0 I I l I l l

Man überzeugt sich leicht, daß an n0 ein Krümmungs—

sprung im Profil der mittleren Geschwindigkeiten auf-

tritt, der eine Folge der jeweils konstanten Kä-Werte in

den Teilintervallen ist. Für a > 0 ist damit auch ein Vor—

zeichenwechsel in

d2 cp

dn2

verbunden, der den Wendepunktcharakter verdeutlicht.

an 120

Die Verknüpfung mit dem logarithmischen Wandgesetz

ezAlnn+i5(a) (n1<n<n2) (2.14)

liefert anstelle von (2.8), (2.9) jetzt

1

l. ___1K* ’X’

n1 (1 + anl) w = A (1 + ano) w (2.15)

und

l

__ + 1

Kit

1 + a 2 1 + 01 W

ä<a : > — 1]+

1 + (1720

a (—_—6‚r + 1)

Kw

a

+77,30 +—2— n0)—Aln 171. (2.16)

Die obere Grenze des Gültigkeitsbereiches n2 hängt von

den konkreten Strömungen im Aufsen- bzw. Mitten—

bereich ab und soll hier nicht weiter erörtert werden.

Aus (2.15), (2.16) mit (2.6) kann 720 = 710(01) für

B(oz) E = B berechnet werden. Bild 1 enthält das

Ergebnis für A = 2,5; B = 6,0; Pl = w 16,7. Offenbar

kann die „Wanderung“ des Wendepunktes in Abhängig-

keit von der Druckzahl zu einer annähernden Konstanz

des additiven Parameters im logarithmischen Wandgesetz

für ein gewisses Druckzahlintervall führen. Dabei ist

bemerkenswert, daß n" für 0<ag 0,08 maximal den.

100 200

”7

Wert 1 nur wenig überschreitet. Im Rahmen der derzeitig

verfügbaren Meßgenauigkeiten ist die Funktion 170(61)

direkt nicht überprüfbar. Einfacher wäre eine Verifika-

tion des vorgestellten Modells über das Verhalten des

Verknüpfungspunktes n1 = 171(a) denkbar. Allerdings

würden sich auch hier hohe Anforderungen an die Mefä—

genauigkeit ergeben. Bild 1 zeigt eine Zunahme für wach-

sendes a im Vergleich zu (2.8), (2.9).

Verdeutlicht wird der gesamte Sachverhalt noch einmal

im Bild 2. Die beobachtete annähernde Konstanz der

additiven Konstanten im logarithmischen Wandgesetz

(0.1) für das Druckzahlintervall 0 < a S 0.08 kann durch

den a-Einfluß auf den turbulenten Austausch in der

wandnahen Schicht 0<n €171 und auf die Lage des

Wendepunktes no erklärt werden. Dabei stellt die Model-

lierung der Strömung über jeweils konstante Kä-Werte

eine sehr einfache Approximation dar, die vor allem die

wesentlichen Effekte in einem gewissen Mittel zum Aus-

druck bringt. Weitere Verbesserungen — auch an (2.6) —

sind durchaus vorstellbar. Zum Vergleich enthält Bild 2

die Geschwindigkeitsverteilungen nach (1.4), (1.5) für

a: 0,1 und nach (1.10) mit (1.11) aus einer numeri-

schen Integration mit (1.15).

Abschließend zu diesem Abschnitt sollen die Be-

ziehungen für die Wirbelzähigkeiten und Mischungsweg-

längen angegeben werden. Aus

__ : _„L „1-. (2.17)

folgt mi‘1(1.1). (2.11), (2.13)

+

V VT

FIE (2.18)

1. <0<n<no>+

V ”7e

sowie

99

V + VT 3 i:= (1 + anO) (1 + an) (2.19)

V J“ V70

(no < n < 01)

und entsprechend aus

d

„DL— =1+2 .3 (1+ >0) (2.20)

v + um dn

1) 1/2 __

1+ =) (1 + a”) 1’2 (2-21)70

(0 g 17 g 710)

sowie 1 1

— F 1/2

1+:[(1+a") w_ V ]x1 + 01170 1: + um

1 1 1 (2.22)

*2K

X(1+0”70) w

K*2 2

(1+om) w.

(no<n<n1)

Zu den vorstehenden Beziehungen treten (2.5), (2.6)

und 170(01) nach Bild l für O < a S 0,08. Läßt man-(1.1)

auch noch für den Bereich des logarithmischen Wand-

gesetzes gelten, so hat man

v + VT l

= — (1 + an)n (771 < n < n2) (2.23)

v + V ATO

sowie

1+ {(1920 + an) — FÄ— (VIVTOHW. (2.24)

(01 < n< n2)

Die Veranschaulichung des Druckzahleinflusses auf den

Mischungsweg in den wandnahen Schichten enthält

Bild 3 für hydraulisch glatte Wände (Res = 0). Der

Mischungsweg nimmt mit a für feste n kräftig zu. Zum

Vergleich enthält Bild 3 die auf (1.11) zurückgehenden

modifizierten und unmodifizierten Abhängigkeiten.

3. Anmerkung zu dem Fall großer positiver

Druckzahlen

Für große wandbezogene Druckzahlen und insbesondere

für den Fall (x -> °° infolge v3 -> 0 bei endlichem

dP

X1

(> O) ist der Übergang zu den Ähnlichkeitskoordi-

naten

[‘0 ___ nach (2.21).(2.22).(2.2L) °

9 ---- mit 3:6.0 /

O

- O nach (1.11) “'ÜJ '

30 0 lm’ nach (0.5). l l

l, (Lima-30 ° / ‚/

0.0L 'x/ /"

[+20 - ° /' x 71. ’m - / o

0 /.\

./ ‚z 0.004

. / /10 _ /.. /0/

./O //

/.‚/

ftӆ 1 I I I

Bild 3

Wandnahe Mischungswegverteilungen in Abhängigkeit von der

Druckkennzahl

zweckmäßig. Mit (2.4) bestehen die Transformationsbe-

dingungen

Fae“; «Fm—“3 . (3.2)

Einsetzen in (2.13) liefert 1

l + N 2 1 + N Ed

(am "0) (Iii/‘3 n w

“a 1 + 1 1 + ~ )

E am "0

1 ~ (3.3)

~ ___ 179 ~<~<~+no(a2/3+2 ). (ouzxnl)

Führt man den Grenzübergang a -> 0° mit (2.6) aus, so

ergibt sich

lim 1~ N ~ 5„:_ nä+näln(———) (3.4)

clean 2

"o

in formaler Übereinstimmung mit [7]. Das war zu

erwarten, weil dieser Grenzfall unter Berücksichtigung

experimenteller Erfahrungen für den Ansatz (2.6)

genutzt worden ist. Allerdings hat sich 170 für a -> °° in

[7] in einem gewissen Umfange als abhängig von einer

„äußeren” Reynoldszahl erwiesen, die mit der Scher-

schichtdicke gebildet worden ist, während im Rahmen

des hier entwickelten Modells eine derartige Abhängig-

keit naturgemäß nicht auftreten kann.

In [7] ergab sich der logarithmische Bereich bei ver-

schwindender Wandschubspannung aus den Mitten-

gesetzen der turbulenten Couetteströmung, hier aus den

wandnahen Schichten Aus Mangel an Meßdaten über die

der Wand unmittelbar benachbarten Gebiete im Falle

T0 —>0 können die Abweichungen gegenwärtig nicht

geklärt werden. Nach [7] gilt '50 ‚0:0 z 3 _; 4. Damit

und unter Berücksichtigung von Bild l kann eine phäno-

menologische Beziehung für 110(01) bzw. 350(01) für das

ganze Intervall O < a < °° entwickelt werden, die mit

(3.3), (2.6) Geschwindigkeitsprofile für den ablösenahen

Bereich liefert. Hierauf kann an dieser Stelle nicht weiter

eingegangen werden.

4. Zusammenfassung

Experimentelle Befunde zeigen, da6 das Wandgesetz der

mittleren Geschwindigkeitsverteilungen im Bereich

0 <1) <n2 für 0 < a S 0,08 mit guter Näherung druck-

zahlunabhängig ist. Dieser Sachverhalt kann mit dem

Mischungswegansatz nach van Driest für hydraulisch

glatte Wände oder einer gewissen Modifikation des-

selben nicht ausreichend erklärt werden. Eine neu-

artige Abschlußhypothese liefert druckzahlabhängige

Mischungswegverteilungen für die wandnahen Schichten

und in Verbindung mit dem Verhalten des wandnahen

Wendepunktes eine Deutung für den beobachteten Sach-

verhalt. Die entwickelten einfachen expliziten Nähe-

rungsbeziehungen schließen den Fall gewisser Rauhig-

keitseffekte ein und können als Grundlage für das

Studium des Druckzahleinflusses auf den Wärme- und

Stoffübergang in ebenen turbulenten Wandgrenz—

schichten dienen.

LITERATUR

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nach 20. — 24. 11. 1978), Vorträge Heft II, S. 23 — 44.

Report R—05l79 des Zentralinstituts für Mathematik und

Mechanik bei der AdW der DDR.

[6] Hoffmeister, M.: Parametereinfliisse im Wandgesetz ebener

turbulenter Grenzschichten. 2. Tagung „Strömunge-

mechanik” (Magdeburg 3. — 6. 9. 79), Vorträge,

S. 74 — 80. Report R—ll/79 des Zentralinstituts für

Mathematik und Mechanik bei der AdW der DDR.

[7] Hoffmeister, M.: Die ebene turbulente Parallelströmung

bei verschwindender Wandschubspannung. 3. National-

kongreß über theoretische und angewandte Mechanik der

Bulgarischen Akademie der Wissenschaften (Varna 13. bis

16. 9. 1977), Vorträge, Bd. 3, S. 343 — 352. Verlag der

Bulgarischen Akademie der Wissenschaften, Sofia 1978.

Anschrift des Verfassers:

Prof. Dr. M. Hoffmeister

Zentralinstitut für Mathematik und

Mechanik bei der Akademie der

Wissenschaften der DDR

1199 Berlin-Adlershof,

Rudower Chaussee 6

101