Datenstrukturen, Algorithmen und Programmierung 2 (DAP2)

LS 2 / Informatik

Datenstrukturen, Algorithmen und Programmierung 2 (DAP2)

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2

Single Source Shortest Path (SSSP) Startknoten s Aufgabe: Berechne kürzeste Wege von s zu allen anderen Knoten

All Pairs Shortest Path (APSP) Aufgabe: Berechne kürzeste Wege zwischen allen Knotenpaaren

SSSP in ungerichteten Graphen (Breitensuche) Graph in Adjazenzlistendarstellung Startknoten s Nutze Kanten von G, um alle Knoten zu finden, die von s aus erreichbar sind Finde kürzeste Distanz (Anzahl Kanten) zu jedem anderen Knoten

Graphalgorithmen

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3

Invariante (Breitensuche) Knoten haben 3 Farben: weiß, grau und schwarz Zu Beginn: Alle Knoten sind weiß Ein nicht-weißer Knoten heißt „entdeckt“ Unterscheidung grau-schwarz dient zur Steuerung des Algorithmus Wenn (u,v)E ist und u ist schwarz, dann sind seine adjazenten Knoten grau oder schwarz Graue Knoten können adjazente weiße Knoten haben

Graphalgorithmen

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4

Beispiel (mögl. Zustand bei einer Breitensuche)

Graphalgorithmen

s

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5

BFS(G,s)1. „initialisiere BFS“2. while Q do 3. u head[Q]4. for each vAdj[u] do 5. if color[v]=weiß then 6. color[v] grau7. d[v] d[u]+1; [v] u8. enqueue(Q,v)9. dequeue(Q)10. color[u] schwarz

Graphalgorithmen

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6


Graphalgorithmen

d[u]: Abstand zu s (zu Beginn )[u]: Vaterknoten von u (zu Beginn nil)d[u]: Abstand zu s (zu Beginn )[u]: Vaterknoten von u (zu Beginn nil)

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7


GraphalgorithmenFür jeden Knoten u:• color[u] = weiß• d[u] = • [u] = nil

Für jeden Knoten u:• color[u] = weiß• d[u] = • [u] = nil

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8


GraphalgorithmenFür jeden Knoten u:• color[u] = weiß• d[u] = • [u] = nil

Für jeden Knoten u:• color[u] = weiß• d[u] = • [u] = nil

Für Knoten s:• color[s] = grau• d[s]=0• [s]=nil• s wird in Schlange Q eingefügt

Für Knoten s:• color[s] = grau• d[s]=0• [s]=nil• s wird in Schlange Q eingefügt

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9


Graphalgorithmen

s

Q: s

0

i

h

g

f

ed

c

b

a

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10


Graphalgorithmen

s

Q: s

0

i

h

g

f

ed

c

b

a

u

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11


Graphalgorithmen

s

Q: s

0

i

h

g

f

ed

c

bu

v=a

LS 2 / Informatik

12


Graphalgorithmen

s

Q: s

0

i

h

g

f

ed

c

bu

v=a

LS 2 / Informatik

13


Graphalgorithmen

s

Q: s

0

i

h

g

f

ed

c

bu

v=a

LS 2 / Informatik

14


Graphalgorithmen

s

Q: s

0

i

h

g

f

ed

c

bu

v=a

1

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15


Graphalgorithmen

s

Q: s, a

0

i

h

g

f

ed

c

bu

v=a

1

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16


Graphalgorithmen

s

Q: s, a

0

i

h

g

f

ed

c

v=bu

a

1

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17


Graphalgorithmen

s

Q: s, a

0

i

h

g

f

ed

c

v=bu

a

1

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18


Graphalgorithmen

s

Q: s, a

0

i

h

g

f

ed

c

v=bu

a

1

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19


Graphalgorithmen

s

Q: s, a

0

i

h

g

f

ed

c

v=bu

a

1

1

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20


Graphalgorithmen

s

Q: s, a, b

0

i

h

g

f

ed

c

v=bu

a

1

1

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21


Graphalgorithmen

s

Q: a, b

0

i

h

g

f

ed

c

bu

a

1

1

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22


Graphalgorithmen

s

Q: a, b

0

i

h

g

f

ed

c

bu

a

1

1

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23


Graphalgorithmen

s

Q: a, b

0

i

h

g

f

ed

c

bu

u=a

1

1

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24


Graphalgorithmen

s

Q: a, b

0

i

h

g

f

ed

v=c

bu

u=a

1

1

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25


Graphalgorithmen

s

Q: a, b, c

0

i

h

g

f

ed

v=c

bu

u=a

1

1

2

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26


Graphalgorithmen

s

Q: a, b, c

0

i

h

g

f

e

v=d

c

bu

u=a

1

1

2

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27


Graphalgorithmen

s

Q: a, b, c, d

0

i

h

g

f

e

v=d

c

bu

u=a

1

1

2

2

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28


Graphalgorithmen

s

Q: b, c, d

0

i

h

g

f

e

v=d

c

bu

u=a

1

1

2

2

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29


Graphalgorithmen

s

Q: b, c, d

0

i

h

g

f

e

d

c

u=bu

a

1

1

2

2

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30


Graphalgorithmen

s

Q: b, c, d

0

i

h

g

f

e

d

c

u=bu

a

1

1

2

2

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31


Graphalgorithmen

s

Q: c, d

0

i

h

g

f

e

d

c

bu

a

1

1

2

2

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32


Graphalgorithmen

s

Q: c, d

0

i

h

g

f

e

d

u=c

bu

a

1

1

2

2

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33


Graphalgorithmen

s

Q: c, d, f

0

i

h

g

f

e

d

u=c

bu

a

1

1

2

2

3

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34


Graphalgorithmen

s

Q: d, f

0

i

h

g

f

e

d

c

bu

a

1

1

2

2

3

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35


Graphalgorithmen

s

Q: d, f

0

i

h

g

f

e

u=d

c

bu

a

1

1

2

2

3

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36


Graphalgorithmen

s

Q: d, f, e

0

i

h

g

f

e

u=d

c

bu

a

1

1

2

2

3

3

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37


Graphalgorithmen

s

Q: f, e

0

i

h

g

f

e

u=d

c

bu

a

1

1

2

2

3

3

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38


Graphalgorithmen

s

Q: f, e

0

i

h

g

u=f

e

u=d

c

bu

a

1

1

2

2

3

3

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39


Graphalgorithmen

s

Q: f, e, g, i

0

i

h

g

u=f

e

u=d

c

bu

a

1

1

2

2

3

3

4

4

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40


Graphalgorithmen

s

Q: e, g, i

0

i

h

g

u=f

e

u=d

c

bu

a

1

1

2

2

3

3

4

4

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41


Graphalgorithmen

s

Q: g, i

0

i

h

g

f

u=e

u=d

c

bu

a

1

1

2

2

3

3

4

4

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42


Graphalgorithmen

s

Q: i, h

0

i

h

u=g

f

e

u=d

c

bu

a

1

1

2

2

3

3

4

4

5

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43


Graphalgorithmen

s

Q: h

0

u=i

h

g

f

e

u=d

c

bu

a

1

1

2

2

3

3

4

4

5

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44


Graphalgorithmen

s

Q:

0

i

u=h

g

f

e

u=d

c

bu

a

1

1

2

2

3

3

4

4

5

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45


Graphalgorithmen

s 0

i

h

g

f

e

u=d

c

bu

a

1

1

2

2

3

3

4

4

5

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46

Satz 47Sei G=(V,E) ein Graph. Die Laufzeit des Algorithmus BFS beträgt O(|V|+|E|).

Beweis• Laufzeit Initialisierung: O(|V|)• Nach der Initialisierung wird kein Knoten weiß gefärbt• Daher ist jeder Knoten nur einmal in der Schlange• Zeit für Schlangenoperationen ist O(|V|) • Adjazenzliste jedes Knotens wird nur durchlaufen, wenn er aus der Schlange entfernt wird• Damit wird jede Adjazenzliste maximal einmal durchlaufen (d.h. jede Kante maximal zweimal) Laufzeit für Liste: O(|E|)• Gesamtlaufzeit: O(|V|+|E|)

Graphalgorithmen

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47

Kürzeste Wege in ungewichteten Graphen Sei (s,t) die minimale Anzahl Kanten in einem s-t-Weg Ein s-t-Weg der Länge (s,t) heißt kürzester Weg Wollen zeigen, dass BFS korrekt kürzeste Wege berechnet

Graphalgorithmen

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48

Lemma 48Sei G=(V,E) ein gerichteter oder ungerichteter Graph und sei sV ein beliebiger Knoten. Dann gilt für jede Kante

(u,v)E:

(s,v) (s,u)+1

Beweis• Ist u erreichbar von s, dann ist es auch v• Der kürzeste Weg von s nach v kann nicht länger sein, als der kürzeste Weg

von s nach u gefolgt von der Kante (u,v). Damit gilt die Ungleichung.• Ist u nicht erreichbar von s, dann ist (s,u)= und die Ungleichung gilt.

Graphalgorithmen

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49

Lemma 49Sei G=(V,E) ein gerichteter oder ungerichteter Graph und es laufe die Breitensuche von einem Startknoten sV. Nach Abschluss

der Breitensuche gilt für jeden Knoten v, dass d[v] (s,v) ist.

Beweis• Induktion über Anzahl von Zeitpunkten, an denen ein Knoten in Q eingefügt wird• (I.A.) Nach Initialisierung gilt d[s]=0=(s,s) und d[v]=≥(s,v) für alle vV-{s}• (I.V.) Aussage gilt nach m Einfügeoperationen• (I.S.) Betrachte nach m Einfügeoperationen einen weißen Knoten v, der während einer Suche von u entdeckt wird. Nach (I.V.)

gilt d[u]≥(s,u).• Zeile 7: d[v] wird auf d[u]+1 gesetzt• Es gilt: d[v] = d[u]+1 ≥ (s,u)+1 ≥ (s,v) nach Lemma 48

Graphalgorithmen

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50

Lemma 49Sei G=(V,E) ein gerichteter oder ungerichteter Graph und es laufe die Breitensuche von einem

Startknoten sV. Nach Abschluss der Breitensuche gilt für jeden Knoten v, dass d[v] (s,v) ist.

Beweis• Knoten v wird dann in die Schlange eingefügt und grau gefärbt• Damit ändert sich d[v] im Laufe des Algorithmus nicht mehr und die Aussage des Lemmas bleibt

erhalten

Graphalgorithmen

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51

Lemma 50Sei <v ,…, v > der Inhalt der Schlange Q während eines Durchlaufs der Breitensuche auf einem Graph G=(V,E), wobei v Kopf

und v Ende der Schlange ist. Dann gilt d[v ]d[v ]+1 und d[v ]d[v ] für i=1,2,…,r-1.

Beweis• Induktion über die Anzahl Schlangenoperationen• (I.A.) Die Schlange enthält nur s, damit gilt das Lemma• (I.V.) Das Lemma gilt nach m Schlangenoperationen• (I.S.) Wir müssen zeigen, dass das Lemma immer noch nach m+1 Schlangenoperationen gilt. Die (m+1)ste

Schlangenoperation ist entwedereine enqueue oder dequeue Operation

Graphalgorithmen

1 r

1 r

1r i i+1

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52

Lemma 50Sei <v ,…, v > der Inhalt der Schlange Q während eines Durchlaufs der Breitensuche auf einem Graph G=(V,E),

wobei v Kopf und v Ende der Schlange ist. Dann gilt d[v ]d[v ]+1 und d[v ]d[v ] für i=1,2,…,r-1.

Beweis• Dequeue: • Wird v aus der Schlange entfernt, so wird v der neue Kopf• Dann gilt aber sicherlich d[v ] d[v ]+1 d[v ]+1• Alle anderen Ungleichungen sind nicht betroffen, also gilt das Lemma

Graphalgorithmen

1 r

1 r

1r i i+1

1

1

2

2r

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53

Lemma 50Sei <v ,…, v > der Inhalt der Schlange Q während eines Durchlaufs der Breitensuche auf einem Graph G=(V,E), wobei v

Kopf und v Ende der Schlange ist. Dann gilt d[v ]d[v ]+1 und d[v ]d[v ] für i=1,2,…,r-1.

Beweis• Enqueue: • Wird in Zeile 8 ein Knoten v eingefügt (und damit zu v ), so ist v der Knoten u,

von dem aus v entdeckt wurde• Es gilt: d[v ] = d[v] = d[u]+1 = d[v ]+1• Außerdem: d[v ] d[v ]+1 = d[u]+1 = d[v] = d[v ]• Die anderen Ungleichungen bleiben erhalten; Also gilt das Lemma

Graphalgorithmen

1 r

1 r

1r i i+1

r+1 1

r 1

r+1 1

r+1

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54

Satz 51Sei G=(V,E) ein gerichteter oder ungerichteter Graph und sei sV Startknoten der

Breitensuche. Dann entdeckt die Breitensuche alle Knoten vV, die von s aus erreichbar sind und nach Terminierung gilt d[v]=(s,v) für alle vV. Außerdem gilt für jeden von s erreichbaren Knoten vs, dass ein kürzester Weg von s nach [v] gefolgt von der Kante ([v],v) ein kürzester s-v-Weg ist.

Graphalgorithmen

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55

Satz 51Sei G=(V,E) ein gerichteter oder ungerichteter Graph und sei sV Startknoten der Breitensuche. Dann

entdeckt die Breitensuche alle Knoten vV, die von s aus erreichbar sind und nach Terminierung gilt d[v]=(s,v) für alle vV. Außerdem gilt für jeden von s erreichbaren Knoten vs, dass ein kürzester Weg von s nach [v] gefolgt von der Kante ([v],v) ein kürzester s-v-Weg ist.

Beweis• Fall 1 (v nicht erreichbar von s):

Graphalgorithmen

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56

Satz 51Sei G=(V,E) ein gerichteter oder ungerichteter Graph und sei sV Startknoten der Breitensuche. Dann

entdeckt die Breitensuche alle Knoten vV, die von s aus erreichbar sind und nach Terminierung gilt d[v]=(s,v) für alle vV. Außerdem gilt für jeden von s erreichbaren Knoten vs, dass ein kürzester Weg von s nach [v] gefolgt von der Kante ([v],v) ein kürzester s-v-Weg ist.

Beweis• Fall 1 (v nicht erreichbar von s):• Nach Lemma 49 gilt d[v] (s,v) =

Graphalgorithmen

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57

Satz 51Sei G=(V,E) ein gerichteter oder ungerichteter Graph und sei sV Startknoten der Breitensuche. Dann entdeckt

die Breitensuche alle Knoten vV, die von s aus erreichbar sind und nach Terminierung gilt d[v]=(s,v) für alle vV. Außerdem gilt für jeden von s erreichbaren Knoten vs, dass ein kürzester Weg von s nach [v] gefolgt von der Kante ([v],v) ein kürzester s-v-Weg ist.

Beweis• Fall 1 (v nicht erreichbar von s):• Nach Lemma 49 gilt d[v] (s,v) = • Es kann keinen ersten Knoten geben, dessen d-Wert in Zeile 7 auf gesetzt wird

Graphalgorithmen

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58

Satz 51Sei G=(V,E) ein gerichteter oder ungerichteter Graph und sei sV Startknoten der Breitensuche. Dann entdeckt die

Breitensuche alle Knoten vV, die von s aus erreichbar sind und nach Terminierung gilt d[v]=(s,v) für alle vV. Außerdem gilt für jeden von s erreichbaren Knoten vs, dass ein kürzester Weg von s nach [v] gefolgt von der Kante ([v],v) ein kürzester s-v-Weg ist.

Beweis• Fall 1 (v nicht erreichbar von s):• Nach Lemma 49 gilt d[v] (s,v) = • Es kann keinen ersten Knoten geben, dessen d-Wert in Zeile 7 auf gesetzt wird• Somit wird v nie entdeckt

Graphalgorithmen

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59

Satz 51Sei G=(V,E) ein gerichteter oder ungerichteter Graph und sei sV Startknoten der Breitensuche. Dann entdeckt die

Breitensuche alle Knoten vV, die von s aus erreichbar sind und nach Terminierung gilt d[v]=(s,v) für alle vV. Außerdem gilt für jeden von s erreichbaren Knoten vs, dass ein kürzester Weg von s nach [v] gefolgt von der Kante ([v],v) ein kürzester s-v-Weg ist.

Beweis• Fall 1 (v nicht erreichbar von s):• Nach Lemma 49 gilt d[v] (s,v) = • Es kann keinen ersten Knoten geben, dessen d-Wert in Zeile 7 auf gesetzt wird• Somit wird v nie entdeckt

Graphalgorithmen

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60

Beweis• Fall 2 (v erreichbar von s):

Graphalgorithmen

LS 2 / Informatik

61

Beweis• Fall 2 (v erreichbar von s):

• Sei V = {vV : (s,v) = k}

Graphalgorithmen

k

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62

Beweis• Fall 2 (v erreichbar von s):• Sei V = {vV : (s,v) = k}• Wir zeigen per Induktion über k:• Es gibt genau einen Zeitpunkt, zu dem jeder Knoten vV

(a) grau gefärbt wird(b) d[v]=k gesetzt wird(c) wenn vs, dann [v] auf u gesetzt wird für ein uV(d) v in Schlange Q eingefügt wird

Graphalgorithmen

k

k

k-1

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63



• Da nur zur Initialisierung Knoten weiß gefärbt werden, gibt es maximal einen solchen Zeitpunkt

Graphalgorithmen

k

k

k-1

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64



• Da nur zur Initialisierung Knoten weiß gefärbt werden, gibt es maximal einen solchen Zeitpunkt

Graphalgorithmen

k

k

k-1

LS 2 / Informatik

65

Beweis (I.A.) V ={s}. Während der Initialisierung wird s grau gefärbt, d[s] auf 0 gesetzt,

und s in Q eingefügt. Somit gilt die Aussage.

Graphalgorithmen

0

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66


und s in Q eingefügt. Somit gilt die Aussage. (I.V.) Aussage gilt für alle Knoten aus V

Graphalgorithmen

0

k-1

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67


und s in Q eingefügt. Somit gilt die Aussage. (I.V.) Aussage gilt für alle Knoten aus V (I.S.) Q ist nie leer bis Algorithmus terminiert.

Graphalgorithmen

0

k-1

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68


und s in Q eingefügt. Somit gilt die Aussage. (I.V.) Aussage gilt für alle Knoten aus V (I.S.) Q ist nie leer bis Algorithmus terminiert. Nachdem v in Q eingefügt wurde, ändern sich d[v] und [v] nicht mehr

Graphalgorithmen

0

k-1

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69


und s in Q eingefügt. Somit gilt die Aussage. (I.V.) Aussage gilt für alle Knoten aus V (I.S.) Q ist nie leer bis Algorithmus terminiert. Nachdem v in Q eingefügt wurde, ändern sich d[v] und [v] nicht mehr Nach Lemma 50 sind die d-Werte monoton steigend, wenn Knoten in die Schlange

eingefügt werden

Graphalgorithmen

0

k-1

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70

Beweis (I.A.) V ={s}. Während der Initialisierung wird s grau gefärbt, d[s] auf 0 gesetzt, und s in Q eingefügt.

Somit gilt die Aussage. (I.V.) Aussage gilt für alle Knoten aus V (I.S.) Q ist nie leer bis Algorithmus terminiert. Nachdem v in Q eingefügt wurde, ändern sich d[v] und [v] nicht mehr Nach Lemma 50 sind die d-Werte monoton steigend, wenn Knoten in die Schlange eingefügt werden Betrachte nun vV , k>0.

Monotonie mit d[v]≥k (Lemma 50) und (I.V.): wenn v entdeckt wird, dann erst nachdem alle Knoten aus V in die Schlange eingefügt wurden

Graphalgorithmen

0

k-1

k

k-1

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71

Beweis (I.A.) V ={s}. Während der Initialisierung wird s grau gefärbt, d[s] auf 0 gesetzt, und s in Q eingefügt.

Somit gilt die Aussage. (I.V.) Aussage gilt für alle Knoten aus V (I.S.) Q ist nie leer bis Algorithmus terminiert. Nachdem v in Q eingefügt wurde, ändern sich d[v] und [v] nicht mehr Nach Lemma 50 sind die d-Werte monoton steigend, wenn Knoten in die Schlange eingefügt werden Betrachte nun vV , k>0.

Monotonie mit d[v]≥k (Lemma 50) und (I.V.): wenn v entdeckt wird, dann erst nachdem alle Knoten aus V in die Schlange eingefügt wurden

Graphalgorithmen

0

k-1

k

k-1

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72

Beweis Da (s,v)=k gibt es Pfad mit k Kanten von s nach v und Knoten u mit (u,v)E

und uV

Graphalgorithmen

k-1v

u

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73


und uV ObdA. Sei u der erste solche Knoten, der grau gefärbt wird

(existiert wegen I.V.)

Graphalgorithmen

k-1v

u

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74


und uV ObdA. Sei u der erste solche Knoten, der grau gefärbt wird

(existiert wegen I.V.) Wird Knoten grau gefärbt, so wird er auch in Schlange

eingefügt und muss irgendwann als Kopf der Schlangeauftauchen

Graphalgorithmen

k-1v

u

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75

Beweis Da (s,v)=k gibt es Pfad mit k Kanten von s nach v und Knoten u mit (u,v)E und uV ObdA. Sei u der erste solche Knoten, der grau gefärbt wird



Ist u Kopf der Schlange, so wird seine Adjazenzliste durchlaufenund v in Zeile 4 entdeckt

Graphalgorithmen

k-1v

u

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76





Dann wird v in Zeile 6 grau gefärbt und Zeile 7 setzt d[v]=k und [v]=u.

Graphalgorithmen

k-1v

u

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77





Dann wird v in Zeile 6 grau gefärbt und Zeile 7 setzt d[v]=k und [v]=u. Zeile 8 fügt v in die Schlange ein

Graphalgorithmen

k-1v

u

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78





Dann wird v in Zeile 6 grau gefärbt und Zeile 7 setzt d[v]=k und [v]=u. Zeile 8 fügt v in die Schlange ein Damit folgt unsere Aussage per Induktion für alle V

Graphalgorithmen

k-1v

u

k

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79





Dann wird v in Zeile 6 grau gefärbt und Zeile 7 setzt d[v]=k und [v]=u. Zeile 8 fügt v in die Schlange ein Damit folgt unsere Aussage per Induktion für alle V

Graphalgorithmen

k-1v

u

k

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80

Beweis Abschließend beobachten wir, dass wenn vV ist, dann ist [v] in V

Graphalgorithmen

k-1k

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81

Beweis Abschließend beobachten wir, dass wenn vV ist, dann ist [v] in V Damit können wir einen kürzesten Weg von s nach v bekommen, indem wir

einen kürzesten Weg von s nach [v] nehmen und der Kante ([v],v) folgen

Graphalgorithmen

k-1k

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82

Beweis Abschließend beobachten wir, dass wenn vV ist, dann ist [v] in V Damit können wir einen kürzesten Weg von s nach v bekommen, indem wir

einen kürzesten Weg von s nach [v] nehmen und der Kante ([v],v) folgen

Graphalgorithmen

k-1k

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83

Graphalgorithmen

Zusammenfassung (Breitensuche) Die Breitensuche kann dazu genutzt werden, um das SSSP Problem in

ungewichteten Graphen zu lösen Die Laufzeit der Breitensuche ist O(|V|+|E|)

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84

Kürzeste Wege in gewichteten Graphen G=(V,E) w: ER ; w(e) ist Länge der Kante e; w(u,v) ist Länge der Kante (u,v)

Für Pfad <v , v ,…, v > ist Pfadlänge gegeben durch

(u,v) = min w(p) , falls es Pfad von u nach v gibt

(u,v) = , sonst

Graphalgorithmen

0 1 k

k

iii vvw

11 ),(

Pfade p von u nach v

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85

Negative Kantengewichte Manchmal hat man Instanzen mit negativen Kantenlängen

Bei ungerichteten Graphen kann man Kante immer wieder vorwärts und rückwärts durchlaufen Kürzester Pfad u.U. nicht wohldefiniert Erstmal nichtnegative Kantengewichte

Graphalgorithmen

155

-10

1

7

LS 2 / Informatik

86

Lemma 52 Sei G=(V,E) ein gewichteter, gerichteter Graph mit Kantengewichten w(e) und sei <v ,…, v > ein kürzester

Weg von v nach v . Dann ist für alle 1≤i,j≤k der Weg <v ,…, v > ein kürzester Weg von v nach v .

Beweis Annahme: Es gäbe einen kürzeren Weg <v , u ,…, u ,v > von v nach v . Dann wäre < v ,…, v , u , …, u , v ,…,

v > kürzer als <v , …, v >. Widerspruch.

Graphalgorithmen

1 k 1 k

i j ji

i j

1

1 l ji

i 1 l j k k1

LS 2 / Informatik

87

Dijkstra‘s Algorithmus Graph in Adjazenzlistendarstellung Keine negativen Kantenlängen Überträgt Idee der Breitensuche auf gewichtete Graphen

Graphalgorithmen

LS 2 / Informatik

88

Dijkstra‘s Algorithmus Graph in Adjazenzlistendarstellung Keine negativen Kantenlängen Überträgt Idee der Breitensuche auf gewichtete Graphen

Graphalgorithmen

32

1

1

4

LS 2 / Informatik

89

Dijkstra‘s Algorithmus Graph in Adjazenzlistendarstellung Keine negativen Kantenlängen Überträgt Idee der Breitensuche auf gewichtete Graphen Erster Ansatz: Ersetze Kantenlängen durch mehrfache Kanten

Graphalgorithmen

3 2

1

1

4

LS 2 / Informatik

90

Dijkstra‘s Algorithmus Erste Idee: Ersetze Kantenlängen durch mehrfache Kanten Probleme: Langsam bei großen Kantenlängen; nur ganzzahlige Längen Zunächst ganzzahlige Längen. Idee: Simuliere Breitensuche effizient

Graphalgorithmen

3 2

1

1

4

LS 2 / Informatik

91

Dijkstra‘s Algorithmus Erste Idee: Ersetze Kantenlängen durch mehrfache Kanten Probleme: Langsam bei großen Kantenlängen; nur ganzzahlige Längen Zunächst ganzzahlige Längen. Idee: Simuliere Breitensuche effizient

Graphalgorithmen

3 2

1

1

4

LS 2 / Informatik

92

Dijkstra‘s Algorithmus Erste Idee: Ersetze Kantenlängen durch mehrfache Kanten Probleme: Langsam bei großen Kantenlängen; nur ganzzahlige Längen Zunächst ganzzahlige Längen. Idee: Simuliere Breitensuche effizient Aufgabe: Bestimme für jeden Knoten den Zeitpunkt, zu dem er entdeckt wird

Graphalgorithmen

3 2

1

1

4

LS 2 / Informatik

93

Dijkstra‘s Algorithmus Betrachte Breitensuche in der expandierten Version von G u,vV Wird ein Knoten u zum Zeitpunkt t (d.h. d[u]=t) entdeckt und ist Kante (u,v) mit Gewicht w(u,v) in G, so

wird v spätestens zum Zeitpunkt t+w(u,v) entdeckt Unter Umständen wird v eher über einen anderen Knoten entdeckt

Graphalgorithmen

3

11

t Wird zu Zeitpunkt ≤t+3entdecktu

v

LS 2 / Informatik

94

BreitensucheSimulation(G,w,s)

1. Initialisiere Simulation

2. Füge (s,prio[s]) mit Priorität prio[s] in Prioritätenschlange Q ein

3. while Q do

4. (u, prio[u]) ExtractMin(Q)

5. if color[u]=weiß then

6. color[u] schwarz

7. d[u] prio[u]

8. for each vAdj[u] do1.

9. prio[v] d[u] + w(u,v)

10. Füge (v,prio[v]) mit Priorität prio[v] in Q ein

Graphalgorithmen

32

11

62

7

4

a b

c d

LS 2 / Informatik

95




3. while Q do



6. color[u] schwarz

7. d[u] prio[u]




Graphalgorithmend[u]= für alle uVprio[u]= prio[s]=0color[u]=weiß für alle uV

d[u]= für alle uVprio[u]= prio[s]=0color[u]=weiß für alle uV

32

11

62

7

4s

a b

c d

LS 2 / Informatik

96




3. while Q do



6. color[u] schwarz

7. d[u] prio[u]




Graphalgorithmen

32

11

62

7

4s

Q: (s,0)

a b

c d

LS 2 / Informatik

97




3. while Q do



6. color[u] schwarz

7. d[u] prio[u]




Graphalgorithmen

32

11

62

7

4s

Q: (s,0)

a b

c d

LS 2 / Informatik

98




3. while Q do



6. color[u] schwarz

7. d[u] prio[u]




Graphalgorithmen

32

11

62

7

4s

Q:

u

a b

c d

LS 2 / Informatik

99




3. while Q do



6. color[u] schwarz

7. d[u] prio[u]




Graphalgorithmen

32

11

62

7

4s

Q:

u

a b

c d

LS 2 / Informatik

100




3. while Q do



6. color[u] schwarz

7. d[u] prio[u]




Graphalgorithmen

32

11

62

7

4s

Q:

u

a b

c d

LS 2 / Informatik

101




3. while Q do



6. color[u] schwarz

7. d[u] prio[u]




Graphalgorithmen

32

11

62

7

4s0

Q:

u

a b

c d

LS 2 / Informatik

102




3. while Q do



6. color[u] schwarz

7. d[u] prio[u]




Graphalgorithmen

32

11

62

7

4s0

Q:

u

a b

c d

v

LS 2 / Informatik

103




3. while Q do



6. color[u] schwarz

7. d[u] prio[u]




Graphalgorithmen

32

11

62

7

4s0

Q: (a,3)

u

va b

c d

LS 2 / Informatik

104




3. while Q do



6. color[u] schwarz

7. d[u] prio[u]




Graphalgorithmen

32

11

62

7

4s0

Q: (a,3)

u

a b

c dv

LS 2 / Informatik

105




3. while Q do



6. color[u] schwarz

7. d[u] prio[u]




Graphalgorithmen

32

11

62

7

4s0

Q: (a,3), (c,6)

u

a b

c dv

LS 2 / Informatik

106




3. while Q do



6. color[u] schwarz

7. d[u] prio[u]




Graphalgorithmen

32

11

62

7

4s0

Q: (a,3), (c,6)

u

a b

c d

LS 2 / Informatik

107




3. while Q do



6. color[u] schwarz

7. d[u] prio[u]




Graphalgorithmen

32

11

62

7

4s0

Q: (c,6)

u

a b

c d

LS 2 / Informatik

108




3. while Q do



6. color[u] schwarz

7. d[u] prio[u]




Graphalgorithmen

32

11

62

7

4s0

Q: (c,6)

u

a b

c d

LS 2 / Informatik

109




3. while Q do



6. color[u] schwarz

7. d[u] prio[u]




Graphalgorithmen

32

11

62

7

4s0

Q: (c,6)

u

a b

c d

LS 2 / Informatik

110




3. while Q do



6. color[u] schwarz

7. d[u] prio[u]




Graphalgorithmen

32

11

62

7

4s0

3

Q: (c,6)

u

a b

c d

LS 2 / Informatik

111




3. while Q do



6. color[u] schwarz

7. d[u] prio[u]




Graphalgorithmen

32

11

62

7

4s0

3

Q: (c,4), (b,5), (c,6), (d,7)

u

a b

c d

LS 2 / Informatik

112




3. while Q do



6. color[u] schwarz

7. d[u] prio[u]




Graphalgorithmen

32

11

62

7

4s0

3

Q: (c,4), (b,5), (c,6), (d,7)

u

a b

c d

LS 2 / Informatik

113




3. while Q do



6. color[u] schwarz

7. d[u] prio[u]




Graphalgorithmen

32

11

62

7

4s0

3

Q: (b,5), (c,6), (d,7)

u

a b

c d

LS 2 / Informatik

114




3. while Q do



6. color[u] schwarz

7. d[u] prio[u]




Graphalgorithmen

32

11

62

7

4s0

3

4

Q: (b,5), (c,6), (d,7)

u

a b

c d

LS 2 / Informatik

115




3. while Q do



6. color[u] schwarz

7. d[u] prio[u]




Graphalgorithmen

32

11

62

7

4s0

3

4

Q: (b,5), (a,6), (c,6), (d,7), (d,11)

u

a b

c d

LS 2 / Informatik

116




3. while Q do



6. color[u] schwarz

7. d[u] prio[u]




Graphalgorithmen

32

11

62

7

4s0

3

4

Q: (a,6), (c,6), (d,7), (d,11)

u

a b

c d

LS 2 / Informatik

117




3. while Q do



6. color[u] schwarz

7. d[u] prio[u]




Graphalgorithmen

32

11

62

7

4s0

3 5

4

Q: (a,6), (c,6), (d,7), (d,11)

u

a b

c d

LS 2 / Informatik

118




3. while Q do



6. color[u] schwarz

7. d[u] prio[u]




Graphalgorithmen

32

11

62

7

4s0

3 5

4

Q: (a,6), (c,6), (d,6), (d,7), (d,11)

u

a b

c d

LS 2 / Informatik

119




3. while Q do



6. color[u] schwarz

7. d[u] prio[u]




Graphalgorithmen

32

11

62

7

4s0

3 5

4

Q: (c,6), (d,6), (d,7), (d,11)

u

a b

c d

LS 2 / Informatik

120




3. while Q do



6. color[u] schwarz

7. d[u] prio[u]




Graphalgorithmen

32

11

62

7

4s0

3 5

4

Q: (d,6), (d,7), (d,11)

u

a b

c d

LS 2 / Informatik

121




3. while Q do



6. color[u] schwarz

7. d[u] prio[u]




Graphalgorithmen

32

11

62

7

4s0

3 5

4

Q: (d,7), (d,11)

u

a b

c d

LS 2 / Informatik

122




3. while Q do



6. color[u] schwarz

7. d[u] prio[u]




Graphalgorithmen

32

11

62

7

4s0

3 5

64

Q: (d,7), (d,11)

u

a b

c d

LS 2 / Informatik

123




3. while Q do



6. color[u] schwarz

7. d[u] prio[u]




Graphalgorithmen

32

11

62

7

4s0

3 5

64

Q: (d,11)

u

a b

c d

LS 2 / Informatik

124




3. while Q do



6. color[u] schwarz

7. d[u] prio[u]




Graphalgorithmen

32

11

62

7

4s0

3 5

64

Q:

u

a b

c d

LS 2 / Informatik

125




3. while Q do



6. color[u] schwarz

7. d[u] prio[u]




Graphalgorithmen

32

11

62

7

4s0

3 5

64

u

a b

c d

LS 2 / Informatik

126




3. while Q do



6. color[u] schwarz

7. d[u] prio[u]




GraphalgorithmenBeobachtung:Sind mehrere Paare (u,p) in der Prioritätenschlange, so ist nur das mit der geringsten Priorität relevant

Beobachtung:Sind mehrere Paare (u,p) in der Prioritätenschlange, so ist nur das mit der geringsten Priorität relevant

LS 2 / Informatik

127




3. while Q do



6. color[u] schwarz

7. d[u] prio[u]




Graphalgorithmen

Beobachtung:d-Werte und Prioritäten fast identisch

Beobachtung:d-Werte und Prioritäten fast identisch

LS 2 / Informatik

128

Dijkstra‘s Algorithmus(G,w,s)

1. Initialisiere SSSP

2. Q V[G]

3. while Q do

4. u ExtractMin(Q)


6. color[u] schwarz


8. if d[u] + w(u,v)< d[v] then

9. d[v] d[u] + w(u,v)

10. DecreaseKey(v,d[v])

Graphalgorithmen

d[u]= für alle uV-{s}d[s]=0color[u]=weiß für alle uV

d[u]= für alle uV-{s}d[s]=0color[u]=weiß für alle uV

LS 2 / Informatik

129

Dijkstra‘s Algorithmus(G,w,s)

1. Initialisiere SSSP

2. Q V[G]

3. while Q do

4. u ExtractMin(Q)


6. color[u] schwarz


8. if d[u] + w(u,v)< d[v] then

9. d[v] d[u] + w(u,v)

10. DecreaseKey(v,d[v])

Graphalgorithmen

Invariante:Für alle schwarzen Knoten wurde

die Distanz korrekt berechnet.

Invariante:Für alle schwarzen Knoten wurde

die Distanz korrekt berechnet.

LS 2 / Informatik

130

Prioritätenschlangen mit DecreaseKey DecreaseKey(v,p): Erlaubt das Verringern der Priorität von Schlüssel v auf

Wert p

Einfachste Implementation Lösche v Füge v mit Priorität p in Prioritätenschlange ein

Graphalgorithmen

LS 2 / Informatik

131

Lemma 53Sei G=(V,E) ein gerichteter oder ungerichteter Graph und sei sV ein beliebiger Knoten. Dann gilt für jede Kante (u,v)E:

(s,v) (s,u)+w(u,v)

Beweis• (Argumentation identisch zu Lemma 48)• Ist u erreichbar von s, dann ist es auch v• Der kürzeste Weg von s nach v kann nicht länger sein, als der kürzeste Weg

von s nach u gefolgt von der Kante (u,v). Damit gilt die Ungleichung.• Ist u nicht erreichbar von s, dann ist (s,u)= und die Ungleichung gilt.

Graphalgorithmen

LS 2 / Informatik

132

Lemma 54Zu jedem Ausführungszeitpunkt von Dijkstra‘s Algorithmus gilt für jeden Knoten w:

d[w] (s,w).

Beweis• Zeile 9 ist die einzige Zeile, in der d-Werte geändert werden.

Graphalgorithmen

LS 2 / Informatik

133


d[w] (s,w).

Beweis• Zeile 9 ist die einzige Zeile, in der d-Werte geändert werden.• Wir zeigen per Induktion über die Ausführungen von Zeile 9, dass Lemma 54 gilt.• (I.A.) Vor der ersten Ausführung entsprechen die d-Werte den Werten direkt nach der Initialisierung. Für

diese Werte gilt das Lemma.

Graphalgorithmen

LS 2 / Informatik

134


d[w] (s,w).

Beweis• Zeile 9 ist die einzige Zeile, in der d-Werte geändert werden.• Wir zeigen per Induktion über die Ausführungen von Zeile 9, dass Lemma 54 gilt.• (I.A.) Vor der ersten Ausführung entsprechen die d-Werte den Werten direkt nach der Initialisierung. Für diese

Werte gilt das Lemma.• (I.V.) Das Lemma gilt nach m Ausführungen von Zeile 9.

Graphalgorithmen

LS 2 / Informatik

135


d[w] (s,w).

Beweis• Zeile 9 ist die einzige Zeile, in der d-Werte geändert werden.• Wir zeigen per Induktion über die Ausführungen von Zeile 9, dass Lemma 54 gilt.• (I.A.) Vor der ersten Ausführung entsprechen die d-Werte den Werten direkt nach der Initialisierung. Für diese Werte gilt das

Lemma.• (I.V.) Das Lemma gilt nach m Ausführungen von Zeile 9.• (I.S.) Betrachte (m+1)sten Ausführung. Nach (I.V.) gilt d[v] (s,v) und

d[u] (s,u). Wir setzen in Zeile 9 d[v] auf d[u]+w(u,v).

Graphalgorithmen

LS 2 / Informatik

136


d[w] (s,w).

Beweis• Zeile 9 ist die einzige Zeile, in der d-Werte geändert werden.• Wir zeigen per Induktion über die Ausführungen von Zeile 9, dass Lemma 54 gilt.• (I.A.) Vor der ersten Ausführung entsprechen die d-Werte den Werten direkt nach der Initialisierung. Für diese Werte gilt das

Lemma.• (I.V.) Das Lemma gilt nach m Ausführungen von Zeile 9.• (I.S.) Betrachte (m+1)sten Ausführung. Nach (I.V.) gilt d[v] (s,v) und


Graphalgorithmen

LS 2 / Informatik

137

Lemma 54Zu jedem Ausführungszeitpunkt von Dijkstra‘s Algorithmus gilt für jeden Knoten u:

d[w] (s,w).

Beweis• (I.S.) Betrachte (m+1)sten Ausführung. Nach (I.V.) gilt d[v] (s,v) und


Graphalgorithmen

LS 2 / Informatik

138


d[w] (s,w).



Graphalgorithmen

LS 2 / Informatik

139


d[w] (s,w).


d[u] (s,u). Wir setzen in Zeile 9 d[v] auf min{d[v], d[u]+w(u,v)}. Es gilt d[v] = d[u] + w(u,v) (s,u) + w(u,v) (s,v) nach Lemma 53. Somit gilt auch hier das Lemma.

Graphalgorithmen

LS 2 / Informatik

140


d[w] (s,w).


d[u] (s,u). Wir setzen in Zeile 9 d[v] auf min{d[v], d[u]+w(u,v)}. Es gilt d[v] = d[u] + w(u,v) (s,u) + w(u,v) (s,v) nach Lemma 53. Somit gilt auch hier das Lemma.

Graphalgorithmen

LS 2 / Informatik

141

Satz 55Wenn wir Dijkstra‘s Algorithmus auf einem gewichteten, gerichteten Graph G=(V,E)

mit nichtnegativen Kantengewichten und Startknoten s ausführen, so gilt nach Terminierung d[u] = (s,u) für alle Knoten uV.

Beweis• Jeder Knoten wird im Verlauf des Algorithmus schwarz gefärbt.

Graphalgorithmen

LS 2 / Informatik

142

Satz 55Wenn wir Dijkstra‘s Algorithmus auf einem gewichteten, gerichteten Graph G=(V,E) mit

nichtnegativen Kantengewichten und Startknoten s ausführen, so gilt nach Terminierung d[u] = (s,u) für alle Knoten uV.

Beweis• Jeder Knoten wird im Verlauf des Algorithmus schwarz gefärbt.• Wir zeigen per Widerspruchsbeweis, dass für jeden Knoten uV zum Zeitpunkt des

Schwarzfärbens d[u] = (s,u) gilt.

Graphalgorithmen

LS 2 / Informatik

143

Satz 55Wenn wir Dijkstra‘s Algorithmus auf einem gewichteten, gerichteten Graph G=(V,E) mit nichtnegativen

Kantengewichten und Startknoten s ausführen, so gilt nach Terminierung d[u] = (s,u) für alle Knoten uV.


• Wir zeigen per Widerspruchsbeweis, dass für jeden Knoten uV zum Zeitpunkt des Schwarzfärbens d[u] = (s,u) gilt.

• Annahme: Es gibt einen Knoten u, für den zum Zeitpunkt des Schwarzfärbens d[u] (s,u) gilt.

Graphalgorithmen

LS 2 / Informatik

144



Beweis• Jeder Knoten wird im Verlauf des Algorithmus schwarz gefärbt.• Wir zeigen per Widerspruchsbeweis, dass für jeden Knoten uV zum Zeitpunkt des Schwarzfärbens d[u] =

(s,u) gilt. • Annahme: Es gibt einen Knoten u, für den zum Zeitpunkt des Schwarzfärbens

d[u] (s,u) gilt. Sei u der erste solche Knoten. Betrachte die Situation zu Beginn des Durchlaufs der while-Schleife, in dem u schwarz gefärbt wird.

Graphalgorithmen

LS 2 / Informatik

145

Satz 55Wenn wir Dijkstra‘s Algorithmus auf einem gewichteten, gerichteten Graph G=(V,E) mit nichtnegativen Kantengewichten

und Startknoten s ausführen, so gilt nach Terminierung d[u] = (s,u) für alle Knoten uV.



• Annahme: Es gibt einen Knoten u, für den zum Zeitpunkt des Schwarzfärbens d[u] (s,u) gilt. Sei u der erste solche Knoten. Betrachte die Situation zu Beginn des Durchlaufs der while-Schleife, in dem u schwarz gefärbt wird. Es gilt us, da s als erster Knoten schwarz gefärbt wird und zu diesem Zeitpunkt d[s]=0=(s,s) gilt. (Widerspruch!)

Graphalgorithmen

LS 2 / Informatik

146

Satz 55Wenn wir Dijkstra‘s Algorithmus auf einem gewichteten, gerichteten Graph G=(V,E) mit nichtnegativen Kantengewichten

und Startknoten s ausführen, so gilt nach Terminierung d[u] = (s,u) für alle Knoten uV.



• Annahme: Es gibt einen Knoten u, für den zum Zeitpunkt des Schwarzfärbens d[u] (s,u) gilt. Sei u der erste solche Knoten. Betrachte die Situation zu Beginn des Durchlaufs der while-Schleife, in dem u schwarz gefärbt wird. Es gilt us, da s als erster Knoten schwarz gefärbt wird und zu diesem Zeitpunkt d[s]=0=(s,s) gilt. (Widerspruch!)

Graphalgorithmen

LS 2 / Informatik

147



Beweis• Es gibt Weg von s nach u, da ansonsten wegen Lemma 54 d[u]==(s,u) gilt.

(Widerspruch!)

Graphalgorithmen

LS 2 / Informatik

148




(Widerspruch!)• Sei nun y der erste weiße Knoten auf einem kürzesten Weg von s nach u und x sein Vorgänger.

Graphalgorithmen

32 4

s x

y 4

u

LS 2 / Informatik

149




(Widerspruch!)• Sei nun y der erste weiße Knoten auf einem kürzesten Weg von s nach u und x sein Vorgänger.

Graphalgorithmen

32 4

s x

y 4

u

LS 2 / Informatik

150

Beweis• Es gilt d[x]=(s,u) nach Wahl von u.

Graphalgorithmen

32 4

s x

y 4

u

LS 2 / Informatik

151

Beweis• Es gilt d[x]=(s,u) nach Wahl von u.

• In Zeile 9 wird nun d[y] auf min{d[y], d[x]+w(x,y)} gesetzt. Nach Lemma 52 ist der Weg von s nach y über x ein kürzester Weg (da er „Teilweg“ des kürzesten Weges von s nach u ist).

Graphalgorithmen

32 4

s x

y 4

u

LS 2 / Informatik

152

Beweis• Es gilt d[x]=(s,u) nach Wahl von u.• In Zeile 9 wird nun d[y] auf min{d[y], d[x]+w(x,y)} gesetzt. Nach Lemma 52 ist der Weg

von s nach y über x ein kürzester Weg (da er „Teilweg“ des kürzesten Weges von s nach u ist). Somit ist d[x]+w(x,y)=(s,y) und d[y] wird wegen Lemma 53 auf diesen Wert gesetzt.

Graphalgorithmen

32 4

s x

y 4

u

LS 2 / Informatik

153

Beweis• Es gilt d[x]=(s,u) nach Wahl von u.• In Zeile 9 wird nun d[y] auf min{d[y], d[x]+w(x,y)} gesetzt. Nach Lemma 52 ist der Weg von s

nach y über x ein kürzester Weg (da er „Teilweg“ des kürzesten Weges von s nach u ist). Somit ist d[x]+w(x,y)=(s,y) und d[y] wird wegen Lemma 53 auf diesen Wert gesetzt.

• Da die Kantengewichte nichtnegativ sind, folgt (s,y)≤ (s,u) und somit nach Lemma 53 d[y]=(s,y)≤ (s,u) ≤ d[u].

Graphalgorithmen

32 4

s x

y 4

u

LS 2 / Informatik

154

Beweis• Es gilt d[x]=(s,u) nach Wahl von u.• In Zeile 9 wird nun d[y] auf min{d[y], d[x]+w(x,y)} gesetzt. Nach Lemma 52 ist der Weg von s nach y über x

ein kürzester Weg (da er „Teilweg“ des kürzesten Weges von s nach u ist). Somit ist d[x]+w(x,y)=(s,y) und d[y] wird wegen Lemma 53 auf diesen Wert gesetzt.


• Da aber u von ExtractMin aus der Prioritätenschlange entfernt wurde, giltd[u] ≤ d[y] und somit d[y]=(s,y)= (s,u) = d[u]. Widerspruch!

Graphalgorithmen

32 4

s x

y 4

u

LS 2 / Informatik

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Beweis• Es gilt d[x]=(s,u) nach Wahl von u.• In Zeile 9 wird nun d[y] auf min{d[y], d[x]+w(x,y)} gesetzt. Nach Lemma 52 ist der Weg von s nach y über x

ein kürzester Weg (da er „Teilweg“ des kürzesten Weges von s nach u ist). Somit ist d[x]+w(x,y)=(s,y) und d[y] wird wegen Lemma 53 auf diesen Wert gesetzt.


• Da aber u von ExtractMin aus der Prioritätenschlange entfernt wurde, giltd[u] ≤ d[y] und somit d[y]=(s,y)= (s,u) = d[u]. Widerspruch!

Graphalgorithmen

32 4

s x

y 4

u

Datenstrukturen, Algorithmen und Programmierung 2 (DAP2)

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