Deformierbare Medien

Ideales Gas:Volumenänderung bei kleinem Kraftaufwand möglich.Formänderung ohne Arbeit

Ideale Flüssigkeit:Keine Volumenänderung (inkompressibel)Formänderung ohne Arbeit(reale Flüssigkeit: innere Reibung, Oberflächenkräfte)

Fester KörperVolumenänderung erfordert (große) KraftFormänderung unter Kraftwirkung. Extreme: a) elastische Verformung, b) plastische Formänderung. Auch Zwischenformen!

Deformierbare feste Körper

Es gibt verschiedene Klassen von Formänderungen:

Dehnungselastizität

2/l2/l l

d dd

Es ziehe zu beiden Seiten eine Kraft F

Formel SI Einheit Anmerkung

1 N / m2 Dehnung

E 1 N / m2 Elastizitätsmodul

1Dehnung, relative Längen Änderung

1 N / m2 Normalspannung (Kraft / Angriffsfläche)

Dehnung – Hookesches Gesetz

E

l

Δl

A

F

Formel Einheit Erläuterung

Spannung

1 Dehnung, relative Längenänderung

Elastizitätsmodul, Beispiele:

Material

Fe

Al

Glas

Holz (Esche)

Gummi

2m

N 1

l

l

E

2m

N 1

2N/m E

11102

10107

10106

101019101

E

Beispiele für Elastizitätsmoduli

Voraussetzung: Das „Hookesches Gesetz“ gelte im Material

• sowohl bei Dehnung

• als auch bei Verdichtung

Die Poisson-Zahl

• Wird das Material verlängert, dann wird sein Durchmesser kleiner, weil das Volumen annähernd konstant bleibt.

• Das Verhältnis der relativen Änderungen des Durchmessers und der Länge heißt Faktor der Querkontraktion oder Poisson-Zahl. Sie liegt zwischen 0,2 und 0,5.

ist die Poisson-Zahl,

Die Poisson-Zahl

2/l2/l l

d dd

Es ziehe zu beiden Seiten eine Kraft F

l

l

d

d

5,02,0

Elastizitätsmodul

Bis zum Punkt A ist die Zugspannung proportional zur Dehnung (Hooksches Gesetz)

E

Elastizitätsmodul E

2

/

/

mNAF

E

Einheit: Druck, Zugspannung, Elastizitätsmodul: N/m2 (=Pa Pascal) (!)

Typische Werte für E:Stahl: (100-200)*109 N/m2

Blei: 20*109 N/m2

Spannungs-Dehnungs-Diagramme

E-Modul und Zugfestigkeit

Scherspannung

Das Verhältnis der Scherkraft Fs zur Fläche A heißt Scherspannung

A

Fs

Scherwinkel

tan

x

Für kleine Scherwinkel ist die Scherspannung proportional zur Scherung:

Schub- oder Torsionsmodul G:

/

/

x

AFG S

Beispiele: Gal=30 GNm-2, Gfe=70 GNm-2, Gstahl=84 GNm-2, GStahl==150 GNm-2

Torsion eines Drahts

Die Schubspannung bei einem beliebigen Torsionswinkel beträgt:

r

GG

Flächenelement dA eines Hohlzylinders

drrdA 2Die rücktreibende Tangentialkraft ist

drrr

GdAdFt

2

Entspechend gilt für das rücktreibende Drehmoment

drr

GrdFdM t

3

2

Integration liefert das Drehmoment

4

0

3

22

RGdr

rGM

R

Festkörper und Flüssigkeiten• Die atomaren Baugruppen liegen in beiden

Aggregatzuständen auf Kontakt – deshalb ist die Dichte eines Materials in beiden Aggregatzuständen praktisch gleich

• Aber: Flüssigkeiten sind gegen Scherung bzw. Torsion instabil

Fest Flüssig

1

0,5

0

Druck auf eine Flüssigkeit oder einen Festkörper

Kraft F

Volumenänderung ΔV

Druck p

Volumen V

Einheit

1Die relative Änderung des Volumens –ΔV/V ist proportional zum Druck p

K 1/Pa Kompressionsmodul

Kompression: Formveränderung durch Druck auf Festkörper und Flüssigkeiten

K

p

V

V

Einheit Kompressionsmodul K

Wasser

1 PaBenzol

Kupfer

Kompressionsmodul einiger Materialien

9102910111104,1

Kompressibilität: Beispiele

Hydraulische Kraftverstärkung

Fläche A2 Kraft F1

Fläche A1

Kraft F2

Der Druck in diesem statischen System ist überall der gleiche

1

0,5

0

Druck p

Hydraulische Kraftverstärkung

Einheit

1 PaKonstanter Druck im System

1 NKraft an der Fläche 2

2

2

1

1

A

F

A

Fp

1

212 A

AFF

Hydraulische Presse

Für ‘masselose’ Flüssigkeit ist der Druck an jedem Ort in der Flüssigkeit von der gleichen Größe, d.h. p=konst.

121

1

2

2 FFA

F

A

F

Werden die Flächen A1 , A2 um die Strecken a1 , a2 verschoben, so ist die gegen bzw. mit der Kraft geleistete (W1) bzw. gewonnene (W2) Arbeit

iii aFW )2,1( i

iiiii

ii VpaA

A

FW

und es gilt 21 WW

dh. der Gewinn/Verlust an Arbeit ergibt sich als Produkt von Flüssigkeitsdruck und Volumenänderung. Das gilt für den Fall, daß die Flüssigkeit inkompressibel ist.

Flüssigkeiten unter dem Einfluß der Gravitationskraft

Die Masse der Flüssigkeits säule mit Grundfläche A und Höhe H ist

HAVm Die Gewichtskraft beträgt

gHAgmFG

Die Kraft durch die gesamte Säule ist (p0=äußerer Druck)

ApgHAApF 0

Der Druck am Boden der Säule ist

0)( pHgHp Ändert man p0 so ist die Änderung überall in der Flüssigkeit gleich (Pascalsches Prinzip)

Flüssigkeitsmanometer

Flüssigkeitsbarometer

Bodendruck in Gefäßen

Auftrieb

Die Auftriebskraft

h1

h2

p(h1)

p(h2)

F(h1)

F(h2)

Drucke in Höhe der Ober- und Unterseite des Körper

Kräfte auf die Ober- und Unterseite des Körpers

Die Differenz dieser Kräfte ist die Auftriebskraft

Einheit

1 N

Druckkraft auf die obere Fläche A in Tiefe h1

Druckkraft auf die untere Fläche A in Tiefe h2

1 N

Die Auftriebskraft ist gleich dem Gewicht der Flüssigkeit, die dem Volumen des eingetauchten Körpers entspricht

Die Auftriebskraft

AhgF Fl 11

AhgF Fl 22

AhhgFFF FlA 1212

gVF KFlA

Bedingung fürs Schwimmen: ρK < ρFl

ρK

ρFl

Die Dichte des Körpers ist kleiner als die des Mediums: Die Auftriebskraft minus der Gewichtskraft beschleunigt den Körper nach oben

Bedingung fürs Schweben: ρK = ρFl

ρK

ρFl

Die Dichte des Körpers ist gleich der des Mediums: Die Auftriebskraft ist gleich der Gewichtskraft – es gibt keine beschleunigende Kraft

Bedingung fürs Sinken: ρK > ρFl

ρK

ρFl

Die Dichte des Körpers ist größer als die des Mediums: Die Gewichtskraft minus der Auftriebskraft beschleunigt den Körper nach unten

Kräfte an einem Körper

Auftriebsmethode nach Archimedes

Goldene Krone ???

Hiero II,König von Syrakus

306-215 BC

Wiegen in Luft

Wiegen in Wasser

???

Archimedes287-212 BC

Heureka

Problem des Archimedes

Ideale stationäre Strömungen

Die Volumenstromstärke

10

5

0Zeit dt

• Volumen der Flüssigkeit, das in einer Zeiteinheit ein Rohr mit Querschnittsfläche A durchströmt

dV

v

A ds

Einheit

1 m3/s Volumenstromstärke

A 1 m Querschnittsfläche des Rohres

v 1 m/s Strömungsgeschwindigkeit

Die Volumenstromstärke

vAdt

dsA

dt

dVI

10

5

0Zeit dt

dV

v

A ds

Die Kontinuitätsgleichung für ideale Strömungen

dV dV

• Eine ideale Flüssigkeit fließe durch ein Rohr mit veränderlichem Querschnitt

• Die Kontinuitätsgleichung besagt: • Die Volumenstromstärke ist konstant – unabhängig

vom Querschnitt

10

5

0Zeit dt

Die Kontinuitätsgleichung

Das in einem Zeitintervall transportierte Volumen ist in beiden Röhren gleich

11 dsAdV 22 dsAdV

2p

dV

dV

1v2v

1A1ds

2ds2A

Einheit

1 m3 In gleichen Zeiten werden gleiche Volumina bewegt

1 m3/sDivision durch die Zeit ergibt die Kontinuitätsgleichung

1 m3/s

Kontinuitätsgleichung: Die Volumenstromstärke ist konstant – unabhängig vom Querschnitt

Die Kontinuitätsgleichung

2211 dsAdsA

2211 vAvA

dt

dsA

dt

dsA 2

21

1

Der menschliche Blutkreislauf

Wird die Kontinuitätsgleichung auf den menschlichen Blutkreislauf angewandt, so wird die geringe Fließgeschwindigkeit in den Kapillaren verständlich, ohne die lebensnotwendige Diffusionsvorgänge nicht in ausreichendem Maße stattfinden können.

Der Durchmesser der Aorta beträgt ungefähr 2,3cm . In einer Minute strömen ungefähr 5 Liter Blut durch die Aorta strömen, so ergibt sich eine mittlere Strömungsgeschwindigkeit von 20,8 cm · s-1.Geht man von einer Gesamtquerschnittsfläche der Kapillaren von 4800 cm2 aus, so erhält man eine mittlere Strömungsgeschwindigeit von 0,017 cm ·s-1.

Der Bernoulli Effekt

• Eine ideale Flüssigkeit fließe durch ein Rohr mit veränderlichem Querschnitt

• Im Bereich des kleineren Querschnitts nimmt die Strömungsgeschwindigkeit zu, der Druck aber ab

Der Bernoulli-Effekt

Bei Anstieg der Strömungsgeschwindigkeit fällt der Druck

Arbeit zur Bewegung eines Volumens dV des Mediums: Kraft mal Weg

1ds

2ds

1F 2F

111 dsFW 222 dsFW

Die Wege ds1 und ds2 werden in der Zeit dt zurückgelegt

1p2p

Volumen links Volumen rechts

1 J Kraft mal Weg

1 JArbeit gegen den Druck1111 dsApW 2222 dsApW

111 dsFW 222 dsFW

Arbeit in beiden Rohren, um ein Volumen dV zu versetzen

A1

A2

1ds

2ds

Die Kraft wird durch Druck mal Fläche ersetzt

1p2p

Einheit

1 m3/sKontinuitätsgleichung,v1, v2 unterschiedliche Fließgeschwindigkeiten

1 m3 Konstante Volumina

Kontinuitätsgleichung beim Übergang

A1

A2

1ds

2ds

Das Volumen, das um sich selbst versetzt wird, ist zu beiden Seiten gleich

2211 vAvA

2211 dsAdsA

10

5

0Zeit dt

dtdsAdtdsA // 2211

1p2p

Volumen links Volumen rechts

1 J Arbeit gegen den Druck in beiden Rohren1JdVpW 11 dVpW 22

Arbeit in beiden Rohren, um ein Volumen dV zu versetzen

A1

A2

1ds

2ds

Zur Beachtung: Das Volumen im kleinerer Rohr bewegt sich schneller

1111 dsApW 2222 dsApW

Die „Überraschung“ der Bernoulli Gleichung

• Die in einer Zeiteinheit versetzten Volumina sind in beiden Röhren gleich

• Aber: Die dazu benötigte Arbeit ist unterschiedlich, wenn sich der Druck in beiden Röhren unterscheidet

• Q: Weshalb ist in den Rohren unterschiedliche Arbeit zum Versetzen zu erwarten?

• A: Weil die Flüssigkeit beim Übergang in das Rohr mit kleinerem Querschnitt beschleunigt wird

1p2p

Volumen links Volumen rechts

1 J Arbeit gegen den Druck und zur Beschleunigung1J

1 J Energieerhaltung

dVpW 11 dVpW 22

…und um ein Volumen dV zu beschleunigen

dV

dV

Bei Übergang vom großen zum kleinen Rohr wird das Medium beschleunigt

211 2/1 mvWKin 2

22 2/1 mvWKin 2

222

11 2/12/1 mvdVpmvdVp

1v2v

1 JDie Masse wird durch m=ρ·dV ersetzt

1 Pa

Bernoulli Gleichung: Bei Erhöhung der Strömungsgeschwindigkeit fällt der Druck ab

p1, p2 1 Pa Drucke in beiden Bereichen

v1, v2 1m/sGeschwindigkeiten in beiden Bereichen

ρ 1 kg/m3 Dichte des strömenden Mediums

Die Bernoulli-Gleichung

212

12

2 )(2

1ppvv

212

12

2 )(2

1pdVpdVvvdV

Druckverteilung in Rohren

Zur Messung der Durchflussmenge in einem Rohr wird eine Verengungsstelle eingebaut und der Druckabfall gegenüber dem freien Rohr gemessen (Venturirohr)

Wie groß ist der Wasserstrom (ρ = 1000 kg/m3), wenn bei einer Verengung von d1 = 80 mm auf d2 = 60 mm der Druck um 666.7 mbar absinkt?

Druckverteilung in Rohren

2211 AvAv

ss

mvdvA

5.390395.0

4

3

12

111

Aus der Kontinuitätsgleichung folgt:

Der Volumenstrom ist somit

22

21

12

112 d

dv

A

Avv

Damit erhält man aus der Bernoulli-Gleichung

222

211 22

vpvp

214

2

412

12221 1

22v

d

dvvpp

smdd

ppv /856.7

1/

242

41

211

Bernoulli-Gleichung

Energieänderungen

Energieänderungen

Energiebilanz

Bernoulli-Gleichung

Gesetz von Torricelli

Loch im Wassertank

Fragen zu deformierbaren Medien

1. An einem 1m langen Stahldraht (E=1011N/m2) der Querschnittsfläche 1mm2 wird ein 1kg schweres Gewicht aufgehängt. Wie groß ist die Längenänderung?

2. Welche Masse könnte man maximal an ein Stahlseil (Rm=520MNm-2) mit einem Durchmesser von 6mm hängen?

3. Eine Kugel (Vkugel=10-7 m3) wird in eine mit Wasser (k=5*10-10 Pa-1) gefüllte Kiste (Vkiste=10-3 m3) geschossen. Wie groß ist die Druckänderung?