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Department Mathematics-Statistics: Stochastics I, m. kohlmann Willkommen zur Stochastik an Ihrer Uni Konstanz im SS 11

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Department Mathematics-Statistics: Stochastics I, m. kohlmann. Willkommen zur Stochastik an Ihrer Uni Konstanz im SS 11. Department Mathematics-Statistics: Stochastics I. Organisation: Vorlesung Mo14.00h in R512 und Di 8.30h in M629 Skriptum auf meiner homepage , woraus wir - PowerPoint PPT Presentation

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Willkommen zur Stochastikan Ihrer Uni Konstanz

im SS 11

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Organisation:

Vorlesung Mo14.00h in R512 und Di 8.30h in M629Skriptum auf meiner homepage, woraus wiretwa die ersten 120 Seiten besprechen werden (s.u.) inden nächsten sieben Vorlesungswochen:

„Wort zum Sonntag“: Nacharbeiten der Vorlesung, Teilnahme an Übungen, Veranschaulichungen durch applets, …. und Freude an der Sache !

Bitte schicken Sie mir eine email, damit ich Sie regelmäßig updaten kann

webpage der Vorlesung (Folien, weitere Erläuterungen, Mitteilungen… ) erhalten Sie dann per email. Und wenn Sie Probleme – Vorschläge - … haben : schreiben Sie mir oder sprechen Sie nach der Vorlesung mit mir

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Übungen

Die erfolgreiche Teilnahme an den Übungsgruppen ist Voraussetzung zur Zulassung zur Klausur

Einteilung

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Übungen

Die erfolgreiche Teilnahme an den Übungsgruppen ist Voraussetzung zur Zulassung zur Klausur

Einteilung

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Übungen

1) Die ersten Ü-aufgaben sind bereits auf dem Netz2) Abgabe: Mo 18.04. 12h in Briefkästen auf F4(Die Ü-gruppenleiter richten diese ein (Janssen))

3) Die neuen Ü-aufgaben erscheinen immer am Wochenende, spätestens montags

4) Die Übungen beginnen in der nächsten Woche ab 18.04.5) Die Einteilung in die Ü-gruppen finden Sie auf der Seite

„exercises“ spätestens am Sonntag mit Raumangabe6) Ein Wechsel der Ü-gruppe ist nur im Tausch und nach

Absprache mit dem Ü-gruppenleiter möglich

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Struktur Stochastik I BATeil I bis Anfang Juni1.Einheit: Motivation für die Kolmogorovschen Axiome zur Einführung des Maßraums (Ω,A,P) [topologischer Raum]Eigenschaften, Rechenregeln, Spezialfälle2. Einheit: Kolmogorovsche Axiome, Diskussion der ~,Beispiele diskreter und nicht diskreter Maßräume

homepage

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Struktur:3. Einheit:Reduktion von Modellen: bedingte W-keitAbbildungen zwischen Maßräumen (Ω,A) (Ω‘,A‘)=“Zufallsvariablen“ [Abbildungen zw. topol. Räumen, Stetigkeit]Verteilungsfunktionen induziert durch Maß und ZufallsvariableZusammensetzung von Experimenten

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Struktur:4. Einheit: Erwartungwert, Varianz, Kovarianz als charakteristische Größen von Zufallsvariablen [Integral von stetigen Abbildungen]Bedingter Erwartungswert als Verallgemeinerung eines Integrals bezüglich der bedingten W-keit5. Einheit:Konvergenzbegriffe von Zufallsvariablen [Konvergenzen stetiger Funktionen]Gesetze der großen Zahlen (auch zur Rechtfertigung der Kolmogorovschen Axiomatik)

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Struktur:6. Einheit: Charakteristische Funktionen [Fourier Transformierte]Konvergenz von VerteilungsfunktionenZentrale Grenzwertsätze In eckigen Klammern sind die aus der Analysis bekannten analogen Begriffe angegeben, damit Sie auch ohne die neuen Begriffe zu kennen einen Eindruck haben, was gemacht wird. Man sollte diese Analogien jedoch sehr bedacht einsetzen.

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Geschichte und Geschichten Vor 20000 JAHREN. Würfel auf Felsmalereien in Jabiruum 00 die alten Römer: alea iacta15./16. Jh.Erste Beschäftigungen mit speziellen wahrscheinlichkeitstheoretische Aufgaben durch Luca Pacioli (1445-um1514), NicoloTartaglia(um1499-1557), Hieronimo Cardano (1501-1576) und Galileo Galilei (1564-1642) 1654Anfänge der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Beschäftigung mit Glücksspielerproblemen durch Chevaliere de Méré und dem Mathematiker Blaise Pascal (1623-1662) Korrespondenz zwischen den Mathematikern Pierre Fermat (1601-1665) und Blaise Pascal (1623-1662) Herauskristallisierung der Begriffe Wahrscheinlichkeit und mathematische Erwartung Anfang 17. Jh. Beschäftigung Graunts mit der Sterbewahrscheinlichkeit in Abhängigkeit vom Lebensalter Aufstellung von Tabellen für Rentenzahlungen durch Johan De Witt (1625-1672) und Edmund Halley (1656-1742)Nutzung wahrscheinlichkeitstheoretischer Gedanken in der Histographie und der Fehlerrechnung durch Isaac Newton (1643-1727)

Würfel

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Geschichte und Geschichten 1665Befassung mit geometrischen Wahrscheinlichkeiten in einem unveröffentlichten Manuskript 1655 Verfassung des Lehrbuches der Wahrscheinlichkeitsrechnung "De ratiociniis in ludo aleae" (Über Berechnungen beim (Würfelspiel) durch Christian Huygens (1629-1695)1713Erscheinen des Buches "Ars coniectandi" (Kunst des Vermutens) von Jacob Bernoulli (1654 - 1705) 1718Publizierung des Buches "The doctrine of chances" von Abraham de Moivre (1667-1754) 1730"Miscellanea analytica" (Analytische Beiträge), Abraham de Moivre 1733Ableitung der Nominal-Verteilung der Wahrscheinlichkeit als Näherung der Binominalverteilung und Aufstellung einer zur Stirlingschen Fomel äquivalenten Formel durch Abraham de Moivre (1667-1754) 1740Angabe einer wahrscheinlichkeitstheoretischen Aufgabe durch Th. Simpson (Simpsonsches Verteilungsgesetz) Verbindung von theoretische Problemen der Völkerkunde und des Versicherungswesens mit Fragen der Wahrscheinlichkeitsrechnung durch Leonhard Euler (1707-1783)Formulierung des "Petersburger Spiel" von Nikolaus Bernoulli (1695-1726)

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Geschichte und Geschichten Mitte 18. Jh.Aufwerfen der Frage nach der Berechnung der Wahrscheinlichkeit von Hypothesen, wenn schon Beobachtungsergebnisse vorliegen, durch Daniel Bernoulli (1700-1782), Lösung hierzu von Thomas Bayes (gest. 1751) 1777Einführung einer geometrischen Wahrscheinlichkeit durch den französische Naturforscher Graf Comte de Buffon (1707-1788) 1812Entwicklung der Hauptsätze der Wahrscheinlichkeit durch Laplace in seinem Werk "Théorie analytique des probabilités" zur Mitte des 19. Jh.Stagnation der Wahrscheinlichkeitsrechnung vor allem in Westeuropaab Mitte des 19. Jh.russische Gelehrte wie Pafnuti L. Tschebyschew (1821-1894), A.A.Markow und A.M. Ljapunow fördern die Wahrscheinlichkeitsrechnung nach Vorbereitungen durch W.J.Bunjakowski Erstes russisches Lehrbuch der Wahrscheinlichkeitsrechnung von W.J. BunjakowskiAb 1918Entwicklung eine "statistischen Wahrscheinlichkeitstheorie" durch den österreichischen Mathematiker Richard von Mises

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Geschichte und Geschichten 1933nach dem Vorbild des Axiomensystems für die Geometrie des deutschen Methematikers David Hilbert (1863-1943) wird auch in der Wahrscheinlichkeitsrechnung ein Axiomensystem aufgebaut, das in seiner endgültigen Form von Andrej N. Kolmogorov formuliert wird um 1910E. Borel verknüpft die Wahrscheinlichkeitsrechnung mit der Theorie der reellen Funktion, A.J. Chintschin, A.N. Kolmogoroff, E.E. Slutzki, P. Lévy und A. Lomnicki entwickelten diese Idee in den zwanziger Jahren ab 1920abschließende Lösungen für klassische Aufgaben, die schon von P.L. Tschebyschew gestellt worden waren, werden gefundenweiter Größen sind in diesem Zusammenhang auch Lindeberg, S.N. Bernstein und W. FellerAb 1930Grundlagenschaffung für die Theorie der stochastischen (zufälligen) Prozesse

Und das kommt in Stochastik II

Stoch Prozess

Heute: Anwendungen in Physik (Feynman), der Technik (Nelson) und der Finanzmathematik (ab 1980) (Merton, Black-Scholes

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• Der Begriff• Tradeology (2007): Stochastics• History• George Lane was the originator of the stochastics in the 1970's. Lane observed that as prices

increase in an up trend, closing prices tend to be closer to the upper end of bars and in a down trend closing prices tend to be nearer the lower end of bars. Lane developed stochastics to discern the relationship between the closing price and the high and low of a bar.

• (meanwhile corrected)

• Die Stochastik (von altgr: στόχαστικὴ τέχνη, (stochastike techne), lat. ars coniectandi, also Kunst des Vermutens, "Ratekunst") ist ein Teilgebiet der Mathematik und fasst als Oberbegriff die Gebiete Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik zusammen.

• Mathematische Stochastik beschäftigt sich mit der Beschreibung und Untersuchung von Zufallsexperimenten wie zum Beispiel dem Werfen von Würfeln oder Münzen sowie vom Zufall beeinflussten zeitlichen Entwicklungen und räumliche Strukturen.

• Was hat das mit der exakten Mathematik zu tun ?

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Galton Board und random walk

Würfel

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Wir unterscheiden also zwischen den Auskommen ωϵΩ des Experiments und den Ereignissen AϵK. Spezielle Ereignisse sind dann die Elementarereignisse ω. Bspl: 5 ist ein Auskommen beim Würfelwurf, 5 ist das Ereignis, dass eine 5 fällt.Der Stichprobenraum=Urne ist also die Familie der Auskommen.Die Algebra K ist die Familie der Ereignisse.Je nach Experiment wird (Ω, K) sehr unerschiedlich sein (Bsple)

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(Definition!)

Allgemein beachte:ω ϵ Ω ϵ K

und

ω Ω ϵ K P(Ω)

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Algebra auf R mit verschiedenen Erzeugern

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Department Mathematics-Statistics: Stochastics IAlgebraaufRn

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Algebra aufR ∞

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Department Mathematics-Statistics: Stochastics IAlgebra auf RT

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Die Borelschen σ-Algebren auf R, Rn, R , RT anschaulichauf R Erzeugendensystem T = (- ∞ ,a), (a,b], [a, ∞) Borelsche -Algebra B B= σ ( T)) = kleinste sigma_Algebra, die T enthält ………………………………….Rn Erzeugendensystem Tn = I1 x I2 …. x In

Ij T

Bn = σ ( Tn) ………………………………………R ∞ = R x R x .…. R x .….. = x: N → R

(a1, …., an, …..) (x(1), … x(n), ….)

Erzeugendensystem = T∞ = Urbilder in R aller Rechteckmengen

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Die Borelschen σ-Algebren auf R, Rn, R ∞ , RT

R ∞

(x1,x2 ,x3….) → (x1,x2 )

B∞ = σ ( T∞)) …………………………………………. RT =x: T → R Erzeugendensystem = T = Urbilder in RT aller Rechteckmengen BT = σ ( T))RT

(xt) → (xt1,xt2 ,….. )

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Die Methode der Konstruktion einer Sigmaalgebra auf den reellen Zahlen (und den Produkten solcher Räume) läßt sich natürlich verallgemeinern:

Betrachten wir eine beliebige nichtleere Menge Ω und eine beliebige nichtleere Teilmenge T vonP(Ω), so bezeichnet Ϭ(T) die kleinste Sigmaalgebra, die T enthält.

Bspl: Sei A eine Teilmenge von Ω, so ist mit T=A

Ϭ(T)= ,A, Ac , Ω

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Department Mathematics-Statistics: Stochastics IEinige Eigenschaften

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N

W

T

50

40

30

17

13

13

5

80=P(N W T) = P(N) + P(W) + P(T)

P(N)+P(W)+P(T) – P(N W)-P(N T) – P(W T) +?

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s.u.

Überprüfen Sie, ob dies formal W-maßeauf der entsprechenden Algebra sind !

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applet

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Buffon1 THE EXPERIMENT

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Buffon2THE EXPERIMENT

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Comic

alles Quatsch ?

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Jetzt müssen wir messen, ob der Abschnitt x länger ist als die Seite des einbeschriebenen Dreiecks

Methode2 : Drehe den Kreis, so dass

zurück

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Konsequenz: Das W-modell zu einem Experiment ist nicht eindeutig gegeben !

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Diverse Verteilungen/Dichten

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Den vollständigen Beweis entnehmen Sie der Vorlesung zur Maßtheorie.

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???

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???

Elem

entare Eigenschaften

)()()(

)()()()|(

,...,1

APBAPBP

BPBAPBPBAP i

i

ii

niii

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Game Experiment

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Nach unserer Rechnung hätte er seine Arbeit 24 Mal lesen müssen

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CoinDieCoin

Und damit weiter zu Begriffen, die aus der bedgten Wkeit hergeleitet werden können:

Das Würfel-Münze-Spiel besteht darin, einen Würfel zu werfen und dann gemäß der Augenzahl so häufig die Münze zu werfen. Wie sieht dann die Verteilung des Erscheinens von K aus?

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)())()())((

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BAPBBABPBABP

BAPBPBPAPBPAPcccc

c

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Vorsich

t

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Wiederholung

(tower formula)

Multiplikationsformel

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0 k/n 1

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Notation:

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Damit wissen wir, wie Zva aussehen.

Weiteres Vorgehen:Die einfachste Zva ist eine Indikatorfunktion eines Ereignisses A: [A]. Nun hatten wir die Unabhängigkeit von Ereignissen definiert und es stellt sich die Frage, lässt sich die übertragen auf Zvaen.Seien A und B unabhängige Ereignisse. So sollten natürlich die zugehörigen Indikatorfunktionen als Zvaen, sagen wir x und y, unabhängig sein: Also hier gilt: [A]-1(C)=x-1(C) und [B]-1(D)=y-1(C) für C,D in B sind unabhängig:

Dies können wir nun allgemein definieren durch die Unabhängigkeit der durch x und y erzeugten Sigma-algebren,

Sx=Ϭ(x-1(C) | C Borelsch) unabhängig von Sy=Ϭ(y-1(C) | C Borelsch)

Die EigenschaftP(x-1(C) y-1(D)) = P(x-1(C)) P(y-1(D))

lässt sich dann mit Hilfe der sogenannten Verteilungsfunktionen aufschreiben.

Die Idee

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Der Begriff der Verteilung einer eindimensionalen Zva verallgemeinert sich in natürlicher Weise auf n-dimensionale Zvaen / gemeinsame Verteilung von

und man kann analoge Ergebnisse herleiten.

heißt Randverteilung der gemeinsamen Verteilung

Man beachte schon hier: Die gemeinsame Verteilung von x und y ist i.a. nicht das Produkt der Randverteilungen, also hier das Produkt der Verteilung von x und der Verteilung von y. (Bspl: Münzwurf und Summe des zweifachen Münzwurfs (s.o.))

Wann die Verteilung Produkt zweier Verteilungen ist, klären wir als Nächstes.

triviale Verallgemeinerung:

),(),( 21,2211 21 xxFxxP

)(),( 1211 1 xFxxP

),( 21, 21xxF

),( 21 xx

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… in SII

Wichtige Verallgemeinerung:

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Jetzt stellt sich die Frage, ob dies sich verallgemeinern lässt auf unendlich viele Wiederholungen von Experimenten: Die Antwort: JA, aber die Details sparen wir uns für SII auf.Betrachten wir W-modelle

Für eine beliebige Indexmenge I. Dann ist es leicht, eine -Algebra auf zu erklären als die kleinste - Algebra, die alle möglichen endlichen Tensorprodukte

,

J endliche Teilmenge von I, enthält. Die bezeichnen wir mit . Nach dem gerade bewiesenen Satz existiert ein eindeutiges W-maß P J auf , nämlich

Allgemein glt dann der Satz, dass auf genau ein W-maß P existiert, so dass P eingeschränkt auf mit P J übereinstimmt.

Beispiel: Man betrachte die Irrfahrt, oder analog die unendliche Wiederholung des Münzwurfexperiments. Dafür existiert dann also ein vernünftiges W-modell

den einmaligen Münzwurf beschreibt.

Iiiii P ),,(

Ii

i

JiJi :

J

iJiJ PP J

))1(1)1(),1,1(,1,1(),,1,1(),,1,1( ,...,1 PpPPwoP iiiIiii

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Damit können wir die Irrfahrt vollständig beschreiben, also

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Faltungsformel

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Beispiel:

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Hiermit können wir endlich das Problem zur Unabhängigkeit des einmaligen Münzwurfs x und der Summe des 2-maligen Münzwurfs (s.o.) z=x+y vollständig lösen: Zeigen Sie mit obiger Formel: Es gibt k, m mit

Man führe das mal durch !

)()(),( kzPkxPmzkxP