Der Didaktiker Malle stellt in einem Buch einleitend die folgende Frage:

Welche Kompetenzen hat die Schule im Umgang mit „Variablen“ und „Termen“ vermittelt?

Diese Frage ist (nach Malle) berechtigt, da ab dem 7. Schuljahr viel Zeit und Energie in das „Buchstabenrechnen“ verwendet wird und eine ungeheuer große Zahl teilweise sehr komplexer Übungsbeispiele gerechnet wird.

Er berichtet von 4 Interviews zu dieser Frage, die alle mit Akademikern geführt wurden.

1.) Das Ergebnis des Algebra-Unterrichts

Beispiel 2: Helga (29, Akademikerin):

Interviewer (legt folgende Aufgabe vor):

In einem Saal sind x Männer und y Frauen. Was bedeutet die Formel y = x + 2 ?

Helga: (schweigt minutenlang)

Interv.: Vielleicht ist die Aufgabe leichter, wenn wir die Anzahl der Männer mit M und die Anzahl der Frauen mit F bezeichnen. Dann lautet die Formel F = M + 2. Was bedeutet das?

Helga: (spontan) Die Frau hat einen Mann und zwei Kinder.

Interv.: Muss denn diese 2 unbedingt 2 Kinder bedeuten? Können es nicht zwei Männer oder zwei Frauen sein?

Helga: Nein, denn sonst müsste ja hier stehen: F = M + 2M. Oder: F = M +2F.

Interv.: Wenn es zwei Kinder sind, dann müsste ja eigentlich F = M + 2K hier stehen.

Helga.: Ja … richtig.

Beispiel 3: Bernhard (22, Student):

Interviewer (legt die folgende Formel vor):

Kannst du d ausrechnen?

Bernhard: Ja … ich gebe zuerst d nach links:

Dann gebe ich a nach rechts:

Also:

dc

ba

c

bda

ac

bd

ac

bd

Beispiel 4: Walter (23, Akademiker):

Interviewer: Können Sie die Gleichung lösen?

Walter: (schweigt minutenlang) Ich weiß nicht mehr, wie das geht. Da gibt es eine Regel, aber die habe ich leider vergessen.

98

x

Weitere Beispiele für typische Fehler

Das Sechsfache der Zahl 2 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2

Ich vermehre eine Zahl um 7 x · 7

Das Dreifache von x x · x · x

Monika ist a Jahre alt, ihre Mutter ist dreimal so alt, also …

a : 3 oder a + 3

Hans (x cm) ist 10 cm größer als Susanne (y cm)

x + 10 cm = y

Diese „Professoren-Studenten-Aufgabe“ wurde im Rahmen der COACTIV-Studie deutschen Mathematiklehrkräften mit den folgenden drei Fragen vorgelegt:

1) Welchen Fehler werden Schüler bei dieser Aufgabe typischerweise machen?

2) Welche Ursachen könnten diesem Fehler zugrunde liegen?

3) Wie könnte man im Unterricht gegen diesen Fehler vorgehen?

und für Sie zusätzlich Aufgabe 4) : Schätzen Sie, welcher Anteil der Lehrkräfte zu 1) bis 3) richtige Angaben bzw. brauchbare Vorschläge machen konnte.

Beispiel 1 als mögliche Lösung zu 1)

An einer Universität sind P Professoren und S Studenten.Auf einen Professor kommen 6 Studenten. Drücken Sie die Beziehung zwischen S und P durch eine Gleichung aus.

Beispiel 1: Christa (26, Akademikerin):

Interviewer (legt folgende Aufgabe vor):

An einer Universität sind P Professoren und S Studenten. Auf einen Professor kommen 6 Studenten. Drücken Sie diese Beziehung zwischen S und P durch eine Gleichung aus.

Christa: (schreibt) 6S = P

Interv.: Nehmen wir einmal an, es sind 10 Professoren. Wie viele Studenten sind es dann?

Christa: 60.

Interv.: Setzen Sie das in die Gleichung ein!

Christa: 6 · 60 = 10. Aha, das kann nicht stimmen. (Nach einer Pause schreibt sie)

P + 6S = P + S

Interv.: Was bedeutet das?

Christa: Die Professoren und die auf jeden Professor fallenden 6 Studenten ergeben zusammen alle Professoren und Studenten

Interv.: Hhmm … bei dieser Gleichung könnte man auf beiden Seiten P subtrahieren. Was ergibt sich dann?

Christa: (streicht P auf beiden Seiten durch) 6S = S.

Interv.: Kann das stimmen?

Christa: Ja natürlich … die Gruppen zu 6 Studenten ergeben zusammen alle Studenten.

Interv.: Setzen Sie wieder die Zahlen ein!

Christa: 10 Professoren und 60 Studenten. Dann ist das 6 · 60 = 10. Das kann nicht stimmen. (Nach einer Pause schreibt sie) P + S = 7.

Interv.: (räuspert sich)

Christa: (bessert aus zu) P + 6S = 7

Interv.: Was bedeutet das?

Christa: Ein Professor und seine 6 Studenten sind zusammen 7 Personen.

An einer Universität sind P Professoren und S Studenten. Auf einen Professor kommen6 Studenten. Drücken Sie die Beziehung zwischen S und P durch eine Gleichung aus.

Diese „Professoren-Studenten-Aufgabe“ wurde im Rahmen der COACTIV-Studie deutschen Mathematiklehrkräften mit den folgenden drei Fragen vorgelegt:

1) Welchen Fehler werden Schüler bei dieser Aufgabe typischerweise machen?

2) Welche Ursachen könnten diesem Fehler zugrunde liegen?

3) Wie könnte man im Unterricht gegen diesen Fehler vorgehen?

1) Typischer Fehler 6 S = P (vermeintlich wörtliche Übersetzung mit eingebautem Gleichheitszeichen, z.B. „sechsmal so viele Studenten wie Professoren“)

An einer Universität sind P Professoren und S Studenten. Auf einen Professor kommen6 Studenten. Drücken Sie die Beziehung zwischen S und P durch eine Gleichung aus.

Diese „Professoren-Studenten-Aufgabe“ wurde im Rahmen der COACTIV-Studie deutschen Mathematiklehrkräften mit den folgenden drei Fragen vorgelegt:

1) Welchen Fehler werden Schüler bei dieser Aufgabe typischerweise machen?

2) Welche Ursachen könnten diesem Fehler zugrunde liegen?

3) Wie könnte man im Unterricht gegen diesen Fehler vorgehen?

2) Allgemeine Ursachen: Konzentration des Unterrichts auf das Umformen von Termen und das Lösen von Gleichungen, Vernachlässigung des Aufstellens von Termen, kaum Vermittlung von Kontrollstrategien.

Konkrete Ursachen: unklare Bedeutung der Variablen: Wofür steht S, wofür steht P? unklare Bedeutung der Terme links und rechts des Gleichheitszeichens, fehlendes Verständnis für die Bedeutung des Gleichheitszeichens (Es wird häufig als Übersetzung des Wortes ‚ist‘ verstanden oder als allgemeines Abkürzungszeichen, das irgendeinen Zusammenhang herstellt, z.B. werden Aussagen wie ‚Lea trägt eine blaue Bluse‘ häufig als ‚Lea = blau‘ notiert); es wird nicht erkannt, dass man die kleinere Anzahl P ‚größer machen‘ muss, um auf hypothetische, gleich große Anzahlen zu kommen.

An einer Universität sind P Professoren und S Studenten. Auf einen Professor kommen6 Studenten. Drücken Sie die Beziehung zwischen S und P durch eine Gleichung aus.

Diese „Professoren-Studenten-Aufgabe“ wurde im Rahmen der COACTIV-Studie deutschen Mathematiklehrkräften mit den folgenden drei Fragen vorgelegt:

1) Welchen Fehler werden Schüler bei dieser Aufgabe typischerweise machen?

2) Welche Ursachen könnten diesem Fehler zugrunde liegen?

3) Wie könnte man im Unterricht gegen diesen Fehler vorgehen?

3) allgemeine Gegenmaßnahmen: tragfähige Grundvorstellungen zu Termen und Gleichungen aufbauen, alle Darstellungsebenen (Bruner) nutzen, mehr Gewicht auf das Aufstellen und Interpretieren von Termen legen, Lösungs- und Kontrollstrategien bewusst thematisieren.

situative Interventionsmöglichkeiten: „Auf einen Professor kommen 6 Studenten - gib andere Formulierungsmöglich- keiten für diese Aussage an“, „konstruiere ein Zahlenbeispiel“, „Zeichne Männ- chen und lege sie auf zwei Waagschalen“, „setze Zahlenwerte ein“, „Was bedeutet S?“ „Vergleiche die Anzahlen S und P“„Was bedeutet das Gleichheits- zeichen?“ „Es gibt mehr Studenten als Professoren - wie kannst du erreichen, dass beide Terme trotzdem den gleichen Wert besitzen?“

4) Schätzen Sie, welcher Anteil der Lehrkräfte zu 1) bis 3) richtige Angaben bzw. brauchbare Vorschläge machen konnte.

Ergebnisse (COACTIV-Studie):

1) 51% der Lehrkräfte konnten den typischen Fehler 6S = P vorhersagen.

2) 51,5% der Lehrkräfte konnten keine potentielle Ursache angeben.

38,4% konnten eine und 10,1% konnten zwei potentielle Ursachen angeben.

3) 33,8% schlugen keine Intervention vor,

35,9% schlugen eine Intervention vor,

26,8% konnten zwei und

3,5% konnten drei mögliche Interventionen vorschlagen.

An einer Universität sind P Professoren und S Studenten. Auf einen Professor kommen6 Studenten. Drücken Sie die Beziehung zwischen S und P durch eine Gleichung aus.

Diese „Professoren-Studenten Aufgabe“ wurde im Rahmen der COACTIV-Studie deutschen Mathematiklehrkräften mit den folgenden drei Fragen vorgelegt:

1) Welchen Fehler werden Schüler bei dieser Aufgabe typischerweise machen?

2) Welche Ursachen könnten diesem Fehler zugrunde liegen?

3) Wie könnte man im Unterricht gegen diesen Fehler vorgehen?