1

DER GOLDENE SCHNITT Ein Verhltnis, das es in sich hat

A B C D E F G Welches der sieben Rechtecke gefllt die am besten? Miss bei jedem Rechteck die Seitenlnge ab und trage ihr Lngen in die nachfolgende Tabelle ein. Gib anschlieend die gesuchten Verhltnisse an! Finde dazu ganzzahlige Werte! Verhltnis

(lange : kurze Seite) Wert des Bruchs

Verhltnis (lange : kurze Seite)

Wert des Bruchs

A A

B B

C C

D D

E E

F F

G G

Kennst du dieses Gebude? Wo steht es? Seine Mae betragen: 91 m x 22 m x 154 m In welchem Verhltnis stehen Lnge und Hhe sowie Breite und Hhe zueinander?

2

Eine weitere Fragestellung fhrt uns ebenfalls zum Verhltnis des Goldenen Schnitts: Kaninchen sind dafr bekannt, dass sie viele Junge gebren. Ein italienischer Mathematiker namens Fibonacci1 wollte wissen, wie viele Kaninchenpaare innerhalb eines Jahres geboren werden. Er nahm an: Im Januar gibt es ein Paar Kaninchen, nmlich ein Mnnchen und ein Weibchen. Einen Monat spter im Februar bekommt es Junge, wiederum ein mnnliches und ein weibliches (also ein Prchen). Das geht jeden Monat so weiter. Nun knnen die Jungprchen aber auch wieder Junge bekommen und zwar im bernchsten Monat nach ihrer Geburt. Also fr die Februargeborenen gibt es im April den ersten Nachwuchs in Form eines Prchens. Das gilt fr alle neugeschlpften Kaninchenpaare. berlege nun, wie viele Prchen es am Ende des Jahres (also im Dezember) gibt, wenn keine Todesflle zu beklagen sind! Tipp: Lege dir eine bersicht (umgekehrter Stammbaum) an und trage jeweils ein, wie viele Prchen im Februar, Mrz, April geboren werden! Auch wenn es am Anfang nicht so scheint, es gibt ein Prinzip, mit dem man jeweils auf das nchste Monat schlieen kann.

1 Fibonacci war ein italienischer Mathematiker, der um 1200 lebte. Neben anderen ist es auch ihm zu verdanken, dass die rmische Ziffernschreibweise durch die indisch-arabischen Ziffern in Europa abgelst wurde. Er wurde 1179 geboren und hie eigentlich Leonardo da Pisa, wurde aber Fibonacci genannt, weil er Figlio di Bonaccio, der Sohn des Bonaccio war, eines bekannten Kaufmanns und Funktionrs der Republik Pisa im 12. Jahrhundert. Der Vater unterhielt Handelsbeziehungen mit den arabischen Lndern Nordafrikas und des Nahen Ostens. Weil der Sohn ihn auf seinen hufigen Reisen begleitete, konnte er die muselmanischen Schulen besuchen und die mathematischen Techniken lernen, in denen die Araber Meister waren. Es war nur natrlich, dass Leonardo dabei auch das System der indisch-arabischen Ziffern erlernte. Spter fasste er seine arithmetischen, algebraischen und geometrischen Kenntnisse in seinem Buch ber Abaci (1202, Liber abaci) zusammen, in dem er auch die Vorzge der Einfachheit und Praktikabilitt des neuen Zahlsystems verteidigte. Im Westen wurde dieses System zunchst nicht sofort wohlwollend aufgenommen. Es gab viele Wissenschaftler, Hndler und Gelehrte, die sich der neuen Mode widersetzten. In Florenz zum Beispiel wurde den Bankiers durch die Statuten des Geldwechsels der Gebrauch arabischer Ziffern verboten. Die Menschen widersetzten sich den neuen Ziffern, weil es jetzt schwieriger war, die Rechnungsbcher der Hndler zu verstehen. Langsam, aber unaufhaltsam setzten sich jedoch auch in Europa die arabischen Ziffern durch.

Monat Neuge-borene

Jan 0 Feb 1 Mrz 1 April 2 Mai Juni Juli Aug Sept Okt Nov Dez

3

Trage die Fibonacci-Zahlen in die nachstehende Tabelle ein und berechne das Verhltnis benachbarter Zahlen!

Dass verschiedene Gren in genau diesem Verhltnis stehen, kommt auch in der Natur vor! Spiralfrmiges Wachstumsmuster des Fhrenzapfens Beim Tannenzapfen gehrt jeder Samen zu zwei Spiralen. Acht dieser Spiralen verlaufen im Uhrzeigersinn, 13 in entgegen gesetzter Richtung. Das Verhltnis von 8:13 kommt mit 1:1,625 schon recht nahe an den Goldenen Schnitt heran.

Spiralfrmiges Wachstumsmuster bei Pflanzen hnlich wie beim Tannenzapfen gehrt auch bei vielen anderen Pflanzen, jeder Samen zu beiden Spiralen! Die eine Spirale dreht sich immer im Uhrzeigesinn, die andere gegen den Uhrzeigersinn. Berechne fr die folgenden Pflanzen das Verhltnis im Uhrzeiger : gegen Uhrzeiger!

4

Bekannt ist auch, dass bereits die Menschen der Renaissance Krperstudien betrieben haben, in denen der Goldene Schnitt eine wesentliche Rolle spielte. Sie griffen dabei auf die Schnheitsideale der Antike zurck, fr deren Skulpturen ebenfalls diese Proportion verwendet wurde.

Krperstudie von Leonardo da Vinci und von Albrecht Drer

bereinander gelegt ergibt sich, dass die (Krper-)Proportionen nahezu identisch sind! Nur im Bereich des Kopfes gibt es markante Unterschiede. Wir sehen, dass sich auf die Studien Rechtecke legen lassen, deren Seitenverhltnisse das Verhltnis des Goldenen Schnitts ergeben. Man nennt ein solches Rechteck Goldenes Rechteck!

5

Konstruktion des Goldenen Schnitts Das Besondere am Goldenen Rechteck ist also, dass das kleinere Restrechteck, das durch das Abschneiden eines Quadrats entsteht, stets wieder ein Goldenes Rechteck ist. Wegen dieser speziellen Eigenschaft bezeichnet man das Goldene Rechteck auch als das Rechteck mit dem tanzenden Quadrat. Wie lang sind die ersten fnf Quadratseiten und die ersten fnf Rechtecksseiten? Wenn man in die stndig kleiner werdenden Quadrate jeweils einen Viertelkreis mit der Seitenlnge des neuen Quadrats als Radius einzeichnet, entsteht eine Spirale. Zeichne nun eine solche Spirale und gestalte sie frbig!

6

Konstruktion der Goldenen Spirale

7

Untersuchungen an der Regenbogenforelle Untersuche mithilfe der beiden goldenen Rechtecke beim Kopf und der Schwanzflosse die Regenbogenforelle! Wo liegt ungefhr das Auge? Wo ungefhr die Schwanzflosse?

8

Konstruktion des Goldenen Dreiecks aus einem regelmigen Fnfeck Verbindest du die Eckpunkte A, B und D zu einem Dreieck, dann entsteht ein Goldenes Dreieck! Miss die Winkel und Seitenlnge! Wo zeigt sich das Verhltnis des Goldenen Schnittes?

Zeichne nun alle fnf mglichen Goldenen Dreiecke im Fnfeck ein! Miss alle entstehenden Seiten mglichst genau nach! Kannst du bei diesen Seiten nochmals das Verhltnis des Goldenen Schnittes finden?

9

VW-Beetle und der Goldene Schnitt Finde das Goldenes Rechteck, das den VW-Beetle umschreibt! Untersuche die Gestaltung des VW-Beetle anschlieend mit weiteren Gnomonen und Goldenen Rechtecken!

10

Der Goldene Schnitt und die Werbung Der Goldene Schnitt ist fr die Werbung und Gestaltung von Werbeplakaten von zentraler Bedeutung! Zeichne ein Goldenes Rechteck mit den Seitenlngen 16 cm und 10 cm! Entwirf ein Plakat, ein Buchcover, fr dein Lieblingsprodukt und achte dabei auf den Goldenen Schnitt!!