Der Parameter...

Der Parameter „Migrationsmatrix“ Teil I

Anne-Christine Barthel

Seminar „Portfoliokreditrisiko“Universität Mannheim

22.11.2007

Der Parameter "Migrationsmatrix" 2

Gliederung

1. Bedeutung der Migrationsmatrix2. Schätzung der Migrationsmatrix

i. Statistischer Hintergrund: Markov-Kettenii. Diskrete vs. kontinuierliche Zeitiii. Zeit-Homogenität vs. Zeit-Inhomogenität

3. Vergleich der Schätzer anhand von Beispielen4. Aalen-Johansen Schätzer

i. Definitionii. Eigenschafteniii. Maximum Likelihood Estimator

5. Abhängigkeit von Covariableni. Driftii. Waiting Time


Gliederung

4. Aalen-Johansen Schätzeri. Definitionii. Eigenschafteniii. Maximum Likelihood Estimator




3. Vergleich der Schätzer anhand von Beispielen


1. Bedeutung derMigrationsmatrix


Migrationsmatrix

• Wahrscheinlichkeiten, dass Kreditnehmer in einem Jahr in gleicher Rating-Klasse bleibt oder neues Rating (oder Default) erhält

Aktuelles Rating:

AAA AA A BBB BB B C DAAA 87,74 10,93 0,45 0,63 0,12 0,10 0,02 0,02AA 0,84 88,23 7,47 2,16 1,11 0,13 0,05 0,02A 0,27 1,59 89,05 7,40 1,48 0,13 0,06 0,03BBB 1,84 1,89 5,00 84,21 6,51 0,32 0,16 0,07BB 0,08 2,91 3,29 5,53 74,68 8,05 4,14 1,32B 0,21 0,36 9,25 8,29 2,31 63,89 10,13 5,58C 0,06 0,25 1,85 2,06 12,34 24,86 39,97 18,60

Rating in einem Jahr:


Bedeutung

• Migrationsmatrix zentraler Aspekt im modernen Kreditrisikomanagement

• Basel II: Rating Systeme zur Risikoquantifizierung

• Rating Agenturen wie Standard & Poor‘s, Moody‘s

• Programme wie Credit Metrics, Credit Portfolio View

2. Schätzung der Migrationsmatrix


Statistische Grundlagen:Markov Prozesse

• Charakterisierung durch Ausgangsverteilung und Übergangswahrscheinlichkeiten

• Zusammenfassung in Übergangsmatrizen mit den Elementen

tsijP stijp <=== ),( ηη



• Markov-Identität:

Kenntnis von begrenzter Vorgeschichte (z. B. aktueller Zustand) ausreichend für Prognose

)(),,...,,( 110 110ijPijP stsnt iii sss n

======== −−ηηηηηηη



• Beispiele für Markovketten:

– Medizin/Versicherung– Genetik

– Sport (Tennis)– Würfelspiele (z.B. Monopoly)


Statistische Grundlagen: Markov-Prozesse

• Zeit-homogene Markov-Kette:Übergangswahrscheinlichkeitsmatrix ist Funktion der Zeitspanne und nicht des Zeitpunktes

• Übergangsintensität:

utstuPstPsuP <<−⋅−=− ),()()(

h

httt

pij

hij

),(:)( lim

0

+=

+→λ


Statistische Grundlagen: Markov-Prozesse

• Zeit-inhomogene Markov-Kette: Übergangswahrscheinlichkeiten /-intensitäten abhängig von der Zeit

• Kumulierte Intensitätsfunktion:

• Übergangsmatrix:( ) ( )dsst

t

ijijA ∫=0λ

( ) ( )[ ]∏ +=

tsdAItsP

,,


Diskrete Zeit

• Sprünge zu festen Zeitpunkten

• Schätzung der einjährigen Übergangswahrscheinlichkeiten mit Cohort-Methode:

ijN i

Nijpij ≠= ,ˆ


Stetige Zeit

• Bessere Erfassung von seltenen Ereignissen• Effizienz• Schätzung von

Übergangswahrscheinlichkeiten mit MLE

• Zunächst Schätzung der Generatormatrix mit MLE, dann Anwendung der Matrixexponentialfunktion

( ) 0,exp)( ≥Λ= tttP


Exkurs: Exponentialverteilung

• Hazard function: durchschnittliche Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit nach Erreichen des Zeitpunktes t

dt

tTdttTtPt

dt

)(lim)(

0

≥+≤≤=

→λ



• Verteilungsfunktion:

• Dichtefunktion:

)()( tFtTP =<

dtdF

tf =)(



( ) ( )( )tTP

tTdttTtPtTdttTtP

≥≥+<≤=≥+<≤ ,

( )tTPdttTtP

≥+<≤= )(

( ) ( )( )tF

tFdttF−

−+=1



( ) ( ) ( )( )tFdt

tFdttFt

dt −⋅−+=

→ 11

lim0

λ

( )( )

( )( )tF

tftF

tF−

=−

′=

11



•

•

( ) ∫−=−t

dsstF0

))(exp(1 λ

∫−=t

dssttf0

))(exp()()( λλ

( )[ ]tFdtd

t −−= 1log)(λ

( )[ ]tFdtd

tf −−= 1)(

Survivor function



• Wenn Hazard function unabhängig von Verweildauer in Zustand

• Hier:

tdsst

λλ =∫0

)(

)exp()(1 ttF λ−=−

)exp()( ttF Λ=


Stetige Zeit

• Schätzung von Λ:

λ)(

)(

0∫= T

i dss

TNijij

Y

)ˆexp()(ˆ ttP Λ=

∑≠

−=ij

ijii λλ ˆˆ


Beispiel I

• 2 Ratingkategorien A und B, Defaultkategorie D

• 20 Firmen, 10 in A, 10 in B

• 1 Firma von A nach B nach 1 Monat• 1 Firma von B nach A nach 2 Monaten• 1 Firma von B nach D nach 6 Monaten


Beispiel I

• Berechnung von

•

Λ

10084.09

1)()1(

1210

1211

0

ˆ =++

==∫ dssY

N

A

ABABλ

−−

=Λ000

10909.021818.010909.0

010084.010084.0ˆ


Beispiel I

• Berechnung von

• Bei diskreter Zeit

)1(P

=100

09819.080858.009323.0

00495.008681.090887.0

)1(P

=100

1.08.01.0

01.09.0

)1(P


Beispiel II


Inhomogene Markov-Ketten

• Übergangswahrscheinlichkeiten sind abhängig von der Zeit

Λ(t)• Aalen – Johansen Schätzer

Product – Limit Estimator

∏=

∆+=m

iiTAItsP

1

))(ˆ(),(ˆ


Inhomogene Markov-Ketten

∆∆−

∆∆

∆∆∆−∆

∆∆∆∆−

=∆

−

−

−

−

−

−

−

−

000)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)()(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(ˆ

1

,1

1

1

1

2,1

1

1,1

2

2

2

23

2

2

2

21

1

1

1

13

1

12

1

1

LL

L

MLOMM

L

L

ip

ipp

ip

ip

ip

ip

ip

ip

i

ip

i

i

i

i

i

i

i

ip

i

i

i

i

i

i

i

TY

TN

TY

TN

TY

TN

TY

TN

TY

TN

TY

TN

TY

TN

TY

TNTY

TN

TY

TN

TY

TN

TY

TN

TA

Schätzung der Änderung der kumulierten

Übergangsintensitäten:


Beispiel III

( )

−=∆

000

000

01.01.0

12/1TA ( )

−=∆000

0

000

111

111

12/2TA

( )

−=∆000

1.01.00

000

2/1TA


Beispiel III

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2/112/212/11,0ˆ TAITAITAIP ∆+∆+∆+=

=100

1.09.00

001

100

0

001

100

010

01.09.0

1110

111

=100

09091.081818.009091.0

00909.008181.090909.0

3. Vergleich der Schätzer


Vergleich der Schätzer

( )

=100

09091.081818.009091.0

00909.008181.090909.0

1,0P

=100

09819.080858.009323.0

00495.008681.090887.0

)1(P

=100

1.08.01.0

01.09.0

)1(P

Aalen - Johansen

Matrixexponential Cohort Methode


Beispiel IV


Fazit

• In großen Datensätzen keine großen Unterschiede zwischen Aalen – Johansen Schätzer und Matrixexponential

• Unterschied geringer als zwischen Cohort Methode und Matrixexponential

• Matrixexponential glättet, daher geeignet für kurze Zeiträume

• Auf längere Sicht Aalen – Johansen besser geeignet, da sich Zeitinhomogenitäten auswirken


∏=

∆+=m

iiTAItsP

1

))(ˆ(),(ˆ

Exkurs: Überführbarkeit

( ) ( )∫=t

ijij dsstA0λ

tA ijij ⋅= λ

( ) ( )tAItP ˆˆ ∆+= Λ=∆ ˆA

( ) ( )tItP Λ+= ˆˆ

( ) ( )tx

ItPxt

xΛ=

Λ+=∞→

ˆexpˆ

limˆ

homogene Markovkette

Aalen-Johansen Schätzer

Matrixexponential


Zusammenfassung







Ausblick


i. Statistischer Hintergrund: Markov-Ketten

ii. Diskrete vs. kontinuierliche Zeitiii. Zeit-Homogenität vs. Zeit-Inhomogenität





Literatur

• Aalen, O.O. (1978): Nonparametric estimation of partialtransition probabilities in multiple decrement models, Annals ofStatistics, 6, 534-545.

• Lancaster, T.(1990): The Econometric analysis of transition data, Cambridge: Cambridge University Press

• Lando, D., Skodeberg, T. (2002): Analyzing rating transitionsand rating drift with continuous Observations, Journal ofBanking and Finance, 26, 423-444, 2002.

• Johansen, S. (1978): The Product Limit Estimator as a Maximum Likelihood Estimator, Scandinavian Journal of Statistics, 5, 195-199, 1978.

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