Der Rang einer Matrix A - fbmn.h-da.deochs/mathe2/skript/matrizen13b.pdf · Der Rang einer Matrix A...

Der Rang einer Matrix A

ist gleich Anzahl der Zeilen ungleich 0, nachdem die Matrixdurch elementare Zeilenoperationen in Zeilenstufenformgebracht worden ist.

Bezeichnung: rang(A) oder rg(A).

Beispiel

A =

2 0 −21 2 31 1 1

hat Rang 2, da sie sich durch

elementare Zeilenumformungen gemäÿ dem Gauÿ�Algorithmus

in die Matrix

1 0 −10 1 20 0 0

überführen lässt.

matrizen13b.pdf, Seite 1

Eigenschaften

Der Rang einer m × n�Matrix A ...

I ist ≤ min(m, n), also kleiner gleich der Zahl der Zeilenund kleiner gleich der Zahl der Spalten,

I ändert sich nicht unter elementaren Zeilenoperationen,I ändert sich nicht unter elementaren Spaltenoperationen(Vertauschen zweier Spalten, Multiplikation einer Spaltemit einer Konstanten 6= 0, Addition einer Spalte zu eineranderen Spalte),

I ist gleich der maximalen Zahl linear unabhängiger Zeilen,I ist gleich der maximalen Zahl linear unabhängiger Spalten,I ist gleich dem Rang der Transponierten AT .I rg(AB) ≤ rg(A) und rg(AB) ≤ rg(B)


Bemerkung / FolgerungBei der Bestimmung des Ranges dürfen an einer Matrix Aauch elementare Spaltenopertionen durchgeführt werden.

Beispiel

rg

2 1 −1 21 2 1 2−1 1 2 0

= rg

2 1 −1 11 2 1 1−1 1 2 0

= rg

1 1 −1 21 2 1 10 1 2 −1

= rg

1 1 −1 20 1 2 −11 2 1 1

= rg

1 1 −1 20 1 2 −10 1 2 −1

= rg

1 1 −1 20 1 2 −10 0 0 0

= 2

(angewandte Operationen: Letzte Spalte mal 1

2,

Vertauschen der 1. und 4. Spalte, Vertauschen der 2. und 3. Zeile,3. Zeile minus 1. Zeile, 3. Zeile minus 2. Zeile)


Warnung

Spaltenoperationen sind nur dann zulässig, wenn esausschlieÿlich um die Bestimmung des Ranges geht. Dieshängt damit zusammen, dass der Rang von A gleich dem derTransponierten AT ist.

Bei der Lösung von linearen Gleichungssystemen und derInvertierung von Matrizen (kommt später) dürfen dagegen diebetrachteten Koe�zientenmatrizen ausschlieÿlich zeilenweiseumgeformt werden.


Rang und lineare Gleichungssysteme

Mit dem Rang einer m × n�Matrix A und dem Rang dererweiterten Koe�zienten�Matrix (A|b) (die dann einem × (n + 1)�Matrix ist) lassen sich Aussagen über die Anzahlder Lösungen des linearen Gleichungssystems Ax = b tre�en.

Der Rang von A gibt an, wie viele Unbekannte bei der Lösungdes Gleichungssystems Ax = b eindeutig festgelegt sind.

Hat man die erweiterte Koe�zientenmatrix (A|b) in dieZeilenstufenform (A, b) gebracht, so ist das LGS genau dannnicht lösbar, wenn es eine Zeile gibt, in der A nur Nullenenthält, aber der entsprechende Koe�zient von b ungleichNull ist. Das bedeutet aber, dass der Rang von (A|b) echtgröÿer dem Rang von A ist. Also gilt

Ax = b nicht lösbar ⇔ rg(A|b) > rg(A).


Zusammenhang zwischen Rang und Lösungen einesLGS

Für das LGS Ax = b mit der m × n�Matrix A und b ∈ Rm gilt

I Das LGS ist genau dann lösbar, wenn für die erweiterteKoe�zientenmatrix (A|b) gilt rg(A|b) = rg(A).

I Insbesondere: Ist rg(A) = m, so ist Ax = b für alleb ∈ Rm lösbar.

I Die Lösung ist eindeutig, wenn rg(A) = n.I Ist rg(A|b) = rg(A) = k , so können n − k Unbekannte als

freie Parameter beliebig gewählt werden.

Spezialfall: Für eine quadratische n × n�Matrix A mitrg(A) = n hat das LGS Ax = b für jedes b ∈ Rn eineeindeutige Lösung.


Beispiel

Mit A =

2 1 −11 2 1−1 1 2

und b =

220

ist

rg(A) = rg

2 1 −11 2 1−1 1 2

= rg

1 2 1−1 1 22 1 −1

= rg

1 2 10 3 30 −3 −3

= rg

1 2 10 1 10 0 0

= 2

sowie rg(A|b) = rg

2 1 −1 21 2 1 2−1 1 2 0

= 2

(siehe vorheriges Beispiel).

Es folgt, dass das LGS Ax = b lösbar ist. Es gibt n = 3Unbekannte (= Zahl der Spalten von A), von denen rg(A) = 2durch das LGS festgelegt werden. Somit enthält die allgemeineLösung einen (= 3− 2) freien Parameter.


Beispiel 2

Mit b =

222

und A =

2 1 −11 2 1−1 1 2

aus dem letzten

Beispiel ist

rg(A|b) = rg

2 1 −1 21 2 1 2−1 1 2 2

= rg

1 2 1 2−1 1 2 22 1 −1 2

= rg

1 2 1 20 3 3 40 −3 −3 −2

= rg

1 2 1 20 1 1 4/30 0 0 2

= 3

Wegen rg(A) = 2 < rg(A|b) = 3 hat das LGS Ax = b jetztkeine Lösung.


Beispiel 3

Mit A =

2 1 21 2 2−1 1 2

ist

rg(A) = rg

2 1 21 2 2−1 1 2

= rg

1 2 2−1 1 22 1 2

= rg

1 2 20 3 40 −3 −2

= rg

1 2 20 1 4/30 0 2

= 3

Ist b ∈ R3 nun ein beliebiger Vektor, so hat die erweiterteKoe�zientenmatrix (A|b) drei Zeilen, also ist rg(A|b) ≤ 3.

Damit ist das LGS Ax = b in jedem Fall lösbar. Wegenrg(A) = 3 werden dabei alle 3 Unbekannten eindeutigfestgelegt, d. h. das LGS ist für beliebiges b ∈ R3 eindeutiglösbar.


Inverse Matritzen

Spezialfall: Die Gleichung ax = b mit einer Unbekannten xkann mit Hilfe des Kehrwerts 1

a= a−1 gelöst werden:

ax = b ⇔ x =b

a= a−1 · b.

Verallgemeinerung auf Ax = b mit einer n × n�Matrix A:

Wenn es eine Matrix A−1 (die �Kehrmatrix 1

A�) gibt mit

A−1A = In, so kann damit das LGS Ax = b durch�Umstellung� der Gleichung gelöst werden:

Ax = b ⇒ A−1(Ax) = A−1b ⇒ (A−1A)x = A−1b

⇒ Inx = A−1b ⇒ x = A−1b


Beispiel

Mit A =(

2 31 2

)und B =

(2 −3−1 2

)ist BA = AB = I2 =

(1 00 1

)(Beweis durch nachrechnen),

also ist B = A−1 die �Kehrmatrix� von A.

Für die Lösung x =(x1x2

)des LGS Ax =

(11

)gilt dann,

indem beide Seiten der Gleichung von links mit B multipliziertwerden: (

2 31 2

)(x1x2

)=(11

)⇒(

2 −3−1 2

)(2 31 2

)(x1x2

)=(

2 −3−1 2

)(11

)⇒(

1 00 1

)(x1x2

)=(−11

)⇒(x1x2

)=(−11

)


De�nition

Eine quadratische n × n�Matrix heiÿt invertierbar, wenn eseine n × n�Matrix A−1 gibt mit

A−1A = AA−1 = In.

A−1 ist dann die Inverse von A.

Beispiel(2 31 2

)−1

=(

2 −3−1 2

)bzw.

(2 −3−1 2

)−1

=(

2 31 2

)

Bemerkung

Aus der De�nition folgt unmittelbar: Ist B die Inverse von A,so ist A die Inverse von B (Man sagt: �A und B sindzueinander invers�).


Gruppeneigenschaft

Sind A und B invertierbar, so auch AB mit Inversem(AB)−1 = B−1A−1 (Achtung: umgekehrte Reihenfolge!).

Es folgt, dass die Menge aller invertierbaren n × n�Matrizeneine (nichtkommutative) Gruppe bildet mit neutralemElement In.

Aus der allgemeinen Gruppeneigenschaft folgt

I Die inverse Matrix ist eindeutig bestimmt.I Es genügt, eine der beiden Bedingungen nachzuprüfen:Aus A−1A = In folgt automatisch AA−1 = In undumgekehrt.

Achtung: Die obige Argumentation funktioniert nur beiquadratischen Matrizen. Bei m × n�Matrizen mit m 6= n istdie Betrachtung von Inversen nicht sinnvoll.


Berechnung der Inversen

Ist bk =

b11. . .

bn1

die k�te Spalte von B = A−1, so folgt aus

AB = In und der De�nition der Matrixmultiplikation beiBetrachtung der k�ten Spalte

Abk = ek (k�ter Standard�Einheitsvektor).

Beispiel: Aus B =(

b11 b12b21 b22

)=(

1 23 4

)−1

folgt

(1 23 4

)(b11 b12b21 b22

)=(

1 00 1

)⇔(

1 23 4

)(b11b21

)=(10

)und

(1 23 4

)(b12b22

)=(01

)


Inverse Matrix mit Gauÿ�AlgorithmusZur Berechnung von A−1 können mit dem Gauÿ�Algorithmusdie Gleichunssysteme Ab1 = e1, Ab2 = e2,...,Abn = ensimultan gelöst werden.

Dazu startet man mit der erweiterten Koe�zientenmatrix(A|In) und transformiert diese durch elementareZeilenumformungen in (In|A−1).

Beispiel A =(

1 23 4

)(

1 2 1 03 4 0 1

)⇔(

1 2 1 00 −2 −3 1

)⇔(

1 2 1 00 1

3

2− 1

2

)⇔(

1 0 −2 10 1

3

2− 1

2

)⇒ A−1 =

(−2 13

2− 1

2

)Im letzten Schritt wurde 2�fache der zweiten Zeile von derersten Zeile subtrahiert, um den Koe�zienten a12 �oberhalbder Diagonale� zu Null zu machen.


Beispiel A =

−1 1 −32 0 51 −6 5

⇒ A−1 =

30 13 5−5 −2 −1−12 −5 −2

−1 1 −3 1 0 0

2 0 5 0 1 01 −6 5 0 0 1

⇔ 1 −1 3 −1 0 0

2 0 5 0 1 01 −6 5 0 0 1

⇔ 1 −1 3 −1 0 0

0 2 −1 2 1 00 −5 2 1 0 1

⇔ 1 −1 3 −1 0 0

0 1 − 1

21 1

20

0 −5 2 1 0 1

⇔ 1 −1 3 −1 0 0

0 1 − 1

21 1

20

0 0 − 1

26 5

21

⇔ 1 −1 3 −1 0 0

0 1 − 1

21 1

20

0 0 1 −12 −5 −2

⇔ 1 −1 0 35 15 6

0 1 0 −5 −2 −10 0 1 −12 −5 −2

⇔ 1 0 0 30 13 5

0 1 0 −5 −2 −10 0 1 −12 −5 −2

Grün: Im nächsten Schritt zu 0 machen, rot: zu 1 machen,blau: wird verändert, fett/rot: Pivotelement


Algorithmus zur Invertierung von A = (aij)

Starte mit der erweiterten Koe�zientenmatrix (A|In).for (j=1; j<=n; j++) {

I Ist ajj = 0, so wähle i > j mit aij 6= 0 und vertausche dieZeilen i und j .Ist dies nicht möglich, so ist A nicht invertierbar.

I multipliziere j�te Zeile mit 1/ajj . (Dadurch wird ajj zu 1)I for (i=j+1; i<=n; i++)subtrahiere von der i�ten Zeile das aij�fache der j�ten Zeile.(Dadurch werden die Koe�zienten unterhalb ajj zu 0) }

for (j=n; j>=2; j� �) for (i=1; i<j; i++)subtrahiere von der i�ten Zeile das aij�fache der j�ten Zeile.(Dadurch werden die Koe�zienten oberhalb ajj zu 0)

Das Ergebnis ist (In|A−1).


Anwendungen

I Muss man ein LGS Ax = b für verschiedene b und dieselbe Matrix A lösen, ist es oft sinnvoll, A−1 zu berechnen(Bsp. Umrechnung RGB�YPbPr�Farben)

I Umkehrung von linearen TransformationenI Dekodierung von Daten

Beispiel

Die Matrix A =(

1 −11 1

)beschreibt in der Ebene eine

Linksdrehung um 45o kombiniert mit einer (gleichmäÿigen)Streckung um den Faktor

√2.

A−1 = 1

2

(1 1−1 1

)beschreibt dann eine Rechtsdrehung um

45o kombiniert mit einer Stauchung um den Faktor√2.


Drehstreckung mit A =(

1 −11 1

)


Bemerkung

Nicht jede quadratische Matrix A, die ungleich der Nullmatrix0n,n ist, ist invertierbar.

Es gilt: A ist invertierbar⇔ Das LGS Ax = b ist für jedes b ∈ Rn eindeutig lösbar

Begründung für �⇐�: Ist das LGS immer eindeutig lösbar, sokann die inverse Matrix mit dem Gauÿ�Algorithmus berechnetwerden.

Für �⇒�: Existiert A−1, so ist die Lösung des LGS gegebendurch x = A−1b.


Invertierbarkeit und Rang

Weiterhin gilt für eine n × n�Matrix:

Das LGS Ax = b ist für jedes b ∈ Rn eindeutig lösbar genaudann, wenn rg(A) = n.

Das heiÿt, eine n× n�Matrix ist genau dann invertierbar, wennsie vollen Rang (= n) hat.

Matrizen mit dieser Eigenschaft (quadratisch, invertierbar,voller Rang) werden auch als regulär bezeichnet.

Beispiel A =(

1 22 4

)ist nicht regulär und damit auch nicht invertierbar, da

rg(A) = rg(

1 22 4

)= rg

(1 20 0

)= 1 < 2.


Beispiel: Inverse Matrix in Z32

Daten werden in Bitfolgen mit jeweils 3 Bit unterteilt, die alsVektoren x ∈ Z3

2aufgefasst werden.

Die Daten werden verschlüsselt, indem x mit der MatrixA =

1 1 0

1 0 1

0 1 0

multipliziert wird, d. h. die verschlüsselten

Daten haben die Form y = Ax ∈ Z3

2, z. B. wird

x = 1

1

0

zu y = Ax = 1 1 0

1 0 1

0 1 0

1

1

0

= 0

1

1

verschlüsselt.

Da Entschlüsselung erfolgt nun mit der inversen Matrix A−1:Aus y = Ax folgt x = A−1y .

Die Berechnung von A−1 erfolgt wie bei einer Matrix mitreelllen Koe�zienten mit dem Gauÿ�Algorithmus. Man erhältA−1 =

1 0 1

0 0 1

1 1 1

und damit z. B. 1 0 1

0 0 1

1 1 1

0

1

1

= 1

1

0


LR�Zerlegung

In praktischen Anwendungen wird oft anstelle der inversenMatrix die LR�Zerlegung (auch LU�Zerlegung genannt) einerMatrix A berechnet:

Die quadratische Matrix A wird dargestellt als ProdunktA = LR , wobei L eine untere und R eine obere Dreiecksmatrix

ist.

R ist dabei die Matrix, die aus A durch die Umformungen imGauÿ�Algorithmus entsteht, L �speichert� die Informationenüber die durchgeführten Zeilenoperationen.

Beispiel:

1 2 31 1 13 3 1

=

1 0 01 −1 03 −3 −2

· 1 2 3

0 1 20 0 1


Determinante

Die Determinante |A| = detA einer quadratischen Matrix A isteine reelle Zahl mit der Eigenschaft

A invertierbar ⇔ detA 6= 0.

Die Berechnung erfolgt rekursiv:

I det(a11) = a11 für eine 1× 1�Matrix,

I det

(a bc d

)= ad − bc für eine 2× 2�Matrix,

I det(aij) =∑n

j=1(−1)j+1 · a1j · detA1j

= a11 ·detA11−a12 ·detA12+a13 ·detA13±...±a1n ·detA1n

für eine n × n�Matrix, wobei Aij die Matrix bezeichnet,die entsteht, wenn man aus A die i�te Zeile und die j�teSpalte entfernt.


Beispiel 1

det

1 2 34 5 67 8 9

=

∣∣∣∣∣∣1 2 34 5 67 8 9

∣∣∣∣∣∣= 1 · det

(5 68 9

)− 2 · det

(4 67 9

)+ 3 · det

(4 57 8

)

= 1 ·∣∣∣∣ 5 68 9

∣∣∣∣− 2 ·∣∣∣∣ 4 67 9

∣∣∣∣+ 3 ·∣∣∣∣ 4 57 8

∣∣∣∣= (45− 48)− 2 · (36− 42) + 3 · (32− 35) = 0.

Es folgt, dass die Matrix nicht invertierbar ist.


Beispiel 2

Für welche Werte des Parameters p ∈ R ist die Matrix

Ap =

(p 1 11 p −11 1 p

)

invertierbar bzw. das LGS Apx = b für alle b ∈ R3 eindeutiglösbar?

Dazu muss gelten

detAp = p · det(

p −11 p

)− det

(1 −11 p

)+ det

(1 p1 1

)= p(p2 + 1)− (p + 1) + (1− p) = p3 − p 6= 0

⇔ p 6∈ {−1, 0, 1}.Es folgt, dass Ap für alle p mit p 6= 0 und p 6= ±1 invertierbarist.


Laplace�Entwickling der Determinante

Die angegebene Formel ist die Laplace�Entwicklung nach der

ersten Zeile. Analog ist eine Entwicklung nach der i�ten Zeilefür beliebiges i möglich:

detA =n∑

j=1

(−1)i+jaij detAij ,

sowie nach der j�ten Spalte:

detA =n∑

i=1

(−1)i+jaij detAij .

Beispiel (Entwicklung nach 3. Spalte)

det

1 2 34 5 67 8 9

= 3 ·∣∣∣∣ 4 57 8

∣∣∣∣−6 · ∣∣∣∣ 1 27 8

∣∣∣∣+ 9 ·∣∣∣∣ 1 24 5

∣∣∣∣matrizen13b.pdf, Seite 27

Laplace�Entwickling in Worten

Die Einträge aij einer ausgewählten Zeile oder Spalte derMatrix A werden durchlaufen und jeweils mit der Determinanteder (n− 1)× (n− 1)�Untermatrix Aij multipliziert, die entstehtwenn aus A die i -te Zeile und die j-te Spalte entfernt wird.

Über die so berechneten n Werte (je einer für jedenKoe�zienten der ausgewählten Zeile bzw. Spalte) wird diealternierende (d. h. mit wechselnden Vorzeichen) Summegebildet.

Die Wahl der Vorzeichen erfolgt dabei nach einem

�Schachbrettmuster�:

(+ − + . . .− + − . . .+ − + . . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...

).


Beispiel (Entwicklung nach der 2. Spalte)

det

1 2 3 0−1 0 2 10 1 2 11 0 1 1

= −2 · det

(−1 2 10 2 11 1 1

)− 1 · det

(1 3 0−1 2 11 1 1

)

= 2− 7 = −5

Die Summanden für die beiden Nulleinträge der�Entwicklungsspalte� sind Null und fallen daher weg, diezugehörigen �Unterdeterminaten� brauchen nicht berechnet zuwerden.

Grundsätzlich emp�ehlt es sich, die Determinante nach einerZeile oder Spalte zu entwickeln, die möglichst viele Nullenenthält.


Dreiecksmatrizen

Besonders einfach wird die Berechnung der Determinante beieiner oberen Dreiecksmatrix (aij) mit aij = 0 für j < i

In diesem Fall ist (folgt aus der Entwicklung nach der1. Spalte)

det

a11 a12 . . . a1n

0. . .

......

. . .. . .

...0 . . . 0 ann

= a11 · ... · ann =n∏

i=1

aii .

Analog ist det(aij) =∏n

i=1aii auch für eine untere

Dreiecksmatrix mit aij = 0 für i > j .

Insbesondere ist det In = 1.


Eigenschaften der Determinante

I Vertauschen zweier Zeilen ändert das Vorzeichen derDeterminante.

I Die Determinante ändert sich nicht, wenn zu einer Zeileein Vielfaches einer anderen Zeile dazuaddiert wird.

I Mulitipliziert man eine Zeile mit dem Skalar c , somultipliziert sich die Determinante mit c .

I Es folgt det(cA) = cn · detA(jede Zeile wird mit c multipliziert).

I Alle Eigenschaften bleiben gültig, wenn �Zeile� durch�Spalte� ersetzt wird.

I det(AT ) = detA.I det(AB) = (detA) · (detB).I detA−1 = 1

detA, falls A invertierbar.


Berechnung der Determinante

Bei einer voll besetzten n × n�Matrix (d. h. alle Koe�zientensind 6= 0) erfordert die Entwicklung nach einer Zeile oderSpalte über n! Multiplikationen.

Transformiert man die Matrix durch elementare Zeilen� bzw.Spaltenoperationen zunächst in eine Dreiecksmatrix, so kanndie Determinante mit O(n3) Rechenoperationen berechnetwerden. Daher wird dieses Verfahren bei �groÿen� Matrizen inder Praxis vorgezogen.

Beispiel (mit Zeilenoperationen nach �Gauÿ�)∣∣∣∣∣∣1 2 34 5 67 8 9

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣1 2 30 −3 −60 −6 −12

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣1 2 30 −3 −60 0 0

∣∣∣∣∣∣ = 1 ·(−3) ·0 = 0


Beispiel 2∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 0−1 0 2 10 1 2 11 0 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = −∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 3 00 1 2 1−1 0 2 11 0 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = −∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 00 1 2 10 2 5 10 −2 −2 1

∣∣∣∣∣∣∣∣= −

∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 00 1 2 10 0 1 −10 0 2 3

∣∣∣∣∣∣∣∣ = −∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 00 1 2 10 0 1 −10 0 0 5

∣∣∣∣∣∣∣∣ = −1 · 1 · 1 · 5 = −5.

Im 1. Schritt wurden die Zeilen 2 und 3 vertauscht, wodurch sich dasVorzeichen ändert, danach Vorwärtselimination nach Gauÿ.

Beispiel 3∣∣∣∣∣∣0 0 −22 2 43 2 1

∣∣∣∣∣∣ = −2∣∣∣∣∣∣3 2 11 1 20 0 −2

∣∣∣∣∣∣ = 2

∣∣∣∣∣∣1 1 23 2 10 0 −2

∣∣∣∣∣∣= 2

∣∣∣∣∣∣1 1 20 −1 −50 0 −2

∣∣∣∣∣∣ = 2 · 1 · (−1) · (−2) = 4.

(Im 1. Schritt wurden die Zeilen 1 und 3 vertauscht und der Faktor 2 ausder 2. Zeile �herausgezogen�.)


Die Regel von Sarrus

ist eine alternative Möglichkeit zur Berechnung derDeterminante einer 3× 3�Matrix:

detA = a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31 + a13 · a21 · a32−a13 · a22 · a31 − a11 · a23 · a32 − a12 · a21 · a33

Achtung: funktioniert nur bei 3× 3 !matrizen13b.pdf, Seite 34

Beispiel A =

1 2 34 5 67 8 9

Man schreibt

1 2 3 1 24 5 6 4 57 8 9 7 8

bzw.

1 2 3 1 24 5 6 4 57 8 9 7 8

und erhält

detA = 1 · 5 · 9+2 · 6 · 7+3 · 4 · 8−3 · 5 · 7−1 · 6 · 8−2 · 4 · 9= 45+ 84+ 96− 105− 48− 72 = 0


Geometrische Interpretation der DeterminanteI Der Betrag | detA| der Determinante einer 2× 2�Matrix

A =(

a11 a12a21 a22

)entspricht der Fläche des von den

Spaltenvektoren s1 =(a11a21

)und s2 =

(a12a22

)aufgespannten Parallelogramms und ist gleich der Flächedes von den Zeilenvektoren z1 = (a11 a12) undz2 = (a21 a22) aufgespannten Parallelogramms.

I detA ist positiv, wenn das System {s1, s2} positivorientiert ist, d. h. s1 durch eine Linksdrehung um einenWinkel kleiner 180o in die Richtung von s2 überführtwerden kann.

I detA ist negativ, wenn {s2, s1} positiv orientiert ist(⇔ {s1, s2} ist negativ orientiert).

I detA = 0 genau dann, wenn s1 und s2 entweder in diegleiche oder in entgegengesetzte Richtungen zeigen, d. h.auf einer Geraden liegen. In diesem Fall sind die beidenVektoren linear abhängig.


BeispielAus det

(1 23 4

)= 1 · 4− 2 · 3 = −2 folgt, dass die

Spaltenvektoren

{(13

),(24

)}sowie die Zeilenvektoren

{(1; 2), (3; 4)} jeweils negativ orientiert sind und dieaufgespannten Parallelogramme jeweils die Fläche 2 haben.


Anwendung

Bilden dieSpaltenvektoren s1 und s2 einer MatrixA zwei Seiten eines Dreiecks, so istdie Dreiecks�äche gleich 1

2| detA| (da ein

Dreieck ein �halbes Parallelogramm� ist).

Beispiel

Das Dreieck mit den Ecken A =(

−3

1

), B =

(1

3

)und C =

(2

−2

)hat die Seitenvektoren B − A =

(4

2

), C − A =

(5

−3

)und

C − B =(

1

−5

). Seine Fläche ist somit gleich

1

2

∣∣∣∣det( 4 52 −3

)∣∣∣∣ = 1

2

∣∣∣∣det( 4 12 −5

)∣∣∣∣ = 1

2

∣∣∣∣det( 5 1−3 −5

)∣∣∣∣= 1

2· 22 = 11


Geometrische Interpretation einer3× 3�Determinante

Der Betrag | detA| der Determinante einer 3× 3�Matrix A istgleich dem Volumen des von den Spaltenvektoren von Aaufgespannten Parallelepipeds (Spats) sowie gleich demVolumen des von den Zeilenvektoren aufgespannten Spats.

Sie ist positiv wenn die Spaltenvektoren sowie dieZeilenvektoren jeweils positiv orientiert sind (ein Rechtssystem

bilden) und negativ, wenn die Spalten- und Zeilenvektorennegativ orientiert sind.

Die Determinate ist 0, wenn die Spaltenvektoren in einerEbene liegen (linear abhängig sind). In diesem Fall liegen auchdie Zeilenvektoren in einer Ebene.


Lineare AbbildungenBei der linearen Abbildung x 7→ y = Ax mit einer 2× 2�MatrixA gibt | detA| den Faktor an, um den Flächeninhalte ändern.

Die Determinante einer 3× 3�Matrix A gibt entsprechend dieÄnderung dreidimensionaler Volumina an.

Die Abbildung ist x 7→ Ax orientierungstreu, wenn detA > 0.Ist detA < 0, so werden geometrische Objekte nach derAbbildung �seitenverkehrt� dargestellt.

Multiplikation mit A =(

0 31 −1

): Vergröÿerung der Fläche

um den Faktor | detA| = 3 und seitenverkehrte Darstellungmatrizen13b.pdf, Seite 40

Die Cramersche Regel

ist eine Formel zur Lösung von linearen Gleichungssystemenund zur Berechnung von inversen Matrizen mit Hilfe vonDeterminanten.

Zum Beispiel gilt für eine invertierbare 2× 2�Matrix A(a bc d

)−1

=1

detA

(d −b−c a

)=

1ad − bc

·(

d −b−c a

)Beispiel:(

1 23 4

)−1

= 11·4−2·3 ·

(4 −2−3 1

)= 1

2

(−4 23 −1

)Die Cramersche Regel ist jedoch vom Rechenaufwand her nurfür kleine n (= 2 oder 3) sinnvoll einsetzbar.

Zudem löst sie das LGS Ax = b nur in solchen Fallen, wo Aeine invertierbare quadratische Matrix ist.


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