11.01.2002 Vorlesung 8 1

Der χχχχ2 Test

Es gibt verschiedene Arten von SignifikanztestsNeben Signifikanztests, die sich mit dem Mittelwert beschäftigen,

gibt es auch Testverfahren für Verteilungen

Bei Verteilungen Beantwortung der Frage, ob eine gemessene Verteilung

Gauß- oder Poisson-verteilt ist oder nicht ?

Allgemeine Definition :

( )∑=

−=n

k k

kk

TTE

1

22χ

Ek ist die experimentelle Häufigkeit

Tk ist die theoretisch erwartete Häufigkeit

11.01.2002 Vorlesung 8 2

Der χχχχ2 Test

Wir wiederholen eine Messung viele (N) Male,fassen die Messwerte in n-Klassen zusammen

und ermitteln die Anzahl der Beobachtungen Ek, die in die Klasse k fallen.Beispiel: Siehe letzte Übungsaufgabe zur Poisson-Verteilung

Unter der Voraussetzung, dass die Messwerte der erwarteten Verteilung folgen, berechnen wir die

theoretisch erwartete Zahl von Messwerten in der k-ten Klasse.

Bei χ2 = 0 ist die Übereinstimmung vollkommen.

Dies ist selten der Fall, also wird χ2 > 0 sein.Aufgabe ist es, Grenzen zu finden, bei denen man

die Übereinstimmung als signifikant bezeichnen kann.

11.01.2002 Vorlesung 8 3

Der χχχχ2 Test

Beispiele zur Motivation:

Auf einer vierspurigen Autobahn werden die Fahrzeuge pro Spur gezählt:Bevorzugen die Fahrer eine Fahrbahn ?

Insgesamt 1000 Fahrzeuge

Annahme: Die Fahrer bevorzugen keine Fahrbahn, das heißt pk = 1/4 ; somit ist Tk =250 für alle k

192238276294Fahrzeuge

4321Spur

( ) ( ) ( ) ( ) 4824250

250192250

250238250

250276250

250294 22222

.=−+−+−+−=χ

11.01.2002 Vorlesung 8 4

Der χχχχ2 TestRechteckverteilungen kommen beim Würfeln vor,

hier ist die Wahrscheinlichkeit für das Würfeln einer Zahl pk=1/6

Wir würfeln 240 Mal

Andere typische Rechtecksverteilung ist die Ziehungshäufigkeit beim Lotto

324537494235Häufigkeit

654321Augenzahl

χ2 = 5.20

Ist dies ein zu großes χχχχ2 ?

Ist der Würfel manipuliert ?

11.01.2002 Vorlesung 8 5

Der χχχχ2 Test

Die Summe N = 11982

Mittlere Ziehungshäufigkeit Tk = 244.53

Wir haben bei allen drei Beispielen unterschiedliche Anzahlen von Klassen

χ2 bei 4 Fahrspuren muss anders

bewertet werden als χ2 bei 49 Klassen im Beispiel der Lottozahlen

χ2 = 46,77

11.01.2002 Vorlesung 8 6

Der χχχχ2 Test

( )∑=

−=n

k k

kk

TTE

1

22χ

Die Ek und Tk sind Häufigkeiten und nicht Wahrscheinlichkeiten

Nehmen wir zufällige Schwankungen in den experimentellen Verteilungen an, so erhalten wir für χ2 wieder eine Verteilung:

( ) ( )

−

−

= −

2exp

12

2

1 21

22

2

2

!χχ

νχ

ν

νf

Es wird die Wahrscheinlichkeit berechnet mit der χ2 Werte auftreten

11.01.2002 Vorlesung 8 7

Der χχχχ2 Test

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0 5 10 15 20Chi-quadrat

f(Chi

-qua

drat

)

( ) ( )

−

−

= −

2exp

12

2

1 21

22

2

2

!χχ

νχ

ν

νf

0,00

0,05

0,10

0,15

0 10 20 30 40Chi-quadrat

f(Chi

-qua

drat

)

0,00

0,05

0,10

0 10 20 30 40 50 60Chi-quadrat

f(Chi

-qua

drat

)

0,00

0,05

0 20 40 60 80 100 120Chi-quadrat

f(Chi

-qua

drat

)

ν = 5

ν = 20

ν = 10

ν = 50

11.01.2002 Vorlesung 8 8

Der χχχχ2 TestDer Begriff der Freiheitsgrade

im allgemeinen ist die Anzahl der Freiheitsgrade ν in einer statistischen Rechnung definiert als

die Anzahl der beobachteten Klassen n minus der Anzahl der aus den Daten berechneten und/oder in der Rechnung verwendeten Parameter c.

Die Anzahl der Freiheitsgrade νννν ist:νννν = n - c,

wobei c die Anzahl der Parameter ist, die aus den Daten berechnet

werden mussten um die erwarteten Anzahlen Tk zu berechnen.

11.01.2002 Vorlesung 8 9

Der χχχχ2 Test

N = 11982 = ∑=

n

kkE

1

Beispiel: Lotto

Folglich ist zur Berechnung der theoretischen Häufigkeiten genau ein Parameter nötig,

der aus den Daten bestimmt werden muss, nämlich N.

Die Anzahl der Zwangsbedingungen ist c = 1.

Die Zahl der Freiheitsgrade ν = n - 1 = 49 - 1 = 48

(Beim Beispiel der Autobahn 3 beim Würfel 5)

11.01.2002 Vorlesung 8 10

Der χχχχ2 Test

Beispiel: Lotto

Sobald N festliegt, können wir die Gleichung N =

als Zwangsbedingung auffassen. ∑

=

n

kkT

1

Wir haben freie Wahl für die Häufigkeiten T1,... Tn-1.

Die letzte Zahl Tn ist jedoch nicht mehr frei wählbar.

Sie muss so gewählt werden, dass die Summe der Ti die Anzahl N ergibt

Wir werden sehen, dass die Zahl der Zwangsbedingungen größer als eins werden kann (Gaußverteilung etc.)

11.01.2002 Vorlesung 8 11

Der χχχχ2 Test

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0 5 10 15 20Chi-quadrat

f(Chi

-qua

drat

)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit χχχχ2 – Werte zu finden, die größer sind als ein bestimmter Wert?

11.01.2002 Vorlesung 8 12

Der χχχχ2 Test

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit χχχχ2 – Werte zu finden, die größer sind als ein bestimmter Wert?

Beispiel χ2 Freiheits-grad

P = 90 % P = 1% P = 0.1% P(χ2 )

Autobahn 24.48 3 0.58 11.34 16.27 < 0.1%

Würfel 5.20 5 1.61 15.09 20.52 0.391

Lotto 46.77 48 35.95 73.68 84.04 0.523

0,00

0,05

0 20 40 60 80Chi-quadrat

f(Chi

-qua

drat

) Lotto ν=48

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0 2 4 6 8 10Chi-quadrat

f(Chi

-qua

drat

) Autobahn ν=3

11.01.2002 Vorlesung 8 13

Der χχχχ2 TestAllgemeines Vorgehen:

Die Lottozahlen sind manipuliert !Aufstellen einer Hypothese

Festlegen einer Irrtumswahrscheinlichkeit 5 %

Bestimmung der Sicherheitsschwelle (Tabelle) χχχχ2SW = 65.17

Vergleich der Sicherheitsschwelle mit dem experimentellen Wert χχχχ2

EX = 46.77

Ist χχχχ2 der Sicherheitsschwelle größer als der experimentelle Wert,muss die Hypothese verworfen werden.

11.01.2002 Vorlesung 8 14

Der χχχχ2 TestAllgemeines Vorgehen:

Alle Fahrbahnen werden gleichmäßig benutztAufstellen einer Hypothese

Festlegen einer Irrtumswahrscheinlichkeit 5 %

Bestimmung der Sicherheitsschwelle (Tabelle) χχχχ2SW = 7.81

Vergleich der Sicherheitsschwelle mit dem experimentellen Wert χχχχ2

EX = 24.48

Ist χχχχ2 der Sicherheitsschwelle kleiner als der experimentelle Wert,muss die Hypothese verworfen werden.

Irrtumswahrscheinlichkeit ist 5 %

11.01.2002 Vorlesung 8 15

Der χχχχ2 Test

Wir würfeln 240 Mal324537494235Häufigkeit

654321Augenzahl

χ2 = 5.20

Wir würfeln 360 Mal mit einem manipulierten Würfel

605350806650Häufigkeit

654321Augenzahl

χ2 = 12.15

Hypothese: Meine Kumpels sind Ganoven !

Testen der Hypothese mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5%, 1% und 0.1%

11.01.2002 Vorlesung 8 16

Der χχχχ2 Test

unmanipulierter Würfel χ2 = 5.20manipulierter Würfel χ2 = 12.15

Unmanipulierter Würfel

Manipulierter Würfel

VerwerfenVerwerfen20.520.1%

VerwerfenVerwerfen15.091%

VerwerfenBestätigt11.075 %

HypotheseHypotheseSicherheitsschwelleIrrtums-wahrscheinlichkeit

Hypothese: Meine Kumpels sind Ganoven !

11.01.2002 Vorlesung 8 17

Der χχχχ2 Test

Beispiel χ2 Freiheits-grad

P = 90 % P = 1% P = 0.1% P(χ2 )

Autobahn 24.48 3 0.58 11.34 16.27 < 0.1%

Würfel 5.20 5 1.61 15.09 20.52 39.1 %

Lotto 46.77 48 35.95 73.68 84.04 52.3

0,00

0,05

0 20 40 60 80Chi-quadrat

f(Chi

-qua

drat

) Lotto ν=48

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0 2 4 6 8 10Chi-quadrat

f(Chi

-qua

drat

) Autobahn ν=3

Berechnen von Zwischenwerten der Wahrscheinlichkeit

11.01.2002 Vorlesung 8 18

Der χχχχ2 TestBerechnen von Zwischenwerten der Wahrscheinlichkeit

Um aus der Tabelle Zwischenwerte für P zu errechnen, interpoliert man logarithmisch

21

22

21

2

12

1

lnlnlnln

χχχχ

−−=

−−

PPPP

0.5000.5230.600

47.3446.7744.92

χ22χ2χ1

2

P2PP1

( )( )

( )( )

6485.0

51083.092.4437.47

51083.069315.092.4477.46

lnlnlnln 121

22

1221

2

−=

−−

+−−=

+−

−−= PPPPχχ

χχ

11.01.2002 Vorlesung 8 19

Der χχχχ2 TestPoisson-Verteilung

k Ek Tk Qk

0 54 51.53 0.12

1 97 96.61 0.00

2 90 90.58 0.003 55 56.61 0.054 17 26.54 3.435 19 9.95 8.236 3 3.11 0.007 1 0.83 0.03

8 .... 0 0.24 0.24

Chi-Quadrat 12.10

Freiheitsgrade 7Sicherheitsschwelle 0.103

Insgesamt N = 336 Messungen

Mittelwert µ = 1.875

Beide Daten werden benötigt, um die theoretische Häufigkeit zu berechnen

9 Klassen – 2 Zwangsbedingungen

Bei Annahme einer

Irrtumswahrscheinlichkeit von 5 %

entsprechen die Daten einer Poisson-

Verteilung

11.01.2002 Vorlesung 8 20

Der χχχχ2 TestPoisson-Verteilung

Vergleich zweier fast identischer Messungen (Mittelwert ist identisch)

k Ek Tk Qk k Ek Tk Qk ∆∆∆∆Qk

0 54 51.53 0.12 0 55 51.53 0.23 -0.11

1 97 96.61 0.00 1 96 96.61 0.00 -0.00

2 90 90.58 0.00 2 90 90.58 0.003 55 56.61 0.05 3 55 56.61 0.054 17 26.54 3.43 4 17 26.54 3.435 19 9.95 8.23 5 19 9.95 8.236 3 3.11 0.00 6 3 3.11 0.007 1 0.83 0.03 7 0 0.83 0.83 -0.80

8 .... 0 0.24 0.24 8 .... 1 0.24 2.41 -2.17

Chi-Quadrat 15.18

Freiheitsgrade 7Sicherheitsschwelle 0.034

Bei Annahme einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5 %

entsprechen die rechten Daten keinerPoisson-Verteilung

????????

11.01.2002 Vorlesung 8 21

Der χχχχ2 Test

Der χχχχ2 Test darf nur angewandt werden, wenn die theoretische Häufigkeit einer Klasse ≥≥≥≥ 5 ist

Zusammenfassung von Klassen, so lange bis die Bedingung erfüllt ist

k Ek Tk Qk0 54 51.53 0.121 97 96.61 0.002 90 90.58 0.003 55 56.61 0.054 17 26.54 3.435 19 9.95 8.236 3 3.11 0.007 1 0.83 0.03

8 .... 0 0.24 0.24

3.11 + 0.83 + 0.24 = 4.18 < 5

11.01.2002 Vorlesung 8 22

Der χχχχ2 Test

Der χχχχ2 Test darf nur angewandt werden, wenn die theoretische Häufigkeit einer Klasse ≥≥≥≥ 5 ist

Zusammenfassung von Klassen, so lange bis die Bedingung erfüllt ist

k Ek Tk Qk0 54 51.53 0.121 97 96.61 0.002 90 90.58 0.003 55 56.61 0.054 17 26.54 3.435 19 9.95 8.236 3 3.11 0.007 1 0.83 0.03

8 .... 0 0.24 0.24

9.95 + 3.11 + 0.83 + 0.24 = 14.13 > 5

Dies führt zu einer neuen Tabelle

11.01.2002 Vorlesung 8 23

Der χχχχ2 TestPoisson-Verteilung

Vergleich zweier fast identischer Messungen

k Ek Tk Qk k Ek Tk Qk Qk

0 54 51.53 0.12 0 55 51.53 0.23 -0.11

1 97 96.61 0.00 1 96 96.61 0.00 -0.00

2 90 90.58 0.00 2 90 90.58 0.003 55 56.61 0.05 3 55 56.61 0.054 17 26.54 3.43 4 17 26.54 3.43

5.... 23 14.13 5.57 5... 23 14.13 5.57

Chi-Quadrat 9.17 Chi-Quadrat 9.28Freiheitsgrade 4 Freiheitsgrade 4

Sicherheitsschwelle >0.05 Sicherheitsschwelle > 0.05

Beide Verteilungen sind mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% Poisson-verteilt

11.01.2002 Vorlesung 8 24

Der χχχχ2 TestAlle bislang diskutierten Messgrößen waren diskret.

Es gab keine Schwierigkeiten bei der Klasseneinteilung

Die Gauß-Verteilung ist eine kontinuierliche Verteilung. Es gibt andere häufig vorkommende kontinuierliche Verteilungen

(Lorentz-, Maxwell-, Boltzmann-, Fermi-Verteilung sind in der Physik sehr häufig)

Wie immer die Verteilung aussehen mag, die gesamte Fläche unter dem Graphen f(x) aufgetragen gegen x, ist gleich 1 und die Wahrscheinlichkeit eines Messwertes zwischen

x = a und x = b ist gleich der Fläche zwischen a und b.

( ) ( )∫=<<b

adxxfbxaP

11.01.2002 Vorlesung 8 25

Der χχχχ2 Test

Wenn also die k-te Klasse von x = ak bis x = ak+1 läuft, ist die (nach insgesamt N Messungen) erwartete

Anzahl von Messwerten in der k-ten Klasse:

( ) ( )∫+⋅=<<⋅= +1

1k

k

a

akkk dxxfNaxaPNT

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 700

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12 NanosM = 30.4SABW=9.86SF=1.4

Häu

figke

it

Punktzahl

Beispiele:Klausurergebnisse

Körpergröße von Menschen

Aufwändiges Verfahren

11.01.2002 Vorlesung 8 26

Der χχχχ2 TestBeispiel 200 Studenten

Körpergröße sei normalverteilt

Wir messen die Körpergröße X von N = 200 Studenten, errechnen µo und σ

Klasse Größen in der Klasse Beobachtete Ek Erwartete Tk Qk

1 µo - ∞ σ < X < µo -1.5 σ 14 13.4 0.032 µo -1.5 σ ≤ X < µo -1.0 σ 29 18.3 6.273 µo -1.0 σ ≤ X < µo -0.5 σ 30 30.0 0.004 µo -0.5 σ ≤ X < µo +0.0 σ 27 38.3 3.335 µo +0.0 σ ≤ X < µo +0.5 σ 28 38.3 2.776 µo +0.5 σ ≤ X < µo +1.0 σ 31 30.0 0.037 µo +1.0 σ ≤ X < µo +1.5 σ 28 18.3 5.138 µo +1.5 σ ≤ X < µo + ∞ σ 13 13.4 0.01

Chi-Quadrat 17.57

8 Klassen – 3Zwangsbedingungen !!!! νννν=5 Schwellenwert 5% χχχχ2SW = 11.07

Die Hypothese muss verworfen werden

11.01.2002 Vorlesung 8 27

Der χχχχ2 TestBeispiel: Klausurergebnisse der Nanos

Punktzahl sei normalverteilt

Wir haben N = 51 Studenten, errechnen µo = 30.4 und σ = 9.86

6 Klassen – 3Zwangsbedingungen !!!! νννν=3 Schwellenwert 5% χχχχ2SW = 7.81

Die Hypothese muss verworfen werden

χχχχ2TheorieExperimentIntervallePunktzahlen

31.32

8.954.01101 σ bis ∞39.66 bis ∞

0.188.2270.5 σ bis 1 σ35.03 bis 39.66

3.9813.2760 σ bis 0.5 σ30.40 bis 35.03

0.1213.2712-0.5 σ bis 0 σ25.77 bis 30.40

2.178.224-1 σ bis –0.5 σ21.14 bis 25.77

15.924.0112-∞ bis -1 σ-∞ bis 21.14

11.01.2002 Vorlesung 8 28

Der χχχχ2 Test

4 Klassen – 3Zwangsbedingungen !!!! νννν=1 Schwellenwert 5% χχχχ2SW = 3.84

Die Hypothese muss ebenfalls verworfen werden

χχχχ2TheorieExperimentIntervallePunktzahlen

7.12

1.8612.23170.5 σ bis -∞35.03 bis -∞

3.9813.2760 σ bis 0.5 σ30.40 bis 35.03

0.1213.2712-0.5 σ bis 0 σ25.77 bis 30.40

1.1612.2316-∞ bis –0.5 σ-∞ bis 25.77

Weiteres Zusammenfassen von KlassenVorgehen wird immer fragwürdiger

Datenmaterial N = 51 ist viel zu gering für eine verlässliche Aussage

11.01.2002 Vorlesung 8 29

KonfidenzintervalleWir haben eine normalverteilte Grundgesamtheit

mit Mittelwert µ und Standardabweichung σ

Wir machen eine Stichprobe von n Messungen und erhalten einen Mittelwert µi und eine Stichprobenstandardabweichung s.

Die Mittelwerte µi sind normalverteilt um den wahren Mittelwert µmit einer Standardabweichung von , wenn n groß ist. n

σ

Das heißt, alle Mittelwerte einer Stichprobe liegen mit einer

68.27 % Wahrscheinlichkeit im Intervall

+−n

;n

σµσµ ii

11.01.2002 Übung - 8 16

Übung 8 – Motivation

45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 550,00

0,02

0,04

0,06

0,08

Häu

figke

it Mittelwerte

11.01.2002 Vorlesung 8 30

Übung 8 – Motivation

45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 550,00

0,02

0,04

0,06

0,08

Häu

figke

it

Mittelwerte

11.01.2002 Vorlesung 8 31

Konfidenzintervalle

Dieses Intervall

Aufgabe ist es jetzt, die Länge eines Intervalls so festzulegen, dass es den wahren Mittelwert

mit einer runden Vertrauenswahrscheinlichkeit β überdeckt,also 90% oder 95%

+−n

;n

σµσµ ii

wird als Konfidenzintervall für den wahren Mittelwert µ

zur Vertrauenswahrscheinlichkeit 68.27 % bezeichnet.

11.01.2002 Vorlesung 8 32

Konfidenzintervalle

In der Praxis hat β die Werte β = 0.90, β = 0.95, β = 0.99 und gelegentlich β = 0.999

Es ist klar, dass es einen Parameter λβ geben muss, so dass das Intervall

+−

n;

nσλµσλµ ββ ii

ein Konfidenzintervall für zur Vertrauenswahrscheinlichkeit β ist.

βσλµµσλµ ββ =

+⟨⟨−Φnn ii

11.01.2002 Vorlesung 8 33

Konfidenzintervalle

Diese Gleichung lässt sich umformen

β=

+⟨

−⟨−Φ β

iβ λn

σµµλ

Häufig benutzte Werte:

λ90% = 1.645

λ95% = 1.960

λ99% = 2.576

βσλµµσλµ ββ =

+⟨⟨−Φnn ii

Dies sind zweiseitige Schranken der Normalverteilung.

11.01.2002 Vorlesung 8 34

Konfidenzintervalle

Es gibt auch einseitige Schranken von Konfidenzintervallen

λ90%* = 1.282

λ95%* = 1.645

λ99%* = 2.326

+−∞nσλµ; *

βi

In der Praxis ist σ selten bekannt und darüber hinaus n klein

Dies führt zur t-Verteilung oder der Verteilung nach Student

11.01.2002 Vorlesung 8 35

Die t-VerteilungWilliam Gosset (1908)

Stichprobenanalysen:Ist die Standardabweichung einer Grenzverteilung unbekannt,

so kann sie durch die Standardabweichung einer größeren Population angenähert werden.

Bei kleinen Datenausschnitten (Stichproben) ist s

(Standardabweichung der Stichprobe) allerdings kein gutes Maß für σ.

Da s größer oder kleiner sein kann als σ, wird auch der Fehler des Stichprobenmittelwertes µi

einmal größer oder kleiner sein als der Fehler des Mittelwertes der Grenzverteilung .

=nss

iµ

=n

σσ µ

Wird aus einem kleinen Datenausschnitt abgeleitet,

ist das ein sehr ungenaues Maß für

ns

n

σ

" !

11.01.2002 Vorlesung 8 36

Die t-VerteilungMacht man viele Datenausschnitte mit einer geringen Anzahl von Messungen, so ergibt sich für die Mittelwerte eine bestimmte Verteilung.

(Siehe Motivation zu Übung 8)

W. Gosset verwendete als Parameter nicht die Häufigkeit dieser Mittelwerte.Er verwendete einen Parameter t zur Auftragung

ns

t i µµ −=

Die Häufigkeitsverteilung dieses Parameters heißt t-Verteilung oder t-Verteilung nach Student

Die Verteilung ist von der Anzahl

der Messungen abhängig.

11.01.2002 Vorlesung 8 37

Die t-Verteilung

Freiheitsgrad =

Anzahl der Messungen – 1 =

n - 1

Ziemlich willkürliche Definition

Es zeigt sich, dass je kleiner der Datenausschnitt ist (kleines n), desto größer die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass die Verteilung der Mittelwerte breiter wird als erwartet.

H. Basler:Keine inhaltlich anschauliche Bedeutung

ns

t i µµ −=

11.01.2002 Vorlesung 8 38

Signifikanztests

Überprüfung mit Zufallsstichproben

Ist die Hypothese richtig, dass der wahre Mittelwert µ mit dem Mittelwert der Stichprobe µi übereinstimmt ?

Testen von Hypothesen über den Mittelwert

Eine Maschine füllt Zuckerpakete ab.Die Nettogewichte der abgefüllten Pakete seien normalverteilt.

Der wahre Mittelwert sei µµµµ .

Wir versuchen zwei Hypothesen zu testen

1. Der wahre Mittelwert des Nettogewichtes der von der Maschine gefüllten Pakete beträgt 500 g

2. Der wahre Mittelwert der Nettogewichte beträgt höchstens 500 g

11.01.2002 Vorlesung 8 39

SignifikanztestsHypothesen, die aufgrund von Zufallsstichproben überprüft werden,

heißen Nullhypothesen und werden mit Ho abgekürzt

Ho: µ = µSoll

Ho* : µ ≤ µSoll

Ho ist eine zweiseitige; Ho* ist eine einseitige Nullhypothese

Ho ist falsch, wenn µ unterhalb von µSoll liegt,

die Hypothese ist aber auch falsch,

wenn µ oberhalb von µSol l liegt.

Die Nullhypothese Ho* ist nur dann falsch, wenn µ oberhalb von µSoll liegt.

11.01.2002 Vorlesung 8 40

Signifikanztests

Was bedeutet dies für die zu testenden Hypothesen ?

Test von Ho : µ = µSoll

Der wahre Mittelwert des Nettogewichtes der von der Maschine gefüllten Pakete beträgt 500 g

Test von Ho* : µ ≤ µSoll

Der wahre Mittelwert der Nettogewichte beträgt höchstens 500 g

ns

t solli µµ −=

Wir berechnen den Parameter t,

wobei wir den wahren Mittelwert durch den Sollwert µSoll ersetzen.

11.01.2002 Vorlesung 8 41

SignifikanztestsBeispiel n µn/ g µn/ g µn/ g

1 514 5142 497 4973 507 5074 508 5085 510 5106 518 5187 521 5218 494 494

Mittelwert

Stabw.

t - Parameter

ν

t(95%)

Hypothese 1 verwerfen

508.6 g

9.4 g

2.58

7

2.36

ja

506.5 g

7.0 g

1.86

3

3.18

nein

510,8 g

12.1 g

1.79

3

3.18

nein

11.01.2002 Vorlesung 8 42

SignifikanztestsBeispiel n µn/ g µn/ g µn/ g

1 514 5142 497 4973 507 5074 508 5085 510 5106 518 5187 521 5218 494 494

Mittelwert

Stabw.

t - Parameter

ν

t*(95%)

Hypothese 2 verwerfen

508.6 g

9.4 g

2.58

7

1.89

ja

506.5 g

7.0 g

1.86

3

2.35

nein

510,8 g

12.1 g

1.79

3

2.35

nein

11.01.2002 Vorlesung 8 43

SignifikanztestsVergleich zweier Mittelwerte Klausurergebnisse Nanos (1) und Diplos (2)

906.186.94.30511

21

111 ====nssn µ

651.240.128.34582

22

222 ====nssn µ

06.2

2

22

1

21

21 =

+

−=

ns

ns

tµµ

21

2

2

2

22

1

2

1

21

2

2

22

1

21

109165.1082

11

nn

nns

nns

ns

ns

+≈==−

+

++

+

=υ

t*(95%) = 1.659

t*(99%) = 2.360

Bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% muss die Hypothese auf Gleichheit der Mittelwerte verworfen werden.

Bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 1% muss die Hypothese auf Gleichheit der Mittelwerte aufrecht erhalten werden.