Der Untermodulverband des gr o ten projektiven...

Der Untermodulverband des größten

projektiven unzerlegbaren Moduls in einem regulären Block

der Kategorie O der Lie-Algebra sl3(C)

Daiva Pučinskaitė

Diplomarbeit

Inhaltsverzeichnis

Einleitung 1

1 Kategorie O = O(sl3(C), T ). Der Modul P 31.1 Einführung. Definitionen und Voraussetzungen . . . . . . . . . . . . . . 3

Lie-Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Modul mit einem höchsten Gewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Kategorie O = O(g, T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Reguläre Blöcke der Kategorie O(sl3(C), T ) . . . . . . . . . . . . . . . 10Lie-Algebra sl3(C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Der Block Oλ mit λ ∈ Λ++ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Beispiel M(2, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3 Der Funktor Φ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4 Der U(s)-Modul P ≃ P (λ5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.5 Das Hasse-Diagramm von UM(P ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Hasse-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Der Untermodulverband von UM(P ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Liste der Untermoduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2 Die lokalen Moduln der Kategorie O(0,0) 442.1 Ein erzeugendes Element eines lokalen Moduls in O(0,0) . . . . . . . . . 472.2 Der Untermodul U(m) von P für m ∈ A . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.3 Die Menge Lokλi(P ) für 0 ≤ i ≤ 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.4 Das Radikal von M ∈ Lok(P ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3 Die Untermoduln von P 673.1 Die Unterverbände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.2 Diagramme der lokalen Untermoduln von P . . . . . . . . . . . . . . . 803.3 Die Filtrierung 0 ⊂ 〈k̃5, d̃5, v0〉 ⊂ P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.4 Das Hasse-Diagramm von UM

(〈k̃5, d̃5, v0〉, 〈v1, v2〉

). . . . . . . . . . . 97

3.5 Die Konstruktion des Diagramms von UM(P ) . . . . . . . . . . . . . . 105

Literaturverzeichnis 113

Einleitung

Diese Arbeit präsentiert Untermodulverbände von Moduln der komplexen halbein-fachen Lie-Algebra sl3 und zwar von Moduln in der vollen Unterkategorie O, die vonBernstein, Gel’fand, Gel’fand [BGG1] eingeführt wurde. Dabei werden nur die regulärenBlöcke Oλ, also solche mit einem regulären Gewicht λ, betrachtet. Unser Fokus richtetsich auf die projektiven unzerlegbaren Objekte in Oλ und ihre Untermoduln (projektiveObjekte in Oλ nennen wir einfach projektive Moduln). Die Visualisierung der Unter-modulverbände erfolgt über Hasse-Diagramme, also durch Punkte und Linien, die Un-termoduln und Inklusionsverhältnisse symbolisieren. Im regulären Block entsprechendie Isomorphieklassen der einfachen Moduln bijektiv den Elementen der Weyl-Gruppe.Jeder Isomorphieklasse wird eine Farbe zugeordnet. So ist es möglich, die Kompositi-onsfaktoren im Hasse-Diagramm farbig zu interpretieren: Die die Inklusion M ′ ↪→ Msymbolisierende Linie wird mit derjenigen Farbe versehen, die der Isomorphieklasse deseinfachen Faktors M/M ′ zugeordnet ist.

Unser Hauptinteresse gilt dem größten projektiven unzerlegbaren Modul P (w · λ),nämlich der projektiven Decke des einfachen Verma-Moduls M(w · λ) (hier ist w daslängste Element der Weyl-Gruppe). Es werden alle seine Untermoduln bestimmt undsein Untermodulverband präsentiert (siehe S. 36). Die projektiven unzerlegbaren Mo-duln in Oλ sind zu gewissen Untermoduln von P (w · λ) isomorph. Somit werden derenUntermoduln gleichzeitig mit der Bestimmung aller Untermoduln von P (w · λ) ermit-telt. Dadurch können auch alle Faktormoduln der projektiven unzerlegbaren Modulnbestimmt werden: Da ein lokaler Modul der Kategorie Oλ zu einem dieser Faktormo-duln isomorph ist, impliziert die Bestimmung aller Untermoduln des größten projek-tiven unzerlegbaren Moduls ebenso die Klassifikation der lokalen Moduln dieser Kate-gorie. Dies ist auch Grundlage für zahlreiche Anwendungen in der Darstellungstheorie,vor allem für die Bestimmung des Endomorphismenrings Endsl3(P (w · λ)). Durch dieVisualisierung des Untermodulverbandes von P (w ·λ) werden Kern und Bild jedes En-domorphismus illustriert.

Die Betrachtung von Moduln eines regulären Blocks erfolgt über die Untersuchungdes Blockes O(0,0), der zu allen regulären Blöcken äquivalent ist. Es gibt mittlerweilein der Literatur Beschreibungen der Kategorie Oλ als Darstellungskategorie eines end-lichen Köchers mit Relationen (siehe [St1], [Ma]). Darauf wird in dieser Arbeit nichtzurückgegriffen. Im Vordergrund steht hier die Analyse der jeweiligen Gewichtsräume.

Umgekehrt könnte man die Ergebnisse dieser Arbeit verwenden, um den regulärenKöcher mit Relationen zu erhalten.

Im Kapitel 1 werden die grundlegenden Begriffe aus der Theorie der Lie-Algebreneingeführt. Es werden die wichtigsten, für diese Arbeit relevanten Definitionen und Ei-genschaften der Moduln mit einem höchsten Gewicht beschrieben sowie Aussagen überdie Kategorie O vorgestellt. Sie werden für die Betrachtung eines regulären Blocksder Kategorie O der Lie-Algebra sl3 übernommen. Weiterhin wird die Existenz desgrößten projektiven unzerlegbaren Moduls in der Kategorie O(0,0) gezeigt. Dazu be-trachten wir den Verma-Modul zum höchsten Gewicht 0 der komplexen halbeinfachen

1

Lie-Algebra sl4, eingeschränkt auf eine zu sl3 isomorphe Unteralgebra. Wir werdeneinen sl3-Untermodul von M(0)|sl3 bestimmen, der in der Kategorie O(0,0) die pro-jektive Decke von einem einfachen Verma-Modul ist. In dieser Arbeit wird er mit Pbezeichnet.

Im Kapitel 2 werden die lokalen Untermoduln von P bestimmt. Dies ist der entschei-dende Schritt in dieser Arbeit, denn natürlich ist jeder Untermodul von P eine Summevon gewissen lokalen Untermoduln. Wir werden auf zwei besondere lokale Untermodulnaufmerksam, für die die 6-te Einheitswurzel ω = 1

2+ i

√32

eine spezielle Bedeutung hat.

Im Kapitel 3 werden die die Struktur der Unterverbände beschreibenden Aussagenbewiesen, die als Hilfsmittel zur Konstruktion der Verbände von lokalen Untermodulnvon P eingesetzt werden. Dies wird eine nützliche Grundlage für die Betrachtung desgesamten Moduls sein. Schließlich wird die Konstruktion des Untermodulverbandes vonP in anschaulicher Weise ausgeführt.

Grundkenntnisse in allgemeiner Modultheorie werden hier vorausgesetzt. Für dieGrundbegriffe der Darstellungstheorie halbeinfacher Lie-Algebren wird auf [H], [MP],[J] verwiesen.

An dieser Stelle möchte ich Herrn Prof. Dr. Dr. phil.h.c. C.M.Ringel, dem Mentorund Betreuer dieser Arbeit, für die Förderung und Unterstützung sehr herzlich danken.

2

Kapitel 1

Kategorie O = O(sl3(C), T ). Der Modul P

In diesem Kapitel werden Grundbegriffe aus der Theorie der Lie-Algebren eingeführt. Sie

werden hier als Notationen verwendet und nicht eingehender betrachtet, aber hin und wieder

stichwortartig präzisiert. Anschließend werden die wichtigsten, für diese Arbeit besonders rele-

vanten Definitionen und Eigenschaften der Moduln mit einem höchsten Gewicht beschrieben.

Zudem werden Begriffe und Aussagen der Kategorie O vorgestellt. Auf Beweise wird dabeiverzichtet, aber auf deren Quellen hingewiesen.

Diese allgemein gültigen Aussagen finden im Abschnitt 2 eine spezifische Verwendung. Sie

werden eingesetzt, um die Lie-Algebra sl3(C) und wichtige sl3(C)-Moduln aus der KategorieO zu beschreiben. Von besonderem Interesse werden die Moduln der regulären Blöcke dieserKategorie sein. Sie werden im zweiten Abschnitt thematisiert.

Im Abschnitt 3 wird ein Funktor Φ eingeführt, der die Betrachtungen von sl3(C)-Moduln ausdem regulären Block O(0,0) erleichtern soll.Schließlich wird im Abschnitt 4 ein spezieller sl3(C)-Modul P betrachtet, der zu dem größtenprojektiven unzerlegbaren Modul im regulären Block zum Gewicht (0, 0) isomorph ist.

Im Abschnitt 5 befindet sich die Präsentation des Untermodulverbandes von P durch ein

Hasse-Diagramm.

1.1. Einführung. Definitionen und Voraussetzungen.

UmMissverständnisse aufgrund unterschiedlich definierter Begriffe in der Literatur zu vermei-

den, werden in diesem Abschnitt zu gegebener Zeit und zum besseren Verständnis bestimmte

Definitionen und Begriffe zitiert.

Lie-Algebra

Die Grundlagen der Theorie der Lie-Algebren sind in [D] , [H], [J], [MP] zu finden.

Seieng eine komplexe halbeinfache endlichdimensionale Lie-Algebra,h eine Cartanunteralgebra, h∗ der Dualraum von h,gα = {x ∈ g | [h, x] = α(h)x, für alle h ∈ h} der Gewichtsraum von g relativ zu h,R = R(g, h) = {α ∈ h∗ | gα 6= 0} das Wurzelsystem von g,R+ die positiven Wurzeln, R− die negativen Wurzeln,B die Wurzelbasis, |B| der Rang von B,g+ =

⊕

α∈R+gα , g− =

⊕

α∈R−gα,

b = h⊕ g+ eine Borelunteralgebra,g = g− ⊕ b = g− ⊕ h⊕ g+ die zugehörige Cartan-Zerlegung.

3

Unter einer zerfallenen halbeinfachen Lie-Algebra g ist ein 4-Tupel T =(h, g+, Q+, σ) zu verstehen. Dabei ist h

∗ ⊃ Q+ ={∑

j∈Jmjαj | mj ∈ N}

eine freie aditive Halbgruppe mit α ∈ Q+, wenn gα ein Summand vong+ ist (die linear unabhängigen Elemente {αj}j∈J aus h∗ sind eine Basisvon Q+). Und σ ist ein involutorischer Antiautomorphismus von g, sodass σ (g+) = g− und σ|h = id|h. Zur Beschreibung einer Lie-Algebraverwendet man auch g = (h, g+, Q+, σ) ([MP] 2.1).

Man führt auf h∗ eine Ordnungsrelation 6 ein, und zwar setzt man λ 6 µ fürλ, µ ∈ h∗, wenn µ− λ =∑α∈B nαα mit nα ∈ N0.

Mit ℘ : h∗ → N0 bezeichnen wir die Kostant’sche Partitionsfunktion; ℘(λ) ist dieAnzahl der Möglichkeiten, λ als Summe von positiven Wurzeln zu schreiben.

Mit sα wird die Spiegelung an α ∈ R bezeichnet. Für λ ∈ h∗ gilt sα(λ) = λ−λ(hα)α,wobei hα ∈ [gα, g−α] mit α(hα) = 2 (hα ist eindeutig bestimmt).

Die Weylgruppe von g bezeichnet man mit W . Sie ist erzeugt von sα mit α ∈ B.Die Weylgruppe operiert auf h∗ mit der ”dot-Operation” w · λ = w(λ+ ρ)− ρ, wobeiρ = 1

2

∑α∈R+ α.

Der Ordnungsrelation ≦ auf W wird in dieser Arbeit die Bruhat-Ordnung ent-sprechen, d.h. für w,w′ ∈ W gilt w ≦ w′ genau dann, wenn w = w′ ist oder wennes w1 = w,w2, . . . ,wr = w

′ ∈ W und α1, . . . , αr−1 ∈ R+ mit wi = sαiwi+1 undl(wi) > l(wi+1) für 1 ≤ i ≤ r − 1 gibt, wobei l(w) die kleinste Zahl n ist, für dieα1, . . . , αn ∈ B mit w = sα1 · · · sαn existieren.

Die Elemente der Menge {βα ∈ h∗ | α ∈ B} sind die Fundamentalgewichte, d.h. esgilt βα(hα′) = δαα′ für alle α, α

′ ∈ B;Λ =

{∑α∈B cαβα | cα ∈ Z

}ist das Gewichtsgitter,

Λ+ = {λ ∈ Λ | (λ+ ρ)(hα) ≥ 0 für alle α ∈ B} sind dominante Gewichte,Λ++ = {λ ∈ Λ | (λ+ ρ)(hα) > 0 für alle α ∈ B} sind reguläre Gewichte,Λ+\Λ++ sind singuläre Gewichte.Die einhüllende Algebra von g bezeichnet man mit U(g). Ist g1, . . . , gr eine Basis

von g, so bilden die gn11 · · · gnrr mit (n1, . . . , nr) ∈ Nr0 zusammen mit 1 eine Basis vonU(g); dies ist der Satz von Poincaré, Birkhoff und Witt. Ist g′ eine Unteralgebra vong, so ist U(g′) eine Unteralgebra von U(g).

Das Zentrum von g ist Z(g) = {g ∈ U(g) | [g, g′] = 0 für alle g′ ∈ U(g)}.Ein g-(Links)Modul ist ein Vektorraum M zusammen mit einer bilinearen Abbil-

dung . : g × M → M, (g,m) = g.m, die für alle g, g′ ∈ g und alle m ∈ M dieEigenschaft [g, g′].m = g.g′.m − g′.g.m erfüllt. In diesem Fall sagt man, dass g auf Moperiert, wenn klar ist, welche bilineare Abbildung gemeint ist.

Die Kategorien der g- und U(g)-(Links)Moduln sind isomorph. Im Folgenden wirdunter einem Modul stets ein Linksmodul verstanden.

Für jeden g-Modul M ist der Dualraum M∗ mit g.γ(m) = γ(σ(g).m) für alleγ ∈M∗, m ∈M und g ∈ U(g) auch ein g-Modul.

Für g-ModulnM undM ′ mit M ′ ⊆M ist der FaktorraumM/M ′ mit g.(m+M ′) =g.m+M ′ auch ein g-Modul. Die Restklasse m+M ′ von m wird auch mit m bezeichnet(wenn die Identifikation klar ist).

Ist g′ eine Unteralgebra von g, dann ist jeder g-Modul M durch die Einschränkungder gegebenen Operation auf g′ auch ein g′-Modul, bezeichnet mit M |g′.

4

Modul mit einem höchsten Gewicht

Seien g = (g+, h, Q+, σ) eine zerfallene halbeinfache Lie-Algebra, M ein g-Modul (bzw.U(g)-Modul) mit der Operation (g,m) = g.m für alle g ∈ g, m ∈M und sei λ ∈ h∗. Diefolgenden Definitionen und Eigenschaften sind in [BGG2], [D], [H], [MP] zu finden.

◮ Mλ := {m ∈ M | h.m = λ(h)m für alle h ∈ h} heißt Gewichtsraum von Mzum Gewicht λ.Wenn Mλ 6= 0 ist, dann heißt λ ein Gewicht von M und 0 6= m ∈ Mλ einGewichtsvektor zum Gewicht λ.Der Träger von M ist supp(M) = {λ ∈ h∗ |Mλ 6= 0}.Wenn M =

∑

λ∈h∗Mλ , dann M =

⊕

λ∈h∗Mλ. Man nennt dies die Gewichtsraum-

Zerlegung von M bezüglich h.

◮ Wenn m ∈Mλ und g ∈ gα, dann gilt g.m ∈Mλ+α für alle α ∈ R.

◮ Ein von Null verschiedener Vektor v ∈ M heißt Höchstgewichtsvektor zum Ge-wicht λ, wenn v ein Gewichtsvektor zu λ ist und g.v = 0 für alle g ∈ g+.

◮ U(g).m := {g.m | g ∈ U(g)} ist der von m ∈ M erzeugter Untermodul von M .In dieser Arbeit wird für U(g).m auch die Bezeichnung 〈m〉 verwendet.Existieren m1, . . . , mn ∈ M mit M = 〈m1〉 + . . . + 〈mn〉, dann ist M über U(g)endlich erzeugt. Entsprechend bezeichnen wir den von m1, . . . , mn erzeugten Un-termodul von M mit 〈m1, . . . , mn〉.

◮ Einen g-Modul M nennen wir Modul mit höchstem Gewicht λ (oder Höchstge-wichtsmodul zum Gewicht λ), wennM über U(g) von einem Höchstgewichtsvektorv zum Gewicht λ erzeugt wird.Das Paar (λ, v) nennen wir Höchstgewichtspaar.

Verma-Modul M(λ)

Der wichtigste Höchstgewichtsmodul zu einem fixierten Gewicht λ ∈ h∗ ist der soge-nannte Verma Modul M(λ), der wie folgt definiert ist:

Die Linearform aus h∗ ∋ λ : h −→ C lässt sich zu einem Lie-AlgebraHomomorphismus

λ : b −→ C mit λ(h+ g) = λ(h) für alle h ∈ h und g ∈ g+fortsetzen. Auf diese Weise wird C zu einem eindimensionalen b-Modul(bzw. U(b)-Modul), der mit Cλ bezeichnet wird. Der Modul

M(λ) = U(g)⊗U(b) Cλ

heißt Verma-Modul zu λ.

Der Modul M(λ) ist ein Höchstgewichtsmodul mit dem höchsten Gewicht λ unddas erzeugende Element 1⊗ 1 wird mit vλ bezeichnet. Er ist ein Höchstgewichtsvektorzum Gewicht λ.

5

Mehr über Verma-Moduln findet man in [D], [BGG2], [MP], [Ja1], [M]. (Achtung:In mancher Literatur wird ein Verma-Modul mit M(λ + ρ) bezeichnet.)

Die Relevanz des Verma-Moduls zeigt sich in seinen Eigenschaften, die in dieser Arbeitverwendet werden.

Sei (λ, vλ) das Höchstgewichtspaar des Verma-Moduls M(λ).

• Haupteigenschaften.− Jeder g-Modul zum höchsten Gewicht λ ist ein Faktormodul von M(λ) (genau-

er: Ist M ′ ein g-Modul mit dem Höchstgewichtspaar (λ, v′), dann existiert einsurjektiver g-Modul Homomorphismus M(λ)→M ′ mit vλ 7→ v′).

− M(λ) ist ein freier U(g−)-Modul von Rang 1.Insbesondere ist U(g−)→M(λ) mit g 7→ g.vλ ein Isomorphismus von C-Vektorräumen.

− Das Radikal radM(λ) von M(λ) ist der einzige maximale Untermodul von M(λ).Insbesondere ist M(λ) lokal und

L(λ) = M(λ)/radM(λ)

ist der (bis auf Isomorphie) einzige einfache Modul mit höchstem Gewicht λ.

Jeder Höchstgewichtsmodul ist lokal.

− Jeder Endomorphismus von M(λ) operiert als Skalarmultiplikation.• Die Gewichtsräume.

− M(λ) hat die Gewichtsraum-Zerlegung M(λ) =⊕

µ∈h∗M(λ)µ.

− Ist µ ein Gewicht von M(λ), dann dimCM(λ)µ = ℘(λ− µ).Es gilt supp(M(λ)) = {µ ∈ h∗ | µ 6 λ}.

− Für alle α ∈ R sei gα ∈ gα mit gα 6= 0. Seien α1, . . . , αr paarweise verschiedeneElemente aus R+, dann gilt für jeden m ∈M(λ)µ

m =∑

(n1,...,nr)∈Nr0µ=λ−n1α1−···−nrαr

c(n1,...,nr)gn1−α1 · · · gnr−αr .vλ

wobei c(n1,...,nr) ∈ C ([D] 7.1).• Die Untermoduln.− Ist ein g-Modul Homomorphismus M(µ) → M(λ) ungleich Null, dann ist er

injektiv. Das ist genau dann der Fall, wenn µ 6 λ und µ = w · λ für ein w ∈ W.Insbesondere gilt Homg(M(µ),M(λ)) ≤ 1.Wenn M(µ)→ M(λ) injektiv ist, schreiben wir M(µ) ⊆M(λ) und damit ist derzu M(µ) isomorphe Untermodul von M(λ) gemeint.Wenn λ ∈ Λ++, dann ist M(w′ ·λ)→M(w ·λ) genau dann injektiv, wenn w′ ≦ wfür w′,w ∈W . (Beweis in [D] 7.6 und 7.7).

6

− M(λ) hat die endliche Länge l(M(λ)). Die Kompositionsfaktoren von M(λ) sindisomorph zu gewissen L(w · λ) mit w ∈W und w · λ 6 λ.Wenn der Rang von |B| = 2, dann kommt L(w · λ) mit w ∈W und w · λ 6 λ ineiner Jordan-Hölder-Reihe von M(λ) genau einmal vor. In diesem Fall ist jederUntermodul von M(λ) eine Summe von gewissen Verma-Moduln, die in M(λ)enthalten sind ([Ja1] 3.17).

− M(λ) hat einen eindeutig bestimmten, von Null verschiedenen kleinsten Unter-modul, der zu einem Verma-Modul isomorph ist, also ist der Sockel socM(λ) vonM(λ) einfach ([D] 7.6).Ist λ ∈ Λ++, dann socM(λ) ∼= L(w · λ) wobei w ∈W mit l(w) = |R+|.

Die Verma-Moduln sind Objekte der Kategorie O, die wir nachfolgend vorstellen.Dazu werden einige Definitionen und Eigenschaften beschrieben, die wir in dieser Ar-beit verwenden. Die sie betreffenden Beweise und Details findet man in [BGG1], [MP],[Ja1], [Ja2], [St2].

Kategorie O = O(g, T )

Die Kategorie O = O(g, T ) wird als eine volle Unterkategorie der Kategorie aller g-Moduln definiert.

• Objekte von O(g, T ) sind g-Moduln M mit folgenden Eigenschaften:

− M ist über U(g) endlich erzeugt;

− dimCU(g+). m

OΓ ist die Kategorie der g-Moduln M ∈ Ob(O) mit M = MΓ =⊕

µ∈Γ+M (µ).

Die KategorieO zerfällt in eine direkte Summe voller Unterkategorien (Blockzerlegung)

O =⊕

Γ∈h∗/ΛOΓ mit OΓ =

⊕

λ∈Γ+Oλ.

Der Block Oλ heißt regulär, wenn λ ein reguläres Gewicht ist.

Ab jetzt verwenden wir den Begriff ”Modul” für alle Objekte der Kategorie Oinsbesondere ein projektives Objekt in O nennen wir kurz einen projektiven Modul,auch wenn er kein projektiver U(g)-Modul ist. Wir gebrauchen statt M ∈ ObO dieSchreibweise M ∈ O.

Einige Definitionen und Eigenschaften, die die Kategorie O betreffen.

Sei M ∈ O, λ ∈ h∗.

◮ M hat eine Verma-Filtrierung, wenn es eine Kette0 = M0 ⊂M1 ⊂ . . . ⊂Mn−1 ⊂Mn = M

von Untermoduln gibt, so dass jedes Mi/Mi−1 mit 1 ≤ i ≤ n zu einem M(µi) mitµi ∈ h∗ isomorph ist.Ist jedes Mi/Mi−1 mit 1 ≤ i ≤ n isomorph zu einem M∗(µi) mit µi ∈ h∗, dannhat M eine Co-Verma-Filtrierung.

◮ Mit [M : L(λ)] bezeichnet man die Vielfachheit, mit der L(λ) in einer Jordan-Hölder-Reihe von M als einfacher Faktor auftritt und mit (M : M(λ)) die Viel-fachheit, mit der ein Subquotient, der zu M(λ) isomorph ist, in einer Verma-Filtrierung von M auftritt.

◮ Ein Element m ∈M heißt primitiv, wenn m ein Gewichtsvektor bezüglich h istund ein Untermodul N von M existiert, so dass m 6∈ N und g+.m ⊂ N ([MP]2.6).Ist m ∈ M ein Gewichtsvektor zum Gewicht λ dann sind die folgenden Bedin-gungen äquivalent:

(i) m ist primitiv,

(ii) m 6∈ U(g).g+.m,(iii) es existiert ein Untermodul M ′ von M , so dass M ′ ⊂ U(g).m = 〈m〉 und

〈m〉/M ′ ∼= L(λ).

Beweis in [MP] 2.6 Lemma 3.

Bemerkung. Sei m ein primitives Element in Mλ, dann gilt

a) der Untermodul U(g).g+.m =∑

α∈B〈gα.m〉 (hier 0 6= gα ∈ gα) von 〈m〉ist der kleinste unter den Untermoduln N von 〈m〉 mit den Eigenschaftenm 6∈ N und g+.m ⊂ N,

8

b) der Faktormodul 〈m〉/U(g).g+.m von 〈m〉 ist isomorph zu einem Höchstge-wichtsmodul zu λ, d.h. zu einem Faktormodul von M(λ) ([MP] 2.6).

◮ Mit P (λ) bezeichnet man die projektive Decke von L(λ), d.h. einen lokalen ModulP in O, der in O projektiv mit P/radP ∼= L(λ) ist.Der Modul P (λ) hat eine Verma-Filtrierung. Es ist stets die BGG Reziprozitäts-formel (P (µ) : M(ν)) = [M(ν) : L(µ)] erfüllt ([BGG1]).

◮ Nach der Definition ist ein ’Kippmodul’ in O ein unzerlegbarer Modul T , derVerma- und Co-Verma-Filtrierungen besitzt.

Mit T (λ) wird ein ’Kippmodul’ bezeichnet, so dass die Subquotienten in einerVerma-Filtrierung die Form M(µ) mit µ 6 λ, µ = w · λ (w ∈ W ) haben undM(λ) in einer solchen Filtrierung genau einmal vorkommt. Die Subquotienten ineiner Co-Verma-Filtrierung haben die Form M∗(µ) mit µ 6 λ, µ = w ·λ (w ∈W )und M(λ)∗ kommt in einer solchen Filtrierung auch genau einmal vor.

Mit der Eigenschaft [T (λ) : L(λ)] = 1 und [T (λ) : L(µ)] = 0 für µ λ ist T (λ)eindeutig bestimmt (vgl. [R], [K]).

Die Eigenschaften der Kategorie Oλ für λ ∈ h∗.

Mit Wλ bezeichnen wir ein Repräsentantensystem der Restklassen von W/Wλ, wo-bei Wλ = {w ∈W | w · λ = λ} der Stabilisator von λ unter der dot-Operation ist. Mit[M ] bezeichnen wir die Isomorphieklasse von M ∈ Oλ.• Die folgenden Zuordnungen sind bijektiv (vlg. [BGG1]).

− Wλ −→ { [M ] |M ist ein Verma-Modul in Oλ},w 7−→ [M(w · λ)]

− Wλ −→ { [L] | L ist ein einfacher Modul in Oλ},w 7−→ [L(w · λ)]

− Wλ −→ { [P ] | P ist unzerlegbar projektiv in Oλ},w 7−→ [P (w · λ)]

− Wλ −→ { [T ] | T ist ein ’Kippmodul’ in Oλ}.w 7−→ [T (w · λ)]

• Einige Eigenschaften von M ∈ Oλ.

− M hat eine endliche Länge l(M). Jeder Kompositionsfaktor von M ist isomorphzu gewissen L(w · λ) für w ∈Wλ. Die Moduln in Oλ sind artinsche Moduln.

− Es gilt l(M) = ∑w∈Wλ [M : L(w · λ)]. Hat M eine Verma-Filtrierung, dannl(M) =

∑w∈Wλ (M : M(w · λ)) l(M(w · λ)) (vgl. [MP] 2.6 Prop. 13).

− M ist isomorph zu einem Faktormodul von⊕

w∈Wλ

nw⊕

i=0

P (w · λ), wobei nw ∈ N0.

9

− Ist λ dominant, dann ist L(λ) endlichdimensional und M(λ) ist projektiv.

− Ist m ∈ M primitiv, dann ist m ∈ Mµ mit µ = w · λ für ein w ∈ Wλ. Diesesfolgt aus der Eigenschaft, dass m + U(g).g+.m ein Höchstgewichtsvektor von〈m〉/U(g).g+.m ∼= M ′/M ′′ ist, wobei M ′ ein Verma-Modul in Oλ und M ′′ einUntermodul von M ′ ist.

− Für ein η ∈ supp(M) gilt dimCMη =∑

w∈Wλ [M : L(w · λ)]dimCL(w · λ)η (vlg.[MP] 2.6 Prop. 2).

Für M,M ′ ∈ Oλ mit [M : L(w · λ)] = [M ′ : L(w · λ)] für alle w ∈ Wλ giltdimCMµ = dimCM

′µ für alle µ ∈ supp(M).

Insbesondere gilt supp(M) = supp(M ′).

• Oλ und Ow·λ beschreiben den gleichen Block, für alle w ∈Wλ ([BGG1]).

• Oλ mit λ ∈ Λ ist äquivalent zu einer Kategorie endlichdimensionaler Moduln übereiner endlichdimensionalen Algebra ([St1], [Ma]).

• Für λ, µ ∈ Λ++ gilt Oλ ∼ Oµ ([BGG1]).

1.2. Reguläre Blöcke der Kategorie O(sl3(C), T ).

In diesem Abschnitt wird der die Lie-Algebra sl3(C) beschreibende 4-Tupel T festgelegt.Die bisherigen Aussagen über Kategorie O werden in diesem Abschnitt speziell für den BlockOλ mit λ ∈ Λ++ von sl3(C)-Moduln angewendet. Die Beschreibung der Lie-Algebra sln(C)für n ∈ N kann man in der Literatur z.B. bei [MP], [H], [D], [J] finden.Zudem werden an dieser Stelle die sl3(C)-Verma-Moduln näher betrachtet und in einem Bei-spiel verdeutlicht.

Lie-Algebra sl3(C)

Wir betrachten die Lie-Algebra sl3(C) = {A = (aij) ∈ M(3× 3,C) | a11 + a22 + a33 = 0}.Sei Eij ∈ M(3 × 3,C) mit einer Eins in der i-ten Zeile und in der j-ten Spalte undsonst Nullen. Die Menge {Eij | i 6= j} ∪ {Eii − Ei+1,i+1 | i = 1, 2} ist eine C-Basis vonsl3(C).

Die ab jetzt eingeführten Bezeichnungen behalten bis zum Ende dieser Arbeit ihreGültigkeit:

s := sl3(C) = spanC{e1, e2, e3, f1, f2, f3, h1, h2},

wobeie1 := E12,e2 := E23,e3 := E13,

f1 := E21,f2 := E32,f3 := E31,

h1 := E11 − E22,h2 := E22 − E33;

h = {A = (aij) ∈ s | aij = 0 für i 6= j} = spanC{h1, h2} ist die Cartanunteralgebra.Sei µ eine Linearform in h∗, dann ist µ durch die Bilder der Basiselemente von h (h1

und h2) eindeutig bestimmt. Wir können also jedes µ ∈ h∗ mit einer (1 × 2)-Matrix,

10

nämlich µ = (µ(h1), µ(h2)), identifizieren.

Mit Hilfe der folgenden Tabelle bestimmen wir die Gewichtsräume von s.

[x, y] e1 e2 e3 f1 f2 f3 h1 h2e1 0 e3 0 h1 0 −f2 −2e1 e1e2 −e3 0 0 0 h2 f1 e2 −2e2e3 0 0 0 −e2 e1 h3 −e3 −e3f1 −h1 0 e2 0 −f3 0 2f1 −f1f2 0 −h2 −e1 f3 0 0 −f2 2f2f3 f2 −f1 −h3 0 0 0 f3 f3h1 2e1 −e2 e3 −2f1 f2 −f3 0 0h2 −e1 2e2 e3 f1 −2f2 −f3 0 0

Tabelle 1

Seien α1 := (2,−1) und α2 := (−1, 2) ∈ h∗, dann sindsα1 = spanC{e1}, s−α1 = spanC{f1},sα2 = spanC{e2}, s−α1 = spanC{f2},sα1+α2 = spanC{e3}, s−α1−α2 = spanC{f3}

die Gewichtsräume von s,

R = {α1, α2, α1 + α2,−α1,−α2,−α1 − α2} ist das Wurzelsystem,B = {α1, α2} ist die Wurzelbasis,R+ = {α1, α2, α1 + α2} sind die positiven Wurzeln,R− = {−α1,−α2,−α1 − α2} sind die negativen Wurzeln,s+ = sα1 ⊕ sα2 ⊕ sα1+α2 , s− = s−α1 ⊕ s−α2 ⊕ s−α1−α2 ,b = h⊕ s+ ist die (gewählte) Borelunteralgebra,s = s+ ⊕ h⊕ s− ist die Cartan-Zerlegung,h±α1 = ±h1, h±α2 = ±h2, h±(α1+α2) = ±(h1 + h2),Q+ = { n1α1 + n2α2 | n1, n2 ∈ N},σ : s→ s mit A 7→ At ist ein involutorischer Antiautomorphismus (Etij = Eji),W = { id︸︷︷︸

=:w0

, sα1︸︷︷︸=:w1

, sα2︸︷︷︸=:w2

, sα1sα2︸︷︷︸=:w3

, sα2sα1︸︷︷︸=:w4

, sα1sα2sα1︸︷︷︸=:w5

} ist die Weyl-Gruppe (W ∼= S3).

Das rechts stehende Dia-gramm beschreibt die Bruhat-Ordnung von W . Dabeigilt für w,w′ ∈ W jeweilsl(w) = l(w′) + 1, wenn w undw′ durch einen Pfeil verbun-den sind, dessen Spize auf w′

gerichtet ist. In diesem Fallgilt w < w′.

��

@@@I

66

HHHH

HHY

��

��*

@@@I

��

w5

w4w3

w1 w2

w0

11

β1 = βα1 =1

3(2α1 + α2), β2 = βα2 =

1

3(α1 + 2α2) sind Fundamentalgewichte,

ρ =1

2

∑

α∈B+α = (1, 1) ist die Halbsumme der positiven Wurzeln,

Λ = {aβ1 + bβ2 | a, b ∈ Z} ist das Gewichtsgitter,Λ+ = {aβ1 + bβ2 | a, b ∈ N0 ∪ {−1}} ist die Menge der dominanten Gewichte,Λ++ = {aβ1 + bβ2 | a, b ∈ N0} ist die Menge der regulären Gewichte,Λ+\Λ++ ist die Menge der singulären Gewichte,Q(R) = {aα1 + bα2 | a, b ∈ Z}.

Das nächste Bild veranschaulicht einen Teil der oben genannten Mengen. Die Kreiseund Punkte stehen für das Gewichtsgitter Λ, davon markieren die vollen Punkte dieElemente aus der Menge Q(R). Der dreieckige Ausschnitt rechts oben im Diagrammenthält die dominanten Gewichte aus Λ+. Auf der Peripherie des Dreiecks befinden sichdie singulären Gewichte, während der kleingepunktete Bereich die regulären Gewichteenthält. In diesem Bild sind die Elemente aus R und die Fundamentalgewichte β1, β2skizziert.

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

bbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

p p p p p p p p p p p p p p p p p p p pp p p p p p p p p p p p p p p p p p pp p p p p p p p p p p p p p p p p pp p p p p p p p p p p p p p p p pp p p p p p p p p p p p p p p pp p p p p p p p p p p p p pp p p p p p p p p p p p pp p p p p p p p p p p pp p p p p p p p p p pp p p p p p p p pp p p p p p p p pp p p p p p pp p p p p pp p p p pp p p pp pp p β1β2

α1 + α2

−α2

α2

−α1 − α2

α1−α1

Nach dem Satz von Poincaré, Birkhoff und Witt bildet die Menge

{fn11 fn22 fn33 en41 en52 en63 hn71 hn82 | ni ∈ N0, 1 ≤ i ≤ 8}

eine C-Basis von U(s) und {fn11 fn22 fn33 | ni ∈ N0, 1 ≤ i ≤ 3} eine C-Basis von U(s−).

Mit T = (h, s+, Q+, σ) hat die Kategorie O = O(s, T ) folgende Blockzerlegung

O =⊕

Γ∈h∗/ΛOΓ mit OΓ =

⊕

λ∈Γ+Oλ.

12

Der Block Oλ mit λ ∈ Λ++

Der Hauptgegenstand unserer nächsten Betrachtungen ist der Block Oλ mit λ ∈ Γ++,wobei Γ = Λ, d.h. ein regulärer Block der Kategorie O der Lie-Algebra sl3(C). Wirübernehmen die Fakten der allgemeinen Theorie über die Kategorie O aus Abschnitt 1.

Sei λ = (a, b) ∈ Λ++, es gilt also a, b ∈ N0. Wir bezeichnen mit λi das Gewicht wi ·λfür wi ∈W , es gilt

λ0 = (a, b),λ1 = (−(a + 2), a+ b+ 1),λ2 = (a+ b+ 1,−(b+ 2)),λ3 = (−(a + b+ 3), a),λ4 = (b,−(a + b+ 3)),λ5 = (−(b+ 2),−(a+ 2)).

Offensichtlich gilt Wλ = {w0} und damit Wλ = W . Die bijektiven Zuordnungen in Be-zug auf Wλ entsprechen auch in diesem Fall den in Abschnitt 1 zitierten Ergebnissen(S. 9).

Verma-Moduln in Oλ.Ist M ∈ Oλ ein Verma-Modul, dann gilt M ∼= M(λ) für ein λ ∈ {λ0, λ1, λ2, λ3, λ4, λ5}.Wir betrachten nun M(λ) wobei (λ = (p, q), vλ) ein Höchstgewichtspaar von M(λ) ist.

An dieser Stelle heben wir einige zum Verma-Modul M(λ) gehörende Eigenschaf-ten hervor. Dazu wenden wir die in 1.1 zitierten allgemein für Verma-Moduln gültigenEigenschaften an.

Der C-Vektorraum Isomorphismus U(g−) −→ M(λ)fn11 f

n22 f

n33 7→ fn11 fn22 fn33 .vλ

impliziert, dass

die Menge {fn11 fn22 fn33 .vλ | ni ∈ N0, 1 ≤ i ≤ 3} eine C-Basis von M(λ) ist.In der Gewichtsraum-Zerlegung M(λ) =

⊕µ=(µ1,µ2)∈h∗ M(λ)µ ist der Gewichtsraum

M(λ)µ dann von Null verschieden, wenn µ = λ− nα1 − n′α2 für n, n′ ∈ N0 d.h.

supp(M(λ)) = {(p− 2n+ n′, q + n− 2n′) | n, n′ ∈ N0}.

Wir bestimmen eine Basis von jedem Gewichtsraum des Moduls M(λ).

Sei µ = (p− 2n+ n′, q + n− 2n′) für n,n′ ∈ N0. Ist m ∈ M(λ)µ, dann

m =∑

n1,n2,n3∈N0µ=λ−n1(2,−1)−n2(−1,2)−n3(1,1)

c(n1n2n3)fn11 f

n22 f

n33 .vλ, wobei c(n1n2n3) ∈ C.

Für welche (n1, n2, n3) ∈ N30 gilt nun

µ = λ− n1(2,−1)− n2(−1, 2)− n3(1, 1)= (p− 2(n1 + n3) + (n2 + n3), q + (n1 + n3)− 2(n2 + n3))= (p− 2n+ n′, q + n− 2n′)?

13

Offensichtlich giltn1 + n3 = nn2 + n3 = n

′ für (n1, n2, n3) ∈ N30 genau dann, wenn

(n1, n2, n3) ∈ { (n− i, n′ − i, i) | 0 ≤ i ≤ min{n,n′}} .Wir erhalten also Folgendes: Ist µ ein Gewicht von M(λ) mit µ = λ−nα1−n′α2, dannist die Familie der Vektoren(fn1 f

n′2 .vλ, f

n−11 f

n′−12 f3.vλ, . . . , f

n−i1 f

n′−i2 f

i3.vλ, . . . , f

n−min{n,n′}1 f

n′−min{n,n′}2 f

min{n,n′}3 .vλ

)

eine C-Basis von M(λ)µ und damit gilt dimCM(λ)µ = min{n,n′}+ 1.Für jedes m ∈M(λ)µ existieren also eindeutig bestimmte c0, . . . , cmin{n,n′} ∈ C, mit

m =

min{n,n′}∑

i=0

cifn−i1 f

n′−i2 f

i3.vλ.

Bemerkung 1.2.1.

1. Die Basisvektoren von M(λ) bzw. M(λ)µ kann man in der Form fi1fi2 . . . fin .vλmit ij = 1, 2 ausdrücken, denn f3 = [f2, f1].

2. Betrachten wir M(λ) als U(s−)-Modul, dann gilt M(λ) ∼= U(s−), M(λ)λ−µ ∼=U(s−)−µ. Die Operation von U(s−) auf M(λ) ist eine Linksmultiplikation. AlsU(s−)-Modul gleichen sich alle Verma-Moduln. Nur die Operationen von h undU(s+) sind verschieden. Sie sind in Lemma 1.2.3 beschrieben.

Im linken Bild ist ein Ausschnitt eines s-Verma-Moduls M(λ) auf dem Gewichtsgit-

ter visualisiert. Hier entspricht Vnn′ = V(λ)nn′ dem Gewichtsraum M(λ)(p−2n+n′,q+n−2n′).

Die Pfeile deuten die Anwendung von ei und fi für i = 1, 2, 3 an. Im rechten Bild, ander Stelle des Gewichtsraumes Vnn′ (im linken Bild), steht der Wert der Kostant’schenPartitionsfunktion ℘(2n− n′,−n + 2n′), also dimCVnn′.

IIII 6

6

6

�

�

�

�

I

I

I

I

RRR

�� ???? ?

?

?

?

?�I

6

RI

� ?

RI

*

� ?

6RI

*

� ?

6RI

*

� ?

6

RI

*

� ?

6

RI

*

� ?

6

RI

*

� ?

6

RI

*

� ?

6

RI

*

� ?

6RI

*

� ?

6RI

*

� ?

6

RI

*

� ?

6RI

*

� ?

6RI

*

� ?

6

RI

*

� ?

6RI

*

� ?

6RI

*

� ?

6

V00V10V20V30Vn0

V01V11V21V31Vn1

V02V12V22V32Vn2

V03V13V23V33Vn3

V0n′V1n′V2n′V3n′Vnn′

e3e1

f1

e2

f2f3

p p pp p p

p p pp p pp p p

p p pp p p

p p p

qqqqqqq

qqqqqq

qqqqq

qq

q

qq

qq

11111

12222

12333

12344

1234min{n, n′} + 1p p p

p p pp p pp p p

p p pp p p

p p p

qqqqqqq

qqqqqq

qqqqq

qq

q

qq

qq

Jeder Untermodul von M(λ) ist die Summe von gewissen Verma-Moduln, die inM(λ) enthalten sind, denn |B| = 2. Für λ0 ∈ Λ++ gilt, wie bereits in 1.1 beschrieben,dass M(w′ · λ0) ⊆ M(w · λ0), für w′ ≦ w ∈ W . So entspricht das auf der Seite 11beschriebene Diagramm der Bruhat-Ordnung dem Inklusions-Diagramm von den in

14

M(λ0) enthaltenen Verma-Moduln. Man kann daher alle Untermoduln von M(λ0) undderen Inklusionsverhältnisse genau angeben:

��

@@@I

66

HHHH

HHY

��

��*

@@@I

��

Das Inklusions-Diagramm derVerma-Untermoduln in M(λ0)

Der Untermodulverband von M(λ0)

M(λ5)

M(λ4)M(λ3)

M(λ1) M(λ2)

M(λ0)

6

��

@@I

@@I

��

@@I

��

@@I

��

6

0

M(λ5)

M(λ3) M(λ4)

M(λ3) +M(λ4)

M(λ2)M(λ1)

M(λ1) +M(λ2)

M(λ0)

Der Verma-Modul M(λ) ist lokal. Der eindeutig bestimmte maximale UntermodulradM(λ) ist im rechten Diagramm klar zu sehen:

radM(λ0) = M(λ1) +M(λ2),radM(λ1) = M(λ3) +M(λ4),radM(λ2) = M(λ3) +M(λ4),

radM(λ3) = M(λ5),radM(λ4) = M(λ5),radM(λ5) = 0.

Um die Struktur eines Moduls der Kategorie O zu verstehen, bietet die Betrach-tung eines Verma-Moduls eine gute Grundlage. Dazu betrachten wir am Ende diesesAbschnitts einen Verma-Modul aus O(2,1) und verdeutlichen eine seiner Strukturen alssl2(C)-Modul.

Einfache Moduln in Oλ.Ist M ∈ Oλ ein einfacher Modul, dann ist M isomorph zu einem der Moduln

L(λ0), L(λ1), L(λ2), L(λ3), L(λ4), L(λ5).

Aus 1.1 wissen wir, dass L(λ) ∼= M(λ)/radM(λ) für alle λ ∈ {λi | 0 ≤ i ≤ 5} gilt.Weil radM(λ) bereits bekannt ist, erhalten wir

L(λ0) ∼= M(λ0)/(M(λ1) +M(λ2)),L(λ1) ∼= M(λ1)/(M(λ3) +M(λ4)),L(λ2) ∼= M(λ2)/(M(λ3) +M(λ4)),L(λ3) ∼= M(λ3)/M(λ5),L(λ4) ∼= M(λ4)/M(λ5),L(λ5) ∼= M(λ5).

Insbesondere L(λ0) ist endlichdimensional mit dimCL(λ0) =12(a+ 1)(b+ 1)(a+ b+ 2)

(hier λ0 = (a, b)) ([H]).

15

Die projektiven unzerlegbaren Moduln in Oλ.Es gibt genau sechs paarweise nicht isomorphe projektive unzerlegbare Moduln in Ka-tegorie Oλ, nämlich P (λ0), P (λ1), P (λ2), P (λ3), P (λ4), P (λ5).

Der projektive Modul P (λ) (λ ∈ {λi | 0 ≤ i ≤ 5}) hat, wie bereits bekannt, eineVerma-Filtrierung, d.h. M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mn−1 ⊂ Mn mit M0 = 0, Mn = P (λ) undMj/Mj−1 ∼= M(λkj ) für 1 ≤ j ≤ n und 0 ≤ kj ≤ 5. Für diese Filtrierung gilt nachder BGG Reziprozitätsformel und aufgrund der Eigenschaften der Jordan-Hölder-Reihe

von Verma-Moduln, dass (P (λ) : M(λi)) = [M(λi) : L(λ)] =

{1 für λ 6 λi,0 sonst.

Daraus können wir nun die Länge l(P (λ)) =

5∑

i=0λ6λi

l(M(λi)) des projektiven Moduls P (λ)

genau berechnen.

Aufgrund l(M(λi)) =

6 für i = 0,4 für i = 1 oder i = 2,2 für i = 3 oder i = 4,1 für i = 5

und der Ordnungsrelation 6

erhalten wir l(P (λ)) =

6 für λ = λ0,10 für λ = λ1 oder λ = λ2,16 für λ = λ3 oder λ = λ4,19 für λ = λ5.

Die Vielfachheit, mit der L(λi) in einer Jordan-Hölder-Reihe von P (λ) als einfacherFaktor auftritt, ist die Anzahl der Verma-Moduln in einer Verma-Filtrierung von P (λ),die einen zu L(λi) isomorphen Kompositionsfaktor besitzen.

Es gilt also [P (λ) : L(λi)] =

5∑

j=0λ6λj

[M(λj) : L(λi)]. Sie sind in der nächsten Tabelle

aufgelistet.

[P (λj) : L(λi)] L(λ0) L(λ1) L(λ2) L(λ3) L(λ4) L(λ5)

P (λ0) 1 1 1 1 1 1P (λ1) 1 2 1 2 2 2P (λ2) 1 1 2 2 2 2P (λ3) 1 2 2 4 3 4P (λ4) 1 2 2 3 4 4P (λ5) 1 2 2 4 4 6

Tabelle 2

Lemma 1.2.2. Sei M ∈ Oλ ein lokaler Modul so dass M/radM ∼= L(λi) undl(M) = l(P (λi)) für ein 0 ≤ i ≤ 5, dann gilt M ∼= P (λi).

Beweis. Sei ρ : P (M) −→M eine projektive Decke von M , dann ist ρ surjektiv undinduziert einen Isomorphismus P (M)/radP (M) ∼= M/radM ∼= L(λi). Der projektive

16

Modul P (M) ist also die projektive Decke des Moduls L(λi), d.h. P (λi) ∼= P (M). Esexistiert daher ein surjektiver s-Homomorphismus ρ′ : P (λi) −→ M . Nach der Voraus-setzung l(P (λi)) = l(M) ist ρ

′ daher ein Isomorphismus. �

Offensichtlich gilt P (λ0) ∼= M(λ0).Jeder Modul in Oλ ist isomorph zu einem Faktormodul von

n0⊕

i=0

P (λ0)⊕n1⊕

i=0

P (λ1)⊕n2⊕

i=0

P (λ2)⊕n3⊕

i=0

P (λ3)⊕n4⊕

i=0

P (λ4)⊕n5⊕

i=0

P (λ5).

Kippmoduln in OλEs gibt bis auf Isomorphie genau sechs unzerlegbare Moduln in Oλ, die Verma- undCo-Verma-Filtrierungen besitzen, nämlich T (λ0), T (λ1), T (λ2), T (λ3), T (λ4), T (λ5).

Aufgrund der Eigenschaften der Kippmoduln kommen in den Verma- bzw. Co-Verma-Fitrierungen von T (λ5) nur M(λ5) bzw. M

∗(λ5) einmal vor. Da M(λ5) einfachist, gilt M(λ5) ∼= M∗(λ5), d.h. T (λ5) ∼= M(λ5) ∼= L(λ5).

Die Subquotienten in einer Verma-Filtrierung von T (λi) sind isomorph zu M(λi)oder M(λ5), wobei i = 3, 4. Die Kompositionsfaktoren in einer Jordan-Hölder-Reihesind zu L(λi) oder L(λ5) isomorph.

Die Subquotienten in einer Verma-Filtrierung von T (λi) für i = 1, 2 sind isomorphzu M(λi), M(λ3), M(λ4) oder M(λ5) und L(λi), L(λ3), L(λ4) oder L(λ5) sind seineKompositionsfaktoren.

In einer Verma-Filtrierung von T (λ0) gibt es zu jedem Verma-Modul M(λ) in Oλeinen Subfaktor, der zu M(λ) isomorph ist. Damit ist auch jeder einfache Modul einKompositionsfaktor von T (λ0). Es sei hier bereits erwähnt, dass T (λ0) ∼= P (λ5). Dieeingehende Untersuchung dazu erfolgt zu gegebener Zeit.

Das nächste Lemma beschreibt die Operation der Lie-Algebra s auf Vektoren derForm fn11 f

n22 f

n33 .m für einen m ∈ Mµ, wobei M ∈ O. Wir werden davon später noch

Gebrauch machen.

Lemma 1.2.3. Sei M ∈ O und m ∈ Mµ für ein µ ∈ suppM mit µ = (µ1, µ2).Dann gilt für alle n1, n2, n3 ∈ N0

(1) h1.fn11 f

n22 f

n33 .m = (µ1 − 2n1 + n2 − n3)fn11 fn22 fn33 .m,

(2) h2.fn11 f

n22 f

n33 .m = (µ2 + n1 − 2n2 − n3)fn11 fn22 fn33 .m,

(3) f1.fn11 f

n22 f

n33 .m = f

n1+11 f

n22 f

n33 .m,

(4) f2.fn11 f

n22 f

n33 .m = f

n11 f

n2+12 f

n33 .m+ n1f

n1−11 f

n22 f

n3+13 .m,

(5) f3.fn11 f

n22 f

n33 .m = f

n1 f

m2 f

r+13 .m,

(6) e1.fn11 f

n22 f

n33 .m = n1(µ1 − n1 + n2 − n3 + 1)fn1−11 fn22 fn33 .m

−n3fn11 fn2+12 fn3−13 .m+ fn11 fn22 fn33 .e1.m,(7) e2.f

n11 f

n22 f

n33 .m = n2(µ2 − n2 + 1)fn11 fn2−12 fn33 .m+ n3fn1+11 fn22 fn3−13 .m

+fn11 fn22 f

n33 .e2.m,

(8) e3.fn11 f

n22 f

n33 .m = n3(µ1 + µ2 + 1− n1 − n2 − n3)fn11 fn22 fn3−13 .m

−n1n2(µ2 + 1− n2)fn1−11 fn2+12 fn33 .m. + fn11 fn22 fn33 .e3.m.

17

Beweis. Der Modul M hat eine Gewichtsraum-Zerlegung, fi ∈ s−αi für i = 1, 2 undf3 ∈ s−α1−α2 , so ist der Vektor fn11 fn22 fn33 .m ein Gewichtsvektor zum Gewicht(µ1, µ2)− n1(2,−1)− n2(1,−2)− n3(1, 1) = (µ1− 2n1 + n2− n3, µ2 + n1− 2n2− n3).

Aus der Definition des Gewichtsraumes folgt (1) und (2). Der Beweis für (3) ist klar.Nachstehend werden die Eigenschaften x.y.v = y.x.v + [x, y].v und [x, y] = −[y, x]

für alle x, y ∈ s, v ∈M angewendet, wie auch die Formeln

[ei, fnj ] =

n(hi.fn−1i + (n− 1)fn−1i ) für i = j = 1 oder i = j = 2,

0 für 1 ≤ i 6= j ≤ 2,−nf2fn−13 für i = 1 und j = 3,nf1f

n−13 für i = 2 und j = 3,

[fi, fnj ] =

nfn−11 f3 für i = 2 und j = 1,−nfn−12 f3 für i = 1 und j = 2,

0 für (i, j) 6= (1, 2), (2, 1).

Zu (4); f2.fn11 f

n22 f

n33 .m = f

n11 f2f

n22 f

n33 .m+ [f2, f

n11 ]f

n22 f

n33 .m

= fn11 fn2+12 f

n33 .m+ n1f

n1−11 f3f

n22 f

n33 .m

= fn11 fn2+12 f

n33 .m+ n1f

n1−11 f

n22 f

n3+13 .m.

Aus [f3, fn11 ] = 0 und [f3, f

n22 ] = 0 folgt f3.f

n11 f

n22 f

n33 .m = f

n11 f

n22 f

n3+13 .m, also (5).

Zu (6); e1.fn11 f

n22 f

n33 .m = [e1, f

n11 ].f

n22 f

n33 .m+ f

n11 .e1.f

n22 f

n33 .m

= n1(h1.fn1−11 + (n1 − 1)fn1−11 ).fn22 fn33 .m+ fn11 fn22 .e1.fn33 .m

= n1(h1.fn1−11 f

n22 f

n33 .m+ (n1 − 1)fn1−11 fn22 fn33 .m)

−n3fn11 fn22 f2fn3−13 .m+ fn11 fn22 fn33 .e1.m= n1(µ1 − n1 + n2 − n3 + 1)fn1−11 fn22 fn33 .m−n3fn11 fn2+12 fn3−13 .m+ fn11 fn22 fn33 .e1.m.

Zu (7); e2.fn11 f

n22 f

n33 .m = [e2, f

n11 ].f

n22 f

n33 .m+ f

n11 .e2.f

n22 f

n33 .m

= fn11 (n2(h2.fn2−12 + (n2 − 1)fn2−12 ))fn33 .m+ fn11 fn22 .e2.fn33 .m

= n2fn11 (h2.f

n2−12 f

n33 .m+ (n2 − 1)fn2−12 fn33 .m)

+n3fn11 f

n22 f1f

n3−13 .m+ f

n11 f

n22 f

n33 .e2.m

= n2(µ2 − n2 − n3 + 1)fn11 fn2−12 fn33 .m+n3f

n11 (f1f

n22 + [f

n22 , f1])f

n3−13 .m+ f

n11 f

n22 f

n33 .e2.m

= n2(µ2 − n2 − n3 + 1)fn11 fn2−12 fn33 .m+n3f

n1+11 f

n22 f

n3−13 .m+ n3n2f

n11 f

n22 f3f

n3−13 .m+ f

n11 f

n22 f

n33 .e2.m

= n2(µ2 − n2 + 1)fn11 fn2−12 fn33 .m+ n3fn1+11 fn22 fn3−13 .m+fn11 f

n22 f

n33 .e2.m.

Mit der Relation e3 = [e1, e2] und durch das Ausrechnen von (e1.e2−e2.e1).fn11 fn22 fn33 .merhalten wir (8). �

Bemerkung 1.2.4. Sei (µ = (µ1, µ2), m) das Höchstgewichtspaar eines Verma-Moduls M(µ), dann beschreibt das Lemma 1.2.3 die Operation der Basisvektoren vons auf die Basisvektoren von M(µ).

18

Höchstgewichtsvektoren von M(λ) mit λ ∈ Λ++.

Lemma 1.2.5. Sei λ = (a, b) ∈ Λ++ und (λ, vλ) das Höchstgewichtspaar vonVerma-Modul M(λ). Seien

v0 := vλ v1 : = fa+11 .vλ, v2 : = f

b+12 .vλ, v3 : = f

a+b+21 f

b+12 .vλ,

v4 : =a+1∑

i=0

(a+ 1

i

)(i−1∏

j=0

(a+ b+ 2− j))fa+1−i1 f

a+b+2−i2 f

i3.vλ,

v5 : =a+1∑

i=0

(a+ 1

i

)(i−1∏

j=0

(a+ b+ 2− j))fa+b+2−i1 f

a+b+2−i2 f

i3.vλ.

Dann sind die Elemente der Menge { cvi | 0 ≤ i ≤ 5, c ∈ C mit c 6= 0 } die Höchstge-wichtsvektoren von M(λ).

Beweis. Nach den Eigenschaften des Verma-Moduls zu einem regulären Gewichthat M(λ) genau sechs Höchstgewichts-Untermoduln, von denen je einer zu M(wi · λ)für 0 ≤ i ≤ 5 isomorph ist ({wi | 0 ≤ i ≤ 5} = W ). Es existieren somit bis auf denSkalar genau sechs Höchstgewichtsvektoren, je einer im Gewichtsraum λi = wi · λ, dieerzeugende Elemente der Verma-Untermoduln von M(λ) sind.

Der Vektor vi ist ein Gewichtsvektor von M(λ) zum Gewicht λi. Nach der Anwen-den von e1 und e2 auf vi erhalten wir ej .vi = 0 für 0 ≤ i ≤ 5 und i = 1, 2. So gilte.vi = 0 für alle e ∈ s+, also sind v0, . . . , v5 die Höchstgewichtsvektoren. Wenn c ∈ Cmit c 6= 0, dann ej .(cvi) = 0 für 0 ≤ i ≤ 5 und j = 1, 2. �

Bemerkung 1.2.6. Sei λ = (a, b) ∈ Λ++ und (λ, vλ) das Höchstgewichtspaar vonVerma-Modul M(λ). Die Elemente gij ∈ U(s) seien wie folgt definiert:

g01 := fa+11 ,

g02 := fb+12 ,

g13 :=

b+1∑

i=0

(b+ 1

i

)(i−1∏

j=0

(a+ b+ 2− j))f b+1−i2 f

b+1−i1 f

i3,

g14 := fa+b+22 ,

g23 := fa+b+21 ,

g24 :=a+1∑

i=0

(a + 1

i

)(i−1∏

j=0

(a + b+ 2− j))fa+1−i1 f

a+1−i2 f

i3,

g35 := fa+12 ,

g45 := fb+11 .

Dann gilt gij.vi = vj, wobei vi mit 0 ≤ i ≤ 5 die im Lemma 1.2.5 bestimmten Höchst-gewichtsvektoren von M(λ) sind.

Beweis. Aus dem Lemma 1.2.5 und durch das Anwenden der Formeln

19

fn22 fn11 =

∑ni=0

(ni

) (∏i−1j=0(ñ− j)

)fn1−i1 f

n2−i2 f

i3 und

fn11 fn22 =

∑ni=0(−1)i

(ni

) (∏i−1j=0(ñ− j)

)fn2−i2 f

n1−i1 f

i3,

hier n = min{n1, n2}, ñ = max{n1, n2}, erhalten wir die Elemente gij für entsprechen-de 0 ≤ i, j ≤ 5. �

Das folgende Schema veranschaulicht die in der Bemerkung 1.2.6 bestimmten Re-lationen.

ssss

ss

�

HHHHHHj

��

�

��

HHHHHHj

@@@@@@@@R

�

λ0λ1

λ2λ3

λ4λ5

v0v1

v2v3

v4v5

g01

g02g13

g24g35

g45

g23

g14

Bemerkung 1.2.7. Sei M(λ) ein Verma-Modul in Oλ mit λ ∈ Λ++, dann istm ∈M(λ) genau dann primitiv, wenn m ein Höchstgewichtsvektor ist.

Beweis. Sei m ∈ M(λ) ein primitives Element. Nach den Eigenschaften der pri-mitiven Elemente (S. 8, 10) ist m ein Gewichtsvektor zum Gewicht λi = wi · λ mitλi 6 λ und wi ∈ W . Es existiert ein Untermodul N von 〈m〉 mit 〈m〉/N ∼= L(λ). InM(λ)λi existiert (bis auf den Skalar) genau ein Element mit dieser Eigenschaft, er istder Höchstgewichsvektor zum Gewicht λi.

Die Höchstgewichtsvektoren sind offensichtlich primitiv. �

Beispiel M(2, 1)

Das Bild auf der nächsten Seite visualisiert mit Hilfe von Zahlenpaaren, 6-farbigenPunkten, Vektoren und gebogenen Pfeilen einen Ausschnitt des vom Höchstgewichts-vektor v := v(2,1) erzeugten sl3(C)-Verma Moduls M(2, 1).

Die Zahlenpaare stehen für die Gewichte. Die darüber senkrecht angeordnetenPunktreihen symbolisieren einen Gewichtsraum zu genau diesen Gewichten: Jeder ein-zelne Punkt dieser Reihe vertritt einen 1-dimensionalen C-Vektorraum. Er wird vondem über diesem Punkt stehenden Vektor der Form fn1 .vab aufgespannt, wobei vab mita, b ∈ N0, a ≤ b wie folgt definiert wird:

Seien c(ab)j := (a− j)(3 + b− a− j), ξ(ab)i := 1i!

∏i−1j=0 c

(ab)j und

η(ab)i :=

1 für i = 0,

c(ab)0 − 1 für i = 1,

1i!

(∏i−1j=0 c

(ab)j −

∑i−1j=0 c

(ab)0 · · · c

(ab)j−1c

(ab)j+1 · · · c

(ab)i−1)

für i ≥ 2,

20

dann vab :=

a∑

i=0

ξ(ab)i f

a−i1 f

b−12 f

i3.v für 0 ≤ a ≤ b− nb,

a∑

i=0

η(ab)i f

a−i1 f

b−12 f

i3.v für b− nb + 1 ≤ a ≤ b,

wobei

nb :=

0 für 0 ≤ b ≤ 3,n+12 für b = 3 + n und n ∈ 2N0 + 1,n2 für b = 3 + n und n ∈ 2N.

(Der Vektor v00 ist hier einfach mit v bezeichnet.)

Die Familie(fa1 .v0b, f

a−11 .v1b, . . . , f

a−k1 .vkb, . . . , f

a−min{a,b}1 .vmin{a,b},b

)ist eine C-Basis

des Gewichtsraumes M(2, 1)(2−2a+b,1+a−2b).Die gebogenen Pfeile deuten die Anwendung von e1 an. Dabei bildet e1 den Vektor

in Pfeilrichtung ab und zwar mit der Vielfachheit, die über diesem Pfeil steht z.B.e1.f

61 .v13 = −12f 51 .v13. Fehlt ein Pfeil, dann bildet e1 den Vektor auf 0 ab.Doppelpfeile bedeuten, dass e1 den Vektor auf diejenige lineare Kombination der

Vektoren abbildet, auf die die Pfeile zeigen. Die Vielfachheit des “zweiten“ Vektors istimmer 1, z.B. e1.f

31 .v67 = −15f 21 .v67 + f 41 .v47.

Unter f1 ist der Vektor fn1 .vab auf den links stehenden Vektor f

n+11 .vab abgebildet.

Nach der Definition des Gewichtsraumes operieren h1 und h2 auf fn1 .vab als Ska-

larmultiplikation und zwar h1.fn1 .vab = (2 − (2a + n) + b)fn1 .vab und h2.fn1 .vab = (1 +

a + (n− 2b))fn1 .vab. Hier gleicht (2− (2a + n) + b) bzw. (1 + a + (n − 2b)) der linkenbzw. rechten Ziffer des zugehörigen Zahlenpaares.

Die Menge {fn1 .vab | n, a, b ∈ N0, a ≤ b} ist eine C-Basis von M(2, 1). Aus Gründender Übersichtlichkeit entfällt hier die Visualisierung der Operationen von e2 und f2 aufdiese Basis. So ist die Struktur des Moduls M(2, 1), eingeschränkt auf die UnteralgebraspanC{e1, f1, h1} ∼= sl2(C), klar sichtbar.

Bemerkung 1.2.8. Der von dem Element vab erzeugte spanC{e1, f1, h1} ∼= sl2(C)-Modul ist isomorph zu einem projektiven unzerlegbaren Modul in Kategorie O(2−2a+b)der sl2(C)-Modul. Genauer: Sei L(n) ein einfacher sl2(C)-Höchstgewichtsmodul zumGewicht n und P(n) die projektive Decke von L(n), hier n ∈ Z, dann ist der von demElement vab erzeugte sl2(C)-Modul isomorph zu P(2− 2a + b).

Da jeder Untermodul von M(2, 1) eine Summe von gewissen, im anliegenden Sche-ma farbig bestimmten Verma-Untermoduln ist, können wir den Untermodulverbandvon M(2, 1) auch farbig interpretieren:

〈f21 .v35〉

M(−3,−4)

〈f51 .v02〉

M(−6, 2)

〈v35〉

M(1,−6)

〈f51 .v02, v35〉

〈f31 .v〉

M(−4, 4)

〈v02〉

M(4,−3)

〈f31 .v, v02〉〈v〉

M(2, 1)0 -

��*

HHHj

HHHj

��*

��*

HHHj

HHHj

��*

-

Hier wird auch der Symbolcharakter der Vektoren in einzelnen Farben bzw. Farb-kombinationen deutlich.

21

Im Faktormodul

〈v〉/〈f 31 .v, v02〉 ∼= M(2, 1)/radM(2, 1) ∼= L(2, 1) ! : : : : : : / : : : : : ∼= :entsprechen die Restklassen der bunt markierten Vektoren dem Vektor 0. Die 15 schwarzmarkierten Vektoren im Bild vertreten eine C-Basis des einfachen Höchstgewichtsmo-duls L(2, 1). Diese Vektoren sind Repräsentanten der Restklassen von 〈v〉/rad〈v〉.

Analog dazu können wir die in weiteren einzelnen Farben ausgezeichneten Vektorenals Auschnitt einer C-Basis der einfachen Höchstgewichtsmoduln L(wi ·(2, 1)) ∼= M(wi ·(2, 1))/radM(wi · (2, 1)) für 1 ≤ i ≤ 5 interpretieren:: ! L(−4, 4), : ! L(4,−3), : ! L(−6, 2), : ! L(1,−6), : ! L(−3,−4).

Jeder Höchstgewichtsmodul zum höchsten Gewicht (2, 1) ist isomorph zu einem Fak-tormodul des Verma-Moduls M(2, 1). Somit lassen sich auf diese Weise alle Höchstge-wichtsmoduln zum höchsten Gewicht (2, 1) hier auch farbig erklären. So symbolisierendie in den folgenden Farbkombinationen ausgezeichneten Punkte, Vektoren und Pfeiledie entsprechenden Höchstgewichtsmoduln zum höchsten Gewicht (2, 1):

: : ! 〈v〉/〈f 31 .v〉,: : ! 〈v〉/〈v02〉,

: : : ! 〈v〉/〈f 51 .v02, v35〉,: : : : ! 〈v〉/〈v35〉,: : : : ! 〈v〉/〈f 51 .v02〉,

: : : : : ! 〈v〉/〈f 21 .v35〉.

Analog dazu sind alle Höchstgewichtsmoduln zu den höchsten Gewichten (−4, 4),(4,−3), (−6, 2), (1,−6) in entsprechenden Farbkombinationen denkbar.

1.3. Der Funktor Φ.

Aufgrund der Äquivalenz der regulären Blöcke liegt es nahe, den regulären Block zum Ge-

wicht (0, 0) zu betrachten, denn das vereinfacht unsere Berechnungen, Untersuchungen, ect..

Über den Block O(0,0) kann man auch in [M], [Ma] etwas finden.In diesem Abschnitt führen wir einen Automorphismus φ von s und einen durch eben diesen

induzierten s-Funktor Φ : O(0,0) → O(0,0) ein. Die Eigenschaften dieses Funktors ermöglichenuns fortan eine analoge Beweisführung. Er wird im nächsten Abschnitt sowie in folgenden

Kapiteln vorwiegend zu diesem Zweck verwendet.

Sei φ : s→ s eine lineare Abbildung mitφ(e1) = e2, φ(e2) = e1, φ(e3) = −e3,φ(f1) = f2, φ(f2) = f1, φ(f3) = −f3,φ(h1) = h2, φ(h2) = h1.

Offensichtlich ist φ ein C-Vektorraum-Isomorphismus. Mit Hilfe der Tabelle 1 (S. 11) istleicht zu errechnen, dass die Bedingung φ([x, y]) = [φ(x), φ(y)] für alle x, y ∈ {ei, fi, hj |i = 1, 2, 3, j = 1, 2} und damit für alle x, y ∈ s erfüllt ist. So ist φ ein Automorphismusvon der Lie-Algebra s, der eindeutig zu dem Automorphismus von U(s) fortgesetztwird.

22

Aus der allgemeinen Modultheorie lässt sich ableiten, dass der Automorphismus φeinen Isomorphismus Φ : O(0,0) −→ O(0,0) induziert, wobei der Modul M dem ModulΦ(M) zugeordnet wird, dessen U(s)-Modulstruktur durch g.m = φ(g).m für alle g ∈U(s) und m ∈ Φ(M) definiert ist. Aus φ ◦ φ = Ids folgt Φ ◦ Φ = IdO(0,0) , somitΦ(Φ(M)) ∼= M für alle M ∈ O(0,0).

Mehr dazu findet man in [S] 2.5.

Bezeichnung.

1. Mit UM(M) bezeichnen wir im weiteren die Menge der Untermoduln einesModuls M . Bezüglich der Inklusion ist UM(M) ein vollständiger Verband. Dies wirdmit (UM(M),⊆) bezeichnet und durch ein s.g. Hasse-Diagramm veranschaulicht.

2. Die folgenden Bezeichnungen für die Gewichte behalten bis zum Ende dieserArbeit ihre Gültigkeit (hier λi := wi · (0, 0) mit wi ∈W (S. 11)):

λ0 := (0, 0), λ1 := (−2, 1), λ2 := (1,−2), λ3 := (−3, 0), λ4 := (0,−3), λ5 := (−2,−2).

3. Manchmal benutzen wir für M , N ∈ O(0,0) mit Φ(M) ∼= N die symbolischeSchreibweise ”M

Φ←→ N” und nennen die Moduln M und N Φ-äquivalent.

Die folgenden Eigenschaften des Funktors Φ erhalten wir aus seiner Definition undden Eigenschaften der Isomorphismen von Kategorien. Grundlagen dazu kann man in[ARS], [HS], [AF] finden.

Sei M ∈ O(0,0)

◮ Ist M ein Höchstgewichtsmodul zum Gewicht (p, q), dann ist Φ(M) ein Höchst-gewichtsmodul zum Gewicht (q, p). Daraus und aus der Eigenschaft l(M) =l(Φ(M)) folgt

L(λ0)Φ←→ L(λ0), L(λ5) Φ←→ L(λ5), L(λ1) Φ←→ L(λ2), L(λ3) Φ←→ L(λ4) und

M(λ0)Φ←→ M(λ0), M(λ5) Φ←→M(λ5), M(λ1) Φ←→M(λ2), M(λ3) Φ←→ M(λ4).

◮ Sind U,U ′ Untermoduln von M mit U ′ ⊆ U , dann sind Φ(U),Φ(U ′) die Unter-moduln von Φ(M) mit Φ(U ′) ⊆ Φ(U). Insbesondere gilt Φ(U/U ′) ∼= Φ(U)/Φ(U ′)und Φ(radM) ∼= radΦ(M). Aus Lemma 1.2.2 folgtP (λ5)

Φ←→ P (λ5), P (λ0) Φ←→ P (λ0), P (λ1) Φ←→ P (λ2), P (λ3) Φ←→ P (λ4).

◮ Ist M unzerlegbar, dann ist Φ(M) auch unzerlegbar. Ist M0 ⊂ . . . ⊂ Mn eineVerma- bzw. Co-Verma-Filtrierung von M , dann ist Φ(M0) ⊂ . . . ⊂ Φ(Mn)eine Verma- bzw. Co-Verma-Filtrierung von Φ(M). Nach der Definition und denEigenschaften von Kippmoduln gilt

T (λ5)Φ←→ T (λ5), T (λ0) Φ←→ T (λ0), T (λ1) Φ←→ T (λ2), T (λ3) Φ←→ T (λ4).

◮ Die Menge der lokalen Untermoduln von M entspricht bezüglich Φ bijektiv derMenge der lokalen Untemoduln von Φ(M).

Die Abbildung Φ̃ : UM(M)→ UM(Φ(M)) mit U 7→ Φ(U) ist bijektiv.

◮ Für M1, . . . ,Mn ∈ O(0,0) gilt Φ(∑n

i=1 Mi)∼=∑n

i=1 Φ(Mi).

23

◮ Sei m ∈ M ein primitives Element mit 〈m〉 = M und Φ(M) ∼= M , danngilt Φ(〈g.m〉) ∼= 〈φ(g).m〉 für alle g ∈ U(s). In diesem Fall gilt m ∈ Mλ mitλ = λ0 oder λ = λ5. Wenn g.m für ein g ∈ U(s) primitiv ist, dann ist φ(g).mauch primitiv und aus der letzten Eigenschaft folgt Φ(〈e1.g.m〉 + 〈e2.g.m〉) ∼=〈φ(e1.g).m〉+〈φ(e2.g).m〉 = 〈e2.φ(g).m〉+〈e1.φ(g).m〉, d.h. Φ(U(s).s+.(g.m)) Φ←→U(s).s+.(φ(g).m).

Bemerkung 1.3.1. Sei m ∈ M ein primitives Element mit 〈m〉 = M undΦ(M) ∼= M . Seien m1, . . . , mn, m′1, . . . , mn ∈ M und g1, . . . , gn ∈ U(s), so dassgilt gi.m = mi und φ(gi).m = m

′i für alle 1 ≤ i ≤ n, dann gilt für alle g1, . . . , gn ∈

U(s) 〈g1.m1 + · · ·+ gn.mn〉 Φ←→ 〈φ(g1).m′1 + · · ·+ φ(gn).m′n〉.Beweis. Seien g1, . . . , gn ∈ U(s), dann g1.m1 + · · ·+ gn.mn = (g1g1 + · · ·+ gngn).m.

Somit gilt Φ(〈g1.m1 + · · · + gn.mn〉) ∼= 〈φ(g1g1 + · · · + gngn).m〉 = 〈φ(g1).φ(g1).m +· · ·+ φ(gn).φ(gn).m〉 = 〈φ(g1).m′1 + · · ·+ φ(gn).m′n〉. �

1.4. Der U(s)-Modul P ∼= P (λ5).

In diesem Abschnitt beweisen wir die Existenz des Moduls, der Hauptgegenstand dieser Ar-

beit ist. Wir betrachten einen Verma-Modul der komplexen halbeinfachen Lie-Algebra sl4(C)als einen g′-Modul, wobei g′ eine zu s isomorphe Unteralgebra von sl4(C) ist.Aus diesem Grund legen wir zunächst den 4-Tupel T

(hsl4 , sl4(C)+, Q(sl4(C))+, σsl4(C)

)fest,

der die Lie-Algebra sl4(C) beschreibt.In dem bereits erwähnten Verma-Modul bestimmen wir ein Element, das wir mit p bezeich-

nen und betrachten den von ihm erzeugten g′-Modul. Wir werden zeigen, dass dieser Moduldie projektive Decke eines einfachen Verma-Moduls in Kategorie O(0,0) ist.Im diesem Abschnitt verwenden wir auch die Egebnisse, die erst im nächsten Kapitel bewie-

sen werden, aus denen wir mit den hier durchgeführten Betrachtungen einige Folgerungen

ableiten werden.

Gegeben ist die Lie-Algebra

g := sl4(C) ={A = (aij) ∈ M(4× 4,C) |

∑4i=1aii = 0

}

= spanC{e1, e2, e3, e4, e5, e6, f1, f2, f3, f4, f5, f6,h1,h2,h3}

wobei ei =

Ei,i+1 für i = 1, 2, 3,Ei−3,i−1 für i = 4, 5,E14 für i = 6,

fi =

Ei+1,i für i = 1, 2, 3,Ei−1,i−3 für i = 4, 5,E41 für i = 6

und

hi = Eii −Ei+1,i+1 für i = 1, 2, 3.

Diese Lie-Algebra g wird durch folgenden 4-Tupel T (hg, g+, Q+, σ) beschrieben:• hg = spanC{h1,h2,h3}, hier identifizieren wir µ ∈ h∗g auch durch die Bilder derBasiselemente h1,h2,h3 von hg, also mit einer 1×3-Matrix (µ(h1), µ(h2), µ(h3)).

Für α1 = (2,−1, 0), α2 = (−1, 2,−1, ), α3 = (0,−1, 2) ∈ h∗g gilt:

24

gαi = spanC{ei} für i = 1, 2, 3,gαi−3+αi−2 = spanC{ei} für i = 4, 5gα1+α2+α3 = spanC{e6}.

B = {α1, α2, α3},R± = {±α1, ±α2, ±α3, ±(α1 + α2), ±(α2 + α3), ±(α1 + α2 + α3)},Sei ±α4 := ±(α1 + α2), ±α5 := ±(α2 + α3), ±α6 := ±(α1 + α2 + α3).

• g+ =⊕

α∈R+gα, g− =

⊕

α∈R−gα, g = g− ⊕ hg⊕ g+.

• Q+ = {n1α1 + n2α2 + n3α3 | n1, n2, n3 ∈ N0}.

• σ : g→ g mit σ(A) = At hier Etij = Eji.

Der Untervektorraum g′ := spanC{e1, e2, e4, f1, f2, f4,h1,h2} ist offensichtlich eineUnteralgebra von g. Die lineare Abbildung ϕ : s → spanC{e1, e2, e4, f1, f2, f4,h1,h2}mit ϕ(ei) = ei, ϕ(fi) = fi ϕ(hi) = hi für i = 1, 2, ϕ(e3) = e4, ϕ(f3) = f4 ist einLie-Algebren-Isomorphismus.

Sei 0 := (0, 0, 0) ∈ h∗g und M(0) =⊕

µ∈h∗g M(0)µ der von dem Höchstgewichts-vektor v0 erzeugte g-Verma Modul. Nach den in 1.1 beschriebenen Eigenschaften vonVerma-Moduln ist M(0)µ 6= 0 genau dann, wenn µ ∈ {−aα1− bα2− cα3 | a, b, c ∈ N0}.Die Menge Aµ =

{fn11 f

n22 f

n33 f

n44 f

n55 f

n66 .v0 | ni ∈ N0, µ = −

∑6i=1 niαi

}ist eine C-Basis

von dem Gewichtsraum M(0)µ. Aufgrund der Relationen f4 = [f2, f1], f5 = [f3, f2] undf6 = [f3, [f2, f1]] können die Elemente der Basis als lineare Kombinationen von Vektorender Form fi1 . . . fij . . . fik .v0 mit ij = 1, 2, 3 ausgedrückt werden.

Betrachten wirM(0) als einen g′-Modul, dann istM(n) :=⊕

a,b∈N0 M(0)(−aα1−bα2−nα3)ein g′-Untermodul von M(0)|g′ und

M(0)|g′ =⊕

n∈N0M(n).

Beweis. Seim ∈M(0)(−aα1−bα2−nα3). Für alle g ∈ gα mit α ∈ {±α1,±α2,±(α1+α2)} giltg.m ∈M(0)(−aα1−bα2−nα3)+α ⊂M(n) und hi.m ∈M(0)(−aα1−bα2−nα3) ⊂M(n) für i = 1, 2,d.h. M(n) ist g′-invariant und damit ein g′-Modul.

Jeder Gewichtsraum von M(0) ist ein Gewichtsraum eines der g′-Moduln M(n), d.h.M(0) =

∑n∈N0 M

(n). Wenn m ∈ M(n) ∩∑n′∈I M(n′), dann m = 0, für jede Teilmenge

I ⊂ N0 mit n 6∈ I. Somit ist M(0)|g′ =⊕

n∈N0 M(n). �

Das folgende Bild zeigt einen Teil von M(0)|g′, dessen direkte Summanden M(n)mit entsprechenden Gewichten und Gewichtsräumen als ”parallele Ebenen” gezeichnetsind.

25

(0,0,0)(-2,1,0)

(-4,2,0)

(-2a,a,0)

(0,1,-2)(-2,2,-2)

(-4,3,-2)

(-2a,a+1,-2)

(0,2,-4)(-2,3,-4)

(-4,4,-4)

(-2a,a+2,-4)

(0,n,-2n)(-2,n+1,-2n)

(-4,n+2,-2n)

(-2a,n+a,-2n)

(1,-2,1)(-1,-1,1)

(-3,0,1)

(-2a+1,a-2,1)

(1,-1,-1)(-1,0,-1)

(-3,1,-1)

(-2a+1,a-1,-1)

(1,0,-3)(-1,1,-3)

(-3,2,-3)

(-2a+1,a,-3)

(1,n-2,-2n+1)(-1,n-1,-2n+1)

(-3,n,-2n+1)

(-2a+1,a+n-2,-2n+1)

(2,-4,2)(0,-3,2)

(-2,-2,2)

(-2a+2,a-4,2)

(2,-3,0)(0,-2,0)

(-2,-1,0)

(-2a+2,a-3,0)

(2,-2,-2)(0,-1,-2)

(-2,0,-2)

(-2a+2,a-2,-2)

(2,n-4,-2n+2)(0,n-3,-2n+2)

(-2,n-2,-2n+2)

(-2a+2,a+n-4,-2n+2)

M(0)M(1)

M(2)

M(n)

?

??

?

p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p












































































rrrr

rrrrrrrrrrrr

rrrr

rrrrrrrrrrrr

rrrr

rrrrrrrrrrrr

Bemerkung 1.4.1. Der Verma-Modul M(0) ist ein freier U(g−)-Modul, deshalbgilt für ein Untermodul M von M(n) Folgendes:

1. Für jedes m ∈ Mµ mit m 6= 0 gilt auch 0 6= fn11 fn22 fn44 .m ∈ M für n1, n2, n4 ∈ N0und {(µ− aα1 − bα2) | a, b ∈ N0} ⊆ suppM .

2. Ist m ∈Mµ primitiv, dann 〈m〉/U(g′).g′+.m ∼= M(µ).Zur Erinnerung: Mit 〈m〉 bezeichnen wir den Modul U(g′).m und für den UntermodulU(g′).g′+.m von 〈m〉 gilt U(g′).g′+.m = 〈e1.m〉+ 〈e2.m〉.

Unser Fokus richtet sich von nun an auf den Gewichtsraum M(0)(−2,−2,−6) des

Moduls M(6). Der in diesem Gewichtsraum existierende Vektor

p :=(−1

2(−f3f2(f5f1 − 2f1f5)− 12 f25 f1 + 14f22 f1f23 − 34f3f22 f1f3

+5f6f2f3 − 118 f1f22 f23 )f3f2(f2f21 f3 + 2f1f3f2)f23 f

22 f1.v0

+((74(f3f

21 f2f5 + 3f3f1f4f5 − f3f21 f22 f3 − 3f3f1f2f4f3) + 12f2f1f6f3

−38(f21 f3f

25 − 2f1f4f5f3 − f2f4f1f23 + f1f4f2f23 ) + f26 )f3f22 f1f3

)f23 f

22 f1.v0

erzeugt einen g′-Untermodul von M(6), den wir mit P bezeichnen. Ihm gilt in dieserArbeit unser besonderes Interesse.

Die folgenden Gewichtsvektoren von M(6) und deren Relationen untereinander sindgrundlegend für die Struktur dieses Moduls P = U(g′).p

v := f43 f32 f

21 f

23 f2.v0

w := −12f33 f2 (f2f

21 f3 + 2f

21 f3f2) .f

23 f

22 f1.v0,

u := −f23 f5f22 f1f33 f22 f1.v0,d :=

((f1f6 +

12f4f1f3)f

23 f

22 f1f3 − (f6 − f1f5 − f2f1f3)(f4f2f1f3 + f2f21 f3f2)

)f23 f

22 f1.v0,

k :=(−1

2(f22 f

23 − 2f5f2f3 + f25 )f3f2(f2f21 f3 + 2f1f3f2)

+(−2f1f25 + 52f1f2f5f3 + 3f2f6f3 − 3f6f5 − 18f1f22 f23 + 34 f4f2f23 )f3f22 f1f3)f23 f

22 f1.v0.

26

Es bestehen folgende Relationen:

e1.p = k und e2.p = d,e1.k = 0 und e2.k = f1.u+ 2f2.w,e1.d = 2f1.u+ f2.w und e2.d = 0,e1.u = 0 und e2.u = v,e1.w = v und e2.w = 0,e1.v = 0 und e2.v = 0.

Im nächsten Bild werden diese Relationen sichtbar. Es zeigt einen Ausschnitt der ”Ebe-ne” M(6). Oberhalb der Punkte, die den Gewichtsräumen entsprechen, stehen die obenermittelten Elemente. Sie befinden sich in dem jeweiligen Raum. Die Pfeile von linksnach rechts deuten die Anwendung von e1 an, die Pfeile von unten nach oben dieAnwendung von e2. Besteht eine Pfeilfolge vom Element m zum Element m

′, dannexistiert ein g ∈ U(g′) mit g.m = m′, wobei m,m′ ∈ {v, w, u, d, k, p}.

(0,0,-8)(-2,1,-8)

(1,-2,-7)(-1,-1,-7)(-3,0,-7)

(0,-3,-6)(-2,-2,-6)

f1.uf2.w

-KK

-K

-

rr

rrr

rr

R

R

R RY

Y

Y

Yvw

ud

kp

0

00

0

0

0

Offensichtlich ist das Gewicht (0, 0,−8) von P maximal bezüglich 6. Damit ist{(−2a+ b, a− 2b,−8 + b) | a, b ∈ N0} der Träger von P .

Im weiteren betrachten wir den Modul P als einen s-Modul. Dazu identifizieren wirjedes Element von g′ bzw. U(g′) mit seinem Urbild bezüglich des schon beschriebenenIsomorphismus ϕ : s→ g′. Die Gewichte (−2a+b, a−2b,−8+b) werden den Gewichten(−2a+ b, a− 2b) gleichgesetzt für alle a, b ∈ N0.

Seien gk, gd, gu, gw, gv ∈ U(s), die wie folgt definiert sind:

gk := e1,gd := e2,gu :=

12(1− 1

2f2e2)e

21e2,

gw :=12(1− 1

2f1e1)e

22e1,

gv :=12e2e

21e2 =

12e1e

22e1,

dann gilt

gk.p = k,gd.p = d,gu.p = u,gw.p = w,gv.p = v.

27

Um P zu beschreiben, betrachten wir zunächst seine Untermoduln 〈v〉, 〈w〉, 〈u〉, 〈d〉, 〈k〉.Dies wird uns hilfreich bei der Untersuchung von P sein.

Bemerkung 1.4.2. Wir wenden an dieser Stelle ein Resultat an, dass im nächstenKapitel endgültig bewiesen wird und zwar, dass p ein primitives Element in P istund es gilt P ∼= P (λ5). Aus der Eigenschaft Φ(P (λ5)) ∼= P (λ5) des in Abschnitt 1.3definierten Funktors Φ und aus φ(gk) = φ(e1) = e2 = gd, φ(gu) = φ(

12(1− 1

2f2e2)e

21e2) =

12(1− 1

2f1e1)e

22e1 = gw und φ(gv) = φ(

12e1e

22e1) =

12e2e

21e2 = gv erhalten wir aus 1.3.1

〈v〉 Φ←→ 〈v〉, 〈w〉 Φ←→ 〈u〉, 〈d〉 Φ←→ 〈k〉.Somit sind die von g.w und φ(g).u (bzw. g.d und φ(g).k) erzeugten Untermoduln von

P Φ-äquivalent für jedes g ∈ U(s), d.h. 〈g.w〉 Φ←→ 〈φ(g).u〉(bzw. 〈g.d〉 Φ←→ 〈φ(g).k〉

).

Damit lassen sich die Eigenschaften von 〈w〉 auf 〈u〉 bzw. von 〈d〉 auf 〈k〉 Φ-äqui-valent übertragen. So liegt es nahe, die Untermoduln 〈w〉 und 〈u〉 (bzw. 〈d〉 und 〈k〉)gemeinsam zu betrachten.

Bemerkung 1.4.3.

1. Seien M,M ′ ∈ O(0,0) mit M = 〈m1, . . . , mn〉 und M ′ = 〈m′1, . . . , m′n′〉, dann giltM = M ′ genau dann, wenn g(i)j , g

′(j)i ∈ U(s) existieren, so dass mi =

∑n′j=1 g

(i)j .m

′j

und m′j =∑n

i=1 g′(j)i .mi für 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n′.

2. Wir werden die Eigenschaften der Faktorräume, den ersten und zweiten Isomor-phiesatz sowie andere Tatsachen aus der linearen Algebra bzw. Algebra in unserenächsten Betrachtungen einbeziehen. Näheres dazu ist in z.B. [Ko], [Mei], [L] zufinden.

3. Wir verwenden bereits hier ein Ergebnis aus dem nächsten Kapitel (Lemma2.2.4), nämlich dass die Untermoduln 〈v〉, 〈w〉, 〈u〉, 〈d〉, 〈k〉, 〈p〉 von P lokal sind.

4. Einige nachfolgend durchgeführte Beweise werden nach den Betrachtungen inKapitel 2 deutlicher, denn dort werden die Gewichtsräume von P ausführlicherbeschrieben.

〈v0〉

Die Eigenschaften e1.v = 0 und e2.v = 0 zeigen, dass v ein Höchstgewichtsvektor zumGewicht λ0 ist. Nach der Bemerkung 1.4.1 ist der von v erzeugte Modul zu Verma-Modul M(λ0) isomorph. Insbesondere gilt 〈v0〉 ∼= P (λ0).

Nach dem Lemma 1.2.5 besitzt 〈v0〉 (bis auf den Skalar) sechs Höchstgewichtsvek-toren. Diese Elemente bezeichnen wir mit

v0 := v,v1 := f1.v,v2 := f2.v,v3 := f

21 f2.v,

v4 := (f1f22 + 2f2f3).v = f

22 f1.v,

v5 := (f21 f

22 + 2f1f2f3).v = (f

22 f

21 − 2f1f2f3).v,

28

Somit ist vi ∈ Pλi und 〈vi〉 ∼= M(λi) für 0 ≤ i ≤ 5. Insbesondere gilt 〈v1〉Φ←→ 〈v2〉,

〈v3〉 Φ←→ 〈v4〉, 〈v5〉 Φ←→ 〈v5〉 (Bemerkung 1.3.1).Nach den Verma-Moduln Eigenschaften ist Bv := {fn11 fn22 fn33 .v | n1, n2, n3 ∈ N0}

eine C-Basis von 〈v〉. Die Menge der Untermoduln von 〈v0〉 istUM(〈v0〉) = {〈v0〉, 〈v1, v2〉, 〈v1〉, 〈v2〉, 〈v3, v4〉, 〈v3〉, 〈v4〉, 〈v5〉, 0}.

Die dazu gehörigen Inklusionsverhältnisse sind

0 - 〈v5〉〈v3〉

〈v4〉〈v3, v4〉

〈v1〉

〈v2〉〈v1, v2〉〈v0〉�

��*

HHHj

HHHj

��*

��*

HHHj

HHHj

��*

-

〈w〉 und 〈u〉Wie bekannt, sind e1.w = v und e2.w = 0 bzw. e1.u = 0 und e2.u = v erfüllt. Darauskönnen wir folgende Eigenschaften von w und u sowie 〈w〉 und 〈u〉 ableiten:• Die Elemente w und u sind primitiv.

Beweis. Der Vektor w ist ein Gewichtsvektor von P zum Gewicht λ1. Wir zeigen,

dass w 6∈ U(s).s+.w = 〈e1.w〉+〈e2.w〉 = 〈v〉. Aus den in 1.2 beschriebenen Eigenschaftender primitiven Elemente (S. 8) folgt somit, dass w primitiv ist.

Angenommen w ∈ 〈v〉, dann gilt w ∈ 〈v〉λ1 = spanC{v1}, d.h. w = cv1 für ein 0 6=c ∈ C. Der Vektor v1 und damit auch cv1 sind Höchstgewichtsvektoren. ImWiderspruchzu dieser Annahme steht aber e1.w = v 6= 0. Somit ist die Annahme falsch und damitist w ein primitives Element.

Aus w = gw.p, u = gu.p, φ(gw) = gu und Φ(〈v〉) ∼= 〈v〉 folgt, dass u auch einprimitives Element mit U(s).s+.u = 〈v〉 ist. �

• Es gilt 〈w〉/〈v〉 ∼= M(λ1) und 〈u〉/〈v〉 ∼= M(λ2).Beweis. Der Vektor w ∈ Pλ1 ist primitiv und U(s).s+.w = 〈v〉, so folgt 〈w〉/〈v〉 ∼=

M(λ1) aus der Bemerkung 1.4.1. Aus Φ(〈w〉)/Φ(〈v〉) ∼= Φ(M(λ1)) erhalten wir 〈u〉/〈v〉 ∼=M(λ2). �

• Es gilt 〈w〉 ∼= P (λ1) und 〈u〉 ∼= P (λ2).Beweis. Aus den letzten Eigenschaften folgt, dass die Filtrierung 0 ⊂ 〈v〉 ⊂ 〈w〉 eine

Verma-Filtrierung mit [P (λ1) : M(λi)] = [〈w〉 : M(λi)] für 0 ≤ i ≤ 5 ist. Wie bereitserwähnt, ist 〈w〉 ein lokaler Untermodul von P , somit folgt aus dem Lemma 1.2.2 dieIsomorpie P (λ1) ∼= 〈w〉.

Aus der Φ-Äquivalenz von 〈w〉 und 〈u〉 folgt P (λ2) ∼= 〈u〉. �

• C-Basis von 〈w〉 und 〈u〉.Die Elemente w = w + 〈v〉 und u = u + 〈v〉 sind erzeugende Höchstgewichts-vektoren von 〈w〉 = 〈w〉/〈v〉 ∼= M(λ1) bzw. 〈u〉 = 〈u〉/〈v〉 ∼= M(λ2). Aufgrundder Verma-Modul Eigenschaften ist {fn11 fn22 fn33 .w | n1, n2, n3 ∈ N0} eine C-Basisvon 〈w〉 bzw. {fn11 fn22 fn33 .u | n1, n2, n3 ∈ N0} eine C-Basis von 〈u〉. Bezeichnenwir mit Bw die Menge {fn11 fn22 fn33 .w | n1, n2, n3 ∈ N0} und mit Bu die Menge{fn11 fn22 fn33 .u | n1, n2, n3 ∈ N0}, dann ist Bw ∪ Bv bzw. Bu ∪ Bv eine C-Basis von〈w〉 bzw. 〈u〉.

29

• Primitive Elemente in 〈w〉 und 〈u〉.Die Verma-Moduln 〈w〉 ∼= M(λ1) und 〈u〉 ∼= M(λ2) besitzen (bis auf den Ska-lar) jeweils vier Höchstgewichtsvektoren, die wir mit Hilfe von 1.2.6 bestimmenkönnen. Ein Urbild jedes dieser Höchstgewichtsvektoren bezüglich der kanoni-schen Projektion 〈w〉 → 〈w〉 bzw. 〈u〉 → 〈u〉 bezeichnen wir mit

w1 := w,w3 := (f1f2 − f3).w,w4 := f

22 .w,

w5 := f1f22 .w,

u2 := u,u3 := f

21 .u,

u4 := (f1f2 + 2f3).u = (f2f1 + f3).u,u5 := (f

21 f2 + 2f1f3).u = f2f

21 .u.

Die Elemente wi für i = 1, 3, 4, 5 und ui für i = 2, 3, 4, 5 sind Gewichtsvektorenvon P . (Das Indizie i weist auf das Vorhandensein des Elements wi bzw. ui imGewichtsraum Pλi hin). Da wi 6= 0 und e.wi = 0 für alle e ∈ s+ d.h. wi 6∈ 〈v〉und s+.(wi) ∈ 〈v〉, sind die Elemente w1, w3, w4, w5 primitiv . Nach den gleichenArgumenten sind auch die Elemente u2, u3, u4, u5 primitiv.

Ausφ(f1f2 − f3) = f2f1 + f3,

φ(f 22 ) = f21 ,

φ(f1f22 ) = f2f

21

und 1.4.2 folgt

〈w3〉 Φ←→ 〈u4〉,〈w4〉 Φ←→ 〈u3〉,〈w5〉 Φ←→ 〈u5〉.

Aus der Bemerkung 1.2.7 folgt, dass {cvi | 0 6= c ∈ C, 0 ≤ i ≤ 5} ∪ {cwi + ri |0 6= c ∈ C, ri ∈ 〈v〉λi, i = 1, 3, 4, 5} die primitiven Elemente von 〈w〉 bzw.{cvi | 0 6= c ∈ C, 0 ≤ i ≤ 5} ∪ {cui + ri | 0 6= c ∈ C, ri ∈ 〈v〉λi, i = 2, 3, 4, 5} dieprimitiven Elemente von 〈u〉 sind.

• Es gilt 〈w〉 ∩ 〈u〉 = 〈v〉.Beweis. Wie bereits bewiesen, ist 〈v〉 ein Untermodul von 〈w〉 und 〈u〉. Da 〈w〉 und

〈u〉 Verma-Moduln sind, erhalten wir UM(〈w〉) = {〈w1〉, 〈w3, w4〉, 〈w3〉, 〈w4〉, 〈w5〉, 0}und UM(〈u〉) = {〈u2〉, 〈u3, u4〉, 〈u3〉, 〈u4〉, 〈u5〉, 0}, insbesondere soc〈w〉 = 〈w5〉 ∼=L(λ5) und soc〈u〉 = 〈u5〉 ∼= L(λ5).

Angenommen 〈w1〉∩〈u1〉 6= 0, dann folgt aus den Verma-Modul-Eigenschaften, dasssoc〈w〉 = soc〈u〉, d.h. w5 = cu5 für ein c ∈ C, mit c 6= 0. So ist w5 = cu5 + r, für einr ∈ 〈v〉. Da e2.w5 = 0, ist e2.(cu5 + r) nur dann gleich Null, wenn r = −cf2f3.v1 + c′v5für alle c′ ∈ C. Jedoch ist die Gleichung e1.w5 = e1.(cu5− cf2f3.v1 + c′v5) nicht erfüllt,denn e1.w5 = v4 − 2f3.v2 und e1.(cu5 − cf2f3.v1 + c′v5) = −cv4. Dies steht im Wider-spruch zur Annahme. Somit gilt 〈w〉 ∩ 〈u〉 = 0 und damit 〈w〉 ∩ 〈u〉 = 〈v〉. �Aus den Eigenschaften der Faktorräume folgt, dass Bw ∪ Bu ∪ Bv eine C-Basisvon 〈w, u〉 ist. Insbesondere gilt 〈w, u〉/〈v〉 ∼= M(λ1)⊕M(λ2).

〈d〉 und 〈k〉

Entsprechende Eigenschaften lassen sich analog auch hier beweisen. Zur Erinnerung:Es gilt e1.d = 2f1.u+ f2.w und e2.d = 0 sowie e1.k = 0 und e2.k = f1.u+ 2f2.w.

• Die Elemente d und k sind primitiv.Beweis. Wir betrachten U(s).s+.d = 〈e1.d〉 + 〈e2.d〉 = 〈2f1.u+ f2.w〉. Offensichtlich

gilt 2f1.u + f2.w ∈ 〈w, u〉 und damit ist 〈2f1.u + f2.w〉 ein Untermodul von 〈w, u〉.Für g = 12(e1 − 12f2e2e1) und g′ = e2 − 2f1e1e2 ∈ U(s) gilt g.(2f1.u + f2.w) = u und

30

g′.(2f1.u+f2.w) = w. Damit gilt w, u ∈ 〈2f1.u+f2.w〉 und so ist 〈w, u〉 ein Untermodulvon 〈2f1.u+ f2.w〉. Somit erhalten wir 〈w, u〉 = 〈2f1.u+ f2.w〉.

Wir zeigen, dass d 6∈ U(s).s+.d = 〈w, u〉. Angenomen d ∈ 〈w, u〉. Da d ein Ge-wichtsvektor zum Gewicht λ3 ist, gilt d ∈ 〈w, u〉λ3 = spanC{v3, f21 f2.v, w3, f1f2.w, u3}.Da für kein Element x in 〈w, u〉λ3 gilt, dass e1.x = 2f1.u + f2.w, erhalten wir einenWiderspruch zur Annahme. So ist d 6∈ 〈w, u〉. Mit dieser Eigenschaft ist d ein primitivesElement. Analog wird auch gezeigt, dass k primitiv mit U(s).s+.k = 〈w, u〉 ist. �

• Es gilt 〈d〉/〈w, u〉 ∼= M(λ3) und 〈k〉/〈w, u〉 ∼= M(λ4).Beweis. Dies folgt wiederum aus der Bemerkung 1.4.1 und aus der Tatsache, dass d

primitiv mit U(s).s+.d = 〈w, u〉 bzw. k primitiv mit U(s).s+.k = 〈w, u〉 ist. �

• Es gilt 〈d〉 ∼= P (λ3) und 〈k〉 ∼= P (λ4).Beweis. Aus den Isomorphiesätzen und den oben gezeigten Eigenschaften von 〈w〉

und 〈u〉 folgt, dass die Filtrierung 0 ⊂ 〈v〉 ⊂ 〈u〉 ⊂ 〈w, u〉 ⊂ 〈d〉 von 〈d〉 eine Verma-Filtrierung mit [P (λ3) : M(λi)] = [〈d〉 : M(λi)] für 0 ≤ i ≤ 5 ist. Hier greifen wirwiederum auf ein in Kapitel 2 bewiesenes Ergebnis zurück, nach dem 〈d〉 ein lokalerUntermodul von P ist. Aus dem Lemma 1.2.2 erhalten wir 〈d〉 ∼= P (λ3). Aufgrund derEigenschaften von Φ gilt, dass 〈k〉 ∼= P (λ4), da Φ(〈d〉) = 〈k〉 ist. �

• C-Basis von 〈d〉 und 〈k〉.Auch hier ist {fn11 fn22 fn33 .d | n1, n2, n3 ∈ N0} bzw. {fn11 fn22 fn33 .k | n1, n2, n3 ∈ N0}eine C-Basis der Verma-Moduln 〈d〉 = 〈d〉/〈w, u〉 bzw. 〈k〉 = 〈k〉/〈w, u〉. Ausden Kenntnissen aus der linearen Algebra erhalten wir für Bd := {fn11 fn22 fn33 .d |n1, n2, n3 ∈ N0} und Bk := {fn11 fn22 fn33 .k | n1, n2, n3 ∈ N0}, dass Bd∪Bw∪Bu∪Bvbzw. Bk ∪ Bw ∪ Bu ∪ Bv eine C-Basis von 〈d〉 bzw. 〈k〉 ist.• Die Verma-Moduln 〈d〉 ∼= M(λ3) und 〈k〉 ∼= L(λ4) besitzen (bis auf Skalar)jeweils zwei Höchstgewichtsvektoren. Ein Urbild jedes dieser Höchstgewichtsvek-toren bezüglich der kanonischen Projektion 〈d〉 → 〈d〉 bzw. 〈k〉 → 〈k〉 bezeichnenwir mit

d3 := d,d5 := f2.d,

k4 := k,k5 := f1.k.

Hier behalten die Indizies auch die Bedeutung des Vorhandenseins des dazugehörigen Elementes im Gewichtsraum von Pλi. Analog dazu sind hier die Ele-

mente d5 und k5 primitiv und nach 1.4.2 ist 〈d5〉 Φ←→ 〈k5〉 erfüllt.• Es gilt 〈d〉 ∩ 〈k〉 = 〈w, u〉.

Beweis. Wenn 〈d〉 ∩ 〈k〉 6= 0, dann gilt k5 = cd5, d.h. k5 = cd5 + r für ein 0 6= c ∈ Cund r ∈ 〈w, u〉. Es existiert aber kein r ∈ 〈w, u〉 mit ei.k5 = ei.(cd5 + r) für i = 1, 2,somit ist die Annahme falsch (dies wird im nächsten Kapitel beim Betrachten der

Gewichtsräume von P deutlich). �Daraus können wir folgern, dass Bd ∪ Bk ∪ Bw ∪ Bu ∪ Bv eine C-Basis von 〈d, k〉ist und 〈d, k〉/〈w, u〉 ∼= M(λ3)⊕M(λ4).Bemerkung. Aufgrund der letzten Eigenschaft existiert kein Element m ∈ 〈k, d〉λ5mit 〈m〉 = 〈k, d〉.

31

Der Modul P

Das den Modul P erzeugende Element p ist aufgrund der Bemerkung oben nicht in〈d, k〉 enthalten, es gilt aber U(s).s+.p = 〈e1.p〉 + 〈e2.p〉 = 〈k, d〉. Die Eigenschafteneines primitiven Elementes sind somit für p erfüllt. Aus der Bemerkung 1.4.1 folgt〈p〉/〈d, k〉 ∼= M(λ5). Um das Vorhandensein des Elementes p im Gewichtsraum Pλ5 zubetonen, bezeichnen wir p mit p5.

Wir werden später sehen, dass die bis jetzt ermittelten 19 primitiven Elemente eineSchlüsselfunktion für die Menge der Untermoduln von P haben. Hier noch einmal diegesamte Aufstellung:

v0 = v,v1 = f1.v,v2 = f2.v,v3 = f

21 .v2 = (f1f2 − f3).v1,

v4 = (f1f2 + 2f3).v2 = f22 .v1,

v5 = f2.v3 = f1.v4,

w1 = w,w3 = (f1f2 − f3).w,w4 = f

22 .w,

w5 = f1.w4 = f2.w3,

u2 = u,u3 = f

21 .u,

u4 = (f1f2 + 2f3).u,u5 = f1.u4 = f2.u3,

d3 = d,d5 = f2.d,

k4 = k,k5 = f2.k,

p5 = p.

Die Menge dieser 19 Elemente bezeichnen wir mit A.

Die Indizies von w, u, d, k, p sind nicht fortlaufend, denn sie haben hier hinweisen-de Funktion auf einige Eigenschaften von diesen Elementen und von ihnen erzeugteUntermoduln. Für m ∈ A mit Indizes i gilt also

• m ∈ Pλi,

• 〈m〉/U(s).s+.m ∼= M(λi),

• ist 〈m〉 lokal, dann 〈m〉/rad〈m〉 ∼= L(λi).

(Wir bezeichnen auch weiterhin die Elemente v, w, u, d, k, pmit v0, w1, u2, d3, k4, p5.)

Die bisherigen Betrachtungen ergeben, dass die Faktoren der Inklusionsketten

0 - 〈v0〉〈w1〉

〈u2〉〈w1, u2〉

〈d3〉

〈k4〉〈d3, k4〉〈p5〉�

��*

HHHj

HHHj

��*

��*

HHHj

HHHj

��*

-

zu den Verma-Moduln M(λi) für 0 ≤ i ≤ 5 isomorph sind. Insbesondere ist dieBGG Reziprozitätsformel für P (λ5), nämlich (P (λ5) : M(λi)) = [M(λi) : L(λ5)] = 1für 0 ≤ i ≤ 5 erfüllt. Aufgrund der Tatsache, dass P ein lokaler Modul ist, folgtP ∼= P (λ5) aus dem Lemma 1.2.2. Wie bereits erwähnt, gilt 〈v〉 ∼= P (λ0), 〈w〉 ∼= P (λ1),〈u〉 ∼= P (λ2), 〈d〉 ∼= P (λ3), 〈k〉 ∼= P (λ4). Somit impliziert die Betrachtung des ModulsP die Betrachtung der projektiven unzerlegbaren Moduln in Kategorie O(0,0).

32

Mit seinen bisher ermittelten Eigenschaften läßt sich der Modul P durch sechs”Verma-Modul-Ebenen” interpretieren. Im folgenden Bild wird er aus zwei Perspekti-ven visualisiert. Dabei sind die Elemente vi, wi, ui, di, ki, p5 aus A in den entspre-chenden Gewichtsräumen und auf den entsprechenden ”Ebenen” markiert. Die Pfeilesymbolisieren die Relationen zwischen den ”Ebenen”.

qq

q

qqq

q

qqq q

qqq

qq

qqq j

j

*

*

�

j�

�

v0v1

v2v3

v4v5

w1

w4w5

w3u2

u4u5

u3

d5

d3

k4k5p5

v0

v1w1

v2u2

v3w3u3d3

v4w4u4k4

v5w5u5d5k5p5

*

R

*

R

-

-

*R qq

qq

qq

q

q

qq

q

qq qqq qqq

Nach den bisher durchgeführten Betrachtungen leiten wir von den Verma-Modul-Eigenschaften der Kategorie O aus Abschnitt 1.2 die Beschreibung der Gewichtsräumeab: Ist µ ∈ suppP = {(−2a + b, a − 2b) | a, b ∈ N}, mit µ = µ(ab) = (−2a + b, a − 2b)dann

dimCPµ =5∑

i=0

dimCM(λi)µ =

1 für a = b = 0,2 für min{a, b} = 0 und a 6= b,

6min{a, b} − 2 für min{a, b} ≥ 1 und a = b,6min{a, b} für min{a, b} ≥ 1 und a 6= b.

Die Punkte im Dia-gramm symbolisierendie Gewichtsräume vonP . Die Zahlenpaareunterhalb der Punktebeschreiben das Ge-wicht, die Zahlen überden Punkten die Di-mension des jeweiligenGewichtsraumes.

(0,0)(-2,1)(-4,2)(-6,3)(-2i,i)

(1,-2)(-1,-1)(-3,0)(-5,1)(-2i+1,i-2)

(2,-4)(0,-3)(-2,-2)(-4,-1)(-2i+2,i-4)

(3,-6)(1,-5)(-1,-4)(-3,-3)(-2i+3,i-6)

(j,-2j)(j-2,-2j+1)(j-4,-2j+2)(-j-6,-2j+3)(-2i+j,i-2j)

12222

24666

26101212

26121618

261218dimCP(−2i+j,i−2j)p p p

p p pp p p

p p p

p p pp p p

p p p

rrrrrrr

rrrrrr

rrrrr

rr

r

rr

rr

33

Die folgende Menge ist eine C-Basis von dem Gewichtsraum Pµ, wobei µ = (−2a+b, a− 2b) mit a, b ∈ N0

{fa−i1 f b−i2 f i3.v0 | 0 ≤ i ≤ min{a, b}}∪{fa−1−i1 f b−i2 f i3.w1 | 0 ≤ i ≤ min{a− 1, b}}∪{fa−i1 f b−1−i2 f i3.u2 | 0 ≤ i ≤ min{a, b− 1}}∪{fa−2−i1 f b−1−i2 f i3.d3 | 0 ≤ i ≤ min{a− 2, b− 1}}∪{fa−1−i1 f b−2−i2 f i3.k4 | 0 ≤ i ≤ min{a− 1, b− 2}}∪{fa−2−i1 f b−2−i2 f i3.p5 | 0 ≤ i ≤ min{a− 2, b− 2}}

Die Elemente von P kann man also als lineare Kombinationen von Vektoren der Formfn11 f

n22 f

n33 .m ausdrücken. Die Operation von s auf P ist somit nach Lemma 1.2.3 klar.

1.5. Das Hasse-Diagramm von UM(P ).

In diesem Abschnitt präsentieren wir der Untermodulverband des im letzten Abschnitt be-

schriebenen Moduls P . Wie bereits erwähnt, ist P isomorph zu der projektiven Decke des

einfachen Moduls L(λ5) in Kategorie O(0,0) und jede projektive unzerlegbarer Modul in dieserKategorie ist zu einem Untermodul von P isomorph. Aufgrund der Äquivalenz O(0,0) ∼ Oµfür alle µ ∈ Λ++ entspr

Der Untermodulverband des gr o ten projektiven...

Documents

Transcript of Der Untermodulverband des gr o ten projektiven...