Derivate und Bewertung - uni-hohenheim.de · 2010. 1. 7. · Derivate und Bewertung Dr. Daniel...

Derivate und BewertungDerivate und BewertungDr. Daniel Sommer

Universität HohenheimWintersemester 2009/2010

© Dr. Daniel Sommer 2

In diesem Modul wird diskutiert

• warum diese Vorlesung für Sie sinnvoll sein kann,

• warum ich Lust habe, diese Vorlesung nochmals zu halten,

• welche Inhalte Sie in dieser Vorlesung erwarten,

• was ich von Ihnen in dieser Vorlesung erwarte,

• wie die Vorlesung organisiert ist.

Modul I

Einführung


…… warum diese Vorlesung fwarum diese Vorlesung füür Sie r Sie sinnvoll sein kannsinnvoll sein kann

Quelle: BIS

Eine moderne Ökonomie ohne Derivate ist undenkbar!

Die meisten Derivate werden OTC gehandelt.


Zum OTC-Volumenkommt das Volumen börsengehan-delter Derivate hinzu.

Börsen sind besonders stark im Op-tionshandel.



Eine Fülle von interessanten Jobs wartet auf Sie


Erfahrene Berater (m/w) Advisory Financial Services

Financial Risk Management (- Kredit-, Markt-Risikomanagement, Operational-, Liquiditäts-Risiko-management, Risikoberichtserstattung, Economic Capital Management, Limitsysteme , Risiko-Strategie, -Organisation, -Prozesse, Risikomessmethodik, Derivatebewertung, IT-Unterstützung

Accounting Advisory Services (- IFRS-Conversions, Quality Close, - Budget, Forecasting & Financial Modelling, Accounting Support)

Banker, Mathematiker, Informatiker oder Physikerfür unser Team Zinsderivate/Bankensteuerung

Exotic Interest Rate Derivatives developer/analyst


Eine Fülle von interessanten Jobs wartet auf Sie


Referent/in Risikomanagement

Mitarbeiter/in Derivatives Settlement

Risk-Analyst/in RatingsystemeCredit & Group Risk Control

(Senior) Manager (w/m) Kernprozesse, Bank IT und Risk Management (Consulting)

Risikomanager/in Strategische Risikosteuerung

Credit Risk Management Analyst


• mein Wunsch, Sie an meiner Erfahrung teilhaben zu lassen:

• 1996 Promotion in Bonn im Bereich Zinsstrukturmodelle

• 1996 – 1998 Tätigkeit im Handelsbereich einer deutschen Großbank

• 1998 bis heute Mitglied der Financial Risk Management Group bei KPMG, seit 2003 als Partner zuständig für Risk Methodology

• die Dynamik auf dem Gebiet der Derivate – sowohl in der Praxis als auch in der Wissenschaft,

• der unmittelbare Awendungsbezug der Theorie,

• meine Erfahrungen aus Vorstellungsgesprächen und bei der Arbeit mit Berufsanfängern,

• meine ständige Suche nach neuen Talenten für unsere Firma.

…… warum ich Lust habe, diese Vorlesung warum ich Lust habe, diese Vorlesung zu haltenzu halten



Modul II • was man unter Derivaten versteht,

• welche ökonomischen Prinzipien der Bewertung von Derivaten zugrunde liegen,

• was man unter Zero-Coupon Bonds, FRAs, Swaps und Futures versteht und wie man sie bewertet,

• was eine Zinskurve ist, welche verschie-denen Darstellungen der Zinskurve es gibt und wie man sie ineinander überführt,

• welche Zinsrisikomaße es gibt und wie man sie einsetzt.

Arbitrage und nicht-optionale Zinsderivate

…… welche Inhalte Sie erwartenwelche Inhalte Sie erwarten



Modul III • was man unter Aktienoptionen versteht,

• was man aus statischen Portfoliostrategien über die Bewertung von Optionen lernen kann,

• wie man die Konzepte der Duplikation und der No-Arbitrage auf dynamische Wertpa-piermärkte übertragen kann,

• wie man ein dynamisches Bewertungs-modell für Optionen konstruiert und darin Optionen bewertet,

• was man unter Zustandspreisen versteht und wie man damit Derivate bewertet.

Aktienoptionen




Modul IV • wie man einen Überblick über die Welt der exotischen Optionen gewinnen kann,

• ob und wie man einige exotische Optionen in den bisher diskutierten Modellen bewer-ten kann,

• welche besonderen Charakteristika be-stimmte exotische Optionen aufweisen und welche Konsequenzen dies für das Hedging hat,

• wie man Dividenden in das bisherige Bewertungsmodell einbauen kann.

Besondere Bewertungsal-gorithmen:

Exotische Optionen und Dividenden




Modul V• was man unter Zinsparität versteht,

• was Zins-Währungsswaps sind, wie man sie bewertet und welche Rolle dabei Basis-Swaps spielen,

• was Währungsoptionen sind und wie man sie bewertet,

• was Implizite Volatilitäten und Smiles sind.

Währungs-derivate




Modul VI

• warum Sie in dieser Vorlesung zwar hoffentlich viel gelernt haben, aber dennoch der Satz gilt:

„Ich weiß, daß ich nichts weiß.“

Ausblick



• Begeisterung für Derivate und Finanzmärkte,

• Freude am Knobeln

• die Bereitschaft, über die Vorlesungsstunden hinaus intensiv am Stoff zu arbeiten,

• den unbedingten Willen, sich durchzubeißen,

• Grundlagenkenntnisse in linearer Algebra und Analysis (im wesentlichen Abiturniveau).

…… was ich von Ihnen in dieser Vorlesung was ich von Ihnen in dieser Vorlesung erwarteerwarte


• geplante Vorlesungstermine:

• Nach jeder Vorlesung besteht bis 19:00 Uhr Gelegenheit für Fragen.

• Die Vorlesung wird begleitet von Steve Kirch ([email protected])

• Die Folien zur Vorlesung werden nach jeder Vorlesung über den Lehrstuhl von Prof. Dr. Burghof per e-mail zur Verfügung gestellt.

…… wie die Vorlesung organisiert istwie die Vorlesung organisiert ist

5.2.Februar29.1.Januar

4.12., (18.12. wird nachgeholt)

Dezember6.11.NovemberDatumMonat


• was man unter Derivaten versteht,

• welche ökonomischen Prinzipien der Bewertung von Derivaten zugrunde liegen,

• was man unter Zero-Coupon Bonds, FRAs, Swaps und Futures versteht und wie man sie bewertet,

• was eine Zinskurve ist, welche verschiednen Darstellungen der Zinskurve es gibt und wie man sie ineinander überführt,

• welche Zinsrisikomaße es gibt und wie man sie einsetzt.


Modul II

Arbitrage und nicht-optionale Zinsderivate


Definition gemäß IAS 39

…… was man unter einem Derivat verstehtwas man unter einem Derivat versteht

Quelle: IASCF


No-Arbitrage und Duplizierung:

Ein Rätsel!

…… öökonomische Prinzipien der konomische Prinzipien der BewerBewer--tungtung von Derivatenvon Derivaten

Herr Professor P trifft seinen Stu-denten S an der Bushaltestelle. Da der Bus nicht kommt, macht S einen Vorschlag: „Herr Professor, lassen Sie uns folgendes Spiel spielen: Sie stellen mir eine Frage. Wenn ich sie nicht beantworten kann, zahle ich Ihnen 1€. Dann stelle ich Ihnen eine Frage. Wenn Sie diese nicht beant-worten können, zahlen Sie mir 1€.“„Nein,“ sagt P, „das ist nicht fair. Ich bin Professor, Sie Student. Wenn ich einen Fehler mache, zahle ich Ihnen 1,20€.“ Als der Bus kommt, hat P kein Geld mehr, um eine Fahrkarte zu kaufen. Wieso?



Eine einfache Anwendung


Definition: Zero-Coupon Bond

),( 10 ttB

0t 1t 2t

Preis zum Zeitpunkt t0 eines Euro ausgezahlt zum Zeitpunkt t1

),( ji ttB Preis zum Zeitpunkt ti eines Euro ausgezahlt zum Zeitpunkt tj

Ein Zero-Coupon Bond mit Laufzeit von ti bis tj ist ein Finanzinstrument, das bei seiner Fälligkeit zum Zeitpunkt tj genau eine Wäh-rungseinheit zahlt. Weitere Zahlungen wäh-rend der Laufzeit finden nicht statt.





Problemstellung

0t 1t 2t

Zum Zeitpunkt t0 seien die Preise aller Zero-Coupon Bonds bekannt.

Ein Unternehmen U weiß zum Zeitpunkt t0,

daß es zum Zeitpunkt t1 eine Zahlung Z erwarten kann, die es bis zum Zeitpunkt t2anlegen kann. Auf welchen Betrag wird Z bis t2 angewachsen sein, wenn sich U in t0 ver-pflichtet, Z zum Zeitpunkt t1 zu einem bereits in t0 festgelegten Zinssatz anzulegen?

),( 0 •ttB





Zwei Portfolien in t0

),;( 210 tttF

0t 1t 2t

P1: Kauf eines Zero-Coupon Bonds zum Zeitpunkt t0 mit Fälligkeit t2 mit einem Nominalvlumen vonKreditaufnahme i.H.v. mit Laufzeit von t0 bis t1.

P2: Zum Zeitpunkt t0 Abschluß eines Vertrages, in t1 den dann fälligen Betrag in einen Zero-Coupon Bond mit Laufzeit von t1 bis t2 zu einem in t0 festgelegten Preis von zu investieren.

),(/),( 2010 ttBttBZ ×),( 10 ttBZ ×





Analyse in t1

),;( 210 tttF

0t 1t 2t

Die Anfangsinvestition in P1 und P2 zum Zeitpunkt t0 ist gleich und beträgt Null.Zum Zeitpunkt t1erfolgt in P1 die Rückzah-lung des Kredites aus der eingehenden Zahlung Z. In P2 wird Z zu dem zuvor festgelegten Preis

in einen Zero-Coupon Bond mit Fälligkeit t2 angelegt.Es erfolgt keine zusätzliche Ein- oder Auszahlung aus dem Portfolio.Konsequenz: P1 und P2 müssen zum Zeit-punkt t2 den gleichen Wert haben.





Definition: Terminpreis eines Zero-Coupon Bonds

0t 1t 2t

Damit gilt:

),(),(

),;( 20

10

210 ttBttB

ZtttF

Z ×=

),(),(

),;(10

20210 ttB

ttBtttF =⇔

),;( 210 tttF wird als Terminpreis zum Zeitpunkt t0 des Zero-Coupon Bonds mit Laufzeit t1 bis t2 bezeichnet.

Die Zahlung Z wird auf den Wert anwachsen.

)t,t;t(FZ

210





Definition: Terminpreis eines Zero-Coupon Bonds

),;( nmi tttF

0t 1t 2t

Mit der gleichen Argumentation wie zuvor gilt allgemein:

nmi tt t wobei,),(),(

:),;( ≤≤=mi

ninmi ttB

ttBtttF

wird als Terminpreis zum Zeitpunkt ti des Zero-Coupon Bonds mit Laufzeit tm bis tn bezeichnet.


Zusammenhang zwischen (Termin-) Preisen und (Termin-) Zinsen

…… was man unter was man unter FRAsFRAs verstehtversteht

Definition: ContinuouslyCompounded Zinssätze

Der Continuously Compounded Zero-Coupon Bond Zinssatz ist definiert durch:

mn

mini

mn

nminmi

ttttBttB

tttttF

tttf

−−

−=

−−=

),(ln),(ln

),;(ln:),;(

jitt

ttBtty

ij

jiji ≤

−−= wobei,

),(ln:),(

Der Continuously Compounded Zero-Coupon Bond Termin-Zinssatz ist definiert durch:




Infinitesimale Terminzinssätze

m

mi

mn

mini

tt

mn

nmi

ttmi

tttB

ttttBttB

tttttF

ttf

mn

mn

∂∂

−=

−−

−=

−−=

→

→

),(ln

),(ln),(lnlim

),;(lnlim:);(

Im Grenzwert ergibt sich für tn gegen tm:

∫−=

j

i

t

ti

ijji ds)s;t(f

tt)t,t(y

1und außerdem:




Definition: Unterjährige AnnuallyCompounded Zinssätze

Der unterjährige Annually Compounded Zero-Coupon Bond Zinssatz bei Tageszählkonven-tion k ist definiert durch:

),;(:);,(),;(1

1nmi

nmnmitttF

ktttttzf=

∆×+

),(:);,(),(1

1ji

jijittB

kttttz=

∆×+

Analog ist der entsprechende Terminzins-satz definiert durch:


ISDA Market Conventions

…… was man unter was man unter FRAsFRAs verstehtverstehtQuelle: ISDA

Quelle: Trema

Quelle: Trema


FRA: Definition und Beispiel


Forward rate agreement (FRA) A contract between two parties to fix the forward rate of interest on a notional loan, for an agreed period of time starting on a specified future date.

Assume that firm A needs to borrow $1 million in three months time for a term of six months and wishes to protect itself against a rise in interest rates. It can buy an FRA from firm B at an agreed rate of, say, 10%. If, at the end of the three months, market interest rates have risen to 12%, B will pay A an amount based on the 2% difference applied to the principal of $1 million for a period of six months. Conversely, if interest rates drop to 9%, A will pay to B an amount based on the 1% difference. Settlement is usually made at the beginning of the forward period, rather than at the end, therefore the amount paid is discounted accordingly.


FRA Geschäfts-bestätigung: Teil 1 Geschäfts-abschluß

…… was man unter was man unter FRAsFRAs verstehtverstehtPART 1

To Be Used on the Agreement Date

F.R.A. CONTRACT AGREEMENT DATE CONFIRMATION NOTICE TO:-

FROM:-

We are pleased to confirm the following Forward Rate Agreement ('F.R.A.') made between ourselves as per FRABBA Recommended Terms and Conditions dated 1985. (Direct/Broker )

CONTRACT CURRENCY & AMOUNT

FIXING DATE

SETTLEMENT DATE MATURITY DATE

CONTRACT PERIOD (DAYS)

CONTRACT RATE % per annum on an actual over 360/365 days basis (as applicable)

SELLER'S NAME

BUYER'S NAME

NON-STANDARD TERMS & CONDITIONS (IF ANY)

Any payment to be made to us under the F.R.A. hereby confirmed should be credited to our Account Number at

PLEASE ADVISE BY TELEX, OR CABLE US IMMEDIATELY, SHOULD THE PARTICULARS OF THIS CONFIRMATION NOT BE IN ACCORDANCE WITH YOUR UNDERSTANDING.

Either:- Or:-

SIGNED TESTED TELEX CONFO

FOR AND ON BEHALF OF

……………………………………………………………………


FRA Quotierungen

…… was man unter was man unter FRAsFRAs verstehtverstehtQuelle: Reuters


FRA Geschäfts-bestätigung: Teil 2 Settlement

…… was man unter was man unter FRAsFRAs verstehtverstehtP A R T II

T o B e U se d o n th e S e tt le m e n t D a te

F .R .A . C O N T R A C T A G R E E M E N T D A T E

C O N F IR M A T IO N N O T IC E - S E T T L E M E N T

T O : -

F R O M :

W e re fe r to th e fo llo w in g F o rw a rd R a te A g re e m e n t ('F .R .A .') m a d e b etw e e n o u rse lv e s a s p e r F R A B B A R e c o m m e n d e d T e r m s a n d C o n d it io n s d a te d 1 9 8 5 . (D ire c t /B ro k e r … … … )

C O N T R A C T C U R R E N C Y & A M O U N T F IX IN G D A T E S E T T L E M E N T D A T E M A T U R IT Y D A T E C O N T R A C T P E R IO D (D A Y S ) C O N T R A C T R A T E … … … … … ..% p e r a n n u m o n a n a c tu a l o v e r 3 6 0 /3 6 5 d a y s b a s is (a s a p p lic a b le ) S E L L E R 'S N A M E . .

B U Y E R 'S N A M E … … … … … … … … … … … … … … ..

N O N -S T A N D A R D T E R M S & C O N D IT IO N S (IF A N Y )

S E T T L E M E N T R A T E % p e r a n n u m S E T T L E M E N T S U M ($ /£ e tc .) S E T T L E M E N T IN S T R U C T IO N S :-

W E P A Y T H E S E T T L E M E N T S U M O N T H E S E T T L E M E N T D A T E T O Y O U R

A C C O U N T N O A T

W E R E C E IV E T H E S E T T L E M E N T S U M O N T H E S E T T L E M E N T D A T E A T O U R

A C C O U N T N O A T


FRA Berechnung der Zahlung am Settlement Date

…… was man unter was man unter FRAsFRAs verstehtversteht4. Settlement (for contract periods in excess of one year see Section E)

4.1 Wherever two parties enter into a F.R.A. the Buyer will agree to pay to the Seller on the Settlement Date (if the Contract Rate exceeds the BBA Interest Settlement Rate), and the Seller will agree to pay to the Buyer on the Settlement Date (if the BBA Interest Settlement Rate exceeds the Contract Rate) an amount calculated in accordance with the following formula:

(a) when L is higher than R

)()100()(

DLBADRL

×+×××−

or (b) when R is higher than L

)()100()(

DLBADLR

×+×××−

where L = BBA Interest Settlement Rate (expressed as a number and not a percentage, e.g. 10.11625 and not 10.11625%)

R = Contract Rate (expressed as a number and not a percentage) D = Days in Contract Period A = Contract Amount B = 360 except where the Contract Currency is Pounds Sterling (or any other currency where the contract rate is calculated on 365 days according to market custom) when 'B' = 365.

Buyer of money

Seller of money


Bewertung eines FRA während der Laufzeit


Aus Sicht des „protection sellers“(Sicherungsgebers):

),()),;(()100(

)),;((0

0

0m

nm

nm ttBDtttzfBADRtttzf

××+×

××−

Aus Sicht des „protection buyers“(Sicherungsnehmers):

),()),;(()100(

)),;((0

0

0m

nm

nm ttBDtttzfBADtttzfR

××+×

××−

Sichtweise: Absicherung gegen steigende Zinsen in der Zukunft


Swap: Definition und Beispiel

…… was man was man SwapsSwaps verstehtverstehtAn interest rate swap is a contract• between two or more parties • to pay each other interest streams

calculated on different bases, • on a notional principal, • for an agreed term.

Typically (in a “coupon” or “plain vanilla”swap), one party pays a fixed rate of interest in exchange for a floating rate.

Receiver Swap: Betrachtung des Swaps aus Sicht desjenigen, der die fixed rate erhält.

Payer Swap: Betrachtung des Swaps aus Sicht desjenigen, der die fixed rate zahlt.


Swap Geschäfts-bestätigung(Teil 1)

…… was man unter was man unter SwapsSwaps verstehtversteht


SwapQuotierungen

…… was man unter was man unter SwapsSwaps verstehtverstehtQuelle: Reuters

Quelle: Reuters




Quelle: ISDA

Bond Basis



…… was man unter was man unter SwapsSwaps verstehtverstehtQuelle: Trema


Bewertung eines Swaps während der Laufzeit:

Fixed-Leg


∑ = − ×∆×=I

i iswiiIfix tbBktttaswPV1 1 ),();,(),(:

Der Wert des Fixed-Legs ist gegeben durch:

wobei den Swapsatz zum Ab-schlußdatum des Swaps mit Laufzeit bis tIbezeichnet.

Zahlungstermine des Float-Legs

a 1t 2t

2s1s 3s 4s

Zahlungstermine des Fixed-Legs

Bewertungs-datum

bAbschluß-datum

0t

),( Itasw


Bewertung eines Swaps während der Laufzeit:

Float-Leg


),(1),(1

),(),(

1);,(),(),(

),();,(),;(

),();,(),(:

0

110101

1

1 111

11010

IJ

tbfür

Jfl

J

j jfljjjj

flfloat

tbBtbB

tbBtbB

kttttztbB

tbBkttttbzf

tbBkttttzPV

−=−=

−+∆××=

×∆×+

×∆×=

=

−

= +++∑

Idee zur Bewertung des Float-Legs: Durch den Abschluß einer Serie von FRAs kann sichergestellt werden, daß alle Zahlungen des Float-Legs an den noch nicht gefixten Terminen den Termin-Zinssätzen zum Zeit-punkt b für diese Termine entsprechen.

Der Abschluß des FRAs ist kostenlos.

Damit ergibt sich für den Wert des Float-Legs:


Bestimmung des Swapsatzes zu Beginn der Lauf-zeit


swappayfloatfixedswaprec PVPVPVPV −− −=−=

Zu jedem Zeitpunkt der Laufzeit eines Swaps gilt:

fixedfloat PVPV =

Zu Beginn der Laufzeit eines Swaps gilt:

swappayswaprec PVPV −− −== 0

Damit ist der Swapsatz definiert durch:

∑= − ×∆×=−⇔I

i iswiiII taBktttaswtaB1 1 ),();,(),(),(1

∑= − ×∆

−=⇔I

i iswii

II

taBktt

taBtasw

1 1 ),();,(

),(1),(


Der Zusammen-hang zwischen Swaps und Coupon Bonds


Umstellen der Bestimmungsgleichung für den Swapsatz ergibt:

Die rechte Seite der Gleichung hat die Struktur der Bewertungsgleichung für einen Coupon Bond, wobei der Coupon c gleich dem Swapsatz sw ist.

∑= − ×∆×+=I

i iswiiII taBktttaswtaB1 1 ),();,(),(),(1

∑= − ×∆×+=I

i iswiiIBond taBkttctaBPV1 1 ),();,(),(

Damit kann der Swapsatz als Par-Couponfür einen Bond interpretiert werden, der die gleiche Kreditqualität wie ein Swap hat.


Vorüberlegun-gen:

Terminpreise für Coupon Bonds und Terminswap-sätze

…… was man unter Futures verstehtwas man unter Futures versteht

Eine Portfoliostrategie:

• Kaufe zum Zeitpunkt t0 einen Coupon Bond mit Coupon c und Laufzeit bis tI und Coupon-Zahlungsterminen ti, i=1... I

• Finanziere den Kauf durch einen Kredit in Höhe von PVBond

• Verkaufe den Bond auf Termin zum Zeitpunkt tF < tI zum Preis von FPVBond

• Investiere alle zwischen t0 und tF anfal-lenden Couponzahlungen zu den in t0 für den jeweiligen Zahlungstermin gültigen Terminzinsen mit Fälligkeit tF

• Tilge den Kredit zum Zeitpunkt tF



Analyse:

• Der Wert des Portfolios zum Zeitpunkt t0beträgt Null.

• In der Zeit zwischen t0 und tF werden keine zusätzlichen Beträge in das Port-folio investiert, noch werden Beträge aus dem Portfolio entnommen. D.h., die Portfoliostrategie ist selbstfinanzierend.

Konsequenz:

• Der Wert des Portfolios zum Zeitpunkt tFmuß ebenfalls Null betragen. Anderenfalls ergäbe sich eine Arbitragemöglichkeit.

Vorüberlegun-gen:




Damit läßt sich der Terminpreis des Cou-pon Bonds aus folgender Gleichung bestim-men:

),();,(

);,(),(),(

);,;(0

0

0

1 10

00

F

IBond

J

i iiF

iIFBond

ttBcttPV

kttttBttB

cctttFPV

−

∆××+= ∑= −

Dabei ist t1 < tJ < tF. Und tJ ist der letzte Cou-pon Zahlungstermin vor dem Zeitpunkt des Terminverkaufs des Bonds, tF. Nach Umformung folgt:

∑ += −∆××+

=

I

Ji iiF

i

F

IIFBond

kttttBttB

c

ttBttB

ctttFPV

1 10

0

0

00

);,(),(),(

),(),(

);,;(

Vorüberlegun-gen:




Analog zu den vorangegangenen Überle-gungen ergibt sich der Terminswapsatz als Par-Coupon Satz für den Termin Coupon Bond.

∑ += −∆××+

=

=

I

Ji iiF

iIF

F

I

IFIFBond

kttttBttB

tttfsw

ttBttB

tttfswtttFPV

1 10

00

0

0

00

);,(),(),(

),;(

),(),(

)),;(;,;(1

∑ += −∆×

−=⇔

I

Ji iii

IFIF

kttttB

ttBttBtttfsw

1 10

000

);,(),(

),(),(),;(

Vorüberlegun-gen:




Unterschiede zwischen Terminkontrak-ten und Futures

Quelle: Options, Futures, and Other Derivatives, 6th Edition, John C. Hull 2005

Private contract between 2 parties Exchange traded

Non-standard contract Standard contract

Usually 1 specified delivery date Range of delivery dates

Settled at end of contract Settled daily

Delivery or final cashsettlement usually occurs

Contract usually closed outprior to maturity

FORWARDS FUTURES

TABLE 2.3 (p. 41)

Some credit risk Virtually no credit risk

Private contract between 2 parties Exchange traded

Non-standard contract Standard contract

Usually 1 specified delivery date Range of delivery dates

Settled at end of contract Settled daily

Delivery or final cashsettlement usually occurs

Contract usually closed outprior to maturity

FORWARDS FUTURES

TABLE 2.3 (p. 41)

Some credit risk Virtually no credit risk

Finanz-Terminkontrakte (engl.: Forwards) und Finanz-Futures sind insofern gleich, als sie den (Ver-)Kauf eines Finanzinstruments zu einem Termin in der Zukunft zu einem heute festgelegten Preis erlauben. Jedoch gibt es einige wichtige Unterschiede:



Daily Settlementund Margins

• Bei Abschluß eines Futures-Kontraktes stellt der Kontraktpartner dem Clearing-haus der Terminbörse eine Initial-Marginin Form von Cash oder Wertpapieren erstklassiger Bonität. Die Margin wird auf das Margin-Konto gebucht.

• Alle Preisveränderungen des Futures werden über das Margin-Konto abge-rechnet.

• Sinkt das Guthaben auf dem Margin-Konto unter einen bestimmten Betrag, erfolgt ein Margin-Call. Der Kontrakt-partner muß dann Variation-Marginstellen.



Gleichheit von Termin- und Futures-Preis bei determinist-ischen Zinsen

Behauptung:

Unter Vernachlässigung des Kontrahenten-ausfallrisikos sind bei deterministischer Zins-entwicklung Termin- und Futures-Preise für denselben zugrunde liegenden Coupon Bond und für denselben Liefertermin in der Zukunft zum Zeitpunkt des Vertragsab-schlusses und während der gesamten Vertragslaufzeit gleich.



Gleichheit von Termin- und Futures-Preis bei deterministi-schen Zinsen

Begründung:

• Bei deterministischer Zinsentwicklung sind der Termin-Preis und der Futures-Preis für einen Coupon Bond konstant in t. Wäre dies nicht so, könnten zu unterschiedlichen, aber bereits heute sicher bekannten Zeit-punkten kostenlos gegenläufige Positionen in den Verträgen eingegangen und so si-chere Gewinne erzielt werden (Arbitrage-möglichkeit!).

• Am Ende der Laufzeit sind die Auszah-lungsprofile von Termin- und Futures-Verträgen identisch.

• Damit müssen beide Preise identisch sein, sonst Arbitragemöglichkeiten!.

);,;( ctttFPV IFBond);,;( ctttFuPV IFBond



Abweichung von Termin- und Futures-Preis bei stochastischen Zinsen

Achtung:Bei stochastischen Zinsen fallen Forward-und Futurespreise auseinander!

Begründung:

• Der Inhaber einer Long-Position im Futures muß bei steigenden Zinsen Ausgleichszahlungen leisten, d.h. er mußKredit zu ungünstigen Konditionen aufnehmen. Bei fallenden Zinsen erhält er Ausgleichszahlungen, kann diese aber nur zu ungünstigen (weil niedrigeren) Zinsen anlegen.

• Damit muß der Futurespreis unter dem Forwardpreis liegen.


.


Beispiel: Bund-Futures

Contract SpecificationsVersion 08 Jul 2005

Contract StandardNotional long-term debt instrument issued by the Federal Republic of Germany with a six percent coupon.Contract ValueEUR Fixed Income Futures: EUR 100,000SettlementA delivery obligation arising out of a short position in a Bund Futures contract may only be fulfilled by the delivery of certain debt securities issued by the Federal Republic of Germany with a remaining term on the Delivery Day of 8.5 to 10.5 years.Such debt securities have a minimum issue amount of EUR 5 billion.


.



Price Quotation and Minimum Price ChangeThe Price Quotation is in percent of the par value. The Minimum Price Change is 0.01% or EUR 10.Delivery DayThe tenth calendar day of the respective quarterly month, if this day is an exchange trading day; otherwise, the following exchange trading day.Contract MonthThe three successive quarterly months of the March, June, September and December cycle.NotificationClearing members with open short positions on the Last Trading Day of the maturing delivery month must notify Eurex which debt instruments they will deliver. Such notification must be given by the end of the Post-Trading Full Period (20:00 CET).


.



Last Trading DayTwo exchange trading days prior to the Delivery Day of the relevant delivery month. Trading in the maturing delivery month ceases at 12:30 CET.Daily Settlement PriceThe closing price determined within the closing auction; if no price can be determined in the closing auction or if the price so determined does not reasonably reflect the prevailing market conditions, the daily settlement price will be the volume-weighted average price of the last five trades of the day, provided that these are not older than 15 minutes; or, if more than five trades have occurred during the final minute of trading, the volume-weighted average price of all trades that occurred during that period……


.



Daily Settlement Price…… If such a price cannot be determined, or if the price so determined does not reasonably reflect the prevailing market conditions, Eurexwill establish the official settlement price.

Final Settlement PriceThe volume-weighted average price of the last ten trades of the day, provided that these are not older than 30 minutes; or, if more than ten trades have occurred during the final minute of trading, the volume-weighted average price of all trades that occurred during that period. The Final Settlement Price is determined at 12:30 CET on the Last Trading Day.


.



Deliverable BondsExpiry month Dec 2005Deliverable Bond ISIN

Coupon Rate (%)

Maturity Date

Conversion Factor

DE0001135259 4.25 04.07.2014 0.885160 DE0001135267 3.75 04.01.2015 0.846069 DE0001135283 3.25 04.07.2015 0.803899 Ergebnis für den Inhaber einer Verkaufsposi-tion im Bundfutures bei Final Settlement:

( ) 000.100 nStückzinse

factorConversion

__

_EUR

PV

FuPV

iBondiBond

Bond_iiBond ×

−−

×

Lieferoption:Der Inhaber der Verkaufsposition liefert die Anleihe aus der obigen Liste, die sein Ergebnisbei Lieferung maximiert. Diese Anleihe heißtCheapest to Deliver (CTD).


.


Zusammenhang zwischen theore-tischem Futures-Preis und dem börsenquotierten Futures-Preis

Problemstellung:Durch den Conversion-Factor wird keineexakte Barwert-Bewertung der einem Fu-tures zugrundeliegenden Anleihe auf Basis der jeweils akuellen Zinskurve erreicht. Au-ßerdem enthält der börsenquotierte Futu-res-Preis keine aufgelaufenen Stückzinsen. Damit entspricht der börsenquotierte Fu-tures-Preis nicht dem oben abgeleitetentheoretischen Futures Preis. Der Zusam-menhang ist gegeben durch:

CTD

CTDCTDexchCTD

FuPVFuPV

factorConversionnStückzinse

;−

=


.


Volume und Open Interest

Begriffsdefinition• Open Interest:

das Gesamtvolumen der offenenPositionen, d.h., entweder Summe allerKauf- oder Verkaufspositionen

• Volume:Handelsumsatz in einer Handelsperiode

Fragen• Wie verändert sich das Open Interest bei

Abschluß eines neuen Kontraktes?

• Kann das Handelsvolumen in einerPeriode größer sein als das Open Iterestin dieser Periode?


.


Volume und Open Interest

Beispiel Bund-Futures


.

…… was eine Zinskurve istwas eine Zinskurve ist

Darstellungen

Die „Zinskurve“ oder „Yield-Curve“ ist eine Funktion, die einem bestimmten Beobach-tungszeitpunkt s und einer Fälligkeit bzw. Endzeitpunkt t einen Zinssatz ir(s,t) zuord-net:

( ) tststs ≤→ℜ→ℜ×ℜ ++

; ,ir,Interpretationen:• Swapkurve: ir(s,t)= sw(s,t) bezeichnet

den Swapsatz beobachtet zum Zeitpunkt s für einen Swap mit Endzeitpunkt in t.

• Zero-Yield-Curve: ir(s,t)= y(s,t) bezeichnet die cont. compoundedRendite eines Zero Coupon Bonds mit Fälligkeit t beobachtet zum Zeitpunkt s.


.


Darstellungen

Die Zero Coupon Bond Curve ist eine Funktion, die einem bestimmten Beobach-tungszeitpunkt s und einer Fälligkeit t den Preis eines Zero Coupon Bonds B(s,t)zuordnet:

( ) tstsBts ≤→ℜ→ℜ×ℜ +++

; ,,


.


Darstellungen

Eine „Termin-Zinskurve“ oder Forward-Curve ist eine Funktion, die einem be-stimmten Beobachtungszeitpunkt s, einem Termin t und einer Fälligkeit u einen Termin-Zinssatz F(s;t,u) zuordnet:

( ) utsutsfuts ≤≤→ℜ→ℜ×ℜ×ℜ +++

; ,,,,Interpretationen:• 1-Tages-Terminzinskurve: f(s;t,t+1Tag)

bezeichnet die cont. compounded Termin-Rendite einer Null-Coupon Anleihe, beobachtet zum Zeitpnkt s, erworben zum Termin t, fällig in t+1 Tag.

• Alternativ könnten auch Fälligkeiten von t+1Monat, t+1 Jahr etc. betrachtet werden.



Zinskur-ven: ein reales Beipsiel

Trade date 31-Dec-03 Source Mode: HIST Quote: MID Date Adfin DF

IRS Structure TR_USD_AM3LCCY code USD

Swap RIC mid AM3L Rate Structure (DF) RM:YC IM:CUBD ZCTYPE:DFSwap RIC end AdMode (DF) RET:A32

Real time update FRQ:500SDays to swap 2

Calendar USAInput to Adfin zero curve Adfin zero curve

Period Instrument Type

Input quote

Used Instrument Start Date Maturity

DateCoupon

Rate Market Instrument Structure Date Adfin DF

ON D 1.09% D 31-Dec-03 2-Jan-04 0% 1.09% USD 31-Dec-03 1.0000000TN D 1.03% D 2-Jan-04 5-Jan-04 0% 1.03% USD 02-Jan-04 0.9999397SW D 1.04% D 5-Jan-04 12-Jan-04 0% 1.04% USD 05-Jan-04 0.99985392W D 1.02% D 5-Jan-04 20-Jan-04 0% 1.02% USD 12-Jan-04 0.99965183W D #VALUE! 5-Jan-04 26-Jan-04 0% #VALUE! USD 20-Jan-04 0.99942911M D 1.06% D 5-Jan-04 5-Feb-04 0% 1.06% USD 05-Feb-04 0.99894212M D 1.08% D 5-Jan-04 5-Mar-04 0% 1.08% USD 05-Mar-04 0.99805743M D 1.11% D 5-Jan-04 5-Apr-04 0% 1.11% USD 05-Apr-04 0.99705634M D 1.13% D 5-Jan-04 5-May-04 0% 1.13% USD 05-May-04 0.99607085M D 1.14% D 5-Jan-04 7-Jun-04 0% 1.14% USD 07-Jun-04 0.99500166M D 1.16% D 5-Jan-04 6-Jul-04 0% 1.16% USD 06-Jul-04 0.99399277M D #VALUE! 5-Jan-04 5-Aug-04 0% #VALUE! USD 05-Oct-04 0.99035648M D #VALUE! 5-Jan-04 7-Sep-04 0% #VALUE! USD 05-Jan-05 0.98582249M D 1.26% D 5-Jan-04 5-Oct-04 0% 1.26% USD 05-Jan-06 0.957531310M D #VALUE! 5-Jan-04 5-Nov-04 0% #VALUE! USD 05-Jan-07 0.919520311M D #VALUE! 5-Jan-04 6-Dec-04 0% #VALUE! USD 07-Jan-08 0.87602501Y D 1.40% D 5-Jan-04 5-Jan-05 0% 1.40% USD 05-Jan-09 0.83055892Y S 2.15% S 5-Jan-04 2Y 0% 2.15% TR_USD_AM3L 05-Jan-10 0.78702753Y S 2.77% S 5-Jan-04 3Y 0% 2.77% TR_USD_AM3L 05-Jan-11 0.74358414Y S 3.26% S 5-Jan-04 4Y 0% 3.26% TR_USD_AM3L 05-Jan-12 0.70071565Y S 3.65% S 5-Jan-04 5Y 0% 3.65% TR_USD_AM3L 07-Jan-13 0.65901506Y S 3.92% S 5-Jan-04 6Y 0% 3.92% TR_USD_AM3L 06-Jan-14 0.61935387Y S 4.14% S 5-Jan-04 7Y 0% 4.14% TR_USD_AM3L 05-Jan-16 0.54709448Y S 4.34% S 5-Jan-04 8Y 0% 4.34% TR_USD_AM3L 07-Jan-19 0.45035199Y S 4.50% S 5-Jan-04 9Y 0% 4.50% TR_USD_AM3L 05-Jan-24 0.327363610Y S 4.64% S 5-Jan-04 10Y 0% 4.64% TR_USD_AM3L 05-Jan-29 0.243796912Y S 4.85% S 5-Jan-04 12Y 0% 4.85% TR_USD_AM3L 05-Jan-34 0.187161115Y S 5.08% S 5-Jan-04 15Y 0% 5.08% TR_USD_AM3L 00-Jan-00 0.000000020Y S 5.29% S 5-Jan-04 20Y 0% 5.29% TR_USD_AM3L 00-Jan-00 0.000000025Y S 5.36% S 5-Jan-04 25Y 0% 5.36% TR_USD_AM3L 00-Jan-00 0.000000030Y S 5.36% S 5-Jan-04 30Y 0% 5.36% TR_USD_AM3L 00-Jan-00 0.0000000

LBOTH CLDR:USA ACC:MMA0 ARND:NO CCM:MMA0 CFADJ:YES CRND:NO DMC:MODIFIED EMC:SAMEDAY IC:S1 PDELAY:0 REFDATE:MATURITY RP:1 RT:BULLET XD:NO LPAID LTYPE:FIXED FRQ:Y LRECEIVED LTYPE:FLOAT SPREAD:0 FRQ:Q

Marktda-ten Input berechnete Preise von

Zero Coupon Bonds


.


Bootstrappingund Zinskurven-interpolation: Einführung

Zielsetzung: Leite aus den beobachtbaren nicht-optionalen Zinsinstrumenten am Markt eine Yield-, Zero-Coupon-Bond oder Forwad-Curve so ab, daß:

• alle beobachtbaren Zinsinstrumente, die in die Konstruktion der Kurve eingeflos-sen sind auf Basis der Kurve korrekt be-wertet werden

• andere nicht-optionale Zinsinstrumente mit Zahlungen zu beliebigen Zeitpunkten auf Basis der Kurve bewertet werden können.


.


Bootstrappingund Zinskurven-interpolation: Einführung

Ansätze: Eine eindeutige Vorgehensweise zur Konstruktion hat sich in der Praxis bis-her nicht herausgebildet. Wir betrachten drei Varianten und diskutieren ihre Vor- und Nachteile:1. Bootstrapping von Zero Coupon Bond

Preisen aus Geldmarkt, FRAs und Swap-sätzen; danach lineare Interpolation der daraus berechneten continuously comp-ounded (cc) Zero Coupon Bond Zissätze

2. wie zuvor, jedoch lineare Interpolation von 1-Tages cc Zero Coupn Bond Terminzins-sätzen

3. Lineare Interpolation der Geldmarkt und Swapsätze und Bootstrapping von Zero Coupon Bondpreisen für alle Fälligkeiten aus dieser Kurve.


.


Bootstrappingund Zinskurven-interpolation:

Ansatz 1

Beobachtete Marktzinssätze in t0 :Geldmarktsätze: ON, TN, SW, 2W-4W, 2M-12MFRAs: 2X14, 3X15, 6X18, 9X21, 12X24Swapsätze:3Y-30Y

Bootstrapping der Gelmarktsätze:

),(),();,(),;(1

100

0nm

nmnmttBttB

ktttttzf=×

∆×+

),();,(),(1

10

00j

jjttB

kttttz=

∆×+

Bootstrapping der FRAs:


.



Ansatz 1

Bootstrapping der Swapsätze:nehme an, alle Zero Coupon Bond Preise bis B(t0,tn) seien bereits ermittelt worden:

Interpolation:Gegeben seinen die Stützstellen B(t0,tn) und B(t0,tn+k), gesucht sei B(t0,tn+i) mit tn < tn+i < tn+kund k auf 1-Tages-Basis:

),(),();,(1

),();,(),(110

101

1 0110+

++

= −+=

×∆+

×∆×− ∑n

nswnn

n

i iswiinttB

ttswktt

ttBkttttsw

))(),(exp(),(

),(),(),(

000

000

ttttyttB

tttt

ttytttt

ttytty

ininin

nkn

inknn

nkn

ninknin

−×−=−

−×+

−−

×=

+++

+

++

+

+++


.



Ansatz 1

Anmerkung:Falls zwischen zwei beobachteten Swapsätzen mehrere Jahre liegen, kombiniere lineare Interpolation der Zero Coupon Bond Zinssätze und Bootstrapping des nächsten bekannten Swaps zur impliziten Bestimmung der Steigung der Kurve der Zero Coupon Bond Zinskurve. Verfahren analog zur Vorgehensweise bei der Interpolation von 1-Tages-Terminzinssätzen, wie auf Folien 75 und 76 dargestellt.


.



Ansatz 2

Ausgangssituation:gegeben seien alle Zero Coupon Bond Preise B(t0,t.), soweit sie mittels Bootstrapping wie in Ansatz 1 aus den beobachteten Zinssätzen er-mittelt werden konnten.

Startpunkt der Interpolation:Startpunkt der Interpolation ist der cc Zero Coupon Bond Zins, der aus dem aus dem ON-Zinssatz ermittelten Zero Coupon Bond B(t0,t1)ermittelt wurde:

),(),(ln

),;( 1001

10100 tty

ttttB

tttf =−

−=


.



Ansatz 2

Idee für die weitere Interpolation:nutze den Zusammenhang zwischen cc Zero Coupon Bond Zinssätzen und Terminzinssät-zen in stetiger Zeit und übertrage diesen auf ein Diskretisierung von 1 Tag:

∫−=

jt

tjj dsstf

tttty

0

);(1

),( 00

0

Formel in stetiger Zeit:

Übertragung auf 1-Tages-Diskretisierung:

∑ = −=n

i iin tttfn

tty1 100 ),;(

1),(


.



Ansatz 2

Annahmen für die weitere Interpolation:Gegeben seien aus früheren Interpolations-schritten f(t0;tn-1,tn), sowie aus dem Bootstrap-ping die Zero Coupon Bonds B(t0,tn) und B(t0,tn+k), k gemessen in Tagen. Weiterhin be-stehe folgender linearer Zusammenhang:

kiki

atttftttf nninin ≤≤×+= −+−+ 1 ; ),;(),;( 10)1(0


.



Ansatz 2

Bestimmung von a:Gemäß Folie 73 gewährleistet folgende Bestim-mungsgleichung für a die Verträglichkeit der in-terpolierten Terminzinssätze und der aus den Marktdaten abgeleiteten Zero Coupon Bond Preise:

),;(1

exp

),(),(

1 10

00

×+×

=

∑ = −

+

k

i nn

nkn

ki

atttfk

ttBttB


.



Ansatz 3

Beobachtete Marktzinssätze in t0 :Geldmarktsätze: ON, TN, SW, 2W-4W, 2M-12MSwapsätze:2Y-30Y

nkn

inknn

nkn

ninknin tt

ttttz

tttt

ttzttz−

−×+

−−

×=+

++

+

+++ ),(),(),( 000

Interpolation der Geldmarktsätze :

nkn

inknn

nkn

nknin tt

ttttsw

tttt

ttswttsw−

−×+

−−

×=+

++

+++ ),(),(),( 000

Interpolation der Swapsätze :Betrachte den 12M Geldmarktsatz als ersten Swapsatz.


.



Ansatz 3

Bootstrapping der Gelmarktsätze:

),();,(),(1

10

00j

jjttB

kttttz=

∆×+

Bootstrapping der Swapsätze:nehme an: alle Zero Coupon Bond Preise bis B(t0,tn) seien bereits ermittelt worden:

),(),();,(1

),();,(),(110

101

1 0110+

++

= −+=

×∆+

×∆×− ∑n

nswnn

n

i iswiinttB

ttswktt

ttBkttttsw


.



Ansatz 3

Beachte beim Bootstrapping der Swapsätze:• Im Gegensatz zu Ansatz 1, wo der Abstand

zwischen tn und tn+1 1 oder mehrere Jahre betragen hat, beträgt er hier exakt 1 Tag.

• Das Bootstrapping liefert ein anderes Ergebnis, je nach dem ob man die verkürzte Periode des Swaps an den Anfang oder an das Ende der Swaplaufzeit setzt.

• Die für die Interpolation verwendeten Swap-sätze müssen die gleiche Zahlungsfrequenz (Compounding Frequency) z.B. jährlich, halb-jährlich, vierteljährlich besitzen.


.


Boot-strap-ping und Zinskur-veninter-polation:

Beispiele

Flache ZinskurveLZ ON 1 2 3 4 5 6CC Zero Zinsen 2,5000% 2,5000% 2,5000% 2,5000% 2,5000% 2,5000% 2,5000%Zero Bonds 99,9932% 97,5310% 95,1229% 92,7743% 90,4837% 88,2497% 86,0708%Swaps 2,5001% 2,5315% 2,5315% 2,5315% 2,5315% 2,5315% 2,5315%

Interpolation Zero Zinsen

0,02

0,025

0,03

0 1 2 3 4 5 6

Jahre

Zin

ssät

ze Interpol ZY1dfwdrateSwapsätze


.



Beispiele


Zinskurven bei Interpolation 1-Tages-Terminzinsen

0,02

0,025

0,03

0 1 2 3 4 5 6

Jahre

Zin

ssät

ze 1dfwdrateSwapsätzeZY


.



Beispiele


Interpolation Swapsätze

0,02

0,025

0,03

0,035

0,04

0 1 2 3 4 5 6

Jahre

Zin

ssät



.



Beispiele

Linear ansteigende Zinskurve ab Jahr 3LZ ON 1 2 3 4 5 6CC Zero Zinsen 2,5000% 2,5000% 2,5000% 2,6000% 2,7000% 2,8000% 2,9000%Zero Bonds 99,9932% 97,5310% 95,1229% 92,4964% 89,7628% 86,9358% 84,0297%Swaps 2,5001% 2,5315% 2,5315% 2,6314% 2,7306% 2,8287% 2,9256%


0,02

0,025

0,03

0,035

0,04

0 1 2 3 4 5 6

Jahre

Zin

ssät



.



Beispiele



0,02

0,025

0,03

0,035

0,04

0 1 2 3 4 5 6

Jahre

Zin

ssät



.



Beispiele

Zinskurve mit Maximum bei 3 und 4 JahrenLZ ON 1 2 3 4 5 6CC Zero Zinsen 2,5000% 2,5500% 2,6000% 2,6500% 2,6500% 2,6000% 2,5500%Zero Bonds 99,9932% 97,4822% 94,9329% 92,3578% 89,9425% 87,8095% 85,8130%Swaps 2,5001% 2,5828% 2,6334% 2,6836% 2,6840% 2,6356% 2,5873%


0,02

0,025

0,03

0 1 2 3 4 5 6

Jahre

Zin

ssät



.



Beispiele



0,02

0,025

0,03

0 1 2 3 4 5 6

Jahre

Zin

ssät



.

…… welche Zinsrisikomawelche Zinsrisikomaßße es gibte es gibt

Definition Duration und Convexity

Ausgangspunkt Bewertungsgleichung Coupon Bond:

∑∑

=−×−−×−

= −

×∆×+=

×∆×+=I

itttty

itttty

I

i iBondiiIBond

iiII ece

ttBkttcttBPV

1))(),(())(),((

1 010

0000

),();,(),(

Taylorentwicklung nach y bis zur zweiten Ableitung ergibt:

2

21 02

002

0

1 0000

)(Convexity 21

Duration

)(),()(),()(

21

),()(),()(

yy

yPV

ttBttcttBtt

yPV

ttBttcttBtt

PVPV

Bond

I

i iiiII

Bond

I

i iiiII

Bond

Bond

∆××+∆×−=

∆×

×−×∆×+×−×+

∆×

×−×∆×+×−−≈

∆

∑

∑

=

=


.


Definition modified Dura-tion

Ausgangspunkt Bewertungsgleichung Coupon Bond:

+

∆×+

+

×

−×

+=

×∆×+=

∑

∑

=

= −

I

i ttMt

ittM

tt

I

i iBondiiIBond

i

i

I

I

m

zc

m

zm

ttz

ttBkttcttBPV

1 ),(),(01

1 010

001

11

1)(

1

1

),();,(),(

Taylorentwicklung nach z bis zur ersten Ableitung ergibt nach exzessiver Rech-nerei:

……


.


zz

mz

z

mz

ttMc

mz

ttMmPV

mz

z

mz

ttMc

mz

ttMmPV

mzm

tt

mttz

z

m

z

mttMc

m

z

mttMPVm

tt

m

ttzPVPV

I

i ttMii

ttMI

Bond

tt

I

i ttMii

ttMI

Bond

zz

I

i ttMt

iittM

t

I

BondtBond

Bond

iI

iI

t

i

i

I

I

∆×=∆××

+=

∆×

+

×∆×+

+

××

×

+=

∆×

+

×∆×+

+

××

+

+−

×

−×+−=

∆×

+

×∆×+

+

×+−

×

−×

+−≈

∆

∑

∑

∑

=

=

=

≡

= ++

•

Duration modified Duration 1

1

1

),(

1

),(1

1

1

1

),(

1

),(1

1

1)()(

1

1

1

),(

1

),(1)()(

1

1

1 ),(0

),(0

1 ),(0

),(001

01

1 1),(0

1),(001

01

00

01

00

001


.


Kommentare (modified) Dura-tion und Convexity

Beachte:

Bei der Darstellung mit cc Zinssätzengilt die Approximationsformel für die Än-derung des Bondpreises bei Änderung der Zinssätze unter wesentlich schwächeren Annahmen als bei der Darstellung mit peri-odischer Zinseszinsrechung:

• Es mußte nicht unterstellt werden, daßdie Ausgangszinskurve flach ist.

• Es mußte keine Annahme über die Länge der Teilperioden getroffen werden. Insbesondere bleibt die Formel auch bei ungerader erster Periode gültig.


.


Kommentare (modified) Dura-tion und Convexity

Aber:

Alle Darstellungen von Wertveränderun-gen von Anleihen bei Ändeurng der zu-grundeliegenden Zinsen mit Hilfe von Duration und Convexity unterstellen eine parallele Verschiebung der Zinskurve.

Daher ist es in der Praxis üblich, die mög-lichen Wertveränderungen von Zinsrisiko-positionen bei Änderung der zugrundelie-genden Zinssätze für verschiedene Lauf-zeitbänder (Buckets) getrennt anzugeben.

Man spricht von PVBP (present value of a basis point) oder PV01 pro bucket.


.


Hedging mit Duration und Convexity

Problemstellung:

Gegeben seien zwei Bonds, Bond1(c1,T1)und Bond2(c2,T2), mit unterschiedlichen Coupons und Fälligkeiten. Bond2 soll durch Bond1 gehedged werden. D.h. es soll gerade eine solche Position in Bond1 eingegangen werden, daß die Wertverän-derungen in dieser Position die Wertverän-derungen in der Position in Bond2 gerade ausgleichen.

Welche Position in Bond1 muß eingegan-gen werden?


.


Hedging mit Durationund Convexity

Hedgeratio auf Durationbasis:

11

2221

222

!11111

Duration Duration

Duration

Duration

BondBond

BondBondBondBond

BondBondBond

BondBondBondBondBond

PVNPV

N

yNPV

yNPVNPV

×××

=⇔

∆×××−=

∆×××−=×∆

Hedgeratio auf Duration- und Convexitybasis:

111

2222

1

222

22

!

112

1111

Convexity 21

Duration

Convexity 21

Duration

)( Convexity 21

Duration

)( Convexity 21

Duration

BondBondBond

BondBondBondBond

Bond

BondBondBondBond

BondBondBondBondBondBond

PVy

NPVyN

NPVyy

NPVyyNPV

×

∆××+−

××

∆××+−=⇔

××

∆××+∆×−=

××

∆××+∆×−=×∆


.


Hedging mit Duration und Convexity: Anwendungen

Hedging von Bonds mit Swaps:

Berechne Duration und Convexity des Bonds und des Swaps und wende obige Gleichungen für die Hedgeratio an. Approximativ genügt es bei langlaufendenSwaps, das Fixed Leg des Swaps darge-stellt als Coupon Bond zu betrachten.

Hedging von Bonds mit Futures:

Berechne Duration und Convexity der Terminpreise des Bonds und des vermutlichen CTDs, letzterer multipliziert mit dem Conversion Faktor, und wende obige Gleichungen für die Hedgeratio an.


.


Hedging mit Duration und Convexity: Anwendungen

Anmerkungen:Die oben dargestellten Hedges sind aus verschiedenen Gründen nicht perfekt, d.h. nicht völlig risikofrei:• Swap- und Bondzinsen entwickeln sich

nicht immer parallel. D.h. der Spread zwischen Swaps und Bonds kann schwanken.

• Der CTD im Futures kann sich während der Laufzeit ändern.

• Der Futurespreis entspricht in der Reali-tät (richtigerweise) nicht dem Forward-preis. Der Unterschied zwischen beiden ist zufallsabhängig.

• Die Hedgeratios gelten nur lokal. Bei jeder marginalen Zinsänderung müßteder Hedge dynamisch angepaßt werden.



Modul III

• was man unter Aktienoptionen versteht,

• was man aus statischen Portfoliostrategien über die Bewertung von Optionen lernen kann,

• was man unter Zustandspreisen versteht und wie man damit Derivate bewertet,

• wie man die Konzepte der Duplikation und der No-Arbitrage auf dynamische Wertpa-piermärkte übertragen kann,

• wie man ein dynamisches Bewertungs-modell für Optionen konstruiert und darin Optionen bewertet.

Aktienoptionen


.

…… was man unter Aktienoptionen was man unter Aktienoptionen verver--stehtsteht

Definition Call:

Europäischer vs. Amerikanischer Call

Europäischer Call:Ein Europäischer Call auf eine Aktie einer be-stimmten Gattung ist ein Finanzinstrument, das seinem Käufer das Recht gibt, eine Aktie die-ser Gattung zu einem festen Termin in der Zukunft zu einem zum Kaufzeitpunkt der Option festgelegten Strikepreis zu erwerben.

Amerikanischer Call:Im Gegensatz zum Europäischen Call kann der Käufer beim Amerikanischen Call nicht nur zum Fälligkeitszeitpunkt, sondern jederzeitzwischen Erwerbszeitpunkt und Fälligkeitszeit-punkt des Calls entscheiden, ob er die Aktie zum festgelegten Preis erwerben möchte oder nicht.


.


Definition Put:

Europäischer vs. Amerikanischer Put

Europäischer Put:Ein Europäischer Put auf eine Aktie einer be-stimmten Gattung ist ein Finanzinstrument, das seinem Käufer das Recht gibt, eine Aktie die-ser Gattung zu einem festen Termin in der Zukunft zu einem zum Kaufzeitpunkt der Option festgelegten Strikepreis zu verkaufen.

Amerikanischer Put:Im Gegensatz zum Europäischen Put kann der Käufer beim Amerikanischen Put nicht nur zum Fälligkeitszeitpunkt, sondern jederzeitzwischen Erwerbszeitpunkt und Fälligkeitszeit-punkt des Puts entscheiden, ob er die Aktie zum festgelegten Preis verkaufen möchte oder nicht.


.


Payoffprofile zum Ausübungszeit-punkt

ST STK

K

Payoff Payoff

ST STK

K

Payoff Payoff

ST STK

K

Payoff Payoff

ST STK

K

Long Call

Short PutLong Put

Short Call

K:= Strikepreis

ST:= Aktienkurs bei Ausübung


.


Moneyness

Long Call

at-the-money

PayoffPayoff

FS(t;T)Kout-of-the-money

in-the-money

Beachte:

Die korrekte Bestimmung der Moneynessbezieht sich auf die Lage des Terminprei-ses der Aktie relativ zum Strikepreis der Option.


.


Notation

tstsD

tD

tS

t

t

in zahlbar in Dividendeder Schätzung :),(~

Zeitpunktzumzahlbar Dividende :

Zeitpunktzum Aktienkurs :

=

==

tstsB

tsBDStsFS tti its

ii

in fällig in Aktieder sTerminprei

;),(

),(:);( |∑ ≤

×−=

TKS

E)C(S,K,T

K

Fälligkeit und sStrikepreimit Aktie 1 auf Caller Europäisch :,sStrikeprei :

==

TKS

tE)S,K,TPVC(t

TKS

A)P(S,K,T

TKS

E)P(S,K,T

TKS

A)C(S,K,T

Fälligkeit und sStrikepreimit Aktie 1 auf Callsen Europäisch eines in Preis :,;

Fälligkeit und sStrikepreimit Aktie 1 aufPut cher Amerikanis :,

Fälligkeit und sStrikepreimit Aktie 1 aufPut er Europäisch :,

Fälligkeit und sStrikepreimit Aktie 1 auf Callcher Amerikanis :,

=

=

=

=


.

…… was man aus statischen was man aus statischen PortfoliostraPortfoliostra--tegientegien lernen kannlernen kann

Preisober- und Untergrenzen für Calls

0),,;(),,;( ≥≥≥ ETKtPVCATKtPVCSt

Call

),(),(),,;( TtBKttBDSETKtPVC Dtt D×−×−≥

P1: 1 Aktie; P2: C(K,T,A); P3: C(K,T,E)

P1: 1 AktieP2: C(K,T,E) + ),(),( TtBKttBD DtD

×+×

KSATKtPVC t −≥),,;(

Zahlung bei (vorzeitiger) Ausübung

)/,,;()/,,;( 2121 AETKtPVCAETKtPVCKK ≤⇒≥

P1: C(K1,T,E/A); P2: C(K2,T,E/A)


.


Konsequenzen der Dividenden-losigkeit

22121 );,,;(),,;(;0 TtETKtPVCETKtPVCTTD ≤∀≥⇒≥=•

Call

)E,T,K;T(PVC

);KSmax(

));T,T(BKSmax()E,T,K;T(PVC

T

T

22

1212

0

0

2

2

=

−≥

×−≥denn:

TtKSATKtPVCD t <∀−>⇒=• ;),,;(0

Außerdem:

)0;max(

)0);,(max(),,;(),,;(

KS

TtBKS

ETKtPVCATKtPVC

t

t

−>×−≥

≥

denn:

Also:TtETKtPVCATKtPVCD <∀=⇒=• );,,;(),,;(0


.


Preisober- und Untergrenzen für Puts

0),,;(),,;( ≥≥≥ ETKtPVPATKtPVPKPut

),(),(),,;( TtBKttBDSETKtPVP Dtt D×+×+−≥

P1: K; P2: P(K,T,A); P3: P(K,T,E)

P1: 1 Aktie + P(K,T,E)P2: ),(),( TtBKttBD DtD

×+×

tSKATKtPVP −≥),,;(

Zahlung bei (vorzeitiger) Ausübung

)/,,;()/,,;( 2121 AETKtPVPAETKtPVPKK ≥⇒≥

P1: P(K1,T,E/A); P2: P(K2,T,E/A)


.


Fehlende Konsequenzen der Dividenden-losigkeit

221

21

);,,;(),,;(

nicht folgt ;0

TtETKtPVPETKtPVP

TTD

≤∀≥≥=•

Put

Außerdem:

TtSTtBK

SKATKtPVP

t

t

<−×>−≥

);0;),(max(

)0;max(),,;(

Damit kann es auch bei dividendenlosen Ak-tien zu vorzeitigen Ausübungen von Putskommen.

Also:

TtETKtPVPATKtPVP <∀≥ );,,;(),,;(


.


Put-Call-Parität

tdt SttBDTtBK

ETKtPVCETKtPVP

d−×+×+

=),(),(

),,;(),,;(

Europäische Optionen

Kauf: P(K,T,E)Verkauf: C(K,T,E)Kauf: Aktie SKreditaufnahme: K X B(t,T)Kreditaufnahme: D X B(t,td)


.


Put-Call-Parität

tdt

t

SttBDKATKtPVC

ATKtPVP

STtBKATKtPVC

d−×++

≤≤−×+

),(),,;(),,;(

),(),,;(Amerikanische Optionen

Nehme an, die Ungleichung sei nicht erfüllt und betrachte folgende Portfolien:P1: Verkauf: C(K,T,A),

Kreditaufnahme: K X B(t,T) P2: Kauf: Aktie S und P(K,T,A)

Nachweis 1. Ungleichung:

Nehme an, die Ungleichung sei nicht erfüllt und betrachte folgende Portfolien:P1: Verkauf: P(K,T,A) und Aktie SP2: Kauf: C(K,T,A); Anlage Dtd in Bond

B(t,td), Kassenhaltung i.H.v. K

Nachweis 2. Ungleichung:


.


Box-Spreads: Zusammenhang zwischen Optio-nen und Geld-markt


Kauf: C(K1,T,E); Verkauf: P(K1,T,E)Kauf: P(K2,T,E); Verkauf: C(K2,T,E)

Payoff

STK2K1

K2-K1

Der Preis dieser Optionsposition zum Zeitpunkt t beträgt:

),()( 12 TtBKK ×−Damit ist diese Position – je nach Laufzeit der Optionen äquivalent zu einer Anlage am Geld- oder Kapitalmarkt.

Box


.


Butterfly-Spreads: Konvexität von Optionspreisen


Kauf: C(K1,T,E); Kauf: C(K3,T,E)Verkauf: 2xC(K2,T,E)

Payoff

STK1

Es gilt:

K3K2

0),,;(2),,;(),,;(

)(21

231

312

>×−+

⇒+=

ETKtPVCETKtPVCETKtPVC

KKK


.


Butterfly-Spreads: Konvexität von Optionspreisen


Das vorige Ergebnis läßt sich auf beliebige Konvexkombinationen von Strikepreisenübertragen. Es gilt:

0),,;(),,;()1(),,;(

))1(( );1,0(

231

312

>−−+⇒−+=∈

ETKtPVCETKtPVCETKtPVC

KKK

λλλλλ

0> 00Summe Payoff

00

000

0

Position

Payoff bei gegebenem Zustand der Welt in T

1KST < 21 KSK T <≤ TSK <332 KSK T <≤

)( 1KCλ

)()1( 3KCλ−

)( 2KC−

)( 1KST −λ )( 1KST −λ )( 1KST −λ

))(1( 3KST −− λ

2KST − 2KST −

0

)1( 3

>−−+

T

T

S

KS λλ


.

…… was man unter Zustandspreisen was man unter Zustandspreisen verstehtversteht

Butterfly-Spreads: Zusammenhang mit Zustands-preisen


Payoff

ST

Es gilt für den Wert dieses Portfolios:

K2

22

22

2222

0

);(

);();();();(1lim

K

KtPVC

KtPVCKtPVCKtPVCKtPVC

∂∂

=

∆

∆−−−∆

−∆+∆→∆

∆−= 21 KK ∆+= 23 KK

Flächen-inhalt 1€!

∆1

Kauf: 1/( )² C(K1,T,E); Kauf: 1/( )² C(K3,T,E)Verkauf: 2/( )²xC(K2,T,E)


.


Intuitive Bewertungsregel:Wert = Summe über Menge x Einzelpreis

Derivatebewer-tung mit Zu-standspreisen

Anwendung auf Derivate, deren Auszahlung nur von ST abhängt:Angenommen, die Auszahlung eines Derivates zum Zeitpunkt T hängt ausschließlich von dem Kurs ab, den die zugrundeliegende Aktie zum Zeitpunkt T an-nimmt, dann läßt sich der Wert dieses Derivates heu-te bestimmen, wenn alle Zustandspreise für das Ein-treten der jeweiligen Aktienkurse heute bekannt sind. Diese sind bekannt, wenn die Preise aller Europä-ischen Call Optionen mit allen positiven reellwertigenStrikes bekannt sind. Es gilt:

dKK

ETKtPVCKTDTtPVD

2

2

0

),,;();();(

∂∂= ∫∞


.


Derivatebewer-tung als Erwar-tungswert

Speziell gilt für :

dK

Q

K

ETKtPVCTtB

dKK

ETKtPVCTtB

T

∫∫

∞

∞

∂∂×=

⇔∂

∂×=

0 2

2

2

2

0

),,;(

),(1

1

),,;(1),(

44444 344444 21

Damit ist der Integrand in der zweiten Gleichung eine Dichte, die wir mit QT bezeichnen wollen, und wir können die Bewertungsformel der vorangegan-genen Folie als Erwartungswert bezüglich dieser Dichte schreiben:

[ ]);(),();( STDTtBTtPVDTQΕ×=

1);( ≡KTD


.



Beachte:Die Darstellung des Preises eines Derivates als Erwartungswert hat nichts damit zu tun, daß die Wirtschaftssubjekte tatsächlich das Eintreten eines bestimmten Aktienkurses mit der Wahrscheinlich-keit QT erwarten.

Es ist lediglich eine formale Schreibweise für die Regel Wert = Summe über Menge x Einzelpreis, wobei die Einzelpreise die aus den Optionspreisen abgeleiteten Zustandspreise sind.

Die tatsächlichen Erwartungen der Wirtschaftssub-jekte sind zusammen mit ihren Präferenzen und ih-rer je individuellen Vermögenslage in den unter-schiedlichen Zuständen der Welt in die Options-preise eingeflossen.


.



Problemstellung:

Die Kenntnis aller Optionspreise impliziert die Kenntnis aller Zustandspreise.

Mit Hilfe der Zustandspreise lassen sich alle anderen Derivate, deren Auszahlung zum Zeitpunkt T nur von dem in T realisierten Aktienkurs abhängt, bewerten.

Angenommen, die Optionspreise sind unbekannt. Wohl aber ist der Kurs der zugrundeliegenden Aktie zu jedem beliebigen Zeitpunkt während der Optionslaufzeit beobachtbar, und es können zu jedem beliebigen Zeitpunkt Aktien gekauft und verkauft sowie „Geld“ aufgenommen oder angelegt werden.

Ist es unter diesen Voraussetzungen möglich, wiederum die Zustandspreise und damit dann die Optionspreise selbst zu bestimmen?


.

…… wie man Nowie man No--Arbitrage und Duplikation Arbitrage und Duplikation in dynamischen Min dynamischen Määrkten nutztrkten nutzt

Zwei-Perioden-Modell

Problemstellung 1:

Wie lassen sich in dem unten angegebenen dynamischen Marktmodell Zustandspreise für das Eintreten der Zustände ω1 bzw. ω2 aus den Preisen der Aktie und des Zero Coupon Bonds berechnen?

0t 1t

PVADt1(ω1;ω1)=1PVADt1(ω2;ω1)=0

St1(ω1)=90B(t1,t1)=1

8,02 =p

2,01 =p


St1(ω2)=120B(t1,t1)=1

PVADt0(ω1)=?PVADt0(ω2)=?

St0=100B(t0,t1)=1/1,1


.



Lösungsidee zu Problemstellung 1:

Betrachte folgendes duplizierendes Portfolio für AD(ω1;.):

( )

0)()()(

1)()()(

mit )();(:)(

11

211

11

111

11

11

11

1

1

=+×∧

=+×

=

tSt

tSt

ttt

BtS

BtS

BS

θωθ

θωθ

θθθ

( )

1)()()(

0)()()(

mit )();(:)(

12

212

12

112

12

12

12

1

1

=+×∧

=+×

=

tSt

tSt

ttt

BtS

BtS

BS

θωθ

θωθ

θθθ

und folgendes duplizierendes Portfolio für AD(ω2;.):


.




Aufgrund der Duplikationseigenschaft der beiden Portfolien für AD(ω1;.) bzw. AD(ω2;.) muß zur Erfüllung der No-Arbitrage-Bedingung gelten:

)();()()(

)();()()(

21012

12

11011

11

00

00

ωθθ

ωθθ

tBtS

tBtS

PVADttBtSt

PVADttBtSt

=×+×

=×+×

Oder in Zahlen:

−=

−= 3;301

:)( ; 4;301

:)( 12

11 tt θθ

3320

)( ;3310

)( 21 00== ωω tt PVADPVAD


.



Interpretation zu Problemstellung 1:

Definition: Die Verträge AD(ω1;.) und AD(ω2;.) heißen Arrow-Debreu-Securities. Allgemein versteht man unter Arrow-Debreu-SecuritiesWertpapiere, die genau in einem Zustand der Welt eine Konsumeinheit auszahlen.Beobachtung 1: Die Preise der Arrow-Debreu-Securities PVADt0(ω1) und PVADt0(ω2) sind dementsprechend Zustandspreise.Beobachtung 2: In einem arbitragefreien Zwei-Perioden-Modell muß daher gelten:

( ) 1);(

1)()(

);()()(

;0)(

1021

1021

00

00

0

=+⇔

=+

>•

ttBPVADPVAD

ttBPVADPVAD

PVAD

tt

tt

t

ωω

ωω


.




Beobachtung 3: Aus Beobachtung 2 folgt, daßdurch die Arrow-Debreu-Preise in folgendem Sinne ein Wahrscheinlichkeitsmaß gegeben ist:

);(

1)(q;

);(1

)(q:Q10

2210

11 00

×=×==ttB

PVADttB

PVAD tt ωω

Beobachtung 4: Damit gilt in einem arbitrage-freien Zwei-Perioden-Modell folgende allgemei-ne Bewertungsgleichung für Derivate, die vom Aktienkurspfad abhängen:

[ ]);();();( 110101

•Ε×= ωtDttBttPVDtQ

Beobachtung 5: Die physischen Wahrschein-lichkeiten p spielen bei der Bewertung von Deri-vaten im Zwei-Perioden-Modell keine Rolle. Dies ist eine Konsequenz der Duplikation.


.



Problemstellung 2:

Anwendung der in Problemstellung 1 ange-wandten Methode zur Bestimmung der AD-Preise führt zu folgendem Ergebnis. Worin be-steht der Fehler in diesem Marktmodell?

0t 1t


St1(ω1)=90B(t1,t1)=1

8,02 =p

2,01 =p


St1(ω2)=110B(t1,t1)=1

PVADt0(ω1)=0PVADt0(ω2)=10/11

St0=100B(t0,t1)=1/1,1


.



Lösungsidee zu Problemstellung 2:Beobachtung 1: Die Tatsache, daß AD(ω1;.) = 0 ist, zeigt, daß es möglich ist, aus Aktien und Zero-Coupon Bonds ein Portfolio zu konstru-ieren, das heute Wert Null hat, aber in der Zu-kunft in einem Zustand der Welt eine strikt po-sitive und im anderen Zustand der Welt eine nicht-negative Auszahlung impliziert. Dieses Portfolio ist also wie eine Lotterie, bei der man nie verliert, manchmal gewinnt und für die Teil-nahme nichts bezahlen muß. Dies ist eine Arbitragemöglichkeit.Beobachtung 2: Grund für die Existenz dieser Arbitragemöglichkeit ist die Tatsache, daß der Zero-Coupon Bond die Aktie dominiert, d.h. die prozentuale Wertsteigerung des Bonds immer mindestens so groß ist wie die der Aktie.


.




Beobachtung: Das aus den AD-Preisenabgeleitete Wahrscheinlichkeitsmaß ist im Gegensatz zu dem physischen W-Maß in Zustand ω2 konzentriert. Es belegt Zustand ω1der Welt mit Wahrscheinlichkeit Null, den das physische W-Maß mit positiver Wahrschein-lichkeit belegt:

( ) 1q;0q:Q 21 ===

Wäre der Aktienkurs in ω2 noch geringer gewe-sen, wäre q1sogar negativ geworden.

Beobachtung: Sind alle AD-Preise strikt posi-tiv, so ist das Zwei-Perioden-Modell arbitrage-frei.


.



Problemstellung 3:

Wie lauten die AD-Preise in diesem Modell? Ist das Modell arbeitragefrei?

0t 1t

St1(ω2)=90B(t1,t1)=1

St1(ω3)=120B(t1,t1)=1

St0=100B(t0,t1)=1/1,1

St1(ω1)=80B(t1,t1)=1

1,01 =p

2,02 =p

7,02 =p


.



Lösungsidee zu Problemstellung 3:Wir stellen uns vor, es würde neben der Aktie und dem Bond noch AD(ω1) gehandelt. Wir ermitteln duplizierende Portfolien für AD(ω2) und AD(ω3) und parametrisieren das Preis-system im Preis von AD(ω1):

( )

0)()()(

1)()()(

0)()()()(

mit )();();(:)(

12

312

12

212

12

)(12

112

12

)(12

12

12

1

1

11

1

=+×∧

=+×∧

=++×

=

tSt

tSt

ttSt

tttt

BtS

BtS

ADBtS

ADBS

θωθ

θωθ

θθωθ

θθθθ

ω

ω

( )

1)()()(

0)()()(

0)()()()(

mit )();();(:)(

13

313

13

213

13

)(13

113

13

)(13

13

13

1

1

11

1

=+×∧

=+×∧

=++×

=

tSt

tSt

ttSt

tttt

BtS

BtS

ADBtS

ADBS

θωθ

θωθ

θθωθ

θθθθ

ω

ω

AD(ω2)

AD(ω3)


.




Aufgrund der Duplikationseigenschaft der beiden Portfolien für AD(ω2;.) bzw. AD(ω3;.) muß zur Erfüllung der No-Arbitrage-Bedingung gelten:

0)()();()()(

0)()();()()(

113

)(1013

13

112

)(1012

12

010

010

>×+×+×

>×+×+×

ωθθθ

ωθθθ

ω

ω

tADBtS

tADBtS

PVADtttBtSt

PVADtttBtSt

Oder in Zahlen:

−=

−−=31

;3;301

:)( ; 34

;4;301

:)( 13

12 tt θθ

225

)(0 10<< ωtPVAD


.




Beobachtung 1: Die auf der vorangegangenen Folie abgeleiteten Ungleichungen zeigen, daßes in diesem Marktmodell möglich ist, strikt po-sitive AD-Preise für alle AD-Securities abzulei-ten. Daraus folgt, daß es sich bei dem aus den Preisen der AD-Securities abgeleiteten Maß Qum ein strikt positives W-Maß handelt. Damit ist das Marktmodell arbitragefrei.

Beobachtung 2: Es gibt kein Portfolio aus Aktie und Bond, mit dem die AD-Securitiesexakt dupliziert werden können. Der Markt aus Aktie und Bond heißt deshalb unvollständig. Ein Markt heißt vollständig, wenn alle AD-Securities durch Portfolien aus gehandelten Wertpapieren dupliziert werden können.


.



Interpretation zu Problemstellung 3:Beobachtung 3: Wegen der Unvollständigkeit des Marktes in den gehandelten Wertpapieren, sind die Preise der AD-Securities nicht eindeutig bestimmt. Dennoch sind die Preise nicht beliebig. Es ließen sich vielmehr nicht-triviale Wertgrenzen angeben, innerhalb derer die entsprechenden Preise liegen müssen.

Es gibt zahlreiche Vorschläge, wie man aus den möglichen Preissystemen für AD-Securities bzw. aus den daraus abgeleiteten W-Maßen eines zur Bewertung von Derivaten auswählen kann. Eine Idee besteht darin, das abgeleitete W-Maß so zu wählen, daß es sich in gewissem Sinne möglichst wenig vom physischen Maß unterscheidet.

Merke: Bei unvollständigen Märkten ist die Be-wertung von Derivaten im allgemeinen nicht unabhängig vom physischen W-Maß!


.


Mehr-Perioden-Modell

Problemstellung:Ist der Wertpapiermarkt vollständig? Ist er arbitra-gefrei? Wie lassen sich in diesem Modell AD-Se-curities definieren? Wie lassen sich deren Preise zu den Zeitpunkten t1 und t0 bestimmen?

St2(ω1)=80B(t2,t2)=1

St1(ω3,4)=120B(t1,t2)=1/1,1

St0=100B(t0,t2)=(1/1,1)²

St1(ω1,2)=90B(t1,t2)=1/1,1

St2(ω2)=105B(t2,t2)=1

St2(ω3)=100B(t2,t2)=1

St2(ω4)=140B(t2,t2)=1

0t 1t 2t


.



Terminologie und Interpretation:ωωωω: repräsentiert eine vollständige Historie der Welt. In unserem Fall besteht eine solche Histo-rie typischerweise aus einer Abfolge von Preisen gehandelter Wertpapiere.ΩΩΩΩ: repräsentiert die Menge aller denkbaren Histo-rien der Welt.stochastischer Prozeß: eine Abbildung wie folgt:

( ) ( )),(;);,();,(),(, 21 ωωωωω tStStStSt n

n

K=→ℜ→Ω×ℜ +

z.B. der Aktienkursprozeß, bei dem jedem Zeit-punkt und jeder Historie der Welt genau ein Ak-tienkurs zugeordnet wird.

S(.,ωωωω): ): ): ): Pfad eines stochastischen Prozesses, d.h. z.B. der Verlauf des DAX über einen gewissen Zeitraum


.



Terminologie und Interpretation:F: Sigma-Algebra, eine Menge von Teilmengen, die Ereignisse heißen, mit folgenden Eigenschaf-ten:

repräsentiert das unterscheidbare Wissen. Z.B. kann man F=Ω, Φ so interpretieren, daß man nur unterscheiden kann, ob Aktienkurse grundsätzlich beobachtbar sind oder nicht.

( ) FAAAAFA

FAFA

FΩ

nnIii

c

∈∩∩∩→∈∈→∈

∈

+∈ LL 121 3. 2.

1.

Zufallsvariable: : : : eine Abbildung mit folgenden Eigenschaften:

( ) ( ) FXX ii

n

∈→

ℜ→Ω

=−

= n1i1

n1i und )(KK

ωωMan sagt, X ist F-meßbar, d.h. das, was man grund-sätzlich wissen kann, reicht aus, um die unter-schiedlichen Werte von X zu beobachten.


.



Terminologie und Interpretation:Beispiel zur Zufallsvariablen: : : : Jemand sitzt in einem hermetisch abgeschlossenen dunklen Raum. X kann die Werte annehmen „Sonne scheint“; „Sonne scheint nicht“. X ist für diese Per-son keine Zufallsvariable.

Das Konzept der Filtration bedeutet, daß das potentielle Wissen um die Historie der Welt mit der Zeit stets zu- und nie abnimmt. Anders ausge-drückt: die Historie der Welt enthüllt sich im Zeit-ablauf und kann beliebig gespeichert werden.

: Filtration, Folge von Sigma-Algebren mit folgender Eigenschaft:( ) TttF ∈

2121 tt FFtt ⊂→<


.



Terminologie und Interpretation:Adaptierter stochastischer Prozeß: : : : Ein stochastischer Prozeß S heißt adaptiert an eine Filtration (Ft) wenn gilt

D.h., der stochastische Prozeß ist zu jedem Zeit-punkt meßbar, oder das potentielle Wissen reicht zu jedem Zeitpunkt aus, um die Werte des stochasti-schen Prozesses zu beobachten.

TtFtS t ∈∀∈•− ),(1

Vorhersehbarer stochastischer Prozeß: : : : Ein stochastischer Prozeß θ heißt vorhersehbar be-züglich einer Filtration (Ft) wenn gilt

TtFt t ∈∀∈•+− ),1(1θD.h., das Wissen um die Historie der Welt bis zum heutigen Tag reicht bereits aus, um den Wert des stochastischen Prozesses in der Folgeperiode zu kennen.


.



Beispiel:

)( ;,;,;; ;;210 4321 ittt PFFF ωωωωωφφ =Ω=Ω=

S und B sind adaptierte stochastische Prozesse, wobei B sogar vorhersehbar ist, da B nicht von ω abhängt und damit Ft0-meßbar ist.

Ein Zustand der Welt ist ein Pfad durch den Baum. Da die Entwicklung der Bondpreise deterministisch ist, ist ein solcher auch durch einen Aktienkurspfad gegeben.

)( iP ωMit der Potenzmenge, d.h. der Menge aller Teilmengenvon Ω.

St0=100B(t0,t2)=(1/1,1)²

St2(ω1)=80B(t2,t2)=1

St1(ω3,4)=120B(t1,t2)=1/1,1

St1(ω1,2)=90B(t1,t2)=1/1,1 St2(ω2)=105

B(t2,t2)=1

St2(ω3)=100B(t2,t2)=1

St2(ω4)=140B(t2,t2)=1

Aktienkurspfad


.



Terminologie und Interpretation:Wertpapierpreisprozeß: : : : Eine Wertpapierpreis-prozeß Π ist ein vektorwertiger, adaptierter sto-chastischer Prozeß. Die einzelnen Komponenten des Vektors geben den jeweilige Preis des Wert-papiers an, der zu Beginn der Periode, bevor die Portfolien umgeschichtet werden können, bekannt gegeben wird. Beispiel:

( ) ( )98,0;100),();()( ==Π TtBtSt

Portfoliowertprozeß: : : : Der Portfoliowertprozeß Vist ein reellwertiger, adaptierter stochastischer Prozeß, der wie folgt definiert ist:

)()1(:)( tttV TΠ×+= θ


.



Terminologie und Interpretation:selbstfinanzierende Portfoliostrategie: : : : Eine Portfoliostrategie θ heißt selbstfinanzierend, wenn für jeden Zeitpunkt t > t0gilt:

D.h., durch die Umschichtung des Portfolios ist dem Portfolio weder „Geld“ hinzugefügt, noch entnommen worden.

)()()()1( tttt TT Π×=Π×+ θθ

Wertprozeß einer selbstfinanzierenden Portfo-liostrategie: : : : Für eine selbstfinanzierende Portfo-liostrategie läßt sich der Portfoliowertprozeß wie folgt schreiben:

( )

444 3444 21

Integral hesstochstisc

101

1 101

)()()()(

)()()()()()(

∑∑

=

= −

∆Π×+Π×=

Π−Π×+Π×=I

i iT

iT

I

i iT

iT

iT

I

tttt

ttttttV

θθ

θθ


.



Terminologie und Interpretation:Duplikation mittels selbstfinanzierender Portfo-liostrategie: : : : Eine Derivat sei eine FtI -meßbare Zu-fallsvariable D(tI). Eine Portfoliostrategie θ heißt selbstfinanzierend und das Derivat D duplizierend, wenn gilt:

Arbitragemöglichkeit: : : : Eine Arbitragemöglichkeit ist eine selbstfinanzierende Portfoliostrategie, für die gilt:

≥∆Π×=

∧≤ ∑ =

ω

θ

ein mindestensfür ngleichungstrikten Ueiner mit

0)()()( 0)( 10

I

i iT

iI tttVtV

∑ =∆Π×+Π×=

I

i iT

iT

I tttttD101 )()()()()( θθ

oder

0)()()()( 0)( 100 ≥∆Π×+=∧< ∑ =

I

i iT

iI tttVtVtV θ


.



Lösungsidee:

Definition AD-Security: Wertpapier, das in ge-nau einem der 4 Zustände der Welt, ω1 … ω4, eine Auszahlung von einer Konsumeinheit liefert.

St0=100B(t0,t2)=(1/1,1)²

St2(ω1)=80B(t2,t2)=1

St1(ω3,4)=120B(t1,t2)=1/1,1

St1(ω1,2)=90B(t1,t2)=1/1,1 St2(ω2)=105

B(t2,t2)=1

St2(ω3)=100B(t2,t2)=1

St2(ω4)=140B(t2,t2)=1

Bewertung AD-Security: Konstruiere für jede AD-Security eine selbstfinanzierende, duplizieren-de Portfoliostrategie aus Aktie und Bond. Marktvollständigkeit: Wenn für jede AD-Securityeine selbstfinanzierende, duplizierende PF-Stra-tegie existiert, ist das Marktmodell vollsändig.


.



Lösungsidee:

St0=100B(t0,t2)=(1/1,1)²

St2(ω1)=80B(t2,t2)=1

St1(ω3,4)=120B(t1,t2)=1/1,1

St1(ω1,2)=90B(t1,t2)=1/1,1 St2(ω2)=105

B(t2,t2)=1

St2(ω3)=100B(t2,t2)=1

St2(ω4)=140B(t2,t2)=1

Beispiel zur Bewertung AD-Security: Für den roten Zustand der Welt, ω1, sind folgende Gleichungssys-teme zu lösen:

=

×

01

)(

)(

1105180

2,1

2,1

2

2

ωθωθ

Bt

St

×+×=

×

0)(1110)(90

1110120111090 2,12,1 22

1

1ωθωθ

θθ B

tSt

Bt

St


.



Lösungsidee:

St0=100B(t0,t2)=(1/1,1)²

St2(ω1)=80B(t2,t2)=1

St1(ω3,4)=120B(t1,t2)=1/1,1

St1(ω1,2)=90B(t1,t2)=1/1,1 St2(ω2)=105

B(t2,t2)=1

St2(ω3)=100B(t2,t2)=1

St2(ω4)=140B(t2,t2)=1

Beispiel zur Bewertung AD-Security: Für den roten Zustand der Welt, ω1, ergibt sich damit der aus der selbstfinanzierenden Duplizierungsstrategie abgelei-tete Wert der zugehörigen AD-Security zu:

( )

×= Bt

St

tPVAD1

10

121100100)( 1 θθ

ω


.



Zusammenhang 1: Ergibt sich aus der selbstfinanzie-renden Duplizierungsstrategie für mindestens eine AD-Security ein Wert kleiner oder gleich Null, so ist das Marktmodell nicht arbitragefrei. Gleiche Aussage: Exi-stiert keine Arbitragemöglichkeit, so sind die aus den jeweiligen sebstfinanzierenden Duplizierungsstrategien abgeleiteten Werte der AD-Securities alle strikt positiv.

Zusammenhang zwischen AD-Preisen und Arbitragefreiheit bei vollständigem Markt:

Beleg: Die selbstfinanzierenden Duplizierungsstrate-gien für diejenigen AD.Securities, die zu Werten kleiner oder gleich Null führen, sind bereits Arbitragemöglich-keiten.


.



Zusammenhang 2: Gibt es keine Arbitragemöglich-keiten, so ist für jede AD-Security der aus selbstfinan-zierenden Duplizierungsstrategien abgeleitete Wert eindeutig. Gleiche Aussage: Gibt es mindestens eine AD-Security, für die es unterschiedliche aus selbstfi-nanzierenden Duplizierungsstrategien abgeleitete Werte gibt, so gibt es Arbitragemöglichkeiten.


Beleg: Gehe die selbstfinanzierende Duplizierungs-strategie, die die höhere Anfangsinvestition erfordert short und die mit der geringeren Anfangsinvestition long. Dies ist ein Arbitragemöglichkeit, da der Wert dieses Portfolios heute negativ ist, es aber ausschließ-lich zu nicht-negativen Auszahlungen in der Zukunft kommt.


.



Beleg: Jede nicht-negative Zahlung in der Zukunft läßtsich eindeutig als Linearkombination von AD-Securities mit positiven Koeffizienten schreiben. Da die Werte aller AD-Securities strikt positiv sind, hat jede strikt positive Zahlung einen strikt positiven Wert, eine Zahlung von Null einen Wert von Null. Damit ist die Existenz von Arbitragemöglichkeiten ausgeschlossen.


Zusammenhang 3: Sind die aus den jeweiligen sebst-finanzierenden Duplizierungsstrategien abgeleiteten Werte der AD-Securities alle strikt positiv, so existiert keine Ar-bitragemöglichkeit. Gleiche Aussage: Existiert eine Arbitra-gemöglichkeit, so ist für mindestens eine der AD-Securitiesder aus der jeweiligen sebstfinanzierenden Duplizierungs-strategie abgeleiteten Werte kleiner oder gleich Null.


.


Mehr-Perioden-Modell :

Bewertung und Erwartungs-wertbildung

Wir verallgemeinern die für die AD-Securities einge-führte Notation wie folgt:

Zusammenhang zwischen AD-Preisen und Wahrscheinlichkeitsmaßen:

A: Zum Zeitpunkt s bekanntes Ereignis

B: Zum Zeitpunkt t bekanntes Ereignis

PV1(s,A;t,B): Wert einer Zahlung von einer „Konsum-einheit“ zum Zeitpunkt t bei Eintritt von Ereignis B er-mittelt zum Zeitpunkt s im Ereignis A.

Speziell:

( ) ts FBFAtsBtAsPV ∈∈≤ ,, ;,;,1

( ) )(,;,1 1120 0ωω tPVADttPV =Ω


.


Beispiele:

St0=100B(t0,t2)=(1/1,1)²

St2(ω1)=80B(t2,t2)=1

St1(ω3,4)=120B(t1,t2)=1/1,1

St1(ω1,2)=90B(t1,t2)=1/1,1 St2(ω2)=105

B(t2,t2)=1

St2(ω3)=100B(t2,t2)=1

St2(ω4)=140B(t2,t2)=1



( )( )( )

( )112

,;,1

1218

,;,1

definiertnicht ,;,1

0,;,1

,;,

321

120

3230

321

4321

=

=Ω

==

==

ω

ω

ωωω

ωωωω

tBtPV

ttPV

ttPV

tAtPV

BA


.


Martingal

St0=100B(t0,t2)=(1/1,1)²

St2(ω1)=80B(t2,t2)=1

St1(ω3,4)=120B(t1,t2)=1/1,1

St1(ω1,2)=90B(t1,t2)=1/1,1 St2(ω2)=105

B(t2,t2)=1

St2(ω3)=100B(t2,t2)=1

St2(ω4)=140B(t2,t2)=1


Bewertung und Erwartungs-wertbildung ( )∑ =

=Ω4

1 2020

1,;,1);(

1i ittPV

ttBω

Wie zuvor gilt auch im Mehrperiodenmodell:

[ ]);();();( 22020 •Ε×= ωtDttBttPVD Q

Läßt sich der Preis des Derivates auch zum Zeit-punkt t1 auf den Ereignissen A und B als Erwar-tungswert der Endauszahlung darstellen?


.


MartingalMehr-Perio-den-Modell :

Bewer-tungund Erwar-tungs-wertbil-dung

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

[ ]A|);t(DE)t;A,t(B

);t(D)A|(q)t;A,t(B

);t(D,t;,tPV

,t;,tPV)t;A,t(B),t;A,t(PVD

,t;,tPV)t;A,t(B

A,t;,tPV

)t;A,t(B,t;,tPVA,t;,tPV

);t(D

);t(D,t;,tPVA,t;,tPV

),t;A,t(PVD

Qi ii

i i

i i

i

i i

i i

i ii

•

=

=

=

•

=

=

•

=•

×=

××=

×Ω

Ω×=

Ω=Ω

=ΩΩ

≡

×ΩΩ

=

∑∑ ∑

∑

∑

∑

ω

ωω

ωω

ωω

ω

ω

ω

ωωω

221

2

1 221

2

1 22

1 20

202121

2

1 2021

10

212

1 2010

2

2

1 22010

21

1

1damit

11

1

damit

11

1

1für speziell

11

1

ACHTUNG: Im Folgenden nutzen wir, daß Zinsen deterministisch sind.


.


Martingal



[ ] jiFXEXiji tt

Qt ≤= ; |

Martingal: Ein an die Filtration F adaptierter stochastischer Prozeß X heißt Martingal unter dem Maß Q, wenn gilt:

Beobachtung: Unter dem aus den Preisen der AD-Assets abgeleiteten WahrscheinlichkeitsmaßQ sind die Prozesse der Terminpreise aller gehandelten Wertpapiere Martingale. Es gilt:

jj tktiiJj

JkjQ

Jj

Jij

tiiQi

FC;FAA)t;t(B

),t;C,t(PVDE

)t;t(B

),t;A,t(PVD

FAA)t;t(B);t(D

E)t;t(B

),t;A,t(PVD

∈∈∀

=

∈∀

=

−

•

−

•−

••

1

1

r allgemeineoder

1

1

22

2

21

21

ωω

ωω


.


Interpretation



Das aus den Preisen der AD-Securities abgeleite-te Wahrscheinlichkeitsmaß Q ist das Martingal-maß für die Terminpreisprozesse aller gehandel-ten Wertpapiere. In einem vollständigen und arbitragefreien Wertpapiermarktmodell ist dieses Maß eindeutig, weil die aus duplizierenden und selbstfinanzierenden Handelsstrategien abge-leiteten Preise aller AD-Securities eindeutig sind.

Unter dem Martigalmaß gilt: Die erwartete Ren-dite aller gehandelten Wertpapiere ist gleich und entspricht in jeder Periode dem „risikofreien“Periodenzinssatz:

( )1

11 11

−

−− ∈∀

==•−

•

−

−j

jjittii

Jij

jQ

Jj

Jjttr FAA),t;A,t(PVD

);t(PVDE

)t;t(B

)t;t(Be

ωω


.

…… wie man ein Bewertungsmodell fwie man ein Bewertungsmodell füür r Optionen konstruiertOptionen konstruiert

Beobachtung 1: Unter dem physischen Wahrschein-lichkeitsmaß P ergibt sich für die erwartete Rendite der Aktie:

Konstruktions-verfahren:

2-Perioden-Modell

PVADt1(ω1;ω1)=1St1(ω1)=St0u

B(t1,t1)=1

dueu

pt

−−=

∆µ

2

dude

pt

−−=

∆µ

1

PVADt1(ω1;ω2)=0St1(ω2)= St0d

B(t1,t1)=1

PVADt0(ω1)= St0

B(t0,t1)=tre ∆−

dude

etr

tr

−−∆

∆−

t

t

t

t

t eS

dSp

S

uSp ∆=×+× µ

0

0

0

021

Da µ beliebig ist, gilt unter dem aus den Preisen der AD-Securities abgeleiteten W-Maß Q:

tr

t

t

t

t eS

dSq

S

uSq ∆=×+×

0

0

0

021


.


Wahl von u und d : Folgende Wahl von u und d er-laubt es, mit wachsender Genauigkeit eine vorge-gebene Varianz der Aktienkursrendite σσσσ2222 im Modell abzubilden:


2-Perioden-Modell

tt ed;eu ∆−∆ == σσ denn:

( )[ ]

( )

( )

+∆

−−=

∆−−∆+=

∆−−+=

∆−+−+

=

∆∆∆

→∆

∆∆

→∆

∆∆

→∆

→∆

22

0

22

0

2

0

211

22

21

0

2

12lim

12lim

lim

1lim

σ

σ

σ

µµµ

µµ

µµ

ttt

t

tt

t

tt

t

t

et

ee

tete

teuddue

tdpupdpup


.



2-Perioden-Modell

Beobachtung 2: Bei der gegebenen Wahl von uund d ist das 2-Perioden-Modell arbitragefrei, solan-ge die Zinsen nicht negativ sind und die Aktienkurs-entwicklung mit Unsicherheit behaftet, d.h., σ σ σ σ posi-tiv ist.

Beobachtung 3: Da µ in der vorangegangenen Rechnung beliebig war, gilt auch unter dem aus den Preisen der AD-Securities abgeleiteten Martin-galmaß, daß das Modell bei der vorgegebenen Wahl von u und d in der Lage ist, die vorgegebene Varianz der Akienkursrendite für ∆t 0 mit belie-biger Genauigkeit zu treffen. D.h., der Wechsel des W-Maßes ändert in diesem Modell die er-wartete Rendite, nicht aber die Schwankung der Rendite des Aktienkurses.


.




Ein Mehr-Perioden-Modell erhält man durch Aneinanderreihung von 2-Perioden-Modellen:

St0B(t0,t2)=

St2(ω1)= St0uuB(t2,t2)=1

St1(ω3,4)= St0d

B(t1,t2)=

St1(ω1,2)=St0u

B(t1,t2)= St2(ω2)= St0ud= St2(ω3)

B(t2,t2)=1

St2(ω4)= St0ddB(t2,t2)=1

tre ∆− 2

tre ∆−

tre ∆−

Beachte: Das Konzept, daß ein Pfad durch den Baum einen Zustand der Welt repräsentiert, ist auch hier nach wie vor gültig, auch wenn der Aktienkurs zu einem Zeitpunkt nur von der Anzahl, nicht aber von der Reihenfolge der up- und down-moves abhängt.


.


Bewertung Europäischer Optionen

Vorgehensweise: Die Bewertung erfolgt durch rekursive Erwartungswertbildung über den Zah-lungsstrom der Option unter dem Martingalmaßund Diskontierung unter dem „risikofreien“ Zinssatz:

St0B(t0,t2)=

Ct2(ω1)= [St0uu-K]+


St1(ω3,4)= St0d

B(t1,t2)=

St1(ω1,2)=St0u

B(t1,t2)= tre ∆− 2

tre ∆−

tre ∆−

Ct2(ω2,3)= [St0-K]+

St2(ω2,3)= St0

B(t2,t2)=1

Ct2(ω4)= [St0dd-K]+


[ ][ ]

121

121

);(),(

);(),(

2143

2121

ttQ

t

ttQ

t

FCEttBC

FCEttBC

×=

×=

ωω

ωω

[ ]010

);()( 10 ttQ

t FCEttBC ×=Ω


.


Bewertung Amerikanischer Optionen

Vorgehensweise: Die Bewertung erfolgt durch rekursive Erwartungswertbildung über den Zah-lungsstrom der Option unter dem Martingalmaßund Diskontierung unter dem „risikofreien“ Zinssatz:

St0B(t0,t2)=

Ct2(ω1)= [K-St0uu]+


St1(ω3,4)= St0d

B(t1,t2)=

St1(ω1,2)=St0u

B(t1,t2)= tre ∆− 2

tre ∆−

tre ∆−

Ct2(ω2,3)= [K-St0]+

St2(ω2,3)= St0

B(t2,t2)=1

Ct2(ω4)= [K-St0dd]+


[ ][ ][ ][ ]

1121

1121

2143

2121

tttQ

t

tttQ

t

SK;FPE)t;t(Bmax),(P

SK;FPE)t;t(Bmax),(P

−×=

−×=

ωω

ωω

[ ][ ]0010

;);(max)( 10 tttQ

t SKFPEttBP −×=Ω


.


Options-Delta und Options-Hedgingstrategie

Vorgehensweise: Berechne die duplizierende, selbstfinanzierende Portfoliostrategie für die Option:

St0B(t0,t2)=

Ct1(ω3,4)St1(ω3,4)= St0d

B(t1,t2)=

Ct1(ω1,2)St1(ω1,2)=St0u

B(t1,t2)=

tre ∆− 2

tre ∆−

tre ∆−

1

1

11

11

1 )()(

)()(

4,32,1

4,32,1

t

t

tt

ttSt S

C

SS

CC

∆∆

=−−

=ωωωω

θ

Interpretation: Der Aktienanteil an der duplizieren-den, selbstfinanzierenden Portfoliostrategie ent-spricht der „Ableitung“ des Optionspreises nach dem Aktienkurs.



Die Bewertungs-formel für Euro-päische Calls im Binomialbaum

Idee: Berechne den Erwartungswert der diskon-tierten Zahlungsströme unter dem Martingalmaß

[ ][ ]( )

( )

( ) jJj)t,T(J

aj

jJj)t,T(J

aj

jJj)t,T(J

ajtJrjJj)t,T(J

aj

jJjjJj)t,T(J

aj

Ttt

)q(qj

JK)T,t(Bq)q(

j

JS

)q(qj

JK)T,t(Bed)q()qu(

j

JS

KSdu)q(qj

J)T,t(B

KSE)T,t(B)T,K;S(PVC

**

**

*

−∆

>

−∗∗∆

>

−∆

>∆−−∆

>

−−∆

>

+

−×

××−−×

×=

−×

××−×−×

×=

−×−×

×=

−×=

∑∑∑∑

∑

11

11

1

0

0

0

000

mit

KSdu aJa =∗∗ −

6Su

6Sd

42 uSd

33 uSd

24 uSd

15 uSd

5Sdu

S

KSu −6

KSdu −5

0

0

0

0

KuSd −42

K



Die Bewertungs-formel für Euro-päische Calls im Grenzwert für stetige Zeit

Idee: Betrachte im Binomialmodell die Situation ∆t 0, wobei die Varianz des Logarithmus des Aktienkurses über einem beliebigen Zeitintervall [0;t], d.h. σ²t, konstant gehalten wird.

[ ][ ]( )

( )( ) ( )( )),(,;B1),(),(,;B1

)1(),(1)(

),(),;(

0

),(0

),(

0

0

**0

00

tTJqaKTtBtTJqaS

qqj

JKTtBqq

j

JS

KSETtBTKSPVC

t

jJjtTJ

aj

jJjtTJ

ajt

Ttt

∆−××−∆−×=

−×

××−−×

×=

−×=

∗∗∗

−∆

>

−∗∗∆

>

+

∑∑

( ):,;B npa

Wegen des Zentralen Grenzwertsatzes konvergieren binomialverteilte Zufallsva-riablen in Verteilung gegen normalverteil-te Zufallsvariabeln

−

×××−

+

××

T

TTtBK

S

TtBKT

TTtBK

S

S

tt

t σ

σ

σ

σ 2

00

2

0 21

),(ln

N),(21

),(ln

N

00

0

kumulierte Binomialverteilung an der Stelle a mit Erfolgswahr-scheinlichkeit p und n Versuchen

( ):N x kumulierte Standardnomalverteilung an der Stelle x


.


Optionspreis-sensitivitäten:

Die „Griechen“

Delta: Marginale Änderung des Optionspreises bei marginaler Erhöhung des Aktienkurses: bei Callspositiv, bei Puts negativ.Gamma: Marginale Änderung des Deltas bei mar-ginaler Erhöhung des Aktienkurses: bei Calls und Puts positiv.

Vega: Marginale Änderung des Optionspreises bei marginaler Erhöhung der Volatilität (d.h. Varianz oder Standardabweichung) der Aktienkursrendite: bei Calls und Puts positiv.Rho: Marginale Änderung des Optionspreises bei marginaler Erhöhung des Zinssatzes: bei Callspositiv, bei Puts negativ.

Theta: Marginale Änderung des Optionspreises bei marginaler Reduzierung der Restlaufzeit: bei Callsnegativ, bei Puts i.d.R. negativ, aber ggf. positiv bei ITM Puts.



Die Griechen für Standard Calls

Portfolio-Preis

05

10

15

202530

35

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Pre

is

Portfolio-Delta

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Del

ta

Portfolio-Gamma

00,005

0,010,0150,02

0,0250,03

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Gam

ma

Portfolio-Vega

0

5

10

15

20

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Veg

a

Portfolio-Theta

-6

-5

-4

-3

-2

-1

020 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Th

eta

Portfolio-Rho

05

101520253035

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

AktienkursR

ho



Die Griechen für Standard Puts

Portfolio-Preis

05

10

15

20

2530

35

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Pre

is

Portfolio-Delta

-1,2

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

020 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Del

ta

Portfolio-Gamma

0

0,005

0,01

0,0150,02

0,025

0,03

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Gam

ma

Portfolio-Vega

0

5

10

15

20

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Veg

a

Portfolio-Theta

-5

-4

-3-2

-10

12

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Th

eta

Portfolio-Rho

-40

-30

-20

-10

020 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

AktienkursR

ho



Die Griechen für CallSpreads (kurze Laufzeit)

Portfolio-Preis

05

10

15

20

2530

35

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Pre

is

Portfolio-Delta

0

0,20,4

0,6

0,8

11,2

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Del

ta

Portfolio-Gamma

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1

0,15

0,2

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Gam

ma

Portfolio-Vega

-10

-8-6

-4

-2

0

24

6

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Veg

a

Portfolio-Theta

-10

-5

0

5

10

15

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Th

eta

Portfolio-Rho

-4-3-2-101234

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Rh

o



Die Griechen für longStrad-dles

Portfolio-Preis

0

510

15

20

25

3035

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Pre

is

Portfolio-Delta

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Del

ta

Portfolio-Gamma

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Gam

ma

Portfolio-Vega

0

5

10

15

20

25

30

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Veg

a

Portfolio-Theta

-8

-6

-4

-2

0

2

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Th

eta

Portfolio-Rho

-30

-20

-10

0

10

20

30

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Rh

o



Die Griechen für longStran-gles

Portfolio-Preis

0

2

4

6

8

10

12

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Pre

is

Portfolio-Delta

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Del

ta

Portfolio-Gamma

00,020,040,060,080,1

0,120,14

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Gam

ma

Portfolio-Vega

0246

8101214

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Veg

a

Portfolio-Theta

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Th

eta

Portfolio-Rho

-10

-5

0

5

10

15

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Rh

o



Die Griechen für longButterfly-spreads

Was ist falsch?

Portfolio-Preis

-3

-2

-1

0

1

2

3

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Pre

is

Portfolio-Delta

-0,5-0,4-0,3-0,2-0,1

00,10,20,3

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Del

ta

Portfolio-Gamma

-0,06

-0,04

-0,02

00,02

0,04

0,06

0,08

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Gam

ma

Portfolio-Vega

-20

-15

-10

-5

0

5

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Veg

a

Portfolio-Theta

-2

-1

0

1

2

3

4

5

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Th

eta

Portfolio-Rho

-15

-10

-5

0

5

10

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Rho



Die Griechen für longButterfly-spreads

Richtig!

Portfolio-Preis

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Pre

is

Portfolio-Delta

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1

0,15

0,2

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Del

ta

Portfolio-Gamma

-0,02-0,015-0,01

-0,0050

0,0050,01

0,0150,02

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Gam

ma

Portfolio-Vega

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Veg

a

Portfolio-Theta

-1,5-1

-0,5

0

0,51

1,52

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Th

eta

Portfolio-Rho

-6

-4

-2

0

2

4

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Rh

o



Welche Position hat der Händler?

Portfolio-Preis

-2

0

2

4

6

8

10

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Pre

is

Portfolio-Delta

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Del

ta

Portfolio-Gamma

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Gam

ma

Portfolio-Vega

-4

-3

-2

-1

0

1

2

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Veg

a

Portfolio-Theta

-100

-50

0

50

100

150

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Th

eta

Portfolio-Rho

-0,4

-0,3

-0,2-0,1

00,1

0,20,3

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Rh

o



Was ist falsch?

Portfolio-Preis

-40-30-20-10

0

10203040

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Pre

is

Portfolio-Delta

-1,4-1,2

-1

-0,8

-0,6-0,4-0,2

020 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Del

ta

Portfolio-Gamma

-0,1

-0,08

-0,06-0,04-0,02

0

0,020,04

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Gam

ma

Portfolio-Vega

-20246

8101214

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Veg

a

Portfolio-Theta

-6-5-4-3-2-1012

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Th

eta

Portfolio-Rho

-40

-30

-20

-10

020 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Rh

o



Wie man den Feh-ler nut-zen kann

Portfolio-Preis: Delta-neutral

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Pre

is

Portfolio-Delta: Delta-neutral

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Del

ta

Portfolio-Gamma

-0,1

-0,08

-0,06-0,04-0,02

0

0,020,04

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Gam

ma

Portfolio-Vega

-20246

8101214

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Veg

a

Portfolio-Theta: Delta-neutral

-7-6-5

-4

-3-2-10

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Th

eta

Portfolio-Rho: Delta-neutral

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Rho



ökonomische Interpretation

Idee: Betrachte das Theta eines delta-neutralen Portofolios

Das delta-neutrale Portfolio ist wie folgt zusammen-gesetzt:

Kauf des ursprünglichen Options-Portfolios PF und Finanzierung auf Kredit für eine Laufzeit kleiner der Laufzeit der Optionen

Kauf von Aktien in der Anzahl des negativen Deltas von PF und Finanzierung auf Kredit für eine Lauf-zeit kleiner der Laufzeit der Optionen

Zusammensetzung und Wert des delta-neutalenPortfolios:

0),(),(

),(),(

...

=××

∂∂

+×∂

∂−×−

=∆

TtBTtB

SS

PVPF

SS

PVPFTtB

TtBPVPF

PVPF

neutralPVPF

const

t

t

constconst

tt

t

443442143421321



ökonomische Interpretation

Das Thea des delta-neutralen Portfolios ergibt sich zu:

×∂

∂−×−

∂∂

=××

∂∂

×+∂

×

∂∂∂

−××−∂

∂

=∂∆∂

=

tt

tt

const

tt

t

const

t

const

tt

t

SS

PVPFPVPFr

tPVPF

TtBTtB

SS

PVPF

rt

SS

PVPF

TtBTtB

PVPFr

tPVPF

tneutralPVPF

),(),(

),(),(

.0

.

.443442144 344 21

43421

321

Arbitragefreiheit erfordert, daß gilt:

2

2

t

tt

tt

t

t

S

PFS

SPVPF

PVPFrt

PVPF

tneutralPVPF

∂∂

−∝

×∂

∂−×−

∂∂

=∂∆∂



Wie man den Feh-ler auch nutzen kann

Portfolio-Preis

-40

-30

-20-10

0

10

20

3040

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Pre

is

Idee: Nutze Verstoß gegen die Put-Call-Parität


In diesem Modul wird diskutiertModul IV

• wie man einen Überblick über die Welt der exotischen Optionen gewinnen kann,

• ob und wie man einige exotische Optionen in den bisher diskutierten Modellen bewer-ten kann,

• welche besonderen Charakteristika be-stimmte exotische Optionen aufweisen und welche Konsequenzen dies für das Hedging hat,

• wie man Dividenden in das bisherige Bewertungsmodell einbauen kann.

Besondere Bewertungsal-gorithmen:

Exotische Optionen und Dividenden


…… wie man einen wie man einen ÜÜberblick berblick üüber ber exotiexoti--schesche Optionen gewinnen kannOptionen gewinnen kann

Versuch einer Klassifizierung

Achtung: Jede Klassifizie-rung ist unvoll-ständig!

exotischeOptionen

Digital-Optionen

Cash-Or-Nothing

Asset-Or-Nothing

pfadabhängi-ge Optionen

von expliziten Schranken abhängig

von Optimalitätskriterien abhängig

von Kursdurchschnitt abhängig (Asian Options)

von Kursextrema abhängig (Lookback Options)

korrelations-abhängige Optionen

Forward-Start/ Cliquet/ Reverse Cliquet/ Napoleon

Spread zwischen zwei Assets

best/worst-of (Rainbow) Optionen

Outperformance Optionen

Quanto Optionen

pfad- und kor-relationsab-hängige Op-tionen

Outside-Barrier Optionen

Himalaya Optionen


…… wie man einen wie man einen ÜÜberblick berblick üüber ber exotiexoti--schesche Optionen gewinnen kannOptionen gewinnen kann

pfadabhängige Optionen im Detail

pfadab-hängigeOptionen

von expliziten Schranken abhängig

von Optimali-tätskriterienabhängig

von Kurs-durchschnittabhängig

von Kursextrema abhängig

Forward-Start/(Reverse)Cliquet/Napoleon

Barrier up/down-and-in/out

Continuous/Discrete Monitoring

Partial/Window/Double Barriers

Parisian Option

Simple/Complex Chooser

Option-on-Option (Compund)

Geom. /Arithm. Avg. Rate

Geom. /Arithm. Avg. Strike

Range accruals: Hamster etc.

max/min Rate

max/min Strike


…… was man was man üüber Charakteristika und ber Charakteristika und Bewertung sagen kannBewertung sagen kann

Europäische Digitaloptionen

Payoff eines Cash-or-Nothing Call:

Payoff eines Cash-or-Nothing Put:

Payoff eines Asset-or-Nothing Call:

Payoff eines Asset-or-Nothing Put:


.

…… was man was man üüber ber ChrakteristikaChrakteristika und und Bewertung sagen kannBewertung sagen kann

Cash-or-Nothing Call

Kauf: C(K1,T,E); Verkauf: C(K2,T,E)

Payoff

STK2K1

K2-K1

Europäische Digitaloptionen

Call-Spread

CON-Call

Hedge-Portfolio für CON-Call in der Nähe des Strikepreises K2 ist nicht beherrschbar, Gamma geht gegen Unendlich, daher Hedging und Bewertung in der Praxis über Call-Spreads.



Europäische Pfadabhängige Optionen: Barrier-Optionen

Payoff Up-and-In Barrier Call:6Su

6Sd

42 uSd

33 uSd

24 uSd

15 uSd

5Sdu

SK

B

KSu −6

KSdu −5

0

0

0

0

Payoff Up-and-Out Barrier Call:6Su

6Sd

42 uSd33 uSd

24 uSd

15 uSd

5Sdu

SK

BKuSd −42

0

0

0

0

0

0

0

KuSd −42 0




Bewertung von Barrier Optionen:Die Bewertung von Out-Barrier-Optionen kann im Bino-mialbaum durch Rückwärtsinduktion erfolgen. Dabei wird der Wert der Option jeweils bei Berühren der Bar-riere auf Null gesetzt.

Zur Bewertung von In-Barrier-Optionen kann man die Tatsache nutzen, daß für sonst gleiche Optionstypen

In-Barrier-Option plus Out-Barrier-Option = Standard-Option

ist.

Beachte aber folgende Probleme bei der Bewertung von Barrier-Optionen im Baum:

Fehlbewertung und schlechte Konvergenzeigen-schaften der Bewertung im Baum, falls die Barriere nicht auf Knoten des Baumes fällt.

Fehlbewertung und schlechte Konvergenzeigen-schaften, falls die Optionsdefinition eine kontinuierliche Beobachtung der Barriere verlangt.




Veranschaulichung der Fehlbewertung von BarrierOptionen und der schlechten Konvergenzeigen-schaften des Binomialmodells bei nicht auf den Baumknoten liegenden Barrieren:




Hedging von Barrier Optionen:

Aufgrund der Diskontinuität im Preis an der Barriere sind Barrier-Optionen schwieriger zu hedgen als Standard-Optionen (sehr hohes Gamma in der Nähe der Barriere).

Besonders problematisch bei Up-and-Out Calls und Down-and-Out Puts. Weniger bedeutsam bei Down-and-Out/In Call oder Up-and-Out/In Put. (Warum?)

Praktische Abhilfe:

Verschiebung der Barriere und Überhedging der Optionen (Wohin?)

Statisches Hedging




Statisches Hedging von Barrier Optionen:Methode von Derman, Egerer, Kani (1995)




Partial-/Window-, Double-Barrier und ParisianOptions:

Partial-/Window-Barriers:

Die Barriere-Bedingung gilt nur für einen Teil der Laufzeit der Option, der entweder am Anfang oder Ende der Lauf-zeit (Partial) oder in irgendeinem Fenster zwischen Beginn und Ende der Laufzeit (Window) liegt.

Double-Barriers:

Es gibt eine obere und eine untere Schranke. Überqueren oder Berühren einer der beiden Schranken genügt, um die mit der Barriere verbundenen Konsequenzen (In/Out) auszulösen.




Parisians:

Es genügt nicht, die Barriere zu einem einzigen Zeitpunkt zu berühren oder zu überqueren. Um die damit verbun-denen Konsequenzen auszulösen, muß sich der Aktien-kurs während eines vorher festgelegten Mindestzeitraums laufend jenseits der Barriere aufhalten.

Die „Uhr“ beginnt jedesmal von vorne zu laufen, wenn die Barriere überschritten wird, bis entweder der Fälligkeits-termin der Option erreicht ist oder sich der Kurs der Aktie für ein Zeitintervall von mindestens der vorgeschriebenen Länge dauerhaft jenseits der Barriere aufgehalten hat.

Partial-/Window-, Double-Barrier und ParisianOptions:



Europäische Pfadabhängige Optionen: Range Accrual Options

6Su

6Sd

42 uSd

33 uSd

24 uSd

15 uSd

5Sdu

S

dB

uB

Hamster, Hase, Boost:

Hamster:

Am Ende der Laufzeit wird für jeden Handelstag der Laufzeit, an dem der Aktienkurs innerhalb der Schranken lag eine Geldeinheit gezahlt.

Hase:

Am Ende der Laufzeit wird für jeden Handelstag der Laufzeit, an dem der Aktienkurs außerhalb der Schranken lag eine Geldeinheit gezahlt.

Boost:

Nur wenn der Kurs während der gesamten Laufzeitinnerhalb der Schranken gelegen hat, erfolgt eine Zahlung in vorher festgelegter Höhe.



Europäische Pfadabhängige Optionen: Range Accrual Options

6Su

6Sd

42 uSd

33 uSd

24 uSd

15 uSd

5Sdu

S

dB

uB

Vegaposition beim Hamster0>Vega

0<Vega

0>Vega

6Su

6Sd

42 uSd

33 uSd

24 uSd

15 uSd

5Sdu

S

dB

uB

Vegaposition beim Hasen0<Vega

0>Vega

0<Vega



Europäische Pfadabhängige Optionen: ChooserOptionen

6Su

6Sd

42 uSd

33 uSd

24 uSd

15 uSd

5Sdu

S

Payoff und Bewertung einer Chooser Option

Put

vorte

ilhaf

tC

all

vorte

ilhaf

t

Zeitpunkt der Entscheidung zwischen Call und Put

24 uSdK −

0

Die Bewertung der Chooser Option kann per Rückwärtsinduktion erfolgen:

Man bewertet zunächst sowohl Put wie Call.

Am Entscheidungszeitpunkt läßt man in jedem Knoten die billigere der beiden Optionen fallen und führt die Bewertung mit der jeweils verbleibenden Option zu Ende.



Europäische Pfadabhängige Optionen: ChooserOptionen

Complex und Simple Chooser Option

Complex Chooser:

Strike und Laufzeit von Put und Call sind unterschiedlich.

Simple Chooser:

Strike und Laufzeit von Put und Call sind gleich.

Bewertung von Simple Chooser Optionen am und vor dem Auswahltermin

[ ][ ]

[ ]),),,(;0(),,;0(

),(;0max),,;(

),(),,;();,,;(max),,;();,,;(max

EtTtBKPVPETKPVC

STtBKETKtPVC

TtBKSETKtPVCETKtPVC

ETKtPVPETKtPVCerPVsimChoos

t

t

×+→−×+=

×+−==



Europäische Pfadabhängige Optionen: Compound Optionen

6Su

6Sd

42 uSd

33 uSd

24 uSd

15 uSd

5Sdu

S

Payoff und Bewertung eines Call on Call

Aus

übun

g un

vorte

ilhaf

tA

usüb

ung

vorte

ilhaf

t

Zeitpunkt der Entscheidung über Ausübung der 1. Option

KSdu −50

Die Bewertung der Call on Call Option kann per Rückwärtsinduktion erfolgen:

Man bewertet zunächst den 2. Call.

Am Entscheidungszeitpunkt setzt man in jedem Knoten, in dem der Strikeder ersten Option größer als der Wert der 2. Option ist, den Wert des Call-on-Call auf Null und führt die Bewertung zu Ende.

Weitere Compound Optionen sind: Call-on-Put, Put-on-Put, Put-on-Call

Zeitpunkt der Entscheidung über Ausübung der 2. Option

0



Europäische Pfadabhängige Optionen: AsiatischeOptionen

Geometrisches Mittel

( )

−

== ∫∏ =

T

tt

cgnn

i tndg dtS

tTTtASttA

iln

1exp:),( :),( ,

11,

Arithmetisches Mittel

∫∑ −==

=

T

tt

can

i tnda dtS

tTTtAS

nttA

i

1:),(

1:),( ,

11,

[ ] [ ]

[ ] [ ]0;max: 0;max:

0;max: 0;max:

,,

,,

TTTT

TT

SAkePAsianStriASkeCAsianStri

AKPAsianKACAsian

−=−=

−=−=

••••

••••

Asians und Asian-Strikes

Für die Bewertung von Asiatischen Optionen unter Nutzung von geome-trischen Mitteln lassen sich im Black-Scholes-Modell geschlossene Formeln ableiten. Asiatische Optionen auf arithmetische Mittel kann man im Binomialbaum nur unter Einführung einer weiteren Dimension für den aufgelaufenen Mittelwert, durch Monte-Carlo-Simulation oder durch andere numerische Verfahren bewerten. Ein geschlossene Formelexistiert im Black-Scholes-Modell nicht.



Europäische Pfadabhängige Optionen: Lookback Optionen

Kursextrema

[ ] [ ] s,

s,

Smin:),( Smax:),(TtsTts

TtmTtM∈∈

==

[ ][ ]

[ ][ ]0

00

0

;S)T,t(Mmax:StrikePmLookback

);T,t(mSmax:StrikeCmLookback

);T,t(MKmax:PMLookback

;K)T,t(Mmax:CMLookback

T

T

−=−=

−=−=

Lookbacks und Lookback-Strikes

Für die Bewertung von Lookback Optionen existieren geschlossene Formeln im Black-Scholes-Modell. Darüber hinaus können sie mit Hilfe der Monte-Carlo Simulation bewertet werden.

Wichtig ist wie bei Barrier-Optionen die Häufigkeit der Kursbeobachtung zur Ermittlung des Extremums entlang eines Aktienkurspfades.



Europäische Pfadabhängige Optionen: Forward-Starts und Cliquets

Forward-Start-Option

Option wird zum Zeitpunkt t0 abgeschlossen, Laufzeit beginnt aber erst zu einem Zeitpunkt t1>t0. Strike wird erst zum Zeit-punkt t1 als Prozentsatz des dann gültigen Aktienkurses St1festgelegt.

Vorteil: Optionspreis ist unabhängig von der Aktienkursentwick-lung und eventuellen Dividendenzahlungen zwsichen t0 und t1.

Nachteil: Die zum Zeitpunkt t1 gültige Volatilität muß heute prognostiziert werden.

Cliquet-Option

Serie von relativ kurz laufenden Forward-Start-Optionen, die jeweils ein bestimmtes Zeitintervall in der Zukunft abdecken.



Europäische Pfadabhängige Optionen: Napoleon

Zahlung in Periode i:

Mit B=8% halbjährlich ergibt sich in Periode i=1 eine Zahlung von 7% und in Periode i=2eine Zahlung von 0%.

1t

2t



Europäische Pfadabhängige Optionen: Reverse Cliquet

Zahlung am Ende der Laufzeit:

Mit X=50% ergibt sich am Ende der Laufzeit eine Zahlung von 11,59% .



Europäische korrelationsab-hängige Optio-nen

Spread-Call-Option

( )[ ]021 ;KSSmax TT −−α

Spread-Put-Option

( )[ ]021 ;SSKmax TT −− α

Rainbow-Call-Optionen

( )[ ]021 ;S;SmaxKmax TTα− ( )[ ]021 ;KS;Smaxmax TT −α

( )[ ]021 ;S;SminKmax TTα− ( )[ ]021 ;KS;Sminmax TT −α

Outperformance-Optionen

Rainbow-Put-Optionen

− 02

2

1

1

00

;S

S

S

Smax

t

T

t

T [ ]

>×−

20

2

10

1101

t

T

t

T

S

S

S

ST ;KSmaxα



Europäische korrelationsab-hängige Optio-nen

Quanto-OptionenIdee: Spekulation auf Aktien, die in fremden Wäh-rungen gehandelt werden, ohne daß man das Wechselkursrisiko tragen möchte.

Problem: Wert einer Option auf den Kauf einer IBM-Aktie in New York hängt nicht nur vom Kurs der IBM-Aktie, sondern auch vom Wechselkurs ab.

Lösungsansatz: Unterstelle, daß der Kurs der IBM-Aktie in New York nicht den US-Dollar-Wert der Aktie, sondern den EUR-Wert der Aktie darstellt und zahle in EUR

[ ]0;KSmax EUREURNYIBM −−−

Beachte: Der EUR-Wert einer in New York gehan-delten Standardoption auf IBM wäre:

[ ]0;KSmaxe USDNYIBMUSDEUR −× −



Europäische korrelationsab-hängige Optio-nen: ein Bewer-tungsmodell

Aktienkursmodell

( )

( )

( )( )( )

( ) ( ) ( )

−−

∆+∆−+∆

−++∆+=

∆

−++∆

−=

∆+∆+∆+=

∆+∆+∆+∆

−+=

∆+∆

−=

∆+

=

∆+

q;

q;~

totttrS

ttrexpSS

tottrS

totttrS

ttrexpSS

.d.i.i

i

t

ttt

t

t

ttt

11

1

111

121

1

21

21

1

21

221

22

2212

2

2212

22

22

11

1

21

211

21

1

121

11

0

00

0

0

00

ε

ρρεεσρερεσ

ρερεσσ

σε

εσσεσ

σεσ

Frage: Welchen Wert hat q, in einem arbitragefreien Modell, wenn q das aus den Preisen der AD-Assetsabgeleitete WS-Maß sein soll?




Idee: Benutze Beobachtung, daß unter dem aus den AD-Preisen abgeleiteten WS-Maß die erwartete Rendite pro Zeiteinheit aller gehan-delten Wertpapiere gleich r ist.

Definiere Aktienrendite R als:

[ ] [ ] ( )

[ ]

[ ] [ ] ( ) [ ] [ ] ( ) ( )

21

11

21

221

22

221

22

0

2

0

11

0

1

0

=⇔=

∆

∆+∆−+∆

−++∆

=∆

=⇔=∆

∆+∆+∆=

∆

→∆

→∆

→∆→∆

qr

t

totEEtEEtrlim

tRE

lim

qrt

totEtrlim

tRE

lim

qqqq

t

q

t

q

t

q

t

ρρεεσρερεσ

εσ

10

0 −= ∆+it

itt

S

S:R

Ergebnis: Asymptotisch ist q gleich 0,5.

Übung: Zeige dies durch direkte Betrachtung der Preise der AD-Assets.




Beobachtung: Für q = 0,5 gilt

Übung: Nachrechnen.

[ ] ( ) [ ]( )

[ ] ( ) [ ]( )22

22222

0

21

21211

0

σ

σ

=∆

−

=

∆

=∆

−

=

∆

→∆

→∆

t

RERE

tRVar

lim

t

RERE

tRVar

lim

qqq

t

qqq

t

und außerdem

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ] ( ) [ ] ρρερεε

ρ

=+−=

×

−=

×=

→∆

→∆→∆

21

221

21

2121

0

21

21

0

21

0

1 qqq

qq

qqq

t

qq

q

tt

EEE

RVarRVar

RERERRElim

RVarRVar

R;RcovlimR;Rlim




Bewertungsgitter zum Zeitpunkt mx∆∆∆∆t mit mgeradzahlig:

0 2 n-2-n εεεε1

0

2

n+2

-2

-n-2

εεεε2

[ ] ( )( ) ( )( )m

nm,

m

nm,

mn;nQ

×

+−××

−−×=+−

41

250502

Dabei ist 0,5x(m-j) die Anzahl der Fälle, in denen εi = -1 war.



Europäische pfad- und korrelationsab-hängige Optio-nen: OutsideBarriers

Idee: Das Auszahlungsprofil entspricht dem von Barrier-Optionen. Jedoch hängt die Barrier-Bedingung nicht von der Kursentwicklung der Aktie ab, die die terminale Auszahlung bestimmt, sondern von der Kursentwicklung einer weiteren Aktie:

[ ]

[ ][ ]

Monitoring stetigem undOptionen-In bei 0ein mindestensfür

Optionen-Out bei 0 allefür

erfüllt Bedingung-Barrier die falls

02

1

T;t

T;t

S

,;KSmax

t

T

∈∈

−



Europäische pfad- und korrelationsab-hängige Optio-nen: Himalaya-Optionen

Zugrunde liegende Portfoliostrategie: Kaufe Portfolio aus N Aktien. In jeder Periode verkaufe die Aktie, die seit Erwerb des Portfolios die beste Performance gezeigt hat. Die Performance des Gesamtportfolios (ohne Berücksichtigung von Zinseffekten) ist dann wie in folgendem Beispiel:

Akt

ienk

urse

Per

form

ance

Pay

off




Payoff-Varianten: Ursprüngliche Himalaya-Stra-tegie hat unter Vernachlässigung von Zinseffekten den Wert Null, da Payoff durch kostenfreie selbstfi-nanzierende Portfoliostrategie erzeugt werden kann.

Betrachte daher Varianten mit positivem Wert:

Nur die L besten Aktien

Mindestperi-odenperfor-mance von Null

Mindestgesamt-performancevon Null

Quelle: Risk 2002, Marcus Overhaus

Keine Berücksichti-gung der Performance der Vorperioden




Positive Korrelation bei OTM-Himalaya erhöht die Wahrscheinlichkeit eines positiven Payoffs, wohingegen das Risiko einer Verschlechterung wegen des Floorsbei Null ohne Bedeutung ist. Umgekehrt erhöht eine negative Korrelation bei ITM-Himalayas die Wahrscheinlichkeit von mindestens einem hohen positiven Payoff. Das Risiko, daß der zweite Payoff vollständig ausfällt, ist gering, da beide Aktien tief im Geld sind.




Europäische pfad- und korrelationsab-hängige Optio-nen: Bewertung

Problemstellung: Geschlossene Formeln sind nur noch in Aunahmefällen verfügbar. Große An-zahl von Aktien macht Baum- und Gitterverfah-ren im Hinblick auf Komplexität und Rechenzeit prohibitiv teuer.

Lösungsansatz: Monte Carlo Simulation

( )

=Λ×Λ

=Λ

−

−−

+−

−=

−

−

−

= =∑∑

1

1 ;

000

00

00

0

00

21

1

1

1

111

1

1

1

2

1

1 10

20

L

MOM

L

L

MOM

L

L

MOM

M

L

MM

,J

J,T

I,J,J

I,,

kk

kk

kk.d.i.i

t,I

t,

t,

K

k

I

it,ii,jjKj

jt

jt

:

tt

tt

tt

;N~

ttrexpSS

k

k

k

kK

ρ

ρ

λλ

λλ

ε

εε

ελσσ


…… wie man Dividenden in das wie man Dividenden in das BewerBewer--tugsmodelltugsmodell einbauen kanneinbauen kann

stetige versusdiskrete Dividenden

Problemstellung: Viele exotische Optionen haben Laufzeiten von mehreren Jahren z.T. mehr als 10 Jahren. Insbesondere bei langen Laufzeiten und bei Amerikanischen Optionen müssen Dividenden im Bewertungsmodell berücksichtig werden.

Diskrete Dividenden: Die klassische Situation, daßAktien zu bestimmten Zeitpunkten ex Dividendenotieren und ein fester Betrag, unabhängig von der absoluten Höhe des Aktienkurses an die Aktionäre ausgezahlt wird. Der Kurs der Aktie sinkt im Augenblick der ex Dividende-Notierung um den Betrag der Dividende.

Stetige Dividenden: Im Aktienbereich nur in bezugauf nicht-dividendengeschützte Indizes sinnvoll. Soll die Tatsache approximieren, daß bei einem breit gestreuten Index (z.B. S&P 500) und quartalsmäßiger Zahlung praktisch immer eine der Aktien Dividenden zahlt.



stetige versusdiskrete Dividenden

Dividendenschutz: Keine Notwendigkeit der Berücksichtigung von Dividenden ergibt sich, wenn der Index „dividendengeschützt“ ist. Dies wird z.B. beim DAX 30 dadurch erreicht, daß die Dividenden wieder in die dividendenzahlenden Aktien reinvestiert werden und damit der Effekt der Dividendenzahlung für den Indexstand eliminiert wird.

Bei bestimmten Optionen finden sich Dividenden-schutzklauseln, die z.B. die Reduzierung des Strike-Preises bei Zahlung von Dividenden vorsehen. Hier ist die jeweilige Klausel zu prüfen und zu entscheiden, ob auf eine Modellierung der Dividende verzichtet werden kann.



Modellierung von Dividenden

Diskrete Dividenden: Zerlege die Aktie in ein Portfolio aus einem Zero-Coupon Bond in Höhe des Barwertes der Dividende und den verblei-benden stochastischen Teil der Aktie. Damit ist der Aktienkurs St zu einem beliebigen Zeitpunkt vor Zahlung der Dividende D gegeben durch:

Dividendeder eitpunkt Zahlungszals mit T

)T,t(BDSS tt ×+= ∗

Alle bisher eingeführten Modelle können in unveränderter Form für die Modellierung des Kursprozesses von S* genutzt werden.

Achtung: Gegebenenfalls ist es erforderlich, die Volatilität für S* höher als die Volatilität von Sanzusetzen. Die Beziehung ist approximativ gegeben durch: ( )

∗

∗∗ ×+=

S

)T,t(BDSσσ



Modellierung von Dividenden

Stetige Dividenden: Wirken wie eine laufend aus-geschüttete Verzinsung. Da der erwartete Ertrag jedes gehandelten Wertpapiers unter dem aus den Preisen AD-Assets abgeleiteten Martingalmaßgleich dem „risikofreien“ Zinssatz sein muß, mußdie Zahlung stetiger Dividenden bei der Modellierung der Wachstumsrate der Aktien (Indizes) berücksichtigt werden

Sei d die stetige Dividendenrate, dann ersetze in allen Modellen die stetige risikolose Verzinsung rdurch den Ausdruck r-d.

Achtung: Die Diskontierung erfolgt nach wie vor mit der Rate r.


In diesem Modul wird diskutiertModul V• was man unter Zinsparität versteht,

• was Zins-Währungsswaps sind, wie man sie bewertet und welche Rolle dabei Basis-Swaps spielen,

• was Währungsoptionen sind und wie man sie bewertet,

• was Implizite Volatilitäten und Smiles sind,

• welche Typen von Optionen auf ausländi-sche Aktien es gibt und wie man sie bewer-tet.

Währungs-derivate


…… was man unter Zinsparitwas man unter Zinsparitäät verstehtt versteht

Wechselkursquo-tierung

Direkte Quotierung: USD/JPY: 118,00/118,10

heißt: Bank kauft USD für 118 JPY für 1 USD und verkauft USD für 118,10 JPY für 1 USD

Aus Sicht eines Japaners stellt diese Notierung eine Preisnotierung dar. Die Dimension bei einer Preisnotierung lautet:

ghen Währunausländiscder Einheit 1en Währunginländischder Einheiten x

In der Finanzmathematik wird überwiegen die Preisnotierung verwendet. Den Wechselkurs in Preisnotierung bezeichnet man mit e.

ACHTUNG: Die Euroquotierung erfolgt als Men-gennotierung. Die Dimension dieser Notierung ist:

en Währunginländischder Einheit 1ghen Währunausländiscder Einheiten y



Wechselkursquo-tierung



Cross-Rates: USD/CHF: 1,20/1,2010

Frage: Wie muß die Quotierung für CHF/JPY lauten, wenn man beim Tausch über den USD gehen muß?

Fall 1: Bank verkauft 1 CHF für x JPY heißt: Bank verkauft 1 USD für 118,10 JPY und kauft 1 USD für 1,20 CHF, ergo Bank verkauft: 1 CHF für 118,10 /1,20 JPY

Fall 2: Bank kauft 1 CHF für y JPY heißtBank verkauft 1 USD für 1,2010 CHF und kauft 1 USD für 118 JPY, ergo Bank kauft: 1 CHF für 118/1,2010 JPY.



Ableitung Zinsparität



Fragen:

Frage 1: Unternehmen leiht sich 118,10 JPY durch Emission eines JPY-Bond mit Kurs BJPY(0,t) und legt diesen Betrag in einem USD-Bond mit Kurs BUSD(0,t) an. Bei Anlage im USD-Bond kann das Unternehmen das den Betrag von 1 USD zum Zeitpunkt t zu einem im Zeitpunkt 0 festgelegten Wechselkurs wieder in JPY zurücktauschen. Wie hoch muß dieser Wechselkurs USD/JPY0,t,B sein, damit diese Transaktion einen Wert von Null hat?

Frage 2: Was ist, wenn das Unternehmen sich 1 USD leiht und eine Anlage in JPY tätigt?



Ableitung Zinsparität

Überlegung zu Frage 1:

Unternehmen kauft 1 USD für 118,10 JPY und legt diesen in USD-Bond an. Zum Zeitpunkt t verfügt das Unternehmen über 1/BUSD(0,t) USD, den es zum Kurs USD/JPY0,t,B in JPY zurücktauscht. Ergebnis: 1/BUSD(0,t)xUSD/JPY0,t,B JPY. Wert des zurückzuzahlenden Bonds in JPY ist 118,10/BJPY(0,t). Transaktion hat Wert Null für: USD/JPY0,t,B=118,10xBUSD(0,t)/BJPY(0,t).

Überlegung zu Frage 2:

Unternehmen erhält 118 JPY für 1 USD und verfügt zum Zeitpunkt t über 118/(BJPY(0,t)xUSD/JPY0,t,G). Wert des USD-Kredites beträgt 1/BUSD(0,t). Transaktion hat Wert Null für:USD/JPY0,t,G=118xBUSD(0,t)/BJPY(0,t)



Quotierung FX-Forwards



FX-Swaps

Konstruktion:

Ein FX-Swap ist der gleichzeitige Abschluß eines FX-Forwards und einer entgegengesetzten FX-Spot-Transaktion:

Kauf JPY Forward, Verkauf JPY Spot oderVerkauf JPY Forward und Kauf JPY Spot

Verwendung:

• Überrollen von auslaufenden FX-Forwards auf den nächsten Termin

• Spekulation auf die Zinsdifferenz zwischen beiden Währungen ohne das Eingehen eines Wechsekursrisikos


…… was (was (ZinsZins--)W)Wäährungsswapshrungsswaps und und BasisBasis--SwapsSwaps sindsind

Währungs- und Zins-Wähurngs-swaps

Währungsswap:

Tausch von Festzinszahlungen in einer Währung in Festzinszahlungen in einer anderen Währung.

Zins-Währungsswap:

Tausch von Festzinszahlungen in einer Währung in variable Zinszahlungen in einer anderen Währung

Achtung:

Im Gegensatz zu „normalen“ Zinsswaps erfolgt bei (Zins-)Währungsswaps zu Beginn und zum Ende der Laufzeit ein Austausch der Nominalbeträge in den jeweiligen Währungen.




Replikation eines Währungsswaps:

Abschluß eines Receiver-Zinsswaps in Währung A mit Nominalbetrag NAAbschluß eines Payer-Zinsswaps in Währung B mit Nominaletrag NB

Problem:

Elimination der Floating-ZahlungenAbbildung des Austausches der Nominale

Lösung Basisswap:

Direkter Tausch von variablen Zinszahlungen in Währung A in variable Zinszahlungen in Währung B




Replikation eines Zins-Währungsswaps:

Abschluß eines Receiver- oder Payer-Zinsswaps in Währung A mit Nominalbetrag NA

Problem:

Tausch der Floating-Zahlungen in Währung BAbbildung des Austausches der Nominale

Lösung Basisswap:

Direkter Tausch von variablen Zinszahlungen in Währung A in variable Zinszahlungen in Währung B.


Quotie-rungBasis-Swaps




Existenzberech-tigung von Basisswaps

Ausgangslage:

In einem Markt ohne Transaktionskosten ist die Aufnahme eines variabel verzinslichen Kredites in einer Währung und die variabel verzinsliche Anlage des Kapitals in einer anderen Währung eine Transaktion mit Wert Null. Sichert man nun zusätzlich mittels Zins- und FX-Termingeschäftenalle Zahlungen ab und rollt alle Zahlungen auf das Ende der Laufzeit des Kredites und der Anlage, so muß der Wert der Endzahlung wieder exakt Null sein.

Konsequenz:

Der Basisswap-Spread müßte stets Null betragen. Mit anderen Worten: Basisswap-Spreads können nur innerhalb der durch die Geld-Brief-Spannen beim Wechselkurs und bei den Terminzinssätzen gegebenen Schranken existieren.



Bewertung von (Zins-) Währungs-swaps

Methode 1:

Berechne den Barwert jedes Legs des Swaps auf Basis der aus den Swapsätzen und Terminzins-sätzen der jeweiligen Währung generierten Zero-Coupon-Bond Kurve. Konvertiere einen der Bar-werte mit Hilfe des aktuellen Spot-Wechselkurses in die andere Währung und bilde die Differenz. Fehler! Die in den FX-Forwards enthaltenen Transaktionskosten werden nicht korrekt abgebildet.

Methode 2:

Konvertiere jede Zahlung in einer der beiden Währungen mit Hilfe der laufzeitadäquaten FX-Forwards in die andere Währung und berechne den Barwert aller Zahlungen nur noch mit Hilfe der Zero-Coupon-Kurve der Währung, in die die Einzelzahlungen umgerechnet wurden. Korrekt!


Bewer-tungs-unter-schie-de



…… wie man Wwie man Wäährungsoptionen bewertethrungsoptionen bewertet

Anpassung des stochastischen Modells

Idee zur Bestimmung der arbitragefreien Modellierung des Wechselkurses:

f

tt

tf

ttt

ft

ftt

tt

rr

rtrexpttexpElim

)tt,t(Be

)tt,tt(BeElim

00

000

0

0

0

!21

0

00

00

0

211

11

−=→

=

∆××

∆+∆

−∆

=

−∆+×

∆+∆+×∆

→∆

∆+

→∆

µ

σεσµ

Konsequenz:

Wechselkursoptionen können (unter Vernachläs-sigung der Transaktionskosten) behandelt werden wie Optionen auf Aktien, die eine kontinuierliche Dividende in Höhe des „ausländischen“ „risiko-freien“ Zinssatzes bezahlen. Alle Erkenntnisse aus Aktienoptionen übertragen sich entsprechend.



Implizite Volatilitäten

Bisheriger Ansatz:

Bilde ein Bewertungsmodell, bestimme die Ein-gangsparmeter und berechne den Preis der Option.

Jetzt Umkehrung:

Gegeben einen Optionspreis und alle direkt beobachtbaren Eingangsparameter, bestimme den letzten freien Parameter, nämlich die Volatilität, so, daß der beobachtete Preis sich als Resultat aus dem Modell ergibt.

Die so berechnete Volatilität heißt Implizite Volatilität.

Die Höhe der Impliziten Volatilität hängt von der Moneyness bzw. dem Delta der Option ab. Diese Abhängigkeit bezeichnet man als Skew oder Smile-Effect.



Impli-ziteVolati-litäten

ATM Implizite Volatilitäten USD/JPY:



Impli-ziteVolati-litäten

Volaspreads

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0,035

03ju

n200

319

jun2

003

09ju

l200

328

jul2

003

13au

g200

329

aug2

003

15se

p200

302

oct2

003

20oc

t200

305

nov2

003

21no

v200

309

dec2

003

25de

c200

312

jan2

004

27ja

n200

412

feb2

004

04m

ar20

0422

mar

2004

07ap

r200

423

apr2

004

12m

ay20

0431

may

2004

16ju

n200

402

jul2

004

20ju

l200

405

aug2

004

23au

g200

408

sep2

004

24se

p200

412

oct2

004

28oc

t200

415

nov2

004

01de

c200

4

Date

[%]

25P6M-25C6M

Differenz Implizite Volatilitäten USD/JPY +/- 0,25 Delta:


…… wie man Optionen auf auslwie man Optionen auf ausläändische ndische Aktien bewertetAktien bewertet

Optionstypen

Aktienkurs und Strike in Fremdwährung

[ ]0;KSmaxe ffTT −×

Aktienkurs in Fremdwährung, Strike in inländischer Währung

[ ]0;KSemax dfTT −×

Aktienkurs in inländischer Währung, Strikein Fremdwährung

[ ]0;KeSmax fT

dT ×−

Quantooptionen: fixierter Wechselkurs, Strike in inländischer Währung

[ ]0;KSemax dfT −×



Bewertung:

Aktienkurs und Strike in Fremd-währung

[ ]0;KSmaxe ffTT −×

Ein einfaches Duplizierungsargument:

Kaufe in t0 die Option mit Zahlungsprofil

[ ]0;KSmax ffT −

Halte diese Option bis zur Fälligkeit T.Konvertiere die zum Zeitpunkt T in Fremdwäh-rung erhaltene Auszahlung zum in T gültigen Wechselkurs eT in inländische Währung.Diese Strategie erzeugt gewünschten Zah-lungsstrom zum Zeitpunkt T.

Der Preis dieser Strategie zum Zeitpunkt t0beträgt: )E,T,K;t(PVCe f

t 00×

kann mittels BS-Formelbestimmt werden.

)E,T,K;t(PVC f0



Bewertung:

Aktienkurs in Fremdwährung, Strike in inlän-discher Währung

Problem:Wie sieht ein arbitragefreies Modell aus für

[ ]0;KSemax dfTT −×

? ftt Se ×

Ansatz:

ist ein Wertpapier in inländischer Währung. Damit muß die erwartete Rendite dieses Wertpapiers in einem arbitragefreien Modell gleich dem risikolosen inländischen Zinssatz sein.

ftt Se ×

dtr



Bewer-tung:

Aktien-kurs in Fremd-währung, Strike in inlän-discherWährung

Aktien-/ Wechselkursmodell

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

∆Σ+∆

Σ−×=

∆+++∆

++−×=

∆

−+++∆

++−×=×

∆

−++∆

−−=

∆+∆

−−=

∆+∆+

∆+

∆+

ttrexpSe

ttrexpSe

ttrexpSeSe

ttrrexpee

ttrexpSS

dftt

SeSeSeSedf

tt

d

eSeSeSedf

ttf

tttt

eefd

ttt

SSeSff

tf

tt

32

32222

221

22

221

2

12

21

2221

1221

121

21

00

00

0000

00

00

ε

εσρσσσσρσσσ

ρσεσρσεσρσσσ

ρερεσσ

εσσρσσ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )Σ−

=Σ+=

2

32313211

10 10ρσεερσσεεεε eeS

.d.i.i

, ;cov;;cov;;N~;;N~

Damit ist diese Option mit der BS-Formelbewertbar.



Bewertung:

Aktienkurs in Fremdwährung, Strike in inlän-discher Währung

Inländische und ausländische AD-Preise

Beobachtung 1:Das aus den inländischen AD-Preisenabgeleitete WS-Maß für den Risikofaktor ε1 ist

( )10;N

( )1;tN e ∆ρσ

Beobachtung 2:Das aus den ausländischen AD-Preisen abge-leitete WS-Maß für den Risikofaktor ε1 muß zur Gewährleistung von Arbitragefreiheit lauten:

oder äquivalent unter dem ausländischen aus den AD-Preisen abgeleiteten WS-Maß ist

( )101 ;N~te ∆− ρσε



Betrachte den Wert von unter Berücksichtigung der Dynamik der ausländi-schen Aktie unter dem aus den inländischen AD-Preisen abgeleiteten WS-Maß:


Bewertung:

Quanto-optionen

+

−−= TTrexpSeSe SSeSff

tf

T 12

21

0εσσρσσ

fTSe ×

Problem:Was ist der Wert dieses Payoffs unter den inländischen AD-Preisen zu einem beliebigen Zeitpunkt t0 < t < T?




Bewertung:

Quanto-optionen

Lösung:Berechne den Erwartungswert des Payoffsunter dem aus den inländischen AD-Preisenabgeleiteten WS-Maß:

( )

( )

+

−=

+

−−−=

+

−−−−=

=

ttrexpS

ttrexpSeTrrexp

FTTrexpSeEtTrexpS

SSdf

t

SSd

S

ftSe

df

tSSeSff

tQdf

t

ft

d

12

12

12

21

21

21

0

0

0

0

εσσ

εσσσρσ

εσσρσσ

44444 344444 21

Damit ist diese Option mit der BS-Formelbewertbar.



Modul VI • was man unter Caps, Floors, Collars und Swaptions versteht,

• was man aus statischen Portfolien aus diesen Instrumenten über ihre Bewertung lernen kann,

• wie man die Black-Formel für Capletsherleiten kann,

• was ein Cap-Smile ist.

Optionale Zinsderivate


In diesem Modul wird diskutiertModul VII

• warum Sie in dieser Vorlesung zwar hoffentlich viel gelernt haben, aber dennoch der Satz gilt:

„Ich weiß, daß ich nichts weiß.“

Ausblick


…… AusblickAusblick

Was fehlt

Vorlesung hat Grundlagen gelegt und wichtig Begriffe und Konzepte dargestellt. Sie sind damit KEINE DERIVATE-EXPERTEN!

Wichtige Erweiterungen betreffen:

• Einführung in den zeitstetigen stochastischen Kalkül

• Vertiefung Implizite Volatilitäten, Smiles und stochastische Volas

• Vertiefung/Einführung in andere Assetklassen

• optionale Zinsderivate und zugehörige Bewertungsmodelle, insbesondere LIBOR-Market

• Kreditderivate

• Modellkalibrierung

• Verbesserte numerische Methoden (Bestimmung der Griechen, American Monte-Carlo)

• Hedging in unvollständigen Märkten und mißspezifizierten Modellen


In diesem Modul würde diskutiert

VertiefungModul VI

• wie man dynamische stochastische Model-le für Zinsderivate konstruieren kann,

• wie das Hull/White/Vasicek-Modell für Zinsderivate aufgebaut ist und wie man es mittels Vorwärtsinduktion kalibriert,

• wie man in diesem Modell Bermuda-Swaptions bewertet,

• welche Herausforderungen sich bei anderen exotischen Zinsderivaten stellen

• u.v.a.m.

Optionale Zinsderivate




Modul VIII• was man unter CDS, TRS, CLN, FTD,

CDO und CDO² versteht,

• was der Unterschied zwischen impliziten und historischen Ausfallwahrscheinlichkei-ten ist und wie man eine Credit-Curvekonstruieren kann,

• wie man diese zur Bewertung von CDSsnutzen kann,

• welche Bedeutung die Ausfallkorrelation bei der Bewertung bestimmter Kreditderi-vate besitzt

• wie man Ausfallkorrelation handeln kann

• u.v.a.m.

Kreditderivate




Modul N

• ……………...Thema N



• Die Vorlesung hat mir Spaß gemacht. Sie hat auch mir geholfen, manche Dinge noch einmal klarer zu sehen.

• Ich hoffe, Sie hatten ebensoviel Freude daran und werden auch Spaß daran haben, den Stoff nachzuarbeiten.

• Ich wünsche Ihnen Viel Erfolg in der Klausur!

…… SchluSchlußßwortwort

Dr. Daniel Sommer

K P M G

+ 4 9 ( 6 9 ) 9 5 8 7 -2 4 9 8

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Dr. Daniel Sommer

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Derivate und Bewertung - uni-hohenheim.de · 2010. 1. 7. · Derivate und Bewertung Dr. Daniel...

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